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UNIVERSIDADE FEDERAL DE GOIÁS PRÓ-REITORIA DE PESQUISA E PÓS-GRADUAÇÃO PRPPG MESTRADO EM EDUCAÇÃO EM CIÊNCIAS E MATEMÁTICA EDSON VAZ DE ANDRADE REPRESENTAÇÃO VETORIAL E GRANDEZAS FÍSICAS NOS LIVROS DE FÍSICA ADOTADOS PELO PNLD PARA 2012: A NECESSÁRIA CONVERGÊNCIA PARA ALÉM DA MATEMÁTICA GOIÂNIA 2012

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE GOIÁS

PRÓ-REITORIA DE PESQUISA E PÓS-GRADUAÇÃO –PRPPG

MESTRADO EM EDUCAÇÃO EM CIÊNCIAS E MATEMÁTICA

EDSON VAZ DE ANDRADE

REPRESENTAÇÃO VETORIAL E GRANDEZAS FÍSICAS NOS

LIVROS DE FÍSICA ADOTADOS PELO PNLD PARA 2012:

A NECESSÁRIA CONVERGÊNCIA PARA ALÉM DA

MATEMÁTICA

GOIÂNIA

2012

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EDSON VAZ DE ANDRADE

REPRESENTAÇÃO VETORIAL E GRANDEZAS FÍSICAS NOS

LIVROS DE FÍSICA ADOTADOS PELO PNLD PARA 2012:

A NECESSÁRIA CONVERGÊNCIA PARA ALÉM DA

MATEMÁTICA

Dissertação de Mestrado apresentada ao

Programa de Pós-Graduação em

Educação em Ciências e Matemática da

Universidade Federal de Goiás , como

requisito parcial para a obtenção do grau

de Mestre.

Prof. Dr. Juan Bernardino Marques Barrio – Orientador

GOIÂNIA

2012

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REPRESENTAÇÃO VETORIAL E GRANDEZAS FÍSICAS NOS

LIVROS DE FÍSICA ADOTADOS PELO PNLD PARA 2012:

A NECESSÁRIA CONVERGÊNCIA PARA ALÉM DA

MATEMÁTICA

Por

EDSON VAZ DE ANDRADE

Dissertação de Mestrado apresentada para o

exame de defesa do programa de mestrado

em Educação em Ciências e Matemática ,

pela Banca examinadora formada por:

_________________________________________________

Presidente: Prof. Dr. Juan Bernardino Marques Barrio

Orientador, UFG

_________________________________________________

Membro: Prof. Dr. Cássio Costa Laranjeira -UNB

_________________________________________________

Membro: Prof. Dr. Wagner Wilson Furtado -UFG

Goiânia, 13 de novembro de 2012.

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Dedicatória

À toda minha família e amigos. Em especial, aos meus pais, L uiz e

Maria, minha esposa, Girli , e minha fi lha, Jéssica, que tanto têm me apoiado

nos vários momentos difíceis de minha vida.

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Agradecimentos

Em primeiro lugar, agradeço a Deus por ter me abençoado com mais esta

conquista.

Agradeço a todas as pessoas que, de diferentes formas, contribuíram

para realização deste trabalho.

Agradeço especialmente:

Ao professor Dr. Juan Bernardino Marques Barrio, meu orientador, que,

com muita paciência e delicadeza, me ajudou nas dúvidas e na superação e/ou

convivência com as inseguranças que surgiram durante o nosso trabalho.

Aos professores Dr. Cássio Costa Laranjeiras e Dr. Wagner Wilson

Furtado, cujas discussões, observações e sugestões feitas no exame de

qualificação, contribuíram muito para o nosso trabalho.

Aos professores e colegas do Programa de Mestrado, por terem

contribuído para minha formação. O convívio com estas pessoas me levou a

refletir muito sobre a necessidade e possibilidade de mudanças nas práticas

pedagógicas.

Aos amigo(a)s, Sabrinna Aparecida, Lucimar Moreira, Ruimar Calaça, e

ao meu irmão Elias Vaz, que gentilmente nos ajudaram a conseguir os livros

para serem analisados.

À toda minha família e aos meus amigos e colegas pelo apoio e

compreensão nos momentos difíceis. Em especial: aos meus pais, Luiz Vaz de

Andrade e Maria de Oliveira Vaz, que sempre procuraram conduzir os filhos

por caminhos que atingissem os objetivos desejados, mas sempre com

humildade, respeito e honestidade. Ao meu irmão, professor Dr. Edimar Vaz

de Andrade, pela ajuda com o pré-projeto deste trabalho. À minha esposa

Girl i Ferreira de Andrade, pela compreensão e a poio nos momentos de

ausência. À minha filha, Jéssica Ferreira de Andrade, que com paciência e

carinho tanto me ajudou neste trabalho.

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ANDRADE, EDSON VAZ de. Representação vetorial e grandezas físicas nos

livros de Física aprovados pelo PNLD para 2012: a necessária convergência

para além da matemática . 169 F. Dissertação. (Mestrado em Educação em

Ciências e Matemática). UFG, junho de 2012.

RESUMO

Neste trabalho, analisamos de que forma o conceito de vetor e ,

consequentemente, o de grandezas físicas vetoriais estão presentes nos dez

livros de Física aprovados no PNLD em 2010. A escolha destes conceitos se

deve fundamentalmente à dificuldade observada nos estudantes de ensino

superior, quando se trata de questões relacionadas a uma perspectiva espacial

para os fenômenos físicos. A análise do livro didático , em seus vários

aspectos, justifica-se em função do seu papel no contexto escolar , haja vista

que no sistema de ensino brasileiro , este acaba por influir de maneira

determinante na escolha de conteúdos e estratégias de ensino, podendo ser

considerado, provavelmente, o principal recurso do processo de escolari zação.

Para viabilizar esta análise dos livros foi utilizada a metodologia da Análise

Textual Discursiva , desenvolvida por Roque Moraes e Maria do Carmo

Galiazzi, cujo objetivo é levar às novas compreensões dos fenômenos

investigados. Identificamos que existem vários tipos de enfoque, mas todos

mostrando uma forte relação do conteúdo dos livros com a linguagem

matemática que deve ser superada para dar maior significado ao conhecimento

físico.

Palavras chave: Vetores, Grandezas físicas , Livro didático.

.

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ANDRADE, EDSON VAZ de. Representação vetorial e grandezas físicas nos

livros de Física aprovados pelo PNLD para 2012: a necessária convergência

para além da matemática . 169 F. Dissertação. (Mestrado em Educação em

Ciências e Matemática). UFG, maio de 2012.

ABSTRACT

This study analyzed how the concept vector, and consequently, the physical

quantities are present in the vector of ten books of Physics approved in PNLD

2010. The choice of these concepts is fundamentally due to the difficulty

observed in students of higher education, when it comes to issues related to a

spatial perspective to the physical phenomena. The analysis of the textbook,

in its various aspects, is justified in terms of its role in the school context,

considering that the Brazilian edu cation system, this ends up influencing so

decisive in the choice of content and teaching strategies that can be

considered, probably, the main feature of the schooling process. To make this

analysis of the books we used Textual Analysis Discursive methodo logy

developed by Roque Moraes and Maria do Carmo Galiazzi, whose goal is to

lead to new understandings of the phenomena investigated. We found that

there are several types of focus, but all showing a strong relationship between

the content of books with mathematical language that must be overcome to

give greater meaning to the physical knowledge.

Keywords: : Vectors, Physical quantities, textbook

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SUMÁRIO

RESUMO.... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6

ABSTRACT... .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7

LISTA DE FIGURAS, TABELAS E QUADROS.. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10

INTRODUÇÃO ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1 – GRANDEZAS VETORIAIS NA FÍSICA... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .20

1.1 . A matemática como linguagem estruturante dos conceitos físicos . . . . . .21

1.2. História e Filosofia da Ciência no ensino de Física. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

1.3. Revisão histórica do cálculo vetorial. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .32

1.4. Além do conhecimento específico do conteúdo.. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .47

1.5. Os vetores na visão espacial .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

2 – O LIVRO DIDÁTICO E O PNLD..... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .54

2.1. O livro didático no ensino-aprendizagem... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .54

2.2. O livro de física no PNLD.... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

3 – A OPÇÃO METODOLÓGICA... .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .66

3.1. Unitarização.. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

3.2. Categorização... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

3.3. Descrição-Metatexto.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

4 – A UNITARIZAÇÃO: UNIDADES DE ANÁLISE.... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .74

4.1. Cinemática: posição, deslocamento, velocidade e aceleração .. .. . . . . . . . .76

4.2. Força... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .126

4.3. Outras grandezas físicas vetoriais. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

5- AS CATEGORIAS DE ANÁLISE - METATEXTO... .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .149

5.1. O rigor na representação vetorial .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

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5.2. Uso e representação espacial das componentes vetoriais na soma de

vetores. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

5.3. Relação das grandezas vetoriais com o cotidiano dos alunos. . . . . . . . . . . . .154

CONSIDERAÇÕES FINAIS.... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

REFERÊNCIAS.... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

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LISTA DE FIGURAS

Figura 1- Decomposição de forças conforme Corolário s anteriores constantes

da teoria de Newton .... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .35

Figura 2- Decomposição de movimento de projetéis conforme Newton .. .. . . .37

LISTA DE TABELAS

Tabela 1- Livros didáticos de Física aprovados pelo PNLD de 2012... . . . . . . . . .74

LISTA DE QUADROS

Quadro 1- O rigor na representação vetorial nos Livros didáticos aprovados

pelo PNLD de 2010.. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .150

Quadro 2- Quadro 2- Uso e representação espacial das componentes vetoriais

na soma de vetores nos Livros didáticos aprovados pelo PNLD de

2010... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .152

Quadro 3- Relação das grandezas vetoriais com o cotidiano dos alunos nos

Livros didáticos aprovados pelo PNLD de 2010... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .157

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INTRODUÇÃO

Não há nada que seja maior evidência

de insanidade do que fazer a mesma

coisa dia após dia e esperar resultados

diferentes. (Albert Einstein)

É comum ouvirmos que a educação pode ser considerada como

fundamental na formação do cidadão, pois a partir dela as pessoas adquirem

capacidades que as levariam a patamares sociais mais elevados. Acreditamos

que tal colocação deve ser vista com cuidado, pois a “ascensão para

patamares sociais mais elevados” não deve ser interpretada como apenas

aumentar o ganho de capital, mas sim melhorar a sua atuação no mundo

contemporâneo, sendo solidário, participando d as discussões e decisões em

relação à sua realidade cotidiana, levando o cidadão a ter uma postura mais

crí tica.

No caminho que leva a uma mudança de postura saindo de um ensino

meramente decorativo e repetitivo, passando a um ensino que leva a um aluno

reflexivo com capacidade de exercer uma cidadania plena, nos deparamos com

enormes barreiras . Neste trabalho, pretendemos discutir sobre os aspectos de

algumas dificuldades encontradas ao longo de alguns anos de vida

profissional. Dificuldades estas que se tornam ainda maiores no ensino de

Ciências que está na maioria das vezes desvinculado da realidade do cidadão,

não possibilitando que seja apropriado pelos mesmos e desmitificando a idéia

de tratar-se de um conhecimento permitido apenas para alguns, o que sustenta

uma perspectiva de sociedade desigual.

Na minha trajetória como professor de Física do ensino médio, e mesmo

no ensino superior – foram aproximadamente 10 anos no ensino médio e já

são 23 anos no ensino superior – tenho percebido que os alunos têm uma

grande dificuldade quando se trata de estudar conceitos físicos ligados às

grandezas vetoriais. Este fato me leva a constantes dúvidas e questionamentos

sobre a maneira de trabalhar a representação vetorial com os alunos , bem

como a querer entender os motivos que levam a grandes dificuldades por parte

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dos alunos de compreender o significado físico das grandezas físicas

vetoriais .

Mesmo tendo me questionado durante as minhas aulas a respeito das

dificuldades enfrentadas pelos alunos no tratamento com as grandezas

vetoriais, tenho que admitir que antes de iniciar o curso de mestrado não tinha

pensado em como foi desenvolvida esta álgebra vetorial que trabalhamos

atualmente. Conversando com vários colegas de trabalho – professores de

Física de cursos superiores – percebo que a maior parte deles desconhece

completamente a história do desenvolvimento das técnicas vetoriais com as

quais trabalham. Portanto, penso ser importante introduzir este assunto neste

trabalho.

A frase “Tudo são números”, atribuída a Pitágoras de Samos, pode ser

considerada como o início da busca por uma explicação lógica, precisa e

racional para os fenômenos da natureza. Quase dois mil anos depois, Isaac

Newton escreve o Principia Mathematica , base da física clássica, onde

também se pode ver o desejo de entender o mundo através da geometria e dos

números, como Pitágoras.

Na base das leis da Física estão princípios estéticos e quando a estética

surge na Antiguidade, beleza e verdade eram sinônimas. Este é o elo de união

entre arte e ciência, haja vista que as duas representam tentativas de

compreender e organizar o mundo com certa ordem. Buscam cada uma a sua

maneira uma explicação da realidade.

Desde sua origem, a Física é entendida como sendo a área do

conhecimento científico que estuda os fenômenos naturais , a partir

principalmente de uma descrição quanti tativa destes, pela aplicação de um

método com princípios gerais e disciplinado pelas relações íntimas entre

experiência e teoria , tendo como base de trabalho a lógica, a matemática e a

experimentação. Em linhas gerais, pode-se dizer que compreende

especialmente o estudo da estrutura da matéria , da natureza das radiações e

suas interações com a matéria, bem como uma tentativa de descrição

unificada de todos os campos de força existentes na natureza. Torna-se cada

vez mais difícil delimitar o campo de ação ou a finalidade da física .

Com o desenvolvimento do Cálculo Diferencial e In tegral , no século

XVII, profundamente relacionado com a geometria e a cinemática, inicia-se a

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teorização da mecânica newtoniana tendo como fundamento a teoria

matemática das equações diferenciais. No século XVIII com o estudo das

vibrações começam a serem usadas equações em derivadas parciais, que darão

a base matemática no século seguinte para o desenvolvimento da teoria

eletromagnética de Maxwell e posteriormente na Teoria d a Relatividade.

Ainda no século XVIII, as derivadas parciais em coordenadas elípticas

e as equações não lineares se tornam a base da hidrodinâmica, do cálculo de

variações e da análise funcional. Também nesse período, a geometria

Riemanniana, e a teoria dos Grupos Contínuos, assim como a teoria das

funções analíticas de variáveis complexas, e a Teoria dos espaços vetoriais

topológicos, em especial do espaço de Hilbert, servem de base para a

relatividade Geral de Einstein, para a Teoria Quântica, para Física de

Partículas Elementares, no século XX. Enfim, o desenvolvimento das teorias

matemáticas torna-se de grande importância para toda a Física Matemática.

Neste sentido, considerando os tipos de informação: Conceitual-

“relacionada com o conhecimento de conceitos [.. .] associados em regras

básicas tais como leis, princípios ou algoritmos” (GAGNÉ, 1985 apud NETO

1991, p. 275); Verbal- “referente ao conhecimento de fatos (informação

factual) ou ao domínio da linguagem (conhecimento lingüístico) ” (GAGNÉ,

1985 apud NETO, 1991, p. 275); ou Processual- “relativa ao conhecimento de

estratégias cognitivas e metacognitivas as quais incluem os processos de

armazenar e processar informação” (GAGNÉ, 1985 apud NETO, 1991, p.

275), segundo Neto (1991) , a Física abrange a especificidade conceitual e

metodológica que lhe é própria com a especificidade conceitual , estrutural e

lógica que caracteriza as matemáticas.

Segundo Neto (1991), apesar de que muitos professores de Física

acabam por acreditar que seus alunos não aprendem os conteúdos por

insuficiente formação matemática , diferentes pesquisas mostram que grande

parte das dificuldades dos alunos, em entender a Física, são devidas a

bloqueios no raciocínio quali tativo mais do que relacionados com

incapacidade de ordem matemática.

Segundo Driver (1983); Gilbert e Watts (1983); diSessa (1987);

Osborne e Freyberg (1987) apud Neto (1991), os bloqueios nesse raciocínio

qualitativo (físico) não são devidos a questões relacionadas com estratégias,

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mas muito mais a problemas conce ituais que derivam do conflito que se

estabelece entre os conceitos formais subjacentes e as concepções a lternativas

próprias dos alunos.

A adoção de uma referência científica não é uma tarefa fácil. Exige

muitas vezes o abandono ou a mudança de concepçõe s assimiladas e

estruturadas ao longo de anos e profundamente incorporadas nas estruturas

cognitivas do aluno. Exige uma mudança conceitual que só é possível usando

metodologias que ultrapassem a da superficialidade, quase sempre dominante.

Ainda segundo Neto (1991), na Física é talvez onde mais se pode

perceber este confli to conceitual , haja vista que o aluno tem duas formas

diferentes de “ver” o mundo: uma concreta, intuitiva e de sentido comum

(visão pré-galileana) e outra abstrata e formal (visão cient ífica). A superação

deste conflito perpassa pela info rmação verbal que incorpora duas formas de

conhecimento: o fatual que ao completar o conhecimento conceitual

possibilita a compreensão e decodificação da natureza do problema estudado,

e a linguagem enquanto conhecimento linguístico. No ensino de Ciências em

geral, e da Física em particular, o uso de diferentes linguagens quase sempre

é negligenciado.

Nesse sentido, a função da linguagem é muito mais importante e sua

influência e relevância para o desenvolvimento cognitivo foi levantada, entre

outros, por Piaget e Vygotski. Se Piaget destaca a importância da linguagem

como meio de comunicação entre a criança e o meio enquanto função externa,

para Vygotski na fase inicial do desenvolvimento, a vertente da linguagem é

essencialmente interpessoal. No entanto, no momento crucial do

desenvolvimento intelectual da criança, a linguagem passa a desempenhar

também uma função interpessoal. Assim, é esta internalização da linguagem

que permite realizar o pensamento e laborado e abstrato, tornando o

pensamento verbal e a linguagem racional.

Na Física, os elementos externos da linguagem adquirem grande

importância pelo fato de que esta área de saber se caracteriza pela

predominância de termos técnicos e de conceitos ab stratos da Física, cujos

significados nem sempre são de fácil compreensão. Ao mesmo tempo, esta

linguagem está sustentada numa lógica matemática fortemente estruturada de

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natureza proposicional. Segundo Neto (1991), para superar estas dificuldades

o ensino de Física deve ser capaz de:

1. criar condições que possibilitem aos alunos a oportunidade de colocar

em prática as operações cognitivas que são capazes de realizar;

2. ensinar diretamente aqueles processos intelectuais que não sendo

inerentes à matriz cognitiva do aluno, são possíveis de serem

trabalhados levando-o a um pensamento crítico e criativo;

3. levar o aluno a uma tomada de consciência de seus próprios processos

de pensamento, levando-o a desenvolver estratégias de tipo

metacognitivo, através das quais e le possa controlar, gerenciar e avaliar

sua atividade intelectual .

Para isso os planos de ação que orientam e controlam o uso das

informações devem conter dois tipos de conhecimento, sem supervalorizar

nenhum dele: o conhecimento processual, de estratégias cognitivas, e o

conhecimento conceitual .

No sistema educativo, apesar dos avanços tecnológicos, o principal

“plano de ação” do professor , e que desempenha um papel destacado, mesmo

condicionando o seu trabalho, continua sendo o livro didático . Isto lhe

confere estatuto e funções privilegiadas na medida em que é através dele que

a grande maioria dos professores organiza, desenvolve e avalia seu trabalho.

Para muitas pessoas, a lembrança que possuem de disciplina da área das

Ciências está relacionada ao livro didático, haja vista ser através deste que

sua relação se deu com as disciplinas na época de estudantes , o que lhes

serviu de guia em sua apreensão do mundo .

Nos últimos trinta anos , as investigações sobre os livros didáticos,

analisando conteúdos conceituais, concepção de ciência, concepção de

comunicação e de aprendizagem, ou mesmo políticas públicas têm constituído

um campo de pesquisa em muitos países. No entanto, ainda há muitas críticas

ao uso deles como único recurso instrucional. Uma das princi pais crít icas que

se pode fazer a eles é o fato de que além de impor ao professor os conteúdos a

serem trabalhados, também acaba condicionando estratégias de ensino,

determinando de forma decisiva, o que se ensina e como se ensina o que se

ensina. No entanto, se os materiais instrucionais constituem um elemento

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importante na implantação do sistema educativo, o livro didático certamente

desempenha um papel determinante.

Apesar das muitas discussões sobre o l ivro didático, é natural que o

professor faça uso deste recurso devido às muitas dificuldades que enfrenta

no exercício de sua função, de diferentes ordens, inclusive econômica o que

lhe impõe uma jornada de trabalho exagerada.

Os l ivros d idá ticos, em part icular , representam uma inter face entre

a demanda do curr ículo e o espaço cognit ivo cr iado pe los

professores em sa la de aula (Gilber t e t a l . , 1998) . Eles são o

ins trumento mais ut i l izado pelos professores de f ís ica do ensino

médio na preparação de aulas , o que carac ter iza uma vinculação

parcial (às vezes to tal ) entre os conteúdos ensinados e aqueles

propostos nos programas. (CUSTÓDIO e PIETROCOLA, 2004, p .

384)

Por se caracterizar como um elemento importante para os processos de

ensino e de aprendizagem da disciplina, e por subsidiar o trabalho do

professor em sala de aula, o livro didático que chega às escolas públicas de

Ensino Fundamental e Médio tem sido objeto de estudo pelo Ministério da

Educação (MEC) através do Plano Nacional do Livro Didático (PNLD).

Os livros didáticos de Física do ensino médio, de uma maneira geral ,

apresentam um discurso que mostra a preocupação com a Física como uma

ciência que permite compreender uma grande quantidade de fenômenos

naturais, indispensáveis para a formação profissional e preparação para o

vestibular e a compreensão e interpretação do mundo pelos sujeitos. No

entanto, de forma geral , neles a ênfase recai sobre os aspectos quantitativos

em detrimento dos qualitativos e conceituais, privilegiando a resolução de

“Problemas de Física” que se traduzem em exercícios matemáticos com

respostas prontas.

Pietrocola, Alves Filho e Pinheiro (2003) destacam que os livros

didáticos adotados para o ensino médio apenas refletem o enfoque disciplinar

presente na formação dos professores na licenciatura, o que acaba levando -os

a consolidar o estilo reprodutivista e disciplinar na su a prática docente. Outro

aspecto que reforça esta tendência é a necessidade de atender aos pré -

requisitos externos ao curso, motivo pelo qual os autores dos livros didáticos

propõem uma infinidade de questões de vestibulares, quase sempre escolhidas

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a dedo e coerentes com as suas propostas. Raramente, os livros didáticos

levam os alunos a construir, testar e pensar de forma efetiva sobre os modelos

físicos estudados. Sob esta perspectiva, com a negligência dos modelos, o

conhecimento físico apresentado em muitos cursos é frequentemente

banalizado e reduzido a meras aplicações de fórmulas.

Estas considerações fizeram-nos escolher a análise de livros didáticos

de Física aprovados pelo PNLD, e utilizados no ensino médio, como opção

para a pesquisa da dissertação . E, em particular, o conceito a ser analisado é o

de vetor e consequentemente o de grandezas físicas vetoriais. A escolha

destes conceitos se deve fundamentalmente à dificuldade observada nos

estudantes de ensino superior, quando se trata de questões relacionadas a uma

perspectiva espacial para os fenômenos físicos.

Através da experiência pessoal e conversa com outros professores, pude

observar que em relação ao estudo de conceitos físicos ligados à s grandezas

vetoriais abstratas, como campo elétrico, força elétrica, campo magnético e

força magnética, entre outras, há grandes dificuldades de visualização e

representação de grandezas vetoriais. Este é um dos problemas que se

enfrenta com respeito tanto no ensino como na aprendizagem de conceitos

físicos relacionados à representação vetorial. Nosso ensino médio não aborda

com profundidade este t ipo de representação matemática e a abordagem que

se costuma fazer é, em geral, maçante e desvinculada da real idade dos

estudantes. Isso acaba por influenciar o desenvolvimento dos cursos em nível

superior, principalmente na área de exatas, onde este conhecimento faz-se

extremamente necessário.

Penso que esta problemática pode ser minimizada por um tratamento

teórico-experimental e contextualizado no estudo da representação vetorial ,

utilizando conceitos físicos do quotidiano do aluno como suporte, para que os

alunos possam ter mais facilidade na aprendizagem dos conceitos.

Assim, este trabalho tem por objetivo avaliar como são tratados os

conceitos de vetor e de grandeza física vetorial n os livros didáticos de Física

aprovados pelo PNLD para 2012.

Como toda investigação de caráter qualitativo, a fase de análise de

dados e informações corresponde a um dos principais momentos do trabalho.

E, como o domínio da linguagem tem inegável importância na inserção dos

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conceitos científicos para desenvolver habilidades que possibilitem uma

aprendizagem eficaz no ensino , optamos pela análise dos livros didáticos à

luz de teorias voltadas para o gênero textual.

E, para abordar esta questão, a opção de ferramenta metodológica

adotada para compreensão dos textos foi da análise textual discursiva

(MORAES, 2003; MORAES e GALIAZZI, 2007). Trata -se de uma abordagem

de análise que transita entre a análise de conteúdo e a análise do discurso.

Conforme estes autores,

A anál i se textua l discursiva é descr i ta como um processo que se

inic ia com uma unitar ização em que os textos são separados em

unidades de s igni f icado. Estas unidades por s i mesmas podem gerar

out ros conjuntos de unidades or iundas da inter locução empír ica, da

inter locução teór ica e das interpre tações fei tas pelo pesquisador .

Neste movimento de interpre tação do signi ficado atr ibuído pelo

autor exerci ta -se a apropriação das pa l avras de out ras vozes para

compreender melhor o texto. (MORAES e GALIAZZI , 2007 , p . 118)

As unidades de análise adotadas correspondem aos propósitos da

investigação conforme objetivo descrito anteriormente, ou seja, o conceito de

vetor e de grandezas fís icas vetoriais presente nos livros didáticos de Física

aprovados pelo PNLD para o ensino médio em 2010. À partir da análise,

surgem as categorias em consonância com o objetivo da investigação.

Com esta problematização busca -se contribuir para a melhoria do

ensino da Física, através da identificação de uma possível falta de “harmonia”

entre o conceito matemático de vetor e o conceito físico de grandeza vetorial,

nos livros didáticos. Para isso, d ividimos a dissertação em cinco capítulos.

No capítulo 1 é apresentada a matemática enquanto linguagem estruturante

dos conceitos físicos, a perspectiva histórica de construção dos conceitos

matemático de vetor e físico de grandeza vetorial, bem como a importância

desta conexão para a compreensão de espacialidade.

No capitulo 2 realiza-se uma pequena análise da situação do livro

didático no contexto educacional, e em particular, dos livros de Física para o

ensino médio aprovados pelo PNLD. O capítulo 3 caracteriza a opção

metodológica da análise textual e sua valida de para alcançar os objetivos da

investigação, e no capítulo 4 tendo como base este referencial metodológico

realizamos a investigação propriamente , na unitarização. Assim, a partir das

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unidades de análise desenvolvidas no capítulo anterior, determinam-se as

categorias a serem analisadas no capítulo 5, ao mesmo tempo em que se

constrói o metatexto. Por último, apresentamos as considerações finais e a

bibliografia consultada.

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1. GRANDEZAS VETORIAIS NA FÍSICA

A reformulação do ensino médio no Brasil , estabelecida pela Lei de

Diretrizes e Bases da Educação Nacional (LDBEN) de 1996, regulamentada

em 1998 pelas Diretrizes do Conselho Nacional de Educação e pelos

Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN), tem acenado para uma nova v isão

de educação. Uma educação que deve promover democratização social e

cultural, qualificando os trabalhadores para vencer os obstáculos impostos

pela globalização. No PCN+ (Orientações Complementares aos Parâmetros

Curriculares Nacionais para o Ensino Médio) pode-se ler que:

O novo ensino médio , nos termos da le i , de sua regulamentação e

encaminhamento, deixa de ser , portanto, s implesmente p reparatór io

para o ensino super io r ou es tr i tamente prof iss ional izante, para

assumir necessar iamente a responsabi l i dade de completar a

educação bás ica. Em qualquer de suas modal idades , i sso signi fica

preparar para a vida, quali f icar para a c idadania e capaci tar para o

aprendizado permanente , em eventua l prosseguimento dos estudos

ou d ire tamente no mundo do trabalho ( BRASIL, 2002, p . 3 ) .

Neste sentido, deve-se observar que os objetivos propostos pela LDBEN

não serão atingidos simplesmente transmitindo conhecimentos padronizados

em aulas exposit ivas, nas quais os alunos são receptores e os professores são

transmissores de conhecimentos prontos e indiscutíveis. Assim, para que o

aluno desenvolva competências, visando participar ativamente no mundo

contemporâneo, devem-se ter professores capazes de trabalhar o aluno no

sentido amplo de educação. Para isso, os professores das várias disciplinas

devem trabalhar em cooperação mútua, procurando o desenvolvimento do

aluno não somente em uma área específica de conhecimento, mas de uma

forma geral .

Neste capítulo dá-se enfoque à relação da Matemática e Física no

ensino de determinados conteúdos, mesmo reconhecendo que estas disciplinas

representam apenas parte de uma área. Pois ,

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Nas dire tr izes e parâmetros que organizam o ensino médio, a

Biologia, a Fís ica, a Química e a Matemát ica integram uma mesma

área do conhecimento . São ci ênc ias que têm em comum a

invest igação da na tureza e dos desenvolvimentos tecnológicos,

compart i lham linguagens para a representação e si stematização do

conhecimento de fenômenos ou processos naturais e tecn ológicos.

As disc ipl inas desta á rea compõem a cul tura c ientí f ica e

tecnológica que, como toda cul tura humana, é resultado e

ins trumento da evo lução social e econômica, na a tua lidade e ao

longo da his tór ia ( BRASIL, 2002, p . 22) .

1.1 A Matemática como linguagem estruturante dos conceitos Físicos

Especificamente em relação à Física, as orientações indicadas nos PCN+

são de construir uma visão de Física que não esteja centrada na simples

memorização de fórmulas ou repetição automatizada de procedimentos, mas

que esteja voltada para a formação de um cidadã o contemporâneo, atuante e

solidário. Na linha de pensamento exposta por Cachapuz para o ensino de

Ciências, há uma necessidade premente de renovar o Ensino de Física e para

isso:

A Fís ica deve apresentar -se, portanto, co mo um conjunto de

competências espec í ficas que permi tam perceber e l idar com os

fenô menos naturais e tecnológicos presentes tanto no co tid iano

mais imediato quanto na compreensão do universo dis tante, a par t ir

de pr incíp ios , le i s e modelos por ela construídos. I sso impl ica ,

também, na introdução à l inguagem própr ia da Fís ica [ . . . ] (BRASIL,

2002, p . 75 -76) .

Novamente devemos alertar que os professores, para trabalharem com

este Ensino de Física, devem estar preparados, especializando -se

constantemente, pois as mudanças propostas tanto nos conteúdos quanto na

maneira de ensinar têm deixado os professores cheios de dúvidas. Dúvidas

estas em que não se encontram respostas objetivas, mesmo porque talvez elas

não existam.

Quando se pensa na aprendizagem de um conteúdo específico existem

algumas perguntas que se deve focar em como respondê -las, como exemplo o

caso de alunos que estão estudando as quatro operações básicas (adição,

subtração, multiplicação e divisão), diante de uma lista contendo vários

exercícios envolvendo somente estas operações – são dados os números e os

alunos devem realizar as operações indicadas – e eles acertam parte das

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contas e erram outra parte contendo contas semelhantes às que eles acertaram.

Não seria o caso de se esperar que os alunos não errassem as que fossem

semelhantes àquelas que tinham acertado?

Outro exemplo que se pode recorrer é o de um aluno que está estudando

preservação do meio ambiente e participa na escola de uma discussão sobre a

preservação de um determinado ambiente – bosque, praça, escola ou outro

ambiente qualquer – e toma consciência de que deve -se ter atitudes que

promovam esta preservação, mas, ao mesmo tempo, não se preocupa em

preservar outros ambientes que não seja aquele estudado na escola (de forma

análoga a descrita em CARVALHO,2004). Aqui não poderia se esperar que o

aluno sempre tivesse uma atitude de preservação em relação a qualquer

ambiente?

Nos exemplos citados pode-se acreditar que não houve a criação de uma

representação mental adequada ou mesmo uma aprendizagem significativa em

relação aos estudos, pois se houvesse o aluno não erraria as contas que

aprendeu a fazer. Poderia errar uma ou outra por descuido , e o outro aluno

sempre que se deparasse com uma situação na qual um comportamento

inadequado pudesse causar algum efeito negati vo ao meio ambiente buscaria

internamente – consciente ou não – uma forma alternativa de não prejudicar a

natureza.

Nesta linha teórica da representação mental podemos citar a Teoria dos

Modelos Mentais sugeridos por Philip Johnson-Laird: “[.. .] modelo mental é

uma representação interna de informações que corresponde, analogamente,

ao estado de coisas que estiver sendo representado, seja qual for ele.

Modelos mentais são análogos estruturais do mundo ” (MOREIRA, 1996 , p.

197, grifo do autor), sendo que,

[ . . . ] o aspecto essencia l do raciocínio através de modelos não es tá

só na construção de modelos adequados para cap tar dist intos

es tados de coisas, mas também na hab il idade em testar quaisquer

conclusões a que se chegue usando ta is modelos . A lógica , se é qu e

aparece em a lgum lugar não es tá na construção de modelos e sim na

testagem das conclusões, pois es ta implica que o sujei to sa iba

aprec iar a importânc ia lógica de fa lsear uma conclusão , e não

apenas buscar evidência posit iva que a apóie (HAMPSON e

MORRIS, 1996, p .243 apud MOREIRA, 1996 , p . 197) .

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No entanto, não se podem confundir os modelos mentais com os

modelos conceituais, uma vez que estes são representações de um sistema

físico, podendo ser usado como ferramenta por professores para facilitar o

entendimento do aluno.

Os modelos concei tua is são del ineados, projetados, por pessoas que

usam modelos mentais, para fac i l i tar a compreensão de s i stemas

f ís icos por par te de outras pessoas que também ut i l izam modelos

menta is. No ensino o professor ens ina mode los concei tua is e espera

que o aprendiz construa modelos menta is consis tentes com esses

modelos conceitua is que, por sua vez , devem ser consis tentes com

os s i stemas f í sicos modelados. Os modelos conceituais são,

portanto , inst rumentais, meios não f ins (MOR EIRA, 1996 , p . 201 )

Em todos os casos, são de fundamental importância os conhecimentos

prévios que o aluno possui para que sejam construídos estruturas mentais que

permitam (re)descobrir novos conhecimentos ou consolidar antigos. Para

Ausubel, segundo Sacristán e Gómes (1998), a aprendizagem significativa,

por recepção ou por descoberta, opõe-se à aprendizagem mecânica, repetitiva

e memorialíst ica. A aprendizagem significativa compreende a aquisição de

novos significados, sendo que, a chave dessa aprendizagem está na vinculação

de novas ideias e conceitos com a bagagem cognitiva do indivíduo . Portanto,

o material aprendido de forma significativa torna -se mais resistente ao

esquecimento, pois não se encontra isolado, mas assimilado a uma

organização hierárquica dos conhecimentos.

Este trabalho não tem como objetivo estudar ou investigar diretamente os

modelos mentais, assim como, também, não se propõe estudar diretamente a

aprendizagem significativa. No entanto, não se pode deixar de considerar

estas questões, motivo pelo qual as destacamos.

Voltando ao caso específico do estudo da representação das grandezas

vetoriais, o que pode ser a nossa hipótese de trabalho é considerar que uma

das razões para a dificuldade encontrada pelos alunos no estudo d os vetores

pode estar ligada ao tratamento sem integração entre Física e Matemática.

Tomando como exemplo a decomposição vetorial, percebemos que professores

de Física assumem que o estudo da trigonometria no triângulo retângulo é de

responsabilidade da Matemática, assumindo que os alunos têm obrigação de

dominar. Os professores devem entender que a relação entre Matemática e

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Física é bastante complexa e que é difícil estabelecer qual a função da

Matemática em relação aos conhecimentos físicos.

Devemos observar que conceitos considerados por nós como

tipicamente matemáticos e que devem servir como ferramenta para a Física,

podem não estar relacionados para o aluno, ao conceito físico que se está

estudando num determinado momento, devido ao fato de que foram estudados

em outro momento e em um contexto diferente do que se trata neste momento.

Esta dificuldade que temos em estabelecer o que é responsabilidade da

Matemática ou da Física pode levar o professor de Física a responsabilizar a

deficiência em Matemática apresentada pelos alunos como a grande

responsável pelo não entendimento dos conceitos Físicos. Fato que pode ser

percebido em:

No ensino de Física, a l inguagem matemática é mui tas vezes

considerada como a grande responsável pe lo fracasso escolar . É

comum professores alegarem que seus a lunos não entendem Fís ica

devido à fragil idade de seus conhecimentos matemát icos. Para

mui tos, uma boa base matemát ica nos anos que antecedem o ensino

de Física é garantia de sucesso no aprendizado (PIETROCOLA,

2002, p . 90) .

Portanto, é fundamental termos em conta o papel de cada uma das áreas

durante as nossas aulas, não somente o professor de Física, mas também o de

Matemática. É inegável a necessidade de um bom conhecimento matemático

para o estudo de Física, o que não podemos é responsabilizar somente

deficiências matemáticas dos alunos pelo nosso fracasso no ensino de Física.

Para os alunos, estudar um conteúdo que não sabe onde e quando usar

pode ser desestimulante . Nesse sentido, Pietrocola (2002) considera que :

É prec iso encontrar formas de mostrar qual o papel desempenhado

pela Matemát ica na aprendizagem da Física, pois o desinteresse é a

resposta freqüentemente oferecida pelos alunos a um ensino de a lgo

que e les não vis lumbram a per t inência . (PIETROCOLA, 2002, p .

91) .

Adequar a relação entre áreas diferentes é uma questão bastante

complicada e pode ser influenciada por vários fatores, entre eles podemos

citar que:

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Na organização curr icular do Ensino Médio, há uma es trutura de

pré -requis i tos que faz com que os conteúdos presentes numa

discip lina ar t iculem-se com aqueles presentes em outras . Na Física,

a re lação com a Matemática é sintomática, e se coloca como um

quebra cabeça de d i f íci l so lução . Os professores de Física

gostar iam que seus a lunos chegassem à sa la de aula com os pré -

requisi tos matemát icos comple tos. Em contrapart ida , os professores

de Matemát ica não ace itam, co m razão, que sua disc ipl ina seja

pensada apenas como um ins trumento para outras d iscip linas,

impondo uma programação que nem sempre se ar t ic ula com aquela

da Fís ica (PIETROCOLA, 2002, p . 91) .

Esta questão que foi colocada para o ensino médio pode ser encontrada

frequentemente em disciplinas iniciais na Licenciatura ou Bacharelado em

Física, onde constantemente os alunos estudam conceitos e m étodos

matemáticos desarticulados com o que estão estudando em Física. Pietrocola

(2002) e Poincaré (1995) consideram que a Matemática não pode ser vista

apenas como uma linguagem da Física , fato que é reforçado quando se trata a

Física não como uma ciência da natureza, mas como uma disciplina que é

praticamente restringida às resoluções de exercícios numéricos en volvendo

formalismos matemáticos.

Mesmo quando nos parece natural ver as leis físicas expressas em

linguagem matemática, devemos fazer uma incur são pela história verificando

que existem outras formas de expressar as leis do mundo. “Na Antigüidade,

na Idade Média e no Renascimento, também se pensava sistematicamente

sobre os fenômenos físicos levando à proposição de leis, sem que, no entanto,

isto fosse feito em linguagem matemática” (PIETROCOLA, 2002, p. 92 -93),

sendo que “Foi com o advento da ciência moderna, no século XVII, com

Galileu entre outros, que os fenômenos naturais começaram a ser

sistematicamente expressos através de relações mate máticas” (PIETROCOLA,

2002, p. 93).

Devemos ressaltar a capacidade da linguagem matemática em estruturar

e sintetizar os conhecimentos físicos, por exemplo, na definição da força de

atração entre duas massas ou da força de interação elétrica entre duas cargas

puntiformes não há dúvida que a formulação matemática facilita a

interpretação e aplicação destes conceitos. No caso da álgebra vetorial,

podemos citar que uma flecha colocada acima de uma letra indica que esta

letra representa uma grandeza que possui dir eção e sentido – grandeza

vetorial – , portanto necessita de um tratamento com regras operacionais

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específicas. Mesmo reconhecendo a importância desta capacidade – seria

muito difícil expressar determinadas regras ou leis através da l inguagem

escrita comum – não devemos atribuir à Matemática o simples papel de

somente descrever de forma diferente os conhecimentos físicos.

Poincaré (1995) destaca a importância da linguagem matemática para

enunciar leis da Física e afirma que “a linguagem corrente é demasiado pobre,

e aliás muito vaga para exprimir relações tão delicadas, tão ricas e tão

precisas” (POINCARÉ, 1995, p. 91). Pietrocola (2002) considera que :

A Matemática se const i tui numa l inguagem dentre vár ias outras

l inguagens a nossa disposição para es trutura r nosso pensamento .

Ela p rovou, ao longo dos séculos, sua excepcional capacidade de

dar suporte ao nosso pensamento sobre o mundo (PIETROCOLA,

2002, p . 105) .

Einstein e Infeld (2008) também fazem referência à eficiência da

linguagem matemática na descrição dos conceitos físicos :

[ . . . ] Suponhamos que, em um tempo dado, a posição e a velocidade

de um p laneta possam ser determinadas e que a força seja

conhecida. Então de acordo com a le i de Newton, sabemos qual a

al teração da velocidade durante um interva lo curto de tempo.

Conhecendo a veloc idade inic ial e sua al teração, podemos encontrar

a velocidade e a posição do plane ta no f im do intervalo de tempo.

Pela repet ição continuada desse processo , pode ser traçada toda a

trajetór ia do movimento sem mais recurso a dados ob tidos pe la

observação. Esta é , em princ ípio , a maneira pela qual a mecânica

prediz o curso de um corpo em movimento, mas o método aqui

usado di f ic i lmente ser ia funcional . Na prá t ica, ta l proced imento

passo a passo ser ia extremamente tedioso, bem como imprec iso.

Fel izmente, e le é mui to desnecessár io ; a matemát ica fornece um

ata lho e poss ibi l i ta a descr ição prec isa do movimento com mui to

menos t inta do que usamos para escrever uma sentença. As

conclusões ass im obt idas podem ser provadas ou desaprov adas pe la

observação. (EINSTEIN; INFELD, 2008, p . 35) .

Pietrocola (2002) coloca a importância de uma mudança de postura em

relação às questões didático -pedagógicas e epistemológicas dos educadores

científicos em geral com respeito à forma de apresentar a Matemática nos

cursos de Física. Para o autor:

Se a Matemát ica é a l inguagem que permi te ao cienti sta es truturar

seu pensamento para aprender o mundo, o ensino da c iênc ia deve

propiciar meios para que os es tudantes adquiram esta habi l idade.

Não parece que um mero domínio operacional dos conteúdos

matemát icos seja capaz de permi t ir incorporações de tal habi l idade.

Nessa d ireção de mui to pouco ou de quase nada, interessa a

vivência do aluno no contexto próprio da Matemát ica, sem um

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esforço especí f ico de introduzi - lo na “ar te” da estruturação do

pensamento a través da matemát ica . Essa habi l idade não é “inata”

nos indivíduos, mesmo para aqueles que já operam a Matemática

como ferramenta. Vale lançar mão mais uma vez da his tór ia da

ciênc ia para chamar a a tenção para o fa to de que mui tos sáb ios da

Ant igüidade e da Idade Média, apesar de bons matemát icos, não

ut i l izaram-na sistematicamente na interpretação dos fenômenos.

Eles aprenderam-nos valendo -se de outras fo rmas de l inguagem (PIETROCOLA, 2002 , p . 10 5-106) .

Pietrocola descreve que, em sua experiência como professor de Física

do Ensino Médio e universitário, tem percebido

que não basta ao a luno conhecer a Matemática no seu campo

próprio de val idade para obter um bom desempenho em Fís ica. I sto

é , não é suf ic iente conhecê - la enquanto “ferramenta” para poder

ut i l izá -la como estruturante das ideias fí s icas sobre o mundo

(PIETROCOLA, 2002 , p . 106) .

O mesmo autor, afirma que:

um dos atr ibutos essenciais ao educador co m re lação a es ta questão

é perceber que não se t rata apenas de saber Matemát ica para poder

operar as teorias Físicas que represen tam a rea lidade, mas de

saber aprender teor icamente o rea l através de uma es truturação

Matemática (PIETROCOLA, 2002, p . 106, gr i fo do autor) .

Portanto, no contexto do ensino de Física, aos modelos matemáticos é

necessário incorporar de forma explicita o domínio empírico, isto é, envolver

atividades experimentais e extrapolar a linguagem matemática para

compreensão dos conteúdos conceituais da física .

