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LA INVESTIGACION EN EDUCACION MATEMATICA EN COLOMBIA, 1991–1999

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Marina Ortiz Legarda Integrante de la Asociación Anillo de Matemáticas.

INTRODUCCIÓN La Educación matemática se ha venido consolidando paulatinamente durante los últimos diez años como campo de investigación en Colombia; se revela así el interés de distintos grupos por encontrar respuestas a los múltiples interrogantes y cuestiones que surgen en la dinámica social, afectiva, cultural y cognitiva que se genera durante la tarea de enseñar y aprender matemáticas. El interés por la investigación en educación y, en particular por la educación matemática, ha tenido por lo menos cuatro circunstancias o situaciones que han generado reflexiones dentro de los grupos de docentes e investigadores. Ellas han sido: • Creación del programa de Estudios Científicos de la Educación de Colciencias

(1991), por el cual se establecieron políticas de apoyo y fomento a la investigación educativa, reconociendo a la educación como un espacio de investigación tecnológica y científica que constituye escenario importante de las tareas por el futuro del país.

• Promulgación del Decreto 272 de 1998 que estableció los requisitos de creación y funcionamiento de los programas académicos de pregrado y posgrado en educación, y estableció como uno de los principios generales el que se enuncia en el literal f del artículo 3: Desarrollar y mantener una actitud de indagación que, enriquecida con teorías y modelos investigativos, permita la reflexión disciplinada de la práctica educativa y el avance del conocimiento pedagógico y didáctico.

• Difusión del documento “Colombia al filo de la oportunidad” (1994) en el que los miembros de la Misión de Ciencia, Educación y Desarrollo señalaron un derrotero para la construcción de una sociedad colombiana justa, competitiva y democrática, camino en el que la educación y la investigación juegan un papel decisivo.

• Creación del Instituto Distrital para la Investigación Educativa y el Desarrollo Pedagógico, IDEP (1996), como resultado de la reestructuración de la antigua Dirección de Investigación Educativa, DIE. El IDEP fue creado, igualmente, con el fin de apoyar y fomentar las innovaciones e investigaciones en educación y pedagogía, de tal manera que el saber pedagógico de los maestros accedan

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paulatinamente al lugar que le corresponde como germen del cambio educativo necesario.

Se trata de cuatro situaciones que han ocasionado, en su momento, diversos planteamientos y replanteamientos acerca del compromiso individual y grupal de los integrantes de las instituciones educativas y académicas, en la reorientación y fortalecimiento de las prácticas en Educación matemática, como una de las formas de contribuir a mejorar la calidad de la educación y, por ende, al bienestar económico y social del país. Por otra parte, se trató de eventos que, de alguna manera, permitieron vislumbrar posibilidades más claras para la investigación educativa, tanto en lo conceptual, como en lo administrativo y lo económico. En lo que sigue se desarrollan algunos elementos relacionados con el Estado del arte de la investigación en Educación matemática en nuestro país, tomando como referente los veintidós (22) proyectos de esta área financiados por Colciencias durante los años 1991 a 1999. 1. CARACTERIZACION DE LA INVESTIGACION EN EDUCACION MATEMATICA La diversidad de puntos de vista y la pluralidad de visiones acerca del significado y contenido de la investigación en Educación matemática, convierte en una tarea compleja el intento por establecer elementos constituyentes del carácter que tiene esta disciplina actualmente en Colombia. Una situación similar parece estarse viviendo en la mayoría de los países, principalmente de Latinoamérica, donde la preocupación central de los distintos eventos académicos es la identificación de problemas de interés común y el diseño y desarrollo de un gran Programa de investigación que responda por la problemática principal detectada. La lectura de reportes de investigación, de memorias de encuentros y seminarios y de planteamientos en revistas y publicaciones en general, permite la configuración de una serie de puntos de vista acerca de aquello que caracteriza la actividad académica en Educación matemática en Colombia, puntos de vista que se relacionan con los siguientes aspectos: 1. Relación entre Matemática y Educación matemática 2. Dimensión psicológica del aprendizaje: prevalencia de métodos cualitativos 3. Los sujetos de la investigación 4. Concepción de ciencia matemática 5. Problemas más comunes. El estudio de los problemas asociados a la enseñanza y aprendizaje de las matemáticas tienen, por lo demás, una doble dimensión, pues se refieren tanto al encuentro de posibles soluciones a los problemas encontrados, como a la aplicación o, si se quiere, a la réplica de los estudios en otros contextos, con lo cual se estaría coadyuvando en aquello que constituye el interés central de la investigación en educación, cual es la cualificación de las formas de enseñanza y

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aprendizaje y su socialización y discusión amplia; además, de esta manera se evita la exclusividad del uso de los resultados para el interés individual de personas o instituciones. 1.1 Relación entre Matemática y Educación matemática En relación con este aspecto, la investigación en educación matemática en Colombia se mueve entre dos puntos de vista: a) De acuerdo con uno de los enfoques, para el éxito de la labor educativa es

más importante y significativa una profunda formación matemática, es decir, una gran fortaleza en la comprensión de los procesos de formación de los conceptos matemáticos mismos, pues ello genera intuiciones de tipo didáctico acordes con la naturaleza del contenido que se desea trabajar, con lo que una buena formación matemática en los docentes supondría una mejor disposición y capacidad para la enseñanza.

b) De acuerdo con el segundo enfoque, el conocimiento de los procesos de aprehensión de los conceptos matemáticos (dimensión psicológica) es tan importante como la formación matemática, pues la conjugación de los dos aspectos permite el diseño de actividades que respondan tanto a la naturaleza del concepto, su origen y epistemología, como al interés y disposición afectiva y cognitiva con que cuentan los estudiantes en un momento determinado.

De todas maneras, la primera de las posturas ha venido ganando fuerza, no en el sentido de restar importancia a la formación pedagógica, sino en el sentido de fortalecer la formación matemática de los futuros docentes, lo que implica una reestructuración de las facultades de educación basada en el replanteamiento de los fundamentos y contenidos curriculares. Una discusión similar se está adelantando en otros países, tales como México, de acuerdo con lo que esboza Ricardo Cantoral en su artículo Una visión de la matemática educativa:

“...creemos que fuera de nuestro medio, suele creerse que bastan una suficiente cultura matemática y una intuición didáctica adecuada para ser capaces de diseñar currículo, elaborar textos y programas escolares y conducir y evaluar el aprendizaje de nuestros alumnos y el funcionamiento de nuestros sistemas de enseñanza. (...) Al interior de nuestra comunidad, por el contrario, cada vez es más claro que la complejidad de los fenómenos estudiados y los crecientes hallazgos (en espera de su eventual utilización en el enfrentamiento de problemas didácticos) requieren con mayor urgencia de profesionales del campo: investigadores o profesores no solo interesados en los problemas educativos, sino formados para enfrentarlos” (Cantoral, 1996, p. 131).

En países como Inglaterra, la discusión se ha zanjado, de alguna manera, a favor de la necesidad de fortalecer la formación matemática de los docentes, pues ya en 1969, Hardy, de la Universidad de Cambridge, citado por Santos Trigo, planteaba:

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“...[en la enseñanza] existe un elemento de importancia primaria: esto es, que un maestro debe hacer un intento honesto de entender la materia que enseña tan bien como pueda, y debe exponer la verdad a sus alumnos en los límites de su paciencia y su capacidad” (p. 309) (Santos T., 1995, p.60).

La discusión en torno a la relación entre Matemáticas y Educación matemática tiene en nuestro país diversos matices, de acuerdo con el ámbito en que ella se localice: los argumentos que fluyen entre los docentes son de naturaleza diferente a los de los investigadores, por cuanto los primeros se ven abocados a circunstancias sociales y laborales que configuran unas formas de pensar que, en ocasiones, van en contravía de las demandas que surgen de los procesos de investigación, y se oponen también a las exigencias que se les hace desde las instancias oficiales. Por esta razón, los programas de formación docente han experimentado, en los últimos años, un cambio hacia la búsqueda de un punto de equilibrio entre el nivel real de formación de los docentes y sus posibilidades de adelantar proyectos de innovación e investigación en el aula. 1.2 Los sujetos de investigación en Educación matemática El estado actual de la investigación en educación matemática permite vislumbrar una situación en cuanto a la relación entre investigadores y docentes de matemáticas: no hay claridad en torno a la participación de unos y otros en la elaboración de conocimiento pedagógico, o en la identificación de problemas básicos para la educación matemática, o en la responsabilidad que compete a cada grupo en el encuentro de salidas a la gran variedad de dificultades detectadas en este campo. También en este aspecto, los puntos de vista de los investigadores colombianos tienen elementos de dos maneras de pensar, lo que se puede deducir al analizar la forma como se organizan los grupos responsables de los proyectos de investigación: • Desde una perspectiva se aduce que los docentes de aula no tienen

condiciones para ser investigadores, principalmente porque no cuentan con el tiempo necesario para desarrollar una actividad que debe ser rigurosa y sistemática; este punto de vista se podría expresar con la pregunta: si los maestros están enseñando ¿a qué hora investigan? Por tal razón, en este caso los grupos responsables de los proyectos de investigación se integran por especialistas del área que dedican su tiempo a la labor investigativa mientras los docentes figuran como participantes, colaboradores o intermediarios del proceso.

• El enfoque que manejan otros grupos se relaciona con la posibilidad que se reconoce a los docentes de ser investigadores de su propia labor y la de sus alumnos, previa una formación que les proporcione las herramientas conceptuales y metodológicas necesarias para tal fin y previa también la creación de condiciones administrativas favorables.

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La discusión parece inclinarse hacia la segunda postura, ya que, mencionando nuevamente el contenido de los actuales programas de formación docente, lo que se observa es la orientación que empiezan a tener hacia el desarrollo de actividades de investigación en el aula. En este sentido, la realización de proyectos de innovación que incluyan la toma de registros, la construcción de categorías de análisis y el análisis de los nuevos resultados (componentes de un proceso investigativo), debe formar parte del documento que constituye el requisito principal para la obtención de créditos para ascenso en el escalafón. Una postura que vale la pena considerar en esta materia es la que asume Guillermina Waldegg en su artículo, “Los educadores de la matemática: una comunidad de enlace”, cuando plantea:

“La creación científica y la enseñanza de la ciencia son, no obstante, inseparables. No es posible pensar en el desarrollo de la ciencia sin una masa crítica de científicos trabajando en forma coordinada. Y, por otro lado, no se puede lograr una comunidad científica vigorosa si no es mediante un sistema educativo adecuado que se nutra constantemente de los nuevos conocimientos generados. Es claro, entonces, que la actividad de unos afecta a los otros y que, por lo tanto, se debería buscar una cooperación que permitiera garantizar efectos positivos en ambas partes, mediante el objetivo común de mejorar la calidad de la educación científica” (Waldegg, 1996, p. 77).

1.3 Prevalencia de los métodos cualitativos Las propuestas metodológicas que desarrollan los proyectos de investigación en Educación matemática han ido adquiriendo, cada vez con mayor fuerza, un cambio hacia las aproximaciones de tipo cualitativo a los problemas del aula de matemáticas. A pesar de reconocer la validez e importancia de caracterizar cuantitativamente algunos estudios mediante el empleo de herramientas estadísticas, la mayoría de los grupos ha optado por formas más versátiles de análisis, con las que sea posible considerar los componentes de orden social, cultural, afectivo y cognitivo que intervienen en el aprendizaje. De esta manera se ha superado paulatinamente la presentación escueta de resultados y se ha ido logrando una aproximación a la explicación de tales resultados y a la descripción de procesos. Hace falta, sin embargo, una profundización mayor en la explicación de las relaciones entre el marco teórico, la metodología y los resultados, de modo que la comprensión del proceso sea más factible para los usuarios de los resultados de los proyectos, y el aporte a la comprensión de la problemática sea más evidente. La prevalencia de métodos cualitativos es una característica de la investigación en educación matemática a escala mundial, ya que se reconoce la complejidad de los procesos de enseñanza y aprendizaje y la resistencia que ofrecen los cambios conceptuales y los avances en el aprendizaje para ser atrapados en cuadros estadísticos o en mediciones porcentuales. A partir de 1980, se comenzó a

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superar la tendencia inicial de investigar con metodologías derivadas del enfoque positivista y a pesar de que subsisten metodologías heredadas de disciplinas como la psicología y la lingüística, también es cierto que se ha avanzado en el diseño de métodos cada vez más apropiados a la naturaleza de la problemática que se pretende atender, con el aula como principal escenario y con docentes, niños y jóvenes como protagonistas. Esta perspectiva metodológica puede asumirse, si se quiere, desde el énfasis que se le ha dado a la investigación en Educación matemática en su dimensión psicológica, ya que los procesos investigativos han apuntado más al cómo que al qué del aprendizaje de las matemáticas. Dicha situación refleja el gran interés de los investigadores por comprender la forma como niños y jóvenes acceden al conocimiento matemático y, desde esa comprensión, diseñar propuestas didácticas que den lugar a cambios benéficos en el sistema educativo. Se trata de una situación que es evidente en Colombia, pues no se encuentran proyectos que estén apuntando, con un énfasis mayor, a la producción de conocimiento matemático o a la caracterización conceptual de los contenidos que constituyen objeto de enseñanza en las instituciones educativas. Una muestra de la anterior situación puede encontrarse en la aceptación que tienen, entre los grupos de investigadores colombianos, los constructos conceptuales de la escuela francesa, tales como la transposición didáctica, el obstáculo didáctico y el contrato didáctico, pues se trata de categorías conceptuales de tipo global que constituyen referentes importantes para la explicación de la naturaleza del conocimiento que se enseña y se aprende, y no del conocimiento matemático mismo en tanto producción científica. La investigación en temas educativos en nuestro país, deberá proponerse en adelante la constitución de categorías conceptuales que respondan a nuestra propia concepción del mundo y de la ciencia y que respondan también a nuestra necesidad de construir una nacionalidad fuerte y una sociedad para el conocimiento y la convivencia pacífica. Por otra parte, y teniendo en cuenta la prevalencia de los métodos cualitativos de los que aquí se habla, será necesario, además, construir indicadores de validez y confiabilidad de tales métodos. Ello significará llegar a acuerdos, por ejemplo, en la forma de triangular la información, en la manera de asegurar la transferencia y aplicabilidad de los estudios y en el diseño de métodos de confirmación de los resultados obtenidos, aspectos todos ellos que muestran debilidad en el desarrollo de la labor investigativa. 1.4 Concepción de ciencia matemática La complejidad del aspecto relacionado con la concepción de ciencia matemática se puede deducir de la confluencia de tres formas de abordar la perspectiva conceptual: la concepción matemática misma, el enfoque psicológico que se maneja (referido a la naturaleza de los procesos cognitivos) y el problema

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curricular. En los marcos teóricos de los proyectos de investigación en Educación matemática fluyen abordajes conceptuales en los que, en muchas ocasiones, se reconoce la identificación entre matemática y educación matemática. De igual manera, cuando los proyectos asumen la discusión del enfoque curricular, se aprecia nuevamente la presencia de rasgos de corte epistemológico e histórico propios de la conformación de los sistemas conceptuales de la matemática. El punto débil, en este aspecto, es precisamente la ausencia de un discurso teórico más profundo que dé cuenta, en específico, de aquello que los proyectos reconocen como matemáticas. Lo conveniente para el desarrollo del campo de investigación será, entonces, la presentación rigurosa de la escuela epistemológica en la que los proyectos están ubicados, ya sea ella de corte formalista, intuicionista, conjuntista o logicista. Para ello es necesaria la participación directa de especialistas en matemáticas o en educación matemática y no solo de especialistas en las áreas afines. Sin embargo, podría plantearse, en relación con esta temática, una hipótesis según la cual los referentes conceptuales que la mayoría de los proyectos incluyen en sus propuestas e informes, empiezan a mostrar de manera cada vez más evidente su concepción de matemáticas como ciencia viva y por lo tanto falible, dejando de lado paulatinamente la mirada de ciencia estática y acabada, lo que da origen a dos situaciones: a) La mayoría de los proyectos opta por el enfoque constructivista y otorga una

gran importancia al hecho de que el estudiante es sujeto activo del proceso, revelándose nuevamente la identificación que resulta entre matemáticas y educación matemática.

b) Por lo tanto, de acuerdo con la propuesta de Luis Moreno, habría que decir que los proyectos que optan por el constructivismo asumen las matemáticas más como un objeto de aprendizaje que como un objeto de enseñanza (Moreno, 1992, p.11).

