Ejercicios Capítulo I Sklar

Capitulo I de Bernard Sklar Ing. Edgar Ochoa Figueroa, MgT

1.1 Clasifique las siguientes señales como señales de energía o señales de potencia. Encuentre la Energía normalizada o la Potencia normalizada de cada una.

a)

De acuerdo a la teoría es una señal de potencia

b)


No es de energía ni de potencia

c)

Por lo tanto es una señal de Energía

d)


Es una

señal de potencia.


1.2.- determine la densidad de energía espectral de un pulso cuadrado donde es igual a 1 para e igual a cero para cualquier otro valor. Calcule la energía normalizada en el pulso.

Otro valor

a).-Aplicando la transformada de Fourier:

Como x(t) es una señal par :

Determinando la ESD:

b).- Encontrando la Energía normalizada:


1.3 Encuentre una expresión para la potencia promedio normalizada de una señal periódica en términos de los coeficientes complejos de la Serie de Fourier.

Densidad espectral de potencia

Potencia media normalizada

Ahora definiendo

De la serie trigonométrica de Fourier

Aplicando la forma alternativa compleja de esta expresión

Entonces los coeficientes complejos de la serie de Fourier serán:

, ,

Entonces:

Por lo tanto

Forma Compleja de la serie de Fourier

O tambien se puede obtener a partir de:


donde

De donde es compleja por lo tanto:

O también se puede obtener a partir de los coeficientes y

Y se reemplaza en:


1.4 Usando el tiempo promedio, encuentre la potencia media normalizada en la señal x(t)=10 Cos 10t + 20 Cos 20t

Para lo anterior debemos encontrar T0

De donde al aplicar el teorema de la periodicidad podemos ver que si cumple que:

Que lo reemplazamos en la primera ecuación:



1.5.- Repita el ejercicio 1.4 utilizando la suma de coeficientes espectrales. Usando el tiempo medio encontrar la potencia normalizado en la forma de onda

Primer método de obtener los coeficientes complejos de fourier:

Segundo método de calcular los coeficientes complejos de fourier:


Para otros valores de n, cn=0

Por lo tanto la densidad espectral de potencia esta dada por:


1.6 determine cual o ninguna de las siguientes funciones tiene las propiedades de una función de autocorrelacion. Justifique su determinación.

a)

Si cumple ya que para cualquier valor en el intervalo [-1,1] la función es 1 indistintamente del signo, y para cualquier otro valor es cero igualmente sin importar el signo.

Si cumple ya que el valor en cero es 1, el mayor de la función.

-10 -5 5 10f

-0.2

-0.1

0.1

0.2

xf

Esta función tiene partes negativas, por lo que no puede ser una función de densidad espectral de energía.

b)

No cumple con esta condición puesto que el seno es un a función impar.

c)

Si cumple con esta condición puesto que el exponencial está elevado al valor absoluto de tau, por lo que es igual para valores positivos y negativos.

No cumple con esta condición ya que el valor de la función en el punto cero es uno, y para cualquier otro valor es e elevado a la tau, que es mayor que uno.

d)


Si cumple con esta condición puesto que a uno se le resta el valor absoluto de tau, por lo que es igual para valores positivos y negativos.

Si cumple, ya que el valor en cero es uno, el cual es el máximo para la función.

-10 -5 5 10f

0.005

0.01

0.015

0.02

xf

Esta función no tiene partes negativas, por lo que puede ser una función de densidad espectral de energía.

1.7.- Determine cuál, si alguna, de las siguientes funciones tienen las propiedades de funciones de densidad espectral de potencia. Justifique si determinación.

(a)

1. siesta en el origen


siempre tendrá valores reales positivos

2. sipara , ya sea o es una función par

3. sies par

4. si

5. noRespuesta: NO

(b)

1. sitiene valores reales positivos

2. noes impar

3. noes impar

4. si

5. noRespuesta: NO

(c)


2. noes impar

3. noes impar

4. si

5. noRespuesta: NO


(d)


2. sies par

3. sies impar

4. si

5. siRespuesta: SI


1.8 Encuentre la función de auto correlación de en términos del

periodo . Encuentre la potencia promedio normalizada de x(t), usando


1.9.- Use los resultados del ejercicio anterior para encontrar a).- la función de autocorrelación de la forma de onda .

