Upload
phungmien
View
214
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
Eindhoven University of Technology
MASTER
Mantelspanningen in "cross-bonded" kabelsystemen
van Dongen, J.J.A.C.
Award date:1974
Link to publication
DisclaimerThis document contains a student thesis (bachelor's or master's), as authored by a student at Eindhoven University of Technology. Studenttheses are made available in the TU/e repository upon obtaining the required degree. The grade received is not published on the documentas presented in the repository. The required complexity or quality of research of student theses may vary by program, and the requiredminimum study period may vary in duration.
General rightsCopyright and moral rights for the publications made accessible in the public portal are retained by the authors and/or other copyright ownersand it is a condition of accessing publications that users recognise and abide by the legal requirements associated with these rights.
• Users may download and print one copy of any publication from the public portal for the purpose of private study or research. • You may not further distribute the material or use it for any profit-making activity or commercial gain
AFDELING DER ELEKTR~TECHNIEK
TIOHNISCHE WJGESCHOOL
Vakgroep Technieken van de Energievoorzienin~
Ma.'1 telsparulingen in "cross-
bonded" kabelsystemen
J.J.A.C. van Dongen
EO. 74. A. 19
8TUDIL;:.;UD,"HEEK
!LEKTHüTECHN1EK1~
Afstudeeronderzoek verricht o.l.v
dr.ir. L.M.L.F. Hosselet
prof. ir. G.A.L. van Hoek
Voorzitter Vakgroep:
Prof.Dr. D.Th.J. ter Horst
oktober 1974
T E C H NIS C H E H 0 GES C H 0 0 LEI N D H 0 VEN
..
INHOUDSOPGAVE
Inleiding
I. Zelfinductie en mutuele inductie in een systeem bestaan
de uit n parallelle cylindrische geleiders
I I. Berekening van zelf- en mutuele inductie-coëfficienten.
II-a. De zelfinductiecoëfficient van een hol Ie cylinder
vormige geleider.
II-b. De mutuele-inductiecoëfficient van 2 concentrische
cylindervormige geleiders.
II-c. Mutuele-inductiecoëfficient van 2 cylindervormige
geleiders, die tamelijk ver van elkaar verwijderd
zijn.
111. Experimentele bepal ing van de mutuele koppeling tussen
twee parallelle cyl indervormige geleiders.
IV. Zelf- en mutuele-inductiecoëfficienten in een systeem be
staande uit n in de bodem gelegen parallelle cylindrische
geleiders.
V. Drie parallelle éénaderige kabels in de aarde gelegen.
V-a. Drie parallel Ie niet getransponeerde loodmantelka
bels.
V-b. Drie parallel Ie symmetrische loodmantelkabels.
VI. Mantel- en binnengeleiderkruisingen.
VI-a. Berekening van de mantelspanningen en mantelstromen.
VI-a-l. Slechte aarding van het mantelcircuit.
VI-a-2. Goede aarding van het mantelcircuit.
VII. De synchrone, inverse en homopolaire impedantie van een
hoogspanningskabel tracé.
VIII. Het dynamisch gedrag van een kabelsectie, uitgevoerd met
mantelkruisingen.
VI I I-a. Ontwerp van een meervoudig ~-netwerk.
VI I I-a-l. Bepal ing van de dwars-impedanties.
VI I l-a-2. Bepal ing van de langs-impedanties.
IX. Metingen verricht aan het analogon.
IX-a. Mantelspanningen t.g.v. diverse stationaire sto
ringen_
bldz.
3
11
18
18
20
21
23
27
30
30
34
40
46
51
5766
77
828286
93
93
X.
-2-
IX-b Invloed van de capacitieve laadstromen op de ma'~el
spanningen.
IX-c.Bepal ins van de golfimpedanties en de voortplantings
snelheden.
IX-d.Frequentie-karakteristieken.
IX-e.Mantelspanningen t.g.v. platsel inge toestandsverande
ringen.
Een eenvoudige methode voor de bepaling van manteloverspan
ningen in gekruiste kabel systemen.
Literatuurl ijst.
..
bI dz.
93
93
96
104
118
131
INLEIDING
Met het gedurig stijgende verbruik van electrische energie neemt ook de
energieafnamedichtheid steeds toe. In steeds meer gevallen moeten zeer
grote vermogens tot in het centrum van de verbruikersgebieden worden ge
transporteerd. Om daarbij de transportverl iezen te beperken moeten hoge
bedrijfsspanningen worden toegepast. Het gebruik van hoogspanningsl ijnen
zou hier een economische oplossing kunnen bieden ware het niet dat om
andere redenen deze mogelijkheid vaak niet acceptabel is. Als voorbeel
den waarbij het minder gewenst is om bovengrondse 1ijnen te gebruiken
noemen we het transport van grote vermogens naar verbruikerscentra ge
legen in dichtbevolkte gebieden, het doorkruisen van een recreatiegebied
of een landschappel ijk uniek gebied door een hoogspanningslijn. Ook het
leggen van een hoogspanningskabelcircuit door een rivier kan noodzakeli jk
zijn om hinder voor de scheepvaart t.g.v. hoogspanningslijnen te voor
komen. Het gevolg van deze faktoren zal zijn dat in de toekomst, ondanks
de veel hogere kosten die hiermee gepaard gaan, er steeds meer hoogspan
ningskabels zullen worden toegepast en wel eenaderige lood- of aluminium
mantelkabels voor bedrijfsspanningen hoger dan 130 kV. Voor hogere span
ningen worden 3-aderige kabels te onhandelbaar, terwijl bovendien de be
lastbaarheid nadel ig wordt beinvloed door de minder goede koeling van
3-aderige kabels.
De transpo~tcapaciteit van de toe te passen kabeltransmissiesystemen,
waarvan de investering ruwweg 10x zo hoog ligt als van equivalente boven
grondse transmissiesystemen [251, zal men uiteraard zo goed mogelijk
willen benutten. Daarom zal men enerzijds de overspanningen, die in een
kabelcircuit optreden zo laag mogelijk willen houden teneinde tijdens
normaal bedrijf het beschikbare isolatieniveau zo goed mogel ijk te kun
nen benutten. Anderzijds zal men trachten de stroombelastbaarhei~ van de
kabels te vergroten.
Bij de huidige hoogspanningskabels wordt tijdens normaal bedrijf de ka
bel temperatuur hoofdzakelijk bepaald door de energieverl iezen t.g.v. de
belastingsstroom.(12R » U2wC.tg 5). Door de eisen, die aar de kabeltem
peratuur (zowel de-binnengeleider- als de buitenoppervlaktetemperatuur)
moeten worden gesteld, worden tevens grenzen opgelegd aan de stroombe
lastbaarheid van een kabel.
-4-
In principe kan de belastbaarheid van kabels worden verhoogd door de
verl iezen te beperken, d~or het toepassen van isolatiematerialen die
hogere temperaturen toelaten en door de koel ing van de kabels te ver
beteren.
Worden de eenaderige kabels ingegraven dan kan de koeling worden verbe
terd door het aanbrengen van een goed warmtegeleidend bodemmateriaal.
Ook kan de koeling worden verbeterd door de afstand tussen de parallel
le kabels te vergroten, zodat de warmteafvoer naar de omgeving wordt
vergemakkelijkt en minder wederzijdse temperatuursverhogingen optreden.
De verl iezen in de kabel bestaan uit binnengeleiderverliezen, mantelver
liezen en dielectrische verl iezen. Blijven de mantels van de hoogspannings
kabels aan het begin en einde geaard, zoals bij laagspanningskabels ge
bruikelijk is, dan zal het aandeel van de mantelverlip.zen in Je totale
kabelverl iezen absoluut maar ookrelatiet toenemen met "het stijgen van de
kabeltransportcapaciteit. Bij eenaderige loodmantel kabels
kunnen hoge mantelverl iezen optreden, omdat t.g.v. het magnetische veld
van de binnengeleiderstromen hoge spanningen in de langsrichting van de
mantels worden geinduceerd, die bij tweezijdige aarding van de man
tels hoge mantelstromen tot gevolg hebben. Bij kabels met een geleider
doorsnede van 2000 mm2 en tweezijdige mantelaarding kunnen de daarbij
optredende mantelverl iezen het veelvoudige bedragen van de binnengeleider
verl iezen (zie hoofdstuk V). Deze mantelverliezen kunnen worden geël imi
neerd door maatregelen te nemen die verhinderen dat er mantelstromen kun
nen gaan vloeien.
Dit kan worden bereikt door:
a) de impedantie van het mantelcircuit te vergroten (fig. 1 en 2),
b) de totale geinduceerde spanning in het mantelcircuit te mini
maiiseren (fig. 3).
Zo bestaat een methode, die gerangschikt kan worden onder a), uit het
opdelen van de mantels in gel ijke stukken, waarbij elke mantelsectie aan
een zijde wordt verbonden met een paral lel meegevoerde geaarde geleider
(figuur 1). Deze methode wordt slechts toegepast bij kortere kabelcircuits.
Bij langere circuits wordt d~ aardleiding een te grote complicatie geacht.
Denk bijvoorbeeld aan de maatregelen die getroffen moeten worden om te
voorkomen dat zo'n aardleiding als gevolg van corrosie door zwerfstromen
-5-
( )
, J
1( ()
- - - '- '--
f i g. 1
wordt aangetast. En denk aan de gevaren van beschadiging van deze aard
leiding door derden. Ook gaan de kosten bij langere circuits een niet
onbelangrijke rol spelen.
Een methode, die bij langere kabelcircuits kan worden toegepast bestaat
uit het tweezijdig aarden van de mantelsecties, waarbij echter een ext~a
stroombegrenzende impedantie in de vorm van een verzadigbare'z=lfinduc
tie in het mantelcircuit is opgenomen (26) (zie figuur 2). Deze spoelen
zijn zodanig geconstrueerd, dat zij tijdens normale bedrijfsomstandighe
den niet verzadigd raken. Treedt er echter een kortsluiting op dan is de
geinduceerde spanning in een mantel sectie hoog genoeg om verzadiging te
veroorzaken. Hierdoor kunnen kortsluitstromen wel via de mantels hun te
rugweg vinden. Naast deze zelfinducties moeten nog stroomafhankelijke
weerstanden of condensatoren worden toegepast om manteloverspanningen
t.g.v.loopgolven te bestrijden (zie hoofdstuk X).
Een elegantere oplossing voor het beperken van de mantelstromen, die.
steeds meer wordt toegepast bij langerekabelcircuits werd reeds in 1914
aangegeven door de uitvinder van de oliedrukkabel : Emanuel i . De methode
bestaat hierin, dat de opgedeèlde ~antels van de R, S en T kabels steeds
in series van drie gel ijke lengten kruiselings met elkaar worden doorver
bonden (zie figuur 3). Tijdens normaal bedrijf worden in deze drie man
telsecties (M R, MS en MT) spanningen geinduceerd, die opgeteld een som
opleveren, die nagenoeg nul is (zie figuur 4). Daardoor is het mogelijk
steeds na 3 mantel~ecties demantefcîrcuïtsmet elkaar en met aarde te
-6-
L L
f i g. 2
M
J1I
kabelsubsecti~
L = verzadigbare spoel.
kabelhoofdsectie
f i g. 3 Kabelhoofdsectie met mantelkruisingen.
..fi g. 4
-7-
verbinden zonder dat hierdoor tijdens normale bedrijfsomstandigheden gro
te mantelstromen gaan vloeien (zie hoofdstuk VI). De laadstromen en aard
sluitstromen vinden een continue retourverbinding over de mantels, zodat
ook hier, evenal5 bij de oplossing van figuur 2, geen extra parallel Ie
aardgeleider vereist is.
De lengte van een zo'n mantelsectie is afhankelijk van de mantelspanning,
die men tijdens normaal bedrijf tegen aarde wi I toelaten en zal dus af
hankel ijk zijn van de belastingsstroom en de hart op hart afstand tussen
de kabels (zie tabel A).
Door het toepassen van mantelkruisingen, ook wel cross-bondings genoemd,
is het mogelijk om de kabels verder van elkaar te leggen, waardoor weer
een betere koeling wordt verkregen. Worden geen mantelkruisingen toege
past dan zal het voordeel van een betere koel ing dat ontstaat bij het
vergroten van de hart op hart afstand van de kabels weer voor een belang
rijk deel worden tenietgedaan door de hogere mantelverliezen die hiervan
het gevolg zijn. In tabel A is namel ijk te zien dat door het vergroten
van de kabelafstand de geinduceerde spanningen toenemen en daarmee de
mantelstromen.
Door het toepassen van kruisverbindingen en een gunstigere ligging van
de kabels in de grond behoort een verdubbel ing van de transportcapaciteit
van een hoogspanningskabel transmissie-systeem tot de mogelijkheden. Dit
belangrijke voordeel gaat echter ten koste van enkele nadelen. Zo is de
synchrone impedantie van een transmissiesysteem met mantel kruisingen ho
ger dan die van een ongekruist systeem (zie hoofdstuk VI I). Een tweede
nadeel bestaat uit de hoge geinduceerde mantelspanningen bij optredende
kortsluitingen, waardoor de mantel isolatie en de isolatie in de onder
brekingsmoffen aan hogere eisen zal moeten voldoen. Het laatstgenoemde
nadeel treedt ook op bij de oplossing van fig 1, echter niet bij de op
lossing van figuur 2, omdat daar wel mantelstromen kunnen gaan vloeien
wanneer de kortsluitstromen van dien aard zijn dat de spoelen in de ver
zadiging geraken.
Is het mantelcircuit van figuur 3 slecht geaard (zie hoofdstuk VI-a-l)
dan kunnen t.g.v. homopolaire binnengeleiderstromen hoge spanningen
tussen de mantels èn aarde ontstaan (zie tabel B). Is daarentegen de
aardverbinding aan beide zijden ideaal dan ontstaan t.g.v. deze homopolaire
stromen lechts zeer l~ge spanningen in het mantelcircuit « 10 V per km lengte
-8-
en per kA homopolai re stroom).
..TABEL A
Mantelspanningen per km mantel t.g.v. een normaal binnengeleiderstroom
stelsel van 1 kA.
230/400 kV Kabelafstand hart op ha rt
01 iedrukkabel 15 cm 30 cm 50 cm 80 cm 100 cm
geleiderdoorsnede: 2000mm2
loodmantelbuiten- 91 V 135 V 167 V 196 V 210 V
diameter: 115 mm
••TABEL B
Mantelspanningsval in 1 km mantel t.g.v. een homopolair binnengeleider
stroomstelsel van 1 kA. Hi~rbij is een:slechte aarding verondersteld.
230/400 kV 01 iedrukkabel Soorte 1ij ke weerstand van de aardbodem
geleiderdoorsnede: 20002 tin} .mm Pa
loodmantel diameter: 115 mm 10 rlm 10 3 rlm 105 rlm
15 cm 1270 V 1710 V 2150 V
Kabe 1afs tand 30 cm 1180 V 1620 V 2060 V
hart op hart 50 cm 111 8 V 1560 V 2000 V
80 cm 1055 V 1495 V 1935 V
100 cm 1030 V 1470 V 1910 V
In tegenstel ling tot de mantelspanning t.g.v. een normaal binnengeleider
stroomstelsel neemt de spanning bij een slechte aarding van het mantel
circuit t.g.v. een homopolair binnengeleiderstroomstelsel af bij toene
mende kabelafstanden. Dit is te verklaren door het feit dat het circuit
voor de homopolaire stroom bestaat uit de drie parallelle binnengelei-
• Bij de berekening hiervan is gebruik gemaakt van tabel VI-3. en be
rekend is de spanning in de buitenste kabelmantel .
•• Bij de berekening hierva~ is gebruik gemaakt van tabel VI-2 ...De gegeven spanningen gelden zowel voor de binnenste als de buiten-
liggende kabels.
ders als heengaande en de aarde als retourgeleider. De zelfinductie van
dit circuit wordt kleiner naarmate de afstand tussen de kabels groter
wordt. De effectieve straal van de heengaande geleider wordt hierdoor
vergroot.
In wezen is dit hetzelfde effect dat optreedt bij een bundelgeleider.
Daar wordt namelijk ook de effectieve straal van de geleider vergroot
door de afstand tussen de afzonderl ijke geleiders van de bundel te ver
groten. Het gevolg daarvan is oek een verlaging van de zelfinductie
co~fficient in ~et circuit.
Uit het bovenstaande volgt, dat de kwal iteit van de aardingen een grote
rol speelt. Wordt de homopolaire retourstroom door de hoge aardversprei
dingsweerstanden gedwongen om door de aarde terug te keren dan ontstaan
in het mantelcircuit zeer hoge spanningen t.o.v. aarde. Deze hoge span
ningen kunnen de mantel isolatie beschadigen, waardoor de loodmantel niet
langer tegen corrosie wordt beschermd. Het is zelfs voorgekomen dat t.g.v.
manteloverspanningen een perforatie van de loodmantel is opgetreden,
waardoor de olie uit de kabel kon vloeien. [27J
Naast deze manteloverspanningen t.g.v. quasi-stationaire verschijnselen
ontstaan ook manteloverspanningen t.g.v. golfverschijnselen. Deze worden
veroorzaakt door het inschakelen van de kabels of door blikseminslagen
op aangesloten bovengrondse hoogspanningsinstal laties. Deze transi~nte
manteloverspanningen treden op wanneer de mantels gekruist worden. Zijn
de mantels niet gekruist dan zal de inkomende golf zich voortplanten in
de binnengeleider-mantel kabel. De goed geleidende mantel kan daarbij
als een electro-magnetische afscherming gezien worden tussen het inwen
dige van de kabel en de buitenwereld. Buiten de kabel tal bijna niets
van de aanwezigheid van een golf in de kabel te merken zijn. Worden de
mantels echter gekruist dan wordt op de plaats van de kruisingen de golf
gebroken en er zullen golfverschijnselen buiten de kabels optreden, die
wel hoge spanningen van de mantels t.o.v. aarde veroorzaken.
Deze transi~nte overspanningen zijn tijdens het afstudeeronderzoek be
studeerd m.b.v. een nabootsing van een gekruist kabel transmissie-systeem
bestaande uit drie subsecties. Het ontwerp van dit analogon is besproken
in hoofdstuk VI I I .-Bij deze studie werd geconstateerd, dat de spanning
over de mantel isolatie hoger wordt naarmate de verhouding van de golf
impedanties van de binnengeleider-mantel kabel (Z ) en van de mantel-gm
-10-
aa rde kabe I (Z ), Z /Z , afneemt.m gm m
Zo kunnen, wanneer geen beschermende maatregelen worden getroffen, bij
het inschakelen van het kabelcircuit mantelspanningen ontstaan, die de-
zelfde topwaarden bereiken als de bedrijfsfasespanning (zie hoofdstukken
IX en X). Dit zal het geval zijn wanneer de soortelijke weerstand van
de bodem waarin de kabels gelegen zijn zeer hoog is, of wanneer de kabels
in een goot I iggen met alleen lucht als omringend medium. In deze geval
len kan de verhouding van de genoemde golfimpedanties, Z /Z, een waardegm mbereiken van û,l.
De doorslagvastheid van p.v.c. (polyvinylchloride), het gebruikelijke
mantel isolatiemateriaal , bedraagt 15 f 40 kV/mmo De dikte van deze man
tplisolatie bedraagt 4 f 6 mmo Uit deze gegevens bI ijkt dat het toepas
sen van overspanningsafleiders in de vorm van spanningsafhankel ijke weer
standen, vonkenbruggen of combinaties hier~an, op de plaatsen van de
mantelkruisingen voor de hogere spanningsniveaux noodzakel ijk is.
Als afsluitende conclusie kan gesteld worden dat de overspanningen
t.g.v. quasi-stationaire verschijnselen, zoals kortsluitingen, minder
gevaarlijk zijn dan de overspanningen t.g.v. transiënte verschijnselen.
De eerste zijn echter wel belangrijk wanneer het kabelcircuit is bevei
ligd door overspanningsafleiders, omdat deze apparaten slechts geduren
de een korte tijd grote stromen kunnen voeren .
..
-11-
I. ZELFINDUCTIE EN MUTUELE-INDUCTIE IN EEN SYSTEEM BESTAANDE
UIT n PARALLELLE CYLINDRISCHE GELEIDERS.
In een syste8m bestaande uit n circuits, die magnetisch met elkaar
gekoppeld zijn en waarin stromen vloeien 11
tlm In bedraagt de aan
wezige magnetische veldenergie 111:
Wm
n n
! k~l j~l Ljk·Ij'l k ' 1-1
met: I. = stroom in het j-de circuit,J
Ljk Lkj mutuele koppeling tussen het
j-de en het k-de circuit,
L.. = zelfinductie-coëfficient van hetJJ
j-de circuit.
Deze magnetische veldenergie kunnen we ook bepalen door de energie
te berekenen die per volumeeenheid in het systeem wordt gebracht en
deze daarna te sommeren over alle volume-elementen.
Daartoe veronderstellen we dat in eell volume-element t:,V een stroom
dichtheid J en een geinduceerde electrische veldsterkte e. d aanweIn
zig is. Deze geinduceerde electrische veldsterkte oefent per volu-
me-element een kracht uit op de lading, t.W.
met:q.e. d
InF
e q = .~ = ladingsdichtheid, {C/m 3 }v
v snelheid van de electronen. {mis}
Om deze kracht van electrische oorsprong in evenwicht te houden moet een
kracht F van niet electrische oorsprong per volume-eenheid aanwezigu
zijn, die tegengesteld gericht is. Alleen dan kan deze lading zich
met een constante snelijeid v bI ijven verplaatsen. We kunnen dus stel
len:
Fu
1-2
~e energie t:,W, die op deze manier per tijdselement t:,t en per volume
element t:,V aan het systeem wordt toegevoerd is :
t:,V.F .65 = t:,V.M.F .vu u -t:,V.M.q.v.ë. d
In
.. -J.e. d.M.t:,V.In
Dit is de toename van de magnetische veldenergie gedurende het tijds
element t:,t, t.g.v. de actie in het volume-element t:,V.
