EJERCICIOS DE PROBABILIDAD INFERENCIA Y MUESTREOyoquieroaprobar.es/_pdf/53548.pdf · 2018-10-15 · EJERCICIOS DE PROBABILIDAD INFERENCIA Y MUESTREO MATEMÁTICAS APLICADAS CC. SS

EEJJEERRCCIICCIIOOSS DDEE PPRROOBBAABBIILLIIDDAADD

IINNFFEERREENNCCIIAA YY MMUUEESSTTRREEOO

MMAATTEEMMÁÁTTIICCAASS AAPPLLIICCAADDAASS CCCC.. SSSS..

Antonio López García Angeles Juárez Martín Juan Fernández Maese

PROBABILIDAD 3

Índice Temático

CAPÍTULO 1: COMBINATORIA........................................................................................... 5

1.1.- TÉCNICAS DE RECUENTO................................................................................................ 5

1.2.- VARIACIONES..................................................................................................................... 8

1.3.- PERMUTACIONES ............................................................................................................ 11

1.4.- COMBINACIONES ............................................................................................................ 15

1.5.- EJERCICIOS DEL TEMA .................................................................................................. 18

CAPÍTULO 2: PROBABILIDAD .......................................................................................... 21

2.1.- EXPERIMENTOS ALEATORIOS ..................................................................................... 21

2.2.- SUCESOS............................................................................................................................ 23

2.3.- OPERACIONES CON SUCESOS ...................................................................................... 27

2.4.- IDEA INTUITIVA DE LA PROBABILIDAD.................................................................... 30

2.5.- DEFINICIÓN AXIOMÁTICA DE PROBABILIDAD ....................................................... 33


CAPÍTULO 3: PROBABILIDAD CONDICIONADA ......................................................... 42

3.1.- PROBABILIDAD CONDICIONADA ................................................................................ 42

3.2.- EXPERIMENTOS COMPUESTOS.................................................................................... 48

3.3.- PROBABILIDAD TOTAL.................................................................................................. 53

3.4.- TEOREMA DE BAYES...................................................................................................... 57


CAPÍTULO 4: DISTRIBUCIONES DISCRETAS ............................................................... 65

4.1.- DISTRIBUCIONES DISCRETAS ...................................................................................... 65

4.2.- MEDIA Y VARIANZA....................................................................................................... 72

4.3.- DISTRIBUCIÓN BINOMIAL............................................................................................. 77


PROBABILIDAD 4

CAPÍTULO 5: DISTRIBUCIONES CONTINUAS.............................................................. 85

5.1.- DISTRIBUCIÓN CONTINUA............................................................................................ 85

5.2.- MEDIA Y VARIANZA....................................................................................................... 87

5.3.- DISTRIBUCIÓN NORMAL ............................................................................................... 89

5.4.- AJUSTE DE LA BINOMIAL A LA NORMAL ................................................................. 95


CAPÍTULO 6: MUESTREO................................................................................................... 99

6.1.- MUESTRA. ......................................................................................................................... 99

6.2.- MUESTREO ALEATORIO SIMPLE. .............................................................................. 101

6.3.- MUESTREO ALEATORIO ESTRATIFICADO. ............................................................. 103

6.4.- DISTRIBUCIÓN MUESTRAL DE MEDIAS................................................................... 106

6.5.- DISTRIBUCIÓN MUESTRAL DE PROPORCIONES. ................................................... 112

6.6.- EJERCICIOS DEL TEMA ................................................................................................ 114

CAPÍTULO 7: INFERENCIA .............................................................................................. 117

7.1.- INTERVALO DE CONFIANZA DE LA MEDIA. ........................................................... 117

7.2.- INTERVALO DE CONFIANZA DE LA PROPORCIÓN................................................ 122

7.4.- EJERCICIOS DEL TEMA ................................................................................................ 125

PROBABILIDAD 5

CAPÍTULO 1:

COMBINATORIA

1.1.- TÉCNICAS DE RECUENTO

1.- Producto

Si un procedimiento se puede descomponer en varios pruebas A, B,..., C cada una de ellos con m, n,..., p elementos el número de resultados posibles en la prueba global se halla multiplicando todos los elementos de cada una de las pruebas:

m x n x... x p

2.- Diagrama en árbol

Es una variación del principio de multiplicación donde se construyen todas las posibilidades de aplicar dicha regla. Por ejemplo el siguiente diagrama muestra las posibilidades de nacimiento de los dos hijos de una de una familia:

EJEMPLOS 1.- En un curso se va a elegir delegado y subdelegado entre 4 candidatos. ¿Cuántas hojas diferentes se pueden rellenar ? Resolución: El delegado puede elegirse entre 4 candidatos y quedan tres para el subdelegado, luego se pueden rellenar: 4x3 = 12 papeletas. 2.- Si las matrículas de los coches constan de dos letras (elegibles entre 26) y cuatro dígitos. ¿Cuántas matrículas diferentes se pueden crear ? Resolución: Hay dos lugares con letras elegibles entre 16, cuatro con dígitos elegibles entre 10, pudiendo repetirse todos, luego: 26x26x10x10x10x10 = 6.760.000 matrículas. 3.- ¿Cuántas parejas de vocales distintas se pueden formar? Resolución: Hay dos lugares con 5 letras elegibles para el primer lugar y quedan 4 letras para el segundo, ya que no pueden repetirse letras, luego: 5x4 = 20 parejas.

PROBABILIDAD 6

4.- ¿Cuántas parejas de vocales se pueden formar? Resolución: Hay dos lugares con 5 letras elegibles para ambos lugares, ya que no pueden repetirse todas las vocales, luego: 5x5 = 25 parejas. 5.- ¿De cuantas maneras diferentes se pueden lanzar al aire dos monedas a la vez? Resolución: Formamos el árbol de sucesos:.

Por lo tanto son posibles los 4 resultados { (C, C), (C, X), (X, C), (X, X) } 6.- ¿De cuantas maneras diferentes se pueden lanzar al aire tres monedas a la vez? Resolución: La mejor manera de encontrar todas las posibilidades es formar el árbol de sucesos:

Por lo tanto son posibles los 8 resultados: { (C,C,C), (C,C,X),(C,X,C), (C,X,X),(X,C,C), (X,C,X),(X,X,C), (X,X,X) } 7.- ¿De cuantas maneras diferentes han podido nacer dos varones y dos mujeres en una familia con cuatro hijos? Resolución: Formamos el árbol de sucesos:.

Por lo tanto son posibles los 6 resultados: { (V,V,M,M), (V,M,V,M),(V,M,M,V), (M,V,V,M), (M,V,M,V), (M,M,V,V) }

PROBABILIDAD 7

8.- ¿De cuantas maneras diferentes se en cuanto al sexo pueden distribuir los cuatro hijos de una familia? Resolución: La mejor manera de encontrar todas las posibilidades es formar el árbol de sucesos:

Por lo tanto son posibles los 16 resultados: {(V,V,V,V), (V,V,V,M), (V,V,M,V), (V,V,M,M), (V,M,V,V), (V,M,V,M), (V,M,M,V), (V,M,M,M), (M,V,V,V), (M,V,V,M), (M,V,M,V), (M,V,M,M), (M,M,V,V), (M,M,V,M), (M,M,M,V), (M,M,M,M)}

EJERCICIOS PROPUESTOS 1.- Si en un restaurante hay 5 primeros platos y 6 segundos a) ¿Cuántos menús se pueden realizar? b) Si hay 3 postres ¿cuántos menús se pueden realizar? Solución: a) 30 menús, b) 90 menús. 2.- ¿Cuántos números naturales hay entre 1.000 y 10.000 con todas las cifras diferentes? Solución: 4536 números. 3.- Se tiene una bolsa con 4 bolas numeradas del 1 al 4. Se realiza el experimento que consiste en la extracción de una bola de la bolsa, observar el número obtenido y reintegrar la bola a la bolsa. Se pide: a) Hallar de cuántas formas diferentes se extraen las 4 bolas. b) Hallar de cuántas formas diferentes se extraen las 4 bolas, si no se reintegran a la bolsa. Solución: a)44, b)4.3.2.1. 4.- En el experimento lanzar dos dados al aire y observar la puntuación que aparece en las caras superiores. Hallar de cuantas maneras diferentes se obtiene un 7 sumando las dos caras. Solución: 6 maneras diferentes. 5.- Un experimento consiste en la extracción de tres cartas de una baraja española. a) Hallar de cuántas formas diferentes se extraen las 3 cartas si se reintegran a la baraja. b) Hallar de cuántas formas diferentes se extraen las 3 cartas, si no se reintegran a la baraja. Solución: a) 64.000, b) 59.280. 6.- De cuántas maneras diferentes se pueden cubrir los puestos de presidente, secretario y tesorero de una comunidad de vecinos si hay 25 viviendas en dicha comunidad?. Solución: 13.800.

PROBABILIDAD 8

1.2.- VARIACIONES

1.- Variaciones con repetición

Variaciones con repetición de n elementos tomados de m en m son las distintas muestras que se pueden formar con n elementos, tal que: • En cada muestra hay m elementos, repetidos o no.

• Dos muestras son distintas si difieren en un elemento

• Dos muestras son distintas si difieren en la colocación de los mismos. El número de ellos es:

mmn, n VR =

Observación: Si A es un conjunto de cardinal m y B un conjunto de cardinal n, el número de aplicaciones que se pueden definir entre A y B coinciden con VRn,m.

2.- Variaciones sin repetición

Variaciones con repetición de n elementos tomados de m en m son las distintas muestras que se pueden formar con n elementos, tal que:

• En cada muestra hay m elementos distintos.

• Dos muestras son distintas si difieren en un elemento

• Dos muestras son distintas si difieren en la colocación de los mismos. El número de ellos es:

1)m-1)...(n-n(n V mn, +=

Observación: Si A es un conjunto de cardinal m y B un conjunto de cardinal n, el número de aplicaciones inyectivas que se pueden definir entre A y B coinciden con Vn,m.

EJEMPLOS 1.- ¿Cuántas columnas hay que rellenar para tener la seguridad de acertar 14 resultados en las quinielas? Resolución: Como hay tres posibilidades de acierto 1,X,2 en cada posición y hay 14 posiciones en cada columna tenemos:

4.728.9693 VR 143,14 ==

Por lo tanto son posibles 4.728.969 columnas.

PROBABILIDAD 9

2.- ¿De cuantas maneras diferentes se pueden lanzar al aire tres monedas a la vez? Resolución: Como hay dos posibilidades C, X en cada posición y hay 3 posiciones tenemos:

82VR 33,2 ==

Por lo tanto son posibles 8 resultados. 3.- ¿Cuántas números de tres cifras podemos realizar con las cifras 0, 1, 2, 3 y 4? Resolución: Como importa el orden y se pueden repetir son variaciones con repetición de 5 elementos tomados de 3 en 3. Además no son números de 3 cifras los que empiezan por 0:

1002512555VR-VR 235,25,3 =−=−=

Por lo tanto podemos realizar 100 números. 4.- ¿Cuántas números de tres cifras podemos realizar con las placas de los números 1 al 5?, ¿cuántos empiezan por 3? Resolución: Como importa el orden y no se pueden repetir ya que tengo únicamente cinco placas son variaciones sin repetición de 5 elementos tomados de 3 en 3.

603.4.5V5,3 == Por lo tanto podemos realizar 60 números. Empiezan por 3 los que fijan la 1ª cifra 3. Quedan variaciones sin repetición de 4 elementos tomados de 2 en 2.

203.4V4,2 == 5.- ¿De cuantas maneras diferentes se pueden combinar ocho colores en una bandera de tres franjas sin repetir ninguno? Resolución: Como importa el orden y no se pueden repetir son variaciones sin repetición de 8 elementos tomados de 3 en 3.

3366.7.8V8,3 == Por lo tanto podemos realizar 336 banderas. 6.- ¿De cuantas maneras diferentes se pueden elegir presidente y secretario de una comunidad de vecinos de 15 viviendas? Resolución: Como importa el orden y no se pueden repetir son variaciones sin repetición de 15 elementos tomados de 2 en 2. V15,2 = 15.14 = 210 Por lo tanto podemos realizar 210 elecciones.

PROBABILIDAD 10

EJERCICIOS PROPUESTOS

1.- ¿Cuántos números de 3 cifras se pueden formar con los números 1, 3, 5, 7 y 9? Solución: VR5,3 = 53 = 125

2.- ¿De cuántas manera se pueden ganar las medallas de oro, plata y bronce los 6 participantes de una carrera? Solución: V6,3 = 6.5.4 = 120 3.- ¿Cuántos números de 4 cifras se pueden formar con los números 2, 4, 6 y 8? Solución: VR4,4 = 44 = 256 4.- ¿Cuántos números de 4 cifras se pueden formar con los números 2, 4, 6 y 8 que comiencen por 2? Solución: VR4,3 = 43 = 64 5.- ¿Cuántos números de 4 cifras se pueden formar con los números 2, 4, 6 y 8 que acaben por 8? 6.- ¿Cuántos números de 3 cifras diferentes se pueden formar con los números 2, 4, 6 y 8? Solución: V4,3 = 4.3.2 = 24 7.- ¿Cuántos números de 3 cifras diferentes se pueden formar con los números 2, 4, 6 y 8 que comiencen por 2? Solución: V3,2 = 3.2 = 6 8.- ¿Cuántas palabras, con o sin sentido, de tres letras se pueden formar con las letras de la palabra ELSA? Solución: V4,3 = 4.3.2 = 24 9.- ¿De cuantas maneras distintas se pueden extraer tres bolas de una bolsa numeradas del 1 al 8? Solución: V8,3 = 8.7.6 = 336 10.- En una bolsa hay 8 bolas numeradas del 1 al 8. ¿De cuántas maneras distintas podemos extraer tres de ellas si volvemos a dejar la bola una vez observado el resultado? Solución: VR8,3 = 83 = 512 11.- Si en una provincia el máximo número de dígitos en el teléfono es 7 y suponemos que no hay códigos ni números fijos, ¿cuántos números telefónicos tenemos? Solución: VR10,7 = 107 = 10.000.000 12.- Si en una provincia el máximo número de dígitos en el teléfono es 7, sin empezar por el 0, ¿cuántos números telefónicos tenemos? Solución: VR10,7 -VR10,6 = 107-106 = 9.000.000 13.- ¿Cuántos números menores de 1000 hay con alguna cifra repetida? Solución: VR10,3- V10,3 = 1000 - 720 = 280

14.- ¿Cuántos números capicúas menores de 1000 hay? Solución: VR10,2- V10,1 = 100 - 10 = 90

15.- ¿Cuántos resultados se obtiene al lanzar dos dados de parchís al aire? Solución: VR6,2 = 62 = 36 16.- ¿De cuántas maneras diferentes se pueden lanzar al aire tres monedas a la vez? Solución: VR2,3 = 23 = 8 17.- ¿De cuántas maneras diferentes se pueden lanzar al aire tres monedas a la vez, de modo que la primera sea cara? Solución: VR2,2 = 22 = 4

PROBABILIDAD 11

1.3.- PERMUTACIONES

1.- Permutaciones sin repetición

Permutaciones de n elementos son las distintas ordenaciones que se pueden formar con los n elementos, tal que en cada muestra todos los elementos son distintos. • En cada muestra hay n elementos distintos. • Dos muestras son distintas si difieren la colocación de los mismos. El número de ellos es:

1)...2.1!-n(n Pn = La expresión n.(n-1).(n-2)...2.1 se denomina factorial de un número, n!. Si utilizamos esta expresión en la fórmula de las variaciones sin repetición queda:

m)!-(n

n! V mn, =

Observación: Si A es un conjunto de cardinal n y B un conjunto de cardinal n, el número de aplicaciones biyectivas que se pueden definir entre A y B coinciden con Pn.

2.- Permutaciones circulares

Un caso particular es la de las permutaciones circulares, que son las diferentes maneras de colocar n elementos en círculo. Al no existir una posición privilegiada a la hora de considerar las diversas permutaciones debemos considerar iguales a aquellas en que los elementos están colocados entre si en la misma posición. El número de ellos es:

1)!-n(P PC 1-nn ==

3.- Permutaciones con repetición Permutaciones con repetición de n elementos de los cuales a, b,....c son iguales entre si son las distintas ordenaciones que se pueden formar con los n elementos, tal que en cada muestra. • En cada muestra hay n elementos. • La suma a + b + .... + c = n • Dos muestras son distintas si difieren la colocación de los mismos. El número de ellos es:

c!a!.b!.....n! P cb,...,a,

n =

PROBABILIDAD 12

EJEMPLOS 1.- ¿Cuántas números de cinco cifras podemos realizar con placas hechas en plástico de los números del 1 al 5? Resolución: Como importa el orden y tengo únicamente las mismas cifras que placas son permutaciones sin repetición de 5 elementos

1205.4.3.2.1 !5P5 === Por lo tanto podemos realizar 120 números. 2.- ¿De cuántas maneras pueden colocarse 6 libros en una estantería? Resolución: Como importa el orden y tenemos los mismos libros que los que se colocan son permutaciones sin repetición de 6 elementos P6 = 6! = 6.5.4.3.2.1 = 720 Por lo tanto podemos colocarlos de 720 maneras diferentes. 3.- ¿Cuántas banderas de tres franjas diferentes puedes hacer con los colores blanco, azul y rojo? Resolución: Como importa el orden, no se pueden repetir y tenemos el mismo número de elementos que los que coloco son permutaciones sin repetición de 3 elementos. P3 = 3! = 3.2.1 = 6 Por lo tanto pueden realizarse 6 banderas. 4.- ¿De cuantas maneras diferentes se pueden sentar cinco personas en una mesa? Resolución: Como importa el orden, no se pueden repetir y tenemos el mismo número de elementos que los que coloco son permutaciones sin repetición de 5 elementos. P5 = 5! = 5.43.2.1 = 120 5.- ¿De cuantas maneras diferentes se pueden sentar cinco personas en una mesa redonda? Resolución: Son un caso de permutaciones circulares. Como importa el orden y tenemos el mismo número de lugares que comensales tendríamos permutaciones sin repetición. Al ser una mesa redonda no hay cabecera, luego debo eliminar uno, quedando. PC5 = P4 = 4! = 4.3.2.1 = 24

PROBABILIDAD 13

Por lo tanto se pueden sentar de 6 maneras diferentes. 6.- ¿De cuantas maneras diferentes se pueden combinar cuatro comensales en una mesa camilla? Resolución: Son un caso de permutaciones circulares. Como importa el orden y tenemos el mismo número de lugares que comensales tendríamos permutaciones sin repetición. Al ser una mesa redonda no hay cabecera, luego debo eliminar uno, quedando.

6 3.2.1 !3P PC 34 ==== Por lo tanto se pueden sentar de 6 maneras diferentes. 7.- ¿Cuántas números de cinco cifras podemos escribir con 2 unos, 2 doses y 3 treses? Resolución: Contamos las ordenaciones de 7 elementos, de los cuales 2, 2 y 3 son iguales entre si.

2!2!.3!7! P 2,2,3

7 = = 210

Por lo tanto podemos escribir 210 números. 8.- ¿Cuántas palabras diferentes se pueden formar con las letras de la palabra ALAVA? Resolución: Contamos las ordenaciones de 5 elementos, de los cuales 1, 1 y 3 son iguales entre si.

1!.1!.3!5! P1,1,3

5 = = 20

Por lo tanto podemos escribir 20 palabras diferentes. 9.- ¿De las palabras diferentes que se pueden formar con las letras de la palabra ALAVA, cuántas empiezan por vocal?, ¿cuántas empiezan por consonante? Resolución: • Si comienzan por vocal, como solo tenemos una (la A) tendremos las

ordenaciones de 4 elementos, de los cuales 1, 1 y 2 son iguales entre si.

1!.1!.2!4! P1,1,2

4 = = 12

Por lo tanto podemos escribir 12 palabras diferentes.

PROBABILIDAD 14

• Si comienzan por consonante, como tenemos dos (la A) tendremos el producto de las dos posibles consonantes por las ordenaciones de 4 elementos, de los cuales 1y 3 son iguales entre si.

.1!.3!4!2. 2.P1,3

4 = = 8

Por lo tanto podemos escribir 8 palabras diferentes.


1.- ¿Cuántas números de cinco cifras podemos realizar con las cifras impares? Resolución: P5 = 120 2.- ¿De cuantas maneras se pueden pintar camisetas de tres franjas diferentes con los colores blanco, azul y rojo? Resolución: 6P3 = 3.- ¿De cuantas maneras diferentes se sentaban los 12 caballeros de la tabla redonda? Resolución: 800.916.39PC12 = 4.- ¿De cuantas maneras diferentes se sientan los 5 miembros de una comisión? Resolución: P5 = 120 5.- ¿De cuantas maneras diferentes se sientan los 5 miembros de una comisión si la mesa es redonda? Resolución: PC5 = 24 6.- ¿De cuantas maneras diferentes pueden llegar a meta 6 corredores? Resolución: P6 = 720 7.- ¿De cuantas maneras diferentes pueden llegar a meta 6 corredores, si conocemos al ganador y al último que han llegado aunque no en que orden? Resolución: P4.P2 = 48

8.- ¿Cuántas números diferentes se pueden formar con las cifras del número 133322? Solución: 3,2,1

6P = 60

9.- De los números diferentes que se pueden formar con las cifras del número 133322, ¿cuántos tienen el 1 en primer lugar? Solución: 3,2

5P = 10

10.- ¿Cuántas palabras diferentes se pueden formar con las letras de la palabra COCACOLA? Solución: 3,2,2,1

8P = 1680

11.- ¿Cuántas palabras diferentes se pueden formar con las letras de la palabra MALAGA? Solución: 3,1,1,1

6P = 120 12.- ¿De las palabras diferentes que se pueden formar con las letras de la palabra MALAGA, cuántas acaban por vocal? Solución: 2,1,1,1

5P = 60

13.- ¿De las palabras diferentes que se pueden formar con las letras de la palabra MALAGA, cuántas acaban por vocal?, ¿cuántas acaban por consonante? Solución: 3. 2,1,1,1

5P = 180; 3,1,153.P = 60.

PROBABILIDAD 15

1.4.- COMBINACIONES

1.- Combinaciones

Combinaciones sin repetición de n elementos tomados de m en m son las distintas muestras que se pueden formar con n elementos, tal que: • En cada muestra hay m elementos distintos. • Dos muestras son distintas si difieren en un elemento. • Dos muestras NO son distintas si únicamente cambia la colocación de los mismos. El número de ellos es:

m)!(nm!n!C mn, −

=

2.- Números combinatorios

Definición El número de combinaciones de n elementos tomados de m en m Cn,m se llama también número

combinatorio. Se representa por ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛mn

y se lee n sobre m.

Su fórmula es:

m)!(nm!n!

mn

C mn, −=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

Triángulo de Tarataglia Para hallar los números combinatorios podemos utilizar el triángulo de Tartaglia que es:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

44

34

24

14

04

33

23

13

03

22

12

02

11

01

• Todas las filas comienzan y terminan por 1. • Todas las filas son simétricas • Los extremos de la fila son 1 y el resto se obtiene sumando los dos situados encima de ellos.

Propiedades de los números combinatorios

1.- ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛0n

= 1 y ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛1n

=1

2.- ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛mn

= ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛− mnn

3.- ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−1mn

+ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛mn

= ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +m

1n

PROBABILIDAD 16

EJEMPLOS 1.- ¿Cuántos partidos debemos realizar entre cuatro jugadores de ajedrez para que se enfrenten todos? Resolución: Como no importa el orden y no se repiten son combinaciones sin repetición de 4 elementos tomados de 2 en 2.

62.224

2!2!4!C4,2 ===

Por lo tanto debemos realizar 6 partidos. 2.- ¿De cuantas maneras diferentes se pueden elegir tres helados con sabor nata, chocolate, limón, moka y vainilla? Resolución: Como no importa el orden y no se pueden repetir son combinaciones sin repetición de 5 elementos tomados de 3 en 3.

106.2120

3!2!5!C5,3 ===

Por lo tanto podemos elegir 3 helados de 10 maneras diferentes. 3.- ¿Cuántas diagonales se pueden hacer en un hexágono? Resolución: Como una diagonal une dos vértices no consecutivos, sin importar el orden en que tomemos ambos, el número de diagonales, tal como se ve en la figura, es el número de combinaciones de los vértices tomados de dos en dos menos las diagonales externas, que son los lados:

C6,2 - 6 = 4!2!6! -6 = 15 -6 = 9

Por lo tanto podemos hacer 9 diagonales.

4.- Calcula el valor de n en la igualdad ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛16n

= ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛7n

Resolución: Utilizando la 2ª propiedad de los números combinatorios se obtiene:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛16n

= ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛61-n

n

Es decir: n-16 = 7 ⇒ n = 16+7 = 23

5.- Calcula ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛1020

+ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛1120

Resolución:

PROBABILIDAD 17

Utilizando la 3ª propiedad de los números combinatorios se obtiene:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛1020

+ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛1120

= ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛1121

= .5.4.3.2.110.9.8.7.6

.14.13.128.17.16.1521.20.19.111!10!

21!= = 5814

EJERCICIOS PROPUESTOS 1.- ¿De cuántas maneras puedes elegir cuatro camisas de tu armario teniendo en cuenta que el total de las que tienes es 8? Solución: 70C8,4 = 2.- Te han propuesto en un examen 10 preguntas de las cuáles debes resolver 5. ¿cuántas formas hay de seleccionarlas? Solución: 252C10,5 = 3.- ¿De cuántas maneras podemos hacer rectas uniendo 8 puntos en el plano? ¿y si duplicamos el número de puntos? Solución: C8,2 = 28, C16,2 = 120. 4.- ¿Cuántas diagonales tiene un hexágono? ¿y triángulos que unan tres vértices? Solución: 96C6,2 =− , 20C6,3 = 5.- ¿Cuántos grupos de 4 cartas podemos realizar en una baraja española? Solución: 91390C40,4 = 6.- ¿Cuántos grupos de 4 cartas podemos realizar en una baraja española que tengan una figura? Solución: 495C12,4 = 7.- ¿Cuántos grupos de 4 cartas podemos realizar en una baraja española que sean espadas? Solución: 210C10,4 = 8.- ¿De cuántas maneras podemos repartir 28 fichas de dominó entre 4 jugadores? Solución: 475.20C28,4 = 9.- En una comisión de la Unión Europea ha de haber 2 representantes alemanes, dos españoles y 2 portugueses. Teniendo en cuenta que hay 10 representantes alemanes, 8 españoles y 5 portugueses, ¿de cuántas maneras puede elegirse dicho comité? Solución: 600.12C.C.C 5,28,210,2 =

10.- ¿Cuántas apuestas distintas son posibles en la lotería primitiva? Solución: C49,6 = 13.983.816 11.- ¿Cuántas equipos de fútbol diferentes se pueden hacer si los preseleccionados son 15? Solución: C15,11 = 1365.

12.- ¿Cuántas diagonales se pueden hacer en un octógono? Solución: C8,2 -8 = 20 13.- ¿Cuántas diagonales se pueden hacer en un polígono de n lados? Solución:

Cn,,2 - n = ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛2n

-n = 2

3n-n 2

PROBABILIDAD 18

1.5.- EJERCICIOS DEL TEMA

1.- Si en un restaurante hay 5 tipos de bocadillos y 6 tipos de bebidas a) ¿Cuántos menús se pueden realizar? b) Si hay 3 tipos de pasteles ¿cuántos menús se pueden realizar? Solución: a) 5.6 = 30, b) 5.6.3 = 90 2.- ¿Cuántos números naturales hay entre 1.000 y 10.000 con todas las cifras diferentes? Solución: Son números de 4 cifras diferentes 9.9.8.7 = 4536 3.- Se tiene una bolsa con 4 bolas numeradas del 1 al 10. Se realiza el experimento que consiste en la extracción de una bola de la bolsa, observar el número obtenido y reintegrar la bola a la bolsa. Se pide: a) Hallar de cuántas formas diferentes se extraen las 4 bolas. b) Hallar de cuántas formas diferentes se extraen las 4 bolas, si no se reintegran a la bolsa. Solución: a) 000.10VR10,4 = , b) 040.5V10,4 = 4.- En el experimento lanzar dos dados al aire y observar la puntuación que aparece en las caras superiores. Hallar de cuantas maneras diferentes se obtiene un 7 sumando las dos caras. Solución: 6 5.- Un experimento consiste en la extracción de tres cartas de una baraja española. a) Hallar de cuántas formas diferentes se extraen si se reintegran a la baraja. b) Hallar de cuántas formas diferentes se extraen si no se reintegran a la baraja. Solución: a) 000.64VR 40,3 = , b) 880.9C40,3 = 6.- De cuántas maneras pueden repartirse las medallas en una carrera con 6 corredores. Resolución: V6,3 = 120. 7.- La final de torneo de baloncesto se juega en un play-off al mejor de 3 encuentros. ¿Cuántos resultados pueden darse?, ¿y si fuera al primero que gane 3 encuentros? Resolución: a) 8, b) 20.

8.- ¿Cuántas números de 3 distintas cifras se pueden hacer ? Resolución: 648

9.- Resuelve 203VV n,1n,3 =−

Solución: n = 7.

10.- ¿Cuántas palabras pueden formarse con las letras de la palabra CORUÑA que empiecen en consonante? Resolución: 3.P5 = 360

11.- ¿Cuántos números de 6 cifras se pueden formar con placas de los números 1, 2, 3, 4, 5 y 6?, ¿Cuántos son menores que 650.000? Resolución: 696P-P 46 = 12.- ¿Cuántas palabras pueden formarse con las letras de la palabra GIJON que acaban en vocal? Resolución: 2.P4 = 48

13.- ¿Cuántas palabras pueden formarse con las letras de la palabra GIJON que comiencen y acaben en vocal? Resolución: P2.P4 = 48

14.- ¿Cuántas números de 5 cifras diferentes pueden hacerse con las cifras 1, 2, 3, 4 y 5? ¿Y con las cifras 0, 1, 2, 3 y 4? Resolución: P5 = 120, 4. P4 = 96.

15.- ¿Cuántas números de cinco cifras podemos escribir con 2 unos y 3 doses?

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Solución: 2,35P = 10

16.- Resuelve 73VR3VR 1,2-nn,2 =−

Solución: n = 5

17.- Resuelve n,2n,3 V2C = Solución: n = 5

18.- Resuelve 24,5nC2C 1,3nn,3 =+ + Solución: 7

19.- Resuelve ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ++⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ++⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛3

2n3

1n4

3n

= 8

Solución: No tiene Solución válida.


⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛16

1-3n10

1-3n

Solución: n = 9


⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛37

36

2n

Solución: n = 6 22.- Tenemos dinero para comprar tres números de una colección de 12 tebeos ¿de cuántas maneras distintas podemos comprarlos? Solución: 220C12,3 = 23.- Te han propuesto en un examen 10 preguntas de las cuáles debes resolver 5. Si de las preguntas no conoces 2 ¿cuál es la nueva posibilidad de selección? Resolución: 56C8,5 = 24.- ¿De cuántas maneras distintas podemos mezclar seis franjas de colores? Solución: 720P6 = 25.- ¿Cuántos números pares de 3 cifras pueden formarse con las cifras del 0 al 6? Solución: 168)VR4(VR 7,17,2 =− 26.- ¿Cuántos números de 4 cifras pueden formarse usando las cifras del 1 al 4? Solución: 256VR 4,4 = 27.-¿Cuántos números pares de 2 cifras pueden formarse? Solución: 9.5 = 45 28.-¿Cuántos números capicúas de 5 cifras pueden formarse? Solución: 900VRVR 10,210,3 =− 29.-¿Cuántos números de 6 cifras divisibles por 5 pueden formarse? Solución: 000.180)VR2(VR 10,410,5 =− 30.-¿Cuántos números de 4 cifras tienen todas las cifras impares? Solución: 625VR 5,4 = 31.- ¿Cual es el término 497 del desarrollo del binomio )x-2( 501 ?

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Solución: 4974 x24

501⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

32.- Calcula la potencia )z+y+(x 3 Solución: x8+ 3x7y + 3xy2+ y8+3x2z + 6xyz+3y2z+ 3x2y + 3yz2 +z3

33.- Efectúa aplicando el binomio de Newton )3-2( 4

Solución: 24868 −

34.- Sabiendo que el penúltimo término de )ax+(2 n es 40x3, halla a y n.

Solución: a = 3 5 , n = 4.

35.- Calcula el término independiente del desarrollo del binomio 15

2

x3-2x ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

Solución: k = 11 36.- ¿Cuántas matriculas pueden hacerse en una provincia determinada teniendo en cuenta que constan de 4 cifras y dos letras.? Solución: 104.262

37.- Teniendo en cuenta que el alfabeto Morse consta de puntos y rayas repetidas, situadas en distinto orden ¿Cuántas pulsaciones distintas debemos hacer para enviar todas las posibles letras del alfabeto.? Solución: 4 pulsaciones. 38.- Seis amigos, tres hombres y tres mujeres, se encuentran después de una año sin verse, si se saludan dándose un beso en una mejilla si uno de ellos es mujer o dándose la mano si ambos son hombres: a) ¿Cuántos saludos se producen?, b) ¿Cuántos son apretones de mano?, c) ¿Cuántos son besos? Solución: a) 15 saludos, b) 12 besos, c) 3 apretones de mano. 39.- Halla el coeficiente del término del desarrollo de (x-1)10 de grado 3. Solución: 40.- ¿Cuántos números de 3 cifras distintas se pueden formar con los números del 1 al 5?, ¿cuánto vale su suma? Solución: V5,3 = 60. 41.- En una carrera participan 8 atletas: a) ¿Cuántas clasificaciones distintas puede haber? b) ¿De cuántas maneras se pueden repartir las tres medallas? c) Si los atletas son 3 españoles, 2 alemanes y 3 franceses, ¿cuántas clasificaciones puede haber atendiendo únicamente a la nacionalidad de los participantes? Solución: a) 320.40P8 = , b) 336V8,3 = , c) 560P 3,2,3

8 = 42.- Un estudiante tiene que contestar a 8 preguntas de un examen de 10 ítems. ¿De cuántas formas diferentes puede contestar? ¿y si las tres primeras son obligatorias? ¿y si de las cinco primeras tiene que contestar cuatro? Solución: 45C10,8 = , 21C7,5 = , 25.CC 5,45,4 =

43.- ¿Cuántas banderas se pueden fabricar con tres franjas rojas, dos verdes y una azul? Solución: 1,2,3

6P = 60.

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CAPÍTULO 2:

PROBABILIDAD

2.1.- EXPERIMENTOS ALEATORIOS

1.- Experimento determinista y aleatorio

• Un experimento aleatorio es aquel cuyo resultado es imposible predecir de antemano. Un experimento aleatorio tiene un resultado impredecible al repetirlo en condiciones similares.

• Un experimento determinista es aquel cuyo resultado es predecible al repetirlo en

condiciones similares. 2.- Espacio muestral

El espacio muestral de una experiencia aleatoria está formado por el conjunto de resultados posibles en el experimento aleatorio. Pueden ser de tipo discreto (finito o infinito) o continuo. Lo designamos con E.

EJEMPLOS 1.- Pon dos ejemplos de experiencias aleatorias Resolución: • Puntuación de la cara que queda hacia arriba al lanzar al aire un dado de

parchís.

