電磁気学の基礎 - 九州大学（KYUSHU UNIVERSITY）astrog.phys.kyushu-u.ac.jp/jp/class/electromagnetism/...電磁気学の基礎橋本正章，九州大学理学研究院

電磁気学の基礎

橋本正章，九州大学理学研究院荒井賢三，熊本大学理学部

平成 16年

i

目次

第 1章静電場 11.1 クーロンの法則 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 電場 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.3 静電ポテンシャル . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.4 ガウスの法則 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.5 導体 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.6 コンデンサー . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.7 誘電体 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.8 静電エネルギー . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

第 2章ベクトルと微分演算子 272.1 勾配 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.2 発散 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.3 回転 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302.4 座標系表示 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

第 3章電流と磁場 373.1 定常電流 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373.2 キルヒホッフの法則 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413.3 静磁場 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443.4 定常電流と磁気力 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463.5 アンペールの法則 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 503.6 ビオ・サバールの法則 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 543.7 磁性体 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 573.8 変位電流 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

第 4章電磁誘導 654.1 電磁誘導の法則 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 654.2 LCR 回路 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 694.3 磁場のエネルギー . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

第 5章マクスウェルの方程式と電磁波 755.1 マクスウェルの方程式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 755.2 電磁場のエネルギー . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 765.3 電磁波 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 775.4 電磁ポテンシャル ∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 845.5 ローレンツ力 ∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

ii

第 6章特殊相対論入門 916.1 ガリレイ変換 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 916.2 マイケルソン・モーレイの実験 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 926.3 ローレンツ変換 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 936.4 ローレンツ変換からの結果 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

1

第1章静電場

この章では, 電磁気学の中で最も単純な場合すなわち静電気学を学んでいく．電荷が存在すれば, その周りに電場が存在すると考えよう. さらに電荷を考えなくても電場は空間に存在しうると考える.この考えは電気と磁気を統一的に考えることによりはじめて証明できる. 厳密にいえば静電気学は時間的に変化しない，つまり定常状態にある電荷についてだけ成り立つことを注意しておこう. また, 点電荷のことを簡単に電荷とも呼び, 点電荷は質点と同じく点ではあるが, 電荷をもつ理想的な物体と定義される.

1.1 クーロンの法則

真空中に電荷 q と q′ を rと r′の位置に距離 Rだけ離して静かに置くとしよう．電荷 q′ が q に及ぼす力を F とし, q が q′ に及ぼす力を F ′とする．このとき作用・反作用の法則 F + F ′ = 0が成り立ち, 実験的に

F =1

4πε0qq′

R2e, R = |r − r′| (1.1)

が成立する．e は q′ から q に向く単位ベクトルすなわち e = (r − r′)/Rである．これをクーロンの法則といい, この力をクーロン力という．qq′ > 0 のときは斥力となり qq′ < 0 のときは引力となる．ここで電荷の単位はクーロン (C)である. 比例係数 1/(4πε0)は電磁気学の単位の取り方から出てきた定数である. (1.1)を次元解析すると, MKSA単位系では

14πε0

= 10−7c2 = 9.0 × 109 N・m2/C2 (1.2)

と定義される．ここで c は光速であり, ε0 は真空中の誘電率である．クーロン力は万有引力と同じく R−2に比例する性質をもつが, 力の大きさがまったく違うことを注意しておく (演習問題 1).

例 1.1 クーロン力のつり合い1辺の長さ lの正方形の各頂点に q の電荷があるとき, その中心に電気量Qをもつ電荷を置き, 互

いにつり合いの状態を保つとする.B点で各電荷から働く力のつり合いは

√2q2

l2+q2

2l2+

2qQl2

= 0

となるので Q = −(2√

2 + 1)q/4 を得る.

[スカラー積]2つのベクトルを A および B とし，そのなす角を θ とするとき，スカラー積あるいは内積を

A · B = AB cos θ (1.3)

2 第 1章静電場

と定義する．A・Bは Aドット Bと読む. (1.3)から

A · B = B ·A, A · A = A2 (1.4)

が得られる．A と B が直交 (θ = π/2)するとき，そのスカラー積は 0となる．x, y, z 軸の正の向きにとった, 大きさ 1の単位ベクトルをi, j, kとすると

i · i = j · j = k · k = 1, i · j = j · k = k · i = 0 (1.5)

である.

スカラー積の成分表示ベクトル A, B を成分で書いて

A · B = (Axi + Ayj + Azk)・(Bxi +Byj +Bzk)= AxBxi · i + AxByi · j + AxBzi · k + ...

ここで (1.5)より

A · B = AxBx + AyBy + AzBz (1.6)

となる．

[ベクトル積]Aと B に垂直で，Aから B へ π より小さい角 θ だけまわす. このとき右ネジの進む向きにベクトル C

をとり, その大きさは AB sin θ，つまりA, Bのつくる平行四辺形の面積に等しくなるようにする．ベクトルC をつくる演算を A, B のベクトル積あるいは外積と定義し

C = A ×B, |C| = AB sin θ (1.7)

と書く．A × Bは AクロスBと読む. (1.7)より

A × B = −B × A, A ×A = 0 (1.8)

である. A と B が平行 (θ = 0)であるとき，そのベクトル積は 0となる．単位ベクトルに関しては

i × i = j × j = k × k = 0, i × j = k，j × k = i，k × i = j (1.9)

が示される．

ベクトル積の成分表示

A × B = (Axi + Ayj + Azk) × (Bxi +Byj +Bzk)= AxBxi × i +AxByi × j + AxBzi × k + ...

ここで (1.9)を用いると

A × B = (AyBz − AzBy)i + (AzBx − AxBz)j + (AxBy −AyBx)k (1.10)

となることが分かる.

[公式]

(1) A · (B× C) = B · (C ×A) = C · (A ×B)

(2) A× (B× C) = B(A ·C) − C(A · B)

(3) (A× B) · (C × D) = (A · C)(B · D) − (A · D)(B ·C)

1.2. 電場 3

1.2 電場

単位電荷当たりにはたらくクーロン力を電場ベクトル，略して電場という．時間的に変化しない電場を静電場という．クーロン力が (1.1)と表されるとき, rの位置にある点 (x, y, z)における電場

E(r) = E(x, y, z)は F = qEより

E(r) =1

4πε0q′

R2e (1.11)

となる．次に n個の電荷 q1，q2，．．．qn が存在する場合を考えてみよう．電荷 qj の位置を (xj , yj , zj) とす

る．この場合，(x, y, z)における電場は各電荷からの寄与の和で与えられる．このことは実験的にも確かめられているが 5.4で述べるように, 電場がポアソンの方程式 (1.93), (5.79)の解 (5.81)で与えられることからも分かる．つまり

E =∑

j

Ej =n∑

j=1

14πε0

qjR2

j

ej (1.12)

R2j = (x− xj)2 + (y − yj)2 + (z − zj)2, ej = (r − rj)/Rj (1.13)

が成立する．これを重ね合わせの原理という. Eの成分は

Ex =∑

j

14πε0

qjR2

j

x− xj

Rj, Ey =

∑j

14πε0

qjR2

j

y − yj

Rj, Ez =

∑j

14πε0

qjR2

j

z − zjRj

(1.14)

と書ける. もし電荷が連続的に分布している場合には, 微小体積当たりの電気量すなわち, 電荷密度ρ を導入すれば

E(x, y, z) =∫∫∫

14πε0

ρ(x′, y′, z′)R′2 e′dV ′ (1.15)

R′ = |r − r′|, e′ = (r − r′)/R′ (1.16)

となる. ここで dV ′ = dx′dy′dz′ であり, この積分は重積分を意味することを注意しておこう．

[重積分]まず 2変数に関する積分を考えよう. 独立変数 x, y の関数 f(x, y) を xに関して区間 [a, b]，y に関して区

間 [c, d]について積分することを考える．このとき重積分は

∫∫f(x, y)dxdy =

∫ b

a

[∫ d

c

f(x, y)dy

]dx =

∫ d

c

[∫ b

a

f(x, y)dx

]dy

と表現される．これは面積積分と呼ばれる. f(x, y) = 1の場合は面積積分は平面図形の面積となる. x および y は独立なので，片方の変数について積分するとき他方は定数の場合のように扱われることに注意しよう．

3変数の場合, 関数 f(x, y, z) の積分∫∫∫f(x, y, z)dx dy dz

を体積積分という. f(x, y, z) = 1の場合は, 体積積分は立体の体積である.

4 第 1章静電場

(1) 半径 a の円の面積平面極座標系を用いると dS = rdrdθ であるから

S =∫ a

0

rdr

∫ 2π

0

dθ = πa2

(2) 半径 a の球の体積球座標系を用いると dV = r2 sin θdθdφ

V =∫ a

0

r2dr

∫ π

0

sin θdθ∫ 2π

0

dφ =4π3a3

(3) 底半径 a，高さ h の直円錐の体積円柱座標系を用いると dV = rdrdθdz

V =∫ h

0

[∫ az/h

0

rdr

∫ 2π

0

dθ

]dz =

13πa2h

さて, 静電場E(r)が存在するとき点電荷 qを静かに r に置くと点電荷には

F (r) = qE(r) (1.17)

のクーロン力が働くことになる. 質量mの点電荷の運動は質点に対するニュートンの運動方程式

md2r

dt2= qE(r) (1.18)

に従う. ここでは, 例 1.1 と同様に点電荷の影響を静電場が受けないと仮定している. このような点電荷を試験電荷という.

例 1.2(1) 2個の点電荷の作る電場q, −q の 2つの点電荷を 2lの距離に配置する (双極子). 以下の場合について電場を調べよう.(a) 点 Pが両電荷を結ぶ直線上にある場合, 両電荷の間では

E =1

4πε0

(q

(l − x)2+

q

(l + x)2

)=

q

4πε02(l2 + x2)(l2 − x2)2

qの外側では

E =q

4πε04xl

(x2 − l2)2

となり −qの外側の場合と同様の式となる. 電場の方向は電荷を結ぶ線上に平行で, 中間点では qから −qへ向かい, qの外側では xが正の向きに, −qの外側でも正の向きである.

(b) 点 Pが両電荷を結ぶ線分の垂直 2等分面上にある場合

E =1

4πε0q

x2 + l22l√

x2 + l2=

14πε0

2ql(x2 + l2)3/2

方向は電荷を結ぶ線分に平行で qから −qへ向かう.

(2) 無限に長い直線状に分布した電荷の作る電場単位長さあたりの電荷 (線密度)を λ (C/m) とする.

1.2. 電場 5

Oから sだけ離れた微小部分 dsが Pに作る電場の大きさは

∆E =λds

4πε0r2

直線に平行な電場成分は−sの微小部分 ds

からの寄与と互いに打ち消すので ∆E⊥ =∆E sin θが P点の電場に寄与する. 　s =R cot θ, r = R cosec θ なので

∫ ∞

−∞∆E sin θ =

λ

4πε0R

∫ π

0

sin θdθ =λ

2πε0R

を得る. 電場は直線からの垂直距離のみによる.

(3) 無限に広い平面に一様に分布した電荷の作る電場電荷密度を σ (C/m2)とし, 平面上の微小部分にある電荷 dq = σsds dϕが P点につくる電場を考

える. 電場の大きさは垂直成分のみ考えればよく, 面に平行な成分は互いに打ち消すので

E =∫ ∞

0

sds

∫ 2π

0

14πε0

σdϕ

r2cos θ

と重積分で書ける. 積分は電荷の分布している全平面で行わなければならない.r cos θ = R, r sin θ = sより変数を sから θ

に変換すると ds = R sec2 θdθとなり, この積分は

E =σ

4πε0

∫ 2π

0

dϕ

∫ π/2

0

sin θdθ =σ

2ε0

と計算できる. 従って無限平面の作る電場は場所によらず一定値をとる.

例 1.3 点電荷の運動電荷 q, 質量mの荷電粒子が, 長さ lの範囲にある一様な電場 Eに速さ vで垂直に入射した. lだ

け進んで電場を出た後 l′の距離にある板に達したとき, 粒子が直進する場合と比べてどれだけずれるだろうか.

電場の向きに x軸をとると, 電場内では x方向に等加速度 αの運動となる. 電場中での粒子の運動方程式は(1.18)から mα = qE. lを進む時間は t1 = l/v. 電場の外では直線運動となり, l′を進む時間は t2 = l′/v. ずれを xとすると

x =12αt21 + αt1t2 =

qEl

mv2(l

2+ l′)

を得る.

6 第 1章静電場

1.3 静電ポテンシャル

点 Qから P まで電荷を運ぶのに要する仕事 W を考えてみよう．Qから P まで [図] 進むのには様々な径路が考えられる． 1次元の場合に限って径路は１本に決まる．さて，F を電荷に働く作用力 (F = qE)とするとき仕事は

U = −∫ P

QF · ds (1.19)

と書き表すことができる．(1.19)は線積分と呼ばれるものである. ここで ds はある特別に選んだひとつの径路に沿う微小な変位ベクトルである．(1.19)の右辺にマイナス符号を付けるのは, 電荷を電場に起因する力に逆らって動かすためである．クーロン力の場合, 積分 (1.19) は径路によらず一義的に決まる (この性質を持つ力を保存力という).

物体に仕事を行うと物体の位置エネルギーが増加するが, この位置エネルギーの増加は点Qと P の位置のみに依存し, 途中どの径路に沿って運んだかにはよらない. 単位電荷当たりに働く力は E なので, (1.19)から単位電荷を Qから Pまで動かしたとき, 電場に対してする仕事は

WQP = −∫ P

Q

E · ds (1.20)

と書ける. 仕事が一義的に決まることから (1.20) は∮C

E・ds = 0 (1.21)

と書くこともできる. 記号∮は任意の道筋に沿って，電荷が一周して元に戻ることを表す.

[線積分]2次元の場合について考える. 独立変数 x の関数を y = g(x)とし，xと y の関数 G(x, y) を x について a

から b まで積分する．線積分は∫ b

a

G(x, y)dx =∫ b

a

G(x, g(x)

)dx (1.22)

と表現される．xが変化するつれて，従属変数 y も変化する．3次元の場合も同様に表現される. 1次元の場合には線積分は一義的に決定されるが, 2次元以上の場合に線積分は一般に a から b へ至る径路に依存している.

ベクトル A = 2xy i + (x2 − y2) j について, 線積分∫

A・dr を以下の 2つの径路について求めよう．

(1) 点 (a,0)から点 (0,a)にいたる直線 x+ y = aに沿う径路.y = a− x であるから∫

2xy dx+∫

(x2 − y2)dy =∫ a

0

(2x2 − a2)dx = −13a3

1.3. 静電ポテンシャル 7

(2) 点 (a,0)から点 (0,a)にいたる半径 a の円弧に沿う径路.x = a cos θ, y = a sin θ を代入すると

∫2xy dx+

∫(x2 − y2)dy = a3

∫ π/2

0

(cos2 θ − 3 sin2 θ) cos θdθ = −13a3

位置エネルギーの値を定めるには基準点が必要である．いま，基準点 P0 を導入し次の式で定義される関数 φ(x, y, z) (簡単のため φ(P) とも書く) を導入しよう．

φ(P) = −∫ P

P0

E · ds (1.23)

この φ は単位電荷が基準点 P0から Pまで運ばれるとき得る位置エネルギーを表す．φを静電位または静電ポテンシャルという．P0 から P まで電場に対してする仕事を WP0P = φ(P ) とし, P0 から Q まで電場に対してする仕事を WP0Q = φ(Q) としよう．そうすると

WQP = −∫ P

QE · ds = WQP0 + WP0P = φ(P ) − φ(Q) (1.24)

つまり Q から P まで電場に対してする仕事WQP は 2 点間の静電ポテンシャルの差で表すことができる．φ(P )− φ(Q) を電位差という．電位差の単位はボルト (V)で表す．静電ポテンシャルの基準点は任意であるが, 無限遠にとることが多い. このとき, (1.23)は

φ(P) = −∫ P

∞E · ds (1.25)

である. 例えば, 原点に電荷 qがある場合を考えてみよう．球座標表示では一般にE = (Er, Eθ, Eφ),ds = (dr, rdθ, r sin θdφ)となるが, 今の場合, 電場は

E =1

4πε0q

r2

r

r, r =

√x2 + y2 + z2 (1.26)

なので， E = (Er, 0, 0). 従って, E・ds = Erdr が成り立つ．φ(x, y, z) は (1.23)の積分を実行して

φ(x, y, z) =q

4πε0(1r− 1r0

) =q

4πε01r

(1.27)

となる．ここで (1.25)に対応させて, 基準点 r0 を無限遠にとった.次に電荷が 2 個以上ある場合について考えてみよう．この場合，電場についての重ね合わせの原

理より

φ(x, y, z) =∑

j

φ(j) =∑

j

14πε0

qjRj

(1.28)

と書き下せる．電荷が連続的に分布している場合には

φ(r) =1

4πε0

∫ρ(r′)R′ dV ′ (1.29)

となる．

8 第 1章静電場

さて, (1.23)は電場から電位を定義する式であるが，逆に静電ポテンシャル φ から電場を求めることもできる．いま，単位電荷を位置 x から微小な距離 dx だけ離れた位置 x+ dx まで運ぶのに要する仕事 ∆W は

∆W = φ(x+ dx, y, z) − φ(x, y, z) =∂φ

∂xdx (1.30)

となる．第 2項から 3項へはテイラー展開を用いて, dxの 1次まで残している. 一方，電場に対して行う仕事は

∆W = −E · ds = −Exdx (1.31)

となるので

Ex = −∂φ∂x

と書ける．一般に, 位置 (x, y, z) から (x+ dx, y+ dy, z+ dz) へ単位電荷を運ぶ場合も同様にすれば

Ex = −∂φ∂x, Ey = −∂φ

∂y, Ez = −∂φ

∂z

と拡張できる．これをまとめて

E = −∇φ (1.32)

と書く．ここで ∇ は微分演算子であり∇ = i

∂

∂x+ j

∂

∂y+ k

∂

∂z(1.33)

と定義する．∇φはポテンシャル φ の勾配を意味するベクトルである. (1.32)と (1.23)とは互いに微分と積分の関係であることに注意しよう．

φ(x，y，z)が一定である面 (dφ = 0)を等ポテンシャル面という．この面上に 2点 P(x，y，z) と Q(x + dx，y + dy，z + dz) をとると

　

−→PQ = ds = dx i + dy j + dzk

である．このとき

∇φ · ds =∂φ

∂xdx+

∂φ

∂ydy +

∂φ

∂zdz = dφ = 0

となるので，∇φは dsに直交する. すなわち，単位電荷当たりに働く力つまり電場は等ポテンシャル面に直交している．(1.32)のマイナスの符号は (1.23)の符号に対応しているものであるが，これは力がポテンシャルの減少する向きに作用することを示している．

[偏微分]まず 1変数の場合を考えよう. 関数 f(x) の微分を

df

dx= lim

∆x→0

f(x+ ∆x) − f(x)∆x

(1.34)

と定義する．このとき f の増分は

df =df

dxdx (1.35)

である．これを全微分という．

1.3. 静電ポテンシャル 9

次に, 独立変数 x, y, z の関数 f(x，y，z) に対する偏微分は

∂f

∂x= lim

∆x→0

f(x + ∆x，y，z) − f(x，y，z)∆x

(1.36)

∂f

∂y= lim

∆y→0

f(x，y + ∆y，z) − f(x，y，z)∆y

(1.37)

∂f

∂z= lim

∆z→0

f(x，y，z + ∆z) − f(x，y，z)∆z

(1.38)

と定義される．1変数の場合と区別して, 偏微分の記号は ∂ を使う．記号 ∂はラウンド・ディと読む. 微分に直接関与しない変数は定数のように扱われることに注意しよう．(1.35)に対応する全微分は

df =∂f

∂xdx+

∂f

∂ydy +

∂f

∂zdz (1.39)

と拡張される．

[テイラー展開]連続関数 f(x) を x = a のまわりで展開すると

f(x+ a) =∞∑

k=0

xk

k！f(k)(a) (1.40)

である．ここで f(k)(a)は f(x)の k階導関数に x = aを代入したものである．(1.40)をテイラー展開という．連続関数 f(x, y, z) の f(a, b, c) のまわりにおけるテイラー展開は

f(x+ a, y + b, z + c) =∞∑

k=0

1k！

(x∂

∂x+ y

∂

∂y+ z

∂

∂z

)k

f(a, b, c) (1.41)

ここで (・・・)(k)f(a, b, c) は f(x, y, z) の k階導関数に x = a, y = b, z = c を代入したものである.x = 0 のまわりで展開した例を列記する．

ex = 1 + x+12!x2 +

13!x3 + . . . (1.42)

cosx = 1 − 12!x2 +

14!x4 + . . . (1.43)

sin x = x− 13!x3 +

15!x5 + . . . (1.44)

(1 + x)λ = 1 + λx+12!λ(λ− 1)x2 + . . . (|x| < 1, λは定数) (1.45)

log(1 + x) = x− 12x2 +

13x3 + . . . (|x| < 1) (1.46)

θ を実数，i を虚数単位 (i2 = −1)とする．eiθ を展開し，実数部と虚数部をまとめると

eiθ = 1 − 12!θ2 +

14!θ4 + · · · + i(θ − 1

3!θ3 +

15!θ5 + . . . )

(1.43), (1.44)と比べると

eiθ = cos θ + i sin θ (1.47)

これをオイラーの公式という．

例 1.4 ポテンシャルの例(1) 等ポテンシャル面

10 第 1章静電場

中心に点電荷がある場合, および双極子の場合のポテンシャルは図のようになるが, 閉曲線上ではポテンシャルの値は同じである.

(2) 電気双極子双極子アンテナにおいて, 2個の電荷による P点における静電ポテンシャルは [図]

φ(x, y, z) =1

4πε0

[q√

(z − d/2)2 + x2 + y2− q√

(z + d/2)2 + x2 + y2

]

である.P点が十分遠いとすると, d

√x2 + y2 + z2なのでテイラー展開により

1√(z ± d/2)2 + x2 + y2

1r(1 ± zd

r2)−1/2 1

r(1 ∓ zd

2r2)

と近似できる. 従って静電ポテンシャルは

φ =1

4πε0zqd

r3

となる.[図]ここで向きが −qから qで, 大きさが p ≡ qdのベクトルを導入し ,これを双極子モーメントという. 静電ポテンシャルは, 双極子モーメントと rの間の角を θとすると，cos θ = z/rを使って

φ =p cos θ4πε0r2

(1.48)

と書ける．双極子モーメント pの微小な双極子による点 rでの静電ポテンシャルは, 座標系とは無関係に (1.48)で与えられる．次に (1.48)を用いて電場を求めよう. 電場は (1.32)で与えられ, (2.23)を使うと

Er = −∂φ∂r

=1

4πε02p cos θr3

(1.49)

Eθ = −1r

∂φ

∂θ=

14πε0

p sin θr3

(1.50)

を得る.

例 1.5 水素原子のボーアモデル

陽子とそのまわりを円運動する電子からなる水素原子を考える. 電子の電荷を−e, 質量をme とする. 円運動の半径を aとすると, 電子の速度が vのとき

1.4. ガウスの法則 11

mev2

a=

e2

4πε0a2

が成り立つ. ここでボーアの量子条件

mev · 2πa = nh, n = 1, 2, 3,・・・

を用いると aを自然定数のみで表せる. hはプランク定数である. n = 1の場合, aは電子の軌道半径の単位, すなわちボーア半径と呼ばれる. aにこれを採用すると

a =4πε02

mee2, =

h

2π

となる. これらを使うと vは

v = αc, α =e2

4πε0c

と書ける. α = 1/137は微細構造定数と呼ばれている. 従って, 電子の速度は光速の 1%程度である.実は, クーロンの法則 (1.1)は近似的なものである. つまり, 電荷の移動速度が光速度に比べて充分小さいときに成り立つ. これが静電場の静の意味である. 従って, クーロンの法則 (1.1)は原子の世界でも良い近似となりうる. ただし , a = 5.29 × 10−11 m のようなミクロな世界では, 原子の構造は量子力学を適用しないと正しく記述できない.

1.4 ガウスの法則

(1) 電気力線と電束真空中に電場が存在するとしよう．このとき電場の様子を視覚にうったえる方法として電気力線

を導入する．電荷 q から出る電気力線の数は q/ε0 で, その方向はこの線上の各点における接線がその点における電場ベクトルの方向である. 単位面積当たりの電気力線の数を電束密度という. 従って, 全電束は

Ψ =∫

SE · dS =

∫SEndS (1.51)

となる．この積分は電荷を囲む閉曲面についておこなう. ただし法線方向の単位ベクトル (法線ベクトル) nを用いると，dS = ndSであり, Enは E の dSに垂直な方向の成分 (En =E・n)である．従って, 微小面積 ∆S にたいする電束は En∆Sである.

(2) ガウスの法則電場は (1.12)または (1.15)を用いれば求めることができる. しかし , 対称性のよい場合にはガウ

スの法則を用いて電場を容易に求めることができる場合もある. このガウスの法則を 3段階に分けて説明してみよう．

(a) 点電荷 qの外に閉曲面を考え, そこからから出て行く正味の電束を求めよう. 底面から電束は流れ込み, 上面から出て行く. 電束は放射状に広がるので側面からの流れはなく |E| ∝ r−2である.流出部分の面積は S ∝ r2 なので合計すると∫

SEndS = 0 (qが閉曲面の外にある) (1.52)


となる.(b) 次に qの外部にある任意の形の閉曲面を想定しよう.

つまり電束が通る面が傾いている場合を考える. 面積∆Sの微小な面とその面を通る電場成分 En, ∆Sと θだけ傾いた微小面 ∆S′ を通る成分 E′

n

を考えると

En∆S = E′n∆S′

従って, 曲面全部について積分するとやはり (1.52)が成り立つ. つまり, qの外部にある任意の形状の閉曲面を通過する電束もまた 0である.