Voor de berekening van de geïnduceerde electrische veldsterkte in het
-12-
systeem bestaande ui L de n parallelle cyl indrische geleiders gaan we
op de hieronder beschreven wijze te werk.
Beschouw een oneindig lange geleider waardoor ~en stroom I. vloeit.J
De retourweg voor deze stroom wordt gevormd door een hypothetische
cyl inder met een oneindig grote diameter. (Zie fig. 1-1)
-cB
o-A
~------------=-~- - ---
~l
---------~- - - - - - --
tig I - 1
Dit systeem is duidelijk cylinder-symmetrisch. De z-component van de
electrische veldsterkte kunnen we berekenen met behulp van de volgen
de wet van Maxwell:
J Ë.dï<5 rr S.da6t J J
A
da ~ oppervlakteelement. 1-4
Als contour nemen we de omtrek van de zich tot in het oneindige uit
strekkende rechthoek ABCD. De kringintegraal kunnen we als volgt ver
eenvoudigen:
C D A B~ Ë.dï = J E.dï +J Ë.dï + J Ë.dï + f E. d I =
B C D A
B= f Ë.dï = AB.Ez (Rj) . 1-5
A
Immers, omdat het systeem als onafhankelijk van z kan worden be
schouwd mogen we schrijven:
C A,E.dl f Ë.di,J = -
B D
en omdat in het oneindige E=O, geldt ook:
CJ E.dl O.D
-13-
De oppervlakte-integraal kunnen we als volgt schrijven:
<5 JJ - -- &t ABCD B. da
00
_ AB.L J B.d-;'.<5 t r=Rj
1-6
Voor de electrische veldsterkte in de z-richting op een afstand Rj
van de as van de j-de geleider vinden we daarom,00
E <5 J B.dr.z(Rj) = - "6 Rj
1-7
De magnetische inductie B in de ruimte wordt veroorzaakt door de
n parallelle stromen I., j = 1, .... ,n., ofwel:J
- - -B = B
1+ B
2+ + B
n
n
= k~l Bk
Bk(l k) .
Voor de electrische veldsterkte Ez(Rj) schrijven we:
00 n
E - -.L Jz(Rj) - M Rj
n 00
.L k~l J Bk· di-.Ot Rj
-Uit het gegeven V.B 0 volgt: (zie fig. 1-2):
00 00
1-8
J Bk·d-;'Rj
J Bk·dr.Rj k
Rjk is de afstand van de as van geleider k tot een punt A, dat een
afstand Rj van de as van geleider j is verwijderd. Voor de electrische
veldsterkte in de z-richting in dit punt A kunnen we nu schrijven:
n 00
E - i- k~l J Bk·dr;z (Rj) Ot Rjk
n 00
E-&~~ L: J Bk
Ik. dr;= - - k=l~z(Rj) Ot Rjk
BAangezien de term ~ onafhankelijk is van de tijd mag men ook schrijven:
k..
1-10
Omdat
-14-
geleider k
geleider
fig. I - 2
00 BkJ --I.dr al leen afhankelijk is van de geometrie van de k-de ge
Rjk k
leider en de afstand Rjk kunnen we stellen:
00 BJ -Ik. dr
Rjk k1-11
zodat voor de electrische veldsterkte in de z-richting op de plaats
A geschreven kan worden:
n tllk
- k~ 1 Cj k (Rj)· tl t 1-12
De vermeerdering van de magnetische veldenergie per volume-element
tlV. en per tijdselement fit is (zit:: vgl. 1-3):J
- JR··e. d R·· tlV .. M ,J In •. J JtlW =
tlV. ,MJ
met: JR .. J
stroomdichtheid in de geleider j op
een afstand Rj van de geleideras;
e. d R' = de geinduceerde electrische veldIn • J
sterkte in de geleider j op een af-
-15-
stand Rj van de geleideras,
~V. = volume-element in de geleider j op eenJ
afstand Rj van de geleideras.
Indien we aan~emen dat de stroomdichtheid in de geleider constant
is kunnen we schrijven:
1 •
- JA e. d ,., .• ~V .. ~t =jin . "J J
= 1-13
met: A.J
de doorsnede van de geleider j.
~Ik is de verandering van de stroom door de geleider k in het tijds
element van t naar t + ~t. In de I imietovergang geldt:
dW dV. ,dtJ
1-14
De, gedurende het tijdselement At via de~j-de g~leider, toegevoerde
magnetische veldenergie bedraagt:
dW. dJ, t
nl. Rukg1 I i.dlk· fR.Cjk(Rj).2IIr.dr,
J I
1-15
r.;e t: lengte van geleider j ;
2Ru = buitendiameter van geleider j ;
2Ri binnendiameter van geleider j.
Indien we voor de overzichtelijkheid stellen:
..
IA.
J
Ru[i Cj k (Rj) . 2rr r . d r , 1-16
-16-
dan kunnen we voor de. via de geleider j gedurende het tijdselement dt
toegevoerde magnetische veldenergie schrijven:
n
dWj,dt =k~l Djk · Ij.dl k· 1-17
Wanneer we aannemen dat op het tijdstip t=O alle stromen nul waren dan
kunnen we voor de magnetische veldenergie, toegevoerd via de j-de ge
leider schrijven:
W.J
1-18
Voor de totale aan het systeem toegevoerde magnetische veldenergie
kan vervolgens geschreven worden:
nW= .. L
1W.=
. J= J1-19
Uit het feit dat Ween toestandsfunctie is, dus niet afhangt van de
manier waarop de stromen I., j=1 , .... ,n, hun eindwaarden bere"iken,J
kan men afleiden dat moet gelden:
1-20
zodat we voor de in het systeem aanwezige magnetische veldenergie
kunnen schrijven:
n n
W = ~ j ~1 k~l Dj k· Irik' 1-21
Deze uitdrukking is identiek met de eerste uitdrukking van dit
hoofdstuk wanneer gesteld wordt:
I RuA
jLCjk(Rj) .2iTr.dr, 1-22
..
met:00 BkJ - .dr.Rjk Ik
1-11
-1]-
De zelf- en mutuele inductie-coêfficienten per lengteeenheid kunnen
we dus als volgt schrijven:
Lj kI
= 1Ä-:
J
Ru 00 BJ {J -Ik .dr}Ri Rj k k
2ITr .dr. 1-23
====~===============================
..
-18-
11. BEREKENING VAN ZELF- EN MUTUELE INDUCTIECOEFFICIENTEN
Omdat we hierna uitsluitend systemen beschouw~n, die bestaan uit
holle cyl indervormige geleiders, die óf concentrisch óf op betrek
kelijk grote afstanden van elkaar gelegen zijn, zullen we hier
berekenen:
a) de zelfinductie-coëfficient van een hol Ie cylinder
vormige geleider;
b) de mutuele inductie-coëffici~nt van Z concentrische
cylindervormige geleiders;
c) de mutuele inductie-coëfficient van Z tamel ijk ver
van elkaar verwijderde cyl indervormige geleiders.
Hierbij zal steeds worden verondersteld, dat de stroomdichtheid
in de geleiders constant is en dat de relatieve p~rmeabi i iteit
van het geleidermateriaal en de omringende ruimte gelijk is aan 1.
a) DE ZELFINDUCTIE-COEFFICIENT VAN EEN HOLLE CYLINDERVORMIGE
GELEIDER.
De binnen- en buitendiameter van de geleider zijn respectievelijk
ZRi en ZRu.
Bij een homogene stroomverdeling in de geleider vinden we voor
de magnetische inductie als functie van de afstand tot de gelei
deras R.:J
BRj = 0
BRjllo R' Z Ri
ZJ -
= ZJIRj Z Ri Z'I .
Ru - J
BRjllo
1 •ZJIRj J
voor
voor
voor
Rj~R i
Ri<Rj<Ru;
Rj> Ru .
I I-la
I 1-1 b
I 1- 1c
Voor Cjj(Rj) met Ri<Rj<Ru vinden we dan:
..
+
CD
f BR'Ru P·dR 1
J
Cjj(Rj) =
-19-~o 1 Ru R,221T {2 2 J (Rj - RIJ'] dRj
Ru - Ri Rj+
00
JdR iFr'}
Ru J )
C. , (R' \J J . J J
,+ In Ru } .
R,2 1 RU)- I n -, l
RJ+
Voor de zelfinductie coêfficient per lengte-eenheid vinden we:
Ljj
Cjj (Rj).21TRj. d~j t
L..JJ
~o{In 00
21TIn Ru + Ri 4 Ru
2 22 ln-R'I(Ru ":Ri )
+
1 Ru2 - 3Ri 2+ - }
4 R 2 R,2u - I
11-2a
~=====================================================
Wanneer Ri~O dan gaat deze uitdrukking over in
~oL.. = - { In 00
JJ 21TIn Ru 1
+ '4 L 11-2b
Wanneer Ri.Ru dan gaat de uitdrukking I 1-2a over in
L ..JJ
~o=-
21T{In 00 In RuL 11-2c
~ot Over de term 21T lnoo wordt hierna nader geinformeerd wanneer
de aarde als retourgeleider in het beschouwde systeem wordt
verwerkt.
-20-
b) DE MUTUELE 1NDUCT I E-COEFF I CI ENT VAN 2· CONCENTR 1SCHE
CYLINDERVORMIG[ GELEIDERS.
Voor deze configurati~waarvoorwe de mutuele inductie coëfficient
; Ljk willen berekene~ maakt het niet uit of uitgegaan wordt van het
B-veld dat ontstaat t.g.v. een stroom door de holle geleider dan wel
van het B-veld t.g.v. een stroom door de massieve geleider.
k
fig. 11-1
Het eenvoudigst komt men tot het gewenste resultaat wanneer uit
gegaan wordt van het B-veld veroorzaakt door de stroom in de
holle geleider.
Wanneer Rj<Ri vinden we voor Cjk(Rj):
00 BkJ-I.dR.
Rj k
~o Ri 2 Ru2n {! - 2 2· In Ri + In 00 - In Ru}
Ru Ri
m.a.w. Cjk(Rj) is constant.
Voor de mutuele koppel ing per lengte-eenheid vinden we:
*Ru/ Cjk(Rj) .2nRj .dRj,
.-.met: Ru de straal van de massieve binnen-
geleider ...
-21-
Ri 2 Ru2 2·ln~
Ru - Ri I
- 1n Ru}. 11-3a
==========================================~===============
Indien Ri~Ru gaat bovenstaande vergelijking over in de volgende
eenvoudige vorm:
{In 00 In Ru} . 11-3b
Bezien we de vergelijkingen 11-3b'en I 1-2c dan kunnen we consta
teren dat Je hierboven gevonden mutuele inductie-coëfficient gel ijk
is aan de zelf-inductie coëfficient van een dunwandige cylinder
vormige geleider.
c) MUTUELE INDUCTIE COEFFICIENT VAN 2 CYLINDERVORMIGE GELEI
DERS, DIE TAMELIJK VER VAN ELKAAR VERWIJDERD ZIJN.
Wanneer de afstand tussen de geleiders veel groter is dan de afme
tingen ~an de geleiders zelf (fjk > Ru) dan mogen we stellen dat
in de geleider j overal gerekend mag worden met eenzelfde waarde
voor de coëfficient Cjk(Rj)' M.a.w. Cjk(Rj) is géén functie van
de afstand van het volume-element in de geleider j tot de as
van deze geleider (Rj).
geleide r k
..
~-...........,.,(3/ Hu
',1
geleide r j .......... ......
fig. 11-2
We mogen daarom stellen dat:
00 BC J -l drJ. k (RJ' ,\ = I'
Rj k
00 BJ -f-. dRj .
1jk k
Buiten de geleider k kunnen we voor de magnetische inductie Bk als
functie van de afstand tot de as van deze geleider schrijven:
zodat~o21T • {ln 00 - ln f jk }= constant.
Hiermee vinden we voor de mutuele inductie-coëfficient per lengte
eenheid:
1= Aj
~o21T • { ln 00
Ru (j)J 2nr.dr;
Ri (j)
L ~o ()jk = I; { ln 00 - ln L
k} .
========================= J ===11-4
.'In hët hierna volgende hoofdstuk is via een eenvoudig experiment
nagegaan in hoeverre de hier toegepaste benaderingen toelaatbaar
zijn.
..
-23-
I I I. EXPERIMENTELE BEPALING VAN DE MUTUELE KOPPELING TUSSEN
2 PARALLELLE CYLINDERVORMIGE GELEIDERS.
In het labor3torium is nagegaan in hoeverre de hiervoor gevonden
uitdrukkingen voor 'de mutuele-inductie coëfficient van 2 concen
trische geleiders en 2 "ver" van elkaar verwijderde cyl indrische gelei
ders tot bruikbare resultaten kan leiden. Hiertoe werd een proef
opstell ing gebouwd welke bestond uit twee paar concentrische bui-
zen. De mantels hiervan waren 4,5 meter en de binnengeleiders 5
meter lang. De mantels werden aan een uiteinde met elkaar verbon-
den, terwijl aan de andere zijde de spanning werd gemeten, die
door de stroom in de binnengeleiders werd geinduceerd. De proef
opstelI ing is in figuur 111-1 weergegeven. Wanneer de mutuele
inductie-coëfficient per lengte-eenheid tussen de binnengeleider
en de bijbehorende mantel oeI ijk is aan L 1 1 resp. L 2 2' dan geldt- m g m ghier vanwege de symmetrie:
L = Lm1g1 m2g2
De mutuele inductie-coëfficienten per lengte-eenheid tussen de
binnengeleider en de mantel van de andere "kabel" noemen we resp.
Lm1g2
en Lm2g1
, uit symmetrie overwegingen kunnen we ook hier
schrijven:
L oi: Lm1g2 m2g1
De gemeten spanning moet dan, met 1=11=-1
2, gelijk zijn aan:
v = jw.2P.I.{Lm1g1 - L~1gZ}'
met: e= lengte van een mantel = 4,5 m.
Door het meten van de binnengeleiderstroom I en de gein
duceerde spanning V, is het dus mogel ijk om de factor {Lm1g1
- Lm1g2 }
..
-24-
te bepalen als functie van de hartafstand (5) tussen de 2 paral
lelle 'Ikabels 'l aangezien het volgende verband aanwezig is:
{L - L } =~mlgl mlg2~ ~.
Wanneer de dikte van de mantels wordt verwaarloosd vinden we
theoretisch voor deze factor:
l10 5{I 1 1 - L 1 2} = -2 . In -R 'm g m g TI U
met: Lmlgl
Lmlg2
{In 00
{In 00
- I n Ru}
- In 5 } •
Hierbij is 5 de hart op hart afstand tussen de twee "kabels '1 en
Ru is de buitenstraaI van de mantels.
In figuur 111-2 zijn zowel de experimenteel bepaalde als de theore
tisch gevonden waarden weergegeven. De conclusie die we hieraan
kunnen verbinden is dat de theoretisch bepaalde inductie coëffi
cienten ondanks de verschi llende verwaarlozingen die zijn gemaakt
zelfs blijven voldoen bij zeer korte afstanden tussen de beide
IIkabels 'l .
e=4.5 rDu..---- 1
u •...-----j---- ----- --- ------- --1----..,~----<r--L-___I----------- - ---- -- - - - -1-------'
u
v
Vm 2•w
- - - - - - - - - - - - - -- - - - - - i---...,'-----i-- - -- - - - - -~----- - --- -- - +-__....J
•
s
IN\J1
I
TRANSFORMATOR Yd-11
pr ima ir 380 V
secundair: 20 V 800 A
1 = 11 = - 12 = 400 A.
B.V. = buisvoltmeter
Binnengeleider holle cylinder van mess*ng
inwendige diameter 34 mm
uitwendige diameter 38 mm
Mantel holle cylinder van aluminium
inwendige diameter 2Ri = 94 mm
uitwendige dianeter 2Ru = 100 mm
FIGUUR 111-1
•
6
5
3
2
1
fig III - 2 elm1g1 - Lm1g2 ): Fes'
=---7
~--------10 H'm
/ ~
) V/
l.fo S- ln Ru2~
• gemeten
IN(j'\
I
25 50 75 --- s 100 cm
-27-
IV. ZELF- EN MUTUELE INDUCTIE-COEFFICIENTEN IN EEN SYSTEEM BESTAANDE
UIT n IN DE BODEM GELEGEN PARALLELLE CYLINDRISCHE GELEIDERS
De in hoofdstuk I1 berekende zelf- en mutuele' inductie-coëfficienten
zijn alleen bruikbaar om de spanning-stroom relaties voor de n gelei
ders op te stellen wanneer de som van de n geleiderstromen nul is.
Alleen dan verdwijnt de ongedefinieerde term Ill n 00 I1 uit deze relaties.
Dit impl iceert evenwel dat de gevonden coëfficienten niet gebruikt
kunnen worden bij problemen waarbij de aarde, waariD de n geleiders zijn
gelegen, als retourgeleider dienst doet.
Wanneer we echter de hiervoor bepaalde coëfficienten vergelijken11
met de zelf- en mutuele inductie-coëfficienten die Rüdenberg [2] vindt
Wdnneer wel rekening wordt gehouden met de mogel ijkheid dat de aarde
als retourgeleider kan optreden, dan bI ijkt dat deze uitdrukkingen ge
lijk worden aan de hiervoor afgeleide formules wanneer we stellen:
In 002In -YX
Y IV-1
met: j = /-1
X = J~~'W {..!.}m
W = 2nf
p = soortelijke weerstand van de
aardbodem {rlm} ;
Y = 1,7811 = constante van Euler.
Bij deze afleiding van Rüdenberg is verondersteld dat:
1<-
2Xén h < 1
2XIV-2a
IV-Zb
Veelal wordt gerefereerd aan de resultaten van Carson welke slechts
weinig verschillen met de resultaten die Rüdenberg via een simpeler
beschouwing vindt ...
-28-
Hierbij is I de afstand tussen de kabels en h de afstand van de kabels
tot het aardoppervlak,
TABEL IV - 1
waarden van 1 als functie van p en fX
~ =J"J2 p {m} SO Hz SOO Hz S kHz SO kHzX )low
p = 10 2 rl m 711 224 71 22,4
p = 10 3 rlm 2240 711 224 71
p = 104 rlm 7110 2240 711 224
p = lOS rlm 22400 7110 2240 711
~ Zo'an~ vo~d~an is aan de ongelijkheden IV-2a en IV-2b kunnen we dus
voor de zelf- en mutuele inductie-coëfficienten van cylindervormige
geleiders in de bodem schrijven:
a) Zelfinductie per meter van een massieve cyl indrische geleider
L..JJ
)10 {Y + ~ - In Ru};2n'
IV-3
b) Zelfinductie per meter van een dunwandige cylindrische gelei
der,
L, ,JJ
)10
2n {Y - In Ru} IV-4
c) Mutuele inductie per meter van 2 concentrische cyl indrische
geleiders,(Ru is de straal van de dunwandige mantel)
)10
2n {Y - In Ru} IV-S
d) Mutuele inductie per meter van 2 ver van elkaar verwijder
de geleiders (fjk
is de afstand tussen de assen van de ge
leiders j en k),
..
llO eL
J. k = -2 {Y - In. k}
TI JIV-6
Oe constante Y ill de vergelijkingen IV-3 t/m IV-6 is gegeven door
vergelijking IV-l .
..
-30-
V. DRIE PARALLELLE EENAD~RIGE KABELS IN DE AARDE GELEGEN.
In dit hoofdstuk beschouwen we een transmissie-circuit bestaande
uit 3 parallelle éénaderige kabels met een t.o.v. aarde geisoleerde
loodmantel. Deze kabels zijn niet voorzien gedacht van een bewapening
bestaande uit ferromagnetisch materiaal.
In eerste instantie gaat de belangsteIl ing uit naar de stromen in de
mantels en de spanningen van deze mantels t.o.v. aarde. De mantel
stromen zijn belangrijk om een inzicht te krijgen in de extra warmte
verliezen in de mantel; deze kunnen namel ijk van dien aard zijn dat
de transportcapaciteit van de kabel sterk verminderd moet worden,
omdat een gegeven maximale geleidertemperatuur niet mag worden over
sr.hreden. De spanning van de mantel t.o.v. aarde mag niet zo hoog
zijn dat de mantel isolatie electrisch te zwaar wordt belast.
Dat er mantelstromen gaan vloeien is te verwachten en wel om de vol
gende redenen:
a) uit veil igheidsoverwegingen moeten de mantels aan het
begin en het einde van een traject worden geaard,
b) in de mantels worden spanningen geinduceerd door de
aanwezigheid van de mutuele koppeling met de stroomvoe
rende binnengeleiders,
c) er bestaat uiteraard een capacitieve koppeling tussen
de mantels en de binnengeleiders.
De capacitieve stromen zullen we voorlopig buiten beschouwing laten
omdat zal blijken dat deze een betrekkeI ijk kleine bijdrage leveren
in de situaties zoals die hier bekeken gaan worden.
V-a. DRIE PARALLELLE NIET GETRANSPONEERDE LOODMANTELKABELS
Het transmissie-circuit bestaat uit 3 loodmantelkabels die over
een afstand € parallel gelegen zijn in een plat vlak evenwijdig aan
het aardoppervlak. De afstand tussen 2 naast elkaar gelegerl kabels
is S (zie fig V-l) ~
M.b.v. de zelf- en mutuele inductie-coëfficienten gegeven in hoofdstuk
IV kunnen de spanning-stroom relaties voor de binnengeleiders en de
mantels worden opgesteld.
Om de spanningen over de binnengeleiders en de stromen door deze binnen
geleiders aan te geven gebruiken we de hoofdletters U en I. Voor de
spanningen en stromen behorende bij de mantels gebruiken we de kleine
letters u en i. Zo ook duiden, bij de indices van de inductie-coëf
ficienten de hoofdletters op de binnengeleiders en de kleine letters
op de mantels van de kabels R,S en T.
De spanning-stroom relaties voor de binnengeleiders en de mantels kun-
nen in het algemeen geschreven worden als het product van een sym
metrische impedantiematrix met een stroomvector. Omwi Ile van de duidel ijk
heid zijn in de onderstaande vergel ijking de onderdiagonaal~coëffi
cienten van deze symmetrische impedantiematrix weggelaten.
