32
電気回路 演習・小テスト 第1回 演習 めよ.また, リアクタンス け. C 1 L L 2 3 L インピーダンス ように まる ように まる ように まる より,リアクタンス ように ける. 8 0 X ω ω ω 0

電気回路 演習・小テスト 第1回 - muroran-it.ac.jp演習・小テスト 第6回 演習 下図の交流回路の に関する逆回路を以下の2通りの方法で求め結果が一致することを確認せよ.

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Page 1: 電気回路 演習・小テスト 第1回 - muroran-it.ac.jp演習・小テスト 第6回 演習 下図の交流回路の に関する逆回路を以下の2通りの方法で求め結果が一致することを確認せよ.

電気回路 ��演習・小テスト �第1回�

演習

下図の回路の直列共振角周波数 �� と並列共振角周波数 ��を求めよ.また,�� � �� � � ��,�� � � ��,� � ��� �� のときのリアクタンス線図を書け.

C

1 LL 2

3L

入力インピーダンス �� � �� ��� は以下のように求まる

�� � ����

�������

�����

���

��� ����

����

�����

���

�����

�����

���

� ���� ���� �� ���� ���� ������

�� �� �� ����

�� � � となる直列共振角周波数は以下のように求まる

�� �

��� ��

���� ���� ������

�� ��� ����

�� � �� � �� ��� ���� � ���� ������ ��� � ��� �����

���� � � となる並列共振角周波数は以下のように求まる

�� �

��

�� �����

��

� ��� ���� � ���� ������ �� ��� �����

以上の結果より,リアクタンス線図は以下のように書ける.

8 0

X

ωω ω

0

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小テスト

下図の回路の直列共振角周波数 �� と並列共振角周波数 �� を求めよ.また,�� � �� ��,�� � �� ��,� � ��� �� のときのリアクタンス線図を書け.

C

L1L 2

入力インピーダンス �� � �� ��� は以下のように求まる

�� � ����

�������

��

���

��� ����

�����

��������

���

� ���� ���� �������

�� �����

�� � � となる直列共振角周波数は以下のように求まる

�� �

��� ��

������

��� ���� ����

��� ���� � ��� ���� � ���� ��������� ��� � ����� ��� �����

���� � � となる並列共振角周波数は以下のように求まる

�� �

��

����

��

��� ���� � ���� ������ �� ��� �����

以上の結果より,リアクタンス線図は以下のように書ける.

ω0

X

ωω 8

0

演習および小テストの解答は�������������������������������� ������

に載せることにしました.学生には講義の際に連絡します

Page 3: 電気回路 演習・小テスト 第1回 - muroran-it.ac.jp演習・小テスト 第6回 演習 下図の交流回路の に関する逆回路を以下の2通りの方法で求め結果が一致することを確認せよ.

電気回路 ��演習・小テスト �第2回�

演習

下図の回路の入力インピーダンス �� を求め,共振角周波数を求めよ.

R

M

Ci

L L1

Z

2

解答

R

C

M =

L1L

1 I2

1I

V1 V2V3

Vi

iI 1II

2

�� � �� であるので,各部の電圧は以下の様に表される.

�� � ������ � ����� � ����� �����

�� � ����� � ������ � ���� � �����

�� � �

���

���

���

入力端での電圧 �� は

�� � �� � �� � �� �

������ � �� � ��� �

���

���

����

よって,入力インピーダンスは

�� ���

���

������ � �� � ��� �

���

���

��

� �� �

���� ��� � �� � �� �� �

���

� �� � ��

� � � となる直列共振角周波数は以下のように求まる

�� �

��

���� � �� � ���

Page 4: 電気回路 演習・小テスト 第1回 - muroran-it.ac.jp演習・小テスト 第6回 演習 下図の交流回路の に関する逆回路を以下の2通りの方法で求め結果が一致することを確認せよ.

小テスト

下図の回路の入力インピーダンス �� を求め,共振角周波数を求めよ.

C

M

2L

Z

1L

i

解答

M

C

= −

L

1I I2 1I

V1 V2

Vi

iI

1I

V3

1L 2

�� � �� であるので,各部の電圧は以下の様に表される.

�� � ������ � ����� � ����� �����

�� � ����� � ������ � ���� � �����

�� ��

�����

入力端での電圧 �� は

�� � �� � �� � �� �

������ � �� � ��� �

���

���

よって,入力インピーダンスは

�� ���

���

������ � �� � ��� �

���

� �

���� ��� � �� � ���� �

���

� ��

� � � となる直列共振角周波数は以下のように求まる

�� �

��

���� � �� � ���

Page 5: 電気回路 演習・小テスト 第1回 - muroran-it.ac.jp演習・小テスト 第6回 演習 下図の交流回路の に関する逆回路を以下の2通りの方法で求め結果が一致することを確認せよ.

電気回路 ��演習・小テスト �第3回�

演習

理想変成器を含む下図の回路の電圧 ��,��,電流 ��,�� を求めよ.

+

−CV 2R

R1 1I

V1 V2

I2

n1

解答

2次側の �� を1次側に移すと以下の図のようになる.