• Valor de la carta que extraeremos de una baraja.

2.- Pon dos ejemplos de experiencias deterministas. Resolución: • Cálculo de lo que tarda en llegar al suelo un objeto lanzado desde cierta

altura.

• Temperatura a la que hierve el agua destilada en una cierta localidad. 3.- Halla el espacio muestral asociado al experimento de lanzar al aire un dado y observar le resultado. Resolución: Al lanzar un dado al aire los posibles resultados son las seis caras existentes en el dado. El espacio muestral asociado es: E = {1, 2, 3, 4, 5, 6} 4.- Halla el espacio muestral asociado al experimento de lanzar al aire dos monedas a la vez. Resolución: La mejor manera de encontrar todas las posibilidades es formar el diagrama en árbol de sucesos:.

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Por lo tanto el espacio muestral es: E = { (C, C), (C, X), (X, C), (X,,X) } 5.- Halla el espacio muestral asociado al experimento consistente en jugar dos personas al tenis ganando quien venza en dos partidos sucesivos de un total de tres. Resolución: La mejor manera de encontrar todas las posibilidades es formar diagrama en árbol de sucesos:

El espacio muestral es: E = {(A,A), (A,B,A), (A,B,B), (B,A,A),(B,B), (B,A,B) }


1.- Sea el experimento lanzar al aire dos dados y observar sus caras superiores. Obtén el espacio muestral. Resolución: E ={(1,1), (1,2),...,(1,6), (2,1), (2,2),....., (2,6),...,(6,6)} 2.- Sea el experimento lanzar al aire un dado de quinielas y observar sus caras superiores. Obtén el espacio muestral. Resolución: E ={1, X, 2} 3.- Se tiene una bolsa con 8 bolas numeradas del 1 al 8. Se realiza el experimento que consiste en la extracción de una bola de la bolsa, observar el número obtenido y reintegrar la bola a la bolsa. Obtén el espacio muestral Resolución: E = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} 4.- De una bolsa con 3 bolas blancas y 1 negra se extraen dos bolas sin reemplazamiento Obtén el espacio muestral Resolución: E = {B1B2,, B1N2,, N1B2} 5.- De una bolsa con 3 bolas blancas y 1 negra se extraen dos bolas con reemplazamiento Obtén el espacio muestral Resolución: E = {B1B2,, B1N2,, N1B2, N1N2 } 6.- Sea el experimento sacar una carta de una baraja española y observar el palo de la carta obtenida. Obtén el espacio muestral. Resolución: E ={0, C, E, B} 7.- Sea el experimento de sacar una carta de una baraja española y observa el número de la carta obtenida. Obtén el espacio muestral. Resolución: E ={A, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10, 11, 12} 8.- Sea el experimento de lanzar al aire un dado y una moneda. Obtén el espacio muestral. Solución: E = {(1,C), (1,X),(2,C), (2,X),....., (6,C),(6,X)}

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2.2.- SUCESOS 1.- Definición. Espacio muestral • Espacio muestral es el conjunto de todos los resultados posibles de un experimento

aleatorio. Se designa con la letra E. • Suceso aleatorio es cualquier subconjunto del espacio muestral. • Espacio de sucesos es el conjunto formado por todos los subconjuntos del espacio muestral.

Se designa con P(E) o S. Si el espacio muestral tiene n elementos S tiene 2n elementos.

2.- Verificación de sucesos

Un suceso se verifica u ocurre cuando al realizar la experiencia aleatoria correspondiente, el resultado obtenido es uno de los que componen dicho suceso. En caso contrario decimos que el suceso no se verifica. 3.- Tipos de sucesos

• Suceso elemental es aquel que no se puede descomponer en otros sucesos, es decir está

formado por un único elemento del espacio muestral.

• Suceso compuesto es aquel que se puede descomponer en otros sucesos, es decir está formado por más de un elemento del espacio muestral.

• Suceso imposible es aquel suceso que no se realiza nunca. Se designa por φ.

• Suceso seguro es aquel que siempre se cumple, es el espacio muestral E.

• Sucesos compatibles son aquellos que

pueden darse simultáneamente ya que la realización de uno no impide la realización de otro. Los sucesos compatibles tienen intersección no nula. A ∩B ≠ φ

• Sucesos incompatibles son aquellos

que no pueden darse simultáneamente ya que la realización de uno impide la realización de otro. Los sucesos incompatibles tienen intersección nula. A∩B = φ

• Suceso contrario de un suceso A cualquiera, es el suceso A que ocurre al no verificarse A. Siempre se verifica: 1.- A∩ A = φ 2.- A∪ A = E

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EJEMPLOS 1.- En el experimento de lanzar dos monedas a la vez obtén los sucesos A = “salir dos caras”, B = “salir dos cruces” y C = “salir cara y cruz”. Resolución: • A = {C, C} • B = {X, X} • C = {(C, X), (X, C)} 2.- Halla el espacio muestral y el espacio de sucesos del experimento lanzar al aire una moneda y observar el resultado obtenido. Resolución: • Espacio muestral es E = { C, X} • Espacio de sucesos es S = {Φ, {C}, {X}, {C, X} } 3.- En el experimento aleatorio lanzar un dado al aire, enuncia tres sucesos que se verifican si obtenemos un 5. Resolución: Entre otros se verifican los sucesos: • "sacar 5" = {5} • "ser impar" = {1, 3, 5} • "ser divisor de 5" = {1, 5}. 4.- En el experimento aleatorio lanzar tres monedas al aire y observar el resultado obtenido, ¿cuándo decimos que se ha verificado el suceso "obtener al menos una cara"? Resolución: Se habrá realizado el suceso si obtenemos cualquiera de los siguientes: {C, X, X}, {X, C, X}, {X, X, C}, {C, C, X}, {X, C, C}, {C, X, C}, {C, C, C}). 5.- En el experimento aleatorio lanzamiento de un dado enuncia dos suceso elementales y dos compuestos: Resolución: • Son sucesos elementales:

- “obtener un 1” - “obtener un 3”.

• Son sucesos compuestos:

- “obtener cifra par” = {1, 3, 5} - “obtener cifra impar” = {2, 4, 6}

6.- En el experimento aleatorio lanzamiento de un dado enuncia dos sucesos imposibles: Resolución: Son sucesos imposibles: • “obtener un 7”. • “obtener un 0”.

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7.- En el experimento aleatorio lanzamiento de un dado enuncia un suceso seguro: Resolución: Es un suceso seguro: “obtener número menor o igual que 6” = {1, 2, 3, 4, 5, 6} 8.- En el experimento aleatorio lanzamiento de un dado enuncia dos sucesos compatibles: Resolución: Son compatibles: • A = “que salga par” • B = “que salga múltiplo de tres” ya que el suceso elemental {6} cumple ambas condiciones. 9.- En el experimento aleatorio lanzamiento de un dado enuncia dos sucesos incompatibles: Resolución: Son incompatibles: • A = “que salga par” • B = “que salga impar” ya que no hay suceso elemental que cumpla ambas condiciones. 10.- En el experimento aleatorio lanzamiento de una moneda enuncia dos sucesos contrarios: Resolución: Son suceso contrarios • A = “obtener cara” • A = “obtener cruz”.


1.- Sea el experimento de lanzar al aire dos monedas y observar su resultado. Se pide el espacio de sucesos. Solución: {φ, {CC}, {XX},(CX), (XC), {CC, CX}, {CC, XC},{CC, XX},{CX, XC},{CX, XX}, {XC, XX}, {CC, CX, XC},{CC, CX, XX}, {CC, XC, CX},{CC, XC, XX}, {CC, XC, CX, XX}} 2.- Sea el experimento lanzar al aire dos dados y sumar sus caras superiores. Obtén: a) El suceso "obtener al menos un 1". b) El suceso "obtener un múltiplo de 3". Solución: a)E = {(1,1), (1,2),...,(1,6),(6,1),...,(2,1)} b){(1,2),(2,1),(1,5),(5,1),(2,4),(4,2),(3,3),(3,6),(6,3),(4,5),(5,4),(6,6)} 3.- Sea el experimento aleatorio coger una ficha de dominó y sumar los puntos de dicha ficha. Obtén: a) El espacio muestral b) El suceso "obtener un número par". Solución: a)E = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 ,12} b) "obtener un número par" = {0, 2, 4, 6, 8, 10, 12}

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4.- Se tiene una bolsa con 8 bolas numeradas del 1 al 8. Se realiza el experimento que consiste en la extracción de una bola de la bolsa, observar el número obtenido y reintegrar la bola a la bolsa. Se pide: a) El suceso "Obtener número primo". b) El suceso "Obtener número par". c) El suceso "Obtener número primo o par". Solución: a) {1,2,3,5,7}, b) {2,4,6,8}, c) {1,2,3,4,5,6,7,8}. 5.- En el experimento lanzar tres monedas a la vez obtén los sucesos salir tres caras, salir dos cruces y una cara salir tres cruces Solución: a) {C, C, C}, b) {X, X, C}, c) {X, X, X}. 6.- En el experimento aleatorio lanzar dos dados al aire y observar la suma de sus caras, enuncia tres sucesos que se verifican si obtenemos un 5. Solución: Entre otros se verifican los sucesos {1,4},{4,1},{2,3}. 7.- En el experimento aleatorio lanzar dos dados al aire y observar la suma de sus caras, enuncia tres sucesos que NO se verifican si obtenemos un 5. Solución: Entre otros no se verifican los sucesos {1,3},{2,1},{2,2}. 8.- En el experimento aleatorio lanzar dos monedas al aire y observar el resultado obtenido, ¿cuándo decimos que se ha verificado el suceso "obtener al menos una cara"? Solución: {C, X}, {X, C}, {C, C} 9.- En el experimento aleatorio lanzar dos monedas al aire y observar el resultado obtenido enuncia dos sucesos elementales: Solución: Son sucesos elementales “obtener dos caras”, “obtener dos cruces”. 10.- En el experimento aleatorio lanzar dos monedas al aire y observar el resultado obtenido enuncia dos sucesos compuestos: Solución: Son sucesos compuestos “obtener al menos una cara”, “obtener al menos una cruz” 11.- En el experimento aleatorio lanzar dos monedas al aire y observar el resultado obtenido enuncia un suceso seguro: Solución: “obtener al menos una cara o una cruz” 12.- En el experimento aleatorio lanzar dos monedas al aire y observar el resultado obtenido enuncia dos sucesos compatibles: Solución: Son compatibles: A = “obtener cara y cruz” B = “obtener al menos una cara”. 13.- En el experimento aleatorio lanzar dos monedas al aire y observar el resultado obtenido enuncia dos sucesos incompatibles: Solución: Son incompatibles: A = “obtener dos cruces” B = “obtener dos caras” 14.- En el experimento aleatorio lanzar dos monedas al aire y observar el resultado obtenido enuncia dos sucesos contrarios: Solución: Son sucesos contrarios: A = “obtener dos caras” A = “obtener al menos una cruz”. 15.- En el experimento aleatorio lanzar dos monedas al aire y observar el resultado obtenido enuncia dos sucesos imposibles: Solución: Son sucesos imposibles, por ejemplo A = “obtener tres caras” B = “obtener tres cruces”.

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2.3.- OPERACIONES CON SUCESOS

1- Unión de sucesos

Dados dos sucesos A y B, llamamos unión de sucesos al conjunto formado por los sucesos elementales comunes y no comunes de A y B y lo expresamos como A∪B. Es decir será el suceso que sucede cuando se verifica A o B o ambos a la vez.

2- Intersección de sucesos

Dados dos sucesos A y B, llamamos intersección de sucesos al conjunto formado por los sucesos elementales comunes de A y B y lo expresamos como A∩B. Es decir será el suceso que sucede cuando se realizan A y B simultáneamente.

3.- Diferencia de sucesos

Dados dos sucesos A y B, llamamos diferencia de sucesos al conjunto formado por los sucesos elementales que se verifican cuando se verifica de A pero no cuando se cumple B y lo expresamos como A-B. Es decir será el suceso que sucede cuando se realizan A y B simultáneamente.

4.- Propiedades de las operaciones

En el espacio de sucesos asociado a un espacio aleatorio se definen las operaciones unión, intersección y contrario de modo que se cumplen las propiedades:

Operaciones Propiedades

Unión Intersección Asociativa (A∪B)∪C = A∪(B∪C) (A∩B)∩C = A∩(B∩C) Conmutativa A∪B = B∪A A∩B = B∩A Idempotente A∪A = A A∩A = A Simplificativa A∪(B∩A) = A A∩(B∪A) = A Distributiva A∪ (B∩C) = (A∪B)∩(A∪C) A∩(B∪C) = (A∩B)∪(A∩C) Contrario A∪ A = E A∩ A = Φ

Con esas propiedades el conjunto Espacio de sucesos es un Álgebra de Boole de sucesos. Además existen otras propiedades como las leyes de ”De Morgan”:

QF ∩ = QF∪ QF ∪ = QF∩

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EJEMPLOS 1.- En el experimento sacar una carta de una baraja española y observar el resultado consideramos los sucesos A = “sacar una carta que sea múltiplo de 4 y B = “sacar una carta que sea múltiplo de 3”, halla A∪B. Resolución: Como los sucesos son A = { 4, 8} B = {3, 6, 9, 12} La unión de sucesos será: A∪B = {3, 4, 6, 8, 9, 12} 2.- En el experimento sacar una carta de una baraja española y observar el resultado consideramos los sucesos A = “sacar una carta que sea múltiplo de 2” y B = “sacar una carta que sea múltiplo de 3”, halla A∩B. Resolución: Como los sucesos son A = {2, 4, 6, 8, 10} B = {3, 6, 9, 12} La intersección de sucesos será: A∩B = {6, 12} 3.- En el experimento sacar una carta de una baraja española y observar el resultado consideramos los sucesos A = “sacar una carta que sea múltiplo de 2” y B = “sacar una carta que sea múltiplo de 3”, halla A-B. Resolución: Como los sucesos son A = {2, 4, 6, 8, 10} B = {3, 6, 9, 12} el suceso B será: B = {1, 2, 4, 5, 7, 8, 10, 11} La diferencia de sucesos será: A - B = A∩ B = {2, 4, 8, 10}


1.- En el experimento lanzar un dado de parchís y observar el resultado consideramos los sucesos A = “sacar cara que sea múltiplo de 2" y B = “sacar cara que sea múltiplo de 3”, halla A∪B.

Solución: A = {2, 4, 6} B = {3, 6}, A∪B = {2, 3, 4, 6} 2.- En el experimento lanzar un dado de parchís y observar el resultado consideramos los sucesos A = “sacar cara que sea múltiplo de 2" y B = “sacar cara que sea múltiplo de 3”, halla A∩B.

Solución: A = {2, 4, 6} B = {3, 6}, A∩B = {6} 3.- En el experimento lanzar un dado de parchís y observar el resultado consideramos los sucesos A = “sacar cara que sea múltiplo de 2" y B = “sacar cara que sea múltiplo de 3”, halla A-B.

Solución: A = {2, 4, 6} B = {3, 6}, A-B = {2, 4}

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4. Se tiene una bolsa con 10 bolas numeradas del 1 al 10. Se realiza el experimento que consiste en la extracción de una bola de la bolsa, observar el número obtenido y reintegrar la bola a la bolsa. Se han obtenido los sucesos A = {3, 5, 7, 9}, B = {3, 6, 9}, C = {1, 2, 3, 4, 5}. Forma los siguientes sucesos: a) A∩B, b) B∩C, c) A∩( B∩C), d) A∪(B∩C)

Solución: a) {3, 9}, b) {3}, c) {3}, d) {3, 5, 7, 9}.

5.- En el experimento lanzar dos dados al aire y observar la puntuación que aparece en las caras superiores, se consideran los siguientes sucesos A = "La diferencia de puntos es 2", B = "Obtener al menos un 6". Halla los siguientes sucesos: a) A ∩ B, b) A ∪ B, c) A ∩ B , d) A ∪ B Solución: a) {(6,4),(4,6)}, b) {(6,1) (6,2)..., (6,6),...(1,6), (1,3),(2,4),...(3,1)} c) BA ∪ d) BA ∩

6.- Un experimento consiste en la extracción de tres cartas de una baraja española. Se consideran 3 sucesos A = "que la 1ª carta sea rey", B = "que la 2ª carta sea rey", C = "que la 3ª carta sea rey". Di cuáles son los siguientes sucesos:

a) A ∪ B ∪ C, b) A ∩ (B ∪ C), c) A ∪ (B ∩ C), d) A ∩ B ∩ C, e) A ∩ (B ∩ C ), f) A∩(B ∪ C ) Solución: a) “Una de las cartas es rey”, b) “la primera es rey y una de las otras dos también”, c) “la primera o la segunda y tercera a la vez son reyes”, d) “las tres cartas son reyes”, e) “son todas reyes menos la tercera”, f) “la primera es rey y lo es la segunda o no lo es la tercera”

7.- Consideramos el experimento de observar en una familia el sexo de sus tres hijos, teniendo en cuenta el orden de edades. Obtén los sucesos. a) A = “La mediana es mujer”, b) B = “El menor es varón”, c) A∪B, d) A∩B

Solución: a) {VMM, VMV, MMM, MMV}, b) {VVV, VMV, MMV, MVV} c) A∪B = {VMM, VMV, MMM, MMV, VVV, MVV} d) A∩B = { VMV, MMV}

8.- Sean A, B y C tres sucesos de un mismo espacio muestral. Expresa los sucesos: a) Se realiza alguno de los tres. b) No se realiza ninguno de los tres. c) Se realizan los tres. d) Se realizan dos de los tres.

Solución: a) A∪B∪C, b) C∪∪ BA , c) A∩B∩C , d) (A∩B)∪(A∩C)∪(B∩C)

9.- Sea el experimento lanzar al aire un dado de juego de rol (12 caras numeradas del 1 al 12) al aire y observar su resultado superiores. a) Obtén el espacio muestral. b) Enuncia los suceso A = ”obtener número par”, B = “obtener múltiplo de 3”, C = “obtener número mayor que 5” c) Halla A∪B, A∩C, A-B, A-C Solución: a) E ={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12} b) A = {2,4,6,8,10,12}, B={3,6,9,12}, C={6,7,8,9,10,11,12} c) A∪B = {2,3,4,6,8,9,10,12}, A∩C = {6,12}, A-B = {2,4,8,10}, A-C = {2,4}

10.- En una ciudad hay tres periódicos a, b y c. Consideramos los sucesos A = "leer el periódico A", B = "leer el periódico b" y C = "leer el periódico c". Si A ocurre el 30% de las veces, B el 20% y C el 25%, ocurriendo además que leen a y b el 10%, a y c el 15% y b y c el 5% respectivamente de la población, expresa la situación mediante un diagrama de Venn.

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2.4.- IDEA INTUITIVA DE LA PROBABILIDAD

1.- Frecuencia relativa y probabilidad La frecuencia relativa de un suceso A es el cociente entre la frecuencia absoluta y el número de resultados de la prueba:

Nf = f r

La frecuencia relativa es siempre un número racional comprendido entre 0 y 1. Al aumentar el número de experiencias, la frecuencia relativa tiende a estabilizarse alrededor de un número, es decir fluctuará alrededor de dicho valor siendo las oscilaciones cada vez más pequeñas.

2.- Ley de los grandes números Bernouilli demostró la Ley de los grandes números: "la frecuencia relativa de un suceso tiende a estabilizarse en torno a un número, a medida que el número de pruebas del experimento crece indefinidamente". A este número que se acerca la frecuencia relativa del suceso lo llamaremos probabilidad de dicho suceso. Dicha probabilidad recibe el nombre de probabilidad a posteriori, ya que se conoce después de realizar el experimento. En la mayoría de los casos es la única forma que hay que determinar probabilidades. Como no seremos capaces de realizar infinitas pruebas de un experimento usaremos el valor aproximado de la probabilidad. Por la propia definición (es una frecuencia relativa) la probabilidad de un suceso es siempre un número comprendido entre 0 y 1 0 ≤ P(A) ≤1 La probabilidad es la mediada de la incertidumbre de un suceso aleatorio, mide las posibilidades que tiene de verificarse el suceso al realizar el experimento.

3.- Ley de Laplace Según Laplace "la probabilidad de un suceso A es igual al cociente entre el número de casos favorables al suceso y el número de casos posibles".

posibles Casosfavorables Casos = P(A)

Para poder aplicar esta definición hay que tener en cuenta que los experimentos han de dar lugar a sucesos elementales equiprobables. Los casos favorables son los elementos que forman el suceso A y los casos posibles son todos los que forman el espacio muestral.

EJEMPLOS 1.- Halla la probabilidad de obtener 3 caras al lanzar tres monedas al aire Resolución: Consideramos que las lanzamos a la vez y usamos la Regla de Laplace siendo los casos favorables un único caso y los posibles 2,3VR = 23 = 8

P(3 caras) = 2,3VR

1 =81

PROBABILIDAD 31

2.- Se considera el experimento aleatorio lanzar al aire un dado de parchís y observar el resultado obtenido en la cara superior. Halla la probabilidad de obtener: a) Número impar. b) Número primo. c) Múltiplo de tres. d) Múltiplo de cinco. Resolución: El espacio muestral del experimento es E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. El número de sucesos posibles es 6

a) Si A = "Obtener impar" = {1, 3, 5} ⇒ P(A) = 63 =

21

b) Si B = "Obtener primo" = {1,2, 3} ⇒ P(B) = 63 =

21

c) Si C = "Obtener múltiplo de 3" = { 3, 6} ⇒ P(C) = 62 =

31

d) Si D = "Obtener múltiplo de 5"= { 5} ⇒ P(D) = 61

3.- Se realiza el experimento aleatorio lanzar al aire dos monedas. Hallar la probabilidad de obtener: a) Dos caras. b) Dos cruces. c) Cara y cruz. d) Al menos una cruz Resolución: El espacio muestral del experimento es E = {CC, CX, XC, XX}. Los sucesos posibles son 4.

a) Si A = "Obtener dos caras" = {CC} ⇒ P(A) = 41

b) Si B = "Obtener dos cruces" = {XX} ⇒ P(B) = 41

c) Si C = "Obtener cara y cruz" = { CX, XC} ⇒ P(C) = 42

d) Si D = "Obtener al menos una cruz" = { CX, XC, XX} ⇒ P(D) = 43

4.- Calcula la probabilidad de obtener tres ases al extraer tres cartas de una baraja española. Resolución:

P(3 ases) = CC

340

34 =

24701

5.- Calcula la probabilidad de acertar un número de teléfono si nos hemos olvidado del último número Resolución:

P(acertar) = P

F

CC =

011

PROBABILIDAD 32


1.- Halla la probabilidad de que al lanzar un dado al aire al suma de las caras visibles sea múltiplo de 5.

Solución: 31

2.- Se lanzan dos dados. Calcula las probabilidades de los siguientes sucesos: a) Obtener al menos un cinco. b) La suma de las puntuaciones obtenidas es menor o igual a tres.

Solución: a) P(A) = 3611 , b) P(B) =

121

3.- Se lanzan un par de dados. Si los números resultantes son diferentes obtén la probabilidad de

que la suma de los números obtenidos sea impar.

Solución: P(A) = 53

4.-Tres amigos compran, cada uno, un regalo. Los mezclan y los reparten aleatoriamente entre

ellos. Calcula la probabilidad de que: a) A cada uno le toque el regalo que compró. b) A ninguno le toque el regalo que compró.

Solución: a) P = 61 , b) P =

31

5.- Se lanza una moneda dos veces. Halla la probabilidad de que en ambas tiradas salga cruz


6.- Se lanza dos veces un dado con forma de tetraedro cuyas caras están numeradas del 1 al 4. Obtén la probabilidad de que la suma de los números de la cara oculta sea impar.


7.- Cual es la probabilidad de obtener una figura (sota, caballo o rey) al extraer 3 cartas de una baraja española de 40 cartas.

Solución: P(A) = 3,40

3,12

CC

=494

11

8.- Se lanzan dos dados. Calcula las probabilidades de que: a) La suma de las puntuaciones obtenidas sea siete. b) La suma de las puntuaciones obtenidas sea doce.

Solución: a) P(7) = 61 , P(12) =

361

9.- En una urna tenemos 2 bolas blancas, 3 negras y 4 azules. Calcula la probabilidad de que al extraer una bola al azar: a) Sea blanca. b) Sea negra. c) Sea azul.

Solución: a) P(B) = 92 , b) P(N) =

93 , c) P(A) =

94

10.- Se extraen 3 cartas de una baraja española de 40 cartas. Calcula la probabilidad de que : a) Salgan al menos dos ases, b) Salga el rey de copas, c) No salga ninguna figura. Solución:

a) 3,40

3,42,41,36 .C

CCC +=

49411 , b)

3,40

2,39 1.C

C=

98863 c)

3,40

3,28

CC

=19063

PROBABILIDAD 33

2.5.- DEFINICIÓN AXIOMÁTICA DE PROBABILIDAD 1.- Axiomas Se llama probabilidad a una ley que asocia a cada suceso A, del espacio de sucesos, un número real que llamamos probabilidad de Ay representamos por P(A), que cumple los siguientes axiomas: 1. La probabilidad de un suceso es positiva o nula.

P(A) ≥ 0

2. La probabilidad del suceso cierto es la unidad. P(E) = 1

3. La probabilidad de la unión de dos sucesos incompatibles es igual a la suma de las

probabilidades de cada uno de ellos. P(A∪B) = P(A) + P(B)

2.- Propiedades

A partir de los axiomas se pueden demostrar los siguientes teoremas 1. Probabilidad del suceso complementario:

P( A ) = 1 - P( A)

2. Probabilidad del suceso imposible: P(Φ) = 0

3. Si A ⊂ B

P(A) ≤ P(B)

4. Si A1, A2,... An son incompatibles dos a dos se cumple: P(A1∪A2∪ ... ∪An) =A1 + A2+ ...+ An

5. Unión de dos sucesos compatibles

P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B) 6. Diferencia de sucesos

P(A-B) = P(A) - P(A∩B)

EJEMPLOS 1.- En el experimento lanzar al aire dos caras halla la probabilidad del sucesos "obtener al menos una cruz". Resolución: El espacio muestral será {C, C}, {C, X}, {X, C}, {X, X}. Será más fácil hallar la probabilidad a partir del suceso contrario de A, es decir A = "No obtener ninguna cruz" = "Obtener dos caras".

Como aplicando la Regla de Laplace P( A ) = 41 , tendremos:

P(A) = 1 - P( A ) = 1 - 41 =

43

PROBABILIDAD 34

2.- En el experimento lanzar un dado de parchís al aire y observar el número de la cara superior se consideran los sucesos A = "obtener número par", B = "obtener número primo" y C = "obtener número múltiplo de 5". Calcular las probabilidades de: a) A∪B b) A∪C Resolución: Como A = {2, 4, 6}, B = {1, 2, 5} y C = {5}, las probabilidades de dichos

sucesos son: P(A) = 63 , P(B) =

63 , P(C) =

61 .

A y B son compatibles y existe intersección que es {2}, y P(A∩B) =61 .

A y B son incompatibles por lo tanto no existe intersección, y P(A∩C)=0. a) Al ser A y B sucesos compatibles:

P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B) = 63 +

63 -

61 =

65

b) Al ser A y C sucesos incompatibles:

P(A∪C) = P(A) + P(C) = 63 +

61 =

64 =

32

3.- De 200 estudiantes, 110 estudian Física, 70 estudian Química y 30 estudian ambas. Escogido un estudiante al azar: a) Halla la probabilidad de que estudie Física o Química . b) Halla la probabilidad de que no estudie Física ni Química. Resolución: En el experimento de elegir un estudiante al azar entre los 200 considerados llamamos F al suceso "El estudiante elegido estudia Física" y Q = "El estudiante elegido estudia Química". Los datos del problema nos dicen:

P(F) = 200110 =

2011 ; P(Q) =

20070 =

207 ; P(F∩Q) =

20030 =

203

a) La probabilidad de que estudie Física o Química es:

P(F∪Q) = P(F) + P(Q) - P(F∩Q) = 2011 +

207 -

203 =

2015 =

43

b) La probabilidad de que no estudie Física ni Química es:

P( QF ∩ ) = P( QF∪ ) = 1-43 =

41

4.- Se ha concluido que si se elige al azar un espectador la probabilidad de que esté a favor de la retransmisión de partidos de fútbol es de 0,8, la de que esté a favor de la existencia de canales de TV de pago es de 0,4 y la de que esté a favor de la retransmisión de partidos de fútbol y también de la existencia de canales de TV de pago es de 0,3. a) Calcula la probabilidad de que el espectador esté a favor de la retransmisión de partidos de fútbol o de que esté a favor de la existencia de canales de televisión de pago. b) Calcula la probabilidad de que el espectador no esté a favor de la retransmisión de partidos de fútbol ni de la existencia de canales de televisión de pago.

PROBABILIDAD 35

Resolución: Supongamos los sucesos F = "estar a favor de la retransmisión de partidos de fútbol" y C = "estar a favor de la existencia de canales de TV de pago" por los datos del problema: P(F) = 0,8; P(C) = 0,4; P(F∩C) = 0,3 a) Nos piden la probabilidad de que un espectador esté a favor de la retransmisión de partidos de fútbol o de que esté a favor de la existencia de canales de televisión de pago, es decir del suceso: P(F∪C) = P(F) + P(C) - P(F∩C) = 0,8+0,4-0,3 = 0,9 b) Nos piden la probabilidad de que un espectador no esté a favor de la retransmisión de partidos de fútbol ni de la existencia de canales de televisión de pago, es decir del suceso: P( F ∩ C ) = P( CF∪ ) = 1 - P(F∪C) = 1-0,9 = 0,1 donde hemos utilizado las leyes de De Morgan y que la probabilidad de un suceso es 1 menos la probabilidad del suceso contrario. 5.- En una ciudad se publican dos periódicos A y B. La probabilidad de que una persona lea un periódico A es 0,1, la probabilidad de que lea el B es 0,1 y la probabilidad de que lea ambos es 0,02. Calcula la probabilidad de que una persona no lea ningún periódico. Resolución: Sean los sucesos A = "leer el periódico A", B = "leer el periódico B", A∩B ="leer ambos periódicos". El enunciado nos da las siguientes probabilidades: P(A) = 0,1; P(B) = 0,1; P(A∩B) = 0,02 Nos piden la probabilidad del suceso BA ∩ . Por las leyes de Morgan sabemos que BA ∩ = BA∪ , pues no leer ningún periódico es el suceso contrario de leer alguno de ellos, su probabilidad es: P( BA ∩ ) =P( BA∪ ) = 1 -P(A∪B) Como: P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B) = 0,1+0,1-0,02 = 0,18 nos queda: P( BA ∩ ) = 1 -0,18 = 0,82. 6.- De los sucesos A y B de un experimento aleatorio, se sabe que P(A) = 0.4, P(B) = 0.3 y P(A∪B) = 0,5 . Calcula P(A∩B) y P(B∩ A ). donde A y B representan los sucesos complementarios de A y B. Del enunciado del problema tenemos: P(A) = 0,4; P(B) = 0,3; P(A∪B) = 0,5 Aplicando la probabilidad de la unión: P(A∩B) = P(A) +P(B) -P(A∪B) = 0,4+0,3-0,5 = 0,2 La probabilidad pedida es: P( A ∩B) = P(B) - P(A∩B) = 0,3 -0,2 = 0,1

PROBABILIDAD 36

EJERCICIOS PROPUESTOS 1.- Se extraen 3 cartas de una baraja española de 40 cartas. Calcula la probabilidad de que salga al menos un oro.

Solución: P = 1-3,40

3,10

CC

=247244

2.- De 200 estudiantes, 100 estudian Física, 60 estudian Química y 20 estudian ambas. Escogido un estudiante al azar. Halla la probabilidad de que: a) estudie Física o Química. b) no estudie Física ni Química. c) Sólo estudie Física. d) Sólo estudie Química.

Solución: a) 2001 +

206 -

202 =

2014 , b) 1-

2014 =

103 , c)

21 -

51 =

52 , d)

103 -

101 =

51

3.- La probabilidad de que un estudiante apruebe Física, Química y alguna de ellas es de 0,45; 0,4 y 0,7 respectivamente. Halla la probabilidad de que un estudiante apruebe ambas materias. Solución: 0,15.

4.- Sabiendo las siguientes probabilidades P(A) = 41 , P(B) =

41 , P(C) =

121 , P(A∪B) =

161 ,

halla las probabilidades de C , CC∩ y A∩B.

Solución: P( C ) =12

11 , P( CC∩ ) = 0 y P(A∩B) = 167

5.- En un dado trucado se cumple que la probabilidad de que salga un 6 es el doble que las de las demás. Halla la probabilidad de que salga un número par.

Solución: P(par) =74

6.- Luis y Pablo efectúan un examen. La probabilidad de que apruebe Luis es del 60% y de que aprueben ambos un 10%. Calcula la probabilidad de que apruebe Luis pero no Pablo.

Solución: P( PL∩ ) = P(L)- P(L∩P) = 21

7.- Se considera el experimento aleatorio coger al azar tres fichas de dominó y observarlas. Halla la probabilidad de: a) no coger ninguna ficha doble. b) coger alguna ficha doble.

Solución: a) P = 3,28

3,21

CC

=23495 b) P = 1-

3,28

3,21

CC

=234139

8.- Sea E = {S1, S2, S3} . Averigua si es una función de probabilidad:

a) P(S1 ) = 21 , P(S2) =

31 , P(S3 ) = 6

1

b) P(S1 ) = 43 , P(S2) =-

41 , P(S3 ) = 4

1

Solución: a) Sí, b) No. 9.- Se lanza un dado de parchís 5 veces al aire. Calcula la probabilidad de que salga al menos un seis.

Solución: P = 1-5,6

5,5

VRVR

= 0,6

PROBABILIDAD 37

2.6.- EJERCICIOS DEL TEMA 1.- Halla el espacio muestral asociado al experimento consistente en jugar dos personas al tenis ganando quien venza en dos partidos sucesivos de un total de tres. Solución: E = {AA, ABA, ABB, BAA, BAB, BB} 2.- Halla el espacio muestral asociado al experimento consistente en jugar dos personas al tenis ganando quien venza en dos partidos sucesivos de un total de cuatro. Solución: E = {AA, ABAA, ABAB, ABB, BAA, BABA, BABB, BB} 3.- Sea el experimento lanzar al aire dos dados y observar el producto de sus caras superiores. Obtén el espacio muestral. Solución: E = {1,2,3,4,5,6,8,9,10,12,15,16,18,20,24,25,30,36}

4.- Halla el espacio muestral asociado al experimento de lanzar al aire tres monedas a la vez. Solución: E = {(C, C, C), (C, C, X),(C, X, C), (C, X, X),(X, C, C), (X, C, X),(X, X, C), (X, X, X)}

5.- Se considera el experimento aleatorio de lanzar dos dados y anotar el resultado de la tirada. a) Representa el espacio muestral y los sucesos "sacar al menos un seis" y "sacar suma par". b) Halla la probabilidad del suceso "los números de los dos dados son diferentes". Solución: E = {(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6), (2,1),...,(2,6),....(6,6)}. a) A = {(1,6),(2,6),(3,6),(4,6),(5,6),(6,6), (6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5)} B = {(1,1),(1,3),(1,5),(2,2),(2,4),(2,6),(3,1),(3,3),(3,5), (4,2),(4,4),(4,6),(5,1),(5,3),(5,5),(6,2),(6,4),(6,6)}

b) P(C) = 1- P( C ) = 1-61 =

65 .