(c) 最後に, 点電荷 q のまわりの電束を考えよう．qを囲む任意の閉曲面S

を考える．さらに閉曲面 S の内部にqをつつむ半径 rの球面 S′をとると，球面上での電場の大きさ |E| = E は

E =1

4πε0q

r2(1.53)

である．このとき S′ を通る全電束は, 電束と半径 rの球の表面積の積

14πε0

q

r24πr2 =

q

ε0(1.54)

となり半径 r によらない．一方，S と S′ の間の電束は (a), (b)から 0である．つまり任意の閉曲面 S を通る全電束もまた q/ε0 となる．まとめると

∫S

EndS =

0 qが Sの外部q

ε0qが Sの内部

(1.55)

となる. これをガウスの法則という.この結果は電荷が多数ある場合にも拡張できる：

∫SEndS =

0 電荷が閉曲面の外部に分布

Q

ε0電荷が閉曲面の内部に分布

(1.56)

電荷が閉曲面内に不連続的に分布している場合は Q =∑

j qjだが, 連続的に分布している場合には

Q =∫ρdV となる. ガウスの定理 (2.11)を使うと

∫SEndS =

∫S

E・dS =∫

V∇・EdV =

∫V

ρ

ε0dV

1.4. ガウスの法則 13

となるので (1.56)は

∇・E =ρ

ε0(1.57)

と微分形で書ける.さて, 暗黙のうちに点電荷にも電荷密度を仮定して議論してきたが,これは明らかに矛盾を生じる.点粒子の密度は発散するからである. これを回避するための数学的処方が開発されているが (演習問題 9), やや程度が高いので省略する.

例 1.6 ガウスの法則の例(1) 無限に長い一様な線電荷の作る電場線密度 λ (C/m)で一様に帯電した無限に長くて細い棒の周りの電場は

すでに例 1.2 (2)で求めたが,ガウスの法則を使うと簡単に求まる. 棒に平行に長さ l, 半径Rの円柱で閉曲面をつくり [図] (1.56)を適用する. 電場は,対称性を考えると円柱表面に垂直な成分しか残らないので

∫S

EndS = E2πRl = lλ/ε0

となり, E = λ/(2πε0R)が求まる.

(2) 一様に帯電した無限に広くて薄い平面の作る電場面密度を σ (C/m2)とすると電場は面に垂直な成分しか残らない. [図]

閉曲面を直方体にとり, 片面の面積をAとするとガウスの法則から∫

SEndS = EA× 2 = σA/ε0

従ってE = σ/(2ε0)となり例 1.2 (3)と一致する. 平面は無限に薄く電束は面の両側に出ていることに注意しよう.

(3) 一様に帯電した無限に広いが厚みのある平行平面の作る電場[図]のように直方体の閉曲面を考え, 板自身の内部に電荷はないとする. 平行平板の間では E =

σ/ε0, 外部では E = 0となる.

あるいは, 電束の流れを考えると, 平板間ではマイナスとプラスの電束の寄与が電場を作り, 平板の外では電束の寄与が打ち消しあって電場が 0になっていることが分かる. また電荷は平板の内面にだけ一様に分布していると考えられ,これが次節で説明するコンデンサーである.


(4) 半径 Rの球状電荷のつくる電場と電位電荷密度を ρとする. r < Rに含まれる電荷は 4πr3ρ/3, r ≥ Rでは電荷は 4πR3ρ/3を考えれば

よい. [図] 従って, 半径 rにおける全電束は 4πr2Eとなり, これが

rの内部に含まれる電荷に等しい. 従って, r点が球の内部か外部かで

E =

ρr

3ε0r < R

ρR3

3ε0r2r ≥ R

(1.58)

と場合分けされ, 静電位は (1.25)を用いて, r < Rのとき

φ(r) = −∫ R

∞E(r)dr −

∫ r

RE(r)dr

r ≥ Rの場合

φ(r) = −∫ r

∞E(r)dr

となる. これらの積分を実行して

φ =

ρ

2ε0(−r

2

3+ R2) r < R

ρR3

3ε0rr ≥ R

(1.59)

が得られる. 全電束の保存より E, φは r = Rで連続でなければならないことに注意しよう.

(5) 半径 Rの球面上に, 一様に分布した電荷のつくる電場と電位全電荷を Qとすると

E =

0 r < R

Q

4πε0r2r ≥ R

(1.60)

と場合分けされ, 静電位は

φ =

Q

4πε0Rr < R

Q

4πε0rr ≥ R

(1.61)

である.

1.5. 導体 15

1.5 導体

完全な電気伝導性をもち，電場が存在すればそれに沿って, 導体表面に向かって電荷が速やかに移動する理想的な物体のことを導体という．[図]に示すように, 導体に帯電体Aを近づけると, Aに近い端に Aの電荷と反対符号の電荷が導体表面上に現れ, 他の端にはそれと同量で Aと同符号の電荷が分布する. この現象を静電誘導という. これは導体内の電子が自由に動けることから起きる. 導体上に誘起された電荷を誘導電荷という. 図の状態は電荷が移動して落ち着いた最終段階で, 誘導電荷の分布は静止した状態である. このとき, 導体内部には電場はない. なぜなら, もし内部に電場が存在すると, 内部の自由電子にクーロン力 (1.17)が作用して動きだし, 誘導電荷の分布が静止しているという仮定に反するからである. 導体内部で E = 0なら (1.32)より∇φ = 0だから, 静電ポテンシャル φは一定であることが分かる. このように, 導体内部ではいたるところ等電位であるため, 導体表面も等電位面になっている．導体内部には電荷は存在せず, 電荷はその表面にだけ存在しえる．ミクロにみれば，導体においては電子が原子に束縛されずに導体中を自由に動きまわれる自由電子となっており, もし導体を電場中に置くと電流が流れる．こういう状態にある電子を伝導電子という.導体表面の電荷密度を σ とすると導体表面の電場は, 電束が導体内に存在しないことを考慮する

と,ガウスの法則から

E =σ

ε0(1.62)

である.

無限に広い平面上に電荷が面密度 σ

で一様に分布しているとき, 例 1.2(3)から任意の点での電場は σ/2ε0である．この平面が導体平板の場合には電場は σ/ε0 である．この違いは導体内部に電場がないことからきている．導体の場合，板に平行な平面上に −σ で電荷が分布しているのと同じである．

そうすれば，導体内部では電場が打ち消し合って 0になり，外部では足し合わさって無限に広い平面上だけに電荷が分布している場合の 2倍となるのである．半径 aの球面上に一様に電荷Qが分布しているとき, 電場は例 1.6 (5)で与えられる．従って, 球

のすぐ外の電場は Q/(4πε0a2)である．電荷密度は Q/(4πa2)なので (1.62)が成り立ち，これは導体球に電荷Qを与えた場合に相当する．

例 1.7 電気力線

垂直に立てた導体平板の前方 xの位置に正の点電荷 qを置くと, 導体の外側の電気力線は −xの位置に鏡像電荷−qを置いた場合と同様になる. 導体板を絶縁板にした場合は電気力線は板面上で板に平行になる.

1.6 コンデンサー

面積 S の 2 枚の導体板 A，Bを距離 d だけ離して平行におく ([図]).


いま，B から正の電荷 dq を取り出し , A まで運ぶことを考えてみよう．この操作を連続的に行い, A の電荷が Qになるまで繰り返す．このときB の極板には −Qの電荷が存在することになる．このように正電荷の近くに負電荷を置くと互いに引き合ってたくさんの電荷を小さな場所に蓄えることができる. このような方法で電荷を蓄えるようにした装置がコンデンサーである.

さて板の内部には電荷は存在しないので, 　板の端の影響を無視すると極板間の電場は,ガウスの法則から

E =σ

ε0(1.63)

となる．ここで σ は導体の表面電荷密度 σ = Q/Sである. この結果は前節の例 1.6 (3)と同じである. 面密度+σ，− σ で 2 つの平行な平面を考える場合には電場は導体板の場合と同じである．導体の場合には内部に電場がないと定義しているので, 導体間は　+σ と −σ の寄与があり，導体内部では互いに打ち消し合って 0 となっている．実際にはコンデンサーは有限の大きさなので, 電荷分布を一様とは考えることはできないことに注意しよう. 極板間の電位差を V とすると (1.23)から，極板間の電場は板に垂直で

V = Ed =σ

ε0d =

d

ε0SQ =

Q

C(1.64)

C =ε0S

d(1.65)

と書き表せる．この式で定義した C をコンデンサーの静電容量またはキャパシタンスとよび, 単位はファラッド (F)である．

Bから Aへ電荷を運んでいるとき A の電荷が q になったとしよう．さらに電荷を dq だけ運ぶのに要する仕事 dU は，このときの電位差を v とすると

dU = vdq (1.66)

となる．静電容量 C = q/v は定数となることに注意すると, コンデンサーを電気量Qに充電するのに要する仕事は (1.66)から

W =∫ Q

0dU =

∫ Q

0

q

Cdq =

Q2

2C=

12CV 2 (1.67)

である.静電容量の単位 (F) は実際上は大きすぎるので, 普通はマイクロファラッド (1µF = 10−6 F)や

ピコファラッド (1 pF = 10−12 F) がよく使われる. また, [F] = [C/V], 誘電率 ε0の単位は (F/m)あるいは (C2/N/m2) である. たとえば, S = 10 cm2, d = 1 mmの平板コンデンサーの容量はε0 = 8.9 × 10−12 F/m であるので (1.65)から

C = 8.9 × 10−12 F = 8.9 pF

1.6. コンデンサー 17

を得る. 実際の平行平板コンデンサーの電気力線は, 板の長さが有限なため図のようになっている. これは静電ポテンシャルのところでみたように, 静電場の条件 (1.21)つまり∮

CE・ds = 0が成り立つためである.

例 1.8 コンデンサーの電場の例

(1) 導体球コンデンサー半径 aの導体球の静電容量は, 無限遠の電位を 0とすると, V = Q/(4πε0a)なので C = 4πε0aで

ある. 例えば, 半径 1 cm の導体球の容量は 1.1× 10−12 F. 地球程度の導体球でも 10−3 Fである. このことからも Fという単位が大きすぎることが分かる.半径 aで電荷Qに帯電した導体球 Aを半径 a/2の帯電していない導体球 Bと接触させた後に離

す. Bへ移動した電荷を Q′とすると

Q−Q′

a=

Q′

a/2

従って, Aから Bに移動した電荷は Q′ = Q/3 である.

(2) 球殻コンデンサー

互いに絶縁された内径 a, 外径 bの球殻において各球殻に電荷Qa, Qbを与える.1) 各球殻の電位ガウスの法則より r ≥ b のときには E(r) = (Qa +Qb)/(4πε0r2)なので Vbについては

Vb = −∫ b

∞E(r)dr =

14πε0

Qa +Qb

b(1.68)

Vaに対しては, 積分領域を分けて求めねばならない：

Va = −∫ a

∞E(r)dr = −

∫ b

∞E(r)dr −

∫ a

bE(r)dr = Vb − Qa

4πε0

∫ a

b

1r2dr

=1

4πε0

(Qa

a+Qb

b

)

両球の電位差は

Va − Vb =Qa

4πε0(1a− 1b)

なので, 内球のほうが電位が高い. 両球を導線でつなぐと両球は等電位 Va = Vb となる. 従って,Qa = 0. すなわち, 内球の電荷はすべて外球に移動したと考えられる. この手続きにより, 原理的には外球にいくらでも電荷を蓄え高電圧を得ることができる. このような装置はヴァン・デ・グラフあるいは静電発電機といわれ, 加速器に応用されている. もちろん実際には外球の表面から放電が起きて電圧には上限が現れる.

2) 外殻を接地した場合


内殻の電荷を Qとする. Vb = 0なので (1.68)より Qa = Q, Qb = −Q. 内殻の電位は

Va =Q

4πε0

(1a− 1b

)

となり, 静電容量は

C =Q

Va= 4πε0

ab

b− a

である. b −→ ∞で C −→ 4πε0aとなる.

1.7 誘電体

導体と異なり，電子が原子に束縛されているため, 電場中に置いても電子の位置がわずかに変位するだけの物質を誘電体という. マクロに見たとき, 誘電体を電場の中に入れると電荷がわずかに変位する現象が生じ,これを分極と呼ぶ. 分極している誘電体の内部ではどこも正と負の電荷の変位が生じているが,この変位の効果は, 誘電体表面に分極電荷として現れる. いわゆる絶縁体のことである．誘電体中におけるガウスの法則を導いてみよう．まず内部が真空である平行平板コンデンサーを

考え，片方の極板に表面電荷密度 +σ の電荷を与える. この与えた電荷Qを真電荷という．内部の電場は E0 = σ/ε0である. 次にコンデンサーの内部に誘電率 ε の誘電体を詰め込む．誘電体を構成する分子内の電子は正に帯電した極板に引き付けられ，原子核は遠ざけられて電気双極子がつくられる．(図）このとき誘電体の表面には分極電荷が現れる．この分極電荷の電荷密度を −σ′ としよう．従って, もともと σ に帯電した極板の電荷密度は σ − σ′ になったとみなせる．つまり誘電体を挿入したことによって電場は

E =σ − σ′

ε0(1.69)

に減少した．ここで分極ベクトル P を導入する. 分極の大きさ P は移動した電荷に対応する σ′ とし，向きは正電荷の移動した方向にとる．そうすると (1.69)から

E +P

ε0=σ

ε0(1.70)

と書ける．さらに誘電体中の電束密度 D を

D = ε0E + P (1.71)

と定義する. 電束密度はベクトルであるのでその大きさを D と表す. D

は電荷の’移動’感を伴うのでマクスウェルは電気変位と呼んだ.

A を極板の面積とすると

DA = σA = Q, D = σ

この議論を一般化すると

∫S:任意の閉曲面

DndS =

0 Qが Sの外部

Q Qが Sの内部(1.72)

1.7. 誘電体 19

表 1.1: 比誘電率

大気 1.0 水晶 4.5絶縁油 2–4 鉛ガラス 7–10天然油脂 2–4 エチル・アルコール 25硫黄 4 蒸留水 81

を得る．これを誘電体中のガウスの法則という.さて電束密度と電場との関係をみてみよう．多くの物質について経験的に

P = χε0E (1.73)

が成り立つ．ここで比例定数 χ を電気感受率という．(1.71)の分極ベクトルに代入すると

D = ε0E + χε0E = ε0(1 + χ)E = εE (1.74)

を得る．この式で定義される ε を物質中の誘電率という．D = σの誘電体中の電場の大きさは, 真空中の電場 E0 と

E =σ

ε=ε0εE0

の関係があることが分かる．(1.72)は (1.57)と同様に微分形で書けば

∇・D = ρ (1.75)

となる.また上述のコンデンサーの場合を考えると

V =ε0εV0 (1.76)

となるので静電容量については

C =Q

V= εrC0, εr =

ε

ε0(1.77)

となる．C0 は真空中の静電容量 Q/V0 である．εr を比誘電率という. コンデンサーの間に誘電体を挿入すると静電容量が εr 倍だけ増加する. 室温での誘電体の比誘電率の例を表 1.1に示した.

例 1.9 誘電体中の電気力線誘電率 ε1, ε2 の誘電体が平面で接しており, 誘電体 ε1内の点 Pに正電荷 qがあるときの電場は電

気映像法で求めることができる. 誘電体 ε1内の電荷は境界面にたいする点 Pの対称点に電荷

q′ = −ε2 − ε1ε2 + ε1

q

があり, 全空間が ε1で満たされているとしたときの電場に等しい. 誘電体 ε2内の電場は P点に

q′′ =2ε2

ε2 + ε1

の点電荷 q′′があり, 全空間が ε2で満たされているときの電場に等しい.

例 1.10 コンデンサーの電場の例円筒形コンデンサー


　内径 a, 外径 b, 長さ l

の円筒形コンデンサーの内部に誘電率 εの誘電体を詰めたとき, このコンデンサーの静電容量を求めよう. [図]

内側円筒表面の単位長さ当たりの電荷密度を λとする. 半径 rにおける電場は例 1.6 (1)と同様にガウスの法則より 2πrεE = λから得られる. 静電ポテンシャルを φ(r)とすると

E =λ

2πεr= −dφ(r)

dr(1.78)

積分すると

φ(r) = − λ

2πεln r +積分定数 (1.79)

となるので円筒の内外の電位差は

V = φ(a) − φ(b) =λ

2πεlnb

a(1.80)

静電容量は

C = λl/V = 2πεl ln(a/b) (1.81)

である.

異なる誘電体の境界面上の接続条件相異なる誘電率 ε1, ε2を持つ誘電体が接している場合, 特有の境界条件が出てくる.

(1) 境界面に真電荷が存在する場合境界に面密度 σの真電荷が存在するとしよう. 境界面を含む十分薄い円柱についてガウスの法則

を適用すると∫閉曲面 S

D · ndS = D1 · n ∆S + D2 · (−n) ∆S = σ∆S

nは円柱の上面から外に向かう法線ベクトルである. 下面から外に向かう法線ベクトルは−nであることに注意しよう. 従って,電束密度Dについては

D1n −D2n = σ (1.82)

となる. ただし , D1n = D1 · n，D2n = D2 · nである. (1.82)は静電ポテンシャルを用いて書き換えられる. すなわち, D1nについては

D1n = ε1E1n = −ε1[∂φ

∂n

]1

となり, D2nについても同様になるので (1.82)は

ε1

[∂φ

∂n

]1

− ε2

[∂φ

∂n

]2

= −σ (1.83)

となる.

1.8. 静電エネルギー 21

また電場については, 辺の長さ∆Lの十分薄い長方形をとると∮

CE · ds = E1 · t∆L + E2 · (−t)∆L = 0

tは接線方向の単位ベクトルである (接線ベクトル). これから電場の接線成分の連続条件

E1t = E2t (1.84)

を得る. ただし , E1t = E1 · t, E2t = E2 · tである.

静電ポテンシャルに関しては∮E · ds = 0 ⇐⇒

∫C1

E · ds +∫

C2

E · ds = 0

つまり, φ1 = φ2 である.

(2) 境界面に真電荷が存在しない場合(1)で σ = 0の場合を考えればよい. (1.82)より電束密度の法線成分の連続条件は

D1n = D2n (1.85)

である. 電場Eに関する条件は (1.84)と同じである.

例 1.11 屈折の法則

異なる媒質中を通過する電場に対して, 境界条件 (1.84)と (1.85)から

E1 sin θ1 = E2 sin θ2, ε1E1 cos θ1 = ε2E2 cos θ2

を得る. 従って屈折の法則

tan θ1tan θ2

=ε1ε2

(1.86)

が得られる．ただし, この条件は反射が無視できる場合である. 一般的取り扱いは 5.3で行う. 空中から水中への入射では ε1 ε0, ε2 80ε0 (表 1.1参照) なので θ2 90度となり水中に入った電場は水面と平行になる．

1.8 静電エネルギー

静電ポテンシャルは, 1.3において単位電荷を電場に逆らって運ぶ仕事であると定義した. 電場が電荷 qiによるものとすると, 電荷 qj を無限遠より, qiから rij の位置まで運ぶのに要する仕事は(1.27)と同様に qiqj/(4πε0rij) であり, これを静電エネルギーという. 一般に多数の電荷が分布している場合


U =12

14πε0

∑i

∑j

qiqjrij

(1.87)

と書け，連続的に分布している場合には

U =12

14πε0

∫ ∫ρ(r)ρ(r′)

RdV dV ′ (1.88)

と拡張できる. 1/2は全ての対について和をとると, 倍に数えるので必要になる. この積分は, 電荷が分布している領域で行わなければならない．

例 1.10 静電エネルギーの例(1) 一様帯電球の静電エネルギー一様な電荷密度 ρ, 半径 aの球が持つ静電エネルギーを求めてみよう.

無限遠にある微小電荷 dqを rまで運ぶ仕事は

dU =qdq

4πε0r=

4πr4ρ2

3ε0dr

ここで q = 4πr3ρ/3, dq = 4πr2ρdrであり, 全電荷Q = 4πa3ρ/3. 従って

U =∫dU =

4πρ2

3ε0

∫ a

0

r4dr =35

Q2

4πε0a(1.89)

を得る. これは a だけ離れた 2個の点電荷Qの作る静電エネルギーQ2/(4πε0a) の 3/5 倍になっている.

(2) 平行コンデンサーの静電エネルギーコンデンサーの電荷を 0から Qまで充電するのに要するエネルギーはどうなるだろうか. 微小電荷 dqを移動させるのに要する仕事は (1.66), dU = vdqなので (1.67)がコンデンサーに蓄えられた静電エネルギーである.では平行コンデンサーの極板間に働く力はどうなるか. Qを固定して微小間隔∆zだけ極板を移動させる仕事 F∆zと, エネルギーの変化∆Uが等しくなるので

∆U =12Q2∆(

1C

) = F∆z

から

F∆z = − Q2

2C2∆C

一方, ∆(1/C) = ∆z/(ε0S)を用いると

F =Q2

2ε0S=

12QE

を得る. ここで, Q = σS, E = σ/ε0を使った. 極板間の力は電気量Qの点電荷に働く力QEの半分となることを注意しておく.

1.8. 静電エネルギー 23

(3) 導体球の静電エネルギー半径 aの導体球の静電容量は C = 4πε0aなので

U =12Q2

C=

12

Q2

4πε0a

であるが, 無限遠から電荷を Qになるまで運んできたと考えて

U =1

4πε0

∫ Q

0

qdq

a=

12

Q2

4πε0a

と求めることもできる.

静電場のエネルギー

平行コンデンサーに蓄えられている静電エネルギーは (1.67)で与えられる. これを電場で書き換えてみよう. (1.64), (1.65)を用いると

U =CV 2

2=

12ε0S

dE2d2 =

12ε0E

2Sd

となる. Sdはコンデンサー内の体積であるので, コンデンサーの静電場のエネルギー密度は, u =ε0E

2/2と書けることが分かる. この結果はコンデンサーに限らず一般的にいえることを示そう.電荷分布が空間に存在するときの静電エネルギーは (1.88)で与えられるが, (1.29)より rにおけ

る静電ポテンシャル φ(r)を用いて

U =12

∫全空間

ρ(r)φ(r)dV (1.90)

と書くこともできる. さて電場が存在すると空間には静電エネルギーが存在し, それは以下に導くように

U =ε02

∫E · EdV (1.91)

である. あるいは

u =ε02E2 (1.92)

と書いてもよい. ここで uは電場のエネルギー密度である.(1.91)は次のようにして導くことができる. (1.57)式,すなわち,ガウスの法則の微分形∇・E = ρ/ε0

において, (1.32)のE = −∇φを使うと

∇2φ = − ρ

ε0(1.93)

と書ける (2.4 参照). これをポアソンの方程式といい, 静電ポテンンシャルを求める際に用いる. このとき (1.90)の積分は

U = −ε02

∫φ∇2φdV (1.94)


と書ける. ベクトルの関係式

φ∇2φ = ∇・(φ∇φ) − (∇φ)・(∇φ) (1.95)

を使って積分 (1.94)を分けると

U =ε02

∫(∇φ)・(∇φ)dV − ε0

2

∫∇・(φ∇φ)dV (1.96)

第 2項はガウスの定理 (2.11)を使うと∫V∇・(φ∇φ)dV =

∫S(φ∇φ)ndS

となる. 積分表面を半径 Rの球にとると

φ ∼ 1/R, ∇φ ∼ 1/R2, S ∼ R2

と漸近的に見積もれることから

(φ∇φ)nS ∼ 1/R −→ 0 (R −→ ∞)

なので積分はゼロとなる. (1.96)に E = −∇φを用いて

U =ε02

∫V

(∇φ)・(∇φ)dV =ε02

∫V

E・EdV (1.97)

を得る. つまり, 空間の静電エネルギーはエネルギー密度 ε0E2/2 を全空間にわたって積分して得ら

れる.

演習問題 25

演習問題

1. 陽子の質量は 1.7× 10−27 kg，電荷は 1.6× 10−19 Cである. 陽子の間に働く万有引力とクーロン力の大きさの比を求めよ．

2. 半径 aの円板に面密度 σで電荷が一様に分布している. 円板の中心軸上の hの距離の点での静電ポテンシャルと電場を求めよ.

3. 球面上に σ cos θの面密度で電荷が分布している. 球の中心を原点とする x軸から半径のなす角が θのとき, 球の内部の電場は一様で軸方向を向くことを示せ.

4. 内外の半径を a, bとする同心導体の球殻の間に誘電率 ε(r) = ε0(c+ r)/r (cは定数)の誘電体を満たす.このコンデンサーの静電容量を求めよ.

5. 半径 aの導体球を厚さ t, 誘電率 εの誘電体でつつみ, 導体球に電荷 Qを与えるときの静電エネルギーを求めよ.

6. 地上 hの高さに平行に張られた半径 aの長い電線で,単位長さ当たりの地上に対する静電容量を求めよ.　a h とする.

7. 接地された 2枚の大きな平行導体板の間に両板から距離 a, bの地点に点電荷 qを置くとき, 点電荷に働く力を求めよ.

8. 誘電率 ε1, ε2の誘電体が平面を境に接している. 半径 aの導体球の中心がこの平面上に位置するように置かれている. 導体球に電荷 Qを与えるとき球の静電容量はどうなるか.

9. 電荷 Ze の粒子が電荷 Z ′eの粒子によって散乱される場合 (クーロン散乱)を考える.

(1) 中心力 F =k

r2er (k > 0)による散乱において，衝突パラメーター b のときの散乱角 Θが次式で

与えられることを示せ．ただし E は全エネルギーである．

cotΘ2

=2Ekb

(2) 衝突パラメーター bで入射した粒子が中心力を受けて，角 Θの方向へ散乱された．散乱の微分断面積は

σ(Θ) =b

sin Θ

∣∣∣ dbdΘ

∣∣∣散乱の全断面積は

σt = 2π∫ π

0

σ(Θ) sin ΘdΘ

で与えられ, 全断面積が無限大となることを示し，その結果を考察せよ.

10. 点電荷を数学的に記述するために以下で定義される δ関数を導入する.

