Ein Beitrag zur nichtlinearen Theorie des Cosserat-Kontinuums

Aeta ~echaniea 20, 105--131 (1974) @ by Springer-Verlag 1974

Ein Beitrag zur niehtlinearen Theorie des r

Von

D. Besdo, Braunsehweig

Mit 7 Abbildungen

(Eingegangen am 11. Jul i 1973; in revidierter ~'orm am 22. Oktober 1973)

Zusammenfassung - Summary

Ein Beitrag zur nichtlinearen Theorie des Cosserat-Kontinuums. ~ber den Begriif der Form~nderungsgeschwindigkeiten werden Deformationen, Stoffgesetze und eine LSsungs- theorie fiir das nichtlinear-elastische Cosserat-Kontinuum hergeleitet. Fiir ebene Verfor- mungen wird dazu ein numerisehes Beispiel angegeben. Schliefllich werden Stoffgesetze fiir hypo-elastisehe, viskoelastisehe und plastisehe Medien sowie far das Krieehen entwiekelt. Als Beispiel zur Plastomechanik wird die Torsion dtinnwandiger Rob_re aus isotropem starr- plastisehem Cosserat-Material behandelt. Dabei zeigt sich, dab sich der Poynting-Effekt soleher Medien deutlich yon dem niehtpolarer Kontinua unterscheidet.

A Contribution to the Nonlinear Theory of the Cosserat-Continuum. Deformations, constitutive equations, and a method of numerical computation applicable to nonlinearly elastic Cosserat-continua are developed by use of strain rates. A numerical example with plane deformations is presented. Then, constitutive equations due to hypo-elastic, visco- elastic, and plastic media as well as to creep behaviour are given. Finally, the torsion of thin-wMled tubes consisting of an isotropic rigid/plastic Cosserat-material is discussed. One result is that the Poynting-effeet of such a medium differs substantially from the corresponding effect of a nonpolar continuum.

1. Einleitung

Seit G~NTHEI~ [13] 1958 die Arbe i t en der Brf ider COSSEt~AT [7], [8] auf- gegriffen, fiir k le ine F o r m g n d e r u n g e n in moderne Tensorsehreibweise i iberse tz t und in Z u s a m m e n h a n g m i t der Theor ie der Verse tzungen geb rach t ha t , s ind in st~indig s te igender Dich te Aufsg tze ersehienen, die sieh m i t neuen Medien be- fassen. Man spr icht yon , ,Cosse ra t -Kont inua" , , ,general is ier ten Cossera t -Kon- t i n u a " , , ,Medien m i t M i k r o s t r u k t u r " , , , (mul t i )polaren ~ e d i e n " , , ,Medien zwei ter O r d n u n g " ( . . . " o f grade two" ) usw. U n t e r diesen i s t das y o n den Br t idern Cos- se ra t behande l t e K o n t i n u u m sehon fas t als k lass isch zu bezeiehnen. Von ihm wi rd i m fo lgenden aussehliel~lieh die l~ede sein.

W ~ h r e n d sich sei t e twa 1962 eine gro/~e Zahl y o n A u t o r e n m i t den allgemeinen po la ren Medien beseh~f t ig t - - STOJANOWO [31] z i t i e r t 1969 die s t a t t - l iehe Zahl yon 400 Titeha - - , s ind die VerSffent l ichungen fiber das Cosserat-

* Diese Arbeit ist eine gekiirzte Fassung der unver6ffentlichten Habilitationssehrift des Verfassers aus dem Jahre 1973 (TU Braunschweig) (vgl. auch [5], [6]).

106 D. BESDO:

Kontinunm vergleiehsweise fibersehaubar geblieben. Naoh dem Aufsatz von G~>T~EI~ [13] ersehienen einige Arbeiten yon GI~IOLI (z. B. [11], [12]), To~wI?r [32] sowie MIm)L,~ und T*E~STEN [22] und anderen, bei deren ,,?r mit Momentenspalmungen" jedoeh die Bewegung der ffir das Cosserat-Kontinuum typisehen starren Dreibeine gebunden ist. Sc~awF~ [24] nannte diese Ar t yon Medien, die bei den Brfidern Cosserat den Sonderfall der,, tri4dre each6" bildeten, ,,Pseudo-Oosserat-Kontinua". Er selbst hat die Theorie des linear-elastisehen Cosserat-Kontinuums mit und ohne Versetzungen din'oh eine Reihe yon Arbeiten (z. B. [25] bis [30]), die in engem Kontakt mit Gt~NT~E~ und KESSEL (z. 1~. [17], dort weitere Zitate) entstanden sind, erheblieh bereiehert.

Die meisten Aufsgtze fiber polare ~edien, abgesehen yon einigen weiteren bei SChaeFER [24] oder STOJANOu [31] zitierten, betrachten wie z. t~. ToverN [32] 1964 das Cosserat-Kontinuum lediglich als speziellen Fall allgemeiner Theo- rien. Das gilt aueh yon den entsprechenden Teilen yon Flfigges ,,Handbueh der Physik" [9], [10].

Die lineare Elastizitgtstheorie des Cosserat-Kontinuums ist dutch die vorn genannten Arbeiten welt entwiekelt, abet es existieren nur wenige Ver6ffent- lichungen, die wie [33] und [10] eine niehtlineare Theorie zum Ziel haben. Der Grund mag in der Sehwierigkeit zu suehen sein, Deformationsmal~e so aus Ver- sehiebungs- und Verdrehungsfeldern abzuleiten, dab man mit ihnen (numerisch) leieht reehnen kann. Auch fiber die Plastomeehanik grolaer Formgnderungen sind eigentlich nur die Artikel yon SAwczv~c [23] und LIPP~AIVN [20] bekannt. Selbst diese mfissen noch vervollstgndigt werden, denn Sawezuk setzt yon vorn- herein symmetrisehe (Kraft-)Spannungen voraus, wghrend Lippmann zwisehen ,,halb-" und ,,vollplastisehen" Zustgnden unterseheidet und sieh auf die vollplastisehen besehrgnkt.

Diese ffir das Cosserat-Kontinuum bislang nut unbefriedigend behandelten Problemkreise werden im folgenden im Nittelpunkt stehen.

Aus Energieerhaltungssgtzen werden zungchst die Gleiehgewichtsbedingungen und die Formgnderungsgeschwindigkeiten gefolgert. Mit ihnen werden Defor- mationsmage -- spgter kurz ,,Deformationen" genannt -- erklgrt nnd Stoff- gesetze einer niehtlinearen Elastizitgtstheorie hergeleitet. Naehdem die De- formationen mit Versehiebungs- und Verdrehungsfeldern in Verbindung gebraeht sind, wird eine LSsungstheorie angedeutet. Den AbsehluB der Arbeit t i lden Uber- legungen zum niehtelastisehen Verhalten mit einem Beispiel zur Plastomeehanik.

Die Grundidee des Cosserat-Kontinuums ist, dal? den einzelnen ~{ateriepunkten starre Dreibeine, drei starr miteinander verbundene ,,Direktoren" zugeordnet werden, die sieh kinematiseh unabhgngig vom Feld der Versehiebungen drehen k6nnen. Mit dieser Annahme entstehen drei zusgtzliehe Freiheitsgrade der Kine- matik. Dem entspreehen in der Statik neben den nieht mehr symmetrisehen (Kraft-)Spannungen neu einzuffihrende Momentenspannungen, die solehe I~ota- tionen hervorrufem ~Vill man sehliel~lieh die kinetisehe Energie eines Cosserat- Kontinuums angeben, so hat man zu bedenken, dab solehe Medien als eine zum Kontinuum ,,versehmierte" Menge kleinster Starrk6rper zu deuten ist. Diesen Partikeln wird dann eine Drehtrggheit zugestanden.

Das ist der Hintergrund der yon Absehn. 3 an folgenden Ansgtze. In Absehn. 2 wird zuvor die Tensorschreibweise kurz dargelegt.

Ein Beitrag zur nich~linearen Theorie des Cosserat-Kontinuums 107

2. Zur Tensorschreibweise

Die in dieser Arbeit verwendete Kern-Index-Tensorschreibweise wurde in [3] bereits erl/iutert. I-[ier sollen deswegen wenige Angaben geniigen.

Vektoren werden dutch Fettdruck, Tensoren durch Fet tdruek und Unter- streiehung hervorgehoben. Die Basisvektoren heiBen stets e (lel = 1) oder g. Buehstaben zwisehen a und h bzw. A und H als Indizes repr~sentieren ortho- normierte Basen ea bzw. eA, yon denen ea , ,raumfest" (Inertialsystem) sei, und kartesisehe Koordinaten Xa bzw. xA. Zu krummlinigen Koordinaten ~i und ~K gehSren Indizes i bis z bzw. I b i s Z trod treten bei Summationen paarweise unten und oben auf. Der Metrik-Tensor/~_ habe die Koordinaten dab , g iy gi] und dii (d~y, dab :

i g~ g~ (o: Kronecker-Symbol). Der Ricei-ISermutationstensor ist E = ijkg 0 0

dyadisehes Produkt, vgl. [16]). ])as Doppel-Punkt-Produ=kt zweier Tensoren sei z . B . T . . U = T~jU ji. Kovariante Ableitungen werden durch einen senkreehten Strieh als z. B. vi,j im Gegensatz zu den partiellen Ableitungen vi;j gekennzeiehnet.