b).- Use la relación para encontrar la potencia media normalizada en compare las respuestas con los resultados del problema 1.4 y 1.5

a).-

b).-


1.10 Para la función , calcular a) El valor promedio de

En un proceso ergódico el valor promedio es:

Pero como es periódica con periodo

b) la potencia ac de

Y estas potencias se relacionan de la siguiente manera:

PT=Pca+Pcc

Lo que haremos es encontrar Pca de la siguiente manera:

Pca=PT-Pcc

En un proceso ergódico la función de autocorrelación está dada por:

Aplicando una de las propiedades de la autocorrelación

Potencia total promedio de una señal


Como es periódica con periodo

Como ya obtuvimos el valor de =1

Y la potencia ca será igual a:

c) El valor rms de


1.11. Considere un proceso randómico dado por x(t) = A cos (2πf0t + ) donde A y f0 son constantes y es una variable randómica que está uniformemente distribuida a través (0.2π). Si x(t) es un proceso ergódico, el tiempo promedio de X(t) en el límite t→∞, son iguales al correspondiente X(t).

a) Use el tiempo promedio a través de un numero entero de periodos para calcular las aproximaciones al primero y segundo momento de X(t).Primero:

Segundo

b) Use las ecuaciones 1.26 y 1.28 para calcular el total promedio aproximado al primero y segundo momento de X(t). Compare los resultados con su respuesta en la parte a).

Valor medio:


teniendo en cuenta que en el espacio de (0,2π)

Valor medio cuadrático:

Como podemos observar ambos métodos cumplen en el análisis de esta señal debido a que la naturaleza de dicha señal así lo permite.


1.12 La transformada de fourier de una señal x(t) esta definida por X(f)=sinc(f) donde la función sinc esta definida en la ecuación 1.39, encontrar la autocorrelacion de la función Rx(t) de la señal x(t)

Y en tablas podemos encontrar esta transformada, Rx(t) esta dado por la siguiente función triangular

-1 1

Rx(τ)

τ


1.13 Use las propiedades para probar la función del impulso unitario, evaluando las siguientes integrales:

(a)

(b)

(c)

(d)


1.14.- Encuentre para el espectro mostrado en la figura


1.15 Los dos lados de la densidad espectral de potencia de la forma de onda

x(t) esta dada en la figura P1.2

a) Encuentre la potencia promedio normalizada en x(t) sobre la banda de frecuencia de 0 a 10khz

Potencia promedio normalizada

b) Encuentre la potencia promedio normalizada en x(t) sobre la banda de frecuencia de 5 a 6khz

Potencia promedio normalizada


1.16 Los decibelios son medidas logarítmicas de razón de potencia, como describe la ecuación (1.64a). A veces, una formulación similar es usada para expresar las mediciones de no potencia en decibelios (referidos a similares unidades determinadas). Como un ejemplo, calcule que cuántos decibelios de carne de la hamburguesa usted compraría para entregar 2 hamburguesas a cada persona de un grupo de 100. Asuma que usted y el carnicero han estado de acuerdo en la unidad de “½ libra de carne” (la cantidad en una hamburguesa) como una unidad de referencia.


1.17 Considere la ecuación de amplitud del filtro pasa bajo Butterworth:

a) Encuentre el valor de n en el que es constante entre y sobre el rango

Analizamos las relaciones en términos de -1dB

Ahora sobre el rango

Por lo tanto

b) Muestre que cuando n se aproxima al infinito las respuesta de amplitud se aproxima a un filtro ideal pasa bajo


Y conforme n aumenta sigue siendo 0 para menor a 1

Y conforme n aumenta se hace mas grande para mayor a 1


1.18. Considere la red en la figura 1.9 cuya función de transferencia es H(f). Un impulso δ(t) es aplicada al ingreso. Muestre que la respuesta y(t) es la transformada inversa de Fourier de H(f)


1.19 Un ejemplo de holding circuit esta mostrado en la figura determine el impulso de respuesta de este circuito.

Función:

Función agregada el retardo:

Luego de pasar por el integrador:

Salida y(t):

Donde u(t) es la función escalón unitario que esta definida de la siguiente forma:


1.20) Dado el espectro anterior, encuentre el valor del ancho de banda de la señal utilizando las siguientes definiciones de ancho de banda.

a) Ancho de banda de la potencia media.b) Ancho de banda del ruido equivalente.c) Ancho de banda nula.d) Ancho de banda al 99% de la potencia.e) Con una atenuación de 35dB.f) Ancho de banda absoluta.

a) Para calcular el ancho de banda a media potencia necesitamos calcular primero la altura del lóbulo principal, que será Gx(f) en el punto 106:

Usamos el método de L’Hospital, derivamos numerador y denominador por separado, para calcular el límite puesto que tenemos una indeterminación 0/0:

Ahora debemos igualar Gx(f) a 0.00005, la mitad de la altura del lóbulo principal, y despejar f.

