Upload
others
View
15
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
© 2009 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.
MECHANICS OF MATERIALS
FifthEdition
Beer • Johnston • DeWolf • Mazurek
11- 1
energystrainworktotaldxPUx
1
0
ENERJİ
METOTLARI:
Eksenel Yüklemede Şekil değiştirme Enerjisi
•
dx
uzaması
için yapılan iş: workelementarydxPdU
11212
121
0
1
xPkxdxkxUx
•
Lineer elastic deformasyon
durumunda,
•
x1
uzaması
için yapılan toplam iş:
•
Boyut etkisini ortadan kaldırmak için birim hacme karşılık gelen şekil değiştirme enerjisi
1x
0 Ldx
AP
VU
1
0xx du
© 2009 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.
MECHANICS OF MATERIALS
FifthEdition
Beer • Johnston • DeWolf • Mazurek
11- 2
R
ise şekil değiştirme enerjisi (eğrinin altındaki alan) Tokluk Modülü
olarak adlandırılır.
resilience of modulusE
u YY
2
2
EEdEu xx 22
21
21
0
1
•
Eğer gerilme orantı
limitinin içinde (lastik bölgede) kalıyorsa herhangi bir
değeri için birim şekil değiştirme enerjisi:
© 2009 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.
MECHANICS OF MATERIALS
FifthEdition
Beer • Johnston • DeWolf • Mazurek
11- 3
Normal Gerilmeler
için Elastik şekil değiştirme enerjisi
•
Değişken kesitli çubuklar (gerilme dağılımı
düzgün değil) için toplam şekil değiştirme enerjisi,
dVuUdVdU
VUlimu
0V
•
Elastik Bölgede; energy strainelasticdVE
U x 2
2
•
Eksenel yüklemede:
dxAdVAPx
AELPU
2
2
•
Ör:
Düzgün kesitli bir çubuk için;
L
dxAEPU
0
2
2
•
Eksenel yükleme:
© 2009 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.
MECHANICS OF MATERIALS
FifthEdition
Beer • Johnston • DeWolf • Mazurek
11- 4
IyM
x
•
Eğilmeye maruz bir kiriş
için,
dVEI
yMdVE
U x2
222
22
•
dV
= dA
dx,
•
Ör:
Serbest Uçtan P düşey yüküne maruz ankastre kiriş:
EILPdx
EIxPU
PxML
62
32
0
22
•
Eğilme:
U dxEI
M
dxdAyEIMdxdA
EIyMU
L
L
A
L
A
0
2
0
22
2
02
22
2
22
© 2009 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.
MECHANICS OF MATERIALS
FifthEdition
Beer • Johnston • DeWolf • Mazurek
11- 5
xy
xyxy du
0
xy
Elastik bölgede ise;
GGu xy
xyxyxy 2
2
212
21
•
Toplam şekil değiştirme enerjisi;
Kayma Gerilmeleri
için Elastik şekil değiştirme enerjisi
JT
xy
;dVGJ2
TdVG2
U 2
222xy
dVG2
dVuU2xy
dV
= dA
dx,
•
Ör:
Düzgün kesitli bir çubuk için;GJ
LTU2
2
L
0
2
L
0 A
22
2L
0 A2
22
dxGJ2TU
dxdAGJ2TdxdA
GJ2TU
© 2009 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.
MECHANICS OF MATERIALS
FifthEdition
Beer • Johnston • DeWolf • Mazurek
11- 6
Sadece eğilmedeki normal gerilmeleri göz önüne alarak, şekildeki yükleme durumu için kirişteki şekil değiştirme enerjisini bulunuz
Örnek
vL
PaMxL
PbM 21
baEIL
baPbaabLP
EI
dxxL
PaEI
dxxL
PbEI
dvEI
MdxEI
MU
ba
ba
2
2223232
2
2
0
2
0
2
0
22
0
21
63321
21
21
22
EILbaPU
6
222
© 2009 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.
MECHANICS OF MATERIALS
FifthEdition
Beer • Johnston • DeWolf • Mazurek
11- 7
Genel Yükleme (Gerilme) durumu için şekil değiştirme enerjisi
•
Genel yükleme durumu için birim şekil değiştirme enerjisi;
zxzxyzyzxyxyzzyyxx21u
•
Elastik, izotropik bir malzemede asal gerilmeler cinsinden birim
şekil değiştirme enerjisi;
Hooke Bağıntıları
2yz
2xz
2xyxzzyyx
2z
2y
2x G2
12E21u
a
c
b
a
c
b
Hacim değişikliği
+ çarpılmaSadece hacim değişikliği var ( çarpılma yok)
Sadece çarpılma var (hacim değişikliği yok )0v
accbba2c
2b
2a 2
E21u
0v 0cbav
3cba
© 2009 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.
MECHANICS OF MATERIALS
FifthEdition
Beer • Johnston • DeWolf • Mazurek
11- 8
distortion to due G12
1u
change volume to due E6
v21u
uu2E21u
2ac
2cb
2bad
2cbav
dvaccbba2c
2b
2a
olmalıuu Ydd
•
İki boyutlu durum (düzlem gerilme) için çarpılma şekil değiştirme enerjisi (σc
=0):
)1(2EG
2bba
2ad G6
1u
•
Tek eksenli gerilme durumunda (σ
a
=σy
, σb
= σc
=0):G6
u2y
d
•
Çarpılma Şekil Değiştirme Enerjisi Kriteri (Von
Mises
Kriteri):
G6G6
1 2y2
bba2a
2y
2bba
2a
© 2009 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.
