Upload
happysadrock-blackpinkforyou
View
123
Download
3
Embed Size (px)
Citation preview
Capitolul 2
Existenta si unicitatea solutieiproblemei Cauchy
an univ. 2001/2002
Vom prezenta pe scurt principalele momente din evolutia studiului problemei cu valoriinitiale numita si problema Cauchy. Aceasta consta in determinarea unei solutii x = x(t) aunei ecuatii diferentiale, care pentru o valoare data t0 ia o valoare precizata x0.
Numeroase ecuatii diferentiale nu pot fi rezolvate explicit. De aceea s-au cautat conditiisuficiente cat mai generale asupra datelor unei probleme cu valori initiale pentru ca aceastasa admita cel putin o solutie. Primul care a stabilit un rezultat notabil in acest sens afost Augustin Cauchy (1789-1857) care, in 1820, a utilizat metoda liniilor poligonale pentrua demonstra existenta locala (nu si unicitatea) pentru problema cu valori initiale al caruimembru drept este o functie de clasa C1. Metoda, imbunatatita de Lipschitz (1832-1903) afost impusa in cadrul cel mai general de catre Giuseppe Peano (1858-1932) in 1890.
Un alt pas important in ceea ce priveste problema aproximarii solutiilor unei ecuatiidiferentiale a fost facut in 1890 de catre Emile Picard (1856-1941) cand a introdus metodaaproximatiilor succesive, devenind curand foarte cunoscuta.
Dupa cum am vazut, principala preocupare a matematicienilor secolelor XVII-XVIII,referitoare la ecuatiile diferentiale, a fost de a pune in evidenta unele metode eficiente, fie dedeterminare explicita a solutiilor, fie de aproximare a lor. Din pacate s-a constatat ca acesteobiective sunt rareori realizabile. In conferinta tinuta in cadrul Congresului Internationalal Matematicienilor din 1908 Henri Poincare a afirmat: In trecut o ecuatie era consideratarezolvata numai daca se exprima solutia cu ajutorul unui numar finit de functii cunoscute;dar aceasta este greu de realizat intr-un caz dintr-o suta. Ceea ce putem face intotdeauna,sau mai degraba ceea ce putem intotdeauna incerca sa facem, este de a rezolva sa spunemproblema calitativa, adica sa incercam sa gasim forma curbei ce reprezinta functia necunos-cuta.“
23
24 CAPITOLUL 2. EXISTENTA SI UNICITATEA SOLUTIEI PROBLEMEI CAUCHY
2.1 Existenta si unicitatea solutiei problemei Cauchy
Fie multimea D ⊂R2 dreptunghiul (multime compacta) de formaD = {(t, x) | |t− t0| ≤ a, |x− x0| ≤ b}
si fie functia f : D→ R.Problema Cauchy atasata unei ecuatii diferentiale de ordin intai consta in gasirea
unei functii de clasa C1, x = x(t), definita pe un interval I ⊂ [t0 − a, t0 + a] satisfacandx′(t) = f(t, x(t)), ∀t ∈ I, t0 ∈ I si x(t0) = x0. Vom nota o astfel de problema prin
{
x′ = f(t, x)x(t0) = x0.
(2.1)
Definitia 2.1 O functie x : I→ R cu proprietatile de mai sus se numeste solutie pentruproblema (2.1).
Distingem mai multe tipuri de solutii pentru (2.1). Astfel, daca I = [t0 − α, t0 + α] ,solutia x se numeste solutie globala, in caz contrar locala. Daca I = [t0, β) sau I = [t0, β] ,atunci x se numeste solutie la dreapta. Analog, daca I = [α, t0) sau I = [α, t0] , atuncix se numeste solutie la stanga, in timp ce daca inf I <t0< sup I, x se numeste solutiebilaterala.
Definitia 2.2 Functia f = f(t, x), definita pe D, satisface conditia Lipschitz locala ınraport cu variabila x, daca pentru orice punct (t0, x0) ∈ D exista o vecinatate V(t0, x0) ⊂ D,astfel ıncat oricare ar fi (t, x) si (t, x) din V(t0, x0), are loc inegalitatea
|f(t, x) − f(t, x)| ≤ L |x − x| (2.2)
constanta L > 0 depinzand, ın general, de punctul (t0, x0).