2. PROBLEMAS OBJETO DE ESTUDIO La lectura de los informes finales de los veintidós (22) proyectos de investigación en Educación matemática financiados por Colciencias durante los años 1991 a 1999, permite identificar los siguientes temas como aquellos en los que se ubican los problemas de investigación seleccionados por los grupos: • Mejoramiento de los procesos de enseñanza • Desarrollo curricular • Formación de conceptos en matemáticas • Dimensión cultural de la educación matemática • Incorporación de tecnología • Formación de docentes

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• Identificación de dificultades en el aprendizaje • Las formas argumentativas • Estilos cognitivos • Naturaleza de los sistemas simbólicos • Formación de redes de docentes. 2.1 Mejoramiento de los procesos de enseñanza En los contenidos de los proyectos se vislumbra la preocupación por la doble dimensión de la formación de los docentes, que los investigadores consideran necesaria para un buen desempeño profesional: la dimensión disciplinar entendida como el conocimiento profundo y comprensivo de los objetos matemáticos y la dimensión psicológica que se traduce en la comprensión y consideración de los procesos cognitivos y afectivos que entran en juego cuando estudiantes y maestro se enfrentan con la tarea de enseñar y aprender matemáticas. Vale la pena citar, en tal sentido, a Ricardo Cantoral, quien al referirse al paradigma del aprendizaje como norte que orienta buena parte de la investigación reciente en diversos países, afirma:

“No sólo buscamos que los discursos didácticos sean lógicamente coherentes, sino que sean, y cada vez con mayor fuerza, cognitivamente coherentes. Bajo esta perspectiva, la opinión del alumno y del maestro, la realidad de la escuela, se ha redimensionado sorprendentemente. La vieja visión de que la didáctica de la matemática era sólo una colección de trucos para el ‘bien enseñar’, se ha visto modificada por otra aún más vasta y profesional, aquella que trata con un espacio en el cual los estudios de investigación en el campo están siendo usados para construir unidades de conocimiento organizado que puede apoyar las prácticas sociales de referencia” (Cantoral, 1996, p. 135).

Los proyectos de investigación que apuntan con mayor énfasis al Mejoramiento de los procesos de enseñanza, en Colombia, presentan también elementos relacionados con el enfoque curricular y con la cualificación de la formación de los docentes, pues se considera que se trata de tres aspectos casi inseparables en el análisis de los problemas de la educación matemática. 2.1 Diseño curricular en educación matemática

Los estudios que apuntan a diseñar y experimentar propuestas de desarrollo curricular, o hacer aportes en esa vía, se ubican en la perspectiva del nuevo dinamismo que ha adquirido la educación matemática, dinamismo debido al avance de la tecnología y a los nuevos aportes conceptuales de disciplinas como la psicología, la lingüística, la semiótica, la sociología y la matemática misma. El contenido de los proyectos se orienta a atender tanto la estructura conceptual y didáctica de las propuestas de desarrollo curricular nuevas, como la necesaria evaluación de los efectos de tales innovaciones en los estudiantes involucrados, a

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la luz de lo cual los investigadores construyen las categorías de análisis con las que aportan elementos útiles en la determinación de la calidad de los aprendizajes. El diseño curricular en educación matemática, así como los elementos involucrados en su desarrollo y evaluación constituyen actualmente una de las líneas de investigación importantes en muchos países; la preocupación por este aspecto se deriva de la velocidad con la que están cambiando, en los últimos tiempos, tanto la realidad científica y tecnológica de los países, como las condiciones culturales y económicas de los grupos humanos, lo que da lugar, igualmente, a la expresión de múltiples facetas de la personalidad de los actores del sistema educativo. Las herramientas tecnológicas nuevas, especialmente la calculadora y el computador, son instrumentos valiosos a la hora de diseñar currículos novedosos en educación matemática tanto en Colombia como en otros países, por cuanto a través de ellos se cristalizaría lo que Miguel de Guzmán expresa en los siguientes términos: “... Lo verdaderamente importante vendrá a ser su preparación [la de los alumnos] para el diálogo inteligente con las herramientas que ya existen, de las que algunos ya disponen y otros van a disponer en un futuro que ya casi es presente” (De Guzmán, 1991, página 7). Desde otra perspectiva teórica, podría decirse que los proyectos que se proponen el diseño y experimentación de propuestas curriculares novedosas, se enfocan al tipo de matemáticas que deben enseñarse en cada uno de los grados de educación básica, media y superior. Este aspecto de la educación matemática viene siendo objeto de estudio desde hace muchos años. De ello da cuenta Jean Dieudonné en su artículo, “¿Debemos enseñar las matemáticas modernas?”, cuando argumenta que no hay mucho qué discutir en cuanto al tipo de matemáticas que deben enseñarse en el nivel universitario y que, en cambio, la misma discusión puesta en el nivel de la educación primaria y secundaria ha desatado un debate muy amplio, con una diversidad considerable de opiniones.

“Para empezar, está perfectamente claro que el 90 por ciento de los alumnos de estos niveles no tendrán ninguna necesidad de matemáticas en su vida adulta, aparte de la aritmética elemental; resulta pues razonable que dejen de enseñarse las matemáticas después de los quince años, salvo en el caso de los alumnos que tengan la intención de seguir una carrera técnica o científica” (Dieudonné, 1972, p. 136).

El planteamiento toma, veintisiete años después, una forma distinta, pues las matemáticas de la formación universitaria son también objeto de replanteamientos y discusiones permanentes; todo ello, atendiendo a las exigencias que el nuevo orden social y científico hace al sistema educativo, exigencias relacionadas con la formación de competencias básicas y el desarrollo de la creatividad y la actitud investigativa de los egresados.

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El estado de la investigación en educación matemática en Colombia muestra una preocupación hacia el diseño y experimentación de currículo, aunque la desarticulación de los grupos no ha permitido un avance significativo en este crucial asunto.

2.3 Formación de conceptos en matemáticas El tema de la formación de conceptos matemáticos específicos ha sido seleccionado como su ámbito de investigación por algunos de los proyectos. Se trata de una línea de investigación que se nutre de desarrollos teóricos de corte epistemológico, psicológico y didáctico, por cuanto se ubica en la perspectiva de crear conocimiento tanto en la concepción de conocimiento matemático que resulta de la interacción maestro-alumno–objeto de conocimiento, como en la validez de los enfoques didácticos que se ponen a prueba. En este orden de ideas, el aspecto de desarrollo conceptual aparece de una manera evidente en el cruce de los ejes propuestos por varios autores como los componentes principales de la educación matemática, a saber: una ciencia, la matemática y una práctica, su enseñanza (Moreno, Luis; 1993, p. 45). La formación de conceptos matemáticos y científicos en los estudiantes es tema de interés para los proyectos de investigación en educación matemática, en los países interesados en hacer de su sistema educativo un medio eficaz en el propósito de formar personas con estructuras cognitivas y afectivas propicias para el desarrollo técnico y científico de su país. Por la anterior razón, son múltiples las publicaciones que dan cuenta de propuestas novedosas para el tratamiento de temáticas o conceptos específicos de la matemática, principalmente de aquellas nociones consideradas básicas para la estructuración de sistemas conceptuales de mayor complejidad (Lovell, K. 1986, p. 24). Algunos grupos de investigación en Colombia han considerado válida la investigación en la formación de conceptos matemáticos básicos (tales como número, variable y función) con el fin de indagar acerca de la naturaleza de su apropiación y de la relación que puede establecerse entre el proceso cognitivo y la epistemología del concepto aprendido, es decir, su naturaleza desde el punto de vista matemático. 2.4 Incorporación de tecnología Los proyectos se proponen responder a la necesidad de incorporar de una manera efectiva y sistemática, herramientas tecnológicas como la calculadora y el computador al proceso de enseñanza y aprendizaje de las matemáticas escolares. De acuerdo con los resultados esperados, se pretende avanzar en la verificación de que el empleo de los instrumentos tecnológicos posibilita el desarrollo de destrezas geométricas, lógicas, numéricas y de representación, que apoyan de manera efectiva a las matemáticas en su papel de comunicar, interpretar, predecir y conjeturar (Rico, p. 121).

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El empleo de la calculadora es el ejemplo más claro de las nuevas relaciones que es posible establecer entre el sujeto que aprende y los objetos matemáticos, lo que a su vez impone unas formas nuevas de abordar los procesos curriculares, pues no solamente se incorpora al trabajo escolar una herramienta física nueva, sino que se incorporan nuevos lenguajes y nuevos significados, así como formas antes desconocidas de acceder a la representación gráfica de objetos matemáticos, que es lo que sucede con el empleo de las calculadoras gráficas y los computadores. La investigación en Incorporación de nuevas tecnologías a la educación matemática tiene gran auge en países como Estados Unidos, México, Francia, Inglaterra y Alemania, entre otros. En Colombia comienza sólo ahora a ser considerada como tema de interés, posiblemente por la dificultad que se reconoce para que las instituciones educativas estén suficientemente dotadas con las herramientas tecnológicas requeridas, en número y calidad. 2.5 Dimensión cultural de la educación matemática La formación de pensamiento matemático desde una perspectiva cultural constituye otro de los ámbitos que comienza a ser centro de interés de la investigación en Educación matemática en Colombia; la relación entre cultura y matemática se asume generalmente en una doble vía: • Efecto de la cultura en las diferentes concepciones de los objetos y los modos

de razonar matemáticos. • El papel de la matemática educativa en la creación y difusión de cultura

matemática en la sociedad. Se trata de establecer, de esta manera, una interacción entre matemática escolar y realidad, más si se tiene en cuenta que son pocos los proyectos, en el ámbito nacional e internacional, que han trabajado el aspecto cultural de la formación matemática; autores como Miguel de Guzmán proponen la educación matemática como un proceso de “inculturación”, en un planteamiento como el siguiente:

“La educación matemática se debe concebir como un proceso de inmersión en las formas propias de proceder del ambiente matemático, a la manera como el aprendiz de artista va siendo imbuido, como por ósmosis, en la forma peculiar de ver las cosas, característica de la escuela en la que se entronca”.

En Colombia, Carlos Vasco, en el artículo sobre “El aprendizaje de las matemáticas elementales como proceso condicionado por la cultura”, desarrolla un planteamiento basado en su cuestionamiento al hecho de que las matemáticas sean consideradas como un lenguaje universal de las ciencias. Además, su aporte responde al interés por indagar acerca de aspectos como:

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• Conflictos que se plantean entre la matemática universal clásica y los sistemas matemáticos concretos que se encuentran en las culturas locales.

• Formas de identificación, refinamiento y utilización de los sistemas transmitidos culturalmente, para una posible reforma curricular.

• Experiencias con sistemas matemáticos concretos que poseen los niños antes de ingresar a la escuela o fuera de ella.

El desconocimiento de la dimensión cultural del conocimiento matemático en la escuela, por parte de los docentes e incluso de algunos investigadores, es puesto de manifiesto por el doctor Vasco cuando afirma:

“No solo los psicólogos miopes, sino también casi todo el mundo, suelen dar por sentado de una manera rutinaria que los niños no saben nada de matemáticas reales cuando entran en la escuela, a excepción, quizá, de contar hasta un número determinado. ¿Qué hay de verdad en esta suposición? E incluso los psicólogos perspicaces, y prácticamente todo el mundo, piensan que las matemáticas escolares son un tema universal cuya dependencia cultural se limita al lenguaje informal, los símbolos matemáticos y los ejemplos triviales y problemas de enunciado verbal que se emplean en las clases y en los libros de texto. ¿Estriba en esto la importancia de la dependencia cultural?” (Vasco, 1990).

