Upload
others
View
5
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
Economia, banca i
mercats financers
Tema 13 Conceptes bàsics de
matemàtica financera i d'anàlisi
de rendibilitat d'operacions,
casos de negoci i projectes
d'inversió Versió 2016 © Tea Cegos, S.A.
2
Tema 13. Conceptes bàsics de
matemàtica financera i d'anàlisi
de rendibilitat d'operacions,
casos de negoci i projectes d'inversió
© Tea Cegos, S.A. 2016
ECONOMIA, BANCA I MERCATS FINANCERS
ÍNDEX
CONCEPTES BÀSICS .............................................................................................. 4
OPERACIONS A INTERÈS SIMPLE .......................................................................... 8
CAPITALITZACIÓ SIMPLE ............................................................................................. 8
Cas d'interès simple amb capitals i tant d’interès únic ............................. 8
Cas d'interès simple amb capitals i tants d'interès, tots dos diferents, a
igual termini. Càlcul del “tant mitjà” .......................................................... 11
ACTUALITZACIÓ O DESCOMPTE SIMPLE ................................................................ 12
Descompte simple “comercial” .................................................................. 12
Descompte simple “racional”, teòric o “matemàtic” ............................. 13
Comparació entre descompte comercial i descompte racional ......... 14
Cas especial de les lletres del tresor ........................................................... 15
Variacions al capital. “Números comercials” ........................................... 17
Interès simple anticipat ................................................................................. 24
OPERACIONS A INTERÈS COMPOST ................................................................... 25
CAPITALITZACIÓ COMPOSTA .................................................................................. 25
Definició i aclariment sobre tants nominals i efectius en la capitalització
composta ....................................................................................................... 25
Càlculs en interès compost i fórmules de base ........................................ 29
Tipus d'interès spot i forward ........................................................................ 32
Consideracions sobre la capitalització periòdica dels interessos .......... 34
ACTUALITZACIÓ A INTERÈS COMPOST ................................................................... 36
GENERALITATS SOBRE L'ACTUALITZACIÓ A INTERÈS COMPOST .......................... 36
CONSIDERACIONS SOBRE L'ACTUALITZACIÓ PERIÒDICA DELS INTERESSOS ...... 37
EQUIVALÈNCIA DE CAPITALS ............................................................................. 39
INTRODUCCIÓ ........................................................................................................... 39
EQUIVALÈNCIA A INTERÈS SIMPLE ........................................................................... 39
EQUIVALÈNCIA A INTERÈS COMPOST ..................................................................... 42
CRITERIS DE SELECCIÓ I ANÀLISI D'INVERSIONS ............................................... 51
INTRODUCCIÓ ........................................................................................................... 51
CRITERI DEL “PERÍODE DE RECUPERACIÓ” O “PAY BACK” ................................. 52
3
Tema 13. Conceptes bàsics de
matemàtica financera i d'anàlisi
de rendibilitat d'operacions,
casos de negoci i projectes d'inversió
© Tea Cegos, S.A. 2016
ECONOMIA, BANCA I MERCATS FINANCERS
CRITERI DE “VALOR ACTUALITZAT NET” (VAN) ...................................................... 52
CRITERI DEL “ÍNDEX DE RENDIBILITAT” (IR) .............................................................. 54
CRITERIS DE LA “TAXA DE RENDIBILITAT INTERNA” (TIR), DE LA TAXA ANUAL
EQUIVALENT (TAE), DE LA TAXA DE RENDIBILITAT EFECTIVA (TRE) I DE LA TAXA
DE RENDIBILITAT REAL PER A L'INVERSOR ............................................................... 55
La TIR ................................................................................................................ 55
La TAE .............................................................................................................. 56
La TRE ............................................................................................................... 57
La taxa de rendibilitat real per a l'inversor ................................................. 59
4
Tema 13. Conceptes bàsics de
matemàtica financera i d'anàlisi
de rendibilitat d'operacions,
casos de negoci i projectes d'inversió
© Tea Cegos, S.A. 2016
ECONOMIA, BANCA I MERCATS FINANCERS
CONCEPTES BÀSICS
Qui presta diners renuncia durant cert temps a gastar-se’ls o a obtenir-ne un
rendiment en altres inversions alternatives. Per contra, qui els rep té l'oportunitat
d'utilitzar-los (gastar-se’ls o invertir-los) durant aquest mateix temps. Si un capital
no reporta interessos, és preferible recuperar-lo al més aviat possible o pagar-lo
al més tard possible. Com més aviat es disposi dels diners, abans es podran
utilitzar.
En definitiva, qui presta ho fa perquè té una preferència temporal diferent a la
del prestatari, per la qual no li importa renunciar a béns presents contra béns
futurs i assumeix uns riscos de crèdit i de mercat, a part dels d'inflació i reinversió,
com ja sabem. Per això, és raonable que qui rebi els diners compensi
econòmicament a qui els presta. Es tracta de pagar-li per la seva renúncia a
disposar dels seus diners des de ja i pels costos i riscos associats a aquesta
operació. En termes econòmics es diu que es compensa el cost d'oportunitat.
Per estudiar tot allò relacionat amb els càlculs d'aquest “preu de renúncia
temporal” hem de saber el que signifiquen els termes que anem a utilitzar en tot
aquest tema.
Matemàtica financera és la disciplina que efectua l'estudi de les
operacions financeres a través del mètode deductiu matemàtic.
Operació financera és un intercanvi temporal de capitals expressats en
moneda, en diners, i per tant, en el qual el lliurament i la recuperació
d'aquests es produeixen en dates diferents. Suposa que existeixen dues
parts que s’han posat d'acord prèviament, per transferir-se uns capitals
que “entenen ambdues com a equivalents”, segons una valoració
objectiva que recull el preu de la renúncia temporal d'una, la que presta i
els riscos que aquesta assumeix. Aquesta valoració de renúncia temporal i
de riscos es desenvolupa sota els principis de la matemàtica financera. En
tota operació financera ha d'haver-hi “equilibri financer”, això és, ha
d'haver-hi “equivalència financera” entre la prestació i la contraprestació.
Aquesta sempre consta de quatre elements. Els quatre enllaçats de tal
manera que, coneguts tres d'ells, sempre podem determinar el quart:
- Prestació
- “Llei financera”
- Temps o termini
- Contraprestació
5
Tema 13. Conceptes bàsics de
matemàtica financera i d'anàlisi
de rendibilitat d'operacions,
casos de negoci i projectes d'inversió
© Tea Cegos, S.A. 2016
ECONOMIA, BANCA I MERCATS FINANCERS
Exemple: Avui imposa vostè en un compte d'estalvi a termini 10.000 EUR
(prestació). L'acord és rebre al cap d'un any (temps o termini) aquest
capital més 100 EUR (contraprestació). La matemàtica financera ens
serveix per dir-nos que l'interès que li paga l'entitat és de l’1 % anual (llei
financera).
Prestacions i contraprestacions: simples-úniques i complexes-múltiples.
L'exemple anterior és el d'una operació simple ja que prestació i
contraprestació estan formades per un únic capital. Les complexes o
múltiples, estan formades per prestacions o contraprestacions de diversos
capitals. Si un banc concedeix un préstec de 100.000 EUR a 15 anys, per a
l’adquisició d'habitatge, per exemple, i el prestatari es compromet a
pagar 180 quotes mensuals de 844,00 EUR, la prestació és única i la
contraprestació és múltiple. Per contra, si una persona es compromet a
ingressar periòdicament 5.000 EUR durant 48 mesos i l'entitat a retornar-li
275.000 EUR al final d'aquest termini, la prestació és múltiple i la
contraprestació és única. Si vostè imposa en un fons de pensions una
quantitat mensual de 1.000 EUR i al cap de 20 anys desitja obtenir una
renda durant deu anys, la prestació és múltiple i la contraprestació també
ho és.
Subjectes d'una operació financera. Són les persones que intervenen en
l'operació financera, un és el subjecte actiu, normalment un estalviador i
un altre, és el subjecte passiu, normalment un inversor o un intermediari de
l'inversor final.
Capital financer. El valor dels diners depèn, entre d’altres coses i pel que
ens ocupa, del moment en què se’n disposa. Per això, un capital financer
és el conjunt de dues variables: un import i una data de disponibilitat. Vist
així, és el conjunt de fluxos d'efectiu o de mitjans que es transmeten els
subjectes de l'operació financera entre ells.
En càlcul financer, el concepte de “capital” indica els recursos emprats
en una operació financera. Aquests recursos poden ser diners o altres
béns, que sempre es valoren en diners. Per això pot utilitzar-se aquí
indistintament, i amb el mateix significat, capital i diners. Aquests capitals
es representen normalment per mitjà de: (C, T), capital a l'inici i capital al
final. Aquests dos capitals financers seran iguals si tenen la mateixa
quantia i el mateix període de carència. (C1, T1) “ (C2, T2). És a dir:
(C1, T1) I___________________________I (C2, T2)
6
Tema 13. Conceptes bàsics de
matemàtica financera i d'anàlisi
de rendibilitat d'operacions,
casos de negoci i projectes d'inversió
© Tea Cegos, S.A. 2016
ECONOMIA, BANCA I MERCATS FINANCERS
Equivalència financera. És tota relació quantitativa exacta que lliga els
components dels capitals financers entre si.
Llei financera. És l'acord que lliga a les parts, expressat matemàticament
(una fórmula matemàtica), sobre la manera en què es lliuraran o mouran
els capitals. Els moviments només poden ser de dos tipus:
- Des del present cap al futur, que es diu “capitalitzar”. És sumar a un
capital actual (préstec o inversió) els interessos reportats
- Des del futur cap al present que es diu “actualitzar”. (En ocasions
s'utilitza l'expressió “descomptar”). És restar d'un capital futur els
interessos que aquest encara no ha reportat.
Les lleis financeres també es coneixen com a “règims financers” ja que són
els criteris utilitzats en la pràctica per definir les operacions financeres. Es
poden classificar en dos tipus:
- Lleis o règims financers “pràctics”. El preu es paga d'una sola
vegada, al final o al principi. S'utilitzen per a operacions a curt
termini. Dins d'aquests règims ens trobem amb:
o La capitalització simple
o El descompte comercial simple
o El descompte financer simple
- Lleis o règims financers “racionals”: Les seves característiques són
que el preu es paga periòdicament i s'utilitzen per a qualsevol
termini. Dins d'aquests règims ens trobem amb:
o La capitalització composta
o El descompte compost
Preu financer. Se l’anomena “tipus o taxa d'interès”. És el rendiment
produït per una unitat de capital en una unitat de temps. És, doncs, un
preu unitari (en temps) de l'operació. Per tant, coneixent l'import d'un
capital i els interessos, o preu total, que reporta durant un període de
temps, per exemple, un any, podem calcular el tipus d'interès anual
dividint aquests interessos pel capital prestat. Tot finançament té un preu,
representat per aquest tipus o taxa d'interès, el qual pot ser indicat de
diferents formes, les més corrents són tres:
7
Tema 13. Conceptes bàsics de
matemàtica financera i d'anàlisi
de rendibilitat d'operacions,
casos de negoci i projectes d'inversió
© Tea Cegos, S.A. 2016
ECONOMIA, BANCA I MERCATS FINANCERS
- Preu total o “interès”: Diferència en termes absoluts (expressada en
diners) entre la quantia inicialment lliurada i la quantia finalment
rebuda en l'operació.
- Preu unitari respecte a la quantia inicial, també denominat “tant
efectiu d'interès” (Im). Un exemple seria: (100, 0) “ (102, 2). La qual
cosa suposa que el tant efectiu d'interès obtingut en els dos
períodes “I2” serà = 2 %
- Preu unitari respecte a la quantia inicial i mitjà respecte al termini,
també denominat “tant nominal d'interès” (Jm). És el preu per euro i
any (o període)
Quan el termini de l'operació és d'un any, el tipus d'interès es denomina
tipus d'interès nominal. Quan és inferior a un any, es denomina tipus
d'interès efectiu i fa referència al període. Així, per exemple, si els
interessos produïts per 1.000,00 EUR durant 6 mesos han estat 30,00 EUR,
parlem d'un tipus d'interès efectiu semestral del 3 %. Al tipus d'interès
també se l’anomena rèdit, taxa o tant d'interès.
Interès simple i compost El càlcul d'interessos pot realitzar-se només una
vegada, en acabar el període de durada de l'operació, o bé per
fraccions d'aquest període total (mesos, trimestres, semestres, anys).
- L'interès simple consisteix en el càlcul d'interessos sobre tot el
període de l'operació i la seva liquidació d'una sola vegada.
- L'interès compost consisteix en el càlcul d'interessos sobre cada
període de càlcul i l'acumulació d'aquests interessos al capital
inicial d'aquest període, la qual cosa dóna lloc a un nou capital
sobre el qual calcular els nous interessos.