_ I tot
I .i I I
~ S ~. S ../
1IR tiR
.. tig v- 1
URR + pL
RR pL RS pL RT pL RrpL Rs ~LRt IR
U R + pLSS plST pL Sr ~i.Ss pL
St ISs
UT R + pLTT pLTr pLTs
pLTt IT
= •uR
r + pL pL rs pL rt i Rrr
Us r + pL pL s t iSss
uT r + pLtt i Tl...
met: p j .w óf óp =
ót
Wanneer we aannemen dat de mantels een verwaarloosbare wanddikte
bezitten mogen we stellen dat
LRR].10
{Y - d 1 H/m,LSS LTT
- ln-+-}2rr 2 4
L L L LRr LSsLTt
].10In Ru}= -{V -
rr ss tt 2rrH/m,
LTr
].10
2rr {Y - In 2S} H/m,
..
met: L.. = L.. = inductie coëfficient vanIJ J I
de geleiders i en j,
d = diameter van de binnengeleider,
Ru straal van de mantel,
R = ohmse weerstand van de
binnengeleider per meter;
r = ohmse weerstand van de man-
tel per meter .
-33-
Na enig rangschikken kunnen de zes hierboven genoemde spanning-stroom
relaties ook als volgt geschreven worden:
UR = {(R ... A) IR + B. iR - C. (I T + i T) + I tot' D} ~ V-a-l
Us {(R + A)I S + B. iS + I . D} € V-a-2tot
Ut {(R + A) IT + B. iT - C. (I R + i R) + Itot·D}e V-a-3
uR = { (r + B) i R + B.I R - C. ( 1T + iT) + Itot·D}e V-a-4
Us {(r + B) iS + B.I S + I . D}.e V-a-5tot
\/-a-6
Hierbij zijn de nog onbekende symbolen als volgt gedefinieerd:
A j .w.Ilo
{In ~ .!.} Q/m V-a-7= +27T d 4
B j .w.Ilo
In S= 21r Q/m V-a-8Ru
C j .w.Ilo
In 2 Q/m V-a-9= , 27T
D =-j.w.Ilo
In S j .w. Y27T +
2 -7 + j .w •Ilo 2 Q/m, V-a-l0= 7T . f. 10 In --27T YXS
1IR IS IT + i R + iS iT' V-a-lltot = + + +
Het voordeel V3n deze schrijfwijze is gelegen in het feit dat het
effect van de stroom door de aarde (I ) duidelijk is gescheidentot
van de overige termen. De aardstroom induceert in alle geleiders dezelf-
de spanning per meter nl.:
1 • D •tot
..
-34-
De hierboven gegeven spanning-stroom relaties vormen de basis van de
hierna volgende beschouwingen, betreffende het statisch~ gedrag van
een kabel-transmissie systeem alsook bij de behandel ing van het dy
namische gedrag. In het laatste geval wordt de factor jw vervangen6
door de Laplace-operator: p = 6t
V-b DRIE PARALLELLE SYMMETRISCHE LOODMANTELKABELS.
Zoals uit de spanning-stroom relaties V-a-l L/m V-a-6 bI ijkt zijn
de drie kabels in electrisch opzicht niet aan elkaar gelijk. Wan-
neer de kabelsectie geen onbelangrijk onderdeel is van het totale trans
missie-systeem waarin het zich bevindt, dan kan deze asymmetrie de
bron zijn van een invers draaistroomsysteem [6]. Het ontstaan van een
invers stroomstelsel zal men zoveel mogelijk trachten te vermijden,
vooral wanneer dit inverse stelsel continu aanwezig is. Een invers
draaistroomstelsel heeft namelijk tot gevolg dat in de rotoren van
generatoren een extra verwarming van de demperwikkeling zal op
treden. In de rege I za I men dan ook vee I zorg bes teden om het trans
missie-en distributiesysteem zo symmetrisch mogelijk te houden. In
het geval van de hiervoor genoemde paral lelIe kabels kan men dit be
reiken op twee verschi I lende manieren t.w.,
a) De kabels op gelijke afstand van elkaar leggen zoals in
figuur V-2-a is weergegeven,
b) De kabels in hun geheel cyclisch te verwisselen zoals dat
is aangegeven in figuur V-2-b.
Wanneer de symmetrie wordt verkregen op de onder a) genoemde manier
dan zijn de spanning-stroom relaties voor de zes geleiders dezelfde
als genoemd onder de vergelijki~gen V-a-l t/m V-a-6, met dien verstande
dat de constante C nul wordt.
Wanneer de onder b) genoemde manier is toegepast dan is op eenvoudige
wijze m.b.v. de vergelijkingen V-a-l t/m V-a-6 af te leiden dat de
spanning-stroom relaties zijn zoals die gegeven zijn onder vergelijking
V-b-l t/m V-b-6.
..
tig V-2-b
tig V-2-a
."..!epI
.;..p
kabel R
kabe l S
iIj-
s
S
_.l._.__c:==Ir-----k-a-b-e-l-T---J
--t--
u = { (R + A) . IR + B. i R - ('T + iT
+ IS + • ) C I .D}.3t V-b-lR IS ·3 + tot
Us { (R + A) . IS + B.is
- (I R + iR
+ IT
+ • ) C 1 .D}.3e; V-b-2I T ·3 + tot
U = {(R+A).IT
+ B. iT (I S + is + IR + • ) C I .D}.3P; V-b-3
T IR ·3 + tot
{(r + B).iR
+ B.IR
(IT
+ iT
+ IS + • ) C I .D}.3€; v-b-4u = IS ·3 +R tot
{(r + B) . is + B. IS - (I R + . + IT
+ • ) C I .D}.3~; V-b-5Us = IR I T ·3 + tot
{(r + B) .iT
+ B. IT
- (I S + is + IR +.) C I .D}.3P; V-b-6u = IR • ~T tot
Wanneer we bedenken dat:
dan kunnen we de vergelijkingen V-b1 t/m V-b-6 nog vereenvoudigen tot
de volgende gedaante:
UR { (R + A) . IR + iR·B + (I R • ) C (0 - }) . I }. 3~ V-b-7+ IR .} + tot
Us { (R + A) . ! S + iS·B + (I S + • ) C (0 - }) . I } .3 F V-b-8= IS .3' + tot
UT { (R + A) . IT + irB + (I T + • ) C (0 - }) . Itot} . 3 f V-b-9= I T '"3 +
{(r + B).i R + IR·B + (! R + • ) C (0 - }) . I tot}. 3 f V-b-10uR IR .} +
{(r + B).i S + IS·B + (I S + • ) C (0 - }) . Itot}. 3e V-b-11Us = IS·} +
{(r + B).iT + 'T· B + (I T + • ) C (0 - }) . I tot}. 3P V-b-12uT I T .} +
Voor de verklaring van de gebruikte symbolen zie hoofdstuk V~a (pag. 33).
We vragen ons nu af hoe groot de stromen door de mantels zijn wan
neer de uiteinden van de mantels aan beide zijden van de kabel sec
tie zeer sol ide zijn geaard, en er door de binnengeleiders een syn
chroon stroomstelsel vloeit.
Omdat de uiteinden van de mantels sol ide zijn geaard mogen we stellen
dat:
en omdat
11
. a,
mogen we schrijven
-37-
Oe spannings-stroom relaties voor de drie mantels gaan dan over in:
,...f.)u =0= r. i R + ( I1 + i R) (B + j) + (i R + i + iT) (0 V-b-13R s 3
r. iS +2
iS) (B + .f.) (i R iS + iT
) (0 .f.) V-b-14u =0= (a I1 + + +S 3 3
r. iT
+ (a. I1 i T) (Bc
(i R + iS + iT) (0 - .f.)u =0= + + -) + . V-b-15T 3 3
Uit bovenstaande vergelijkingen volgt dat de stromen in de mantels
eveneens een synchroon stelsel vormen want:
- I1i R a. iS
2 . iT
a r
BC + 1+-3
ofwel
- I1i R = r 3
j.W.110 In S.12 + 12n Ru
V-b-16
V-b-17
Het verband tussen de mantel-wanddikte en de diameter van de cyl
inder-wand blijkt voor loodmantelkabels bij benadering te voldoen aan
de vergel ijking: [])
t o,o85.Ru,
met: Ru de straal van de mantel {cm},
t = de dikte van de mantel {cm}.
Voor de weerstand per meter van de mantel vinden we daarmee:
{Qm}. V-b-18
Wanneer vergel ijking V-b-18 gesubstitueerd wordt in vergelijking V-b-17
is de verhouding van de mantel stroom en de binnengeleiderstroom uitge
drukt in de straal van de mantelcyl inder en de afstand tussen twee na-
..
burige kabels (5). In figuur V-3 is deze verhouding weergegeven als
functie van de diameter met de afstand 5 als parameter.
Uit deze figuur bI ijkt dat de verhouding I~I groter wordt naarmate
de diameter van en de afstand tussen de k1bels toenemen. Naarmate
het via de kabels te transporteren vermogen stijgt zullen zowel de
mantelbuitendiameter als de afstand tussen de kabels groter moeten wor
den.
l ...-----,r----,....------,------r----T"----
I:~ I.8 t---------,I-------t--------l-------l~~~~:____J___,.,;tIl!!!!!::::.:....-.--__1
.6t-----+-----+----*-~~L---+________,~"""-----_I__---_I
."t------+-----+-~~~-~----_+_----_+----......J
.2t------+---/:'h'~~----_+_-----+__----_I__---_I
2.5 5 7.5 10 12.5 cm
Buitendiameter van de mantel = 2.Ru
tig v- 3
De toename van de diameter spreekt zonder meer voor zichzelf. de ver
groting van de afstand 5 is noodzakelijk om een betere warmteafvoer
van de kabels naar de omgeving te bewerkstelligen. Het zal wel duidelijk
zijn dat bij het opvoeren van de transportcapaciteit van de kabels
er een ogenbl ik moet komen waarop de stroom door de mantels een zoda-
nige waarde bereikt, dat de verliezen in de mantels ten gevolge van
deze stroom de belastbaarneid van de kabels erg nadelig gaan bein
vloeden. Men is daarom verpl icht te zoeken naar methoden die de mantel
stromen verkleinen maar daarentegen wel de mogelijkheid openlaten
om de mantels op regelmatige afstanden te aarden. Zoals hierna
zal blijken geeft de toepassing van mantel- en binnengeleiderkrui
singen een oplossing voor dit probleem.
-40-
VI. MANTEL- EN BINNENGELEIDERKRUISINGEN
Wanneer we uitgaan van loodmantelkabels, die in een plat vlak, op een
afstand S parallel aan elkaar I iggen en daarbij aannemen, dat de man
tels stroomloos zijn en de stromen door de binnengeleiders een syn
chroon stelsel vormen, d.w.z.,
met: a =
I 1,
( .21T)exp JT
dan worden in de mantels over een lengte Pde volgende spanningen ge
induceerd, (zie vergel ijkingen V-a-4, V-a-5 en V-a-6)
VI-l
VI-2
uR I1. (B - aC) . €
11.a2 .B. IUs = =
uT = 11
. (aB - C) . e=
II we /o (/ 1 /2 ' ~) .'I .~. 3. n + J. I n Ru '
2 lloW ~, Sa • 11 .Z'TI' J • I n RU
II W~a I 0 (-/3 In /2 + J·.ln s/2), VI-3. 1·--z:rr·· Ru
Deze drie spanningen opgeteld levert:
ofwe I :
VI-4
Stel dus dat we in een hoofdsectie met een lengte 32 en bestaande
uit 3 paral lelIe kabels de mantels opsplitsen in 3 subsecties dan
ontstaan 9 mantels met een lengte P. (MR1
, MR2 , MR3
, MS1
' etc.)
Deze mantels kunnen zodanig met elkaar verbonden worden dat 3 sym
metrische mantel-circuits ontstaan die elk 1/3 deel van de oor
spronkel ijke mantels MR
, MS
en MT
bevatten. De geinduceerde spanning
over een lengte 31 is voor de drie nieuw ontstane mantel-circuits
gelijk en bedraagt:
..
-41-
Zie 0 , ]..10 IJ I Z 2UR + Us + UT = a . l' .t = J.w· Z1f ·r..·'l· n .a. VI-5
Aangezien de geinduceerde spanningen in de drie mantel-circuits ge
lijk zijn kunnen de uiteinden hiervan met elkadr verbonden worden
zonder dat er hinderlijke mantelstromen gaan vloeien. Wanneer we
echter beide uiteinden van de mantel-circuits met aarde verbinden
zullen er wel mantelstromen gaan vloeien, maar zoals we hierna zul
len zien zijn deze stromen veel kleiner dan de mantelstromen die
optraden in het geval dat er geen kruisverbindingen waren toegepast.
Om te voorkomen dat het aantal indices van spanningen en stromen
de vergel ijkingen onleesbaar maken spreken we af wat de van hieraf
gebruikte symbolen voorstellen.
Om aan te duiden dat een mantelcircuit uit meerdere delen bestaat
s ch rij ven we:
MR = MR1 + MSZ + MT3 ; VI-6-a
MS = MS1 + MTZ + MR3
, VI-6-b
MT = Mn + MRZ + MS3
; VI-6-c
Voor de spanningen geinduceerd in de mantel-circuits MR' MS en MTkunnen we noteren:
VI-7-a
VI-7-b
VI-7-c
Het verband tussen de stromen door de mantels van de subsecties en
de samengestelde mantel-circuits is als volgt:
..
figuur VI-1
----- uR1
--........- i R1
r=:"':::.-(==t:.=.:~~-:---" - U- - - - - -:.- - -U- - - - - - ...- - LJ;' - - - - -I-J-"1- R-4 - --+---1- - - - - - - - R.2- - --1----1- - -- - - -"+ - - --
\-----------l~iR3
I,J::N
I
I-_..-iS1
I - uS2 I · uSJ
_--4- - - - - - -- - tt - - -- - --1--:"'--1- - -- - - - - -- -u-:- -- - - -+----1- - - - - --- tj- - - - -- - -\--'--_1---- - --~- - - - _S.l_ _ _ _ _ ~ ~2_ __ _ _ "":.. S_3 L_r--I
I
L-R
UR( u R
m777T.77--- IIS
L-S
.. -I;
_I }Ii tot
! '" "~l
j
esubsectie 3
3. e .hoofdsectie
I - - - -_- - - TI - - - - +----11- - - - - - - -0: - - - - -1----1- - - - - - - 0': - - - - - -.1=::Jf---1"'---/---------"}:.:l--- ---=:: ----T-2___ --=-==-=-I..3- -- --! . . ! . I .!.l- ----1-- I Tl I -----1,..... I T2 ! ---.- I T3I i I!- e .. i e • i·! subsectie 1 subsectie 2
!I"""
-43-
i R = i R1 = i S2 i 13;
iS = iS 1 iT2 = iR3
;
i T = in i R2 i S3;
VI-8-a
VI-8-b
v/-8-c
Voor de binnengeleiders kunnen we overeenkomstige relaties tussen
de spanningen en stromen van hoofd- en subsecties opschrijven:
IR IR 1 = IR2 'R3; VI-lO-a
IS = IS1 = IS2 I
S3; VJ-l0-b
I = In = 1T2 = 113
; VI-10-cT
De spanning-stroom relaties voor de binnengeleiders en de mantel
circuits van een hoofdsectie worden gevonden door eerst de relaties
op te schrijven voor de 3 subsecties (zie hiervoor vergelijkingen V-a-1
t/m V-a-6), en hierin de mantel- en binnengeleiderstromen te vervan
gen door iR
, iS' iT
, IR' IS en IT
m.b.v. de vergelijkingen VI-8 en
VI-l0. Na het sommeren van deze vergelijkingen op de manier zoals
die is aangegeven door de vergelijkingen VI-7 en VI-9 vinden we de
spanning-stroom relaties voor een hoofdsectie. Deze luiden als volgt:
UR = O(R + A)IR
+ (B -C) (iR +iS
+iT
) - 3I C + 3.1 .Dt.e; V1-11T tot
Us = o (R +. A)IS
+ B. (iR +iS +iT
) + 3.1 .D}.P; VI-12tot
UT = O(R + A)IT
+ (B -C) (iR +iS
+iT
) - 3I C +3.1 t.DLf; VI-UR to
-44-
uR = {3(r+B)i R + B(IR+IS+IT) - e(IT+iT+IR+iS) + 3. l tot ·0}.P; vl-14
Us {3(r+B)iS + B(IR+IS+.IT) - e(IT+iT+I R+iR) + 3. I tot' O} • e; VI-15
uT = {3(r+B)iT + B(IR+IS+IT) - e(I +i +I +i ) + 3.1 .O}.e; VI-16T s R R tot
met: A
B
e
o
I tot =
.).Jo 2Sj .w'2lT· (In d + i,);
,).Jo Sj.w.
2lT• ln-;Ru
-7 2 ,).Jo 210 .lT.f + j .w· 2lT • In --S
. YX
R = ohmse weerstand van de binnengeleider
per meter;
r = ohmse weerstand van de mantel per meter.
Voor het geval de stromen door de binnengeleiders een synchroon stroom
stelsel vormen kunnen we voor de spanning-stroom relaties van de man
tel-ei rcui ts schrijven:
UI = {3(r + B)i~ + e(a 2Il + i 1) + Il 00- e)}. P; VI-17R R tot
uI {3(r + B)i~ + e(a 2Il + i 1) + Il 00- e)} . e; VI-18s s tot
uI = {3(r + B)ii + e(a2Il + ii) + Il 00 - e)}. f, VI-19T tot '
met: Il = 'I + i 1 + i 1tot "R S T'
Indien de binnengeleiderstromen een invers stroomstelsel vormen
gaan de spanning-stroom relaties VI-14 t/m VI-16 over in de volgende
vergel ijkingen: ..
-45-
2 {3(r + B) i~ + C(aI2 + '2 ) + I2 (30 - C)}. e; VI-20UR 'Z.-R tot
u2 {3(r + B)i~ + C(aI2 + i~) + I2 (30 - C)}.2; VI-21S tot
u2 = {3(r + B)i~ + C(aI2 + i~) + I2 (30 - C)}. e· VI-22T tot '
met: I 2 = '2 + i 2 '2tot 'Z.-R S + 'Z.-T·
Indien een homopolair stroomstelsel (IR = IS = I T = IO) door de
binnengeleiders vloeit gaan de spanning-stroom relaties voor de
mantel-circuits over in:
uO = {3(r + B)i~ + 3BIO + C(IO + ia) + IO (30- c)} . e; VI-23R R tot
uO {3(r + B)i~ + 3BIo + C(IO + ia) + IO (30- n VI-24s s totc)}.,;
uO {3(r + B)i~ + 3BIo + C(IO + ia) + IO (30.- cn of; VI-25T T tot
met: IO = 3Io + '0 + iO '0tot 'Z.-R S +'Z.-r
OPMERKING:
Oe hoge indices 1,2 en ° duiden hier respectivel ijk op het synchro
n~ het inverse en het homopolaire stelsel. Zo is u~ de spanning over
het mantel-circuit MS ten gevolge van een homopolair stroomstelsel
door de binnengeleiders. Het is niet zo dat de mantel-grootheden)
die het gevolg zijn van een bepaald stroomstelsel in de binnengelei
ers ook een dergel ijk stroomstelsel vormen. Al thans niet voor de
normale en inverse stroomstelsels in de binnengeleiders .
..
•
-46-
VI.a BEREKENING VAN DE MANTELSPANNINGEN EN MANTELSTROMEN.
Indien de mantelcircuits aan beide uiteinden wordén geaard en bedra
gen de aardverspreidingsweerstanden aan het begin en het einde van
de mantel-circuits resp. Raa en Rab, dan kan men voor de spanningen
in de vergelijkingen VI-17 t/m VI-25 ook schrijven:
- Ra (i j + ij + ij) .. R ST'
met: j 1, 2 en 0,
Ra = Raa + Rab.
VI-26
M.b.v. deze vergelijking VI-26 en de vergelijkingen VI-17 t/m VI-25
is het mogel ijk om de mantelstromen te berekenen wann8er de stromen
in de binnengeleiders bekend zijn. Indien deze mantelstromen op deze
manier berekend worden is het weer mogelijk om de spanningsval per
meter in de mantels te berekenen m.b.v. de vergelijkingen V-a-4
V-a-5 en V-a-6, door hierin de bekende mantelstromen en binne~gelei
derstromen te substitueren. M.b.v. vergelijking VI-26 en de bere
kende mantelstromen kan de spanning over de totale aardverspreidings
weerstand worden berekend.
Al deze berekeningen zijn uitgevoerd voor drie verschil lende situaties
nl. voor de gevallen dat er:
a) een synchroon stroomstelsel,
b) een invers stroomstelsel en
c) een homopolair stroomstelsel
door de binnengeleiders vloeit.
De resultaten hiervan zijn weergegeven in tabel VI-1
Voor twee uiterste gevallen zijn deze berekeningen herhaald en wel
voor het geval dat de som van de a?rdverspreidingsweerstanden het
allergrootste gedeelte van de mantel-circuit-impedantie uitmaakt
en voor de situatie waarbij deze som een verwaarloosbaar klein ge
deelte hiervan uitmaakt .
..Het eerste geval doet zich voor bij korte geaarde kabelsecties, waar-
-47-
bij kort hier wi I zeggen:
30 9. Ra
• ~ < < -::----"~~-=-3.z + C + 3.r ' VI-27
met: 3.2 = de lengte van een hoofdsectie,
z = B + 3.D - C.
Bovendien doet een dergelijke situatie zich ook voor wanneer een
uiteinde van de mantel-circuits niet is geaard. (Maar de mantels onderl ing
wel met elkaar zijn doorverbonden).
Wanneer een kabelverbinding is uitgerust met zeer goede aardverbin
dingen, bijv. een kabelverbinding tussen twee goed geaarde schakel
stations, kan men uitgaan van vArwaarloosbaar kleine aardversprei
dingsweerstanden, zodat we dan met de tweede situatie hebben te ma
ken.
IR_._ .. _ .. - ... -.- .. -. - ..
