近代物理學實驗

Brownian Motion

175

180

185

190

195

200

205

210

215

220

185 190 195 200 205 210 215 220

x

y

組 別：２１組

指導老師：石明豐

助 教：黃智穎

組 員：b92202005 陳韋霖

b92202045 馮韋鈞

b92209031 吳映嫺

b92901093 邱雁亭

2006/3 第 21組 陳韋霖 馮韋鈞 吳映嫺 邱雁亭

1

目錄目錄目錄目錄

一、緒論

A. 布朗運動之發現背景與現象

B. 實驗目的

二、實驗原理

A. 愛因斯坦的推論分析

B. 郎之萬的推導

三、研究方法

A. 研究工具

B. 實驗方法

四、研究結果

A. 數據分析理論推導

B. 實驗數據分析

C. 不同明暗度設定值對同一點之影響

五、討論與建議

A. 討論追蹤程式之改進

B. 討論變因與誤差

六、附錄

A. 實驗日誌(2006 spring)

B. η 之測量方法與誤差來源

C. 布朗運動之應用

D. 參考資料

E. 追蹤程式程式碼

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2

一一一一、、、、 緒論緒論緒論緒論

A. 布朗運動之發現背景與現象

西元 1827年，英國植物學家勞伯‧布朗 (Robert Brown) 利用一般的顯微鏡

觀察懸浮於水中的花粉粒時，發現這些花粉粒會做連續快速而不規則的隨機移

動，這種移動稱為布朗運動 (Brownian motion)。自 1860 年以來，許多科學家都

在研究此種現象。經由謹慎的實驗及討論，科學家發現布朗運動有下列主要特性：

1. 粒子的運動由平移及轉動所構成，顯得非常沒規則而且其軌跡幾乎是處處沒

有切線。

2. 粒子之移動顯然互不相關，甚至於當粒子互相接近至比其直徑小的距離時也

是如此。

3. 粒子越小或液體粘性越低或溫度越高時，粒子的運動越活潑。

4. 粒子的成分及密度對其運動沒有影響。

5. 粒子的運動永不停止。

在西元 1905 年，愛因思坦結合微觀的理想氣體粒子熱運動的概念與巨觀的

流體力學中所描述阻滯力的影響，是第一位成功用數學物理理論來解釋布朗運動

的科學家。此後許多科學家紛紛嘗試對布朗運動提出更精確的解釋，其中以朗之

萬(Langevin)的貢獻最為重要，他從微觀的牛頓第二運動定律出發，得到布朗運

動在短時間與長時間的動態表現，並應證了愛因斯坦的假設。

B. 實驗目的

本實驗利用光學顯微鏡觀察布朗運動，透過錄影與追蹤程式測量懸浮粒子單

位時間內位移的方均值，然後在已知粒徑大小、黏滯係數與溫度的條件之下，可

以得到波茲曼係數。

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3

二二二二、、、、 實驗實驗實驗實驗原理原理原理原理

A. 愛因斯坦的推論分析

假設

假設在一維圓柱體容器度(中心軸設為 x軸)，若粒子數量不均，則由理想氣

體方程式可知滲透壓：

TkP Bρ= dx

dTk

dx

dPB

ρ−=−⇒

滲透壓造成驅使懸浮粒子擴散到濃度低處，卻會受到阻滯力阻礙。由 Stokes’

law知道，液體受阻滯力大小為 6πηaνx。

(η：液體黏滯係數；a：粒子半徑；νx：粒子延 x 方向相對液體的速度)

當兩力達動態平衡

xB avdx

dTk πηρ

6=−

由 Continuity equation(質量守恆)知

dx

vd

dt

d x )(ρρ−=

xd

d

av

Tk

dx

vd

dt

d

x

Bx2

2

6

)( ρπη

ρρ=−=⇒ (擴散方程式)

其中擴散係數a

TkD B

πη6= ……(Einstein’s relation)

懸浮粒子受阻滯力與熱擾動的動態平衡作用，造成獨立運動。

先考慮一維空間的擴散情況

P(∆)：一懸浮粒子在特徵時間 τ(~10-7s)的範圍，在 x 方向位移 ∆ 所對應的機率密

度，P(∆)滿足 1)( =∆∆∫∞∞−

dP ，且具正負對稱的性質 P(∆)= P(-∆)；f(x,t)：代表懸浮

粒子在流體中的滲透壓(osmotic pressure)

粒子相對遷移律(mobility)

懸浮於液體中之

微小粒子的擴散

過程

影響

找出擴散係數 D 與溫度 T 及黏滯係數 η 的關係式

引進數學中的隨機過程理論來描述懸浮粒子的不規則運動，推得

其平均量<x2>與擴散係數 D 的關係。

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4

粒子之數量密度。則由獨立運動的概念

t

txftxfdPtxftxf

∂∂+≈∆∆∆−=+⇒ ∫∞

−∞=∆

),(),()(),(),( ττ (τ很小)

以及2

22 ),(

2

),(),(),(

x

txf

x

txftxftxf

∂∂∆+

∂∂∆−≈∆−

∫∫∫ ∞

∞−

∞

∞−

∞

∞−

∆∆∆∂∂+∆∆∆

∂∂−∆∆⋅≈⋅

∂∂+⇒ dP

x

fdP

x

fdPf

t

ff )(

2)()(

2

2

2

τ

上式可簡化成 ∫∞∞−

∆∆∆=∂∂=

∂∂⇒ dPD

x

fD

t

f)(

2

1, 2

2

2

τ (擴散方程)

解 Dt

x

eDt

Ntxf 4

2

4),(

π= DtrDtx 6,2 22

== (3D)

B. 郎之萬的推導

郎之萬做了一個更加詳細且嚴謹的推導，並且得到了一個更加普遍的解。首

先郎之萬根據牛頓第二運動定律寫下了懸浮粒子的運動方程式

abtF

B

v

dt

vdm

πη6

1),( =+−=

他假設懸浮粒子受到兩種力的作用，第一是先前所討論的黏滯力，另外一個

是快速擾動的力，此力是由液體分子和懸浮粒子，因熱擾動而互相碰撞所產生

的。根據流體力學中的 Stoke’s Law，方程式中等號右邊的第一項B

v− 就是黏滯

力。F(t)稱作隨機力，我們假設此力有下列性質：

1. F(t)與位置 x無關。

2. F(t)的變化與位置隨時間的變化 x(t)相較之下極快

)'()'()( ttAtFtF −= δrr

，A 為任意常數。

3. F(t) 是不規則的 0)( =tFr

而方程式的解如下：

∫ −−−

+=t utt

dum

uFeevtv

0

)( )()0()( ττ

我們可以藉由 F(t)的性質觀察 )(tv 隨時間的行為，取 )(tv 的平均值及方均值

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0)0()( →=>>

−

ττ

ast

tevtv

rr

2

2

2

222

2)1(

2)0()(

m

Ae

m

Aevtv

tas

tt τττ

ττ →−+=>>

−−

依據 partition theorem我們可得平均動能和溫度關係如下

m

Tktv B3)(2=

結合上兩式，經過長時間後的結果(即 t>>τ)，我們得到變動與耗散定律

(fluctuation dissipation theorem)：

TkAB B6= (驗證愛因斯坦動態平衡的觀念)

而在時間上懸浮粒子前後的速度之間的相關性

02

)(2

)0()'()(

'

'

2'

)'('

2

)'(2

→ →

−+⋅==⋅

>>−

−−

>>>>

+−−

−+−

ττ

ττ

τττ

τ

τ

ttas

tt

tandtas

tttttt

em

A

eem

Aetvtvtv

rr

(驗證愛因斯坦獨立運動的概念)

懸浮粒子位移大小之方均值趨於 6Dt(愛因斯坦之推論)

tm

Aeet

m

Atrtr

tas

tt

2

22

2

22

)2

3

2

12()()(

ττ

ττ

ττ →

−−+=><−>>

−−vv

a

Tk

TkABTkB

mBAB

m

AD

B

BB

πη

ττ

6

)6(),(

)(,66

2

2

2

=

==

===⇒

再次驗證愛因斯坦所得之關係式。

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三三三三、、、、研究方法研究方法研究方法研究方法

A. 研究工具

硬體硬體硬體硬體

載玻片(附凹槽佳) 顯微鏡 目鏡 10x/20x/附校正刻度鏡

物鏡 10x/50x/100x 蓋玻片

滴管 無塵紙

麂皮 超音波震盪器

CCD PC

軟軟軟軟體體體體

影像擷取軟體 WinfastPVR 影像處理軟體

粒子軌跡追蹤程式(tracer)

藥品藥品藥品藥品

氧化鋁(Al2O3)粉末 氧化銫(Cs2O)粉末

95度酒精 水(去離子水)

左：氧化銫(Cs2O)粉末

右：氧化鋁(Al2O3)粉末

B. 實驗方法

(一)藥品製備

1.取適量欲觀測粒子粉末(圖左：Cs2O 或 Al2O3)加入含有欲觀測之液體(95度酒

精或去離子水)之燒杯，攪拌均勻。

2.將含有待測溶液之燒杯以超音波震盪器震盪五分鐘，避免粒子產生凝聚的現

象。(在製作 Cs2O 水溶液時相當重要，因為 Cs2O容易凝聚)

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3.由於粒子濃度可能不符所需，可酌情將液體稀

釋。濃度的標準以觀測方便為準，若濃度太高，

使粒子間距離太近，恐影響程式判定。

4.利用滴管吸取少量液體到載玻片上，蓋上蓋玻片

(蓋上蓋玻片時動作需輕柔緩慢，避免產生氣

泡)。利用無塵紙將多餘液體吸乾。

注意：製作酒精溶液時，因酒精表面張力小，蓋上蓋玻片時易產生氣泡，需小

心處理。

(二)影像觀測與擷取

1.將樣本置放於顯微鏡座上，開啟顯微鏡下方光源。

2.先利用低倍物鏡尋找粒子影像，而後再利用高倍目鏡觀測。使用高倍物鏡觀

測時，應先將樣本平台調高至使樣本幾乎(但不要)和物鏡接觸，而後往下調

整，以免破壞樣本。(本次實驗物鏡最高倍率為 50x，100x無法觀測)