Es evidente, de esta manera, la importancia de diseñar y desarrollar proyectos que contribuyan a dar respuesta a la diversidad de interrogantes que surgen cuando se piensa en la relación entre matemáticas y cultura; se trata de una temática que surge como ámbito de investigación posible y necesario de ser abordado por grupos de trabajo de diferente procedencia y que manejen enfoques teóricos diversos. La investigación en este aspecto ha sido abordada por algunos grupos de investigadores colombianos como elemento central y decisivo en la determinación de la calidad de la educación matemática; sin embargo, otros grupos no mencionan el componente cultural como algo significativo en la elaboración de su propio enfoque matemático y didáctico. 2.6 Formación de docentes La formación de docentes, como problema de investigación, es uno de los ámbitos de mayor interés para la educación matemática en la actualidad. Existe una gran coincidencia entre los grupos de investigadores, en el sentido de adjudicar a la naturaleza y orientación de los contenidos de la formación de los docentes de matemáticas, buena parte de la calidad de su futuro desempeño como profesionales de la enseñanza. Los múltiples intentos realizados en la vía de caracterizar lo que se llamaría una “buena formación” para quienes asumen la responsabilidad de orientar los procesos escolares en educación matemática, han pasado por el diseño de

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nuevas propuestas curriculares para estudios formales de pregrado y posgrado, así como por la identificación de elementos constitutivos de procesos de cualificación en servicio y por análisis y reflexiones profundas acerca de los factores que incidirían en un mejor desempeño profesional y un compromiso mayor con su labor por parte de los docentes de matemáticas. Algunos autores, incluso, proponen lo que podría considerarse como los grandes componentes de la formación de docentes de matemáticas. Por ejemplo, Fortuny y Azcárate, plantean que la formación de los profesores de matemáticas debe fundamentarse en dos grandes categorías: • El conocimiento profesional para enseñar matemáticas. • El marco de desarrollo de la organización colectiva o colegial (Fortuny,

Azcárate, 1992, p.6) . La primera de tales categorías está relacionada con la naturaleza del conocimiento matemático, con la transposición didáctica, entendida como la conversión de un “saber erudito” en un “saber enseñable” y con la capacidad de pensar matemáticamente que posea el profesor. La segunda categoría se refiere, entre otros elementos, a las condiciones académicas y administrativas de la institución y a la organización y consolidación de colectivos profesionales. Los proyectos de investigación en formación de docentes de matemáticas se han orientado, en su mayoría, a avanzar en la comprensión de la naturaleza de las prácticas de los docentes y las formas de constitución de sus discursos, con el fin de ubicar una posibilidad cierta de incidir en su transformación; todo ello apuntando a un mejor desempeño de los estudiantes en lo que tiene que ver con la formación de competencias básicas en matemáticas. La formación de docentes ha sido uno de los temas tangenciales en muchos de los proyectos de investigación en Educación matemática en Colombia. En muy pocos proyectos es posible reconocer esta temática como el objeto principal de investigación, con el fin de realizar aportes hacia la comprensión de la enorme complejidad que comportan los procesos de formación de docentes, más si se tiene en cuenta la doble dimensión del problema afrontada hoy en la mayoría de los países: la que tiene que ver con la formación inicial y la que se relaciona con la cualificación profesional de los docentes en ejercicio. 2.7 Identificación de dificultades en el aprendizaje El reconocimiento de dificultades y falencias en los procesos educativos formales es otra de las líneas atendidas por la investigación en educación matemática, precisamente con la intención de encontrar caminos para el mejoramiento de su calidad: si se conocen las causas de un mal rendimiento, es posible tener más luces para encontrar las soluciones. Aunque algunos autores consideran que ya se han hecho suficientes diagnósticos sobre la calidad de la educación matemática, otros consideran que todo estudio que aporte nuevas categorías en el

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conocimiento de la situación estudiada, siempre enriquecerá y ampliará el ámbito de comprensión de la problemática que se esté atendiendo, principalmente si se apunta a caracterizar las formas de razonamiento presentes en el accionar matemático de docentes y estudiantes. Los proyectos realizados en Colombia en relación con el tema Identificación de dificultades de aprendizaje, han sido enfocados como estudios exploratorios basados en la observación, la aplicación de pruebas y el análisis de la información obtenida, a fin de diseñar posteriormente una propuesta pedagógica alternativa que atienda la solución de las dificultades encontradas. Se trata de una línea de investigación que se propone encontrar un punto de encuentro entre las prácticas pedagógicas más usuales y la naturaleza de los conceptos que los estudiantes elaboran, lo que se vislumbra principalmente en el uso que los estudiantes dan a los conceptos en contextos particulares. 2.8 Estilos cognitivos Los estudios sobre Estilos cognitivos se proponen buscar la evidencia empírica de la existencia de estilos cognitivos diferenciados en Colombia, orientados hacia la profundización de un modelo teórico que vincule el sistema de procesamiento de la información con el estilo cognitivo, a la identificación de estructuras y procesos propios de cada tendencia cognitiva y al reconocimiento de características de aprendizaje en matemáticas y lenguaje en cada estilo cognitivo. En la línea de caracterización de los diferentes Estilos cognitivos, acordes con las condiciones históricas y culturales de las distintas regiones, se adelantan diversas investigaciones en el ámbito internacional, principalmente las que se proponen determinar los porcentajes de la población objeto que obran de acuerdo con el estilo denominado independencia del medio o con el estilo denominado sensibilidad al medio, mediante la aplicación de la prueba EFT, Prueba de la figura enmascarada; esta metodología fue la empleada por el grupo que está trabajando la temática de Estilos cognitivos en Colombia. 2.9 El papel de la argumentación El interés de los proyectos de investigación, en este caso, es el de atender el estudio de una de las variables que intervienen en el aprendizaje de las matemáticas y cuya priorización conduce a un tipo de aprendizaje cooperativo; la argumentación constituye una herramienta de uso del lenguaje que no ha sido suficientemente auscultada, en lo que se refiere a su poder para construir esquemas de comprensión y profundización del conocimiento, en particular, del conocimiento matemático. El problema de la argumentación forma parte de un ámbito más amplio relacionado con el tema de las matemáticas consideradas como un lenguaje, lo que configura un vasto campo de investigación que aborda la articulación del uso

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que se le da a los códigos y sistemas formales de la matemática, con el significado que códigos y sistemas adquieren en un contexto determinado. Es decir, se enmarca la construcción de sentido del conocimiento matemático, en la dinámica que adquiere mediante la acción de mecanismos comunicativos que le otorgan una dimensión social, en la medida en que interviene una práctica discursiva de efecto colectivo evidente. El grupo que seleccionó la temática general de El papel de la argumentación pone de manifiesto la escasez de este tipo de proyectos en Colombia y llama la atención sobre la necesidad de profundizar en su estudio, pues se obtendrían resultados muy importantes para el esclarecimiento de los procesos de aprendizaje de las matemáticas. 2.10 Naturaleza de los sistemas simbólicos Los problemas relacionados con la naturaleza del juego y de los sistemas simbólicos constituyen una línea de investigación de gran importancia en el ámbito internacional, aunque en Colombia no ha sido aún atendida con detenimiento. Los estudios realizados por autores que van desde Piaget hasta Howard Gardner, han permitido profundizar en la comprensión de la esencia misma de los dominios simbólicos, incluidos los que se relacionan de manera específica con la ciencia matemática como el notacional y el numérico. El grupo que asumió la Naturaleza de los sistemas simbólicos como su problema de investigación se propuso caracterizar el entrecruzamiento entre el juego y otros dominios simbólicos, algunos de ellos propios de las matemáticas, con lo que logró un avance importante en la comprensión de la complejidad de este tipo de relaciones, presentes principalmente en los procesos de simbolización. 2.11 Formación de redes de educadores matemáticos La organización y consolidación de comunidad académica de profesores de matemáticas, es quizá el factor considerado de mayor impacto en el propósito de mejorar la calidad de la educación matemática. Algunos estudiosos del tema, entre los que se encuentra el profesor Jorge Charum, coinciden en afirmar que la dinámica de formación de grupos de docentes e investigadores en educación, es muestra del proceso de búsqueda de identidad en que dicha comunidad está inmersa, y constituye un ámbito propicio para la identificación de dificultades y la selección colectiva de campos de acción para enfrentar el diseño de soluciones posibles. El profesor Charum ubica su análisis de formación de comunidades académicas desde la perspectiva de una transformación cultural de sus integrantes, lo que significaría una disposición permanente para asumir sus reglas de funcionamiento.

“Una limitada transformación cultural que no lleve a la apropiación de los principios que regulan las interacciones entre los miembros de la comunidad, los modos de

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operar y la comunicación en el interior del mundo académico, puede llegar a constituirse en obstáculo insalvable para la comprensión de la vida académica. El progreso en la adquisición del conocimiento, la búsqueda autónoma de este, que es base para todo proceso investigativo, se ve así limitado” (Charum, 1991, p. 4).

La organización y fortalecimiento de la comunidad de investigadores en Educación matemática es el norte hacia el que se dirigen los esfuerzos de los investigadores de todos los países, puesto que se reconoce que solamente a partir de la unión de esfuerzos y la búsqueda conjunta de soluciones, será posible avanzar en el mejoramiento cualitativo de la Educación matemática. En Colombia, los esfuerzos realizados hasta el presente en ese sentido no han tenido resultados fructíferos, por cuanto se constituye en una tarea urgente cuyo éxito dependerá de la disposición real de las diversas personas, grupos e instituciones para lograr el nivel de organización necesario. 3. ORGANIZACIÓN ACTUAL DE LA COMUNIDAD ACADÉMICA EN EDUCACIÓN MATEMÁTICA EN COLOMBIA 3.1 Centros y grupos de investigación La comunidad académica en educación matemática posee en el momento actual, como escenario principal de desarrollo, el ámbito que propician tanto las facultades de educación como los departamentos de matemáticas de las instituciones universitarias, a través del desarrollo de programas de pregrado, posgrado y formación avanzada. Es así como las universidades Pedagógica, Distrital, Nacional, Andes, Externado, Javeriana, Valle, Antioquia, del Norte, Industrial de Santander, Tolima, Francisco de Paula Santander, Pamplona Libre, Popular del Cesar, muestran avances en la búsqueda de alternativas de cualificación de procesos en educación matemática, logrados a partir del diseño y ejecución de proyectos de innovación e investigación adelantados por grupos de investigación adscritos a los respectivos programas. Los grupos y centros de investigación que hacen presencia en el ámbito nacional, como resultado del intento de organizar la comunidad académica en educación matemática, son los siguientes: a) Club de Educación Matemática (Club EMA). Proyecto de “una empresa

docente” de la Universidad de los Andes, organizado en mayo de 1992, con propósitos referidos a la consolidación de la comunidad colombiana de profesores de matemáticas como un grupo de profesionales con una identidad propia y con la conciencia de pertenecer a una comunidad internacional de pares. Las estrategias empleadas para la consecución de su propósito principal han sido: la creación de un medio de información y comunicación, el ofrecimiento de publicaciones relevantes en el campo de la educación matemática, la difusión de bibliografía actual, la organización de encuentros de profesores e investigadores y la realización de cursos de desarrollo profesional.

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b) Grupo de Educación Matemática, GEM, del Instituto de Educación y Pedagogía

de la Universidad del Valle, organizado para dar continuidad, con una nueva perspectiva investigativa y didáctica, al Centro de Estudios sobre Enseñanza de las Matemáticas, CEEM, de la antigua Facultad de Educación. Pretende fundamentalmente aportar a la evolución teórica de la educación matemática, y a la solución de problemas en relación con la transmisión, cimentación y desarrollo de una cultura matemática para la población colombiana. Ha adoptado como grandes líneas de investigación la didáctica de las matemáticas, la relación entre historia de las matemáticas y educación matemática y las temáticas referidas a razonamiento, lenguaje y comunicación de saberes y conocimientos matemáticos. Como resultado de su acción por la consolidación, en su región, de una comunidad en educación matemática, se organizó a finales de 1999 la Red en Educación Matemática, REDMA, conformada por docentes de la disciplina en los diferentes niveles. REDMA publicó recientemente el primer número de su Boletín, en la perspectiva de continuar haciéndolo con una periodicidad trimestral.

c) Asociación Anillo de Matemáticas, surgida en noviembre de 1989 e inspirada

en los principios del Movimiento Pedagógico. Está conformada por un grupo de 20 docentes de los niveles básico, medio y superior; se propone su propia consolidación como centro de investigación en educación matemática y la contribución a la conformación de comunidad académica mediante la participación en procesos de formación docente y la difusión de resultados de los diferentes proyectos de innovación e investigación en educación matemática que la Asociación ha llevado a cabo. Uno de las premisas fundamentales de su trabajo en el campo de la innovación y la investigación en educación matemática, está constituida por la hipótesis según la cual los docentes de matemáticas, en ejercicio, pueden constituirse en investigadores de su propia práctica profesional y, por lo tanto, en creadores de saber pedagógico.

d) Asociación Colombiana de Matemática Educativa, ASOCOLME, organizada en

marzo de 1999 por un grupo de investigadores en educación matemática de las universidades Pedagógica Nacional, Distrital “Francisco José de Caldas” y Nacional de Colombia, como concreción de los resultados logrados en la Duodécima Reunión Latinoamericana de Matemática Educativa (RELME 12). Uno de sus propósitos es, igualmente, contribuir en la consolidación de una comunidad académica nacional que posibilite espacios para el intercambio de experiencias, ideas y trabajos de investigación. Para el logro de este propósito pretende trabajar en la organización de eventos académicos en educación matemática, en el apoyo a proyectos escolares, en el impulso a un servicio de publicaciones, en particular la publicación de una revista especializada, así como en la creación de un centro de documentación.

e) Grupo de Educación matemática del proyecto RED de la Universidad Nacional

de Colombia con sede en Santa Fe de Bogotá. Desde el año 1992 ha centrado

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su interés investigativo en la cualificación del trabajo de los docentes de matemáticas de educación básica; el enfoque seleccionado por el grupo apunta a la consolidación de procesos y prácticas que involucren la institución escolar en su conjunto y no solamente a los profesores como individualidades.

f) Grupo Cálculo de la Universidad Pedagógica Nacional; viene trabajando

desde 1992 y ha dedicado su labor investigativa al desarrollo conceptual en nociones como función y variable; su línea de investigación actual se orienta a lograr una aproximación epistemológica, cognitiva y didáctica a nociones y conceptos del cálculo.

g) Grupo de Educación matemática de la Facultad de Educación de la

Universidad de Antioquia; su ámbito investigativo son los temas relacionados con la enseñanza de las matemáticas en grupos de estudiantes e instituciones de características específicas. Actualmente asesora al grupo de Evaluación y al grupo de Apoyo pedagógico para la modificación del PEI en la Normal Superior María Auxiliadora de Copacabana, Antioquia.

h) Grupo Pretexto de la Facultad de Ciencias y Educación de la Universidad

Distrital Francisco José de Caldas, organizado como grupo de investigación en 1994. Su línea de investigación es fundamentalmente la transición de la aritmética al álgebra y en su desarrollo han abordado temáticas relacionadas con el pensamiento multiplicativo, el concepto de fracción, el concepto de variable y las concepciones de profesores y estudiantes en relación con la matemática escolar.

i) Grupo Matemáticas Escolares, adscrito desde 1998 al Proyecto curricular de la

Licenciatura en matemáticas de la Universidad Distrital “Francisco José de Caldas”. Su eje de trabajo está constituido por la formación de profesores de matemáticas, y ha centrado su interés en dilucidar las concepciones de los profesores y los estudiantes para profesores, sobre los contenidos de la matemática escolar.

j) Grupo de Investigación Interdisciplinaria en Pedagogía del Lenguaje y las

Matemáticas de la Universidad Externado de Colombia; la línea de investigación en la que el grupo ha profundizado a través de dos proyectos de investigación es el de la argumentación como elemento esencial de la estructuración y consolidación del conocimiento matemático.

k) Grupo de Van Hiele de la Facultad de Educación de la Universidad del Tolima,

organizado en 1996 en torno a la dirección de los trabajos de grado de la Especialización en Educación matemática. Su línea de investigación atiende al perfeccionamiento del modelo de Van Hiele en relación con la evolución del proceso de deducir, trabajo que se enmarca en el gran propósito de consolidar una línea de investigación en Didáctica de la demostración.