1.2 História e Filosofia da Ciência no ensino de Física

Devemos enfatizar a importância de estudos históricos da profunda

relação entre Física e Matemática, já que esta influência mútua tem

desempenhado um importante papel no desenvolvimento de ambas. No es tudo

de casos históricos podemos perceber que problemas físicos podem ter sido

motivadores no desenvolvimento de conceitos e métodos matemáticos, assim

como conceitos matemáticos abstratos podem ser interpretados fisicamente.

Para reforçar esta relação mútua temos que:

Ser ia preciso ter esquecido comple tamente a his tór ia da ciência

para não se lembrar que o desejo de conhecer a natureza teve a mais

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constante e fel iz inf luência sobre o desenvolvimento da

Matemática.

Em pr imeiro lugar , o f ís ico nos propõe pr ob lemas cuja so lução

espera de nós . Mas ao nos propor esses problemas, já pagou com

mui ta antecedência o favor que lhe poderemos pres tar , se

conseguirmos reso lvê - lo . [ . . . ] Como prova a histór ia , a f í sica não se

l imi tou a nos forçar a escolher entre os prob lemas que se

apresentavam em quantidade; impôs outros, nos quais jamais

ter íamos pensado sem e la (POINCARÉ, 1995 , p . 94 -95) .

Poincaré (1995) cita como exemplos desta influência mútua a série de

Fourier, que é tão importante para o estudo de funções e qu e foi inventada

para resolver um problema de física relativo à propagação de calor, e a teoria

das equações de derivadas parciais de segunda ordem que também foi

desenvolvida inicialmente, sobretudo, pela física e para física. O próprio

cálculo vetorial , que se desenvolveu a partir da teoria dos números

complexos, pode ser considerado como um caso desta relação tão próxima

entre a Matemática e a Física.

Se historicamente estas duas disciplinas caminharam e se

desenvolveram juntas, não se deve admitir que s ejam estudadas,

principalmente no ensino médio, sem uma integração adequada , como ocorre

atualmente. Este ensino sem integração , no qual não se percebe a importância

da relação entre as diferentes disciplinas, pode levar os alunos a uma visão

deformada em relação à contribuição dos conceitos matemáticos u sados na

Física, podendo até visualizar a Matemática como uma simples fornecedora de

fórmulas utilizadas em outras disciplinas.

Para que o aluno tenha uma visão clara das relações entre as várias

disciplinas é necessário que se tenha um conhecimento histórico e fi losófico

da ciência. Portanto, mesmo entendendo a dificuldade de relacionar

determinados conceitos à História e F ilosofia, devemos observar os benefícios

que estas relações poderiam trazer para a f ormação dos alunos. Mesmo

reconhecendo que grande parte dos professores do Ensino Médio concorda

com a necessidade de um enfoque histórico e filosófico de sua disciplina, o

que podemos perceber na prática é que este enfoque fica esquecido ou se

utiliza apenas alguns fatos isolados servindo apenas como motivação na

introdução de determinados conteúdos. Esta conduta dos professores pode ser

devida à vários fatores, entre eles podemos citar a falta de material didático

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de boa qualidade e a sua formação inicial desprovida de um aprofundamento

histórico e filosófico da ciência.

Martins (2007), mesmo considerando a importância de uma boa

formação inicial de professores, afirma que somente esta não é suficiente para

garantir o uso adequado da História e Filosofia da Ciência no ensino médio

[ . . . ] a HFC surge como uma necessidade format iva do professor , na

medida em que pode cont r ibuir para : evitar visões d is torc idas sobre

o fazer cient í fico; permi t ir uma compreensão mais re finada dos

diversos aspec tos envolvendo o processo de ensino -aprendizagem

da ciênc ia ; proporcionar uma intervenção mais qual i ficada em sa la

de aula.

Vários cursos de l icencia turas das áreas c ientí f icas, nos úl t imos

anos, têm contemplados essa questão, seja por intermédio de uma

discip lina espec í f ica que tra te do conteúdo his tór ico e fi losófico,

seja de um modo mais “d isperso”, em que esses e lementos

encontram-se presentes nos ró is de conteúdos de outras disc ipl inas,

em seminários e tc . Dessa forma, espera -se dar conta, minimamente,

dessa necess idade formativa dos professores, com ref lexo em suas

prát icas.

No entanto , a s imples consideração de e lementos his tór icos e

f i losóficos na formação inicia l de professores das áreas cient í ficas

– a inda que fei ta com qualidade – não garante a inserção desses

conhecimentos nas sa las de aula do ensino básico, tampouco uma

ref lexão mais profunda, por par te dos professores, do papel da HFC

para o campo da d idá tica das ciências . As pr inc ipa is di f iculdades

surgem quando pensamos na uti l i zação da HFC para f ins d idát ico s,

ou seja , quando passamos dos cursos de formação inic ia l para o

contexto ap licado do ensino e aprendizagem das ciências

(MARTINS, 2007, p . 115, gr i fo do autor) .

Ainda para ele: “O conhecimento pedagógico do conteúdo, a ser melhor

considerado nos cursos de formação inicial, parece ser decisivo na superação

da visões ingênuas sobre o tratamento com a História e Filosofia da Ciência”

(MARTINS, 2007, p. 112).

Um dos grandes defensores do uso da História, Filosofia e Sociologia

da Ciência no ensino, Matthews (1995), considera que relacionar o ensino de

ciências com a História, a Filosofia e a Sociologia da Ciência pode ajudar a

superar a crise no ensino de ciências, crise esta que é evidenciada pelo

afastamento de professores e alunos das salas de aula de Ciência.

A histór ia , a f i losofia e a soc iologia da ciênc ia não têm todas as

respostas para essa cr i se, porém possuem a lgumas delas : podem

humanizar as ciências e aproximá -las dos interesses pessoais ,

é t icos , cul tura is e polí t icos da comunidade; podem tor nar as aulas

de c iênc ias mais desaf iadoras e re flexivas , permitindo , des te modo,

o desenvolvimento do pensamento cr í t ico; podem contr ibuir para

um entendimento mais integra l de matér ia c ient í fica, i s to é , podem

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contr ibuir para a superação do “mar de fal ta de signi ficação” que se

diz ter inundado as sa las de aula de c iênc ias, onde fórmulas e

equações são rec i tadas sem que mui tos cheguem a saber o que

signi fica; podem melhorar a formação do professor auxil iando o

desenvolvimento de uma epis temologia da ciênci a mais r ica e mais

autêntica, ou seja , de uma co mpreensão da es trutura das c iênc ias

bem co mo do espaço que ocupam no sistema intelectual das coisas

(MATTHEWS, 1995, p . 165) .

Este autor considera que História, Filosofia e S ociologia da Ciência,

enquanto dimensões que constituem o conhecimento científico devem ser

usadas para manter o desenvolvimento dos alunos, portanto, não devem

substi tuir os conteúdos específicos. Matthews (1995) ainda afirma que Mach e

seus seguidores consideravam que para compreender um conteúdo teórico é

necessário que se compreenda o seu desenvolvimento histórico. Fato que pode

ser observado em:

A investigação histór ica do desenvolvimento da c iência é

extremamente necessár io a f im de que os pr inc ípios que guarda

como tesouros não se tornem um sis tema de prece itos apenas

parcialmente compreendidos ou, o que é pior , um sistema de pré -

concei tos. A invest igação his tór ica não somente pro move a

compreensão daquilo que existe agora, mas também nos apresenta

novas poss ibi l idades. (MACH, 1883/1960, p . 316 apud

MATTHEWS, 1995, p . 169) .

Uma das grandes dificuldades encontradas nas aulas de C iência é

adequar/substituir os conhecimentos que os alunos já possuem – senso comum

– pelos conhecimentos aceitos cientificamente, e esta dificuldade po de

agravar se os alunos não percebem significado em estudar os modelos ideais,

já que são tão diferentes dos reais. Para os alunos , pode ser muito difíci l

aceitar que o vetor deslocamento não está vinculado diretamente à trajetória

seguida por um corpo, ou seja, para determinar o vetor deslocament o devemos

ter em conta apenas sua posição inicial e final . E, consequentemente, que um

carro de Fórmula 1, após percorrer várias voltas durante uma corrida e parar

no final em um ponto próximo da sua posição inicial teria uma velocidade

média muito pequena, ou seja, os alunos podem ter muita dificuldade em

distinguir o conceito de distância percorrida de deslocamento ou/e velocidade

de rapidez.

Para Matthews (1995), a história e a f ilosofia da ciência podem levar os

alunos a perceberem a necessidade de trabalhar com os modelos idealizados,

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de forma que, mesmo com as suas limitações, estes modelos nos ajudam na

compreensão dos fenômenos reais : “A história e a fi losofia podem dar as

idealizações em ciência uma dimensão mais humana e compreensível e podem

explicá-las como artefatos dignos de serem apreciados por si mesmos”

(MATHEWS, 1995, p. 184).

No senso comum, se os velocímetros de dois carros estão marcando o

mesmo valor para a velocidade estes carros têm velocidades iguais

independente da trajetória de cada um. Na linguagem da Física esta condição

não é suficiente, pois eles têm velocidades iguais somente quando estiverem

na mesma direção e no mesmo sentido. Sendo assim,

[ . . . ] a c iênc ia tem de cr iar a sua própr ia l i nguagem, seus próprios

concei tos, para o seu próprio uso. Os concei tos cient í ficos

frequentemente começam com a l inguagem usual para os assuntos

da vida co tid iana , mas se desenvolvem de maneira bem d i ferente.

São transformados e perdem a ambigüidade a e les assoc iada na

l inguagem usual , ganhando em r igor para que possam ser ap licados

ao pensamento c ientí f ico. (EINSTEIN; INFELD, 2008, p . 21)

Como já foi citado anteriormente, o fato de prof essores terem

conhecimentos da História e Filosofia da C iência não é garantia de que estes

professores usem estes conhecimentos diretamente em suas aulas, no entanto

concordamos com Matthews (1995) em relação à necessidade de História,

Filosofia e Sociologia da Ciência fazerem parte da formação de professores,

pois estes conhecimentos podem gerar um ensino de melhor qualidade por

parte dos professores – mesmo não sendo usado explicitamente em Pedagogia

da Ciência – sendo que estes professores deverão estar melhor preparados

para discutir com os alunos erros e distorções q ue aparecem nos livros

didáticos devido a recriação deformada de fatos históricos.

Podemos, então, perceber que não há um método seguro para se obter

sucesso no ensino de Ciências, mas um conjunto de atitudes pode ajudar os

alunos a compreenderem os conce itos científicos.

O fato de termos colocado em nosso trabalho este tópico, no qual se

discute a importância da História e Filosofia da Ciência no ensino de Física ,

está relacionado à sua importância, mas não é foco de nossa pesquisa.

Portanto, este enfoque não será considerado na análise dos livros.

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1.3 Revisão histórica do Cálculo Vetorial

Um dos objetivos desta introdução à história do desenvolvimento d o

cálculo vetorial é de trazer à tona uma questão fundamental: uma discussão

levantando as dificuldades e os esforços de várias pessoas, durante um longo

tempo, no desenvolvimento deste cálculo, podendo nos ajudar a entender o

fato dos alunos terem tanta dificuldade em relação às operações que envolvem

o tratamento vetorial .

A consciência de que o conhecimento se constrói , gradualmente com

incertezas e erros, pode nos levar a avaliar que aquilo que nos parece trivial e

até impossível de não ser entendido, pode ser muito difícil para uma pessoa

que entra em contato inicial com um determinado conceito ou t écnica que não

domina. É difícil avaliar as dificuldades que outros teriam para compreender

algo que já sabemos. O fato de se usar certas propriedades e regras como se

elas surgissem de repente, sem esforço e dúvidas das pessoas durante o tempo

de seu desenvolvimento, pode levar o aluno que tem certa dificuldade , a

achar-se incompetente, pois, se o professor está falando com tanta segurança

sobre algo que parece óbvio, como ele pode não entender?

As pessoas devem perceber que a visualização da representaçã o de

vetores pode facilitar bastante o entendimento das operações vetoriais, o uso

de figuras relacionadas aos números para ajudar o entendimento e aplicação

de determinados conhecimentos é usado há muito tempo. Boyer (1996) cita

que René Descartes (1596 – 1650) utilizava geometria e álgebra para resolver

problemas e que para ele os parâmetros e incógnitas eram pensados como

segmentos e não como números. Segundo Boyer (1996), Descartes em sua

obra La géométrie relacionava geometria e álgebra usando o que ca da uma

tinha de melhor.

O objet ivo do seu método, portanto, e ra duplo: 1) por processos

algébr icos l iber tar a geometr ia de d iagramas e 2) dar signi ficados

às operações da á lgebra por meio de interpre tações geométr icas.

Descar tes es tava convencido de que t odas as c iênc ias matemát icas

par tem dos mesmos pr inc ípios básicos, e dec id iu usar o melhor de

cada ramo. Seu método em La géométr ie consis te então em par t ir de

um problema geo métr ico, t raduzi -lo em l inguagem de equação

algébr ica , e depois , tendo s impl i fica do ao máximo a equação,

reso lvê - lo geometr icamente (BOYER, 1996, p . 233) .

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Podemos imaginar a dificuldade de explicar o que é um quadrado ou

mesmo um círculo a uma pessoa que não conheça estas figuras, usando

somente suas propriedades, sem o uso de desen ho. Quando temos em mente o

desenho de um objeto fica bem mais fácil entender suas propriedades.

Portanto, é fundamental que os alunos tenham em mente um modelo da

representação vetorial para que possam entender com mais facilidade as

operações que envolvem os vetores.

Devemos observar que, pelo fato de usarmos constantemente o plano

cartesiano, podemos ser levados a atribuir a criação deste sistema de

coordenadas retangulares, da maneira que é utilizado atualmente, a Descartes.

Boyer (1996, p. 237) afirma que os pensamentos de Descartes estavam longe

das considerações práticas que atualmente estão associadas com o uso de

coordenadas.

Ele não es tabe lec ia um sistema de coordenadas a fim de local izar

pontos como um medidor de terras ou um geógrafo poderia m fazer ,

nem pensava em suas coordenadas co mo pares de números. Quanto

a i sso, a frase “produto car tes iano” , tão frequentemente usada hoje,

é um anacronismo (BOYER, 1996, p . 237) .

Eves (1995) parece concordar com Boyer quando faz o seguinte

comentário em relação à obra de Descartes:

La géométr ie não é , de maneira alguma, um desenvolvimento

si s temático do método anal í t ico, e o lei tor é obrigado a quase

construir o método por si mesmo, a par t ir de cer tas informações

iso ladas. Há tr inta e duas f iguras no l i vro , mas em nenhuma de las

se encontram co locadas exp lici tamente os e ixos coordenados. O

texto fo i escr i to intencionalmente de maneira obscura e como

resultado era d i fíci l de ler , o que l imi tava muito a d ivulgação de

seu conteúdo. Em 1649 ve io à luz uma tra dução lat ina da obra, com

notas explanatór ias de F . de Beaune, ed itada e comentada por Frans

van Schooten, o f i lho. Tanto essa como uma out ra edição revisada

de 1659 – 1661 t iveram ampla circulação. Um século depois, ou um

pouco mais , o assunto adquir iu a forma hoje fami liar nos textos

universi tár ios. As palavras coordenadas, absc issa e ordenada , no

sentido técnico que têm hoje, foram contr ibuições de Leibniz em

1692 (EVES, 1995, p . 388, gr i fo do autor) .

No estudo de forças apresentada em sua obra Philosophiae Naturalis

Principia Mathematica – editada pela primeira vez em 1687 – , Isaac Newton

(1642-1727) utilizou a propriedade de direção e sentido para determinadas

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grandezas, como podemos verificar na citação em relação ao movimento

relativo.

[ . . . ] se aquela par te da terra onde está o navio se move

verdadeiramente para o Oriente com a veloc idade 10010 das par tes,

e o navio se dir ige, graças às ve las e ao vento, para o Ocidente com

veloc idade de 10 par tes , mas se o navegante andar no navio para o

or iente com uma parte da velocidade, mover -se-á verdadeira e

abso lutamente no espaço imóvel, para o Or iente, com 10001 par tes

da velocidade, e rela t ivamente na te rra , para o Ocidente , com nove

par tes da velocidade (NEWTON, 2005, p . 25, 26) .

Nesta citação podemos perceber que as velocidades são tratadas como

grandezas de mesma direção, tendo o mesmo sentido ou sentidos opostos,

sendo que quando possuem o mesmo sentido elas se somam e quando estão em

sentidos opostos são subtraídas. Este fato também pode ser perc ebido na

definição da Lei II

A mudança do movimento é proporcional à força motr iz impressa , e

se faz segundo a l inha reta pe la qual se imprime essa força.

Se toda força produz a lgum movimento, uma força dupla p roduzirá

um movimento duplo e uma tr ipla um t r iplo , quer essa força se

imprima conjuntamente e de uma vez só, quer se ja impressa gradual

e sucess ivamente. E esse movimento, por ser sempre or ientado para

a mesma di reção que a força gerat r iz , se o corpo se movia antes , ou

se acrescenta a seu movimento , caso concorde com ele, ou se

subtrai dele , caso lhe seja contrár io , ou, sendo oblíquo, ajunta -se-

lhe obliquamente, compondo -se com e le segundo a determinação de

ambos (NEWTON, 2005, p . 31, gr i fo do autor) .

Neste caso, podemos perceber a igualdade de dir eção entre duas

grandezas diferentes, soma ou subtração de grandezas, conforme seus sentidos

sejam iguais ou diferentes e, provavelmente, uma boa ideia de projeção de

uma grandeza em determinada direção. Na definição da Lei III está implícito

a associação de direção e sentido à força, “A uma ação sempre se opõe um

reação igual, ou seja, as ações de dois corpos um sobre o outro sempre são

iguais e se dirigem a partes contrárias ” (NEWTON, 2005, p. 31, grifo do

autor).

Em dois corolários de sua obra fica clar o que Newton usava a

decomposição de forças e a regra do paralelogramo, mesmo não sendo da

maneira que usamos atualmente.

Coro lár io I - Um corpo submetido a duas forças simul tâneas

descreverá a diagonal de um parale logramo no mesmo tempo em

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que ele descrev er ia os lados pe la ação daquelas forças

separadamente.

Se um corpo num dado tempo, pe la força M imprimida

separadamente no ponto A, fosse levado com um movimento

uni forme de A até B, e pela força N impr imida separadamente no

mesmo ponto, fosse leva do de A para C, co mple tando o

paralelogramo ABCD, e por ambas as forças agindo juntas, o corpo

será levado, no mesmo tempo, na d iagonal de A para D. Pois, uma

vez que a força N age na direção da l inha AC, paralela a BD, essa

força (pela segunda Lei) de mod o algum al terará a ve loc idade

gerada pela out ra força M, pe lo qual o corpo é levado em d ireção à

l inha BD. O corpo, por conseguinte, chegará à l inha BD no mesmo

tempo, seja a força M impr imida ou não e, por tanto ao f inal daquele

tempo e le será encontrado e m a lgum lugar na l inha BD. Pe lo mesmo

argumento , ao f ina l do mesmo tempo, e le será encontrado em a lgum

ponto na l inha CD. Portanto, ele será encontrado no ponto D, onde

ambas as l inhas se encontram. Porém, mover -se-á numa l inha reta

de A para D, pe la Lei I .

Coro lár io I I - Assim é expl icada a composição de qualquer força

direta AD, a part i r de quaisquer duas forças oblíquas AC e CD e,

ao contrár io , a decomposição de qualquer força dire ta AD em duas

forças ob líquas AC e CD cujas composições e decomposições são

far tamente con firmadas pela mecânica . (NEWTON, 2005, p . 33 -34,

gr i fo do autor) .

Figura 1- Deco mposição de forças conforme Corolár ios anter iores constantes da teor ia de

Newton

No corolário III percebemos novamente a soma de grandezas de mesmo

sentido e a subtração de grandezas com sentidos opostos

Coro lár io I I I - A quant idade de movimento que é obtida tomando -se

a soma dos movimentos dirig idos para os mesmos pontos, e a

di ferença daqueles que são dirig idos para pontos con trár ios, não

sofre mudança a parti r da ação de corpos entre si .

Po is a ação e sua reação oposta são iguais, pe la tercei ra Lei ,

e , conseqüentemente, pela segunda Lei , e las produzem nos

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movimentos mudanças igua is em d ireções opostas. Dessa maneira,

se os movimentos são d ir igidos para os mesmos pontos, seja o que

for que se acrescente ao movimento do corpo precedente será

subtraído do movimento daquele que segue, de forma que a soma

será igua l à de antes. Se os corpos se encontram com movimentos

contrár ios, haverá uma igual dedução a par t i r dos movimentos de

ambos e, portanto, a di ferença dos movimentos dir igidos a par tes

opostas permanecerá a mesma (NEWTON, 2005, p . 35, gr i fo do

autor) .

Na justificativa desde corolário Newton cita a decomposição de uma

grandeza em duas direções perpendiculares entre si.

Se os corpos não são esfér icos ou estão se movendo em di ferentes

l inhas re tas, e se chocam obliquamente um contra o outro e seus

movimentos após a re f lexão são requeridos, nesses casos devemos

pr imeiro determinar a posição do plan o que toca os corpos no ponto

de impacto, e , depois , o movimento de cada corpo (pelo corolár io

I I ) deve ser decomposto em dois : Um perpendicular àquele plano e

out ro parale lo a e le . Fei to i sso, como os corpos atuam uns sobre os

out ros na direção de uma l in ha perpendicular a esse plano, os

movimentos para lelos antes da col isão devem ser mant idos os

mesmos depois da re flexão ; e , para os movimentos perpendiculares,

devemos a tr ibuir mudanças iguais na d ireção das par tes contrár ias

de tal modo que a soma dos mov imentos concor rentes e a di ferença

dos movimentos contrár ios possam permanecer as m esmas que antes

(NEWTON, 2005 , p . 36) .

Comentando sobre as descobertas de Galileu, em relação ao movimento

de projéteis, Newton utiliza-se da composição de movimento.

E se um corpo for arremessado em qualquer d i reção, o movimento

or iginado de seu lançamento é co mposto com o movimento

or iginado de sua gravidade. Assim, se o corpo A, apenas por seu

movimento de arremesso, pudesse descrever num determinado

tempo a re ta AB, e apenas com seu movimento de queda pudesse

descrever no mesmo tempo a al t i tude AC; complete o para lelogramo

ABCD e o corpo, por aquele movimento composto, será encontrado

no f ina l do tempo no ponto D; e acurva AED que o corpo descreve

será uma parábola, par a a qual a re ta AB será uma tangente em A, e

cuja o rdenada BD será como o quadr ado da l inha AB (NEWTON,

2005, p . 3) .

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Figura 2- Deco mposição de movimento de projeté is conforme Newton

Podemos perceber que as contribuições de Newton para o estudo das

grandezas vetoriais foram significativas, pois, mesmo não trabalhando com o

formalismo do Cálculo Vetorial atual , suas ideias em relação a estas

grandezas, que necessitam de direção e sentido, já apontava para muito do que

se desenvolveu posteriormente. O método que Newton utilizava para

desenvolver suas teorias era muito complexo, bem diferente dos atuais, e,

portanto pode servir para percebermos a necessidade do desenvolvimento de

um método que possa ser mais facilmente entendido e que possa ser util izado

com maior eficiência. Nesse sentido, a própria dimensão histórica do

conhecimento científico pode ser observada n o formalismo.

De acordo com Eves (1995), é num trabalho de Lazare Nicolas

Marquerite Carnot (1753 – 1832) publicado em 1803 que se encontra pela

primeira vez o uso sistemático de grandezas orientadas na geometria.

É na Géométr ie de posi t ion de Carnot que se encontra pela pr imeira

vez o emprego sistemático de grandezas or ientadas na geo metr ia

sinté t ica. Por meio desse recurso, vár ios enunciados e relações

iso ladas podem ser fundidos num único enunciado ou numa só

relação, de maneira a permi tir uma única demonstração em vez de

uma abordagem caso por caso (EVES, 1995, p . 491) .

Em sua Géométr ie de posi t ion, de 1803, Carno t inic iou o uso

si s temático de grandezas or ientadas. No caso de uma reta , por

exemplo, escolhe -se um sentido como posi t ivo e o outro como

negat ivo. Então um segmento AB desta re ta será considerado

posi t ivo ou negativo conforme seu sentido de A para B coincida ou

não com o sentido pos it ivo da re ta (EVES, 1995, p . 509) .

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A síntese de vários enunciados e relações isoladas, contidas no trabalho

de Carnot, pode ser observada atualmente no tratamento com grandezas

vetoriais.

A representação gráfica dos números complexos também ajudou n o

desenvolvimento do estudo vetorial , Carl Friedrich Gauss (1777 – 1855) foi

um dos responsáveis por esta representação, como afirma Eves (1995),

“Gaspar Wessel (1745 – 1818), Jean Robert Argand (1768 – 1822) e Gauss

foram os primeiros autores a notar a as sociação, agora familiar, entre números

complexos e pontos reais do plano”. (EVES, 1995, p. 522).

Para esclarecer sobre a contribuição de cada um dos três matemáticos,

Eves (1995) cita ainda que:

Parece não haver dúvida de que a p r ior idade da idéia cabe a Wessel ,

com um ar t igo apresentado à Real Academia Dinamarquesa de

Ciências em 1797 e publicada Atas dessa Academia em 1799. A

contr ibuição de Argand f igura num ar t igo publicado em 1806 e mais

tarde, em 1814, apresentado nos Annales de Mathématiques de

Georgonne. Mas o ar t igo de Wessel permaneceu excluído do mundo

matemát ico em gera l até que fo i descoberto por um antiquário cerca

de noventa e oi to anos depois de ter sido escr i to . Foi então

republicado na oportunidade do centenár io de seu pr imeiro

aparec imento. Esse atraso no reconhecimento geral da real ização de

Wesse l exp lica por que o plano complexo veio a ser chamado plano

de Argand em vez de plano de Wessel .

A cont r ibuição de Gauss se encontra numa memór ia

apresentada à Sociedade Real de Gött ing en em 1831, poster iormente

reproduzida nas suas Obras Reunidas . Gauss assina lou que a idéia

bás ica da representação pode ser encontrada em sua tese de

doutorado de 1799. A af irmação parece procedente e exp lica por

que o plano co mplexo é freqüentemente conh ecido como plano de

Gauss (EVES, 1995 , p .522, gr i fo do autor) .

Sobre o mesmo assunto, Boyer (1996) afirma que:

No nível mais elementar , é interessante observar que a

representação gráf ica dos co mplexos já fora descoberta em 1797 por

Gaspar Wessel (1745 – 1818) e publicada nas atas da academia

dinamarquesa de 1798; mas o trabalho de Wesse l f icou pra t icamente

ignorado, daí usua lmente hoje ser o plano complexo chamado o

plano de Gauss, embora Gauss só publicasse sua idé ia t r inta anos

mais ta rde. Desde os d ias de Girard sab ia -se que os números rea is –

posi t ivos, negativos e zero – podem ser representados como

correspondendo a pontos de uma re ta . Wall i s t inha até sugerido que

os imaginár ios puros fossem representados numa perpendicular ao

eixo dos reais. Est ranhamente porém, ninguém antes de Wesse l e

Gauss deu o passo óbvio de pensar nas par tes real e imaginár io de

um número co mplexo a + bi como coordenadas re tangulares de

par tes num plano (BOYER, 1996, P .350) .

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Na citação de Boyer (1996), pela época dos matemáticos Girard

Desarques (1591 – 1661) e John Wallis (1616 – 1703), podemos perceber que

vários anos se passaram para que se chegasse à representação gráfica dos

números complexos. Devemos, ainda, observar que o fato de Boyler estranhar

que ninguém antes de Wessel e Gauss tivesse dado o passo, considerado óbvio

por ele, de pensar o número complexo como coordenadas retangulares reflete

o nosso comportamento de considerarmos que é fácil a aprendizagem do que

já sabemos. Eves (1995, p. 522), em uma nota de rod apé, também faz

referência à sugestão de Wallis, que os números imaginários puros poderiam

ser representados numa reta perpendicular ao eixo real .

Galileu – para estudar o movimento dos corpos – e Newton – para

estudar forças – de certa forma já utilizavam a representação vetorial, mas foi

com Willian Rowan Hamilton (1805 -1865) que se iniciou o desenvolvimento

das operações com os vetores. Hamilton após vários anos na tentativa de

estender a representação dos números complexos de duas para três dimensões

desenvolve a teoria dos quatérnios.

Hamilton percebia que seus pares ordenados podiam ser pensados

como ent idades or ientadas no plano , e naturalmente tentou es tender

a idéia a três dimensões passando do número complexo b inár io a +

bi às t r iplas ordenadas a + bi + cj . A operação de adição não

oferec ia d i f iculdade, mas durante dez anos ele lutou com a

mul t ipl icação de n -uplas para n maior que dois. Um d ia em 1843,

enquanto passeava com a esposa ao longo do Royal Canal , teve uma

insp iração: sua d i ficuldade des aparecer ia se usasse quádruplas em

vez de tr iplas e se abandonasse a lei comuta tiva para a

mul t ipl icação. Estava mais ou menos c laro já que para quádruplas

de números se dever ia tomar i2

= j2

= k2 = -1 ; agora Hamilton viu

que dever ia i j = k mas j i = -k , e semelhantemente jk = - i = -kj e k i

= j = - ik . No res to , as lei s de operação são as da álgebra ordinár ia

(BOYER, 1996, p . 405) .

Devemos estar atento com a citação de Boyer (1996), no sentido da

afirmação de que Hamilton teve uma inspiração durante um pa sseio e resolveu

um problema, está claro que o que ocorreu foi a resolução de um problema no

qual ele trabalhava há vários anos e que depois de várias tentativas conseguiu

chegar a uma solução adequada. Boyer (1996, p. 405) ainda afirma que

Hamilton “Parou em seu passeio e com uma faca recortou a fórmula

fundamental i2

= j2 = k

2 = ijk numa pedra na Brougham Bridge” e que “A

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descoberta-chave fora súbita, mas o descobridor vinha trabalhando para ela

havia uns quinze anos” . Em relação a este episódio Eves (1995) afirma que:

Hamilton contava a histór ia de que a idé ia de abandonar a lei

comuta tiva da mul t ip l icação ocorreu - lhe num átimo, após quinze

anos de cogitações infrut í feras, enquanto caminhava com a esposa

ao longo do Royal Canal per to de Dubl in, pouco an tes do escurecer .

Essa idé ia tão pouco or todoxa impressionou -o tanto que pegou de

seu canivete e com e le gravou a par te fundamenta l da tábua de

mul t ipl icação dos quatérnios numa das pedras da Ponte Broughm.

Hoje uma placa engastada na pedra da ponte conta -nos a his tór ia

(EVES, 1995, p . 551) .

Boyer afirma que grande parte da volumosa obra de Hamilton, Lectures

on Quaternions, é dedicada a aplicações dos quatérnios em geometria e

Física.

Entre os conceitos bás icos discut idos no l ivro estão os de vetores e

escalares. As unidades quaterniônicas i , j e k são descr i tas ora

como operadores ora como coordenadas. De modo gera l Hamilton

tratou os quatérnions como ve tores e essencia lmente mostrou que

formam espaço ve tor ial sobre o corpo dos números rea is. Definiu a

adição de quatérnions e introduziu a noção de dois t ipos de

produtos , obt idos mul t ipl icando um vetor por um esca lar ou por

out ro ve tor respect ivamente ; observou que o pr imeiro é associat ivo,

dis tr ibutivo e comuta tivo, ao passo que o segundo é associat ivo e

dis tr ibutivo apenas . Também d iscut iu o produto inter ior (“produto

escalar”) de dois ve tores e provou sua bil inear idade (BOYER, 1996,

p. 405) .

Devemos lembrar que Hamilton estava tentando generalizar a

representação dos números complexos para três dimens ões quando criou os

quatérnions, e que mesmo Hamilton considerando que um quatérnion q = a +

bi + cj + dk representa uma soma de uma parte escalar – a – com outra

vetorial – (bi + cj + dk) – não devemos simplesmente considerar que i , j e k

sejam os vetores unitários utilizados atualmente, pois eles representavam

inicialmente as unidades imaginárias na teoria de Hamilton. Como podemos

perceber nas afirmações abaixo:

A par te algebr icamente real pode ser chamada parte escalar , ou

simplesmente escalar de um quatérnion, e simbolizada pref ixando

ao símbolo do quatérnion, o caracter í s t ico Sca l . , ou simplesmente

S. [ . . . ] Por outro lado, a par te algebr icamente imaginár ia , sendo

construída geometr icamente por uma reta , ou raio vetor , que em

geral tem um comprimento e uma direção no espaço de terminada

para cada quatérnion, pode ser chamada parte vetoria l , ou

simplesmente vetor do quatérnion; e pode ser denotada pref ixando o

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carac ter í st ico Vec. Ou V. (HAMILTON 1996, P . 236 apud SILVA,

2004, p . 118) .

Dentro do cálculo de quatérnions , os s íbolos i , j , k são unidades

imaginár ias [ . . . ] . Hamilton def iniu também um conjunto de três

ve tores unitá r ios perpendiculares entre s i , I , J , K [ . . . ] . Apesar de os

conjuntos I , J , K e i , j , k terem signi ficados di ferentes Hamil ton e

Tait passaram a usá - los como sendo equiva lentes (SILVA, 2004 , p .

117-118) .

Uma álgebra mais geral que a álgebra dos quatérnions de Hamilton foi

desenvolvida por Hermann Günther Grassmann (1808-1877). Eves (1995)

afirma que “em vez de considerar apenas quád ruplos ordenados de números

reais, Grassmann considerou conjuntos ordenados de n números reais” (EVES,

1995, p. 551). Dessa maneira Grassmann generalizava o estudo para n

dimensões. Em 1844, Grassmann publicou a primeira edição de sua obra

Ausdebnungslehre (Cálculo de Extensões) onde apresentava sua álgebra.

Talvez pelo fato de usar uma linguagem muito complexa em

Ausdebnungslehre e de Hamilton ser um cientista famoso, enquanto que

Grassmann era um professor do ensino médio sem fama (comparado a

Hamilton), sua obra ficou esquecida e demorou em ganhar reconhecimento.

Nas palavras de Boyer (1996), “O conhecimento da Ausdebnungslehre

começou a se expandir depois da publicação em 1867 do trabalho de Hankel

sobre sistemas de números complexos” (BOYER, 1996, p. 406). Will ian

Kingdon Clifford (1845-1879) foi um defensor da obra de Grassmann,

difundindo-a na Inglaterra, e Peter Guthrie Tait (1831 -1901) foi um grande

defensor da teoria de Hamilton dedicando trinta e seis anos de sua vida à

divulgação e desenvolvimento da teoria dos quatérnions, segundo Silva

(2004). A álgebra vetorial que util izamos hoje foi desenvolvida, inicialmente,

em um conjunto de notas de aula feitas por Josiah Williard Gibbs (1839 -1903)

para seus alunos na Universidade de Yale, e, independente mente, por Holiver

Heaviside (1850-1925).

Silva (2004) considera que James Clerk Maxwell (1831 -1879) teve uma

grande influência no desenvolvimento da análise vetorial, pois, além de ter

mostrado a necessidade e importância de um enfoque vetorial no tratam ento

dos problemas físicos da época, sua obra Treatise on electricity and magnetsm

serviu de inspiração para Gibbs e Heavisid construírem suas teorias. Este fato

pode ser visto em:

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O livro Treatise on elec tr ic i ty and magnetsm de Maxwell , publ icado

em 1873 , é o trabalho c ient í fico mais importante para a divulgação

da teor ia de quatérnions já que tem a visão completa de Maxwel l

sobre o assunto e também porque incentivou fí s icos importantes da

época a discutirem sobre esse formalismo. Apesar de reconhecer a

importância do cálculo de quatérnions, algumas de suas par tes

desagradavam Maxwell , como por exemplo o fa to de um quatérnion

ser composto por uma par te escalar e outra vetor ia l , o p roduto

comple to ent re dois quatérnions (que nunca foi usado) e o fa to de o

quadrado de um vetor ser negativo . Os aspectos que agradaram a

Maxwel l foram incorporados em seu Treatise e as que não o

agradaram não (SILVA, 2004, p . 120) .

O interesse em ele tr icidade e magnet ismo levou,

independentemente, Gibbs e Heavis ide ao Treatise de Maxwel l . O

uso freqüente dos quatérnions nes ta obra desper tou -lhes o interesse

em estudá -los nas obras de Hamilton e Tait . Gibbs e Heavis ide

introduziram, independentemente , mudanças no cálculo de

quatérnions a través de simpli f icações e mudanças , cr iando assim

um novo formalismo matemático – a aná li se ve tor ial (SILVA, 2004,

p . 120) .

Estas mudanças, dos quatérnions para uma nova análise vetorial, não

foram feitas de maneira automática e totalmente intencional. De acordo com

Silva (2004), o que se procura era uma maneira mais simples de se trabalhar

com os quatérnions e não uma nova teoria. O próprio Heaviside que

inicialmente elogiou os quatérnions mudou de opinião e passou a rejeitá -los e

até mesmo, passa a negar a influência deles em sua teoria. Fato que é

questionado em:

Apesar de ter negado veementemente em 1883 e durante a

controvérs ia qualquer inf luência dos quatérnions sobre seu s i stema,

vimos que Heavis ide uti l izou os quatérnions, tanto que em 1912

Heavis ide expl icou como uti l izou quatérnio ns para e laborar seu

si s tema vetor ia l (SILVA, 2004, p . 123) .

Ainda segundo Silva (2004):

Maxwel l associou as ide ias ve tor ia is com eletr ic idade e magnet ismo

tornando impresc indíve l o desenvolvimento de algum t ipo de

anál ise ve tor ial no f ina l do sé culo XIX. Considerou o si s tema de

quatérnions como adequado para tra tar as grandezas vetor iais ,

porém com algumas al terações, ta i s como o uso apenas da par te

ve tor ial de um quatérnion e a separação entre a par te escalar e

ve tor ial do produto. Introduziu es sas al terações de uma maneira

na tura l pensando estar usando os quatérnions da mesma forma que

Tait usar ia e não com o objet ivo de abri r caminho para uma nova

anál ise ve tor ial .

Gibbs e Heaviside também tiveram uma at i tude parec ida. A

transformação do sistema de quatérnions para o si s tema ve tor ia l não

fo i proposi ta l e ninguém percebeu que os quatérnions estavam

sendo abandonados até que Gibbs escreveu um tratado formal para

apresentar a nova álgebra ve tor ial que não t inha vár ios conceitos

existentes nos quatérnions, além de ter uma nova notação . De uma

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maneira geral , Maxwell , Gibbs e Heaviside não es tavam tentando

construir um novo sistema matemát ico. O que eles queriam era

tornar o s is tema de Hamilton mais s imples e mais fác i l de ser usado

em Física (SILVA, 2004 , p . 124 -125) .

Este novo tratamento para a teoria de vetores não foi aceita de

imediato. Durante vários anos houve uma disputa acirrada entre os defensores

da teoria dos quatérnions e os defensores da teoria dos vetores, como é citado

em:

No final do século XIX, a revis ta Nature fo i pa lco de uma

emocionante d isputa entre dois s i stemas matemáticos envolvendo

pessoas inte l igentes e esp ir i tuosas. De um lado Peter G. Tai t ,

Cargil l Knot t , Alexander MacFar lane , e outros, do outro lado

Willard Gibbs e Oliver Heaviside e no meio deles, James Clerk

Maxwel l . A questão debatida era qual o s is tema matemático mais

apropriado para tra tar as grandezas vetor ia is . De um lado es tavam

os defensores do uso dos quatérnions e de out ro os defensores da

anál ise ve tor ial (SILVA, 2004, p . 124 -125) .

O fato de ter prevalecido a teoria vetorial em relação aos quatérnio ns é

um assunto pouco esclarecido e que pode ter vários motivos, para Silva

(2004)

Os defensores dos quatérnions não apresentaram argumentos novos

durante o debate e também não apresentaram novas ap licações

f ís icas para os quatérnions, numa época em que Heavis ide estava

publicando vár ios traba lhos sobre a teor ia e le t romagnét ica usando

seu novo s istema vetor ial . [ . . . ] Um grande ponto a favor da

acei tação dos ve tores ent re os fí s icos e engenheiros da época foi a

forma de apresentação do s istema: as def inições foram fe i tas

usando ve tores que representam grandezas f í sicas e foram ap licadas

imediatamente a problemas emergentes na época, tornando os

concei tos mais interessantes e atraentes (SILVA, 2004, p . 125) .

Comparando os dois sistemas, Silva (2004) questiona a superioridade e

a qualidade da álgebra vetorial como critérios para a sua aceitação e, além

disso, ela afirma que a álgebra vetorial não pode ser considerada um sistema

matematicamente simples.

O fa to de os defensores da aná li se vetor ia l conseguirem obter

resultados f ís icos novos não signi fica que seu si stema seja superior ,

mas cer tamente i sso contr ibui para tornar o si s tema atraente para o

público interessado no uso da álgebra vetor ial para reso lver

problemas f ís icos. De uma maneira geral , podemos d izer que a

es tratégia usada pe los defensores da álgebra vetor ia l ,

par t icularmente por Heaviside , contr ibuiu mui to mais para a sua

acei tação do que as q ualidades do s istema propriamente d i tas

(SILVA, 2004 , p . 125) .

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Comparando os do is s i stemas, vemos que a simplic idade do sis tema

Gibbs-Heavis ide é matematicamente quest ionável . Ambos não são

comuta tivos, já que o produto vetor ial não é comutat ivo; no si stem a

de quatérnions só exis te um produto, enquanto que no sis tema

ve tor ial são definidos dois produtos. O s is tema de quatérnions

permi te a d ivisão , mas na aná li se vetor ial a divisão não é unívoca.

O sis tema de Gibbs -Heavis ide pode ser mais fáci l de ser usado por

ter uma notação mais c lara e ser menos geral , mas não podemos

dizer que e le é matematicamente mais simples (SILVA, 2004, p .

125) .

A teoria dos quatérnions de Hamilton pode ter sido ofuscada por

tratamentos mais simples para os vetores e, portanto, ac abou caindo em

desuso, ficando esquecida durante um longo período. Devemos salientar que o

fato desta teoria não ter t ido o sucesso esperado por alguns não significa que

deva cair num completo esquecimento, mesmo porque historicamente seu

valor é inquestionável. A compreensão da trajetória de pesquisa, com seus

sucessos e insucessos, durante sua criação, assim como a coragem de

Hamilton ao abandonar conceitos aceitos na época como o abandono da

propriedade comutativa pode nos ajudar a entender melhor as dif iculdades

enfrentadas no estudo de grandezas vetoriais e facilitar a nossa tarefa como

educador, nesse sentido Dion (1995) afirma que

A aná li se dos textos or iginais de Hamil ton consti tui a inda singular

exemplo de como a Histór ia da Ciência pode fornecer s ubsíd ios

para a estruturação da prát ica pedagógica, especialmente com

relação à Matemática e à Fís ica Tais textos const i tuem excelente

mater ia l para a aná li se da trajetó r ia de um pesquisador em busca de

solução para um prob lema, com suas dúvidas e incer tez as, ao

mesmo tempo em que de line iam uma lógica para a invest igação que

nem de longe pode ser ident i ficada com a lógica da exposição de

um conhecimento já si stemat izado . Sua forma de pensar , sucessos e

insucessos, as novidades introduzidas ampl iando teor ias existentes,

concessões e violações a regras estabelecidas, fei tas de modo

extremamente cr i ter ioso, es tão c lara e didat icamente expl ic i tas

nesses textos (Dion, 1995, p . 251) .

Atualmente ainda temos questionamento em relação à uti lização da

Álgebra vetorial de Gibbs-Reaviside em determinadas áreas, tais como a

Teoria Quântica e a Teoria da Relatividade. Se há divergências em torno de

qual o melhor método para resolver determinados problemas, podemos

perceber que esta disputa, iniciada anteriormente, não fi cou resolvida e

esquecida. Provavelmente algumas pessoas permaneceram cultivando ideias

envolvendo teorias diferentes da mais difundida atualmente.

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Se a própria ciência não está pronta, sempre estamos nos deparando

com limitações de teorias existentes e com a criação de novas teorias,

acreditar que o método que utilizamos para o estudo de grandezas vetoriais

está definido e não sofrerá mudanças é diminuir a capacidade de

desenvolvimento do ser humano. Se hoje temos um método que nos parece

adequado, principalmente em relação ao ensino médio e nas Físicas básicas do

ensino superior, nada nos garante que futuramente não estaremos criticando e

até mesmo descartando-o em função de uma criação mais eficaz.

