Eine Bemerkung iiber PICARD-Mengen ganzer Funktionen

Von JORG WTNKLER in Berlin

(Eingegangen am 13.4. 1971)

1. Eirileitung und Formulierung des Resultats

Eine Pixnlitinenge E heil3t PICARD-Menge der ganzen Funktionen, wenn jede nicht rationale ganze Funktion zu jedem Wert a endlichen Be- trages niit Ausnahnie hochstens eines Wertes no im Komplement von E unendlich viele a-Stellen hat. 1st eine ganze Funktion f ( z ) gegeben, so be- zeichnen wir entsprechend eine Punktmenge E als 1’IcARD-Menge von f(z), wenn f ( z ) im Komplement von E mit hochstens einer Ausnahme jeden Wert a endlichen Betrages unendlich oft annimint.

Bs sind einige Kriterien bekannt, die PICARD-Mengen ganzer Funktionen bestimmen. Diese Arbeit bezieht sich auf zwei derartige Kriterien, die in [ 2 ] und [4] gegeben wurden. Das Kriterium aus [ 2 ] formulieren wir als

Satz A. B : b L , b2 , b3, . , . sei eine Punktfolge, r l , r 2 , r 3 , . . . eine gegen Null konuergierende Folge reeller Zahlen und

00

D = u ( z I I z - b,, I s rn} . n = l

D ist PICARD-Menge der ganzen Punktionen, wenn nzit einenz reellen q > 1

oder

gilt.

Das Kriterium aus [4] enthalt der

Satz B. Die abzahlbare Punktmenge E : a , , a?. a3, . . . i s t PICARD- Menge der ganzen Funktionen, wenn ein reelles q > 1, ein reelles E > 0. zwei positive ganze Zahlen p und no und endlich viele Punktmengen

208 Winkler, Eine Bemerkung ubcr Picard-Mengen ganzcr Funktionen

existieren, so daJ in

and

( z I e-'a'i'E< 1 x - a,\ q In, 1-73> n E = 0 ~ i i r 11 2 no gilt.

Mit Blick auf einen Vergleich der Satze A und B wurde in [4] auf fol- gendes hingewiesen : 1st irgendeine Punktmenge $' nicht PICARD-&knge der ganzen Funktionen, so existiert notwendigerweise eine abzahlbare Punktmenge E' c 3, die nicht PICARD-&nge der ganzen Funktionen ist. Deshalb sind fiir den Satz A die Sussagen: D i s t PICaRD-$!enge der ganxen Punktionen und jede abxiihlbare Punktmenge E' c D ohne endlichen Huu- fungspunkt i s t PIcaRD-Menge der ganzen Funktionen, iiquivalent. Daher bedcuteti es keine Einschrankung, wenn die folgenden oberlegungen aus- gehen von einer abzahlbaren Punktmenge E' ohne endlichen Haufiings- punkt, die nach Satz A, und einer abzahlbaren Punktmenge E, die nach Satz B PICARD-Menge der ganzen Punktionen ist.

Ein Vergleich von E' und E ergibt folgendes : In jeder der Kreisscheiben

0,;: / z - b, 1 5 r,, deren Vereinigung D im Satz A ist, kann eine beliebige endliche Anzahl von Punkten aus E' enthalten sein. Im Satz B entsprechen diesen Kreis- scheiben Dl die Kreisscheiben

- /anle D,: [ x - a n [ ge . In jeder dieser Kreisscheiben konnen hochsten m Puiikte von E enthalteii sein, wobei m die im Satz B genannte game Zahl ist. I n dieser Hinsicht ist also das Kriterium des Satzes B schwacher als das Kriterium des Satzes A. Andererseits u-eist der Satz B gegeniiber dem Satz A folgende zwei Vor- teile auf: Die Radien r, der Kreisschcibe Dl des Satzes A sind betrachtlich

kleiner als die entsprechenden Radien e -la"'"der Kreisscheiben D, im Satz B. Ferner mussen die Mittelpunkte b, der Kreisscheiben DL eine einzige Folge b,, b,, b,, . . . mit

bilden, wahrend die Mittelpunkte der Kreisscheiben Dn nur endlich viele Folgen bilden mussen, von denen nur jede einzelne dieses geometrische Wachstum haben muB .

