Einführung in nicht-konforme Gebietszerlegungsmethoden ... · unterschiedliche Gitter (!Mortar Finite Elemente Methode) unterschiedliche endlichdimensionale Teilr aume (!Reduzierte

Einfuhrung in nicht-konformeGebietszerlegungsmethoden.

Die Mortar-Methode

Kathrin Smetana

23. Juli 2010

EinfuhrungDie Mortar Finite Elemente Methode

FehlerabschatzungenDie Reduzierte Basis Elemente Methode

Zusammenfassung

Gliederung:

Einfuhrung

Die Mortar Finite Elemente Methode

Fehlerabschatzungen

Die Reduzierte Basis Elemente Methode

Zusammenfassung

Kathrin Smetana Einfuhrung in nicht-konforme Gebietszerlegungsmethoden



Zusammenfassung

Einfuhrung




Zusammenfassung

Einfuhrung:

Anwendungsbeispiel: Simulation von Blutstromungen

Vereinfacht: Simulation von Blutstromungen in einer Ader




Zusammenfassung

Einfuhrung:

Anwendungsbeispiel: Simulation von Blutstromungen

Vereinfacht: Simulation von Blutstromungen in einer Ader




Zusammenfassung

Modellproblem

Sei Ω ⊂ Rd beschranktes Gebiet und f ∈ L2(Ω). Finde u ∈ H10 (Ω),

so dass ∫Ω∇u∇v =

∫Ω

f v , ∀v ∈ H10 (Ω). (1)




Zusammenfassung

nichtuberlappende Gebietszerlegung: Unterteile Ω in Ω1

und Ω2 und sei Γ = Ω1 ∩ Ω2 die Schnittflache. O.b.d.A. gelteΓ ∩ ∂Ω 6= ∅

Definiere entsprechende Raume:Vi :=

vi ∈ H1(Ωi ) : vi |∂Ω∩∂Ωi

= 0

, i = 1, 2

den Spurraum Λ = H1/200 (Γ)




Zusammenfassung

Schwache Formulierung des zerlegten Poisson-Problems(konform):

Finde u1 ∈ V1, u2 ∈ V2, so dass∫Ω1

∇u1∇v1 =

∫Ω1

fv1 ∀v1 ∈ V1 und

∫Ω2

∇u2∇v2 =

∫Ω2

fv2 ∀v2 ∈ V2

und die Kopplungsbedingungen

u1 = u2 auf Γ∫Ω2

∇u2∇v2 =

∫Ω2

fR2µ+

∫Ω1

fR1µ−∫

Ω1

∇u1∇v1 ∀µ ∈ H1/200 (Γ).

gelten. Ri : H1/200 (Γ)→ Vi mit (Riµ)|Γ = µ, i = 1, 2, sind hierbei

Fortsetzungsoperatoren.




Zusammenfassung

Diskrete Formulierung des zerlegten Poisson-Problems(konform):

Th: regulare Triangulierung von ΩΓ = Ω1 ∩ Ω2 ist die Vereinigung von Kanten derTriangulierung

Figure: Triangulierung im konformen Setting

Finde ui ,h ∈ Vi ,h, so dass∫Ωi

∇ui,h∇vi,h =

∫Ωi

fvi,h ∀vi,h ∈ Vi,h, i = 1, 2


u1,h = u2,h auf Γ∫Ω2

∇u2,h∇v2,h =

∫Ω2

fR2,hµ+

∫Ω1

fR1,hµ−∫

Ω1

∇u1,h∇v1,h ∀µ ∈ Λh.

gelten, wobei Ri ,h : Λh → Vi ,h diskreteFortsetzungsoperatoren.




