edu.semgu.kz … · Web view$$$UMKD_NAME$ Математика $$$UMKD_AVTORS$. Кожагелдиев Б.К. $$$UMKD_YEAR$2012 @@@ ###000-001# МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ

$$$UMKD_LANG$RU$$$UMKD_NAME$ Математика $$$UMKD_AVTORS$. Кожагелдиев Б.К.$$$UMKD_YEAR$2012

@@@###000-001#

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИРЕСПУБЛИКИ КАЗАХСТАН

СЕМИПАЛАТИНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТИМЕНИ ШАКАРИМА

ЭЛЕКТРОННЫЙ УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС ДИСЦИПЛИНЫ

«Математика в экономике»

для специальностей: 5В050900 «Экономика», 5В050700 «Менеджмент», 5В050800 «Учет и аудит», 5В050900 «Финансы»,

5В051000 «Государственный и местный управления»

Составители:Кожагелдиев Бегман Кадырович

к.т.н., доцент кафедры высшей математики

Семей 2015&&&

###000-002#Содержание

1. Типовая программа2. Рабочая программа3. Глоссарий4. Конспект лекций5. Практические и семинарские занятия 6. Блок контроля знаний

&&&

Кожагелдиев Бегман КадыровичУченая степень: К.т.н.Ученое звание: доцент

Должность: Доцент кафедры Высшей математики

Специализация: Математика, технические науки

Контактные данные:Рабочий телефон: +7 (7222)360205

Электронная почта:

Общие сведения: Является автором более пятидесяти научных и научно-методических публикации, в том числе один монография и двух учебников. Имеет более десяти сертификатов курсов повышение квалификации, в том числе в 2010 году прошел курсы повышения квалификации в Восточно - Казахстанском государственном техническом университете «Дистанционные образовательные технологии» объемом 72 часа. Награжден нагрудным значком «Отличник образования РК»&&&###001-000#1 Типовая программа

Пояснительная записка

Преподавание математики имеет целью: дать будущему бакалавру систематические знания, необходимые для изучения инженерных дисциплин, и специальных курсов; развивать математическую интуицию и умение использовать изученные математические методы в решение задач прикладного характера, связанных с будущей специальностью студента; воспитывать математическую культуру и умение работать с книгой.

Изучение дисциплин «Математика в экономике» основывается на знаниях школьного курса математики, и начинается с изучения линейной алгебры и аналитической геометрии, всех разделов математического анализа для функций одной переменной и функций многих переменных, заканчивается теорией вероятностей и математической статистики.

В результате изучения курса студент должен знать: - приобрести твердые навыки решения математических задач с

доведением решения до практически приемлемого результата и развить на этой базе логическое мышление; выработать навыки математического исследования прикладных вопросов и умение самостоятельно разбираться в математическом аппарате, содержащемся в литературе, связанной со специальностью студента;

- уметь при решении задач выбирать и использовать необходимые математические методы для решения прикладных задач.

- внедрение кредитной технологии в процесс обучения предусматривает активизацию самостоятельной работы студентов.

Перечень тем периодических занятий входит в содержательную часть данной типовой программы. Какие темы изучаются на лекциях, какие изучаются на практических занятиях или входят в задания СРС решается кафедрой, и учитывается при составлении силлабусов.

Содержание дисциплиныВведениеНастоящая программа по дисциплине «Математика в экономике»

предназначена для студентов экономических специальностей: «Финансы», «Менеджмент», «Учет и аудит», «Экономика», «Государственный и местный управления» ровной сумме аудиторных часов, часов самостоятельной работы студентов с преподавателями (СРСП) и самостоятельной работы студентов (СРС).

Преподавание математики имеет целью выработки у студентов умения проводить математический анализ прикладных задач и овладение основными математическими методами исследования и решения таких задач.

В современной науке и технике математические методы исследования играют все большую роль. Широко внедряется вычислительная техника, благодаря которой существенно расширяются возможности успешного применения математики при решении конкретных задач. &&&

###001-002#1.2 Текст типовой программыМатематика Линейная алгебра и аналитическая геометрияЛинейная алгебра. Определители, второго и третьего порядка, их

свойства. Матрицы и операции над матрицами. Обратная матрица. Ранг матрицы и методы его вычисления.

Системы линейных алгебраических уравнений. Правило Крамера. Матричная форма записи системы линейных уравнений и ее решение

матричным методом. Метод Гаусса. Однородная система линейных алгебраических уравнений.

Векторная алгебра. Трехмерное пространство R3 Векторы, линейные операции над векторами. Линейная зависимость и независимость векторов. Базис. Скалярное и векторное произведения в R3 . Выражение скалярного и векторного произведение через координаты векторов. Угол между векторами. Смешанное произведение трех векторов. Свойства смешанного произведения. Объем призмы и пирамиды.

Аналитическая геометрия.Различние уравнения прямой на плоскосте. Угол между прямымы.

Приложений уравнение прямых на плоскосте. Различные уравнения плоскости и прямой в R3. Взаимное расположение прямой и плоскости в R3

Приложения уравнения прямой в пространстве и уравнения плоскости.Кривые второго порядка. Поверхности второго порядка. Канонические формы уравнений поверхностей второго порядка (сфера,

эллипсоид, параболоид, гиперболоиды, конус, цилиндрические поверхности). Исследование поверхностей методом сечений

Дифференциальное исчисление функций одной переменной.Введение в анализ. Функция. Предел функции и его свойства

Непрерывность функции в точке и в интервале. Сравнение функций. Бесконечные малые и большие величины. Предел последовательности чисел. Свойства. Замечательные пределы. Вычисление пределов.

Производная и дифференциал функции в точке. Основные теоремы о дифференцируемые функции в интервале. Применение дифференциала и производной функций в точке. Производные и дифференциалы высших порядков.

Раскрытие неопределенностей. Исследование поведения функций и их графиков. Приложения дифференциального исчисления к геометрии.

Интегральное исчисление функции одной переменнойНеопределенный интеграл. Основные свойства неопределенного

интеграла. Таблица основных интегралов. Методы интегрирования неопределенных интегралов. Интегрирование классов дробно-рациональных, и иррациональных функции. Интегрирование тригонометрических выражений.

Определенный интеграл. Свойства. Формула Ньютона – Лейбница. Приложение определенного интеграла. Несобственные интегралы.

Функции нескольких переменныхОбласть определения функции нескольких переменных. Определение

функции нескольких переменных. Предел и непрерывность функции нескольких переменных. Частные производные, полный дифференциал функции нескольких переменных. Теорема о смешанной производной. Экстремум функции нескольких переменных.

Дифференциальные уравнения Основные понятия. Задача Коши. Теорема существования

дифференциальных уравнений. Уравнения с разделенными переменными.

Уравнения с разделяющими переменными. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Уравнения в полных дифференциалах. Задача Коши. Частное решение, общее решение, особое решение. Дифференциальный оператор. Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Линейные не однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Система дифференциальных уравнений. Метод Эйлера.

Ряды.Числовые ряды. Сходимость, сумма ряда. Необходимый признак

сходимости. Положительные ряды. Признак сравнения. Признак Д*Аламбера. Радикальный признак Коши. Интегральный признак Коши. Знакочередующиеся ряды. Признак сходимости Лейбница. Абсолютная и условная сходимость. Функциональные ряды. Область сходимости. Радиус, интервал сходимости. Ряды Тейлора. Разложение элементарных функций в ряд Тейлора. Ряд Маклорена.

Теория вероятностей.Случайные величины. Полная вероятность. Случайные события и их

вероятности. Закон распределения и его характеристики. Вариационный ряд и его выборочное средняя и дисперсия. Элементы математической статистики

Самостоятельная работаСамостоятельная работа с использование рекомендованной литературы

необходима для полного усвоения лекционных и практических занятий и для успешного примененеия абстрактных понятий, положений в конкретных практических задачах, в построении вероятностных моделей.&&&

###001-003#1.3 Список рекомендуемой литературы.1. Бугров Я.С Никольский С.М. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии - М.: Наука, 1988г.2. Бугров Я.С, Никольский С.М. - Дифференциальное и интегральное исчисление. М.: Наука, 1985г.3. Берман А.Ф., Араманович И.Г. - Краткий курс математического анализа для втузов. М.: Наука, 1971г.4. Ильин В.А. Позняк Э.Г. - Линейная алгебра М.: Наука, 1983г5. Бугров Я.С, Никольский СМ. Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды.- М: Наука, 19856. Жевняк P.M., Карпук А.А. Высшая математика. Ч. 1-5. Минск: Вышейшая школа, 19987. Шипачев B.C. Высшая математика, ч. 1-2-М: Высшая математика. Т. 1,2 - М.: Высшая школа, 1981 8. Гусак А.А. Высшая математика.!. 1,2 -Минск: Тетро Системс, 20019. Агафонов С.А., Герман А.Д., Муратов Т.В. Дифференциальные уравнения Вып. V,VII,VIII.- M.: Изд. МГТУ имени Н.Э. Баумана, 2000

10. Сборник задач по математике для втузов: Линейная алгебра и основы математического анализа / Под редакцией Ефимова А.В. и Демидовича Б.П. М.: Наука, 1986г.11. Сборник задач по математике для втузов: Специальные разделы математического анализа. / Под редакцией Ефимова А.В. Демидовича Б.П.-М.: наука, 198612. Рябушко А.П., Баркатов В.В. и др. Сборник индивидуальных заданий по высшей математике. ч.1-3-Минск.: Вышейшая школа 200113. Кузнецов Л.А. Сборник заданий по высшей математике (типовые расчеты). - М.: Высшая школа, 198314. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление для втузов. 1.1 - М.: Наука, 1985г.15. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление для втузов. Г. 2 - М.: Наука, 1985г.16. Данко П.К., Попов А.Г., Кожевников Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. Ч.1,2 - М.: Высшая школа, 1986г: '17. Клетеник Д.В. Сборник задач по аналитический геометрии - М.: Наука, 1986г.

&&&

###002-000#2 Рабочая программа

1. Область применения2. Нормативные ссылки3. Общие положения4. Литература и ресурсы5. Содержание дисциплины, модульное разбиение дисциплины6. Перечень тем и содержание СРС7. Методические рекомендации по изучению дисциплины8. Формат курса9. Политика курса10. Политика выставления оценок11. Контроль знаний студентов12. Календарный график учебного процесса и дистанционных консультаций

&&&

###002-001#2.1 Область применения

Электронный учебно-методический комплекс по дисциплине «Математика для экономистов» предназначен для студентов специальности «Финансы», «Учет и аудит», «Экономика», «Государственный и местный управления» обучающихся по дистанционным образовательным технологиям (ДОТ). Он знакомит студентов с содержанием курса, его актуальностью и необходимостью, политикой курса, с теми навыками и умениями, которые студенты приобретут в процессе обучения. ЭУМКД является основным руководством при изучении дисциплины по ДОТ.

&&&

###002-002#2.2 Нормативные ссылки

Настоящий электронный учебно-методический комплекс дисциплины (ЭУМКД) «Математика для экономистов» разработан и устанавливает порядок организации учебного процесса по данной дисциплине с использованием ДОТ в соответствии с требованиями и рекомендациями следующих документов:Государственный общеобязательный стандарт образования специальности «Финансы», «Учет и аудит», «Экономика», «Государственный и местный управления»&&&

###002-003#2.3 Общие положения

В современной науке и технике математические методы исследования, моделирования и проектирования играют все большую роль. Это обусловлено быстрым темпом вычислительной техники, компьютеризации. Математические методы в экономике, технике, экологии, химии, строительстве являются органическим продолжением курса высшей математики, занимают важное место в технических исследованиях. Задача курса - ознакомить студентов с основными понятиями и методами высшей математики, необходимыми для изучения специальных дисциплин, использующих математические методы, а также подготовить студентов к самостоятельному изучению тех разделов математики, которые могут потребоваться дополнительно в практической и исследовательской работе.

Целью данного курса являются: освоение математического аппарата, помогающего моделировать, анализировать и решать задачи с приложением. В случае необходимости компьютерной техники; Помочь студентам в усвоении математических методов, дающих возможность изучать и прогнозировать процессы и явления из области будущей профессиональной деятельности студентов; формирование умения и навыков самостоятельного анализа исследования и развитие стремления к научному поиску путей совершенствования своей работы; выработка у студентов основных практических умений проведения научно-исследовательской работы по

уровню требований, предъявляемых в условиях социально-экономических преобразований.

Основная задача изучения дисциплины: развитие логического и алгоритмического мышления; освоение приемов исследования и решения математически

формализованных задач; овладение простейшими численными методами и с их реализацией на

ЭВМ; выработку умения самостоятельно расширять математические знания

и проводить математический анализ прикладных задач. Обязательным условием является выполнение всех практических и

индивидуальных заданий, которые и составляют основной вид контроля.В результате изучения дисциплины студент должен:

приобрести прочные теоретические знания по высшей математике, уметь применять приобретенные знания к решению практических задач

знать основные определения, теоремы, правила, математические методы и их практические применения;

уметь решать математические задачи с доведением решения до практически приемлемого результата;

Пререквизиты курса:Элементарная математикаПостреквизиты курсы:Прикладные вопросы математики

Выписка из рабочего учебного планаТаблица 1

Курс Семестр Кредиты Аудиторная работа СРС (час)

Всего (час)

Форма итогового контроляАЗ (час) ДК (час)

1 1 3 4 5 126 135 экзамен

&&&###002-004#2.4 Литература и ресурсы

2.4.1 Основная литература и ресурсы2.4.1.1 Кремер Н.Ш. «Высшая математика для экономистов»,

Москва, ЮНИТИ , 1997 г.2.4.1.2 Красс М.С. «Математика для экономических специальностей»,

Москва, ИНФРА-М, 1998 г. 2.4.1.3 Шанкибаев Б.Н. «Высшая математика для экономистов»,

Алматы, ЭВЕРО, 2002 г.

2.4.1.4 Данко П. Е., Попов А.Г., Кожевникова Т. Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. Часть 1и 2, Москва, ОНИКС 21 век Мир и Образование, 2002 г.

2.4.2 Дополнительная литература и ресурсы 2.4.2.1 Карасев А. И. Курс высшей математики.ч.1, М. «Высшая

математика».1982 г.&&&

###002-005#2.5 Содержание дисциплины, модульное разбиение дисциплины

Таблица 2Наименование

модуляНаименование темы Содержание Литер

атура1 2 3 8

Модуль 1Линейная и векторная алгебра,аналитическая геометрия.Введение в математический анализ.

Матрицы и определители.

Понятие матрицы. Определитель, его основные свойства. Вычисление определителей второго и третьего порядков. Обратная матрица Вычисление обратной матрицы. Матричные уравнения.

[1],[2]

Система линейных уравнении. Элементы матричного анализа

Исследование систем линейных уравнений. Теорема Кронекера-Капелли. Метод Гаусса. Решение систем линейных уравнений с помощью обратной матрицы. Формулы Крамера. Векторы. Операция над веторами. Сколярные ивекторные произведение векторов. Разложение векторов по координатам

[1],[2]

Аналитическая геометрия на

Прямая на плоскосте. Уравнение прямых. Угол

[1],[2]

плоскосте. Аналитическая геометрия в пространстве.

между прямымы. Растояние от точки до прямой. Линии второго порядка: эллипс, гипербола, парабола. Прямая и плоскость в пространстве. Пересечение прямые и плоскости. Условия параллелности прямых и плоскостей

Функция. Предел функции. Понятие непрерывности фунцкии.

Последовательность. Понятие предела последовательности. Понятие функции. Предел функции. Первый и второй замечательный пределы. Непрерывность функции. Точки разрыва.

[1], [2]

Модуль 2Дифференциальное исчисление. Интегральное исчисление. Функции несколких переменных.

Понятие производной и дифференциала. Производной высшего порядка. Производная сложной функции. функций заданных параметрически и неявно.

Понятие производной. Таблица производных, правила дифференцирование. Основные теоремы. Производные высшего порядка. Производная сложной функции. Производная параметрически и неявно заданной функции.

[1], [2]

Правило Лопиталя. Экстремум функции. Наибольшее и наименьшее значение функции

Правило Лопиталя. Уравнение касательной. Исследование функции на возрастание, убывание, выпуклость, вогнутость и тоски экстремума, перегиба. Асимптоты.

[1], [2]

Неопределенный интеграл. Таблица интегралов. Основные методы интегрирования.

Понятие неопределенного интеграла. Таблица, правила и методы интегрирования. Простейшие рациональные дроби. Интегрирование рациональных функций. Интегрирование

[1], [3]

тригонометрических и [1],

иррациональных функций [3]Определенный интеграл Формула Ньютона – Лейбница. Методы интегрирования

Определенный интеграл Формула Ньютона – Лейбница. Методы интегрирования Геометрические и механические приложения интеграла.

[1], [3]

Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных

Понятие функции нескольких переменных. Частные производные функции несколких переменных. Дифференцирование сложных и неявных функций.Производные по направление Градиент. Частные производные высших порядков. Экстремумы функции нескольких переменных.

[1], [2]

Модуль 3Дифференциальное уравнение. Ряды. Теория вероятности и математические статистика

Дифференциальные уравнения первого порядка

Основные понятия.Дифференциальные уравнения первого порядка. Задача Коши. Теорема существования и единственности. Уравнения с разделяющимися переменными. Однородные и линейные дифференциальные уравнения первого порядка.

[1], [2]

Методы решения дифференциальных уравнений и дифференциальные уравнения высших порядков

Методы решения дифференциальных уравнений . Дифференциальные уравнения высших порядков. Дифференциальные уравнения с постояннымы коэффициентами, их решения.

[1], [2]

Ряды. Числовые ряды. Призноки

Основние понятие.Ряды с положительными

[1], [2]

сходимости рядов членами . Знакопеременные ряды. Сходимости рядов. Призноки сходимости

Стененные ряды. Функционалные ряды. Применение рядов в приближенных вычислениях

3.Функциональные ряды. [1], [2]

Теория вероятности Классическое определение вероятности. Применение элементов комбинаторики при вычислении вероятностиВероятность суммы и произведения событий. Независимые события. Условная вероятностьЗадача на нахождение вероятности появления хотя бы одного события.

[1], [3]

Математическая статистика

Независимые повторные испытания. Формула Бернулли. Наивероятнейшее число появления событияДискретная случайная величина. Закон распределения. Виды дискретной случайной величины. Числовые характеристики

[1], [3]

&&&###002-007#2.7 Методические рекомендации по изучению дисциплины

освоение теоретического материала. Приступая к изучению курса, необходимо обратить особое внимание на

проработку основных положений темы (раздела), используя для этой цели предлагаемый учебно-методический комплекс, основное назначение которого – облегчить студенту работу с книгой. Краткий конспект лекций к каждой теме (разделу) заканчивается вопросами для самоконтроля.

Существенное значение имеет правильный выбор учебника. Не следует одновременно пользоваться несколькими учебниками. Из предложенного списка рекомендуемой литературы один должен быть выбран в качестве основного. Другие учебники или учебные пособия используют в том случае, если прорабатываемый материал отсутствует или недостаточно подробно изложен в основном учебнике.

Курс целесообразно изучать последовательно по темам, руководствуясь программой дисциплины. Работа над учебником обязательно должна сопровождаться самостоятельным решением и анализом примеров и задач, приведенных в учебнике и данном комплексе. После этого необходимо ответить на вопросы для самоконтроля.

Учебный материал можно считать усвоенным только при условии, если вы умеете правильно применить теорию для решения практических задач.

&&&###002-008#2.8 Формат курса

Формат курса – смешанный. Большую часть Вы работаете самостоятельно, используя предложенный конспект лекций. Лекции посвящаются наиболее сложным, проблемным вопросам. Такая структура проведения требует от студента систематической самостоятельной работы с рекомендуемой литературой и знания материала по новой теме лекции.

Задания для практических занятий посвящены решению задач, способствующих более глубокой проработке теоретического материала.

На 16-й неделе будут проведены аудиторные занятия согласно расписанию, во время которых Вы продемонстрируете степень усвоения данной дисциплины.

&&&###002-009#2.9 Политика курса

Большую часть учебного времени, отведенного на изучение дисциплины, Вы работаете совершенно самостоятельно, без моей помощи выполняете подготовку к каждому аудиторному занятию, решаете задания (в том числе и СРС); самостоятельно изучаете некоторые теоретические вопросы дисциплины.

Раз в неделю я буду проводить часовые консультации через интернет, но возникающие в процессе усвоения материала вопросы Вы можете направлять на мои e-mail.

&&&###002-010#2.10 Политика выставления оценокЯ надеюсь, что мы найдем взаимопонимание по тем требованиям,

которые я буду предъявлять к Вам в течение всего периода, отведенного на изучение дисциплины:

1. Обязательное посещение занятий (на 16-й неделе). Я прошу Вас не опаздывать на занятия и не разговаривать во время занятий. Пропуски занятий не допускаются.

2. Вы должны активно участвовать в учебном процессе на аудиторных занятиях, своевременно и старательно, в установленные сроки выполнять домашние задания, быть пунктуальным и обязательным. Все это позволит Вам достичь высоких рейтинговых показателей.

3. СРС оценивается отдельно и должна быть выполнена в установленные сроки.

4. Итоговый рубежный контроль будет складываться из текущего контроля (контрольные задания и СРС) и оценок, полученных Вами при тестировании (8 и 15 недели).

&&&###002-011#2.11 Контроль знаний студента

Контроль знаний студента по дисциплине осуществляется в форме: текущего контроля по модулям проводится на 4, 7, и 14 неделях рубежного контроля (8 и 15 недели) итогового контроля – проводится один раз в конце академического

периода (экзамен), в соответствии с ГОСО специальности).Оценка по дисциплине выставляется в процентном содержании по 100

%-й шкале. Студент, полностью выполнивший задания одного рубежного контроля, может набрать 100%.

При проведении промежуточной аттестации по дисциплине итоговый балл рассчитывается по результатам итогового рейтинга и экзамена. Удельный вес указанных форм контроля составляет 60% от результатов рейтинга студента и 40% от результатов экзамена по дисциплине.

Студент, допускается к итоговому контролю по дисциплине, если за семестр его суммарный рейтинговый балл больше или равен 50%. Итоговая оценка по дисциплине определяется по шкале, приведенной в следующей таблице

Шкала оценок в буквенном эквиваленте, в баллах и процентах

Оценка по буквенной

системе

Цифрой эквивалент

баллов

Процентное содержание

Оценка по традиционной системе

А 4,0 95 – 100 ОтличноА– 3,67 90 – 94В+ 3,33 85 – 89

ХорошоВ 3,0 80 – 84В– 2,67 75 – 79С+ 2,33 70 – 74

УдовлетворительноС 2,0 65 – 69С– 1,67 60 – 64D+ 1.33 55 – 59D 1,0 50 – 54

F 0 0 – 49 НеудовлетворительноI NA - НезаконченныйP - прошел Прошел дисциплину

&&&###002-012#2.12 Календарный график учебного процесса и дистанционных консультаций по дисциплине «Математика в экономике»

Таблица 5№ п/п

Недели 1 2 3 4 5 6 7 8 Итого1-

рейтинг

1 Вид контроля ЗМ1

ЗМ2

РК1 300 баллов

2 Баллы 100 100 1003 Консультации OF O

LOL

OF OF OL OF OF

№ п/п

Недели 9 10 11 12 13 14 15 Итого2-

рейтинг

1 Вид контроля ЗМ3

РК2 300баллов

2 Баллы 150 1503 Консультации O

LOL

OF OF OL

OF OF

Обозначения: ЗМ-задание по модулю;; РК-рубежный контроль; OL- он-лайн консультация; OF- офф-лайн консультация

&&&$$$001-000-000$3.1 Глоссарий

№ Новые понятия Содержание1. Матрица размера mn. называется прямоугольная таблица чисел,

состоящая из m строк и n столбцов.2. Квадратная матрица матрица у которой число строк равно числу

столбцов 3. Порядок матрицы равен числу строк (столбцов) квадратной

матрицы 4. Определитель матрицы -это число, которое по определённому

правилу сопоставляется каждой квадратной матрице. Определитель обозначается вертикальными линиями:

nnn2n1

2n2221

1n1211

aaa

aaaaaa

A

5. Вычисление определителя 2-го порядка 21122211

2221

1211 aaaaaaaa

6. Вычисление определителя 3-го порядка

332112322311312213322113

312312332211

333231

232221

131211

aaaaaaaaa

aaaaaaaaaaaa

aaaaaa

7. Транспонированная матрица

для матрицы A называется матрица AT, столбцами которой являются соответствующие строки матрицы A.

8. Минор элемента ija называется определитель, составленный из элементов, оставшихся после вычеркивания i-ой стоки и j-го столбца, на пересечении которых находится этот элемент и обозначается ijM

9. Алгебраическое дополнение элемента ija

называется соответствующий минор, умноженный на ji 1 т.е Aij=(–1)i+j Mij, где i -номер cтроки и j –номер столбца, на пересечении которых находится данный элемент.

10. Диагональная матрица квадратная матрица, у которой вне главной диагонали стоят нулевые элементы.

11.

Единичная матрица

это диагональная матрица, у которой на главной диагонали стоят только единичные элементы

10

101

E

12. Произведение матрицы на число

называется матрица B=A размера mn, каждый элемент bij которой равен aij.

13. Сумма матриц A и B одинакового размера

называется матрица C=A+B того же размера каждый элемент cij которой равен aij+bij.

14. Произведение матрицы A размера mn на матрицу

B размера nk

называется матрица C размера mk, каждый элемент cij которой равен произведению i –ой строки матрицы A на i–ый столбец матрицы B, т.е.

n

1lljilnjinj22iljilij babababac

15. Обратная матрица для квадратной матрицы A называется такая матрица A-1, что выполняется равенство AA-1=A-1A=E.

16. Вырожденная и невырожденная матрицы

квадратная матрица A, определитель которой равен нулю, называется вырожденной, матрица, определитель которой не равен нулю, называется невырожденной.

17. Присоединённая матрица для квадратной матрицы A называется матрица A~ , элементами которой являются алгебраические дополнения соответствующих элементов матрицы A, т.е.

nnn2n1

2n2221

1n1211

AAA

AAAAAA

A~

18. Минор k-го порядка матрицы A

называется определитель составленный из элементов произвольно выбранных k столбцов и k строк этой матрицы.

19. Ранг матрицы A называется наибольший из порядков ее миноров, не равных нулю..Он обозначается символом r(A) или rangA.

20. Базисный минор называется любой из отличных от нуля миноров матрицы А, порядок которого равен r (A).

21. Линейная комбинация строк seee ,,, 21 матрицы

называется строка е , если она равна сумме произведений этих строк на произвольные действительные числа:

,2211 sseeee

где s ,,, 21 - любые числа.

22. Линейная зависимость строк

строки meee ,,, 21 матрицы называются линейно зависимыми, если существуют такие числа m ,,, 21 , не равные одновременно

нулю, что линейная комбинация строк матрицы равна нулевой строке:

02211 mmeee

где 0=(0 0 …0).23. Линейная независимость

строкесли линейная комбинация

02211 mmeee равна нулю тогда и только тогда, когда все коэффициенты i равны нулю, т.е. 0,,21 m , то строки meee ,,, 21 называются линейно независимыми.

24. Система алгебраических уравнений из m линейных

алгебраических уравнений с n неизвестными

mnmn2m21m1

2n2n222121

1n1n212111

bxaxaxa

bxaxaxabxaxaxa

25. Матричная форма записи системы.

m

2

1

n

2

1

mnm2m1

2n2221

1n1211

b

bb

x

xx

aaa

aaaaaa

26. Формулы Крамера.

iix , ni ,1 . A=0 и i –

определитель матрицы системы, в которой вместо i-го столбца подставлен столбец свободных членов.

27. Исследовать систему это значит определить совместна ли она и, в случае совместности, определить, сколько решений она имеет.

28. Расширенная матрица называется матрица, полученная из матрицы системы приписыванием справа столбца свободных членов системы.

29. Однородная система линейных алгебраических

уравнений

cистема, в которой все свободные члены нулевые.

30. Неоднородная система линейных алгебраических

уравнений

система, в которой столбец свободных членов ненулевой.

31. Тривиальное решение. называются нулевые решения однородной системы

32. Фундаментальная система решений

Система линейно независимых решений nkkke ,, 211 называется фундаментальной,

если каждое решение данной системы

является линейной комбинацией решений nkkke ,, 211 .

33. Координатная ось Ox прямая с выбранным началом координат – точкой O направлением и масштабным единичным отрезком [01].

34.Декартовая системой координат (Д.С.К.) на

плоскости Oxy

пара взаимно перпендикулярных координатных осей на этой плоскости, пересекающиеся и общем начале координат точке O и имеющие равные масштабные отрезки. Первая из этих осей называется осью абсцисс (Ox) а вторая – осью ординат (Oy).

35.Д.С.К. в пространстве

Oxyz

тройка взаимно перпендикулярных осей координат, пересекающихся в общем начале координат точке O и имеющих равные масштабные отрезки. Третья ось при этом называется осью аппликат (Oz).

36. Расстояние между точками A(xA,yA) и

B(xB,yB) на плоскостиAB= 2

AB2

AB )yy()xx( .

37. Расстояние между точками A(xA,yA,zA) и

B(xB,yB,zB) в пространстве

222 )()()( ABABAB zzyyxxAB

38. Деление отрезка в данном отношении

1

1

1

BAM

BAM

BAM

zzz

yyy

xxx

39. Вектор отрезок с выбранным направлением, или направленный отрезок.

40. Коллинеарные вектора вектора, лежащие на параллельных прямых (или на одной и той же прямой)

41. Компланарные вектора Вектора, лежащие в одной плоскости или в параллельных плоскостях.

42. Линейные операции над векторами

это умножение вектора на число и сложение векторов.

43. Линейная комбинация векторов

вектор C1 1a +C2 2a +...+Cn na .

44. Линейно зависимыевекторы 1a , 2a ,..., na

если существуют такие числа C1,C2,...,Cn , не равные одновременно нулю, что C1 1a +C2 2a+...+Cn na =0

45. Линейно независимымивекторы1a , 2a ,..., na

если существуют такие числа C1,C2,...,Cn , равные одновременно нулю, что C1 1a +C2 2a +...+Cn na =0

46. Базисные вектора совокупность n линейно независимых векторов

47. Скалярное произведение векторов a и b

число, равное произведению модулей этих векторов на косинус угла между ними, т. е.

)b,acos(baba .

48. Формула вычисления скалярного произведения векторов a= )z,y,x( 111 и

b

= )z,y,x( 222 .

212121 zzyyxxba .

49. Формула вычисления угла между векторами

)z,y,x(a 111

и )z,y,x(b 222

22

22

22

21

21

21

212121

zyxzyx

zzyyxxcos

50. Условие перпендикулярности

(ортогональности) двух векторов.

0zzyyxx 212121 .

51. Направляющие косинусы вектора a

222 zyx

xcos

;

222 zyx

ycos

;

222 zyx

zcos

.

52. Орт вектора a . вектор координаты )z,y,x( которого совпадают с направляющими косинусами вектора a т.е. 0

a =( cos ,cos ,cos ).53. Векторное произведение

векторов a и bвектор c ba

, удовлетворяющий трём

условиям:а) Модуль вектора c равен произведению модулей векторов a и b на синус угла между ними:

baa

sin ),( ba

в) c перпендикулярен векторам a и b т.е. он перпендикулярен плоскости, проходящей через вектора a и b .

с) Тройка векторов c ,b ,a правая

54. Формула вычисления векторного

произведения векторов a

)z,y,x( 111 и b

)z,y,x( 222 .222

111

z y xz y xk j i

ba

55. Площадь параллелограмма

построенного

на векторах )z,y,x(a 111

и )z,y,x(b 222

,

2)2121(2)2121(2)2121( xyyxxzzxyzzy

baпарS

56. Площадь треугольника, построенного на этих

векторах, равна: 22121

22121

22121 )()()(

21

21

xyyxxzzxyzzy

baSmp

.

57. Смешанное произведение трех векторов с и b , a

число, равное скалярному произведению векторного произведения векторов b и a

с вектором с.

c)ba(сb a

.58. Формула вычисления

векторногопроизведения векторов a

)z,y,x( 111 и b

)z,y,x( 222 .c )z,y,x( 333 333

222

111

z y xz y xz y x

cba

.

59. Объем параллелепипеда построенного на

векторах ),,z,y,x(a 111

),,z,y,x(b 222

),z,y,x(c 333

|z y xz y xz y x

|cbaV

333

22 2

111

пар

.

60. Объем тетраэдра (треугольной пирамиды),

|z y xz y xz y x

|61V

333

22 2

111

тетр .

61. Условие компланарности трех

векторов.0

z y xz y xz y x

333

222

111

62. Уравнение прямой с угловым коэффициентом bkxy

к63. Уравнение прямой,

проходящей через данную точку с угловым

коэффициентом к

)xx(kyy 00

64. Тангенс угла между прямыми 111 bxky:L

и 222 bxky:L 21

21

kk1kk

tg

65. Условие параллельности двух прямых

21 kk

66. Условие перпендикулярности двух

прямых

1kk 21

67. Направляющий вектор. любой ненулевой вектор a на прямой L

68. Параметрические уравнения прямых

tmyytlxx

0

0

69. Уравнение прямой с направляющим вектором.

myy

lxx 00

70. Уравнение прямой, проходящей через две

заданные точки 01

0

01

0

yyyy

xxxx

71. Общее уравнение прямой

0CByAx

72. Нормальный вектор прямой L

Вектор перпендикулярный прямой

73. Формула вычисления угла между прямыми

0CyBxA:L 1111 0CyBxA:L 2222

22

22

21

21

2121

21

21

BABA

BBAAnnnn

cos

.


прямых0CyBxA:L 1111 0CyBxA:L 2222

0BBAAnn 212121

75. Условие параллельности прямых

0CyBxA:L 1111 0CyBxA:L 2222

2

1

2

1

BB

AA

.

76. Уравнение прямой с нормальным вектором.

0)yy(B)xx(A 00 .

77. Уравнением прямой в отрезках 1

by

ax

78. Нормальное уравнение прямой

0pcosycosx

79. Расстояние от точки )y,x(M 000 до прямой

0CByAx:L 22

00

BA

CByAxd

.

80. Уравнением плоскости, проходящей через три

заданные точки.0

020202

010101

000

zzyyxxzzyyxx

zzyyxx

.

81. Общее уравнение плоскости

0DCzByAx .

82. Уравнение плоскости с нормальным вектором.

0)zz(C)yy(B)xx(A 000

83. Формула косинус угла между плоскостями

0DzCyBxA:P 11111 и

0DzCyBxA:P 22222 с нормальными векторами

1n и 2n2

22

22

221

21

21

212121

21

21

CBACBA

CCBBAAnnnn

cos


плоскостей

0CCBBAAnn 21212121

.

85. Условие параллельности плоскостей

2

1

2

1

2

1

CC

BB

AA

.

86. Уравнение плоскости в отрезках 1

cz

by

ax

.

87. Нормальное уравнение плоскости.

0pcosxcosycosx .

88. Формула расстояния от точки )z,y,x(M 0000 до

плоскости 0DCzByAx:P

222

000

CBA

DCzByAxd

.

89. Параметрическими уравнениями прямой в

пространстве.

tnzztmyytlxx

0

0

0

90. Канонические уравнения прямой в пространстве. n

zzm

yylxx 000

.

91. Формула косинус угла между прямыми

tnzztmyy

tlxx:L

11

11

11

1 и

tnzztmyy

tlxx:L

22

22

22

2

22

22

22

21

21

21

212121

nmlnml

nnmmllcos

.


прямых0nnmmll 212121 .

93. Условие параллельности

2

1

2

1

2

1

nn

mm

ll

.

94. Формула синус угла между плоскостью

0DCzByAx:P и прямой

ntzzmtyyltxx

:L

0

0

0

nmlCBA

CnBmAlsin222222

95. Условие перпендикулярности прямая и плоскость

nC

mB

lA

.

96. Условие параллельности прямой и плоскости

0CnBmAl .

