Problemas aplicativos Problemas aplicativos mediante ecuaciones de mediante ecuaciones de

Maxwell. Inductancia, Maxwell. Inductancia, Auto inductancia.Auto inductancia.

AutoinductanciaAutoinductancia

R

I creciente

Considere una bobina conectada a una Considere una bobina conectada a una resistencia resistencia RR y voltaje y voltaje VV. Cuando se cierra el . Cuando se cierra el interruptor, el aumento de corriente interruptor, el aumento de corriente I I aumenta el aumenta el flujo, lo que produce una fuerza flujo, lo que produce una fuerza contraelectromotriz interna en la bobina. El contraelectromotriz interna en la bobina. El interruptor abierto invierte la fem.interruptor abierto invierte la fem.

Considere una bobina conectada a una Considere una bobina conectada a una resistencia resistencia RR y voltaje y voltaje VV. Cuando se cierra el . Cuando se cierra el interruptor, el aumento de corriente interruptor, el aumento de corriente I I aumenta el aumenta el flujo, lo que produce una fuerza flujo, lo que produce una fuerza contraelectromotriz interna en la bobina. El contraelectromotriz interna en la bobina. El interruptor abierto invierte la fem.interruptor abierto invierte la fem.

R

I decreciente

Ley de Lenz:Ley de Lenz:

La La fcemfcem (flecha roja)(flecha roja)

debe debe oponerse al oponerse al cambio en cambio en

flujo:flujo:

InductanciaInductanciaLa fuerza contraelectromotriz (fcem) La fuerza contraelectromotriz (fcem) EE inducida en una bobina es proporcional a la inducida en una bobina es proporcional a la tasa de cambio de la corriente tasa de cambio de la corriente I/I/t.t.

Una Una inductanciainductancia de un de un henry (H)henry (H) significa que el significa que el cambio de corriente a la cambio de corriente a la tasa de tasa de un ampere por un ampere por segundosegundo inducirá una fcem inducirá una fcem de de un voltun volt..

R

i/t creciente

1 V1 H

1 A/s

; inductancei

L Lt

E ; inductance

iL Lt

E inductancia

Ejemplo 1:Ejemplo 1: Una bobina de Una bobina de 20 vueltas20 vueltas tiene una fem inducida de tiene una fem inducida de 4 mV4 mV cuando cuando la corriente cambia a la tasa de la corriente cambia a la tasa de 2 A/s2 A/s. . ¿Cuál es la inductancia?¿Cuál es la inductancia?

; /

iL Lt i t

E

E

( 0.004 V)

2 A/sL

L = 2.00

mHL = 2.00

mH

Nota:Nota: Se sigue la práctica de usar Se sigue la práctica de usar i i minúscula para minúscula para corriente variablecorriente variable o o transitoria e transitoria e II mayúscula para mayúscula para corriente corriente estacionariaestacionaria..

Nota:Nota: Se sigue la práctica de usar Se sigue la práctica de usar i i minúscula para minúscula para corriente variablecorriente variable o o transitoria e transitoria e II mayúscula para mayúscula para corriente corriente estacionariaestacionaria..

R

i/t = 2 A/s4 mV4 mV

Cálculo de inductanciaCálculo de inductanciaRecuerde dos formas de Recuerde dos formas de

encontrar encontrar E:E:i

Lt

E

iLt

EN

t

E N

t

E

Al igualar estos términos se Al igualar estos términos se obtiene:obtiene:

iN L

t t

Por tanto, la inductancia L se puede encontrar de:

Por tanto, la inductancia L se puede encontrar de:

NL

I

N

LI

i/t creciente

R

Inductancia L

Inductancia de un Inductancia de un solenoidesolenoide

El campo El campo BB que crea una que crea una corriente corriente II para longitud para longitud l l

es:es:0NIB

y = BA

0 NIA N

LI

Al combinar las últimas Al combinar las últimas dos ecuaciones se dos ecuaciones se

obtiene:obtiene:

20N A

L

20N A

L

R

Inductancia L

lB

Solenoide

Ejemplo 2:Ejemplo 2: Un solenoide de Un solenoide de 0.002 m0.002 m22 de área y de área y 30 cm30 cm de longitud tiene de longitud tiene 100 100 vueltasvueltas. Si la corriente aumenta de . Si la corriente aumenta de 00 a a 2 A2 A en en 0.1 s0.1 s, ¿cuál es la inductancia del , ¿cuál es la inductancia del solenoide?solenoide?