Els interessos es capitalitzen en cada període de liquidació. És evident que
el resultat obtingut per a una mateixa operació varia sensiblement segons
es calculi per interès simple o compost.
No ha de confondre's el mètode de càlcul dels interessos (compost o
simple) amb la capitalització d'aquests interessos. La majoria dels
productes financers acostumen a calcular els interessos pel mètode simple
i els interessos reportats poden capitalitzar-se i generar un nou capital
(parlem llavors de productes de capitalització, com ara els plans de
8
Tema 13. Conceptes bàsics de
matemàtica financera i d'anàlisi
de rendibilitat d'operacions,
casos de negoci i projectes d'inversió
© Tea Cegos, S.A. 2016
ECONOMIA, BANCA I MERCATS FINANCERS
pensions) o bé liquidar-se mantenint íntegre el capital inicial (és el cas de
la majoria dels productes financers).
Gràfics financers. S'utilitzen per representar operacions financeres de
capitalització i actualització o descompte. ja que el valor d'un capital
depèn de la data en què pugui disposar-se d'ell, en aquests gràfics
apareixeran sempre:
- Els capitals que intervenen en l'operació.
- La data de disponibilitat de cadascun dels capitals.
Normalment sobre una línia horitzontal, que indica el pas del temps, es
marquen les dates. Els capitals es representaran mitjançant línies
perpendiculars a la línia del temps; les orientades cap avall indiquen
capitals actuals o inicials, mentre que les orientades cap amunt indiquen
capitals futurs o finals.
OPERACIONS A INTERÈS SIMPLE
CAPITALITZACIÓ SIMPLE
Són aquelles en les quals es pacta que els interessos que produeix un capital no
es capitalitzin fins al final de l'operació. Per això els interessos són “improductius” i,
a més, es calculen tan sols sobre el capital.
CAS D'INTERÈS SIMPLE AMB CAPITALS I TANT INTERÈS ÚNIC
La llei financera que s'aplica és la de l'interès simple. Per tant, el preu es calcula
per mitjà d'un tant nominal d'interès “i” proporcional a la quantia prestada
inicialment “C0” i al termini de l'operació “n”. Això és:
Cn = C0+(C0*i*n) = C0*(1+(i*n))
9
Tema 13. Conceptes bàsics de
matemàtica financera i d'anàlisi
de rendibilitat d'operacions,
casos de negoci i projectes d'inversió
© Tea Cegos, S.A. 2016
ECONOMIA, BANCA I MERCATS FINANCERS
Un capital de 1.000,00 EUR invertit a dos anys al 2 %, donarà un capital final en
capitalització simple de:
C2 = 1.000,00 *(1+0,02*2) = 1,040,00 EUR
És molt important tenir present a l'hora d'aplicar la fórmula general que els termes
de temps “n” i del tant d'interès “i” han de ser homogenis, per la qual cosa han
de referir-se al mateix període de temps. Així si “n” és igual a anys, “i” és tant
nominal anual, mentre que si és igual a semestres, “i” ha de dividir-se entre 2, i si
és igual a trimestres, entre 4, etc. Com veiem, els tants d'interès sempre són
proporcionals a un any de 360 dies. Exemple: Un 12 % anual equival a un 3 %
trimestral i a un 6 % semestral o a un 1 % mensual.
Si el tipus d'interès i el termini o període es refereixen a unitats de temps diferents,
abans d'utilitzar els valors “i” i “n”, cal homogeneïtzar aquestes unitats. És
aconsellable sempre expressar ambdues magnituds en anys, d'acord amb les
regles següents:
Si el tipus d'interès és efectiu, perquè es refereix a una unitat de temps
inferior a l'any (per exemple, tant per un mensual), cal multiplicar el tipus
d'interès pel nombre de vegades que aquesta unitat de temps cap en un
any. D'aquesta manera, obtindrem el tipus d'interès nominal. Exemples:
- Un interès efectiu mensual de 0,01 per un equival a un tipus d'interès
nominal o anual de 0,12 per un (0,01 · 12 mesos = 0,12 anual).
- Un interès efectiu trimestral de 0,035 per un equival a un tipus
d'interès nominal o anual de 0,14 per un (0,035 · 4 trimestres = 0,14
anual).
- Si el temps es refereix a una fracció d'any (mesos, trimestres,
etcètera), cal dividir-lo pel factor que indica el nombre de vegades
que aquesta unitat cap en un any. Exemple: 18 mesos = 1,5 anys
(18 / 12 mesos = 1,5 anys).
10
Tema 13. Conceptes bàsics de
matemàtica financera i d'anàlisi
de rendibilitat d'operacions,
casos de negoci i projectes d'inversió
© Tea Cegos, S.A. 2016
ECONOMIA, BANCA I MERCATS FINANCERS
Vegem alguns exemples:
1. Indiqueu per quin factor cal multiplicar els següents tipus d'interès efectius
per convertir-los en tant per un anual i trobeu el resultat:
Tipus d'interès efectiu Factor Tipus d'interès nominal
Tant per un anual
0,06 per un semestral ……… ………
0,01 per un semestral ……… ………
0,03 per un semestral ……… ………
Solució:
Tipus d'interès efectiu Factor Tipus d'interès nominal
Tant per un anual
0,06 per un semestral 2 0,12
0,01 per un semestral 12 0,12
0,03 per un semestral 4 0,12
En interès simple és el mateix parlar d'un 0,06 per un semestral que d'un
0,12 per un anual o un 0,01 per un mensual. (En canvi, aquesta regla no és
vàlida per a l'interès compost.)
2. Indiqueu per quin número cal dividir els següents temps per expressar-los
en anys i trobeu el resultat
Temps Divisor Resultat anys
24 mesos ……………………... ………………………..
5 trimestres ……………………….. ………………………..
2 semestres ……………………….. ………………………..
130 dies ……………………….. ………………………..
11
Tema 13. Conceptes bàsics de
matemàtica financera i d'anàlisi
de rendibilitat d'operacions,
casos de negoci i projectes d'inversió
© Tea Cegos, S.A. 2016
ECONOMIA, BANCA I MERCATS FINANCERS
Solució:
Temps Divisor Resultat anys
24 mesos 12 2
5 trimestres 4 1,25
2 semestres 2 1
130 dies 360 (o 365) 0,361 (o 0,356)
Per convertir els dies en anys pot utilitzar-se el divisor 360, si es considera
l'any comercial (12 mesos de 30 dies), o el divisor 365, si es considera l'any
natural. En banca s'empra un divisor o l’altre depenent de l'operació
financera a realitzar. Per a interessos “actius” s'utilitza 360 i per als “passius”
365 jugant així cinc dies a favor de l'entitat en un cas i en l’altre. Cal
destacar també que, quan es parli de períodes de temps compresos entre
dues dates, han de calcular-se els dies de calendari exactes per després
transformar-los en anys. Així, entre el dia 3 de març i el 20 d'abril hi ha 48
dies, és a dir, arrodonint decimals, 0,132 anys (48 / 365).
CAS D'INTERÈS SIMPLE AMB CAPITALS I TANTS D'INTERÈS,
TOTS DOS DIFERENTS, A IGUAL TERMINI. CÀLCUL DEL
“TANT MITJÀ”
Si es tractés d'un conjunt de capitals diferents, cadascun d'ells col·locats a una
taxa diferent, el tant mitjà serà el que ens doni el mateix import final aplicat a la
suma de capitals inicials.
Exemple:
Tenim tres capitals de: 100 a l’1 %, 110 a l'1,2 % i 150 al 2 %, tots a venciment de
dos anys. L'import del capital final serà:
(100*(1+0,01*2)) + (110 * (1+0,012 *2)) + (150 * (1+ 0,02*2) = 102 + 112,64 +156 =
370,64 EUR
Els capitals inicials eren: 100+110+150 = 360 EUR
12
Tema 13. Conceptes bàsics de
matemàtica financera i d'anàlisi
de rendibilitat d'operacions,
casos de negoci i projectes d'inversió
© Tea Cegos, S.A. 2016
ECONOMIA, BANCA I MERCATS FINANCERS
El tant mitjà “Im”, d'acord amb la definició, serà:
360 *(1+ (Im * 2) = 370,64; 370,64/360 = 1+ Im *2;
1,03-1 = Im; Im = 3 %
ACTUALITZACIÓ O DESCOMPTE SIMPLE
DESCOMPTE “COMERCIAL” SIMPLE
És el que s'aplica en la negociació de factures, pagarés o efectes de comerç,
d'aquí el seu nom. La “llei” financera utilitzada en aquest cas és coneguda pel
mateix nom i busca anticipar quin és el capital a percebre, al moment en què se
sol·licita l'actualització, procedent de l’“actualització” d'un import que s'hauria
de cobrar al final d'un període.
És indubtable que a aquest capital final se li haurà de restar l'import d'interessos
corresponent a aquesta “anticipació” (d'aquí el nom de “descompte”). Aquests
interessos es calculen amb un tant nominal “d” que és proporcional a la quantia
a anticipar i al termini d'aquesta anticipació.
Suposem, per entendre la “llei” del descompte simple o comercial, que tenim un
efecte de comerç amb un import a cobrar “C” en un termini “n” i que desitgem
descomptar-ho a data d'avui. L'import del descompte serà:
Interessos del descompte comercial “Idc” = (C*d*n)
La quantitat efectiva que rebrem serà: C – (C*d * n) = C* (1-d*n)
És evident que en aquesta operació el tant efectiu d'interès no és el tant de
descompte ja que els interessos es calculen sobre el capital final i no sobre el
realment rebut.
13
Tema 13. Conceptes bàsics de
matemàtica financera i d'anàlisi
de rendibilitat d'operacions,
casos de negoci i projectes d'inversió
© Tea Cegos, S.A. 2016
ECONOMIA, BANCA I MERCATS FINANCERS
Exemple:
Tenim una lletra a 360 dies, d'import 1.000,00 EUR, que volem descomptar a data
d'avui i ens ofereixen fer-nos-ho al 3,00 % de taxa de descompte. Quins seran el
capital rebut i el tant d'interès efectiu?
Solució:
Interessos del descompte: 1.000 *0,03* 360/360 = 30,00 EUR
Quantitat efectiva rebuda: 1.000,00 – 30,00 = 970,00 EUR
Tipus d'interès efectiu: 30,00 /970,00 = 0,0756 = 0,0309 = 3,09 %. (Enfront del
3,00 % de descompte).
DESCOMPTE “RACIONAL”, TEÒRIC O “MATEMÀTIC”
SIMPLE
Únicament difereix de l'anterior en què ara el preu s'obté de manera que el tant
nominal de descompte “d” és proporcional a la quantia efectivament
percebuda originàriament en anticipar el cobrament de la lletra o l’efecte de
comerç. En la pràctica, és el tipus de descompte comercial el que s'usa per
“anticipar” les lletres o els efectes de comerç.
Suposem, per entendre la “llei” d'aquest segon cas, que tenim el mateix efecte
de comerç que en el cas del descompte comercial. Un efecte d'un import a “C”
a un termini “n” i que desitgem descomptar a data d'avui, d'acord amb una llei
de descompte racional. L'import del descompte serà:
Si “Ve” és la quantitat efectiva a rebre de l'operació de descompte, els interessos
del descompte racional “Id” seran:
Idr= (Ve*d*n).
La quantitat efectiva “Ve” que rebrem serà:
Ve= Cn – (Ve*d*n)
14
Tema 13. Conceptes bàsics de
matemàtica financera i d'anàlisi
de rendibilitat d'operacions,
casos de negoci i projectes d'inversió
© Tea Cegos, S.A. 2016
ECONOMIA, BANCA I MERCATS FINANCERS
Pel que,
Ve+ (Ve*d*n) = Cn; Ve*(1+d*n) = Cn;
És a dir:
Ve= Cn / (1+d*n)
Pel que podem posar tot referit a la fórmula general anterior:
Idr = [Cn / (1+d*n)] * d * n
Si ens fixem, és molt senzill d'entendre ja que és l'operació contrària de la
capitalització simple. En efecte, en aquella fèiem:
Cn =C0+ C0* i*n = C0* (1+i*n);
aïllant tenim:
C0 = Cn / (1+i*n) que no és sinó la nostra formula de: Ve= Cn / (1+d*n)
COMPARACIÓ ENTRE DESCOMPTE COMERCIAL I
DESCOMPTE RACIONAL
Si comparem ambdues “fórmules”, veiem que la quantitat d'interessos del
descompte comercial és superior a la del descompte racional:
Idc” = Cn*d*n
Idr = [Cn / (1+d*n)] * d * n
15
Tema 13. Conceptes bàsics de
matemàtica financera i d'anàlisi
de rendibilitat d'operacions,
casos de negoci i projectes d'inversió
© Tea Cegos, S.A. 2016
ECONOMIA, BANCA I MERCATS FINANCERS
Si dividim entre elles les dues expressions, tenim:
Idc / Idr = 1/ [1/(1+d*n)] = (1+d*n);
Amb el que obtenim l'expressió que lliga un tipus de descompte i l’altre amb
aquesta “quantitat superior”:
Idc = Idr * (1+d*n)
CAS ESPECIAL DE LES LLETRES DEL TRESOR
Les lletres del tresor són actius emesos al descompte ja que el comprador cobra,
al final del període d'emissió, el valor nominal i paga, a l'inici del període, el valor
efectiu o descomptat. Les emeses a terminis iguals o inferiors a 12 mesos es
calculen aplicant les fórmules del descompte racional. En canvi, les que
s'emeten a 18 mesos es calculen aplicant les fórmules de l'interès compost. Ara
ens referirem únicament a les lletres del tresor a 12 mesos, que, per tant, utilitzen
les fórmules del descompte racional simple.