2

+/nC

11

2RV1V

R I

図より,キャパシタンス � と 抵抗 ����� の合成インピーダンス � は以下で与えられる.

� �

��

���

�����

���

���

���

�� � �����

したがって,��,�� は以下で与えられる.

�� �

��

�� � �����

�� ���

�� � �����

� ���

����� � ��� � �������

� � ��

����� � ���� �������

����� ����� � ����������

�� ���

������

��

����� ���� � �������

� � ������� � ���� �������

����� ����� � ����������

また,2次側の電圧 ��,電流 �� は以下で与えられる.

�� � ��� ����

����� ���� � �������

� � ���

����� ����� �������

����� ����� � ����������

�� �����

����� � ��� � �������

� � ������ � ���� �������

����� ����� � ����������

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小テスト

理想変成器を含む下図の回路の電圧 ��,��,電流 ��,�� を求めよ.

+

LR1 1

V

I

2R2VV 1

I2

1 n

解答

+2/n

2/nLI

2V R

11R

V 1

図より,インダクタンス ��� と 抵抗 ����� の合成インピーダンス � は以下で与えられる.

� ��� � ��

��

したがって,��,�� は以下で与えられる.

�� �

�� � ��

��

�� ��� � ��

��

� ��� � ��

����� ���� � ��� �

������ � ��

��� � ���

�� ������

����� � ���� � ���

�� ����

���

����� � ��� � ��� � ��

����� ����� ��

����� ����� � ����

また,2次側の電圧 ��,電流 �� は以下で与えられる.

�� � ��� ����� � ���

����� ���� � ��� � �

������ � ��

��� � ���

�� ������

����� � ���� � ����

�� �����

����� � ��� � ��� � �

����� � ���� ��

����� ����� � ����

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電気回路 ��演習・小テスト �第4回�

演習

下図の回路に対して閉路方程式を立て,行列方程式の形で表せ.また,� � �� ��,�� � � �,�� � � �,�� � � �,�� � � �,� � �

�����,� � �

�����,�� � ,�� � ,�� � �

のときの ��,��,�� を求めよ.

+

+

+

C

3

R1

1I1V I2

V3 R3

R4

R2L

V2I

解答

閉路方程式は行列形式で以下のように表される���

��

���

�� � ��

��� �

����

�� ��� � ����� �

��

����� ���

���� �� � ��� �

��� � �� ���

�������

��

��

��

���

数値を代入すると以下の式を得る���

��� �

����� � �� �

�� � � � �

� � �

������

��

��

��

���

行列式 の値は

� ���� ���� � ��� � � � � �� ��� � � � �� �����

各閉路電流は ������ の公式を用いて以下のように求まる.

�� �

�� �

� � � � �

� � �

� � �� �� �

�� � �

�� � �

� � �

� �� � �� �

�� �

�� � ��

�� � � � �

� � �

� �� �

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小テスト

下図の回路に対して閉路方程式を立て,行列方程式の形で表せ.また,� � �� ��,�� � � �,�� � � �,� � �

�����,�� � �� ,�� � � のときの ��,�� を求めよ.

+

+

2R1

I21I1V L 2

R

V

解答

閉路方程式は行列形式で以下のように表される���

���

��

��� � ��� ����

���� �� � ���

� ���

��

数値を代入すると以下の式を得る���

��

��

�� � � ��

�� � � �

� ���

��

行列式 の値は

� �� � ��� � ����� � � � ��

各閉路電流は ������ の公式を用いて以下のように求まる.

�� �

�� ��

�� � � �

��� � ��

� � ��� �� �� �

�� �

� � � ��

�� ��

��� � ��

� � ��� � � �� �

Page 9: 電気回路 演習・小テスト 第1回 - muroran-it.ac.jp演習・小テスト 第6回 演習 下図の交流回路の に関する逆回路を以下の2通りの方法で求め結果が一致することを確認せよ.

電気回路 ��演習・小テスト �第5回�

演習

下図の交流回路に対して節点�を基準とした節点方程式を書け.また,� � �� ��,�� � �� � � �,�� � �� �

�����,�� �

�����,�� � � ,�� � �� � � とするとき,節点0に対する節点

1,2,3の電位 ��,��,�� を求めよ.また,求まった解を節点方程式に代入し,式が満たされていることを確認せよ.

2

0

1 3

11 3

2

R2C II

L1 2LI

R1

解答

節点方程式は行列形式で以下のように表される

����� ��

�� � ��

��� �

��������

��

����

����

����

���� �

����

����

����

� �

����

��

����

��������

�����

��

��

���

数値を代入すると以下の式を得る����

��� �

����� � � �

� �� �

� � �� �

��������

��

��

���

行列式 � の値は

� � ����� � � � ��� ���� � � �� ���� � � ���

各節点電位は ������ の公式を用いて以下のように求まる.

�� �

�������� � �

� �� �

� � �� �

��������

������� � � ��� �

������� � � �

���� � �

�� �

��������� � � �

� � �

� � �� �

��������

������� �

���� ��� � �

�� �

��������� � � �

� �� �

� � �

��������

���� �

���� �� �

得られた結果を節点方程式の右辺代入すると����� � � �

� �� �

� � �� �

������

�� �

��

��� �

������ � � � � � ��� � �� ���

� � �� � � ��� � � � ���

�� � � � ��� � ��� � � ���

��� �

����

���

となり,������の公式による解が正しいことが確認される.

