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EJERCICIOS ADICIONALES PARA LAS PPAA 2010
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ESTÁNDAR 1: NUMERACIÓN Y OPERACIÓN
N.SO. 11.1.1
Define vectores en dos dimensiones como objetos que tienen magnitud y dirección.
TIPO DE ÍTEM: COMPLEJIDAD: DOK 1
N.SO. 11.1.1.1
Representa vectores geométricamente.
TIPO DE ÍTEM: COMPLEJIDAD: DOK 2
N.SO. 11.1.1.1
Representa vectores geométricamente.
TIPO DE ÍTEM: COMPLEJIDAD: DOK 2
1. Dado u ¯1, 3 y v 8, ¯5 , determina si
v u u v Solución: v u 8 ¯1, ¯5 3 v u 7, ¯2 u v ¯1 8, 3 ¯5 u v 7, ¯2
2. Si a 3, ¯6 , demuestra que la propiedad del inverso aditivo aplica para vectores. Recuerda que esta propiedad
establece que: a (¯ a ) (¯ a ) + a = 0 Solución:
(¯ a ) ¯3, 6 a (¯ a ) ¯3, 6 + 3, ¯6 = 0, 0 ∴ a (¯ a ) 0
3. Si a ¯7, ¯9 , halla el siguiente producto escalar: 4 a Solución:
4 a 4 ¯7, ¯9 4 a 4(¯7), 4(¯9) 4 a ¯28, ¯36
4. Si 𝑎 ¯4, ¯5 y 𝑏 3, ¯2 , demuestra que la propiedad distributiva aplica para vectores. Para ello utiliza:
4 a b 4 𝑎 4 𝑏
Solución:
4 a + b 4 ¯4 + 3, ¯5 + ¯2
4 a + b 4 ¯1, ¯7
4 a + b ¯4, ¯28
4a 4b 4 ¯4, ¯5 4 3, ¯2
4a 4b ¯16, ¯20 12, ¯8
4a 4b ¯4, ¯28
4 a + b 4 a 4 b
N.SO. 11.1.2
Reconoce los vectores como un sistema que tiene algunas de las propiedades de los números reales.
TIPO DE ÍTEM: SM COMPLEJIDAD: DOK 1
5. ¿Cuál de las siguientes gráficas
representa el inverso aditivo (¯ a ) de
a ¯1, 3 ?
2
6. ¿Cuál de las siguientes gráficas
representa el producto escalar 2 a , donde a 2, ¯3 ?
7. Utilizando la figura de la derecha,
determina cuál de los enunciados es verdadero.
A. h g e k
B. c d − e f
C. e d g h
D. a b k g
N.OE. 11.1.3
Ilustra y aplica las propiedades de suma de vectores y multiplicación por un escalar para representar, investigar y resolver problemas.
TIPO DE ÍTEM: SM COMPLEJIDAD: DOK 2
8. Dado v 3, ¯1 y u ¯5, 8 , determina w u 2v .
A. w 6, 1
B. w ¯2, 7
C. w 1, 6
D. w 7, ¯2
N.OE. 11.1.3
Ilustra y aplica las propiedades de suma de vectores y multiplicación por un escalar para representar, investigar y resolver problemas.
TIPO DE ÍTEM: RC-C COMPLEJIDAD: DOK 2
9. Utiliza los vectores de la figura de la
derecha para graficar: 3u - 2v w
Solución:
N.OE. 11.1.3
Ilustra y aplica las propiedades de suma de vectores y multiplicación por un escalar para representar, investigar y resolver problemas.
TIPO DE ÍTEM: SM COMPLEJIDAD: DOK 1
*
w u
v
●
●
●
●
●
●
*
3
ESTÁNDAR 2: ÁLGEBRA
10. ¿Cuál de las siguientes alternativas
corresponde al dominio de la función representada?
A. {1, 5, 7, 8, 9} B. {2, 3, 4, 6, 10} C. {1, 3, 2, 9, 7} D. {1, 3, 7, 4, 10}
11. ¿Cuál de las siguientes alternativas corresponde al alcance de la función representada?
A. {A, H, K, R} B. {A, Z, G, N, H, T} C. {B, N, Q, T, Z} D. {B, R, Q, T, Z}
12. ¿Cuál de las siguientes alternativas corresponde al alcance de la función representada?
x g (x) 1 -2 2 3.9 3 1.1 4 5
A. {1, 2, 3, 4} B. {-2, 3.9, 1.1, 5} C. {5, 11, 39, -2} D. {4, 3, 2, 1}
13. ¿Cuál de las siguientes alternativas
corresponde al dominio de la función representada?
A. {-2, -8, 2.34, 1.6} B. {0.3, 0.5, -8, -9} C. {-2, -8, -3.21, -9} D. {0.3, 0.5, 2.34, 1.6}
14. ¿Cuál de las siguientes alternativas
corresponde al dominio de la función representada?
Población en edad de votar en Estados Unidos en 2000 (en millones)
A. {Hispanos, 21.3, Nativos, 1.6, Asiáticos 8.2}
B. {21.3, 1.6, 8.2, 24.6, 152.5} C. {Hispanos, Nativos
estadounidenses, estadounidenses asiáticos, Afroamericanos, Blancos}
D. {213, 16, 82, 246, 1525}
A.PR. 11.2.1
Determinar el dominio y el alcance de las funciones a partir de sus diferentes representaciones.
TIPO DE ÍTEM: SM COMPLEJIDAD: DOK 1
x f(x)
0.3 -2
0.5 -8
2.34 -3.21
1.6 -9
Hispanos 21.3
Nativos estadounidenses
1.6
Estadounidenses asiáticos
8.2
Afroamericanos 24.6
Blancos 152.5
*
*
*
*
*
4
15. ¿Cuál de las siguientes alternativas corresponde al alcance de la función representada?
{(1, 8), (2, 9), (3, 10), (4, 11), (5, 12)}
A. {1, 2, 4, 5} B. {8, 9, 10, 11, 12} C. {1, 2, 3, 4, 5} D. {8, 9, 3, 10, 5, 11, 12}
16.¿Cuál de las siguientes alternativas
corresponde al dominio de la función representada?
A. { x | x ϵ R ,−2 ≤ x ≤ 2 } B. { x | x ϵ R , 0 ≤ x ≤ 4 } C. { y | y ϵ R ,−2 ≤ x ≤ 2 } D. { y | y ϵ R , 0 ≤ x ≤ 4 }
A.PR. 11.2.1
Determinar el dominio y el alcance de las funciones a partir de sus diferentes representaciones.
TIPO DE ÍTEM: RC-C COMPLEJIDAD: DOK 1
17. Indica el dominio y el alcance de la
función:
{(2, 5), (3, 7), (4, 9), (5, 11)}
Solución:
D= {2, 3, 4, 5}; A = {5, 7, 9, 11}
18. Indica el dominio y el alcance de: {(0, 1),(1, 1),(2, 1),(3, 2),(4, 2),(5, 2)}.
Solución:
D= {0, 1, 2, 3, 4, 5}; A = {1, 2}
19. Indica el dominio de la función:
f (x) = 3x + 8
Solución: D = todos los números
reales.
20. Indica el dominio de la función:
g(x) = x + 2
Solución: D: 𝑥 ≥ −2
21.Indica el dominio de la función:
h(x) = 5−x
x−2
Solución: D: 2 < 𝑥 ≤ 5
22. Indica el dominio y el alcance de la función: f(x) = 2x + 5 Solución: D: (−∞,∞) A: (−∞,∞)
23. Indica el dominio y el alcance de la
función: h(x) = 1
2x + 2
Solución: D: −∞,∞ A: −∞,∞
24. Indica el dominio y el alcance de la
función: g(x) = 5
Solución: D: (−∞,∞) A: 5
A.PR. 11.2.1
Determinar el dominio y el alcance de las funciones a partir de sus diferentes representaciones.
TIPO DE ÍTEM: SM COMPLEJIDAD: DOK 2
25. Halla el dominio y el alcance de la
siguiente función:
h x = 3x − 12
A. Dominio = {𝑥 ≥ 0}, Alcance = {𝑦 ≥ 4}
B. Dominio = {𝑥 ≥ 4}, Alcance = {𝑦 ≥ 0} C. Dominio = {𝑥 > 0}, Alcance = {𝑦 > 4} D. Dominio = {𝑥 > 0}, Alcance = {𝑦 > 0}
*
*
*
5
26. Determina el dominio de la siguiente función sobre el conjunto de números reales:
f x = 1
1 − x2
A. Todos los números reales B. Todos los números reales
excepto 1 C. Todos los números reales
excepto -1 D. Todos los números reales
excepto 1 y -1
27. Si el dominio de la función:
f x = 2x2+ 4, es: Dominio = {x/−1 < x ≤ 2},
¿cuál será su alcance?
