Eduardo Limas García

Universidad Autónoma de Chihuahua

Facultad De Filosofía Y Letras

lalorhcp@gmail.com

Filosofía de la lógica

PARADOJAS DE LA IMPLICACION MATERIAL; FUNDAMENTOS DE

LA LOGICA DE LA RELEVANCIA

Abstract:

El trabajo consta de un análisis histórico y formal sobre las problemáticas de las paradojas de la implicación

material y sus repercusiones criticas para la fundamentación de la lógica de la relevancia, haciendo énfasis en

el tratamiento de la perdida semántica ante la rigidez sintáctica y formal de los enunciados condicionales de la

paradoja positiva y negativa, esclareciendo la polémica del conectivo lógico del condicional ante la confusión

de su uso y significado, contrastando la distinción con lo que por implicación se entiende.

Palabras clave:

Paradoja, Relevancia, Deducción, Implicación.

El objetivo de la lógica deductiva es determinar qué argumentos son validos y cuáles no lo

son. Lo que hará distinción entre un “buen” argumento y un “mal” argumento, será la

posibilidad de derivación entre las premisas de la conclusión. Por lo que se impulsa a que

las premisas se sigan de la conclusión. Este concepto se entiende como deducción clásica,

que instaura el uso del condicional como “de A se sigue B”. El condicional, tal vez ha sido

el conectivo lógico más polémico, por el énfasis que tiene en la estructura de un argumento,

antecedente y consecuente es a premisas y conclusión. El conflicto es el sentido en que se

interpreta el se sigue1, es decir sus resultados formales y semánticos.

Bajo la sintaxis, la semántica y el conjunto de reglas que relacionan los valores de la lógica

tradicional, se nos devela una problemática añeja en la historia de la lógica, las paradojas.

Son instancias del lenguaje que esta ciencia formal intenta esclarecer, dado que arrojan

dificultades semánticas. A su vez, son fácilmente anexadas al lenguaje común e incluso en

ocasiones son imperceptibles. Engañosas, al estar cargadas de elementos contradictorios o

absurdos, aparentan verosimilitud. Dentro de la lógica, las paradojas no han dejado de estar

presentes.

El inicio de este problema se configura en la definición del condicional. Partimos del

mismo punto en que se sugiere cuando se aprende lógica, con los conectivos elementales de

la lógica clásica, la negación (¬) y la disyunción (v). A partir de establecer su relación con

sus valores de verdad, la definición del condicional consistiría en la situación particular de

¬ (P ^ ¬ Q). En palabras, consiste en que nunca se dará el caso como valido de que P sea

verdadero y Q sea falso, de aquí la definición del condicional tomando las variables P,Q;

como antecedente y consecuente respectivamente. El conectivo lógico será identificado

como condicional (→).Dentro del lenguaje, el condicional se identifica con un “si…

entonces…”, connotando las dos propiedades estructurales del condicional. Como

mencionamos, un argumento se divide en dos elementos, premisas y conclusión, donde el

condicional tuviera la misma estructura del argumento, diríamos si A entonces B (A→B).

Solo será falso, si y solo si el antecedente es verdadero y el consecuente falso. Sin embargo,

es un concepto problemático, pues las tablas de verdad del condicional nos arrojan al

1Therefore en inglés

menos dos situaciones en las que enfrentamos una paradoja. Podríamos definirla como la

siguiente:

1) ˫ A→ (B→A)

2) ˫ ¬ A → (A → B)

Las paradojas anteriores son formalmente inofensivas, es decir, son tautológicas, no existen

en ninguna situación donde puedan ser inválidos los anteriores condicionales. Sin embargo,

una vez que sustituimos las variables A y B por enunciados, nos daremos cuenta que son

absurdas. En (1) tomaríamos por ejemplo la siguiente proposición Octavio Paz es peruano,

luego si 2+2=4 entonces Octavio Paz es peruano. Denominada paradoja positiva, dentro de

esta proposición sucede que “de una oración verdadera es implicada por cualquier otra”2.

En (2) llega a ser aun más absurdo cuando deducimos de ¬ A → (A → B) ≡ (A ^ ¬A) → B,

por medio de Exportación (Exp,1). Tendríamos la conflictiva situación que Duns Escoto

adscribió al condicional, Ex contradictione quodlibet, “De una proposición falsa implica

cualquier proposición” 3 también conocida como paradoja negativa. Cuando se realiza

calculo proposicional, se tiene una muletilla al observar que el antecedente es falso, se

determina la validez del condicional. Dentro de la tabla de verdad del condicional se da la

situación como válida, cuando el antecedente es falso y el consecuente verdadero. Por lo

tanto, bastaría con colocar un enunciado falso como antecedente, en este caso la

contradicción de A, para que automáticamente nuestro condicional sea verdadero

independiente del valor de verdad de B.

Una de las ventajas de la lógica simbólica es la posibilidad de atribuir desde la estructura de

un argumento, la validez o invalidez del mismo. Sin embargo, bajo estas condiciones

dispuestas por la paradoja de la implicación, deja de ser una ventaja, dado que depositara

incertidumbre, no en el carácter formal pues sabemos que es tautológico, sino en el

contenido de las premisas y la cohesión entre ellas. El problema que enfrentamos es claro,

una persecución de la semántica sobre la sintaxis. “El problema principal radica en que la

aceptación de las paradojas posibilitan inferencias no aceptadas por la lógica del sentido

2PALAU Gladys, Introducción filosófica a las lógicas no clásicas, Editorial Gedisa, Barcelona, 2002 p. 107. 3 Ibidem.

común.”4 La estructura formal de los condicionales es tautológica mientras intuitivamente

rechazamos el resultado de este tipo de inferencias, vemos que las premisas no tienen nada

en común y son formalmente validas. ¿Sera suficiente el abordaje de las paradojas con los

preceptos de la lógica clásica? ¿Cómo se digiere el uso de premisas y conclusiones carente

de sentido unas de otras? ¿Nos referimos a lo mismo cuando decimos Implicación y

Condicional? ¿Se encuentra planteada una respuesta dentro de los axiomas de la lógica

tradicional o será posible replantear y justificar con nuevas reglas casos especiales como

este?

Podemos rastrear una preocupación teórica por el uso del condicional y las problemáticas

antes referidas desde la antigüedad. Concretamente con Crisipo el estoico, heredando la

problemática del Órganon de Aristóteles. La gestación de este conectivo tomó una singular

atención por los lógicos aristotélicos, estoicos y escolásticos, debido a que involucra una

condición hipotética, contenida en el antecedente, y una resolución o “efecto”, referida al

consecuente. “Entienden la condicional o implicación como una proposición compuesta de

dos proposiciones categóricas conectadas por el “si”, en la que una se sigue de la otra”5. Por

otro lado, el condicional puede confundirse con la implicación. Incluso son tomados de

sinónimos como recurso didáctico en la enseñanza de la lógica, lo cual es equivocado. La

raíz de la confusión deriva de la interpretación del se sigue entre Diodoro Krono y Filón de

Megara. Filón la define como “un condicional es verdadero si y solo si no tiene un

antecedente verdadero y un consecuente falso” y para Diodoro es “aquella que no es y

nunca es capaz de tener un antecedente verdadero y un consecuente falso”. Podemos ver la

raíz del problema semántico y sintáctico por la interpretación más exigente de Diodoro, la

cual contempla una constante temporal, bajo la cual, no puede darse ningún caso en ningún

tiempo. Filón llega a aproximarse más a una visión sintáctica y formal, donde solo se

cumpla la petición constitutiva del condicional falso, tal definición es menos consiente de

un conflicto semántico debido a que solo esgrime la posición inválida del condicional.

Dicha confusión ya se iba esclareciendo desde el Medievo por los lógicos escolásticos, que

4 PALAU Gladys, Introducción filosófica a las lógicas no clásicas, Editorial Gedisa, Barcelona, 2002 p. 108 5 BEUCHOT, Mauricio, Notas históricas sobre la paradoja de la implicación material, Dianoia, vol 27, #27, 1981, UNAM p. 265

dividían la implicación material de la implicación formal. “La consecuencia formal es la

que es lógicamente verdadera […] independientemente de los términos categorematicos

que figuran en las proposiciones.”6 Y por otro lado, “las consecuencias materiales no son

validas solo por la concatenación sintáctica, sino atendiendo al contenido o interpretación

semántica de sus componentes.”7

Discernir entre implicación y condicional, será elemental para llegar a los cimientos de la

lógica no clásica, en especifico a la lógica relevante, pues de no haber discriminación entre

ambas expresiones conllevaría o a resolver las anomalías formales o negar una resolución

ante las paradojas de la implicación desde propia lógica clásica. Dicha confusión entre estas

dos palabras, llega a yuxtaponer el sentido en que se usa para referirse al conectivo lógico

del condicional. Tal distinción entre estos términos, confieren un estudio metalingüístico de

las relaciones lógicas de las proposiciones. Es decir, el condicional es un conectivo lógico,

cuya función es (como la de los demás conectivos) relacionar proposiciones atómicas. Por

ello, dentro de un argumento, un condicional puede ser falso o verdadero. En “el

condicional se expresan enunciados o formulas bien formadas”8. Mientras en la implicación

se emplean nombres de enunciados, ya estamos en un plano metalógico, “la implicación no

es relativa a una interpretación determinada, sino que es una propiedad absoluta de las

formulas.”9 Es común adoptar el uso indistinto de implicación y condicional, cuando se está

aprendiendo el lenguaje de la lógica, asociar el concepto de implicación para referirse a un

condicional verdadero. Más como podemos darnos cuenta, cada palabra tiene un

significado totalmente distinto. Tal discernimiento conceptual funciona como antídoto a las

paradojas de la implicación, ya que el condicional solo necesita tener el requisito de no

considerar su forma invalida. Cuando se esclarece la definición tanto del consecuente como

de la implicación, se deja de lado la problemática de las paradojas de la implicación

material. Para referirnos a la implicación se utiliza el siguiente símbolo y para el

condicional →.