I_._._._--._.-._------.-._._.-._,-
Raa Rab
fig VI- 2
BINNENGZLEIDERSTROMEN SYNCHROON STELSEL
I l = IR = aIS = a2I T
INVERS STELSEL
I 2 ~ I 2I IR=a S=a T
HOMOPOLAIR STELSEL
IO = I = I = IR S T
Mantelstromen:
i =i =i =R S T -a.C.I2
i2
= :3 (1'* + z) + C
t--------------+--~----------+_------------+_------------,Span~ingsva] per meter.
in;
{ B 2C (r + z). a . C }I2- a - 3(rw + z) + C
_ (r +.z + C) .C}Il3(r- + z) + C a {B -
I.t=""co
I
{a2B _ C _ (r + z) .a.C }I23 (r· + z) + C
23Ra. a . C I l
3 (r· + z) + C·
Spanning over de totale
aardverspreidingsweer
stand: uR + Us + uT ='----------__-1- -+- ..1-- _
-met: z = B + 3D - C en r· = r + Ra/e
TABEL VI - 1
BINNENGELEIDERSTROMEN
Ra » (3z + 3r + C) • 1 SYNCHROON STELSEL INVERS STELSEL HOMOPOLAIR STELSEL3 2 2Il = I = aI = a I
TI2 = I = a IS = aIT
IO = I = I = IR S - R .. R S T
mantelstromen: *
i R = iS = i T = i 1 :0::: 0 i 2 = 0 iO = 0
Spal'\l1ingsval per meter
in:
MR1' MR2 en MR3
(B - aC),Il (B - lc) .I2 z .IO
MS1' MS2 ' en MS3
a2B.Il aB.I2 z .IO
MT1 ' MT2 en MT3
(aB C) .I1 2 C) .I2 z .IO- (a B -
Spanning over de totale
aardverspreidingsweer- 2 F 1 aC. e.I2 3z. e.IOa C. .Istand: uR ~ Us + uT =
TABEL VI - 2
Als tabel VI-1 maar voor het speciale geval dat de som van de
aardverspreidingsweerstand een zeer grote waarde aanneemt
IJ:I..D
I
.-BINNENGELEIDERSTROMEN
Ra = Raa + Rab = 0 SYNCHROON STELSEL INVERS STELSEL HOMOPOLAIR STELSEL
Il = I = aI2 I2 = I 2 aIT
Q= a I T = a IS =R S R I = I = I = Imantelstromen:
R S T
iS = i T = i R2
aC -(3z + C)= i 1= - a CC.Il i 2 -
c'I2 i Q C.IQ
3 (r + z) = 3 (r + z) = 3 (r + z)+ + +
spanningsval per meter
in:, ••• •
(B 2 C) 1 2 C) 2 - rC IQMR1' M
R2en M
R3- aC - a ·3· I (B - a C - a'3 .I 3 (r + z) + C
(a2
B 2 C) 1 • C) 2 • + 2rC ••MS1' M
S2en M
S3- a '3 .I (aB - a'3 .I 3 (r + z)
IQ+ C
2 C) 1 •(a
2B C) 2 • - rC ••
MTl ' MT2
en Mn (aB - C - a '3 .I - C - a'3 .I 3 Cr + z)IQ
+ C
Spanning over de tota Ie
aardverspreidingsweer- 0 0 0
stand:u R + Us + U =T
I\J'1Cl
I
TABEL VI - 3
Als tabel VI-l maar nu voor het speciale geval dat Ra = Raa + Rab = 0
• Hier bij is aangenomen dat C « z
•• Deze termen zijn te verwaarlozen t.o.v. de spanningsval ·t.g.v. de synchone en inverse stroomstelsels omdat:
a) I2 > IQ, I 1 > IQ
b) rC « B3(r + z) + C
-51-
De resultaten van de. berekeningen voor deze twee gevallen zijn weer
gegeven in de tabellen VI-2 en VI-3.
M.b.v. de tabellen VI-1, VI-2 en VI-3 is het nu mogelijk om de spanning
van de mantels t.o.v. aarde te bepalen, omdat m.b.v. de theorie der
symmetrische componenten elke voorkomende stroomconfiguratie in de bin
nengeleiders te ontbinden is in de drie genoemde symmetrische stroom
stelsels, waarvoor m.b.v. de genoemde tabellen alle interessante span
ningen en stromen in de mantelcircuits zijn te berekenen. Door sommatie
van de gevonden spannings- en stroomcomponenten, wat toegestaan is om
dat het hier een I ineair systeem betreft, vinden we de spanningen en
stromen t.g.v. de oorspronkelijke stroomconfiguratie in de binnengelei
ders .
SLECHTE AARDING VAN HET MANTEL-CIRCUIT.
Als voorbeeld van de eerste categorie nemen we een kabel sectie bestaande
uit drie subsecties, waarvoor geldt dat de aardverspreidingsweerstanden
aan het begin en het einde van de mantel-circuits aan elkaar gelijk
zijn, maar zeer hoge waarden ~ebben. In deze situatie willen we de
spanning van de mantels t.o.v. aarde berekenen, in het geval dat achter
de kabelsectie een twee-fasen aardsluiting optreedt. Deze storing is
daarom gekozen, omdat bij dit soort storingen zowel een groot synchroon
maar vooral ook een groot homopolair stroomstelsel door de binnenge
leiders vloeit. De aanwezigheid van een homopolair stroomstelsel is na
delig omdat dit de grootste spanningsval in de mantels tot gevolg heeft,
aangezien in het algemeen gesteld mag worden dat:
Iz.II > /a.B.II· VI-z8
De homopolaire' stromen zijn dan ook het gevaa.-lijkst voor de isolatie
tussen de mantels en aarde.
De stromen in de mantels zijn verwaarloosbaar klein zoals tabel VI-2
ons Ieert.
Indien we aannemen dat gesteld mag worden Zl = Z2 = ZO' en dat de span-
..
-52-
ning op de R-fasegeleider voor de storing en op de plaats van de stro
ring e f bedraagt dan vinden we voor de foutstromen [8]:
VI-29
efmet: I
k3= z- = drie-fasen kortsluitstroom.
1
De symmetrische componenten van dit stroomstelsel zijn:
VI-30
Voor de spanningsval per meter in de mantels om de R, S en T geleider
vinden we m.b.v. tabel VI-2 resp.:
{2(B - aC) (B 2 I k3eR - - a C) - z~
3
{(2a2B - aB) -I
k3eS z}_·
3 '
2 I k3eT = {2 (aB - C) - (a B - C) - z }-3-;
VI-31-a
VJ-31-b
Voor de spanningen t.o.v. aarde aan het begin (a) en het einde (b) van
de mantel-circuits vinden we in het geval dat geldt Raa = Rab:
Vaa
Vab
2 I k3 D(2a C - aC - 3z) .-6-· t,
- Vaa.
VI-32-a
VI-32-b
Gaan we uit van bijvoorbeeld een kabelhoofdsectie met een lengte van
3 km (1 subsectie is een km lang: ~ = 1 km) bestaande uit drie paral
lelle hoogspanningskabels met een loodmanteldiameter 2Ru = 10 cm, ge
legen in een plat vlak op een onderl inge afstand S = 75 cm, dan vin-
den we voor de constanten B, C,en z, wanneer we als bedrijf~frequentie 50 Hz
nemen en verond~rstellen dat p = p = 1000 ~m:aarde a
-53-
B. ).Jo S j.
-4= J .w•21T' 1n Ru 1,7.10 nim
).J -4• 0 1 ? j .C = J.w. 21T . n = 0,4.10 nim ,
2 7 .).Jo Sz = B - C + 3D = 3n f.l0- + J.w· 21T {ln 2Ru +
= 1,49 10-4 + j 16,65 10-4 nim.
f i 9 VI- 3
23ln -}.YXS '
Wanneer deze waarden worden gesubstitueerd in de vergelijkingen VI-31
en VI-32 dan vinden we:
(- 0, 15 j-4
e = - 4,92).10 Ik3R
0,97 j-4
eS = - 5,83).10 Ik3
eT (- j-4
= 1,97 - 5,97).10 Ik3
(- 0,57 j-1
Vaa = 8 , 37) . 10 I k3
Vab - Vaa...
Vlm
Vlm
Vlm;
V
-54-
Voor de spanningen t.O.V. aarde op de plaatsen van de mantel kruisingen
vinden 'we:
Vaa - e e= (- 0,42 - j -1VAR = 3,45) .10 I
k3VR
Vaa - e f = (- 1 ,53 - j -1VAS S 2,54).10 Ik3
V
VAT Vaa - eT ~ 1 ,41 - j -12,40) . 10 I k3 V
Vab + eS f + j -1VBR = 1,53 2,54).10 I
k3V
Vab + eTe (- 1 ,41 + j -1VBS = 2 ,40) • 10 I
k3V
eRe 0,42 + j -1VBT
= Vab + = 3,45) .10 Ik3
V
In figuur VI-4 zi jn de spanningen van de mantels Lo.v. aarde gegeven,
waarbij aangenomen is dat Ik3
1 ampère bedraagt.
Uit deze figuur zien we dat in dit speciale geval de totale spanning
over de aardverspreidingsweerstanden kan oplopen tot ca. 1,6 V per am
père drie-fasen kortsluitstroom. In het ongunstige geval dat één aarding
veel slechter is dan de andere kan deze spanning volledig over de
grootste aardverspreidingsweerstand komen te staan. Afhankel ijk van de
te verwachten drie-fasen kortsluitstroom kan deze spanning oplopen tot
waarden die in de buurt liggen van 100 kV. Dit zijn uiteraard ontoelaat
bare spanningen en men zal dan ook alles in het werk stellen om deze te
rug te brengen tot acceptabe Ie waa rden·. Een man i er i s he t ve rIagen
van de aardverspreidingsweerstanden Raa en Rab, maar dat men tot zeer
lage weerstandswaarden moet gaan bI ijkt wel uit figuur vr5. Hierin is
uitgezet de spanning over de totale aardverspreidingsweerstand Ra
IVaa - Vabl. Deze grafiek is bepaald m.b.v. een model, waarmee de in
het rekenvoorbeeld beschreven kabel sectie is nagebootst. Hierover meer
in hoofdstuk VI I I ...
.,.,-.laCC
"'"<-
IJ:-.
lil A 3:- 0 OJC "'" :::l-. rt rtrt lil ro-. - -:::l C lilla -. "'0
rt OJ0 lil :::l
"'0 rt :::lrt "'" -"'" 0 :::lro 0 laro :3 ro0... :::lrt
_.:::l rt I
rt V1C :r 0 V1lil ro Ilil rt <ro:::l la
ro OJ0... < OJro OJ "'"- 0...-n roOJ rolil "'" "'0ro ro.:l ro "'"ro(/) :::l OJ
:3rt "'0
-i ~ ro'ro "'"ro ro ro:::l I
-n 0...OJ OJ "'"OJ lil -."'" ro ro0... :::l Iro -n
A OJ0 lil
"'" rort :::l
I
,,'/
//
Volt per ampère I k3
,./
//
/,/
,/
benaderde mantelspanningen t.o.V.
aarde in het geval Raa=O en Rab=oo
.....~'.:-.,
,.~ ......'.:-. ',,' ......
,/ ..~......
3 10- 11 / "':':~:-~~ Raa = Rab ....~ 1/' ',;0.. ......... » ~
''lo......'.~~.
".,ee..
6 10-1~'~ 1,.,// I -(7 I
9 10-11 Raa = iy/I //.
//// I
12 10-1~ I 1/. //' I
15 10-1\, I I 7'//' I
a subsectie 1 AR subsectie 2 SR subsectie 3 b
AS Ss
AT ST
-56-
{ }
Ra="" --- --~- - -1- -Kr-"-v
~./
/-'./
",e.
cr~v
/'lZ"
VV
~
~V
/I I
.1 2 3 4 51 6 7 a 9 1 .12 2 3 4 5 6 7 8 9 1Ra = Raa + Rab .12
0.1o
2
cucu>
-0cu> 0.2
o>
l""'\.::L
hiQ)L
IQ)0..EcuL- 0.6Q)0..
.. . (z + r. + }) . eFiguur VI-5. IVaa - Vabj = f(Ra),
gegevens: Kabel: massieve koperen binnengeleider
loodmantel buitendiameter
wanddikte
soortelijke weerstand van de aarde Pa
lengte van een subsectie f
gS 40 mm
100 mm
5 mm
= 10 3 .l2m
10 3 m=
Uit figuur VI-5 bI ijkt dat men voor de beschouwde kabel moet eisen dat
de som van de aardverspreidingsweerstanden in de orde grootte van 0,1
0,5 .12 moet I iggen om de gevaarl ijke spanningen over de aardverspreidings
weerstanden en daarmee de spanning van de mantels t.O.v. aarde tot aan
vaa rdba re waa rden te rug te brengen .
In vele gevallen zal niet aan een dergelijk zware eis kunnen worden vol
daan zodat men dan moet overgaan tot het verkleinen van de subsectie
lengte. Het toepassen van overspanningsafleiders heeft hier geen zin ...
VI-a-2 GOEDE AARDING VAN HET MANTELCIRCUIT.
8eschouwen we nu de situatie waarbij de mantel-circuits zeer sol ide
zijn geaard, dan kunnen we, wanneer wederom wordt verondersteld dat
het verband tussen de weerstand van de loodmantel per meter (r) en
de diameter van de loodmantel (2Ru) gegeven is door vergelijking
V-b-18:
r = ~/m
'1 -2m.b.v ..ge tabel VI-3 zowel de verhouding \trl = \]71 als de verhou-
ding I~I berekenen als functie van de buitendiameter. Aangenomen althans.
dat de soortelijke weerstand van de aarde p en de bedrijfsfrequentiea
gegeven zijn . In de figuren VI-6 en VI-7 zijn deze functies
weergegeven. In de figuren VI-6-a-en VI-7-a zijn deze verhoudingen nogmaals
gegeven maar daarbij is de soortelijke weerstand van de aarde als
onafhankelijke variabele gekozen.
Uit de genoemde figuren blijkt duidelijk dat in situaties waarvoor geldt:
a) p > 10 2 ~m,a
b) de loodmanteldiameter is groter dan 6 cm,
c) de afstand tussen 2 naburige geleiders is kleiner
dan 2 meter,
d) de bedrijfsfrequentie is 50 à 60 Hz en
e) de invloed van de aardverspreidingsweerstanden is te
verwaarlozen,
gesteld kan worden dat de stromen in de mantels te verwaarlozen zijn
wanneer er door de binnengeleiders een synchroon en/of een invers
stroomstelsel vloeit en dat, wanneer er door de binnengeleiders een
homopolair stelsel vloeit, de mantelstromen vrijwel gelijk
maar tegengest~ld gericht zijn aan de homopolaire binnengeleider
s tromen .
Hiermee is bewezen dat door het toepassen van I'cross-bondings'l de mantel
stromen tijdens normaal bedrijf slechts een fractie bedragen van de
mantelstromen, die zouden optrèden wanneer geen mantel-kruisingen waren
toegepast.
Alvorens de mantel spanningen te berekenen ten gevolge van enkele storings-
-58-
10
8
6
2
x lÖ3
~
J~v---
!/ '1
I~I\Irl = = f(manteldiameter)
Pa = 1000 Qm
314-1
w = 5
ma ntel d i ame ter .
S=lm=O.6m=0.2m
Fig. VI-6
5 10 15 cm 20
10 ~--~~--+------+---+----I
8 I--------t-------"~+--~~---+----I
6r---------t----+----1-------t=~-~
Fig VI-6-a
t •
'1 . 2
IIrI = I~I = f(p)
2 t---------j 4iameter van de mantel: 0.1 m
.. w = 314-1
5
10
0.8
0.2
0.6
0.4
j ~~
5=0.2 5=1rr
J
I
li QIpL = f(manteldiameter)
Pa = 1000 ltm
314-1
Ui = 5
mantel diameter
Fig VI-7
5 10 15 20 cm
5 =0.2 m
Fig VI-7-a
10 ltm 10 S1010
5 = lm
5=0.2 m --...".,.. .---- .--......" ...- ...-~--
.-"'" _...-"""..,,'"
.... ....-........ 5 = 1 m
~........ ..... ~ ........./'" ///
1// ~
/'V ......
I~I = f (p )a
10 cm-diameter van de mantel
3.5 cm ---
11' = 314 5- I
Pa2 '3 1410
0.9
0.8
O. 7
0.6
-60-
gevallen kan hier opgemerkt worden dat de spanning geinduceerd door ho
mopolaire stromen te verwaarlozen is t.o.v. de spanningen geinduceerd
door een synchroon of invers stroomstelsel, aangezien gesteld mag worden
dat:
rC3(r + z) + C
« B. VI-33
Dit is zeker het geval wanneer aan de hiervoor genoemde voorwaarden
a t/m e is voldaan. Bovendien is in de praktijk de homopolaire compo
nent kleiner of gelijk aan de synchrone component van het stroomstelsel
door de binnengeleiders. In tegenstelling tot de situatie waarbij het
mantel-circuit slecht was geaard kan hier bij de berekening van de
mantelspanningen t.o.v. aarde de homopolaire stroomcomponent verwaar
loosd worden.
In het hierna volgende zal de spanning van de mantels t.o.v. aarde
dan ook bepaald worden in het geval van twee typen storingen achter
de kabelhoofdsectie t.w.:
a) een symmetrische drie-fasen kortsluiting en
b) een twee-fasen kortsluiting tussen de fasen T en S
zonder verbinding naar aarde.
We spreken hierbij weer af dat Zl = Zz en dat e f de spanning is op de
plaats van de storing en voor de storing van de fase R geleider.
Terwijl Ik3
de drie-fase kortsluitstroom voorstelt.
DE SYMMETRISCHE DRIE-FASEN KORTSLUITING.---------------------------------------
Bij dit soort storingen geldt:
ofwel uitgedrukt in symmetrische componenten:
o en IO = O.
Tabel VI-3 leert ons dat de spanningen over de verschillende mantels
-61-
ge I ijk zi jn aan:
eR' ~ = e. (B aC a2C VI-34-au R1= u R2 u R3
= - - -3-) .Ik3
eS' f = e. (a 2B}C VI-34-bu S1
= u S2= u
S3= - -3-) .Ik3
= uT2 = uT3 = eT' e= e. (aB}C VI-34-cuT1
- C - -3-) .Ik3 .
Wanneer we hetzelfde kabelcircuit beschouwen als hiervoor dan vinden
we voor deze spanningen:
(0,231
eT' f = (-1.59
+
-1j 0,78) .10 .I
k3;
-1j 1,20). 10 . I k3 .
In figuur VI-8-a zijn deze spanningen als vectoren weerge~even. Uit
deze figuur bI ijkt dat de maximale spanning tussen de mantels 0ptreedt
in de verbindingsmof, op de plaats van de cross-bonding, waar de man
tels van de twee buitenste kabels samen komen. Deze maximale spanning
bI ijk t te zij n :
VI-35
De maximale spanningen van de mantels t.o.v. aarde treden bij dit soort
storingen op, op de plaats van de cross-bondings, in de mantels van de
buitenste kabeis.
In figuur VI-8-b is weergegeven de effectieve waarde van de spanning
t.o.V. aarde an de mantels langs de kabel sectie ten gevolge van een
drie-fasen kortsluiting, waarbij is uitgegaan van: Ik3
= 1 ampère .
..
-62-
uR1 VBT=-VAR
,Ik3
1 d i v. = 0,06 V/A
/ ~~/
Al """""- US1
/VBS=-VATI
k3 I k3
Figuur VI-8-b
Figuur VI-8-a
~....M~? -j - /
.,0, 15 V/A /
/,
/'. , .~'. .... /
.Y~s.1/
IvBR.l.-,~..... /~.-... ;.>:::...... ~.0' ...-
~~'/// MT2 MR2· ....,.. ~~
o Og ",,",Jp \U>/ /~' ~ '.•v' '\.' / '.p ", '\
,7 / .... ~
~i' / .~". '\l
... / ". "I
0,Q3 .... / ...... "\..p/ .....~... /..../ ",
'.
f/ ..:,f/
subsectie subsectie 2 subsectie 3
Spanning van de mantels t.o.v. aarde t.g.v. een drie-fasen kortsluiting.
-63-
~~~:E~?~~_~Q~I?~~!I!~9_I~~?~~_Q~_E~?~~_~_~~_I_~Q~Qs~_~s~ê!~Q!~§
MET AARDE.---------
Wanneer deze situatie optreedt kan men voor de foutstromen in de
binnengeleiders schrijven:
I = 0 en I = - IR S T
ef-J' 1 13 - - -J' 1 13 T
'"2"' 'z - '2:' '~k3'
1
ofwel ontbonden in symmetrische componenten:
en IO =0.
M.b.v. tabel VI-3 vinden we dat voor de spanningsval over de mantels
bij dit soort storingen geschreven kan worden:
eR-f (a2
a)C. e.t.Ik3; VI-36-auR1 = uR2 uR3
= -
eS' e= (a 2 a)(B - }). e.~.Ik3; VI-36-buS1 = uS2 = uS3
-
Wanneer we weer uitgaan van de hiervoor genoemde kabelsectie dan
vinden we voor deze mantelspanningen:
0,23-1
VuR1 = 10 .Ik3
1,36-1
VUs 1 = 10 .Ik3
=-1.59-1
VuT1 10 .Ik3
VI-36-c
In figuur VI-9-a zIJn deze spanningen weergegeven als vectoren. uit
gaande van een drie-fasen kortsluitstroom van 1 ampère. De maximale
spanning tussen de mantels bedraagt in deze situatie. zoals uit de
figuur VI-9-a bi ijkt:
..
VI-37
-64-
Figuur VI-9-a
....un uR1 uS1- - -I
k3I
k3I
k3
1 cm = 0,03 V/A uR1 = - VAR = V8T
Us 1 = - VAS = V8R
uT 1 = - VAT';" V 8S
Figuur VI-9-b
0, 15 V/A
IVATMR/ v8s 1.......... ..... /..... '\..
