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3.1 Definicin.

Una de las mayores aportaciones a la teora de las ecuaciones se debe al matemtico

francs, aunque nacido en Italia, Joseph Luis Lagrange (1736-1813). Lagrange fue uno de

los mayores analistas de su poca aunque tambin destaco en otras disciplinas. Su mayor

aportacin al lgebra es su famosa memoria sobre la resolucin de las ecuaciones

numricas escrita en 1776.

Una igualdad o equivalencia es la relacin que existe entre dos expresiones diferentes de

una misma cantidad. As, por ejemplo, seran igualdades 7 = 6 + 1 o bien 2x = x + 3.

Una identidad o formula es la relacin que existe entre dos expresiones iguales de una

misma cantidad y es independiente del valor que se le atribuya a las letras. As, por ejemplo

x2-y

2 = (x-y)(x+y) y (x+y)

2 = x

2+2xy+y

2 son identidades.

Se llama ecuacin a toda igualdad que contiene una o ms cantidades desconocidas, que

reciben el nombre de incgnitas y que solo se verifica, generalmente, para determinados

valores de la incgnita.

Generalmente, las incgnitas se representan mediante las ltimas letras del abecedario: x, y,

z

As, por ejemplo 4x + 3 = 2x + 7 es una ecuacin porque es una igualdad en la que hay una

incgnita, la x y est igualdad tan slo se verifica para el valor x=2. En efecto, si

sustituimos la x por 2, tendremos: 4(2) + 3 = 2(2) + 7.

Es decir 8 + 3 = 4 + 7. O sea, 11 = 11, tal como queramos comprobar.

Anlogamente, y2 - 3y + 2 = 0 tambin es una ecuacin puesto que es una igualdad

nicamente se verifica para los valores y = 2 e y = 1. En efecto, si sustituimos la y por 2

tendremos:

22 3(2) + 2 = 0

4 6 + 2 = 0

-2 + 2 = 0

Si sustituimos la y por 1 tendremos:

12 3(1) + 2 = 0

2

1 3 + 2 = 0

Se llama primer miembro de una ecuacin o de una identidad a la expresin

que queda a la izquierda del signo de la igualdad, y segundo miembro a la

expresin que queda a la derecha del signo de igualdad.

As, por ejemplo en la ecuacin 3x 1 = 2x 3, el primer miembro es 3x 1 y el segundo

miembro es 2x 3.

Se llaman trminos a cada una de las cantidades que estn relacionadas con

otras con los signos + o , o bien la cantidad que aparece sola en un

miembro.

As, por ejemplo, en la ecuacin anterior los trminos son: 3x, -1, 2x y -3.

Se dice que una ecuacin es literal cuando las cantidades conocidas estn

representadas por letras. As, por ejemplo, x + 2a = x + 5 es una ecuacin literal en

la cual a y b representan cantidades conocidas.

Por el contrario, se dice que una ecuacin es numrica cuando las cantidades

conocidas estn representadas por nmeros. As, por ejemplo, 2x + 7 = -x + 5 es una

ecuacin numrica puesto que la nica letra que aparece representa la incgnita.

Se dice que una ecuacin es entera cuando ninguno de sus trminos tiene

denominador.

Por el contrario, se dice que una ecuacin es fraccionaria cuando alguno de sus

trminos tiene denominador, la ecuacin es fraccionaria.

Se dice que una ecuacin tiene una, dos, tres o ms incgnitas segn contenga una, dos, tres

o ms letras que representan cantidades desconocidas.

El grado de una ecuacin es la suma de los exponentes de las incgnitas en el trmino que

la tenga mayor.

As, por ejemplo, las ecuaciones:

2x + 2y = 8

es de primer grado con dos incgnitas

4 3x = 2x2 5

es de segundo grado con una incgnita

13

23

5

2 xx

3

5 3x2 = 2xy2

es de tercer grado con dos incgnitas

La solucin o raz de una ecuacin con una sola variable es el valor de una constante que, al

sustituir a la variable, hace que el lado izquierdo de la ecuacin se iguale al lado derecho.

Al conjunto de todas las ecuaciones se le llama conjunto solucin. Resolver una ecuacin

es encontrar el conjunto solucin.

As pues, resolver una ecuacin consiste en hallar los valores que sustituidos en las

incgnitas transforman la ecuacin en una igualdad.

Las ecuaciones de primer grado con una incgnita tienen una nica raz. Una ecuacin

puede tener tantas races como unidades tenga su grado.