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l) Grupo de Educación matemática de la Facultad de Educación de la Universidad de Pamplona, organizado en 1995, en torno a la dirección de los trabajos de grado de la especialización en Educación matemática; su línea de investigación es la de concepciones de los profesores acerca de las nociones de la matemática escolar.

m) Grupo de Tecnología en el aula de matemáticas del Ministerio de Educación

Nacional. En otro nivel de organización, los grupos y centros de investigación en Educación matemática constituyen actualmente capítulos importantes de las organizaciones de académicos en matemática pura. Tal es el caso de los equipos que vienen trabajando en temas relacionados con la enseñanza y aprendizaje de las matemáticas en diferentes niveles de escolaridad, en la Sociedad Colombiana de Matemáticas y la Escuela Regional de Matemáticas del Occidente colombiano. 3.2 Eventos Eventos con realización permanente y periódica:

• Coloquio Distrital de Matemáticas y Estadística, evento que se celebra

anualmente en el mes de diciembre, con la organización de las universidades Nacional, Pedagógica y Distrital, con aportes importantes al desarrollo de la educación matemática.

• Reunión Anual del Club EMA, RACE, evento que se realiza anualmente en el mes de mayo, con la presencia de un investigador de renombre internacional.

• Encuentro de Geometría y sus aplicaciones, igualmente con frecuencia anual, organizado en el mes de julio por la Universidad Pedagógica Nacional.

• Encuentro colombiano de matemática educativa, proyectado como un evento de frecuencia anual por la Asociación Colombiana de Matemática Educativa.

• Encuentro sobre la formación inicial del profesor de matemáticas, organizado por la Universidad Pedagógica Nacional, Universidad Popular del Cesar y Universidad Industrial de Santander.

Otros eventos en los que la educación matemática encuentra espacios de difusión son: • Semana de Matemáticas y Física de la Universidad del Tolima • Congreso Nacional de Matemáticas, de la Sociedad Colombiana de

Matemáticas. 3.2 Publicaciones Las publicaciones de tipo permanente son las siguientes:

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• Revista EMA. Investigación e innovación en educación matemática. Publicación del Club EMA, iniciada en noviembre de 1995. En el momento actual se han publicado cuatro volúmenes completos (cada uno de tres números) y un número del volumen 5. Cada número está compuesto por cinco secciones: Editorial, artículos, reseñas y resúmenes, reflexiones didácticas desde y para el aula y contacto con la comunidad.

• Cuadernos de Matemática Educativa, publicación iniciada por ASOCOLME en el año 1999, de la cual han entrado en circulación los tres primeros números:

1. La enseñanza de la aritmética escolar y la formación del profesor 2. Una mirada a la aritmética en la escuela 3. La comprensión de la proporcionalidad, una perspectiva social y cultural.

- Boletín de la Red en Educación Matemática, publicación iniciada en noviembre

de 1999 por el Grupo de Educación Matemática, GEM, del Instituto de Educación y Pedagogía de la Universidad del Valle, con la proyección de convertirla en una publicación trimestral.

En relación con la difusión de teorías en educación matemática, se deben destacar los esfuerzos realizados por organizaciones como el Club EMA, de la Universidad de los Andes, y el GEM, de la Universidad del Valle, por publicar obras de interés para docentes e investigadores, de autores tanto nacionales como extranjeros. De igual manera, las revistas de las Facultades de educación y de las Universidades, tienen como política la inclusión de artículos, reportes de investigación y reseñas de eventos relacionados con la Educación matemática. 4. LÍNEAS DE INVESTIGACIÓN POSIBLES HACIA EL FUTURO Como un aporte a la discusión acerca de los temas de investigación de mayor pertinencia en el momento actual, se proponen los siguientes: 1) En Didáctica de las matemáticas: • Validez de estrategias pedagógicas y didácticas específicas. • Formas de razonamiento y argumentación que los estudiantes han

estructurado en la pedagogía tradicional. • Formas de razonamiento y argumentación que se logran con enfoques

pedagógicos y didácticos innovadores. • Componentes del ámbito ético y estético de la personalidad de los estudiantes

que pueden ser potenciados por la educación matemática. • Causas de las dificultades más usuales en los desempeños matemáticos,

principalmente las asociadas a los conceptos de número y cantidad, ya que éstos sirven de base para la mayoría de los proyectos de investigación e innovación en el aula.

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2) Dimensión cultural de la educación matemática: • Conflictos entre la matemática universal clásica y los sistemas matemáticos

concretos de las culturas locales. • Los sistemas matemáticos de las culturas locales, como componentes de una

posible reforma curricular. • Experiencias con sistemas matemáticos concretos que poseen los niños antes

de ingresar a la escuela o fuera de ella. 3) Acerca de la formación de docentes: • Concepciones más usuales de los docentes sobre el saber matemático

escolar. • Validez de las propuestas de formación de docentes en la transformación de

las concepciones y las prácticas de aula. • Diseño y validación de propuestas curriculares para la formación de pregrado y

posgrado. • Validez de las propuestas de formación de docentes en la organización y

consolidación de comunidad académica en Educación matemática. 4) Acerca de los libros de texto: • Enfoques epistemológicos y didácticos que manejan los textos en su

tratamiento de los diferentes conceptos matemáticos. • Naturaleza y sentido de la organización de los contenidos por capítulos o

unidades. • Tipos de registros y de formas de representación del conocimiento matemático

empleados en los textos, y relaciones entre ellos.

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BIBLIOGRAFIA 1. Bibliografía general − BROUSSEAU, Guy (1993). “Fundamentos y métodos de la didáctica de las

matemáticas”. En: Lecturas en didáctica de las matemáticas. Escuela francesa. SÁNCHEZ, Ernesto y ZUBIETA, Gonzalo (Compiladores). México: CINVESTAV–IPN.

− CANTORAL, Ricardo (1996). “Una visión de la matemática educativa”. En: Perspectivas en educación matemática. SANTOS TRIGO, Manuel y SÁNCHEZ, Ernesto (Compiladores). México: Grupo Editorial Iberoamérica. México.

− COMITÉ LATINOAMERICANO DE MATEMATICA EDUCATIVA (1998). Resúmenes de la Reunión Latinoamericana de Matemática Educativa. Relme 12. Santa Fe de Bogotá: Universidad Nacional de Colombia.

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formación del profesorado de matemáticas. Caracas: Proyecto Ibercima. OEI. (Preimpreso).

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matemática. Madrid: Editorial Síntesis. − KILPATRICK, Jeremy (1995). “La investigación en educación matemática: su

historia y algunos temas de actualidad”. En: Educación Matemática. México: Grupo Editorial Iberoamérica.

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− MORENO, Luis y WALDEGG, Guillermina (1992). “Constructivismo y educación matemática”. En: Revista Educación Matemática, Vol. 4, Nº 2. México: CINVESTAV.

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− SANTOS T., Manuel (1996). “Hacia una caracterización de la educación matemática y la investigación”. En: SANTOS TRIGO, Manuel y SÁNCHEZ S., Ernesto (Compiladores). Perspectivas en educación matemática. México: Grupo Editorial Iberoamérica.

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− WALDEGG, Guillermina (1996). “Los educadores de la matemática: una comunidad de enlace”. En: SANTOS TRIGO, Manuel y SÁNCHEZ S., Ernesto (Compiladores). Perspectivas en educación matemática. México: Grupo Editorial Iberoamérica.

2. PROYECTOS DE INVESTIGACIÓN − ACEVEDO, Myriam (1993). Creación de algunas alternativas para el

mejoramiento de la educacion matematica. Santa Fe de Bogotá: Universidad Nacional.

− GARCIA, Gloria (1995). Una propuesta didáctica para la construcción de los conceptos de función lineal y función cuadrática. Santa Fe de Bogotá: Universidad Pedagógica.

− ORTIZ, Marina (1991). Construcción de sistemas numéricos y de medición. Propuesta de desarrollo curricular para grado 7º. Santa Fe de Bogotá: Asociación Anillo de Matemáticas.

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− HEDERICH, Christian (1993). Estilos cognitivos en colombia. Santa Fe de Bogotá: Universidad Pedagógica Nacional, Ciup.

− ROMERO, Jaime (1993). La variable matemática como problema puntual. Búsqueda de causas en octavo grado. Santa Fe de Bogotá: Universidad Distrital “Francisco José de Caldas”.

− HEDERICH, Christian (1995). Estilo cognitivo de aprendizaje e interacción educativa. Universidad Pedagógica Nacional, Ciup.

− LEON, Olga y CALDERON, Dora (1996). La argumentación en la construcción del conocimiento matemático. Santa Fe de Bogotá: Universidad Externado de Colombia.

− ARCE, Jorge, VEGA, Myriam y CASTRILLON, Gloria (1996). Formación del pensamiento matemático en el contexto escolar: implicaciones de la cultura del uno y la unidad. Santa Fe de Bogotá: Universidad del Valle.

− FERNANDEZ, Felipe (1996). Diseño, desarrollo y evaluación de situaciones problemáticas de estadísticas. Santa Fe de Bogotá: Universidad de Los Andes.

− ORTIZ, Myriam (1996). Iniciación constructivista de la aritmética. Santa Fe de Bogotá: Universidad Distrital.

− GOMEZ, Pedro (1996). Calculadoras gráficas y precálculo. Santa Fe de Bogotá: Universidad de Los Andes.

− GOMEZ, Pedro (1996). Prime I. Potenciación de las matemáticas escolares a través de la red de instituciones educativas. Santa Fe de Bogotá: Universidad de Los Andes.

− BUSTAMANTE, Alfonso y ALVAREZ, Jairo (1996). Los sistemas de computación simbólica en la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas básicas universitarias. Santiago de Cali: Universidad del Valle.

− REYES, Rosa (1996). El juego y el sistema de los símbolos ¿generalidad o especificidad de dominio? Santa Fe de Bogotá: Universidad Pedagógica Nacional, Ciup.

− NIÑO, Margarita (1996). Diseño y validación de una metodología para la formación de los conceptos de la aritmética elemental en los niños de 3º a 5º de primaria. Santa Fe de Bogotá: Universidad Libre.

− PERRY, Patricia (1997). Reflexión e interacción: componentes de la actividad profesional del docente de matemáticas. Santa Fe de Bogotá: Universidad de Los Andes.

− ORTIZ LEGARDA, Marina (1997). Periodización de la construcción del concepto de variable en estudiantes de grado sexto. Santa Fe de Bogotá: Asociación Anillo de Matemáticas.

− OROZCO, Mariela (1997). Construcción de la operación multiplicativa y el sistema notacional en base 10: una relación posible. Santa Fe de Bogotá: Universidad del Valle.

− GONZALEZ, Santiago (1998). Deducir: una aproximación desde el modelo de van hiele. Ibagué: Universidad del Tolima.

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− LEON, Olga y CALDERON, Dora (1998). El papel de la argumentación en las situaciones de validación del conocimiento matemático en el aula. Santiago de Cali: Universidad del Valle.

− LOPEZ, Luz Stella y GINZBURG, Herbert (1998). Manifestación y desarrollo del pensamiento matemático informal. Barranquilla: Universidad del Norte.

− GEORGE, Kemel (1992). Matemática de la señal. Santa Fe de Bogotá: Universidad Distrital “Francisco José de Caldas”.

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ANEXO

ORIENTACIÓN Y APORTES DE LOS PROYECTOS A continuación se presenta una reseña de cada uno de los proyectos de investigación referenciados, clasificados según los criterios expuestos, resaltando sus respectivos aportes. 1. Mejoramiento de los procesos de enseñanza

- ACEVEDO, Myriam (1993). Creación de algunas alternativas para el mejoramiento de la educación matemática. Santa Fe de Bogotá: Universidad Nacional.

- FERNÁNDEZ, Felipe (1996). Diseño, desarrollo y evaluación de situaciones problemáticas de estadística. Santa Fe de Bogotá: Universidad de los Andes.

- Niño, Margarita (1996). Diseño y validación de una metodología para la formación de los conceptos de la aritmética elemental en los niños de 3º a 5º de primaria. Santa Fe de Bogotá: Universidad Libre.

- ORTÍZ HURTADO, Myriam (1996). Iniciación constructivista de la aritmética. Santa Fe de Bogotá: Universidad Distrital.

1.1 Identificación del problema y diseño metodológico ACEVEDO DE MANRIQUE, Myriam (1993). El estudio Creación de algunas alternativas para el mejoramiento de la educación matemática, se propuso relacionar la formación académica con la formación metodológica de los docentes y asumir el desarrollo histórico del álgebra como herramienta para el proceso didáctico, con el fin de lograr el diseño de una propuesta de mejoramiento de la enseñanza del álgebra, presentada a través de un texto dirigido a los docentes. Se trata de un estudio exploratorio a través del examen histórico de la forma como los temas y métodos del álgebra escolar evolucionan hasta transformarse en la llamada álgebra moderna.

“El proyecto parte del siguiente supuesto: un profesor con excelente preparación académica, tanto científica como metodológica (y buenas condiciones socioeconómicas para ejercer su profesión), es el elemento clave en el mejoramiento de la educación en cualquier área, y en particular, en matemáticas. Por ello, el proyecto se concentra en la formación académica del futuro profesor como estrategia clave en el mejoramiento de la educación matemática en el país” (Acevedo, 1993).

La metodología de investigación del proyecto se desarrolló en dos ámbitos:

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• Consultas a docentes acerca de experiencias e inquietudes relativas a su

propio conocimiento matemático. • Planteamiento de situaciones hipotéticas de aula explorando los nexos que el

docente establece entre conocimiento del álgebra superior y problemas típicos del álgebra de la secundaria.

Las bases teóricas estuvieron constituidas por aportes de Leone Burton, David Perkins y K. Van Hiele sobre pensamiento matemático y formación docente en matemáticas, a la luz de lo cual se realizó el plan de actividades consistente en la revisión de materiales bibliográficos, la revisión de planes de estudio de diferentes programas de licenciatura en matemáticas, realización de encuestas a docentes en ejercicio, preparación de materiales y elaboración del texto de álgebra. FERNÁNDEZ, Felipe (1996). Ubicado en el área del aprendizaje y la enseñanza de la estadística, el proyecto Diseño, desarrollo y evaluación de situaciones problemáticas de estadística se propuso, entre otros objetivos, aportar al mejoramiento de dichos procesos mediante la identificación de situaciones problemáticas que ofrezcan espacios más adecuados para un aprendizaje constructivista del conocimiento estadístico.

“En Colombia existe una brecha en la educación con respecto al aprendizaje y enseñanza de la estadística que es especialmente notoria en el paso que siguen los estudiantes del bachillerato a la universidad. El razonamiento y la manera de pensar estadísticamente deben empezar a transmitirse desde el colegio. Debe empezar a trabajarse para crear una cultura de enseñanza alrededor de los temas de la estadística y la probabilidad que mejore la calidad del aprendizaje en todos los niveles de educación y especialmente a nivel de enseñanza media y superior” (Fernández, 1996).