In acest caz vom spune ca f este local lipschitziana in raport cu variabila x. Dacainegalitatea (2.2) este satisfacuta cu aceeasi constanta pentru orice pereche de puncte (t, x)si (t, x) din D, vom spune ca f satisface pe D conditia Lipschitz globala in raport cuvariabila x.
Observatia 2.1 Daca∂f∂x
exista si este local marginita in D, conditia Lipschitz amintitaeste satisfacuta.
Teorema 2.1 (Teorema de existenta si unicitate a solutiei problemei Cauchyecuatiei diferentiale de ordin ıntai)
Daca f = f(t, x) este continua in D si local lipschitziana in raport cu variabila x,atunci pentru orice punct (t0, x0) ∈ D exista o solutie unica x = x(t) a ecuatiei (2.1),
definita intr-o vecinatate suficient de mica a lui t0, |t− t0| ≤ h unde h = min{
a,bM
}
,
unde M = sup(t,x)∈D1
|f(t, x)| si indeplinind conditia x(t0) = x0.
2.1. EXISTENTA SI UNICITATEA SOLUTIEI PROBLEMEI CAUCHY 25
Demonstratie.In ipoteza ca exista o solutie a problemei Cauchy (2.1), y = y(t), vom avea
y′(t) = f(t, y(t)),∀t ∈ J si y(t0) = x0. Deoarece y′ si f sunt functii continue avem:
y(t) = x0 +
t∫
t0
f (s, y(s)) ds. (2.3)
Orice solutie a lui (2.1) este si solutie a lui (2.1) si reciproc.Pentru a demonstra teorema vom arata ca ecuatia (2.1) admite solutie continua pe
intervalul |t− t0| ≤ h unde h = min{
a,bM
}
. Deoarece f este continua pe un interval
compact rezulta ca exista M = sup(t,x)∈D1
|f(t, x)| (teorema lui Weierstass). Conditia x(t0) =
x0 este echivalenta cu faptul geometric: graficul solutiei trece prin punctulde coordonate(t0, x0).
Pentru determinarea solutiei y = y(t) vom folosi metoda aproximatiilor succesive.Metoda consta in a construi un sir de functii continue, (yn(t))n∈N care sa convearga uniformpe multimea |t− t0| ≤ h catre o functie continua y(t), solutie a ecuatiei (2.1).
Definim sirul aproximatiilor succesive prin relatia de rcurenta
yn(t) = x0 +
t∫
t0
f (s, yn−1(s)) ds, (2.4)
Demonstram ca acest sir are urmatoarele proprietati:- verifica conditia initiala yn(t0) = x0, (integrala din (2.4) este nula);- toti termenii sirului sunt functii continue pe intervalul [x0 − h, x0 + h] deoarece f este
continua si toate intergralele care intervin sun functii continue;- pentru t ∈ [t0 − h, t0 + h] ⇒ yn(t) ∈ [x0 − b, x0 + b] , ∀n ∈ N. Demonstram prin
inductie.
Avem: |f(t, x)| ≤ M,∀(t, x) ∈ D deci |y1(t)− x0| =
∣
∣
∣
∣
∣
∣
t∫
t0
f(s, y0)ds
∣
∣
∣
∣
∣
∣
≤ M |t− t0| ≤
Mh ≤ b deoarece h = min{
a,bM
}
.
Presupunem ca yn−1(t) satisface conditia yn−1(t) ∈ [x0 − b, x0 + b] ; de aici rezulta ca
|f(t, yn−1(t))| ≤ M, ∀(t, x) ∈ D. Putem scrie marginirea |yn(t)− x0| =
∣
∣
∣
∣
∣
∣
t∫
t0
f(s, yn−1(s))ds
∣
∣
∣
∣
∣
∣
≤
M |t− t0| ≤ Mh ≤ b deoarece h = min{
a,bM
}
, adica toate aproximatiile succesive
apartin intervalului [x0 − b, x0 + b] .- sirul (yn(t))n∈N converge uniform pe multimea |t− t0| ≤ h catre o functie continua
y(t) cand n →∞.
