参赛队员姓名： 张逸卓，张子津，孙筱麟 中学： 杭州高级中学（钱江校区），嵊州中学，马寅初中学 省份： 浙江省 国家/地区： 中国 指导教师姓名： 黄晶，邱为钢 论文题目： 爱情与项链：悬链线中的科学与艺术

1

论文题目：爱情与项链：悬链线的科学与艺术

作者；张逸卓，张子津，孙筱麟

论文摘要：对达芬奇名画中项链形状做了简

化的物理模型, 把脖子看作水平放置圆柱侧面的部分, 表面

是光滑的. 假设项链是质量均匀分布的链条, 两段固定, 完

全紧贴在圆柱侧面上。项链的实际形状是自身的重力势能极

小, 加上项链总的长度不变这个约束条件, 得到了拉氏因子

的泛函积分, 进而得到了项链曲线的微分方程. 利用数学软

件数值求解, 得到了不同参数下的三维曲线, 并于实际测量

到的项链几何量作对比. 把项链的两段重合或者固定在一个

竖直杆上, 理论和实验发现, 取合适的旋转速度, 悬链线会

呈现心形和泪形.

关键词：项链；旋转；悬链线；心形线；

2

目录：

1， 序言，伽利略和达芬奇的疑惑，项链的神秘形状…………..4

2， 变分法求项链形状：理论分析，数值计算和实验对照……9

2.1 变分法推导自由悬挂悬链线的曲线方程………………… 9

2.2 变分法推导圆柱面上悬链线的曲线方程…………………10

2.3 数值求解圆柱面上悬链线曲线方程…………………..…. 13

2.4 实验对照和分析………………………………………..….19

3， 谁的项链在转,谁的眼泪在飞…………………………….. 22

3.1， 微元法分析静止悬链线形状…………………………….23

3.2，微元法分析旋转悬链线形状………………………………24

3.3，数值求解旋转悬链线形状………………………………….24

3.4 实验数据与分析…………………………………………….26

4，于千万种形状，我只取心形…………………………………29

4.1 理论模型分析……………………………………………….29

4.2 实验现象和数据分析……………………………………….32

5，结束语………………………………………………………….37

3

论文正文：

序言：伽利略和达芬奇的疑惑：

项链的神秘形状 杭州名绝天下的景点就是西湖, 不同季节下的西湖景色呈现不同的特色。在湖边欣赏美

景的同时, 提醒保护你的是岸边的栏杆。为了不破环西湖岸边的整体效果, 护栏并不是竖直栅状的, 而是一条条下凹的链条, 如下图所示:

图[1] 西湖岸边护栏中间的链条

这种两端固定, 在重力作用下下垂的链条曲线, 我们称为悬链线[1]. 游览西湖美景估计有上亿人次, 其中有没有人会想到, 这个悬链线到底是什么形状? 其实, 差不多 400 年前, 经典物理的开创人, 伽利略(1564-1642)，也对这个问题感兴趣。在他的著作（Two New Science，1638）[2]中，提到:

图[2] 伽利略对于悬链线形状的推断

大意是：“…取合适的高度，把两个钉子钉在墙上，使之在同一高度…在这两个钉子上挂一个轻的链条…这个链条会呈现抛物线状…”.伽利略的推论对呢？ 1691 年， Jacob Bernoulli 给出一个挑战题，谁能第一个写出悬链线的曲线方程，Leibniz, Huygens 和 Johann Bernoulli 三位物理学家给出了严格的证明，悬链线是双曲余弦函数性状。Huygens[3]是第一个用”Catenary ”来称呼悬链线的人。我们仍可以用实验的方法来验证伽利略的说法是否正

4

确。

图[3] 抛物线与悬链线的对比

由图[3]可以看出，黄色的线是实际的悬链线，黑色的线是通过悬链线最低点和两个端点的抛物线，它们并不重合，抛物线显得“瘦”一些。我们还可以用伽利略首创的“思想实验”

极限法来验证他的推断。假定悬链线始终是抛物线，只是参数不同。悬链线有两个极限，一

个是两个端点重合，一个是整个链条水平拉直。抛物线有没有可能取到这两种形状？无论抛

物线的参数怎么变化，抛物线不可能变为合在一起的两个线段（悬链线的第一种极限）。这

说明伽利略的推测是错误的。 另一个对悬链线形状感兴趣的大科学家（也是大艺术家）是达芬奇（1452-1519），他一生中只画了三个女人的肖像画，最有名的是《蒙娜丽莎》，其次是《报银貂的女人》和