97. Общее уравнение прямой

0DzCyBxA0DzCyBxA

2222

1111 .

98.Эллипс

это геометрическое место точек плоскости, сумма расстояний, от которых до двух выбранных фокусов, постоянна и равна a2

99. Каноническое уравнение эллипса 1

by

ax

2

2

2

2

, .

100. Эксцентриситетомчисло равное

ace , 22 bас

101. Фокальная ось ось, проходящая через фокусы эллипса 102.

Директрисы эллипсапрямые, проходящие перпендикулярно

фокальной оси на расстоянии c

aead

2

от

центра эллипса103. Каноническое уравнение

окружности 222 ayx .

104. Уравнение окружности радиуса а с центром в

точке )y,x(O 00

: 220

20 ayyxx .

105. Гипербола Это геометрическое место точек плоскости, разность расстояний от которых до двух выбранных фокусов постоянна.

106. Каноническое уравнение гиперболы 1

by

ax

2

2

2

2

, .

107. Асимптота кривой прямая, у которой расстояние от точки на кривой до этой прямой стремится к нулю при удалении точки вдоль кривой в бесконечность.

108. Парабола это геометрическое место точек плоскости, расстояние от которых до фокуса совпадает с расстоянием до директрисы

109. Каноническое уравнение параболы

px2y 2 . 0p параметр параболы..

110. Общее уравнение кривой второго порядка

0cybxbyaxya2xa 212

22122

11 .

111. Эллиптический цилиндр1

by

ax

2

2

2

2

112. Гиперболический цилиндр 1

by

ax

2

2

2

2

113. Параболический цилиндр px2y 2 114. Каноническое уравнение

конуса второго порядка. 0cz

by

ax

2

2

2

2

2

2

115. Эллипсоид1

cz

by

ax

2

2

2

2

2

2

числа c,b,a –полуоси116. Уравнение сферы 2222 azyx .117. Двуполостный

гиперболоид 1cz

by

ax

2

2

2

2

2

2

118. Однополостный гиперболоид. 1

cz

by

ax

2

2

2

2

2

2

, ,

119. Эллиптический параболоид z

q2y

p2x 22

)0q,p( ,

120. Гиперболический параболоид z

q2y

p2x 22

)0q,p(

121. Седловая поверхность pz2x 2

122. Уравнение поверхности второго порядка 02

22

32123

13122

332

222

11

czbybxbyzaxzaxyazayaxa

123. Действительные числаположительные и отрицательные

рациональные и иррациональные числа и

число нуль

124.Рациональные числа

отношения целых чисел представляются

конечными или бесконечными, но

периодическими десятичными дробями

125.Иррациональные числа

числа, которые представляются

бесконечными непериодическими дробями

126.Множество

совокупность, собрание каких-то предметов -

своих элементов

127.Элементы множества

предметы, составляющие множество

128.Пустое множество

«множество», не содержащее ни одного

элемента

129.Запись

A x

A x , A x

x принадлежит множеству А , х - элемент А

х не принадлежит множеству А

130.Логические символы

(кванторы):

B AB A

любой, всякий, для любого, для всех

существует, найдется

из утверждения А следует, вытекает

утверждение В

утверждения А и В равносильны

131.Переменная величина

величина, принимающая различные значения

132.Область значений

переменной величины множество всех значений, которые

принимает (пробегает) данная переменная

величина

133.Последовательность

переменная величина, значения которой

можно перенумеровать:,...x,...,x n1

134.Функция

Переменная величина у есть функция

переменной величины ,xесли каждому

значению x

по некоторому правилу

поставлено в соответствие определенное

значение у; запись xfy

135.Независимая переменная,

аргумент если задана функция xfy

, то x

называется независимой переменной или

аргументом

136.Область определения

функции множество (область) значений аргумента

137.Область значений

функции Множество значений, принимаемых

функцией

138.График функции xfy

Множества точек на плоскости, абсциссами

которых являются значения аргумента, а

ординатами значения функции,

соответствующие этим значениям аргумента;

множество точек xf,x

139.Предел переменной

величины Число

есть предел переменной величины x

,если для любого 0

, начиная с некоторого

момента в изменении x

, выполняется

неравенство ax

; запись axlim

140.Предел

последовательности axlimn

n

если для

0 найдется такой

номер

, что при n

будет axn

141.Предел функции на

бесконечности axflim

x

, если для 0 найдется такое

,что

axfпри

x

142.Предел функции в точке

0x axflim

x

, если для 0

найдется такое

0, что для

x, лежащего в

окрестности

0xи 0xx

, выполняется неравенство axf

143.Бесконечно малая (б.м.)

Переменная величина

называется

бесконечно малой, если 0lim

144.Связь предела и

бесконечно малой ,axaxlimб.м.

145.Бесконечно большая

(б. б.) Переменная величина x

называется

бесконечно большой, если обратная величина

x1

б.м

146.Два замечательных

предела 10

x

xsinlimx (первый замечательный предел)

1

0

x

x1e

x11 limlim

(второй

замечательный предел)

147.Сравнение б. м.

Сравнить две бесконечно малые

и

,

значит найти предел их отношения:

lim

; если ,,Clim

0

то

и

-

одного порядка; в частности, если 1

lim

,

то

и

-эквивалентные б.м.;

если

,lim 0

-высшего порядка малости

по сравнению с

; запись: 0

148.Непрерывность функции в

точке 0x Функция xfy

непрерывна в точке 0x,

если 0

0

xfxflimxx

;

Другое определение: пусть 0xxx

(приращение аргумента) и

00 xfxxfy (приращение

функции). Функция непрерывна в точке 0x,

если б.м. приращению аргумента x

соответствует б.м. приращение функции0

0

y:y lim

x

149.Касательная прямая

Предельное положение секущей, когда две

точки ее пересечения с линей стремятся

слиться в одну

150.Производная функции

xfy в точке 0x

x

yxf lim

x

'

00

предел отношения

приращения функции к приращению

аргумента, когда приращения аргумента

стремится к нулю

151.Геометрический смысл

производной 0xf '

-тангенс угла наклона касательной к

графику функции xfy

, проведенной в

точке 000 xf,XM

152.Механическая интерпретация производной

0xf '

скорость изменение функции

xfy в точке 0x

(относительно изменения

аргумента x

); если tfS

зависимость

пути от времени, то tfS ''

(производная пути по времени)-скорость

движения в момент t

153.Дифференциал функции

xfy Дифференциал dy

есть главная часть

приращения функции, пропорциональная

приращению аргумента dy xy '

; dyy

б.м. высшего порядка относительно x

154.Дифференциал

независимой переменной То же, что произвольное приращение

независимой переменной xdx

155.Геометрический смысл

дифференциала функции xfy

Дифференциал xxfdy ' 0 -приращение

ординаты касательной прямой, проведенной

к графику функции xfy

в точке

00 xf,x

156.Дифференцируемая

функция Функция xfy

дифференцируема в точке

0x, если существует конечная производная

0' xf

существует дифференциал xxf ' 0 ;

Дифференцируемая в 0xфункция

непрерывна в 0x, обратное неверно

157.Сложная функция

(функция от функции) и ее производная

ufy , где

xu ,т.е.

xfy

сложная функция, '

x'

u'

x uyy

158.Инвариантность формы

дифференциала Для дифференциала форма записи

дифференциала функции

duufdy:ufy 'не зависит от того,

будет ли u

независимым переменным или

промежуточным аргументом

159.Обратная функция и ее

дифференцирование если xfy

разрешить относительно

yx:x , то

yобратная функция к

xf. Производные обратных функций

являются взаимно обратными величинами:

'y

'x

xy 1

160.Параметрическое задание

функции. Дифференцирование

параметрически заданных уравнений

Связь между аргументом x

и функцией y

выражена через посредство третьей

переменной t-параметра:

xи

yзаданы как

функции параметра: ,tx ty

;

производная: tty

'

''x

, если 0t

161.Монотонные функции

Функции возрастающие или убывающие.

Функция возрастает (убывает), если

большему значению аргумента

соответствует большее (меньшее) значение

функции

162.Признак возрастание или

убывания 0'y-функция возрастает,

0'yубывает

163.Точки максимума,

минимума, экстремума Точка 0x- точка максимума (минимума)

функции xf

, если значение 0xf

больше (меньше) всех значений xf

,

принимаемых в некоторой окрестности 0x;

определение подчеркивает локальный

характер понятие; точка экстремума - общее

название точек максимума и минимума

164.Необходимо признак экстремума (признак

Ферма)Если в точке экстремума производная

существует, то она равна нулю

165.Достаточный признак

экстремума Если производная при переходе через 0x

меняет знак c

на - , то 0x- точка максимума,

если с - на

, то 0x- точка минимума

166.Асимптоты и их

отыскание прямая L называется асимптотой кривой,

если расстояние от точки на кривой до L

стремится к нулю, когда точка неограниченно

удаляется от начала координат;

если

xflim

0xx , то прямая 0xx -

вертикальная асимптота графика )x(fy ;

прямая bkxy

- наклонная асимптота (в

частности, при 0k

- горизонтальная) , xxflimk

x

, xxflimb

x

167.Выпуклость (вогнутость)

кривой Кривая выпукла (вогнута), если лежит над

(под) любой своей касательной

168.Признак выпуклости

(вогнутости) 0''yвыпукла,

0''y-вогнута

169.Точка перегиба

Точка на кривой, которая отделяет участок

выпуклости от участка вогнутости

170.Признаки точки перегиба

0"y или «не существует» - необходимый

признак, "y

меняет знак при переходе через

точку 0x, тогда в т.

00 xf,xперегиб -

достаточный признак

171.Правило Лопиталя

Служит для нахождения xxf

lim , когда

00

xxf

(неопределенность 00

), или

xxf

(неопределенность

);

правило утверждает: если существует

конечный или бесконечный предел

отношения производных xxf

lim'

'

, то

существует и xxf

lim и эти пределы равны

172.Теорема о хорде и

касательной Если у кривой линии в каждой ее точке

существует касательная, то найдется точка, в

которой касательная параллельна хорде

173.Теорема (формула)

Лагранжа Специальный случай теоремы о хорде и

касательной для графика функции xfy

на b,a

и существует b,ax,xf

то

найдется точка c

, bca

такая, что abcfafbf '

174.Теорема Ролля

Специальный случай теоремы Лагранжа: если

bfaf и существует

b,ax,xf то

;cf,bca,c ' 0Теоремы Лагранжа и

Ролля верны для функции xf

,

непрерывной на b,a

и дифференцируемой

по крайней мере на b,a

175.Теорема Коши

Если x

и x

непрерывны на b,a

и

дифференцируемы на b,a

, причем

0 x'

, то

cc

abab;bca,c

'

'

176.Формула Тейлора

Представление функции, имеющей в

окрестности 0xпроизводные до

1n

порядка в виде суммы многочлена степени

,nрасположенного по степеням 0xx

и

некоторого остаточного члена, содержащего

0xx в

1n степени

&&&

$$$002-001-000$3.2. ЛекцииЛинейная и векторная алгебра, аналитическая геометрия 1. Матрицы и определители2. Система линейных уравнений. Элементы матричного анализа3. Аналитическая геометрия на плоскости, уравнение линии первого

ивторого порядка. Аналитическая геометрия в пространствеВведение в математический анализ.

1. Понятие функции. Предел функции. Непрерывность функции. Дифференциальное исчисление. 1. Понятие производной и дифференциала функции. Производная сложной функции. Производные высших порядков. 2. Исследование функции и построение графика при помощи производной.Правило Лопиталя. Приложения производных в экономикеИнтегральное исчисление1. Неопределенный интеграл. Методы интегрирования2. Определенный интеграл. Несобственный интеграл. Формула Ньютона – Лейбница. Методы интегрирования. Приложение определенных интегралов.Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных1.Понятие функции нескольких переменных, частные производные. Дифференцирование сложных и неявных функций. Градиент. Дифференцирование высших порядков. Дифференциальные уравнени 1.Основные понятия. Дифференциальные уравнения первого порядкаДифференциальные уравнения первого порядка. Уравнения с

разделяющимися переменными. Однородьные и линейные дифференциальное уравнение первого порядка

2. Дифференциальные уравнения высших порядковМетоды решения дифференциальных уравнений высших порядков. Дифференциальные уравнения высших порядков с постоянными коэффициентамиРяды. 1. Числовые ряды. Ряды с положительными членами, знакопеременные ряды. Признаки сходимости рядов2. Степенные ряды. Функциональные ряды. Применение рядов в приближенных вычисленияхТеория вероятности и математическая статистика1.Теория вероятности. Определения. Матожидания. Дисперсия.2. Математическая статистика. Формула Бернулли. Наивероятнейшее число появления события. Дискретная случайная величина.

&&&$$$002-001-000$3.2.1 Лекция №1. Матрицы и определители1. Определители II и III порядка2. Свойства определителей 3. Минор и алгебраическое дополнение.4. Матрицы и действия над ними5. Нахождение обратной матрицы.&&&$$$002-001-001$3.2.1.1 Определители II и III порядкаОпределение. Таблица состоящая из m строк и n столбцов называется матрицей А размером m n. Т. е.

А=Например: матрица 2 го порядка

А=

2221

1211

aa

аа

Определение. Определителем матрицы второго порядка называется число получаемоле следующим образом и обозначается

А = det A =2221

1211

аа

аа=а11а22 – а21а12

Пример. Вычислить определитель 5432

5432

= 224)3(52

Определение. Определителем матрицы 3 его порядка называется число, получаемое следующим образом

А = det A =333231

232221

131211

ааа

ааа

ааа

= а11 а22 а33 +а12 а11 а23 а31 +а13 а21 а32 -а13 а22 а31 -а12 а21 а33 -а11

а23 а32

Для удобства можно воспользоваться следующей схемой (правило треугольника)

Пример.

Вычислить определитель 631254432

631254432

=

20612722064860)2(3264)3()1(54)1)(2)(3(344652

&&&$$$002-001-002$3.2.1.2 Свойства определителей.

1. Если в определителе поменять местами строки со стобцами, то значение его не изменится.

2. Если в определителе элементы некоторой строки или столбца нули, то определитель равен нулю

3. Если в определителе поменять местами любые его две строки или столбца то знак определителя изменится.

4. Если в определителе две его любые строки или столбца состоят из одинаковых элементов, то его значение равно нулю.

5. Если элементы некоторой строки или столбца умножит на любое действительное число , то и его значение изменится в .

6. Если к элементам некоторой строки или столбца прибавить соответственно элементы другой, то определитель от этого не изменится.

«+»

Рис. 1

«-»

Рис. 2

333231

232221

131211

ааа

ааа

ааа

=333231

232221

231322122111

ааа

ааа

аааааа

&&&$$$002-001-003$3.2.1.3 Минор и алгебраическое дополнение.Определение. Минором Мij элемента аij определителя третьего порядка называется определитель 2 го порядка, получаемый вычеркиванием элементов i – ой строки j – го столбца. Например, минор

М23=3231

1211

аа

аа

Определение. Алгебраическим дополнением Aij называется минор Mij, взятый со своим знаком (-1)i+j, т. е.

Аij=(-1)i+jMij

Пример. Дан определитель 631254432

. Вычислить М12, М31, А22, А12.

М12= 6124

=24-2=22, М31= 2543

=6-20=-14,

A22=(-1)2+26142

=+(12+4)=16, A12=(-1)1+26124

=-(24-2)=-22,

&&&$$$002-001-004$3.2.1.4 Матрицы и действия над ними

1. Умножение матрицы на число . Для этого необходимо все элементы матрицы умножить на это число.

2. Сложение матриц А и В. Получим матрицу, элементы которой получаются сложением соответствующих элементов матриц слагаемых.

3. Произведением матрицы А, размером mn и матрицы В, размером nk называется матрица С, размером mn, элементы которой сij получаются сложением произведений элементов i – ой строки матрицы А на соотвествующие элементы j – ого столбца матрицы В

Пример. Даны матрицы А=

654132

и В =

304

152. Найти матрицу

2А+3В

2А+3В= 2

654132

+3

304

152=

12108264

+

90123156

=

=

912010128

3215664=

31020

592


20053412

и В=

854

732. Вычислить матрицу

АВ.

АВ=

20053412

854732

=

)8()2(70)5)(2(304)2()2(0)8(07)5()5(03)5(40)2)(5(

)8)(3(74)5)(3(344)3()2(4)8)(1(72)5()1(324)1()2(2

=

=

16108351510

52272022118

&&&$$$002-001-005$3.2.1.5 Нахождение обратной матрицы. Определение. Квадратная матрица, у которой элементы главной диагонали равны 1 называется единичной и обозначается

100010001

Е

Определение. Пусть дана квадратная матрица. Матрица, которая в произведение с данной дает единичную, т. е. А-1А=Е, называется обратной

матрицей к данной. Она вычисляется по формуле А-1 =

332313

322212

3121111

ААААААААА

Пример. Найти обратную матрицу для матрицы А=

121412311

Решение. Вычислим определитель det

121412311

=6 0 . И вычислим все

алгебраические ее дополнения

91241

)1( 1111

А

, 5

1231

)1( 1221

А,

74131

)1( 1331

А

,

61142

)1( 2112

А

, 4

1131

)1( 2222

А

, 2

4231

)1( 21332 А

,

32112

)1( 3113

А

, 3

2111

)1( 3223

А,

312

11)1( 313

33

А

Тогда обратная матрица

21

21

21

31

32

66

67

65

23

1А

&&&$$$002-001-100$Лекция №1 Вопросы или тесты для самоконтроля 1. Как вычислить определители второго и третьего порядка?2. Как вычислить миноры и алгебраическое дополнение ?3. Как вычислить матрицы?4. Как вычислить обратную матрицу?&&&$$$002-002-000$3.2.2 Лекция №2. Система линейных уравнений с двумя и тремя неизвестными. Правило Крамера.

1. Система линейных уравнений2. Элементы матричного анализа

&&&1.$$$002-002-001$3.2.2.1 Система линейных уравненийПусть дана система линейных уравнений с тремя неизвестными

a11x1+ a12x2+a13x3=b1

a21x1+ a22x2+a23x3=b2

a31x1+ a32x2+a33x3=b3

Здесь числа аij называются коэффициентами, а числа bi свободными членами системы. Введем следующие определители

=333231

232221

131211

ааа

ааа

ааа

, 1=33323

23222

13121

ааb

ааb

ааb

, 2=33331

23221

13111

аbа

аbа

аbа

, 3=33231

22221

11211

bаа

bаа

bаа

Тогда по правилу Крамера, если основной определитель системы не равен

нулю, т. е. 0 , тогда система имеет единственное решение, причем

33

22

11

х

х

х

Пример. Решить систему уравнений

14520833172

321

321

321

ххххххххх

Решение. Вычислим определители третьего порядков по схеме, получим

=145

833

712

=290, 1=141

8320

711

=580, 2=

1158203

712

=-580, 3=1452033

112

=290

Итак, получим

1290290

2290580

2290580

3

2

1

х

х

х

&&&$$$002-002-002$3.2.2.2 Элементы матричного анализа. Векторная алгебраВектор. Разложение вектора по базисным векторам.Определение. Вектором называется направленный отрезок и обозначается символом АВ = а . АВ - длина вектора АВ .Определение. Линейной комбинацией векторов 1а , 2а ,…, nа называется выражение 1 1а + 2 2а +…+ n nа , здесь n ,...,, 21 любые действительные числа. Если а 1 1а + 2 2а +…+ n nа , то говорят, что вектор а разложен по векторам

1а , 2а ,…, nа .Определение. Вектора, лежащие на параллельных прямых называются коллинеарными и обозначается через символ bа // . Два неколлинеарных вектора, лежащих в одной плоскости называются базисом.Теорема. Любой вектор а , лежащий в плоскости можно разложить по любым двум неколлинеарным векторам 1е и 2е , т. е. 221 екека . Числа к1, к2

называются координатами вектора а в базисе 21, ее и записывается так ),( 21 кка .

Определение. Если три вектора 3,21, ааа параллельны одной плоскости, то они называется компланарными.

Если три вектора 3,21, еее компланарны, то для любого вектора в этой плоскости верно разложение 33221 екекека .Определение. Если три вектора 3,21, еее взаимно перпендикулярны, то говорят, что они образуют в пространстве декартову систему координат. Декартову прямоугольную систему координат обозначают через базисные единичные вектора kji ,, . Тогда любой вектор в пространстве через базис kji ,,

kzjyixОМа . х,у, z называют координатами вектора а.Пусть даны вектора ),,( 111 zyxа , ),,( 222 zyxb .

Для векторов выполняются действия:1. ),,( 212121 zzyyxxba (сложение)2. ),,( 212121 zzyyxxba (разность)3. ),,( 111 zyxa (умножение на число)

Пример. Даны векторы )2,3,5( а и )2,4,1( b . Найти координаты вектора )10,18,13()64,126,310()6,12,3()4,6,10()2,4,1(3)2,3,5(232 ba

Скалярным произведением векторовОпределение. Скалярным произведением векторов ba, называют число

( ba )= cosba Если даны векторы ),,( 111 zyxа и ),,( 222 zyxb , то скалярное произведение вычисляют по формуле

( ba )= 212121 zzуухх

Следствие. Если дан вектор ),,( zyxа , то его длина вычисляется по формуле

222 zyxa

Следствие. Если даны векторы ),,( 111 zyxа и ),,( 222 zyxb , то угол между векторами вычисляется по формуле:

cos 22

22

22

21

21

21

212121

zyxzyx

zzyyxx

Следствие. Направляющие косинусы вектора ),,( zyxа вычисляются по формулам

cos 2221

zyx

x

, cos 222 zyx

y

, cos 222 zyx

z

Векторным произведением векторовОпределение. Векторным произведением векторов ),,( 111 zyxа и ),,( 222 zyxb называется вектор с= ba , удовлетворяющий условиям:

1. sin baс = Sпар.

2. aс и bс

3. с= ba = (22

11

22

11

21

21 ,,yxyx

xzxz

zzyy

) в координатной форме.

4. Площадь треугольника, построенного на векторах ),,( 111 zyxа и

),,( 222 zyxb вычисляется по формуле S=2

22

112

22

112

22

11

21

yx

yx

zx

zx

zy

zy

Смешанное произведение трех векторовСмешанным произведение трех векторов cba ,, называется скалярное

произведение векторного произведения векторов ba и вектора с , и обозначают ( cba )=( ba )c .

1. Если даны векторы ),,( 111 zyxа , ),,( 222 zyxb , ),,( 333 zyxс , то их смешанное произведение вычисляется по формуле

( cba )=333

222

111

zyxzyxzyx

2. Для того, чтобы три вектора cba ,, были компланарны необходимо и достаточно, чтобы их смешанное произведение = 0, т. е. ( cba )=0.

3. Смешанное произведение некомпланарных векторов cba ,, по модулю равен обхъме параллелепипеда, построенного на этих векторах, т. е. V=

)( cba .

Условие коллинеарности и перпендикулярности векторов.

1. Если два вектора ),,( 111 zyxа и ),,( 222 zyxb коллинеарны, то их координаты пропорциональны, т. е.

2

1

2

1

2

1

zz

yy

xx

2. Если два вектора ),,( 111 zyxа және ),,( 222 zyxb перпендикулярны, то их скалярное произведение равно 0, т. е.

0212121 zzyyxx

&&&$$$002-002-100$Лекция №2 Вопросы или тесты для самоконтроля 1. Что такое коэффициент системы ?2. Что такое решение системы ?3. Формула Крамера?4. Что такое Вектор?5. Что такое базис?6. Разложение вектора по базису?7. Геометрический смысл векторного произведения?8. Геометрический смысл смешанного произведения?

&&&$$$002-003-000$3.2.3 Лекция №3. Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве. Уравнение прямой на плоскосте и в пространстве.

1. Уравнение прямой на плоскосте2. Уравнение кривых на плоскости3. Уравнение плоскости в пространстве4.Уравнение прямой в пространстве

&&&$$$002-003-001$3.2.3.1 Уравнение прямой на плоскосте

1) Уравнение вида Ах+Ву+С=0 определяет общее уравнение прямой на

плоскости. Здесь к=ВА

- угловой коэффициент прямой.

2) Уравнение прямой проходящей через точку М0(x0,y0) и параллельно

вектору ),,( mlа (направляющий вектор) имеет вид m

yyl

xx 00

.

3) Уравнение прямой проходящей через точку М0(x0,y0) и перпендикулярно вектору ),( BAn (вектор нормаль) имеет вид A(x-x0)+B(y-y0)=0.

4) Уравнение прямой, проходящей через точку М0(x0,y0) имеюшей угловой коэффициент к имеет вид y-y0=k(x-x0).

5) Уравнение прямой, проходящей через две точки М1(x1,y1) и М2(x2,y2) имеет

вид 12

1

12

1

yyyy

xxxx

.

6) Уравнение прямой, пересекающей оси координат в точках А(a,0), B(0,b)

имеет вид 1by

ax

.

1. Угол между прямыми на плоскости. Условие перпендикулярности и параллельности прямых. Расстояние от точки до прямой.

Пусть даны уравнения прямых d1 и d2 А1х+В1у+С=0, А2х+В2у+С=0

Их угловые коэффициенты к1=1

1

ВА

, к2=2

2

ВА

Если d1 d2, то к1 = к2.

Если d1 d2, то к1 =2

1к

.

Угол между прямыми tg21

12

1 кккк

.

Расстояние от точки M(x0,y0) до прямой выражается формулой d=

22

00

ВА

СВуАх

&&&$$$002-003-002$3.2.3.2 Уравнение кривых на плоскости.Определение. Геометрическое место точки, расстояния которых от некоторой прямой d и до фиксированной точки (фокуса) F равны называется параболой. Каноническое уравнение прямой у2=2px или х2 =2ру

Уравнение директрисы параболы х= 2р

или у= 2р

.

Координаты фокуса F( 2р

, о) или F(0, 2р

)

Определение. Геометрическое место точек, сумма расстояний каждой из которых до некоторых двух фиксированных точек (фокусы) постоянная и равны 2а называется эллипсом.

Каноническое уравнение эллепса 12

2

2

2

ву

ах .

Здесь 2а – большая ось, 2в – малая ось.Фокусы F1(-c,0), F2(c,0), где c2=a2-b2.

Эксцентриситет эллипса e= ас

.

Если b=a, то уравнение эллипса примет вид х2+у2=a2 , т. е. получаем уравнение окружности.Определение. Геометрическое место точек, модуль разности расстояний каждой из которых до некоторых двух фиксированных точек (фокусы) постоянная и равны 2а называется гиперболу.

Каноническое уравнение гиперболы 12

2

2

2

ву

ах .

Здесь 2а – большая ось, 2в – малая ось.Фокусы F1(-c,0), F2(c,0), c2=a2+b2.

Эксцентриситет гиперболы e= ас

Асимптоты гиперболы у= хав

&&&$$$002-003-003$3.2.3.3 Уравнение плоскости в пространстве.1. Уравнение плоскости проходящей через точку М0(x0, y0, z0) и перпендикулярно вектору нормали n =(A,B,C) имеет вид

A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=02. Уравнение Ax+By+Cz+D=0 называется общим уравнением плоскости, где n =(A,B,C) вектор нормаль плоскости.3. Нормальное уравнение плоскости получается умножением общего

уравнения плоскости на множитель 222

1

СВА . Если D0 , тогда

знак множителя выбирается противоположным множителю D. 4. Уравнение плоскости, проходящей через три точки М1(x1 ,y1 ,z1), М2(x2

,y2 ,z2), М3(x3 ,y3 ,z3) выражается через определитель

0

131313

121212

111

zzyyxxzzyyxx

zzyyxx

&&&$$$002-003-004$3.2.3.4 Уравнение прямой в пространстве.

1. Уравнение прямой, проходящей через точку М0(x0, y0, z0) и параллельно вектору ),,( nmlа

nzz

myy

lxx 000

2. Параметрическое уравнение прямой получается из канонического уравнения следующим образом

nzz

myy

lxx 000

=t ,

tn

zz

tm

yy

tl

xx

0

0

0

или

ntzzmtyyltxx

0

0

0

3. Уравнение прямой, проходящей через две точки М1(x1 ,y1 ,z1), М2(x2 ,y2 ,z2)

12

1

12

1

12

1

zzzz

yyyy

xxxx

Уравнение прямой, как пересечение двух плоскостей

00

2222

1111

DzCyBxADzCyBxA

Причем его направляющий вектор выражается через формулу

22

11

22

11

22

11 ,,BA

BAACAC

CBCB

a

4. Угол между двумя прямыми d1 и d2, заданных уравнениями

1

1

1

1

1

1

nzz

myy

lxx

и 2

2

2

2

2

2

nzz

myy

lxx

определяется формулой

22

22

22

21

21

21

212121cosnmlnml

nnmmll

5. Условие параллельности и перпендикулярности прямых.

Если d1 d2, то 2

1

2

1

2

1

nn

mm

ll

Если d1 d2, то l1 l2+m1 m2+n1 n2=06. Уравнение Ax+By+Cz+D=0 называется общим уравнением плоскости, где

n =(A,B,C) вектор нормаль плоскости.

$$$002-003-100$ Лекция №3 Вопросы или тесты для самоконтроля 1. Как определяется уравнение прямой на плоскосте?

2. Напиши уравнение прямой, проходящей через две точки М1(x1,y1) и М2(x2,y2

3. Напиши общее уравнение прямой в плоскосте4. Напиши уравнение прямой проходящей через точку М0(x0,y0) и

параллельно вектору ),,( mlа

5. Уравнение прямой проходящей через точку М0(x0,y0) и перпендикулярно вектору ),( BAn (вектор нормаль).

6. Уравнение прямой, проходящей через точку М0(x0,y0) имеюшей угловой коэффициент к.

7. Напиши общее уравнение прямой в пространстве 8. Напиши уравнение плоскости проходящей через точку М0(x0, y0, z0) и перпендикулярно вектору нормали n =(A,B,C) &&&$$$002-004-000$3.2. 4 Лекция №4. Введение в математический анализ. Предел функции. Непрерывность функции. Действительные числа. Функция. Элементарные функции

1. Действительные числа2. Основные элементарные функции3. Ограниченные и неограниченные последователньости4. Функция и ее предел5. Непрерывные функци

&&&$$$002-004-001$3.2.4.1 Действительные числа

Числа 1,2,3… называются натуральными числами и обозначаются через N.

Определение. Если каждому значению аргумента х поставить в соответствие единственную пару значений (x,y) по правилу Y=f(x), то ее

называют функцией. Прием множество значений х называют областью определения, а множество значений у называют областью знаяений. Х называют аргументом.

Определение. Если для любого значения х выполняется равенство f(-x)= f(x), то такую функцию называют четной функцией. Если выполняется равенство

f(-x)= - f(x), то такую функцию называют нечетной. Например, f(x)= 22 х . х R (для любого х) выполняется f(-x)= 2)( 2 х = 22 х = f(x) , поэтому функция F будет четной.

f(x)=12

3

хх . х R (для любого х) выпоняется

f(-x)= 1)()(

2

3

х

х=

12

3

хх = -f(x, поэтому F функция будет нечетной.

&&&$$$002-004-002$3.2.4.2 Основные элементарные функцииРассимотрим различные функции. 1. Если в выражении функции f (x) имеются действия сложения,

умножения, деления, возведения в степень, извлечение корня относительно х, то такую функцию называют алгебраической.

Например, у=3 2

3

31

4232

хх

хх

алгебраическая функция.

Алгебраическая функция, не имеющей действия извлечения корня называется рациональной функцией.

Например, у=2254

14234

3

ххх

хх рациональная функция.

1. Постоянная функция. Эту функцию обозначают формулой f(x)=C. Область определения этой функция вся числовая ось, а область значений с. График.

2. Степенная функция. Это функция вида f(x)=хn. Графики:3. Показательная функция. Это функция вида у=ax. Область

определения вся числовая ось. А областью значений положительные числа. График:

4. Логарифмическая функция. Называют функцию вида y=logax по основание а (a 1,0 а ). Область определения все положительные числа, а область значений вся числовая ось У. График

5. Тригонометрические функции: Y=cosx, y=sinx, y=tgx,y=ctgx. Графики6. Обратные тригонометрические функции: y=arccosx, y=arcsinx,

y=arctgx, y=arcctgx. ГрафикиОпределение. Модулем числа х называют положительное число

болсахегерхболсахегерболсахегерх

x0,

0,00,

1-Определение. Последовательностью называется функция f определенная на множестве натуральных чисел. Значение функции, соответствующее положительному целому значению nx обозначается через

nxnf )( . 2-Определение. Пусть дана последовательность nх . Если для любого

положительного существует некоторое число 0k что для любых kn выполняется неравенство axn , то то говорят, что число а называется пределом последовптельности nх и обозначается: aximl nn

или

naxn В этом случае говорят, что последовательность nх схлдится к числу а.Свойства последовательности.1-Теорема. Для любой последовательность существует единственный

предел, т. е. если naxax nn 21, , то 21 aa .2-Теорема. Если n axn , то для любого положительного числа m

n ax mn . 3-Теорема. Если naxn , то naxn .4-Теорема. Пусть даны последовательности nx и ny . Если начиная с

некоторого номера n выполняется неравенство nn yx , то это неравенство выполняется и для их пределов nnnn

yimlx

lim

5-Теорема. Если для последовательностей nnn zyx ,, выполняются следующие условия; 1) для любых n выполняются nnn zyx ; 2) Raznn

lim

; Тогда и для последовательности ny существует предел и он равен а.&&&$$$002-004-003$3.2.4.3 Ограниченные и неограниченные последователньости

Определение. Если для некоторого действительного числа С для любых номеров последовательности nx выполняется неравенство Cxn то говорят, что последоваптельность ограничена сверху.

Определение. Если для некоторого действительного числа С для любых номеров последовательности nx выполняется Cxn то говорят, что последоваптельность ограничена снизу.

Определение. Последовательность ограниченную сверху и снизу называеют огранияенной последовательность.

Определение. Пусть дана последовательность nx . Если для любого n (n=1,2,...) выполняется нераввенство 1 nn xx , то она называется неубывающей, а если 1 nn xx , то возрастающей.

Определение. Пусть дана последовательность nx . Если для любого n (n=1,2,...) выполняется нераввенство 1 nn xx , то она называется невозрастающей, а если 1 nn xx , то убывающей.

Возрастающую и убывающую последовательности называют монотонными..

Число е. Для любого n выполняется n

n nx

11 .

Последовательность nx ограничена сверху. Поэтому по теореме о пределе для монотонной последовательности у последовательности nx существует предел. Его обозначают через е и называют натуральным числом.

Итак, en

imln

n

11

&&&$$$002-004-004$3.2.4.4 Функция и ее предел.

Пусть даны множества Е и Ғ. Правило по которому каждому значению множества Е сопоставляют одно единственное значение множества Ғ называют функцияей. Функцию обозначают символами

f(x)y f(x); f(x); x; FEf

. Множество Е называют облатсью опрделения функцияны, а Ғ – множеством значений функции.

Предел функции при x .Определение. Если для любого положительного числа существет

некоторое число N, так что для всех x>N выполняется неравенство Axf )( , то говорят, что у функции f(x) существует предел при x и

обозначают через символ Axfx

)(lim . Определение. Если для любого положительного числа существет

некоторое числоМ, так что для всех x<M выполняется неравенство Вxf )( , говорят, что у функции f(x) существует предел при x и

обозначают через символ Вxfx

)(lim .определение предела функции на языке "" . Пусть на множестве Х дана функция f и действительное число 0x .Определение. Если для любого положительного числа существует

положительное число )( так что для любого х в области определения выполняется неравенство bxf )( как только выполняется неравенство

)(0 0 xx , то говорят что функция f(x) при х стремящемся к 0x стремится к функциясыны к в и обозначают это символом

)xb(xf(x) ,)(lim 00

bxfxx .