δ(x− x′) = 0 x = x′∫ ∞

−∞δ(x)dx = 1

∫ ∞

−∞δ(x− x′)f(x)dx = f(x′)

δ(x) = δ(−x)

(1.98)

また, 3次元的には δ(r − r′) = δ(x− x′)δ(y − y′)δ(z − z′) と拡張される. この関数を使って点電荷の密度は ρ(r) = eδ(r − r′) と定義される. このとき点電荷に対するガウスの法則はどうなるか.

27

第2章ベクトルと微分演算子

電磁気学では電場・磁場ベクトルが位置の関数として表され，それらを微分した量も電磁場の性質を記述する上で重要となる．この章では，ベクトルの微分演算を取り扱い，勾配・発散・回転という量を導入する．さらに，それらが円柱座標系や球座標系でどのように表記されるかを考える．

2.1 勾配

微分演算子は (1.33)で定義され

∇ = i∂

∂x+ j

∂

∂y+ k

∂

∂z(2.1)

である．これは微分をおこなうベクトルであることに注意しよう．点 P(x, y, z) におけるスカラー関数 ψ(x, y, z) に対して

∂ψ

∂x,∂ψ

∂y,∂ψ

∂z

はそれぞれ ψ の x, y, z方向への微分係数である．これを拡張して，ベクトル

gradψ = ∇ψ = i∂ψ

∂x+ j

∂ψ

∂y+ k

∂ψ

∂z(2.2)

を導入しよう．すなわち，微分演算子 (2.1)をスカラー ψ に作用させてベクトルを作る．点 P の近傍に P′(x+ dx, y + dy, z + dz) をとると，その微小変位は

ds = dx i + dy j + dz k (2.3)

この変位に対応する ψ の増分は

dψ = ψ(P′) − ψ(P) = ψ(x+ dx, y + dy, z + dz) − ψ(x, y, z)

ψ(x+ dx, y + dy, z + dz) をテイラー展開し，微小量 dx, dy, dz の 1次までをとると

dψ =∂ψ

∂xdx+

∂ψ

∂ydy +

∂ψ

∂zdz

が得られる．一方，(2.2)と (2.3)のスカラー積は

∇ψ・ds =∂ψ

∂xdx+

∂ψ

∂ydy +

∂ψ

∂zdz = dψ (2.4)

したがって，∇ψ の ds 方向の大きさは，変位 ds に関する ψの増分 dψ に等しいことがわかる．

28 第 2章ベクトルと微分演算子

さて，Pと P′で ψ の値が等しい場合には

∇ψ・ds = 0

となるので，ベクトル∇ψ は ψ(x, y, z)が一定である面に直交し，ψ が増加する方向を向いている．それゆえに∇ψを ψの勾配という．

(2.4)を点 Pから Qまで積分すると∫ Q

P

∇ψ・ds =∫ Q

P

dψ = ψ(Q)− ψ(P)

となり，閉曲線に沿って１周すると，点 Pに戻るので∮C∇ψ・ds = 0 (2.5)

である．この結果は逆に用いられることが多い．すなわち，ベクトルF について∮

C

F・ds = 0 (2.6)

が成り立つならば，そのとき

F = ∇ψ (2.7)

と表せるスカラー ψ が存在することがわかる．例えば，電場 E に関しては (1.21)であるので，(1.32)のように

E = −∇φ

と書けるポテンシャル φが存在する．ただしマイナス符号は電場がポテンシャルの減少する方向を向いていることによる．ここで，曲面を表す方程式を f(x, y, z) = 0としよう．∇f はこの曲面に直交するベクトルである

から，その大きさを 1と規格化して，法線ベクトル

n =∇f|∇f | (2.8)

が得られる．

例 2.1 曲面の法線ベクトル曲面 Sが方程式 f = x2 + y2 + z − 2 = 0で与えられる場合

∇f = 2x i + 2y j + k

であるから，面 S の法線ベクトルは

n =2x i + 2y j + k

(4x2 + 4y2 + 1)1/2

となる．

2.2. 発散 29

2.2 発散

ベクトル A(x, y, z) に対して，スカラー

divA = ∇・A =∂Ax

∂x+∂Ay

∂y+∂Az

∂z(2.9)

を導入しよう．すなわち，(2.1)をベクトル A に作用させ，スカラー積をとる．図のように，閉曲面 S で囲まれた体積 V を考えよう．

面積要素 dS とその法線ベクトルn を用いて

dS = ndS

と書こう．閉曲面 S にわたる積分∫S

A・dS =∫

S

A・ndS =∫

S

(Axnx +Ayny +Aznz)dS (2.10)

を考える．いま体積 V を x軸に平行な微小角柱に分割し，その 1つの角柱の断面積を dy dz，両端の x座標を x1, x2とすると，積分への寄与は

AxnxdS = Ax(x1)nx(x1)dS(x1) +Ax(x2)nx(x2)dS(x2)

と表せる．nx(x2) は xの正の向きであるから

nx(x2)dS(x2) = dy dz

一方，nx(x1) は xの負の向きであるから

nx(x1)dS(x1) = −dy dz

従って

AxnxdS = dy dz[Ax(x2) −Ax(x1)] = dy dz

∫ x2

x1

∂Ax

∂xdx

x軸に平行な微小角柱をすべて加えると∫S

AxnxdS =∫

V

∂Ax

∂xdxdydz

同様にして，y軸および z軸に平行な部分についても∫S

AynydS =∫

V

∂Ay

∂ydxdydz,

∫S

AznzdS =∫

V

∂Az

∂zdxdydz

となる．これらの結果を (2.10)に代入し，(2.9)を用いると∫S

A・dS =∫

V∇・AdV (2.11)

が得られる．これをガウスの定理という．


例 2.2 一定速度の流れ場図のように，x方向に一定の速さ vで流れる速度場の中におかれた一辺の長さ aの立方体を考え

よう．v・dS は流れに平行な面では 0となるから∫S

v・dS = v(x1)n(x1)a2 + v(x2)n(x2)a2

であり，v(x1) = v(x2) = v, n(x1) = −1，n(x2) = 1であるから∫S

v・dS = 0

が得られる．a は任意にとれるからガウスの定理 (2.11)より

∇・v = 0

である．一方 v は一定であるから

∂vx

∂x= 0

となり，直接 ∇・v = 0 を確かめることもできる．

例 2.3 湧き出しを持つ速度場例 2.2 で扱った一辺 a の立方体の中心 x = 0に湧き出しがあり，x > 0では正の v(x)，x < 0で

は負の −v(x) で与えられる速度場を考える．このとき∫S

v・dS = 2a2v(a)

となり，(2.11)より

∇・v > 0

である．

同様に，立方体の中に吸い込みがある場合は速度の向きが逆になるから

∇・v < 0

となる．これらの例からわかるように，∇・A はベクトル場A の湧き出し・吸い込みの大きさを与えるの

で，発散といわれる．

2.3 回転

ベクトル A(x, y, z) に対して，ベクトル

rotA = ∇× A = i

(∂Az

∂y− ∂Ay

∂z

)+ j

(∂Ax

∂z− ∂Az

∂x

)+ k

(∂Ay

∂x− ∂Ax

∂y

)(2.12)

を導入しよう．つまり，(2.1)をベクトル A に作用させてベクトル積を作る．

2.3. 回転 31

図のように，閉曲線Cで囲まれた曲面 Sを考え，閉曲線上に微小変位 dsをとる．ここで dsの向きは，曲線に沿って dsを動かすとき，右ねじの進む向きに面の法線ベクトルnがあるようにとる．曲面を微小部分に分割し，各部分が平面とみなせるとしよう．

そのうちで代表的なものとして，図のように n が z 方向を向き，閉曲線 C1で囲まれた微小な長方形 S1をとろう．線積分は∮

C1

A・ds =∮

C1

(Axdx+Aydy) (2.13)

ここで∫C1

Axdx = Ax(y1)dx+Ax(y2)(−dx)

= −[Ax(y2) −Ax(y1)]dx = −[∫ y2

y1

∂Ax

∂ydy

] ∫ x2

x1

dx

同様に∫C1

Aydy = Ay(x2)dy − Ay(x1)dy =[∫ x2

x1

∂Ay

∂xdx

] ∫ y2

y1

dy

となる．従って (2.13)は∮C1

A・ds =∫

S1

[∂Ay

∂x− ∂Ax

∂y

]dxdy

=∫

S1

(∇× A)zdxdy

=∫

S1

(∇× A)ndS =∫

S1

(∇× A)・ndS =∫

S1

(∇× A)・dS

ただし (2.12)を使い，さらに z 方向を nが向いていることを用いた．微小部分をすべて加えると，左辺の線積分は隣り合う部分が互いに打ち消し合って境界Cに沿う

積分になり，右辺の面積分は曲面 Sにわたる積分となる．従って∮C

A・ds =∫

S(∇× A)・dS (2.14)

が得られる．これをストークスの定理という．この定理を用いると，ベクトル F が (2.7)と表せる条件 (2.6)は

∇× F = 0 (2.15)

と書くこともできる．ベクトル F が与えられたとき，積分条件 (2.6)は多くの径路に対して判定する必要があるけれど，微分条件 (2.15)は任意の点で判定できるので有用である．

例 2.4 一定速度の流れ場図のように，x方向に一定の速さ vで流れる速度場の中に一辺の長さ aの正方形を流れと平行に

おこう．v・dsは流れに垂直な径路では 0, y = y1 に沿っては正, y = y2 に沿っては負となるから∮C

v・ds = v(y1)a − v(y2)a


であり，v(y1) = v(y2) = v であるから∮C

v・ds = 0

となる．a は任意であるからストークスの定理 (2.14)より

∇× v = 0

である．

例 2.5 渦の場

図のように，xy 面上で半径 a の円に沿って一定の速さ vで回転している速度場を考えよう．このとき

v・ds = vxdx+ vydy

と書ける．変数変換

x = a cos θ, y = a sin θ

により

vx = −v sin θ, vy = v cos θ

となるから，線積分は∮C

v・ds =∫ 2π

0avdθ = 2πav

となり，(2.14)より

∇× v > 0

である．これらの例からわかるように，∇× Aはベクトル場A の渦，あるいは回転を与える．

2.4 座標系表示

(1)デカルト座標系デカルト座標系 (x, y, z) における微小変位 (2.3)は

ds = dx i + dy j + dz k

である．この系での勾配 (2.2), 発散 (2.9), 回転 (2.12) をまとめて表示しておこう．

∇ψ = i∂ψ

∂x+ j

∂ψ

∂y+ k

∂ψ

∂z

2.4. 座標系表示 33

∇・A =∂Ax

∂x+∂Ay

∂y+∂Az

∂z

∇× A = i

(∂Az

∂y− ∂Ay

∂z

)+ j

(∂Ax

∂z− ∂Az

∂x

)+ k

(∂Ay

∂x− ∂Ax

∂y

)

(2.9)のベクトルA を (2.2)の ∇ψ で置き換えると

∇2ψ = ∇・∇ψ =∂2ψ

∂x2+∂2ψ

∂y2+∂2ψ

∂z2(2.16)

である．∇2 はラプラス演算子といわれる．

(2) 円柱座標系図のように円柱座標系 (r, θ, z) を設定すると

x = r cos θ

y = r sin θ

z = z

である．基本単位ベクトル (er,eθ,ez) は

er = cos θ i + sin θ j

eθ = − sin θ i + cos θ j (2.17)

ez = k

となる．点 P(r, θ, z) から P′(r + dr, θ + dθ, z + dz) までの微小変位は

ds = dr er + rdθ eθ + dz ez (2.18)

と表せる．変数変換 (x, y, z) → (r, θ, z) に対して

∂

∂x=∂r

∂x

∂

∂r+∂θ

∂x

∂

∂θ(2.19)

と書ける．(2.17)を逆に解くと

i = cos θ er − sin θ eθ　　 (2.20)

j = sin θ er + cos θ eθ

(2.20)を (2.3)に代入し (2.18)と比べると

dr = cos θ dx+ sin θ dy

rdθ = − sin θ dx+ cos θ dy

である．ゆえに

∂r

∂x= cos θ,

∂θ

∂x= −1

rsin θ


となる．したがって (2.19)は

∂

∂x= cos θ

∂

∂r− 1r

sin θ∂

∂θ(2.21)

同様にして

∂

∂y= sin θ

∂

∂r+

1r

cos θ∂

∂θ(2.22)

となる．(2.19), (2.21), (2.22)を (2.2)に代入すると

∇ψ = (cos θ er − sin θ eθ)(

cos θ∂ψ

∂r− 1r

sin θ∂ψ

∂θ

)

+ (sin θ er + cos θ eθ)(

sin θ∂ψ

∂r+

1r

cos θ∂ψ

∂θ

)+ ez

∂ψ

∂z

これを整理して

∇ψ = er∂ψ

∂r+ eθ

1r

∂ψ

∂θ+ ez

∂ψ

∂z(2.23)

を得る．同様にすると

∇・A =1r

∂

∂r(rAr) +

1r

∂Aθ

∂θ+∂Az

∂z(2.24)

∇× A = er

[1r

∂Az

∂θ− ∂Aθ

∂z

]+ eθ

[∂Ar

∂z− ∂Az

∂r

]+ ez

1r

[∂

∂r(rAθ) − ∂Ar

∂θ

](2.25)

∇2ψ =1r

∂

∂r

(r∂ψ

∂r

)+

1r2

∂2ψ

∂θ2+∂2ψ

∂z2(2.26)

である．

(3) 球座標系図のような球座標系 (r, θ, φ) を採用すると

x = r sin θ cosφ

y = r sin θ sinφ

z = r cos θ

基本単位ベクトル (er,eθ,eφ) は

er = sin θ[cosφ i + sinφ j] + cos θ k

eθ = cos θ[cosφ i + sinφ j] − sin θ k

eφ = − sinφ i + cosφ j

微小変位は

ds = dr er + rdθ eθ + r sin θdφ eφ

2.4. 座標系表示 35

である．円柱座標系の場合と同じ計算をおこなうことにより

∇ψ = er∂ψ

∂r+ eθ

1r

∂ψ

∂θ+ eφ

1r sin θ

∂ψ

∂φ(2.27)

∇・A =1r2

∂

∂r

(r2Ar

)+

1r sin θ

∂

∂θ(sin θAθ) +

1r sin θ

∂Aφ

∂φ(2.28)

∇× A = er1

r sin θ

[∂

∂θ(sin θAφ) − ∂Aθ

∂φ

]+ eθ

1r

[1

sin θ∂Ar

∂φ− ∂

∂r(rAφ)

]

+ eφ1r

[∂

∂r(rAθ) − ∂Ar

∂θ

](2.29)

∇2ψ =1r2

∂

∂r

(r2∂ψ

∂r

)+

1r2 sin θ

∂

∂θ

(sin θ

∂ψ

∂θ

)+

1r2 sin2 θ

∂2ψ

∂φ2(2.30)

が得られる．


演習問題

1. 次のベクトル A(x, y) を図示し，∇・A と ∇× A を求めよ．

(1) A(x, y) = x i + y j

(2) A(x, y) = y i − x j

(3) A(x, y) = (x− y)i + (x+ y)j

2. f, g をスカラー，A, B をベクトルとするとき，次の諸式を証明せよ．

(1) ∇・(A ×B) = B・(∇× A)− A・(∇× B)

(2) ∇× (A × B) = (B・∇)A − (A・∇)B + A(∇・B) − B(∇・A)

(3) ∇(A・B) = (B・∇)A + (A・∇)B + A × (∇× B) + B × (∇× A)

(4) ∇× (∇× A) = ∇(∇・A) −∇2A

(5) ∇× (fA) = (∇f) × A + f(∇ × A)

(6) ∇・(fA) = A・(∇f) + f(∇・A)

(7) ∇・(∇× A) = 0

(8) ∇× (∇f) = 0

(9) ∇× (f∇f) = 0

(10) ∇f・∇× (g ∇f) = 0

(11) ∇・(f∇g − g∇f) = f∇2g − g∇2f

(12) A × (∇× A) = −(A・∇)A + 12∇(A・A)

(13) A × (∇× B) − (A ×∇) × B = A(∇・B) − (A・∇)B

3. 次の諸式をデカルト座標系において証明せよ．ただし r = xi + yj + zk, r = |r|, C は定ベクトル，f(r) は必要なだけ微分可能な r の関数とし，f ′(r) = df/dr とする．

(1) ∇r =r

r(3) ∇× r = 0

(5) ∇・r

rn=

3 − n

rn

(7) ∇× (f(r) r) = 0(9) ∇× (C × r) = 2C

(11) ∇2f(r) = f ′′(r) +2rf ′(r)

(2) ∇・r = 3(4) ∇f(r) = f ′(r)

r

r(6) ∇・(f(r) r) = 3f(r) + f ′(r) r(8) ∇・(C × r) = 0(10) (C・∇) r = C

(12) ∇2 1r

= 0

4. 円柱座標系において ∇・A および ∇× A の表記 (2.23)と (2.24)を求めよ．

5. 球座標系において ∇ψ, ∇・A および ∇× A の表記 (2.27)–(2.29)を求めよ．

6. 球座標系において問題 3 の諸式を証明せよ．

7. A = (3x2y− y2 + yz)i + (x3 − 2xy+ xz)j + (xy − 1)k のとき∇×A = 0を示し，A = ∇ψ となるスカラー ψ(x, y, z) を求めよ．ただし基準点を (0,0,0)とする．

8. A = axi + byj + czk とする．x2 + y2 + z2 = 1 の閉曲面 S について面積分∫

SA・dS と体積積分∫

V∇・AdV を求め，ガウスの定理が成り立つことをを示せ．ただし a, b, c は定数である．

9. 6つの平面 x = 0, y = 0, z = 0, x = 2, y = 2, z = 2 で囲まれた立方体を考える．立方体の表面のうち xy 面にない部分を S とし，立方体の xy 面の正方形の辺を Cとする．A = (yz2 + x2)i + (xyz +x2y)j + (y2z − xz2)k として，線積分

∮C

A・ds と面積分∫

S(∇×A)・dS を求め，ストークスの定理

が成り立つことを示せ．

37

第3章電流と磁場

第１章において電場 E の性質を学んだ. この章の主題は磁場であるが, 電磁気学の歴史的過程が影響してやや複雑になってくる. そこで, はじめに用語の定義をはっきりさせよう. Bは磁束密度(Wb/m2=T), Hは磁場の強さ, 略して磁場 (A/m)と呼ぶことにする. 真空中では BとHには定数倍の違いしかないが (B = µ0H), 例えば磁性体という物質中では本質的違いが現れる.

3.1 定常電流

連続の式電流が時間と共に変わらない場合を定常電流という. 定常電流と回路の関係を調べることにより

磁場の性質も浮き彫りにされていく.単位時間に単位面積を通って流れる電荷，つまり電流密度を j としよう．このとき，任意の微小

面積 ∆S を単位時間に流れる電気量 ∆q は j · n∆S と書ける．ただし n は∆S の法線ベクトルである．いま，電荷密度を ρ，電荷 q の移動速度を v とする．時間 ∆t 内に電荷の通過する平行六面体の体積は v · n∆S∆t と表されるので，この平行六面体を通過する電気量 ∆q は

∆q = ρv · n∆S∆t = j · n∆S∆t

である．従って

j = ρv (3.1)

と書くことができる．電流密度 j の単位は C/m2・s である.任意の面 S を単位時間あたりに通過する電気量を電流 I と定義すると

I =∫

Sj · ndS =

∫SjndS (3.2)

と書ける．電流の単位はアンペア (A=C/s) であるので, 電流密度の単位は A/m2 とも書ける.

任意の閉曲面 Sで囲まれた領域 V に含まれる電荷 Q は

Q =∫

VρdV (3.3)

である．表面 Sを通って流出した電流に等しい量だけ電荷は減少するので，電荷保存則∫

Sj · ndS = −dQ

dt(3.4)

が成り立つ．

38 第 3章電流と磁場

これはガウスの定理 (2.11)を使うと∫Sjn dS =

∫V∇・j dV = − d

dt

∫Vρ dV (3.5)

と書き換えられるが, 閉曲面 Sまたは Sで囲まれる体積 V を固定すると

d

dt

∫Vρ(r, t) dV =

∫V

∂ρ(r, t)∂t

dV (3.6)

のように微分を積分の中にいれることができる. (3.5)と (3.6)を比較して

∇・j +∂ρ

∂t= 0 (3.7)

を得る. これは電荷の流れに関する連続の式である.定常電流では ∂ρ/∂t = 0なので, 連続の式 (3.7)から

∇・j = 0 (3.8)

が成り立つ. (3.8)は電流の湧き出し口があったら吸い込み口が存在することを示し , その間では全電流は保存しなければならない.

オームの法則二点間の電位差を φ2 − φ1とすると, 流れる電流の大きさはこの電位差に比例し

|φ2 − φ1|/R (3.9)

と書け電位の高い方から低い方へ流れる. [図]これを導線におけるオームの法則という. Rは電気抵抗で単位はオーム (Ω) である. たとえば長さ l, 断面積 Sの導線においては

R =l

σS(3.10)

となることが実験的に知られている. σを電気伝導度といい，抵抗の逆数 (1/R)をコンダクタンスという.微小体積 ∆V = ∆l∆S を考えてみよう. 電流は電位の勾配と逆向きに流れることを考慮すると，

(3.2)と (3.9)より

I = j∆S = −∆φ/R

であり，(3.10)よりR = ∆l/(σ∆S) であるから

j = −σ∆φ/∆l

と書ける. 電場について (1.32)を参考にすると E＝− ∆φ/∆lとなるので

j = σE

である.

3.1. 定常電流 39

ベクトルで書くと

j = σE (3.11)

となる. これを一般化されたオームの法則という.さて, 定常電流で閉回路 Cをつくると∮

Cj · ds = σ

∮C

E · ds = 0 (3.12)

が成り立つ.

次に回路内に起電力が存在する導線回路 Cを考えよう. 起電力とはクーロン力以外の作用により電荷を動かす力で, 力学系における外力による仕事に相当する. この起電力は化学的なもので, たとえば電池を想定する.

いま j = σ(E + E′)と書くと, この回路について∮C

j · ds = σ

∫C

E · ds + σ

∮C

E′ · ds = σ

∮C

E′ · ds = σV (3.13)

となる. ここで (3.12)を用い, また起電力を V =∫

E′ · dsと置いている. 電池は化学的なもので V

は電場に起因しないので, ポテンシャルではないことに注意しよう. 定常電流 I = j∆Sの流れる回路の微小部分 dsにつき, j・ds = j ds = I ds/∆Sとなるので (3.13)から

V =∫

C

1σ

j · ds = I

∫C

ds

σ∆S(3.14)

と書ける. 従って, 起電力は電流に比例するといえる. 右辺の積分は抵抗の次元を持つことに注意しよう. 一般に, 回路の抵抗を R, 電池の内部抵抗を rとすると

V = I(R + r) (3.15)

が成り立つ．これは回路内に起電力のあるときのオームの法則である. V を電圧降下, RIを端子電圧という.

導体と電荷の流れ導体上の 1点に電荷を与えると電荷は全体にいきわたり, 導体表面に分布し , 平衡状態となる. こ

の全体に行き渡る時間すなわち緩和時間を見積もって見よう. (3.11), j = σE, の発散を取り, 右辺にガウスの法則∇・E = ρ/εを使うと

∇ · j = ∇ · (σE) = σρ/ε

を得る. 従って, 連続の式 (3.7)は

∂ρ

∂t+σ

ερ = 0


この式は積分できて

ρ = ρ0 exp(−t/τ)

を得る. ここに τ = ε/σである. ε ε0 ∼ 10−11 C2 N−1 m−2 とおき, 代表的な金属の値としてσ ∼ 107 Ω−1m−1 を用いると

τ =ε0σ

∼ 10−18 s

電荷は瞬時に緩和されることになり, 導体近似が成り立つ. 反対に石英ガラスでは σ ∼ 10−16 Ω−1m−1

であり，τ ∼ 105 sとなり絶縁性がよいことになる.

半導体と超伝導体ミクロに見れば電流は電子の移動と考えることができる。典型的な金属内における伝導電子の数

密度は 1029 m−3であり，それらの電子は 106 m/s の平均速度で互いに衝突しながらランダムな運動をしているが，正味の移動速度は 0である。その金属に電場をかけると，電子は電場と反対の向きに約 10−6 m/s の速さでゆっくりと移動する。伝導電子がぎっしり詰まっているため，電気伝導度はかなり大きい (σ ∼ 107 Ω−1m−1)．一方，代表的な半導体であるシリコンでは伝導電子の数密度は小さくなり 1016 m−3程度となり，

電気伝導度は 10−4 Ω−1m−1 である。しかしシリコンに不純物を加えることで電子あるいは正孔 (電子が 1個欠乏している状態)が容易に移動できるようになり，電気伝導度の高い物質が得られる．さて金属の電気伝導度は温度変化をほとんどしないが，半導体では，温度上昇に伴って熱運動が活発になり，伝導に寄与する電子が増えるので，電気伝導度も増加する．電気抵抗の温度変化を用いることにより半導体は温度計としても機能する。臨界温度といわれる温度以下になると電気抵抗がほとんど 0 となる金属がある．これを超伝導

体という．例えば水銀は 4.2 K 以下で σ > 2× 1024 Ω−1m−1 である．電気抵抗がないので，いったん生じた電流は外から電圧を加えなくても持続する．高温超伝導体の場合, 125 K で超伝導を示す金属酸化物が報告されている．

ここで定常電流についてまとめておこう. 静電場の従う法則として∮C

E・ds = 0 (3.16)

をすでに知っているが, これは電場が定常であるための条件でもある. この条件はストークスの定理を使うと∮

C

E・ds =∫

S

(∇× E)・ndS

と変形できる. 右辺の積分は任意の曲面に対して成り立つので

∇× E = 0 (3.17)

を得る. この式は (1.32)のE = −∇φを代入すれば, ベクトルの恒等式からも確かめられる. 逆にいうと, 上式は静電ポテンシャル φの存在する条件でもある. さて, (3.11)を (3.17)に代入すると

∇× j = 0 (3.18)

を得る. このようにして定常電流の空間分布を決める式は (3.8)と (3.18)となる.

