金融ネットワークのモデル化

神戸大学経済学研究科 小林照義

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金融ネットワークとは

銀行・証券会社などが資金の貸し借りを行っている状態を表現

ノード： 金融機関

エッジ： 資金フロー、株式持合い、CDS取引関係など

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Financial networks

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Boss et al. (2003) “The Network Topology of the Interbank Market”

Austrian interbank market

なぜ金融ネットワークが重要か

ある金融機関が破綻すると、リンクを通じて他の金融機関にも伝播する

伝播のしくみはネットワーク構造に依存（メゾスコピック）

法則性が十分（ほとんど？）解明されていない

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1997の三洋証券の破綻、 2008のリーマンショックは金融市場に甚大な影響

マクロ経済の不景気も長期化

ネットワーク論的観点からの対策はほぼ手付かず → 社会的意義が大きい

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なぜ金融ネットワークが重要か ２

金融ネットワーク研究の目的

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金融ネットワーク分析の基本となる数理モデルの条件

ー 各ノード毎に異なる性質

－ リンクの意味は多層的

－ ネットワーク構造が動学的に変化

早期警戒指標の構築、ネットワークのリスク管理システム、

プルーデンス政策の理論的基礎付け

システミック・リスクの既存モデル

資産価格の下落（市場型システミック・リスク）:

Cifuentes, Ferruci and Shin (2005, JEEA)

Beal et al. (2011, PNAS)

Caccioli et al. (2012)

Huan et al. (2013)

破たんの伝播（古典的システミック・リスク）:

Nier et al. (2007, JEDC)

Gai and Kapadia (2010, PRSA)

Gai, Haldane, Kapadia (2011, JME)

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Vitali et al. (2011) PLOS One

システミック・リスクの既存研究 ２

双方の要因を考慮:

Caccioli et al.(2012)

Maeno et al. (2013)

Kobayashi (2013 EPJB)

Kobayashi and Hasui (2014 Sci. Rep)

サーベイ:

Upper (2011, J. Financ. Stability)

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Vitali et al. (2011) PLOS One

市場型システミック・リスク

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具体的な課題

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「大きすぎて潰せない」 （Too big to fail） 問題

→ システム上重要な金融機関の選択

「投売り」、「取り付け」などの経済的同期現象メカニズムの解明

規制の最適化（対象先、規制の意図）

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Bank 1 Bank 2

Bank 3 Bank 4

Diversification

Bank 1 Bank 2

Bank 3 Bank 4

Diversity

Probability of bank failure with two banks and two asset classes, A1 and A2.

Beale N et al. PNAS 2011;108:12647-12652

©2011 by National Academy of Sciences

Beal et al. “Individual versus systemic risk and the regulator’s dilemma”

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The systemic risk presented by a given set of allocations is largely characterized by two

distinct factors: (i) the distance between the banks’ allocations D and (ii) the imbalance of the

average allocation G, defined as the distance between the average all...

Beale N et al. PNAS 2011;108:12647-12652

©2011 by National Academy of Sciences 2014/6/13 13

N = 5, M = 3 Robust yet fragile Fragile yet robust

古典的システミック・リスク

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金融ネットワークのモデル化

１．バランスシートの設定

２．初期破たんの設定

３. 波及アルゴリズムの選択

４. ネットワーク構造の選択

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金融ネットワークのモデル化 １．バランスシート

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外部資産: 𝑎𝑖

𝑎𝑖,1

𝑎𝑖,2

𝑎𝑖,3

外部資産: 𝑎𝑗

𝑎𝑗,1

𝑎𝑗,2

𝑎𝑗,3

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外部資産のポートフォリオは金融機関ごとに異なる

bank i bank j

“Fundamental default”

- 外部資産の価格変動損失による破綻 (伝播のseed)

- モデルでは外生的に確率を与える

“Contagious default”

- 取引相手の破綻によって引き起こされる破綻

- （ネットワーク構造に依存）

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金融ネットワークのモデル化 ２．初期破たんの設定

デフォルト条件

𝑝𝑖 > 𝜋𝑗,𝑖𝑁𝑗≠𝑖 𝑝𝑗 + 𝑏𝑖 + 𝑎𝑖 − 𝑑𝑖

𝑎 : 事後的な外部資産価値

𝜋𝑗,𝑖: 銀行 j が 銀行 𝑖 から借り入れている比率

Point:

取引相手からの支払い（ 𝜋𝑗,𝑖𝑁𝑗≠𝑖 𝑝𝑗） がデフォルト条件に影響する.