A. {6 ≤ y < 12} B. {6 < 𝑦 ≤ 12} C. {6 ≤ y ≤ 12} D. {6 < 𝑦 < 12}
A.PR. 11.2.2
Identifica y aplica las relaciones entre los puntos importantes de una función (ceros, puntos máximos, puntos mínimos), su comportamiento en los infinitos, la gráfica de la función, la naturaleza y el número de ceros de la función y su representación simbólica.
TIPO DE ÍTEM: SM COMPLEJIDAD: DOK 3
Utiliza la siguiente información para contestar los ejercicios 28 y 29. Los animales que saltan, siguen al brincar, trayectorias parabólicas. Una rana, parada a 5 pies de un edificio, da un salto cuya trayectoria está dada por la función:
2
1
2
3x2xf
2
28. ¿A cuántos pies del edificio caerá la rana?
A. 1 pie B. 2 pies C. 4 pies D. 6 pies
29. ¿Cuál será la altura máxima
alcanzada por la rana en su brinco?
A. 0.5 pies B. 1.0 pies C. 1.5 pies D. 2.0 pies
Utiliza la siguiente información para contestar los ejercicios 30 y 31. Se lanza un proyectil desde el suelo y su altura después de t segundos está dada por:
72t.12tA(t) 2
30. ¿Cuánto tiempo estará el proyectil en el aire?
A. 4 segundos B. 5 segundos C. 6 segundos D. 7 segundos
31. ¿Cuál será la altura máxima
alcanzada por el proyectil?
A. 100 pies B. 108 pies C. 125 pies D. 150 pies
32. Expresa la función f(x) = 2x2 – 16x + 23, en la forma f(x) = a (x – h)2 + k
A. f(x) = 4(x – 2)2 – 11 B. f(x) = 2(x – 4)2 – 9 C. f(x) = 4(x + 2)2 + 9 D. f(x) = 2(x + 4)2 + 11
*
*
*
*
*
*
*
*
6
33. Halla el valor máximo o mínimo de la función: f(x) = 8x – 12 – x2.
A. punto máximo: f (4) = 4 B. punto mínimo: f (4) = 4 C. punto máximo: f (-4) = 36 D. punto mínimo: f (-4) = 36
34. Si f(x) = 3x2 – 12x + 7, el intercepto
en el eje de y es:
A. (0, 3) B. (0, 7) C. (3, 0) D. (7, 0)
35. La ecuación para el eje de simetría
de una parábola está dada por:
A. 2a
bx
B. 4acbx 2
C. b
2acx
D. 2abcx 36. Para una función cuadrática, si
b2 – 4ac > 0, entonces la función:
A. no tiene intercepto en el eje de x. B. tiene un solo intercepto en el eje de x. C. tiene dos interceptos en el eje de x. D. corta el eje de y pero no el de x. 37. El vértice de la parábola f(x) = – 2x2 + 12x, es:
A. (3, 18) B. (– 3, 24) C. (4, 12) D. (– 4, 9)
38. Si para una función cuadrática, b2 – 4ac < 0, ¿cuál de las siguientes gráficas ilustra mejor la función?
39. ¿Cuál de las siguientes gráficas
representa la función f(x) = 8 – 2x – x2?
40. La función f(x) = – (x + 1)2 + 9,
expresada en la forma f(x) = ax2 + bx + c es:
A. f(x) = x2 + 2x – 9 B. f(x) = – x2 – 2x + 8 C. f(x) = – x2 + x – 9 D. f(x) = x2 – x – 8
41. Los interceptos en el eje de x de la
función f(x) = x2 + 5x + 4 son:
A. (1, 0) y (4, 0) B. (–1,0) y (4, 0) C. (1, 0) y (–4, 0) D. (–1, 0) y (–4, 0)
*
*
*
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*
*
*
7
42. El alcance de la función f(x) = 3x2 + 24x + 50 es:
A. [ 4 , )
B. 2,4
C. [2, )
D. 2,
43. Para una función polinómica de
grado 5, ¿cuál de las siguientes aseveraciones será cierta?
A. Tiene 5 ceros reales. B. Tiene 3 ceros reales y dos
complejos. C. Tiene al menos un cero real. D. Tiene 5 ceros complejos.
44. Si f(x) = ax2 + bx + c y a es negativo,
la gráfica de la función abrirá hacia:
A. arriba B. la derecha C. abajo D. la izquierda
45. Si f(x) = (x + 1)2 + 4, el intercepto
en el eje de y será:
A. (0, 5) B. (0, 4) C. (0, 6) D. no existe
46. La ecuación para el eje de simetría
de la función f(x) = 2x2 + 12x + 13 es:
A. x = – 3 B. x = 6 C. x = 2 D. x = – 4
47. La ecuación de la parábola cuyos interceptos con el eje de x son (-4, 0) y (1, 0) y pasa por el punto (-2, -6) es:
A. 22
3x
2
xy
2
B. 43xxy 2
C. 86x2xy 2
D. 2
34
2
2
xx
y
48. De la función f(x) = 1
2(x + 2)2 – 4,
podemos afirmar que:
A. Tiene tres ceros. B. Tiene dos ceros. C. No tiene ceros. D. Tiene un cero.
49. De la función f(x) = |x + 2|, podemos
afirmar que:
A. Tiene tres ceros. B. Tiene dos ceros. C. No tiene ceros. D. Un cero.
50. Para f(x) = x4 – 16, los ceros son:
A. (0, -2) B. (-2, 0) C. (-2, 2) D. (0, -2)
51. La siguiente gráfica representa una
función con:
A. Un cero B. Dos ceros C. Tres ceros
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
8
6
4
2
-2
-4
-6
-10 -5 5 10
6
4
2
-2
-4
-6
-10 -5 5 10
D. No tiene ceros 52. La función f(x) = (x – 3)2 + 2 tiene:
A. Punto máximo B. Punto mínimo C. No se puede determinar D. No es una función
53. El par ordenado que identifica el
punto máximo de la siguiente gráfica es:
A. (-2,4) B. (2,4) C. (4,4) D. (0,4)
54. El par ordenado que identifica el
punto mínimo de la siguiente gráfica es:
A. (0,-4) B. (0,-3) C. (1,-4) D. (-1,-4)
55. La gráfica que corresponde a la función f(x) = x es:
56. La siguiente gráfica representa una
función:
A. Decreciente en (−∞,∞)
B. Decreciente en ( −∞, 0]
C. Creciente en [ 0, ∞) D. Constante en (−∞,∞)
57. La siguiente gráfica representa una
función:
A. Decreciente en (−∞,∞)
B. Decreciente en ( −∞, 0] C. Creciente en [ 0, ∞) D. Constante en (−∞,∞)
58. Los ceros de la función y = x3 + 2x2 – 5x – 6, son:
A. -3, -1, 2 B. -3, -1, 4 C. -3, 2, 0 D. -1, 2, 3
59. ¿Cuál de las siguientes funciones
no tiene ceros?
A. f(x) = -5x + 3 B. f(x) = x – 5 C. f(x) = -5 D. f(x) = 3x + 5
6
4
2
-2
-4
-6
-10 -5 5 10
6
4
2
-2
-4
-6
-10 -5 5 10
*
*
*
*
*
*
*
9
60. El cero de la función f (x) = 2 x - 3, es:
61. Calcula los ceros de la función:
f(x) = x3 – x = 0
Recuerda que debes anotar tu respuesta en la hoja de contestaciones. No olvides contestar todas las partes de la pregunta. Solución:
f(x) = x3 – x = 0 x(x2 – 1) = x(x – 1)(x + 1) = 0
𝑥 = 0, 1,−1 En los ejercicios 62 y 63, grafica y encuentra el máximo o mínimo.
62. Sea f(x) = (x – 3)² + 2 A. Traza la gráfica de la función. B. Encuentra el punto máximo y el
punto mínimo.
Recuerda que debes anotar tu respuesta en la hoja de contestaciones. No olvides contestar todas las partes de la pregunta.
Solución: Mínimo f(x) = f(3) = 2
63. Sea f(x) = - (x + 3)² - 2
A. Traza la gráfica de la función. B. Encuentra el punto máximo y el
punto mínimo.
Recuerda que debes anotar tu respuesta en la hoja de contestaciones. No olvides contestar todas las partes de la pregunta.
Solución: Máximo f x = f −3 = −2
10
8
6
4
2
-5 5 10
Vértice=(3,2)
Eje: x=3
8
6
4
2
-2
-4
-6
-8
-5 5
Eje: x=-3
Vértice=(-3,-2)
A.PR. 11.2.2
Identifica y aplica las relaciones entre los puntos importantes de una función (ceros, puntos máximos, puntos mínimos), su comportamiento en los infinitos, la gráfica de la función, la naturaleza y el número de ceros de la función y su representación simbólica.
TIPO DE ÍTEM: RC-C COMPLEJIDAD: DOK 2
10
64. Sea f(x) = x² + 6x +11
A. Traza la gráfica B. Intervalos creciente C. Intervalos decreciente
Recuerda que debes anotar tu respuesta en la hoja de contestaciones. No olvides contestar todas las partes de la pregunta.
