Écoulement saturé et non saturé de l’eau souterraine vers des drains en aquifère à nappe libre

Ecoulement sature et non sature de l’eausouterraine vers des drains en aquifere a nappelibre

Robert P. Chapuis et Adrienne Denes

Resume : Le drainage des terrains de sport, chaussees, terres agricoles et couvertures sur dechets correspond au drainaged’un aquifere mince a nappe libre sur un substratum impermeable horizontal ou incline. L’ecoulement, en partie sature eten partie non sature, est donc decrit par des equations non lineaires difficiles a resoudre. Il existe quelques solutions analy-tiques, obtenues suite a plusieurs hypotheses simplificatrices. Ces solutions sont-elles realistes? Dans cet article, nous com-parons les predictions de solutions analytiques et de resolutions numeriques (pour des ecoulements satures et non satures)en regimes permanent et transitoire. Les solutions analytiques predisent une surface libre et des debits qui sont tres diffe-rents de ceux des resolutions numeriques, et parfois irrealistes. Des corrections aux solutions analytiques ont deja ete pro-posees pour tenir compte de la zone vadose. Malgre ces corrections, les solutions publiees sur les problemes de drainagepeuvent etre imprecises. Dans les projets d’ingenierie ou la duree du drainage peut etre critique pour l’echeancier de cons-truction, il est recommande d’eviter les solutions analytiques et d’utiliser des codes numeriques qui resolvent les equationsdifferentielles completes en tenant compte des courbes caracteristiques completes du sol pour la conductivite hydrauliqueet la retention capillaire, lesquelles peuvent etre obtenues a l’aide d’essais de permeabilite et de retention capillaire.

Mots-cles : drainage, retention capillaire, conductivite hydraulique, porosite efficace, essai de permeabilite, sol.

Abstract: The drainage of sports fields, highways, farm lands, and covers for wastes corresponds to the drainage of a shal-low unconfined aquifer resting on a horizontal or sloping impervious substratum. The seepage, partly saturated and partlyunsaturated, is thus described by nonlinear equations that are not easy to solve. A few analytical solutions exist; they wereobtained after several simplifying assumptions. Are they realistic? In this paper, comparisons are made between predictionsfrom analytical solutions and those from numerical resolutions (for saturated and unsaturated seepage) under steady andtransient states. The analytical solutions predict a water table and flow rates that differ significantly from those of the nu-merical resolutions, and are sometimes unrealistic. Corrections to the analytical solutions have already been proposed toaccount for the vadose zone. Despite such corrections, the published solutions to drainage problems may be inaccurate. Inengineering projects where the duration of drainage may be critical for the construction schedule, it is recommended toavoid the analytical equations and to use numerical codes that solve the complete differential equations by taking into ac-count the complete soil characteristic curves for hydraulic conductivity and capillary retention, which can be obtained us-ing permeability tests and capillary-retention tests.

Key words: drainage, capillary retention, hydraulic conductivity, specific yield, permeability test, soil.

Introduction

Il existe plusieurs equations pour predire le mouvementde l’eau souterraine vers des drains dans des aquiferes anappe libre (p. ex., Luthin 1978; Ritzema 1994; Skaggs etvan Schilfgaarde 1999). Elles ont ete developpees essentiel-lement a des fins agricoles. Pour les ingenieurs civils, ellespeuvent servir a concevoir les systemes de drainage des rou-tes, terrains de sport et couvertures multicouches de sites destockage de dechets. Elles resultent d’une equation differen-

tielle simplifiee qui reduit la fonction de conductivite hy-draulique (k) a sa valeur saturee (ksat), et qui ignore doncl’ecoulement non sature. De plus, elles schematisent le drai-nage non sature de facon irrealiste, par une porosite de drai-nage constante, avec l’hypothese que l’eau gravitaire dans lazone qui se desature est relachee instantanement lors del’abaissement de la surface libre. Ces equations simplistesont ete proposees parce que les equations differentielles de-crivant l’ecoulement en conditions non saturees sont forte-ment non lineaires et ne peuvent pas etre resoluesanalytiquement; elles doivent donc etre resolues numerique-ment. Depuis plusieurs annees il existe, sur le marche,d’excellents codes numeriques pour etudier les ecoulementsa la fois satures et non satures (ex., Chapuis et al. 2001).Ces codes etant disponibles, tout ingenieur civil charge deconcevoir un systeme de drainage doit, avant d’engager saresponsabilite professionnelle, examiner s’il existe des diffe-rences majeures entre les predictions des equations analyti-ques simplifiees et celles des codes numeriques. Il doitdeterminer les consequences pour l’operation du systeme de

Recu le 27 septembre 2006. Accepte le 24 septembre 2007.Publie sur le site Web des Presses scientifiques du CNRC, aurcg.cnrc.ca, le 12 aout 2008.

R.P. Chapuis.1 Ecole Polytechnique de Montreal, Departementdes genies civil, geologique et des mines, C.P. 6079, succursaleCentre-ville, Montreal, QC H3C 3A7, Canada.A. Denes. SNC–Lavalin, 455, rue Rene-Levesque Ouest,Montreal, QC H2Z 1Z3, Canada.

1. Auteur correspondant (courriel : [email protected]).

1210

Rev. can. geotech. 45 : 1210–1223 (2008) doi:10.1139/T07-094 # 2008 CNRC Canada

drainage, et les risques de delais pour l’echeancier de cons-truction.

Dans cet article, nous verifions comment plusieurs solu-tions analytiques predisent, en probleme direct, les condi-tions de drainage dans l’espace et le temps (debit, positionde la surface libre). Nous verifions aussi la capacite de cesequations, en probleme inverse, pour estimer les proprieteshydrauliques du sol. Les predictions des solutions analyti-ques obtenues suite a la simplification des equations diffe-rentielles exactes sont comparees aux predictions d’un codenumerique qui resout entierement les equations differentiel-les de Richards (1931), pour l’ecoulement sature et non sa-ture, en tenant compte des expressions fortement nonlineaires de la fonction k et de la fonction q de teneur eneau volumique en fonction de la pression d’eau interstitielle(uw). Pour faire les comparaisons, nous utilisons trois en-sembles de fonctions numeriques pour k et q. Le premier en-semble reflete les proprietes irrealistes supposees pourobtenir les solutions analytiques. Le deuxieme simule desproprietes plus realistes ou les fonctions sont formees desegments lineaires. Le troisieme simule de facon realiste lesproprietes hydriques d’un sol.

Description des problemes de drainageexamines

Nous commencons par un rappel des solutions classiquesde drainage en regime permanent pour des aquiferes a nappelibre avec substratum horizontal (ex., fig. 1) ainsi que des so-lutions recentes de Chapuis (2002, 2006) pour le substratumincline. Nous rappelons ensuite les solutions classiques enregime transitoire. Des predictions des solutions analytiques(qui ont ete obtenues suite a des d’hypotheses simplificatri-ces) sont comparees aux predictions de resolutions numeri-ques. Puis nous examinons comment s’abaisse la surfacelibre en fonction du temps, entre deux drains paralleles,dans un aquifere a substratum horizontal, en l’absence de re-charge par infiltration, un probleme resolu par Boussinesq(1904). Nous considerons ensuite le drainage d’aquiferesdont les drains transversaux, places au niveau d’un substra-tum horizontal, ont un espacement L de 20, 40 ou 60 m,ainsi que le drainage d’aquiferes dont les drains transversauxont un espacement L de 20 m au niveau d’un substratum pre-sentant une pente rectiligne � de 0, 4 ou 8 %. Ces drains ontpleine capacite hydraulique d’evacuation. Nous comparonsd’abord les predictions des solutions analytiques a celles desresolutions numeriques (avec ou sans correction par ajout defrange capillaire) pour le regime permanent, quand la re-charge par infiltration, N (m3 s–1/m2 = m/s), est constante.Nous comparons ensuite les predictions des solutions analy-tiques de Singh et al. (1991), pour leurs trois fonctions N va-riables, a celles des resolutions numeriques pour le drainagetransitoire suite a une periode d’infiltration.

