電磁波工学 XII

米田仁紀

電磁波の伝播

• ホイエンス・フレネルの原理

• ２つの回折(Fresnel Diffraction & Fraunhofer diffraction)

• フレネル積分

• 応用

ホイエンス・フレネルの原理

次の波面は、前の波面に点光源を置いた場合の重ね合わせとなる。

（決して後ろにはいかない。）

次々と点光源を仮定して進めばいい。

エッジの回折

なぜ縞が？

なぜ縞が？

1

𝑟𝑒−𝑖𝑘𝑟

x

L

x0

𝑟 = 𝐿2 + (𝑥 − 𝑥0 )2

𝐸 𝑥0 = 0

∞

𝑑𝑥exp[−𝑖𝑘 𝐿2 + (𝑥 − 𝑥0 )

2]

𝐿2 + (𝑥 − 𝑥0 )2 𝑘 =

2𝜋

𝜆

𝑟 = 𝐿2 + (𝑥 − 𝑥0 )2= 𝐿 1 +

𝑥 − 𝑥02

𝐿2≈ 𝐿 1 +

𝑥 − 𝑥0𝐿

2

𝐸 𝑥0 = 0

∞

𝑑𝑥exp[−𝑖𝑘 𝐿2 + (𝑥 − 𝑥0 )

2]

𝐿2 + (𝑥 − 𝑥0 )2

= 𝑒−𝑖𝑘𝐿/𝐿 𝜉0

∞

𝑑𝜉𝑒−𝑖𝑘𝐿𝜉

2

1 + 𝜉2

ここで振動

𝜉 =𝑥 − 𝑥0𝐿

0

なぜ縞の間隔が狭まるか？

l

l

回折点

Fraunhofer diffraction

ds

RO

xz

y

P(X, Y, Z)

(x, y, z)

𝑑𝐸 =𝐸𝐴𝑟𝑒𝑖(𝜔𝑡−𝑘𝑟)𝑑𝑠

𝑟 = 𝑋2 + (𝑌 − 𝑦)2+(𝑍 − 𝑧)2

𝑅 = 𝑋2 + 𝑌2 + 𝑍2

𝑟 = 𝑅 1 + (𝑦2 + 𝑧2)/𝑅2−2(𝑌𝑦 + 𝑍𝑧)/𝑅2

𝑟 ≈ 𝑅 1 − (𝑌𝑦 + 𝑍𝑧)/𝑅2𝑦, 𝑧 ≪ 𝑅

𝐸 =𝐸𝐴𝑒𝑖(𝜔𝑡−𝑘𝑅)

𝑅 𝑒𝑖𝑘(𝑌𝑦+𝑍𝑧)/𝑅𝑑𝑠

𝐸 =𝐸𝐴𝑒𝑖(𝜔𝑡−𝑘𝑅)

𝑅 𝑒𝑖𝑘(𝑌𝑦+𝑍𝑧)/𝑅𝑑𝑠

𝐸 =𝐸𝐴𝑒𝑖(𝜔𝑡−𝑘𝑅)

𝑅 −𝑏/2

𝑏/2

𝑒𝑖𝑘𝑌𝑦/𝑅𝑑𝑦 −𝑎/2

𝑎/2

𝑒𝑖𝑘𝑍𝑧/𝑅 𝑑𝑧

ここで、𝛽 =𝑘𝑏𝑌

2𝑅, 𝛼 = 𝑘𝑎𝑍/2𝑅とすると

−𝑏/2

𝑏/2

𝑒𝑖𝑘𝑌𝑦/𝑅𝑑 𝑦 = 𝑏𝑒𝑖𝛽 − 𝑒−𝑖𝛽

2𝑖𝛽= 𝑏sin𝛽

𝛽

E =𝐴𝐸𝐴𝑒

𝑖(𝜔𝑡−𝑘𝑅)