Solución: Crece en [-3,∞) Decrece en [- , -3)
65. Sea f(x) = -x² + 6x – 6
A. Traza la gráfica B. Intervalos creciente C. Intervalos decreciente
Recuerda que debes anotar tu respuesta en la hoja de contestaciones. No olvides contestar todas las partes de la pregunta. Solución: Crece en [- ,3
Decrece en [3, ∞)
66. La siguiente función:
f x = −4x3 + 16x2 − 4x − 24, satisface f −2 = 80 y tiene tres ceros: -1, 2 y ___. Menciona, en la cuadrícula, el cero que falta.
Solución: Los ceros son -1, 2 y 3. Recuerda que debes anotar tu respuesta en la hoja de contestaciones. No olvides contestar todas las partes de la pregunta.
67. La siguiente función polinómica:
f x = 3x3 + 3x2 − 36x, tiene los siguientes ceros - 4, 3, 0. Menciona, en la cuadrícula, qué valor satisface:
f 2 = _____.
Solución: f 2 = −36 Recuerda que debes anotar tu respuesta en la hoja de contestaciones. No olvides contestar todas las partes de la pregunta.
4
2
-2
-5 5 10
Eje
x = 3
Vértice
(3,3)
11
68. Indica, en la siguiente gráfica de f(x), ¿cuál valor satisface tanto la intersección con el eje de x como con el eje de y? Asume que la gráfica se extiende más allá de la parte ilustrada en la figura.
Solución: 0 Recuerda que debes anotar tu respuesta en la hoja de contestaciones. No olvides contestar todas las partes de la pregunta. 69. Encuentra el mínimo de la siguiente
función: f x = (x − 3)2 + 2, si
f 3 = _____ . Indica en la cuadrícula.
Solución: 2
Recuerda que debes anotar tu respuesta en la hoja de contestaciones. No olvides contestar todas las partes de la pregunta. 70. Utiliza la siguiente gráfica para
indicar el valor de x con el que comienza el intervalo en el que la función se torna creciente.
[ ____, ∞). Indica en la cuadrícula.
Solución: -1
Recuerda que debes anotar tu respuesta en la hoja de contestaciones. No olvides contestar todas las partes de la pregunta.
10 5 5 10
3
2
1
1
2
3
8
6
4
2
-2
-4
-6
-8
-5 5
12
A.PR. 11.2.3
Determina el número y la naturaleza de soluciones de una ecuación polinómica con coeficientes reales sobre los números complejos.
TIPO DE ÍTEM: SM COMPLEJIDAD: DOK 1
71. El discriminante de una ecuación
cuadrática: ax² + bx +c = 0, está dado por la expresión: b² - 4ac.
Si el discriminante de 2x² + 3x + 4, es: 3² - 4 (2)(4) = -23, entonces la ecuación tendrá:
A. dos soluciones. B. una solución real y otra
compleja. C. dos soluciones complejas D. dos soluciones iguales
A.PR. 11.2.4
Reconoce y describe la continuidad, las asíntotas, la simetría (funciones pares e impares) y relaciona estos conceptos con la gráfica de la función.
TIPO DE ÍTEM: SM COMPLEJIDAD: DOK 1
72. Indica cuáles de las siguientes
gráficas representan funciones:
A. Gráficas A, B y C B. Gráficas A, C y D C. Gráficas B, C y D D. ninguna
73. La función f(x) = 1
x es discontinua
para:
A. 1 B. 0 C. No es discontinua D. -1
74. Indica cuál de las siguientes gráficas
de funciones tiene puntos de discontinuidad. Asume que las gráficas se extienden más allá de los segmentos ilustrados.
75. La función f(x) = x2−6x+9
x2+x− 2 tiene
puntos de discontinuidad en:
A. x = −2 y x = −1 B. x = 0 y x = −2 C. x = 2 y x = −2
D. x = −2 y x = 1 76. Encuentra la asíntota horizontal y la
vertical de g x = 3x
x2− x−6:
A. y = no tiene; x = −2, x = 3 B. y = 2; x = no tiene C. y = 0; x = −2, x = 3 D. No tiene asíntotas
*
*
*
*
*
13
77. La función f x = x2 − 3x−4
x−2 tiene
asíntotas:
A. Vertical, oblicua B. Oblicua, horizontal C. Horizontal, vertical D. No tiene asíntotas
78. ¿Cuál gráfica tiene como asíntota
horizontal y = 1 y asíntota vertical
x = 2, únicamente?
A. Gráfica 1 B. Gráfica 2 C. Gráfica 3 D. Gráfica 4
79. Indica la simetría de la función:
f(x) = x2 A. Origen B. Eje x C. Eje y D. No tiene simetría
80. Indica la simetría de la función:
f(x) = x3 A. Origen B. Eje x C. Eje y D. No tiene simetría
81. Indica la simetría de la función:
f x = 9x2 − 36 A. Origen B. Eje x C. Eje y D. Todas las anteriores
82. Indica la simetría de la función:
f(x) = x A. Origen B. Eje x C. Eje y D. No tiene simetría
83. Indica la simetría de la función:
f(x) = x2 + 4 A. Par B. Impar C. No se puede determinar D. Ninguna de las anteriores
84. Indica cuál de las siguientes
funciones es par:
A. f x = 3x4 − 2x2 + 5
B. f x = 2x5 − 7x3 + 4x C. f x = x3 + x2 D. f x = x2 − x + 1
85. Indica cuál de las siguientes
gráficas representa una función con simetría impar:
C.
*
*
*
*
*
*
*
*
14
86. Encuentra la ecuación de la función
racional f que satisface la siguentes condiciones: asíntota vertical: x = 4; asíntota horizontal: y = −1;
e intercepto en x: 3
A. f x =3−x
x−4
B. f x =x+2
x+1
C. f x = x − 4 D. f x = x − 2
87. ¿Cuál de las siguientes funciones no tiene simetría par ni impar?
88. Si (3,0) es un punto de la gráfica
y = f(x), ¿cuál de los siguientes pares ordenados forma parte de la gráfica de y = −f(x)?
A. (0, 3) B. (0, -3) C. ( 3, 0) D. (-3, 0)
A.PR. 11.2.4
Reconoce y describe la continuidad, las asíntotas, la simetría (funciones pares e impares) y relaciona estos conceptos con la gráfica de la función.
TIPO DE ÍTEM: RC-E COMPLEJIDAD: DOK3
89. Considera la siguiente función f x = |x|
A. Traza la gráfica de f . B. Encuentra el dominio y contra
dominio de f. C. Determina si la función es par
o impar. D. Determina los intervalos en
los que f es creciente o decreciente.
Recuerda que debes anotar tu respuesta en la hoja de contestaciones. No olvides contestar todas las partes de la pregunta.
Solución:
Cuando x ≥ 0 se tiene f(x) = x, por
consiguiente, los puntos (x, x) del primer
cuadrante están sobre la gráfica de f.
Algunos de estos puntos son:
(0, 0), (1, 1), (2, 2), (3, 3) y (4, 4).
4
2
-2
-5 5 10
(4,4)
(3,3)
(2,2)
(1,1)
*
*
15
Cuando x ≤ 0, los valores que se obtendrán para y son también positivos, así que estarán en el segundo cuadrante sobre la recta f(x) = -x.
La función f es par, puesto que
| − x| = |x| y concluimos que la gráfica
es simétrica con respecto al eje de y.
El dominio de f es 𝑅 y el co dominio es
[0,∞). Nótese que esta función es
decreciente en (−∞, 0) y creciente en
[0,∞).
90. Dada la función f x =|x|
x , indica
en la cuadrícula, para qué valor de x la función es discontinua.
Solución: f(x) = -1 si x < 0 1 si x > 0 Dominio: x ≠ 0 ó (- ∞, 0) U (0, ∞) Discontinua en x = 0 Alcance: {-1, 1}, (un conjunto, no un intervalo)
91. Encuentra todas las asíntotas verticales, horizontales y oblicuas de las siguientes funciones. No traces la gráfica.
A. f x = 2x
x−4
B. p x = x3
x2+2
C. f(x) = 2x
x4+1
Recuerda que debes anotar tu respuesta en la hoja de contestaciones. Solución:
a) asíntota vertical: x = 4 b) asíntota vertical: no hay c) asíntota vertical: no hay a) asíntota horizontal: y = 2 b) asíntota horizontal: no hay c) asíntota horizontal: y = 0
a) asíntota oblicua: no hay b) asíntota oblicua: y = x c) asíntota oblicua: no hay
A.PR. 11.2.5
Compara y contrasta las características de las diferentes familias de las funciones: polinómica, racionales, radicales, exponenciales, logarítmicas, trigonométricas y funciones definidas por partes, representadas de múltiples formas.
TIPO DE ÍTEM: SM COMPLEJIDAD: DOK 2
92. ¿Cuál es la diferencia entre la
función polinómica:
f x = x + 4 y la función racional:
g x = x2+ 7x+12
x+4 ?