Определение. Пусть на полуинтервале 0, xa (или bx ,0 ) дана функция f(x). Если для некоторого известного числа В и дял любого положительного числа для всех х из области определения, удовлетворяющих неравенству

00 xxx (или bxxx 00 ) существует такое положительное число )( , так что выполняется неравенство Bxf )( , то говорят что у функции f(x) существует левосторонний предел (правосторонний предел )В при х стремящемся к 0x слева (справа) и обозначают его символом Вxf

xхx

)(lim

0 (

Вxfxхx

)(lim0

).Теорема. В точке 0х для функции f(x) существует предел тогда и только

тогда, если в этой точке существуют левосторонний и правосторонний предлы и они равны. В этом случае их общее значение 0х является двусторонним пределом для функции f(x).

Определение. Если для любого сколь угодно малого положительного числа существует номер N, такой , что для любого nN выполняется неравенство

0aаn , то число а называют пределом последовательности аn при n стремящемся к бесконечности.Определение. Если для последовательности nx стремящейся к числу а, последовательность значений )( nxf стремиться к А , то число А называют пределом функции )( nxf при х стремящемся к пределу а и записывают это в виде

А= axxf

)(lim

Определение. Если при n стремящемся к бесконечности последовательность na стремиться к 0, то такую величину называют бесконечно малой величиной. ( 0lim

nna )

Определение. Если при n стремящемся к бесконечности последовательность na стремиться к , то такую величину называют бесконечно большой величиной (

nnalim )

Свойства. Если последовательность na будет бесконечно большой, то

последовательность

na1

будет бесконечно малой величиной.

Свойства пределов функции,бесконечно малая функция ,теоремы о пределах, непрерывные функции.

1. Если существуют пределы функций axxf

)(lim и ax

xg

)(lim , то выполняется

равенство

)()(lim( xgxfax ax

xf

)(lim ax

xg

)(lim .


)(lim и ax

xg


равенство

)()(lim( xgxfax ax

xf

)(lim ax

xg

)(lim .


)(lim и ax

xg


равенство )(lim)(lim

)()(lim

xgxf

xgxf

4. Если существуют пределы функций ax

xf

)(lim и ax

xg


равенство для любого с )(lim)(lim xfcxcfax

ax

xf

)(lim ax

xg

)(lim .Бесконечно малая функция..Определение. Если при х предел функции равен 0 то функция

y=f(x) называется бесконечно малой функцией. Определение. Если для любого числа L существует такое число N что

для всех x>N выполняется неравенство Lхf )( , то функция y=f(x) при х называется бесконечно большой функцией.Теорема. Если при х функция f(x)является бесконечно большой

функцией, то функция )(1xf при х является бесконечно малой.

Теорема. Если при х функция f(x)является бесконечно малой

функцией, то функция )(1xf является бесконечно большой функцией при

х .Теоремы о пределах.Теорема 1. Если при х существует предел функции f(x) и он равен

А, то ее можно записать в виде суммы этого числа А и бесконечно малой функции при х .

Теорема 2. Если f(x) функцияю можно записать в виде суммы числа А и бесконечно малой функции при х , то число А является пределом функции f(x) при х .

Теорема 3. Если Axfx

)(lim и Bxx

)(lim , то существуют пределы функций )()( xxf и )()( xxf при х , и

)(lim)(lim)()(lim xxfxxfxxx

.Теорема 4. Если Bxf

x

)(lim и Cx

x

)(lim , то существует предел

функции )()( xxf при х , и )(lim)(lim)()(lim xxfxxfxxx

.Следствие. Постоянное число можно выносить за знак предела, т. е.

)(lim)(lim xkxkxx

. Здесь к-постоянное число.Теорема 5. Если Bxf

x

)(lim и Cx

x

)(lim и 0C , то существует предел

фунгкции )()(

xxf

при х , и )(lim

)(lim

)()(lim

x

xf

xxf

x

x

x

.

Теорема 6. Пусть для достаточно больших значений х существуют функции xfx , и xg , удовлетворяющих неравенству xgxfх . Если при х существуют одинаковые пределы функций x и xg , то для функции xf также существует предел и будет равен пределу этих функций.

Следствие. 1lim0

x

Sinxx

&&&$$$002-004-005$3.2.4.5 Непрерывные функции.Определение. Функция y=f(x) называется непрерывной функцией в

точке 0х если: 1) функция определна в окрестности этой точке 0х ; 2) существует предел функции при 0хх ; 3) предел этой функции при 0хх должен быть равен значению функции в этой точке, т. е. )()(lim 0

0

xfxfхx

.

Если в точке 0х функция будет непрерывной, то эта точка 0х называется точкой непрерывности.

Определение. Если точка 0х принадледит области определения функции или ее границе и не является точкой непрерывности, то эта точка называется точкой разрыва. Тогда в этой точке 0хх функция называется разрывной. Точки разрыва делят на два типа:

Если существуют односторонние пределы функции )(limи )(lim

0xx0 00

xfxfxx и они конечны, то в точке 0х f(x) функция терпит

разрыв первого рода. В остальных случаях разрыв второго рода.Теорема. Если в точке 0х функции f и g будут непрерывны, то функции

fc (с-постоянное),f+g, fg, , и если 0xg , тофункция gf

в точке 0х также

будут непрерывны.&&&$$$002-004-100$ Лекция №4 Вопросы или тесты для самоконтроля 1. Действительные числа. Функция. Элементарные функции.2. Ограниченные и неограниченные последователньости3. Функция и ее предел.4. Свойства пределов функции, бесконечно малая функция, теоремы о пределах, непрерывные функции.

&&&$$$002-005-000$3.2.5. лекция №5 Понятие производной и дфференциала функции. Производная сложной функции. Основные теоремы. Производные высших порядков и производная функции заданной параметрически.

1. Производная функции.2. Правила дифференцирования3. Производная сложной функции4. Производная высшего порядка.5. Дифференциал.

&&&$$$002-005-001$3.2.5.1 Производная функции.

Определение. Пусть функция f определена в интервале I. Если для Ix 0

существует предел 0

0 )()(lim0 xx

xfxfxx

, то его называют производной функции

f(x) в точке 0х и обозначают символом xf / . Итак,

xxfxxf

xyxf

xx

)()(limlim 00

00.

Геометрический смысл производной. Касательной к графику функции у=f(x) в точке с абциссой 0х называют прямую проходящую через точку

00 , xfx и имеющей угловой коэффициент равным производной 0/ xf . Т. е.

уравнение касательной 000 )( xxxfxfy

Операцию нахождения производной называт дифференцированием. Функция называется дифференцируемой в данной точке, если существует производная в этой точке, и дифференцируемой в интервале, если она дифференцируема в каждой токе этого интервала.

Теорема. Если функция дифференцируема в точке, то в этой точке она будет непрерывна.

&&&

$$$002-005-002$3.2.5.2 Правила дифференцирования. 1-Теорема. Если функции xvvxuu , будут дифференцируемы в

точке 0х , то и функция xvxu будут дифференцируема в этой точке и xvxuxvxu .

2-Теорема. Если функции xvvxuu , будут дифференцируемы в точке 0х , то и функция xvxu будет дифференцируемав этой точке и xvxuxvxuxvxu .

1-Следствие. Постоянное число с можно выносить за зак произфодной. ucCu

3-Теорема. Если функции xvvxuu , будут дифференцируемы в

точке 0х , то и 00 xv и функция xvxu

будет дифференцируема в этой точке и

2vvuvu

vu

.

&&&$$$002-005-003$3.2.5.3 Производная сложной функции

Теорема. Пусть функция У будет сложной функции от х, т. е. y=f(u), u=g(x) или y(x)=f[g(x)]. Если g(x) и f(x) соответственно в точках х и u=g(x) будут дифференцированны, то и сложная функция от в точке х будет дифференцированной и выполняется формула xgufxy .

Таблица основных производных1. 0С 2. 1х 3. wvuwvu

4. vuvuvu 5. 2v

vuvuvu

6. uCCu

7. 2

1vv

v

8. uuu

1 9. u

uu2

10. uuaa uu

ln 11. uee uu 12. u

auua

ln1log

13. uu

u 1ln 14. uCosuSinu 15. uSinuCosu

16. uuCos

tgu 2

1 17. u

uSinCtgu 2

1 18. u

uu

21

1arcsin

19. uu

u

21

1arccos 20. uu

arctgu

211

21. uu

arcctgu

211

&&&$$$002-005-004$3.2.5.4 Производные высших порядков и производная функции заданной параметрически. Производная высшего порядка.

Пусть функция Y=f(x) будет дифференцируемой, а xf / ее производная иявлятся функцияей от х. Если существует производная этой функции, то эта производная называется производной второго порядка. И обозначается через

xfxf . Аналогично определяется производные третьего и т. д. порядка

и они обозначаются: ,...,...,, nууу или

,...,...,, 3

3

2

2

n

n

dxyd

dxyd

dxyd

&&&$$$002-005-005$3.2.5.5 Дифференциал.

Определение. Дифференциалом функции Y=f(x) называется произведение производной этой функции на приращение независимой переменной. Если f(x)=x, то xxxxdf здесь df(x)=dx. Тогда xdx . Онда dxydy или dxxfxdf Логарифмичесское дифференцирование

Логарифмическая производная функции 0)( xf есть производная от логарифма данной функции )(ln xf :

xfxfxf )()(ln

Вычисление логарифмической производной называется логарифмическим дифференцированием. Логарифмическое дифференцирование применяется применяется при вычислении производной стененно-показательной функции, т.е. функции вида

)()( xvxuy

А также при нахождении производной произведения нескольких функций или производной дроби. Производная неявной функции

Если функция )(xyy задана уравнением, не разрешенным относительно y, то для нахождения производной y надо продифференцировать по х обе части этого уравнения, учитывая, что у есть функция от х, и затем разрешить полученное уравнение относительно y . Чтобы найти y , надо уравнение продифференцировать дважды по х и по у.

Пример: найти производную от функции у заданной неявно 0222 yyx

Решение Дифференцируя по х обе части и данного равенства и считая при этом у

функцией от х, находим:0222 yyyx

или0)1(22 yyx

Это есть)1(22 yyx

Выразим отсюда y

1

yxy

Производная функции заданной параметрически.

Пусть

tytx

: тогда t

txy

или t

tx x

yy

Пример -1 :Дана функция

tty

tx3

23

Определить первую и вторую производную функций от у по хРешение:

313 2

t

xy

yt

tx

tt

xy

yt

txxx 2

36

&&&$$$002-005-100$Лекция №5 Вопросы или тесты для самоконтроля

1.Производные высших порядков2.Логарифмичесское дифференцирование 3.Производная неявной функции4.Производная функции заданной параметрически

&&&$$$002-006-000$3.2.6 Лекция №6 Исследование функции с помощю производных. Приложение производной. Правило Лопиталя и исследование функции и построение графика при помощи производной.

1. Правило Лопиталя2. Исследование функции и построение графика при помощи

производной3. Нахождение наибольшего и наименьшего значения функции.4. Асимптоты графика функции

&&&$$$002-006-001$3.2.6.1 Правило Лопиталя.

Правило Лопиталя – это вычисление пределов при помощт производнойережелері.

1-Теорема. Если существуют пределы функций f и g в точке 0х нүктесінде туындысы бар болып, 000 xgxf , 00 xg шарттары

орындалса, онда )(

)(limlim0

0

00 xgxf

xgxf

xxxx

1. Если 0lim ,0limax

xgxfax , то неопределенность вида 0 для

предела xgxfax

lim можно привести к неопределенности ,

00

следующим

образом

xf

xg

xg

xfax 1lim ,1lim

ax .

2. Если

xgxfax ax

lim lim , то неопределенность вида для

предела xxfax

g lim можно привести к неопределенности вида 0

0

следующим образом

xgxf

xgxfax

)(1

11

lim .

Неопределенности вида 00 0,,1 для функций 0xf ln xfxgxg exf приводятся к неопределенности вида 0 методом логарифмирования. &&&

$$$002-006-002$3.2.6.2 Исследование функции и построение графика при помощи производной.

1-Определение. Функция y=f(x), определенная на сегменте [a,b] (или на интервале (а,в)) называется возрастающей на том сегменте, если для любых

1х и 2х из этого сегмента при выполнении неравенства 12 xx выполняется неравенство 12 xfxf .

2-Определение. Если для точек baxx ,, 21 выполняется 1212 xfxfxx , то функция y=f(x) называется убывающей.

1-Теорема. (признак монотонности функции). Пусть функция f(x) будет дифференцируемой на интервале (а,в). Если на интервале (а,в) 0xf , то на этом интервале функия монотонно возрастает, а если 0xf , то функция монотонно убывает.

Экстремумы функции.1-Определение. Пусть функция f определена в некоторой окрстности

точки 0х . Тогда точка 0х называется точкой максимума ( минимума) для функции f, если для любого х существует число 0 , что при выполнении неравенства х выпоняется неравенство 00 xfxxf ( 00 xfxxf ). Точки максимума и минимума называются точками экстремума.

Теорема. (Необходимое условие экстремума). Если точка 0х является точкой экстремума для функции f , определенной в окрестности этой точки. Тогда в этой точке производная либо не существует либо 00 xf .

Теорема.(Достаточное условие экстремума). Если функция f(x) является непрерывной и диффернцируемой в окрестности точки х и производная функции переходя через точку слева направо меняет свой знак с «+» на «-» (с «-» на «-»), то в этой точке функция достигает максимума ( минимума).&&&$$$002-006-003$3.2.6.3 Нахождение наибольшего и наименьшего значения функции.

Рассмотрим непрерывную на сегменте [a,b] функцию y=f(x). 1. На интервале ва, находим все критические точки и значение

функции в этих точках .1. Находим значение функции на концах сегмента х=а и х=в.

3. Из всех значений выбираем натбольшее и наименьшее.Интервалы выпулости и точки перегиба функции.

1-Определение. Если график дифференцируемой функции на интервале ва, лежит ниже любой касательной, то на этом интервале функция будет

выпуклой.2-Определение. Если график дифференцируемой функции на интервале

ва, лежит выше любой касательной, то на этом интервале функция будет вогнутой.

Теорема. (Достаточное условие вогнутости функции). Пусть для функции y=f(x) для всех точек из интервала ва, существует производная второго порядка xf . Если для всех точек этого интервала 0 xf , то на этом интервале график функции будет выпуклым, а если 0 xf , то - вогнутым.

Определение. Дл непрерывной функции точка, разделяющая интервал выпуклости от вогнутости называется точкой перегиба.

Теорема. (Достаточное условие существование точки перегиба). Если при переходе через точку 0х вторая производная непрерывной функции xf меняет свой знак, то в этой точке будет точка перегиба.

Теорема. (Необходимое условие существование точки перегиба). Пусть на интервале ва, существует вторая производная функции y=f(x). Тогда если точка с абциссой bax ,0 является точкой перегиба функции, тогда

00 xf .&&&$$$002-006-004$3.2.6.4 Асимптоты графика функции.

Определение. Если при бесконечном движении точки по некторой кривой функции y=f(x) расстояние от этой точки до некоторой прямой стремится к нулю то эта прямая называется асимптотой для данной кривой.

Если при 00 xx значение функции y=f(x) стремится к бесконечности, т. е.

xf

xx 00

lim , то 0xx является вертикальной асимптотой. Аналогично если

xf

xx 00

lim , то 0xx вертикальная асимптота.Если при х значение функции стремится к числу в, т. е. вxf

x

lim ,

то у=в называется горизонтальной асимптотой.

Если при х для функции y=f(x) имеют место пределы xxfk

x lim

kxxfbx

lim , тогда прямая y=kx+b является наклонной асимптотой. Полная схема исследования функции.1. Нахождение области определения функции. Нахождение точек

разрыва функции.2. Нахождение асимптот функции.3. Нахождение точек пересечения графика функции с осями

координат.4. Исследование функции на интервалы монотонности и

экстремумы. 5. Исследование функции на интервалы вогнутости и выпуклости и

точки перегиба.

6. Построение графика функции.&&&$$$002-006-100$Лекция №6 Вопросы или тесты для самоконтроля 1.Правило Лопиталя.2. Как определяется экстремум функции ?3.Исследование функции и построение графика при помощи производной.4. Что такое наибольшее и наименшее значение функции?&&&$$$002-007-000$3.2.7 Лекция №7 Неопределенный интеграл. Методы интегрирования. 1.Понятие неопределенного интеграла2.Таблица интегралов3. Интегрирование методом замены переменной 4. Интегрирование по частям.5. Интегрирование тригонометрических функций.6. Интегрирование простейших иррациональных дробей &&&$$$002-007-001$3.2.7.1 .Понятие неопределенного интеграла

1-Определение. Если на некотором отрезке [a,b] выполняется равенство xfxF , тогда функция F(x) для функции f(x) называется первообразной.

Пример: Для функции 2xxf первообразной будет функция 3

3xxF ,

т. к. xfxxxF

2

3

3.

Теорема-1. Если для функции f(x) на отрезке [a,b] существует две первообразные xF1 и xF2 , то их разница будет постоянной.

2-Определение. Если функция xF является первообразной для функции f(x), тогда функция CxF для функции f(x) называется неопределенным интегралом и обозначается символом dxxf . Итак, CxFdxxf Здесь f(x) подынтегральная функция, f(x)dx подынтегральной выражение, а символ - знак неопределенного интеграла.

Теорема-2. Для непрерывной на некотором интервале функции существует первообразная.

Нахождение первообразной для функции называется интегрироавнием.1. Производная неопределенного инетграла равна

подыинтегральной функции, т. е. если xfxF , то xfCxFCxFdxxf

.

2. Дифференциал от неопределенного инетграла равен подыинтегральному выражению., т. е. dxxfxfd

3. Интеграл от дифференциала некоторой функции равен сумме этой функции и постоянного числа. CxFxdF

&&&

$$$002-007-002$3.2.7.2 Таблица интегралов.

1.

1n 1

1

Cnxdxx

nn 2. ln Cx

xdx

3. CCosxSinxdx 4. CSinxCosxdx

5. 2 CtgxxCos

dx 6. 2 CCtgx

xSindx

7. ln CCosxtgxdx 8. ln CSinxCtgxdx

9. Cedxe xx 10. ln

Ca

adxax

x

11.

1 2 Carctgx

xdx

11*.

122 C

axarctg

axadx

12.

ln21

22 Cxaxa

axadx

12*.

ln21

22 Caxax

aaxdx

13.

arcsin1 2

Cxx

dx 13*.

arcsin

22C

ax

xa

dx

14.

ln 22

22Caxx

ax

dx 15.

Caxaxaxdxxa arcsin

22

22222

16. CAxxAAxxdxAx 222 ln22

Свойства неопределенного интеграла. Теорема-1.

dxxfdxxfdxxfxf 2121 .Теорема-2. dxxfadxxaf болады.1. Табличное интегрирование.

1)

Cxxxx

Cxxxx

xdx

dxxdxdxx

dxx

dxxdxdxxdxx

xxdxx

xxx

ln36

ln32

232

132

21

32

213

1221

2624

2323

2

2223

2) CCtgxtgxdxxSin

dxxCos

dxxxSinCosxCosxSindx

xxSinCos

2222

22

22

111

3)

Carctgxxx

dxdxdx

xdx

xx

dxx

x222

2

2

2

111

11

111

&&&$$$002-007-003$3.2.7.3 Интегрирование методом замены переменной

Сделаем замену переменной х через выражение zx . Откуда dzzdx . Тогда верноследующее равенство dzzzfdxxf

Пример: CxCtdtt

dtx

dxtx

xdxx

4

ln4

lnln

4433

&&&$$$002-007-004$3.2.7.4 Интегрирование по частям.

Пусть даны дифференциоруемые функции u и v. Тогда. vduudvuvd Проинтегрироуем обе части vduudvuvd . Но т.к. Cuvuvd , то

vduuvudv . Эта формула называется интегрирование по частям.Пример.

CSinxxCosxCosxdxxCosx

xuxSinxdx

-CosxSinxdx vdvdxdu

І. Интегралы вида CoskxdxSinkxdxdxexP kx xP ,xP , интегрируют по частям, если обозначить через xPu .

ІІ. Интегралы вида xP , ,arccosxP ,arcsinxP ,ln arcctgxdxarctgxdxxPxdxxdxxdxxP

интегрируют по частям, если за функцию u взять функцию данную в произведении с многочленом P(x)

ІІІ. Интегралы вида ,e , axSinbxdxCosbxdxeax также интегрируют по частям, причесм два раза, что приводит к уравнению относительно этого интеграла.Простейшие рациональные дроби

І. ax

A

;

ІІ. nax

A ;

ІІІ. qpxxBAx

2 (дискриминант знаменателя отрицателен)

ІV. nqpxxBAx

2 (дискриминант знаменателя отрицателен).

Разложение рациональной дроби на простейшие

Пусть дана рациональная дробь xfxF

.

Теорема 1. Пусть х=а является корнем знаменателя кратности к, т. е.

яғни 0f , i axfaxxf ik . Тогда данную правильную рациональную

xfxF

можно разложить на сумму.

xfax

xFax

AxfxF

ik

ik 1

(*). Здесь А 0

постоянное число, а xFi многочлен степень которого менбше степни знамнателя xfax i

k 1 .Следствие. Равенство (*) можно далее аналогично использовать для

выражения

xfaxxF

ik

i1 . Поэтому если х=а является корнем знаменателя

кратности к, эту дробь можно разложить следующим образом.

xfxF

axA

axA

axA

xfxF kk

kk1

11

1 ...

. Здесь

xfxFk

1 - несократимая

правильная дробь. Теперь рассмотрим случай конда корни знаменателя комплексные

числа. , т. е. в знаменателе выражения вида qpxx 2 и qpxx 2 имеют дискриминант D с.

Теорема 2. Пусть xqpxxxf 12

, здесь многочлен x1 не делится

на qpxx 2 -ға, тогда правильная рациональная дробь xfxF

разложится

следующим образом

xqpxx

xФ

qpxx

NMxxfxF i

1122

. Здесь степень

многочлена xФ1 меньше степени многочлена xqpxx 112

.

Необходимо вычислить интеграл от рациональной дроби xfxQ

, т. е. dxxfxQ

. Если эта дробь неправильная, тогда разделив числитель на

знаменатель выделим целую часть М(х) и получим

dx

xfxFdxxMdx

xfxFxMdx

xfxQ

болады. Здесь xfxF

-правильная

Разложение рациональной дроби в зависимости от корней знаменателя

)x(Q)x(P

)x(R = , где )x(Q),x(P - многочлены.

Если рациональная дробь неправильная, то с помощью деления )x(P на)x(Q можно выделить из нее целую часть и правильную рациональную

дробь. Например;

1x-x1x2x3x

1xx1x2x4x

22

2

234

Далее рассматриваем интегрирование только правильных рациональных дробей (т.е. дробей у которых степень многочлена в числителе ниже степени многочлена в знаменателе).

Теорема. Каждая правильная рациональная дробь может быть представлена в виде суммы конечного числа следующих четырех типов:

10. ;ax

A

20. kaxA

)( ,...);4,3,2( k

30. ;qpxx

BAx++

+2 40. ,...).,,k(;

)qpxx(BAx

k 4322 =++

+

где А, В – числовые коэффициенты;трехчлен qpxx ++2 не имеет вещественных корней (т.е.

04

2 qPD ).

&&&$$$002-007-005$3.2.7.5 Интегрирование тригонометрических функций.

Рассмотрим рациональную дробь относительно тригонометрических функций dxCosxSinxR , . Здесь применив универсальную подстановку

22

2

2 t12dtdx ,

1t-1Cosx ,

t12tSinx ,

2

ttxtg данный интеграл сведется к

вышеназванной рациональной дроби.1) Интеграл вида СosxdxSinxR вычисляют заменой переменной

dtCosxdx , tSinx , при помощи которой получим dttR .2) Аналогично интеграл вида SinxdxCosxR при помощи замены

tCosx , dtSinxdx сводят к интегрированию рациональной функции..3) Если дан интеграл вида CosxSinxR , , причем степени Sinx и Cosx

четные, то применяют подстановку tgx=t.4) Если подынтегральная функция зависит только от tgx, то приняя

подстановку 21,,

tdtdxarctgtxttgx

сводят интеграл к виду

21 t

dtdttRdxtgxR

5) Если подынтегральная функция вида xCosSin nm . Тогда:а) Если хотя бы одна из степеней интеграла dxxCosxSin nm m или n

нечетная, то записав n=2p+1 преобразуем интеграл к виду .

dttt

tSinxCosxdxxSinxSinxCosxdxCosxSindxxCosxSinpm

pmpmpm

2

2212

1

dtCosxdx ,1

б) Пусть степени интеграла dxxCosSin nm , m и n оба четные, т. е. m=2p, n=2p. Тогда применяя тригонометрические формулы, получим

dxxCosxCosdxxCosxSinpp

pp

2

212

2122 . Степень подынтегрального

выражения понизится и получим интегралы с четными и нечеными степенями. Понижая степень дальше получаем интегралы вида Сoskxdx . Интегрирование и иррациональных функций&&&$$$002-007-006$3.2.7.6 Интегрирование простейших иррациональных дробей

1. Интегралы вида dxxxxxR ,...,,,

где R- рациональных функия, 1

1

nm

, 2

2

nm

,……, k

k

nm

- дробные

рациональные числа, сводятся к интегралам от рациональной функции с помощью подстановки Ntx , где N – общий знаменатель дробей ..........,

2. Интегралы более общего вида

dx

dcxbax

dcxbax

dcxbaxxR

,........,,,

Рационализируются подстановкой Ntdcxbax

, N-общий знаменатель дробей ..........,

3. Рассмотрим интеграл вида dxcbxaxxR 2,

1. пусть 04

,02

a

bca . Обозначим через 22

2

4, n

abcma . Тогда

2222 ntmcbxax . Т. е. 2222 ,, ntmtRdxcbxaxxR

2. Пусть 04

,02

a

bca . Обозначим 22

2

4, n

abcma . Тогда

2222 ntmcbxax . Т. е. 2222 ,, ntmtRdxcbxaxxR

3. Пусть 04

,02

a

bca . Обозначим 22

2

4, n

abcma . Тогда

2222 tmncbxax . Т. е. 2222 ,, tmntRdxcbxaxxR

Пример

dxxx

x

)1(

23

Решение. X входит подинтегральную функцию с дробным показателем ½ и 1/3. Поэтому применяем подстановку 6tx , из этого следует что

dttdx 56 , 3tx , 23 tx И данный интеграл примет вид

carctgttttdtt

tt

tdttttdtt

ttt )1ln(ln26

12126

)1(266

)1(2 2

22

35

26

3

cxarctgxxxdxxx

x

63663

)1ln(ln26)1(

2

&&&$$$002-007-100$ Лекция №7 Вопросы или тесты для самоконтроля 1. Понятие неопределенного интеграла.2.Табличное интегрирование3. Интегрирование методом замены переменной.4. Интегрирование по частям5. Интегралы вида dxxxxxR ,...,,,

6. Интегралы более общего вида

dx

dcxbax

dcxbax

dcxbaxxR

,........,,,

7. Интеграл вида dxcbxaxxR 2,

8. Простейшие рациональные дроби 9. Разложение рациональной дроби на простейшие

&&&

$$$002-008-000$3.2.8 Лекция №8. Определенный интеграл Формула Ньютона – Лейбница. Методы интегрирования. Приложение определенных интегралов1. Формула Ньютона – Лейбница2. Замена переменной в определенном интеграле3. Нахождение определенного интеграла по частям4. Приложение определенных интегралов &&&$$$002-008-001$3.2.8.1 Формула Ньютона – Лейбница

Пусть функция )x(f интегрируема в отрезке ]b,a[ и bxa . Определим новую функцию )x(y , для ]b,a[x с помощью соотношения

dt)t(f)x(x

a .

Здесь )x( выражается с помощью интеграла с переменным верхним пределом x от функции )t(fy . Заметим, что переменную функции в определенном интеграле можно обозначить любой буквой. Из определения определенного интеграла следует, что его величина от этого не изменится.

Теорема 2. Если функция )x(fy непрерывна в ]b,a[ , то функция )x(y является первообразной для функции )x(fy в )b,a( , т.е. в этом

интервале )x(f)x( .

Следующая теорема является основной в интегральном исчислении, поскольку она дает способ нахождения определенных интегралов с помощью неопределенных.

Теорема 3. (Ньютона - Лейбница)

Пусть функция )x(fy непрерывна в отрезке ]b,a[ и функция )x(Fy есть ее первообразная на этом отрезке, тогда

)a(F)b(Fdx)x(fb

a

.

Часто разность )a(F)b(F здесь записывают в сокращенном виде:

)()()( aFbFab

xF .

Пример -1.

38

30

32

3

32

0

32

0

2 xdxx .

&&&$$$002-008-002$3.2.8.2 Замена переменной в определенном интеграле

Теорема 4. Пусть функция )x(fy непрерывна на отрезке ]b,a[ , а функция )t(x монотонна и непрерывно дифференцируема на отрезке

],[ , где a)( , b)( , тогда

dt)t())t((fdx)x(fb

a

.

Пример-2. Вычислим интеграл dxx11

0

2 с помощью замены

переменной tsinx :

)1x();0t()0t(sin)0x(;tdtcosdx,tsinxdxx11

0

2

dt)t2cos1(21tdtcostdtcostsin1

2t)1t(sin

2

0

2

0

22

0

2

40

21

2sin

221

02

2t2sint

.

Этот интеграл выражает площадь четверти круга радиуса 1 с центром в начале координат, лежащей в первом квадранте.&&&$$$002-008-003$3.2.8.3 Нахождение определенного интеграла по частям

Теорема 5. Пусть функции )x(uy и )x(vy непрерывны дифференцируемы на отрезке ]b,a[ , тогда верно равенство

dx)x(u)x(vab

)x(v)x(udx)x(v)x(ub

a

b

a

.

Это равенство в сокращенном виде можно записать и так

duvab

uvdvub

a

b

a .

Пример-3.

41

4e

41

4e

2e

1e

4x

2edx

2x0eln

2e

dxx1

2x

1e

xln2

x2

xv,dxx1du,xlnu

2xxdlnxdxlnx

22222e

1

2

e

1

2222e

1

e

1

&&&$$$002-008-004$3.2.8.4 Приложение определенных интегралов

Площадь в декартовых координатах

С помощью определенных интегралов можно находить площади плоских фигур при различных способах задания границ области, длины дуг кривых, объемы тел и площади поверхностей вращения.Выше было показано, что в случае если функция 0)x(fy на отрезке, [a,b]

то dx)x(fb

a

выражает площадь соответствующей криволинейной трапеции )G(S . Если же 0)x(f на [a,b], то криволинейная трапеция расположена ниже оси Ox и

0dx)x(fb

a

. Несложно проверить, что этот

интеграл выражает площадь этой трапеции со знаком “минус”. В общем случае, если функция

)x(fy принимает значения разных знаков на [a,b], то dx)x(fb

a равен сумме

площадей частей криволинейной трапеции, лежащих выше оси Ox , взятых со знаком “плюс” и частей, лежащих ниже оси со Ox , взятых знаком “минус”.

Пример-1. Найти площадь области G , ограниченной параболами xy , 2xy .Решив систему уравнений

,

,2xy

xy

найдем точки пересечения этих кривых: )0,0( и (1,1). Поскольку в отрезке

]1,0[ верно неравенство 2xx , то 31

31

32

01

3x

01

x32dx)xx()G(S

323

21

0 .

Если график функции )x(fy на отрезке ]b,a[ задан с помощью параметрических функций

ttyytxx),(),(

где 0)t(y непрерывна, а )t(x -монотонная, непрерывно дифференцируемая функция на ],[ , причем a)( , b)( , то площадь соответствующей криволинейной трапеции находится по формуле

dt)t(x)t(y)G(S

.

В этом можно убедиться, сделав в интеграле dx)x(fb

a замену переменной

)t(xx .

Площадь в полярных координатах

Некоторые кривые линии на плоскости удобно описывать в системе координат, которая называется полярной.

Пусть на плоскости выбрана декартова система координат. Положительную полуось Ox будем называть полярной осью, а точку O полюсом. Пусть M - некоторая точка на плоскости.

Расстояние от точки M до O будем называть полярным радиусом этой точки. Угол между полярной осью и вектором OM обозначим через . Числа и называются полярными координатами точки M (см. рис 1).

Рис 1.На числа и накладываются следующие естественные ограничения:

200

(или ). Связь между декартовыми и полярными координатами точки M

осуществляется с помощью соотношений

.siny,cosx

Область G на плоскости, ограниченную лучами исходящими из начала координат, 1 и 2 , где 21 и графиком непрерывной в отрезке

],[ 21 неотрицательной функции )(f , будем называть криволинейным треугольником (рис 2).

2M

1M

O 12

X

Y

x

y

O

X

Y

M

Рис 2.

Разбив отрезок ],[ 21 на n частей и заменив на каждом участке i площадь криволинейного треугольника на площадь кругового сектора радиуса )c(f i с углом i получим приближенную формулу

ii2

n

1i)c(f

21)G(S

.

Здесь записанная сумма является интегральной суммой для функции )(f

21 2 на отрезке ],[ 21 . Перейдя в последнем соотношении к пределу

при максимальном 0i , получим точное выражение для площади криволинейного треугольника:

d)(f

21)G(S

2

1

2 .

Нахождение длины дуги кривойПусть кривая L с концами A и B на плоскости задана с помощью

графика непрерывно дифференцируемой функции )x(fy , где ]b,a[x . Разобьем эту кривую на n частей точками 1n21 M,,M,M , где iM имеет координаты )y,x( ii , i1ii xxx , i1ii yyy (рис 3).

L

Рис 3.Длину вписанной в L ломаной с вершинами в выбранных точках

обозначим через nI :

xfy

ixiy

a 1x 2x 1ix ix b X

Y

O

A B1M 2M 1iM

iM

n

1i

2i

2in yxI .

Определение. Длиной кривой L называется предел суммы длин ломанных, вписанных в эту кривую, при максимальном ix , стремящемся к нулю

Будем обозначать ее через )L(I .n0xmax

Ilim)L(Ii

.Кривая, имеющая длину (если указанный предел существует),

называется спрямляемой.Теорема. График непрерывно дифференцируемой на ]b,a[ функции )x(fy спрямляем, и его длина находится по формуле

dxxfLIb

a 2))((1)( .

Следствие. Пусть кривая L на плоскости задана с помощью непрерывно дифференцируемых параметрических функций

].,[t),t(yy),t(xx

Тогда эта кривая спрямляема, и ее длина находится по формуле

dt))t(y())t(x()L(I 22

.

Замечание. Можно проверить, что полученная формула обобщается и на случай пространственной кривой L . Если кривая L в пространстве задается с помощью непрерывно дифференцируемых параметрических функций

],,[t),t(zz),t(yy),t(xx

то длина ее находится по формуле

dt))t(z())t(y())t(x()L(I 222

.

Пример-2. Найдем длину кардиоиды, задаваемой уравнением )cos1(a )0a(

(см. рис 4).

O

Y

X

cos1a

Рис 4Поскольку 0)cos1(a для всех , то

adsina)cos1(a)L(I2

0

2222

d2

cosa2dcos222

0

2

0

a8)11(a402

2sin

02sina4d

2cosd

2cosa2

2

0

.

Нахождение площади поверхности вращенияПусть график непрерывно дифференцируемой функции )x(fy , где

]b,a[x и 0)x(f , вращается вокруг оси Ox . Можно доказать, что площадь получившейся поверхности вращения H находится по формуле

dx))x(f(1)x(f2)H(S 2b

a

.

$$$002-008-100$Лекция №8 Вопросы или тесты для самоконтроля 1. Площадь в декартовых координатах2. Площадь в полярных координатах3.Нахождение длины дуги кривой4. Нахождение площади поверхности вращения

&&&$$$002-009-000$3.2.9. Лекция №9. Функция несколких переменных.

1. Понятие функции нескольких переменных. 2. Предел и непрерывность функции нескольких переменных3. Частные приращения и частные производные4. Полное приращение и полный дифференциал5. Дифференцирование сложных и неявных функций.6. Градиент. Дифференцирование высших порядков. Производная

по направлению и градиент функции нескольких переменных&&&$$$002-009-001$3.2.9.1 Понятие функции нескольких переменных

До сих пор в курсе высшей математики мы рассматривали в основном действительные функции одной действительной переменной вида , т.е. функции, области определения и области значений которых являлись некоторыми подмножествами на числовых осях.