《La-Belle-Ferronniere》，如下图所示：

5

图[4] 达芬奇所画的两幅女人肖像画 画中的女人是 Cecilia Gallerani[4-6]，当时是 16 岁，以美丽，智慧和诗才闻名。银貂是

后来加上去的，寓意 Cecilia 的纯洁。这两幅画中的女人颈上都有一圈项链。据说[7]达芬奇对这种项链曲线非常着迷，一直到去世都没有想明白。

从物理模型角度看，伽利略的问题和达芬奇的问题还是不一样的。共同之处是假设项

链都是质量均匀分布的，伽利略模型是两段固定，在重力作用下下垂平衡时的形状。达芬奇

模型中的项链不是在自由空间中悬挂的，而是紧贴在一个光滑表面（脖颈）上的。为了简化

模型，和伽利略模型一样，把项链两段也固定在光滑表面上，考虑这种项链曲线形状。以下

我们作一一比较分析： 第一步是名画中女孩颈上项链的局部放大图：

图[5] 第一幅肖像画中项链局部放大图

第二步是我们实际拍摄到的商场中模特的项链：

6

图[6] 商场中模特颈部的珍珠项链 第三步是最关键的一步，对项链的悬挂模式和模特颈部曲面作假设。物理中有个经典

典故“球形鸡”，即估算烤熟一个火鸡的时间。不管火鸡实际长得什么模型，物理上统统看

作一个球。这个假设其实是抓住模型的最主要特征的。仿照这个思路，我们把模特颈部曲面

看作是水平放置圆柱的侧面，并假设项链是两段固定的。圆柱面上项链模型图如下图所示：

图[7] 圆柱面上的项链

接下来对第二副肖像画中的项链分分析，第一步是名画< La-Belle-Ferronniere>中女人颈上项链的局部放大图：

7

图[8] 第二幅肖像画中项链局部放大图 这个项链与第一副画中不同之处在于项链底部有挂饰，由于重物的拉持，项链底部呈现 V字形。

第二步是我们实际拍摄到的商场中模特的项链，底部有挂饰：

图[9] 商场中模特颈部有挂饰的项链

第三步的假设是一样的，即假设模特颈部是光滑的圆柱侧面，项链上部两段固定，底部有个

重物悬挂。下一章我们用势能极小原理和变分法来求项链的形状。

8

第二章：变分法求项链形状：

理论分析，数值计算和实验对照 伽利略模型的悬链线为何是双曲余弦函数？从能量角度看，这种曲线形状使得整个链条的重力势能最低（极小）。即理论上链条两段固定，可以取任意的曲线。这么多无穷曲线中，

只有一种形状的曲线才能使得悬链线的重力势能最小，这就是我们在现实生活中看到的形

状。如何确定这种曲线形状，就要采用 17 世纪数学家 Bernouli 等人发明的变分法了。

2.1 变分法推导自由悬挂悬链线的曲线方程 首先取一个合适的直角坐标系，整个链条的重力势能是由一小部分链条微元重力势能叠加

起来的，设这部分微元的坐标是 ( , )x y ,它的长度是 2 2 21 'ds dx dy y dx= + = + 。假设单

位长度链条的质量是 ρ , 这部分微元的重力势能是 21 'y dx g yρ + × × ，那么整个链条的重

力势能是：

1

0

21 'x

xg y y dρΦ = + x

我们还有加一个约束条件，即整个链条的长度是不变的，取为 L。

1

0

21 'x

xL y= + dx

取一个合适的拉氏因子，得到下面的泛函积分形式：

1

0

2( ) 1 'x

xI gL g y yλρ ρ λ= Φ + = + + dx

作用量 I 的积分因子 2( , , ') ( ) 1 'f x y y y yλ= + + 不显含 x ，由文献[8]的结论：

''

fy f consty

∂ − =∂

计算得到：

21 '