3.2. キルヒホッフの法則 41

3.2 キルヒホッフの法則

キルヒホッフの法則数個の抵抗と起電力とをつなぎ合わせた回路を考える. この回路網内の各部で, 電流の保存とオー

ムの法則とが成り立つとき, 次のようなキルヒホッフの法則が成立する.第 1法則：回路の任意の結節点において, 流入する電流を正, 流出する電流を負の向きにとると∑

j

Ij = 0 (3.19)

第 2法則：回路内の任意の閉回路に電流の向きを指定すると, この閉回路において∑i

Vi =∑

i

RiIi (3.20)

これらの法則は以下のように説明できる. 図で示すような回路を考えよう. 定常電流の場合 (3.5)から ∫

S

jn dS = 0

が成り立つ. つまり

I = I1 + I2 (3.21)

Pから Qに流れる電流と起電力の関係は (3.13)に対応して

∫ Q

P

1σ

j · ds = −∫ Q

P∇φ · ds +

∫ Q

PE′ · ds

となるが, これを 2通りの道筋 C1, C2に適用する. C1 については

(R1 + r1)I1 = φ(P ) − φ(Q) + V1

C2については

(R2 + r2)I2 = φ(P ) − φ(Q) + V2

なので

(R1 + r1)I1 − (R2 + r2)I2 = V1 − V2 (3.22)

が成り立つ. (3.21)と (3.22)を書き換えると

I + (−I1) + (−I2) = 0, (R1 + r1)I1 + (R2 + r2)(−I2) = V1 + (−V2)

となる. これらを一般化してキルヒホッフの法則が得られる.例 3.1 キルヒホッフの法則の応用例(1) 図の回路で, Pから Qに電流 Iを流すとき PQ 間の抵抗 Rはどうなるか.


第 2法則から

2(I − I1) + I2 − 4I1 = 0, 4(I − I1 − I2) − 2(I1 + I2) − I2 = 0

となり, I1 = 3I/8, I2 = I/4を得る. PQ 間の電位差は

φ = 4I1 + 2(I1 + I2) = 11I/4

これから R = 11/4 (Ω)である.(2) 図の回路で, PQ 間を流れる導線を通る電流を 0とするには V1/V2をどうしたらよいか.

第 2法則を両側の回路に適用すると

(r1 + R1)I1 + I0R0 = V1, (r2 +R2)(I1 − I0) − I0R0 = V2

これから

I0 =V1(r2 + R2) − V2(r1 +R1)

(r2 +R2)R0 + (r1 +R1)(r2 + R2 + R0)

となるので, I0 = 0とするには

V1/V2 = (r1 + R1)/(r2 +R2)

である.

ジュール熱導線に定常電流が流れているというのは, 電子が一定速度で移動することである. 従って, 電子の

運動エネルギーは変化しない. しかし , 外部の起電力源からはつねにエネルギーが供給されており,導線は外部に力学的仕事をしないので, 供給されたエネルギーは導線内部で熱エネルギーとなる. 結果として, 導線の温度は上昇する. 発生した熱をジュール熱という. ミクロにみれば, 外部からの電位差のエネルギーは正イオンの熱運動に変わり, その割合は移動する電子の数と速度に比例するため I2に比例する. 比例係数が抵抗Rであり, 負荷抵抗ともいう. この外部からの仕事は単位時間当たり V Iである. 一方, 電流は単位面積当たり毎秒 jの電荷を運ぶので, 導線には単位時間, 単位体積当たり

jE = σE2 = j2/σ (3.23)

のエネルギーが発生する. I = jS, R = l/(σS)を用いて上の式を書き換えると, 単位時間当たりに

RI2 = V 2/R (3.24)

のエネルギーが発生することが分かる.これを抵抗で消費される電力 P (出力)という. 単位はワット (W)で表され

V・A = J/s = W

の関係がある.

3.2. キルヒホッフの法則 43

例 3.2(1) 電力起電力 V , 内部抵抗 rの電源から負荷抵抗 Rに供給される電力は

P = I2R =(

V

R+ r

)2

R

である. 最大電力を与えるRは

∂P

∂R= 0

から R = r のときで, 最大電力は P = V 2/(4R)である.(2) RC 回路図のような容量Cのコンデンサーと抵抗Rを含むRC回路を考えよう. キルヒホッフの第 2法則

より

RI +Q

C− V = 0 (3.25)

で, I = dQ/dtを代入すると

dQ

dt+

Q

RC=V

R(3.26)

となる. 初期条件を t = 0で Q = 0として，この微分方程式を解いてみよう.まず, (3.26)において右辺の電源 V を 0にした同次線形方程式

dQ

dt+

Q

RC= 0

の一般解は Aを積分定数として, Q = Ae−t/RCである. 次に (3.26)の特解はQ = V C. 従って (3.26)の解は

Q = Ae−t/RC + CV

となる. 初期条件から Aが決まって

Q = CV (1 − e−t/RC ), I =V

Re−t/RC

を得る. 特に, 電流が初期の値の 1/e = 0.368倍になる時間 τ = RCを RC回路の時定数といい, RC回路の特性の指標となる.次に十分長い時間コンデンサーを充電して, その電荷を抵抗により放電する場合を考える. (3.26)

において V = 0とすればよい. 初期条件を t = 0で Q = Q0とするとこの解は

Q = Q0e−t/τ , I = − Q0

RCe−t/τ

となることが分かる. 充電, 放電のいずれの場合もR = 106 Ω, C = 1 µFのときには τ = 1 sである.さて (3.26)は

RI2 +Q

CI = V I

と書けるが, この式の右辺は単位時間当たりに電源から回路に供給されるエネルギー, 左辺は単位時間当たり, 抵抗から発生するジュール熱と, コンデンサーの周りの電場のエネルギー dU/dtとの和となることが分かる. Iは dQ/dtなので U は (1.67)に一致することが確かめられる.


3.3 静磁場

実験によると, 静電場と静磁場ではたいへん似通った法則が成り立っていることが分かる. つまり, 静電場におけるクーロンの法則や電場の概念が, ほとんどそのまま静磁場に使えることが以下のようにして分かる.磁石と磁荷細い棒磁石を考えてみよう. 棒磁石を水平につるすと地球磁場のため北をさす向き (N極)と南を

さす向き (S極)があることが分かる. いま, N極を正, S極を負と約束しよう. これらの極は棒磁石では必ず対になってあらわれ, 分離できない. しかし, 十分細長い棒磁石を考えると N極と S極を分離して考えることができよう. この仮想的に取り出した磁極の強さを磁荷とよぶことにする. 磁荷の単位は実験的に決めねばならない.実験によれば，磁荷m, m′ が真空中で Rの距離にあるとき, 磁荷を結ぶ直線に沿って

F =1

4πµ0

mm′

R2(3.27)

の力が作用する. この法則は電場の場合の (1.1)と同じ距離依存性をもっている．µ0を真空中の透磁率という. 磁荷の単位はウエーバー (Wb) といい, 1 Wb の２つの磁極を 1 m の距離においたときの力が 1/(4πµ0) [N] になるように定義される. MKSA単位系では

14πµ0

= 6.3326 × 104 N · m2/Wb2 (3.28)

となる. (3.27)は静磁場におけるクーロンの法則である.電場 (1.11)の場合との類推から, 磁荷の作用する空間には磁場が存在すると考えよう. 単位磁荷

に働く磁気力を磁場の強さ, 略して磁場といいHで表す. 従ってその単位は N/Wbである. rの位置での磁場は (3.27)から

H =1

4πµ0

m′

R2e (3.29)

と書ける. 従って, 磁場Hの中に磁荷mをおくときにはたらく力 F は, (1.17)と対応して

F = mH (3.30)

となることが分かる. 元来, 磁荷は単独では存在しないが, 十分長い棒磁石を考えれば近似的に片方の磁極部分を磁荷とみなすことができる.上記のように磁荷の概念を導入すると, 静磁場は静止した点状の磁荷の分布から生ずると考えるこ

とができる. つまり, 静電場の場合, 静電ポテンシャルを導入したのと同様に静磁場に対応するポテンシャルを考えることが可能である. 1 Wb の磁荷を無限遠から点 Pまで移動するのに要する仕事

φm(P ) = −∫ P

∞H・ds (3.31)

を点 Pの磁位または静磁ポテンシャルという. これは静電ポテンシャルの定義 (1.23)に対応している．ただし , 基準点を∞に取っている. 従って (1.32)の　E = −∇φに対応して

H = −∇φm (3.32)

と書けることが分かる．点磁荷mから rの距離の点の静磁ポテンシャルは (1.27)を参考にすると

φm =1

4πµ0

m

r(3.33)

3.3. 静磁場 45

となる.

磁気モーメント

棒磁石の磁荷が ±mで, その間の距離を l

とする. 大きさml, 向きを −mから+mとするベクトルMを磁気モーメントという.単位は (Wb・m) である. 磁気モーメントM の棒磁石が一様な磁場Hの中に置かれたとき, 磁場から受ける力のモーメントは

N = M × H (3.34)

である.[図]

このモーメントは棒磁石を磁場に平行な向きに回転させる互いに反平行な力 (偶力)によるものである. 磁気モーメントが磁場と角 θをなすとき, (3.34)の曲座標成分は θ方向だけがあり，それはNθ = MH sin θである [図]. さて, 一様な磁場中に置かれた微小な磁石を考えよう. この磁石に作用する力のベクトル和は 0である. 従って, 無限遠からこの位置に磁石を持ってくる場合には, θ方向に回転させるだけの仕事がいる. θ = 0では偶力は 0であることを考慮すると, θだけ回転させるのに要する仕事は

2∫ θ

0mH sin θ・

l

2dθ =

∫ θ

0MH sin θdθ = MH(1 − cos θ) = MH − M・H

である. これは磁石の位置エネルギー (ポテンシャルエネルギー) Umと考えられる. MH を基準点の値に取ると, 磁場中におかれた磁気モーメントM の小磁石のポテンシャルエネルギーは

Um = −M・H (3.35)

と書けることが分かる. 磁場の時間変化が急激でなければこのことは一般的に成り立つ. (3.35)は静磁ポテンシャルを使っても導くことができる. 再び, 磁場中に置かれた小磁石を考えよう．Umは両磁極を無限遠からその位置にもってくる仕事なので, 磁極間の距離を ∆r, 磁荷 −mと mに対応する静磁ポテンシャルを φm および φm + ∆φmとすると

Um = −mφm +m(φm + ∆φm) = m∆φm

= m∆r(∂φm/∂r) = −MHr = −M・H

となる．ただし，Hr は (3.32)で ∇を r方向に取った場合である．従って (3.35)が得られる.

例 3.3一様な磁場H の中に小磁石をおき, 磁場に垂直な軸のまわりに自由に回転できるようにする. 磁

石の磁気モーメントをM , 回転軸のまわりの慣性モーメントを I とする. 磁石をつりあいの位置からわずかに回転させてみる.


磁軸が磁場から θだけ傾いているとき偶力のモーメントは

N = −MH sin θ

である. 回転軸のまわりの運動方程式は

Id2θ

dt2= −MH sin θ

であるが, いま回転角 θは微小なので sin θ θとおける. つまり

d2θ

dt2= −MH

Iθ (3.36)

これは単振動の方程式であり, その解は

θ = A sin

(√MH

It+ α

)(3.37)

となる. Aと αは定数である. 微小振動の周期は

T = 2π

√I

MH(3.38)

で与えられる.

3.4 定常電流と磁気力

電流に働く磁気力とコイルの磁気モーメント磁場中におかれた針金内部を, 電荷 q の荷電粒子が速度 v で流れているとする．つまり, 針金に

沿って電流 I が流れている．特に定常電流の場合, 電流をベクトルとみなすときには Iと書こう．電荷が受ける磁気力は実験によれば

F = qv × B (3.39)

である．単位体積中に n 個の荷電粒子があるとき, 体積 ∆V 中には n∆V 個の粒子が存在する. ∆V中の粒子に働く磁気力の総和 ∆F は, ρ = qn, j = ρvを用いて

∆F = n∆V qv × B = j × B∆V (3.40)

となり, 単位体積当たりの磁気力は j × B である.

針金の断面積 Sに対し，電流が一様ならば, 針金の長さ ∆l の部分について∆V = S∆l となり，電流は I = Sj と書ける. 従って, 単位長さあたりに働く磁気力は (3.40)から

f = I × B (3.41)

となる．いま長方形のコイル [図]が一様な磁場の中に置かれているとしよう. コイル面の法線と磁場との角度を θとすると, ABおよび CDは磁場に垂直である. このコイルに電流 Iが流れていると, DAとBCに働く力は打ち消しあう.

3.4. 定常電流と磁気力 47

一方, ABとCDに働く力は (3.41)から bIBで与えられ, 腕の長さがa sin θの偶力

N = bIBa sin θ (3.42)

= SIB sin θ (3.43)

をつくる. ここで S = abはコイルの面積である.

一般に, 任意の形をしたコイルでもストークスの定理の証明で使った手法を用いれば, N = SIB sin θが成り立つことが分かるであろう. さてコイル面に垂直で大きさを µ0IS, 電流の進む向きに右ねじを回したとき, ねじの進む方向の磁気モーメントM を考えてみる. B = µ0Hとおくと, コイルが磁場からうける偶力は, M の向きと Bのなす角が θなので

N = M × H

である. この式は (3.34)と同じである.

つまり, 面積が Sのループ (閉曲線)に沿って流れる閉電流 Iは, 大きさ µ0IS, 向きは電流と右ねじの関係にある磁気モーメントMをもつ磁石と等価である (例 3.7 (2) 参照).

ローレンツ力静電場が存在するとき電荷に働く力は静電気力 (1.17)で与えられる. さらに静磁場も存在すると

きには電荷に働く力は磁気力 (3.39)が加わる. 電気力は電荷の運動に無関係に Eから受ける力, 磁気力は電荷の速度 vに関係するBからの寄与である. 電荷に働く力は実験的に

F = q(E + v × B) (3.44)

となることが知られている. この力を電磁力またはローレンツ力という. このことからBの単位は[N・s/C・m] = [V・s/m2]となり, [Wb] = [V・s]である. 磁束密度の単位はテスラ (T)とも呼ばれ,[T]=[Wb/m2 ] である. ここで注意しておきたいことは, 磁場が存在していても電荷とともに動く座標系では v = 0なので電荷には静電気力のみが働く. しかし静止系からみるとローレンツ力が働くはずである. このパラドックスは特殊相対性理論で用いる座標系の変換則によって解決される (5.5参照).

例 3.4 ローレンツ力の例(1) 一様な磁場の場合荷電粒子に関する運動方程式は

mv = qv × B (3.45)

となる．B の方向に z 軸をとり，(3.45)を成分で表すと

vx = ωvy, vy = −ωvx, vz = 0 (3.46)


である．ここで ω = qB/m である．最後の式からすぐに分かることは粒子が z 方向に等速直線運動することである．第 1, 2式から

vx = −ω2vx

となる．この解は v0 と α を定数として

vx = v0 cos(ωt+ α)

である. これを (3.46)の第１式に代入して

vy = −v0 sin(ωt+ α)

を得る．これらを積分すると軌道が

x = r0 sin(ωt+ α) = r0 cos(−ωt+ π/2 − α)

y = r0 cos(ωt+ α) = r0 sin(−ωt + π/2 − α)

のように求まる．ここで r0 = v0/ω であり，積分定数は 0とした．従って，運動は z 方向へのらせん運動となり，xy 面に射影すると半径 r0 の円周上を角速度 −ω で回転している．q > 0 の粒子の軌跡と q < 0 の場合には回転の向きを逆に考えればよい．

(2) 一様な電磁場の場合電場がないと (1)に帰着することを考えて, z 軸のまわりに一定の角速度 ω で回転している系 S′

を考える．ω が小さい場合，角速度 ω として

ωL = − qB2m

(3.47)

の値をとれば，磁場の項がコリオリ力と打ち消し合い，運動方程式は電場だけの場合と同じ形にできる．この ωL をラーモア振動数という．

[回転座標系における運動]

回転座標系座標の回転により生ずる位置ベクトルの時間変化を調べよう. 最初に半径 r の円運動を考える．角度 dϕだ

け回したとき右ネジの進む向きをもち，大きさが dϕ/dt であるベクトルを角速度 ω と定義しよう．回転の速さは v = rω となる．次に, 位置ベクトル r と角速度 ω が角 θ をなす場合を考える．ω に直交する平面に投影した円軌道の半径は r sin θ であるから，回転の速さは v = ωr sin θ =|ω × r |となる．ベクトルの向きを考えると

v =dr

dt= ω × r (3.48)

と書ける．これが座標回転によって生じる位置ベクトル r の時間変化である．原点を固定したまま静止系 Sに対して角速度 ω で回転し

ている S′ 系での運動を調べる．S系における質点の位置は

r = xi + yj + zk (3.49)

であるが，S′ 系の単位ベクトル (i′, j ′, k′)を使うと

r′ = x′i′ + y′j′ + z′k′ (3.50)

3.4. 定常電流と磁気力 49

と表され，r = r′ である．このとき (i′, j ′, k′)は S′ 系の運動につれて変化する．(3.49), (3.50)を tで微分して質点の速度

v =dx

dti +

dy

dtj +

dz

dtk

=dx′

dti′ +

dy′

dtj ′ +

dz′

dtk′ + x′

d i′

dt+ y′

d j ′

dt+ z′

dk′

dt(3.51)

を得る．(3.51)の右辺の最初の 3項は S′ 系で見た質点の速度 v′ である．(3.48)より

di′

dt= ω × i′ ,

dj ′

dt= ω × j′ ,

dk′

dt= ω × k′ (3.52)

となるから第 4項以下は

x′d i′

dt+ y′

d j ′

dt+ z′

dk′

dt= ω × (x′i′ + y′j ′ + z′k′) = ω × r′

と書ける．このようにして (3.51)は

v = v′ + ω × r′ (3.53)

となる．これは, 慣性系における質点の速度が回転系での質点の速度と座標回転によって生じる速度の和となることを表している．

(3.51)を tで微分して，質点の加速度

a =d2x′

dt2i′ +

d2y′

dt2j′ +

d2z′

dt2k′ + 2

(dx′

dt

d i′

dt+dy′

dt

d j ′

dt+dz′

dt

dk′

dt

)

+x′d2i′

dt2+ y′

d2j ′

dt2+ z′

d2k′

dt2(3.54)

を得る．右辺の最初の 3項は S′ 系で見た質点の加速度 a′，次の 3項は (3.52)を用いて

2(dx′

dtω × i′ +

dy′

dtω × j′ +

dz′

dtω × k′

)= 2ω × v′

と書ける．最後の 3項には (3.52)を t で微分した関係式

d2i′

dt2= ω × d i′

dt+dω

dt× i′

= ω × (ω × i′) +dω

dt× i′

などを代入する．こうして (3.54)は

a = a′ + 2ω × v′ + ω × (ω × r′) + ω × r′ 　 (3.55)

と書けることが分かる．(3.55)を ma = F = F ′に代入すると，回転系 S′ での運動方程式

ma′ = F ′ − 2mω × v′ −mω × (ω × r′) −mω × r′ (3.56)

が得られる．(3.56)から回転座標系では 3つの見かけの力が生じることが分かる．−2mω × v′ をコリオリ力といい，運動しているとき進行方向に垂直に作用する．−mω × (ω × r′) は遠心力と呼ばれ，回転軸に垂直で外向きにはたらく．円運動の場合, mrθ2に対応するものである．−mω × r′ は角加速度による力であり，角速度が一定のときには生じない．

慣性力の例まっすぐで滑らかな管の中に質量mの質点を入れ，水平面内で固定点Oのまわりに一定の角速度 ω で回す．t = 0 で質点は aの位置に静止していたとする. その後中心からの距離 rはどうなるだろうか.


回転する座標系で管に沿って x 軸をとる. 質点に働く力は, 管からの垂直抗力 N だけである. 運動方程式は (3.56)から

mx = mxω2, 0 = N − 2mωx

となる. 最初の運動方程式は質点が x 方向に遠心力を受けて運動することを表し, 次の運動方程式は y 方向について, 質点に働く抗力とコリオリ力がつりあっていることを示している. 解は, A, B を定数としてx = Aeωt +Be−ωt である. 初期条件 t = 0 で x = a, x = 0を用いると

x = a coshωt, N = 2maω2 sinhωt

を得る.

3.5 アンペールの法則

平行電流間に働く力とアンペールの法則

電流 I, I ′ が互いに距離 Rだけ離れた平行な導線中を流れているとき, I, I ′ が同じ向きなら導線間に引力がはたらき，逆向きなら斥力がはたらく. 単位長さ当たりにはたらく力の大きさは I · I ′ に比例し，R に反比例することが実験的に知られている．この力は比例係数を µ0/2π と置くと

f =µ0

2πII ′

R(3.57)

と表すことができる．

一方，(3.41)から，もし F × I の向きに磁場が存在するならば, 電流 I ′の流れる導線に対して単位長さ当たり I ′B の力が働く. 従って

B =µ0

2πI

R(3.58)

である．そこで，この磁場 B は電流 I にともなって発生したと考えることもできる．いま, 円柱座標系を考えて B = (0,B, 0), ds = (dR,Rdθ, dz) としよう. このとき, 一般に任意の閉曲線 C について

B · ds = BR dθ

と書けるので，(3.58)を代入すると

B · ds =µ0

2πIdθ

と変形でき，任意の閉曲線 C にわたって積分すると∮C

B · ds = µ0I (3.59)

となることが分かる．[図]

3.5. アンペールの法則 51

ここで便宜上，磁束密度Bの代わりにB =µ0H で定義される磁場の強さ H を用いると, H の閉曲線 C にわたっての積分に対して ∮

C

H · ds = I (3.60)

が成り立つ．これをアンペールの法則という.

電流が何本もある場合には I =∑

i Iiを意味する. 定常電流 I から距離 aに生じる磁場はI/(2πa)となることが分かる.

例 3.5 ボーア磁子前節で述べたように, 半径 aの円形電流を考えると, M/µ0 = πa2Iなので, 電流 Iとその囲む面積

Sの積に等しい磁気モーメントをもつ微小な磁石と等価である. たとえば , 正電荷を持つ原子核のまわりに電荷−eの電子が速さ vで円運動しているとしよう. 円運動の半径を aとすると電子は周波数v/(2πa)で回っているので, 円形電流の大きさは I = ev/2πaとみなせる. 従って

M/µ0 = πa2 ev

2πa=

e

2memeav

meは電子の質量である. ところが meavは電子の角運動量で, 量子論ではその大きさは 0または = h/2πの整数倍である. ここで hはプランク定数である. このようにして

M/µ0 =e

2men = 0.9273 × 10−23 n J m2/Wb (3.61)

となる. ここで nは 0または正の整数をとる. 定数 e/2meをボーア磁子といい, 原子のもつ磁気モーメントの単位と考えられる.原子は, 中心の正電荷のまわりを電子が回っているという描像は長岡半太郎によって初めて発表

された (1903年). その後,ボーアモデルにとって代わられ量子力学の発展へとつながった.

静磁ポテンシャルとアンペールの法則

面積∆Sを取り囲む閉曲線を考えよう．この閉曲線を流れる電流を I とするとき, 閉電流による磁気モーメントの大きさは, 前節の終わりで述べたように µ0I∆Sである．この閉曲線を縁とする厚さ dの板を考え, 板の片面を N 極，反対の面を S 極とする板磁石をつくる．ただし,これらの磁荷は面上に一様に分布しているとする．磁荷の面密度を σmとすると, 板の全磁気モーメントはΣimid = ∆Sσmdである. いま σm = µ0I/dととると, 板磁石の磁気モーメントは閉電流と同じく µ0I∆Sとなる．この板磁石が点 P につくる静磁ポテンシャルは, (1.48)を参考にすると


φm(P ) =I∆S cos θ

4πr2

と書ける．ただし θは板の面の法線と rとの間の角である．点 Pにおける静磁ポテンシャルは, Pから面積∆Sを見込む立体角を Ωとすると Ω = ∆S cos θ/r2なので

φm(P ) =IΩ4π

(3.62)

となる．このように, 磁荷の概念を導入することにより, 閉電流と等価な板磁石を考えることができる.これをアンペールの等価磁石という．(3.62)をみれば Ωは無次元量だから, 静磁ポテンシャルの単位が電流 Iと同じでアンペア (A)であることが分かる. 静電ポテンシャルと同じように静磁ポテンシャル (3.31)についても

φm(A) − φm(B) =∫ B

AH・dr

と書けるので (3.62)から∫ B

AH・dr =

I

4π(ΩA − ΩB) (3.63)

である. この積分の経路が閉曲線 Cについて一周する場合を考えよう. Cが電流を囲まないなら一周すると Bと Aが一致するので ΩB = ΩA となり∮

C

H・dr = 0 (3.64)

を得る. 一方, 積分の道筋が電流を囲むと (3.64)は成り立たない. 図のような閉曲線 ACBC’に沿って積分していくと Aは板の表面なので, Iを見込む立体角は A点で ΩA = 2π, B点では板に平行でΩB = 0. 従って,∫

ACB

H・dr =I

4π(2π − 0) =

I

4πΩA

AC’Bの径路では板磁石の向きを逆に見込むので Ω′A = −2πとなり, B点では板に平行で ΩB = 0.

従って,∫AC′B

H・dr = − I

4π(2π − 0) =

I

4πΩ′

A

である. ACBC’Aという径路 C は ACBと BC’Aの径路の和である. 従って, 板磁石の厚さ hを 0にすると, 閉電流を右ねじに囲む積分となり∮

C

H・dr =I

4π(ΩA − Ω′

A) = I

が結論され, アンペールの法則が確認されたことになる.

