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Einführung in die Fouriertransformation
Einführung in die Fouriertransformation
Einführung in die Fouriertransformation
Fouriertrans-
formation
Einführung in die Fouriertransformation
Fouriertrans-
formation
Einführung in die Fouriertransformation
Fouriertrans-
formation
Einführung in die Fouriertransformation
Fouriertrans-
formation
Einführung in die Fouriertransformation
Fouriertrans-
formation
Fouriertrans-
formation
inverse
Einführung in die Fouriertransformation
Fouriertrans-
formation
Fouriertrans-
formation
inverse
Fourier-Entwicklung
Fourier-EntwicklungElementare Funktionen:
Fourier-EntwicklungElementare Funktionen: 1
Fourier-EntwicklungElementare Funktionen: 1, cos(kx)
Fourier-EntwicklungElementare Funktionen: 1, cos(kx), sin(kx)
Fourier-EntwicklungElementare Funktionen: 1, cos(kx), sin(kx) für k = 1, 2, 3, . . .
Fourier-EntwicklungElementare Funktionen: 1, cos(kx), sin(kx) für k = 1, 2, 3, . . .
02π
1
−1
Fourier-EntwicklungElementare Funktionen: 1, cos(kx), sin(kx) für k = 1, 2, 3, . . .
02π
1
−1
cos(x)
Fourier-EntwicklungElementare Funktionen: 1, cos(kx), sin(kx) für k = 1, 2, 3, . . .
02π
1
−1
cos(x)
2π
sin(x)
Fourier-EntwicklungElementare Funktionen: 1, cos(kx), sin(kx) für k = 1, 2, 3, . . .
02π
1
−1
cos(x)
2π
sin(x)
02π
1
−1cos(2x)
2π
sin(2x)
Fourier-EntwicklungElementare Funktionen: 1, cos(kx), sin(kx) für k = 1, 2, 3, . . .
02π
1
−1
cos(x)
2π
sin(x)
02π
1
−1cos(3x)
2π
sin(3x)
Fourier-EntwicklungElementare Funktionen: 1, cos(kx), sin(kx) für k = 1, 2, 3, . . .
02π
1
−1
cos(x)
2π
sin(x)
02π
1
−1cos(4x)
2π
sin(4x)
Fourier-EntwicklungElementare Funktionen: 1, cos(kx), sin(kx) für k = 1, 2, 3, . . .
02π
1
−1
cos(x)
2π
sin(x)
02π
1
−1cos(5x)
2π
sin(5x)
Fourier-EntwicklungElementare Funktionen: 1, cos(kx), sin(kx) für k = 1, 2, 3, . . .
02π
1
−1
cos(x)
2π
sin(x)
02π
1
−1cos(5x)
2π
sin(5x)
u.s.w.