A. g(x) no tiene intercepto con el eje de y.
B. f(x) no tiene un límite máximo. C. f(x) es una recta y g(x) es una
curva. D. g(x) no está definida en un punto. *
16
93. ¿Qué podemos decir de la función logarítmica y la función exponencial?
A. La función logarítmica es la inversa
de la función exponencial. B. La función logarítmica es lo mismo
que la función exponencial. C. La función logarítmica tiene
exponente y la función exponencial tiene logaritmos.
D. Las funciones no se puede comparar.
94. ¿A qué familia de funciones
pertenece la función representada en la siguiente gráfica?
A. Funciones Polinómicas B. Funciones Racionales C. Funciones Radicales D. Funciones Exponenciales
95. ¿A qué familia de funciones
pertenece la función representada en la siguiente gráfica?
A. Funciones Exponenciales B. Funciones Logarítmicas C. Funciones Trigonométricas D. Funciones Definidas por
partes
96. ¿A qué familia de funciones pertenece la función representada en la siguiente gráfica?
A. Funciones Exponenciales B. Funciones Logarítmicas C. Funciones Trigonométricas D. Funciones Definida por partes
97. ¿A qué familia de funciones pertenece la función representada en la siguiente gráfica?
A. Funciones Exponenciales B. Funciones Logarítmicas C. Funciones Trigonométricas D. Funciones Definida por partes
98. ¿A qué familia de funciones
pertenece la función representada en la siguiente gráfica?
A. Funciones Exponenciales B. Funciones Logarítmicas C. Funciones Trigonométricas D. Funciones Definida por partes
*
*
*
*
*
*
17
99. ¿A qué familia de funciones pertenece la función representada en la siguiente gráfica?
A. Funciones Exponenciales B. Funciones Logarítmicas C. Funciones Trigonométricas D. Funciones Definida por partes
100. La función f(x) = 3x+2, es una
función: A. Logarítmica B. Trigonométrica C. Exponencial D. Racional
101. La función f(x) = sen(x) + cos (x),
es una función: A. Trigonométrica B. Exponencial C. Racional D. Logarítmica
102. Si definimos la función f x = x2 para: {x | x ≥ 0}, ¿cuál será la gráfica de su función inversa?
103. ¿Cuál es la gráfica que representa
la ecuación 𝑦 = 1
3
x?
A.PR. 11.2.5
Compara y contrasta las características de las diferentes familias de las funciones: polinómicas, racionales, radicales, exponenciales, logarítmicas, trigonométricas y funciones definidas por partes, representadas de múltiples formas.
TIPO DE ÍTEM: RC-C
COMPLEJIDAD: DOK3
104. ¿Cuál es la diferencia entre una
función polinómica y una función racional?
Solución: Las funciones polinómicas son la suma de una o más funciones de variación directa. Las funciones racionales son una división que pueden tener funciones polinómicas, pero las funciones polinómicas no pueden tener funciones racionales.
*
*
*
*
18
105. ¿Cuál es la diferencia entre la gráfica de la función radical y la función cuadrática?
Solución: La gráfica de la cuadrática es en forma de U y la radical es la mitad de la U pero horizontalmente.
106. Compara f(x) = x3 y g(x) = 𝑥.
El dominio de 𝑥, x3 son distintos, la función x3 es simétrica con respecto al
origen , mientras que 𝑥 no tiene
simetría.
A.PR. 11.2.6
Describe y contrasta las funciones elementales comunes (representadas simbólicamente y gráficamente).
TIPO DE ÍTEM: RC-C COMPLEJIDAD: DOK 3
A.PR. 11.3.1
Encuentra, interpreta y traza la gráfica de la suma, la resta, la multiplicación y la división (cuando existe) de dos funciones.
TIPO DE ÍTEM: RC-C COMPLEJIDAD: DOK 2
107. ¿Cuál de las siguientes gráficas representa la suma de las funciones g(x) + h(x)?
g(x) = x2 – 4 h(x) = 2x + 3
108. ¿Cuál de las siguientes gráficas representa la multiplicación de las funciones f(x) g(x)?
f(x) = 3x + 1
g(x) = 2x – 2
f(x) = x3
19
109. Dadas f(x) = 2x2 + 3x – 5 y g(x) = 4x2 – 2x + 1 entonces f(x) + g(x) es:
A. 6x2 – x – 4
B. 6x2 + x + 4
C. 6x2 + 5x + 4
D. 6x2 + x – 4
110. Dadas f(x) = x + 5 y g(x) = x − 7, entonces f(x) g(x) es:
A. (x + 5)(x – 7)
B. x − 5 (x + 7)
C. (x – 5)(x + 7)
D. x + 5 (x − 7)
111. ¿Cuál de las siguientes gráficas representa la resta de las funciones f(x) – g(x)?
f(x) = x + 2
g(x) = 2x2 – 4x
112. Si f(x) = x – 5 y g(x) = x – 1,
entonces, f(x)
g x es:
A. x – 1
B. x – 5
C. x−1
x−5
D. x−5
x−1
113. Si f(x) = x + 2 y g(x) = 3x – 6 entonces:
A. Halla f(x) + g(x) B. Construye la gráfica
*
*
*
20
A.PR. 11.3.2
Compone y descompone dos funciones, determina su dominio y el alcance de su gráfica. Utiliza la composición de funciones para determinar si las funciones son inversas.
TIPO DE ÍTEM: SM COMPLEJIDAD: DOK 3
114. Dadas f(x) = x3 + 1 y g(x) = x , sus dominios respectivos utilizando la notación de intervalos son:
A. (-∞ , ∞) y ( 0, ∞) B. (-∞ , ∞) y [ 0, ∞) C. [ 0, ∞) y (- ∞ , 0) D. ( 0, ∞) y (- ∞ , 0)
115. Si f(x) = 2x2 + 1 y g(x) = 4x,
gf (x) y fg (x) son
respectivamente:
A. 32x +1 y 8x+4 B. 32x2 +1 y 8x2+4 C. 32x +1 y 8x2+4 D. 32x2 +1 y 8x+4
116. La función y = f(x) = 4x se descompone en las funciones:
A. y= x ; y = x – 4
B. y = 4x ; y = x
C. y = x ; y = x + 4
D. y = x – 4; y = 4x
Utilice la siguiente información para contestar los ejercicios 117 y 118.
Dadas f(x) = x y g(x) = x + 3 117. El dominio de f(x) es:
A. (0, ∞) B. (-∞, 0] C. [0, ∞ ) D. (0, ∞ )
118. La expresión xgf equivale a:
A. x + 3 x
B. 3x
C. 3x
D. x + x + 3
119. Dadas las funciones f(x) = x 2 +1 y
g(x) = x - 3, la gráfica de xgf es:
120. Dadas f(x) = x y g(x) = 4
1
x ,
sus respectivos dominios usando la notación de intervalo son: A. [0, ∞) y (-∞, 4) U ( 4, ∞) B. ( 0, ∞) y (-∞, 4] U [ 4, ∞) C. (-∞, 0) y (-∞, 4) U ( 4, ∞) D. (-∞, 0] y (-∞, 4] U [ 4, ∞)
*
*
*
*
*
*
21
121. Utilizando las funciones del ejercicio anterior, la expresión xgf y su dominio son
respectivamente;
A.4x
1
y x ≥ 4
B. 4x
1
y x 4
C. 4x
1
y x < 4
D. 4x
4x
y x > 4
122. Dadas f(x) = 2x - 3 y g(x) = x - 4,
la gráfica de xgf es:
A.PR. 11.4.4
Traza la gráfica de funciones de
la forma: f (t ) = a sin ( bt + c ) + d
e interpreta a, b, c y d en términos de amplitud, frecuencia, periodo, deslizamiento vertical y cambio de fase.
TIPO DE ÍTEM: SM COMPLEJIDAD: DOK 2
123. El número de horas de luz durante
el día en un lugar en particular es aproximado por la siguiente
función: 1279t365
2πsen
2
kD(t)
,donde t es el número de días desde enero 1 (donde t = 0).
Sabiendo que en el Polo Norte D(t) = 0 en enero 1, halla el valor de k en el Polo Norte.
A. 15978.1011
B. 334567.32 C. 4532.125
D. 54678.45
124. La amplitud de: sen(4x)2
3f(x)
es:
A. 4
B. 2
3
C. 2
π
D. 2
125. El periodo de sen(4x)2
3f(x) es:
A. 4
B. 2
3
C. 2
π
D. 2 126. El valor máximo de la función f(x) = 2 sen (x + π ) – 2 es:
A. 4 B. 2 C. 0 D. – 2
127. El valor mínimo de la función f(x) = 2 sen (x + π ) + 2 es:
A. 4 B. 2 C. 0 D. – 2
* *
*
*
*
*
22
128. ¿Cuál de las siguientes gráficas representa un ciclo de la función
f(x) = sen
2
πx ?
129. Para 6π)2sen(3xy , indica el
desfase de la función:
A. 2
π
B. 3
π
C. 6
π
D. 2
3π
130. ¿Cuál es el periodo de la función y = sen (x) ?
