Ejemplos de Programacon Linial

Investigación de Operaciones en Ingeniería Agrícola

PROBLEMAS CON METODO SIMPLEX Y METODO GRAFICO

Ejemplo 01:

Un fabricante de electrodomésticos produce dos modelos de hornos de microondas: H y W. Ambos modelos requieren de fabricación y montaje, cada uno H utiliza cuatro horas de fabricación y dos horas de montaje, y cada W utiliza dos horas de fabricación y seis horas de montaje. Hay 600 horas de fabricación disponibles esta semana y 480 horas de montaje. Cada H contribuye con $ 40 a los beneficios, y cada W aporta $ 30 a los beneficios. ¿Qué cantidades de H y W maximizarán los beneficios?

Solución:

Modelos H (hrs./unid) W (hrs./unid) Total horas X1 X2 Disponible

Fabricacion 4 2 600 hrs.Montage 2 6 480 hrs. Beneficio/Unid $40 $30

Construyendo el Modelo: Funcion Objetivo: Max. Z = 40X1 + 30X2 Z - 40X1 - 30X2 - 0S1 - 0S2 = 0

Sujeto a: 4X1 + 2X2 ≤ 600 4X1 + 2X2 + S1 = 600 2X1 + 6X2 ≤ 480 2X1 + 6X2 + S2 = 480 X1, X2 ≥ 0 Todo los variables ≥ 0

Solución de inicio:

Si X1 y X2 = 0 ; S1 =600 , S2 =480

Basica Z X1 X2 S1 S2 SolucionZ 1 -40 -30 0 0 0S1 0 4 2 1 0 600S2 0 2 6 0 1 480

Condicion de Optimidad:

Deben entrar los variables no basicas X1 y X2

Entra X1:

1


Basica Solucion X1 RazonesS1 600 4 600/4=150 valor minimoS2 480 2 480/2=240

Basica Z X1 X2 S1 S2 SolucionZ 1 -40 -30 0 0 0S1 0 4 2 1 0 600S2 0 2 6 0 1 480

La variable Basica que entra es X1 y sale S1

S1 0 4 2 1 0 600Nueva Varible X1 0 1 1/2 1/4 0 150

Paso 1.-

Ecuacion Z anterior 1 -40 -30 0 0 0(+40)* (Nueva

ecuacion pivote)0 1 1/2 1/4 0 150

=Nueva ecuacion Z 1 0 -10 10 0 6000

Paso 2.-

Ecuacion S2 anterior 0 2 6 0 1 480(-2)* (Nueva ecuacion

pivote)0 1 1/2 1/4 0 150

=Nueva ecuacion S2 0 0 5 -1/2 1 180

Paso 3.-

Nuevo resultado:

Basica Z X1 X2 S1 S2 SolucionZ 1 0 -10 10 0 6000

X1 0 1 1/2 1/4 0 150S2 0 0 5 -1/2 1 180

2

Elemento Pivote

Elemento Pivote


La solución básica: X2

Basica Solucion X2 RazonesX1 150 1/2 150/1/2=300S2 180 5 180/5=36 valor minimo


S1 0 0 5 -1/2 1 180Nueva Varible X2 0 0 1 -1/10 1/5 36

Paso 4.-

Ecuacion Z anterior 1 0 -10 10 0 6000(+10)* (Nueva

ecuacion pivote)0 0 1 -1/10 1/5 36

=Nueva ecuacion Z 1 0 0 9 2 6360

Paso 5.-

Ecuacion X1 anterior 0 1 1/2 1/4 0 150(-1/2)* (Nueva

ecuacion pivote)0 0 1 -1/10 1/5 36

=Nueva ecuacion X1 1 0 0 3/10 -1/10 132

Nuevo resultado:

Basica Z X1 X2 S1 S2 SolucionZ 1 0 0 9 2 6360

X1 1 0 0 3/10 -1/10 132X2 0 0 1 -1/10 1/5 36

Debemos producir 132 unidades del modelo H , 36 unidades del modelo W y la Ganancia máxima es $ 6360.

Ejemplo 02:

3


La fábrica Hurşit tiene un contrato para construir dos productos. A y B, para un comprador fuera del estado. El comprador ha indicado que todas las unidades que se fabrican se comprarán. Hurşit planea fabricar tantas unidades como sea posible cada día de operación. Sin embargo, las restricciones de capacidad son tales que Hurşit puede producir un máximo de 10 unidades de un máximo de 6 unidades de B por día.

