书书书

高等教育!十二五"规划教材

高 等 数 学#下册$

刘仁云!

赵!

虹!

主编

北!

京

科

学出版社

职教技术出版中心

www.abook.cn

内!

容!

简!

介

!高等数学"#上$下册%是为普通高等学校理工科专业学生编写的基础

课教材&以微积分学的基本理论和方法为核心内容!

本书为下册&主要内容

包括空间解析几何$多元函数微分学$无穷级数$微#差%分方程等!

本书叙述

直观$概念清晰$通俗易懂&便于学生理解和掌握!

本书可作为理工科大学$高等师范院校理$工$经管各专业的教材或参

考书!

!

图书在版编目!

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高等数学#下册%'刘仁云&赵虹主编!

(北京)科学出版社&

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刘,

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高等数学,

高等学校,

教材

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中国版本图书馆0%1

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号

策划!李!

军

责任编辑!王纯刚!

张振华"责任校对!耿!

耘

责任印制!吕春珉"封面设计!科地亚盟

! ! ! ! !

印刷

科学出版社发行!!

各地新华书店经销

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年"

月第 一 版!!

开本)

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年"

月第一次印刷!

印张)

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字数)

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定价#

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元!上$下册"

#如有印装质量问题&我社负责调换-

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销售部电话#$#,3"$."$"3

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编辑部电话#$#,3"$.+-""

版权所有&侵权必究

举报电话)

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前!!

言

*高等数学+是高等院校理工类专业必修的一门基础课!

目前&随着我国高等教育由精英教

育向大众教育的转变&以前某些所谓的*经典+教材已渐渐不能适应教育改革和发展的需要&相

当一部分普通高等院校由于缺乏适合自己的教材&而出现教与学严重脱节$教学效果事倍功半

的现象!

针对当前普通高等学校理工科专业教育的特点&我们依据最新的*理工科类本科数学基础

课程教学基本要求+和分层次教学改革的需要&组织了一些长期从事高等数学教学的教师编写

了本书!

本书以微积分学的基本理论和方法为核心&内容由浅入深&难易适当&通俗易懂!

具体来

说&主要具有以下几个特点)

#

$

%在教学内容的编排上&本着*必须$够用+的原则&适当削减了过于抽象和严格化的内

容&删除了繁琐的推理和证明&并尽量结合几何图形进行直观解释&以帮助学生理解和掌握所

学内容/

#

"

%考虑到计算机在日常生活中的广泛应用&为促进教学手段不断改革和创新&培养学生

使用计算机解决数学问题的意识和能力&本书设计了相应的数学实验&通过这些实验来介绍数

学软件567869

在高等数学中的应用&有助于激发学生的学习兴趣&增强其实际操作能力&同时

加深其对于基础知识的理解和应用/

#

-

%每节都精选了一定数量的习题&习题类型广泛&紧扣教材&根据难易程度分为:

$

'

两

部分&以使本书适合多层次读者的需要&并在书后附有参考答案及提示/

#

.

%章节内容可选空间大&其中带"

内容属于选学&教师可根据专业需要和教学时数做适

当安排!

全书共$-

章&分上$下两册&第$

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章为上册&第*

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章为下册!

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章由刘仁云编写&

第"

章$第3

章和第$-

章由李东平编写&第-

章由侯国亮编写&第.

章$第4

章由张晓丽编写&

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章$第)

章和第$#

章由赵虹编写&第+

章由赵红发编写&第$$

章由梁四化编写&第$"

章

由罗英语编写&其他参编人员有张忠毅$陈梦泽等!

全书由刘仁云$赵虹统稿&并负责组织协调

工作!

全书定价43

元&上册定价"+

元&下册定价"+

元!

在编写本书过程中&参考了国内外大量有关高等数学的教材&在此谨向各位作者表示由衷

的感谢!

由于编者水平所限&加之时间比较仓促&书中疏漏之处在所难免&恳请广大读者批评

指正!

科

学出版社

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书书书

目!!

录

第!

章!

向量代数与空间解析几何!

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向量的线性运算和空间直角坐标!

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向量的概念!

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向量的数量积!向量积和混合积'

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第"

章!

多元函数微分学$"

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多元函数的概念$"

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平面点集$"

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偏导数%$

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高阶偏导数%&

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多元函数微分学的几何应用&*

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曲面的切平面与法线'!

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方向导数与梯度'%

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多元函数的极值及其求法'"

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条件极值与拉格朗日乘数法(,

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最小二乘法($

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第#

章!

重积分('

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二重积分的概念与性质('

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二重积分的概念('

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二重积分的一般变量替换"%

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第$%

章!

曲线积分与曲面积分))

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曲线积分))

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曲面积分!,!

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目!!

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高斯公式与散度!,"

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高斯公式!,"

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空间曲线积分与路径无关的条件!!'

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环流量与旋度!!'

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第$$

章!

常微分方程与差分方程!!)

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微分方程的基本概念!!)

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微分方程的定义!!)

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例题选讲!!*

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可分离变量的微分方程!$!

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可分离变量的微分方程的解法!$!

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逻辑斯蒂方程!$$

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齐次方程!$&

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一阶线性微分方程!$)

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齐次线性方程的解法!$)

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非齐次线性方程的解法!$*

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全微分方程!%!

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全微分方程的通解!%$

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可降阶的微分方程!%'

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高阶线性微分方程基本概念!%)

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线性微分方程的解的结构!%*

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常系数线性微分方程!&!

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二阶常系数线性微分方程的概念!&!

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二阶常系数齐次线性微分方程!&!

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二阶常系数非齐次方程的解法!&'

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常系数线性微分方程组!&*

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差分方程的基本概念!'!

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线性差分方程的求解!''

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一般线性差分方程的性质!''

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微分方程与差分方程的应用!'*

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第$&

章!

无穷级数!('

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常数项级数的概念和性质!('

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常数项级数的概念!('

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!

级数的柯西收敛准则!(*

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!

常数项级数的收敛判别法!",

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正项级数收敛性的一般判别法!",

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交错级数及其收敛判别法!"'

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绝对收敛与条件收敛!"(

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幂级数!"*

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幂级数的概念!),

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函数的幂级数展开式!)(

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函数的幂级数展开式的应用!*%

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傅里叶级数!*(

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傅里叶级数!*(

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周期为$'

的周期函数的傅里叶级数$,%

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目!!

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第$'

章!

数学实验$,"

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空间曲线和曲面的绘制$,"

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基本命令$,"

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实验内容$,"

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实验作业$!,

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多元函数的微分学$!,

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常微分方程求解$!)

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实验作业$$,

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级数的求和与展开$$!

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基本命令$$!

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实验内容$$!

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实验作业$$(

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参考文献$$"

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参考答案$$)

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附录!

几种常见的平面曲线$&*

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高等数学#下册$

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第!

章!

向量代数与空间解析几何

在中学的平面解析几何中!通过建立平面直角坐标系把平面上的点与有序数对对应起来!

把平面上的图形与方程对应起来!从而可以用代数的方法来研究几何问题!类似的可以通过建

立空间直角坐标系!用代数的方法研究空间的图形问题!这就是空间解析几何主要研究内容!

并且空间解析几何也是学习多元微积分的必备知识!

向量是学习解析几何的工具!并且本身也

很重要!

本章首先介绍向量的运算与性质!之后利用建立的直角坐标系来研究空间的曲线与曲

面等图形!

"#$

!

向量的线性运算和空间直角坐标

!"#"#

!

向量的概念

向量的基本知识在中学里已经进行过初步的学习!

这里只进行基本的介绍!

既有大小!又

有方向的量叫做向量!也称为矢量!

如力"力矩"位移"速度"加速度等!

只有大小!没有方向#或

不考虑方向$的量称为数量!也称为标量!

如密度"质量"路程"长度和面积等!

以"

为起点"

#

为终点的有向线段所表示的向量记作 "##

"#!

向量也可用黑体字母表示!如

用!

"

"

"

#

"

$

或"##$

"

"##

%

"

"##

&

"

"##

'

来表示!

本章只研究与起点无关的向量!并称这种向量为自由向量!简称向量!

因此!若向量!

和"

的大小相等!且方向相同!则说向量!

和"

是相等的!记作!%"!

向量的大小叫做向量的模!

向

量!

"

"##

$

"

"##

"#

的模分别记作$

!

$

"

$

"##

$

$

"

$

"##

"#

$

!

模等于$

的向量叫做单位向量!

模等于&

的向量叫

做零向量!记作$!

零向量的方向可以看做是任意的!

两个非零向量!

与"

!如果它们的方向相同或相反!就称这两个向量平行!记作!

%

"!

零向量

认为是与任何向量都平行!

当两个平行向量的起点放在同一点时!它们的终点和公共的起点在一

条直线上!因此!两向量平行又称两向量共线!

类似还有共面的概念!

设有(

#

(

&

'

$个向量!当把它

们的起点放在同一点时!如果(

个终点和公共起点在一个平面上!就称这(

个向量共面!

!"#"%

!

向量的线性运算

$#

向量的加法

设有两个向量!

与"

!平移向量使"

的起点与!

的终点重合!此时从!

的起点到"

的终点

的向量%

称为向量!

与"

的和!记作!("

!即%%!("!

这种作出两向量之和的方法叫做向量

加法的三角形法则!如图"#$

所示!

当向量!

与"

不平行时!平移向量使!

与"

的起点重合!以

!

"

"

为邻边作一平行四边形!从公共起点到对角的向量等于向量!

与"

的和!("!

这种作出两

向量之和的方法叫做向量加法的平行四边形法则!如图"#)

所示!

图"#$

!!!!!!

图"#)

向量加法有下列运算规律%

#

$

$交换律!

!("%"(!

&

#

)

$结合律!

#

!("

$

(%%!(

#

"(%

$

!

图"#'

!

设!

为一向量!与!

的模相同而方向相反的向量叫做!

的负向量!

记作*!!

两个向量"

与!

的差定义为"*!%"(

#

*!

$

!

把向量!

与"

移到

同一起点)

!则从!

的终点"

到"

的终点#

所引的向量 "##

"#

便是向量"

与!

的差"*!!

其对应的三角形法则如图"#'

所示!

由三角形两边之和大于第三边的原理!有

*

!

+

"

*

'

*

!

*+*

"

*!

及!*

!

,

"

*

'

*

!

*+*

"

*

!

其中等号在"

与!

同向或反向时成立!

这个不等式称为三角不等式!

)#

向量与数的乘法

定义!

向量!

与实数!

的乘积!

!

是一个向量!它的模$!

!

$

%

$!$$

!

$

!它的方向当!(

&

时

与!

的方向相同!当!)

&

时与!

的方向相反!这种乘积称为向量的数乘!

当!

%&

时!

$!

!

$

%&

!即!

!

为零向量!这时它的方向是任意的!

特别的$!%!

!#

*$

$

!%*!!

向量与数的乘法有下列运算规律%

#

$

$结合律!!

#

"

!

$

%

"

#

!

!

$

%

#

!

"

$

!

&

#

)

$分配律!

#

!

(

"

$

!%

!

!(

"

!

&

!

#

!("

$

%

!

!(

!

"!

利用向量的数乘可以得到如下的定理!

定理!

设向量!

*

$

!那么!向量"

平行于!

的充分必要条件%存在唯一的实数!

!使"%

!

!!

证明+

%由向量数乘的定义!条件的充分性是显然的!下面证明条件的必要性!

已知"

%

!!

取$!$

%

$

"

$

$

!

$

!当"

与!

同向时规定!

取正值!当"

与!

反向时规定!

取负值!则

"

与!

!

方向相同!且$!

!

$

%

$!$$

!

$

%

$

"

$

$

!

$

$

!

$

%

$

"

$

!

即"%

!

!!

再证明数!

的唯一性!

设"%

!

!

!又设"%

"

!

!两式相减!便得#

!

*

"

$

!%$

!即$!

*

"

$$

!

$

%&!

因$

!

$*

&

!故$!

*

"

$

%&

!即!

%

"

!

!"#"&

!

空间直角坐标系

在平面解析几何中!建立的是平面直角坐标系!在这个基础上建立空间直角坐标系!

在空

间取一平面#

!在#

上先建立平面直角坐标系-)

.

!

过原点)

作向量 "##

)/

垂直于平面#

!使 "##

)-

"

)

"##

.

"

"##

)/

的方向满足右手规则!即 "##

)-

指向弯曲右手四指方向!

)

"##

.

指向手臂方向!

"##

)/

指向翘起的

大拇指方向!如图"#+

所示!

"##

)-

"

)

"##

.

"

"##

)/

就确定了三条以)

为原点的两两垂直的数轴!依次记

作-

轴#横轴$"

.

轴#纵轴$"

/

轴#竖轴$!统称为坐标轴!

它们构成一个空间直角坐标系!称为

)0-

.

/

坐标系!

三个两两垂直的单位向量依次记作&

"

'

"

(!

通常把-

轴和.

轴配置在水平面上!

而/

轴则是铅垂线!

在空间直角坐标系中!任意两个坐标轴可以确定一个平面!这种平面称为坐标平面!-

轴

及.

轴所确定的坐标面叫做)*

+

面!另两个坐标面是+

*,

面和,*)

面!

三个坐标面把空间分

)

高等数学#下册$

科

学出版社

职教技术出版中心

www.abook.cn

成八个部分!每一部分叫做卦限!含有三个正半轴的卦限叫做第一卦限!它位于-)

.

面的上

方!

在-)

.

面的上方!按逆时针方向排列着第二卦限"第三卦限和第四卦限!

在-)

.

面的下

方!与第一卦限对应的是第五卦限!按逆时针方向还排列着第六卦限"第七卦限和第八卦限!

八

个卦限分别用字母!

"

"

"

#

"

$

"

%

"

&

"

'

"

(

表示!如图"#,

所示!

图"#+

!!!!!!

图"#,

!

图"#-

任给向量-

!起点移到坐标系原点)

处!终点为点1

!即 "##

)1%

-!

以)1

为对角线和三条坐标轴为棱作长方体!如图"#-

所示!有

-%

"##

)1%

"##

)2(

"##

23(

"##

31%

"##

)2(

"##

)4(

"##

)5

!设 "##

)2%-&

!

"##

)4%

.'

!

"##

)5%/(

!则-%

"##

)1%-&(

.'

(/(!

上式称为向量-

的坐标分解式!

-&

"

.'

"

/(

称为向量-

沿三个

坐标轴方向的分向量#在物理课程中进行的力或位移的分解是向

量分解的实际应用$

!

显然!给定向量-

!就确定了点1

及 "##

)2%-&

!

"##

)4%

.'

!

"##

)5%/(

三个分向量!进而确定了-

"

.

"

/

三个有序数&反之!给定三个有序数-

"

.

"

/

也就确定了向量-

与点1!

于是!点1

"向量-

与三个有序数-

"

.

"

/

之间有一一对应的关系%

1

,

-

6

"##

)1

6

-&

+

.'

+

/(

,

#

-

!

.

!

/

$

!

据此!定义有序数-

"

.

"

/

为向量-

在坐标系)0-

.

/

中的坐标!记作-%

#

-

!

.

!

/

$&有序数-

"

.

"

/

也称为点1

在坐标系)0-

.

/

中的坐标!记作1

#

-

!

.

!

/

$

!

向量-%

"##

)1

称为点1

关于原点)

的

向径!

#

-

!

.

!

/

$既表示点1

!又表示向量 "##

)1!

!"#"'

!

利用坐标作向量的线性运算

设!%

#

$

-

!

$

.

!

$

/

$!

"%

#

%

-

!

%

.

!

%

/

$!即!%$

-

&($

.

'

($

/

(

!

"%%

-

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.

'

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/

(

!则

!

+

"

6

#

$

-

&

+

$

.

'

+

$

/

(

$

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#

%

-

&

+

%

.

'

+

%

/

(

$

6

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$

-

+

%

-

$

&

+

#

$

.

+

%

.

$

'

+

#

$

/

+

%

/

$

(

6

#

$

-

+

%

-

!

$

.

+

%

.

!

$

/

+

%

/

$

!

!

$

6!

#

$

-

&

+

$

.

'

+

$

/

(

$

6

#

!

$

-

$

&

+

#

!

$

.

$

'

+

#

!

$

/

$

(

6

#

!

$

-

!

!

$

.

!

!

$

/

$

!

!!

利用向量的坐标表示可得到如下两个结论!

#

$

$设!%

#

$

-

!

$

.

!

$

/

$

*

&

!

"%

#

%

-

!

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.

!

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/

$!向量"

%

!

-

"%

!

!

!即

"

%

!

-

#

%

-

!

%

.

!

%

/

$

6!

#

$

-

!

$

.

!

$

/

$!

于是%

-

$

-

%

%

.

$

.

%

%

/

$

/

!

