E G I P Č A N S K E P I R A M I D Eborut jurčič zlobec1

23. avgust 2014

vsebina1 Motiv 3

2 Egiptovske enote za merjenje dolžine 4

3 Kratka zgodovina števil φ in π 5

3.1 Število φ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

3.2 Število π . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

4 Zlati rez v Keopsovi piramidi 7

5 Fizikalne in estetske omejitve oblike egipcanskih piramid. 8

6 Naklonski koti v egipcanskih piramidah 10

7 Zakljucek 12

slikeSlika 1 Trikotnik v piramidi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

Slika 2 Piramide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

tabeleTabela 1 Egipcanske dolžinske enote . . . . . . . . . . . . . . . 4

Tabela 2 Dimenzije egipcanskih piramid izražene v metrih . . 8

Tabela 3 Dimenzije egipcanskih piramid izražene v kraljevih

komolcih in sekedih . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1 Astronomsko drustvo Javornik, Ljubljana Slovenia

1

Tabele 2

uvodZa lažje razumevanje priporocamo bralcu, da se seznani z vsebino sestavkana temo zlatega reza:http://mat03.fe.uni-lj.si/html/people/borut/doc/zlati_rez.pdf

pričujoč zapis obravnava dimenzije egipčanskih piramid.Poskušali bomo razložiti, kako so graditelji dolocali dimenzije in zakaj sote takšne kakršne so. Predvsem se bomo posvetili razmerju stranic v triko-tniku, ki ga tvorijo polovica roba osnovne ploskve, višina in višina stranskeploskve piramide. Poskušali bomo pokazati, da je mere piramid dolocalapredvsem pragmaticnost, kompromis med fizikalnimi lastnostmi materiala,preprostim zapisom mer in seveda omejenost sredstev za gradnjo.

Slika 1: Trikotnik, ki ga tvorijo polovica roba osnovne ploskve, b/2, višina, h invišina stranske ploskve piramide s.

v večini primerov je razmerje stranic omenjenega trikotnika enako3 : 4 : 5 . Števila 3, 4 in 5 tvorijo pitagorejsko trojico. Trikotnik s takšnimrazmerjem stranic pravokoten, po Pitagorovem izreku je 32 + 43 = 52 .Znano je, da so pri dolocanju pravih kotov pri gradnji piramid uporabljalipitagorejske trojice, zato izbor tega razmerja ne preseneca.

razmerje stranic omenjenega trikotnika pa pri vseh piramidah nienako. Najdemo tudi druga razmerja. Najbolj vzbuja pozornost razmerjestranic omenjenega trikotnika pri nekaterih piramidah, med njimi je tudiKeopsova, ker se približa razmerju zlatega trikotnika, ki ga bomo definiraliv nadaljevanju. Že ime pove, da zlati trikotnik vsebuje razmerje zlategareza. Kot bomo videli pozneje, stopi tu v igro še število π, razmerje medpremerom in obsegom kroga. Tako je dosežena kriticna mera skrivnostnihpovezav, ki buri domišlijo.

razmerje zlatega reza v starem egiptu ni nikjer omenjeno. Tudištevilo π niso poznali tako natancno, kot ga najdemo v dimenzijah Keop-sove piramide, zato mnogi zatrjujejo, da dimenzije egipcanskih piramid vsebi skrivajo dejstva, ki niso zgodovinsko izpricana. Kot da bi graditeljipiramid poznali nekaj, kar takrat še ni bilo splošno znano. V zvezi s temse omenja, da je graditelje pri izbiri dimenzij vodila nevidna roka, kot je

motiv 3

skrivna civilizacija, Božja roka ali pa nek nezavedni obcutek za lepoto inskladnost, ki smo ga podedovali v genih.

1 motivVec let že sodelujem v komisiji za ocenjevanje raziskovalnih nalog iz mate-matike. Tema zlatega reza je tako privlacna, da se vsako leto najdeta medizbranimi nalogami vsaj dve na to temo. Vecinoma so to naloge, ki se manjposvecajo zlatemu rezu v matematiki, ampak bolj zlatemu rezu v arhitek-turi umetnosti glasbi in v naravi. Omenja se neko splošno harmonijo medestetiko in zlatim rezom. Poskuša se dokazovati, da so mere cloveka, kotkrone stvarstva, uglašene na to razmerje.