Un análisis de la operación de montaje actual reveló lo siguiente: El producto A requiere 5 horas-hombre por unidad y producto B requiere 6 horas-hombre por unidad. Producto B también requiere el doble de tiempo de inspección al igual que el producto A, que requiere 1 hora-hombre por unidad. Hurşit tiene un máximo de 60 horas-hombre por día para la producción de ambos productos y como máximo 16 horas-hombre para su inspección. Producto A devuelve una ganancia de $ 2 por unidad y el producto B devuelve una ganancia de $ 3 por unidad. Utilice el método simplex para determinar la combinación diaria más rentable.

Solución:

Producto A Producto B Available X 1 X 2 Capacity Hombres-hora 5 horas 6 horas 60 horas maximoTiempo de Inspeccion 1 horas 2 horas 16 horas maximoProduccion: A 1 10 unidades maximoProduccion: B 1 6 unidades maximo Ganancia $ 2/unid $3/ unid

Formulacion del Problema: Funcion Obejetivo:

Max. Z = 2X1 + 3X2 Max. Z - 2X1 - 3X2 - 0S1 - 0S2 - 0S3 - 0S4=0 Sujeto a :

5X1 + 6X2 ≤ 60 5X1 + 6X2 + S1 = 60 X1 + 2X2 ≤ 16 X1 + 2X2 + S2 = 16

X1 ≤ 10 X1 + S3 = 10 X2 ≤ 6 X2 + S4 = 6

X1, X2 ≥ 0 Todo los variables ≥ 0Solución de inicio:

Si X1 y X2 = 0 ; S1 =60 , S2 =16 , S3 =10 , S4 =6

Basica Z X1 X2 S1 S2 S3 S4 SolucionZ 1 -2 -3 0 0 0 0 0S1 0 5 6 1 0 0 0 60S2 0 1 2 0 1 0 0 16S3 0 1 0 0 0 1 0 10S4 0 0 1 0 0 0 1 6

Condicion de Optimidad:

4


Deben entrar los variables no basicas X1 y X2

Entra X2:

Basica Solucion X2 RazonesS1 60 6 60/6=10S2 16 2 16/2=8S3 10 0 10/0=--S4 6 1 6/1=6 valor minimo

Basica Z X1 X2 S1 S2 S3 S4 SolucionZ 1 -2 -3 0 0 0 0 0S1 0 5 6 1 0 0 0 60S2 0 1 2 0 1 0 0 16S3 0 1 0 0 0 1 0 10S4 0 0 1 0 0 0 1 6


S4 0 0 1 0 0 0 1 6Nueva Varible

X20 0 1 0 0 0 1 6

Paso 1.-

Ecuacion Z anterior

1 -2 -3 0 0 0 0 0

(+3)* (Nueva ecuacion pivote)

0 0 1 0 0 0 1 6

=Nueva

ecuacion Z1 -2 0 0 0 0 3 18

Paso 2.-

Ecuacion S1 anterior

0 5 6 1 0 0 0 60

( -6)* (Nueva ecuacion pivote)

0 0 1 0 0 0 1 6

=Nueva ecuacion S1

0 5 0 1 0 0 -6 24

5

Elemento Pivote


Paso 3.-


0 1 2 0 1 0 0 16


0 0 1 0 0 0 1 6

=Nueva ecuacion S2

0 1 0 0 1 0 -2 4

Paso 4.-

Nuevo resultado:

Basica Z X1 X2 S1 S2 S3 S4 SolucionZ 1 -2 0 0 0 0 3 18S1 0 5 0 1 0 0 -6 24S2 0 1 0 0 1 0 -2 4S3 0 1 0 0 0 1 0 10X2 0 0 1 0 0 0 1 6

La solución básica: X1

Basica Solucion X1 RazonesS1 24 5 24/5=4.8S2 4 1 4 valor minimoS3 10 1 10X2 6 0 ---


S2 0 1 0 0 1 0 -2 4Nueva Varible

X10 1 0 0 1 0 -2 4

Paso 5.-

Ecuacion Z anterior

1 -2 0 0 0 0 3 18

(+2)* (Nueva ecuacion pivote)