~,vAsl .... '/...~........ /
.. .. .................. .. ...... -.
o nq .' /,
/ ,/ IV8R ".,.~,
/ ,.....// , ,
~,.'/./
/" •....~~0,03 ~.""/
//~'? A2 ", ,~ ....~// MT2', ,
\5'.;> ".'..//
.j'/ lt(,
MR3 -~~R' - IVARI IVBTI --./ --
subsectie subsectie 2 subsectie 3
Spanning van de mantels t.o.v. aarde t.g.v. een twee-fasen kortslui
tind zonder verbinding met aarde. (lk3 = 1 A).
-65-
In figuur VI-9-b zijn de effectieve waarden van de mantelspanningen t.o.V.
aarde gegeven weer uitgaande van een drie-fasen kortsluitstroom van
1 ampère.
Uit de voorbeeldenl
die hier behandeld zijn kan worden geconcludeerd dat
de spanningen van de mantels t.O.V. aarde het grootst zijn wanneer de
mantel-circuits slecht zijn geaard. De spanningen kunnen in dat geval
5 à 10 maal zo groot worden als de spanningen t.o.V. aarde in het ge
val de mantel-circuits wel zeer solide zijn gQaard.
T.a.v. de situatie wáarbij de mantel-circuits zeer goed geaard zijn
kan men stellen dat, wanneer de sluiting plaats vindt op een plaats
waar gesteld kan worden dat Zl = Z2 ' dan de drie-fasen kortsluiting
het gevaarlijkst is, aangezien in dat geval de hoogste spanning tussen
de mantels optreedt. Zie vergel ijkingen VI-35 en VI-37.
Ligt de kabel evenwel in de buurt van generatoren of motoren dan kan
het zijn dat Z2 < Zl' zodat daar een geisoleerde twee-fasen sluiting
gevaarl ijkere spanningen kan introduceren, omdat de kortsluitstromen
daar ter plaatse groter kunnen worden dan de waarden die hier bij een
dergel ijke storing zijn aangenomen.
-66-
VI I. DE SYNCHRONE, INVERSE EN HOMOPOLAIRE IMPEDANTIE
VAN EEN HOOGSPANNINGSKABEL-TRAC~
Tot nu toe hebben we ons hoofdzakel ijk bezig gehouden met de verschijn
selen in de mantels. Wanneer we echter kijken naar de spannings-stroom
relaties, die gelden voor de binnengeleiders over de lengte van een
hoofdsectie dan valt de orlgel ijke vorm op van deze drie vergel ijkingen
(zie de vergel ijkingen VI-ll, VI-12 en VI-13). Indien men de mantels op
de hiervoor beschreven wijze kruisel ings met elkaar verwisselt, dan zal
de hoofdsectie dus een asymmetrisch element in het transmissie-systeem
introduceren. Om eerder vermelde redenen is dit een onaanvaardbare toe
stand, wanneer de impedantie van een dergel ijk asymmetrisch transmissie
systeem niet te verwaarlozen is ten opzichte van de totale impedantre
van het circuit. Aan deze asymmetrie kan worden ontkomen wanneer men
in plaats van de mantels de binnengeleiders kruisel ings verwisselt.
Deze manier van kruisen staat in engeland bekend onder de naam I'Kirke
Shearing cross-bonding". Het voordeel hi~rvan is dat op deze manier
dus bereikt wordt dat tijdens normaal bedrijf de invloed van de mantels
kan worden verwaarloosd, omdat daarin afgezien van de capacitieve laad
stromen geen stromen vloeien. Bij het toepassen van deze methode is men
echter gedwongen om een groter oppervlak te reserveren voor het aanbren
gen van de kruisverbindingen. Wat soms bij het toepassen van hoogspan
ningskabels als een nadeel kan worden gezien. Een ander nadeel is gele
gen in het feit dat de mantel-circuits nu niet meer symmetrisch zijn,
wat al leen tot uiting komt wanneer door de binnengeleiders een homopo
lair stroomstelsel vloeit. Dit laatste nadeel is er de oorzaak van dat
bij de berekening van de mantelspanningen en -stromen is uitgegaan van
de methode waarbij de mantels werden verwisseld. Zoals bI ijkt uit tabel
VI-l zijn de mantel-circuits in dat geval wel symmetrisch ongeacht wel
ke stromen door de binnengeleiders vloeien. Naar mijn mening zouden de
conclusies ten aanzien van de mantelspanningen niet anders luiden wan
neer ",as uitgegaan van de "Kirke-Shearing ll methode.
Bij de berekening van de synchrone, de inverse en homopolaire impedantie
van een kabeltracè is het wenselijk dat de kabelsectie voor alle symme
trische stroomstels~ls in de binnengeleiders, zich ook als een symmetrisch
orgaan gedraagt.
-67""
Dit blijkt het geval te zijn wanneer men drie hoofdsecties, zoals die
in hoofdstuk VI zijn geschetst, met elkaar verbindt op de manier zoals
die voorgeschreven wordt door de "Kirke-Shearing 'l methode. Men verkrijgt
dan een symmetrische kabelsectie, welke is getekend in figuur VI /-1.
De karakteristieke vergelijkingen, die deze doorverbindingen beschrijven
zijn de volgende: ( Voor de betekenis van de gebruikte symbolen zie
figuur VII-l)
voor de binnengeleiders:
VII-1-a
VII-1-b
VII-1-c
IR = I R1:z: I
S2 = In; VII-2-a
IS = I S1 = I T2 I R3 ; VI J -2-b
I T = In = I R2 I S3 ; VII-2-c
voor de mantel-c1rcuits:
uR = uR1 + u
T2+ U
S3; VII-3-a
Us = uS1 + uR2 + uT3 ; VII-3-b
uT = un + uS2 + uR3
; VII-3-c
i R = 1,R 1 1,T2 = 1,S3; VII-4-a
i,. = i S1 iR2 1,13; VII-4-b
;:)
...
i T 1,~1 1,S2 = i R3 ; VII-4-c
•
; I R2 •
1.:....UR1 -------
•
-
IS1 .. I I II
I j' !I- lO ~ ... I
iS 1 i S2iS3
0'00
I
In .I I112
IT3 II
... .,.
I 1 \ \ 1 \~ I.. I .- •
iTlI
,iT2 inI I I
I I ,1
\- uR1 -, ,- uR2 -I j ... uR3I
hoofdsectie 1 3.~I I
hoofdsectie 2 : 3. ~I hoofdsectie 3 3.~
I : I I I
I1- symmetrische kabel sectie
,'-1
Figuur VII-l
De spanning-stroom relaties voor een symmetrische kabel sectie worden
nu gevonden door eerst de spanningstroom relaties op te schrijven voor
de binnengeleiders en de mantels van de 3 hoofdsecties (zie hiervoor
de vergelijkingelI VI-11 t/m VI-16). De stromen in deze vergelijkingen
dienen vervolgens met behulp van de vergelijkingen VI I-Z en VI 1-4 te
worden vervangen door de stromen die de symmetrische kabel sectie bin
nentreden, en tot slot moeten de spanningen die over de hoofdsecties
staan, gesubstitueerd worcien in de vergelijkingen VII-1 en VII-3.
De spannings-stroom relaties die op deze manier gevonden worden lui
den als volgt:
voor de binnengeleiders:
VII-5
VII-6
VII-7
voor de mantel-circuits:
UR = {9 (r+B)iR + OB-ZC) (IR+IS+IT) - 3C (iT+i s ) + 9I tot ·D}.P
Us {9 (r+B)is + OB-ZC) (IR+IS+IT) - ?C (iR+iT) + 9l t .D}. fot
U = {9 (r+B) i T + OB-ZC) (IR+IS+IT) - 3C(i s+i R) + 9I tot ·D}.fT
Voor de volledigheid kan hier worden opgemerkt da t:
a) de lengte van een symmetrische kabelsectie 9.eb) de lengte van een hoofdsectie = 3.f
c) de lengte van een subsectie = e.
VII-8
VII-9
V11-10
..
-70-
BEREKENING VAN DE SYNCHRONE EN INVERSE IMPEDANTIE PER METER-----------------------------------------------------------y~~_gg~_~Y~~gI31~Ç~s_~~~sb~sÇIlg,
Wanneer we de vergel ijkingen voor de mantel-cicuits n?der beschouwen
dan zien we dat, wanneer voldaan is aan:
a) IR alS2 of IR
2alT= = a I T a IS = en
b) uR = Us uT'
dat dan geldt:
~R = ~S ~T = o •
M.a.w. wanneer er door de binnengeleiders een synchroon enlof een in
vers stroomstelsel vloeit en bovendien de beide uiteinden van de drie
mantel-circuits met elkaar zijn verbonden, dan zijn de mantel-circuits
stroomloos. De wijze van aarding aan het begin en einde van de mantel
circuits speelt hierbij geen rol.
De inverse en synchrone impedantie van de kabels zal daarom onafhankel ijk
zijn van de kwal iteit van de aardingen.
Wanneer voldaan is aan de eis:
dan kunnen de spanning-stroom relaties van de binnengeleiders dus als
volgt worden vereenvoudigd:
u. = {9(R + A) + 3C}.2.I.J J
VI 1-11
Voor de synchrone en inverse impedantie vinden we daarmee:
ofwe I :
Zl Z2
..
U.J =~
J
nim, VII-12
Zl
-71-
"~o 2S"~2Z2 = R + J.w· 2n " {In d +~} rl/m. VII-13
êgBg~g~l~~_~~~_Qg_~Q~QeQb~lBg_l~egQ~~Ilg_egB_~gIgB_~~~_gg~
SYMMETRISCHE KABELSECTIE.------------------------
Wanneer de aardverspreidingsweerstanden aan het begin en het einde van
de mantel-circuits weer gel ijk zijn aan resp. Raa en Rab dan kunnen we
weer sellen dat:
VII-14
met: Ra = Raa + Rab.
Zie ook figuur VI-2 en vergelijking VI-26.
De stromen i R, iS en i T in vergelijking VI 1-14 zijn het gevolg van een
homopolai r stroomstelsel· in de binnengeleiders omdat zoals reeds is
aangetoond, de synchrone en inverse stroomstelsels geen mantelstromen
tot gevolg hadden.
Wanneer we nu aannemen dat in de binnengeleiders uitsluitend een homo
polair stroomstelsel vloeit, zodat geldt:
1° = I = I = I ,R S T VII-15
dan vinden we m.b.v. de vergel ijkingen VII-S, VII-9, VII-l0, VII-14 en
VI 1-15 voor de mantelstromen:
-(3z + C) .10
+ r) + 3z + CVII-16
met: z = B + 3D - C.
Dit gesubstitueerd in de spanning-stroom relaties van de binnengelei
ders (vergel ijkingen VII-5, VII-6 en VI 1-7) levert op voor de spannings
val over deze binnengeleiders:
r) (3z + c) 1 fJ"
J
.9 . r .JV.r) + 3z + C
-72-
De homopolaire impedantie van een symmetrische kabelsectie per meter
is daarom:
r) + 3z + C
URZO =~O
9.~. I
(Ra + r) (3 z + C)R + A - B + _31=-- _
Ra3(31 +
Q/m VII-17
We kunnen nu twee extreme situaties onderkennen nl. de situatie waar
bij de som van de aardverspreidingsweerstande~ verwaarloosbaar klein
is en de situatie waarbij deze som juist heel erg groot is t.o.V. de
andere impedanties van het kabelcircuit.
In het geval dat Ra o vinden we voor de homopolaire impedantie:
ZO R + r + A - B Q/m) VII-18
aangezien in hoofdstuk VI reeds is aangetoond dat bij hoogspannings
kabels gesteld mag worden:
3z + C3r + 3z + C 1.
De homopolaire impedantie per meter kan ook als volgt geschreven worden:
]..l .
ZO R • 0 {' 1 2Ru}= + r + J.W· 2TI • 4 + n --d- Q/m. VII-19
Wanneer we vergelijking VI 1-19 goed bezien dan valt op dat hier in
feite staat de impedantie per meter van een eenaderige kabel. Dit is
echter niet zo verwonderl ijk indien men bedenkt dat de mantelstromen
vrijwel gel ijk zijn aan de binnengeleiderstromen en dat de aarde bij
een zeer sol ide tweezijdige aarding van de mantel-circuits niet effectief
als retourgeleider dienst doet. Men zou de situatie waarin uit-
sluitend homopolaire stromen aanwezig zijn dan ook kunnen zien als
geschetst in figuur VI 1-2.
In de situatie waarvoor we mogen stellen dat Ra ~oo vinden we voor
de homopolaire impedantie per meter:
..
-73-
Kabe 1 R
°<-. 0I ...
( ) )
""' 1°Kabe 1 S
( V 1°-() )• 1°
Kabe 1 T1°( () -
UO 0 )"'4 1°
~ symmetrische kabel sectie~
///////// -//////.//
Figuur VI 1-2. Homopolaire stroomverdeling in de situatie dat Ra 0
ZO R + A - B + C r2/m tz +-3
== R + A + 3D - ~ r2/m,3
ofwe I:2 -7 II 2S 2 2ZO . 0 {' 2} r2/m. VII-20= R + 3n f. 10 + J .w· 2n · 1< + In - + 31n- - -1 n
d YXS 3
In het geval dat de binnengeleiders een homopolair stroomstelsel voeren
kan men stelle~ dat door de mantels geen stroom vloeit, indien de aar
ding van de mantel-circuits slecht genoemd mag worden. De som van de
binnengeleiderstromen moet door de aarde terugvloeien naar de bron van
de homopolaire stromen, vandaar dat nu de geleidbaarheid van de aarde
wel in de homopolaire impedantie is terug te vinden.
Om een indruk te geven van de grootte van de hiervoor berekende synchro
ne, inverse en homopolaire impedanties zijn in figuur VI 1-3 deze impe~
danties per ki lometer weergegeven als functie van de afstand (S) tussen
de in een plat vlak gelegen parallel Ie kabels. Hierbij is uitgega~n van
een kabel, die bestaat uit een massieve ronde koperen binnengeleider met
een diameter van 4 cm en een loodmantel met een binnen- en buitendiameter
van resp. 9 en 10 cm. Bij de berekening is uitgegaan van een homogene
..
-74-
stroomverdel ing in de geleiders, zodar kon worden gerekend met de gelijk
stroomweerstanden. De werkel ijke weerstanden zullen iets groter zijn
ten gevolge van het skin. - en het proximity-effect. Bij de berekening
van de homopolaire impedantie in het geval dat de aardingen slecht zijn
is aangenomen dat de soortelijke weerstand van de aarde gelijk is aan
1000 rim.
Voor het geval dat géén cross-bonding is toegepast vindt men met behulp
van de vergel ijkingen V-b-7 en V-b-16 dat de synchrone impedantie per
meter van een kabel tracé gel ijk is aan:
Zl+ + ++ ++= Rl + j.X I
R + A C(B + 1) 2
ri/m • V11-21= + - - C3 r + B + 3'
Als vergel ijkingsmateriaal is deze impedantie, voor dezelfde kabel
en onder dezelfde aannamen eveneens in frguurVI 1-3 weergegeven.
Uit figuur VI 1-3 kunnen we de volgende conclusies trekken;
a) Wanneer de aardverspreidingsweerstanden verwaarloosbaar klein
zijn is de homopolaire impedantie van een kabeltransmissie
systeem eerder kleiner als groter dan de synchrone impedantie,
Dit in tegensteIl ing tot hoogspanningsl ijnen.
b) Bij goede aardingen van de mantel-circuits is de homopolaire
impedantie onafhankelijk van de afstand tussen de kabels, en
onafhankel ijk van de geleidbaarheid van de aarde.
c) Wanneer de aarding van het mantel-circuit slecht genoemd
kan worden is het mogelijk dat de homopolaire impedantie 5 à
10 maal zo groot is als de synchrone impedantie van het kabel
t racè .
d) De synchrone impedantie van een kab~l-tracë waar cross-bonding
is toegepast, is groter dan de synchrone impedantie van een
niet gekruist kabeltrace van dezelfde afmetingen. Hierbij
valt op dat de ohmse component in het laatste geval groter is
dan de ohmse component van de synchrone impedantie bij toepas
sing van kruisingen. Bij de reactieve component is dit juist
andersom. Een en ander wordt ook duidelijk wanneer men de
vergel ijkingen VII-12 en VII-21 naast elkaar beschouwt.
..
-76-
Figuur VII-3
Zl = Rl + j Xl
2 R2 + jX2Z
ZO RO + j XO =
ZO+= + jXO+ =RO +1++ ' 1++ . t+
Z = R + JX =
synchrone impedantie per km;
inverse impedantie per km;
homopolaire impedantie per km indien Ra = 0;
homopolaire impedantie per km indien Ra = 00, en Pa = 1000 Om
synchrone impedantie per km indien geen cross-bonding
is toegepas t.
koper
lood
---.---.-}+ . 4 cm----L-
T
Ii
-·i-I·-·rlII
9 cmLLTT
10 cm
2, u------.-------,
rl/km
~)c
'>(,)(
X'x
X'x.1,8 I-----t-----r--x:;--------r------.---------r-----+-----·
)(.')c,.
'IC.")C..
.Ir~
~~
1 I ~,9 I-----"""JI---------j
1,7" ,......,.~,," " " , , ,-+--+--I-+-/+-
'i' " , " " ,,' " , , " ',,; , ,,',,' " ,,/. " " "
0, 3t-----+-----t------+-----+--.-----j~-----+-----1"
_........ ~--"..----I- --........ .."...---,.",",,,-
,~ RO+0, 2t----____1----:,;;;"'~.L-____1----__+----__+----__+----___+----li.::...--1
++-++~+- ... + ...... + -+- ..... ~ ... ~ .......................... --+--+- ......
RO.. 1+ +...... .. 0...... .. _ _................ .. ~
.' •. ' ••.••••••• ,•••.••••••.••.••••••. '" •• , ••...• o.•...•• 'Roï++...... "......
0,1 t-----+--.-:-:..,..-..'.c:..:••t-----+-----/-----J----+-----1.. '.. '
.~.,4---.....,~---+-----+----___l_---__1-- XO
------- -- -.- -- - .. - ----- --~--0,2 0",4 0,6 0,8 1,2 m
afstand S .
-77-
VI I I. HET DYNAMISCH GEDRAG VAN EEN KABELSECTIE UITGEVOERD
MET MANTELKRUISiNGEN.
In het voorgaande was de aandacht vooral gericht op het stationaire
gedrag van gekruiste kabels. Men kan zich echter ook afvragen wat
de gevolgen zijn van plotsel inge veranderingen, zoals bijvoorbeeld
ten gevolge van: a) het inschakelen van de kabelsectie )
b) het ontstaan van een kortsluiting;
c) blikseminslag op een hoogspanningsl ijn, die
aangesloten is op de kabelsectie.
Bij deze en andere plotselinge toestandsveranderingen kunnen zeer
hoge spanningen in de mantels worden geinduceerd. Deze kunnen zelfs
zodanig hoge waarden aannemen, dat, wanneer geen bescherme~de maat
reg~len worden genomen, de beschermende p.v.c.-laag tussen mantel en
aarde kan worden geperforeerd. Hierdoor wordt de mantel d.m.v. het
binnendringende vocht op een niet gewenste plaats geaard. Zwerfstromen
kunnen via deze plaats de mantel binnendringen en door plaatse-
1ijk optredende hoge stroomdichtheden kan electro-chemische·corrosie
van de mantel optreden. Om dit te voorkomen is het uiterst belangrijk
te weten tegen welke spanningen men de mantel isolatie bestand moet
maken.
De theoretische behandel ing van dit probleem is juist door de aanwe
zigheid van de mantelkruisingen zeer ingewikkeld. Deze kruisingen in-
troduceren nl. discontinuiteiten , waardoor ontelbare reflecties ontstaan.
Vele van deze reflecties moeten bij de berekeningen worden meegeno
men, omdat bij experimenten is gebleken, dat op diverse plaatsen de
maximale spanning tussen mantel en aarde in vele g~vallen optreedt
eerst nadat verschi llende signalen t.g.v. deze reflecties zijn gesom
meerd. (9). Een andere moeil ijkheid wordt geintroduceerd door de aan
wezigheid van de aarde, welke eveneens als parallelle geleider kan op
treden. In vele publ icaties worde de aarde als een ideale geleider
voorgesteld, zodat deze als een electro-magnetische afscherming tus
sen de kabels zou optreden.f9J (10) (11]. Aan de juistheid van deze
veronderstel I ing mag worde~ getwijfeld, omdat zelfs bij hogere frequen-
..
-78-
ties de effectieve retourweg van de aardstroom nog kan worden gezien
als,een paral lelIe geleider gelegen op een afstand v~n vele meters
van de kabels (zie tabel IV-l), zodat ook bij deze hoge frequenties
nog sprake is van een mutuele inductie tussen de kabels.
Aan de andere kant is de demping van de aarde voor hoog-frequente
signalen zo groot dat we wel licht mogen veronderstellen, dat de
stromen in de aarde paral lel aan de kabels bij hoge frequenties te
verwaarlozen zijn t.o.V. de stromen in de binnengeleiders en mantels.Al deze overwegingen hebben geleid tot de conclusie dat het gewenst
is om het dynamische gedrag van een kabel sectie te bestuderen aan
de hand van een model, hetgeen tijdens het afstudeeronderzoek is gebeurd.
Nagebootst is daarom een kabelsectie bestaande uit 3 subsecties van
elk 1 km lang. Om het model niet nodeloos ingewikkeld te maken werd
verondersteld dat de kabels gelegen waren in de hoekpunten van een
gelijkzijdige driehoek (zie figuur V-2). Bovendien zijn alleen de
mantels gekruist op de manier zoals aangegeven in figuur VI-l.
Wanneer hierna concrete berekeningen worden uitgevoerd, zal gebruik
worden gemaakt van de kabel-circuit gegevens welke zijn vermeld in
tabel VIII-l.
Tabel VIII-l
Gegevens betreffende de na te bootsen kabelsectie.
d = 4- cm
2Ru = 10 cm
2Ri = 9 cm
Er 1 = 3,5
~ = 4 mm
E = 7r2
S = 75 cm
Q = 1 km
Pa = 10 3 Sim
E = 2.5ra ,
loodman te 1: buitendiameter
binnendiameter
relatieve permittiviteit v.d. binnenisolatie
mantel isolatie: materiaal p.v.c.