K pisanju tega sestavka sta me spodbudila odstavka, ki sem ju našel zapi-sana v neki osnovnošolski raziskovalni nalogi iz matematike o zlatem rezu.Podobne trditve so se znova in znova pojavljale v razlicnih zapisih na totemo.

zlati rez je bil znan že v egiptu, saj sta osnovnica in višina piramid vGizi v razmerju zlatega reza. Razmerje med višino in osnovnico je 11 : 7, kar jepribližek zlatega reza.

v antični arhitekturi naletimo redkokdaj na racionalno razmerje.Vecina razmerij je iracionalna. Tako je tudi razmerje zlatega reza.

V teh dveh odstavkih so, poleg tega, da vsebujeta napacne trditve, zapisanadejstva, ki si nasprotujejo. Resnici na ljubo moramo povedat, da razmerje11 : 7 ni približek zlatega reza in tudi iracionalno ni. Kot bomo videli, seda razmerje med višino in robom osnovne ploskve pri vecini egipcanskihpiramid, izraziti s kvocientom majhnih celih števil.

Profesor racunalniških znanosti univerze v Maine, George Markowsky jepreveril nekatere najbolj znane zapisane trditve na temo zlatega reza v li-teraturi, šolskih ucbenikih, clankih, itd. Presenecen je opazil, kako maloresnice je v teh trditvah. Kot dober znanstvenik je želel temeljito preveriti tr-ditve, kot je zgoraj omenjena, v zvezi s Keopsovo piramido, o zlatem rezu vdimenzijah Parteona in druge, kot na primer mnogokrat ponovljeno trditev,da je zlati rez ocem najbolj všecno razmerje. Na to temo je napisal tudi cla-nek z naslovom, “Misconceptions about the Golden Ratio”, ki ga je januarjaleta 1992 izdal v lokalni matematicni reviji. Njegov clanek se nahaja tudi nainternetu, najdete ga na naslovu:http://www.umcs.maine.edu/~markov/GoldenRatio.pdf.

Ob tej priliki bi rad omenil slovitega arabskega znanstvenika, matematika,fizika in filozofa, ki ga na zahodu poznamo pod latiniziranim imenom Al-hacen (965-1039). Tako se je ta veliki mislec izrazil o dolžnostih pravegaznanstvenika in raziskovalca:

iskalec resnice ni tisti, ki proucuje stare spise, sledi njihovim razlagamin jim slepo verjame, ampak je to tisti, ki jim ne zaupa, postavlja svoja vprašanja,izbira preverjena dejstva, oziroma jih sam preveri, ne sledi narekom cloveškega bitja,

egiptovske enote za merjenje dolžine 4

cigar narava je polna slabosti in pomanjkljivosti. Dolžnost cloveka, ki raziskuje pi-sanje znanstvenikov je, da sledi iskanju resnice, zato mora nasprotovati vsemu, karje zapisano in uporabiti lastno pamet pri obravnavi vsebine in kriticno analizirativsako stran posebej. Tudi vase mora dvomiti in kriticno gledati na svojo lastno pot,tako da bi se lahko izognil površnosti oziroma, da ne bi nasedel lastnim predsodkom.

Gornja Alhacenova misel je tudi danes, po tisoc letih, aktualna in bi jo mo-rala prebrati vsak mladi raziskovalec in njegov mentor.

Poleg tega še zapišimo nacelo, ki nas je vodilo pri pisanju tega sestavka.To nacelo je znano pod imenom Ockhamova britev. V Wikipediji najdemokratek opis, tukaj pa povzamemo bistvene elemente.http://sl.wikipedia.org/wiki/Ockhamova_britev

ockhamova britev je raziskovalno nacelo, ki ga pripisujejo angleškemulogiku in franciškanskemu redovniku iz 13. stoletja, Vilijemu iz Ockhama(1287–1347). Pri oblikovanju hipotez in teorij, ki razlagajo nek pojav privza-memo cim manj predpostavk.To hevristicno raziskovalno nacelo poudarja gospodarnost, varcnost in pre-prostost znanstvenih teorij. Teorijo “obrijemo” vseh odvecnih okraskov, kine prispevajo dodane vrednosti.Na kratko: ce najdemo dve razlagi pojava, ki sta enako verodostojni, izbe-remo tisto, ki je preprostejša. V latinšcini se to nacelo imenuje lex parsimonie(zakon jedrnatosti) in se glasi: Entia non sunt multiplicanda praeter necessitatem(Ne zapletaj po nepotrebnem)∗ .