3.調到適合焦距時(此時視野中應可清楚看見粒子震動)，再調整前後左右選擇

合適粒子觀測。

(以下為使用 CCD觀測的步驟)

4.完成上述步驟 1~3，再切換顯微鏡的 port(使之從肉

眼觀測改為 CCD觀測)

5.開啟影像擷取軟體 WinfastPVR，此時電腦螢幕的

影像可能過暗或過亮，此時先調整下方光源強

度，使畫面出現模糊的粒子影像，再些微調整焦

距使粒子影像清晰即可。

6.按下錄影鍵，錄影約 10~15秒即可。

注意：錄影中切勿切勿切勿切勿碰觸桌面，秉住呼吸，嚴禁周圍有閒雜人等走動，否則晃動情

形極其嚴重。

(三)刻度校正

1.用細簽字筆在載玻片上劃一道細線(其寬度恰合適)置於顯微鏡座上，開啟顯

微鏡下方光源。

2.物鏡取放大 10倍者，利用電腦擷取 CCD所攝得之影像，計算細線寬度所佔

之 pixel 數。

3.利用有校正刻度的目鏡觀測細線寬度，再比較 CCD觀測後所佔有的 pixel 數

目，計算後可得每個pixel在特定放大倍率下所代表的長度。根據計算結果(在

50x目鏡下)，每個 pixel 所代表的長度為 1.86×10-7m。

計算過程：顯微鏡之目鏡刻度：5mm/100格，觀察細線有 40格→0.4mm，

從經 CCD傳至電腦圖像讀出細線寬度約 215pixel→知每個 pixel所代表的長

度為 1.86×10-7m。

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四四四四、、、、 研究結果研究結果研究結果研究結果

A. 數據分析理論推導

yx ∆∆ &

首先，設一維布朗運動軌跡之方程式為 X(t)，X(0)=0，且當 t>0 時，X(t)是

一個 Normal Random Variable，其 probability density function(簡稱 pdf)

]2

exp[2

1)( 2

2

t

x

txt σπσφ −= ， =σ standard deviation

1

)( 2

−

−=∑

n

xx

因此，若再固定時間間格下觀察布朗運動， )()()( tXstXtX −+=∆ ，s>0，

會成一個標準的高斯分布高斯分布高斯分布高斯分布 ),0( 2tN σ

]2

exp[2

1)( 2

22/1

2 σπσ

xxp

∆−

=∆

同理可得

]2

exp[2

1)( 2

22/1

2 σπσ

yyp

∆−

=∆

故 yx ∆∆ & 之圖形分布為鐘型曲線，σ 決定了樣本分布的精確度。

位移 r

以下將 yx ∆∆ & 簡寫為 x & y

在二維的布朗運動中，我們可以假設位移 x 與 y兩者獨立(statistically

independent)則

]2

)(exp[

2

1)()(),( 2

22

2 σπσ

yxypxpyxp

+−

=×=

轉成極座標變數代換後

]2

exp[2

),( 2

2

2 σπσϕ rr

rp −=

又已知 ϕ&r 也是 statistically independent， )()(),( ϕϕ prprp ×= ，故

πϕ

2

1)( =p ， ]

2exp[]

2exp[

2)( 2

22

022

2

2 σσϕ

σπσ

π rrd

rrrp −=−

= ∫

此種分布稱為 Rayleigh Distribution

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2r ( Bk )

Rayleigh Distribution 之 Distribution Function為

]2

exp[1]2

exp[)( 2

2

2

2

02 σσσ

rdr

rrrD

r−

−=−= ∫

令 2rk = � ]2

exp[1)(2σ

kkD

−−== ，微分後即可得 2rk = 之 pdf

]2

exp[2

1)(

22 σσ

kkp −=

因此，本實驗做出之波茲曼常數(正比於 2rk = )應為一 Exponential Distribution

B. 實驗數據分析

(一)氧化銫在水中

臨界值=141

(x,y)：質心位置 calculated by程式；a：粒子等效半徑 calculated by程式 = ((total

area)/π)0.5；r：粒子位移 = (∆x2+∆y2)0.5。

Tt

drakB 4

*6 32><=

πη 其中 <a>=6.827745 pixels。

p = 1.86×10-7 m/pixel

T = 296 K

t = 0.5s (每 0.5秒取一組(x,y))

η = 1.07×10-3 (水的粘滯係數)

x y ∆x ∆y a r kB

1 212.9586 200.1411 7.247

2 213.8147 201.4271 0.856012 1.285975 7.181 1.544826 3.57222E-24

3 211.5629 201.5993 -2.25174 0.172222 7.203 2.258319 7.63396E-24

4 209.6275 203.6314 -1.93545 2.032073 7.092 2.806291 1.17881E-23

5 210.0742 210.7136 0.446728 7.08218 6.933 7.096255 7.53768E-23

6 210.1472 213.3831 0.073038 2.669596 6.77 2.670595 1.06757E-23

7 204.433 212.6951 -5.71425 -0.68804 6.956 5.755518 4.95848E-23

8 206.6396 213.6314 2.206581 0.936327 6.979 2.397021 8.60048E-24

9 201.8622 214.5819 -4.77741 0.950499 7.069 4.871051 3.55161E-23

10 205.4383 213.4604 3.576158 -1.12153 7.024 3.747897 2.10259E-23

11 207.5349 215.4859 2.096555 2.025505 6.864 2.91517 1.27206E-23

12 212.365 215.214 4.830145 -0.27192 7.313 4.837793 3.50327E-23

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13 212.5539 215.2172 0.188882 0.003218 6.58 0.188909 5.34179E-26

14 212.2032 215.4375 -0.35071 0.220244 6.77 0.414133 2.5672E-25

15 210.2046 215.3892 -1.99858 -0.04828 6.457 1.999164 5.98241E-24

16 208.4988 215.3799 -1.70584 -0.00928 7.674 1.705864 4.3558E-24

17 209.3786 211.7024 0.879814 -3.67752 7.756 3.781295 2.14023E-23

18 209.8884 214.4366 0.509809 2.734245 7.695 2.781367 1.15797E-23

19 206.8739 212.9159 -3.01447 -1.5207 7.569 3.376323 1.70635E-23

20 207.2296 208.7527 0.355657 -4.1632 7.378 4.178368 2.61332E-23

21 207.0242 207.3545 -0.20535 -1.39825 7.527 1.413251 2.98963E-24

22 205.617 205.8134 -1.40721 -1.54107 6.531 2.086896 6.519E-24

23 206.5824 203.309 0.965428 -2.50438 7.313 2.684021 1.07833E-23

24 205.8745 200.6509 -0.70796 -2.65812 7.269 2.750783 1.13264E-23

25 206.1031 203.1471 0.228589 2.496235 6.555 2.506679 9.40539E-24

26 208.9692 206.1981 2.866098 3.050927 7.378 4.186009 2.62289E-23

27 206.5597 199.2627 -2.4095 -6.93538 6.58 7.342018 8.06882E-23

28 203.3808 198.0478 -3.17886 -1.21488 5.863 3.403105 1.73352E-23

29 202.9744 196.5441 -0.40638 -1.50368 5.585 1.557626 3.63167E-24

30 205.3926 196.5056 2.418163 -0.03856 6.956 2.41847 8.75509E-24

31 201.4945 193.9337 -3.89809 -2.57182 7.159 4.67005 3.26454E-23

32 194.1947 194.7056 -7.29976 0.771871 7.247 7.340453 8.06538E-23

33 200.7794 192.7204 6.584694 -1.9852 5.836 6.877442 7.08E-23

34 199.1266 196.7817 -1.6528 4.061276 6.979 4.384712 2.87781E-23

35 201.1438 193.2074 2.017204 -3.5743 7.024 4.104229 2.5214E-23

36 204.4281 192.4661 3.284259 -0.7413 6.979 3.366881 1.69682E-23

37 202.1741 189.157 -2.25401 -3.30909 6.077 4.003829 2.39955E-23

38 204.4844 185.0352 2.310353 -4.1218 6.507 4.725141 3.34202E-23

39 206.4135 186.0844 1.929094 1.049149 4.918 2.195932 7.218E-24

40 207.7347 183.3438 1.321224 -2.74053 6.482 3.04239 1.38551E-23

41 202.6695 182.7576 -5.06529 -0.58624 6.933 5.099105 3.89195E-23

42 200.8434 185.0225 -1.8261 2.264879 6.956 2.909353 1.26699E-23

43 198.5722 185.3948 -2.27119 0.372322 6.864 2.301509 7.92875E-24

44 194.3961 183.1837 -4.17605 -2.21109 7.047 4.725283 3.34222E-23

45 189.4052 180.8849 -4.99088 -2.29881 6.628 5.494849 4.5195E-23

46 189.259 178.1947 -0.14626 -2.69018 4.918 2.694152 1.08648E-23

47 196.9467 181.4244 7.687706 3.229711 6.283 8.338576 1.04079E-22

std 3.116015 2.58149 1.833807 2.40125E-23

mean -0.34809 -0.40688 3.607585 2.44053E2.44053E2.44053E2.44053E----23232323

2006/3 第 21組 陳韋霖 馮韋鈞 吳映嫺 邱雁亭

11

(1) 粒子運動軌跡做圖

175

180

185

190

195

200

205

210

215

220

185 190 195 200 205 210 215 220

x

y

(2) ∆x 與 ∆y 之 distribution

mean(∆x)=-0.348086261;

std(∆x)=3.116015094;

紅線為 Normal distribution

藍線為 實驗數據統計結果

mean(∆y)=-0.406884239;

std(∆y)=2.581490375;

紅線為 Normal distribution

藍線為 實驗數據統計結果

2006/3 第 21組 陳韋霖 馮韋鈞 吳映嫺 邱雁亭

12

(3) 位移 r 之 distribution

mean(r)=3.60758492;

std(r)=1.833807285;

mean(r)=mean(r)×(π/2)0.5;

var(r)=((4-π)/2)×(std(r))2;