3. Grundaussagen

Wie bereits erw~hnt sollen die Grundaussagen fiber das Cosserat-Kontinuum aus Energieerhaltungss/~tzen gefolgert werden. Diese seien in einem in sich starren, aber als ganzes beliebig bewegliehen ~i-Koordinatensystem formuliert. In diesem werden die Gesehwindigkeiten v und die Winkelgeschwindigkeiten ea sowie alle nicht besonders gekennzeiehneten Zeitableitungen, z. B. ~? und r gemessen. Da- neben besitzt das Koordinatensystem selbst im betraehteten Punkt eine ,,Fiih- rungs"-Gesehwindigkeit v F, -Beschleunigung a F, -Winkelgeschwindigkeit o F und -Winkelbeschleunigung a F.

Eine Axiomatik k6nnte folgende Gestalt haben: Axiom 1 behandelt die Er- haltung der Masse d m = p d V (p : Dichte, V: Volumen) in k6rperfesten Elementen und liefert die Kontinuit/~tsgleiehung

d--/ -~ div (~v) = -DT ~- Q div v = 0 (3.1)

(d/dt: Zeitableitung in dem System, gegen das v gemessen wird, D/Dt: Zeitablei- tung in einem mit dem Partikel bewegten System). Die n/~chsten beiden Axiome fiihren die Oberfl/Whenspannungen 6, = v �9 _6 (v: Normaleneinsvektor, =6: Span- nungstensor) und -momentenspannungen 9~ = v ' 9 sowie Volumenkr/ifte und

-momente pro Volumeneinheit/o und m neben Tr/~g~eitskr/~ften und -momenten

t T ~ - - -~ (C tF Jr- a c ) , TY~ T = --~0{[__~- ((D-~ (DF)]:bs - - (~ . (D)rel } (3.2) (ac: Coriolis-Beschleunigung, =~: Tr~gheitsmomententensor der Elementarkreisel je Masseneinheit, ~bs: Zeitableitung in einem Inertialsystem, ~-el: Zeitableitung im bewegten System, beide f fir ein bestimmtes Partikel). Axiom 4 definiert die /~u]ere Leistung Lex ' Axiom 5 die kinetische Energie E. SehlieBlieh fordern die Axiome 6 und 7 die Bezugsinvarianz der inneren Leistung L~.:

L~. = L ~ -- E (3.3)

sowie die Giiltigkeit aller bisherigen Axiome in beliebigen Teilk6rpern.

108 D. BESDO:

Zur Vcreinfaehung wollen wir annekmen, dab sick die inhere Energie eines K6rpers in pofentielle meekaniscke (r und nicht meehaniscke (U) zerlegen l~gt. Die entspreehende Aufspaltung yon Li. regelt das Stoffgesetz, deswegen sind die zur Beschreibung yon Li , dienenden Gr61~en fiir dieses sehr wiektig. I t ier seien nut Vorg/inge betrachtet, bei denen kcine nichtmechaniseke Energie in meeha- nische umgewandelt wird. Das erkl/trt die beiden Postulate:

1. In jedem TeilkSrper gelte Lin --~ r (3.4)

2. ,,Form/~nderungsgeschwindigkeiten" 2 und ~ seien rein kinematisehe

Gr6gen, mit deren Hilfe man die inhere Leistung in beliebigen Teilk6rpern als

I

L,. = f + (3.5) ausdracken kann.

4. Gleichgewichtsbedingungen und Form~nderungsgeschwindigkeiten

Auf tier Basis der Axiome des Absckn. 3 erh/ilt man mit der , , a b s o l u t e n " Zeitablcitung des Dralls eines Elementarkreisels pro Masseneinkeit

d = [~ - (co @ r (4.1)

unter Beachtung yon

dv • = c9 F X dr oder v~iE i = ~ijk~o F~ (4.2)

die Gleichgewichtsbedingungen 1

aiiti + / J - - oai = 0 oder V �9 =a + [ -- oa = 0 (4.3) und

#ql~ -}- mJ - - ~d~ @ a , ~ C ~'~ = 0 oder f �9 9 -b m -- od = a . . g (4.4)

sowie die Form~nderungsgeschwindigkeiten

~jl = v% - - Cijkro ~, ~]jl ~ ~ojti (4.5) o d e r

) . = V o v q - E . ~ , ~ I ~ V o r (4.6)

Bisher wurden ~]le Gr6~en in der ~ktuellen Konfiguration betracktet , deswegen waren Unterscheidungen nickt n6tig.

5. Deformationen

Zur Besckreibung yon Verformungen ben6tigt man Deformationsm&~e, die wir kurz ,Dcformat ionen" nennen wollen. Wit fiihren sic mi~ Hilfe yon drei Basisvektorarten ein: gi , ffi sind Basen in der aktuellcn Konfiguration. Falls das

1 V ist der fibliche I)ifferentialoloerator V ~ ffi ~/~l.

Ein Beitrag zur nichtlinearen Theorie des Cosserat-Kontinuums 109

SqKoordinatensystem k6rperfest ist, entsprechen ihnen in der Referenzkonfigu- ration die Vektoren g~, ~ , interpretiert man sie jedoeh als die Direktoren des Cosserat-Kontinuums, so gehen sie in andere Vektoren gi, g~ fiber. Bei Koordi- natentransformationen vom ~qSystem zu einem ~-Sys t em gilt mit stets gMchen Werten fK :

i g g = g ig K,

auBerdem neben g~ = g~g i auch

gl; = gigil~, gIr = g ig I;, (5.1)

O~=f~O~, (5.2)

w/~hrend sich 0 ~ und giiOi unterscheiden. Sp/iter werden uns zeitliehe Ableitungen dieser Basisvektoren in k6rperfesten

Koordinatensystemen interessieren. Sie lauten:

und

~)~ = vi~igi , ~ f = --v~llg ~, (5.3)

O, = ~, = o (5.4, )

g~ = }J~g.~, .~ = --~'~g~. (5.5)

Naeh diesen Vorbereitungen fiihren wit nun als Deformationen die GrSgen

s~s = ~i . ~ _ d~ oder 7~ = d~ -- 0 ~- ~ (5.6) und

�9 ~ og~ . gm ~3~ . Om (5.7)

ein. Sie sind Tensorkoordinaten, mit denen man sinnvoll die Tensoren

ebenso wie

�9 " ~ = . ~ ( 5 . 8 ) =s~ jg i o g7 7 = ~ jYi o g i , ~ . jg~ o g~,

=~,jO~oO~=g,o~-E, ~=~jO, o ~ = ~ - 8 , o9, ~="50,~ =

and (5.9)

. . . . . : ~ ~ .~J ( 5 . 1 0 ) = ~ sg, o .~, = ~ , ~ = ~,,~g, o ~ , = 9 , ~. = , ; g , o

bilden kann. Die aus e~i und ~i hervorgehenden Tensoren sind Summen und Produkte

aus Vektoren gi, g i gi, ~ i gi, Y~, so dab wegen Gln. (5.1) sieher die Transfor- mationsregeln gelten, die Werte Hik m bestehen jedoeh aus (verallgemeinerten) Christoffel-Symbolen, deshalb sei die Anwendbarkeit der Transformationsregeln hierffir naehgewiesen: Zun~ehst erkennt man nach Gln. (5.7) leieht

gKiglJgM~Hijk : gIJ ~ 0~I~ " YM - - D~ K ]

110 D. B~s~o:

K Aus der reehten Seite dieser Gleichung wird schlieBlich mit 9 j = gs gK , Y i = g/KgK

[Gln. (5.1)] sowie g / � 9 gM = giv " OM [Gln. (5.2)] und gLigi :~ = dz ~ wie erforderlieh

HKLM. Noch ungekl~rt ist, ob die oben erw~hnten Tensoren [Gln. (5.8) bis (5.10)]

objekti~ oder gar bezugsinvariant (vgl. hierzu [9], [10]), d. h. yon iiberlagerten StarrkSrperbewegnngen unabh~ngig, sind. Da alle Vektoren 9i, 0i, 0i fiir ein festgehaltenes Partikel definiert sind, scheidet der Einf lu] yon Translationen aus. Zum Naehweis, dab die Tensoren _~, ~, _~, ~, ~, ~ bezngsinvariant und damit

die Tensoren _e, 7, ~ objektiv sind, genfigt es zu zeigen, dab die zeitlichen Ab-

leitungen der Ko~rdinaten S~j, y i ~i s yon e, ~,, z in lokalen Basisvektorsystemen,

deren Bewegung dureh das Geschwindigkeitsfeld des Kont inuums so vorge- schrieben ist, dab keine iiber]agerte Rotat ion die Relativgeschwindigkeiten des Materials beeinfluBt, nur yon den Form/~nderungsgeschwindigkeiten und den Deformationen selbst, nieht jedoch yon r oder rot v abhgngen 2. Somit stehen zur Diskussion:

a) Ableitungen in kSrperfesten Koordinaten, die wir z. B. ~i nennen,

b) Ableitungen in einem lokalen in sich starren System von Basisvektoren, das sich mit dem Partikel dreht (Winkelgesehwindigkeit e)) und momentan mit dem System der if+ zusammenf~llt, also Ableitungen im ,,partikelfesten System",

r

z. B. e~i, und

c) Ableitungen in einem s System, das sich mit der mittleren Winkel- o i gesehwindigkeit 1/2 rot v dreht, das sind ,,mitrotierende Ableitungen", z. B. e i-

Diese drei Arten sind fiir die Koordinaten T ~] eines Tensors T m i t der Basis ff~, yi tiber ~

�9 " " 2i m~ ~iT~k und o . " + 2~(ik)T ~] 2~ k mi (5.11)

miteinander verkniipft. Deswegen betrachten wir allein die Ableitungen in kSrper- festen Koordinaten, sie lauten bei sij und y~j mit Gln. (5.5)

Dies sieht man leicht, etwas mfihsamer ist es, die Richtigkei~ yon

2~i : Y~i -- 2~kZ~i (5.13)

zu zeigen: Man wird fiber ~ : --vr~,~ ~ - --;t~m( ~ zungehst auf

1

geffihrt. Mit Gln. (5.7), (5.3), (5.5) und (4.5) erh~lt man

Dieser Weg ist zwar nieht einfaeher Ms die in [9] angegebene Betraehtungsweise, ~ber wir ben6tigen die zeitliehen Ableitungen sparer ohnehin.