26 CAPITOLUL 2. EXISTENTA SI UNICITATEA SOLUTIEI PROBLEMEI CAUCHY
Convergenta acestui sir este echivalenta cu convergenta seriei de functii
y0 + (y1(t)− y0) + (y2(t)− y1(t)) + . . . + (yn(t)− yn−1(t)) + . . . (2.5)
deoarece sirul sumelor partiale ale seriei (2.5) este sirul (yn(t))n∈N.Pentru a arata ca seria (2.5) converge uniform pe intervalul considerat este suficient sa
aratam ca este majorata de o serie numerica cu tremeni pozitivi convergenta. Aratam capentru t ∈ [t0 − h, t0 + h] ,
|yn(t)− yn−1(t)| ≤ MLn−1 |t− t0|n
n!, n = 1, 2, . . . (2.6)
Demonstram inegalitatea (2.6) prin inductie. Avem:
|y1(t)− x0| ≤
∣
∣
∣
∣
∣
∣
t∫
t0
f(s, x0)ds
∣
∣
∣
∣
∣
∣
≤ M |t− t0| .
Presupunem inegalitatea adevarata pentru n− 1,
|yn−1(t)− yn−2(t)| ≤ MLn−2 |t− t0|n−1
(n− 1)!si aratam ca este adevarata pentru n; avem, folosind conditia lui Lipschitz,
|yn(t)− yn−1(t)| ≤
∣
∣
∣
∣
∣
∣
t∫
t0
[f(s, yn−1(s))− f(s, yn−2(s))] ds
∣
∣
∣
∣
∣
∣
≤ L
∣
∣
∣
∣
∣
∣
t∫
t0
[yn−1(s)− yn−2(s)] ds
∣
∣
∣
∣
∣
∣
≤
≤ L
∣
∣
∣
∣
∣
∣
t∫
t0
MLn−2 |s− t0|n−1
(n− 1)!ds
∣
∣
∣
∣
∣
∣
sau
|yn(t)− yn−1(t)| ≤ MLn−1
∣
∣
∣
∣
∣
∣
t∫
t0
|s− t0|n−1
(n− 1)!ds
∣
∣
∣
∣
∣
∣
≤ MLn−1 |t− t0|n
n!.
Deoarece |t− t0| ≤ h avem
|yn(t)− yn−1(t)| ≤ML
(Lh)n
n!, ∀t ∈ [t0 − h, t0 + h] .
Deoarece seria∞
∑
n=1
ML
(Lh)n
n!este convergenta (folosim criteriul raportului), rezulta ca se-
ria y0 +∞
∑
n=1
(yn(t)− yn−1(t)) este absolut si uniform convergenta pentru t ∈ [t0 − h, t0 + h] .
Rezulta ca limita sirului de aproximatii este o functie continua. Fie x(t) = limn→∞
yn(t).
Trecand la limita in relatia (2.4) obtinem ca x veifica ().Demonstram ca x este solutia cautata. Din (2.1) se observa ca x(t0) = x0 (integrala va fi
nula) si deoarece functia definita cu ajutorul integralei din (2.1) este continua si derivabila,rezulta ca x ∈ C1 ([t0 − h, t0 + h] ,R) iar prin derivarea relatiei (2.1) .