6.- Halla la probabilidad de: a) Obtener tres caras en tres lanzamientos de una moneda. b) Obtener al menos una cara en tres lanzamientos de una moneda Solución:

P (3C) = 3,2

1VR

= 81 ; b) P(al menos C) = 1-

81 =

87

7.- De una urna que contiene 9 bolas rojas y 5 negras se extraen sucesivamente dos bolas. Halla la probabilidad de que: a) Las dos sean negras: b) Las dos sean rojas: c) Una bola sea roja y otra negra: d) La primera bola es roja y la segunda negra: Solución:

a) P = 2,14

2,5

CC

=9110 ; b) P =

2,14

2,9

CC

=9136 ;

c) P = 2,14

1,51,9 .C

CC=

9145 ; P =

18245 .

8.- En las negociaciones entre Sildavia y Borduria se encuentran 20 diplomáticos de cada nación: El 60% de los diplomáticos hablan Alemán y el 70% hablan Francés. ¿Cuál es la probabilidad de que dos diplomáticos no sean capaces de entenderse. Solución: P( AF ∩ )∪P( FA ∩ )

PROBABILIDAD 38

9.- Se disponen tres tarjetas, dos blancas y una roja. Se reparten al azar entre tres personas, A, B y C, entregando una a cada una. Construye un espacio muestral apropiado y calcule la probabilidad de los siguientes sucesos: a) A tiene una tarjeta blanca. b) B tiene una tarjeta blanca. c) A y B tiene cada uno una tarjeta blanca.

Solución: a) 32 ; b)

32 ; c)

31 .

10.- Una urna contiene 2 bolas verdes y 2 blancas y otra urna contiene 3 bolas verdes y 2 blancas. Se saca una bola de cada urna y se observa su color. Construye su espacio muestral, adecuado a esta experiencia, para calcular la probabilidad de los siguientes sucesos y calcúlelas: a) Las dos bolas son blancas. b) Las dos bolas son del mismo color. c) Las dos bolas son de colores distintas.

Solución: a) P = 1,51,4

1,21,2

.

.CCCC

=51

11.- En un concurso se dispone de cinco sobres, dos de ellos contienen premio y los otros tres no. Se pide a un primer concursante que escoja un sobre de entre los cinco y a un segundo concursante que elija un sobre de entre los restantes. Construye un espacio probabilístico apropiado para calcular las probabilidades de los siguientes sucesos: a) El primer concursante obtenga premio. b) El segundo concursante obtenga premio. c) Ambos concursantes obtengan premio. Calcúlalas razonadamente

Solución: a) P = 104 ; b) P =

104 ; c) P =

101 .

12.- Se lanzan dos dados. Construye un espacio muestral adecuado a la experiencia anterior para calcular la probabilidad de los siguientes sucesos y calcúlalas. a) Obtener un cinco solamente en un dado. b) La suma de puntuaciones obtenidas en ambos dados sea a lo sumo de cuatro puntos. Solución: E = {(1,1), (1,2), ...(2,1),...(6,6)};

a) A = {(1,5), (2,5), (3,5), (4,5), (5,5), (6,5), (5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,6)}; P(A) = 3611

B) B = {(1,1), (1,2), (2,1), (1,3), (2,2), (3,1)}; P(B) = 61

13.- Se arrojan dos dados. Sean los sucesos A = “la diferencia entre las puntuaciones obtenidas es tres puntos” y B = “a lo sumo uno de los dados es un seis”. Construye un espacio muestral apropiado a dicha experiencia, para calcular las probabilidades: a) de A. b) de B. c) de A o B.

Solución: P(A) = 61 ; P(B) =

3635 ; P(A∪B) = P(B) =

3635 .

14.- Un experimento consiste en lanzar un dado y extraer una bola de un urna que contiene una bola blanca, dos rojas, una verde y una azul. Construye un espacio muestral apropiado a dicha experiencia para calcular la probabilidad de obtener un número mayor que tres y una bola roja y obtén dicha probabilidad.

Solución: P = 52.

63 =

51

PROBABILIDAD 39

15.- Se dispone una bolsa con siete bolas con los siete números siguientes: 1,1,2,4,5,6,6.Se considera el experimento Sacar dos bolas simultáneamente de la bolsa y observar los números extraídos. Construye un espacio muestral asociado a este experimento, para calcular las probabilidades de los siguientes sucesos y calcúlalas. a) Los dos números observados son pares. b) Un número es par y otro impar. c) Los dos números son mayores que tres. Solución: 16.- Una urna contiene 3 bolas rojas y 2 verdes y otra urna contiene 2 bolas rojas y tres verdes. Se toma, al azar, una bola de cada urna y se observa su color. Escribe el espacio muestral, adecuado a esta experiencia, para calcular la probabilidad de los siguientes sucesos y calcúlelas: a) Las dos bolas son del mismo color. b) Las dos bolas son de colores distintas.


2513 .

17.- Se dispone una bolsa con seis bolas numeradas del 1 al 6. Se considera el experimento “sacar dos bolas simultáneamente de la bolsa y observar los números extraídos”. Construye un espacio muestral asociado a este experimento, para calcular las siguientes probabilidades: a) Los dos números observados son pares. b) Un número es par y otro impar. c) Los dos números son mayores que tres.

Solución: a) P =51 ; b) P =

53 ; c) P =

51 .

18.- Un experimento consiste en lanzar un dado y extraer una bola de una urna que contiene una bola blanca, una roja y una azul. Construye un espacio muestral adecuado a dicha experiencia para calcular la probabilidad del suceso salir un número par y una bola roja.

Solución: P =31.

63 =

61

19.- Una experiencia aleatoria consiste en preguntar a tres personas distintas, elegidas al azar, si son partidarias o no de consumir un determinado producto. a) Escribe el espacio muestral asociado a dicho experimento, utilizando la letras “s” para las respuestas afirmativas y la “n” para las negativas. b) ¿Qué elementos del espacio muestral anterior constituyen el suceso “al menos dos de las personas son partidarias de consumir el producto”. c) Describe el suceso contrario de “más de una persona es partidaria de consumir el producto”.

Solución: b) P =41 ; c) P =

41 .

20.- Una caja contiene dos monedas. Una tiene grabada cara y cruz y la otra dos caras. a) Calcula la probabilidad de obtener cara. b) ¿Cuál es la probabilidad de obtener cara y ser moneda con dos caras?.

Solución: a) P =43 ; b) P = 1.

21.- Se dispone para un concurso de cuatro sobres, dos de ellos contienen premio y los otros dos no. Se pide al primer concursante que escoja un sobre de entre los cuatro y al segundo concursante que elija un sobre de entre los tres restantes. a) ¿Cuál es la probabilidad de que el primer concursante obtenga premio?. b) ¿Y de que lo obtenga el segundo?. c) ¿Y de que obtengan premio los dos?. Razone los resultados.

Solución: P( PPPP ∩ ) =21 ; b) P( PPPP ∩ ) =

21 ; c) P(PP) =

61 .

PROBABILIDAD 40

22.- Se dispone una baraja española de 40 cartas; se saca una carta y, sin devolverla a la baraja, se saca otra. Calcula la probabilidad de que las dos cartas extraídas sean oros.

Solución: P = 2,40

2,10

CC

=323 .

23.- Una urna contiene 3 bolas rojas y 2 blancas y otra urna contiene 7 bolas rojas y 4 blancas. Se saca una bola de cada urna y se mira el color. Construya el espacio muestral adecuado a esta experiencia, para calcular la probabilidad de los siguientes sucesos: a) Las dos bolas son blancas. b) Las dos bolas son del mismo color.

Solución: a) P =114.

52 =

556 ; b) P =

117.

53

114.

52

+ = 5529

24.- Un cartero reparte al azar tres cartas entre tres destinatarios. Calcule la probabilidad de que al menos una de las tres cartas llegue a su destino correcto.

Solución: P = 3

1P

= 61 .

25.- Se lanzan dos dados. Construye el espacio muestral asociado a esta experiencia. Calcula las probabilidades de los siguientes sucesos: a) Por lo menos uno de los dados es par. b) La suma de los dos dados es par. Solución: E = {(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6), (2,1),...,(2,6),....(6,6)}.

a) P = 3624 ; b) P =

3618 .

26.- Una urna contiene 3 bolas rojas y 2 verdes y otra urna contiene 2 bolas rojas y 3 verdes. Se toma, al azar, una bola de cada urna. Escriba el espacio muestral. a) ¿Cuál es la probabilidad de ambas bolas sean del mismo color? b) ¿Y la de que sean de distinto color?.

Solución: a) P(RR∪VV) = 2521 ; b) P(RV∪VR) =

2531

27.- Se considera el experimento de lanzar tres monedas al aire. Escriba un espacio muestral apropiado. a) ¿Cuál es la probabilidad de obtener por lo menos una cara?. b) ¿Y la de obtener exactamente tres caras?. Solución: E = { (C,C,C), (C,C,X),(C,X,C), (C,X,X),(X,C,C), (X,C,X),(X,X,C), (X,X,X)}.

a) P = 1- 81 =

87 ; b) P =

81 .

28.- Una experiencia consiste en lanzar un dado rojo y uno verde y anotar los puntos de cada uno. Escribe un espacio muestral apropiado para describir esta experiencia. Calcula las probabilidades de los siguientes sucesos: a) El dado rojo es el doble del verde. b) Un dado es el doble del otro.


366 .

29.- En una experiencia extrasensorial se pide a un observador que adivine una carta sacada de entre cuatro distintas. Si esta experiencia se realiza dos veces (debe adivinar dos veces consecutivas), construya un espacio muestral adecuado para describir la experiencia. Calcule la probabilidad de que acierte exactamente una carta de las dos y la de que acierte por lo menos una carta de las dos.


167 .

PROBABILIDAD 41

30.- Calcula la probabilidad de que al lanzar una moneda tres veces consecutivas aparezcan los siguientes sucesos: a) Las tres veces aparezcan caras. b) La primera vez sea cara y las dos siguientes cruces. c) Obtener únicamente una cara d) Obtener al menos una cara

Solución: a) P =81 ; b) P =

81 ; c) P =

83 ; d) P = 1-

81 =

87 .

31.- Un estudiante se ha preparado 40 temas de los 50 que entran en el examen. Si el examen consiste en elegir tres temas al azar y contestar a uno de ellos, calcula la probabilidad de : a) Que no sepa ninguno de los tres. b) Que pueda contestar al menos a uno c) Que sepa los tres temas. Solución: 32.- Se dispone una bolsa con ocho bolas numeradas del 1 al 8. Se considera el experimento Sacar dos bolas simultáneamente de la bolsa y observar los números extraídos. Construya un espacio muestral asociado a este experimento, para calcular las siguientes probabilidades: a) Los dos números observados son impares. b) Un número es par y otro impar. c) Los dos números son mayores que cuatro. Solución:

a) P = 2,8

2,4

VV

=148 ; b) P =

2,8

1,41,4 .V

VV=

72 .

33.- Se considera el experimento aleatorio de lanzar dos dados y anotar el resultado de la tirada. a) Halla la probabilidad del suceso "los números de los dos dados son diferentes". b) ¿Son independientes los sucesos "sacar suma par" y "sacar al menos un dos"?

Solución: a) P(C) = 1- P( C ) = 1-61 =

65 ,

b) no son independientes ambos sucesos. 34.- Calcula la probabilidad que existe de que al arrojar dos dados al aire, salga: a) En el primero un múltiplo de 3 y en el segundo un número par. b) En el primero un número mayor que múltiplo de 3 y en el segundo un número impar. Solución: 35.- Supongamos que, tras una encuesta realizada en la población andaluza, se ha concluido que si se elige al azar un andaluz la probabilidad de que esté a favor de la retransmisión de partidos de fútbol es de 0,8, la de que esté a favor de la existencia de canales de TV de pago es de 0,4 y la de que esté a favor de la retransmisión de partidos de fútbol y también de la existencia de canales de TV de pago es de 0,3. a) Calcula la probabilidad de que un andaluz esté a favor de la retransmisión de partidos de fútbol o de que esté a favor de la existencia de canales de televisión de pago. b) Calcula la probabilidad de que un andaluz ni esté a favor de la retransmisión de partidos de fútbol ni de la existencia de canales de televisión de pago. Solución: a) P(F∪C) 3 = 0,9, b) P( F ∩ C ) = 0,1. 36.- El 40% de los habitantes de una ciudad va al cine, el 30% va al teatro y el 20% a ambos. a) Si una persona de esa ciudad no va al cine, ¿cuál es la probabilidad de que tampoco vaya al teatro? b) Si una persona no va al teatro, ¿cuál es la probabilidad de vaya al cine? Solución:

PROBABILIDAD 42

CAPÍTULO 3:

PROBABILIDAD CONDICIONADA

3.1.- PROBABILIDAD CONDICIONADA 1- Definición Si la información aumenta la incertidumbre de que ocurra o no A varía, y como la probabilidad mide las posibilidades de realización de A, la probabilidad también varía. Si se sabe que B ha sucedido el número de casos posibles disminuye, de tal forma que se tiene la siguiente definición. • Dados dos sucesos A y B se llama probabilidad de B condicionada a A, y se designa como

P(A/B) al valor:

P(B)B)P(AP(A/B) ∩

= con P(B) ≠ 0

que mide las veces que ocurre A entre las que ha ocurrido B.

• De igual forma se define probabilidad de A condicionada a B, la designaremos por P(B/A)

al valor:

P(B/A) = P(A)

B)P(A∩ con P(A) ≠ 0

2.- Propiedades De las relaciones anteriores se obtiene que: P(A∩B) = P(A). P(B/A) P(A∩B) = P(B). P(A/B) EJEMPLOS 1.- De una bolsa con 6 bolas rojas y 4 verdes se extraen sucesivamente dos bolas. Halla la probabilidad de que la segunda sea roja con la condición de que la primera sea roja. Resolución: Tenemos los sucesos R1 = “sacar primera bola roja” y R2 = “sacar segunda bola roja” y hallamos:

P(R1) = 106 =

53

P(R1 ∩R2) = 2,10

2,6

CC

= 9.105.6 =

31

P(R2/R1) = )P(R)RP(R

1

21 ∩ =

5/33/1 =

95

PROBABILIDAD 43

2.- Un estudiante hace dos pruebas el mismo día. La probabilidad de que pase la primera prueba es 0,6, la de que pase la segunda es de 0,8 y la de que pase ambas es 0,5, a) Calcula la probabilidad de que no pase ninguna prueba. b) Calcula la probabilidad de que pase la segunda prueba si no ha superado la primera. Resolución: Consideremos los sucesos: A = "Pasar la primera prueba" B = "Pasar la segunda prueba" a) Nos piden calcular la probabilidad de no pase ninguna de los pruebas, es decir P( BA ∩ ). Aplicando las leyes de "De Morgan" obtenemos: P( BA ∩ ) = P( BA ∪ ) Como BA ∪ es el suceso contrario de A∪B debemos hallar la probabilidad de éste. P(A∪B) = P(A)+P(B) - P(A∩B) = 0,8 + 0,6 - 0,5 = 0,9 Obteniendo que la probabilidad de que no pase ninguna prueba es: P( BA ∩ ) = P( BA ∪ ) = 1 - P(A∪B) = 1 - 0,9 = 0,1 b) Nos piden la probabilidad del suceso P(B/ A ) que aplicando la fórmula de la

probabilidad condicionada queda: P(B/ A ) = )AP(

)AP(B ∩ . Como la intersección

de un suceso con el suceso seguro es él mismo B = E∩B y como E = A∪ A , aplicando la propiedad distributiva de la intersección respecto de la unión tenemos que: B = E∩B = )A(AB ∪∩ = )ABA)(B ∩∪∩ Hallamos la probabilidad del suceso anterior considerando que ambos son independientes, ya que la intersección de un suceso con su complementario es el vacío, y obtenemos: P(A) = P(B∩A) + P(B∩ A ) ⇒ P(B∩ A ) = P(B) - P(B∩A) Queda pues, aplicando la propiedad de la probabilidad de un suceso y su contrario queda:

P(B/ A ) = )AP(

)AP(B ∩ = P(A)1

A)P(B - P(B)−

∩ = 6,015,0 - 8,0

− = 0,75

3.- En cierta ciudad el 30% de la población tiene ojos azules, el 40% tiene cabellos rubios y el 20% tiene ojos azules y cabellos rubios. a) Si tiene cabellos rubios, ¿cuál es la probabilidad de que tengan ojos azules? b) Si tiene ojos azules, ¿cuál es la probabilidad de que no tengan cabellos rubios? c)¿Cuál es la probabilidad de que no tenga cabellos rubios ni ojos azules? Resolución: Construimos la siguiente tabla auxiliar, donde los sucesos viene dados en porcentajes, siendo éstos: C = "tener cabellos rubios"

PROBABILIDAD 44

C = "no tener cabellos rubios" A = "tener ojos azules " A = "no tener ojos azules "

A A

C 0,20 0,20 0,40

C 0,10 0,50 0,60

0,30 0,70 1,00

a) La probabilidad de que tengan ojos azules si tiene cabellos rubios es:

P(A/C) =P(C)

C)P(A ∩ =40,020,0 =

21

b) La probabilidad de que no tengan cabellos rubios si tiene ojos azules es:

P(C/ A ) =)AP(

)AP(C ∩ =30,010,0 =

31

c) La probabilidad de que no tenga cabellos rubios ni ojos azules es, tal como se ve en la tabla: P( AC ∩ ) = 0,50 4.- En una empresa hay 90 mujeres y 110 hombres que se reparten entre fumadores y no fumadores según la tabla adjunta. Si se desea elegir una mujer para un cargo, ¿cuándo es más sencillo, si no se ponen condiciones, si se exige que sea no fumadora o si se exige que sea fumadora?.

Hombres Mujeres

Fumadores 80 20

No fumadores 40 60 Resolución: Para resolver este tipo de problemas lo mejor es realizar una tabla auxiliar con las sumas parciales

H M

F 80 20 100

No F 40 60 100

120 80 200 La probabilidad de que sea mujer si no se ponen condiciones será:

P(M) =20080 =

52

Para hallar las otras probabilidades, debemos calcular:

PROBABILIDAD 45

P(M/F) =P(F)

F)P(M∩ =10020 =

51

)FP(M/ =)FP(

)FP(M∩ =10060 =

53

Es decir que exigir que sea no fumador aumenta las posibilidades de elegir una mujer, y exigir que sea fumador disminuye las probabilidades

5.- Una emisora de televisión emite dos series: A y B. La serie A la ve el 20% de la población, mientras que la B sólo la ve el 15%, pero mientras el 70% de los que empiezan a ver la A la sigue hasta el final, en cambio el 80% de los que empiezan a ver la B la acaban. a) ¿Cuál es la probabilidad que se haya seguido la serie hasta el final? b) Una persona nos dice que no terminó de ver la serie que había empezado, ¿cuál es la probabilidad de que estuviera viendo la serie A? Resolución: Construimos la siguiente tabla auxiliar, donde los sucesos viene dados en porcentajes, siendo éstos: A = "ver la serie A" B = "ver la serie B" T = "acaban de ver la serie" T = "no acaban de ver la serie"

A B

T 0,14 0,12 0,26

T 0,06 0,03 0,09

0,20 0,15 0,35

Tal como se observa en la tabla anterior a) La probabilidad de vea la serie hasta el final es: P(T/A) + P(T/B) =0,14+0,12 = 0,26 b) La probabilidad de que estuviera viendo la serie A si ha no acabado de ver la serie sería:

P(A/ T ) =)TP(

)TP(A ∩ =09,006,0 =

32

6.- Se dispone de un mazo de 450 fichas de estudiantes de una escuela de idiomas. Cada estudiante cursa un solo idioma de los 3 que se imparten. El número de mujeres es 3/2 del de hombres y los estudiantes de inglés representan el 80% del alumnado. El número de estudiantes de francés duplica al de alemán. Sea M el suceso "sacar una ficha de mujer" al extraer una ficha, al azar del citado mazo, (análogamente, sean H, I, F y A sacar hombre, inglés, francés y alemán, respectivamente). Sabiendo que M/A es el suceso seguro y que M/F y H/F son equiprobables, determina: a) Probabilidad de F; probabilidad de M∩I. b) Probabilidad de F/M. Resolución:

PROBABILIDAD 46

De las condiciones del problema obtenemos: • Las 450 fichas nos indican el número de estudiantes. Al cursar cada uno

un único idioma y ser el número de mujeres (m) 3/2 del número de hombres (h) cumplen la condición:

m + h = 450 ⇒ h23h + = 450 ⇒ h

25 = 450 ⇒ h =

52 .450 = 180

m = 52.

23 .450 = 270

• Si los estudiantes de inglés representan el 80% del alumnado su número

es:

i = 108 .450 = 360

• Si el número de estudiantes francés duplican al de alemán:

a + f = 450-360 = 90 ⇒ a+2a = 90 ⇒ 3a = 90 ⇒ a = 30 f = 2a = 2.30 = 60

• Si M/A es el suceso seguro:

P(M/A) = 1 ⇒ P(A)

A)P(M ∩ = 1 ⇒ P(M∩A) = P(A)

es decir, no hay hombres que estudien alemán. • Si M/F y H/F son equiprobables:

P(M/F) = P(H/F) ⇒ P(F)

F)P(HP(F)

F)P(M ∩=

∩⇒ P(M∩F) = P(H∩F)

Hay el mismo número de mujeres que hombres estudiando Francés. • Los datos del Inglés se rellenan por diferencia con los totales obteniendo la

tabla auxiliar:

I F A

M 210 30 30 270

H 150 30 0 180

360 60 30 450

a) La probabilidad de F (se observa en la tabla) es:

P(F) = 45030 =

152

La probabilidad de M∩I es:

P(M∩I) =450210 =

157

b) La probabilidad de F/M es:

P(F/M) = 27030 =

91

PROBABILIDAD 47


1.- En el experimento aleatorio consistente en lanzar dos dados, se pide determinar la probabilidad condicionada de obtener un número par en ambos dados cuando su suma es 6.

Solución: P(A/B) =36/536/2 =

52

2.- De los sucesos A y B de un experimento aleatorio, se sabe que P(A) = 0,6, P(B) = 0,3 y P(A∩B) = 0,2 . Calcula P(A/B), P(A/A∩B), P(A∩B/A∪B) y P(A/A∪B).

Solución: a) 32 ; b) 1; c)

72 ; d)

76 .

2.- La distribución de hombres y mujeres que fuman o no en una ciudad sigue la tabla adjunta.

Hombres Mujeres Fumadores 25 60 No fumadores 75 40

a) ¿Cuál es la probabilidad de encontrarse con una persona no fumadora?, b) ¿Cuál la de encontrarse con una mujer sabiendo que es fumadora?.

Solución: a) P(F) =200115 , b) P(M/F) =

200/85200/60

3.- En un pueblo hay 100 personas de ambos sexos cuya situación laboral viene dada por la tabla adjunta.

Hombres Mujeres Activo 40 45 En paro 5 10

a) ¿Cuál es la probabilidad de encontrarse con una persona activa? b) ¿Cuál es la de encontrarse con una mujer que esté en situación activa?

Solución: a) P(A) =10085 =

2017 , b) P(A∩M) =

5545 =

119

4.- En un colegio hay 1000 alumnos de los cuales 300 saben inglés, 100 saben ruso y 50 ambos idiomas. ¿Cuál es la probabilidad de que un alumno sepa inglés si sabe ruso?

Solución: P(I/R) =10,005,0 = 0,50

5.- Si en un colegio hay 1000 alumnos de los cuales a 200 les gusta el baloncesto y el fútbol y al 30% de los que les gusta el fútbol no les gusta el baloncesto ¿Cuál es la probabilidad de que un alumno no sea aficionado al fútbol? Solución: P( F ) = 1 - 0,82 = 0,18. 6.- En un hotel hay 200 clientes, de los cuales 40 son españoles, y el resto extranjeros. Son rubios 5 españoles y el 40% de los extranjeros. Si un cliente es extranjero ¿cuál es la probabilidad de que sea rubio?

Solución: P(R/Ext) =52 .

7.- Una determinada población está formada, a partes iguales, por hombres y mujeres. La probabilidad de que un individuo de esa población no lea ningún periodo es 0,25. Además el porcentaje de individuos que o bien leen algún periódico o bien son hombres es el 95%. Se elige, al azar, una persona. a) Halla la probabilidad de “ser hombre y leer algún periódico”. b) Halla la probabilidad de que lea algún periódico, sabiendo que es hombre.

Solución: a) P(L∩H) = 0,3; b) P(L/H) = 53 = 0,6

PROBABILIDAD 48

3.2.- EXPERIMENTOS COMPUESTOS 1.- Definición Un experimento compuesto es aquel que es posible descomponer en varios experimentos simples. Por ejemplo el lanzamiento de varias monedas o dados al aire, extraer varias cartas de una baraja. En tales experimentos el espacio muestral se obtiene a partir de los espacios muestrales de los experimentos simples que lo forman La probabilidad de que realicen dos sucesos A y B simultáneamente, probabilidad compuesta, es: P(A∩B) = P(A). P(B/A)

2.- Sucesos independientes Se dice que dos o mas pruebas son independientes cuando el resultado de cada una de ellas no influye en el resultado de las otras. • Si dos pruebas son independientes se cumple que:

P(A∩B) = P(A). P(B) • Si tres pruebas son independientes se cumple que:

P(A∩B∩C) = P(A). P(B). P(C)

3.- Sucesos dependientes Se dice que dos o mas pruebas son dependientes cuando el resultado de cada una de ellas influye en el resultado de las otras. • Si dos pruebas son dependientes se cumple que:

P(A∩B) = P(A). P(B/A) • Si tres pruebas son dependientes se cumple que:

P(A∩B∩C) = P(A). P(B/A). P(C/A∩B)

EJEMPLOS 1.- Halla el espacio muestral del experimento aleatorio compuesto lanzar dos monedas al aire por separado. Resolución: Como los espacios muestrales de cada experimento simple son E={C,X} se obtiene: E = {CC, CX, XC, CC} 2.- Calcula la probabilidad de sacar, sin devolución, 2 cartas de oros de una baraja española . Resolución: Aplicamos la Regla de Laplace teniendo en cuenta que hay 10 oros y 40 cartas, en la primera extracción y 9 oros y 39 cartas en la segunda extracción si la primera ha sido un oro.

P(O1).P(O2 /O1) = 399.

4001 =

253

3.- Calcula la probabilidad de sacar, con devolución, 2 cartas de oros de una baraja española . Resolución:

PROBABILIDAD 49

Aplicamos la Regla de Laplace teniendo en cuenta que hay 10 oros y 40 cartas, en la primera extracción y lo mismo en la segunda extracción si la primera ha sido un oro.

P(O1).P(O2 /O1) = 4001.

4001 =

161

4.- Se extraen sucesivamente y sin reemplazamiento dos cartas de una baraja española. ¿Cuál es la probabilidad de obtener dos caballos? Resolución: Si tomamos C1 = "obtener caballo en la 1ª tirada" y C2 ="obtener caballo en la 2ª tirada" lo que deseamos es hallar la probabilidad de C1 ∩ C2 teniendo en cuenta que C2 depende de C1. La probabilidad de obtener caballo en la 1ª

tirada será 404 ya que hay cuatro caballos y son en total 40 cartas. La

probabilidad de obtener caballo en la 2ª tirada será 393 ya que quedan tres

caballos y 39 cartas. Luego:

P(C1 ∩ C2) = P(C1).P(C2/C1) = 404 .

393 =

1301

5.- De una bolsa con 6 bolas rojas y 4 verdes se extraen sucesivamente dos bolas. Halla la probabilidad de que la segunda sea roja con la condición de que la primera sea roja. Resolución: Tenemos los sucesos: R1 = “sacar primera bola roja” R2 = “sacar segunda bola roja” Hallamos:

P(R1) = 106 =

53

P(R1 ∩ R2) = 106 .

95 =

31

P(R2/R1) = )P(R)RP(R

1

21 ∩=

5/33/1 =

95

6.- De una bola con 3 bolas rojas y 5 verdes se extraen sucesivamente dos bolas. Hallar la probabilidad de que: a) Las dos sean rojas. b) Las dos sean verdes. c) La primera sea roja y la segunda verde. d) Una sea roja y otra verde. Resolución: a) Hallamos la probabilidad del suceso sacar segunda bola roja condicionado a que la primera sea también roja.

P(R1 ∩ R2) = P(R1).P(R2/R1) = 83 .

72 =

283

b) Hallamos la probabilidad del suceso sacar segunda bola verde condicionado a que la primera sea también verde.

P(V1 ∩ V2) = P(V1).P(V2/V1) = 85 .

74 =

143

PROBABILIDAD 50

c) Hallamos la probabilidad del suceso sacar segunda bola verde condicionado a que la primera sea roja.

P(R1 ∩ V2) = P(R1).P(V2/R1) = 83 .

75 =

5615

d) Es el suceso obtener la primera bola roja y la segunda verde o viceversa.

P(R1∩V2) +P(V1∩ R2)=P(R1).P(V2/R1) +P(V1).P(R2/V1) = 83 .

75 +

85 .

73 =

2815

7.- El temario de una oposición consta de 100 temas. En el momento del examen se sortean dos y el opositor debe responder obligatoriamente a los dos temas que le han tocado en suerte. Calcula cuántos temas, como mínimo, debe estudiar un opositor para que la probabilidad de saberse los dos temas que le toquen sea superior a 0,5. Resolución: Consideremos los sucesos: A1 = "saber el primer tema" A2 = "saber el segundo tema" Si el número de temas que se sabe el opositor conoce es n, utilizando la regla de Laplace la probabilidad de que acierte el primer tema es:

P(A1) = CC

P

F = 100

n

la probabilidad de que se sepa también el segundo tema, habiendo acertado el primero, será:

P(A2/A1) = CC

P

F = 99

1n-

donde hemos usado la regla de Laplace y el hecho de que ahora sólo quedan n-1 temas que sepa y 99 temas posibles. Luego la probabilidad de que acierte los dos:

P(A1).P(A2/A1) = 100

n .99

1n- = 9900

1)n(n-

Para que la probabilidad de saberse los dos temas que le toquen sea 0,5:

99001)n(n- = 0,5 ⇒ n2-n = 4950 ⇒ n2-n-4950 = 0

con soluciones n=-69,86 y n=70,86 Es decir que el opositor debe estudiar, como mínimo 71 temas para que la probabilidad de saberse los dos temas que le toquen sea superior a 0,5. 8.- Se considera el experimento aleatorio de lanzar dos dados y anotar el resultado de la tirada. ¿Son independientes los sucesos "sacar suma par" y "sacar al menos un dos"? Resolución: El espacio muestral asociado al experimento de lanzar dos dados y anotar el resultado es: E = {(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6), (2,1),...,(2,6),....(6,6)} con 36 resultados equiprobables. Si llamamos A = "sacar suma par" será: A = { (1,1), (1,3), (1,5), (2,2), (2,4), (2,6), (3,1), (3,3), (3,5), (4,2), (4,4), (4,6), (5,1), (5,3), (5,5), (6,2), (6,4), (6,6)}

PROBABILIDAD 51

con 18 resultados. Su probabilidad es:

P(A) =3618 =

21

Si llamamos B = "sacar al menos un dos" será: B = {(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(1,2),(3,2),(4,2),(5,2),(6,2)} cuya probabilidad es:

P(B) =3611

Si ambos suceso son independientes se debe verificar que: P(A∩B) = P(A).P(B) como el suceso A∩B = {(2,2),(2,4),(2,6),(4,2),(6,2)} su probabilidad es:

P(A∩B) = 365

y como P(A).P(B)=21 .

3611 =

7211

vemos que 365

≠ 7211

luego no son independientes ambos sucesos. 9.- Halla la probabilidad de obtener 3 caras al lanzar tres monedas al aire Resolución: Podemos suponer que las monedas se lanzan una a una con lo cual tendríamos tres sucesos independientes:

P(3 caras) = P(Cara).P(Cara).P(Cara) = P(Cara)3 = ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

21 3

=81

10.- La caja A contiene 8 pilas de las cuales 3 están descargadas y la caja B contiene 5 pilas de las cuales 2 están descargadas. Se saca al azar una pila de cada caja. ¿Cual es la probabilidad de que una pila esté descargada y la otra no? Resolución: El esquema anterior representa la distribución de las pilas cargadas y descargadas en las cajas A y B. Consideremos los siguientes sucesos: CA = "la pila extraída de la caja A está cargada" DA = "la pila extraída de la caja A está descargada" CB = "la pila extraída de la caja B está cargada" DB = "la pila extraída de la caja B está descargada" Nos piden la probabilidad del suceso: "una pila esté descargada y la otra no", es decir: P[(CA∩DB)∪(DA∩CB)] = P(CA∩DB) + (DA∩CB) - P(CA∩DB∩DA∩CB) = Como CA y CB son independientes CA∩CB = Φ, Como DA y DB son independientes DA∩DB = Φ, por lo tanto CA∩DB∩DA∩CB = Φ y queda:

P[(CA∩DB)∪ (DA∩CB)] = 52 .

85 +

53 .

83 =

4019

PROBABILIDAD 52


1.- Se extrae, sin devolución, una bola blanca de una urna compuesta por 2 bolas blancas y 6 negras. ¿Cuál es la probabilidad de que si se extraen a continuación tres bolas, una sea blanca?

Resolución: P =1 - 54 .

65 .

76 =

73

2.- En una ciudad se publican dos periódicos A y B. La probabilidad de que una persona lea un periódico A es 0,1, la probabilidad de que lea el B es 0,1 y la probabilidad de que lea ambos es 0,02, a) Calcula la probabilidad de que una persona no lea ningún periódico. b) Calcula la probabilidad de que una persona que ha leído alguno de los periódicos lea también el otro.

Resolución : a) P= 1-0,18 = 0,82, b) 00,1

0,02 = 51

3.- La caja A contiene 6 pilas de las cuales 3 están descargadas y la caja B contiene 4 pilas de las cuales 2 están descargadas. Se saca al azar una pila de cada caja. a) ¿Cuál es la probabilidad de que ambas pilas estén descargadas? b) ¿Cual es la probabilidad de que una pila esté descargada y la otra no?

Resolución : a) P = 63 .

42 =

41 , b) P =

63 .

42 +

63 .

42 =

21

4.- Para tratar cierta enfermedad se dispone de dos medicamentos, con efectos independientes

entre sí, cuyas probabilidades de sanar a un paciente son respectivamente 21 y

31 . Se

administran los 2 dos medicamentos a tres enfermos. a) Halla la probabilidad de que al menos uno de ellos se cure. b) Halla la probabilidad de que al menos uno de ellos no se cure.

Resolución: a) P = 1-31 .

31 .

31 =

2726 ,

b) P = 1-32 .

32 .

32 =

2719

5.-Se lanza una moneda dos veces. a) Halla la probabilidad de que en ambas tiradas salga cruz b) Sabiendo que en al menos una de las tiradas sale cara, ¿cuál es la probabilidad de que en ambas salga cara?