y constyλ+ =

+

上式中的常数可由悬链线最低点的条件确定。假设最低点为原点，即 。最低点

的切线是水平的，即 ，由此得到：

0, 0x y= =

'(0) 0y =

( )21 ' 1y yλ= + − 假设 ，那么： ' sinhy τ=

9

( )cosh 1y λ τ= −

sinh sinhdy d dxλ τ τ τ= =

由此得到 , x λτ=

( )cosh( / ) 1y xλ λ= −这就是双曲余弦函数，其中参数λ 由悬链线上端的坐标确定。

2.2 变分法推导圆柱面上悬链线的曲线方程

为简单起见，设体系关于坐标轴对称分布，圆柱面的方程是 2 2 2y z r+ = ，圆柱面上一点

的三维直角坐标是 ，如下图所示： ( , cos , sinx r rθ )θ

图[10] 圆柱面上项链模型图

悬链线的重力势能为：

sinV g r dsρ θ= 其中 ρ 是悬链线的线密度，线元为

2 2 2 2 21 ( / )ds dx r d r d dx dxθ θ= + = +

悬链的总长度不变，取适当的拉氏乘积因子，系统的作用量 I 为

2(sin ) 1 ( / )2I gr r d dx dxρ θ λ θ= + +

作用量 I 的积分因子 ( , ', )f xθ θ 不显含 x ，由文献[8]的结论：

''

f f constθθ

∂ − =∂

10

计算得到

2 2 2(sin )k dx ds dx rθ λ θ+ = = + d

其中 是积分常数，由边界条件确定。在最低点处 ， k 00,x θ θ= =

( ) ( )0 0sin sin xdx dxds ds

θ λ θ λ =+ = +

对于挂有重物的项链，我们必须计算出最低点项链中的张力 ，才能应用边界条件。采用

微元分析法，得到项链的平衡方程是：

0T

( ) 0n zd Te

Ne geds

τ ρ+ + =

上式第一项是项链微元两段张力的变化量, 第二项是圆柱面对项链微元的支持力, 第三项是项链微元所受的重力。各个单位矢量为

d cos dsin, ,dxe r r

ds ds dsτθ θ =

( )0,cos ,sinne θ θ=

(0,0, 1)ze = −

计算得到：

0n zde dTT e Ne geds ds

ττ ρ+ + + =

上式两边点乘

, sin ,cosnd dxe e rds ds dsτθ θ θ × = − −

dx

，

得到

( ) ( ) 0n z ndeT e e ge e eds

ττ τρ× + × =

其中 2 22 2 2

2 2 2, sin cos , cos sinde d x d d d dr r r rds ds ds ds ds ds

τ θ θ θθ θ θ θ = − − −

θ

计算得到:

( ) = cosz ndxe e edsτ

θ× −

( )2 2

2 2=nde d x d d dxe e r rds ds ds ds ds

ττ

θ θ× − +

计算得到项链中张力的表达式:

11

2 22 2

cos=

dxdsT

d x d d dxr rds ds ds ds

θ

θ θ

−

−

接下来我们计算在项链最低点中的张力,我们有以下耦合方程:

( ) ( )0 0sin sin xdx dxds ds

θ λ θ λ =+ = +

2 2

2 1dx drds ds

θ + =

以上方程组继续对弧长坐标 s 求导，得到

( )2

2sin cos 0d x d dxds ds ds

θθ λ θ+ + =

2 2

22 2 0

dx d x d drds ds ds ds

θ θ+ =

设 0 cosxdxds

α= = ，那么

( )2

00 02

cossin cos sin 0sd xds r

θθ λ α α=+ + =

2 2

0 02 2cos sin 0s sd x drds ds

θα α= =+ =

计算得到项链最低点中的张力为：

0 02

02

cos cos sin= (s

T rd xds

θ α α θ λ=

− = +sin )

τ

在项链最低点，挂饰（重物）的受力平衡方程是：

( )0 '+ 0n zT e e Fe mgeτ τ + + = 上式第一项是项链对挂饰的拉力, 第二项是圆柱面对挂饰的支持力, 第三项是挂饰所受的重

力。上式两边点乘 ，得到 'e eτ +

0 02 (sin ) mgcos sin 0r θ λ θ α+ − =

反过来讲，挂饰的质量 依赖于三个参数，项链最低点对应的角度 ，参数角 以及待定

参数

m 0θ α

λ 。

12

2.3 数值求解圆柱面上悬链线曲线方程 上一小节中的微分方程组一般没有解析解, 只有求助数学软件数值计算。不过数学软件输入量默认是无量纲的数学量, 所以首先要量纲归一化。长度取项链整个长度一半 l 为单位,

质量以整个项链的一半为单位m lρ= 为单位, 力以项链重力的一半 glρ 为单位。为了保准

项链不悬出圆柱侧面, 要求圆周的四分之一大于项链长度的一半,即 , 或者

. 对于第一种项链模型, 最底端的边界条件是 . 项链最上

端两个端点水平距离的一半 依赖于圆柱半径 , 参数

/ 2r l>

/ ds

/ 2

1=

π

/ 0,dx=/ 1/r l π> d dsθ

1[1]a xx= r λ 和最底端对应的角度 .