即两个向量平行的充分必要条件是两个向量的坐标对应成比例!

#

)

$设两点1

$

#

-

$

!

.

$

!

/

$

$和1

)

#

-

)

!

.

)

!

/

)

$!则

'

第"

章!

向量代数与空间解析几何

1

$

1

"###

)

6

)1

"##

)

'

)1

"##

$

6

#

-

)

,

-

$

!

.

)

,

.

$

!

/

)

,

/

$

$

!

!"#"(

!

向量的模与方向角

$#

向量的模与两点间的距离公式

设向量-%

#

-

!

.

!

/

$!作 "##

)1%-

!则按勾股定理可得向量的模

*

7

*6*

)1

*6 *

)2

*

)

+*

)4

*

)

+*

)5

*槡)

6

-

)

+

.

)

+

/槡)

!

!!

设有点"

#

-

$

!

.

$

!

/

$

$"

#

#

-

)

!

.

)

!

/

)

$!则 "##

"#%

#

-

)

*-

$

!

.

)

*

.

$

!

/

)

*/

$

$!于是点"

与点#

间的距离为

*

"#

*6*

"##

"#

*6

#

-

)

,

-

$

$

)

+

#

.

)

,

.

$

$

)

+

#

/

)

,

/

$

$槡)

!

)#

方向角与方向余弦

当把两个非零向量!

与"

的起点放到同一点时!两个向量正方向之间的在(

&

!

)

)内的夹角

图"#"

!

称为向量!

与"

的夹角!记作#

!

!

"

$或#

"

!

!

$

!

如果向量!

与"

中有

一个是零向量!规定它们的夹角可以在&

与)

之间任意取值!

非零向量-

与三条坐标轴#正向$的夹角$

"

%

"

&

称为向量-

的

方向角!如图"#"

所示!

设-%

#

-

!

.

!

/

$!则-%

$

-

$

./0

$

!

.

%

$

-

$

./0

%

!

/%

$

-

$

./0

&

!

./0

$

"

./0

%

"

./0

&

称为向量-

的方向余弦!

即./0

$

%

-

$

-

$

!

./0

%

%

.

$

-

$

!

./0

&

%

/

$

-

$

!

所以#

./0

$

!

./0

%

!

./0

&

$

%

$

$

-

$

-%.

-

!

上式表明!以向量7

的方向余弦为坐标的向量就是与-

同方向的单位向量.

-

!

因此

./0

)

$+

./0

)

%

+

./0

)

&6

$!

习题!"#

#

)

$

$#

画出直角坐标系!作出下列各点!并求它们到原点的距离!

#

$

$#

'

!

+

!

,

$&

!

#

)

$#

$

!

$

!

*$

$&

!

#

'

$#

*$

!

*)

!

*'

$&

!

#

+

$#

*$

!

*$

!

'

$

!

)#

填空题!

设点1

#

$

!

)

!

'

$

!

#

$

$则此点关于-)

.

平面的对称点为 !在第 卦限&

#

)

$关于.

)/

平面的对称点为 !在第 卦限&

#

'

$关于.

轴的对称点为 !在第 卦限&

#

+

$关于-

轴的对称点为 !在第 卦限&

#

,

$关于原点的对称点为 !在第 卦限&

#

-

$关于点#

*$

!

$

!

)

$的对称点为 !在第 卦限!

'#

设向量!%

#

'

!

,

!

$

$!

"%

#

)

!

*'

!

+

$!

%%

#

*)

!

*+

!

$

$!则

#

$

$

!("(%%

&

!!

#

)

$

!*)"('%% !

+#

已知点"

#

)

!

+

!

'

$和点#

#

'

!

)

!

,

$!求向量 "##

"#

的坐标和方向余弦"方向角!

+

高等数学#下册$

科

学出版社

职教技术出版中心

www.abook.cn

,#

在-

轴上求一点2

!使它到点"

#

*+

!

$

!

"

$!

#

#

'

!

,

!

*)

$的距离都相等!

#

*

$

$#

在.

)/

面上求一点2

!使它到三点"

#

$

!

)

!

)

$!

#

#

)

!

*$

!

*$

$!

8

#

&

!

)

!

$

$的距离都相等!

)#

若矢量与各坐标轴成相等的锐角!其模长为 槡) '

!求此矢量!

'#

若矢量与#

$

!

*)

!

'

$平行!且模长为 槡) "

!求此矢量!

+#

证明以三点"

#

+

!

'

!

$

$!

#

#

"

!

$

!

)

$!

8

#

,

!

)

!

'

$为顶点的三角形为等腰直角三角形!

"#)

!

向量的数量积"向量积和混合积

!"%"#

!

两向量的数量积

设一物体在常力$

作用下沿直线发生位移/!

由物理学知道!力$

所做的功为9%

$

$

$$

/

$

!

图"#1

./0

'

!其中'

为$

与/

的夹角!如图"#1

所示!

把这种两个向量的运算是一个数量的运算抽象出来!定义成两个

向量的数量积!

数量积!对于两个向量!

和"

!它们的夹角为'

!称$

!

$$

"

$

./0

'

为

向量!

和"

的数量积#也称内积$!记作!

*

"

!读作!

点"

!即

!

*

"

6*

!

**

"

*

./0

'

!

!!

由数量积的定义可得到如下的性质和运算规律

数量积的性质%

#

$

$

!

*

!%

$

!

$

)

&

#

)

$对于两个非零向量!

"

"

!

!

*

"%&

-

!

.

"!

如果认为零向量与任何向量都垂直!则对任意两个向量!

"

"

有!

.

"

-

!

*

"%&!

数量积的运算律%

#

$

$交换律!

!

*

"%"

*

!

&

#

)

$分配律!

#

!("

$*

%%!

*

%("

*

%!

#

'

$#

!

!

$*

"%!

*#

!

"

$

%

!

#

!

*

"

$!

!

为实数!

数量积的坐标表示%

设!%

#

$

-

!

$

.

!

$

/

$!

"%

#

%

-

!

%

.

!

%

/

$!则

!

*

"

6

$

-

%

-

+

$

.

%

.

+

$

/

%

/

!

!!

事实上!按数量积的运算规律和&

*

&%

'

*

'

%(

*

(%$

!

&

*

'

%&

*

(%

'

*

(%&

!可得

!

*

"

6

#

$

-

&

+

$

.

'

+

$

/

(

$

*

#

%

-

&

+

%

.

'

+

%

/

(

$

6

$

-

%

-

&

*

&

+

$

-

%

.

&

*

'

+

$

-

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/

&

*

(

+

$

.

%

-'

*

&

+

$

.

%

.

'

*

'

!+

$

.

%

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*

(

+

$

/

%

-

(

*

&

+

$

/

%

.

(

*

'

+

$

/

%

/

(

*

(

6

$

-

%

-

+

$

.

%

.

+

$

/

%

/

!

!!

两向量夹角的余弦的坐标表示%

设'

%

#

!

!

"

$!则当!

*

$

"

"

*

$

时!有!

*

"%

$

!

$$

"

$

./0

'

!则

./0

'6

!

*

"

*

!

**

"

*

6

$

-

%

-

+

$

.

%

.

+

$

/

%

/

$

)

-

+

$

)

.

+

$

)

槡 /

%

)

-

+

%

)

.

+

%

)

槡 /

!

!!

例#

!

已知三点1

#

$

!

$

!

$

$"

"

#

)

!

)

!

$

$和#

#

)

!

$

!

)

$!求/

"1#!

,

第"

章!

向量代数与空间解析几何

解!

从1

到"

的向量记作!

!从1

到#

的向量记作"

!则/

"1#

就是向量!

与"

的

夹角!

由已知可得!%

+

$

!

$

!

&

,!

"%

+

$

!

&

!

$

,

!

由于!

*

"%$2$($2&(&2$%$

!

$

!

$

%

$

)

($

)

(&槡)

槡% )

!

$

"

$

% $

)

(&

)

($槡)

槡% )!

所以

./0

/

"1#

6

!

*

"

*

!

**

"

*

6

$

槡)*槡)6

$

)

!

从而/

"1#%

)

'

!

!"%"%

!

两向量的向量积

在研究物体转动问题时!常要分析这些力产生的力矩!

设)

为一杠杆:

的支点!

有一个力

$

作用于这杠杆2

点处!$

与 "##

)2

的夹角为'

!如图"#3

所示!

由力学规定!力$

对支点)

的力

矩是一向量0

!它的模$

0

$

%

$

"##

)2

$$

$

$

045

'

!而0

的方向垂直于 "##

)2

与$

所决定的平面!

0

的

指向符合右手规则!即弯曲四指代表 "##

)2

的方向!手臂代表$

的的方向!则翘起的拇指代表0

的方向!如图"#$&

所示!

图"#3

!!!!!!

图"#$&

这种由两个向量来确定另一个向量的情况抽象出两个向量的向量积!

向量积!

设向量%

是由两个向量!

与"

按下列方式定出%

%

的模!$

%

$

%

$

!

$$

"

$

045

'

!其中'

为!

与"

间的夹角&

%

的方向!

由于%

垂直于!

与"

所决定的平面!则%

的指向按右手规则!即!

的方向指向

右手的四指方向!

"

的方向指向手臂的方向!大拇指的方向就为%

的方向!

那么!向量%

叫做向量!

与"

的向量积#或外积$!记作!2"

!读作!

叉"

!即%%!2"!

根据向量积的定义!力矩0

等于 "##

)2

与$

的向量积!即0%

"##

)22$!

由向量积的定义可得向量积的性质%

#

$

$

!2!%&

&

#

)

$对于两个非零向量!

"

"

!

!2"%&

的充分必要条件为!

%

"!

如果认为零向量与任何向

量都平行!则!

%

"

-

!2"%&!

#

'

$若向量!

"

"

的起点相同!则以!

"

"

为邻边的平行四边形的面积为$

!2"

$

!

数量积的运算律%

#

$

$交换律!

!2"%*"2!

&

#

)

$分配律!

#

!("

$

2%%!2%("2%

&

#

'

$#

!

!

$

2"%!2

#

!

"

$

%

!

#

!2"

$#

!

为实数$

!

-

高等数学#下册$

科

学出版社

职教技术出版中心

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数量积的坐标表示%

设!%$

-

&($

.

'

($

/

(

!

"%%

-

&(%

.

'

(%

/

(

!按向量积的运算规律可得

!

;

"

6

#

$

-

&

+

$

.

'

+

$

/

(

$

;

#

%

-

&

+

%

.

'

+

%

/

(

$

6

$

-

%

-

&

;

&

+

$

-

%

.

&

;

'

+

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'

2

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&2

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'

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"

6

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.

,

$

.

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-

$

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为了帮助记忆!可以利用三阶行列式符号来表示!上式可写成

!

;

"

6

&

'

(

$

-

$

.

$

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-

%

.

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6

$

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$

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设!%

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!

$

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$!计算!2"!

解!

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'

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%

$ *$

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'

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!

计算与!%

#

'

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!

+

$!

"%

#

$

!

$

!

*)

$都垂直的单位向量!

解!

由向量积的定义!2"

与!

!

"

都垂直!

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6

!

;

"

6

&

'

(

'

,

) +

$ $

,

)

6

$&

'

+

,(

!

!!$

%

$

% $&

)

(,槡)

槡%, ,

!所以所求的单位向量为6

%

$

%

$

%6

)

槡,'

(

$

槡,# $

(

!

例'

!

已知三角形"#8

的顶点分别是"

#

$

!

)

!

'

$"

#

#

'

!

+

!

,

$"

8

#

)

!

+

!

"

$!求三角形"#8

的面积!

解!

根据向量积的定义!可知三角形"#8

的面积

<

0

"#8

6

$

)

*

"##

"#

**

"##

"8

*

045

/

"

6

$

)

*

"##

"#

;

"##

"8

*

!

由于 "##

"#%

#

)

!

)

!

)

$

"##

"8%

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$

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+

$!因此 "##

"#2

"##

"8%

&

'

(

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$ ) +

%+&*-

'

()(!

于是

<

0

"#8

6

$

)

*

+&

,

-

'

+

)(

*6

$

)

+

)

+

#

,

-

$

)

+

)槡)

6 槡$+!

!!

思考%推导一般已知三个顶点坐标的三角形的面积公式!

!"%"&

!

向量的混合积

设有三个向量!

!

"

!

%

!数量#

!2"

$*

%

称为!

!

"

!

%

的混合积!记作(

!"%

)

!

下面推导混合积的坐标表示式!

"

第"

章!

向量代数与空间解析几何

设!%$

-

&($

.

'

($

/

(

!

"%%

-

&(%

.

'

(%

/

(

!

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-

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.

'

(=

/

(

由于

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;

"

6

&

'

(

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-

$

.

$

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-

%

.

%

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$

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$

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$

'

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#

$

-

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.

,

$

.

%

-

$

(

!

则

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)

6

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;

"

$

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6

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,

$

/

%

.

$

&

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#

$

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%

-

,

$

-

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$

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#

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$

.

%

-

$

(

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-

&

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=

.

'

+

=

/

(

$

6

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$

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,

$

/

%

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$

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-

+

#

$

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%

-

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$

-

%

/

$

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.

+

#

$

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,

$

.

%

-

$

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/

6

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-

=

.

=

/

$

-

$

.

$

/

%

-

%

.

%

/

6

$

-

$

.

$

/

%

-

%

.

%

/

=

-

=

.

=

/

!

图"#$$

!

!!

混合积的几何意义和应用%

把向量!

!

"

!

%

的起点移到同一点)

!以向量!

!

"

!

%

为棱作一个

平行六面体!如图"#$$

所示!记作!2"%1

!

1

与%

的夹角记作'

!则

此平行六面体的高>%

$

=

$$

./0

'$

!底面积为"%

$

$2%

$

!则平行六

面体的体积?%">%

$

$2%

$$

=

$$

./0

'$

%

$

#

$2%

$*

=

$

!即!

!

"

!

%

的

混合积(

!"%

)的绝对值表示一个平行六面体的体积!

由混合积的几

何意义可得向量!

!

"

!

%

共面的充分必要条件为#

!2"

$*

%%&!

例(

!

设"

@

#

-

@

!

.

@

!

/

@

$#

@%$

!

)

!

'

!

+

$为空间内的四个点!求以"

$

"

"##

)

"

"

$

"

"##

'

"

"

$

"

"##

+

为棱的平

行六面体的体积!

解!

由"

$

"

"##

)

%

+

-

)

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$

!

.

)

*

.

$

!

/

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"

$

"

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-

'

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$

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$

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'

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$

,!

"

$

"

"##

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-

+

*

-

$

!

.

+

*

.

$

!

/

+

*/

$

,

!

得所求平行六面体的体积为

?

6*

#

$

;

%

$

*

=

*6

-

)

,

-

$ .

)

,

.

$

/

)

,

/

$

-

'

,

-

$ .

'

,

.

$

/

'

,

/

$

-

+

,

-

$ .

+

,

.

$

/

+

,

/

$

6

-

$ .

$

/

$

$

-

) .

)

/

)

$

-

' .

'

/

'

$

-

+ .

+

/

+

$

!

!!

注!以"

$

"

"##

)

!

"

$

"

"##

'

!

"

$

"

"##

+

为棱的四面体的体积为$

-

-

)

*-

$ .

)

*

.

$

/

)

*/

$

-

'

*-

$ .

'

*

.

$

/

'

*/

$

-

+

*-

$ .

+

*

.

$

/

+

*/

$

!

思考%体积为零时对应的四个点有什么特征!

习题!"%

#

)

$

$#

向量!%

#

)

!

+

!

$

$!

"%

#

$

!

)

!

(

$!则(

为何值时满足下列条件!

#

$

$

!

与"

平行&#

)

$

!

与"

垂直!

)#

设!

!

"

!

%

为单位向量!且!("(%%$

!求$

*

%(=

*

$($

*

=

的值!

'#

设!%

#

'

!

)

!

$

$!

"%

#

)

!

*'

!

+

$!

%%

#

*)

!

$

!

$

$!求

#

$

$#

$

*

%

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=

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!

#

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$

$

*#

%

*

=

$&

!

#

'

$#

$2%

$*

=

&

!

#

+

$#

$2%

$

2=

&

!

#

,

$(

%$=

)

!

1

高等数学#下册$

科

学出版社

职教技术出版中心

www.abook.cn

+#

已知三角形的三个顶点坐标为"

#

*$

!

)

!

'

$!

#

#

$

!

$

!

$

$!

8

#

&

!

&

!

,

$

!

#

$

$在直角坐标系里画出这个三角形&#

)

$求出它的面积&#

'

$求/

#

&#

+

$判定是否是直

角三角形!

#

*

$

$#

已知$

!

$

%)

!

$

%

$

%$

!

