I – ECUACIONES DE FLUJO EN EL MEDIO POROSO. Para calcular la caída de presión que ocurre en el yacimiento se requiere de alguna ecuación que exprese las pérdidas de energía o presión debidas a las fuerzas viscosas o de fricción como función de la velocidad o del caudal de flujo. En 1.856 Henry Darcy propuso una ecuación, discutida ampliamente por M. Muskat(1), que relaciona la velocidad aparente del fluído con la caída de presión a través de su sistema experimental, el cual consistió en capas de arena entubadas y completamente saturadas con agua, único fluido utilizado en el experimento; por lo tanto, no existen efectos de saturaciones ni propiedades de fluidos. Además, el área normal a la dirección del flujo fue mantenida constante durante toda la fase experimental, de manera que la ecuación resultante tampoco considera cambios de la velocidad del fluido a través del empaque. Esta ecuación, dada en forma diferencial, es:

Ec. 1

o, en término de tasa volumétrica de flujo

Ec. 2

Flujo Lineal

Ec. 3ó

Ec. 4

Donde C es un factor de conversión. El valor de C es 1.0 para unidades de Darcy y 1.127x10-3 para unidades de campo. Ver tabla 1.1.

En la ec. 3 se puede observar que un gráfico de P vs. L produciría una línea recta de pendiente − q μ B / k A. Esto es, la presión varía linealmente con la distancia.

Si el fluido es gas, entonces la tasa de flujo varía con la presión. Usando el hecho de que la tasa de flujo de la masa, ρq, debe ser constante y expresando la densidad como función de presión, temperatura y gravedad específica del gas, la ec. 1.4 se transforma en:

Ec. 5

En condiciones de altas velocidades de flujo ocurre normalmente el fenómeno de turbulencia. En estos casos no existe flujo tipo Darcy, las ecuaciones 1.4 y 1.5 deben ser corregidas para tomar en cuenta el efecto de la turbulencia, resultando las siguientes ecuaciones:

Para el petróleo

Ec. 6

Donde:

Para el Gas:

Ec. 7

Donde:

Valores estimados del coeficiente de velocidad, β, pueden ser obtenidos mediante las siguientes ecuaciones empíricas:

Ec. 8

Flujo Radial:

La Ley de Darcy puede ser usada para calcular el flujo hacia un pozo, donde los fluidos convergen radialmente. En este caso, el área abierta al flujo no es constante y, por lo tanto, debe ser incluida en la integración de la ec. 1.2. El área abierta al flujo para cualquier radio es A = h k π 2 (ver fig. 1.2 ). Así, la ec. 1.2 se transforma en:

Ec. 9

Cuando se aplica la ley de Darcy para flujo de petróleo en un yacimiento, se supone que este fluído es ligeramente compresible. Los pequeños cambios de la tasa de flujo con presión son manejados con el factor volumétrico del petróleo, Bo, de manera que la tasa de

flujo puede ser expresada a condiciones de superficie. Entonces, la ec. 1.9 se puede expresar como:

Ec. 10

Ó

Ec. 11 Considerando espesor h constante.

Integrando en función de la presión

Ec. 12

Donde:

La ecuación 1.12 es aplicable para flujo laminar continuo (Pe = Constante) con el pozo ubicado en el centro de un área de drenaje circular. Es más usual la expresión en función de la presión promedio del yacimiento, R P , para condiciones de flujo pseudocontinuo ó estabilizado ( Constante P R −P wf = constante ), la cual es:

Ec. 13

Integrando a un radio arbitrario.

Ec. 14

Esta pendiente variará cada vez que las condiciones de flujo sean alteradas. Es decir, sí alguno de los factores del lado derecho de la ec. 1.15 es alterado; por ejemplo, la tasa de producción, la pendiente tendrá un valor diferente. En la fig. 1.3 se muestra un ejemplo ilustrativo de la distribución de presiones en un yacimiento para diferentes condiciones de flujo.

Para gas.

Integrando la Ec.9

Ec. 15

Ec. 16

Como diferencia de presión en función al radio

Ec. 17

Como integración con T y Espesor conatante

Ec. 18

Cuya solución, suponiendo que la función de presión f (P) = k g /Z μ g puede ser evaluada a la presión promedio en el volumen de drenaje del pozo y por lo tanto manejada como constante, será:

Ec. 19

Modificando esta ecuación para flujo estabilizado y reemplazando las variables Psc y Tsc (presión y temperatura a condiciones normales) por sus valores correspondientes de 14.7 lpca y 520 °R, la ecuación resultante para la tasa de flujo de gas, expresada en unidades de campo, será:

Ec. 20

Integrando la Ec. 19 en cualquier radio arbitrario y el limite exterior del área de drenaje:

Ec. 21

RESTRICCION DEL FLUJO Y CONCEPTO DE DAÑO.

La ec. 1.14 para flujo de petróleo en condiciones de flujo pseudo-contínuo puede ser expresada en términos de distribución radial de presiones de un pozo petrolífero drenando de un yacimiento infinito en condiciones ideales, como:

Ec.22

La figura 1.4 muestra un esquema de cómo es la distribución de presiones en un pozo real en comparación con un pozo ideal. La diferencia entre las presiones ideal y real, Pwf* - Pwf, representa las pérdidas adicionales debidas a la alteración de la permeabilidad y al efecto de turbulencia en la vecindad del pozo.

Usualmente, esta diferencia es expresada como ΔPs, o pérdidas de presión por efectos de daño. Aquí cabe introducir el término de factor de daño, S, proporcional a ΔPs, el cual es definido como:

Ec. 23

Ó

Ec. 24

Combinando las ecuaciones 1.22 y 1.24 para expresar la caída de presión real en términos del factor de daño, resulta:

Ec. 25

Para gas

Ec. 26

El factor de daño da una indicación del carácter del flujo en las vecindades del pozo, con relación a un pozo ideal. Cuando es positivo indica daño o restricción al flujo. Si es negativo indica estimulación o mejoramiento de las condiciones de flujo. En algunos casos el efecto de daño o estimulación es expresado en términos de eficiencia de flujo (Ef), definido como la relación entre la tasa de flujo real y la tasa de flujo ideal para un determinado diferencial de presión, esto es:

Ec. 27 ó Ec. 28

En términos de factor de daño

Ec. 29

Generalmente, el término ln (r e /r w) está dentro del rango 6.5 – 8.5. Usando un promedio de ln (r e /r w) −0.75= 7.0, la expresión anterior se puede aproximar como: