Edades Tomo II

Tomo II

Problemas conEdades

Problemas con Edades TOMO II

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OBJETIVOS:

Reforzar la capacidad de interpretaciny simbolizacin para resolverproblemas con enunciado.

Conocer las diferentes formas deresolver los problemas sobre edades.

Aplicar correctamente mtodosprcticos como los cuadros de dobleentrada que involucran las edades dedos o ms personas.

INTRODUCCIN:

Aunque el tiempo es universal, ningn hombreviviente puede decir qu es. Es tan insondablecomo el espacio. Nadie puede explicar dndeempez la corriente del tiempo ni adnde va.

Por otro lado, hay ciertas caractersticas deltiempo que pueden entenderse. Se puede medirla aparente velocidad de su paso. Adems, vaen una sola direccin. Como el trnsito en unacalle de direccin nica, el tiempo vaincesantemente en esa sola direccin: adelante,siempre adelante. Sea cual sea su velocidad demarcha, nunca se puede hacer que el tiemporetroceda. Vivimos en un presentemomentneo. Sin embargo, este presente esten movimiento y corre continuamente hacia elpasado. Nada lo detiene.

EL PASADOEl pasado se ha ido, es historia y jams puederepetirse.

Todo esfuerzo por hacer volver el pasado estan irrealizable como tratar de hacer que una

cascada salte cuesta arriba o que una flechavuele de regreso al arco que la dispar.

El pasado o se ha ganado o se ha perdido. Yano se tiene ningn dominio sobre l.

EL FUTUROEl futuro es diferente. Siempre corre hacianosotros.

Nuestros relojes de la actualidad sonindicadores de tiempo. Sirven como reglaspara medir el tiempo. Otros gigantescosindicadores de tiempo son: la Tierra al girarsobre su eje, la Luna al dar vueltas alrededorde la Tierra, y el Sol, estos sirven para que elhombre, desde su punto de vista en la Tierra,pueda estar informado del tiempo conexactitud. As, como una multitud de objetoscon propsitos entrelazados, esos cuerposcelestes se mueven en sus ciclos perfectos ymiden interminable e infaliblemente elmovimiento unidireccional del tiempo.

Una rotacin completa de la Tierra sobre su ejemide un da de 24 horas. En este sentido, unda se compone del tiempo diurno y el tiemponocturno, un total de 24 horas. Con todo, alperodo diurno mismo, que Dar lo general tieneun promedio de 12 horas, tambin se le llamada.

HORALa divisin del da en 24 horas se remonta aEgipto. La divisin moderna de la hora en 60minutos se origin de las matemticasbabilonias, un sistema sexagesimal (basado enel nmero 60).


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SEMANALa semana proceda de la tradicinjudeocristiana que dispona descansar deltrabajo cada siete das. No est basada enfenmenos naturales. Los romanos dieronnombre a los das de la semana en honor delSol, la Luna y varios planetas.

MES LUNARUn mes lunar es un mes determinado segn laluna nueva.

Hay cuatro fases de la Luna, que componenuna lunacin de 29 das, 12 horas y 44 minutoscomo promedio. Basta con ver la forma de laLuna para saber aproximadamente qu da delmes lunar es.

ESTACIONESEstas se deben a que la Tierra est inclinada aun ngulo de 23,5 con relacin al plano de suviaje alrededor del Sol. El resultado de esto esque primero el hemisferio sur y, luego, seismeses despus, el hemisferio norte estninclinados hacia el Sol, de modo que lasestaciones se suceden 'mas a otras en orden.

Este cambio de las estaciones proporcionavariedad y contraste y controla los tiempos deplantar y cosechar.

Cmo pasa ms rpido el tiempo

Hay un dicho que afirma: "Quien esperadesespera".

Es cierto que cuando vigilamos el tiempo,cuando lo tenemos muy presente, cuandoesperamos que algo suceda, entonces pareceque el tiempo pasa con demasiada lentitud. Noobstante, si estamos ocupados, si estamosinteresados y absortos en lo que hacemos,entonces verdaderamente parece que eltiempo pasa volando. Adems, en el caso delas personas mayores el tiempo parece quepasa mucho ms rpido que en el de losjovencitos. A qu se debe esto?

Un ao aadido a la vida de un niito de unao de edad significa un aumento de 100% enlas experiencias de la vida. Un ao aadido a lavida de una persona de 50 aos de edadsignifica solo 2% ms. Para el nio, un aoparece un tiempo muy largo. Para la personamayor, si est ocupada y tiene buena salud, losaos parecen irse volando cada vez ms aprisa.

DIALOGO ILUSTRATIVO

ALAN: Cuntos aos tiene mi futuro suegro?

MILEYDI: "x" aos.

ALAN: Cuntos aos tuvo hace 3 aos?

MILEYDI: 3 aos menos, o sea x 3;

ALAN: Cuntos aos tendr dentro de 3aos?

MILEYDI: 3 aos ms, o sea x + 3.

ALAN: Cuntos aos tendra si hubiesenacido 20 aos antes?

MILEYDI: 20 aos ms, o sea x + 20.

ALAN: Cul es la edad de tu perro?

MILEYDI: Naci 40 aos despus que mipadre?

ALAN: Quieres decir que-es menor que tupadre en 40 aos, es decir que tiene x 40


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MILEYDI: Perdname querido, recin meacuerdo que la edad de mi padre es 6 veces laedad de mi perro.