El diseño metodológico del proyecto atendió al cumplimiento de varias etapas: • Análisis de procesos de aprendizaje articulados a los temas estadísticos

propuestos. • Análisis de procesos paramatemáticos involucrados. • Diseño de situaciones problemáticas. • Aplicación y observación de las situaciones problemáticas diseñadas. • Evaluación del diseño. En la metodología de investigación se proponen elementos de la propuesta francesa, conocida como Ingeniería didáctica, la cual, en tanto metodología de investigación, sigue un desarrollo experimental basado en realizaciones didácticas en clase. NIÑO TORRES, Margarita (1996). El trabajo de investigación, Diseño y validación de una metodología para la formación de los conceptos de la aritmética elemental en los niños de 3º a 5º de primaria, se orientó al diseño de una metodología que

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permita lograr la formación de los conceptos básicos de la aritmética en los niños de 3º, 4º y 5º de primaria de las escuelas públicas colombianas. Para tal fin, el proyecto se propuso el diseño de un plan general de los aspectos y temas generales necesarios para la formación de los conceptos de igualdad, suma, resta, multiplicación, y división de números enteros positivos, así como el orden en que los conceptos deben ser enseñados; se propuso, asimismo, la creación de talleres para los niños, el diseño de materiales de fácil acceso y la elaboración de problemas e instrumentos de evaluación que permitan establecer los niveles de avance logrados.

“La educación básica colombiana no logra la apropiación de los conceptos de igualdad, suma, resta, multiplicación y división de números naturales en los niños de las escuelas públicas” (Niño, 1996).

La metodología de trabajo se apoyó, para su desarrollo, en la revisión bibliográfica de textos relacionados con el problema de investigación, la revisión de textos escolares y el diseño de un Plan general de la metodología para la formación de conceptos básicos en matemáticas. ORTÍZ HURTADO, Myriam (1996). Los conocimientos que constituyen la iniciación de la aritmética, determinados a partir de las matemáticas, su historia y su epistemología, de la epistemología genética y del entorno de los niños preescolares, fue el primer propósito del proyecto Iniciación constructivista de la aritmética. El estudio se propuso, además, determinar los niveles de complejidad didáctica de los conocimientos de iniciación de la aritmética, en la perspectiva teórica desarrollada por la investigadora principal en un documento anterior. Se buscó, de igual manera, el diseño y experimentación de actividades de reelaboración constructivista de los conocimientos de iniciación de la aritmética escolar.

“En el marco de la educación tradicional el maestro de matemáticas está formado para responder en lo fundamental por la enseñanza. Múltiples reformas se han establecido durante los últimos 20 años con el propósito de mejorar la enseñanza; sin embargo, los resultados desde la perspectiva del aprendizaje no son del todo satisfactorios. En el marco de una propuesta constructivista generada desde la epistemología genética, el énfasis de la educación debe radicar en el aprendizaje y no en la enseñanza. La búsqueda de condiciones que permitan hacer del constructivismo una realidad en el aula, exige indagar por cada uno de los aspectos que intervienen en el proceso educativo, visto éste desde la perspectiva del aprendizaje" (Ortiz H., 1996).

El proyecto se presenta como un estudio de carácter teórico y práctico experimental, con una metodología que además de la relación dialéctica que establece entre la elaboración teórica y la experimentación práctica, posee, entre otras, las siguientes características:

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• Se construye durante el proceso. • Es imperativa la aplicación de las pruebas previamente a la experimentación

misma. • El análisis de resultados y su validación no son de carácter estadístico, sino de

carácter cualitativo. La información necesaria se recolectó mediante grabaciones de video, diligenciamiento de hojas de trabajo y autoevaluaciones por parte de los docentes, y realización de encuestas. 1.2 Resultados y publicaciones ACEVEDO DE MANRIQUE, Myriam (1992). Los resultados del proyecto se plasmaron en el texto, Recorriendo el álgebra. De la solución de ecuaciones al álgebra abstracta, dirigido a la formación de docentes de matemáticas, en el que se presenta fundamentalmente una propuesta para la enseñanza del álgebra. El libro consta de diez capítulos que van desde la teoría de ecuaciones hasta el álgebra moderna, y su eje central es el problema de la solubilidad de ecuaciones polinómicas. FERNÁNDEZ, Felipe (1996). El reporte de investigación informa sobre las tres situaciones problemáticas en Estadística planteadas, a fin de detallar los conceptos y procedimientos que en ellas se ponen en juego. Dichas situaciones problemáticas son: a) Proporción de una población. b) Diferencia de medias de dos poblaciones. c) Coeficiente de correlación de una población. Para cada una de las situaciones problemáticas se hace un análisis de contenido tanto en el sentido conceptual como en el procedimental. Además se presenta un análisis del aprendizaje basado en el análisis de algunos de los errores de los estudiantes; un análisis de aspectos relacionados con el uso del lenguaje estadístico y un análisis de la instrucción a través de la revisión de algunos textos. NIÑO TORRES, Margarita (1996). El informe de investigación da cuenta de la identificación de dos aspectos que se consideraron básicos para la enseñanza de la Aritmética: la comprensión de las relaciones de igualdad y de orden y el aprendizaje de las cuatro operaciones aritméticas básicas. En relación con los elementos aportados por el proceso investigativo, se incluyen una serie de recomendaciones pedagógicas y se sugieren algunos temas para investigaciones futuras, entre los que se encuentran los siguientes:

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• Validación de la metodología encontrada durante el proyecto, en un número mayor de escuelas, con el fin de establecer si se conservan los resultados obtenidos en la primera aplicación.

• Conocer los preconceptos de los niños que llegan a las escuelas públicas del país para establecer un puente pedagógico y didáctico entre esos preconceptos y el inicio del aprendizaje formal en los primeros años de primaria.

ORTÍZ HURTADO, Myriam (1996). El proyecto “Iniciación constructivista de la Aritmética”, presenta como uno de sus resultados un análisis acerca de la relación entre la enseñanza de las matemáticas y los procesos de formación de los docentes; propone una transformación de dichos procesos formativos, con características como las siguientes: • El marco teórico de la propuesta de transformación está dado por la

concepción constructivista de conocimiento, asumiendo el aprendizaje como la función fundamental de la educación.

• La propuesta apunta a la transformación dinámica y dialéctica de los saberes y creencias de los maestros de preescolar y primero de primaria, respecto del aprendizaje de las nociones de iniciación de la aritmética escolar.

• Pretende aportar elementos de carácter metodológico a la investigación en educación matemática, con el fin de contribuir en su adopción como estrategia importante para la actividad de aula.

2. Diseño curricular en educación matemática

- ORTÍZ LEGARDA, Marina (1992). Construcción de sistemas numéricos

y de medición. Propuesta de desarrollo curricular para grado 7º. Asociación Anillo de Matemáticas. Santa Fe de Bogotá.

- GÓMEZ, Pedro (1996). Calculadoras gráficas y precálculo. Santa Fe de Bogotá: Universidad de Los Andes.

- BUSTAMANTE, Alfonso y ÁLVAREZ, Jairo (1996). Los sistemas de computación simbólica en la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas básicas universitarias. Santiago de Cali: Universidad del Valle.

2.1 Identificación del problema y diseño metodológico ORTÍZ LEGARDA, Marina (1991). El proyecto, Construcción de sistemas numéricos y de medición. Propuesta de desarrollo curricular para grado 7º, toma como eje conductor el manejo de diferentes niveles de representación en la construcción de conocimiento matemático, y el enfoque histórico como base para la apropiación racional y crítica del funcionamiento de los sistemas de medición; el lenguaje, en su papel de posibilitador de la formación de esquemas mentales, se constituye en otro de los fundamentos conceptuales que el proyecto asume como

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uno de sus soportes teóricos, en la dinámica de la verbalización de las acciones de aprendizaje.

“Con el desarrollo del presente proyecto se pretende rebasar los enfoques tradicionales y reemplazarlos por otros que reflejen un aumento evidente en el desarrollo del pensamiento lógico-formal y de las capacidades de inducción y deducción, análisis y síntesis, concreción y abstracción, particularización y generalización. Lo anterior, teniendo en cuenta que de la educación básica se espera, entre otras cosas, que prepare a los estudiantes para que en el nivel superior aborden la investigación científica y tecnológica que el país requiere con urgencia, proceso en el cual la importancia de las matemáticas es evidente” (Ortiz, L.; 1992).

El proceso metodológico se centró en llevar a la práctica en el aula, de manera sistemática, una propuesta de desarrollo curricular que había sido diseñada con anterioridad en el marco de la experimentación de propuestas didácticas en temas específicos, y discutida con diferentes grupos de maestros, durante la ejecución de proyectos de formación de docentes de matemáticas. La propuesta de desarrollo curricular, con la representación, la reversibilidad y la verbalización de las acciones como las estrategias cognitivas que se privilegiarían durante el proceso, fue organizada en cuatro grandes temáticas: • Pensamiento lógico y lenguaje • Números enteros • Números racionales • Sistemas de medición. La recolección de la información obedeció a un enfoque cualitativo con elementos del método etnográfico, lo que permitió a los docentes–investigadores la construcción, en proceso, de las categorías de análisis de los resultados. GÓMEZ, Pedro (1996). Los efectos curriculares del empleo de la tecnología, en particular de las calculadoras gráficas, es el ámbito en el que se ubica el estudio Calculadoras gráficas y precálculo. Se busca, entre otros objetivos, una explicación y una solución a la problemática de la enseñanza y el aprendizaje del álgebra mediante el diseño y experimentación de un diseño curricular novedoso.

“La enseñanza y el aprendizaje del álgebra en el último ciclo de secundaria y en el primer ciclo universitario revisten gran importancia en la formación matemática del estudiante, y adolecen de graves deficiencias que influyen negativamente en esta formación. En los últimos cinco años el desarrollo del análisis teórico del tema ha permitido comprender la complejidad del proceso de enseñanza y aprendizaje del pensamiento matemático avanzado. Esta complejidad es producto de la interacción del diseño curricular con diversos elementos: el desarrollo curricular; los diversos aspectos del proceso de aprendizaje; las actitudes del estudiante; las creencias y concepciones del profesor, entre otros” (Gómez, 1994).

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El esquema metodológico general del proyecto se basó en un estudio de caso pues tomó como espacio de observación y análisis una sección de un curso de Precálculo en la Universidad de los Andes; se contó con un espacio de control constituido por el desarrollo del trabajo durante un semestre sin el empleo de calculadoras gráficas, y un espacio de experimentación en el que el grupo de estudiantes contó con esta herramienta tecnológica y trabajó con los lineamientos de un diseño curricular detallado para el tema de ecuaciones cuadráticas. El análisis de los resultados, previsto en términos de identificar los cambios que se producirían en los dos semestres, se realizó atendiendo a los aspectos de aprendizaje en los alumnos, cambios en el diseño y el desarrollo curricular, actitudes de los estudiantes y creencias de los profesores que tuvieron a su cargo la orientación de las propuestas didácticas. BUSTAMANTE, Alfonso y ÁLVAREZ, Jairo (1996). El proyecto, Los sistemas de computación simbólica en la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas básicas universitarias, se propuso la identificación de conceptos matemáticos cuya apropiación y comprensión resultaren favorecidos por el uso de Sistemas de computación simbólica (SCS), entendidos como las nuevas opciones de representación y transformación simbólica ofrecidos por los sistemas computacionales; se pretendió, de igual manera, formular y experimentar un nuevo modelo instruccional que permitiera, además, modificar de manera positiva la actitud de los estudiantes hacia las matemáticas.

“Puede afirmarse sin temor a equivocaciones, que los cursos de matemática han sido enseñados sin variaciones substanciales en los contenidos, en la metodología y en el carácter de los materiales instruccionales utilizados, por lo menos en los pasados 30 años. En lo fundamental, el currículo ha sido dominado por un modelo imitativo del aprendizaje: explicación del profesor, ejemplos ilustrativos y ejercicios imitativos orientados a que el estudiante reproduzca las habilidades demostradas por el profesor. Esta situación desconoce de plano los potenciales docentes que abren los computadores y los sistemas de computación simbólica” (Alvarez, Bustamante, 1996).

La propuesta metodológica se diseñó a partir de la selección de cuatro temas básicos de las matemáticas universitarias, respecto a los cuales se formularían las preguntas de investigación. Los temas seleccionados fueron: funciones, convergencia, derivadas y matrices y sistemas de ecuaciones lineales. Respecto de cada temática el proyecto consideró las siguientes fases: • Análisis del discurso matemático respectivo, del que debería seguir la

identificación de temáticas beneficiadas, en su aprendizaje, por la utilización de sistemas de computación simbólica.

• Diseño de situaciones didácticas, con la determinación clara de la forma como interviene el computador en la enseñanza del tema.

• Desarrollo de materiales escritos y de soporte computacional, lo cual completa la fase anterior.

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• Experimentación y seguimiento de la evolución de las motivaciones y actitudes de los estudiantes hacia las matemáticas.

2.2 Resultados y publicaciones ORTÍZ LEGARDA, Marina (1992). Los resultados del proyecto se recogieron en la publicación: “Construcción de sistemas numéricos y de medición. Propuesta de desarrollo curricular para el grado 7º de educación básica”, texto dirigido a docentes de matemáticas con la propuesta de convertirlo en objeto de estudio y discusión a partir de los resultados que se vayan obteniendo con los estudiantes, en el caso en que se decida su aplicación en el aula. GÓMEZ, Pedro (1994). Los resultados del proyecto, “Calculadoras gráficas y precálculo”, fueron presentados en una serie de artículos y publicaciones que desarrollan las siguientes temáticas relacionadas con los objetivos de investigación: • Reflexión general sobre la temática de las calculadoras gráficas. • Resultados del proyecto de diseño curricular • Resultados del proyecto sobre creencias del profesor • Aspectos relacionados con la comprensión • Resultados del proyecto sobre rendimiento • Resultados del proyecto sobre actitudes de los estudiantes • Resultados del proyecto sobre desarrollo curricular • Publicación: GÓMEZ, Pedro (1995). Interacción social, discurso matemático y

calculadora gráfica en el salón de clase: una aproximación experimental. • Publicación: GÓMEZ Y MESA (1996). Situaciones problemáticas en precálculo. BUSTAMANTE, Alfonso; ÁLVAREZ, Jairo (1996). El reporte de investigación da cuenta de los resultados del proyecto “Los sistemas computacionales simbólicos en la enseñanza aprendizaje de las matemáticas básicas universitarias básicas” en términos del modelo instruccional que fue adoptado con el fin de superar las dificultades detectadas en el modelo tradicional, a saber: ruptura entre ritmo de enseñanza y ritmo de aprendizaje; formas de seguimiento del trabajo estudiantil; ritmos de trabajo que sean acordes con la formación matemática; información sobre las condiciones en que el alumno realiza su trabajo; orientación de la enseñanza basada en una concepción explícita de formación matemática. Las temáticas en torno a las cuales se configura la propuesta de aplicación de los sistemas computacionales simbólicos fueron: • Concepto general de función • Funciones numéricas y gráficas • Funciones monótonas y valores extremos • Composición e inversión • Familias de funciones y modelos

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• Conjuntos de funciones numéricas.

3. Formación de conceptos en matemáticas

- GARCÍA, Gloria (1995). Una propuesta didáctica para la construcción de los conceptos de función lineal y función cuadrática. Santa Fe de Bogotá: Universidad Pedagógica Nacional.