Se dice que dos ecuaciones son equivalentes cuando tienen las mismas soluciones. As, por

ejemplo, las ecuaciones x2-3x+2 = 0 y 2x

2-6x+4 = 0 son equivalentes puesto que la solucin

de ambas son x=2 y x=1.

http://www.epler.umich.mx/salvadorgs/matematicas1/contenido/CapVI/6_1_ecuac.htm

3.2 Propiedades de las ecuaciones.

El axioma fundamental de las ecuaciones es que una ecuacin se transforma en otra

equivalente cuando se ejecutan operaciones elementales iguales en ambos miembros.

Es decir

Si a los dos miembros de una ecuacin se les suma una misma cantidad positiva o

negativa, la igualdad subsiste.

Si a los dos miembros de una ecuacin se les resta una misma cantidad, positiva o

negativa, la igualdad subsiste.

Si a los dos miembros de una ecuacin se multiplican por una misma cantidad,

positiva o negativa, la igualdad subsiste.

Si a los dos miembros de una ecuacin se dividen por una misma cantidad, positiva

o negativa, la igualdad subsiste.

Al exponer las propiedades de la igualdad en su forma general, para cualesquiera de los

nmeros reales a, b y c.

Si a = b entonces a+c = b+c

Si a = b entonces a-c = b-c

4

Si a = b entonces ac = bc

Si a = b entonces a/c = b/c siempre que c0

Transponer trminos consiste en cambiar los trminos de una ecuacin de un miembro a

otro. Consideremos la ecuacin 3x-2 = x+6

Para transponer el trmino -2 del primer miembro al segundo aadimos 2 a ambos

miembros y resulta 3x-2 +2= x+6+2.

Es decir 3x = x+8

En ocasiones se trasponen al primer miembro todos los trminos de una ecuacin y, en ese

caso, el segundo miembro es cero. As, en la ecuacin 3x-2 = x+6 tendramos

3x-2-6 = x+6-6

O sea 3x-8 = x

Aadiendo x a ambos miembros resultara: 3x-8-x = x-x

Es decir, 2x-8 = 0

Como consecuencia de lo anteriormente expuesto, resulta obvio que trminos iguales con

signos iguales en distinto miembro de una ecuacin puedan suprimirse.

Los signos de todos los trminos de una ecuacin se pueden cambiar sin que una ecuacin

vare, puesto que esto equivale a multiplicar ambos miembros de la multiplicacin por -1,

por lo cual la igualdad no vara.

As, por ejemplo, si consideramos la ecuacin 2x+1 = x-2 y multiplicamos ambos miembros

por -1 obtendremos. -2x-1 = --x +2, que es la ecuacin inicial con todos los signos

cambiados.

Para quitar los denominadores de una ecuacin, basta con multiplicar sus dos miembros por

el mnimo comn mltiplo de los denominadores.

As, por ejemplo, si consideramos la ecuacin , para eliminar los denominadores

multiplicaremos ambos miembros por el mnimo comn mltiplo de los denominadores, o

sea por 8, tendremos:

O sea 2x -16 = 3x que es una ecuacin equivalente a la inicial y en la cual no aparecen los

denominadores.

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Si se eleva a una misma potencia los dos miembros de una ecuacin, la ecuacin resultante

tiene, generalmente, ms soluciones que la ecuacin inicial. En este caso se prescinde de

aquellas soluciones que no satisfacen la primera ecuacin.

3.3 Soluciones de ecuaciones lineales de primer grado con una

incgnita.

Para resolver una ecuacin de primer grado se procede del modo siguiente:

a). Se eliminan los radicales, en caso de que los haya.

b). Se efectan las operaciones indicadas en la ecuacin, suprimiendo de este modo los

parntesis y los signos de agrupacin.

c). Se suprimen los denominadores, s los hay.

d). Se trasponen y reducen trminos.

e). Se despeja la incgnita, descomponiendo el primer miembro en dos factores.

f). Se dividen ambos miembros por el coeficiente de la incgnita.

Ejemplo Resolver la ecuacin 5 4 3 7x x

Solucin: Trasponemos el trmino al primer miembro

5 4 3 7x x

A continuacin trasponemos el trmino 5 al segundo miembro.

5 +x -5 = 7 -5

x = 2

Comprobemos que x = 2 satisface la ecuacin dada.

5 +4(2) = 3(2) +7

5 +8 = 6 +7

13 = 13, tal como queramos comprobar

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Ejemplo Resolver la ecuacin 2(x+1) +3(x-2) = x +3

Solucin:

Se suprimen los parntesis 2x +2+3x-6= x +3

Trasponemos la x: 5x -4 x = x x +3

O sea, 4x -4 = 3,

Trasponemos el trmino -4 tendremos: 4x -4 +4 = 3 +4

O sea 4x = 7.