A álgebra de Grassnmann é cons iderada eficiente no estudo da Química

Quântica em um trabalho de Mundim (1997) que apresenta uma formulação

alternativa em termos da álgebra, como podemos perceber na sua afirmação,

“Em 1844, Grassnmann desenvolveu uma álgebra de variáveis anticomutantes

cuja estrutura tornou-se hoje uma ferramenta matemática importante no

estudo de sistemas com propriedades antissimétricas” (MUNDIM e MUNDIM,

1997, p. 210). Fato que também pode ser percebido em

[ . . . ] a álgebra de Grassnmann é uma ferramenta matemática de

grande ut i l idade no estud o de s is temas quânt icos, segundo o método

dos orbi ta is moleculares. A genera lização e a geometr ização de

alguns conceitos em química quântica surgem de forma c lara e

sinté t ica e , em princ ípio, não há l imi tações quanto à apl icab il idade

das propr iedades da á lgebra nes ta formulação al ternat iva (MUNDIM

e MUNDIM, 1997 , p . 231) .

Em trabalhos, envolvendo estudos de Mecânica Quântica (MQ) e da

Teoria da Relatividade (TR), Junior (1997, 2000) mostra como a álgebra

geométrica introduzida por Clifford sintetiza e un ifica os quatérnions de

Hamilton com a álgebra de extensão de Grassnmann e discute a relação desta

álgebra de Clifford com a álgebra vetorial de Gibbs, comentando as vantagens

da primeira e as incoerências e limitações da segunda:

Grassnmann foi capaz de formular um sis tema poderoso, e legante e

geral , adequado sobre tudo à descr ição de geometr ias a f im e

projet iva em espaços arbitrár ios. Já o si s tema de Hamilton se

most rava adequado à uma geo metr ia or togonal – que sem dúvida é a

mais impor tante em Física – mas apenas dent ro de um espaço

eucl idiano tr id imensional . Ora, a questão na tural que podemos

colocar é se ser ia possíve l sinte t izar as vantagens dos s i stemas de

Hamilton e Grassnmann em um único s istema que se mostre

adequado à geometr ia or togonal de um esp aço arbitrár io .

Em 1886 Gibbs tentou uni ficar esses si stemas naquele hoje

denominado álgebra vetoria l . O que se seguiu foi uma d ivisão entre

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os defensores da álgebra de Gibbs de um lado e os de Hamilton do

out ro, e como podemos constatar em qualque r l ivro de Física

Básica, a á lgebra ve tor ial de Gibbs acabou se estabelecendo. Na

nossa opinião, i sso fo i de uma grande infel ic idade para a Física,

sobre tudo em função do advento da MQ.

Se es tudarmos os traba lhos de Hamil ton e de Grassnmann, e

daí o de Gibbs, veremos que a álgebra ve tor ial de Gibbs nada mais

é do que um apanhado de conceitos disfarçados sobre o manto de

uma no tação fa lac iosa. A álgebra ve tor ial de Gibbs além de não ser

uma general ização dos s is temas de Hamilton e Grassnmann uma vez

que só funciona no espaço tr idimensional , também sofre de

def ic iênc ias internas ausentes naqueles si s temas. De fa to , em uma

es trutura fechada , o resul tado de qualquer operação sobre e lementos

dados deve ser um elemento da mesma es trutura , e i sto não ocorre ,

por exemplo , com o produto vetor ia l dent ro da álgebra de Gibbs

onde o resul tado do produto ve tor ial de dois vetores não é um

vetor , fa to remendado pela deno minação pseudo -vetor ao resultado

des te produto ve tor ial .

A verdadeira síntese e general iz ação dos s is temas Hamilton e

Grassnmann foi ob tida por Cl i f ford em 1887 , através do que ele

denominou álgebra geométr ica – e que atualmente denominamos

álgebra de Cli fford . É preciso observarmos, entretanto, que outros

nomes haviam de uma maneira ou de out ra tocado neste assunto. Em

part icular , podemos ci tar Euler , Rodr igues e Lipschi tz , a lém dos

próprios Hamilton e Grassnmann, e inc lusive Leibni tz .

Poster iormente Paul i e Dirac introduziram essa estrutura dentro da

Física.

O grande achado de Cl i ffor d fo i essencia lmente introduzir o

análogo do produto quaterniônico dentro da es trutura da á lgebra de

Grassnmann, obtendo assim um s istema naturalmente adap tado à

geometr ia or togonal de um espaço arbi trár io . Além de poderosa e

na tura l , a álgebra de Cl i fford não apresenta as incoerências da

álgebra vetor ia l de Gibbs – na verdade as cor r ige – e t raz em si

concei tos adequados para a formulação da MQ. Em nossa opinião,

t ivessem os quatérnions , e daí a sua general ização natura l que são

as á lgebras de Cl i f ford , pr evalec ido sobre a álgebra vetor ia l de

Gibbs, poss ive lmente tal ter ia um grande efei to sobre a nossa

compreensão dos fundamentos da MQ (JUNIOR, 1997, p . 235 -237,

gr i fo do autor) .

Analisando este breve estudo histórico, no qual se coloca de maneira

bem superficial um caminho percorrido para o desenvolvimento de um

conceito específico, ferramentas necessárias para trabalhar com as grandezas

vetoriais , podemos perceber que este caso não foge a regra geral do

desenvolvimento dos conhecimentos científicos. Isto ocorre, como já

sabemos, porque a ciência não se desenvolve de maneira linear e nem por

padrões definidos, mas sim por caminhos indefinidos, cheios de erros e

dúvidas, onde há contribuições de várias pessoas .

Em muitas situações uma pessoa acaba sintetizando o que várias outras

desenvolveram e acaba recebendo todo o mérito, como se fosse o único

criador de todo o trabalho . As outras pessoas simplesmente ficam no

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esquecimento. O mais importante é ter clareza de que um conhecimento nunca

está pronto e acabado, podendo em qualquer momento aparecerem novos

questionamentos, ajustes e aplicações.

1.4 Além do conhecimento específico do conteúdo

Quando colocamos a importância de se trabalhar aspectos que estão

relacionados com um conteúdo, sua história, suas imp licações econômicas,

sociais e políticas, não estamos pretendendo que professores dêem ênfase a

estes aspectos em detrimento ao próprio conteúdo e nem mesmo que dedique a

eles um tempo que pode vir a atrapalhar o entendimento do conteúdo, pelo

contrário, o que pretendemos é que os professores possam us ar estes aspectos

para contribuir com desenvolvimento e aprendizagem dos alunos. Não

estamos falando de um ensino que leva o aluno a decorar e aplicar um

conteúdo em determinados padrões de problemas, mas sim de um ensino que

permite o aluno refletir e buscar condições para se relacionar eticamente com

a sua realidade social.

Neste caso, cabe ao professor adequar -se com o tempo disponível e com

as características e necessidades de seus alunos, para transformar e adequar as

informações de maneira a resultar em um melhor aproveitamento por seus

alunos. Esta questão de transformar e adequar determinados conteúdos ainda é

bastante complexa, pois nós professo res, geralmente, temos dúvidas do que é

mais ou menos importante ou o que é realmente necessário ou desnecessário.

Particularmente, temos a opinião de que os professores devem inovar, mas

para isso devem ter um bom conhecimento dos conteúdos, dos aspectos

pedagógicos e epistemológicos, e da realidade de seus alun os, e mesmo assim

com muita cautela e bom senso.

Para se desenvolver estas características nos professores é fundamental

que os cursos de formação destes professores tenham como objetivo principal

a formação deste t ipo de profissional, portanto, na formaç ão de professores

deve-se ter em conta os aspectos epistemológicos e pedagógicos, l embrando

que estes aspectos não devem ser tratados separadamente, pois, eles estão

fortemente relacionados.

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É óbvio que um professor deve estar num processo contínuo de

formação e, consequentemente, deve estar constantemente se informando

sobre os vários aspectos envolvidos na sua profissão. Mesmo assim,

consideramos que a sua formação inicial é fundamental para o seu

desenvolvimento futuro. Devemos lembrar que por um motivo ou outro, vários

professores não têm a oportunidade de voltar a estudar em cursos regulares, e

se, em sua formação inicial , não se discutiu adequadamente a importância

destes aspectos para a aprendizagem dos alunos, pode ser que este professor

jamais venha a pensar que existe algo – diferente do enfoque que ele já

conheça – que possa ajudá-lo em seu trabalho diário com os alunos. Podemos

nos pautar em Shulman (2005) para discutir sobre as características do ensino

e dos conhecimentos necessários a um bom pr ofessor.

Para Shulman (2005), o processo de ensino deve se iniciar com a

compreensão por parte do professor do que ele deve aprender e como se deve

ensinar, levando os alunos a aprender, a compreender e a resolver problemas,

aprender a pensar criticamente e criativamente, culminando com uma nova

compreensão por parte do professor e do aluno.

Shulman (2005, p. 10) afirma que se tivesse que organizar os

conhecimentos em um manual, no mínimo incluiriam:

conhecimento do conteúdo;

conhecimento didático gera l (manejo e organização da sala);

conhecimento do currículo;

conhecimento didático do conteúdo;

conhecimento dos alunos e de suas características;

conhecimento dos contextos educativos (escola e comunidade);

conhecimentos dos objetivos, das finalidades e d os valores educativos,

e de seus fundamentos filosóficos e históricos.

Shulman (2005) considera que entre estas categorias, o conhecimento

didático do conteúdo adquire particular interesse porque identifica os corpos

de conhecimentos distintos para o ensino. Trata-se de uma mistura especial

entre os conteúdos e a pedagogia. Para Shulman (2005), por meio do

conhecimento pedagógico do conteúdo pode-se chegar a uma compreensão de

como determinados temas ou problemas podem ser organizados e adaptados às

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necessidades, interesses e capacidades dos alunos. Essa é a categoria que tem

maior probabil idade de servir para distinguir a compreensão do especialista

de uma área do saber e a compreensão do pedagogo.

A necessidade destes conhecimentos se torna clara quando se pensa nas

característ icas que um bom professor deve apresentar. Um professor que não

conhece o conteúdo específico da sua disciplina, os processos envolvidos no

ensino e o contexto da escola e da comunidade envolvida neste ensino, não

pode ensinar bem.

Para Shulman (2005), o ensino supõe uma troca de ide ias, as quais

devem ser captadas, sondadas e compreendidas por um professor, que em

seguida deve moldá-las ou adequá-las até que possam ser captadas de maneira

ativa pelos alunos, gerando processos cons trutivos em seus alunos e não

fomentando a dependência deles em relação ao professor. Neste processo de

transformar um conteúdo, trabalhar com exemplos concretos e/ou atividades

práticas o professor deve estar sempre atento, pois dependendo da estratégia

usada o professor pode ajudar ou até mesmo atrapalhar a aprendizagem dos

alunos, como nos alerta Cachapuz (2005):

O professor tem que ter cuidados mui to par t iculares com o processo

de aprendizagem e, em part icular , com as at ividades que promove.

Estas devem ser um desaf io , porém, com um grau de di f iculdades

que se consti tui um incentivo e não de fonte de desânimo,

desmotivação e de impossib il idade de resolução . As exper iênc ias de

aprendizagem que professores promovem devem ser instrumentos

para melhorar a e xp licação que se dá para os fenômenos e não

podem ser consideradas como fins em si mesmas (Cachapuz , 2005) .

Podemos perceber que é fundamental conhecermos não só as

necessidades dos alunos, mas também a sua capacidade de aprendizagem para

que possamos adequar os conteúdos com as metodologias uti lizadas. Portanto,

não existe uma receita única para se ter uma boa aprendizagem, já que cada

situação encontrada pelo professor geralmente é única e exige uma atitude

compatível com aquele caso específico.

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1.5 Os vetores na visão espacial

Se pensarmos no ensino de Física, que geralm ente temos nas escolas,

encontramos um ensino focado numa transmissão de conteúdos consid erados

cientificamente corretos, s em uma preocupação com o contexto em que esses

conhecimentos foram se desenvolvendo. Neste ensino, no qual geralmente os

professores expõem os conceitos/leis e os alunos devem receber passivamente

esse conteúdo, memorizar e posteriormente devolver esses conceitos/leis em

forma de aplicação em exercícios padrões , talvez não percebamos a

necessidade de enfatizar a representação espacial de algumas grandezas

físicas. Por outro lado, quando assumimos que o ensino de Física ,

principalmente no ensino médio , deve ter como objetivo principal desenvolver

certas habilidades que capacitem os alunos a investigar, representar,

comunicar e associar os conceitos estudados aos fenômenos na natureza,

provavelmente percebemos a necessidade de uma visão espacial de

determinadas grandezas físicas.

Um estudo que tenha significado para os alunos deve ser articulado e

próximo do mundo vivido por esses alunos. Especificamente em relação às

grandezas vetoriais, devemos procurar relacionar as grandezas encontradas na

Física com as do cotidiano dos alunos, mostrando não some nte as diferenças

entre elas, mas também as relações existentes entre essas grandezas, relações

que mostram que uma pode até complementar a outra. Como exemplo, vamos

citar o caso do deslocamento , grandeza vetorial usada na Física , e distância

percorrida, grandeza escalar do cotidiano dos alunos. Podemos tentar

desconstruir o conceito que os alunos possuem em relação ao deslocamento, o

qual geralmente é confundido com a distância percorrida, substituindo -o pelo

conceito aceito na Física . No entanto, para isto é necessária uma discussão

relacionando a importância e aplicações desses conceitos, senão essa atitude

poderia levar a uma aprendizagem sem significado, portanto, fácil de ser

esquecida.

Por outro lado poderíamos usar uma estratégia didática onde a própria

escola serve como base para justificar a necessidade de se representar e

trabalhar com determinadas grandezas de um modo diferente. Em relação à

representação por símbolos, pode -se discutir com os alunos as vantagens de

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indicar a localização de cada dependência da escola, banheiros, secretaria,

salas de aula, por meio de setas ao invés de descrever detalhadamente as

informações sobre estas localizações.

Imaginemos uma sala de aula, na qual as cadeiras são numeradas e

estão fixas em seus respectivos locais. Se sair mos da sala e ao retornar

percebermos que um determinado aluno mudou de lugar, portanto, a

informação que temos é apenas a posição inicial e final do aluno. De posse

desta informação poderíamos discutir as várias maneiras de descrever com

precisão o deslocamento do aluno, chegando, provavelmente, à conclusão de

que uma das maneiras mais eficiente seria por meio de uma figura, na qual

deveria constar uma direção, um sentido e um valor, fato que poderia

justificar o uso de vetores na representação de determin adas grandezas

físicas.

Por outro lado, se soubermos a distância percorrida pelo aluno não

podemos determinar a sua posição ao final do trajeto, a não ser que tenhamos

informação detalhada a respeito de sua trajetória . Se soubermos a distância

percorrida necessitamos de mais informação para determinarmos a posição e

consequentemente o deslocamento desse aluno. Esse fato não deve servir para

desvalorizar o conceito de distância percorrida em relação ao deslocamento,

pois se conhecemos apenas o deslocamento não temos nenhuma informação a

respeito da trajetória seguida . Portanto, a questão a ser colocada é que na

Física, geralmente, não estamos interessados no caminho seguido e sim nas

mudanças de posição, consequentemente trabalhamos com o deslocamento.

No ensino de Física, a investigação sobre as várias maneiras de se

resolver um problema pode aproximar os alunos da realidade enfrentada pelas

pessoas que ao longo do tempo se dedicaram aos conhecimentos científicos.

Ao mesmo tempo, quando os alunos são instig ados a pesquisarem e a

proporem soluções para os problemas, estão sendo geradas condições que

provocam uma aprendizagem que pode ter significado para os alunos.

A condição fundamental do sucesso na representação de alguma coisa

por meio de figuras, é que estas figuras nos remetam a uma visão adequada

daquela coisa, portanto, não adianta falarmos em representação vetorial de

uma grandeza física se esta representação não levar a uma visualização

espacial desta grandeza. E, o que geralmente percebemos nas au las de Física é

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uma tentativa de se estudar operações vetoriais desvinculadas de suas

representações e até mesmo das grandezas físicas a elas relacionadas.

Acreditamos que usar apenas a representação gráfica dos vetores, sem

uma vinculação direta com a rep resentação espacial das grandezas físicas,

pode levar a uma aprendizagem vazia de significados, implicando na falta de

motivação por parte dos alunos. Quando definimos um vetor como um ente

matemático que nos fornece informações sobre a direção (a mesma da reta

suporte do vetor), o sentido (por meio da ponta da seta ) e o valor (indicado

pelo tamanho da seta), como encontramos na maioria dos l ivros de Física,

devemos ter o cuidado de alertar os alunos para as dificuldades de se

trabalhar somente com a representação gráfica, principalmente em relação ao

valor da grandeza física que deveria ser representada pelo tamanho da seta,

portanto teríamos que ter sempre uma escala definida nas representações de

grandezas físicas vetoriais.

A dificuldade de trabalhar com escalas e transporte de vetores na

solução de determinados problemas pode justificar a necessidade de

relacionar a representação espacial com as operações algébricas envolvidas no

estudo das grandezas físicas vetoriais. No ensino médio, como já foi citad o

anteriormente, é comum as dificuldades, por parte dos alunos, no estudo das

grandezas vetoriais, mas ao mesmo tempo percebemos que geralmente não

trabalhamos diretamente com os vetores nesses estudos, ou seja, na maioria

dos casos que envolvem mais de um a direção, desmontamos os vetores por

meio de suas componentes e depois de resolver separadamente o problema em

cada direção, remontamos o vetor para interpretar a solução final .

Nesse tratamento é comum encontrar a colocação inadequada de que se

está trabalhando escalarmente como justificativa de analisa r o problema em

uma única direção, a partir do momento que definimos uma direção, sendo

que o sentido pode ser indicado por meio do sinal da grandeza, estamos na

realidade usando operações algébricas no tr atamento vetorial. Acreditamos

que se os alunos tiverem uma boa visualização da representação espacial das

grandezas físicas e também das operações que envolvem estas grandezas

teremos uma boa chance de que passem a ter mais facilidade até mesmo para

operar com grandezas mais abstratas como é o caso do campo elétrico.

Acreditamos também que para atingirmos tal objetivo necessitamos de

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condições adequadas, tais como, professores bem preparados e materiais

didáticos compatíveis com tais objetivos, entre estes materiais podemos citar

os livros didáticos.

A necessidade de professores bem preparados justifica o que colocamos

anteriormente sobre a formação de professores e sobre o estudo histórico dos

conhecimentos científicos . Promover o diálogo entre professores e alunos

considerando o acesso e uso constante dos livros didáticos usados pelos

professores nas escolas justifica o nosso trabalho, no qual faremos uma

análise envolvendo l ivros que serão fornecidos aos alunos da rede pública de

educação.

Devemos esclarecer que o fato de termos usado o deslocamento e

distância percorrida como exemplo de grandezas físicas em nossa discussão,

não quer dizer que estamos sugerindo que o estudo das grandezas físicas

vetoriais deve ser iniciada com tais grandezas. O que esta mos sugerindo, é

que se busque sempre que possível relacionar as grandezas usadas na Física

com os conhecimentos do cotidiano dos alunos e que ao mesmo tempo

devemos procurar relacionar as grandezas físicas vetoriais à sua representação

espacial.

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2. O LIVRO DIDÁTICO E O PNLD

Entre os vários instrumentos usados na aprendizagem podemos destacar

a importância do livro didático na aprendizagem formal. O que deveria ser

mais um dentre os vários materiais uti l izados pelas comunidades escolares,

infelizmente, pode se tornar o único instrumento usado pelos alunos e

professores, chegando até mesmo a guiar o processo de ensino -aprendizagem.

Neste caso perde o seu principal objetivo que é exatamente o de apoio e não

de determinação de conteúdos e estraté gias de ensino. Fato que pode ser

percebido em:

Sua importância aumenta ainda mais em países como o Bras i l , onde

uma precar íssima si tuação educac ional faz com que e le acabe

determinando conteúdos e condic ionando es t ratégias de ensino,

marcando, pois, de fo rma dec isiva , o que se ens ina e como se ens ina

o que se ensina (LAJOLO, 1996, p . 4 , gr i fo do autor) .

Embora não deva ser o único material de que professores e alunos vão

valer-se, o l ivro didático pode ser decisivo para a qualidade do aprendizado

resultante das atividades escolares. Por esta razão, sua escolha e utilização

precisam ser fundamentadas nas necessidades e características da comunidade

escolar na qual será utilizado. Somente assim, poderá se tornar um bom

instrumento de aprendizagem. E é exat amente na importância de uma maior

reflexão no momento de escolha destes livros é que vamos nos pautar para

justificar a sua análise.

2.1 O livro didático no ensino-aprendizagem

Uma das característ icas que o l ivro didático deve ter é de promover

diálogo constante entre professores e alunos, já que geralmente ele se destina,

simultaneamente, a estes dois leitores. Outra característica que deve ser

observada diz respeito ao livro do professor:

O l ivro do professor precisa interagir com seu lei tor -professor não

como a mercadoria dialoga com seus consumidores, mas como

dialogam al iados na construção de um objet ivo comum: ambo s,

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professores e l ivros d idáticos , são parce iros em um processo de

ensino mui to especial , cujo benefic iár io final é o aluno.

Esse diá logo entre l ivro didát ico e professor só se ins taura de forma

conveniente quando o l ivro do professor se transforma no espaço

onde o autor põe as car tas na mesa, expl ic i tando suas concepções

de educação, as teor ias que fundamentam a disc ipl ina de que se

ocupa seu l ivro. Ou se ja , quando , no l ivro do professor , o autor

franquear a seus lei tores -professores os bas t idores de seu l ivro,

most rando as car tas com que faz seu jogo: os pressupostos teór icos

que assume e segue relat ivamente tanto à matér ia de que t ra ta o

l ivro quanto a questão de educação e aprendizagem (LAJOLO,

1996, p . 5) .

Na escolha do livro é importante observar que todos os seus

componentes , tais como: conteúdos, impressão, encadernação, ilustrações,

diagramas e tabelas, devem estar em função da aprendizagem que ele deve

patrocinar, portanto, esses aspectos devem ser levados em conta no processo

de sua escolha e adoção, assim como na sua utilização posterior. Os livros

podem trazer conhecimentos novos ou alterar conhecimentos que os alunos já

têm do mundo, portanto:

Os signi ficados que , em torno do l ivro didático, o aluno vai

construir ou a l terar , p recisam, por um lado, corresponder aos

padrões de conhecimento da soc iedade em nome da qual a escola

es tabe lece seu projeto de educação. Por outro lad o, os s igni f icados

que o l ivro veicula podem também quest ionar o conhecimento a té

então ace ito como legí t imo.

O essencia l é que, em qualquer dos casos, as informações

endossadas ou a sua contestação, sejam fundamentadas; como a

esco la não é desvinculada de seu contexto social , tanto os padrões

de conhecimento quanto os de sua contes tação e re formulação ,

precisam sa ti s fazer as expecta t ivas da cl iente la escolar ( i sto é , dos

alunos, das famí lias de alunos, e da comunidade da qual vêm os

alunos) e , s imul taneamente, as dire tr izes do sis tema educac ional

(LAJOLO, 1996, p . 6) .

Devemos enfatizar a importância da mediação do professor neste

processo de transformação ou adequação de conhecimentos que os alunos já

possuem para os cientificamente aceitos. Por isso, no processo de seleção e

aplicação do livro é preciso planejar adequadamente para se estabelecer um

diálogo entre o que diz o livro e o que pensam o s alunos. Para Lajolo (1996 ,

p. 6), “o bom livro didático diferencia -se do livro didático ruim pelo tipo de

diálogo que estabelece com o professor, durante o planejamento do curso” .

Esta autora concorda que nem mesmo o melhor dos livros didáticos compete

com o professor, pois, ele, melhor que qualquer livro, conhece a realidade e

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necessidade de seus alunos. Portanto, os professores devem estar aptos a

realizarem as adaptações necessárias à utilização destes livros, pois:

O caso é que não há l ivro que seja à prova do professor: o pior

l ivro pode ficar bo m na sa la de um bom professor e o melhor l ivro

desanda na sa la de um mau professor . Pois o melhor l ivro , rep ita -se

mais uma vez, é apenas um l ivro, instrumento auxi l iar da

aprendizagem (LAJOLO, 1996, p . 8 , gr i fo do autor) .

Ela dá ênfase à necessidade de criação e desenvolvimento de

mecanismos para avaliar os livros didáticos disponíveis no mercado. Sendo

que:

Este processo de aval iação, da qual educadores de di ferentes graus

do ensino precisam part icipar em número cada vez maior ,

desempenha função pedagógica e tem efei tos mul t ipl icadores para

todas as ins tânc ias envolvidas com o l ivro d idát ico, pr inc ipa lmente

seus usuários (alunos e professores) e seus produtores (escr i tores e

editores) (LAJOLO, 1996, p . 9) .

E coloca a importância dos livros didáticos não conterem informações

incorretas nem inadequadas, para uma bo a aprendizagem:

[ . . . ] um l ivro d idát ico não pode const ruir seus s igni f icados a par t ir

de va lores indesejáve is. Não pode, por exemplo, endossar

discr iminações contra cer tos grupos soc ia is , nem propor a le i do

mais forte como es tra tégia para soluc ionar d i fe renças. Em hipó tese

alguma um livro didát ico pode endossar , nem mesmo de maneira

ind ire ta , compor tamentos insp irados em ta is va lores ou ap laudir

at i tudes que os reforcem ou incentivem, porque tais

comportamentos e va lores não fazem (e nem devem fazer) par t e do

al icerce é t ico da soc iedade brasi le ira (LAJOLO, 1996, p . 6 , gr i fo do

autor) .

Freitag, Motta e Costa (1989) consideram que, do ponto de vista do uso,

temos três categorias de usuários ou consumidores do livro didático – o

Estado, que compra o livro; o professor, que o escolhe e o utiliza como

instrumento de trabalho; e o aluno, que o usa como instrumento de

aprendizagem. Analisando trabalhos publicados por vários autores na década

de 1980, em relação aos critérios de escolha e utilização dos livros di dáticos,

Freitag, Motta e Costa (1989) colocam algumas conclusões observadas nestes

trabalhos: revelam que são vários os critérios em que se baseiam os

professores para a escolha do livro com o qual vão trabalhar , aspectos

gráficos, envio gratuito do livro pela editora, seu relacionamento na lista da

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Fundação de Assistência ao Estudante (FAE), sua indicação por colega etc. O

denominador comum a estes critérios é que são basicamente fatores externos

aos processos de ensino e de aprendizagem.

As mesmas autoras, afirmam que os professores não realizam um exame

minucioso do conteúdo do l ivro e nem partem de experiências prévias com

alunos para a escolha, mas são basicamente movidos pelo comodismo e

conformismo. Para as autoras o contentamento geral dos professo res com seu

livro reflete a falta de crí tica em relação à escolha e uso do l ivro. Ela s ainda

afirmam que:

O l ivro didát ico não funciona em sa la de aula como um inst rumento

auxil iar para conduzir o processo de ensino e transmissão do

conhecimento , mas co mo o modelo -padrão, a autor idade absoluta, o

cr i tér io úl t imo de verdade. Neste sentido os l ivros parecem estar

modelando os professores. O conteúdo ideológico do l ivro é

absorvido e repassado ao aluno de forma acr í t ica e não distanciada

(FREITAG, MOTTA e COSTA 1989, p . 111) .

Ao colocar a desinformação do professor – falta de leitura – como uma

possível explicação para sua dificuldade em avaliar e escolher seu livro

didático, assim como o mau uso do livro, a autora afirma não ter intenção de

desmoralizar ou culpar os professores pelo fracasso escolar de grande parte

do alunado:

Estamos ao contrár io querendo a ler tar o governo e os pol í t icos

responsáveis pe la educação brasi le ira para o fato de que e les es tão

negligenciando um dos problemas centrais da questão . [ . . . ] Antes de

editar e comprar l ivros didá ticos e d is tr ibuí - los em grandes

quantidades pelo Bras i l a fora , consideramos indispensável

reconsiderar a questão do professor : sua formação profissional , sua

va lor ização enquanto educador (proporc ionando -lhe um sa lár io

digno) , suas condições de trabalho ( sobrecarga de turmas e número

de alunos) [ . . . ] (FREITAG, MOTTA e COSTA 1989, p . 115) .

Elas consideram a importância de se ter em conta o professor e o

destinatário último do livro, o aluno – suas dificuldades e necessidades – no

processo de análise das questões relacionadas ao livro didático. Portanto, é

necessário que se intensifique estudos que possam propiciar um melhor uso do

livro didático pelo professor, tendo como foco, antes de mais nada, como

seria uti lizado. “Haveria inúmeras possibilidades de um bom professor,

usando um mau livro didático, desenvolver um excelente ensino e promover

um extraordinário aprendizado” (FREITAG, MOTTA e COSTA 1998, p. 125).

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O envolvimento do governo brasileiro com a fiscali zação, avaliação e

distribuição dos livros didáticos foi se construindo gradualmente ao longo de

vários anos por meio de programas que tiveram várias denominações até

chegar no atual Programa Nacional do Livro Didático (PNLD):

O programa Nacional do Livr o d idát ico (PNLD) é o mais ant igo dos

programas vol tados à distr ibuição de obras didá ticas aos estudantes

da rede pública de ensino bras i le ira e iniciou -se, com outra

denominação, em 1929. Ao longo desses 80 anos o programa foi

aper fe içoado e teve di ferent es no mes e formas de execução.

Atua lmente, o PNLD é vol tado à educação bás ica bras i leira tendo

como única exceção os alunos da educação infanti l . ( ci tação do

portal do FNDE).

Na trajetória do PNLD, existe marcos, citados no portal do Fundo

Nacional de Desenvolvimento da Educação (FNDE), que consideramos

merecer destaque:

o 1929 – Criação do Instituto Nacional do Livro (INL), órgão específico

para legislar sobre políticas do l ivro didático, contribuindo para dar

maior legitimidade ao livro didático nacional.

o 1938 – Instituição da Comissão Nacional do Livro Didático (CNLD),

estabelecendo sua primeira polí tica de legislação e controle de

produção e circulação do livro no País.

o 1966 – Criação da Comissão do Livro Técnico e Livro Didático

(Colted), com objetivo de coordenar as ações referentes à produção,

edição e distribuição do l ivro didático.

o 1971 – O instituto Nacional do Livro (INL) passa a desenvolver o

Programa do Livro didático para o Ensino Fundamental (Plidef),

assumindo as atribuições administrativas e de gerenciamento dos

recursos financeiros até então a cargo da Colted.

o 1976 – A Fundação Nacional do Material escolar (Fename) torna -se

responsável pela execução do programa do livro didático.

o 1983 – Em substituição à Fename foi criada a Fundação de Assi stência

ao Estudante (FAE), a qual incorporou o Plidef.

o 1985 – Com o Decreto no 91.542, o Plidef dá lugar ao Programa

Nacional do Livro Didático, o qual traz diversas mudanças, tais como:

indicação do livro didático pelo professor, reutilização do livro e

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extensão da oferta de livros aos alunos de 1a e 2

a séries das escolas

públicas e comunitárias.

o 1993/1994 – São definidos critérios para avaliação dos livros didáticos.

o 1996 – É iniciado o processo de avaliação pedagógica dos livros

inscritos para o PNLD, sendo publicado o primeiro “Guia de Livros

Didáticos” de 1a a 4

a série.

o 1997 – Com a extinção da FAE, a responsabilidade pela política de

execução do PNLD é transferida para o Fundo Nacional de

Desenvolvimento Educacional (FNDE). O PNLD é ampliado para to dos

os alunos de1a a 8

a série do ensino fundamental público.

o 2003 – Pela Resolução CD FNDE no. 38, de 15/10/2003, é instituído o

Programa Nacional do Livro Didático para o Ensino Médio (PNLEM).

2.2 O livro de Física no PNLD

Pode-se observar que as políticas públicas relacionadas ao livro

didático desenvolveram-se de forma gradual, não linear. Em relação à

distribuição, o Ensino Médio passa a ser contemplado progressivamente, com

os livros: Português e Matemática no PNLEM/2005; Biologia no

PNLEM/2007; Química e História no PNLEM/2008; Física e Geografia no

PNLEM/2009.

Portanto, os alunos do Ensino Médio das escolas públicas receberam os

livros de Física pela primeira vez em 2009, por meio do PNLEM/2009. Esses

livros deveriam ser usados pelos alunos e devolvidos para que outros possam

usá-los também – os livros deveriam ser usados durante três anos, neste caso

o triênio 2009/2010/2011. Na escolha desses livros, a comunidade escolar

dispôs de um catálogo, o Catálogo do Programa Nacional do Livro pa ra o

Ensino Médio de Física, no qual estava a l ista das coleções dos livros pré -

selecionados e uma resenha de cada coleção. Na lista disponíve l nesse

Catálogo temos a indicação de seis coleções, sendo que três delas eram de

volumes únicos e outras de três, contendo três volumes cada. No Catálogo é

colocado que esta lista de livros foi avaliada e selecionada por especialistas

da área de Física, proveniente de universidades públicas, tendo como base

vários critérios de avaliação:

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O Catá logo é o resultado de um processo que atravessou vár ias

fases. Duas delas são de espec ia l in teresse [ . . . ] A pr imeira fase

consis t iu de uma cuidadosa aná li se das obras inscr i tas pelas

editoras . Esse processo co meçou com uma aver iguação das

especi f icações técnicas dos l ivros ( for mato, matér ia pr ima e

acabamento) [ . . . ] Em seguida, as obras passaram por uma detalhada

aval iação dos aspectos concei tua is , metodológicos e ét icos. Essa

etapa assegura que todas as obras l i s tadas no catá logo – e que ,

portanto , poderão ser esco lhidas por vo cês – reúnam condições

sa t i s fa tór ias para serem usadas no trabalho pedagógico.

Essa aval iação fo i real izada por uma equipe de espec ia l i stas da área

de Fís ica, provenientes de universidades públicas de vár ias regiões

do Brasi l . A análi se teve como instrumen to a Ficha de Aval iação,

reproduzida neste catálogo. Na Ficha de Avaliação, vocês poderão

confer ir os cr i tér ios que foram usados para aval iar os aspec tos

concei tua is, é t icos e metodológicos das obras didát icas.

(CATÁLOGO DO PROGRAMA NACIONAL DO LIVRO PARA O

ENSINO MÉDIO. PNLEM/2009 FÍSICA, p . 7) .

A escolha da coleção que será usada na escola é feita tendo como b ase

as resenhas de cada coleção. Afirma-se que as resenhas foram analisadas por

professores experientes no ensino médio:

A par t i r da anál ise e d o preenchimento da ficha , foi e laborado uma

resenha para cada obra. Para a aval iação das resenhas , nada melhor

do que contar com a colaboração dos própr ios professores do ensino

médio. Cada resenha fo i cuidadosamente ana li sada por professores

com larga exper iência nesse nível do ensino, para que f inalmente,

pudéssemos chegar à versão que vocês têm agora nas mãos.

(CATÁLOGO DO PROGRAMA NACIONAL DO LIVRO PARA O

ENSINO MÉDIO. PNLEM/2009 FÍSICA, p . 7) .

No Catálogo do Programa Nacional do Livro para o Ensino Médio

Física, pode-se encontrar a informação acerca de como são feitas as resenhas,

e que possuem a seguinte estrutura:

1. Síntese aval ia t iva [ . . . ] uma visão geral das pr inc ipa is caracter í s t icas

do mater ia l didát ico, j untamente com uma s íntese dos pont os mais

for tes e das pr incipa is def ic iênc ias de cada obra .

2 . Sumár io da obra [ . . . ] informações sobre a forma como a obra é

organizada [ . . . ]

3 . Anál ise da obra [ . . . ] d iscussão mais de talhada das caracter í s t icas da

obra [ . . . ] começando pelos aspectos de correção concei tua l ,

passando em seguida para os aspectos pedagógico s metodológicos.

Segue a abordagem da const rução do conhecimento c ient í f ico na

obra, sua contr ibuição para a const rução da cidadania do aluno, as

carac ter í st icas do Manual do Professor , para chegar , enf im, aos

aspectos gráfico -edi tor iais . [ . . . ]

4 . Recomendações aos professores [ . . . ] sugestões sobre como va lor izar

os aspectos mais vantajosos de cada obra e como superar as

def ic iênc ias que e la apresenta. [ . . . ] ( CATÁLOGO DO PROGRAMA

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NACIONAL DO LIVRO PARA O ENSINO MÉDIO. PNLEM/2009

FÍSICA, p . 8 -9 , gr i fo do autor )

A segunda vez que os livros de Física foram distribuídos aos alunos das

escolas públicas ocorre na execução do PNLD/2012 – pela resolução CD

FNDE no. 60, de 20/11/2009. As escolas de ensino méd io passam a ser

atendidas pelo PNLD, programa que será o foco do nosso trabalho.

Inicialmente, nossa intenção era analisar os livros indicados no PNLEM/2009

e no PNLD/2012, comparando-os, mas tivemos duas razões para abandonar

nossa ideia inicial e trabalhar apenas com os livros indicados no segundo

programa. A primeira delas é que não tivemos indicação de coleções com

volumes únicos no PNLD/2012 – não teria sentido comparar coleções de

volumes únicos com as compostas por três volumes – e, uma das coleções de

três volumes indicada anteriormente permaneceu na lista, sendo que outra

permaneceu com o mesmo nome e editora, mudando apenas parte dos autores,

portanto, não vimos sentido na comparação. A segunda – que foi a razão

fundamental – , é que no segundo programa foram indicadas dez coleções com

três volumes cada, portanto, temos um número grande de livros para serem

analisados.

Em nossa análise estaremos procurando interpretações que levem a um

ensino de Física, voltado para criação de modelos espaciais, que possam

ajudar os alunos na visualização espaciais das grandezas físicas estudadas e,

concomitantemente, levar esses alunos a uma comparação/articulação desses

modelos com fenômenos que ocorrem em seu cotidiano. Esta análise está em

acordo com a Física escolar indicada no PNLD/2012:

A Fís ica esco lar deve contemplar , portanto, não só a escolha

cuidadosa dos e lementos pr inc ipais mais impor tantes , presentes na

es trutura concei tual da Física como uma d isc ip lina cient í fica, uma

área do conhecimento si s tematizad o, em termos de concei tos e

def inições, pr incíp ios e leis , modelos e teor ias, fenômenos e

processos; mas deve também incorporar um tratamento ar t iculado

desses elementos entre s i e com outras áreas discip linares, bem

como aspectos his tór icos, tecnológicos, soc iais, econômicos e

ambienta is , de modo a propiciar as aprendizagens signi fica t ivas

necessár ias aos alunos, e assim, cont r ibuir para que o ensino médio

efet ive sua função co mo etapa f ina l da formação educacional bás ica

de todo e qualquer c idadão.

Em outras palavras, na sua consti tuição, a Fís ica esco lar deve

art icular um equi l íbr io entre a impor tânc ia re lat iva dos tópicos de

Física programados, considerando -os no âmbito da es trutura

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concei tua l dessa disc ip lina cientí f ica, e a relevância vivencial e

soc ia l desses conteúdos para os sujei tos em formação, ou seja , para

nossos a lunos do ensino médio . (Guia de Livros Didát icos PNLD

2012 Fís ica, p . 8 , gr i fo do autor) .

Em nosso trabalho levaremos em conta a valorização, por parte dos

livros didáticos, dos conhecimentos e linguagem relacionados ao cotidiano

dos alunos. Fato que também está em acordo com o PNLD/2012:

O LD, em qualquer d iscipl ina, é um inst rumento fundamental (às

vezes pra t icamente único) do acesso dos a lunos à le i tura e à cultura

letrada. Em sua maior ia or iundos de camadas populares, jovens da

esco la pública fazem parte de uma cultura que a escola vem

desconhecendo e, em mui tos casos, negando. A esco la co mo porta -

voz e agente de uma out ra cul tura e de uma out ra l inguagem, não

pode se comportar com o se a cultura e a l inguagem de or igem do

aluno fossem erradas ou def icientes , pelo simples fato de não serem

a cultura e a l inguagem a que o conhecimento fo rmal e os conteúdos

esco lares estão associados. Caso contrár io , a a t i tude da escola será

discr imina tór ia e , portanto, incompatível co m o

ensino/aprendizagem e com o p leno exerc íc io da c idadania. E

aprovei tem a oportunidade para discut ir , sem qualquer preconceito ,

as semelhanças e di ferenças ent re a l inguagem culta e escr i ta do LD

e a fa la da maior ia dos alunos. (Guia de Livros Didát icos PNLD

2012, p . 18) .

Na seleção de livros do PNLD/2012 , livros que serão usados no triênio

2012/2013/2014, inicialmente temos a publicação de um edital convocando as

editoras a inscreverem os livros para a seleção de o bras didáticas destinadas

aos alunos de escolas públicas. Neste edital, temos os critérios de avaliação

usados na seleção dos livros que constarão no Guia de Livros Didáticos, o

qual é encaminhado às escolas, para servir de base para os professores na

escolha do livro que será usado em cada escola. No Guia enviado às escolas,

além dos critérios usados na avaliação, temos também informações sobre a

avaliação e os avaliadores:

Inicialmente, cada co leção inscr i ta neste programa foi anal i sada por

dois aval iadores, de forma independente. Esses ava liadores são

docentes e pesquisadores, especia l i s tas tanto da área de Fís ica ,

como da área de ensino de Fís ica (ver l i stagem de ava liadores, no

iníc io des te Guia) .

Na cont inuidade do processo, essas avaliações ind ividuais de

cada coleção foram cotejadas e discutidas, e , sempre que

necessár io , a inda um outro novo aval iador foi consultado , de modo

a se es tabelecer , com segurança, um consenso para emissão do

resultado final . Os l ivros (vo lumes) ut i l izados na aná li se estavam

descarac ter izados, ou seja , sem identi f icação de autores e de

editoras , de forma a contr ibuir para a garant ia da l isura no

processo.

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Tomadas as dec isões f ina is, após diversos e intensos debates ,

envolvendo não só os aval iadores, mas também a coordenação de

área, a coordenação adjunta de área e a representação da comissão

técnica do PNLD 2012 na área, foram elaboradas as resenhas das

obras aprovadas e os pareceres das obras exc luídas. (Guia de Livros

Didá ticos PNLD 2012 Física, p . 9 -10) .

Conforme foi citado anteriormente, a escolha do livro didático, por

parte dos professores, deverá ser feita tendo como suporte as informações

contidas no Guia encaminhado à escola:

De posse desse Guia, tomando -se as resenhas das obras aprovadas

como referênc ias, mas também os cr i tér ios de ava liação e a própria

f icha de aval iação como subsídios, os professores de Fís ica das

esco las cer tamente es tarão bem ins trumenta l izados para real izar um

processo de escolha , cuidadoso e e fet ivo, da obra mais adequada ao

contexto e às necess idades de sua rea l idade esco lar . (Guia de

Livros Didá ticos PNLD 2012 Fís ica, p . 10 -11) .

Poderíamos até questionar se informações contidas em um Guia –

elaborados por outras pessoas – poderiam ser suficiente para que professores,

os quais provavelmente não conhecem todas as obras indicadas, possam fazer

uma escolha tão importante – esses livros serão usados durante três anos – ,

mas não é objetivo do nosso trabalho essa discussão. Na escolha, os

professores devem indicar duas opções, cabendo ao programa a decisão de

qual livro enviar às escolas:

[ . . . ] Uma vez escolhido, o l ivro se lec ionado como primeira opção é

negociado com os de tentores dos direi tos autorais. Os resul tados

nem sempre são os esperados, o que pode ocas ionar a

impossibi l idade de aquisição da obra escolhida . Daí a impor tânc ia

da segunda opção , que deve ser tão “pra valer” quanto a pr imeira,

para não compro meter todo o invest imento da equipe e do própr io

PNLD. Por tanto , não será demais repet ir : a segunda opção também

é uma opção , e não pode desperd içada com uma esco lha aleatór ia .

Por isso mesmo, deve envolver uma edi tora di ferente da pr imeira,

para evitar que eventua is obstáculos na negociação comprometam

ambas as escolhas. (Guia de Livros Didát icos PNLD 2012, p . 11 -

12) .

Gostaríamos de destacar parte dos cri térios usados na avaliação por

considerá-los importantes para o nosso trabalho. De acordo com o Guia, foi

observado se o Livro do Aluno:

o Utiliza o vocabulário científico como um recurso que auxilie a

aprendizagem das teorias e explicações físicas, sem privilegiar a

memorização de termos técnicos e definições, não se pautando,

portanto, somente por questões de cópia mecânica e memorização;

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o Introduz assunto ou tópico conceitual, levando em consideração as

concepções alternativas que alunos típicos de educação básica

costumam manifestar e que já estão sistematizadas na literatura

nacional e estrangeira da área de pesquisa em ensino de Física, bem

como as suas experiências sócio -culturais;

o Utiliza abordagens do processo de construç ão das teorias físicas,

sinalizando modelos de evolução dessas teorias que estejam em

consonância com vertentes epistemológicas contemporâneas;

o Traz uma visão de experimentação afinada com uma perspectiva

investigativa, mediante a qual os jovens são levado s a pensar a

ciência como um campo de construção de conhecimentos, onde se

art iculam, permanentemente, teoria e observação, pensamento e

linguagem. Nesse sentido, é absolutamente necessário que a obra,

em todo o seu conteúdo, seja permeada pela apresentaçã o

contextualizada de situações -problema, que fomentem a

compreensão de fenômenos naturais, bem como a construção de

argumentações;

o Utiliza analogias e metáforas de forma cuidadosa e adequada,

garantindo a explicitação de suas semelhanças e diferenças em

relação aos fenômenos/conceitos estudados, bem como de seus

limites de validades;

o Apresenta os conteúdos conceituais da Física sempre acompanhados,

ou partindo de sua necessária contextualização, seja em relação aos

seus contextos sócio-cultural-histórico-econômicos de produção,

seja em relação a contextos cotidianos em que suas utilizações se

façam pertinentes, evitando a utilização de contextualizações

art ificiais para esses conteúdos.