Les lletres del tresor tenen un valor nominal de 1.000,00 EUR. Les emeses a 12
mesos (o 52 setmanes) tenen una vida exacta de 364 dies: les subhastades, per
exemple, el 19 d'abril vencen el 18 d'abril de l'any següent. En la subhasta es fixa
el preu mitjà: és el que ha de pagar el comprador per cada 100,00 EUR. Així, un
preu mitjà de 96,90 EUR indica que, per adquirir 100,00 EUR, cal pagar 96,90 EUR.
(Es tracta, per tant, d'un percentatge)
Exemple1. Si el Tresor publica les següents dades d'una subhasta de lletres a 12
mesos:
Data de liquidació: 15 de juny
Preu mitjà: 97,547 EUR
Indiqueu:
Valor nominal de la lletra:
Valor efectiu:
Data de venciment
16
Tema 13. Conceptes bàsics de
matemàtica financera i d'anàlisi
de rendibilitat d'operacions,
casos de negoci i projectes d'inversió
© Tea Cegos, S.A. 2016
ECONOMIA, BANCA I MERCATS FINANCERS
Import del descompte:
Solució:
Valor nominal de la lletra: 1.000,00 EUR
Valor efectiu: 975,47 (Ja que el preu mitjà és de 97,547 per cada 100 EUR
Data de venciment: 14 de juny de l'any següent
Import del descompte: 24,53
El tipus d'interès nominal s'obté aplicant la següent fórmula:
Exemple 2. Calculeu el tipus d'interès amb les dades del cas anterior, utilitzant
dos criteris de càlcul que fixa el Tresor: Usar com a base de l'any 360 dies (any
comercial) i el tipus d'interès resultant no arrodonir-lo sinó truncar-lo al cinquè
decimal (o tercer del percentatge).
Solució:
Utilitzant la formula anterior direm:
En definitiva, s'obté el tipus d'interès que surt publicat a la subhasta. Si el
comprador basa els seus càlculs en l'any natural (365 dies), quan apliqui la
fórmula anterior obtindrà un tipus d'interès lleugerament superior
17
Tema 13. Conceptes bàsics de
matemàtica financera i d'anàlisi
de rendibilitat d'operacions,
casos de negoci i projectes d'inversió
© Tea Cegos, S.A. 2016
ECONOMIA, BANCA I MERCATS FINANCERS
Una altra operació comuna, en lletres del tresor, és calcular el descompte i, en
conseqüència, el valor efectiu, quan es coneix el tipus d'interès. S'ha d'utilitzar la
fórmula del descompte racional:
Exemple:
Calculeu l'import que ha d'abonar-se per una lletra del tresor a 12 mesos si el
tipus d'interès resultant de la subhasta és del 2,487 %.
Valor del descompte:
Valor efectiu:
VARIACIONS AL CAPITAL. “NÚMEROS COMERCIALS”
En les operacions de capitalització pot ocórrer que, al llarg del temps, variï el
capital o el tipus d'interès, o ambdues coses alhora. La variació del tipus d'interès
és menys freqüent. Força més corrent és la variació del capital; un cas típic és el
del compte corrent bancari, que sol registrar freqüents moviments de diners.
Per calcular els interessos, en aquest cas, cal considerar tants períodes com
capitals diferents existeixin al llarg del temps de capitalització. Després se
sumaran els interessos de tots els períodes.
18
Tema 13. Conceptes bàsics de
matemàtica financera i d'anàlisi
de rendibilitat d'operacions,
casos de negoci i projectes d'inversió
© Tea Cegos, S.A. 2016
ECONOMIA, BANCA I MERCATS FINANCERS
Gràficament, l'operació pot resumir-se d'aquesta manera:
Dividim el temps total en tants períodes (n1, n2, n3...) com a capitals diferents
existeixin (C0, C1, C2...).
Fins ara, havíem denominat C0 al capital inicial i Cn al capital final d'una
operació de capitalització. En el gràfic que acabem de veure, hi ha diversos
capitals i, en conseqüència, diversos períodes, de manera que el capital inicial
d'un període es correspon amb el capital final del període immediatament
anterior. Per tant:
En el període n1 el capital inicial és C0 i el final, C1
En el període següent, n2, el capital inicial és C1 i el final, C2.
I així successivament.
El capital inicial C0 roman sense variació durant el temps n1. Després, s'ingressen
o reintegren diners obtenint-se un altre capital C1 que roman invariable durant
un altre període n2. El següent moviment dóna lloc a un altre capital C2 durant
un temps n3, etc.
En cadascun dels cinc períodes es produeixen, respectivament, els interessos I1,
I2, I3, I4, I5, però considerem que no se sumen al capital perquè aquest és un cas
d'interès simple. La suma d'I1+ I2+ I3+ I4+ I5 són els interessos simples totals
reportats durant el temps total de capitalització.
Els interessos de cada període seran, respectivament:
n1 n2 n3 n4 n5
períodes
capitals Co C1 C2 C3 C4
19
Tema 13. Conceptes bàsics de
matemàtica financera i d'anàlisi
de rendibilitat d'operacions,
casos de negoci i projectes d'inversió
© Tea Cegos, S.A. 2016
ECONOMIA, BANCA I MERCATS FINANCERS
Per tant, la fórmula per trobar la suma d'interessos de tots els períodes serà:
Es tracta, en definitiva, d'aplicar la fórmula de l'interès simple per a cadascun
dels períodes. El tipus d'interès (i) és comú, però cada capital i temps de
capitalització poden ser diferents. Per això, es pot treure “i” com a factor comú,
obtenint-se:
El producte de cada capital pel temps del seu respectiu període C0· n1, C1· n2...
rep el nom de número comercial; el representarem amb la lletra N. Així:
En el càlcul dels números comercials de comptes corrents bancaris el temps
s'expressa en dies, ja que el capital pot variar diàriament.
La utilització de nombres comercials ens porta a la fórmula:
L'aplicació d'aquesta fórmula resulta més senzilla que calcular els interessos de
cada capital diferent
Exemple:
Un particular obre un compte en una entitat financera, al 3 % anual, realitzant un
ingrés inicial de 2.580,00 EUR. Al cap de 20 dies ingressa 720,00 EUR més; 35 dies
després en retira 600,00; 80 dies més tard n’ingressa 1.500,00; finalment, 60 dies
després l'entitat liquida els interessos. Completeu l'esquema que representa els
moviments d'aquest compte:
20
Tema 13. Conceptes bàsics de
matemàtica financera i d'anàlisi
de rendibilitat d'operacions,
casos de negoci i projectes d'inversió
© Tea Cegos, S.A. 2016
ECONOMIA, BANCA I MERCATS FINANCERS
Període Moviments Capital Durada
dies
1 + 2.580,00 2.580,00 20
2 + 720,00 3.300,00 35
3 - 600,00 2.700,00 ………………
4 ………………… ……………… ………………
Solució:
Període Moviments Capital Durada
dies
1 + 2.580,00 2.580,00 20
2 + 720,00 3.300,00 35
3 - 600,00 2.700,00 80
4 + 1500,00 4.200,00 60
Exemple:
Completeu els números comercials de l'exemple anterior:
N1= 2.580,00 *20 = 51.600,00
N2 =
N3 =
N4 =
Solució:
21
Tema 13. Conceptes bàsics de
matemàtica financera i d'anàlisi
de rendibilitat d'operacions,
casos de negoci i projectes d'inversió
© Tea Cegos, S.A. 2016
ECONOMIA, BANCA I MERCATS FINANCERS
Els números comercials es calculen amb el temps expressat en dies. Com que el
tipus d'interès es refereix a l'any, caldrà dividir els números comercials per 365, per
convertir-los en anys:
Aplicant la fórmula anterior es poden trobar els interessos totals obtinguts en
concloure l'últim període de l'exemple anterior. (Recordem que el tipus d'interès
nominal és del 3 %.)
Una altra forma de trobar els interessos d'un compte es basa en el càlcul del
saldo mitjà creditor. Tornem a l'exemple anterior:
Saldo Dies
2.580,00 EUR 20
3.300,00 EUR 35
2.700,00 EUR 80
4.200,00 EUR 60
195
Mètode:
1-. Es calcula el saldo mitjà:
22
Tema 13. Conceptes bàsics de
matemàtica financera i d'anàlisi
de rendibilitat d'operacions,
casos de negoci i projectes d'inversió
© Tea Cegos, S.A. 2016
ECONOMIA, BANCA I MERCATS FINANCERS
És a dir:
2-. Calculeu els interessos considerant que el capital inicial és igual al saldo mitjà:
Fins ara hem suposat que el tipus d'interès romania constant. Normalment és així,
però de vegades les circumstàncies dels mercats, o la importància dels saldos
dels comptes, fan que es modifiquin els tipus de retribució dels dipòsits en les
entitats financeres. En aquest cas, es dividirà el temps en tants períodes com
variacions de tipus d'interès hi hagi hagut i es calcularan interessos per a
cadascun, aplicant el seu tipus corresponent.
Exemple:
Imaginem que un banc aplica un tipus d'interès del 4 % anual a determinats
comptes dels seus clients. Però, a causa d'un descens generalitzat dels tipus, el
banc modifica el tipus d'interès d'aquests comptes, segons el següent criteri:
3,75 % a partir de l’1 d'abril.
3,50 % a partir de l’1 de setembre.
Calculeu els interessos que percebrà un client que durant tot l'any ha mantingut
un saldo constant de 12.000,00 EUR en el compte.
23
Tema 13. Conceptes bàsics de
matemàtica financera i d'anàlisi
de rendibilitat d'operacions,
casos de negoci i projectes d'inversió
© Tea Cegos, S.A. 2016
ECONOMIA, BANCA I MERCATS FINANCERS
Solució:
Un altre motiu que obliga a aplicar un tipus d'interès variable són els dipòsits que
es remuneren per trams, segons la quantia del saldo. Per exemple: els primers
1.000,00 EUR no tenen cap retribució; des de 1.000,01 a 5.000,00, l'1 % anual; des
de 5.000,01 fins a 10.000,00, el 2 %; des de 10.000,01 endavant, el 4 %, etc.
Exemple:
Un client manté durant un any un dipòsit de 12.000,00 EUR pels quals rep un
interès variable (en les condicions que es mostren a continuació). Calculeu els
interessos produïts per cada interval de capital:
Intervals Tipus d'interès anual Capital
Primers 1.000,00
1.000,01 a 5.000,00
5.000,01 a 10.000,00
10.000,01 i més
0 %
1 %
2 %
4 %
Totals
1.000,00
4.000,00
5.000,00
2.000,00
12.000,00
24
Tema 13. Conceptes bàsics de
matemàtica financera i d'anàlisi
de rendibilitat d'operacions,
casos de negoci i projectes d'inversió
© Tea Cegos, S.A. 2016
ECONOMIA, BANCA I MERCATS FINANCERS
Solució:
El temps (n) és 1 perquè el capital es manté constant durant tot l'any. El tipus
d'interès variable pot aplicar-se per diferents motius. Hem vist els dos principals.
En qualsevol cas, es dividirà el temps de capitalització en tants períodes com
sigui necessari i s'aplicarà, a cadascun, el seu tipus d'interès.
INTERÈS SIMPLE ANTICIPAT
El més normal és que els interessos es cobrin al final del període de capitalització.
Però també poden cobrar-se al principi. Aquest fet, no és tan estrany ja que
freqüentment en la vida real, ocorre que quan es col·loca un capital en una
entitat financera es rep com a remuneració algun bé. Aquest bé es rep en
formalitzar l'operació i, al final, es recuperarà el mateix capital que es va
col·locar.
Suposem, per exemple, que un banc lliura com a element d'interessos un bé de
consum durador, el preu de mercat del qual és 230,00 EUR, a aquells clients que
dipositin, durant un any, un capital d'11.500,00 EUR. L'import dels interessos és
230,00 EUR (per ser el preu del bé amb el qual es remunera al client). El tipus
d'interès que l'entitat ha pagat a compte s'obté dividint els interessos entre el
capital invertit: 230,00 / 11.500,00 = 0,02.