Однако на практике широко используются функции, имеющие более одного аргумента, исследование которых имеет свои особенности.

Определение. Функцией двух (трех) переменных называется функция, область определения которой есть некоторое подмножество на плоскости (в пространстве), а область значений принадлежит действительной оси.

Если принадлежит плоскости , а оси , то такую функцию двух переменных записывают в виде

.Если а , то эту функцию трех переменных можно

записать в виде.

Введем некоторые определения, относящиеся к областям на плоскости или в пространстве.

Определение. Окрестностью точки на плоскости (или в пространстве) радиуса называется круг без окружности (или

шар без сферы) радиуса с центром в точке . Такую окрестность будем обозначать через . На плоскости определяется неравенством

а в пространстве – .Определение. Точка называется граничной точкой для множества

, если окрестность любого радиуса этой точки пересекается как с множеством , так и с его дополнением.

Множество всех граничных точек множества называется границей этого множества и обозначается через .

Определение. Множество , содержащее всю свою границу , называется замкнутым. Множество , не содержащее ни одной точки своей границы, называется открытым.

Примеры. 1) Окрестность не содержит ни одной точки своей границы –

окружности (или сферы), поэтому – открытое множество. 2) Круг на плоскости задаваемый неравенством

содержит свою границу – окружность

поэтому он – замкнутое множество. 3) Четверть плоскости определяется системой неравенств

содержит часть своей границы, расположенной на оси и не содержит часть границы на оси Это множество не является ни открытым, ни замкнутым.

Пусть – число. Линией уровня функции называется множество всех точек из области определения , координаты которых удовлетворяют уравнению

.Таким способом изображаются, например, линии равной высоты на

географических картах. Они являются линиями уровня функции определяющей высоту точки местности с координатами над уровнем моря.

Например. Найдем линии различного уровня функции .

Такие линии определяются уравнением .

При получим ; .Поэтому линия уровня есть окружность радиуса 1 с центром в начале

координат. При получим

;

;

.

Линия уровня есть окружность радиуса с центром в

начале координат. При уравнение

определяет точку начало координат. (см. рис.3)

Рис.3.При и уравнение решений не имеет, поэтому

линий такого уровня у рассматриваемой функции нет.Линии на рис.3 позволяют приближенно определить график функции

изображений на рис.2, если каждую линию уровня начертить в плоскости .

Такой способ получения приближенного вида поверхностей называется методами сечений. С его помощью мы исследовали ранее поверхности второго порядка.

Вместо графика функции трех переменных можно использовать следующее понятие.

Поверхностью уровня функции называется множество всех точек из области определения функции, координаты которых удовлетворяют уравнению

Пример. Рассмотрим функцию . При ее поверхностями уровня являются сферы радиуса с центрами в начале координат. При поверхность уровня есть начало координат. Поверхности уровня у этой функции отсутствуют.

&&&$$$002-009-002$3.2.9.2 Предел и непрерывность функции нескольких переменных.

Рассмотренные выше понятия функций двух или трех переменных можно обобщать на случай переменных.

Функцией переменных

называется функция, область определения которой принадлежит , а область значений – действительной оси. Такая функция каждому набору переменных из сопоставляет единственное число . Наиболее удобный способ задания функций переменных при больших – это аналитический способ. В дальнейшем для определенности мы будем рассматривать функции переменных, но все утверждения сформулированные для таких функции остаются верными и для функций большего числа переменных.

Определение. Число называется пределом функции

в точке , если для каждого найдется такое число что при всех из окрестности , кроме этой точки, выполняется неравенство

.Если предел функции в точке равен , то это

обозначается в виде.

Практически все свойства пределов рассмотренные нами ранее для функций одной переменной остаются справедливыми и для пределов функций нескольких переменных, однако практическим нахождением таких пределов мы заниматься не будем.

Определение. Функция называется непрерывной в точке если выполняется три условия:

1) существует 2) существует значение функции в точке

3) эти два числа равны между собой, т.е. . Практически исследовать непрерывность функции можно с помощью

следующей теоремы. Теорема. Любая элементарная функция непрерывна во всех

внутренних (т.е. не граничных) точках своей области определения. Пример. Найдем все точки, в которых непрерывна функция

.Как было отмечено выше, эта функция определена в замкнутом круге

.Внутренние точки этого круга является искомыми точками

непрерывности функции, т.е. функция непрерывна в открытом круге .

Определение понятия непрерывности в граничных точках области определения функции возможно, но мы этот вопрос в курсе затрачивать не будем.

&&&$$$002-009-003$3.2.9.3 Частные приращения и частные производные.

В отличие от функций одной переменной, функций нескольких переменных имеют различные виды приращений. Это связано с тем, что перемещения в плоскости из точки можно осуществлять по различным направлениям.

Определение. Частным приращением по функции в точке соответствующим приращению называется разность

.Это приращение по существу является приращением функции одной

переменной полученной из функции при постоянном значении .

Аналогично частным приращением по в точке функции соответствующим приращению называется разность

.Это приращение вычисляется при фиксированном значении .Пример. Пусть , , . Найдем частные

приращения этой функции по и по

.В данном примере при равных значениях приращений аргументов и

, частные приращения функции оказались различными. Это связано с тем, что площадь прямоугольника со сторонами и при увеличении стороны на увеличивается на величину , а при увеличении стороны на увеличивается на (см. рис.4).

Рис.4.Из того факта, что функция двух переменных имеет два вида

приращений, следует, что для нее можно определить два вида производных. Определение. Частной производной по функции в точке называется предел отношения частного приращения по этой

функции в указанной точке к приращению аргумента т.е.

.

Такие частные производные обозначаются символами , , , . В последних случаях круглая буква “ ” – “ ” означает слово “частная”.

Аналогично, частная производная по в точке определяется с помощью предела

.

Другие обозначения этой частной производной: , , .Частные производные функций находятся по известным правилам

дифференцирования функции одной переменной, при этом все переменные, кроме той, по которой дифференцируется функция, считаются постоянными. Так при нахождении переменная принимается за постоянную, а при нахождении - постоянная .

Пример. Найдем частные производные функции ., .

Пример. Найдем частные производные функции трех переменных .

; ; .Частные производные функции характеризуют скорости

изменения этой функции в случае, когда одна из переменных фиксируется. Определение. Если у функции имеются частные производные,

то ее частными дифференциалами называются выражения и

здесь и .Частные дифференциалы являются дифференциалами функций одной

переменной полученных из функции двух переменных при фиксированных или . &&&$$$002-009-004$3.2.9.4 Полное приращение и полный дифференциал.

При полном приращении функции, в отличие от частных приращений могут изменяться все переменные функции нескольких переменных.

Определение. Полным приращением функции в точке , соответствующим приращениям и аргументов, называется разность

.Пример. Пусть , , , (см. пример из

предыдущего пункта). Найдем полное приращение функции в точке :

Это приращение равно приращению площади прямоугольника со сторонами 3 и 4 при их увеличении на величины, равные 0,1. На рис.4 полное приращение состоит из площадей двух заштрихованных прямоугольников и площади квадрата со стороной 0,1.

Заметим, что , хотя значения левой и правой частей неравенства близка между собой.

Определение. Если полное приращение функции в точке можно записать в виде

, где и – постоянные, а и бесконечно малые при , то выражение

называется полным дифференциалом функции в точке . Полный дифференциал называют также главной частью приращения функции.

Функция, имеющая полный дифференциал в некоторой точке, называется дифференцируемой в этой точке.

Теорема 1. Пусть функция и ее частные производные и непрерывны в некоторой окрестности точки . Тогда функция дифференцируема в т. и ее полный дифференциал равен сумме частных дифференциалов:

. (2)Доказательство. Преобразуем полное приращение следующим

образом: ++ (применим теорему Лагранжа к каждой

разности) = .Здесь , а . Из непрерывности и следует,

что и ,поэтому эти частные производные можно записать в виде:

+ ,

+ ,где и – бесконечно малые при .Поэтому + = +

и, согласно определению, .

Теорема доказана.Пример. Найдем полный дифференциал функции .Найдем вначале частные производные этой функции:

; .

Подставив их в формулу (2), получим:

+ .

Если в формуле (1) отбросить бесконечно малые и и заменить полное приращение приближенно полным дифференциалом, то получим следующую формулу для приближенного нахождения значений функции с помощью полного дифференциала.

+ + . (3)Пример. Вычислим приближенно число

Для этого мы вычислим приближенное значение функции в точке , где , , , .

= :

= , ,

; .

Подставив эти значения в (3), получим:.

Замечание. Полный дифференциал функции большего числа переменных находится по формуле

+ + … + .

Пример. Найдем полный дифференциал функции трех переменных .Поскольку , , , то .

&&&$$$002-009-005$3.2.9.5 Дифференцирование сложных и неявных функций.

Как и для случая функции одной переменной, под сложной функцией нескольких переменных мы будем понимать композицию из нескольких функций нескольких переменных. Число этих функций и их переменных может быть различным. Для определенности мы ограничимся случаем, когда все функций составляющие сложную функцию зависят от двух переменных.

Определение. Сложной функцией (композицией) составленной из функции , , называется функция двух

переменных вида .Теорема 2. Пусть функции и имеют частные

производные по и в точке , а функция и ее частные производные по и непрерывны в окрестности точки , где

, . Тогда сложная функция (4)

имеет частные производные в точке и они равны соответственно

(5)

Доказательство. Пусть и – частные приращения функции и в точке соответствующие приращению аргумента . Тогда согласно теореме 1, функция имеет полный дифференциал в точке и ее приращение записывается в виде

.Здесь и бесконечно малые при . Разделим обе части последнего равенства на получим

.

Перейдем в обеих частях этого соотношения к пределу при , учитывая, что

, , , , получим требуемое равенство

.Второе равенство доказывается аналогично.Пример. Пусть , , .Найдем частные производные сложной функции составленной из этих

функций.

(подставим сюда значения и

) = .

.

Пусть имеется функция двух переменных и функция одной переменной тогда производная по сложной функции

называется полной производной и обозначается через .Пример. Пусть и . Найдем частную и полную производные по этой функции.

.

.Функцию одной переменной можно задавать с помощью

уравнения, содержащего и вида.

Функция , заданная с помощью такого уравнения называется неявной.

Пример. График функции является верхней полуокружностью радиуса . Эту же функцию можно задать и в неявном виде

,который, кроме указанной, определяет еще функцию

.Иногда неявным образом заданную функцию в явном виде записать не

удается. Однако с помощью следующей теоремы производную такой функции можно найти.

Теорема 3. Пусть функция и ее частные производные и непрерывны в окрестности точки , где и . Тогда уравнение задает в некоторой окрестности точки дифференцируемую функцию и в этой окрестности ее производная равна

(6)

Доказательство. Оставим без доказательства факты существования и дифференцируемости функции . Докажем формулу (6). Для этого найдем полную производную по от обеих частей уравнения

,получим

.Учитывая, что в некоторой окрестности , решим

относительно последнее уравнение:

.

Пример. Найдем производную функции заданной с помощью уравнения

.

.

Заметим, что в это соотношение можно подставить не любые и , а только и лежащие на окружности радиуса с центром в начале координат (т.е. при ) и .

Например, если и , то

.

Определение. Функция , заданная с помощью уравненияназывается неявной функцией двух переменных.

Для таких функций возможно обобщение теоремы 3.Теорема 4. Пусть функция и ее частные производные ,

, непрерывны в окрестности точки , где и ,

тогда уравнение .

задает в некоторой окрестности точки дифференцируемую функцию и в этой окрестности ее частные производные равны

, .

Доказательство этого факта аналогично доказательству теоремы 3.Пример. Уравнение определяет функции ,

графиками которых являются полусферы. Найдем частные производные по и этой неявной функции:

,

.

В эти формулы можно подставить только связанные соотношением

при .Подобным образом можно определять и дифференцировать неявные

функции любого числа переменных.&&&$$$002-009-006$3.2.9.6 Градиент. Дифференцирование высших порядков. Производная по направлению и градиент функции нескольких переменных

Рассмотрим скорость изменения функции трех переменных при перемещении из точки в направлении единичного вектора 0a , определяемого своими координатами – направляющими косинусами:

. Для этого рассмотрим прямую , проходящую через точку с направляющим вектором 0a . Ее параметрические уравнения имеют вид

(3.1)Заметим, что поскольку вектор 0a единичный, то измерение параметра

на величину означает перемещение вдоль этой прямой на отрезок длины

и, что при 0t точка на прямой соответствует 0M .Определение. Производной функции ),,( zyxuu в точке 0M по

направлению вектора 0a называется производная ограничения этой функции на прямую по при (рис.5).

Рис.5Обозначается эта производная

через 0a

u . В частности, если вектор 0a совпадает с одним из базисных

векторов , или , это определение дает определение соответствующей частной производной, т.е.

xu

iu

, , .

Если вектор a не единичный, то производная au

определяется как ,

где aaa

0 - единичный вектор, коллинеарный вектору a.

Получим формулу для вычисления производной ),,( zyxuu по направлению вектора . Для этого подставим из (3.1) в , получим

, поэтому

. (3.2)

Определение. Вектор с координатами – частными производными функции называется градиентом 2 функций, он обозначается так:

.

Из (3.2) получим другую формулу, выражающую через градиент :

(3.3)

Для произвольного вектора , учитывая, что ,

. (3.4)

Если 0a

u требуется вычислить в некоторой точке , то

в (3.3) и (3.4) необходимо также вычислять в этой точке.Пример. Найти скорость изменения температуры тела, заданной

функцией в точке в направлении вектора . Для этого найдем частные производные и градиент поля :

; ; ; ;

.Далее, , поэтому из (2.2.4) имеем

.

Свойства градиента1) Обозначим угол между градиентом поля и вектором через ,

тогда скалярное произведение в (3.3) можно записать в виде , что есть проекция на вектор .

Следовательно, 0a

u совпадает с проекцией вектора на :

(рис.6) (3.5)

Рис.6.

2) Из (3.5) следует, что 0a

u будет максимальная в направлении ,

совпадающем с , т.к. только в этом направлении и . Поэтому

,

т.е. градиент указывает направление наибольшего возрастания функции и его модуль равен производной по этому направлению.

Для скалярного поля – высоты местности над уровнем моря градиент указывает направление наибольшей крутизны подъема местности, а его модуль, т.е. производная по этому направлению, равен наибольшему тангенсу угла наклона местности. Если рельеф какой - либо местности задается полем , то можно вычислить и крутизну подъема этой местности в любом направлении, исходящем из точки . Для этого достаточно найти и спроектировать его на направление.

3) В экстремальных точках функции ее частные производные равны нулю (если они существуют), это следует из

необходимого условия экстремума. Такие точки, в которых все координаты градиента равны нулю, называются сингулярными (или критическими) точками поля. Точки, в которых градиент отличен от нуля, называются регулярными. На географической карте вершины, впадины и перевалы являются сингулярными точками, остальные точки регулярные.

4) Выберем вектор . В этом случае из (3.5) следует, что . Это означает, что бесконечно малое перемещение в направлении, перпендикулярном градиенту, оставляет значение постоянным, следовательно, в этом направлении и проходит поверхность уровня поля . Имеет место следующая теорема.

Теорема. Через любую регулярную точку функции можно провести касательную плоскость к ее поверхности уровня, проходящей через , и эта плоскость перпендикулярна .

Используя то, что градиент является нормальным вектором к этой плоскости, получим ее уравнение

. (3.6)

Для функции двух переменных перпендикулярен касательной к линии уровня этого поля и уравнение этой касательной по аналогия с (3.6) можно записать в виде

. (3.7)5) Отметим следующие алгебраические свойства градиента.Если – постоянная, то , .Для двух функций и

, .Для дифференцируемой функции

.Справедливость этих свойств легко может быть доказана исходя из

определения градиента, поля.Рассмотрим теперь некоторые примеры, связанные с применением

градиента поля и производной по направлению.Производные и дифференциалы высших порядков.

Определение. Частной производной –го порядка функции называется частная производная от одной из ее производных порядка..

Это рекуррентное определение дает возможность получить –ую частную производную функцию путем нахождения последовательно частных производных от этой функция. Сама функция считается производной нулевого порядка.

Как мы установили ранее, производных первого порядка у функции две и . Взяв от этих производных производные по и , получим

четыре производных второго порядка:

, , , .

Взяв от этих производных производные по и , получим восемь частных производных третьего порядка и так далее. Производных –го порядка у функции двух переменных имеется .

Пример. Найдем все частные производные первого и второго порядков у функции

., , ,

, , .В этом примере и это не случайно. Определение. Частная производная функции, в которой присутствуют

дифференцирования по разным переменным, называется смешанной производной.

Смешанными производными второго порядка у функции двух переменных являются и .

Теорема о смешанных производных.Пусть функция и ее производные , , , непрерывны в

некоторой окрестности точки . Тогда в этой точке ее смешанные производные второго порядка равны между собой:

.Доказательство. Рассмотрим следующее выражение

.Если обозначить через и применить к этой

функции теорему Лагранжа, то (еще раз

применим теорему Лагранжа для функции )= .Здесь и если .Запишем в другом виде, и обозначив

,с помощью теоремы Лагранжа, получим

.Здесь , .Приравнивая эти два значения , получим

=.

Перейдем в обеих частях последнего равенства к пределу при , и, учитывая непрерывность функции и , получим, что

.Теорема доказана.Следствие. Пусть все частные производные функции

до –го порядка включительно и все ее смешанные производные –го порядка непрерывны в некоторой окрестности т. . Тогда в этой точке ее смешанные производные –го порядка отличающиеся только очередностью дифференцирования совпадают.

Без доказательства. Это следствие обосновывает следующее обозначение смешанной

производной –го порядка, в которой встречается дифференцирований по и по :

.

При выполнении условий следствия, порядок в котором производятся эти дифференцирования не влияет на результат.

Пример. Пусть . Найдем .

.

При любом другом порядке дифференцирования в котором будут по два дифференцирования по и по результат получится тем же.

Определение. Функция , имеющая все непрерывные частные производные до –го порядка включительно в окрестности точки , называется раз дифференцируемой в этой точке.

Определение. Пусть функция раз дифференцируема в . Полным дифференциалом этой функции –го порядка называется полный дифференциал от ее полного дифференциала –го порядка, вычисленный в предположении, что и остаются постоянными.

Он обозначается через .Так, например

. (1)

Подобным образом можно получить формулу для полного дифференциала третьего порядка:

. (2)

Заметим, что коэффициенты при частных производных в формуле для этих полных дифференциалов совпадают с коэффициентами в формуле бинома Ньютона. Запишем формулу для нахождения функции

Эти полные дифференциалы используются в частности для приближенных вычислений значений функции . Ранее нами была получена формула для приближенного нахождения этой величины с

помощью первого дифференциала:.

Взяв достаточное число полных дифференциалов, можно найти указанное значения с любой наперед заданной точностью с помощью формулы Тейлора, которая в данном случае имеет вид:

. (4)

Условия применимости этой формулы и оценка ее погрешности в рамки нашего курса не входят.

Пример. Найдем для функции . Найдем все частные производные второго порядка этой функции

; ;

; ; .

Подставив эти производные в формулу, (1) получим.

Если заданы , , , то .

Экстремумы функции нескольких переменных.1. Определение. Точка называется точкой максимума

функции , если у этой точки имеется окрестность такая, что для всех из этой окрестности выполняется неравенство

.Если для всех из окрестности выполняется неравенство

,то точка называется точкой минимума. Значение функции в точке максимума , называется максимумом

функции, а ее значение в точке минимума – минимумом. Точки максимума и минимума называются экстремальными точками

функции, а максимумы и минимумы называются экстремумами функции. Пусть функция определена в некоторой окрестности точки

. Если в каждая частная производная и равна нулю или не существует, то называется критической точкой функции .

Следующая теорема является аналогом необходимого условия экстремума функции одной переменной.

Теорема 1 (необходимое условие экстремума)Если является экстремальной точкой функции , то

– критическая точка этой функции.Доказательство. Рассмотрим функцию одного переменного

. Из определения экстремальной точки следует, что точка – экстремальная для функции . Согласно необходимому условию экстремума для функции одной переменной, критическая точка этой ,

т.е.

Рассмотрев функцию ,получим, что

Пример. Точка является точкой минимума функции т.к. , а для всех остальных точек .

Поскольку и , то решение системы

определяет критическую точку .Пример. Точка не является экстремальной точкой функции

, т.к. в любой ее окрестности функция принимает как значения больше , при , так и значения меньше при 0x . Тем не менее, поскольку xzx 2 , yz y 2 , координаты )0,0( удовлетворяют систему

0202

yx

,

то точка O критическая точка. Этот пример показывает, что критическая точка может не быть

экстремальной. График функции 22 yxz является гиперболическим параболоидом,

имеющим форму седла, точка )0,0(O называется его седловой точкой. Теорема 2. (Достаточные условия экстремума.)Пусть функция ),( yxfz трижды дифференцируема в некоторой

окрестности своей критической точки ),( 000 yxM . Обозначим Ayxf xx ),( 00 , Byxf xy ),( 00 , Cyxf yy ),( 00 , BACD . Тогда: 1) Если 0D , то точка 0M экстремальная для функции ),( yxfz ,

причем если 0A )0( C , то это точка минимума, а если 0A )0( C , то точка 0M , точка максимума.

2) Если 0D , то в точке ),( 000 yxM экстремума нет. Заметим дополнительно, что при 0D для определения экстремума

требуется дополнительное исследование.Без доказательства.Пример. Найдем экстремальные точки и экстремумы функции

xyyxz 333 .Поскольку yxf x 33 2 и xyf y 33 2 существуют для всех ),( yx то,

для определения критических точек необходимо решить систему уравнений

0)1(0033

0333

2

4

2

4

2

2

2

2

2

xx

xy

xx

xy

xx

xy

yx

xy

xy

yx.

Отсюда получаем два решения:

00

1

1

yx

и

11

2

2

yx

и две критические точки )0,0(1M и )1,1(2M . Найдем вторые частные производные функции и исследуем каждую из этих точек помощью достаточного условия экстремума.

xyxf xxx 6)33( 2 , 3)33( 2 yxy yxf , yxyf yyy 6)33( 2 .а) )0,0(1M . В этом случае

0)0,0( xxfA ; 3)0,0( xyfB ; 0)0,0( yyfC ; 092 BACD .

Поэтому в точке 1M экстремума нет.б) )1,1(2M . В этом случае

6)1,1( xxfA ; 3)1,1( xyfB ; 6)1,1( yyfC ; 0279362 BACD

поэтому 2M экстремальная точка. Поскольку 0, CA , то это точка минимума. Значение функции в 2M равно 111311)1,1( 33 f , что составляет минимум функции.

2. Условные экстремумы.Пусть в области определения функции ),( yxfz имеется кривая K ,

определяемая уравнением 0).( yx . Точка KyxM ),( 000 называется точкой условного максимума функции

),( yxfz , если у этой точки существует такая окрестность ),( 00 yxU , что для всех точек ),( yx из пересечения этой окрестности с K выполняется неравенство ),(),( 00 yxfyxf .

В этой же ситуации точка условного минимума определяется неравенством ),(),( 00 yxfyxf .

Точки условных максимумов и минимумов называются точками условных экстремумов, а значения функции ),( yxfz в этих точках называются условными экстремумами (условными максимумами или минимумами).

Так, если функция ),( yxfz определяет высоту точек местности над уровнем моря, то максимумы этой функции соответствуют вершинам гор. Если на местности имеется тропинка K , то условным максимумам функции

),( yxfz на K соответствуют точки на тропинке с наибольшей высотой над уровнем моря.

Если кривая K задается с помощью графика явной функции )(xgy , то задача нахождения условных экстремумов функции ),( yxfz сводится в задаче нахождения экстремумов функции одной переменной ))(,( xgxfz .

Пример. Найдем экстремум функции 22 yxz при условии, что 01 yx . Запишем уравнение прямой в явном виде: xy 1 и подставим

это выражение в функцию, получим 22 )1( xxz , 22 21 xxxz , 122 2 xxz .

Найдем экстремумы этой функции одной переменной. 24 xz ; ,5,0 024 0 xx

Поскольку 03z , то это точка минимума. Итак, функция 22 yxz достигает в точке с координатами ,5,00 x 5,01 00 xy

условного минимума и он равен 5,05,05,0 22min z .

Пример. Производственная функция Кобба–Дугласа 1LqKY

выражает выпуск продукции Y предприятиям в стоимостном выражении через производственные фонды K и затраты оплату труда L . Здесь q и – некоторые постоянные. То есть, Y является функцией двух переменных

),( LKfY .Пусть определена общая сумма затрат на развитие

производственных фондов и оплату труда:PLK .

Задача нахождения значений K и L , при которых выпуск продукции Y будет максимальным, сводится к задаче нахождения максимума функции

),( LKfY при условии KPL .Решим эту задачу, сведя ее к нахождению максимума функции одной

переменной K : 11 )( KPqKLqKY .

)))(1()(( 11 KPKKPKqY )1()()( 11 KPKKPqK ;

Из уравнения 0Y , получаем

;0)1( K

KP )1()( KKP ; PKKKKP ,

PL )1( .Несложно проверить, что полученные значения K и L на самом деле

определяют условно&&&$$$002-009-100$Лекция №9.Вопросы или тесты для самоконтроля

1. Функция несколких переменных, основные понятие?2.Как производится вычисления дифференцирование сложной функции?3.Основные формулы?

4.Производная по направлению и градиент функции нескольких переменных.

5.Производные и дифференциалы высших порядков. 6.Как определить экстремум функции? 7.Как определить коэффициенты А, В,С?&&&$$$002-0010-000$3.2.10 Лекция №10. Дифференциальные уравнения первого порядка

1.Основные понятия 2.Дифференциальные уравнения первого порядка3. Задача Коши. Теорема существования и единственности 4. Уравнения с разделяющимися переменными

&&&$$$002-0010-001$3.2.10.1. 1.Основные понятия

Определение. Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимую переменную x , искомую функцию xyy и ее производные ,y,...,y,y n т.е. уравнения вида

,y,...,y,y,y,xF n 0 (2,1)где F непрерывная функция 2n переменных.Если искомая функция xyy есть функция одной независимой

переменной, то дифференциальное уравнение называется обыкновенным.Например, .xcosxyy Если искомая функция зависит от нескольких независимых

переменных, то дифференциальное уравнение называется уравнением в частных производных.

Например, .y

zx

z 02

2

2

2

В дальнейшем будем рассматривать лишь обыкновенные дифференциальные уравнения.

Порядком дифференциального уравнения называется порядок наивысшей производной, явно входящей в уравнение.

Например: xexyy - дифференциальное уравнение 1- го порядка; 0 yxy - дифференциальное уравнение 2- го порядка; 2xyxy IX - уравнение 9- го порядка.Решением дифференциального уравнения (2.1) называется функция ,xy которая при подстановке в дифференциальное уравнение обращает

его в тождество.Например, xcosxsiny является решением дифференциального

уравнения .yy 0

В самом деле, ,xsinxcosy ,xcosxsiny .xcosxsinxcosxsinyy 0

Процесс отыскания решений дифференциального уравнения называется интегрированием уравнения.

График решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой этого уравнения.

&&&$$$002-0010-002$3.2.10.2. Дифференциальные уравнения первого порядка

Общий вид уравнения первого порядка следующий: 0y,y,xF (3.1).

Если уравнение (3.1) удается разрешить относительно xy , то получим

y,xfy (3.2). Это уравнение называется уравнением первого порядка,

разрешенным относительно производной.

&&&$$$002-0010-003$3.2.10.3. Задача Коши. Теорема существования и единственности

Для уравнения 1- го порядка справедлива следующая теорема:Теорема (о существовании и единственности решения

дифференциального уравнения первого порядка).Если в уравнении ),( yxfy функция ),( yxf и ее частная производная

yf

непрерывны в некоторой области D на плоскости xoy , содержащей точку

),( 00 yx , то в некоторой окрестности точки 0x существует единственное решение этого уравнения )(xy , удовлетворяющее условию: при 0xx ,

00 )( yx .Геометрический смысл теоремы заключается в том, что существует и

притом единственная функция )(xy , график которой проходит через точку ),( 00 yx .

Условие, что при 0xx функция y должна равняться заданному числу

0y , называется начальным условием. Оно записывается в виде 00

yxx

y

.

Задача отыскания решений уравнения, удовлетворяющего начальным условиям, носит название задачи Коши.

Из сформулированной теоремы следует, что уравнение (3.2) имеет бесконечное число различных решений, ибо через каждую точку области проходит одно решение.

&&&$$$002-0010-004$3.2.5.4. Уравнения с разделяющимися переменными

Рассмотрим дифференциальное уравнение вида

)()( 21 yfxfdxdy

(6.1)

где правая часть есть произведение функции, зависящей только от x , на функцию, зависящую только от y .

Предполагая, что 0)(2 yf , преобразуем его следующим образом:

dxxfdyyf

)()(

11

2

. (6.1)

Считая y известной функцией от x , равенство (6.1) можно рассматривать как равенство двух дифференциалов, а неопределенные

интегралы от них будут отличаться постоянным слагаемым.Интегрируя левую часть по y , а правую по x , получим

Cdxxfyf

dy )(

)( 12

.

Мы получили соотношение, связывающее решение y , независимое переменное x и произвольную постоянную C , т.е. получили общий интеграл уравнения (6.1).

Дифференциальное уравнение типа (6.1) или вида0)()( dyyNdxxM (6.2)

называют уравнением с разделенными переменными.

Общий интеграл его есть CdyyNdxxM )()( .

Пример.

0 ydyxdx , Cdyydxx , Cyx

22

22

, 21

22 2 CCyx , 2

122 Cyx .Это- семейство концентрических окружностей с центром в начале

координат и радиусами 1C .Уравнение вида

0)()()()( 2211 dyyNxMdxyNxM , (6.3)в которых коэффициенты при дифференциалах распадаются на

множители, зависящие только от x и только от y , называется уравнением с разделяющимися переменными.

Путем деления обеих частей на произведение )()( 21 xMyN они приводятся к уравнениям с разделенными переменными:

0)()()()(

)()()()(

21

22

21

11 dyxMyNyNxMdx

xMyNyNxM

или

0)()(

)()(

1

2

2

1 dyyNyNdx

xMxM

,

т.е. к уравнению вида (6.2). Общий интеграл этого уравнения имеет вид

CdyyNyNdx

xMxM

)()(

)()(

1

2

2

1 .

Примеры:

1) xy

dxdy

. Разделяем переменные xdx

ydy

;

Cx

dxy

dy ln ; Cxy lnlnln ; Cxy ; xCy - общее решение;

2) 0)1()1( 22 dyxydxyx ;

0)1)(1(

)1()1)(1(

)1(22

2

22

2

dyxy

xydxxy

yx; 0

11 22

y

ydyx

xdx;

011 22

y

ydyx

xdx; Cyx ln

21)1ln(

21)1ln(

21 22 ; C

yx

2

2

11

;

)1(1 22 yCx .&&&$$$002-0010-100$Лекция №10 Вопросы или тесты для самоконтроля 1.Основные понятия 2.Дифференциальные уравнения первого порядка3. Задача Коши. Теорема существования и единственности 4. Уравнения с разделяющимися переменными &&&$$$002-0011-000$3.2.11. Лекция №11. Методы решения дифференциальных уравнений и дифференциальные уравнения высших порядков

1. Методы решения дифференциальных уравнений 2. дифференциальные уравнения высших порядков

&&&$$$002-0011-001$3.2.11.1. Методы решения дифференциальных уравнений

Определение 1. Функция ),( yxf называется однородной функцией -го измерения относительно переменных x и y , если при любом 0 справедливо тождество

),(),( yxfyxf ),( yx .Примеры:1) 22),( yxyxf ; 2222 )()(),( yxyxyxf - однородная функция первого измерения. 2) 22),( xyyxyxf ; )(),( 223 xyyxyxf - однородная функция третьего измерения.

3) xy

yxyxf22

),( ; xy

yxxy

yxyxf22

2

222 )(),(

- однородная функция нулевого измерения.Определение 2. Уравнение первого порядка

),( yxfdxdy

(7.1)

называется однородным уравнением, если функция ),( yxf есть однородная функция нулевого измерения относительно x и y .

Метод решения однородного уравнения следующий. По условию

),(),( yxfyxf . Положим в этом тождестве x1

, получим

xyfyxf ,1),( , т.е. однородная функция нулевого измерения зависит

только от отношения аргументов.

Уравнение (7.1) в этом случае примет вид

xyf

dxdy ,1 (7.2).

Сделаем подстановку

xyu , т.е. xuy .

Тогда будем иметь

udxdux

dxdy

.

Подставляя это выражение производной в уравнение (7.2) получим

),1( ufdxduxu .

Это уравнение с разделяющимися переменными:

uufdxdux ),1( , x

dxuuf

du

),1( .

Интегрируя, найдем

Cxuuf

du lnln),1(

.

Подставляя после интегрирования вместо u отношение xy

, получим

интеграл уравнения (7.2).

Пример. 22 yxxy

dxdy

.

Справа стоит однородная функция нулевого измерения, следовательно, это однородное уравнение.

Делаем замену uxy . Тогда xuy ;

udxdux

dxdy

; 222

2

xuxux

dxduxu

; 21 u

udxduxu

; u

uu

dxdux

21

.

Разделяя переменные, получим

xdxdu

uu

3

21 ; x

dxduuu

113 .

Отсюда, интегрируя находим

C

xdxdu

uuln11

3 ; Cxuu

lnlnln21

2 ; )ln(21

2 Cxuu

.

Подставляя xyu , получим общий интеграл исходного уравнения

)ln(2 2

2

Cyy

x .

Замечание. Уравнение вида 0),(),( dyyxNdxyxM будет

однородным в том и только в том случае, когда ),( yxM и ),( yxN являются однородными функциями одного и того же измерения. Это вытекает из того, что отношение двух однородных функций – функций одного и того же измерения является однородной функцией нулевого измерения.

Пример. 02)( 222 dyxdxyx .Переходить к виду, разрешенному относительно производной, не

обязательно.

uxy , xuy , udxxdudy .

Подставляем эти значения в уравнение.0)(2)( 2222 udxxduxdxxux , 02)21( 2 xdudxuu .

Разделяя переменные, получим

0212

2

uu

dux

dx, C

udu

xdx ln

)1(2 2

, Cu

x ln1

2ln

,

uCx

12ln .

Подставляя вместо xyu , получим

xyx

Cx

2ln , xCxx

Cxy 2lnln ,

Cxxxy

ln

2

- общее решение.

Линейные уравнения первого порядка. Определение. Линейным уравнением первого порядка называется

уравнение, линейное относительно неизвестной функции и ее производной вида

)()(0 xfyxby , (9.1)где )(0 xb и )(xf - непрерывные функции от x .Будем искать решение уравнение (9.1) в виде произведения двух

функций от x)()( xvxuy . (9.2).

Дифференцируя обе части равенства (9.2), находим

dxduv

dxdvuy .

Подставляя полученное значение производной y в уравнение (9.1.), имеем

)()(0 xfuvxbdxduv

dxdvu ,

или

)()(0 xfdxduvvxb

dxdvu

. (9.3).

Выберем функцию )(xv такой, чтобы

0)(0 vxbdxdv

(9.4).

Разделяя переменные в этом дифференциальном уравнении, находим

vxbdxdv )(0 , dxxb

vdv )(0 .

Интегрируя, получим10 ln)(ln Cdxxbv ,

или dxxbeCv )(0

1 .