O fato de termos citado alguns dos critérios usados na avaliação dos

livros indicados no Guia, não quer dizer que vamos utilizá -los em nossa

análise, mesmo porque manteremos nosso foco apenas em parte do conteúdo

dos livros e acreditamos que os especialistas devem ter avaliado os livros

como um todo e não cada parte do livro em separado. Além disso, o nosso

trabalho não tem como objetivo questionar/confrontar escolhas dos livros

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indicados, mas sim, levantar discussões considerando o tratamento específico

das operações/representações das grandezas vetoriais.

Sendo assim, alguns dos critérios de avaliação podem ajudar na

indicação de um caminho para a análise dos livros que fazem parte de um

programa tão importante. No Portal do Fundo Nacional de Desenvolvimento

da Educação (FNDE) temos a informação de que a previsão de invest imentos

no PNLD/2012 é de 1,3 bilhões de reais, atendendo 39,8 milhões de alunos em

135mil escolas beneficiadas com a distribuição de 153 milhões de livros.

Nesse contexto, a identificação de possíveis potencialidades e das

limitações do Livro Didático de Física com relação ao tratamento dos

diferentes conceitos, em particular o de grandeza física vetorial pode nos

ajudar na compreensão e avaliação deste recurso didático tão em uso em

nosso país.

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3. A OPÇÃO METODOLÓGICA

Entendendo a necess idade de uma análise dos dados que transite entre a

análise do conteúdo e a análise do discurso, e dentre as diferentes abordagens

existentes possíveis, neste trabalho, optamos pela análise textual discursiva

como ferramenta analítica. Esta metodologia não tem como foco a simples

constatação de hipóteses e teorias previamente estabelecidas, uma vez que seu

objetivo primordial é levar às novas compreensões dos fenômenos

investigados. Este é o foco desta nossa pesquisa.

Roque Moraes e Maria do Carmo Galiazz i escrevem que:

A anál ise textua l discursiva corresponde a uma metodologia de

anál ise de dados e informações de natureza qual i tat iva com a

f inal idade de produzir novas compreensões sobre os fenô menos e

discursos. Insere -se entre os extremos da aná li se de conteúdo

tradicional e a aná li se de discurso, representando um movimento

interpretat ivo de cará ter hermenêut ico. (MORAES e GALIAZZI ,

2007, p . 7 , gr i fo do autor) .

Segundo esta metodologia, os textos devem ser desmontados em

unidades de análise, as quais devem ser agrupadas, posteriormente, em função

de relações existentes entre elas. Estes grupos , denominados categorias ,

devem servir de base para a compreensão e descrição dos fenômenos

investigados. A seguir, descrevem-se as principais etapas da análise textual

discursiva segundo os autores citados anteriormente : unitarização ,

categorização e descrição .

De forma esquemática podemos entender o processo da análise textual

discursiva como:

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3.1. Unitarização

A primeira etapa da análise textual discursiva é a escolha do “corpus”

de análise – material de análise, o qual pode ser composto por documentos já

existente ou pode ser gerado para a pesquisa:

Os textos que compõem o “corpus” da aná li se podem tanto ser

produzidos espec ialmente para a pesquisa quanto podem ser

documentos já exis tentes previamente. No pr ime iro grupo integram -

se t ranscr ições de entrevis tas, registros de observação, depoimentos

produzidos por escr i tos, assim como anotações e diár ios diversos . O

segundo grupo pode ser const i tuído de rela tór ios, publ icações de

var iada natureza , ta i s como edi tor ia is de jorna is revistas, resul tados

de aval iações, a tas de diversos t ipos, ent re mui tos outros.

(MORAES e GALIAZZI , 2007, p . 17)

A análise textual discursiva ocorre em ciclos de desmontagem e

remontagens de textos, sendo que o primeiro elemento desse ciclo é a

desconstrução dos textos a serem analisados. A desconstru ção dos textos se

faz necessária para que seja feita a unitarização – determinação das unidades

de análise, também denominadas unidades de significado ou de sentido. Cabe

ao pesquisador decidir sobre a fragmentação de seus textos, podendo ser

CORPUS DE ANÁLISE (Livros didáticos)

UNIDADES DE ANÁLISE

CATEGORIAS

META-TEXTO (explicita as relações entre

as categorias)

Categorização

Unitarização

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geradas unidades de análise com maior ou menor amplitudes. Para uma

melhor organização sobre as o rigens de cada unidade de análise é importante

que o pesquisador as classifique por meio de códigos, usando letras e/ou

números.

As unidades de análise devem ser estabelecidas em função dos

propósitos da pesquisa, tendo como base critérios que podem ser

estabelecidos a priori ou que podem emergir a partir da própria análise. Em

qualquer das formas , as unidades de análise devem ser construídas em um

movimento gradativo de explicitação e refinamento de unidades de base. Na

fragmentação dos textos deve-se ter atenção especial ao contexto de cada

fragmento. Portanto:

[ . . . ] é impor tante reescrever as unidades de modo que expressem

com c lareza os sentidos construídos a par t ir do contexto de sua

produção. I sso implica inc luir a lguns e lementos de unidades

anter iores ou poster iores dentro da sequência do texto or igina l . Isso

se faz necessár io porque as unidades, quando levadas à

categorização , es tarão i soladas e é importante que seu sentido seja

claro e f ie l às vozes dos suje i tos da pesquisa . [ . . . ] É importante

sa l ientar que o processo da uni tar ização não necessi ta prender -se

exclusivamente ao que j á es tá expresso nos textos num sent ido mais

exp líci to . Podem ser construídas unidades que se a fastam mais do

imediato expresso , correspondendo a interpre tações do pesquis ador

que a t ingem sent idos implíc i tos dos textos (MORAES e GALIAZZI ,

2007, p . 20) .

Para facilitar o próximo passo da análise, o processo de agrupamento

das unidades – categorização – o pesquisador pode atribuir um título, o qual

representa a ideia central, a cada unidade de análise.

3.2. Categorização

A categorização, considerada parte central do ciclo de uma análise

textual discursiva, é um processo de comparação constante das unidades

construídas, anteriormente, objetivando o agrupamen to de elementos

semelhantes, sendo que:

A categor ização, além de reunir elementos semelhantes, também

impl ica nomear e def inir as categorias, cada vez com maior

precisão, na medida em que vão sendo construídas. Essa

exp lici tação se dá por meio do reto rno c ícl ico aos mesmos

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elementos, no sentido da const rução gradativa do signi f icado de

cada categoria . Nesse processo, as ca tegor ias vão sendo

aper fe içoadas e del imi tadas cada vez com maior r igor . (MORAES e

GALIAZZI , 2007, p . 23) .

As categorias podem ser determinadas antes da análise dos dados com

base nas teorias que fundamentam o trabalho. Nesse caso, são denominadas

categorias “a priori” e são obtidas por métodos dedutivos. Por outro lado, as

categorias podem também ser produzidas a partir das unid ades de análise,

durante a construção do próprio trabalho, sendo, neste caso, denominadas

categorias emergentes e são associadas aos métodos indutivos e intuitivos.

Uma terceira opção seria uma combinação dos dois métodos:

Os dois métodos, dedut ivo e indu tivo, também podem ser

combinados num processo de anál i se misto pe lo qual , pa r t indo de

categorias definidas “a pr ior i” com base em teor ias escolhidas

previamente, o pesquisador encaminha transformações gradat ivas no

conjunto inicial de categor ias, a par t ir do exame das informações

do “corpus” de aná li se. Nesse processo, segundo Lavil le e Dionne

(1999) , a indução auxi l ia a aper feiçoar um conjunto prévio de

categorias produzidas por dedução. (MORAES e GALIAZZI , 2007,

p . 24) .

O fundamental não é a forma de produção, mas as possibilidades destas

categorias propiciarem uma compreensão aprofundada dos textos a serem

analisados. Para tanto devemos observar algumas propriedades para as

categorias. Entre elas podemos destacar a necessidade das categorias ser em

pertinentes e válidas em relação aos objetivos da pesquisa:

Um conjunto de categorias é vál ido quando é capaz de prop ic iar

uma nova compreensão sobre os fenômenos pesquisados . Quando

um conjunto de categor ias é vál ido, os suje i tos autores dos textos

anal isados precisam perceber nestas categorias seus entendimentos

sobre os fenômenos. (MORAES e GALIAZZI , 2007, p . 26) .

Outra propriedade a ser observada nas categorias é a homogeneidade.

“As categorias necessitam ser homogêneas, ou seja, precisam ser construídas

a partir de um mesmo princípio, a partir de um mesmo contínuo conceitual”.

(MORAES e GALIAZZI, 2007, p. 26). Temos ainda a questão de se colocar

cada unidade em apenas uma categoria:

Algumas modal idades de pesquisa que adotam a ca tegorizaç ão

exigem que es ta atenda à propr iedade da exclusão mútua. Na aná l i se

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textual d iscursiva entendemos que esse cr i tér io já não se sus tenta

diante das múl t ip las lei turas de um texto. Uma mesma unidade pode

ser l ida de d i ferentes perspect ivas, resultando em mú l t iplos

sentidos, dependendo do foco e da perspectiva em que seja

examinada. Por essa razão, acei tamos que uma mesma unidade

possa ser c lassi f icada em mais de uma ca tegoria , a inda que com

sentidos di ferentes. I sso representa um movimento posit ivo no

sentido da superação da fragmentação, em direção a descr ições e

compreensões mais ho lí st icas e global izadas .

Cabe, no entanto, um a ler ta em relação à necessidade de o

pesquisador exp lici tar seus pressupostos de anál ise, a fim de que os

lei tores não sejam confundidos. (MORAES e GALIAZZI , 2007, p .

27) .

A partir da definição das categorias, inicia -se um processo de

explicitação de relações entre elas, objetivando a construção de um metatexto,

sendo que:

Nesse movimento, o pesquisador , a par t ir de ar gumentos parc ia is de

cada categoria , exerci ta a expl ici tação de um argumento aglut inador

do todo. Este é então empregado para costurar as d i ferentes

categorias entre s i , na expressão da compreensão do todo. Este

processo é de na tureza recursiva , exigindo u ma cr í t ica permanente

dos produtos parc ia is no sent ido de uma explic i tação cada vez mais

comple ta e r igorosa de signi ficados construídos e da compreensão

at ingida. (MORAES e GALIAZZI , 2007, p . 30) .

Podemos perceber que na análise textual discursi va há um processo

contínuo de desconstrução e (re)construção para se atingir compreensões cada

vez mais profundas em relação aos fenômenos analisados.

Se no pr imeiro momento da aná li se textua l se processa uma

separação , i so lamento e fragmentação de unidad es de signi ficado,

na categor ização, o segundo momento da análi se , o trabalho é

inverso: es tabelecer relações, reunir semelhantes, construir

categorias. O pr imeiro é um movimento de desorganização e

desmontagem, uma análi se propriamente di ta; já o segundo é de

produção de uma nova ordem, uma nova compreensão , uma s íntese.

A pretensão não é o re torno aos textos or iginais, mas a construção

de um novo texto , um metatexto que tem sua or igem nos textos

or igina is, expressando a compreensão do pesquisador sobre os

signi ficados e sent idos construídos a par t ir deles. (MORAES e

GALIAZZI , 2007, p . 31) .

3.3. Descrição-Metatexto

Tão importante quanto à unitarização e categorização, é a descrição das

compreensões atingidas durante a pesquisa . Na análise textual discursiva, esta

descrição se dá por meio de textos descritivos e/ou interpretativos

denominados metatextos, sendo que estes podem ser mais descritivos – mais

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próximos dos textos originais – ou mais interpretativos – afastamento maior

do material original – , dependendo dos objetivos e características da

pesquisa.

Em qualquer de suas fo rmas, a produção escr i ta na aná li se textua l

discurs iva caracter iza -se por sua permanente incomple tude e pe la

necessidade de c r í t ica constante . É par te de um conjunto de c ic los

de pesquisa em que, por meio de um processo recurs ivo de

exp lici tação de s igni f icados, pretende -se at ingi r uma compreensão

cada vez mais profunda e comunicada com maior r igor e clareza .

Desse modo, toda aná li se textua l discurs iva corresponde a um

processo re i terat ivo de escr i ta em que, grada tivamente, a t ingem -se

produções mais qual i ficadas .

Todo o processo de análi se textual vol ta -se à produção do

meta texto. A par t ir da uni tar ização e categorização constró i -se a

es trutura bás ica do metatexto. Uma vez const ruídas as categorias ,

es tabe lecem-se pontes entre e las, invest igam -se possíve is

sequências em que poderiam ser organizadas, sempre no sent ido de

expressar com maior c lareza as novas intuições e compreensões

at ingidas. (MORAES e GALIAZZI , 2007, p . 32 -33) .

Durante a construção dos metatextos, o pesquisador deve assumir uma

postura crítica em relação aos fenômenos analisados, pois a escrita, assim

como a leitura de um texto, são constantemente influenciadas por

conhecimentos teóricos. Tais conhecimentos podem ser alterados durante a

própria construção dos metatextos, levando à necessidade de novas leituras e

novas interpretações. O que justifica uma criação que nunca se completa,

pois:

A produção textua l , mais do que s implesmente um exerc íc io de

expor algo já per fe i tamente dominado e compreendido , é uma

oportunidade de aprender . É um processo vivo , um movimento de

aprendizagem aprofundada sobre os fenômenos invest igados.

Combina duas faces de um mesmo movimento, o aprender e o

comunicar . (MORAES e GALIAZZI , 2007, p . 34) .

Torna-se difícil classificar com rigor uma comunicação em descrição ou

interpretação, pois quando se tenta descrever um fenômeno é praticamente

impossível desvincular -se de nossas teorias e de nossas visões de mundo.

Portanto, mesmo quando tentamos apenas descrever um fenômeno, de certa

forma, estamos também interpretando o que descrevemos. Em Moraes e

Galiazzi (2007), mesmo consciente das dificuldades existentes, os autores têm

a pretensão de dar uma conotação específica aos termos descrição e

interpretação:

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Entendemos a descr ição como esforço de exposição de sent ido e

signi ficados em sua aproximação mais d ireta com os textos

anal isados . [ . . . ] Desse modo, a descr ição s igni f ica uma exposição

de idé ias de uma perspect iva pr óxima de uma le i tura imediata ,

mesmo cuidadosa e detalhada . Na medida em que nos a fastamos

dessa real idade mais imedia ta do texto, ent retanto, estamos nos

envolvendo gradat ivamente mais num exercício interpretat ivo. [ . . . ]

No contexto da anál i se textua l int erpre tar é construir novos

sentidos e compreensões, a fas tando -se do imediato e exerc i tando

uma abstração. Interpretar é um exercício de construir e de

expressar uma co mpreensão mais aprofundada, indo a lém da

expressão de construções ob tidas a par t ir dos te xtos e de um

exerc ício meramente descr i t ivo. (MORAES e GALIAZZI , 2007, p .

35-36) .

Para Moraes e Galiazzi (2007), uma maneira de validar uma descrição,

dando aos leitores uma imagem fiel dos fenômenos descritos, é que ela seja

densa e recheada de ci tações – selecionadas com critério e perspicácia – dos

textos analisados. Na combinação de descrição e interpretação para a

produção dos metatextos, as novas compreensões podem ser validadas por

meio de interlocuções teóricas e empíricas, representando est reita relação

entre teoria e prática. Na interpretação, considerada como modo de

teorização, tanto a teoria ajuda na interpretação, quanto a interpretação

possibilita a construção de novas teorias.

Na análise textual discursiva a construção dos metatext os não deve ter

como objetivo expressar algo já existente nos textos analisados, mas sim

construções do pesquisador a partir de seu intenso envolvimento e

impregnação com o material analisado. Pois:

As descr ições, as interpretações e as teor izações expres sas como

resultados da aná li se não se encontram nos textos para serem

descobertas , mas consti tuem resul tados de um esforço de construção

intenso e r igoroso do pesquisador . Nessa perspectiva, o pesquisador

não pode de ixar de se assumir autor de seus textos. (MORAES e

GALIAZZI , 2007, p . 39) .

Sendo que:

O objet ivo da anál i se textual d iscursiva é a produção de meta textos

baseados nos textos dos “ corpus” . Esses metatextos, descr i t ivos e

interpretat ivos , mesmo sendo organizados a par t ir das unidades de

signi ficados e das ca tegorias , não se consti tuem em s imples

montagens. Resultam de processos intuit ivos e auto -organizados. A

compreensão emerge, ta l como em s istemas complexos, revelando -

se mui to mais do que uma soma de categorias. Dentro dessa

perspect iva, um me ta texto , mais do que apresentar as ca tegor ias

construídas na anál i se, deve const i tuir -se a par t i r de algo

importante que o pesquisador tem a d izer sobre o fenômeno que

invest igou, um argumento aglutinador const ruído a par t ir da

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impregnação com o fenômeno e que representa o elemento centra l

da cr iação do pesquisador . Todo texto necessi ta ter algo importante

a dizer e defender e deveria expressá -lo com o máximo de c lareza e

r igor . (MORAES e GALIAZZI , 2007, p . 40) .

Na fase inicial da análise textual discursiva temos a unitarização, que

representa um movimento de interpretação dos textos por meio de uma leitura

aprofundada e rigorosa. Após este processo de desmembramento dos textos,

gerando unidades de análise, temos o início da (re)construção de um no vo

texto, sendo que as unidades são agora agrupadas por meio de suas relações.

Esse processo, chamado de categorização, serve de base para a construção do

metatexto, um novo texto que tem como objetivo comunicar as realizações da

análise, portanto, não se trata de um texto que simplesmente descreve os

fenômenos que estão no material analisado, mas que fundamentalmente trata

das novas compreensões destes fenômenos por parte do pesquisador.

É importante observar que a análise textual discursiva, sendo um

processo inacabado, em constante construção, não gera respostas definitivas,

mas sim compreensões momentâneas dos fenômenos analisados. Portanto

neste processo o pesquisador convive, constantemente, com angústias e

apreensões geradas por incertezas em relação à emergência dos novos modos

de compreensão dos fenômenos investigados. Devemos observar também que,

embora tenhamos nos referido aos textos como sendo constituídos

basicamente por produções escritas, o termo deve ser entendido num sentido

mais amplo, no qual são incluídas imagens e outras expressões linguísticas.

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4. A UNITARIZAÇÃO: unidades de análise

Neste trabalho, procuramos analisar as relações entre grandezas

vetoriais e sua representação espacial, tendo inicialmente como corpus de

análise as 10 coleções dos livros didáticos indicadas no PNLD 2012 , somente

os volumes onde temos estudos em relação às grandezas vetoriais foram

analisados. Iniciamos com uma leitura , numa primeira análise superficial , de

cada um dos livros . A partir dessa leitura, fomos retirando e catalogando

partes que acreditamos contribuir para o entendimento da relação a ser

analisada. Este material , composto pelas partes dos l ivros , passou a ser o

nosso novo corpus de análise.

Os livros analisados neste trabalho foram avaliados por especialistas e

indicados pelo MEC em 2010 e, encaminhados aos professores da rede publica

em 2011, para sua utilização a partir de 2012. Cabe destacar que pela primeira

vez todas as coleções estão compostas por 3 volumes. Na tabela 1 estão

relacionados estes livros, na ordem que aparecem no guia :

TABELA 1 – Livros didáticos de Física aprovados pelo PNLD de 2012

Título Autores Editora

1. Compreendendo a

Física

Alberto Gaspar

Editora Ática

2. Curso de Física

Antônio Máximo Ribeiro e

Beatriz Álvares Alvarenga

Editora Scipione

3. Conexões com a

Física

Blaidi Sant’Anna, Gloria Martini ,

Hugo Carvalho Reis e

Walter Spinell i

Editora Moderna

4. Física, Ciência e

Tecnologia

Carlos Magno A. Torres,

Nicolau Gilberto Ferraro e

Paulo Antônio de Toledo Soares

Editora Moderna

5. Física aula por aula

Cláudio Xavier da Silva e

Benigno Barreto Filho

Editora PD

6. Física

Ricardo Helou Doca, Gualter José

Biscuola e Newton Villas Bôas

Editora Saraiva

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7. Física e realidade

8. Física em Contextos

Pessoal Social

Histórico

9. Física para o Ensino

Médio

10. Quanta Física

Aurélio Gonçalves Filho e

Carlos Toscano

Maurício Pietrocola, Alexander

Pogibin, Renata Crist ina de

Andrade Oliveira e Tali ta Raquel

Luz Romero

Kazuhito Yamamoto e

Luiz Felipe Fuke

Luis Carlos de Menezes, Osvaldo

Canato Júnior, Carlos Aparecido

Kantor, Lil io Alonso Paoliello

Júnior , Viviane Moraes Alves e

Marcelo de Carvalho Bonett i

Editora FTD

Editora Scipione

Editora FTD

Editora Saraiva

Fonte: Catálogo PNLD 2012 – Brasília 2012

Após termos selecionado as partes dos livros que julgávamos contribuir

para nossa pesquisa, percebemos que tínhamos um material extenso e

sentimos necessidade de fazer recortes, pois o tempo disponível para o curso

de mestrado não permitiria analisar todo o material coletado. Por isso, no

processo de unitarização optamos por duas unidades de análise relacionadas

às grandezas: Cinemática com as grandezas físicas posição, deslocamento,

velocidade e aceleração; e Força . De forma complementar e,

superficialmente, apresentam-se outras grandezas físicas vetoriais e seu

tratamento nos livros.

A escolha destas unidades se deu principalmente por considerarmos

que essas grandezas estão constantemente ligadas ao cotidiano dos alunos, por

acreditarmos que elas reforçam a necessidade de uma representação espacial,

e que ao mesmo tempo facili tam a visão dessa representação espacial.

A análise dos textos se desenvolveu a partir da busca nos l ivros

didáticos do tratamento que é dado tanto ao conceito matemát ico de vetor

quanto ao conceito das grandezas físicas vetoriais , objeto da análise. Para

isso, no processo de unitarização, os livros serão denominados/classificados

por números, no entanto, esses números não têm nenhuma relação com a

ordem da tabela anterior.

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4.1. Cinemática: posição, deslocamento, velocidade e aceleração

Os conceitos de posição , deslocamento, velocidade e aceleração,

geralmente são estudados na cinemática. Portanto consideramos importante

um breve comentário a respeito da localização deste estudo em cada livro.

Nos livros 2, 4, 5 e 9, logo no início do primeiro volume, após uma

breve introdução, temos o estudo da cinemática escalar e em seguida,

separadamente, temos a cinemática vetorial. Entre os quatro livros citados,

somente no livro 9 temos um conceito de grandezas vetoriais e escalares

anterior ao estudo da cinemática escalar.

Nos livros 3, 6 e 8, o estudo da cinemática é feito de maneira

semelhante aos livros citados anteriormente, mas não temos divisão explícita

da cinemática em escalar e vetorial. No livro 1, antes de iniciar o estudo da

cinemática temos o conceito de grandezas vetoriais e escalares assim como a

representação e operações – soma e decomposição – vetoriais. No livro 7 , a

cinemática é estudada em capítulos complementares no final do primeiro

volume. Inicialmente se estuda a cinemática vetorial e em seguida a

cinemática escalar. No l ivro 10 , inicialmente se estudam conceitos

relacionados à energia. Na metade do primeiro volume é que temos os

conceitos relacionados à cinemática, sendo que na maior parte dos l ivros, a

posição e o deslocamento são tratados como escalar e só depois são

redefinidos como grandezas vetoriais.

Percebemos ainda que, no estudo des tas grandezas chamadas de

escalares, posição escalar (também chamada de espaço) e o deslocamento

escalar, existe uma constante necessidade de serem relacionadas a uma

localização espacial . Portanto, acreditamos que pode até ser incoerente

chamá-las de grandezas escalares.

4.1.1. LIVRO 1

No livro 1 , antes de iniciar o estudo da cinemática temos o conceito de

grandezas vetoriais e escalares assim como a representação e operações –

soma e decomposição – vetoriais. No início do estudo da cinemática o

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conceito de espaço percorrido e velocidade escalar foram introduzidos como

genéricos e provisórios:

A def inição de movimento permi te pensarmos inic ialmente em

dois conceitos genéricos e provisór ios, mas que nos são mui to úte is

no d ia a dia .

O pr imeiro deles é o concei to de espaço percorrido , def inido

como a medida do comprimento do percurso do corpo em

movimento. Essa medida costuma ser obt ida entre duas re ferências ,

como os marcos quilométr icos de uma estrada. [ . . . ] O segundo

concei to é o de veloc idade esca lar , que dá a idéia quanti tat iva ou

numérica da rapidez com que o corpo se movimenta. Essa

ve loc idade pode estar relac ionada a um interva lo de tempo, quando

então é chamada de velocidade escalar média , ou a um instante –

in tervalo de tempo inf ini tamente pequeno – , quando então é

chamado de ve loc idade esca lar ins tantânea .

Veloc idade esca lar média ( v m ) de um corpo é, por definição, a

razão entre o espaço percorr ido (∆ e) e o inte rva lo de tempo (∆ t )

gas to para percor rê -lo . (LIVRO 1 , p . 40, gr i fo do autor) .

Neste livro , temos crítica ao uso da palavra espaço indicando posição:

É co mum uti l izar a letra s , em geral minúscula, como s ímbolo

de posição e o termo espaço em vez de posição – s é a inic ia l de

space , que , em por tuguês, signi f ica “espaço” . Ambos os

procedimentos são inadequ ados . Espaço não é sinônimo de posição

nem em Física nem em português. Segundo o Dicionário e le trôn ico

Houaiss, os s igni f icados mais próximos dessa palavra em relação à

descr ição de um movimento são:

“extensão ideal , sem l imi tes, que contém todas as exten sões

f ini tas e todos os corpos ou obje tos exis tentes ou possíveis.

extensão l imi tada em uma, duas ou t rês dimensões; distância,

área ou vo lume determinados”

Nenhum deles, portanto , pode ser entend ido como posição de

um ponto mater ial em relação a u m e ixo coordenado. Se espaço é

um termo a ser evi tado, a letra s a ele vinculada também deve ser

evitada. Por essa razão, ut i l izaremos x , s ímbolo empregado em

geometr ia analí t ica para ind icar a abscissa de um ponto. É um

símbolo prec iso que será substi tuíd o por y quando es tudarmos

movimentos em t rajetó r ias ver t icais. (LIVRO 1, p . 56, gr i fo do

autor) .

Concordamos com essa afirmação, pois, uma notação que

provavelmente o aluno está habituado a usar na Matemática poderia ajudar na

visualização e representação dessa grandeza.

O conceito provisório de espaço percorrido , como sendo “medida do

comprimento do percurso” , nos parece referir à distância percorrida, mas isto

não se confirma no uso da representação ∆e para essa grandeza:

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Em fís ica usa -se a le tra grega ∆ (de l ta) sempre que se

pretende representar um intervalo ou a var iação de alguma

grandeza . A var iação de uma grandeza é sempre ob tida pe la

di ferença entre sua medida final e inic ial no interva lo de tempo

considerado; no caso do espaço percorr ido essas medidas podem ser

duas re ferências – do is marcos qui lométr icos, por exemplo –

f ixadas no caminho percorr ido por um móvel, por isso optamos por

usar a no tação ∆e (del ta e) em vez de e , apenas. Assim, podemos

escrever ∆e = e – e 0 , sendo e e e 0 as re ferênc ias consideradas.

(LIVRO 1, p . 40, gr i fo do autor) .

Espaço percorrido e distância percorrida não são equivalentes quando

temos mudança de sentido. Como o espaço percorrido (representado neste

livro por ∆e = e – eo) não representa a distância percorrida no caso de

inversão de sentido do movimento, não podemos afirmar que a velocidade

escalar média representa sempre a rapidez.

Numa discussão sobre o significado da palavra velocidade, nos parece

ter indicação que velocidade escalar representa rapidez:

A palavra ve loc idade t em diversos s igni f icados, como rap idez ou

l ige ireza, que não podem ser confundidos com o conceito f í sico de

ve loc idade. O conceito de velocidade escalar que aparece aqui deve

ser entendido como provisór io; já o concei to f ís ico de velocidade

será apresentado no próximo capí tulo . A pr incipal di ferença entre

eles é que a ve loc idade é um vetor , tem módulo , direção e sentido,

enquanto veloc idade escalar é uma grandeza escalar , tem apen as um

valor numérico e unidade.

Em outras palavras, dois automóveis que se cruzam em p istas

di ferentes de uma avenida com veloc idade de 60 k m /h não têm a

mesma ve locidade, no sentido que a f ís ica dá ao termo, porque e les

têm sentidos d i ferentes. (LIVRO 1 , p . 41, gr i fo do autor) .

O conceito de deslocamento é introduzido no estudo dos movimentos

retilíneos:

[ . . . ] Essa var iação de posição do ponto mater ia l nesse inte rvalo de

tempo é denominada deslocamento (∆ ) , ve tor que l iga duas

posições de um ponto mater ia l em movimento [ . . . ] Se a trajetór ia do

ponto mater ial é re t i l ínea, o módulo do ve tor de s locamento [ . . . ] é

obtida pe la di ferença algébr ica entre as posições sucessivas do

ponto mater ia l nes se intervalo : (∆x = x - x0) . (Livro 1 , p . 56 , gr i fo

do autor)

Temos uma relação entre deslocamento e espaço percorrido para o

movimento reti líneo:

Nos movimentos ret i l íneos, em interva los de tempo em que não há

mudança de sentido, o espaço perc orr ido coincide com o módulo do

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deslocamento – é o único caso. Se houver uma mudança de sentido,

esses va lores não co incidirão mais. (LIVRO 1, p . 70) .

No estudo dos movimentos retilíneos – MRU e MRUV – usa-se a letra x

para indicar a posição, sendo que no caso específico do movimento vertical a

letra usada é y. Nesse livro não temos o estudo do movimento no plano –

lançamento de projéteis.

Temos o conceito de velocidade média:

Já vimos o concei to de ve loc idade escalar média, def inindo -o a

par t ir do espaço percorr ido por um móvel . O concei to de velocidade

média é semelhante, mas é def inido a par t ir do deslocamento de um

ponto mater ia l . A ve locidade média de um ponto mater ia l é , por

def inição, a razão ent re o des locamento ∆ de um móvel e o

intervalo de tempo correspondente. Assim, expressa em módulo, a

ve loc idade média é : v m = ∆x /∆t . (Livro 1 , p . 57, gr i fo do autor) .

É colocado que a velocidade instantânea é a velocidade média calculada

em um intervalo de tempo infinit amente pequeno. No conceito de velocidade

média – razão entre o deslocamento e o intervalo de tempo correspondente – ,

assim como ocorreu para o deslocamento, não é citado o adjetivo vetorial.

Como justificativa para esta notação é colocado que:

Da mesma forma que des locamento e espaço percorr ido são

concei tos d i ferentes, Velocidade media e ve loc idade esca lar média

–concei tos der ivados de deslocamento e espaço percorr ido – também

são d i ferentes . Como o des locamento, a ve locidade média é um

vetor , por i sso é cos tume chamá-la de velocidade ve tor ial média.

Neste l ivro, no es tudo dos movimentos nos corpos ou pontos

mater ia is , não vamos uti l izar o adjet ivo ve tor ial para veloc idade

média nem para velocidade instantânea. I sso porque em f ís ica ,

quando nos re fer imos à ve locidade de um corpo ou de um ponto

mater ia l , só faz sentido fa lar em velocidade como ve tor . Nesse

caso , acrescentar o adjet ivo ve tor ial ser ia redundância . (LIVRO 1,

p . 58, gr i fo do autor) .

Também concordamos com essa afirmação, a questão é q ue

anteriormente – nos exercícios resolvidos 2 e 4 n a página 42 do livro1 –

temos uso do termo velocidade média se referindo à velocidade escalar média.

Por várias vezes temos uso da palavra velocidade se referindo à velocidade

escalar, sem o adjetivo esca lar.

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Na introdução da velocidade e aceleração não temos referência à

inversão do movimento. Na introdução da aceleração média, assim como

ocorreu para a velocidade média, usa -se o movimento retilíneo como

referência:

A aceleração , como a veloc ida de, é grandeza vetor ial , por i sso e la

exige um tra tamento matemát ico mais complicado. [ . . . ] Mas, para

movimentos re t i l íneos , é possível def inir a aceleração de manei ra

simples, escalarmente, considerando apenas os módulos da

aceleração e das ve locidades .

Assim, se a velocid ade do ponto mater ial em traje tór ia re t i l ínea

sofre a var iação ∆v, em módulo, no interva lo de tempo ∆t, a

aceleração média (a m) , em módulo, pode ser def inida pela razão : a m

= ∆v/∆t (LIVRO 1, p . 60, gr i fo do autor) .

Poderíamos ter uma discussão esclarecendo que não se trata de

trabalhar escalarmente, mas que nesta situação, a trajetória reta indica a

direção e o sinal indica o sentido da grandeza. Fato que ocorre

posteriormente:

Como es tamos es tudando movimentos re t i l íneos , no quais a d ireção

da ve locidade está implic i tamente dada, a velocidade ob tida por

essas funções pode ser considerada ve tor ial , pois elas dão também o

módulo da veloc idade e o sent ido, es te por meio do s inal . Se o

módulo vier preced ido do s inal posi t ivo, o sentido será o mesmo de

referencia l ; se for negat ivo , o sentido da ve loc idade será o oposto.

Então, se conhecemos a direção, o módulo e o sentido da

ve loc idade, conhecemos o vetor velocidade. (LIVRO 1, p . 89) .

Usa-se aceleração para discutir a relação entre sinal e sent ido para

grandezas vetoriais:

Outra conseqüência do cará ter ve tor ial da ace leração é que o s ina l

acresc ido ao seu módulo depende do sent ido do referencia l adotado,

e não do sentido da veloc idade. A idé ia – mui to comum – de

assoc iar o s ina l negativo da ace leração a freamento ou redução de

ve loc idade não é cor reta . Em f ísica os s ina is posi t ivo e negat ivo

relacionados a grandezas vetor ia is não signi ficam acrescentar ou

t irar , como na vida co tidiana, mas concordar com o referenc ial ou

discordar dele . (LIVRO 1, p . 71) .

Como já dissemos em relação à ve loc idade, em f ís ica o adjet ivo

negativo está quase sempre re lac ionado ao sentido do referenc ial , e

não à redução ou diminuição do módulo de uma grandeza. A

aceleração negativa, por exemplo, nem sempre reduz o módul o da

ve loc idade do móvel – se a velocidade também for negativa , seu

módulo aumentará. Por essa razão, não vamos ut i l izar , nesse l ivro,

o termo desaceleração como sinônimo de ace leração negativa , po is

desace lerar segundo o Dic ionár io Aurél io e le t rônico, é “ reduzi r a

veloc idade; re tardar”. ( Livro 1 , p . 88, gr i fo do autor) .

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No estudo do movimento de queda livre é colocado que se trata de um

MRUV e que será adotado referencial positivo para cima, portanto a

aceleração da gravidade terá sinal negativo:

Vamos es tabe lecer um único sis tema de referênc ia : um e ixo

ver t ica l , or ientado para cima, com a or igem f ixada, em gera l , no

solo [ . . . ] . Nessas condições, como a aceleração da gravidade é

or ientada ver t icalmente para baixo, o seu módulo será sempre

precedido de sina l negat ivo . (Livro 1 , p . 106, gr i fo do autor) .

No estudo do movimento circular uniforme é colocado que apenas o

módulo da velocidade permanece constante, sendo que, sua direção e sentido

mudam constantemente. É citado que velocidade an gular se trata de uma

grandeza vetorial, mas não temos refe rência à sua direção e sentido. T emos

um conceito de aceleração centrípeta:

Já vimos que [ . . . ] no movimento c ircular uni forme, a velocidade de

um ponto mater ia l P sempre var ia em direção e sent ido , embora

tenha módulo constante. [ . . . ] Se exis te var iação da ve loc idade,

existe ace leração. Mas como a aceleração no movimento ci rcular

uni forme não provoca var iação no módulo da ve locidade, conclui -se

que nesse movimento a aceleração é sempre perpendicula r à di reção

de . [ . . . ] Sendo perpendicular a , a aceleração é radial – t em

sempre a direção do raio da c ircunferência – e o sentido é or ientado

para o centro. Por essa razão, denomina -se aceleração cen trípeta

( c) . (Livro 1 , p . 200, gr i fo do autor) .

Usa-se a impossibilidade de uma aceleração tangencial no MCU para

reforçar a direção da aceleração centrípeta:

Se a ace leração c no MCU não fosse perpendicular à ve loc idade ,

e la admitir ia um componente tangencial t que ir ia aumentar [ . . . ] ou

diminuir [ . . . ] o módulo de . Como o módulo permanece constante,

conclui -se que a aceleração c é sempre perpendicular a [ . . . ]

(Livro 1 , p . 200, gr i fo do autor) .

Acreditamos que estas explicações podem ajudar na visualização deste

tipo de aceleração. Assunto tão complicado para os alunos.

4.1.2. LIVRO 2

No livro 2, temos inicialmente um estudo envolvendo posição, distânc ia

percorrida e deslocamento na forma escalar. Tendo como referência uma

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estrada curva, com alguns marcos quilométricos, são colocadas algumas

questões que mostram a necessidade de considerar a direção e sentido no

estudo desses conceitos:

Dois aspectos devem ser levados em conta na de terminação da

posição de um corpo em uma trajetór ia . Um deles é o

es tabe lec imento da marcação, ou seja , o marco zero. O outro é a

or ientação da t rajetór ia [ . . . ] um corpo A na posição + 10 km

encontra -se a 10 km do marco zero (ponto 0) , medidos no sentido

da or ientação da trajetó r ia , enquanto um corpo B na posição - 5 km

encontra -se a 5 km do marco zero, medidos no sentido contrár io ao

da or ientação da trajetó r ia . A posição do corpo é o va lor a lgébr ico

da distância medida sobr e a trajetór ia entre o corpo e o marco zero

da trajetór ia . A grandeza que determina a posição de um corpo em

uma t rajetór ia recebe o nome de espaço (usa -se normalmente a le tra

s para des ignar o espaço de um corpo) . (LIVRO 2, p . 33, gr i fo do

autor) .

Considerando dois corpos que se movem entre dois pontos de uma

mesma trajetória ( -5 km e + 10 km), só que em sentidos opostos, são

introduzidos os conceitos de deslocamento escalar e distância percorrida:

A distânc ia percorr ida pelos dois corpos foi a mesma, 15 km, no

entanto, o deslocamento esca lar não fo i o mesmo. Deslocamento

escalar , ou var iação do espaço , é a di ferença algébrica entre os

espaços final e inicial do corpo. [ . . . ] Portanto, des locamento é uma

grandeza que pode ter resultados posit ivo s ou negat ivos,

dependendo do sentido do movimento do corpo . E pode até mesmo

ser nulo , quando a posição de par t ida do corpo coincid ir com a

posição de chegada.

Quando um corpo inver te o sentido de seu movimento,

podemos pensar em dois deslocament os: um de ida e um de vol ta .

[ . . . ] A distânc ia percorr ida (D), nesse caso, deve ser igual à soma

dos va lores abso lutos dos dois des locamentos . (Livro 2 , p . 34)

O fato de atribuir sinal ao sentido da trajetória e uso de um referencial

para indicar a posição pode estar relacionado à necessidade de uma visão

espacial dessas grandezas .

Neste livro o conceito de velocidade escalar média é dado pela razão

entre o deslocamento escalar (∆s) e o tempo ∆t: vm = ∆s /∆t. Assim como o

deslocamento escalar não representa distância percorrida, a velocidade escalar

média não representa a rapidez , grandeza presente no cotidiano dos alunos .

Fato que pode ser percebido na observação colocada em um exercício

resolvido:

No dia a dia não temos o hábi to de or ien tar a trajetór ia de um

movimento, por i sso normalmente calculamos a velocidade esca lar

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média pela razão ent re a distância percorrida e o tempo decorr ido

no percurso. (Livro 2 , p . 39, gr i fo do autor ) .

O conceito de aceleração escalar média é colocado em f unção do valor

da velocidade:

Quando o valor da velocidade de um corpo em movimento var ia ,

d izemos que o corpo tem aceleração escalar . [ . . . ] A aceleração

esca lar média (am ) de um corpo em movimento é a medida da

var iação do va lor de sua velocidade instant ânea por unidade de

tempo, calculada por : a m = ∆v /∆t . ( l ivro 2 . P . 41, gr i fo do autor) .

Acreditamos que o termo “valor” usado no conceito da aceleração

escalar, não deve ter significado de módulo, pois, no caso de mudança de

sentido teríamos incoerência neste conceito de aceleração. Podem os perceber

a necessidade de relacionar sinal ao sentido da aceleração escalar:

A ace leração esca lar média de um corpo em movimento po de ser

representada por um valor negat ivo [ . . . ] para um corpo em

movimento no sentido da trajetór ia , ace leração negativa s igni f ica

diminuição de ve locidade, mas somente quando o móvel es tá se

des locando a favor da or ientação da t rajetór ia . (Livro 2 , p . 42) .

Não temos comentários sobre a relação da velocidade com a aceleração

para o caso de um movimento em sentido c ontrário ao da orientação da

trajetória e nem de movimentos com inversão de sentido. Temos uma

discussão sobre o movimento acelerado e retardado, mas não temos uma

relação direta entre os sinais da velocidade e da aceleração para a

classificação destes movimentos.

Após o estudo da cinemática escalar, temos um estudo envolvendo a

representação e operações vetoriais – decomposição e soma. É citado que as

grandezas deslocamento, velocidade e aceleração são grandezas vetoriais e a

partir deste momento, sem discutir os conceitos específicos de posição,

deslocamento, velocidade média e aceleração média num enfoque vetorial, o

deslocamento, velocidade e aceleração são representados e tratados como

vetores. No estudo da cinemática vetorial não se discute rel ações nem

diferenças entre as grandezas chamadas anteriormente de escalares e as agora

chamadas de vetoriais.

Acreditamos que “definir” grandezas escalarmente e em seguida,

simplesmente citar que as mesmas são vetoriais e começar a trabalhar

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vetorialmente com elas, pode deixar os alunos confusos. No estudo da

cinemática vetorial , o nome das grandezas não estão acompanhados da palavra

vetorial e no estudo da cinemática escalar por várias vezes as grandezas são

citadas sem a palavra escalar.

Usa- se um barco deslocando-se em um rio sem correnteza, a favor da

correnteza e contra a correnteza para introdu zir a composição de velocidades.

A velocidade do barco em relação à margem é a soma vetorial da velocidade

do barco em relação à água com a velocidade da águ a em relação à margem.

Temos um exemplo de um barco deslocando perpendicularmente em relação à

água.

No estudo do movimento reti líneo , MRU e MRUV, usa-se a letra s nas

expressões matemáticas da posição (espaço), inclusive para os movimentos:

vertical e lançamento horizontal ou oblíquo .

No estudo do movimento vert ical (para baixo ou para cima), assim como

no lançamento de projéteis (horizontal e oblíquo) , a aceleração da gravidade é

considerada positiva ou negativa dependendo do sentido adotado como

positivo para a trajetória. Algumas vezes o sentido adotado como positivo

para a trajetória não está explícito. Fato que não condiz com o que está

colocado em relação a um corpo lançado verticalmente para cima:

O sent ido da veloc idade do objeto , por tanto , inver te -se durante o

trajeto , mas o sent ido da ace leração é sempre o mesmo: para ba ixo.

Por isso, convém es tabelecer claramente o sent ido da or ientação

para a trajetór ia na resolução de alguma si tuação -problema

envolvendo um lançamento ver t ica l [ . . . ] Os s ina is d i ferentes de v 0 e

g servem para mostrar que o movimento de subida da pedra é

uni formemente var iado (MRUV) e retardado. (L ivro 2 , p . 107) .

No estudo do movimento circular uniforme é colocado que:

A veloc idade escalar angular de um ponto que se move com

veloc idade constante em torno de uma circunferência é a grandeza

que expressa o valor da medida do arco (em graus ou em rad ianos)

descr i to pelo ponto por unidade de tempo. (Livro 2 , p . 164, gr i fo

nosso) .

Podemos perceber a falta de rigor, quando se afirma que a velocidade é

constante no movimento circular uniforme, pois, como ela muda

constantemente de direção, terá somente módulo constante. Temos casos de

falta de rigor na representação vetorial, velocidades com direções diferente s

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são representadas pelo mesmo símbolo. No estudo do lançamento de projéteis,

as componentes verticais da velocidade, com valores diferentes , são

representadas pelo mesmo símbolo, sendo que os tamanhos das setas estão

coerentes.