A. 2
π
B. π
C. 2π
D. 3π
131. Si trazamos un ciclo de la función
f(x) =
2
πxsen , veremos el
mismo en el plano entre:
A. 2
3πy
2
π
B. 2
5
2
y
C. 3
7
3
y
D. 4
7
4
y
132. La gráfica de π3xsenf(x) es:
133. La amplitud de la función seno está
dada por:
A. a
B. b
C. c
D. d
134. La función y = sen (x) es:
*
*
*
* *
23
A. par B. impar C. ambas D. ninguna
135. El dominio de la función y = sen(x) es :
A. (0, ) B. [–1, 1]
C. ,
D. 0, 136. EL alcance de la función y = sen (x) es:
A. (0, ) B. [–1, 1]
C. ,
D. 0,
137. El valor máximo de la función y = sen (x) es:
A. 1 B. – 1 C. 2 D. – 2
138. El valor mínimo de la función y = sen (x) es:
A. 1 B. – 1 C. 2 D. – 2
139. La amplitud de la función y = 2 sen (3x - π ) es:
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
140. En f(x) = a sen (bx + c) + d, la d representa:
A. desplazamiento. horizontal B. desplazamiento vertical C. amplitud D. desface
141. El desface de la función
3
π2x3senf(x) es:
A. 2
πx
B. 4
πx
C. 6
πx
D. 2
3πx
142. La amplitud de la función
representada en la gráfica de la derecha es:
A. -2 B. -1 C. 0 D. 1
143. La amplitud de la función representada en la gráfica de la derecha es:
A. 4 B. 2 C. 1 D. -2
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
24
144. La amplitud de la función representada en la gráfica de la derecha es:
A. 2 B. 4 C. 6 D. 7
145. En la siguiente expresión;
a sen bx + c + d, ¿Qué letra representa el desplazamiento vertical?
A. d B. c C. b D. a
146. En la siguiente expresión,
2 sen 3x + 1 − 5 ¿qué número representa la amplitud?
A. -5 B. -2 C. 1 D. 2
147. Dada f x = 3 sen 2x + 4 − 5 , halla el punto terminal.
A. xf = π − 2
B. xf = π + 2 C. xf = 3π + 2 D. xf = π − 3
148. Sea f x = 2 sen 3x + 6 − 5, halle el punto inicial.
A. xi = −2 B. xi = −1 C. xi = 1 D. xi = 2
149. Observa la gráfica original y su desplazamiento. ¿Cuál desplazamiento evidencia la gráfica 2 respecto a la gráfica 1?
A. Cuadrático B. Vertical. C. Horizontal. D. Lineal
150. Sea f x = 3 sen 2x + 4 − 5, halla el periódo de la función.
A. π B. π + 2
C. π − 2 D. 2 π
151. Sea f x = 3 sen 2x + 6 − 5, halla el cambio de fase.
A. -3 B. -2 C. 3 D. 4
152. ¿Cuál es el desplazamiento vertical de la función:
f x = sen(x) ?
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
*
*
*
*
* *
*
*
*
Gráfica 2
Gráfica 1
25
153. Observa la gráfica 1 y la gráfica 2. La gráfica 2 evidencia el desplazamiento. ¿Cuántas unidades se desplazó hacia abajo?
Gráfica 1
Gráfica 2
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
154. Observa la siguiente gráfica. Asume que la gráfica representa el mecanismo de la respiración normal.
¿Cuántas veces respiramos aproximadamente en 1 minuto?
A. 2 B. 8 C. 10 D. 15
155. Observa la siguiente gráfica que representa los volúmenes pulmonares.
El tidal volume significa la respiración normal. ¿Cuántos litros de aire se mueven aproximadamente en la respiración normal de acuerdo a la gráfica?
A. 3 litros B. 2 litros C. 1 litro D. 0.5 litro
156. Observa la siguiente gráfica que
representa el mecanismo de la respiración normal. ¿Cuántos litros de aire se mueven en la respiración?
A. 0.10 B. 0.35 C. 0.70 D. 0.90
*
*
*
*
26
ESTÁNDAR 3: GEOMETRÍA
G.FG.11.5.1 Desarrolla y aplica la definición de las funciones seno y coseno para resolver triángulos
TIPO DE ÍTEM: SM COMPLEJIDAD: DOK 2
157. Halla el valor de x.
X 10 cm
A. 35 cos(10) B. 35 sen(10) C. 10 cos(35) D. 10 sen(35)
158. Halla el valor de h. h 25 cm A. 40 sen(25) B. 40 cos(25) C. 25 cos(40)
D. 25 sen(40)
159. La sombra del tótem de la plaza del V Centenario del Descubrimiento de Puerto Rico mide 57.98 pies. Si el ángulo de elevación del Sol es de 34.6 grados, halla la altura del tótem.
A. 57.98 sen(34.6)
B. 57.98 cos(34.6) C. 34.6 sen(57.98) D. 34.6 cos(57.98)
160. ¿Cuál es la razón de los lados correspondiente a la función trigonométrica cos 𝜃?
b c
a
A. 𝑎
𝑏
B. 𝑏
𝑐
C. 𝑎
𝑐
D. 𝑏
𝑎
161. Encuentra el seno del ángulo 𝛼.
A. 2
2
B. 1
C. 2
2 2
D. 2 2
2
162. Encuentra el coseno del ángulo 𝜃.
A. 5
4
B. 3
4
C. 4
3
D. 3
5
40o
*
*
*
*
* *
35o
O
H
V 2
2
C
A
B 4
3 5
27
163. Encuentra el coseno del ángulo 𝜃.
A. 6
10
B. 8
10
C. 6
8
D. 8
6
G.FG.11.5.1 Desarrolla y aplica la definición de las funciones seno y coseno para resolver triángulos.
TIPO DE ÍTEM: RC-C COMPLEJIDAD: DOK 2
En los ejercicios 164 al 166 resuelve cada triángulo rectángulo. En cada caso, C = 90o.
164. A = 28o, c = 17.4 pies Solución:
B = 62o a = 17.4 sen (28o ), b = 17.4 cos(28o )
165. B = 46o , c = 29.7 m Solución:
A= 44o
a =29.7 cos (46)
b = 29.7 sen (46)
166. B = 82o 51’, c = 4.825 cm
Solución:
A= 7.15o
a = 4.825 cos (82.85 o)
b = 4.825 sen (82.85 o)
G.FG.11.5.1 Desarrolla y aplica la definición de las funciones seno y coseno para resolver triángulos.
TIPO DE ÍTEM: RC-E COMPLEJIDAD: DOK 2
167. Resuelve el triángulo rectángulo
con c = 6. 25 pies y β = 32.2o. Encuentra A, a y b.
Solución: Α = 90o - 32.2o = 57.8o y
α y β son complementarios.
sen β =𝑏
𝑐
sen (32.2o) = 𝑏
6.25
b = 6.25 sen (32.2o )= 3.33 pies
cos (32.2o) = 𝑎
6.25
a = 6.25 cos ( 32.2o) = 5.29 pies
168. La escalera de un coche de bomberos está apoyada contra una pared. Halla la distancia que sube la escalera sobre la pared si forma un ángulo de 43o50’ con respecto al piso.
Solución:
13.5 sen (43.83) = 9.35 metros
*
C
A
B 8
6 10
28
169. La distancia entre el tope del edificio y su sombra es 350 pies. El ángulo entre el tope del edificio y el final de la sombra es de 23o. Halla la altura del edificio y la medida de la sombra.
Solución:
Altura = 350 sen 23 = 136.75
Medida de la sombra =
350 cos 23 = 322.18
G.FG.11.5.2
Desarrolla las identidades pitagóricas trigonométricas fundamentales de suma y diferencia, doble ángulos, funciones secante, cosecante, tangente y cotangente. Utiliza estas identidades para simplificar expresiones trigonométricas y resolver triángulos.
TIPO DE ÍTEM: SM COMPLEJIDAD: DOK 1
170. 1 – cos2θ =
A. cos2 θ B. sen2 θ C. cos θ D. sen θ
171. sen2 α – 1 =
A. -sen2 α B. sen2 α C. -cos2 α D. cos2 α
172. 1 – sec2 x =
A. sen2x
B. −sen2x
C. tan2x
D. −tan2x
173. 1−sen 2θ
1−sen θ− 1 =
A. sen2θ
B. senθ
C. cos2θ
D. cosθ
174. cos 600 − 450 = A. cos 60°cos 60° + sen 45° sen 45° B. cos 45°cos 60° + sen 45° sen 60° C. cos 60°cos 45° + sen 60° sen 45° D. cos 60°cos 60° + sen 45° sen 45°
175. sen (π/2 – π/6) = A. sen π/2 cos π/6 - cos π/2 sen π/6 B. cos π/2 cos π/6 - sen π/2 sen π/6 C. cos π/2 sen π/6 - sen π/2 cos π/6 D. sen π/6 cos π/2 - cos π/6 sen π/2
176. sen 3θ cos θ - cos 3θ sen θ =
A. sen 4θ B. sen 3θ C. sen 2θ D. sen θ
177. 2cos 2α sen 2α =
A. sen 4α B. cos 4α C. sen 2α D. cos 2α
*
*
*
*
*
*
*
*
29
178. 1 – 2sen2 4° =
A. sen 4° B. sen 8° C. cos 4° D. cos 8°
179. cos2 2t - sen2 2t =
A. sen 2t B. sen 4t C. cos 2t D. cos 4t
180. cos θ csc θ =
A. sec θ B. cot θ C. csc θ D. tan θ
G.FG.11.5.2
Desarrolla las identidades pitagóricas trigonométricas fundamentales de suma y diferencia, doble ángulos, funciones secante, cosecante, tangente y cotangente; los cuales utiliza para simplificar expresiones trigonométricas y resolver triángulos.