Primero se encuentra la inductancia del Primero se encuentra la inductancia del solenoide:solenoide:-7 2 22 T m

0 A(4 x 10 )(100) (0.002 m )

0.300 m

N AL

R

l

A

L = 8.38 x 10-5 HL = 8.38 x 10-5 H

Nota: Nota: L L NONO depende de la depende de la corrientecorriente, sino de , sino de parámetros físicosparámetros físicos de la de la bobina.bobina.

Nota: Nota: L L NONO depende de la depende de la corrientecorriente, sino de , sino de parámetros físicosparámetros físicos de la de la bobina.bobina.

Ejemplo 2 (Cont.):Ejemplo 2 (Cont.): Si la corriente en el Si la corriente en el solenoide de solenoide de 83.8 83.8 HH aumentó de aumentó de 00 a a 2 2 AA en en 0.1 s0.1 s, ¿cuál es la fem inducida?, ¿cuál es la fem inducida?

R

l

A

L = 8.38 x 10-5 HL = 8.38 x 10-5 H

iLt

E

iLt

E

-5(8.38 x 10 H)(2 A - 0)

0.100 s

E 1.68 mVE 1.68 mVE

Energía almacenada en un Energía almacenada en un inductorinductor

En un instante cuando la En un instante cuando la corriente cambia a corriente cambia a i/i/tt, se , se tiene:tiene:

; i i

L P i Lit t

E E

Dado que la potencia Dado que la potencia PP = trabajo/t= trabajo/t, , Trabajo = P Trabajo = P tt. . Además, el valor promedio de Además, el valor promedio de LiLi es es Li/2Li/2 durante el durante el aumento a la corriente final aumento a la corriente final II. . Por tanto, la energía Por tanto, la energía total almacenada es:total almacenada es:

Energía potencial almacenada en

inductor:

212U Li

R

Ejemplo 3:Ejemplo 3: ¿Cuál es la energía potencial ¿Cuál es la energía potencial almacenada en un inductor de almacenada en un inductor de 0.3 H0.3 H si la si la corriente se eleva de 0 a un valor final de corriente se eleva de 0 a un valor final de 2 A2 A??

212U Li

212 (0.3 H)(2 A) 0.600 JU

U = 0.600 J

Esta Esta energíaenergía es igual al es igual al trabajotrabajo realizado al llegar a la realizado al llegar a la corriente final corriente final II; se devuelve cuando la corriente ; se devuelve cuando la corriente disminuye a cero.disminuye a cero.

L = 0.3 H

I = 2 A

R

Densidad de energía Densidad de energía (opcional)(opcional)

R

l

A

La densidad de energía La densidad de energía uu es la es la energía energía U U por unidad de por unidad de volumen volumen VV2

20 12; ;

N AL U LI V A

Al sustituir se obtiene Al sustituir se obtiene u = u = U/V U/V ::

2 20

2201

2

2;

N AI

N A UU I u

V A

2 20

22

N Iu

2 20

22

N Iu

Densidad de energía Densidad de energía (continúa)(continúa)

R

l

A

2 20

22

N Iu

Densidad Densidad de de energía:energía:Recuerde la fórmula para el Recuerde la fórmula para el campo B:campo B:

0

0

NI NI B

B

2 20 0

202 2

NI Bu

2

02

Bu

2

02

Bu

Ejemplo 4:Ejemplo 4: La corriente estacionaria final La corriente estacionaria final en un solenoide de 40 vueltas y 20 cm de en un solenoide de 40 vueltas y 20 cm de longitud es 5 A. ¿Cuál es la densidad de longitud es 5 A. ¿Cuál es la densidad de energía?energía?

R

l

A

-70 (4 x 10 )(40)(5 A)

0.200 m

NIB

B = 1.26 B = 1.26 mTmT2 -3 2

-7 T m0 A

(1.26 x 10 T)

2 2(4 x 10 )

Bu

u = 0.268 J/m3u = 0.268 J/m3

La densidad de La densidad de energía es energía es importante para el importante para el estudio de las ondas estudio de las ondas electromagnéticas.electromagnéticas.

