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PARA PRACTICAR
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Universidad la República
Matemáticas 1º año Prof.: Jim Molina Garcés - [email protected]
1
Guía Ecuación de la Recta.
APRENDIZAJES ESPERADOS:
1) Iden t ifica n e in terp reta n los pa rá m etros de pen d ien te e in tercep to con el eje de orden a da s ta n to en la form a y= m x + n com o en a x + by + c=0 de la ecu a ción de la recta . Recon ocen es tos pa rá m etros en la s res pect iva s graficas.
CONTENIDOS MINIMOS OBLIGATORIOS:
1) Ecuación De la Recta. 2) In terp reta ción de la pen d ien te y del in tercep to con el eje de la s
ordenadas.
________________________________________________________________
Representación gráfica de la línea recta
En toda igualdad de la forma ax + by = c , donde a,b,c R, representa u n a ecu a ción lin ea l con dos in cógn ita s , la s s olu cion es s on pa res orden a dos de la forma
(x, y). Es te pa r orden a do (x, y) corres pon de a u n pu n to del p la n o cartesiano.
Ejemplo Nº1 : la ecuación L: x + y = 4
Tabla de valores Gráfico
X Y (x, y) 2 2 (2, 2) 1 3 (1, 3) 0 4 (0, 4) -1 5 (-1, 5)
1
-1
1
-1
2
2
3
3
4
4
5
L
x
y
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Observaciones:
A toda ecu a ción lin ea l (de p r im er gra do) con dos in cógn ita s le corres pon de gráficamente una recta.
Ca da pa r orden a do de n ú m eros (x, y) cor res pon de a la s coorden a da s de u n punto que es solución de la ecuación dada, es decir satisface esta ecuación.
Los pu n tos qu e ca da pa r orden a do rep res en ta per ten ecen a la recta correspondiente.
¿Pero como podemos Graficar rectas en el plano?
Para representar gráficamente esta recta en el plano debemos dar otra forma a la ecuación, una forma que sea más manejable,
Vamos a transformar la ecuación general de la recta x + by + c =0 a la forma y = m x + n form a p r in cipa l de la ecu a ción , don de m s e lla m a pen d ien te de la recta y n es el in tercep to con el eje de la s orden a da s ta m bién lla m a do coeficien te de pos ición de la recta y es el pu n to don de la recta cor ta a l eje y (eje de las ordenadas).
Ejemplo Nº2 : Sea L2 una recta en el plano cuya ecuación es: 2x 3y = 12 Des pejem os y en la ecu a ción , pa ra da r le la form a p r in cipa l.
Ecuación 2x 3y = 12 Des pejem os y en fu n ción de x
- 3y = -2x + 12 Divida m os por - 3 pa ra qu e y tenga coeficiente 1
3
3Y =
3
2x +
3
12
Al simplificar queda: Y =
3
2x - 4
Por lo tanto m=
3
2 n= -4
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3
La recta de ecu a ción 2x
3y = 12 t ien e pen d ien te 3
2 ( pen d ien te pos it iva ) y
atraviesa al eje y en el punto (0, -4) Hagamos la tabla de valores correspondiente a esta ecuación:
X Y =
3
2x - 4
(x, y)
2 Y=
3
22 -4 =
3
4-4 = -
3
8 (2, -
3
8)
1 Y=
3
21 -4 =
3
2 - 4 = -
3
10
(1, 3
10)
0 Y=
3
20 4 = -4
(0, -4)
-1 Y=
3
2-1 -4 = -
3
2 - 4 = -
3
14
(-1, -3
14)
Es decir , fíja te la recta cor ta a l eje y en el pu n to (0 ,-4 y t ien e pen d ien te positiva.
Importante
Toda ecuación general de la recta se puede escribir en la forma y= mx + n Lla m a da form a p r in cipa l de la recta don de m es la pen d ien te de la recta ( á n gu lo de in clin a ción de la recta res pecto el eje x) y n es el in tercep to con ele eje y eje de las ordenadas ( punto donde la recta corta al eje y)
x
x
y
6
-4
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4
Ejem plo Nº3 Si ten em os la ecu a ción de la recta 3x + y = 7 t ra n s form em os esta a la forma principal:
Ecuación 3x + y = 7 Des pejem os y
y = - 3x + 7
Donde m= - 3 n = 7
La recta t ien e pen d ien te a h ora n ega t iva y pa s a por el pu n to (0 ,7). Gra fiqu em os la ecu a ción pa ra ello h a y qu e h a cer la ta b la de va lores correspondiente:
X Y = -3 x + 7 (x , y) 2 Y = -3 2 + 7 = -6 + 7 =
1 ( 2 , 1)
1 Y= -3 1 + 7 = -3 + 7 = 4
(-3 ,16 )
0 Y = -3 0 + 7 = 0 + 7 = 7
( 0 , 7)
Ahora represente en el plano los puntos encontrados:
Te da s cu en ta qu e la or ien ta ción de la recta depende de la pendiente.
