행렬식의 정의와 그 성질6 1･여인자 전개와 공식6 2 Cramer･

행렬식의 응용6 3･공학적 도구를 이용한 행렬의 계산6 4･

보야이(Janos Bolyai, 1802 1860)～

나는 무로부터 이상하고 새로운 세계를 만들어 냈다" ."

행렬식의 정의와 그 성질

이 절에서는 행렬 에 대하여 어떤 실수 를 대응시키는 함수 중의 하나인 행렬식 함

수에 관하여 살펴보기로 한다 먼저 행렬식 함수를 정의하기 위하여 치환 순열 에 관하여 알. , ( )

아본다.

자연수의 집합 의 치환 순열 이란(permutation, ) 에서 로의

일대일 대응 함수 이다 이 장에서는 이 함수. 을 간단히

으로 쓰기로 한다.

이것은 치환군에서 흔히 쓰는 순회치환 부호와는 다른 의미이다 단지. 를 로 보내는 전단사

함수라는 의미이다.

따라서 이다 서로 다른. 개의 물건을 재배치하는

방법은 가지이므로 자연수의 집합 의 치환은 모두 개이다 보통. 상의

치환 전체의 집합을 으로 나타낸다.

248

집합 의 치환은 하나이므로 이고 집합, 의 치환은

이므로 이다.

집합 의 치환은 개 있고 열거하면,

이므로

이다.

의 치환 에서 큰 자연수가 작은 자연수보다 먼저 나

타나면 이 치환은 반전 을 가졌다고 한다 또 치환이 가진 반전의 총 개수가 짝수(inversion) . ,

이면 이 치환은 짝치환 홀수이면(even permutation), 홀치환 이라고 한(odd permutation)

다.

에서 치환 는 반전을 가지지 않으므로 짝치환이고 치환, 은 반전의 개수가

이므로 홀치환이다1 .

치환 와 이 각각 홀치환과 짝치환임을 확인하고 의 치환들을 짝치환

과 홀치환으로 분류하여라.

함수 을 다음과 같이 정의한다.

짝치환홀치환

치환 의 임의의 두수를 바꾼 치환을 라 하면 다음이 성립한다.

이제 치환을 이용하여 행렬식을 정의하자, .

249

행렬 가 차의 정사각행렬일 때, 의 행렬식 을(determinant)

또는 로 나타내고 다음과 같이 정의한다.

행렬 의 를 구하여라.

이것은 아래 그림과 같이 화살표 방향으로 곱하여 오른쪽 방향의 화살표의 곱에는 왼쪽,＋

방향의 화살표의 곱에는 를 붙여 계산하면 편리하다.－

행렬 의 를 구하여라.

이것도 역시 다음 그림을 이용하면 쉽게 계산할 수 있다 여기서도 오른쪽 방향의 화살표의.

곱에는 왼쪽 방향의 화살표의 곱에는 를 붙인다 이 방법을, .＋ － 방법Sarrus 이라고 한다.

250

방법을 이용하여 다음 행렬의 행렬식을 계산하여라Sarrus .

,

방법은 차 이상의 행렬식에 대해서는 적용할 수 없다 따라서 차 이상의 행렬식은Sarrus 4 . 4

정의에 의하여 구할 수밖에 없다 그런데 정의에 의하여 직접 행렬식을 계산하는 것은 일반적. ,

으로 매우 번거로운 일이다 실제로 차의 경우이면 개의 항과 그 부호를 결정해야 하. , 4 4! 24＝

고 차의 경우에는 개의 항과 그 부호를 결정하여야 한다 그러나 행렬식의, 10 10! 3,628,800 .＝

성질들을 이용하면 행렬식을 쉽게 계산할 수 있다.

다음에 열거하는 정리는 행렬식을 계산하는데 매우 유용한 행렬식의 성질들이다.

정사각행렬(1) 의 행렬식과 의 전치행렬 의 행렬식의 값은 같다.

정사각행렬(2) 의 두 행이 일치하면 이다.

정사각행렬(3) 의 한 행의 성분이 모두 이면0 이다.

(1) 라 하자 그러면 행렬식의 정의에 의하여.

ʹ ʹ

을 재배열하여 이 되었다고 하자 이 때 두 성분을. ,

번 바꾸었다고 하면 치환 은 두 수를 번 바꾸어 치환 이 되었고, 치

환 은 두 수를 번 바꾸어 치환 이 되었다 따라서 정리 에 의. , 2 1･ 하여

이 두 식으로부터

그러므로

의 일치하는 두 행을 바꾸어서 얻은 행렬을(2) 라 하면 이다 그런데 정리 을 이용하. 1

251

면 임을 알 수 있다 따라서. 이다 따라서. 이다.