Fourier-Entwicklung
Fourier-EntwicklungBeispiel:f1(x) = 0.9 · cos(x)
Fourier-EntwicklungBeispiel:f1(x) = 0.9 · cos(x)f2(x) = 0.9 · cos(x)
Fourier-EntwicklungBeispiel:f1(x) = 0.9 · cos(x)f2(x) = 0.9 · cos(x) + 0.5 · sin(3x)
Fourier-EntwicklungBeispiel:f1(x) = 0.9 · cos(x)f2(x) = 0.9 · cos(x) + 0.5 · sin(3x)f3(x) = 0.9 · cos(x) + 0.5 · sin(3x)
Fourier-EntwicklungBeispiel:f1(x) = 0.9 · cos(x)f2(x) = 0.9 · cos(x) + 0.5 · sin(3x)f3(x) = 0.9 · cos(x) + 0.5 · sin(3x) + 0.4 · sin(6x)
Fourier-EntwicklungBeispiel:f1(x) = 0.9 · cos(x)f2(x) = 0.9 · cos(x) + 0.5 · sin(3x)f3(x) = 0.9 · cos(x) + 0.5 · sin(3x) + 0.4 · sin(6x)f4(x) = 0.9 · cos(x) + 0.5 · sin(3x) + 0.4 · sin(6x)
Fourier-EntwicklungBeispiel:f1(x) = 0.9 · cos(x)f2(x) = 0.9 · cos(x) + 0.5 · sin(3x)f3(x) = 0.9 · cos(x) + 0.5 · sin(3x) + 0.4 · sin(6x)f4(x) = 0.9 · cos(x) + 0.5 · sin(3x) + 0.4 · sin(6x) + 0.3 · cos(20x)
Fourier-EntwicklungBeispiel:f1(x) = 0.9 · cos(x)f2(x) = 0.9 · cos(x) + 0.5 · sin(3x)f3(x) = 0.9 · cos(x) + 0.5 · sin(3x) + 0.4 · sin(6x)f4(x) = 0.9 · cos(x) + 0.5 · sin(3x) + 0.4 · sin(6x) + 0.3 · cos(20x)
02π
1
−1
Fourier-EntwicklungBeispiel:f1(x) = 0.9 · cos(x)f2(x) = 0.9 · cos(x) + 0.5 · sin(3x)f3(x) = 0.9 · cos(x) + 0.5 · sin(3x) + 0.4 · sin(6x)f4(x) = 0.9 · cos(x) + 0.5 · sin(3x) + 0.4 · sin(6x) + 0.3 · cos(20x)
02π
1
−1
Fourier-EntwicklungBeispiel:f1(x) = 0.9 · cos(x)f2(x) = 0.9 · cos(x) + 0.5 · sin(3x)f3(x) = 0.9 · cos(x) + 0.5 · sin(3x) + 0.4 · sin(6x)f4(x) = 0.9 · cos(x) + 0.5 · sin(3x) + 0.4 · sin(6x) + 0.3 · cos(20x)
02π
1
−1
Fourier-EntwicklungBeispiel:f1(x) = 0.9 · cos(x)f2(x) = 0.9 · cos(x) + 0.5 · sin(3x)f3(x) = 0.9 · cos(x) + 0.5 · sin(3x) + 0.4 · sin(6x)f4(x) = 0.9 · cos(x) + 0.5 · sin(3x) + 0.4 · sin(6x) + 0.3 · cos(20x)
02π
1
−1
Fourier-EntwicklungBeispiel:f1(x) = 0.9 · cos(x)f2(x) = 0.9 · cos(x) + 0.5 · sin(3x)f3(x) = 0.9 · cos(x) + 0.5 · sin(3x) + 0.4 · sin(6x)f4(x) = 0.9 · cos(x) + 0.5 · sin(3x) + 0.4 · sin(6x) + 0.3 · cos(20x)
02π
1
−12π
Fourier-EntwicklungBeispiel:f1(x) = 0.9 · cos(x)f2(x) = 0.9 · cos(x) + 0.5 · sin(3x)f3(x) = 0.9 · cos(x) + 0.5 · sin(3x) + 0.4 · sin(6x)f4(x) = 0.9 · cos(x) + 0.5 · sin(3x) + 0.4 · sin(6x) + 0.3 · cos(20x)
02π
1
−12π