Das jeweils ers~e Zusatzglied ist typiseh fiir einen obenstehenden Index, das zweite fiir einen untens~ehenden.

Ein Beitrag zur nichtlinearen Theorie des Cosserat-Konr 111

Setzt man dies in G1. (5.14) ein, so erreicht man mit H~m, ---- Hi[ran ] ~-- ~ , , , ~ [aus G1. (5.7) ersichtlieh] in wenigen l~echensehritten G1. (5.13).

Wir fassen zusammen: Es ist mSglich, mit ttil~e der Basen 9i , g~, Yi , Y~, ~li, Y~ naeh Gln. (5.6), (5.7) Deformationen e~i, y~i, ~i1 zu definieren, welehe Koordinaten objektiver (_~, y, z) und bezugsinvarianter (_~, ~ usw.) Tensoren sind [Gln. (5.8)

bis (5.10)]. Ii(re zeitlichen Ableitungen in k6rperfesten Koordinaten sind in Gln. (5.12), (5.13) angegeben. Die Ableitungen im partikeffesten System ffir die Koordinaten der Tensoren y und z sind

* . . . + + . .

y~ = ~. -- y~2~ bzw. ~ = ~ -- ~ . (5.15)

Die entsprechenden Ab]eitungen yon sii sowie alle mitrotierenden sind hier nicht aufgelistet, weft sic weniger pri~gnant sind und deshalb in den ni~chsten Ab- schnitten nicht verwendet werden.

6. Stoffgesetze der nichtlinearen Elastizit~itstheorie

Bei elastischem Verhalten eines Mediums geht die Ungleichung (3.4) mit

m

r = f ~dm

und den Postulaten 1, 2 des Abschn. 3 in

(6.1)

fiber. Das elastische Potential ~ ist dabei eine Ftmktion des Spannungszustands in der l%eferenzkonfiguration, der Deformationen und im Falle anisotroper ~edien einiger Anisotropieparameter, die selbs~ Tensoren beliebiger Stufe sein k6nnen. Wir wollen uns bier auf isotrope ~edien mit spannungsfreier Referenz- konfiguration beschr~nken, dann gilO

= ( 6 . 3 )

Damit ist ~ eine Funkt ion der 15 Invarianten der Tensoren y und u. Diese lassen

sich durchweg mit Hilfe yon yi~, 7/ , xij, z / darstel]en, nicht jedoch durch 7~j und zij allein, wie das Beispiel y i j y j zeigt. Andererseits sind manche Invarianten, wie z. B. 7ijz~i = yi~zj ~, in ihrer Gestalt nicht eindeutig festgelegt. Wir stellen uns dann vor, da6 ? zunaehst in einer der m6glichen Formen niedergeschrieben wird und dal] dann die 7i] yon den 7j i u n d die uij yon den z / b e i der Bildung partieller Ableitungen yon ~ unabhi~ngig sin& Die zeitliche Ableitung yon [vgl. G1. (6.2)] lautet so

=92_~ . a+ . . ~ " ~ " (6.4) Oy y ~ 8~i i 3~ y i

Dabei dfirfen beliebige zeitliche Ableitungen der 7ii usw. an die Stelle yon Y~i usw. gesetzt werden.

Die Verwendung yon 7 ist besser als die yon _~, die Griinde sin4 hier noch nich~ ersicht- lich. Als zweiter Tensor mud ~ verwende~ werden, well nur in ~ii die Gr613e ~ij auftritt.

g - . ~ + ~ . . n = ~o~ (6.2)

112 D. BESDO:

Nach Gln. (5.12), (5.13) und (5.15) kennen wir ~)i, 7~i, ~i, z~], die Wcrte ~)~ usw. miissen wir noch aus

7i i : gikg~S~y~m, s i i : g~kgims~m und ~i i : g i ~ g ~ : m (6.5)

herleiten. Wegen

gii : ;~ -~- )~ii, (tii : __~ii __ 2~i, gi~ = g" : O (6.6)

erhi~lt man

und

~ i i : ).mk(~lm]f ci + 7mi3t: i - - 7img ei - - 7i~(~m) ,

r " r $ i " * i k m Y~ : g gjm7 k, ~i : g~t:gi,nz~%"

(6.7)

(6.8)

(6.9)

Mit diescn Ausdriicken sowie mit Gin. (5.12), (5.13), (5.15) licfern Gln. (6.2), (6.4), (6.5) Bcziehungen yore Typ

(fij,Ui -~ #i flT~ i = Ft i )J i d- Gij~i ~. (6.10)

Dabei t reten in F* i und Gii nur Gr6l]cn auf, die wie 7ii, ~i i oder gi~ den augenblick- lichen Zustand des Mediums beschreiben, ws die Gr6Bcn ).i i u n d Ui i MaBe fiir dessen Anderung und damit yon allen anderen Gr5Ben unabh~ngig sin& Deshalb muB G1. (6.10) ftir belicbigc Werte yon/tii , Vii erfiillt sein. Das bcdingt aii = Fii, #4 i = G~i. So entstehen Stoffgesetze, bei denen die Koordinaten aij,/z~i der Tensorcn =6, 9=__ (Spannungen in der aktue]len Konfiguration) als Funktioncn

dcr Dichte o, der Tensoren Y und ~ sowie der partiellen Ableitungen yon ~ nach

den Deformationen dargestell~ sin& Geht man yon den zeitlichen Ablcitungcn in k5rpeffcsten Koordinaten ~ij, ~i i, ~ii, ~i i aus, erreicht man

�9 ~ & P ~q~ . . ~ i = o~ [ ~ ((~i k - - 7~k) -~ --~,2 ~ (gikg i'~ ~ 7 j ~ - - 7kig ~ - - (~j~yk ~)

(6.11) Oq~ . 3~ . .

~ k ~k ~- 0~k~ ( z ~ k ~ g ~ -- ~ ~ ~ : - - _ _ k ~ ~ ] f ~

= + (6 .12)

aus Y~] usw. hingegen folgt anstelle yon G1. (6.11)

�9 O---~ g ' ~ g , ~ ) ~ i } . (6.13) a~, : ~ 1 ( ~ q- ~Tm g~igmk) ( ( ~ i - y ~ ' i ) - ( ~ i -{- ~m~

Beide Formen des S~offgesetzes sind gleichwertig, aber bei der Anwendung ist die zweite Fassung sicherer. Falls man ni~mlich kar~csische Koordinaten benutzt, kann man nicht zwischen Yii nnd yd unterscheiden. In G1. (6.11) werden jedoch die Werte yi i in der Funktion F ganz anders behandelt als die Werte 7j . ])us erzengt eine Fehlerqnelle bei den Grenziibergi~ngen, die wir am Beispiel erlgutern :


Gegeben sei die Funktion ~ als s

Q9 = T YabYab "~ ~ YaaYbb -F L2~ab~ab (6.14)

(G: Gleitmodul, v: Querkontraktionszahl, L: eine charakteristische L~nge, ~: Diehte in der Referenzkonfigwration). Man vermutet nun mSglieherweise, da$ malX a]]e ~]ab, ~ab a l s ~,i], ~i] il~ den momentan kartesischen Koordinaten identi- fizieren dfir~e. Dann liefert GL (6.11)

~ { 0 ~ ~ } (6.15) cg~.bc

G1. (6.13) hingegen

? { ~v ( ~ _ yc~)_ ~ x ~ . (6.16) ffab = e ~ ~ca J

Speziell mit G1. (6.14) heist dies

bzw.

' 0 G { -- (~ab "-:-" 2 y ~ba

(~a~ "-- 2 - - G y ~ - -

YacYbc + ~ (3ab - - Yah) ?dd - - L2~:ca~cb (6.17)

Yca~'~ + ~ (da~ -- ;%~) Yee -- L ~ c a ~ �9 (6.18)

Diese beiden Gleichungen stimmen nicht iiberein, denn wegen r~b ~ 7~ diffe- rieren Y~c~bc und ~c~cb, wie man am Beispiel der Matrix der y~ als

Ei~ [i~ Ei~ [~ab] = 0 mit [YacYbc] = 0 , [Yea~cb] "~ 0

0 0 0

leicht sieht. Die Frage ist nun, welches der beiden ,,Stoffgesetze", (6.17) oder (6.18),

korrckt ist oder ob sic gar beide falsch sind. Dazu fiberlegt man sieh zuerst, dab G1. (6.14) in allgemeinen Koordinaten

= 0 Y~YiJ + ~ Y~ iY / -}- L ~ z k % ~ (6.19)

oder ~hnlich laurel. Daraus gewinnt man nach Gln. (6.11) und auch (6.13) un- sehwer

= 2 __e G y / - - ~ iy~ § ~ yG,~(d~j _ y~) _ L ~ ~ . (6.20)

Der naehtr/~gliche Ubergang zu kartesisehen Koorclinaten best/~tigt G1. (6.18), nicht jedoch G1. (6.17). Ohne Beweis sei damit belegt, da$ G1. (6.16) korrekt, G1. (6.15) dagegen falseh ist. Die verbleibende G1. (6.12) ergibt

- - . /~ab = e ~z~a (6.21)

5 A u s d iesem P o t e n t i a l fo lgt e ines der yon SCmt~,FER [24] z i t ie r ten Stoffgesetze, fulls m a n l inear is ier t .