Però els 230,00 EUR d'avui no són el mateix que 230,00 EUR d'un any després. Per
tant, els interessos que hem calculat (anticipadament) no seran els mateixos que
si el càlcul el féssim al venciment. Per fer el càlcul al venciment, haurem de
suposar que el capital inicial és el capital dipositat menys l'import del bé rebut; és
a dir:
C0 = 11.500,00 – 230,00 = 11.270,00 EUR.
25
Tema 13. Conceptes bàsics de
matemàtica financera i d'anàlisi
de rendibilitat d'operacions,
casos de negoci i projectes d'inversió
© Tea Cegos, S.A. 2016
ECONOMIA, BANCA I MERCATS FINANCERS
Per calcular ara el tipus d'interès al venciment hem d'aplicar la formula
coneguda de:
i = I / Co*n
És a dir:
230,00/ 11.279,00 *1 = 0,0204
El tipus d'interès anticipat (que indicarem amb el símbol “i’”) es pot calcular a
partir del tipus d'interès al venciment (que indicarem amb el símbol “i”), aplicant
la fórmula general del descompte:
i’ = i /(1+(i*n)
A partir d'aquesta fórmula es pot obtenir la inversa, que permet conèixer el valor
d'”i”:
i = i’/ (1- i’*n)
Així, en l'exemple anterior: I = 0,02 / (1- 0,02*1) = 0,0204
OPERACIONS A INTERÈS COMPOST
CAPITALITZACIÓ COMPOSTA
DEFINICIÓ I ACLARIMENT SOBRE TANTS NOMINALS I
EFECTIUS EN LA CAPITALITZACIÓ COMPOSTA
El preu del finançament se satisfà i s'acumula al final de cada període “p”. Així
doncs, aquests interessos són “productius”, mentre s'acumulen al capital inicial
produint variacions discretes en la seva quantia. El preu del finançament es
determina a través d'un tant nominal d'interès “i” que és proporcional a la
quantia acumulada a l'inici de cada període i a la seva extensió. Al final del
26
Tema 13. Conceptes bàsics de
matemàtica financera i d'anàlisi
de rendibilitat d'operacions,
casos de negoci i projectes d'inversió
© Tea Cegos, S.A. 2016
ECONOMIA, BANCA I MERCATS FINANCERS
termini de tota l'operació, és a dir, de la suma dels períodes, es lliura la quantia
total acumulada. És a dir:
Moment al final de
cada període
Càlcul de les quanties Factor comú Quantia final
0 Co Co Co
1 Co+ Co*i Co*(1+i) Co*(1+i)
2 [Co*(1 + i)] + [Co*(1 + i)]*i Co*(1+i)* (1+i)) Co*(1+i)^2
3 [Co*(1+ i) ^2] + [Co*(1 + i)
^2]*i
Co*(1+i)*(1+i)*(1+i) Co*(1+i) ^3
… … … …
N … … Co*(1+i)^N
Cal recordar que en aplicar la formula general de la capitalització a interès
compost:
CN = Co*(1+i)^N
Podem obtenir el capital inicial aïllant en la formula anterior:
Co = CN / (1+i)^N = CN * 1/(1+i)^N
L'expressió (1+i)^N és fonamental, ja que qualsevol capital inicial multiplicada
per ella ens permet trobar el capital final i dividint per ella un capital final
obtenim el capital inicial. En tots dos casos a interès compost. Quan “multiplica”
se l’anomena “factor de capitalització” i quan “divideix” se l’anomena “factor
d'actualització”. Encara que avui dia amb els ordinadors personals i “tablets” ja
no és necessari, encara poden trobar-se taules financeres que faciliten
enormement els càlculs en donar prèviament resoltes les expressions:
(1+i)^N i
1/(1+i)^N
El terme “i” o tant efectiu d'interès i “N”, el nombre de períodes, hauran de venir
expressats d'acord amb la periodicitat de temps. Per això, és imprescindible el
27
Tema 13. Conceptes bàsics de
matemàtica financera i d'anàlisi
de rendibilitat d'operacions,
casos de negoci i projectes d'inversió
© Tea Cegos, S.A. 2016
ECONOMIA, BANCA I MERCATS FINANCERS
que a tot moment es distingeixi mentre nominal d'interès “j” i el tipus efectiu
d'interès “i”. És a dir que, a l'hora de resoldre qualsevol problema de
capitalització o actualització, haurem d'utilitzar tots dos tipus d'interès amb un
subíndex “k” referit al període amb el qual estiguem treballant, ja siguin
trimestres, mesos, semestres, etc. Quan tan sols disposem del tant nominal
haurem de transformar-ho en tant efectiu o viceversa. Per això direm:
Jk és el tant nominal, on “k” és el nombre de parts en què es divideix l'any
i per tant el nombre de vegades que es produeix l'acumulació d'interessos
al capital principal al llarg de l'any. Vr. Gr.: J1 és el tant nominal
acumulable per anys, J2, Ídem aneu per semestres, etc.
Ik és el tant efectiu “k -esimal”. És amb el qual hem d'operar i s'obté de
dividir el tant nominal d'interès Jk, per les “k -èsimes” parts de l'any. És a dir:
Ik = Jk / K
En definitiva, si el tipus d'interès i el període de liquidació d'interessos són anuals,
el temps total de capitalització també haurà d'expressar-se en anys. Si figura en
altres unitats (mesos, dies...) haurà de tenir-se en compte que per convertir:
Dies en anys, s'hauran de dividir els dies entre 365. (O 360, segons el cas.)
Mesos en anys, s'hauran de dividir els mesos entre 12.
Trimestres en anys, s'hauran de dividir els trimestres entre 4. Etc.
Per exemple:
60 dies són 0,1644 anys (60 / 365).
6 mesos són 0,5 anys (6 / 12).
4 trimestres són 1 any (4 / 4).
1 any i 3 mesos són 1,25 anys (15 / 12).
Hi ha una gran diferència entre la capitalització a interès simple i la realitzada a
interès compost per aquesta acumulació dels interessos al final de cada període.
28
Tema 13. Conceptes bàsics de
matemàtica financera i d'anàlisi
de rendibilitat d'operacions,
casos de negoci i projectes d'inversió
© Tea Cegos, S.A. 2016
ECONOMIA, BANCA I MERCATS FINANCERS
Vegem un exemple:
Moment al
final de cada
període
Capitalització simple al 6%
Capitalització composta al 6%
0 100 100 100 100
1 100*(1+0,06*1) 106 100*(1+i)^1 106
2 100*(1+0,06*2) 112 100*(1+i)^2 112,36
3 100*(1+0,06*3) 118 100*(1+i)^3 119,10
4 100*(1+0,06*4) 124 100*(1+i)^4 126,25
5 100*(1+0,06*5) 130 100*(1+i)^5 133,82
6 100*(1+0,06*6) 136 100*(1+i)^6 141,85
7 100*(1+0,06*7) 142 100*(1+i)^7 150,36
8 100*(1+0,06*8) 148 100*(1+i)^8 159,38
9 100*(1+0,06*9) 154 100*(1+i)^9 168,95
10 100*(1+0,06*10) 160 100*(1+i)^10 179,08
11 100*(1+0,06*11) 166 100*(1+i)^11 189,83
… … … … …
N 100*(1+0,06*N) Co *(1+i*N) 100*(1+i)^N Co *(1+i)^N
L'anterior es veu millor encara en un gràfic:
29
Tema 13. Conceptes bàsics de
matemàtica financera i d'anàlisi
de rendibilitat d'operacions,
casos de negoci i projectes d'inversió
© Tea Cegos, S.A. 2016
ECONOMIA, BANCA I MERCATS FINANCERS
CÀLCULS EN INTERÈS COMPOST I FÓRMULES DE BASE
1r. Identificar la incògnita o la dada a calcular. Pot ser Cn, C0, I, i , n.
2n. Identificar les dades conegudes i els seus valors.
3r. Seleccionar la fórmula adequada.
4t. Substituir, en la fórmula seleccionada, els valors de les dades conegudes.
5è. Realitzar els càlculs necessaris per trobar el resultat, és a dir, el valor de la
incògnita.
La forma més ràpida de calcular el valor del capital inicial (C0), el temps (n) o el
tipus d'interès (i) consisteix a aïllar la incògnita corresponent de la fórmula
general:
Cn = C0 *(1 + i) ^n
Aquestes són les fórmules resultants:
Capital inicial (o actual):
Tipus d'interès nominal:
Temps:
30
Tema 13. Conceptes bàsics de
matemàtica financera i d'anàlisi
de rendibilitat d'operacions,
casos de negoci i projectes d'inversió
© Tea Cegos, S.A. 2016
ECONOMIA, BANCA I MERCATS FINANCERS
Aquestes fórmules es dedueixen de la manera que s'indica a continuació:
CÀLCUL DEL TANT D'INTERÈS NOMINAL
Partint de la fórmula general Cn = C0 (1 + i) * n, es traspassa C0 al primer
membre. Per aïllar “i” cal eliminar en primer lloc l'exponent “n” traient l'arrel
enèsima de tots dos membres:
finalment, es traspassa l'1 al primer membre:
Exemple.
Calcular el tipus d'interès nominal necessari perquè 20.000,00 EUR tinguin un valor
futur de 21.000,00 EUR d'aquí a 3 anys, si el càlcul es fa a interès compost.
Per calcular l'arrel cúbica es pot recórrer a la calculadora:
ja que “i” ve expressat en tant per un, el resultat ha de multiplicar-se per 100 per
obtenir el tant per cent, que serà 1,64 % (per arrodoniment decimal).
31
Tema 13. Conceptes bàsics de
matemàtica financera i d'anàlisi
de rendibilitat d'operacions,
casos de negoci i projectes d'inversió
© Tea Cegos, S.A. 2016
ECONOMIA, BANCA I MERCATS FINANCERS
CÀLCUL DE LA FÓRMULA DEL TEMPS (INTERÈS COMPOST)
Partint de la fórmula Cn = C0 (1 + i) * n, es traspassa C0 al primer membre. Per
aïllar “n", que és un exponent, cal calcular logaritmes en tots dos termes de la
igualtat:
En fer aquesta operació poden aplicar-se dues regles bàsiques de les operacions
amb logaritmes:
El logaritme d'un quocient és igual al logaritme del dividend menys el
logaritme del divisor
El logaritme d'una potència és igual al producte de l'exponent pel
logaritme de la base:
Per aquest motiu podem escriure la igualtat:
d'aquesta manera:
Per aïllar “n”, traspassem “log (1 + i)” al primer membre, dividint:
32
Tema 13. Conceptes bàsics de
matemàtica financera i d'anàlisi
de rendibilitat d'operacions,
casos de negoci i projectes d'inversió
© Tea Cegos, S.A. 2016
ECONOMIA, BANCA I MERCATS FINANCERS
Exemple
Calculeu el temps necessari perquè un capital de 20.000,00 EUR tingui un valor
futur de 21.000,00 EUR a l'1,64 % nominal anual amb interès compost.
TIPUS D'INTERÈS SPOT I FORWARD
TIPUS D'INTERÈS SPOT
Al tipus d'interès, calculat avui per a un valor futur, se l’anomena “tipus spot” o al
comptat. S'utilitza per calcular el tipus d'interès de compravenda d'actius
financers. Es calcula tenint en compte que, per a cada venciment d'un actiu,
s'estableixen ja els preus de compra futurs.
Per a venciments inferiors a un any, el tipus d'interès es calcula a interès simple i,
per a venciments superiors, s'aplica interès compost.
Exemple
Suposem que un actiu financer de nominal 1.000 EUR, amb venciment a 18
mesos es compra per 953,62 EUR. El tipus spot associat al termini de 18 mesos
vindrà donat en calcular el tipus d'interès de l'operació. És a dir:
ja que el preu de compra dels actius financers varia diàriament, d'acord amb les
condicions del mercat, el tipus spot associat a cada venciment també pot variar
diàriament. Per aquest motiu, si es representen gràficament els tipus spot
associats a cadascun dels venciments, s'obté la que es denomina corba de tipus
d'interès o estructura temporal de tipus d'interès (ETTI).
L'objectiu d'aquesta corba és conèixer avui les expectatives sobre l'evolució dels
tipus d'interès futurs. Així, una corba creixent indicarà que les operacions a més
llarg termini ofereixen un major interès, és a dir, que els tipus evolucionen a l'alça.
Si el resultat és, en canvi, una línia plana, significa que els tipus d'interès es
mantindran invariables.
33
Tema 13. Conceptes bàsics de
matemàtica financera i d'anàlisi
de rendibilitat d'operacions,
casos de negoci i projectes d'inversió
© Tea Cegos, S.A. 2016
ECONOMIA, BANCA I MERCATS FINANCERS
Quan es tenen dos tipus spot corresponents a diferents venciments, és lògic que
el tipus del venciment més curt sigui menor. En aquest cas, pot reinvertir-se l'actiu
que venç abans per obtenir-ne una major rendibilitat.
