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ObjetivosPendiente de una LıneaFormas de la Ecuacion de una Lınea RectaRectas Paralelas y Rectas PerpendicularesAplicaciones
Ecuaciones Lineales en Dos Variables Reales
Carlos A. Rivera-Morales
Precalculo I
Rivera-Morales, Carlos A. Lıneas en el Plano Cartesiano
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Rivera-Morales, Carlos A. Lıneas en el Plano Cartesiano
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ObjetivosPendiente de una LıneaFormas de la Ecuacion de una Lınea RectaRectas Paralelas y Rectas PerpendicularesAplicaciones
Objetivos:
Discutiremos:
pendiente de una lınea.
formula de la pendiente
formas de la ecuacion de una lınea en el plano cartesiano.
aplicaciones.
Rivera-Morales, Carlos A. Lıneas en el Plano Cartesiano
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Objetivos:
Discutiremos:
pendiente de una lınea.
formula de la pendiente
formas de la ecuacion de una lınea en el plano cartesiano.
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Objetivos:
Discutiremos:
pendiente de una lınea.
formula de la pendiente
formas de la ecuacion de una lınea en el plano cartesiano.
aplicaciones.
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ObjetivosPendiente de una LıneaFormas de la Ecuacion de una Lınea RectaRectas Paralelas y Rectas PerpendicularesAplicaciones
Objetivos:
Discutiremos:
pendiente de una lınea.
formula de la pendiente
formas de la ecuacion de una lınea en el plano cartesiano.
aplicaciones.
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Ecuaciones Lineales en Dos Variables Reales
Pendiente de una Lınea no Vertical en el PlanoCartesiano
Sea L una lınea no vertical en el plano cartesiano y seanP1 = (x1, y1) & P2 = (x2, y2) dos puntos diferentes de L.Entonces, la pendiente de L , denotada por m esta dada porla formula
m =y2 − y1x2 − x1
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Ecuaciones Lineales en Dos Variables Reales
Nota: Otras formas de denotar la pendiente de una lınea novertical son las siguientes:
m =cambio en y
cambio en x
=4y4x
=cambio vertical
cambio horizontal
=elevacion
avance o recorrido
Rivera-Morales, Carlos A. Lıneas en el Plano Cartesiano
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Ecuaciones Lineales en Dos Variables Reales
Nota: Otras formas de denotar la pendiente de una lınea novertical son las siguientes:
m =cambio en y
cambio en x
=4y4x
=cambio vertical
cambio horizontal
=elevacion
avance o recorrido
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Nota: Otras formas de denotar la pendiente de una lınea novertical son las siguientes:
m =cambio en y
cambio en x
=4y4x
=cambio vertical
cambio horizontal
=elevacion
avance o recorrido
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Nota: Otras formas de denotar la pendiente de una lınea novertical son las siguientes:
m =cambio en y
cambio en x
=4y4x
=cambio vertical
cambio horizontal
=elevacion
avance o recorrido
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Graficamente:
Figura: pendiente = m=4y
4x=
y2 − y1x2 − x1
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Ejemplo:
Figura: pendiente = m=4y
4x=
3
2
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Ejemplo:
Figura: pendiente = m=4y
4x= −2
3
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Ejercicio: Calcule la pendiente de la recta dada.
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Ejercicio: Calcule la pendiente de la recta dada.
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Ejercicio: Calcule la pendiente de la recta dada.
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Ejercicio: Calcule la pendiente de la lınea de la recta dada.
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Nota: La pendiente de una recta no vertical es unica. Esto es,no depende de los dos puntos particulares que se escojan paracalcularla.
Ejemplo 1:
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Nota: La pendiente de una recta no vertical es unica. Esto es,no depende de los dos puntos particulares que se escojan paracalcularla.
Ejemplo 1:
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Nota: La pendiente de una recta no vertical es unica. Esto es,no depende de los dos puntos particulares que se escojan paracalcularla.