$

与%

的夹角为)

'

!求"%)$('%

与#%'$*%

的夹角!

)#

证明矢量!

与矢量=

*#

%

*

$

$

*%

*#

=

*

$

$垂直!

'#

设!

!

"

为互相垂直的单位向量!求以)!('"

和!*+"

为邻边的平行四边形的面积!

+#

已知$2%%=2A

!

$2=%%2A

!求证$*A

!

%*=

共线!

,#

求证#

$

*

%

$

)

(

#

$2%

$

)

%$

)

%

)

!

-#

已知$('%

与"$*,%

垂直!

$*+%

与"$*)%

垂直!求$

与%

的夹角!

"#'

!

平面及其方程

下面利用向量的运算讨论空间中最简单的曲面和曲线'''平面和直线!

!+&+#

!

平面的点法式方程

设1

&

#

-

&

!

.

&

!

/

&

$为空间中一点!

#%

#

"

!

#

!

8

$为非零向量!由立体几何知过空间一点可以

!

图"#$)

作且只可以作唯一一个平面垂直于已知直线!如图"#$)

所示!

现在

求过1

&

且垂直于#

的平面#

的方程!

设1

#

-

!

.

!

/

$是平面#

上的任一点!

那么向量1

&

"##

1

必与向量#

垂直!即它们的数量积等于零%

#

*

1

&

"##

1%$!

由于#%

#

"

!

#

!

8

$!

1

&

"##

1%

#

-*-

&

!

.

*

.

&

!

/*/

&

$!所以

"

#

-

,

-

&

$

+

#

#

.

,

.

&

$

+

8

#

/

,

/

&

$

6

&!

这就是平面#

的方程!

其中#%

#

"

!

#

!

8

$称为平面#

的法线向量!

简称法向量!

由于方程"

#

-*-

&

$

(#

#

.

*

.

&

$

(8

#

/*/

&

$

%&

是由平面#

上的一点1

&

#

-

&

!

.

&

!

/

&

$及它

的一个法线向量#%

#

"

!

#

!

8

$确定的!所以此方程叫做平面的点法式方程!

例#

!

求过点#

)

!

*'

!

&

$且以"%

#

)

!

$

!

'

$和#

#

'

!

*$

!

-

$连线为法线向量的平面的方程!

解!

"##

"#%

#

$

!

*)

!

'

$!根据平面的点法式方程!得所求平面的方程为

#

-

,

)

$

,

)

#

.

+

'

$

+

'/

6

&

!

即

-

,

)

.

+

'/

,

1

6

&!

!!

例%

!

求过三点1

$

#

)

!

*$

!

+

$"

1

)

#

*$

!

'

!

*)

$和1

'

#

&

!

)

!

'

$的平面的方程!

解!

方法一%可以用1

$

1

"###

)

21

$

1

"###

'

作为平面的法线向量#!

因为1

$

1

"###

)

%

#

*'

!

+

!

*-

$!

1

$

1

"###

'

%

#

*)

!

'

!

*$

$!所以

#

6

1

$

1

"###

)

;

1

$

1

"###

'

6

&

'

(

,

' +

,

-

,

) '

,

$

6

$+&

+

3

'

,

(!

根据平面的点法式方程!得所求平面的方程为

$+

#

-

,

)

$

+

3

#

.

+

$

$

,

#

/

,

+

$

6

&

!

3

第"

章!

向量代数与空间解析几何

即

$+-

+

3

.

,

/

,

$,

6

&!

!!

方法二%设1

#

-

!

.

!

/

$是平面上的任一点!则三向量1

$

"##

1%

#

-*)

!

.

($

!

/*+

$!

1

$

1

"###

)

%

#

*$*)

!

'($

!

*)*+

$

%

#

*'

!

+

!

*-

$!

1

$

1

"###

'

%

#

&*)

!

)($

!

'*+

$

%

#

*)

!

'

!

*$

$共面!从而

这三向量的混合积为零!即

-*)

.

($ /*+

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*) ' *$

%&

!计算得$+-(3

.

*/*$,%&

!所以所求

平面的方程为$+-(3

.

*/*$,%&!

思考%求过不共线三点的平面的方程!此方程称为平面的三点式方程!

!"&"%

!

平面的一般方程

由于平面的点法式方程是-

!

.

!

/

的一次方程!而任一平面都可以用它上面的一点及它的

法线向量来确定!所以任一平面都可以用三元一次方程来表示!

反过来!设有三元一次方程

"-

+

#

.

+

8/

+

B

6

&!

任取满足该方程的一组数-

&

!

.

&

!

/

&

!即

"-

&

+

#

.

&

+

8/

&

+

B

6

&!

把上述两等式相减!得

"

#

-

,

-

&

$

+

#

#

.

,

.

&

$

+

8

#

/

,

/

&

$

6

&

!

这正是通过点1

&

#

-

&

!

.

&

!

/

&

$且以#%

#

"

!

#

!

8

$为法线向量的平面方程!

由于方程

"-

+

#

.

+

8/

+

B

6

&!

与方程

"

#

-

,

-

&

$

+

#

#

.

,

.

&

$

+

8

#

/

,

/

&

$

6

&

同解!所以任一三元一次方程"-(#

.

(8/(B%&

的图形总是一个平面!

方程"-(#

.

(8/(B%&

称为平面的一般方程!该平面的一个法线向量#%

#

"

!

#

!

8

$

!

对"

!

#

!

8

!

B

是否等于零!对应的平面有不同的特征!

例如!

B%&

!平面过原点!

#%

#

&

!

#

!

8

$时!法线向量垂直于-

轴!平面平行于-

轴&

#%

#

"

!

&

!

8

$时!法线向量垂直于.

轴!平面平行于.

轴&

#%

#

&

!

&

!

8

$时!法线向量垂直于-

轴和.

轴!平面平行于-)

.

平面&

#%

#

"

!

&

!

&

$时!法线向量垂直于.

轴和/

轴!平面平行于.

)/

平面!

例&

!

求通过-

轴和点#

-

!

*'

!

*$

$的平面的方程!

解!

平面通过-

轴!一方面表明它的法线向量垂直于-

轴!即"%&

&另一方面表明它必

通过原点!即B%&!

因此可设这平面的方程为

#

.

+

8/

6

&!

又因为这平面通过点#

+

!

*'

!

*$

$!所以有

,

'#

,

8

6

&

!

或

8

6,

'#!

将其代入所设方程并除以#

#

#

*

&

$!便得所求的平面方程为

&$

高等数学#下册$

科

学出版社

职教技术出版中心

www.abook.cn

.

,

'/

6

&!

!!

例'

!

设一平面与-

"

.

"

/

轴的交点依次为2

#

$

!

&

!

&

$"

4

#

&

!

%

!

&

$"

5

#

&

!

&

!

=

$三点!如

!

图"#$'

图"#$'

所示!求这平面的方程#其中$%=

*

&

$

!

解!

设所求平面的方程为

"-

+

#

.

+

8/

+

B

6

&!

因为点2

#

$

!

&

!

&

$"

4

#

&

!

%

!

&

$"

5

#

&

!

&

!

=

$都在这平面上!所以点2

"

4

"

5

的坐标都满足所设方程!即有

$"

+

B

6

&

%#

+

B

6

&

=8

+

B

6

1

2

3

&

!

由此得"%*

B

$

!

#%*

B

%

!

8%*

B

=

!

将其代入所设方程!得*

B

$

-*

B

%

.

*

B

=

/(B%&

!即

-

$

+

.

%

+

/

=

6

$!

上述方程叫做平面的截距式方程!

$

"

%

"

=

依次叫做平面在-

"

.

"

/

轴上的截距!

例(

!

求平面'-*+

.

(/*,%&

在三个坐标轴上的截距!

解!

把方程变形为

'-

,

+

.

+

/

6

,

!

!

-

,

'

+

.

,

,

+

+

/

,

6

$

!

则在三个坐标轴上的截距分别为,

'

!

*

,

+

!

,!

!"&"&

!

两平面的夹角

两平面的法线向量的夹角#通常指锐角$称为两平面的夹角!

图"#$+

!

设平面#

$

和#

)

的法线向量分别为#

$

%

#

"

$

!

#

$

!

8

$

$和#

)

%

#

"

)

!

#

)

!

8

)

$!那么平面#

$

和#

)

的夹角'

应是#

#

$

!

#

)

$和#

*#

$

!

#

)

$两者中的

锐角!如图"#$+

所示!因此!

./0

'6*

./0

#

#

$

!

#

)

$

*6

*

"

$

"

)

+

#

$

#

)

+

8

$

8

)

*

"

)

$

+

#

)

$

+

8槡)

$

*

"

)

)

+

#

)

)

+

8槡)

)

!

!!

从两向量垂直和平行的充分必要条件立即推得下列结论%

平面#

$

和#

)

垂直的充分必要条件为"

$

"

)

(#

$

#

)

(8

$

8

)

%&

&

平面#

$

和#

)

平行或重合的充分必要条件为"

$

"

)

%

#

$

#

)

%

8

$

8

)

!

例,

!

求两平面-*

.

()/*-%&

和)-(

.

(/*,%&

的夹角!

解!

#

$

%

#

"

$

!

#

$

!

8

$

$

%

#

$

!

*$

!

)

$!

#

)

%

#

"

)

!

#

)

!

8

)

$

%

#

)

!

$

!

$

$!

./0

'6

*

"

$

"

)

+

#

$

#

)

+

8

$

8

)

*

"

)

$

+

#

)

$

+

8槡)

$

*

"

)

)

+

#

)

)

+

8槡)

)

6

*

$

;

)

+

#

,

$

$

;

$

+

)

;

$

*

$

)

+

#

,

$

$

)

+

)槡)

*

)

)

+

$

)

+

$槡)

6

$

)

!

所以!所求夹角为'

%

)

'

!

例!

!

一平面通过两点1

$

#

$

!

$

!

$

$和1

)

#

&

!

$

!

*$

$且垂直于平面-(

.

(/%&

!求它的方程!

$$

第"

章!

向量代数与空间解析几何

解!

方法一%设所求平面方程为"-(#

.

(8/(B%&

!则由1

$

!

1

)

在平面上和#

"

!

#

!

8

$与#

$

!

$

!

$

$垂直!得

"

+

#

+

8

+

B

6

&

#

,

8

+

B

6

&

"

+

#

+

8

6

1

2

3

&

!

!!

解得"%*)8

!

#%8

!

B%&

!即*)8-(8

.

(8/%&

!所以所求平面方程为*)-(

.

(/%&!

方法二%从点1

$

到点1

)

的向量为#

$

%

#

*$

!

&

!

*)

$!平面-(

.

(/%&

的法线向量为

#

)

%

#

$

!

$

!

$

$

!

设所求平面的法线向量为#%

#

"

!

#

!

8

$

!

由题意!得

&

6

&

$

;

&

)

6

&

'

(

,

$ &

,

)

$ $ $

6

#

)

!

,

$

!

,

$

$!

!!

于是由点法式方程!所求平面为)

#

-*$

$

*

#

.

*$

$

*

#

/*$

$

%&

!即

)-

,

.

,

/

6

&!

习题!"&

#

)

$

$#

求通过点#

)

!

+

!

*'

$且与平面)-('

.

*,/%,

平行的平面!

)#

求过点#

$

!

$

!

)

$!#

'

!

)

!

'

$!#

)

!

&

!

'

$的平面方程!

'#

求平面)-*)

.

(/(,,%&

与各坐标面的夹角余弦!

+#

已知"

#

*,

!

*$$

!

'

$!

#

#

"

!

$&

!

*-

$!

8

#

$

!

*'

!

*)

$!求平行平面"#8

且与它的距离

等于)

的平面的方程!

,#

确定(

值!使平面-((

.

*)/%3

满足下列条件之一!

#

$

$过点#

,

!

*+

!

-

$&#

)

$与)-(+

.

('/%'

垂直&#

'

$与'-*"

.

*-/%$

平行&#

+

$与原

点距离为'

&#

,

$在.

轴上截距为*'!

-#

求点#

$

!

)

!

$

$到平面-()

.

()/%$&

的距离!

#

*

$

$#

判断下列各对平面的位置关系!

#

$

$

)-*'

.

(/%$

!

,-(

.

%"

&

#

)

$

-()

.

*/%*'

!

)-(+

.

*)/%$

&

#

'

$

)-*'

.

(/%$

!

,-(

.

*"/%&!

)#

求不在同一直线上三点"

@

#

-

@

!

.

@

!

/

@

$#

@%$

!

)

!

'

$所确定的平面方程!

'#

求三平面-('

.

(/%$

!

)-*

.

*/%&

!

-*)

.

*)/('%&

的交点!

+#

求平面-()

.

()/%$

与各坐标平面所围的四面体的体积!

,#

证明两平面$&-()

.

*)/%,

!

,-(

.

*/%$

平行!并求这两平面间距离!

"#+

!

空间直线及其方程

!"'"#

!

空间直线的方程

$#

空间直线的一般方程

空间直线:

可以看做是两个平面#

$

和#

)

的交线!

)$

高等数学#下册$

科

学出版社

职教技术出版中心

www.abook.cn

如果两个相交平面#

$

和#

)

的方程分别为"

$

-(#

$.

(8

$

/(B

$

%&

和"

)

-(#

).

(8

)

/(

B

)

%&

!那么直线:

上的任一点的坐标应同时满足这两个平面的方程!即应满足方程组

"

$

-

+

#

$.

+

8

$

/

+

B

$

6

&

"

)

-

+

#

).

+

8

)

/

+

B

)

6

1

2

3

&

!

!!

上述方程组叫做空间直线的一般方程!

)#

空间直线的点角式方程与参数方程

如果一个非零向量平行于一条已知直线!这个向量就叫做这条直线的方向向量!

!

图"#$,

当直线:

上一点1

&

#

-

&

!

.

&

!

/

&

$和它的一方向向量/%

#

C

!

&

!

D

$为

已知时!直线:

的位置就完全确定了!如图"#$,

所示!

设1

#

-

!

.

!

/

$在直线:

上的任一点!那么#

-*-

&

!

.

*

.

&

!

/*/

&

$

%

/

!

从而有

-

,

-

&

C

6

.

,

.

&

&

6

/

,

/

&

D

!

这就是直线:

的方程!叫做直线的对称式方程或点向式方程!

注!当C

"

&

"

D

中有一个为零"例如C%&

"而&

"

D

*

&

时"这方程组应理解为

-

,

-

&

6

&

.

,

.

&

&

6

/

,

/

&

1

2

3

D

!

!!

直线的任一方向向量/

的坐标C

"

&

"

D

叫做这直线的一组方向数!而向量/

的方向余弦叫

做该直线的方向余弦!

由直线的对称式方程容易导出直线的参数方程!

设-*-

&

C

%

.

*

.

&

&

%

/*/

&

D

%E

!得方程组

-

6

-

&

+

CE

.

6

.

&

+

&E

/

6

/

&

+

D

1

2

3

E

!

此方程组称为直线的参数方程!

例#

!

用对称式方程及参数方程表示直线-(

.

(/%'

)-*

.

('/

+

%+

!

解!

先求直线上的一点!

取-%$

!有

.

+

/

6

)

!

,

.

+

'/

6

)

+

!

解此方程组!得.

%$

!

/%$

!即#

$

!

$

!

$

$为直线上的一点!

再求这直线的方向向量/!

以平面-(

.

(/%*$

和)-*

.

('/%+

的法线向量的向量积

作为直线的方向向量/

!则

/

6

#

&

+

'

+

(

$

;

#

)&

,

'

+

'(

$

6

&

'

(

$ $ $

)

,

$ '

6

+&

,

'

,

'(!

因此!所给直线的对称式方程为

'$

第"

章!

向量代数与空间解析几何

-

,

$

+

6

.

,

$

,

$

6

/

,

$

,

'

!

!!

令-*$

+

%

.

()

*$

%

/

*'

%E

!得所给直线的参数方程为

-

6

$

+

+E

.

6

$

,

E

/

6

$

,

'

1

2

3

E

!

!"'"%

!

两直线的夹角

两直线的方向向量的夹角#通常指锐角$叫做两直线的夹角!

设直线:

$

和:

)

的方向向量分别为/

$

%

#

C

$

!

&

$

!

D

$

$和/

)

%

#

C

)

!

&

)

!

D

)

$!那么:

$

和:

)

的

夹角(

就是#

/

$

!

/

)

$和#

*/

$

!

/

)

$

%

)

*

#

/

$

!

/

)

$两者中的锐角!因此直线:

$

和:

)

的夹角(

满足

./0

(

6*

./0

#

/

$

!

/

)

$

*6

*

C

$

C

)

+

&

$

&

)

+

D

$

D

)

*

C

)

$

+

&

)

$

+

D槡)

$

*

C

)

)

+

&

)

)

+

D槡)

)

!