Page 10: 電気回路 演習・小テスト 第1回 - muroran-it.ac.jp演習・小テスト 第6回 演習 下図の交流回路の に関する逆回路を以下の2通りの方法で求め結果が一致することを確認せよ.

小テスト

下図の交流回路に対して節点 �を基準とした節点方程式を書け.また,� � �� ��,�� � � �,�� �

�����,�� �

����,�� � � とするとき,節点0に対する節点1,2の電位 ��,�� を

求めよ.また,求まった解を節点方程式に代入し,式が満たされていることを確認せよ.

1 2

0

1

1I

R1L1 C

解答

節点方程式は行列形式で以下のように表される

���

���

��

����

��

����

��

��

��

����

�������

��

数値を代入すると以下の式を得る��

��

��

��� � ��

�� � ��

� ���

��

行列式 � の値は

� � ��� � �� �� � ��� � � � �

各節点電位は ������ の公式を用いて以下のように求まる.

�� �

����� � ��

�� � ��

������

���� �� � ��� � ���

� ��

���

� �� �� �� �

�� �

����� �� � �

�� ��

������

���� � � ��� � �� ���

� ��

��

� �� �� �� �

得られた結果を節点方程式の右辺代入すると��� � ��

�� � ��

� �� ��

� ��

��

���� � �� �� � �� �� ��

��� �� �� �� �� � �� ��

��

��

��

となり,������の公式による解が正しいことが確認される.

Page 11: 電気回路 演習・小テスト 第1回 - muroran-it.ac.jp演習・小テスト 第6回 演習 下図の交流回路の に関する逆回路を以下の2通りの方法で求め結果が一致することを確認せよ.

電気回路 ��演習・小テスト �第6回�

演習

下図の交流回路の �� に関する逆回路を以下の2通りの方法で求め結果が一致することを確認せよ.��� 直

列 �� 並列の変換を行う方法.��� 図的解法.また,� � �� ��,�� � ,�� ��

�����,�� �

����,

�� ��

�����,�� �

�����,�� � � のときに対して,元の回路の入力インピーダンス �� と逆回路の

入力インピーダンス ��� を求め,����� � ��

�の関係が成り立つことを確かめよ.

1R

C21L

C1

L2

解答

�直列 �� 並列変換� 図 �の回路の破線内ををひとつの素子とみなし,図 のように書き換え,逆回路

を求めると図 のように書ける.

1C

L11

Z

C2

A

L2

R A

1R C 2

Z

2L

rAZ

Rr1

Lr2 Cr2

図 � 図 図

ここに ��� は �� の逆回路を表し,���,���,��� は以下のように与えられる.

��� ���

��

� ��� � ����

�� ��� �

��

��

�� は �� と �� との並列回路であるので,逆回路は直列回路になり,解図の回路を得る

r2

Cr1

Lr1

Cr2

Rr1

L

解図

��� ���

��

� ��� � ����

�� ��� �

��

��

��� � ����

�� ��� �

��

��

�図的解法� 図 �のように,便宜的に電圧源を加え,節点 �~�を考え,逆回路を作り,最後に電流源を除

去することにより,解図が得られる

3

1

0

− 2

+

L

L

C1

r2C

1L

Cr1

Lr2

R

r1

R1

C2

V2r1

図 �

得られた回路から

�� � �� �

��� �� � �

したがって

����� � ��� ��� � �

� ��

となり逆回路になっていることが確認される.

Page 12: 電気回路 演習・小テスト 第1回 - muroran-it.ac.jp演習・小テスト 第6回 演習 下図の交流回路の に関する逆回路を以下の2通りの方法で求め結果が一致することを確認せよ.

小テスト

下図の交流回路の �� に関する逆回路を以下の2通りの方法で求め結果が一致することを確認せよ.��� 直

列��並列の変換を行う方法.���図的解法.また,� � �� ��,�� � ��� ,�� ��

�����,�� �

����,

�� ��

����,�� � � のときに対して,元の回路の入力インピーダンス �� と逆回路の入力インピーダ

ンス ��� を求め,����� � ��

�の関係が成り立つことを確かめよ.

1R

L1

1C

C2

解答

�直列 �� 並列変換� 図 �の回路の破線内ををひとつの素子とみなし,図 のように書き換え,逆回路

を求めると図 のように書ける.

R1

L1

1C

C2

ZA

Z

1R C2

A L

rAZ

r2Rr1

図 � 図 図

ここに ��� は �� の逆回路を表し,���,���,��� は以下のように与えられる.

��� ���

��

� ��� � ����

�� は �� と �� との並列回路であるので,逆回路は直列回路になり,解図の回路を得る

r1 Lr2

r1

Rr1 L

C

解図

��� ���

��

� ��� � ����

��

��� � ����

�� ��� �

��

��

�図的解法� 図 �のように,便宜的に電圧源を加え,節点 �~ を考え,逆回路を作り,最後に電流源を除

去することにより,解図が得られる

2− 1

+

0

1

V

C1

2C1L

L

Cr1

L

R

r1

r1Rr2

図 �

得られた回路から

�� �� � �

��� � �� �

したがって

����� �� � �

��� �� � ��

となり逆回路になっていることが確認される.