Acta Mech. XX/I-2 $

114 D. BCsDo:

Der Grund fiir diese Vereinfachungen ist, da] sich die Terme 0~/~;~ und gm~g~ k S~s/~zn ~ in kartesischen Koordinaten nicht unterscheiden:

(~ca(~db C9~0 __ ~q9 (~dc ~9~ba

Der Quotient o/~ l~I]t sich nach der Kontinuit/ttsgleichung (3.1) mit den In- varianten

X = 7 i , Y = 7~j7~i, Z = 7~7~ky~i (6.22)

des Tensors 7 als

= 1 - ~ X - - t ( y _ x 2 _ x y ) _ 1 Z - - i X S (6.23) 2 3 6

darstellen. I)amit ist das nichtlineare Stoffgesetz der Elastomechanik fiir isotrope Medien

mit spannungsfreier Referenzkonfiguration in allgemeinster Form aufgestellt: Das elastisehe Potential ~ h/~ngt nur yon 7 und ~ ab und wird in krummlinigen

Koordinaten als Funktion yon y~j, y1 ~, ~i, ~.~, in kartesischen als Funktion yon Yas, Sa0 niedergesehrieben. Die Gln. (6.12) und (6.11) bzw. (6.13) oder Gln. (6.15), (6.21) bilden dana das Stoffgesetz, in dem noeh ~/~ nach Gln. (6.22), (6.23) dureh Deformationen zu ersetzen ist.

7. Ein LSsungsansatz fiir das nichtlinear-elastische Cosserat-Kontinuum

Mit dem vorn Gesagten allein l '~ t sictl keine L6sungstheorie aufbauen, denn bisl~ng fehlt jede Beziehung zwischen den I)eform~tionen und irgendwelchen Verschiebungs- und Verdrehungsfeldern.

Die sechs Freiheiten des Cosserat-Partikels werden durch einen Verschiebungs- vektor

u(~ i, t) = v(~ ~, t) - ~ ( ~ ) (7 .U

(~i ~ const fiir ein Partike]) und einen Verdrehvektor ~ wiedergegeben. Diesen fiihren wir anhand yon Abb. 1 ein: Die Basis Yi, Y~ geht dutch StarrkSrper-

J

Abb. 1


drehung um eine Achse, in deren R ich tung tp weise, in die Basis gi, gi fiber. Der Drehwinkel is~ der Be t rag ~ des Vektors ~ :

cr = I@] bzw. tp = a % . (7.2)

Die Rich tung yon q~ wird so gew/~hlt, da$ sich eine l~echtsschraube bei der Drehung urn den Winkel ~ yon ~ nach 9~ in die l~ichtung yon r bewegt. Anhand yon

2 1 1 Abb. 1 e rkennt m a n z. B. g2 ---- Ag2 + Ag2 ~- .q~. Dabei zeigt Ag2 in die l%iehtung yon ~p x g2 und ha t rnit l gem/~fi ]tp] l : ]~p • g2] den Betrag l sin a. Der zweite Antei l ist wie (q~ • g e ) • gerichtet und ha t den Be t rag / (1 - - cos a). Das Mles bedingt fiir einen beliebigen Vektor ~, der sieh aus a wie in der Skizze Ye aus g2 herleitet :

= a cos ~ -F ~ (w. a) (1 - - cos ~) - - sin~ (q~ • a) (7.3) (,p- w) a

oder = a cos ~ § % ( % . a) (1 - - cos ~) - - % • a sin ~. (7.4)

Weir einfacher folgen die Vektoren ~ nach

au Y ~ = g i - - @~ (7.5)

aus g~ und u, w~hrend es relat iv rniihsam w/~re, ~ zu berechnen. Deshalb kann m a n 7 leichter ermit te ln als ~ [vgl. FuSnote 4 zu G1. (6.3)].

=

W e n n m a n die Beziehungen (7.3) bis (7.5) in die Defini~ionsgleichungen yon y~ und z~j (5.6), (5.7) einse~zt, erh/~lt man ffir kartesische Koord ina ten x~ mi t

% = %~e~: (7.6)

~ab = (~ab - - (~cb - - Uc;0) [~ac c O S c~ ~ - e~ae~c (1 - - c o s cr - - eacde~, d S i l l Cr (7.7)

~ab = ewa~ Jr- %d;bevcecda ( 1 - - COS ~x) - ~ e~va;b s i n ~ (7.8)

und daraus ffir krumrnlinige Koord ina t en ~ :

Yzi 6~1 ( ~ i uklj) (6ik c o s cr - ~ 1 - - c o s ~ s i n ~ . im~ n~ �9 = " - - - - a 2 ~ v i ~ - - ~ ~ ~ k ~ V ] ( 7 . 9 )

und

u~i = ~-e[~f~W~ -F gin(n~v~(1 - - cos ~)] ~v~li ~- ~-2(~vilj - - ~-e~0~vn~vnl~ ) sin a . (7.10)

Nun 1/~$t sich eine LSsungstheorie in der F o r m eines Kollokat ionsverfahrens skizzieren:

Alle GrSSen werden yon der aktuellen Konf igura t ion aus betrachtet , in der auch ein ~i-Koordinatennetz gegeben ist. Die Vektorfelder u(r ) und q~(r) n/s m a n durch sechs stetig differenzierbare skalare Funkbionen di und ~ mi t n freien, anfangs gesch/itzten Pa rame te r a p, an. Ffir m Kol lokat ionspunkte (n ~ 6m) fiikr~ rna~ anschliel~end die folgenden Sehrit~e aus :

1. Man bestirnm~ die Deforrnatior~en naeh Gln. (7.7) bis (7.10) nnd mit diesen die Dichte naeh Gln. (6.22), (6.23) sowie die Ablei tungen dieser GrSl3en nach ~ (76 Zahlenwerte je Punkt) .

8*

116 D. BESDO :

2. Das Stoffgesetz (6.12), (6.13) liefert a~i, aiJ,i ulld #ii,i (15 Zahlell, yon denen 12 interessieren).

3. Jede der 6 Gleiehgewiehtsbedingungen (4.3), (4.4) geht daraufhin in eine Kontrollfunktioll/v~ (fl = 1 ... 6m) fiber, die bei der ex&ktell LSsung versehwindell wfirde. Diese werdeI1 durch einen Iterationsproze~ ffir nichtlineare Zusammell- hiillge der Art

F~ = ~(p~) ~ o minimiert.

In den Arbeiten [1] und [2] treten ~hnliche Prob]eme auL In [1] wird ein m5gliches Iterationsverf~hren vorgestellt und ~uf Probleme, die sowokl n ~ 6m ~ls auch n < 6m ell~sprechen, angewandt.

8. Beispiel fiir eine Liisung bei ebenem elastischem Deformationszustand

Der in Abschn. 7 beschriebenen Mlgemeinen LSsungstheorie ffir elastisches Verhalten folgt bier ein spezieller Ansatz ffir eill Problem mi t ebenem Defor- mationszust~lld. Abbildung 2 zeigt einell ill z-Richtung Ms unendlich ausgedehllt zu beh&lldelndell l~ingk6rper. Er bestehe ~us relativ weichem elastischem Cossera~- Material, so da ] sich die Anwendung der niehtlinearen Theorie empfiehlt. Der

. ,~:.::~::~.i:::-:'- ~::~i::'!.~)7%,.

Abb. 2

l~ingkSrper sei durch starre l~ohre begrenzt und bei r = ra und r ---- ri fest mit diesen verbunden. W~hrend das iiu]ere l~ohr ruht, werde das illnere um den Winkel cr gedreht. Gesucht ist der Spannungs- und Deformationszustand in dem RingkSrper, wenn dieser zu Beginn vSllig spannungsfrei war. Die Ausgangs]age sei dabei die l%eferenzkonfiguration eines isotropen Mediums, es gehorche dem init G1. (6.14) festgelegten Stoffgesetz.