从两向量垂直"平行的充分必要条件立即推得下列结论%

设有两直线:

$

%

-*-

$

C

$

%

.

*

.

$

&

$

%

/*/

$

D

$

!

:

)

%

-*-

)

C

)

%

.

*

.

)

&

)

%

/*/

)

D

)

!则

:

$

.

:

)

-

C

$

C

)

+

&

$

&

)

+

D

$

D

)

6

&

&

:

$

%

:

)

-

C

$

C

)

6

&

$

&

)

6

D

$

D

)

!

!!

例%

!

求直线:

$

%

-*$

$

%

.

*+

%

/('

$

和:

)

%

-

)

%

.

()

*)

%

/

*$

的夹角!

解!

两直线的方向向量分别为/

$

%

#

$

!

*+

!

$

$和/

)

%

#

)

!

*)

!

*$

$

!

设两直线的夹角为(

!

则

./0

(

6

*

$

;

)

+

#

,

+

$

;

#

,

)

$

+

$

;

#

,

$

$

*

$

)

+

#

,

+

$

)

+

$槡)

*

)

)

+

#

,

)

$

)

+

#

,

$

$槡)

6

$

槡)6

槡))

!

所以(

%

)

+

!

!"'"&

!

直线与平面的夹角

当直线与平面不垂直时!直线和它在平面上的投影直线的夹角(

称为直线与平面的夹角!

当直线与平面垂直时!规定直线与平面的夹角为)

)

!

图"#$-

!

设直线的方向向量/%

#

C

!

&

!

D

$!平面的法线向量为#%

#

"

!

#

!

8

$!直线与平面的夹角为(

!如图"#$-

所示!那么(

%

)

)

*

#

/

!

#

$!因此

045

(

6*

./0

#

/

!

#

$

*6

*

"C

+

#&

+

8

D

*

"

)

+

#

)

+

8槡)

*

C

)

+

&

)

+

D槡)

!!

设直线:

的方向向量为#

C

!

&

!

D

$!平面#

的法线向量为#

"

!

#

!

8

$!由向量的垂直与平行的关系知

+$

高等数学#下册$

科

学出版社

职教技术出版中心

www.abook.cn

:

.

#-

"

C

6

#

&

6

8

D

&

:

%

#-

"C

+

#&

+

8

D

6

&!

!!

例&

!

求过点#

$

!

*)

!

+

$且与平面)-*'

.

(/*+%&

垂直的直线的方程!

解!

平面的法线向量#

)

!

*'

!

$

$即为所求直线的方向向量!

由此可得所求直线的方程为

-

,

$

)

6

.

+

)

,

'

6

/

,

+

$

!

!!

例'

!

求点1

&

#

-

&

!

.

&

!

-

&

$到平面"-(#

.

(8/(B%&

的距离!

解!

点到平面的距离即为点到垂足的距离!

过点1

&

垂直于平面"-(#

.

(8/(B%&

的

直线方程为:

%

-*-

&

"

%

.

*

.

&

#

%

/*/

&

8

!

其参数方程为

-

6

-

&

+

"E

.

6

.

&

+

#E

/

6

/

&

+

1

2

3

8E

!

代入平面方程得E

&

%*

"-

&

(#-

&

(8-

&

(B

"

)

(#

)

(8

)

!则垂足为1

$

#

-

&

("E

&

!

.

&

(#E

&

!

-

&

(8E

&

$!所

以!点到平面的距离为

A

6

#

-

&

+

"E

&

,

-

&

$

)

+

#

.

&

+

#E

&

,

.

&

$

)

+

#

/

&

+

8E

&

,

/

&

$槡)

6

*

"-

&

+

#

.

&

+

8/

&

+

B

*

"

)

+

#

)

+

8槡)

!

!!

另外!点到平面的距离也可以从点到平面上任一点距离的最小值方面来考虑!

请读者自行讨论两平面的"两直线的"直线与平面的距离!

例(

!

求点"

#

$

!

)

!

'

$到直线-

$

%

.

*+

*'

%

/*'

*)

的距离!

解!

设-

$

%

.

*+

*'

%

/*'

*)

%E

!则直线上任一点#

的坐标为-%E

!

.

%+*'E

!

/%'*)E

!

"

到

#

的距离的平方为

A

)

6

#

E

,

$

$

)

+

#

)

,

'E

$

)

+

#

,

)E

$

)

6

$+E

)

,

$+E

+

,

!

其最小值为'

)

!

有点到直线的距离为点到直线的距离的最小值!则所求距离为槡'

)

!

例,

!

求过点#

)

!

$

!

)

$且与直线-*)

$

%

.

*'

$

%

/*+

)

垂直相交的直线的方程!

解!

过已知点与已知直线相垂直的平面的方程为

#

-

,

)

$

+

#

.

,

$

$

+

)

#

/

,

)

$

6

&

!

!

即-

+

.

+

)/

6

"

!

!!

设-*)

$

%

.

*'

$

%

/*+

)

%E

!则直线的参数方程为-%)(E

!

.

%'(E

!

/%+()E

!代入上述平

面方程得E%*$

!则平面与已知直线的交点为#

$

!

)

!

)

$#即为垂足坐标!从而易得点到直线的

距离!

与上例比较$

!

所求直线的方向向量为

/

6

#

$

!

)

!

)

$

,

#

)

!

$

!

)

$

6

#

,

$

!

$

!

&

$!

所求直线的方程为

,$

第"

章!

向量代数与空间解析几何

-

,

)

,

$

6

.

,

$

$

6

/

,

)

&

!

!

即

-

,

)

,

$

6

.

,

$

$

/

,

)

6

1

2

3

&

!

!"'"'

!

平面束

设直线:

的一般方程为

"

$

-

+

#

$.

+

8

$

/

+

B

$

6

&

"

)

-

+

#

).

+

8

)

/

+

B

)

6

1

2

3

&

!

其中系数"

$

"

#

$

"

8

$

与"

)

"

#

)

"

8

)

不成比例!

考虑三元一次方程%

"

$

-

+

#

$.

+

8

$

/

+

B

$

+!

#

"

)

-

+

#

).

+

8

)

/

+

B

)

$

6

&

!

即

#

"

$

+!

"

)

$

-

+

#

#

$

+!

#

)

$

.

+

#

8

$

+!

8

$

$

/

+

B

$

+!

B

)

6

&

!

图"#$"

!

其中!

为任意常数!

因为系数"

$

"

#

$

"

8

$

与"

)

"

#

)

"

8

)

不成比例!所

以对于任何一个!

值!上述方程的系数不全为零!从而它表示一个平

面!

对于不同的!

值!所对应的平面也不同!而且这些平面都通过直

线:

!如图"#$"

所示!

一般的称通过定直线的所有平面的全体为平

面束!

上述三元一次方程就是通过直线:

的平面束方程!

例!

!

求直线-(

.

*/*$%&

-*

.

(/

+

($%&

在平面-(

.

(/%&

上的投影直线的方程!

解!

设过直线-(

.

*/*$%&

-*

.

(/

+

($%&

的平面束的方程为

#

-

+

.

,

/

,

$

$

+!

#

-

,

.

+

/

+

$

$

6

&

!

即

#

$

+!

$

-

+

#

$

,!

$

.

+

#

,

$

+!

$

/

+

#

,

$

+!

$

6

&

!

其中!

为待定的常数!

这平面与平面-(

.

(/%&

垂直的条件是

#

$

+!

$

*

$

+

#

$

,!

$

*

$

+

#

,

$

+!

$

*

$

6

&

!

即!

%*$!

将!

%*$

代入平面束方程得投影平面的方程为)

.

*)/*)%&

!即.

*/*$%&!

所

以投影直线的方程为

.

,

/

,

$

6

&

-

+

.

+

/

6

+

&

!

习题!"'

#

)

$

$#

求过点#

'

!

*$

!

)

$且平行于直线-*'

+

%

.

%

/*$

'

的直线方程!

)#

求过两点#

)

!

*$

!

,

$和#

*$

!

&

!

-

$的直线方程!

'#

用对称式和参数式方程表示直线)-*

.

*'/()%&

-()

.

*/

+

*-%&

!

+#

求过点#

$

!

)

!

$

$且于两直线-()

.

*/($%&

-*

.

(/

+

*$%&

和)-*

.

(/%&

-*

.

(/

+

%&

平行的平面方程!

-$

高等数学#下册$

科

学出版社

职教技术出版中心

www.abook.cn

,#

确定下列各组中直线与平面的关系!

#

$

$

-('

*)

%

.

(+

*"

%

/

,

和-*

.

*/($%&

&

#

)

$

-

'

%

.

*)

%

/

1

和'-*)

.

("/%1

&

#

'

$

-*)

'

%

.

()

$

%

/*'

*+

和-(

.

(/%'!

-#

求点#

*$

!

)

!

3

$在平面-()

.

*/($%&

上的投影!

"#

分别求直线)

.

('/*,%&

-*)

.

*/

+

("%&

在.

)/

平面内和平面-*

.

('/(1%&

内的投影方程!

1#

求点#

$

!

)

!

'

$到平面,-()

.

*/('%&

的距离!

#

*

$

$#

求过点#

*$

!

&

!

+

$且平行于平面'-*+

.

(/*$&%&

又与直线-($

$

%

.

*'

$

%

/

)

相交的

直线的方程!

)#

求通过点2

#

$

!

&

!

*)

$且与两直线-*

.

%$

-*/

+

%)

!

-(

.

%$

/

+

%*$

垂直的直线方程!

'#

求点#

*$

!

)

!

&

$在平面)-*'

.

('/%$+

上的投影!

+#

求与原点关于平面--()

.

*3/($)$%&

对称的点!

,#

求与两直线-%'/*$

.

%)/

+

*'

!

.

%)-*,

/%-

+

*$

垂直相交的直线方程!

"#,

!

曲面及其方程

!"("#

!

曲面方程的概念

在日常生活中常会看到各种曲面!如灯泡的表面"杯具的表面"锥面"球面等!

像在平面解

析几何中把平面曲线看做动点的轨迹一样!在空间解析几何中!任何曲面也可以看做动点的几

何轨迹!

在这样的意义下!如果曲面<

与三元方程

'

#

-

!

.

!

/

$

6

&

有下述关系%

#

$

$曲面<

上任一点的坐标都满足方程'

#

-

!

.

!

/

$

%&

&

#

)

$不在曲面<

上的点的坐标都不满足方程'

#

-

!

.

!

/

$

%&!

那么!方程'

#

-

!

.

!

/

$

%&

就叫做曲面<

的方程!而曲面<

就叫做方程'

#

-

!

.

!

/

$

%&

的图形

"像#

!

下面列出几个常见的曲面的方程!

例#

!

求球心在点2

&

#

-

&

!

.

&

!

/

&

$半径为5

的球面的方程!

解!

设2

#

-

!

.

!

/

$是球面上的任一点!那么$

2

&

2

$

%5!

即

#

-

,

-

&

$

)

+

#

.

,

.

&

$

)

+

#

/

,

/

&

$槡)

6

5

!

或

"$

第"

章!

向量代数与空间解析几何

图"#$1

!

#

-

,

-

&

$

)

+

#

.

,

.

&

$

)

+

#

/

,

/

&

$

)

6

5

)

!

!!

这就是球面上的点的坐标所满足的方程!

而不在球面上的点的

坐标都不满足这个方程!

所以

#

-

,

-

&

$

)

+

#

.

,

.

&

$

)

+

#

/

,

/

&

$

)

6

5

)

!

就是球心为点2

&

#

-

&

!

.

&

!

/

&

$"半径为5

的球面的方程!如图"#$1

所示!

特殊地!球心在原点)

#

&

!

&

!

&

$"半径为5

的球面的方程为

-

)

+

.

)

+

/

)

6

5

)

!

!!

例%

!

方程-

)

(

.

)

(/

)

*)-(+

.

%&

表示怎样的曲面-

解!

通过配方!原方程可以改写成

#

-

,

$

$

)

+

#

.

+

)

$

)

+

/

)

6

,!

这是一个球面方程!球心在点1

&

#

$

!

*)

!

&

$"半径为5 槡% ,!

一般地!设有三元二次方程

"-

)

+

"

.

)

+

"/

)

+

B-

+

F

.

+

'/

+

G

6

&

!

这个方程的特点是缺-

.

!

.

/

!

/-

各项!而且平方项系数相同!只要将方程经过配方就可以化成

方程

#

-

,

-

&

$

)

+

#

.

,

.

&

$

)

+

#

/

,

/

&

$

)

6

5

)

!

的形式!它的图形就是一个球面!

例&

!

求与原点)

及点1

&

#

)

!

'

!

+

$的距离之比为$7)

的点的全体所构成的曲面的方程!

解!

设1

#

-

!

.

!

/

$是曲面上的任一点!那么$

1)

$

$

11

&

$

%

$

)

!即

-

)

+

.

)

+

/槡)

#

-

,

)

$

)

+

#

.

,

'

$

)

+

#

/

,

+

$槡)

6

$

)

!!

整理得

-

+

# $

)

'

)

+

#

.

+

$

$

)

+

/

+

# $

'

+

)

6

$$-

3

!

!!

则此曲面为球面!

思考%一般的到空间内#平面内$两定点距离之比#积$为定值的点的轨迹是什么!

!"("%

!

旋转曲面

以一条平面曲线绕其平面上的一条定直线旋转一周所成的曲面叫做旋转曲面!这条定直

!

图"#$3

线叫做旋转曲面的轴!

设在.

)/

坐标面上有一已知曲线8

!它的方程为

H

#

.

!

/

$

6

&

!

把这曲线绕/

轴旋转一周!就得到一个以/

轴为轴的旋转曲面!

它的方程可以求得如下%

设2

#

-

!

.

!

/

$为曲面上任一点!它是曲线8

上点2

&

#

&

!

.

$

!

/

$

$绕/

轴旋转而得到的!如图"#$3

所示!

因此有如下关系等式

H

#

.

$

!

/

$

$

6

&

!

!

/

6

/

$

!

!*

.

$

*6

-

)

+

.槡)

!

从而得H

#

6 -

)

(

.槡)

!

/

$

%&

!这就是所求旋转曲面的方程!

1$

高等数学#下册$

科

学出版社

职教技术出版中心

www.abook.cn

在曲线8

的方程H

#

.

!

/

$

%&

中将.

改成6 -

)

(

.槡)

!便得曲线8

绕/

轴旋转所成的旋转

曲面的方程H

#

6 -

)

(

.槡)

!

/

$

%&!

同理!曲线8

绕.

轴旋转所成的旋转曲面的方程为

H

#

.

!

I

-

)

+

/槡)

$

6

&!

!

图"#)&

!!

例'

!

如图"#)&

所示!直线:

绕另一条与:

相交的直线旋转

一周!所得旋转曲面叫做圆锥面!

两直线的交点叫做圆锥面的顶

点!两直线的夹角$

&

)$)

)

# $

)

叫做圆锥面的半顶角!

试建立顶点

在坐标原点)

!旋转轴为/

轴!半顶角为$

的圆锥面的方程!

解!

在.

)/

坐标面内!直线:

的方程为

/

6

.

./8

$

!

将方程/%

.

./8

$

中的.

改成6 -

)

(

.槡)

!就得到所要求的圆锥面

的方程/

)

%$

)

#

-

)

(

.

)

$!其中$%./8

$

!

特别的$%$

时!半顶角$

%

)

+

!对应的圆锥面方程为

/

)

6

-

)

+

.

)

!

!!

例(

!

求以下旋转曲面的方程!

#

$

$将/)-

坐标面上的双曲线-)

$

)

*

/

)

=

)

%$

绕-

轴旋转一周&

#

)

$将/)-

坐标面上的双曲线-)

$

)

*

/

)

=

)

%$

绕-

轴旋转一周&

#

'

$将/)

.

坐标面上的抛物线.

)

%)

D

/

!

D

(

&

绕/

轴旋转一周!

解!

#

$

$绕-

轴旋转所成的旋转曲面的方程为

-

)

$

)

,

.

)

+

/

)

=

)

6

$

!

这种曲面叫做双叶旋转双曲面!

#

)

$绕/

轴旋转所成的旋转曲面的方程为

-

)

+

.

)

$

)

,

/

)

=

)

6

$

!

这种曲面叫做单叶旋转双曲面!

#

'

$绕/

轴旋转所成的旋转曲面的方程为

-

)

+

.

)

6

)

D

/

!

这种曲面叫做旋转抛物面!

请读者画出这三个图!

!"("&

!

柱面

平行于定直线并沿定曲线8

移动的直线:

形成的轨迹叫做柱面!定曲线8

叫做柱面的准

线!动直线:

叫做柱面的母线!如图"#)$

所示!