Fourier-EntwicklungBeispiel:f1(x) = 0.9 · cos(x)f2(x) = 0.9 · cos(x) + 0.5 · sin(3x)f3(x) = 0.9 · cos(x) + 0.5 · sin(3x) + 0.4 · sin(6x)f4(x) = 0.9 · cos(x) + 0.5 · sin(3x) + 0.4 · sin(6x) + 0.3 · cos(20x)
02π
1
−12π
Fourier-Koeffizienten
Fourier-EntwicklungBeispiel:f1(x) = 0.9 · cos(x)f2(x) = 0.9 · cos(x) + 0.5 · sin(3x)f3(x) = 0.9 · cos(x) + 0.5 · sin(3x) + 0.4 · sin(6x)f4(x) = 0.9 · cos(x) + 0.5 · sin(3x) + 0.4 · sin(6x) + 0.3 · cos(20x)
02π
1
−12π
Fourier-Koeffizientenf4(x) = 0.9 ·cos(x)+ 0.5 ·sin(3x)+ 0.4 ·sin(6x)+ 0.3 ·cos(20x)
Fourier-Entwicklung
Fourier-EntwicklungFunktion f : R → R
Fourier-EntwicklungFunktion f : R → R, 2π-periodisch
Fourier-EntwicklungFunktion f : R → R, 2π-periodisch, f (x + 2π) = f (x)
Fourier-EntwicklungFunktion f : R → R, 2π-periodisch, f (x + 2π) = f (x)
3ππ−π−3π
x
f (x)
Fourier-EntwicklungFunktion f : R → R, 2π-periodisch, f (x + 2π) = f (x)
3ππ−π−3π
x
f (x)
Fourier-Reihe
Fourier-EntwicklungFunktion f : R → R, 2π-periodisch, f (x + 2π) = f (x)
3ππ−π−3π
x
f (x)
Fourier-Reihe
a0
2+
∞∑k=1
(ak cos(kx) + bk sin(kx))
Fourier-EntwicklungFunktion f : R → R, 2π-periodisch, f (x + 2π) = f (x)
3ππ−π−3π
x
f (x)
Fourier-Reihe
a0
2+
∞∑k=1
(ak cos(kx) + bk sin(kx)) = f (x)
Fourier-EntwicklungFunktion f : R → R, 2π-periodisch, f (x + 2π) = f (x)
3ππ−π−3π
x
f (x)
Fourier-Reihe
a0
2+
∞∑k=1
(ak cos(kx) + bk sin(kx)) = f (x)
falls man ak , bk geschickt wählt, nämlich
Fourier-EntwicklungFunktion f : R → R, 2π-periodisch, f (x + 2π) = f (x)
3ππ−π−3π
x
f (x)
Fourier-Reihe
a0
2+
∞∑k=1
(ak cos(kx) + bk sin(kx)) = f (x)
falls man ak , bk geschickt wählt, nämlich
ak :=1π
π∫
−π
f (t) cos(kt) dt
Fourier-EntwicklungFunktion f : R → R, 2π-periodisch, f (x + 2π) = f (x)
3ππ−π−3π
x
f (x)
Fourier-Reihe
a0
2+
∞∑k=1
(ak cos(kx) + bk sin(kx)) = f (x)
falls man ak , bk geschickt wählt, nämlich
ak :=1π
π∫
−π
f (t) cos(kt) dt , bk :=1π
π∫
−π
f (t) sin(kt) dt
Fourier-EntwicklungFunktion f : R → R, 2π-periodisch, f (x + 2π) = f (x)
3ππ−π−3π
x
f (x)
Fourier-Reihe
a0
2+
∞∑k=1
(ak cos(kx) + bk sin(kx)) = f (x)
Fourier-Koeffizienten
ak :=1π
π∫
−π
f (t) cos(kt) dt , bk :=1π
π∫
−π
f (t) sin(kt) dt
Fourier-EntwicklungFunktion f : R → R, 2π-periodisch, f (x + 2π) = f (x)
3ππ−π−3π
x
f (x)
Fourier-EntwicklungFunktion f : R → R, 2π-periodisch, f (x + 2π) = f (x)
3ππ−π−3π
x
f (x)