Alle GrSi~en hi~ngen allein yon r ab, wenll man sie in r, ~, z-Zylinderkoordinaten darstellt. Verschiebungen werden dutch einen AuslenkuIlgswinkel ~ = ~ 9 - nnd durch den Radiuszuwachs u = r - ~ eindeutig angegeben. Der Verdreh- winkel ~Tt weist ill die Achsrichtung. Wenn wir anste]le der Basis g~, gi gleieh- geriehtete eA (A ---- r, tg, z) als lokale Basis verwenden, lauten u und ~ :

U ~ I t - - ( r - - u ) c o s ~ ] e r + [ ( r - - u ) s i n~ ]eo , (s.1)

= ~ e ~ . ( s . 2 )


Daraus leiten sieh die yon Null versehiedenen Deformat ionen

Y~r = 1 - - (1 - - u') cos (~ - - W) + ~o'(r - - u) sin (~ - - W), ~ I

y~e ~ --(1 - - u/r ) sin (~o - - ~o), I } 7or ~--- (1 - - u') sin (~ - - ~v) @ ~'(r - - u) cos (~0 - - yj), |

/ y e , a = 1 - - ( 1 - - u/r) c o s (e l - - ~p) ,

(8.3)

z~ ----- ~f' (8.4)

( ' = Ablei tung naeh r) her. Das Stoffgesetz (6.18), (6.21), (6.23) liefert dann Ms nieht identiseh verschwindende Spannungen lediglich a~r, ar~, ( ~ , ao~, cr~, ,Urz. Diese setzt man in die Gleiehgewiehtsbedingungen (4.3), (4.4) ein und erhglt in den drei Beziehungen

~arr CqarO -}- Oltrz I, trz Or + a ~ - ~ e ~ - - 0 + ~ o ~o~ _ 0 ~ + - - = a o ~ - - a ~ o (8.5)

r ' Or r ' Or r

ein System yon sechs gew6hnlichen niehtl inearen Differentialgleichungen zweiter Ordnung fiir % ~o und u. Die L6sung dieses Systems kann seehs Randbedingungen erfiillen. Vier sind eindeutig

u(ri) = U(ra) = cf(ra) = 0 und qJ(ri) = c~, (8.6)

die anderen hgngen mit den Verdrehungen der Cosserat-Part ikel zusammen. N i m m t man an, dal~ yon den s tarren I~ohren (Abb. 2) her keine Momenten- spannungen iibertragen werden, so ist

~2'(ri) = p'(ra) -~ 0 (8.7)

zu setzen [#r~ = 0, Gln. (6.21), (8.4)], ist dagegen bei r = ri und r = ra aueh ~o durch die l~ohre vorgesehrieben (Haften der Partikel), so gilt :

~ ( r ~ ) = ~ , ~(ra) = O . ( S . S )

Mit diesen l~andbedingungen ist das Problem auf einem Analog, oder Digital- reehner 16sbar, wenn die Stoffkanten G, v, L bekann t sind.

Fiir ri/ra ~- 0,5, v = 0,3, L = O , l r a und ~ = 8 ~ ist das Ergebnis flit die t~andbedingungen (8.6), (8.8) in den l~ildern 3 his 6 wiedergegeben. Abb. 3 zeigt die Versehiebungen u in radialer und ~r in Umfangsr ichtung. I n Abb. 4 sind die Winkel ~0 und !P zu sehen. Von den Deformat ionen interessiert besonders s~r, diese ist in Abb. 5 dargestellt. Man erkennt, dal] in einem gewissen Mittelbereich Szr fast versehwindet. Dies riihrt daher, dal~ die lineare Theorie fiir den Fall g,'(ri) = *f'(ra) = 0 die L6sung #r~ ------ 0 und ~0 = eonst liefert. Deswegen ~u rde dieser Fall nieht ngher untersueht , die bei ibm ents tehenden Effekte wgren m6glieherweise fiir die geometrisehe und physikalisehe Nichtl ineari tgt , nieht jedoch fiir das Cossera t -Kont inuum typiseh, denn die lineare L6sung der niehtpolaren Elast izi tgtstheorie deekt sieh vo l lkommen mit der linearen Cosserat- L6sung. I m hier behandel ten Fall wird am Rande ~ q= eonst du tch die l~andbedingungen erzwungen, und dies fiihrt auf deutliehe Untersehiede zur nieht-

118 D. BESDO:

polaren Theorie, besonders in der l~/ihe der 1%/~nder (Abb. 3). Abweichungen, die bei ~r durch die 1%ichtlinearit/~t ents~ehen, sind sehr kl.ein, der Vergleich der beiden Kurven in Abb. 3 ist somit sinnvoll.

O,

o, o8 V \\ . ~r

0o5 r

~ I \\ o,o~j \

015 0% 0,7 0,0 o, o2 /

Abb. 3

0::5

::05

-0,05

I I t i

Abb. 4

-7

-2

-3

0 i S:7!

0 I

-0,2

-o:3

-o,4

/ ~

Abb. 5

P

Abb. 6

Ein Beitrag zur nich~line~ren Theorie des Cosserst-Kon$inuums 119

Abbildung 6 zeigt schliei~lich noeh die Verls der (Kraft-)Spannungen ffab, soweit diese existieren. Die Momentensp~nnung #r~ ist ~ (Abb. 4) pruktisch pro- portional and wurde nicht gesondert skizziert.

9. ~bergang zur linearen Theorie

Um einen Vergleich mit den Arbeiten fiber das linear-elastische Cosserat- Kont inuum zu erm5giichen, sei erwahnt, dal~ bei einer Lineurisierung die Defor- mutionen 7~, s~i in

y i ] ~_ Ui]] _ _ ~ ikmVk~]]m ' Zi] : Vil]

und die Stoffgesetze in die yon SC~A~S~ [24] zitierten iibergehen, wobei allerdings der Ansatz (3.5) mit der hier benutzten Definition des Doppel-Punkt- Produktes (Absehn. 2) eine andere Indizierung der Deformationen bedingt, als sie bei Sc~As, ss, g u n d bei G ~ T g E g [13] fiblieh ist.

10. Hypo-Elastizit~it, Viskoelastizit~it, Plastizit~t und Krieehen

Die G1. (6.2), die in Abschn. 6 mit ~ = ~v(?, ~) auf elastisehe Stoffgesetze

fiihrte~ ls sich auch gnders ~ls dort auswerten. Bei hypo-elastischen Medien macht man die GrSl~e ~ als

qJ : O(a / , s~i, #i# ~9~) (10.l)

zur Funktion der Spannungen and gelgngt zu neuen Aussagen. D~s sei am Bei- spiel yon

~ { 1 + ~ �9 . ~ 1 )

(E: Elastizit/~tsmodul) erl/iutert. Aus G1. (6.2) entsteht nun

. �9 �9 ~ l + v ~ }

Sie wJrd dureh

2ii = -~ 0 E {(i -~- f) (Oj ~- gikgJmOkm) - - 2~djdek},

(10.3) �9 1 ~ { # j + g~g~,VF,, }

~ / i - 2 ~EL ~

erftillt. D~bei miissen die zeitlichen Ableitungen ~j usw. nur fiir d~s Material relevant, also yon zuss StarrkSrperbewegungen unabhgngig sein. Aus diesem Grunde kommen u. a. Ableitungen in kSrperfesten, partikelfesten und mitrotierenden Basisvektorsystemen in Frage [vgl. Gin. (5.11)]. Bei allgemeineren Formen yon 0 treten oft eine Reihe yon Freiheiten bei der Darstellung yon 0

120 D. BESDO:

und ~) auf, das war beim beschriebenen Beispiel nicht der Fall, bei ihm s~immen sogar die Ergebnisse fiir k6rperfeste und mitrobierende Basen iiberein:

o. .o k . @ ~ ~, = ~ {(1 + ~)~,, - ~ , ,~ k}, ~,, - ~ ~, . i10.4)

Kit * anstello yon o is8 dieses Stoffgesetz ebenfalls denkbar. Fiir alle aus G1. (10.2) gewonnenen Stoffgesetze gilt mit 0 = --)Ji0

= [~ + (1 - 2v) ~k] -~. (10.5)

Typisch fiir hypo-elastische ~edien i s t dab nach einem geschlossenen Zyklus im lgaume der Spannungen zwar keine )~nderung yon ~ zu beobachten ist, dab aber ein anderer Deforma~ionszustand vorliegen kann als vorher. Elastische ~edien geh6ren allerdings auch zu den hypo-elastischen.

Wir sind also in der Lage, elastisehe Stoffgesetze der Art

~--q(r ,~) , =. =~g(__r,~) (~06)

und hypo-elastische yore Typ

=~:s(~,s__,~,e), ~ =~(~ ,e ,~ ,e ) (10.7) aufzus~ellen.

Ehe wir wei~ere Medien bespreohen, sei eine abkiirzende Sehreibweise ein- gefiihrt. An die Stelle aller Spannungen a~., aft,/~ti# #ff trete der Vektor a, an die aller Formgnderungsgeschwindigkeiten der Vektor 2. Diese seien so niedergesehrieben, dab ihr inneres Produkt

a . 2 ----- a.-). -k/* '-~ (10.8)

ist. Nun besagt d~s Postulat 1 aus Abschn. 3

a . 2 ~ @. (10.9)

Mechanische Energie geht also in nichtmechanische fiber. Solche Verluste an mechanischer Energie entstehen aus ,,verlusterzeugenden" An~eilen yon a und 2 gemgB

a = a @ a oder/und ~ = ). 4- ). (10.10)

(e: elastiseh oder hypo-elastiseh). Bis zum allgemeinen Fall (e) aller Anteile

fasten wir uns fiber a) [ = 0 und b) a = 0 vor.