- OROZCO, Mariela (1997). Construcción de la operación multiplicativa y del sistema notacional en base 10: una relación posible. Santiago de Cali: Universidad del Valle.

- ORTÍZ LEGARDA, Marina (1997). Periodización de la construcción del concepto de variable en estudiantes de grado sexto. Santa Fe de Bogotá: Asociación Anillo de Matemáticas.

- GONZÁLEZ, Santiago (1998). Deducir: una aproximación desde el modelo de Van Hiele. Ibagué: Universidad del Tolima.

3.1 Identificación del problema y enfoque metodológico GARCÍA, Gloria (1994). El proceso investigativo, Una propuesta didáctica para la construcción de los conceptos de función lineal y función cuadrática, se propuso atender la necesidad de construir marcos de referencia que permitan comprender la relación entre conocimiento teórico y conocimiento práctico en matemáticas. Uno de los caminos identificados por el grupo de investigación para conseguir tal propósito, fue el de elaborar la transposición didáctica para los conceptos de función, función lineal y función cuadrática, mediante la construcción de una didáctica que incorpore los elementos encontrados durante el desarrollo del proyecto.

“... En este sentido el aprendizaje de conceptos nucleadores de la estructura conceptual propia de la matemática, y su poder para aplicar y definir fenómenos de otras ciencias se convierte en meta de la Educación Matemática. Es desde estas opciones que el presente proyecto asume que la enseñanza y el aprendizaje de conceptos como el de función, se presenta como aprendizaje indispensable no solo como estructura necesaria para gran parte de la teoría matemática existente (Cálculo, Análisis, Topología, Teoría de Categorías), sino como conocimiento conceptual que reorganiza y unifica significativamente fenómenos y relaciones teóricas de diferentes campos del conocimiento” (García, G.; 1994).

El diseño metodológico del proyecto, inscrito como investigación práctica de tipo curricular, se basó en una hipótesis según la cual el conocimiento didáctico específico de los conceptos de función, función lineal y función cuadrática se construye a través de la transposición didáctica de los conceptos, y su realización comprendió las siguientes etapas: • Etapa de diagnóstico • Etapa de didáctica y diseño • Etapa de rediseño

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• Etapa de extensión OROZCO, Mariela (1998). El proyecto Construcción de la operación multiplicativa y del sistema notacional en base 10: una relación posible, enfatiza en dilucidar los elementos cognitivos y conceptuales asociados a la construcción del sistema decimal de numeración atendiendo, entre otros propósitos, a las relaciones entre dichos elementos conceptuales, a las relaciones entre los conceptos y los estilos cognitivos y a los tipos de estrategias que emplean los niños para resolver problemas en el sistema decimal de numeración.

“En relación con la problemática general de la construcción del conocimiento matemático, interesa investigar la posible relación entre la construcción de la operación multiplicativa y la construcción del sistema notacional en base 10 y establecer si ciertas características de los sujetos como capacidad mental, edad mental básica, afectan la construcción de la operación multiplicativa y el manejo del sistema notacional en base 10. Para este estudio, se examina la presencia de diferencias cognitivas individuales y estables, esto es estilos cognitivos, en la construcción de la estructura multiplicativa y su interacción con el uso del sistema notacional. Son predecibles desde la teoría, diferencias cualitativas expresables en términos procesuales entre los sujetos de estilos independiente-analítico y sensible (dependiente)- holístico [Witkin, 1977; Riding, 1993]” (Orozco, M; 1998).

El proyecto adoptó, en el aspecto metodológico, un diseño cuasi-experimental, de tipo transversal, que permitiera comparaciones entre grupos de niños con edades diferenciadas, con el fin de relacionar el carácter de sus producciones al resolver tareas propias de los dos tipos de contenidos: operación multiplicativa y sistema notacional en base 10. En el diseño transversal se tomaron como variables independientes la capacidad mental de cada niño, su edad cronológica, y el estilo cognitivo entendido como modalidad de procesamiento o de representación. Para el análisis estadístico se previó la aplicación de correlaciones, grado de significación de las tendencias encontradas y regresiones múltiples. ORTÍZ LEGARDA, Marina (1998). El estudio Periodización de la construcción del concepto de variable en estudiantes de grado sexto, atiende la formación del concepto de variable como un resultado, de carácter tanto sintáctico como semántico, de la transformación del lenguaje común en lenguaje formal matemático; entre otros objetivos, el proyecto se propuso la identificación de fases o etapas en el proceso constructivo del concepto de variable, buscando establecer la potencialidad del lenguaje verbal en la elaboración de conceptos matemáticos.

“Las dificultades que presentan muchos estudiantes para el estudio y comprensión del álgebra, han sido ubicadas por numerosos investigadores en el ámbito de la sintaxis algebraica, es decir, del manejo de símbolos. Sin embargo, es posible pensar que es la construcción de significado de la letra que se usa como variable, lo

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que puede potenciar formas más comprensivas del lenguaje algebraico. Lo anterior significa propiciar un proceso de semantización referido al paso desde el empleo de las expresiones propias de las formas narrativas naturales, pasando por el empleo de expresiones formales como “todos”, “algunos”, “existe por lo menos uno”, hasta llegar a su empleo en el lenguaje matemático, con la letra como elemento sintáctico más significativo” (OrtÍz L, 1998)

En relación con la metodología de investigación, el proyecto asumió un enfoque cualitativo basado en la observación y registro de evidencias del avance cognitivo de los estudiantes en relación con la apropiación comprensiva del concepto de función. Se diseñó y se aplicó una estrategia didáctica relacionada con la actividad de hablar de los objetos, en una dinámica que permitió el cumplimiento de cuatro etapas: • Identificación de elementos conceptuales y gramaticales presentes en las

formas narrativas naturales. • Identificación de elementos conceptuales y gramaticales presentes en las

formas narrativas, cuando en el lenguaje común se incluyen palabras pertenecientes al lenguaje formal.

• Identificación de elementos sintácticos y semánticos presentes en el proceso de transformación del lenguaje común en lenguaje simbólico.

• Caracterización de las formas de expresión empleadas en cada una de las etapas del proceso de apropiación del concepto de variable.

GONZÁLEZ, Santiago (1998). El concepto de deducir como componente del modelo de Van Hiele es el área de interés del proyecto Deducir: una aproximación desde el modelo de Van Hiele, por cuanto a través del proceso investigativo se pretende identificar características generales y particulares del modelo cuando se trabaja con círculos; por otra parte, el estudio se propone el diseño y validación de una propuesta didáctica que atienda la evolución del proceso de deducción en relación con el tema “círculo”.

“De toda la complejidad del modelo de Van Hiele y de los procesos en él involucrados, este proyecto pondrá su énfasis en el proceso de deducir. La cuestión a estudiar es la siguiente: ¿Cómo evoluciona el proceso de deducción en estudiantes de 9º grado en deducciones relacionadas con círculos?” (González, S.; 1998).

En el aspecto metodológico, el proyecto opta por un enfoque cualitativo que asume el aula como un espacio de reflexión y profundización en torno a las acciones, los desarrollos y las elaboraciones que se logran con el trabajo escolar. Se propone la observación etnográfica como herramienta principal para lograr los registros requeridos, apoyada por estudios de tipo estadístico que permitan obtener conclusiones apoyadas en la observación cualitativa y el análisis cuantitativo.

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Las categorías de análisis previstas para el estudio de los resultados, en relación con las fases de aprendizaje identificadas en el proceso de deducir, se ubicarán en tres grandes ámbitos:

• Tipos de deducción • Tipos de representación • Tipos de percepción

3.2 Resultados y publicaciones GARCÍA, Gloria (1994). El reporte de investigación del proyecto, Una propuesta didáctica para la construcción de los conceptos de función lineal y función cuadrática, da cuenta de los resultados en relación con los análisis teóricos de los campos conceptuales del objeto de estudio y con la experimentación de la propuesta, de lo que se concluyó su viabilidad, a pesar de que se reconoce la necesidad de superar algunas dificultades relacionadas con el tipo de representaciones que se priorizan actualmente en la enseñanza de las matemáticas, el grado escolar en que se inicia el aprendizaje de las nociones de variable y variación, y la necesidad de cualificar el conocimiento profesional de los docentes de matemáticas en este ámbito. La propuesta curricular que resulta de la ejecución del proyecto desarrolla un aspecto innovador referido a la función como organizador curricular, como base o fundamento del diseño y desarrollo de las unidades didácticas que se proponen. Como resultado del proyecto se realizaron las siguientes publicaciones: • GARCÍA, Gloria, SERRANO DE PLAZAS, Celly y ESPITIA, Luis E (1997). El

concepto de función en textos escolares. Santa Fe de Bogotá: Universidad Pedagógica Nacional. Colciencias.

• GARCÍA, Gloria, SERRANO DE PLAZAS, Celly y CAMARGO, Leonor (1998). Una propuesta curricular para las nociones de función como dependencia y la proporcionalidad como función lineal. Santa Fe de Bogotá: Universidad Pedagógica Nacional. Colciencias.

• “Situaciones de variación numérica: génesis de la función lineal”. En: Revista Notas de Matemáticas. Nº 39. Santa Fe de Bogotá: Universidad Nacional de Colombia.

OROZCO HORMAZA, Mariela (1997). El reporte de investigación da cuenta de los resultados del análisis efectuado a los diferentes tipos de tareas propuestas a los niños integrantes de la muestra, con el propósito de establecer la demanda mental de cada tarea, en función del tipo de estrategia que cada sujeto utiliza para resolver la tarea. Las actividades propuestas se ubicaron en cada uno de los dos ámbitos abordados por el proceso investigativo: la operación multiplicativa y el sistema notacional en base 10.

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ORTÍZ LEGARDA, Marina (1998). Como resultado del proyecto Periodización de la construcción del concepto de variable en estudiantes de grado sexto, se presenta la serie de etapas que los estudiantes cumplieron en su proceso de elaboración de la noción de Variable, desde la perspectiva semiótica – lingüística asumida por el proyecto en lo conceptual y en lo metodológico. La secuencia de etapas se propnen en el siguiente orden: 1ª. Formas de las expresiones en el lenguaje común. 2ª. Empleo de los cuantificadores “Todos” y “Algunos” 3ª. Especificación del concepto – clase y el universo de discurso. 4ª. Empleo de las expresiones “Todos” y “Existe por lo menos un...” 5ª. Los conjuntos numéricos como universo de discurso. El informe da cuenta, además de los acuerdos que permitieron el avance en el proceso de desarrollo conceptual, acuerdos logrados en una dinámica de negociación de significados y construcción de sentido para los términos nuevos, cuya inclusión en el lenguaje común se proponía como paso previo a la formalización del concepto. Los resultados del proyecto se dieron a conocer a través de la publicación: (1998). El concepto de variable: un problema de lenguaje. Santa Fe de Bogotá: Asociación Anillo de Matemáticas. GONZÁLEZ OROZCO, Santiago (1998). “Deducir: una aproximación desde el modelo de Van Hiele”. Proyecto actualmente en desarrollo. 4. Incorporación de tecnología - GEORGE, Kemel (1992). Matemática de la señal. Santa Fe de Bogotá:

Universidad Distrital. - BUSTAMANTE, Alfonso y ÁLVAREZ, Jairo (1996). Los sistemas de

computación simbólica en la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas básicas universitarias. Santiago de Cali: Universidad del Valle.

- GÓMEZ, Pedro (1996). Calculadoras gráficas y precálculo. Santa Fe de Bogotá: Universidad de los Andes.

4.1 Identificación del problema y diseño de metodología GEORGE, Kemel (1992). Con el propósito general de mejorar los procesos de enseñanza – aprendizaje de la matemática asistida por computador, el proyecto Matemática de la señal, se propuso buscar, entre otros resultados, la creación de un grupo de investigación universitario, estable y multidisciplinario que abordara de manera rigurosa el estudio de la matemática que subyace en la señal y apoyara la generación de un espacio para la elaboración de tesis y monografías, con un enfoque teórico y metodológico determinado por el estudio, para estudiantes de las carreras de Ciencias y Tecnología.

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“El proyecto se propone desarrollar una función común académica, docente y pedagógica; esto es, sistematizar el desarrollo reciente que se ha dado en matemática discreta y los algoritmos de cálculo rápido de procesamiento de señales digitales, canalizándolos en una labor de formación y estímulo en la universidad. Mediante la utilización de software avanzado, la realización de seminarios y las publicaciones que se proyectan, se pretende construir y dar un nuevo enfoque a los cursos de matemáticas que se dictan a nivel universitario” George, K; 1992).

El proyecto “Matemática de la señal” basó su metodología de investigación en el estudio de cinco niveles: a) Modelos lógicos y matemáticos de la teoría de señales. b) Reconstrucción analógica de señales digitales; codificación digital. c) Algoritmos de cálculo rápido. d) Matemáticas y computador. e) Computadores y pedagogía BUSTAMANTE, Alfonso y ÁLVAREZ, Jairo (1996). Además del enfoque hacia el diseño curricular, el proyecto. Los sistemas de computación simbólica en la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas básicas universitarias, pretende incursionar en la búsqueda sistemática de nuevas relaciones con los objetos matemáticos, algunos de los cuales se ven favorecidos en su apropiación y comprensión por el empleo de sistemas de computación simbólica, traducidos en materiales escritos y de soporte computacional, puestos a disposición de profesor y alumnos.

“...Mediante el uso de los sistemas de computación simbólica, ahora es posible resolver un rango más amplio de problemas y el contenido usual de los cursos se ve confrontado, a la luz de las nuevas tecnologías. Creemos, por lo tanto, que la utilización de estos sistemas proporciona experiencias más ricas en el aprendizaje de las matemáticas que las adquiridas mediante el enfoque tradicional de tablero, tiza, papel y lápiz o cálculos a mano... ¿Qué expresiones del conocimiento matemático ven favorecido su aprendizaje al poder acceder el estudiante a las nuevas formas de representación y capacidades de transformación simbólica proporcionadas por los SCS?” (Bustamante A.; Alvarez, J.; 1996).

GÓMEZ, Pedro (1996). El proyecto Calculadoras gráficas y precálculo, se propuso atender, además del diseño de una propuesta curricular novedosa, la necesidad de incorporar la tecnología en la enseñanza y aprendizaje de las matemáticas, buscando con ello mejorar la calidad de los procesos de aula y contribuir en la difusión de la cultura matemática. Lo anterior, a partir de la consideración de la matemática como una ciencia viva, y por lo tanto como una ciencia falible que comprende la experimentación, la formulación de conjeturas e hipótesis y la validación respectiva, en un proceso de construcción comunitaria.

“...Hace poco tiempo ha aparecido una nueva tecnología que parece resolver algunas de las dificultades de los computadores en el área de la enseñanza del

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álgebra y el cálculo. Se trata de las calculadoras gráficas. Estas son calculadoras que, gracias a una pantalla de cristal líquido, permiten crear y analizar las gráficas de la mayoría de las funciones contempladas en estos niveles de la educación superior” (Gómez, P.; 1996).