Dividamos ambos miembros por 4: . Es decir x = 7/4

Comprobemos que 7/4, satisface la ecuacin dada.

Ejemplo Resuelve la ecuacin 8x +7 = 9x +3

Solucin

1.- La ecuacin ya est simplificada: 8x +7 = 9x +3

2.- Resta 7 de ambos lados.

3.- Resta 9x de ambos lados

Puesto que x = -4, entonces x = -(-4) = 4, y la solucin es 4

Comprobacin

7

Cada una de las ecuaciones tena exactamente una solucin. Cuando se da una ecuacin que

puede escribirse como ax + b=c, existen tres posibilidades para la solucin:

1). La ecuacin tiene una sola solucin. Se trata de una ecuacin condicional.

2). La ecuacin no tiene solucin. Es una ecuacin contradictoria.

3). La ecuacin tiene un nmero infinito de soluciones. Es una identidad.

Solucin de una ecuacin contradictoria.

Ejemplo Resuelva 3 +8(x+1) = 5 +8x

Solucin:

a). Simplificar aplicando la propiedad distributiva y combinando trminos semejantes.

b). Restar 5 de ambos trminos.

c). Restar 8x de ambos lados

La proposicin 6=0 es una proposicin falsa. Cuando esto ocurre, indica que la ecuacin no

tiene solucin, es decir, es una ecuacin contradictoria y escribimos no hay solucin.

Solucin de una ecuacin con un nmero infinito de soluciones.

Ejemplo Resolver 7+2(x+1) = 9+2x

Solucin:

8

1. Simplificamos usando la propiedad distributiva y combinando trminos

semejantes.

Nos podramos detener aqu. Puesto que ambos lados son idnticos, la ecuacin es

una identidad. Todo nmero real es una solucin. Pero Qu pasa si contina?.

Veamos

2. Restar 9 de ambos lados

3. Restar 2x de ambos lados.

La proposicin 0=0 es una proposicin verdadera. Cuando esto ocurre, indica que cualquier

nmero real es una solucin. La ecuacin tiene un nmero infinito de soluciones y

escribimos todos los nmeros reales para la solucin.

3.4 Problemas que conducen a ecuaciones lineales de primer

grado con una incgnita

Solucin de una ecuacin literal.

h b1 b2

Un trapezoide es una figura de cuatro lados en la cual slo dos

de ellos son paralelos: el rea del trapezoide ilustrado es

,

donde h es la altura y b1 y b2 son las bases. Resolver para b2.

1.- Elimina las fracciones; el MCM 2

9

2.- Elimina los parntesis

3.- No hay nmeros que restar.

4.- Resta el mismo trmino, hb1, en ambos lados.

5.- Divide ambos lados entre el coeficiente de b2, h

Ejemplos:

Comprobacin

Comprobacin

10

Comprobacin

Comprobacin

Comprobacin

Comprobacin

11

Comprobacin

Comprobacin

Comprobacin

12

Comprobacin

Comprobacin

Comprobacin

13

mcm de los denominadores

a(a-b)(a+b)=a(a2-b

2)

Mcm de a y c = ac

Ejemplo: La suma de las edades de A y B es de 84 aos y B tiene 8 aos menos que A.

Encontrar ambas edades.

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Sea x = edad de A

Como B tiene 8 aos menos que A: x-8 = edad de B.

La suma de ambas edades es de 84 aos, entonces: (x) +( x 8) = 82

Resolviendo: x + x = 84 + 8

2x = 92

92

46 aos2

x , Edad de A

Por lo tanto la edad de B es: 84 46 = 38 aos.

Ejemplo: El doble de la diferencia entre un nmero y 5 es 20. Halla el nmero.

Sea x = el nmero buscado, y de acuerdo al planteamiento: 2(x-5) = 20

Resolviendo: 2x 10 = 20

2x = 30

x = 15 que es el numero buscado.

Ejemplo El doble de un nmero aumentado en 12 es igual a su triple disminuido en 5. Cul es el nmero?

Sea x = el nmero buscado, y de acuerdo al planteamiento: 2x+12 = 3x-5

Resolviendo: 2x 3x = -5 -12

-x = -17

x = 17 que es el numero buscado

Ejemplo Encuentre un numero tal que el doble de dicho numero menos 33 sea igual A 5 veces el propio numero mas 33.

Sea x = el nmero buscado, y de acuerdo al planteamiento: 2x-33 =5(x+33)

Resolviendo: 2x 33 = 5x + 165

2x 5x = 165 + 33

-3x = 198

198

3x

x= - 66 que es el numero buscado