Aarde: soortel ijke weerstand
relatieve permittiviteit
Kabel (220 kV fasespanning, 1500 amp Inom)
binnengeleider: massieve koperen binnengeleider
met diameter
Af~tand tussen de kabels
Lengte van een kabelsubsectie
isolatiedikte
relatieve permittiviteit
Van het model, dat zal gaan dienen als analogon voor het hierboven ge
noemde kabel tracé zal geëist worden, dat het geschikt is voor de bestu
dering van zowel statische als verschijnselen, die het gevolg zijn van
schakelmanipulaties, waaronder ook worden begrepen overgangsverschijnse
len t.g.v. optredende kortsluitingen. De frequenties, die hierbij ontstaan
in een reëel transmissie-systeem bI ijven in het algemeen beneden de
grens van ZO kHz. De vraag die we ons nu stellen is: met hoeveel TI-net
werken moet een subsectie nagebootst worden om te kunnen aannemen, dat
het model voor deze frequenties een goede nabootsing van de werkelijkheid
is. Om hierop een antwoord te vinden gaan we uit van de exacte tweepoort
vergelijkingen, die gelden voor een enkelvoudige lange leiding.
Deze luiden als volgt: (zie figuur VIII-1)
VII 1-1
VIII-Z
met: ~ = langsimpedantie per meter, (S"2/m)
y = afleidings- admittantie per meter, (51m)-l
e= lengte van de lange leiding.
De tweepoortvergelijkingen van het n-netwerk, dat als nabootsing zou
moeten dienen van deze enkelvoudige lange leiding, luideh: (zie figuur
VII J-Z)
{ 1Zl
Z1• IZ VIII-3El = + Tl. EZ + •~Z
1 {ZZl
+ {1Zl
VIII-4I 1 = + Tl. EZ + Tl.1z·Zz Z Z
~ ;;.
} langeE2
leiding
f ig VII!-1 f · "['I"I g V I - L
-80-
De vergel ijkingen van het TI-netwerk worden identiek aan die van de lan
ge leJding wanneer we stellen:
21 = ~~ sinh 1/iY , VIII-5
22
21
VIII-6en = fhycosh 1
Een dergel ijke impedantie is echter slechts bij benadering met behulp
van discrete elementen te real iseren. Om na te gaan hoe nauwkeurig een
benadering van de gewenste impedanties met behulp van eenvoudige compo
nenten kan zijn, schrijven we de vergelijkingen VI 11-5 en VI I 1-6 in de
vorm van een machtreeks.
21
= f.:d 1 fu + ...... } )+ 6
2 f2 i!Y ...... } .22
= -r:y{ 1 + 12 +
VIII-7
VIII-8
Uit deze reeksontwikkel ingen kunnen we concluderen dat een TI-netwerk
met:
21
= f.i! = de totale langs impedantie van de lange leiding
en = tweemaal de totale dwars impedantie van de lange
leiding,
als een goede nabootsing van de lange leiding mag worden beschouwd voor
die frequenties waarvoor geldt:
VIII-9
Bij de constructie van hoogspanningskabels tracht men de verliezen tot
een minimum te beperken, zodat evenals bij een verliesvrije kabel ge
steld mag worden:
fv = 7;y J
..
met: v = voortplantingssnelheid,
f signaal frequentie .
VI I 1-10
-81-
Wanneer we dit substitueren in vergel ijking VI I 1-9 dan vinden we als
b r ui kb aarc rite r i um :
VI I 1-11
Uit deze vergelijking volgt, dat een kabel met een lengte van een kilo
meter en een voortplantingssnelheid van 1,2 10 8 mis (zie IX-c) voor
frequenties lager dan
f = i./6.g = 66 kHz,
met: 9 = 0,05
voorgesteld kan worden door middel van één TI-netwerk.
De voortplantingssnelheid van golven tussen twee kabelmantels bedraagt
1,8 10 7 mis (zie IX-c), zodat hier een enkel TI-netwerk slechts tot ca.
10 kHz een goede nabootsing is voor een mantel-mantel-kabel van 1 km
lengte.
Om aan de eerder gestelde eis van 20 kHz te kunnen voldoen zouden dus
per subsectie twee TI-netwerken in het analogon dienen te worden opgeno
men. Door gebrek aan componenten kon dit helaas niet tijdig worden ge
realiseerd, zodat in het analogon een subsectie van 1 km lengte uit
eindelijk werd gesimuleerd door één samengesteld TI-netwerk .
..
VIII-a
-82-
ONTWERP VAN EEN MEERVOUDIG ~-NETWERK
VI I l-a-1 BEPALING VAN DE DWARS-IMPEDANTIES
Het meervoudig TI-netwerk, dat als nabootsing moet dienen van een
kabel-subsectie, kan slechts gereal iseerd worden wanneer de spanning
stroom relaties van het kabel-tracé zowel in de langs- als in de dwars
ric~ting bekend zijn. De spanning-stroom relaties in de langsrichting
zijn reeds uitvoerig behandeld bij de stationaire beschouwingen. Hierop
komen we later nog terug. Voor de spanning-stroom relaties in de dwars
richting maken we gebruik van de algemeen bekende vergelijkingen, waar
mee in een systeem van n parallelle geleiders de dwarsstromen kunnen
worden berekend, die van de ene geleider afvloeien naar de overige (n-1)
geleiders en het referentiepunt. Deze luiden als volgt:
nI. = Y. •V. +. L: Y••• (V. - V.) ~
I 10 I J=l IJ I JVII 1-12
met: I. dwarsstroom van geleider i,I
V. = de spanning van geleider i t.o.v.I
het referentiepunt 0,
I.Yi 0 (i) Vk=V. ' k = 1,2, ..... , n .
I I
I.
Yi j - (V~ )Vk=D, k cF j' k 1,2, ... ,n .
Om de dwars-admittanties Y.. te kunnen berekenen zullen we de situatie,IJ
zoals die in werkelijkheid bestaat iets vereenvoudigen, namelijk door
aan te nemen dat:
a) De potentiaal van een plat vlak, gelegen op een afstand
h =x -1 onder de kabels nul is, zodat dit equipotentiaal
vlak als referentiepunt voor de spanningen kan worden be
schou\'Jd.
b) De kabels zich bevinden in een homogeen medium met een
soortelijke weerstand p en een permittiviteit E: E: "a 0 r~
dat zich uitstrekt tot in het oneindige boven het refe-
rentievlak.
c) De veldlijnen in de mantel isolatie radiaal gericht zijn .
..
-83-
d) De diëlectrische verliezen in de kabel en de mantel isola
tie verwaarloosd mogen worden.
-1De afstand h = X onder ad a) is zo gekozen, omdat dit ongeveer de
effectieve afstand is tussen de kabels en de aardretourstroom. Door de
aanname onder ad c) mogen we stellen, dat het buitenoppervlak van de
mantelisolatie een equipotentiaalvlak vormt, wat van hieraf de buiten
mantel zal worden genoemd. In feite hebben we nu dus een systeem bestaan
de uit 9 equipotentiaalvlakken te weten:
3 binnengeleiders R, S en T,
3 loodmantels r, s en t,
3 buitenmantels u, v en w.
Hiervan hebben de buitenmantels geen verbinding met de buitenwereld of
anders geformuleerd; de langs-impedantie van een buitenmantel is on
eindig groot, zodat we kunnen stellen:
I = Iu v
1 = O.w
VIII-U
In figuur VIII-3 is het model weergegeven, waaruit de dwars-admittanties
van een kabel subsectie zullen worden berekend.
In het volgende zal worden uitgegaan van ondergenoemde veronderstellin-
gen:
a) CRr CSs CTt Firn d) R R R rlmuv vw wu
b) C = C C Firn e) R = R = R rlmru sv tw ua va wa
c) C = C = C Firn f) Cua C Cwa . Firnuv vw wu va
Uit figuur VII 1-3 is onmiddellijk te zien dat:
Y = j.w. C • P= j . w.ru ru
e. 27f .E:o E: r1
I 2Rin -d-
e.2:r.E: E: 2o rRu + /:;I n --=.-:-~
Ru
j .w. 2,4 10-7
j .w. 4,9 10-6
Y. = 0, met:10
..= R, St T, r, 5 en t. VIII-16
Uit de theoretische electrotechniek is bekend, dat het product van de
capaciteit, die besteat tussen twee equipotentiaalvlakken, met de ge-
-84-
I ijkstroomweerstand, welke gemeten wordt tussen deze twee vlakken, ge-
1ijk is aan het product van de soortelijke weerstand en de permittivi
teit van het medium, waarin deze equipotentiaalvla~kenzijn gelegen [121.
M.a.w. hier geldt:
R .Cuv uvR .C
ua ua P .E: E: •a 0 raVIII-17
v
_. .__ ..•.eRr
T
IX
11
L:
fig. VIII- 3
Hieruit kan geconcludeerd worden, dat de weerstanden R en R bekenduv uazij n, wanneer de capaciteiten C en C zijn gegeven.uv uaAangezien het systeem, bestaande u i t de 3 buitenmantels en het referen-
tievlak veel overeenkomst vertoont met de situatie waar 3 lijnen sym-
metrisch zijn opgehangen op een
nen we bij de bepal ing van deze
van de in de I iteratuur bekende
hougte h boven het aardoppervlak, kun~
capaciteiten C en C gebruik makenuv uacapaciteitsberekeningen aan hoogspan-
VIII-18m
{Farad}j2h 4h
2
In Ru + ~ . In S(Ru + ~)
..C = 21T.E: E:uv 0 ra
ningslijnen, en vinden zo: [131 (l4]
In ~5
-85-
VI I 1-19{Fa rad/m} •e = eua uv
SIn Ru + t:"
In ~S
Bij de afleiding van de vergel ijkingen VI I \-18 en VII 1-19 is aangenomen:
(Ru + t:,,) « h én S« h.
Zoals uit tabel IV-l blijkt is h = x- 1 frequentieafhankelijk. In het
geval dat de soortel ijke weerstand van de aardbodem 1000 ~m bedraagt,
kunnen we echter als gemiddelde waarde aannemen: h = 200 m.
M.b.v. de vergelijkingen VI I 1-17, VI I 1-18 en VI I 1-19 vinden we:
n-lf .R
1 uvr .Rua
= 3,32
4,25
te uvf.e ua
6,47
5,08
nF
nF.VIII-20
Voor al Ie frequenties, die hier van belang zijn, kunnen de capaciteiten
e en e t.o.V. de weerstanden R en R verwaarloosd worden.uv ua uv ua
Verder kan bewezen worden, dat de netwerken van figuur VI I 1-4-a en
VIII-4-b equival~nt zijn, wanneer we stellen: ;'-
VIII-21
n-lR • t
ua = 1, 13 ~R~+ 3Rua
=n-l •0,88 ~ en:- [. Rua
n-lR • t
uvR
uv + 3Rua
0-1 •t .Ruv
Op dit ogenblik zijn alle afleidings-impedanties van het meervoudige
n-netwerk, dat als nabootsing moet dienen van een subsectie met een leng
te van 1 km, bekend.
•R
_1--f-=.,.
R
T
u
R..J@.
1
Rua
T
uo---.....r-I------o v
Fig VIII-4-a Fig VIII-4-b
-86-
VIII-a-2
De langs impedanties van een kabelsubsectie met een lengte van 1 km
kunnen worden afgeleid m.b.v. de spanning -stroom relaties, die zijn
vermeld in hoofdstuk V (vergel ijkingen V-a-l t/m V-a-6). Bij het ont
werp van het model zijn we uitgegaan van symmetrisch gelegen parallel
le kabels, zodat in de genoemde vergel ijkingen de constante egelijk
aan nul gesteld kan worden. De spanning- stroom relaties voor de bin
nengeleiders én de mantels luiden in dat geval als volgt:
~o_o.: _d~_'?.i_n_n_e~9~!~ij~.r::.~:
VIII-22-a
FIGUURVIII-5
1- ..I
r. f
IS R.e (A-B).~ B.eo-----i__.......I--------CIt.------At.---o
- kabel S [ J~~-===:;:..~===IIf--------=.'I.II:;ij!.I::.--~oIS r.t B.e
o :J
kabel T
B.t
[+Hl]o~==:;:...:-{===I------2IIE••I··I.I·~--Oi T r.E B.e
-87-
voor de mantels:-----------
u. = uJ. (x) - u. ( 0) = {( r+B) . i. + B. I. + D. 1 } . f,
J J x+t J J tot
met: j = R,S en T.
VIII-22-b
Het blijkt dat het schema gegeven in figuur VI I 1-5 voldoet aan boven
staande spanning-stroom relaties.
In tegensteIl ing tot de componenten in de dwarsrichting, zijn enkele
componenten ir. de langsrichting sterk frequentie-afhankelijk, met na
me de ohmse weerstanden van de binnengeleiders en de mantels en de mu
tuele inductiecoëfficient D, welke de koppeling van de kabelgeleiders
met de aarde als retourgeleider, voorstelt.
De frequentie-afhankelijkheld van de ohmse weerstanden van de massie
ve binnengeleider wordt gegeven door de volgende betrekking (15):
L Rdc ' (x + 0,25) voor x > 1 ;
voor x < 1 I
VIII-23
waarbij: x = ~ ./nf.a. ~o~r;
r straal van de geleider;
Rdc = gel ijkstroomweerstand per meter
geleider;
e= lengte van een subsectie;
cr = geleidbaarheid van het geleider-. -1 -1
materiaal ~ m ;
~o~r permeabiliteit van het geleider
mater ;aa I .
De frequentie-afhankel ijkheid van de loodmantelweerstand kan worden be
paald m.b.v. figuur VI I1-6, welke is ontleend aan referentie 16. Deze
figuur geeft weer de verhouding van de wisselstroomweerstand R(f) en de
gelijkstroomweerstand Rdc per kilometer lengte van een homogene buis
vormige geleider, als functie van de verhouding - 1Rf- .\,j dc
__~ De zelf- en mutuel~ inductiecoëfficienten in de langsrichting zIJn vrIJ-
wel frequentie-onafhankelij~, uitgezonderd de coëfficient, welke de mag
netische koppel ing van de kabelstromen met de aard~8tourstroom represen-
-88-
0,06
20015050
t/d 0,5 0,25 0,122, n.....-----.----.------.--..---:...r----:--i---...----:=--;---r----,---II
1,
1,
1 , d--------r------,-----/-I----+t---+-+-+-----r-~tt--:-------t~
1,911----l-----l---+--I---+-+--+---+--f----t-----r----r-"1
1, R-.lilR
1,4 dc
1 ".t1--------}----+l------j+---++--+---+--r~II_-______t--___v1 0 .03,
1, 11-----I-----J-~+I--_II~-_+-~~~-___,f-7t!':....-t---t_-----r"i
Fig. VI I 1-6 (f in Hz, Rdc
= weerstand per km)
teert. De frequentie-afhankelijkheid hiervan wordt gegeven d.m.v.
vergelijking V-a-l0:
D. f = (Re ( D) + j. Im(D) ) . f i
- e {2 f -] . llo 2 IJD. = TI • .10 + J. w.-2• In -s}. 1-TI YX VIII-24
Door een geschikte keuze van kernmateriaal en kernafmetingen alsmede
van de wikkeldraaddiameter, is het mogelijk gebleken d.m.v enkelvou-
dige componenten de_frequentie-afhankel ijkheid van de elementen van een
kabelsubsectie redel ijk goed na te bootsen tot frequenties van ca. 30 kHz.
Alleen voor de nabootsing van de mutuele impedantie D. f was deze fre
quentie-afhankelijkheid slechts te real iseren door het toepassen van een
netwerk bestaande uit meerdere componenten
In de grafieken VI I 1-1 tim VI I 1-4 zijn de theoretische en de gereal i
seerde weerstandswaarden en inductiecoëfficienten van de verschillende
elementen van de 1 km lange kabelsubsectie gegeven als functie van de
frequentie.
Nu zowel de impedanties in de dwars- als in de langsrichting bekend
zijn, is het mogel ijk om voor elke kabel subsectie een analogon te
bouwen. Door deze modellen vervolgens op de juiste manier met elkaar te
verbinden krijgt men de nabootsing van de totale kabelhoofdsectie zoals
die is weergegeven in figuur VII 1-7. [17]
GRAF IEK VII 1-1 GRAFIEK VIII-2
Ohmse weerstand van 1 km mantelgeleider
als functie van de frequentie.
Ohmse weerstand van 1km binnengeleider
als functie van de frequentie.
,
R.~ (A-B).€ B.~
~--aJ--o
. r.Q ~
~apparaat - ~Theoretisch
r.~ B.eO~--1c=Jl----Ii3,.---vo
meetapparaat
Theoret i sch
I\.0o
I
gereal iseerd gerea 1i seerd.
1 ~
B. ~.....--J ·w
1 mH
0,1 mH
-- - - - - -,7
I.... .-V \.-V/ J......-'
Vv
RJ~
--'"17 /
L/ t,..v
~ -- I,..-lo-.:="I::"
1 ~
A.ej .w
o,1
1 mH
0, 1
1- ....
-JI'''.'" 7
r.e ./ ~V./ ~I-- >--- -IA ...~:..,..... """"~""-- -- .-0, 1
100 Hz 1 kHz f 10 kHz... 100 Hz 1 kHz --L- 10kHz
GRAF lEK VI I I - 3 GRAFIEK VIII-4
Oe som van de binnengeleider- en mantelweer
stand van 1 km (R+r).f als functie van de
frequentie.
Mutuele koppel ing tussen de kabelgeleiders en
de aardretourgeleider per km als functie van
de frequentie.
II.D
1 mH
10 mH
0,1 mH
10kHzf1 kHz
Im(O) = F(f) Theoretisch
Re(O) = F(f) Theoretisch
---- Re(O) = F(f) gereal iseerd
100 Hz
............... Im D' = F(f) oereal iseerc.
V ........
.~.//'"rI .'"
" /./ V
~/V.... 0- . ..... ,~~ Ir. ..
~ ~--f--
/. ""--.
V .....""',,-/
r7 "'"~" -" -"./
vV,
.;'VV
10
o,1
B.e
10kHzf1 kHz
J(
l(
IC
~ /~It ,,;,
11',1( §"IC
lo-~)C~
V-l-'" ",,'"
~ "~./- ./
~",)f _
1--'
jI--l ~t<: --+++ /f-"'~
meetapparaat
Theoretisch.
R.f
meetapparaat
1= iR R++++
1 rI
0,1100 Hz
Figuur VIII-7: Nabootsing v.e. Kabelhoofdsec tie
l: 1 km l I I l II. "I I • I i •.1
I I·I
I II I II R, X, I I II I I I
kabel C,R R 2
CS' ."
R, X, .,
kabel Ci5 R 2
I\.D
N C") N_.' . I,
eidc: c
.9! <LIX, t .....
U<LI <LI
kabel til til
X2 .0 .0
T R2 ~ ::JVI
Io' I I ---I <LI I <LII .0 I .0I I
<9 co @) fO.:Je. .:Je.
Raa abRI. Rs XJ RI,
R, '" Rol j'" X I =(A-BU C, =(CRr /2).1~R2 : rol j"'X 2 = B .1 C 2 s(Cru /2).1
/ R) :R~y.2/1RI, :R;u 02/ 1 "RS • jWXJ : 0.1
IX. METINGEN VERRICHT AAN HET ANALOGON:
Metingen aan het analogon hebben de berekeningen in de hoofdstukken
VI-a-l en VI-a-2 bevestigd. De afwijkingen tussen de berekende en de
gemeten spanningen in de diverse storingsgeval len bedroegen slechts
5 %en worden waarschijnl ijk veroorzaakt door het feit dat bij de
bouw van het analogon is uitgegaan van symmatrisch ten opzichte van
elkaar gelegen kabels, terwijl de berekeningen zijn uitgevoerd aan
een systeem waarin de drie paral lelIe kabels in een plat vlak liggen.
In hoofdstuk V is aangenomen dat de spanningen in het mantel-circuit
t.g.v. de capacitieve laadstromen verwaarloosd kunnen worden. Metin
gen aan het analogon hebben inderdaad aangetoond dat deze spanningen
te verwaarlozen zijn t.o.V. de mantelspanningen welke worden geinduceerd
door de bedrijfsstromen. Wanneer we namelijk het begin van de nageboot
ste hoofdsectie, waarvan de mantelcircuits aan beide uiteinden zijn
geaard, verbinden met een synchroon spanningssysteem met een gekoppel
de spanning van 15 V en een frequentie van 50 Hz, dan bedraagt de maxi
male spanning tussen de mantels op de plaats van de mantelkruisingen
ongeveer 1,5 mV.
Onder normale bedrijfsomstandigheden (IR=ls·a=IT.a2=ll=1500 A en Egek380 kV) betekent dit, dat de maximale bijdrage tot de spanning tussen
de mantels bedraagt:
a) t.g.v. de capacitieve laadstromen: 38 V
b) t.g.v. debelastingsstroom (zie vergel ijking VI-35): 660 V.
Deze laatste getallen zijn uiteraard betrokken op het hier nagebootste
kabelcircuit.
Bij de bepal ing van de golfimpedanties en de voortplantingssnelheden
werden in het model de mantels niet gekruist, zodat drie parallelle
golfimpedantie:
voortplantingssnelheid:
kabels van elk 3 km lengte ontstonden. Bij de bepal ing van de golfimpe
dantie en de voortplantingssnelheid van een circuit werden de in- en
uitgangen van de overige circuits open gelaten. Aan de ingang van het
te onderzoeken circuit werd een eenheidsstap spanning (0/00 golf) toege
voerd, terwijl het uiteinde van dit circuit werd afgesloten met een im
pedantie, zodanig dat de eerste top van de spanningsvormen op 1 km en
2 km afstand van de ingang en die van de spanningsvorm aan het circuit
einde gel ijk is aan de maximale ingangsspanning. Het tijdsverschi I tus
sen de spanningssprong aan de ingang en het moment waarop de hierboven
genoemde spanningen gelijk zijn aan de helft van de ingangsspanning,
wordt gebruikt om de voortplantingssnelheid te berekenen.