[電流の単位]電流の単位は, 平行電流間に働く力 (3.57)により定義される. つまり間隔 1mの導線に平行電流と

して 1 A の電流を流したとき, 導線間に働く力を

µ0/(2π) [A2/m] = 2 × 10−7 N/m

3.5. アンペールの法則 53

とするのである. このとき磁束密度は (3.58)から B = µ0/2π [A/m]となる. このようにしてMKSA単位系が決められる. 磁束密度はMKSA単位と

Wb/m2 = N/A・m, Wb = J/A (3.65)

の関係がある.

例 3.6 アンペールの法則の応用例(1) 円柱の内外の磁場電流 Iの流れる半径 aの無限に長い円柱において, 中心線から距離 rにおける磁場Hを考えよう.

[図](a) r ≥ a の場合

∮C

H・ds = 2πrH = I, H =I

2πr

(b) r < a の場合, 電流密度は I/πa2なので

∮C

H・ds = Ir2

a2, H =

r

2πa2I

(2) 長いソレノイド内部の磁場単位長さあたりの巻き数を nとする十分長いソレノイドを考える. 内部の磁場は外部の磁場より

十分大きいとしてよい. ソレノイドの長さLの部分を, 巻き数が N = nLの長方形で囲むと, 流れる電流は NI となる．内部磁場Hはソレノイド管に平行なので

∮H・ds = HL = NI, H = nI (3.66)

が成り立つ.ソレノイドに関する関係式 (3.66)は一般化して考えることができる. 「図」のような場合にはア

ンペールの法則は∮C

H・ds = 2I1 + I2 − I3

となる. 2I1は電流が 2回からんでいるからである. 積分路 C と電流が N 回からんでいると∮C

H・ds = N I (3.67)

と書ける.


3.6 ビオ・サバールの法則

電荷 qが速度 vで運動しているとき, Rだけ離れた点に生じる磁場は

dH =q

4πv × R

R3(3.68)

で与えられる. 一方, qvを Idr′とすると電流素片 Idr′ が位置 Rにつくる磁場 H は

dH =I

4πdr′ × R

R3(3.69)

と書くことができる．これをビオ・サバールの法則という．

(3.69)は電流素片に関するものだが, 実際には電流は閉曲線を流れているはず. そこで, 図のように座標を設定するとR = r − r′と書ける. 任意の閉曲線に沿って流れる定常電流 Iのつくる磁場は

H(r) =I

4π

∮dr′ × (r − r′)

|r − r′|3 (3.70)

で与えられる. 電流が空間的分布を持つ場合には次のように考えればよい. 定常電流は I =∫

S

j(r′)dS

なので (3.70)は

H =14π

∫S

j(r′)dS∮dr′ × (r − r′)

|r − r′|3 (3.71)

と書ける. 一方, 線状電流内の微小体積 dV は, 断面積 dS, 長さ dlとすると dV = dSdl. 電流方向の単位ベクトルを tとすると j(r′) = j(r′)t, dr′ = tdl. 従って，

j(r′)dSdr′ = j(r′)tdSdl = j(r′)dV

となるので, (3.71)の積分の中身の順序を入れ替えると

H(r) =14π

∫V

j(r′) × (r − r′)|r − r′|3 dV (3.72)

を得る．ビオ・サバールの法則をアンペールの等価磁石の法則から説明してみよう. まず定常電流が閉じた回路に沿って流れているとすると, 回路の外にあるすべての点で∇×H = 0である. この場合, H

をポテンシャルで表せることを示すことができる.

空間の 1点Pから閉じた電流を見たときの立体角Ωを考える. 点 Pを duだけずらせたときの立体角の変化を dΩとする. あるいは, Pを移動するかわりに, 電流ループを −duだけ動かしても立体角の変化は同じである. この dΩは, 電流の微小な変位部分を dr′とすると, duおよび dr′で囲まれる微小な平行四辺形が, Pに生ずる小さな立体角をすべて足しあわせたものに等しくなる.

3.6. ビオ・サバールの法則 55

立体角の増加は, ベクトル Rに対する法線方向にとった平行四辺形の面積の射影を R2でわって,

−(du × dr′)・R/R3 = −du・(dr′ × R)/R3

となることが分かる. ただし , R = |R|であり, p.2 のベクトル公式 (1)を用いた. 従って回路に沿ってひとまわり積分することにより

dΩ = −du・∮

C

dr′ × R

R3(3.73)

を得る. 一方, dΩ = ∇Ω・duなので

∇Ω = −∮

C

dr′ × R

R3(3.74)

である. ところで点 Pを duだけずらせたときの静磁ポテンシャルのズレは dφm = −H・duだが,これは立体角の変化に対応させることができる. (3.62)を考慮すると

−H・du = dφm =IdΩ4π

(3.75)

となり, dΩ = ∇Ω・duより

H = − I

4π∇Ω (3.76)

を得る. この結果から IΩ/4πをスカラーポテンシャルと呼ぶことができる. なぜなら磁場がポテンシャルの勾配になっているからである. (3.74)を (3.76)に代入して

H =I

4π

∮C

dr′ × R

R3(3.77)

となることが分かる. これはビオ・サバールの法則 (3.69)を積分した結果 (3.70)に他ならない.

ガウスの法則静電場におけるクーロンの法則は, ガウスの法則として書き換えることができることを 1.4で学

んだ. 静磁場においてはどうなるだろうか. (3.70)の発散をとってみよう. ∇rを r方向に関する勾配とすると

∇・H =I

4π

∮C∇r・

[dr′ × (r − r′)

|r − r′|3]

となる. ここで右辺にベクトル解析の公式 (第 2章演習問題 2. (1))

∇・(A × B) = B・(∇× A) − A・(∇× B)

を使う. dr′は rに関係しないことに注意すると

∇r・[dr′ × (r − r′)

|r − r′|3]

= −dr′・[∇r ×

(r − r′

|r − r′|3)]

(3.78)

を得る. この右辺は 0であるので (第 2章演習問題 3.(7)), 微分形で

∇・B = 0 (3.79)


となることが分かる. ただし, B = µ0H を使った. ガウスの定理を用いて (3.79)を積分形で書けば∫S

B・ndS =∫

SBndS = 0 (3.80)

である. (3.79)または (3.80)を静磁場におけるガウスの法則という. (3.79)を静電場の場合の ∇・D = ρと比べると, 静電場の源となる電荷に対応する磁極が単独では存在しないことが分かる. 定常電流の場合の関係式 (3.8)と同様に, 湧き出し口からでた磁束は全て吸い込み口に吸収されることを示している. しかし , 現在も宇宙の起源と関連して議論されており, 観測的にも磁極を探す試みがある. この単独で存在する磁極を磁気単極子またはモノポールという.

例 3.7 ビオ・サバールの法則の例

(1) 直線電流の作る磁場直線電流の作る磁場をビオ・サバールの法則からも求めることができる.

AB 部分の電流素片の磁場に対する寄与はdH = I sin θds/(4πr2)である. ここで

r sin θ = R, r cos θ = sを使うと dH = −I sin θdθ/(4πR) となるので

H = − I

4πR

∫ θ2

π−θ1

sin θdθ =I

4πR(cos θ1 + cos θ2)

A, Bを無限遠にとると, θ1 = 0, θ2 = 0なので H = I/(2πR)を得る.

(2) 円電流の作る磁場電流素片 Idsが作る磁場 dHは,ビオ・サバールの法則から [図]

dH =Idsr sin(π/2)

4πr3=

Ids

4πr2

半径 aの円電流の中心から距離 lの点における磁場はどうなるだろう.

問題の対称性より, 磁場は円に垂直な z成分しか残らない. 従って dH の z成分 dHz

は

dHz = dH sin θ =I

4πsin θr2

ds

ここで

sin θ = a/r = a/√a2 + l2

を用いると

H =∫

C:円電流の部分sin θdH =

∫ 2πa

0

I

4πa

(a2 + l2)3/2ds =

I

2a2

(a2 + l2)3/2(3.81)

となる. これから l = 0で H = I/(2a)となる.

3.7. 磁性体 57

さて, l aなら (3.81)は

H =Ia2

2l3(3.82)

と近似できる. 一方, 双極子ポテンシャル (1.48)の考えを棒磁石に適用すると, 静磁ポテンシャルは

φm =M

4πµ0

cos θr2

となるので, 磁場の強さH の r成分は, 磁気モーメントM を用いて

Hr = −∂φm

∂r=

M

2πµ0

cos θr3

(3.83)

と書ける. いま θ = 0, r = lととると (3.82)と (3.83)は近似的に等しくなり

M = µ0πa2I (3.84)

を得る. つまり, 円形電流は電流 Iとその囲む面積 πa2の積に等しい磁気モーメントをもつ微小な棒磁石と等価であることが分かる.

(3) 正方形に流れる電流が中心に作る磁場

[図]のように r, θをとり, (1)と同様に考えることができる. いま,正方形の一辺を流れる電流からの磁場への寄与H1を考えると

H1 =I

4πa

√2

22

を得, 正方形の作る磁場は, H = 4H1 =√2I/(πa) となることが分かる.

3.7 磁性体

物質に外部から磁場Bをかけるとき磁化する物質を磁性体という. 磁性体内部に生じた磁束密度B′を磁化の強さという. B′を I ′によるものとすると∫

CB′・ds = µ0I

′

さて, Bはコイルに流した電流 Iと後から生じた I ′によるものとすると∫C

B · ds = µ0(I + I ′) (3.85)

ここで B = µ0H + B′で定義される磁場の強さHを導入すれば (3.85)は∫C

H · ds = I (3.86)

となりアンペールの法則が再現される.


表 3.1: 強磁性体

物質名組成 µ∗ 最大比透磁率純鉄 Fe 99.95% 5000 1.8 × 105

ニッケル Ni 99 % 110 600コバルト Co 99 % 70 250スーパー・ Mo 5 %パーマロイ Ni 79 % 105 106

Fe 16 %

磁性体は誘電体との類推で定式化される. すなわち, 実験的に

B′ = µ0χmH (3.87)

となることが知られていることを用いると

B = µ0H + B′ = µ0(1 + χm)H = µH

と書ける. χmを磁化率, µを物質中の透磁率という. 多くの物質で比透磁率 µr = µ/µ0は 1に近いことが知られているが, 強磁性体では著しく大きな値をとるものもある. 弱い磁場をかけ続けているとき, 比例関係B = µHが成り立つ場合, 初期の比透磁率 µ∗と最大比透磁率の例を表 3.1に示した.磁性体の中には多くの磁気双極子が分布していると考えられる. 単位体積に含まれる全ての磁気

双極子モーメントの総和は磁化の強さである. このB′ を µ0でわって磁化ベクトルMと定義する.従って,

B = µ0(H + M) (3.88)

と書くことができる.

例 3.8 長い円柱棒の作る磁場半径 R, 透磁率 µの長い円柱棒に定常電流 I を通すとき, 棒内外の磁場は例 2.6(1)と同様に求

まる. 棒からの距離を rとするとアンペールの法則から r > Rなら H(R) = I/(2πR), r < RならH = Ir/(2πR2)となる. ただし, r < R のとき磁束密度には B = µH の関係を使わねばならない.

境界条件1.7 では異なる誘電体の境界面における接続条件を求めた. 静電場で境界面に真電荷が存在しな

いとき, ∇×E = 0および ∇・D = 0が成り立ち, 各々の式から境界面でEの接線成分は連続, Dの法線成分は連続であるという条件が得られた. 静磁場でも同様に考えることができる. ∇× H = 0および ∇・B = 0が成り立ち, 各々の式から境界面でH の接線成分は連続, Bの法線成分は連続という条件が得られる. 従って, 静電場の屈折の法則

tan θ1tan θ2

=ε1ε2

に対応して, 静磁場の場合

tan θ1tan θ2

=µ1

µ2(3.89)

3.7. 磁性体 59

が成立する. 空気 (µ1)と鉄 (µ2)の間を磁力線が通過する場合には µ1 µ2より θ1 θ2となる.磁束が空中から直角に入射しても鉄の中では境界面に平行となり, 鉄内部の磁束密度は極めて大きくなる.

例 3.9 反射と屈折境界を接する 2つの媒質において, 誘電率 ε1, ε2, 透磁率 µ1, µ2 の媒質境界面での電場と磁場に関

する条件を考えよう. 第 5章で明らかにされることだが, 電場と磁場は電磁波として伝わる. この電磁波が境界面に入射角 i, 屈折角 rで媒質を通過すると考える. Eが入射面内にある場合, 境界条件は誘電体の場合と同様にして

Exの連続条件：(E1 −E′1) cos i = E2 cos r

Dzの連続条件：ε1(E1 + E′1) sin i = ε2E2 sin r

となり, 磁場については

Hyの連続条件：H1 +H ′1 = H2

振幅については電磁波の性質から

E1

H1=E′

1

H ′1

=√µ1

ε1,E2

H2=√µ2

ε2

を得る. これらの式を用いると屈折率と反射係数が求まる：

n12 =sin isin r

=√ε2µ2

ε1µ1(3.90)

E′1

E1=H ′

1

H1=

√ε2/µ2 cos i−√ε1/µ1 cos r√ε2/µ2 cos i+

√ε1/µ1 cos r

(3.91)

Hが入射面内にある場合では, E, εを H, µに置き換えればよい. 屈折率は (3.90)と同じ関係になるが, 反射係数は

E′1

E1=H ′

1

H1=

√µ2/ε2 cos i−√µ1/ε1 cos r√µ2/ε2 cos i+

√µ1/ε1 cos r

となり (3.91)とは異なる関係になる.

磁気ヒステリシス表 3.1から分かるように, 比透磁率 µr = µ/µ0が 1よりずっと大きい物質 (強磁性体)がある. 鉄

をいったん磁化すると, Hを 0にしても B′は 0にならない. Hを −H0と H0 の間で 1サイクルすると B −H 曲線は図のようになる. Hに対して, Bは一義的に決まらず, 過去の履歴による. この現象を磁気ヒステリシスといい, この曲線をヒステリシス曲線という. これは強磁性体特有の現象である.


さて外部磁場の中にある一様に磁化された球を考えよう. これは誘電体の場合において ε0を µ0

に, 分極ベクトル P を B′に置き換えればよい. 球の内部磁場は

H = −M3

となるので (演習問題 1.10参照)磁束密度は

B = µ0(H + M) =23µ0M

となる. このBの磁力線は例えば球の右側の面 (N極)から出て左側の面 (S極)へ入る. このような磁石を外部磁場H0の中に置いたとする. 球の内部の磁場は

H = H0 − M3

となり外部磁場よりも減少する. 簡単のためにHとMを 1次元で考えると

H = H0 − M3,

B

µ0= H0 +

23M

となり, Bと Hの関係は

B/µ0 = −2H + 3H0

である. これから, ある H0に対して, Bと H は直線関係にあることになり, ヒステリシス曲線が分かっている場合には直線との交点から BとHを求めることができる. 逆に磁気モーメントが実験で求まると, Mの値から Bと Hが分かり, ヒステリシス曲線を求められる.

　

3.8 変位電流

前節までは定常状態における電気, 磁気の物理法則を学んできた. 言い換えると静的な電場と磁場を取り扱った (∂E/∂t = 0, ∂B/∂t = 0). しかし , 電場・磁場が時間的に変動する場合, まったく新たな物理現象が現れることをマクスウェルは理論的に予言し, ヘルツが実験的に確かめた (1888).充電したコンデンサーを含む回路を考える. 回路を閉じるとコンデンサーから電流が流れ出し, 定

常電流に関するアンペールの法則に従って磁場が発生すると考えれれる.

コンデンサーの一方の極板を囲む閉曲面 S = S1 + S2をとると S1に関しては電流が流れるので∫C

H · ds = I =∫

S1

j · n1dS (3.92)

3.8. 変位電流 61

一方, S2については電流はないとすると∫C

H · ds = 0 =∫

S2

j · n2dS

が成り立ち互いに矛盾する.しかし放電が始まると, 電荷が変化するので極板間の電場も時間的に変化する. 電荷の時間変化とは, 電束密度Dの時間変化であるので, これを電流と考え, S2に関するアンペールの法則は∫

CH · ds =

∫S2

∂D

∂t· n2dS

であるとしよう. 閉曲面 S1 + S2において外向きの法線ベクトルを nとすると n2 = −nである. S1

部分にはDの変化に起因する電流はないので∫S2

∂D

∂t・n2dS = −

∫S

∂D

∂t・ndS = − d

dt

∫S

D・ndS (3.93)

と書ける. ガウスの定理より (3.93)は

− d

dt

∫V

∇・DdV = − d

dt

∫V

ρdV

となるが, 右辺に電荷保存則 (3.5)を用いると

右辺 =∫

Sjn dS =

∫S1

jn dS =∫

S1

j · n1dS = I

となり (3.92) が成り立つことになる.∂D/∂tを電束電流あるいは, Dを電気変位ともいうので変位電流とよぶ. 変位電流は電荷の移動を伴わない. 一方, 通常考えている電流を変位電流と区別して伝導電流ということがある.

誘電体中では, (1.71)から

∂D

∂t= ε0

∂E

∂t+∂P

∂t

と分解すると ∂P /∂tは分極電流の密度となる. この P の時間変化は, 分極電流の再配分による電流であるので磁場をつくりだす.一般に, 閉曲線Cにより囲まれた任意の曲面 Sを伝導電流と変位電流とが貫く場合に (3.92)は∫

CH・ds =

∫S

(j +

∂D

∂t

)・ndS (3.94)

と拡張される. これをアンペール・マクスウェルの法則という. ストークスの定理を用いると (3.94)は

∇× H = j +∂D

∂t(3.95)

と微分形で書ける.


非定常電流だが, その時間的変化がゆっくりしている, つまり準定常電流の場合に変位電流と伝導電流の大きさを比べてみよう. それらの比は

∂D

∂t

1σE

=ε

σE

∂E

∂t

である. 電場の角振動数を ωとし , E = E0 exp(iωt) を仮定すると上式の右辺の大きさは εω/σと書ける. 銅では σ 6 × 107 Ω−1 m−1 で, ε/σ ∼ 10−19 s となるので, ωがあまり大きくないなら, 変位電流は無視できる. 通常, 低周波数交流に関しては変位電流を考慮しなくてもいい.

例 3.10 変位電流の例コンデンサー内部の磁場面積 Sの極板からなる平行平板コンデンサーの極板上に一様に分布している電荷が, Q0 sinωt の

ように変化する. このとき変位電流により極板間に磁場が生じる.

コンデンサーの内部に半径Rの円板を仮想しアンペールの法則を適用すると

∫C

H · ds = 2πRH

極板間の変位電流に関しては

∫S

∂Dn

∂tdS =

πR2

S

dQ

dt

であるので H = ωQ0R cosωt/(2S) となる.平行平板コンデンサー (図)で極板が半径 10 cm の円板, 極板間の距離を 1 cm とし , 1000 V, 100

Hz の交流電圧を加えたとする. このとき dE/dt ∼ 105 [V/cm・s]としよう. 変位電流は

πr2∂D

∂t= πr2ε0

∂E

∂t∼ 2.7 × 10−6 A

すなわち, 1µA 程度と非常に小さい. 磁束密度に関しては∮B・ds = 2πrB = µ0ε0

∫∂E

∂tdS µ0ε0πr

2dE

dt

なので B = 6 × 10−14 Wb/m2 とこれまた極めて小さい. なお, これらの概算では極板の端の効果は無視しているので電場は一様である. 極板間の距離を 1 cm にしたのは空中での放電耐圧は 104

V/cm 程度だからである.

演習問題 63

演習問題

1. 誘電率 ε, 電気伝導度 σの媒質をつめた容量 C の平行板コンデンサーの抵抗を求めよ.

2. 内外の半径が a, bの同心導体球の間に電気伝導度 σの物質をみたす. 外球を接地し, 内球に電圧 V を与えるとき, 両球間の抵抗と全電流を求めよ.

3. 半径が a, b (a < b)の 2つの同心導体円筒を電極とし, その間に電気伝導度 σの一様な導体をみたす.両極間に電圧 V をかけるとき, 電極間に発生するジュール熱は単位時間, 単位長さ当たりいくらか.

4. 質量 m，電荷 q の粒子が電場 E，磁束密度 B の一様な電磁場の中を運動している．B と平行な軸のまわりに角速度 ω

B= −qB/2m で回転する座標系では，磁場の項を消すことができることを示せ.

5. 無限に長い直線電流 I1と半径 aの円形電流 I2とが同一平面で円の中心から直線電流までの距離 dの位置に置かれているとき互いに及ぼす力を求めよ. ただし d > aとする.

6. 幅 aの無限に長い 2枚の薄い導体板を間隔 dで平行に置き, 長さに沿って電流 Iが流れている場合, 板の単位長さ当たりに作用する力を求めよ.

7. 半径 aの半円とその中心 Oに向かう 2本の直線からできた回路に電流 I が流れているとき, Oでの磁場を求めよ.

8. 放物線 y2 = 4axで与えられる回路に電流 Iが流れているとき, 焦点に生じる磁場を求めよ.

9. 一様面密度 σで帯電している半径 aの導体球を直径のまわりに一定角速度 ωで回転させるとき, 中心軸上の磁場はどうなるか.

10. 巻き数 1500のドーナツ型のコイルに透磁率 µ = 1.3 × 104µ0 の鉄をつめて 1Aの電流を流した. コイル内で中心から 0.1 m の磁束密度を求めよ.

11. 海水 (σ = 2 Ω−1m−1, ε/ε0 = 81)が導体とみなし得るのはどの程度の周波数までの交流か.

12. 静電容量 C の平行板コンデンサーに電圧 V0 sinωtを加えた場合, コンデンサー内に生じる変位電流を求めよ.

65

第4章電磁誘導

静電荷は電場をつくり, 静電誘導をおこして誘導起電力を生じさせる. アンペールの法則より, 電流から磁場の生じることも分かった. 逆に, 磁場は電流を誘起させることがファラデーにより発見された. つまり, 電磁誘導の法則の発見により電場と磁場が相互に変換しうることが明らかとなり, 発電機や変圧器などへの応用が開かれた.

4.1 電磁誘導の法則

ファラデーは, 回路を貫く磁束の変化が起電力となることを実験的に発見した. ここで起電力とは“電池”に対応するものとしておく.

幅wの導線回路に垂直な一定の磁束密度B

が存在するとしよう. 回路を閉じさせている棒を端から速度 vで動かす. 導線の中には自由に動ける伝導電子が存在する. 棒とともに電子も vの速度で動くのでローレンツ力を受ける. 電荷 qの荷電粒子の場合にはその力は F = qv × Bとなる. 図の場合には時計回りに電流 Iが流れる. 一方, 電場は F = qEでローレンツ力と結びつくので, この現象を導線に電場が生じたと考えることもできる.

このとき電場は

E = v × B (4.1)

である. 回路の抵抗が Rなら E = IRの起電力が回路と磁場の相対運動で生じたといえる. 粒子に働く力の大きさは qvBであるので, 粒子が wだけ動くとき粒子になされる仕事はW = qvBwである. いまの場合, 電場が単位電荷になす仕事が起電力となりその大きさは

|E| = W/q = vBw (4.2)

である. これは, Aと A’における静電ポテンシャルを φ(A)および φ(A′)とすると

φ(A) − φ(A′) = vBw (4.3)

と書くこともできる. 起電力といったときには dsの向きを, 電場にさからってする仕事として定義した (1.20)と逆にとっていることに注意しよう.棒が長さ lまで動いたとき, 回路を貫く磁束は Φ = wlB である. 従って, 磁束の時間変化は

dΦdt

= wBdl

dt= wBv

66 第 4章電磁誘導

である. これは (4.2)と一致する. 従って, 磁束の変化が起電力を生じたとみなすことができる. 磁束の変化によって誘導された電流は定常電流となり, 時計回りに流れるのでBと逆向きに静磁場を生じるが, これは電流を誘導することはない.一般に, 閉回路に誘導される起電力は, 回路を貫く磁束を Φとすると

E = −dΦdt, Φ =

∫S

B · n dS =∫

SBn dS (4.4)

である. Sは閉回路を縁とする任意の曲面である. これを電磁誘導の法則という. この誘導起電力は磁束の変化を妨げる向きに生ずる. ただし , Eは磁束密度Bの向きに対して右ねじの方向を正と約束する. これが (4.4)にマイナスをつける理由である (この符号の意味を強調してレンツの法則ともいう).さて起電力は「回路Cを一回りについて, 導線内の単位電荷に働く力を, 各点での接線方向に積分

したもの」つまり電場がする仕事と定義できるので

E =∫

CE · ds = − d

dt

∫SBn dS = −

∫S

∂Bn

∂tdS (4.5)

と書くこともできる. ただし積分の際, 曲面は固定している. ストークスの定理によってこれを微分形に書き換えると

∇× E = −∂B

∂t(4.6)

となる.