TIPO DE ÍTEM: RC-C COMPLEJIDAD: DOK1
181. Demuestra que la siguiente ecuación es una identidad trigonométrica. 1 + tan2 θ = sec2θ 182. Demuestra que la siguiente ecuación es una identidad trigonométrica. sec β – cos β = senβ tanβ
G.FG.11.5.5
Utiliza la Ley de Seno, la Ley de Coseno para hallar las medidas desconocidas de los lados y los ángulos de un triángulo.
TIPO DE ÍTEM: SM COMPLEJIDAD: DOK2
183. Halla el valor de x, aplicando la Ley
de Seno, XYZ si 33Xm ,
47Zm , z = 4. (Utiliza sen 33° = 0.5446 y para el cos 47° = 0.6820.)
A. x = 5.2 B. x = 10.4 C. x = 12.54 D. x = 1.04
Utiliza la siguiente figura para resolver los ejercicios 184 al 186: Supongamos que en el triángulo de la figura 1 a = 9 m, b = 5 m, = 30°
184. La medida del ángulo aplicando
la Ley de Seno es:
A.
5
9sen30en 1
s
B.
9
5sen30sen 1
C.
9
5sen50en 1
s
D.
9
5sen60sen 1
*
*
*
*
*
30
185. La medida de lado c aplicando la Ley de Seno es:
A. 60sen
sen γ 5
B. 60sen
sen γ 9
C. 30sen
γcos 9
D. 30sen
sen γ 9
186. La medida del ángulo aplicando
la Ley de Seno es:
A.
5
csen30sen 1
B.
9
csen30sen 1
C.
9
csen50en 1
s
D.
9
csen60sen 1
187. Utiliza la figura para el ejercicio
que sigue a continuación: Supongamos que en el triángulo a = 9 m, b = 2.5 m, = 130°. Encuentra
la longitud del tercer lado (c):
188. Refiriéndonos a la siguiente figura, ¿cuál segmento parece más largo?
AB o AC ?
Verifica tu respuesta con la Ley de Seno para hallar AB y AC, los cuales se expresan de la siguiente manera, respectivamente.
189. La altura de un triángulo isósceles es 16cm y uno de sus ángulos iguales mide 35°. Calcula la medida del lado opuesto al ángulo recto. Utiliza la figura para completar el ejercicio.
A C
B
3
D
*
*
*
*
*
31
190. Llamemos b al ángulo de 27° porque está opuesto al lado B; a al ángulo de 43° y A al lado de 5. Buscar la medida de los lados B y C respectivamente redondeando los resultados a la décima más cercana. (Utiliza la Ley de Seno)
A. B = 3.5 y C = 6.8 B. B = 3.3 y C = 6.8 C. B = 3.8 y C = 6.9 D. B = 3.3 y C = 6.9
191. Llamemos a al ángulo de 25°
porque está opuesto al lado A, C al lado que mide 12 porque está opuesto al ángulo c y B al lado de 9 porque está opuesto al lado b. Utiliza la Ley de Coseno para hallar la medida del lado A a la décima más cercana.
A. A = 5.4 B. A = 5.5 C. A = 5.6 D. A = 6
192. Determina, utilizando la Ley de
Coseno, el valor del lado C dado que A = 20m, B = 8m y = 60°. Observa la siguiente figura para llevar a cabo el ejercicio.
A. 17.44m B. 18.51m C. 17.54m D. 18.44m
G.FG.11.5.5
Utiliza la Ley de Seno y la Ley de Coseno para hallar las medidas desconocidas de los lados y los ángulos de un triángulo.
TIPO DE ÍTEM: RC-E COMPLEJIDAD: DOK2
193. Sonia Cruz es una topógrafa que
quiere determinar la distancia a través del estrecho del Río La Plata que comienza en cayey y desemboca en las costas de Dorado. Parada en un punto de la orilla, Sonia mide el ángulo formado por la línea de la orilla y la línea de observación de un árbol situado en la orilla opuesta. Luego camina 315 pies, hacia el norte, a lo largo de la orilla y mide el ángulo que forma la línea de la orilla con la línea de observación del mismo árbol. Si el primer ángulo es de 80° y el segundo es de 85°, calcula la distancia a través del estrecho. ¿Cuál es la distancia, aproximada, a través del estrecho?
*
*
*
32
G.FG.11.6.2
Establece la prueba directa o indirecta para determinar si una proposición matemática es cierta.
TIPO DE ÍTEM: SM COMPLEJIDAD: DOK 2
194. ¿Cuál de las siguientes
proposiciones es cierta?
195. Utilizando el Diagrama de Venn,
contesta ¿cuál de las siguientes proposiciones es cierta?
196. Utilizando el diagrama, contesta ¿qué postulado justifica el paso 4. de la siguiente demostración?
Dado: 𝐶𝐵 ≅ 𝐶𝐵′ ; ∠𝐴𝐶𝐵 ≅ ∠𝐴𝐶𝐵′
Pruebe: ∆𝐴𝐶𝐵 ≅ ∆𝐴𝐶𝐵′
Afirmación Razón
1. 𝐶𝐵 ≅ 𝐶𝐵′ Dado
2. ∠𝐴𝐶𝐵 ≅ ∠𝐴𝐶𝐵′ Dado
3. 𝐴𝐶 ≅ 𝐴𝐶 Propiedad Reflexiva
4. ∆𝐴𝐶𝐵 ≅ ∆𝐴𝐶𝐵′ ¿ ?
A. Postulado AAL B. Postulado ALA C. Postulado LLL D. Postulado LAL
197. ¿Cuál de las siguientes
afirmaciones condicionales (del tipo “si … entonces”), es cierta para la siguiente prueba?
Afirmación Razón
1. C, D y M son colineales;
𝐶𝑀 ≅ 𝐷𝑀 Dado
2. 𝐶𝑀 ≅ 𝐷𝑀 Definición de segmentos congruentes.
3. M es el punto
medio de 𝐶𝐷 Definición de punto medio.
198. ¿Cuál de las siguientes
proposiciones es falsa?
*
B'
A C
B
*
*
33
199. ¿Qué negación de las siguientes proposiciones es cierta?
A. Un cuadrado es un paralelogramo. B. Un paralelogramo no es un
cuadrilátero. C. Un trapecio es un cuadrilátero. D. Un rombo no es un cometa. 200. ¿Cuál de las siguientes
proposiciones es falsa? A. Un triángulo equiángulo es
equilátero. B. Un triángulo equiángulo es
isósceles. C. Un triángulo equiángulo tiene
ángulos rectos. D. Un triángulo equiángulo tiene tres
ángulos congruentes. 201. Si todos los cuadrados son
cuadriláteros y todos los cuadriláteros son polígonos, entonces podemos concluir que:
A. Todos los círculos son polígonos. B. Todos los cuadrados son polígonos. C. Todos los cuadriláteros son
cuadrados. D. Todos los círculos son cuadrados.
202. Si 𝐵𝐷 es bisector del ∠𝐴𝐵𝐶, entonces,
A. 𝑚∠𝐴𝐵𝐷 = 𝑚∠𝐷𝐵𝐶 B. ∠𝐴𝐵𝐶 es recto.
C. 𝑚∠𝐴𝐵𝐷 = 2∠𝐷𝐵𝐶 D. 𝑚∠𝐴𝐵𝐷 = 45°
203. Selecciona la implicación falsa: “Si dos rectas son perpendiculares,
entonces,”
A. los ángulos adyacentes son congruentes. B. los ángulos son rectos. C. se forman 4 ángulos. D. los ángulos son complementarios.
204. Si un ángulo es ocho veces la medida de su suplemento, entonces la medida del ángulo es:
A. 90° B. 130° C. 160°
D. 180°
205. Si 𝐴𝐶 tiene su punto medio en 𝐵 y
𝐴𝐶 = 32𝑐𝑚, entonces 𝐵𝐶 =
A. 16 𝑐𝑚
B. 64 𝑐𝑚 C. 32 𝑐𝑚 D. 10 𝑐𝑚
G.FG.11.6.2 Establece la prueba directa o indirecta para determinar si una proposición matemática es cierta.