(3) 의 행의 성분이 모두 이라 하자 행렬식의 정의에 의하여0 .

정리 에 의하여 행에 관한 행렬식의 성질은 열에 관해서도 모두 성립한다2 (1) .

이제 기본 행연산과 행렬식의 관계에 대하여 알아보자, .

행렬(1) 가 정사각행렬 의 두 행 열 을 서로 바꾸어서 얻어진 행렬이라면( )

이다.

정사각행렬(2) 의 한 행 열 을( ) 배하여 얻어진 행렬을 라 하면 이다.

정사각행렬(3) 의 한 행 열 의( ) 배를 다른 행에 더하여 얻어진 행렬을 라 하면

이다.

(1) 가 의 행과 행을 바꾸어서 얻어진 행렬이라 하고 라 하자 그.

러면 이고, 일 때에는 이다 행렬식의 정의에 의. 하여

정리 에 의하여1

(2) 를 의 행을 배하여 얻어진 행렬이라 하자 그러면. 이고,

일 때에는 이다 행렬식의 정의에 의하여.

252

(3) 가 의 행을 배 하여 행에 더한 행렬이라 하자 단( , 그러면).

이고 일 때에는 이다 행렬식의 정의에 의하여.

그런데

은 행과 행이 일치하는 행렬의 행렬식이므로 정리 의 에 의하여 이 된다 따라서2 (2) 0 .

앞의 정리 의 와 정리 의 에 의하여3 (2) 2 (2) “ 의 두 행이 비례하면 이다 또.”

한 위의 정리 의 와 정리 의 에 의하여3 (2) 2 (1) 의 한 행 또는 열의 성분이 공통인수를 가

지면 다음 예와 같이 계산 할 수 있다 특히 정리 의 의 의미는 기본행연산. , 3 (3) 를 여러

번 이용하여 얻은 행렬도 원래의 행렬과 행렬식이 같다는 의미이므로 이를 이용하여 주어진 행

렬을 단순화시킨 후 행렬식을 구하면 편리하다는 것이다.

행렬 의 행렬식을 계산하면 다음과 같다.

행렬 의 행을 배하여 행에 더한 행렬을2 2 1 라 하면

이고, 를 각각 계산하면 이다.

주대각선성분 아래의 성분이 모두 인 정사각행렬을0 상삼각행렬(upper triangular matrix),

위쪽의 성분이 모두 인 정사각행렬을0 하삼각행렬 이라고 한다 상(lower triangular matrix) .

삼각행렬과 하삼각행렬을 통틀어 삼각행렬 이라고 한다(triangular matrix) .

253

일반적인 차의 상삼각행렬과 하삼각행렬은 각각 다음과 같다4 .

,

다음 정리는 행렬식의 정의로부터 쉽게 얻을 수 있는데 행렬식을 계산하는데 매우 유용, 하다.

가 차의 삼각행렬이면 의 행렬식은 주대각선성분의 곱과 같다 즉. ,

정리 에 의하여4

이제 다음 예에서 행렬식의 성질들을 이용하여 행렬식을 쉽게 계산하는 방법을 알아보자 이, .

방법의 기본적인 착상은 앞에서 열거한 행렬식에 관한 정리들을 이용하여 삼각행렬의 행렬식

으로 변형시키는 것이다.

다음 행렬 의 행렬식을 구하여라.

행의 배를 행에 더한다(1 (-2) 2 . )

254

행의 배를 행에 더했다(1 (-3) 3 . )

행과 행을 교환했다(2 3 . )

정리( 4)

다음으로 행렬식에 대하여 성립하는 매우 중요한 정리를 소개한다.

두 행렬 와 가 차의 정사각행렬일 때 다음이 성립한다, .

위의 증명은 다양한 방법이 이용될 수 있는데 기본 행연산을 이용한 증명을 아래에서 찾을 수,

있다.

JinHo Kwak, Sungpyo Hong, "Linear Algebra", Birkhauser, p. 47-48, 1997, Boston,

USA

행렬 에 대하여 정리 를 확인하여라5 .

행렬 가 가역이면 이고 다음이 성립한다.

행렬 에 대하여 정리 을 확인하여라6 .