Vegem-ho en un exemple:
Un actiu A, a 18 mesos, ofereix un tipus d'interès spot de 3,217 %
Un altre actiu B, a 36 mesos, ofereix un tipus d'interès spot de 3,368 %
Transcorreguts els 18 mesos, es podria reinvertir l'actiu A durant uns altres
18 mesos més perquè vencés al mateix temps que l'actiu B.
TIPUS D'INTERÈS “FORWARD” O A TERMINI
Es diu tipus d'interès forward o a termini al tipus d'interès anual al que s'ha de
capitalitzar l'actiu de termini més curt perquè el resultat sigui equivalent al tipus
spot de major venciment.
És a dir, el tipus forward “if” és el que permet aconseguir la següent igualtat:
(1 + 0,03217)1,5* (1 + if)1,5= (1 + 0,03368) ^3 = 3,519 %
Aquest tipus d'interès (3,519 %) és el que ha d'oferir-se a l'actiu A, que venç
d'aquí a 18 mesos, en reinvertir-lo uns altres 18 mesos més, si volem obtenir la
mateixa rendibilitat de l'actiu B.
34
Tema 13. Conceptes bàsics de
matemàtica financera i d'anàlisi
de rendibilitat d'operacions,
casos de negoci i projectes d'inversió
© Tea Cegos, S.A. 2016
ECONOMIA, BANCA I MERCATS FINANCERS
Si plantegem el problema en termes generals:
Actiu A, de venciment anterior, amb tipus spot iA i temps tA.
Actiu B, de venciment posterior, amb tipus spot iB i temps tB.
Tipus forward if.
La representació gràfica serà:
L'equació que permet calcular “if” serà:
(1 + iA)*tA · (1 + if)*tB – tA = (1 + iB)*tB
Els tipus spot utilitzats per al càlcul del tipus forward són tipus d'interès nominals,
normalment referits a l'any. Cal tenir-ho en compte al realitzar els càlculs de
l'equació anterior.
CONSIDERACIONS SOBRE LA CAPITALITZACIÓ PERIÒDICA
DELS INTERESSOS
Hi ha molts productes financers (comptes corrents i d'estalvi, dipòsits a termini,
etcètera) que generen interessos amb una periodicitat semestral, trimestral,
mensual... Es diu freqüència de capitalització el nombre de vegades que es
reporten interessos en un any. Es representa mitjançant la lletra k. Si la meritació
d'interessos és semestral, el valor de la freqüència de capitalització (k) serà 2.
Quan la freqüència de capitalització és superior a 1, cal tenir-ho en compte per
35
Tema 13. Conceptes bàsics de
matemàtica financera i d'anàlisi
de rendibilitat d'operacions,
casos de negoci i projectes d'inversió
© Tea Cegos, S.A. 2016
ECONOMIA, BANCA I MERCATS FINANCERS
calcular el valor futur del capital final aplicant la fórmula general Cn = C0 (1 + i)
^n.
En aquest cas:
El tipus d'interès (i) no serà l'anual sinó el que correspongui a cada període
de liquidació. S'haurà de calcular el tipus d'interès efectiu de freqüència
“k”
El temps (n) serà el nombre total de períodes (semestres, trimestres,
mesos...).
Per això cal introduir en la fórmula anterior dues modificacions:
1. El tipus d'interès corresponent a cada període no serà “i” (tipus d'interès
nominal) sinó "i/k”. Així, si la freqüència és quatre (k = 4), perquè es liquiden
interessos trimestralment, en lloc d'i s'utilitzarà i/4, és a dir, el tipus d'interès
efectiu trimestral
2. El nombre total de vegades que es reporten i capitalitzen interessos no
serà n sinó n · k, que és el nombre total de períodes de meritació
Perquè així la mateixa quedi:
Cal adonar-se que quan k = 1 la fórmula general es redueix a Cn = C0 (1 + i) ^n.
La correcció que acabem de veure ha de fer-se també en les fórmules
derivades. Així, per exemple, per calcular el tipus d'interès s'utilitzarà la fórmula:
Exemple:
Un capital de 5.000,00 EUR s'inverteix durant 5 anys en un actiu financer, al 4,5 %
anual d'interès nominal. Els interessos es reporten mensualment, passant a
incrementar el capital. Calculeu el valor futur del capital acumulat al final de la
inversió.
36
Tema 13. Conceptes bàsics de
matemàtica financera i d'anàlisi
de rendibilitat d'operacions,
casos de negoci i projectes d'inversió
© Tea Cegos, S.A. 2016
ECONOMIA, BANCA I MERCATS FINANCERS
Solució:
Valor de k: 12
Tipus d'interès efectiu mensual:
Valor de C:
En definitiva, com més gran sigui la freqüència de capitalització a interès
compost més vegades es liquidaran interessos al llarg de l'any i, per tant, més
interessos es produiran.
ACTUALITZACIÓ A INTERÈS COMPOST
GENERALITATS SOBRE L'ACTUALITZACIÓ A INTERÈS
COMPOST
L'actualització a interès compost té aplicació, per exemple, en els següents
casos:
Calcular quin capital ha d'invertir-se en una operació financera de
capitalització per obtenir en el futur un capital determinat.
Conèixer el valor actual d'un deute que venç dins d'un temps.
Trobar el valor d'emissió en una operació cupó zero o d'una lletra del
tresor la durada del qual és superior a un any. (Es tracta d'un tipus
d'emissió de títols en la qual el titular no rep interessos durant la vida del
valor, sinó que ho fa íntegrament al moment en el qual s'amortitza el títol.)
A partir de la fórmula Cn = C0 (1 + i) ^n, que indica el valor del capital final o
futur, es pot obtenir la fórmula del capital inicial o actual. N'hi ha prou amb aïllar
C0. En la capitalització a interès compost els interessos s'afegeixen
37
Tema 13. Conceptes bàsics de
matemàtica financera i d'anàlisi
de rendibilitat d'operacions,
casos de negoci i projectes d'inversió
© Tea Cegos, S.A. 2016
ECONOMIA, BANCA I MERCATS FINANCERS
periòdicament al capital, i per això aquest és cada vegada major. Per contra,
en l'actualització a interès compost se suposa que:
El descompte, en cada període de meritació, es va deduint del capital.
El capital és més petit en cada període d'actualització.
El descompte es calcula sobre el valor del capital actualitzat a l'inici de
cada període.
CONSIDERACIONS SOBRE L'ACTUALITZACIÓ PERIÒDICA
DELS INTERESSOS
Fins ara hem suposat que, en l'actualització de capitals, l'aplicació del
descompte es fa una vegada a l'any. És a dir, estem fent la simplificació que el
període d'actualització és igual al període al que es refereix el tipus d'interès, que
gairebé sempre és anual.
Però, igual que la capitalització, l'actualització pot fer-se més d'una vegada a
l'any: semestralment, trimestralment, mensualment... En aquests casos la
freqüència d'actualització és superior a 1. En l'actualització composta es
produeix la mateixa situació, encara que amb un resultat diferent, al de la
capitalització composta:
En la capitalització, com sabeu, en augmentar la freqüència augmenten
també els interessos i, per tant, el capital final.
En l'actualització, en augmentar la freqüència del càlcul d'interessos,
aquests augmenten i, com a conseqüència, disminueix més el capital
actual.
X =
= X
Capital actual
o inicial
Co
Factor de capitalització
(1 + i)n
Factor d'actualització
1 v
(1 + i) n (v
Capital futur
o final
Cn
38
Tema 13. Conceptes bàsics de
matemàtica financera i d'anàlisi
de rendibilitat d'operacions,
casos de negoci i projectes d'inversió
© Tea Cegos, S.A. 2016
ECONOMIA, BANCA I MERCATS FINANCERS
Quan la freqüència d'actualització és superior a 1, no pot aplicar-se la fórmula
que hem utilitzat fins ara per calcular el capital actual. Cal introduir-hi les
mateixes correccions que en la capitalització:
No pot utilitzar-se el tipus d'interès nominal (i) que es refereix a l'any, sinó
només la part que correspon a cada període liquidat, és a dir, el tipus
d'interès efectiu. Així, si la freqüència és quatre (k = 4), perquè s'apliquen
els descomptes trimestralment, en lloc d'i s'utilitzarà l'interès efectiu
trimestral i/4 (en general, i/k).
Cal multiplicar el nombre d'anys (n) per la freqüència d'actualització
anual (k). D'aquesta manera es té en compte el nombre total de períodes
en què s'apliquen els descomptes (n · k).
La fórmula general de la capitalització, quan la freqüència és superior a 1, és:
La fórmula general de l'actualització, quan la freqüència és superior a 1, serà:
Exemple.
Una persona, d'acord amb l'interès garantit d'un fons d'inversió, cobrarà
100.000,00 EUR d'aquí a 10 anys. Quin és el valor actual d'aquest capital si els
interessos es generen trimestralment i el rendiment nominal anual és del 3 %?
Solució:
39
Tema 13. Conceptes bàsics de
matemàtica financera i d'anàlisi
de rendibilitat d'operacions,
casos de negoci i projectes d'inversió
© Tea Cegos, S.A. 2016
ECONOMIA, BANCA I MERCATS FINANCERS
EQUIVALÈNCIA DE CAPITALS
INTRODUCCIÓ
Els diners tenen un "valor temporal", és a dir, el seu preu ha de considerar-se
sempre associat a una data. Dos capitals diferents, en moments diferents, poden
tenir el mateix valor per al seu propietari; diem llavors que, encara que no siguin
iguals, aquests capitals són equivalents.
En definitiva, dos capitals disponibles en dates diferents són financerament
equivalents quan, en referir-los a un mateix moment (mitjançant capitalització o
actualització), els seus imports coincideixen
L'equivalència de capitals serveix per resoldre els problemes d'intercanvi de
diners que es produeixen en les operacions financeres. Permet esbrinar, per
exemple:
El capital que ha de pagar-se en ajornar o avançar un o diversos deutes.
El capital futur obtingut en realitzar aportacions periòdiques a un compte
d'estalvi.
Els pagaments successius necessaris per amortitzar un préstec.
Matemàticament sempre és possible trobar un tipus d'interès que converteixi en
equivalents dos capitals diferents disponibles en dates diferents. Això no implica
que aquest tipus d'interès sigui realista, és a dir, que es pugui considerar normal al
mercat financer.
EQUIVALÈNCIA A INTERÈS SIMPLE
Si un capital de 10.000,00 EUR es remunera a partir d'avui al 5 % anual amb
interessos simples, aquest capital és equivalent a un altre de 10.500,00 EUR
disponible un any després. Dit d'una altra manera: en les condicions exposades,
10.000,00 EUR d'avui són financerament equivalents a 10.500,00 EUR de d’aquí a
un any. O, si volem, un capital de 10.000,00 EUR, disponible avui és equivalent a
40
Tema 13. Conceptes bàsics de
matemàtica financera i d'anàlisi
de rendibilitat d'operacions,
casos de negoci i projectes d'inversió
© Tea Cegos, S.A. 2016
ECONOMIA, BANCA I MERCATS FINANCERS
un altre de 10.500,00 EUR transcorregut un any, si el tipus d'interès anual és del 5
%.
Per saber si 12.000,00 EUR d'avui són matemàticament equivalents a 14.400,00
EUR de d'aquí a dos anys, sent el tipus d'interès del 10 % anual i el càlcul a interès
simple, el procediment que cal efectuar és:
Capitalitzar 12 000,00 EUR al 10 %, durant 2 anys.
Descomptar o actualitzar 14.400,00 EUR al 10 %, durant 2 anys
Així doncs, per comprovar l'equivalència dels dos capitals anteriors cal fer una
d'aquestes operacions que representem gràficament a continuació:
Exemple:
Una empresa ha de pagar avui 3.600,00 EUR a l'empresa B, però a causa que té
problemes de tresoreria li proposa pagar aquest deute d'aquí a cinc mesos
41
Tema 13. Conceptes bàsics de
matemàtica financera i d'anàlisi
de rendibilitat d'operacions,
casos de negoci i projectes d'inversió
© Tea Cegos, S.A. 2016
ECONOMIA, BANCA I MERCATS FINANCERS
compensant-li llavors amb 200,00 EUR addicionals per l'ajornament. Si el tipus
d'interès normal de mercat és del 8 % anual, quin càlcul pot fer l'empresa B per
comprovar si li convé acceptar l'ajornament?
Solució:
Qualsevol de les alternatives següents pot servir-li:
Capitalitzar 3.600,00 EUR, al 8 %, durant 5 mesos.
Descomptar 3.800,00 EUR, al 8 %, durant 5 mesos.
Calculeu els interessos de 3.600,00 EUR, al 8 %, durant 5 mesos
Les dues situacions més simples en les que té aplicació l'equivalència de capitals
són:
Quan es retardi el venciment d'un capital: el nou import serà el capital
equivalent en la data nova. És un cas de capitalització per retard de
venciment.
Quan s'avanci el venciment d'un capital: el nou import serà el seu capital
equivalent en la data en la qual s'avança. És un cas de descompte o
actualització per avançament del venciment.