Op deze manier vinden we voor een kabelcircuit bestaande uit een binnen
geleider en een bijbehorende loodmantel, een zogenaamde 'Ibinnengeleider
mantel kabel " :
z = 33 Q,gmv = 1,2 10 8 m/s.gm
Voor een kabe I gevormd door twee loodman te Is, een zogenaamde liman te 1
mante I kabe 111, v i nden we:
golfimpedantie:
voortplantingssnelheid:
Zmmvmm
- 22 Q,
1,8 10 7 m/s.
Wanneer de ohmse weerstanden en de inwendige reactantie van de binnen
geleider' verwaarloosd worden vinden we theoretisch voor de tlbinnenge
leider-mantel kabel tl met srl 3,5:
gJ I f i mpedan tie: Zgm32 Q, IX-l
voortplantingssnelheid: vgmIX-2
Voor de 'Imantel-mantel kabel" vinden we onder dezelfde verwaarlozingen:
golfimpedantie: Zmm
RU+lI] tRu 21 Q, IX-3
voortplantingssnelheid:
IX-4
Hieruit blijkt dus dat de theorie en het experiment goed overeenstemmen,
alleen de gemeten voortplantingssnelheden zijn iets lager dan berekend,
wat waarschijnl ijk verklaard kan worden uit de verwaarlozing van de
ohmse weerstanden.
Naast de twee genoemde "kabels· 1 kunnen we nog een derde mogel ijkheid be
schouwen namel ijk een "kabel" gevormd door een loodmantel en de aarde.
Op de hiervoor beschreven wijze kan getracht worden de golfimpedantie
van deze " man tel-aarde kabel" te bepalen. Het bi ijkt evenwel dat de ge
noemde methode hier vrij onnauwkeurig is. Experimenteel vinden we geen
scherp gedefinieerde golfimped~ntie maar een weerstandsgebied waarin
deze gelegen zou kunnen zijn, nl.:
14 Q < Z < 20 Q.ma
De reden van deze onnauwkeurigheid in het bepalen van deze golfimpedan
tie Z wordt veroorzaakt door de aanzienlijke verl iezen die in dezema"kabel" optreden, terwijl bovendien door de frequentièafhankelijkheid
van de mutuele koppel ing tussen aarde en mantel ook de golfimpedantie
en de voortplantingssnelheid frequentieafhankel ijk zijn.
I nd ien we de go 1f i mpedant i e van deze Ilmante I-aa rde kabe 111 berekenen
m.b.v. de vergel ijking geldend voor een verl iesvrije kabel dan vinden
we:
IX-S
Bij de verschillende frequenties wordt hiermee voor de golfimpedantie
gevonden:f Zma
S kHz 18.6 Q
SO kHz 17,3 Q
SOO kHz 16, 1 Q
Deze waarden ligge~ binnen de door het experiment aangegeven grenzen.
De golfimpedantie
tie van de mantel
De golfimpedantie
Z kan opgebouwd gedacht worden uit de golfimpedan-ma(Z ) en de golfimpedantie van de aardretourgeleider (Z ).m avan de aardretourgeleider bedraagt dan bij benadering:
IX-d.
Z = Z - Z ~ 6,5 Q •a ma m )
hierbij is gesteld: Z = t Z = 11 Q,m mmZ ~ 17,5 Q.ma
IX-6
Om een indruk te krijgen welke frequenties in het kabel-systeem belang
rijk zijn, werden enige frequentie-karakteristieken oogenomer.. Bij de
bepaling van deze karakteristieken werden in het analogon de mantelkrui
singen tussen de subsecties aangebracht terwijl de mantel-circuits aan
het begin en einde zonder tussenschakeling van extra aardverspreidings
weerstanden aan aarde werden gelegd. De in- en uitgangen van de kabels
werden open gelaten, terwijl alleen aan de ingang van de R-kabel een
wisselspanningsbron (UR(O)) werd aangesloten. De spanningen verderop
in de kabelhoofdsectie werden gemeten als functie van de frequentie van
deze spanningsbron.
Alleen bij de meetresultaten gegeven in de grafieken IX-3b, IX-4a en
Ix-4b waren de crossbondings en de mantelverbindingen aan het begin en
einde van de hoofdsectie niet aangebracht, maar waren tussen de subsec
ties de mantels op de normale manier doorverbonden, zodat drie 3 km
lange parallelle kabels ontstonden.
Van drie "kabels", LW. de "binnengeleider-mantel il-, de I'mantel-mantell'
en de "man tel-aarde kabel", werden de frequentie-karakteristieken bij
open uiteinden bepaald. De resultaten zijn weergegeven in de drie ge
noemde grafieken IX-3b, IX-4a en Ix-4b.
Uit de opgenomen frequentie-karakteristieken (zie tabel IX-1) blijkt
dat:
a) voor de binnengeleider bij frequenties hoger dan 18 kHz het ef-
fect van de mantelkr~lslngen is verdwenen, aangezien voor der-..gelijke frequenties de karakteristieken van de grafieken IX-3a
Tabel IX-l
Opgenomen frequentie-karakteristieken
Grafiek Spann i ng=F (f) cross- mantels kabel in- en Raa=Rab
no. bonded kortgesloten uitgangen
IX-la
IX-lb
IX-2a
IX-2b
IX-2c
IX-3a
IX-3b
IX-4a
IX-4b
v - VAR - AT en
VBR - VBT ·
VAS - VAR en
VBS - VBR ·
VAT - VAS en
VBT - VBS ·
UR(l km) ,U R(2 km)
en UR(3 km).
UR(l km) ,U R(2 km)
en UR(3 km).
u Urs (1 km)' rs (2km)
en Urs (3km) .
U Ura(lkm)' ra (2km)
en Ura (3km).
ja
ja
ja
ja
ja
ja
neen
neen
neen
ja
ja
ja
ja
ja
ja
neen
neen
neen
open
open
open
open
open
open
open
open
open
oo
o
o
o
o
00
00
00
en IX"3b vrijwel identiek zijn.
lets dergel ijks was te verwachten omdat t.g.v. de lage voort
plantingssnelheid in de "méln tel-mantel kabel" (v ), het meer-mm
voudige ~-netwerk voor deze hoofdsectie slechts een goede na-
bootsing vormt voor frequenties tot ca. 11 kHz. Dit impl iceert
ook dat de overige frequentie-karakteristie~enslechts betrouw
baar kunnen zijn to~ de grens van iS kHz ...
b) t.g.v. cross-bonding de spanningsopsl ingering in de binnenge-
-98-
leider met ruim een factor 2 wordt verlaagd t.o.v. de situ
atie waar geen mantelkruisingen zijn toegepast. (grafieken
IX-3a en IX-3b)
c) de frequentie waarbij de grootste mantel spanningen ontstaan
11 kHz bedraagt (grafieken IX-l en IX-2), Bij deze frequentie
bedraagt de golflengte in de "binnengeleider-mantel kabel" met
voortplantingssnelheid v = 1,2 10 8 mis:gm
;\11 kHz v If = 11 km.gm
De hoofdsectie gedraagt zich voor deze frequentie als een ~À
lijn. Andere frequenties waarbij hoge mantelspanningen ontstaan
zijn 2,9 kHz en 5 kHz, de golflengten hiervan bedragen in een
"man tel-mantel kabel" met een voortplantingssnelheid v =1,8 107mm
mis, respectievelijk 6,2 km en 3,6 km. Bij benadering kunnen
we daarom stellen, dat die frequenties, waarvoor de lengte van
de kabelhoofdsectie gel ijk is aan of de helft is van de golfleng
ten i n de " man te I-man te I kabe JlI, hoge mante Ispann i ngen tot ge
volg hebben.
d) de demping van loopgolven in de "man tel-mantel kabel" en "mantel
aarde kabel" met frequenties hoger dan 10 kHz zeer groot is
t.g.v. de optredende verliezen in de aardbodem. Zie de grafie
ken IX-4a en IX-4b.
Berekenen we de voortpJantingsconstante y = Ct + jB van een l'mantel-manteJ
kabel" m.b.v. de volgende vergel ijkingen r15]:
Y{{V«R2 I -1Ct = + w2L2) (G2 + w2C2) + RG - w2LC} {km }j IX-7-a
~{-J(R2B = + w2L2) (G2 + w2C2) - RG + w2LC} {km- 1} IX-7-b,
met: Ct = verzwakkingsconstante per km;
B = fase-verdraaiing per km;
R = ohmse weerstand van de kabel per km
.'
NV. Drukker'J "MCrCUrlUl" Wormerveer
GRAFIEK IX -1 a
~ V DrlJ~ke'lJ "Mercurius" Wormerveer No 1473 k'f11 :09. verdeeld l·lO J y....as log verdeeld 1.10- Een:,eld 50 mm
I\..D\..D
I
y-es Jog. verdeeld 1·10~ Een:,elc 50 mmGRÀFrÊK 'tx :":rë 1.10'
GRAFI EK IX - -2 b4~6789110' ~ 4
1
5678910' 34678910'
1~~a~~~~~~~~~3~i~~~~!~'~''~'~ft$~$~~~I~:mi~o·= 'i ~
"4.V DruûenJ .. Mer-:unus" WormerveerNo 1473"-I.v. DrukkenJ ..Mcrc\,Jrlus" WorfT1erveer
.-
.-
r'I
N.v. DruklcenJ "Mercurius" Wormerveer \,I.V. Oru'lc~erIJ "Mercurius" Wormrrveer No 1473 'hU :og....erotc:el.:l '.103 y-as lag. verdeeld '.104 Eonheld 50 mm
Cl
.'
f\I,V. DrukkenJ "MerCUriUS" Vvormeoflleer
GRAFI EK lX-4a
f'\; V. Drukkerij .. "'1ercuflus" Wormerveer
GRAFIEK lX- 4b
No. 1473 X'dl :og. werd .... eid '.103 y·as log verdeeld '.104 ten;,eld 50 mm
oN
I
-103-
/
-1km
Cl
10, 1
v
11I
v
-1km
(3
1
/' // "
0, 1100 kHz10 kHz f
- - - .- ...-1'"
./v
0,01 __
1 kHz
Figuur IX-V. Cl functie van de frequentie,
(3 = functie van de frequentie.
-1km
-1km
y Cl +j (3 voortplantingsconstante van een "mantel
mantel-kabel " .
V(x) V(0) exp(-y.x) .
27ff {km} voortplantingssnelheid.vf = =13 5
Cl en (3 van de mantel-mantel-kabel in het geva I Ruv = 880 IlmCl en (3 van de mantel-mantel-kabel in het geval Ruv = O.
..
-104-
L zelfinductie-coëfficient per km2B. 10 3
{H/km} ; B = gegeven door (V-a-8) •j .w
C = capac i tei t tussen de mantels per km
10 3 . Ci..-} . *ru {=
2 (1 + w2 C 2R· 2) km 'ru uv
G = de afleiding tussen de beide mantels in
Siemens per km,
10 3 .w2 .C 2.Rru uv
"dan vinden we inderdaad in deze "man tel-mantel kabel een grote demping
voor signalen van 10 kHz en hoger. Deze demping wordt voornamelijk ver
oorzaakt door dissipatie in de aardbodem; Nemen we namel ijk voor R =0uvdan bI ijkt de demping zeer laag te zijn zelfs voor frequenties hoger dan
40 kHz. Zie hiervoor figuur IX-S.
Om enig inzicht te krijgen in de gevolgen van plotselinge toestands
veranderingen in de kabelhoofdsectie, zijn een aantal proeven genomen
met het analogon. Hierbij werden twee verschi llende situaties onderschei
den, namelijk het geval waarbij een van de kabels een plotselinge poten
tiaalsprong ondergaat aan het begin van de hoofdsectie en het geval waar
bij via een hoogspanningslijn een loopgolf de kabel binnentreedt.
De eerste serie proeven (diagrammen IX-6 t/m IX-9) geven de mantelspan
ningen, die kunnen ontstaan bij een eenfasig inschakelen van de kabel
sectie of bij het aarden van een opgeladen kabel. De afsluitimpedanties
aan het einde van de kabelsectie geven aan of de kabelsectie is verbon
den met een hoogspanningsl ijn (afsluitimpedantie 400~, zie de diagrammen
IX-6 en IX-9) of is aangesloten op een volgende kabelsectie (afsluitim
pedantie 33 ~, zie de diagrammen IX-7 en IX-8}.
Hierbij is de capaciteit C verwaarloosd t.o.V. de weerstand Ruv uv
-105-
Bij al de gedane metingen valt meteen op, dat de frequenties in de man
telspànningssignalen betrekkelijk laag zijn. De oorzaken hiervan zijn de
grote dempingen ..'oor hogere frequenties in de 11man tel-mantel kabels· l en
het feit, dat het analogon voor hogere frequenties (> 18 kHz) niet meer
als een correcte nabootsing van een gekruiste kabel sectie kan worden be
schouwd.
Bij de metingen met de spanningsbron voeding werd geconstateerd, dat op
diverse plaatsen de mantelspanningen hun maximale waarde bereiken eerst
nadat diverse gereflecteerde golven deze plaats hebben bereikt. De hoog
ste mantelspanning, die in deze kabel sectie werd gemeten treedt echter
op tussen de mantels van de geactiveerde kabel voor en achter de eerste
mantelonderbreking (VAR - VAT)' Dit spanningsmaximum is vrijwel onafhan
kelijk van de manier waarop de kabels zijn afgesloten en geaard, zodat
mag worden verondersteld, dat dit maximum ontstaat op het moment dat de
inkomende golf op deze eerste mantel-kruisingsplaats wordt gebroken.
Nagenoeg identieke spanningsvormen werden gemeten wanneer in diagram
IX-] de aardverspreidingsweerstand Rab aan het einde van de kabelsectie
zeer groot werd gekozen. Alleen wanneer de aarding aan de voedingszijde
van de kabel slecht is kunnen de mantel-aarde-spanningen hogere waarden
aannemen. (Diagram Ix-8).In diagram IX-9 zijn in de geactiveerde kabel aan het begin en einde over
spanningsafleiders opgenomen in de vorm van anti-serie geplaatste zener
diodes. De restspanning van deze overspanningsafleiders is gel ijk aan de
maximale waarde van de ingangsspanning. Uit de metingen bI ijkt, dat het
toepassen van deze afleiders niet direct voordel ig is wat betreft de hoog
te van de optredende mantelspanningen. Vergel ijk hiervoor de diagrammen
Ix-6 en IX-9. De verklaring hiervoor is dat door het aanspreken van de
overspanningsafleider aan het einde van de kabel platsel ing grote binnen
geleiderstromen kunnen ontstaan, waardoor weer hoge spanningen in de man
tel-circuits worden geinduceerd.
De m~ximale mantelspanning (VAR - VAT) bedraagt ongeveer 23 % van de po
tentiaalsprong aan het begin van de geactiveerde kabel. Theoretisch kun
nen tweemaal zo hoge spanningen worden verwacht wanneer namel ijk een ka
bel, opgeladen tot een spanning -E, wordt verbonden met een spanningsbron
met een e.m.k. +E.
Eveneens kunnen hoge~e spanningen ontstaan wanneer de kabel driefasig
wordt ingeschakeld (1]).
-106-
T.a.v. de gemeten mantelspanningen in die situaties, waarbij een O/~
golf vanuit een bovengrondse I ijn de kabel binnentreedt (zie de diagram
men IX-10 t/m IX-13) kunnen de eerder gemaakte opmerkingen worden her
haald. Ook hier hedr3agt de maximale mantel-mantel spanning (VAR - VAT)
ongeveer 25 à 33 % van de inkomende golfspanning aan het begin van de
kabelsectie ofwel ongeveer 1.9 à 2,5 % van de golfspanning in de boven
grondse I ijn. Dit bij een golfimpedantieverhouding:
..
ZI ••I J n
Zkabe I
40033
400 n
...400 !l
SUBSECTiESUBSECTiE
Jo ... ,." • > 0,' .Dia 9ra m IX- 6
"
SUBSECTIE
R,g=O
, ,'-;.,"'l.
I.....Clco
I
tr\/bo~' Iv
" VAR-VAT
1\V l\A.l\ r':
TV\ '? \/v V
'.
r~7ZScr=1VAS
/
.-
1 div. vu t. = 0.05 E 1 div. hor. = 0.1 ms
33A
33 Q...,
')') A.
•3
!>ua5ECTI ESUBSECTIE
Diagram IX - ::7
•1
SUBSECTiE
S
R
T
0-
h~=I<"1v
, VAS
I~L\~=-----~I'.
/""... ~[~ -(II
v
/ \. ---j '",
rI
V
I-o\.0
I
1 div. vert. = O.OS.E 1 div. hor. = 0.1 ms
33~
33.Q
•3
SUB~Er.TiESUBSECTiE
....' p '.'
Di.agram I X- 8
,.
R
s
T
•
/ ........
/ ----.....( "'-
'\..
I--oI
VBR- VaT
~---::-----'rf§f= gv
I~I W~~IVeT
,........." -'f ...,......
I
;
\/
y !
'"\
.-
, div, nrt.::: 0.0 S E , div. hor. = 0.1 ms
I
~
~
I
....~b= 0
SUBSECTIE
r VB,-VBS
2'
. VaT
~~~~, l.
SUBSECTIE
..
" Diagram IX- <3. . .
'.
l'
SUBSECTiE
S
Raa=O
~~~_. I
,E;F=. I
~~V~"<T?> I
--T---U R(Q):1.E
I-V kèlrölkteristiekovers p::lnni n95-öl' Ie iqer
.-
, div. vert. = 0.05 E 1 div. hor. = 0.1 ms
DIAGRAM IX -10
LJ R(3km)U Rl2km)R
400Q
IJ+
33,n
40. lU(tl ____ """..
40V 1- 2- 3-
SUBSECTIE SUBSECTIE SUBSECTIET
0100 golf 400 33a
Raa =0':~ab=O! óf~b=oo
'0,
I-"
IU 'RIO) , NI
VAR VeR .t::=I
WR11 km)
r::=:=;gVes."
U Rl2 km)
ESS321UJRl3kml
Ir:: : I==I I
1 div. ver t. =2 V1 di v. vert. =0.2 v" 1 div. hor. =0. 1 ms
1 div. hor. =0,1 ms
Diagram IX -11
IJR(2km)~(1km)
...,....
R400n
L "OV "00.0
"O.U{t).V _____ ~1" 2" 3"
,SUBSECTIE SUBSECTIE SUBSECTIE
0/00 golf "000
VeT'"
VAT R : °ót 00
Raa =° ab ~
I i Î
UR(O) \..V
VAR V - v 'kB:, I
VeR BR BT
1 I
U R<1km)
VAS-VAR kc, jVAS.- I I
UJ R(2km)
Iz=, I !VST
- VBS
VAT V -VVeT UJRC)km)AT AS
I~=, ,
1 div. nrt = DV
1 div. vut. = 0,2 V 1 div_ hor. = 0.1 ms , div. hor. = 0.1 ms
Diagram IX-12
SUBSECTIE
IUR (2 kni
,...... ,t.,...........
R
'::'~)T--_-S
/,0 V l.COn ,. 2'
T SUBSECTIE SUBSECTIE
O/aJ golf /,OOn
Raa=co V~
V1I
, div. "'crt. = 2 V
, div. hor. =O.'ms.
U Rlol
Ic,t:-;
h=:::, ,I
ti===~..
DE SPANNINGEN TUSSEN DE
MANTELS ZYN GELYK VOOR
Raa=O EN '\a =00
, div. hor. = 0.1 m 5, div. vert. = 0.2 V
/
( "'-../ ""/ '\
-
"•
.-
0'I
R =0 óf 00ab
, I
•1
SUBSECTIE
1 div. vcr!. = O. S V1 div. hor. = 0.1 ms
~.;; I~(2kml
~:" I
1
t
IUR (2km)
v - Vas BR
V - VBR ST
SUBSECTIE
Diagram IX -13
1 div. hor. = 0.1 ms
S
400
t- ,.
SUBSECTIE
4000.
Raa =0VAT
VAR-VAT
VSR
400n
V - VAT AS
OVERSPANNING AFLEIDER: RESTSPANNJNG 0.9 V
0100 golf
*
1 div. vcr t. = O.OS V
\
0-
e=Zg.i,
e'=Z.i ' ,g
-118-
X. EEN EENVOUDIGE METHODE VOOR DE BEPALING VAN MANTELOVERSPANNINGEN
IN GEKRUISTE KABELSYSTEMEN.
In het vorige hoofdstuk hebben we gezien dat de eerste top van de span
ningsvormen op de mantels tussen de subsecties vrijwel onafhankel ijk is
van de manier waarop de kabelhoofdsectie is belast aan het begin en ein
de. (Zie de diagrammen IX-G t/m IX-13). Bovendien is daarbij geconsta
teerd, dat bij invoeding d.m.v. een blokv6rm!ge spanning aan het begin
van de R-kabel, de eerste top van de spanning tussen de punten AR en AT
ook de maximale spanning is, die in het mantel-circuit werd gemeten.
Het is daarom redelijk te veronderstellen dat de eerste spanningstoppen
uitsluitend het gevolg zijn van de eerste breking van de inkomende gol
ven op de plaats van de cross-bondings. In dit hoofdstuk zal een metho
de worden behandeld met behulp waarvan de eerste top van de mantelspan
ningen kan worden berekend. Deze methode, welke is ontleend aan referen
tie 21, gaat uit van de idee dat de golfverschijnselen in verliesvrije
kabels beschreven kunnen worden door twee relevante parameters namelijk
de karakteristieke golfimpedantie en de voortplantingssnelheid.
Op de plaatsen waar de discontinuïteiten optreden worden netwerkvergel ij
kingen opgesteld waarmee berekening van de gereflecteerde en doorlopen
de golven mogel ijk is.
Nemen we als voorbeeld een kabel met golfweerstand Z , die is afgeslog
ten door een netwerk waarvan de golfimpedantie Z bedraagt, dan bestaane
de volgende relaties tussen de inkomende en gereflecteerde golven in de
kabe I :
X-l
met: e, = spanning en stroom van de inkomende golf,
spanning en stroom van de gereflecteerde
golf.