紅線為 Rayleigh distribution

藍線為 實驗數據統計結果

(4) kB 之 distribution

std(kB)=2.40125×10-23;

mean(kB)=2.44053×10-23;

lamda(kB)=1/std(kB);

紅線為 Exponential distribution

藍線為 實驗數據統計結果

由實驗數據分析的結果，可以看到我們得到的 kB 值大致如理論推測，呈現

Exponential distribution的趨勢。

(二)氧化鋁在酒精中

臨界值=140

(x,y)：質心位置 calculated by程式；a：粒子等效半徑 calculated by程式 = ((total

area)/π)0.5；r：粒子位移 = (∆x2+∆y2)0.5。

Tt

drakB 4

*6 32><=

πη 其中 <a>=10.66359 pixels

p = 1.86*10^-7 m/pixel

T = 296 K

t = 0.25s (每 0.5秒取一組(x,y))

η = 1.76×10-3 (酒精的粘滯係數)

2006/3 第 21組 陳韋霖 馮韋鈞 吳映嫺 邱雁亭

13

x y ∆x ∆y a r kB

1 603.8111 33.61974 11.396

2 605.5597 31.86108 1.748584 -1.75866 10.808 2.480007 4.72939E-23

3 605.6381 31.7036 0.078443 -0.15748 10.6 0.175934 2.38013E-25

4 606.1532 32.58967 0.515085 0.886075 10.51 1.02491 8.0774E-24

5 606.4783 31.61646 0.325152 -0.97321 10.823 1.026089 8.09599E-24

6 608.2215 31.0734 1.743172 -0.54307 10.705 1.825807 2.56336E-23

7 608.871 30.88308 0.649504 -0.19031 10.51 0.676812 3.52238E-24

8 607.4217 30.44445 -1.44933 -0.43864 10.72 1.514251 1.76318E-23

9 607.1129 30.11531 -0.30878 -0.32914 10.896 0.451307 1.56619E-24

10 606.3269 30.2917 -0.78604 0.176394 10.764 0.805591 4.99032E-24

11 605.0691 29.73853 -1.25782 -0.55317 10.925 1.374084 1.45186E-23

12 605.0276 29.7935 -0.04146 0.054967 10.911 0.068848 3.64488E-26

13 603.3661 29.95943 -1.6615 0.165928 11.041 1.669768 2.14394E-23

14 601.3367 29.0904 -2.0294 -0.86902 11.041 2.207641 3.74763E-23

15 601.3049 29.81686 -0.03183 0.726458 10.94 0.727155 4.06587E-24

16 602.2205 28.98755 0.915671 -0.82931 11.199 1.2354 1.17359E-23

17 602.3211 28.94562 0.10058 -0.04193 11.185 0.108972 9.13116E-26

18 604.4301 30.11469 2.108946 1.169072 11.213 2.411303 4.47098E-23

19 604.9576 30.46602 0.527597 0.351331 11.185 0.633871 3.08959E-24

20 606.0924 29.52809 1.134766 -0.93793 11.041 1.472211 1.66663E-23

21 607.4841 29.73794 1.391695 0.209847 11.241 1.407427 1.52318E-23

22 607.6121 27.92161 0.128022 -1.81633 10.911 1.820836 2.54942E-23

23 606.3544 29.48113 -1.2577 1.559525 11.07 2.003479 3.08652E-23

24 606.5425 27.98726 0.188025 -1.49387 11.27 1.50566 1.74323E-23

25 607.5691 27.37024 1.026638 -0.61702 11.17 1.197789 1.10321E-23

26 605.9671 27.93013 -1.60195 0.559893 11.256 1.696971 2.21436E-23

27 606.5647 26.65941 0.597503 -1.27072 11.056 1.404186 1.51617E-23

28 606.9662 25.30946 0.401567 -1.34995 10.94 1.408415 1.52532E-23

29 607.0393 25.49191 0.073091 0.18245 10.955 0.196546 2.97049E-25

30 607.7198 25.06076 0.680479 -0.43114 11.085 0.805566 4.99002E-24

31 608.1427 25.61006 0.422875 0.549296 10.94 0.693217 3.6952E-24

32 607.3747 24.22226 -0.76794 -1.3878 10.794 1.586101 1.93447E-23

33 607.8179 24.53702 0.443197 0.314758 10.823 0.543596 2.27223E-24

34 607.7643 23.29116 -0.05363 -1.24585 10.705 1.247008 1.19574E-23

35 610.0087 22.53989 2.244364 -0.75127 10.69 2.366765 4.30735E-23

36 610.2193 24.36728 0.210689 1.827386 10.525 1.839492 2.60193E-23

2006/3 第 21組 陳韋霖 馮韋鈞 吳映嫺 邱雁亭

14

37 611.5497 24.23826 1.330312 -0.12902 10.495 1.336554 1.37364E-23

38 610.1534 24.35392 -1.39621 0.115658 10.388 1.400991 1.50928E-23

39 611.3511 24.47707 1.19764 0.123158 10.093 1.203956 1.1146E-23

40 610.5798 24.93072 -0.77126 0.453649 10.061 0.894787 6.15657E-24

41 608.4809 24.87828 -2.0989 -0.05244 10.061 2.099556 3.38965E-23

42 609.6716 24.0143 1.190666 -0.86398 9.885 1.471106 1.66413E-23

43 609.371 24.56765 -0.30062 0.553355 10.077 0.629743 3.04948E-24

44 609.7165 25.42663 0.345509 0.858973 10.061 0.925857 6.59155E-24

45 608.9433 25.84298 -0.7732 0.416351 10.077 0.878172 5.93006E-24

46 608.6113 25.84411 -0.332 0.001132 9.707 0.332002 8.4758E-25

47 609.1786 25.54211 0.567305 -0.302 9.69 0.64268 3.17606E-24

48 608.5318 26.34672 -0.64677 0.80461 9.707 1.03233 8.19478E-24

49 608.6531 27.53532 0.121313 1.188603 9.641 1.194778 1.09768E-23

50 608.1928 26.42032 -0.46032 -1.115 9.624 1.206287 1.11892E-23

51 607.4557 27.00497 -0.73713 0.584648 9.657 0.94084 6.80661E-24

52 606.6884 26.81049 -0.76729 -0.19448 9.69 0.791558 4.81798E-24

53 605.8161 26.5584 -0.8723 -0.25209 9.853 0.907993 6.33964E-24

54 604.6876 26.60785 -1.1285 0.049448 9.788 1.129585 9.81154E-24

55 604.3078 27.7506 -0.37976 1.14275 10.013 1.2042 1.11506E-23

56 606.1957 27.22282 1.887891 -0.52778 9.966 1.960276 2.95484E-23

57 605.4215 26.21531 -0.77424 -1.00751 10.013 1.270638 1.24149E-23

58 603.3627 26.28 -2.05876 0.064684 10.202 2.059781 3.26243E-23

59 602.2386 27.10093 -1.12407 0.82093 10.061 1.391922 1.48981E-23

60 602.2979 26.99935 0.059227 -0.10158 10.187 0.117586 1.0632E-25

61 601.9903 27.5071 -0.3076 0.507755 10.373 0.59366 2.71003E-24

62 603.5696 27.71558 1.579297 0.208476 10.525 1.592998 1.95133E-23

64 604.4267 28.05295 0.857194 0.33737 10.449 0.921195 6.52533E-24

65 604.8307 28.60889 0.403974 0.555946 10.555 0.68722 3.63154E-24

66 605.1136 26.27673 0.282852 -2.33216 10.357 2.349253 4.24384E-23

67 604.242 24.93106 -0.87161 -1.34567 10.63 1.603286 1.97661E-23

68 604.805 25.22963 0.563021 0.298567 10.896 0.637287 3.12298E-24

69 604.4788 25.34262 -0.32618 0.112992 10.911 0.345196 9.16288E-25

70 600.5687 23.76641 -3.91015 -1.57621 10.794 4.215891 1.36672E-22

71 599.0489 23.88817 -1.5198 0.12176 10.94 1.524667 1.78751E-23

72 600.1084 23.3135 1.059573 -0.57467 10.969 1.205377 1.11724E-23

73 598.6117 24.24055 -1.49677 0.927048 11.213 1.760605 2.38355E-23

74 596.7559 25.24183 -1.85582 1.001285 11.056 2.108701 3.41924E-23

2006/3 第 21組 陳韋霖 馮韋鈞 吳映嫺 邱雁亭

15

75 595.9952 25.90722 -0.76067 0.665389 11.41 1.010625 7.8538E-24

76 598.4052 25.8784 2.410017 -0.02882 11.34 2.410189 4.46686E-23

77 598.3584 26.88677 -0.04677 1.008362 11.312 1.009446 7.83549E-24

78 598.1889 29.15084 -0.16955 2.264073 11.424 2.270413 3.96378E-23

79 596.2588 28.18762 -1.9301 -0.96322 11.256 2.157095 3.57798E-23

80 596.7583 28.24987 0.499548 0.062249 11.227 0.503412 1.9487E-24

81 597.0847 27.86569 0.32642 -0.38419 11.113 0.504131 1.95428E-24

82 597.5244 28.88889 0.439679 1.023203 10.867 1.113671 9.53703E-24

83 597.7637 27.47472 0.23928 -1.41417 11.156 1.434266 1.58183E-23

84 599.9163 27.14993 2.152593 -0.3248 10.969 2.176959 3.64418E-23

85 598.4167 27.23986 -1.49963 0.089928 10.882 1.502327 1.73552E-23

86 599.2877 27.52592 0.871077 0.286059 10.94 0.916845 6.46385E-24

std 1.166816 0.87061 0.514959 0.692587 1.83016E-23

mean -0.03949 -0.07255 10.66359 1.276082 1.61661E1.61661E1.61661E1.61661E----23232323