Так как нам достаточно какого-нибудь отличного нуля решения уравнения (9.4), то за функцию )(xv возьмем

dxxbexv )(0)( . (9.5).Очевидно, что 0)( xv .Подставляя найденное значение )(xv в (9.3) и, учитывая (9.4), получим

)()(0 xfdxdue dxxb

или dxexfdu dxxb )(0)( ; dxxbexfdu )(0)( Cdx .Подставляя значения v и u в формулу (9.2), получаем

dxexfCey dxxbdxxb )(0)(0 )( . (9.6).Пример. Решить уравнение 2

22 xxexyy vuy ; vuvuy ; 2

22 xxexuvvuvu ; 22)2( xxevuxvvu ;

02 xvv ;

02 xdxvdv

; Cxv lnln 2 ; 2xCev ; 1C ; 2xev ; 222 xx xeeu ;

xu 2 ;xdxdu 2 ; Cxu 2 ; )( 22

Cxevuy x .Замечание: При нахождении решения линейного уравнения (9.1)

можно пользоваться формулой (9.6).Уравнение вида

1,)()( xtQxtPdtdx

(1)

называется уравнением Бернулли.Прежде всего отметим, что при 1 уравнение (1) принимает вид

0))()(( xtQtPdtdx

то есть является уравнением с разделяющимися переменными, общее решение которого

dttQtPCex ))()((

Разумеется, считаем, что )(tP и )(tQ непрерывны на некотором интервале );( ba .

Область изменения величины x в (1) определяется значением , то

есть областью существования функции x .Для решения д.у. (1) делаем замену

vutvtutxx )()()( , (2)то есть вместо одной неизвестной функции вводим две! Но появляется

возможность при этом выбрать одну функций )(tu или )(tv , как будет удобнее. Постановка (2) в (1) дает

))(()( vutQvutPdtdvu

dtduv . (3)

Найдем v из уравнения

0)( vtPdtdv

(4)

то есть положим0)( dttPev . (5)

При этом среди первообразных для )(tP выберем наиболее удобную. С учетом (4) уравнение (3) принимает вид

.0)( vutqdtduv

Это уравнение с разделяющимися переменными ),( ut и общее решение).)()1(()( )()1()1( dtetQCtU dttP (6)

его с учетом (5) имеет вид

dttPdttP edtetQCx )(11

)()1()()1( (7)

По (2) окончательноРазумеется, не следует запоминать формулу (7). Надо использовать

алгоритм, описанный в (2) – (5).Пример 1. Иллюстрируем сказанное примером:

.3 2

3

xt

tx

dtdx

Очевидно, что это д.у. имеет вид (1), если положить

.2,3

)(,1)(3

ttQ

ttP

Решать данное уравнение Бернулли можно лишь при условии .0,0 xt

Замена vux приводит его к виду (3)

22

3

31

vutuv

tdtdvu

dtduv

Если положить, как в (4)

,01 v

tdtdv

то есть считать v каким-то ненулевым решением уравнения с разделяющимися переменными, например tv (любое решение последнего д.у. очевидно есть tCv ), то для u получаем дифференциальное

уравнение

22

3

3 tut

dtdut

или ,3 2 dtduu

откуда Ctu 3 и 3 .Ctu

Окончательно.3 Cttvux

Как было отмечено, ,0,0 xt что влечет ограничение .0CtПример 2. Решим следующее уравнение Бернулли, требующее

дополнительных исследований:

.4 xtxtdt

dx (8)

Это уравнение Бернулли с .21

Очевидно, что 0x , 0t и 0x -

решение данного уравнения. Отметим, что 0x - решение любого уравнения Бернулли с 0 . Таким образом, достаточно рассматривать решения (8) в первом )0,0( xt и во втором )0,0( xt квадратах. Так как (8) можно записать в виде

xtxtdt

dx

4 (9)

и функции

xt

txtfxtx

txtf x 2

4),(;4),(

непрерывные в указанных квадрантах, то в них имеет место существование и единственность решения задачи Коши для д.у. (8), (9). Так как правая часть (9) нечетная по t функция, то если ),()( txtx а

)()( tdtdxt

dtdx

, очевидно, глобальная картина интегральных линий

симметрична относительно оси Ox (вертикальной). Поэтому достаточно решать уравнение (8) или (9) в первом квадранте )0,0( xt .

Произведя в (8) замену (2), получаем

vutvutdt

dvdtduv

4. (10)

Положим [как в (4)] 04 v

tdtdv

. Для 0v (так как 0 vux ) это

уравнение равносильно

04

vdv

tdt

- уравнение с разделенными переменными, откуда 4Ctv .Проще всего считать 1C и выбрать 4tv . Тогда для 0u получаем

из (10) уравнение

0,44 ttutdtdut

или

udtdut . (11)

Здесь следует сделать важное замечание: 0u . Уравнение (11) – с разделяющимися переменными и

Ctu ln21

.

В силу сделанного замечания 0ln Ct и 1 Ct . (12)

Для C

Ctt 10 1 . Имеем Ctu 2ln

41

и

CtCttx 1,ln

42

4 . (13)

Решение 0x является особым.

Если не отмечать в (13) условие Ct 1 , то функция Ctt 2

4ln

4

оказывается определенной на всей прямой );( .Очевидно, что нарушена единственность решения задачи Коши в

первом и втором квадрантах. Следует из того, что по (9) при )0,0( xt

производная 0dtdx

и )(tx возрастает на интервале определения для

положительных значений t .Уравнения в полных дифференциалах Рассмотрим дифференциальное уравнение

0),(),( dyyxNdxyxM . (11.1)

Предположим, что xN

yMyxNyxM

,),(),,( , дифференцируемые в некоторой

области D .Определение. Если левая часть уравнения (11.1) представляет собой

полный дифференциал некоторой функции ),( yxu , то (11.1) называется уравнением в полных дифференциалах.

Другими словами, уравнение (11.1) представляется в виде 0),( yxdu ; (11.2)

откуда, интегрируя, найдем общий интегралCyxu ),( .

При каких условиях относительно функцией ),( yxM , ),( yxN уравнение (1) будет в полных дифференциалах? Если оно в полных дифференциалах, то

как его решить, т.е., как найти функцию ),( yxu ? Ответы на эти вопросы дает следующая теорема.

Теорема. Для того чтобы уравнение (11.1) было уравнением в полных дифференциалах, необходимо и достаточно, чтобы в области D выполнялось условие

xN

yM

(11.3)

Примеры:1. Решить уравнение

0)46()63( 3222 dyyyxdxxyx .Сначала определяем, что это за уравнение.

22 63),( xyxyxM ; xyy

M 12

;

32 46),( yyxyxN ; xyxN 12

.

Из этого соотношения следует, что уравнение является уравнением в полных дифференциалах. Найдем его общий интеграл.

1-ый шаг. Используем соотношение (11.5): 22 63),( xyxyxM

xu

; 32 46),( yyxyxNyu

.

Из первого соотношения находим:)()63( 22 ydxxyxu ,

)(3 223 yyxxu . (11.11)2-ой шаг. Найдем

)(6 2 yyxyu

.

3-й шаг. Используем второе соотношение (11.5)322 46)(6),( yyxyyx

yuyxN

.

Отсюда 34)( yy , 14)( Cyy .

4-ый шаг. Подставляем )(y в (11.11).5-ый шаг. Окончательно получим общий интеграл

Cyyxx 4223 3 ,

&&&$$$002-0011-002$3.2.11.2. Дифференциальные уравнения высших порядков

Определение. Уравнение вида)()()()( 01

)1(1

)( xfyxbyxbyxby nn

n , (3.1)

где )(1 xbi , ),()( baCxf ; ni ,,2,1 , называется линейным дифференциальным уравнением n -го порядка. Функция )(xf называется правой частью уравнения (3.1), функции nixbi ,,2,1),(1 - коэффициентами ЛДУ (3.1).

Если 0)( xf , то уравнение 0)()()( 01

)1(1

)( yxbyxbyxby n

nn (3.2)

называется однородным ЛДУ n -го порядка. Уравнение (3.1) с ненулевой правой частью называют неоднородным ЛДУ.

Дифференциальные уравнения (3.1) разделяют на два вида:

1) ЛДУ с переменными коэффициентами nixbi ,,2,1),(1 . 2) Если все эти функции являются постоянными величинами, то такое ЛДУ называется уравнением с постоянными коэффициентами. Оно имеет вид

)(01)1(

1)( xfyayayay n

nn

.Рассмотрим задачу Коши. Пусть требуется найти решение ЛДУ (3.1),

удовлетворяющее начальным условиям (НУ)

)1(00

)1(

00

00

)(

)()(

nn yxy

yxyyxy

(3.3)

При каких условиях относительно правой части, ЛДУ (3.1) имеет единственное решение задачи Коши?

Теорема Пикара – Пеано – Коши (существования и единственности решения).

Если y дифференциального уравнения (3.1) nixbi ,,2,1),(1 , ),()( baCxf и ),(0 bax , то линейное дифференциальное уравнение (3.1)

имеет единственное решение на ),( ba удовлетворяющее начальным условиям (3.3) (без доказательства) Линейный дифференциальный оператор и его свойства

Определение. Линейным дифференциальным оператором n -го порядка назовем выражение

)()()()()()]([ )(

001

)1(1

)( xyxbyxbyxbyxbyxyL in

ii

nn

nn

(3.4)

Тогда линейные дифференциальные уравнения (3.1), (3.2) с учетом линейного дифференциального оператора можно переписать в сокращенном виде

)()]([ xfxyLn , 0)]([ xyLn .Перечислим свойства этого оператора

2. Постоянный множитель можно вносить за знак линейного дифференциального оператора )]([)]([ xyCLxCyL nn .

Доказательство. Подставляя вместо )(xy функцию )(xCy в линейный дифференциальный оператор и используя свойства дифференцирования, получим

)]([)()]()[()]([ )(

0

)(

0xyCLyxbCxCyxbxCyL n

in

ii

in

iin

, причем 1)( xbn , и т.д.

2) Линейный дифференциальный оператор от сумм конечного числа

функций равен сумме линейных дифференциальных операторов слагаемых

)]([)(11

xyLxyL l

k

ln

k

lln

.

Доказательство. Рассмотрим левую часть и, используя свойства суммирования и дифференцирования, получим

)()()(

1

)(

01xyxbxyL

k

l

il

n

li

k

lln

k

lln

k

l

il

n

ii xyLxyxb

11

)(

0)]([)()( .

Однородные линейные дифференциальные уравненияРассмотрим однородное ЛДУ

0)()( )(

0

in

iin yxbyL , 1)( xbn , (3.4)

причем 1,,1,0),,()(1 nibaCxbi . Однородное ЛДУ обладает следующими свойствами.

2. Если )(1 xy является решением ОЛДУ (3.4), то функция )(1 xCy также является решением этого уравнения.

Доказательство. По условию 0)]([ 1 xyLn , т.к. )(1 xy - решение однородного ЛДУ. Докажем, что )(1 xCy также удовлетворяет уравнению. Подставим 1y в его левую часть уравнения (3.4) и, использовав первое свойство, получим

00)]([)]([ 11 CxyCLxCyL nn .2) Если )(1 xy и )(2 xy являются решениями однородного ЛДУ (3.4), то

их сумма также является решением уравнения (3.4).Доказательство. По условию 0)]([ 1 xyLn и 0)]([ 2 xyLn рассмотрим

)]()([ 21 xyxyLn по свойству оператору = 0)]([)]([ 21 xyLxyL nn .3) Если функций nyyy ,,, 21 являются частными решениями

однородного ЛДУ (3.4), то их линейная комбинация )()()( 2211 xyCxyCxyC nn (*)

также является решением уравнения (3.4).Доказательство. По условию nixyL in ,,2,1,0)]([ . Подставим в

левую часть уравнения (1.1) линейную комбинацию (*):

)()(

1xyCLyL l

n

llnn = по свойству оператору =

)]([

1xyCL ll

n

ln

00)]([11

n

lll

n

lnl CxyLC .

Линейная независимость функцийОпределение. Функции )(,),(),( 21 xyxyxy n называются линейно

независимыми на ),( ba , если соотношение),( 0)()()( 2211 baxxyxyxy nn (3.5)

выполняется только при всех nii ,,2,1,0 (т.е. если это соотношение не выполняется для отличных от нуля чисел i ).

Определение. Система n функций ni xy 1)( называется линейно

зависимой на ),( ba , если существует числа i , не все равные нулю, такие, что выполняется соотношение (3.5).

Примеры: 1. Функции )1(61 xy , 12 xy линейно зависимы, т.к. x 06 21 yy , 1 , 62 .

2. Функции 11 y , xy 2 , 23 xy , 3

4 xy линейно независимы.Допустим противное – пусть они линейно зависимы. Тогда для

4321 ,,, не равных одновременно нулю, выполняетсяx 012

23

34 xxx . (3.6)

Но, как известно, кубическое уравнение имеет только три решения 321 ,, xxx . Поэтому соотношение (3.6) может выполняться только для трех точек, а не для x . Следовательно, 32 ,,,1 xxx линейно независимы. Пусть

nibaCxy ni ,,2,1),,()( 1 .

Определение. Функциональный определитель вида

)( )( )(

(x)y )( )((x)y )( )(

)(

)1()1(2

)1(1

n21

n21

xyxyxy

xyxyxyxy

xW

nn

nn

называется определителем Вронского n -го порядка (вронскианом n -го порядка).

Теорема (необходимое условие линейной зависимости). Если система n функций n

i xy 1)( линейно зависима на ),( ba , то вронскиан, составленный их этих функций, равен нулю.

Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами

Рассмотрим однородное ЛДУ n -го порядка001

)1(1

)( yayayay n

nn , (3.16)

где ,1 constai ni ,,2,1 . Будем искать его решение в видеxexy )( , (3.17)

где - пока неизвестное постоянное число. Такая замена называется подстановкой Эйлера и используется потому, что при дифференцировании сохраняется ее форма. Для того, чтобы найти неизвестное число , продифференцируем y n раз:

xey xey 2

- - - - - - - xnn ey )(

и подставим в уравнение (5.16)001

11

xxxnn

xn eaeaeae .Внесем xe за скобку и сократим на него, так как 0xe

0011

1 aaa n

nn . (3.18)

Относительно неизвестной получили алгебраическое уравнение n -ой степени. Уравнение (3.18) называется характеристическим уравнением для ЛДУ (3.16). В силу основной теоремы алгебры характеристическое уравнение (3.18) имеет ровно n корней (различных, кратных, комплексных). Поэтому рассмотрим отдельно каждый случай.

а) Корни характеристического уравнения действительные, различные n ,,, 21 . Тогда общим решением однородного уравнения (3.16) является

xnn

xx eCeCeCy 22

11 (3.19)

Пример: Найти общее решение уравнения06116 yyyy .

Ему соответствует характеристическое уравнение06116 23 ,

имеющее корни 11 , 22 , 33 . Общим решением является xxx eCeCeCxy 3

32

21)( .б) Пусть у характеристического уравнения (3.18) корни

действительные, среди них есть кратные. Пусть 1 есть корень кратности - k . Тогда этому корню соответствует k решений из ФСР вида

xkk

xxx exyexyxeyey 12321 ,,,, .

Пример. Найти общее решение 08118 yyy ; 081182 ; 921 ; xey 9

1 ; xxey 92 .

Тогда )( 219 xCCey x .

в) Пусть некоторые корни являются комплексными. Предположим, что один некратный корень равняется i 1 . Тогда, как известно, вторым корнем будет сопряженное число i 2 . Тогда ему соответствует пара решений ФСР xey x cos1 , xey x sin2 .

Пример. Найти общее решение однородного ЛДУ013175 yyyy .

Его характеристическое уравнение 013175 23 .

Нетрудно заметить, что один корень 11 тогда, разделив уравнение на )1( , получим квадратное уравнение

01342 .Его корни i329213423,2 , т.е. 2 , 3 .Значит, общим решением исходного уравнения является функция

)3sin3cos()( 322

1 xCxCCeCxy xx .д) Пусть корни характеристического уравнения (3.18) комплексные

кратные. Предположим, что корень есть i 1 кратности k . Тогда i 2 также является корнем кратности k . В этом соответствующая

часть общего решения однородного ЛДУ (3.16) имеет вид]sin)(cos)[()( 1

2211

21 xxCxCCxxCxCCexy kkkk

kk

x

.Пример. Решить уравнение 0168 yyy IV .

Характеристическое уравнение 0168 24 или 0)4( 22 .Корнями будут комплексные числа кратности 2:

i221 ; i243 .

И общим решением является функцияxxCCxxCCxy 2sin)(2cos)()( 4321 .

Сформулируем теорему, описывающую общее решение однородного ЛДУ в наиболее часто встречающемся в приложениях случае 2n .

Теорема. Пусть 1 и 2 - корни характеристического уравнения для ЛДУ с постоянными коэффициентами 001 yayay .Тогда возможны три случая.

1) Если 1 и 2 -действительные и различные 21 - то общее решение ЛДУ есть xx eCeCxy 2

21

1)( .2) Если 21 , то xx xeCeCxy 1

21

1)( .3) Если i2,1 , то xeCxeCxy xx sincos)( 21 .

Рассмотрим теперь методы нахождения частного решения неоднородного ЛДУ.

Метод Лагранжа (метод вариации произвольных постоянных)Пусть дано неоднородное ЛДУ n -го порядка

)()()()( 01)1(

1)( xfyxbyxbyxby n

nn

, (3.20)nibaCxbxf i ,,2,1 ),,()( ),( 1 .

Предположим, что найдена или известна фундаментальная система решений однородного уравнения

)(,),(),( 21 xyyyxy n . (3.21)Решением уравнения (3.20) будем искать в виде

nnчн yxcyxcyxcxy )()()()( 2211 , (3.22)т.е. предполагая nixCi ,,2,1 ),( не постоянными, а переменными и дифференцируемыми на ),( ba величинами. Эти функции пока неизвестные произвольные, для нахождения их нужно иметь n условий. Продифференцируем чнy еще раз

])()()([)()()( 22112211 nnnnчн yxCyxCyxCyxCyxCyxCy .Предполагая каждый раз, что сумма в квадратных скобках также равна нулю, найдем )1( n производную

)1()1(22

)1(11

)1( )()()( nnn

nnnчн yxCyxCyxCy

])()()([ )2()2(22

)2(11

nnn

nn yxCyxCyxC .Полагая выражение в квадратных скобах равным нулю, продифференцируем

)()(22

)(11

)( )()( nnn

nnnчн yCyxCyxCy

])()()([ )1()1(22

)1(11

nnn

nn yxCyxCyxC .Подберем )(xCi так, чтобы функция (3.22) являясь решением уравнения (3.20). Подставляя функцию (3.22) и ее производные левую часть линейного дифференциального уравнения (3.20), получим

)()()()()]([)()( )1()1(22

)1(11

1xfyxCyxCyxCxyLxCyL n

nnnn

in

n

iiчнn

.

Так как ni xy 1)}({ - частные решения однородного ЛДУ, то получим последнее

n условие относительно ni xC 1)}({ . Таким образом, для нахождения

неизвестных функций )(,),(),( 21 xCxCxC n получили систему линейных алгебраических уравнений

)()()()(

0)()()(

0)()()(0)()()(

)1()1(22

)1(11

)2()2(22

)2(11

2211

2211

xfyxCyxCyxC

yxCyxCyxC

yxCyxCyxCyxCyxCyxC

nnn

nn

nnn

nn

nn

nn

(3.23)

Решая ее методом Крамера (что можно сделать, т.к. главный определитель системы равен вронскиану 0)( xW , ибо n

i xy 1)}({ - ФСР), имеем

)()(

)(xWxW

xC ii , ni ,,2,1 ,

где определители )(xWi получаются из главного )(xW заменой элементов i -го столбца свободными членами системы.

Пример. Найдем общее решение неоднородного ЛДУ второго порядка 1 yy .

Найдем вначале ФСР однородного уравнения 0 yy .Из характеристического уравнения 012 получим

i2,1 , т.е. 0 , 1 , поэтому xy cos1 , xy sin2 . Подставив эти функции в (3.23) получим

1cos)()sin)((0sin)(cos)(

21

21

xxCxxCxxCxxC

Отсюда 1cos sinsin cos

)(

xx

xxxW , x

xx

xW sincos 1sin 0

)(1 ,

xx

xW cos1 sin0cosx

)(2

.

Следовательно xxC sin)(1 , xxC cos)(1 , xxC cos)(2 , xxC sin)(2 , 1sincos)()( 22

2211 xxyxCyxCyчн . Окончательно получим общее решение исходного уравнения (см.3.13)

1sincos 212211 xСxСyyСyСy чн .&&&$$$002-0011-100$Лекция №11 Вопросы или тесты для самоконтроля 1.Линейные дифференциальные уравнения n -го порядка 2.Линейная независимость функций3.Линейные однородные дифференциальные уравненияс постоянными коэффициентами

&&&$$$002-012-000$3.2.12. Лекция №12. Ряды. 1.Ряды с положительными членами 2. Приводим признаки сходимости положительных рядов3.Знакопеременные ряды. &&&$$$002-012-001$3.2.12.1. Ряды с положительными членами. Рассмотрим числовую последовательность ,...,...,, 21 nn aaaa ,

составим из неё сумму

121 ......

nnn aaaa

1. Определение. Выражение вида

1nna =, ...aa 21 (1)

называется числовым рядом, a числа na называются его членами.Для определенности будем считать 1a первым членом ряда, хотя ряд

может начинаться с любого другого члена.Сумма первых n слагаемых ряда (1) называется его частичной суммой,

она обозначается через nS . При этом

11 aS , 212 aaS , 3213 aaaS , …,

n

1kkn21n aa...aaS

Определение. Если существует конечный предел частичных сумм ряда (1) при n , то это число называется суммой ряда S , а ряд в этом случае называется сходящимся: nn

SlimS

.Если предел частичных сумм не существует (например, равен ),то

ряд называется расходящимся. У расходящегося ряда сумма не определена.Пример 1. Рассмотрим ряд, изучаемый в школьной программе –

геометрическую прогрессию.

Это ряд вида

1k

1kk

2111 qb...qbqbb .

Здесь 1b - первый член геометрической прогрессии, а q называется ее знаменателем.

Частичная сумма геометрической прогрессии определяется формулой

)1q( q1q1bS

n

1n

.

Если 1q и 0b1 , то

q1

q1blimSlimn

1nnn и геометрическая

прогрессия расходится.Если 1q и 0b1 , то

n

1k11n nbbS ,

1nnblim и геометрическая

прогрессия расходится.

Если 1q и 0b1 , то

, четном -n при 0,

нечетном -n при ,bS 1

n

nnSlim

не существует и прогрессия расходится. Итак, при 0b1 геометрическая прогрессия сходится только при 1q .

При 0b1 геометрическая прогрессия всегда сходится.2. Рассмотрим теперь простейшие свойства рядов.3 Пусть числовые ряды

1k ka (1)

1k kb (2)

сходятся, и имеют суммы соответственно )1(S и )2(S , тогда ряд

1k)kbka( (3)

также сходится и его сумма равна )2()1( SS .2)Если ряд (1) сходится, число 0c , то ряд

1kkca (4)

также сходится и его сумма равна )1()4( cSS Если же ряд (1) расходится и 0c , то ряд (4) расходится.

3) Если в ряде (1) изменить, добавить или отбросить конечное число членов, то сходимость этого ряда не изменится, т.е. если ряд (1) сходился, то новый ряд также сходится, а если ряд (1) расходился, то новый ряд расходится.

Изменив конечное число членов сходящегося ряда, можно изменить его сумму, но сходимость ряда при этом не нарушится.

Пример 2. Так как ряд

1k1k2

1...81

41

211

сходится (это геометрическая прогрессия с 21q ), то ряд

...81

41

211000

также сходится.

Теорема 1. (Необходимый признак сходимости). Если ряд

1kka

сходится, то 0alim kk

.Поскольку последовательность частичных сумм ряда сходится, то

SSlim nn

и SSlim 1nn .

Вычитая из первого соотношения второе получим 0SS)SS(lim 1nn

k

, т.е. 0lim kk

a .

Условие 0alim kk

является только необходимым, оно не является достаточным для сходимости ряда. Об этом свидетельствует пример

гармонического ряда

1

1...41

31

211

k k.

Как будет проверено в дальнейшем, этот ряд является расходящимся, хотя у него

0k1limalim

kkk

.

Поэтому с помощью необходимого признака невозможно установить сходимость ряда. Чаще применяется обратное утверждение, равносильное доказанной теореме.

Следствие. Если kka

lim не равен нулю, то ряд (1) расходится.

Докажите это следствие, используя метод “от противного”.

Ряды с положительными членами

Пусть дан ряд k1k

a

с неотрицательными членами 0na .Исследуем

вопрос о его сходимости или расходимости. Так как частичные суммы ряда с неотрицательными членами образуют неубывающую последовательность, то это ряд сходится тогда и только тогда, когда последовательность nS его частичных сумм ограничена.&&&$$$002-012-002$3.2.12.2 Приводим признаки сходимости положительных рядов.

Теорема 2. ( признак сравнения). Пусть имеется два ряда

k1k

a

(1)

k1k

b

(2)

с положительными членами )0b,a( kk , удовлетворяющими неравенству kk ba (5)

для всех, за исключением, быть может, конечного числа членов рядов.Тогда если ряд (2) сходится, то ряд (1) также сходится, если же ряд (1) расходится, то ряд (2) также расходится.

Доказательство. Пусть ряд (2) сходится, тогда последовательность частичных сумм второго ряда )2(

nS возрастает 2n1n

)2(n

)2(1n SaSS и имеет

своим пределом сумму этого ряда )2(S .)2(

nn

)2( SlimS

.

Из условия (5) следует, что )2()2(n

)1(n SSS .

Последовательность )1(nS возрастает и ограничена сверху числом )2(S ,

следовательно, согласно свойствам пределов она имеет конечный предел, т.е. ряд (1) сходится.

Пусть теперь ряд (1) расходится, тогда последовательность )1(nS

возрастает и не ограничена сверху, т.е.

)1(nn

Slim .

А, поскольку )1(n

)2(n SS , то

)2(nn

Slim и ряд (2) расходится.Пример 4. Исследуем сходимость ряда

1n nnln

.

Для сравнения используем расходящийся гармонический ряд

1n n1

.

При 2n 1nln и n1

nnln ,

поэтому, согласно первому признаку сравнения, исследуемый ряд расходится.

Для сравнения обычно используют такие известные ряды как геометрическая прогрессия или ряд Дирихле.

Рядом Дирихле называется числовой ряд вида

1kppp k

1...31

211 .

Немного позже мы докажем, что ряд Дирихле при 1p сходится, а при 1p расходится. При 1p он превращается в гармонический ряд.

Пример 5. Исследуем сходимость ряда

1k2 1k1

.

Для сравнения возьмем сходящийся ряд Дирихле

1k2k

1.

(Здесь 2p ). Поскольку 22 k1k , то 22 k1

1k1

для всех k .И исследуемый ряд сходится.Теорема 3. (Предельный признак сравнения).

Пусть ряды

1kka (1)

1kkb (2)

с положительными членами такова, что существует конечный ненулевой предел

k

k

k ba

limq

)0q( .

Тогда ряды (1) и (2) сходятся или расходятся одновременно.Из существования указанных пределов следует, что для

положительных чисел qq и qq 21 , где 21 qqq0 найдется

такой номер N , что для Nk выполняется неравенство 2k

k1 q

ba

q ; т.е.

k2kk1 bqabq .

Если ряд (1) сходится, то из неравенства kk1 abq , первого признака сравнения и свойства 2) рядов следует, что ряд (2) сходится.

Если ряд (1) расходится, то из неравенства k2k bqa первого признака сравнения и свойства 2) следует, что ряд (2) расходится.

Пример. Исследуем сходимость ряда

1k2 1k

1k .

Для сравнения подберем ряд Дирихле следующим образом. Оставив в числителе и знаменателе слагаемые с наибольшей степенью, получим ряд с членами

5.12k k1

kkb ,

которые составляют сходящийся ряд Дирихле с параметром 15.1p .

Найдем число q .

111

11limk на ьзнаменател и числитель разделим

1lim1:

11lim

2

5.02

2

5..12

5.12

k

k

kkk

kkkq

k

kk

Итак, согласно предельному признаку, исследуемый ряд сходится.Теорема 4. (Признак Даламбера)

Пусть у ряда

1kka

где 0a k существует предел отношений

k

1k

k aa

limq

, (6)

тогда:

а) если 1q , то этот ряд сходится,

в) если 1q или q этот ряд расходится.

При 1q данный признак не применим.

Пусть 1q . Из существования предела (6) следует, что найдется такой

номер N , что при Nk выполняется неравенство 11 qq

aa

k

k , где

взято столь малым, что 1q1 .

Из последнего равенства следует, что k11k aqa при Nk , т.е.

NN aqa 11 , NNN aqaqa 21112 , …, N

jjN aqa 1 .

(7)

Ряд

0j NkN

Nk1N

j1 aqaq является сходящейся геометрической

прогрессией. Из (7) и первого признака сравнения следует, что исследуемый ряд сходится. В случае 1q , начиная с некоторого номера N , выполняется

неравенство 2k

1k qqa

a где 1q2 . Этот случай разберите

самостоятельно.Признак Даламбера удобно применять в тех случаях, когда выражения

для членов ka содержат факториалы и показательные, относительно k , функции.

Пример7. Исследуем сходимость ряда

1k

k

!k2 .

Для этого ряда )!1k(

2a ,!k

2a1k

1k

k

k

, поэтому

01k

2lim2)1k(!k

!k2lim!k

2:)!1k(

2limqkk

1k

k

k1k

k

,

т.к. 1q , то исследуемый ряд сходится.

Теорема 5. (Радикальный признак Коши). Пусть в ряде

1kka , где

0a k , существует предел kkk

alimq

. (8)

Тогда:

а) если 1q , то этот ряд сходится,

в) если 1q или q ,то этот ряд расходится.

При 1q , как и в предыдущем случае, признак Коши не применим.

Пусть 1q .

Из существования предела (8) следует, что найдется такой номер N , что при Nk выполняется неравенство 1

kk qqa ,

где взять столь малым, что 1q1 . Последнее неравенство перепишем в виде k1k qa .

Используя первый признак сравнения для исходного рода и

сходящейся геометрической прогрессии

Nk

k1q , получим, что исследуемый

ряд сходится. Случай 1q рассмотрите самостоятельно. Этот признак Коши удобно применять в тех случаях, когда k

ka извлекается.

Пример 8. Исследуем сходимость ряда

1k

2k

k11 .

Вычислим требуемый предел.

1

1k

k

k

kk

2k

ke

k11lim

k11lim

k11limq

. (Второй замечательный

предел). Поскольку 1q , то исходный ряд сходится.

Теорема 6. (Интегральный признак Коши).

Пусть имеется ряд

1kka

и пусть nfan , xf - неотрицательная монотонно убывающая функция на промежутке ,1 .

Тогда ряд

1kka сходится (расходится) тогда и только тогда, когда сходится

(расходится) несобственный интеграл

1dxxf (9)

Пусть ряд (1) сходится и имеет сумму S . Тогда его частичная сумма kS геометрически представляет собой площадь ступенчатой фигуры, составленной из прямоугольников с основаниями 1 и высотами ka (см. рис.1).

Рис. 1

Интеграл dx)x(f1k

1

есть площадь криволинейной трапеции, с

основанием ]1k,1[ , которая меньше S , т.е.

1k

1k SSdx)x(f .

Поэтому интеграл с переменным верхним пределом dx)x(f1k

1

не

убывает и ограничен сверху числом S , следовательно dx)x(flim1k

1k

существует и

1

dx)x(f сходится.

Пусть теперь ряд (1) расходится. Тогда его частичная сумма без первого члена

11k1kk32 aSaa...aa

равна площади ступенчатой фигуры меньшей площади, чем криволинейная

трапеция с основанием ]1k,1[ (см. рис.2), т.е.

1k

111k dx)x(faS

321

1a2a

3ana 1na

xfy

O Xn 1n

Y

Рис.2

Поскольку ряд расходится, то 1nnSlim ,

1k

1n

dx)x(flim и интеграл

1

dx)x(f расходится.

Пример 9. Исследуем сходимость ряда Дирихле для различных p :

1kpk

1.

Функция px1)x(fy получается путем замены индекса

суммирования k на x . При 0p она удовлетворяет всем условиям теоремы. Она непрерывна, в промежутке ,1 , т.к. имеет разрыв только в точке

0)x(f;0x в этом промежутке и убывает в нем, т.к. ее знаменатель возрастает с ростом x .

Пусть 1p , тогда

1p1

1p1

1pxlim

1pxdxxdx)x(f

1p

x0

1p

1

p

1

,

т.е. при 1p этот интеграл и ряд Дирихле сходятся.

При 1p этот интеграл и ряд Дирихле расходятся. При 1p

1lnxlnlimxlnx

dxdx)x(fx0

11

.

Заметим, что при 0p члены ряда Дирихле не стремятся к нулю, поэтому он расходится согласно следствию из необходимого признака.

321

1a2a

3ana 1na

xfy

O Xn 1n

Y

Следствие. Интегральный признак можно применять и к рядам вида

0kkka .

В этом случае условия, накладываемые на функцию )x(fy должны выполняться на промежутке ,k 0 .

Доказательство этого факта проведите самостоятельно по образцу доказательства теоремы.

Интегральный признак следует применять в тех случаях, когда возможно интегрирование функции )x(fy .

Пример10. Исследуем сходимость ряда

2k klnk1

.

Понятно, что член 1a этого ряда по написанной формуле определить не- возможно.

Элементарная функция xlnx

1)x(fy определена в промежутке

),2[ , поэтому она непрерывна в промежутке ,2 , положительна в нем и убывает, т.к. ее знаменатель возрастает с ростом x .

Найдем несобственный интеграл

22

x22lnlnxlnlnlimxlnln

xlnxlnd

xlnxdx

.

Т.е. исследуемый ряд расходится.&&&$$$002-012-003$3.2.12.3. Знакопеременные ряды.

Рассмотрим теперь числовые ряды, имеющие члены любого знака.Определение. Знакочередующимся рядом называется числовой ряд вида

1k

k1k

321 a)1(...aaa (10)

где 0a k для ,...2,1k .

Для исследования сходимости таких рядов используется следующий признак.

Теорема 7 (Признак Лейбница). Пусть знакочередующийся ряд (10) удовлетворяет двум условиям:

а) 0alim kk

,

в) члены ряда по модулю убывают, т.е. k1k aa , для Nk .

Тогда этот ряд сходится и его сумма S удовлетворяет неравенству 1aS0 .

Рассмотрим случай, когда ряд начинается с 1a ; запишем частичную сумму для четного числа слагаемых

)aa(...)aa()aa(S n21n24321n2 .

Из условия в) теоремы следует, что 0S n2 и эта последовательность возрастает с ростом n (все скобки положительны). Запишем n2S другим способом.

n21n22n2321n2 a)aa...()aa(aS .

Поскольку в скобках стоят положительные величины, то 1n2 aS . Возрастающая последовательность n2S ограничена сверху числом 1a , следовательно, согласно свойству пределов существует предел SSlim n2n2

и

1aS0 .

Для нечетного числа слагаемых, учитывая условие

а) получим S0SaSlimSlim 1n2n2n1n2n ,

Случай, когда первый член ряда отрицателен, рассматривается аналогично.

Пример11. Исследуем сходимость знакочередующегося ряда

k1)1(...

31

211

1k

1k

.

Поскольку 0k1lim

k

и

k1

1k1

, для всех Nk , то этот ряд сходится, и

его сумма S удовлетворяет неравенству 1S0 .На самом деле, можно проверить, что 2lnS . Введем еще одно важное понятие для сходящегося ряда.Определение. n-ым остатком сходящего ряда (1) называется разность

между его суммой S и частичной суммой nS :

nn SSR . (*)

Этот остаток есть сумма членов ряда, начиная с )1n( го

1nk

kn aR .

Из (*) следует, что остаток можно определить только для сходящегося ряда, и что

0Rlim nn

, т.к. .SSlim nn

Следствие. Остаток знакочередующегося ряда, удовлетворяющего условиям признака Лейбница, по модулю не превосходит модуля своего первого члена, т.е. .aR 1nn

Доказательство этого факта следует из того, что остаток является суммой знакочередующегося ряда, удовлетворяющего условиям признака Лейбница

k1nk

1kn a)1(R

или k1nk

kn a)1(R

.