2.1. EXISTENTA SI UNICITATEA SOLUTIEI PROBLEMEI CAUCHY 27
x′(t) =ddt
x0 +
t∫
t0
f (s, x(s)) ds
= f(t, x(t))
si ecuatia diferentiala (2.1) este verificata.Unicitatea solutiei. Presupunem ca problema ar mai admite o solutie ϕ(t) care satisface
aceeasi conditie initiala si deci ϕ(t) = x0 +
t∫
t0
f (s, ϕ(s)) ds. Atunci
|yn(t)− ϕ(t)| ≤
∣
∣
∣
∣
∣
∣
t∫
t0
[f(s, yn−1(s))− f(s, ϕ(s))] ds
∣
∣
∣
∣
∣
∣
≤ L
∣
∣
∣
∣
∣
∣
t∫
t0
[yn−1(s)− ϕ(s)] ds
∣
∣
∣
∣
∣
∣
≤
≤ L
∣
∣
∣
∣
∣
∣
t∫
t0
MLn−2 |s− t0|n−1
(n− 1)!ds
∣
∣
∣
∣
∣
∣
≤ MLn−1 |t− t0|n
n!≤ M
L(Lh)n
n!,∀t ∈ [t0 − h, t0 + h]
de unde deducem ca limn→∞
yn(t) = ϕ(t) = x(t)�
Observatia 2.2 . Caracterul local al teoremei precedente este evident, deoarece ea negaranteaza existenta solutiei numai pe un interval suficient de mic, cu centrul in t0. Defapt, solutia gasita poate fi prelungita, obtinandu-se o solutie a ecuatiei (2.1), definita peun interval ce include pe [t0 − h, t0 + h]. intr-adevar, considerand punctul (t0−h, x(t0−h))din D si aplicand din nou teorema, vom construi o alta solutie a ecuatiei (2.1), definita peun interval de forma [t0 − h− δ1, t0 − h + δ1], cu conditia δ1 > 0 suficient de mic. Aceastasolutie va coincide cu cea gasita anterior, pe intervalul comun de definitie. La fel, plecandde la punctul (t0 +h, x(t0 +h)) ∈ D, gasim o solutie a ecuatiei (2.1), definita pe un intervalde forma [t0+h−δ2, t0+h+δ2], cu δ2 > 0 suficient de mic. Aceasta noua solutie va coincidecu cea definita pe [t0− h, t0 + h], in intervalul comun de definitie. Concluzia este ca solutiaa carei grafic trece prin (t0, x0) este definita cel putin pe intervalul [t0− h− δ1, t0 + h + δ2].Rationamentul se poate continua pana ce se obtine o solutie a carei grafic nu mai poatefi prelungit, fie din cauza ca se ajunge la frontiera domeniului D, fie din cauza ca graficulrespectiv are asimptota verticala. O astfel de solutie se numeste solutie saturata a ecuatiei(2.1). Graficele a doua solutii saturate distincte nu au nici un punct comun, caci in cazcontrar in acel punct s-ar contrazice rezultatul local de unicitate.
Observatia 2.3 Daca se renunta la conditia Lipschitz, admitand numai ca f este continuain D, teorema lui Peano afirma ca prin orice punct (t0, x0) ∈ D trece cel putin un grafic alunei solutii a ecuatiei (2.1). Cu alte cuvinte, acum avem garantata numai existenta localaa solutiei pentru care x(t0) = x0, nu si unicitatea ei. De asemenea, nu putem garanta ca dedata aceasta sirul aproximatiilor succesive este uniform convergent la solutia respectiva; indemonstratia Teoremei 2.1 se folosea in mod esential faptul ca f este local lipschitziana inraport cu x.
Exemplul 2.1 Consideram problema Cauchy,
28 CAPITOLUL 2. EXISTENTA SI UNICITATEA SOLUTIEI PROBLEMEI CAUCHY
{
x′(t) = x2/3(t)y(x0) = 0
cu membrul al doilea functie continua f(t, x) = x2/3. Observam ca x(t) ≡ 0 este solutie aproblemei puse, dar si x(t) = (1/27)(t − t0)3 este tot o solutie a problemei. In acest caz,prin punctul (t0, 0) trec graficele a doua solutii distincte ale ecuatiei date; aceasta se explicaprin aceea ca functia f(t, x) = x2/3 nu este lipschitziana in raport cu variabila x, in nici ovecinatate a punctului (t0, 0).
Notiunea de sistem diferential este o generalizare a notiunii de ecuatie diferentiala si,de obicei, ıntr-un sistem diferential, numarul ecuatiilor este egal cu numarul functiilornecunoscute.
Definitia 2.3 Forma normala a unui sistem diferential de ordin ıntai cu n functiinecunoscute y1, y2, . . . , yn este:
y′1(t) = g1 (t, y1(t), . . . , yn(t))y′2(t) = g2 (t, y1(t), . . . , yn(t))· · ·y′n(t) = gn (t, y1(t), . . . , yn(t))
(2.7)
unde functiile gi = gi (t, y1, . . . , yn) , i = 1, n sunt definite si continue pe D = I×U ⊆ Rn+1,I ⊆ R cu valori reale.