𝑅

sin𝛼

𝛼

sin𝛽

𝛽

𝐼(𝑌, 𝑍) = 𝐼(0)sin𝛼

𝛼

2 sin𝛽

𝛽

2

a

b

I(Y, Z)

Y

Z

z

yRectangular Aperture

E(Y, Z)

太陽を四角い鏡で反射させると？

𝐷 = 𝐿𝜃 = 𝐿𝜆

𝑑L = 20m, d = 0.05m, l = 0.5mmD = 2mm

𝐸 =𝐸𝐴𝑒𝑖(𝜔𝑡−𝑘𝑅)

𝑅 𝑒𝑖𝑘(𝑌𝑦+𝑍𝑧)/𝑅𝑑𝑠

I(Y, Z)

Y

Z

z

yCircular Aperture

𝑧 = 𝜌cos𝜙, 𝑦 = 𝜌sin𝜙𝑍 = 𝑞cosΦ, 𝑌 = 𝑞sinΦ

𝑑𝑠 = 𝜌𝑑𝜌𝑑𝜙

𝐸 =𝐸𝐴𝑒𝑖(𝜔𝑡−𝑘𝑅)

𝑅 𝜌=0

𝑎

𝜙=0

2𝜋

𝑒𝑖𝑘𝜌𝑞𝑅 cos(𝜙−Φ)𝜌𝑑𝜌𝑑𝜙

𝐽0 𝑢 =1

2𝜋 0

2𝜋

𝑒𝑖𝑢cos𝑢𝑑𝑢 𝑢 =𝑘𝜌𝑞

𝑅

F = 0 として計算

fF

Bessel function

𝐸 =𝐸𝐴𝑒𝑖(𝜔𝑡−𝑘𝑅)

𝑅2𝜋

0

𝑎

𝐽0𝑘𝜌𝑞

𝑅𝜌𝑑𝜌

s

Bessel Function

𝑑

𝑑𝑢𝑢𝑚𝐽𝑚(𝑢) = 𝑢

𝑚𝐽𝑚−1(𝑢)

𝐸 =𝐸𝐴𝑒𝑖(𝜔𝑡−𝑘𝑅)

𝑅2𝜋

0

𝑎

𝐽0𝑘𝜌𝑞

𝑅𝜌𝑑𝜌

𝑑

𝑑𝑢𝑢1𝐽1(𝑢) = 𝑢

1𝐽0(𝑢)

0

𝑢

𝑢′𝐽0 𝑢′ 𝑑𝑢′ = 𝑢𝐽1(𝑢)

𝐸 𝑡 =𝐸𝐴𝑒𝑖 𝜔𝑡−𝑘𝑅

𝑅2𝜋𝑎2 𝑅 𝑘𝑎𝑞 𝐽1(

𝑘𝑎𝑞 𝑅)

𝐼 =2𝐸𝐴2𝐴2

𝑅2

𝐽1(𝑘𝑎𝑞𝑅)

𝑘𝑎𝑞/𝑅

2

J0(u)

J1(u)

(J1(u)/u)2

Cherenkov type emission

電子ビーム

チェレンコフ光

cv cv cv

𝑐0𝑛< 𝑣𝑒

Talbot効果 （回折で不思議な）

𝑧𝑡 = 𝑚2𝑑2

𝜆

d

mask

𝑇𝑎𝑙𝑏𝑜𝑡 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑎𝑛𝑐𝑒 𝑧𝑡 = 𝑚2𝑑2

𝜆

Fresnel Diffraction vs. Fraunhofer diffraction

𝑦, 𝑧 ≪ 𝑅Far field

Near field

Fresnel

Fraunhofer

𝑒−𝑖𝑘𝜌1/𝜌1

𝑒−𝑖𝑘𝜌2/𝜌2

r1

r2

r1

r2

𝑒−𝑖𝑘𝑟1/𝑟1

𝑒−𝑖𝑘𝑟2/𝑟2

Pr0 r0

(y, z)

