XMAD9A-11C1-01

11辺の長さが 1の正四面体 OABCがあり，辺 OAの中点を D，辺 OBを 2 : 1 に内分する点

を E，辺 OCを t : (1¡ t)（ただし，0 < t < 1）に内分する点を Fとする。4DEF の重心をG，直線 OGと平面 ABCの交点を Hとし，¡!OA = ¡!a，¡!OB = ¡!b，¡!OC = ¡!c とおくとき，次の各問いに答えよ。 (25点)⑴ ¡!

OG を ¡!a，¡!b，¡!c，t を用いて表せ。 (5点)⑵ ¡!

OH を ¡!a，¡!b，¡!c，t を用いて表せ。 (7点)⑶ 2つの四面体 ODEF，HDEFの体積が等しいとき，t の値を求めよ。また，そのときの四面体 ODEFの体積を求めよ。 (13点)

正四面体を題材とした空間ベクトルの問題。同一平面上にある条件（共面条件）や体積比について確認してもらう。⑴ 点 Gは 4DEF の重心であるから，¡!OG は ¡!OD，¡!OE，¡!OF を用いて「三角形の重心の位置ベクトル」として立式できる。そのあとで，¡!OD，¡!OE，¡!OF を ¡!a，¡!b，¡!c を用いて表せばよい。⑵ 点 Hは

・直線 OG上の点・平面 ABC上の点（共面条件（ ▲1））

である。この条件を数式で表す方針でよい。⑶ 2 つの四面体の体積を 直接計算して比べるのではなく，4DEF を底面とみて，高さの比に帰着させるのがうまい。

⑴ ¡!OD =

12¡!a，¡!OE = 2

3¡!b，¡!OF = t¡!c より

▲三角形の重心の位置ベクトル。

¡!OG =

¡!OD+

¡!OE+

¡!OF

3・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・

=16¡!a +

29¡!b +

t3

¡!c

・・・・・・・・

・・・・・・

⑵ 点 Hは直線 OG上にあるから，k を実数として・・・・・・

¡!OH = k

¡!OG ・・

・・・

=k6¡!a + 2k

9¡!b + kt

3¡!c

・・・・・・・・・

とおける。すると，点 Hが平面 ABC上にあることから ▲1「解説 1」を参照せよ。四面体 OABC を考えているので，¡!a，¡!b，¡!c が 1 次独立であることは断らなくてもよいだろう。

k6+2k9+kt3= 1 Ú k= 18

6t+ 7

▲0 < t < 1 より，6t+ 7 n= 0

・・・・・・・・・・・・・・

となるので¡!OH =

3¡!a + 4

¡!b + 6t

¡!c

6t+ 7 ・・・・・・・・・・・・・

・・

・・・・・・

XMAD9A-11C1-02

⑶ 四面体 ODEF，HDEFの体積をそれぞれ V1，V2 とすると，⑵の ▲4DEF を底面とし，2 つの四面体の高さを d1，d2 とするとV1 : V2 = d1 : d2

= OG : GH

・・・・・・

kを用いて・・・・・・

V1 : V2 = OG : GH = 1 : (k¡ 1)・・・・・・

V1 = V2 のとき，OG = GHすなわち k = 2 であるから，⑵より ・・・・・

186t+ 7 = 2

・・・・・・・・・・

Ú t =13

・・・・・・・・・

ここで，辺 ABの中点を M，4OAB の・・・・・・

重心を Nとすると，OA = 1より，OM =・・・・・

p32であり，ON : NM = 2 : 1と合わせて

・・・・・・・・・・

ON =23Þ

p32=

p33 ・・

・・・・・

これと CN ? (平面 OAB)より ▲正四面体 OABC の頂点 C から対面に垂線 CL を下ろしたとき，L は 4OAB の重心 Nと一致する。そのこと自体の証明でない限り，これは既知として用いてよい。

・・・・・

CN =BOC2 ¡ON2 =

F1¡ #

p33

;2

・・・・・・・・・・・

=

E23

・・・・・・・・・

Fから平面 OABに垂線 FPを下ろすと，点 Pは直線 OM上にあり・・・・・

FP : CN = OF : OC =13: 1 ▲ 4OPF∽4ONC

・・・・・・・・・・

Ú FP =13CN =

13

E23

・・・・・・・・・

であるから・・・・・

V1 =13Þ (4ODEの面積) Þ FP ▲「解説 2」も参照せよ。

・・・・・・・・・・

=13Þ # 12Þ12Þ23sin 60±; Þ 1

3

E23

▲ 4ODE

=12OD ÞOEsinÎDOE・・

・・・・・・・・

=

p2108

・・・・・・・・・・

1 ⑵共面条件空間内の 1次独立なベクトル ¡!OA，¡!OB，¡!OCを用いて，¡!OP = x¡!OA+ y¡!OB+ z¡!OC と表される点 Pについて

点 Pが平面 ABC上にある () x+ y+ z= 1が成り立つ（これを「共面条件」という）。また，これは空間内の 1次独立なベクトル ¡!OA，¡!OB，¡!OCを用いて，平面 ABC上の任意の点 Pは

¡!OP = x

¡!OA+ y

¡!OB+ z

¡!OC，x+ y+ z = 1

と表せると言い換えられる。さらに，次元を落として平面上で考えれば，平面上の 1次独立なベクトル ¡!OA，¡!OBを用いて，直線 AB上の任意の点 Qは

¡!OQ = x

¡!OA+ y

¡!OB，x+ y = 1

と表せるということであり，これは共線条件に他ならない。つまり，3次元か 2次元かの違いだけで，本質的には同じ概念といえる。

XMAD9A-11C1-03

2 ⑶ V1 を計算するところは⑶の V1 の計算について整理しておこう。4ODEの面積について，「解答」では面積公式を利用して計算しているが，4OABの面積を Sとおくと

(4ODEの面積) = ODOA

ÞOEOBS

と表されることは知っているだろう（4ODEと 4OABに面積公式を用いて比をとればよい）。

さらに，FP = OFOC

Þ CNであるから，四面体 OABCの体積を Vとおくと

V1 =13Þ (4ODEの面積) Þ FP

=13Þ # ODOA

ÞOEOBS; Þ OF

OCÞ CN

=ODOA

ÞOEOB

ÞOFOC

Þ13S Þ CN

=ODOA

ÞOEOB

ÞOFOCV

と表される。つまり，四面体の体積も，直方体の体積や三角形の面積の場合と同様に，辺の長さの比を利用して計算することができるわけだ。このことは，それ自体を証明する問題ではない限り，既知として用いてもよく，知っておくと便利だろう。

・比の関係を利用して，手際よく図形問題を攻略せよ