Zusammenfassung

Diskrete Formulierung des zerlegten Poisson-Problems(konform):

Th: regulare Triangulierung von Ω

Γ = Ω1∩Ω2 ist die Vereinigung von Kanten der TriangulierungFinde ui ,h ∈ Vi ,h, so dass∫

Ωi

∇ui,h∇vi,h =

∫Ωi

fvi,h ∀vi,h ∈ Vi,h, i = 1, 2


u1,h = u2,h auf Γ∫Ω2

∇u2,h∇v2,h =

∫Ω2

fR2,hµ+

∫Ω1

fR1,hµ−∫

Ω1

∇u1,h∇v1,h ∀µ ∈ Λh.

gelten, wobei Ri ,h : Λh → Vi ,h diskreteFortsetzungsoperatoren.




Zusammenfassung

Idee der nicht-konformen Gebietszerlegungsmethode. Teil 1:Wahle

unterschiedliche Gitter (→ Mortar Finite Elemente Methode)

unterschiedliche endlichdimensionale Teilraume (→ ReduzierteBasis Elemente Methode, Kombination von Finite Elementenvon unterschiedlichem Polynomgrad)

in den beiden Teilgebieten.




Zusammenfassung

Idee der nicht-konformen Gebietszerlegungsmethode. Teil 2:Eine Funktion v ∈ L2(Ω) ist genau dann in H1

0 (Ω), wenn gilt:

1 die Restriktion vi von v auf Ωi liegt im Raum H1(Ωi ),

2 die Spuren der Funktionen v1 und v2 stimmen auf ∂Ω1 ∩ ∂Ω2

uberein

3 die Spur der Funktion vi verschwindet auf ∂Ωi ∩ Γ, i = 1, 2.

Idee: Gebe die Bedingungen 2 und 3 auf und fordere diese nur imschwachen Sinne. Wir definieren:

X =

v ∈ L2(Ω) : vi ∈ H1(Ωi ), i = 1, 2

(2)

und versehen den Raum mit der Norm:

‖v‖∗ =

(2∑

i=1

‖vi‖2H1(Ωi )

)1/2

. (3)




Zusammenfassung

Fur q ∈ H(div; Ω) definieren wir den normalen Anteilq · ν ∈ H−1/2(∂Ω) (ν: außere Normale entlang von ∂Ω,H−1/2(∂Ω): Dualraum von H1/2(∂Ω))

Es gilt die Greensche Formel:

∀ v ∈ H1(Ω),

∫Ω

(∇v · q + v divq) dx =

∫∂Ω

vq · νdγ.

Definiere den Raum:

M =

µ ∈

2∏i=1

H−1/2(∂Ωi ) : ∃q ∈ H(div; Ω) so dass q · νi = µ auf ∂Ωi , i = 1, 2

und versehe ihn mit der Norm

‖µ‖M = infq∈H(div;Ω);q·νi=µ auf ∂Ωi , i=1,2

‖q‖H(div;Ω).




Zusammenfassung

Betrachte auf X ×M die Bilinearform

b(v , µ) = −2∑

i=1

∫∂Ωi

µvdγ.

Dann gilt:

H10 (Ω) = v ∈ X : ∀µ ∈ M, b(v , µ) = 0

und fur v ∈ H10 (Ω) gilt:

b(v , µ) =

∫Γ[v ]µdγ = 0, µ ∈ M, (4)

wobei [v ] den Sprung der Funktion uber die Schnittflache Γdarstellt.




Zusammenfassung

Unter Verwendung der Bilinearform b(v , µ) lasst sich (1) als folgen-des Sattelpunktproblem schreiben: Finde (u, λ) ∈ X ×M, so dass

2∑i=1

∫Ωi

∇u · ∇v dx + b(v , λ) =

∫Ω

fv dx, ∀ v ∈ X , (5)

b(u, µ) = 0 ∀µ ∈ M. (6)

Theorem

Das Problem (5),(6) hat eine eindeutige Losung (u, λ) ∈ X ×M.Ferner ist u ∈ H1

0 (Ω) die Losung von (1) und es gilt

λ =∂u

∂νiauf ∂Ωi , i = 1, 2. (7)




