QPE-1

量子物理工学 I

神戸大学工学部 電気電子工学科

小川 真人1

先週の復習

QPE-12

小さな領域を扱う学問

量子力学（波と粒子の両方の性質）

QPE-13

水素原子輝線スペクトル

リュードベリーの公式QPE-14

原子のボ－アモデル

H (水素) Be (ベリリウム）

1) 原子中の電子はとびとびのエネルギ－準位しか持てない2) 光子の吸収/放出で電子は異なるエネルギ－状態

の間を遷移（行き来）する3) 陽子 (中性子) の質量 M は電子の質量 m0よりずっと大きい：

m : M = 1 : 1840.05 QPE-1

結晶格子1 cm3 の結晶にはおよそ1023 個の原子がある

アボガドロ数= 6.02214179 × 1023

6 QPE-1

GaAs結晶構造 GaAs

結晶中の電子の動き

7

格子振動（第6章：フォノン）k’k

k’=k+q

連続量（古典）⇒離散的な量（量子力学）

ωh⋅= nEn

=（一定）かつ（連続量）( ) EVm =+ rr221

&（エネルギー）

（エネルギー） （n:整数＝飛び飛びの量）（粒々＝「量子」）

「微視的」に見た場合に

古典論では説明できない実験事実を説明できる！

QPE-19

（古典力学）

（量子力学）

10

• 波の性質 （電磁波）• 粒の性質 （フォトン）

• 眼を開けた瞬間に星がみえるのはなぜ?

• ストーブで日焼けしないのはなぜ？

光

エネルギー量子→量子論の芽生え光電効果→フォトン

電子は「粒子」？

• クルックスは、陰極線管（クルックス管：1875）を用いて、以下のような実験を提案した。

• 陰極線管に磁石を近づけてみると、– 負に荷電した粒子であれば磁界によって偏向するだろう– 波動であれば磁界によって偏向することはない– また、もし陰極線の正体が荷電した粒子であれば、電界によってより容易に偏向す

るだろうことが予測される。

• 1897年に、イギリスの物理学者ジョセフ・ジョン・トムソンは磁気と電気をもちいて陰極線の正体が負に荷電した粒子、すなわち電子であるということを示した。

クルックス管11

• 「ド・ブロイ波」– 光 ： 波動と考えられていた→粒子の性質– 電子 : 粒子と考えられていた→波動の性質

• 光の角振動数 ω や 波数k=2π/λ と，光子のエネルギー E や 運動量 p とを結びつける アインシュタインの関係

が，物質波に対しても 成り立つとのではないか（1924）

電子は「波」? 粒子は「波」?

ωh=E kp h=粒子は波だ！

Louis-Victor Pierre Raymond, 7. duc de Broglie QPE-112

じゃあ，一寸，計算してみましょうか？

QPE-113

Bragg反射、ラウエ像

Si結晶のラウエ像

QPE-114

「電子の波動性の実証」

•電子線を結晶に当てると，ラウエの斑点と同様な干渉縞が観測される

• ニッケルの単結晶による 電子線の回折・干渉現象… デビスン と ガーマー (USA) (1927)．

•金属多結晶による 電子線の回折・干渉現象…G.P. トムソン (UK) (1927)

•雲母の薄膜によって 同様な実験に 成功…菊池正士 (日本)（1928）

電子線の回折・干渉現象

QPE-115

PresenterPresentation Notes 　100 V の電圧で加加速した時の電子のド・ブロイ波の波長は，λ＝1.2Å (1Å = 0.1 nm) であり，XX線の波長と同程度です．このエネルギー の

黒体輻射と光量子仮説

黒体=外部から入射する熱放射など（光，電磁波）を、あらゆる波長に渡って完全に吸収し、また放

出できる物体

振動数 [Hz]

エネ

ルギ

ー密

度 Planck’s(1000K)

( ) 231exp

8, νννπν

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

Tkhh

cTI

B（振動数）

Planck’s law(1900)

