Ecuaciones de Fresnel para la reflexión y refracción

Rayos incidente, transmitido, y reflejado en la interfaceCoeficientes de reflexión y transmisión

Ecuaciones de Fresnel

Angulo de Brewster

Reflexión total interna

Plano de Plano de incidenciaincidencia y la interface con el y la interface con el mediomedioDefiniciDefinicióónn

Plane of the interface (here the yz plane) (perpendicular to page)

ni

nt

ikr

rkr

tkr

θi θr

θt

EiEr

Et

Interface

x

y

z

Plano de incidencia(x-y plano) es el planoque contiene losvectores k de los rayosincedente y reflejado.

Medio de incidencia

Medio de transmisión

Paralelo (“P”) La polarización sigueparalelo al plano de incidencia.

Perpendicular (“S”) la polarización apunta haciaafuera del plano de incidencia.

NotaciNotacióónn simplificadasimplificada parapara loslos estadosestados de de polarizacipolarizacióónn

Perpendicular (“S”) Estapolarización se encuentraapuntando hacia afueradel plano de incidencia.

Paralelo (“P”) Estapolarización está paralelaal plano de incidencia

EcuacionesEcuaciones de de FresnelFresnel

Podemos calcular la fracción de la luz de la onda refejada y transmitidapor la interface entre los dos medios con distinto índice de refracción. Fresnel fué el primero que hizo éste cálculo.

ni

nt

ikr

rkr

tkr

θi θr

θt

Ei

Bi

Er

Br

Et

Bt

Interface

x

y

zEl caso consideradocorresponde a luz conel campo perpendicular al plano de incidencia

Empecemos porconsiderar lascondiciones de contorno en la interface para el campo eléctrico ymagnético de la ondas i,r,t para el caso “S” primero.

La componente tangential del campo eléctrico es continua

En otras palabras,el campo total E en el plano de la interface escontinuo.

Surge que, todos loscampos E están en la dirección z, que es e plano (xz)de la interface, Así:

Ei(x, y = 0, z, t) + Er(x, y = 0, z, t) = Et(x, y = 0, z, t)

ni

nt

ikr

rkr

tkr

θi θr

θt

EiBi

Er

Br

Et

Bt

Interface

CondicionesCondiciones de de contornocontorno parapara el campo el campo ElElééctricoctrico en la interfaceen la interface

x

y

z

La componente tangencial del campo magnético es continua

En otras palabras,el campo total B en el plano de la interface escontinuo.

Todos los campos B están en el planox-y, de las que tomamosla componente x:

–Bi(x, y = 0, z, t) cos(θi) + Br(x, y = 0, z, t) cos(θr) = –Bt(x, y = 0, z, t) cos(θt)

CondicionesCondiciones de de contornocontorno parapara el campo el campo magnmagnééticotico en la interfaceen la interface

ni

nt

ikr

rkr

tkr

θi θr

θt

Ei

Bi

Er

Br

Et

Bt

Interface

x

y

z

θi

θi

ReflexiReflexióónn y y TransmisiTransmisióónn de de luzluzpolarizadapolarizada perpendicularmenteperpendicularmente (S)(S)

Ignoring the rapidly varying parts of the light wave and keepingonly the complex amplitudes:

E0 i

+ E0r

= E0 t

− B0 i

cos(θi) + B

0rcos(θ

r) = − B

0 tcos(θ

t)

But B = E / (c0

/ n) = nE / c0 and θ

i= θ

r:

ni( E

0r− E

0 i) cos(θ

i) = −n

tE

0 tcos(θ

t)

Substituting for E0 t

using E0 i

+ E0r

= E0 t

:

ni( E

0r− E

0 i) cos(θ

i) = −n

t( E

0r+ E

0 i)cos(θ

t)

Si y

Sustituyendo por

CoficientesCoficientes de de ReflexiReflexióónn y y TransmisiTransmisióónnparapara luzluz polarizadapolarizada perpendicularmenteperpendicularmente

Rearranging ni( E

0 r− E

0 i) cos(θ

i) = −n

t( E

0 r+ E

0 i) cos(θ

t) yields:

E0r

nicos(θ

i) + n

tcos(θ

t) = E

0 in

icos(θ

i) − n

tcos(θ

t)

r

⊥= E

0 r/ E

0 i= n

icos(θ

i) − n

tcos(θ

t) / n

icos(θ

i) + n

tcos(θ

t)

t

⊥= E

0 t/ E

0 i= 2n

icos(θ

i) / n

icos(θ

i) + n

tcos(θ

t)

0 0/ , ist iE EAnalogously, the transmission coefficient,

Solving for E0 r

/ E0 i

yields the reflection coefficient :

reacomodando obtenemos:

Resolviendo obtenemos el coeficiente de reflexión:

En forma análoga el coeficiente de transmisión es:

Estas son la llamadas ecuaciones de Fresnelpara luz polarizada perpendicularmente

EcuacionesEcuaciones de de FresnelFresnelCampo Campo elelééctricoctrico paraleloparalelo

x

y

z

Notar que el campo magnético debe hacia la pantalla para lograrque . E B k× ∝

rr r

ni

nt

ikr

rkr

tkr

θi θr

θt

Ei

Bi Er

Br

Et

Bt

InterfaceGeometría de losRayor para luzpolarizada con elcampo eléctrico fiparalelo al planode incidencia

Campo B-entrante en

la página.