Solutions classiques en regime permanentEn regime permanent, les solutions de drainage partent

des hypotheses de Dupuit (1857, 1863), parfois nommees hy-potheses de Dupuit–Forchheimer (Bear 1972). Les equipo-tentielles sont supposees verticales. La pente de la surfacelibre est supposee donner le gradient hydraulique, lequel estsuppose constant sur toute l’epaisseur saturee. L’ecoulement

non sature est neglige. Avec quelques autres hypotheses, plu-sieurs solutions ont ete proposees pour differentes geome-tries par Polubarinova-Kochina (1962), Schoeller (1962),Bear et al. (1968) et Bear (1972). Seules les solutions debase sont presentees ici.

Substratum horizontal, pas de rechargeSi l’on considere l’ecoulement dans la direction horizon-

tale x (fig. 1), la charge hydraulique (h) est definie par unefonction de l’abscisse x et de l’elevation z, mais d’apres leshypotheses de Dupuit (1863), elle se reduit a une fonctionde x seulement :

½1� hðx; zÞ ¼ hðxÞ

D’apres la premiere hypothese,

½2� gradient ¼ �ðdh=dx; 0; 0Þ

Le debit subhorizontal dans l’aquifere, q par largeur unite,varie avec x selon

½3� qðxÞ ¼ section� VDarcy

ou VDarcy est la vitesse de Darcy. Si le repere d’elevation(c.-a-d., z = 0 m) est le contact avec le substratum imper-meable, la section a considerer dans l’equation 3 vaut nume-riquement (h � 1) m2 alors que

½4� VDarcy ¼ �ksatðdh=dxÞ

ce qui donne

½5� qðxÞ ¼ �ksathðxÞdh

dx

En regime permanent, quand la recharge par infiltration effi-cace est nulle (N = 0), q(x) est constant, et alors, l’equation5 est integree en

½6� h2ðxÞ ¼ Axþ B

ou A et B sont les constantes d’integration. Si les conditionsaux frontieres sont h = h1 en x1 = 0, et h = h2 en x2 = L,alors l’equation 6 devient

½7� h2ðxÞ ¼ h22 � h2

1

� � x

Lþ h2

1

qui est connu sous le nom d’equation de Dupuit (1857).

Substratum horizontal, avec recharge ou evaporationEn regime permanent, quand il y a soit une recharge uni-

forme (N > 0) par infiltration efficace, soit une evapotranspi-ration uniforme (N < 0), le debit q(x) n’est plus constant.L’equation de conservation du volume d’eau a une abscissex s’ecrit alors

½8� � ksathdh

dx¼ Nx

et est integree en

½9� ksath2ðxÞ þ Nx2 ¼ Axþ B

Si les conditions aux frontieres sont h = h1 en x1 = 0, et h =h2 en x2 = L, alors l’equation 9 devient

Chapuis et Denes 1211

# 2008 CNRC Canada

½10� h2ðxÞ ¼ h21 � h2

1 � h22

� � x

Lþ N

ksat

ðL� xÞx

Le debit est alors donne par

½11� qðxÞ ¼ Nxþ q1

ou q1 est le debit a l’abscisse x1 = 0. L’elevation maximale(cas N > 0) ou minimale (cas N < 0) de la surface libre estobtenue quand la derivee premiere de h est nulle. Ceci cor-respond a une abscisse xm telle que

½12� xm ¼L

2�

ksat h21 � h2

2

� �2LN

Substratum incline, pas de rechargeSi le substratum impermeable fait un angle � avec l’axe

horizontal x (fig. 2), et si N = 0, l’equation du debit q(x)constant peut etre etablie (ex., Polubarinova-Kochina 1962)comme suit :

½13� qðxÞ ¼ �ksatðh� x tan�Þðdh=dxÞ

puis reecrite

½14� ðdx=dhÞ þ ðk=qÞ x tan� ¼ ksath=q

et integree en

½15� hðxÞ ¼ x tan�þ Bexp�ksath tan�

q

� �

ou B est la constante d’integration. D’autres equations enfonction de la coordonnee s le long du substratum ont eteproposees par Dupuit (1863) et Pavlovsky (1956).

Substratum incline, avec rechargeLe substratum impermeable fait un angle � avec l’axe ho-

rizontal x (fig. 2), et la recharge N > 0 est constante. Plu-sieurs auteurs ont tente en vain de resoudre le probleme dedrainage pour ce cas, avant que Chapuis (2002) le mette cor-

rectement en equations. La solution analytique peut prendretrois formes differentes selon que la valeur absolue du para-metre adimensionnel suivant,

½16� a ¼ �ðksat=NÞ1=2 tan�

est inferieure, egale ou superieure a 2. Les solutions font in-tervenir les parametres X et Y definis par

½17� X ¼ x

cos�

� � N

ksatcos2�

� �1=2

þ Q0

ðNksatÞ1=2cos2�

et

½18� Y ¼ hðx; zÞ

ou Q0 > 0 est le debit entrant au sommet de la pente en x =0. Pour |a| > 2, la solution est

½19� jY � �Xj� ¼ CjY � �Xj�

avec

½20� �; � ¼ �0;5a� 0;5ða2 � 4Þ1=2

C etant la constante d’integration. Quand |a| = 2, la solutionest

½21� ðX � YÞexp½X=ðX � YÞ� ¼ C

Pour |a| < 2, la solution est

½22� lnjY2 þ aXY þ X2j

� 2a

ð4� a2Þ1=2

� arctan

2Y þ aXXð4� a2Þ1=2

� ¼ C

Si un debit Q0 > 0 entre au sommet de la pente en x = 0(p. ex., canal a charge hydraulique constante), le problemereel est alors equivalent a un probleme mathematique ou laligne de partage des eaux serait au sommet d’une nouvellepente prolongee vers le haut (Chapuis 2002), la projectionhorizontale de cette extension, �x, etant definie par

Fig. 1. Schema du drainage d’un mince aquifere a nappe libre avec substratum horizontal en regime permanent, cas L = 20 m avec rechargeconstante (attention aux distorsions dues aux echelles differentes). uw, pression d’eau interstitielle.

1212 Rev. can. geotech. vol. 45, 2008

# 2008 CNRC Canada

½23� �x ¼ Q0=N

Solutions disponibles en regime transitoire

En regime transitoire, il existe de nombreuses solutionspour le drainage d’un aquifere a nappe libre (p. ex., Aravinet Numerov 1965; Chauhan et al. 1968; Bear et al. 1968;Singh et Jacob 1977; Lesaffre 1987; Ram et Chauhan1987a, 1987b; Rastogi 1989; Singh et al. 1991; Shukla etal. 1999; Bouarfa et Zimmer 2000; Hartani et al. 2001).Pour la plupart, ces solutions utilisent l’approximation ditede Boussinesq (1903), avec une recharge N permanente outransitoire. Toutes sont donc obtenues au prix de diversessimplifications ou approximations. Par consequent, il n’y apas de garantie que ces solutions soient realistes pour la po-sition de la surface libre, le debit aux drains, etc. Dans cetarticle, nous rappelons seulement la solution de base deBoussinesq (1904) pour un substratum horizontal, solutionqui sera utilisee plus loin pour fins de comparaisons.

Solution de Boussinesq pour un abaissement de lasurface libre

En regime transitoire, l’equation de conservation localed’un ecoulement souterrain peut s’ecrire

½24� @

@xkh@h

@x

� �þ @

@zkh@h

@z

� �þ N ¼ @�

@t

ou t est le temps et k est une fonction de q, du degre de sa-turation (Sr) ou de uw.

Dans le cas N = 0 (aucune recharge), Boussinesq (1904) atrouve une solution en supposant, d’une part, que la fonctionfortement non lineaire @�=@t etait egale au produit d’une po-rosite efficace (ne), supposee constante, par @h=@t et, d’autrepart, que la fonction k se reduisait a la valeur constante ksatpour l’ecoulement sature, le debit lateral non sature etantignore. Il a presente la solution sous la forme

½25� hðx; tÞ ¼ XðxÞTðtÞ

et l’a resolue pour le cas de la figure 1, obtenant (ex., Bear1972)

½26� hðx; tÞ ¼ h0ðxÞ1þ ½4�ksatth0ðx ¼ 0;5LÞ=neL2�

avec � � 1;12

ou h0 est la valeur prise par la fonction de h au temps initial(t = 0).