ALAN: Tendr que plantear:

Edad del perro

x = 6 (x 40) Edad del perro

48 = x 48 - 40=8 aos

MILEYDI: Dentro de cuntos aos la edad demi padre ser el triple de la de mi perro.

ALAN: Para saber, hay que plantear unaecuacin, ayudndonos de un cuadro, paraordenar y entender mejor los datos y lo que nospiden.

48 + n = 3(8 + n) 12 = n

MILEYDI: Me sorprendes, pero t no me hasdicho cul es tu edad?

ALAN: Avergualo!

MILEYDI: De qu manera?

ALAN: Yo tengo el cudruple de la edad quetu padre tena, cuando yo tena 2 aos.

MILEYDI: Deber Plantear:

t tienes 4(10) = 40 aos

ALAN: Qu es el mtodo del aspa?

MILEYDI: Te explico con el siguienteejemplo:

"Yo tengo 25 aos y t tienes 40 aos y hace 4aos tenamos 21 y 36 aos"

Como observas el tema de edades estrelacionado netamente con el planteo deecuaciones, pero debido a la gran variedad deproblemas y mtodos prcticos de resolucin,lo hacemos en un acpite aparte. Es evidenteque lo ms importante en el tema es el tiempo(pasado, presente y futuro) y desde luego hayque saber interpretar las siguientesexpresiones:

Pasado Presente Futuro

Yo TeniaTuve TengoTendrTenga

T TeniasTuviste TienesTendrsTengas

El TeniaTuvo TieneTieneTenga

CUANDO INTERVIENE UNSUJETO

Para este tipo de situaciones se sugiere utilizarun cuadro, con el propsito de razonarordenadamente.

Veamos ahora una observacin muyimportante! Asumiendo que las edades de trespersonas en el pasado, presente y futuro son:

Se cumple:


5

La diferencia de edades de dos personas en eltranscurso del tiempo es constante:

EJEMPLO:

27 30

22 25

5 = 5 se deduce

* Se concluye que la suma en aspas (de valoresubicados simtricamente) es constante

EJEMPLO:

22 25 = 52

+ Se deduce

27 20 = 52

NOTA:

A continuacin, se sealan algunos trminosque se presentan en los enunciados y que nossirven para reconocer en qu tiempo seencuentra la informacin brindada.

Pasado 1 Pasado 2 Presente Futuro

TuveTuvoTuviste

TeniaTenias

TengoTieneTienes

TengaTendrTendrsTengas

RELACIN CON EL AO DENACIMIENTO

Si la persona que cumpli aos:

Ao Nac. + Edad Actual = Ao Actual

Si la persona aun no cumple aos:

Ao Nac. + Edad Act. = Ao Act. 1

-3 -3

Hace 3 aos Hoy Dentro de 3 aos

Tenias: 13 Tengo: 16 Tendr: 19

+3 -3

CUANDO INTERVIENEN LASEDADES DE 2 O MAS

SUJETOS

Cuando intervienen 2 mas personas

Tiempos

PersonasPasado Presente Futuro

Yo Tenia Tengo Tendr

T Tenias Tienes Tendrs

l Tenia Tiene Tendr

Etc. Etc. Etc. Etc.

En estas situaciones se recomienda lautilizacin de cuadros para facilitar laubicacin de los datos en sus respectivostiempos

Hace 4 aos Dentro de 7 aos


Yo 1 5 12

T 4 8 15

l 6 10 17

* Luego del cuadro anterior obtenemos lassiguientes conclusiones:

1 + 8 = 4 + 5 5 + 15 = 8 + 12

La suma en aspa de los valores simtricosresulta lo mismo.


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OBSERVACIN:

Se aplicar el mtodo del aspa, en caso de queal llenar el cuadro de edades con lascondiciones del problema, nos faltase otracondicin final para plantear la ecuacinnecesaria.

EJEMPLO 1:

Pili tiene 48 aos, su edad es el doble de laedad que tena Mili , cuando Pili tena la edadque ahora tiene Mili Qu edad tiene Mili?

A) 24 aos B) 30 aos C) 26 aos

D) 40 aos E) 36 aos

RESOLUCIN:

Generalmente, las sumas en aspa simtrica seutilizan cuando los datos de dos personas sepresentan en distintos tiempos. Por ejemplo:Yo teng (presente) el doble de la edad que ttenas (pasado)

NOTAS:

Sea "x" la edad actual de una persona,entonces dentro de "n" aos tendr "x+n" aosy hace "m" aos tena "x m" aos.

-m +n

Hace Hacem aos Hoy tengo n aos

x m x x + n

m + n Se deduce

Cuando en un enunciado nos mencionanhace ... , o dentro de ... , se debe tomar

como punto de referencia el tiempo de presente(hoy).

* Si una persona hubiera nacido n aosdespus tendra n aos menos.

* Si una persona hubiera nacido m aos antestendra m aos ms

* La edad que tena A cuando B nacirepresenta la diferencia de las edades entre A yB (A es mayor que B).

OBSERVACIONES IMPORTANTES:

* 402 = 1600 1600 = 40

* 412 = 1681 1681 = 41

* 412 = 1764 1764 = 42

* 412 = 1889 1889 = 43

* 412 = 1936 1936 = 44

* 412 = 2025 2025 = 45

PROBLEMAS SOBREEDADES

En este tipo de problemas, las cantidades quese calculan representan edades, tomando encuenta los tiempos que se presentan (pasado,presente y futuro) y las personas queintervienen.