No estudo do movimento circular uniforme, temos o conceito de

aceleração centrípeta:

Embora o módulo da ve locidade permaneça constante , uma vez que

o movimento é uni forme, a var iação da d ireção da veloc idade,

devido ao fa to de o movimento ser circular , implica a exis tência de

uma ace leração. [ . . . ] Um corpo em MCU tem apenas ace leração

centr ípe ta (di r igida para o centro da trajetó r ia) . A aceleração

centr ípe ta é responsável pela var iação na direção do ve tor

ve loc idade do corpo em movimento. (Livro 2 , p . 169)

Neste livro, usa-se a representação do vetor velocidade em dois pontos

diferentes de uma trajetória circular, para mostrar que a diferença entre as

velocidades e consequentemente a aceleração centrípeta é um vetor dirigido

para o centro da trajetória (a aceleração vetorial média para o movimento

circular uniforme é dada pela variação vetorial da velocidade em um intervalo

de tempo). Foi comentado que: se considerarmos o intervalo de tempo bem

pequeno teremos uma aceleração vetorial instantânea e que, se o módulo da

velocidade em movimentos curvilíneos não for constante, a aceleração

vetorial instantânea pode ser decomposta em duas direçõe s, uma tangente à

trajetória e outra perpendicular e dirigida para o centro da trajetória.

Lembrando que no estudo da cinemática vetorial não tivemos o conceito

específico de aceleração vetorial, foi apenas citado que a aceleração é uma

grandeza vetorial. No movimento circular é que aparece a aceleração vetorial

(superficialmente).

4.1.3. LIVRO 3

No livro 3 , apesar de não estar explícito, temos uma separação entre a

cinemática escalar e vetorial. Inicialmente estuda -se a distância percorrida e a

velocidade média. O movimento é estudado basicamente em trajetórias

retilíneas, e inicialmente não temos referência explícita a o caráter escalar ou

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vetorial das grandezas f ísicas estudadas. Somente no final do estudo da

cinemática é que temos explicitamente o caráter vetorial destas grandezas.

Logo no inicio do estudo da cinemática temos o estudo do movimento

retilíneo uniforme, no qual a distância percorrida é introduzida como o

produto da velocidade pelo tempo. A expressão usada para o cálculo da

distância percorrida (d = v t) foi introduzida para uma trajetória retilínea, mas

logo em seguida temos uma citação indicando que essa expressão vale para

trajetórias não retilíneas:

Evidentemente, esta equação se apl ica mesmo no caso de a

trajetór ia não ser re t i l ínea [ . . . ] , mas não se esqueça de que e la é

vá lida somente quando o va lor da velocidade permanecer constante.

(Livro 3 , p . 35) .

É citado que “o valor da velocidade” deve permanecer constante, mas

ainda não t ivemos comentários sobre a direção e sentido da velocidade.

Em seguida é que temos uma explicação sobre o significado do sinal da

velocidade, na qual, podemos perceber a necessidade de se indicar um sentido

e uma trajetória para o movimento:

Quando um corpo se desloca em uma tra jetór ia , costumamos

convencionar que um dos sentidos do movimento é posi t ivo ; o outro

sentido, por tanto, será considerado negativo. Para um automóvel

que se move ao longo de uma estrada, podemos considerar como

posi t ivo o sentido no qual o carro a fasta -se do inic io da estrada

(sentido de crescimento da indicação dos marcos quilométr icos) . Se

o automóvel est iver aproximando d o começo da es trada , dizemos

que ele está se movendo no sentido negat ivo. No pr imeiro caso, a

ve loc idade do carro ser ia considerada posit iva e , no segundo,

negat iva. (Livro 3 , p . 37) .

Acreditamos que o significado dos termos distância perc orrida e

posição, não está claro neste livro.

Em Matemát ica, a variação de uma grandeza qualquer é

representada pelo s ímbolo da grandeza, preced ido da letra grega ∆

(delta) . Assim, ∆t representa a var iação no tempo t e ∆d, uma

var iação na distânc ia percorr ida d . (Livro 3 , p . 39, gr i fo do autor) .

Você já deve te r observado que nas es tradas exis tem p lacas ,

denominadas “marcos qui lométr icos”, ind icando a distância da

posição dessa placa a té o começo da es trada (qui lômetro zero) .

Suponhamos que um automóvel esteja , no ins tante t 0 = 0 , passando

em frente à p laca do “qui lômetro 3 0” [ . . . ] Dizemos que a posição

do carro em re lação ao começo da es trada é d 0 = 30 km

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( representando a posição pela le tra d) . Evidentemente i sso não

signi fica que a d is t ância percorr ida pe lo carro tenha s ido de 30 km,

pois ele pode não ter inic iado a sua viagem no qui lômetro zero

(Livro 3 , p . 40, gr i fo do autor) .

[ . . . ] para se de terminar a posição de um corpo em uma dada

trajetór ia , bas ta que se forneça o va lor da sua di stância , medida

sobre a traje tór ia , a um ponto dela adotado como referência

(or igem). (Livro 3 , p . 41) .

[ . . . ] Depois de decorr ido um intervalo de tempo ∆t, o carro es tará

em B, tendo percorr ido uma dis tânc ia ∆d. [ . . . ] em um movimento

var iado, a ve locidade instantânea é dada por v = ∆d/∆t, sendo ∆t o

menor poss íve l . (Livro 3 , p . 43)

Podemos perceber o uso de ∆d para representar variação na distância

percorrida ou a própria distância percorrida. Portanto a letra d é usada para

representar distância percorrida ou posição. No conceito de velocidade média

usa-se a distância percorrida e também distância total percorrida:

Se um auto móvel , em uma viagem, percorre uma distância de 560km

em 8,0h, você e , provavelmente, mui tas outras pessoas dir iam “o

automóvel desenvolveu, em média, 70km/h”. Este resultado , que fo i

obtido d ivid indo -se a d is tânc ia percorr ida (560km) pelo tempo de

viagem (8,0h) , é o que denominamos veloc idade média e

representamos por v m . Temos por definição: v m = d istância to tal

percorr ida/ tempo gasto no percurso ou v m = d/t (Livro 3 , p . 44,

gr i fo do autor) .

Usa-se a distância percor rida, mas não é citado que se trata de uma

grandeza escalar. Não vemos sentido em usar o termo “distância total

percorrida”, também representada pela letra (d) . Temos dúvidas se o

significado do termo distância percorrida usada neste livro, é o mesmo usado

no cotidiano das pessoas. Não se discute a inversão do sentido do movimento.

Tanto o movimento uniforme quanto o movimento uniformemente

variado foram estudados em trajetórias retilíneas, sendo que nas expressões

matemáticas desses movimentos – MRU e MRUV – usa-se a letra d para

indicar a distância percorrida, inclusive no movimento vertical . Essas

expressões relacionam a distância percorrida – e não posição – às outras

grandezas.

O conceito de aceleração é introduzido como a razão entre a variação da

velocidade e o intervalo de tempo decorrido: a = ∆ v/∆t – foi introduzido no

início do estudo do movimento retilíneo uniformemente variado, portanto,

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acreditamos que mesmo sem ter citado, os autores estão se referindo a uma

aceleração constante, pois, não temos referência à aceleração média.

Na classificação do movimento em acelerado e retardado, usa -se o valor

da velocidade para movimentos no sentido positivo da trajetória:

Para faci l i tar o estudo do movimento var iado, vamos considerar a

ve loc idade sempre com valor posit ivo, is to é , vamos considerar que

o sentido no qual o corpo es tá se movendo é posit ivo. Dessa

maneira, podemos conclui r que :

1o) Se o valor da velocidade es t iver aumentando com o tempo,

teremos v 2 > v 1 (∆v > 0) , e a aceleração do movimento será

posi t iva . Neste caso d izemos que o movimento é acelerado .

2o) Se o va lor da ve locidade est iver diminuindo com o

decorrer do tempo, teremos v 2 < v 1 (∆v < 0) , e a aceleração do

movimento será negativa . Neste caso d izemos que o movimento é

re tardado . (Livro 3 , p . 47, gr i fo do autor)

Não foi citado se este conceito de aceleração se refere a uma grandeza

vetorial ou escalar. No rodapé de uma página, temos uma citação, na qual os

autores afirmam que a classifi cação do movimento em acelerado ou retardado,

pode ser feita de maneira mais apropriada com uso da relação entre os

sentidos da velocidade e aceleração:

No cap ítulo seguinte, ao anal isarmos os concei tos de vetor

ve loc idade e ve tor ace leração, veremos que o fa to de um movimento

ret i l íneo ser ace lerado ou retardado pode ser expresso de uma

maneira geral , e mais apropriada, do seguinte modo: Um movimento

será ace lerado quando a ve locidade e a ace leração t iverem o mesmo

sentido e será retardado quando elas t i verem sentidos opostos.

(Livro 3 , p . 47) .

Podemos perceber nesta citação, que a visualização espacial das

grandezas físicas pode ajudar no entendimento de determinados conceitos.

O fato de convencionar o sinal positivo para a velocidade pode lev ar o

aluno a uma interpretação errada sobre o movimento desacelerado,

relacionando desaceleração com aceleração negativa. Essa interpretação pode

ser reforçada pelos comentários feitos em relação ao sinal da aceleração nas

expressões do MRUV e também para o caso específico do movimento vertical:

[ . . . ] não se deve esquecer que , no movimento re tardado, a

aceleração é negat iva e i sto deve ser levado em conta quando as

equações ci tadas forem usadas ( lembre -se de que estamos

considerando a ve loc idade sempre pos it iva) . (Livro 3 , p . 51)

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Estas equações podem ser empregadas para o movimento de sub ida,

bas tando lembrar que, nes te caso, o movimento é uni formemente

retardado (a ace leração será negat iva, po is convencionamos

considerar a ve loc idade sempre posi t iva) . (LI VRO 3, p . 57) .

Após uma discussão envolvendo direção e sentido, temos o conceito de

deslocamento, o qual serve de base para introduzir o conceito de grandezas

vetoriais:

[ . . . ] des locamento de um corpo é o segmento que une a sua posição

inic ia l à sua posi ção final . [ . . . ] Grandezas que se comportam como

o des locamento são denominadas grandezas ve toria is . (LIVRO 3, p .

72 e 73, gr i fo do autor) .

Temos um estudo sobre representação e operações vetoriais, soma e

decomposição, sendo que na introdução da soma de dois vetores (método

gráfico), usa-se o deslocamento como exemplo. Temos o conceito de vetor

velocidade:

[ . . . ] a velocidade é uma grandeza vetor ia l . A aceleração também,

como veremos a seguir , é grandeza ve tor ial . Ent retanto, até agora

não nos re fer imos ao caráter ve tor ial dessas grandezas porque

tratamos apenas de movimento re t i l íneos e , para este estudo , é

suficiente conhecer o módulo da veloc idade e da aceleração. [ . . . ]

Consideremos uma par t ícula descrevendo uma t raj etór ia curva [ . . . ]

Para es tudar um movimento como este , é necessár io considerar o

cará ter vetor ia l da velocidade , i s to é , devemos def inir o vetor

ve loc idade, , em cada ins tante. Já vimos, no cap ítulo anter ior ,

como se calcula o va lor da vel ocidade ins tantânea [ . . . ] . Este valor é

o módulo do vetor velocidade . A di reção de é tangente à

trajetór ia no ponto em que a par t ícula ocupa no instante

considerado e o seu sentido é o sentido do movimento da par t ícula

naquele instante. (LIVRO 3, p . 81 , gr i fo do autor) .

Poderia ser discutido que para o movimento reti líneo basta conhecer o

módulo das grandezas devido ao fato de que se tratando de trajetória reta já

está implícita uma direção, e o sinal indica o sentido dessas grandezas,

portanto estamos trabalhando, implicitamente, com módulo, direção e sentido.

Neste livro não temos o conceito de velocidade média vetorial. Na

assessoria pedagógica temos uma justificativa para este fato:

A definição de velocidade média que apresentamos é aquela que

normalmente já es tá incorporada à mente do aluno em vir tude de

sua exper iência d iár ia . A conceituação de veloc idade média vetor ia l

é totalmente desnecessár ia para um curso deste nível . (Livro 3 ,

assessoria pedagógica, p . 29.1) .

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Concordamos em parte com esta posição. Aprofundar no estudo deste

assunto seria desnecessário, mas discutir o conceito de velocidade vetorial

média pode ajudar no entendimento da diferença entre deslocamento e

distância percorrida. Também não temos o conceito de aceleração média

vetorial.

Usa-se o exemplo de um avião deslocando-se no ar e de um barco se

movimentando em um rio para introduzir a composição de velocidade

(velocidade relativa).

O vetor aceleração foi introduzido por suas componentes centrípeta e

tangencial:

[ . . . ] quando a d ireção da velocidade var ia , para carac ter izar esta

var iação def inimos uma aceleração, denominada aceleração

centrípeta . A ace leração centr ípeta , c é um vetor perpendicular à

ve loc idade e dir igido para o centro da traje tór ia . [ . . . ] suponha que

um automóvel entre em uma curva com uma velocidade cujo módulo

es tá crescendo. Podemos dizer que este automóvel possui duas

acelerações: a cent r ípe ta c (pois a d ireção de es tá var iando) e

uma ace leração denominada aceleração tangencia l , T , que

carac ter iza a var iação do módulo de . A aceleração tangencia l T é

um vetor na mesma di reção de ( tangente à trajetór ia) e cujo

módulo é ca lculado des ta maneira : aT = ∆v /∆ t . (LIVRO 3. P . 81,

gr i fo do autor) .

O estudo do movimento de projétil é feito em um apêndice, após o

estudo das Leis de Newton, sendo que para esse movimento – lançamento de

projéteis – a posição horizontal é representada pela letra x e a v ertical pela

letra y. O eixo x é orientado para a direita (positivo) e o eixo y é orientado

para cima, portanto a aceleração da gravidade é considerada negativa.

Em algumas figuras não temos rigor na representação vetorial , e em

trajetórias que não são retas, a velocidade é representada em pontos

diferentes, pelo mesmo símbolo se os vetores têm direções ou sentidos

diferentes.

4.1.4. LIVRO 4

No livro 4, logo no início do estudo da cinemática escalar já podemos

perceber, na justificativa para esse estudo, a necessidade de uma localização

espacial:

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Considere o movimento de um automóvel em uma rodovia ou

de um trem em uma ferrovia. São movimentos que acontecem em

“caminhos” que já es tão prontos para serem seguidos.

Em casos co mo esses, a descr ição adequada dos movimentos é

fe i ta por meio de grandezas def inidas escalarmente. Daí a

denominação c inemática escalar ut i l izada no t í tulo des te capí tulo .

Nos dois cap ítulos seguintes , os movimentos também serão

descr i tos por meio de gr andezas esca lares. (Livro 4 , p . 22, gr i fo do

autor) .

A posição de um automóvel movendo-se em uma rodovia é dada por

meio do marco quilométrico. Em relação a essa localização é colocado que:

Obviamente essa maneira de dar a posição de um corpo só é

possíve l no caso de trajetór ias previamente es tabelecidas , ou seja ,

conhecidas de antemão.

De fato , a rodovia já estava pronta para ser seguida, e os

marcos qui lométr icos já es tavam f ixados à be ira dela.

Ao valor l ido nos marcos qu ilométr icos vamos dar o nome de

espaço e simbolizá -lo por s . (Livro 4 , p . 30, gr i fo do autor) .

A relação entre o sinal e o sentido pode ser percebida em:

Espaço (s) de uma par t ícula é a grandeza que de termina sua

posição na trajetór ia , p osição esta dada pelo compr imento do trecho

da trajetór ia compreendido entre a par t ícula e o ponto O , acrescido

de um s inal posit ivo ou negat ivo, conforme a região em que se

encontra. O ponto O é denominado origem dos espaços . Note que a

or ientação da traj etór ia indica o sentido dos espaços crescentes .

(Livro 4 , p . 31, gr i fo do autor) .

Após um comentário de que a variação do espaço (ou deslocamento

escalar) ∆s = s2 – s1 pode ser posit ivo, negativo ou nulo, é feita uma

comparação entre o deslocamento escalar e a distância percorrida. Nesse livro

o deslocamento escalar e a distância percor rida têm significados diferentes

quando temos mudança no sentido do movimento. O deslocamento escalar está

relacionado ao comprimento do trecho de uma trajetória, mas possui um

sentido, portanto, não coincide com a distância percorrida quando temos

inversão no sentido do movimento.

Neste l ivro, a velocidade escalar média é introduzida como:

“Velocidade escalar média entre dois instantes é a variação de espaço

ocorrida, em média, por unidade de tempo” (Livro 4, p. 32, grifo do autor), o

que não representa sempre a rapidez, assim como não representa o módulo do

vetor velocidade média usada na Física.

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A velocidade escalar instantânea é relacionado à leitura de um

velocímetro de carro:

O valor ind icado pe lo veloc ímetro em cer to instante é o val or

abso luto da velocidade esca lar instantânea do automóvel nesse

ins tante. (Livro 4 . P . 33 , gr i fo do autor) .

Quando se escreve “valor absoluto da velocidade escalar instantânea”,

nos parece estar indicando que essa velocidade instantânea possui u m sinal, o

qual pode estar relacionado a um sent ido. Fato que também aparece em:

Um movimento é acelerado quando o módulo da veloc idade esca lar

ins tantânea é sempre crescente com o passar do tempo [ . . . ] Um

movimento é retardado quando o módulo da ve loc ida de esca lar

ins tantânea é sempre decrescente com o passar do tempo. (Livro 4 ,

p . 50, gr i fo do autor) .

Temos o conceito de aceleração escalar média e instantânea:

Aceleração escalar média entre dois instantes é a var iação de

ve loc idade esca lar i nstantânea ocorr ida, em média, por unidade de

tempo [ . . . ] Quando a taxa de var iação da ve loc idade esca lar com o

tempo, em vez de ser determinada em um intervalo de tempo, é

determinada em um instante , ob temos a aceleração esca lar

ins tantânea, que vamos rep resentar por α. (Livro 4 , p . 52, gr ifo do

autor)

Na classificação do movimento em acelerado e retardado, temos relação

entre os sinais da velocidade e aceleração escalar es, mas estes sinais ainda

não são relacionados ao sentido das grandezas:

Em um movime nto acelerado , a ve locidade escalar e a ace leração

escalar têm o mesmo s ina l , i s to é , são ambas posi t ivas ou ambas

negat ivas.

Em um movimento retardado , a ve loc idade escalar e a ace leração

escalar têm sinais contrários. (Livro 4 , p . 56, gr i fo do autor) .

O fato de evitar a relação do sinal com o sentido das grandezas pode

ser devido ao fato de estar estudando cinemática escalar, pois, no estudo da

cinemática vetorial é colocado que: no movimento acelerado a aceleração

tangencial e a velocidade vetorial têm o mesmo sentido e no movimento

retardado estas grandezas têm sentidos opostos.

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O fato de estarmos insist indo na necessidade de se atribuir um sinal e

um sentido para as grandezas chamadas de escalar está relacionado ao

conceito que geralmente temos para grandezas escalares e vetoriais:

Em Física, há duas ca tegorias de grandezas: as escalares e as

vetoria is . As pr imeiras caracter izam -se apenas pe lo valor

numérico , acompanhado da unidade de medida. Já as segundas

requerem um valor numérico ( sem s ina l) denominado módulo ou

intensidade , acompanhado de respec tiva unidade de medida e de

uma or ientação , is to é , uma direção e um sent ido . (Livro 4 , p . 90,

gr i fo do autor) .

Nos conceitos que geralmente os livros trazem para as grandezas

escalares, nos parece que essas grandezas não devem ser relacionadas a um

sinal e nem à direção ou sentido. Poderia ser discutido que o fato de uma

grandeza ser caracterizada por um sentido não quer dizer que seja uma

grandeza vetorial – a corrente elétrica é um exemplo.

No estudo do movimento uniforme e do movimento uniformemente

variado não é feita nenhuma restrição à forma da trajetória, podendo ser

retilínea ou curvilínea. Temos apenas a colocação de que no primeiro caso

(MU) a velocidade escalar instantânea é constante e no segundo caso (MUV) a

aceleração escalar é constante . Nas expressões matemáticas desses

movimentos o espaço/posição é representado pela letra s e a aceleração

escalar por α. O movimento vertical e lançamento horizontal ou oblíquo foram

estudados somente após o estudo de uma parte da dinâmica – forças e

movimento – , sendo que nas expressões matemáticas destes movimentos

usam-se as letras x e y para indicar posição/espaço nos eixos horizontal e

vertical .

No estudo da cinemática vetorial temos uma introdução às grandezas

vetoriais, na qual é colocado que:

[ . . . ] a def inição de um deslocamento não é tão simples como a de

um compr imento. Definir plenamente um des locamento requer um

módulo, uma direção e um sentido , sendo essa grandeza f ís ica de

na tureza vetoria l . [ . . . ] Nas p lacas ind ica tivas existentes em

rodovias, o motoris ta obtém informações sobre direção e sentido a

serem seguidos para chegar a um determinado dest ino. Essas

informações se re ferem às grandezas ve tor iais deslocamento e

ve loc idade do veículo.

Até esse capí tulo , ve loc idade e aceleração foram tra tadas com

cará ter esca lar , is to é , não nos preocupamos com a na tureza vetor ia l

dessas grandezas, mas apenas com seus va lores algébricos . Note

que essa é uma simpli f icação conveniente e permi tida quando as

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t rajetór ias são previamente conhecidas. Insis t imos, entretanto, que

ambas são grandezas vetor iais , cabendo -lhes, a lém do módulo ou

intensidade, uma d ireção e um sentido. (Livro 4 , p . 91) .

Podemos perceber que as grandezas que foram chamadas anteriormente

de escalares, são agora redefinidas como vetoriais, portanto, trata -se de

desconstruir um conhecimento para construir outro. Devemos lembrar que o

deslocamento escalar e a velocidade escalar média, definidas anteriormente,

não representam os módulos dessas grandezas, num aspecto vetorial.

Após um estudo envolvendo a representação e operações com vetores –

adição, subtração, decomposição e multipli cação por um número real – , temos

a introdução do vetor posição. O conceito de vetor posição é introduzido com

base num sistema cartesiano em três dimensões (xyz), no qual está

representado: a trajetória, o vetor posição em dois pontos diferentes e o vetor

deslocamento de uma partícula:

Considere uma par t ícula em movimento com re lação a um

referencia l car tesiano 0xyz. [ . . . ] estão indicadas a trajetór ia

descr i ta pe la par t ícula, bem como as posições P 1 e P 2 ocupadas por

ela , respectivamente, nos ins tantes t 1 e t2 . Os ve tores 1 e 2 são os

ve tores -posição correspondentes a P 1 e P 2 . Os vetores -posição

“apontam” a posição da par t ícula em cada ponto da trajetó r ia . Sua

“or igem” está sempre na or igem 0 do referenc ial e sua extremidade

(ou ponta) aguçada co inc ide com o ponto em que a par t ícula se

encontra no instante considerado [ . . . ] Definimos o deslocamento

ve tor ial ( ) no percurso de P 1 a P 2 por meio da subtração vetor ia l :

= 2 - 1

O des locamento vetor ia l sempre conecta duas posições na trajetór ia .

Sua “or igem” coinc ide com o ponto de par t ida da par t ícula e sua

extremidade (ou ponta) aguçada, com o ponto de chegada. (Livro 4 ,

p . 101-102) .

Acreditamos que a representação do vetor posiçã o não é fácil de ser

visualizado pelos alunos, portanto poderíamos ter uma discussão mostrando

que se considerarmos a origem 0 do referencial no ponto de partida da

partícula, o vetor deslocamento nos apontará a posição final da partícula, fato

que está em acordo com a segunda parte da citação anterior. Para um carro

que se desloca numa parte curva de uma rodovia, temos a representação dos

deslocamentos – escalar e vetorial. É citado que o módulo do deslocamento

vetorial nunca excede o módulo do deslocament o escalar, sendo que ocorrerá

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igualdade entre os módulos dos dois deslocamentos , escalar e vetorial , quando

a trajetória for retilínea.

A velocidade vetorial média é definida como o quociente do

deslocamento vetorial pelo intervalo de tempo. Temos um exe mplo no qual se

discute, em relação a uma trajetória curva, a diferença entre velocidade

escalar média e velocidade vetorial média. Em relação à direção e sentido da

velocidade vetorial – média e instantânea – foi colocado que:

Como ∆t é um escalar posi t i vo, a veloc idade ve tor ial média tem

sempre a mesma di reção e o mesmo sent ido que o deslocamento

ve tor ial (ambos são secantes à trajetór ia) [ . . . ] A ve loc idade vetor ia l

ins tantânea, entre tanto , pelo fato de ser definida em intervalos de

tempo tendentes a zer o, é tangente à trajetória em cada ponto e

orientada no sentido do movimento . (Livro 4 , p . 102 -103, gr i fo do

autor) .

Na trajetória curva, de uma partícula em movimento uniforme, temos a

representação do vetor velocidade em três pontos diferentes . Em relação à

figura foi colocado que embora as velocidades tenham mesmos módulos, são

vetores diferentes, pois, têm direções diferentes. Para justificar esta

diferença, é colocado que:

Dois vetores ou mais são iguais somente quando têm o mesmo

módulo, a mesma direção e o mesmo sentido. (Livro 4 , p . 103,

gr i fo do autor) .

Na cinemática vetorial, a aceleração vetorial média é dada pela razão

entre variação da velocidade vetorial e o intervalo de tempo. Sendo sua

direção e sentido, os mesmos da var iação da velocidade vetorial. É colocado

que a aceleração vetorial pode ser decomposta em duas componentes:

aceleração tangencial (relacionada com a variação da intensidade da

velocidade vetorial) e aceleração centrípeta (relacionada com a variação da

direção da velocidade vetorial). Na cinemática vetorial a aceleração vetorial é

representada pela letra a enquanto na cinemática escalar a aceleração escalar

é representado por α .

A velocidade relativa é introduzida na forma vetorial sem novidades

(são discutidos os casos particulares: barco deslocando -se a favor, contra e

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perpendicular à correnteza). Neste livro, em determinados momentos usa -se o

termo escalar ou vetorial para identificar as grandezas e em outros não.

Temos uma interrupção no estudo da cinemática e inicia -se o estudo da

dinâmica – Forças e movimento. Somente após o estudo dessa parte da

dinâmica é que temos o retorno ao estudo da cinemática, com o movim ento

vertical e lançamento horizontal e oblíquo.

No estudo do movimento vertical e do lançamento de projétil – neste

livro é chamado de lançamento parabólico em campo gravitacional uniforme –

, mesmo após ter estudado os vetores e os princípios da dinâmic a, ainda temos

a diferenciação entre aceleração escalar e vetorial:

Considere um corpo abandonado ou lançado ver t icalmente para

cima ou para ba ixo [ . . . ] Co mo nesses casos , os movimentos são

ret i l íneos , a aceleração ve tor ial ( ) e a aceleração esca lar (α) têm

módulos igua is [ . . . ] Já sabemos que o módulo da ace leração escalar

é igua l a g [ . . . ] Lembre -se, ent retanto, de que a aceleração esca lar

(α) es tá sempre acompanhada de um s ina l algébrico nas equações

acima. Esse sinal (posi t ivo ou negat ivo) depende apenas da

or ientação ado tada para a trajetór ia . Como es ta t rajetór ia é ver t ical ,

e la poderá ser or ientada para cima ou para baixo [ . . . ] Se a traje tór ia

es t iver or ientada para c ima, a ace leração esca lar será negat iva, não

importando se o movimento fo r ascendente ou descendente. Sendo g

o módulo da ace leração da gravidade, temos: α = - g [ . . . ] Se a

trajetór ia es t iver or ientada para baixo, a ace leração esca lar será

posi t iva, não importando se o movimento for ascendente ou

descendente. Sendo g o módulo da aceleração da gravidade, temos:

α = + g. (Livro 4 , p . 236 -237, gr i fo do autor) .

[ . . . ] a ace leração vetor ial segundo 0y (eixo ver t ical) é constante e

igual a , ao passo que a aceleração vetor ial segundo 0x (eixo

hor izontal) é constantemente nula [ . . . ] no movimento projetado em

0y, a ace leração y é tangencial e constante. Pelo fato de essa

aceleração ser constante e não nula, concluímos que a ace leração

escalar segundo 0y também é constante e di fe rente de zero [ . . . ] O

movimento do projét i l segundo o eixo ver t ica l 0y é ret i l íneo e

uniformemente variado , com a ace leração esca lar de módulo igual

ao módulo da ace leração da gravidade [ . . . ] É impor tante notar [ . . . ]

que o movimento segundo 0y equivale a um lançamento ver t ica l

para cima co m veloc idade inic ial v 0 y e ace leração escalar α y = -g ,

uma vez que o e ixo está or ientado para c ima. (Livro 4 , p .245 e 246,

gr i fo do autor) .

Acreditamos não ser adequado o uso do adjetivo: escalar . Seria melhor

se referir ao módulo da aceleração.

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4.1.5. LIVRO 5

No l ivro 5, no início do estudo da cinemática escalar, podemos

perceber a necessidade de uma localização espacial:

Para loca lizar um móvel em sua traje tór ia , devemos pr imeiramente

or ientá -la , tomando um dos sent idos co mo posi t ivo. A seguir ,

esco lhemos um de seus pontos como origem, gera lmente

representado por O, que é o re ferencia l em re lação ao qual

es tabe lecemos a posição do móvel. Essa posição é determinada por

um valor a lgébr ico, cujo módulo representa a distânc ia entre a

posição ocupada pelo móvel e a or igem. (Livro 5 , p . 52)

Como não temos nenhum comentário de que se trata de uma trajetória

retilínea, nos parece que a posição de um móvel, da maneira como está

colocada, pode ser relacionada à distância entre dois pontos e não ao

comprimento do segmento de trajetória entre os dois pontos.

Num comentário sobre a posição de uma motocicleta, a qual se desloca

numa trajetória reta, podemos perceber a relação implícita da posição com o

comprimento da trajetória, portanto não temos rigor com este conceito:

Note que a posição não ind ica a d istância percor r ida pe la

motocicleta , mas apenas sua local ização em re lação à or igem. Em

alguns textos encontramos a palavra “espaço” subst i tuindo a

palavra “posição”. (Livro 5 , p . 5 3) .

O conceito de deslocamento escalar e sua relação com a distância

percorrida são introduzidos tendo como referência o movimento de uma atleta

deslocando-se em uma pista reta . Num primeiro caso a atleta desloca -se no

sentido da trajetória e no segundo o deslocamento tem sentido contrário ao da

trajetória, sendo que em cada caso não houve mudança de sentido:

A idé ia de deslocamento esca lar , s imbolizado por ∆s , r epresenta a

di ferença entre as posições escalares ocupadas pela a t le ta nos

ins tantes fina l e inic ia l [ . . . ] Em ambos os testes , a t raje tór ia é

ret i l ínea e não houve mudança de sentido do movimento durante o

intervalo de tempo estudado. Portanto, podemos considerar que o

deslocamento escalar e a distância percorr ida coinc idem em

módulo.

O deslocamento esca lar depende somente das posições esca lares

( inic ia l e f ina l) ocupadas pe lo móvel, e a dis tânc ia percorr ida

depende do compr imento da trajetór ia descr i ta por ele . (Livro 5 , p .

53-54, gr i fo do autor) .

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Em seguida temos outro caso, no qual a atleta desloca-se inicialmente

no sentido da trajetória e em seguida inverte o sentido do movimento

deslocando-se no sentido oposto, ainda na pista reta. Neste caso, o

deslocamento escalar é calculado pela variação da posição escalar e a

distância percorrida pela soma dos módulos dos deslocamentos escalares para

cada um dos sentidos, portanto, têm valores diferentes. Como o deslocamento

escalar foi introduzido com base em trajetórias retilíneas, não fica claro se

esta grandeza pode ser relacionada ao comprimento de qualquer trajetória.

Num exemplo resolvido, a posição é determinada pelo comprimento de uma

trajetória curva, mas sem nenhuma justificativa. Podemos observar que

anteriormente usou-se o termo posição e agora, posição escalar sem explicar

se existe diferença de conceito.

Podemos perceber essa falta de rigor com o nome da grandeza posição,

no conceito de velocidade escalar média:

[ . . . ] Se dividirmos a var iação da posição do móvel (∆s) pelo

intervalo de tempo (∆t) decorr ido, teremos a ve locidade escalar

média [ . . . ] quanti tat ivamente, a velocidade escalar média de um

móvel pode ser determinada pe lo quociente da var iação da sua

posição esca lar ∆s pelo interva lo de tempo ∆t considerado . (Livro

5 , p . 58 , gr i fo nosso )

Nesse livro, inicialmente usa-se a variação da velocidade escalar, em

valor absoluto, para classificar o movimento em acelerado ou retardado:

Se a veloc idade esca lar instantânea de um móvel decresce em

determinado interva lo de tempo, em valor abso luto , o movimento é

chamado re tardado [ . . . ] Se, em valor absoluto, a velocidade escalar

ins tantânea de um móvel aumenta em determinado intervalo de

tempo, o movimento é chamado acelerado . (Livro 5 , p . 73, gr i fo do

autor) .

No estudo da cinemática escalar, não temos uso de sinal nem sentido

para esta classificação. Já no estudo da cinemática vetorial, usa -se a relação

entre os sentidos da aceleração e velocidade para classi ficar o movimento em

acelerado ou retardado. Temos os conceitos de aceleração escalar média e

instantânea e do movimento uniformemente variado:

Quant i tat ivamente, a aceleração esca lar média (a m) de um móvel é

obtida pelo quociente entre a var iação da sua velocidade escalar

ins tantânea (∆v) e o intervalo de tempo (∆t) correspondente . [ . . . ] A

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aceleração escalar instantânea também é uma grandeza f í sica que

mede a rapidez co m que a velocidade esca lar de móvel var ia . No

entanto, o intervalo de tempo (∆t) em que ocorre essa var iação

tende a va lores mui to pequenos [ . . . ] (Livro 5 , p . 74) .

[ . . . ] def inimos o movimento de um móvel como uni formemente

var iado quando sua aceleração escalar média é constante e não nula,

para qualquer interva lo de tempo [ . . . ] (Livro 5 , p . 79) .

No estudo do movimento uniforme e uniformemente variado não foi

especificado o tipo de trajetória, para a qual valem as expressões matemáticas

usadas para determinar a posição de um corpo. Nestas expressões usa -se a

letra s para indicar a posição, inclusive no movimento vertical . No estudo do

lançamento de projétil – horizontal e oblíquo – usa as letras x e y nas

expressões matemáticas para indicar a posição horizontal e vertical .

No estudo do movimento vertical , podemos perceber a necessidade de

relacionar um sentido ao sinal da aceleração escalar – ainda não se estudou as

grandezas vetoriais :

Quando estudamos a queda l ivre ver t ical , o sentido da traje tór ia

def ine o s ina l da ace leração esca lar [ . . . ] Se ado tarmos o sentido da

trajetór ia de baixo para c ima, teremos que a aceleração da

gravidade é negativa, pois sua or ientação é cont rár ia à or ientação

adotada para traje tór ia [ . . . ] Se ado tarmos o sent ido da trajetór ia de

cima para baixo, teremos que a ace leração da gravidade é posi t iva,

pois sua or ientação coincide com a or i entação ado tada para

trajetór ia . (Livro 5 , p . 96, 97) .

No inicio do estudo da cinemática vetorial, temos o conceito de

grandezas vetoriais:

Há grandezas, porém, como o deslocamento, que prec isam de

informações complementares. Veja es ta informaç ão: Um helicóptero

se desloca em l inha re ta de Torres (RS) até Flor ianóp olis (SC) ,

cidade d is tante 280 k m. Observe que, a lém do valor numér ico (280)

e da unidade de medida (k m), o deslocamento se carac ter iza por

uma d ireção (def inida pela re ta que contém a s cidades) e por um

sentido (de T orres para Flor ianópolis) . Grandezas que se definem

dessa forma são chamadas grandezas ve tor iais . Além do

des locamento, são exemplos de grandezas ve tor iais a velocidade, a

aceleração e a força entre outras. (Livro 5 , p . 107 , gr i fo do autor) .

Temos a representação do vetor deslocamento entre as duas cidades

(ainda não se falou nada a respeito da representação vetorial).

Na introdução da representação e operações – soma, subtração,

multiplicação por um número real e decompos ição – com vetores, não se usa

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as grandezas físicas, temos apenas vetores. Somente em parte dos exemplos

resolvidos é que se usa o deslocamento nas operações vetoriais.

No estudo da posição e deslocamento vetorial, de maneira semelhante

ao livro 4, só que em duas dimensões, temos a representação de parte de uma

trajetória curva. Em relação a uma partícula que desloca entre dois pontos A e

B sobre esta trajetória, temos a representação dos vetores posições da

partícula nos pontos A e B em relação ao eixo x Oy, do vetor deslocamento de

A para B e do deslocamento escalar (comprimento da trajetória de A até B).

Em relação a este esquema é colocado que :

O vetor ∆ , representado pela d i ferença entre o ve tor posição final

e o ve tor posição inicia l i , é chamado deslocamento ve tor ial

entre os pontos A e B [ . . . ] Entre os pontos A e B, ∆ é o

des locamento vetor ia l e ∆s, o deslocamento escalar sofr ido pela

part ícula. (Livro 5 , p . 117 -118, gr i fo do autor) .

Acreditamos que o conceito de deslocamento vetorial, dado como

variação de posições vetoriais é complexo para os alunos, poderia ser dada

ênfase à questão do vetor deslocamento ser um vetor que l iga o ponto de

partida ao ponto de chegada (está indicado na figura, mas não temos

comentários a respeito). No único exemplo resolvido, o deslocamento

resultante não foi calculado pela diferença entre os vetores posições final e

inicial da trajetória , mas pela soma de dois vetores deslocamentos parciais –

num primeiro caso os dois deslocamentos têm mesma direção e mesmo

sentido, no segundo caso têm sentidos opostos e por último são

perpendiculares.

Temos o conceito de velocidade vetorial média e instantânea:

A ve locidade ve toria l média ( m) da par t ícula, nesse inte rvalo de

tempo, corresponde à razão entre o ve tor des locamento (∆ ) , entre

A e B, e o intervalo de tempo (∆t) [ . . . ] O ve tor m sempre terá

direção e sent ido iguais ao de ∆ , uma vez que o intervalo de tempo

∆t é sempre posit ivo [ . . . ] Quando o intervalo de tempo tende a zero,

o vetor ∆ tende à direção tangente da trajetó r ia , e seu módulo

tende ao módulo do des locamento esca lar . Em conseqüência disso, a

ve loc idade vetor ia l ins tantânea : é tangente à trajetór ia , e seu

sentido é igual ao do movimento [ . . . ] tem módulo igual ao da

ve loc idade esca lar instantânea . (Livro 5 , p . 121, gr i fo do autor)

Temos conceitos de aceleração vetorial média e instantânea:

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Na Cinemát ica vetor ia l , a var iação da velocidade vetor ia l em

relação ao tempo é chamada aceleração vetoria l média [ . . . ] A

aceleração ve tor ial instantânea [ . . . ] mede a var iação da ve loc idade

ve tor ial num interva lo de tempo inf ini tamente pequeno. (Livro 5 , p .

124-125)

No estudo da aceleração vetorial instantânea é colocado que ela é

composta por duas componentes – tangencial e centrípeta. Sendo que:

A aceleração tangencial [ . . . ] está relaciona da à var iação da

ve loc idade esca lar e apresenta as seguintes caracter í st icas : O

módulo é igual ao apresentado pela ace leração esca lar [ . . . ] A

direção é a mesma da reta tangente à trajetór ia em cada posição

ocupada pelo ponto mater ia l [ . . . ] O sentido será o mesmo do vetor

ve loc idade v se o movimento for ace lerado , cont rár io a ele se o

movimento for retardado. (Livro 5 , p . 125 -126, gr i fo do autor) .

Temos uso de grandeza escalar, onde poderia ser usado módulo da

grandeza vetorial. A aceleração centrípeta é introduzida sem novidades.

Neste livro, em determinados momentos , usa-se a palavra escalar ou

vetorial acompanhando o nome da grandeza e em outros não.

A velocidade angular média é definida pela razão entre o deslocamento

angular e o intervalo de tempo. Não é citado se a velocidade angular é uma

grandeza escalar ou vetorial.

Temos caso de falta de rigor na representação vetorial. Na

representação da velocidade de um corpo, em movimento circula r num plano

vertical , o vetor velocidade é representado em três pontos diferentes (portanto

com direções diferentes) pelo mesmo símbolo – letra com a seta por cima.

Usa-se o movimento de um operário deslocando-se sobre uma esteira

horizontal (no mesmo sentido e contrário ao da v elocidade da esteira) para

introduzir vetorialmente a composição de movimentos (velocidade relativa).

Num exemplo resolvido, calcula -se a velocidade de uma lancha em relação às

margens de um rio para quatro casos: mesma direção – mesmo sentido e

sentido oposto à velocidade da água; perpendicular e numa direção oblíqua à

velocidade da água.

4.1.6. LIVRO 6

No l ivro 6, não está explícita a separação da cinemática escalar e

vetorial. Neste livro, também se fala em grandeza escalar, mas necessita -se de

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uma localização espacial e um sentido para essas grandezas, fato que pode ser

percebido no conceito de posição e deslocamento escalar . Estes conceitos são

introduzidos com base em uma trajetória curva:

Para podermos descrever um movimento, precisamos conhecer a

posição do móvel em cada instante .

Nas rodovias os marcos qui lométr icos, colocados ao longo do

acostamento, permi tem-nos loca lizar o veículos que ne la transi tam.

[ . . . ] Podemos de terminar a posição P de um móvel, em cada instante

t , ao longo da t rajetór ia que ele descreve, ado tando -se um ponto O

como origem e or ientando -se a trajetór ia . O espaço s do móvel , no

ins tante t , é a medida algébrica do arco de traje tór ia OP . [ . . . ]

Dizemos medida a lgébr ica porque ela possui um sinal , posi t ivo ou

negat ivo, conforme o móvel se encontre de um la do ou de out ro da

origem. [ . . . ] A var iação de espaço ∆s é também denominada

deslocamento escalar e pode ser posi t iva , negat iva ou nula,

conforme o espaço s 2 seja maior , menor ou igual a s 1 .

Quando um móvel se desloca sempre no mesmo sent ido e no

sentido de or ientação da trajetór ia , a variação coincide co m a

distância que o móvel percorre ao longo da trajetória . (LIVRO 6,

p . 56, gr i fo do autor) .

Podemos perceber que não está explícito que posição e espaço têm o

mesmo significado. O deslocamento es calar não representa distância

percorrida quando temos inversão no sentido do movimento .

Neste livro, a velocidade escalar média é relacionada à rapidez:

Na mecânica, mui tas vezes é impor tante conhecermos a rapidez com

que um móvel sofre uma mudan ça de posição. A grandeza fí sica que

ind ica ta l rapidez é denominada veloc idade esca lar média ,

representada por v m . (LIVRO 6, p . 57, gr i fo do autor) .

Para introduzir o conceito de velocidade escalar média usa -se a

distância entre duas cidades e o tempo que um automóvel gasta na viagem

entre estas cidades. Em relação a esse caso é colocado que:

Nas condições fe i tas ac ima, ad mitimos que o automóvel se des locou

sempre no mesmo sentido. Entretanto, podemos genera lizar esses

resultados e ob ter uma exp ressão para ca lcular a velocidade escalar

média v m em uma variação de espaço qualquer : v m = ∆s /∆t .

(LIVRO 6, p . 58, gr i fo do autor) .

A expressão (vm = ∆s /∆t) não está em acordo com a colocação de que a

velocidade escalar média indica a rapidez, pois essa afirmação é válida

apenas nos casos em que a variação do espaço (representada neste livro por:

∆s = s2 – s1) tiver o mesmo valor da distância percorrida. Não temos

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comentários sobre a velocidade escalar média nos casos de inversão no

sentido do movimento.

Usa-se a indicação de um velocímetro para introduzir o conceito de

velocidade escalar instantânea:

Durante uma viagem, o velocímetro pode ind icar d i ferentes

ve loc idades. [ . . . ] Ele mostra a velocidade do móvel no mo mento em

que é observado, denominada veloc idade escalar instantânea e

representada por v . (LIVRO 6, p . 59, gr i fo do autor) .

