Ejemplos de espacios normadosrpaya/documentos/Funcional/2018-19/Ejemplos.pdf2. Ejemplos de espacios normados 11 Para cada uno de los sumandos que han aparecido en el segundo miembro

Tema 2Ejemplos de espacios normados

Vamos a presentar una amplia colección de espacios, que permitan ilustrar los principalesteoremas del Análisis Funcional. Para ello, juegan un papel clave dos herramientas muy útiles:las desigualdades de Hölder y Minkowski. A partir de ellas se define fácilmente una ampliagama de normas en el espacio vectorial producto KN , con N ∈ N arbitrario, obteniendo asínumerosos espacios normados de dimensión finita. Casi con la misma facilidad, se construyenlos que se conocen como espacios de Banach clásicos, agrupados en dos grandes familias. Poruna parte, los espacios clásicos de sucesiones son los ejemplos más sencillos de espacios deBanach de dimensión infinita. Por otra, tenemos los espacios de funciones integrables, cuyaconstrucción involucra de manera decisiva la integral de Lebesgue. Su complitud se conocecomo teorema de Riesz-Fisher, y se considera como el detonante que dio lugar al nacimientodel Análisis Funcional. Presentaremos también algunos espacios de funciones continuas. Enconjunto, obtenemos una amplia gama de espacios de Banach, que muestra la gran variedad decontextos en los que el Análisis Funcional tiene importantes aplicaciones.

2.1. Desigualdades de Hölder y Minkowski

Algunos de los espacios que vamos a construir dependerán de un parámetro p , pudiendoser p ∈ R con p > 1, pero también p = ∞ , lo que se suele indicar escribiendo 1 6 p 6 ∞ .Excluidos los valores extremos p = 1 y p = ∞ , o si se quiere, para 1 < p < ∞ , definimos

el exponente conjugado de p , que denotaremos por p∗ , mediante la igualdad1p

+1p∗

= 1.

Observamos que también 1 < p∗ < ∞ y que la relación entre p y p∗ es simétrica:(

p∗)∗ = p .

La concavidad del logaritmo nos da una desigualdad, previa a las dos que más nos interesan:

Desigualdad de Young. Para 1 < p < ∞ y cualesquiera a,b ∈ R+0 , se tiene:

ab 6a p

p+

b p∗

p∗

9

2. Ejemplos de espacios normados 10

Demostración. Aquí y en todo lo que sigue, se entiende obviamente que 0 p = 0 p∗ = 0.Si a = 0 o b = 0 no hay nada que demostrar y, en otro caso, usando que el logaritmo es unafunción cóncava obtenemos

log

(a p

p+

b p∗

p∗

)>

1p

log a p +1p∗

log b p∗ = loga + log b = log(ab)

La desigualdad buscada se obtiene usando que la exponencial es una función creciente.

Deducimos sin gran dificultad una segunda desigualdad, más relevante:

Desigualdad de Hölder. Si 1 < p < ∞ y N ∈N , para a1, . . . ,aN , b1, . . . ,bN ∈R+0 se tiene:

N

∑k=1

ak bk 6

(N

∑k=1

akp

)1/p( N

∑k=1

bkp∗)1/p∗

(1)

Demostración. Llamando α =

(N

∑k=1

akp

)1/p

y β =

(N

∑k=1

bkp∗)1/p∗

a los dos factores

que aparecen en el segundo miembro de (1) , podemos claramente suponer que α > 0 y β > 0,pues en otro caso (1) es evidente. Usando la desigualdad de Young, podemos ahora escribir

1αβ

N

∑k=1

ak bk =N

∑k=1

ak

α

bk

β6

N

∑k=1

(a p

kp α p +

b p∗k

p∗ β p∗

)

=1

pα p

N

∑k=1

a pk +

1p∗β p∗

N

∑k=1

b p∗k =

1p

+1p∗

= 1

de donde se deduce claramente (1) .

En un tercer paso, obtenemos ya el resultado que nos va a permitir probar la desigualdadtriangular para muchas de las normas que vamos a estudiar.

Desigualdad de Minkowski. Para 1 6 p < ∞ , N ∈ N y a1, . . . ,aN , b1, . . . ,bN ∈ R+0 se

tiene: (N

∑k=1

(ak + bk

)p

)1/p

6

(N

∑k=1

a pk

)1/p

+

(N

∑k=1

b pk

)1/p

Demostración. Trabajamos con p > 1, pues el caso p = 1 es evidente. Abreviamos lanotación escribiendo

α =

(N

∑k=1

a pk

)1/p

, β =

(N

∑k=1

b pk

)1/p

y γ =

(N

∑k=1

(ak + bk

)p

)1/p

con lo que debemos probar que γ 6 α + β . Partimos de una igualdad evidente:

γp =

N

∑k=1

ak(

ak + bk) p−1 +

N

∑k=1

bk(

ak + bk) p−1


Para cada uno de los sumandos que han aparecido en el segundo miembro de la igualdadanterior, usamos ahora la desigualdad de Hölder. Como (p−1) p∗ = p , obtenemos:

γp 6

(α + β

) ( N

∑k=1

(ak + bk

)p

)1/p∗

=(

α + β)

γp/p∗

Si γ = 0 no hay nada que demostrar y, en otro caso, podemos dividir ambos miembros dela desigualdad anterior por γ p/p∗ > 0. Teniendo en cuenta que p− (p/p∗) = 1, obtenemosdirectamente la desigualdad buscada.

2.2. Algunos espacios normados de dimensión finita

Fijado N ∈ N , vamos a definir una amplia gama de normas en el espacio vectorial KN ,producto cartesiano de N copias de K . En vez de usar subíndices, las componentes de cadavector x ∈ KN se denotarán con paréntesis, es decir, escribiendo x =

(x(1),x(2), . . . ,x(N)

),

pues en realidad x no es otra cosa que una aplicación del conjunto k ∈ N : k 6 N en K .

Pues bien, para 1 6 p < ∞ definimos

‖x‖p =

(N

∑k=1

|x(k) |p)1/p

∀x ∈KN (2)

mientras que en el caso p = ∞ escribimos

‖x‖∞ = max|x(k) | : k ∈ N , k 6 N

∀x ∈KN (3)

La notación se justifica por el hecho de que lımp→+∞

‖x‖p = ‖x‖∞ para todo x ∈KN , como

se puede fácilmente comprobar.

Para ver que, en todos los casos, ‖ · ‖p es una norma en KN , dos de las condiciones acomprobar son evidentes y sólo la desigualdad triangular merece comentario. Para p = ∞ dichadesigualdad también es inmediata, mientras que, para 1 6 p < ∞ , se deduce de la desigualdadde Minkowski, pues para cualesquiera x,y ∈KN se tiene

∥∥x+ y∥∥

p =

(N

∑k=1

∣∣x(k)+ y(k)∣∣ p

)1/p

6

(N

∑k=1

(|x(k) | + |y(k) |

) p

)1/p

6

(N

∑k=1

∣∣x(k) ∣∣ p

)1/p

+

(N

∑k=1

∣∣y(k) ∣∣ p

)1/p

=∥∥x∥∥

p +∥∥y∥∥

p

Comprobemos ahora que todas las normas recién definidas en KN son equivalentes. Paraello usamos la base usual e1,e2, . . . ,eN de KN , que viene dada por ek(k) = 1 y ek( j) = 0para cualesquiera k, j ∈ N con k, j 6 N y k 6= j. Para 1 6 p 6 ∞ y x ∈ KN , la desigualdadtriangular nos dice que∥∥x

∥∥p =

∥∥∥∥ N

∑k=1

x(k)ek

∥∥∥∥p

6N

∑k=1

∣∣x(k) ∣∣ ∥∥ek∥∥

p =N

∑k=1

∣∣x(k) ∣∣ =∥∥x∥∥

1


Por otra parte, es evidente que ‖x‖∞ 6 ‖x‖p y ‖x‖1 6 N ‖x‖∞ . Enlazando ahora las tresdesigualdades anteriores, obtenemos∥∥x

∥∥∞

6∥∥x∥∥

p 6∥∥x∥∥

1 6 N∥∥x∥∥

∞∀x ∈KN

Esto prueba claramente que todas las normas ‖ · ‖p , con 1 6 p 6 ∞ son equivalentes a ‖ · ‖∞ ,luego son equivalentes entre sí.

Es claro que las bolas abiertas para la norma ‖ · ‖∞ son productos cartesianos de bolasabiertas (intervalos o discos) en K . Por tanto, la topología de la norma ‖ · ‖∞ es la topologíaproducto en KN a la que llamamos topología usual de KN . Por supuesto, la topología de lanorma ‖ · ‖p también es la usual de KN , para 1 6 p 6 ∞ .

Para cualesquiera x,y ∈KN y k ∈ N con k 6 N , se tiene claramente∣∣y(k)− x(k)∣∣ 6

∥∥y− x∥∥

∞6

N

∑j=1

∣∣y( j)− x( j)∣∣ (4)

Si xn es una sucesión de Cauchy para la norma ‖ ·‖∞ , usando la primera desigualdad de (4)vemos claramente que xn(k) es una sucesión de Cauchy en K , luego es convergente. Existepor tanto x∈KN tal que xn(k)→ x(k) para todo k ∈N con k 6 N , y la segunda desigualdadde (4) nos permite claramente deducir que

‖xn−x‖∞

→ 0. Esto prueba que la norma ‖ ·‖∞

es completa, luego ‖ · ‖p también lo es, para todos los valores de p .

En resumen, para cualesquiera N ∈ N y 1 6 p 6 ∞ , hemos comprobado que KN , con lanorma ‖·‖p definida en (2) y (3) , es un espacio de Banach, que se suele denotar por l N

p y cuyatopología es la usual de KN . Por supuesto, dicho espacio tiene una versión real y otra compleja,según tomemos K = R o K = C .

2.3. Los espacios clásicos de sucesiones

Consideremos el espacio vectorial producto KN, cuyos elementos son todas las sucesionesde escalares, es decir, todas las funciones de N en K , con operaciones definidas puntualmenteo, si se quiere, término a término. Concretamente, para x,y ∈KN y λ ∈K se tiene(

x+ y)(n) = x(n) + y(n) y

(λx)(n) = λ x(n) ∀n ∈ N

Vamos a considerar una amplia gama de subespacios de KN que, dotados de la norma apropiadaen cada caso, se convertirán en importantes ejemplos de espacios de Banach.