Winkler, Eine Benierkung iibcr Picard-Mengen ganzer Funktionen 209

Mit dem voranstehenden Vergleich von E’ und E stellt sich die Frage iiach einem Kriterium fur PICARD-Mengen ganzer Funktionen, das die Vor- teile des Satzes A und des Satzes B vereinigt. Ein Kriterium, das diese Forderung weitestgehend erfiillt, wird in dieser Arbeit bewiesen. TVir formulieren es als

Satz 1’). Sei B : b l , b2 , b 3 , . . . eine Punktmenge. Nit zwei positiven ganzen Zahlen p o und no, einem reellen q > 1, einem reellen il > 0 und endlich vielen PunktmengenB, : b p , i , bp,z, b/1,3 , . . . (p = 1, 2, 3, . . ., m) gelte

na

B=UB,, ,L = 1

(1) ( x 1 o < I z - b,f < I b,! -Po} n B = 0 f i i r n 2 - no,

und sei

Damn i s t jede nbxahlbare Teilmenge E : a i , a2, a3, . . . von D nzit einenz Konvergenxexponenten x < ;Z PicAm-Menge der ganxen Funktionen.

Der Beweis dieses Xatzes wird in 4. erbracht. I n 2. werden fur den Beweis benotigte Hilfsmittel aus [3], [4] und [ 5 ] bereitgestellt. In 3. wird der eben- falls fur den Beweis des Satzes 1 als Hilfssatz dienende Satz 2 bewiesen, der eine Verallgemeinerung des Satzes 2 aus [3] ist. Abgesehen von seiner Rolle als Hilfssatz ziim Beweis des Satzes 1, liefert dieser Satz auch in gewisser Hinicht interessante Beispiele zur Theorie cler Ausfiillungskreise uiid fur Funktionen mit eirier stark wachsenden spharischen Derivierten. Angemerkt sei noch, dalj im folgenden die ublichen Bezeichnungen der NEVANLINNAschen Theorie n( r , a ) , E ( r , a ) , iv(r, a ) , w ( r , a) , und T ( Y , ~ ) benutzt werden (s. zuni Beispiel [I]). Insbesondere wird fur ganze Funk- tionen f ( z ) durch nl ( r ) die Anzahl der ihrer Vielfachheit naeh gezdhlten Nullstellen von f ’ ( z ) in [ z I I: r bezeichnet, und es wird

).

Ni(?“) = J&(t) - ni(0)) t - 1 at + n, (O) logr 0

gesetzt.

2. Bereitstellung von Hilfsmitteln

FVir geben zundchst die in dieser Arbeit benutzten Hilfsmittel aus [3] an.

1) Dieses Resultat wurde vom Verf. u. a. in einem Vortrag auf dem ‘Colloquium on Mathematical Analysis’ (17. bis 2 1. August 1970) in Jyviiskylii/Pinnland angekiindigt. 14 Math. Nachr. 1972, Bd. 52, H. 1-6

210 Winkler, Eine Bemerkung hber Picard-Mengen ganzcr Funktionen

Satz 2 aus 131. Xei

eine nicht rationale, ganze Punkt ion der Ordnung Q = 0 , gelte mit einem reellen q > 1 .fur p = I , 2 , 3, . . . , k

und mit positiv reellem c < 00 f i i r ulle r > 0

(3) N ( r , 0) 5’ c F ( r . 0) ,

u {aj} c {a”# l p = 1,2, 3 , . . . ) k ; v = 1, 3 , 3,

B a n n existiert eine Folge von Punkten a , , a? , aCi, . . . mit Do

3 = 1

aj 1 -, 03 und

so daJ f ( z ) f i i r j p d e naturliche Zahl p und jedes reelle E > 0 d e n Wert IX end- lichen Betrages in j eder unendlichen Teilfolge der Kreisscheiben

8],, ( c ) = { z I 1 z - a,l < 8 I a31-P}

( j = 1 , 2 , 3, . . .) unendlich oft annimmt. Der folgende Hilfssatz 1 ergibt sich als triviale Folgerung atis dem Hilfs-

satz 2 aus [3], weshslb er hier ohne gesonderten Beweis angefuhrt wird.