Zusammenfassung

Unter Verwendung der Bilinearform b(v , µ) lasst sich (1) als folgen-des Sattelpunktproblem schreiben: Finde (u, λ) ∈ X ×M, so dass

2∑i=1

∫Ωi

∇u · ∇v dx + b(v , λ) =

∫Ω

fv dx, ∀ v ∈ X , (5)

b(u, µ) = 0 ∀µ ∈ M. (6)

Theorem

Das Problem (5),(6) hat eine eindeutige Losung (u, λ) ∈ X ×M.Ferner ist u ∈ H1

0 (Ω) die Losung von (1) und es gilt

λ =∂u

∂νiauf ∂Ωi , i = 1, 2. (7)




Zusammenfassung

Bemerkung

Die Losung (u, λ) ist der eindeutige Sattelpunkt des FunktionalsL(v , µ) = 1

2

∫Ω |∇u|2 dx−

∫Ω fv dx + b(v , µ) uber X ×M, d.h.

L(u, λ) = minv∈X

maxµ∈M

L(v , µ) = maxµ∈M

minv∈X

L(v , µ).

Daher ist λ der Lagrange-Multiplikator zur Bedingung u ∈ H10 (Ω).




Zusammenfassung

Die Mortar Finite Elemente Methode




Zusammenfassung

Th,i : regulare Triangulierung von Ωi mit Gitterweite hi .Xh,i =

vh ∈ H1(Ωi ) ∩ C 0(Ωi ) : vh|∂Ω∩∂Ωi

= 0, vh|T ∈ Pki (T ),T ∈ Th,i

Xh =vh ∈ L2(Ω) : vh|Ωi

∈ Xh,i

Mh =

2∏i=1

Mh,i ⊂ L2(Γ) diskreter Lagrange-Multiplikatoren

Raum.Die Schnittflache Γ erbt eine (d − 1)-dimensionaleTriangulierung Sh entweder von Th,1 oder Th,2 (im Bild vonTh,2).




Zusammenfassung

Schwache diskrete Interface Bedingung:

Sei vh ∈ Xh. Dann lautet die diskrete schwache InterfaceBedingung: ∫

Γ(v 1

h − v 2h )µih = 0 ∀µih ∈ Mh,i . (8)

Fur i = 2, ware Ω1 die mortar und Ω2 die non-mortar side.




Zusammenfassung

Ansatz 1: Lose Sattelpunktproblem auf Xh:

Finde (uh, λh) ∈ Xh ×Mh, so dass

2∑i=1

∫Ωi

∇uh∇vh + b(vh, λh) =

∫Ω

fvh ∀ vh ∈ Xh,

b(uh, µh) = 0, ∀µh ∈ Mh.




Zusammenfassung

Ansatz 2: Lose Dgl in beiden Teilraumen getrennt undverklebe mit der schwachen Interfacebedingung

b(vh, µh) =∫

Γ [vh]µh

Vh := vh ∈ Xh : b(vh, µh) = 0, µh ∈ MhSchwache, diskrete Formulierung: Finde uh ∈ Vh so dass

2∑i=1

∫Ωi

∇uh∇vh =

∫Ω

fvh ∀ vh ∈ Vh.




Zusammenfassung

Praktische Realisierung von Ansatz 2. Basisgenerierung:

Ni : Knoten im Inneren von Ωi , N iΓ: Knoten auf Γ, i = 1, 2

Ni , N iΓ: Anzahl der jeweiligen Knoten

ϕ1k ′: Finite Elemente Basis Funktionen zu den Knoten in N1

ϕ1k ′: Fortsetzung durch 0 in Ω2, ϕ2

k ′′: Analogon fur Ω2

Fur jede Basisfunktion ϕ1m,Γ in Ω1, m = 1, ...,N1

Γ definiere

Basisfunktion ϕm,Γ durch

ϕm,Γ =

ϕ1m,Γ in Ω1,

ϕ2m,Γ in Ω2,

wobei ϕ2m,Γ =

N2Γ∑

j=1ξjϕ

2j ,Γ, und die ξj die schwache

Interfacebedingung erfullen mussen:∫Γ

N2Γ∑

j=1

ξjϕ2j,Γ − ϕ1

m,Γ

ϕ2l,Γ = 0 ∀ l = 1, ...,N2

Γ .