2.3.1. Los espacios lp con 1 6 p < ∞

Para 1 6 p < ∞ , denotaremos por lp al conjunto de todas las sucesiones x ∈KN tales quela serie ∑

n>1

∣∣x(n)∣∣ p es convergente, abreviadamente:

lp =

x ∈KN :∞

∑n=1

|x(n)|p < ∞

(5)


Vemos en particular que l1 está formado por los términos generales de todas las seriesde escalares absolutamente convergentes. En general, nuestro objetivo es convertir a lp en unespacio de Banach cuya norma vendrá dada por

∥∥x∥∥

p =

(∞

∑n=1

∣∣x(n)∣∣ p

)1/p

∀x ∈ lp (6)

La desigualdad de Minkowski será la clave para comprobar que lp es un espacio vectorialy que ‖ · ‖p es una norma en lp . Para x,y ∈ lp y n ∈ N , dicha desigualdad nos dice que(

n

∑k=1

∣∣x(k)+ y(k)∣∣ p

)1/p

6

(n

∑k=1

∣∣x(k) ∣∣ p

)1/p

+

(n

∑k=1

∣∣y(k) ∣∣ p

)1/p

6 ‖x‖p + ‖y‖p

de modo que tenemos

n

∑k=1

∣∣x(k)+ y(k)∣∣ p

6(‖x‖p + ‖y‖p

) p ∀n ∈ N

Por tanto, la serie ∑n>1

∣∣x(n)+ y(n)∣∣ p es convergente, es decir, x + y ∈ lp , pero además, de la

última desigualdad deducimos claramente que

(‖x+ y‖p

)p =∞

∑k=1

∣∣x(k)+ y(k)∣∣ p = lım

n→∞

n

∑k=1

∣∣x(k)+ y(k)∣∣ p

6(‖x‖p + ‖y‖p

) p

De esta forma hemos probado por ahora que

x,y ∈ lp =⇒ x+ y ∈ lp ,∥∥x+ y

∥∥p 6

∥∥x∥∥

p +∥∥y∥∥

p

Por otra parte es del todo evidente que, para cualesquiera x ∈ lp y λ ∈K se tiene λx ∈ lpcon ‖λx‖p = |λ | ‖x‖p . Finalmente, de ‖x‖p = 0 se deduce obviamente que x = 0. De hechoconviene resaltar algo que usaremos muy a menudo:∣∣x(k) ∣∣ 6

∥∥x∥∥

p ∀x ∈ lp , ∀k ∈ N (7)

En resumen, hemos probado que el conjunto de sucesiones lp definido en (5) es un espaciovectorial, subespacio de KN, y que la función ‖ · ‖p definida en (6) es una norma en lp . Sóloqueda probar la complitud para obtener el siguiente resultado:

Para 1 6 p < ∞ , se tiene que lp es un espacio de Banach.

Para probar que ‖ · ‖p es completa, sea xn una sucesión de Cauchy en lp . Fijado k ∈ N ,de la desigualdad (7) deducimos claramente que xn(k) es una sucesión de Cauchy en K ,luego es convergente. Definiendo x(k) = lım

n→∞xn(k) para todo k ∈ N , obtenemos x ∈KN y la

demostración se concluirá probando que x ∈ lp y‖xn− x‖p

→ 0.


Fijado ε > 0, por ser xn una sucesión de Cauchy, existe n0 ∈ N tal que, para n,m > n0se tiene ‖xn− xm ‖p < ε . Fijado n ∈ N con n > n0 , observamos que

m,N ∈ N , m > n0 =⇒N

∑k=1

∣∣xn(k)− xm(k)∣∣ p

6(‖xn− xm ‖p

) p< ε

p

Fijado también N ∈ N , observamos que

N

∑k=1

∣∣xn(k)− x(k)∣∣ p = lım

m→∞

N

∑k=1

∣∣xn(k)− xm(k)∣∣ p

6 εp

Como esto es válido para todo N ∈ N , deducimos que la serie ∑k>1

∣∣xn(k)− x(k)∣∣ p converge,

es decir, xn−x ∈ lp , de donde x = xn− (xn−x) ∈ lp . Pero además, la desigualdad anterior nospermite obtener que

∥∥xn− x∥∥

p = lımN→∞

(N

∑k=1

∣∣xn(k)− x(k)∣∣ p

)1/p

6 ε

Esto es cierto para todo n ∈ N con n > n0 , luego‖xn− x‖p

→ 0 como queríamos.

2.3.2. Los vectores unidad

Fijado el exponente p , con 1 6 p < ∞ , vamos a profundizar un poco más en la estructura delespacio de Banach lp . Para ello juegan un papel clave los vectores que ahora vamos a presentar.Para cada n ∈ N , denotaremos por en a la sucesión cuyo n-ésimo término es 1 , mientras quetodos los demás se anulan, esto es,

en(n) = 1 y en(k) = 0 ∀k ∈ N\n

Se dice que en es el n-ésimo vector unidad, y es obvio que en ∈ lp , luego lp contiene a todoslos vectores unidad, que claramente son linealmente independientes, luego lp tiene dimensióninfinita. Observemos ahora el subespacio de lp engendrado por los vectores unidad.

Fijado N ∈ N , en lp tenemos el subespacio Lin e1,e2, . . . ,eN engendrado por los Nprimeros vectores unidad, que tiene dimensión N y se convierte en espacio normado con lanorma inducida por lp . Dicho espacio normado se identifica totalmente con l N

p , pues existe unaobvia biyección lineal entre ambos que preserva la norma. Así pues, podemos ver el espacio deBanach l N

p como subespacio cerrado de lp .

Como es la primera vez que aparece, conviene resaltar el criterio que permite identificardos espacios normados X e Y . Un isomorfismo isométrico de X sobre Y es una biyecciónlineal Φ : X →Y que preserva la norma, es decir, verifica que ‖Φ(x)‖ = ‖x‖ para todo x ∈ X .Como es natural, dos espacios normados se consideran idénticos, cuando son isométricamenteisomorfos, es decir, existe un isomorfismo isométrico de uno sobre el otro. Acabamos de verque, para todo N ∈ N , el espacio de Banach l N

p es isométricamente isomorfo a un subespaciocerrado de lp .


Pero nos interesa ahora el subespacio de KN engendrado por todos los vectores unidad, quetiene dimensión infinita, pero numerable, y se denota por K(N), es decir

K(N) = Lin

en : n ∈ N

Si definimos el soporte de una sucesión x ∈KN como el conjunto n ∈ N : x(n) 6= 0 , esclaro que K(N) está formado por las sucesiones de soporte finito. Equivalentemente, para unasucesión x ∈KN, se tiene x ∈K(N) si, y sólo si, existe m ∈ N tal que x(n) = 0 para n > m .

Sabemos que K(N)⊂ lp y vamos a comprobar que, de hecho, K(N) es denso en lp . La formade aproximar cada sucesión x ∈ lp mediante sucesiones de soporte finito es fácil de adivinar:

basta usar la serie ∑n>1

x(n)en . Si para cada n ∈ N llamamos sn =n

∑k=1

x(k)ek a la n-ésima

suma parcial de dicha serie, es claro que sn tiene soporte finito, pues sn(k) = 0 para k > n .Pero también es claro que sn(k) = x(k) para k 6 n , con lo que se tiene(

‖x− sn ‖p)p =

∞

∑k=n+1

|x(k) | p ∀n ∈ N

El resto de una serie convergente es una sucesión convergente a cero, luego‖x− sn ‖p

→ 0.

Esto prueba que K(N) es denso en lp , pero de hecho tenemos algo más concreto:

Para 1 6 p < ∞ , cada x ∈ lp se expresa en la forma

x =∞

∑n=1

x(n)en (8)

como suma de una serie que converge en lp . Además, dicho desarrollo en serie es único

en el siguiente sentido: si x =∞

∑n=1

αn en , donde αn ∈ K para todo n ∈ N y la serie

converge en lp , entonces αk = x(k) para todo k ∈ N .

Hemos probado ya la validez del desarrollo (8) , luego sólo queda comprobar su unicidad.Sea αn la sucesión de escalares del enunciado y fijemos k ∈ N para probar que αk = x(k) .

Si para cada n ∈ N escribimos yn =n

∑j=1

α j e j , tenemos por hipótesis‖yn− x‖p

→ 0 y la

desigualdad (7) nos dice que

yn(k)→ x(k) , pero es claro que para n > k se tiene yn(k) = αk ,

luego

yn(k)→ αk y concluimos que αk = x(k) como se quería.

Siempre para 1 6 p < ∞ , se tiene K(N) 6= lp , pues tomando por ejemplo x(n) = 2−n paratodo n ∈ N , se tiene x ∈ lp , pero x /∈ K(N). Así pues, el espacio de Banach lp contiene unsubespacio K(N), que no es cerrado. Por tanto K(N) , con la norma inducida por lp , es unespacio normado no completo.

El resultado anterior nos va a permitir ahora describir la forma en que el espacio lp dependedel parámetro p , o lo que viene a ser lo mismo, aclarar la relación entre los espacios lp paradistintos valores de p . Para ello, supondremos en lo que sigue que 1 6 p < q < ∞ .


Para x ∈ lp escribimos x = ‖x‖p u donde u ∈ lp y ‖u‖p = 1. De (7) deducimos que,para k ∈ N se tiene |u(k) | 6 1, luego∣∣u(k)

∣∣q =∣∣u(k)

∣∣q−p ∣∣u(k)∣∣ p

6∣∣u(k)

∣∣ p ∀k ∈ N

El criterio de comparación para series de términos positivos nos dice que u ∈ lq y ‖u‖q 6 1.Deducimos que también x ∈ lq con ‖x‖q = ‖x‖p ‖u‖q 6 ‖x‖p . Hemos obtenido así unaprimera relación entre los espacios lp , que se resume en la siguiente implicación

1 6 p < q < ∞ , x ∈ lp =⇒ x ∈ lq , ‖x‖q 6 ‖x‖p (9)

Así pues, para 1 6 p < q < ∞ , vemos que lp está contenido en lq . Tal inclusión es estrictacomo muestran las series armónicas. En concreto, definiendo x(n) = n−1/p para todo n ∈ N ,es claro que x ∈ lq pero x /∈ lp . Puesto que K(N) es denso en lq y está contenido en lp , vemosque también lp es un subespacio denso en lq .

Debe quedar claro que lp está contenido en lq como espacio vectorial, pero en lp usamosla norma ‖ · ‖p , que no coincide con la norma inducida por lq , que es la restricción a lp dela norma ‖ · ‖q . Estas dos normas en lp no son equivalentes, pues ‖ · ‖p es completa pero lanorma inducida por lq no lo es, ya que lp no es cerrado en lq como acabamos de ver. Tenemosasí el primer ejemplo de dos normas en un mismo espacio vectorial, que no son equivalentes.De hecho, la desigualdad de (9) nos dice que en lp , la topología de la norma ‖ · ‖p contieneestrictamente a la inducida por lq .

2.3.3. Espacios de sucesiones acotadas

En la discusión anterior sobre espacios de sucesiones, ha quedado excluido el caso p = ∞ ,que ahora vamos a estudiar. Para N ∈ N , recordemos que l N

∞ es el espacio de Banach quese obtiene dotando a KN de la norma del máximo ‖ · ‖∞ . Es natural considerar un espaciode sucesiones en el que podemos definir una norma análoga. Basta trabajar con sucesionesacotadas y, aunque una tal sucesión puede no tener un término cuyo valor absoluto o módulosea máximo, siempre podemos usar un supremo. Denotamos por l∞ el conjunto de todas lassucesiones acotadas de escalares, simbólicamente,

l∞ =

x ∈KN : sup|x(n)| : n ∈ N< ∞

Es evidente que l∞ es un espacio vectorial, de nuevo subespacio de KN, y probaremos sindificultad el siguiente resultado:

l∞ es un espacio de Banach con la norma dada por∥∥x∥∥

∞= sup

|x(n) | : n ∈ N

∀x ∈ l∞

Está claro que ‖ · ‖∞ es una norma en l∞ , cuya complitud vamos a comprobar. Si xn esuna sucesión de Cauchy en l∞ , para cada ε > 0 existe n0 ∈ N tal que

n,m ∈ N , n,m > n0 =⇒ ‖xn− xm ‖∞ < ε =⇒∣∣xn(k)− xm(k)

∣∣ < ε ∀k ∈ N (10)


Para todo k ∈ N , vemos claramente que xn(k) es una sucesión de Cauchy en K , luegoconverge, lo que nos permite definir x(k) = lım

n→∞xn(k) . Obtenemos así una sucesión x ∈ KN,

y la demostración se concluirá comprobando que x ∈ l∞ y‖xn− x‖∞

→ 0. Fijado ε > 0

tenemos n0 ∈ N verificando (10) y fijamos n ∈ N con n > n0 . Para todo k ∈ N se tiene∣∣xn(k)− x(k)∣∣ = lım

m→∞

∣∣xn(k)− xm(k)∣∣ 6 ε

luego la sucesión xn− x está acotada, de donde x = xn− (xn− x) ∈ l∞ . Pero de hecho tenemosque ‖xn−x‖∞ 6 ε , para todo n ∈N que verifique n > n0 . Esto prueba que

‖xn−x‖∞

→ 0

como se quería.