Resolución: a) P = 41 , b) P =

4/34/1 =

31

6.- Para aprobar un examen hay que contestar 2 preguntas elegidas al azar sobre un total de 30 propuestas. Si un estudiante ha estudiado únicamente 20 temas ¿cuál es la probabilidad de que el alumno supere el examen?.

Resolución: P = 3020 .

2919 =

8738

7.- Calcula la probabilidad de obtener tres ases al extraer tres cartas de una baraja española.

Resolución: P =404 .

393 .

382 =

24701

8.- Laura y Pedro se reparten al 45% y 55% respectivamente los ejercicios de Matemáticas. Sabemos que Laura falla un 10% y Pedro un 8% de los ejercicios respectivamente. a) Halla la probabilidad de que algún ejercicio de los que realizan esté mal resuelto. b) Halla la probabilidad de que un ejercicio esté bien resuelto. Resolución: P = 0,45.0,1+0,55.0,08 = 0,089

PROBABILIDAD 53

3.3.- PROBABILIDAD TOTAL 1.- Sistema completo de sucesos Se llama sistema completo de sucesos a n sucesos Ai tales que: • Su unión es el espacio muestral E:

A1∪..∪An

• Los sucesos A1 ...An son incompatibles dos a dos:

Ai ∩Aj = φ, ∀ i ≠ j 2.- Teorema de probabilidad total Sea E el espacio muestral asociado a un experimento aleatorio, A1,.., An un sistema completo de sucesos y S un suceso cualquiera, se cumple que: P(S) = P(A1).P(S/A1) + ... + P(An).P(S/An)

EJEMPLOS 1.- En una casa hay tres llaveros, el primero con 3 llaves, el segundo con 4 llaves y el tercero con 5. Sólo una llave de cada llavero abre la puerta de la calle. Se escoge al azar un llavero y de él una llave. ¿Cuál es la probabilidad de que podamos abrir la puerta? Resolución: Consideremos los sucesos A = "escoger el primer llavero" B = "escoger el segundo llavero" C = "escoger el tercer llavero" P = “abrir la puerta” Tal como se ve en la figura adjunta tenemos que

P(A) = P(B) = P(C ) = 31

P(P/A) = 31

P(P/B) =41

P(P/C) =51

Como el conjunto formado por los sucesos A, B y C forman un sistema completo de sucesos, para hallar la probabilidad de que P = “abrir la puerta” utilizamos el Teorema de la probabilidad total. La probabilidad pedida es:

P(P) = P(A).P(P/A)+ P(B).P(P/B) +P(C). P(P/C) =31.

31 +

41.

31 +

51.

31 =

18047

2.- De los turistas que visitan Málaga, el 60% hace el viaje en avión, el 30% lo hace por carretera y el 10% lo hace por tren. De los que viajan en avión el 70% va a las playas de la costa occidental. De los que viajan por carretera el 80% va a las playas de la costa occidental. De los que viajan por tren el 50% va a las playas de la costa occidental. Si se selecciona al

A

B

C

P

P

P

P

P

P

1/3

1/4

1/5

1/3

1/3

1/3

PROBABILIDAD 54

azar un turista que ha visitado Málaga, ¿cuál es la probabilidad de que haya estado en las playas de la costa occidental? Solución: Consideremos los sucesos A = "llegar en avión", C = "llegar por carretera", T = "llegar en tren", O = "ir a la costa occidental " O = "no ir a la costa occidental ". Tal como se ve en la figura adjunta tenemos que P(A).P(O/A) = 0,6.0,7 = 0,42 P(C).P(O/C) = 0,3.0,8 = 0,24 P(T).P(O/T) = 0,1.0,5 = 0,05 Como el conjunto formado por los sucesos T, O y C forman un sistema completo de sucesos, para hallar la probabilidad de que sea defectuoso utilizamos el Teorema de la probabilidad total. Luego la probabilidad de que haya estado en las playas de la costa occidental es: P(O) = P(A).P(O/A)+ P(C).P(O/C) + P(T).P(O/T) = 0,42 + 0,24 + 0,05 = 0,71 3.- Una empresa de productos lácteos elabora sus productos en tres factorías A, B y C. Las cuotas de producción de cada factoría (Porcentaje de la producción total que se fabrica en cada factoría) y el porcentaje de productos defectuosos son los siguientes:

A B C Cuotas de producción 0,35 0,4 0,25 Envasado defectuoso 0,02 0,01 0,03

Si se toma un producto al azar ¿cuál es la probabilidad de que sea defectuoso? Solución: Consideremos los sucesos A = “elaborar en la factoría A” B = “elaborar en la factoría B” C = “elaborar en la factoría C” D = "ser producto defectuoso" D = "no ser producto defectuoso". Tal como se ve en la figura adjunta tenemos que P(A).P(D/A) = 0,35.0,02 = 0,007 P(B).P(D/B) = 0,4.0,01 = 0,004 P(C).P(D/C) = 0,25.0,03 = 0,075 Como el conjunto formado por los sucesos A, B y C forman un sistema completo de sucesos, para hallar la probabilidad de que sea defectuoso utilizamos el Teorema de la probabilidad total: P(D) = P(A).P(D/A)+P(B).P(D/B)+P(A).P(D/C) = 0,007+0,004+0,0075 = 0,0185 4.- Una determinada enfermedad puede estar provocada por 3 causas, A, B o C, en las proporciones 30%, 20% y 50'% respectivamente. (En cada enfermo sólo se presenta una de estas 3 causas). El tratamiento de esta enfermedad requiere hospitalización en el 20% de los casos si está provocada por A, en el 55% si la causa es B y en el 10% si la causa es C.

A

C

T

0 ,3

0 ,6

0 ,10 ,2

0 ,30 ,8

0 ,7

0 ,5O0 ,5

O

O

O

O

O

PROBABILIDAD 55

¿Cuál es la probabilidad de que un enfermo cualquiera de la citada enfermedad no necesite hospitalización? Solución: Consideremos los sucesos A = “estar provocado por la causa A” B = “estar provocado por la causa B” C = “estar provocado por la causa C” H = "necesita hospitalización" H = "no necesita hospitalización". Tal como se ve en la figura adjunta tenemos que P(A∩ H ) = P(A).P( H /A) = 0,3.0,8 = 0,24 P(B∩ H ) = P(B).P( H /B) = 0,2.0,45 = 0,09 P(C∩ H ) = P(C).P( H /C) = 0, 5.0,9 = 0,45 Como el conjunto formado por los sucesos A, B y C forman un sistema completo de sucesos, para hallar la probabilidad de no necesite hospitalización utilizamos el Teorema de la probabilidad total: P( H ) = P(A).P( H /A)+ P(B).P( H /B) + P(A).P( H /C) = 0,24 + 0,09 + 0,45 = 0,78 5.- Una fabrica de tornillos dispone de dos máquinas que elaboran el 25% y el 75% respectivamente. El porcentaje de tornillos defectuosos es del 4% y del 2% respectivamente. Halla la probabilidad de que el tornillo sea defectuoso. Resolución: Consideremos los siguientes sucesos: M1 = "el tornillo está fabricado por la máquina 1" M2 = "el tornillo está fabricado por la máquina 2" D = "el tornillo es defectuoso”. N = "el tornillo es normal”. Tal como se ve en la figura adjunta tenemos que P(M1).P(D/M1) = 0,25.0,04 = 0,01 P(M2).P(D/M2) = 0,75.0,02 = 0,015 Como el conjunto formado por los sucesos M1 y M2 forman un sistema completo de sucesos, para hallar la probabilidad de no necesite hospitalización utilizamos el Teorema de la probabilidad total: P(D) = P(M1).P(D/M1)+ P(M2).P(D/M2) = 0,01 + 0,015 = 0,025


1.- Laura y Pedro se reparten al 45% y 55% respectivamente los ejercicios de Matemáticas. Sabemos que Laura falla un 10% y Pedro un 8% de los ejercicios respectivamente. a) Halla la probabilidad de que algún ejercicio de los que realizan esté mal resuelto. b) Halla la probabilidad de que un ejercicio esté bien resuelto. Resolución: a) P = 0,45.0,1+0,55.0,08 = 0,089. b) P = 0,45.0,9+0,55.0,92 = 0,911. 2.- Un estudiante oye del despertador en el 80% de los casos. Si lo oye se presenta al examen en el 90% y en caso contrario en un 50% de los casos. a) ¿Cual es la probabilidad de que se presente al examen? b) ¿Cual es la probabilidad de no se presenta al examen? Solución: a) P(E)= 0,8.0,9+0,2.0,5 = 0,82; b) P( E ) = 0,8.0,1+0,2.0,5 = 0,18

PROBABILIDAD 56

3.- En un sistema de alarma la probabilidad de que haya un incidente es de 0,1. Si éste se produce, la probabilidad de que suene la alarma es de 0,95. La probabilidad de que suene la alarma sin que se produzca un incidente es de 0,03. Calcula la probabilidad de que suene la alarma. Solución: P = 0,95.0,1+0,03.0,9 = 0,122 4.- Si se aplica la máquina de la verdad en los interrogatorios la probabilidad de que ésta acierte es del 0,95 si mienten y del 0,99 si dicen la verdad. Calcula la probabilidad de que la máquina acierte si el individuo preguntado pertenece a un grupo del que el 10% miente. Solución: P = 0,99.0,9+0,95.0,1 = 0,986 5.- Un trabajador llega tarde a la oficina con una probabilidad del 20% si suena el despertador y con probabilidad del 90% si no suena. Sabiendo que el despertador suena el 80% de los días, halla la probabilidad de que llegue: a) tarde a la oficina. b) temprano a la oficina. c) tarde a la oficina y haya sonado el despertador. Solución: a) P = 0,34, b) 0,66, c) 0,16 6.- Se prueban tres vacunas en un grupo de personas, el 30% la vacuna A1, el 20% la vacuna A2 y el 50% la vacuna A3 respectivamente. El porcentaje de personas que han contraído la enfermedad es del 23%, 17% y 39% respectivamente. Halla la probabilidad de que una persona esté enferma. Solución: P(E) = 0,3.0,23+0,2.0,17+0,5.0,39 = 0,298 7.- El volumen de fabricación de bombillas de 3 plantas de una fábrica es de 2000, 1000 y 500 unidades respectivamente. Si el porcentaje de bombillas defectuosas es del 2%, 1% y 0,5% respectivamente, halla la probabilidad de que una bombilla escogida al azar seas defectuosa.

Solución: P(D) = 1000

5.355

1001.

3510

1002.

3520

++ = 200

3 .

8.- En un instituto existe un Bachillerato con las modalidades de Ciencias, Letras y Artes. En la primera evaluación aprueban todas las asignaturas el 5% de los alumnos de Ciencias, el 10% de Letras y el 20% de Artes. Estudian Ciencias el 20% de los estudiantes, Letras el 30% y Artes el 50%. Tomado un estudiante cualquiera al azar, se pide la probabilidad de que: a) Haya aprobado y sea de Ciencias. b) Haya aprobado. Solución: a) 0,01, b) 0,14 9.- En un almacén de papelería se reciben bolígrafos de 3 plantas diferentes A, B y C. Si el porcentaje de bolígrafos defectuosos es del 3%, 2% y 1% respectivamente, halla la probabilidad de que un bolígrafo elegido al azar sea defectuoso si en los controles de calidad de la fábrica A se detectan el 70%, de la fábrica B el 80% y de la fábrica C el 90% de los bolígrafos defectuosos respectivamente. Solución:

10.- En una caja de ahorros se han concedido en un mes 150 créditos al consumo, 350 créditos hipotecarios y 500 créditos para empresa siendo la probabilidad de que resulten fallidos 0,2, 0,1 y 0,15 respectivamente. Halla la probabilidad de que un crédito resulte fallido. Solución: P(F) = 0,15.0,2+0,35.0,1+0,50.0,15 = 0,14. 11.- Disponemos de 3 urnas y de10 bolas , 5 blancas y 5 negras. Distribuimos las bolas de la siguiente manera:

En la 1ª urna ponemos 1 bola blanca y 1 bola negra. En la 2ª urna ponemos 3 bolas blancas y 2 bolas negras. En la 3ª urna ponemos 1 bola blanca y 2 bolas negras.

De una de las urnas, elegida al azar, se extrae una bola. Halla la probabilidad de que la bola elegida sea negra.

Solución: P = 31.

32

31.

52

31.

21

++ = 9047 .

PROBABILIDAD 57

3.4.- TEOREMA DE BAYES

Si tenemos n sucesos A1 ...An incompatibles dos a dos y tales que su unión es el espacio muestral E y un suceso cualquiera S siendo P(A1),...,P(An) no nulas se cumple que:

P(Ai/S) =))P(S/AP(A...))P(S/AP(A...))P(S/AP(A

))P(S/AP(A

nnii11

ii

++++

EJEMPLOS 1.- Una fabrica de tornillos dispone de dos máquinas que elaboran el 25% y el 75% respectivamente. El porcentaje de tornillos defectuosos es del 4% y del 2% respectivamente. Halla la probabilidad de que el tornillo haya sido fabricado por la máquina 1 si sabemos que es defectuoso. Resolución: Consideremos los siguientes sucesos: M1 = "el tornillo está fabricado por la máquina 1" M2 = "el tornillo está fabricado por la máquina 2" D = "el tornillo es defectuoso”. N = "el tornillo es normal”. Nos piden la probabilidad del suceso: "el tornillo está fabricado por la máquina 1 si es defectuoso", tal como se ve en la figura podemos aplicar el Teorema de Bayes:

P(M1 /D) =)).P(D/MP(M+ )).P(D/MP(M

)).P(D/MP(M

2211

11 =0,75.0,020,25.0,04

0,25.0,04+

= 0,4

2.- En un sistema de alarma la probabilidad de que haya un incidente es de 0,1. Si éste se produce, la probabilidad de que suene la alarma es de 0,95. La probabilidad de que suene la alarma sin que se produzca un incidente es de 0,03. Calcula la probabilidad de que no haya habido incidente si ha funcionado la alarma. Resolución: Consideremos los siguientes sucesos: I = "Se produce incidente". I = " No se produce incidente". A = "Suena la alarma”. A = " No suena la alarma ". Nos piden la probabilidad del suceso: "no hay incidente pero ha sonado la alarma ", tal como se ve en la figura podemos aplicar el Teorema de Bayes:

P( I /A) =)I).P(A/IP(+ )P(I).P(A/I

)I).P(A/IP( =0,9.0,030,1.0,95

0,9.0,03+

= 0,22

3.- Se prueban tres vacunas en un grupo de personas, el 30% la vacuna A1, el 20% la vacuna A2 y el 50% la vacuna A3 respectivamente. El porcentaje de personas que han contraído la enfermedad es del 23%, 17% y 39% respectivamente. Halla la probabilidad de que si una persona está sana haya probado la vacuna A3.

PROBABILIDAD 58

Resolución: Consideremos los sucesos A1 = “haber probado la vacuna A1” A2 = “haber probado la vacuna A2” A3 = “haber probado la vacuna A3” E = "contraer enfermedad" S = "permanecer sano". Nos piden la probabilidad del suceso: "la persona se ha puesto la vacuna 3 si está sana", tal como se ve en la figura podemos aplicar el Teorema de Bayes:

P(A3/S) = )).P(S/AP(A)).P(S/AP(A+ )).P(S/AP(A

)).P(S/AP(A

332211

33

+

= 61,0.5,085.0.2,077.0.3,0

61.0.5,0++

= 0,43

4.- De los turistas que visitan Málaga, el 60% hace el viaje en avión, el 30% lo hace por carretera y el 10% lo hace por tren. De los que viajan en avión el 70% va a las playas de la costa occidental. De los que viajan por carretera el 80% va a las playas de la costa occidental. De los que viajan por tren el 50% va a las playas de la costa occidental. Si se selecciona al azar un turista que ha visitado Málaga y que ha estado en las playas de la costa occidental, ¿cuál es la probabilidad de que haya viajado en tren? Resolución: Consideremos los sucesos A = "llegar en avión", C = "llegar por carretera", T = "llegar en tren", O = "ir a la costa occidental " O = "no ir a la costa occidental ". Nos piden la probabilidad del suceso: "se ha llegado en tren si ha estado en la costa occidental", tal como se ve en la figura. Para hallarlo podemos aplicar el Teorema de Bayes:

P(T/O) =P(O)

O)P(T ∩ =P(O)

)P(T).P(O/T =0,710,05 = 0,07

5.- Una empresa de productos lácteos elabora sus productos en tres factorías A, B y C. Las cuotas de producción de cada factoría (Porcentaje de la producción total que se fabrica en cada factoría) y el porcentaje de productos defectuosos son los siguientes:

A B C Cuotas de producción 0,35 0,4 0,25 Envasado defectuoso 0,02 0,01 0,03

Si se sabe que es defectuoso cuál es la probabilidad de que se haya fabricado en A. Resolución: Consideremos los sucesos A = “elaborar en la factoría A”

A

C

T

0 ,3

0 ,6

0 ,10 ,2

0 ,30 ,8

0 ,7

0 ,5O0 ,5

O

O

O

O

O

PROBABILIDAD 59

B = “elaborar en la factoría B” C = “elaborar en la factoría C” D = "ser producto defectuoso" D = "no ser producto defectuoso". Nos piden la probabilidad del suceso: "se ha fabricado en A si está defectuoso", tal como se ve en la figura. Para hallarlo podemos aplicar el Teorema de Bayes:

P(A/D) =P(D)

D)P(A ∩ =P(D)

)P(A).P(D/A =0,01850,007 = 0,38


1.- En una casa hay tres llaveros el primero con 3 llaves, el segundo con 4 llaves y el tercero con 5, los que sólo una de cada llavero abre la puerta de la calle. Se escoge al azar un llavero y de él una llave. Si la llave elegida es correcta ¿Cuál es la probabilidad de que pertenezca al primer llavero?

Solución: P =

51.

31+

41.

31+

31.

31

31.

31

= 4720

2.- En un congreso hay tres nacionalidades. 30 de los asistentes son españoles, 45 franceses y 25 portugueses, el 40% de los españoles, 50% de los franceses y 60% de los portugueses están a favor de la resolución final. Si un asistente elegido al azar está a favor de la resolución final. ¿Cuál es la probabilidad de que sea español?

Solución: P = 0,25.0,600,45.0,500,3.0,4

0,3.0,4++

= 0,24

3.- Laura y Pedro se reparten al 45% y 55% respectivamente los ejercicios de Matemáticas. Sabemos que Laura falla un 10% y Pedro un 8% de los ejercicios respectivamente. Halla la probabilidad de que el ejercicio esté realizado por Pedro sabiendo que está mal resuelto.

Solución: P = 0,55.0,080,45.0,1

0,55.0,08+

= 0,494

4.- Tres máquinas A, B y C fabrican un 1%, 2% y 3% respectivamente de tornillos defectuosos. Se mezclan 20 tornillos de la máquina A, 40 de la B y 60 de la C. Sabemos que el tornillo es defectuoso. Halla la probabilidad de que el tornillo haya sido fabricado por la máquina B.

Solución: P =

1003.

02160+

1002.

02140+

1001.

02120

1002.

02140

= 72

5.- En una Universidad acaba la carrera el 5% de los estudiantes de Ingeniería, el 10% de Ciencias y el 20% de Letras. Se sabe que el 20% estudia Ingeniería, el 30% Ciencias y el 50 % Letras. Halla la probabilidad de que si ha acabado la carrera sea un estudiante de Ingeniería.

Solución: P = 0,5.0,20,3.0,10,2.0,05

0,2.0,05++

= 141

6.- Se prueban tres medicamentos en un grupo de personas, el 30% el medicamento A, el 20% el medicamento B y el 50% el medicamento C, respectivamente. El porcentaje de personas que han contraído la enfermedad después de usar medicamentos es el 23%, 17% y 39% respectivamente. Halla la probabilidad de que una persona sana haya utilizado el medicamento C.

Solución: P = 61,0.5,085.0.2,077.0.3,0

61.0.5,0++

= 0,43

PROBABILIDAD 60


1.- En una ciudad se publican dos periódicos A y B. La probabilidad de que una persona lea un periódico A es 0,1, la probabilidad de que lea el B es 0,1 y la probabilidad de que lea ambos es 0,02, a) Calcula la probabilidad de que una persona no lea ningún periódico. b) Calcula la probabilidad de que una persona que ha leído alguno de los periódicos lea también el otro.

Solución: a) P( BA ∩ )= 0,82, b) P(A∩B/A∪B) = 91

2.- Dados los sucesos A y B de un mismo espacio muestral, se sabe que: P(A) = 0,4 P(A∪B) = 0,8 P( A ∪ B ) = 0,7 a) Comprueba si los sucesos A y B son independientes. b) Calcula la probabilidad de que sólo se verifique uno de los dos sucesos Solución: b) P(A∩ A )+P(B∩ A ) = 0,5

3.- Sean A y B dos sucesos, tales que P(A)=0,5 y P(B)=0,6 y P(A ∩ B)=0,25 a) ¿Son A y B independientes? Calcula P(Ac∩B). b) Calcula las probabilidades condicionadas P(A/B) y P(A/Bc), siendo Bc el suceso contrario de B. Solución: a) P( A ∩B) = 0,35, b) P(A/ B ) = 0,625.

4.- Se sabe que, en una cierta población, la probabilidad de que un hombre tenga estudios universitarios es 0,30 y que la probabilidad de que una mujer tenga estudios universitarios es 0,20. Si los hombres representan el 48% de la población, calcula las probabilidades de los siguientes sucesos: a) Una persona elegida al azar posee estudios universitarios. b) Que sea hombre una persona de la que se sabe que no posee estudios universitarios. Solución: a) P(E) = 0,248, b) P(H/ E ) = 0,447

5.- Dados los sucesos A y B, se sabe que P(A) = 0,4, P(A U B) = 0,8 y P( A U B ) = 0,7 donde A y B representan respectivamente los sucesos contrarios de A y B. a) Calcula la probabilidad de que ocurra sólo uno de los sucesos A y B. b) Comprueba si los sucesos A y B son independientes. Solución: a) P[(A∩ B )∪ (B∩ A )] = 0,5, b) A y B no son independientes. 6.- Una empresa monta televisores con piezas procedentes de las fábricas F o G. En el primer caso la probabilidad de que el televisor no tenga averías en cinco años es 0,9 y en el segundo caso 0,7. El 40 % de los televisores se montan con piezas de la fabrica F. Halla la probabilidad de que un televisor, que no ha tenido averías durante cinco años, se haya montado con piezas de la fábrica G.

Solución: P = 9.0.4,07.0.6,0

7.0.6,0+

= 0,54.

7.- La probabilidad de que una persona adquiera en una librería un diario es de 0,6; la

probabilidad de que no adquiera una revista es de 0,5; la probabilidad de que adquiera una revista dado que ya ha adquirido un diario es de 0,3. Calcula la probabilidad de los siguientes sucesos: a) Que no adquiera un diario cuando ha adquirido una revista. b) Que adquiera una revista cuando no ha adquirido un diario. Solución: a) P( A /B) = 0,64, P(B/ A ) = 0,8.

8.- Se sabe que en una cierta población, la probabilidad de que un hombre esté en paro vale 0,15 y la probabilidad de que una mujer esté en paro es de 0,25. Si la proporción de personas de cada sexo es la misma, calcula las probabilidades de los siguientes sucesos: a) Una persona elegida al azar está en paro.

PROBABILIDAD 61

b) Que sea un hombre, si se sabe que no está en paro. Solución: a) P(P) = 0,2, P(H/ P ) = 0,53125.

9.- La probabilidad de que una persona adquiera en una librería un diario es de 0.4; la probabilidad de que no adquiera una revista es de 0.3, la probabilidad de que adquiera ambas publicaciones es de 0.2. Calcula la probabilidad de los siguientes sucesos: a) Que adquiera sólo un diario. b) Que adquiera al menos una publicación. c) Que no adquiera un diario cuando ha adquirido una revista. d) Que adquiera una revista cuando no ha adquirido un diario.

Solución: a) P(A∩ B ) = 0,2, b) P(A∪B) 0,9, c) P( A /B) =75 , d) P(B/ A ) =

65 .

10.- Ana, Juan y Raúl, que están esperando para realizar una consulta médica, sortean, al azar, el orden en que van a entrar. a) Calcula la probabilidad de que los dos últimos en entrar sean hombres. b) Determina si son independientes los sucesos S1 y S2, siendo: S1: "la mujer entra antes que alguno de los hombres". S2: "los dos hombres entran consecutivamente".

Solución: a) P = 31 , b) No son independientes.

11.- Una determinada enfermedad puede estar provocada por 3 causas, A, B o C, en las proporciones 30%, 20% y 50'% respectivamente. (En cada enfermo sólo se presenta una de estas 3 causas). El tratamiento de esta enfermedad requiere hospitalización en el 20% de los casos si está provocada por A, en el 55% si la causa es B y en el 10% si la causa es C. a) ¿Cuál es la probabilidad de que un enfermo cualquiera de la citada enfermedad no necesite hospitalización?. b) Si un enfermo está hospitalizado, ¿cuál es la probabilidad de que la causa sea A?

Solución: a) P( H ) = 0,24 + 0,09 + 0,45 = 0,78, b) P(A/H) = 78,01

0,3.0,2−

= 0,27

12.- En una urna hay 8 bolas negras y 5 bolas blancas.

a) Calcula la probabilidad de que al extraer dos bolas, con reemplazamiento, la 1ª sea negra y la 2ª blanca.

b) Calcula la probabilidad de que al extraer dos bolas, sin reemplazamiento, la 1ª sea negra y la 2ª blanca.

Solución: a) P(N1∩B2) = 16940 , b) P(N1∩B2) = 39

10

13.- Dados dos sucesos A y B independientes y de probabilidad no nula, justifica si son ciertas las siguientes afirmaciones: a) )B/AP( = P(A) b) )/ABP( = )BP(

c) P( AA ∪ ) = 0,5 Solución: a) Sólo si P(A) = 0,5, b) Sí c) No.

14.- Se lanza una moneda tres veces seguidas. Se pide : a) Calcula la probabilidad de que el número de caras obtenidas sea 2. b) Calcula la probabilidad de que el número de caras obtenidas sea 0.

Solución: a) P(A) =83 , b) P(B) =

81

15.- Un experimento consiste en lanzar un dado y extraer una bola de una urna que contiene dos bolas blancas y una roja. Se pide: a) Construye un espacio muestral adecuado a dicho experimento. b) Calcula la probabilidad de los sucesos:

A = {Obtener un número par y una bola roja}

PROBABILIDAD 62

B = {Obtener un múltiplo de 3 y una bola blanca}.

Solución: a) E ={ (1,B), (1,R), (2,B), (2,R), ...., (6,B), (6,R)} b) P(A) = 61 , P(B) =

91

16.- En un hospital hay 60 enfermos. De ellos 30 tiene gripe, 20 hepatitis y 10 artritis. Se

seleccionan al azar tres enfermos. Calcula la probabilidad de que: a) Los tres padezcan la misma enfermedad. b) Los tres padezcan enfermedades diferentes.

Solución: a) P =1711266 , b) P =

1711300

17.- Una familia tiene dos hijos. Suponiendo que la probabilidad de ser varón es igual a la de ser mujer, se pide: a) Calcula la probabilidad de que ambos hijos sean varones. b) Sabiendo que al menos uno de ellos es varón calcula la probabilidad de que lo sean los dos

Solución: a) P(V1∩V2) = 41 , b) P(V1∩V2/V1∪V2) =

41

21

21

41

−+=

31

18.- Se dispone de dos urnas A y B. En la urna A hay diez bolas, numeradas del 0 al 9 y en la urna B hay seis bolas numeradas del 0 al 5. Se lanza una moneda equilibrada, de forma que si sale cara se extrae una bola de la urna A y si sale cruz de la urna B. a) Calcula la probabilidad de obtener una cara y un 6. b) Calcula la probabilidad de obtener una cruz y un 5.

Solución: a) P(A∩C6) = 02

1 , b) P(B∩C5) = 211

19.- Se extraen, sucesivamente y sin reposición, dos cartas de una baraja española (40 cartas). a) Calcula la probabilidad de que la primera carta sea oros y la segunda no b) Calcula la probabilidad de que sólo una de las dos sea copas. Solución:

a) P(O1∩ 2O ) = 62

5 , b) P(S) = 135

20.- En un dado se pintan de blanco las caras 1, 2, 4 y 5 y de azul las restantes. ¿Cuál es la probabilidad de que al arrojar al aire dos veces el dado, salga?: a) Las dos caras azules b) La primera azul y la segunda blanca c) La primera blanca y la segunda azul d) Las dos caras blancas Solución: 21.- ¿Cuál es la probabilidad de que al lanzar el dado del ejercicio anterior salga?: a) Las tres veces azul. b) Las dos primeras blanco y la última azul. Solución: 22.- ¿Cuál es la probabilidad de que al arrojar al aire dos veces al aire un dado cualquiera, salga?: a) Las dos veces múltiplo de 2 b) Las dos veces múltiplo de 3 c) Las dos veces múltiplo de 2 ó 3 Solución: 23.- Un producto está formado por 3 partes: A, B, C. La probabilidad de un defecto en A es 0,03, de un defecto en B de 0,04 y de un defecto en C de 0,02. ¿cuál es la probabilidad de que el producto no sea defectuoso? Solución:

PROBABILIDAD 63

24.- La probabilidad de que una persona sea rubia es 0,4 y la probabilidad de que tenga los ojos negros es 0,3. Halla la probabilidades de que: a) Sea rubia y tenga los ojos negros b) Sea rubia o tenga los ojos negros c) Que tres personas sean rubias b) Que dos personas sean rubia o tengan los ojos negros Solución: 25.- En una empresa hay un 35% que lee revistas, un 28% que lee periódicos y un 10% que lee ambas. Si se elige al azar un trabajador cual es la probabilidad de que: a) Lea periódicos o revistas. b) No lea periódicos ni revistas. c) Lea revistas sabiendo que no lee periódicos. d) Lea revistas sabiendo que lee periódicos. e) Lea periódicos o revistas, pero no ambos. Solución: a) P = 0,35+0,28-0,1 = 0,53, b) P = 1-0,53=0,47, c) P = 0,35, d) P = 0,36, e) P = 0,25+0,18 = 0,43. 26.- Halla la probabilidad de sacar un rey y un caballo en la extracción de dos cartas de la baraja española. Solución: 27.- En un país el 20% de los trabajadores trabaja en la agricultura, el 25% en la industria y el resto en el sector servicios. Un 80 % de los que trabajan en el campo, 70% de los que trabajan en la industria y 60% de los que trabajan en los servicios son hombres. ¿Cuál es la probabilidad de que elegido un trabajador al azar pertenezca al sector servicios si es un hombre? Solución: 28.- En una caja de ahorros se han concedido en un mes 150 créditos al consumo, 350 créditos hipotecarios y 500 créditos para empresa siendo la probabilidad de que resulten fallidos 0,2, 0,1 y 0,15 respectivamente. Halla la probabilidad de que un crédito sea al consumo si ha resultado fallido. Solución: 29.- Se tiene 3 urnas A con 1 bola blanca y 3 negras, B con 2 bolas blancas y con 2 negras y C con 3 bolas blancas y 1 negra. Halla la probabilidad de que si la bola obtenida es negra la urna sea la primera.

Solución: P =

41.

31

42.

31

43.

31

43.

31

++=

21

30.- De una bola con 2 bolas rojas y 4 azules se extraen sucesivamente dos bolas. Halla la probabilidad de que: a) Las dos sean rojas. b) Las dos sean azules. c) La primera sea azul y la segunda roja. d) Una sea azul y otra roja.

Solución: a) 51.

62 b)

53.

64 c)

52.

64 d)

52.

64 +

53

.62

31.- En un Instituto existen tres grupos de 2º de Bachillerato. El primero está compuesto por 10 alumnos de los que 7 prefieren la música "moderna", 2 prefieren la "clásica' y 1 que no le gusta la música. En el segundo, compuesto por 12 alumnos, la distribución de preferencias es 5, 7, 0, respectivamente; y en el tercero, formado por 14 alumnos, la distribución de preferencias es 6, 6 y 2, respectivamente. Se elige un grupo al azar y se regalan dos entradas para un concierto de música clásica a dos alumnos seleccionados al azar. a) Halla la probabilidad de que las entradas se regalen en el primer grupo.

PROBABILIDAD 64

b) Halla la probabilidad de que los dos alumnos elegidos sean aficionados a la música moderna. c) Si los dos alumnos agraciados son efectivamente aficionados a la música clásica, ¿cuál es la probabilidad de que procedan del primer grupo?

Solución: a) P(X) = 31 , b) P(MM) = 0,261, c) P(X/CC) = 0,044

32.- Un trabajador llega a su empresa en autobús con una probabilidad del 70% o en automóvil. Si llega en autobús la probabilidad de que llegue tarde es del 10%, si llega en automóvil la probabilidad de que llegue tarde es del 40%. Si llega tarde. ¿Cuál es la probabilidad de que haya llegado en autobús?, ¿y en automóvil?

Solución: P(A/T)=0,3.0,40,7.0,1

0,7.0,1+

= 197 , P(C/T)=

0,3.0,40,7.0,10,3.0,4

+=

1912

33.- Se prueban dos vacunas en un grupo de personas, el 50% la vacuna A y el 50% la vacuna B respectivamente. El porcentaje de personas que han contraído la enfermedad es del 13%, si se aplica la vacuna A y el 17% la vacuna B. Halla la probabilidad de que si una persona está sana haya probado la vacuna A. Solución:

34.- Una persona aprueba un examen con una probabilidad del 20% si no estudia y con probabilidad del 90% si estudia, sabiendo que la probabilidad de que estudie es el 80%. Halla la probabilidad de que apruebe el examen si ha estudiado. Solución: 35.- A un congreso médico asisten oculistas y pediatras. Sabemos que 240 médicos son andaluces, 135 son navarros y 225 son canarios. El número total de pediatras es 315. De los andaluces, 96 son oculistas y, de los navarros, son oculistas 75. Hemos elegido un médico canario, ¿cuál es la probabilidad de que sea oculista?

Solución: P = 225114

36.- La caja A contiene 6 bolas blancas y 4 negras y la caja B contiene 4 blancas y 8 negras. La probabilidad de escoger la caja A es 1/3 y la caja B es de 2/3. a) ¿Cual es la probabilidad de obtener una bola blanca de la caja B? b) ¿Cual es la probabilidad de obtener una bola blanca?

Solución: a) P = 124.

32 , b) P =

124.

32

106.

31

+ =4519 .

37.- El tren español de alta velocidad, más conocido como AVE, asegura tal puntualidad, que devuelve el precio del billete a los usuarios si tiene un retraso de más de 5 minutos. Supongamos que la probabilidad de que un tren AVE se retrase más de ese tiempo es de 0,01 cuando circula de Sevilla a Madrid y de 0,017 cuando circula de Madrid a Sevilla. Si a una persona le devuelven el dinero, ¿cuál es la probabilidad de viaje de Madrid a Sevilla? Solución: 38.- En un supermercado, el 70% de las compras las realizan mujeres; de las compras realizadas por éstas, el 80% supera las 2000 pta, mientras que de las compras realizadas por hombres sólo el 30% supera esa cantidad. Se sabe que un ticket de compra no supera las 2000 pta, ¿cuál es la probabilidad de que la compra haya sido hecha por una mujer? Solución: 39.- En un instituto existe un Bachillerato con las modalidades de Ciencias, Letras y Artes. En la primera evaluación aprueban todas las asignaturas el 5% de los alumnos de Ingeniería, el 10% de Letras y el 20% de Artes. Estudian Ciencias el 20% de los estudiantes, Letras el 30% y Artes el 50%. Tomado un estudiante cualquiera al azar, se pide la probabilidad de que si ha aprobado sea de Ciencias.