0 1 0 0 1 0 -2 4

=Nueva 1 0 0 0 2 0 -1 26

6

Elemento Pivote


ecuacion Z

Pasó 6.-


0 5 0 1 0 0 -6 24


0 1 0 0 1 0 -2 4

=Nueva ecuacion S1

0 0 0 1 -5 0 4 4

Paso 7.-


0 1 0 0 0 1 0 10


0 1 0 0 1 0 -2 4

=Nueva ecuacion S3

0 0 0 0 -1 1 2 6

Pasó 8.-

Nuevo resultado:

Basica Z X1 X2 S1 S2 S3 S4 SolucionZ 1 0 0 0 2 0 -1 26S1 0 0 0 1 -5 0 4 4X1 0 1 0 0 1 0 -2 4S3 0 0 0 0 -1 1 2 6X2 0 0 1 0 0 0 1 6

Con el fin de lograr el máximo beneficio, es necesario para producir 4 unidades del producto A, y 6 unidades del producto B, Esta combinación resulta en un máximo de 26$ .

Ejemplo 03:

La compañía Word Light produce dos dispositivos para las lámparas (productos 1 y 2)que requieren partes de metal y componentes eléctricas. La administración desea determinar cuántas unidades de cada producto fabricar para maximizar la ganancia. Porcada unidad del producto 1 se requieren 1 unidad de partes de metal y 2 unidades de componentes

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eléctricas, por cada unidad del producto 2 se requieren 3 unidades de partes de metal y 2 unidades de componentes eléctricas, la compañía tiene 200 unidades departes de metal y 300 de componentes eléctricas, cada unidad del producto 1 da una ganancia de $ 1 y cada unidad de producto 2, hasta 60 unidades da una ganancia de $ 2,cualquier exceso de 60 unidades no tiene ganancia por lo que fabricar más de 60 está fuera de consideración.

a) Formule el modelo de programación lineal.b) Utilice el método grafico para resolver este modelo, y cuál es la ganancia total que

resulta.

Solución:

1. Identificación de la Variable.

X1: Producto 1X2: Producto 2

2. Función Objetivo:

Max (Z )=X1+2 X2

3. Restricciones.

4. Tabulando.

8


5. Sacando valores para X1 ,X2:

6. Remplazando en:

Max (Z )=X1+2 X2

Se debe fabricar 125 unidades de Producto 1 y 25 unidades del Producto 2 para tener un máximo de ganancia y obtener $ 175

Ejemplo 04.

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Unos grandes almacenes desean liquidar 200 camisas y 100 pantalones de la temporada anterior. Para ello lanzan, dos ofertas, A y B. La oferta A consiste en un lote de una camisa y un pantalón, que se venden a 30 €; la oferta B consiste en un lote de tres camisas y un pantalón, que se vende a 50 €. No se desea ofrecer menos de 20 lotes de la oferta A ni menos de 10 de la B. ¿Cuántos lotes ha de vender de cada tipo para maximizar la ganancia?

Solución:

1. Elección de las incógnitas.

x = nº de lotes de A

y = nº de lotes de B

2. Función objetivo

f(x, y) = 30x + 50y

3. Restricciones

A B Mínimo Camisas 1 3 200Pantalones 1 1 100

x + 3y ≤ 200

x + y ≤ 100

x ≥ 20

y ≥ 104. Hallar el conjunto de soluciones factibles

10


5. Calcular las coordenadas de los vértices del recinto de las soluciones factibles.

6. Calcular el valor de la función objetivo

f(x, y) = 30 · 20 + 50 · 10 = 1100 €

f(x, y) = 30 · 90 + 50 · 10 = 3200 €

f(x, y) = 30 · 20 + 50 · 60 = 3600 €

f(x, y) = 30 · 50 + 50 · 50 = 4000 € Máximo

Con 50 lotes de cada tipo se obtiene una ganancia máxima de 4000 €.

11


Ejemplo 05:

Una escuela prepara una excursión para 400 alumnos. La empresa de transporte tiene 8 autobuses de 40 plazas y 10 de 50 plazas, pero sólo dispone de 9 conductores. El alquiler de un autocar grande cuesta 800 € y el de uno pequeño 600 €. Calcular cuántos autobuses de cada tipo hay que utilizar para que la excursión resulte lo más económica posible para la escuela.