En el espacio l∞ seguimos teniendo los vectores unidad en : n ∈ N . Por razones quese irán comprendiendo más adelante, cuando el espacio K(N) de las sucesiones de soportefinito se considera como subespacio de l∞ , se le denota por c00 . A diferencia de lo que ocurríapara p < ∞ , vamos a comprobar que c00 no es denso en l∞ . De hecho vamos a describirexplícitamente el cierre de c00 en l∞ .

Si x ∈ c00 y fijamos ε > 0, ha de existir y ∈ c00 tal que ‖x− y‖∞ < ε . Como y tienesoporte finito, existe m ∈ N tal que y(n) = 0 para n > m . Entonces, también para n > mtenemos claramente |x(n)| = |x(n)− y(n)| 6 ‖x− y‖∞ < ε . Esto prueba que lım

n→∞x(n) = 0,

lo cual es válido para todo x ∈ c00 . Deducimos que c00 no es denso en l∞ , pues abundan lassucesiones acotadas que no convergen a cero.

Denotamos por c0 al subespacio de KN formado por las sucesiones convergentes a cero:

c0 =

x ∈KN : lımn→∞

x(n) = 0

Como toda sucesión convergente está acotada, c0 es un subespacio de l∞ , que consideramoscomo espacio normado, con la restricción de la norma ‖ · ‖∞ . Acabamos de ver que c00 ⊂ c0

y enseguida vamos a comprobar que esta inclusión es una igualdad. De hecho veremos que losvectores unidad se comportan en c0 de forma análoga a como lo hacían en lp para 1 6 p < ∞ .Toda la información se recoge en el siguiente enunciado:

El espacio c0 , de las sucesiones de escalares convergentes a cero, es un subespaciocerrado de l∞ , y por tanto un espacio de Banach, cuya norma viene dada por∥∥x

∥∥∞

= max|x(n) | : n ∈ N

∀x ∈ c0 (11)

Además, cada x ∈ c0 se expresa en la forma

x =∞

∑n=1

x(n)en (12)

como suma de una serie que converge en c0 , y en particular c00 es denso en c0 . Por

último, el desarrollo en serie anterior es único, es decir: si x =∞

∑n=1

αn en , donde αn ∈K

para todo n ∈ N y la serie converge en c0 , entonces αk = x(k) para todo k ∈ N .


Conviene empezar probando el desarrollo (12) . Fijado x ∈ c0 , escribimos sn =n

∑k=1

x(k)ek

para todo n ∈N y se trata de probar que ‖x− sn ‖∞→ 0. Para n,k ∈N se tiene sn(k) = x(k)cuando k 6 n , mientras que sn(k) = 0 si k > n , luego

‖x− sn ‖∞ = sup|x(k)| : k ∈ N , k > n

∀n ∈ N

Dado ε > 0, existe un m ∈ N tal que |x(k) | < ε para k > m . La igualdad anterior nos diceentonces que para n > m se tiene ‖x− sn‖∞ 6 ε , luego ‖x− sn ‖∞→ 0, como se quería.

Como sn ∈ c00 para todo n ∈ N , tenemos x ∈ c00 , lo cual es válido para todo x ∈ c0 , luegovemos que c0 ⊂ c00 , pero ya teníamos la otra inclusión, así que c0 = c00 . Por tanto, c0 es unsubespacio cerrado de l∞ , luego c0 es un espacio de Banach con la norma inducida por l∞ .

Para tener (11) , dado x∈ c0 , debemos ver que el supremo que define a ‖x‖∞ es un máximo,cosa obvia si x = 0. En otro caso, existe m ∈ N tal que |x(n) | < ‖x‖∞ /2 para n > m . Estáclaro entonces que ha de existir k ∈ N con k 6 m tal que |x(k) | = ‖x‖∞ , como queríamos.

Sólo queda la unicidad del desarrollo (12). Para x∈ c0 , supongamos que‖x−yn ‖∞

→ 0,

donde yn =n

∑k=1

αk ek para todo n ∈ N , con αk ∈ K para todo k ∈ N . Fijado k ∈ N , tenemos

claramente |x(k)− yn(k) | 6 ‖x− yn ‖∞ para todo n ∈ N , luego yn(k)→ x(k) , pero es claroque yn(k) = αk para n > k , luego yn(k)→ αk , de donde αk = x(k) como queríamos.

Veamos finalmente la relación entre los espacios lp con 1 6 p < ∞ y los recién estudiadospara p = ∞ . Para x∈ lp , la serie ∑

n>1|x(n)| p es convergente, luego lım

n→∞|x(n)| p = 0, o lo que es

lo mismo, x∈ c0 . Además, sabemos que |x(n)| 6 ‖x‖p para todo n∈N , luego ‖x‖∞ 6 ‖x‖p .Así pues, la relación buscada es la siguiente

1 6 p < ∞ , x ∈ lp =⇒ x ∈ c0 , ‖x‖∞ 6 ‖x‖p

La inclusión de lp en c0 es estricta, pues tomando x(n) = 1/ log(n + 1) para todo n ∈ N , setiene x∈ c0 pero x /∈ lp . La situación de lp en c0 es análoga a la que tenía en lq para p < q < ∞ .Concretamente, lp es un subespacio denso en c0 , pues contiene a c00 , pero no es cerrado. Conla norma inducida por c0 , vemos que lp es un espacio normado no completo, cuya norma no esequivalente a ‖ · ‖p . De hecho, la topología de lp contiene estrictamente a la inducida por c0 .

2.4. Bases de Schauder y espacios de Banach separables

Considerando el espacio de Banach X = lp con 1 6 p < ∞ , o bien X = c0 , observemosla situación en X de los vectores unidad. Aunque son linealmente independientes, no formanuna base algebraica de X , pues el subespacio que engendran es K(N) 6= X . Sin embargo, lasucesión en se comporta en cierto modo como una base, pues cada vector x ∈ X se expresade manera única como una especie de “combinación lineal infinita” de los términos de nuestra

sucesión: x =∞

∑n=1

x(n)en , expresión que tiene sentido porque la serie converge en la topología

del espacio de Banach X . Ello motiva la siguiente definición.


Una sucesión un en un espacio de Banach X , es una base de Schauder de X , cuandopara cada x ∈ X existe una única sucesión αn de escalares tal que

x =∞

∑n=1

αn un (13)

serie que converge en la topología de X . Se dice que (13) es el desarrollo en serie de x conrespecto a la base de Schauder un .

Por supuesto, la sucesión en de los vectores unidad es una base de Schauder, tanto de lppara 1 6 p < ∞ , como de c0 , llamada base de vectores unidad de lp o c0 .

El concepto de base de Schauder es uno de los más útiles e importantes en el estudio delos espacios de Banach, pero por ahora sólo haremos alguna observación sencilla sobre dichoconcepto. En lo que sigue fijamos una base de Schauder un de un espacio de Banach X ,escribimos U = un : n ∈ N , y consideramos el subespacio engendrado Y = Lin U ⊂ X .

Cada vector y ∈ Y es combinación lineal de vectores de U , luego puede escribirse en la

forma y =∞

∑n=1

αn un donde αn ∈K para todo n ∈N y el conjunto n ∈N : αn 6= 0 es finito,

lo que obviamente hace que la serie converja. Hemos obtenido así el desarrollo en serie de ycon respecto a un , que por hipótesis es único, lo que tiene dos consecuencias. Por una parte,el desarrollo en serie de cada vector y ∈Y con respecto a un se reduce a una suma finita. Porotra, la expresión de cada vector y ∈ Y como combinación lineal de vectores de U también esúnica. Esto significa que los vectores de U forman una base del espacio vectorial Y , es decir,son linealmente independientes y, en particular, un 6= 0 para todo n ∈ N . Por tanto, Y tienedimensión infinita y numerable, es decir, como espacio vectorial se puede identificar con K(N).

La definición de base de Schauder implica claramente que Y es denso en X y vamos acomprobar que Y 6= X . Para ello consideramos la serie ∑

n>1xn donde xn = 2−n un /‖un‖ para

todo n ∈ N . Es una serie absolutamente convergente, ya que ‖xn ‖ = 2−n para todo n ∈ N ,luego por ser X un espacio de Banach, del criterio de complitud deducimos que dicha serie esconvergente. Escribiendo

x =∞

∑n=1

xn =∞

∑n=1

12n ‖un ‖

un

tenemos claramente el desarrollo en serie de x con respecto a un en el que ninguno de losescalares que aparecen se anula. Esto implica que x /∈ Y , pues en otro caso dicho desarrollose reduciría a una suma finita como hemos visto antes. Así pues, una base de Schauder de unespacio de Banach X nunca es una base algebraica de X . Más adelante probaremos un resultadomás general: un espacio de Banach no puede tener dimensión infinita y numerable.

Por contener un subespacio denso de dimensión numerable, todo espacio de Banach conbase de Schauder tendrá una propiedad topológica, que ahora vamos a comentar. Recordemosque un espacio topológico es separable cuando contiene un subconjunto denso, numerable.Para espacios métricos, esta propiedad tiene una útil caracterización:

Un espacio métrico X es separable si, y sólo si, su topología tiene una base numerable.En tal caso, todo conjunto no vacío Y ⊂ X es separable con la topología inducida.


Si E es un conjunto numerable denso en X , las bolas abiertas centradas en puntos de E ,cuyos radios sean números racionales, forman una familia numerable B de abiertos de X . Esfácil comprobar que todo abierto de X es unión de elementos de B , es decir, B es una base de latopología de X . Recíprocamente, si B es una base numerable de la topología de X , eligiendo unpunto en cada elemento no vacío de B , obtenemos un conjunto numerable, que evidentementees denso en X , luego X es separable. Finalmente si B es una base numerable de la topologíade X , para cualquier conjunto no vacío Y ⊂ X , vemos que la familia

B∩Y : B ∈B es una

base numerable de la topología inducida en Y , luego Y es separable.

Naturalmente, nos interesa sobre todo el caso particular de un espacio normado, en el quela separabilidad se caracteriza como sigue.

Un espacio normado es separable si, y sólo si, tiene un subespacio denso, de dimensiónnumerable.

Una implicación es casi evidente: si X es un espacio normado separable y E es un conjuntonumerable, denso en X , basta tomar Y = Lin E para tener un subespacio Y , que obviamentetiene dimensión numerable y es denso en X . Lo interesante es el recíproco, cuya demostraciónes un poco más laboriosa.