Page 13: 電気回路 演習・小テスト 第1回 - muroran-it.ac.jp演習・小テスト 第6回 演習 下図の交流回路の に関する逆回路を以下の2通りの方法で求め結果が一致することを確認せよ.

電気回路 ��演習・小テスト �第7回�

演習

下図の交流回路の端子 �� �� から見たテブナン等価回路,ノルトン等価回路を求めよ.また,端子 �� ��

に負荷 �� が接続されたとき,負荷にかかる電圧,電流を求めよ.

+ 3

2

V

R2

R1

3R I

I

1

1’

1

解答

テブナン等価回路の導出

� 内部インピーダンス ��

電圧源を短絡,電流源を開放すると内部抵抗は

�� � ��� � ������� ���� � �����

�� � �� � ��

と求まる.R

2R

1

3R

1’

1

� 開放電圧 �� は重ね合わせの理を用いると

� �� のみがあるとき

��� ���

�� � �� � ��

��

+

−R f1V31V

2R1R

1’

1

� �� のみがあるとき

��� � ��

���

�� ��� � ��

��

� f2

2 RI

3R

1R

2

V

1

1’

� �� のみがあるとき

��� � ���� ���� � �����

�� ��� � ��

��f33 V

2

3RI

1R

R

1

1’

よって,開放電圧 �� は

�� � ��� � ��� � ��� ����� � ������ � ��� � �������

�� ��� � ��

以上より,以下のテブナン等価回路が書ける.

+

0Z

fV

1

1’

�� ����� ������� � ��� ��������

�� � �� ���

�� ���� ������

�� � �� ���

Page 14: 電気回路 演習・小テスト 第1回 - muroran-it.ac.jp演習・小テスト 第6回 演習 下図の交流回路の に関する逆回路を以下の2通りの方法で求め結果が一致することを確認せよ.

ノルトン等価回路の導出

上で求めたテブナン等価回路より,ノルトン等価回路は以下のように書ける.

s 0I Y

1’

1

�� ��

��

��� � �� ���

��� ������

�� � ���� ��� � ������� ����

� ��

負荷にかかる電圧,電流

テブナン等価回路より

�� ���

�� � ���� � �� �

���� � ��

ノルトン等価回路を出してからテブナン等価回路を出す方が簡単だと思います.どちらから出すかは学

生にまかせます.

Page 15: 電気回路 演習・小テスト 第1回 - muroran-it.ac.jp演習・小テスト 第6回 演習 下図の交流回路の に関する逆回路を以下の2通りの方法で求め結果が一致することを確認せよ.

小テスト

下図の交流回路の端子 �� �� から見たテブナン等価回路,ノルトン等価回路を求めよ.また,端子 �� ��

に負荷 �� が接続されたとき,負荷にかかる電圧,電流を求めよ.

− +

1I R

2R 2

R 3

V

1

1’

1

解答

テブナン等価回路の導出

� 内部インピーダンス ��

電圧源を短絡,電流源を解放すると内部抵抗は

�� � ��� � ������� ���� � �����

�� � �� � ��

と求まる.R

2R

1

3R

1’

1

� 解放電圧 �� は重ね合わせの理を用いると

� �� のみがあるとき

��� � ��

���

�� ��� � ��

��

�f1

1

R

I

2R

1R

3 V

1’

1

� �� のみがあるとき

��� ���

�� � �� � ��

��

+

− R Rf2V

12V 3R

2

1’

1

よって,解放電圧 �� は

�� � ��� � ��� ������ � �����

�� ��� ���

以上より,以下のテブナン等価回路が書ける.

+

0Z

fV

1

1’

�� ������ � �����

�� � �� ���

�� ���� ������

�� � �� ���

Page 16: 電気回路 演習・小テスト 第1回 - muroran-it.ac.jp演習・小テスト 第6回 演習 下図の交流回路の に関する逆回路を以下の2通りの方法で求め結果が一致することを確認せよ.

ノルトン等価回路の導出

上で求めたテブナン等価回路より,ノルトン等価回路は以下のように書ける.

s 0I Y

1’

1

�� ��

��

��� � �� ���

��� ������

�� � ���� ������ � ���

��� � ���

負荷にかかる電圧,電流

テブナン等価回路より

�� ���

�� � ���� � �� �

���� � ��

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電気回路 ��演習・小テスト �第8回�

演習

下図の交流回路において負荷抵抗 �� での消費電力を最大にするための��,�� の最適値とそのときの消

費電力を求めよ.また,�� のみ変化できる場合の �� の最適値を求めよ.