Solución: P = 0,140,01 = 0,071

PROBABILIDAD 65

CAPÍTULO 4:

DISTRIBUCIONES DISCRETAS

4.1.- DISTRIBUCIONES DISCRETAS 1.- Variable aleatoria Si consideramos un experimento aleatorio y su espacio muestral E asociado se llama variable aleatoria a cualquier función definida de E en el conjunto de números reales tal que a cada resultado aleatorio se le asigna un número real. Si a cada elemento del espacio muestral (suceso) le asociamos su probabilidad teórica obtenemos una distribución de probabilidad. Dependiendo del número de valores que tome la variable aleatoria, podemos clasificarla en: • Discreta: cuando toman un conjunto finito o infinito pero numerable de valores x1, ..., xn. • Continua: cuando puede tomar un conjunto infinito de valores xi. 2.- Función de probabilidad

Definición

Se llama función de probabilidad de una variable aleatoria a la aplicación que asocia a cada valor de la variable aleatoria xi su probabilidad pi. La función de probabilidad de una variable aleatoria discreta se representa gráficamente mediante un diagrama de barras, representándose la variable xi en el eje de abscisas y la probabilidad pi en el eje de ordenadas. Propiedades 1.- 0 ≤ pi ≤ 1, por ser una probabilidad.

2.- Toda función de probabilidad verifica p i

n

1=i∑ =1

3.- Función de distribución

Definición

Sea X una variable aleatoria discreta, cuyos valores están ordenados de forma creciente. Se llama función de distribución de X a la función que asocia a cada valor de la variable aleatoria x (donde x es un número cualquiera) la probabilidad acumulada hasta ese valor. Se escribe F(X) y cumple: F(Xi) = P(X≤xi)

Propiedades

1.- 0 ≤ F(X) ≤ 1, por ser una probabilidad.

2.- F(X) es constante entre dos valores consecutivos de la variable, por lo tanto es una función escalonada.

3.- F(X) = 0 para todo valor de la variable aleatoria menor al mínimo valor que toma ésta.

4.- F(X) = 1 para todo valor de la variable aleatoria posterior al máximo valor que toma ésta.

5.- F(X) es creciente.

PROBABILIDAD 66

EJEMPLOS 1.- Halla la función de probabilidad asociada al lanzamiento de un dado de parchís al aire observando la cara obtenida. Resolución: La función de probabilidad es la de la tabla adjunta., ya que todos los valores son equiprobables.

xi 1 2 3 4 5 6

P(X=xi) 61

61

61

61

61

61

2.- La distribución de probabilidad de una variable aleatoria discreta viene dada por la tabla adjunta. Halla m para que efectivamente se trate de un función de probabilidad.

xi 1 2 3 4 5 6

P(X=xi) 61

62 m

121

121

61

Resolución: Para que efectivamente se trate de una función de probabilidad ha de ocurrir que la suma de P(X) sea 1, por lo tanto:

61 +

62 +m+

121 +

121 +

61 = 1 ⇒ m+

1210 = 1 ⇒ m = 1-

1210 =

122 =

61

La función de probabilidad es la de la tabla adjunta.

xi 1 2 3 4 5 6

P(X=xi) 61

62

61

121

121

61

3.- Un miembro del consejo de administración de una empresa ha comprobado que si bien todos los años hay una junta, existen años en que el número de reuniones asciende hasta 5. El número de juntas obedece, según su experiencia a la distribución de la tabla adjunta

Resultado 1 2 3 4 5

Probabilidad 2/15 5/15 1/15 3/15 4/15

a) Halla la función de probabilidad y su representación. b) Halla la función de distribución y su representación. c) La probabilidad de que la variable sea mayor que 3. Resolución: a) La función de probabilidad es la de la tabla adjunta.

xi 1 2 3 4 5

P(X=xi) 152

155

151

153

154

La representación de la función de probabilidad es la de la figura adjunta.

PROBABILIDAD 67

b) La función de distribución es la de la tabla adjunta, donde acumulamos los valores de la probabilidades de los resultados anteriores.

X 1 2 3 4 5

F(X) 2/15 7/15 8/15 11/15 1

Su representación es la de la figura adjunta:

c) Probabilidad de que la variable sea mayor que 3: P(X>3) = P(X=4) + p(X=5) = = 3/15+4/15 = 7/15 = 0,466 4.- Halla la función de probabilidad asociada a la variable aleatoria anotar el mayor número obtenido que aparece en el lanzamiento de al aire de 2 dados de parchís. Efectúa su representación gráfica Resolución: El experimento consta de 36 resultados equiprobables, E = {(1,1), (1,2),...,(2,1),...,(6,6)}. En cada lanzamiento obtenemos un par (a, b) siendo la variable X = máx(a, b), por lo tanto X∈{1,2,3,4,5,6}.

La probabilidad asociada al 1 es P(X=1) = 361 ya que aplicando la regla de

Laplace los casos favorables son 1 ({1,1}) y los posibles son 36. La

probabilidad asociada al 2 es P(X=2) = 363 ya que aplicando la regla de

Laplace los casos favorables son 3 ({1,2,(2,2),(2,1)}). Los demás se calculan de forma similar. La función de probabilidad es la de la tabla adjunta.

xi 1 2 3 4 5 6

P(X=xi) 361

363

365

367

369

3611

6.- Halla la función de probabilidad del experimento consistente en lanzar un dardo a una diana de 10 círculos concéntricos, que se observa en la siguiente tabla.

Resultado 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Probabilidad 1/100 1/100 1/100 2/100 4/100 8/100 1/10 2/10 24/100 24/100 5/100

Dibuja dicha función. Resolución: La función de probabilidad es la de la tabla adjunta, donde acumulamos los valores de la probabilidades de los resultados anteriores.

X 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

F(X) 0,01 0,02 0,03 0,05 0,09 0,17 0,27 0,47 0,71 0,95 1

La gráfica de la función es:

PROBABILIDAD 68

7.- La gráfica de la función de distribución, F(x), de una variable aleatoria discreta X es la adjunta.

Obtén la correspondiente función de probabilidad. Resolución: Como la función de distribución de X es la función F(x) = P(X≤x), que asocia a cada valor de la variable aleatoria x la probabilidad acumulada hasta ese valor debemos hallar la tabla asociada a dicha gráfica. Como la función de probabilidad P de una variable aleatoria discreta X a la aplicación que asocia a cada valor de la variable aleatoria xi su probabilidad pi. La hallamos desacumulando los totales de la tabla correspondiente a la función de distribución. La función de distribución es la de la tabla adjunta:

X F(x) x < 1 0 1≤x<2 0,2 2≤x<3 0,4 3≤x<4 0,6 4≤x<5 0,8 x ≥ 5 1

Como la función de probabilidad será la probabilidad en cada punto y la hallamos desacumulando los totales de la tabla anterior, obteniendo:

X pi 1 0,2 2 0,2 3 0,2 4 0,2 5 0,2

PROBABILIDAD 69

8.- La distribución de probabilidad de una variable aleatoria discreta viene dada por la tabla adjunta.

xi 1 2 3 4 5

P(X =xi) 102

103 m

102

101

a) Halla m para que se trate de un función de probabilidad f. b) Halla la función de distribución F. c) Halla la probabilidad de que la variable esté entre 3 y 4. Resolución:

a) Se halla m para que p i

n

1=i∑ =1

m+108 = 1 ⇒ m = 1-

108 =

102

La función de probabilidad asociada es:

f(x) =

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

=

=

=

caso otroen 0

2 xsi 103

4,3,1 xsi 102

5 xsi 101

b) Hallamos la función de distribución acumulando los valores de la función de probabilidad:

Si X≤1 ⇒ P(X≤1) = 0

Si 1≤X<2 ⇒ P(X=1) = 0,2

Si 2≤X<3 ⇒ P(X=1)+ P(X=2) = 0,2+0,3 = 0,5

Si 3≤X<4 ⇒ P(X=1)+ P(X=2) + P(X=3) = 0,2+0,3+0,2 = 0,7

Si 4≤X<5 ⇒ P(X=1)+ P(X=2) + P(X=3) + P(X=4) = 0,2+0,3+0,2+0,2 = 0,9

Si X≥5 ⇒ P(X=1)+ P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)+P(X=5) = 0,2+0,3+0,2+0,2+0,1= 1 Luego la función de distribución es:

F(x) =

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

≥<≤<≤<≤<≤

≤

5 xsi 15x4 si 0,94x3 si 0,73x2 si 0,52x1 si 0,2

1 xsi 0

c) Para hallar la probabilidad de que la variable esté entre 3 y 4 obtenemos: P(x<3) = P(X=1)+P(X=2) = 0,2+0,3 = 0,5 P(x>4) = 0,1 P(3≤X<5) = 1 - [P(X<3)+ P(X>4)] = 1- (0,5+0,1) = 0,4

PROBABILIDAD 70


1.- Halla la función de probabilidad asociada a la variable aleatoria número de caras en el lanzamiento de al aire de cuatro monedas. Efectúa su representación gráfica. Solución:

xi 1 2 3 4 5

P(X=xi) 161

164

166

164

161

2.- Halla la función de probabilidad asociada a la variable aleatoria anotar el número de múltiplos de 3 que aparecen en el lanzamiento al aire de 3 dados de parchís. Efectúa su representación gráfica. Solución:

xi 0 1 2 3

P(X=xi) 278

2712

276

271

3.- Determina el valor de k en la siguiente función de probabilidad

xi 1 2 3

P(X=xi) k 0,45 k

Solución: k = 0,275

4.- Determina el valor de a en la siguiente función de probabilidad

xi 1 2 3 4

P(X=xi) 2a

4a

8a

16a

Solución: a = 1516

5.- En el experimentos consistente en lanzar un dardo a una diana de 10 círculos concéntricos, se observa que la probabilidad de conseguir una puntuación viene dada en la siguiente tabla.

X 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

P(X) 0,01 0,02 0,03 0,05 0,09 0,17 0,27 0,47 0,71 0,95 1

Halla la probabilidad de que:

PROBABILIDAD 71

a) Sea inferior a 3. b) Superior a 7. c) Comprendido entre 3 y 7. Solución: a) P(X<3) = 0,06; b) P(X>7) = 0,53; c) P(3≤X≤7) = 0,44.

6.- En el experimentos consistente en lanzar un dardo a una diana de 6 círculos concéntricos, se observa que la probabilidad de conseguir una determinada puntuación viene dada:

X 0 1 2 3 4 5 6

P(X) 100

1 100

5 10010

10015

10025

10025

10019

Halla la probabilidad de que obtenga: a) Al menos 4. b) Inferior a 3. Solución: a) P(X≥4) = 0,69, b) P(X≤2) = 0,16.

7.- Halla la función de distribución asociada a la variable aleatoria: “número de caras en el lanzamiento al aire de cuatro monedas”. Efectúa su representación gráfica. Solución:

X x<0 0≤x<1 1≤x<2 2≤x<3 3≤x<4 x≥4

F(X) 0 161

165

1611

1615 1

8.- Halla la función de distribución asociada a la variable aleatoria “número de múltiplos de 3 que aparecen en el lanzamiento de 3 dados de parchís”. Efectúa su representación gráfica. Solución:

X 0≤x<1 1≤x<2 2≤x<3 x≥ 3

F(X) 278

2720

2726 1

9.- Determina el valor de k en la siguiente función de probabilidad. Halla la función de distribución asociada

xi 1 2 3

P(X=xi) k 0,45 k

Solución: k = 0,275. La función de distribución es

X x≤1 1≤x<2 2≤x<3 x≥ 3

F(X) 0 0,275 0,725 1

10.- Determina el valor de a en la siguiente función de probabilidad y obtén la función de distribución asociada.

xi 1 2 3 4

P(X=xi) a 2a

4a

8a

Solución: a = 158 . La función de distribución es

X x≤1 1≤x<2 2≤x<3 3≤x<4 x≥4

F(X) 0 12064

12096

120112 1

PROBABILIDAD 72

4.2.- MEDIA Y VARIANZA

1- Media

Definición Se llama media de una variable aleatoria X a la suma de los productos de los valores de dicha variable por su probabilidad. La media de la variable x se representa por μ. También se llama esperanza matemática o valor esperado, E(X). Un juego se dice equitativo cuando su esperanza matemática es nula, ya que no existe ventaja ni para el jugador ni para la banca. Se dice que favorable al jugador si la esperanza es positiva y que perjudica al jugador en caso contrario.

Cálculo

La fórmula para el cálculo de la media es:

px = px + ... + px + px = ii

n

1=inn2211 ∑μ

Donde: μ media o esperanza matemática xi cada uno de los valores de la variable pi la probabilidad asociada a cada uno de los valores anteriores

2.- Varianza

Definición Se llama varianza de una variable aleatoria X a la suma de los productos de las desviaciones cuadráticas de los valores de dicha variable respecto a su esperanza matemática por su probabilidad. La varianza de la variable X se representa por σ. La desviación típica de una variable aleatoria X es la raíz cuadrada positiva de la varianza.

Cálculo

• La fórmula para el cálculo de la varianza es:

σ2 = p.) - x( i2

i

n

1=iμ∑ = μ2

i2i

n

1=i - p x ∑

Donde: σ2 varianza μ media o esperanza matemática xi cada uno de los valores de la variable pi la probabilidad asociada a cada uno de los valores anteriores

• La fórmula para el cálculo de la desviación típica es:

σ = p.) - x( i2

i

n

1=iμ∑ = μ2

i2i

n

1=i - p x ∑

PROBABILIDAD 73

EJEMPLOS 1.- Halla de que tipo es el juego consistente en jugara al rojo en la ruleta de 36 números, teniendo en cuenta que gana el jugador si cae la bola en una casilla par y la banca si cae en una casilla impar o cero. Resolución. Supongamos que la apuesta es 1 y hallemos las probabilidades de rojo (gana 1) o no (gana -1) mediante la regla de Laplace:

P(X=1) = 3718

P(X=-1) = 3719

Como la esperanza matemática es:

μ= px ii

n

1=i∑ =

3719).1(

3718.1 −+ =

371−

luego es un juego con ventaja para la banca. 2.- Un miembro del consejo de administración de una empresa ha comprobado que si bien todos los años hay una junta, existen años en que el número de reuniones asciende hasta 5. El número de juntas obedece, según su experiencia a la distribución de la tabla adjunta

Resultado 1 2 3 4 5

Probabilidad 2/15 5/15 1/15 3/15 4/15

Halla: a) La media b) La varianza Resolución: a) Media, la hallamos a partir de la tabla auxiliar:

xi pi xipi xi2pi

1 2/15 2/1 2/15 2 5/15 10/15 20/15 3 1/15 3/15 9/15 4 3/15 12/15 48/15 5 4/15 20/15 100/15 1 47/15 179/15

μ = px ii

n

1=i∑ =

1547 = 3,13

b) Varianza, la hallamos a partir de la tabla auxiliar anterior:

σ2 = p.) - x( i2

i

n

1=iμ∑ =

15179 -3,132 = 2,13

σ = 2,13 =1,46

PROBABILIDAD 74

3.- Consideremos la función de probabilidad asociada al lanzamiento de dos dados de parchís al aire observando la suma de las caras obtenidas. Halla: a) La media b) La varianza Resolución: La función de probabilidad asociada es la de la tabla adjunta:

xi 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

P(X=xi) 361

362

363

364

365

366

365

364

363

362

361

Construimos la tabla auxiliar:

xi pi xipi xi2pi

2 1/36 2/36 4/36 3 2/36 6/36 18/36 4 3/36 12/36 48/36 5 4/36 20/36 100/36 6 5/36 30/36 180/36 7 6/36 42/36 294/36 8 5/36 40/36 320/36 9 4/36 36/36 324/36

10 3/36 30/36 300/36 11 2/36 22/36 242/36 12 1/36 12/36 144/36

1 7 1974/36 a) La media es:

μ = px ii

n

1=i∑ = 7

b) La varianza es:

σ2 = p.) - x( i2

i

n

1=iμ∑ =

361974 - 72 = 5,83

σ = 38,5 = 2,41 4.- La ganancia, en millones de pesetas, de una determinada inversión obedece, según la experiencia acumulada por los años a la distribución de probabilidad de la tabla adjunta

X 0 1 2 3 4 5 6

P(X) 0,06 0,06 0,2 0,3 0,3 0,06 0,02

Halla: a) La media b) La varianza Resolución: Construimos la tabla auxiliar:

PROBABILIDAD 75

xi pi xipi xi2pi

0 0,06 0 0 1 0,06 0,06 0,06 2 0,2 0,4 0,8 3 0,3 0,9 2,7 4 0,3 1,2 4,8 5 0,06 0,3 1,5 6 0,02 0,12 0,72 1 2,98 10,58

μ= px ii

n

1=i∑ =

1547 = 3,13

b) Varianza, la hallamos a partir de la tabla auxiliar anterior:

σ2 = p.) - x( i2

i

n

1=iμ∑ =

15179 -3,132 = 2,13

σ = 2,13 =1,46 5.- La gráfica de la función de distribución, F(x), de una variable aleatoria discreta X es: a) Calcula la media de la distribución. b) Calcula la desviación típica de la distribución. Resolución: La función de distribución es la de la tabla adjunta:

X F(x) =p(X≤x) X<1 0

1≤x<2 0,2 2≤x<3 0,4 3≤x<4 0,6 4≤x<5 0,8 X≤5 1

Como la función de probabilidad será la probabilidad en cada punto y la hallamos desacumulando los totales de la tabla anterior, obteniendo:

X pi 1 0,2 2 0,2 3 0,2 4 0,2 5 0,2

Obtenemos la media: μ= px ii

n

1=i∑ = 1.0,2+2.0,2+3.0,2+4.0,4+5.0,2 = 3.

b) Obtenemos la varianza y desviación típica

σ2 = p.) - x( i2

i

n

1=iμ∑ = (1-3)2.0,2+(2-3)2.0,2+(3-3)2.0,2+(4-3)2.0,2+(5-3)2.0,2 = 2

PROBABILIDAD 76

σ = p.) - x( i2

i

n

1=iμ∑ = 2 =1,41


1.- Calcula la esperanza, la varianza y la desviación típica de la variable aleatoria X cuya función de probabilidad viene dada por la tabla .

x 1 2 3 4 5 6

f(x) 152

155

151

153

153

151

Solución: esperanza, μ = ; varianza, σ2 = , σ =

2.- Halla la varianza y desviación típica de la variable A = "número de caras en el lanzamiento de 4 monedas". Solución: σ2 = 1, σ = 1.

3.- Calcula la esperanza y la desviación típica de la variable aleatoria que cuenta el número de caras obtenido al lanzar al aire 3 monedas.

Solución: μ = 23 ; σ =

23

4.- Calcula la esperanza y la desviación típica de la variable aleatoria que cuenta la suma de las puntuaciones obtenidos al lanzar al aire 2 dados.

Solución: μ = 7; σ2 = 6

35 , σ = 2,41

5.- Un juego de azar se dice equitativo si la esperanza de su variable aleatoria asociada es nula. Se dice que favorable al jugador si la esperanza es positiva y perjudica al jugador en caso contrario. Halla de que tipo es el juego consistente en sacar una bola numerada del 1 al 10 de una urna y dar 100 pta. si el número obtenido es primo y cobrar 100 pta. si no es primo. Solución. Es equitativo ya que μ = 0 6.- Halla de qué tipo es el juego: a) consistente en que si sale cara A le paga a B 10 pta. y recibe de éste 10 pta. en caso contrario. b) ¿Y si la moneda estuviera trucada y P(cara) = 0,75? Solución. Es equitativo ya que μ = 0, Es favorable al jugador B.

7.- Si el jugador del ejercicio anterior hace trampas con una moneda en la que P(C) = 0,75 y P(X) = 0,25 a) ¿?Cuál es la nueva esperanza de la variable "ganancia de A en cada jugada", b) ¿Cómo hay que corregir los premios para mantener la equidad del juego.? Solución. a) μ= 5, b) cara: 10 pta., cruz :30 pta. 8.- Halla la función de probabilidad asociada a la variable aleatoria número de caras en el lanzamiento de al aire de tres monedas. Usa los resultados obtenidos para averigua cuánto perderá un jugador si no sale ninguna cara si gana 150 pta. si sale una cara, 300 si salen dos caras y 450 si salen 3 caras. Supón que el juego es equitativo. Solución:

xi 0 1 2 3

P(X=xi) 81

83

83

81

Debe perder 1800 pta.

PROBABILIDAD 77

4.3.- DISTRIBUCIÓN BINOMIAL

1.- Distribución binomial.

Sea un experimento aleatorio con las siguientes características:

• En cada prueba del experimento sólo son posibles dos resultados excluyentes: A(éxito), A (fracaso).

• El resultado obtenido en cada repetición de la prueba es independiente de las anteriores.

• La probabilidad de éxito y de fracaso se mantienen constante en cada prueba a lo largo de los ensayos, denotándolos por p y q respectivamente.

En tal caso decimos que dicho experimento consiste en la repetición de n pruebas de Bernouilli y sigue el modelo de la distribución binomial. A la variable que expresa el número de éxitos obtenida en cada prueba se le llama variable aleatoria binomial. Es una variable aleatoria discreta, ya que sólo toma valores naturales (incluido el cero). Se denota por X → B(n, p)

2.- Función de probabilidad

Si el número de pruebas que se realizan es n y la probabilidad de éxito en cada uno de ellas es p, la variable X= "nº de éxitos en las n pruebas" se dice que sigue una distribución binomial de parámetros n y p y lo representamos por B(n, p).

La función de probabilidad será:

P(obtener x éxitos)= P(x) = )p-.(1px

n xn-x⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

3.- Media y varianza

• Media: μ= n.p

• Varianza: σ2 = n.p.q

• Desviación típica: σ = q.p.n Donde: σ2 varianza μ media o esperanza matemática σ desviación típica p,q probabilidad de éxito o fracaso de un suceso 4.- Ajuste a una distribución binomial Si nuestro conocimiento sobre una población es una distribución de frecuencias podemos aproximar dicha distribución a una distribución binomial de parámetro n y p. • El parámetro n corresponde al tamaño de la distribución de frecuencias. • El parámetro p se obtiene igualando la media de la distribución de frecuencias a la de la

binomial y despejando valores:

X = np ⇒ p = nX

PROBABILIDAD 78

5.- Tabla de la distribución binomial

P(X = x) = )p-.(1px

n xn-x⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

n X 0,01 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,33 0,35 0,40 0,45 0,49 0,50 2 0 0,9801 0,9025 0,8100 0,7225 0,6400 0,5625 0,4900 0,4444 0,4225 0,3600 0,3025 0,2601 0,2500 1 0,0198 0,0950 0,1800 0,2550 0,3200 0,3750 0,4200 0,4444 0,4550 0,4800 0,4950 0,4998 0,5000 2 0,0001 0,0025 0,0100 0,0225 0,0400 0,0625 0,0900 0,1111 0,1225 0,1600 0,2025 0,2401 0,2500 3 0 0,9703 0,8574 0,7290 0,6141 0,5120 0,4219 0,3430 0,2963 0,2746 0,2160 0,1664 0,1327 0,1250 1 0,0294 0,1354 0,2430 0,3251 0,3840 0,4219 0,4410 0,4444 0,4436 0,4320 0,4084 0,3823 0,3750 2 0,0003 0,0071 0,0270 0,0574 0,0960 0,1406 0,1890 0,2222 0,2389 0,2880 0,3341 0,3674 0,3750 3 0,0000 0,0001 0,0010 0,0034 0,0080 0,0156 0,0270 0,0370 0,0429 0,0640 0,0911 0,1176 0,1250 4 0 0,9606 0,8145 0,6561 0,5220 0,4096 0,3164 0,2401 0,1975 0,1785 0,1296 0,0915 0,0677 0,0625 1 0,0388 0,1715 0,2916 0,3685 0,4096 0,4219 0,4116 0,3951 0,3845 0,3456 0,2995 0,2600 0,2500 2 0,0006 0,0135 0,0486 0,0975 0,1536 0,2109 0,2646 0,2963 0,3105 0,3456 0,3675 0,3747 0,3750 3 0,0000 0,0005 0,0036 0,0115 0,0256 0,0469 0,0756 0,0988 0,1115 0,1536 0,2005 0,2400 0,2500 4 0,0000 0,0000 0,0001 0,0005 0,0016 0,0039 0,0081 0,0123 0,0150 0,0256 0,0410 0,0576 0,0625 5 0 0,9510 0,7738 0,5905 0,4437 0,3277 0,2373 0,1681 0,1317 0,1160 0,0778 0,0503 0,0345 0,0313 1 0,0480 0,2036 0,3281 0,3915 0,4096 0,3955 0,3602 0,3292 0,3124 0,2592 0,2059 0,1657 0,1563 2 0,0010 0,0214 0,0729 0,1382 0,2048 0,2637 0,3087 0,3292 0,3364 0,3456 0,3369 0,3185 0,3125 3 0,0000 0,0011 0,0081 0,0244 0,0512 0,0879 0,1323 0,1646 0,1811 0,2304 0,2757 0,3060 0,3125 4 0,0000 0,0000 0,0005 0,0022 0,0064 0,0146 0,0284 0,0412 0,0488 0,0768 0,1128 0,1470 0,1563 5 0,0000 0,0000 0,0000 0,0001 0,0003 0,0010 0,0024 0,0041 0,0053 0,0102 0,0185 0,0282 0,0313 6 0 0,9415 0,7351 0,5314 0,3771 0,2621 0,1780 0,1176 0,0878 0,0754 0,0467 0,0277 0,0176 0,0156 1 0,0571 0,2321 0,3543 0,3993 0,3932 0,3560 0,3025 0,2634 0,2437 0,1866 0,1359 0,1014 0,0938 2 0,0014 0,0305 0,0984 0,1762 0,2458 0,2966 0,3241 0,3292 0,3280 0,3110 0,2780 0,2436 0,2344 3 0,0000 0,0021 0,0146 0,0415 0,0819 0,1318 0,1852 0,2195 0,2355 0,2765 0,3032 0,3121 0,3125 4 0,0000 0,0001 0,0012 0,0055 0,0154 0,0330 0,0595 0,0823 0,0951 0,1382 0,1861 0,2249 0,2344 5 0,0000 0,0000 0,0001 0,0004 0,0015 0,0044 0,0102 0,0165 0,0205 0,0369 0,0609 0,0864 0,0938 6 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0001 0,0002 0,0007 0,0014 0,0018 0,0041 0,0083 0,0138 0,0156 7 0 0,9321 0,6983 0,4783 0,3206 0,2097 0,1335 0,0824 0,0585 0,0490 0,0280 0,0152 0,0090 0,0078 1 0,0659 0,2573 0,3720 0,3960 0,3670 0,3115 0,2471 0,2048 0,1848 0,1306 0,0872 0,0604 0,0547 2 0,0020 0,0406 0,1240 0,2097 0,2753 0,3115 0,3177 0,3073 0,2985 0,2613 0,2140 0,1740 0,1641 3 0,0000 0,0036 0,0230 0,0617 0,1147 0,1730 0,2269 0,2561 0,2679 0,2903 0,2918 0,2786 0,2734 4 0,0000 0,0002 0,0026 0,0109 0,0287 0,0577 0,0972 0,1280 0,1442 0,1935 0,2388 0,2676 0,2734 5 0,0000 0,0000 0,0002 0,0012 0,0043 0,0115 0,0250 0,0384 0,0466 0,0774 0,1172 0,1543 0,1641 6 0,0000 0,0000 0,0000 0,0001 0,0004 0,0013 0,0036 0,0064 0,0084 0,0172 0,0320 0,0494 0,0547 7 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0001 0,0002 0,0005 0,0006 0,0016 0,0037 0,0068 0,0078 8 0 0,9227 0,6634 0,4305 0,2725 0,1678 0,1001 0,0576 0,0390 0,0319 0,0168 0,0084 0,0046 0,0039 1 0,0746 0,2793 0,3826 0,3847 0,3355 0,2670 0,1977 0,1561 0,1373 0,0896 0,0548 0,0352 0,0313 2 0,0026 0,0515 0,1488 0,2376 0,2936 0,3115 0,2965 0,2731 0,2587 0,2090 0,1569 0,1183 0,1094 3 0,0001 0,0054 0,0331 0,0839 0,1468 0,2076 0,2541 0,2731 0,2786 0,2787 0,2568 0,2273 0,2188 4 0,0000 0,0004 0,0046 0,0185 0,0459 0,0865 0,1361 0,1707 0,1875 0,2322 0,2627 0,2730 0,2734 5 0,0000 0,0000 0,0004 0,0026 0,0092 0,0231 0,0467 0,0683 0,0808 0,1239 0,1719 0,2098 0,2188 6 0,0000 0,0000 0,0000 0,0002 0,0011 0,0038 0,0100 0,0171 0,0217 0,0413 0,0703 0,1008 0,1094 7 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0001 0,0004 0,0012 0,0024 0,0033 0,0079 0,0164 0,0277 0,0313 8 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0001 0,0002 0,0002 0,0007 0,0017 0,0033 0,0039 9 0 0,9135 0,6302 0,3874 0,2316 0,1342 0,0751 0,0404 0,0260 0,0207 0,0101 0,0046 0,0023 0,0020 1 0,0830 0,2985 0,3874 0,3679 0,3020 0,2253 0,1556 0,1171 0,1004 0,0605 0,0339 0,0202 0,0176 2 0,0034 0,0629 0,1722 0,2597 0,3020 0,3003 0,2668 0,2341 0,2162 0,1612 0,1110 0,0776 0,0703 3 0,0001 0,0077 0,0446 0,1069 0,1762 0,2336 0,2668 0,2731 0,2716 0,2508 0,2119 0,1739 0,1641 4 0,0000 0,0006 0,0074 0,0283 0,0661 0,1168 0,1715 0,2048 0,2194 0,2508 0,2600 0,2506 0,2461 5 0,0000 0,0000 0,0008 0,0050 0,0165 0,0389 0,0735 0,1024 0,1181 0,1672 0,2128 0,2408 0,2461 6 0,0000 0,0000 0,0001 0,0006 0,0028 0,0087 0,0210 0,0341 0,0424 0,0743 0,1160 0,1542 0,1641 7 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0003 0,0012 0,0039 0,0073 0,0098 0,0212 0,0407 0,0635 0,0703 8 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0001 0,0004 0,0009 0,0013 0,0035 0,0083 0,0153 0,0176 9 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0001 0,0001 0,0003 0,0008 0,0016 0,0020

10 0 0,9044 0,5987 0,3487 0,1969 0,1074 0,0563 0,0282 0,0173 0,0135 0,0060 0,0025 0,0012 0,0010 1 0,0914 0,3151 0,3874 0,3474 0,2684 0,1877 0,1211 0,0867 0,0725 0,0403 0,0207 0,0114 0,0098 2 0,0042 0,0746 0,1937 0,2759 0,3020 0,2816 0,2335 0,1951 0,1757 0,1209 0,0763 0,0494 0,0439 3 0,0001 0,0105 0,0574 0,1298 0,2013 0,2503 0,2668 0,2601 0,2522 0,2150 0,1665 0,1267 0,1172 4 0,0000 0,0010 0,0112 0,0401 0,0881 0,1460 0,2001 0,2276 0,2377 0,2508 0,2384 0,2130 0,2051 5 0,0000 0,0001 0,0015 0,0085 0,0264 0,0584 0,1029 0,1366 0,1536 0,2007 0,2340 0,2456 0,2461 6 0,0000 0,0000 0,0001 0,0012 0,0055 0,0162 0,0368 0,0569 0,0689 0,1115 0,1596 0,1966 0,2051 7 0,0000 0,0000 0,0000 0,0001 0,0008 0,0031 0,0090 0,0163 0,0212 0,0425 0,0746 0,1080 0,1172 8 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0001 0,0004 0,0014 0,0030 0,0043 0,0106 0,0229 0,0389 0,0439 9 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0001 0,0003 0,0005 0,0016 0,0042 0,0083 0,0098 10 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0001 0,0003 0,0008 0,0010

PROBABILIDAD 79

EJEMPLOS 1.- Una prueba de inteligencia está compuesta por 10 preguntas, cada una de las cuales tiene 4 respuestas, con solo 1 correcta. Si un alumno decide contestar a lo loco, cual es la probabilidad de: a) Acertar 4 preguntas. b) No acertar ninguna. c) Acertarlas todas. d) Acertar al menos 8 e) Acertar a lo sumo 3 f) Media de las respuestas acertadas. Resolución: Estamos en la situación de una binomial siendo P(A) = 1/4 y P( A )=3/4, es decir es la distribución B(10;0,25) que verifica las tres condiciones impuestas para la binomial, pues sólo se puede obtener acierto o fallo en cada realización, los resultados son independientes y la probabilidad de acierto se mantiene constante e igual a 0,25.

a) P(X=4) = )0,25-.(1250,4

10 64⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=0,146

b) P(X=0) = )0,25-.(1250,0

10 100⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=0,056

c) P(X=10) = )0,25-.(1250,10

10 010⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛≈ 0

d) P(X ≥8) = P(X=8)+P(X=9)+P(X=10) =0,05 e) P(X≤3) = P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)+P(X=3) =0,7759 f) μ= n.p = 10.0,25=2,5 2.- Halla la probabilidad de que, en una familia con 4 hijos, uno al menos sea varón. Resolución: Estamos en la situación de una binomial con B(4;0,5) ya que verifica las tres condiciones de la binomial, pues sólo se puede obtener varón o mujer en cada realización, son independientes los resultados y la probabilidad de varón se mantiene constante e igual a 0,5. La función de probabilidad será:

p(x) = 5,0.5,0x

4 x4x −⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

Sea A el suceso "no tener varón", entonces A ="al menos un varón", suceso del que nos piden la probabilidad, será:

P( A ) = 1 -P(A) = 1-P(X=0) = 1- )0,5-.(1)(0,50

4 40⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ = 1-0,0625 = 0,9375

3.- En un examen se deben superar cuatro pruebas, dichas pruebas realizadas por 150 personas han dado número de fallos recogidos en la siguiente tabla.

Pruebas falladas 0 1 2 3 4 Personas 30 60 47 11 2

PROBABILIDAD 80

Ajusta esta distribución a una binomial. Resolución:

• La media aritmética es X = 150

4.2.3.112.471.600.30 ++++ = 1,3

El parámetro p se obtiene igualando la media de la distribución de

frecuencias a la de la binomial y despejando valores: p = 4

1,3 = ,32

• El parámetro n corresponde al tamaño de la distribución de frecuencias, 4.

Luego es una binomial B(4; 0,32), con p(x) = ( )68,0.32,0.x

4 x-4x⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ . Sustituyendo

valores: p(0) = 0,21; p(1) = 0,42; p(2) = 0,28; p(3) = 0,08; p(4) = 0,01, que con n= 150 da lugar a 32, 60, 43, 13, 2 que se acercan a los valores y el ajuste es adecuado.