Supongamos que X es un espacio normado, sea Y un subespacio denso en X , de dimensiónnumerable, que puede ser finita, y sea U un conjunto numerable tal que Y = Lin U . Paraprobar que X es separable, usaremos también un conjunto numerable ∆ , denso en K . Porejemplo, si K = R puede ser ∆ = Q , mientras que para K = C , podemos tomar ∆ = Q + iQ .Fijado n ∈ N , consideramos el conjunto En de todas las combinaciones lineales de n vectorescualesquiera de U , con coeficientes en ∆ , es decir:

En = n

∑k=1

δk uk : n ∈ N , δ1, . . . ,δn ∈ ∆ , u1, . . . ,un ∈U

Vemos que En es numerable, pues existe claramente una aplicación sobreyectiva del conjuntonumerable ∆n×U n sobre En . Además, usando que ∆ es denso en K , comprobamos fácilmenteque En contiene a todas las combinaciones lineales de n elementos cualesquiera de U .

Lo anterior es válido para todo n ∈ N , luego el conjunto E =∞⋃

n=1En es numerable, por ser

una unión numerable de conjuntos numerables. Pero además, como En ⊂ E para todo n ∈ N ,deducimos que E contiene a todas las combinaciones lineales de elementos de U , es decir, setiene Y = Lin U ⊂ E . Finalmente, como Y es denso en X , vemos que X = E , luego E es unconjunto numerable denso en X . Por tanto, X es separable, como queríamos demostrar.

Así pues, todo espacio de Banach con base de Schauder es separable y, en particular, losespacios de Banach lp con 1 6 p < ∞ y c0 son separables. Durante algún tiempo, en todos losespacios de Banach separables conocidos, se disponía de una base de Schauder, lo que llevó alpropio Stefan Banach a preguntar si en todo espacio de Banach separable se puede encontrar unabase de Schauder. El problema, abierto durante más de cuarenta años, fue resuelto en 1973 por elmatemático sueco Per Enflo, construyendo una amplia gama de espacios de Banach separablessin base de Schauder. Volviendo a cuestiones más sencillas, vemos a continuación un ejemplode espacio de Banach que no es separable.


El espacio de Banach l∞ , de las sucesiones acotadas de escalares, no es separable.

Usaremos un hecho bien conocido: el conjunto P(N) , de todos los subconjuntos de N , noes numerable. Para cada J ∈ P(N) , denotemos por χJ ∈ l∞ a la función característica de J , esdecir, la sucesión definida por

χJ(n) = 1 ∀n ∈ J y χJ(n) = 0 ∀x ∈ N\ J

Sea entonces BJ la bola abierta en l∞ de centro χJ y radio 1/2. Para J,K ∈ P(N) con J 6= K ,existe n ∈N tal que |χJ(n)−χK(n)| = 1, luego ‖χJ−χK ‖∞ > 1, de donde BJ ∩BK = /0 . Asípues,

BJ : J ∈ P(N) es una familia no numerable de subconjuntos abiertos de l∞ , que son

dos a dos disjuntos. Esto impide que l∞ pueda ser separable, como vamos a ver.

Si E es un conjunto denso en l∞ , para cada J ∈ P(N) se tiene E ∩BJ 6= /0 , lo que nospermite elegir yJ ∈ E ∩BJ . Claramente la aplicación J 7→ yJ de P(N) en E , es inyectiva,luego E no es numerable. Hemos probado que l∞ no contiene un conjunto denso numerable,es decir, no es separable.

2.5. Espacios de funciones acotadas

Es fácil generalizar la definición del espacio l∞ considerando, en vez de sucesiones acotadas,funciones acotadas en un conjunto arbitrario. Más concretamente, si Γ es un conjunto no vacío,consideramos el espacio vectorial producto KΓ, formado por todas las funciones de Γ en K ,con operaciones definidas puntualmente, es decir, para x,y ∈KΓ y λ ∈K se tiene:(

x+ y)(γ) = x(γ) + y(γ) y

(λx)(γ) = λx(γ) ∀γ ∈ Γ

Denotaremos por l∞(Γ) al conjunto de todas las funciones acotadas de Γ en K , que esevidentemente un subespacio de KΓ :

l∞(Γ) =

x ∈KΓ : sup|x(γ)| : γ ∈ Γ< ∞

Es claro que, definiendo∥∥x∥∥

∞= sup

|x(γ) | : γ ∈ Γ

∀x ∈ l∞(Γ)

se obtiene una norma en l∞(Γ) . Igual que hicimos en el caso Γ = N , comprobamos enseguidaque dicha norma es completa.

Si xn es una sucesión de Cauchy en l∞(Γ) , para cada ε > 0 existe n0 ∈ N tal que

n,m > n0 =⇒ ‖xn− xm ‖∞ < ε =⇒ |xn(γ)− xm(γ) |< ε ∀γ ∈ Γ (14)

Para cada γ ∈ Γ , vemos que xn(γ) es una sucesión de Cauchy en K , luego converge, lo quenos permite definir x(γ) = lım

n→∞xn(γ) para todo γ ∈ Γ . Fijado n ∈ N con n > n0 , de (14)

deducimos que

|xn(γ)− x(γ) | = lımm→∞

|xn(γ)− xm(γ) | 6 ε ∀γ ∈ Γ


De la anterior desigualdad deducimos que xn− x ∈ l∞(Γ) , luego x = xn− (xn− x) ∈ l∞(Γ) ,pero además tenemos ‖xn−x‖∞ 6 ε para n > n0 . Esto prueba que

‖xn−x‖∞

→ 0 y hemos

obtenido el siguiente resultado:

Si Γ es un conjunto no vacío arbitrario, el espacio l∞(Γ) , de todas las funciones acotadasde Γ en K , es un espacio de Banach, cuya norma viene dada por∥∥x

∥∥∞

= sup|x(γ) | : γ ∈ Γ

∀x ∈ l∞(Γ)

Como casos particulares que ya conocíamos, tenemos l∞(N) = l∞ y, si para N ∈ N fijo,tomamos Γ = k ∈ N : k 6 N , es claro que l∞(Γ) = l N

∞ . Pero volviendo al caso general,conviene observar la convergencia en l∞(Γ) . Si xn ∈ l∞(Γ) para todo n ∈ N , y x ∈ l∞(Γ) ,fijados n ∈N y ε > 0, la desigualdad ‖xn−x‖∞ 6 ε equivale a que se tenga |xn(γ)−x(γ)|6 ε

para todo γ ∈ Γ . Por tanto, la convergencia de xn a x se expresa de la siguiente forma

∀ε > 0 ∃ m ∈ N : n > m =⇒ |xn(γ)− x(γ)| 6 ε ∀γ ∈ Γ

y esto significa que la sucesión de funciones xn converge uniformemente a x en Γ . Así pues,la convergencia en el espacio de Banach l∞(Γ) equivale a la convergencia uniforme en Γ .

En lo que sigue vamos a estudiar determinados subespacios de l∞(Γ) que aparecen de formanatural cuando Γ está provisto de una topología adecuada.

2.6. Espacios de funciones continuas

Trabajaremos con funciones continuas, definidas en un espacio topológico Ω y con valoresen K . Suponemos que Ω es un espacio de Hausdorff, es decir, cada dos puntos distintos de Ω

tienen entornos disjuntos, y también que Ω es localmente compacto, esto es, todo punto de Ω

tiene un entorno compacto. Como veremos enseguida, estas hipótesis garantizan la abundanciade funciones continuas de Ω en K .

En el espacio de Banach l∞(Ω) cabe considerar el subespacio formado por las funcionescontinuas y acotadas, que se suele denotar por Cb(Ω) . Puesto que la convergencia en l∞(Ω) esla uniforme en Ω , que preserva la continuidad, tenemos:

Cb(Ω) es un subespacio cerrado de l∞(Ω) , luego es un espacio de Banach con la normadada por

‖ f ‖∞ = sup| f (t) | : t ∈Ω

∀ f ∈Cb(Ω)

Como es sabido, cuando Ω es compacto, toda función continua f : Ω→K está acotada, esdecir, f ∈Cb(Ω) , y el supremo que define a ‖ f ‖∞ es de hecho un máximo. Volveremos luegoa este caso particular, pero por ahora seguimos trabajando en el caso general, para destacaralgunos subespacios de Cb(Ω) que precisamente tienen interés cuando Ω no es compacto.

El soporte de una función f : Ω→K viene dado por

sop f =

t ∈Ω : f (t) 6= 0


Denotamos por C00(Ω) al conjunto de las funciones continuas de soporte compacto, esdecir, funciones continuas f : Ω → K , tales que sop f es un subconjunto compacto de Ω .Para toda f ∈ C00(Ω) , sabemos que la función continua | f | alcanza un valor máximo en elconjunto compacto sop f , que también es su máximo en Ω , luego en particular f ∈ Cb(Ω) .Por otra parte, si f ,g ∈C00(Ω) y λ ∈ K , la función λ f + g es continua y su soporte es unconjunto cerrado, que claramente está contenido en el conjunto compacto sop f

⋃sop g , luego

es compacto, así que λ f + g ∈C00(Ω) . En resumen, C00(Ω) es un subespacio de Cb(Ω) , enel que consideramos la norma inducida, que viene dada por

‖ f‖∞ = max| f (t)| : t ∈Ω

∀ f ∈C00(Ω)

En general, C00(Ω) puede no ser un subespacio cerrado de Cb(Ω) . Es lo que ocurre, comoveremos, en el caso Ω = R . Pero en general, podemos describir el cierre de C00(Ω) en Cb(Ω) .Para ello usaremos un resultado que asegura la abundancia de funciones continuas de soportecompacto y que no vamos a demostrar. Se trata de una consecuencia directa, para espacioslocalmente compactos, de un resultado básico en topología general: el lema de Urysohn.

Si K ⊂U ⊂Ω , donde K es compacto y U es abierto, existe ϕ ∈C00(Ω) , tal que

sop ϕ⊂U , ϕ(t) ∈ [0 , 1 ] ∀ t ∈Ω y ϕ(t) = 1 ∀ t ∈ K (15)

Pues bien, sea f ∈C00(Ω) , el cierre de C00(Ω) en Cb(Ω) . Dado ε > 0, existe g ∈C00(Ω)tal que ‖ f −g‖∞ < ε , con lo que, para t ∈ Ω\ sop g se tiene g(t) = 0, luego | f (t) | < ε . Portanto, el conjunto

t ∈ L : | f (t) | > ε

, que es cerrado porque f es continua, está contenido en

el conjunto compacto sop g , luego es compacto. Demos un nombre a las funciones que verificanla propiedad que acabamos de probar para f .

Dada una función continua f : Ω→K , decimos que f se anula en el infinito cuando, paratodo ε > 0, el conjunto

t ∈ L : | f (t) |> ε

es compacto. Denotamos por C0(Ω) al conjunto

de todas las funciones continuas de Ω en K que se anulan en el infinito. Si f ∈C0(Ω)\0 yfijamos t0 ∈Ω tal que f (t0) 6= 0, como el conjunto

t ∈Ω : | f (t)|> | f (t0)|

es compacto, la

función | f | tiene máximo en dicho conjunto, que también es su máximo en Ω . En particular,vemos que f está acotada, así que C0(Ω)⊂Cb(Ω) .