Le debit par longueur unite de drain (pour chaque cote delongueur L/2 de part et d’autre du drain) (Rupp et al. 2004)est

½27� qðtÞ ¼ 0;862ksath20ðx ¼ 0;5LÞ

0;5L½1þ �tð4ksathmax=neL2Þ�2

ou hmax est la valeur maximale de h, egale a l’epaisseur sa-turee maximale dans ce probleme. Selon cette theorie, la va-leur de ksat peut etre obtenue a partir de la position initialede la surface libre, h0(x), alors que la valeur de ne peut etreobtenue a partir d’un graphique de l’abaissement de la sur-face libre, h(x, t) en fonction de t. Il ne faut pas confondreici la porosite efficace, ne, dite aussi porosite de drainage oucoefficient d’emmagasinement, une propriete qui intervientdans les problemes de drainage, avec la porosite effective,laquelle est obtenue par un essai de traceur non reactif.

Les capacites de ces equations analytiques resultant d’hy-potheses tres simplificatrices vont etre verifiees par une me-thode d’elements finis qui ne fait aucune des hypotheses.

Analyse numerique : fonctions k(uw) et q(uw)Les calculs numeriques ont ete realises avec le code

Seep/W, qui a reussi a passer une batterie de tests de verifi-cation (Chapuis et al. 2001). Ce code utilise les fonctionsnon lineaires k(uw) et q(uw), ou q = nSr, n etant la porositetotale. Les equations differentielles completes — l’equationtridimensionnelle de Darcy (Ferrandon 1948) et l’equationde conservation generale telle que presentee par Richards

Fig. 2. Schema du drainage d’un mince aquifere a nappe libre avec substratum incline en regime permanent, cas L = 20 m avec rechargeconstante (attention aux distorsions dues aux echelles differentes). uw, pression d’eau interstitielle.


# 2008 CNRC Canada

(1931) — sont resolues numeriquement sans poser aucunedes hypotheses simplificatrices de Dupuit (1863) ou deBoussinesq (1904). Le code donne a l’utilisateur un choixparmi differentes methodes d’evaluation de k(uw) et q(uw).Dans la presente etude, ce code permet d’evaluer les capaci-tes de differentes solutions analytiques de drainage obtenuessuite a des hypotheses simplificatrices.

Le code numerique resout les equations completes, quisont fortement non lineaires pour l’ecoulement nonsature. En comparaison, les solutions analytiques resultentd’une linearisation des equations differentielles dans lesquel-les ne est supposee constante. Dans le code numerique, quinecessite l’entree d’une courbe complete de retention capil-laire, il faut utiliser une courbe q(uw) tres particuliere pourreussir a modeliser l’hypothese que ne est une constante. Leparametre ne est defini physiquement comme etant le vo-lume d’eau qu’un aquifere a nappe libre gagne ou perd parsurface unite d’aquifere lorsque la charge hydraulique varied’une unite (�h = 1, unite non quantifiee). Mathematique-ment, ne est donc definie par l’equation suivante :

½28� ne½�h; �iðzÞ; �fðz; tÞ� ¼1

�h

Zsurface

substratum

½�iðzÞ � �fðz; tÞ�dz

soit la surface entre la position initiale, qi, et la position fi-nale au temps t, qf, de la courbe q(z, t) de retention d’eau,montrees a la figure 3, divisee par la variation de charge hy-draulique, �h. Tant que le drainage gravitaire n’est pascomplete, ne varie avec le temps t. Contrairement a l’emma-gasinement elastique (S), qui est tres petit et facilement mo-bilise par transfert de contraintes et qui est une constantephysique quand le materiau est suppose avoir un comporte-ment elastique lineaire, ne est grande, lentement mobilisee etn’est pas une constante physique. Quand le lent processus dedrainage est termine (ce qui peut prendre des heures ou desjours), le rapport definissant ne (equation 28) prend une va-leur finale qui depend des deux positions, initiale et finale,

de la courbe de retention d’eau, et de la forme de la fonctionq(uw). Cette valeur finale de ne est une constante egale a(qsat – qr) seulement si qi(z) etait pleinement developpee deqsat (teneur en eau volumique saturee) a qr (teneur en eau vo-lumique residuelle) entre la position initiale de la surface li-bre et la surface du terrain. A la figure 3, si la surface librepasse de z = 0 m a z = –0,4 m, la valeur finale de ne estconstante parce que la courbe qi(z) etait totalement develop-pee entre la position initiale de la surface libre (z = 0 m) etla surface du terrain (a z = 1,5 m). En realite, les sols neces-sitant un drainage ont generalement une surface libre tresproche de la surface du terrain. Leur courbe de retentiond’eau n’est pas totalement developpee, et donc la valeur fi-nale de ne varie avec l’abscisse x en fonction de l’amplitudedu rabattement produit par le drainage.

Les resolutions numeriques de cet article ont utilise troisensembles de fonctions pour k et q, ce qui donne, pourchaque cas traite :

� une resolution numerique imitant les hypotheses simplifi-catrices de la theorie, notee RNT,

� une resolution numerique utilisant une simplification desfonctions, notee RNS, et

� une resolution numerique avec un certain realisme desfonctions, notee RNR.Les trois fonctions q(uw) sont montrees a la figure 4,

avec qsat = 0,40 pour uw ‡ 0,0 kPa. La fonction q(uw) pourRNT correspond a une valeur finale constante de ne (0,05);il s’agit d’une fonction en escalier pour q compris entre 0,40et 0,35 lorsque uw passe de 0,0 a –0,1 kPa, le code nume-rique ne pouvant pas gerer une contremarche verticale. Lafonction q(uw) pour RNS passe de 0,40 a 0,30 lorsque uwpasse de 0 a –9,81 kPa; elle donne une valeur moyenne (fi-nale) ne = 0,05 pour cette gamme de valeurs negatives deuw, qui est la gamme retenue pour les exemples examines.La fonction q(uw) pour RNR a ete definie pour uw comprisentre 0 et –100 kPa, bien que le code n’utilise que la gammede 0 a –9,81 kPa.

Trois fonctions associees k(uw) ont ete utilisees (fig. 5).

Fig. 3. Porosite efficace ou porosite de drainage (ne) d’un aquiferea nappe libre, definie par la surface comprise entre la position ini-tiale (qi) et la position finale au temps t (qf) de la courbe q(z) deretention d’eau divisee par la variation de charge hydraulique.

Fig. 4. Fonctions de retention d’eau q(uw) utilisees en resolutionsnumeriques theorie (RNT), simplification (RNS) et realisme (RNR)pour le drainage d’un mince aquifere a nappe libre.


# 2008 CNRC Canada

Toutes ont une valeur ksat = 5,787 � 10–6 m/s pour uw ‡0,0 kPa. La fonction k(uw) pour RNT chute a 5 �10–8 m/spour uw £ –0,1 kPa. La fonction k(uw) pour RNS varie de5,787 �10–6 a 5 � 10–8 m/s quand uw varie de 0 a –9,81 kPa,et conserve ensuite cette valeur constante. La fonction k(uw)pour RNR a ete obtenue a partir de la fonction q(uw) pourRNR en utilisant la methode de van Genuchten (1980), quiest l’une des methodes disponibles dans le code numerique.

Tous les problemes etudies sont de type bidimensionneldans un plan vertical. Nous avons utilise de petits elements fi-nis de 10 a 20 cm de longueur et de 2 cm de hauteur, sauf aproximite des tuyaux de drainage, ou les elements mesuraientenviron 1 cm sur 1 cm afin de faciliter la convergence nume-rique, laquelle peut etre verifiee par differentes methodes(Chenaf et Chapuis 1999). La moitie inferieure du tuyau etaitenfouie dans le substratum, alors que la partie superieure avaitdes ouvertures permettant la collecte de l’eau. Sur les paroisdu tuyau, les conditions aux frontieres pouvaient evoluer auto-matiquement d’une situation de suintement (h = z ou uw =0,0 kPa) a une condition de debit nul (retention capillaire).