光は粒子だ！

QPE-116

神戸大学電子物理工学系研究室

P1 : メゾスコピック材料学半導体超微粒子、アモルファスの物性

P2 :フォトニック材料学半導体材料科学、半導体表面物性

P3 : 量子機能工学半導体物性、半導体中のカオス・フラクタル

P4 : ナノ構造エレクトロニクス計算ナノエレクトロニクス、量子ナノ構造デバイス、光電子デバイス

P5 : 電磁エネルギー物理学半導体工学、光物性、固体表面物性

電気電子工学科のHP http://www.eedept.kobe-u.ac.jp

QPE-117

量子井戸中の粒子（P1）

Very strong size dependenceHigh energy shift of the band gap with decreasing the size

QPE-118

QPE-1

量子ドット（QD）からの発光（P2）

0

1

2

3

4 TE

800 1000 1200 1400

SLN=1

SLN=7

SLN=9

SLN=14

Wavelength (nm)

s-shellp-shell

d-shell

19

量子細線（QWR）トランジスタ（P4）

QPE-120シリコンの量子ワイヤーの断面

1nm = 10 原子

3nm

9 nmVD

VS

VG

VG

0.7 nm

Source

Drain

Cross section

4nm

SiO2

SiO2Si

まとめ

QPE-1

• 波の性質 （電磁波）• 粒の性質 （フォトン）

光

ωh=Eλhkp == h

• 波の性質 （物質波）• 粒の性質 （粒子）

物質

Schrödinger方程式へ

de Broglie

21

QPE-1

量子物理工学Ⅰ

QPE-123

本日の内容

• 平面波の表現(古典的な波)• 物質波の満たすべき式

→(時間に依存する) Schrödinger方程式の導出（教科書）

• Schrödinger方程式の作り方適用先 （教科書） 発展– 自由粒子 （3章） 固体中の電子の運動– 量子井戸 （3，4章） 量子井戸、量子細線 LD– トンネル効果 （5章） トンネルダイオード– 調和振動子 （6章） フォノン– 水素原子 （7章） 半導体結晶– etc.

古典的な波の式（波動関数）

( ) ( )tkxAtxy ω−= cos,

AC

B

Ｘ

ｙ（ｘ，ｔ）

ｙA（ｘ，ｔ０）

vxtt −=0A点とC点の時間差： ( ) ( )0, tytxy A=

C点の変位はｔ０でのA点の変位と同じ：

角周波数とは？ 波数とは？ 振幅とは？ 周期とは？

位相速度と群速度

kvp

ω=

dkdvgω

=

位相速度＝位相一定の点の移動速度：

一般の波…正弦波の重ね合わせ群速度＝包絡線の移動速度

なぜ下のような違いが出てくるかは教科書p.28 あるいは授業参照。

古典的な波動方程式

( ) 0,1 22

22

2

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

−∂∂ txu

tvx

( ) ( ) ( )vtxgvtxftxu −++=,

( ) ( )tkxAtxu ω−= cos,

（例） ( )( ) 0,, 2

2

002 =

∂∂

−∇t

tt rErE με

（一般解）

（正弦波の解（の１つ））

（phaser表示→物理量は「実数」）

（どこかで見た？）

（どこかで見た？）

( ) ( ) ( )tkxAtkxjtxu ωω −=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −= cosexpARe,