Qu pasara si en un enunciado se indicadentro de n aos o hace m aos?

En estos casos, (en los cuadroscorrespondientes a los tiempos) en el cuadrocorrespondiente a pasado ser preferiblecolocar hace m aos y en el correspondientea futuro colocar dentro de n aos, En muchocasos S pueden usar los trminos tengo,tienes, tena, tendr, tendrs, etc., enlugar de pasado, presente o futuro. Estodeber hacerse siempre y cuando el uso deestos trminos represente mejor el enunciadodel problema.


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EJEMPLO 2:

Si .hoy tengo 30 aos, que edad tena hace 5aos y que edad tendr dentro de 15 aos?

RESOLUCIN:

5 15


25 30 45

* Respuesta: 25 aos y 45 aos

EJEMPLO 3:

Dentro de 15 aos tendr el triple de la edadque tena hace 11 aos.

RESOLUCIN:

11 15


x 11 x x + 15

* Sea x la edad actual del dato se tiene:

x + 15 = 3(x 11) x = 24

Dentro de 5 aos tendr 24 + 5 = 29 aos

PROBLEMA 1:

En 1979, un padre deca a su hijo: "mi edad esel quintuplo de tu edad, pero en el 2000 no sermas que el duplo". En qu ao naci el hijo yqu edad tendra el padre en 2007?

RESOLUCIN:

21 7

Pasado(1979)

Presente(2000)

Futuro(2007)

Padre x 21 x x + 7

Hijo y 21 y y + 7

Datos:

x - 21 = 5(y - 21) (I)

x = 2y (II)

De (II) en (I):

2y 21 = 5y 21 x 5 y = 28

* En (II): x = 2(2B) = 56

El padre actualmente tiene 56 aos, entoncesdentro de 7 aos tendr 63 aos.

PROBLEMA 2:

La edad de una persona es 41 aos y la de suhijo 9. Al cabo de cuntos aos la edad delpadre triplica la del hijo.

RESOLUCIN:

* Edad Padre = 41; edad Hijo = 9 dentro de "x"aos sus edades sern:

Edad Padre: 41 + x

Edad Hijo: 9 + x

Luego: 41 + x = 3(9 + x)

Resolviendo: x = 7 Debe transcurrir 7 aos


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PROBLEMA 3:

Hace 10 aos, la edad de Carlos era cuatroveces mayor que la de Pablo y, hoy da essolamente el doble. Qu edad tiene Pablo?

RESOLUCIN:

Sea "x" la edad de Pablo y la edad de Carlos"2x" y sus edades hace 10 aos eran:

Edad de Pablo: x 10

Edad de Carlos: 2x 10

Luego: 2x 10 = 4(x 10)

* Resolviendo: x = 15

O sea que Pablo tiene 15 aos.

PROBLEMA 4:

Dentro de cuntos aos las edades de 2;personas estarn en la relacin de 6 a S, si susedades actuales son 40 y 30 aosrespectivamente?

A) 35 B) 10 C) 15

D) 24 E) 20

RESOLUCIN:

* De los datos: 20 aos

Personas Presente Futuro

A 40 6(10) = 60

B 30 5(10) 5

Diferencia Diferencia10 aos 1(10) aos

* Deben pasar 20 aos.

RPTA: "E"

PROBLEMA 5:

A Pepin se le pregunta por su edad, responde ;"Si restas a la edad que tendr dentro de 10

aos, la edad que tuve hace 10 aos, obtendrsmi edad" Cuntos aos tiene Pepin?


D) 40 aos E) 6 aos

RESOLUCIN:

HACE 10AOS EDAD

DENTRODE 10AOS

x 10 x x + 10

* Segn enunciado:

(x + 10) - (x 10) = x

x + 10 x + 10 = x 20 = x

RPTA: "C"

PROBLEMA 6:

Si al cudruple de la edad que tendr dentro de8 aos, le restamos el doble de la edad quetena hace 5 aos, resultara 19 aos ms eltriple de mi edad qu edad tengo?

A) 18 aos B) 31 aos C)23 aos

D) 41 aos E) 16 aos

RESOLUCIN:

HACE 5AOS YO TENGO

DENTRODE 8 AOS

x 5 x x + 8

* Segn enunciado:

4(x + 8) 2(x 5) = 19 + 3x

4x + 32 2x + 10 = 19 + 3 23 = x

RPTA: "C"

PROBLEMA 7:


9

Yo nac en el ao 19ab yen 1980 tuve "a + b"aos en qu ao tendr "a2 +b2" aos?

A) 2052 B) 2038 C) 1999

D) 2000 E) 2006

RESOLUCIN:

* Considerar:

Ao de Nac. + Edad Actual = Ao Actual

19ab + a + b = 1980

1900 + ab + a + b = 1980

10a + b + a + b = 80

11a + 2b = 80 (Tanteando)

a = 6 y b = 7

Nac en 1967 y cumplir: 62 + 72 = 85 aos,en 1967 + 85 = 2052

RPTA:"A"

PROBLEMA 8:

Si al ao en que tuve 20 aos, le restamos elao que cumpl 8 aos, obtendrs la terceraparte de mi edad Cuntos aos tengo?

A) 24 aos B) 28 aos C)20 aos

D) 8 aos E) 3l aos

RESOLUCIN:

Ao deNacimiento

Ao en quetuve 20

Ao en quecumpl 8

N N + 20 N + 8

* Segn enunciado:

(N + 20) - (N + 8) =3edadmi

36 = Mi edad

RPTA:"E"

PROBLEMA 9:

El ao en que naci Scarly representa elcuadrado de su edad que tendr en el 2070cuntos aos tuvo en el 2030?