Temos conceitos de aceleração escalar média e instantânea:

a aceleração escalar média , que representaremos por α m , é , por

definição, dada por: α m = ∆v /∆t [ . . . ] A aceleração esca lar

instantânea α pode ser interpretada co mo uma ace leração escalar

média calculada para um intervalo de tempo ∆t muito pequeno, ou

seja , para ∆t tendendo a zero. (Livro 6 , p . 65 -66, gr i fo do autor)

No estudo do movimento uniforme e uniformemente variado não temos

especificação da trajetória – não temos o estudo específico do movimento

retilíneo. O MU é indicado como aquele cuja velocidade escalar instant ânea é

constante Nas expressões matemáticas destes movimentos o espaço é

representado pela letra s e a aceleração escalar por α. Num comentário

colocado em um exercício resolvido podemos perceber a relação entre sinal e

sentido da velocidade escalar:

[ . . . ] Note que v < 0 signi fica que o sent ido do movimento do móvel

é dos espaços decrescentes, i sto é , contrár io ao sentido posi t ivo do

eixo s (Livro 6 , p . 70) .

No estudo do movimento vertical é colocado que:

O movimento ver t ical de um móvel nas proximidades da

super f íc ie terrestre , quando se despreza a res is tênc ia do ar , é um

MUV, pois e le ocorre com aceleração constante que é a ace leração

da gravidade (g) . (LIVRO 6, p . 83)

Num exercício resolvido, no qual uma pedra é abandonada de certa

altura do solo, foi calculada sua aceleração para dois casos: quando a

trajetória é orientada para baixo ou para cima. A partir do resultado

(aceleração positiva ou negativa) foi feito um comentário em relação ao sinal

da aceleração da gravidade:

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Podemos então conclui r q ue: Quando a trajetória é or ientada

para baixo, tem-se para a aceleração α = + g. Quando orientada

para cima , tem-se α = - g . (Livro 6 , pag. 84, gr i fo do autor) .

Por várias vezes as grandezas velocidade e aceleração são escritas sem

o termo escalar. Após a introdução dos conceitos de grandezas escalares e

vetoriais e de um comentário sobre a representação vetorial, tendo como

referência uma trajetória curva , na qual estão representados os

deslocamentos, escalar e o vetorial , temos comentários em relação ao

deslocamento vetorial , velocidade vetorial, aceleração vetorial e uma

interpretação destas grandezas no MRU e MRUV:

Nos i tens anter iores, a velocidade e a aceleração foram tra tadas

como grandezas esca lares e , por i sso, mui tas vezes ut i l izamos as

expressões ve locidade escalar e aceleração esca lar . Entre tanto,

ve loc idade e ace leração têm direção e sent ido, além do valor

numérico e sua respec t iva unidade. Trata -se de grandezas fí s icas

ve tor iais . Vamos ind icar , nestas condições, a veloc idade e a

aceleração, respec tivamente, por e .

No caso de um movimento ret i l íneo e uni forme (MRU) a

ve loc idade vetor ia l é constante, i s to é , tem módulo, direção e

sentido constante e a aceleração vetor ia l é nula ( = ) .

Para um móvel em movimento ret i l íneo uni formemente

var iado (MRUV) a velocidade ve tor ial tem d ireção constante. A

aceleração tem o mesmo sentido de se o movimento for

acelerado e oposto ao de se for re tardado . [ . . . ] É importante

também fazermos a dis t inção entre deslocamento esca lar e

des locamento ve tor ial . [ . . . ] A var iação de espaço ou des locamento

escalar ∆s [ . . . ] é medida ao longo da trajetór ia . Por outro lado, o

deslocamento ve tor ial , representado por ∆ , é o ve tor com origem

no ponto A e extremidade no ponto B. (LIVRO 6 , p . 86) .

Nesse livro, as grandezas escalares foram praticamente “transformadas”

em vetoriais com a justificativa de que elas possuem direção e sentido . Não

temos referência à velocidade vetorial média e nem à aceleração vetorial

média na teoria. Num exemplo resolvido é que se calcula o módulo da

velocidade vetorial média para o caso de um carro se deslocando inicialmente

para o norte e em seguida para oeste. O módulo do deslocamento foi

calculado pelo teorema de Pitágoras – ainda não foi estudada a soma vetorial .

Neste exemplo é colocado que:

É importante ressal tar que o ve tor velocidade média tem a mesma

direção e o mesmo sentido do vetor deslocamento total . (Livro 6 , p .

87) .

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O estudo do lançamento horizontal e oblíquo é feito superficialmente ,

praticamente por meio de dois exercícios resolvidos . São usadas as equações

estudadas anteriormente para o MU e MUV, mas agora temos um índice para

indicar o movimento vertical ou horizontal (Sh or i z e Sv e r t). No estudo destes

movimentos usa-se a decomposição vetorial da velocidade sem ao menos ter

sido citada anteriormente , ainda não foram estudadas as operações vetoriais,

inclusive a decomposição.

Em relação ao MCU afirma-se que a velocidade escalar é constante e

não é citado se a velocidade angular é uma grandeza escalar ou ve torial . A

aceleração centrípeta é introduzida juntamente com a força centrípeta:

[ . . . ] A força resultante centr ípeta deve ter sempre direção

perpendicular à traje tó r ia – por tanto, perpendicular à do vetor

ve loc idade – e or ientada para o centro da curva.

De acordo com o pr inc ípio fundamental da Dinâmica, essa força

deve proporcionar ao móvel uma ace leração também perpendicular à

direção da veloc idade e, a inda, or ientada para o centro da curva.

Essa aceleração, que provoca uma var iação na direção do vetor

ve loc idade, é denominada aceleração centr ípeta [ . . . ] ( Livro 6 , p .

120-121, gr i fo do autor)

Acreditamos que no estudo do MCU deveria ser evitado o uso do termo

velocidade escalar. Deveria ser colocado que o módulo da velocidade

permanece constante.

4.1.7. LIVRO 7

No l ivro 7 , diferentemente da maioria dos livros, a cinemática é

estudada em dois capítulos complementares colocados no final d o primeiro

volume desta coleção. Inicialmente se estuda a cinemática vetorial e em

seguida a cinemática escalar. Portanto, quando se estuda cinemática já foram

estudados vários conceitos que envolvem grandezas vetoriais como é o caso

das leis de Newton e da conservação da quantidade de movimento.

O conceito de vetor posição foi introduzido tendo como base um mapa

de parte uma cidade, no qual temos a localização de algumas casas em relação

a uma escola:

Com a Física, temos uma manei ra de di ferenciar a posição das

vár ias casas que es tão a uma mesma distânc ia da esco la. Vamos

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ind icar as posições dessas vár ias casas por meio de setas que

começam na escola (ponto O) e terminam em cada uma das casas.

As setas representam o vetor posição das casas. O vetor

representado por A tem um compr imento que es tá associado a seu

módulo (va lor numér ico ou intensidade) , uma direção (da reta que

passa por O e A) e um sent ido (evidenciado pela ponta da seta) .

(LIVRO 7, p . 189, gr i fo do autor) .

Em relação à posição e deslocamento é colocado que:

[ . . . ] posição e deslocamento es tão relacionados: a posição

ident i f ica um loca l e o deslocamento representa uma mudança de

posição . Para a Física, ambos são grandezas ve tor ia is . (Livro 7 , p .

192, gr i fo do autor) .

O vetor deslocamento é introduzido considerando os possíveis trajetos

de um ciclista, o qual desloca de sua casa para a escola, tendo como base o

mapa citado anteriormente:

Existem mui tos caminhos poss íveis para rea l izar esse percurso,

porém o mais cur to de les é def inido co mo vetor desloca mento [ . . . ] .

(LIVRO 7, p . 192, gr i fo do autor) .

Acreditamos ser importante usar situações do cotidiano dos alunos para

se estudar os conceitos na Física, porém devemos ter cuidado ao usar estes

exemplos. No mapa pode ser percebido que provavelmente não seria possível

o ciclista seguir o trajeto indicado pelo vetor d eslocamento. Para seguir o

trajeto indicado pelo vetor deslocamento , o ciclista teria que atravessar no

interior de construções. Nem sempre é possível seguir o caminho indicado por

um vetor deslocamento.

O vetor deslocamento é determinado pela diferença e ntre duas posições:

O vetor des locamento representa uma mudança de posição e é

obtido pe la di ferença ve tor ia l : posição f inal menos posição inicial .

(LIVRO 7, p . 192) .

É colocado que o resultante de vários deslocamentos sucessivos pode

ser determinado pela soma vetorial dos deslocamentos parciais ou pela

diferença entre os vetores posições final e inicial em relação a um mesmo

referencial. Temos o conceito de vetor velocidade média e instantânea:

A divisão do vetor des locamento ( ) pelo intervalo de tempo (∆t) é

a def inição do vetor ve locidade média [ . . . ] Quando o des locamento

é tomado no mínimo interva lo de tempo poss ível de ser medido,

podemos uti l izar o te rmo velocidade ou, mais precisamente,

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veloc idade instantânea . O va lor da veloc idade in stantânea é a que

lemos nos ve locímetros dos automóveis e motos.

O vetor ve locidade ins tantânea de um carro é sempre tangente à

trajetór ia , uma vez que para um intervalo de tempo mui to pequeno,

os pontos inicia l e final são muito próximos. (LIVRO 7, p . 19 6,

gr i fo do autor) .

Podemos perceber que não foi usado o termo vetorial para velocidade

instantânea. Não temos novidade no conceito de aceleração vetorial , nem o

conceito explícito de deslocamento escalar e posição escalar, estas grandezas

são colocados em estudos sobre a velocidade escalar:

A velocidade média é uma grandeza vetor ial e necessi ta , para sua

comple ta caracter ização , do módulo e da unidade, da direção e do

sentido. Quando a trajetór ia , porém, é fixa – como numa rodovia ou

numa es trada de ferro – , pode-se fazer uma aproximação que

permi te descrever o movimento como uma l inha re ta . Nesse caso, a

ve loc idade passa a ser denominada veloc idade esca lar média . Ela é

def inida como o deslocamento escalar (d e ) dividido pelo intervalo

de tempo (∆t) . (LIVRO 7,p. 197, gr i fo do autor) .

Consideramos a colocação anterior confusa, pois, além de não termos

explicação sobre o que seria essa “aproximação que permite descrever o

movimento como uma linha reta”, nos parece – da maneira como está

colocada – que a velocidade escalar média seria um caso particular da

grandeza vetorial, velocidade média, para trajetórias retilín eas.

Após a colocação anterior, em um exemplo resolvido, no qual foi

calculado o módulo do vetor velocidade média e o valor da velocidade escalar

média para um carro deslocando-se em uma estrada curva é que temos o

“conceito” de deslocamento escalar. O deslocamento escalar é usado, neste

exemplo, para justificar a diferença entre os valores calculados para as

velocidades médias – vetorial e escalar. Neste caso não temos inversão do

movimento, portanto o valor do deslocamento escalar coincide com a

distância percorrida:

[ . . . ] Os va lores são di ferentes porque o deslocamento esca lar é

tomado ao longo de toda a trajetór ia , m as o ve tor deslocamento l iga

a posição inic ia l à f inal por meio de um segmento de reta . Se

t ivéssemos tomado um interva lo de tempo mui to pequeno, esses

cálculos fo rnecer iam valores mui to próximos, pois a dis tânc ia

percorr ida ser ia pequena e prat icamente ig ual ao des locamento ; ou

seja , a ve loc idade vetor ial instantânea ter ia o mesmo módulo da

ve loc idade esca lar instantânea . (LIVRO 7 , p . 197)

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A discussão anterior envolvendo a velocidade escalar média e

deslocamento escalar estava no capítulo de nominado Cinemática vetorial .

No capítulo posterior denominado Cinemática escalar , as expressões

matemáticas dos movimentos retilíneo uniforme e retilíneo uniformemente

variado são introduzidas inicialmente na forma vetorial e em seguida

convertidas para a forma escalar, com a justificativa de que se trata de

movimento em uma única direção.

Num comentário em relação às expressões matemáticas, podemos

perceber a necessidade de se atribuir um sinal , relacionado ao sentido , para a

velocidade escalar:

[ . . . ] convencionaremos a velocidade escalar v dotada de um s ina l

posi t ivo se nos movimentarmos no sent ido das posições crescentes .

A veloc idade esca lar terá um sinal negativo se nos movimentarmos

no sentido das posições decrescentes. (LIVRO 7, p . 213) .

Temos a generalização dos movimentos retilíneos para trajetórias não

retilíneas. Nesta generalização as grandezas posição, deslocamento,

velocidade e aceleração são descritas como escalares :

Quando a traje tór ia não é ret i l ínea, mas o módulo da v e loc idade é

constante, temos o movimento uniforme (MU) . Ás vezes, quando

não estamos interessados na mudança de direção do movimento,

mas nos valores medidos numa esca la, podemos descrevê -lo como

se a t rajetór ia fosse uma l inha reta . Se f izermos i sso e o m ódulo da

ve loc idade não var iar , as funções e os gráficos do MRU também

poderão ser ut i l izados para descrever a velocidade escalar , o

deslocamento esca lar e a posição esca lar desses movimentos .

Nas pr inc ipa is rodovias existe , a cada qui lômetro, um marco qu e

registra a posição esca lar . (LIVRO 7, p . 215, gr i fo do autor)

Se as traje tór ias dos movimentos uni formemente var iados de

ve ículos em rodovias e trens em tr i lhos, por exemplo, forem

considerada l inhas re tas e se o módulo da aceleração ao longo

dessas tra jetór ias fo r constante , as funções e gráf icos do MRUV

poderão ser ut i l izados para descrever a velocidade esca lar e o

des locamento escalar desses movimentos. Nessas condições, a

aceleração é denominada ace leração esca lar . (LIVRO 7, p . 223) .

Em relação a um carro que sai do marco 0 de uma estrada e desloca -se

400 m nessa estrada, e depois retorna à origem são calculados o deslocamento

escalar (d = p f i n a l – p i n i c ia l = 0 ) e a distância percorrida (400 + 400 = 800m).

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Podemos perceber que o deslocamento escala r não é equivalente à distância

percorrida, portanto a velocidade escalar média não representa sempre a

rapidez de um móvel. Também podemos perceber a diferença entre

deslocamento escalar e distância percorrida na afirmação:

Toda vez que exis t ir mudança d e sent ido ao longo de uma

trajetór ia , o des locamento escalar não terá o mesmo valor da

dis tânc ia percorr ida. Na real idade , em qualquer s i tuação a

distância percorrida deve ser ob tida pela soma dos módulos dos

deslocamentos escalares . (LIVRO 7, p . 216 , gr i fo do autor) .

Nas expressões do MRU e MRUV o deslocamento é representado pela

letra d e a posição pela letra p, inclusive no movimento vertical. Em relação

ao lançamento horizontal e oblíquo não temos uma definição clara a respeito

dessa representação.

No estudo do movimento circular uniforme é colocado que o vetor

velocidade instantânea é variável devido à aceleração centrípeta, portanto

esse movimento é acelerado. Não temos referência ao caráter vetorial da

velocidade angular. No estudo do MRUV, usa-se a relação entre sinal e

sentido da aceleração e velocidade, na classificação do movimento em

acelerado ou retardado:

Nos ins tantes em que o sina l de aceleração e de veloc idades são

iguais, i s to é , quando os vetores ace leração e ve locidade têm

mesma direção e mesmo sentido, o movimento é denominado

acelerado . Quando esses ve tores têm mesma direção e sentidos

opostos, o movimento é denominado retardado . (Livro 7 , p . 220,

gr i fo do autor) .

Temos caso de falta de rigor na representação vetoria l . Uma equação

vetorial indicando que a aceleração de um corpo na direção de um plano

inclinado e a aceleração da gravidade têm a mesma direção ( = senθ).

No estudo do movimento vertical a aceleração da gravidade em

determinado momento é considerada positiva e em outros, negativa, sem que

haja uma discussão sobre o referencial adotado. Já no estudo de lançamento

de projéteis, para o lançamento horizontal a aceleração da gravidade é

considerada posit iva sem explicação, mas no la nçamento oblíquo, a

aceleração é considerada negativa com a seguinte explicação:

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Como a veloc idade inicia l no eixo y e a ace leração são ve tores

opostos vamos adotar a ace leração com o sinal negat ivo. (Livro 7 ,

p . 231) .

Acreditamos que seria mai s adequada, uma discussão sobre o sentido do

referencial adotado. Neste livro, as operações vetoriais, principalmente a

soma e decomposição, é feita superficialmente. No estudo de lançamento

horizontal e obliquo, usa-se decomposição da velocidade e soma d e

velocidades perpendiculares, assunto que foi tratado apenas superficialmente.

4.1.8. LIVRO 8

No livro 8 , estuda-se inicialmente a cinemática na forma escalar, mas

observamos a necessidade de atribuir um sentido para a trajetória:

Para os estud iosos da Fís ica , o concei to de tra jetór ia va i além do

exposto. Como os fenômenos es tudados devem ter grandezas

mensuráveis, torna -se necessár io assoc iar à tra jetór ia uma unidade

de medida de comprimento [metro (m), quilôme tro (km) , centímetro

(cm) e tc .] . Essa medida é a par t ir da or igem ou marco zero da

trajetór ia . Assim, toda trajetór ia deve ter também um sentido

considerado posit ivo a par t ir da or igem. (LIVRO 8, p .75) .

É sugerido que o professor veja uma orientação do Caderno de

Orientações para o Professo r, na qual temos justificativa para se estudar

inicialmente a cinemática escalar:

Professor , este cap ítulo trata dos concei tos de Cinemática em sua

forma esca lar porque acredi tamos que o tratamento ve tor ia l deva

ser introduzido mais adiante, quando os a lu nos es t iverem mais

fami liar izados com es tes concei tos f ís icos. Dessa fo rma, apresenta

os conceitos de espaço percorr ido (grandeza esca lar) , def inido

como a d i ferença entre as posições f ina l e inic ial , medidas sobre a

trajetór ia , e de dis tância percorr ida, definida como a so ma dos

módulos dos espaços percorr idos durante o movimento , embora não

apresentemos a expressão formalmente. (LIVRO 8, Caderno de

or ientações para o professor , p . 40, gr i fo do autor ).

Temos a descrição de uma brincadeira realiza da por dois garotos, na

qual a localização de uma moça era anotada em boletins, para introduzir os

conceitos de espaço percorrido, distância percorrida e posição. Neste

exemplo, uma moça sai de uma padaria de número 712 chegando a uma

residência de número 846, passando pelos números 745 e 785 – a padaria e a

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residência de número 846 estão no mesmo lado da rua e as residências 745 e

785 estão do outro lado da mesma rua. A numeração das residências foi

relacionada a valores sem explicação anterior, e em segui da foi introduzido

conceitos de distância percorrida e espaço percorrido:

Como as marcações da rua são dadas em metros, podemos supor que

a moça percorreu 134m (846 – 712 = 134) [ . . . ] Note que nessa

descr ição não podemos saber a distânc ia e fet ivamente per corr ida.

Com a posição inicial (número 712) e a posição final (846) ,

determina -se a grandeza que recebe o nome de espaço percorrido,

dado pela d i ferença ent re as posições. Dessa forma, considerando

apenas as posições inicial e fina l da moça , dizemos que e l a

percorreu um espaço de 134m, que é fundamentalmente a d istância

entre o ponto de par t ida e o de chegada. [ . . . ] A dis tância em l inha

reta , entre os pontos de par t ida e chegada é o espaço percorrido.

Porém, a distância percorrida (considerando todas as pos ições

ocupadas) é igual a A + B + C + D + E + F. (LIVRO 8 , p . 79 , gr i fo

do autor) .

As letras (A, B, C, D, E, F) da soma, se referem aos segmentos do

percurso real da moça, os quais estão represent ados por linhas curvas . Temos

a representação do espaço percorrido pela moça – uma reta orientada ligando

a posição inicial à final . O conceito de espaço percorrido – da maneira como

foi colocado – não parece estar relacionado ao comprimento da trajetória, mas

sim, ao módulo do deslocamento vetorial .

No entanto, nos exemplos seguintes as posições são indicadas por

marcos quilométricos em pistas curvas, portanto o espaço percorrido, dado

por ∆p = p f i n a l – p i n i c i a l , representa um comprimento da trajetória associado a

um sinal – a posição ou espaço é representada pela letra p. Não estando em

acordo com o que foi colocado anteriormente sobre o espaço percorrido –

“distância, em linha reta, entre os pontos de partida e chegada ” .

Ao introduzir o conceito de velocidade média usa -se o exemplo de um

atleta na corrida de São Silvestre, para o qual o espaço percorrido está

relacionado ao comprimento da trajetória – anteriormente o espaço percorrido

foi definido como a diferença das posições. A velocidade média é definida

como a razão entre o espaço percorrido e o in tervalo de tempo (vm = ∆p/∆t).

Portanto, podemos perceber que, dependo da interpretação que temos de

espaço percorrido, a velocidade média não representa a rapidez e nem o

módulo da velocidade vetorial média. Não temos discussão envolvendo

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mudança no sentido, portanto, o valor do espaço percorrido coincide com a

distância percorrida no cálculo da velocidade media n os exemplos resolvidos.

Não é usado a palavra escalar para a velocidade média.

Numa discussão sobre velocidade relativa, temos os casos d e velocidade

de mesma direção e mesmo sentido (ultrapassagem) ou sentidos postos

(cruzamento), além de velocidades perpendiculares (barco cruzando um rio).

Nestes casos, apesar de não usar soma vetorial , temos claramente a

necessidade de trabalhar com direção e sentido (ainda não houve comentários

sobre os vetores):

Em uma ultrapassagem , quando os carros se movem no mesmo

sentido , a velocidade rela t iva v r e l é a diferença entre as

ve loc idades dos móveis em relação ao so lo. [ . . . ] Já durante o

cruzamento , quando os carros se movem em sent ido contrário , a

ve loc idade re lat iva é a soma das velocidades dos móveis em

relação ao so lo. (Livro 8 , p . 94, gr i fo do autor) .

Numa discussão relacionando o sentido da velocidade ao sinal , podemos

perceber a necessidade de uma visão espacial desta grandeza:

Numa estrada de mão dupla, por exemplo, os carros tra fegam nos

dois sentidos. Se considerarmos posit iva a ve locidade de um carro

que se afasta do marco zero da estrada , será negat iva a

veloc idade de um veículo que se apr oxima dele . Isso não quer

dizer que a velocidade está diminuindo. O que se reduz é o va lor da

posição do carro a cada ins tant e. [ . . . ] o ve ículo es tá se movendo no

sentido contrár io ao da trajetór ia , e suas posições estão diminuindo

em re lação ao tempo.

A d iscussão ac ima é válida somente para os va lores posi t ivos da

trajetór ia . De maneira gera l , a ve loc idade do móvel é posit iva

quando está se des locando no sent ido da trajetór ia e negat iva

quando o des locamento é no sent ido contrár io , independendo do

movimento dele em relação à or igem ou marco zero. [ . . . ] Apesar de

ninguém falar em “veloc idade negativa”, esse é o modelo

encontrado pela Física para monitorar com r igor e precisão os

movimentos . (LIVRO 8, p . 101, gr i fo do autor) .

De modo semelhante à velocidade média, a velocidade instantânea, a

aceleração média e instantânea são escri tas sem uso da palavra escalar.

Os conceitos de aceleração média e instantânea são introduzidos num estudo

relacionado ao movimento uniformemente variado. Não é ci tado a palavra

vetorial ou escalar – ainda não se estudou grandezas vetoriais.

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A relação ∆v/∆t, constante em cada um dos movimentos simulados

anter iormente, é denominada aceleração média a m e representa a

taxa de var iação da ve locidade do móvel em um interva lo unitár io

de tempo. [ . . . ] No l imi te em que esse interva lo tende a um valo r

arbitrar iamente pequeno (∆t→0), a re lação é chamada de

aceleração instantânea . (Livro 8 , p . 124, gr i fo do autor) .

Na classificação do movimento em acelerado ou desacelerado, assim

como no estudo do movimento vertical, podemos perceber a neces sidade de

relacionar sinal ao sentido de grandezas que ainda não foram definidas como

vetoriais:

Quando a velocidade f ina l é maior que a inic ial , is to é , v f i n a l >

v i n i c i a l , d izemos que o movimento é acelerado , ou seja , a aceleração

contr ibui para o aument o do módulo da ve locidade . Quando a

ve loc idade f inal é menor que a inic ia l , v f i n a l < v i n i c i a l , t emos uma

desace leração e dizemos que o movimento é retardado. Esse

raciocínio deve ser fe i to levando -se em conta os módulos das

ve loc idades, po is elas podem ass umir va lores negat ivos . (Livro 8 ,

p . 124, gr i fo do autor) .

Os s inais adotados para a aceleração e velocidade sempre são

arbitrár ios e dependem da or ientação adotada para o re ferencia l . No

caso dos movimentos ver t ica is (queda ou lançamento) , o s inal da

aceleração do corpo, que em módulo é igual ao da gravidade, não

depende de o corpo estar ca indo ou subindo , mas so mente da

esco lha da or ientação da trajetór ia para “cima” ou para “ba ixo”. Se

a trajetór ia é para “cima”, a ace leração do corpo é negativa (a = -

g) ; quando or ientamos a trajetó r ia para “baixo” , a aceleração é

posi t iva (a = g) . (LIVRO 8, p . 141 , gr i fo do autor) .

Nas expressões do movimento uniforme e uniformemente variado a

posição é representada pela letra p, inclusive no movimento vertica l. No

estudo do lançamento oblíquo usa as letras x e y para indicar o movimento

vertical ou horizontal nas expressões matemáticas.

O estudo do lançamento horizontal é feito antes do estudo das grandezas

e operações vetoriais – o lançamento oblíquo será estudado após a introdução

do conceito de grandezas e operações vetoriais – , mesmo assim, introduz-se

de forma superficial , a decomposição da velocidade no estudo do lançamento

horizontal:

O movimento da esfera poderá ser então divid ido ou decompost o em

dois movimentos: um na direção hor izontal , com velocidade

constante, e outro uni formemente acelerado, na ver t ica l . E, quando

fazemos essa decomposição, a descr ição de um não inter fere na do

out ro. [ . . . ] A cada ins tante, podemos decompor a ve loc idade d a

esfera em duas co mponentes: uma componente na direção x, v x , e

out ra da direção y, v y . (LIVRO 8 , p . 164, gr i fo do autor) .

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Neste momento, não é feita a decomposição usando seno e cosseno,

temos apenas a representação gráfica das componentes da v elocidade (v x e

vy), as quais são representadas por setas sem a formalidade da notação

vetorial (são nomeadas por letras sem a seta por cima). Temos a indicação

para que o professor veja uma orientação contida no Caderno de Orientação

para o Professor, na qual temos uma justificativa para essa abordagem:

Professor , na abordagem desse conteúdo já estamos ut i l izando uma

representação s impli f icada e intuit iva da ve locidade como vetor . A

def inição formal de grandeza ve tor ial será fei ta no próximo i tem e

aprofundada no próximo cap ítulo com a descr ição da força .

Achamos conveniente trabalhar esta representação simpli f icada de

ve tor no lançamento horizontal e ir aprofundando gradat ivamente

nos i tens seguintes . Note que no segundo Exerc ício resolvido há

uma abordagem bem interessante de módulo e decomposição de

ve tor que pode ser retomada poster iormente. (LIVRO 8, Caderno de

Orientações para o Professor , p . 56) .

Num exercício resolvido foi calculada a velocidade resultante das duas

componentes usando o teorema de Pitágoras. Em outro exercício resolvido é

usado uma decomposição gráfica da velocidade (ainda nã o foi citado os

vetores). Acreditamos que esta representação, assim como, as operações

realizadas não são tão intuitivas para os alunos, portanto seri a mais adequado

introduzir os conceitos relacionados aos vetores e depois estudar esse

movimento.

Na introdução das grandezas vetoriais e escalares temos uma explicação

para o uso da representação usada anteriormente:

Se você vo ltar ao texto das p áginas anter io res, e pr inc ipalmente às

úl t imas figuras , vai reparar que usamos se tas para representar a

ve loc idade do corpo em movimento. Essas se tas indicam, a cada

ins tante, a or ientação (d ireção e sentido) da ve locidade .

Isso signi fica que es tamos dand o às velocidades tratamento

ve tor ial . Uma grandeza é considerada vetoria l quando para sua

per fei ta definição, é necessár io assoc iar uma or ientação, i sto é , uma

direção e um sentido . O ve tor é ind icado graf icamente por um

segmento de re ta or ientado (seta) . (LIVRO 8, p . 167, gr i fo do

autor) .

Após uma discussão superficial envolvendo representação e operações

vetoriais , soma e decomposição, usa -se o trajeto da corrida de São Silvestre

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para introduzir o conceito de vetor deslocamento diferencia ndo-o do espaço

percorrido:

Observe que, ao percorrer a dis tância ∆p entre os pontos A e B, o

at leta faz a curva mostrada [ . . . ] Entre tanto, podemos definir um

vetor re lac ionado ao espaço percorr ido, que recebe o nome de vetor

deslocamento . O ve tor deslocamento é representado pelo ve tor

que l iga duas posições determinadas e , por i sso, é sempre a menor

dis tânc ia entre duas posições, independentemente da trajetór ia

descr i ta pe lo móvel. (LIVRO 8, p . 169, gr i fo do autor)

São discutidas as características do vetor deslocamento, diferenciando -

o do espaço percorrido, mas não temos nenhum comentário específico

relacionando as outras grandezas , velocidade e aceleração, que foram tratadas

anteriormente na forma “escalar” e agora são classificad as como vetoriais.

Acreditamos que, trabalhar toda a cinemática considerando as grandezas como

escalares e no final somente comentar que essas grandezas são vetoriais e

encerrar o estudo da cinemática é inadequado. Devemos observar que,

dependendo da interpretação, não só o deslocamento, mas também, a

velocidade média apresenta diferença acentuada no tratamento vetorial ou

escalar.

Neste livro não temos um estudo específico da aceleração centrípeta, ela

é citada para justificar a força centrípeta:

[ . . . ] No movimento ci rcular uni forme, a força resultante não

altera a intensidade da veloc idade, e la altera somente a

orientação da veloc idade .

Como já vimos, a força e a aceleração têm mesma d ireção e mesmo

sentido. A força resul tante no movimento circul ar uni forme é

sempre perpendicular à velocidade. Ela é chamada, nessa s i tuação

par t icular , força resul tante centrípeta ou s implesmente força

centrípeta , porque aponta para o centro da curva [ . . . ] A aceleração

também tem uma def inição par t icular no moviment o c ircular

uni forme; ela é chamada aceleração centr ípeta . (Livro 8 , p . 285.

Gri fo do autor )

Neste livro não temos discussão específica a respeito da direção da

aceleração centrípeta.

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4.1.9. LIVRO 9

No livro 9 , estuda-se inicialmente a cinemática escalar e em seguida a

cinemática vetorial. Antes mesmo de iniciar o estudo específico da

cinemática, temos um comentário sobre as grandezas físicas , escalares e

vetoriais, e sobre o sinal algébrico a elas atribuídos:

Grandezas f í sicas vetor iais são aquelas que contam, além da

intensidade, com uma orientação espac ial (d ireção e sent ido) para

es tarem p lenamente caracter izadas. Veto r é o ente matemát ico que

permi te a representação da or ientação espac ia l . São exemplos de

grandezas f ís icas ve tor iais: aceleração, ve locidade, força , impulso,

quantidade de movimento etc .

Circunstancialmente , essa o r ientação espacia l poderá ser

desconsiderada, como ocorre com a ve loc idade e a ace leração,

quando se aborda a Cinemát ica esca lar , caso em que ambas serão

consideradas como grandezas fí s icas escalares. [ . . . ] Aos va lores das

grandezas fí sicas são a tr ibuídos s ina is posi t ivos ou negativos. A

adoção desses sinais se dá por mera convenção e ind ica a oposição

entre os termos ou a d is t inção de sent idos das grandez as fí sicas

observadas. (Livro 9 , p . 23, gr i fo do autor) .

Acreditamos que a questão não é desconsiderar a orientação espacial no

tratamento escalar das grandezas , mas sim, assumir que essa orientação

espacial está implícita. Quando atribuímos um sinal, o qual está relacionado

ao sentido dessa grandeza, e conhecemos a trajetória e direção na qual atua

essa grandeza, estamos tratando com uma orientação espacial .

Como justificativa do estudo da cinemática escalar é colocado que:

A cinemática esca la r (assunto desta Unidade) tra ta , já vamos

adiantando, das grandezas fí sicas (posição, veloc idade, tempo de

des locamento e ace leração) em sua condição escalar , ou seja , basta

observar a intensidade delas ( seu valor numérico e unidade de

medida) . Somente qua ndo es tudarmos a Cinemática vetor ial é que

será considerada a direção em que o corpo se locomove. (Livro 9 , p .

38) .

Acreditamos não ser adequada esta “condição escalar”, pois da maneira

como está colocada, as grandezas estarão associadas somente a um número e

uma unidade de medida. Podemos perceber esta incoerência no conceito de

espaço/posição, o qual necessita de uma trajetória como referência e de um

sinal para sua caracterização. Fato que pode ser percebido em:

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Na Cinemática escalar , a grandeza que ind ica a posição de um

móvel em uma traje tór ia é o espaço.

Espaço ( s) é o valor a lgébrico da dis tânc ia medida na trajetó r ia ,

entre a posição do móvel e a or igem ( O) dos espaços (o ponto

referência do móvel) , em determinado ins tante de tempo ( t) . [ . . . ]

essa a tr ibuição foi arbitrár ia , mas dependeu da adoção de um

sentido posit ivo no trajeto , par t indo de O : móveis a direi ta de O

recebem valores posit ivos de espaços, e móveis à esquerda de O ,

va lores negat ivos.

Sentidos : dado um t rajeto e tendo sido adotada ne le uma

or ientação , um móvel pode movimentar -se em dois sent idos,

aproximando -se do ponto de or igem ( O) ou afas tando -se de le.

(Livro 9 , p . 41, gr i fo do autor) .

Em relação ao deslocamento escalar, representado por ∆s = s f – s i , é

colocado que ∆s pode ser positivo ou negativo, sendo que ∆s é positivo se o

móvel se move para frente, isto é, de acordo com a orientação posit iva da

trajetória, caso contrário ∆s é negativo. Temos uma comparação entre o

deslocamento escalar e a distância percorrida:

O deslocamento escalar em cer to trecho depende apenas dos valores

dos espaços fina l e inicia l do móvel, não importando a maneira

como o trajeto fo i percorr ido. E le pode ter ido direto do iníc io ( s 0)

ao f im (s f) ou fe i to idas e vindas dentro do próprio trecho ou fora

dele, antes de chegar ao espaço final (s f) .

Ass im, deslocamento não signi fica necessar iamente dis tânc ia

percorr ida (d) . Os qui lômetros mostrados no ve locímetro da painel

do veículo representam a dis tânc ia percorr ida pelo móvel. Nesse

caso , seu va lor é obtido pela soma a lgébr ica dos valores abso lutos

dos des locamentos parciais . (Livro 9 , p . 45) .

Podemos perceber que o deslocamento escalar está relacionado ao

comprimento de uma trajetória e não à distância entre dois pontos, mas não se

trata da distância percorrida. Como o deslocamento escalar está relacionado

ao comprimento de uma trajetória, mas não se trata da distância percorrida, a

velocidade escalar média não é o módulo da velocidade vetorial média e nem

representa a rapidez de um móvel quando temos inversão do movimento. No

conceito de velocidade escalar média (v m = ∆s /∆t), percebe -se a falta de rigor

com a linguagem, ∆s é chamado de deslocamento (não é colocado a palavra

escalar):

Velocidade esca lar média (v m) é a razão ent re o deslocamento

real izado por um móvel e o tempo necessár io para per fazê - lo .

(Livro 9 , p .46, gr i fo do autor)

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É colocado que a leitura de um velocímetro é chamada de velocidade

escalar instantânea, a qual representa a velocidade escalar média tomada em

um intervalo de tempo muito pequeno, quase zero.

No estudo da aceleração escalar , percebemos a necessidade de uma

representação espacial para esta grandeza, a qual é representada por setas –

estas setas não são vetores , mas indicam o sentido da grandeza :

Aceleração esca lar (a) é a taxa de var iação da velocidade escalar

de um móvel em função do tempo, enquanto a aceleração esca lar

média (a m) é a var iação total da ve loc idade de um móvel em

determinado interva lo de tempo [ . . . ] Outra maneira de inte rpretar o

sinal a lgébrico da aceleração é compreender que ela , assim como a

ve loc idade, age ao longo de uma trajetór ia , a favor ou contra o

sentido tomado arbi trar iamente como posit ivo.

Podemos, por ora , apresentar estes sina is com auxí l io de setas,

sobre a t rajetór ia o r ientada. Veremos que es ta forma de

representação é bas tante conveniente para entender o que ocorre

com os movimentos. (Livro 9 , p . 74 -75, gr i fo do autor) .

No estudo de lançamento vertical, novamente são usadas setas para

representar o sentido da velocidade e da aceleração da gravidade. Lembrando

que essas setas não representam vetores, mas indicam o sentido d estas

grandezas. Num conceito de movimento retilíneo uniforme temos uma

generalização para trajetórias não reti líneas:

Em princ ípio , pode -se pensar em movimentos uni formes em

qualquer t ipo de trajetór ia (circular , ova l , s inuosa, mista e tc . ) ,

bas ta apenas que a ve locidade esca lar permaneça a mesma. Caso

seja ret i l ínea, teremos um movimento re t i l íneo uni forme (MRU).

(Livro 9 , p . 50 ) .

No estudo do movimento uniforme e do movimento uniformemente

variado não temos uma característica específica para a trajetória, não é feito

estudo específico para trajetórias retil íneas. A letra s usada nas expressões

matemáticas desses movimentos em determinado momento é chamada de

posição e em outros momentos de espaço.

No movimento vertical o espaço (s) é substituído pela altura (h) e no

lançamento de projéteis – oblíquo e horizontal – foi lembrada a composição

de movimentos simultâneos e independentes. Nas expressões matemáticas

desse movimento usa-se a letra x para indicar a posi ção horizontal e as letras

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y ou h para a posição vertical . Nesse livro por várias vezes deslocamento,

velocidades e aceleração são citadas sem o termo escalar ou ve torial.

Na introdução do estudo dos vetores , temos uma pequena introdução

histórica sobre a representação vetorial:

[ . . . ] na virada do século XVII , Gal i leu Gal i lei já havia mostrado ser

possíve l anal i sar um movimento observando apenas uma par te o u

direção. No século XVII , Gauss e Euler esbarraram nos ve tores ao

descrever uma nova c lasse de obje tos matemáticos , os números

complexos; contudo, a maneira correta de representar e operar

números que carregam mais informação a lém de sua intensidade é

devido a Wil l ian Hamil ton e Hermann Grassman, no século XIX, ao

cr iarem o cálculo vetor ial .

Apesar de os vetores terem s ido e laborados com uma motivação

puramente matemática, ta l cr iação serviu admiravelmente para a

manipulação de grandezas f í sicas. (Livro 9 , p . 110) .

Um mapa contendo ruas de um bairro é usado para justificar a

decomposição vetorial. Acreditamos que este mapa, bem usado, poderia

ajudar os alunos não só a perceber a necessidade de decompor um

deslocamento – geralmente não podemos andar em linha reta no deslocamento

entre dois pontos – mas também na visualização das projeções vetoriais. Não

temos referência à soma vetorial usando a decomposição de vetores

(acreditamos que uma das principais aplicações da decomposição, é a soma

vetorial).

Após um estudo sobre os vetores e as operações vetoriais – soma,

decomposição e multiplicação de um vetor por um número real – temos uma

justificativa para o estudo da cinemática escalar anterior ao da cinemática

vetorial:

Assim, se a té então havíamos vis to o des locamento espac ia l , a

ve loc idade e a ace leração dos móveis como grandezas escalares – o

intui to , de ordem metodológica, fo i de simpli f icar o manejo e

faci l i tar a abordagem das grandezas e as interações entre elas – ,

t rata -se agora de apresentá- las em toda sua extensão. Esse é o

objet ivo des te capí tulo . (Livro 9 , p . 130) .

Temos o conceito de deslocamento vetorial:

[ . . .] o vetor desloca mento é o vetor com or igem em um dado

espaço inic ia l e extremidade final na posição de chegada. (Livro 9 ,

p . 131, gr i fo do autor) .

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120

Numa discussão em relação à diferença entre velocidade e rapidez – a

primeira é considerada como velocidade vetorial e a segunda como velocidade

escalar – é colocado que:

Na l inguagem co tid iana, podemos usar a s palavras rap idez e

veloc idade como sinônimos. Em Física, d is t inguimos as duas.

Simpli f icadamente, a di ferença é que a ve loc idade é a rapidez numa

determinada direção e sentido . (Livro 9 , p . 115 , gr i fo do autor) .

Da maneira que está colocado, nos parece indicar que rapidez é o

módulo da velocidade. Deve-se ter atenção ao fato de que quando se trata do

valor médio da velocidade, no caso de inversão do sentido do movimento, esta

afirmação não é verdadeira.

A velocidade vetorial média é introduzida como a razão entre o vetor

deslocamento e o intervalo de tempo decorrido. Temos a afirmação de que a

direção e sentido do vetor velocidade média são os mesmos do vetor

deslocamento. Temos ainda o conceito do vetor velocidade instantânea

caracterizando a direção (tangente à trajetória), o sentido (mesma orientação

do movimento) e a intensidade (módulo igual ao da velocidade escalar

instantânea) desta grandeza.

A partir do princípio da independência de movimento temos o estudo

das velocidades relativas (na forma vetorial). Usa-se o exemplo de um barco

deslocando-se num rio. Nos exemplos resolvidos temos somas vetoriais de

velocidade de mesma direção , mesmo sentidos e sentidos opostos , e

perpendiculares entre si .

Temos o conceito da aceleração vetorial m édia – taxa de variação da

velocidade vetorial – e instantânea, sem novidades. Após um comentário a

respeito da variação da velocidade:

Como es tamos tra tando da var iação de uma grandeza vetor ia l , é

bom lembrar que e la pode acontecer na intensidade e/ou na direção.

(Livro 9 , p . 134)

Temos o conceito de aceleração tangencial e centrípeta seguido de

comentários e explicações sobre a aceleração resultante. São analisados casos,

nos quais atuam cada uma delas separadamente.

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No estudo do peso aparente, usa -se o exemplo de uma balança no piso

de um elevador para discutir que não podemos associar o sentido do

movimento ao da aceleração:

Note também que a sensação de peso dentro de um e levador fechado

não é suf ic iente para sabermos o sentido do movimento . Conh ece-se

apenas o sentido do vetor aceleração resultante , uma vez que ele é

ver t ica l para c ima, tanto na sub ida em deslocamento ace lerado

quanto na desc ida em movimento retardado, e ver t ical para ba ixo,

subindo em movimento retardado ou descendo em deslocame nto

acelerado. (Livro 9 , p . 215) .

Acreditamos ser pertinente a discussão deste exemplo, pois, geralmente

os alunos têm dificuldades em relacionar de forma adequada, o sentido da

aceleração com o sentido do movimento.

4.1.10. LIVRO 10

No livro 10, a ordem dos conteúdos é bem diferente do que geralmente

encontramos nos livros textos. Inicialmente temos um estudo sobre energia e

em seguida é que vamos estudar os movimentos, mas ao iniciar o estudo dos

movimentos ainda não se estudou a representação e operações vetoriais. Nesta

coleção, o estudo do movimento é feito inicialmente no volume 1 e

posteriormente é retomado no volume 3.

O conceito de deslocamento é introduzido juntamente aos de velocidade

média e instantânea:

O movimento de um objeto é carac ter izado re lacionando a var iação

de sua posição, também denominado, des locamento : ∆s, com o

tempo de percurso ∆t. A razão: deslocamento divid ido pe lo tempo é

denominada ve locidade media do objeto: V m = ∆s /∆t

Para especi f icar com exat idão a ve loc idade de objeto , ser iam

necessár ias outras observações, a lém do espaço percorr ido e do

tempo de percurso, como a direção (hor izontal ou ver t ica l , por

exemplo) e o sent ido (nor te , sul , leste , oes te , por exemplo) do

movimento. Mas, inic ialmente, vamo s considerar apenas o va lor

abso luto da ve loc idade [ . . . ] Pode -se calcular o valor aproximado da

ve loc idade ins tantânea , em torno de cer to instante , medindo o

espaço percorr ido em um intervalo mui to cur to (LIVRO10, volume

1, p . 145 -146) .

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Neste momento, não está explícito se os conceitos colocados estão

relacionados às grandezas vetoriais ou escalares – ainda não se estudou o

conceito de grandezas vetoriais.

Num tópico denominado “Deslocamento escalar, intervalo de tempo e

velocidade média”, foi colocado que:

Neste e em outros textos de fí s ica , a le tra do al fabeto grego ∆

(delta) representa a var iação de alguma grandeza fí s ica . [ . . . ] se

nessa viagem o carro fo i de uma c idade si tuada na posição k m 200

de uma rodovia para out ra c idade loca lizada na posição km 300 ,

representamos seu deslocamento escalar , ou var iação de posição,

como: ∆s = s f – s i = 100 km. A velocidade média : v m = ∆s /∆t

expressa a rap idez com que a posição de um móvel var ia . (LIVRO

10, vo lume 1, p . 149) .

Acreditamos agora, quando se usa o termo deslocamento escalar, que

está se referindo às grandezas escalares. Porém, afirmar que essa velocidade

média representa rapidez nos parece inadequado. S e não tivermos informação

mais detalhada sobre o movimento não podemos fazer essa afirmação.