El circuito R-LEl circuito R-L

RL

S2

S1

V

E

Un inductor Un inductor LL y un y un resistor resistor RR se conectan se conectan en serie y el en serie y el interruptor interruptor 11 se cierra: se cierra: ii

V – V – E E = = iRiR

iLt

E

iV L iR

t

iV L iR

t

Inicialmente, Inicialmente, i/i/tt es grande, lo que hace es grande, lo que hace grande la grande la fcemfcem y la corriente y la corriente ii pequeña. pequeña. La corriente aumenta a su valor máximo La corriente aumenta a su valor máximo II cuando la tasa de cambio es cero.cuando la tasa de cambio es cero.

Inicialmente, Inicialmente, i/i/tt es grande, lo que hace es grande, lo que hace grande la grande la fcemfcem y la corriente y la corriente ii pequeña. pequeña. La corriente aumenta a su valor máximo La corriente aumenta a su valor máximo II cuando la tasa de cambio es cero.cuando la tasa de cambio es cero.

Aumento de corriente en Aumento de corriente en LL

( / )(1 )R L tVi eR

( / )(1 )R L tV

i eR

En t = 0, I = 0En t = 0, I = 0

En t = En t = , I = V/R, I = V/R

Constante de Constante de tiempo tiempo

L

R L

R

En un inductor, la corriente subirá a En un inductor, la corriente subirá a 63%63% de de su valor máximo en una constante de tiempo su valor máximo en una constante de tiempo = L/R= L/R..

En un inductor, la corriente subirá a En un inductor, la corriente subirá a 63%63% de de su valor máximo en una constante de tiempo su valor máximo en una constante de tiempo = L/R= L/R..

Tiempo, t

Ii

Aumento Aumento de de

corrientecorriente

0.63 I

Reducción R-LReducción R-L

RL

S2

S1

V

Ahora suponga que Ahora suponga que SS22 se se cierra después de que hay cierra después de que hay energía en el inductor:energía en el inductor:

E E = iR= iRi

Lt

E

iL iRt

iL iRt

Inicialmente, Inicialmente, i/i/tt es grande y la es grande y la fem fem EE que que activa la corriente está en su valor máximo activa la corriente está en su valor máximo II. . la corriente la corriente se reducese reduce a cero cuando la fem a cero cuando la fem se quita.se quita.

Inicialmente, Inicialmente, i/i/tt es grande y la es grande y la fem fem EE que que activa la corriente está en su valor máximo activa la corriente está en su valor máximo II. . la corriente la corriente se reducese reduce a cero cuando la fem a cero cuando la fem se quita.se quita.

Para reducción de Para reducción de corriente en L:corriente en L:

E

ii

Reducción de corriente en Reducción de corriente en LL

( / )R L tVi eR

( / )R L tV

i eR

En t = 0, En t = 0, ii = V/R = V/R

En t = En t = , , ii = 0 = 0

Constante de Constante de tiempo tiempo

L

R L

R

En un inductor, la corriente se reducirá a En un inductor, la corriente se reducirá a 37% de su valor máximo en una constante 37% de su valor máximo en una constante de tiempo de tiempo

En un inductor, la corriente se reducirá a En un inductor, la corriente se reducirá a 37% de su valor máximo en una constante 37% de su valor máximo en una constante de tiempo de tiempo

Tiempo, t

Ii

Reducción Reducción de corrientede corriente

0.37 I

Ejemplo 5:Ejemplo 5: El circuito siguiente tiene un El circuito siguiente tiene un inductor de inductor de 40 mH40 mH conectado a un resistor conectado a un resistor de de 5 5 y una batería de y una batería de 16 V16 V. ¿Cuál es la . ¿Cuál es la constante de tiempo y la corriente después constante de tiempo y la corriente después de una constante de tiempo?de una constante de tiempo?