Hilfssatz 1. Xei a, , a l , aJ, . . . eine Punktfolge und f ( z ) eine gayzze F u n k - tion der Ordnung @ = 0. Nirnnzt dann f ( x ) f u r jedes ganze p > 0 in jeder un- endlichen Teicfolge der Kreisscheiben 1 z - an1 < 1 an$* rnit hdchstens einer Ausnahme jeden Wert a endlichen Betrages unendlich oft a n , so nimmt f ( z ) ficr jedes game p in jeder unendlichen Teilfolge der Kreisscheiben

jeden Wert endlichen Betrayes unendlich oft an. I Z - a72 1 < j a d P

Einen Spezialfall des Hilfssatzes 3 aus [3] ubernehnien wir als

Hilfssatz 2. Iat z eine positiv replle Zahl uncl E : a,, a ? , a ] , . . . eine ab- zahlbave Punktmenge mit dem Konvergenxexponenten T , so ist E PICARU- Menge cler ganzen Funktionen der Ordnung e > z.

Der folgende Hilfssatz 3 ist eine direkte Folgerung aus den Hilfssatzen 1 und 2 ans [4] und wird deshalb hier ohne Beweis formuliert.

Hilfssatz 3. Seien A : a , , u L , a? , . . . und B : b , , b,, b,, . . . zulei abzahlbar unendliche Yunktnzengen der komplpxen Ebene. Fi i r e i n rpelles 3, > 0 gelte

-14 =: 0 . lim I an - blLl e li-w

D n n n existiert keine ganze Funkt ion f ( z ) rnit einer Odnung e < 7, und mit

f ( a n ) = 0 und f ( b n ) = I fur n = I, 2, 3 , . . . .

Winklcr, Eine Bemerkung uber Picard-Mengen ganzcr Funktionen 211

Aus [4] entnehmen wir ferner die dort im Anschlul3 an den Hilfssatz I formulierte Folgerung als

Hilfssatz 4. Seien A : al, a,, a,. . . . und B : b i , b 2 , b3, . . . zwei Pu.lzkt- folgen. Sei f ( z ) eine ganze Funkt ion, und gelte

f ( a n ) = 0 und I f (bn ) I 2 1 f u r n = I, 2, 3,. . _ . Ist dann t i , t,, t 3 , . . . + 00 irgendeine Folge reeller Zahlen, so n immt f ( z ) in jeder unendlichen Teilfotge der Kreisscheiben I z - an 1 < tn I bn - an I mit hochstens einer Ausnahme jeden W-ert a endlichen Betrages unendlich oft an.

Wir iibernehmen nun noch den Hilfssatz 1 aus IS]. Se i f ( z ) eine ganze Funkt ion der Ordnung e < GO,

und sei

die disjunkte Vereinigung samtlicher (entsprechend ihrer Vielfachheit in A eingehender) Nullstellen von f ( z ) . Sei ein reelles /z > 0 und eine Folge reeller Zahlen r l , r 2 , r 3 , . . . mit

rn ~ 0 (e-lun311

A = {an,k I n = I, 2 , 3, . . .; k = I, 2, 3, . . ., kn}

1

1 gegebe?L, sei ferner b , , b 2 , b3, . . . eine Punktfolge, gelte

- bnj 5 rn f u r k = I, 2, 3,. . ., kn und sei f u r jedes n

(4) c; = { z

( 5 ) C; = { z

uncl

D a n n elcistiert ein reelles Ro > 0 , so dad in jeder in 1x1 > Ro enthaltenen Kreisscheibe C' mit

m+n

mindestcns kn - I (ihrer Vielfachheil entsprechend gezuhlten) Nullstellen won f ' ( z ) entlzalten sind.

