Upload
jesus-fuentes
View
35
Download
1
Embed Size (px)
DESCRIPTION
Ecuaciones Direnciales y Tensores en Flujo de Fluidos
Citation preview
ECUACIONES DIFERENCIALES DEL
FLUJO DE FLUIDOS
Son ecuaciones generales que permiten resolver diferentes sistemas sin necesidad de aplicar balances de cantidad de movimiento:
Ecuacin de continuidad (conservacin de materia)
Ecuacin de movimiento
1. ECUACIN DE CONTINUIDAD
Se aplica la ley de conservacin de la materia a un pequeo volumen de fluido en movimiento.
z(x+x,y+y,z+z)
y( )( )Elemento
estacionario de
x xzx x+x
volumen, xyz, a
(x,y,z)travs del cual circula
x
un fluido.
x
x: Velocidad de flujo de materia por unidad de rea
Balance de materia
Velocidad deVelocidad deVelocidad de
acumulacin de=entrada desalida de
materiamateriamateria
Donde:
Velocidad deVelocidad deVolumen
acumulacin de=cambio dexdel
materiadensidadelemento
En cada direccin:
Velocidad deDensidad delVelocidadrea
flujo de= fluido en lax perpendicular xde la
materiacaraa la caracara
Por tanto, el balance de materia queda:
Dividiendo la ecuacin por xyz y tomando lmites cuando estas dimensiones tienden a cero:
En trminos vectoriales:
Si la densidad del fluido permanece constante:
2. ECUACIN DE MOVIMIENTO
zx z+z
zyx y+y(x+x,y+y,z+z)Direcciones del transporte
de cantidad de
movimiento debido a la
xx x
xx x+x
ycomponente x de la
(x,y,z)yx yvelocidad
zx z
x
Direcciones de las
zx z+z
fuerzas viscosas debido
yx y+y al transporte de
xx xyx yxx x+xcantidad de
movimiento
zx z
Balance de cantidad de movimiento en estado no estacionario
Velocidad deVelocidad deVelocidadSuma de
acumulacin =entrada de de salida de+ fuerzas que
de cantidad decantidad decantidad deactan sobre
movimientomovimientomovimientoel sistema
La cantidad de movimiento de entrada y de salida se debe a dos mecanismos:
Transporte convectivo
Transporte viscoso
Transporte convectivo
La cantidad de movimiento por transporte convectivo, en direccin x, que entra por la cara y es:
Cantidad deFlujo msicoComponente
movimiento
x de velocidad = (yxz)(x)|y
por transporte = a travs de
convectivola cara yen direccin x
Teniendo en cuenta el flujo en todas las caras del cubo, el transporte convectivo neto en direccin x es:
Transporte viscoso
La cantidad de movimiento por transporte viscoso en direccin x que entra por la cara y es:
La cantidad de movimiento neta por transporte viscoso en direccin x es:
Fuerzas externas
Si las fuerzas externas que actan sobre el sistema son las debidas a la presin y a la fuerza gravitacional, la resultante de estas fuerzas en la direccin x es:
La acumulacin de cantidad de movimiento en direccin x es:
Sustituyendo todos los trminos en la ecuacin de balance de cantidad de movimiento, dividiendo por xyz y tomando el lmite cuando x, y y z tienden a cero, se llega a la componente x de la ecuacin de movimiento:
De la misma forma se obtienen las componentes en y y z:
En notacin vectorial, estas tres ecuaciones se resumen en:
Para obtener las distribuciones de velocidad con la anterior ecuacin, se debe conocer la relacin entre los esfuerzos y los gradientes de velocidad, la cual est dada por la generalizacin de la ley de Newton de la viscosidad:
Esfuerzos normales:
Esfuerzos cortantes:
Cuando la densidad y la viscosidad son constantes, la ecuacin de movimiento recibe el nombre de Navier-Stokes
TABLAS DE EC. CONTINUIDAD Y MOVIMIENTO Y
LEY NEWTON (ESFUERZOS)
EDICIN ANTIGUA DEL BIRD
Tabla 3.4-1: Ec. Continuidad
Tablas 3.4-2 a 3.4-4: Ec. Movimiento
Tablas 3.4-5 a 3.4-7: Ley Newton
NUEVA EDICIN DEL BIRD
Apndice B1: Ley Newton
Apndice B4: Ec. Continuidad
Apndices B5 y B6: Ec. Movimiento
PROBLEMA
En una operacin de fundicin de cobre se hace pasar escoria fundida, rica en cobre, sobre un mate con el fin de recuperar la mayor parte del cobre contenido en la escoria. La operacin es llevada a cabo en un horno (ver figura) de 20 metros de largo y 7,5 metros de ancho. Asumiendo que:
El mate permanece quieto.
La escoria fluye continuamente a 2,5 m3/h (con flujo laminar) sobre el mate. La profundidad media de la escoria es de 0,5 m.
Determinar:
La ecuacin para la distribucin de velocidad y de esfuerzo en la capa de escoria, dibujar perfiles.
La fraccin de material que permanece en el horno durante por lo menos el doble
Escoria
Mate
7 20 m
del tiempo medio de residencia.
FLUJO A TRAVS DE DOS TUBOS COAXIALES
Encontrar las distribuciones de velocidad, esfuerzo cortante, las velocidades mxima y media y el flujo volumtrico (caudal), de un fluido que fluye entre dos tubos coaxiales por accin de una diferencia de presin entre los planos de entrada y salida del mismo.
Salida del fluido
PL
aRL
P0
Entrada delR
fluido
FLUJO ADYACENTE DE DOS FLUIDOS
INMISCIBLES
Encontrar las distribuciones de velocidad, esfuerzo cortante, las velocidades mxima y media y el flujo volumtrico (caudal), de dos lquidos inmiscibles que fluyen horizontalmente por un gradiente de presin entre dos planos horizontales.
W
Entrada del
fluidoyFluido IISalida del
zfluido
xFluido I2
Propiedades deL
los fluidos:X = 0X = L
I > IIP0PL
I < II
FLUJO TANGENCIAL DE UN FLUIDO
NEWTONIANO ENTRE DOS TUBOS CONCNTRICOS
Determinar los perfiles der
z
velocidad y de esfuerzo cortante
para el flujo laminar tangencial
de un fluido incompresible, en elaR
espacio comprendido entre dos
cilindros verticales coaxiales, cuando el cilindro externo gira con una velocidad angular .
R
FLUJO DE UN FLUIDO NO NEWTONIANO A TRAVS DE UN TUBO CIRCULAR
Deducir la forma anloga a la ecuacin de Hagen-Poiseulli para un fluido pseudoplstico.
dvz n
rz
dr
(n