主要讨论母线平行坐标轴的柱面!

如方程-

)

(

.

)

%5

) 表示母线平行/

轴的柱面!

事实上!方程-

)

(

.

)

%5

) 在-)

.

面上表示圆!

在空间直角坐标系中!这方程不含竖坐标

/

!即对任意的坐标/

!只要它的横坐标-

和纵坐标.

能满足这方程!那么这些点就在这曲面

3$

第"

章!

向量代数与空间解析几何

上!

也就是说!过-)

.

面上的圆-

)

(

.

)

%5

)

!且平行于/

轴的直线在-

)

(

.

)

%5

) 表示的曲面

上!

所以这个曲面可以看成是由平行于/

轴的直线J

沿-)

.

面上的圆-

)

(

.

)

%5

) 移动而形

成的!

所以这曲面是柱面!

-)

.

面上的圆-

)

(

.

)

%5

) 叫做它的准线!因此这个曲面也称为圆

柱面!平行于/

轴的直线J

叫做它的母线!如图"#))

所示!

上面我们看到!不含/

的方程-

)

(

.

)

%5

) 在空间直角坐标系中表示圆柱面!它的母线平

行于/

轴!它的准线是-)

.

面上的圆-

)

(

.

)

%5

)

!

一般地!只含-

"

.

的方程'

#

-

!

.

$

%&

!在空间直角坐标系中表示母线平行于/

轴的柱面!

其准线是-)

.

面上的曲线8

%

'

#

-

!

.

$

%&!

例如!方程.

)

%)-

表示母线平行于/

轴的柱面!它的准线是-)

.

面上的抛物线.

)

%)-

!

该柱面叫做抛物柱面!如图"#)'

所示!

图"#)$

!!!

图"#))

!!!

图"#)'

!"("'

!

二次曲面

与平面解析几何中规定的二次曲线相类似!把三元二次方程所表示的曲面叫做二次曲面!

怎样了解三元方程'

#

-

!

.

!

/

$

%&

所表示的曲面的形状呢-方法之一是用坐标面和平行

于坐标面的平面与曲面相截!考察其交线的形状!然后加以综合!从而了解曲面的立体形状!

这

种方法叫做截痕法!也可以由已知的图形在某个方向上伸缩或变化来理解!

$#

椭圆锥面

由方程-)

$

)

(

.

)

%

)

%/

) 所表示的曲面称为椭圆锥面!

把圆锥曲面平行-)

.

平面的截线由圆变为椭圆而得的曲面!

与三个坐标平面的交线有两

个是相交直线!有一个是椭圆!如图"#)+

所示!

)#

椭球面

由方程-)

$

)

(

.

)

%

)

(

/

)

=

)

%$

所表示的曲面称为椭球面!

把球面在-

轴"

.

轴或/

轴方向伸缩而得的曲面&或者把球面在平行三个坐标平面的截线

全变为椭圆而得的曲面!

三个坐标平面与此曲面的交线全是椭圆!如图"#),

所示!

&)

高等数学#下册$

科

学出版社

职教技术出版中心

www.abook.cn

图"#)+

!!!!!!

图"#),

'#

单叶双曲面

由方程-)

$

)

(

.

)

%

)

*

/

)

=

)

%$

所表示的曲面称为单叶双曲面!

把/)-

面上的双曲线-)

$

)

*

/

)

=

)

%$

绕/

轴旋转!得旋转单叶双曲面-

)

(

.

)

$

)

*

/

)

=

)

%$

&再把平

行-)

.

平面的截线由圆变为椭圆而得的曲面!即是单叶双曲面-)

$

)

(

.

)

%

)

*

/

)

=

)

%$!

与三个坐标平

面的交线有两个是双曲线!有一个是椭圆!如图"#)-

所示!

+#

双叶双曲面

由方程-)

$

)

*

.

)

%

)

*

/

)

=

)

%$

所表示的曲面称为双叶双曲面!

把/)-

面上的双曲线-)

$

)

*

/

)

=

)

%$

绕-

轴旋转!得旋转双叶双曲面-)

$

)

*

/

)

(

.

)

=

)

%$

&再把平

行/)

.

平面的截线由圆变为椭圆而得的曲面!即得双叶双曲面-)

$

)

*

.

)

%

)

*

/

)

=

)

%$!

与三个坐标平

面的交线也是有两个是双曲线!有一个是椭圆#所以这两种曲面称双曲面$!如图"#)"

所示!

图"#)-

!!!!

图"#)"

,#

椭圆抛物面

由方程-)

$

)

(

.

)

%

)

%/

所表示的曲面称为椭圆抛物面!

$)

第"

章!

向量代数与空间解析几何

把/)-

面上的抛物线-)

$

)

%/

绕/

轴旋转!所得曲面叫做旋转抛物面-

)

(

.

)

$

)

%/

!再平行

-)

.

平面的截线由圆变为椭圆而得的曲面即为椭圆抛物面-)

$

)

(

.

)

%

)

%/!

与三个坐标平面的交

线有两个是抛物线!有一个是椭圆!形状像一个正放的碗!如图"#)1

所示!

此曲面在以后用的

较多!

-#

双曲抛物面

由方程-)

$

)

*

.

)

%

)

%/

所表示的曲面称为双曲抛物面!

用平面-%E

截此曲面!所得截痕J

为平面-%E

上的抛物线%

*

.

)

%

)

%/*

E

)

$

)

!此抛物线开口

朝下!其顶点坐标为E

!

&

!

E

)

$

# $

)

!

当E

变化时!

J

的形状不变!位置只作平移!而J

的顶点的轨迹:

为平面.

%&

上的抛物线%

/%

-

)

$

)

!

因此!以J

为母线!

:

为准线!母线J

的顶点在准线:

上滑动!

且母线作平行移动!这样得到的曲面便是双曲抛物面!

其形状像马鞍!因此双曲抛物面又称马

鞍面!如图"#)3

所示!

与三个坐标平面的交线有两个是抛物线!有一个是双曲线#所以这两种

曲面称双曲面$

!-

.

%/

表示的曲面也是双曲抛物面!把-

)

*

.

)

%/

旋转+,9

即得!

图"#)1

!!!!!!

图"#)3

习题!"(

#

)

$

$#

一动点与定点#

)

!

'

!

$

$和#

+

!

,

!

-

$等距离!求该动点的轨迹方程!

)#

将-)/

坐标平面上抛物线/

)

%,-

绕-

轴旋转旋转一周!求所生成旋转曲面的方程!

'#

方程.

%-

)

($

分别在平面直角坐标系和空间直角坐标系里表示什么图形!

+#

方程.

)

()-

)

%)/

和.

)

(+-

)

%/

) 分别表示什么图形!

,#

指出下列方程在空间解析几何中所表示什么曲面或曲线!

#

$

$

/%-

.

&

#

)

$

-

)

(

.

)

(/

)

*)-(+

.

()/%&

&

#

'

$

.

%,-($

.

%)-

+

*'

&

))

高等数学#下册$

科

学出版社

职教技术出版中心

www.abook.cn

#

+

$

-

)

+

(

.

)

3

%$

.

1

2

3

%)

&

#

,

$

-

)

+

(

.

)

3

%$

-(

.

(/

1

2

3

%$

!

#

*

$

$#

求平行于平面-(

.

(/%$&&

且与球面-

)

(

.

)

(/

)

%+

相切的平面方程!

)#

画出下列方程表示的图形!

#

$

$

+-

)

(

.

)

*)/

)

%+

&#

)

$

-

)

*

.

)

*)/

)

%+

&#

'

$

-

)

()

.

)

*)/%&!

'#

画出下列曲面所围立体图形!

#

$

$

-%&

!

.

%&

!

/%&

!

-%)

!

.

%$

!

'-(+

.

()/%$)

&

#

)

$

-%&

!

/%&

!

-%$

!

.

%)

!

.

%+/

&

#

'

$

/%&

!

/%'

!

-%

.

!

-% '槡!

-

)

(

.

)

%$

!在第一卦限内!

"#-

!

空间曲线及其方程

!","#

!

空间曲线的一般方程

!

图"#'&

空间曲线可以看做两个曲面的交线!

设'

#

-

!

.

!

/

$

%&

和G

#

-

!

.

!

/

$

%&

是两个曲面方程!它们的交线为8!

因为曲线8

上的任何点的

坐标应同时满足这两个方程!所以应满足方程组

'

#

-

!

.

!

/

$

6

&

G

#

-

!

.

!

/

$

6

+

&

!

!!

上述方程组叫做空间曲线8

的一般方程!

例#

!

讨论方程组-

)

(

.

)

%$

'-()/

+

%-

表示的曲线!

解!

方程组中第一个方程表示母线平行于/

轴的圆柱面!方程组

中第二个方程表示一个平面!

方程组就表示上述平面与圆柱面的交

线!如图"#'&

所示!

图"#'$

!

例%

!

讨论方程组-

)

(

.

)

(/

)

%$

)

-

)

(

.

)

%

1

2

3

$-

表示的曲线!

解!

方程组中第一个方程表示球心在原点)

!半径为$

的球

面!第二个方程表示母线平行于/

轴的圆柱面!这圆的圆心在点

$

)

!

# $

&

!半径为$

)

!

方程组就表示上述球面与圆柱面的交线!

此

曲线称为维维安尼"

-./.01.

#曲线!

含在球面内的柱体称为维维安

尼体!

此图形在以后应用较多!

图"#'$

表示的是上半球面内的

图形!

')

第"

章!

向量代数与空间解析几何

!","%

!

空间曲线的参数方程

空间曲线8

的方程除了一般方程之外!也可以用参数形式表示!只要将8

上动点的坐标

-

"

.

"

/

表示为参数E

的函数%

-

6

-

#

E

$

.

6

.

#

E

$

/

6

/

#

E

1

2

3

$

!

当给定E%E

$

时!就得到8

上的一个点#

-

$

!

.

$

!

/

$

$&随着E

的变动便得曲线8

上的全部点!

上述

方程组叫做空间曲线的参数方程!

在物理的运动学中-

"

.

"

/

可理解为物体空间运动的分位移

或分速度等!

例&

!

如果空间一点1

在圆柱面-

)

(

.

)

%$

) 上以角速度)

绕/

轴逆时针旋转!同时又以

图"#')

!

线速度K

沿平行于/

轴的正向上升#其中)

"

K

都是常数$!那么点

1

构成的图形叫做螺旋线!如图"#')

所示!

试建立其参数方程!

解!

取时间E

为参数!

设当E%&

时!动点位于-

轴上的一点

"

#

$

!

&

!

&

$处!

经过时间E

!动点由"

运动到1

#

-

!

.

!

/

$

!

记1

在

-)

.

面上的投影为1L

!

1L

的坐标为#

-

!

.

!

&

$

!

由于动点在圆柱面

上以角速度)

绕/

轴旋转!经过时间E

!

/

")1L%

)

E!

从而-%

$

)1L

$

./0

/

")1L%$./0

)

E

!

.

%

$

)1L

$

045

/

")1L%$045

)

E

!由于

动点同时以线速度K

沿平行于/

轴的正方向上升!所以/%11L%

KE!

因此螺旋线的参数方程为

-

6

$./0

)

E

.

6

$045

)

E

/

6

1

2

3

KE

!

也可以用其他变量作参数!

例如令'

%

)

E

!则螺旋线的参数方程可写为

-

6

$./0

'

.

6

$045

'

/

6

%

1

2

3

'

其中%%

K

)

!而参数为'

!

+

!","&

!

曲面的参数方程

曲面的参数方程通常是含两个参数的方程!形如

-

6

-

#

M

!

E

$

.

6

.

#

M

!

E

$

/

6

/

#

M

!

E

1

2

3

$

!

!!

例如方程组

-

6

$

+

E槡)

./0

'

.

6

$

+

E槡)

045

'

/

6

)

1

2

3

E

+)

高等数学#下册$

科

学出版社

职教技术出版中心

www.abook.cn

表示的曲面方程为#上式消E

和'

得$

-

)

(

.

)

%$(

/

)

+

!

又如球面-

)

(

.

)

(/

)

%$

) 可看成/)-

面上的半圆周

-

6

$045

(

.

6

&

/

6

$./0

1

2

3

(

!

#

&

'

(

'

)

$

绕/

轴旋转所得!故球面方程为

-

6

$045

(

./0

'

.

6

$045

(

045

'

/

6

$./0

1

2

3

(

!

#

&

'

(

'

)

!

&

'

'

'

)

)

$

!

!","'

!

空间曲线在坐标面上的投影

以曲线8

为准线"母线平行于/

轴的柱面叫做曲线8

关于-)

.

面的投影柱面!投影柱面

与-)

.

面的交线叫做空间曲线8

在-)

.

面上的投影曲线!或简称投影#类似地!可以定义曲

线8

在其他坐标面上的投影$

!

设空间曲线8

的一般方程为'

#

-

!

.

!

/

$

%&

G

#

-

!

.

!

/

$

+

%&

!设方程组消去变量/

后所得的方程为N

#

-

!

.

$

%&

!这就是曲线8

关于-)

.

面的投影柱面!

曲线8

在-)

.

面上的投影曲线的方程为

N

#

-

!

.

$

%&

/

+

%&

!

如螺旋线的关于-)

.

面的投影柱面为圆柱面%

-

)

(

.

)

%$

)

!在-)

.

面上的投影曲线为

-)

.

面上的圆-

)

(

.

)

%$

)

/

+

%&

!

例'

!

已知两球面的方程为-

)

(

.

)

(/

)

%$

和-

)

(

#

.

*$

$

)

(

#

/*$

$

)

%$

!求它们的交线

8

在-)

.

面上的投影方程!

解!

由-

)

(

#

.

*$

$

)

(

#

/*$

$

)

%$

和方程-

)

(

.

)

(/

)

%$

消去/

得

-

)

+

)

.

)

,

)

.

6

&!

这就是交线8

关于-)

.

面的投影柱面方程!

两球面的交线8

在-)

.

面上的投影方程为

-

)

()

.

)

*)

.

%&

/

+

%&

!

是一个在-)

.

面上的椭圆!

!

图"#''

例(

!

如图"#''

所示!求由上半球面/%

+*-

)

*

.槡)和锥面

'/%-

)

(

.

) 所围成立体在-)

.

面上的投影!

解!

由方程/% +*-

)

*

.槡)和

'/%-

)

(

.

) 消

去/

得到-

)

(

.

)

%'!

这是半球面与抛物面的交线8

关于-)

.

面的投影柱面!因此交线8

在-)

.

面上

的投影曲线为-

)

(

.

)

%'

/

+

%&

!

这是-)

.

面上的一个圆!于是所求立体在-)

.

面上的投影!就是该圆在-)

.

面上所围的部分%

-

)

(

.

)

'

'!

,)

第"

章!

向量代数与空间解析几何

习题!",

#

)

$

$#

画出下列曲线在第一卦限内图形!

#

$

$

-%

.

/%3*-

)

*

.

+

)

&

!

#

)

$

/%1

/%-

)

*+

.

+

)

&

!

#

'

$

.

%$

'-*3/

)

%-

)

*+

.

+

)

!

)#

分别求母线平行于-

轴和.

轴且通过曲线)-

)

(

.

)

(/

)

%$-

-

)

(/

)

*

.

)

1

2

3

%&

的柱面方程!

'#

求曲线.

%/*$

-

)

(/

)

('

.

/*)-('/

+

%'

在-)/

平面上的投影方程!

+#

将曲线.

%-

-

)

(/

)

('

.

)

+

%+

化为参数方程!

#

*

$

$#

画出-(

.

%

$

)

与-

)

(

.

)

(/

)

%$

) 的交线!

)#

画出-

)

(

.

)

(/

)

%$

) 与-

$

(

/

%

%$

的交线!

$

!

%

(

&!

'#

求两曲面-

)

(

.

)

%$-

!

-

)

(

.

)

(/

)

%$

) 交线的参数方程!

复 习 题"

$#

设$

!("

$

%

$

!*"

$

!

!%

#

'

!

*,

!

1

$!

"%

#

*$

!

$

!

/

$!

/% !

)#

设!%

#

)

!

$

!

)

$!

"%

#

+

!

*$

!

$&

$!

%%"*

!

!

!且!

.

%

!则!

% !

'#

既垂直于向量!%

#

$

!

)

!

'

$!又垂直于-

轴的单位向量是!

+#

已知矢量!%

#

-

!

&

!

-

$!

"%

#

+

!

'

!

&

$!

%%

#

)

!

*$

!

'

$!则以矢量!

!

"

!

%

为棱的四面体的体

积为!

,#

证明%

!

!

"

!

%

共面充分必要条件是"2%

!

%2!

!

!2"

共面!

-#

求过原点!且垂直于二平面-*

.

(/%"

和'-()

.

*$)/(,%&

的平面!