✏6 BEUCHOT, Mauricio, Notas históricas sobre la paradoja de la implicación material, Dianoia, vol. 27, #27, 1981, UNAM p. 267 7 Ibídem 8SOTO Baylón, Rafael, Breve Diccionario de lógica, p.62 9 MOSTERIN, Jesús, TORRETTI, Roberto, Diccionario de lógica y filosófica de la ciencia, Alianza editorial, 2002, Madrid. P.

Con esta distinción histórica de la implicación, dará paso a Ackerman (1957) a desarrollar

una crítica a la deducción de la lógica clásica. Teniendo como antecedentes el nexo de

premisas irrelevantes o débiles en los argumentos, abstraídos de las paradojas de la

implicación material. La lógica relevante plantea una situación particular, mejor dicho,

replantea los elementos clásicos de la lógica tradicional, identificando “debilidades

axiomáticas”.

La lógica no clásica es una extensión e incluso funciona como un parcheo de la rigidez

clásica y también de la posibilidad de no tomar en cuenta ciertos preceptos. Para quienes

fuimos pupilos de la lógica clásica, esto llega a ser conflictivo. Los principios elementales

de la lógica clásica (identidad, contradicción, tercero excluso) nos parecen más que

evidentes. Sin embargo, los estudios que reproducen nuevos sistemas lógicos son una

evidencia de que es posible. Por lo tanto, habrá que preguntarnos ¿Qué elementos

constituyen los sistemas lógicos? ¿De qué manera podemos establecer un nuevo sistema

lógico que pueda moverse sobre las inestabilidades de las que hemos hablado?

Un sistema lógico consta de los siguientes elementos: “El vocabulario y las formulas

constituyen el lenguaje objeto del sistema.” 10 El vocabulario consta de símbolos;

descriptivos y que demuestren sus constantes. Los primeros los llamaremos no lógicos y los

segundos lógicos. Además, signos de puntuación y las reglas de expresiones bien formadas,

quienes relacionan los símbolos. Estos elementos podemos referirlos como sintaxis y

semántica propia. A todo esto, ¿Cual es la distinción entre lógica clásica y lógica no

clásica? Existen autores que no se ponen de acuerdo en la distinción. Pero para este trabajo

denotare un elemento que entiendo por lógica clásica por “a todo sistema clásico a todo

sistema lógico equivalente al formulado en el Principia Mathematica”.

El punto clave a expresar en este trabajo, es denotar la existencia de las lógicas no clásicas,

ya que intenta refutar las problemáticas formales como lo son las paradojas de la

implicación, dado que hay otro elemento que no se ha planteado como un ejemplo de

irrelevancia entre premisas, y es la regla de adición (Ad.) en ciertas premisas. La regla de

adición funciona como la adscripción de una premisa mientras se tenga una premisa

10

PALAU Gladys, Introducción filosófica a las lógicas no clásicas, Editorial Gedisa,

Barcelona, 2002 p.25

verdadera. Por ejemplo, tenemos la premisa A, tenemos la ventaja formal de adicionar

cualquier premisa en forma de disyunción, tendríamos (A v B), dado que mientras sabemos

que A es verdadera podemos anexar cualquier proposición (independiente del valor de

verdad de B), en este caso B, y tendremos la disyunción valida. Este es otro problema de

relevancia, puesto que podemos anexar cualquier proposición tenga o no tenga que ver con

la premisa A.

Finalmente, para concluir, planteare los preceptos que la lógica de la relevancia intenta

refutar son dos; el Ex contradictione quodlibet y el abuso irrelevante de la regla de adición

(Ad.).

Para concluir este trabajo, intentare esclarecer la necesidad formal de extender el campo de

la lógica clásica. Tal como sucedió con la geometría euclidiana, donde muestran sus

limitaciones ante situaciones “nuevas”, no exploradas, el eje de una disciplina gira hacia la

resolución de este tipo de irrelevancias. Con ello pues, se apuesta por una lógica que pierda

la precisión, y circunde particularidades. Por último, queda decir el horizonte de la lógica

relevante, que las intenciones de “los lógicos relevantes apuntan sus críticas al condicional

material proponen sustituirlo por otro condicional que exige entre el antecedente y

consecuente de las oraciones condicionales, o sea, que refleje adecuadamente en el lenguaje

objeto el requisito de relevancia exigido para la relación metalingüística de

deductibilidad.”11

11PALAU Gladys, Introducción filosófica a las lógicas no clásicas, Editorial Gedisa, Barcelona, 2002, p. 108

Bibliografía

PALAU Gladys, Introducción filosófica a las lógicas no clásicas, Editorial Gedisa,

Barcelona, 2002

BEUCHOT, Mauricio, Notas históricas sobre la paradoja de la implicación material,

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<http://plato.stanford.edu/archives/sum2012/entries/logic-relevance/>.

COHEN Carl, COPI Irving G. Copi, Introducción a la lógica, Editorial Limusa, México,

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MOSTERIN, Jesús, TORRETTI, Roberto, Diccionario de lógica y filosófica de la ciencia,

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