Foi colocado que para definir a localização de um objeto podemos

necessitar até de três eixos cartesianos, mas que esses eixos podem ser

dispensados quando conhecemos a trajetória seguida por esse objeto:

Quando conhecemos a trajetór ia descr i ta por um móvel, segundo um

referencia l , podemos dispensar o uso de eixos car tes ianos e def inir

a posição do móvel ao longo da traje tór ia , tomando um ponto co mo

referência . Esse ponto de re ferênc ia é denominado or igem (O) e a

posição do móvel designada por S, que representa a dis tânc ia do

móvel, sobre a traje tór ia , desde a or igem. O sina l de S é

convencionado de acordo com a or ientação da trajetór ia [ . . . ] Para

si tuar os veículos em uma rodovia ut i l izam -se marcos de ind icação

da quilo metragem. Q uando d iz que um car ro es tá no km 32 ,

signi fica que e le se posiciona a 32 k m da or igem convencionada da

rodovia. (LIVRO 10, vo lume 1, p . 149)

Podemos perceber uma confusão em relação ao conceito de posição.

Quando são citados os eixos cartesianos, nos parece estar-se referindo ao

vetor deslocamento, mas quando temos referência aos marcos quilométricos

de uma rodovia, pode estar se referindo a uma grandeza escalar.

Neste livro usa-se espaço com o mesmo significado de posição e não se

discute diferenças específicas entre deslocamento escalar e vetorial . Nas

expressões matemáticas do MU e MUV, a posição é representada pela letra s,

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inclusive no movimento vertical. No lançamento oblíquo, as posições são

representadas pelas letras x e y.

Após a introdução dos conceitos de deslocamento e velocidade média

temos o estudo de forças e quantidade de movimento. Ainda não se estudou os

vetores. Somente no final do estudo da quantidade de movimento é que se

discute a necessidade de uma orientação espacial para est a grandeza,

introduzindo-se os conceitos de grandezas escalares e vetoriais:

Velocidade, deslocamento e força são grandezas vetor iais . I sso

signi fica que, além de seu tamanho ou intensidade (módulo) , para

determiná - los é necessár io indicar sua d ireção e seu sentido. Por

isso, são representados por um segmento de re ta or ientado, chamado

ve tor . (LIVRO 10, vo lume 1, p . 172) .

Após introduzir os conceitos de grandezas escalares e vetoriais temos a

representação e operações vetoriais: soma, subtraçã o e decomposição. Após

um estudo sobre as leis de Newton temos um estudo sobre rotações. A

velocidade angular é introduzida como a divisão do deslocamento angular

pelo tempo. Não temos referência ao caráter vetorial da velocidade angular.

Após o estudo da rotação – inclusive da quantidade de movimento

angular e inércia rotacional – , já quase no final do volume 1, temos uma

discussão sobre arremessos e saltos no atletismo, na qual é colocada que:

Para o estudo de movimentos não ret i l íneos, a técnica da

decomposição de movimentos é essencial . Nos lançamentos, o

movimento usualmente ocorre em um plano, que pode ser

decomposto em duas direções. Com objetos densos, pode -se

desprezar a resistênc ia do ar e considerar que na direção horizontal

nenhuma força a tua, o que mantém constante a componente

hor izontal da ve loc idade. Na ver t ical , age a força gravi tacional ,

prat icamente constante , durante todo o trajeto , que produz uma

aceleração ver t ica l , também constante .

É dessa composição entre movimento uni forme na direç ão

hor izontal e movimento uni formemente var iado na d ireção ver t ical

que resultam trajetór ias paraból icas. (LIVRO 10, vo lume 1, p . 224 -

225) .

Após essa discussão qualitativa sobre o movimento no plano temos um

estudo sobre o lançamento oblíquo, no qual são colocadas as equações de

posição e da trajetória para o movimento no plano xy. Temos a decomposição

da velocidade inicial .

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No volume 1 desta coleção, não percebemos o conceito específico de

aceleração média. Num estudo da segunda lei de Newton, é colocado que a

razão entre a variação da velocidade e o tempo – na forma vetorial – é

chamada de aceleração. Não foi especificado se esta aceleração é média ou

instantânea.

Não temos uma discussão específica em relação à ace leração centrípeta,

ela é estudada na interpretação da força que atua em um corpo realizando uma

trajetória curva. É colocado que uma força resultante centrípeta provoca uma

aceleração centrípeta, a qual é responsável pela alteração da direção do

movimento, e que uma força resul tante tangencial provoca uma aceleração

tangencial , que altera o valor da velocidade.

No terceiro volume desta coleção, retornamos ao estudo dos

movimentos. Temos estudo envolvendo o conceito e cálculo da velocidade e

aceleração média na forma escalar, mas não temos comentário explícito sobre

a trajetória, e nem se estamos tratando com grandezas vetoriais ou escalares:

A velocidade média de uma pessoa adul ta em caminhada tranquila ,

de passe io, é cerca de 1m/s [ . . . ] A ve loc idade de um cami nhar com

mais r i tmo é cerca de 5 km/h.

Algebr icamente, podemos expressar essa ve locidade como: v m =

∆s/∆t , em que v m é a ve loc idade média da pessoa, ∆s o

des locamento, e ∆t o intervalo de tempo. [ . . . ] Se em uma arrancada

um automóvel inicialmente parado a t ingir 108 km/h em 10 s, o

va lor de sua aceleração média pode ser calculado pela expressão a m

= ∆v /∆ t , em que ∆v representa o valor da var iação da veloc idade e

∆t, o valor do interva lo de tempo. (LIVRO 10 , volume 3, p . 108) .

Temos um estudo superficial sobre lançamentos verticais e oblíquos e

um estudo da composição de movimento (velocidade relativa), no qual é

colocado que:

Assim co mo no lançamento de projéteis , a t ra jetór ia de um barco

cruzando o r io também pode ser anal isada por meio da

decomposição de seu movimento em dois e ixos perpendiculares

entre s i . (Livro 10, vo lume 3, p . 113) .

Em relação a dois exemplos é colocado que:

Nas duas s i tuações, a ve locidade resultante R do barco é a soma da

ve loc idade dada pelo motor b com a velocidade da correnteza c ,

ou seja , R = b + c . As se tas acima dos s ímbolos das ve loc idades

ind icam que a ve loc idade é grandeza vetor ia l , is to é , com di reção e

sentido. (Livro 10, vo lume 3, p . 113) .

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Como exemplo da soma vetorial temos três casos: no primeiro o barco

navega rio abaixo, no segundo rio acima e no terceiro perpendicularmente às

margens do rio. É citado que quando as velocidades formam um ângulo α

entre si , a velocidade resultante pode ser calculada utilizando a lei dos

cossenos, a qual é colocada de forma errada:

Quando b e c formam um ângulo α entre si , o valor da ve loc idade

resultante pode ser calculado uti l izando a lei dos cossenos: V R2 =

Vb2 ± 2 . V b .V c , com soma para ângulos agudos e sub tração para

ângulos obtusos. (Livro 10, vo lume 3, p . 113) .

Podemos perceber que está faltando parte desta expressão. Acreditamos

que poderia ser usada a regra do paralelogramo.

Em algumas figuras não temos rigor na representação vetorial. Os

vetores são representados por letras sem a seta por cima.

Nesta coleção, no estudo do movimento vertical e do lançamento

oblíquo não temos comentário sobre o referencial usado para indicar o sinal

(positivo ou negativo) da aceleração da gravidade. No terceiro volume desta

coleção, no lançamento vertical para baixo a aceleração da gravidade é

colocada na expressão com o sinal positivo e no lançamento para cima com o

sinal negativo. A justificativa do sinal negativo na subida é que o objeto é

freado pela ação da gravidade.

Num estudo sobre força resultante e velocidade, temos uma discussão

relacionando aceleração e variação da velocidade:

Assim como a velocidade, força e ace leração também são grandezas

representadas como ve tores [ . . . ] a aceleração adquir ida por um

objeto tem a mesma d ireção e sent ido da força resul tante que lhe foi

aplicada [ . . . ] o vetor aceleração não ind ica para onde va i o obje to ,

mas, s im, como varia sua veloc idade . Esse é o caso do lançamento

de projéte is , que são acelerados para baixo pela força gravi tac ional ,

mas em vez de caírem em trajetó r ia ver t ical , descrevem uma

parábola, a l terando progressivamente a direção e sent ido de se u

ve tor ve loc idade . (Livro 10, p . 117, vo lume 3) .

Consideramos pertinente esta discussão, pois constantemente

percebemos alunos relacionando aceleração ao sentido do movimento.

Neste l ivro a representação vetorial, assi m como as operações vetoriais, é

tratada superficialmente. O que temos no volume 3 , nos parece ser uma

revisão com objetivo de relacionar os conteúdos à história desses conteúdos.

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4.2. Força

O estudo das forças, geralmente tem seu foco principal no est udo das

leis de Newton. Nesse estudo, como temos necessidade constante em usar a

representação e operações vetoriais, consideramos importante sua localização

em cada livro analisado.

Nos livros 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8 e 9 , o conceito de força e as leis de Newton

são estudados após o estudo da cinemática e da representação e operações

vetoriais. No livro 7 , o estudo das forças é iniciado antes do estudo da

cinemática e da representação e operações vetoriais. Nesse l ivro, não temos

um estudo específico das operações vetoriais. Parte dessas operações são

introduzidas no estudo das forças. No livro 10 , a ordem dos conteúdos é bem

diferente do que geralmente encontramos nos livros textos. Inicia -se com

estudo da energia e a força já aparece com característica s vetoriais (sentido e

componentes) no cálculo do trabalho de uma força, mas o estudo das forças

tem seu foco após estudos de: energia, cinemática, quantidade de movimento

linear e representação e operações vetoriais.

Percebemos que quase na totalidade dos livros, quando se inicia estudos

relacionados às forças, os alunos já estudaram conceitos relacionados a

representações e operações vetoriais.

4.2.1. LIVRO 1

No livro 1 , a primeira e terceira leis de Newton são introduzidas sem

novidades.

No estudo da segunda lei de Newton se discute a relação entre direção e

sentido da força resultante e aceleração. Um comentário em relação à

expressão matemática desta lei pode indicar a eficiência da notação vetorial:

Não há necessidade de enunciar em pal avras a Segunda lei de

Newton; bas ta a sua expressão matemát ica [ . . . ] A notação vetor ial

da força resul tante e da aceleração que aparece na expressão

matemát ica da segunda lei de Newton torna exp líc i to que ambas as

grandezas são vetores de mesma d ireção e sent ido. (Livro 1 , p . 121)

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Podemos perceber a vantagem de uma notação vetorial, a questão, é que

neste livro, não foi discutida o produto de um vetor por um escalar. Não

temos referência explícita ao uso deste princípio para cada direção em

separado.

No estudo da condição de equil íbrio para um ponto material – força

resultante nula – usa-se um exemplo, no qual estão representadas quatro

forças e suas componentes nos eixos x e y. Em relação a este exemplo é

colocado que:

Como a soma vetor ial dos compon entes de cada força equivale à

própria força, podemos es tudar esse s i stema de forças ut i l izando os

seus co mponentes .

Para que haja equi l íb r io , é preciso que a resultante do s istema de

forças seja nula . Isso só é possível se a resul tante dos componentes

nas d ireções x e y também for nula. Para i sso , basta que a soma

algébr ica dos módulos desses componentes nas direções x e y ,

preced idos pe los sina is decorrentes do sentido de cada um desses

eixos, seja zero [ . . . ] General izando esses resultados, podemos

af irma que o ponto mater ia l sujei to a um s istema de forças

coplanares está em equil íbr io quando: Σ F x = 0 e Σ F y = 0 , em que Σ

Fx é a soma algébrica dos módulos dos componentes das forças no

eixo x e Σ F y é a soma algébr ica dos módulos dos componentes das

forças no e ixo y . (Livro 1 , p . 137, gr i fo do autor )

Neste livro, se discute o significado físico dos componentes de um

vetor:

[ . . . ] embora os componentes das grandezas ve tor iais const i tuam um

ar t i f íc io matemát ico, eles têm rea lidade f ís ica . Se a força for

aplicada a um corpo, e la de fa to exercerá ações hor izontal e ver t ica l

correspondentes a esses componentes. (Livro 1 , p . 32, gr ifo do

autor) .

Embora esses componentes só exis tam do ponto de vista da

matemát ica , o e fe i to deles é real [ . . . ] a ação dos componentes

or togonais do si s tema de forças ( f igura acima) são independentes

entre si . O sis tema pode ter resul tante numa d ireção e não ter na

out ra. Assim, para que haja equi l íbr io do sis tema de forças , é

preciso que tanto a result ante dos componentes na direção x como a

resultante dos componentes na d ireção y sejam nulas. (Livro 1 , p .

147, gr i fo do autor) .

Por várias vezes usa-se a Segunda lei de Newton na forma escalar, com

a justificativa de que se trata da Segunda lei de Newton em módulo .

Acreditamos não ser adequado usar o termo: em módulo, pois constantemente

estaremos lidando com sinais e sentido das grandezas. Fato que pode ser

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percebido na observação que está colocada em um exercício resolvido, no

qual usa esta justificativa:

Da segunda lei de Newton , em módulo, obtemos: [ . . . ] F R = - 7500N

[ . . . ] O s inal negativo que precede os módulos da ace leração e da

força resultante indica que ambas têm sentido contrár io ao sentido

posi t ivo do e ixo. Co mo sabemos o módulo, a d ireção e o sent ido da

força resultante , pode -se dizer que e la é conhecida vetor ia lmente.

(Livro 1 , p . 152) .

No estudo da força elétrica entre cargas puntiformes não temos

referência ao princípio da superposição, mas temos cálculo da resultante de

duas forças pela regra do paralelogramo.

A força magnética é introduzida no estudo do campo magnético:

Se uma par t ícula por tadora de carga e létr ica de prova q , posi t iva,

tem veloc idade num ponto P , em relação a um s is tema de

referência S , e sofre a ação de uma força perpendicular a ,

assoc iamos a esse ponto , por def inição, um vetor campo magnético

, que forma com um ângulo θ , cujo módulo é: B = . (Livro

1 ,vo lume 3, p . 189, gr i fo do autor)

Temos a introdução da regra da mão direita (regra do tapa) para

obtenção da direção e sentido do vetor (regra que relaciona velocidade,

campo e força). É colocado que a força é sempre perpendicular ao plano

formado pelos vetores velocidade e campo magnético. No rodapé da página

temos uma citação que faz referência ao produto vetorial, mas não temos

discussão sobre essa operação:

Existem di ferentes regras da mão direi ta ou esquerda, ut i l izadas no

ele tromagnet ismo. Todas e las se equiva lem e se or iginam de uma

única regra da mão dire i ta que define a d ireção e o sent ido do vetor

resultante do produto vetor ial , operação que faz par te do cá lculo

ve tor ial e que está fora do alcance deste l ivro. (Livro 1 , vo lume 3,

p . 190) .

Tendo como base uma figura, na qual está representado um segmento de

fio percorrido por uma corrente i, imerso em um campo magnético ,

introduziu-se a força magnética sobre um fio reto. Em relação à direção e

sentido da força temos que:

A direção da força é perpendicular ao plano que contém e o

condutor ; o sent ido pode ser obt ido a par t ir da mesma regra da mão

direi ta ut i l izada para o movimento de par t ículas carregadas , mas

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aqui o polegar ind ica o sentido da cor rente elé tr ica. (Livro 1 ,

volume 3, p . 195, gr i fo do autor) .

Acreditamos que mesmo não aprofundando no estudo do produto vetorial

entre dois vetores, uma discussão mais detalhada sobre este assunto poderia

ajudar no entendimento e visualização da representação da força magnética.

4.2.2. LIVRO 2

No livro 2 , usa-se duas forças para introduzir a regra do paralelogramo

(graficamente). A 1a e terceira Leis de Newton, assim como as forças: peso,

normal, de tração, elástica na mola são introduzidas sem novidades.

A Segunda Lei de Newton (princípio fundamental da dinâmica) é

introduzida na forma vetorial , mas não foi estudado o produto de um vetor por

um escalar e nem a igualdade vetorial:

A força resultante ( R) que atua sobre um corpo de massa (m)

produz uma ace leração ( ) ta l que R pode ser obt ida pela expressão

R = m . A aceleração e a força resultante têm a mesma d ireção e

sentido, e o módulo da força resul tante pode ser ca l culado pe la

equação : F R = m a , em que a é o módulo da aceleração.(Livro 2 , p .

211, gr i fo do autor)

Não temos referência à validade deste princípio para cada direção, ou

seja, ao uso das componentes independentes em cada direção. Na realidade,

não se usa a decomposição de vetores na soma vetorial. Por várias vezes

temos uso de expressões vetoriais – tais como segunda Lei de Newton e

conservação da quantidade de movimento – na forma escalar, sem

justificativa.

O método de trabalhar com equações independentes em cada direção,

foi introduzido para o caso específico da condição de equilíbrio de um ponto

material:

O método das projeções de um sis tema de forças nos e ixos

hor izontal e ver t ica l é bas tante út i l no estudo de si tuações de

equil íbr io . Esse método consiste em projeta r no par de eixos

or togonais as forças que atuam no ponto mater ia l . Assim, podem -se

es tudar as forças resultantes em cada um dos e ixos separadamente .

Para que a resul tante ve tor ia l seja nula, os módulos das resul tantes

das projeções (ou decomposições) dessas fo rças, tanto no eixo x

quanto no e ixo y, devem ser nulas. (Livro 2 , p . 293)

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Esse método é usado praticamente para o caso particular de equilíbrio

de um ponto material e de um corpo extenso.

A força elétrica entre cargas puntiformes – lei de Coulomb – foi

introduzida, mas não temos referência ao princípio da superposição – força

elétrica resultante. Usa-se a força elétrica para discutir a direção e sentido do

campo elétrico.

No conceito de força magnética que atua sobre uma carga em

movimento, percebemos uso de regras que estão ligadas ao produto vetorial

entre dois vetores, mas não temos referência a esta operação:

Veri f ica -se experimenta lmente que uma carga pontual q , lançada

com veloc idade em uma região do espaço onde há um campo

magnét ico uni forme , f ica sujei ta a uma força de or igem

magnét ica , m , que tem as seguintes caracter í st icas.

Módulo: F m = q . v . B . senα.

Direção : perpendicular simul taneamente ao plano de terminado

pelos ve tores e [ . . . ] .

Sentido : dado pela regra da mão d irei ta no 2 , na qual o

polegar indica o sent ido de , os demais dedos ind icam o

sentido de . Se a carga for posit iva (q > 0) , o sentido de um

tapa com a pa lma da mão indica o sent ido de m ; no entanto, se

a carga for negativa (q < 0) , o sent ido de m é o mesmo de um

tapa com o dorso da mão(f igura 3) . (Livro 2 , volume 3, p . 242 ,

gr i fo do autor)

A mesma regra é usada para dete rminar direção e sentido da força

magnética que atua em um condutor retilíneo percorrido por uma corrente

elétrica:

Para determinar a d ireção e o sent ido da força magnét ica, basta que

nos lembremos que o sent ido da corrente é representado pelo

movimento de portadores de carga posi t iva e ut i l izemos a regra da

mão direi ta no 2 , adap tada para o caso do condutor , considerando

que o po legar aponta no sent ido da corrente convencional (Livro 2 ,

volume 3, p . 251) .

Por várias vezes não temos rigor na representação vetorial, forças com

sentidos opostos representadas pela mesma letra sem o sinal negativo e até

mesmo forças com direções diferentes representadas pelo mesmo símbolo.

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131

4.2.3. LIVRO 3

No estudo da condição de equilíbrio do l ivro 3 , é colocado que a soma

das forças deve ser nula em cada eixo (x e y ) separadamente:

[ . . . ] a condição para que uma par t ícula esteja em equi l íbr io é que

seja nula a resultante das forças que ne la atuam [ . . . ] se a resultante

das componentes sobre Ox for nula (Σ x = 0) e as das componentes

sobre Oy também (Σ y = 0) , a resul tante das forças que a tuam

sobre a par t ícula será nula. Consequentemente, nessas condições, a

par t ícula estará em equi l íbr io . (Livro 3 , p . 113, gr i f o do autor)

Como exemplo, temos três forças representadas no plano cartesiano

xOy , e a seguinte colocação:

[ . . . ] sobre Ox : Σ x = 0; s igni f ica que 1 x + 2 x + 3 x = 0 ou,

considerando os módulos, F 1 x - F2 x - F 1 x = 0 , i s to é , a componente

1 x deve anular -se co m 2 x e 3 x [ . . . ] . (Livro3, p . 113, gr i fo do

autor) .

A notação usada na forma vetorial para cada um dos eixos está correta,

mas consideramos que poderia usar sua forma escalar com a justificativa de

que quando já está definida a direção, o sinal indica o sentido. Portanto,

estaríamos trabalhando com vetores sem a necessidade de usar a notação

vetorial. Este método deveria ser generalizado para a soma d e vetores.

A primeira e terceira Leis de Newton são introduzidas sem novidades. É

colocada a forma vetorial da segunda Lei de Newton, assim como a

justificativa para a relação entre direção e sentido para força e aceleração:

[ . . . ] A aceleração que um cor po adquire é di retamente proporc ional

à resul tante das forças que a tuam nele e tem a mesma direção e o

mesmo sentido desta resultante. [ . . . ] Quando se mult ipl ica um

escalar por um vetor , obtém-se um vetor cujo módulo é o p roduto

do módulo do esca lar pelo módulo do vetor dado, cuja d ireção é a

mesma do ve tor dado e cujo sentido será o mesmo do vetor dado, se

o esca lar for posi t ivo, e contrár io ao do vetor dado, se o esca lar for

negat ivo. (Livro 3 , p . 151) .

Não temos referência à validade deste princípio para cada eixo em

separado. Por várias vezes temos a “transformação” ou uso de equações

vetoriais (segunda lei de Newton) na sua forma escalar, sem explicação.

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Por várias vezes não temos rigor na representação vetorial: vetores com

direções diferentes representados pelo mesmo símbolo (letra com a seta por

cima), vetores com sentidos opostos representados pelo mesmo símbolo sem o

sinal negativo e vetores representados por letras sem a seta por cima.

No estudo da força elétrica entre cargas puntiformes nã o temos

referência ao princípio da superposição, mas o mesmo deve ser usado nos

exercícios propostos.

No estudo da força magnética sobre uma carga elétrica é colocado que

esta força é perpendicular ao plano determinado pelos vetores e e o seu

sentido pode ser dado pela “regra do tapa”. Temos a descrição da “regra do

tapa”, mas não temos comentário sobre o produto vetorial . No estudo da força

magnética sobre um fio percorrido por uma corrente elétrica usam -se as

mesmas regras.

4.2.4. LIVRO 4

No livro 4 , não se usa a decomposição para a soma vetorial . A primeira

e terceira leis de Newton são introduzidas sem novidades. A Segunda Lei de

Newton é introduzida na forma vetorial, portanto temos uma relação entre

direção e sentido da força resultante e aceleração:

Se é a resul tante das fo rças que agem em uma part ícula, então, em

conseqüência de , a par t ícula adquire na mesma direção e no

mesmo sentido da fo rça, uma ace leração , cujo módulo é

diretamente proporcional à intensidade da força. (Livro 4 , p . 132) .

Não temos referência ao uso desta lei para cada direção independente.

Neste livro, as condições de equil íbrio também não são tratadas

separadamente para cada eixo, mas por várias vezes usa-se a forma escalar da

segunda Lei de Newton e em algumas vezes a condição de equilíbrio para

determinada direção, sem justificativa explícita. Temos ainda a

“transformação” de equações vetoriais para escalar com a justificativa de que

os vetores estão na mesma direção. Acreditamos que esta “transformação” não

é intuitiva para os alunos.

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Num estudo de equil íbrio de um ponto material é lembrado que a força

resultante que atua nele é nula. Neste estudo usam -se três forças que se

equilibram. Num caso a resultante de duas força , representada pela regra do

paralelogramo, se anula com a outra. Em outro caso, as três forças formam um

polígono fechado ou decompõe-se uma das forças e sua componente

horizontal se anula com uma das forças e a componen te vertical se anula com

a outra, segundo os autores, este caso foi introduzido com a finalidade de

recordar outras regras de adição vetorial:

A figura a seguir [ . . . ] representa uma par t ícula em equil íbr io e tem

como f ina lidade recordar o uso de out ras re gras de adição vetor ia l .

[ . . . ] as três forças são somadas pe la regra do polígono, obtendo -se

uma l inha pol igonal fechada, razão pela qual a fo rça resultante é

nula e a par t ícula encontra -se em equi l íbr io .

Em (c) , ana li samos a força resultante por meio da decomposição das

forças segundo duas re tas perpendiculares, x e y: F 3 x equi l ib ra F 1 e

F 3 y equi l ibra F 2 . (Livro 4 , p . 355) .

Acreditamos ser importante uma revisão, a questão é que praticamente

não se usou a decomposição para somar vetores. Pode at é ser intuit ivo este

caso particular da componente de uma força se anular com outra, mas

poderíamos ter uma justificativa explícita sobre a questão das componentes

das forças se anularem em cada direção, comentando que esta é uma

propriedade dos vetores em geral . Em dois exemplos resolvidos, usa -se a

decomposição para igualar duas forças que se equilibram.

Na teoria da Lei de Coulomb não temos referência ao princípio da

superposição. Praticamente não se usa a decomposição de vetores na

resolução de exercícios de força e campo elétrico.

No estudo da força magnética que atua em uma carga elétrica ou em um

fio reto percorrido por uma corrente elétrica, usa -se as regras da mão direita

ou esquerda na determinação da direção e sentido das mesmas, mas não temo s

referência ao produto vetorial.

4.2.5. LIVRO 5

No livro 5 , usam-se os efeitos da força para justificar sua característ ica

vetorial:

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A mesma intensidade de força , quando apl icada em direções e

sentidos d i ferentes, pode produzir e fei tos também d i fere ntes , o que

nos leva a considerá - la uma grandeza vetor ial . (Livro 5 , p . 164) .

Temos a introdução da 1a e 3

a Lei de Newton sem novidades. A 2

a Lei

de Newton é introduzida na forma vetorial, mas não temos referência à

validade deste princípio para cada direção independente:

Quando um ponto mater ia l de massa m é submetido à ação da

resultante (não nula) de forças, e le adquire uma aceleração , cuja

direção e sent ido são os mesmos de , e a intensidade é

proporcional a R. = m . (Livro 5 , p . 173, gr i fo do autor) .

Neste livro, a multiplicação de um vetor por um escalar foi estudado.

Em vários casos a segunda Lei de Newton é “transformada“ da forma vetorial

para a forma escalar , ou usada na forma escalar , sem a justificativa.

Por várias vezes não temos rigor na representação vetorial: vetores com

direções diferentes representados pelo mesmo símbolo e vetores de mesmo

módulo, mas com sentidos opostos representados pelo mesmo símb olo sem o

sinal negativo. Algumas vezes temos vetores representados por letra sem a

seta por cima. Temos até equívocos na representação da s componentes de

vetores: A cosα e A senα (indicando as componentes do peso A ); cos30o e

sen30o (indicando as componentes da força ); cos37

o e sen37

o

(indicando as componentes do peso ); x = cos30o e y = sen30

o

(indicando as componentes da tração ). Consideramos que esta notação não

é adequada, pois, indica que o vetor está na mesma direção de sua

componente, deveria ser colocado que esta relação é válida para os módulos.

No estudo do equil íbrio para um ponto material é colocado que a

resultante das forças deve ser nula, mas não temos comentários específicos a

respeito dessa força ser nula em cada direção. Num exemplo resolvido, temos

dois métodos diferentes para impor a condição de eq uilíbrio, o método do

polígono – polígono fechado – e o método das projeções:

Como o sistema está em equi l íbr io , a resultante das forças que

agem no ponto O é zero. Vamos impor essa condição uti l izando dois

métodos dis t intos .

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Método das projeções . Escolhemos dois eixos , arb itrar iamente, e

projetamos nesses e ixos as forças agentes. Em seguida, impomos a

condição de que a soma algébrica das projeções dessas forças, em

cada e ixo, seja nula. [ . . . ] Método do polígono . Devemos dispor as

forças para que a extremidade de uma coinc ida com a or igem da

seguinte e formem uma l inha po ligonal fechada. (Livro 5 , p .335,

gr i fo do autor ) .

Deveríamos ter um comentário relacionando o método da decomposição

à soma vetorial , assim como, ao fato de que se um vetor é n ulo, implica que

as componentes deste vetor em qualquer direção devem ser nulas.

Consideramos que o método do polígono é eficiente somente para alguns

casos particulares, nos quais atuam três forças – o polígono fechado seria um

triângulo.

A força elétrica entre cargas puntiformes é introduzida sem referência

ao princípio da superposição. Usa -se a força elétrica na discussão da direção

e sentido do campo elétrico.

Após citar que a força magnética em partículas carregadas possui

característ icas diferentes da força elétrica e que a força magnética é

perpendicular ao vetor velocidade e ao vetor campo magnético, temos a

introdução da regra da mão esquerda para determinar o sentido da força

magnética que atua em uma carga em movimento. Considerações semelhantes

são usadas para determinar a direção e sentido da força magnética em um

condutor retilíneo. Não temos referência ao produto vetorial .

4.2.6. LIVRO 6

No livro 6 , em vários casos não temos rigor na representação vetorial,

vetores representados por letra sem a seta por cima. Em uma figura temos a

representação de um barco sendo puxado por duas forças, também está

representada a força resultante. Na legenda da figura é colocado que a força

resultante é equivalente à soma vetorial das duas forças. E m seguida é

colocado que:

O método uti l izado para a obtenção da fo rça resultante é

conhecido como método do parale logra mo e pode ser usado, de

modo gera l , para se ob ter a so ma de duas grandezas ve tor iais de

mesma na tureza.

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Podemos, ainda , a par t ir de uma força, ob ter suas componentes

or togonais. A f igura ao lado mostra -nos uma força e suas

componentes or togonais x e y (Fig . 3 .27 ) .

A tr igonometr ia permi te -nos ob ter : F x = F . cosθ e F y = F . senθ.

A força resultante de duas forças é nula ( = ) quando estas têm

mesma direção e mesma intensidade, mas sentidos opostos.

Dizemos, então, que as duas forças se equil ibram. (Livro 6 , p . 94,

gr i fo do autor) .

Temos muita informação introduzida ao mesmo tempo, de maneira

direta e superficial, pois: não temos a equação usada na regra do

paralelogramo, e nem comentários sobre ela, não temos comentários sobre o

uso das componentes das forças – simplesmente elas estão representadas em

uma figura. Ainda não foi estudado soma e decomposição de vetores.

Mesmo no estudo da primeira Lei de Newton e força centrípeta, ainda

temos uso do termo, velocidade escalar:

Todo corpo continua em seu estado de repouso ou de movimento em

l inha re ta co m veloc idade esca lar constante a menos que seja

obrigado a al terar esse es tado pela ação de uma força apl icada

sobre ele .

Assim, um corpo l ivre de ação de forças ou sujei to a forças cuja

resultante é nula ou es tará em repouso ou movimento em l inha re ta

com velocidade escalar constante. (Livro 6 , p . 96)

Sempre que um corpo se movimenta co m veloc idade esca lar

constante em traje tór ia não ret i l ínea, age sobre ele uma ou mais

forças cuja resultante al tera a direção do vetor velocidade, para

permi tir que o móve l percorra essa trajetór ia em curva. Essa força

resultante é denominada força resultante centr ípeta [ . . . ] (Livro 6 ,

p . 120, gr i fo do autor) .

Consideramos inadequado o uso deste termo, escreve -se “velocidade

escalar constante”, mas, em seguida se refere à “alteração na direção do vetor

velocidade”. Temos a introdução Segunda Lei de Newton (princípio

fundamental da dinâmica) na forma vetorial e o comentário de que a força

resultante produz uma aceleração na sua direção e sentido. Ainda não tivemos

nenhuma referência ao produto de um vetor por um escalar.

Em relação à aplicação das leis de Newton em problemas que envolvem

dois ou mais corpos, foi colocado que:

Inicialmente devemos considerar todas as forças externas que agem

no corpo, ou corpos, e represent á -las [ . . . ] Na direção em que a

aceleração do corpo é nula, pe lo pr inc ípio da inérc ia , ou pe lo

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princíp io fundamental da Dinâmica, a força resultante deve ser

nula.

Na direção da aceleração, a força resul tante deve ter a mesma

direção e o mesmo sentido da ace leração e deve, ainda, obedecer ao

pr incíp io fundamental da dinâmica. (Livro 6 , p . 118) .

Não sei se com esta citação fica claro para os alunos que as leis de

Newton podem ser usadas para cada direção independente, na forma escalar.

Este assunto deveria ser melhor discutido. Da maneira como foi colocado, nos

parece indicar uma regra que pode ser aplicada em casos particulares. O

princípio fundamental da dinâmica é usado na forma escalar sem a

justificativa.

No estudo da lei de Coulomb não temos referência ao princípio da

superposição. No estudo do campo elétrico de várias cargas pontuais fixas foi

colocado o princípio da superposição.

Na introdução da força magnética sobre partículas eletrizadas lançadas

num campo magnético é colocado que a direção da força é perpendicular ao

campo magnético e à velocidade, sendo o seu sentido dado pela regra da mão

esquerda. A regra da mão esquerda foi introduzida, mas não temos

comentários sobre o produto vetorial. De maneira semelhante, temos

introdução da força magnética sobre um condutor percorrido por uma corrente

elétrica.

Neste livro constantemente, os conceitos relacionados aos vetores,

mesmo sem estudo anterior, são usados diretamente por meio de regras. A

impressão que temos, é que os autores assumem que os alunos já dominam o

tratamento vetorial .

4.2.7. LIVRO 7

No livro 7 , por várias vezes temos aplicações de conceitos e operações

relacionados aos vetores, anterior ao seu estudo.

No estudo da segunda lei de Newton temos relação entre dir eção e

sentido para força resultante e aceleração, mas não temos referência ao uso

deste princípio em cada direção independente. Temos a introdução da terceira

lei de Newton sem novidades.

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Usa-se a segunda lei de Newton na forma escalar sem a justificativ a. A

mesma lei foi “transformada” da forma vetorial para a forma escalar com a

justificativa de que se trata do módulo.

Foi colocado que uma das condições do equilíbrio estático é que a

resultante das forças deve ser nula em qualquer dos eixos, mas não houve

discussão em relação à independência da soma das forças em cada eixo:

É possíve l haver equi l íbr io es tá t ico se : Tanto no e ixo x como no

eixo y a força resul tante é igua l a zero . (Livro 7 , p . 114)

Temos a introdução da Lei de Coulomb (força elétrica entre cargas

puntiformes).

Neste livro, por várias vezes não temos rigor na representação vetorial:

vetores com sentidos opostos representados pela mesma letra sem o sinal

negativo, vetores com direções diferentes representadas pelo mesmo símbolo

e até mesmo uma representação inadequada para a decomposição da força

peso ( = cosθ). Esta notação indica que a componente do peso está na

mesma direção e sentido do próprio peso.

No estudo da força magnética sobre um fio reto é colocado que a força

magnética é perpendicular à direção da corrente elétrica e ao campo

magnético. A “regra do tapa” é usada para determinar o sentido e direção da

força magnética , sem nenhuma referência ao produto vetorial. A força

magnética sobre uma carga em movimento num campo magnético uniforme foi

introduzida de forma semelhante.

4.2.8. LIVRO 8

No livro 8 , o tratamento das grandezas na forma vetorial é feito de

maneira superficial .

No estudo dos corpos em equilíbrio foi colocado que a soma vetorial

das forças é nula, mas não temos referência à condição de equilíbrio ser usada

em cada eixo separadamente. Para a verificação de que a força resultante é

nula, indicam-se três métodos , paralelogramo, poligonal e decomposição , que

foram estudados superficialmente:

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[ . . . ] precisamos saber s e o (os) corpo(os) está(ão) ou não em

equil íbr io . Para isso , temos de: [ . . . ] verif icar se a so ma dessas

forças é zero.

Essa ver i f icação pode ser fei ta por meio de qualquer um dos três

métodos suger idos no capítulo anter ior para a soma ve tor ial . (Livro

8 , p . 232, gr i fo do autor ) .

Tudo bem que a força resultante pode ser calculada pelos três métodos

sugeridos anteriormente – paralelogramo, poligonal e decomposição – , a

questão é que estes métodos foram tratados superficialmente. Nem ao menos

foi colocada a equação para a regra do paralelogramo e não t ive mos exemplo

de uso de decomposição na soma de vetores.

Temos a introdução, na forma vetorial , da segunda lei de Newton, mas

não temos discussão específica relacionando direção e sentido da força

resultante com a aceleração. Não temos referência ao uso de ste princípio em

cada direção separadamente, nem comentários sobre o produto de um vetor

por um escalar.

Por várias vezes temos uso da segunda lei de Newton e a conservação

da quantidade de movimento, na forma escalar sem justificativa. Em alguns

casos não temos rigor na representação vetorial: forças de mesmo valor, mas

com sentidos opostos representadas pela mesma letra sem o sinal negativo.

No estudo da força elétrica entre cargas puntiformes, não temos

comentário em relação ao princípio da sup erposição e nos exercícios

resolvidos não temos uso da decomposição vetorial.

Temos a indicação de um experimento, no qual um fio colocado

próximo de um ímã é percorrido por uma correte elétrica, para introduzir a

representação vetorial da força magn ética que atua no fio (consideramos

muito boa a introdução). Em seguida temos a introdução da regra da mão

direita (regra do tapa) e a regra da mão esquerda relacionando força, corrente

e campo magnético. Estas duas regras são usadas também no estudo da força

magnética sobre uma carga elétrica em movimento num campo magnético.

Não há nenhuma referência acerca do produto vetorial.

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4.2.9. LIVRO 9

O Princípio Fundamental da Dinâmica (segunda lei de Newton) é

introduzido na forma vetorial , mas não temos r eferência à validade deste

princípio para cada direção independente. Neste livro, já foi estudado a

multiplicação de um vetor por um número real.

Por várias vezes a segunda lei de Newton é usada na forma escalar sem

justificativa. Em alguns casos usa -se impulso e quantidade de movimento,

assim como a conservação da quantidade de movimento na forma escalar sem

justificativa.

Em alguns casos não temos rigor na representação vetorial, forças de

sentidos opostos representadas pela mesma letra sem o sinal nega tivo.

No estudo da condição de equil íbrio de um ponto material, temos a

representação do método do polígono fechado, assim como o método da

decomposição:

Pelo método da decomposição car tes iana , se r = , então também

serão nulas as projeções dele sobre os eixos car tesianos, no plano

da força. Di to de outra Forma, sendo r x e r y as p rojeções de r nos

eixo x e y, respect ivamente, então :

r = → r x = e r y = . (Livro 9 , p . 344) .

Assim como no caso da conservação da quantidade de movimento – no

estudo da conservação da quantidade de movimento foi usado esta mesma

notação – , consideramos não ser necessário , uso da notação vetorial quando

se refere a uma determinada direção, fato que ocorre em rx = e r y = .

Temos alguns exercícios resolvidos (5), nos quais, usa -se o método da

decomposição e condição de equilíbrio em c ada eixo, para pontos materiais e

corpos extensos. Este método é usado quase que somente para a condição de

equilíbrio. Não temos referência à soma vetorial usando a decomposição de

vetores.

No estudo da força elétrica entre duas cargas puntiformes temos uma

interpretação para o sinal da força, que não é comum nos livros de Física:

Como as cargas e lé tr icas Q 1 e Q 2 podem ter sinais di fe rentes , a

intensidade da força elé tr ica ca lculada pode ser posi t iva ou

negat iva. Devemos interpretar os s inais da seguinte forma:

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Q1 e Q 2 co m mesmo s inal : F >0 – força e lé tr ica posi t iva

signi fica repulsão entre as cargas.

Q1 e Q 2 co m sinais opostas : F < 0 – força e lé tr ica negat iva

signi fica a tração entre as cargas.

Para evi tar as questões de interpre tação, usaremos cargas em

valores absolutos na Lei de Coulomb e F representando o módulo da

força e lé tr ica.(Livro 9 , volume 3, p . 35) .

Consideramos esta interpretação do sinal, além de desnecessária,

inadequada, pois quando se trata de grandezas vetoriais, a intensidade deveria

estar relacionada ao módulo e o sinal ao sentido da grandeza. A questão de

atração ou repulsão poderia ser interpretada pelo princípio da atração e

repulsão, o qual já foi estudado anteriormente. Não temos referência à

representação vetorial desta força e nem ao princípio da superposição.

No conceito de força magnética, é citado o produto entre dois vetores,

mas não temos referência explícita ao produto vetorial:

Diferentemente de outras forças resultantes, a força magnét ica não

atua no mesmo pla no de seus ve tores componentes, formado pela

direção do movimento da carga e do campo magnético que permeia

o espaço onde e la se move. Surge aqui o seu aspecto tr idimensional .

Por def inição, o va lor da intensidade da força magnét ica é dada

pela expressão: F m = q .v.b .senθ

Essa força é perpendicular ao p lano def inido pelos vetores e .

Seu sentido, ass im como o do vetor indução magnét ica, é

determinado pe lo produto entre do is ve tores, que foge ao escopo

des ta obra .

Por isso , como al ternativa, vamos uti l izar um recurso prá t ico

chamado de “regra da mão esquerda” ou regra de Fleming (Livro 9 ,

volume 3, p . 197 -198)

No estudo da força magnética sobre um condutor retilíneo, a direção e

sentido desta força são determinados por meio de regras semelhantes, sem

referência ao produto vetorial.

4.2.10. LIVRO 10

No livro 10, a ordem dos conteúdos é bem diferente do que geralmente

encontramos nos livros textos (ver categoria velocidade). Neste livro o

tratamento vetorial para as grandezas físicas é bem superficial. Em algumas

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partes temos aplicações de conceitos e operações vetoriais, anterior ao seu

estudo.

O estudo das grandezas e operações vetoriais inicia -se com a

conservação da quantidade de movimento. No estudo da segunda lei de

Newton, se discute a relação entre direção e sentido para força e aceleração,

mas não temos referência à aplicação deste princípio em cada direção

independente.

A força elétrica entre cargas puntiformes é feita conceitualmente. Não

temos a representação vetorial desta força nem comentários sobre o principio

da superposição, mas nos exercícios propostos deve ser usado este princípio.

Usa-se a regra da mão direita para determinar a direção e sentido da força

magnética sobre uma carga elétrica:

Quando uma carga e lé tr ica em movimento ent ra em um campo

magnét ico, é desviada por uma força magnética (a menos que es teja

se movendo para lelamente ao campo magnét ico) . Para determinar a

trajetór ia que a carga adquire, cr iou -se uma regra chamada regra da

mão dire i ta . (Livro 10, volume 2, p . 60 , gr i fo do autor ) .

Não temos comentário sobre a força magnética num segmento de fio e

nem referência ao produto vetorial . Algumas vezes não temos rigor na

representação vetorial, vetores representados po r letras sem a seta por cima e

vetores diferentes representados pelo mesmo símbolo (letra com a seta por

cima).

4.3. Outras grandezas vetoriais

Conforme citado anteriormente, a escolha das unidades de análise

(posição, deslocamento, velocidade, aceleração e força) se deu principalmente

por se tratarem de grandezas ligadas ao cotidiano dos alunos. Acreditamos ser

importante uma análise contendo um número maior de grandezas físicas, no

entanto, devido a limitação do tempo destinado ao curso de mest rado, faremos

apenas um breve comentário sobre o tratamento de outras grandezas vetoriais

contidas nos livros analisados. Desta forma, devemos observar que estas

grandezas não fazem parte das unidades de análise, pois as mesmas foram

observadas apenas superficialmente.

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4.3.1. TORQUE OU MOMENTO DE UMA FORÇA

Nos livros 1, 3 e 8 , não é citado que o momento de uma força é uma

grandeza vetorial, mas temos regras para determinar o sinal desta grandeza:

[ . . . ] Mas o momento da força tende a produzi r rotação e há do is

sentidos possíve is de rotação: horário e anti -horário . Para

dis t inguir um sentido de outro, acrescentamos, por convenção, sina l

posi t ivo ao módulo do momento que tende a p roduzir ro tação no

sentido anti -horár io e negat ivo quando a tendênc ia de ro tação é

exerc ida no sentido horár io . (LIVRO 1 , p . 140)

Costuma-se a tr ibuir um sina l (posit ivo ou negat ivo) ao momento de

uma força, conforme o sentido da ro tação que ela tende a produzi r

no corpo. [ . . . ] sent ido anti -horár io [ . . . ] a t r ibui -se o sina l posit ivo

[ . . . ] sentido horár io [ . . . ] é considerado negat ivo . (LIVRO 3, p .

136-137, gr i fo do autor) .