"#

求点#

$

!

)

!

'

$到直线-

$

%

.

*+

*'

%

/*'

*)

的距离!

1#

在平面-(

.

(/($%&

内!求一直线!使其通过已知直线.

(/($%&

-()/

+

%&

与平面的交点!

且垂直已知直线!

3#

求锥面/% -

)

(

.槡)与抛物柱面

/

)

%)-

所围立体在三个坐标面上的投影!

$&#

求圆#

-*+

$

)

(

#

.

*"

$

)

(

#

/($

$

)

%'-

'-(

.

*/

+

%3

的圆心和半径!

$$#

求点#

'

!

*$

!

)

$到直线)-*

.

(/%+

-(

.

*/

+

($%&

的距离!

$)#

求两平行直线-*$

$

%

.

($

)

%

/

$

!

-*)

$

%

.

($

)

%

/*$

$

间距离!

$'#

求证两直线-($

'

%

.

*'

*$

%

/

$

!

-

$

%

.

*+

*'

%

/*'

*)

为异面直线!并求这两直线间距离!

-)

高等数学#下册$

科

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第2

章!

多元函数微分学

在前几章中!讨论的函数都是一元函数即一个因变量只和一个自变量之间的映射关系!

在

本章里!将讨论一个因变量与多个自变量的相互依赖关系!即多元函数!

在多元函数的研究中!

将以二元函数#一个因变量和两个自变量的映射$为主要研究对象!这不仅因为二元函数的许

多有关概念和方法有比较直观的解释!便于理解!而且这些概念和方法大多能自然推广到二元

以上的多元函数!

多元函数是一元函数的推广!

因此保留着一元函数的许多性质!但也由于自

变量由一个增加到多个!产生了一些新的内容!

1#$

!

多元函数的概念

2"#"#

!

平面点集

在平面上建立直角坐标后!平面上的点2

与有序实数对#

-

!

.

$建立了一一对应关系!今后

将有序实数对#

-

!

.

$与平面上的点2

看做是等同的!

这种确定了坐标系的平面!称为坐标平

面!记作5

)

!

坐标平面上满足某种条件O

的点的集合!称为平面点集!并记作

F

6

+#

-

!

.

$

*

#

-

!

.

$满足条件O

,

!

!!

例如!全平面上的点所组成的点集是

5

)

6

+#

-

!

.

$

*,:

)

-

)

+:

!

,:

)

.

)

+:

,

!

!!

平面上到点2

&

#

-

&

!

.

&

$的距离小于定长7

的点的集合是

F

6

+#

-

!

.

$

*

#

-

,

-

&

$

)

+

#

.

,

.

&

$

)

)

7

)

,

!

!!

与数轴上邻域概念类似!引入平面上点的邻域概念!

设2

&

#

-

&

!

.

&

$为坐标平面上一点!

*(

&

!称平面点集

+#

-

!

.

$

*

#

-

,

-

&

$

)

+

#

.

,

.

&

$槡)

)

*

,

为点2

&

#

-

&

!

.

&

$的*

邻域!记作P

#

2

&

!

*

$

!

在几何上!

P

#

2

&

!

*

$就是平面上以2

&

#

-

&

!

.

&

$为中

心!

*(

&

为半径的圆内部!

如果去掉中心2

&

#

-

&

!

.

&

$!点集

+#

-

!

.

$

*

&

)

#

-

,

-

&

$

)

+

#

.

,

.

&

$槡)

)

*

,

称为点2

&

#

-

&

!

.

&

$的去心邻域!记为P

9

#

2

&

!

*

$

!

如果不需要强调邻域的半径*

!则用P

#

2

&

$表示

点2

&

#

-

&

!

.

&

$的某个邻域!

下面利用邻域描述平面上的点与平面点集的关系!设F

4

5

) 为一平面点集!点2

是平面

上一点!则点2

与点集上之间必存在以下三种关系之一.

#

$

$如果存在点2

的某邻域P

#

2

$

4

F

!则称点2

为F

的内点!

#

)

$如果存在点2

的某一邻域P

#

2

$!使得P

#

2

$

5

F%

+

!则称点2

为F

的外点!

#

'

$如果点2

的任意邻域内!既含有F

内的点!又含有不属于F

的点!则称点2

为F

的

边界点!点集F

的全体边界点的集合!称为F

的边界!

点2

与点集F

的上述关系是/按点2

在F

内或在F

外0来划分的!此外!还可按点2

的邻

近处是否有F

中无穷多个点来划分!

#

$

$若在点2

的任何空心邻域内都含有F

中的点!则称点2

为F

的聚点&

#

)

$若2

6

F

!但存在某*(

&

!使得P

9

#

2

!

*

$

5

F%

+

!则称点2

是F

的孤立点!

例#

!

设平面点集F

为

F

6

+#

-

!

.

$

*

-

)

+

.

)

'

'

,

!

满足$

)

-

)

(

.

)

)

'

的一切点都是F

的内点&满足-

)

(

.

)

%$

或-

)

(

.

)

%'

的一切点是F

的界

点!点集F

连同它内圆边界上的一切点都是F

的聚点!

根据点集中所属点的特征!再定义一些重要的平面点集!

#

$

$如果点集F

的点都是F

的内点!则称F

为开集!

#

)

$如果点集F

的聚点都属于F

!则称F

为闭集!

#

'

$如果点集F

内的任何两点!都可用含于F

的折线连接起来!则称F

为连通集!

#

+

$非空连通的开集称为区域或开区域!

#

,

$开区域连同其边界所成的点集称为闭区域!

#

-

$对于平面点集F

!若存在某一正数7

!使得

F

4

P

#

Q

!

7

$!

其中Q

是坐标原点!则称F

是有界点集!一个点集如果不是有界集!则称它为无界集!

2"#"%

!

#

维空间

一般地!将二元有序实数组#

-

!

.

$的全体记为5

)

!将三元有序实数组#

-

!

.

!

/

$的全体记为

5

'

!自然!将&

元有序实数组#

-

$

!

-

)

!1!

-

&

$的全体记为5

&

!称其为&

维空间!每个&

元有序实

数组#

-

$

!

-

)

!1!

-

&

$称为&

维空间的点!当所有的-

@

#

@%$

!

)

!1!

&

$都为零时!称这样的点为

5

& 的坐标原点!

&

维空间5

& 中任意两点2

#

-

$

!

-

)

!1!

-

&

$和4

#

.

$

!

.

)

!1!

.

&

$的距离定义为

*

24

*6

#

.

$

,

-

$

$

)

+

#

.

)

,

-

)

$

)

+

1

+

#

.

&

,

-

&

$槡)

!

显然当&%$

!

)

!

'

时!上述规定与数轴上"平面上及空间中两点距离定义一致!

在&

维空间5

& 中!有了两点间距离的规定!就可把前面平面点集的一系列概念!都可推广

到5

& 中去!这里不再赘述!

2"#"&

!

多元函数的概念

在一些实际问题中!存在一个变量与多个变量的依赖关系!

例%

!

长方体的体积?

和它的长-

"宽.

和高/

之间具有关系

?

6

-

.

/

!#

-

(

&

!

.

(

&

!

/

(

&

$

!

!!

例&

!

一定量的理想气体的压强D

"体积?

和绝对温度O

之间具有关系

D

6

5O

?

!

这里5

为常数!

?

"

O

在点集+#

?

!

O

$

$

?

(

&

!

O

(

&

,内取值!

定义#

!

设B

是5

) 的一非空子集!若按照某一对应法则H

!

B

中每点2

#

-

!

.

$都有唯一确

定实数/

与之对应!则称H

为定义在B

上的二元函数!记作

/

6

H

#

-

!

.

$!#

-

!

.

$

6

B!

其中!变量-

"

.

称为自变量&

/

称为因变量&集合B

称为二元函数H

的定义域!全体函数值的

集合称为H

的值域!记作H

#

B

$!即

H

#

B

$

6

+

/

*

/

6

H

#

-

!

.

$!#

-

!

.

$

6

B

,

!

!!

关于二元函数的定义域!在讨论用算式表示的函数时!此函数的定义域为使这个算式有意

1)

高等数学#下册$

科

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义的所有点#

-

!

.

$的点集!

这样的定义域称为自然定义域!

如果此二元函数具有实际意义!定

义域由实际问题确定!

例函数/%;5

#

-(

.

$的定义域为B

#

H

$

%

+#

-

!

.

$

$

-(

.

(

&

,!是-)

.

平面上!由直线-(

.

%&

右上方确定的无界开区域!如图1#$

所示!

函数/%<=.045

#

-

)

(

.

)

$的定义域+#

-

!

.

$

-

)

(

.

)

'

$

,是平面上由圆-

)

(

.

)

%$

围成的有

界闭区域!

设<

表示长-

"宽.

的矩形的面积!则<%-

.

!其定义域为+#

-

!

.

$

$

-

(

&

!

.

(

&

,#由实际意

义确定$

!

设函数/%

H

#

-

!

.

$的定义域为B!

称点集

<

6

+#

-

!

.

!

/

$

*

/

6

H

#

-

!

.

$!#

-

!

.

$

6

B

,

为二元函数/%

H

#

-

!

.

$的图像!一般地!二元函数的图像为空间的曲面!如图1#)

所示!

图1#$

!!!!!!

图1#)

类似地!可定义三元函数R%

H

#

-

!

.

!

/

$!#

-

!

.

!

/

$

6

B

4

5

'

!及三元以上函数!一般地!

&

元函

数通常记作R%

H

#

-

$

!

-

)

!1!

-

&

$!#

-

$

!

-

)

!1!

-

&

$

6

B

4

5

&

!也可记作R%

H

#

2

$!

2

#

-

$

!

-

)

!1!

-

&

$

6

B

4

5

&

!

当&

&

)

时!

&

元函数统称为多元函数!

2"#"'

!

多元函数的极限

与一元函数的极限相类似!对于给定二元函数/%

H

#

-

!

.

$!#

-

!

.

$

6

B

!也可以考虑2

#

-

!

.

$

6

B

无限趋于定点2

&

#

-

&

!

.

&

$时!二元函数/%

H

#

-

!

.

$的函数值的发展趋势!

定义%

!

设二元函数/%

H

#

-

!

.

$在非空子集B

4

5

) 上有定义!

2

&

#

-

&

!

.

&

$为B

的聚点!

"

是常数!

若对任意,(

&

!存在*(

&

!当&

)

#

-*-

&

$

)

(

#

.

*

.

&

$槡)

)*

时!恒有

*

H

#

2

$

,

"

*6*

H

#

-

!

.

$

,

"

*

)

,

成立!则称"

为二元函数/%

H

#

-

!

.

$当2

#

-

!

.

$

6

B

趋于2

&

#

-

&

!

.

&

$时的极限!记作

;4>

#

-

!

.

$

"

#

-

&

!

.

&

$

H

#

-

!

.

$

6

"

或H

#

-

!

.

$

"

"

##

-

!

.

$

"

#

-

&

!

.

&

$$!

也记作

;4>

2

"

2

&

H

#

2

$

6

"

或H

#

2

$

"

"

#

2

"

2

&

$

!

!!

二元函数的极限与一元函数的极限具有相同的运算法则和性质!在此不再详细论述!

为了

区别于一元函数的极限!称二元函数的极限为二重极限!

+例'

!

证明%

;4>

#

-

!

.

$

"

#

$

!

)

$

)-

)

(-

.

*)-*

.

-*$

%+!

3)

第1

章!

多元函数微分学

证明!

当-

*

$

时!有

)-

)

+

-

.

,

)-

,

.

-

,

$

,

+

6*

)-

+

.

,

+

*6*

)-

,

)

+

.

,

)

*

'

)

*

-

,

$

*+*

.

,

)

*

成立!同时也有

*

-

,

$

*

'

#

-

,

$

$

)

+

#

.

,

)

$槡)

!

*

.

,

)

*

'

#

-

,

$

$

)

+

#

.

,

)

$槡)

成立!

所以当&

)

#

-*$

$

)

(

#

.

*)

$槡)

)*

时!有 )-

)

(-

.

*)-*

.

-*$

*+

)

'

*

!

于是对7,(

&

!

只要取*

%

,

'

(

&

!当&

)

#

-*$

$

)

(

#

.

*)

$槡)

)*

时!就有

)-

)

+

-

.

,

)-

,

.

-

,

$

,

+

)

,

!

由二重极限定义得

;4>

#

-

!

.

$

"

#

$

!

)

$

)-

)

+

-

.

,

)-

,

.

-

,

$

6

+!

!!

例(

!

求极限;4>

#

-

!

.

$

"

#

&

!

&

$

#

-

)

(

.

)

$

045

$

-

)

(

.

)

!

解!

令R%-

)

(

.

)

!则#

-

!

.

$

"

#

&

!

&

$时!

R

"

&!

;4>

#

-

!

.

$

"

#

&

!

&

$

#

-

)

+

.

)

$

045

$

-

)

+

.

)

6

;4>

R

"

&

R045

$

R

6

&!

!!

例,

!

求极限;4>

#

-

!

.

$

"

#

&

!

'

$

045

#

-

.

$

-

!

解

;4>

#

-

!

.

$

"

#

&

!

'

$

045

#

-

.

$

-

6

;4>

#

-

!

.

$

"

#

&

!

'

$

045

#

-

.

$

-

.

*

.

6

;4>

#

-

!

.

$

"

#

&

!

'

$

045

#

-

.

$

-

.

*

;4>

#

-

!

.

$

"

#

&

!

'

$

.

6

$

;

'

6

'!

!!

例!

!

证明函数

H

#

-

!

.

$

6

)-

.

-

)

+

.

)

!

-

)

+

.

)

*

&

&

!

-

)

+

.

)

6

1

2

3 &

在#

-

!

.

$

"

#

&

!

&

$时极限不存在!

证明!

取.

%(-

!

2

#

-

!

.

$沿着直线.

%(-

#

(

*

&

$趋于#

&

!

&

$时有

;4>

-

"

&

.

6

(-

H

#

-

!

.

$

6

;4>

-

"

&

)-

*

(-

-

)

+

(

)

-

)

6

)(

$

+

(

)

!

显然它是随着(

的值不同而改变!故;4>

#

-

!

.

$

"

#

&

!

&

$

H

#

-

!

.

$不存在!

但当2

#

-

!

.

$沿-

轴趋于#

&

!

&

$时!

;4>

#

-

!

.

$

"

#

&

!

&

$

H

#

-

!

.

$

6

;4>

-

"

&

H

#

-

!

&

$

6

;4>

-

"

&

&

6

&!

当2

#

-

!

.

$沿.

轴趋于#

&

!

&

$时!

;4>

#

-

!

.

$

"

#

&

!

&

$

H

#

-

!

.

$

6

;4>

."

&

H

#

&

!

.

$

6

;4>

-

"

&

&

6

&!

!!

由上例可知!二元函数极限;4>

#

-

!

.

$

"

#

-

&

!

.

&

$

H

#

-

!

.

$

%"

比一元函数极限;4>

-

"

-

&

H

#

-

$

%#

复杂!

极

限;4>

-

"

-

&

H

#

-

$

%#

是指-

从-

&

的左右两边无限趋于-

&

时!

H

#

-

$都无限接近于#

!从而有单侧极

限问题! ;4>

#

-

!

.

$

"

#

-

&

!

.

&

$

H

#

-

!

.

$

%"

是指#

-

!

.

$以任何方式趋于#

-

&

!

.

&

$时!函数值H

#

-

!

.

$都无限

&'

高等数学#下册$

科

学出版社

职教技术出版中心

www.abook.cn

接近于常数"

!即使#

-

!

.

$以某一特殊方式!例如!沿着一条定直线趋于#

-

&

!

.

&

$时!

H

#

-

!

.

$无

限接近于常数"

!但不能说;4>

#

-

!

.

$

"

#

-

&

!

.

&

$

H

#

-

!

.

$

%"

!故#

-

!

.

$以不同方式趋于#

-

&

!

.

&

$时!

H

#

-

!

.

$趋于不同的值!就可断定此二重极限不存在!

二元函数的极限概念!可相应地推广到&

元函数R%

H

#

-

$

!

-

)

!1!

-

&

$

!

2"#"(

!

多元函数的连续性

定义&

!

设/%

H

#

-

!

.

$为定义在B

上的二元函数!

2

&

#

-

&

!

.

&

$为B

的聚点!且2

&

6

B

!如果

;4>

#

-

!

.

$

"

#

-

&

!

.

&

$

H

#

-

!

.

$

6

H

#

-

&

!

.

&

$!

则称函数/%

H

#

-

!

.

$在点2

&

#

-

&

!

.

&

$处连续!

由极限定义若函数/%

H

#

-

!

.

$在点2

&

#

-

&

!

.

&

$处连续!则H

#

-

!