Fourier-Reihe (andere Schreibweise)
Fourier-EntwicklungFunktion f : R → R, 2π-periodisch, f (x + 2π) = f (x)
3ππ−π−3π
x
f (x)
Fourier-Reihe (andere Schreibweise)
f (x) =
∞∑k=−∞
ckeikx
Fourier-EntwicklungFunktion f : R → R, 2π-periodisch, f (x + 2π) = f (x)
3ππ−π−3π
x
f (x)
Fourier-Reihe (andere Schreibweise)
f (x) =
∞∑k=−∞
ckeikx
Fourier-Koeffizienten
ck :=1
2π
∫π
−π
f (t)e−ikt dt
Fourier-Entwicklung Fouriertransformation
f 2π-periodisch
3ππ−π−3π
Fourier-Reihe
f (x) =
∞∑k=−∞
ckeikx
Fourier-Koeffizienten
ck :=1
2π
∫π
−π
f (t)e−ikt dt
Fourier-Entwicklung Fouriertransformation
f 2π-periodisch
3ππ−π−3π
Fourier-Reihe
f (x) =
∞∑k=−∞
ckeikx
Fourier-Koeffizienten
ck :=1
2π
∫π
−π
f (t)e−ikt dt
Frage:
Fourier-Entwicklung Fouriertransformation
f 2π-periodisch
3ππ−π−3π
Fourier-Reihe
f (x) =
∞∑k=−∞
ckeikx
Fourier-Koeffizienten
ck :=1
2π
∫π
−π
f (t)e−ikt dt
Frage:
Läßt sich die Fourier-Ent-wicklung auf nichtperiodischeFunktionen übertragen?
Fourier-Entwicklung Fouriertransformation
f 2π-periodisch
3ππ−π−3π
Fourier-Reihe
f (x) =
∞∑k=−∞
ckeikx
Fourier-Koeffizienten
ck :=1
2π
∫π
−π
f (t)e−ikt dt
Frage:
Läßt sich die Fourier-Ent-wicklung auf nichtperiodischeFunktionen übertragen?
Antwort:
Fourier-Entwicklung Fouriertransformation
f 2π-periodisch
3ππ−π−3π
Fourier-Reihe
f (x) =
∞∑k=−∞
ckeikx
Fourier-Koeffizienten
ck :=1
2π
∫π
−π
f (t)e−ikt dt
Frage:
Läßt sich die Fourier-Ent-wicklung auf nichtperiodischeFunktionen übertragen?
Antwort: Ja.
Fourier-Entwicklung Fouriertransformation
f 2π-periodisch
3ππ−π−3π
Fourier-Reihe
f (x) =
∞∑k=−∞
ckeikx
Fourier-Koeffizienten
ck :=1
2π
∫π
−π
f (t)e−ikt dt
Frage:
Läßt sich die Fourier-Ent-wicklung auf nichtperiodischeFunktionen übertragen?
Antwort: Ja. Durch die
Fourier-Entwicklung Fouriertransformation
f 2π-periodisch
3ππ−π−3π
Fourier-Reihe
f (x) =
∞∑k=−∞
ckeikx
Fourier-Koeffizienten
ck :=1
2π
∫π
−π
f (t)e−ikt dt
Frage:
Läßt sich die Fourier-Ent-wicklung auf nichtperiodischeFunktionen übertragen?
Antwort: Ja. Durch die
Fourier-Transformierte
Fourier-Entwicklung Fouriertransformation
f 2π-periodisch
3ππ−π−3π
Fourier-Reihe
f (x) =
∞∑k=−∞
ckeikx
Fourier-Koeffizienten
ck :=1
2π
∫π
−π
f (t)e−ikt dt
Frage:
Läßt sich die Fourier-Ent-wicklung auf nichtperiodischeFunktionen übertragen?