CoeficienteCoeficiente de de ReflexiReflexióónn y y TransmisiTransmisióónnparapara E E paraleloparalelo (P) al (P) al planoplano de de incidenciaincidencia

For parallel polarized light, B0i - B0r = B0t

and E0icos(θi) + E0rcos(θr) = E0tcos(θt)

Solving for E0r / E0i yields the reflection coefficient

En forma análoga el coeficiente de transmisiónt|| = E0t / E0i, es:

Estas son las llamadas ecuaciones de Fresnel paraluz polarizada paralelamente.

r

||= E

0r/ E

0 i= n

icos(θ

t) − n

tcos(θ

i) / n

icos(θ

t) + n

tcos(θ

i)

t||

= E0t

/ E0 i

= 2nicos(θ

i) / n

icos(θ

t) + n

tcos(θ

i)

para luz polarizada paralela al PI

y

calculamos y obtenemos el coef de reflexión

CoeficienteCoeficiente de de ReflexiReflexióónn y y TransmisiTransmisióónnparapara unauna interface interface AireAire--VidrioVidrio

naire ≈ 1 < nvidrio ≈ 1.5

Note que:

Hay reflexión total paraθ = 90° para ambaspolarizaciones

Reflexión cero parapolarización paralela en el“ángulo de Brewster”(56.3° para los valores de ni

y nt).

(Para valores difrerentes de los índices de refracción, el ángulo de Brewster serádiferente.)

ángulo de Incidencia, θi

Coe

ficie

nte

de R

efle

xion

, r

1.0

.5

0

-.5

-1.0

r||

r┴┴┴┴

0° 30° 60° 90°

ángulo de Brewster

r||=0!

CoeficienteCoeficiente de de ReflexiReflexióónn parapara la interface la interface VidrioVidrio--AireAire

nvidrio ≈ 1.5 > naire ≈ 1

Note que :

Ocurre refexión totalinterna por encima del

“ángulo crítico "

θcrítico ≡ arcsin(nt /ni)

(el seno en la ley de Snell no puede ser > 1!)

Angulo de incidencia, θi

Coe

ficie

nte

de R

efle

cxió

n,r

1.0

.5

0

-.5

-1.0

r||

r┴┴┴┴

0° 30° 60° 90°

Reflexión

Total interna

Ángulo de Brewster

ÁnguloCrítico

Ángulocrítico

TransmitanciaTransmitancia ((TT))

T ≡ Potencia transmitida / Potencia Incidente

I = nε

0c

0

2

E

0

2

T =n

tcos θ

t( )( )n

icos θ

i( )( )

t

2

At

Ai

=w

t

wi

=cos(θ

t)

cos(θi)

θt

θiwi

wt

ni

nt

=I

tA

t

IiA

i

A = Area

T =I

tA

t

IiA

i

=

nt

ε0c

0

2

E

0t

2

ni

ε0c

0

2

E

0i

2

wt

wi

=

nt

E0t

2

wt

ni

E0i

2

wi

=n

tw

t

niw

i

t2

Si el rayotiene un ancho wi:

Ya que

E0t

2

E0i

2= t

2

⇒ La Transmitancia se llama también Transmisividad.

ReflectanciaReflectancia ((RR))

R ≡≡≡≡ Potencia reflectada/ Potencia incidente

2R r=

=I

rA

r

IiA

i

Dado que el ángulo de incidencia = ángulo de reflexión, el área del rayo no cambia en la reflexión.

También, n es el mismo para ambos rayos ya que están en el mismo medio.

Así:

I = nε

0c

0

2

E

0

2

A = Area

θiwi ni

nt

θr wi

La Reflectancia se llama también Reflectividad.

ReflectanciaReflectancia y y TransmitanciaTransmitancia parapara unaunainterface interface AireAire--VidrioVidrio

Note que R + T = 1

Polarización Perpendicular

Ángulo de Incidencia, θi

1.0

.5

00° 30° 60° 90°

R

T

Polarización Paralela

Ángulo de Incidencia, θi

1.0

.5

00° 30° 60° 90°

R

T

ReflectanciaReflectancia y y TransmitanciaTransmitancia parapara unaunainterface interface VidrioVidrio--AireAire

Note que R + T = 1

Polarización Perpendicular

Ángulo de Incidencia, θi

1.0

.5

00° 30° 60° 90°

R

T

Polarización Paralela

Ángulo de Incidencia, θi

1.0

.5

00° 30° 60° 90°

R

T

ReflexiReflexióónn con con incidenciaincidencia normalnormal

Cuando θi = 0,

y

Para una interfaz aire-vidrio (ni = 1 y nt = 1.5),

R = 4% and T = 96%

Los valores son los mismos,independientemente de la dirección en que viaje la luz, del aire al vidrio o viceversa.

R= 4% tiene implicaciones para los lentes fotográficos.

R =n

t− n

i

nt+ n

i

2

T =4 n

tn

i

nt+ n

i( )2

CambioCambio de de fasefase parapara la la ReflexiReflexióónn de de luzluzpolarizadapolarizada perpendicularmenteperpendicularmente

Entonces habrá interferencia destructiva entre el rayo incidentey el reflejado.

De la misma forma, si ni > nt (vidrio - aire), r⊥ > 0, la interferenciaserá constructiva.

r⊥

= E0r

/ E0i

=

nicos(θ

i) − n

tcos(θ

t)

nicos(θ

i) + n

tcos(θ

t)

When θi= 0, r =

ni− n

t

ni+ n

t

If ni< n

t air to glass( ), r < 0

ni

nt

ikr

rkr

tkr

θi θr

θt

Ei

Bi

Er

Br

Et

Bt

InterfaceCuando

Aire-vidrioSi

CambioCambio de de fasefase parapara la la ReflexiReflexióónn de de luzluzpolarizadapolarizada perpendicularmenteperpendicularmente

Esto significa que habrá interferencia destructiva con el rayoincidente.De la misma forma, si ni > nt (vidrio - aire), r|| > 0, habráinterferencia constructiva.

r = E0r

/ E0i

=

n

icos(θ

t) − n

tcos(θ

i)

nicos(θ

t) + n

tcos(θ

i)

When θi

= 0, r =n

i− n

t

ni+ n

t

If ni

< nt (air to glass), r < 0

ni

nt

ikr

rkr

tkr

θi θr

θt

EiBi Er

Br

EtBt

InterfaceCuando

Aire-vidrioSi

GrGrááficasficas del del cambiocambio de de fasefase parapara la la reflexireflexióónn reflection (reflection (aireaire -- vidriovidrio))

ni< n

t

180° para todoslos ángulos

180° para ángulosmenores al ángulo deBrewster';0° para ángulosmayores

0° 30° 60° 90°Áng de incidencia

0° 30° 60° 90°Áng de incidencia

π

0

π

0

┴┴┴┴

||

GrGrááficasficas del del cambiocambio de de fasefase parapara la la reflexireflexióónn reflection reflection (vidrio - aire)

nt< n

i

Cambia la fase porencima del ángulocrítico

180° para ángulospor debajo de angde Brewster;0° para valoresmayores

0° 30° 60° 90°Áng de incidencia

0° 30° 60° 90°Áng de incidencia

π

0

π

0

┴┴┴┴

||

ReflexiReflexióónn Total Total InternaInterna (RIT) (RIT) ocurreocurre cuandocuando sin(sin(θθθθθθθθtt) > 1, y ) > 1, y no hay no hay hazhaz transmitidotransmitido

Note que la irradiancia del haz transmitido tiende a cero ( occurreRIT) as it grazes the surface.

RIT tiene 100% de eficiencia, esto es, toda la luz es refejada.

Ángulo de Brewster

Reflexión Total interrna

Las Fibras Opticas usan la RIT para transmitir luz a largasdistancias.

FibrasFibras OpticasOpticas

Cada vez juegan un rol mas importante en nuestras vidas

Core: Vidrio fino que senecuentra en el centro de la fibra por el quese conduce la luz

Cladding: rodea el core y refleja la luz nuevamente hacia el core

Buffer coating: Film protector plástico

Estructura de las fibras ópticas

ncore > nclad

PropagaciPropagacióónn de la de la luzluz en en unauna fibrafibra óópticaptica

Alguna señales se degradan debido a imperfecciones en el vidrio utilizadoen la contrucción de la fibra. Las mejores fibras ópticas mustran muy pocapérdida – menos de 10%/km en 1,550 nm.

La luz viaja a través del core rebotando entre las paredesreflectantes. Esto le permiteviajar a la luz grandesdistancias sin pérdidas en la señal.

ReflexiReflexióónn Total Total InternaInterna FrustradaFrustrada (RITF)(RITF)

Colocando una superfice en contacto con la superfice en la queocurre RIT, la reflection total interna puede ser “frustrada.”

Cuán cerca deben estar las superficies para que ocurra RITF?

Este efecto provee evidencia acerca de los “campos evanescentes”

nn

nn

Reflexión total interna Reflexión total interna frustadan=1 n=1

El vector de El vector de ondaonda k de la k de la ondaonda evanescenteevanescente

El vector de onda k de la ondaevanescente tiene componentes x e y :

Paralelo a la superficie: ktx = k sin(θt)

Perpendicular a ésta: kty = k cos(θt)

Usando la ley de Snell, sin(θt) = (ni /nt) sin(θi), así ktx tiene sentido.

y nuevamente: cos(θt) = [1 – sin2(θt)]1/2 = [1 – (ni /nt)

2 sin2(θi)]1/2

= ± iβ

Despreciando la solución sin sentido físico -iβ, obtenemos:

Et(x,y,t) = E0 exp[–kβ y] exp i [ k (ni /nt) sin(θi) x – ω t ]

La onda evanescente decae exponencialmente en la direccióntransversal.

ni

nt

ikr

rkrθi

θt

x

y

tkr