eduardoantoniocanoplata.2008_Parte1

ELECTRONICA-MAYO15.prnD:\ELECTRONICA\ELECTRONICA-MAYO15.vpjueves, 15 de mayo de 2008 19:34:17

p p pComposite 133 lpi at 45 degrees

Universidad Nacional de ColombiaSede ManizalesFacultad de Ingeniera y Arquitectura

Eduardo Antonio Cano PlataHernn Emilio Tacca

Coordinacin de la publicacin:

Revisin de estilo: Andrs HerreraDiseo y diagramacin: Dora lvarez S.Diseo de portada: ngela Pilone

Preparacin editorial e impresinUniversidad Nacional de Colombia, UNIBIBLOSLuis Ignacio Aguilar Zambrano, [email protected]

ISBN: 978-958-719-008-3

Primera edicin, 2008Bogot, Colombia

ESPACIO PARA LA FICHA CATALOGRFICA



Dedicatorias

Eduardo a:Fabi, Nany, Jos Alberto y Juan Marcos

Hernn a:Mnica y Marcela



Contenido

Agradecimientos 21

Biografa de autores 23

Prlogo 25

Captulo 1 Introduccin y teora del EMTP-ATP

1.1 Introduccin histrica 271.2 Metodologa de simulacin 281.3 Ecuaciones discretas de los componentes elementales con ayuda

del mtodo de integracin trapezoidal 301.3.1 Elementos lineales no emparejados 31

1.3.1.1 Resistencia 311.3.1.2 Inductancia 311.3.1.3 Capacitancia 32

1.3.2 Componentes entre nodos 321.3.3 Elementos no lineales 33

1.3.3.1 Linealizacin por tramos 331.3.3.2 Mtodo de compensacin 35

1.4 Ecuaciones de una lnea de transmisin con parmetros distribuidosy sin prdidas 37

1.5 Simulacin de interruptores 391.6 Simulacin de fuentes de tensin y de corriente 401.7 Modelos ms elaborados 401.8 Solucin del sistema 411.9 Reduccin del orden de los sistemas de ecuaciones 42

1.10 Errores en el ATP 451.10.1 Errores de la regla de integracin trapezoidal 46

1.11 Amortiguamiento de oscilaciones numricas 50



1.12 Modelacin del comportamiento mecnico de la mquina elctricagiratoria 551.12.1 Introduccin 551.12.2 Clculo de las magnitudes mecnicas de estado estacionario

en condiciones iniciales 571.12.3 Clculo de las variables mecnicas en estado transitorio 58

1.13 Simulacin de mquinas elctricas giratorias 591.13.1 Mquina sincrnica 59

1.13.1.1 Simulacin de la parte elctrica 591.13.1.2 Parmetros de la mquina sincrnica 66

1.13.2 Modelacin de la mquina sincrnica en el EMTP 761.13.2.1 Introduccin 761.13.2.2 Modelo matemtico de la mquina sincrnica 771.13.2.3 Transformacin de Park 811.13.2.4 Clculo de variables elctricas iniciales

(estado estacionario) 841.13.2.5 Solucin del sistema de ecuaciones utilizando

el teorema de compensacin 911.13.2.6 Transformaciones de corrientes y flujos

en el sistema de ecuaciones [2] 931.13.2.7 Prediccin y correccin de variables 961.13.2.8 Resolucin del sistema elctrico incluyendo

la mquina 981.13.3 Mquina generalizada 100

1.13.3.1 Introduccin 1001.13.3.2 Analogas entre sistemas mecnicos

y sistemas elctricos 1021.13.3.3 Solucin por compensacin 1031.13.3.4 Solucin por prediccin de flujos 107

1.14 Sistemas de control dinmico 109

1.15 Anlisis de error 112

1.16 Generacin de un fichero de simulacin y obtencin de resultados 116

1.17 Conclusiones 127

Captulo 2 Convertidor esttico

2.1 Introduccin 129

2.2 Diseo de la fuente elctrica 130

2.3 Planteamiento de la ecuacin de una red con interruptores 133

10 Eduardo Antonio Cano Plata y Hernn Emilio Tacca



2.4 Diseo del convertidor esttico 1392.4.1 Diseo con los macromodelos 1422.4.2 Interruptor generalizado 1472.4.3 Diseo a topologa fija 1492.4.4 Diseo a topologa mixta 1492.4.5 Diseo con conocimientos a priori de la conmutacin 1512.4.6 Comparacin de los diversos mtodos para simular

interruptores 1522.4.6.1 Pasos para crear un macromodelo con ATP

utilizando la rutina DBM (Data Base Module) [26] 1522.4.6.2 Pasos para crear un macromodelo con ATP

utilizando la rutina MODEL 1592.4.6.3 Ejercicios de aplicacin de macromodelos

para abolir las oscilaciones numricas 1672.5 Modelado de la mquina 172

2.5.1 Bsqueda de rgimen permanente 1762.5.2 Modelos particulares 182


Captulo 3 Modulacin por ancho de pulso y sistemasde control

3.1 Sistema de comando cercano (ACR) [2] 1893.2 Comando remoto o regulacin 1953.3 Sistemas de control discreto 1963.4 Procedimiento de simulacin de reguladores y de ACR para los

convertidores ms usuales 2003.4.1 Fuente conmutada 2003.4.2 Regulacin de corriente y tensin controlada 204


Captulo 4 Diseo de una fuente trifsica

4.1 Introduccin 2094.2 Principio de operacin 2094.3 Anlisis del sistema 212

4.3.1 Normalizacin 2134.3.2 Definiciones 214

4.4 Ecuaciones bsicas 2144.5 Seleccin de los componentes del sistema 218

Contenido 11



4.5.1 Tensin de bloqueo sobre los semiconductoresde potencia 218

4.5.2 Corriente mxima, promedio y RMSde los dispositivos 218

4.6 Corrientes a la entrada del sistema y corriente de carga 219

4.7 Modelo de pequea seal 221

4.8 Diseo del convertidor 2234.8.1 Procedimiento de diseo 2234.8.2 Ejemplo de diseo 2244.8.3 Resultados de simulacin en lazo abierto

transitorio de carga al segundo ciclo de fN 2274.8.4 Diseo del compensador 228

4.9 Mtodo de inyeccin de armnicos para reducir el THD 2344.9.1 Anlisis de los armnicos en la corriente de entrada 2344.9.2 Generador de la seal de inyeccin

en el circuito de control 235

4.10 Rizado 244


Captulo 5 Variadores de velocidad ASD

5.1 Introduccin 247

5.2 Control por flujo orientado 2485.2.1 Fundamentos 2485.2.2 Esquema adoptado 249

5.3 CAO para el control por flujo orientado 2515.3.1 Etapa 1: Implementacin del sistema de potencia,

del ACR y del sistema de control de corriente 2515.3.2 Etapa 2: Desarrollo de un ondulador vectorial 2565.3.3 Etapa 3: Identificacin del sistema por respuesta

a un escaln de par 2585.3.4 Etapa 4: Diseo del regulador de velocidad

y simulacin 2595.3.5 Etapa 5: Diseo a partir de un modelo simplificado 260


Captulo 6 Tecnologa con dispositivos FACTS

6.1 Introduccin 263




6.2 Aplicacin de los dispositivos FACTS en transporte de energaelctrica 264

6.3 Aplicacin de las tecnologas CUSTOM POWERen redes de distribucin 2676.3.1 Acondicionador dinmico de tensin

(Dynamic Voltage Restorer, DVR) 2676.3.2 Compensador esttico (Distribution Static6.3.3 Interruptor de estado slido

6.4 Compensador ideal en derivacin 2706.5 Compensador ideal serie 2716.6 Compensador ideal de ngulo de fase 2736.7 Sntesis de compensadores en derivacin usando tiristores 2766.8 Sntesis de compensadores SHUNT (derivacin)

usando llaves autoconmutadas 2786.9 Sntesis de compensadores serie usando tiristores 2816.10 Sntesis de compensadores serie usando llaves autoconmutadas 2826.11 Sntesis de controladores de ngulo de fase usando tiristor 2836.12 Controlador unificado de flujo de potencia (UPFC) 284

6.12.1 Introduccin 2846.12.2 Control del UPFC 288

6.12.2.1 Compensador esttico (STATCOM) 2886.12.2.2 Compensador serie sncrono esttico (SSSC) 289

6.13 Operacin en rgimen permanente 2936.13.1 Modelo de dispositivos FACTS en operacin

en rgimen permanente 2936.13.2 Seguridad en los sistemas de potencia 295

6.13.2.1 Regin de seguridad 2966.13.2.2 Seguridad y optimizacin de operacin 2976.13.2.3 Regiones de seguridad con FACTS 298

6.13.3 Modelos ideales de dispositivos FACTS en rgimenpermanente 299

6.14 Dinmica y control 3016.14.1 Aplicacin en los estudios de estabilidad 302

6.14.1.1 Estabilidad transitoria (grandes perturbaciones) 3026.14.1.2 Estabilidad dinmica (pequeas perturbaciones) 303

6.14.2 El problema del control 3036.14.2.1 Robustez 3036.14.2.2 Descentralizacin 304

Contenido 13



6.14.2.3 Intercambio entre controladores 3056.14.2.4 Importancia de la localizacin 3056.14.2.5 Importancia de las seales de realimentacin 306

6.14.3 Teora de la potencia instantnea [62, 68] 3076.14.3.1 Sistema trifsico genrico 3076.14.3.2 Potencia activa y reactiva instantnea

en las coordenadas --0 3086.14.3.3 Potencias instantneas en funcin

de las componentes simtricas 3116.14.3.4 Significado fsico de las potencias reales,

imaginarias y de secuencia cero [68] 3136.15 Conclusiones 314

Captulo 7 Ejercicios propuestos

7.1 Ejercicio 1: Transitorio de un circuito R-C 3177.2 Ejercicio 2: Sistema de control para la velocidad

de arranque de una mquina 319

7.3 Ejercicio 3: Regulacin de corriente a travs de un comando ACR 3237.4 Ejercicio 4: Modulacin Delta para una carga inductiva 328

7.5 Ejercicio 5: Esquema de una modulacin Delta a travs de TACS 3307.6 Ejercicio 6: Tratamiento de la seal para el control discreto 3327.7 Ejercicio 7: Fuente conmutada 3347.8 Ejercicio 8: Regulacin de corriente y tensin controlada 3377.9 Ejercicio 9: Esquema de una fuente trifsica 3407.10 Ejercicio 10: Sistema de regulacin por modulacin natural 3437.11 Ejercicio 11: Esquema de un controlador de flujo de potencia

unificado 348

Referencias bibliogrficas 359




Contenido figuras

Captulo 1 Introduccin y teora del EMTP-ATPFigura 1.1. Representacin circuital de la inductancia . . . . . . . . . . . . . 31Figura 1.2. Inductancia entre dos nodos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32Figura 1.3. Curva caracterstica por fragmentos de la inductancia . . . . . . 33Figura 1.4. Curva caracterstica por fragmentos de la resistencia . . . . . . . 33Figura 1.5. Simulacin de una inductancia no lineal por fragmentos . . . . . 34Figura 1.6. Simulacin de una resistencia no lineal por fragmentos . . . . . . 34Figura 1.7. Mtodo de la inductancia incremental . . . . . . . . . . . . . . . 34Figura 1.8. Mtodo de compensacin [3] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36Figura 1.9. Diferencial de una lnea de transmisin . . . . . . . . . . . . . . 37Figura 1.10. Forma discreta de la lnea de transmisin . . . . . . . . . . . . . 39Figura 1.11. Simulacin de un interruptor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39Figura 1.12. Apertura en un interruptor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46Figura 1.13. Corriente en el nodo m y el error relativo en un instante de tiempo

de 0.5 ms. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47Figura 1.14. Funcin de transferencia equivalente. . . . . . . . . . . . . . . . 48Figura 1.15. Oscilacin numrica [2] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49Figura 1.16. Tensiones de fase con y sin amortiguamiento [3] . . . . . . . . . 50Figura 1.17. Resistencia de amortiguamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51Figura 1.18. Circuito mecnico de una mquina elctrica giratoria . . . . . . . 55Figura 1.19. Esquemas equivalentes de la mquina sincrnica . . . . . . . . . 64Figura 1.20. Modelo de simulacin de la mquina sincrnica . . . . . . . . . . 65Figura 1.21. Parmetros de la mquina en cortocircuito. . . . . . . . . . . . . 69Figura 1.22. Modelo circuital complejo de una mquina . . . . . . . . . . . . 70Figura 1.23. Modelo circuital simplificado de una mquina. . . . . . . . . . . 70Figura 1.24. Modelo circuital de una mquina con parmetros modificados . . 72Figura 1.25. Caracterstica frecuencial del generador Lambton [3] . . . . . . . 75Figura 1.26. Disposicin de los arrollamientos de la mquina sincrnica. . . . 78Figura 1.27. Corriente de excitacin, tensiones y corrientes de eje directo [3] . 84Figura 1.28. Diagramas fasoriales de mquinas elctricas . . . . . . . . . . . . 85Figura 1.29. Linealizacin de la inductancia incremental . . . . . . . . . . . . 88Figura 1.30. Caracterstica de saturacin. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89Figura 1.31. Representacin de tensiones y corrientes en el eje q . . . . . . . . 96Figura 1.32. Representacin de tensiones y corrientes en el eje d . . . . . . . . 96Figura 1.33. Prediccin y alisado de las corrientes id,q(t) . . . . . . . . . . . . . 97



Figura 1.34. Circuito equivalente de una mquina en eje directo, en cuadraturay con sus respectivas fases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

Figura 1.35. Equivalencia de modelos entre los componentes mecnicosy elctricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

Figura 1.36. Modelo en estrella de la mquina generalizada (en el eje directo) . 103Figura 1.37. Representacin de la mquina generalizada con el mtodo

de prediccin del flujo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108Figura 1.38. Simulacin de la mquina generalizada con el mtodo de prediccin

de flujo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108Figura 1.39. Interpretacin fsica de la representacin discreta de la ecuacin

de la inductancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114Figura 1.40. Interpretacin fsica de la representacin discreta de la ecuacin

de la capacitancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114Figura 1.41. Ambiente grfico ATPDraw . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121Figura 1.42. Ejercicio propuesto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122Figura 1.43. Salida entregada por el utilitario PLOTXY . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

Captulo 2 Convertidor estticoFigura 2.1. Control de una mquina de induccin . . . . . . . . . . . . . . . 130Figura 2.2. Distorsin de tensin debido a las conmutaciones del convertidor. . 131Figura 2.3. Regulacin de la tensin fundamental y minimizacin de armnicas

(3 y 5) por optimizacin de los ngulos de conmutacin. . . . . . 132Figura 2.4. Lneas y columnas k y M correspondientes a un interruptor . . . 134Figura 2.5. Nueva disposicin de la matriz nodal reducida . . . . . . . . . . 134Figura 2.6. Representacin triangular de la matriz |G II| asociada a tensiones

desconocidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135Figura 2.7. Conmutaciones en un ondulador de transistores (relacin cclica

de 50% en el comando) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136Figura 2.8. Efecto de las conmutaciones sobre el modelo discreto de la

inductancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137Figura 2.9. Efecto amortiguador de una resistencia en paralelo con la

inductancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138Figura 2.10. Interruptores de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140Figura 2.11. Interruptores unidireccionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140Figura 2.12. Interruptores bidireccionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141Figura 2.13. Simulacin de un convertidor con la ayuda de EMTP . . . . . . . 142Figura 2.14. Mal condicionamiento de la matriz |G|. Rgimen de conduccin

no establecido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144Figura 2.15. Red de ayuda a la conmutacin. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145Figura 2.16. Solucin al problema de oscilaciones con un circuito de ayuda

a la conmutacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146Figura 2.17. Circuito rectificador con redes de ayuda a la conmutacin. . . . . . 147Figura 2.18. Interruptor generalizado en EMTP (interruptor tipo 13 y un

macrooperador lgico). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147Figura 2.19. Convertidor diseado con la ayuda del interruptor generalizado. . 148Figura 2.20. Convertidor diseado con topologa fija . . . . . . . . . . . . . . 149Figura 2.21 Convertidor diseado con topologa mixta. . . . . . . . . . . . . 150




Figura 2.22. Convertidor diseado con topologa variable y conocimiento a prioride las conmutaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

Figura 2.23. Circuito en ATPDRAW para simular el convertidor Boost [37] . . . 167Figura 2.24. Circuito en ATPDraw para el convertidor Buk [37]. . . . . . . . . 171Figura 2.25. Circuito en ATPDRAW para el convertidor Cuk [37] . . . . . . . . 171Figura 2.26. Interfase mquina universal red . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172Figura 2.27. Modelo elctrico de un rbol de dos masas . . . . . . . . . . . . . 173Figura 2.28. Sistema inversor. Tiempo de simulacin 41,9 s. Pentium III

300 MHz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177Figura 2.29. Ejemplo para simular la secuencia y la clasificacin de los datos

para una simulacin con ayuda de EMTP.. . . . . . . . . . . . . . 178Figura 2.30. Sistema de potencia simulado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178Figura 2.31. Circuito de comando de los interruptores de un brazo del

ondulador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179Figura 2.32. Regulacin de la corriente durante el ciclo de salida . . . . . . . . 181Figura 2.33. Regulacin de la corriente en proximidad de la velocidad nominal 182Figura 2.34. Velocidad de la mquina en rd/s . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182Figura 2.35. Control de la velocidad de arranque del motor. . . . . . . . . . . 186

Captulo 3 Modulacin por ancho de pulso y sistemas de controlFigura 3.1. Diagrama del comando cercano. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189Figura 3.2. Circuito analgico para la modulacin Delta. . . . . . . . . . . . 190Figura 3.3. Circuito de comando por modulacin Delta . . . . . . . . . . . . 194Figura 3.4. Diagrama de flujo para la programacin numrica del algoritmo

de la modulacin Delta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194Figura 3.5. Modulacin Delta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195Figura 3.6. Diagrama de flujo de la regulacin para el convertidor del sistema

de potencia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195Figura 3.7. Modelo de las funciones de transferencia con TACS . . . . . . . . 196Figura 3.8. Modelo de un bloque no lineal desarrollado con TACS . . . . . . . 196Figura 3.9. Tratamiento de la seal para el control discreto . . . . . . . . . . 197Figura 3.10. Diagrama de bloques del regulador discreto. . . . . . . . . . . . . 197Figura 3.11. Ilustracin de las posibilidades de simulacin de sistemas discretos

con TACS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199Figura 3.12. Fuente conmutada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200Figura 3.13. Circuito de regulacin de la tensin de salida Us . . . . . . . . . . 200Figura 3.14. ACR para la regulacin de tensin. . . . . . . . . . . . . . . . . . 201Figura 3.15. Ensayo en bucle abierto con un duty cycle de 20% (corriente IL

y tensin Us) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202Figura 3.16. Control proporcional integral para el sistema anterior . . . . . . 202Figura 3.17. Regulacin en modo de corriente . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202Figura 3.18. ACR para la regulacin en modo de corriente. . . . . . . . . . . . 202Figura 3.19. Prueba del sistema de regulacin en modo de corriente . . . . . . 203Figura 3.20. Esquema del sistema simulado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204

Captulo 4 Diseo de una fuente trifsicaFigura 4.1. Estructura del circuito de potencia y compensador . . . . . . . . 210

Contenido figuras 17



Figura 4.2. Corriente en cada uno de los elementos de la figura anterior . . . 212Figura 4.3. Intervalo de desmagnetizacin del diodo ID . . . . . . . . . . . . 212Figura 4.4. Circuito equivalente de pequea seal . . . . . . . . . . . . . . . 223Figura 4.5. Control de lazo abierto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227Figura 4.6. Corriente de fase. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227Figura 4.7. Corriente del diodo Boost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228Figura 4.8. Tensin de salida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228Figura 4.9. Diagrama de Bode del sistema Gp(s) . . . . . . . . . . . . . . . . 230Figura 4.10. Diagrama de Bode del sistema Gc(s) . . . . . . . . . . . . . . . . 231Figura 4.11. Diagrama de Bode del sistema compensado . . . . . . . . . . . . 231Figura 4.12. Diagrama de Bode de los sistemas Gp(s), Gc(s) y el sistema

compensado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232Figura 4.13. Corriente en la fase R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232Figura 4.14. Corriente en el diodo Boost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232Figura 4.15. Tensin de salida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233Figura 4.16. Efecto del controlador en la seal . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233Figura 4.17. Diagrama del mtodo de inyeccin de armnicos . . . . . . . . . 238Figura 4.18. Corriente de entrada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238Figura 4.19. Espectro sin el mtodo de inyeccin de armnicos (aparece un

sub-armnico en 225 Hz, producto de la frecuencia de muestreo) 238Figura 4.20. Espectros de corriente de la fase R . . . . . . . . . . . . . . . . . 240Figura 4.21. Tensin de referencia en el controlador . . . . . . . . . . . . . . 241Figura 4.22. Tensin de salida del compensador . . . . . . . . . . . . . . . . . 241Figura 4.23. Tensin inyectada en el nodo A. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241Figura 4.24. Espectro de la tensin inyectada en el nodo A . . . . . . . . . . . 242Figura 4.25. Tensin entregada al ondulador . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242Figura 4.26. Espectro de la corriente de la fase R en 40 ms sin inyeccin

de armnicos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243Figura 4.27. Espectro de la corriente de la fase R con inyeccin de armnicos . 243Figura 4.28. Densidad del espectro de corriente de la fase R . . . . . . . . . . 243

Captulo 5 Variadores de velocidad ASDFigura 5.1. Arquitectura de un ASD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248Figura 5.2. Principio de control de la mquina de corriente continua y alterna 249Figura 5.3. Diagrama de bloques de un ASD por control vectorial . . . . . . . 250Figura 5.4. Modelo del sistema de potencia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252Figura 5.5. Sistema de control del ondulador por modulacin natural . . . . 252Figura 5.6. Modelo global del sistema de regulacin de corrientes

por modulacin natural . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252Figura 5.7. Simulacin del regulador de corriente con el ACR en modulacin

natural . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253Figura 5.8. Diagrama del controlador vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . 257Figura 5.9. Regulador de velocidad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259Figura 5.10. Diferentes casos de funcionamiento con TACS . . . . . . . . . . . 261

Captulo 6 Tecnologa con dispositivos FACTSFigura 6.1. Instalacin de un acondicionador dinmico de tensin . . . . . . 268




Figura 6.2. Instalacin de un D-STATCOM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269Figura 6.3. Diagrama de un interruptor de estado slido . . . . . . . . . . . 269Figura 6.4. Compensador ideal en derivacin conectado a un punto medio

en la lnea de transmisin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271Figura 6.5. Diagrama fasorial del sistema propuesto con compensacin

de potencia reactiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271Figura 6.6. Compensador serie ideal conectado a un punto medio de una lnea

de transmisin corta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272Figura 6.7. Diagrama fasorial del sistema propuesto con compensacin

capacitiva serie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272Figura 6.8. Controlador ideal de ngulo de fase. . . . . . . . . . . . . . . . . 274Figura 6.9. Diagrama fasorial del sistema propuesto con un controlador

de ngulo de fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274Figura 6.10. Caractersticas de transferencia de potencia activa del sistema

propuesto con compensacin en derivacin, la serie, de ngulode fase y sin compensacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275

Figura 6.11. Diagrama ideal esquemtico del controlador de flujo de potenciauniversal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275

Figura 6.12. Dispositivos FACTS basados en tiristores: a) Control del reactorpor el tiristor (RCT); b) Condensador variable por el tiristor (CCT) 277

Figura 6.13: a) Circuito bsico de un compensador esttico;b) caracterstica VxI. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277

Figura 6.14. a) Compensador esttico en adelanto (STATCOM) basado en elconversor fuente de tensin (CFT); b) Caracterstica de operacinVxI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279

Figura 6.15. Compensador en derivacin en adelanto . . . . . . . . . . . . . . 280Figura 6.16. Condensador serie variado por el tiristor (mdulos discretos

de operacin) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281Figura 6.17. Condensador serie controlado por tiristor, TCSC (mdulo de

control continuo) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281Figura 6.18. Condensador serie continuamente controlado por tiristores

duales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282Figura 6.19. Compensador serie en adelanto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283Figura 6.20. Ejemplo de un controlador desfasador usando tiristores y el

diagrama fasorial de tensin fase-neutro de la fase a . . . . . . 284Figura 6.21. UPFC operando en modo de inyeccin de voltaje y sus respectivos

diagramas fasoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285Figura 6.22. Modelo de un UPFC bsico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287Figura 6.23. Modelo en EMTP de un UPFC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287Figura 6.24. Diagrama de bloque del control de un compensador esttico

(STATCOM) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289Figura 6.25. Diagrama de bloque del control de un compensador serie sncrono

esttico (SSSC) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289Figura 6.26. Actuacin de un UPFC, con 24 pulsos cuasi-resonantes con tres

niveles de polaridad, operando en modo de inyeccin de voltaje. . 292

Contenido figuras 19



Figura 6.27. Formas de onda de un UPFC, con 24 pulso cuasi-resonantes contres niveles de polaridad, operando en modo de inyeccinde voltaje. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292

Figura 6.28. Modelos de dispositivos FACTS. a) En serie; b) En derivacin . . . 295Figura 6.29. Modelo del transformador desfasador . . . . . . . . . . . . . . . 295Figura 6.30. Ejemplo de 3 barras. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296Figura 6.31. Regin de seguridad para el ejemplo de 3 barras . . . . . . . . . . 297Figura 6.32. Regin de seguridad con un transformador desfasador . . . . . . 298Figura 6.33. Regin de seguridad con reactancia serie variable y transformador

desfasador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299Figura 6.34. Sistema con FACTS en la lnea (i, k) . . . . . . . . . . . . . . . . . 300Figura 6.35. Modelo ideal de dispositivos FACTS con fuentes de corriente . . . 300Figura 6.36. Modelo ideal de dispositivos FACTS con fuentes de tensin . . . . 300Figura 6.37. Modelo ideal de dispositivos FACTS con fuentes de potencia . . . 301Figura 6.38. Regin de seguridad con dispositivos FACTS ideales . . . . . . . . 301Figura 6.39. Sistemas con 2 reas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305Figura 6.40. Flujo de las potencias instantneas definidas en las coordenadas

-0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314

Captulo 7 Ejercicios propuestosFigura 7.1. Ejercicio propuesto en el captulo 1. . . . . . . . . . . . . . . . . 317Figura 7.2. Interconexin y simulacin de la velocidad de arranque

de un motor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320Figura 7.3. Control de velocidad de una mquina . . . . . . . . . . . . . . . 324Figura 7.4. Simulacin con modulacin Delta para una carga inductiva . . . 328Figura 7.5. Simulacin a travs de TACS para una modulacin Delta . . . . . 331Figura 7.6. Simulacin de sistemas discretos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333Figura 7.7. Simulacin del comando cercano y remoto . . . . . . . . . . . . 335Figura 7.8. Regulacin de corriente y tensin . . . . . . . . . . . . . . . . . 338Figura 7.9. Simulacin de una fuente trifsica . . . . . . . . . . . . . . . . . 341Figura 7.10. Simulacin del regulador de corriente con el ACR en modulacin

natural . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344Figura 7.11. Simulacin de un UPFC con ATPDraw. . . . . . . . . . . . . . . . 349




Agradecimientos

Parte de los trabajos fueron financiados con fondos provenientes delproyecto de investigacin I003, titulado Aplicaciones electrnicas alprocesamiento y uso racional de la energa elctrica de la programa-cin cientfica UBACYT 2004-2007 de la Universidad de Buenos Aires.Las experiencias de laboratorio se realizaron con instrumentos adqui-ridos mediante una donacin de la fundacin YPF. Adems, se obtuvoun permiso especial ad-honorem de la Universidad Nacional de Co-lombia durante los periodos 2001-2002, as como el apoyo para des-plazamiento en la comisin de servicio externa remunerada pararealizar pasantas de investigacin en 2006, 2007 y 2008 en la Univer-sidad de Buenos Aires. Estas permitieron el normal desarrollo del tra-bajo que presentamos.