程序如下图所示:

0θ

其中圆柱半径 和最底端对应的角度 由实验图像和数据确定. 假定 , 那

么项链两端点距离一半 随参数

r 0θ 01.5, / 8r θ π= =

[1]a xx= λ 的变化关系图如下:

由上面曲线的纵坐标,大致确定横坐标.譬如说 , .我们可以精确找到对应

参数

0.4a = 0.3λ ≈ −0.4a = λ 的值，如下图所示：

一旦参数λ ，我们就能确定 ( ), ( )x s sθ 的数值解，如下图所示：

13

利用以上数值解，就能画出圆柱面上的项链曲线。首先画出项链的右半部分：

其次画出项链的左半部分：

最后画出圆柱面的四分之一：

14

把上面三副图拼在一起，就得到圆柱面上的第一种项链的理论曲线形状：

整个图的整体变化趋势与模型图[7]一致。

对于第二种项链模型, 最底端的边界条件是 2/ 1 , /rd ds k dx ds kθ = − = . 项链最上端

两个端点水平距离的一半 依赖于圆柱半径 , 参数2[1]a xx= r λ ，最底端对应的角度 以

及

0θ

k

15

挂饰（重物）的质量是：

02

0

2 (sin )cos 1rm

kθ λ

θ+=−

由实验图像和数据确定圆柱半径 和最底端对应的角度 ，再以两个端点水平距离的一半 a

和重物质量 m 来确定参数

r 0θ

λ 和 。假设 。我们在参数 画 /dx ds k= 0.5,= 1.7a m = ( , )kλ

2[1.5, / 8.0, , ] 0.5xx kπ λ = 和 ( ) 22 1.5 sin( / 8) 1.7 cos( / 8) 1 kπ λ π× × + = × − 的等高线图：

把以上两幅图合在一起，得到

16

由上图，可以大致判断出两个等高线交点的坐标为(0.931,-0.2).由这组近似数据，可以得到精确值：

由这两个精确值，可以得到 ( ), ( )x s sθ 的数值解，如下图所示

首先画出项链的右半部分：

17

其次画出项链的左半部分：

最后画出圆柱面的四分之一：

把上面三副图拼在一起，就得到圆柱面上的第二种项链的理论曲线形状：

18

2.4 实验对照和分析 实验中项链的长度是 19.8 厘米，圆柱（塑料杯）的直径是 12 厘米，项链两个端点的水平距离是 3.5 厘米，最低点和最高点对应的角度是 0 度和 90 度。相应的无量纲的量是

.实验图片如下： 0.606r =

0.1767a =

首先我们确定，如果最低端角度是 0，最上端角度是 90 度，对应的参数λ 是多少？先画出最上端角度随参数λ 变化图：

19

上图中红色水平线与蓝线的交点对应的横坐标就是参数λ 的值，可以精确找到：

把这个参数值反代回到 的数值表达式中，得到： a

整个值 0.1897 与实验值 0.1767 有些误差，相对误差在百分之 7 左右，说明理论预言与实际结果还是符合的。理论上项链的曲线形状是：

20

理论曲线与实验图像对比图如下图所示：

图[11] 圆柱侧面项链实验与理论对比 有上图可以看出，实验曲线和理论曲线几乎一样。误差最主要的来源是项链是作者之一（张

逸卓）家长的金项链（价值 4000 元），有不同的组分，有粗细，不是理想的没有宽度厚度的线，与理想模型-质量均匀分布的链条还是有一些出入的。

21

第三章, 谁的项链在转,谁的眼泪在飞 静止悬挂的项链是双曲余弦函数, 那么, 把项链动起来,它能呈现什么形状? 先从最基础和简单的静止悬链线[9]分析, 再推广到转动悬链线[10]的形状.