Ejemplo 2:
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Posibles casos con relacion a la pendiente:
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Ejercicios: Calcule la pendiente de cada lınea, de estardefinida.
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Ejercicios (Continuacion): Calcule la pendiente de cadalınea, de estar definida.
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Consideremos la siguiente figura:
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Forma Punto-Pendiente de la Ecuacion de una Lınea o Recta
Sea L una lınea no vertical en el plano cartesiano y seanP1 = (x1, y1) & P2 = (x2, y2) dos puntos diferentes de L.Entonces, una ecuacion de la lınea es
y − y1 = m(x− x1).
Nota: La forma punto-pendiente de la ecuacion de una lıneano es unica.
Razon: Depende de los puntos particulares que se seleccionenpara escribirla.
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Forma Punto-Pendiente de la Ecuacion de una Lınea o Recta
Sea L una lınea no vertical en el plano cartesiano y seanP1 = (x1, y1) & P2 = (x2, y2) dos puntos diferentes de L.Entonces, una ecuacion de la lınea es
y − y1 = m(x− x1).
Nota: La forma punto-pendiente de la ecuacion de una lıneano es unica.Razon: Depende de los puntos particulares que se seleccionenpara escribirla.
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Figura: pendiente = m =y − b
x− 0=
y − b
x
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Por lo tanto,
m =y − b
x
mx = y − b : multiplicando ambos lados de la ecuacion anteriorpor x
mx + b = y : sumando b en ambos lados de la ecuacion anterior.
y = mx + b : por la propiedad simetrica de la igualdad(a = b⇐⇒ b = a)
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Por lo tanto,
m =y − b
x
mx = y − b : multiplicando ambos lados de la ecuacion anteriorpor x
mx + b = y : sumando b en ambos lados de la ecuacion anterior.
y = mx + b : por la propiedad simetrica de la igualdad(a = b⇐⇒ b = a)
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Por lo tanto,
m =y − b
x
mx = y − b : multiplicando ambos lados de la ecuacion anteriorpor x
mx + b = y : sumando b en ambos lados de la ecuacion anterior.
y = mx + b : por la propiedad simetrica de la igualdad(a = b⇐⇒ b = a)
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Por lo tanto,
m =y − b
x
mx = y − b : multiplicando ambos lados de la ecuacion anteriorpor x
mx + b = y : sumando b en ambos lados de la ecuacion anterior.
y = mx + b : por la propiedad simetrica de la igualdad(a = b⇐⇒ b = a)
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Por lo tanto,
m =y − b
x
mx = y − b : multiplicando ambos lados de la ecuacion anteriorpor x
mx + b = y : sumando b en ambos lados de la ecuacion anterior.
y = mx + b : por la propiedad simetrica de la igualdad(a = b⇐⇒ b = a)
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Forma Pendiente-Intercepto de la Ecuacion de una Lınea oRecta
Si la lınea L intercepta al eje-Y en el punto (0,b) y tienependiente m, entonces una ecuacion de la lınea es
y = mx + b.
Nota: La forma pendiente-intercepto de la ecuacion de unalınea es unica.
Razon: Una lınea no vertical solamente tiene una pendiente yun solo intercepto-y.
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Forma Pendiente-Intercepto de la Ecuacion de una Lınea oRecta
Si la lınea L intercepta al eje-Y en el punto (0,b) y tienependiente m, entonces una ecuacion de la lınea es
y = mx + b.
Nota: La forma pendiente-intercepto de la ecuacion de unalınea es unica.Razon: Una lınea no vertical solamente tiene una pendiente yun solo intercepto-y.
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Ecuaciones Lineales en Dos Variables Reales
Forma General o Estandar de la Ecuacion de una Lınea o Recta
La grafica en el plano cartesiano de la ecuacion Ax + By = C esuna lınea, siempre que A y B no sean iguales a cero de formasimultanea. La forma
Ax + By = C
es la forma general o estandar de la ecuacion de una lınea.