自己誘導

コイルを流れる電流が変化すると磁場を生じるが, その磁場の変化を妨げる向きに誘導起電力がコイルに現れる. これを自己誘導という. ソレノイドを流れる電流 Iについて真空中なら全磁束 Φ ∝ I となるのでΦ = LIと置くと

E = −dΦdt

= −LdIdt

(4.7)

が成り立つ. Lをコイルの自己インダクタンスといい, 単位はヘンリー (H) である.[図]

巻き数N1, N2の 2個の隣接したコイルを考えよう. コイル 1を流れる電流 I1による磁束のうち,コイル 2を貫く磁束を Φ21とすると N2Φ21=M21I1とおける. I1が変化するとき, コイル 2には誘導起電力

E2 = −d(N2Φ21)dt

= −M21dI1dt

(4.8)

が生じる. M21をコイル 2のコイル 1にたいする相互インダクタンスという. 変圧器を考えるとΦ21 = µN1I1S/lより

M21 = µN1N2S/l (4.9)

となり, M12=M21が成り立つ.[図]

4.1. 電磁誘導の法則 67

例 4.1(1) 磁石と点電荷

細長い磁石と点電荷からなる系を考える. 電場はないので点電荷には力が作用しない. 右に一定速度 vで動く座標系 (S’)からみると電荷は左に vで動くので, 紙面に垂直で下向きの磁気力がはたらく. しかし , S’でも電荷にはたらく力は 0であるので, 磁気力を打ち消す電気力が生じている. つまり, S’では電場

E = −v × B (4.10)

が生じている. この Eは S’において観測されるBの時間変化に起因している. いま磁石と電荷がvで動く座標系をとろう. d/dtは運動する物体に固定した座標での時間微分, ∂/∂tは空間の 1点での時間微分で

dB

dt=∂B

∂t+ (v・∇)B, v・∇ = vx

∂

∂x+ vy

∂

∂y+ vz

∂

∂z

が成り立つ. 磁石に固定した座標系では dB/dt = 0なので, 上の式は

∂B

∂t= −(v・∇)B

となる. 一方, (4.10)の回転をとると, v =一定なので, 練習問題 2.(2)から

∇× E = (v・∇)B − v(∇・B)

となることが分かる. ここで, ∇・B = 0を使うと

∇× E = −∂B

∂t

が得られる. これは電磁誘導の微分形 (4.6)である.(2) 長方形コイルの誘導起電力無限に長い導線と同一平面上に, 辺の長さ a, bの長方形コイルが長さ aの辺を導線に平行にし , 導

線から距離 lの位置に置かれている.（図）導線に電流 I = I0 sinωtを流すとコイルを貫く磁束と誘導起電力はどうなるか.直線電流 Iから xの距離での磁場は H = I/(2πx), 方向は導線を含む平面に垂直. コイルを包む

長方形内の導線から xと x + dxの距離にある帯状部分の磁束は

dΦ = µ0Hadx = µ0Iadx/(2πx)

なので磁束 Φは

Φ =∫ l+b

ldΦ =

µ0I0a sinωt2π

logl + b

l

となり誘導起電力は

E = −dΦdt

= −µ0I0aω cosωt2π

logl + b

l

である.(3) 単極誘導


半径 aの円柱状棒磁石の中心軸を磁場の方向にして, 角速度 ωで回転させるとき, 中心軸と円柱の面の間に生じる起電力を求めよう. 中心からrの位置における dr 部分を考える. その速度はv = rωなのでその部分が磁場を切断することにより生じる起電力は vBdr = rωBdrである. 半径の両端における起電力は

E =∫ a

0

rωBdr = ωBa2/2

となる. 回路を貫く磁束は 0であるので起電力の原因はローレンツ力にあることに注意しよう. 磁石のつくる磁束密度が B = 5× 10−2 T, 円柱の半径 a = 10 cm, 閉回路の抵抗を 1 Ωとすると, 流れる電流は I = 0.75 A となる.

(4) 自己インダクタンス

半径 a, b (b > a) の同軸円筒の導体で, 外と内円筒の間に互いに逆向き, 軸方向に電流 Iが流れている. 軸長 lの部分の自己インダクタンスを求めよう. 対称性から磁場は筒軸に垂直な同心円となり, 軸から xの距離での磁場はH = I/(2πx)である. 軸長lの部分の磁束は

Φ =∫ b

a

µ0Il

2πxdx =

µ0Il

2πlog

b

a

誘導起電力は

E = −dΦdt

= −µ0l

2πdI

dtlog

b

a

自己インダクタンスは L = [µ0l/(2π)] log b/aである.(5) 相互インダクタンス無限に長い直線状の導線 ABと以下のコイルが同一平面上にあるとき, 相互インダクタンスはど

のようになるだろうか.(a) 2辺の長さ a, bの長方形コイルを, 長さ aの辺を導線に平行で, 距離 lの位置におく場合.(2)と同様に考えればよい. 長方形を貫く磁束と誘導起電力は

Φ =µ0a

2πI log(1 + b/l), E = −µ0a

2πdI

dtlog(1 + b/l)

相互インダクタンスはM = [µ0a/(2π)] log(1 + b/l)である.

(b) 半径 aの円形コイルが ABに接する位置にある場合.[図]で帯状部分の磁束は

dΦ =µ0I

2πx2√a2 − (a− x)2dx

4.2. LCR 回路 69

となるのでコイルを貫く磁束は

Φ =∫ 2a

0

µ0I

π

√2a− x

xdx

x = 2a sin2 θと変数変換すると, dx = 4a sin θ cos θdθとなり積分は

Φ =µ0I

π

∫ π/2

04a cos2 θdθ = µ0Ia

従ってM = Φ/I = µ0aを得る.

4.2 LCR 回路

導線に流れる電流の時間変化がゆっくりしていて, 変位電流を無視できる場合, すなわち定常電流で用いた関係が近似的に成り立つとき, その電流を準定常電流という. このような場合, コイル L,コンデンサー C, 抵抗 R をそれぞれ切り離して考えることができる. すなわち, 途中の導線で電磁誘導や抵抗を無視した回路を考えるわけである.

過渡現象

一定の起電力 E の電池, 抵抗 R, 自己インダクタンス Lのコイルを, 直列につないだ LR回路を考えよう. 抵抗による電圧降下とコイルによる誘導起電力の差が電池の起電力になるので

LdI

dt+RI = E (4.11)

を得る. これは線形非同次微分方程式である. (4.11)の特殊解は I = E/R なので, 一般解は

I =ER

+Ce−Rt/L (4.12)

となる. 初期条件 t = 0で I = 0をみたす解は

I = E(1 − e−Rt/L

)/R (4.13)

である. 電流はスイッチを入れた後, 次第に大きくなり t −→ ∞で平衡値に達する. このような現象を過度現象という. この状態でスイッチを上に切り替える. この場合, (4.11)で E = 0の場合と同じなので

LdI

dt+RI = 0 (4.14)

が成り立つ. 初期条件 t = 0で I = E/Rをみたす解は

I = Ee−Rt/L/R (4.15)

である. 電流が 1/eになる時間を τ とすると

τ = L/R (4.16)


この τをLR回路の時定数といい, 回路の特性を示す目安になる. L = 1 mH, R = 1 kΩなら τ = 10−6

s となる.

電気振動コイルとコンデンサーを直列につないだ回路を考えよう．あらかじめコンデンサーを充電してか

ら，スイッチを閉じるとコンデンサーに蓄えられていた電荷が流れはじめる．しかし，コンデンサーの電荷がなくなっても，コイルの自己誘導起電力のために同じ向きに電流が流れ続け，コンデンサーの極板は初めとは逆の電荷で充電される．その結果，こんどは逆向きに電流が流れるようになる．このようにして回路に振動が生じる．これを電気振動という．容量 C のコンデンサーに蓄えられている電荷を Q とすると，極板間の電位差は

VC =Q

C

である．一方，自己インダクタンス L のコイルを流れる電流を I とすると，コイルに生じる起電力は

VL = −LdIdt

となる．ただし電流は I = dQ/dt である．回路に起電力がないので VC = VL であるから，Q に関する微分方程式は

Ld2Q

dt2+Q

C= 0 (4.17)

と表される．この式は,ばねの振動における運動方程式と同じ形をしているので，単振動の解

Q = Q0 cosω0t, ω0 =1√LC

(4.18)

を得る．ここで Q0 は t = 0においてコンデンサーに充電されていた電荷である．回路を流れる電流は

I = −ω0Q0 sinω0t (4.19)

となる．

　次に，コイル L，コンデンサー C および抵抗 Rを直列につないだ回路を考える．これをLCR 回路という．抵抗による電圧降下は RI

であるから，Q についての微分方程式は

　

Ld2Q

dt2+ R

dQ

dt+Q

C= 0 (4.20)

で与えられる．これは減衰振動の運動方程式と同じ形なので，電気抵抗が空気抵抗に対応していることが分かる．(4.20)の振動解は

Q = Q0 exp(− R

2Lt

)cosωt (4.21)

ω =

√1LC

−(R

2L

)2

(4.22)

4.2. LCR 回路 71

と表される．

交流回路起電力が規則的に振動する場合を交流起電力という. LCR 回路に交流電源を直列につなぎ，

V0 cosω0tとなる起電力を与える．コンデンサーに蓄えられる電気量はどうなるだろうか．R2C < 4Lとし，t = 0 で Q = 0, I = 0とする．回路の電位差は交流電源によるので

Ld2Q

dt2+ R

dQ

dt+Q

C= V0 cosω0t (4.23)

同次方程式は Q = eλt とおくと

Lλ2 + Rλ +1C

= 0

であるから根は

λ = − R

2L± iω, ω2 =

1LC

−(R

2L

)2

一般解は

Q = exp(− R

2Lt

)(A1 cosωt+B1 sinωt) (4.24)

特殊解を求めるため

Q = A cosω0t+ B sinω0t (4.25)

とおくと

(1/C − Lω20)A+ Rω0B = V0

−Rω0A+ (1/C − Lω20)B = 0

ここで

A =(1/C − Lω2

0)(1/C − Lω2

0)2 + (Rω0)2V0, B =

Rω0

(1/C − Lω20)2 + (Rω0)2

V0 (4.26)

(4.25)にこれらを代入して

Q = exp[− R

2Lt](A1 cosωt+ B1 sinωt) + A cosω0t+ B sinω0t

を得る. t = 0で

Q = A1 +A = 0

Q = − R

2LA1 + ωB1 + ω0B = 0

であるから

A1 = −A, B1 = − 1ω

(R

2LA+ ω0B)


従って

Q = − exp(− R

2Lt

)[A cosωt+

1ω

(R

2LA+ ω0B) sinωt

]+ A cosω0t+ B sinω0t (4.27)

を得る. さて, この一般解は t −→ ∞では特殊解 (4.25)だけが残ることに注意しよう. この時, 電流I = dQ/dtは

I = I0 cos(ω0 + α), I0 = ω0

√A2 + B2 (4.28)

となる. ここで (4.26)から位相 αは

tanα = −AB

=Lω2

0 − 1/CRω0

(4.29)

である. 一方 I0も (4.26)を用いて

I0 =V0√

[1/(Cω0) − Lω0]2 +R2

(4.30)

と書ける. この分母は抵抗の次元を持ち, インピーダンスという. Lω0を誘導リアクタンス, 1/(Cω0)を容量リアクタンスという.

例 4.2 実効値直流の場合, 抵抗 Rに電流 Iが流れるときの消費電力は P = RI2でよいが, 電源が時間変化する

ときには 1周期での時間変化を考える. 交流の場合, 電流の 2乗の 1周期での平均を用いることがある. すなわち, 交流電流を I = I0 sinωtとすると

〈I2〉 =1T

∫ T

0I2dt =

12I20

である. V = V0 sinωtの場合も同様である. これから

Ie =√〈I2〉 = I0/

√2, Ve =

√〈V 2〉 = V0/

√2 (4.31)

を実効値と呼ぶ. Iと V に位相差がないと IeVe = I0V0/2である. しかし , (4.28)のように位相差があると

IV = I0V0 cosω0t cos(ω0t+ α) =12I0V0 cosα+

12I0V0 cos(2ωt + α)

を考える. この式の時間平均をとると最後の項は 0となる. 従って, 平均の消費電力は

〈IV 〉 = I0V0 cosα/2 (4.32)

と書くことができる.

4.3 磁場のエネルギー

電池 V を含むLR回路を考える. スイッチを入れると電流が流れる. このとき

V = LdI

dt+ RI

4.3. 磁場のエネルギー 73

が成り立つ. 両辺に Idtをかけると分かるように, V Idtは電源の行う仕事, RI2dtは抵抗で発生するジュール熱である. また LIdIはコイルに蓄えられるエネルギーと考えられる. 電流が 0から I まで増加する間に巻き数 N のコイルには

W =∫ I

0LI ′dI ′ =

12LI2 =

12NφI (4.33)

だけのエネルギーが貯まる. ただし , 1つのコイルを貫く磁束を φとし, LI = Nφを使った.さて (4.33)は磁束の定義とアンペールの法則

φ =∫

S

B・ndS, NI =∫

C

H・ds

を用いると

W =12

∫S

B・ndS

∫C

H・ds (4.34)

となる. ここで, Sはコイルによって囲まれた曲面, Cは電流NIを囲む任意の閉曲線である. 磁束管の断面では B・ndS = B cos θdSは一定に保たれ, Cを磁力線に沿ってとると, Hと dr(= ds)は平行となる. このとき, 領域 dV において

B cos θdSHdr = B・HdV

が成り立つ. ここで dV = dSdr cos θである. 従って, (4.34)は

W =12

∫B・HdV (4.35)

と書ける. あるいは umを磁場のエネルギー密度として

um =12µ0H

2 (4.36)

と書いてもよい. このようにコイルに蓄えられるエネルギーは磁束の存在する全空間にわたって蓄えられる磁場のエネルギーとして表される. (4.35)は 5.2で示すように準定常電流の場合に限らず成り立つ.

例 4.3 磁場のエネルギーとジュール熱LR回路でスイッチを下に入れて電流が定常値 I0に達した後, スイッチを上に切り替える. 電流は

I = I0 exp(−Rt/L)

のように減少し , 抵抗Rに発生するジュール熱は∫ ∞

0RI2dt = LI2

0/2

となり, コイルに蓄えられたエネルギーに等しくなる.


演習問題

1. 一辺の長さ l, 巻き数 N の正方形コイルがあリ, 隣合わせの 2辺を x, y 軸とする．コイルに垂直な方向に磁束密度 a sin πx・sinπy・sinωtがあるときこのコイルに発生する起電力を求めよ．

2. 半径 a, 長さ l, 巻き数 N1のソレノイドに電流 Iを流し, その中心で半径 b, 巻き数 N2の小円形コイルを角速度 ωで回転させるとき円形コイルに発生する起電力はいくらか.

3. 巻き数 N , 抵抗 Rのコイルを貫く磁束が Φ1から Φ2へ変化したときコイルに流れる電気量を求めよ.

4. 一様磁束密度 Bのなかで半径 a, 誘電率 εの誘電体の円柱が中心軸を磁場と平行にして角速度 ωで回転している. 中心軸から rにおける誘電分極 (分極ベクトル), 円柱表面に単位長さ当たり誘導される電気量を求めよ.

5. 容量 C のコンデンサー，抵抗 R および起電力 V の電池を直列につなぐ．この回路を流れる電流を求めよ．ただし t = 0 で Q = Q0 とする．

6. LC回路と LCR回路に関する微分方程式を積分することにより，電気的エネルギーの保存則を調べよ．

7. 電圧 V1, V2に充電した容量 C1, C2の 2つのコンデンサーを抵抗Rと並列に接続したとき, 電流の時間変化を求め, 抵抗で消費されるエネルギーを求めよ.

8. 同一平面上に十分長い導線と, 導線から距離 dの点を中心とする半径 aの円形コイルがある (a < d). これらの間の相互インダクタンスを求めよ.

9. 断面積 S, 単位長さ当たりの巻き数 nの無限に長いソレノイドの単位長さ当たりの自己インダクタンスを求めよ.

10. 電流 Iの流れる導線回路が磁束 φと N 回鎖交するとき磁場のエネルギーを求めよ.

75

第5章マクスウェルの方程式と電磁波

前章までで, 電場と磁場を独立に考えることからはじめて, アンペールの法則, ファラデーの電磁誘導の法則により電場と磁場の間に関係があることまでを学んだ. これらの考え方はマクスウェルにより統一的に 4つの方程式にまとめられた. さらにそこから電磁波の性質を予言することが可能になった. こうして電磁気学は力学と共に古典物理学の双璧をなすにいたっている.

5.1 マクスウェルの方程式

前章までに学んだ電磁気学の法則はマクスウェルの方程式にまとめることができる. これは, 積分形あるいは微分形で表現される.積分形で書かれた 4本の方程式すなわち, 電場に関するガウスの法則 (1.72),電磁誘導の法則 (4.5),

磁場に関するガウスの法則 (3.80), アンペール・マクスウェルの法則 (3.94) をまとめてマクスウェルの方程式は∫

S

D・ndS =∫

V

ρdV (5.1)∮C

E・ds = − d

dt

∫S

B・ndS (5.2)∫S

B・ndS = 0 (5.3)∮C

H・ds =∫

S

j・ndS +d

dt

∫S

D・ndS (5.4)

と書き下される. ここで, ρは電荷密度，jは電流密度である. また, D, E, B, H は電束密度，電場の強さ，磁束密度，磁場の強さである.物質中では

D = εE, B = µH (5.5)

という関係があり，ε と µ は物質の誘電率と透磁率である. 真空中では

ε = ε0, µ = µ0 (5.6)

と置きなおせばよい.マクスウェルの方程式の微分形は (1.75), (4.6), (3.79), (3.95)をまとめて

∇・D = ρ (5.7)

∇×E = −∂B

∂t(5.8)

∇・B = 0 (5.9)

∇×H = j +∂D

∂t(5.10)

76 第 5章マクスウェルの方程式と電磁波

と書き表される. (5.10)の左辺の発散はベクトルの恒等式から∇・(∇×H) = 0となり, 右辺に (5.7)を使えば

∂ρ

∂t+ ∇・j = 0 (5.11)

が得られる．これは連続の式あるいは電荷保存の式といわれる．3.8では変位電流を現象論的に導入してマクスウェル・アンペールの法則としたが, (5.11)が成り立つように (5.10)に ∂D/∂tを加えることにより一般的に変位電流の必然性が確かめられたといえる．

(5.7)と (5.9)はスカラーの方程式, (5.8)と (5.10) はベクトルの方程式, ゆえにマクスウェル方程式の数は成分に分けると 8つであることに注意しよう. この 8つの式は非線形連立微分方程式となっており, 簡単には解けない.

5.2 電磁場のエネルギー

静電場のエネルギーは (1.91)であり, 準定常電流の周りの空間に蓄えられる磁場のエネルギーは(4.35)で与えられる. これらが一般的に電磁場でも正しい表式となることをマクスウェルの方程式から導くことができる. Eと (5.10)のスカラー積からHと (5.8)のスカラー積を差し引くと

E・(∇× H) − H・(∇× E) = E・j + E・∂D

∂t+ H・

∂B

∂t

となる. ここで左辺にベクトル解析の公式

∇・(E × H) = H・(∇× E) − E・(∇× H)

を適用すると

−∇・(E × H) = E・j + E・∂D

∂t+ H・

∂B

∂t

を得る. この式を

−E・∂D

∂t− H・

∂B

∂t= E・j + ∇・(E × H)

と並べ替えて, 全領域にわたって積分すると

−∫

V

(E・

∂D

∂t+ H・

∂B

∂t

)dV =

∫V

E・jdV +∫

V

∇・(E × H)dV

と書けるが, 左辺に (5.5)を用い, 右辺第２項を表面積分に書き換えると

− d

dt

∫V

12

(E・D + H・B) dV =∫

V

E・jdV +∫

S

(E × H)・ndS (5.12)

が成立する. この式を次のように解釈しよう. (5.12)の左辺は領域 V に蓄えられている電磁場のエネルギー

U =∫

V

12

(E・D + H・B) dV (5.13)

の単位時間当たりの減少率. 右辺は, 領域内に単位時間当たりに発生するジュール熱∫V

E・jdV (5.14)

5.3. 電磁波 77

と, V の外に表面 Sを通って単位時間当たり流出するエネルギー∫S(E × H)・ndS (5.15)

の和である. このとき, 単位時間当たり, 単位面積を通って流出するエネルギー

S = E × H (5.16)

をポインティングベクトルという.また, (5.13)から

u =12

(E・D + H・B) (5.17)

は電磁場のエネルギー密度と考えられる.

5.3 電磁波

真空中あるいは一様な媒質中での電磁気学を考えてみよう．簡単のため, 媒質中には電荷は存在しない, つまり電荷密度 ρ = 0，電流密度 j = 0 とする. マクスウェルの方程式 (5.7), (5.8), (5.9)，(5.10)は (5.5)を考慮して

∇・E = 0 (5.18)

∇×E = −∂B

∂t(5.19)

∇・B = 0 (5.20)

∇×B = εµ∂E

∂t(5.21)

となる.いま電場も磁場も zと tだけの関数とする. すなわち,

E(z, t) = (Ex, Ey , Ez), B(z, t) = (Bx, By , Bz)

とする. (5.18)から

∂Ez(z, t)∂z

= 0 (5.22)

となる. 一方, (5.20)から

∂Bz(z, t)∂z

= 0 (5.23)

である. (5.19)の x, y, z成分は

−∂Ey(z, t)∂z

= −∂Bx(z, t)∂t

,∂Ex(z, t)

∂z= −∂By(z, t)

∂t, 0 = −∂Bz(z, t)

∂t(5.24)

となる. (5.21)は

−∂By(z, t)∂z

= εµ∂Ex(z, t)

∂t,∂Bx(z, t)

∂z= εµ

∂Ey(z, t)∂t

, 0 = εµ∂Ez(z, t)

∂t(5.25)


と書ける. これらの式から

∂Ez(z, t)∂t

= 0,∂Bz(z, t)

∂t= 0 (5.26)

を得る. (5.22)と (5.23)および (5.26)から Ezと Bzは zおよび tに無関係な定数であることが分かるので 0とすることができる. 電場は z方向に垂直であるので電場の方向を x軸にとることにしよう. こうしてさらに Ey = 0とすることができる. これでマクスウェルの方程式の 4つの式を用いて

E = (Ex, 0, 0), B = (Bx, By, 0)

と書けることが分かった. このとき (5.24)と (5.25)は

∂Bx(z, t)∂t

= 0 (5.27)

∂Ex(z, t)∂z

= −∂By(z, t)∂t

　 (5.28)

−∂By(z, t)∂z

= εµ∂Ex(z, t)

∂t(5.29)

∂Bx(z, t)∂z

= 0 (5.30)

だけが 0でない成分として残る. また, (5.27)と (5.30)から Bx = 0 とできる. すなわち, (5.19)のx成分と (5.21)の y成分を使ったことになり, マクスウェルの方程式のうち 6つの式を使って ExとByだけがのこることが分かる. つまり, 電場と磁場は互いに直交する.マクスウェルの方程式の 8つの式の残りの 2つ (5.28)と (5.29) を変形して

∂2Ex(z, t)∂z2

− εµ∂2Ex(z, t)

∂t2= 0 (5.31)

∂2By(z, t)∂z2

− εµ∂2By(z, t)

∂t2= 0 (5.32)

を得る. ここで (5.31)の解として

Ex(z, t) = E0 sin(kz − ωt) (5.33)

を仮定すると k2/ω2 = εµならばこの解は確かに特殊解となる. このように, (5.33)は z方向に進行する波を表わす. すなわち,振動数を νとすると ω = 2πν, 波長を λとすると k = 2π/λである. 波の進行速度はv = λνであるので

v = λν =ω

k=

1√εµ

(5.34)

となることが分かる. (5.32)の解も同様に

By(z, t) = B0 sin(kz − ωt) (5.35)

と書ける. (5.28)と (5.29)に (5.33)と (5.35)を代入して B0/E0 = k/ω =√εµを得る. まとめると,

電場と磁場は互いに直交しており, 進行方向は E × Bと書くことができ, 横波であることが分かる.

5.3. 電磁波 79

(5.31)や (5.32)は波動方程式と呼ばれている. この波の進行方向はポインティングベクトルの方向に一致し , 電磁波のエネルギーの流れる向きである. 今の場合, ポインティングベクトル (5.16)は z

方向の成分のみをもち

Sz = (E × H)z = ExBy/µ =√ε/µE2

0 sin2(kz − ωt) (5.36)

となる. 電磁波のエネルギー密度は (5.13)から

u =12E・D +

12H・B =

ε

2E2 +

12µ

B2

=(ε

2E2

0 +12µB2

0

)sin2(kz − ωt) = εE2

0 sin2(kz − ωt) (5.37)

となる. ここで B0 =√εµE0を使った. (5.37)から電波のエネルギーと磁波のエネルギーが等しい

ことが分かる. (5.36)は (5.34)と (5.37)をもちいると

Sz = vu (5.38)

で与えられることが分かる. つまりポインティングベクトルの意味として, 単位体積あたり uのエネルギーが速さ vで流れることを示していることが確かめられる.

(5.34)を真空中の場合にすると

v =1√ε0µ0

= 2.998 × 108 m・s−1 (5.39)

を得るので vは光速 cに等しいことが分かる. このことから光は波長の短い電磁波であると結論できる.

例 5.1容量 0.001µFのコンデンサーを充電し , インダクタンス 10µHのコイルを通して放電する場合, 回

路抵抗が小さい場合 (R 0), 電気振動の周波数に等しい電磁波が放出される. この電磁波の周波数は (4.22)より

f =ω

2π=

12π

√LC

= 1.6 × 106 Hz

で, 波長は λ = c/f = 189 m である.

(5.31), (5.32)はマクスウェルの方程式から簡潔に導出できる. ベクトル解析の公式

∇× (∇× E) = ∇ (∇・E) − (∇・∇) E

に (5.18), (5.19), (5.21)を代入し，εµ = 1/v2 と置くと電場 E に対する波動方程式

E = 0 (5.40)

が得られる．同様に磁場に対しても

H = 0 (5.41)

である. ここで記号はダランベール演算子といい

= − 1v2

∂2

∂t2+ , = ∇・∇ =

∂2

∂x2+

∂2

∂y2+

∂2

∂z2(5.42)


表 5.1: 電磁波

波長名称波長名称γ 線遠赤外線

10−3 nm 100 µm　 X 線サブミリ波

10 nm 1 mm極遠紫外線ミリ波

100 nm 1 cm遠紫外線 (UV-C) センチ波

280 nm 　 10 cm中紫外線 (UV-B) 極超短波 (UHF)

315 nm 1 m近紫外線 (UV-A) 超短波 (VHF)

380 nm 10 m　可視光線短波

780 nm 102 m近赤外線中波

1.5 µm 1 km中赤外線長波

5 µm 10 km

である. 記号はラプラス演算子である. これは電磁場が速さ v で伝わることを示している．波動方程式 (5.40)と (5.41)の x成分と y成分が (5.31)と (5.32)になり, vは (5.39)から光速である.マクスウェルにより導入された変位電流により, 真空中でも電磁波が存在することが明らかになっ

た. しかし, 媒質なしに波動が伝播することはそれまでの波動力学と矛盾することになる. この解決にはアインシュタインの特殊相対論を待たねばならなかった.