Этот факт позволяет наиболее просто определять количество слагаемых ряда для приближенного вычисления его суммы. В случае, если ряд не удовлетворяет условиям теоремы Лейбница, эта оценка обычно более трудоемка.

Пример12. Вычислить с погрешностью, не превосходящей 01,0 сумму ряда

...7201

1201

241

61

211

!k)1(

1k

1k

Очевидно, что ряд удовлетворяет условиям теоремы Лейбница.

Поскольку у этого ряда 01.0120

1a 5 , то 01.0R 4 . Отбросив этот

остаток из суммы ряда получим что с требуемой точностью

85

241

61

211SS 4 .

Абсолютная и условная сходимость рядов.Пусть имеется произвольный числовой ряд:

1kka (11)

и ряд, составленный из абсолютных величин его членов,

1kka . (12)

Определение. Ряд (10 ) называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд (12). Если ряд (11) сходится а (12) расходится, то ряд (10) называется условно сходящимся.

Пример13. Ряд 21k

1k

k1)1(

сходится абсолютно так как сходится

ряд из абсолютных величин членов этого ряда (это ряд Дирихле с 2p ).

Пример14. Выше было проверено что ряд

k

)1( k

1k

(13)

сходится согласно принципу Лейбница. Ряд из абсолютных величин его

членов есть расходящийся гармонический ряд k1

1k

.

Поэтому ряд (13) сходится условно.Теорема 8. Если ряд (10) сходится абсолютно то он сходится.Доказательство. Пусть nS частичная сумма ряда (10)

nS сумма положительных слагаемых из nS а

nS сумма модулей отрицательных слагаемых из nS . Тогда nnn SSS

Пусть nS частичная сумма ряда из абсолютных величин (12) и S его сумма тогда SSSS nnn .Поскольку положительные последовательности

nS и nS возрастают, и ограничены сверху то имеются

пределы

SSlim nn и

SSlim nn , следовательно, существует предел

SS)SS(limSlim nn

nn

n , что означает что ряд (10) сходится. Если все члены ряда положительны или ряд имеет только конечное

число отрицательных членов, то сходимость такого ряда может быть только абсолютной. Условие «исследовать сходимость ряда» для ряда общего вида означает установление факта сходимости этого ряда и в случае сходимости проверку того, как сходится этот ряд абсолютно или условно.

Необходимость этого объясняется существенно различными свойствами абсолютно и условно сходящихся рядов.

Теорема 9. При любой перестановке членов абсолютно сходящегося ряда эта сходимость не нарушается и сумма ряда не изменяется.

Казалось что свойство «от перемены мест слагаемых сумма не меняется» должно выполняться всегда. Однако, для бесконечных сумм это не всегда так.

Пример 15. Рассмотрим условно сходящийся ряд

k1)1(

41

31

211

1k

1k

.

Согласно признака Лейбница его сумма 0S Переставим слагаемые в этом ряду следующим образом

k41

2k41

1k21

121

101

51

81

61

31

41

211

Подсчитав значения стоящие в скобках, получим ряд

k21)1(

k21

)1k(21

81

61

41

21

1k

1k

,

члены которого в два раза меньше членов исходного ряда. Значит, после

указанной перестановки сумма ряда изменилась и стала равна 2S

.

Теорема 10. Если числовой ряд сходится условно то для любого числа А можно так переставить члены этого ряда что сумма полученного ряда станет равной А, кроме того можно так переставить члены условно сходящегося ряда что он станет расходиться. &&&$$$002-0011-100$Лекция №1 Вопросы или тесты для самоконтроля 1. Что такое числовой ряд? 2. Ряды с положительными членами, какие?3. Перечисляйте признаки сходимости?4. Когда сходится знакопеременные ряды?

&&&$$$002-013-000$3.2.13. Функциональные ряды.

1. Основные понятие функционального ряда2. Степенные ряды.

3. Ряды Тейлора &&&$$$002-013-001$3.2.13.1 Основные понятие функционального ряда

Рассмотрим теперь ряды, членами которого являются не числа, а функции. Определение. Функциональным рядом называется выражение вида

0kk10 )x(a)x(a)x(a , (14)

где )x(a k есть некоторые функции действительного переменного, имеющие общую область определения.

При подстановке вместо x конкретных значений функциональный ряд (14) превращается в числовой ряд.

Определение. Областью сходимости функционального ряда (14) называется множество всех значений x , при которых ряд (14) сходится.

Эту область будем обозначать через D .Пример16. Для каждого значения x функциональный ряд

1k

xxx 31

211

k1

является рядом Дирихле.Поэтому этот ряд сходится только при 1x , т.е. его область

сходимости есть интервал ),1(D .

Пример17. Ряд

1k

2k xx1x

является геометрической прогрессией со знаменателем xq .Поэтому его областью сходимости является интервал )1,1(D .

Для функционального ряда (10.14) его частичная сумма )x(Sn сумма )x(S и остаток )x(R n есть функции, определенные в области D .

В последнем примере в интервале (11) x1

x1xx1)x(Sn

1nn

;

x11)x(Slim)x(S nn

;

x1x)x(S)x(S)x(R

n

nn .

Пусть D некоторый промежуток, принадлежащий D .Определение. Функциональный ряд (10.14) называется равномерно

сходящимся в , если наибольшее значение модуля его остатка в стремится к нулю при n , т.е. 0)x(Rmaxlim nxn

.

Заметим что хотя остаток )x(R n в всегда стремится к нулю, но равномерно в он может к нулю не стремится.

Пример18. Рассмотрим ряд

0k

kx в промежутке )1,1( D .

x1xmax)x(Rmax

n

)1,1(xn)1,1(x

не существует поскольку

x1xlim

n

1x.

Следовательно, в )1,1( ряд сходится неравномерно.

Если рассмотреть ]21,

21[ то

21R

x1xmax

n

]21

,21

[x т.к. при

21x

числитель дроби принимает свое наибольшее значение, а знаменатель наименьшее. Поэтому

02

1lim

211

21

limxRmaxlim 1nn

n

n]21

,21

[xn

и в промежутке ]

21,

21[ этот ряд

сходится.В этом промежутке исследуемый ряд сходится равномерно.Проверка равномерной сходимости ряда исходя из определения часто

есть трудоемкая работа поэтому практически используют признаки равномерной сходимости функциональных рядов.

Определение. Числовой ряд

0kkв (2)

называется мажорирующим для функционального ряда

0kk )x(a (14)

на промежутке , если для всех x и любого k верно неравенство kk в)x(a . (15)Если промежуток не указывается то это неравенство должно

выполнятся для всех действительных x .

Теорема 1. ( Признак равномерной сходимости Вейерштрасса).Пусть для ряда (14) в промежутке имеется сходящийся

мажорирующий ряд (2). Тогда (14) равномерно сходится в .Из неравенства (15) и первого признака сравнения следует что (14)

сходится в .Пусть )x(R n остаток ряда (14) а nR остаток ряда (2), тогда из

неравенства (15) получимNn2n1nNn2n1n bbb)x(a)x(a)x(a .

Следовательно, Nn2n1nNn2n1n bbb)x(a)x(a)x(a .

Перейдя в обеих частях этого неравенства к пределу при N , получим ,что

nn R)x(R для всех x т.е. nnxR)x(Rmax

.

Поскольку ряд (10.2) сходится то 0Rlim nn

, следовательно 0)x(Rmaxlim nxn

.

Пример 19. Проверим, что ряд

1k2kkxsin

равномерно сходится на всей

числовой оси.

Поскольку 1kxsin то 22 k1

kkxsin

. Поэтому ряд

1k2k

1 мажорирует

данный ряд для всех Rx . Поскольку чисьловой ряд Дирихле сходится при )2p( то и функциональный ряд сходится равномерно на интервале

),( .Необходимость выделения равномерную сходимость связана с тем, что

равномерно сходящиеся ряды обладают рядом естественных свойств, которых лишены неравномерно сходящиеся ряды.

Свойства равномерно сходящихся рядов.

Пусть ряд

Dkk )x(a равномерно сходится в промежутке и все его

члены )x(a k непрерывны в , тогда сумма этого ряда )x(S также непрерывна в .

Доказательство. Пусть 0x внутренняя точка в . Из того, что 0)x(Rmax nnx

и )x(Sn непрерывны в следует что для каждого 0

найдется такой номер n , что выполняется неравенство 3

)x(R n

для всех

x . Кроме того, найдется число 0 , такое что для всех )x,x(x 00 выполняется неравенство

3)x(S)x(S 0nn

.

Используя эти два неравенства, получаем, что для всех )x,x(x 00 верно

,333

)x(S)x(S

)x(R)x(R)x(S)x(R)x(S)x(R)x(S)x(S

0nn

0nn0n0nnn0

что означает верность равенства )x(S)x(Slim 00xx

и непрерывность )x(S в 0x .

Случай граничной точки 0x рассмотрите сами. В следующей лекции будет приведен пример неравномерно

сходящегося ряда с непрерывными слагаемыми сумма которого разрывна.

2) Пусть ряд

0kk )x(a равномерно сходится в отрезке ],[ и имеет

сумму )x(S . Пусть все члены ряда )x(a k непрерывны в отрезке ],[ тогда интеграл по ],[ от суммы ряда равен сумме интегралов от его слагаемых т.е.

0k

k .dx)x(adx)x(S

Из свойства 1) следует что )x(S и )x(S)x(S)x(R nn непрерывны на ],[ . Проинтегрировав соотношение )x(R)x(S)x(S nn , получим

dx)x(Rdx)x(adx)x(S n

1n

0kk

. (16)

Поскольку )x(Rmax)(dx)x(Rdx)x(R n],[xnn

и 0)x(Rmax n

n],[x

то 0dx)x(Rlim nn

.Перейдя в равенстве (10.16) к пределу при n , получим

требуемое утверждение.

Пример 20. Выше было проверено, что геометрическая прогрессия

0k

kx

равномерно сходится в промежутке ]21,0[ и имеет сумму

x11)x(S

. Применив

свойство 2) к отрезку ]21,0[ , получим, что

0k

21

0

k21

0

dxxx1

dx .Вычислим записанные

интегралы 21

00k

1k21

0 1kx)x1ln(

0k

1k211ln

21ln .

Следовательно

0kk32 k21

321

221

212ln .Этот пример

показывает, что с помощью почленного интегрирования можно находить суммы числовых рядов.

177.Пусть члены сходящегося в ],[ ряда

Dkk )x(a

непрерывно дифференцируемы в промежутке ],[ и )x(S -сумма этого ряда.

Пусть ряд, составленный из производных ряда

0k

k )x(a ,равномерно сходится в

],[ , тогда сумма ряда из производных равна производной )x(S , т.е.

0k

k )x(a)x(S .

Обозначим сумму ряда

0k

k )x(a через )x(F . Согласно предыдущему свойству

проинтегрируем )t(F на отрезке ]x,[ , где ],[x , получим

)(S)x(S))(a)x(a(dt)t(adt)t(F0k

kk0k

x'k

x

.Продифференцируем по x левую

и правую части этого равенства получим ))(S)x(S(dt)t(Fx

)x(S)x(F .

Пример21. Рассмотрим сходящуюся геометрическую прогрессию

0k

kx

на промежутке ]21,0[ . Сумма этого ряда

x11)x(S

.Ряд из производных

записывается в виде

0k

1kkx и мажорируется сходящимся рядом

0k1k2

k.

(Проверьте сходимость этого ряда с помощью признака Даламбера). Поэтому ряд

из производных равномерно сходится в отрезке ]21,0[ . Согласно свойству 3)

получим 2

0k

1k

)x1(1

x11kx

.С помощью дифференцирования также

можно находить суммы числовых рядов. Например подставив в последнее

соотношение 21x получим

4)

211(

12

k20k

1k

.

&&&$$$002-013-002$3.2.13.2. Степенные ряды.

Степенные ряды т.е. ряды, члены которых есть степенные функции, являются одним из основных примеров функциональных рядов.

Определение. Функциональный ряд вида

0k

kk xC (17)

называется степенным рядом а числа kC называются его коэффициентами.

Степенной ряд всегда сходится при 0x . Следующая теорема описывает его область сходимости.

Теорема 1. (Теорема Абеля) а) Если степенной ряд (17) сходится в точке 0x ( 0x 0 ) то он сходится для

всех x из интервала 0xx (см. рис. 3,а)).б) Если степенной ряд расходится в точке 1x , то он расходится для всех x ,

удовлетворяющих неравенству 1xx (см. рис.3,б)).

Рис. 3, а).

Рис. 3, б).

а) Так как ряд

0k

k0k xC сходится то согласно необходимому признаку

0xClim k0kk

откуда следует, что последовательность }xC{ k0k ограничена, т.е.

существует число M , такое что MxC k0k . Пусть 0xx . Рассмотрим

абсолютную сходимость ряда

0k

kk xC . Получим

k

00k

k0k

0k

kk x

xxCxC

. (18)

Обозначим 0xx

через q , где 1q и k

k

0

k0k Mq

xxxC . Сравнивая с помощью

первого признака сравнения ряд (18) и сходящуюся геометрическую прогрессию k

0k

qM

, получаем что (18) сходится. Допустим что найдется 2x такое, что

12 xx для которого ряд (10.17) сходится. Тогда согласно пункту а) поскольку 21 xx он должен сходится в точке 1x . Противоречие.

Определение. Наибольшее значение 0x такое, что в интервале )x,x( 00 степенной ряд (10.17) сходится, называется радиусом сходимости этого ряда (обозначается через R ) а интервал R,R называется его интервалом сходимости.

0x 0 0x X

1x 0 1x X

Из теоремы Абеля следует что в интервале R,R ряд (10.17) сходится а в интервалах R, и ,R он расходится (см. рис. 4).

сходится расходится расходится

Рис. 4. Сходимость ряда в точке Rx исследуется дополнительно.

Если ряд сходится только в точке 0 то R считается равным 0 а если он сходится для всех x , то R считается равным .

Для определения радиуса сходимости R имеются следующие формулы получаемые из признаков Даламбера и Коши.

1k

k

k CC

limR

(19)

k

kk C

1limR

(20)

Однако проще находить интервал сходимости путем непосредственного применения признаков Даламбера или Коши к абсолютным величинам членов ряда (17).

Пример22. Найдем область сходимости ряда

1k

k

kx

.

Исследуем абсолютную сходимость этого ряда с помощью признака

Даламбера получим x1k

klimxx)1k(kxlim

kx:

1kxlimq

kk

1k

k

k1k

k

.Отсюда получаем что при 1x , т.е. в интервале (11) этот ряд сходится а при 1x , т.е. в интервалах )1,( и ),1( он расходится. Поэтому радиус

сходимости ряда 1R и интервал сходимости есть (11). Исследуем концы этого интервала. Подставив 1x в ряд, получим числовой

ряд

1k k1

, который является гармонический расходящимся рядом. Подставив

1x , получим знакочередующийся ряд

1k

k

k)1(

.Выше с помощью признака

Лейбница было проверено что он сходится. Окончательно получаем, что область сходимости исследуемого ряда есть ).1,1[D Теорема 2. Пусть отрезок ],[

R R0??

X

лежит в интервале сходимости )R,R( степенного ряда

0k

kk xC ,тогда в ],[ этот

ряд сходится абсолютно и равномерно.Пусть для определенности . Для 0x этот ряд сходится. Далее

повторяем доказательства а) теоремы Абеля для ],[x . Перенесем теперь рассмотренные выше свойства равномерно сходящихся рядов на случай степенных рядов.

Свойства степенных рядов.Сумма степенного ряда (17) )x(S непрерывна в интервале сходимости )R,R( .Это следует из того что любое )R,R(x можно заключить в отрезок

)R,R(],[ , в котором ряд (17) сходится равномерно. 1. Пусть )x(S сумма степенного ряда (17) и отрезок ],[ лежит в

интервале сходимости )R,R( , тогда

0k

1K1k

k 1kCdx)x(S .

Здесь в правой части равенства стоит сумма интегралов членов ряда (17)

0k

kk dxxC .

3) Производная суммы )x(S степенного ряда (17) в интервале сходимости )R,R( равна сумме степенного ряда, составленного из производных членов ряда

(17), т.е.

0k

1kk xkC)x(S .

Здесь мы оставили без доказательства тот факт что ряд из производных ряда (17) имеет тот же интервал сходимости )R,R( .

4) Сумма степенного ряда (17) в интервале )R,R( бесконечно дифференцируема.

Это следует из того что согласно свойству 3) )x(S является суммой степенного ряда поэтому операцию дифференцирования можно провести еще один раз )x(S снова является суммой степенного ряда в )R,R( и т.д.

Определение. Функциональный ряд

0k

k0k )xx(C (21)

называется смещенным степенным рядом с центром в 0x .Если обозначить )xx( 0 через y , то смещенный степенной ряд

превращается в степенной ряд вида (10.17). Поэтому ряд (10.21) имеет интервал сходимости вида )Rx ,Rx( 00 и в этом интервале обладает всеми свойствами степенных рядов.

&&&$$$002-013-003$3.2.13.3 Ряды Тейлора

Выше было показано что сумма степенного ряда )x(S является бесконечно дифференцируемой функцией. Рассмотрим теперь обратную

задачу о том, как заданную функцию )x(fy записать в виде суммы некоторого степенного ряда. Такая запись позволит приближенно находить значения этой функции приближенно интегрировать ее численно решать дифференциальные уравнения и т.д.

Пусть функция )x(fy имеет производные до n го порядка включительно в окрестности точки 0x .

Определение. Многочленом Тейлора n го порядка функции )x(fy в точке 0x называется многочлен

(22) .!

)()(

!))((

!2))((

!1))(()()(

0

00

)(

00)(2

00000

kxxxf

nxxxfxxxfxxxfxfxT

kn

k

k

nn

n

Здесь )x(f )0( считается равным )x(f и 1!0 .Основное свойство этого многочлена состоит в следующем.Значения многочлена и всех его производных до n го порядка

включительно в точке 0x совпадают с соответствующими значениями функции и ее производных т.е. )x(f)x(T 00n ; )x(f)x(T 00n ; … … … ; )x(f)x(T 0

)n(0

)n(n .

При nk 0)x(T )k(n .

В самом деле из (22), подставив вместо x значение 0x , получим)x(f00)x(f)x(T 000n ;

;)!1n()xx(

)x(f)xx)(x(f)x(f)x(T1n

00

)n(000n

Подставив сюда 0xx , получим 00)x(f)x(T 00n и т.д.

)x(f)x(T 0)n(

0)n(

n .При nk 0)x(T 0

)k(n .

Определение. Разность между )x(f и )x(Tn называется остаточным членом Тейлора с центром в 0x :

Обозначим его через )x(T)x(f)x(R nn Из (22) следует что 0)x(R)x(R)x(R 0

)n(n0n0n (23)

Теорема 1. Пусть функция )x(f имеет в окрестности 0x непрерывную )1n( ую производную )x(f )1n( .Тогда для любого x из этой окрестности найдется такая точка

)x,x(c 0 или )x,x(c 0 , что

1n0

)1n(

n )xx()!1n()c(f

)x(R

(24)

При доказательстве воспользуемся теоремой Коши четвертого модуля «Дифференциальное исчисление функций одной переменной». Пусть

1n0 )xx()x(g . Несложно проверить что

0)x(g)x(g)x(g 0)n(

00 (25) )!1n()x(g 0

)1n( . (26)Пусть для определенности 0xx . Рассмотрим отношение

)x(g)x(g)x(R)x(R

)x(g)x(R

0

0nnn

.

Здесь в числителе и знаменателе добавлены нулевые величины )x(R 0n и )x(g 0 .

Согласно теореме Коши найдется точка )x,x(c 01 такая что

)c(g)c(R

)x(g)x(g)x(R)x(R

1

1n

0

0nn

,т.е. учитывая (23) и (25)

)x(g)c(g)x(R)c(R

)x(g)x(R

01

0n1nn

.

Согласно теореме Коши в промежутке )c,x( 10 найдется точка 2c такая, что

)c(g)c(R

)x(g)c(g)x(R)c(R

2

2''n

01

0n1n

)x(g)c(g)x(R)c(R

)x(g)x(R

02

0n2nn

.

Продолжая этот процесс )1n( раз получим что

)c(g)c(R

)x(g)x(R

1n)1n(

1n)1n(

nn

(27).

Обозначим 1nc через c )x(g )1n( заменим согласно (26) на )!1n( а 0)c(f)c(T)c(f)c(R )1n()1n(

n)1n()1n(

n .

В результате из (27) получаем )!1n(

)c(f)xx(

)x(R )1n(

1n0

n

,что и доказывает

требуемое утверждение. Определение. Остаточный член ),x(R n записанный в виде (24)

называется остаточным членом в форме Лагранжа а запись функции в виде 1n

0

)1n(k0

0

n

0k

)k(nn )xx(

)!1n()c(f

!k)xx(

)x(f)x(R)x(T)x(f

(28)

называется формулой Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа.Остаточный член здесь имеет тот же самый вид что и слагаемые

многочлена Тейлора только в )1n( ой производной вместо 0x стоит близкая к ней точка c .

Многочлен Тейлора используется для приближенного нахождения значения функции в точке x )x(R n при этом является погрешностью этого

вычисления. Однако часто вместо многочленов удобно использовать ряды. Определение. Пусть функция )x(fy бесконечно дифференцируема в

окрестности точки 0x . Рядом Тейлора для функции )x(fy с центром в точке 0x называется смещенный степенной ряд

20

00

00

k0

0k0

)k( )xx(!2

)x(f)xx(

!1)x(f

)x(f!k

)xx()x(f (29)

Частичная сумма )x(Sn этого ряда является многочленом Тейлора )x(Tn . (здесь и далее )x(Sn состоит из )1n( слагаемых). Не следует думать

что сумма ряда Тейлора )x(S всегда совпадает с функцией )x(fy по которой он был построен, во-первых потому, что область определения функции может не совпадать с областью сходимости ряда а вовторых даже в случае существования )x(f и )x(S , эти значения могут отличаться друг от друга.

Теорема 2. Пусть функция )x(fy бесконечно дифференцируема в окрестности U точки 0x и пусть для всех x из этой окрестности остаточный член Тейлора )x(R n стремится к нулю при n , тогда ряд Тейлора функции )x(fy с центром в 0x сходится в U , и его сумма )x(Sn совпадает в U со значениями функции )x(f .

В этом случае говорят что функция )x(fy разлагается в ряд Тейлора в окрестности U .

Учитывая что )x(S)x(T nn запишем формулу Тейлора (28) для Ux

)x(R)x(S)x(f nn или )x(S)x(R)x(f nn .Перейдем в этом соотношении к пределу при n получим

)x(Slim)x(Rlim)x(flim nnnnn .

Поскольку предел левой части существует и равен )x(f 0)x(R nnlim

то существует предел частичных сумм ряда (29), стоящий в правой части т.е. )x(S)x(f что и требовалось доказать.

Определение. Ряд Тейлора с центром в точке 0x 0 называется рядом Маклорена этой функций.

Ряд Маклорена имеет вид

2k

0k

)k( x!2

)0(fx)0(f)0(f

!kx)0(f (30)

а остаточный член Тейлора в форме Лагранжа

1n)1n(

n x)!1n()c(f

)x(R

(31)

где )x,0(c или )0,x(c . Разложение в ряд Маклорена основных элементарных функций4.Показательная функция xey .

Поскольку x)k( e)x(f для любого k то 1e)0(f 0)k( . Подставив эти значения в (10.30), получим ряд Маклорена для этой функции. Проверим условия теоремы 2.

Для любого фиксированного x из (31) получим

)!1n(

xex

)!1n(e)x(R

1nx1n

x

n

. (32)

Согласно признака Даламбера ряд

1k

1k

)!1k(x

сходится для всех x .

Поэтому согласно необходимого признака 0 )!1k(

xk

1k

и из (32)

получаем что 0)x(Rlim nn

.Окончательно имеем разложение функции xey в ряд Маклорена для

),(x

0k

k2x

!kx...

!2xx1e . (33)

Пример 23. Вычислим число e с точностью до 01,0 для чего

воспользуемся рядом (33) при 1x получим !3

1!2

111e .

Оценим остаточный член )1(R n с помощью (32) получим что

01.0720

3!6

e)1(R1

5 .

Поэтому с требуемой точностью

60432

120326

1201

241

61

212

!51

!41

!31

!2111)1(Se .

5.Функция xsiny .Поскольку xsin)x(f xcos)x(f xsin)x(f xcosf

xsinf )IV( и т.д., то 0)0(f 1)0(f 0)0(f 1)0(f 0)0(f )IV( и т.д.

Из (30) получим что

1k

1k21k

53

)!1k2(x)1(

!5x

!3xxxsin . (34)

Поскольку 1)c(f )k( то для любого x

)!n2(x

)x(Rn2

1n2 и, как было показано выше 0)x(Rlim 1n2n для всех x

. Поэтому разложение (34) справедливо для ),(x .

Пример 24. Вычислим dxx

xsin1

0 с точностью до 01.0 . Для

нахождения интеграла воспользуемся разложением в степенной ряд

подинтегральной функции и свойством 2) об интегрировании равномерно сходящихся степенных рядов. Из (34) получаем

что !7!5!3

1sin 642 xxxx

x и этот ряд равномерно сходится на любом

отрезке поэтому

!55

1!33

11!55

x!33

xxdx...!5

x!3

x1dxx

xsin0

1

0

1

0

1 531

0

421

0

В результате получился знакочередующийся ряд, удовлетворяющий признаку Лейбница. Поскольку, согласно следствию из признака Лейбница

01.012051R 2

то с требуемой точностью dxx

xsin1

0

1817

6311

3) Функция xcosy .Разложение в ряд Маклорена этой функции проведите самостоятельно

по аналогии с предыдущим.

Для любого ),(x )!k2(

x)1(!4

x!2

x1xcosk2

0k

k42

6.Степенная функция )x1(y .Вычислим значения )0(f )k( .

)x1()x(f 1)0(f 1)x1()x(f )0(f 2)x1)(x()x(f )1()0(f и т.д.

С помощью индукции доказывается что )1k()21)(1()0(f )k( .

Подставив эти значения в (10.30) , получим чтоk

0k

2 x!k

)1k()1(1x

!2)1(

x1)x1(

.

Можно доказать что этот ряд сходится и равенство выполняется для любых действительных и )1,1(x .

Данный ряд называется биномиальным поскольку для целых положительных коэффициенты ряда совпадают с коэффициентами бинома Ньютона.

Пример 25. Вычислим с точностью до 01.0 число 17 .Заметим что нельзя применять последнее разложение для функции

21

)x1( при 16x поэтому поступим следующим образом

16

1!3

23

21

21

161

!221

21

161

2114

21161x

16114

1611411617

32

21

Получился знакочередующийся ряд, удовлетворяющий условиям

признака Лейбница (проверьте!). Поскольку 01,016

1!221

21

4 2

то с

требуемой точностью 814

3214417 .

7.Логарифмическая функция )x1ln(y .Воспользуемся формулой

суммы геометрической прогрессии для 1x :

32 ttt1t1

1

Поскольку ряд равномерно сходится на промежутке ]x,o[ (или ]o,x[ ) при 1x то проинтегрировав его по этому промежутку, получим

dtttdtdt1

t1dt 1

0

2x

0

x

0

x

0; ;

3t

2tt)t1ln(

0

x3

0

x2

0

x

0

x

kx)1(

3x

2xx)x1ln(

k

1k

1k32

.

На самом деле данное разложение справедливо для ]1,1(x .6) arctgxy Интегрируя геометрическую прогрессию и ее сумму

422 tt1

t11

по промежутку ]x,0[ , получим что

1k2x)1(

5x

3xxarctgx

1k2

0k

k53

.

Данное разложение верно для ]1,1(x .

7) xarcsiny . Запишем биномиальный ряд для 21

и 2tx .

64221

22

t64253 1t

4 23 1t

211)t1(

t1

1 .

Проинтегрировав ряд по промежутку ],0[ x , получим требуемое разложение

)1k2(x

!)!k2(!)!1k2(x

7x

642531

5x

4231

3x

21xxarcsin

1k2

1k

753

.

Здесь )1k2(531!)!1k2( ; k242!)!k2( ; Данное разложение справедливо для ]1,1(x &&&$$$002-013-100$Лекция №13 Вопросы или тесты для самоконтроля

1.Степенные ряды2.Ряды Тейлора 3.Разложение в ряд Маклорена основных элементарных функций

&&&$$$002-014-000$3.2.14. Лекция №14. Теория вероятностей1.Классическое определение вероятности. Применение элементов комбинаторики при вычислении вероятности2.Вероятность суммы и произведения событий. Независимые события. Условная вероятность3.Задача на нахождение вероятности появления хотя бы одного события.&&&

$$$002-014-001$3.2.14.1. Классическое определение вероятности. Применение элементов комбинаторики при вычислении вероятности

Пример 1. (на размещения) Урна содержит 5 шаров с номерами 1,2,3,4,5. Из урны извлекается один шар, записывается его номер, а затем шар возвращается в урну и после перемешивания из урны извлекается 2 ой шар, записывается его номер и снова шар возвращается в урну. После перемешивания из урны извлекается 3-ий шар. Требуется найти вероятность того, что все извлеченные шары имеют разные номера.

Решение. Так как шары возвращаются назад в урну, то номера извлеченных шаров могут повторяться. То есть число всевозможных исходов испытания «взяли три шара с возвращением» будет равно, по формуле размещений с повторениями n= A3

5 =53=125. Число исходов, благоприятствующих событию А - “3 шара с различными номерами из пяти” вычисляется по формуле размещений без повторений, т. е. m=

60543!2!53

5 А . Следовательно, Р (А) = 48.012560

nm

Пример 2. (на перестановки) В урне содержится 4 шара, помеченных номерами 1,2,3,4. После тщательного перемешивания из урны извлекаются все 4 шара по одному один за другим. Какова вероятность того, что шары будут извлечены в порядке возрастания номеров?

Решение. Число всевозможных исходов испытания «шары извлекаются по одному» будет равно числу перестановок из 4 элементов, т. е. n= P(4)=4!= =1234=24 и лишь одно событие, а именно четверка чисел (1, 2, 3, 4) благоприятствует событию А - «шары вышли в возрастающем порядке», т. е.

m=1. Поэтому Р (А) = 241

.

Пример 3. (на сочетания). Партия товара состоит из =10 изделий, среди которых n=3 бракованных. Определить вероятность того, что среди m=6 наугад отобранных для проверки изделий (без возвращения) ровно к=2 окажутся бракованными.

Решение. Число всевозможных исходов испытания «взять т изделий из » равно Cm

N . Найдем число исходов, благоприятствующих событию А – “к бракованных среди m отобранных”. к бракованных изделия из n бракованных в партии можно выбрать C k

n способами. Остальные m-k годных изделия взяты из N-n годных в партии. Это можно сделать C km

nN

способами. Поэтому, по правилу умножения, число благоприятствующих исходов событию А равно CC km

nN

k

n

. Итак, искомая вероятность будет равна

CCC

m

N

km

nN

k

nAP

)( (2)

Воспользуемся этой формулой для наших данных Р (А)=C

CC6

10

4

7

2

3

. Здесь

32

3С , 35

321765

!3!4!74

7

С , 210432110987

!4!6!106

10

С . Получим

Р (А) =21

210353

&&&$$$002-014-002$3.2.14.2. Вероятность суммы и произведения событий. Независимые события. Условная вероятность

Пример 1. Определить вероятность того, что партия из 50 изделий, среди которых 5 бракованных, будет принята при испытании наудачу выбранной половины всей партии, если условиями приема допускается бракованных изделий не более одного из 25.

Решение. Пусть событие А – “среди 25 отобранных изделий ни одного бракованного”, В – “среди 25 отобранных изделий только одно бракованное”. Очевидно, что эти события несовместные. Тогда событие А+B – “в партии не более одного бракованного изделия”. И по формуле (3), получим

P(A+B)= P(A)+P(B), так как A и B – несовместны.

Р (А) .174,04606803

984773115

)(,)(, 25

50

24

45

25

4525

50

24

45

1

525

50

25

45

C

CCCCC

СС BAPBP

Пример 2. Рабочий обслуживает два автоматических станка, к каждому из которых нужно подойти для устранения неисправности, если станок остановится в течение часа. Вероятность того, что первый станок не остановится в течение часа, равна 0,9, для второго 0,7. Определить вероятность того, что в течение часа а) рабочему не потребуется подойти ни

к одному из станков; б) рабочий подойдет только к одному станку для устранения неисправности.

Решение. а) Пусть событие А – “первый станок не остановится”, В – “второй станок не остановится”. Если считать станки работающими независимо друг от друга, то события А и В будут независимыми. Тогда по правилу умножения вероятность события АВ - «оба станка не остановятся»

Р (АВ) = Р (А)Р (В) 0,9 0,70,63б) Для того, чтобы определить вероятность того, что в течение часа

рабочий подойдет только к одному станку, используем теорему сложения для несовместных, и теорему умножения независимых событий. Рассмотрим события, противоположные событиям А и В:

А – «первый станок остановится»В – «второй станок остановится».

Пусть событие D – «потребует ремонт только один станок». Оно состоит в появлении одного из событий А или . Здесь А - «первый не остановится, а второй потребует ремонта», причем А иВ – независимы. Аналогично. По теореме сложения и умножения имеем

Р (D) Р (А АВ) Р (АВ) Р (АВ) Р (А)Р (.По условию Р (А) р1= 0,9 , Р (В) р2 0,7. Тогда Р( q1, Р( q2 1-0,7 0,3 Р (D) р1 q2 р2 q1 0,9 .Пример 3. В первом ящике 20 деталей, из них 15 стандартных, во втором

ящике 15 деталей, из них 10 стандартных. Из каждого ящика взяли по одной детали. Найти вероятность того, что хотя бы одна из них стандартная.

Решение. Пусть событие А – «из первого ящика деталь стандартна» и В – «из второго ящика деталь стандартна». Тогда, очевидно, что событие С=А+В – хотя бы одна из отобранных стандартна, где события А и В совместны. Следовательно, по формуле (9)

Р (С)=Р (А)+Р (В) - Р (АВ),Но события А и В также и независимы, поэтому по теореме умножения Р (С)=Р (А)+Р (В) - Р (А) Р (В)

Имеем Р (А) = 43

2015

, Р(В) = 32

1510

(классическое определение). Итак,

Р (С) = 32

43

32

43

=1211

21

1217

.

&&&$$$002-014-003$3.2.14.3. Задача на нахождение вероятности появления хотя бы одного события.

Пример 6. В партии из 20 деталей имеется 5 бракованных. Наугад отбираются три детали. Найти вероятность того, что среди них имеется хотя бы одна бракованная.

Решение. 1-ый способ. Используем теорему сложения несовместных

событий. Обозначим через D – событие «среди трех деталей хотя бы одна бракованная. Это событие будет осуществлено, если произойдет одно из трех несовместных событий: А – «среди отобранных деталей только одна бракованная»; В – «среди отобранных деталей две бракованные»; С – «среди отобранных деталей все три бракованные». Тогда D=A+B+C, и вероятность события D будет равна P(D)=P(A)+P(B)+P(C). Здесь

.

1140685

114010150525)(

,114010)(,)(;

1140525)( 3

20

0

15

3

53

20

1

15

2

53

20

2

15

1

5

DP

CPBPAPC

CCC

CCC

СС

2-ой способ. События D – «среди отобранных деталей хотя бы одна бракованная» и D – «среди отобранных деталей ни одной бракованной» являются противоположным, тогда P(D)+P(D)=1. Отсюда P(D)=1- P(D).

P(D)= 1140455

3

20

3

15

0

5 С

СС

.1140685

11404551)( DP

Пример 7. В электрическую цепь включены последовательно два предохранителя. Вероятность выхода из строя первого предохранителя равна 0,6, а второго 0,2. Определить вероятность прекращения питания в результате выхода из строя хотя бы одного из этих предохранителей.