여인자 전개와 공식Cramer

255

이 절에서는 행렬식을 직접 계산하는데 편리하고 이론적으로도 중요한 방법을 알아본다 그.

리고 이 방법의 응용으로서 역행렬을 계산하는 공식과 연립일차방정식의 해를 구하는 공식을

소개한다.

정사각행렬 의 행과 열을 제거하여 만든 부분행렬을 라 하고 그

의 행렬식 를 의 소행렬식 이라 한다 또(minor) . ,

를 의 여인자 라고 한다(cofactor) .

차의 정사각행렬 의 성분 의 여인자를 라고 할 때 행렬, 를

의 수반행렬 이라 하고(adjoint matrix) , 로 나타낸다 즉. ,

다음 행렬의 를 구하여라.

행렬 의 각 성분의 여인자는 각각 다음과 같다.

, ,

, ,

, ,

256

차의 정사각행렬3 의 행렬식은

임을 알고 있다 이것은 다음과 같이 쓸 수도 있다. .

그런데 이 식의 우변의 괄호 속이 각각 여인자, 과 같으므로 다음이 성립한다.

(6-1)

식 에 의하여(2 1)･ 의 열의 성분과 그 성분의 여인자를 곱하여 더한 것은1 과 같음을

알 수 있다. 을 계산한 이와 같은 방법을 행렬 의 열에 관한 여인자전개1 (cofactor

라 한다 이것은 임의의 열에 대하여도 성립하며 임의의 행에 대하여도 유사한 전expansion) . ,

개식이 성립한다.

의 행렬 의 행렬식을 열에 관한 여인자 전개를 이용하여 구하여라1 .

이제 의 행렬 에 대하여 와의 곱 를 구하여 보자.

이것은 임의의 차의 정사각행렬3 에 대하여도 성립한다 즉. ,

257

이것으로부터 임을 알 수 있다.

행렬 일 때, 임을 보여라.

일반적으로 차의 정사각행렬 에 대하여도 다음이 성립한다.

따라서 차의 정사각행렬 의 행렬식은( 여인자 전개Laplace 라고 불리우는 아래)

의 여인자 전개를 이용하여 다양한 방법으로 구할 수 있다.

가 차의 정사각행렬일 때 (1≤ ≤ , 1≤ ≤ 에 대하여 다음이 성립한다) .

( 행에 관한 여인자전개)

( 열에 관한 여인자전개)

를 예 에서 주어진 행렬이라 할 때1 , 의 행에 관한 여인자전개를 이용하여3 를 계

산하여라.

이므로

258

이 값은 예 의 결과와 일치한다1 .

예 에서 알 수 있듯이 전개할 행 또는 열 의 성분이 이면 그 여인자는 계산할 필요가 없2 ( ) 0

다 따라서 될 수 있는 한 을 많이 포함하고 있는 행 또는 열 에 대한 여인자 전개를 이용하. , 0 ( )

면 행렬식을 쉽게 구할 수 있다 또한 행렬식을 구할 때 여인자전개만 이용하는 것보다 행렬. , ,

식의 기본 성질을 함께 이용하면 편리하다.

다음 행렬의 행렬식을 여인자 전개를 이용하여 구하여라.

행의 배를 행에 더하고 행의 배를 행과 행에 각각 더하면2 (-2) 3 , 2 (-3) 1 4

이것을 열에 관하여 여인자전개하면1

차의 정사각행렬 가 가역일 때, 의 역행렬은 다음과 같다.

위의 결론은 의 양변에 를 곱하고 로 나누면 바로 얻게 된다.

예 의 행렬1 의 역행렬을 구하여라.

259

이므로

연립일차방정식의 해에 대한 공식을 만들면 실제의 계산은 복잡하더라도 해의 성질을 조사할

때는 매우 유용하다 다음에. 개의 미지수를 가지는 개의 일차방정식으로 이루어진 연립방

정식의 해를 구하는 공식을 소개한다 이 공식을. 공식Cramer 이라(Cramer's rule) 부른다.

연립방정식

의 계수행렬을 라 하고

이라 하면 이 연립방정식은, 로 나타낼 수 있다 이때. , 이면 이 연립방정식은

유일한 해

을 갖는다 여기서. 는 의 열을 로 바꾼 행렬이다.

이므로 는 가역이다 따라서 연립방정식. 는 유일한 해 를 갖는다.

260

그런데, 이므로 다음이 성립한다.

따라서, 의 행의 성분은

이다 그런데. 이므로 의 열을 로 바꾼 행렬을 라

하면 다음을 얻는다.