Biografa de autores

Eduardo A. Cano Plata naci en Neiva, Colombia, en 1967. Recibittulo de ingeniero electricista en 1991 y curs posgrado en sistemasde distribucin en 1995 en la Universidad Nacional de Colombia,sede Manizales. En el periodo de 1996 a 1998 estudi en la Universi-dad Nacional de San Juan, Argentina, con la ayuda de una beca delDAAD. En 2006 obtuvo ttulo de doctor de la Universidad de BuenosAires, rea ingeniera. Actualmente es profesor asociado en la Univer-sidad Nacional de Colombia sede Manizales, donde est vinculadodesde 1994. Los temas de inters del profesor Cano Plata son el mode-lado y la simulacin de sistemas, la calidad de la energa y la electrni-ca de potencia. Es director del Grupo de trabajo Acadmico en redes dedistribucin y potencia GREDyP.

Hernn E. Tacca naci en Santa Fe, Argentina, en 1954. Recibi elgrado de ingeniero electrnico por la Universidad de Buenos Aires enArgentina; luego en 1988 curs una maestra y en 1993 el doctorado,ambos en la Universidad de Ciencias y Tecnologas de Lille, Francia.En 1998 obtuvo el ttulo de doctor en Ingeniera por la Universidadde Buenos Aires. Desde1984 trabaja en la Facultad de Ingeniera de laUniversidad de Buenos Aires. En el Departamento de Electrnica, esprofesor asociado y se encarga de investigaciones en electrnica depotencia, calidad de la energa en el laboratorio de control de acciona-mientos, traccin y potencia (LABCATYP). Tiene inters en investiga-ciones sobre SMPS, UPS, cargadores de bateras, tcnicas deconmutacin, y microcontroladores de bajo costo para el control deconvertidores.



Prlogo

A mediados de 2000, en una discusin con el profesor G. A. Capolino delInstituto GRASY, Universidad de Picardie, Francia, Julio Verne nos motiv arevisar la tesis del profesor H. Henao para mostrar que se poda tener una bi-blioteca de modelos de electrnica de potencia con el ATP en lengua castella-na.

El resultado de este trabajo fue el curso de posgrado Simulacin en electrni-ca de potencia con el ATP, dictado en el primer cuatrimestre de 2001 en laUniversidad de Buenos Aires.

Los posteriores trabajos de investigacin y desarrollo en el tema han dadoorigen a tesis de alumnos de la Universidad de Buenos Aires y de la Universi-dad Nacional de Colombia: Marcelo Bruno, Pablo Rossi y Fredy AlexnderGuzmn Roa.

En el presente documento tratamos de recopilar apuntes de clase y estudiosde caso a travs de la herramienta computacional ATP.

Queremos aclarar que en los tres primeros captulos se utilizan como fuentelas tesis de los ingenieros Oscar Trad y Humberto Henao. Al profesor Henaolo reconocemos como pionero en la simulacin en electrnica de potencia.Este libro intenta aclarar muchas ecuaciones y presenta las bibliotecas de si-mulacin para ejercitacin autodidacta. Finalmente, en los captulos cuartoy sexto, respectivamente, se presentan aportes de los autores en el tema decorreccin dinmica del factor de potencia y FACTS.

Esperamos que la comunidad de habla hispana sepa poner su ojo crtico en lapresente obra.

Los autores



Captulo 1

Introduccin y teora del EMTP-ATP

1.1 Introduccin histrica

El programa para clculo de transitorios electromagnticos, EMTP Electro-magnetic Transient Program se desarroll para el anlisis de fenmenos transi-torios en las redes elctricas de potencia, pero en razn de los mtodosutilizados se aplica al estudio de circuitos electrnicos.

Este programa fue concebido por Bonneville Power Administration (BPA) alfinal de los aos sesenta gracias a los trabajos de H. Dommel y W. S. Meyercon el fin de remplazar los analizadores de transitorios clsicos, TNA (Tran-sients Network Analyzer, por una herramienta ms flexible.

Para su evolucin en BPA, esta til herramienta ha tenido las contribucionesde otros organismos de investigacin pblicos y privados. Debido a su cons-tante desarrollo, EMTP se considera hoy da como un elemento de referenciaen el anlisis de los regmenes transitorios.

Desde 1974, EMTP pudo utilizarse en prcticamente todos los tipos de com-putadores gracias a un mdulo de traduccin universal y, por consiguiente,un solo lenguaje de programacin (FORTRAN) que facilit su empleo.

En 1985, despus de una tentativa de comercializacin de EMTP, BPA no vol-vi a recibir la ayuda de aquellos que haban trabajado por su mantenimien-to y su difusin. En este momento se elabor una nueva versin bajo elnombre de ATP (Alternative Transients Program). La versin ATP es gratuita,pero no es de dominio pblico como el programa desarrollado por BPA, conel fin de protegerse de la explotacin comercial. Acompaado de estoseventos, una serie de grupos de usuarios se fue desarrollando en el mbitomundial, a partir del Ame/Can EMTP Group, entidad autorizada para la uti-lizacin y el libre desarrollo del material ATP, organismo que trabaja bajo laforma de club de usuarios. Para hispanos, existe el grupo de usuarios en len-gua castellana, administrado por el Comit Argentino de Usuarios del



EMTP (CAUE). Informacin y detalles histricos estn disponibles enhttp://www.iitree-unlp.org.ar/caue/index.html

1.2 Metodologa de simulacin

La filosofa de simulacin de EMTP tiene como finalidad la representacin deun sistema elctrico de potencia regulado bajo el efecto de regmenes transi-torios. Las fuentes de fenmenos transitorios estn representadas siguiendoel contexto, la situacin del equipamiento y su medio ambiente. Un anlisisde todos estos fenmenos tiene como fin la estimacin de los efectos sobre laestabilidad del sistema, para decidir las leyes de mando que se deben implan-tar para mejorar su funcionamiento.

Con este propsito, EMTP se basa en dos mdulos, NETWORK y TACS, con ungran nmero de modelos de los elementos constituyentes de los sistemaselctricos (NETWORKS) y de control TACS (Transient Analysis of ControlSystems).

En NETWORK, se dispone de:

Resistencias.

Inductancias.

Capacitancias.

Modelos polifsicos de componentes R-L-C en o en T.

Modelos polifsicos de lneas de transmisin con parmetros distribui-dos.

Cables subterrneos.

Transformadores.

Resistencias no lineales.

Resistencias variantes con el tiempo.

Inductancias no lineales.

Pararrayos.

Protectores de sobre tensiones.

Interruptores, diodos y tiristores.

Medidores de tensin, de corriente, de par y de velocidad.

Fuentes de corriente y de tensin.




Mquinas elctricas giratorias.

Analizadores de armnicos (transformada de Fourier).

Analizadores de carga (flujo de carga).

Analizadores de espectro (respuesta en frecuencia).

Simplificacin de redes (equivalentes de Thvenin).

En TACS o MODELS es posible modelar:

Los sistemas de control dinmico.

Los dispositivos o fenmenos que no estn modelados en NETWORK.

Dado que en un estudio de regmenes transitorios una red elctrica puede serun sistema muy complejo a causa del modelado de las interacciones elec-tro-magneto-mecnicas, la descripcin numrica de los elementos represen-tados por las ecuaciones diferenciales debe ser estable. Con este objetivo, elmtodo de integracin trapezoidal ha sido escogido por su simplicidad y porsu eficacia en los sistemas llamados rgidos [1-2].

Con este mtodo de integracin, la simulacin de una red elctrica con nnodos, que tenga resistencias, capacitancias, inductancias, mquinas elc-tricas estticas y rotativas y otros dispositivos, se reduce a la solucin de unconjunto de ecuaciones algebraicas reales simultneas y expresadas bajo laforma de conductancia nodal (formulacin nodal), que pueden ser resuel-tas en cada paso de tiempo t [3]. Al profundizar en la descripcin, se tieneque si se suponen conocidas las corrientes y tensiones de una red elctricacon n nodos en los instantes 0, t, 2t... hasta t-t, el sistema de ecuacionesen el instante t es:

G t i t hist( ) ( ) (1.1)

con:

G : Matriz simtrica (n n) de conductancia nodal

( )t : Vector (n 1) de tensiones de nodo

i t( ) : Vector (n 1) de fuentes de corriente

hist : Vector (n 1) de trminos histricos de la red conocidos

Normalmente hay nodos en los cuales se conoce la tensin, sea porquehay fuentes conectadas o porque estn puestos a tierra. Entonces, la ecua-

Captulo 1 Introduccin y teora del EMTP-ATP 29



cin (1.1) puede ser nuevamente planteada a partir de los valores conoci-dos, as:

G t i t hist G tDD D D D DC C ( ) ( ) ( ) (1.2)

con:

D t( ) : Vector de tensiones desconocidas

C t( ) : Vector de tensiones conocidas

Una expresin ms simple de (1.2) es:

G t K tDD D D ( ) ( ) (1.3)

con:

K tD( ) : Conjunto de trminos histricos, tensiones y corrientesconocidas.

De esta forma, el sistema lineal (1.3) est resuelto por el conocimiento devector

D t( ) de las tensiones desconocidas, a partir de la factorizacintriangular de la matriz

GDD .