.

$

%

H

#

-

&

!

.

&

$

(

$

!其中$

为无穷小量!

如果函数/%

H

#

-

!

.

$在B

上每一点都连续!那么就称函数/%

H

#

-

!

.

$在B

上连续!或者

称/%

H

#

-

!

.

$为B

上的连续函数!

由函数/%'-(

.

在点#

$

!

)

$处的极限值等于,%

H

#

$

!

)

$!所以该函数在点#

$

!

)

$处连续!

如果/%

H

#

-

!

.

$在点2

&

#

-

&

!

.

&

$处不连续!则称/%

H

#

-

!

.

$在点2

&

#

-

&

!

.

&

$处间断!点

2

&

#

-

&

!

.

&

$称为此函数的间断点!

例如!函数H

#

-

!

.

$

%

)-

.

-

)

(

.

)

!

-

)

(

.

)

*

&

&

!

-

)

(

.

)

1

2

3 %&

在#

&

!

&

$处极限不存在!故H

#

-

!

.

$在#

&

!

&

$处

间断!点#

&

!

&

$为函数H

#

-

!

.

$的间断点!

与一元函数相似!二元连续函数经过有限次的四则运算和复合运算仍为二元连续函数!可

以证明!三元及三元以上的连续函数具有类似性质!

与一元初等函数相类似!二元初等函数是

由常量及-

和.

的基本初等函数经过有限次四则运算和复合运算生成且可用一个式子表示

的二元函数!例如!

;5

#

-( -

)

(

.槡)

$!

?

-045

.

!

-

. 等都是二元初等函数!一切二元初等函数在其定

义区域内是连续的!

利用这个结论!当求某个二元初等函数在其定义区域内某点的极限时!只要计算出它的函

数值即可!

例2

!

求极限;4>

#

-

!

.

$

"

#

&

!

$

$

(

?

-

)

(

.

)

045

#

-(

.

$)

!

解

;4>

#

-

!

.

$

"

#

&

!

$

$

(

?

-

)

+

.

)

045

#

-

+

.

$)

6

?

&

)

+

$

)

045

#

&

+

$

$

6

?045$!

!!

在有界闭区域B

上!连续的二元函数也有类似于闭区间上连续函数的定理!

定理#

!

在有界闭区域B

上连续的二元函数!必存在最大值与最小值!

定理%

"介值性定理#

!

在有界闭区域B

上连续的二元函数!若在B

上存在两个不等的函

数值!则介于这两个函数值之间的实数都是函数值!

习题2"#

#

)

$

$#

已知函数H

#

-

!

.

$

%-

)

(

.

)

*-

.

8<5

-

.

!求H

#

E-

!

E

.

$

!

$'

第1

章!

多元函数微分学

)#

已知函数H

#

R

!

K

!

S

$

%R

S

(S

R(K

!求H

#

-(

.

!

-*

.

!

-

.

$

!

'#

求下列函数的定义域!

#

$

$

/%;5

#

.

*-

)

$&

!!!!!!!!

#

)

$

/% -槡.

&

#

'

$

H

#

-

!

.

!

/

$

%

/

-

)

(

.

)

($

& #

+

$

H

#

-

!

.

$

%

-

)

(

.

)

-

)

*

.

)

!

+#

求下列各极限!

#

$

$

;4>

#

-

!

.

$

"

#

$

!

)

$

#

+-(

.

$& #

)

$

;4>

#

-

!

.

$

"

#

&

!

&

$

)* -

.槡 (+

-

.

&

#

'

$

;4>

#

-

!

.

$

"

#

&

!

&

$

045 -

)

(

.槡)

-

)

(

.槡)

& #

+

$

;4>

#

-

!

.

$

"

#

&

!

&

$

$*./0

#

-

)

(

.

)

$

#

-

)

(

.

)

$

?

-

)

.

)

&

#

,

$

;4>

#

-

!

.

$

"

#

$

!

&

$

;5

#

-(?

.

$

-

)

(

.槡)

& #

-

$

;4>

#

-

!

.

$

"

#

&

!

&

$

#

-(

.

$

./0

#

-

)

(

.

)

$

*$

!

#

*

$

$#

判断下列平面点集中哪些是开集"闭集"区域"有界集!并分别指出它们的聚点集和

边界!

#

$

$+#

-

!

.

$

$

$

'

-

'

)

!

'

'

.

'

,

,& #

)

$+#

-

!

.

$

$

$

)

-

)

(

.

)

)

+

,&

#

'

$+#

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!

.

$

$

.

(

-

)

,& #

+

$+#

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!

.

$

$

-

)

(

.

)

'

$

或.

%&

!

$

'

-

'

)

,

!

)#

求下列函数的定义域!

#

$

$

R%<=.045

/

-

)

(

.槡)

& #

)

$

/% 045

#

-

)

(

.

)

槡 $

!

'#

证明下列极限不存在!

#

$

$

;4>

#

-

!

.

$

"

#

&

!

&

$

-*

.

-(

.

& #

)

$

;4>

#

-

!

.

$

"

#

$

!

$

$

?

.

?

-

#

.

*$

$

!

+#

研究下列函数的连续性!

#

$

$

H

#

-

!

.

$

%

.

)

*)-

.

)

()-

& #

)

$

H

#

-

!

.

$

%

-

.

-

)

(

.槡)

!

1#)

!

偏!

导!

数

2"%"#

!

偏导数的定义及其计算法

对于一个给定&

元函数!固定&*$

个自变量!对剩余的一个自变量按一元函数求导!所得

的结果!就称为此&

元函数关于这个自变量的偏导数!

下面以二元函数为代表讨论多元函数的

偏导数的定义与其计算法!

定义!

设函数/%

H

#

-

!

.

$在点2

&

#

-

&

!

.

&

$的某一邻域内有定义!将.

固定为.

&

!

-

在-

&

处有增量*

-

!于是函数/%

H

#

-

!

.

$有相应的变量

*

-

/

6

H

#

-

&

+*

-

!

.

&

$

,

H

#

-

&

!

.

&

$

!

#

*

-

/

称为函数/%

H

#

-

!

.

$对-

的偏增量$

!

若极限

;4>

*

-

"

&

*

-

/

*

-

6

;4>

*

-

"

&

H

#

-

&

+*

-

!

.

&

$

,

H

#

-

&

!

.

&

$

*

-

)'

高等数学#下册$

科

学出版社

职教技术出版中心

www.abook.cn

存在!则称此极限值为函数/%

H

#

-

!

.

$在点2

&

#

-

&

!

.

&

$处对-

的偏导数!记作

H

-

#

-

&

!

.

&

$!

/

-

#

-

&

!

.

&

$!

+

/

+

-

#

-

&

!

.

&

$

或+

H

+

-

#

-

&

!

.

&

$

!

!!

类似地!函数/%

H

#

-

!

.

$在点2

&

#

-

&

!

.

&

$处对.

的偏导数为

;4>

*

."

&

H

#

-

&

!

.

&

+*

.

$

,

H

#

-

&

!

.

&

$

*

.

!

记作

H

.

#

-

&

!

.

&

$!

/

.

#

-

&

!

.

&

$!

+

/

+

.

#

-

&

!

.

&

$

或+

H

+

K

#

-

&

!

.

&

$

!

!!

如果函数/%

H

#

-

!

.

$在区域B

内的每一点#

-

!

.

$对-

的偏导数H

-

#

-

!

.

$都存在!则H

-

#

-

!

.

$

也是-

"

.

的函数!称此函数为函数/%

H

#

-

!

.

$关于-

的偏导函数!简称为偏导数!记作

H

-

!

/

-

!

+

/

+

-

!

+

H

+

-

或H

$

!

!!

同样可以定义函数/%

H

#

-

!

.

$关于.

的偏导函数!记作

H

.

!

/

.

!

+

/

+

.

!

+

H

+

.

或H

)

!

!!

二元函数的偏导数概念可以推广到二元以上的函数!

例如!三元函数R%

H

#

-

!

.

!

/

$在点

#

-

!

.

!

/

$处关于.

的偏导数为

H

.

#

-

!

.

!

/

$

6

;4>

*

."

&

H

#

-

!

.

+*

.

!

/

$

,

H

#

-

!

.

!

/

$

*

.

!

!!

从偏导数的定义可知!在求多元函数关于某个自变量的偏导数时!只需把其余自变量看做

常数!然后按照一元函数的求导公式来计算!

例#

!

求/%

H

#

-

!

.

$

%-

)

('-

.

(

.

) 在点#

$

!

)

$处的偏导数!

解!

方法一%令.

%)

!得H

#

-

!

)

$

%-

)

(--(+!

/

-

#

$

!

)

$

6

@

H

#

-

!

)

$

@-

-

6

$

6

#

)-

+

-

$

*

-

6

$

6

1!

!!

令-%$

!得H

#

$

!

.

$

%

.

)

('

.

($!

/

.

#

$

!

)

$

6

@

H

#

$

!

.

$

@-

.

6

)

6

#

)

.

+

'

$

*

.

6

)

6

"!

!!

方法二%把.

看做常量!得

+

/

+

-

6

)-

+

'

.

!

!!

把-

看做常量!得

+

/

+

.

6

'-

+

)

.

!

!!

将#

$

!

)

$代入得

+

/

+

-

#

$

!

)

$

6

1

!

!

+

/

+

.

#

$

!

)

$

6

"!

!!

例%

!

求/%-

.

#

-

(

&

$的偏导数!

解 +

/

+

-

%

.

-

.

*$

!

+

/

+

.

%-

.

;5-!

例&

!

求函数7% -

)

(

.

)

(/槡)的偏导数

!

''

第1

章!

多元函数微分学

解 +

7

+

-

%

$

)

#

-

)

(

.

)

(/

)

$

$

)

*$

)-%

-

-

)

(

.

)

(/槡)

%

-

7

!

由于此函数表达式中任意两个自变量对调后!仍表示原来的函数#函数关于自变量的对称

性$!故+

7

+

.

%

.

7

!

+

7

+

/

%

/

7

!

例'

!

求函数

H

#

-

!

.

$

6

-

.

-

)

+

.

)

!

-

)

+

.

)

*

&

&

!

-

)

+

.

)

6

1

2

3 &

在点#

&

!

&

$对-

的偏导数!

图1#'

!

解H

-

#

&

!

&

$

%;4>

*

-

"

&

H

#

&(

*

-

!

&

$

*

H

#

&

!

&

$

*

-

%;4>

*

-

"

&

&%&

!

H

.

#

&

!

&

$

%;4>

*

.

"

&

H

#

&

!

&(

*

.

$

*

H

#

&

!

&

$

*

.

%;4>

*

.

"

&

&%&!

二元函数/%

H

#

-

!

.

$在点#

-

&

!

.

&

$处的偏导数的几何意义!

设函数/%

H

#

-

!

.

$!#

-

!

.

$

6

B

表示的空间曲面为<

!

1

#

-

&

!

.

&

!

H

#

-

&

!

.

&

$$为曲面<

上一点!

过此点作平面.

%

.

&

!截曲面<

得

一曲线8

-

!偏导数H

-

#

-

&

!

.

&

$表示此曲线在点1

处的切线1O

-

对

-

轴正向的斜率!如图1#'

所示!

同样!偏导数H

.

#

-

&

!

.

&

$表示此曲

面被平面-%-

&

所截得的曲线8

.

在点1

处的切线1O

.

对.

轴正向的斜率!

2"%"%

!

高阶偏导数

设函数/%

H

#

-

!

.

$具有偏导数

+

/

+

-

6

H

-

#

-

!

.

$!

!

+

/

+

.

6

H

.

#

-

!

.

$

!

!!

H

-

#

-

!

.

$!

H

.

#

-

!

.

$仍然是-

"

.

的函数!如果其偏导数仍存在!就把其偏导数称为函数/%

H

#

-

!

.

$的二阶偏导数!函数/%

H

#

-

!

.

$的二阶偏导数有如下四种情形!

+

+

-

+

/

+

# $

-

6

+

)

/

+

-

)

6

H

--

#

-

!

.

$&

!

+

+

.

+

/

+

# $

-

6

+

)

/

+

-

+

.

6

H

-

.

#

-

!

.

$&

+

+

-

+

/

+

# $

.

6

+

)

/

+

.

+

-

6

H

.

-

#

-

!

.

$&

!

+

+

.

+

/

+

# $

.

6

+

)

/

+

.

)

6

H

..

#

-

!

.

$

!

!!

其中第二"三个偏导数称为混合偏导数!

类似地!可定义更高阶偏导数!也可定义&

元函数的C

阶导数!

把二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数!

例(

!

设/%-

'

('-

)

.

)

(+

.

'

($

!求+

)

/

+

-

)

!

+

)

/

+

-

+

.

!

+

)

/

+

.

+

-

!

+

)

/

+

.

)

及+

'

/

+

-

'

!

解

+

/

+

-

6

'-

)

+

--

.

)

!

!

+

/

+

.

6

--

)

.

+

$)

.

)

!

+

)

/

+

-

)

6

--

+

-

.

)

!

!

+

)

/

+

-

+

.

6

$)-

.

6

+

)

/

+

.

+

-

!

!

+

)

/

+

.

)

6

--

)

+

)+

.

!

+

'

/

+

-

'

6

-!

+'

高等数学#下册$

科

学出版社

职教技术出版中心

www.abook.cn

!!

上例中两个二阶混合偏导数相等!即 +

)

/

+

-

+

.

%

+

)

/

+

.

+

-

!

这不是偶然的!事实上!可以证明下面

的定理!

定理!

如果函数/%

H

#

-

!

.

$的两个二阶混合偏导数 +

)

/

+

-

+

.

及 +

)

/

+

.

+

-

在区域B

内连续!则在

B

内有 +

)

/

+

-

+

.

%

+

)

/

+

.

+

-

!

证明!

略!

对于二元以上的函数!如果高阶混合偏导数在偏导数连续的条件下也与求导的次序无关!

习题2"%

#

)

$

$#

求下列函数的一阶偏导数!

#

$

$

/%-(

.

(-

'

.

)

()

&

!!!

#

)

$

/%

R

K

(

K

R

&

#

'

$

/%;5

#

-(

.

)

$& #

+

$

/%045

#

-

.

$

(./0

.

)

&

#

,

$

/%<=.8<5

.

-

& #

-

$

/%

#

$(-

.

$

.

&

#

"

$

R%

#

-

.

$

/

& #

1

$

R%-

.

/

!

)#

设H

#

-

!

.

$

%-(

#

.

*$

$

<=.045 -

.槡*$

!求H

-

#

-

!

$

$

!

'#

求下列函数的二阶偏导数%

#

$

$

/%-

)

.

)

?

-

&

!

#

)

$

/%<=.8<5

#

-

.

$&

!

#

'

$

/%

.

-

!

+#

设H

#

-

!

.

!

/

$

%-

.

)

(

.

/

)

(/-

)

!求H

--

#

&

!

&

!

$

$!

H

-/

#

$

!

&

!

)

$!

H

.

/

#

&

!

*$

!

&

$及H

//-

#

)

!

&

!

$

$

!

,#

设/%-

)

;5

#

-

.

$!求+

'

/

+

-

)

.

及 +

'

/

+

-

+

.

)

!

#

*

$

$#

设H

#

-

!

.

$

%

-

+

(

.

)

-

)

(

.

)

!

-

)

(

.

)

*

&

&

!

-

)

(

.

)

1

2

3 %&

!讨论此函数在原点的偏导数!

)#

设H

#

-

!

.

$

%

#

-

)

(

.

)

$

045

$

-

)

(

.

)

!

-

)

(

.

)

*

&

&

!

-

)

(

.

)

1

2

3

%&

!求H

-

#

-

!

.

$

!

'#

曲线/%

-

)

(

.

)

+

!

.

1

2

3

%+

在点#

)

!

+

!

,

$处的切线与-

轴正向所成的倾角为多少-

+#

验证7% -

)

(

.

)

(/槡)满足+

)

7

+

-

)

(

+

)

7

+

.

)

(

+

)

7

+

/

)

%

)

7

!

1#'

!

全微分及其应用

2"&"#

!

全微分的定义

如果函数/%

H

#

-

!

.

$在点2

#

-

!

.

$的某邻域有内有定义!设2

#

-

!

.

$为该邻域内的任意一

,'

第1

章!

多元函数微分学

点!称

*

/

6

H

#

-

+*

-

!

.

+*

.

$

,

H

#

-

!

.

$

为此函数在点2

处相应于自变量增量*

-

!

*

.

的全增量!

计算全增量比较复杂!我们希望用*

-

"

*

.

的线性函数来近似代替全增量*

/!

定义!

如果函数/%

H

#

-

!

.

$在点#

-

!

.

$的全增量

*

/

6

H

#

-

+*

-

!

.