3. Ein Satz uber Ausfullungskreise

In diesem Abschnitt formuliereii und beweisen wir den Satz 2. R b , , b l , b 3 , . . . sei eine abzuhlbar unendliche Punktntenge. Mit

endlich vielen (p = 1, 2, 3, . . . , m << a) Punktmengen 13,: bp,, , b,,2, bp,J , . . . und einem reellen q > 1 gelte

17%

B = U B , / 1 = 1

t4'

212 WinMer, Eine Bemerkung iiber Picard-Mcngtn ganzer Funktionen

und

M i t eiizem reellen E > 0 bezeichne Sn f u r jedes n = 1, 2, 3, . . . die Kreis- scheibe

- Ib,l" I z - b b n j < e . Fiir jedes reelle r > 0 sei b ( r ) die Anzuhl der in 1x1 < r enthalteneiz Kreis- scheiben S, und

T

B ( r ) = J h ( t ) t - I d t . 0

g ( z ) sei eine ganze Funkt ion der Ordnung e = 0, A die Menge der paurweise voneinander verschiedenen Nullstellen von g ( x ) , gelte

0 3

A c X = U & , n = l

und gelte fur g ( z ) rnit einer reellen Konstanten c

(8) N ( r , 0) < c B ( r ) .

Dann existiert eine abziihlbar unendliche Punktfolge ci, c q , c 3 , . . ., so d a , g ( z ) f u r jede gunze Zuhl p in jeder unendlichen Teilfolge der Kreisscheiben

8: (2 / j 2 - cn I < I cn 1 -"> @den Wert a endlichen Bptrages unendlich oft anninzmt.

Beweis. Eiii Beweis des Satzes 2 kann erbracht werden, indenl der Beweis dcs Satzes 2 aus [3] iiberriomrneii und dabei die Voraussetzung (3) durch die Voraussetzung (8) ersetzt wird : Fur den Beweis des Satzes 2 aus [3 ] ist es bedeutungslos, ob es sich jewcils urn cine k-fache Nullstelle von g(x) oder uni k in einer Krcisscheibe Xn cnthaltenc Nullstellen von g ( z ) handelt. Deshalb kanii die Bedingung ( 3 ) , die fur den Satz 2 aus [3] nur eine die Vielfachheit der "nllstellen eiiischrankende Bedeutiiiig hat, durch die Bcdingung (8) ersetzt werden, die im zu beweisenden Satz 2 die Anzahl der in den Kreisscheiben 8, enthaltenen, ihrer Vielfachheit nach gezahlten Nullstelle~i von g (x) vollig gleichwertig einschriinkt.

Eiii der vorstehenden Bemerkung folgendw Beweis wdre also nur eine technischc Urnformulierung des Beweises Zuni Satz 2 a,us [3] und sol1 des- halb hier iij cht ausgefuhrt werden. Stattdessen fuhren wir eincri anderen, de l i Satz 2 ~ L W [3] ausnutzenden Beweis ffir den Satz 2 : Weil g (x) cine ganze E'unktion der Ordnung Q = 0 ist, gilt

Winkler, Eine Benierkung iiber Picard-Mengen ganzer Funktionen 213

mit

(9) E s, fur k = 1, 2, 3, . . ., k,. Bezeichnet fur jedes n = 1, 2, 3, . . . S i die Kreisscheibe

so gilt fur alle u , , ~ und jedes

z a (j s; n= 1

die Ungleichung

Deshalb, wegen e = 0 und wegen (9) ist

00 k f i z - b, h ( 4 = n n ____

h = l k=l - cdn,k

eine in der ganzen komplexen Ebene meromorphe Funktion der Ordnung 0 mit

M

H ( z ) = h(z) g(z ) ist nun eine ganze Funktion der Ordnung 0 mit den jeweils k,-fachen Nullstellen b,, die wegen (7) und (8) die Voraussetzungen des Satzes 2 aus [3] erfullt. Es existiert also eine Teilfolge bni , bn2, bn3, . . . der Punktfolge b l , b 2 , b S , . . . , so da13 fur jedes ganze p die Funktion H ( x ) in jeder unendlichen Teilfolge der Kreisscheiben (v = 1, 3, 3, . . .)