Hemos visto anteriormente que C00(Ω)⊂C0(Ω) y probaremos enseguida que esta inclusiónes una igualdad. Si f ∈C0(Ω) y ε > 0, debemos encontrar g ∈C00(Ω) con ‖ f −g‖∞ < ε . Elconjunto compacto K = t ∈Ω : | f (t)|> ε y el abierto U = t ∈Ω : | f (t)|> ε/2 , verificanobviamente que K ⊂ U , luego el resultado anterior nos da una función ϕ ∈ C00(Ω) con laspropiedades indicadas en (15) . Usamos entonces la función producto g = ϕ f , que es continuacon sop g ⊂ sop ϕ , luego g ∈C00(Ω) . Dado t ∈ Ω , basta ver que | f (t)−g(t)|< ε , y para ellodistinguimos los tres casos que pueden darse. Si t ∈ K , se tiene ϕ(t) = 1 luego g(t) = f (t) .Si t ∈U \K , usando que ϕ(t) ∈ [0,1] obtenemos que | f (t)− g(t)| = | f (t)| |1−ϕ(t)| < ε .Finalmente, si t ∈ Ω\U se tiene ϕ(t) = 0, luego | f (t)−g(t)| = | f (t)| 6 ε/2. Resumimos lainformación obtenida sobre C0(Ω) , un nuevo ejemplo de espacio de Banach:

C0(Ω) es el cierre de C00(Ω) en Cb(Ω) , y en particular un subespacio cerrado de Cb(Ω) ,luego es un espacio de Banach, cuya norma viene dada por:

‖ f‖∞ = max| f (t) | : t ∈Ω

∀ f ∈C0(Ω)


Resaltamos que la convergencia en el espacio de Banach C0(Ω) , como en Cb(Ω) , es laconvergencia uniforme en Ω . Destacamos dos casos particulares de los resultados anteriores,aunque el primero no es nuevo.

Usando en N la topología discreta, tenemos un espacio topológico de Hausdorff, localmentecompacto, en el que toda función es continua, luego Cb(N) = l∞ . Como todo subconjunto de Nes cerrado, el soporte de una función x : N→K es el que ya habíamos usado para sucesiones, esdecir: sop x = n ∈ N : x(n) 6= 0 . Por otra parte, un subconjunto de N es compacto si, y sólosi, es finito, luego las funciones continuas de soporte compacto son las sucesiones de soportefinito: C00(N) = c00 . Por último, para una función x : N→K , vemos que x ∈C0(N) si, y sólosi, para todo ε > 0, el conjunto n ∈N : |x(n)|> ε es finito, lo que equivale claramente a quese tenga lım

n→∞x(n) = 0. Por tanto, C0(N) = c0 , y la igualdad C0(N) =C00(N) , recién probada,

no es más que la igualdad c0 = c00 , obtenida al estudiar los espacios de sucesiones.

Como segundo caso particular, más interesante, tomemos Ω = R con la topología usual,que ciertamente es un espacio topológico de Hausdorff, localmente compacto. Las funcionescontinuas que se anulan en el infinito tienen una caracterización que explica la nomenclatura.Dada una función continua f : R → K y fijado ε > 0, el conjunto t ∈ R : | f (t)| > ε escerrado, luego será compacto si, y sólo si está acotado, lo que equivale a que exista M ∈ R+

tal que, para t ∈ R con |t|> M se tenga | f (t)|< ε . Que esto ocurra para todo ε > 0, significasimplemente que f tiene límite cero, tanto en +∞ como en −∞ . Así pues, para una funcióncontinua f : R→K se tiene

f ∈C0(R) ⇐⇒ lımt→+∞

f (t) = lımt→−∞

f (t) = 0

Queda ahora claro por qué hablamos de funciones que se anulan en el infinito.

Tomando por ejemplo f (t) = e−| t | para todo t ∈ R , tenemos f ∈C0(R) pero sop f = R .Vemos por tanto que C00(R) 6= C0(R) , luego C00(R) es un espacio normado no completo,subespacio denso del espacio de Banach C0(R) .

Análogos comentarios se pueden hacer para funciones de varias variables reales, es decir,en el caso Ω = RN con N ∈ N arbitrario. En vez del valor absoluto en R , usaremos la normaeuclídea en RN . Dada una función continua f : RN →K se tiene claramente que f ∈C0

(RN)

si, y sólo si, para cada ε > 0 existe M ∈R+ tal que | f (t)|< ε para todo t ∈RN con ‖ t ‖> M .Esta equivalencia puede abreviarse escribiendo

f ∈C0(RN ) ⇐⇒ lım

‖ t ‖→+∞

f (t) = 0

Por último, definiendo f (t) = e−‖ t ‖ para todo t ∈RN , comprobamos que C00(RN) 6=C0

(RN) .

La situación de los espacios de funciones continuas se clarifica cuando trabajamos con unespacio compacto. Concretamente, si K es un espacio topológico compacto y de Hausdorff,toda función continua en K tiene soporte compacto, luego Cb(K) = C0(K) = C00(K) es elespacio de todas las funciones continuas, definidas en K y con valores escalares, que se sueledenotar simplemente por C(K) . Resaltamos este caso particular de los resultados anteriores:

Si K es un espacio topológico compacto y de Hausdorff, el espacio C(K) , de todas lasfunciones reales o complejas continuas en K , es un espacio de Banach con la norma

‖ f‖∞ = max| f (t) | : t ∈ K

∀ f ∈C(K)


Es claro que aquí tenemos una amplia gama de espacios de Banach, entre los que cabedestacar por ejemplo el espacio C[0,1] de las funciones continuas en el intervalo [0,1] convalores, reales o complejos. Por un conocido teorema de Weierstrass, para cada f ∈ C[0,1]existe una sucesión de funciones polinómicas que converge a f uniformemente en [0,1] . Portanto, C[0,1] tiene un subespacio denso de dimensión numerable, es decir, es un espacio deBanach separable.

En Análisis de Fourier tiene interés el espacio C(T) de todas las funciones continuas enla circunferencia unidad, T = z ∈ C : |z| = 1 , con valores complejos, pero este espacio sedescribe de una forma alternativa que conviene comentar. A cada g∈C(T) , podemos asociar lafunción g∗ : R→C definida por g∗(t) = g

(e i t ) para todo t ∈R , que claramente es continua

y 2π-periódica. Pero recíprocamente, si f : R→C es continua y 2π-periódica, existe una únicafunción g ∈ C(T) tal que f = g∗ . De hecho, para cada z ∈ T basta definir g(z) = f

(θ(z)

),

donde θ(z) es cualquier argumento de z . La periodicidad de f hace que g esté bien definiday, de la continuidad de f se deduce fácilmente la de g , mientras que la unicidad de g es obvia.Esto permite identificar cada función g∈C(T) con la correspondiente g∗ , para ver C(T) comoun espacio de funciones periódicas. La norma de cada g ∈C(T) , se calcula usando g∗ , puestoque se tiene ‖g‖∞ = max

|g∗(t) | : t ∈ R

. Destacamos esta forma de entender el espacio

de Banach C(T) , que será muy útil a la hora de obtener aplicaciones del Análisis Funcional alestudio de las series de Fourier.

El espacio C(T) de todas las funciones continuas y 2π-periódicas de R en C es unespacio de Banach cuya norma viene dada por

‖ f ‖∞ = max| f (t) | : t ∈ R

∀ f ∈C(T)

Observemos por último que la convergencia en el espacio de Banach C(T) , entendido en laforma que acabamos de explicar, es la convergencia uniforme en R .

2.7. Los espacios de Lebesgue

Para presentar una nueva gama de espacios de Banach, fijado N ∈ N , usaremos la mediday la integral de Lebesgue en RN , que suponemos conocidas. Las propiedades fundamentalesde la integral de Lebesgue, recogidas en los teoremas de convergencia, son las que permitenobtener la complitud de los espacios que vamos a presentar.

En lo que sigue, fijamos un abierto no vacío Ω⊂ RN y trabajamos con funciones mediblesde Ω en K , pero identificando funciones que coincidan casi por doquier (abreviado c.p.d.),esto es, que coincidan salvo en un conjunto de medida nula. Denotamos por L(Ω) al espaciovectorial formado por tales funciones. En rigor, los elementos de este espacio son clases deequivalencia, pero casi siempre es más cómodo e intuitivo manejarlos como si fuesen funciones,con las debidas precauciones.


2.7.1. Los espacios Lp(Ω) para 1 6 p < ∞

Si ϕ ∈ L(Ω) y ϕ(t) ∈ R+0 para casi todo (abreviado p.c.t.) t ∈ Ω , tiene sentido la integral

de ϕ sobre Ω , o sobre cualquier subconjunto medible de Ω , aunque puede ser ∞ . Fijado pcon 1 6 p < ∞ , para f ∈ L(Ω) se tiene | f | p ∈ L(Ω) , luego podemos definir

Lp(Ω) =

f ∈ L(Ω) :∫

Ω

| f (t) | p dt < ∞

(16)

y comprobaremos enseguida que Lp(Ω) es un subespacio de L(Ω) .

Para f ,g ∈ Lp(Ω) podemos escribir Ω = A∪B donde A y B son conjuntos medibles ydisjuntos, tales que |g | 6 | f | c.p.d. en A mientras que | f | < |g | c.p.d. en B , con lo quetambién tenemos | f +g | p 6 2 p | f | p c.p.d. en A y | f +g | p 6 2 p |g | p c.p.d. en B . Usandopropiedades elementales de la integral, obtenemos∫

Ω

| f (t)+g(t) | p dt =∫

A| f (t)+g(t) | p dt +

∫B| f (t)+g(t) | p dt

6 2 p∫

A| f (t) | p dt + 2 p

∫B|g(t) | p dt < ∞

y esto prueba que f +g ∈ Lp(Ω) . Por otra parte, es evidente que λ f ∈ Lp(Ω) para todo λ ∈K .Por tanto, Lp(Ω) es un espacio vectorial, subespacio de L(Ω) .

Con el fin de convertir a Lp(Ω) en un espacio normado, definimos:

∥∥ f∥∥

p =(∫

Ω

| f (t) | p dt)1/p

∀ f ∈ Lp(Ω) (17)

y se trata de probar que ‖ · ‖p es una norma en Lp(Ω) . Para λ ∈ K y f ∈ Lp(Ω) , se tieneevidentemente ‖λ f ‖p = |λ| ‖ f ‖p . Además, si f ∈ Lp(Ω) verifica que ‖ f ‖p = 0, se ha detener f = 0 c.p.d., pero esto significa que f es el vector cero en Lp(Ω) . Por supuesto, esta era larazón para identificar funciones que coinciden c.p.d. y trabajar con clases de equivalencia. Portanto, sólo queda comprobar que ‖ · ‖p verifica la desigualdad triangular. Ello requiere nuevasversiones de las desigualdades de Hölder y Minkowski.

Desigualdad integral de Hölder. Si 1 < p < ∞ , f ∈ Lp(Ω) y g ∈ Lp∗(Ω) , se tiene:

f g ∈ L1(Ω) con∥∥ f g

∥∥1 6

∥∥ f∥∥

p

∥∥g∥∥

p∗ (18)

Demostración. Si ‖ f ‖p = 0, tenemos f = 0 c.p.d., luego f g = 0 c.p.d. y no hay nada quedemostrar. Por tanto, suponemos que ‖ f ‖p = α ∈ R+ , y análogamente, que ‖g‖p∗ = β ∈ R+.