Falla) ~ = 0 :

Die Angabe )~ = 0 bedeutet 2 = ), und somit aueh e

7 = 7 , z -=x , (10.11) aber sie lgBt mit (10.9)

5 - ). => 0 (10.12)


zm Allein aus dieser Bedingung erh~lt man noch kein Stoffgesetz. Dazu sind weitere Postulate, z .B. der Thesmodynamik, hesanzuziehen. Folgende Re-

lationen zwisehen 2 und ~ sind iiblleh:

2. MSglieh ist die Form

~ij = / ( 2 ) 2 / , ~ij __ g(2) V~ i (10.13)

mit / ~ 0, g ~ 0, sie ist aber secht spezie]l.

2. Eine erzeugende Funktion/(2) sei stetig differenzierbar und effiille/(0) = 0 sowie ] ~ 0. Die zu / = A = const > 0 geh6rige Fl~che im Raume des ~ab, U~b umschlieBe den Nullpunkt und sei konvex. Mindestens bis zu einem bestimmten Wert f yon / ist dann das mit

odes

s l ~ Sl (20.14) ~ab - - ( ~ b a ~ [~ab - - 6q~b a

~ ~] " ~ f ~" ~] ~- g~:gim (10.25)

gebildete Stoffgesetz

6 = h(e) -~ (~(2) (10.26)

(e : Symbol fiis alle Deformationen) vollstgndig und nach (~ oder nach 2 auflBsbar. Allen Stoffgesetzen dieses Art ist gemeinsam, da~ fiir 2 = 0 ein elastisches

odes zumindest hypo-elastisches Gesetz entsteht. Bleibende Deformationen sind vor allem in einem einaehsigen Zugversuch nur mBglich, wenn das zugsunde liegende elastisehe Gesetz unvollstgndig ist und z. B. nur den hydrostatischen Druck mit des Kompsession vesbindet. Dann beschreibt G1. (10.26) eine kom-

pressible Fliissigkeit: Wenn dies zu 6 ---- 6(2) mit 2 i i ~ 0 entartet , wodurch aij unbestimmt wird, gelangt man zu inkompressiblen Sts5mungen.

Fal lb) (~ = 0 :

Mit d = 0 gilt

6- 2 ~ 0, wobei 2 = ). d- X und e ~ g. (10.17)

Wegen e ~ ~ werden hier hypo-elastisehe Gesetze wiehtig, denn die elastischen Anteile des grundss nichtlinearen Deformationen sind sehwer zug~nglieh und ohne direkten Zusammenhang mit den beobachteten Deformationen. Stoff- gesetze dieser Art benStigen einen Tell

= ~.(a, o) (10.28)

Ms Umkehrung eines el~stischen oder als Darstellung eines hypo-elastischen Ver- hMtens. Die Dichte @ darf nut dann aus einer Gleiehung wie (10.5) bestimmt

v~ werden, wenn 2~i = 0 gefordert wird.

122 D. BESDO :

Die Bedingung a - ). ~ 0 kann /~hnlieh wie im Fall (a) a �9 ). > 0 mit Hilfe einer erzeugenden Funktion [(a) mit den Eigensehaften yon/(90 erffi]lt werden:

" . a / . ~ l - . cV .. o.t (10.19)

Solche Stoffgesetze geben das Krieehen wieder. In der Plastomeehanik sind andere Ansgtze iiblieh, man sagt:

Plastisehes Fliegen finder nur bei

](r ai ~, ,uij, #i i, Y,) = 0 (lO.2O)

start, wobei die , ,Stoffkonstanten" Y. yon tier Vorgeschichte, der Temperatur und der Sehnelligkeit der Umformung abh'~ngen und im Falle der Anisotropie selbst Tensorkoordinaten sein k6nnen. Gleiehung (10.20) ist das ,,FlieI3kriterium" oder die,,Fliel~bedingung". Sie reprKsentiert eine Fliiehe imRaume der Spannungen, die den Nullpunkt umsehliegt. Weiter sei eine zweite Funktion g(a) vorb.anden, so da$ g = A fiir alle bei ] = 0 denkbaren Werte A i m Raume der ~a~, ,u~b eine konvexe F1/~ehe mit dem Punkt a -= 0 und g < A i m Innern besehreibt. Dann setzt man mit einem unbekannten Parameter Z >~ 0 an:

~ ( @ ( a ) . o~(o) [

Das ist die ,,Fliel~regel" mit einem ,,plastisehen Potential" g. Fiir klassisehe Kontinua hat z. B. HILL [15] entspreehende Darstellungen behandelt. I)as yon LIPPMAN~ [20] herangezogene Postulat yon Philipps, Sadowski und Hill oder das Druekersche Postulat fiihren ebenso wie die Betraehtungen yon Ziegler auf

g ~ / , (1022)

was inzwischen allgemein akzeptiert wird. Bei vielen l~eehnungen nimmt man an, dab die elastischen Formgnderungs-

geschwindigkeiten 2 gegeniiber ). vernachl/~ssigbar klein sind, und sprieht dann yon ,,starr-plastisehem" Verhalten. Dieses wurde fiir das Cosserat-Kontinuum neben SAWCZVK [23] yon LIPP~ANN [20] untersucht. Er postuliert, dal~ L6sungen naeh dem Stoffgesetz fiir Cosserat-Kontinua fur einen recht speziellen grenz- tibergang gegen niehtpolare konvergieren sollen_ Dabei gelangt er zu der Auf- iassung, da$ Stoffgesetze in der 1~egel aus zwei gleichzeitig giiltigen Fliegkriterien

1 2

und zwei addi~iven FlieJ]regeln mit den freien Parametern Z, ~ bestehen. Das starrplastisehe Verhalten ist jedoch der Grenzfall des elastiseh/plastischen, bei dem das Medium sich so lange rein elastiseh verh~lt, wie es nieht plastiseh ist. Plastisch wird es bei zwei Kriterien erst, wenn beide Kriterien erfiillt sind. Man kann sieh jederzeit einen Belastungsweg a(t) vorstellen, bei dem irgendwann

eines der beiden FlieSkriterien verletzt, d .h . [ > 0 erreicht wird, w/~hrend da- ft

neben noeh / < 0 (~ =# fl) gilt. Wie sieh das Material dann verh/~lt, bleibt bei Lippm~nn often, denn er schliegt solehe ,,teilplastischen Zusts ~us.


Im Gegensatz dazu erscheint es sinnvo]l, Flie~kriterien yon der Gestalt

zuzulassen. Lippmann behandelt -- so gesehen -- lediglich den Sonderfall

)----]----0. Er entspricht dem Haar-v.Kgrmgn-Fall des Tresca-Kriteriums dm- kiassischen Medien (vgl. hierzu [1] oder [21]). Yon dort her well3 man, wie eine

Fliel~regel fiir ] = i = 0 aufgebaut ist: ). setzt sich gemgl~

;,% = z ta~,~ + g%~ ~ J + z / a - ~ + g'%~ ' [ (lO.24)

t 2 aus zwei Anteilen mit den beliebigen Parametern X > 0, X > 0 zusammen. 1Vfan gelangt so yon (10.23) zwangslgufig zu den Lippmannschen Stoffgesetzen, Mler-

dings darf dieser nioht allgemein Z ~ 0 fordern. Selbstverstgndlieh ist aueh eine Cosserat-VerMlgemeinerung der yon L~HMAx~

[18], [19] vorgeschlagenen Fliel~regel denkbar.

Fall c) keine Einsehrgnkung *iir ~ und )i:

Der allgemeine Fall der viskoelastisch/plastisehen Medien geht yon

a . ~. + a , ~. + a . ~ > o (1o.25)

anstelle yon (10.12), (10.17) aus. Diese ReI~tion k~nn Ms

6- ) . q- a . ). __> 0 oder Ms a . ~. -{- h . ). _>_ 0 (10.26)

notier~ werden. Hinter beiden Schreibweisen verbergen sich unterschiedliche Stoffgesetze. iV/_it den in den Fgllen (a) und (b) beschriebenen Regeln aIs Teil- Stoffgesetzen fiihrt die erste Ungleichung (10.26) auf

a : a (i), ~. - i.(6), (10.27) wghrend die zweite

a =a(~.), 1 : i ( a ) (lO.2S) nahelegt. Daneben gilt in beiden Fgllen

(10.29)

Die Handhabung solcher zusammengesetzter Stoffgesetze ist sehr schwierig, denn man miler und benStigt zu Rechnungen nnr 2, 6 und 5-. Fiir diese GrSBen erhglt man im einachsigen Zugversueh u. U. Beziehungen wie

A(, + B~ = C;~ + D)o.

Solche Medien haben also t in ,,Gedgchtnis".

124 D. B~sDo:

11. Ein Beispiel zur Plastomeehanik

Als ein abschliel~endes Beispiel sei die Torsion sehr diinnwandiger, unendlich langer t~ohre (r a -- ri --> 0) aus isotropem starrplastischem Material behandelt. Solche LSsungen werden sehon ~ron SawczFK [23] und LZP~ANN [20] angegeben, abet Lippmann geht yon zwei Fliel~kriterien aus, und Sawezuk sehrgnkt die Art der Nedien ein. Deswegen scheint es angebraeht, andere L6sungen aufzusuehen.

Dabei linden wit einen Poynting-Effek~. Das Lippmannsche Ergebnis erklgrt diesen dagegen nieht, denn die zugehSrige L6sung in [20] verletzt das dort sonst stets verwendete Postulat yon Phillips, Sadowski und Hill. Das sieht man leieht ein, wenn man die inneren Leistungen und die Fliel~kriterien vor und nach einer Vorzeichenumkehr yon ~z (bei Lippmann: mz~) vergleieht.

