Ejemplos de Mtodo de las M

Se tiene el siguiente problema:Maximizar Z = 2 X1+3X2Sujeto a :X1 + 2X2 4X1 + X2 = 3X1 , X2 0

El problema se convierte en forma tpica

Z - 2 X1-3X2 +0X3 = 0X1 + 2X2 + X3 = 4 X3, Variable de holgura que se agrega para eliminar la desigualdad.X1 + X2 = 3

Se construye la tabla simplex inicialVBZX1X2X3Solucin

Z1-2-300

X301214

?01103

En la tabla se puede observar que hace falta una variable bsica de inicio, entonces se recurre a agregar una variable artificial en la segunda restriccin A , y se penaliza la funcin objetivo agregando un valor M, garantizando que se obtendr el mximo cuando A sea cero. El problema se transforma en :Maximizar Z = 2 X1+3X2 + X3-MASujeto a :X1 + 2X2 + X3 =4X1 + X2 +A = 3X1 , X2, X3 , A 0

En forma tpica

Z - 2 X1-3X2 +0X3 +MA = 0X1 + 2X2 + X3 = 4 X1 + X2 +A = 3 A, Variable de artificial .Se construye nuevamente la tabla simplex inicialVBZX1X2X3ASolucin

Z1-2-30M0

X3012104

A011013

Pero se presenta otro inconveniente, y es que en la fila Z las variables bsicas, en este caso X3 y A tienen que ser cero, X3 es cero pero A tiene un valor de M.Para eliminar este problema, la fila de A se multiplica por M y se le suma a la fila Z, y se obtiene una nueva fila Z, con la cual se comienza a aplicar el mtodo simplex normal.

-M * ( 0 1 1 0 1 3) 0 -M M 0 -M -3M+ Z 1 -2 -3 0 M 0 1 -2-M -3-M 0 0 -3M Esta es la nueva fila Z Tabla 1

VBZX1X2X3ASolucin

Z1-2-M-3-M00-3M

X3012104

A011013

Se comienza a aplicar el mtodo simplexVariable que sale: X2 , Variable que entra: Se divide los elementos de la columna solucin, entre los elementos de columna de la variable que entra( X2) . 4/2 = 2 ; 3/1= 3; el menor es 2, por lo tanto sale la variable X3.El nmero marcado con verde , en este caso el 2, es el elemento pivote

Se construye la nueva tabla, se comienza con la fila de la variable que entra en este caso X2, para ello se divide la fila vieja entre el pivote.

VBZX1X2X3ASolucin

Z

X2011/202

A

Para obtener las filas Z y A , se hace lo siguiente:Para Z. Se ubica en la tabla anterior el elemento de Z que est en la columna de la variable que entro, el valor es -3-M, se le cambia el signo y se multiplica por la fila X2 de la tabla anterior, y luego se suma a la vieja. La operacin es la siguiente:3+M * ( 0 1 0 2) 0 3/2+M/2 3+M 3/2+M/2 0 6+2M + 1 -2-M -3-M 0 0 -3M 1 -1/3-1/2 M 0 3/2+M/2 0 6 -MPara A.Se ubica en la tabla anterior el elemento de A que est en la columna de la variable que entro, el valor es 1, se le cambia el signo y se multiplica por la fila X2 de la tabla anterior, y luego se suma a la vieja A. La operacin es la siguiente:

-1 * ( 0 1 0 2) 0 - - 1 - 0 -2 0 1 1 0 1 3 0 0 - 1 1La tabla queda de la siguiente manera:Tabla 1

VBZX1X2X3ASolucin

Z1-1/3-1/2 M03/2+M/206 -M

X201/211/202

A01/20-1/211

Como en la fila Z, las variables no bsicas siguen siendo negativas ( X1) , se repite nuevamente el proceso para determinar quien sale y entra.Variable que sale: X1 , Variable que entra: Se divide los elementos de la columna solucin, entre los elementos de columna de la variable que entra( X1) . 2/ 1/2 = 4 ; 1/ 1/2= 2; el menor es 2, por lo tanto sale la variable A.La tabla final queda as:

VBZX1X2X3ASolucin

Z1001M+17

X20111-11

X1010-122

La solucin es Z = 7, X1= 1, X2= 2

MINIMIZACIN

Un problema de minimizacin puede ser convertido en uno de maximizacin utilizando la forma siguiente:Minimizar Z = C1 X1 + C2X2 + .+ Cn Xn Es equivalente a:

Maximizar Y = -Z = - C1 X1 - C2X2 - .- Cn Xn

Por ejemplo:Mimimizar Z = 4 X1 + 12 X2 Maximizar Y= -4 X1 - 12 X2 Las restricciones del tipo se tratan de la siguiente manera:

Si la restriccin es : X1 + 5X2 7 Se le agrega una variable de holgura negativa X3 y se le agrega una artificial positiva A.X1 + 5X2 X3 + A= 7

Ejemplo:Tenemos el siguiente problema de minimizacin:

Minimizar Z= 2 X1 + 3 X2 + X3Sujeto a:2X1 + 4 X2 +2 X3 83X1 + 2 X2 6X1, X2, X30El problema se convierte en uno de maximizacin y queda:Maximizar Y= -2 X1 -3 X2 - X3+ 0X4+ 0X5 -MA1 -MA2Sujeto a:2X1 + 4 X2 +2 X3 - X4+MA1=83X1 + 2 X2- X5+MA2=6X1, X2, X3, X4, X5, A1, A2 0

Para aplicar el mtodo simplex, se coloca el problema en forma tpica:

Y +2 X1 +3 X2 + X3+ 0X4+ 0X5+MA1+MA22X1 + 4 X2 +2 X3 - X4+MA1=83X1 + 2 X2- X5+MA2=6

Tabla simplex inicial

VBZX1X2X3X4X5A1A2Solucin

Z123100MM0

A10142-10108

A203200-1016

Como en el primer ejemplo, las variables bsicas iniciales tienen que ser cero en la fila z, en este caso tienen valor de-M, se tiene que hacer el mismo procedimiento que se hizo en el primer ejemplo, solo que aqu se multiplica por M, las dos variables bsicas y luego se suman a la fila Z.

-M * ( 0 1 4 2 -1 0 1 0 8)-M * ( 0 3 2 0 0 - 1 0 1 6)

0 -M -4M - 2 M M 0 -M 0 - 8M 0 -3M - 2M 0 0 M 0 -M -6M+ Z 1 2 3 1 0 0 M M 0 1 2-4M 3-M 1-2M M M 0 0 -14M La nueva tabla inicial es:VBZX1X2X3X4X5A1A2Solucin

Z12-4M3-6M1-2MMM0014M

A10142-10108

A2032001016

Las tablas siguientes son:VBZX1X2X3X4X5A1A2Solucin

Z15/4-10M/40-1/2+M3/4- 1/2 MM-3/4+6M0-6-2M

X201/411/2-1/401/402

A205/20-11/2-1-1/212

VBZX1X2X3X4X5A1A2Solucin

Z10001/2 -1/2+M-1/2+M-7

X20013/5-3/101/103/10-1/109/5

X1010-2/51/5-2/5-1/52/54/5

La solucin es X1 = 4/5, X2 = 9/5 , Z = -Y = - (-7) = 7

Ntese que todas las variables artificiales se han reducido a cero. Si alguna de las variables no es cero, eso indica que el problema origina no tiene solucin.