1I R1 L

LC

1 LR

解答

電源をテブナン等価回路に置き換える

+

−f

C

LR

L

V

0Z

�� � �� � ��� �������

���� � ��

�����

��� � �����

��

�� ����

�� � ���� �������

���� � ��

��

��,�� ともに可変の場合,最大電力伝送定理より

������ � �� �����

���

��

�� ����

��������

� ���� � ������

��

�� ����

� ������ ���

�� ����

������

��� ���� �

���

�����

���

��

�� ����

�������

�� ����

�����

���

���

�����

�� のみ可変の場合

�� ���

�� ��� � �

����

���

��� ���� � ���� ��

����

�� の実消費電力は

� ������� �

����� ��

��� ����� � ��� ��

�����

を �� で微分すると

��

���� ����

� � ��� ��

����� � ����� � ���

���� ����� � ��� ��

�������

��� ��

極値となるのは ��� � のときで

��� ����� � ��� �

���� � ����� � ��� �

���

�� ��

�� � ��� ��

���

�� �

�� �

���

�� ��� �

���

�� �

��������

����� � ���������

�� ���

�� ����

���

������

�� ����

��

Page 18: 電気回路 演習・小テスト 第1回 - muroran-it.ac.jp演習・小テスト 第6回 演習 下図の交流回路の に関する逆回路を以下の2通りの方法で求め結果が一致することを確認せよ.

小テスト

下図の交流回路において負荷抵抗 �� での消費電力を最大にするための��,�� の最適値とそのときの消

費電力を求めよ.また,�� のみ変化できる場合の �� の最適値を求めよ.

+1 LR

LL1R

V 1C

解答

電源をテブナン等価回路に置き換える

++

−−f LR

LL

0Z

V

�� � �� � ��� �

����

����

���

���

� � ������

��� � �����

� � ����

���

�� �

����

�� ��

����

�� ��

� � ������

��

��,�� ともに可変の場合,最大電力伝送定理より

������ � �� ���

� � ����

���

�������� � ���� ������

� � ����

���

� ������ ����

� � ����

���

��� ���� �

���

��

� � ����

���

������ � ����

���

���

�����

���

�� のみ可変の場合

�� ���

�� ��� � �����

����� � ��� � ���� � ����

�� の実消費電力は

� ������� �

����� ��

��� ����� � ��� � �����

を �� で微分すると

��

���� ����

� � ��� � ����� � ����� ����

���� ����� � ��� � ���������� �

極値となるのは ��� � のときで

��� ����� � ��� � ����

� � ����� � ��� �

���

�� ��

�� � ��� � ����� �

�� ����

�� ��� � ����� �

���

�� ������ � ����

���

��� �����

���

� � ����

���

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電気回路 ��演習・小テスト �第9回�

演習

下図の交流回路において負荷抵抗 �� での消費電力を最大にするための��,�� の最適値とそのときの消

費電力を求めよ.なお,変成器は理想変成器とする.

+

−R1V L

1L

LC

1R

n1

解答

図1に示すように1次側の素子を2次側に移し,端子 �� �� から左をノルトンの等価回路に置き換えると

図2の回路を得る.

+

1’

1

L1V RC

1R

L

1L 2nn

n

2

1’

s

1

I LC0Y L R

図 � 図 �

�� ������ � ������

���

��

���

�� � ����

��

���� � ����

��

�� ����

���

�����

�� ����

��� �

���

�����

�� ����

��� �� � ���

� � ������ ��

���� � �����

最大電力伝送定理より負荷のアドミタンスを �� とすると

������ � � �

��

� ���� ���

�����

�� ����

��� �

���

�����

�� ����

��

よって

������ ������

�� ����

��

��

������ ���

�����

�� ����

��

このときの負荷で消費される電力は

� ����

���

����

�����

�� ����

��

�����

�� ����

��

���

����

���

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小テスト

下図の交流回路において負荷抵抗 �� での消費電力を最大にするための��,�� の最適値とそのときの消

費電力を求めよ.

+

R

L21V

CL1M

1L RL

解答

変成器を図 �ように �形等価回路で置き換え,端子 � � �� から左側をテブナン等価回路に置き換えると

図 �の回路を得る

+

− − 1

1’

LR1

R1

V

CL 2L L1 M

M

M

+

1’

1

V

Z

C

LR

L

0

f

図 � 図 �

ここで,��,� は以下の通りである

�� � ����� � � � ���� � ����� � �� ����

� ���� ��� �

�� � ����

��� ���

��

�� ����

� ����

��� � ��������� � ��

��

�� ����

� �� � ���

� ���

�� � ����

最大電力伝送定理より負荷のインピーダンスを �� とすると

������ � ��

������ ��

��������

��� ���

��

�� ����

� ����

��� � ��������� � ��

��

�� ����

よって

������ ��� ���

��

�� ����

������ ���

�� ����

�� ���

��� � ��������� � ���

このときの負荷で消費される電力は

� ��� �

���

�� �

��

�� ����

����

��� ���

��

�� ����

����

���

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電気回路 ��演習・小テスト �第 ��回�

演習

下図の回路は定常状態であるとする.いま,� � � でスイッチ �を開いたとするとき,抵抗 �� に流れる

電流 ���� を求め,時間変化を図示せよ.また,このときの時定数 � を求めよ.