Cn. z= (2 jIz - 6%" I I'nY I-') jeden Wert CG endlichen Betrages unendlich oft annimmt.

der Kreisringe (Y = 1, 2 , 3, . . .) Wegen des Hilfssatzes 3 mu13 dann aber g ( z ) in jeder unendlichen Folge

Qn, '1 Sn,

jeden Wert (endlichen Betrages) a + 0 unendlieh oft annehnien. Hieraus folgh aber wegen (10) und der Hilfssatze 1 und 4 unmittelbar die zu be- weisende Behauptung des Satzes 2 , sofern c, = bny gesetzt wird.

214 Winkler, Eine Bemerkung iibcr Picard-Mengen ganzer Funktionen

4. Beweis des Satzes 1

Seien die Punktmengen B und E mit den im Satz 1 genannteii Eigen- schaften gegeben. Fiir jedes r e e k T > 0 bezeichiie 6( r ) die Anzahl der in I z I < Y enthaltenen Kreisscheiben

- iania) S, = ( z / I z - b, I < e

und sei

= J b ( t ) t - 1 at. 0

Zum Beweis des Satzes 1 sei angenommen, E wjre nicht P l c a ~ ~ - M e n g e der ganzen Funktionen. Aus dieser Annahme folgt, daB eine nicht rationale, ganze Funktion f ( z ) niit

(z I f ( x ) = 0 oder f ( z ) = I} c E

existiert. Hierbei kann ohne Einsrhriinkung vorausgesetzt werden, daB

(11) ( z i f ( z ) = 0 oder f ( z ) = 1) = E und (12) S a n E =t 0 fur n == 1, 2 , 3 , . . . gilt.

die Abschiitzung Fiir die Ordnung e von f ( z ) folgt &us (11) wegen des Hilfssatzes 2 sofort

(13) @S:.<A.

(14) Q = o Als nachstes werden wir zeigen, daB sogar

gelteii muR. Fur jedes n setzen wir

- Ih,,la ‘r, = P

Mit Teilfolgen dieser Zahlenfolge rl , r 2 , ‘ r 3 , . . . und der Punktmenge b , , h , , b 3 , . . . sind dann wegen (II), (13) urid E c D die Voraussetzungen des Hilfssatzes 1 aim [ 5 ] fur die Funktionen f ( z ) u n d f ( z ) - 1 erfullt. Dabei gilt wegen (1) mit hochsteiis endlich vielen Ausnahmen fur alle n die Be- dingung (6). Mit hoehstens endlich vieleii Ausnahmeii liegeti also in jeder Krcisscheibe (4), d. h . in jeder Kreisscheibe

1 ~

C?: = (2 112 - b,J < y9, ’}

Winkler, Eine Bemerkung uber Picard-Mengen ganzer Bunktionen 215

mindestens k - 1 Nullstellen von f ' ( z ) , wenn S, k Nullstellen von f(z) oder f ( x ) - 1 enthalt. Dabei folgt aus dem Hilfssatz 3, daB wegen (13) fur fast alle n in S, keine Nullstellen von f ( x ) und f (z) - 1 zugleich enthalten sein konnen. Folglich gilt bezuglich f(z) mit einer Konstanten K

(15) N(r, 0) + N(r, I ) - .N,(r) - B ( r ) 5 K l o g r fur weil mit z = ( x + 1)/2 wegen (13) in hochstens endlich vielen Kreisscheiben 8, mehr als elbfiIt Nullstellen von f ( z ) oder f(z) - 1 enthalten sein konnen, und weil wegen ( 2 ) die Reihe

r 2 2,

00 c - Ih,l%+ lbfil'

n = l

konvergiert .

eine ganze Funktion ist, daB fur alle T 2 2 Der zweite Hanptsatz von NEVANLINNA besagt wegen (1 3) und weil f (z )