Daca g :D⊆ Rn+1 → Rn si notam y(t) = (y1(t), . . . , yn(t)) ,g (t,y) = (g1 (t, y1, . . . , yn) , . . . , g1 (t, y1, . . . , yn)) obtinem scrierea vectoriala a sistemuluidiferential de ordin ıntai cu n functii necunoscute (2.7) (care poate fi privita ca o ecuatiediferentiala vectoriala de ordin ıntai) de forma:
y′(t) = g (t,y(t)) . (2.8)
Definitia 2.4 O solutie a sistemului de ecuatii diferentiale de ordin ıntai (2.8) este on−upla de functii (y1, . . . , yn) : I → Rn de clasa C1 pe intervalul cu interior nevid I, caresatisface (t, y1(t), . . . , yn(t)) ∈ Dom(g) si verifica (2.8) pentru orice t ∈ I.
Definitia 2.5 Solutia generala a sistemului de ecuatii diferentiale de ordin ıntai (2.7)este o familie de functii {y(·, c) : I→ R; c = (c1, . . . , cn) ∈ Rn} definita implicit de n relatiide forma
G(t,y, c) = 0 (2.9)
ın care G :Dom(G) ⊆R2n+1 → Rn este o functie de clasa C1 an raport cu primele n + 1variabile, cu proprietatea ca prin eliminarea celor n constante c1, . . . , cn din sistemul
ddt
G(t,y(t), c) = 0
si ınlocuirea lor ın (2.9) se obtine tocmai (2.8).
2.1. EXISTENTA SI UNICITATEA SOLUTIEI PROBLEMEI CAUCHY 29
Problema Cauchy pentru sistemul diferential (2.8) consta ın determinarea unei solutiiy(t) = (y1(t), . . . , yn(t)) care verifica conditiile yi(t0) = yi0 ∈ R, i = 1, n, t0 ∈ I. Numerelet0, yi0, i = 1, n, se numesc conditii initiale.
Definitia 2.6 O solutie a sistemului diferential (2.8) care satisface conditiile initiale date,se numeste solutie particulara.
Definitia 2.7 Functia g :D⊆ Rn+1 → Rn satisface conditia Lipschitz locala ın raportcu variabila vectoriala y = (y1, . . . , yn) , daca pentru orice punct (t0,y0) ∈ D, unde y0 =(y10, . . . , yn0) , exista o vecinatate V(t0,y0) ⊂ D, astfel ıncat oricare ar fi (t,y) si (t,y) dinV(t0,y0), are loc inegalitatea
‖g(t,y) − g(t,y)‖ ≤ L ‖y − y‖ (2.10)
constanta L > 0 depinzand, ın general, de punctul (t0,y0).
Teorema 2.2 (Teorema de existenta si unicitate a solutiei problemei Cauchypentru sisteme diferentiale de ordin ıntai)
Daca functia vectoriala g = (g1, . . . , gn) este continua ın D si local lipschitziana ınraport cu variabila vectoriala y = (y1, . . . , yn), atunci pentru orice punct (t0,y0) ∈ D existao solutie unica y(t) = (y1(t), . . . , yn(t)) a sistemului (2.8), definita ıntr-o vecinatate suficientde mica a lui t0 si ındeplinind conditiile yi(t0) = yi0 ∈ R, i = 1, n.
Reamintim forma normala a ecuatiei diferentiale ordinare de ordin n, ecuatia
x(n) = f(t, x, x′, . . . , x(n−1)), (2.11)
unde f definita pe o submultime D = I× U ⊆ Rn+1 cu valori ın R,Problema Cauchy pentru ecuatia diferentiala de ordin n :Sa se determine functia x ∈ Cn(I,R), I un interval nevid deschis ın R astfel ıncat
{
x(n) = f(t, x, x′, . . . , x(n−1))x(t0) = x00, x′(t0) = x10, . . . , x(n−1)(t0) = xn0
, (2.12)
unde f : D → R, t0 ∈ I, xi0 ∈ R,i = 0, n.Prin intermediul transformarilor
{
(y1, y2, . . . , yn) =(
x, x′, . . . , x(n−1))
g (t,y1, . . . , yn) = (y2, . . . , yn, f(t, y1, y2, . . . , yn)), (2.13)
ecuatia (2.11) poate fi rescrisa echivalent ca un sistem de n ecuatii diferentiale de ordinıntai cu n functii necunoscute:
y′1 = y2
y′2 = y3...y′n−1 = yn
y′n = f(t, y1, y2, . . . , yn)
. (2.14)
30 CAPITOLUL 2. EXISTENTA SI UNICITATEA SOLUTIEI PROBLEMEI CAUCHY
In acest fel studiul ecuatiei (2.11) se reduce la studiul sistemului (2.14).