Bei den folgenden i%echnungen benutzen wir wie in Absehn. 8 r,~,z-Zylinder- koordinaten mit einer orthonormierten lokalen eA-Basis (A = r, 8, z) (vgl. Abb. 7).

F

Abb. 7

Alle Spannungen u n d Formanderungsgeschwindigkeiten seien bei der hier untersuchten Torsion yon ~ und z nnabh/~ngig. Dann 1//l~t sieh ffir die Natrizen der Werte has, ~B zeigen, dab sie die Gestalt (' ~ Ableitung naeh r)

[~AB] = i A C Ba --09~ l

2 r 2

Ba -- br A C -- -2- ~- -7 Br-~ cor

(s ,~ - - ( D r A

[i ~ i 09r r

~163 0

o B_J

(H.1)

besitzen miissen (A, B, C, a, b, c: Konstanten). D~ alle Spannungen mi~ dem ersten Index r i~nen (r = ri) und auBen (r ~ ra) verschwinden und wegen r~ ---> ra = r auch deren Ableitungen nach r, ergeben sich im Zusammenhang mit


den Gleichgewichtsbedingungen die Matr izen der Spannungen

[Oo o [ooo 1 [O'AB]= 0 z , ~ A B ] = #o~ #0o /~Oz (11.2)

(:rzr (rzO ~uzr #zO # z z J

und die beiden n ieht ident isch erfiillten Bedingungen

#oo = r(aoz - - (rzo), #or = --r(~zr. (11.3)

Zu weiteren Aussagen ist ein Stoffgesetz erforderlich. Wi t wollen / ~ - g [G1. (10.22)] und Inkompress ib i l i tg t voraussetzen. D a n n daf t die Funk t i on ] [G1. (10.20)] nu t aus a~B, #AB und S to f fkons tan ten bes tehen G. Die Fliel3regel (10.21) lau te t dami t

( ~/ 1 (~AB~C D ~CD) ~----~] (11.4) J,_a~ = X O ~ A 3 , ~]AB = Z B#SA"

I m folgenden be t r aeh ten wir vier Fl iegkri ter ien ]:

t t 2 a ) / = ffAB(~A B ~_ L-2/~AB[AAB - - _.~ y 2 , (11.5)

b) i : (~AB(I~, @ L-2#AB,UAS -]- ~xL-I(~ABjUAB - - 2 y2, (11.6) 3

3

] ' ' ~ a ' 2 d) = aaBa.4B + L-~#aB#AB + ~-~ A,/~aC#BC -- y y2. (11.8)

F a l l a)

Man sieht unmi t te lbar , dal3 ] = 0 [G1. (11.5)] im R a u m e der ~'AB, ~AB/L eine

Hype rkuge l besehreibt . Die Konvexit /~t yon ] = 0 [vgl. Tex t vor Gln. (10.21)] ist also gew/~hrleistet. Aus Gin. (11.4) ergeben sieh m i t (11.1), (11.2) die neben

2rr = 200 = 2zz = 2zr ~ ~zr = ~zO = ~Oz = ~UOr = ~zr = 0 (11.9)

fiir die weitere Reehnung wiehtigen Beziehungen

2o~ = B r + mr = 2Z(~o, ]

2zO = --O)r = 2Z(~Oz , I } (11.1o) L2~~176 = L2~ = 2Z[~~176 I

L2~,~ = L ~ B = 2Z/~z. J

Dar in sind B , co~, Z, CrzO, (~o , , /~o und #~, unbekann t . Die zweite Gleichung (11.3) ist identisch erfiillt, w/~hrend die erste ebenso wie das Fl ieBkri ter ium in der F o r m

2 2 = oo~ Jr 0;0 + (#z~/L) ~ 4- (#oo /L) 2 - - 2 y2 = 0 (11.11) 3

6 Diese Tatsache ist yon den klassischen Kontinua her bekannt, vgl. z. B. [21].

126 D. BESDO:

das Sys tem (11.10) zu seehs Gleiehungen fiir sieben Gr6flen vervollst / indigt. Eine k inemat isehe Gr6Be (z. B. Z) ist frei w/ihlbar, die L6sung ist m i t y = L / r :

3 6 /-~/~ ae~ = sign (2~,) Y (2 + 7y e + 5y ~ + y )l '

,u~o : - -Ly(~oz

01.12)

sowie

2e~ = (1 + y z) 2~ , r]oe = --r-12~e, %~ = r-1(2 + y~") 2zO. (11.13)

Wegen 2zz - - 0 [G1. (11.9)] t r i t t kein Poyn t ing-Ef fek t auf. Zur L6sung fiir niehtpolare Medien miiBte m a n mi t y -+ 0 gelangen. Das i s t

aueh der Fall, nur versehwinden ~ und ~lz~ nieht. Sie werden ngmlieh im nieht- poIaren K o n t i n u u m nieht beobaehte t . Fiir Tors ionsmomente gil~

1 + 3y 2 @ y4 M~ (Cosserat) = (1 + 3,5y 2 + 2,5y' + 0,5y6)~/2 M r (niehtpol.) , (11.14)

also liegt das zum Cosse ra t -Kont inuum geh6rige MT etwas h6her als das des niehtpolaren Kon t inuums . Der gleiehe Ef fek t wird in [20] und [23] erw/ihnt.

F a l l b)

I n diesem Fall [G1. (11.6)] ist die Konvexi t / i t yon i ~ 0 nicht mehr so leieht a

zu erkenne~ wie bei ], sie ist aber fiir cr 2 ~ 4 gew/ihrleistet. Auf den Beweis sei hier verziehtet . Eine/~hnliche Reehnung wie die im Falle a) liefert m i t y = L / r , t3 = 1 - - cd/4 fiir die Spannungen das Ergebnis :

~ = sign (2~) Y (2 + 7y~/3 + 5y4/3~ + y~fl~)/3

,u,~ = - - L ~ (1 § ~2/3) aOz, 2

~ z r = jLlOr ~ [Azr = 0

~t~ = 2 (z~

/~z~ = L~/3 (2 + r~/3) ~ .

(11.15)

~ i t Gin. (11.4) s teht die K i n e m a t i k bis auf den Wer t yon 7, > 0 ebenfalls fes~. Uns interessiert besonders das Verh~ltnis

T' - - ~v--~z / ~v~ = 2zz/(),~z + ; .~), (11.16) ~z / 0z

das ein 1KaB ffir den Poyn t ing-Ef fek t ist:

r - - {1 + (2 + 1} (1117)

Fiir cr = 1, 7 = 0,1 erh~lt m a n s o / " ~ 4 % , also einen deutl iehen Effekt . Aller- dings ist der Q u o t i e n t / " yon der I ) rehr ieh tung unabhgngig, das bedeute t , d a b


sick ein solehes I~ohr fiir positive Torsionsmomente verlgngert und fiir negative verktirzt oder umgekehrt. Der Werkstoff w/~re in Anlehnung an den Begriff der optisehen Aktivit/~t als ,,plastisch akt iv" zu bezeiehnen. Soleh ein Verhalten ist

praktiseh sehr unwahrseheinlich und wird bei ] ~- f vermieden. Ehe wir dieses Kriterium betrachten, sei vermerkt, dag die statisehe L6sung (11.15) mit y --> 0 nur fiir a -+ 0 in die klassisehe tibergeht, denn fiir 7 = 0 gilt

(7~z = ~ Y(3fl) -~/2. Fall c)

Das Fliel~kriterium ] = 0 [G1. (11.7)] ist mit

i (7~B(7AB + L-~#~B/~A~ + ICr sign ((TCD#C~) ~ -L 3 = t f " (7" / t A B 2 y~ = 0 (11.18)

identisch. Den Ausdruck Icr sign (a~DZel)) darf man als einen Parameter & auf- fassen, der mit a~FcD sein Vorzeichen weehselt. In jedem Punkt der F1/~ehe

i = 0 versehwindet deswegen eines der beiden mit = m6gliehen K_riterien ]-

Dabei gilt stets i ~ = < f: die dutch ] ----< 0 besehriebene Menge der Vektoren 6 bildet b

den Durchsehnitt der beiden zugehSrigen ?r mit ] ~ 0. Als Durehschnitt c

zweier konvexer Mengen ist die dureh f =< 0 festgelegte far l~l < 2 ebenfalls konvex.

Jede LSsung, die nieht yon a'~BttAB ~ 0 ausgeht, mug fiir ~" = ~ L6sung des Falles b) sein. Dann ist sie in Gin. (11.15) enthalten. Danaeh betr/~gt a~B#AB jedoeh

, 2 L~ [1 @ (1 @ yfi)2]. (7~B#AB = -- %

Wie man leieht erkennt, folgt wegen ~ = &, L > 0 daraus sign & = --sign &, womit ein ~ ~ 0 ausgesehlossen ist. Aus diesem Grunde f/~llt in der L6sung des Falles c) das gegeniiber dem Falle a) zus/itzliehe Glied im Fliel3kriterium vSllig weg. Tatsgehlieh erfiillt die L6sung zum Falle a) wegen #oz = #zO = 0 auch a~#~B -= 0 und ist so das Ergebnis ftir den Fall e), bei dem also wieder kein Poynting-Effekt auftritt .