1.3 Ecuaciones discretas de los componenteselementales con ayuda del mtodode integracin trapezoidal

Como se mencion, el ATP utiliza la regla de integracin trapezoidal que sediscute en la referencia [3], para hacer el clculo de la evolucin temporal enlas redes elctricas. A pesar de que los mtodos de integracin de mayor or-den que la regla trapezoidal se encuentran muy difundidos, este mtodo hademostrado ser muy estable numricamente.

f dxdt

(1.4)

La regla de integracin trapezoidal resuelve esta funcin as:

f t f t t x t x t tt

x t t f t t f t( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) (

2 2 2 t x t t) ( ) (1.5)




1.3.1 Elementos lineales no emparejados

1.3.1.1 Resistencia

La formulacin continua del elemento resistivo es:

R i i tt

R( )

( ) (1.6)

Para la representacin nodal discreta, la ecuacin (1.6) en el instante t tomala forma:

i tt

Rt t

Ri t t

Rt hist t t( )

( ) ( )( ) ( ) ( )

1 (1.7)

1.3.1.2 Inductancia

La formulacin continua del elemento inductivo es:

L didt

(1.8)

De la representacin discreta de la ecuacin (1.8), con la ayuda del mtodotrapezoidal, se obtiene:

i t tL

(t) tL

v t t i t t tL

t hist( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2

( )t t (1.9)

Es decir, un inductor se representa con una resistencia de valor 2L/t en para-lelo con una fuente de corriente de valor (figura 1.1).


Figura 1.1. Representacin circuital de la inductancia.



1.3.1.3 Capacitancia

La formulacin continua del elemento capacitivo es:

i C dvdt

(1.10)

De la representacin discreta de esta ecuacin, con ayuda del mtodo trape-zoidal, se obtiene:

i t Ct

t Ct

t t i t t Ct

t hist( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2

( )t t (1.11)

Es decir, un capacitor se representa con una resistencia de valor 2Ct en parale-lo con una fuente de corriente de valor hist(t t). En forma similar al caso dela inductancia, se obtiene un circuito equivalente como el de la figura 1.1para el capacitor.

1.3.2 Componentes entre nodos

Las ecuaciones precedentes consideran los componentes conectados de nodoa tierra. En el caso ms general (componentes entre dos nodos), las ecuacio-nes se plantean en su formulacin nodal:

V V V Ldi

dtk m kmkm

(1.12)

Discretizando:

v t v t t v t v t tL

i t i t tk k m n km km( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2 2 t(1.13)

Despejando ikm:

i t tL

v t v t tL

v t t v t t ikm k m k m( ) ( ( ) ( )) ( ( ) ( ))

2 2 kmt t( )... (1.14)

La misma ecuacin se plantea para el nodo m respecto de la corriente mk.


Figura 1.2. Inductancia entre dos nodos.



1.3.3 Elementos no lineales

Buscando la manera de conservar el mismo algoritmo de resolucin de ecua-ciones en EMTP, se han implantado adaptaciones sobre el modelo lineal enremplazo de mtodos no lineales, los cuales son menos eficaces para la totali-dad de la red. Principalmente hay dos tcnicas utilizadas para el tratamientode elementos no lineales: el mtodo de compensacin y el mtodo de des-composicin en subsistemas lineales por fragmentos (tramos) [2].

1.3.3.1 Linealizacin por tramos

La descomposicin de una curva caracterstica no lineal, en una funcin li-neal por fragmentos (figuras 1.3 y 1.4) puede ser tratada de dos maneras: pormedio de interruptores o por remplazo directo de los valores de la matriz[G](L1, L2 o R1, R2 en las figuras 1.3 y 1.4).

Utilizando interruptores, el elemento no lineal es simulado con elementos li-neales en paralelo como lo indican las figuras 1.5 y 1.6. En el caso de una in-ductancia (figura 1.5), el flujo se calcula por integracin de la tensin entrelos bornes k y m, independientemente de la posicin del interruptor I. Elinterruptor I se cierra cuando sat satv v( ) y se abre cuando sat satv v( ).


Figura 1.3. Curva caracterstica por Figura 1.4. Curva caractersticafragmentos de la inductancia. por fragmentos de la resistencia.



Otro mtodo comnmente usado en la linealizacin de sistemas no linealeses usar un criterio con el cual analizar los estados de saturacin en mquinaselctricas, que se puede representar mediante rectas tangentes. La exposicinque a continuacin se detalla se debe a los desarrollos logrados por el Ing.Oscar Trad y que dio a conocer el curso de postgrado que se cita en [3].

En la figura 1.7 se muestra la curva de saturacin de un inductor no lineal. Eneste caso es posible representar un punto sobre la curva a travs de una rectatangente cuya ecuacin ser:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )t L t i t L t i t ts i k (1.15)

donde el subndice i indica que se trata de una inductancia incremental y elsubndice s indica que es la inductancia saturada.


Figura 1.5. Simulacin de una inductancia no lineal por fragmentos.

I

k m

IkmR1

Rp

R1

Figura 1.6. Simulacin de una resistencia no lineal por fragmentos.

Figura 1.7. Mtodo de la inductancia incremental.



Derivando respecto a i se obtienen las siguientes ecuaciones:

ddi

L dLdi

i ddi

ii

(1.16)

De la figura 1.7 se tiene que la derivada es la recta tangente; esto implica que:

ddi

L i dLdi

ddi

ii

(1.17)

Multiplicando por didt se obtiene:

i dLdi

didt

ddi

didt

dLd

idd

i i

t

k

t

(1.18)

Tomando la derivada respecto al tiempo del flujo:

v ddt

d L idt

L didt

i ki

{ }(1.19)

Utilizando el concepto de inductancia incremental en componentes no li-neales se obtienen ecuaciones idnticas a las de los componentes lineales. Elproblema reside en que Li se modifica en cada instante, debindose actualizarla matriz de admitancia. Discretizando estas ecuaciones se obtienen:

v L didt

V t V t tL t t

i t i t tt

i i

( ) ( )( )

( ) ( )

2(1.20)

despejando el valor de la corriente in en cualquier instante t.

1.3.3.2 Mtodo de compensacin

En la referencia [3] se desarroll detenidamente los llamados de compensa-cin que simulan los elementos no lineales como fuentes de corrientes queson impuestas a la red lineal (seccin 1.3) sin tener en cuenta las no linealida-des. En el caso de que exista un elemento no lineal entre los nodos k y m(figura 1.8), este debe ser excluido de la solucin de la red lineal y ser simula-do como una fuente de corriente i que sale del nodo k y entra al nodo m (si elelemento es tratado como una carga). La corriente ikm resulta de la solucinsimultnea de la ecuacin del circuito equivalente de Thvenin entre los bor-nes k y m, y la ecuacin no lineal del elemento en cuestin. Este procedimien-to tambin se denomina Teorema de compensacin y la aplicacin de estese ilustra en la figura 1.8. En este caso, el sistema se resuelve sumando la solu-




cin de la red lineal activa, desconectada del componente no lineal, ms la so-lucin de la red lineal pasiva, sometida a la accin de una fuente de corrienteque remplaza el componente no lineal. De esta manera:

vkm = vkmo RThevikm (1.21)

donde el subndice o indica tensin de circuito abierto. El elemento no linealse plantea segn su funcin de dependencia:

vkm = f(ikm) (1.22)

Resolviendo las ecuaciones (1.21) y (1.22) se obtiene ikm que es la incgnitapor determinar. De la misma forma se procede para el caso de mltiples fuen-tes de perturbacin o elementos no lineales conectados a diferentes nodos dela red. Las ecuaciones (1.21) y (1.22) anteriores sern:

[ vkm ]= [ vkmo ] [RThev][ikm ]

[ vkm ]= [f(ikm)]


k

V I

Red activaComponente

no lineal

m

Ikm

V I

Red activaComponente

no linealk

m

Ikm

a)

Ikm

V I

Red Activa k

m

Red Pasiva k

m

Ikm Ikm

b)

Figura 1.8. Mtodo de compensacin [3].



Para obtener la matriz [RThev] se aplican fuentes de corrientes de valor unita-rio en los nodos con componentes no lineales. Para hallar los elementos fuerade la diagonal se restan las tensiones entre los nodos involucrados. Comn-mente se utiliza el mtodo de Newton-Raphson para resolver el sistema deecuaciones, aunque tambin podra utilizarse otra metodologa. Adicional-mente, se pueden utilizar mtodos iterativos, a pesar de ser la solucin gene-ral de la red secuencial (caso EMTP-96).

1.4 Ecuaciones de una lnea de transmisincon parmetros distribuidos y sin prdidas

En el caso de la simulacin de las lneas de transmisin, ATP tiene mltiplesmodelos. A modo de introduccin, con el mtodo de Bergeron se presenta elcaso de una lnea monofsica ideal sin prdidas, modelo K. C. Lee [4]. Paraeste caso, son conocidas, las ecuaciones de onda:

vx

L it

ix

C vt

(1.23)

donde:

L, C : Inductancia y capacitancia por unidad de longitud.

x : Posicin de la lnea en relacin con el nodo emisor.