A) 10 B) 5 C) 25

D) 45 E) 16

RESOLUCIN:


E2 + E = 2070

E(E + 1) = 45 x 46

* Comparando: E = 45

Naci en el ao 452 = 2025

* Luego en el 2030 tuvo: 2030 2025 = 5 aos

RPTA:"B"

PROBLEMA 10:

Sabiendo que tengo 44 aos Hace cuntosaos tena 4 aos, ms que 4 veces la edad quetena cuando cumpl 4 aos menos de la cuartaparte de mi edad actual?

A) 6 B) 8 C) 12

D) 18 E) 4

RESOLUCIN:

* Suponiendo que fue hace "x" aos, luego enese momento yo tena:

44 x = 4 + 4

4

444

44 x = 32 8 = x

RPTA:"B"

PROBLEMA 11:

S Rosy hubiera nacido 3 aos antes, tendra eltriple de la edad que tuviese si hubiese nacido3 aos despus Dentro de cuntos aos tendr3 veces ms de lo que tuvo hace 3 aos?

A) 3 B) 33 C) 6


10

D) 13 E) 7

RESOLUCIN:

Edad actual; x

* S hubiera nacido 3 aos antes, su edad sera3 aos ms, es decir: x + 3

* Pero si hubiese nacido 3 aos despus, ahoratuviese 3 aos menos, o sea: x 3

* Segn el enunciado:

x + 3 = 3(x 3) x + 3 = 3x 9

12 = 2x 6 = x

* Dentro de "y" aos cumplir:

6 + y = 3 veces ms (x 3)

6 + y = 4(6 3) y = 6

RPTA: "C"

PROBLEMA 12:

Dentro de 5 aos, tu edad ser a mi edad como5 es a 4 y hace 5 aos esa relacin era como 3es a 2 cuntos aos tengo?


D) 20 aos E) 30 aos

RESOLUCIN:

Hace 5aos Hoy

Dentro de 5aos

Yo 3k 3k + 5 3k + 10 5

T 2k 2k + 5 2k + 10 4

* Segn enunciado:4

1025

103

kk k=5

* Luego, yo tengo: 3k + 5 = 3(5) + 5 = 20

RPTA: "D"

PROBLEMA 13:

Lucy tiene 30 aos , su edad es el quntuplo dela edad que tena Any, cuando Lucy tena latercera parte de la edad actual de Any Cul esla edad actual de Any?


D) 6 aos E) 30 aos

RESOLUCIN:

PROBLEMA 14:

Yo tengo el doble de la edad que tenias cuandoy tena la edad que t tienes, pero cuandotengas la edad que yo tengo, la suma denuestras edades ser 54 aos. Cul es miedad?


D) 23 aos E) 36 aos

RESOLUCIN:

Tenas,Tena

Tengo,Tienes Tengas

Yo y 2x 54 2x

T x y 2x

I) y + y = x + 2x 2y = 3xII) 2x + 2x = y + 54 2x 6x = y + 54

4y = y + 54 y = 18 yx = 12

Luego tengo: 2 (12) = 24 aos

RPTA:"B"

PROBLEMA 15:

Un padre tiene 30 aos y su hija 3. Dentro decuntos aos la edad de padre ser el cudruplode la edad de su hija?


11

A) 15 aos B) 3 aos C) 5 aos.

D) 6 aos E) 10 aos

RESOLUCIN:

Hoy Dentro de n aos

Padre 30 30 + n

Hija 3 3 + n

Segn enunciado:

30 + n = 4(3 + n)

30 + n = 12 + 4n

6 = n

RPTA: D

PROBLEMA 16:

Una familia consta de 11personas y realizanuna fiesta por cada cumpleaos. Estando todosreunidos en agosto del 2002 sumaron los aosen que haban nacido y luego sumaron lasedades de todos ellos, dando la suma total unresultado 22018. Cuntas fiestas faltanrealizarse durante este ao?

A) 4 B) 7 C) 11

D) 8 E) 5

RESOLUCIN:

Ao actual: 2002

* Suponiendo que todos ya cumplieron aos,luego:

Ao Nac. + Edades =Ao Actual

N1 + E1 =2002

N2 + E2 =2002

N3 + E3 =2002

11 sumandosN11 + E11 =2002

A + B =22022

* Si todos ya hubiesen cumplido aos, elresultado debi ser de 22022 , pero como elresultado real es de 22018, quiere decirentonces que:

Personas que22022 22018 = 4 an no cumplen

aos todava.

Faltan 4 fiestas durante este ao.

RPTA:"A"

PROBLEMA 17:

En Junio de 1992, 3 amigos: Carlos, Ral yMari suman sus edades a los aos de sunacimiento, obtienen como respuesta 5 974. SiCarlos naci en mayo y Ral en octubre. Enqu mes naci Mario?

A) Abril B) Marzo C) Julio

D) Mayo E) Enero

RESOLUCIN:

* Si los 3 ya hubieran cumplido aos, la sumaseria: 3 x 1992. = 5976, pero la suma es 5974,eso quiere decir que 5976 = 5974 = 2 personastodava no cumplen aos hasta junio, de dondeuno de los que an no cumple aos es Mario,al observar las alternativas, concluiremos queMario naci en Julio.