Решение. 1-способ. Пусть событие А – вышел из строя первый предохранитель, В – вышел из строя 2-ой предохранитель. Тогда событие D – «вышел из строя хотя бы один предохранитель» произойдет, если произойдет одно из следующих несовместных событий или , или АВ. Здесь

Р (А)= p1 = 0,6, P( q1 6=0.4P(B) = p2 0,2, P( q2P(D) = P(В А pq2 p2q1 p1p2 = 0,608 +0402+0602 =048+

+0,08 + 0,12 = 0,68. 2-cпособ. Событию D противоположным будет событиеD – ни один

предохранитель не выйдет из строя. Тогда P(D)+P(D)=1 . Отсюда P(D)=1- Р(D)=1-P( 1- P(P()=1-q1q2

(11)Р(D)=1-0,40,8=1-0,32=0,68 .

Пример 8. В первом ящике 20 деталей, из них 15 стандартных, во втором ящике 15 деталей, из них 10 стандартных. Из каждого ящика взяли по одной детали. Найти вероятность того, что хотя бы одни из них стандартная.

Решение. Решение этого примера было показано через теорему сложения совместных событий в примере 2 § 3. Теперь, покажем решение этой задачи, используя формулу (11). Пусть событие А - «деталь из первого ящика стандартна”, В - “деталь из второго ящика стандартна”. Эти события независимы. Здесь событие А+В - “хотя бы одна из двух отобранных стандартна”. Найдем

Р ( А )=q1= 41

205

, Р ( В )=q2= 31

155

. Итак, Р (А+В)=1-1211

31

41

.

&&&$$$002-014-100$Лекция №14 Вопросы или тесты для самоконтроля 1.Классическое определение вероятности. Применение элементов комбинаторики при вычислении вероятности2.Вероятность суммы и произведения событий. Независимые события. Условная вероятность3.Задача на нахождение вероятности появления хотя бы одного события.&&&$$$002-015-000$3.2.15 Математическая статистика1. Независимые повторные испытания. Формула Бернулли. Наивероятнейшее число появления события2. Дискретная случайная величина. Закон распределения. Виды дискретной случайной величины. Числовые характеристики &&&$$$002-015-001$3.2.15.1. Независимые повторные испытания. Формула Бернулли. Наивероятнейшее число появления события

Пример 1. Найти вероятность того, что среди взятых наудачу 4 деталей к=0, 1,2,3,4 стандартных, если вероятность того, что каждая деталь окажется стандартной, равна 0, 9.

Решение. Используем формулу Бернулли. Здесь п. =4, р=0.9, q= 0.1к=0, P4(0) = C4

00,90 =1 к=1, P4(1) = C4

10,913 =40,9 36 k=2, P4(2) = C4

20,922 = 60,81 486;k=3, P4(3) = C4

30,93 = 40,729 2916;k=4, P4(4) = C4

40,940 = 10,81 6561;Контроль: P4(0)+ P4(1) +P4(2)+ P4(3) +P4(4) = +36+ 486+

+2916+6561 1. Следовательно, вычисления проведены верно.Пример 2. В партии очень большого объема имеется 80% не

бракованных изделий. Найти вероятность того, что среди взятых наудачу 5 изделий бракованных окажется: а) более трех; б) не более трех; в) по крайней мере, одна.

Решение. Вероятность события А - «наудачу взятое изделие

бракованное» равна р = 2,0%100%20

, а вероятность события А - «наудачу

взятое изделие не бракованное» равна q = 8,0%100%80

. Здесь n .

Тогда получим: а) вероятность того, что среди 5 отобранных окажется более трех бракованных изделий, равна

Р5(4)+Р5(5) = 1445 8,02,0 С + 055

5 8,02,0 С =0, 0, 00672.б) Вероятность того, что среди 5 отобранных не более трех бракованных

изделий можно найти двумя способами Р5 (0) + Р5 (1) + Р5 (2) + Р5 (3) 500

5 8,02,0 С + 4115 8,02,0 С + 322

5 8,02,0 С + 2335 8,02,0 С

=0,32768+0,4096+0,2048+0,0512=0,99328 или, так как события “более трех” и “ не более трех” являются противоположными, то по теореме о противоположных событиях, получим1 – (Р5 (4) + Р5 (5)) 1 - 0, 00672 0, 99328 . в) По крайней мере, одно изделие окажется бракованным 1 - Р5 (0) 1 - 0,85 0, 67232.

Пример 4. Для примера 1 найти наивероятнейшее число стандартных деталей среди 4-ех отобранных.

Решение. Здесь n 4, р 0, 9; q 0, 1. Подставим в формулу (16), получим 40,9 - 0, 1 0 4 0, 9 + 0, 9; 3, 5 0 4, 5 . Отсюда к0 4 . Это случай а).

Пример 5. Для примера 2, найти наивероятнейшее число бракованных изделий из 5 отобранных изделий.

Решение. n 5; р 0,2; q 0, 8. Тогда n р 5 0, 2 1 – целое. Тогда наивероятнейшее число к0 n р 1 . Это случай б).

Пример 6.Для примера 3 найти наивероятнейшее число появления события в 15 испытаниях.

Решение. Здесь n=15, p=0.5, q=0.5. Тогда, подставляя в формулу (16), получим

5,05,0155,05,015 0 к или 7к08. Это случай в), тогда наивероятнейших чисел будет два 7 и 8.

&&&$$$002-015-100$Лекция №15 Вопросы или тесты для самоконтроля 1.Независимые повторные испытания. Формула Бернулли. Наивероятнейшее число появления события2.Дискретная случайная величина. Закон распределения. Виды дискретной случайной величины. Числовые характеристики&&&

$$$003-000-000$3.3 Практические занятияЛинейная и векторная алгебра 1.Линейная алгебра2.Векторная алгебраАналитическая геометрия1.Аналитическая геометрия на плоскости 2.Аналитическая геометрия в пространствеВведение в математический анализ. Предел функции. Непрерывность функции. Действительные числа. Функция. Элементарные функции.Производная функции. 1.Производная сложной функции. Основные теоремы. 2.Производные высших порядков и производная функции заданной параметрически.

Правило Лопиталя и исследование функции и построение графика при помощи производной.1. Правило Лопиталя.2. Исследование функции и построение графика при помощи производной.3. Нахождение наибольшего и наименьшего значения функции.Неопределенный интеграл. Методы интегрирования1. Понятие неопределенного интеграла.2.Табличное интегрирование3. Интегрирование методом замены переменной.4. Интегрирование по частям Методы интегрирования1.Простейшие рациональные дроби2.Интегрирование тригонометрических функций.3.Интегрирование и иррациональных функцийОпределенный интеграл1. Определенный интеграл Формула Ньютона – Лейбница. Методы интегрирования.2. Приложение определенных интеграловДифференциальное исчисление функции нескольких переменных1.Функции нескольких переменных 2.Дифференцирование сложных и неявных функций.3.Градиент. Дифференцирование высших порядков. 4.Экстремумы функции нескольких переменных.Дифференциальные уравнения первого порядка1.Основные понятия2.Дифференциальные уравнения первого порядка3. Задача Коши. Теорема существования и единственности4. Уравнения с разделяющимися переменными Методы решения дифференциальных уравнений и дифференциальные уравнения высших порядков1.Методы решения дифференциальных уравнений 2.дифференциальные уравнения высших порядковРяды. 1.Ряды с положительными членами 2.Знакопеременные ряды. 3.Функциональные ряды. Теория вероятностей1.Классическое определение вероятности. Применение элементов комбинаторики при вычислении вероятности2.Вероятность суммы и произведения событий. Независимые события. Условная вероятность3.Задача на нахождение вероятности появления хотя бы одного события.

4.Независимые повторные испытания. Формула Бернулли. Наивероятнейшее число появления события5.Дискретная случайная величина. Закон распределения. Виды дискретной случайной величины. Числовые характеристики&&&$$$003-001-000$3.3.1 Модуль 1 Линейная и векторная алгебра. &&&$$$003-001-001$3.3.1.1 Методические указания к практическому занятию №1

Пример. Вычислить определитель 4531 .

Решение. По определению bcaddcba

, тогда 19354145

31

.

Пример. Вычислить определитель 987654321

.

Решение. Известно, что

233211332112132231231231321321332211

333231

232221

131211

aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa

, тогда

04872105849645168924357672843951987654321

Пример. Решить систему уравнений по правилу Крамера

22221

11211

byaxabyaxa

Решение. По правилу Крамера

xx ,

yy , где

2221

1211

aaaa

,

222

121

abab

x , 221

111

baba

y .

Если дана система уравнений

6732

yxyx

, то 97121

,

912217623

x , 96131

y .

199x , 1

99y .

Пример. Решение однородной системы двух уравнений с тремя неизвестными. Рассмотрим систему уравнений

00

222

111

zcybxazcybxa

.

Предположим, что три определителя 22

11

baba

, 22

11

caca

, 22

11

cbcb

по крайней мере

один, например, первый, отличен от нуля. Тогда, перенося члены с z в правую часть и решая уравнения относительно x и y , получим

zcybxazcybxa

222

111

22

11

22

11

bababzcbzc

x

,

22

11

22

11

baba

zcazca

y

.

Решим таким способом систему

032032

zyxzyx

.

Составляем таблицу из коэффициентов 1,3,23,2,1

. Образуем определители

13221

, ,71231

11

1332

, все они не равны нулю, переписываем

систему

zyxzyx

3232

. Решаем ее, ,11zx zy 7 .

Данная система имеет бесконечное количество решений ,11kx ,7ky kz . Каждое решение можно получить из этих равенств, придавая k

числовое значения. При 1k , решение будет ,11x ,7y 1z . При 2k , решение будет ,22x ,14y 2z .

Пример. Применяя метод исключения неизвестных Гаусса, решить систему уравнений

26611421013

1023353

432

43

432

4321

xxxxx

xxxxxxx

Неизвестное 1x входит только в первое уравнения системы, кроме того, заметим, что неизвестное 2x входит во второе уравнение с коэффициентом 1. Второе уравнение умножим на (-4) и сложим с четвертым; третье уравнение, чтобы при 3x получить 1, разделим на 13. Имеем:

142132

1310

1023353

43

43

432

4321

xx

xx

xxxxxxx

Первый три уравнения не решаем, третье сложим с четвертым, чтобы исключить 3x из четвертого уравнения. Получим в итоге:

5132

1310

1023353

4

43

432

4321

x

xx

xxxxxxx

Прямой ход метода Гаусса доказан. Обратным ходом получаем 54 x ,

451310

32

3 x , 125243102 x ,

1454512331 x .


654132

и В =

304

152. Найти матрицу

2А+3В.

2А+3В= 2

654132

+3

304

152=

12108264

+

90123156

=

=

912010128

3215664=

31020

592


20053412

и В=

854

732. Вычислить

матрицу АВ=

854732

=

)8()2(70)5)(2(304)2()2(0)8(07)5()5(03)5(40)2)(5(

)8)(3(74)5)(3(344)3()2(4)8)(1(72)5()1(324)1()2(2

=

=

16108351510

52272022118

Пример. Найти обратную матрицу для матрицы А=

121412311

Решение. Вычислим определитель det

121412311

=6 0 . И вычислим

все алгебраические ее дополнения

91241

)1( 1111

А , 5

1231

)1( 1221

А , 74131

)1( 1331

А ,

61142

)1( 2112

А , 4

1131

)1( 2222

А , 2

4231

)1( 21332 А ,

32112

)1( 3113

А , 3

2111

)1( 3223

А , 312

11)1( 313

33

А

Тогда обратная матрица

21

21

21

31

32

66

67

65

23

1А

Пример Найти вектор BA

, если А(2;-1;3) и В (4;-2;3)

Решение

jikjiBA 2331224

Ответ {2;-1;0}

Пример Даны точки А (4;2;1) и В (3;5;4), найти модуль вектора BА :

Решение

19991142543 222 BА

Ответ 19

Пример Решение

Найти ba

, если 7;2;4 а

и 7;2;3b

: kikjiba 147)77(2234

Ответ: {7;0;-14} Пример

Найти скалярное произведение ba, , если угол между векторами равен

4 , а 3a , 4b

Решение 26

4cos3*4cos*,

baba

Ответ: 26

Пример.Решение

Даны векторы 3;0;2a , 4;3;1b

, найти ba, :

101224*33*01*2, ba

Ответ: 10Пример. Найти угол между векторами aи b

, если ,32 kjia

kjib

246 .Т.е. a = (1, 2, 3), b

= (6, 4, -2)

ab

= 6 + 8 – 6 = 8:5641636;14941 ba

.

cos = .72arccos;

72

144

141428

56148

Пример. Найти скалярное произведение (3 a - 2b

)(5 a - 6b

), если .3/^,6,4 bаba

15 aa- 18 ab

- 10 ab

+ 12bb

= 15

216428161512

3cos28

22 bbaa

+ 1236 = 240 – 336 + 432 = 672 – 336 = 336.Пример 16. Даны векторы }1,2,2{a и }2,3,6{ b . Найти bnpa

и anpb .Решение. Если базис не указан, то он подразумевается декартовым. Найдем

3144 a , 74936 b , ),( ba 162612 . Тогда

316),(

ababnpa , 7

16),(

bbaanpb .

Пример 17. Найти ],[ bac , если kjia 22 , kjib 632 . В ответе укажите координаты c .Решение. В декартовом базисе векторное произведение ищется по формуле

3222

6212

6312

632122],[ kjikji

ba

kji 101015 , то есть }10,10,15{ c .Пример18. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах

baba

3;3 , если .30^;1 0 baba

abababbbabbaaababa 89393)3()3(

430sin8 0 abS (ед2).

&&&

$$$003-001-002$3.3.1.2 Задания или тестовые вопросы для самоконтроля к занятию 1

Задания для самостоятельного решения.

1. Решить матричное уравнение

9553

4321

X .

2. Вычислить определитель 4023

3. Найти обратную матрицу для матрицы А=

221013311

4. . Решить систему уравнений

2312

21

21

õõõõ

5. Даны матрицы А=

4412

и В=

210

732. Вычислить матрицу АВ

6. Даны векторы )6,3,1( à и )3,0,1( b . Найти координаты вектора ba 332

7. Вычислить ),,( cba , если kjia 432 , kjib 3 , kic .8. Найти ],[ bac , если kjia 3 , kjib 2 . В ответе укажите координаты c .9. Найти объем пирамиды с вершинами )4,3,2(A , )1,2,1( B , )0,2,1( C .10. Найти площадь параллелограмма , построенного на векторах )6,3,1( à и

)3,0,1( b

&&&$$$003-002-000$3.3.2 Модуль 1.Аналитическая геометрия &&&$$$003-002-001$3.3.2.1 Методические указания к практическому занятию №2

Пример. В пространстве 2R , т.е. на плоскости, даны три точки 2,5 A , 4,3B , 0,1C . Требуется

1) найти длину отрезка AB ;2) найти косинус угла ABC ;3) составить уравнение высоты CD , проведенной из вершины C на AB ;4) найти расстояние от точки C до отрезка AB (двумя способами).

Решение. 1) Если на плоскости даны точки 11 , yxA , 22 , yxB , 33 , yxC , то вектор

jyyixxAB 1212

____

, jyyixxCB 3232

____

.

Рассматриваемой примере jiAB 62____

, jiCB 44____

. Расстояние между

точками A и B есть длина вектора ____

AB .

102403642453 22212

212

____

yyxxAB .

2) Из определения скалярного произведения векторов

ba

baba

____

____,

cos , тогда ________

_________

,cos

CBAB

CBABABC

.

Выше мы нашли 102____

AB . Найдем 2416164031 22____

CB .

Скалярное произведения 164642,________

CBAB ,

51

522

20816cos ABC .

3) Чтобы составить уравнение высоты, проведенной из вершины C на AB , составим уравнение AB как уравнение прямой, проходящей через две точки 11 , yxA , 22 , yxB , по формуле:

12

1

12

1

yyyy

xxxx

.

242

535

yx

; 6

225

yx

; 3

215

yx

.2153 yx , 133 xy , 133 xy . Угловой коэффициент прямой AB

3ABK . Поскольку уравнение прямой, проходящей через точку 00 , yx с данным угловым коэффициентом K имеет формулу: 00 xxKyy . Чтобы определить угловой коэффициент CD , воспользуемся условием, что если две прямые взаимно перпендикулярны, произведение их угловых коэффициентов

равно 1 , т.е. 1 CDAB KK , AB

CD KK 1

, 31

CDK .

Уравнение прямой, проходящей через точку 0,1C с угловым

коэффициентом 31

CDK имеет вид: 1310 xy или

31

3

xy .

4) Найти расстояние от точки C до прямой AB , значит вычислить длину перпендикуляра CD . Найдем координаты точки D , решив систему

уравнений

13331

3xy

xy.

13331

3 xx

, 31133

3 xx

, 3810 x , 8,3x , 6,138,4

318,3

y . 6,1;8,3D .

Найдем вектор ____

CD . jiCD 6,18,4____

.

106,16,2556,204,236,18,4 22____

CD .

Второй способ нахождения расстояния от точки C до прямой AB , основан на том, что если уравнение прямой 0 cbyax привести к

нормальному виду, умножив на нормирующий множитель 22

1

ba

0 cbxax , то расстояние от точки 00 , yx до этой прямой равно cbyaxd 00 . Знак перед корнем 22 ba берется противоположенным к

знаку свободного члена.:AB 133 xy или 0133 yx .

101

191

. ,10 x 00 y .

106,110

1610

1301011

103____

CD .

Пример 2. Составить уравнение линии, каждая точка каждой отстоит от точки 0,3A втрое дальше, чем от прямой 1x .Решение.

y D M

0,3A

-1 0 x

На схеме видно, что если точка yxM , лежит на искомой линии, то MAMD 3 . jyixMA 3

_____, 223 yxMA . yD ,1 ; jixMD 01

_____

,

xMD 1_____

. xyx 133 22 ,

222 21969 xxyxx ,0248 22 yxx .

Пример 3. Векторы 0,4,2__

1a , 1,5,3__

2a , 1,5,2___

3a , 0,16,8__

b заданы своими

координатами в некотором базисе. Показать, что векторы __

1a , __

2a , __

3a образуют базис и найти координаты вектора в этом базисе.

Решение. Составим матрицу из координат векторов __

1a , __

2a , __

3a , приняв

их за столбцы матрицы:

110554232

. Это матрица квадратная и ее

определитель 04110554232

. Следовательно ее ранг равен 3, векторы __

1a , __

2a ,

__

3a линейно независимы и образуют базис.

Найдем координаты, вектора __

b в этом базисе, т.е. коэффициенты ,x ,y z разложения

321

__

zayaxab

перепишем векторное уравнение в виде системы линейных уравнений

1165548232

zyzyxzyx

.

Решим эту систему по правилу Крамера

xx ,

yy ,

zz .

4 , 111115516238

x , 21105164282

y , 2110

1654832

z ,

411

x , 21

y , 21

z .

321 21

21

411 aaab , т.е. в базисе

__

1a , __

2a , __

3a имеем

21,

21,

411__

b .

Пример 4. Дано уравнение гиперболы 7453

xxy , требуется путем

параллельного переноса системы координат привести ее к виду kxy , построить обе системы координат и гиперболу.

Преобразуем выражение

47

35

47

47

43

474

353

7453

x

x

x

x

xx

4721

1143

47

211

47

43

xx

x;

4721

143

xy

;

4721

143

xy

асимптоты

гиперболы – прямые 47

x , 43

y . Сделаем замену переменных 43/ yy ,

47/ xx ; /

/

211x

y , получаем 211// yx . Асимптоты гиперболы – прямые

43

y , 47

x . y /y

x

/x

Пример . Написать уравнение плоскости, проходящей через точку )3,1,0(1 M параллельно векторам }2,4,1{1 l и }1,2,2{2 l .

Решение. Возьмем на плоскости текущую точку ),,( zyxM и соединим ее с точкой 1M . Получим вектор }3,1,{1 zyxMM .

Векторы MM1 , 1l и 2l компланарны, следовательно

0),,( 211 llMM . Это и будет уравнение искомой плоскости в векторной форме, так как ему удовлетворяет любая точка этой плоскости и не удовлетворяет никакая другая точка (если взять точку M , лежащую выше или ниже плоскости, то MM1 не будет лежать в плоскости и MM1 , 1l , 2l не будут компланарными, а значит их смешанное произведение не равно нулю).

В координатной форме уравнение плоскости будет иметь вид

012224131

zyx, или, раскрывая определитель, 0331038 zyx .

Пример . Написать канонические и параметрические уравнения

прямой

.0454,0242

zyxzyx

Решение. Положим 0z , тогда получим

,44,22

yxyx

откуда находим

1x , 0y . Фиксированная точка )0,0,1(0 M . }4,1,2{1 N ,

}5,1,4{2 N , kjikji

NNl 669514412],[ 21

, }2,2,3{|| 1 ll .

Канонические уравнения: 223

1 zyx

. Обозначая tzyx

2231

,

получим параметрические уравнения: tx 31 , ty 2 , tz 2 .

Пример . Проверить, лежат ли прямые 13

21

1

zyx

и

51

31

22

zyx

в одной плоскости.

Решение. Из уравнения прямых находим }1,2,1{1 l , }5,3,2{2 l , )3,1,0(1 M , )1,1,2(2 M , тогда }4,2,2{21 MM . Если прямые лежат

в одной плоскости, то векторы 2121 ,, MMll компланарны, значит

0),,( 2121 MMll . Для проверки этого условия запишем его в координатной форме:

028)64(1)108(2)1012(1422532121

,

следовательно прямые не лежат в одной плоскости, т.е. скрещиваются.

Пример. Даны координаты вершины пирамиды 4,1,31A , 1,6,12 A , 6,1,13 A , 1,4,04 A . Найти

1) длину ребра 21 AA ;2) угол между ребрами 21 AA и 41 AA ;3) уравнение плоскости 321 AAA ;4) угол между ребром 41 AA и гранью 321 AAA ;5) площадь треугольника 321 AAA ;6) объем пирамиды 4321 AAAA ;7) уравнение прямой 21 AA ;8) уравнение высоты, опущенный из вершины 4A на грань 321 AAA .

Решение. 1) Длина ребра 21 AA может быть найдена как длина вектора

_____

21 AA .

Найдем вектор _____

21 AA .

kjikjiAA 354411631_____

21 ,

255092516354 222_____

21 AA .2) Угол между ребрами 21 AA и 41 AA ищем с помощью скалярного

произведения. Обозначим искомый угол .

______

41

_____

21

_____

41

_____

21 ,cos

AAAA

AAAA

; kjikjiAA 533411430_____

41 ;

42151512533534,______

41

______

21

AAAA ;

432599533 222_____

41 AA ;

91,04325

42cos

; 24 .

3) Составим уравнение плоскости 321 AAA , где 4,1,31A , 1,6,12 A , 6,1,13 A , в виде уравнения

0461131411631413

zyx

;

0204354413

zyx

.

Как в примере 2, раскроем выражение, записанное в виде определителя 3-го порядка: 0330124454404431253 xyzzyx 018420112310 yzyx ;

088802012123010 yzyx ;0130202010 zyx или 01322 zyx .

Вектор kjin 22 перпендикулярен плоскости 321 AAA .4) Угол между прямой и плоскостью находим как угол между

векторами, один из которых параллелен прямой, другой перпендикулярен плоскости. Вектор kjikjiAA 533411430

_____

41 . Найдем угол

между векторами __

n и 41 AA .

______

41

__

_____

41

__

,cos

AAn

AAn

. Скалярное произведение векторов __

n и 41 AA :

59506155103235,_____

41

__

AAn .

129100425__

n , 43______

41 AA .

79,056,636,11

5943129

59cos

; 37 или 14337180 .

5) Площадь грани 321 AAA это есть площадь треугольника 321 AAA . Формулу для площади треугольника с вершинами 1111 ,, zyxA , 2222 ,, zyxA ,

3333 ,, zyxA , найдем с помощью векторного произведения векторов _____

21 AA , _____

31 AA по определению модуль векторного произведения равен площади параллелограмма, построенного на векторах как на сторонах, а площадь треугольника равна половине площади параллелограмма. Итак, векторы, образующие 321 AAA есть kjikjiAA 354411631

_____

21 ,

kjikjiAA 204461131_____

31 .

kjikjikji

AAAA 2020100454

2434

2035

204354

_____

31

_____

21

;

1590021400400100

21

321 AAAS .

6) Объем пирамиды 4321 AAAA вычисляем как 61

модуля смешанного

произведения векторов _____

21 AA , _____

31 AA , _____

41 AA . kjiAA 354_____

21 ; kjiAA 204_____

31 ;

kjiAA 533_____

41 .

3211

335

670241003036

61

533204354

61

4321

AAAAV .

7) Составим уравнение прямой 21 AA . Известен вектор kjiAA 354_____

21 и точка 4,1,31A , через которую проходит прямая. Ее канонические уравнения

имеют вид: 34

51

43

zyx

.

8) Высота, опущенная из вершины 4A на плоскость 321 AAA , проходит через точку 1,4,04 A , параллельно вектору kjin 22 , поэтому ее

уравнения будут: 2

12

41

zyx.

&&&$$$003-003-002$3.3.2.2 Задания или тестовые вопросы для самоконтроля к занятию 2

1. Треугольник задан координатами своих вершин )4,4(A , )1,6( B , )4,2( C .Найти площадь

2. Составить уравнение прямой проходящей через точки )0,3(A , )1,2( B ,3. Найти расстояние от точки )0,3(A до прямой 02034 yx

4. Найти расстояние между точками )1,3( B , )1,2( C . 5. Найти середину отрезка )1,3( B , )1,2( C .&&&

$$$003-003-000$3.3.3 Модуль 1 Введение в математический анализ. Предел функции. Непрерывность функции. &&&$$$003-003-001$3.3.3.1 Методические указания к практическому занятию №3

Пример: Найти пределы:

а) 7

13124325

1435lim

2

xx

x, б)

1435lim

xx

x. т.к.

35lim x

x ,

14lim xx , то

1435lim

xx

x, это есть неопределенность, преобразуем

1435

xx

, выносим в

числителе и знаменателе x за скобку, отметим, что 0lim x

cx

, т.е. 03lim xx

,

01lim xx

, 45

14

35lim

1435lim

x

xxx

xx.

Пример 2. а) Найти xx

xx 4

16lim 2

2

4

. Числитель и знаменатель дроби при

4x стремятся к нулю; пример представляет неопределенность вида 00

, т.е.

00

416lim 2

2

4

xxx

x. Для вычисления предела упростим дробь, разложив числитель

и знаменатель на множители и сократив множитель 4x .

248

444lim

416lim

42

2

4

xxxx

xxx

xx.

б) Найти 154523lim 2

2

1

xxxx

x . Здесь имеет место неопределенность вида

00

.

Числитель и знаменатель есть квадратные функции, разложим их на

линейные множители: 5313513523 2

xxxxxx ,

1414114154 2

xxxxxx .

3

8141531lim

154523lim

12

2

1

xxxx

xxxx

xx.

Пример 3. а) Найти 3

326lim3

x

xxx

. При 3x , числитель и

знаменатель дроби равны 0. Имеем неопределенность вида 00

, чтобы ее

раскрыть, умножаем числитель и знаменатель дроби на величину, иррационально сопряженную числителю

6

13263

326lim3263

326326lim33

xxxxx

xxxxxxx

zz.

б) Найти 22 131lim xxxxx

. Это неопределенность , чтобы ее

раскрыть, умножим и разделим данное выражение на 22 131 xxxx .

22

22

22

2222

131

131lim131

131131limxxxx

xxxx

xxxx

xxxxxxxxxx

22 131

2limxxxx

xx ( в знаменателе вынесем за скобки x )

122

1111312lim

22

xxxxx

xx .

Пример 4. а) Найти x

xx

7sinlim0

. Используем первый замечательный

предел, тогда 77

7sin7lim0

x

xx

.

б) 00

cos12cos1lim

0

xx

x по формуле тригонометрии

2sin2cos1 2 , тогда

имеем 4

2sin

2sin

sinsinlim

2sin2

sin2limcos1

2cos1lim02

2

00

xx

xx

xx

xx

xx

xx

xxx .

Пример 5. а) Найти x

x x

41lim . Это неопределенность 1 . Используя

второй замечательный предел, находим 4

4

441lim ex

x

x

.

б) 1ln2lnlim

xxxx Используем свойства логарифмов и

преобразуем данное выражение x

xx xx

xxx

12lim

12lnlim в выражении

12

xx

выделим целую часть. Имеем 1

311

3112

xxx

xx

.

131lim

131limln

131

131limln

131limln

1111

xxxxx x

x

x

x

x

x

x

3ln 3 e .

Пример 6.xx

x 3sin

sin1

lim

. Первый замечательный предел применить

нельзя, так как аргументы x и x3 у синусов не стремятся к нулю при 1x. Поэтому положим yx 1 , тогда при 1x будет 0y . Тогда

31

33sin3sin

3sinsin

)1(3sin)1(sin

3sinsin

0001limlimlimlim

yyyyyy

yy

yy

xx

yyyx

Пример 7. eexxx

x

x

x

x

11111)1(11

55limlim .

Пример 8. 62

31

33

2

3)]3(1[)1()2( limlim exx

xx

xx

x

x

.

Пример 9.

xx

x xxxx

xxxx

2

2

22

2

211

243183)1(

243183lim

88243

224243)112(2

112243

21lim

2431121

2

222

lime

eexx

x xxxx

x

xxxx

xxx

x

.&&&$$$003-003-002$3.3.3.2 Задания или тестовые вопросы для самоконтроля

.

1. Вычислить предел 4523lim 2

2

1

xxxx

x

2. Вычислить предел4322lim 2

2

xxxx

x

3. Вычислить предел4

22lim 22

xx

x

4. Вычислить предел 11lim

nnn

5. Вычислить предел43

23lim 2

xxx

x

&&&$$$003-004-000$3.3.4 Модуль 1. Производная функции. Производная сложной функции. Основные теоремы. &&&$$$003-004-001$3.3.4.1 Методические указания к практическому занятию №4

Пример

Найти производную функции y=5lgx-cos3

Решение

10ln

5 3

cos-5lgxx

y

Ответ: 10ln5

xy

Пример 2

Найти производную функции f(x)=ln tg2x

, в точке x=2

.

Решение

2

cos2

2

1)(2 xxtg

xf

1

4cos

42

1)2

(2

tgf

Ответ: 1

Пример 3Найти производную функции у=arcsin хе

Решение

x

x

е

e2

x

1 ))(arcsin(e=у

Ответ: x

x

е

e21

у

Пример 4.

Найти производные dxdy

а) 3

11

xxxy

; б) 142

3 xarctgy ; в) xxe 4cosln2 ; г) xextgy 31 2 ;

д) 12arcsin

xxy

Решение.

а) Функция 3

11

xxx

, есть произведение функций xxu , 3

11

xxxv

.

По формуле производной произведения /1

31

3

/

31

3/

11

11

31

11

11

11

xx

xxx

xx

xxx

xxx

dxdy .

Функцию xx

11

рассматриваем как отношение функций xu 1 , xv 1 ,

22

//

12

11111

11

xxxxxx

xx

.

б) 142

3 xarctgy . При нахождении производной нам понадобится следующие формулы

// ln uaaa uu , //2 2 uuu , 2

//

1 u

uarctgu

, abax / .

Итак, /14/214/14 141423ln3143ln33

222

xarctgxarctgxarctg xarctgxarctgxarctg

2

14/2

14

14114arg33ln814

14111423ln3

22

xxtgx

xxarctg xarctgxarctg .

в) xxe 4cosln2 . Данная функция есть произведение двух функций 2xu , xv 4cosln .

2//2/ 4cosln4cosln xxxxy , uuu

//ln , тогда

44sin4cos

4cosln24cos4cos

4cosln22

/2

/ xx

xxxxx

xxxy

xtgxxx 444cosln2 2 .г) xextgy 31 2 .

Эта функция тоже есть произведение двух функции xtgu 31 2 , xev .

xtgeex

xtgxtgeextgy xxxx 3133cos

1323131 22//2/

xtg

xtgxe x 31

3cos6 2 .

д) 12arcsin

xxy .

Данная функция является отношением двух функций xu 2arcsin , 1xv . По формуле производной частного имеем

2

2

2

///

1

2arcsin41

)1(2

1

2arcsin112arcsin

x

xx

x

x

xxxxy .

Пример 5. Найти дифференциал функции xexy 22 )2( Решение .. По формуле дифференциала

dxexxdxexxedxexexdxexdy xxxxxx 22222/222/222 )422()2)2(2()))(2()2(())2((

Пример 6 Составить уравнение касательной к кривой xexy 22 )2( Решение Уравнение ккасатальной ))(()( 000 xxxfxfy . Найдем производную xxx exxexxexf 22222/ )422(2)2(2)( Тогда 4)0(/ f . Также 2)0( f Тогда уравнение касательной )0(42 xy или 24 xy

Пример 7. Найти производную второго порядка 2

1

õ

y

Решение Найдем первую производную 2/

)2(1

õ

y , 3//

)2(2

õ

y ,

4///

)2(32

õ

y , 5)4(

)2(432

õ

y ,..., 1)(

)2(...432)1(

nnn

õny

Пример:

tty

ttx2cos

2sincos.

Решение

Эта функция задана в параметрической форме. В этом случае /

//

t

tx x

yy .

ttttttxt 2cos2sin2sincos2sincos ////

tttttttyt 2sin22cos2cos2cos ///

Ответ:

.Пример:

xxy 3sinРешениеНайдем логарифм данной функции:

)3ln(sin3sinlnln xxxy x Дифференцируя обе части этого равенства, получим

xxxx

xyy

3sin3cos3)3ln(sin

21

Откуда

)332

3sinln( xctgxx

xyy

или

)332

3sinln( xctgxx

xyy

)332

3sinln()3(sin xctgxx

xxy x

Ответ: )332

3sinln()3(sin xctgxx

xxy x

ttttt

xy

yt

tx 2cos2sin

2sin22cos/

//

&&&$$$003-005-000$3.3.5 Модуль 1. Правило Лопиталя и исследование функции и построение графика при помощи производной.&&&$$$003-005-001$3.3.5.1 Методические указания к практическому занятию №5ПримерПрименяя правило Лопиталя, найти предел функции

2123

2

2

1lim

xxxx

xРешение

34

1226

2123

limlim1

2

2

1

xx

xxxx

xx

Ответ: 34

Пример-2Применяя правило Лопиталя, найти предел функции

ctgxx

x

lnlim

0

Решение:

xx

xx

ctgxx

xxx

2

0200

sinlimsin/1/1limln

lim

С последнего предела выйдет неопределенность 0/0, обратно применим правило Лопиталя

012sinsinlimln

0

2

00lim

ximlx

xctgx

xxxx

Ответ: 0

Пример-3. Найти точку 00 , yxM линии xfy , в которой касательная перпендикулярен прямой 0 CByAx . Составить уравнения этой касательной 154 2 xxy ;

063 yx .

Решение. Если кривая задана уравнением xfy , то tgxf 0/ , где

- угол, образованный с положительным направлением оси ox касательной к кривой в точке с абсциссой 0x . Уравнения касательной в точке 00 , yx имеет вид 00

/0 xxxfyy . Данная функция 154 2 xxxf , имеет

производного 58/ xxf . Угловой коэффициент прямой 063 yx равен

31

. Найдем, в какой точке касательная перпендикулярна прямой. В этой точке

произведения угловых коэффициентов равно 1 .

15831

x .

Решая это уравнение, получим 10 x , подставляя в уравнения функции, получим 21540 y . 2,1M , 30

/ xf уравнение этой касательной )1(32 xy , 053 xy .

Пример . Построить график функции 4

xxy .

1. Область определения функции 4;04 xx . ,4yD .2. Функция не является ни четный, ни нечетный, её график несимметричен.3. найдем точки пересечения с осями координат. Таких точек нет, поскольку

0y при 0x , но 0x не входит в ОДЗ.

4. Функция имеет разрыв при 4x . Найдем 4

lim04 x

xx , 4x является

вертикальной асимптотой.

