Ecuacion de La Recta

Universidad la República

Matemáticas 1º año Prof.: Jim Molina Garcés - [email protected]

1

Guía Ecuación de la Recta.

APRENDIZAJES ESPERADOS:

1) Iden t ifica n e in terp reta n los pa rá m etros de pen d ien te e in tercep to con el eje de orden a da s ta n to en la form a y= m x + n com o en a x + by + c=0 de la ecu a ción de la recta . Recon ocen es tos pa rá m etros en la s res pect iva s graficas.

CONTENIDOS MINIMOS OBLIGATORIOS:

1) Ecuación De la Recta. 2) In terp reta ción de la pen d ien te y del in tercep to con el eje de la s

ordenadas.

________________________________________________________________

Representación gráfica de la línea recta

En toda igualdad de la forma ax + by = c , donde a,b,c R, representa u n a ecu a ción lin ea l con dos in cógn ita s , la s s olu cion es s on pa res orden a dos de la forma

(x, y). Es te pa r orden a do (x, y) corres pon de a u n pu n to del p la n o cartesiano.

Ejemplo Nº1 : la ecuación L: x + y = 4

Tabla de valores Gráfico

X Y (x, y) 2 2 (2, 2) 1 3 (1, 3) 0 4 (0, 4) -1 5 (-1, 5)

1

-1

1

-1

2

2

3

3

4

4

5

L

x

y



2

Observaciones:

A toda ecu a ción lin ea l (de p r im er gra do) con dos in cógn ita s le corres pon de gráficamente una recta.

Ca da pa r orden a do de n ú m eros (x, y) cor res pon de a la s coorden a da s de u n punto que es solución de la ecuación dada, es decir satisface esta ecuación.

Los pu n tos qu e ca da pa r orden a do rep res en ta per ten ecen a la recta correspondiente.

¿Pero como podemos Graficar rectas en el plano?

Para representar gráficamente esta recta en el plano debemos dar otra forma a la ecuación, una forma que sea más manejable,

Vamos a transformar la ecuación general de la recta x + by + c =0 a la forma y = m x + n form a p r in cipa l de la ecu a ción , don de m s e lla m a pen d ien te de la recta y n es el in tercep to con el eje de la s orden a da s ta m bién lla m a do coeficien te de pos ición de la recta y es el pu n to don de la recta cor ta a l eje y (eje de las ordenadas).

Ejemplo Nº2 : Sea L2 una recta en el plano cuya ecuación es: 2x 3y = 12 Des pejem os y en la ecu a ción , pa ra da r le la form a p r in cipa l.

Ecuación 2x 3y = 12 Des pejem os y en fu n ción de x

- 3y = -2x + 12 Divida m os por - 3 pa ra qu e y tenga coeficiente 1

3

3Y =

3

2x +

3

12

Al simplificar queda: Y =

3

2x - 4

Por lo tanto m=

3

2 n= -4



3

La recta de ecu a ción 2x

3y = 12 t ien e pen d ien te 3

2 ( pen d ien te pos it iva ) y

atraviesa al eje y en el punto (0, -4) Hagamos la tabla de valores correspondiente a esta ecuación:

X Y =

3

2x - 4

(x, y)

2 Y=

3

22 -4 =

3

4-4 = -

3

8 (2, -

3

8)

1 Y=

3

21 -4 =

3

2 - 4 = -

3

10

(1, 3

10)

0 Y=

3

20 4 = -4

(0, -4)

-1 Y=

3

2-1 -4 = -

3

2 - 4 = -

3

14

(-1, -3

14)

Es decir , fíja te la recta cor ta a l eje y en el pu n to (0 ,-4 y t ien e pen d ien te positiva.

Importante

Toda ecuación general de la recta se puede escribir en la forma y= mx + n Lla m a da form a p r in cipa l de la recta don de m es la pen d ien te de la recta ( á n gu lo de in clin a ción de la recta res pecto el eje x) y n es el in tercep to con ele eje y eje de las ordenadas ( punto donde la recta corta al eje y)

x

x

y

6

-4



4

Ejem plo Nº3 Si ten em os la ecu a ción de la recta 3x + y = 7 t ra n s form em os esta a la forma principal:

Ecuación 3x + y = 7 Des pejem os y

y = - 3x + 7

Donde m= - 3 n = 7

La recta t ien e pen d ien te a h ora n ega t iva y pa s a por el pu n to (0 ,7). Gra fiqu em os la ecu a ción pa ra ello h a y qu e h a cer la ta b la de va lores correspondiente:

X Y = -3 x + 7 (x , y) 2 Y = -3 2 + 7 = -6 + 7 =

1 ( 2 , 1)

1 Y= -3 1 + 7 = -3 + 7 = 4

(-3 ,16 )

0 Y = -3 0 + 7 = 0 + 7 = 7

( 0 , 7)

Ahora represente en el plano los puntos encontrados:

Te da s cu en ta qu e la or ien ta ción de la recta depende de la pendiente.