Comparaison des predictions analytiques etnumeriques en regime permanent

Le premier probleme de drainage analyse est celui d’unmince aquifere a nappe libre avec substratum horizontal en-tre deux drains paralleles (fig. 6a). La solution analytique estobtenue a partir des hypotheses de Dupuit : la charge hy-draulique, h, est supposee independante de l’elevation, z,(hypothese des equipotentielles verticales) et l’ecoulementsubhorizontal non sature est neglige. Si ha est la charge hy-draulique aux drains, et L, l’espacement des drains, la chargeh a l’abscisse x est obtenue a partir de l’equation 9 par

½29� h2 ¼ h2a þ

N

ksat

L2

4� x2

� �

Cette equation d’ellipse est connue sous le nom d’equation

de Hooghoudt (1940). Le debit evacue par chaque drain estq = NL par longueur unite de drain (chaque drain collectel’eau de x = –L/2 a x = +L/2).

Les predictions de la solution analytique et des resolutionsnumeriques sont comparees au tableau 1 pour un aquifere de1 m d’epaisseur et des valeurs de L (20, 40 et 60 m) cou-vrant la gamme usuelle (Ritzema 1994).

Nous presentons d’abord une comparaison directe entreles predictions de la solution analytique et celles des resolu-tions numeriques, puis une seconde comparaison dans la-quelle des predictions numeriques ont ete modifiees pouressayer de prendre en compte l’ecoulement non sature.

Comparaison directeOn note d’abord que la solution analytique et les resolu-

tions numeriques donnent le debit correct au drain, parceque toutes respectent une equation de conservation, puisque, dans chaque resolution numerique, les equipotentiellessont a peu pres verticales, sauf au voisinage du tuyau de5 cm de rayon et pour x < 0,3 m (fig. 6a). Ceci signifie quela courbure des equipotentielles n’a que peu d’influencedans ce cas. On remarque egalement que la solution analy-tique predit une epaisseur saturee maximale, hmax, de0,900 m a mi-distance des drains, ce qui est verifie numeri-quement par RNT, les quelques millimetres de differenceetant dus au fait que les fonctions en escalier n’ont pas unecontremarche parfaitement verticale et qu’il existe un tresfaible debit non sature. Enfin, parce qu’elles tiennent comptede l’ecoulement non sature, les RNS et RNR predisent uneepaisseur saturee plus faible. Ceci se produit parce que lasolution analytique ignore une portion du debit subhorizon-tal, celle juste au-dessus de la surface libre (Vauclin et al.1979; Clement et al. 1996; Romano et al. 1999; Kao et al.2001). La difference de position de la surface libre dependde la fonction k(uw) comme le revele la figure 6b. La diffe-rence est forte dans les cas d’aquiferes minces, et generale-ment petite dans les cas d’aquiferes longs et epais (ex.,Chapuis et al. 2001), ou le debit non sature subhorizontalne constitue alors qu’une portion infime du debit total.

En probleme inverse, l’equation 26 peut servir a calculerla valeur de ksat a partir de la position observee pour la sur-face libre a mi-distance entre les drains (fig. 6a), laquelledonne ici hmax. Dans le probleme traite, ha = 0, et donc

½30� ksat ¼ NL2=4h2max

En theorie (solution analytique), hmax = 0,900 m, alors queles resolutions numeriques donnent des valeurs comprisesentre 0,593 et 0,639 m si l’on tient compte de l’ecoulementnon sature. Par consequent, en prenant des valeurs de hmaxobservees in situ et en les utilisant dans l’equation 30, onobtiendrait des valeurs de ksat (tableau 1, colonne 7) 2,0 a2,3 fois plus elevees que la vraie valeur. La combinaisond’observations in situ et de la solution analytique conduiraitdonc a surestimer ksat par un facteur de 2,0 a 2,3.

Comparaison avec des methodes utilisant une correctionpour l’ecoulement non sature

Certains auteurs ont estime que les solutions analytiquesne fournissaient pas l’epaisseur entre la surface libre et lesubstratum, mais la somme de cette epaisseur plus une hau-

Fig. 5. Fonctions de conductivite hydraulique k(uw) utilisees pourles resolutions numeriques theorie (RNT), simplification (RNS) etrealisme (RNR).


# 2008 CNRC Canada

teur de frange capillaire. On sait que la frange capillaireaugmente les fluctuations de la surface libre (Gillham 1984)et la reponse aux infiltrations (Chapuis 1988). La facon laplus simple de definir la hauteur de la frange capillaire (Hk)est d’utiliser la pression d’entree d’air. On peut aussi la de-finir comme la hauteur hypothetique d’un sol sature ayant lameme capacite de transporter l’eau lateralement que la zonepartiellement saturee au-dessus de la surface libre (Myers etvan Bavel 1963; Corey 1994), ce qui donne

½31� Hk ¼1

ksat

Zsurface du terrain

surface libre

kðzÞdz

Par consequent, la difference entre les deux valeurs (analy-tique moins numerique) de hmax au tableau 1 peut etre inter-pretee comme une hauteur de frange capillaire. Cependant,si l’on examine l’equation 31 a la lumiere des conceptsd’ecoulement non sature, Hk n’est pas une constante. Ellevarie selon que l’eau circule ou pas, et selon la direction

d’ecoulement. Elle depend aussi de la distance entre la sur-face du terrain et la surface libre. Ce n’est que si l’eau estimmobile et si la surface libre est situee a une bonne pro-fondeur qu’il devient possible de calculer facilement la va-leur de Hk qui devient constante. Pour les problemesanalyses, la surface libre est situee entre 0,4 et 1,0 m deprofondeur. Si l’on suppose l’eau immobile et une surfacelibre a 1,0 m de profondeur, alors l’equation 31 donne Hk =0,014, 0,449 et 0,360 m pour les RNT, RNS et RNR, res-pectivement. Ces valeurs de Hk deviennent respectivement0,009, 0,286 et 0,347 m si l’on suppose l’eau immobile etune surface libre a 0,4 m de profondeur. On s’apercoit quedans tout probleme de drainage d’un aquifere mince, la va-leur de Hk varie beaucoup de place en place pour au moinstrois raisons : (i) h varie, (ii) un sol qui a besoin d’etredraine a une surface libre peu profonde (il n’est pas doncpas susceptible d’atteindre la saturation residuelle a la sur-face du terrain avant le debut d’une periode de drainage) et(iii) l’ecoulement change de direction (l’infiltration subverti-cale devient un ecoulement subhorizontal). Au-dessus de la

Fig. 6. (a) Equipotentielles (lignes quasi verticales) et lignes d’ecoulement pour un mince aquifere a nappe libre avec substratum horizontalen regime permanent, cas L = 20 m, resolution numerique realisme (RNR) (ksat = 0,5 m/jour = 5,787 � 10–6 m/s, N = 4,688 � 10–8 m/s).Les valeurs de la charge hydraulique (h) sont indiquees sur les equipotentielles. ksat, conductivite hydraulique saturee; L, espacement desdrains transversaux; N, recharge. (b) Comparaison des positions de la surface libre pour la solution analytique (equation 29), la RNR et lesresolutions numeriques theorie (RNT) et simplification (RNS).


# 2008 CNRC Canada

surface libre, Kao et al. (2001) ont defini une zone de tran-sition ou l’ecoulement passe de subvertical a subhorizontal.La transition correspond simplement a une forte variation dela fonction k(uw) et au principe de refraction (Chapuis2002). La refraction est nette si l’epaisseur de la zone va-dose est tres superieure a la valeur d’entree d’air exprimeeen longueur et si la valeur de N est nettement plus faibleque celle de ksat. La refraction (des lignes d’ecoulement)n’est pas visible a la figure 6a parce que la zone vadosen’a que quelques decimetres d’epaisseur, alors que valeurd’entree d’air est d’environ 40 cm.