공식을 이용하여 다음 연립방정식을 풀어라Cramer .

계수행렬을 라 하면

이므로

공식을 이용하여 다음 동차연립방정식을 풀어라Cramer .

261

가 차의 정사각행렬일 때, 이면 동차연립방정식 은 자명한 해만을 갖

는다 일반적으로. 이 자명한 해만을 가질 필요충분조건은 이다.

개의 미지수를 가지는 개의 일차방정식으로 이루어진 연립방정식을 공식으로Cramer

풀 때에는, 의 행렬식을 포함하여 차의 행렬식을 ( 개나 계산하여야 하므로 이 방)

법은 이 큰 경우에 실용적이라고 할 수는 없다 이와 같은 경우에는. 소거법Gauss 을 사용하

는 것이 훨씬 효과적이다 그러나 공식의 장점은 행렬식만을 이용하여 연립방정식의. Cramer

해를 직접 구할 수 있고 특정한 미지수의 값을 바로 찾을 수 있다는 것이다 지금까지 논의한, .

차의 정사각행렬에 대한 결과를 정리하면 다음과 같다( 개의 미지수를 가지는 개의 일차

방정식으로 이루어진 연립일차방정식과 그것의 계수행렬 또 행렬식 사이의 관계).

가 차의 정사각행렬일 때 다음은 동치이다, .

(1) 는 가역이다.

모든(2) 행렬 에 대하여 연립일차방정식 가 유일한 해를 갖는다

동차연립일차방정식(3) 이 자명한 해만 갖는다.

(4) 와 은 행동치이다.

(5)

의 다음 치환들의 반전 의 개수를 구하여라(inversion) .

1. 2.

262

의 다음 치환들이 짝치환인지 홀치환인지를 결정하여라.

3. 4.

행렬식의 정의를 이용하여 다음 행렬식을 구하여라.

5. 6.

7. 8.

일 때 다음 행렬의 행렬식을 구하여라, .

9. 10.

11.

12. 여인자 전개를 이용하여 다음 행렬식을 구하여라.

다음 행렬식을 구하여라.

13. 14.

다음 방정식을 풀어라.

263

15. 16.

다음 등식이 성립함을 보여라.

17. 18.

19.

가 차의 정사각행렬이고 일 때 다음을 구하여라, .

20. 21.

22. 의 모든 성분이 정수이고 또는 이면, 의 모든 성분은 정수임을 보여라.

23. 행렬 의 여인자를 모두 구하여라.

다음 행렬의 행렬식을 여인자 전개를 이용하여 구하여라.

24. 25.

26.

정리 를 이용하여 다음 행렬의 역행렬을 구하여라2 .

27. 28.

다음 연립일차방정식을 공식을 사용하여 풀어라Cramer .

264

29. 30.

다음 연립방정식을 만족하는 를 구하여라.

31. 32.

265

행렬식의 응용

행렬식의 기원은 연립일차방정식 에서 이면 언제나 유일한

해가 존재한다는 것과 그 근이

,

이라는 것을 기억하기 위하여 생긴 것으로 볼 수 있다.

이러한 행렬식의 개념을 처음 발표한 것은 년 일본인 이며 행렬식을 이용1683 Seki Kowa

한 연립방정식의 해법을 처음으로 공포한 것은 년 이다1750 Cramer .

행렬식의 어원 는 가우스의 정수론에서 해의 존재성에 대한‘determinant’ 판별식의 의미

로 사용된 것에서 유래된 것이고 현재의 의미로 사용되는 행렬식이란 말은, Cauchy(1789～

가 년에 처음으로 사용하였으며 행렬의 이론은 행렬식보다 상당히 늦은 년1857) 1815 , 1845

케일리 에 의해 싹이 트기 시작하여 오늘날 행렬식의 기호 로(Cayley :1814 1897) “| |”～

사용하기에 이르렀다.

http://math.skku.ac.kr/~sglee/multimedia/webnote/history.htm]

이제 행렬식을 이용한 몇 가지 예를 살펴보자 평면에서 서로 다른 두 점, .

를 지나는 직선의 방정식 은 일차연립방정식

을 만족한다.

서로 다른 두 점 을 지나는 직선의 방정식은 다음 식을 만족함을 보여라.

좌변에 또 을 대입하면 등식이 성립하고 이 식의 여인자 전,

266

개식은 직선의 방정식인

이 되므로 위 식은 주어진 두 점을 지나는 직선의 방정식이 된다.