電磁波の反射と屈折1.7では, 電場が異なる誘電体を屈折するときの, 境界面での条件を調べた. ここでは, 一般的に電

磁波が異なる媒質間を通過する際の条件を導き出そう. 電場を表すEとD, 磁場を表すBとHのどれかの成分を Ψと書こう. 異なる物質間の境界面上に x軸と y軸をとり, これらに垂直な方向にz軸をとる. 入射波の成分をΨ1, 反射波をΨ2, 屈折波を Ψ3 とする. これらの波はある 1つの振動数と波長からなる (単色)と考えて本質的議論には差し支えない. この場合

Ψ1 = A sin(kxx+ kyy + kzz − ωt)

Ψ2 = B sin(k′xx + k′yy + k′zz − ω′t) (5.43)

Ψ3 = C sin(k′′xx+ k′′yy + k′′zz − ω′′t)

と書ける. z = 0での境界条件は

Ψ1(x, y, z = 0, t) + Ψ2(x, y, z = 0, t) = Ψ3(x, y, z = 0, t) (5.44)

5.3. 電磁波 81

でなければならない. この式に (5.43)を代入すると

A sin(kxx+ kyy − ωt) + B sin(k′xx+ k′yy − ω′t) (5.45)

= C sin(k′′xx+ k′′yy − ω′′t) (5.46)

という条件を得るが, 任意の時刻 t, 境界面上の位置 x, yでこの条件が成立しているためには振幅に関して

A+B = C (5.47)

が成り立ち, 角振動数と波数について

ω = ω′ = ω′′ (5.48)

kx = k′x = k′′x (5.49)

ky = k′′y = k′′y (5.50)

でなければならない. これらの条件は, 波の伝わる媒質によらずにいえることである.(5.48)は波の伝わる媒質にかかわらず入射,反射, 屈折波の角振動数 ωが等しいことを表す. (5.49), (5.50)は 3つの波数ベクトルが同一平面内にあり, それらの x成分と y

成分とが一致していることを示す. そこで,k, k′, k′′を含む平面と境界面 (xy平面)が交差する直線をあらためて x軸に選んでみよう. このような座標系では

ky = k′y = k′′y = 0

となる. 入射角 θ, 反射角 θ′, 屈折角 θ′′を図のようにとると角振動数が共通の値をとることに注意して

kx = k sin θ =ω

v1sin θ

k′x = k′ sin θ′ =ω

v1sin θ′ (5.51)

k′′x = k′′ sin θ′′ =ω

v2sin θ′′

を得る. ここで ω = vkを使った. また, v1と v2は (5.34)で決まる物質 1と 2における光速である.(5.49)と (5.51)より

sin θv1

=sin θ′

v1=

sin θ′′

v2

となることが分かり, 反射の法則

θ = θ′ (5.52)


を得る. ただし , θ, θ′, θ′′ < π/2とする. さらに,

sin θsin θ′′

=v1v2

= n12 (5.53)

も導かれる. これが屈折の法則あるいはスネルの法則である. 定数 n12を物質 1に対する物質 2の屈折率という.

光学マクスウェルにより光は電磁波であることが結論され, 光学の分野は電磁気学の 1分野とみなさ

れるようにはなった. しかし光の応用的側面を考えると光学を学ぶ重要性は大きい.幾何光学幾何光学は光線の直進, 反射, 屈折の 3つの基本法則をもとにしているが, 実はフェルマーの原理に

よって統一的にまとめられる (演習問題 6 参照). この原理は

“光が A点から B点に向かうとき, その要する時間 τ を極値にするように進む”

と表現される. Aから Bに進む任意の径路の中で τ が極値をとる場合, 数学的には一階微分が 0であることに対応する. これは

δ

∫dτ = 0 (5.54)

と表される. 媒質中の光速を vとするとき, 微小距離 dsを進む時間 dτ は ds/v, あるいは媒質の屈折率 n = c/vを用いて dτ = nds/cと書けるので (5.54)は

δ

∫nds

c= 0

とも書ける. 極値といっても実際には光は最短コースを進むので極小値のことになるので, 力学ではフェルマーの原理は最小作用の原理ともいわれる. フェルマーの原理は次のように説明される.波動方程式の解は

a(r) sinω[φ(r) − t]

と書ける. ある一定の時刻において同一位相をもつ面 (波面)を考えると

ω[φ(r) − t] =一定

から φ(r) =一定が分かる. 上式は時間間隔を δτ とし波面の変化を δφとすると δφ = δτ の関係があることを示している. 従って, δsを波面間の垂直距離とすると

∆φ∆s

=n

c

が成り立ち, ∆s −→ 0のとき

∇φ(r) = ±n(r)/c (5.55)

を意味する. これは光の進行方向が波面に垂直であることを示している. つまり, 任意の 2点間の光の径路は最短距離をとることが理解できる. これはフェルマーの原理にほかならない.

5.3. 電磁波 83

一様な媒質中の光速を vとすると, 波動方程式は (5.31)あるいは (5.32)で表され, その解は (5.43)のようになる. 一般に, Ψに対する波動方程式は(

− 1v2

∂2

∂t2

)Ψ(r, t) = 0 (5.56)

である. n = c/vであるが, 媒質中では屈折率は一般に rの関数となる. しかし, n(r)の変化があまり急激でないなら (5.56) の解は

Ψ(r, t) = a(r) sinω[φ(r) − t] (5.57)

と書けるだろう. ωは電磁波の反射・屈折で述べたように, 媒質が変化しても変わらない．この解(5.57)を (5.56)に代入して(

− n2

c2∂2

∂t2

)Ψ(r, t)

= [a− ω2a(∇φ)2 + ω2n2

c2a] sinω(φ− t) + ω[aφ+ 2∇a・∇φ] cosω(φ− t)

= 0 (5.58)

を得る (演習問題 7). a(r)と φ(r)の満たすべき方程式は, 右辺の sinと cosの係数を 0とおいてそれぞれ求められる. つまり

(∇φ(r))2 =1c2n2(r) +

1ω2

a(r)a(r)

(5.59)

a(r)φ(r) + 2∇a(r)・∇φ(r) = 0 (5.60)

いま, 振幅 a(r)の変化が光の波長に比べて, ずっと長い距離でしかおきないと近似するなら

a/a ω2/c2

としてよい. 光は波動より粒子的にふるまい, 光線としての性質を持つ. このとき (5.59)から

(∇φ(r))2 = n2(r)/c2 (5.61)

を得る. これを幾何光学の方程式という. この式は (5.55)と同等である. つまり, 波動方程式からフェルマーの原理が導かれたことにもなる. (5.61)が (5.55)の 2乗になっているのは光線の進路が逆進可能であることを示している.

ローレンツ変換1904年にローレンツおよびポアンカレはマクスウェル方程式を不変に保つという立場から，ローレンツ

変換を独立に導いた．ここでは波動方程式 (5.40), (5.41)を不変に保つような 1次変換

x′ = a11x+ a12t

t′ = a21x+ a22t (5.62)

の係数 aij を求めてみよう．(5.62)を微分すると

∂

∂x= a21

∂

∂t′+ a11

∂

∂x′∂

∂t= a22

∂

∂t′+ a12

∂

∂x′

であるから

− 1c2∂2

∂t2+

∂2

∂x2= − 1

c2∂2

∂t′2+

∂2

∂x′2(5.63)


が成り立つためには

a222 − c2a2

21 = 1

a12a22 − c2a11a21 = 0

c2a211 − a2

12 = c2

となることが必要である．cosh2 θ − sinh2 θ = 1 の関係を思い出すと，変換係数は

a11 = a22 = cosh θ, a12/c = ca21 = sinh θ (5.64)

と書ける．ここで θ 1 のとき，cosh θ 1, sinh θ θ であり，このとき (5.62)がガリレイ変換 (A.7)に帰着すると仮定すれば

a11 1, a12 −v, a21 0, a22 1

であるから，θ −β を得る．従って

cosh θ =1√

1 − β2, sinh θ = − β√

1 − β2(5.65)

と表せる．(5.64), (5.65)を (5.62)に代入した結果はローレンツ変換である．

一方，付録 Aに述べるようにアインシュタインはマクスウェル方程式に頼ることなく，光速度一定という

簡単な原理を前提としてローレンツ変換を導いた．

5.4 電磁ポテンシャル ∗

ベクトル関数A(r, t)を用いて (5.9)より磁束密度Bは

B = ∇× A (5.66)

と書ける．これを (5.8)に代入すると

∇×(

E +∂A

∂t

)= 0

となるが，任意のスカラー関数 φ(r, t)に対して∇× (∇φ) = 0であることを考慮すると, 電場Eは

E = −∇ φ− ∂A

∂t(5.67)

と表せる．この φ をスカラーポテンシャル，Aをベクトルポテンシャルという．φとAから EとBを決めることはできるが，逆にEとBから φとAを一意に決めることはできな

い．例えば，(φ,A)が (5.66)と (5.67)を満たすとき, ψを任意のスカラー関数として

φ∗ = φ− ∂ψ

∂t(5.68)

A∗ = A + ∇ ψ (5.69)

を採用する．このとき

B∗ = ∇× A∗ (5.70)

E∗ = −∇ φ∗ − ∂A∗

∂t(5.71)

5.4. 電磁ポテンシャル ∗ 85

を考えてみよう. (5.70)は恒等式∇× (∇ψ) = 0を使うと

B∗ = ∇× A = B (5.72)

となり, (5.71)は

E∗ = −[∇φ−∇

(∂ψ

∂t

)]−[∂A

∂t+∂(∇ψ)∂t

]

= −∇φ− ∂A

∂t= E (5.73)

となり，(E,B) は変化しない．ポテンシャルの間の変換 (5.68), (5.69)をゲージ変換という．E, B

はゲージ不変量である．一方，(φ,A) の選び方には任意関数 ψ による不定性が残る.(5.67)を (5.7)に代入すると

∇・E = −∇・∇ φ− ∂

∂t∇・A =

ρ

ε0

となるので (5.42)を用いると

φ+∂

∂t

(1v2

∂φ

∂t+ ∇・A

)= − ρ

ε0(5.74)

が得られる．次に, (5.10)に µ0をかけて

∇× B = µ0∇× H =1c2∂E

∂t+ µ0j

と書き, Eに (5.67)を用いると

∇× B = − 1c2∂

∂t∇ φ− 1

c2∂2A

∂t2+ µ0j

となる. さらにこの式の左辺を

∇× B = ∇× (∇× A) = ∇(∇・A) − (∇ · ∇)A

を用いて Aで書き換え (5.42)を使うと

A −∇(

1v2

∂φ

∂t+ ∇・A

)= −µ0j (5.75)

を得る．(φ,A) の選び方には任意性があるので

1v2

∂φ

∂t+ ∇・A = 0 (5.76)

を満たすように関数 ψをとることにしよう．このとき (5.74)と (5.75)は

φ = − ρ

ε0(5.77)

A = −µ0j (5.78)

と書ける．これらは波動方程式である．(5.76)をローレンツの条件という．この条件を満たすポテンシャルをローレンツゲージという．


ビオ・サバールの法則電磁場が時間に依存しない定常な場合を考えてみよう. この場合, (5.77)と (5.78)は

φ = − ρ

ε0(5.79)

A = −µ0j (5.80)

となる．(5.79)および (5.80)はそれぞれ静電場，静磁場のポアソンの方程式という．静電場の場合,ポアソン方程式 (5.79)の解は (1.29)，つまり

φ(r) =1

4πε0

∫V

ρ(s)|r − s|dV (5.81)

で与えられる．この積分は ρ(s)の存在する領域について行う. 従って，(5.80)の解は

A(r) =µ0

4π

∫V

j(s)|r − s|dV (5.82)

となると予想される．実際に (5.82)は定常な場合のローレンツの条件

∇・A = 0 (5.83)

を満たすことが分かる [演習問題 8]．磁束密度は (5.82)を (5.66)に代入して求まる．まず

B(r) =µ0

4π

∫∇×

(j(s)

|r − s|)dV (5.84)

と書けることに注意する. (5.84)の右辺の被積分項はその x成分について[∇×

(j(s)

|r − s|)]

x

=∂

∂y

(jz(s)|r − s|

)− ∂

∂z

(jy(s)|r − s|

)

= jz(s)∂

∂y

(1

|r − s|)− jy(s)

∂

∂z

(1

|r − s|)

となるが 1/|r − s| を微分すると[∇×

(j(s)

|r − s|)]

x

=[j(s) × (r − s)

|r − s|3]

x

となることが分かる. y, z 成分も同様である. 従って, 電流が空間分布を持つ場合のビオ・サバールの法則 (3.72)が得られたことになる．

5.5 ローレンツ力 ∗

ニュートン力学が基礎としているガリレイ変換の立場に立つと, ローレンツ力は矛盾することを3.4で述べた. この矛盾は特殊相対論により以下のように解決できる.荷電粒子が速度 v で運動しているとき，電磁場から受ける力はローレンツ力 (3.44)

F = q(E + v × B) (5.85)

である．この力をローレンツ変換の立場から導いてみよう．座標系K’系が K系の x軸方向に一定の速さ vで運動している場合のローレンツ変換は

5.5. ローレンツ力 ∗ 87

x′ = γ(x− vt), y′ = y, z′ = z

t′ = γ(t− vx/c2)(5.86)

である. ここで γは相対論的因子といわれ

γ =1√

1 − (v/c)2

である.次に, K′系が K系の任意の方向に一定の速度 v で並進運動をしている場合を考えよう．ガリレイ

変換 (付録参照) r′ = r − vt にならって

r′ = r − vΨ (5.87)

とおき，関数 Ψ を求めることにする．ローレンツ変換 (5.86)は v が x 軸に平行な場合であるので

x→ v · rv

という置き換えをすればよい．つまり (5.86)より

v · r′

v= γ

(v · rv

− vt)

(5.88)

と書ける．(5.87)に v をかけて，(5.88)を代入すると

Ψ = −γ − 1v2

v · r + γt

が得られる．したがって，ローレンツ変換の一般形は

r′ = r + v

[γ − 1v2

v · r − γt

](5.89)

ct′ = γ(ct− v · rc

)

と表される．電磁場に対してローレンツ変換を適用すると

φ′ = γ(φ− v · A)

A′ = A + v

[γ − 1v2

v · A − γφ

c2

](5.90)

および

E ′ = γE + (1 − γ)v

v2(v · E) + γ(v × B) (5.91)

B′ = γB + (1 − γ)v

v2(v · B) − γ

v × E

c2(5.92)

となる．逆変換は v を −v で置き換えれば得られる. たとえば K系で電場はないが磁場が存在すると, K’系では電場も磁場も現れる.


力 F が与えられている場合，運動方程式と仕事率は

dp

dt= F ,

dE

dt= F · u (5.93)

と書ける．これらは

P µ = (E/c,p), dτ =√

1 − u2/c2 (5.94)

を使って

dPµ

dτ= F µ (5.95)

とまとめられる．ただし , µ = 1, 2, 3は空間成分 (x, y, z)を µ = 0は時間成分を表す. F µを 4元力といい

F µ =

(F · u

c√

1 − u2/c2,

F√1 − u2/c2

)(5.96)

である. ４元力に対するローレンツ変換は (5.90)の逆変換に対応させて

F√1 − u2/c2

=F ′√

1 − u′2/c2

+v

[γ − 1v2

F ′ · v√1 − u′2/c2

+ γF ′ · u′

c2√

1 − u′2/c2

](5.97)

と書ける．電荷と共に運動する座標系を K′ とすると，その系で電荷は静止しているから

u′ = 0, u = v

F ′ = qE ′

である．これを (5.97)に代入すると

γF = F ′ + vγ − 1v2

(F ′ · v)

= qE ′ + qvγ − 1v2

(E′ · v) (5.98)

となる．(5.91)の両辺に v をかけると

E′ · v = E · v

であるから，これと (5.91)を (5.98)に代入すると，結局ローレンツ力

F = q(E + v × B)

が得られる．このように, 3.4で指摘したガリレイ変換のもとで生じるローレンツ力に関する矛盾は,ローレンツ変換を基にした, 特殊相対性理論によって解決できることが分かる.

演習問題 89

演習問題

1. 導体内でオームの法則が成り立つ場合, 導体内の電磁波の満たす方程式はどうなるか.

2. 平面電磁波が誘電率 ε1, 透磁率 µ1の媒質から ε2, µ2の媒質に垂直に入射するとき反射率と透過率を求めよ.

3. Naランプからの平行光線を 0.45mmの開きを持つスリットに垂直にあて, その向こう側 1mの位置にスクリーンをおくと平均間隔 1.3mmの回折縞が現れた. この光の波長を求めよ.

4. 太陽光のエネルギーの流れの平均密度を 1.4× 103 W/m2 とするとき, 太陽光の平均エネルギー密度 u0,電場の振幅 E0, 磁束密度の振幅 B0を求めよ.

5. 出力 1Wのレーザー光から直径 0.01mmの円形ビームが出ているとき電場の振幅 E0と磁束密度B0を求めよ.

6. 光の直進, 反射, 屈折の法則をフェルマーの原理を用いて導け.

7. (5.58)を導け.

8. (5.82)から (5.83)を導け.

9. 表面が半径 Rの球面の一部からできている屈折率 nの厚いガラスがある. 物体をガラス表面に垂直な直線上で表面から aの距離に置く. このとき, a > R/(n − 1)ならば (n− 1)/R = 1/a+ n/b で決まる深さ bのガラス内の点に実像ができることを示せ.

10. 定常電流の保存則を用いて (3.8)がローレンツの条件 (5.83)を満たすことを示せ．

11. (5.90)及び (5.92)を導け.

91

第6章特殊相対論入門

物理法則が座標系のとり方によらず，同じ形で表されるという相対性の基本概念はアインシュタイン以前にも，古典力学において存在していた．アインシュタインは相対性の概念を力学に限らず，光学や電磁気学を含む物理法則に適用することによって，新しい理論を作り上げた．それは慣性系に限られているけれど，得られたことは時間・空間に関する日常の概念を根底から変革するものとなった．特殊相対論はもちろんアインシュタインの考えに基づくものであるけれど，マッハの思想，ローレンツの業績やミンコフスキーの影響も大切である．

6.1 ガリレイ変換まず，ニュートン力学を考えてみよう．慣性系 Kにおいて位置ベクトル r にある質量 mの質点に力 F が

作用しているとき，運動方程式は

md2r

dt2= F (A.1)

である．図 1.1に示すように，K系に対して一定の速度 v で並進運動をしている別の慣性系 K′ における質点の位置ベクトルは

r′ = r − vt (A.2)

で与えられる．これをガリレイ変換という．古典物理学では全ての座標系で時間は等しいと暗黙にみなされており

t′ = t

である．(A.2)を t で微分すると，速度の変換則

dr′

dt′=dr

dt− v (A.3)

となり，さらに微分すると

d2r′

dt′2=d2r

dt2

となる．質量は質点に固有の量であるから m = m′ であり，K′ 系でみた力を F ′ とすると，K′ 系での運動方程式

m′d2r′

dt′2= F ′ (A.4)

が得られる．K′ 系に変換された運動方程式は，全ての量にプライム記号をつけるだけで，K系と全く同じ形で表される．つまり，“Newton の運動方程式はガリレイ変換に対して不変に保たれている” のである．いいかえると，“全ての慣性系は力学的に同等である”．これをガリレイの相対性原理という．次に，真空中での電磁気学を考えてみよう．電場 E に対する波動方程式は(

− 1c2

∂2

∂t2+

∂2

∂x2+

∂2

∂y2+

∂2

∂z2

)E = 0 (A.5)

92 第 6章特殊相対論入門

である．同様に磁場に対しては(− 1c2

∂2

∂t2+

∂2

∂x2+

∂2

∂y2+

∂2

∂z2

)H = 0 (A.6)

である．これは電磁場が光速 c で伝わることを示している．さて，(A.5), (A.6)がガリレイ変換に対して不変に保たれるかどうかを調べよう．簡単のため，K′ 系が x

方向に運動している場合を考える．(A.2)は

x′ = x− vt, y′ = y, z′ = z (A.7)

と書ける．これを微分すると

∂

∂x=∂t′

∂x

∂

∂t′+∂x′

∂x

∂

∂x′=

∂

∂x′

∂

∂y=

∂

∂y′,

∂

∂z=

∂

∂z′

∂

∂t=∂t′

∂t

∂

∂t′+∂x′

∂t

∂

∂x′=

∂

∂t′− v

∂

∂x′

従って

− 1c2∂2

∂t2+

∂2

∂x2= − 1

c2

(∂

∂t′− v

∂

∂x′

)2

+∂2

∂x′2

となるから (A.5)の形を不変に保つことはできない．すなわち，“マクスウェル方程式はガリレイ変換に対して不変でない” といえる．そこでマクスウェル方程式が成り立つのは，たくさんある座標系のうち v = 0という特別な座標系，つま

り絶対静止系だけなのであろうかという疑問が生じる．19世紀後半まで，時間・空間の概念はすべての系で同等なものとみなされてきたので，絶対静止系そのものの存在が問われてくるのである．

6.2 マイケルソン・モーレイの実験マクスウェル方程式が成り立つ座標系で光は速さ cで進む．光の進む向きに速さ v で運動している座標系

でみれば，(A.3)より，光速は c− v となるであろうから，もし絶対静止系というものが存在するならば，その系に対する地球の運動が測定できるはずである．このことを意図した実験の１つとして，マイケルソン・モーレイの干渉

計を用いた実験がある．図はその実験装置を簡略化したものである．光源 L から出た光は銀を薄くメッキした半透明の鏡 P で 2方向に分けられる．一方は Pを通過し，鏡 M1 で反射され，Pにもどり，一部はそこで反射されて干渉計 Tに入る．他方，Pで反射された光は鏡 M2 で反射され，P を通過して T に至り，干渉縞を生じる．この装置が PM1 の方向に速さ v で運動しているとして，所要時間の差を計算してみよう．光が PM1 を往復する時間は

t1 =l

c− v+

l

c+ v=

2lc

11 − v2/c2

である．一方，光が PM2 を往復する時間は図の径路 PM2P′ を進むのに要した時間となるから

t2 =2l

(c2 − v2)1/2=

2lc

1(1 − v2/c2)1/2

が得られる．そこで，t1 と t2 の差をとると

∆t = t1 − t2 =2lc

[1

1 − v2/c2− 1

(1 − v2/c2)1/2

]

6.3. ローレンツ変換 93

であり，v c として展開すると

∆t 2lc

[1 +

v2

c2+ ...−

(1 +

v2

2c2+ ...