Antwort: Ja. Durch die
Fourier-Transformierte
f∧(u) :=1
2π
∫∞
−∞
f (t)e−iut dt
Fourier-Entwicklung Fouriertransformation
f 2π-periodisch
3ππ−π−3π
Fourier-Reihe
f (x) =
∞∑k=−∞
ckeikx
Fourier-Koeffizienten
ck :=1
2π
∫π
−π
f (t)e−ikt dt
f : R → R nichtperiodisch
Fourier-Transformierte
f∧(u) :=1
2π
∫∞
−∞
f (t)e−iut dt
Fourier-Entwicklung Fouriertransformation
f 2π-periodisch
3ππ−π−3π
Fourier-Reihe
f (x) =
∞∑k=−∞
ckeikx
Fourier-Koeffizienten
ck :=1
2π
∫π
−π
f (t)e−ikt dt
f : R → R nichtperiodisch
Fourier-Rücktransformation
f (x) =
∫∞
−∞
f∧(u)eiux du
Fourier-Transformierte
f∧(u) :=1
2π
∫∞
−∞
f (t)e−iut dt
Fourier-Entwicklung Diskrete Fouriertransform.
f 2π-periodisch
3ππ−π−3π
Fourier-Reihe
f (x) =
∞∑k=−∞
ckeikx
Fourier-Koeffizienten
ck :=1
2π
∫π
−π
f (t)e−ikt dt
f0, . . . , fN−1 diskrete Daten
Fourier-Entwicklung Diskrete Fouriertransform.
f 2π-periodisch
3ππ−π−3π
Fourier-Reihe
f (x) =
∞∑k=−∞
ckeikx
Fourier-Koeffizienten
ck :=1
2π
∫π
−π
f (t)e−ikt dt
f0, . . . , fN−1 diskrete Daten
diskrete Fourier-Transformierte
Fn :=1N
N−1∑k=0
fke−ikn 2π
N
n = 0, . . . , N − 1
Fourier-Entwicklung Diskrete Fouriertransform.
f 2π-periodisch
3ππ−π−3π
Fourier-Reihe
f (x) =
∞∑k=−∞
ckeikx
Fourier-Koeffizienten
ck :=1
2π
∫π
−π
f (t)e−ikt dt
f0, . . . , fN−1 diskrete Daten
diskrete Rücktransformierte
fn =N−1∑k=0
Fkeikn 2π
N
diskrete Fourier-Transformierte
Fn :=1N
N−1∑k=0
fke−ikn 2π
N
n = 0, . . . , N − 1
Fourier-Entwicklung Diskrete 2D-Fouriertransform.
f 2π-periodisch
3ππ−π−3π
Fourier-Reihe
f (x) =
∞∑k=−∞
ckeikx
Fourier-Koeffizienten
ck :=1
2π
∫π
−π
f (t)e−ikt dt
2D-Daten fk ,l1 N-1
01
N-1
...
0 · · ·
fk,l∈ {0, . . . , 255}
Fourier-Entwicklung Diskrete 2D-Fouriertransform.
f 2π-periodisch
3ππ−π−3π
Fourier-Reihe
f (x) =
∞∑k=−∞
ckeikx
Fourier-Koeffizienten
ck :=1
2π
∫π
−π
f (t)e−ikt dt
2D-Daten fk ,l1 N-1
01
N-1
...
0 · · ·
fk,l∈ {0, . . . , 255}
diskrete Fourier-Transformierte
Fn,m :=1
N2
N−1∑k ,l=0
fk ,le−i(kn+lm) 2π
N
n, m = 0, . . . , N − 1
Fourier-Entwicklung Diskrete 2D-Fouriertransform.
f 2π-periodisch
3ππ−π−3π
Fourier-Reihe
f (x) =
∞∑k=−∞
ckeikx
Fourier-Koeffizienten
ck :=1
2π
∫π
−π
f (t)e−ikt dt
2D-Daten fk ,l1 N-1
01
N-1
...
0 · · ·
fk,l∈ {0, . . . , 255}
diskrete Rücktransformierte
fn,m =N−1∑k ,l=0
Fk ,lei(kn+lm) 2π
N
diskrete Fourier-Transformierte
Fn,m :=1
N2
N−1∑k ,l=0
fk ,le−i(kn+lm) 2π
N
n, m = 0, . . . , N − 1