(1) 粒子運動軌跡做圖

22

24

26

28

30

32

34

594 596 598 600 602 604 606 608 610 612 614

x

y

2006/3 第 21組 陳韋霖 馮韋鈞 吳映嫺 邱雁亭

16

(2) ∆x 與 ∆y 之 distribution

mean(∆x)= -0.039488591;

std(∆x)= 1.166815765;

紅線為 Normal distribution

藍線為 實驗數據統計結果

mean(∆y)= -0.072545512;

std(∆y)= 0.870609813;

紅線為 Normal distribution

藍線為 實驗數據統計結果

(3) 位移 r 之 distribution

mean(r)= 1.27608224;

std(r)= 0.69258677;

mean(r)=meanr×(π/2)0.5;

var(r)=((4-π)/2)×(std(r))2;

紅線為 Rayleigh distribution

藍線為 實驗數據統計結果

2006/3 第 21組 陳韋霖 馮韋鈞 吳映嫺 邱雁亭

17

(4) kB 之 distribution

std(kB) = 1.83016×10-23;

mean(kB) = 1.61661×10-23;

lamda(kB) =1/std(kB);

紅線為 Exponential distribution

藍線為 實驗數據統計結果

由實驗數據分析的結果，和前一組實驗數據所繪的圖形相比，可發現這一組

實驗數據的 kB 值更接近理論推測，呈 Exponential distribution。

C. 不同明暗度設定值對同一點之影響

lightdark avr a kB lightdark avr a kB

140 6.665872 2.39509E-23 148 8.103021 2.89063E-23

141 6.827745 2.44053E-23 149 8.309085 2.96699E-23

142 6.991681 2.49177E-23 150 8.537085 3.06248E-23

143 7.160851 2.54411E-23 151 8.766128 3.16738E-23

144 7.328213 2.62125E-23 152 9.020489 3.26952E-23

145 7.511702 2.71272E-23 153 9.312894 3.38168E-23

146 7.705915 2.79616E-23 154 9.634872 3.49573E-23

147 7.897809 2.82628E-23 155 10.05866 3.68634E-23

y = 8E-25x - 9E-23

R2 = 0.976

0

5E-24

1E-23

1.5E-23

2E-23

2.5E-23

3E-23

3.5E-23

4E-23

138 140 142 144 146 148 150 152 154 156

light dark值

kB

2006/3 第 21組 陳韋霖 馮韋鈞 吳映嫺 邱雁亭

18

五五五五、、、、 討論與建議討論與建議討論與建議討論與建議

A. 討論追蹤程式之改進

實驗初期實驗初期實驗初期實驗初期

在實驗初期，為了熟悉實驗流程，當我們可以從 CCD擷取一段粒子運動的

影像後，隨即利用近物實驗室的電腦裡，過去學長姐使用的追蹤程式練習分析。

在經過數次的實驗後，雖然程式可以很漂亮的跑出 kB 值，但是我們卻無法找出

程式追蹤粒子的運算方法，以及其中參數 radius的意義。更有甚者，程式對於任

意選取的影像範圍皆能跑出 kB 值，無論範圍內有粒子與否。因此對於這個追蹤

程式我們無法完全信任，所以在實驗開始的兩週內我們遂決定自行想辦法寫出程

式。

在用 C++(C)寫出現在我們用來分析粒子的程式之前，有一個學長提供了之

前以 Visual Basic寫出的追蹤粒子程式。由於學長提供的程式尚未編譯成執行

檔，故可以用 Visual Basic軟體打開並且加以編輯，所以我們一開始決定先嘗試

改進學長寫的程式，看看是否能達到我們的要求。

學長的學長的學長的學長的 VB 追蹤程式追蹤程式追蹤程式追蹤程式

先說明學長寫的追蹤程式。程式主要可分為手動和自動兩種模式：手動模式

相當的簡單明瞭，程式將影片檔打開之後，按照預設值中輸入的欲分析圖片張

數，將影片分割之後一一取出圖片，之後利用肉眼以及滑鼠在每張畫面一一點取

欲追蹤的粒子的位置，程式遂逐一紀錄下滑鼠點取的座標，最後將這些座標寫入

txt檔儲存；自動模式則是在影片分割後的第一張畫面裡由使用者用滑鼠框選一

個範圍，之後利用程式內的演算法，判定範圍內最黑的像素點(pixel)所在，當作

粒子的中心位置，紀錄下來後並作為下一個分割畫面中選取範圍的中心位置，如

此自動循環執行下去直到所有的分割圖片。

學長的程式不論在手動或自動模式，有幾個缺點是我們希望能改善的。首先

是手動模式：當我們以滑鼠點選粒子的座標後，程式便直接以滑鼠點下去的位置

當作粒子座標紀錄下來，但是顯然以肉眼的判斷還有徒手操作的準確度是不大可

能精確的點在粒子的中心位置，故此最後算出的粒子位移會有不小的誤差，連帶

影響最後得到的 kB 值。其次是自動模式：粒子運動的畫面中，大部分的時候最

黑像素點的位置其實不是粒子中心所在，因此這個判定方法很容易因為影像中的

雜點使得自動追蹤無法正確的跟著我們想要分析的粒子跑，相反的往往會跑到沒

有粒子的地方，紀錄下錯誤的位置，所以更不用提算出的 kB 值是否準確了。

追蹤程式原理追蹤程式原理追蹤程式原理追蹤程式原理

由上述討論出來的結果，我們認為更改學長程式中的手動模式是較為可行的

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方法，我們的想法如下：程式執行之後，同樣的將影片檔開啟後分割，之後以滑

鼠一一點出分割出來圖片中的粒子位置，當程式得到滑鼠的座標後並非直接紀錄

下來，而是對於該座標周圍的像素點進行運算(這裡我們初步要求滑鼠至少要點

在粒子上，比起點在粒子中心這個要求更容易達到)，經過運算後程式即可判定

所點取位置上的粒子的中心所在，並且將中心位置紀錄下來後，換下一張分割畫

面進行同樣的操作。接著下面說明詳細的運算方法：

首先關於像素點：每個像素點所帶有的基本資訊為 RGB三個值，R代表 red、

G代表 green、B代表 blue，畫面中每個像素點的顏色即以 RGB所具有的值表示，

RGB的容許範圍均是由 0 至 255的整數，例如：白色點的 RGB值為

(255,255,255)、黑色點的 RGB值則為(0,0,0)。因此透過計算像素點的 RGB值，

我們可以知道該像素點上是否有粒子佔據。

其次是像素點的判定：CCD所擷取的影像並非只有黑白兩種顏色，而是接

近灰階，換句話說，畫面中一顆粒子的顏色會從中心最黑慢慢往周圍漸漸變淡，

最後變成環境的顏色，所以在程式運算中，需要定義一個臨界值，像素點的 RGB

值經過運算後是在臨界值以內的會被判定為粒子的一部分，相反的若超過臨界值

即會被判定成環境。所以，臨界值的選擇會影響粒子的大小判定，臨界值越小則

表示判定越嚴苛，則粒子被判定的出來的大小會越小；反之的越大。之後會說明

臨界值的定義方法。

最後是粒子的中心：藉由圖片中像素點 RGB 值的資訊以及定義臨界值後，

我們可以算出粒子的中心位置。計算方法是：在分割圖片中的選取範圍內，剔除

雜點之後，留下欲追蹤粒子在範圍中，利用每個像素點的明暗度值(由 RGB經過

計算可得到的明暗度，公式之後說明)，接著利用質心公式即可算出粒子的中心

位置。我們討論之後，相信這個做法應有其準確度。

從從從從 VB 到到到到 C++

經過一番折騰之後，我們發現學長利用 VB寫出的程式相當的複雜，有些程

式指令已經超過我們的能力範圍，所以經過兩個星期的努力之後決定放棄學長的

程式，另起爐灶。恰好此時有同學對於 C語言相當熟稔，對於圖片的格式以及

讀取資料方法知之甚深，請教之後遂決定以 C++寫出現在的追蹤程式。

程式的架構大致與前面說明的相同，只是不再具有開啟影像檔的功能，所以

欲分析粒子的影像檔，則必須先將影像檔利用影像處理程式等時分割出畫面。在

此我們利用的影像處理程式是 Adobe Premiere，將影片每 0.5秒取出一張圖片。

之後將影像一一編號後丟進同一個資料夾內即可進行分析。

在我們的實驗中，取出的圖片是設定為 720×480(pixel×pixel)的 bmp檔。這

裡關於 bmp檔作一些補充說明。以一般格式為 24bit未壓縮的 bmp而言，檔案

最前面的 54個 bit 是所謂的標頭檔(header)毋須理會，之後是像素點的(pixel)資

料，按照 BGR的順序一一儲存，每個 B、G、R 值所佔有的大小均為 8bit意即

為 1個 byte。而且，與我們一般認定由螢幕看到的圖片座標由左而右(座標 x 值)、

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由上而下(座標 y 值)遞增不同，bmp檔儲存圖片的方法是由左而右、由下而上儲

存，意即座標 y 值是顛倒的。除此之外，有個附加條件，bmp要求每一列的的資

料(這裡的列代表固定 y 值)都必須是 32bit 也就是 4byte的倍數，由此可知因為

24bit 的 bmp檔是 3byte/pixel，所以若每列資料最後不是 4byte的倍數，檔案會自

動在後面補上 0 至 3個 byte的 0，讓讓每一列的資料成為 4byte的倍數。這裡我

們使用的圖片每一列有 720pixel，即有 2160byte為 4 的倍數，故每一列之後沒有

被補 0。

由於以 C++寫出的程式非視窗介面，因此對於粒子位置我們以小畫家軟體找

出粒子的座標後輸入程式，之後程式會以輸入的座標為中心，選取一固定大小的

範圍作為掃描區間，而這個範圍的大小是可以從程式中進行調整的。當掃描區間

被決定後，程式即開始對區間內的所有像素點進行分析，尋找出粒子的中心位置。

找出中心位置之前，我們對每個像素點的 RGB值作了如下的處理，將三個

值代入公式：Y=0.59G+0.31R+0.11B，這是一個明暗度增強的公式，可以使得粒

子與周圍環境的差異增強，如此方便做判定。經過運算後，每個像素點都可用其

Y 值作代表，也就是對 Y 設定臨界值，可以讓我們判別出圖片中每個像素點是

粒子抑或是背景。程式中臨界值會隨著不同的影像而需稍作調整，一般而言此臨

界值介於 140至 160之間。透過臨界值的選擇後，掃描區間剩下的資訊只有背景

(若該點的 Y 值比臨界值大則該點會被判定為背景，且其 Y 值被儲存為 257.55)