DAlembert plantea la siguiente solucin:

i = F(x ct) f(x + ct) (1.24)

v Z F x ct Z f x ct ( ) ( ) (1.25)


L

C

i i+di

X

V V+dV

Figura 1.9. Diferencial de una lnea de transmisin.



donde F y f son funciones independientes, x es la coordenada espacial a lo lar-go de la lnea, t el tiempo y Z es la impedancia de onda definida comoZ L C / . Combinando las ecuaciones de tensin y corriente:

v Zi ZF x ct 2 ( ) (1.26)

Por tanto, si (x ct) es constante, v + Zi tambin adquiere un valor constan-te. Adems, cuando una onda que se propaga de un extremo a otro de la lneatarda un tiempo en arribar al final de la misma, denominada tiempo de via-je. Considerando la longitud de toda la lnea, para una velocidad de propaga-cin c y una longitud total l se tiene:

x ct l ct c lc

t c t

( ) (1.27)

Es decir, en el extremo receptor la combinacin de tensin y corriente ad-quiere un valor igual a una funcin dependiente de segundos antes, peroeste es el valor que tena la funcin V + Zi en el instante ( )t , en el nodoemisor, de tal manera que:

i tZ

v t hist tr r r( ) ( ) ( ) 1

(1.28)

Por tanto:

hist tZ

v t i tr e e( ) ( ) ( ) 1 (1.29)

De la misma forma, dado que la lnea constituye un vnculo rgido entre am-bos nodos:

i tZ

v t hist te e e( ) ( ) ( ) 1

(1.30)

con:

hist t cZ

v t c i t ce r r( ) ( ) ( ) 1 (1.31)

De estas expresiones se concluye que:

Se debe mantener un registro de los valores en 1Z

v i de los instantes pre-

vios al instante considerado.




Si no es mltiplo de t, debe interpolarse; ATP tiene incluida interpola-cin lineal.

Cuando se simulan varias lneas, no puede utilizarse un t menor que elmenor de los C del conjunto de lneas.

No existe error de discretizacin porque no se est aplicando ninguna re-gla de integracin.

Los nodos emisor y receptor estn desacoplados.

Finalmente el modelo que se obtiene para la lnea es el que se presenta en lafigura 1.10:

1.5 Simulacin de interruptores

En una red elctrica, la manipulacin de interruptores es una fuente impor-tante de fenmenos transitorios. En EMTP, estos son representados comoelementos perfectos con apertura y cierre instantneos, siendo respectiva-mente R = y R = 0 como valores de resistencia equivalente en estos dosestados (figura 1.11).

Cuando un interruptor entre los nodos k y m se abre, los dos nodos tendrnuna representacin en el sistema de ecuaciones nodales. Pero si este se en-


histe

Ge Gr

histre r

Figura 1.10. Forma discreta de la lnea de transmisin.

i tkm( ) = 0

k m k m

Vkm(t) = 0Interruptor abierto Interruptor cerrado

Figura 1.11. Simulacin de un interruptor.



cuentra cerrado, los nodos k y m se convierten en uno solo; entonces el mto-do de simulacin en EMTP es de topologa variable.

La apertura y el cierre de los interruptores pueden ser controlados temporal-mente, condicionando la tensin a los bornes y la corriente que pasa, o poraccin de las seales de comando (definidas en TACS o MODELS).

El efecto de los interruptores en EMTP es simulado por compensacin (nume-ral 1.3.3.2). Para representar M interruptores, M circuitos equivalentes deThvenin son calculados (ecuacin 1.21) y las de los interruptores necesariospara la superposicin (ecuacin 1.22) son:

[ikimi] = 0 si los interruptores estn abiertos.

i R Vkimi thevkfmf thevkimi1

si hay interruptores cerrados.

Donde:

Rthevkfmf se obtiene eliminando las filas y lascolumnas de

Rthevkimi (ecuacin(1.21)) correspondientes a los nodosde los interruptores abiertos.

En principio, este mtodo es el mismo utilizado para los elementos no lineales,pero en el caso de los interruptores, los detalles de programacin son diferentes.

1.6 Simulacin de fuentes de tensin y de corriente

Las fuentes de corriente o tensin que se utilizan en el anlisis de la red elc-trica tambin son modeladas por EMTP. Se pueden usar fuentes continuas(en escaln o rampas), fuentes alternas (sinusoidales) o fuentes de impulsos.Estas ltimas son previstas para simular las pruebas de impulso a transfor-madores y otros aparatos elctricos. Existen tambin fuentes de tensin con-troladas por corriente para la simulacin simplificada de estaciones deconversin en corriente continua. Poniendo aparte las fuentes residentes quese citan con anterioridad, existe igualmente la posibilidad de definir otras(analticas o experimentales) con la ayuda de instrucciones FORTRAN escri-tas en el mdulo TACS o MODELS.

1.7 Modelos ms elaborados

En ATP existen modelos de elementos del sistema que utilizan transforma-ciones matemticas, las cuales hacen ver la solucin del componente en el




plano transformado al plano temporal de manera ms sencilla. Tal es el casode la mquina sincrnica que utiliza la transformacin de Park para hacer de-sacoplamiento inductivo entre fases, o el modelo de lnea con parmetros de-pendiente de la frecuencia (modelo J. Mart) que utiliza transformacionesmodales para independizar el comportamiento de cada fase.

1.8 Solucin del sistema

Disponiendo de las expresiones discretizadas para cada componente, puedearmarse el sistema de ecuaciones nodales:

G t v t i t hist t t( ) ( ) ( ) ( ) (1.32)

El sistema se construye considerando que:

Se sigue la metodologa normal para la construccin de matrices de admi-tancias.

En lugar de matriz de admitancia se tiene una matriz de conductancias,ya que todos los componentes han sido reducidos a conductancias equi-valentes.

Los nodos que se encuentran conectados a fuentes de alimentacin detensin son agrupados al final del sistema de ecuaciones, ya que en ellosla tensin no es incgnita. Esto permite la reduccin del orden del siste-ma de ecuaciones mediante la transformacin de Gabriel Kron [23].

El sistema puede escribirse de la siguiente manera:

G t G tG t G t

V tV t

iuu ukku kk

u

k

u( ) ( )( ) ( )

( )( )

(

!

"

!

"

ti t

hist t thist t tk

u

k

)( )

( )( )

!

"

!

"

(1.33)

Reagrupando trminos:

G t V t i t G t v t hist t tuu u u uk k u( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (1.34)

La resolucin de este sistema de ecuaciones en cada instante permite obtenerel comportamiento transitorio. Los trminos histricos se almacenan pararesolver el sistema en el prximo t.

Finalmente, el sistema se resuelve por un mtodo de resolucin de sistemaslineales, triangulizando la matriz de conductancias. Para mejorar los tiemposde clculo se utilizan algunos procedimientos particulares; por ejemplo, la




matriz del sistema se ordena en una forma particular con el objeto de evitarretriangularizar toda la matriz de conductancias despus de que se producencambios en el sistema (cambio en el estado de un interruptor, cambio encomponente no lineal, etc.).

En otros casos se trata de conseguir una optimizacin desde el punto de vistadel almacenamiento de la matriz (explotar el grado de esparcidad). En el casode procesamiento en paralelo, el ordenamiento puede efectuarse en forma talde obtener submatrices sobre la diagonal.

x xx x x

x x xx x x

x x x x x xx x x x x

x x x x0 0 0

0 00 00 0

00 0

0 0 00 0 00 0 0

0 0 00 0

0 0x x xx x xx x x

x xx x

x

# #

xx x0 0

0 0#

1.9 Reduccin del orden de los sistemas de ecuaciones

En la resolucin de los sistemas lineales de ecuaciones que se plantean en eldiseo de sistemas elctricos, frecuentemente se utiliza un mtodo para re-ducir el orden del sistema lineal de ecuaciones [3]. Este mtodo, conocidocomo mtodo de Kron [12], representa el sistema con menor nmero deecuaciones y de incgnitas que transforman el modelo matemtico del siste-ma elctrico en un modelo ms simple. Si se tiene un sistema lineal:

[A] * [x] = [b] (1.35)

siendo [A] la matriz que representa el sistema, [x] el vector de las incgnitas y[b] el vector resultado del sistema, si el valor de parte de las incgnitas no esde inters, el sistema de ecuaciones puede ser divido en submatrices:

A AA A

xx

b

b11 12

21 22

1

2

12

!

"

!

"

!

"

(1.36)

siendo las incgnitas que interesa determinar [x1] y las que no interesa [x2].

El vector [x2] puede despejarse del segundo grupo de ecuaciones y remplazar-se sobre el primero:

[x2] = [A22]1 * { [b2] [A21] * [x1] } (1.37)




obtenindose:

( ) ( )

( ) ( )

A A A A A A

A A A11 12 22

121 12 22

1

221

21 221

!

"

"

!

"

!

"

x

bbx

1

2

1

2(1.38)

Ar ArAr Ar

x

bbx

11 12

21 22

1

2

1

2

!

"

!

"

!

"

(1.39)

Este sistema representa dos conjuntos de ecuaciones lineales desacopladas yel primer grupo puede ser resuelto independientemente del segundo. El costode la transformacin reside en la necesidad de invertir la matriz [A22] y en laprdida de simetra (si exista) de la matriz [A]. La economa de recursos com-putacionales (tiempo de clculo, memoria, etc.) de este mtodo depende delas dimensiones originales de [A] y del grupo de variables [x1].

El significado fsico de la transformacin puede visualizarse en los siguientesejemplos de aplicacin en el rea elctrica:

Matriz de impedancia de una lnea con mltiples conductores por fase:en estado estacionario la cada de tensin a lo largo de la lnea puede re-presentarse por el sistema formado por la matriz de impedancias y el vec-tor de corrientes:

[Z] * [i] = [v] (1.40)

donde el orden del sistema depende del nmero de conductores de la l-nea. Si se reduce el sistema de ecuaciones al nmero de fases de la lnea(normalmente tres fases), el sistema representa una lnea de tres conduc-tores equivalente a la lnea original.