En ambdues situacions s'estableix equivalència entre dos capitals perquè se
substitueix un per un altre. No obstant això, en la pràctica comercial poden sorgir
situacions més complexes on intervinguin diversos capitals.
Suposem que una empresa ha de realitzar quatre pagaments en dates diferents.
Si desitja efectuar avui un únic pagament que cancel·li tots els seus deutes, la
quantitat a pagar ha de ser financerament equivalent al conjunt de tots els
pagaments previstos inicialment.
Per calcular el pagament únic, caldrà descomptar cada pagament a la data
d'avui. (Aquest capital únic serà igual a la suma dels capitals equivalents, a data
d'avui, de cadascun dels pagaments.) En el supòsit que acabem de plantejar, el
capital únic se satisfà en una data anterior a tots els capitals als quals substitueix,
però no té per què ser forçosament així ja que el pagament únic pot realitzar-se
en qualsevol data anterior, posterior o intermèdia als pagaments parcials. Heus
aquí la representació gràfica:
42
Tema 13. Conceptes bàsics de
matemàtica financera i d'anàlisi
de rendibilitat d'operacions,
casos de negoci i projectes d'inversió
© Tea Cegos, S.A. 2016
ECONOMIA, BANCA I MERCATS FINANCERS
Sempre que es produeix una substitució o un intercanvi de diners ha d'haver-hi
equivalència financera: la suma de capitals aportats ha de ser igual a la suma
de capitals rebuts, referits a una mateixa data i utilitzant un determinat tipus
d'interès per calcular interessos o descompte.
La majoria de les operacions de substitució o d’intercanvi d'un capital per
diversos, o viceversa, són a llarg termini. D'aquí que les capitalitzacions i
descomptes es calculin normalment a interès compost.
EQUIVALÈNCIA A INTERÈS COMPOST
En interès compost:
Per capitalitzar o calcular el capital final, Cn, cal multiplicar el capital
inicial pel factor de capitalització, la fórmula del qual és: (1 + i) ^n, si es
calculen interessos una vegada a l'any o bé, si es calculen els interessis “k”
vegades l'any:
Per actualitzar o calcular el capital actual, C0, cal multiplicar el capital
final, Cn, pel factor d'actualització: 1/(1+í) ^n, si es calculen interessos una
vegada a l'any o bé si es calculen els interessis “k” vegades l'any.
En qualsevol cas, n representa el nombre d'anys de l'operació, mentre que “i” és
el tipus d'interès nominal anual i “k” és la freqüència de capitalització o
43
Tema 13. Conceptes bàsics de
matemàtica financera i d'anàlisi
de rendibilitat d'operacions,
casos de negoci i projectes d'inversió
© Tea Cegos, S.A. 2016
ECONOMIA, BANCA I MERCATS FINANCERS
actualització en un any. El factor d'actualització s'obté dividint la unitat pel factor
de capitalització. Així doncs, en termes matemàtics, el factor d'actualització és
l'invers del factor de capitalització.
Exemple 1:
A quant equivalen avui 20.000,00 EUR disponibles d'aquí a tres anys, si
l'actualització es fa trimestralment al 7 % nominal anual?
Solució: (L'exponent és: 3*4, atès que s'actualitza quatre vegades l'any)
Exemple 2:
A quant equivalen 10.000,00 EUR d'avui, d'aquí a cinc anys, si s'aplica un tipus
d'interès del 6 % nominal anual amb capitalització mensual?
Solució: (L'exponent és: 5*12, atès que s'actualitza dotze vegades l'any)
En la pràctica, els problemes d'equivalència poden ser més complexos, produint-
se operacions financeres de dos tipus:
Intercanvi de capitals: ocorre quan es dóna un flux de capitals de signe
contrari, és a dir, quan existeixen pagaments que es compensen amb
cobraments. Exemple: un préstec en el qual una entitat financera realitza
un desemborsament que després recupera mitjançant una sèrie de
cobraments periòdics
Substitució de capitals: ocorre quan es canvia la data de disponibilitat
d'un conjunt de capitals; és a dir, quan varien les seves dates de
pagament o de cobrament i, en conseqüència, es modifica també la
seva quantia. Exemple: S'endarrereixen uns pagaments compromesos per
determinades dates, i això fa que la seva quantia augmenti
44
Tema 13. Conceptes bàsics de
matemàtica financera i d'anàlisi
de rendibilitat d'operacions,
casos de negoci i projectes d'inversió
© Tea Cegos, S.A. 2016
ECONOMIA, BANCA I MERCATS FINANCERS
En definitiva, l'equivalència es produirà quan el valor de la suma financera dels
cobraments sigui igual al valor de la suma financera dels pagaments, referits tots
ells a una mateixa data i a un determinat tipus d'interès.
Per plantejar les operacions financeres d'intercanvi o de substitució de capitals
resulta útil representar-les gràficament. En el cas d'intercanvi de capitals, la
representació gràfica es fa sobre una línia horitzontal, que indica el temps,
dibuixant-se fletxes perpendiculars que mostren les diferents entrades i sortides de
capital. També sabem que:
Les fletxes cap avall representen sortides de capital (pagaments).
Les fletxes cap amunt representen entrades de capital (cobraments).
Exemple: l'1 de gener, una entitat bancària presta 100.000,00 EUR a un client. El
préstec es retornarà en tres pagaments iguals de 34.000,00 EUR (incloent capital i
interessos), sent les seves dates de venciment l'1 d'abril, l'1 de juliol i l'1 d'octubre.
La representació gràfica del flux monetari, per a l'entitat bancària, seria
En el cas de substitució de capitals, tots ells es representen mitjançant fletxes que
tenen el mateix sentit i estan en el mateix costat que delimita la línia del temps.
Per diferenciar els substituïts i els substitutoris utilitzarem diferents traços de línia:
Els capitals substituïts es representen mitjançant fletxes de traç continu.
Els capitals substitutoris es representen mitjançant fletxes de traç
discontinu.
45
Tema 13. Conceptes bàsics de
matemàtica financera i d'anàlisi
de rendibilitat d'operacions,
casos de negoci i projectes d'inversió
© Tea Cegos, S.A. 2016
ECONOMIA, BANCA I MERCATS FINANCERS
El gràfic que segueix representa que els pagaments que ha de realitzar una
persona l'1 de gener i l'1 de maig són substituïts per uns altres que es realitzaran l'1
de març i l'1 de novembre:
Aplicant un determinat tipus d'interès, la suma del valor actual dels pagaments
de l'1 de març i de l'1 de novembre són equivalents a la suma del valor actual
dels pagaments de l'1 de gener i de l'1 de maig.
Naturalment, el nombre de pagaments substituïts no té per què ser igual al
nombre de pagaments substitutoris. Hem vist en l'intercanvi de capitals que un
únic capital és equivalent a diversos capitals futurs; de la mateixa forma, diversos
capitals futurs poden ser equivalents a un altre únic capital futur (un sol
pagament pot substituir a diversos pagaments).
Veiem que, en qualsevol problema d'equivalència, sigui d'intercanvi o de
substitució de capitals, es compleix el mateix principi:
Els capitals intercanviats o substituïts han de ser equivalents, aplicant el tipus
d'interès establert en l'operació (generalment a interès compost) i tenint en
compte la data de cobrament o pagament de cada capital.
En general, s'aplica el principi d'equivalència de capitals quan se substitueix o
intercanvia:
Un capital per diversos capitals.
Diversos capitals per un sol capital.
Diversos capitals per altres capitals diferents
46
Tema 13. Conceptes bàsics de
matemàtica financera i d'anàlisi
de rendibilitat d'operacions,
casos de negoci i projectes d'inversió
© Tea Cegos, S.A. 2016
ECONOMIA, BANCA I MERCATS FINANCERS
D'ara endavant ens referirem indistintament a substitució o a intercanvi de
capitals, atès que en tots dos casos s'aplica el mateix principi d'equivalència.
Es diu valor financer (o suma financera o capital equivalent) al capital que ha de
pagar-se a canvi d'altres varis que vencen en diferents dates. Com més s'ajorna
el pagament del valor financer que substitueix a diversos, major serà la quantia
d'aquest capital únic ja que en ajornar el pagament del capital es produeixen
més interessos. Per això, si una persona havia de pagar a una altra 10.000,00 EUR
en una data concreta i un any abans d'aquesta data li lliura 3.000,00 EUR. i en la
data prevista li lliura 4.000,00 EUR i li planteja pagar la resta d’aquí a un any;
aplicant l'equivalència de capitals a un mateix tipus d'interès, l'import que hauria
de pagar d’aquí a un any serà igual que el saldo de 3.000,00 EUR, ja que a un
mateix tipus d'interès nominal, 3.000 EUR pagats amb un any d'antelació són
equivalents a 3.000,00 EUR pagats amb un any de demora. Aquesta seria la
representació gràfica de l'exemple anterior, des de la perspectiva del deutor:
Per contra, si en l'exemple anterior, el primer pagament hagués estat de 2.000,00
EUR i el segon de 4.000,00 EUR, el tercer pagament que cancel·larà el deute,
hauria de ser major que 4.000,00 EUR. En aquest cas, el descompte dels 2.000,00
EUR que s'anticipa en un any és inferior als interessos dels 4.000,00 EUR que
s'ajornen en el mateix temps.
En el càlcul financer es plantegen situacions en les quals, a partir d'unes
determinades dades, ha de calcular-se:
L'import del capital (inicial o final).
La data de venciment.
El tipus d'interès de l'operació.
Capitals substituïts 10.000,00
Capitals substitutoris 3.000,00 4.000,00 3.000,00
1 any 1 any
47
Tema 13. Conceptes bàsics de
matemàtica financera i d'anàlisi
de rendibilitat d'operacions,
casos de negoci i projectes d'inversió
© Tea Cegos, S.A. 2016
ECONOMIA, BANCA I MERCATS FINANCERS
L'operació més freqüent és el càlcul de l'import d'un capital equivalent a diversos
capitals.
Suposem que l'1 de gener un comerciant rep un préstec a retornar en quatre
quotes: 10.000,00 EUR, al final del primer any, 15.000,00 EUR, al final del segon,
20.000,00 EUR, al final del tercer i 25.000,00 EUR al final del quart. Els interessos es
calculen anualment al 5 %. El comerciant vol saber quin pagament únic hauria
d'efectuar al final del quart any per cancel·lar els quatre pagaments. En el cas
que no hagi fet efectiu cap pagament fins aquell moment. En aquest exemple
es planteja una substitució de capitals en que:
Diversos capitals són substituïts per un tan sols.
Cal calcular la quantia d'un capital únic.
La data de càlcul del valor financer és el final del quart any
Podem representar l'exemple anterior d'aquesta manera:
Per resoldre el problema serà necessari trobar el valor de cada quota en la data
de venciment comú
1. Per calcular a quant equival la primera quota de 10.000,00 EUR al final del
quart any, caldrà fer un càlcul de capitalització ja que s'endarrereix el
pagament. Sent el tipus d'interès anual del 5 %, el capital equivalent serà
de: 11.576,25 EUR.
[Cn = C0 (1 + i)^n = 10.000,00 (1 + 0,05)^3 = 11.576,25]
2. El capital equivalent de la segona quota, 15.000,00 EUR, es calcularà fent
una capitalització, ja que el pagament es retarda dos anys. Per tant:
Cn = C0 (1 + i)^n = 15.000,00 (1 + 0,05)^2 = 16.537,50 EUR
Capitals
substituïts 10.000,00 15.000,00 20.000,00 25.000,00
Capitals
Substitutoris ?
31/12/any1 31/12/any4 31/12/any2 31/12/any3
48
Tema 13. Conceptes bàsics de
matemàtica financera i d'anàlisi
de rendibilitat d'operacions,
casos de negoci i projectes d'inversió
© Tea Cegos, S.A. 2016
ECONOMIA, BANCA I MERCATS FINANCERS
3. El capital equivalent de la tercera quota es calcularà fent també una
capitalització durant un any:
Cn = C0 (1 + i)^n = 20.000,00 * (1 + 0,05)^1 = 21.000,00 EUR
El capital equivalent de la quarta quota no variarà, ja que la seva data ja
coincideix amb la del venciment comú.
4. Per calcular el capital total equivalent a la data de venciment comú:
Se sumaran els quatre capitals equivalents.
Es capitalitzaran els quatre capitals equivalents a la data de l'últim
pagament
ja que els capitals equivalents ja estan situats en la data de venciment comú, és
a dir, 31/12/de l'any 4.
Per tant, el pagament únic al final del quart any que satisfarà el deute complet
serà:
11.576,25 + 16.537,50 + 21.000,00 + 25.000,00 = 74 113,75 EUR
Hem calculat el capital equivalent, per a una mateixa data de venciment, de
tots els capitals a substituir o intercanviar.