S i la pen d ien te es pos it iva , la recta form a u n ángulo agudo ( -90º) con el eje x

S i la pen d ien te es n ega t iva la recta form a u n á n gu lo ob tu s o con el eje x (á n gu lo de m á s de 90 º con el eje x.)

n es el in tercep to con el eje y o coeficien te de pos ición va le 7 , es decir cor ta en 7 pos it ivo a l eje y en el punto (0,7)

x

y

y=-3x +7



5

Ejemplo Nº 4: Grafica la recta de ecuación General 2x + 4y 8 =0

Transforma la ecuación general a la forma principal Ecuación 2x + 4y -8 = 0

Haz la tabla de valores: X Y = (x , y) 2

1

0

Ah ora tú Gra fica en tu cu a dern o la ecu a ción dada: x

y

1

2

3

1

1

2



6

x1 x2

y1

y2

L

x2

x1

y 2

y 1

x

y

PENDIENTE DE UNA RECTA

Lla m a m os Pen d ien te m de u n a recta a de u n a recta a l gra do de in clin a ción qu e t ien e la recta res pecto del eje de la s a bscisas (eje x)

x - x y - y

m12

12

INTERCEPTO CON ELE EJ E DE ORDENADAS O EJ E y

EL COEFICIENTE DE POSICIÓN EN UNA RECTA:

s e des ign a por n en la ecu a ción p r in cipa l de la recta y es el pu n to don de la recta cor ta a l eje de la s ordenadas o eje y .

Es decir en la ecuación principal de una recta

y = mx + n



7

¿Qué significa gráficamente cada uno de ellos?

Es to s ign ifica : la pen d ien te m es el á n gu lo de in clin a ción de la recta res pecto a l eje x y n es el pu n to don de la recta cor ta a l eje y

Recordemos cómo se encuentra la pendiente y el intercepto con el eje y dada la ecuación de una recta:

Si tenemos La recta L cuya ecuación es 3x 7y = 8 encontremos la pendiente m de la recta así:



8

La ecuación es: 3x + 7y = 8

Despejem os y en fu n ción de x 7y = -3x + 8 Ahora dividamos por 7

7

7y =

7

3x +

7

8

Entonces nos resulta Y =

7

3x +

7

8

Por lo tanto la pendiente m vale m =

7

3 n=

7

8

Es decir la recta tiene pendiente negativa

E in tercep ta a l eje y en el pu n to ( 0 ,

7

8)

gráficamente queda:



9

Ejercicios:

Ah ora h a zlo tú . En cu en tra la pen d ien te y el in tercep to con el eje y en ca da ecuación de la recta dada:

L1 : 5x y = 9 L2: x + 8y = 4 L3 : 3x 6y = 9

¿Cómo podemos encontrar la pendiente de una recta a través de una grafica?

Si tenemos la grafica de una recta y queremos calcular la pendiente, ubica dos puntos del plano que pertenezcan a la recta. Por ejemplo: Tenemos el Gráfico

Los puntos ( 2,2) y (-1,5) pertenecen a la recta

Usaremos la ecuación

x - x y - y

m12

12

donde (x1 , y1) son las coordenadas de uno de los puntos que pertenece a la recta.

( x2 , y2) son las coordenadas del otro punto que pertenece a la recta.

Por lo tanto remplazando tenemos:

Luego la pendiente m es igual a -1

1 -1

1

-1

2

2

3

3

4

4

5

L

x

y

m = 12

12

xx

yy =

21

25 =

3

3 = - 1



10

Importante:

Teniendo dos puntos del plano podemos calcular la pendiente de una recta. Para ello usamos la ecuación:

x - x y - y

m12

12

Pa ra en con tra r n es fá cil ba s ta con fijarse dónde la recta intercepta o corta al eje y . En el ca s o a n ter ior n = 4 por ta n to la recta in tercep ta a l eje y en el pu n to ( 0,4)

Pero en el caso anterior encontramos sólo m y n

y ¿cómo encontramos la ecuación de la recta?.

Usemos m y n para formar la ecuación

Recuerda la forma de la ecuación principal de la recta es:

y = m x + n y = - 1 x + 4 y = - x + 4



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Veamos otro ejemplo:

Ejemplo: Forma la ecuación de la recta que pasa por el punto (7,3) y corta al eje y en el punto (0,6)

Usaremos estos dos puntos para encontrar la pendiente:

( x1, y1) = ( 7,3)

( x2, y2) = ( 0,6)

Encontremos m = 12

12

xx

yy=

70

36=

7

3 = -

7

3

n= 6 Por lo tanto la ecuación es y = -7

3x + 6

y = -7

3x + 6

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