2 egiptovske enote za merjenje dolžineRazmerje dimenzij egipcanskih piramid bomo bolje razumeli, ce si ogle-damo njihov merski sistem. Osnova za merjenje dolžine je bil kraljevi komo-lec, ki je imel vlogo našega metra. Kraljevi komolec je meril 7 dlani, dlan paje merila 4 palce. Dolžina enega palca je bila 18.74 mm tako je bila dolžinakraljevega komolca enaka 52.472 cm. Ocitno te mere niso bile tako natancnodolocene. V literaturi zasledimo vrednosti od 52.2 do 52.5.

Tabela 1: Egipcanske dolžinske enote

Palec 5 1/4 dlani 18.75 mmDlan 4 palci 7.5 cm

Roka d 5 palcev 9.38 cmPest 6 palcev 10.75 cm

Ped (kratka) R 12 palcev 22.5 cmPed (dolga) 14 palcev 25 cmLaket 16 palcev 30 cmRemen 20 palcev 37.5 cm

Komolec kratki R 24 palcev 45 cm

Kraljevi komolectn 28 palcev 52.5 cm

∗Slovenski prevod tega stavka v Wikipediji se glasi: Ne pomnožuj bitnosti brez potrebe. Z malimkozmeticnim popravkom z Ockhamovo britvijo smo dobili naš prevod: Ne zapletaj po nepotreb-nem.

kratka zgodovina števil φ in π 5

Kote so merili v stopinjah minutah in sekundah, vendar pa so v gradbeni-štvu in zemljemerstvu kote izražali v sekedih.

merjenje kotov in seked . Seked kota je dolžina kotu priležnekatete v pravokotnem trikotniku, merjene v palcih, ce je dolžina nepriležnekatete en kraljevi komolec, ki meri 28 palcev (glej sliko 2f). Seked kota60◦ je približno 16 palcev, seked kota 45◦, pa je 28 palcev.

3 kratka zgodovina števil φ in π

3.1 Število φ

Razmerje zlatega reza φ = (1+√5)/2 je bilo predmet mistifikacij, tako v

starem veku, pri grških filozofih, kot tudi v srednjem veku in seveda tudi vdanašnjem casu. Poglejmo enega od sodobnih opisov zlatega reza.

razmerje φ pomeni vrata do razumevanja življenja. To razmerje ime-nujemo Zlato, oziroma Božansko razmerje, ker predstavlja vrata za globlje razume-vanje lepote, cudežnosti in duhovnosti življenja. Je skoraj neverjetno, da ima enosamo število tolikšen vpliv v naravi, cloveški zgodovini, znanosti, umetnosti in vvsemirju v celoti.

Zanimivo, da se Pitagorejci ne bi strinjali z gornjo trditvijo. Za njih so bilaceloštevilcna razmerja nekaj skladnega in popolnega. Zgodba trdi, da sosvojega clana Hippasusa (okoli 500 pr. n. št.) utopili v morju, ko je objavilodkritje iracionalnih razmerij. Hippasus je bil obsojen na smrt, ker je ogrozilskladno in cudovito Pitagorejsko zgradbo celoštevilcnih, popolnih razmerij.Lahko recemo, da je bil obsojen na smrt, ker je dokazal obstoj takšnih raz-merij, kot je na primer razmerje zlatega reza.

Zlati rez je prvic omenjen v zvezi z grškim kiparjem in matematikom Phi-desom (500-432).

Omenja ga tudi Platon (428-348), ki pravi, da je to razmerje kljuc do razu-mevanja fizike in vesolja.

Tudi Aristotel (384-322), ki je bil Platonov ucenec, omenja lepoto tega raz-merja. Njegov in Platonov pogled na svet odražata grško miselnost tistegacasa in njen odnos do lepote in resnice, ki ju je romanticni pisec John Keats(1795-1821) strnil v svoji pesnitvi Oda grški urni:

“Beauty is truth, truth beauty,” — that is allYe know on earth, and all ye need to know.

“Lepota je resnica, lepota resnice”, – to je vse,kar vemo in vse, kar moramo vedeti.