𝜌= 𝜌02 + 𝑦2 + 𝑧2 𝑟= 𝑟0

2 + 𝑦2 + 𝑧2

𝜌 + 𝑟 ≈ 𝜌0 + 𝑟0 + (𝑦2 + 𝑧2)

𝜌0 + 𝑟02𝜌0𝑟0

全部の光学距離は

r1

r2

r1

r2

Pr0 r0

a1

a2

S

𝐸𝑝 =𝐸0𝑒−𝑖𝜔𝑡

𝜌0𝑟0𝜆 𝑦1

𝑦2

𝑧1

𝑧2

𝑒𝑖𝑘(𝜌+𝑟) 𝑑𝑦𝑑𝑧

ここで 𝑢 ≡ 𝑦2(𝜌0 + 𝑟0)

𝜆𝜌0𝑟0

1/2

𝑣 ≡ 𝑧2(𝜌0 + 𝑟0)

𝜆𝜌0𝑟0

1/2

とすると

𝐸𝑝 =𝐸0𝑒−𝑖𝜔𝑡𝑒𝑖𝑘(𝜌0+𝑟0)

2(𝜌0 + 𝑟0) 𝑢1

𝑢2

𝑒𝑖𝜋𝑢2/2𝑑𝑢

𝑣1

𝑣2

𝑒𝑖𝜋𝑣2/2 𝑑𝑣

ここで

𝐹 𝑥 = 0

𝑥

cos𝜋𝑡2

2𝑑𝑡 𝐺 𝑥 =

0

𝑥

sin𝜋𝑡2

2𝑑𝑡

0

𝑥

𝑒𝑖𝜋𝑡2/2𝑑𝑡 = 𝐹 𝑥 + 𝑖𝐺(𝑥)

𝐸𝑝 =𝐸𝑢2𝐹 𝑢 + 𝑖𝐺(𝑢)

𝑢2𝑢1𝐹 𝑣 + 𝑖𝐺(𝑣)

𝑣2𝑣1

𝐼𝑝 =𝐼0

4𝐹 𝑢2 − 𝐹(𝑢1)

2 + 𝐺 𝑢2 − 𝐺(𝑢1)2 × 𝐹 𝑣2 − 𝐹(𝑣1)

2 + 𝐺 𝑣2 − 𝐺(𝑣1)2 c

𝐼𝑝 =𝐼04𝐹 𝑢2 − 𝐹(𝑢1)

2 + 𝐺 𝑢2 − 𝐺(𝑢1)2 × 𝐹 𝑣2 − 𝐹(𝑣1)

2 + 𝐺 𝑣2 − 𝐺(𝑣1)2

Fresnel integral は odd function F(x)= - F(-x) G(x)= - G(-x)

したがって、u1=-u2=D, v1=-v2=D とすると 𝐼𝑝 =𝐼042𝐹(∆) 2 + 2𝐺(∆) 2 2

F(∞)=G(∞)=1/2

0

𝑥

cos𝜋𝑥2

2𝑑𝑥

0

𝑥

sin𝜋𝑥2

2𝑑𝑥

Square aperture

Fresnel Zone Plate

r1

r2

r1

r2P

r0

r0

(x, y)r + r = 2pm を通しr + r = 2p(m+1)をブロックする

波のモデルを使った回折理論

𝑒𝑖(𝜔𝑡−𝑘𝑟)

𝑟のような進行波を仮定している。

E r, 𝑡 = −1

4𝜋𝜀0 𝑉′ −∞

𝑡 3 J ∙ R R

𝑅5−J

𝑅3𝑑𝑡′𝑑𝑣′

+1

4𝜋𝜀0 𝑉′

3 J ∙ R R

𝑅4−J

𝑐𝑅2𝑑𝑣′

+1

4𝜋𝜀0

1

𝑐2 𝑉′

𝜕𝜕𝑡J × R × R

𝑅3𝑑𝑣′

Line of average energy flow

Amplitude contours of Hz