MECHANICS OF MATERIALS
FifthEdition
Beer • Johnston • DeWolf • Mazurek
11- 9
Darbeli Yükleme•
Maksimum gerilmeyi (m
) bulmak için, kinetik enerjinin tamamının yapıya aktarıldığı
kabul edilirse:202
1m mvTU
Dinamik çarpma için Elastik bölgedeki gerilme-şekil değiştirme diyagramının statik yükleme ile aynı
olduğu kabul edilirse;
dVE2
U2m
m
•
Maksimum şekil değiştirme enerjisi;
•
Ör:
Düzgün kesitli bir çubuk için,V
Emv20
m VE2
dVE2
mvU2m
2m2
021
m
•
Örnek: Darbe ile aynı
şekil değiştirme enerjisini meydana getiren statik kuvvet (Pm
);
AE
LP165
E)A4(22LP
AE22LPU
2m
2m
2m
m LAEU
516P m
m
enerjikinetikT
;mvU 202
1m AL
Emv58
ALEU
516
AP 2
0mmm
Maksimum gerilme daha küçük kesitte (CD arasında) meydana gelir
© 2009 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.
MECHANICS OF MATERIALS
FifthEdition
Beer • Johnston • DeWolf • Mazurek
11- 10
WhUm
•
Örnek: Bir ağırlığındaki bir blok h yüksekliğinden ankastre bir kirişin serbest ucuna düşürülmektedir. Buna göre kirişteki maksimum gerilmeyi bulunuz.
© 2009 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.
MECHANICS OF MATERIALS
FifthEdition
Beer • Johnston • DeWolf • Mazurek
11- 11
Tekil yük altında iş
ve enerji
Not:
Aynı
sonuç
daha önce birim şekil değiştirme enerjisinin hacimsel integrasyonu ile de bulunmuştu.
11212
121
00
11
xPxkdxkxdxPUxx
AELPx 1
1 AE2LP
AELPPU
211
121
•
Transverse load
EILP
EILPP
yPdyPUy
63
321
31
121
1121
0
1
•
Bending couple
EILM
EILMM
MdMU
2
211
121
1121
0
1
JGLT
JGLTT
TdTU
2
211
121
1121
0
1
•
Torsional couple
•
Eksenel Yükleme
© 2009 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.
MECHANICS OF MATERIALS
FifthEdition
Beer • Johnston • DeWolf • Mazurek
11- 12
Örnek: Şekildeki darbeli yükleme durumu için;a) Eşdeğer statik Pm
değerini bulunuz.b) Maksimum gerilmeyi hesaplayınız.c) C noktasındaki maksimum deplasmanı
bulunuz.
© 2009 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.
MECHANICS OF MATERIALS
FifthEdition
Beer • Johnston • DeWolf • Mazurek
11- 13
Örnek: Şekildeki darbeli yükleme durumu için;a)C noktasındaki maksimum deplasmanı,b)Kirişte meydana gelen maksimum gerilmeyi bulunuz (E=70 GPa)c)
A ve B noktalarında iki yay olsaydı
deplasman ve maksimum gerilme ne olurdu?
© 2009 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.
MECHANICS OF MATERIALS
FifthEdition
Beer • Johnston • DeWolf • Mazurek
11- 14
Örnek:
tds
GATL
24L boyunda içi boş
ince cidarlı
bir tüp için dönme
açısını
veren ifadeyi çıkarınız.
© 2009 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.
MECHANICS OF MATERIALS
FifthEdition
Beer • Johnston • DeWolf • Mazurek
11- 15
“CastiglianoTeoremi”
ile çözümler
•
Castigliano teoremi:
n
tane kuvvete ve/veya momente maruz elastik bir cisimde bir Pj
kuvvetinin uygulandığı
noktadaki xj
deplasmanı
(Pj
ile aynı
yönde) şu şekilde bulunur:
TU
MU and
PUx
jj
jj
jj
•
U: tüm kuvvetlerin şekil değiştirme enerjisi
•
Eğilmeye maruz kirişlerde; L
0
2
dxEI2
MU
L
0 jjj dx
PM
EIM
PUx
L
0 jjj dx
MM
EIM
PU
j
in
i i
ii
jj
n
i i
iiPF
EALF
PUx
EALFU
11
2
2
•
Kafes sistemlerinde:
© 2009 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.
MECHANICS OF MATERIALS
FifthEdition
Beer • Johnston • DeWolf • Mazurek
11- 16
Örnek:
yA
=?Örnek:
yA
=? , θA
=?
© 2009 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.
MECHANICS OF MATERIALS
FifthEdition
Beer • Johnston • DeWolf • Mazurek
11- 17
Örnek: B noktasının yatay deplasmanını
(xB
) ve eğilme açısını
(θB
) bulunuz.
R
A
B
P
© 2009 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.
MECHANICS OF MATERIALS
FifthEdition
Beer • Johnston • DeWolf • Mazurek
11- 18
Örnek: B noktasının yatay deplasmanını
(yB
) ve eğilme açısını
(θB
) bulunuz.
R
A
B
P