Representacin de la mquina sincrnica: de acuerdo con el nmero dearrollamientos internos del modelo de mquina usado; el comportamien-to transitorio de la misma puede representarse mediante el sistema deecuaciones (usando la transformacin de Park):

$ %

[ ] [ ] [ ] [ ]..

v R id

dtupk pk pk

pks

(1.41)

donde:

[vpk] : Vector de tensiones

[Rph] : Matriz de resistencias




[ipk] : Vector de corrientes

d

dtpk{[ ]} : Derivada respecto del tiempo del vector de flujos magnticos

(efecto transformador).

[us] : Tensiones inducidas por efecto de la rotacin de los flujos.

Normalmente este sistema est formado por 7 ecuaciones (7 arrollamien-tos). Si se aplica la regla de integracin trapezoidal, se reduce el orden del sis-tema a 3 arrollamientos, y si luego se aplica la transformacin inversa dePark, se obtiene:

[vpk] = [Rcph] * [iph] + [Eph] (1.42)

[Eph] : Vector de Fems en componentes de fase que contiene lostrminos histricos

[Rcph] : Matriz de trminos asociados

Estas ecuaciones representan tres fuentes de tensin detrs de impedancias ypueden incorporarse al sistema de ecuaciones que representa todo el sistemaelctrico (en componentes de fase) y resolverse junto con el mismo para ob-tener las corrientes de toda la red.

La aplicacin del mtodo en EMTP tiene las siguientes caractersticas:

El procedimiento de reduccin est basado en el mtodo de Gauss Jordan.

Retorna la matriz reducida del sistema de ecuaciones.

Utiliza una sola matriz para el almacenamiento de la matriz original y dela matriz reducida (economizando memoria).

Emplea pivotizacin de filas (Gauss Jordan es numricamente inestabledebido a los errores por redondeo [10]).

Comenzando con la ltima fila de la matriz, si se despeja la ltima incgnita:

a x a x a x a x bm m mj j mm m m1 1 2 2 (1.43)

aa

x aa

xa

ax b xm

mm

m

mm

mj

mmj m m

11

22 (1.44)

El valor de xm debe remplazarse en el resto de las ecuaciones obteniendo:




a x a x a x a

aa

x aa

xa

k k kj j km

m

mm

m

mm

mj

1 1 2 2

11

22

ax b b

mmj m k

(1.45)

Si se llama arij a los nuevos trminos se obtienen las siguientes expresiones:

Para i = k (la fila que se reduce es la del elemento pivote):

aa

arij

ij

kk (1.46)

Para i & k:

a a aa

axrkj kj km

mj

mmj

(1.47)

Este procedimiento debe repetirse para el resto de las ecuaciones hasta que elconjunto de incgnitas, cuyo valor no interesa, se haya eliminado del siste-ma de ecuaciones.

1.10 Errores en el ATP

Cuando se almacena un nmero en la memoria de una computadora me-diante lgica de punto flotante, se efectan modificaciones en la mantisa y elexponente para optimizar la precisin en el almacenamiento [3]. A su vez,cuando se opera con lgica binaria con 2 nmeros, debe utilizarse el mismoexponente. Esto da origen a las operaciones de normalizacin y desnormaliza-cin, respectivamente.

Normalizacin: el exponente se ajusta para permitir que el primer dgito signi-ficativo se site a la derecha del punto.

35.4 .354 x 10 2

Desnormalizacin: el exponente de 2 nmeros se ajusta representados me-diante punto flotante para realizar su suma. Estas operaciones son una de lascausas de errores.

Los errores pueden clasificarse en:

Error por redondeo: debido a la representacin de punto flotante del nmero;tambin es el que se produce por efecto de la desnormalizacin. Este errorpuede ser detectado utilizando almacenamiento de simple o doble precisin.




Error por truncamiento: debido a limitar un proceso numrico antes de lle-gar a su fin (por ejemplo, el truncamiento de series). Puede controlarse atravs del nmero de iteraciones.

Error de discretizacin: debido a asignar a una variable valores discretos,cuando en realidad vara en forma continua (por ejemplo, error depen-diente de tn en la solucin de ecuaciones diferenciales. Otro ejemplo se-ra el error debido al uso de diferencias finitas para derivadas. Este tipo deerror puede detectarse y analizarse cambiando el intervalo de tiempo.

Errores de datos: provenientes de la informacin con que se alimenta elmtodo.

Error de modelo: el modelo matemtico es una aproximacin del fenme-no fsico.

El error total, suma de los errores mencionados anteriormente, puede ser me-nor o mayor que los errores individuales, dependiendo de los respectivos sig-nos. Esto origina el concepto de estabilidad de la solucin. La solucin obtenidapuede discrepar de la solucin real al transcurrir el tiempo. En general, puededecirse que para que la solucin sea estable, al transcurrir el tiempo, el errortotal debe cambiar de signo, de tal manera que se pueda autocompensar. Sedeben separar los conceptos de precisin y estabilidad. Un mtodo puede serestable o preciso, o ambas cosas a la vez. Respecto a los errores en procesositerativos, cuando el mtodo es realimentado negativamente, inexorable-mente converge a un proceso oscilatorio. Es necesario fijar adecuadamente elcontrol de las iteraciones.

1.10.1 Errores de la regla de integracin trapezoidal

En el proceso de discretizacin de las ecuaciones diferenciales, se introduceun error que en algunos casos puede llegar a afectar considerablemente los re-sultados del clculo. Con el objeto de estudiar la magnitud del error introdu-cido, se analiza un caso sencillo, consistente en el transitorio de energizacinde un circuito serie RL, con una fuente de corriente continua (figura 1.12).


k mVR

VL

Es

Figura 1.12. Apertura en un interruptor.

PAGINA 46-1.prnD:\ELECTRONICA\ELECTRONICA-MAYO15.vpjueves, 15 de mayo de 2008 20:04:22


El circuito se resolvi utilizando la solucin analtica, luego la regla de inte-gracin trapezoidal, y aplicando el ATP (regla de integracin trapezoidal).

La ecuacin diferencial del circuito es:

e t R i t Ldi tdt

s( ) ( )( )

(1.48)

Las ecuaciones utilizadas por los diferentes mtodos son:

Solucin analtica:

i t e tR

esRL

t( ) ( )

1 (1.49)

Regla de integracin trapezoidal y programa ATP:

i tR

e tR

e t t R LtLt

s Lt

s( ) ( )( )

( )( )

1 1 22 2

'

(

)

*

+

,

i t t( ) (1.50)

En la figura 1.13 se muestran resultados para un paso de integracin. Puedeobservarse el error de inicializacin en ATP, el cual se atena rpidamente.Este error no se debe a la regla de integracin en s misma, sino a que el pro-grama cierra el interruptor de la fuente despus de cumplirse el tiempo de ac-tuacin especificado. Este error presente en la mayora de los programas declculo de transitorios podra solucionarse empleando procedimientos itera-tivos en el clculo que permitan regresar (actualizando las fuentes histricas)al verdadero instante de actuacin de los interruptores y reiniciar el clculo apartir de ese instante [4-5].


Corriente en el nodo m (dt = 0,5 ms)

0 0,5 1 1,5 2 2,5 30

5

10

15

20

25

30

35

40

45

T [ms]

I [mAmp]- Solucin exacta.+ Trapezoidalx ATP

Error relativo (dt = 0,5 ms)

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3-50

-40

-30

-20

-10

0

10

T [ms]

E [%] + Regla trapezoidal.x ATP

Figura 1.13. Corriente en el nodo m y el error relativo en un instante de tiempo de 0.5 ms.



El efecto de discretizacin de la regla de integracin puede ser interpretadocomo una distorsin de la naturaleza del componente discretizado. El anlisisde sistemas discretos estudiados puede verse en [21]. Un mtodo para deter-minar el error de la regla de integracin consiste en considerar a la ecuacin di-ferencial de un componente sencillo (inductancia por ejemplo) como unafuncin de transferencia y aplicar a la entrada una seal senoidal. El apartadoque a continuacin se presenta fue originalmente desarrollado por FernandoAlvarado [67].

Para una entrada senosoidal pura, haciendo s j -:

v(t)= ejwt i(t) = y ejwt (1.51)

Por ejemplo, para la inductancia real (asumiendo condiciones iniciales igua-les a cero), la funcin de transferencia (salida / entrada) es igual a:

v L it

V s LI sS

Y sI sV s LS

Y jwjL

-

( )( )

( )( )( )

( )1 1 (1.52)

Aplicando esta expresin a la regla de integracin trapezoidal se obtiene:

v t v t tt L t L t ti i

( ) ( )( ) ( )

2(1.53)

i t i t t tL

v t v t t( ) ( ) ( ( ) ( )) 2

(1.54)

y tL

e

etL

e e

ee

j t

j t

j t j t

j t( )-

-

-

- -

-

21

1 2

2 2

2 e

e

ej t

j t

j t -

-

-

2

2

2

(1.55)

Considerando:


L

Y(s)V(s) I(s)

V

i

Figura 1.14. Funcin de transferencia equivalente.



e e

e e jtg

j t j t

j t j t t

- -

- -

-

2 2

2 2 2

1

(1.56)

y tL jtg j L

e t

t

tgt

(--

-

-

-

21 1

2

2

2

(1.57)

L Ltg

e

t

t( )

( )

( )-

-

-

2

2

(1.58)

El efecto de discretizacin de la regla de integracin trapezoidal consiste enmodificar el valor de la inductancia a travs de un coeficiente similar al queaparece en la impedancia de los circuitos PI, del modelo de lneas en el domi-nio de la frecuencia, cuando un extremo es cortocircuitado. Es decir, se reem-plaza la inductancia real por una inductancia de parmetro distribuido,asociada a una capacidad. Para una ampliacin en el tema, se recomienda allector la referencia [5] (de donde se extrajo esta seccin); all pueden verse va-rios mtodos de integracin numrica y sus comparaciones.