和粒子的 Y 值資訊，故接著透過質心的運算公式，我們可以找到粒子的中心位

置。

從手動至半自動模式從手動至半自動模式從手動至半自動模式從手動至半自動模式

程式執行到這裡，已經完成一張分割圖片中一個粒子的分析，我們找到粒子

的中心位置，理論上只要對其餘的分割圖片重複操作就可以得到粒子一連串的運

動位置資訊。但是我們發現，如果用手動輸入的方法一張一張分析粒子相當的費

時費力，而且沒有效率。所以我們嘗試將上一張圖片粒子的中心位置，自動傳給

下一張圖，之後進行同樣的操作。初步執行的結果相當好，一次執行下來不用幾

秒的時間就可以分析完一顆粒子的運動了。只是我們發現有幾個問題需要排除：

進行這樣一連串的自動分析，由於我們無法更改掃描區間的大小，首先即有

兩個問題需要排除，其一是若該粒子的運動相當劇烈，有可能在這一張圖片中該

粒子的中心位置對下一張圖片來說，粒子可能跑到掃描區間的邊界上，甚至跑出

區間外；其二則是在掃描區間內會有雜點存在，也就是不屬於欲追蹤粒子但是被

判定成粒子的雜點，若雜點越多或越黑則會對欲追蹤粒子的中心位置值產生影

響。

對於第一個問題，解決的方法就是直接加大掃描區間，讓粒子一定會落在區

間內，但是掃描區間一變大馬上就會衍伸出與上面第二個問題相似的困擾，我們

想要追蹤的粒子可能與其他粒子靠的很近，如此一來掃描區間內也會出現其他粒

子的黑點。不過值得慶幸的是這可以當作雜點一併排除掉，只要其他粒子的有效

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像素點面積不會比欲追蹤粒子的大就可以了。

因此現在的問題的癥結在於雜點的排除。關於這點，我們想到一個方法，只

是覺得應該還有改進的空間，有機會讓程式跑的更快。方法的原理大致說明如下

(詳細的內容可參考附錄的程式碼)：程式在完成一次掃描區間內像素點 Y 值的判

讀後，利用這些 Y 值再在進行一次連結區域的判讀，也就是判讀掃描區間內有

幾個"連續區域"，之後將這些連續區域內的像素點分別標記為各自所屬第幾個連

續區域。例如：在掃描區間內出現欲追蹤粒子的像素點群，以及隔壁另一個粒子

的一小部分像素點，則經過標記後，屬於欲追蹤粒子的像素點會被標記上同一個

數字例如 1，而隔壁另一個粒子的像素點群都被標記上數字 2。最後，判定哪個

標籤數字被使用的量是最多的(簡言之就是面積最大)，我們即認為此應為欲追蹤

粒子的標籤，則將其餘的標籤視為雜點，進行排除。

在大多數的情形下，經過嘗試，只要掃描區間的範圍不要過大，我們想要追

蹤的粒子通常會擁有最多的相同的標籤(也就是最大的面積)，因此掃描區間內的

其餘黑點都會被排除，而且想要追蹤的粒子不會被掃描區間邊界給切掉一部分。

程式執行至此，最重要的數據─粒子的中心位置已經可以得到，已經可以有

初步的實驗結果了。而為了確認程式有完美跑完一顆粒子的運動過程，謹慎起

見，我們通常需要以人工的方式，先確認一遍該粒子在一連串分割圖片中呈現的

樣子是被接受的，所以我們寫出的程式只可說是半自動的，關於確認方法，在這

個部分的最後我們會列出一個執行範例。接下來，得到粒子中心位置連續變化的

資料之後(也就是位移)，計算 kB公式中我們還需要粒子的有效半徑，下面我們繼

續討論如何得到我們認定的等效粒子半徑。

粒子半徑的判定與臨界值的選擇粒子半徑的判定與臨界值的選擇粒子半徑的判定與臨界值的選擇粒子半徑的判定與臨界值的選擇

粒子半徑的判定我們經過討論後有兩個方法可以使用，但是在我們的數據方

析中原則上以第二個方法為主。第一個方法是：利用前面得到的粒子像素點陣

列，可以算出粒子的寬和高，原則上在粒子的形狀趨向圓形的時候，寬和高的差

異不會很大，可以將兩者平均並且近似的認為是粒子的半徑，不過由於粒子通常

不是圓形的，所以這個方法很快就不被採用。

第二個方法是：統計粒子像素點的面積，之後以圓面積公式計算，將得到的

面積除以 π 之後再開根號，可以得到粒子的等效半徑值。比起第一個方法我們認

為這個值的可信度比較高，較能被接受，所以之後均採取這個方法計算粒子半

徑。至於粒子的等效面積，會受到臨界值選擇的影響，這個部分於下一部分討論

變因與誤差有詳細的說明。

關於關於關於關於 C++的追蹤程式的追蹤程式的追蹤程式的追蹤程式

以上這個方法是眾多可以分析粒子的方法之一，組員另外也有人找到可以利

用 C++裡面的函式庫進行分析，一項名為 openCV具有許多相關的函式及物件，

功能頗為強大，可以直接讀進圖片作成灰階的進行分析。只是這個方法後來因為

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時間以及對於 C++的熟稔度不足，未被採用。

追蹤程式執行範例追蹤程式執行範例追蹤程式執行範例追蹤程式執行範例

以下對於一顆具有 27張分割圖片的粒子進行分析：

程式執行後依序輸入臨界值、粒子座標 x 值、粒子座標 y 值。

按下 Enter後即可得到第一張分割圖中選取的掃描區間的分析結果，如下：

畫面中的圖形代表的掃描區間以及粒子的形狀，其中"o"代表的是粒子、"."

代表的是背景，周圍的數字則是顯示 x和 y座標的個位數值。透過圖形可以看到

欲追蹤的粒子是否有跑到邊界或被邊界切割，藉此決定數據是否可用。在圖形的

下方顯示的是程式分析得到的數據：image代表分割圖片的序列、mass代表粒子

Y 值的總和、centerx及 centery代表計算後粒子的中心位置座標 x 與 y、width和

height則表示粒子的寬與高、radius則是粒子的等效半徑。之後按任意鍵繼續執

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行程式，程式會依序讀取分割圖片直到最後一張，以下是第 27張分割圖片跑出

來的結果：

在第 27張分割畫面我們可以看到與第 1張分割畫面相似的結果，最後程式

會自動結束，並且將第 1張至第 27張共 27筆的數據存進一個與圖片相同資料

夾、檔名為 data的 txt檔裡，如下圖：

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之後欲進行數據分析則利用 Excel開啟此 data檔即可進行計算。以上是我們

對於一個粒子的進行實際分析的過程，藉由這個追蹤程式我們可以對大量的資料

進行快速的分析，並且計算出 kB 值。程式碼的部分可參考附錄。

B. 討論變因與誤差

根據原理推論結果，<移動路徑 2>反比於黏滯係數，亦即黏滯係數越大單位

時間內所走的路徑也越短。由於先前的組別沒有一組探討改變黏滯係數所造成的

影響，因此我們嘗試改變不同的溶劑觀察結果是否符合理論預期。

2D：Tt

sakthus

a

TtkDts B

B

4

6,

644

22 ><

==>=<πη

πη

上式為我們的理論基礎，我們從這裡下手討論誤差：

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(一)公式本身未考慮之因素

1.形狀的影響：跟據愛因斯坦所推導出的公式，粒子必須是完美的球形，但我

們所觀測的粒子本身的形狀並非完美球形(當然我們盡量選擇接近球形的觀

測)，因此我們所觀測的結果，不一定能如理論預期，原因在於：假若粒子

並非球形，那麼各方向的受力(不論是隨機力或是滲透壓造成的影響)就不均

勻(空間上的不均勻空間上的不均勻空間上的不均勻空間上的不均勻)，同時，受溶劑分子隨機撞擊的影響，粒子亦會產生轉

動，此轉動就會造成在不同的方向上，其有效截面積隨時間不斷的改變(時時時時

間上的不均勻間上的不均勻間上的不均勻間上的不均勻)，因此在本實驗的條件下，公式本身能不能拿來應用就有可

以商確之處。另外，粒子形狀的影響並非我們所能控制，屬於實驗本身的系

統誤差。

2.重力的影響：由於溶液本身並非膠體溶液(粒子表面不

帶電)，所以粒子間並不會有排斥力，因此照常理推

斷，經過一段夠長的時間，假定溶液系統不受外界擾

動，僅僅存再一個對時間和空間都均勻的力場(如重

力)，那麼粒子應當沉澱。若再考慮布朗運動的影響，

那麼粒子的空間分佈應該會沿著位能的方向形成波茲曼分佈(見右圖)。但倘

若粒子夠小，這效應也就漸漸可以忽略，因此，即便我們無法控制溶液系統

不受外界擾動，或者不知道溶液靜置了多長時間，這項效應是可以忽略的。

3.轉動的影響：相較於布朗運動是粒子屬於移動的隨機運動(random motion of

translation)，粒子應當也有屬於轉動的隨機運動，但此二者之間是否有關聯

尚待查證。根據公式的推導過程我們相信此二者應當是獨立的。

(二)公式中之各項變因

我們依照公式中的每一項逐一進行討論

1.黏滯係數 η：黏滯係數 η本身受到兩個因素影響：第一是不同的材質材質材質材質會有不

同的 η值，η值可以藉由其他實驗測得，有關η值得量測方法將略述於附錄。

而我們實驗當中的 η值乃是直接上網查詢。第二個因素是在不同的壓力和溫壓力和溫壓力和溫壓力和溫

度度度度下η值亦有所不同，由於玻片凹槽深度很淺(玻片厚約 1mm，故凹槽必更

小)，因此合理推測壓力的影響可以忽略，而溫度在實驗過程中的溫差不大，

故對黏滯係數影響亦小。

2.粒子半徑 a之判定：粒子半徑 a牽涉到粒子的大小，而粒子的大小決定了在

<s2>佔了決定性的影響。粒子的大小主要受到在影像處理造成的誤差影響：

在決定粒子運動路徑時，我們每 0.5秒取一張圖片(snapshot)，而每一張圖片

都要判讀一次粒子位置，判讀的過程如下

(1)在粒子周圍選取一合適區域。

(2)在此區域內界定粒子範圍，界定的方法是先設定一個顏色深淺的臨界值

(threshold)，再依影像中每個像素顏色的深淺，決定粒子邊界(顏色若深

於臨界值則視為粒子的一部分，若淺於臨界值則視為溶劑)。

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(3)界定了粒子範圍以後，將粒子範圍內每一個像素視為一個質點，計算像