Nota: La forma general o estandar de la ecuacion de una lıneano es unica. Depende de los valores de A, B y C que seutilicen para escribirla.
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Ecuaciones Lineales en Dos Variables Reales
Ejercicios: Escriba una ecuacion, en forma estandar, de larecta que pasa por los puntos:
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Ecuaciones Lineales en Dos Variables Reales
Existe una conexion entre las pendientes de las rectas noverticales que son paralelas y las que son perpendiculares.Consideremos las siguientes figuras:
Nota: Las dos rectas de la izquierda son paralelas (estan elmismo plano y no se intersecan o cortan) y sus pendientes soniguales. Las dos de la derecha son perpendiculares (seencuentran en el mismo plano y forman cuatro angulos rectos)yla pendiente de una de ellas es el opuesto del recıproco de laotra.
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Ecuaciones Lineales en Dos Variables Reales
Pendiente, Rectas Paralelas y Rectas Perpendiculares
Sean L1 y L2 dos rectas no verticales con pendientes respectivasm1 y m2. Entonces
1 L1 y L2 son paralelas si sus pendientes son iguales. Esto es,si m1 = m2.
2 L1 y L2 son coincidentes (es decir, se sobreponen) cuando,aparte de tener la misma pendiente, pasan por un mismopunto.
3 L1 y L2 son perpendiculares se cumple siempre que elproducto de sus pendientes sea -1: esto es, m1 ×m2 = −1.
De otra forma, m2 = − 1
m1.
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Pendiente, Rectas Paralelas y Rectas Perpendiculares
Sean L1 y L2 dos rectas no verticales con pendientes respectivasm1 y m2. Entonces
1 L1 y L2 son paralelas si sus pendientes son iguales. Esto es,si m1 = m2.
2 L1 y L2 son coincidentes (es decir, se sobreponen) cuando,aparte de tener la misma pendiente, pasan por un mismopunto.
3 L1 y L2 son perpendiculares se cumple siempre que elproducto de sus pendientes sea -1: esto es, m1 ×m2 = −1.
De otra forma, m2 = − 1
m1.
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Pendiente, Rectas Paralelas y Rectas Perpendiculares
Sean L1 y L2 dos rectas no verticales con pendientes respectivasm1 y m2. Entonces
1 L1 y L2 son paralelas si sus pendientes son iguales. Esto es,si m1 = m2.
2 L1 y L2 son coincidentes (es decir, se sobreponen) cuando,aparte de tener la misma pendiente, pasan por un mismopunto.
3 L1 y L2 son perpendiculares se cumple siempre que elproducto de sus pendientes sea -1: esto es, m1 ×m2 = −1.
De otra forma, m2 = − 1
m1.
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Ecuaciones Lineales en Dos Variables Reales
Ejemplo: Escriba una ecuacion, en forma estandar, de la lıneaque pasa por el punto (6, -9) y es perpendicular a la lınea con
ecuacion y = −3
5x + 4.
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Ejemplo: Escriba una ecuacion, en forma estandar, de la lıneaque pasa por el punto (6, -9) y es perpendicular a la lınea con
ecuacion y = −3
5x + 4.
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Ejercicios:1. Escriba una ecuacion, en forma estandar, para las rectasdescritas:
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2. Represente graficamente cada una de las siguientesecuaciones lineales en dos variables. Use los interceptos en losejes de coordenada.
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Ejercicios:1. Se tienen dos recipientes iguales, A y B, vacıoscompletamente. Se comienzan a llenar, a las 8:45 A.M., por dosllaves que vierten diferente cantidad de litros de agua porminuto. La grafica muestra el proceso de llenado de ambosrecipientes.
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Marca con una X la respuesta correcta.
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2. Pedro se dispone a limpiar los dos tanques de agua que tieneen la casa en su lucha contra el mosquito Aedes Aegypti. Paraextraer el agua que le queda a los tanques, abre sus llaves. Lagrafica muestra el volumen de agua, en litros, que va quedandoen los tanques durante el proceso de vaciado.
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