Como o giro pode acontecer em d i ferentes sentidos, p rec isamos

atr ibuir um sinal para cada sent ido. Adotamos então o sinal

negat ivo para o sentido horár io e o sina l posi t ivo para o sentido

anti-horário . Na def inição de momento es ta convenção é arb itrár ia ,

não havendo momentos essencia lmente posi t ivos ou negativos. Na

solução de prob lemas, esco lha uma convenção e mantenha -a até o

f inal . (LIVR0 8, p . 234 , g r i fo do autor)

Nos livros 2 e 5, é citado que o torque é uma grandeza vetorial, mas não

temos referência à sua direção ou representação. O sinal é indicado por

convenção:

Momento ou torque de uma força é a grandeza f í sica vetor ia l que

mede o e fei to de rotação de uma força. [ . . . ] Por convenção, o

momento de uma força será considerado posi t ivo se a força produzir

rotação no sentido anti -horár io . Caso a rotação ocorra no sent ido

horár io , o mo mento da força será considerado negat ivo. (LIVRO 2,

p . 297-298)

O momento de uma força (M F) é uma grandeza ve tor ia l [ . . . ] Por

convenção, vamos adotar o sina l posit ivo quando a tendência do

movimento for no sent ido anti -horár io e o negativo quando for no

sentido horár io . (LIVRO 5, p . 339)

No livro 4 , na introdução do momento de uma força não temos

referência explícita de que se trata de uma grandeza vetorial. O que temos é

um tratamento escalar:

Para def inir esca larmente essa grandeza [ . . . ] Momento escalar (M )

da força em relação a O é o prod uto da intensidade dessa força

por seu braço em relação a O, preced ido de um sina l algébrico

arbitrár io [ . . . ] A f inal idade do s ina l a lgébr ico (+ ou -) é dist ingui r

os momentos que correspondem a uma tendência de ro tação no

sentido horár io daqueles que corr espondam a uma tendência de

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rotação no sentido ant i -horár io . Em cada problema, deve -se

convencionar o sinal que será a tr ibuído ao momento. Pode -se

considerar posi t ivo, por exemplo, o momento de uma força capaz de

produzir rotação no sentido horár io e negat ivo o momento de uma

força capaz de produzir rotação no sent ido ant i -horár io . (LIVRO 4,

p . 359, gr i fo do autor) .

No livro 6 , o torque é introduzido no estudo da conservação do

momento angular. Neste estudo o torque foi tratado como uma grandeza

vetorial e temos sua representação como vetor:

[ . . . ] o torque da força em relação ao eixo r tem módulo dado

pelo produto do módulo da força pe la d is tância d do ponto O à l inha

de ação da força [ . . . ] A direção de é a do eixo r , e o sentido é

dado pe la regra da mão dire i ta: o polegar da mão direi ta fo rnece o

sentido de , quando os demais dedos semidobrados são d ispostos

no sent ido da rotação que a força produz no disco em torno do

ponto O . (LIVRO 6, P . 196)

Nesse livro, o torque é introduzido como vetor no estudo da conservação do momento

angular, mas posteriormente, no estudo do equilíbrio de rotação, não se usa esta característica

vetorial.

No livro 7, é citado que o torque é uma grandeza vetorial e são dadas duas regras para se

determinar a direção e sentido do torque (a regra do saca-rolhas e a da mão direita), mas sem

uma discussão detalhada deste vetor. Não é discutida a questão do torque resultante para

forças que estão em um mesmo plano.

No livro 9, temos a afirmação de que o momento de uma força é uma grandeza escalar

e temos a regra para determinar o sinal dessa grandeza:

O momento de uma força é uma grandeza escalar medida no Sistema

Internacional em N. m [ . . . ] Sendo o momento uma grandeza escalar ,

parece razoável supor que e les devam ser somados, como fo i fei to

para a ob tenção do traba lho resul tante.

Segundo o Teorema de Varignon (Pierre, 1654 -1722) :

O mo mento de força resultante (M r) de um sistema de n

forças atuantes é igua l à soma algébrica dos momentos de forças

componentes em relação a um mesmo pólo.

M r = M 1 + M 2 + . . . + M n [ . . . ] Por convenção, quando a força

resultante tende a fazer girar o braço no sentido anti -horár io ,

a tr ibuímos um s inal posi t ivo (+) ao seu momento .

Quando a tendência do giro se dá no sent ido horár io ,

a tr ibuímos um s ina l negativo ( -) ao momento da força resul tante.

(LIVRO 9, p . 348 -349 , gr i fo do autor) .

No livro 10, num estudo da quantidade de movimento angular, temos

comentários superficiais sobre torque de uma força. Não temos referência ao

caráter vetorial do torque.

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4.3.2. IMPULSO DE UMA FORÇA E QUANTIDADE DE MOVIMENTO

LINEAR

No livro 1, o impulso de uma força, a quantidade de movimento

(momento de um corpo) e a relação do impulso com a quantidade de

movimento são introduzidos na forma vetorial. Em relação à notação vetorial

do impulso e da quantidade de movimento temos que:

A notação vetor ia l fo i mantida em todas as expres sões para

ressa l tar o caráter ve tor ia l do impulso e da quantidade de

movimento. No entanto, quando todas as grandezas ve tor iais

envolvidas – força e impulso , veloc idade e quant idade de

movimento – t iverem a mesma direção, poderemos assoc iar a essa

direção um e ixo or ientado como referencia l e operar a lgebr icamente

por meio dos módulos dessas grandezas acrescidos do sinal

correspondente ao re ferencia l ado tado. (LIVRO 1, p . 269)

A conservação da quantidade de movimento linear é introduzida por

meio de uma expressão vetorial . Não temos referência à independência da

conservação da quantidade de movimento em cada direção.

Nos livros 2, 3, 4, 5, 7 e 8, as expressões matemáticas para o cálculo do

impulso de uma força, da quantidade de movimento, d a relação do impulso

com a quantidade de movimento e da equação da conservação da quantidade

de movimento são introduzidas na forma vetorial. Não temos referência ao

uso destas expressões na forma escalar para cada direção independente.

Geralmente se usa a forma escalar destas expressões sem justificativa ou com

a justificativa de que se trata de uma única direção.

No livro 6 , tendo como exemplo uma colisão oblíqua entre duas bolas

de bilhar, coloca-se que a expressão da conservação da qu antidade de

movimento pode ser decomposta e usada na forma escalar:

Ao projetarmos essa igua ldade vetor ia l na direção dos e ixos Ox e

Oy , ob temos duas igualdades esca lares . Projeção no eixo Ox : m . v

= m . v 1 . cosα + m . v 2 . cosβ. Projeção no e ixo Oy : m . v = m . v 1

. senα + m . v 2 . senβ. ( LIVRO 6 , p . 173) .

No livro 9, temos a indicação do uso da conservação da quantidade de

movimento para cada eixo separadamente:

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Nas colisões bidimensionais, ve rificamos a conservação

da quantidade movimento nos eixos cartesianos x e y.

Sempre teremos 0 = f em cada eixo. (LIVRO 9, p. 311)

No livro 10 , inicialmente a quantidade de movimento é estudada na

forma escalar e posteriormente na forma vetorial. Temos a decomposição de

vetores em eixos perpendiculares para a conservação da quantidade de

movimento:

[ . . . ] em s i tuações de movimento mais complexas , como nas co li sões

entre bo las de uma par t ida de b ilhar , pode -se fazer os cálcu los que

ver i ficam a conservação da quant idade de movimento como vetor .

Para isso, deve -se decompor cada vetor em duas componentes de

direções perpendiculares e , então, ap licar a lei da conservação da

quantidade de movimento em cada di reção. (LIVRO 10, p . 1 73) .

Podemos perceber que no estudo da quantidade de movimento, de modo

semelhante ao estudo da soma de forças, o método da decomposição de

vetores é usado quase que somente nos casos particulares de conservação da

quantidade de movimento. Não se discute a aplicação do método da

decomposição de vetores na soma vetorial.

4.3.3. CAMPO ELÉTRICO

Em relação ao estudo do campo elétrico, percebemos quase um padrão

entre os livros, na maioria deles usa -se analogia com o campo gravitacional e

o conceito de campo elétrico é introduzido por meio da força elétrica que atua

em uma carga de prova. Na discussão em relação à representação do vetor

campo elétrico, usa-se cargas de prova para justificar a direção e sentido

desses campos:

A direção e o se nt ido do ve tor campo e lé tr ico , gerado pela

par t ícula de carga Q, em qualquer ponto P , são os me smos da força

exerc ida por Q numa part ícula de carga q posi t iva (carga de

prova) colocada nesses pontos. Portanto, a direção de é rad ia l , ou

seja , coinc ide com a d i reção do raio da esfera que passa por esse

ponto e tem o cent ro em Q. O sentido é de a fastamento ou

divergente se a carga Q for posit iva. Se a carga Q for negativa, o

sentido é de aproximação ou de convergência. (LIVRO 1, vo lume 3,

p . 43 , gr i fo do autor ) .

A d ireção e o sent ido do ve tor campo elé tr ico em um ponto são , por

def inição, dados pela d ireção e sentido da força que atua em uma

carga de prova posit iva colocada no ponto. (LIVR0 3, volume 3, p .

45, gr i fo do autor)

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[ . . . ] a direção da força elé tr ica é para lela ao vetor campo e lét r ico ,

is to é , possui sempre a mesma di reção. Já o sent ido da força

elé tr ica pode ser coinc idente com o do ve tor campo e lé tr ico, se a

carga de prova for posi t iva, ou contrár io ao vetor campo e lé tr ico , se

a carga de prova for negativa. (LIVRO 5, volume 3, p . 46) .

Em alguns livros fica explícito que o campo elétrico em um ponto não

depende da carga de prova colocada neste ponto, e em outros essa

característ ica fica implícita:

O ve tor campo elé tr ico em um ponto P devido a uma carga Q

posit iva sempre tem sentido de afasta mento em re lação a ela ,

enquanto o vetor campo elé tr ico devido a uma carga Q negat iva

sempre tem sent ido de aproximação em relação a ela ,

independentemente do s in al da carga de prova. (LIVRO 4, vo lume

3, p . 32)

Na maioria dos livros não é citado o princípio da superposição, mas é

colocado que o campo elétrico resultante é dado pela soma vetorial dos

campos gerado por cada uma das cargas no ponto considerad o:

O pr inc ípio da superposição dos campos elé tr icos estabelece que: o

vetor ca mpo elétrico resultante em P é a so ma vetor ial dos

vetores ca mpo produzidos individualmente pe las cargas e létricas [ . . . ] ( LIVRO 6, volume 3, p . 29, gr i fo do autor) .

Em todos os livros temos a representação de campos elétricos por meio

de linhas de força (linhas de campo). Um fato que nos preocupa, é que

praticamente não se usa a decomposição vetorial no cálculo do campo

resultante. O pouco uso desse método no Ensino Mé dio nos ajuda a entender

as dificuldades dos alunos em somar vetores no Ensino Superior.

4.3.4. CAMPO MAGNÉTICO

No estudo do campo magnético, assim como foi para o campo elétrico,

também temos uma uniformidade entre os livros. Em alguns, usa -se

configurações de l imalhas de ferro e/ou pequenas bússolas (agulhas

magnéticas), na presença de ímãs, para introduzir a representação e o conceito

de campo magnético e das linhas de indução. Em outros a ordem se inverte,

usa-se a configuração das limalhas de ferro e/ou as pequenas bússolas para

justificar a representação das linhas de campo e do vetor campo magnético.

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Nos livros analisados, o campo magnético, inicialmente, é representado pelas

linhas de indução. Quando se estuda força magnética é que temos um foco

maior na representação do vetor campo magnético. Em alguns livros as linhas

de campo magnético são chamadas de linhas de força, fato criticado por

outros l ivros:

O campo magnét ico, ass im como os campos gravitacional e elétr ico,

é carac ter izado por u m vetor , nesse caso deno minado vetor indução

magnética cuja d ireção em cada ponto é a da reta tangente às

l inhas de força e cujo sentido é aquele que va i do polo sul para o

nor te da agulha, ou seja , o po lo norte se o r ienta no sentido de

[ . . . ] . (LIVRO 2, volume 3, p . 216) .

No campo magnét ico, a força não tem a mesma direção do vetor

campo magnét ico, por i sso as l inhas que indicam a d ireção desse

ve tor não indicam a d ireção da força, daí a denominação l inhas de

campo , e não l inhas de fo rça como no campo elé tr ico. (LIVRO 1,

volume 3, p . 188)

A cada ponto do campo magnét ico associa -se um vetor indução

magnét ica . As l inhas que tangenciam o ve tor . em cada ponto

são denominadas l inhas de indução . O sentido das l inhas de

indução acompanha o sentido dos vetores . Elas partem do po lo

norte do imã e chega m a o polo sul . ( LIVR0 6 , VOLUME 3, P . 95 ,

gr i fo do autor )

No caso do campo e lé tr ico, o te rmo l inha de força não é incorreto ,

pois a força e lé tr i ca e o vetor campo elétr ico têm a mesma direção .

No caso do campo magnético, a força não tem a mesma d ireção do

ve tor campo. Sendo ass im, a forma visual izada a par t ir das figuras

formadas pela l imalha de ferro imersa no campo de um imã

representa o campo magnético e não a força magnét ica , ass im o

termo correto para essa representação é l inha de campo , e não l inha

de força . (LIVRO 8, vo lume 3, p . 143 -144 , gr i fo do autor )

Os traços formados pe la l imalha de ferro correspondem às l inhas de

força do campo magn ét ico que envolve o imã (LIVRO 9, vo lume 3,

p . 181) .

O campo magnét ico é consti tuído por inf ini tos ve tores indução

magnét ica , todos com d i reção sempre tangente à l inha de força do

campo magnét ico e com o mesmo sent ido dela (LIV RO 9, vo lume 3 ,

p . 182)

Na representação do vetor campo magnético gerado por corrente

elétrica: campo magnético gerado por um fio reto; por uma espira circular e

por um solenóide, além dos recursos citados, usa -se a regra da mão direita.

Em vários casos não temos rigor na representação vetorial, vetores com

direções diferentes representados pelo mesmo símbol o (letra com a seta por

cima). No livro 10, a representação vetorial do campo magnético é tratada

superficialmente.

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5. CATEGORIAS DE ANÁLISE-METATEXTO

No processo de agrupamento das unidades de análise poderíamos ter

uma série de categorias de análise, no entanto optamos por três. São elas: o

rigor na representação vetorial, o uso e a representação espacial das

componentes vetoriais na soma de vetores e a relação das grandezas vetoriais

com grandezas do cotidiano dos alunos.

5.1.- O rigor na representação vetorial

Nos livros 1 e 4 não percebemos falta de rigor na representação

vetorial, ou seja, os vetores são representados por símbo los coerentes e de

maneira adequada. Em alguns livros (3, 5, 6 e 10) percebemos falta de rigor

na representação vetorial, encontramos vetores representados por símbolos

inadequados – letras sem a seta por cima e sem estar em negrito. Nos livros 2,

3, 5, 8 , vetores de mesmo módulo, mesma direção e com sentidos opostos –

como no caso das forças que formam pares de ação e reação – foram

encontrados representados pelo mesmo símbolo (letra com a seta por cima)

sem uso do sinal negativo para indicar sentidos opos tos.

Nos l ivros 2, 3, 5 e 10, encontramos vetores com direções diferentes –

como no caso da velocidade em pontos diferentes de uma trajetória circular –

representados pelo mesmo símbolo (letra com a seta por cima). Nos livros 5 e

7, encontramos uma representação para as componente vetoriais que

consideramos bastante inadequada. Esta representação, na qual a relação entre

o vetor e suas componentes é feita na forma vetorial, nos parece indicar que o

vetor e suas componentes têm a mesma direção, como no caso da

representação das componentes de uma tração : x = cos30o e y = sen30

o.

De forma sucinta podemos apresentar as características mais

significativas desta categoria de análise no quadro 1 que segue:

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Quadro 1- O rigor na representação vetorial nos Livros didáticos aprovados

pelo PNLD de 2010.

Livro 1 Não se observa fa l ta de r igor na representação vetor ial

Livro 2 Observa -se fa l ta de r igor na representação ve tor ial . Há vetores com d ireçõe s

di ferentes ou valores d i ferentes representados pelo mesmo s ímbolo ( letra

com a se ta por cima) , assim como ve tores de mesma d ireção e mesmo

módulo, mas co m sentidos opostos representados pelo mesmo s ímbolo sem o

sinal negat ivo.

Livro 3 Apresenta fal ta de r igor na representação vetor ial . Os ve tores com direções

di ferentes estão representados pe lo mesmo s ímbolo; ve tores com sent idos

opostos representados pelo mesmo símbolo sem o sinal negat ivo e vetores

representados por letras sem a seta por cima.

Livro 4 Não percebemos fal ta de r igor na representação ve tor ial .

Livro 5 Há fal ta de r igor na representação ve tor ial . Temos ve tores com direções

di ferentes representados pelo mesmo símbolo, ve tores com sent idos opostos

representados pelo mesmo símbolo sem o sina l negativo e vetores

representados por letras sem a se ta por cima. Temos também representações

inadequadas das componentes de ve tores. Estas representações parecem

ind icar que o vetor e sua componente es tão na mesma direção .

Livro 6 Observa -se fal ta de r igor na representação ve tor ial . Temos vetores

representados por letras sem a seta por cima.

Livro 7 Observa -se fa l ta de r igor na representação vetor ial . Temos representações

inadequadas das componentes de ve tores. Estas representações nos parecem

ind icar q ue o vetor e sua componente es tão na mesma direção

Livro 8 Observa -se fa l ta de r igor na representação ve tor ial . Temos vetores de mesmo

módulo, mesma direção , mas com sentidos opostos representados pelo mesmo

símbolo sem o s ina l negativo.

Livro 9 Existe fa l ta de r igor na representação ve tor ia l . Temos vetores de mesmo

módulo, mesma direção , mas com sentidos opostos representados pelo mesmo

símbolo sem o s ina l negativo.

Livro 10 Observa -se fal ta de r igor na representação ve tor ial . Temos vetores

representado s por let ras sem a seta por cima e vetores d i ferentes

representados pelo mesmo s ímbolo.

Fonte: Autoria própria.

Pelo exposto, pode-se observar que na grande maioria dos livros

analisados não existe um rigor na representação vetorial, enquanto grandeza

Matemática. Esta falta de rigor matemático pode gerar confusão para os

alunos, levando a um comprometimento do tratamento das grandezas físicas

vetoriais, aspecto este que é o objeto de análise posterior.

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5.2.- Uso e representação espacial das componen tes vetoriais na soma de

vetores

Por meio de experiência profissional e discussões com outros

professores tenho percebido que uma das grandes dificuldades encontradas

pelos alunos está relacionada ao uso da decomposição de vetores na soma

vetorial . Portanto, consideramos importante uma análise sobre esse assunto.

Por acreditarmos que a grandeza força tem uma relação muito próxima com o

cotidiano dos alunos e que a visualização da força resultante para alguns

casos pode até ser intuitiva, manteremos nosso foco nesta grandeza física.

Em nenhum dos livros analisados percebemos discussões em relação ao

uso da segunda lei de Newton – princípio fundamental da dinâmica – para

cada direção independente. Acreditamos que discutir a possibilidade e

vantagens de se usar este princípio para cada direção em separado poderia

ajudar na representação das grandezas vetoriais, assim como na visualização

das componentes dos vetores. Mesmo não discutindo esse método, em todos

os livros analisados percebemos uso d a segunda lei de Newton na forma

escalar sem justificativa explícita ou com justificativas que consideramos

inadequadas, como é o caso da justificativa dos livros 1, 7 os quais citam que

se trata desta lei em módulo ou ainda como no livro 4 , simplesmente citando

que os vetores estão na mesma direção.

Em alguns livros (1, 2, 3, 7 e 9) o método de se trabalhar com equações

independentes em cada direção foi introduzido para o caso específico da

condição de equilíbrio sem uma discussão sobre os casos gerais d e soma de

vetores por este método. Nos outros livros não se discute explicitamente a

aplicação das condições de equilíbrio em cada eixo separadamente. O que

percebemos, são alguns comentários com objetivo de justificar o uso de

condições de equilíbrio na forma escalar. Como no caso do l ivro 5 , no qual,

em exercício resolvido, é colocado que para o equilíbrio devemos impor que a

soma algébrica das projeções da força em cada eixo deve ser nula. No livro 6

comenta-se que a força resultante deve ser nula na di reção em que a

aceleração for nula e que na direção da aceleração a força resultante deve ter

a mesma direção e sentido dessa aceleração.

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O que poderia justificar parte das dificuldades encontradas pelos alunos

no estudo das forças elétricas entre cargas puntiformes é que nos livros

analisados não se discute o princípio da superposição e nem o uso da

decomposição vetorial na soma das forças. Mesmo sem ter analisado os

exercícios proposto, apenas numa rápida olhada percebemos que em vários

exercícios propostos seria mais eficiente o uso deste método. Em nossa

análise, ao dar ênfase à soma vetorial pelo método das componentes não

queremos desprezar outros métodos. Apenas acreditamos que em determinada

parte do estudo das grandezas vetoriais este método pode ser mais eficiente

que outros, como no caso da regra do paralelogramo ou método do polígono.

De forma análoga à categoria anterior o quadro 2 que se segue resume

os aspectos desta encontrados nos livros didáticos.

Quadro 2- Uso e representação espacial das componentes vetoriais na soma de

vetores nos Livros didáticos aprovados pelo PNLD de 2010.

Livro 1 Não tem referência exp líc i ta do uso da Segunda Lei de Newton para cada

direção em separado. Por vár ias vezes usa -se esta le i na forma esca lar com a

jus t i f ica t iva de que se trata da Segunda Lei de Newton em módulo. No es tudo

da condição de equi l íbr io usa -se es ta condição para cada eixo separadamente.

Temos uma discussão sobre o signi ficado f í s ico das componentes de um

vetor . No estudo da força e lét r ica entr e cargas punti formes não temos

referência ao pr inc íp io da superposição. Não percebemos uso da

decomposição de vetores na soma ve tor ial . Temos uso da regra do

paralelogramo para so mar duas forças .

Livro 2 Não tem referência sobre a va lidade da Segunda Lei de Newton para cada

direção. Por vár ias vezes temos uso da Segunda Lei de Newton na forma

escalar sem just i ficat iva . O método de traba lhar com equações independentes

em cada d ireção fo i int roduzido para o caso espec í fico da condição de

equil íbr io . No estud o da força elétr ica entre cargas punti formes não temos

referência ao pr inc íp io da superposição. Não percebemos uso da

decomposição na soma vetor ial .

Livro 3 É colocado na condição de equi l íbr io de uma par t ícula que a soma das forças

deve ser nula em cada e ixo separadamente. Não temos referênc ia à va l idade

da Segunda Lei de Newton para cada direção em separado. Por vár ias vezes

temos a “transformação” ou uso da Segunda Lei de Newton na forma esca lar

sem just i fica t iva . No es tudo da força e lét r ica ent re carg as punt i formes não

temos referência ao pr incíp io da superposição. Não percebemos uso da

decomposição na soma vetor ial .

Livro 4 Não tem referência à va lidade da Segunda Lei de Newton para cada di reção

independente. Neste l ivro as condições de equi l íbr io ta mbém não são tra tadas

separadamente para cada eixo, mas por vár ias vezes usa -se a forma esca lar da

Segunda Lei de Newton e a condição de equi l íb r io para determinada direção

sem just i ficat iva exp líc i ta . Temos a “transformação” de equações ve tor ia is

para a forma escalar com a just i fica t iva de que os vetores es tão na mesma

direção. No es tudo da força e lé tr ica entre cargas punt i formes não temos

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referência ao pr inc íp io da superposição. Não percebemos uso da

decomposição na soma vetor ial .

Livro 5 Não há re ferência à val idade da Segunda Lei de Newton para cada direção

independente. Por vár ias vezes temos a “transformação” ou uso da Segunda

Lei de Newton na forma esca lar sem just i ficat iva. No es tudo da condição de

equil íbr io de um ponto mater ia l não temos referênci a exp líci ta ao uso dessa

condição para cada e ixo separadamente . Em um exemplo resolvido é que se

coloca que para o equi l íb r io devemos impor que a soma algébrica das

projeções das forças em cada e ixo deve ser nula . No estudo da força e lé tr ica

entre cargas p unt i formes não temos referênc ia ao pr inc ípio da superposição.

Não percebemos uso da decomposição na soma vetor ial .

Livro 6 Não es tá exp líci to que a Segunda Lei de Newton , ass im co mo as condições

de equi l íbr io , podem ser usadas para cada d ireção independe nte . O que temos

é um comentár io indicando que a força resultante deve ser nula na direção em

que a aceleração for nula e que na d ireção da aceleração a fo rça resul tante

deve ter a mesma d ireção e o mesmo sentido des ta ace leração. A segunda Lei

de Newton é usada na forma escalar sem a just i ficat iva. No es tudo da força

elé tr ica entre cargas punt i formes não temos o p r incíp io da superposição . Não

percebemos uso da decomposição na soma ve tor ial .

Livro 7 Não temos referênc ia da val idade da Segunda Lei de Newto n para cada

direção independente. Temos uso da Segunda Lei de Newton na forma escalar

sem just i f ica t iva . A mesma lei foi “transformada” da fo rma vetor ial para

escalar com a jus t i f ica t iva de que se tra ta do módulo. Fo i colocado que no

equil íbr io es tá t ico a força resul tante deve ser nula em cada e ixo (x e y) , mas

não houve discussão sobre a independência da soma das forças em cada eixo.

Não percebemos uso da decomposição na soma vetor ial .

Livro 8 Não há re ferênc ia da validade da Segunda Lei de Newton e da co ndição de

equil íbr io para cada d ireção independente. Por vár ias temos uso na forma

escalar da Segunda lei de Newton sem a devida just i ficat iva. No es tudo da

força elétr ica entre cargas punti formes não temos o pr incíp io da

superposição. Não percebemos uso da decomposição na soma ve tor ia l .

Livro 9 Não temos referência sobre a val idade de Segunda le i de Newton em cada

direção independente. Por vár ias vezes es ta le i é usada na forma esca lar sem

a devida just i ficat iva. No es tudo das condições de equil íbr io , fo i colocado

que se a força resultante for nula, também serão nulas as projeções des ta

força nos e ixos x e y. Temos uso da decomposição vetor ia l no estudo das

condições de equil íbr io , mas não percebemos uso des te método na soma

ve tor ial . No es tudo da força e lé tr ica não temos o pr inc ípio da superposição.

Livro 10 Não há re ferência à va l idade da Segunda Lei de Newton nem das condições

de equil íbr io em cada direção independente. O es tudo da força e lé tr ica entre

cargas punt i formes é fei ta concei tualmente, não te mos a representação des tas

forças nem o pr incípio da superposição. Não percebemos uso da

decomposição na soma de vetores .

Fonte: Autoria própria

Do quadro pode-se observar que o uso da soma das componentes

vetoriais em uma determinada direção, foi realiz ado usando uma soma escalar

sem nenhuma explicação ou com uma explicação que consideramos não ser

adequada, ou ainda que não esclarece o tipo de operação que está sendo

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realizada, como é o caso de citar simplesmente que se trata de operações em

módulo ou que os vetores estão na mesma direção.

5.3.– Relação das grandezas vetoriais com o cotidiano dos alunos.

Acreditamos que discussões relacionando grandezas vetoriais usadas na

Física com grandezas usadas no cotidiano dos alunos, enfatizando as

diferenças e semelhanças entre estas grandezas, podem ajudar os alunos a

perceberem a necessidade e vantagens de se atribuir uma direção e um sentido

para determinadas grandezas. Ou seja, os alunos poderiam perceber as

vantagens em usar a notação e representaç ão vetorial . Para analisarmos essa

relação teremos como foco as grandezas: posição, deslocamento, velocidade e

aceleração. Pensamos que estas grandezas são fundamentais no estudo inicial

dos movimentos. Além disso, estas grandezas possuem equivalentes bem

próximos na Física e no cotidiano dos alunos.

Nos livros (2, 4, 6, 9, 10) percebemos uso do termo espaço indicando a

posição de um corpo. Este fato é criticado no livro 1 . Neste l ivro é colocado

que espaço não é sinônimo de posição nem em Física e nem em português. No

livro 5 a posição é chamada de posição escalar . Nos l ivros (2, 4, 5, 6, 7, 9 e

10) temos o conceito de deslocamento escalar . Este conceito é relacionado

ao comprimento de uma trajetória, mas possui um sentido, portanto não

representa a distância percorrida em casos de inversão no sentido do

movimento. Nos livros (1 e 8) este mesmo conceito é chamado de espaço

percorrido .

Em vários livros percebemos uma relação desse deslocamento escalar

com a distância percorrida usada no cotidiano d as pessoas. Como é o caso do

livro 2 , usando como referência dois corpos que se movem na mesma

trajetória, mas com sentidos opostos, é colocado que a distância percorrida

foi a mesma e o deslocamento escalar não. É colocado que a distância

percorrida é dada pela soma dos valores absolutos dos deslocamentos

escalares.

No livro 4 é colocado que o deslocamento escalar não coincide com a

distância percorrida quando temos inversão no sentido do movimento. No

livro 5 , no qual o conceito de deslocamento escalar e sua relação com a

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distância percorrida são introduzidos tendo como referência um atleta

deslocando-se em uma pista reta . Para este caso é colocado que o

deslocamento escalar depende somente das posições escalares e que a

distância percorrida depende do comprimento da trajetória descrita por um

corpo, portanto não coincidem quando temos inversão no sentido do

movimento. Neste livro não está explícito se este deslocamento escalar pode

ser relacionado a qualquer trajetória.

No livro 6 é colocado que o deslocamento escalar coincide com a

distância percorrida por um móvel quando o movimento é no sentido da

orientação da trajetória e não temos inversão no sentido do movimento. No

livro 7 é colocado que a distância percorrida é obtida pela soma dos módulos

dos deslocamentos escalares. No livro 8 usa-se a descrição de uma

brincadeira realizada por dois garotos, na qual a localização de uma moça era

anotada em boletins, para introduzir os conceitos de espaço percorrido,

distância percorrida e posição. Consideramos esta descrição confusa. É dito

que as marcações da rua (número das casas) são dadas em metro sem uma

explicação adequada. Em relação a esta brincadeira é colocado que o espaço

percorrido é dado pela distância em linha reta entre os pontos de partida e

chegada e que a distância percorrida é a soma dos percursos seguidos pela

moça. Como a trajetória da moça não foi em linha reta, o espaço percorrido

não parece estar relacionado ao comprimento da trajetória. No entanto,

posteriormente, o espaço percorrido é t ratado como o comprimento de

trajetórias associadas a um sinal indicando o sentido.

No l ivro 9 é colocado que os quilômetros mostrados nos velocímetros

dos veículos representam a distância percorrida pelo veículo. É colocado que

a distância percorrida é obtida pela soma algébrica dos valores absolutos dos

deslocamentos parciais. Nos livros 1 e 10 não percebemos as relações entre

estas duas grandezas. No l ivro 3 usa o termos distância percorrida, mas não

fica claro se está se referindo a grandeza usada no cotidiano das pessoas.

No caso da velocidade escalar não percebemos discussões relacionando

os conceitos da Física com o cotidiano dos alunos, principalmente em relação

aos casos de inversão no sentido do movimento. O que temos são alguns

comentários superficiais. No livro 2 é citado que no dia a dia não temos

hábito de orientar a trajetória, por isso normalmente usamos a distância

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percorrida no cálculo da velocidade escalar média. Nos livros 4, 6 e 9 é

colocado que o valor indicado no velocímetro de um carro é o valor absoluto

da velocidade escalar instantânea naquele instante. Sendo que nos livros 6 e

10 é colocado que a velocidade escalar média indica a rapidez com que um

móvel sofre mudança de posição. Esta colocação não está em acordo com o

conceito de velocidade escalar média que é feita em função do deslocamento

escalar. A afirmação é válida somente quando não temos inversão no sentido

do movimento.

No livro 8, na introdução do conceito de velocidade média (não é usada

o termo escalar), usa-se o exemplo de um atleta na corrida de São Silvestre,

para o qual o espaço percorrido está relacionado ao comprimento da

trajetória. Não percebemos discussão envolvendo mudança de sentido no

movimento, portanto, nos casos estudados o valor do espaço perco rrido

coincide com a distância percorrida no cálculo da velocidade média. Devemos

alertar que esta velocidade média pode não representar a rapidez. No livro 9 é

colocado que no cotidiano velocidade e rapidez podem ser usados como

sinônimos, mas na Física t emos um distinção entre estes termos, velocidade é

a rapidez numa direção e sentido. Acreditamos que poderia ser melhor

discutida esta relação.

No livro 7, o conceito dos vetores posição e deslocamento foram

introduzidos tendo como base um mapa de parte d e uma cidade, no qual temos

a localização de algumas casas em relação a uma escola. Acreditamos ser

importante o uso deste mapa, porém o vetor deslocamento é indicado como o

caminho mais curto seguindo por um ciclista para ir de sua casa para a escola.

No mapa podemos perceber que provavelmente não seria possível o ciclista

seguir o trajeto representado pelo vetor deslocamento, ele teria que atravessar

no interior de construções.

Devemos ter cuidado com as relações das grandezas físicas com o

cotidiano dos alunos, pois alunos poderiam associar o trajeto mais curto para

ele se deslocar de um lugar para outro, ao vetor deslocamento. No livro 9 , um

mapa contendo ruas de um bairro é us ado para justificar a decomposição

vetorial. Acreditamos que este mapa, se bem usado, pode ajudar os alunos não

só a perceber as vantagens e/ou necessidade de decompor um vetor –

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geralmente não podemos andar em linha reta quando nos deslocamos de um

lugar para outro – mas também na visualização das projeções vetoriais.

Quadro 3- Relação das grandezas vetoriais com o cotidiano dos alunos nos

Livros didáticos aprovados pelo PNLD de 2010.

Livro 1 Não percebemos discussão re lac ionando as grandezas fí sicas veto r ia is e as

grandezas do cot idiano . O que temos são grandezas que até podem se

aproximar das grandezas do co tid iano, como é o caso do espaço percorr ido,

mas que pode não representar a marcação da d istância percorr ida indicada no

ve loc ímetro de um car ro .

Livro 2 Não percebemos discussão re lac ionando as grandezas fí sicas vetor ia is e as

grandezas do cot idiano . O que temos são grandezas que até podem se

aproximar das grandezas do cot idiano, como é o caso do deslocamento

escalar , mas que pode não representar a m arcação da distânc ia percorr ida

ind icada no veloc ímetro de um carro.

Livro 3 Não percebemos discussão re lac ionando as grandezas fí sicas vetor ia is e as

grandezas do cot idiano.

Livro 4 No estudo das grandezas chamadas de esca lares percebemos uma tentat iva

super f ic ial em re lac ionar as grandezas es tudadas com as do cot idiano dos

alunos, mas em re lação às grandezas vetor ia is não percebemos es ta re lação.

Livro 5 Não percebemos discussão re lac ionando as grandezas fí sicas vetor ia is e as

grandezas do cot idiano da s pessoas.

Livro 6 È colocado que a velocidade indicada no veloc ímetro dos carros é a

ve loc idade escalar ins tantânea. No es tudo das grandezas chamadas de

escalares percebemos uma tenta t iva super f ic ia l em relacionar as grandezas

es tudadas co m as do cotidi ano dos a lunos , mas em re lação às grandezas

ve tor iais não percebemos es ta re lação.

Livro 7 Percebemos, por tanto , uma tentat iva super f ic ial em re lac ionar grandezas

ve tor iais com o cot idiano dos a lunos. Não percebemos esta tentat iva com as

grandezas chamada s de escalares.

Livro 8 Usa-se o trajeto da cor r ida de São Silves tre para int roduzir o concei to de

ve tor deslocamento d i fe renciando -o do espaço percorr ido . Não temos nenhum

comentár io espec í fico relac ionando as grandezas velocidade e aceleração,

que foram t ratadas anter iormente na forma “esca lar” e agora são c lassi f icadas

como vetor ia is .

Livro 9 É colocado que a le i tura de um veloc ímetro é chamada de ve loc idade esca lar

ins tantânea. Um mapa contendo ruas de um bai rro é usado para jus t i f icar a

decomposição vetor ia l . Acred itamos que es te mapa, se bem usado, pode

ajudar os alunos não só a perceber as vantagens e/ou necessidade de

decompor um vetor – geralmente não podemos andar em l inha re ta quando

nos des locamos de um lugar para outro – mas também na visual i zação das

projeções ve tor ia is . Em uma d iscussão re lacionando ve locidade e rap idez é

colocado que no co tidiano es tes do is termos podem ser usados como

sinônimos, mas na Fís ica temos um d is t inção entre es tes termos, velocidade é

a rapidez numa direção e sent ido. Acred itamos que poder ia ser melhor

discut ida esta re lação. As d iscussões envolvendo as re lações das grandezas

f ís icas com a s usadas no cotid iano dos alunos foram super f iciais .

Livro 10 Neste l ivro não percebemos discussões especí f icas di ferenciando as

grandezas esca lares e vetor iais . Não percebemos relação entre as grandezas

do cotid iano dos alunos e as usadas na Física.

Fonte: Autoria própria

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Na relação das grandezas vetoriais com o cotidiano os livros didáticos

analisados, na sua grande maioria, se omitem desta perspectiva. Se para as

grandezas físicas escalares encontramos algumas relações, com grandezas

usadas no cotidiano das pessoas, o mesmo praticamente não acontece com as

grandezas físicas vetoriais. O que temos são casos pontuais e com um

tratamento superficial .

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CONSIDERAÇÕES FINAIS

Haja vista que grande parte dos professores organizam e desenvolvem

seus trabalhos em sala de aula utilizando o livro didático, este desempenha

um papel importante nos processos de ensino e de aprendizagem. Nesse

sentido, apesar dos muitos trabalhos já realizados nesta área, consideramos

ser de fundamental importância um conhecimento cada vez mais profundo e

detalhado deste material , em especial sobre o tratamento nestes de diferentes

conceitos.

Buscamos uma educação que não promova apenas memorização e

aplicações de conteúdos em determinados padrões de problemas, ou seja, uma

educação que qualifique os alunos para reflexões e tomadas de decisões que

possibilitem um exercício pleno de cidadania. Desta forma, devemos esperar

que os livros didáticos contribuam para este tipo de educação, ainda que não

sejam a base principal da relação entre o ensino e a aprendizagem, mesmo

porque os autores desses livros não conhecem a reali dade específica de cada

comunidade e nem podem escrever suas obras de tal maneira que satisfaç am

as necessidades e aspirações específicas de cada comunidade em particular.

Nesse sentido, a discussão sobre a formação de professores, deve se

concentrar na capacidade de raciocinar sobre a docência e ensinar conteúdos

específicos. Para isso, é necessária uma compreensão adequada do

conhecimento base para o ensino, das fontes deste conhecimento e das

complexidades do processo pedagógico . Este professor, reflexivo e crítico,

não terá uma simples capacitação para executar tarefas, determinadas por

outras pessoas.

Consideramos que cabe ao professor estabelecer os elos de ligação

entre o l ivro didático e os alunos, pois conhecendo a realidade da

comunidade, na qual trabalha, pode adequar o conteúdo a seus alunos. Para

que o professor seja capaz de executar esta tarefa, o mesmo deve ter uma

formação adequada. Lembrando Shulman (2005), o ensino supõe uma troca de

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ideias. Ideias estas que devem ser compreendidas pelos professores e em

seguida adaptadas para que possam ser captadas de maneira ativa pelos

alunos, gerando processos construtivos e não fomentando a dependência dos

alunos em relação aos professores.

Este trabalho se pautou na necessidade de promover discussões

envolvendo o enfoque que é dado aos conteúdos do livro didático de Física,

aprovado pelo PNLD de 2010, para uso nas escolas em 2012, especificamente

com relação à representação vetorial e a visão espacial dessa representação

através de operações vetoriais. Devemos alertar que em nosso trabalho, em

nenhum momento se pretende questionar critérios de escolha do livro

didático, ou mesmo fazer uma avaliação de valor sobre o modo de apresentar

o conteúdo nos livros didáticos. O que se busca, é entender de que forma os

autores destes tratam o conteúdo sobre vetores, de forma a compreender o

modo de construir a visão espacial por parte dos alunos.

O fato de termos focado nosso trabalho na visualização espacial das

operações e representação vetoria l foi por considerarmos que a condição

fundamental do sucesso na representação de alguma coisa por meio de

figuras, é que estas figuras possam nos remeter a uma visão adequada daquela

coisa. Portanto, não adianta falarmos em representação vetorial de uma

grandeza física se esta representação não levar a uma visualização espacial.

O uso de uma notação adequada na representação vetorial pode ajudar

na diferenciação entre grandezas vetoriais e escalares. Sendo assim, a falta de

rigor na representação vetorial , encontrada em vários livros analisados, pode

contribuir para confundir os alunos em relação aos conceitos e operações com

grandezas físicas vetoriais.

Considerando a necessidade de ir além de uma simples operação

matemática, quando estamos lidando com operações que envolvem as

grandezas físicas vetoriais, podemos perceber que a falta de discussão,

relacionando as operações vetoriais com a representação espacial destas

operações, pode levar os alunos a pensarem que estão realizando apenas

operações algébricas. Nos livros analisados, considerando as grandezas

físicas escolhidas nas unidades de análise, não percebemos uma preocupação

em fazer esta relação entre as operações vetoriais e a representação espacial

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das mesmas. Fato que pode ser percebido em rela ção à soma das forças

usando o método da decomposição.

O que percebemos foi o uso da soma das componentes vetoriais em uma

determinada direção, usando uma soma escalar sem nenhuma explicação ou

com uma explicação que consideramos não ser adequada, ou que não esclarece

o tipo de operação que está sendo realizada . Simplesmente consideram as

operações em módulo ou que os vetores estão na mesma direção.

Quando trabalhamos com as componentes de um vetor, estamos apenas

dividindo a operação em partes que estão relacionadas a cada um dos eixos

perpendiculares e que devemos ter em mente a soma como um todo . Ou seja,

devemos lembrar que a soma de cada uma das partes perpendiculares entre si ,

não podem ser somadas algebricamente e, além disso, essa soma possui uma

representação espacial.

Estamos convencidos que para que se tenha uma convergência para

além da matemática nas operações com as grandezas físicas vetoriais é

necessário que os alunos percebam que estas grandezas têm e necessitam de

uma representação espacial. Esta percepção pode ser alavancada quando se

discute detalhadamente e de forma adequada a relação destas grandezas

físicas com as grandezas do cotidiano dos alunos.

Em parte dos livros analisados, no estudo da cinemática, percebemos

uma relação superficial das grandezas escalares, mas que constantemente

exigiam uma representação espacial , com as grandezas presentes no cotidiano

dos alunos. Esta relação já não é percebida no que tange as grandezas

vetoriais. O que se observa são tentativas, que consideramos inadequadas,

como é o caso de dizer que o vetor deslocamento que liga a casa de um

ciclista à escola, que ele estuda, é indicado como o caminho mais curto

seguido por ele para ir de sua casa para a escola. Dificilmente o ciclista

poderia percorrer uma trajetória coincidente com o vetor deslocamento.

Acreditamos que o caminho a ser seguido para que os alunos percebam

a necessidade de uma visualização espacial em relação à representação e

operações, envolvendo as grandezas físicas vetoriais, e até que consigam

visualizar estas representações, não é simplesmente substituir os conceitos

que os alunos possuem (senso comum) pelos aceitos cientificamente. O que se

deve ter é uma relação adequada entre a linguagem do cotidiano dos alunos

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com o que se usam no meio científico e/ou acadêmico, ou seja, não devemos

tentar desconstruir um conhecimento para construir outro, mas sim relacion á-

los. No caso específico da representação e operações vetoriais, poderíamos

mostrar que existem maneiras diferentes de represen tar ou trabalhar com uma

mesma grandeza e que, dependendo do objetivo, devemos usar uma ou outra

representação. Podemos citar o caso de que o conhecimento do vetor

deslocamento de um corpo não nos fornece informação sobre o caminho real

percorrido por este corpo. Por outro lado, o conhecimento da distância

percorrida por um corpo pode não fornecer a posição final deste corpo.

O que percebemos nos livros didáticos analisados nesta investigação é o

que geralmente percebemos nas aulas de Física . Uma tentativa de se estudar

operações vetoriais desvinculadas de suas representações e até mesmo das

grandezas físicas a elas relacionadas.

O objetivo deste trabalho não foi de apontar um caminho “correto” para

se trabalhar com as grandezas físicas vetoriais, ma s trazer questionamentos

que podem levar a novas compreensões sobre o assunto analisado, o que está

em acordo com a metodologia usada na análise. Acreditamos que somente

procurando conhecer melhor os conteúdos que trabalhamos poderemos atingir

com mais eficiência os objetivos desejados.

Enfim, se a condição fundamental do sucesso na representação espacial

de alguma coisa por meio de figuras, é que estas figuras nos remetem a uma

visão adequada daquela coisa, portanto, não adianta falarmos em

representação vetorial de uma grandeza física vetorial se esta representação

não levar a uma visual ização espacial desta grandeza.

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