素個數(即面積大小)及其質心位置，利用計算所得的面積大小除以π然

後再開根號，就是我們的等效半徑了。

因此，在判讀粒子半徑的過程中有四種可能原因會造成誤差：

(a)臨界值的設定：右下圖為 CCD攝得粒子影像示意圖。由於臨界值的

設定是由人調控的，因此倘若臨界值選的太低，那麼粒子的範圍就會較

大；反之，若臨界值太高，粒子的範圍也相對較小，這個部分僅能從肉

眼判斷，並且測試不同的臨界值，以期降低因臨界值選取所造成的誤差。

另外，除非粒子本身形狀極不規則，

否則臨界值本身並不會影響粒子的質心位

置，如左圖，理論上三個圓形的原心應是

同一點，但若形狀不規則則可能造成誤

差，此點在先前形狀的誤差以討論過，可

由實驗中選取形狀較圓的粒子避免。

還有，程式的設計會使得 CCD本身的汙

點，壞點或雜質(如示意圖左上角一小塊黑黑的)在進行計算之前消去，

不會列入質心及面積的計算。

(b)光源強度的影響：臨界值的選擇也會受背景亮度影響，而背景亮度

越強則粒子邊緣越清晰，臨界值設定所造成的誤差較小，但亮度不可太

強，若過強則整個 CCD會過曝，粒子影像也會不清楚；反之，背景亮

度越暗則邊緣越模糊，臨界值設定所造成的誤差較大；因此只能在不影

響觀察粒子的情形之下盡可能將光源調的強一些。

而背景亮度直接受到顯微鏡光源強度及實驗室背景光強度影響。實驗

室背景光強度的變因來源可能受到晴天與否、日光燈照明之影響，唯影

響極微，可以忽略。而顯微鏡的光源因距離物體較近，影響極其明顯。

所以我們針對每一個不同的樣本(對應不同的背景亮度)有不同臨界值。

(c)CCD的本身的誤差：(i)是否有做平場校正(flat field)：每一個 CCD都

是由許多小小的感光元件(暫稱為像元)組成，但是每一個像元的感光度

不一，因此假定拍攝一個均勻純色的物體，CCD所攝得的畫面可能仍

非均勻純色。因此 CCD在使用前最好能夠進行平場校正，就是將每一

個像元的感光度歸一化。平場校正的方法廣見於天文攝影，網路上資料

亦相當豐富，在此實驗中就不贅述了。(ii)像素最大可能誤差：拍攝時，

倘若物體的影像落在 CCD的兩個像元之間，有可能因感光而造成誤

差，此種誤差最多造成一個像素的差異，可以忽略。(iii) 鏡頭或 CCD本

身的髒污：可利用吹塵器清理或利用拭鏡紙(或麈皮)擦拭避免。擦拭時

將拭鏡紙折成長條狀，滴加少許酒精於其上，利用之擦拭顯微鏡的物鏡

或目鏡的鏡頭。切記應朝單一方向擦拭，以避免灰塵與汙垢再次附著。

(d)粒子上下移動時所造成的誤差：一開始我們曾經如此考慮，但後來

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發現並不影響，原因如下：(i)觀測的時間約 10~15秒，在這段期間內粒

子的深度差約為 2Dt，此距離並不足以跑離焦距太遠，不會影響質心判

讀(ii)或說會造成粒子大小變動，但我們在過程中的每一張 snapshot都會

量測一次粒子大小，最後取平均值，以減少誤差。

3.<s2>：<s2>=<∆x2 (t)+∆y2(t)>，因此粒子位置的決定相當的重要，甚至可說左

右這個實驗的成敗。原因在於每張圖之間，粒子的路徑移動恰約 1111 至至至至數數數數個個個個

pixelpixelpixelpixel。這就造成實驗中任何可能形成 1個 pixel的誤差都會造成很大的影響(要

不就請實驗室提高顯微鏡的倍數吧)。理論上，任何在影像處理中會影響粒

子半徑大小的因素也都會影響粒子位置的決定，但影響都很小(在粒子半徑

(a)中討論過了)。

4.單位換算之誤差 p3：p3 這個因子並沒有出現於公式中，它是透過單位轉換而

來的，其根本原因在於實驗步驟中的刻度校正。所以我們將公式修正如下：

( ) ( ) Tt

psakthus

ap

TtkDtps B

B

4

6,

644

3222 ><

===><πη

πη

由於實驗觀測時，使用像素個數較MKS單位方便，因此實驗上我們量測長

度時會說成「長多少多少像素」，而長度必須換算成「多少多少公尺」，這個

單位換算，靠的是實驗步驟三的刻度校正，而校正刻度的動作中一樣會帶出

誤差；根據公式，式中出現了 a和<s2>(即長度因子的冪次為三)，故取 p3。

這個誤差影響多大呢？再實驗步驟三中，我們利用有校正刻度的目鏡觀測細

線寬度約 80個刻度，估計值約±0.2個刻度，所以誤差百分比為 0.25%，再

利用誤差傳遞公式，p3 的誤差就會是 0.75%，是影響極微的量。

5.溫度 T：溫度會影響粒子的動能，以致影響隨機運動

的距離。在實驗室中的溫度可以視為恆溫，且實驗過

程僅約 10~15秒，不太可能有溫差，因此最大的問題

僅可能是溫度測定的準確。假定實驗室的溫度計誤差

1℃好了，以室溫 27℃(300K)而言，1℃的溫差僅能造

成 1/300 的誤差，可以忽略。

此外，公式中雖假定黏滯係數為常數，但黏滯係數亦

受溫度影響(見右圖，但可以發現即便溫差 1℃，η值仍幾乎不受影響)。另

外，外在光源加熱時，可能產生微小溫度改變及微小的對流，但因觀察時間

太短則可忽略。

6.觀測時間 t：每 0.5秒取一張圖片，誤差在於影像頡取軟體，不考慮。

(三)實驗操作技術的改進

1.實驗中最令人害怕的是外界的震動，舉凡碰觸桌面，旁邊有行人走過，或是

數十公尺外一輛聯結車經過都可能造成影響，其中以前兩者為主要來源，但

是只要控制好都可避免。

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2. 當我們在擺放樣品時，若是樣品對於地表不是平行，則內部的顆粒會往比較

低的地方移動，這樣的趨勢在顯微鏡下是可以很明顯地看出，而且由於粒子

在溶液中的黏滯係數並不小，所以會有很長的一段時間都是在群體往某個方

向做移動的情形。

3. 溶質（所欲觀測的微粒）在溶劑內部的分布均勻程度可能對實驗造成影響。

由於溶質和溶質之間，其間或多或少仍有少許的交互作用力存在，因此應將

其稀釋至某種程度後，再來進行測量。此外，粒子間就常常會有小球間彼此

的聚集情形。而樣品在實驗中常常看到不同深度的粒子會互相卡住，但是在

某一個深度的切面會是固定住的，這樣可能導致等效的黏滯係數會改變。因

此建議先行超音波震碎，而後再調整成稀薄溶液即可。

(四)實驗本身的限制(儀器與實驗環境)

1.由於所掃描的系統並不大，其邊界的效應（諸如附著力、表面張力……等）

可能對於實驗會有相當大的影響。所以對於掃描深度的取捨上，就有值得注

意的地方。應避免選擇到靠近蓋玻片底部或載玻片上部以及週圍邊緣的部

份。

2.最影響實驗結果的因素：解析度。若要對於影像中，粒子所處在的實際位置

作良好的定位，那麼應有較好的顯微鏡放大率、解析度與較好的 CCD攝影

機解析度。因為粒子的路徑移動恰約 1111 數個數個數個數個 pixel(pixel(pixel(pixel(有可能不足有可能不足有可能不足有可能不足))))。這就造成實

驗中任何可能形成 1個 pixel的誤差都會造成很大的影響

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六、附錄

A. 實驗日誌(2006 spring)

B.

日期 進度

2/22 1. 熟悉 amcap軟體與生物用顯微鏡之操作

2. 探討學長留下 tracer程式的原理

3. 調配樣本(氧化鋁及氧化銫)

4. 觀察布朗運動的現象(看到粒子但看不到布朗運動，直到助教幫忙)

HW: 試跑並改進 tracer程式，了解布朗運動之原理原理

3/01 研究舊有追蹤程式之程式碼。(Hard!)