Solución.


x = autobuses pequeños

y = autobuses grandes


f(x, y) = 600x + 800y

3. Restricciones

40x + 50y ≥ 400

x + y ≤ 9

x ≥ 0

y ≥ 0

4. Hallar el conjunto de soluciones factibles

12




f(0, 8) = 600 · 0 + 800 · 8 = 6 400 €

f(0, 9) = 600 · 0 + 800 · 9 = 7 200 €

f(5, 4) = 6 00 · 5 + 800 · 4 = 6 200 € Mínimo

El coste mínimo es de 6 200 € , y se consigue 4 autobuses grandes y 5 pequeños

13


Ejemplo 06:Con el comienzo del curso se va a lanzar unas ofertas de material escolar. Unos almacenes quieren ofrecer 600 cuadernos, 500carpetas y 400 bolígrafos para la oferta, empaquetándolo de dos formas distintas; en el primer bloque pondrá 2 cuadernos, 1 carpeta y 2bolígrafos; en el segundo, pondrán 3 cuadernos, 1 carpeta y 1 bolígrafo. Los precios de cada paquete serán 6.5 y 7 €, respectivamente. ¿Cuántos paquetes le conviene poner de cada tipo para obtener el máximo beneficio?

Solución:

1. Identificación de las variables.

2. Función Objetivo.

f(x, y) = 6.5x + 7y

3. Restricciones:


14




15


Ejemplo 07:

Un estudiante dedica parte de su tiempo al reparto de propaganda publicitaria. La empresa A le paga 5 Bs.. por cada impreso repartido y la empresa B, con folletos más grandes, le paga 7 Bs. por impreso. El estudiante lleva dos bolsas: una para los impresos A, en la que caben 120 y otra para los impresos B, en la que caben 100. Ha calculado que cada día es capaz de repartir 150 impresos como máximo. Lo que se pregunta el estudiante es: ¿Cuántos impresos habrá que repartir de cada clase para que su beneficio diario sea máximo?

Solución:

Sean las variables de decisión:

x= n: de impresos diarios tipo A repartidos.

y= n: de impresos diarios tipo B repartidos.

La función objetivo es:

f(x, y)=5x+7y

Las restricciones:

La zona de soluciones factibles es:

16


Vértices:

A(0, 100)

B intersección de s,t:

C intersección de r,t:

D (120, 0)

Siendo los valores de la función objetivo:

Debe repartir 50 impresos tipo A y 100 tipo B para una ganancia máxima diaria de 950 bolívares.

Ejemplo 08:

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A una persona que quiere adelgazar se le ofrecen dos productos A y B para que tome una mezcla de ambos con las siguientes recomendaciones:

No debe tomar más de 150 gr de la mezcla ni menos de 50 gr.

La cantidad de A debe ser igual o superior a la de B

No debe incluir más de 100 gr de A

Hay 100 gr de A contienen 30 mg de vitaminas y 450 calorías y 100 gr de B contienen 20mg de vitaminas y 150 calorías.

a)¿Cuántos gramos de cada producto debe mezclar para obtener el preparado másrico en vitamina?

b)¿Y el más pobre en calorías?

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19


Ejemplo 09:

Se dispone de 600 g de un determinado fármaco para elaborar pastillas grandes y pequeñas. Las grandes pesan 40 g y las pequeñas 30 g. Se necesitan al menos tres pastillas grandes, y al menos el doble de pequeñas que de las grandes. Cada pastilla grande proporciona un beneficio de 2 € y la pequeña de 1 €. ¿Cuántas pastillas se han de elaborar de cada clase para que el beneficio sea máximo?Solución.


x = Pastillas grandes

y = Pastillas pequeñas


f(x, y) = 2x + y

3. Restricciones

40x + 30y ≤ 600

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x ≥ 3

y ≥ 2x

x ≥ 0

y ≥ 0



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f(x, y)= 2 · 3 + 16 = 22 €

f(x, y)= 2 · 3 + 6 = 12 €

f(x, y)= 2 · 6 + 12 = 24 € Máximo

El máximo beneficio es de 24 €, y se obtiene fabricando 6 pastillas grandes y 12 pequeñas.

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