Verjeli so v tesno zvezo med lepoto, resnico in matematiko. Slabo razumeva-nje in nekriticno ponavljanje tega je botrovalo nesporazumom pri obravna-vanju pomena zlatega reza, ki se kot rdeca nit vlece že v poltretje tisocletje.

kratka zgodovina števil φ in π 6

Evklid (365-300) je prvi zapisal razmerje zlatega reza v matematicni obliki.Uporabil ga je pri konstrukciji pentagrama (peterokrake zvezde).

V knjigi Mysterium Cosmographicum (Skrivnosti Sveta) Johannes Kepler(1571–1630) omenja zlati rez v stavku:V geometriji najdemo dva velika zaklada: eden je Pitagorov izrek, drugi je razmerjezlatega reza.Keplerjev trikotnik, vcasih tudi zlati trikotnik, povezuje oboje. To je pravo-kotni trikotnik z razmerjem stranic

1 :√φ : φ , ker je 1 + φ = φ2 .

Naj omenimo, da so zlati trikotniki edini pravokotni trikotniki, katerih dol-žine stranic tvorijo geometrijsko zaporedje, medtem ko so trikotniki z raz-merjem stranic 3 : 4 : 5 edini pravokotni trikotniki, katerih dolžine stranictvorijo aritmeticno zaporedje.Leta 1900 je ameriški matematik Mark Barr oznacil zlati rez z grško crko φv cast grškega kiparja Phidesa.

3.2 Število π

Sledi eden najbolj znanih odlomkov iz Biblije, ki se tice matematike:

1. knjiga kraljev, pogl. 7:23 Naredil je ulito morje, deset komolcev odroba do roba, okroglo okoli, pet komolcev visoko; in vrvica tridesetih komolcev ga jeokrog in okrog ovijala.

Hebrejci niso bili vešci v tehnologiji, zato je kralj Salomon (970-931 pr. n.št.) zgradil tempelj s pomocjo Fenicanov. Hebrejci verjetno niso poznalinatancnejše vrednosti za π, približek 3 jim je zadošcal.V starem Egiptu najdemo omembo števila π zapisano na Rhindovem mate-maticnem papirusu iz leta 1600 pr. n. št. Takole piše:

površina krogaVprašanje:Kolika je površina okroglega polja s premerom 9 khetov (1 khet je 100 kraljevih ko-molcev).Odgovor:Od vrednosti premera odštejemo 1/9 te vrednosti to je 1 ostane 8. Množimo 8 samos seboj in dobimo, da je plošcina 8 ∗ 8 = 64 setjatov (kvadratnih khetov).

Izracunali so, da je plošcina kroga s premerom 9 enot enaka 64. Iz formuleza plošcino kroga A = πR2 dobimo približno vrednost za π, ta je enaka256/81 ≈ 3 .1605.

Prvi, ki je zapisal algoritem za racunanje števila π je bil grški matematik Ar-himed (287-212). Racunal je obseg krogu vcrtanega pravilnega enakostranic-nega mnogokotnika. Z vecanjem števila stranic se približujemo obsegu ocr-tane krožnice. Njegov algoritem so uporabljali naslednjih tisoc let. Dolocil jemeji za π, (223/71 < π < 22/7), to je približno (3 .1408 < π < 3 .1429).Vrednost 22/7 se od prave vrednosti razlikuje za manj kot 0 .0013, in jezato dolgo veljalo splošno prepricanje, da je to tocna vrednost. Približek zaštevilo π 22/7 je boljši od približka, ki ga najdemo v Rhindovem papirusu.

zlati rez v keopsovi piramidi 7

4 zlati rez v keopsovi piramidiZgodovinopiscu Herodotu (484-425) naj bi ob priliki neki egipcanski svece-nik zaupal skrivnost Keopsove piramide v Gizi.

svečenik: Dimenzije Velike piramide so izbrane tako, da je površina kvadratas stranico enako višini piramide enaka površini stranske ploskve.

Oznacimo višino piramide s h, stranice osnovne ploskve z b in višino stran-ske ploskve z s. Preprost racun nam da

h2 =b s

2, s2 = h2 +

b2

4.

Delimo zadnjo enacbo z b2/4 in dobimo(2h

b

)4

=

(2h

b

)2

+ 1 , oznacimo r =

(2h

b

)2

in dobimo r2 − r− 1 = 0

Edina pozitivna rešitev gornje enacbe je r = φ = (1 +√5)/2. Od tod sledi,

da je 2h/b =√φ. Trikotnik (b/2 , h , s) je zlati trikotnik dolžine njegovih

stranic so v razmerju 1 :√φ : φ.

