ECUACIONES DIFERENCIALESECUACIONES EXACTAS E0200

Resolver las ecuaciones diferenciales siguientes:

(1)(3y2 cotx + sen x cos x) dx − 2y dy = 0

(2)(y ln y + yex) dx + (x + y cos y) dy = 0

(3)

y ′ =y sen 2x + xy2

y3 − sen2x

canek.uam.mx: 22/ 4/ 2003.1

2 ECUACIONES EXACTAS E0200

Respuestas

(1) Resolver:

(G) (3y2 cotx + sen x cos x) dx − 2y dy = 0

M = 3y2 cot x + sen x cos x ⇒ My = 6y cot xN = −2y ⇒ Nx = 0

}My 6= Nx

Entonces la edo. no es exacta.

¿Existe factor integrante µ = µ(x) ?, es decir,

¿ EsMy − Nx

Nuna funcion, solo, de x ?

My − Nx

N=

6y cot x

−2y= −3 cotx

Que depende solo de x, entonces si existe factor integrante µ = µ(x) y cumple con la edo.

dµ

dx=

My − Nx

Nµ

dµ

dx= −3 cot xµ ⇒ dµ

µ= −3 cot x dx ⇒

∫dµ

µ= −3

∫cos x

sen xdx ⇒ ln µ = −3 ln(sen x) = ln(sen x)−3 ⇒

µ(x) = sen−3x

Multiplicando la edo. (G) por el factor integrante, se obtiene:

(3y2sen−4x cos x + sen−2x cos x) dx − 2ysen−3x dy = 0(H)

M = 3y2sen−4x cos x + sen−2x cos x ⇒ M y = 6ysen−4x cos x

N = −2ysen−3x ⇒ Nx = 6ysen−4x cos x

M y = Nx ⇒ la edo. (H) es exacta

Entonces existe f(x, y) tal que fx = M y fy = N

f =

∫ y

N dy =

∫−2ysen−3x dy = −y2sen−3x + hx

Derivando respecto a x e igualando a M :

fx = 3y2sen−4x cos x + h ′(x) = 3y2sen−4x cos x + sen−2x cos x

h ′(x) = sen−2x cos x

h(x) =

∫(sen x)−2 cos x dx = −(sen x)−1

Entonces:

f(x, y) = −y2sen−3x − sen−1x

ECUACIONES EXACTAS E0200 3

Por lo tanto, la solucion es:

−y2sen−3x − sen−1x = C1; C1 constante

y2 + sen2x = C sen−3x; C constante

(2) Resolver:

(I) (y ln y + yex) dx + (x + y cos y) dy = 0

M = y ln y + yex ⇒ My = 1 + ln y + ex

N = x + y cos y ⇒ Nx = 1

}My 6= Nx no exacta

¿ Existe factor integrante µ = µ(x) ?

My − Nx

N=

1 + ln y + ex − 1

x + y cos y=

ln y + ex

x + y cos yNo depende solo de x, entonces no existe µ = µ(x).

¿ Existe factor integrante µ = µ(y) ?

Nx − My

M=

− ln y − ex

y ln y + yex= − ln y + ex

y(ln y + ex)= −1

yQue si depende solo de y, entonces si existe µ = µ(y) el cual cumple con la edo.:

dµ

dy=

Nx − My

Mµ

dµ

dy= −1

yµ ⇒ dµ

µ= −dy

y⇒

∫dµ

µ= −

∫dy

y⇒

ln µ = − ln y = ln y−1 ⇒ µ = y−1 ⇒ µ(y) = y−1

Multiplicando la edo. (I) por el factor integrante, se obtiene:

(ln y + ex) dx + (xy−1 + cos y) dy = 0(J)

M = ln y + ex ⇒ M y =1

yN = xy−1 + cos y ⇒ Nx = y−1

M y = Nx exacta

Entonces existe f(x, y) tal que fx = M y fy = N

f =

∫ x

(ln y + ex) dx = x ln y + ex + h(y)

Derivando respecto a y e igualando a N :

fy =x

y+ h ′(y) = xy−1 + cos y

h ′(y) = cos y ⇒ h(y) = sen y

4 ECUACIONES EXACTAS E0200

Entonces

f(x, y) = x ln y + ex + sen y

Por lo tanto, la solucion es:

x ln y + ex + sen y = C ; C constante

(3) Resolver:

y ′ =y sen 2x + xy2

y3 − sen2x

(y sen 2x + xy2) dx + (y3 − sen2x) dy = 0(K)

M = y sen 2x + xy2 ⇒ My = sen 2x + 2xy

N = y3 − sen2x ⇒ Nx = −2 sen x cos x = − sen 2x

My 6= Nx entonces, la edo. no es exacta .

¿ Existe factor integrante µ = µ(x) ?

My − Nx

N=

sen 2x + 2xy + sen 2x

y3 − sen2x=

2 sen 2x + 2xy

y3 − sen2x6= g(x)

Entonces no existe µ = µ(x).

¿ Existe factor integrante µ = µ(y) ?

Nx − My

M=

−2 sen 2x − 2xy

y sen 2x + xy2=

−2(sen 2x + xy)

y(sen 2x + xy)= −2

y

Entonces si existe µ = µ(y), el cual cumple con:

dµ

dy= −2

yµ ⇒ dµ

µ= −2

ydy ⇒

∫dµ

µ= −2

∫dy

y⇒

ln µ = −2lny = ln y−2 ⇒ µ(y) = y−2

Multiplicando (K) por el factor integrante se obtiene:

(y−1 sen 2x + x) dx + (y − y−2sen2x) dy = 0(L)

M = y−1 sen 2x + x ⇒ M y = −y−2 sen 2x

N = y − y−2sen2x ⇒ Nx = −y−22 sen x cos x = −y−2 sen 2x

M y = Nx

Entonces la edo. (L) es exacta

ECUACIONES EXACTAS E0200 5

Por lo tanto, existe f(x, y) tal que fx = M y fy = N

f =

∫ x

(y−1 sen 2x + x) dx = −1

2y−1 cos 2x +

x2

2+ h(y)

Derivando respecto a y e igualando a N :

fy =1

2y−2 cos 2x + h ′(y) = y − y−2sen2x

h ′(y) = y − y−2sen2x − 1

2y−2 cos 2x =

= y − y−2

(1

2− 1

2cos 2x

)− 1

2y−2 cos 2x =

= y − 1

2y−2

h(y) =

∫ (y − 1

2y−2

)dy =

1

2y2 +

1

2y−1

Entonces:

f(x, y) = −1

2y−1 cos 2x +

x2

2+

1

2y2 +

1

2y−1

Por lo tanto la solucion es:

−1

2y−1 cos 2x +

1

2x2 +

1

2y2 +

1

2y−1 = C1

y−1 1 − cos 2x

2+

1

2(x2 + y2) = C1

y−1sen2x +1

2(x2 + y2) = C1

Multiplicando por 2y:

2sen2x + y(x2 + y2) = 2C1y

2sen2x + y(x2 + y2) = Cy; C constante