T ( r , f) - N ( r , 0) - N(r, 1) + NI ( r ) 5 0 (log r ) gilt. Durch Addition von (15) folgt hieraus fur alle r 2 2

(16)

weilf(x) nicht rational ist. Da wegen ( 2 ) und m < 00 fur jedes reelle E > 0

T ( r , f ) - B ( r ) 5 0 (log r ) ,

gilt, beweist ( 1 6) die Behauptung (14). Zum Beweis des Satzes I zeigen wir jetzt, da13 die Funktion g ( z ) =

f ( z ) (f(z) - 1) die Voraussetzungen des Satzes 2 erfullt. Als Puiiktmenge B im Satz 2 wahlen wir die im zu beweisenden Satz 1

durch B bezeichnete Punktmenge. Damit ist die beim bisherigen Beweis des Satzes 1 beriutzte Funktion B ( r ) identisch mit der in1 Satz 2 definierten Funktion B ( r ) .

Mit f ( x ) hat auch g ( z ) die Ordnung 0. Ferner sind samtliche Niillstellen von ~ ( x ) wegen (11) in B enthalten.

Weil B eine unendliche Punktmenge ist, liann nicht B ( r ) = 0 (log r ) gelten, weshalb aus (1 6)

T ( r ; f ) g 2 B ( r ) folgt. Folglich erfullt q ( z ) auch die Voraussetzung (8) des Satzes 2 .

Also kann der Satz 2 auf g ( z ) angewendet werden. Es existiert also eine Punktfolge c I , c.,, c3, . . . , SO daB g ( x ) fur jede ganze Zahl p in jeder un- endlichen Teilfolge der Kreisscheiben

216 Tt'inkler, Eine Bemerkung uber Picard-Mengen ganzer Funktionen

jeden Wert a endlichen Betrages uiiendlich oft annimmt. W'egen des IIilfs- satzes 4 folgt hieraus, daB f ( z ) in jeder unendlichen Teilfolge der Kreis- scheiben S: mit hochstens einer Ausnahme jeden Wert a endlichen Be- trages uiiendlich oft annimmt. Da dies fur jedes p gilt undf(2) die Ordnung 0 hat, folgt jetzt aus dem Hilfssatz 1, daB f ( z ) in jedcr unendlichen Teilfolge der Kreisscheiben S: insbesondere die Werte 0 und 1 uiiendlich oft annimmt.

Bei beliebig vorgegebenem p liegen also fur alle hinreichend groBen Y in jeder der Kreisscheiben S,* sowohl Nullstellen als auch Einsstellen von f ( z ) . Infolge der Voraussetznng (1) und E c I) und i%egen (11) kann dabei fur jedes p > p o bei hinreichend groljem v jede Kreisscheibe 8: niir mit einer Kreisscheibe S, einen nicht leereii Durchschnitt haben. Also muB wegen E c D eine unendliche Teilfolge Sfti, SnZ, STt3, . . . dcr Kreisscheiben S, existieren, so daB fur alle hinreichend groljen v in jeder Kreisscheibe S., so- wohl Nullstellen als auch Einsstellen von f ( x ) liegen. Da f(z) die Ordnung 0 hat, steht dies im Widerspruch zum Hilfssatz 3. Also kann die Funktionf(2) mit (11) nicht existieren, und es gilt folglich der Satz 1.

Literatur

[i] W. K. HAYMAN, Meromorphic functions. Oxford 1964. [ 2 ] S. TOPPILA, Some remarks on the value distribution of entire functions. Ann. Acad.

i3] J. ~VINKLER, Uber PICARD-Mengen ganzer und meromorpher Funktionen. Math. Z.

[4] -, Uber PICARD-Mengen ganzer Funktionen. Manuscripta math. 1, 191-199 (1969). [5] -, Uber den Verzweigungsindex bei ganzen Funktionen. Manuscripta math. 4, 135

Sci. Fennicae, Ser. A I 421, 11 (1968).

109, 191-204 (1969).

-148 (1971).

Jorg Winkler 1 Berlin 12, Technische Unicersitat Berlin, Fachbereich Mathematik