Ta zgodba je bila veckrat ponovljena v literaturi. Profesor George Marko-wsky je zapisal v svojem clanku, da je našel v Herodotovi knjigi en samodstavek, ki govori o veliki piramidi, ta pa se glasi:

herodot: Veliko piramido so gradili dvajset let. Stranica osnovnega kvadratameri osemsto cevljev, njena višina meri ravno tako osemsto cevljev, površina je bilapokrita z gladkimi plošcami, ki so se natanko prilegale druga drugi. Kamniti bloki,iz katerih je narejena meri vsak od njih vec kot trideset cveljev v dolžino.

Herodot je napisal te vrstice dva tisoc let po izgradnji piramide. Mere, ki jihje podal ne ustrezajo realnemu stanju.Z nekaj domišlije lahko zaslutimo, kako s prevracanjem besed iz gornjegaodstavka, pridemo do trditve o zvezi med kvadratom višine in plošcinostranske ploskve. Tu imamo kljucne besede kvadrat, višina in površina,ostalo pa naredi domišlija in vroca želja, da bi našli razmerje zlatega reza.

pri keopsovi piramidi je razmerje med višino in polovico osnovnegaroba enako 14/11, kar je zelo blizu vrednosti

√φ. To naj bi napeljevalo, da

je v teh piramidah zakodirano razmerje zlatega reza. Po drugi strani, paje vrednost 4/

√φ zelo blizu blizu vrednosti π, zato nekateri trdijo, da je v

egipcanskih piramidah zakodirano tudi število π, oziroma njegova približnavrednost 22/7, ki pa je natancnejša, kot so jo poznali v tistem casu. Kot smovideli, je, v skoraj tisoc let mlajšem dokumentu, omenjena vrednost 256/81,kot približek za π.

Kliopadrahttp://www.famnit.upr.si/files/zakljucna_dela_repo/91

http://www.math.buffalo.edu/mad/Ancient-Africa/mad_ancient_

egypt_geometry.html#oldpi

http://www.herkommer.org/pyramid/pyramid.htm

fizikalne in estetske omejitve oblike egipčanskih piramid. 8

Tabela 2: Dimenzije egipcanskih piramid izražene v metrih

Piramida dimenzije

št faraon mesto dinastija osn. rob višina

1 Snefru Maidum iii/iv 147 93.52 Snefru∗ Dahshur iv 220 104

3 Mikerin Giza iv 105 65.54 Keops Giza iv 230.3 146.65 Kefren Giza iv 214.3 143.76 Sahure Abusir v 78.5 47

7 Niuserre Abusir v 81 51.58 Neferirkare Abusir v 105 70

9 Userkaf Sakkara v 73.5 49

10 Unas Sakkara v 57.5 43

11 Izezi Sakkara v 78.5 52.512 Teti Sakkara v 78.5 52.513 Pepi I Sakkara v 78.5 52.514 Merenre Sakkara v 78.5 52.515 Pepi II Sakkara v 78.5 52.516 Senwosret III Dahshur xii 105 78.517 Amenemhat III Dahshur xii 105 81.518 Amenemhat I El-Lisht xii 78.5 55

19 Senusret I El-Lisht xii 105 61

20 Amenemhat III Hawara xii 100 58

21 Senusret II El-Lahun xii 106 48

22 Khendjer Sakkara xiii 52.5 37

∗ Rdeca piramida glej sliko 2c

5 fizikalne in estetske omejitve oblike egip-čanskih piramid.

Pricakujemo, da so graditelje iz estetskega vidika privlacile piramide, kiimajo dodatne geometrijske simetrije. Vse piramide, ki so jih gradili, sopokoncne to pomeni, da je os skozi vrh in središce osnovne ploskve je pra-vokotna na osnovno ploskev. Poleg tega ima pri vecini piramid osnovnaploskev obliko kvadrata. Edina izjema v tabeli 2 je piramida številka 3.