)]

=lv2

c3

となる．この時間差は波長 λ の光に対して位相差

∆ψ = 2πc

λ∆t = 2π

l

λ

v2

c2

を生じる．したがって，この装置を運動方向 PM1 に対して 90 回転すると，干渉縞のずれは

δ =2lλ

v2

c2

となる．マイケルソン・モーレイ (1887)の実験ではナトリウムの単色光 λ = 5.89 × 10−7 m と l = 11 m の装置

が使われた．地球の公転速度は約 30 km/s であるから，予想される干渉縞のずれは縞の間隔の 0.37倍である．しかしながら，測定されたずれはわずか 0.01にすぎず，地球の公転速度の向きが変化するにもかかわらず，年間を通してその大きさは変わらなかった．つまり絶対静止系に対する地球の運動は測定できなかったのである．地球は公転運動をしているので，その運動を検出できないということは，絶対静止系の存在が否定されたことを意味する．この否定的な結果に対して，ローレンツは次のような大胆な仮説を提唱した．“速度 v で運動する物体は，

その運動方向の長さが (1 − v2/c2)1/2 の割合で短縮する”．この仮説を認めるなら，光が PM1 を往復する時間は

t1 =l(1 − v2/c2)1/2

c− v+l(1 − v2/c2)1/2

c+ v

=2lc

1(1 − v2/c2)1/2

であるから，時間差は ∆t = 0 となる．このようにして干渉縞にずれが生じないことをうまく説明できたけれど，物体が運動方向にのみ短縮する理由は不明確であった．

6.3 ローレンツ変換アインシュタインは 1905年にきわめて簡明な原理にもとづいて，新しい理論体系を作り上げ，それまでの

深刻な矛盾をいっきに解決した．それが特殊相対論であり，その原理とは次の 2つである．

• 相対性原理物理法則はすべての慣性系において同じ形式で表現される．すなわち，すべての慣性系は物理的に同等である．

• 光速度一定の原理真空中の光の速さは光源の運動に関係なく一定である．

この 2つの原理をもとにして，ガリレイ変換に代わる新しい変換式を求めよう．K′ 系は K系の x 軸方向に一定の速さ v で運動しているとする．K系の原点 Oと K′ 系の原点 O′が一致した時刻を t = t′ = 0とし，その時に Oから発せられた光の波面を考える．光が点 P(x, y, z) に達する時刻を t とすると，光は速さ c で Oを中心として球面状にひろがるので

s2 = −c2t2 + x2 + y2 + z2 = 0 (A.8)

が成り立つ．これを K′ 系からみると，光速度一定の原理によって，光は O′を中心として球面状に速さ c でひろがる．K′ 系でみた点 Pの座標を (x′, y′, z′)，そこに光が到達した時刻を t′ とすると

s′2 = −c2t′2 + x′2 + y′2 + z′2 = 0 (A.9)

である．


相対性原理によれば，K系での等速直線運動をK′系でみれば，やはり等速直線運動となる．このことから (t′, x′, y′, z′)は (t, x, y, z) の 1次関数となる．さらに，x 軸方向の運動に対して yと z は変化しないから

y′ = y, z′ = z (A.10)

である．(A.8)と (A.9)より

s′2 = s2

であり，この式に (A.10)を代入すると

−c2t′2 + x′2 = −c2t2 + x2 (A.11)

となる．ここで求める 1次変換を

x′ = a11x+ a12t

t′ = a21x+ a22t (A.12)

とおく．K′系の原点 O′は

x′ = 0 = a11x+ a12t

で与えられ，その点は K系において速さ v で運動しているから

v =x

t= −a12

a11

である．逆に K系の原点 Oは K′ 系において速さ −v で運動しているから，(A.12) で x = 0 とおくと

−v =x′

t′=a12

a22

となる．これをまとめると

x′ = a11(x− vt)t′ = a21x+ a11t

と書ける．これを (A.11)に代入し，x2, xt, t2 の項の係数を比較すると

a211 − c2a2

21 = 1

a11(a11v + a21c2) = 0

a211(c

2 − v2) = c2

を得る．これを満足する解は

a11 =(

1 − v2

c2

)−1/2

, a21 = − v

c2

(1 − v2

c2

)−1/2

である．ただし，v → 0 で x → x′ となるように a11 > 0 をとった．従って，変換式は

x′ =x− vt√1 − v2/c2

, y′ = y, z′ = z

t′ =t− vx/c2√1 − v2/c2

(A.13)

6.4. ローレンツ変換からの結果 95

と表される．あるいは

β = v/c, γ = (1 − β2)−1/2 (A.14)

を用いると

x′ = γ(x− βct), y′ = y, z′ = z

ct′ = γ(ct− βx) (A.15)

と書ける．(A.13)または (A.15)をローレンツ変換という．時間はもはや全ての座標系で等しくはならず，座標変換によって変化することに注意しよう．v c のとき，γ 1となるから，(A.13)はガリレイ変換 (A.7)に帰着する．さらに，ローレンツ変換が物理的に意味をもつためには v < c でなければならない．

例 A. 1 v c つまり β = 1− ε 　　(0 < ε 1) のとき

γ = (2ε− ε2)−1/2 1√2ε

と近似できる．例えば, v = 0.9999cのとき γ = 70.7となる.K系と K′ 系が対等であることを思い出すと，(A.15)の逆変換は単に v を −v で置き換えればよいことが

わかる．すなわち

x = γ(x′ + βct′), y = y′, z = z′

ct = γ(ct′ + βx′) (A.16)

である．これはローレンツ変換 (A.15)を x, y, z, ct について直接解くことによって確かめられる．

6.4 ローレンツ変換からの結果(1) 速度の変換則

K系において速度 uで運動している質点を考えよう．速度の成分は

ux =dx

dt, uy =

dy

dt, uz =

dz

dt

であり，K′系からみた質点の速度を u′ とすると，その成分は

u′x =dx′

dt′, u′y =

dy′

dt′, u′z =

dz′

dt′

である．(A.15)を微分すると

dx′ = γ(dx− βcdt), dy′ = dy, dz′ = dz

dt′ = γ(dt− βdx/c)

となるから

u′x =ux − v

1 − vux/c2

u′y =uy

γ(1 − vux/c2)(A.17)

u′z =uz

γ(1 − vux/c2)

を得る．これが速度の変換則である．v c のとき，(A.17)はガリレイ変換に対する (A.3)に帰着する．(A.17の)逆変換は v を −v で置き換えれば得られる．特に，質点が K系において x 方向に速さ u で運動している場合，(A.17)は ux = u, uy = uz = 0 である

から

u′ =u− v

1 − uv/c2(A.18)


と書ける．u = c であるならば u′ = c となる．これは光速度一定の原理を確かめたことになる．さらに

c− u′ =c

1 − uv/c2(1 − u

c)(1 +

v

c)

と書けるので，u < c であるかぎり，つねに u′ < c となることを強調しておこう．

(2) ローレンツ短縮図 1.5に示すように，K′ 系の x′ 軸に固定された定規を考えよう．K′系からみた長さ

　l0 = x′2 − x′1 (A.19)

を固有の長さという．今後，物体に対して静止している座標系における物理量に “固有”という語をつけることにする．

K系から見ると，定規は運動しているので，長さを測るためには時刻 t1 で定規の両端の位置を決める必要がある．(A.15)より x′ = γ(x− βct) であるから

x1 =√

1 − β2x′1 + βct1

x2 =√

1 − β2x′2 + βct1

と書ける．従って，K系から見た定規の長さは

l = x2 − x1 =√

1 − β2(x′2 − x′1)

つまり

l = l0√

1 − β2 (A.20)

である．速さ v で運動する物体を静止系からみると，長さが√

1 − v2/c2 だけ短くなる．これは A.2 節で述べたように，ローレンツが提唱したことに相当するので，ローレンツ短縮といわれる．K系の x 軸に固定された定規を K′ 系から見ると，やはり同じ割合だけ短縮することも容易に確かめることができる．物体は運動方向の長さのみがローレンツ短縮を受け，運動に垂直な方向の長さは変化しないことに注意し

よう．従って，K′ 系での固有の体積を V0 とすると，K系から見た体積は

V = V0

√1 − β2 (A.21)

と表される．

(3) 時計の遅れ図 1.6のように，K′ 系の点 x′1に固定された時計を考えよう．K′系で測定した時間を

　∆τ = t′2 − t′1 (A.22)

とする．これを固有時間という．K系から見ると，(A.16)より

ct1 = γ(ct′1 + βx′1)ct2 = γ(ct′2 + βx′2)

と書ける．K′ 系で時計の位置は変わらないから，x′1 = x′2 である．従って，K系から見た時間は

∆t = t2 − t1 = γ(t′2 − t′1)

つまり

∆t = γ∆τ (A.23)

となる．あるいは

∆τ = ∆t√

1 − β2 (A.24)

と書ける．静止系の時計が ∆t 進むあいだに，運動している時計は ∆t より短い ∆τ しか進まない．すなわち，静止系の時計と比べると，運動している時計は遅れることになる．K系に固定された時計を K′系から見ると，やはり同じ割合だけ遅れることに注意しよう．

演習問題解答 97

演習問題解答

第 1章

1. 8.4× 10−37

2. φ =σ

2ε0(√a2 + h2 − h)

3. −x方向に σ/3ε0の電場

4. 4πε0c/ logb(c+ a)a(c+ b)

5.Q2

8πε01

a + t(1 +

ε0t

εa)

6. 2πε0/ log2ha

7. 板A, B上のポテンシャルを 0とする. A側の電荷による力F1は qからAに向かってF1 =q2

4πε0[

1(2a)2

−1

(2a+ 2b)2+

1(4a+ 2b)2

−・・・]. B側の電荷による力 F2は qから Bに向かって F2 =q2

4πε0[

1(2b)2

−1

(2a+ 2b)2+

1(2a+ 4b)2

−・・・]. A側への力は F1 − F2.

8. 2π(ε1 + ε2)a

10.∫

DndS = e (r = r′),∫

DndS = 0 (r = r′)

第 2章

1. (1) ∇・A = 2, ∇× A = 0

(2) ∇・A = 0, ∇× A = −2k

(3) ∇・A = 2, ∇× A = 2k

7. ψ =∫ (x,0,0)

(0,0,0)

(3x2y − y2 + yz)dx +∫ (x,y,0)

(x,0,0)

(x3 − 2xy + xz)dy +∫ (x,y,z)

(x,y,0)

(xy − 1)dz = x3y − xy2 + xyz − z

8. 法線ベクトルは n = xi + yj + zk，面積要素 dS の xy 面への射影は dxdy = n・kdS = zdS, A・n = ax2 + by2 + cz2 より面積分は 4π(a+ b+ c)/3一方，∇・A = a + b+ c であるから，体積積分も同じ値をとる．

9. z = 0 面での線積分は[∫ (2,0)

(0,0)

−∫ (0,2)

(2,2)

](yz2 + x2)dx+

[∫ (2,2)

(2,0)

−∫ (0,0)

(0,2)

](xyz + x2y)dy = 8

一方，∇× A = (2yz − xy)i + (2yz + z2)j + (yz + 2xy − z2)kであるから面積分は∣∣∣∣∫

(2yz − xy)dydz∣∣∣∣x=2

−∣∣∣∣∫

(2yz − xy)dydz∣∣∣∣x=0

+∣∣∣∣∫

(2yz + z2)dzdx∣∣∣∣y=2

−∣∣∣∣∫

(2yz + z2)dzdx∣∣∣∣y=0

+∣∣∣∣∫

(yz + 2xy − z2)dxdy∣∣∣∣z=2

= 8

第 3章

1.ε

σC

2. R =b− a

4πσab, I =

4πσV abb − a

.

98 演習問題解答

3. 2πσV 2/ log(b/a)

4. µ0I1I2(d/

√d2 − a2 − 1

)6.

µ0I2

πa2

[d log(

√a2 + d2/d) − a tan−1(a/d)

]7. I/(4a)

8. I/(4a)

9. 23σωa

10. 39 T

11. 4.4× 108 Hz

12. ωCV0 cosωt

第 4章

1. −Naω(1 − cosπl)2 cosωt/π2

2.µ1N1N2I√

4a2 + l2πb2ω sinωt

3.N

R(φ2 − φ1)

4. 2π(ε− ε0)ωa2B

5.V − V0

Rexp(− t

RC), V0 =

Q0

C

7. 電流はV1 − V2

Rexp[− t

RC], 抵抗で消費されるエネルギーは

C1C2(V1 − V2)2

2(C1 + C2)

8. µ0(d−√d2 − a2)

9. n2µ0S

10. 12INφ

第 5章

1. E = µε∂2E

∂t2+ µσ

∂E

∂t, B = µε

∂2B

∂t2+ µσ

∂B

∂t

2. 反射率 =

(√ε1/µ1 −

√ε2/µ2√

ε1/µ1 +√ε2/µ2

)2

, 透過率 =4√ε1ε2/µ1µ2

(√ε1/µ1 +

√ε2/µ2)2

3. 5.9× 10−7 m

4. u0 = 4.7 × 10−6 J/m2, E0 = 103 V/m, B0 = 3.3 × 10−6 T

5. E0 = 3.2 × 106 V/m, B0 = 10−2 T

参考文献 99

参考文献

電磁学のテキストは非常に多く出版されている．そのなかで本書の内容をよりよく理解するために役立つと思われるものをあげておこう．

(1) 砂川重信「電磁気力学」　培風店初心者向けに書かれた教科書で複雑な表現を避けるようにしてある．

(2) サーウェイ (村松裕之訳)「電磁気学」　学術図書“科学者と技術者のための物理学 III”という副題のついた入門書. 豊富なカラーの図が特徴.

(3) スレイター・フランク (柿内賢信訳)「電磁気学」　丸善スマートに書かれた入門書. 図が少ないぶん想像力を働かせる必要もあるだろう.

(4) ファインマンほか (宮島龍興訳)「ファインマン物理学　III 電磁気学」　岩波書店カリフォルニア工科大学での講義をまとめたもの．自然界の様々な現象や実験を織り込みながら電磁気学を丁寧に構築している.

演習書(5) 砂川重信「電磁気学演習」岩波書店

コンパクトにまとめられた演習書. 骨の折れる問題もある.(6) 霜田光一ほか「大学演習　電磁気学」　裳華房

例題も含め問題が難易度に応じて段階的に集められている．問題 [C]は難易度が非常に高い．(7) 後藤憲一ほか「電磁気学演習」　共立出版

基礎的なものから高度なものまで網羅的に問題が詳しく解説されている．

本書を学習するうえで必要な基礎知識を備えた力学のテキスト(8) 橋本正章・荒井賢三「力学の基礎」　裳華房

大学 1年の理工系の学生を対象とした力学の標準的教科書．記述はていねいであり, 高校から大学で習う力学への橋渡しを意識して内容を編成している.

数学の参考書(9) 寺澤寛一「自然科学者のための数学概論」　岩波書店

物理数学の古典的書物．改訂版まで出現している名著である.(10) 高木貞治「解析概論」　岩波書店

初等関数，微分積分学の基礎を数学的厳密性にも配慮しつつ丁寧に解説してあり，応用問題もある．軽装版も出ている.

(11) 矢野健太郎「微分方程式」　裳華房数ある微分方程式のテキストの中で標準的なものとしてこれをあげておこう．

100 参考文献

電磁気学研究の歴史と人物

年テーマ人物名　B.C.∼600 琥珀の摩擦電気ターレス (ギリシャ) (Thales)∼ 300 光の直進, 反射ユークリッド (ギリシャ) (Eukleidios)∼ 150 光の屈折プトレマイオス (ギリシャ) (K. Ptolemaios)

A.D. 1615 光の屈折スネル (オランダ) (W. Snell, 1591–1625)1661 フェルマーの原理フェルマー (フランス) (P. Fermat, 1601–65)1666 光の分散ニュートン (イギリス) (I. Newton, 1643–1727)1675 ニュートンリングニュートン (イギリス)1676 光の速度の測定 (木星) レーマー (デンマーク) (O. Romer, 1644–1710)

1678–90 光の波動説・ホイヘンスの原理ホイヘンス (オランダ) (C. Huygens, 1692–95)1753 静電誘導カントン (イギリス) (J. Canton, 1718–72)

1785–9 クーロンの法則クーロン (フランス) (C.A. Coulomb, 1736–1806)1799 ボルタの電池ボルタ (イタリア) (A. Volta, 1745–1827)1801 光の干渉ヤング (イギリス) (T. Young, 1773–1829)1811 ポアソンの方程式ポアソン (フランス) (S.D. Poisson, 1781–1868)1814 スペクトル線の発見フラウンホーヘル (ドイツ) (J. Fraunhofer, 1787–1826)1820 電流による磁場エルステッド (デンマーク) (H.C. Oersted, 1777–1851)1820 アンペールの法則アンペール (フランス) (A.M. Ampere, 1775–1836)1820 ビオ・サバールの法則ビオ (フランス) (J.B. Biot, 1774–1862)

サバール (フランス) (F. Savart, 1791–1841)1821 光の波長測定フラウンホーファー (ドイツ)1826 オームの法則オーム (ドイツ) (G.S. Ohm, 1789–1854)1831 電磁誘導ファラデー (イギリス) (M. Faraday, 1791–1867)1832 インダクタンスヘンリー (アメリカ) (J. Henry, 1797–1878)1833 電気分解　ファラデー (イギリス)1834 レンツの法則レンツ (ドイツ) (H.F.E. Lenz, 1804–65)1836 誘電率の測定ファラデー (イギリス)1845 反磁性, 常磁性の区別ファラデー (イギリス)

1845–8 キルヒホッフの法則キルヒホッフ (ドイツ) (G.R. Kirchhoff, 1824–87)1845 ファラデー効果ファラデー (イギリス)

1849–50 光速度の測定 (地上)とフィゾー (フランス) (A.H. Fizeau, 1819–96)光の波動説フーコー (フランス) (J.B. Foucault, 1819–68)

1850 水中での光速度の測定フーコー (フランス)1855 うず電流フーコー (フランス)1861 マクスウェルの方程式, マクスウェル (イギリス) (J.C. Maxwell, 1831–79)

光の電磁波説1871 空の色理論レイリー (イギリス)

(Lord Rayleigh：J.W. Strutt, 1842–1919)1879 ホール効果ホール (アメリカ) (C.M. Hall, 1863–1914)1881 磁気ヒステリシスバールブルグ (ドイツ) (E.G. Warburg, 1846–1931)1884 ポインティング・ベクトルポインティング (イギリス) (J.H. Poynting, 1852–1914)1887 マイケルソン・モーレイの実験マイケルソン (アメリカ) (A.A. Michelson, 1852–1931)

モーリー (アメリカ) (E.W. Morley, 1838–1923)1888 電磁波の実験ヘルツ (ドイツ) (H.R. Hertz, 1857–94)1892 ローレンツ変換ローレンツ (オランダ) (H.A. Lorenz, 1853–1928)

1895–7 電子ペラン (フランス) (J. Perrin, 1870–1942)トムソン　(イギリス) (J.J. Thomson, 1856–1940)

1904 原子模型トムソン (イギリス)長岡半太郎 (日本) (H. Nagaoka, 1885–1950)

1905 特殊相対性理論アインシュタイン（ドイツ）(A. Einstein, 1879–1955)1909 電子の電荷ミリカン (アメリカ) (R.A. Millikan, 1868–1953)1911 超伝導カメルリング・オンネス (オランダ)

(H. Kamerlingh–Onnes, 1853–1926)

参考文献 101

物理定数表

万有引力定数 G 6.67259 ×10−11 N・m2・kg−2

真空中の光速度 c 2.9979246 ×108 m・s−1

素電荷 e 1.6021773 ×10−19 Cプランク定数 h 6.6260755 ×10−34 J・s電子の質量 me 9.1093897 ×10−31 kg陽子の質量 Mp 1.6726231 ×10−27 kg真空の誘電率 ε0 8.8541878 ×10−12 F/m真空の透磁率 µ0 1.2566371 ×10−6 N/A2

SI組立単位

　量　　　　　単位名記号 SI単位 SI 基本単位周波数　　　ヘルツ Hz s−1

力　　　　　ニュートン N N m・kg・s−2

エネルギー　ジュール J N・m m2・kg・s−2

仕事率, 電力ワット W J/s m2・kg・s−3

電気量, 電荷クーロン C s・A電圧, 電位　ボルト V W/A m2・kg・s−3・A−1

静電容量　　ファラド F C/V m−2・kg−1・s4・A2

電気抵抗　　オーム Ω V/A m2・kg・s−3・A−2

コンダクタンスジーメンス S A/V 　 m−2・kg−1・s3・A2

磁束　　ウェーバー Wb V・s m2・kg・s−2・A−1

磁束密度　　テスラ T Wb/m2 kg・s−2・A−1

インダクタンスヘンリー H Wb/A 　 m2・kg・s−2・A−2

102 参考文献

ギリシャ文字

大文字小文字読み方A α アルファB β ベータΓ γ ガンマ∆ δ デルタE ε, ε イプシロンZ ζ ツェータH η イータΘ θ, ϑ シータI ι イオタK κ カッパΛ λ ラムダM µ ミューN ν ニューΞ ξ グザイO o オミクロンΠ π パイP ρ ローΣ σ シグマT τ タウΥ υ ウプシロンΦ φ, ϕ ファイX χ カイΨ ψ プサイΩ ω オメガ

単位の接頭記号

記号大きさ読み方E 1018 エクサP 1015 ペタT 1012 テラG 109 ギガM 106 メガk 103 キロh 102 ヘクトda 10 デカd 10−1 デシc 10−2 センチm 10−3 ミリµ 10−6 マイクロn 10−9 ナノp 10−12 ピコf 10−15 フェムトa 10−18 アト

索引

RC 回路 RC circuit, 43アンペールの等価磁石の法則Ampere’s law of equiv-

alent magnet, 52アンペールの法則 Ampere’s law, 50アンペール・マクスウェルの法則 Ampere-Maxwell

law, 61, 75

位置エネルギー potential energy, 45インピーダンス impedance, 72

渦 vortex, 32

LCR 回路 LCR circuit, 69, 70遠心力 centrifugal force, 49円柱座標系 cylindrical coordinate system, 33

オイラーの公式 Euler’s formula, 9オームの法則 Ohm’s law, 38

外積 outer product, 2回転 rotation (curl), 32回転座標系 rotating coordinate system, 48ガウスの定理 Gauss’s theorem, 29ガウスの法則 Gauss’s law, 11, 19角加速度 angular acceleration, 49角速度 angular velocity, 48重ね合わせの原理 principle of superposition, 3過渡現象 transient phenomenon, 69ガリレイの相対性原理 Galilei’s principle of rela-

tivity, 91ガリレイ変換 Galilean transformation, 86, 91慣性系 inertial system, 91緩和時間 relaxation time, 39

幾何光学 geometrical optics, 82幾何光学の方程式 equation of geometrical optics,

83キャパシタンス capacitance, 16球座標系 spherical coordinate system, 34強磁性体 ferromagnet, 58キルヒホッフの法則 Kirchhoff’s law, 41

クーロンの法則 Coulomb’s law, 1クーロン力 Coulomb force, 1屈折の法則 law of refrection, 21, 82屈折率 refrective index, 82

ゲージ変換 gauge transformation, 85減衰振動 damped oscillation, 70

光学 optics, 82光速度一定の原理 principle of the invariance of

velocity of light, 93勾配 grade, 8, 28交流回路 AC (alternating current) circuit, 71固有時間 proper time, 96固有の長さ proper length, 96コリオリ力 Coriolis force, 49コンダクタンス conductance, 38コンデンサー capacitor, 15

最小作用の原理 principle of least action, 82

磁位 magnetic potentail, 44磁荷 magnetic charge, 44磁化ベクトル magnetization vector, 58磁化率 magnetic susceptibility, 58磁気単極子 magnetic monopole, 56磁気ヒステリシス magnetic hysteresis, 59磁気モーメント magnetic moment, 45, 47, 51, 57磁気力 magnetic force, 44試験電荷 test charge, 4自己インダクタンス self-inductance, 66自己誘導 self-induction, 66磁性体 magnetic material, 57実効値 effective value, 72時定数 time constant, 43, 70重積分 multi integral, 3自由電子 free electron, 15ジュール熱 Joule heat, 42準定常電流 quasi-stationary electric current, 62,

69真空中の透磁率 permeability in vacuum, 44真空中の誘電率 dielectric constant in vacuum, 1真電荷 dielectric constant in vacuum, 18

吸い込み口 sink, 38, 56水素原子 hydrogen atom, 10スカラー積 scalar product, 1スカラーポテンシャル scalar potential, 55, 84ストークスの定理 Stokes’s theorem, 31, 40, 47

静磁場 static magnetic field, 44静磁場におけるガウスの法則 Gauss’s law in static

magnetic field, 56静磁場におけるクーロンの法則 Coulomb’s law in

static magnetic field, 44静磁ポテンシャル magnetostatic potential, 44, 57静電位 electrostatic potential, 7

103

104 参考文献

静電エネルギー electrostatic energy, 21静電気学 electrostatics, 1静電場 electrostatic field, 3静電ポテンシャル electrostatic potential, 7静電誘導 electrostatic induction, 15静電容量 electrostatic capacity, 16絶縁体 insulator, 18接線ベクトル tangent vector, 21線積分 line integral, 6全微分 total pressure, 8

双極子ポテンシャル dipole potential, 57双極子モーメント dipole moment, 10相互インダクタンス mutual inductance, 66相対性原理 principle of relativity, 93速度の変換則 transformation rule of velocity, 95

ダランベール演算子 d’Alembertian, 79

超伝導体 superconductor, 40

定常電流 stationary current, 37テイラー展開 Taylor expansion, 9デカルト座標系 Cartesian coordinate, 32δ関数 delta function, 25電圧降下 voltage drop, 39電位差 potential difference, 7電荷保存の式 equation of conservation of charge,

76電気感受率 electric susceptibility, 19電気振動 electric oscillation, 70電気双極子 electric dipole, 10, 18電気抵抗 electric resistance, 38電気伝導度 electric conductivity, 38電気変位 electric displacement, 18電気力線 electric line of force, 11電束 electric flux, 11電束電流 displacement current, 61伝導電子 conduction electron, 15伝導電流 conduction current, 61電場 electric field, 3電流密度 electric current density, 37電力 electric power, 42, 43

導体 conductor, 15等ポテンシャル面 equipotential surface, 8, 9特殊相対論 special theory of relativity, 80, 91時計の遅れ dilation of clocks, 96

内積 inner product, 1

ニュートンの運動方程式 Newton’s equation of mo-tion, 4

ニュートン力学 Newtonian mechanics, 86

発散 divergence, 30波動方程式 wave equation, 79, 91反射の法則 law of reflection, 81

ヴァン・デ・グラフ Van de Graaff, 17半導体 semiconductor, 40万有引力 universal gravitation, 1

ビオ・サバールの法則 Biot-Savart law, 54, 86微細構造定数 fine structure constant, 11微分演算子 differential operator, 8, 27比誘電率 dielectric constant, 19

フェルマーの原理 Fermat’s principle, 82負荷抵抗 load resistance, 42物質中の透磁率 permeability in material, 58物質中の誘電率 dielectric constant in material, 19プランク定数 Planck constant, 11分極 polarization, 18分極電荷 polarized charge, 18分極電流 polarized current, 61分極ベクトル polarized vector, 18

ベクトル積 vector product, 2ベクトルポテンシャル vector potential, 84変位電流 displacement current, 60偏微分 partial differentiation, 8

ポアソンの方程式 Poisson equation, 3, 23, 86ポインティングベクトル Poynting vector, 77, 79法線ベクトル normal vector, 11, 28, 29, 31ボーア磁子 Bohr magneton, 51ボーア半径 Bohr radius, 11ボーアモデル Bohr model, 10ポテンシャルエネルギー potential energy, 45

マイケルソン・モーレイの実験 Michelson-Morleyexperiment, 92

マクスウェルの方程式Maxwell’s equations, 75, 77

モノポール monopole, 56

誘電体 dielectric capacitive reactance, 18誘導電荷 induced charge, 15誘導リアクタンス inductive reactance, 72

容量リアクタンス capacitive reactance, 724元力 four-force, 88

ラーモア振動数 Larmor frequency, 48らせん運動 screw motion, 48ラプラス演算子 Laplacian, 33, 80

連続の式 equation of continuity, 38, 76レンツの法則 Lenz’s law, 66

ローレンツ短縮 Lorentz contraction, 96ローレンツの条件 Lorentz criterion, 85ローレンツ変換 Lorentz transformation, 83, 86,

95ローレンツ力 Lorentz force, 47, 86

湧き出し口 source, 38, 56

Documents

電磁気学の基礎 - 九州大学（KYUSHU UNIVERSITY）astrog.phys.kyushu-u.ac.jp/jp/class/electromagnetism/...電磁気学の基礎 橋本正章，九州大学理学研究院

電磁気学の基礎 - 九州大学（KYUSHU UNIVERSITY）astrog.phys.kyushu-u.ac.jp/jp/class/electromagnetism/...電磁気学の基礎橋本正章，九州大学理学研究院