Zusammenfassung

Praktische Realisierung von Ansatz 2. Verfahren zurBerechnung von uh:

Neumann-Schritt in Ω1: Finde (u1h)k+1 ∈ Xh,1 :∫

Ω1

∇(u1h)k+1∇ϕ1

k′ =

∫Ω1

f ϕ1k′ ∀ k ′ = 1, ...,N1∫

Ω1

∇(u1h)k+1∇ϕ1

m,Γ =

∫Ω1

f ϕ1m,Γ +

∫Ω2

f ϕ2m,Γ

−∫

Ω2

∇(u2h)k∇ϕ2

m,Γ ∀m = 1, ...,N1Γ ;

Dirichlet-Schritt in Ω2: Finde (u2h)k+1 ∈ Xh,2 :∫

Ω2

∇(u2h)k+1∇ϕ2

k′′ =

∫Ω2

f ϕ2k′′ ∀ k ′′ = 1, ...,N1∫

Γ

((u2h)k+1 − (u1

h)k+1)ϕ2j,Γ = 0 ∀ j = 1, ...,N2

Γ .




Zusammenfassung

Fehlerabschatzungen




Zusammenfassung

Fur vh ∈ Vh folgt mit der Poincare-Ungleichung:

c‖uh − vh‖2∗ ≤

2∑i=1

∫Ωi

|∇(uh − vh)|2

=2∑

i=1

∫Ωi

∇uh · ∇(uh − vh)−2∑

i=1

∫Ωi

∇vh · ∇(uh − vh)

=2∑

i=1

∫Ωi

f (uh − vh)−2∑

i=1

∫Ωi

∇vh · ∇(uh − vh)

Ersetzen von f durch −∆u und partielle Integration liefert:

2∑i=1

∫Ωi

f (uh − vh) =2∑

i=1

∫Ωi

∇u · ∇(uh − vh)−∫

Γ

∂u

∂ν

(uh − vh)1 − (uh − vh)2︸︷︷︸=[uh−vh ]Γ




Zusammenfassung

Wir erhalten

‖uh − vh‖∗ ≤ c

(‖u − vh‖∗ + sup

wh∈Vh

∣∣∫Γ∂u∂ν

[wh]Γ

∣∣‖wh‖∗

).

Mit der Dreiecksungleichung

‖u − uh‖∗ ≤ ‖u − vh‖∗ + ‖uh − vh‖∗

fuhrt dies auf

Lemma von Berger, Scott und Strang/2. Strang-Lemma

Fur den Fehler u − uh gilt die Abschatzung:

‖u − uh‖∗ ≤ c

(inf

vh∈Vh

‖u − vh‖∗︸︷︷︸Bestapproximationsfehler

+ supwh∈Vh

∣∣∫Γ∂u∂ν

[wh]Γ

∣∣‖wh‖∗︸︷︷︸

Konsistenzfehler

)(9)




Zusammenfassung

Wir erhalten

‖uh − vh‖∗ ≤ c

(‖u − vh‖∗ + sup

wh∈Vh

∣∣∫Γ∂u∂ν

[wh]Γ

∣∣‖wh‖∗

).