Med piramidami, ki imajo dodatno simetrijo izstopajo piramide, katerih tri-kotnik na sliki 1 ima stranice v razmerju 3 : 4 : 5 (pitagorejska trojica). Vgornji tabeli temu ustrezajo piramide 5, 8, 9 in od 11 do 15. Naklonski kotstranskih ploskev teh piramid je 53◦7 ′48 ′′. Naslednji primer so piramide,kjer so stranske ploskve enakostranicni trikotniki. Naklonski kot teh pira-mid je 54◦44 ′10 ′′. Razmerje stranic trikotnika na sliki 1 je iracionalno. Temuse najbolj približajo piramide 10, 16, 18 in 22 v tabeli 2. V tej tabeli ni pira-mide, katere osni presek, bi bil enakostranicni trikotnik oziroma piramide znaklonskimi koti stranskih ploskev 60◦. Ravno tako med njimi ne najdemopiramide z naklonskim kotom 45◦. Najbolj pa burijo domišlijo piramide 1,4 in 7, katerih razmerje stranic v trikotniku se približa zlatemu trikotniku.Pogojno štejemo med nje tudi piramido številka 3, pogojno zato, ker nima

fizikalne in estetske omejitve oblike egipčanskih piramid. 9

kvadratnega tlorisa, vendar se dva od naklonskih kotov stranskih ploskevpribližata kotu 51◦50 ′35 ′′, ki je znacilen za ostale tri.V zacetku so gradili stopnicaste piramide, nato so na prehodu med iii. in iv.dinastijo zaceli graditi piramide z ravnimi stranskimi ploskvami.Snefrujevo lomljeno piramido štejemo za prehodno piramido med obemanacinoma gradnje, (glej sliko 2b).Pri tej piramidi je videti zasnovo za naklonski kot 60◦ med osnovno in stran-skimi ploskvami, vendar se je zelo verjetno izkazalo, da bi bila v tem pri-meru piramida prevec strma, konstrukcija ne bi vzdržala, verjetno bi bilproblem pritrditve tlaka za stranske ploskve. Takoj po zacetku gradnje sokot popravili na 54◦50 ′, ki je zelo blizu kota, ki ga ima piramida z enakostra-nicnimi stranskimi ploskvami. Nekje na sredini gradnje so naklonski kot šeenkrat popravili, to pot na 43◦22 ′. Ta kot je skrivnosten, ne ustreza našte-tim simetrijam, ker se prevec razlikuje od 45◦ in, ker se še enkrat ponovipri Rdeci piramidi, ki je bila ravno tako zgrajena v casu vladanja faraonaSnefruja (glej sliko 2c).V tabeli najdemo še eno piramido z naklonskim kotom blizu 45◦, to je pi-ramida št. 21, njen naklonski kot je 42◦35 ′. Ta piramida je med vsemipiramidami v tabeli 2 najbolj položna.

Piramida z najvecjim naklonskim kotom je piramida št. 10, njen kot je56◦18 ′35 ′′ in spada med manjše piramide. Pri vecjih piramidah bi moralbiti kot manjši, da bi konstrukcija vzdržala. Seveda pa kot ni smel biti pre-majhen, predvsem zaradi estetskega videza in kolicine materiala. Naklonskikoti stranskih ploskev piramid so v mejah od 42◦ do 56◦.

V nadaljevanju si bomo ogledali še en kriterij pri izbiri dimenzij, ki je ci-sto prakticen. Kako zapisati cim bolj preprosta navodila za gradnjo? Videlibomo kako so njihove dolžinske enote in merjenje kotov vplivali na doloca-nje dimenzij.

Tabela 3: Dimenzije egipcanskih piramid izražene v kraljevih komolcih in sekedih

št. (osn. rob)/2 višina seked=x/28 napaka y/24 napaka

1 140 179 22 0 19 13’2 210 199 30 20’ 25 28’3 100 125 22 30’ 19 18’4 220 280 22 0 19 13’5 204 272 21 0 18 0