Suposem ara que el comerciant dels exemples anteriors canviés d'opinió i
desitgés cancel·lar el deute el 31/12/ de l'any 2 en lloc del 31/12/ de l'any 4, com
estava inicialment previst. Encara que el problema es podria resoldre valorant
ara cada nou capital a la data del 31/12/any 2 en lloc del 31/12/any 4 (d'una
forma similar a l'efectuada anteriorment), podem aprofitar que coneixem el
deute al 31/12/ de l'any 4, que és de 74.113,75 EUR i buscar el deute equivalent
al 31/12/ de l'any 2 al tipus d'interès anual del 5 %. Per a això n’hi haurà prou amb
actualitzar 2 anys el deute mencionat.
49
Tema 13. Conceptes bàsics de
matemàtica financera i d'anàlisi
de rendibilitat d'operacions,
casos de negoci i projectes d'inversió
© Tea Cegos, S.A. 2016
ECONOMIA, BANCA I MERCATS FINANCERS
En definitiva, una vegada substituïts un conjunt de capitals per tan sols un d'una
data determinada, per conèixer el capital equivalent en una altra data diferent
n’hi haurà prou amb actualitzar o capitalitzar el capital únic substituït a la nova
data desitjada.
Si una empresa pensa sol·licitar un préstec a retornar en tres anys mitjançant
pagaments trimestrals vençuts, en els quals s'inclouen capital més interessos. En
una operació com aquesta es complirà que l'import del capital prestat sigui
equivalent a la suma financera dels pagaments, aplicant un determinat tipus
d'interès. Heus aquí la representació gràfica, des del punt de vista del prestador,
d'una operació d'aquest tipus:
Si calculem el valor financer o capital equivalent de tots els reemborsaments
referint-los a la data inicial (la de desemborsament), s'ha de complir, per a un
determinat tipus d'interès, que:
Capital desemborsat = Suma d'imports ingressats, actualitzats a la data inicial (de
desemborsament)
Exemple:
Suposem que una empresa ha obtingut de la seva entitat financera un préstec
de 20.000,00 EUR a tipus fix i que el pla d'amortització contempla el pagament
de tres quotes anuals (les quals inclouen amortització i interessos): 6.500,00 EUR
d’aquí a un any, 7.500,00 EUR d'aquí a dos anys i 8.500,00 EUR d'aquí a tres anys.
Quina expressió matemàtica reflecteix l'equivalència entre aquests quatre
capitals en la data de concessió del préstec?
Solució:
50
Tema 13. Conceptes bàsics de
matemàtica financera i d'anàlisi
de rendibilitat d'operacions,
casos de negoci i projectes d'inversió
© Tea Cegos, S.A. 2016
ECONOMIA, BANCA I MERCATS FINANCERS
Aquesta equació compara un capital actual (l'import del préstec) amb diversos
capitals futurs en dates diferents (les tres quotes anuals) i actualitza aquests
capitals futurs a la data de disposició del préstec. Com veiem, l'equació té com
a incògnita el tipus d'interès (i). La resolució matemàtica d'aquesta equació pot
ser bastant difícil si el nombre de capitals és elevat. Cal utilitzar un ordinador o,
almenys, una calculadora financera. Quan es coneix el valor final i el valor
actual d'una operació, a més de la durada de la mateixa, és molt fàcil calcular
el tipus d'interès anual.
La fórmula que cal utilitzar es dedueix directament de la fórmula bàsica de la
capitalització, a interès compost:
On:
“n” és la durada de l'operació, expressada en anys.
“i” és el tipus d'interès nominal o anual, en tant per un
Exemple:
Imaginem que avui cal desemborsar 97,30 EUR per un actiu que venç d'aquí a 6
mesos i pel qual es percebran en total 100,00 EUR al venciment. En aquest
cobrament es consideren els interessos més el capital. Quin és el tipus d'interès
de l'operació?
Solució:
51
Tema 13. Conceptes bàsics de
matemàtica financera i d'anàlisi
de rendibilitat d'operacions,
casos de negoci i projectes d'inversió
© Tea Cegos, S.A. 2016
ECONOMIA, BANCA I MERCATS FINANCERS
CRITERIS DE SELECCIÓ I ANÀLISI D'INVERSIONS
INTRODUCCIÓ
Com distingir les inversions rendibles de les no rendibles? Com classificar
correctament els projectes d'inversió de més a menys interessants?.
Els criteris amb base comptable han partit, normalment, del benefici i segons
aquest, es valorava el projecte; no obstant això el benefici no sol ser un bon
criteri per dos fets fonamentals:
Problemes de valoració: La quantia de les amortitzacions és
gairebé sempre discutible. Alguna cosa semblant succeeix amb la
valoració d'existències, així com amb altres comptes.
Problemes per a la consideració del valor dels diners en el temps:
Així les vendes comencen a formar part del benefici al moment en
què es realitzen, no quan es cobren. De la mateixa manera, les
despeses es resten sense tenir en compte el moment del
pagament.
Abandonarem, en conseqüència, els criteris basats en el benefici per fixar-nos en
un fet més objectiu com és el flux de caixa, la variació incremental de tresoreria
per causa del projecte d'inversió, que és el que apareix en els nostres perfils de
fons, ja que encara que les seves dades han de basar-se també en estimacions,
aquestes són menys discutibles. Parlarem, en conseqüència, de mètodes
d'avaluació dels perfils dels projectes.
Quan un actiu genera interessos durant un interval de temps inferior a l'any, es
calcularà la rendibilitat aplicant la fórmula de l'interès simple. Si la durada de la
inversió és superior a l'any, es calcula el tipus d'interès utilitzant la fórmula de
l'interès compost. S'obté així la rendibilitat anualitzada.
52
Tema 13. Conceptes bàsics de
matemàtica financera i d'anàlisi
de rendibilitat d'operacions,
casos de negoci i projectes d'inversió
© Tea Cegos, S.A. 2016
ECONOMIA, BANCA I MERCATS FINANCERS
CRITERI DEL “PERÍODE DE RECUPERACIÓ” O “PAY BACK”
Suposem una inversió amb un desemborsament inicial “D” i generacions iguals
de fons durant la resta de la seva vida. El període de recuperació vindrà donat
per la fórmula:
Pb = D / GF
Veiem que així tindrem el nombre d'anys en els quals es recuperarà la inversió.
Així si el desemborsament inicial és de 1.000 i les generacions de fons són de 400:
Pb = 1.000 / 400 = 2,5 anys
En dos anys i mitjà haurem recuperat la inversió. Si les generacions de fons no són
iguals, el sistema consistirà a anar acumulant generacions de fons fins a arribar a
completar el desemborsament inicial i calcular en quin moment succeeix això.
Aquest criteri té importants problemes que posen seriosament en dubte la seva
validesa:
Oblida el concepte del valor dels diners en el temps.
Oblida el que succeeix després de recuperar-se la inversió. En
efecte, dos projectes resultarien indiferents si tinguessin idèntic “Pay
back”, encara que en anys posteriors un podria ser més avantatjós
que un altre.
CRITERI DE “VALOR ACTUALITZAT NET” (VAN)
El valor actualitzat net és el resultat d'actualitzar les generacions de fons amb el
seu signe corresponent i sumar-les
53
Tema 13. Conceptes bàsics de
matemàtica financera i d'anàlisi
de rendibilitat d'operacions,
casos de negoci i projectes d'inversió
© Tea Cegos, S.A. 2016
ECONOMIA, BANCA I MERCATS FINANCERS
:
Per poder calcular el VAN cal conèixer quina és la taxa d'actualització “K”.
Aquesta “K” representa el cost dels fons per a l'empresa (que és la forma de
mesurar el valor dels diners en el temps). En funció per exemple dels tipus
d'interès vigents i del risc quan aquest es considera. En condicions de certesa,
que són les suposades en aquest capítol, s'usa la taxa lliure de risc, que pot
calcular-se sobre la base de l'interès dels actius financers de l'estat. D'altra banda
sempre haurà de considerar-se el cost d'oportunitat.
El VAN té com a fonament actualitzar al moment actual magnituds d'anys futurs
per així fer-les comparables, d'aquesta manera les inversions amb VAN positiu
serien interessants i aquelles que el tinguessin negatiu serien rebutjables. A més
servirien per fer una classificació dins de les interessants en funció del major o
menor valor actualitzat net, la qual cosa ens donaria el seu grau d'interès.
Pensem que, si l’objectiu és maximitzar la riquesa dels nostres accionistes, el VAN
és el criteri fonamental. En efecte, en descomptar al cost dels fons, el valor
actualitzat net és el valor actualitzat excel·lent, tot allò que el projecte afegeix al
valor de l'empresa.
En qualsevol cas, si les generacions de fons es reinverteixen a un tipus K’ = K, en
actualitzar el valor final al tipus K i restar-li D, arribem al mateix valor actualitzat
net. Estem suposant que les generacions de fons es puguin reinvertir al tipus K, la
qual cosa només és possible de complir si tenim en compte mercats perfectes,
on s'intentarà aconseguir aquesta rendibilitat mínima o es retornarà els fons als
accionistes. Així doncs, en conseqüència, se suposa que es pot obtenir els fons al
tipus K o retornar-los quan no s’aconsegueixi aquest tipus.
54
Tema 13. Conceptes bàsics de
matemàtica financera i d'anàlisi
de rendibilitat d'operacions,
casos de negoci i projectes d'inversió
© Tea Cegos, S.A. 2016
ECONOMIA, BANCA I MERCATS FINANCERS
CRITERI DE L’“ÍNDEX DE RENDIBILITAT” (IR)
El podem definir com el quocient entre les generacions de fons a partir de l'any
u, actualitzades, i el desemborsament inicial:
Consisteix, en definitiva, en posar en forma de ràtio el que el VAN posava en
forma de diferència. Cal observar que el numerador de la fórmula anterior és el
valor actual de totes les generacions de fluxos d'efectiu (exclòs el
desemborsament), després l'IR ens dóna el valor actual obtingut per euro de
desemborsament inicial; quan és major que un el projecte és interessant, quan és
menor no ho és; en això el criteri de l'IR coincideix amb el del VAN. El problema
pot aparèixer a l'hora de classificar projectes, vegem alguns exemples:
Classificació
Projecte VA D VAN IR VAN IR
A 1.000 200 800 5,00 3r. 3r.
B 2.000 200 1.800 10,00 2n. 2n.
C 4.000 1.000 3.000 4,00 1r. 4t.
D 200 10 190 20,00 7è. 1r.
E 600 200 400 3,00 5è. 5è.
F 600 300 300 2,00 6è. 7è.
G 1.000 400 600 2,50 4t. 6è.
H 200 500 (300) 0,40 8è. 8è.
A la vista del quadre anterior, podem observar que si es tracta d'acceptar o
rebutjar inversions, tots dos criteris coincideixen. No obstant això, a l'hora
d'ordenar els projectes, de jerarquitzar-los, veiem que apareixen discrepàncies,
fet que succeeix quan els desemborsaments són molt diferents. Quan ens trobem
davant de projectes excloents, haurem d'optar per un o altre i pot sorgir-nos el
dubte de quin dels dos criteris resulta més adequat, a quin hem de fer cas quan
55
Tema 13. Conceptes bàsics de
matemàtica financera i d'anàlisi
de rendibilitat d'operacions,
casos de negoci i projectes d'inversió
© Tea Cegos, S.A. 2016
ECONOMIA, BANCA I MERCATS FINANCERS
apareixen les discrepàncies. El VAN és un criteri millor per comprovar-ho.
Considerem els projectes:
VAN IR
C 3.000 4,00
D 190 20,00
Com el VAN és positiu en tots dos, hauríem de fer els dos, però si hem de triar-ne
un, hauríem de decantar-nos pel C, ja que afegeix 2.810 M més a l'empresa que
l'A.
Existeix una excepció: que existeixin limitacions de fons, considerem el cas que el
projecte A pogués ser repetitiu, seria més interessant fer 100 vegades l'A abans
que una vegada el C.
CRITERIS DE LA “TAXA DE RENDIBILITAT INTERNA” (TIR), DE LA TAXA ANUAL EQUIVALENT (TAE), DE LA TAXA DE RENDIBILITAT EFECTIVA (TRE) I DE LA TAXA DE RENDIBILITAT REAL PER A l'INVERSOR
LA TIR
Denominarem taxa de rendibilitat interna, TIR, al tipus de descompte que dóna
lloc a un valor actualitzat net igual a zero. És a dir, igualem el VAN a zero i aïllem
el tipus de descompte dels diferents fluxos d'efectiu. Així doncs, la Taxa Interna
de Rendibilitat o TIR, és el tipus d'interès que iguala el valor actual dels fluxs de
caixa positius (cobraments) amb el dels fluxos negatius (pagaments)
Si una persona compra un bo d'empresa, el nominal del qual és de 300,00 EUR,
per 315,00 EUR. El venciment és a 3 anys i per cada any vençut cobra un cupó
de 10,00 EUR. I el cobrament de l'últim cupó coincideix amb l'amortització del
nominal, la igualtat que permet calcular la TIR d'aquesta inversió és:
56
Tema 13. Conceptes bàsics de
matemàtica financera i d'anàlisi
de rendibilitat d'operacions,
casos de negoci i projectes d'inversió
© Tea Cegos, S.A. 2016
ECONOMIA, BANCA I MERCATS FINANCERS
Perquè la taxa de rendibilitat final que s'obté a una inversió coincideixi amb la
seva TIR cal suposar que els fons retirats es reinverteixen al tipus de la TRI. De tot
això podem deduir que, així com en el raonament queda implícita la reinversió
al tipus de cost dels fons, en el TIR, perquè aquesta rendibilitat es mantingui cal
reinvertir a la pròpia TIR. D'altra banda no hi ha diferències conceptuals
importants entre un sistema i un altre, si bé el VAN el que ens donava era
l'increment de valor i el TIR la rendibilitat del projecte.