4.2 Resultados y publicaciones GEORGE, Kemel (1992). Los resultados del proyecto “Matemática de la señal” se condensaron en una guía para resolver problemas en el ambiente Mathematica, un software diseñado para la enseñanza de las matemáticas utilizando el computador. La guía está organizada en una introducción y la presentación de problemas y su solución en cada una de las siguientes áreas: Algebra; álgebra lineal; cálculo diferencial; cálculo integral; ecuaciones diferenciales y de diferencias; el sonido y su representación; estudio de la voz humana; problemas especiales; probabilidad. La guía propone cuatro fases, al menos, como las que deben cumplirse para resolver un problema en Mathematica: • Definición del problema • Elaboración del modelo matemático que represente el problema en cuestión. • Resolver el modelo matemático mediante el empleo del software Mathematica. • Respuesta al problema matemático. 5. Dimensión cultural de la educación matemática

- ARCE, Jorge; CASTRILLÓN, Gloria y VEGA, Myriam (1996). Formación del pensamiento matemático en el contexto escolar: implicaciones de la cultura del uno y la unidad. Santiago de Cali: Universidad del Valle.

- LÓPEZ, Luz Stella y GINSBURG, Herbert (1996). Manifestación y desarrollo del pensamiento matemático informal. Barranquilla: Universidad del Norte.

5.1 Identificación del problema y diseño metodológico ARCE, Jorge; CASTRILLÓN, Gloria y VEGA, Myriam (1996). El proyecto Formación del pensamiento matemático en el contexto escolar: implicaciones de la cultura del uno y la unidad, aborda la discusión acerca de la forma como circulan en la escuela los componentes culturales de los conceptos que se asumen como dados en el proceso educativo formal. Los autores consideran que los conceptos de uno y unidad tienen un rol de especial importancia, ya que intervienen en el aprendizaje de otros conceptos básicos de las matemáticas, como son el concepto de número racional –en particular la relación parte todo-, los sistemas de numeración, las proporciones y la medición, entre otros. Por la anterior razón el estudio se propone indagar acerca de las relaciones significativas entre

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pensamiento matemático y culturas matemáticas, que circulan en contextos escolares y extraescolares de la región a la que pertenece la población objeto.

“Con esta investigación hemos querido explorar la extraordinaria riqueza de un problema que comúnmente ha sido relegado por hacer alusión a objetos, que como el uno y la unidad, supuestamente tienen ya un estatuto epistemológico claro y terminado que se asume ya inserto, por su propia naturaleza, en la cultura de los individuos y en particular en la cultura matemática. Ésta circula cómodamente, pasando desapercibida, dentro y fuera de las instituciones educativas”. (Arce, J; Castrillón G.; Vega M; 1999)

La propuesta metodológica se diseñó a partir de categorías conceptuales diseñadas por la escuela francesa, tales como la transposición didáctica (Chevallard), el campo conceptual (Vergnaud) y el contrato didáctico (Brousseau) y de aportes de disciplinas como la filosofía, la historia y la psicología con el eje orientador de las matemáticas, en tanto disciplina científica, en tanto matemáticas que se enseñan y en tanto matemáticas cotidianas. El trabajo de campo fue pensado para ejecutarse en cuatro períodos: 1) Observación participante de grupos de alumnos y profesores. 2) Diseño de situaciones - problema para alumnos y profesores. 3) Puesta en funcionamiento de los instrumentos de investigación diseñados. 4) Análisis y discusión de los registros de observación Los instrumentos de investigación corresponden a: formas de observación participante (componente del método etnográfico); entrevistas a profesores, entrevistas a alumnos, filmación de escenas escolares, revisión de textos; todo ello en relación con la población abordada como grupo específico: los escolares, sus maestros y las interrelaciones entre ellos. LÓPEZ, Luz Stella y GINSBURG, Herbert (1996). El proyecto Manifestación y desarrollo del pensamiento matemático informal, si bien tiene entre sus propósitos el de diseñar currículo para los primeros grados de educación formal, también es cierto que fundamenta su enfoque teórico en la competencia matemática informal de los niños que conforman la población objeto. En ese sentido, el estudio se propone establecer los niveles de competencia en las matemáticas informales, identificando los conceptos y estrategias de pensamiento de dicha matemática informal, así como las formas de desarrollo en los que las matemáticas informales se manifiestan.

“ ...no existe un currículo fundamentado en el pensamiento matemático informal de los niños, ni para los jardines preescolares, ni para el uso de la familia en casa. Los currículos deben tener en cuenta cuáles son las estrategias de pensamiento matemático informal que tienen los niños, los factores que afectan su manifestación y los factores que afectan su desarrollo. Hasta la fecha, para las edades preescolares o se carece de currículos, o éstos no están centrados en el desarrollo de las matemáticas informales de los niños. Los currículos de enseñanza de las

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matemáticas formales en los colegios tampoco están fundamentados en los conocimientos informales que los niños han construido por sí mismos antes de entrar al colegio. El diseño y la creación de un currículo fundamentado en el pensamiento matemático es una necesidad. En particular, se requiere que este currículo tenga en cuenta la forma como se manifiesta y desarrolla el pensamiento matemático informal” (López L.; Ginsburg H. 1998). (Proyecto en desarrollo).

La metodología del proyecto se orientó a establecer una serie de actividades de aprendizaje “encaminadas a extender y ampliar las matemáticas informales de los preescolares, buscando el desarrollo de los conceptos de una forma agradable y motivante para los niños”. Los instrumentos de investigación consisten principalmente en pruebas estandarizadas, entrevistas estructuradas y entrevistas flexibles dirigidas a grupos de niños y a grupos de adultos que tienen a los niños bajo su responsabilidad. El análisis de los datos se previó en los ámbitos cuantitativo y cualitativo; por otra parte, se establece analizar las respuestas de los niños a la prueba estandarizada TEMA, de acuerdo con los procedimientos que la misma prueba propone. Lo anterior, con el ánimo de encontrar los factores que determinan la manifestación y desarrollo del pensamiento matemático informal de los niños, así como diseñar un currículo acorde con las necesidades y características culturales y de pensamiento de los niños en estudio. 5.2 Resultados y publicaciones ARCE, Jorge; CASTRILLÓN, Gloria y VEGA, Myriam (1996). El reporte de investigación del proyecto Formación del pensamiento matemático en el contexto escolar: implicaciones de la cultura del uno y la unidad, desarrolla los siguiente aspectos: • Un análisis sociocultural y filosófico que da pautas para establecer nexos

claros entre el estatuto teórico de las nociones de uno y unidad, y la manera como éstos ingresan como herramienta y objeto en un sistema didáctico de interrelaciones entre estos saberes, el maestro y el alumno, el cual toma en consideración las condiciones socioculturales en que se inscribe la institución educativa.

• La naturaleza del papel y la función de las nociones de uno y unidad en la formación de pensamiento aritmético y geométrico a través de una aproximación histórica. El punto de partida es la consideración de estas nociones como objetos matemáticos no preexistentes y acabados, lo cual ha permitido identificar características fundamentales en la construcción de conocimientos matemáticos que pueden constituir un referente importante para la educación matemática escolar.

• Diversos análisis, que desde la identificación de campos conceptuales y temáticas específicas que se articulan con las nociones de uno y unidad (sistemas de numeración, proporcionalidad, números racionales y magnitudes y medida) recogen el estudio de las concepciones presentes en los

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procedimientos y respuestas de alumnos y profesores a diferentes situaciones y cuestionamientos, que se manifiestan en los textos escolares de matemáticas.

Se proyecta la presentación de 3 artículos a revistas nacionales e internacionales para su publicación: CASTRILLÓN, G; VEGA, M; ARCE, J. Perspectiva sociocultural y filosófica en la formación de pensamiento matemático: las nociones de uno y unidad. - ARCE, Jorge; CASTRILLÓN, Gloria y VEGA, Myriam (1996). Aproximación

histórica al papel del uno y la unidad en la formación de pensamiento matemático.

- ARCE, Jorge; CASTRILLÓN, Gloria y VEGA, Myriam (1996). Aproximaciones a las concepciones de uno y unidad en contextos escolares.

LÓPEZ, Luz Stella y GINSBURG, Herbert (1998). Manifestación y desarrollo del pensamiento matemático informal. Proyecto actualmente en desarrollo. 6. Formación de docentes 6.1 Identificación del problema y diseño metodológico PERRY, Patricia (1997). El proyecto “Reflexión e interacción: componentes de la actividad profesional del docente de matemáticas” se propuso como objetivo general ganar comprensión conceptual sobre dos aspectos que el grupo de investigación considera fundamentales para la potenciación del profesor de matemáticas, en cuanto participa de una cultura profesional en la institución: la capacidad de reflexión sobre su práctica y la interacción en el grupo institucional del que forma parte.

“ Las demandas y exigencias a las que actualmente tiene que responder el profesor de matemáticas en el ejercicio de su profesión, resaltan la necesidad y la importancia de que desarrolle su capacidad de reflexión y de actuación sobre su propia práctica y la necesidad de apoyar este proceso desde la institución educativa promoviendo la interacción profesional. La capacidad de reflexión, adecuadamente desarrollada, le permitirá al profesor identificar problemas, analizar sus indicadores y causas, imaginar cómo sería una situación hipotética en la que el problema no existiera, plantear alternativas de solución y analizar a priori cuáles podrían ser los efectos de su implementación para llegar a decidir cuál es la mejor alternativa. También es esa capacidad la que le permitirá poner a prueba la mejor alternativa de solución y analizar los resultados de su implementación con miras a formar nuevos procesos similares” (Perry P., 1997).

El esquema metodológico hace referencia a la dimensión investigativa presente en un proyecto de investigación – acción en el que participan 5 investigadores y un grupo de profesores de matemáticas de colegios oficiales de Santa Fe de Bogotá.

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Por su parte, el diseño de la metodología aborda el desarrollo de tres temas: • El espacio de interacción para la investigación: se selecciona un programa de

formación de profesores como contexto para la investigación. • Los principios metodológicos del grupo, relacionados con la reflexión del grupo

de investigadores, la discusión competente en la planeación de las actividades y la sensibilidad a los comportamientos y respuestas de los participantes.

• El esquema metodológico, referido a la construcción y redefinición de los marcos conceptuales, la reflexión sobre aspectos específicos de la práctica e interacción profesional del grupo de profesores de matemáticas del colegio.

6.2 Resultados y publicaciones PERRY, Patricia (1997). Proyecto actualmente en desarrollo. 7. Identificación de dificultades en el aprendizaje

- ROMERO, Jaime (1993). La variable matemática como problema puntual. Búsqueda de causas en 8º grado. Santa Fe de Bogotá: Universidad Distrital.

7.1 Identificación del problema y diseño metodológico ROMERO, Jaime (1993). La variable matemática como problema puntual. Búsqueda de causas en 8º grado, constituye un estudio exploratorio basado en la observación, la aplicación de cuestionarios y la realización de entrevistas, que apuntó al diseño de un modelo de observación de dificultades en el aprendizaje del concepto de variable, en la perspectiva de diseñar posteriormente una propuesta pedagógica alternativa que atienda la solución de las dificultades encontradas.

“Identificar causas en la educación matemática que generan incomprensión del concepto de variable en matemáticas, es de vital importancia para conformar, con rigurosidad, una propuesta alternativa para una enseñanza que posibilite el aprendizaje de este concepto que juega un papel determinante en el álgebra y el cálculo, así como en la construcción de modelos matemáticos. Mediante el estudio de las relaciones en el aula, las formas de empleo de textos escolares, el grado de reconocimiento y uso didáctico de preconceptos para precisar o construir nuevos, las formas de evaluación, establecer causas de incomprensión y su evolución, para luego sí pasar a formular propuestas que después de un proceso de experimentación, en una siguiente etapa, puedan dar lugar a orientaciones para elaborar una propuesta de alternativa pedagógica que ofrezca directrices para la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas (Romero, 1992).

La metodología de investigación fue propuesta a partir de la identificación del problema, planteado en términos de “dificultad en la comprensión del concepto de variable, lo cual genera incomprensión y deserción posteriores”, el estudio se

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propuso buscar las causas de tal dificultad, mediante la observación del trabajo de aula, la profundización en la revisión bibliográfica y la aplicación de una prueba de entrada y una prueba de salida, entre las cuales se realizaría una serie de talleres. 7.2 Resultados y publicaciones ROMERO, Jaime (1993). Los resultados del proyecto desarrollan los siguientes aspectos: • Interpretación de la letra que hacen alumnos de grado 8º. • Una aproximación a las dificultades para el trabajo algebraico. • Reflexión acerca de las posibilidades de dotar de significado el trabajo escolar

en álgebra. • Reflexión acerca de la “Evidencia” como categoría que aparece en el trabajo

en matemáticas. • Sugerencias para el trabajo algebraico en el aula. Publicación: ROMERO, Jaime (1992). La variable como problema puntual. Búsqueda de causas en octavo grado. Informe del proyecto Colciencias–Universidad Distrital. Grupo Pretexto. 8. Estilos cognitivos

- HEDERIFCH MARTÍNEZ, Christian y CAMARGO URIBE, Ángela (1992). Estilos cognitivos en Colombia. Resultados en cinco regiones colombianas. Santa Fe de Bogotá: Universidad Pedagógica Nacional.

- HEDERIFCH MARTÍNEZ, Christian (1995). Estilo cognitivo, estilo de aprendizaje e interacción educativa. Santa Fe de Bogotá: Universidad Pedagógica Nacional.

8.1 Identificación del problema y diseño metodológico El estudio Estilos cognitivos en Colombia. Resultados en cinco regiones colombianas, se propuso buscar la evidencia empírica de la existencia de estilos cognitivos diferenciados en Colombia, la delimitación de los grupos de variables más influyentes en el estilo cognitivo y la diferenciación de estilos cognitivos en 6 regiones del país. Se orientó igualmente a la profundización del estudio de las regiones cognitivas colombianas, al desarrollo de un modelo teórico que vincule el sistema de procesamiento de la información con el estilo cognitivo, a la identificación de estructuras y procesos propios de cada tendencia cognitiva y a la identificación de características de aprendizaje en matemáticas y lenguaje en cada estilo cognitivo. La metodología de investigación se orientó a atender la necesidad de diseñar pedagogías y currículos diferenciados, acordes con la diversidad de estilos cognitivos vinculados con variables ecológicas, sociales y culturales. El proceso

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investigativo se adelantó con estudiantes de educación básica de diferentes regiones colombianas, mediante la aplicación de la Prueba de Figura Enmascarada (EFT). 8.2 Resultados y publicaciones Dentro de la línea “Modalidades de procesamiento”, el proyecto entrega como parte del informe final, el documento “Estilos cognitivos como modalidades de procesamiento de la información. Una exploración en las áreas de matemáticas y lenguaje”. En cuanto a Estilos de procesamiento matemático, la investigación realizada con 175 estudiantes de grado noveno del instituto Pedagógico Nacional (clasificados en sensibles, intermedios e independientes mediante la aplicación de la Prueba de figura enmascarada), presenta los siguientes resultados: • No existen diferencias observables entre el estilo cognitivo y el porcentaje de

logro en la representación gráfica de las condiciones de un problema. • En cuanto a la capacidad para la representación simbólica, el porcentaje de

éxito es mayor en los sujetos clasificados como independientes del medio. • En cuanto al uso de símbolos literales como variables, incógnitas o etiquetas

dentro de una expresión matemática, los resultados muestran que los independientes tienden en mayor medida a utilizar las letras como nombres de variables que los dependientes. Los dependientes, por su parte, tienden en mayor medida a utilizar las letras como incógnitas que deben resolverse, o como etiquetas.