已熟悉顯微鏡之操作，可輕易觀察到布朗運動。

3/08 發現舊有的追蹤程式的問題：只要邊界條件選好，任何影像檔都可以

給出一個 kB 值，且鎖定同一點所得的 kB 值應該一樣，但結果卻不是如

此→決定改進程式。(靠邱大姐與馮大哥)

學長姐報告無數據分析，決定加強數據分析部分。

未來目標

4th week

~跑完 氧化鋁 氧化銫的樣本 各錄下至少兩個檔案

~拍下實驗步驟

~tracer程式所須參數都要測好 算好(黏滯係數 溫度 粒子半徑等等)

5th week

~跑 tracer程式(不管改過與否)

~數據分析

~路徑分析圖

3/15 分頭進行：邱、馮嘗試寫程式，吳、陳操作實驗，當天跑 Al2O3和 Cs2O

兩個樣本至少各錄兩份檔案。

3/22 邱、馮跑程式並處理數據，吳、陳做報告。

3/29 同上週。

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B. 實驗擴充：黏滯係數 η 之測量

本實驗操作簡易，本組研究重點在於重寫粒子追蹤程

式，扣除實驗理論基礎未考慮之因素、實驗操作技術、以

及實驗儀器與實驗環境本身的限制之外，我們覺得黏滯係

數 η 是一個可以深入探討的點：學長姐曾經用 tuning的方

式，假設所測<s2>是正確的，調整 η 值來看 kB 所受的影響，

本組特地取水和酒精來映證 kB和 η 的線性關係，但 η 值都

是查資料所得到的，建議未來可測量黏滯係數 η 來擴充實

驗。 Viscosity at 293 K

以下列出兩種常用而簡易的黏滯係數 η 之測量實驗

(一) 毛細管法：Poiseuille公式

流量 4

8R

l

PPQ ba

V ηπ −

=

即克服黏滯力迫使流體沿管流動所需的壓力差，正

比於平均速度 v和黏滯係數 η。利用公式可以製成測量

液體黏滯係數的裝置。如右圖所示，讓液體從接在容器

器壁上的水平細管中流出。R和 l是已知量，壓力差由

豎直細管中液面的高度差 h 計算出：Pa-Pb=ρgh，有了這

些資料，即可從 Poiseuille公式計算出黏滯係數 η 來。

(二) 落球法：Stokes公式

黏滯力 xavF πη6=

如右圖所示，讓一個質量為 m、半徑為 a的小球在盛有待測

液體的量筒中降落。由於黏滯力很快就會與小球所受重力達到平

衡(F=mg)，小球將以等速 v在筒中降落。如能測出此速度，即可

由 Stoke公式算出黏滯係數 η 來。

C. 布朗運動之應用

(一) 徑向擴散與指數成長

Common

liquid

Viscosity

/cP

Water 1.002

Ethanol 1.200

Glasses very large

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在布朗運動概念的應用上，其中一個最為著名的應用，就是描述生物族群的

擴散現象。在生物群聚的徑向擴散現象中，由於生物的繁衍必需考慮數目密度在

固定的位置上隨時間增生的效應，所以只要對擴散方程式做一些修正，就可以應

用了。約莫在 10 年前就已經有人利用修正後的擴散方程式，成功地已理論解釋

了廿世紀初期鼠疫的擴散。修正式如下：

1N( r ,t )D ( r N ) aN

t r r r

∂ ∂ ∂= +∂ ∂ ∂

其中，N代表生物群聚的數目密度；右式第一項代表徑向擴散的效應，而右

式第二項代表指數型成長的效應。令初始生物群聚的總數為M，並且集中在座標

原點，則經過計算可得：

4

0 0

2

2 2 2 1RRDt

RN( r,t ) rdr N( r,t ) rdr N( r,t ) rdr M exp( at )( e )

∞ ∞ −

π = π − π = −∫ ∫ ∫

因此，如果我們定義 2R aDt=% ，那麼事實上生物群聚主要都集中在半徑

為 R% 的範圍內。

實際的中歐洲鼠疫分佈圖（引用圖片來源： Banks,

Growth and Diffusion Phenomena (1994)，轉引自物

理雙月刊(廿八卷一期)《漫談布朗運動》龐寧寧）

(二) 金融上的應用—幾何(經濟)布朗運動

在金融市場上，不論是理論探討或實務操作中，我們經常會碰到如下的問題：

—金融市場在不確定(uncertain)的情況下，是如何運作？

—資產(asset)的價格是如何訂定，以及它隨著時間的走勢又是如何？

—…

在處理這些問題的過程中，會牽涉到與物理學上相關的布朗運動，那就是市

場價格報酬率(return)的隨機漫步(random walk)假說。

然而從歷史的角度來看，法國天才數學家 Bachelier (1900)才是第一位利用隨

把左圖對應的鼠疫分佈圖中的年代用 t表示，面積用 A

表示，可看出 A t∝ 的關係（引用圖片來源： Banks,

Growth and Diffusion Phenomena (1994)）

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機漫步去描述價格走勢的學者。他假設價格在一短暫的時間 ∆，2∆…中的變量值

為獨立的隨機分布，計算後並取 ∆→0 的極限，得到了與布朗運動相同的結果(事

實上應當如此，因為他的假設其實就是隨機運動)。

而此隨機過程又稱做 Wiener 過程。而 Bachelier推導的結果後演變成

Samuelson在 1965所提出的幾何(或稱經濟)布朗運動(geometric Brownian

motion)。期方程式如下：

tWt

t eSSσσµ +−

=)

2

1(

0

2

(S為價格)

其中 )( tWW = ， 0≥t ，為一標準布朗運動。此即 Samuelson(1965)所提出的

幾何(或稱經濟)布朗運動(geometric Brownian motion)。隨著幾何布朗運動，選擇

權理論這個理論被提出來，而這個模型是財務上的一大突破。

推導過程推導過程推導過程推導過程

Bachelier的推導過程如下：

他假設價格 )( )()( ∆∆

∆= kSS (注意他並未對 nS 做對數轉換)在瞬間 L,2, ∆∆ 的表

現為：

∆∆∆∆∆ ++++= kk SS ζζζ L20

)( , (2.2)

其中 0S 為初始價格， )( ∆iζ 為獨立同分佈的隨機變數，且取值在 ∆σ 及

∆−σ 的機率各為2

1。因此：

,)(E 0)( SSk =∆∆ )()(Var 2)( ∆⋅=∆

∆ kSk σ . (2.3)

令

∆= t

k ， 0>t 以及讓 0→∆ ，Bachelier發現(2.2)的極限過程為 ,)( 0≥= ttSS

其中 )(

0lim ∆

∆

∆→∆= tt SS (注意此極限是在某特定的機率意義下)，且有下列表示式：

tt WSS σ+= 0 , (2.4)

其中 )( tWW = , 0≥t ( tWWW tt ===2

0 E,0E,0 )為標準布朗運動(standard

Brownian motion)或稱為 Wiener過程。

此為最早描述價格的模型，雖然其數學性質簡單，但它的缺點為價格可能為

負值而與實際狀況不相符。然而我們關心的並不是股價的高低，而是報酬率的大

小。若以 iS 表示第 i月的股價，則第 i至 i+1個月的報酬率可表成：

ii

ii RS

SS=

−+1 或 ii

i RS

S=+1ln

兩種形式(注意在上式中，前式為後式 )1ln( x− 在 1=x 的一次泰勒展式)。再

經由標準化後(即數據減去其樣本平均後再除以其樣本標準差)，我們可用一標準

常態分佈(其機率密度函數為 2/2

2

1)( xex −

= πφ )去描述R

i

S

RR −，其中：

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,1

1∑=

=

M

iiR

MR ∑

=

−−

=

M

iiR RR

MS

1

2)(1

1

M 為樣本個數。即：

==

−1

lni

ii S

SR mean + standard deviation φ×

φσµ kk ∆+∆= .

令

∆= t

k ， 0≥t 以及讓 0→∆ 。我們可得：

tWt

t eSSσσµ +−

=)

2

1(

0

2

(S為價格)

其中 )( tWW = , 0≥t ,為一標準布朗運動。

(三) 人耳的聽覺

人耳的耳膜及其相連到內耳的軟骨結構（見圖十五），可視為一個常見的具

有慣性質量的物體與彈簧構成的系統(the spring-mass block system)。所以在平常

的情形下，空氣分子因為大於絕對零度，會不停著做著隨機運動(就是布朗運動

啦)。那麼這些做布朗運動的分子如果撞擊到了我們的耳膜，理論上應該會造成

聲音才對，意思是，人耳應該會不停的聽到空氣的「雜訊」，不過顯然的人體的

自然機制把這些訊號擋掉了。(而熱擾動所造成的人耳耳膜振盪的振幅的方均根

值(the root-mean-square value)大概是在 10-10m的數量級。)這就是高中物理課本為

什麼說人耳的聽覺極限是 10-10m 的數量級的道理，因此，比這小的聲音人耳是

聽不到的，而我們也就定義人耳能聽到的最小的聲音是 0dB。

人耳的結構（引用圖片來源： Denny and Gaines, Chance

in Biology (2000)，轉引自物理雙月刊(廿八卷一期)《漫

談布朗運動》龐寧寧）

(四) 口罩設計

口罩設計中，一個重要的效應就是微塵粒子的布朗運動。跟花粉粒一樣，微

小顆粒在空氣中會被空氣撞擊而到處進行激烈的曲折運動。這種效應對越小的粒

子越明顯。因此，當空氣中懸浮的顆粒直徑愈小時，它在空氣中的運動路徑愈曲

折，也就愈有機會自己去撞上口罩的纖維而被捕獲。

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同樣的原理也被應用於污水處理、病毒篩選、以及樹枝狀的金屬電化學沉積

(前者為搜尋網路上發現的應用，由於原理一樣，因此推導過程可參考後者，見

物理雙月刊(廿八卷一期)《漫談布朗運動》龐寧寧)

D. 參考資料

1. 數學傳播第九卷第三期

2. 物理雙月刊(廿八卷一期)《漫談布朗運動》龐寧寧

3. 物理雙月刊(廿七卷三期)《在液體裏跳布朗舞步的膠體粒子》林耿慧

4. http://www.lsbu.ac.uk/water/explan2.html

5. http://ftp.haie.edu.cn/Resource/GZ/GZWL/WLBL/XGLWLLX/WL100015ZW_

0036.htm

6. http://www.science.uwaterloo.ca/~cchieh/cact/c123/liquid.html

7. http://libai.math.ncu.edu.tw/cp/lecture/2001seminar/fucd.htm

8. http://www.tts.idv.tw/html/Nady/920516/920516-3.htm

E. 追蹤程式程式碼

#include <cstdio> #include <cstdlib> #include <iostream> #include <iomanip> #include <fstream> #include <cmath> using namespace std; const int scale = 18; //掃描區間大小 int lightdark = 154; //臨界值或是閥值 const int imagewidth = 720; const int imageheight = 480; //分割畫面的大小 void swap(double [],int ); int neighbor( int, int, int [][2*scale+1], int); int main() { char filename[20]; int filecounter; long imagesize; unsigned char *image; int inputx,inputy; int originx,originy; int scanrange; int scancenterx,scancentery; int r[2*scale+1][2*scale+1]; int g[2*scale+1][2*scale+1]; int b[2*scale+1][2*scale+1];