Els projectes amb VAN major que zero tindran una taxa de rendibilitat interna
superior al cost dels fons i a l'inrevés. Almenys així succeeix en els projectes
convencionals que són aquells amb desemborsament al principi i generacions
de fons positives després. En conseqüència, en aquests casos, no hi haurà
discrepàncies entre el VAN i el TIR a l'hora d'acceptar o rebutjar projectes, però sí
pot haver-n’hi a l'hora de classificar-los.
Si la taxa interna de rendibilitat (TIR) es calcula considerant aquelles despeses
normalment de naturalesa financera que el Banc d'Espanya estableix, llavors
s'obté un altre valor de la rendibilitat anomenat Taxa Anual Equivalent (TAE).
Vegem-ho en un exemple.
Suposem que ha d'amortitzar-se un préstec de 18.000 EUR, mitjançant 60 quotes
mensuals i vençudes (5 anys) al tipus d'interès nominal del 8,65%. Calculem
l'import de la quota mensual, aplicant la fórmula corresponent:
LA TAE
Si la concessió del préstec comporta una comissió d'obertura de l'1 % sobre el
nominal (180 EUR), que s'abona al moment de la concessió, el tipus d'interès
efectiu pagat pel client és, lògicament, superior. Aquest tipus d'interès és la TAE.
57
Tema 13. Conceptes bàsics de
matemàtica financera i d'anàlisi
de rendibilitat d'operacions,
casos de negoci i projectes d'inversió
© Tea Cegos, S.A. 2016
ECONOMIA, BANCA I MERCATS FINANCERS
Es calcularà a partir de la següent equació d'equivalència de capitals (iguala els
cobraments i els pagaments, al moment actual):
El resultat obtingut és i = 0,75661 (7,57%). Aquest valor correspon al tant per cent
nominal de freqüència 12. Per convertir-ho a tant efectiu, aplicarem la fórmula
que ens donarà ja la TAE:
LA TRE
Tant en la TIR com en la TAE s'aplica, a tots els cobraments o pagaments, el
mateix tipus d'interès. No es té en compte, per exemple, que un capital cobrat
s’hagi pogut reinvertir en altres tipus d'interès. Aquest defecte s'esmena utilitzant
la TRE. En aquest tipus de càlcul, més precís que la TIR i la TAE, se segueixen
aquests passos:
1º. Calculeu el valor final de la inversió, tenint en compte el període de
capitalització de cadascun dels cobraments i el tipus d'interès aplicat per a
cada capital.
V F = D1 * (1+i1) ^n1 + D2 * (1+ i2) ^n2 + ... + Dn * (1+ in) ^ nn
D1, D2 ... Dn, representen cadascun dels ingressos.
VF: és el principal, recuperat al final de l'operació.
1, i2 ... in: és el tipus d'interès al que es reinverteix cadascun dels
capitals.
58
Tema 13. Conceptes bàsics de
matemàtica financera i d'anàlisi
de rendibilitat d'operacions,
casos de negoci i projectes d'inversió
© Tea Cegos, S.A. 2016
ECONOMIA, BANCA I MERCATS FINANCERS
n1, n2... nn: és el temps que intervé entre el cobrament de cada
capital i el final de l'operació.
2º. Trobeu el tipus d'interès, a interès compost, tenint en compte el valor final, el
desemborsament inicial i el temps total de l'operació. S'adapta la fórmula de
l'interès en l'equivalència de capitals:
El tipus d'interès (i) obtingut així és la Taxa de Rendibilitat Efectiva (TRE)
Exemple:
Un inversor va adquirir, fa 18 mesos, 1000 accions d'una societat al preu de 12,00
EUR/acció. Als sis mesos de la compra va percebre un dividend de 0,80 EUR per
acció. Avui ven les seves accions a 12,35 EUR. L'equació matemàtica que
calcula la TIR serà:
Per calcular la TIR s'igualen els cobraments i els pagaments al moment de la
inversió. En aquest cas, 12.000,00 EUR és el valor d'adquisició de les accions,
800,00 EUR el valor del dividend i 12.350,00 EUR el valor de venda. Aquests últims
valors s'actualitzen a la data d'adquisició). Fent els càlculs pertinents en la
fórmula anterior s'obté una TIR de 6,574 %. Aquesta taxa de rendibilitat està
suposant que els 800,00 EUR percebuts en concepte de dividend s'han reinvertit
al 6,574 %. Però anem a suposar que es reinverteixen al 3,80 % anual. Per això, la
Taxa de Rendibilitat Efectiva (TRE) expressarà amb major precisió la rendibilitat
que obté el nostre inversor.
59
Tema 13. Conceptes bàsics de
matemàtica financera i d'anàlisi
de rendibilitat d'operacions,
casos de negoci i projectes d'inversió
© Tea Cegos, S.A. 2016
ECONOMIA, BANCA I MERCATS FINANCERS
Com era d'esperar, la TRE és inferior a la TIR, perquè els dividends es reinverteixen,
en aquest cas, a una taxa inferior a la TIR. Si suposem que els dividends no es
reinverteixen, obtindrem la rendibilitat mínima de l'operació, que coincidirà amb
el valor de la rendibilitat simple anualitzada. Si els 800,00 EUR de dividend no es
reinverteixen, llavors:
LA TAXA DE RENDIBILITAT REAL PER A l'INVERSOR
Hi ha diversos factors que poden fer variar la rendibilitat que obté un inversor
d'un determinat actiu, tals com:
Les despeses de gestió que cobra l'entitat.
La retenció fiscal que es realitza en cobrar interessos o dividends.
El tipus de gravamen corresponent a l'inversor en l'IRPF.
La inflació monetària.
Per obtenir la rendibilitat real cal conèixer tots els factors esmentats.
Exemple:
Suposem que un inversor col·loca 1.000,00 EUR en bons cupó zero que
s'amortitzen al 132,50 %, d'aquí a quatre anys. Al moment de l'amortització,
l'entitat financera li cobra 40,00 EUR en concepte de despeses de gestió. Les
preguntes són: Quina capital rebrà en la data d'amortització? Quina és l'equació
matemàtica que permet calcular la TIR?
Solució
El capital que rebrà en la data d'amortització serà de 285,00 EUR (ja que
s'amortitza al 132,50%, els 1 000,00 EUR d'inversió passen a ser 1 325,00 EUR, dels
quals han de deduir-se els 40,00 EUR de despeses).
60
Tema 13. Conceptes bàsics de
matemàtica financera i d'anàlisi
de rendibilitat d'operacions,
casos de negoci i projectes d'inversió
© Tea Cegos, S.A. 2016
ECONOMIA, BANCA I MERCATS FINANCERS
L'equació és:
La TIR obtinguda és del 6,47 % anual.
Suposem, continuant amb l'exemple, que ara l'entitat, d'acord amb la normativa
fiscal, reté a l'inversor un 19 %, sobre els beneficis, a compte de l'IRPF; és a dir,
61,75 EUR (el 19 % de 325,00 EUR). En aquest cas, no percebrà 1.285,00 EUR sinó
1.223,25 EUR En conseqüència, el càlcul de la TIR ens donaria una rendibilitat
inferior al 6,47 % anual que hem calculat abans. L'equació d'equivalència seria
La TIR ara passa a ser del 5,17 % anual.
Però, és més; quan l'inversor en el següent exercici, realitzi la seva declaració de
renda, haurà d'indicar els beneficis que li va produir la seva inversió i tributar per
ella segons el seu tipus marginal impositiu. Suposant que el seu tipus impositiu sigui
del 35 % i que hagi d'imputar a ingressos de l'exercici tot el benefici obtingut,
l'import que haurà de pagar a Hisenda serà de 52,00 EUR (ja que és el 35 % dels
325,00 EUR de benefici, deduïts els 61,75 EUR que ja li va retenir l'entitat al
moment de la liquidació).
L'equació plantejada serveix per calcular la TIR de la inversió (suposant, per
simplificar els càlculs, que el pagament a Hisenda es realitza exactament un any
després del venciment del cupó, o sigui, cinc anys després de la inversió inicial).
Els 52,00 EUR retinguts s'indiquen en la fórmula amb signe negatiu, per ser un
pagament. A més, el factor d'actualització té un exponent de 5, ja que el
pagament a Hisenda es fa el cinquè any posterior al moment de la inversió.
El tipus d'interès obtingut en el càlcul anterior indicarà la TIR després d'impostos,
per tenir en compte el benefici obtingut per l'inversor, però també l'efecte de
fiscalitat del producte.
61
Tema 13. Conceptes bàsics de
matemàtica financera i d'anàlisi
de rendibilitat d'operacions,
casos de negoci i projectes d'inversió
© Tea Cegos, S.A. 2016
ECONOMIA, BANCA I MERCATS FINANCERS
Existeixen productes financers singulars (com les aportacions a plans de pensions,
les imposicions en un compte habitatge, etcètera) que permeten desgravar en
l'IRPF, i això fa que la rendibilitat obtinguda per l'inversor sigui superior a la de
productes semblants sense aquest avantatge. En aquests casos s'utilitza el
concepte de rendibilitat financera fiscal, per comparar la rendibilitat d'un
producte que té avantatges fiscals amb un altre que no les té
Exemple.
Una persona, amb un tipus marginal en el seu IRPF del 24 %, ha invertit en una IPF
a 12 mesos que li ha reportat uns interessos de 4.000,00 EUR. En fer la seva
declaració de renda, ha hagut de pagar 960,00 EUR per aquests beneficis. Si el
tipus d'interès brut anual de la IPF és del 5,30 %, la rendibilitat real per a aquest
inversor serà Inferior a 5,30 %, ja que ha de contemplar-se la despesa que suposa
el pagament a Hisenda. La rendibilitat real dependrà sempre del tipus marginal
de cada inversor.
Suposem ara que el mateix inversor col·loqués el capital en un producte que
tingués suposadament una bonificació fiscal del 40 % (és a dir, només ha de
declarar-se a Hisenda el 60 % dels interessos percebuts). Si el tipus d'interès brut
anual d'aquest producte és també del 5,30 %, la rendibilitat real obtinguda per
l'inversor pel que fa a la IPF de 12 mesos, que no tenia avantatges fiscals, serà
major, ja que hi ha una deducció fiscal del 40 % més petita. La rendibilitat
financera i fiscal d'un producte amb avantatges fiscals, per a un determinat
inversor, equival a l'interès brut anual que hauria d'oferir un altre producte
semblant, sense cap avantatge fiscal, perquè, després d'impostos, proporcionés
el mateix rendiment real anual del producte amb avantatges fiscals. Pot veure's
en el següent exemple numèric:
Producte A
amb avantatges fiscals
Producte B
sense avantatges fiscals
Tipus d'interès brut anual 5,30 % 6,12 %
Tipus d'interès després
d'impostos
4,00 % 4,00 %
Rendibilitat financera i
fiscal
6,12 %
És a dir, encara que el producte A té un tipus d'interès brut anual menor que el
del producte B, la seva rendibilitat financera i fiscal és major (6,12 %), perquè el
tipus d'interès brut anual que ha d'oferir el producte B, sense avantatges fiscals,
per obtenir el mateix tipus d'interès real que el producte A (4,00 %), és del 6,12 %.
62
Tema 13. Conceptes bàsics de
matemàtica financera i d'anàlisi
de rendibilitat d'operacions,
casos de negoci i projectes d'inversió
© Tea Cegos, S.A. 2016
ECONOMIA, BANCA I MERCATS FINANCERS
A més dels impostos, una altra variable externa que afecta a la rendibilitat és la
inflació. La inflació disminueix el poder adquisitiu dels diners que s'ha estalviat, o
sigui, devalua l'estalvi. La inflació és, per tant, un dels principals enemics de
l'estalvi i, conseqüentment, de la inversió.
Així doncs, per calcular la rendibilitat real d'un actiu han de tenir-se en compte:
Les despeses i comissions que cobra l'entitat financera.
La càrrega fiscal que ha de suportar el propietari.
La taxa d'inflació.