Mit der Dreiecksungleichung

‖u − uh‖∗ ≤ ‖u − vh‖∗ + ‖uh − vh‖∗

fuhrt dies auf

Lemma von Berger, Scott und Strang/2. Strang-Lemma

Fur den Fehler u − uh gilt die Abschatzung:

‖u − uh‖∗ ≤ c

(inf

vh∈Vh

‖u − vh‖∗︸︷︷︸Bestapproximationsfehler

+ supwh∈Vh

∣∣∫Γ∂u∂ν

[wh]Γ

∣∣‖wh‖∗︸︷︷︸

Konsistenzfehler

)(9)

Der Konsistenzfehler ist der Preis, welchen man fur dieVerletzung der Konformitat bezahlen muss.




Zusammenfassung

Da ∫Γ

∂u

∂ν[wh]Γ =

∫Γ

(∂u

∂ν− µ2

h

)[wh]Γ ∀µ2

h ∈ M2h ,

kann µ2h zum Beispiel als die FEM-Interoplierende von ∂u

∂ν |Γauf Sh gewahlt werden um den Konsistenzfehler zuminimieren.Mit dieser Wahl gilt:∥∥∥∥∂u∂ν − µ2

h

∥∥∥∥0,Γ

≤ Chk2−1/22

∥∥∥∥∂u∂ν∥∥∥∥k2−1/2,Γ

≤ Chk2−1/22 ‖u|Ω2

‖k2+1,Ω2 .

Aufgrund von (8) kann man w 2h|Γ als die L2-Projektion von

w 1h|Γ auf Mh,2 auffassen und erhalt

‖[wh]Γ‖0,Γ = ‖w 2h|Γ − w 1

h|Γ‖0,Γ ≤ Ch1/22 ‖w

1h|Γ‖1/2,Γ ≤ Ch

1/22 ‖w

1h‖1,Ω1 ,

was mit der A priori-Abschatzung fur FE auf folgendeAbschatzung fuhrt:

‖u − uh‖∗ ≤ C(hk11 ‖u|Ω1

‖k1+1,Ω1 + hk22 ‖u|Ω2

‖k2+1,Ω2 ). (10)




Zusammenfassung

Die Reduzierte Basis Elemente Methode




Zusammenfassung

Ωi = Φi (]− 1, 1[2), i = 1, 2, Φi regular.

wk , k = 1, ...,K seien Basisfunktionen, welche auf ]− 1, 1[leben.

Definiere

Yδ =

vδ ∈ L2(Ω) : vδ|Ωi Φi ∈ spanwk

,

Vδ =

vδ ∈ Yδ :

∫Γ(v +δ − v−δ )ψ = 0 ∀ψ ∈W

,

wobei W der Lagrange-Multiplikatoren-Raum ist.

Beispiel: W = ψ χ : ψ ∈Wδ, χ :]− 1, 1[→ ΓParametrisierung und Wδ endlich dimensionaler Raum.




Zusammenfassung

Diskretes Problem: Finde uδ ∈ Vδ, so dass∫Ω∇uδ∇vδ =

∫Ω

fvδ ∀ vδ ∈ Vδ. (11)

Es gilt die Fehlerabschatzung (Lemma von Berger, Scott undStrang/ 2. Strang-Lemma):

‖u−uδ‖∗ ≤ C

(inf

vδ∈Vδ‖u − vδ‖∗︸︷︷︸

Bestapproximationsfehler

+ supwδ∈Vδ

∫Γ∂u∂ν (w +

δ − w−δ )

‖wδ‖∗︸︷︷︸Konsistenzfehler

)

(12)∫Γ

∂u

∂ν(w +

δ − w−δ ) =

∫Γ

(∂u

∂ν− ψ

)(w +

δ − w−δ )

zeigt, dass die ψ ∈Wδ eine moglichst gute Approximation von∂u∂ν sein sollten, um den Konsistenzfehler zu minimieren.