RPTA: "C"

PROBLEMA 18:


12

Si mi edad es igual a la raz cuadrada del aode mi nacimiento, cuntos aos cumplir en el2002?

A) 52 B) 64 C) 66

D) 71 E) 80

RESOLUCIN:

* Ao de mi nacimiento: 19ab

Mi edad

* Datos: x = ab19 x2 = ab19

* Luego: 1900 < x2 < 2000

43, < x2 < 44,

* De donde: x = 44

* Entonces nac en el ao 442 = 1936, luego enel 2002 cumplir:

2002 - 1936 = 66 aos

RPTA: C

PROBLEMA 19:

Cuando tu tenas 10 aos yo tenia la mitad dela edad que tu tendrs cuando yo tenga eldoble de la edad que tienes. Si nuestras edadessuman 20 aos. Qu edad tengo?

A) 12 B) 14 C) 15

D) 10 E) 22

RESOLUCIN:

Tenas,Tena

Tengo,Tienes Tengas

Yo x (20 y) 2y

T 10 y 2x

* Del pasado y presente (sumando en aspa):

x + y = 10 + (20 y)

x = 30 2y (I)

* El presente y futuro, sumando en aspa:

(20 y) + 2x = y + 2y

x = 2y 10 (II)

* Igualando (I) y (II): 30 2y = 2y 10

40 = 4y 10 = y

Finalmente: Tengo = 20 10 = 10 aos

RPTA:"D"

PROBLEMA 20:

Mi abuela me dice: Que el 31 de diciembredel ao en que sus 3ltimas cifras se obtenanal invertir las 3 ltimas cifras del ao de sunacimiento, su edad no pasaba de un sigloCul ser la edad de mi abuela en enerode12000? (si es la mnima posible)

A) 96 B) 98 C) 99

D) 100 E) 101

RESOLUCIN:

Sabemos que:

Ao actual - Ao de Nacimiento = Edad actual

Segn el enunciado:

Edad delta abuela

19ab - 1ba9 100

* Se deduce que b 9, luego b = 8.

19 a 8

18 a 9

99

* Para que la edad sea la mnima posible, a =9.

* Luego el 31 de diciembre de 1998 tuvo 99aos, entonces la edad mnima en enero del2000 ser 100 aos.


13

RPTA: "D"

PROBLEMA 21:

Una persona nacida en el siglo XX tiene en1998 tantos aos como la suma de las cifrasdel ao de su nacimiento. Hallar su edad en el2000.

A) 30 B) 32 C) 34

D) 26 E) 20

RESOLUCIN:


19cd = + (1 + 9 + a + b) = 1998

11a + 2b = 88 a = 8 y b = 0

En 1998 tendrn 18 aos

* Luego en el 2000 cumplir 20 aos.

RPTA: "E"

PROBLEMA 22:

Una ciudad fue fundada en el siglo XX. En elao en que se escribe con las mismas cifras delao de su fundacin pero con las dos ltimascifras en orden inverso, celebraron tantos aoscomo la suma de las dos ltimas cifras del aose su creacin. Cuntos aos celebraron enaquella fecha?

A) 15 B) 9 C) 12

D) 7 E) 17

RESOLUCIN:

Edad de la ciudad

19cd 19ba = a + b ab = ba = a + b

4a = 5b a = 5 b = 4

RPTA: "B"

PROBLEMA 23:

Ana tiene 18 aos, su edad es el triple de laedad que Diana tena, cuando Ana tena la

mitad de la edad que tiene Diana. Cuntosaos tendr Diana dentro de 20?

A) 36 B) 41 C) 32

D) 44 E) 52

RESOLUCIN:

Tenia Tiene

Ana x 18

Diana 6 2x

Por suma en aspa:

x + 2x = 6+ 18

x = 8

* Ahora Diana tiene 2 (8) = 16 aos

Luego dentro de 20 aos tendr: 16 + 20 = 36aos

RPTA: "A"

PROBLEMA 24:

La edad de Mara es la mitad de la edad deMiguel, pero hace 20 aos la edad de Miguelera el triple de la edad de Mara. Qu edadtiene Mara?

A) 20 B) 80 C) 40

D) 60 E) 70

RESOLUCIN:

Hace 20 aos Hoy

Mara x 20 x

Miguel 2x 20 2x

Segn enunciado:

2x 20 = 3(x 20) x = 40


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RPTA: "C"

PROBLEMA 25:

Si la edad de un padre con la de su hijo suma88 aos y hace 12 aos. la edad del padre era eltriple de la edad que tena el hijo. Calcular laedad del hijo hace 4 aos.

A) 12 B) 18 C) 28

D) 22 E) 24

RESOLUCIN:

Hace 12 aos Hoy

Padre 3x 3x + 12

Hijo x x + 12

Total = 88

4x + 24 = 88 x = 16

La edad del hijo ser: 16 + 12 = 28 aos

Luego hace 4 aos tuvo 28 4 = 24 aos

RPTA:"E"

PROBLEMA 26:

Vlady le dice a Lenin: "Si hubieras nacido 2aos antes, tu edad sera respecto a la octavaparte de la ma, como "3" es a 1; pero sihubieras nacido 2 aos despus dicha relacinsera como 1 es a 3. Indicar la edad de Vlady.