Bei LIePMA~ [20] fehlt die entsprechende Diskussion, deshalb seheint er eine fiir ein/~hnliches Stoffgesetz giiltige L6sung mit Po~mting-Effekt gefunden zu haben, obwohl sie im Sinne seiner eigenen Postulate unzulgssig ist.

Fall d)

Bei dem Fliel]kriterium f = 0 [G1. (11.8)] ist ,,plastisehe Aktivit~t" vermieden, weil eine Vorzeiehenumkehr yon ~ weder den Ausdruek (7~#aC#BC noek

seine Ableitungen naeh ~ s /indert. Die L~ngsdehnung ( ~ ) ist vom Vorzeiehert des Torsionsmomentes unabhgngig.

Die Konvexit/~t der Fliel]fl/~che ist bei dem Kriterium (11.8) fiir kleine Werte

(cr ~ 0: f ~ i )vorhanden, bis zu welehem Wert yon cr sie generell gew/~hrleistet ist, 1//l~t sich jedoeh kaum entseheiden. Deswegen wird folgender Weg einge- sehlagen :

128 D. BESDO:

Zuers t werden L6sungen e rmi t t e l t . Danach wird i iberprfif t , ob in dem LSsungspunk t a i m R a u m e der Spannungen die F l ~ e h e / ( a ) ~ 0 alle E igenschaf ten e iner konvexen F1/~ehe besi tz t . W e n n das zutr i f f t , i s t zwar n ich t sicher, dab

/ ~ 0 eine konvexe Fli iehe besehreibt , aber m a n k a n n d a n n eine solche Fl~che

/ kons t ru ie ren , die in der Naehba r seha f t yon a das K r i t e r i u m = 0 erfiillt . Die gefundene L6sung i s t un t e r diesen U m s t g n d e n fiir ein i n s g e s a m t unbekann te s denkba res K r i t e r i u m kor rek t .

Das aus dem Stoffgesetz (11.4) m i t / n a e h G1. (11.8) u n d aus Gln. (11.1) bis (11.3) hergele i te te G M c h u n g s s y s t e m l~Bt sich m i t den Abki i rzungen

L x a(o~) / ~ z = / ~ und y = - (11.19)

Y ' Y - - Y L ' YL r fiber

als

7~y ~ (1 ~x~ ) = 2 1 2 z ~ + T + (P + z ~ ) - y , ]

7x [2 - - a2(y 2 d- z2)] : z(1 - - a~x~), i

7~y + (~ + 2y) (1 - ~x~) = o J

zusammenfassen. Einige LSsungen sind

L6sung I: ~ =i, y=0,01: x=0,578,

L6sung II: a=l, y-----0,05: x=0,579,

L6sungIII: ~ =i, y----0,1: x=0,568,

L6sung IV: a=~2, y=0,1: x=0,562,

y = - -0 ,0087 ,

y ~ - -0 ,0432 ,

y = - -0 ,0818 ,

y ---- - -0 ,1362 ,

Zu wei teren Be t r ach tungen f i ihren wir die Vektoren

und s = { ~ , ~ , ~ , ~ , . . . , ~=, t~,~/L . . . . . ~ z d L }

L : {2~, 2.~, ~zr, 2~, . . . , / ~ z , L~?rr . . . . , L~izz}

z ---- 0,0173,

z ~- 0,0866,

z = 0,1648,

z = 0,2762.

/(a) = / * ( s ) = o

festgelegten FlieBfl/~che ist, daB in jedem Punkt der Fl~che die Matrix []*"] der zweiten Ableitungen yon/* nach den G (~ = 1 ... 18) positiv semidefinit ist. In] Falle d) ist die allgemeine Auswertung dieser Matrix unmSglich. Deswegen wird, wie vorn bereits angedeutet, die Konvexitgt nut lokal fiberprfift, l~ach einigen Umste l lungen und I ) re ieckszer legungen (vg]. h ierzu z. ]3. [34]) e rkenn t m a n zu- n~chst , dab bei al len L6sungen I b i s I V die Mat r ix []*"] an den L 6 s u n g s p u n k t e n s positiv semidefinit ist. A]lerdings i s t die Grenze des Erlaubten bei der L6sung IV fast erreicht.

(11.2o)

(11.21)

ein. Hinreichend zum Naohweis der Konvexit~t einer dutch das FlieBkriterium

Ein Beitrag zur nichflinearen Theorie des Cosserat-Kontinuums 129

Bei einem Kri ter ium fiir isotrope Medien bringt eine beliebige Vertauschung der Indizes r, z~, z in den Gliedem des Vektors 6 einen neuen Vektor 8 hervor, yon dem 1(8) = [(o) gilt. Dadureh sind neben 6 selbst fiinf weitere Punkte der Fliel?flgehe definiert. Zur Vermeidung der plastisehen Aktivi tgt darf eine Vor- zeichenumkehr yon ~u allein die Funkt ion [ nieht beeinflussen:

Jeder der seehs vorhandenen Punkte liefert so einen weiteren. Dagegen sei / (--6=, e) 4 ](6_, e) zugelassen. Bei einer Vorzeiekenumkehr des Torsionsmoments

soll aueh fiir das konstruierte Kri ter ium die L6sung des Kri ter iums ] = 0 riehtig sein. Das bedingt weitere 12 Punkte ~. Insgesamt werden so mit dem urspriing- lichen Vektor s 23 neue Vektoren ~ verkniipft. Die Vek~oren yon s zu diesen Punkten miissen durehweg

grad Its" (s - - ~) >= 0 (11.23)

erfiillen. Dies wurde iiberpriift und in allen F/~llen best/~tigt. Somit k6nnen unsere L6sungen I bis IV zu Fliegkriterien fiir isotrope Cosserat-

Kont inua geh6ren, die in der N~he des L6sungspunktes 6 dutch G1. (11.8) be-

schrieben sind. Nicht bewiesen ist die Konvexit/ / t der mit ~ = 1 oder gar ~ = #2

verbundenen l~]ieI3fls ~Is ganzes. Sie ist bei ~ = ]/2 nicht zu erwarten. Aber die L6sungen I bis IV sind im isotropen Cosserat-Kontinuum m6glieh. Das Be- sondere an diesem Ergebnis ist das Verh~ltnis yon 2zz zu ~vo/~z, Mso /~ [vgl. G1. (11.16)]. Es lautet

F = a [ ~2x2y~ ~- z~ - 1 ] ~_ (y2 + z2) (1 + ~ x 2) [4x - - 2~2x (y~ + z2)] -1.

Der Quotient F wechselt mi t x sein Vorzeichen. Jede Torsion fiihrt Mso bei ~ > 0 auf eine L/~ngung und bei c~ < 0 auf eine Verktirzung der Probe. Zu unseren L6sungen I b i s IV erh/~lt man die Zahlenwerte

I. /" = 0,00007, I I . F = 0,00172, I I I . /~ = 0,00645, IV. a r = 0,0254.

Sic h//ngen stark yon ~ und cr ab, yon y etw~ quadratisch. Wenn man annimmt, dal3 diese Verh/~ltnisse F ftir l~ngere Zeit nahezu kon-

s tant sind, und beaehtet, dal~ die Integrale

t

f ( ~ + ~ ) dr to

ohne weiteres Werte bei 10 erreiehen (vgl. hierzu z .B. [14]), werden L/~ngs- dehnungen des I~ohres (Poynting-Effekte) bis zu 25% der Ausgangsl//nge damit erkl/~rlieh. ~ a n darf nieht glauben, da~ 7 = L i t = 0,1 zu hoch gegriffen sein miisse, denn 15 ist lediglich eine ~ater ia lkons tante mit der Dimension einer Ls Sieherlich h/ingt sie mit der KorngrSl~e des Mediums zusammen, br~ueht dieser aber keineswegs ann/~hernd gleieh zu sein.

Acta MedL X X I I - 2 9

130 D. BESDO:

Die Ergebnisse des Fal les d) erSffnen die M6glichkei t zu e inem en tsehe idenden E x p e r i m e n t : Der W e f t L i s t eine Mate r ia lkons tan te , y = L/r i s t also u m g e k e h r t p ropor t iona l dem Rad ius r. Andere rse i t s w/~chst die du t ch F gekennzeiehnete St/~rke des Poymting-Effektes in e twa m i t y2 und n i m m t deshalb m i t r 2 ab. Be- grf indet m a n den gleiehen Ef fek t fiber die Aniso t rop ie des n i ch tpo la ren K o n - t inuums, die durch die U m f o r m u n g en t s t eh t (vgl. h ierzu z. B. [4]), oder dttreh das e las t i sch/plas t i sehe Verha l ten i so t roper n ich tpo la re r Medien, so erweist s i c h / " als yon r unabhgngig . Man k a n n so u. U. exper imente] l Cos se r a t -K on t inua ent- deeken. Nat i i r l i eh wi rd dies durch eine Reihe yon F a k t o r e n ersehwert , ins- besondere dadureh , dab die e rwghnten Ef fek te s icher al!e gleiehzei t ig a.uftreten und m a n nur einen Unte r seb ied gegenfiber den aus der k lass isehen Theorie folgenden Erwar tungen , n iemals abe t e inen m i t r = abnehmenden P o y n t i n g - E f f e k t beobach ten wird.

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Priv.-Doz. Dr.-Ing. Dieter Besdo Lehrstuhl B/i~r Mechanik

Technische Universitdgt Braunschweig Bammelsburger Strafle I a

D - 3300 Braunschweig J~undesrepublik Deutschland

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