5

L = 0.04 H

16 V

R

0.040 H

5

L

R

Constante de tiempo: = 8 ms

Constante de tiempo: = 8 ms

( / )(1 )R L tVi eR

Después del Después del tiempo tiempo

i = 0.63(V/R)i = 0.63(V/R)

16V0.63

5i

i = 2.02 A

El circuito R-CEl circuito R-C

RC

S2

S1

V

E

Cierre Cierre SS11. Entonces, . Entonces, conforme la carga conforme la carga QQ se se acumula en el capacitor acumula en el capacitor CC, , resulta una fcem resulta una fcem EE:: ii

V – V – E E = = iRiR

Q

CE

QV iR

C Q

V iRC

Inicialmente, Inicialmente, Q/CQ/C es pequeño, lo que hace es pequeño, lo que hace pequeña la pequeña la fcemfcem y la corriente y la corriente ii es un es un máximo máximo II.. Conforme la carga Conforme la carga QQ se acumula, se acumula, la corriente se reduce a cero cuando la corriente se reduce a cero cuando EEbb = = V.V.

Inicialmente, Inicialmente, Q/CQ/C es pequeño, lo que hace es pequeño, lo que hace pequeña la pequeña la fcemfcem y la corriente y la corriente ii es un es un máximo máximo II.. Conforme la carga Conforme la carga QQ se acumula, se acumula, la corriente se reduce a cero cuando la corriente se reduce a cero cuando EEbb = = V.V.

Aumento de Aumento de cargacarga

t = 0, Q = t = 0, Q = 0, I = V/R0, I = V/R

t = t = , i = , i = , Q, Qm m = C V= C V

Constante de tiempo Constante de tiempo

RC

En un capacitor, la En un capacitor, la carga carga QQ aumentará a aumentará a 63%63% de su valor de su valor máximo en una máximo en una constante de tiempo constante de tiempo

En un capacitor, la En un capacitor, la carga carga QQ aumentará a aumentará a 63%63% de su valor de su valor máximo en una máximo en una constante de tiempo constante de tiempo

QV iR

C Q

V iRC

/(1 )t RCQ CV e /(1 )t RCQ CV e

Desde luego, conforme la carga aumenta, la Desde luego, conforme la carga aumenta, la corriente corriente ii se se reduciráreducirá..

Tiempo, t

Qmaxq

Aumento Aumento de cargade carga

Capacitor

0.63 I

Reducción de corriente en Reducción de corriente en CC

/t RCVi eR

/t RCV

i eR

En t = 0, En t = 0, ii = V/R = V/R

En t = En t = , , ii = 0 = 0

Constante de Constante de tiempo tiempo

RC

La corriente se reducirá a La corriente se reducirá a 37%37% de su valor de su valor máximo en una constante de tiempo máximo en una constante de tiempo la la carga aumenta.carga aumenta.

La corriente se reducirá a La corriente se reducirá a 37%37% de su valor de su valor máximo en una constante de tiempo máximo en una constante de tiempo la la carga aumenta.carga aumenta.

Tiempo, t

Ii

Reducción Reducción de de

corrientecorriente

Capacitor

0.37 I

Conforme aumenta la carga Q

Descarga R-CDescarga R-CAhora suponga que se Ahora suponga que se cierra cierra SS22 y se permite la y se permite la descarga de descarga de CC::

E E = iR= iRQ

CE

QiR

C

QiR

C

Inicialmente, Inicialmente, QQ es grande y la es grande y la fem fem EE que que activa la corriente está en su valor máximo activa la corriente está en su valor máximo II. La corriente . La corriente se reducese reduce a cero cuando la a cero cuando la fem se quita.fem se quita.

Inicialmente, Inicialmente, QQ es grande y la es grande y la fem fem EE que que activa la corriente está en su valor máximo activa la corriente está en su valor máximo II. La corriente . La corriente se reducese reduce a cero cuando la a cero cuando la fem se quita.fem se quita.

Para Para reducción de reducción de corriente en corriente en L:L:

RS2

S1

V

ii

C

E

Reducción de Reducción de corrientecorriente

En t = 0, I = V/REn t = 0, I = V/R

En t = En t = , I = 0, I = 0

En un capacitor que se descarga, tanto En un capacitor que se descarga, tanto corriente como carga se reducen a 37% de corriente como carga se reducen a 37% de sus valores máximos en una constante de sus valores máximos en una constante de tiempo tiempo = RC.= RC.

En un capacitor que se descarga, tanto En un capacitor que se descarga, tanto corriente como carga se reducen a 37% de corriente como carga se reducen a 37% de sus valores máximos en una constante de sus valores máximos en una constante de tiempo tiempo = RC.= RC.