Les predictions de la solution analytique (equation 30) etcelles de la RNR telles quelles ou avec correction par ajoutde Hk a h pour la position de la surface libre sont compareesa la figure 7 pour le cas L = 20 m et une surface libre a0,4 m de profondeur. On voit que la correction pour lafrange capillaire reduit l’ecart loin du drain mais l’empirepres du drain. Un resultat semblable a ete observe par Kaoet al. (2001). Par consequent, la correction de frange capil-laire devrait etre utilisee seulement dans la zone centrale(loin des drains) bien qu’elle puisse, meme la, etre impre-cise. En pratique, une estimation de Hk peut etre obtenue apartir de donnees publiees (ex., Rawls et al. 1982). Cepen-dant, il faut toujours se rappeler que Hk, tout comme ne,n’est pas une constante physique.

Regime transitoire : abaissement de lasurface libre

Pour le regime transitoire, la position initiale de la surfacelibre, h0(x), est celle fournie par la solution en regime per-manent pour une recharge N constante dans un aquifere de1 m d’epaisseur, laquelle a deja ete presentee en figure 1pour le cas L = 20 m. Suite a l’arret de la recharge, la sur-face libre s’abaisse avec le temps. Des graphes sont presen-tes pour trois abscisses (x = 0,5L, 0,25L et 0,125L).

Avec les fonctions de RNT, nous avons trouve un rapporth(x, t)/h(x, t = 0) presque egal a celui predit par la solutionanalytique (fig. 8a), et presque independant de x (fig. 8b)comme le predit l’equation 26. Dans l’etude precedente du

regime permanent, la fonction k(uw) de RNT avait une va-leur non saturee environ 100 fois plus faible que celle deksat. Il est possible que la valeur de k non saturee influencela vitesse de rabattement. Pour verifier cette influence, nousavons effectue une autre analyse numerique avec les memesconditions initiales, mais avec une fonction k constante enphase transitoire, k = ksat, meme dans la zone vadose. Nousavons trouve (fig. 8b) que le rabattement n’etait plus inde-pendant de x et qu’il etait un peu plus rapide que predit parla solution analytique (equation 26). Donc l’hypothese sur lavaleur de k non saturee influence les resultats numeriques enregime transitoire.

Avec les fonctions de RNS et RNR, nous avons trouve unabaissement un peu plus lent que celui predit par l’equation26, mais un rapport h(x, t)/h(x, t = 0) tres voisin d’une fonc-tion unique du temps (fig. 9). Ce resultat remarquable signi-fie que la forme de la surface libre est conservee, unepropriete observee plusieurs fois sur le terrain, et qui a sou-vent ete utilisee pour developper des modeles de drainage(ex., Lorre et al. 1994).

En probleme inverse, l’equation 26 peut etre utilisee avecles resultats numeriques pour evaluer le rapport ksat/ne, donton sait qu’il vaut 1,157 � 10–4. Pour la RNT, nous avonstrouve une valeur de 1,16 � 10–4 quand k non saturee est ne-gligeable par rapport a ksat, et une valeur de 3,5 � 10–5, quandk non saturee est egale a ksat. Nous avons trouve des valeursde 6,9 � 10–5 et 4,0 � 10–5, respectivement, pour la RNS etla RNR.

On se rappelle qu’en utilisant la solution analytique du re-gime permanent, nous avons obtenu des valeurs de ksat egalesa environ 2 fois la vraie valeur (avant correction de frangecapillaire). Si l’on utilise maintenant la solution analytiquedu regime transitoire, on obtient, pour le rapport ksat/ne, desvaleurs comprises entre 0,3 et 0,6 fois la vraie valeur. Parconsequent, en combinant les deux solutions, celle du regimepermanent et celle du regime transitoire, on surestimerait ksatpar un facteur de 2 et on sous-estimerait ne par un facteur de4 environ.

La difference entre les predictions analytiques et numeri-ques peut etre interpretee comme resultant des hypotheses

Tableau 1. Regime permanent dans un mince aquifere a nappe libre avec substratum horizontal et conductivite hydrau-lique saturee (ksat) de 0,5 m/jour (5,787 � 10–6 m/s). Comparaison des predictions des solutions analytiques aux predic-tions des resolutions numeriques theorie (RNT), simplification (RNS) et realisme (RNR) pour les trois ensembles defonctions k(uw) et q(uw) dites theoriques, simplifiees et realistes.

Demi-debit (m3 s–1/m) hmax a L/2 (m)

L (m) N (m3 s–1) Analytique Numerique Analytique Numerique ksat (m/s)* Hk (m){

20 4,688�10–8 4,688�10–7 4,688�10–7 0,900 0,895 RNT 5,853�10–6 0,0094,688�10–7 0,639 RNS 1,148�10–5 0,2864,688�10–7 0,622 RNR 1,212�10–5 0,347

40 1,172�10–8 2,344�10–7 2,344�10–7 0,900 0,893 RNT 5,879�10–6 0,0092,344�10–7 0,617 RNS 1,231�10–5 0,2862,344�10–7 0,600 RNR 1,302�10–5 0,347

60 5,208�10–9 1,562�10–7 1,562�10–7 0,900 0,893 RNT 5,878�10–6 0,0091,562�10–7 0,611 RNS 1,256�10–5 0,2861,562�10–7 0,593 RNR 1,333�10–5 0,347

Nota : Hk, hauteur de la frange capillaire; hmax, epaisseur saturee maximale; L, espacement des drains transversaux; N, recharge; uw,pression d’eau interstitielle; q, teneur en eau volumique.*Valeurs obtenues en probleme inverse, a partir de l’equation 29.{Valeurs obtenues a partir de l’equation 31.


# 2008 CNRC Canada

sur l’ecoulement non sature et la porosite efficace, oucomme resultant de la difficulte a evaluer le delai du drai-nage dans la zone vadose. McWhorter et Duke (1976) ontpresente une solution analytique approximative qui tientcompte de l’ecoulement non sature et de la retention capil-laire et qui utilise Hk definie par l’equation 31. D’autres au-teurs ont tente de definir ce delai qui serait utile pourevaluer la recharge de l’aquifere (Morel-Seytoux 1984) et ledebit de base d’une riviere (Besbes et de Marsily 1984). Desessais de laboratoire en longue colonne (ex., Chapuis et al.2007) permettent de determiner ce delai dans des conditionsinitiales definies en termes de teneur en eau et de succion etdans des conditions aux frontieres definies en termes defonction d’infiltration ou d’evaporation. Sur le terrain, leprobleme est plus complexe. Le delai depend de la distanceau drain (ou a la riviere), de la pente de la surface libre, dela position initiale de la surface libre et des fonctions k(uw)et q(uw). Par consequent, l’addition d’un delai constant, fa-con simpliste d’aborder le probleme, a peu de chancesd’ameliorer les predictions du debit au drain et du rabatte-ment de la surface libre. Selon les resultats numeriques, aulieu d’ajouter un delai constant, il vaudrait mieux multipliersoit le temps predit, soit ksat/ne, par un certain coefficient dedrainage.

Les courbes du demi-debit arrivant au drain par unite delongueur (fig. 10) pour les RNT, RNS et RNR sont semblablesa celles de la solution analytique (equation 27). Cependant, lesvaleurs initiales different. Les conditions initiales du pro-bleme correspondent a la solution du regime permanent pourune recharge N constante, ce qui donne une valeur initiale dedemi-debit egale a 4,688 � 10–7 m3 s–1/m (voir tableau 1),alors que l’equation 27 predit 4,041 � 10–7 m3 s–1/m. Cettedifference existe parce que la solution analytique (equation27) considere seulement l’epaisseur saturee maximale a t = 0,

mais pas les conditions anterieures qui ont conduit a cette po-sition, ni les conditions d’ecoulement non sature prevalantpour cette position. En probleme inverse, le rapport ksat/nepeut etre obtenu a partir d’une courbe de q(t)/q(t = 0), ou pard’autres methodes (Rupp et al. 2004). D’apres la figure 10, lerapport calcule est tres proche de celui utilise dans les equa-tions analytiques.