Zusammenfassung

Berechnung der Losung uδ:

(11) kann mit Hilfe der Transformationen Φi umgeschriebenwerden: Finde uδ ∈ Vδ, so dass∫

]−1,1[2J(Φ−1

i )∇uδ,iJ(Φ−1i )∇vδ,iJ(Φi )dx dy =

∫]−1,1[2

fi vδ,iJ(Φi )dx dy

∀vδ,i ∈ Vδ,i , i = 1, 2 (13)

wobei vi = v Φi , J(Φ−1i ): Jacobimatrix von Φ−1.

In jedem Teilgebiet Ωi ist (13) von der Form: Findeu(µ) ∈ V , so dass

a(u, v ;µ) = f (v ;µ) ∀ v ∈ V , (a : Bilinearform, f : lineares Funktional)

also eine parameterabhangige Differentialgleichung mit Φ alsParameter.

Setze in (13) uδ,i =K∑

k=1

αkwk und bestimme die Koeffizienten

αk mittels der Galerkin-Methode.




Zusammenfassung

Zusammenfassung:

Ersetze die Forderung u1 = u2 durch die schwache Bedingung∫Γ

(u1 − u2)µ = 0 ∀µ ∈ M, (14)

wobei M der Lagrange-Multiplikatoren-Raum ist.

Zur Berechnung der Losung gibt es zwei Ansatze1 Forme die Gleichung mittels (14) in ein Sattelpunktproblem

um und lose dies.2 Lose die Dgl auf jedem Teilgebiet und verklebe mit (14).

Es gilt das Lemma von Berger, Scott und Strang

‖u − uδ‖∗ ≤ C

(inf

vδ∈Vδ

‖u − vδ‖∗︸︷︷︸Bestapproximationsfehler

+ supwδ∈Vδ

∫Γ∂u∂ν

(w+δ − w−δ )

‖wδ‖∗︸︷︷︸Konsistenzfehler

),

wobei Xi ,δ “beliebiger”Teilraum von H1(Ωi ).




Zusammenfassung

Literatur allgemein zur Mortar-Methode:

C. Bernardi, N. Debit, Y. Maday: Coupling Finite Elementand Spectral Methods: First Results, Math. Comp. 54, pp.21-39, 1990.

C. Bernardi, Y. Maday, A.T. Patera: A new nonconformingappraoch to domain decomposition: the mortar elementmethod, in: Nonlinear Partial Differntial Equations and TheirApplications. College de France Seminar, Vol. XI, H. Brezisand J.-L. Lions (eds.), Longman, Harlow, pp. 13-51.

P.A. Raviart, J.M. Thomas: Primal Hybrid Finite ElementMethods for 2nd Order Elliptic Equations, Math. Comp. 31,pp. 391-413, 1977.




Zusammenfassung

Literatur zur Mortar Finite Elemete-Methode:

F.B. Belgacem: The mortar finite element method withLagrange multipliers, Numer. Math. 84, pp. 173-197, 1999.

B.P. Lamichhane: Higher order mortar finite elements withdual lagrange multiplier spaces and applications, Dissertation,Fakultat Mathematik und Physik der Universitat Stuttgart,2006.

B. Wohlmuth: Discretization methods and iterative solversbased on domain decompostion. Lecture notes incomputational science and engineering, Vol. 17, M. Griebel etal. (eds), Springer, Berlin, Heidelberg, 1991.




Zusammenfassung

Literatur zur Reduzierten Basis Elemente Methode:

Y. Maday, E.M. Rønquist: A reduced-basis element method,J. Sci. Comp. 17, pp. 447-459, 2002.

Y. Maday, E.M. Rønquist: The reduced-basis elementmethod: application to a thermal fin problem, SIAM J. Sci.Comp. 26(1), pp. 240-258, 2004.

A.E. Løvgren, Y. Maday, E.M. Rønquist: A reduced basiselement method for the steady Stokes problem: Application tohierarchical flow systems, MIC 27(2), pp. 79-94, 2006.




Zusammenfassung

Danke fur EureAufmerksamkeit!


Documents

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