S

Ei ( )t

1 RC

0R

1

解答

定常状態でコンデンサー ��にかかる電圧 ��� は

��� ����

�� � ��

であるので,コンデンサ �� に蓄えられている電荷 � は

� � ����� ������

�� � ��

である.また,� � � でスイッチ � を開いた後の回路方程式は,コンデンサ �� に蓄えられている電荷を

����,抵抗 �� に流れる電流を ���� とすると

������ �����

であり,���� � ������ という関係式を用いると

��

����

������

��

� �

という微分方程式式を得る.上式の定常解 ����� と 過渡解 ����� はそれぞれ以下のようになる.

� 定常解

�����

��

� � � ����� � �

� 過渡解

��

�����

�������

��

� � � ����� � ���

���� �� �積分定数�

したがって,一般解は以下のように与えられる.

���� � ����� � ����� � ����

����

� � � での初期条件より積分定数 � は以下のように求まる.

���� � � ������

�� ���

以上より,電荷 ���� は

���� ������

�� ���

���

����

と求まるので,抵抗 �� に流れる電流 ���� は

���� � �����

�� �

�����

�� ���

��

����

���

���� ��

�� � ��

��

����

と求まる.グラフは右図のようになる.また,時定数 � は

� � ����

である.

+

i ( )t

R1R

t

0

E

0 3τ 4ττ 2τ 5τ0

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小テスト

下図の回路は定常状態であるとする.いま,� � � でスイッチ �を閉じたとするとき,インダクタ � に

流れる電流 ���� を求め,�� � ��� として時間変化を図示せよ.また,このときの時定数 � を求めよ.

S

E

10R

1L

R

解答

定常状態でインダクタ � に流れる電流は

� ��

�� ���

である.また,� � � でスイッチ � を閉じた後の回路方程式は

����

�������� � �

である.上式の定常解 ����� と 過渡解 ����� はそれぞれ以下のようになる.

� 定常解

������� � � � ����� ��

��

� 過渡解

�����

�� ������� � � � ����� � ���

��

��� �� �積分定数�

したがって,一般解は以下のように与えられる.

���� � ����� � ����� ��

��

� �����

���

� � � での初期条件より積分定数 � は以下のように求まる.

���� ��

��

�� ��

�� � ��

� � �

��

�� ���

��

��

以上より,電流 ���� は

���� ��

��

��

�� ���

��

����

��

���

と求まる.グラフは下図のようになる.また,時定数 � は

� � �

��

である.

R

E

3

i ( )t

R

t

1

E

1

0 3τ 4ττ 2τ 5τ0

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電気回路 ��演習・小テスト �第 ��回�

演習

下図の回路で,� � � でスイッチ �を閉じ,交流電圧 � � �� ������� �� を印加したときの回路電流 ����

を求めよ.また,過渡電流が最大となる � の値を求めよ.

S

+

−e C

R

解答

コンデンサの電荷を ���� とすると,キルヒホッフの電圧則より回路方程式は以下のように与えられる.

����� �����

�� �� ������� ��

電流と電荷の関係式 ���� � ����� を用いると以下の式を得る.

�����

��

����

�� �� ������� ��

定常解 ����� と過渡解 ����� に分離して考えると,それぞれが満たす微分方程式は

������

��

�����

�� �� ������� ��

������

��

�����

�� �

である.まず,定常解について解く.定常状態に対する解は交流回路理論を用いると,�� �� として

����� ���

�� ���

��

上式を �� について解くと以下のように求まる.

�� �����

��

� ����� ����

�� � � ������

�����

�����

� ������������

��� � � ���������

�以上より,定常解は

����� � �� ������� � � ��

��� �

���� � ������

と求まる.

一方,過渡解は

����� � ����

�� �� � 積分定数�

である.したがて,電荷 ���� の一般解は

���� � ����� � ����� � �� ������� � � �� �����

��

で与えられる.初期条件として � � � で ��� � �� � � を代入すると

���� � �� ����� � �� � � � � � � � ��� ����� � ��

と求まり,回路に流れる電流 ���� は

���� �����

��

��� � ������

��� ������ � � �� �

������ � ����

��

��

� � � ���������

�また,過渡電流が最大となる � の値は

� � � � ��� � � � � � ��

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小テスト

下図の回路で,� � � でスイッチ �を閉じ,交流電圧 � � �� ������� �� を印加したときの回路電流 ����

を求めよ.また,過渡電流が流れないための � の値を求めよ.

+

S

−e L

R

解答

キルヒホッフの電圧則より回路方程式は以下のように与えられる.

�����

������� � �� ������� ��

定常解 ����� と過渡解 ����� に分離して考えると,それぞれが満たす微分方程式は

������

�� ������ � �� ������� ��

������

�������� � �

である.まず,定常解について解く.定常状態に対する解は交流回路理論を用いると,�� �� として

����� � ��� � �����

上式を �� について解くと以下のように求まる.

�� ����

��

�� ���� ���

�� ��� � ����

�����

����

�� � ����������

��

� � � ���� ��

以上より,定常解は

����� � �� ������� � � ��

��� �

����� � ����

と求まる.