3.1 微元法分析静止悬链线形状

设项链质量均匀分布，线密度是 ρ ，长度是 l 。我们利用微元分析法来推导静止悬链线

方程，设弧长坐标 处的绳子张力为 。弧长坐标在 的绳子微元受到三个力，

重力

s ( )T s ( , )s s ds+

G gdsρ= ，两端的绳子张力，大小分别为 和 ，如图[12]所示： ( )T s (T s ds+ )

图[12] 悬链线微元的受力分析

项链微元竖直方向受力平衡：

( ) ( )( )sin ( ) ( )sin ( )T s ds s ds T s s gdsθ θ+ + − = ρ

0=

项链微元水平方向受力平衡：

( ) ( )( )cos ( ) ( )cos ( )T s ds s ds T s sθ θ+ + −

忽略上式中 的高阶小量，长度以 l 为单位，力以ds glρ 为单位，计算得到

( ( )cos ( ) 0d T s sθ =)

)

s

( ( )sin ( )d T s s dsθ = 上式很容易积分，得到

0cos , sinT T Tθ θ= =22

其中 是项链最低端的张力。两式相除，得到 0T

0 tans T θ=

由项链线元的几何关系，得到：

0cos cosddx ds T θθ

θ= =

0 2sinsincos

ddy ds T θ θθθ

= =

积分得到项链微元的直角坐标的参数方程为：

0 ln tan 2 4x T θ π = +

01 1

cosy T

θ = −

可以验证：

0

1 1cosh tan cot2 2 4 2 4 cos

xT

θ π θ πθ

= + + + =

所以

( )0 0cosh( / ) 1y T x T= −

对比变分法得到的悬链线方程，那里的拉氏因子λ 就是这里的 ，项链最低端的张力。 0T

3.2 微元法分析旋转悬链线形状 分析过程和静止悬链线完全一样，不同之处在于项链微元受到的合力形成绕竖直轴的向心力。绳子微元竖直方向受力平衡：

( ) ( )( )sin ( ) ( )sin ( )T s ds s ds T s s gdsθ θ+ + − = ρ绳子张力水平方向分力的合力等于绳子微元的向心力：

( ) ( ) 2( ) cos ( ) ( ) cos ( ) ( )T s ds s ds T s s x s dsθ θ ω ρ+ + − = −

频率以 0 /g lω = 为单位，长度以 l 为单位，力以 glρ 为单位，忽略上式中 的高阶小量，

计算得到量纲归一化后旋转悬链线方程：

ds

( ) 2( ) cos ( ) ( )d T s s x s dsθ ω= −

( ( )sin ( )d T s s dsθ =) 这组微分方程没有解析解，只能通过数学软件数值求解。

23

3.3 数值求解旋转悬链线形状

未知量有四个， 都是弧长 的隐函数。初始条件是 , , ,Tx y θ s

0(0) 0, (0) 0, (0) 0, (0)x y Tθ= = = = T

一旦实验数据给定项链的旋转角速度，项链的最上端横坐标 a 就只依赖与项链最低端的张力

首先给出最上端横坐标 的程序： 0T a

假设实验给出的转速平方是 5， 那么最上端横坐标 随最低端张力 的变化关系图如下： a 0T

如果要使得这个旋转项链像泪滴，那么项链的两端理论上必须重合，或者说项链最上端的横

坐标是零。从上图中读出对应 的估计值，再精确求解： 0T

把这个值反代回到原来的微分方程组中去，得到 ,x y 的数值解：

24

先画出右半部分旋转项链的形状：

再画出左半部分旋转项链的形状：

把左右两半部分合并，就得到泪滴状的旋转项链：

25

0.2 0.1 0.1 0.2

0.2

0.4

0.6

0.8

图[13] 泪滴状旋转项链

3.4 实验数据与分析 实验所用的装置是水平放置的童车后轮，用一个纸杯固定在转轴上，再用胶带纸把项链固定在纸杯的底部，调节童车的转速，使得旋转项链呈现不同的形状，装置和实验图如下图所