• En el aspecto de representación fraccionaria, el análisis del problema revela mayor éxito en los sujetos independientes para realizar la tarea de representación de fracciones en contextos discretos y continuos.

• La identificación de inconsistencias en el planteamiento de un problema fue lograda con mayor éxito por los sujetos independientes. Los sujetos dependientes presentan carencias en la estructuración del espacio del problema o en la administración de los recursos de memoria disponibles.

• Otro aspecto contemplado por el estudio se relaciona con la planificación de la solución de un problema: se concluye una mayor tendencia de los sujetos independientes a estructurar los datos del problema en una secuencia temporal y modelarlos en una ecuación, mientras que los sujetos sensibles al medio presentan una tendencia a asimilar el problema a un guión y a proceder más frecuentemente a través de una estrategia aritmética.

9. El papel de la argumentación

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- LEÓN, Olga Lucía y CALDERÓN, Dora Inés (1995). La argumentación en la construcción del conocimiento matemático. Santa Fe de Bogotá: Universidad Externado de Colombia.

- LEÓN, Olga Lucía y CALDERÓN, Dora Inés (1998). El papel de la argumentación en las situaciones de validación del conocimiento matemático en el aula. Santa Fe de Bogotá: Universidad Externado de Colombia.

9.1 Identificación del problema y diseño metodológico LEÓN, Olga Lucía y CALDERÓN, Dora Inés (1995). Con el propósito general de identificar y describir los recursos argumentativos empleados por un grupo de estudiantes de primer semestre de educación superior, el proyecto La argumentación en la construcción del conocimiento matemático, apuntó a la generación de un marco teórico que sustentara las formas argumentativas como procesos de comunicación de saberes en el aula, así como los lineamientos necesarios para definir una variedad de recursos argumentativos en la solución de problemas matemáticos; igualmente, el proceso investigativo se dirigió hacia la identificación de unos principios que orienten el análisis de la interacción de pequeños grupos dentro del aula.

“... El presente proyecto ha seleccionado un fenómeno particular que tiene lugar en todo el contexto de la comunicación en el aula: los procesos de argumentación. Esto en tanto que consideramos que si bien la argumentación representa un elemento fundamental en el desarrollo y comprensión de cualquier disciplina –en este caso de las matemáticas- no ha sido un aspecto investigado en gran medida en nuestro contexto nacional. Más aún, a nivel internacional los investigadores hacen un llamado a estudiar lo que pueden representar los procesos argumentativos en el aula como aporte para la comprensión en los procesos de aprendizaje en general” (León, O.; Calderón, D.; 1995).

La propuesta metodológica asume la correspondiente a la investigación etnográfica en el aula, pues se considera que sus principios se ajustan al tipo de estudio previsto. Asumiendo los enfoques metodológicos de los aprendizajes cooperativos, se incorpora el trabajo en pequeños grupos al diseño metodológico, con el fin de procurar los procesos de interacción social que podrían activar el desarrollo del conocimiento. El proceso metodológico se diseñó basado en la relación constante entre los procesos intrapersonales y los procesos interpersonales que ocurren en el aula durante el proceso de solución de problemas matemáticos. Las herramientas metodológicas diseñadas para tal fin incluyen los protocolos, las entrevistas y las grabaciones en audio y video. LEÓN, Olga Lucía y CALDERÓN, Dora Inés (1998). El segundo proyecto en la línea del papel de la argumentación en la construcción de conocimiento matemático, El papel de la argumentación en las situaciones de validación del

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conocimiento matemático en el aula, se trazó como propósito principal el establecimiento de las relaciones fundamentales en las dimensiones comunicativa–argumentativa–cognitiva–matemática, a partir del análisis de las manifestaciones argumentativas que emplean estudiantes universitarios en la solución de problemas matemáticos. Es decir, el proyecto se propuso profundizar en los aspectos de orden cognitivo, lingüístico-comunicativo y social que inciden en los procesos de enseñanza y aprendizaje de las matemáticas; lo anterior con el fin de allegar elementos para la planeación y cualificación de la didáctica de las matemáticas, específicamente de las matemáticas universitarias.

“El asunto a resolver en esta investigación es, particularmente, la explicitación de las relaciones de orden cognitivo, lingüístico–comunicativo y social, existentes entre los procesos de argumentación y los procesos de validación de conocimientos y procedimientos matemáticos, en el aula... El problema fundamental parece radicar en la manera como se concibe tanto al conocimiento matemático escolar como al estudiante. Generalmente se considera al saber matemático independiente del proceso que lo genera y, en consecuencia, ajeno a los procesos sociales, y al estudiante como un sujeto distinto en la escuela y distinto en la sociedad. De ahí que, al negar el carácter social de las matemáticas surja un estilo de comunicación de lo matemático en el aula, que en ningún momento favorece los procesos de elaboración, discusión, negociación y apropiación autónomos del conocimiento matemático en el estudiante” (León, O.; Calderón, D. 1998).

La propuesta metodológica hace referencia a un diseño de corte cualitativo orientado por los presupuestos teóricos de la investigación etnográfica en el aula; la elaboración conceptual está al servicio de la estructuración de instrumentos de observación y de recolección y análisis de datos. Los dos tipos de diseño que se proponen, atienden tanto las actividades de aula como las estrategias e instrumentos necesarios para la observación, recolección y análisis de datos. Se configura, de esta manera, un estudio de tipo empírico – analítico que debe realizarse en tres fases, cada una de ellas durante un año. El presente proyecto pretende cubrir la primera fase, al cabo de la cual se espera haber identificado los estilos de comunicación de lo matemático que circulan en el grupo de estudiantes, y haber caracterizado roles en la interacción comunicativa en el aula. 9.2 Resultados y publicaciones LEÓN, Olga Lucía y CALDERÓN, Dora Inés (1995). La argumentación en la construcción del conocimiento matemático. Los resultados de la investigación desarrollan los siguientes aspectos: 1) El empleo del registro matemático no siempre constituye prueba de la

construcción de conocimiento matemático. 2) En muchos casos se justifica la resolución del problema matemático y no el

conocimiento que sustenta dicha solución.

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3) No se puede afirmar, con plena seguridad, que exista un único recurso del que los estudiantes hagan uso privilegiado.

4) Surge, entonces, la necesidad de formular nuevas direcciones a la línea de investigación, de tal manera que se pueda dar cuenta de la incidencia de las didácticas con pretensiones argumentativas; del carácter de los procesos cognitivos que se evidencian en el discurso argumentado y de la posibilidad de crear espacios educativos centrados en la utilización de procesos argumentativos.

LEÓN, Olga Lucía y CALDERÓN, Dora Inés (1998). El papel de la argumentación en las situaciones de validación del conocimiento matemático en el aula. Proyecto actualmente en desarrollo. 10. Naturaleza de los sistemas simbólicos

- REYES NAVIA, Rosa Mercedes (1996). El juego y el sistema de los símbolos, ¿generalidad o especificidad de dominio? Santa Fe de Bogotá: Universidad Pedagógica Nacional.

10.1 Identificación del problema y diseño metodológico LEÓN, Olga Lucía y CALDERÓN, Dora Inés (1995). Aunque el proyecto El juego y el sistema de los símbolos, ¿generalidad o especificidad de dominio? no está ubicado específicamente en el ámbito de la educación matemática, el problema que se aborda está relacionado con su problemática por cuanto pretende caracterizar los entrecruzamientos entre el juego y otros dominios simbólicos entre los que se consideran el notacional y el numérico. De manera general, el proyecto se propuso probar modelos que permitieran definir y tratar el juego, ya como dominio general, ya como dominio específico, dentro del marco de los sistemas simbólicos, así como establecer si se dan cruces y acoples entre el juego y otros modos de simbolización, mediante el empleo de formatos apropiados para tal fin.

“El proyecto El juego y el sistema de los símbolos: ¿generalidad o especificidad de dominio?, anuncia el campo de problemas dentro del cual situamos nuestra investigación. Partimos de la identificación de dos posiciones que en el momento actual orientan los estudios de los símbolos. La de estirpe piagetiana que defiende con ahínco el planteamiento de que la función semiótica es de dominio general y la de los sistemas simbólicos para la cual éstos son de dominio específico, a la que adhieren autores como D. Feldman, D. Olson, G. Salomon y H. Gardner. Ubicamos nuestro estudio del juego en el corazón de esta discusión y optamos por colocarnos del lado de quienes defienden la hipótesis de la especificidad de los dominios simbólicos. La investigación que hemos diseñado aportará elementos que den apoyo empírico al esclarecimiento de la discusión. En efecto, abordaremos el juego como área simbólica, probaremos modelos que nos ayuden a definirlo como tal y desde ahí intentaremos caracterizar los cruces y acoples que se den entre éste

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y otros dominios simbólicos como el notacional, el gráfico y el numérico” (Reyes, M; 1996).

La propuesta metodológica opta por un proceso de construcción de tres modelos distintos para representar el juego como dominio general, como dominio específico y como módulo, en la perspectiva de responder al interrogante respectivo, planteado como uno de los problemas de investigación.

Las hipótesis que se proponen para responder a las preguntas que el proyecto se plantea, son las siguientes: • Tiene razón el enfoque piagetiano al considerar la función semiótica de

dominio general y en consecuencia el juego participa de dicho carácter. • El juego, como otros dominios simbólicos más y mejor estructurados, se rige

por procesos de dominio específico. • Se carece de la información suficiente para confirmar el carácter modular del

juego. (Aunque esta hipótesis fue considerada poco plausible) • Si es posible demostrar la hipótesis de generalidad de dominio, el juego se

acopla con las demás áreas simbólicas de modo que logra influir en ellas. • Si se confirma que el juego es de dominio específico, los cruces de frontera se

verán afectados por dicha especificidad y los acoples con otros campos serían menos generales y frecuentes de lo que suponen quienes optan por la generalidad del dominio simbólico.

10.2 Resultados y publicaciones LEÓN, Olga Lucía y CALDERÓN, Dora Inés (1996). Los resultados del proceso investigativo son presentados en cuatro artículos, cada uno de los cuales desarrolla los siguientes aspectos: a) Reflexiones de tres grandes pensadores (Cassirer, Goodman y Gombrich),

quienes partiendo de una visión de los símbolos que los organiza en formas y en sistemas diferentes, abren nuevas e interesantes posibilidades para la comprensión del símbolo lúdico.

b) Planteamientos de diferentes autores sobre el nacimiento de la función semiótica desde una perspectiva de dominio general.

c) Reflexión centrada en los enfoques de dominio específico donde se muestra cómo, tanto la reflexión de los teóricos como el desarrollo de importantes trabajos empíricos, completamente fuera de la cuestión semiótica tratada como dominio general, se esfuerzan por comprender las manifestaciones lúdicas dentro del problema de la teoría de la mente.

d) Muestra del avance logrado sobre algunos aspectos del dominio gráfico; aparecen las diferencias que se dan en los planteamientos de quienes defienden una posición de dominio general y aquellos que se colocan en la perspectiva del dominio específico.

11. Formación de redes de educadores matemáticos

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- GÓMEZ, Pedro (1995). Potenciación de las matemáticas escolares a

través de Red de instituciones educativas (PRIME). Santa Fe de Bogotá: Universidad de los Andes.

11.1 Identificación del problema y diseño metodológico GÓMEZ, Pedro (1995). El proyecto PRIME, Potenciación de las matemáticas escolares a través de Red de instituciones educativas, fue concebido con el propósito de sentar la base para la consolidación de una red de instituciones educativas (universidades y colegios) que trabajen en torno a la problemática de la calidad de la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas escolares, desde una perspectiva institucional. El proyecto se fijó, entre otros objetivos, los de explorar la problemática del cambio dentro del sistema curricular en matemáticas; diseñar, poner en práctica y evaluar estrategias que, con la participación de las instituciones de educación superior, generen un ambiente apropiado para el cambio dentro de los colegios del país, y crear una red de instituciones de educación superior y de colegios que consoliden estrategias que generen este cambio.

“PRIME I es un proyecto de investigación – acción que “una empresa docente” está desarrollando desde julio de 1995 hasta julio de 1997. Es la primera fase de un proyecto diseñado a ocho años cuyo propósito final es construir y consolidar una red de instituciones de educación superior y de colegios que trabajen conjuntamente para mejorar la calidad de la formación matemática que reciben los estudiantes en los colegios de la red. En otras palabras, a largo plazo se espera generar una dinámica y un ambiente de trabajo compartido entre colegios y universidades de Colombia de tal manera que el mejoramiento de la calidad de las matemáticas escolares se entienda y se experimente como un proceso permanente y sistemático, del cual son responsables directos las instituciones educativas y las personas que en ellas trabajan” (Gómez, 1995).

El enfoque de investigación que se asume es el crítico – social, que el grupo de trabajo enfoca hacia la aproximación principalmente cualitativa a los problemas que se desean abordar, y hacia la influencia participativa de los investigadores en el problema mismo. El proceso investigativo se basa en la interacción que se logra, a lo largo del esquema de desarrollo profesional, con los profesores y directivos de los colegios. Por lo tanto la dinámica de la investigación toma forma al analizar lo que sucede en los colegios antes y al iniciar su participación en el proyecto; los cambios que suceden en las instituciones durante la ejecución del proyecto; la situación que se revela cuando concluye la interacción con los investigadores; y generar conocimiento a partir del análisis de la nueva situación de las matemáticas escolares, cuando se han cumplido las tres etapas anteriores. 11.2 Resultados y publicaciones

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GÓMEZ, Pedro (1995). Los resultados del proyecto Potenciación de las matemáticas escolares a través de Red de instituciones educativas, han sido presentados en varias publicaciones que dan cuenta de aportes y reflexiones de los investigadores y los docentes participantes en relación con aspectos como: • Visión general de la problemática de las matemáticas escolares en Colombia. • Calidad y reforma de las matemáticas en secundaria: enfoque alternativo. • Aproximación conceptual a la problemática de las matemáticas escolares en

secundaria. • Problemática de las instituciones participantes • Estudio de caso en dos de las instituciones participantes. Publicaciones: • (1998). Experiencias de desarrollo profesional en Matemáticas. Una empresa

docente. • (1998). Calidad de la educación matemática en secundaria. Actores y procesos

en la institución educativa. Una empresa docente.