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double total; double t[2*scale+1][2*scale+1]; int wipetag[2*scale+1][2*scale+1]; //消除掃描區間內的雜點 int counttag[4*scale]; int maxcounttag, maxtag; int tag; double mass, weightx, weighty; double centerx, centery; //pixel質心 int i; int x,y; int radcounter; int areacounter; double particlewidth[3],particleheight[3]; double width, height, equalradius; imagesize = 3*imagewidth*imageheight+54; FILE *fin; FILE *fout; scanf("%d%d%d",&lightdark, &inputx, &inputy); //輸入臨界值 x值 y值 originx = inputx; originy = inputy; fout = fopen("data.txt","w"); //data檔案輸出 // while(lightdark <=160 ){ fprintf(fout, "\n\n%d %10d %10d\n", lightdark, originx, originy); inputx = originx; inputy = originy; for(filecounter = 1; ;++filecounter){ sprintf(filename,"%d.bmp",filecounter); fin = fopen(filename,"rb"); //圖片檔開啟 if(fin==NULL) break; image = (unsigned char *)malloc(imagesize * sizeof(unsigned char)); //圖片檔讀入 fread(image, sizeof(unsigned char), imagesize,fin); fclose(fin); // while(scanf("%d%d", &inputx, &inputy)==2) // { if(inputx == -1 && inputy == -1) break; //next image scanrange = scale; scancenterx = inputx; scancentery = inputy; areacounter = 0; tag = 0; mass = 0; weightx = 0; weighty = 0; maxcounttag = 0; maxtag = 0; for(y = 0; y < 2*scale+1; y++){ for(x = 0; x < 2*scale+1; x++){ r[x][y] = -1; g[x][y] = -1; b[x][y] = -1; t[x][y] = 0; wipetag[x][y] = -1; } } for(i = 0; i < 4*scale ; ++i) counttag[i] = 0;

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for(i=0;i<3;i++){ particlewidth[i] = 0; particleheight[i] = 0; } //以上是變數的預設 for( y = scancentery-scale; y < scancentery+scale+1; y++) { for( x = scancenterx-scale; x < scancenterx+scale+1; x++ ) { r[x-scancenterx+scale][y-scancentery+scale] = (int)image[3*(imagewidth*(imageheight-1-y)+x)+56]; g[x-scancenterx+scale][y-scancentery+scale] = (int)image[3*(imagewidth*(imageheight-1-y)+x)+55]; b[x-scancenterx+scale][y-scancentery+scale] = (int)image[3*(imagewidth*(imageheight-1-y)+x)+54];

total = r[x-scancenterx+scale][y-scancentery+scale]*0.31+g[x-scancenterx+scale][y-scancentery+scale]*0.59 +b[x-scancenterx+scale][y-scancentery+scale]*0.11;

if( total <= lightdark){ t[x-scancenterx+scale][y-scancentery+scale] = total; } else{ t[x-scancenterx+scale][y-scancentery+scale] = 257.55; } } } //掃描區間像素點陣列儲存 for(y=0;y<2*scale+1;y++) { for(x=0;x<2*scale+1;x++){ if( t[x][y] <= lightdark ){ tag = neighbor(x,y,wipetag,tag); } else{ wipetag[x][y] = 0; } } } //標記像素點連續區域 for(y=0;y<2*scale+1;y++) { // cout << (y%10); for(x=0;x<2*scale+1;x++){ // cout << wipetag[x][y]; ++counttag[(wipetag[x][y])]; } // cout << endl; } //計算標記區域面積 // cout << endl; for( i = 1 ; i<tag+1 ; ++i){ if( counttag[i] > maxcounttag ){ maxcounttag = counttag[i]; maxtag = i; } } //計算具有最多數量的標記數字 for( y = scancentery-scale; y < scancentery+scale+1; y++) { for( x = scancenterx-scale; x < scancenterx+scale+1; x++ ) { if(wipetag[x-scancenterx+scale][y-scancentery+scale]!= maxtag) t[x-scancenterx+scale][y-scancentery+scale] = 257.55; weightx = weightx + x*(257.55-t[x-scancenterx+scale][y-scancentery+scale]); weighty = weighty + y*(257.55-t[x-scancenterx+scale][y-scancentery+scale]); mass = mass + (257.55-t[x-scancenterx+scale][y-scancentery+scale]); } } //清除雜點並且計算質心

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cout << " "; for( i = (scancenterx-scale); i<(scancenterx+scale+1) ; i++){ if( i == scancenterx ) cout << " "; else cout << i%10; } cout << endl; for(y=0;y<2*scale+1;y++) { radcounter = 0; if ( y == scale ) cout << " "; else cout << (y+scancentery-scale)%10; for(x=0;x<2*scale+1;x++){ if( t[x][y] <= lightdark ){ cout << "o"; radcounter++; areacounter++; } else{ cout << "."; } } cout << endl; swap(particlewidth,radcounter); } cout << endl; for(x=0;x<2*scale+1;x++) { radcounter = 0; for(y=0;y<2*scale+1;y++){ if( t[x][y] <= lightdark ){ radcounter++; } } swap(particleheight,radcounter); } //用第一個方法計算粒子寬和高(可忽略) if(mass != 0){ centerx = (weightx)/mass; centery = (weighty)/mass; } width = (particlewidth[0]+particlewidth[1]+particlewidth[2])/3; height = (particleheight[0]+particleheight[1]+particleheight[2])/3; equalradius = pow(static_cast<double>(areacounter)/ 3.14159,0.5); cout << setw(6) << "image" << setw(12)<< "mass" << setw(12)<< "centerx"<< setw(12)<< "centery"; cout << setw(10) << "widht"<< setw(10) << "height"<< setw(10) << "radius"<< endl; cout << setw(6) << filecounter; cout << setprecision(2) << setw(12) << mass; cout << setprecision(5) << setw(12)<< fixed << centerx << setw(12) << centery; cout << setprecision(2) << setw(10) << width << setw(10) << height; cout << setprecision(3) << setw(10) << equalradius << endl; fprintf(fout, "%d %12.3f %12.6f %12.6f %8.2f %8.2f %8.3f\n", filecounter, mass,centerx,centery,width,height,equalradius); //以上是數據的輸出 if(mass != 0){ inputx = static_cast<int>(centerx); inputy = static_cast<int>(centery); } // }//while free(image); system("pause"); }//for // ++lightdark; system("pause");

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// }//while system("pause"); fclose(fout); return 0; } void swap(double rank[], int forth ){ //與第一個方法計算粒子長和寬有關的函數 if(forth >= rank[2] && forth >= rank[1] && forth >= rank[0]){ rank[0] = rank[1]; rank[1] = rank[2]; rank[2] = forth; } else{ if( forth < rank[2] && forth >= rank[1] && forth >= rank[0] ){ rank[0] = rank[1]; rank[1] = forth; } else{ if(forth < rank[2] && forth < rank[1] && forth >= rank[0]){ rank[0] = forth; } } } } int neighbor(int x, int y, int tag[][2*scale+1], int currenttag){ //與排除雜點相關的函數 int xx, yy; int lefttag = 0; int toptag = 0; if( x == 0 ){ if( y == 0 ){ tag[0][0] = currenttag+1; return currenttag+1; } else{ if( tag[x][y-1] != 0 ){ tag[x][y] = tag[x][y-1]; return currenttag; } else{ tag[x][y] = currenttag+1; return currenttag+1; } } } else{//x!=0 if( y == 0 ){ if( tag[x-1][y] != 0 ){ tag[x][y] = tag[x-1][y]; return currenttag; } else{ tag[x][y] = currenttag+1; return currenttag+1; } } else{//y!=0 if( tag[x][y-1] == 0 ){ if( tag [x-1][y] == 0 ){ tag[x][y] = currenttag+1; return currenttag+1; } else{ tag[x][y] = tag [x-1][y]; return currenttag; } } else{ if( tag [x-1][y] == 0 ){

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tag[x][y] = tag[x][y-1]; return currenttag; } else{ if( tag [x-1][y] == tag [x][y-1] ){ tag[x][y] = tag[x][y-1]; return currenttag; } else{ lefttag = tag [x-1][y]; toptag = tag [x][y-1]; if( tag [x-1][y] > tag [x][y-1] ){ for( yy = y ; yy >=0 ; --yy ){ if( yy == y ) xx = x; else xx = 2*scale+1; for( ; xx >= 0 ; --xx){ if( tag[xx][yy] == lefttag ) tag[xx][yy] = toptag; } } tag[x][y] = tag [x][y-1]; return currenttag; } else{ for( yy = y ; yy >=0 ; --yy ){ if( yy == y ) xx = x; else xx = 2*scale+1; for( ; xx >= 0 ; --xx){ if( tag[xx][yy] == toptag ) tag[xx][yy] = lefttag; } } tag[x][y] = tag [x-1][y]; return currenttag; } } } } } } return currenttag; }

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Brownian Motion

本實驗利用光學顯微鏡觀察布朗運動，透過錄影與追蹤程式測量懸浮粒子單

位時間內位移的方均值，然後在已知粒徑大小、黏滯係數與溫度的條件之下，可

以根據愛因斯坦及朗之萬的推論分析得到波茲曼係數。

樣本調配

實驗裝置

錄影與追蹤結果

175

180

185

190

195

200

205

210

215

220

185 190 195 200 205 210 215 220

x

y