~

（２．１）

( )rF V−∇=

( ) Fr =22

dttdm

各自導け

Fr =&&m( ）

( ) rrF dVV PCPPP

⋅−=− ∫2

12 1

rrF d⋅)(

)(rF

rd

P1

P２

=（一定）かつ（連続量）( ) ExVxm =+221

&

（1次元の場合）dxdVF −=

保存力場

• ラグランジアン（Lagrangean）～作用

• ハミルトニアン（Hamiltonian）～全エネルギー

( ) ( )rr VtmL −= 221

& 0=∂∂

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

rrLL

dtd

&

( ) ( )rrpq VtmLH +=−⋅= 221

&&

（Lagrangean） （Lagrangeの運動方程式）

WilliamRowanHamilton

Joseph LouisLagrange

解析力学

ωh=E λhkp == h

• 波の性質 （物質波）• 粒の性質 （粒子）物質

Schrödinger方程式へ

de Broglie

波の性質をみたすような粒子の方程式

Schrödinger方程式

Schrödinger方程式

VTH +=

xipp

∂∂

=→hˆ xxx =→ ˆ HH ˆ→

( ) ( )txti

txH ,,ˆ Ψ∂∂

−=Ψh

古典的なハミルトニアン（全エネルギー）

■ 演算子への置き換え

→

（時間に依存する） Schrödinger方程式

( )tx,Ψ ：波動関数に作用させて

Schrödinger方程式の例（自由粒子→３章）

mpTH2

2

==ポテンシャルは働かない

（運動エネルギー）のみv

xipp xx ∂

∂=⎯⎯⎯ →⎯hˆ演算子化

2

22222

221

2ˆˆ

2 xmximmpH

mpH

∂∂

−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

==→=hh

tiEE∂∂

=⎯⎯⎯ →⎯ hˆ演算子化

( ) ( )txt

itxxm

,,2 2

22

Ψ∂∂

=Ψ∂∂

− hh

自由粒子の（時間に依存する） Schrödinger方程式

Schrödinger方程式の例（調和振動子→６章）

どこかでやったことがある 理解して下さいyes

no

やって下さい

QPE-1

２００８（入学!） ２００９ ２０１０（良い研究をして卒業）

２０１１ ＼(^O^)／

P系

S系

E系

情報通信系研究室

電力系研究室

卒研有資格者

35

結晶格子中の電子電子

ブロッホ電子、つまり原子の格子により“整列”させられた電子のこと

m m*(有効質量)0

電子

結晶格子

干渉による強め合い

36 QPE-1

Vertical-Cavity Surface-Emitting Laser(VCSEL)

ブラッグ反射面の積層

GaAs多重量子井戸

光

37 QPE-1

水素原子→固体物性，半導体電子工学→物性研究

http://www2.kobe-u.ac.jp/~ssouma/handoutai1.html

水素原子の角度部分→結晶の電子状態 QPE-1

固体中の電子

電子の一部は格子の中を殆んど自由に動き回る

“電子の海”

電子の海

金属中の原子核

普通の原子

39 QPE-1

光電効果(1) 電圧 V を十分高くして, 光電効果により 飛び出した

電子 (光電子) を 全て陽極に集めると， 流れる電流は陰極に照射した 光の強さに比例する．

(2) どのような金属面に対しても， 光電効果の 起こり得る最小の振動数があり，それ以下の振動数の光ではどんなに強い光でも光電効果は 起こらない．

(3) 光電子のもつ最大の運動エネルギーは光の強さに無関係である．

(4) 光電子のもつ最大の運動エネルギーは光の振動数によって直線的に変化し， アインシュタインの 仮説

E = hν - Wに完全に一致している．

QPE-140

量子井戸（QW）

InGaAs/GaAs 中の複数の量子井戸

電子のドブロイ波長 λ は量子井戸の幅ほど２次元の電子の運動

接点

基盤

41 QPE-1

自己集合したゲルマニウムのピラミッド大きさ：１０ｎｍ

ニッケル合金蒸着のピラミッド大きさ：３０ｎｍ

量子ドット（QD）

42 QPE-1

バンド構造 → 固体物性（３年）→ P系研究室

Bandstructure at High SymmetricPoints Iso-Surface of the Conduction Band

バンド構造 = 材料の中で電子の動きを表現する図

QPE-143

量子閉じ込め→量子物理I→P系研究室（QD LD）

QPE-1

電子の波長 λ 程度で閉じ込め → 電子の波長って??

44

GaN（窒化ガリウム）青色レ－ザ－

GaNレ－ザ （中村修二）

45 QPE-1

物質の比熱，理想気体の比熱

RkNC23

23

BA ==

理想気体（単原子分子）の比熱

0.2533 BA === RkNC

結晶の比熱：Dulon-Petitの法則←古典論

低温では一致しない

格子振動の量子化⇒フォノン（調和振動子：第6章）

[J/mol・K]

Debyeモデル =

Al

QPE-146

コンプトン散乱

電磁波を物質に照射した時に、散乱してでてくる電磁波の波長が入射電磁波のそれより大きくなるという現象

Arthur Holly Compton (USA @1923)QPE-147

たくさんの波の重ね合わせ→「波束（はそく）」

（p.43参照）

波束

• 平面波の波動関数– 波数の値が一つ（コヒーレント波）– 存在確率密度 (一定値)