/t RCVi e

R

/t RCV

i eR

RC

Conforme la corriente se Conforme la corriente se reduce, la carga también se reduce, la carga también se reduce:reduce:

/t RCQ CVe/t RCQ CVe

Tiempo, t

Ii

Current Current DecayDecay

Capacitor

0.37 IReducción Reducción de de corrientecorriente

Ejemplo 6:Ejemplo 6: El circuito siguiente tiene un El circuito siguiente tiene un capacitor de capacitor de 4 4 FF conectado a un resistor de conectado a un resistor de 3 3 y una batería de y una batería de 12 V12 V. El interruptor está . El interruptor está abierto. ¿Cuál es la corriente después de una abierto. ¿Cuál es la corriente después de una constante de tiempo constante de tiempo ??

Constante de tiempo: = 12 sConstante de tiempo: = 12 s

/(1 )t RCVi eR

Después del Después del tiempo tiempo

i = 0.63(V/R)i = 0.63(V/R)

12V0.63

3i

i = 2.52 A

3

C = 4 F

12 V

R

= RC = (3 = RC = (3 )(4 )(4 F)F)

ResumenResumen

R

l

A

NL

I

N

LI

20N A

L

20N A

L

Energía potencial,densidad de

energía:

212U Li

2

02

Bu

; inductancei

L Lt

E ; inductance

iL Lt

E inductancia

ResumenResumen

( / )(1 )R L tVi eR

( / )(1 )R L tV

i eR

L

R L

R

En un inductor, la corriente aumentará a En un inductor, la corriente aumentará a 63%63% de su valor máximo en una constante de de su valor máximo en una constante de tiempo tiempo = L/R= L/R..

En un inductor, la corriente aumentará a En un inductor, la corriente aumentará a 63%63% de su valor máximo en una constante de de su valor máximo en una constante de tiempo tiempo = L/R= L/R..

Tiempo, t

Ii

Aumento Aumento de de

corrientecorriente

0.63I

Inductor

La corriente inicial es cero debido al rápido cambio de corriente en la bobina. Eventualmente, la fem inducida se vuelve cero, lo que resulta en la corriente máxima V/R.

La corriente inicial es cero debido al rápido cambio de corriente en la bobina. Eventualmente, la fem inducida se vuelve cero, lo que resulta en la corriente máxima V/R.

Resumen (Cont.)Resumen (Cont.)

( / )R L tVi eR

( / )R L tV

i eR

La corriente se reducirá a La corriente se reducirá a 37%37% de su de su valor máximo en una constante de valor máximo en una constante de tiempo tiempo = L/R.= L/R.

La corriente se reducirá a La corriente se reducirá a 37%37% de su de su valor máximo en una constante de valor máximo en una constante de tiempo tiempo = L/R.= L/R.

La corriente La corriente inicial, inicial, I = V/RI = V/R, , se reduce a cero se reduce a cero conforme se conforme se disipa la fem en disipa la fem en la bobina.la bobina.

La corriente La corriente inicial, inicial, I = V/RI = V/R, , se reduce a cero se reduce a cero conforme se conforme se disipa la fem en disipa la fem en la bobina.la bobina.

Tiempo, t

Ii

Current Current DecayDecay

0.37I

Inductor

Reducción Reducción de de corrientecorriente

Resumen Resumen (Cont.)(Cont.)

Cuando se carga un capacitor, la carga se Cuando se carga un capacitor, la carga se eleva a 63% de su máximo mientras la eleva a 63% de su máximo mientras la corriente disminuye a 37% de su valor corriente disminuye a 37% de su valor máximo.máximo.

Cuando se carga un capacitor, la carga se Cuando se carga un capacitor, la carga se eleva a 63% de su máximo mientras la eleva a 63% de su máximo mientras la corriente disminuye a 37% de su valor corriente disminuye a 37% de su valor máximo.máximo.

Tiempo, t

Qmaxq

Aumento Aumento de cargade carga

Capacitor

0.63 I

/(1 )t RCQ CV e /(1 )t RCQ CV e RC

/t RCVi eR

/t RCV

i eR

Tiempo, t

Ii

Current Current DecayDecay

Capacitor

0.37 IReduccióReducció

n de n de cargacarga