EJERCICIOS PROPUESTOS 1.- En un almacén de ferretería se observa que la probabilidad de que una bombilla de las almacenadas sea defectuosa es del 5%. Considera el experimento aleatorio consistente en elegir una bombilla, describe una variable aleatoria apropiada a este experimento e indica que tipo de distribución sigue. Solución: B(1; 0,05). 2.- Si el 2% de los aspiradores de un cierto modelo tiene algún defecto, ¿cuántos aspiradores cabe esperar que resulten defectuosos en un lote de 1000 unidades? Solución: μ = n.p = 1000.0,02 =20 3.- La probabilidad de sacar cara con una moneda trucada es 0,35. ¿Cuántas caras cabe esperar obtener en 500 lanzamientos? Resolución: μ = n.p = 500.0,35 = 175 4.- Si tomamos una moneda trucada al aire sólo sale cara en el 25% de los lanzamientos. Lanzamos 3 monedas al aire y anotamos el número de caras obtenidas. a) Halla la distribución binomial asociada a la variable X. b) Calcula la esperanza y la desviación típica de la distribución c) Halla la probabilidad de obtener a lo sumo una cara d) Halla la probabilidad de obtener al menos una cara.

Solución: a) P(X = k) = )0,25-.(1250,x

3 x3x −⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛,

b) μ= n.p = 0,75, σ = n.p.q = 0,43 c) P(X≤1) = P(X = 0)+ P(X = 0) = 0,8438, d) P(al menos una cara) = 0,5781

5.- Un examen tipo test consta de 10 preguntas con cuatro posibles respuestas, de las cuales únicamente es correcta una. a) Comprueba que si responde al azar las preguntas del examen la variable X resultante de contar el número de aciertos sigue una distribución binomial y halla la función de probabilidad. b) Calcula la probabilidad de aprobar el examen. c) Calcula la esperanza, varianza y desviación típica de X.

Solución: a) P(X = k) = )0,25-.(1250,x

10 x10x −⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛,

b) P = 0,0584+0,0162+0,0031+0,0004 = 0,0781 a) μ= n.p = 2,5, σ 2= n.p.q = 1,875, σ = n.p.q = 1,37

PROBABILIDAD 81

4.4.- EJERCICIOS DEL TEMA 1.- Considera la variable aleatoria X que cuenta la suma de las puntuaciones obtenidas al lanzar al aire dos dados de parchís. a) Halla su función de probabilidad. b) Halla su función de distribución. Solución: 2.- Considera la variable aleatoria X que cuenta la el número de ases obtenidos al extraer con reemplazamiento, cuatro cartas de una baraja española. a) Halla su función de probabilidad. b) Halla su función de distribución. Solución:

3.- Halla la función de distribución asociada a la variable aleatoria número de caras en el lanzamiento de al aire de tres monedas. Solución:

X 0≤x<1 1≤x<2 2≤x<3 x≥ 3 F(X) 1/8 4/8 7/8 1

4.- Halla la función de distribución asociada a la variable aleatoria X que responde a la función de probabilidad.

xi 0 1 2 3 4

P(X=xi) 0.15 0,25 0,35 0,15 0,10 Solución:

X 0≤x<1 1≤x<2 2≤x<3 3≤x<4 x≥ 4

F(X) 0.15 0,40 0,75 0,90 1

5.- Estudia si la función:

f(x) =

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

=

=

=

3 xsi 73

2 xsi 73

1 xsi 71

puede ser una función de probabilidad.

Solución: Sí ya que toma valores entre 0 y 1 y además p i

n

=1i∑ =1

6.- Considera una variable aleatoria X cuya función de probabilidad es:

f(x) = ⎪⎩

⎪⎨⎧ =

+ caso otroen 0

2-2,-1,0,1, x1x

k2

Halla el valor de k Solución: k =5/12

7.- Considera una variable aleatoria X cuya función de probabilidad es:

f(x) = ⎩⎨⎧ =

caso otroen 0 ,8,164x xk.log2

Halla el valor de k

Solución: k = 91

PROBABILIDAD 82

8.- Se considera el experimento que consiste en extraer, al azar y sin reemplazamiento, tres bolas de una urna que contiene ocho, de las que cinco son rojas y tres son negras. Sea X la variable aleatoria que expresa el número de bolas extraídas. a) Escribe el espacio muestral asociado a este experimento. b) Calcula la función de probabilidad de la variable aleatoria X Solución: 9.- Determina el valor de a para que

f(x) =

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

=

=

=

6 ó 5 xsi a

4 ó 3 xsi 105

2 ó 1 xsi 101

sea una función de densidad.

Solución: a =104

10.- Considera una variable aleatoria X que toma los valores {0, 1, 2, 3}. Si su función de probabilidad es:

f(x) = x2

k+

a) Calcula el valor del parámetro k. b) Calcula la función de distribución. c) Representa gráficamente la función de probabilidad y la función de densidad. d) Calcula las probabilidades P(X =1), p(1≤X≤3) y P(X≥2) Solución:

11.- En una de las siguientes tablas se presenta la función de probabilidad de una variable aleatoria X.

X P(X = x) X P(X = x) X P(X = x)

1 0,2 1 0,4 1 0,2

2 0,3 2 0,3 2 0,3

3 1,2 3 0,2 3 0,4

4 0,1 4 0,1 4 0,5

Tabla 1 Tabla 2 Tabla 3

a) Elige razonadamente la tabla que representa la función de probabilidad de X. b) Escribe la función de distribución de X. c) Calcula la media de X. Solución: a) Es la Tabla 2.b) La función de distribución es la de la tabla adjunta:

X 1 2 3 4

F(X) 0.4 0,7 0,9 1

c) μ = 0,5. 12.- Calcula la esperanza y la desviación típica de la variable aleatoria que cuenta el número de caras obtenido al lanzar al aire 3 monedas.

Solución: 13.- Calcula la esperanza y la desviación típica de la variable aleatoria que cuenta la suma de las puntuaciones obtenidos al lanzar al aire 2 dados.

Solución:

PROBABILIDAD 83

14.- Un juego de azar se dice equitativo si la esperanza de su variable aleatoria asociada es nula. Se dice que favorable al jugador si la esperanza es positiva y perjudica al jugador en caso contrario. Halla de que tipo es el juego consistente en sacar una bola de una urna que contiene 4 bolas blancas y 6 negras y cobrar 250 Pts. si la bola es blanca y dar 200 Pts. si es negra Solución: Es perjudicial ya que μ = -20

15.- Un juego de azar consiste en lanzar dos dados y observar la suma de sus puntos de modo que se cobran la cantidad obtenida, expresada en Pts., si es un número primo o bien se pagan 5 Pts. en caso contrario. a) Obtén la función de probabilidad de la variable aleatoria X que indica la ganancia. b) Determina si el juego es equitativo. Solución:

X -5 2 3 5 7 11

F(x) 21/36 1/36 2/36 4/36 6/36 2/36

Es perjudicial ya que μ = -15/36 16.- El 5% de los estudiantes de una ciudad viaja en motocicleta. ¿Cuántas plazas de aparcamiento de motocicletas convendría construir en un Instituto con 600 alumnos? Solución: μ = 600.0,05 = 30 aparcamientos 17.- Luis y Pedro reciben cada uno 1000 Pts. semanales. Luis las ahorra y Pedro cobra un billete de lotería cuya ganancia es de 5000 Pts. probabilidad 0,15. A largo plazo ¿quién obtendrá más dinero? Solución: Luis ya que μL = 1000 μP = 5000.0,15 = 750. 18.- Ocho alumnos elaboran un trabajo utilizando ordenadores. ¿Cuántos ordenadores han de utilizar para encontrarlos libre el 80% de las veces si la probabilidad de que necesiten usarlos es el 0,4? Solución: Debe haber 4 ordenadores. 19.- Los seis miembros de una familia quieren ver la televisión con una probabilidad del 20%. Si ninguno comparte preferencias con los demás, ¿cuántos televisores debe haber para que todos puedan ver su programa preferido al menos en un 90% de los casos ? Solución: Debe haber 2 televisores. 20.- Un examen consta de 12 preguntas con respuesta triple de los cuales sólo una es correcta. ¿Cuántas respuestas acertadas deben exigirse como mínimo para la probabilidad de que alguien apruebe contestando al azar no sea superior al 2%? Solución: 8 preguntas 21.- Se compran cajas de bombones rellenos con un 10% de mermelada y un 90% de licor. Si compramos tres cajas con cuatro bombones cada una, ¿cuál es la probabilidad de que en todas ellas haya algún bombón relleno de mermelada? Solución: P(Mermelada) = 1-P(X=0)=0,3439, P(3 cajas)= 0,0429 22.- Una máquina fabrica relojes cuya probabilidad de ser defectuosos es del 1%. Los relojes se envasan en paquetes de 5 unidades. Si una tienda compra 6 paquetes calcula las siguientes probabilidades: a) Al menos uno de los lotes contiene algún circuito defectuoso b) Todos los lotes contienen algún circuito defectuoso c) Tres lotes contienen algún circuito defectuoso Solución: a) 0,2649, b) ≈0, c) 0,0021 23.- Una máquina fabrica relojes cuya probabilidad de ser defectuosos es del 5%. Si se toman 8 piezas al azar calcula las siguientes probabilidades: a) No haya ninguna defectuosa. b) Haya alguna defectuosa. c) Haya más de una defectuosa

PROBABILIDAD 84

Solución: a) 0,6634, b) 0,3366, c) 0,00573 24.- Un tirador acierta en el blanco un 80% de las tiradas. Si realiza seis disparos calcula las siguientes probabilidades: a) No acierte ninguno. b) Acierte alguno. c) Acierte exactamente dos. Solución: a) 0,6634, b) 0,3366, c) 0,00573 25.- En el proceso de fabricación de lavadoras, la probabilidad de que una lavadora tenga algún defecto es de 0,05. Un operario revisa 4 lavadoras que acaban de montar. a) Calcula la probabilidad de que no haya ninguna defectuosa. b) Calcula la probabilidad de que haya más de una defectuosa. Solución: 26.- Calcula la probabilidad de que al lanzar 6 dados al aire salga al menos un 4.

Solución: P(X≥1) = 1-P(X=0) = 1- ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛65.

0

6 5

= 0,6651

27.- Se lanzan 5 dados al aire. Calcula la probabilidad de que: a) Salga siempre un número impar. b) Salga al menos un 4.

Solución: 28.- La probabilidad de que una persona de 50 años viva 30 0 más años es de 2/3. Halla la probabilidad de que, considerando 5 personas, al cabo de 30 años vivan: a) Cinco personas. b) Al menos tres personas. c) Exactamente dos personas.

Solución: a) P(X=5) =0,13; b) P(X≥3) =0,79; c) P(X=2) =0,16. 29.- Un examen tipo “test” consta de 8 preguntas con cuatro respuestas posibles cada una, de las cuales sólo una es correcta. Suponiendo que un estudiante responde al azar: a) ¿Cuál es la probabilidad de que conteste correctamente a más de 6 preguntas? b) ¿Cuál es la probabilidad de que no acierte ninguna? Solución: 30.- Una compañía de seguros efectúa un estudio a sus conductores con el objetivo de estudiar el número de accidentes que han sufrido. Los resultados se reflejan en la siguiente tabla:

Accidentes 0 1 2 3 4

Personas 30 45 20 10 5

a) Ajusta esta distribución a una binomial. b) ¿Es bueno este ajuste? c) Determina la media y varianza de la distribución binomial obtenida Solución:

31.- Una compañía de seguros efectúa un estudio a sus conductores con el objetivo de estudiar el número de accidentes que han sufrido. Los resultados se reflejan en la siguiente tabla:

Accidentes 0 1 2 3 4

Personas 20 55 25 15 5

a) Ajusta esta distribución a una binomial. b) ¿Es bueno este ajuste? c) Determina la media y varianza de la distribución binomial obtenida Solución:

CAPÍTULO 5:

DISTRIBUCIONES CONTINUAS 5.1.- DISTRIBUCIÓN CONTINUA 1.- Definición Una variable aleatoria se dice continua cuando puede tomar un conjunto infinito de valores xi. Si a cada elemento del espacio muestral le asociamos su probabilidad teórica obtenemos una distribución de probabilidad continua.

2.- Función de densidad

Se denomina función de densidad de una variable aleatoria continua, f(x), a la que cumple: 1.- f(x) ≥ 0, ∀x∈ [a, b]

2.- ∫b

a f(x)dx = 1

En el caso de variables aleatorias continuas no tiene sentido hablar de probabilidad en un punto (siempre es nula), se ha de hablar de probabilidad correspondiente a un intervalo.

P(c<X<d) = ∫d

c f(x)dx

3.- Función de distribución

Se denomina función de distribución de una variable aleatoria continua, F(x), a la integral de la función de densidad. La función de distribución proporciona la probabilidad acumulada hasta un determinado valor de la variable F(x) = p(X ≤ x). Es una función que cumple: 1.- 0 ≤ F(X) ≤ 1 , ∀x∈[a, b] ya que es una valor de probabilidad. 2.- F(x) = 0, ∀x < a

3.- F(x) = 1, ∀x > b 4.- F(x) es creciente

EJEMPLOS 1.- La distribución de los errores en las medidas de una pieza es constante en el intervalo [0,3] y con un error máximo de 3 micras. Halla la función de densidad. Resolución: Como el intervalo es [0,3] y constante, y la probabilidad es 1, la función de

densidad f(x) ha de valer 31 en [0,3] y 0

fuera de él:

f(x) = ⎪⎩

⎪⎨

⎧≤≤

x<3 si 0,3x0 si 1/3,

0< xsi 0,

2.- Considera la función:

f(x) = [ ]

[ ]⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

∉

∈

1,4 x si 0

1,4 x si 31

Halla la función de distribución F si X es una variable aleatoria cuya función de densidad es f y represéntala gráficamente. Calcula P(1,6 ≤ X ≤ 5,2). Resolución: Para hallar F bastará calcular P(X≤x) para cualquier x∈ . Debemos distinguir:

• Si x<1 ⇒ P(X≤x) = ∫ ∞−

x

dt 0 = 0

• Si 1≤x≤4 ⇒ P(X≤x) = ∫ ∞−

1

dt 0 +∫

x

1 dt

31 =

x

1310 ⎥⎦

⎤+ =3

1x −

• Si x≥4 ⇒ P(X≤x) = ∫ ∞−

1

dt 0 +∫

4

1 dt

31 +∫

x

4 dt 0 =

4

1t

310 ⎥⎦

⎤+ = 1

Por lo tanto la función de distribución es

F(x) =

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

≤≤

x<4 si 1,

4x1 si 3

1-x1< xsi 0,

Y su representación es la de la figura: b) La probabilidad pedida es: P(1,6 ≤ X ≤ 5,2) = P(X ≤ 5,2) - P(X ≤

1,6) = F(5,2) - F(1,6) = 1-3

11.6 − = 0,8

EJERCICIOS PROPUESTOS 1.- Considera la función

f(x) = [ ]

[ ]⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

∉

∈

1,5 x si 0

1,5 x si 41

a) Comprueba si es una función de densidad. b) Si X es una variable aleatoria cuya función de densidad es f, calcula P(1,5≤X≤6). Solución: a) Sí lo es, b) P(1,5≤X≤6) =

2.- Considera la función

f(x) = [ ]

[ ]⎪⎩

⎪⎨⎧

∉

∈

1,1- x si 0

1,1- x si 0,5

a) Demuestra que es una función de densidad de una variable aleatoria continua X. b) Halla la función de distribución F. c) Calcula P(X = 0), P(X ≥ -1), P(-1 ≤ X ≤ 0,5). Solución: a( Si lo es; c) P(X = 0) = 0, P(X ≥ -1) = 1, P(-1 ≤ X ≤ 0,5) = 0,75.

5.2.- MEDIA Y VARIANZA

1.- Media

Teniendo en cuenta que para una variable aleatoria discreta la media es px = ii

n

1=i∑μ , podemos

definir ahora la suma para una variable aleatoria continua, que tendrá un número infinito de sumandos infinitesimales, es decir efectuaremos la integral:

μ = ∫b

a xf(x)dx = 1

La media de una variable aleatoria continua recibe el nombre de esperanza matemática o valor esperado.

2.- Varianza

Como para una variable aleatoria discreta la varianza es σ2 = p.) - x( i2

i

n

1=i

μ∑ , podemos definir

ahora la suma para una variable aleatoria continua, que tendrá un número infinito de sumandos infinitesimales, es decir efectuaremos la integral:

σ2 = ∫b

a

2 f(x)dxμ)-(x

La desviación típica de una variable aleatoria continua es la raíz cuadrada de la varianza:

σ = ∫b

af(x)dx)-(x 2μ

EJEMPLOS 1.- Hallar la media, varianza y desviación típica de la variable aleatoria que tiene la siguiente función de densidad:

f(x) =

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

≤≤

x<3 si 0,

3x0 si ,31

0<x si 0,

Resolución:

• media: μ = ∫b

a xf(x)dx = ∫

3

0 dx

31x = ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡6x2 3

0

= 69 = 1,5

• varianza: σ2 = ∫b

a

2 f(x)dxμ)-(x = ∫ ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛3

0 dx

31

23-x =

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

3 3

0 23x-

91 = 0,75

• desviación típica: σ = ∫b

a

2 f(x)dxμ)-(x = 0,75 =0,87

2.- Sea X una variable aleatoria cuya función de densidad es:

f(x) = [ ]

[ ]⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

∉

∈

1,4 x si 0

1,4 x si 31

Halla la esperanza, varianza y desviación típica. Resolución: • Media:

μ = ∫b

a xf(x)dx =∫

4

1 dx

31x = ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡6x2 4

1

= 61

616

− = 6

15 = 25

• Varianza:

σ2 = ∫b

a

2 f(x)dxμ)-(x = 24

1

2

25dx

31.x ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−∫ =

425

9x2 4

1

−⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

425

91

964

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ − =

43 = 0,75

• Desviación típica:

σ = ∫b

af(x)dx)-(x 2μ = 0,75 = 0,87



f(x) = [ ]

[ ]⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

∉

∈

1,3 x si 0

1,3 x si 9

2x

Halla la esperanza, varianza y desviación típica.

Solución: μ = 2752 , σ2 =

729536 , σ = 0,86.


f(x) = [ ]

[ ]⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

∉

∈−

0,4 x si 0

0,4 x si 4)-(xx 323

Halla la esperanza, varianza y desviación típica.

Solución: μ = 2, σ2 =54 , σ = 0,89.

3.- Considera la función de densidad de una variable aleatoria continua X.

f(x) = [ ]

[ ]⎪⎩

⎪⎨⎧

∉

∈

1,1- x si 0

1,1- x si 0,5

Halla la esperanza, varianza y desviación típica. Solución: μ = 0, σ2 = 0,333, σ = 0,577 4.- Halla la media, varianza y desviación típica de la variable aleatoria X cuya función de densidad es:

f(x) =

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

>

≤≤

10 xsi 0

10x5 si 5

5-x 5< xsi 0

Solución: μ =6

125 ; σ2 = 2,083; σ = 1, 44.

5.3.- DISTRIBUCIÓN NORMAL

1.- Función de densidad.

Una variable aleatoria continua X es una variable normal con parámetros μ y σ, si su función de

densidad f: → es f(x) =

2

2μ-x

21-

e2πσ

1 ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

En tal caso decimos que dicho experimento sigue el modelo de la distribución normal y se designa por N(μ , σ). La esperanza y desviación típica coinciden con μ y σ respectivamente.

2.- Características de la función de densidad

• El dominio es D(f) =

• El recorrido es ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

2πσ10,

• Es simétrica respecto de la recta x = μ • Es estrictamente creciente en (-∞,μ) y

estrictamente decreciente en (μ, ∞).

• Alcanza un máximo en ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

2πσ1μ,

• Presenta una asíntota horizontal a izquierda y derecha que es el eje de abscisas.

Gráficamente la representación adopta la forma conocida como campana de Gauss tal como vemos en la figura. 3.- Función de distribución.

Sea una variable aleatoria continua X que se ajusta a una distribución normal N(μ ,σ), la función de distribución es una función F :

→ cuya expresión es:

F(x) = ∫ ∞−

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛x -t21-

dte21

2

σμ

πσ

F(x) representa el área encerrada bajo la gráfica de la función de distribución desde -∞ hasta x.

El área encerrada entre la curva, el eje de abscisas y las ordenadas de los puntos a y b es la probabilidad de obtener un valor x comprendido entre a y b.

P(a < X < b) = ∫⎟⎠⎞

⎜⎝⎛b

a

σμ-x

21-

dxe2πσ

12

4.- Tabla de la distribución normal

F(x) = P(X ≤ x) = ∫ ∞−

x t21-

dte21 2

0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.0 0.5000 0.5040 0.5080 0.5120 0.5160 0.5199 0.5239 52079 0.5319 0.53590.1 0.5398 0.5438 0.5478 0.5517 0.5557 0.5596 0.5636 0.5675 0.5714 0.57530.2 0.5793 0.5832 0.5871 0.5910 0.5948 0.5987 0.6026 0.6064 0.6103 0.61410.3 0.6179 0.6217 0.6255 0.6293 0.6331 0.6368 0.6406 0.6443 0.6480 0.65170.4 0.6554 0.6591 0.6628 0.6664 0.6700 0.6736 0.6772 0.6808 0.6844 0.6879 0.5 0.6915 0.6950 0.6985 0.7019 0.7054 0.7088 0.7123 0.7157 0.7190 0.72240.6 0.7257 0.7291 0.7324 0.7357 0.7389 0.7422 0.7454 0.7486 0.7517 0.75490.7 0.7580 0.7611 0.7642 0.7673 0.7704 0.7734 0.7764 0.7794 0.7823 0.78520.8 0.7881 0.7910 7939 0.7967 0.7995 0.8023 0.8051 0.8078 0.8106 0.81330.9 0.8159 0.8186 0.8212 0.8238 0.8264 0.8289 0.8315 0.8340 0.8365 0.8389 1.0 0.8413 0.8438 0.8461 0.8485 0.8508 0.8531 0.8554 0.8577 0.8599 0.8621 1.1 0.8643 0.8665 0.8686 0.8708 0.8729 0.8749 0.8770 0.8790 0.8810 0.88301.2 0.8849 0.8869 0.8888 0.8907 0.8925 0.8944 0.8962 0.8980 0.8997 0.90151.3 0.9032 0.9049 0.9066 0.9082 0.9099 0.9115 0.9131 0.9147 0.9162 0.91771.4 0.9192 0.9207 0.9222 0.9236 0.9251 0.9265 0.9279 0.9292 0.9306 0.93191.5 0.9332 0.9345 0.9357 0.9370 0.9382 0.9394 0.9406 0.9418 0.9429 0.94411,6 0.9452 0.9463 0.9474 0.9484 0.9495 0.9505 0.9515 0.9525 0.9535 0.95451.7 0.9554 0.9564 0.9573 0.9582 0.9591 0.9599 0.9608 0.9616 0.9625 0.96331.8 0.9641 0.9649 0.9656 0.9664 0.9671 0.9678 0.9686 0.9693 0.9699 0.97061.9 0.9713 0.9719 0.9726 0.9132 0.9738 0.9744 0.9750 0.9756 0.9761 0.9767 2.0 0.9772 0.9778 0.9783 0.9788 0.9793 0.9798 0.9803 0.9808 0.9812 0.9817 2.1 0.9821 0.9826 0.9830 0.9834 0.9838 0.9842 0.9846 0.9850 0.9854 0.98572.2 0.9861 0.9804 0.9868 0.9811 0.9875 0.9878 0.9981 0.9884 0.9887 0.98902.3 0.9893 0.9896 0.9898 0.9901 0.9904 0.9906 0.9909 0.9911 0.9913 0.99162.4 0.9918 0.9920 0.9922 0.9925 0.9927 0.9929 0.9931 0.9932 0.9934 0.99362.5 0.9938 0.9940 0.9941 0.9943 0.9945 0.9946 0.9948 0.9949 0.9951 0.99522.6 0.9953 0.9955 0.9956 0.9957 0.9959 0.9960 0.9961 0.9962 0.9963 0.99642.7 0.9965 0.9966 0.9967 0.9968 0.9969 0.9970 0.9971 0.9972 0.9973 0.99742.8 0.9974 0.9975 0.9976 0.9977 0.9977 0.9978 0.9979 0.9979 0.9980 0.99812.9 0.9981 0.9982 0.9982 0.9983 0.9984 0.9984 0.9985 0.9985 0.9986 0.9986 3.0 0.9987 0.9987 0.9987 0.8988 0.9988 0.9989 0.9989 0.9989 0.9990 0.9990 3.1 0.9990 0.9991 0.9991 0.9991 0.9992 0.9992 0.9992 0.9992 0.9993 0.99933.2 0.9993 0.9993 0.9994 0.9994 0.9994 0.9994 0.9994 0.9995 0.9995 0.99953.3 0.9995 0.9995 0.9995 0.9996 0.9996 0.9996 0.9996 0.9996 0.9996 0.99973.4 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.99983.5 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 3.6 0.9998 0.9998 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 3.7 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.99993.8 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.99993.9 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000

5.- Distribución normal estándar

Cualquier distribución normal N(μ ,σ) puede asociarse a otra llamada distribución normal estándar que se designa con N(0,1). Utilizamos dicha distribución porque sus valores están tabulados tal como se ve en la tabla anterior.

6.- Tipificación de la variable

Las variables normales no suelen tener media 0 y desviación típica 1, por lo tanto tipificamos la variable y se pasa de la variable X a otra variable Z perteneciente a un distribución N(μ ,σ) trasladando la media, es decir hacer la media cero y la desviación típica 1, mediante el cambio de variable:

Z =σμ - X

A continuación el resultado se halla utilizando las tablas como dijimos en el apartado anterior.

EJEMPLOS 1.- Halla la probabilidad P(Z≤1,13) Resolución: Se halla directamente en las tablas buscando la unidad y primer decimal en la primera columna y el 2º decimal en la primera fila, siendo el número buscado el que está en la celda donde ambos se encuentran. P(Z ≤ 1,13) = 0,8708 2.- Halla la probabilidad P(Z≥1,64) Resolución: No se halla directamente en las tablas. Pero como la suma del área bajo la curva será 1 la hallamos buscando el valor de P(Z≤1,64) y restándolo de la unidad P(Z≥1,64) = 1- P(Z≤1,64) =

= 1 – 0,9495 = 0,0505 3.- Halla la probabilidad P(Z ≤ -0,92) Resolución: Como la función F(x) es simétrica respecto a la recta x=0 el área pedida será igual a la de P(Z≥0,92) y estamos en el caso anterior: P(Z≤-0,92) = P(Z≥0,92) = 1-P(Z≤0,92) = = 1 - 0,8212 = 0,1788 4.- Halla la probabilidad P(0,25 ≤ Z ≤ 0,83)

Resolución: Observando la figura se ve que la diferencia de las áreas comprendidas hasta 0,83, P(Z ≤ 0,83), y hasta 0,25, P(Z≤0,25). Se halla buscando ambos valores en las tablas y restándolos. P(0,25≤Z≤ 0,83) =P(Z≤0,83)-P(Z≥0,25)= = 0,7967 - 0,5987 = 0,198 5.- Halla la probabilidad P(-0,79≤Z≤-0,16) Resolución: No se halla directamente en las tablas. Pero como la función F(x) es simétrica respecto a la recta x=0 el área pedida será igual a P(0,16≤Z≤0,79), estamos en el caso anterior: P(-0,79≤Z≤-0,16) = P(0,16≤Z≤0,79) = = P(Z≥0,79)-P(Z≤0,16) = 0,7852-0,5636= = 0,2216 6.- Halla la probabilidad P(-1,54≤Z≤1,45) Resolución: No se halla directamente en las tablas. El área pedida será igual a la diferencia entre las áreas P(Z≤1,45) y P(Z≤1,54). Para hallar la segunda como es negativa utilizamos el método del tercer caso. P(-1,54≤Z≤1,45)=P(Z≥1,45)-P(Z≤1,54) = = P(Z≥1,45)- [1- P(Z≤1,54)] = = 0,9265 – (1- 0,9382) = 0,8647 7.- Sea X una variable aleatoria que mide la estatura de 1000 individuos de una población y que se distribuye según una normal de media 1.74 y de desviación típica 0,1. Calcula, de acuerdo con la distribución anterior, el número de individuos cuya estatura esta comprendida entre 1.64 y 1.84. Resolución: El problema trata de averiguar la probabilidad P(1,64≤X≤1,84) en una distribución normal N(1,74; 0,1). Lo primero que vamos a hacer es tipificar la

variable aleatoria mediante el cambio Z =0,11,74 - X :

- Para X=1,64 ⇒ Z =0,1

1,74 - 1,64 =-1

- Para X=1,84 ⇒ Z =0,1

1,74 - 1,84 = 1

El problema se ha transformado en averiguar la probabilidad P(-1≤Z≤1). Hallémosla: P(-1≤Z≤1) = P(Z≤1) - P(Z≤1) = P(Z≤1) -[ 1- P(Z≤1)].

Se puede ver en la figura adjunta el recinto y tomando valores en la tabla de la normal obtenemos: P(-1≤Z≤1)= 2 P(Z≤1)-1 = 2.0,8413 -1 = 0,6826 Como la muestra es de 1000 individuos tendremos 0,6826 x1000 = 682,6 que tomamos como 683 individuos con estatura comprendida entre 1,64 y 1,84. 8.- Sea X la variable aleatoria que mide el peso en Kg de una población de 650 adolescentes. Se sabe que dicha variable sigue una distribución normal de media 65 y desviación típica 5. De acuerdo con esta distribución, ¿cuántos adolescentes superan los 72 kg de peso? Resolución: La variable aleatoria X sigue una distribución normal de parámetros μ=65, σ=5. Nos piden averiguar la probabilidad P(X≥72) en una distribución normal N(65,5). Lo primero que hacemos es tipificar la variable aleatoria mediante el

cambio Z =565 - X para poder utilizar la tabla del apéndice:

- Para X=72 ⇒ Z =5

65 - 72 =57 =1,4

El problema se ha transformado en averiguar la probabilidad: P(Z≥1,4) = 1 - P(Z≤1,4) Se puede ver en la figura adjunta el recinto y, tomando valores en la tabla de la normal, obtenemos: 1 - P(Z≤1,4) = 1-0,9192 = 0,0808 Como la muestra es de 650 individuos tendremos: 0,0808x650 = 52,52 que tomamos como 52 adolescentes superan los 72 kg de peso. EJERCICIOS PROPUESTOS 1.- Halla la probabilidad P(Z ≤ 1,33) Solución: 0,9082. 2.- Halla la probabilidad P(Z ≥ 1,44) Solución: 0,0749. 3.- Halla la probabilidad P(Z ≤ -0,72) Solución: 0,2358 4.- Halla la probabilidad P(0,50 ≤ Z ≤ 0,75) Solución:

5.- Halla la probabilidad P(-0,70 ≤ Z ≤ -0,26) Solución: 0,1554. 6.- Halla la probabilidad P(-1,34 ≤ Z ≤ 1,25) Solución: 0,8043. 7.- Si X es una variable aleatoria que sigue una distribución normal tal que P(X≤7) = 0,6915 y P(X≤4) = 0,1587, halla su media y desviación típica. Solución: μ = 6, σ = 2. 8.- Determina la probabilidad de que una variable aleatoria X, con una distribución N(3, σ) tome valores comprendidos entre 3-0,5σ y 3+1,5σ. Solución: 0,6247. 9.- Una empresa lleva a cabo una prueba para seleccionar nuevos empleados. Por la experiencia de pruebas anteriores, se sabe que las puntuaciones siguen una distribución normal de media 80 y desviación típica 25. ¿Qué porcentaje de candidatos obtendrá entre 75 y 100 puntos? Solución: P(75≤X≤100) = 0,3674, luego será el 36,74% 10.- Un profesor ha observado que las notas obtenidas por sus alumnos en un examen de Matemáticas siguen una distribución N(6,25). Si se presentaron al último examen 32 alumnos, ¿cuántos alumnos sacaron al menos un 7? Solución: 15 alumnos.

11.- En una cierta competición deportiva, los tiempos (en minutos) siguen una distribución N(10,2). Si participan 80 atletas, ¿cuántos tardarán 8 minutos o mas en terminar la carrera? Solución: 67 atletas.

12.- Las manzanas de una cosecha se distribuyen normalmente con una media 175 g y desviación típica de 25 g. Si se consideran de clase media las manzanas que pesan entre 165 y 185 g. ¿cuántas manzanas de clase media habrá en un lote de 5000? Solución: 1554 manzanas.

13.- La duración de cierto tipo de bombillas, expresada en horas sigue una distribución N(750,175). a) ¿Qué porcentaje de bombillas dura entre 400 y 575 horas? b) En un lote de 1000 bombillas ¿cuántas durarán menos de 300 horas? Solución: a) 13,54%, b) 5 bombillas.

14.- Un fabricante observa que la demanda diaria de un producto, expresada en unidades, sigue una distribución N(150, 25). Si tiene almacenadas 165 unidades del producto, ¿cuál es la probabilidad de que la demanda supere las existencias?. Solución: 0,2743.

15.- Un fabricante observa que la demanda diaria de un producto, expresada en unidades, sigue una distribución N(150, 25). Si desea que la probabilidad de quedarse algún día sin existencias sea como máximo 0,002, ¿cuántas unidades de su producto debe tener almacenadas? Solución: Al menos 222 unidades

16.- Se sabe que la altura de los jugadores de baloncesto se distribuyen normalmente con media 180 cm y desviación típica 50 cm. Calcula la probabilidad de que un jugador de baloncesto mida: a) Más de 190 cm. b) Menos de 189 cm. c) Entre 190 cm y 210 cm. Solución: a) 1-0,5793 = 0,4207; b) 0,5714; c) 0,7257-0,5793 = 0,1464.

5.4.- AJUSTE DE LA BINOMIAL A LA NORMAL Teorema de “De Moivre” Sea X una variable aleatoria que se distribuye según una binomial B(n, p) de parámetros n, p. Supongamos que se verifican las siguientes condiciones:

n.p ≥ 5; n.q ≥ 5 Entonces la variable aleatoria X se puede aproximar a una distribución normal, de media n.p y desviación típica q.p.n .

EJEMPLOS 1.- Supongamos que lanzamos 1000 veces una moneda y estamos interesados en calcular la probabilidad de obtener al menos 500 caras. Resolución: Si llamamos X a la variable aleatoria “número de caras obtenidas” tenemos que X se distribuye según una binomial de parámetros B(1000; 0,5). Ahora bien como n.p = 500 ≥ 5 y n.q = 500 ≥ 5, en virtud del teorema de “De Moivre” tenemos que la variable X se puede aproximar a una normal de media μ = n.p = 500 y desviación típica σ = 5,0.5,0.1000 =15,81. Por lo tanto:

P(al menos 500) = P(X ≥ 500) = ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −≥

−

2501000005

2501000XP = P(Z ≥ -15,81)

EJERCICIOS PROPUESTOS 1.- La probabilidad de que un arquero del equipo olímpico español falle un lanzamiento es del 20%. Si el arquero efectúa 60 lanzamientos, calcula la probabilidad de que falle como máximo 25. Solución:

P(X ≤ 25) = ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −≤

−

9,61225

9,612XP = P(Z ≤ 4,01) ≈ 1

2.- Una fabrica produce bombillas de las cuales son defectuosas el 2%. Si comprobamos el contenido de una caja con 2000 bombillas, a) ¿cuál es la probabilidad de que entre esas 2000 se encuentren como máximo 30 defectuosas? b) ¿y de encontrar exactamente 10 defectuosas? Solución:

a) P(X ≤ 30) = ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −≤

−

39,20430

39,204XP = P(Z ≤ -1,60) = 0,0548.

b) P(9,5 ≤ X ≤ 10,5) = ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −≤

−≤

−

39,2045,10

39,204X

39,2045,9P = P(-4,87≤ Z≤-4,7) = 0.

3.- En una determinada población el 2% de los adultos lee diariamente el periódico EL PAIS. Si elegimos aleatoriamente a 1200 personas, determina: a) La probabilidad de que al menos 300 lean EL PAIS b) La probabilidad de que entre 300 y 700 lean EL PAIS Solución:

5.4.- EJERCICIOS DEL TEMA 1.- Demuestra que la función:

f(x) = ⎪⎩

⎪⎨⎧

≥

<

0 xsi e2

0 xsi 0 2x-

verifica las condiciones para ser una función de densidad. 2.- Sea X una variable aleatoria cuya función de densidad es:

f(x) = ⎪⎩

⎪⎨⎧ <<

resto eln 0

10x0 si 101

e

calcula las probabilidades: a) P(X ≤ 3), b) P(1 ≤ X ≤ 5), c) P(X ≥ 2)

Solución: a) P(X ≤ 3) =103 , b) P(1 ≤ X ≤ 5) =

104 , c) P(X ≥ 2) =

108


f(x) = ⎪⎩

⎪⎨⎧ ≤≤

resto eln 0

15x0 si 151

e

calcula las probabilidades P(X ≤ 2), P(2 ≤ X ≤ 6), P(X ≥ 1)

Solución: P(X ≤ 2) =152 , P(2 ≤ X ≤ 6) =

154 , P(X ≥ 1) =

1514

4.- Considera la función:

f(x) = [ ]

[ ]⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

∉

∈

1,15 x si 0

1,15 x si 151

calcula la función de distribución. Solución: 5.- Considera la función:

F(x) =

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

≥

<<

≤

15 x si 1

15x0 si 15x

0 xsi 0

a) Halla la función de densidad f si X es una variable aleatoria cuya función de distribución es F y represéntala gráficamente. b) Calcula P(1,6 ≤ X ≤ 5,2).

Solución: a) f(x) =

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

≥

<<

≤

15 x si 0

15x0 si 151

0 xsi 0

, P(1,6 ≤ X ≤ 5,2) =

6.- El instante en que falla un marcapasos es una variable aleatoria T con función de distribución:

F(t) = ⎪⎩

⎪⎨⎧

≥

<

0 tsi e-1

0 tsi 0

t/2-

Calcula la probabilidad de que el marcapasos falle al cabo de 5 años. Solución: P = 8,2% 7.- El tiempo que espera un pasajero a un tren en una estación, expresado en minutos es:

F(t) =

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

≥+

<

0 tsi 2t

t

0 tsi 0

calcula la probabilidad de que un pasajero espere como máximo 10 minutos Solución: P = 83,33% 8.- Dada la función

f(x) = [ ][ ]⎩

⎨⎧

∉∈

3,5 xsi 03,5 xsikx

a) Halla el valor de k para que f sea la función de densidad de variable aleatoria continua X. b) Halla la media, varianza y desviación típica Solución: a) k = 0,125, b) μ = 4,083, σ2 = 0,326, σ = 0,571 9.- Considera la función

f(x) = [ ][ ]⎪⎩

⎪⎨⎧

∉

∈

ba, xsi 0

b a, xsi a-b

1

a) Comprueba que es una función de densidad para cualquier a, b ∈ℜ. b) Halla la media, varianza y desviación típica de la variable aleatoria correspondiente. c) Si a = 2 y b = 5, ¿cuál es su función de distribución?. d) Calcula P(X>6), P(X≤3,5) y P(3≤X≤4)

Solución: b) μ = 2

ba + a+b/2 , σ2 = ( )12

ab 2− , σ = 32ab −

d) P(X>6) = 0, P(X≤3,5) =0,5, P(3≤X≤4) = 1/3.

10.- Si X es una variable aleatoria continua con distribución N(5,2), calcula: a) P( X ≤ 2), b) P(-2,7≤ X ≤ 4), c) P( 6-X ≥ 1). Solución: a) 0,0666, b)0,3084, c)0,6587.

11- Si X es una variable aleatoria continua con distribución N(6, 4), calcula: a) P(X ≥ 12), b) P(5 ≤ X ≤ 8). Solución: a) 0,0668, b) 0,2902

12.- Una empresa lleva a cabo una prueba para seleccionar empleados. De anteriores convocatorias se sabe que las puntuaciones siguen una distribución N(80, 25). a) ¿Qué porcentaje obtiene una puntuación entre 75 y 100?. b) Si seleccionan a las personas que obtienen al menos 100 puntos y se presentan 1000 personas a las pruebas ¿cuántas contrata la empresa? Solución: a) 36,74%. b) 14.- La duración de los televisores de una marca sigue una distribución normal con media 16 años y desviación típica de2 años. a) ¿Qué porcentaje dura entre 10 y 14 años?. b) ¿y Qué porcentaje dura más de 20 años? Solución: a) 15,74%. b) 2,28 % 13.- La altura media de 1000 alumnas es 1,65 m y la desviación típica es 0,07. Suponiendo que estas alturas están distribuidas normalmente, calcula la probabilidad de que: a) Sus alturas son mayores que 193 cm. b) Sus alturas están comprendidas entre 165 y 172 cm. c) Sus alturas son menores que 172 cm. Solución: a) 0, b) 0,3413, c) 0,8413 14.- En un dado trucado, la probabilidad de sacar un 6 es doble que la de cualquiera de los restantes valores. Se lanza dicho dado 20 veces. ¿Cuál es la probabilidad de que salga 6 más de 15 veces?

Solución: P(X > 15) ≈ 0. 15.- En un concurso, los participantes responden a un cuestionario, Sabiendo qe las puntuaciones que obtienen siguen una distribución N(100, 25). a) ¿A qué porcentaje se le califica con una puntuación superior a 112?. b) ¿Qué porcentaje obtiene una puntuación entre 100 y 120?. c) Si pasa a la siguiente fase el 25% de participantes ¿qué puntuación mínima es necesaria para clasificarse? Solución: a) 31,56%. b) 28,82%, c)117 puntos. 16.- Los almendros de una plantación tiene una producción cada uno cuyo peso se distribuye normalmente con media 50 kg. Además, se sabe que la probabilidad de que un almendro produzca entre 50 y 60 kg. es de 0,3413. a) Calcula la probabilidad de que un almendro produzca entre 40 y 50 kg. b) Calcula la probabilidad de que un almendro produzca entre 45 y 55 kg. Solución: 17.- En un restaurante se sabe que la duración sin rotura de las copas en uso sigue una distribución normal. Se sabe que las copas duran, por término medio, 50 días con una desviación típica de 8 días. Se pide: a) Calcula la probabilidad de que una copa dure menos de 35 días. b) Calcula la probabilidad de que una copa dure más de 60 días. Solución: a) P(Z>1,875) = 0,0304, b) P(Z>1,25) = 1-0,8944 = 0,1056. 18.- El peso de las alumnas de 2º de bachillerato de un determinado centro sigue una distribución normal de media 44 Kg y de desviación típica 2 Kg a) Calcula la probabilidad de que una alumna pese más de 41 Kg. b) Calcula la proporción de alumnas que tendrán un peso comprendido entre 45 Kg y 48Kg. Solución: a) P(Z<1,5) = 0,9332, b) P(0,5 ≤ Z ≤2) = 0,2857 19.- Se sabe que la altura de los alumnos varones de una facultad sigue una ley normal de media 1,75 metros. Sabiendo que el 33% de los alumnos mide más de 1,80 metros, a) Calcula la varianza de la distribución de tales alturas. b) Calcula el porcentaje de alumnos que miden menos de 1,60 metros. Solución: σ2 = 0,013, P(Z>1,36) = 0,0869. 20.- La cantidad de litros de lluvia que cae en una localidad durante el otoño, es una variable aleatoria que sigue una distribución normal de media μ = 100 l y varianza σ2 = 25 l2. Halla la probabilidad de que la cantidad de litros de lluvia esté en el intervalo (μ-2σ, μ+2σ). Solución:

21.- Por estudios realizados sobre una población de recién nacidos se ha determinado que la talla se distribuye según una ley normal de media 52 cm y desviación típica 2 cm. a) Halla la probabilidad de que un recién nacido tenga una talla superior a 56 cm. b) Halla la probabilidad de que la talla de un recién nacido esté comprendida entre 50 y 53 cm. Solución: 22.- Una empresa fabrica relojes de los cuales son defectuosos el 2%. Si se seleccionan aleatoriamente 400 relojes. a) Determina la probabilidad de encontrar 50 defectuosos. b) Determina la probabilidad de encontrar entre 100 y 150 defectuosos. c) ¿Cuántos cabe esperar que sean defectuosos? Solución: a) P(49,5 ≤Z≤50,5) = 1-1= 0. 23.- Una compañía aérea encarga un estudio sobre la satisfacción de su clientela con el servicio ofrecido. Se concluye que el 75% está satisfecho con dichos servicios. Si se seleccionan aleatoriamente 1500 clientes. a) Determina la probabilidad de que a lo sumo 500 estén satisfechos. b) Determina la probabilidad de que al menos la mitad estén satisfechos. Solución:

INFERENCIA Y MUESTREO 99

CAPÍTULO 6:

MUESTREO

6.1.- MUESTRA.

Población es el conjunto formado por todos los elementos cuyo conocimiento nos interesas, es decir que tienen una determinada característica estadísticamente significativa.

Individuo es cada uno de los elementos de la población.

Muestra es el subconjunto limitado extraído de una población con objeto de reducir el campo de experiencia y el propósito de obtener resultados válidos para el total de la población. Para que sea válida: • Su tamaño ha de ser proporcional al tamaño de la población. • No hay distorsión en la elección de elementos de la muestra. • Sea representativa. Tamaño de la muestra es el número de elementos de la muestra. Muestreo es el proceso mediante el cual se extrae una muestra de la población.

EJEMPLOS 1.- Deseamos conocer la estatura de todos los soldados que forman el ejército. Enuncia la población, los individuos y la muestra. Resolución: La población está formada por todos los soldados. Los individuos son cada uno de los soldados La muestra es el subconjunto de dichos los soldados tallados. 2.- En una fabrica de bombillas se efectúa un control de calidad sobre 100 unidades para averigua cuántas son defectuosas. Enuncia la población, los individuos y la muestra. Resolución: La población está formada por las bombillas fabricadas. Los individuos son cada una de bombillas fabricadas. La muestra son las100 bombillas examinadas. 3.- Enuncia si consideramos población o muestra de un experimento estadístico y, si es una muestra, di si es representativa o no: a) Control de calidad de una máquina mediante el estudio de 100 vasos. b) Control de calidad de una máquina mediante estudio de los 10.000 vasos fabricados por ésta. Resolución: a) Es una muestra. Sí es representativa ya que es un 1% de lo fabricado tal como se enuncia en b) y además no hay distorsión en la elección de la muestra. b) Es la población total de vasos fabricados.


4.- Enuncia si consideramos población o muestra de un experimento estadístico y, si es una muestra, di si es representativa o no: a) Opinión sobre un barman de los clientes atendidos en un día. b) Opinión sobre un bar de los clientes atendidos en un hora determinada del día. Resolución: a) Es la población total atendida por el camarero. b) Es una muestra. No es representativa ya que es un porcentaje de los clientes atendidos pero hay distorsión en la elección de la muestra, ya que no sabemos si la hora elegida es representativa del total.


1.- Enuncia la población, los individuos y la muestra del experimento estadístico consistente en hallar el peso de todos los alumnos de un instituto si se pesan solamente a los delegados y subdelegados. Solución: 2.- Enuncia la población, los individuos y la muestra del experimento estadístico consistente en hallar la anchura de los tornillos de una caja si sólo se miden 10 tornillos. Solución: 3.- Enuncia la población, los individuos y la muestra del experimento estadístico consistente en hallar el peso de los alumnos de un instituto si pesamos solamente a los alumnos varones que tengan la mayor y menor altura de cada clase. ¿Es la muestra extraída representativa? Explica por qué. Solución: 4.- Enuncia si consideramos población o muestra de un experimento estadístico y si la muestra es representativa: a) Control de calidad de una máquina de tornillos mediante el estudio de 100 tornillos. b) Opinión sobre una dependienta de los clientes atendidos en un día. c) Opinión sobre unos grandes almacenes de los clientes que salen por una puerta en un día. Solución: 5.- Enuncia si consideramos población o muestra de un experimento estadístico y si la muestra es representativa: a) Resultado de unas elecciones mediante una encuesta realizada por un instituto de opinión.. b) Resultado de unas elecciones escrutando las papeletas. c) Resultado de unas elecciones escrutando las primeras 100 papeletas de cada mesa. Solución:

6.- Enuncia si consideramos población o muestra de un experimento estadístico y si la muestra es representativa: a) La elección de los delegados y subdelegados de una clase. b) Alumnos que salen voluntariamente a la pizarra en una clase de Matemáticas.

c) El estudio de las familias de una ciudad mediante una familia representativa de dicha ciudad. Solución:

7.- Explica por qué recurrimos a una muestra en cada uno de los casos. a) Obtener la resistencia a la rotura de una partida de vasos de vidrio. b) Estudio del tiempo de reacción de ciertas sustancias. c) Estudio de cómo siguen los alumnos las explicaciones de su profesor. Solución:


6.2.- MUESTREO ALEATORIO SIMPLE.

1.- Muestreo aleatorio

Muestreo aleatorio es aquel en que todos y cada uno de los elementos de la población tiene la misma probabilidad de ser elegido.

2.- Muestreo aleatorio simple

Muestreo aleatorio simple consiste en la enumeración de todos los N elementos de una población y la extracción de n de ellos sin reemplazamiento.

La probabilidad de cada muestra es:

P =

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛nN1 =

Nn

Para obtener todos los elementos se utilizan tablas de números aleatorios o bien la calculadora (tecla RAND#)

3.- Muestreo aleatorio sistemático

Muestreo aleatorio sistemático consiste en la obtención de los elementos de un muestreo aleatorio simple mediante saltos. Para ello obtenemos el coeficiente de elevación

h = nN

y a continuación un número elegido al azar llamado origen i, 1≤ i ≤ h. La muestra está formada por los elementos de numeración

i, i+h, i+2h,..., i+(n-1)h

EJEMPLOS 1.- Describe la obtención de una muestra aleatoria, sin reemplazamiento, de tamaño 5 de una clase de 25 estudiantes. (Supónganse los estudiantes numerados del 1 al 25). Resolución: Se toma una urna con 25 bolas numeradas del 1 al 25 y se extraen 5 bolas de la urna (sin devolver la urna una vez extraída). A continuación se efectúa la correspondencia entre los números extraídos y los alumnos ya numerados. 2.- Describe la obtención de una muestra aleatoria, sin reemplazamiento, de tamaño 5 de una clase de 25 estudiantes mediante la calculadora. (Supónganse los estudiantes numerados del 1 al 25). Resolución: Se pulsa la tecla RAND# y al valor obtenido se le multiplica por el valor de la población (25), se le toma l parte entera y se suma 1. Por ejemplo si obtenemos 0,316 se multiplica por 25 obteniendo 7,9, se toma la parte entera 7 y se le suma 1 obteniendo finalmente 8.


A continuación se repite la operación descrita con anterioridad otras 4 veces y obtenemos los números buscados. 2.- Describe la obtención de una muestra aleatoria, sin reemplazamiento, de tamaño 5 de una clase de 25 estudiantes mediante la calculadora. (Supónganse los estudiantes numerados del 1 al 25). Resolución: En primer lugar calculamos el coeficiente de elevación, que será el cociente entre los elementos de la muestra y de la población:

h = nN =

525 = 5

A continuación obtenemos el número aleatorio origen i. Para ello se pulsa la tecla RAND# y al valor obtenido, por ejemplo 0,19 se le multiplica por 5, obteniendo 0,95, se toma la parte entera, 0, y se le suma 1 obteniendo finalmente 1. Comprobamos que efectivamente 1≤ i ≤ h, ya que 1≤ i ≤ 5, por lo tanto es un buen origen el hallado. Finalmente hallamos los valores de los números correspondientes al muestreo aleatorio sistemático que son: 1, 1+5 = 6, 1+2.5 = 11, 1+3.5 = 16, 1+5.4 = 21 es decir: 1, 6, 11, 16, 21


1.- Elige una muestra de 5 alumnos un total de 200 alumnos de 2º de Bachillerato, suponiendo que están numerados del 1 al 200, mediante muestreo aleatorio simple. Solución: 2.- Elige una muestra de 5 alumnos un total de 200 alumnos de 2º de Bachillerato, suponiendo que están numerados del 1 al 200, mediante muestreo aleatorio simple, utilizando la calculadora. Solución: 3.- Elige una muestra de 5 alumnos un total de 200 alumnos de 2º de Bachillerato, suponiendo que están numerados del 1 al 200, mediante muestreo aleatorio sistemático. Solución: 4.- Elige una muestra de 5 alumnos un total de 800 alumnos de un Instituto, suponiendo que están numerados del 1 al 800, mediante muestreo aleatorio simple, utilizando la calculadora. Solución: 5.- Elige una muestra de 5 alumnos un total de 800 alumnos de un Instituto, suponiendo que están numerados del 1 al 800, mediante muestreo aleatorio sistemático. Solución: 6.- Elige una muestra de 5 electores del total del censo electoral de Ceuta, que es de 56.000 electores, mediante muestreo aleatorio simple, utilizando el ordenador ya que se necesita más de tres dígitos decimales. Solución:


6.3.- MUESTREO ALEATORIO ESTRATIFICADO.

1.- Definición

Muestreo aleatorio estratificado es aquel que consiste en dividir la población en estratos o subgrupos homogéneos y seleccionar en cada estrato muestras aleatorias simples o sistemáticas.

2.- Constante

Si todas las muestras de cada estrato tiene el mismo tamaño (afijación igual) tenemos un muestreo aleatorio estratificado constante. Si se divide la población N en L subpoblaciones (estratos) y la muestra es de tamaño n obtenemos:

n1 = n2 = ... = nL = Ln

3.- Proporcional

Si todas las muestras de cada estrato tienen un tamaño proporcional ni al número de elementos Ni de éste (afijación proporcional) tenemos un muestreo aleatorio estratificado proporcional. Tomamos en cada estrato una muestra proporcional a su tamaño. Si se divide la población N en L subpoblaciones (estratos) y la muestra es de tamaño n obtenemos:

1

1

Nn =

2

2

Nn = ... =

L

L

Nn =

Ln

EJEMPLOS 1.- Se aplica a una población de 100 individuos un muestreo aleatorio estratificado tomando una muestra de 12 elementos. Si los estratos los forman 10, 20, 30 y 40 individuos, ¿cuántos se toman en cada estrato con una afijación igual?, ¿y si la afijación es proporcional? Resolución: • Si se toman en cada estrato una afijación igual tenemos un muestreo

aleatorio estratificado constante. Tomamos en cada estrato una muestra ni con el mismo número de elementos que las demás. Si hemos dividido la población N en L subpoblaciones y la muestra es de tamaño n obtenemos:

n1 = n2 = ... = nL = Ln

con los datos del problema en cada estrato tenemos:

n1 = n2 = n3 = n4 = 4

12 = 3 individuos

• Si se toman en cada estrato una afijación proporcional tenemos un

muestreo aleatorio estratificado proporcional. Tomamos en cada estrato una muestra ni proporcional a su tamaño Ni. Si hemos dividido la población N en L subpoblaciones y la muestra es de tamaño n obtenemos:

1

1

Nn =

2

2

Nn = ... =

L

L

Nn =

Ln

con los datos del problema en cada estrato tenemos:

10n1 =

20n2 =

30n3 =

40n4 =

10012


obteniendo:

n1 = 10012 .10 = 1,2 ≈ 1 individuos

n2 = 10012 .20 = 2,4 ≈ 2 individuos

n3 = 10012 .30 = 3,6 ≈ 4 individuos

n4 = 10012 .40 = 4,8 ≈ 5 individuos

2.- En una cierta población habitan 1500 niños y jóvenes, 7500 adultos y 1000 ancianos. Para realizar un determinado estudio, van a ser encuestados 200 individuos. Razónese cómo ha de estar constituida la muestra. Resolución: Como son tres estratos de tamaño diferente debemos tomar un muestreo aleatorio estratificado proporcional. Tomamos en cada estrato una muestra ni proporcional a su tamaño Ni. La población tiene N = 1500+7500+1000 = 10000 individuos. Dividimos dicha población en L = 3 subpoblaciones y como la muestra es de tamaño 200 obtenemos:

1500n1 =

7500n2 =

1000n3 =

10000200

siendo:

n1 = 10000

200 .1500 = 30 individuos

n2 = 10000

200 .7500 = 150 individuos

n3 = 10000

200 .1000 = 20 individuos

3.- En el curso 1997/98 los alumnos de un Instituto de Educación Secundaria se han distribuido de acuerdo con la siguiente tabla:

ESO ESO ESO ESO BTO. BTO. Hombres 45 51 23 22 47 40 Mujeres 43 50 39 33 51 66

Se desea elegir una muestra , por el método estratificado, por sexo y nivel de 50 alumnos para pasarles una encuesta, ¿cómo se haría? Resolución: Como la muestra se desea hacer por el método estratificado considerando el sexo y nivel de los alumnos, nos interesa separarlos por dichos conceptos. Nos queda la tabla:

ESO BTO. Hombres 141 87 Mujeres 165 117


Como son estratos de tamaño diferente tomamos un muestreo aleatorio estratificado proporcional, siendo la muestra ni proporcional a su tamaño N; con los datos del problema, en cada estrato tenemos:

141n1 =

87n2 =

165n3 =

117n4 =

51050

obteniendo:

n1 = 51050 .141 = 13,82 ≈ 14 alumnos

n2 = 51050 .87 = 8,53 ≈ 9 alumnos

n3 = 51050 .165 = 16,18 ≈ 16 alumnos

n4 = 51050 .117 = 11,47 ≈ 11 alumnos


1.- En el curso 1997/98 los alumnos de 1º de bachillerato de una localidad se distribuyen en tres institutos con 78, 48 y 120 alumnos. Si queremos elegir una muestra de 12 alumnos. a) ¿Cuántos se toman en cada estrato con afijación igual? b) ¿Y si la afijación es proporcional? Solución: a) 4 alumnos en cada instituto, b) 4, 2 y 6 alumnos respectivamente. 2.- Los alumnos de un instituto se distribuyen en cuatro cursos con 200, 140, 160 y 100 alumnos. Si queremos elegir una muestra de 20 alumnos. a) ¿Cuántos se toman en cada estrato con una afijación igual? b) ¿Y si la afijación es proporcional? Solución: a) 5; b) n1 = 7, n2 = 5, n3 = 5, n4 = 3. 3.- En un país las declaraciones fiscales correctas son del 60%, 40% y 80% , según se trate de industriales, profesionales o asalariados. Se sabe que el total de declaraciones el 10% son de industriales, el 20% de profesionales y el resto de asalariados. Si se realizan 1500 inspecciones: a) ¿Cuántos industriales, profesionales o asalariados han de ser inspeccionados si se desea que la inspección sea proporcional a la probabilidad de declaración incorrecta? b) ¿Cuántos industriales, profesionales o asalariados han de ser inspeccionados si se desea que la inspección sea proporcional al número de declaraciones en cada categoría? Solución: a)159 i, 300 p, 1050 a; b) 200 i, 600 p, 750 a. 4.- En una biblioteca se tienen 1700 libros de Filosofía, 1200 de Sociología, 800 de Matemáticas, 14400 de Literatura y 2900 de Historia. Si se desea obtener una muestra de 150 libros. a) ¿Cuántos se toman en cada estrato con una afijación igual? b) ¿Y si la afijación es proporcional? Solución: a) 70, b) n1 = 12, n2 = 8, n3 = 6, n4 = 103, n5 = 21.

5.- Los habitantes de una ciudad se distribuyen según sexo y categoría de fumador/no fumador de acuerdo con la siguiente tabla.

Fumador No fumador

Hombres 300 700

Mujeres 400 800

Se desea elegir una muestra, por el método estratificado, por sexo y categoría de fumador de 22 individuos para pasarles una encuesta, ¿cómo se haría? Solución: 3 hombre fumadores, 7 no fumadores, 4 mujeres fumadoras, 8 no fumadoras.


6.4.- DISTRIBUCIÓN MUESTRAL DE MEDIAS.

1.- Definición

Dada una población de media μ y desviación típica σ, el conjunto formado por todas las muestras de tamaño n se denomina distribución muestral de medias de tamaño n. Si la población es infinita los parámetros de la nueva distribución sean las extracciones con o sin reemplazamiento, son:

xμ = μ

xσ = nσ

2.- Teorema central del límite Si una muestra aleatoria simple de tamaño n procede de una población normal infinita o finita con reemplazamiento N(μ, σ) descrita por la variable aleatoria X, entonces la media muestral X

sigue una ley N ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

nσ μ, .

En caso de que la muestra sea superior a 30 la distribución de medias muestrales sigue una ley normal aunque no lo sea la distribución de partida.

EJEMPLOS 1.- Si se tira 100 veces un dado, ¿cuántas veces cabe esperar que la puntuación media esté entre 4 y 5? Resolución: Al tirar un dado la puntuación obtenida sigue una distribución:

xi 1 2 3 4 5 6

pi 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 siendo su media:

μ = ∑=

n

1iiipx = 3,5

y su desviación típica:

σ2 = μ - p x 2i

2i

n

1=i∑ = 2,92 ⇒ σ = 92,2 = 1,71

Para determinar la distribución de la media muestral utilizamos el teorema central del límite según el cual, dada una población, la distribución de las

medias muestrales sigue una ley N ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

n σ , x . En nuestro caso es

N ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

100 1,71 ; 3,5 = N(3,5; 0,17)


El problema trata de averiguar la probabilidad P(4≤X≤5) en una distribución normal N(3,5; 0,17). Lo primero que vamos a hacer es tipificar la variable

aleatoria mediante el cambio Z =170,

5,3 - X :

- Para X = 4 ⇒ Z = 170,

5,3 - 4 = 2,94

Para X = 5 ⇒ Z = 170,

5,3 - 5 = 8,82

El problema se ha transformado en averiguar la probabilidad P(2,94 ≤ Z ≤ 8,82). Hallémosla: P(Z ≤ 8,82) - P(Z ≤ 2,94) = 1-0,9984 = 0,0016 Como hay 100 muestras tendremos 0,0016 x100 = 0,16 que tomamos como 0 muestras con media comprendida entre 4 y 5. 2.- Las estaturas de 1200 alumnos de un centro de enseñanza superior se distribuyen normalmente con media 1,72 m y la desviación típica 0,9 m. Si se seleccionan 100 muestras de 36 estudiantes cada una. a) ¿Es aplicable el teorema central del límite? b) Calcula la media y desviación típica esperada en la distribución muestral de muestras. c) ¿En cuántas muestras cabría esperar una media comprendidas entre 1,68 y 1,73 m.? Resolución: a) Sí es aplicable el teorema central del límite ya que la población de partida es normal y además el número de elementos de la muestra, n, es mayor que 30. b) Aplicando el teorema central del límite la distribución muestral de muestras

sigue una ley normal N ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

nσ μ, , por lo tanto:

La media es:

xμ = μ = 1,72 La desviación típica es:

xσ = 369,0 = 0,15

c) La probabilidad de que la media muestral esté comprendidas entre 1,68 y 1,73 m. es P(1,68 ≤ X ≤ 1,73) en una distribución normal N(1,72; 0,15). Tipificando mediante el cambio:

Z =50,1

21,7 - X

obtenemos:

- Para X = 1,68 ⇒Z = 50,1

21,7 - 68,1 = -0,27

- Para X = 1,73 ⇒Z = 50,1

21,7 - 73,1 = 0,06


El problema se ha transformado en averiguar la probabilidad P(-0,27 ≤ Z ≤ 0,06). Hallémosla: P(-0,27 ≤ Z ≤ 0,06) = P(Z≤0,06) - P(Z ≤ -0,27) = P(Z ≤ 0,06) -[ 1- P(Z≤0,27)]. Se puede ver en la figura adjunta el recinto y tomando valores en la tabla del apéndice obtenemos: P(-0,27 ≤ Z ≤ 0,06) = = 0,5239 -[1-0,6064] = 0,1304 Como hay 100 muestras tendremos: 0,1304 x100 = 13,04 que tomamos como 13 muestras con media comprendida entre 1,68 y 1,73.

3.- Una población está formada por sólo 5 elementos, con valores 3, 5, 7, 9 y 11. Consideramos todas las muestras posibles de tamaño 2, con reemplazamiento, que pueden extraerse de esta población. Determínese: a) La media de la población. b) La desviación típica de la población. c) La media y la desviación típica de la distribución muestral de muestras. Resolución: a) La media de la población {3, 5, 7, 9, 11) es:

μ = 5

119753 ++++ = 7

b) La desviación típica es:

σ = 5

)711()79()77()75()73( 22222 −+−+−+−+− = 8

c) La media y la desviación típica de la distribución muestral de muestras se hallan mediante la siguiente tabla auxiliar: 3 5 7 9 11

ix 3 4 5 6 7 3

2ix 9 16 25 36 49

ix 4 5 6 7 8 5

2ix 16 25 36 49 64

ix 5 6 7 8 9 7

2ix 25 36 49 64 81

ix 6 7 8 9 10 9

2ix 36 49 64 81 100

ix 7 8 9 10 11 11

2ix 49 64 81 100 121

• La media aritmética de todas las medias muestrales, xμ , es


xμ = 25

175 = 7

• La desviación típica de todas las medias muestrales, xσ , es

xσ = 2725

1325− = 4 = 2

• La relación que hay entre ambas medias y desviaciones típicas es:

μ = xμ

xσ = 2

σ

4.- Una población se compone de 3 adultos de edades 34, 35 y 39 años. Consideramos todas las posibles muestras, con reemplazamiento, de tamaño 2 que pueden formarse. Determínese: a) La media y la desviación típica de la población. b) La media y la desviación típica de la distribución muestral de muestras. c) ¿Qué relación hay entre los resultados obtenidos en a) y b) Resolución: a) La media y desviación típica de la población {34, 35, 39} es:

μ = 3

393534 ++ = 36

σ = 3

)3639()3635()3634( 222 −+−+− = 3

14

b) Las posibles muestras con reemplazamiento de tamaño 2, así como sus medias muestrales viene dadas en la siguiente tabla:.

Muestra 34, 34 34, 35 34, 39 35, 34 35, 35 35, 39 39, 34 39, 35 39, 39

ix 34 34,5 36,5 34,5 35 37 36,5 37 39 2ix 1156 1190,25 1332,25 1190,25 1225 1369 1332,25 1369 1521

Tomamos las medias obtenidas como valores de una variable estadística y calculamos su media y desviación típica. La media aritmética de todas las medias muestrales, xμ , es

xμ = 9

324 = 36

La desviación típica de todas las medias muestrales, xσ , es

xσ = 2369

11685− =

37

c) La relación que hay entre ambas medias y desviaciones típicas es:

μ = xμ , xσ =2

σ


5.- En un centro de enseñanza la estatura media de los estudiantes es 168,5 cm. y la varianza es 47,61 cm2. Si se selecciona una muestras de 100 individuos. a) Calcula la probabilidad de que la media muestral esté por debajo de 168 cm. b) Calcula la probabilidad de que la media muestral esté por encima de 170 cm. c) Calcula la probabilidad de que la media muestral esté comprendida entre 168 y 169 cm. d) Si aumentásemos el tamaño de la muestra, ¿qué sucedería con las probabilidades calculadas en los apartados anteriores?, ¿aumentarían o disminuirían?. Razona la respuesta. Resolución: Si la varianza es 47,61 cm2, la desviación típica es σ = 6,9 cm, luego siguen una ley de media μ=168,5 y σ = 6,9. Como n>30 podemos aplicar el teorema central del límite, con lo cual la distribución muestral de muestras sigue una ley

normal N ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

nσ ,μ = N ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

1006,9 68,5,1 = N(168,5; 0,69)

a) La probabilidad de que la media muestral esté por debajo de 168 cm es

P(X≤168). Tipificando la variable con el cambio Z =0,69168,5 - X obtenemos, Z =

690,5,681 - 168 = -0,72

P(X≤168) = P(Z≤-0,72) = 1-P(0,72) = 1-0,7642 = 0,2358 b) La probabilidad de que la media muestral esté por encima de 170 cm es

P(X≥170). Tipificando la variable obtenemos Z = 690,

5,681 - 170 = 2,17

P(X≥170) = P(Z≥2,17) = 0,9850 c) La probabilidad de que la media muestral esté comprendida entre 168 y 169 cm es P(168≤X≤169). Tipificando el problema se ha transformado en averiguar la probabilidad: P(−0,72≤ Z ≤ 2,17) = P(Z≤2,17) - P(Z ≤-0,72) = P(Z≤2,17) - [1- P(Z ≤-0,72)] = = 0,9850 -[1-0,2358] = 0,2208 Como hay 100 muestras tendremos: 0,1304 x100 = 13,04 que tomamos como 13 muestras con media comprendida entre 1,68 y 1,73. d) Si aumentásemos el tamaño de la muestra, la desviación típica de la

distribución disminuiría y por lo tanto al tipificar con el cambio Z = σ168,5 - X

aumentarían los valores tipificados y las probabilidades calculadas en los apartados anteriores aumentarían.



1.- Estamos verificando una máquina dispensadora de combustible, comprobando la cantidad, X, de líquido que suministra cuando solicitamos que nos dé 1 litro. De nuestra experiencia deducimos que X es una variable aleatoria cuya media es 990 mililitros y cuya desviación típica es 60 mililitros. Si hacemos 36 extracciones de 1 litro, ¿cuál es la probabilidad de que la cantidad media de combustible sea menor que 1 litro? Solución: P(X ≤ 1000) = P(Z ≤ 1) = 0, 8413 2.- Se ha tomado una muestra de los precios de un mismo producto alimenticio en 16 comercios, elegidos al azar en un barrio de la ciudad, y se han encontrado los siguientes precios: 95, 108, 97, 112, 99, 106, 105, 100, 99, 98, 104, 110, 107, 111, 103, 110. Suponiendo que los precios de este producto se distribuyen según una ley normal de varianza 25 y media desconocida. ¿Cuál es la distribución de la media muestral?.