TIPO DE ÍTEM: RC-E COMPLEJIDAD: DOK 2
206. Si 𝐷𝐹 ≅ 𝐸𝐹 y 𝐺𝐹 ≅ 𝐻𝐹 .
A. Explica por qué ∠𝐷 ≅ ∠𝐸. B. Ilustra la demostración en forma
de columna usando proposición y razón. Recuerda que debes anotar tu respuesta en la hoja de contestaciones. No olvides contestar todas las partes de la pregunta.
Solución:
G
H
E F
D
*
*
*
*
*
*
*
34
207. Desarrolla una prueba directa sobre la siguiente aseveración: Si dos rectas se intersecan en un punto, los ángulos opuestos por el vértice (ángulos verticales) son congruentes.
A. Utiliza un diagrama para desarrollar
tu prueba directa. B. Ilustra la demostración en forma de
columna usando proposición y razón. Recuerda que debes anotar tu respuesta en la hoja de contestaciones. No olvides contestar todas las partes de la pregunta. Solución:
208. Prueba que las diagonales de un
paralelogramo se bisecan entre sí. A. Utiliza un diagrama para desarrollar
tu prueba. B. Ilustra la demostración en forma de
columna usando proposición y razón.
Recuerda que debes anotar tu respuesta en la hoja de contestaciones. No olvides contestar todas las partes de la pregunta. Solución:
Dado: ABCD es un paralelogramo
Prueba: 𝐴𝐶 biseca a 𝐵𝐷 𝐵𝐷 biseca a 𝐴𝐶
209. Prueba que los complementos de
ángulos congruentes son congruentes.
A. Utiliza un diagrama para
desarrollar tu prueba. B. Ilustra la demostración en
forma de columna usando proposición y razón.
Recuerda que debes anotar tu respuesta en la hoja de contestaciones. No olvides contestar todas las partes de la pregunta.
A B
C D
1 2
3 4
M
35
Solución:
Dado: ∠𝐴𝐵𝑀 ≅ ∠𝐷𝐸𝑂
∠𝐴𝐵𝐶 𝑒𝑠 𝑟𝑒𝑐𝑡𝑜,∠𝐷𝐸𝐹 𝑒𝑠 𝑟𝑒𝑐𝑡𝑜 𝑃𝑟𝑢𝑒𝑏𝑎: ∠𝑀𝐵𝐶 ≅ ∠𝑂𝐸𝐹
A. Utiliza un diagrama para desarrollar tu prueba.
B. Ilustra la demostración en forma de columna usando proposición y razón.
G.FG.11.6.3 Desarrolla un contraejemplo para refutar una proposición inválida.
TIPO DE ÍTEM: RC-C COMPLEJIDAD: DOK 2
210. Redacta un contraejemplo cierto:
Los autos exóticos son americanos.
211. Redacta un contraejemplo cierto: El baloncesto es el deporte más practicado en el mundo.
212. Redacta un contraejemplo cierto:
Si el cuadrilátero 𝐴𝐵𝐶𝐷 es un paralelogramo, entonces el
cuadrilátero 𝐴𝐵𝐶𝐷 es un cuadrado.
213. Redacta un contraejemplo cierto:
A. Si la figura es un cuadrilátero, entonces es un polígono.
B. He dibujado un polígono. C. Entonces, he dibujado un
cuadrilátero.
214. Redacta un contraejemplo cierto:
El segmento bisector de otro
segmento genera ángulos de 90°.
215. Redacta un contraejemplo cierto:
La fórmula 𝑉 = 𝐵ℎ solo sirve para calcular el volumen de un cilindro.
216. Redacta un contraejemplo cierto:
Todos los sólidos tienen un
volumen de 𝑉 = 𝐵ℎ.
217. Redacta un contraejemplo cierto:
Las diagonales en un cuadrilátero son congruentes.
C
B
M
A
F
E
O
D
36
218. Redacta un contraejemplo cierto:
Un animal es un pájaro si y solo si el animal vuela.
219. Redacta un contraejemplo cierto:
Si 𝐴,𝐵 𝑦 𝐶 son colineales, entonces 𝐶 siempre estará entre 𝐴 𝑦 𝐵.
220. Redacta un contraejemplo cierto: Las mediatrices y las alturas son diferentes en todos los triángulos. 221. Redacta un contraejemplo cierto: Un triángulo siempre tiene tres ángulos agudos.
222. Redacta un contraejemplo cierto: Un cuadrilátero no puede tener un solo ángulo recto.
223. Redacta un contraejemplo cierto: Dos planos siempre se intersecan en una recta contenida en un tercer plano. 224. Redacta un contraejemplo cierto: Dos ángulos son rectos si y solo si se forman de rectas perpendiculares.
Respuesta: Posibles contraejemplos:
210. Existen autos exóticos en países europeos como los Ferrari de Italia. 211. El deporte más practicado en el mundo es el futbol (soccer).
212. El rectángulo no necesariamente es un cuadrado y si es un paralelogramo. 213. Si dibujo un triángulo, estoy dibujando un polígono que no es un cuadrilátero. 214. Solamente la bisectriz perpendicular me ofrece ángulos de 90 grados, pero existen infinitas bisectrices que no son perpendiculares. 215. Los prismas usan la fórmula
𝑉 = 𝐵ℎ y no son cilindros. 216. Los sólidos que tienen una sola base como los conos y las
pirámides usan la fórmula 𝑉 =1
3𝐵ℎ
y la esfera usa 𝑉 =4
3𝜋𝑟3
217. Las diagonales en una cometa (kite) no son congruentes. 218. Los avestruces son pájaros y no vuelan. 219.
220. En un triángulo equilátero las
mediatrices y las alturas son iguales.
A BC
37
221. Un triángulo puede tener un ángulo obtuso, siendo los otros dos agudos.
222. Un cuadrilátero con un solo ángulo
recto.
223. Dos planos se intersecan en una recta y el tercer plano puede estar intersecando la recta en un solo punto.
224. Dos ángulos rectos que no
comparten ningún rayo.
G.FG.11.6.4 Formula e investiga la validez del recíproco de una proposición condicional.
TIPO DE ÍTEM: COMPLEJIDAD: DOK 2
ESTÁNDAR 4: MEDICIÓN
M.UM. 11.8.1
Determina la medida de los ángulos en grados y en radianes y establece las conversiones entre ambas unidades de medidas.
TIPO DE ÍTEM: SM COMPLEJIDAD: DOK 2
225. Dada la siguiente figura, ¿cuánto
mide el ángulo x (en radianes)?
A. 18
B. 18
2
C. 10
D. 18
10
226. Calcula la medida del ángulo
central ABC en radianes, si la circunferencia mide 54 cm y la medida del arco menor es de 9.75 cm.
A. 180
π65
B. 80
π13
C. 36
π13
D. 13
π36
227. De acuerdo a la siguiente figura
¿cuál es el valor de x, en radianes?
A. 90
10
B. 90
11
C. 90
12
D. 90
13
25°
55°
x
*
*
*
38
228. El reloj de la torre de la Universidad de Puerto Rico tiene un diámetro de 7 pies. Las manecillas del reloj forman un ángulo central. Supongamos que el horario está sobre el número 11 y el minutero sobre el 5. Halla la medida del ángulo central XYZ. Expresa el resultado en radianes.
A. 3
π2
B. 8
π2
C. 8
π5
D. 6
π5
229. En la siguiente figura, expresa la
medida del ángulo X en grados.
A. 78° B. 95° C. 65° D. 85°
230. ¿Cuál es la medida en grados de
un ángulo que mide 9
π4?
A. 80° B. 60° C. 45° D. 75°
231. ¿Cuál es la medida en radianes de
un ángulo cuyo arco
correspondiente mide 3
?
A. 40° B. 120° C. 60° D. 90°
232. Ejercicio de respuesta construida extensa. ¿Cuál es la medida de un ángulo central θ opuesto a un arco de 60 pies en un círculo de radio de 12 pies? Utiliza la siguiente ecuación para calcular la medida del ángulo central:
Longitud de arco =medida ángulo central
circunferencia (3600)
233. Halla el sen π
3
A. 1
2
B. 3
3
C. 3
2
D. 3
234. Halla el sen π
6
A. cos3
B. cos6
C. 3
sen
D. 6
sen
M.UM. 11.8.2
Desarrolla y aplica los valores de las funciones trigonométricas
en: 0,𝜋
6 ,
𝜋
4 ,
𝜋
3 ,𝜋
2 ,𝜋 y sus
múltiplos.