• 空間に局在した波動関数＝波の重ね合わせ

( ) ( )ikxAx exp=ψ

( ) 22 Ax =ψ

波の重ね合わせ(以前やった通り)( ) ( )( )[ ] ( ) ( )( )[ ]( )[ ] ( )[ ] ( )[ ]{ }( )[ ] ( )tkxtkxi

tkxitkxitkxitxkkitxkki

ωωωωωωωωω

Δ−Δ−=Δ−Δ+Δ−Δ−−=Δ+−Δ++Δ−−Δ−

cosexp2expexpexp

expexp

ピンクの包絡線の移動速度＝群速度

dkdvgω

=

波束

( ) ( ) ( ) L+−+= 00 kkdkdkk ωωω

( ) ( ) ( )( )[ ]tkkxixfdkx ωψ −= ∫ exp

( ) ( )( )[ ] ( ) ( ) ( )

( )( )[ ] ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−=

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −−−−= ∫

tdkdxFtkxki

tkkdkdixkkikdkftkxkix

ωω

ωωψ

00

0000

exp

expexp

場所によって違う振幅（F(x－[dω/dk]t)）

波束

• 平面波の波動関数– 波数の値が一つ（コヒーレント波）– 存在確率密度 (一定値)

• 空間に局在した波動関数＝波の重ね合わせ– ガウス型波束

( ) ( )ikxAx exp=ψ

http://www.nep.chubu.ac.jp/~nepjava/javacode/WaveMap/WaveMap.html

( ) 22 Ax =ψ

( ) ( )⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−=

20

0 21expexp

σψ xxxikAx

量子ドット（QD）

GaAs基板表面に自己集合したInGaAsの量子ドット

シリコンの表面に自己組織化されたシリコン-ゲルマニウムの量子ドット

53 QPE-1

固体中の電子

クロミウム中の電子密度の分布(解像度 – 0.5 nm).

金属の中では半導体と比べると電子はより均一に分布している

Si Al

GaAsAg

シリコン

銀

アルミニウム

ガリウム砒素ガリウム砒素

54 QPE-1

H. Wakabayashi，IEDM Tech. Dig.2003

DS

QPE-1

世界最小のMOSFET→量子閉じ込め→P系研究室

S D

S-Dトンネル電流反転層電荷のエネルギー量子化

55

Slide Number 1先週の復習小さな領域を扱う学問�量子力学（波と粒子の両方の性質）水素原子輝線スペクトル原子のボ－アモデル結晶格子結晶中の電子の動き格子振動（第6章：フォノン）連続量（古典）⇒離散的な量（量子力学）Slide Number 10電子は「粒子」？電子は「波」? 粒子は「波」?じゃあ，一寸，計算してみましょうか？Bragg反射、ラウエ像「電子の波動性の実証」黒体輻射と光量子仮説神戸大学電子物理工学系研究室量子井戸中の粒子（P1）量子ドット（QD）からの発光（P2）量子細線（QWR）トランジスタ（P4）まとめSlide Number 22Slide Number 23本日の内容古典的な波の式（波動関数）位相速度と群速度古典的な波動方程式保存力場解析力学Schrödinger方程式Schrödinger方程式Schrödinger方程式の例�（自由粒子→３章）Schrödinger方程式の例�（調和振動子→６章）Slide Number 34Slide Number 35結晶格子中の電子Slide Number 37水素原子→固体物性，半導体電子工学�→物性研究固体中の電子光電効果量子井戸（QW）量子ドット（QD）　バンド構造 → 固体物性（３年）�→ P系研究室量子閉じ込め→量子物理I�→P系研究室（QD LD）GaN（窒化ガリウム）青色レ－ザ－物質の比熱，理想気体の比熱コンプトン散乱たくさんの波の重ね合わせ→�「波束（はそく）」�（p.43参照）�波束波の重ね合わせ(以前やった通り)波束波束量子ドット（QD）　固体中の電子世界最小のMOSFET→量子閉じ込め�→P系研究室