예 에서와 마찬가지로 서로 다른 세 점1 를 지나는

평면의 방정식은 행렬식을 이용하여 다음과 같이 표현할 수 있다.

원점과 서로 다른 두 점 으로 만들어지는 삼각형의 면적은 양의 값인

임을 이용하여 서로 다른 세 점, 을 지나는

삼각형의 면적은 임을 보여라 주 면적이므로 값( ; ).

원점과 서로 다른 두 점 을 지나는 삼각형의 면적은

주어진 조건에 의하여 이고 이 면적은 서로 다른 세 점

을 지나는 삼각형의 점 을 원점으로 평행이동한 삼각형의 면적

이며 이 값은 를 가우스 소거법을 적용하여 세 번째 열을 로

만든 후 여인자 전개를 한 것과 같다.

서로 다른 세 점 을 지나는 이차방정식

을 행렬식을 이용하여 표현하면 다음과 같다.

연습문제 의 번에서 구한 아래의 행렬식은 행렬식이라고 한다(6 1) 17 Vandermonde .･

267

개의 점을 지나는 차식도 다음과 같은 행렬식을 이용하여 구할 수 있다 서로 다른 세 점3 2 .

을 지나는 차 방정식은 다음을 만족한다2 .

즉,

이므로

이다.

이므로 이면 역행렬이 존재하여 위에서 구한 을 가지고 주어진 세 점을 지나

는 이차방정식 을 구할 수 있다 이런 과정을. Lagrange Interpolation이라

하고 위의 행렬식을 행렬식Vandermonde 이라고 한다 위의 방법은( 개의 점을 지나는

차의 다항식을 구하는데도 그대로 이용된다).

개의 점5 을 지나는 원추곡선(conic section)

은 다음 식을 만족한다.

268

1. 두 점 을 지나는 직선의 방정식을 행렬식을 이용하여 구하여라.

2. 세 점 를 지나는 차방정식2 의 계수 를 행렬식을 이

용하여 구하여라.

3. 네 점 에 의하여 만들어지는 사각형의 면적은

임을 보여라.

4. 세 점을 지나는 를 지나는 원의 방정식은

을 만족함을 보여라.

5. 을 구하여라.

6. 행렬 의 역행렬을 구하여라.

그리고 이 경우( 임을 확인하시오 이런 성질을 갖는 행렬을. 직교행렬이라 한다)

공학적 도구를 이용한 행렬의 계산

선형대수학을 배우고 우리는 차 정도의 계산의 예를 다루는 것만을 학습하였다 그러3, 4, 5 .

나 실제로 선형대수학을 배운 수학전공은 물론 자연계의 학생들은 졸업 후 현장에서 방법은 아

269

는데 손으로 직접 풀 수는 없는 큰 크기의 행렬을 만나게 된다 이런 현상은 폰 노이만이 최초.

의 컴퓨터를 만든 년 전이나 현재나 같습니다 그러나 우리가 살고있는 사회는 년 전과50 . 50

는 비교할 수 없을 정도로 발전하였다 특히 과학기술에서는 더욱 그렇다. .

결국 소프트웨어는 기본적으로 수학과는 떼어놓고 생각 할 수 없다는 것이고 우리가, MA-

등의 프로그램의 이용에 대하여 논하는 것은 아주 자연스러운 일이라고THEMATICA 생각한

다 다음 주소에서 다양한 프로그램의 이용을 확인할 수 있다. .

http://math.skku.ac.kr/~sglee/java/java_all.html

그러나 궁극적으로 지난 년간 개발된 우리에게 가용했던 소프트웨어는 그래픽 계산기와10

등에 한정되었다 게다가 이런 모든 것들MATLAB, MATHEMATICA, Maple, GSP, CAS .

이 외국에서 개발된 도구로서 이를 수백 만 명이나 되는 전국의 학생들을 대상으로 수입하여

각 실에서 매년 업그레이드하며 집에서의 예습 복습을 위해서는 불법복제를 염려하며 이용PC

을 강요하는 것에 대한 문제점 때문에 궁극적으로는 독립적인 프로그램이 필요하였다 인터넷.

을 이용한 프로그램이 이러한 문제에 대한 해법이 된다고 생각하여 아래와 같은 도구를JAVA

만들었으니 이것을 이용하여 구한 답을 확인하는 것을 권장한다.