一方,過渡解は

����� � ����

�� �� � 積分定数�

である.したがて,電流 ���� の一般解は

���� � ����� � ����� � �� ������� � � �� � ����

��

で与えられる.初期条件として � � � で ��� � �� � � を代入すると

���� � �� ����� � �� � � � � � � � ��� ����� � ��

と求まり,回路に流れる電流 ���� は

���� ����

�� � ����

������� � � ��� ����� � ����

���

� � � ���� ��

また,過渡電流が流れないための � の値は

� � � � � �� � � � � � �� � � �

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電気回路 ��演習・小テスト �第 ��回�

演習

下図の ��� 直列回路で,� � � �,� � � �,� � ��� � とする.� � � でスイッチ �を閉じ,直流電圧

� � �� � を印加したときの回路に流れる電流 �� を求めよ.

S

i(t)CE

L R

解答

回路に流れる電流を ��,コンデンサに蓄えられている電荷を �� として,キルヒホッフの電圧則を適

用すると,以下の回路方程式を得る.

����

������ �

��

�� � �

単位時間にコンデンサに蓄えられる電荷は回路に流れた電流に等しいので,�� � ����� の関係を利用

すると,電荷 �� に対する以下の微分方程式を得る.

�����

��� �

���

���

��

�� � �

����

��� �

���

��� ��� � ��

定常解 ��� と過渡解 ��� に分離して考えると,定常解に対しては

���� � �� � ��� � �

と求まる.また,過渡解に対しては以下の微分方程式を満足する.

�����

��� �

����

��� ���� � �

ここで,上式の解を ��� � ��� と仮定すると,特性方程式は

�� � ��� � � �

のように書け,� � ��� � と求まるので,��� は以下のように書ける.

��� � ��� � ��� ���� ��� ��

したがって,�� の一般解は

�� � ��� � ��� � � � ��� � ��� ��� � ��� ��

であり,電流 �� は以下のように求まる.

�� �����

��� ���� � ��� ��� � ��� �� � ��� ��� ��� ��� �� ��� ��

� ��� ��� � �� ��� ��� ��� �� ��� ���

� � � で �� � �,�� � � という初期条件を用いると

�� � � � � � �

�� � �� � �� � �

したがって,� � ��,� � �� である.よって,電流 �� は以下のように求まる.

�� � ��� ��� � �� ��� ��� ��� �� ��� ��� � ���� ��� �� �

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小テスト

下図の ��� 直列回路で,� � � �,� � � �,� � ��� � とする.� � � でスイッチ �を閉じ,直流電圧

� � �� � を印加したときの回路に流れる電流 �� を求めよ.

S

i(t)CE

L R

解答

回路に流れる電流を ��,コンデンサに蓄えられている電荷を �� として,キルヒホッフの電圧則を適

用すると,以下の回路方程式を得る.

����

������ �

��

�� � �

単位時間にコンデンサに蓄えられる電荷は回路に流れた電流に等しいので,�� � ����� の関係を利用

すると,電荷 �� に対する以下の微分方程式を得る.

�����

��� �

���

���

��

�� � � �

����

��� �

���

��� ��� � ��

定常解 ��� と過渡解 ��� に分離して考えると,定常解に対しては

���� � �� � ��� � �

と求まる.また,過渡解に対しては以下の微分方程式を満足する.

������

��� �

����

��� ���� � �

ここで,上式の解を ��� � ��� と仮定すると,特性方程式は

��� � ��� � � ��� ��� � � �

のように書け,� � ������ と求まるので,��� は以下のように書ける.

��� � ������ ���

���

したがって,�� の一般解は

�� � ��� � ��� � � � ������ ���

���

であり,電流 �� は以下のように求まる.

�� �����

��� �

������ � ���

���

� � � で �� � �,�� � � という初期条件を用いると

�� � � � � � � � �

�� � ��

�� �� � �

したがって,� � ��,� � � である.よって,電流 �� は以下のように求まる.

�� � ��

������ � ���

��� � ������� � ����

��

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電気回路 ��演習・小テスト �第 ��回�

演習

���,���,���のラプラス変換と ���,���のラプラス逆変換を求めよ.

��� ����� � ����� ��� ����� � ������ ��� ����� �

���� �� � � � � �

� �� � �� � � � �

��� ��� ��� �

�� ���� ��� ��� ��� �

��� ��

解答

��� ����� � �����

��� �

� �

����������� �

� �

����������� �

�����������

�� ���

���

��

� ��

��� ����� � ��� � ����������

��� �

� �

����������� �

� �

���������� � ���������

���

��

�����������

�� ����

���������

�� ���

���

��

��

� ���

� ��

�� ��� � �� ���

� � ���

� � ��

���

��� �

� �

������� �

� �

������� �

��

����

���

� �

������� � �

����

�����

���

���

� �����

�� ����

��

��� 留数演算から求めると

����� � �� �����������

� �� �����������

��� �

� �

���

��� ��� �

� �

���

����

� ��� � �����

��� 留数演算から求めると

����� ��

��� ��

������

���

��

� �� �����������

��

� �����

��

��

���

����

��

� ��

����

�� ���

��

�����

���� � � ����

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小テスト

���,���,���のラプラス変換と ���,���のラプラス逆変換を求めよ.

