T 164 Angewandte Analysis und Mathematische Physik

ai+5+k h(t, X, y) ati axj a y h

Mit Hilfe des Satzes von GER~GORIN laWt sich beweisen: S a t z : Gilt H M + M * H* = 2 P, wobei H sich nur in der Diagonalen von ihrem hermiteschen Anted

- 1 2

H := - ( H 4- H *) unterscheidet und P eine Diagonalmatrix ist, und gilt weiter

5 H , Hi+j+k( i i i ) ! j ! k ! , i, j, k = 0 , 1, 2, . . ., ( t , X, Y) t B'x 8 . (3)

so ist 111 H = I n M . Rundungsfehler schaden also uberhaupt nicht, solange die Diagonalelemeiite von Y ,,hinreichend positiv"

sind. I n den Fallen, in denen bei unseren Tests (5) nicht erfiillt war, lag das meistens daran, da13 mindestens ein Diagonalelement von P iiegativ war. In der uberwiegenden Zahl der Falle arbeitete das Programm jedoch sehr zufriedenstellend.

Litcratur 1 How~ahl ) . J . L. and SENEZ, J. A., A Constructive Method for the Solution of the Stability Problem, Numcr. Math. 16,

2 MEY~CR-SPASCJ~E, 11.. A Method of Solving the Stability Problem for Complex Matrices, submitted to Numcr. Math. 3 OSTROWSKI, A. and ScrINEIDER, H., Some Theorems on the Inertia of General Matrices, J. Math. Anal. Appl. 4, p. 72-84

pp. 1-7 (1970).

(1962).

A m c h i i f t : RITA ~IIEYER-S~~AYCHE, 8 Miinrhen 40, Ainmillerstr. 42/1, BRD

H. N. MULTHXI

Eiii verdlgeineiiicrtes Go 11 r s a t probleni

In 11 J - [ 31 wird die Uiffereiitialgleichuii::

4 4 2, 0 ) = o(4 9 q t , 0, Y) = 44 y) , e(4 0 ) = a@, 0 ) , (1') betrachtet. Iiiterpretiert man t als Paramrter, so erhalt man fur d ( t , z, y) = 0 gerade das charakteribtischc Bnfangswertproblcni fur die allgemeine 1') p c ~ bolischc Gleicliung in zwei Raumvariablen. Unter Beruck- sichtjguiig dieses Gesichtspunktcs ist cs nalieliegend, in Analogie zum hyperbolisclieri Fall auch das ent- sprechende nichtcliarakteristischc Anfangswertproblem zu untersuchen , d. 11. s ta t t (1') xverden folgcnde Anfangsbcdingungeii gestellt .

( 2 ' )

Applied Analysis and Mathematical Physics T 165

gesetzt, daB sie beliebig oft nach t differenzierbar uncl nebst allen Able.itungen iiher R1x Q stetig ist, sowie fur e,in 6 E (1, 21 Abschatzungen folgender Art' erfiillt,:

+( t , 5 , y) 5 Bo By&)! , i = 0, 1, 2, . . , ) ( t , x, y) E R'x Q . (4) 1;; 1 Urn Existenzaussagen fur (1) - ( 2 ' ) zu erhalten, wird zuerst, die Existenz einer verallgerneinerten RIEMANN- schen Funktion - und zwar im Sinne von [1] - nachgewiesen. Gesucht ist eine Punktion V( t , x, y; [, 1 1 ; f ) , die fur jeden Aufpunkt ( E , yi) E Q neben der homogenen Gleichung (1) auch noch die folgenden Gleichungen erfiillt,:

V,(k J: yi ; E , rj ; f ) + 4 t , x, q ) V(t , x, q ; E , 71 ; I ) = 0 , V,(t, 5 , y ; 5 , q ; f ) + 4 t > E , Y) V( t , 5, y ; E , yi ; f ) = 0 2

V( t , 6, q ; E , yi ; f ) = f ( t , E , 7) . Ferner sol1 die Funktion V ( t , x, y ; E , 7 ; f ) nebst den in ( 1 ) vorkommenden Ableitungen iiber iR1 x Q x Q stetig sein. v ( t , 2 , y; 5,yi; f ) wird in [I] verallgemeinerte RIEMANNsche Fnnktionl) genannt. Die Analogie zum klassischen hyperbolischen Fall ist offensichtlich. Die Ejnfuhrung von

u(t, x, Y) - e( t , 2 ) - 44 Y)

u(t , 2 0 , Yo) =

als neue gesuchte Funktion zeigt, daB man 0. B. d. A. anstclle von ( 2 ' ) die homogenen Anfangsbedingungen