TIPO DE ÍTEM: SM COMPLEJIDAD: DOK 1 Z
Y
X
*
*
*
*
X
*
*
39
235. Si tan x = sen (x)
cos (x) , entonces
tan3
A. 1
2
B. 3
3
C. 3
2
D. 3
236. Determina 2 2cos sen
A. -2 B. -1 C. 0 D. 1
237. Halla el 225sen
A. 1
2
B. 3
3
C. 2
2
D. 3
2
238. Halla el 11
cos6
A. 1
2
B. 3
2
C. 3
2
D. 3
239. Si 2 2cos ( ) ( ) 1x sen x , entonces 2 2cos (60 ) (60 )sen
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
240. Halla la tanπ
4
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
241. Halla el cos2
A. -1 B. 0 C. 1 D. 2
242. Halla el cos120
A. 3
2
B. 2
2
C. 3
3
D. 1
2
*
*
*
*
*
*
*
*
40
243. Dado que:
x = cosθ y y senθ, entonces tanθ =y
x :
Halla la tan 600
A. 1
2
B. 3
2
C. 3
D. 2 3
Utiliza la información que se provee en el triángulo para contestar los ejercicios 244 al 247.
244. Halla el sen30
A. 0.500 B. 0.577 C. 0.866 D. 1.732
245. Halla el cos 60
A. 0.500 B. 0.577 C. 0.866 D. 1.732
246. Halla el cos30
A. 0.500 B. 0.577 C. 0.866 D. 1.732
247. Halla la tan 60
A. 0.500 B. 0.577 C. 0.866 D. 1.732
M.UM. 11.8.3
Calcula las longitudes de arco.
TIPO DE ÍTEM: SM COMPLEJIDAD: DOK 1
248. Halla la longitud del arco AB
A. 9
8𝜋 cm
B. 3
8𝜋 cm
C. 3
4𝜋 cm
D. 4
9𝜋 cm
249. Halla la longitud del arco AB.
A. 7
3𝜋
B. 7
6𝜋
C. 98
3𝜋
D. 3
7𝜋
250. Halla la longitud del arco XY.
A. 4
3𝜋
B. 2
3𝜋
C. 8
3𝜋
D. 46𝜋
*
*
*
*
*
*
*
*
41
251. Halla la longitud del arco AB
A. 20.28
118𝜋
B. 118
20.28𝜋
C. 3.323𝜋
D. 6.647𝜋
252. El siguiente círculo tiene su centro
en O, y su radio mide 2 pies. Dado
que , ¿Cuál es la
longitud de ?
A. 10
9𝜋
B. 2
100𝜋
C. 5
9𝜋
D. 3
7𝜋
E. 50𝜋
253. El siguiente círculo tiene su centro
en O, y su radio mide 8 yd. Dado
que , la longitud
del arco AB es:
A. 9
8𝜋
B. 8
9𝜋
C. 4
9𝜋
D. 9
4𝜋
254. ¿Cuál es la longitud de un círculo
de 3.5 radianes, si el radio de la
circunferencia mide 6 cm?
A. 10.5 cm
B. 0.37cm
C. 32.97cm
D. 21cm
255. Los brazos de un columpio
miden 1.8 m de largo y
pueden describir como
máximo un ángulo de
146°.Calcula el espacio
recorrido por el asiento del
columpio cuando el ángulo
descrito en su balanceo es el
máximo.
A. 4.58m
B. 2.29 m
C. 4.13 m
D. 6.72 m
256. Un faro barre con su luz un
ángulo plano de 128°. Si el
alcance máximo del faro es de
7 millas, ¿cuál es la longitud
máxima del arco
correspondiente?
A. 7.82 millas
B. 28.33 millas
C. 14.16 millas
D. 15.63 millas
257. ¿Cuál es la medida en grados de
un arco cuya longitud en radianes
es 7𝜋
6 ?
A. 154°
B. 366°
C. 269°
D. 210°
*
*
*
*
*
*
*
42
M.TM. 11.8.3
Calcula las longitudes de arco.
TIPO DE ÍTEM: RC-C COMPLEJIDAD: DOK 2
258. En la siguiente figura, el punto C
es el centro del círculo. ¿Cuánto
mide, en centímetros, el arco
menor AB si mACB = 72° y la
circunferencia mide 48 cm?
Solución: 9.6
ESTÁNDAR 5: ANÁLISIS DE DATOS Y PROBABILIDAD E.IP.11.9.4 Interpola utilizando las
tendencias observadas en el diagrama de dispersión y juzga cuándo las tendencias extrapoladas son apropiadas.
TIPO DE ÍTEM: COMPLEJIDAD: DOK 1
E.AD.11.10.1 Demuestra y describe como las diferentes escalas “original, lineal, raíz cuadrada, logarítmica” puede afectar los diagramas de dispersión.
TIPO DE ÍTEM: RC-C COMPLEJIDAD: DOK 2
259. El grupo de José hizo una
investigación sobre la relación entre las horas de estudio de cada estudiante y su nota en el examen final de matemáticas. Ellos calcularon el coeficiente de correlación, usando diferentes escalas, como se muestra en la siguiente tabla:
Demuestra o explica cuál sería la mejor escala que representa los datos.
E.AD.11.10.2
Describe e ilustra cómo se seleccionan las escalas para analizar y presentar información y cómo las transformaciones pueden utilizarse en el desarrollo de modelos lineales.
TIPO DE ÍTEM: RC-E COMPLEJIDAD: DOK 3
260. Una compañía va a transferir parte
de sus operaciones a un país de Europa. La nómina de los trabajadores del departamento que se va transferir tiene una media de $3,500.00 y una desviación estándar de $430.00. Si los nuevos sueldos (a) que va a pagar la compañía se pueden calcular con la ecuación a = p - 150, donde p son los sueldos actuales, ¿Cuál será la nueva media y la nueva desviación estándar de la nómina?
Contestación: A
Escala Coeficiente de
Correlación
Lineal 0.012
Cuadrada 0.967
Logarítmica -0.443
Raíz Cuadrada -0.003
A µ =$3,350 σ =$430
B µ =$3,350 σ =$80
C µ =$3,500 σ =$80
D µ =3,500 σ =$330
43
E.PR.11.12.2 Utiliza representaciones gráficas y la regla empírica para evaluar si el modelo normal es apropiado para un conjunto de datos.
TIPO DE ÍTEM: COMPLEJIDAD: DOK 2
E.PR.11.12.3 Utiliza las representaciones gráficas y la regla empírica para evaluar si el modelo normal es apropiado para un conjunto de datos.
TIPO DE ÍTEM: SM COMPLEJIDAD: DOK 1
261. En una clase de inglés las
calificaciones del examen final arrojaron un promedio de 60 y una desviación estándar de 16. En un examen de matemáticas las calificaciones promediaron 58 con una desviación estándar de 10. Si un alumno obtuvo 72 en el examen de inglés y 68 en el examen de matemáticas ¿a cuántas desviaciones estándar está cada una de sus calificaciones por encima del promedio de la clase respectiva?
A. 0.83 en inglés y 0.85 en
matemáticas B. 0.85 en inglés y 0.83 en
matemáticas C. 0.75 en inglés y 1.00 en
matemáticas D. 1.00 en inglés y 0.75 en
matemáticas 262. Basado en la premisa del ejercicio
anterior, en qué materia el estudiante exhibió un mejor desempeño?
A. Mejor en inglés que en matemáticas. B. Mejor en matemáticas que en inglés. C. Igual en inglés que en matemáticas. D. No se puede determinar.
263. Las puntuaciones en una prueba de matemáticas de una muestra de 15 estudiantes de noveno grado fueron:
Al hallar la desviación estándar podemos concluir que:
A. el promedio es 29.7 y la desviación estándar es 54.06
B. el promedio es 74.06 y la desviación estándar es 39.7
C. el conjunto de datos responde a un modelo normal según la regla empírica
D. el conjunto de datos no responde a un modelo normal según la regla empírica.
264. Durante seis domingos
consecutivos, el dueño de una grúa recibió 9, 7, 11, 10, 13, y 7 llamadas de servicio. Al calcular la desviación estándar, podemos llegar a la siguiente conclusión:
A. el promedio es 9.5 y la desviación
estándar es 2.3. B. el promedio es 2.3 y la desviación
estándar es 9.5. C. el conjunto de datos responde a un
modelo normal según la regla empírica.
D. alternativas A y C.
*
*
*
*
44
E.PR.11.12.3
Utiliza las representaciones gráficas y la regla empírica para evaluar si el modelo normal es apropiado para un conjunto de datos.
TIPO DE ÍTEM: RC-C COMPLEJIDAD: DOK 2
265. En cinco intentos, a una persona le tomó 11, 15, 12, 8 y 14 minutos cambiar una goma a un auto. Calcula la desviación estándar (s) y aplica la regla empírica para verificar si estos datos exhiben una distribución normal.
Solución:
media = 12.0 minutos desviación estándar = 2.74 minutos Exhiben una distribución normal.
266. Los siguientes son los tiempos, en
segundos, que le tomó a ocho automóviles acelerar de 0 a 60 mph: 15, 12, 15, 18, 19, 14, 17 y 15 segundos. Utilice la fórmula de cálculo para hallar la desviación estándar(s) y decidir si el conjunto de datos exhibe una distribución normal.
Solución:
media = 15.63 segundos desviación estándar = 2.64 segundos No exhiben una distribución normal.