2.64 En la posición x=250mm, sobre la palanca del freno de mano de un automóvil se ejerce una fuerza F de módulo de 50N .Sustituir esa fuerza por un sistema fuerza par equivalente en el punto de apoyo O

De la figura anterior obtenemos nuestro diagrama de cuerpo libre, en el cual están representadas las componentes de la fuerza F, asi como las distacias que existen entre nuestro punto de apoyo O y las componentes de dicha fuerza.

Obtenemos las componentes de la fuerza F:

F x=F∗sen20 °=(50N )∗sen20 °=17.101N

F y=F∗cos20 °=(50N )∗cos20 °=46.9846N

Calculamos las distancias que hay entre los componentes de la fuerza F, estas distancias son los brazos de palanca de dichas componentes de fuerza del momento con respecto al punto de apoyo O.

Las distancias en el eje X son las siguientes:

Problema figura 2.64

Diagrama de cuerpo libre de la figura 2.64

x1=100mm∗cos25 °=90.63mm

x2=250mm∗cos10 °=246.2019mm

∴ x1+x2=336.8319mm

Las distancias en el eje Y son las siguientes:

y1=100mm∗sen25 °=42.2618mm

y2=250mm∗sen10 °=43.4120mm

y1+ y2=85.6738mm

Hacemos la sumatoria de momentos con respecto al origen Odel brazo:

Σ+¿↺M o=F y (x1+x2 )+Fx ( y1+ y2 )¿

M o=46.9846N∗(.3368m )+17.101N∗(.08567m)

∴M o=17.29N∗m

Momento de F con respecto a O

5.12 Hallar, por integración directa, la coordenada xdel centroide de la superficie mostrada.

Para encontrar la coordenada x del centroide, dividimos a la superficie en tres áreas diferentes para facilitar los cálculos, como se muestra a continuación en la siguiente figura:

Primero determinamos las ecuaciones de cada una de las 3 áreas, posteriormente calculamos el área de dichas figuras.

Para el área A1:

m=135mm250mm

=0.54

De la ecuación de la recta tenemos:

y=mx+b∴ y=0.54 x

Integramos con respecto a dx para obtener el área A1:

dA= y dx= (0.54 x )dy

A1=∫0

250

0.54 x dx= [0.27 x2 ]0250

=16,875mm2

Esta área es negativa, como se ve en la figura anterior, ya que la calculamos para posteriormente restarla a las áreas A2 y A3.

Para el área A2 tenemos:

m= 30mm100mm

=0.3

La ecuación de esta recta es:

y=mx+b=0.3 x+150

Calculamos el área:

A2=∫0

100

(0.3 x+150 )dx=[150 x ]0100

+[0.15 x2 ]0100

=16,500mm2

Para el área A3tenemos:

m=−45150

=−0.3

0.3 x+150=−0.3x+b

180=−30+b∴b=210

y=−0.3 x+210

Calculamos el área A3:

A3=∫100

250

(−03x+210 )dx= [210 x ]100250

−[0.15 x2 ]100250

=31,500mm2−7875mm2

A3=23,625mm2

Una vez que calculamos las áreas procedemos a calcular las coordenadas del centro de masa de cada una de las 3 figuras:

Para la figura 1 tenemos:

Q y 1=x1 A1=∫ x ydx=∫ x (0.54 x )dx=∫0

250

0.54 x2dx=[ 0.54 x33]0

250

Q y 1=x1 A1=2,812,500mm∗A1

Para la figura 2 tenemos:

Q y 2=x2 A2=∫ x dA=∫ x ydx=∫0

100

x (0.3x+150 )dx=[ 0.3x33]0

100

+[ 1502 x2]0

100

Q y 2=x2 A2=850,000mm∗A2

Para la figura 3:

Q y 3=x3 A3=∫ x dA=∫ x ydx=∫100

250

x (−0.3 x+210 )dx

∫100

250

x (−0.3 x+210 )dx=− [0.1x3 ]100250

+ [105 x2 ]100250

Q y 3=x3 A3=4,050,000mm∗A3

Por lo tanto la coordenada x de la figura sombreada es:

x∑ A=∑ x A

x=∑ x A

∑ A=2,087,500mm3

23,250mm2

∴la coordenadax de la figuraes x=89.785mm