D) 16 aos E) 12 aos

RESOLUCIN:

Sea 8L la edad actual de Vlady, luego:

132

Lv Restamos

312

Lv

Al Restar ambas expresiones

834

L

L =23

Luego la edad de Vlady ser: 8(23 )=12 aos

RPTA: "E"

PROBLEMA 27:

La suma de las edades del Pap y la mam es 8veces la suma de las edades de sus hijos. hace3 aos, la suma de las edades de los espososera 10 veces la suma de las edades de sus hijosy. dentro de 7 aos, la suma de las edades delos esposos ser los 50/9 de la suma de lasedades de los hijos. Cuntos hijos tienen?

A) l B) 2 C) 3

D) 4 E) 5

RESOLUCIN:

Hace 3aos Hoy

Dentro de7 aos

de lasedades delos esposos

8S 2(3) 8S 8S + 2(7)

de lasedades de

los n hijosS 3n S S + 7n

8n 610(s 3n) 8s + 14 =9

50(s + 7n)

s = 15 3 s =11

63175 n

* Resolviendo n = 3

RPTA: C

PROBLEMA 28:

Dentro de 4 aos la edad de Cuchito ser uncuadrado perfecto, pero hace 3 aos era elcuadrado perfecto al anterior al inicial. Culera su edad hace 6 aos?



15

D) 10 aos E) 12 aos

RESOLUCIN:

Hace 3 Aos Hoy Dentro De 4Aos

x 3 x x + 4

(k 1)2 k2

Resolviendo:x + 4 = k2 k = 4; x = 12x 3 = (k 1)2 Hace 6 aos tuvo:

12 6 = 6 aos

RPTA: "C"

PROBLEMA 29:

Nuestras edades suman 47 aos; sin embargo;cuando tenas 15 aos yo tena la edad quetendrs dentro de 2 aos. Qu edad tienes?

A) 30 B) 20 C) 10

D) 15 E) 18

RESOLUCIN:

Pasado Hoy Futuro

Yo x + 2 47 x

T 15 x x + 2

Suman 47

Suma de aspa:

x + 2 + x = 47 x + 15

3x = 60

x = 20

RPTA:"B"

PROBLEMA 30:

Cuando tengas mi edad yo tendr lo que ttendrs cuando yo tenga 35 aos. Si cuandonaciste yo tena 10 aos, qu edad tengo?

A) 25 B) 15 C) 10

D) 35 E) 30

RESOLUCIN:

Tenas,Tena

Tengo,Tienes

TengasTendr Tendrs

Yo 10 x 25 35

T 0 x 25

Se deduce: (por formas de edades)

* Por la suma en aspa:

25 + 25 = x + 35 15 = x

RPTA: "B"

PROBLEMA 31:

Alex le dice a Betty. Cuando yo nac, tu tenas6 aos. Cuando Csar naci yo tena la terceraparte de lo que t tenas cuando yo nac, perocuando naci David, Csar tena el doble de loque yo tena cuando. Csar naci, pero cuandoDavid tenga un ao menos de lo que yo tenacuando David naci. Qu edad tendr Csaren ese momento?

A) 1 B) 17 C) 9

D) 5 E) 6

RESOLUCIN:

Alexnaci

Cesarnaci

Davidnaci

DavidTenga

Alex (Yo) 0 2 x

Betty (t) 6

Cesar 0 4 y

David 0 x 1

Suma en aspa:


16

I) 2 + 4 = 0 + x II) 4 + x - 1= 0 + y

6 = x 9 = y

RPTA:"C"

PROBLEMA 32:

La edad de Javier es los 3/2 de la edad de Luis.Si Javier hubiera nacido , 10 aos antes y Luis5 aos despus, entonces la razn de ambasedades sera 16/5 de la razn que habra siJavier hubiera nacido 5 'aos despus y Luis10 aos antes. Qu edad tuvo uno de ellos,cuando naci el otro?

A) 10 B) 20 C) 15

D) 16 E) 5

RESOLUCIN:

Edad de Javier: J

Edad de Luis: L

J = 2/3

kLkJJ

23

21

3

* Segn enunciado :

10253

516

52103

kk

kk

k = 10

* Piden la diferencia de edades:

3k 2k = k = 10

RPTA: "A"

PROBLEMA 33:

T tienes la mitad menos 5 aos de la edad queyo tendr cuando t tengas lo que yo tenacuando t tenas la cuarta parte de la edad queyo tuviese, si tendra 10 aos ms de los queyo tendr; pero si yo tuviese 10 aos ms delos que tendr y t los que te he dicho quetienes, entonces entre ambos tendramos 110aos. Qu edad tengo?

A) 50 B) 65 C) 55

D) 56 E) 54

RESOLUCIN:

Tenas,Tena

Tengo,Tienes

TendrTengas

Tuviese,10 aos

mas

Yo y z 2x 2x + 10

T 4102 x

x 5 y

I) Segn enunciado:

2x + 10 + x 5 = 11 0x = 35

II) La suma en aspa: y + y4

102 k + 2x

Como x = 35 y = 45

III) Suma en aspa: z + y = x 5 + 2x

* Reemplazando: z = 55

RPTA:"C"

PROBLEMA 34:

En el ao 2000 un profesor sum tos aosnacimientos de 25 alumnos de un saln y luegolas edades de todos los estudiantes, en seguidasum ambos resultados y obtuvo 49993cuntos estudiantes todava no cumplen aosen dicho ao?