Regime transitoire : aquifere a substratumincline

Pour un aquifere a substratum incline, Singh et al. (1991)ont fourni l’epaisseur saturee a mi-distance des drainsd’apres leurs solutions analytiques pour trois recharges tran-sitoires definies par des fonctions mathematiques (N1, N2 et

Fig. 8. Abaissement, entre les drains, de la surface libre d’un minceaquifere avec substratum horizontal en regime transitoire, cas L =20 m pour trois abscisses (x = 0,5L, 0,25L et 0,125L). L, espace-ment des drains tranversaux. (a) Solution analytique (equation 26)et resolution numerique theorie (RNT). (b) Graphe permettant deverifier si h(t)/h(t = 0) est une fonction unique du temps.

Fig. 7. Comparaison des positions de la surface libre d’un minceaquifere avec substratum horizontal en regime permanent, cas L =20 m, solution analytique (equation 29) et resolution numerique rea-lisme (RNR) (ksat = 0,5 m/jour = 5,787 � 10–6 m/s, N = 4,688 �10–8 m/s) avec et sans correction par ajout de frange capillaire. ksat,conductivite hydraulique saturee; L, espacement des drains transver-saux; N, recharge.


# 2008 CNRC Canada

N3; fig. 11). Nous utilisons ici la fonction h(0,5L, t) pourcomparer les predictions des solutions analytiques a cellesdes resolutions numeriques.

Cas de la recharge N1La figure 12 presente l’epaisseur saturee a mi-distance des

drains, h(0,5L, t), pour les pentes de 0, 4 et 8 %. Les solu-tions analytiques predisent des valeurs plus elevees quand test petit, parce qu’elles supposent implicitement que la sur-face libre monte des que la premiere goutte de pluie touchele terrain. En realite, et c’est ce que revelent les analyses nu-meriques, la montee est retardee a cause du delai requispour que l’eau infiltree traverse la zone vadose. Les analysesRNS predisent des surfaces libres plus basses que celles pre-dites par les solutions analytiques pendant les premiers

jours. Par la suite, les analyses RNT trouvent des epaisseurssaturees plus faibles que les analyses RNS, ce qui corres-pond physiquement a une baisse de la capacite d’emmagasi-nement dans la zone vadose apres 2 jours d’infiltration.

On peut expliquer les differences comme suit. Pendant lespremiers jours, il y a un transfert important dans la zone va-dose. Les solutions analytiques supposent implicitement que,dans la zone vadose, la valeur de k est infinie verticalementet nulle horizontalement. C’est pourquoi elles predisent untransfert instantane d’eau entre la surface du terrain et lasurface libre. Apres 2 ou 3 jours, les differences sont duessurtout a l’usage d’equations differentielles simplifiees ouexactes, avec une fonction q(uw) simplifiee ou realiste.

Correction avec un delaiComme discute precedemment, il est peu probable qu’on

trouve une correction simple pour le temps (delai) que l’eauinfiltree met a rejoindre la surface libre. On voit, a la figu-re 12, que les courbes ne sont pas paralleles et, par conse-quent, l’addition d’un simple delai ne peut pas constituerune methode de correction valable pour tenir compte de lamontee de la surface libre.

Debits aux drainsLes solutions analytiques de Singh et al. (1991) ne don-

nent pas les debits aux drains. Nous ne pouvons donc pascomparer des predictions analytiques aux predictions nume-riques (Denes 1994) pour les debits aux drains. Ces derniersont atteint des valeurs plus elevees pour la RNS que pour laRNT, a cause de surfaces libres plus elevees (fig. 13 et 14).Dans ces aquiferes inclines, nous avons trouve que le drainsuperieur reinjecte une partie de l’eau collectee si son debitd’evacuation est insuffisant. Ce phenomene avait deja etedecrit par Vincent (1882). Nous avons egalement note queplusieurs solutions analytiques, toutes obtenues apres dessimplifications importantes, predisent une surface libre sy-metrique par rapport aux drains, alors que d’autres solutions(p. ex., Childs 1971) predisent que l’abscisse de hmax est de-calee vers le bas, ce qui est obtenu systematiquement avecles resolutions numeriques (Denes 1994), et aussi avec lesmodeles reduits de laboratoire (ex., Bouwer 1955).

Cas des recharges N2 et N3Les remarques faites pour N1 s’appliquent aussi a N2

(Denes 1994). Pour N3, Singh et al. (1991) n’ont pas fournila position initiale de la surface libre dans leur solution ana-lytique. Comme pour N1 et N2, nous avons suppose que lesconditions initiales correspondaient au regime permanentavec une recharge egale a la valeur initiale de la fonction(soit un maximum pour N3 au lieu d’un minimum pour N1et N2). Les resolutions numeriques ont alors predit du ruis-sellement sur la pente pendant une longue periode (Denes1994) tandis que la solution analytique predit une surface li-bre a l’interieur de la masse de sol, sans aucun ruisselle-ment.

Discussion et conclusionLes solutions analytiques deja existantes de prediction du

mouvement de l’eau vers des drains dans un aquifere mincea nappe libre ont ete obtenues a partir d’equations differen-

Fig. 9. Rapport h(t)/h(t = 0) en fonction du temps, entre les drains,pour un mince aquifere a nappe libre avec substratum horizontal enregime transitoire, cas L = 20 m pour trois abscisses (x = 0,5L,0,25L et 0,125L). Solution analytique (equation 26) comparee auxresolutions numeriques simplification (RNS) (a) et realisme (RNR)(b). h, charge hydraulique; L, espacement des drains transversaux.


# 2008 CNRC Canada

tielles inexactes, qui ont ete resolues apres avoir utilise plu-sieurs approximations explicites ou implicites. Ces solutionsschematisent fortement la retention capillaire du sol qu’ellesrepresentent par une constante d’emmagasinement instan-tane, la porosite efficace ou porosite de drainage, et elles ca-ricaturent la fonction de conductivite hydraulique. Ellessupposent implicitement que, dans la zone vadose, k est soitegale a ksat, soit infinie verticalement et nulle horizontale-ment. Il en resulte que l’eau de pluie est transferee instanta-nement a la surface libre, ce qui produit aussitot un debitaux drains, alors qu’en realite, il faut un certain temps pourle transfert en zone vadose et l’apparition d’un debit auxdrains. A noter que la presente etude s’applique a des mate-

Fig. 11. Croquis illustrant les fonctions de recharge N1, N2 et N3 deSingh et al. (1991) pour analyses d’un mince aquifere a nappe libreavec substratum incline en regime transitoire.

Fig. 12. Epaisseur saturee a mi-distance des drains pour la rechargeN1 dans un mince aquifere a nappe libre avec substratum de pente0 % (a), 4 % (b) ou 8 % (c), solution analytique et resolutions nu-meriques theorie (RNT) et simplification (RNS). h, charge hydrau-lique.

Fig. 10. Comparaison des demi-debits au drain dans un minceaquifere a nappe libre avec substratum horizontal en regime transi-toire predits par la solution analytique (equation 27) et les resolu-tions numeriques theorie (RNT), simplification (RNS) et realisme(RNR).


# 2008 CNRC Canada

riaux homogenes a simple porosite; ceux a double porosite(ex., materiaux fissures) ont ete exclus.

Avec un code numerique complet, les predictions sontplus realistes parce qu’elles considerent les equations diffe-rentielles completes, sans simplification, et des fonctionsrealistes pour k(uw) et q(uw).

Au cours de la presente etude, nous avons effectue unecomparaison entre solutions analytiques et resolutions nume-riques. La comparaison confirme que les solutions analyti-ques surestiment generalement la position de la surfacelibre et predisent des conditions transitoires peu realistes.Des corrections aux solutions analytiques ont ete proposeesanterieurement afin de tenir compte de la frange capillaireet du delai requis pour que l’eau s’infiltre depuis la surfacedu terrain jusqu’a la surface libre. Malgre ces corrections,les solutions analytiques des problemes de drainage peuventdonner de pietres predictions.