Solución: N(104; 6

5 )

3.- La variable altura de las alumnas que estudian en una escuela de idiomas sigue una distribución normal de media 1,62 m y desviación típica 0,12 m. ¿Cuál es la probabilidad de que la media de una muestra aleatoria de 100 alumnas sea mayor que 1,60 m?. Solución: P( x ≥ 1,60) = P(Z ≤ 1,67) = 0,9525

4.- Sea una población formada por sólo 3 elementos con valores 2, 4 y 6. Consideremos todas las muestras, con reemplazamiento de tamaño 2. a) Calcula media y desviación típica de la población así como de las medias muestrales. b) ¿Qué relación hay entre ambas medias?. Solución:

a) μ = 4, σ = 38 ; b) La relación entre medias y desviaciones típicas es: μ = xμ , xσ =

2σ

5.- Un ascensor admite como peso máximo 300 kg. La población de usuarios tiene un peso que se distribuye según una ley normal de media 70 kg. y desviación típica 10 kg.. Calcula la probabilidad de que 4 personas cualesquiera de dicha población, que suban al ascensor, superen dicho peso máximo. Solución: P( X ≥ 75)= P(Z ≥ 1) = 1 – 0,84 = 0,16. 6.- Una variable aleatoria X sobre una población tiene de media 50 y desviación típica 5. Extraemos, aleatoriamente, de dicha población 1000 muestras, todas ellas de tamaño 64. De cada muestra, calculamos su media, y llamamos A al conjunto de números formados con esas medias. a) Di que valores se pueden esperar para la media y la desviación típica de la distribución A. b) ¿Cuál es la probabilidad de que una de esas muestras tenga una media comprendida entre 48,5 y 50,5?

Solución: a) xμ = 5, xσ = 85 ; b)P(48,5≤ X ≤ 50,5) = 0,7799

7.- Un contable toma una muestra aleatoria de tamaño n = 36 de una población de 100 cuentas por cobrar. El valor medio de las cuentas por cobrar es de 26000 pta, con una desviación típica poblacional de 450 pta. a) Calcula la probabilidad de que la media muestral sea inferior a 25.000 pta. b) Calcula la probabilidad de que la media muestral se encuentre a no más de 225 pta. de la media de la población Solución: a) P( X <25.000)= P(Z≤-13,3) = 0; b) P(25.775≤ X ≤ 26.225)= P(-3≤Z≤3) =0,9974.


6.5.- DISTRIBUCIÓN MUESTRAL DE PROPORCIONES.

1.- Definición

Se denomina distribución muestral de proporciones de tamaño n, L(P), al conjunto formado por todas las proporciones de una cierta población P que pose determinada característica p. L(P) se

distribuye según una ley normal N ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

npq ,p .

EJEMPLOS 1.- Una máquina produce tornillos, de los cuales se sabe que un 5% son defectuosos, se empaquetan en cajas de 400 unidades. ¿Cómo se distribuye la proporción de tornillos en las cajas? Resolución: • La proporción de tornillos defectuosos es p = 0,05. • El tamaño de la muestra es n = 400

• La distribución es de tipo normal siendo:

μp = p = 0,05; σp = npq =

4000,05)-0,05.(1 = 0,0011

Es decir la distribución normal N(0,05; 0,011) 2.- El 15% de los jóvenes son miopes, ¿cómo se distribuye la proporción de jóvenes miopes en muestras de 40 individuos? Resolución: • La proporción de tornillos defectuosos es p = 0,15. • El tamaño de la muestra es n = 40

• La distribución es de tipo normal siendo:

μp = p = 0,15; σp = npq =

400,15)-0,15.(1 = 0,565

Es decir la distribución normal N(0,15; 0,565) 3.- Una población está formada por sólo 4 elementos, con valores 1, 2, 4 y 6. Determina: a) La proporción de cifras impares b) Escribe todas las muestras de tamaño 2 que pueden extraerse con

reemplazamiento. c) Calcula para cada una de las muestras la proporción de cifras

impares. d) Calcula la media y desviación típica de la distribución muestral de

proporciones. Resolución: • La proporción de cifras impares es p = ¼ = 0,25.


• Las muestras con reemplazamiento de tamaño 2 y la proporción de cifras impares en cada muestra viene dad en la tabla adjunta:

1 2 4 6

(1,1) (1,2) (1,4) (1,6) 1

p 1 0,5 0,5 0,5

(2,1) (2,2) (2,4) (2,6) 2

p 0,5 0 0 0

(4,1) (4,2) (4,4) (4,6) 4

p 0,5 0 0 0

(6,1) (6,2) (6,4) (6,6) 6

p 0,5 0 0 0 d) La media y la desviación típica es:

μp = 16

0.95,0.61 ++ p = 0,25

σp = 16

0,25)-(090,5)-(0,25.61)-(1 222 ++ = 0,31

EJERCICIOS PROPUESTOS 1.- Una máquina produce vasos, de los cuales se sabe que un 3% son defectuosos, se empaquetan en cajas de 500 unidades. ¿Cómo se distribuye la proporción de vasos en las cajas? Solución:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

5000,03.0,97 ,03;0N = N(0,03; 0,076)

2.- Si lanzamos 100 veces un dado de parchís, ¿cómo se distribuye la proporción de veces que aparece un 5?

Solución: ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

1001/6)-1/6.(1 ,

61N = N(0,0167; 0,037)

3.- Una población está formada por sólo 3 elementos, con valores 2, 4 y 6. Considera todas las muestras de tamaño 2 que pueden extraerse con reemplazamiento. a) La proporción de múltiplos de 3. b) Escribe todas las muestras de tamaño 2 que pueden extraerse con reemplazamiento. c) Calcula para cada una de las muestras la proporción de cifras impares. d) Calcula la media y desviación típica de la distribución muestral de proporciones.

Solución: ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

31 ,

31N

4.- Una población está formada por sólo 3 elementos, con valores 2, 4 y 6. Considera todas las muestras de tamaño 2 que pueden extraerse con reemplazamiento. a) La proporción de múltiplos de 2. b) Escribe todas las muestras de tamaño 2 que pueden extraerse con reemplazamiento. c) Calcula para cada una de las muestras la proporción de cifras pares. d) Calcula la media y desviación típica de la distribución muestral de proporciones. Solución:



1.- Enuncia la población, los individuos y la muestra del experimento estadístico consistente en hallar la talla de todos los alumnos de un instituto si se tallan solamente a los delegados y subdelegados. Solución: 2.- Enuncia la población, los individuos y la muestra del experimento estadístico consistente en hallar la longitud de los puros que fabrica una máquina si sólo se mide uno de cada 100. Solución: 3.- Enuncia la población, los individuos y la muestra del experimento estadístico consistente en hallar la altura de los alumnos de un instituto si tallamos solamente a los alumnos varones que tengan la mayor y menor peso de cada clase. ¿Es la muestra extraída representativa? Explica por qué. Solución: 4.- Enuncia si consideramos población o muestra de un experimento estadístico y si la muestra es representativa: a) Control de calidad de los vasos de un almacén mediante el estudio de 100 vasos. b) Opinión sobre una dependienta de los clientes atendidos en una hora. c) Opinión sobre unos grandes almacenes de los clientes que salen por todas las puertas. d) Resultado de unas elecciones escrutando las papeletas de una de cada 10 mesas. Solución: 5.- Enuncia si consideramos población o muestra de un experimento estadístico y si la muestra es representativa: a) La elección de una comisión de una clase. b) Alumnos que salen a ala pizarra en una clase elegidos de manera aleatoria. c) Estudio de las familias de una ciudad mediante una familia que se ofrece de manera voluntaria. Solución:

6.- Explica por qué recurrimos a una muestra en cada uno de los casos. a) Obtener la resistencia a la rotura de una partida de tubos de vidrio. b) Estudio de la temperatura de fusión de ciertas sustancias. c) Estudio de la eficacia de un nuevo pienso en la alimentación de los animales de una cuadra. Solución:

7.- Si el censo electoral de una población son 27.800 electores y deseamos extraer una muestra de 200 individuos. Si sabemos que hay tres grupos con el 20%, 35% y 45% respectivamente. ¿Cómo se extraería una muestra de 200 individuos con estratos proporcionales a esos porcentajes? Solución: 40, 70 y 90 individuos respectivamente. 8.- Si los habitantes de un barrio son 2500 niños, 7000 adultos y 500 ancianos respectivamente y se desea extraer una muestra de 100 individuos con estratos proporcionales a esos porcentajes, ¿cuántos individuos debe haber en cada estrato? Solución: 25 niños, 70 adultos y 5 ancianos. 9.- En una biblioteca se tienen cinco secciones con 500, 860, 1200, 700 y 740 libros respectivamente. Si se desea obtener una muestra estratificada del 5% de los libros. a) ¿Cuántos se toman en cada estrato con una afijación igual? b) ¿Y si la afijación es proporcional? Solución: a) 40 libros, b) 25, 43, 60, 35 y 37 libros en cada sección.

10.- Los alumnos de un instituto se distribuyen de acuerdo con la siguiente tabla.


3º ESO 4º ESO 1º BTO 2º BTO

Hombres 105 70 47 40

Mujeres 95 80 53 60

Se desea elegir una muestra, por el método estratificado, por sexo y nivel de 55 individuos para pasarles una encuesta, ¿cómo se haría? Solución: 3 hombre fumadores, 7 no fumadores, 4 mujeres fumadoras, 8 no fumadoras.

11.- Si se tira 200 veces un dado, ¿cuántas veces cabe esperar que la puntuación media esté entre 3 y 4? Solución:

12.- Las tallas de la ropa de 1000 alumnos de un centro de enseñanza superior se distribuyen normalmente con media 40 y desviación típica 2. Si se seleccionan 100 muestras de 25 estudiantes cada una. a) ¿Es aplicable el teorema central del límite? b) Calcula la media y desviación típica esperada en la distribución muestral de muestras. c) ¿En cuántas muestras cabría esperar una media comprendidas entre 38 y 42? Solución: 13.- Una población está formada por 4 elementos, con valores 3, 5, 7 y 9. Consideramos todas las muestras posibles de tamaño 2, con reemplazamiento, que pueden extraerse de esta población. Determínese: a) La media y la desviación típica de la población. b) La media y la desviación típica de la distribución muestral de muestras. c) ¿Qué relación hay entre los resultados obtenidos entre a) y b)? Solución: 14.- Una población se compone de 3 adultos de tallas 170, 173 y 179 cm. Consideramos todas las muestras posibles de tamaño 2, con reemplazamiento, que pueden extraerse de esta población. Determínese: a) La media de la población. b) La desviación típica de la población. c) La media y la desviación típica de la distribución muestral de muestras. Solución: 15.- En un centro de enseñanza el peso medio de los estudiantes es 68 kg. y la varianza es 17 kg2. Si se selecciona una muestras de 81 individuos. a) Calcula la probabilidad de que la media muestral esté por debajo de 68 kg. b) Calcula la probabilidad de que la media muestral esté por encima de 70 kg. c) Calcula la probabilidad de que la media muestral esté comprendida entre 68 y 69 kg. Solución: 16.- Estamos verificando una balanza, comprobando la cantidad, X, pesada cuando solicitamos que nos dé 1 kilo. De nuestra experiencia deducimos que X es una variable aleatoria cuya media es 1010 gramos y cuya desviación típica es 40 gramos. Si hacemos 25 extracciones de 1 kilogramo, ¿cuál es la probabilidad de que la cantidad media de combustible sea mayor que 1 kilo? Solución: 17.- Se ha tomado una muestra de los precios de un mismo producto alimenticio en 9 comercios, elegidos al azar en un barrio de la ciudad, y se han encontrado los siguientes precios: 95, 108, 97, 112, 99, 106, 105, 100, 99, 98. Suponiendo que los precios de este producto se distribuyen según una ley normal de varianza 16 y media desconocida. ¿Cuál es la distribución de la media muestral?. Solución:


18.- La variable peso de las alumnas que estudian en una escuela de idiomas sigue una distribución normal de media 50 kg y desviación típica 6 kg. ¿Cuál es la probabilidad de que la media de una muestra aleatoria de 64 alumnas sea mayor que 48 kilos? Solución:

19.- Sea una población formada por sólo 3 elementos con valores 3, 5 y 7. Consideremos todas las muestras, con reemplazamiento de tamaño 2. a) Calcula media y desviación típica de la población así como de las medias muestrales. b) ¿Qué relación hay entre ambas medias?. Solución: 20.- Una variable aleatoria X sobre una población tiene de media 100 y desviación típica 10. Extraemos, aleatoriamente, de dicha población 100 muestras, todas ellas de tamaño 49. De cada muestra, calculamos su media, y llamamos A al conjunto de números formados con esas medias. a) Di que valores se pueden esperar para la media y la desviación típica de la distribución A. b) ¿Cuál es la probabilidad de que una de seas muestras tenga una media comprendida entre 98 y 102? Solución: 21.- Un contable toma una muestra aleatoria de tamaño n = 25 de una población de 81 cuentas por cobrar. El valor medio de las cuentas por cobrar es de 2000 pta, con una desviación típica poblacional de 50 pta. a) Calcula la probabilidad de que la media muestral sea inferior a 1900 pta. b) Calcula la probabilidad de que la media muestral se encuentre a no más de 25 pta. de la media de la población Solución: 22.- Una máquina produce botellas, de los cuales se sabe que un 2% son defectuosas, se empaquetan en cajas de 500 unidades. ¿Cómo se distribuye la proporción de botellas en las cajas? Solución: 23.- Si lanzamos 300 veces un dado de quinielas, ¿cómo se distribuye la proporción de veces que aparece un 1? Solución: 24.- Una población está formada por sólo 3 elementos, con valores 1, 3 y 5. Considera todas las muestras de tamaño 2 que pueden extraerse con reemplazamiento. a) Calcula la media y desviación típica de la distribución muestral de proporciones. b) ¿Qué relación hay entre ambas medias? Solución: 25.- Una población está formada por sólo 3 elementos, con valores 1, 3 y 5. Considera todas las muestras de tamaño 2 que pueden extraerse sin reemplazamiento. a) Calcula la media y desviación típica de la distribución muestral de proporciones. b) ¿Qué relación hay entre ambas medias? Solución: 26.- Una población está formada por sólo 4 elementos, con valores 1, 2, 3 y 4. Determina: La proporción de cifras pares Escribe todas las muestras de tamaño 2 que pueden extraerse sin reemplazamiento. Calcula para cada una de las muestras la proporción de cifras pares. Calcula la media y desviación típica de la distribución muestral de proporciones. Solución:

27.- Los alumnos de preescolar tiene una estatura que es una variable aleatoria de media 95 cm y desviación típica 16 cm y consideramos una muestra aleatoria de 36 de tales alumnos, ¿cuál es la probabilidad de que la media de esa muestra tome valores comprendidos entre 90 y 100 cm? Solución:

PROBABILIDAD 117

CAPÍTULO 7:

INFERENCIA 7.1.- INTERVALO DE CONFIANZA DE LA MEDIA. 1.- Estimación de la media

Sea X una variable aleatoria que sigue una ley normal N(μ, σ) o bien a la que se puede aplicar el teorema central del límite (n>30) y sea x1, .. xn una muestra aleatoria de tamaño n. La

distribución de medias muestrales L( x ) sigue una ley normal N ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

nσ μ, y la variable tipificada

n / σμx − una ley N(0,1)

• El porcentaje 1-α, nivel de confianza, de las medias muestrales está en el intervalo

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

nσZμ ,

nσZ-μ α/2α/2 , es decir ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

nσ Z< |-x|P α/2μ = 1 - α

• El valor de la media poblacional desconocida, μ, se puede determinar a partir del valor de la

media muestral, x , mediante el intervalo de confianza:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

nσZx ,

nσZ-x α/2α/2

• Si se desconoce la desviación típica poblacional se sustituye por la desviación típica

muestral, es decir, el intervalo de confianza es:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

nsZx ,

nsZ-x α/2α/2

2.- Error muestral El error máximo admisible en una muestra es:

E = nσZα/2

• Cuanto mayor sea n menor es E.

• Cuanto mayor sea 1-α mayor es E.

3.- Tamaño de la muestra.

Fijado el error máximo admisible y el intervalo de confianza, el mínimo tamaño de la muestra se obtiene de la expresión

E = nσZα/2 ⇒ n =

2α/2

EσZ

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛

• Cuanto mayor sea Zα/2 (menor α) mayor es el tamaño de la muestra.

• Cuanto menor es E, el intervalo es más fino y por lo tanto mayor el tamaño de la muestra.

PROBABILIDAD 118

EJEMPLOS 1.- Un laboratorio farmacéutico fabrica un producto para la caída del cabello que envasa en botes, y en el etiquetado indica que su contenido aproximado es de 10 cc. Se eligen, al azar, 7 de estos botes y se miden sus contenidos dando el siguiente resultado:

9,7 10,1 10,2 9,9 9,8 10 10,3 ¿Podemos asegurar, con un nivel del 95%, que la capacidad media de los botes que se fabrican es la indican en el bote? . (Se sabe que el contenido es una variable aleatoria normal de desviación típica 0,2). Resolución: La media muestral es:

x =7

10,3109,89,910,210,19,7 ++++++ = 770 = 10

Una confianza del 95% indica que 1-α = 0,95, luego α/2 = 0,025, luego tenemos Zα/2 = 1,96 pues P(X<1,96) = 0,975. El intervalo de confianza es:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

n σZx,

n σZ-x /2α/2α = ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

7 2,0,961,10

7 2,0,961-10 = (9,85; 10,15)

Como 10∈(9,85; 10,15) el valor de μ está dentro del intervalo de confianza pedido. Podemos asegurar, con un nivel del 95%, que la capacidad media de los botes que se fabrican es la indican en el bote. 2.- Sea una variable aleatoria que sigue una ley normal de media μ y desviación típica 3. Una muestra de tamaño 100, seleccionada al azar, ha dado como media 9. Determina un intervalo de confianza de μ si se fija como coeficiente de confianza 0,95. Resolución: Estamos buscando un intervalo ( x -a, x +a) en el que se encuentre la media del rendimiento de los estudiantes, μ, con una confianza del 95 %. Esto quiere decir ( )a< μ - x P = 0,95

Pero como n /

- xσ

μ normaliza la distribución podemos escribir:

P⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

n / σa < |Z| = 2 P

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

n / σa < Z -1 = 0,95 ⇒ P

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

n / σa < Z = 0,975

Buscamos en las tablas del apéndice para qué valor la probabilidad es 0,975 y encontramos 1,96. Luego:

n / σa = 1,96 ⇒ a =

n σ 1,96

Sustituyendo n por 100 y σ por 3 obtenemos:

a = n σ 1,96 =

100 1,96.3 = 0,59

PROBABILIDAD 119

Por lo tanto el intervalo de confianza al 95% buscado es: ( x -a x +a) = (9-0,59, 9+0,59) = (8,41; 9,59) 3.- Una máquina automática fabrica piezas cuya longitud sigue una distribución normal de media desconocida y desviación típica 0,5 mm. Para estimar una longitud media se toma una muestra de 25 piezas obteniéndose una media muestral de 50 mm Calcula un intervalo de confianza del 95% para la longitud media de la población. Resolución: Estamos buscando un intervalo ( x -a, x +a) en el que se encuentre la media del rendimiento de los estudiantes, μ, con una confianza del 95 %. Esto quiere decir ( )a< μ - x P = 0,95

Pero como n /

- xσ


P⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

n / σa < |Z| = 2 P

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

n / σa < Z -1 = 0,95 ⇒ P

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

n / σa < Z = 0,975

Buscamos en las tablas del apéndice para qué valor la probabilidad es 0,975 y encontramos 2,58. Luego:

n / σa = 1,96 ⇒ a =

n σ 1,96

Sustituyendo n por 25 y σ por 0,5 obtenemos:

a = n σ 1,96 =

25 1,96.0,5 = 0,20

Por lo tanto el intervalo de confianza al 95% buscado es: ( x -a, x +a) = (50-0,20, 50+0,20) = (49,8; 50,2) 4.- a) Determina un intervalo, con el 95% de confianza, para la media de una variable normal que tiene una desviación típica σ =3 y teniendo en cuenta que se ha obtenido de una muestra de tamaño 100 que ha tenido de media x = 5. b) ¿Cuál debería haber sido el tamaño de la muestra si se quiere obtener un intervalo de confianza (también al 95% de confianza), para la media de una longitud 0,4?. Resolución: a) Estamos buscando un intervalo ( x -a x +a) en el que se encuentre la media del rendimiento de los estudiantes, μ, con una confianza del 95 %. Esto quiere decir:

( )a< μ - x P = 0,95

Pero como n /

- xσ


P⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

n / σa < |Z| = 2 P

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

n / σa < Z -1 = 0,95 ⇒ P

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

n / σa < Z = 0,975

PROBABILIDAD 120

Buscamos en las tablas del apéndice para qué valor la probabilidad es 0,975 y

encontramos 2,58. Luego: n / σ

a = 1,96 ⇒ a = n σ 1,96

Sustituyendo n por 100 y σ por 3 obtenemos:

a = n σ 1,96 =

100 1,96.3 = 0,59

Por lo tanto el intervalo de confianza al 95% buscado es: ( x -a x +a) = (5-0,59, 5+0,59) = (4,41; 5,59) b) La población sigue una distribución normal N(μ, 3), con media desconocida y desviación típica 3. Nos interesa determinar el tamaño de la muestra, n, pues la media de la población difiere de la media muestral en menos de 0,2 en el 95% de los casos en que tomemos muestras ya que la anchura del intervalo de confianza es el doble que el posible error de estimación. Es decir determinar n para que se verifique P{│ |μ - x| < 0,2} = 0,95

Como n /

- xσ


P{│ | - x| μ < 0,2 } = P⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

n / 32,0 < |Z| = 0,95

Siendo Z una variable que sigue una distribución normal N(0,1). Además: P{│Z│< a} = P{-a < Z< a} = P{Z < a} -P{Z>-a} = P{Z<a} -[1-P{Z<a}] = 2P{Z<a} -1 Tenemos:

2P{Z<a} -1 = 0,95 ⇒ P{Z<a} = 20,95 + 1 = 0,975

Utilizando las tablas del apéndice tenemos P{Z<1,96} = 0,975 luego:

a = 1,96 = n /3

2,0 ⇒ 1,96.3 = n .0,02 ⇒ n =2,0

31,96. = 29,4 ⇒ n = 864,36

Debemos tomar una muestra de tamaño 865. 5.- El consumo de un cierto producto sigue una distribución normal con varianza 300. A partir de una muestra de tamaño 25 se ha obtenido una media muestral igual a 180. Halla un intervalo de confianza al 95%, para la media del consumo. Resolución: El intervalo de confianza al 95 % tiene

como límites x -1,96n

σ , x +1,96n

σ ,

ya que en tal caso tendremos el área a la derecha de la curva igual a 2,5%, tal como se ve en la figura, utilizando la simetría de la distribución. Debemos buscar el valor P(X < x) = 0,9975 y mirando en tablas obtenemos el valor x = 1,96

PROBABILIDAD 121

Si utilizamos, tal como dice el problema, como media muestral x =180 como desviación típica σ= 300 y como tamaño de la muestra n =25 los límites del intervalo son:

253001,96-180 = 173, 21 y

253001,96+180 = 186,79

Así pues el intervalo de confianza al 95%, para la media del consumo será: 173,21 < μ < 186,79 EJERCICIOS PROPUESTOS 1.- Se ha tomado una muestra de los precios de un mismo producto alimenticio en 16 comercios, elegidos al azar en un barrio de la ciudad, y se han encontrado los siguientes precios.

95 108 97 112 99 106 105 100 99 98 104 110 99 98 104 110

Suponiendo que los precios de este producto se distribuyen según una ley normal de varianza 25 y media desconocida. a) ¿Cuál es la distribución de la media muestral? b) Determina un intervalo de confianza, al 95%, para la media poblacional. Solución: a) N( x , 2) = N(102,75; 5), b) El intervalo de confianza al 95% es (100,25; 105,25). 2.- Se desea hacer una estimación sobre la edad media de una determinada población. Calcula el tamaño de la muestra necesaria para poder realizar dicha estimación con un error menor de medio año a un nivel de confianza del 99,78%. Se conoce, por estudios previos, que la edad media de dicha población tiene una desviación típica igual a 3 años. Solución: Debemos tomar una muestra de tamaño 336. 3.- La media de la esperanza de vida de una población es de 50 años, con una varianza de 100 años cuadrados. Una compañía de seguros quiere determinar el número de individuos de la muestra para que la estimación difiera del valor 50 en 1 año como máximo, tomando como nivel de confianza el 95%. Calcula el tamaño de la muestra Solución: Debemos tomar una muestra de tamaño 385. 4.- El peso de los niños varones a las 10 semanas de vida se distribuye según una normal con desviación típica de 87 g. )Cuántos datos son suficientes para estimar, con una confianza 95%, el peso medio de esa población con un error no superior a 15 g? Solución: Debemos tomar una muestra de tamaño 130. 5.- En una empresa láctea, el peso X de las botellas de leche vacías es una variable aleatoria que sigue una distribución normal de media μ gramos y de desviación típica 5 gramos. Se extrae una muestra aleatoria simple de tamaño 20, cuya media es de 18 gramos. ¿Con qué confianza se puede afirmar que la media poblacional se encuentra entre 16 y 20 gramos? Solución: La confianza es del 92,5 % 6.- La edad, en años, de las personas de una población se distribuye normalmente con media desconocida y varianza 4. )Cuál es el tamaño muestral a partir del cual la edad media de la población difiere de la media muestral en menos de 1 año con una confianza del a) 90%, b) 99%? Solución: a) Debemos tomar una muestra de tamaño 11. b) Debemos tomar una muestra de tamaño 27.

PROBABILIDAD 122

7.2.- INTERVALO DE CONFIANZA DE LA PROPORCIÓN. 1.- Estimación de la media

Sea P la proporción de elementos de una población que poseen una determinada característica. Para estimar P utilizamos una muestra de tamaño n, donde p es la proporción de elementos de la muestra que poseen dicha característica y q = 1-p los que no la poseen. La distribución muestral

de proporciones sigue una ley normal ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

nPQ P,N y la variable tipificada Z =

PQ/nPp − una ley

N(0,1)

• El porcentaje 1-α, nivel de confianza, de las proporciones muestrales está en el intervalo

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

nPQZP ,

nPQZ-P α/2α/2 , es decir

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

nPQ Z< |P-p|P α/2 = 1 - α

• El valor de la proporción poblacional desconocida, P, se puede determinar a partir del valor

de la media muestral, p, mediante el intervalo de confianza:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

nPQZp ,

nPQZ-p α/2α/2

• Si el tamaño de la muestra es mayor que 30 se puede sustituir la proporción poblacional por

la proporción muestral, es decir, el intervalo de confianza es:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

npqZp ,

npqZ-p α/2α/2

2.- Error muestral El error máximo admisible en una muestra es:

E = npqZα/2 =

np)-p(1Zα/2

• Cuanto mayor sea n menor es E. • Cuanto mayor sea 1-α mayor es E.

3.- Tamaño de la muestra.

Fijado el error máximo admisible y el intervalo de confianza, el mínimo tamaño de la muestra se obtiene de la expresión

E = npqZα/2 ⇒ n =

2α/2

EZ

pq ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛

• Cuanto mayor sea Zα/2 (menor α) mayor es el tamaño de la muestra.

• Cuanto menor es E, el intervalo es más fino y por lo tanto mayor el tamaño de la

muestra.

PROBABILIDAD 123

EJEMPLOS 1.- En una muestra de 300 personas tomadas al azar en una ciudad se encontró que 104 de ellas leían el periódico. Halla, con un nivel de confianza del 90%, la proporción de habitantes que leen el periódico Resolución: Una confianza del 90% significa que 1-α = 0,10, luego α/2 = 0,050, luego tenemos Zα/2 = 1,645 pues P(X < 1,645) = 0,95.

La proporción muestral es p = 300104 = 0,347.

Como la muestra n = 104 > 30 podemos sustituir la proporción poblacional por la muestral y el intervalo de confianza es:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

3000,347.06531,6450,347 ;

3000,347.06531,645-0,347

Obteniendo el intervalo (0,302; 0,392) 2.- En una muestra de 300 personas tomadas al azar en una ciudad se encontró que 104 de ellas leían el periódico. Halla, con un nivel de confianza del 90%, el error máximo admisible para la proporción de habitantes que leen el periódico Resolución: Una confianza del 90% significa que 1-α = 0,10, luego α/2 = 0,050, luego tenemos Zα/2 = 1,645 pues P(X < 1,645) = 0,95.


Como la muestra n = 104 > 30 podemos sustituir la proporción poblacional por la muestral y el error máximo admisible es:

E = npqZα/2 =

30030,347.0,651645, = 0,045

3.- En una muestra tomada al azar en una ciudad se encontró que el 34,7% de las personas leían el periódico. Si deseamos tener como máximo un error del 1% con un nivel de confianza del 90%, ¿cuántos individuos debe tener la muestra? Resolución: Una confianza del 90% significa que 1-α = 0,10, luego α/2 = 0,050, luego tenemos Zα/2 = 1,645 pues P(X < 1,645) = 0,95. En la ecuación del error máximo admisible sustituimos:

E = npqZα/2 ⇒ 1 =

30030,347.0,651645, ⇒ n =

2

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛0,01

1,6453.0,347.0,65 = 6131,6

Por lo tanto habrá que tomar una muestra de 6.132 personas.

PROBABILIDAD 124

4.- En una muestra tomada al azar de 1000 jóvenes están a favor de las relaciones sexuales antes del matrimonio el 65%. a) Halla un intervalo del confianza del 99%. b) En una encuesta realizada en el año posterior se obtiene un resultado del 65%, ¿cae este valor dentro del margen de confianza de la encuesta anterior?

Resolución: La distribución muestral de proporciones tiene media P y desviación:

σp = npq =

10000,65.0,35 = 0,015

Es decir, sigue una ley normal N(P; 0,015) y la tipificada Z = 0,015

P0 −065, una ley

N(0,1) Una confianza del 99% significa que 1-α = 0,01, luego α/2 = 0,005, luego tenemos Zα/2 = 2,58 pues P(X < 2,58) = 0,99.


Como la muestra n = 1000 > 30 podemos sustituir la proporción poblacional por la muestral y el intervalo de confianza es: (0,65-2,58.0,015; 0,65+2,58.0,015) = (0,6113; 0,6887) Como en la encuesta posterior obtenemos el 68% = 0,68 que está dentro del intervalo de confianza, luego la población no ha cambiado de opinión en el año en curso.

EJERCICIOS PROPUESTOS 1.- Se lanza 100 veces una moneda obteniéndose 62 caras. Estima la probabilidad de obtener cara con un intervalo de confianza de a) 90%, b) 95% y c) 99%. Solución: a) (0,54; 0,70), b) (0,525; 0,735), c) (0,495; 0,745)

2.- Si se pregunta a una muestras aleatoria de 500 alumnos de un centro y contestan 200 afirmativamente a la pregunta de si han aprobado Matemáticas, estima la probabilidad de aprobar Matemáticas con un intervalo de confianza del 95%. Solución: (0,36; 0,44) 3.- Si 25 personas contestan afirmativamente a una pregunta en una encuesta realizada a 100 personas, estima la probabilidad de que se conteste afirmativamente a dicha pregunta con un intervalo de confianza del 95%. Solución: (0,17; 0,33) 4.- En el lanzamiento de una moneda se observó que la probabilidad de obtener cara es de 0,62. Si deseamos tener como máximo un error del 0,002 con un nivel de confianza del 95%, ¿cuántas veces debemos lanzar la moneda? Solución: 226,27. 5.- En una encuesta realizada en Madrid se observó que el 45% de la población trabajaba. Si deseamos tener como máximo un error del 4% con un nivel de confianza del 99,73%, ¿a cuántas personas debemos preguntar? Solución: 1392.

PROBABILIDAD 125


1.- La talla de los individuos de una población sigue una distribución normal de media μ y desviación típica 8 cm. Se han determinado las tallas de 25 individuos, encontrándose una media de 168 cm. Obtén un intervalo de confianza al 95% para la media μ de la población. Solución: El intervalo de confianza al 95%, para la media del consumo será: 164,86 < μ < 171,14 2.- Los estudiantes de Bachillerato de una cierta comunidad autónoma duermen un número de horas diarias que se distribuye según una ley normal de media μ desconocida y de desviación típica 3. A partir de una muestra de tamaño 30 se ha obtenido una media muestral igual a 7 horas. Halla un intervalo de confianza al 96% para la media de horas de sueño μ. Solución: El intervalo para la media de población con confianza del 96% es: (7-1,1, 7+1,1) = 5,9; 8,1) 3.- En un centro que imparte Bachillerato LOGSE se desea estimar el rendimiento medio de sus alumnos mediante un test. Se eligen, al azar, 100 estudiantes para los que se obtiene una puntuación media de 105 y una desviación típica de 16. Supuesto que el rendimiento medio sigue una ley normal encontrar, al nivel de confianza del 99%, un intervalo para la media de todos los estudiantes de l centro. Solución: El intervalo de confianza al 99% buscado es (105- 4,13, 105+4,13) = (100,87, 109,13)

4.- Los estudiantes de las Universidades de cierto país dedican al estudio un número de horas semanales que sigue una distribución normal de media μ desconocida y de desviación típica 7 horas. Calcula cuantos estudiantes se deberán seleccionar al azar para determinar el parámetro μ con una precisión inferior a una hora y con una confianza del a) 90 %, b) 99 %. Solución: a) Debemos tomar una muestra de tamaño 133. b) Debemos tomar una muestra de tamaño 325.

5.- a) ¿Cuál es la probabilidad de que se encuentren más del 5% de tornillos en una caja? b) ¿Cuál es la probabilidad de que se encuentren menos del 1% de tornillos en una caja? Solución: 6.- Se eligen, al azar, 500 individuos a los que se pregunta si son fumadores o no, contestando afirmativamente el 58%. Calcula el intervalo de confianza al nivel del 95% en el que se encuentra la población fumadora Solución: (0,5048; 0,6192). 7.- Al lanzar 100 veces una moneda se observa que la probabilidad de obtener cara es de 0,62. Halla, con un nivel de confianza del 95%, el error máximo admisible para la proporción de lanzamiento de la moneda. Solución: 8.- Al lanzar 10 veces una moneda se observa que la probabilidad de obtener cara es de 0,6. ¿Es correcta la moneda con un nivel de significación del 1%? Solución: Sí. 9.- Se lanza 100 veces una moneda y se observa que la probabilidad de obtener cara es de 0,6. a) ¿Es correcta la moneda con un nivel de significación del 1%? b) ¿Y si se lanza 1000 veces? Solución: a) Sí, b) No.

PROBABILIDAD 126

10.- En las elecciones al consejo escolar el 53% de los alumnos votaron a favor de uno de sus representantes. Se efectúa una encuesta a 360 alumnos y 176 estaban a favor de dicho consejero. ¿Se puede afirmar con un nivel de significación del 90% que el consejero mantiene su apoyo entre los estudiantes? Solución: No lo mantiene. 11.- En las elecciones al consejo escolar el 53% de los alumnos votaron a favor de uno de sus representantes. Se efectúa una encuesta a 45 alumnos y 22 estaban a favor de dicho consejero. ¿Se puede afirmar con un nivel de significación del 90% que el consejero mantiene su apoyo entre los estudiantes? Solución: Sí lo mantiene. 12.- Se desea hacer un estudio de mercado para conocer el precio medio de los libros científicos. Para ello, se elige una muestra aleatoria formada por 34 libros y se determina que la media muestral es de 3490 pesetas con una desviación típica de 450 pta. Halla el intervalo de confianza para el precio medio de los libros científicos al nivel del 99%. Solución: El intervalo de confianza es

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

344502,583490 ,

344502,58-3490

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