Het verband tussen de spanning en stroom op de plaats van de disconti
nuïteit luidt als volgt:
E = Z .1,e..
met: E = e + el en = - i I •
X-2
-119-
Wanneer de spanning en stroom van de gereflecteerde golf worden geël i
mineerd uit vergel ijking X-2 dan houden we over:
2.e - E = Z . I eng
E = Z . I .e
X-3
Deze twee vergelijkingen kunnen worden verduidel ijkt aan de hand van
figuur X-1. Dit schema kan ook worden beschouwd als het vervangingssche
ma van de situatie waarin de kabeldiscontinuiteit wordt getroffen door
een inkomende golf met amplitude e .
...zg
EZ
eFig. X-1
Wanneer Z de golfimpedantie voorstelt van een andere kabel, dan stelte
E de amplitude voor van de daarin doorlopende golf, terwijl de ampl itude
van de gereflecteerde golf bedraagt:
el = E - e. x-4
Om deze berekeningsmethode te kunnen toepassen op de plaats van de cross
bondings moeten we een vervangingsschema construeren voor de drie in de
aardbodem gelegen éénaderige kabels. De kabels die hier beschouwd worden
bestaan uit een binnengeleider en een t.o.v. aarde geïsoleerde loodmantel.
De loodmantel kan als een perfecte electro-magnetische afscherming tussen
de binnengeleider en de geleidende aarde worden gezien. Het is hierdoor
mogelijk dat een golf aanwezig is in de "binnengeleider-mantel kabel ll
zonder dat de overige kabelgeleiders daarvan enige invloed van ondervin
den.
Anders is de situatie bij golfverschijnselen op de mantels. Hierbij is
het niet mogelijk om een enkele golf tussen de mantel en de geleidende
aarde aan te nemen, aangezien door de afwezigheid van een electro-magne
tische afscherming hierdoor ook golfverschijnseien op de andere manteis
geinduceerd worden. Deze eigenschap introduceert grote problemen bij de
-120-
behandel ing van de breking van mantelgolven op de cross-bonding-plaatsen.
Om dit probleem te omzeilen kunnen met twee verschil lende benaderings
methoden de mantelspanningen worden berekend.
Bij de eerste methode zal worden aangenomen, dat de aarde wel een electro
magnetische afscherming vormt tussen de mantels.
Bij de tweede methode wordt verondersteld dat het gehele kabel systeem
vrij van aarde is opgehangen. Hierdoor zullen geen golven tussen de man
tels en aarde =anwezig zijn, om~at de golfimpedantie hier oneindig hoog
wordt verondersteld. Wel is het mogelijk dat een golf zich voortplant
tussen twee mantels zonder dat de derde mantel daarvan iets merkt aan
gezien we met een symmetrischqel~gen kabel systeem rekenen~
De eerste methode benadert de werkel ijkheid meer naarmate de geleidbaar
heid van de aarde toeneemt. Teïwijl de tweede methode gebruikt kan worden
bij kabels, die gelegen zijn in een bodem met een uitzonderl ijk lage ge
leidbaarheid, of bij kabels die zijn opgehangen in een tunnel.
In de hier nagebootste situatie lijkt het verstandig om te kiezen voor
de eerste methode, omdat t.g.v. de lage waarde van de weerstand R /1uv
de spanning tussen de buitenmantels en de bijbehorende mantels hoog zal
zijn t.o.V. de spanning tussen de buitenmantels, aannemende dat de
frequenties niet al te hoog zijn ( < 20 kHz).
Als golfimpedantie voor de IIman tel-aarde kabel l' nemen we (zie hoofdstuk
IX, vergelijking IX-6):
z = -!.Z .m mm
In figuur X-2 is het vervangingsschema weergegeven van de cross-bonding
plaats tussen de eerste en tweede subsectie. Hierbij zijn al leen inkomen
de golven aangenomen in de R-kabel en tussen de R-mantel en aarde, resp.
eR1f en e r1f . Deze beide golven veroorzaken in alle kabels, dus ook in
de kabels waarin de inkomende golven zich bevinden, golfverschijnselen
waarvan de amplitudes te berekenen zijn m.b.v. de schema's in de figu
ren X-3 en x-4. De amplitudes van de gereflecteerde golven in de kabels
waarin de inkomende golven zich bevinden staan niet in de genoemde ver
vangingsschema's aangegeven, maar kunnen worden berekend m.b.v. de ver
gelijking x-4.
\,\««,\,
-121-
'" " " " " " " " , " " , " "" " , " " " "/" " " " " " " 4; "" " " " " \;" ,
1.. ......
,,' " " " " " , " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " """ "
R
2.eR1f
L------1~.t 2 f
I'Î guur X-2
-123-
De vervangingsschema's zijn identiek aan dat van figuur X-2, alleen zijn
hier de golfimpedanties op voor rekendoeleinden geschiktere manieren ge
rangschikt. De schema1s in de figuren X-3 en X-4 zijn respectievel ijk be
doeld voor de bestudering van de breking van binnengeleider- en mantel
golven.
T.a.v. de in de schema's gebruikte notaties kunnen we het volgende opmer
ken; de zich naar rechts voortplantende golven in de eerste en tweede
subsectie zijn voorzien van de indices 1f resp. 2f (forward) en de zich
naar links voortplantende golven zijn voorzien van de indices 1b resp.
2b (backward).
De amplitudes van de zich van de cross-bonding plaats verwijderende gol
ven hangen op de door vergelij~ing X-5 gegeven wijze af van de amplitu
des van de zich naar de cross-bonding plaats toe bewegende golven. Deze
vergelijking, waarvan de coëfficienten uit soortgelijke schema1s als
die gegeven in de figuren X-3 en X-4 zijn berekend, kunnen we de brekings
vergel ijking noemen. (Voor vgl. X-5 zie de volgende bladzijde).
Op soortgel ijkewijze kunnen de brekingsvergel ijkingen voor het begin en
einde van de kabelhoofdsectie worden bepaald. En zijn deze eveneens be
kend dan is het in principe mogel ijk om de mantel-aarde spanningen te
berekenen uit de golfbrekingen op de cross-bonding plaatsen en die aan
het begin en einde van de kabelhoofdsectie. Dit is echter een zeer tijd
rovende methode, zodat het gebruik van een digitale computer hierbij on
ontkoombaar lijkt.
In het onderstaande voorbeeld zal alleen berekend worden de eerste span
ningssprong van de mantel-aarde spanningen tussen de
subsecties, t.g.v. een stapvormige spanningsgolf geinjecteerd in de R-ka-
"bel. Hierbij behoeven uitsluitend de golven in de binnengeleider-mantel
kabels" in rekening gebracht te worden, aangezien de voortplantingssnel
heid in de "mantel-mantel kabels 'l veel lager is dan die in de eerderge
noeolde kabe 1s, bovend i en i s de demp i ng i n de "man te I-aa rde kabe 1s" zeer
hoog.
Wordt op het tijdstip t o een stapvormige golf met een ampl itude eR1f ge
injecteerd in de R-kabel dan bereikt deze op het tijdstip t + 6t deo
plaats van de eers.te cross-bonding. (t>t = e/v ). T.g.v. deze ene inkogmmende golf berekenen we dan m.b.v. de brekingsvergel ijking X-5:
voor de mantel spanningen t.o.V. aarde
eR1 b 2Q -Q -Q -P 0 P P+Q Q Q -P P 0 eRlf
eS1b -Q 2Q -Q P -P 0 Q P+Q Q 0 -P P eSlf
eT1b -Q -Q 2Q 0 P -P Q Q P+Q P 0 -P eTlf
• e r1 b -2Q 2Q 0 -2Q Q Q 2Q -2Q 0 Q P+Q Q erlf
es1b 0 -2Q 2Q Q -2Q Q 0 2Q -2Q Q Q P+Q es lf
et1b 2Q 0 -2Q Q Q -2Q -2Q 0 2Q P+Q Q Q etlf I.....N
--------------- ~- - - - - - - - - - - --- - - J:-• I
eR2f P+Q Q Q P 0 -P 2Q -Q -Q -P P 0 eR2b
eS2f Q P+Q Q -P P 0 -Q 2Q -Q 0 -P P eS2b
eT2f Q Q P+Q 0 -P P -Q -Q 2Q P 0 -P eT2b
e r2f 2Q 0 -2Q Q Q ~+Q -2Q 0 2Q -2Q Q Q er2b
es2f -2Q 2Q 0 P+Q Q Q 2Q -2Q 0 Q -2Q Q es2b
e t2f 0 -2Q 2Q Q P+Q Q 0 2Q -2Q Q Q -2Q et~b
4z zmet: P = 4z
gmQ = 4z
mgm + 3Zm
en + 3Zgm m
Vergel ijking X-5: Brekingsvergelijking.
-125-
x-6
2.Q.eR1f ·U( )t-lit-to
voor de spanningen tussen de binnengeleiders en bijbehorende mantels:
X-7
met:4z
p = gm4z + 3Zgm m
Zm
, Q = T4-z-"";'+;";"""""3""""Z-gm m
Z = 11 nm
en Zgm 33 n.
Voor de eerste spanningssprong van de mantel-aarde spanningen tussen de
tweede en derde subsectie, die het gevolg is van de golven in de I'binnen
geleider-mantel kabels", vinden we weer m.b.v. de brekingsvergelijking
X-5:
VSR = es3f =(- 2Q. eR2 f' + 2Q.eS2f ) ,U(t-2lit-t )
0
= -O.108.eRlf ·U( )t-2lit-t ', 0
VSS = et3f = (-2Q.eS2f · + 2Q.eT2f )U(t-2lit-t ) = o. X-8
0
VST e r3f = (2Q.eR2f - 2Q.eT2f) .U( )t-2lit- t0
= +O.108.eRlf ,U(t_2lit_t ).0
Deze resultaten zijn tesamen met de gemeten eerste spanningsmaxima van
de mantel-aarde spanningen weergegeven in tabel X-l. De experimentele..resultaten zijn ontleend aan de meetresultaten van de diagrammen IX-7 en
IX-13. Juist deze resultaten zijn gekozen, omdat enerzijds de kabeluit-
-126-
gangen karakteristiek zijn afgesloten, zodat hier geen storende reflec
ties ontstaan (diagram IX-7) en anderzijds de spanningsmaxima scherp
zijn afgetekend (diagram IX-13).
Afgezien van de geindiceerde meetresultaten, die duidel ijk het gevolg
zijn van latere reflecties, laat tabel X-l een goede overeenkomst zien
tussen de experimentele en berekende resultaten, zodat we mogen conclu
deren dat de toegepaste vereenvoudigingen bij de berekening acceptabel
zijn. Bij benadering kunnen we daarom stellen dat de maximale spanning
lVAR - VATI bepaald kan worden m.b.v. de relatie:
4z + 3Z .eRlfgm m
•
TABEL X-l
Berekende en experimenteel bepaalde spanningen van de mantels na de
eerste breking van de inkomende golf e R1f op de cross-bonding plaatsen.
In procenten van de amplitude van de inkomende golf.
Spanning berekend gemeten in gemeten in
diagram IX-7 diagram IX-U
VAR -13 .3 -12 -12,2
+ 8 • •VAS0 ~ 6,7
VAT +13,3 +12 +12,2
VAR-VAT -26,6 -23 -24,5
VAS-VAR +13 ,3 +13 +12,2
VAT-VAS +13,3 +11 +12,2
VBR -10,8 - 8 - 8,5
• •VBS 0 - 8 - 7,8
VBT +10,8 +12 +11
VBR-VBT -21 ,6 -19 -20
VBS-VBR+10,8 + 7 + 6,7
VBT-VBS +10,8 +16 +14
In de diagrammen IX-7 en IX-13 is duidelijk te zien, dat deze spannings
maxima in tegensteIl ing tot de andere maxima het gevolg zijn van later
optredende reflecties.
-127-
Hieruit volgt dat de maximale spanning over een mantelonderbreking me
de afhangt van de golfimpedantie Z . Deze maximale spanning neemt daarm
om af naarmate de afstand tussen de kabels afneemt aangezien volgens
de vergel ijkingen IX-3 en IX-6 voor deze golfimpedantie geschreven kan
worden:
Z = 1. Z =m 2 mm ( ]t
).10 S 1 Ru+lI-2 .[ln ~R'2 .ln -R-
TI u TI.€ € 2 uo r
[ ]
1).10 S 1-;22TI •{I n RU}' -C-
ru
In figuur X-5 is deze karakteristieke impedantie Z gegeven als functiem
van de verhouding S/Ru met als parameter de capaciteit tussen de mantel
en de buitenmantel over een afstand van 1 km (C .10 )3.ruHierbij dient echter te worden opgemerkt, dat deze afhankel ijkheid slechts
geldt wanneer de kabels in een omgeving gelegen zijn waarvan de soorte
lijke weerstandswaarde p binnen bepaalde grenzen 1igt.a
Is de soortelijke weerstand p nl. zeer klein dan zal steeds meer dea .
idee van de ideaal geleidende aarde worden benaderd, in welk geval de
karakteristieke impedantie van de mantel-aarde kabel Z. gel ijk wordtm
aan:
1 ~o Ru+lIZm = zn' lË € 2' In Ru
o r
60 ~.~ Ai' Ru
X-la
In dat geval is Z over het algemeen zeer laag (2 -.- 8n) en onafhankel ijkm
van de afstand S tussen de kabels.
Is de soortel ijke weerstand p zeer hoog dan zal de weerstand R groota uv
worden t.o.V. de impedantie l/wC (zie hoofdstuk VI I I). De aanwezig-uvheid van de aarde kan dan het beste worden voorgesteld door de capaci-
teit C i .p.v. de weerstand R en dit impl iceert dat de golfimpedan-uv uvtie van een mantel-aarde kabel gel ijk wordt aan [22, 231:
X-ll
Bij vergelijking X-ll is v~rondersteld, dat de relatieve permittiviteit
van de manteliso~atie gelijk is aan die van de aardbodem. In figuur
X-6 is deze karakteristieke impedantie weergegeven als functie van de
verhouding S/Ru met de relatieve permittiviteit van de aarde € alsra
2 -S.. 4 6 8 10 15 20 2Ru ~
Fig. X-5 Jllo S 1Fig. x-6Zm = 21T In- '-C-Ru
ru
10 2 < p < 10 4 ~ma
200
.n
100
80
60
40
10
8
6
1--
-I- f,..---
V I--
~~ --I- f,..---
./ ,...-",/ /"
~
~ -~--/ I-----V
~ -~ -I-~-/" ,,-10-"",. ....... -V ~l-r--
/ I.--~--~
c .10 3ru
0,5 llF/km
2
4
8
200
n
100
80
60
40
10
8
6
.-~
~~V
/~
" ............./ ~
/' l..o-' io"'"
./I'
./~, /' ,...-
./ -./" .....V
J"
/" /v
/' ~
~V/' .....V"
"..~,
,,/,
~./ ~
V "..~'// l/
/~
/'/
~ 4 6 8 10 15 20Ru _ __
1 S JlloZ = -2.ln-R'm 1T u e: e:o ra
p > 10 6 ~ma
3
9
27
81
e: ra
t
I~
N0:>
I
-129-
1 ,2
1 ,0
,8
,6
,4
,2
ZGM
IVAR - VATI ~~Ijg~ft On
eRlf V./
.....V~~500
/ ,/ vV~
v ./ .......v,..../ V ,/
/ V
~~~,/
~~
~V
v ~
1/ "".--: "...~~ :::~f--
2 3 4 6 8 10 20 40 6080100 200stZ "m
ng. X-7. IVAR - VATI 4ZMf (ZM)= 4z GM + 3ZM.. " eRlf
parameter. (E is ongeveer 2,5 voor een droge bodem en 80 voor eenrazeer vochtige bodem)
In figuur X-7 is weergegeven de eerste sprong van de mantel spanning
VAR - VAT als functie van de karakteristieke impedantie Zm
Bij de bepal ing van de karakteristieke golfimpedantie Z kan voorm
practische waarden van C bij benadering gesteld worden, dat de ideeruvan de ideaal geleidende aarde bruikbaar is wanneer p < 10 Sim en het
amodel van de vrij opgehangen kabels is bruikbaar wanneer p > 10 6 stm.
a< 10 4 stm dan kan voor het berekenen van Z het bestem
Indien 100 < pa
gebruik gemaakt worden van vergel ijking X-9.
Uit de figuren X-S, x-6 en X-7 vinden we dat de spanning over de eer
ste mantelonderbreking zeer hoog kan worden, zelfs hoger dan de ampl i
tude van de binnenkomende golf eR1f
, wanneer de kabels in een droge
hobgohmige bodem zijn gelegen.
-130-
Aangezien de keuringseisen voor de mantel isolatie van ~ijvoorbeeld een
hoofdkabel voor 150 kV bedrijfsspanning overeenkomen met een net van
3 kV [24] is het gewenst om spanningsbegrenzers in het mantelcircuit
op te nemen. Bij voorkeur neemt men daarvoor in de practijk 3 spannings
afhankel ijke weerstanden, die in een sterschakel ing zijn verbonden met
de drie mantels. Het sterpunt wordt dan veelal met aarde verbonden [9,
19, 211.
Afhankelijk van de grootte van de stroom duor deze weerstanden kan hier
door de schijnbare golfimpedantie worden teruggebracht tot enkele ohms,
zodat de maximale spanning (VAR - VAT) in vrijwel alle gevallen beperkt
bI ijft tot minder dan 10 %van de binnenkomende spanningsgolf. De ma
ximale spanning van de mantel t.o.v. aarde blijft dus kleiner dan 5 %van de in de kabel lopende golf.
-131-
LITERATUURLIJST
1. Kamerbeek, E.M.H.: On the theoretical and experimental determination
of electro-magnetic torque in electrical machines.
Dissertatie Technische Hogeschool Eindhoven.
pag. 36 - 38.
2. Rüdenberg, R.: Elektrische Schaltvorgänge. pag. 276 - 285.
Springer Verlag. Berl in, München. 1953.
3. Carson, J.R.: Wave propagation in overhead wires with ground
return.
5. CI arke, E.:
8. CIarke, E.:
4. Carson, J.R.:
12. Bessonov, L.
6. CI arke, E.:
7. Barnes, C.C.:
Bell System Technical Journal. 5,539/550,(1926).
Ground return impedance of undergound wires with
earth return.
Bell System Technical Journal. 8,94,(1929).
Circuit analysis of A.C. power systems.
Vo I. 1, pag. 373.
John Wiley & Sons Inc. New Vork, London. 1950.
idem. pag. 225 - 230.
Power cables. Their design and instal'letion.
pag. 37. Chapman & Hall. London 1966.
Circuit analysis of A.C. power systems. Vol. 1.
pag. 140 -141.
John Wi ley & Sons Inc. New Vork, London. 1950.
9. Provoost, P.G., Janssen, M.J.G.:
Stootspanningen in kabels met onderbroken lood
mantels. Elektrotechniek. 20,474/483,(1969).
10. Toshio Mai, Yoshi Haru Watanabe:
Calculation of travel I ing waves on single conduc
tor cabte-circuits with cross-bonding.
IEEE Transactions on power apparatus an systems.
PAS n, 1507/1512,(1968).
11. Heaton, A.G., /ssa, A.M.H.:
Transiënt response of cross-bonded cable systems.
Proc. lEE, .!..!l,578/586,(1970).
Applied Electricity for engineers.
Moscow, MIR, 1968.
13. ter Horst, D.T~.J.: Hoogspanningstechniek 1,
Collegedictaat. Technische Hogeschool Eindhoven,
paragraaf 2.3.
24. Kreuger, F.H.:
-132-
14. Clarke, E.: Circuit analysis of A.C. power systems.
Vol. 1, pag. 474.
New Vork, London. Joh,) Wiley & Sons Inc. 1950.
15. zur Megede, W.: Fortleitung elektrischer Energie längs leitungen
in Starkstrom- und Fernmeldetechnik. pag. 23.
Springer Verlag. Berlin. 1950.
16. Clarke, E.: Circuit analysis of A.C. power systems. Vol. 2.
Pag. 25.
John Wi ley & Sons Inc .. New Vork, London. 1950.
17. Clerici, A., Manara, R.:
Transiënt network analyser study of overvoltages
in cross-bonded A.C. cables. Pag. 454 - 460.
lEE Conference Publ ication number 44.
18. Watson, W., Erven, C.C.:
Surge potentials on underground cable sheath
and joint isolation.
IEEE, PAS 82,239/249,(1963).
19. von Petry, Wolfgang, Vierfuss, Hans, K.:
Einleiterkabel mit ausgekreuzten Mänteln.
Elektricitätswirtschaft. J!l,7531761 ,(1971).
20. Stephanides, H.V., Schmid, M.:
Uberspannungen bei Blitzschlägen an Kabeln mit
ausgekreuzten Mänteln.
Bull. SEV. ~,125/134,(1972).
21. BalI, E.H., Occhini, E., Luoni, G.:
Sheath overvoltages in high voltage cables resul
ting from special sheath-bonding connections.
IEEE. PAS. 84,974/987,(1965).22. Wedepohl, L.M.: Application of matrix methods to the solution
of traveIl ing-wave phenomena in polyfase systems.
Proc. lEE. ~,2200/2212,(1963).
23. Shigenori Hayashi, D. Eng.:
Surges on transmission systems.
chapter 1-1.
Denki-Shoin Inc., Kyoto, Japan. (1955).150 kV kabelverbindingen voor grote vermogens.
Elektrotechniek, ~,459/463,(1969).
25. Banks, J.:
-133-
Electrical power transmission: the elegant
'31ternative.
Proc. lEE. ..!l.!.,49/58, (1974).
26. Fallou, M.: Analyses des procédés permettant de supprimer
les pertes dans les gaines métall iques de cables
unipolaires à courant alternatif.
Revue générale d'Electricité. 74,481/498,(1965).
27. Wollaston, F.O., Kidd, K.H.:
Cable sheath jacket requirements to withstand
abnormal voltage stresses.
AIEE. PAS. ~,1116/1129,(196l) .
..