示：

图[14] 旋转项链实验装置图 实验数据如下，项链长度 80.5 厘米，质量 64.6 克，看到泪滴形时转速是 115-120 转/分钟,

相当于 12.0 弧度每秒 , 角速度单位是 / 9.8 / 0.4 4.95g l = = 。所以数值计算中的

26

2(12 / 4.95) 6.0w = ≈ . 依据这个数值，得到的旋转项链的理论曲线形状如下图所示：

0.2 0.1 0.1 0.2

0.2

0.4

0.6

0.8

图[15] 对应实验参数旋转项链的理论曲线 实验中旋转项链的形状如下图：

图[16] 对应实验参数旋转项链的实际曲线 接下来我们把两幅图放在同一幅图中对比，需要确定最低点的坐标和相似比。实验图中，项

链最低点的坐标是（190，33）。项链两个端点的延伸点的综坐标是 364。理论曲线最高点，

即两个端点的综坐标是 0.7616。所以曲线的相似比是 (364 。合成的图33) / 0.7616 434− ≈

27

如下图所示，其中蓝色虚线是理论曲线

图[17] 旋转项链理论曲线和实际形状对比图 由上图可以看出，理论曲线和实际曲线非常相似，说明本文所用的理论模型是合理正确的。

误差主要来源有，理论上项链是没有粗细的线，实际上项链是扁平有宽度的；理论上要求项

链两个端点合在一起，实验上只能尽可能把项链两段贴近；理论上要求项链两个端点在转轴

上，实验上不可能完全对准；理论上要求转速匀速，实验上是人工驱动手调节的，不大可能

在整个过程中匀速，所以实验视频上也能看出项链形状也在随转速变化，转速大，“胖”一

些。转速小，“瘦”一些。

28

第四章，于千万种形状，我只取心形 项链的两端还可以固定在同一个竖直转轴上，上下距离可以调节。起始静止不转时候,项链形状是一线段. 旋转起来之后, 重力和离心力共同作用, 有可能呈现倒放的心形.

4.1 理论模型分析 这时候模型就有两个个参变量，一是项链最下端处切线与水平线的夹角，不再是零度，而是

负的一个角度; 二是项链最低端的张力. 先给出项链最上端横坐标和纵坐标依赖于张力,切角和转速平方的隐函数表示：

假设我们取角速度的平方是 3.9, 起始角是负的 45 度，那么项链最高点横坐标随最低点张力的变化关系图如下：

由上图可以读出项链最高点横坐标为零是最低点张力的值，精确求解如下：

把这个值反代回原来的方程组去，得到旋转项链曲线直角坐标的数值解：

29

由这些数值解，可以得到心形的旋转项链：

这样，我们就得到了一个倒放的心形旋转项链。把它正放过来，是这样的：

30

-0.3 -0.2 -0.1 0.1 0.2 0.3

-0.5

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0.1

图[18] 心形旋转项链

选择项链的形状非常敏感的依赖于转速和上下两端的距离，如果这两个参数选取不好，我们

会得到以下的图形。取参数角速度的平方为 4.9，旋转项链的形状是：

-0.4 -0.2 0.2 0.4

-0.10

-0.05

0.05

0.10

0.15

0.20

图[19] 蝴蝶状旋转项链

取参数角速度的平方为 2.9，旋转项链的形状是

31

-0.15-0.10-0.05 0.05 0.10 0.15

-0.6

-0.4

-0.2

图[20] 瓜子状旋转项链

4.2 实验现象和数据分析 实验所用的装置是水平放置的童车后轮，并在转轴下固定一个金属杆. 用细线把项链的两个端点固定在金属杆上,如下图所示:

32

图[21] 心形旋转项链实验装置图

实验数据为:长度 41 厘米, 质量 51.3 克, 上下两端距离 16.4 厘米,转速 108-110 转/分钟, 相当

于 11.46 弧度/秒， 转速单位是 / 9.8 / 0.41 4.89g l = = ，所以数值计算中的转速平方为

. 已知条件是上端的坐标（0,16.4/41=0.4）,由这两个条件可以确定

下端处的张力和倾角。首先画出 参数平面上的登高线：

2(11.46 / 4.89) 5.5w = ≈

0 0( , )T t

由上图，可以大致确定两条等高线的交点坐标为(0.54,-0.54). 然后利用 FindRoot 指令精确求解：

33

然后代入原来的项链形状方程组，得到项链曲线的数值解：

从实验录像中截取一个画面，作左右镜像对称，再合并在一起，得到：

图[22] 心形旋转项链实验图 由数学软件的图像读取坐标功能，得到项链下端的坐标是（209,110），上端的坐标是

（209,319），由此可得实验曲线和理论曲线的相似比是(319-110)/0.4=522. 理论上右

边曲线是：

34

理论上左边曲线是：

把理论曲线和实验曲线合并在一起，得到：

再把上图作上下镜像对称，得到心形旋转项链的实验和理论对比图：

35

图[22] 心形旋转项链实验和理论对比图

36

结束语

一个小小的项链，穿起来人类文明的两个明珠-艺术和科学。伽利略曾经以为静止悬挂的项链是抛物线，达芬奇给米兰公爵情人的脖子上画上了一个项链，并对项链的形状疑惑不

解。在求解项链形状问题上，惠根斯，伯努利，莱布尼茨等大科学家提出了各种解法，并发

明了变分法。我们查找了各种文献，还是没有找到画像中少女脖子上项链形状的专业文章。

我们做了简化，把脖子看作是光滑的圆柱面侧面，得到了两端固定项链重力势能的积分表达

式，加上项链长度不变的约束，得到了项链曲线的微分方程。利用数学软件求解这个形状方

程，并与实验图像作对比。两端固定旋转的项链还能呈现泪滴形和心形，利用微元分析法，

得到了旋转项链的形状方程，并理论预言了泪滴形和心形旋转项链的可选参数，并与实验现

象和数据作对比。本文中三个项链模型的理论预言曲线都与实际曲线吻合，说明这些模型是

正确的。最后，以费曼的名言（大意）为结尾：理解了科学，并不妨碍我们欣赏艺术，反而

会让我们更深刻的欣赏艺术。

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参考文献： [1]悬链线[EB/OL]. https://en.wikipedia.org/wiki/Catenary [2]Galilei, Galileo，Dialogues Concerning Two New Sciences[M]，Knovel，2001：149 [3]Christiaan Huygens and the Problem of the Hanging Chain[EB/OL] http://jcsites.juniata.edu/faculty/bukowski/leiden/cmj002-011.pdf [4]Lady with an Ermine[EB/OL]. https://en.wikipedia.org/wiki/Lady_with_an_Ermine [5]The changing face of Da Vinci's Lady with an Ermine[EB/OL]. http://www.dailymail.co.uk/sciencetech/article-2774479/The-changing-face-Da-Vinci-s-Lady-Ermine-Scans-artist-changed-mind-masterpiece-originally-painted-without-animal.html [6]Decoding a da Vinci masterpiece[EB/OL] http://www.dailymail.co.uk/news/article-2059167/Leonardo-da-Vincis-The-Lady-Ermine-Decoding-secret-symbols.html [7]柳燕. 从达·芬奇的问题到一条著名的曲线——悬链线[J]. 科技信息, 2012(4):136-136. [8]程建春. 数学物理方程及其近似方法[M]. 北京：科学出版社，2004:188. [9]于凤军, 崔金玲, 李立新. 利用平衡原理导出悬链线方程[J]. 工科物理, 1998 , 8 (4) :14～16. [10]周来伟，邱为钢。旋转悬链线[J].大学物理，2013，32(4):

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致谢

张逸卓主要负责理论公式推导以及圆柱面侧面悬链线的实

验。

张子津主要负责数值求解程序的编译和调试，以及理论和参

数的对照和拟合。

孙筱麟主要负责旋转悬链线形成泪滴形和心形的实验。

感谢各位学生家长提供的实验道具，价值不菲的金银项链。

黄晶（1978-），男，浙江师范大学学士，杭州高级中学（钱

江校区），中学物理高级教师，主要从事中学物理教学和竞

赛工作。已在《物理教师》，《物理教学》，《中学物理》等期

刊上发表文章 43 篇，主编《加拿大物理奥林匹克》（中国科

学技术大学出版社）。

邱为钢（1975-），男，复旦大学博士，副教授，湖州师范学

院理学院教师，主要从事大学物理的教学研究。已在《大学

物理》，《大学数学》，《物理通报》，《数学通报》等期刊上发

表文章近 90 篇。出版物理科普读物《奇妙的物理世界》（清

华大学出版社）。

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此页为学术诚信声明

本参赛团队声明所提交的论文是在指导老师指导下进行的研究

工作和取得的研究成果。尽本团队所知，除了文中特别加以标注和致

谢中所罗列的内容以外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研

究成果。若有不实之处，本人愿意承担一切相关责任。

参赛队员： 张逸卓，张子津，孙筱麟

指导老师： 黄晶，邱为钢

2017 年 8 月 28 日