Figura 1.15. Oscilacin numrica [2].

T[ms]

Tensin Fase R sin amortiguamiento

0 10 20 30 40-30

-20

-10

0

10

20

30

V[kVolt

a)

0 10 20 30 40-25-20-15-10-505

10152025

[T[ms]

V[kVolt

Tensin Fase R con amortiguamiento

b)



1.11 Amortiguamiento de oscilaciones numricas

La regla de integracin trapezoidal utilizada en ATP produce en algunos casososcilaciones numricas [4-5]. Por ejemplo, cuando la corriente a travs de uninductor es forzada a tomar un determinado valor (discontinuidad en di/dt),la regla de integracin trapezoidal genera oscilaciones que no se atenan enel tiempo. Siendo:

v L didt

(1.59)

i t tL

v t tL

v t t i t t tL

v t hist( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2

( )t t (1.60)

Para los instantes de tiempo 2, 3, 4 etc., las diferencias de corrientes soncero y por tanto v t v t t( ) ( ) , producindose la oscilacin sin amorti-guamiento. Una modificacin brusca de la inductancia es equivalente a uncambio brusco de la corriente.

vd

dtd L i

dt

( ) ( )(1.61)

El origen de las oscilaciones se debe a que en la representacin discreta delsistema en el algoritmo de la solucin numrica, una magnitud derivadaque debe interrumpirse, difcilmente pueda hacerse en el cruce por cero deella.

Tal es el caso de la corriente a travs de una inductancia conectada al sistemamediante un interruptor abierto. Aunque los interruptores son modeladoscon apertura por cruce por cero de la corriente, finalmente la apertura se hace


23.6 23.65 23.7 23.75 23.8-20.4

-20.2

-20

-19.8

-19.6

-19.4

-19.2

-19

[T[ms]

V[kVolt

Tensin fase R con y sin amortiguamiento

c)

Figura 1.16. Tensiones de fase con y sin amortiguamiento [3].



en el instante t t t t o , cuando la corriente generalmente no tiene el va-lor de cero. Este tipo de fenmenos tiene una contraparte fsica relacionadacon los cambios bruscos de magnitudes elctricas (tensin, corriente) en bor-nes de elementos que almacenan energa (capacitores, reactores).

Este reacomodamiento energtico se observa igualmente en los sistemas rea-les; actualmente, con la introduccin de los modernos interruptores de SF6 olos interruptores de vaco, los cuales, debido a su alta capacidad de ruptura,interrumpen los circuitos cuando an circula una cantidad importante de co-rriente. Sin embargo, en estos casos se trata de frecuencias naturales del sis-tema que oscilan excitadas por saltos abruptos en las magnitudes elctricas.La diferencia entre el fenmeno matemtico y el fsico radica en el amorti-guamiento de las oscilaciones, escaso o nulo en el primero y real en el segun-do. Asimismo la frecuencia observada para el caso matemtico es igual a lafrecuencia de Nyquist y se modifica al variar t. Para atenuar el efecto de lasoscilaciones en el ATP se incorporan resistencias de amortiguamiento. Eneste mtodo se introduce una resistencia en paralelo al componente en parti-cular con el objeto de evitar las oscilaciones numricas, tal como se muestraen la figura 1.17:

v L didt

v R iL r

Si se aplica la regla de integracin trapezoidal a los dos componentes, para laresistencia:

i t v tR

i t tv t t

Rr r( )

( ) ( )( )

(1.62)

para la inductancia:

i t tL

v t v t t i t tL l( ) ( ( ) ( )) ( )

2(1.63)


Figura 1.17. Resistencia de amortiguamiento.



La corriente total ser:

i t i t i tR

tL

v t tL

v t t ir L( ) ( ) ( ) ( ) ( )

12 2

L t t( ) (1.64)

Considerando que:

i t t i t t i t t i t tv t t

RL r( ) ( ) ( ) ( )

( )

(1.65)

Remplazando en la corriente total:

i tR

tL

v tR

tL

v t t i t( ) ( ) ( ) (

12

12

t) (1.66)

Reordenando trminos:

v t

RtL

i t i t t RtL

R

( ) ( ( ) ( ))

11

2

12

1

tL

v t t

2

( ) (1.67)

donde:

11

2RtL

Es una resistencia equivalente que ser necesario agregar alcircuito para evitar la oscilacin.

12

12

RtL

RtL

Es un factor de amortiguamiento que atena las oscilaciones.

En el caso de circuitos donde se tienen varias inductancias, debe considerarseun sistema matricial:

v t Ld i t

dtR i tL r( )

( )( ) (1.68)

Para las inductancias:

$ %

i tt L

v t v t t i t tL L( ) ( ) ( ) ( )

1

2(1.69)




Para las resistencias:

$ %

i t R v t v t t i t tr r( ) ( ) ( ( ) 1

(1.70)

Combinando ambas expresiones:

$ %

i tt L

R v t v t t i t t iL( ) ( ) ( ) ( )

'

(

.

)

.

*

+

.

,

.

11

2 r t t( ) (1.71)

Considerando que:

i t t i t t R v t t

i t t R v t t

L

r

( ) ( ) ( )

( ) ( )

*

+

.

,

1

1.

(1.72)

Remplazando en la expresin de la corriente total:

i tt L

R v tt L

R v t( ) ( ) (

'

(

)

*

+

,

'

(

)

*

+

,

11

11

2 2

t i t t ( ) (1.73)

Reagrupando trminos:

$ %

v tt L

R i t i t t

t L

( ) ( ) ( )

'

(

.

)

.

*

+

.

,

.

11

1

1

2

2

'

(

.

)

.

*

+

.

,

.

'

(

.

)

.

*

+

.

,

.

Rt L

R v t t11 1

1

2

(

(1.74)

Se elige en funcin de

L Rt

L:

11

2//

donde / es un escalar que define el grado de amortiguamiento de la regla deintegracin.




Remplazando trminos:

t LR

t L t L

11

1 11

2 211 2

/

/

1

11

1

211 2

1

t L t Lt

L/

/

/

Reduciendo trminos:

t LR

t LR

'

(

.

)

.

*

+

.

,

.

'

(

)

*

+

,

11

1 11

2 2

12

11 2

11

'

(

)

*

+

,

/ /

/

tL

t L tL

Queda como resultado la siguiente ecuacin:

t LR

t LR

'

(

.

)

.

*

+

.

,

.

'

(

)

*

+

,

11

1 11

2 2

11 2

1

/ /

/

/

tL

tL I (1.75)

Si se introducen estos factores en la regla de integracin, se obtiene la expre-sin para la regla amortiguada:

$ %

v tt

L i t i t t v t t( ) ( ) ( ) ( )

1 //

(1.76)

Comparando con las expresiones de la regla trapezoidal sin amortigua-miento:

$ %

v tt

L i t i t t v t t( ) ( ) ( ) ( ) 2

(1.77)

Un valor adecuado de / se obtiene cuando la siguiente expresin:11

100

/

/

.

Para / = 1 el amortiguamiento es nulo y para / = 0 se obtiene el caso dondees crticamente amortiguado. En ATP, el amortiguamiento es calculado y lue-go alterado en la topologa de red pues este no incluye el algoritmo de amorti-guamiento.




1.12 Modelacin del comportamiento mecnicode la mquina elctrica giratoria

Apartado tomado de los apuntes de clase de Oscar Trad [3].

1.12.1 Introduccin

El diseo del comportamiento mecnico de la mquina se tiene en cuenta atravs de la segunda ley de Newton para cuerpos rotantes [6]. Se considera elsistema turbina-generador, subdividido en diferentes masas rotantes con-centradas y conectadas elsticamente mediante el eje del sistema (de mo-mento de inercia despreciable) el cual incluye su correspondiente rigidezmecnica. En general, se utiliza un modelo de dos masas para las mquinashidrulicas (generador-turbina) y de varias masas subdivididas de acuerdocon el nmero de etapas del sistema en las turbo-mquinas trmicas (genera-dor, excitatriz si existe, etapa de alta, media, baja presin, etc.).

En la figura 1.18 se puede observar un esquema del modelo utilizado. Estemodelo corresponde a las siguientes ecuaciones:

$ %

$ %

T Jd

dtD

d

dtK

2

2

0 0

0 (1.78)

$ %

wd

dt

0

(1.79)

donde:

[T] : Vector de torques o momentos actuantes sobre las masas del sistema.El signo de estas magnitudes depende de si la masa es motriz (turbi-na) o carga (generador o excitatriz).

T T T T TT 1 2 3 4


J1 J2 J3 J4

D1 D2 D3 D4

K12

D12 D23

K23 K34

D34

Figura 1.18. Circuito mecnico de una mquina elctrica giratoria.



[J] : Matriz de momentos de inercia de las masas del sistema:

J

JJ

JJ

#

#

#

#

# # # # #

1

2

3

4

0 0 00 0 00 0 00 0 0

[0] : Vector de posicin de las masas del sistema:

0 0 0 0 0

T #1 2 3 4

[D] : Matriz de coeficientes de amortiguamiento. Incluye los coeficientesde amortiguamiento de las masas y de los vnculos entre ellas (ejes)debido a rozamiento, ventilacin, etc.:

D

D D DD D D D D

D D

#

#

( )( )

(

1 12 12

12 12 2 23 23

23 23

0 00

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