6 75 90 23 24’ 20 0

7 77 98 22 0 19 13’8 100 133 21 0 18 0

9 70 94 21 0 18 0

10 55 82 19 28’ 16 0

11-15 75 100 21 0 18 0

16 100 150 19 28’ 16 0

17 100 156 18 0 15 44’18 75 105 20 0 17 14’19 100 117 24 0 21 35’20 95 111 25 31’ 21 4’21 101 92 30 27’ 26 8’22 50 71 20 11’ 17 3’

naklonski koti v egipčanskih piramidah 10

6 naklonski koti v egipčanskih piramidahKeopsova piramida ima izjemno natancno dolocene dimenzije. Straniceosnovne ploskve se razlikujejo le za nekaj centimetrov. Tudi koti med ro-bovi osnovne ploskve se razlikujejo od pravih za najvec 2 ′. Seked Keopsovepiramide je enak 22 palcev odstopanje je manj kot 1 ′. Tudi druga najvecja(Kefrenova) piramida v Gizi ima natancno dolocene dimenzije. Pri tej pira-midi je razmerje stranic trikotnika s stranicami polovica osnovne stranice,višina in višina stranske ploskve, pitagorejska trojica 3 : 4 : 5. Njen seked je21 palcev, odstopanje pa je ravno tako manj kot 1 ′. Nimajo vse piramidetako natancno odmerjenih dimenzij. Delno že v zasnovi, graditelji niso bilinatancni, delno pa tudi zato, ker niso v tako dobrem stanju, kot omenjenidve, in je dimenzije težko natancno dolociti.

v tabeli 2 so zapisane dimenzije 22 piramid, katerih mere so bolj ali manjnatancno dolocene. Dolžine osnovnih robov piramide, izražene v kraljevih

komolcih, naj bi bile bolj zaokrožene. V tabeli 3 so v drugem in tretjemstolpcu za zapisane dolžine polovicnega osnovnega roba in višine izraženev kraljevih komolcih. V cetrtem stolpcu je zapisan najbližji celoštevilcniseked naklonskega kota, nato sledi stolpec napak izraženih v locnih minu-tah. Vzeli bomo da je ujemanje nacrtovano, ce se dimenzije ujamejo pod 1 ′.Razlike pod 1 ′ ne bomo šteli za namerno, ampak posledico merskih napak.

iz tabele 3 se vidi, da je pri 14-tih od 22 piramid ujemanje namerno.Lahko trdimo, da so v teh primerih izbrali celoštevilcni seked. Pri nadaljnjihtreh piramidah dobimo dobro ujemanje ce v definiciji za seked kraljevi

komolec, ki meri 28 palcev, nadomestimo z navadnim komolcem, ki meri 24

palcev, tem sledita še dve piramidi št. 20 in 22, pri katerih je napaka majhna.Tako popravljeni seked naklonskega kota je zapisan v 6. stolpcu, v 7. stolpcupa je zapisana ustrezna napaka. Vidimo, da so v tabeli le tri piramide,katerih seked kota se v nobenem primeru ne izraža celoštevilcno. To sopiramide št. 2, 3 in 21. Za piramido številka 3 vemo, da nima kvadratnegatlorisa. Piramida št. 2 ima skoraj enak naklonski kot, kot ga ima vrhnji dellomljene piramide (glej sliko 2b) 43◦24 ′ razmerje med višino in polovicnimosnovnim robom je 17 : 18, napaka je le 1.8 ′. Piramida št. 21 je v tabelinajbolj položna od vseh. Razmerje med višino in polovicnim osnovnimrobom se približa razmerju 10 : 11 na 6 ′ natancno.

kakšni so naklonski koti piramid merjeni v sekedih? Najpogostejeso izbrali seked 21 palcev. V tem primeru je razmerje med polovicnimosnovnim robom, višino in višino stranske ploskve enako 3 : 4 : 5 (pitago-rejska trojica). Temu razmerju ustrezajo dimenzije osmih piramid v tabeli2. Drugo najpogostejše razmerje, ki se dobro ujame v celoštevilcni seked je22 palcev. V tabeli so tri piramide s popolnim ujemanjem in ena piramidašt. 3, kjer je ujemanje na pol stopinje natancno. Tloris te piramide ni kva-draten. Seked naklonskega kota Keopsove piramide meri 22 palcev, sekeddruge najvecje Kefrenove pa meri 21 palcev. Ker so mere obeh piramid zelonatancno dolocene lahko recemo, da je bil izbor nacrtovan. Pri 22 palcnem

sekedu je razmerje stranic trikotnika, ki ga sestavljajo polovicni stranski rob,višina in višina stranske ploskve, blizu razmerja 1 :

√φ : φ (zlati trikotnik),

to pa je tisto, ki vzburja domišlijo.

naklonski koti v egipčanskih piramidah 11

(a) Djoserjeva piramida v Sakkari (b) Lomljena piramida v Dahshurju.