��� ����� � ��� ��� ����� � ��� � ���� � ����

�� ��� ����� �

�� �� � � � � �

� �� � �� � � � �

��� ��� ��

�� ���� ��� ��� ��� �

�� ��� � ��

解答

���

��� �

� �

����������� �

� �

���������� �

����������

�� �

���

��

���

��� �

� �

����������� �

� �

��������� � ��������

���

��

����������

�� ��

��������

�� �

���

��

��

� �

�� �� �� �

� � ��

� � �

���

��� �

� �

��������� �

� �

� � ������ �

�����

���

��� ����

��� 留数演算から求めると

����� � �� �����������

� �� �����������

��

� �

���

��� ��

� �

���

����

� ��� � ����

��� ���のラプラス変換式で � � とすると

���� ��� ��

� � ��� ��

� � ��

�� ��� ��

推移定理を用いて � � � とすると

��

�� ��� � ��

�� ��� ��� ��

したがて

����� � ��� ��� ��

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電気回路 ��演習・小テスト �第 ��回�

演習

下図の回路で,� � �でスイッチ �を閉じた後の電圧 ��,�� の時間変化を求めよ.�� � � �,�� � � �,

�� � � �,��� �,� � � �,�� � � �,コイルの初期電流は � �,コンデンサの初期電荷は � とする.

S

vL vCs 3R1R CLi

2R

解答

節点方程式は以下のように書ける

��

�� �

�����

�� � ����

� ������

�� � ����

��

�� ������

� �

上式をラプラス変換すると

��

���� �

�����

��������

�������

����� ����

��

���

����� ����

��

��

���� � ������ ������ � �

初期条件を考慮して,具体的な数値を代入して,行列形式で表現すると�� � ��

�� �

������

����

��

��

����,���� について解くと

���� � �

� ����

� �� �

� ����

� ���

���� ��

� ���

����,���� をラプラス逆変換すると

����� � ��� ���� � �� ����� ��

����� � ���� ��

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小テスト

下図の回路で,� � �でスイッチ �を閉じた後の電流 ��,�� の時間変化を求めよ.�� � � �,�� � � �,

�� � � �,�� � � �,�� � � �, � � �,コイルの初期電流は � � とする.

S

i1 i2

E

3R

L1

R1 R

L

2

2

解答

閉路方程式は以下のように書ける

�������

����� � ��� ���� � ����

����� � ��� ��

�����

���� � �

上式をラプラス変換すると

�������� ������ �������� ����� ������ �

�������� ����� �������� ������ ������ � �

初期条件を考慮して,具体的な数値を代入して,行列形式で表現すると� � ��

�� �

������

����

��

��

����,���� について解くと

���� ��� ��

� ��� ��

���� ���

� ��� ��

����,���� のラプラス逆変換は留数演算より

����� �������

��������

�� �������

���������

�� �������

���������

� ����

����� �

����� ��

����� �������

��������

�� �������

���������

�� �������

���������

� ���

�����

����� ��

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電気回路 ��演習・小テスト �第 ��回�

演習

下図の �� 直列回路で,以下の � 種類の入力電圧に対する電流の過渡応答を求めよ.なお,� � � �,

� � ��� �,コンデンサの初期電荷は � とする.

��� ����� � ���� � �� � ���� � �,��� ����� � ���� � �

es

+C

R

時間があれば,���の結果を利用して ���の結果を確認せよ.�採点はしない�

���� �

��

� � � �� ��� � �����は回路のインパルス応答�

解答

電源のラプラス変換を ����� と書くと,回路方程式とそのラプラス変換は以下のようになる.

����� ��

������ � ������

���

��

� ��� � ����� � ��� �

�������� �

��

� ��

������

�� ���

�������

�� �

��� ����� ������ �� � �

��� ��� � ��であるので,

��� ��

�� ��

��

��� ��� � ���

��

�� ��

������

��� ��� � ���

��

�� ��

��� ��

��� ��� � ��

���

�� ��

���� �� � � � �

��� ��� � ��

���� � ��� ���� � ������ � ��� �� �� ��� � � ���

� ������ � ���� ����� �� ��� �� � ����� �

��

��� ������ � � であるので,インパルス応答は

��� ��

�� �� � �

��

�� �� ���� � ���� � ��� ���� � ����� ����� ���

���

���� �

��

� � � �� ��� �

��

������ �����

�������� � ���� �

��

����������� � ���� � � ������

��

������ � ���� �

� ���� � ��� ������

� �

�� � �� � ����

� ���� � ��� ������

��

�� � ���

� ���� � ��� ������ �

��� � ��� ��� �� ��� �

�� ���� � ��� ���� � ��� ���� �� ��� �����

� ������ � ��� �� �� ��� � � ��� ���

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小テスト

下図の��直列回路で,以下の�つの入力電圧に対する電流の過渡応答を求めよ.なお,� � � �,� � ��� �,

コイルの初期電流は � とする.

��� ����� � ��������� � �,��� ����� � ���� � �

es

+L

R

時間があれば,���の結果を利用して ���の結果を確認せよ.�採点はしない�

���� �

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� � � �� ��� � �����は回路のインパルス応答�

解答

電源のラプラス変換を ����� と書くと,回路方程式とそのラプラス変換は以下のようになる.

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�� �であるので,

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��� ������ � � であるので,インパルス応答は

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��� インンパルス応答から ��� の結果を求めると

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