5 0 , Yo) = U,(t, xo, yo) = 0 > ( t , ~ 0 , yo) E R1 X K , ( 2 ) zugrunde legen kann. Es sei weiterhin B(E, q) der Bereich der x,y-Ebene, der durch die Kurve K sowie die Geraden x = 6 und y = 11 eingeschlossen wird. Dann gilt folgender

Sat#z 1: Fur pin 6, E (0, 21 seien obige Voraussetzungen, f u r die Koeffizienten irnd d i e Inhonzogenitix't der QleicAung (1) erfiillt. Dann ist fur hinreichend kleines Q

eine Losung der Problemstellung (1) -(2) uber B1 x Q. Hierbei gi l t das Plus- oder ilifinuszeichen, je nachdevz die Kurve K fallt oder steigt. Die verallgemeinerte K i e m annsch,e Funktion V( t , x, y ; [, q ; f ) g e n u g t Abschatzungen der Art (3) mit (7 := do, wobei die entsprechnden Konstan,ten. aus (3) unabha,ngig von ( 4 , yi) gewahlt werden konnen..

Anmer l rung: Die AusmaBe von Q sind nur von So und den Konstanten abhangig, mit denen die Koeffizienten hew. die Inhomogenita,t von (1) jeweils die Ungleichungen (3) bzw. (4) erfullen.

Beweis: Die Existenz einer verallgemeinerten RIEMnNNschen Funktion V ( t , 2, y; [, q ; f ) mit der in Satz 1 gennnnten Eigcnschaft wird unter obigen Voraussetzungen fur hinreichencl kleines Q in [3] gezeigt. Durch Einsetzen in ( 1 ) - (2) ergibt sich unmittelbar, da13 u(t, x, y) die Problemstellung (1)-(2) lost.

Die Eindeutigkeikfrage laljt' sich mit der in [2] entwjckelten verallgemeinerten RIEMANNschen Inte- grationsmethode wesentlich allgemeiner, d. h. ohne zusatzliche Differenzierbarkeits- bzw. Analytizitats- bedingungen, beantworten. Sei Im die Menge der Funktionen, die nebst den in (1) vorkommenden Ablei- tungen iiber R1 x Q stsetjig sind. Dann gilt der

S a t z 2 : Unhr den betrachteten Voraussetzungen f u r die Koeffizien.ten der Gleichun>g (1) ist die honzogene Proble~mstellung (1) - (a) i n der Funktionenkla.sse % nur trivial losbar.

Der Beweis von Satz 2 ist nach [ 2 ] mit dem Eindeutigkeitsbeweis fur die Problemstellung (1)-(1') in [3] identiscli. Auf Grund der Beweisfiihrung in [3] ergibt sich sogar, dal3 der Satz 2 auch d a m noch gilt, wenn man bei der Problemstellung (1) - ( 2 ) beziiglich t verallgerneiiierte Funktione,n iiber dem GELFAND-SHILOVSChen Grundraum h': mit I < 6 5 2 betracht<et.

Literakr 1 MULTHEI, H. N. nnd NEUNZERT, H., Untersuchung pseudoparabolischer Differentialgleichungen mit Hilfe einer verallge-

2 MULTREI, H. N., Existenz- nnd Eindeutigkeitsaussagen fur eine Klasse partieller Differentialgleichungen mit Hilfe einer

3 MULTHEI, H. N., 73ehandlung eines Goursatproblems mit einer verallgemeinerten Riemannschen Methode (erscheint in

meinerten Riemannschen Jntegrationsmethode, Mathematisclie Zeitschrift 111, S. 257 -266 (1969).

verallgemeinefrten Riemannschen Integrationsmethode, Bericht der Kernforschungsanlage Julich, Nr. 773 (1971).

ZAMM 63 (1973)).

Anschrift: Privatdozent Dr. H. N. MULTHEI, Zentralinstitut fur Angewandte Mathematik Kernforschungsnnlage Julich GmbH, D 517 Julich, Postfach 365, BRD

. _ _ I ) In [2] wird eine andere Definition verwandt.