Para resolver esta ecuación, utilizamos el método de Newton-Raphson para aproximar una solución numérica de la ecuación puesto que es imposible resolverla por métodos algebraicos. Este método utiliza un punto de partida P0, al que se le resta la función evaluada en ese punto dividida para la derivada de la función evaluada en el mismo punto:


Utilizaremos como punto de partida 1001000, y al cabo de 8 iteraciones obtenemos los siguientes resultados:

P0 1001000P1 1008294.13982P2 999042.0318P3 991388.347166P4 1003731.17044P5 1004435.47528P6 1004429.46414P7 1004429.46471P8 1004429.46471

Podemos ver que en la iteración P8 obtenemos el mismo resultado que en la iteración anterior, por lo que en este punto terminan las iteraciones y ese es el valor aproximado de f para Gx(f) = 0.00005.Para calcular el ancho de banda le restamos la frecuencia de la portadora (f c=106) y multiplicamos por dos el resultado obtenido:

b) Para calcular el ancho de banda de ruido equivalente, utilizamos la siguiente fórmula:

Calculamos Px, para esto desplazamos la función al f = 0 para facilitar la integración:

Ahora reemplazamos en la fórmula para WN, con Px = 1 y Gx(fc) = 0.0001, valores que calculamos anteriormente:

c)


Para calcular el ancho de banda entre ceros, necesitamos calcular el valor 1/T de la siguiente ecuación, debido a que es el punto en el que el lóbulo principal de la función corta en cero:

De esta ecuación podemos obtener directamente el ancho de banda:

d)b) El 99% de potencia fraccionada contenida en el ancho de banda.

Para calcular este ancho de banda necesitamos despejar fo de la siguiente fórmula:

Ya que debemos calcular el punto fo en el que la potencia sea el 99% del total.Este proceso lo realizamos utilizando un método numérico de aproximación de Mathematica 5.

Integrando la función Gx(f) obtenemos:

Donde la función SinIntegral(z) es:

El siguiente gráfico presenta la función obtenida anteriormente:


80000 100000 120000 140000f

-0.01

-0.008

-0.006

-0.004

-0.002

0.002

Aquí podemos observar que existe un corte cerca del punto 101000, por lo que utilizaremos un método numérico para encontrar una solución a la ecuación con 101000 como punto de partida. Utilizamos la función FindRoot[lhs==rhs, {x, x0}] de Mathematica 5 para hallar la raíz de la función.

De esta manera obtenemos que la frecuencia a la que la potencia fraccionada del 99% contenida en el ancho de banda es:

e) El ancho de banda en el cual la atenuación es 35 DB

Para este caso utilizaremos un análisis similar al del literal (a), con una diferencia, que debemos igualar la función a -35dB, el número en veces será:

El número al cual debemos igualar la función es el número de veces por la altura del lóbulo principal que calculamos anteriormente (0.00001), desplazamos Gx(f) a cero para facilitar la resolución:


Graficando esta función tenemos:

160000 170000 180000 190000 200000f

-310-8

-210-8

-110-8

110-8

Gxf

Mediante la gráfica nos damos cuenta que el último lóbulo corta muy cerca de 175000, por lo que lo utilizaremos como punto inicial para el método de Newton-Raphson, y obtenemos los siguientes resultados:

P0 175000P1 178865.802171P2 174625.130914P3 174069.40185P4 174245.896965P5 174266.145982P6 174266.43088P7 174266.430937P8 174266.430936P9 174266.430936

Podemos ver que en la iteración P9 obtenemos el mismo resultado que en la iteración anterior, por lo que en este punto terminan las iteraciones y ese es el valor aproximado de f para G x(f) =3.16227766017E-4.

Para calcular el ancho de banda multiplicamos por dos el resultado obtenido:

f) Si se aproxima a cero, tiende al infinito, entonces tenemos que:

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