Plusieurs terrains agricoles ont une double porosite. Dans

le cas de sols fins (silteux, argileux), la porosite efficacecorrespond directement a la porosite secondaire (cheminsbiologiques, fissures dues aux cycles de gel–degel et demouillage–sechage), alors que la matrice du sol retient l’eaupar capillarite dans sa porosite primaire. Dans de tellesconditions, les proprietes du sol peuvent etre schematiseespar celles supposees dans les solutions analytiques. Ceci ex-pliquerait le succes (partiel) des solutions analytiques endrainage agricole. Par contre, dans les projets d’ingenierieou l’on place, en couches regulieres soigneusement compac-tees, des materiaux ne contenant pas de matieres organiqueset ou l’on verifie l’homogeneite par des essais (granulome-trie, mesure de densite seche, etc.), les sols a drainer n’ontpas de double porosite. Dans ces projets, les solutions analy-tiques caricaturent trop les comportements reels, et elles pro-duisent alors de mauvaises predictions.

Une autre facon d’evaluer la fiabilite des solutions analy-tiques de drainage est d’examiner des donnees de terrainpour de grandes surfaces. Ces donnees devraient donner ac-

Fig. 13. Debits aux drains pour la recharge N1 (voir fig. 11), dansun mince aquifere a nappe libre avec substratum de pente 0, 4 ou8 %, resolutions numeriques theorie. (a) Drain amont. (b) Drainaval.

Fig. 14. Debits aux drains pour la recharge N1 (voir fig. 11), dansun mince aquifere a nappe libre avec substratum de pente 0, 4 ou8 %, resolutions numeriques simplification. (a) Drain amont.(b) Drain aval.


# 2008 CNRC Canada

ces a la valeur de ksat a grande echelle (ex., Chapuis et al.2005), pour laquelle plusieurs theories sont disponibles(Panfilov 2000). Nous considerons ici les resultats de Ruppet al. (2004), qui ont estime la valeur de ksat a grande echellepour deux lots d’environ 1 ha (104 m2), a l’aide des solu-tions analytiques pour le rabattement de la surface libre.Tout d’abord, ils ont estime ne en comparant le volumed’eau passe dans le drain collecteur au volume d’eau draineentre les positions successives de la surface libre, en es-sayant de prendre en compte les conditions initiales, avantune recession, et le delai du au transfert en zone vadose. En-suite, ils ont obtenu une valeur de ksat a grande echelle d’en-viron 4 m/jour, alors que pour leurs carottes de sol, ksat avaitune valeur mediane de 5 m/jour et une moyenne arithme-tique de 20 m/jour. De tels resultats, avec une valeur agrande echelle sous la moyenne, sont anormaux. Ils jettentdonc un serieux doute sur la capacite des solutions analyti-ques a predire la valeur a grande echelle de ksat.

On peut conclure que l’utilisation de donnees de terrainavec les solutions analytiques peut conduire a de pietres esti-mations de ksat et ne. Pour concevoir des systemes de drai-nage dans des travaux d’ingenierie, et predire leurperformance, il est recommande de se servir d’un code nu-merique traitant les equations differentielles completes, sansaucune simplification, et utilisant les fonctions completes dusol pour sa conductivite hydraulique et sa teneur en eau nonsaturee, lesquelles peuvent etre obtenues par des essais depermeabilite et de retention capillaire. La presente etude n’apas examine les difficultes pratiques pour obtenir des don-nees de qualite, en particulier pour les courbes q(uw) etk(uw) qui doivent etre utilisees par le code numerique. Parailleurs, pour bien utiliser un tel code, il faut une bonnecomprehension des ecoulements non satures et des principesd’analyse numerique, sinon on s’expose a obtenir des predic-tions aussi peu realistes que celles des equations analytiques.

RemerciementsLes auteurs remercient le Conseil de recherches en scien-

ces naturelles et en genie du Canada, qui a finance cesrecherches, et le professeur Morel-Seytoux pour ses com-mentaires tres utiles sur une version anterieure du manuscrit.

BibliographieAravin, V.I., et Numerov, S.N. 1965. Theory of motion of liquids

and gases in undeformable porous media. [Traduit du russe parA. Moscona a partir du texte publie en 1953.] Israel Program forScientific Translation, Jerusalem.

Bear, J. 1972. Dynamics of fluids in porous media. Elsevier, NewYork.

Bear, J., Zaslavsky, D., et Irmay, S. 1968. Physical principles ofwater percolation and seepage. UNESCO, New York.

Besbes, M., et de Marsily, G. 1984. From infiltration to recharge:use of a parametric transfer function. Journal of Hydrology,74(3–4) : 271–293. doi:10.1016/0022-1694(84)90019-2.

Bouarfa, S., et Zimmer, D. 2000. Water-table shapes and drainflow rates in shallow drainage systems. Journal of Hydrology,235(3–4) : 264–275. doi:10.1016/S0022-1694(00)00280-8.

Boussinesq, J. 1903. Recherches theoriques sur l’ecoulement desnappes d’eau infiltrees dans le sol et sur le debit des sources.Journal de mathematiques pures et appliquees, 10 : 5–78.

Boussinesq, J. 1904. Recherches theoriques sur l’ecoulement des

nappes d’eau infiltrees dans le sol et sur le debit des sources.Journal de mathematiques pures et appliquees, 11 : 363–394.

Bouwer, H. 1955. Tile drainage of sloping fields. Agricultural En-gineering, 36 : 400–403.

Chapuis, R.P. 1988. Conception et performance d’un champd’epandage de grandes dimensions. Revue canadienne de geniecivil, 15(2) : 216–222. doi:10.1139/l88-029.

Chapuis, R.P. 2002. Solution analytique de l’ecoulement en regimepermanent dans un aquifere incline a nappe libre, et comparai-son de cette solution avec des solutions numeriques plus com-pletes [en ligne]. Ecole Polytechnique de Montreal, Montreal,Que., rapport technique EPM-RT-02-03, aout 2002. Disponibleau www.polymtl.ca/biblio/epmrt/rapports/rt2002-03.pdf.

Chapuis, R.P. 2006. Ecoulement permanent d’une nappe libre dansune strate faiblement inclinee. Dans Comptes rendus de la 59e

Conference canadienne de geotechnique et de la 7e Conferencede La Societe canadienne de geotechnique – Section canadiennede l’Association internationale des hydrogeologues. Vancouver,C.-B., 1–4 octobre 2006. La Societe canadienne de geotechni-que, Alliston, Ont. p. 1600–1607.

Chapuis, R.P., Chenaf, D., Bussiere, B., Aubertin, M., et Crespo, R.2001. A user’s approach to assess numerical codes for saturatedand unsaturated seepage conditions. Revue canadienne de geo-technique, 38(5) : 1113–1126. doi:10.1139/cgj-38-5-1113.

Chapuis, R.P., Dallaire, V., Marcotte, M., Chouteau, M., Acevedo,N., et Gagnon, F. 2005. Evaluating the hydraulic conductivity atthree different scales within an unconfined aquifer at Lachenaie,Quebec. Revue canadienne de geotechnique, 42(4) : 1212–1220.doi:10.1139/t05-045.

Chapuis, R.P., Masse, I., Madinier, B., et Aubertin, M. 2007. Adrainage column test for determining unsaturated properties ofcoarse material. Geotechnical Testing Journal, 30(2) : 83–89.doi:10.1520/GTJ100385.

Chauhan, H.S., Schwab, G.O., et Hamdy, M.Y. 1968. Analyticaland computer solutions of transient water tables for drainage ofsloping land. Water Resources Research, 4(3) : 573–579. doi:10.1029/WR004i003p00573.

Chenaf, D., et Chapuis, R.P. 1999. Analyse numerique de la hau-teur de suintement dans un puits pompant un aquifere a nappelibre. Dans Comptes rendus de la 52e Conference geotechniquecanadienne. Regina, Sask., 25–27 octobre 1999. La Societe ca-nadienne de geotechnique, Alliston, Ont. p. 245–251.

Childs, E.C. 1971. Drainage of groundwater resting on a slopingbed. Water Resources Research, 7(5) : 1256–1263. doi:10.1029/WR007i005p01256.