La desigualdad de Young nos permite entonces escribir

1αβ

| f (t)g(t) | 6| f (t) | p

pα p +|g(t) | p∗

p∗β p∗ p.c.t. t ∈Ω

de donde deducimos claramente la desigualdad buscada:

1αβ

∫Ω

| f (t)g(t) | dt 61

pα p

∫Ω

| f (t) | p dt +1

p∗β p∗

∫Ω

|g(t) | p∗ dt =1p

+1p∗

= 1


El siguiente razonamiento también nos recordará al usado para obtener la desigualdad deMinkowski en su primera versión.

Desigualdad integral de Minkowski. Para cualesquiera f ,g ∈ Lp(Ω) , se tiene:∥∥ f +g∥∥

p 6∥∥ f∥∥

p + ‖g∥∥

p

Demostración. Suponemos que p > 1 pues en otro caso el resultado es evidente. Usaremosla desigualdad obvia

| f +g | p 6 | f | | f +g | p−1 + |g | | f +g | p−1

y aplicaremos la desigualdad integral de Hölder a los dos sumandos del segundo miembro.Observamos que | f +g | p−1 ∈ Lp∗(Ω) , ya que∫

Ω

(| f (t)+g(t) | p−1 )p∗ dt =

∫Ω

| f (t)+g(t) | p dt =(‖ f +g‖p

)p< ∞

con lo que al aplicar la mencionada desigualdad obtenemos:(‖ f +g‖p

)p = ‖| f +g| p ‖1 6(‖ f ‖p + ‖g‖p

)(‖ f +g‖p

)p/p∗

Si ‖ f + g‖p = 0 no hay nada que demostrar y, en otro caso, dividimos ambos miembros de laúltima desigualdad por

(‖ f + g‖p

)p/p∗> 0. Como p− (p/p∗) = 1, obtenemos exactamente

el resultado deseado.

Comprobado que ‖ · ‖p es una norma en Lp(Ω) , nuestro próximo objetivo es probar sucomplitud. Ese es el contenido del siguiente teorema, que se puede considerar como parte de lapre-historia del Análisis Funcional.

Teorema de Riesz-Fisher. El espacio Lp(Ω) definido en (16) es un espacio de Banach conla norma ‖ · ‖p dada por (17) .

Demostración. Usando el criterio de complitud obtenido en el tema anterior, probaremosque, en Lp(Ω) , toda serie absolutamente convergente es convergente. Sea pues Fn ∈ Lp(Ω)

para todo n ∈ N , verificando que∞

∑n=1

‖Fn ‖p = M ∈ R+.

Para mayor claridad distinguiremos entre funciones y clases de equivalencia, de modo que,para cada n ∈ N , elegimos una función medible gn : Ω → K en la clase de equivalencia Fn .Consideramos entonces la sucesión de funciones ϕn definida por

ϕn(t) =n

∑k=1

|gn(t) | ∀ t ∈Ω , ∀n ∈ N

Vemos que ϕpn es una sucesión creciente de funciones medibles positivas que verifica:(∫

Ω

ϕn(t) p dt)1/p

=∥∥∥∥ n

∑k=1

|Fk |∥∥∥∥

p6

n

∑k=1

∥∥ |Fk |∥∥

p =n

∑k=1

∥∥Fk∥∥

p 6 M ∀n ∈ N


Consideremos ahora la función medible ϕ : Ω→ [0 , ∞ ] definida por

ϕ(t) = lımn→∞

ϕn(t) =∞

∑n=1

|gn(t) | ∈ [0 , ∞ ] ∀ t ∈Ω

Como

ϕp

n

converge a ϕ p puntualmente en Ω , el teorema de la convergencia monótonanos dice que ∫

Ω

ϕ(t) p dt = lımn→∞

∫Ω

ϕn(t) p dt 6 M p < ∞ (19)

Se tiene por tanto ϕ(t) p < ∞ , o lo que es lo mismo, ϕ(t) < ∞ para casi todo t ∈ Ω , es decir,existe un conjunto medible E ⊂Ω tal que ϕ(t) < ∞ para todo t ∈ E y Ω\E tiene medida nula.

Para cada n ∈ N , modificamos ahora la función gn elegida para representar a la clase deequivalencia Fn . Concretamente, si χE es la función característica de E , definimos fn = χE gn ,con lo que se tiene fn = gn c.p.d., luego fn también representa a la clase de equivalencia Fn .La ventaja es que ahora tenemos:

∞

∑n=1

| fn(t) | = ϕ(t) < ∞ ∀ t ∈ E y∞

∑n=1

| fn(t) | = 0 ∀ t ∈Ω\E

Esto nos permite claramente definir una función medible f : Ω→K , escribiendo

f (t) =∞

∑n=1

fn(t) ∀ t ∈Ω

Observamos que | f (t) | 6 ϕ(t) para todo t ∈Ω , de donde∫Ω

| f (t) | p dt 6∫

Ω

ϕ(t) p dt < ∞

luego f representa a una clase de equivalencia F ∈ Lp(Ω) , y la demostración se concluiráprobando que la serie ∑

n>1Fn converge en Lp(Ω) , siendo F su suma. Para ello usaremos el

teorema de la convergencia dominada, empezando por observar que

lımn→∞

∣∣∣∣∣ f (t) −n

∑k=1

fk(t)

∣∣∣∣∣p

= 0 ∀ t ∈Ω

Tenemos pues una sucesión de funciones medibles que converge puntualmente a cero en Ω .Para comprobar que dicha sucesión está dominada por una función integrable, basta observarque, para cualesquiera n ∈ N y t ∈Ω , se tiene∣∣∣∣∣ f (t) −

n

∑k=1

fk(t)

∣∣∣∣∣p

6

(∞

∑k=n+1

| fk(t) |

) p

6

(∞

∑k=1

| fk(t) |

) p

= χE(t)ϕ(t) p

En vista de (19) , la función χE ϕ p es integrable, lo que nos permite usar el teorema de laconvergencia dominada para concluir la demostración:

0 = lımn→∞

(∫Ω

∣∣∣∣∣ f (t) −n

∑k=1

fk(t)

∣∣∣∣∣p

dt

)1/p

= lımn→∞

∥∥∥∥∥F −n

∑k=1

Fk

∥∥∥∥∥p


Conviene resaltar una información importante, contenida en la demostración anterior. Conla notación usada, la serie ∑

n>1fn converge puntualmente a f en Ω . En términos de clases de

equivalencia, la serie ∑n>1

Fn , que por hipótesis era absolutamente convergente, no sólo converge

en Lp(Ω) con suma F , sino que también converge a F c.p.d. en Ω . Recordemos además unaidea clave usada al probar el criterio de complitud: toda sucesión de Cauchy en un espacionormado, admite una sucesión parcial que es una serie absolutamente convergente. Uniendoambas ideas, y olvidando ya la notación del teorema anterior, tenemos la siguiente información:

Si fn ∈ Lp(Ω) para todo n ∈ N , y fn → f en Lp(Ω) , entonces existe una sucesiónparcial fσ(n) que converge a f c.p.d. en Ω .

Los espacios de Banach Lp(Ω) se conocen como espacios de Lebesgue. Su complitud tieneútiles consecuencias, que convirtieron la integral de Lebesgue en herramienta indispensable delAnálisis Matemático, pero también mostraron la utilidad del estudio abstracto de los espaciosde funciones. Es por ello que la integral de Lebesgue y el teorema de Riesz-Fisher se considerancomo dos de las claves que dieron lugar al nacimiento del Análisis Funcional.

Para comprender mejor el espacio Lp(Ω)

, a semejanza de lo que hicimos con los espaciosde sucesiones, vamos a encontrar un subespacio denso, que no depende de p y está formadopor funciones especialmente sencillas. Omitimos o indicamos brevemente las demostraciones,que se basan siempre en propiedades conocidas de la medida y la integral de Lebesgue.

Dado un conjunto medible E ⊂Ω , entendemos su función carácterística χE como clase deequivalencia, es decir, χE ∈ L(Ω) . Es claro que χE ∈ Lp(Ω) si, y sólo si, E tiene medida finita.Las combinaciones lineales de funciones de la forma χE donde E es un subconjunto mediblede Ω con medida finita, se conocen como funciones simples integrables en Ω . Del teorema deaproximación de Lebesgue, usando también el de la convergencia dominada, se deduce que lasfunciones simples integrables en Ω forman un subespacio denso en Lp

(Ω) . Este resultado no es

del todo satisfactorio, pues un conjunto medible E puede ser muy complicado, luego no puedeasegurarse que χE sea una función sencilla. Sin embargo, usando propiedades elementales dela medida de Lebesgue podemos limitarnos a considerar conjuntos bien sencillos.

Si J es un intervalo acotado en RN , es decir, un producto cartesiano de intervalos acotadosen R , es obvio que J tiene medida finita, luego χJ ∈ Lp

(RN) y, cuando J ⊂ Ω , también

tendremos χJ ∈ Lp(Ω) . Las combinaciones lineales de funciones características de intervalosacotados contenidos en Ω , que son funciones simples integrables en Ω , pero muy sencillas,se conocen como funciones escalonadas en Ω y forman un subespacio Y ⊂ Lp(Ω) . Si Ees un subconjunto medible de Ω , con medida finita, las propiedades básicas de la medida deLebesgue permiten aproximar E por una unión finita de intervalos acotados contenidos en Ω ,con lo que χE se aproxima en Lp(Ω) por funciones escalonadas, es decir χE ∈ Y . Como Yes un subespacio de Lp(Ω) , deducimos que contiene a todas las funciones simples integrables,luego Y = Lp(Ω) . Tenemos ya un útil subespacio denso en los espacios de Lebesgue.

Para 1 6 p < ∞ , las funciones escalonadas en Ω forman un subespacio denso en Lp(Ω) .


El espacio vectorial de todas las funciones escalonadas en Ω no tiene dimensión numerable,pero es fácil adivinar la forma de conseguir un subespacio de dimensión numerable, que siguesiendo denso en Lp(Ω) .

Consideramos el conjunto H de todos los intervalos acotados contenidos en Ω , que seanproductos cartesianos de intervalos en R con extremos racionales. Como H es numerable, elsubespacio Z = Lin

χH : H ∈H

tiene dimensión numerable. Aproximando cada intervalo

acotado J ⊂ Ω por elementos de H , se prueba que χJ ∈ Z , el cierre de Z en Lp(Ω) . Puestoque Z es un subespacio de Lp(Ω) , vemos que contiene a todas las funciones escalonadas, yconcluimos que Z = Lp(Ω) . En particular, tenemos el siguiente resultado:

Para 1 6 p < ∞ , el espacio de Banach Lp(Ω) es separable.

Hay otro tipo de funciones, que también forman un subespacio denso de Lp(Ω) , y tienenmás utilidad que las funciones escalonadas. Como Ω es un espacio topológico de Hausdorff,localmente compacto, conocemos ya el espacio vectorial C00(Ω) de las funciones continuasde soporte compacto, de Ω en K . Si f ∈C00(Ω) , desde luego f es medible, pero además, lafunción | f | p está acotada y se anula fuera del soporte de f , que tiene medida finita. Vemos

así que∫

Ω

| f (t) | p dt < ∞ , luego f representa a una clase de equivalencia f ∈ Lp(Ω) . La

aplicación f 7→ f es claramente lineal e inyectiva, luego permite identificar C00(Ω) con suimagen. De esta forma podemos ver C00(Ω) como un subespacio de Lp(Ω) , el formado por lasclases de equivalencia que contienen una (única) función continua de soporte compacto.

Dado un intervalo acotado J ⊂ Ω , y un ε > 0, es claro que podemos tomar un conjuntoabierto U y un conjunto compacto K , con K ⊂ J ⊂ U ⊂ Ω , de forma que la medida delconjunto U \K sea tan pequeña como se quiera, concretamente, menor que ε p . Por un resultadoya comentado anteriormente, existe entonces una función f ∈ C00(Ω) , con f (t) ∈ [0,1] paratodo t ∈ Ω , tal que f (t) = 1 para todo t ∈ K y sop f ⊂U . Viendo a χJ y f como clases deequivalencia, es fácil comprobar que ‖χJ − f‖p < ε . Esto prueba que χJ ∈C00(Ω) , el cierrede C00(Ω) en Lp(Ω) , lo cual es válido para todo intervalo acotado J ⊂ Ω . Como C00(Ω) esun subespacio de Lp(Ω) , deducimos que contiene a todas las funciones escalonadas en Ω , dedonde C00(Ω) = Lp(Ω) . Destacamos el resultado así obtenido:

Para 1 6 p < ∞ , se tiene que C00(Ω) es denso en Lp(Ω) .

2.7.2. Funciones esencialmente acotadas

Seguimos trabajando en un abierto no vacío Ω ⊂ RN , para estudiar el espacio de Lebesgueque corresponde al caso p = ∞ . Es fácil modificar la noción de función acotada, de forma quetenga sentido para clases de equivalencia de funciones medibles en Ω . Para f ∈ L(Ω) , no tienesentido decir que f está acotada, pues ello depende claramente de la función que elijamos comorepresentante de la clase de equivalencia f . Pero sí tiene perfecto sentido preguntarse si f estáacotada c.p.d., y esta es la propiedad con la que vamos a trabajar.


Si ϕ ∈ L(Ω) y ϕ(t) ∈ R+0 p.c.t. t ∈ Ω , es bien fácil comprobar que existe una mínima

constante M ∈ R+0 ∪∞ , verificando que ϕ(t) 6 M p.c.t. t ∈ Ω . Dicha constante recibe el

nombre de supremo esencial de ϕ y se denota por ess sup ϕ . Así pues,

ess sup ϕ = mın

M ∈ R+0 ∪∞ : ϕ(t) 6 M p.c.t. t ∈Ω

Decimos que f ∈ L(Ω) es una función esencialmente acotada, cuando ess sup | f | < ∞ ,

o si se quiere, cuando existe M ∈ R+0 tal que | f (t) |6 M p.c.t. t ∈ Ω . Denotamos por L∞(Ω)

al conjunto de todas las funciones esencialmente acotadas,

L∞(Ω) =

f ∈ L(Ω) : ess sup | f | < ∞

que es claramente un subespacio de L(Ω) . De nuevo se trata de clases de equivalencia quemanejamos como funciones. Para convertir a L∞(Ω) en un espacio normado, definimos

‖ f ‖∞ = ess sup | f | ∀ f ∈ L∞(Ω)

y se comprueba sin ninguna dificultad que ‖ ·‖∞ es una norma en L∞(Ω) . La complitud es unavez más nuestro objetivo, para obtener:

L∞(Ω) es un espacio de Banach con la norma ‖ · ‖∞ .

De nuevo, para razonar con claridad, distinguimos entre funciones y clases de equivalencia.Sea Fn una sucesión de Cauchy en L∞(Ω) y, como Fn está acotada, fijemos α ∈ R+ talque ‖Fn ‖∞ 6 α para todo n ∈ N . Para cada n ∈ N podemos claramente elegir una función fnque represente a la clase de equivalencia Fn , verificando todas las desigualdades siguientes:

| fn(t) | 6 ‖Fn‖∞ 6 α y | fn(t)− fm(t) | 6 ‖Fn−Fm‖∞ ∀ t ∈Ω , ∀n,m ∈ N

De esta forma fn es una sucesión de funciones acotadas en Ω , es decir, fn ∈ l∞(Ω) paratodo n ∈ N , pero de hecho vemos también que fn es una sucesión de Cauchy en el espaciode Banach l∞(Ω) . Por tanto fn converge en l∞(Ω) , es decir, uniformemente en Ω , a unafunción acotada f . Como f es medible, da lugar a una clase de equivalencia F ∈ L∞(Ω) .Finalmente, para todo n ∈ N se tiene evidentemente

‖Fn−F ‖∞ = ess sup |Fn−F | 6 sup| fn(t)− f (t)| : t ∈Ω

luego de fn→ f en l∞(Ω) , deducimos que Fn→ F en L∞(Ω) .

Como subespacios de L∞(Ω) , encontramos de nuevo espacios de funciones continuas, perocon grandes ventajas sobre lo que ocurría para p < ∞ . Observemos primero que, para unafunción continua f : Ω→K , la acotación esencial y el supremo esencial no aportan nada nuevorespecto a las nociones tradicionales de acotación y supremo. Como f es medible, pertenece auna clase de equivalencia f ∈ L(Ω) , que de momento conviene distinguir de f . Si f ∈ L∞(Ω) ,el conjunto

t ∈Ω : | f (t) | >

∥∥ f∥∥

∞

tiene medida nula, pero es abierto porque f es continua,

luego es vacío, es decir, f está acotada, con sup| f (t) | : t ∈Ω

6∥∥ f∥∥

∞.


Recíprocamente, suponiendo que f ∈ Cb(Ω) , se obtiene claramente que f ∈ L∞(Ω) y ladesigualdad opuesta. En resumen, f ∈ L∞(Ω) si, y sólo si f ∈Cb(Ω) , en cuyo caso

ess sup | f | =∥∥ f∥∥

∞= sup

| f (t) | : t ∈Ω

El último supremo es la norma de f en el espacio de Banach Cb(Ω) , así que la aplicación

lineal f 7→ f , es un isomorfismo isométrico de Cb(Ω) sobre el subespacio de L∞(Ω) formadopor las clases de equivalencia que contienen una función continua. La ventaja con respecto alcaso p < ∞ es doble: como subespacio de L∞(Ω) , no sólo tenemos a C00(Ω) , sino a Cb(Ω) , ypor tanto a C0(Ω) ; por otra parte, la norma inducida por L∞(Ω) en dichos espacios de funcionescontinuas coincide con la norma natural ‖ · ‖∞ que ya habíamos considerado en ellos.

2.7.3. Relaciones entre los espacios de Lebesgue

Vamos a ver que el espacio Lp(Ω) depende del parámetro p de manera muy diferente,según cual sea la medida del abierto Ω . Cuando Ω tiene medida finita, la relación entre losespacios Lp(Ω) es la opuesta de la que teníamos para espacios de sucesiones:

Si Ω es un abierto de RN con medida K ∈ R+, para 1 6 p < q 6 ∞ , se tiene:

f ∈ Lq(Ω) =⇒ f ∈ Lp(Ω) , ‖ f ‖p 6 K (q−p)/pq ‖ f ‖q (20)

donde se entiende que (q− p)/pq = 1/p cuando q = ∞.

Suponiendo primero que q < ∞ , usaremos la desigualdad integral de Hölder, pero con elexponente r = q/ p > 1, con lo que 1/r∗ = (q− p)/q . Observamos claramente que∫

Ω

(| f (t) | p )r dt =

∫Ω

| f (t) |q dt =(‖ f ‖q

)q< ∞

luego | f | p ∈ Lr(Ω) con∥∥ | f | p

∥∥r =

(∥∥ f∥∥

q

)q/r =(∥∥ f

∥∥q

) p .

Por otra parte, tomamos g(t) = 1 p.c.t. t ∈Ω , con lo que evidentemente tenemos∫Ω

|g(t) |r∗dt = K < ∞ , luego g ∈ Lr∗(Ω) , ‖g‖r∗ = K1/r∗ = K(q−p)/q

La desigualdad integral de Hölder nos dice que | f | p g ∈ L1(Ω) , es decir, f ∈ Lp(Ω) , con(‖ f ‖p

) p =∥∥ | f |q g

∥∥1 6

∥∥ | f | p∥∥r ‖g‖r∗ =

(∥∥ f ‖q) p K(q−p)/q

de donde se deduce claramente la desigualdad que aparece en (20) .

El caso q = ∞ es mucho más sencillo, pues para f ∈ L∞(Ω) se tiene claramente∫Ω

| f (t) | p dt 6 ‖ f ‖∞

∫Ω

dt = K ‖ f ‖∞ < ∞

luego f ∈ Lp(Ω) y se verifica la desigualdad que aparece en (20) para q = ∞ .


La desigualdad (20) se simplifica obviamente cuando K = 1, lo que se consigue con unasimple normalización, o cambio de escala, siempre que Ω tenga medida finita.

A partir de ahora, simplificamos la exposición, trabajando en el caso N = 1 con Ω =]0,1 [ .Es del todo irrelevante que el intervalo sea abierto, tanto da usar el intervalo compacto [0,1] ,pues la diferencia entre ambos intervalos tiene medida nula, luego las clases de equivalencia defunciones medibles son exactamente las mismas para ambos intervalos. Es por ello que se suelehacer referencia a [0,1] y, para 1 6 p 6 ∞ se escribe Lp[0,1] en vez de Lp

(]0,1[

).

La distinción entre los dos intervalos sí es obligada para trabajar con funciones continuas,siendo preferible usar el intervalo compacto [0,1] , lo que requiere comentario. Si f ∈C[0,1]y llamamos f a la restricción de f a ]0,1[ , es claro que f ∈ Cb

(]0,1[

)con ‖ f ‖∞ = ‖ f ‖∞ .

Por tanto, C[0,1] es isométricamente isomorfo a un subespacio de Cb(]0,1[

), que a su vez lo

es a un subespacio de L∞[0,1] . Por otra parte, para una función continua g :]0,1[→ K es fácilcomprobar que g se anula en el infinito si, y sólo si, lım

t→0g(t) = lım

t→1g(t) = 0. Podemos por

tanto extender g para obtener una función g ∈C[0,1] , sin más que tomar g(0) = g(1) = 0. Laaplicación g 7→ g es claramente lineal y preserva la norma, luego es un isomorfismo isométricode C0(Ω) sobre un subespacio cerrado de C[0,1] . De forma intuitiva, podemos considerar lassiguientes tres inclusiones

C0(]0,1[

)⊂ C[0,1] ⊂ Cb

(]0,1[

)⊂ L∞[0,1]

aunque en rigor lo que ocurre es que cada uno de estos espacios es isométricamente isomorfo aun subespacio cerrado del que le sigue. Para 1 6 p < ∞ , sabemos que L∞[0,1]⊂ Lp[0,1] , luegopodemos pensar que C[0,1] ⊂ Lp[0,1] , pero ahora sólo como espacios vectoriales. De hecho,vemos que C[0,1] es denso en Lp[0,1] , puesto que C00

(]0,1[

)ya lo era.

Para 1 6 p < q 6 ∞ hemos visto que Lq[0,1]⊂ Lp[0,1] , y es fácil probar que dicha inclusiónes estricta. Con un poco más de esfuerzo, vamos a obtener un resultado bastante mejor.