Наклонных асимптот нет, так как 0

4limlim

xxx

xxyK

xx , но

0

4lim

xxb

x.

5. Определим экстремумы функции и интервалы возрастания и убывания функции

23

/

42

8)4(42

)4(24

4214

x

xxx

xxx

xxx

y ,

0/ y при 08 x , 8x ;при 8x , 4y . График проходит через точку 4,8 . Стационарная точка 8x делит ОДЗ на интервалы 8,4 ; ,8 .при 84 x , 0/ y , функция убывает;при x8 , 0/ y , функция возрастает;при 8x , функция имеет минимум.6. Найдем интервалы выпуклости и вогнутости, а также точки перегиба кривой

25

253

21

23

//

44

16

4

2434241

4

84324

21

x

x

x

xxx

xxxy .

0// y при 16x , 7,412

1616 y .

Точка 16x делит ОДЗ на интервалы 16,4 , ,16 ;при 164 x , 0// y функция выпукла,при x16 , 0// y функция вогнута,при 16x , у кривой – перегиб. Построим график y

x

4 8 16

Пример . Исследовать функцию 12

3

xxy и построить ее график.

1) Находим область существования функции. Очевидно, что областью определения функции является область (-; -1) (-1; 1) (1; ). Областью значений данной функции является интервал (-; ). Точками разрыва функции являются точки х = 1, х = -1.2) Функция нечетная, т. е. график симметричен относительно оси ОУ3) Находим критические точки первой производной

22

24

22

424

22

322

)1(3

)1(233

)1(2)1(3

x

xxx

xxxx

xxxxy Критические точки: x = 0; x = -

3 ; x = 3 ; x = -1; x = 1.

4) Находим критические точки второй производной

42

224223

)1()1(4)3()1)(64(

xxxxxxxxy 32

2

)1()3(2

xxx . x = -1; x =1; х=0

5) Таблица

х 0 )1;0( 1 )3;1( 3 );1(

у 0 - - 0 +/y 0 - + +//y 0 убывает

выпуклая

убываетвогнутая 2

33 возрастаетвогнутая

Видно, что точка х = - 3 является точкой максимума, а точка х = 3 является точкой минимума. Значения функции в этих точках равны

соответственно -3 3 /2 и 3 3 /2.

6) прямые х = 1, х = -1 являются вертикальными асимптотами кривой. Теперь найдем наклонные асимптоты.

;111

1lim1

lim

2

2

2

xx

xkxx 0

11

1

lim1

lim1

lim

2

2

33

2

3

x

xx

xxxxx

xbxxx

Уравнение наклонной асимптоты – y = x.7) Пересечение с осями координат только одна точка (0, 0)

8) Построим график функции:

-2 -1 1 2

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

Пример. Найти наибольшее и наименьшее значение функции xfy на отрезке ba, .

21 xxxf

, 3,2 .

Решение. Находим производную

22

2

22

22

/2

/22//

1

1

1

21

1

11

x

x

x

xx

x

xxxxxf

.

0/ xf в точках 11 x , 12 x .

Определяем значения функции в этих точках: 211/ f ,

211/ f .

Вычисляем значения данной функции на границах промежутка:

522 f , 3,03 f . Из полученных значений выбираем наибольшее и

наименьшее. Итак, наибольшее значение на данном отрезке равно 21

,

наименьшее 21

.

&&&$$$003-005-002$3.3.5.2 Задания для контроля по модулю 1

Задания Модуль 1

1. Найти произведение матриц

1453

A и

21

32B

2. Вычислить определитель

3121231214123121

.

3. Дана матрица

2143

A . Найти обратную матрицу 1A .

4. Найти косинус угла между векторами 3;2;1a и 2;4;6 b

5. Найти расстояние от точки 3;2;1 M до плоскости 0435 zyx

6. Вычислить предел 416lim

2

4

xx

x

7. Величина предела82

412lim 24

xxxx

x равна

8. Величина предела x

x xx

1212lim равна

9. Дана функция xtgxу cos153 . Найти её производную y

10. Найдите

2| f , если

2xctgxf .

&&&$$$003-006-000$3.3.6 Модуль 2. Неопределенный интеграл. Методы интегрирования&&&$$$003-006-001$3.3.6.1 Методические указания к практическому занятию №6Пример-1

Cxxdxx413

4133

Ответ: 4

4x

Пример-2

22

1)4

11

1(22

Cxarctgarctgxdxxx

Ответ cxarctgarctgx 22

1

Пример-3

Cxxxdxx 4arcsin816

216 22

Ответ: cxxx

4arcsin816

22

Пример-4

Cxtdtt

dtdx

dtdxtx

dxx

)53sin(31sin

31cos

31

31

353

)53cos(

Пример-5

Cxtdtt

dtdx

dtdxtx

dxx

16)74(

441

41

41

474

)74(44

33

Пример-6

Ceexdxeex

xudxxe xxxx

xx 43434343

43x4343

91

331

3e31dx vedv

dxdu

Пример -7. Найти xdxe x 3cos2 .Такой интеграл вычисляется методом, который получил название

«интегрирования по частям». Интегрированием по частям называется нахождение интеграла по формуле vduuvudv , где xuu , xvv - непрерывно-дифференцируемые функции от x . С помощью этой формулы нахождения интеграла udv сводится к отысканию другого интеграла vdu , обозначим искомый интеграл

xdxexeedvvdvdxe

duxdxuxxdxeI xx

xxx 3sin

233cos

21

21

3sin33cos3cos 22

222

полученный интеграл вычисляем тем же способом:

xdxexexeevdvdxe

duxdxuxxxx

xx 3cos233sin

21

233cos

21

21

3cos33sin222

22

Ixexe xx

493sin

433cos

21 22 . Получили равенство:

IxexeI xx

493sin

433cos

21 22 ,

xexeI xx 3sin433cos

21

413 22 ,

cxxeI x

3sin

233cos

132 2 .

&&&$$$003-007-000$3.3.7 Модуль 2. Методы интегрирования&&&$$$003-007-001$3.3.7.1 Методические указания к практическому занятию №7

Пример Найти dx

xxx

3417

2

3

.

Под интегралом функция, в числителе которой многочлен третьей степени, а в знаменателе – второй. Согласно теории интегрирования нужно выделить целую часть и разложить знаменатель на множители, тогда получим, что,

)3)(1(29134

3417

2

3

xx

xxxx

x.

Методом неопределенных коэффициентом представим дробь )3)(1(2913

xx

x в

виде суммы простейших дробей: 35

18

)3)(1(2913

xxxxx

.

cxxxxxdx

xdxdxxdxdx

xxx 3ln51ln84

235

184

3417 2

2

3

.

Пример. Найти

102

232 xx

dxx.

Согласно теории, учитывая, что в знаменателе подинтегральной функции находится квадратный трехчлен, а в числителе – многочлен первой степени, делаем замену: zxx 1022 , тогда dzdxx 22 . В числителе подинтегральной функции сделаем преобразования, которых требует замена:

dxdxxdxdxxdxxdxxdxx 52223

310

2322

23

34222

23

342

2323

.

1025

102

2223

102

23222 xx

dx

xx

dxx

xx

dxx.

В первом слагаемом осуществляем замену, обозначенную выше, во втором – преобразуем квадратный трехчлен, выделив полный квадрат:

1111112102 222 xxxxx . Получим

1111ln52

23

111

1523

1115

23 22

1

221

2xxz

x

xddzzx

dxz

dz

cxxxxx 1121ln51023 22 .Пример

Найти интеграл dx

xxxxx

3

23

)2)(1(9136

.

Шешуі: 3

23

)2)(1(9136

xxxxx

разложим на простые дроби, и получим

.)1(

)1()2)(1()2)(1()2(

)2()2(2`)2)(1(9136

23

323

23

xxDxxCxxBxA

xD

xC

xB

xA

xxxxx

.12266)3)(4()2)(4()2)(3( 2 xxxxCxxBxxA

Если 1x , то ;1A если 2x , то ;11 DD

Приравняем коэффициенты 3x и найдем ;01 BBA Припавнивая коэффициенты 0x , определим

;09248 CDCBA

Отсюда

.)2(2

11ln)2(

11

123 C

xxdx

xx

Пример. Проинтегрировать

Cx

tg

xtg

Ctt

t

td

ttdt

tt

tt

tdt

tt

tt

x

tx

tg

xxdx

212

212ln

21

2121ln

222

21

12

11122

11

12

12

11cosx

12sin

t12dtdx

2cossin

22

2

2

2

2

2

2

2

2

2

Пример. Для вычисления интеграла

2

3

49

)2(

x

dxx воспользуемся

заменой tx sin23 . Тогда ,cos2

3 tdtdx ttx cos3sin9949 22 , tx 38273 sin22

и исходный интеграл равен интегралу dtt)sin1( 31627 . Далее,

tdttdtt cos)cos1()sin1( 216273

1627 Cttt 3

4827

1627 coscos

Cxxx )(arcsincos)cos(arcsinarcsin 323

4827

32

1627

32 .

Пример. Определить интеграл

CtFdttRdtttttt

ttt

tt

dtt

tt

dtt

ttdt

t

tttdx

ttt

ttt

xxtt

x

txtxxttxxxxtxx

c

xxx

dx

112

11

112

1

1

2

1

222

1

12212

,1

111

21,112

21,121,11

,0

1

22

2

2

2

2

22

2

22

2

22

2

2

2

2

22

2

22222

2

Подставим вместо xxx

t112

&&&$$$003-006-002$3.3.6.2 Задания или тестовые вопросы для

самоконтроля к занятию 6

1. Вычислить интеграл dx

xxx

)2)(1(2

2. . Вычислить интеграл dx

x 3)13(2


xxx

323

2


xxx

)1)(1( 2


xx

32

2

2

&&&

$$$002-008-000$3.2.8. Модуль 2. Определенный интеграл Формула Ньютона – Лейбница. Методы интегрирования.&&&$$$003-008-001$3.3.8.1 Методические указания к практическому занятию №8

Пример -1 3

02cos

sin

dxxxx Применяя формулу Ньютона –Лейбница

определите интеграл.Шешуі:

.125ln

32

42ln

3cos3coscos

cosx1 v,

cossinxdxdv ,

cossin 3

0

3

0

30

23

02

tg

xtgx

dxx

x

dxdu

xxu

dxxxx

Пример-2 Вычислить 1

0

22 1 dxxx .

Произведем замену переменной tx sin , для переменной t определим интервалы интегрирования. Если 0x , то 0sin t , 0t . Аналогично, когда

1x , то 1sin t , 2

t . Итак, переменная t определяется в интервале 0 и 2

.

tdtdx cos ; tx cos1 2 .

2

0

221

0

22 cossin1

tdttdxxx

По формуле 2sincossin2 находимttt 2sin

41cossin 222 .

2

0

2 2sin41

tdt

Применяя формулу 2

2cos1sin 2 определяем

2

0

2

0

2

0

20

20 16

|4sin321|

814cos

81

814cos1

81

tttdtdtdtt .

Пример-3 Найти определенный интеграл с помошью метода интегрирования по –частям.

491

76

491

491ln

71

7

7ln

771ln

77x v,

xdxdu ,ln

ln

777

2

7

1

7

1

71

7

17

6

6

eee

xx

xx

dxxx

x

dxxdv

xuxdxx e

ee

e

Пример. Вычислить определенный интеграл 1

0

22 1 dxxx .

Выполним замену tx sin , определим пределы интегрирования для

переменной t , если 1,0x . При 0x , 0sin t , 0t . При 1x , 1sin t , 2

t .

Следовательно, t меняется от 0 до 2

. tdtdx cos ; tx cos1 2 .

2

0

221

0

22 cossin1

tdttdxxx

Из тригонометрии известно, что 2sincossin2 , тогда ttt 2sin

41cossin 222 .

2

0

2 2sin41

tdt

применяем формулу 2

2cos1sin 2

2

0

2

0

2

0

20

20 16

|4sin321|

814cos

81

814cos1

81

tttdtdtdtt .

Пример. Вычислим площадь фигуры, ограниченной графиками функций 24 xy , xxy 22 .

Найдем точки пересечения линий, для чего решении совместно уравнения кривых

xxx 24 22 ,022 xx , 21 x , 12 x .

Таким образом, заданные кривые пересекаются в точках 0,2 , 3,1 . y 4

1 2 x

Площадь искомой фигуры определяем с помощью интеграла

2

1

2

1

2

1

23222 11432

31648

32422424 xxxdxxxdxxxxS

Пример -3. Найти площадь плоской фигуры, ограниченной кривой ttx sin3 , ty cos13 и осью ox .

Решение. Искомая область ограничена аркой циклоиды. Эта дуга описывается фиксированной точкой на окружности радиуса 3 , которая катится без скольжения по прямой 0y . В начале движения фиксированная точка совпадает с началом координат. За параметр t принимаем угол поворота радиуса окружности, проходящего через фиксированную точку. Точка окружности опишет арку циклоиды, когда t меняется от 0 до 2 .

Если кривая задана параметрическими уравнениями txx , tyy , то площадь криволинейной трапеции, ограниченной этой кривой, прямыми

ax , bx и выражается формулой

2

1

/t

t

dttxtyS ,

где 1t и 2t определяются из уравнений 1txa , 2txb . ( 0ty при 21 ttt ). В рассматриваемом примере dttdx cos13 , а t меняется от 01 t до 22 t .

Итак,

272sin41

21sin219coscos219cos13

2

0

2

0

2

0

222

tttdtttdttS .

Пример . Найти длину дуги кривой cos1 . Решение.Если гладкая кривая задана в полярных координатах уравнением , то длина дуги равна:

dl2/2 .

Найдем и , для этого положим. В силу четности функции график cos1 симметричен относительно полярной оси. Кривая cos1

называется кардиоидой (см. чертеж).

2 0

Вычислим половину дуги по формуле:

dl 0

22 sincos121

,

Считая, что меняется от 0 до , а sin/ .

00

cos1221cos212 ddl

по формуле тригонометрии:

2

sin2cos1 2 , тогда

161180coscos82

cos82

sin400

d .

Пример -8. Найти объем тела, ограниченного поверхностями 22 4yxz , 2z .

Решение. Тело ограничено плоскостью 2z , параллельной координатной плоскости xoy и эллиптическим параболоидом 22 4yxz , вершина которого находится в начале координат. В сечении тела

плоскостью, перпендикулярной оси oz получится эллипс zyx 22 4 , в

канонической форме 1

2

2

2

2

2

z

y

z

x

.

z 2

y

x

Объем искомого тела вычисляется по формуле: b

dzzsV0

. В нашем примере

z меняется от 0 до 2 , площадь эллипса 12

2

2

2

by

ax равна ab . В данном

примере 22zzzzs ,

2

0

2

0

2

42 zdzzV .

&&&$$$003-009-000$3.3.9 Модуль 2. Функции нескольких переменных&&&$$$003-009-001$3.3.9.1 Методические указания к практическому занятию №9

Пример . Доказать, что функция удовлетворяют уравнению

Решение.Используем свойства логарифмов и приведем функцию к виду

Пример 3. Найти приближенное значение , исходя из значения функции при заменяя ее приращение дифференциалом.

Приращение функции и ее полный дифференциал связаны равенством , где - бесконечно малая более высокого порядка малости по

сравнению с . При достаточно малых и можно величиной пренебречь и считать , это приводит к приближенному равенству

или

.

Решение. Рассмотрим функцию .

Пример. Вычислить приближенно число .Решение. Рассмотрим функцию .

Пример. Напишем уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности эллиптического параболоида

в точке .Предварительно запишем это уравнение в виде

.который определяет поверхность уровня 0 функции .

Отсюда получим , , . Следовательно , , . Подставляя эти значения в уравнения касательной

плоскости, получим , т.е. .

Параметрические уравнения нормальной прямой имеют вид.

Пример. Найти наибольшее и наименьшее значения функции

в замкнутой области, заданной неравенствами .

Решение. Область задания функции представляет собой треугольник, ограниченной координатными осями и прямой . Рис.1.

1) Находим стационарные точки внутри областизадания функции

Получили точку , других стационарных точек у функции нет.

Эта точка не принадлежит рассматриваемой области, поэтому

значение функции в ней не учитываем.2) Исследуем функцию на границе области. Граница состоит из трех

участков, описанных тремя разными уравнениями, исследуем функцию на каждом участке отдельно.

а)Исследуем функцию на участке OA, где А(1,0) О(0,0). Уравнением связи является у=0. С учетом его функция представится в виде z=x2. Из уравнения сразу видно, что функция возрастает на OA от 0 до 1. Следовательно, наименьшее значение функции будет при , а наибольшее

; т.e. .

б) Исследуем функцию на участке ОВ, где В(0,1) уравнением связи является . С учетом его функция принимает вид: . Тогда

; стационарная точка , значение функции в

ней

в) Исследуем функцию вдоль участка прямой . Подставляя

в выражение для функции, получим или . Тогда , значения функции в

точке . Вычислим .

Сравнивая значения

заключаем .

рис.1.


1. Вычислить интеграл хdx2cos

2. Вычислить интеграл 24 xdx

3. Вычислить интеграл 21

2

x

dx

4. Вычислить интеграл 162xdx

5. Найдите значение интеграла 1

0

)21( dxx

6. dxx 10)3( . вычислить интеграл

7. Найти , если .

ОА

В

1

1

х

у

8. Вычислить , если .

9. . Найдите частную производную .

10. . Вычислить .&&&$$$003-010-000$3.3.10 Модуль 3. Дифференциальные уравнения первого порядка&&&$$$003-010-001$3.3.10.1 Методические указания к практическому занятию №10

Решая дифференциальное уравнение

нужно определить его тип. Если после преобразования его можно записать в виде

то оно называется уравнением с разделяющимися переменными. Исключим из рассмотрения точки, в которых и , тогда, разделив обе части уравнения на , получим уравнение

,

в котором переменные разделены.Общим интегралом уравнения будет

.

Если уравнение можно написать в виде , то оно называется

однородным. Подстановка , где - новая неизвестная функция приводит однородное уравнение к уравнению с разделяющимися переменными: если , то , подставляя это в уравнение получим

разделяем переменные, полагая

или

Вычислив подставим вместо и получим общий интеграл

исходного уравнения.Если дифференциальное уравнение можно записать в виде

, где и - непрерывные функции, то оно называется линейным. Для его решения ищем неизвестную функцию в виде произведения двух функций , тогда , подставив и в уравнение получаем , после группировки имеем

(*)

Подберем функцию таким образом, чтобы ;

, проинтегрировав его, найдем

подставив полученное значение в (*) получим

.

Общее решение линейного уравнения есть произведение найденных функций

.Пример. Проинтегрировать уравнение

Решение. Преобразуем уравнение:

Разделим переменные, поделив уравнение на :

, интегрируя, получим общий интеграл уравнения:

&&&

$$$003-011-000$3.3.11 Модуль 3. Методы решения дифференциальных уравнений первого порядка&&&$$$003-011-001$3.3.11.1 Методические указания к практическому занятию №11

Пример. Проинтегрировать уравнение Решение. Разделив обе части равенства на , получим

-это однородное уравнение. Положим в нем ,

Пример. Проинтегрировать уравнение Решение. Это линейное уравнение, где

Положим подставим в данное уравнение

Положим или проинтегрировав, получим частное

решение или . При равенство (**) обратится в

уравнение откуда Общим решением

данного уравнения будет

Пример . Найти частное решение уравнения, удовлетворяющее начальным условиям Решение. Это уравнение с разделяющимися переменными

т.к то

Частное решение имеет вид

Чтобы решить линейное однородное уравнение с постоянными коэффициентами (1) Надо составить характеристическое уравнение (2) и найти все корни Общее решение уравнения (1) в случае - действительных .Если , то . Если у уравнения (2) дискриминант D<0

отрицательный, то,

Пример. Найти общее решение уравнений:а) б) в) Решение. а) Составляем характеристическое уравнение, заменяя на

на k, a y на 1, получаем

Решаем квадратное уравнение, находим Корни характеристического уравнения - вещественные, не равные между собой. Этим корням соответствуют частные линейно-независимые решения они образуют фундаментальную систему решений, поэтому общее решение запишется так: б) . Соответствующие характеристическое уравнение

Корни уравнения - числа вещественные равные между собой. Этим корням соответствуют частные решения, Они образуют фундаментальную систему, поэтому общее решение записывается так: в) . Соответствующее характеристическое уравнение

его корни. Этим корням соответствуют

частные решения, Они образуют

фундаментальную систему решений. Поэтому общее решение запишется в виде

&&&$$$002-014-000$3.2.14. Модуль 3. Ряды. &&&$$$003-014-001$3.3.14.1 Методические указания к практическому занятию №14Пример. Исследовать на сходимость ряд

.Решение. Применим признак Даламбера

, так как ряд расходится.

Пример. Найти область сходимости степенного ряда

Решение.

Ряд сходится абсолютно при тех значениях , при которых

или На концах интервала сходимости имеем расходящиеся ряды:

при

при .

Итак, степенной ряд сходится в промежутке

.Пример . Определить интервал сходимости ряда

Решение.

Ряд сходится, если .

.

Исследуем сходимость на концах интервала. Пусть , тогда

; получим знакочередующийся числовой ряд

этот ряд абсолютно сходится, т.к. сходится при ,

расходится при . При имеем числовой ряд

сходящийся абсолютно. Итак, рассматриваемый ряд сходится при

.Для разложения функции в степенной ряд часто используются готовые функции:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

Пример 16. Разложить в степенной ряд по степеням функцию

Решение. Так как , то заменяя в этом равенстве на , будем иметь

,а потому

.Пример 17. Разложить в степенной ряд по степеням функцию

Решение. Пологая и применяя ряд (6) при , получаем

.Здесь используется принятое обозначение


1.Укажите общее решение уравнения :2. Общее решение дифференциального уравнения :3. Для дифференциального уравнения найдите общее решение:4. Составьте характеристическое уравнение для линейного

дифференциального уравнения :5. Найти корни характеристического уравнения для линейного

дифференциального уравнения

6. Найдите для числового ряда величину и ответьте на

вопрос о его сходимости:

7. Исследовать числовой ряд на сходимость, вычислив величину

:

8. Найдите для числового ряда величину и ответьте на


9. Найти для числового ряда величину и ответить на


10.Вычислите для числового ряда величину и ответьте

на вопрос о его сходимости:&&&$$$007-000-000$3.7 Блок контроля знаний&&&

$$$007-001-000$3.7.1 Тесты для 1 рубежного контроля1 $$$С

Вычислить определитель 0423

A) 0;B) -1;C) 8;D) 7;E) 1;

2 $$$А

Даны матрицы

14

50A и

21

02B . Найти м атрицу 2А+3В.

A)

811106

;

B)

15106

;

C)

1453

;

D)

2132

;

E)

24156

;

3 $$$А

Даны матрицы

0453

A и

2132

B . Найти АВ.

A)

68111

; исправить

B)

1236910

;

C)

2453

;

D)

2132

;

E)

109111

;

4 $$$D

Решить систему уравнений

5xx7x44xx5x3

9x3xx2

321

321

321

А) (-1;0;2)В) (5;-6;7)С) (7;8;5)D) нет решенийЕ) (0;1;8)5 $$$D

Вычислить определитель105

310021

.

A) 5;B) 30;C) -1;D) 29;E) 25; 6 $$$C

Дана матрица

3423

A . Найти обратную матрицу 1A .

A)

3423

;

B)

4435

;

C)

3423

;

D)

4435

;

E)

11110

;

7 $$$AНайти алгебраическое дополнение, соответствующее элементу а12

определителя

203541

123A

А) -17;В) 16;С) -18;D) 13;Е) -3. 8 $$$D

Дана матрица

043310

232А . Найти элемент а32 обратной матрицы А-1.

A) 1;

B) 32

;

C)-1;

D) 91

E) 91

.

9 $$$C Даны точки )3;1;2( А и )3;2;1( B . Найти вектор AB .

A) 0;1;3 ;B) 9;4;3 ;C) 6;3;1 ;D) 4;6;0 ;E) 0;1;2 .10 $$$AДаны векторы )1;2;1( a и )2;1;2(b . Найти вектор 2а+3b.A) 4;1;4 ;B) 4;30;2 ;C) 0;2;1 ;D) 9;7;6 ;E) 7;6;5 .11 $$$DДан вектор )2;1;2(a . Найти единичный вектор вектора a .A) 2;7;4 ;B) 4;30;2 ;

C)

32;

31;

32

;

D)

32;

31;

32

;

E) 7;6;5 .12 $$$D

Даны векторы 2;4;3 a ) и 2;5;2 b . Найти вa , А) -20;В) 23;С) -25;D) -22;Е) 6. 13 $$$D

Если 3a , 4b и угол между векторами 3 , то найти (a+b)2.

А) 40 В) 35 С) 45 D) 37 Е) 39. 14 $$$E

Найти косинус угла между векторами 3;2;1a 2;4;6 b ..А) 3

В) 74

С) 0 D) 5

Е) .72

15 $$$C Даны векторы 2;1;3 a и 1;2;1b Найти [a,b] А) 5;5;5 В) 5;5;5 С) {-5;5;-5}; D) {0;0;1}Е) {2;-3;-3}7 16 $$$C

Вычислить предел 22313lim

xxx

x

.

А) 1.5В) 3С) 0D) Е) не существует

17 $$$C

Вычислить предел 636lim 23

хx

xx

А) 0В) 4

С) 301

D) 161

Е) 151

18 $$$A

Найти интервалы выпуклости функции 32 24 xxy

А)

3

1;

31

B)

3

1;

C)

3

1;0

D)

0;3

1

E) интервалов выпуклости нет 19 $$$AНайти промежутки вогнутости функции 19)( xxf .А) промежутков вогнутости нет B) )0;(C) );0( D) )2;( E) );2( 20 $$$B

найти наклонную асимптоту кривой 212

xxy .

А) 0xB) y =2 C) 1xD) ху

E) асимптоты нет21 $$$A

dx

xx

13

вычислить интеграл:

А) cxx 1ln2

B) cxx 1ln

C) cxx 1ln21

D) cxx 12ln32

E) cx 322 $$$C

162xdx


A) .2 Cx

B) .163

3

Cxx

C) .44ln

81 C

xx

D) .Cex

E) .3

3

Cx

23 $$$C

2

1

2 )32( dxxx . вычислить интеграл:

А) 0.

B) 715

.

C) 37

.

D) 920

.

E) 38

.

24 $$$E

0

)2

2cos( dxx вычислить интеграл:

А) 43 .

B) 21

.

C) 23

.

D) 62 .

E) 0 .25 $$$B

2

12 5xxdx

. вычислить интеграл:

А) 3ln .

B) 23ln .

C) 6ln21

.

D) 3ln21

.

E) 15ln .26 $$$AВычислить xdxx 5sin3sin

A ;8sin1612sin

41 Cxx

B ;8sin162sin4 Cxx

C ;8sin1612sin

41 Cxx

D ;8sin812sin

21 Cxx

E ;4sin81sin

21 Cxx

27 $$$A

Вычислить dxxx4

cos4

sin

A ;2

cos Cx

B ;2

cos41 Cx

C ;2

cos Cx

D ;2

cos4 Cx

E ;sin21 Cx

28 $$$B

dx

xx

23


А) cxx 2ln

B) cxx 2ln5

C) cxx 2ln

D) cxx 2ln22

E) cx 229 $$$A

dx

xx

1 вычислить интеграл:

А) cxx 1ln

B) cxx 1ln3

C) cxx 1ln2

D) cxx 1ln23

E) cx 330 $$$C

dx

x525


А) cx 52ln2

B) cx 52ln5

C) cx 52ln

D) cx 52ln исправить на +E) cx 52ln

&&&$$$007-002-000$3.7.2 Тесты для 2 рубежного контроля1 $$$B

. Найдите частную производную .A) B)

C)

D)

E) 2 $$$D

. Вычислить .A) 5B) 3C) 6D) 4E) 23 $$$A

Задана функция . Найти .A) 27B) 20C) 12D) 39E) 04 $$$C

Для функции найдите .A) B) C) D) E) 5 $$$E

Найти , если . A) B) C) D) E) 6 $$$D

Вычислить значение , если .

A) -1B) 1C) 1,5D) 0E) 27 $$$B

Найдите , если .A) B) C) D) E) 8 $$$D

Чему равна частная производная функции ?A) B) C) D) E) 9 $$$A

Задана функция . Найти .

A)

B)

C)

D)

E) 10 $$$B

Найдите производную функции .

A)

B)

C)

D)

E) 11 $$$B

Найдите частную производную функции .

A)

B)

C) D)

E)

12 $$$D

Вычислить , если функция .

A)

B)

C)

D)

E) 13 $$$A

Найдите значение , если функция .

A)

B)

C)

D)

E) 14 $$$E

Определите значение для функции .

A)

B)

C)

D)

E)

15 $$$A

Задана функция . Найти .

A)

B)

C)

D)

E) 16 $$$CВыберите среди приведенных ниже выражений общее решение дифференциального уравнения :A. B. C. D. E. 17 $$$A

Решите дифференциальное уравнение A. B. C. D. E. 18 $$$CЗаписать общее решение дифференциального уравнения 065 ||| yyy A. xx eCeCy 2

22

1

B. xx eCeCy 32

31

C. xx eCeCy 22

31

D. xx eCeCy 32

31

E. xx eCeCy 22

21

19 $$$AКакое из этих уравнений является однородным уравнением первого порядка?A B C D E 20 $$$A

Найти общее решение уравнения

A B C D E 21 $$$B


A B C D E 22 $$$A


A

B

C

D

E

23 $$$DНайти характеристическое уравнение для дифференциального уравнения A B C D E 24 $$$EНайти корни характеристического уравнения для дифференциального уравнения

A B C D E , 25 $$$DНайти частное решение для дифференциального уравнения A , B , C , D ,

E , $$$C26 Найти общее решение дифференциального уравнения A B C D E 27 $$$BНайти частное решение дифференциального уравнения , удовлетворяющее начальным условиям , A B C D E 28 $$$D Написать простейшую формулу члена ряда по указанным членам:

А.

В.

С.

D.

Е.

29 $$$Е

Написать простейшую формулу n-го члена по первым членам ряда:

.

А.

В.

С.

D.

Е.

30 $$$D

Вычислите для числового ряда

1

2

n n

n величину

n

n

n uu

p 1lim

и ответьте на

вопрос о его сходимости:A. 1p , ряд сходитсяB. 1p , ничего определенного о ряде сказать нельзя

C. 21

p , ряд сходится

D. 2p , ряд расходитсяE. 1p , ряд расходится&&&

$$$003-001-002$3.7.3 Примеры экзаменационных тестов

1 вариант

1 Даны матрицы

1453

A и

21

32B Найти матрицу 2А+5В

A)

8132516

; B)

1585

; C)

1453

; D)

2132

; E)

24156

;


1453

A и

21

32B . Найти матрицу АВ-.

A)

24

156; B)

1236910

; C)

2453

; D)

2132

; E)

109

111;

3 Решить систему уравнений

5y3x23y6x3

A) (1;2); B) (1;1); C) (-1;1); D) (2;1); E) (0;0);

4 Вычислить определитель 105

310021

A) 5; B) 30; C) -1; D) 29; E) 25;

5 Даны векторы )12;10;10(a и )7;2;5(b . Найти ba -A) 19;12;5 ; B) 0;1;1 ; C) 2;1;2 ; D) 19;12;5 ; E) 0;1;0 .

6 Даны векторы 8;5;3 a и 4;1;1 b Найти ba -А) 6; В) 9; С)8; D) 10; Е) 5;

7 Найти угол между векторамии 3;2;1a и 2;4;6 b

А) 3 В) 74

С) 0 D) 5 Е) .72

8 Вычислить 4

22lim 22

xx

x

А 0 В 4 С 41

D 161 Е

болмайды.

9 Вычислить 4532lim 2

2

1

xxxx

x

A 34

B 43

C 34

D 43 Е 0

10 Вычислить 346272lim 3

23

xxxx

x

A 3 B 31 C 0 D E –3

11 Вычислить 20 5

cos1limx

xx

A) 0,1 B) 10 C) 0,2 D) 1 E) 0

12 Вычислить x

xx

x

68lim0

.

А 34ln В 4

3ln С 4log3 D 3log 4 Е 0

13 xxf cosln . Вычислить xf || -

A xcos

1 B

x2cos1

C

xx

2cossin D tgx E ctgx

14 Найти кризисные точки xxy ln А) 0x В) 1x С)

ex x,0D)

1exЕ)

ex x,1

15 Найти максимум функции 2

2

xxy

A) 0max y

B) 8max y

C) 4max y

D) максимумы жоқ

E) 2max y

16 Вычислить

8

3 1 хxdx

.

A 344

B 320 C 11 D 4 E

332

17 Вычислить xdx5sin

A ;6sin Cx

B ;5cos

51 Cx

C ;5

51 Cxtg

D

;2

5sin 2

Cx

E ;cos Cx

18 Вычислить xdx

3sin 2

A B C D E

;Ctgx ;Cctgx ;3

31 Cxctg

;32 Cxtg ;33 Cxctg


1

2 )32( dxxx

А 0 B 7

15C

37

D 920

E 38

20 Найти интервал вогнутости 19)( xxfА) );( B) жоқ C) );0( D)

)2;( E) );2(

2 вариант


3121

A и

10563

B . Найти матрицу 3А-В

A)

0132516

; B)

1800

; C)

1453

; D)

10563

; E)

24156

;


1453

A и

21

32B . Найти матрицу ВА-

A)

24156

; B)

35

1318; C)

0110

; D)

1453

; E)

109

111;

3 Решить систему уравнений

4x5x31x3x2

21

21

А) (-7;5) В) (5;7) С) (-5;-7) D) (4;-7) Е) (-6;7)


A) 20; B) 3; C) 8; D) -10; E) 10;

5 Даны векторы )1;2;4(А и )4;5;3(B . Найти BA -A)5; B)7; C) 39 ; D) 19 ; E) 21 .

6 Даны векторы а (4;2;-7) и )7;2;3(b . Найти ba -A) 0;7;3 ; B) 14;0;7 ; C) 4;2;2 ; D) 4;1;7 ; E) 1;1;1 .

7 Даны векторы 8;5;3 a и 4;1;1b Найти ba табыңдар.

А) 5; В) 7 ; С) 172 ; D) 193 ; Е) 19 .

8 Вычислить xx

xxx

42

12lim2

3

A) 7 B) –7 C) 0 D) E) 71


2lim 2

2

1

xxxx

x

A –1,5 B –0,5 C 32

D 23 E 0

10 Вычислить: x

xx 5

3arcsinlim0

A) 6 B) 0,6 C) 1 D) 2 E) –1


ex

x sin1lim

0

A) 0 B) C) 1 D) E)

21


xx 2cos1

6cos1lim0

A) 0,5 B) 91 C) 9 D) 1 E) 2

13 Найти область определения )23ln()( xxf .

А) ),23( ; В) )

23;( С) Rx , D)

;

23

23;

E) 0x .14 xxf 5 . Вычислить

xf ||

A 5ln

52

x

B 5ln

5x

C 5ln

5x

D 5ln5x E 5ln5 2x

15 2

1

x

xf Найти интервалы убывания .

A 2;

B ;22;

C ;

D 0;

E 2;0

16 )1( xxy Найти критические точки А) 0x В)

94 x,0 x

С) 94x D)

32x

Е) нет

17 x

xy 122 Найти максимум функции .

A) 5,0max y

B) 1max y

C) 5,1max y

D) нет E) 0max y

18 Вычислить dxx2

sin2 2

A ;)2

sin21(2 Cxx B ;2sin Cxx C ;sin Cxx D ;sin Cxx E

;2

sin32 3 Cx

19 Вычислить

8

3 1 хxdx

A 344

B 320 C 11 D 4 E 3

32

20 19)( xxf Найти интервалы выпуклости .

А) );( B) )0;( C) );0( D) )2;(

E) нет

Documents

edu.semgu.kz … · Web view$$$UMKD_NAME$ Математика $$$UMKD_AVTORS$. Кожагелдиев Б.К. $$$UMKD_YEAR$2012 @@@ ###000-001# МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