Clement, T.P., Wise, W.R., Molz, F.J., et Wen, M. 1996. A com-parison of modeling approaches for steady-state unconfinedflow. Journal of Hydrology, 181(1–4) : 189–209. doi:10.1016/0022-1694(95)02904-4.

Corey, A.T. 1994. Mechanics of immiscible fluids in porous media.3e ed. Water Resources Publications, Highlands Ranch, Colo.

Denes, A. 1994. Ecoulement dans un aquifere a nappe libre avecun substratum impermeable incline. Memoire de maıtrise en in-genierie, Departement de genie mineral, Ecole Polytechnique deMontreal, Montreal, Que.

Dupuit, J. 1857. Memoire sur le mouvement des eaux dans les ter-rains permeables. Memoire depose en 1857 et rapporte dans lesComptes rendus des seances de l’Academie des sciences, Paris,France, tome LII, seance du 3 juin 1861.

Dupuit, J. 1863. Etudes theoriques et pratiques sur le mouvementdes eaux dans les canaux decouverts et a travers les terrainspermeables. 2e ed. Dunod, Paris, France. Chap. 7. p. 229–293.

Ferrandon, J. 1948. Les lois d’ecoulement de filtration. Le Geniecivil, 125(2) : 24–28.


# 2008 CNRC Canada

Gillham, R.W. 1984. The capillary fringe and its effect on watertable response. Journal of Hydrology, 67(1–4) : 307–324.doi:10.1016/0022-1694(84)90248-8.

Hartani, T., Zimmer, D., et Lesaffre, B. 2001. Drainage of slopinglands with variable recharge: analytical formulas and model de-velopment. Journal of Irrigation and Draining Engineering,127(1) : 8–15. doi:10.1061/(ASCE)0733-9437(2001)127:1(8).

Hooghoudt, S.B. 1940. Bijdragen tot de Kennis van enige Natuur-kundige Grootheden van den Grond. No. 7. AlgemeneBeschouwing van het Probleem van de Detail Ontwatering ende Infiltratie door middel van Parallel Lopende Drains, Grep-pels, Slooten en Kanalen. Versl. Landbouwkd. Onderz. (Agric.Res. Rep.), 46(14), B : 515–707. [Voir aussi Hooghoudt’s theoryof drainage, traduit en anglais a partir de l’original neerlandaisVoor Cultuurtechnik en Waterhuishouding.]

Kao, C., Bouarfa, S., et Zimmer, D. 2001. Steady state analysis ofunsaturated flow above a shallow water-table aquifer drained byditches. Journal of Hydrology, 250(1) : 122–133. doi:10.1016/S0022-1694(01)00426-7.

Lesaffre, B. 1987. Analytical formulae for transverse drainage ofsloping lands with constant rainfall. Irrigation and Drainage Sys-tems, 1 : 105–121. doi:10.1007/BF01139324.

Lorre, E., Lesaffre, B., et Skaggs, R.W. 1994. Comparison of mod-els for subsurface drainage in flat and sloping lands. Journal ofIrrigation and Draining Engineering, 120(2) : 266–277. doi:10.1061/(ASCE)0733-9437(1994)120:2(266).

Luthin, J.N. 1978. Drainage engineering. Robert Krieger Co., NewYork.

McWhorter, D.B., et Duke, H.R. 1976. Transient drainage withnon-linearity and capillarity. ASCE Journal of the Irrigation andDrainage Division, 102(IR2) : 193–204.

Morel-Seytoux, H.J. 1984. From excess infiltration to aquifer re-charge: a derivation based on the theory of flow of water in un-saturated soils. Water Resources Research, 20(9) : 1230–1240.doi:10.1029/WR020i009p01230.

Myers, L.E., et van Bavel, C.H.M. 1963. Measurement and evalua-tion of water table elevations. Dans Proceedings of the 5th Con-gress. International Committee on Irrigation and Drainage,Tokyo, Japon. Question 17. p. 103–109.

Panfilov, M. 2000. Macroscale models of flow through highly het-erogeneous porous media. Kluwer Academic Publishers, Dor-drecht, Pays-Bas.

Pavlovsky, N.N. 1956. Motion of ground water. Collected Works,Academy of Sciences, Moscou et Leningrad, Union des republi-ques socialistes sovietiques.

Polubarinova-Kochina, P.Y. 1962. Theory of ground water move-ment. [Traduit du russe par R.J.M. DeWiest.] Princeton Univer-sity Press, Princeton, N.J.

Ram, S., et Chauhan, H.S. 1987a. Drainage of sloping land withconstant replenishment. ASCE Journal of Irrigation and Drai-nage, 113(2) : 213–223.

Ram, S., et Chauhan, H.S. 1987b. Analytical and experimental so-lutions for drainage of sloping land with time-varying recharge.Water Resources Research, 23(6) : 1090–1096. doi:10.1029/WR023i006p01090.

Rastogi, A.K. 1989. Optimal pumping policy and groundwater bal-ance for the Blue Lake aquifer, California, involving non-lineargroundwater hydraulics. Journal of Hydrology, 111(1–4) : 177–194. doi:10.1016/0022-1694(89)90259-X.

Rawls, W.J., Brakensiek, D.L., et Saxton, K.E. 1982. Estimation ofsoil water properties. Transactions of the ASAE, 25(5) : 1316–1320, 1328.

Richards, L.A. 1931. Capillary conduction of liquids through por-ous medium. Physics, 1 : 318–333. doi:10.1063/1.1745010.

Ritzema, H.P. 1994. Drainage principles and applications. Interna-tional Institute for Land Reclamation and Improvement (ILRI),Wageningen, Pays-Bas, publication no 16.

Romanoa, C.G., Frind, E.O., et Rudolph, D.L. 1999. Significanceof unsaturated flow and seepage faces in the simulation ofsteady-state subsurface flow. Ground Water, 37 : 625–632.doi:10.1111/j.1745-6584.1999.tb01151.x.

Rupp, D.E., Owens, J.M., Warren, K.L., et Selker, J.S. 2004. Ana-lytical methods for estimating saturated hydraulic conductivityin a tile-drained field. Journal of Hydrology, 289(1–4) : 111–127. doi:10.1016/j.jhydrol.2003.11.004.

Schoeller, H. 1962. Les eaux souterraines : hydrologie dynamiqueet chimique, exploitation et evaluation des ressources. Masson,Paris, France.

Shukla, K.N., Chauhan, H.S., et Srivastava, V.K. 1999. Transientdrainage to partially penetrating drains in sloping aquifers. Jour-nal of Irrigation and Draining Engineering, 125(5) : 246–262.

Singh, R.N., Rai, S.N., et Ramana, D.V. 1991. Water table fluctuationin a sloping aquifer with transient recharge. Journal of Hydrology,126(3–4) : 315–326. doi:10.1016/0022-1694(91)90162-B.

Singh, S.R., et Jacob, C.M. 1977. Transient analysis of phreaticaquifers lying between two open channels. Water Resources Re-search, 13(2) : 411–419. doi:10.1029/WR013i002p00411.

Skaggs, R.W., et van Schilfgaarde, J. (directeurs de la redaction).1999. Agricultural drainage. American Society of Agronomy,Inc., Madison, Wisc., monographie no 38.

van Genuchten, M.T. 1980. A closed-form equation for predictingthe hydraulic conductivity of unsaturated soils. Soil Science So-ciety of America Journal, 44 : 892–898. Disponible au agron.scijournals.org/.

Vauclin, M., Khanji, D., et Vachaud, G. 1979. Experimental andnumerical study of a transient, two-dimensional unsaturated–saturated water table recharge problem. Water Resources Re-search, 15(5) : 1089–1101. doi:10.1029/WR015i005p01089.

Vincent, L. 1882. Die Drainage, deren Theorie und Praxis. VI. Au-flage. 2e ed. Baumgartners Buchhandlung, Leipzig, Allemagne.


# 2008 CNRC Canada

Documents

Écoulement saturé et non saturé de l’eau souterraine vers des drains en aquifère à nappe libre