S i la pen d ien te es pos it iva , la recta form a u n ángulo agudo ( -90º) con el eje x
S i la pen d ien te es n ega t iva la recta form a u n á n gu lo ob tu s o con el eje x (á n gu lo de m á s de 90 º con el eje x.)
n es el in tercep to con el eje y o coeficien te de pos ición va le 7 , es decir cor ta en 7 pos it ivo a l eje y en el punto (0,7)
x
y
y=-3x +7
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Ejemplo Nº 4: Grafica la recta de ecuación General 2x + 4y 8 =0
Transforma la ecuación general a la forma principal Ecuación 2x + 4y -8 = 0
Haz la tabla de valores: X Y = (x , y) 2
1
0
Ah ora tú Gra fica en tu cu a dern o la ecu a ción dada: x
y
1
2
3
1
1
2
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x1 x2
y1
y2
L
x2
x1
y 2
y 1
x
y
PENDIENTE DE UNA RECTA
Lla m a m os Pen d ien te m de u n a recta a de u n a recta a l gra do de in clin a ción qu e t ien e la recta res pecto del eje de la s a bscisas (eje x)
x - x y - y
m12
12
INTERCEPTO CON ELE EJ E DE ORDENADAS O EJ E y
EL COEFICIENTE DE POSICIÓN EN UNA RECTA:
s e des ign a por n en la ecu a ción p r in cipa l de la recta y es el pu n to don de la recta cor ta a l eje de la s ordenadas o eje y .
Es decir en la ecuación principal de una recta
y = mx + n
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¿Qué significa gráficamente cada uno de ellos?
Es to s ign ifica : la pen d ien te m es el á n gu lo de in clin a ción de la recta res pecto a l eje x y n es el pu n to don de la recta cor ta a l eje y
Recordemos cómo se encuentra la pendiente y el intercepto con el eje y dada la ecuación de una recta:
Si tenemos La recta L cuya ecuación es 3x 7y = 8 encontremos la pendiente m de la recta así:
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8
La ecuación es: 3x + 7y = 8
Despejem os y en fu n ción de x 7y = -3x + 8 Ahora dividamos por 7
7
7y =
7
3x +
7
8
Entonces nos resulta Y =
7
3x +
7
8
Por lo tanto la pendiente m vale m =
7
3 n=
7
8
Es decir la recta tiene pendiente negativa
E in tercep ta a l eje y en el pu n to ( 0 ,
7
8)
gráficamente queda:
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Ejercicios:
Ah ora h a zlo tú . En cu en tra la pen d ien te y el in tercep to con el eje y en ca da ecuación de la recta dada:
L1 : 5x y = 9 L2: x + 8y = 4 L3 : 3x 6y = 9
¿Cómo podemos encontrar la pendiente de una recta a través de una grafica?
Si tenemos la grafica de una recta y queremos calcular la pendiente, ubica dos puntos del plano que pertenezcan a la recta. Por ejemplo: Tenemos el Gráfico
Los puntos ( 2,2) y (-1,5) pertenecen a la recta
Usaremos la ecuación
x - x y - y
m12
12
donde (x1 , y1) son las coordenadas de uno de los puntos que pertenece a la recta.
( x2 , y2) son las coordenadas del otro punto que pertenece a la recta.
Por lo tanto remplazando tenemos:
Luego la pendiente m es igual a -1
1 -1
1
-1
2
2
3
3
4
4
5
L
x
y
m = 12
12
xx
yy =
21
25 =
3
3 = - 1
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Importante:
Teniendo dos puntos del plano podemos calcular la pendiente de una recta. Para ello usamos la ecuación:
x - x y - y
m12
12
Pa ra en con tra r n es fá cil ba s ta con fijarse dónde la recta intercepta o corta al eje y . En el ca s o a n ter ior n = 4 por ta n to la recta in tercep ta a l eje y en el pu n to ( 0,4)
Pero en el caso anterior encontramos sólo m y n
y ¿cómo encontramos la ecuación de la recta?.
Usemos m y n para formar la ecuación
Recuerda la forma de la ecuación principal de la recta es:
y = m x + n y = - 1 x + 4 y = - x + 4
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Veamos otro ejemplo:
Ejemplo: Forma la ecuación de la recta que pasa por el punto (7,3) y corta al eje y en el punto (0,6)
Usaremos estos dos puntos para encontrar la pendiente:
( x1, y1) = ( 7,3)
( x2, y2) = ( 0,6)
Encontremos m = 12
12
xx
yy=
70
36=
7
3 = -
7
3
n= 6 Por lo tanto la ecuación es y = -7
3x + 6
y = -7
3x + 6
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