A) 3 B) 17 C) 13

D) 2 E) 7

RESOLUCIN:

* Sumando independientemente a cada uno:

Ao Nac. + Edad = 2000 1999

2000 si cumpli aos y 1999 si todava nocumple, suponiendo que los 25 alumnoshubieran cumplido aos, entonces la suma totalsera:


17

25(Aos Nac.) + 25(Edad Act.) = 25 (2000)

= 50000

* Pero en realidad la suma total es 49993, esose debe a que: 50000 49993 = 7

* No han cumplido aos en el 2000

RPTA:"E"

PROBLEMA 35:

En 1918, la edad de un padre era 9 veces laedad de su hijo; en 1923, la edad del padre fueel quntuplo de la de su hijo. Cul fue la edaddel padre en 1940?

A) 66 B) 72 C) 67

D) 70 E) 57

RESOLUCIN:

+5 +17

1918 1923 1940

Padre 9x 9x + 5 9x + 22

Hijo x x + 5

Segn enunciado:

9x + 5 = 5(x + 5)

9x + 5 = 5x + 25 x = 5

9x + 22 = 9(5) + 22 = 67

RPTA: "C"

PROBLEMA 36:

Paulina tuvo su primer hijo a los 21 aos, a los27 aos su tercer hijo; a fines de 1995 la sumade edades de dichos hijos es 32 aos. En queao naci Paulina?

A) 1945 B) 1955 C) 1962

D) 1964 E) 1948

RESOLUCIN:

+6 +x

Cuandonaci el

1

Cuandonaci el

31995

Paulina 21 27 27 + x

1 hijo 0 6 6 + x

3 hijo 0 x

6x + 2x = 32 (dato) s/x = 13

Entonces Paulina en 1995 tuvo:

27 + 13 = 40 aos,

Luego naci en: 1995-40 = 1955

RPTA:"B"

PROBLEMA 37:

La edad que t tienes es la edad que yo tena,cuando l tena la octava parte de lo quetendr, y cuando tu tengas lo que yo tengo, eltendr 6 aos ms de lo que yo tuve. Si lo quetuve es 6 aos ms de lo que l tiene y 12aosms de lo que tuviste. Qu edad tengo?

A) 36 B) 38 C) 40

D) l7 E) 4

RESOLUCIN:

Tena,TuvisteTuve

Tengo,Tienes

TendrTengasTendrs


18

Yo x z 8y

T x 12 x z

l y x 6 x 6

2x 18 = y + x () Resolviendo

2x + 6 = 9y () el Sistema

2x = x 12 + z () z = 36

RPTA: A

PROBLEMA 38:

Si 3 veces la edad de mi hermano es 2 vecesmi edad, y hace 3 aos; 3 veces su edad era lama. Cuntos aos tengo?

A) 6 B) 9 C) 4

D) 12 E) 15

RESOLUCIN:

+3

Hace 3aos Hoy

Yo 3x 3x + 3Mi

hermano x x + 3

Segn el enunciado:

3(x + 3) = 2(3x + 3)

x = 1

Tengo:

3(1) + 3 = 6 aos

RPTA: A

PROBLEMA 39:

Lenin el "Supersticioso" tendr su primer hijoen el primer ao que sea cuadrado perfecto

para que de esa manera su hijo muera en unao que tambin sea cuadrado perfectoCuntos aos, vivir el hijo de Lenin? (Sigloactual XXI)

A) 91 B) 72 C) 81

D) 100 E) 64

RESOLUCIN:

* Debemos encontrar nmeros que elevados alcuadrado sean 2000 y algo ms, por un tanteoadecuado tendremos:

302 = 900 402 = 1600 502 = 2500

Probemos con un intermedio entre 40 y 50, queser: 452 = 2025 "Lo deseado" y el siguientecuadrado ser: 462 = 2116

* Luego, se deduce que el hijo de Lenin naceren el 2025 y morir en el 2116 ,entoncesvivir:

2116 - 2025 = 91aos

RPTA: A

PROBLEMA 40:

La edad de un elefante ser dentro de 55 aos,un cubo perfecto, hace 65 aos, su edad era laraz cubica de ese cubo. Indicar la suma decifras de la edad de dicho paquidermo.

A) 2 B) 13 C) 7

D) 6 E) 14

RESOLUCIN:

65 55

Hace 65 aos Hoy Dentro de 55 aos

n n 65 n3

120 aos

Del esquema:

n + 120 = n3 n3 n = 120


19

n(n2 1) = 120 10 + 10

n(n + l) (n 1) = 120

* Acomodando adecuadamente:

(n 1) n x (n + 1) = 4 x 5 x 6

* Por comparacin: n = 5

* Entonces, la edad actual del elefante es:

5 + 65 = 70 aos

* Piden: 7 + 0 = 7

RPTA :"C"

PROBLEMA 41:

Yo tengo lo que l tena, cuando yo tena loque tu tienes, si el tiene tantos aos como t yyo tenemos juntos; luego el producto de lasedades de lo que yo tenia y t tenias es :

A) 10 B) 28 C) 25

D) 0 E) Faltan datos

RESOLUCIN:

Tenias,Tenias

Tiene, Tengotienes

Yo y x

T y

l x x + y

Se deduce que es "o". (Aplicando la suma enaspa)

* Piden: y x 0 = 0

RPTA: "D"

PROBLEMA 42:

Si al ao en que cumplir los 30, le restas lao actual, obtendrs mi edad actual, la cualser:


D) 30 aos E) 60 aos

RESOLUCIN:

* Sea el ao en que nac: N

* Sea mi edad actual: "E" aos

Ao quenac Ao Actual

Ao quecumplidos

N N + E N + 30

* Segn enunciado:

(N + 30) - (N + E) = E

30 E = E E = 15

RPTA :"B"

PROBLEMA 43:

Hace 10 aos tena la mitad de la edad quetendr dentro de 10 aos. Dentro de cuntosaos tendr el triple de la edad que tena hace 5aos?

A) 7 B) 15 C) 12

D) 9 E) 13

RESOLUCIN:

-10 +10

Hace 10aos Actual

Dentro de10 aos

Edad x 10 x x + 10

x 10 =210x = 15

Hace 5 aos tena: 15 5 = 10

* Para tener el 3(10) = 30

Debe transcurrir 30 15 = 15 aos

RPTA: "B"


20

PROBLEMA 44:

Cuantos aos tiene una persona, sabiendo quela raz cuadrada de la edad que tena hace, 4aos ms la raz cuadrada de la edad quetendr dentro de 9 aos suman 13?

A) 40 B) 21 C) 37

D) 30 E) 22

RESOLUCIN:

Hace 4aos Actual

Dentro de9 aos

Edad x 4 x x + 9

* Segn enunciado: 94 xx = 13

* Resolviendo: x = 40

RPTA: "A"

PROBLEMA 45:

Una persona tena "x" aos de edad hace "3"aos. Su edad "3" aos despus de hoy serexpresado por:

A) x + 3 B) x 3 C) x 6

D) 6 x E) x + 6

RESOLUCIN:

+3 +3

Hace 3aos Hoy

3 Despusde hoy

Edad x x + 3 x + 6

RPTA: "E"

PROBLEMA 46:

Cuando A naci, B tena 6 aos y cuando Cnaci, A tena 9 aos. Ahora la edades de los

tres suman 30 aos. Cuntos aos tiene elmayor?

A) 16 B) 19 C) 17

D) 24 E) 31

RESOLUCIN:

Cuandonaci A

Cuandonaci B

Cuandonaci C

A 0 9 x 6

B 6 15 x

C 0 x 15

= 30

3x 21 = 30 x = 17

RPTA: "C"

COMENTARIO:

El "15" se deduce ya que la diferencia deedades es constante 6 0 = 15 9. Luego sededuce que el mayor es "B" y ste lelleva 15 9 = 6 aos A y15 aos a "C"

PROBLEMA 47:

Las edades de 3 jvenes estn en progresinaritmtica creciente cuya suma es 39, si lasuma de sus cuadrados es 515, la edad delmenor es:

A) 11 B) 13 C) 15

D) 17 E) 19

RESOLUCIN:

En progresin Aritmtica

Sean las edades: x r, x, x, + r

Segn enunciado:

I) x r + x + x + r = 39 x = 13

II) (13 r)2 + 132 + (13 + r)2 = 515

r = 2 Edad de menor: 13 2 = 11 aos


21

RPTA: "A"

PROBLEMA 48:

La edad en aos de un elefante es mayor en 31,que el cuadrado del nmero "k" y menor en 2que e1 cuadrado del nmero siguiente a "k"Cuntos aos tiene el elefante?

A) 256 B) 287 C) 289

D) 301 E) 304

RESOLUCIN:

+31 +2

k2 (k2 + 1) k2 + 31

Cuadrado de Edad Cuadrado delUn numero Actual numero siguiente

k2 + 31 + 2 = (k + 1)2 k = 16

* Edad del elefante: 162 + 31 = 287

RPTA:"B"

PROBLEMA 49:

La edad de Rulo dentro de cuatro aos ser uncuadrado perfecto. Hace 8 aos su edad era laraz de ese cuadrado perfecto. Qu edadtendr Rulo dentro de 10 aos?

A) 20 B) 21 C) 23

D) 25 E) 22

RESOLUCIN:

-8 +4

Hace 8aos Actual

Dentro de4 aos

Edad x 8 x x + 4Raz cuadrada Cuadrado

* x 8 4x x = 12

* Dentro de 10 aos tendr: 12 + 10 = 22

RPTA: "E"

PROBLEMA 50:

La diferencia de los cuadrados de las edades de2 personas es 37. Hallar las edades quetuvieron, cuando la edad del mayor fue eldoble de la del menor.

A) 16 y 8 B) 18 y 9 C) 2 y 1

D) 17 y 5 E) 20 y 10

RESOLUCIN:

* Sean "x" e "y" las edades, luego: x2 - y2 = 37

(x + y) (x y) = 37 x 1

* Entonces por comparacin:

x + y = 37

x y = 1

2x = 38

x = 19 e y = 18

* Luego hace "n" aos, ocurri que:

19 n = 2(18 n) n = 17

* Sus edades fueron: 2 y 1 ao.

RPTA: C

PROBLEMA 51:

Mily tiene r aos, la raz cuadrada del ao enque su bisabuelo naci ms la raz cuadrada delao cuando muri, es igual a la edad cuandomuri. A qu edad muri el bisabuelo? (sigloactual: XX)

A) 72 B) 89 C) 114

D) 85 E) 9

RESOLUCIN:

E: Edad cuando muri el bisabuelo

A: Ao en que naci


22

El ao en que muri ser: A + E

* Segn enunciado:

EAA = E EA = E A

* Elevando al cuadrado:

A + E = E2 2E A + A

* Despejando: A =2

21

E

* Consideremos que:

1900

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Edades Tomo II