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１． Eisenberg & Noe（2001）の方法

・破綻行向け債権の回収額（損失額）は、貸出量に比例して決定される。

→ Loss given default (LGD)の内生化

複数行の破綻があったとしても、一定の条件の下では、全ての債権行

についてこれを満たす一意解が存在する。

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金融ネットワークのモデル化 3. 波及アルゴリズムの選択

Eisenberg-Noe theorem

Eisenberg and Noe (2001):

map:

where

A fixed point of the map, 𝒑∗, exists and is unique if the network is

strongly connected and

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１． Eisenberg & Noe（2001）の方法

メリット： 経済学的に合理的な解を導く。しかも解が一意に決まる。

デメリット： ネットワークが強連結であることが必要。

批判： 現実はそんなにうまくいかない！

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金融ネットワークのモデル化 3. 波及アルゴリズムの選択

２． 逐次法

Step 1. 自己資本が負になった銀行が破たん

Step 2. 借入先の銀行は損失（ＬＧＤは外生）

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金融ネットワークのモデル化 3. 波及アルゴリズムの選択

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7

2 2

3

4

5

5

5 5

5

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7

2 2

4 -5

-5

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7

2 2

4

-10

-5

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7

2 2

4

-10

-5

２． 逐次法

デメリット： ENアルゴリズムと違い、LGDは外生

メリット： 必ず何らかの解（結果）に到達する（強連結性は不要）

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金融ネットワークのモデル化 3. 波及アルゴリズムの選択

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金融ネットワークのモデル化 ４. ネットワーク構造の選択

よく使われるネットワーク構造のモデル １．Erdos-Renyi ランダムグラフ ２．スケールフリー ３．Configuration model

ネットワークの特徴量

次数： ノードの持つエッジの数

次数分布： ランダムグラフならポワソンに

クラスター係数： ネットワーク上における三角形の密度

同類選択性： 次数の多いノードは次数の多いノードと結びつきやすいか

平均経路長： ノード間の平均距離

Giant component： どのノード間もつながっているようなサブネットワーク

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伝播モデルの例：Watts (2002, PNAS)

𝑘𝑖𝜑 > 𝑑𝑖 ⇒ ノード 𝑖 が 「黒」に。それ以外は白のまま。

初期のノードは全て「白」

𝑘𝑖：ノード 𝑖 の次数（隣接ノード数）

𝑑𝑖：ノード𝑖 の隣接ノードのうち破綻した数

𝜑∈[0,1] ：白→黒になる最小割合

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← generating function 1

← ノードが破たんする閾値（ここでは 1/k）

← generating function 2

→ giant component の平均サイズ

波及モデルの例：Watts (2002, PNAS)

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波及モデルの例：Watts (2002, PNAS)

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金融ネットワークへの応用例：Gai&Kapadia (2010, Proc.Roy. Soc.B)

金融ネットワークへの応用例：Kobayashi (2014 Econ. Lett)

Watts (2002)モデルにおける境界(φ)のpdf を、リスク資産から得られるリターンの分布に応じて規定（φ → 𝜑𝑖 ）する。

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𝑘𝑖𝜑𝑖 > 𝑑𝑖 ⇒ ノード 𝑖 が 「黒」に。

このとき、外部リスク資産の変動を考慮しつつも、金融ネットワークの波及が単純なWattsモデルで得られる。

個々のバランスシートをモデル化する必要が無い

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金融ネットワークへの応用例：Kobayashi (2014 Econ. Lett)

社会的課題への応用例

システム上重要な金融機関（G-SIBS, G-SIFIs） の選択

→ 金融ネットワーク上重要なノードを特定し、規制対象とする

→ 感染症モデルにおける「免疫化（immunization）」の考え方と

同じ。

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個別ノードの重要度

次数中心性

媒介中心性

固有ベクトル中心性

PageRank

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個別ノードの重要度？

→ 複数ノードを対象とする場合、組み合わせの最適化が必要。

→ 劣モジュラ関数の最適化など

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重要度ランク

Ａ Ｂ （Ａ，Ｂ） （Ａ，Ｃ） Ｃ （Ｂ，Ｃ） ノード

個別ランク

ペアランク

金融ネットワーク研究の課題

データ解析： 金融ネットワークはデータ取得が困難

シミュレーション分析： 人によって使うモデルがバラバラ

数理モデリング： 単純な環境設定にしか対応できていない

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金融ネットワーク研究の課題 ２

各ノードには、エッジでは捉えきれない個性がある（ポートフォリ

オ構成、規模など）

多層性

リンクは動学的に変化

これらを内包する統一的な数理モデルの構築

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