인터넷 상에서의 연립일차방정식의 풀이

주소 배포판http://matrix.skku.ac.kr/MatrixDet- /MatrixDet.html：

1) 행렬의 행렬식 를 계산할 수 있는 프로그램(determinant) JAVA

270

계산과정Determinant

행렬의 차수를 입력한다1. .

구하고자 하는 행렬의 성분을 입력한다2. .

를 클릭한다3. Det .

마방진을 계산하는 방법

구하려는 차수를 입력한다1. .

마방진을 클릭한다2. .

주소 배포판 도 참고하세요http://matrix.skku.ac.kr/MatrixCal- /Applet1.html !：

다양한 선형대수학을 위한 프로그램2) JAVA 이용 가능한 프로그램( JAVA )

그래프 그리기1.

행렬연산2.

연립방정식 풀이3.

내적계산4.

해당 항목을 클릭하여 행렬을 입력하고 연산키를 클릭하면 답이 보여진다.․

271

3) Linear Algebra Calculator

사용법

차 행렬1. 3 를 입력한다.

2. 로 복사한 후 를 수정한다.

3. 등을 클릭하여 결과를 확인한다.

위와 같은 방법으로 차 행렬의 여인자 역행렬 행렬식 등을 구할 수 있다4 , , .

프로그램 엑셀 을 이용한 연립일차방정식의 풀이( )

우리 주위에서 쉽게 접근할 수 있는 프로그램으로 오피스 안에 있는 엑셀프로그램에서MS-

272

도 연립방정식을 계산할 수 있다. 엑셀의 기능과 내장함수 와 를ARRAY MINVERSE MMULT

이용하여 일차연립방정식을 푼다 주어진 선형 연립방정식 문제는 행렬을 이용하여 풀 수 있다. .

엑셀 내부의 행렬 함수들을 사용하면 행렬까지 계산할 수 있다 행렬을 이용하여 선, 60×60 .

형 연립방정식 을 아주 쉽게 해결할 수 있다 여기서. 는 행렬이고, 는 열벡터이며

구하고자하는 미지수이다. 는 상수의 열벡터이다 이 방정식을 풀기 위해서 행렬의 양변에.

역행렬을 곱하면 된다 즉. , 정의에 따르면 행렬에 역행렬을 곱하면 단위. 행

렬이 되어 버리기 때문에 이 방정식은 다음과 같이 표현된다 따라서 그 근인. 를 얻게 된다.

이것은 아주 간단해 보이지만 실제로는 역행렬을 구하여야 한다 엑셀에서는 역행렬을 구하.

는 함수인 함수를 내장하고 있다MINIVERSE .

다음의 예를 살펴보도록 하자 다음의 방정식들은 원 차 연립방정식들이다. 3 1 .

이 방정식의 해는 이다 이 방정식을 행렬로 나타내면 다음과 같다. .

이 문제를 워크시트에서 실행하는 과정을 알아보자.

행렬(1) 의 역행렬을 구하기 위하여 적당한 셀에 역행렬을 구하는 함수 를(MINVERSE)

적용하여 역행렬을 구한다 역행렬을 구하는 과정 이용 은 다음과 같다. (MINVERSE ) .

다음과 같이 계수행렬① 와 상수 열벡터 를 입력한다.

구하고자 하는 역행렬이 표시될 셀의 위치를 지정한다 예( , A16:C18).②

함수 마법사에서 를 선택한다MINVERSE .③

배열입력에서 원래행렬의 셀영역을 마크하여 선택한다 예( , A11:C13).④

를 눌러 계산을 수행한다Enter .⑤

273

를 누르면 다음과 같이 결과가 사이의 블록 표+ + (A16:C18 3×3 )⑥ꍭ ꍬ ꎠ시된다.

(2) 의 역행렬과 계수 의 값을 곱하여 결과 값 의 열을 구한다 이 과정은 행렬과 행.

렬의 곱은 함수를 이용하며 구하는 과정은 함수일 때와 같은MMULT(,) MINVERSE

방법으로 결과 가 표시 될 위치 를 지정하고(E16:E18) MMULT(A11:C13,

함E11:E13) 수를 실행한 후 를 누르면 사이에 블록에+ + E16:E18 3×1ꍭ ꍬ ꎠ해가 나온다.

계산된 결과는 이다.

1. 아래의 도구를 이용하여 연습문제에 나오는 번 행렬의 행렬식 여인자 역행렬6 1 24, 26, 27, 28 , ,･을 모두 구해보아라.

274

배포판http://matrix.skku.ac.kr/MatrixCal- /Applet1.html