(c) Rdeca piramida v Dahshurju. (d) Keopsova piramida v Gizi

(e) Kefrenova piramida v Gizi (f ) Seked in komolec (cubit)

Slika 2: Egipcanske piramide in seked

ker zlati rez v zgodovini egipta ni bil nikoli omenjen, ne smemopodleci skušnjavi, da bi trdili, da je bil zlati trikotnik namerno izbran. Po-skusimo biti bolj pragmaticni. Izbor sekeda naklonskega kota 21 palcev jeociten, ker je v mejah, v katerih se da varno graditi piramido in vsebuje, kotsmo že omenili, trikotnik z razmerjem stranic 3 : 4 : 5 (pitagorejska trojica).Poznali so Pitagorov izrek a2 + b2 = c2, ki pa ga v tistem casu niso imeno-vali tako, ker je moralo preteci vec kot 1500 let, da je le-ta ugledal luc sveta.S pomocjo tega razmerja so lahko natancno dolocali pravi kot. Kaj pa zlatitrikotnik? So tudi tega izbrali namerno? Brez dvoma, vendar zelo verjetnone zaradi tega, ker je zlati.

če pogledamo vse naklonske kote piramid, tiste s dobrim ujemanjem,vidimo, da merijo njihovi sekedi 18, 20, 21, 22 in 24 palcev. V poštev prigradnji velike piramide prideta sekeda 21 in 22 palcev manjši so prevec tve-gani, vecji, pa prevec potratni, kar se tice gradbenega materiala. Vidimo, daizbira ni bila velika. Do zacetka gradnje Keopsove piramide ni bilo zgrajenevecje piramide s sekedom manjšim od 22 palcev. Lahko recemo, da graditeljiKeopsove piramide, vedoc, da gradijo najvecjo piramido doslej, niso želeli

zaključek 12

tvegali in so izbrali seked 22 palcev. Spomnimo zgodovine mostu v Mo-starju, ko je graditelj Mimar Hajrudin zbežal, predno so porušili gradbeneodre, ker se je zbal za svoje življenje. Napake si v tistem casu placal z življe-njem. Šele po uspehu Keopsove piramide so pri gradnji Kefrenove tvegaliseked 21 palcev.

sklepamo, da je bilo razmerje, ki vsebuje pitagorejsko trojico, za njih,bolj zanimivo od zlatega trikotnika. Ce pogledamo v tabelo 3, je bilo poKeopsovi piramidi zgrajenih vseh osem piramid s sekedom 21 palcev in leena, piramida številka 7, je bila zgrajena s sekedom 22 palcev. Ce izberemopri dani višini seked 21 palcev namesto 22, prihranimo okoli 10 % materiala.

števili√φ in π . Ulomek 14/11 je cetrti verižni približek števila

√φ.

Števili√φ in 4/π se ujameta na manj kot 2 tisocinki natancno:

√φ =

1 .2720 . . . in 4/π = 1 .2732 . . .. Iz približka za√φ dobimo drugi verižni

približek za π, ta je 22/7. Kot smo že omenili je ta približek za π natancnejšikot so ga poznali v Starem Egiptu.

za konec še vprašanje: Kakšna je zveza med Božanskim razmerjem inSatanovim številom? Morda se odgovor skriva v naseldnji enacbi:

666 = 180

(4 −

1

πarcsin

(φ

2

)).

7 zaključek

Želeli smo poudariti, da graditelji piramid niso izbirali iracionalnih razmerijampak, ravno nasprotno, izbirali so racionalna razmerja. Vidimo, da dimen-zije vecinoma ustrezajo celoštevilcnemu sekedu, ce upoštevamo, da je prinekaterih potrebno kraljevi komolec nadomestiti z navadnim, potem sov naši tabeli le tri piramide, ki temu ne ustrezajo. Celoštevilcne podatkeje preprosteje zapisati v navodila graditeljem. Izbor celoštevilcnega sekeda

pri upoštevanju robnih pogojev, kot sta varcnost pri uporabi materiala invarnost, je zelo omejen. In lahko recemo, da niso izbrali sekeda 22 palcev

zaradi skritega zlatega trikotnika, ampak ker se nahaja v “zlati sredini” kom-promisa med varnostjo in varcevanjem. Graditelje je najbolj privlacil seked21 palcev, ker v sebi skriva pitagorejsko trojico, ki so jo brez dvoma poznali.