Si 1 6 p < ∞ , existe f ∈ Lp[0,1] tal que f /∈ Lq[0,1] para p < q 6 ∞

Empezamos considerando la función g : ]0 , 1 [→ R definida por

g(t) =1

t(

log t)2 ∀ t ∈ ]0 , 1/2 ] y g(t) = 0 ∀ t ∈ ]1/2 , 1 [

que claramente es medible con g(t) > 0 para todo t ∈ ]0 , 1 [ . Fijado n∈N con n > 3, el cambiode variable t = 1/s nos permite escribir

∫ 1

1/ng(t)dt =

∫ 1/2

1/n

dt

t(

log t)2 =

∫ n

2

ds

s(

log s)2 =

n−1

∑k=2

∫ k+1

k

ds

s(

log s)2

Para k ∈ N con 2 6 k 6 n−1 y s ∈ [k , k +1 ] se tiene s(

log s)2

> k(

log k)2 , de donde

∫ 1

1/ng(t)dt =

n−1

∑k=2

∫ k+1

k

ds

s(

log s)2 6

n−1

∑k=2

1

k(

log k)2


El teorema de la convergencia monótona nos permite ahora concluir que

∫ 1

0g(t)dt = lım

n→∞

∫ 1

1/ng(t)dt 6 lım

n→∞

n−1

∑k=2

1

k(

log k)2 =

∞

∑k=2

1

k(

log k)2 < ∞

pues sabemos que la serie de Riemann ∑k>2

1

k(

log k)2 es convergente.

Por otra parte, fijemos r ∈ R con 1 < r < 2 y sea de nuevo n ∈ N con n > 3. El mismocambio de variable usado antes nos permite ahora escribir

∫ 1

1/ng(t)r dt =

∫ 1/2

1/n

dt

t r(

log t)2r =

∫ n

2

ds

s2−r(

log s)2r =

n−1

∑k=2

∫ k+1

k

ds

s2−r(

log s)2r

Para s∈ [k , k+1 ] con k = 2, . . . ,n−1, usamos que s2−r ( log s)2r

6 (k+1)2−r( log(k+1))2r,

con lo cual obtenemos ahora∫ 1

1/ng(t)r dt >

n−1

∑k=2

1

(k +1)2−r(

log(k +1))2r =

n

∑k=3

1

k2−r(

log k)2r

Esta vez la serie de Riemann ∑k>3

1

k2−r(

log k)2r diverge, ya que 2− r < 1, y el teorema de la

convergencia monótona nos da∫ 1

0g(t)r dt = lım

n→∞

∫ 1

1/ng(t)r dt >

∞

∑k=3

1

k2−r(

log k)2r = ∞

En resumen viendo ya a g como una clase de equivalencia, hemos probado que g ∈ L1[0,1]pero g /∈ Lr[0,1] para 1 < r < 2. Deducimos que de hecho g /∈ Lr[0,1] para 1 < r 6 ∞ . Ahora,para 1 6 p < ∞ basta tomar f = g1/p , con lo que se tiene evidentemente f ∈ Lp[0,1] , mientrasque f /∈ Lq[0,1] para p < q 6 ∞ .

Vemos pues que, para 1 6 p < q 6 ∞ , la relación entre los espacios Lp[0,1] y Lq[0,1] esla misma que había entre los espacios de sucesiones lp y lq , pero con la inclusión opuesta.Concretamente, Lq[0,1] es un subespacio denso de Lp[0,1] , porque contiene a C[0,1] pero noes cerrado. Por tanto, Lq[0,1] con la norma inducida por Lp[0,1] es un espacio normado nocompleto, cuya topología está contenida estrictamente en la de la norma ‖ · ‖q .

Los resultados anteriores, probados en el caso N = 1 con Ω =]0,1[ , son ciertos para N ∈Narbitrario y cualquier abierto Ω ⊂ RN con medida finita. La situación cambia drásticamentecuando Ω tiene medida infinita, pues entonces, para 1 6 p < q 6 ∞ , no hay ninguna inclusiónentre los espacios Lp(Ω) y Lq(Ω) . Para simplificar la exposición, lo probamos sólo para N = 1y Ω = R , obteniendo de hecho lo siguiente:

Para 1 6 p 6 ∞ , existe f ∈ Lp(R) tal que, si 1 6 q 6 ∞ y q 6= p , entonces f /∈ Lq(R) .


Suponiendo primero que p < ∞ , el resultado anterior nos da ϕ∈ Lp[0,1] tal que ϕ /∈ Lq[0,1]para p < q 6 ∞ . Si g ∈ L(R) verifica que g = ϕ c.p.d. en ]0 , 1 [ y g = 0 c.p.d. en R\ ]0 , 1 [ ,es evidente que g ∈ Lp(R) y g /∈ Lq(R) para p < q 6 ∞ . En el caso p = 1 no hay nada másque demostrar, pues basta tomar f = g .

Si 1 < p < ∞ , de ϕ ∈ Lp[0,1] deducimos ϕ ∈ Lq[0,1] , luego g ∈ Lq(R) , para 1 6 q < p .Así pues, ahora g no resuelve aún nuestro problema. Para cada n ∈ N , denotemos por χn a lafunción característica del intervalo ]n , n+1 [ , y sea h : R→ R+

0 la función definida por

h(x) =∞

∑n=1

χn(x)

n1/p(

log n)2/p

∀x ∈ R

Es obvio que la serie anterior converge puntualmente en R , pues fijado x∈R , hay a lo sumo unsumando que no se anula en el punto x . Por tanto h está bien definida, es una función medibley, para 1 6 q < ∞ , el teorema de la convergencia monótona nos da∫

Rh(t)q dt =

∞

∑n=1

1

nq/p(

log n)2q/p

De nuevo tenemos una serie de Riemann, que converge cuando q > p y diverge para q < p .Viendo ahora h como clase de equivalencia, tenemos que h /∈ Lq(R) para 1 6 q < p , mientrasque h∈ Lq(R) si p 6 q < ∞ . Nuestro problema se resuelve ahora sin más que tomar f = g+h .Por una parte, como g,h ∈ Lp(R) , tenemos f ∈ Lp(R) . Por otra, para 1 6 q 6 ∞ con q 6= p ,se pueden dar dos casos. Si q < p , se tiene g ∈ Lq(R) y h /∈ Lq(R) , luego f /∈ Lq(R) . Si, porel contrario, q > p , tenemos g /∈ Lq(R) y h ∈ Lq(R) , luego de nuevo f /∈ Lq(R) .

Sólo queda el caso p = ∞ , que es el más sencillo. Basta tomar f (t) = 1 p.c.t. t ∈ R , paratener f ∈ L∞(R) mientras que f /∈ Lq(R) para 1 6 q < ∞ .

En el razonamiento anterior hemos aprovechado dos ideas que merece la pena resaltar, aplena generalidad, por lo que volvemos a fijar N ∈ N y un abierto no vacío Ω ⊂ RN . Por unaparte, para 1 6 p 6 ∞ , hay una forma bien sencilla de identificar Lp(Ω) con un subespaciocerrado de Lp

(RN) . En efecto, si g ∈ Lp(Ω) podemos definir g ∈ L

(RN) de forma que se

tenga g = g c.p.d. en Ω y g = 0 c.p.d. en RN \Ω . Es claro que entonces g ∈ Lp(RN) , así

como que la aplicación f 7→ f es lineal e isométrica. Obtenemos así el siguiente resultado:

Para 1 6 p 6 ∞ , el espacio Lp(Ω) es isométricamente isomorfo a un subespacio cerradode Lp

(RN) , dado por

f ∈ Lp(RN) : f = 0 c.p.d. en RN \Ω

,

Por otra parte, hemos usado en R una sucesión de funciones características de conjuntosdos a dos disjuntos, los intervalos ]n , n + 1 [ con n ∈ N , que a poco que se piense, se hacomportado de forma muy similar a como lo hace la sucesión de vectores unidad en los espaciosde sucesiones. Pasamos ahora a resaltar una situación análoga, también a plena generalidad. Esclaro que siempre existe una sucesión En de subconjuntos dos a dos disjuntos de Ω , todosellos con medida positiva y finita. Para cada n∈N , denotemos por χn a la función característicade En y sea ρn ∈ R+ la medida de En .


Fijado el exponente p , con 1 6 p < ∞ y x ∈ lp , consideramos la función fx : Ω → R+0

definida por

fx(t) =∞

∑n=1

x(n)

ρ1/pn

χn(t) ∀ t ∈Ω

La serie converge puntualmente en Ω , pues fijado t ∈Ω , hay a lo sumo un sumando que no seanula en el punto t . Por tanto fx es una función medible en Ω y el teorema de la convergenciamonótona nos permite escribir∫

Ω

| f (t) | p dt =∞

∑n=1

|x(n)| p

ρn

∫Ω

χn(t)dt =∞

∑n=1

|x(n)| p < ∞

Viendo a fx como una clase de equivalencia, tenemos por tanto fx ∈ Lp(Ω) , lo cual es válidopara toda sucesión x ∈ lp . Pero vemos de hecho que ‖ fx ‖p = ‖x‖p para todo x ∈ lp , dondeestamos denotando de la misma forma a las normas de los espacios de Banach Lp(Ω) y lp .Como la aplicación x 7→ fx es evidentemente lineal, hemos probado lo siguiente:

Para 1 6 p < ∞ , existe un isomorfismo isométrico de lp sobre un subespacio de Lp(Ω) .

Es fácil retocar el razonamiento anterior para obtener el mismo resultado en el caso p = ∞ .Concretamente, para x ∈ l∞ se define

fx(t) =∞

∑n=1

x(n)χn(t) ∀ t ∈Ω

Como antes, la serie converge puntualmente en Ω , y ahora es claro que | fx(t) | 6 ‖x‖∞ paratodo t ∈Ω . Viendo fx como clase de equivalencia, tenemos fx ∈ L∞(Ω) , con ‖ fx ‖∞ 6 ‖x‖∞ ,donde denotamos de la misma forma las normas de los espacios de Banach L∞(Ω) y l∞ . Porotra parte, fijado n ∈ N , vemos que fx = x(n) c.p.d. en En , luego |x(n) | 6 ‖ fx ‖∞ . Comoesto es válido para todo n ∈ N , concluimos que ‖ fx ‖∞ = ‖x‖∞ , lo cual es válido para todasucesión x ∈ l∞ . De nuevo la aplicación x 7→ fx , de l∞ en L∞(Ω) es lineal e isométrica, con loque tenemos el siguiente resultado:

Existe un isomorfismo isométrico de l∞ sobre un subespacio cerrado de L∞(Ω) . Comoconsecuencia, L∞(Ω) no es separable.

Aprovechando los últimos resultados, podemos explicar finalmente la notación que se usaen los ejemplos de espacios de Banach que hemos presentado. Por supuesto, la ele mayúsculase usa para los espacios Lp(Ω) en honor de Lebesgue, cuya integral es la responsable de lacomplitud de tales espacios. En cierto modo, los espacios de sucesiones lp se consideran comolos “hermanos menores” de los espacios de Lebesgue, y de ahí que se denoten con la mismaletra, pero minúscula. Podemos pensar que los espacios lp están formados por funciones de unavariable discreta, cuyas análogas de una o varias variables reales forman los espacios Lp(Ω) .De manera similar, el espacio c0 cuya notación alude claramente al tipo de sucesiones que loforman, es el modelo discreto, cuyos análogos continuos podrían ser los espacios C0

(RN) .

La notación con mayúscula resulta ahora muy apropiada, gracias a una feliz coincidencia: laspalabras “convergente” y “continua” tienen la misma inicial.

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Ejemplos de espacios normadosrpaya/documentos/Funcional/2018-19/Ejemplos.pdf2. Ejemplos de espacios normados 11 Para cada uno de los sumandos que han aparecido en el segundo miembro