Teorema 2.3 (Teorema de existenta si unicitate a solutiei problemei Cauchypentru ecuatia diferentiala de ordin n)
Daca functia f este continua ın D si local lipschitziana ın raport cu variabila vectorialay = (y1, . . . , yn), atunci pentru orice punct (t0,y0) ∈ D exista o solutie unica x(t) a ecuatei(2.11), definita ıntr-o vecinatate suficient de mica a lui t0 si ındeplinind conditiile x(t0) =x00, x′(t0) = x10, . . . , x(n−1)(t0) = xn0, t0 ∈ I, xi0 ∈ R,i = 0, n.
2.2 Metoda aproximatiilor succesive
In multe situatii este foarte important sa cunoastem nu numai ca o problema Cauchy aresolutie unica pe un anumit interval, dar si cum putem gasi aceasta solutie. Din pacateclasa functiilor f pentru care putem obtine o reprezentare explicita a solutiei este foarterestransa.
Daca f = f(t, x) este continua in D si local lipschitziana in raport cu variabila x,
consideram aproximatiilor succesive, cu x0(t) = x0, xn(t) = x0 +
t∫
t0
f (s, xn−1(s)) ds, n =
1, 2, . . . . Fie D = {(t,y) | t0 − a ≤ t ≤ t0 + a, ‖y − y0‖ ≤ b}. Putem obtine, dacain plus |f(t, x)| ≤ M,∀(t, x) ∈ D, urmatoarea formula de evaluare a erorii: ‖xn − x‖ ≤
MLnhn+1
(n + 1)!,∀n ∈ N, |t− t0| ≤ h. Pentru a demonstra aceasta formula observam ca
|x(t)− x0| =
∣
∣
∣
∣
∣
∣
t∫
t0
f (s, x(s)) ds
∣
∣
∣
∣
∣
∣
≤ M |t− t0| ⇒ ‖x− x0‖ ≤ M |t− t0| .
Utilizand aceasta inegalitate obtinem:
‖x1 − x‖ = supt∈[t0−h,t0+h]
∣
∣
∣
∣
∣
∣
t∫
t0
(f (s, x0)− f (s, x(s))) ds
∣
∣
∣
∣
∣
∣
≤
≤ supt∈[t0−h,t0+h]
t∫
t0
|(f (s, x0)− f (s, x(s)))| ds ≤t
∫
t0
L supt∈[t0−h,t0+h]
|x0 − x(s)| ds ≤
≤ L
t∫
t0
‖x− x0‖ ds ≤ ML |t− t0|2
2!.
Aceasta inegalitate sugereaza ca, pentru orice k ∈ N si |t− t0| ≤ h, ar trebui sa avem:
‖xk − x‖ ≤ MLk |t− t0|k+1
(k + 1)!. (2.15)
Pentru k = 0 si k = 1 aceasta inegalitate este evident satisfacuta. Presupunem ca (2.15)are loc pentru un k ∈ N si |t− t0| ≤ h. Atunci
2.2. METODA APROXIMATIILOR SUCCESIVE 31
‖xk+1 − x‖ = supt∈[t0−h,t0+h]
∣
∣
∣
∣
∣
∣
t∫
t0
(f (s, xk(s))− f (s, x(s))) ds
∣
∣
∣
∣
∣
∣
≤
≤ supt∈[t0−h,t0+h]
t∫
t0
|(f (s, xk(s))− f (s, x(s)))| ds ≤t
∫
t0
L supt∈[t0−h,t0+h]
|xk(s)− x(s)| ds ≤
≤ L
t∫
t0
‖xk − x‖ dt ≤ MLLk
(k + 1)!
t∫
t0
|s− t0|k ds ≤ MLk+1 |t− t0|k+2
(k + 2)!≤ M
Lk+1hk+2
(k + 2)!.