+*

.

$

,

H

#

-

!

.

$

!!

可表示为

*

/

6

"

*

-

+

#

*

.

+

Q

#

-

$#

-

6

#

*

-

$

)

+

#

*

.

$槡)

$!

其中"

"

#

不依赖于*

-

"

*

.

而仅与-

"

.

有关!则称函数/%

H

#

-

!

.

$在点#

-

!

.

$可微分!称"

*

-(

#

*

.

为函数/%

H

#

-

!

.

$在点#

-

!

.

$的全微分!记作@/

!即

@/

6

"

*

-

+

#

*

.

!

如果函数在区域B

内各点处都可微分!就称此函数在B

内可微分!

若/%

H

#

-

!

.

$在点#

-

!

.

$可微!则

*

/

6

H

#

-

+*

-

!

.

+*

.

$

,

H

#

-

!

.

$

6

"

*

-

+

#

*

.

+

Q

#

-

$!

于是!

;4>

-

"

&

*

/%&

!

从而

;4>

#

*

-

!

*

.

$

"

#

&

!

&

$

H

#

-

+*

-

!

.

+*

.

$

6

;4>

-

"

&

(

H

#

-

!

.

$

+*

/

)

6

H

#

-

!

.

$

!

因此函数/%

H

#

-

!

.

$在点#

-

!

.

$处连续!

由上可得多元函数在某点可微!则此函数在此点必定连续!

由上一节例+

可知!多元函数

的偏导数存在!但多元函数不一定连续!

定理#

"必要条件#

!

如果函数/

#

H

#

-

!

.

$在点#

-

!

.

$可微分!则此函数在点#

-

!

.

$处的偏导

数+

/

+

-

"

+

/

+

.

必定存在!且函数/%

H

#

-

!

.

$在点#

-

!

.

$的全微分为

@/

6

+

/

+

-

*

-

+

+

/

+

.

*

.

!

!!

证明!

设函数/%

H

#

-

!

.

$在点2

#

-

!

.

$可微分!

于是!对于点2

的某个邻域内的任意一点

2

#

-(

*

-

!

.

(

*

.

$!有

*

/

6

"

*

-

+

#

*

.

+

Q

#

-

$

!

特别当*

.

%&

时#此时-

%

$*

-

$

$!有

H

#

-

+*

-

!

.

$

,

H

#

-

!

.

$

6

"

*

-

+

Q

#

**

-

*

$

!

上式两边各除以*

-

!再令*

-

"

&

并取极限!就可得

;4>

*

-

"

&

H

#

-

+*

-

!

.

$

,

H

#

-

!

.

$

*

-

6

"

!

从而偏导数+

/

+

-

存在!且+

/

+

-

%"!

同理可证偏导数+

/

+

.

存在!且+

/

+

.

%#!

所以

@/

6

+

/

+

-

*

-

+

+

/

+

.

*

.

!

偏导数+

/

+

-

"

+

/

+

.

存在是可微分的必要条件!但不是充分条件!

例如!函数

H

#

-

!

.

$

6

-

.

-

)

+

.槡)

!

-

)

+

.

)

*

&

&

!

-

)

+

.

)

6

1

2

3

&

-'

高等数学#下册$

科

学出版社

职教技术出版中心

www.abook.cn

在点#

&

!

&

$处虽然有H

-

#

&

!

&

$

%&

及H

.

#

&

!

&

$

%&

!但函数在#

&

!

&

$不可微分!即*

/*

(

H

-

#

&

!

&

$

*

-(

H

.

#

&

!

&

$

*

.

)不是较-

高阶的无穷小!

这是因为当#

*

-

!

*

.

$沿直线.

%-

趋于#

&

!

&

$时!

*

/

,

(

H

-

#

&

!

&

$

*

*

-

+

H

.

#

&

!

&

$

*

*

.

)

-

6

*

-

*

*

.

#

*

-

$

)

+

#

*

.

$

)

6

*

-

*

*

-

#

*

-

$

)

+

#

*

-

$

)

6

$

)

不趋于&!

由此可知!多元函数在一点偏导数存在并不一定可微!

但对函数适当增加条件!就可

以保证函数的可微性了!一般地有下面的定理!

定理%

"充分条件#

!

如果函数/%

H

#

-

!

.

$的偏导数+

/

+

-

"

+

/

+

.

在点2

#

-

!

.

$连续!则函数在该

点可微!

证明!*

/%

H

#

-(

*

-

!

.

(

*

.

$

*

H

#

-

!

.

$

%

(

H

#

-(

*

-

!

.

(

*

.

$

*

H

#

-(

*

-

!

.

$)

(

(

H

#

-(

*

-

!

.

$

*

H

#

-

!

.

$)

对上面两个中括号内的表达式!分别应用拉格朗日中值定理!得

*

/

6

H

.

#

-

+*

-

!

.

+'

$

*

.

$

*

.

+

H

-

#

-

+'

)

*

-

!

.

$

*

-

其中&

)'

$

!

'

)

)

$!

由于H

.

#

-

!

.

$在点#

-

!

.

$处连续!故

;4>

#

*

-

!

*

.

$

"

#

&

!

&

$

H

.

#

-

+*

-

!

.

+'

$

*

.

$

6

H

.

#

-

!

.

$

从而有

H

.

#

-

+*

-

!

.

+'

$

*

.

$

*

.

6

H

.

#

-

!

.

$

*

.

+,

$

*

.

!

同理可得

H

-

#

-

+'

)

*

-

!

.

$

*

-

6

H

-

#

-

!

.

$

*

-

+,

)

*

-

其中,

$

!

,

)

为#

*

-

!

*

.

$

"

#

&

!

&

$时的无穷小量!

由于,

$

*

.

(

,

)

*

-

*

-

)

(

*

.槡)

'$,

$

$

(

$,

)

$

!则,

$

*

.

(

,

)

*

-

*

-

)

(

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.槡)

"

&

!

,

$

*

-(

,

)

*

.

%Q

#

-

$!故有

*

/

6

H

-

#

-

!

.

$

*

-

+

H

.

#

-

!

.

$

*

.

+.

#

*

-

)

+*

.槡)

$!

所以函数/%

H

#

-

!

.

$在点#

-

!

.

$处可微分!

习惯上!常将自变量的增量*

-

"

*

.

分别记作@-

"

@

.

!并分别称为自变量-

"

.

的微分!

这

样!函数/%

H

#

-

!

.

$的全微分就可记作

@/

6

+

/

+

-

@-

+

+

/

+

.

@

.

!!

上面关于二元函数的全微分定义及可微分的必要条件和充分条件都可以类似推广到三元

及三元以上的多元函数!

如果二元函数的全微分等于它的两个偏微分之和!则称二元函数的微分符合叠加原理!

叠

加原理也适用于二元以上的函数!例如函数R%

H

#

-

!

.

!

/

$的全微分为

@R

6

+

R

+

-

@-

+

+

R

+

.

@

.

+

+

R

+

/

@/!

!!

例#

!

计算函数/%-

)

.

(-

)

(

.

) 的全微分!

解!

因为+

/

+

-

%)-

.

()-

!

+

/

+

.

%-

)

()

.

!且这两个偏导数都连续!所以

@/

6

)-

#

.

+

$

$

@-

+

#

-

)

+

)

.

$

@

.

!

!!

例%

!

计算函数/%?

-

.在点#

)

!

$

$处的全微分!

"'

第1

章!

多元函数微分学

解!

因为+

/

+

-

%

.

?

-

.

!

+

/

+

.

%-?

-

.

!

+

/

+

-

-

6

)

.6

$

6

?

)

!

!

+

/

+

.

-

6

)

.6

$

6

)?

)

!

所以

@/

6

?

)

@-

+

)?

)

@

.

!

!!

例&

!

计算函数R%-

/

(045)

.

的全微分!

解!

+

R

+

-

%/-

/*$

!

+

R

+

.

%)./0)

.

!

+

R

+

/

%-

/

;5-

!且这两个偏导数都连续!

所以

@R

6

/-

/

,

$

@-

+

)./0)

.

@

.

+

-

/

;5-@/!

2"&"%

!

全微分在近似计算中的应用

当二元函数/%

H

#

-

!

.

$在点2

#

-

!

.

$可微时!由可微的定义!

$*

-

$

!

$*

.

$

都比较小时!

Q

#

-

$

也较小!所以有近似等式

*

/

8

@/

6

H

-

#

-

!

.

$

*

-

+

H

.

#

-

!

.

$

*

.

或H

#

-

+*

-

!

.

+*

.

$

8

H

#

-

!

.

$

+

H

-

#

-

!

.

$

*

-

+

H

.

#

-

!

.

$

*

.

!

!!

我们可以利用上述近似等式对二元函数作近似计算!

例'

!

有一圆柱体!受压后发生形变!它的半径由)&.>

增大到)&#&,.>

!高度由$&&.>

减

少到33.>!

求此圆柱体体积变化的近似值!

解!

设圆柱体的半径"高和体积依次为7

"

>

和?

!则有

?

6)

7

)

>!

!!

已知7%)&

!

>%$&&

!

*

7%&#&,

!

*

>%*$!

根据近似公式!有

*

?

8

@?

6

?

7

*

7

+

?

>

*

>

6

)

)

7>

*

7

+)

7

)

*

>

6

)

);

)&

;

$&&

;

&#&,

+);

)&

)

;

#

,

$

$

6,

)&&

)

#

.>

'

$

!

即此圆柱体在受压后体积约减少了)&&

)

.>

'

!

例(

!

计算#

$#&+

$

)#&)的近似值!

解!

设H

#

-

!

.

$

%-

.

!

要计算的值就是函数值H

#

$#&+

!

)#&)

$

!

取-%$

!

.

%)

!

*

-%&#&+

!

*

.

%&#&)!

由于

H

#

-

+*

-

!

.

+*

.

$

8

H

#

-

!

.

$

+

H

-

#

-

!

.

$

*

-

+

H

.

#

-

!

.

$

*

.

6

-

.

+

.

-

.

,

$

*

-

+

-

.

;5-

*

.

!

所以

#

$#&+

$

)#&)

8

$

)

+

)

;

$

)

,

$

;

&#&+

+

$

)

;

;5$

;

&#&)

6

$#&1!

!!

例,

!

利用单摆摆动测定重力加速度T

的公式是T

%

+

)

)

J

O

)

!

现测得单摆摆长J%$&&6

&#$.>

与振动周期O%)6&#&&+0!

问由于测定J

与O

的误差而引起T

的绝对误差和相对误差

各为多少-

解!$*

T

$8$

@

T

$

%

+

T

+

J

*

J(

+

T

+

O

*

O

'

+

T

+

J

*

*

J

(

+

T

+

O

*

*

O

%+

)

)

$

O

)

*

J

(

)J

O

'

*

# $

O

!

其中*

J

与*

O

为J

与O

的绝对误差!

把J%$&&

!

O%)

!

*

J

%&#$

!

*

O

%&#&&+

代入上式!得T

的绝对误差和相对误差约为

*

T

6

+

)

)

&#$

)

)

+

)

;

$&&

)

'

;

# $

&#&&+

6

&#,

)

)

6

+#3'

#

.>

2

0

)

$

!

1'

高等数学#下册$

科

学出版社

职教技术出版中心

www.abook.cn

*

T

T

6

&#,

)

)

+

)

)

;

$&&

)

)

6

&#,A!

!!

从上面的例子可以看到!对于一般的二元函数/%

H

#

-

!

.

$!如果自变量-

"

.

的绝对误差

分别为*

-

"

*

.

!即$*

-

$'*

-

!

$*

.

$'*

.

!则/

的误差

**

/

*

8

*

@/

*6

+

/

+

-

*

-

+

+

/

+

.

*

.

'

+

/

+

-

*

**

-

*+

+

/

+

.

*

**

.

*

'

+

/

+

-

*

*

-

+

+

/

+

.

*

*

.

!

从而得到/

的绝对误差约为

*

/

6

+

/

+

-

*

*

-

+

+

/

+

.

*

*

.

!

/

的相对误差约为

*

/

*

/

*

6

+

/

+

-

/

*

-

+

+

/

+

.

/

*

.

!

习题2"&

#

)

$

$#

求下列函数的全微分!

#

$

$

/%

-

.

('-

.

)

&

!!

#

)

$

/%

045

.

-(

.

)

&

!!

#

'

$

R%-

.

/

!

)#

求函数/%;5

#

$(-

)

()

.

)

$在-%$

!

.

%)

时的全微分!

'#

求函数/%-

)

.

当-%)

!

.

%'

!

*

-%&#$

!

*

.

%*&#)

时的全增量和全微分!

+#

计算$#&)

'

($#3"槡'的近似值

!

,#

计算#

$#&&"

$

)#31的近似值!

-#

有一开口的长方体容器!其外形长,>

!宽+>

!高'>

!壁厚为)&.>

!求此长方体的质量

的近似值和精确值#所用材料的密度为)B

C

2

>

'

$

!

#

*

$

$#

计算$#&)

)

($#3"槡'的近似值

!

)#

三角形的两边为-'6&#$.>

!

"16&#$.>

!夹角为-&96$9

!求此三角形面积的近似值!

绝对误差和相对误差!

'#

试证在原点的充分小邻域内<=.8<5

-(

.

$(-

.

8

-(

.

!

+#

用全微分证明%积的相对误差等于各因子的相对误差之和!

商的相对误差等于分子与

分母相对误差之和!

1#+

!

多元复合函数的求导法则

由于求多元函数的偏导数与一元函数求导类似!故一元复合函数的求导法则可类推到多

元复合函数!

下面分三种情形讨论!

2"'"#

!

复合函数的中间变量均为一元函数的情形

设/%

H

#

R

!

K

$!而R%

(

#

E

$!

K%

/

#

E

$!构成复合函数

3'

第1

章!

多元函数微分学

/

6

H

(

(

#

E

$!

/

#

E

$)

其中R

!

K

为中间变量!

定理#

!

如果函数R%

(

#

E

$及K%

/

#

E

$都在点E

可导!函数/%

H

#

R

!

K

$在对应点#

R

!

K

$具有

连续偏导数!则复合函数/%

H

(

(

#

E

$!

/

#

E

$)在点E

可导!且有

@/

@E

6

+

/

+

R

*

@R

@E

+

+

/

+

K

*

@K

@E

!

!!

证明!

当E

获得增量*

E

时!

R

"

K

及/

相应地也取得增量*

R

"

*

K

及*

/!

由/%

H

#

R

!

K

$"

R%

(

#

E

$及K%

/

#

E

$的可微性!有

*

R

6

@R

@E

*

E

+

Q

#

*

E

$!

!*

K

6

@K

@E

*

E

+

Q

#

*

E

$!

则

*

/

6

+

/

+

R

*

R

+

+

/

+

K

*

K

+

Q

#

-

$

6

+

/

+

R

@R

@E

*

E

+

Q

#

*

E

( )

$

+

+

/

+

K

@K

@E

*

E

+

Q

#

*

E

( )

$

+

Q

#

-

$

6

+

/

+

R

*

@R

@E

+

+

/

+

K

*

@K

@

# $

E

*

E

+

+

/

+

R

+

+

/

+

# $

K

Q

#

*

E

$

+

Q

#

-

$!

*

/

*

E

6

+

/

+

R

*

@R

@E

+

+

/

+

K

*

@K

@E

+

+

/

+

R

+

+

/

+

# $

K

Q

#

*

E

$

*

E

+

Q

#

-

$

*

E

!

!!

令*

E

"

&

!上式两边取极限!即得

@/

@E

6

+

/

+

R

*

@R

@E

+

+

/

+

K

*

@K

@E

!

!!

注!

;4>

*

E

"

&

Q

#

-

$

*

E

%;4>

*

E

"

&

Q

#

-

$

-

%

#

*

R

$

)

(

#

*

K

$槡)

*

E

%&

%

@R

@

# $

E

)

(

@K

@

# $

E槡)

%&!

此定理的结论可推广到复合函数的中间变量多于两个的情形!

例如!设由/%

H

#

R

!

K

!

S

$!

R%

(

#

E

$!

K%

/

#

E

$!

S%

)

#

E

$!复合而成的复合函数/%

H

(

(

#

E

$!

/

#

E

$!

)

#

E

$)!若满足此定理相似

的条件!此复合函数对E

的导数为

@/

@E

6

+

/

+

R

@R

@E

+

+

/

+

K

@K

@E

+

+

/

+

S

@S

@E

!

上述导数@/

@E

称为全导数!

2"'"%

!

复合函数的中间变量均为多元函数的情形

设函数/%

H

#

R

!

K

$!

R%

(

#

-

!

.

$!

K%

/

#

-

!

.

$可复合为/%

H

(

(

#

-

!

.

$!

/

#

-

!

.

$)!其中R

!

K

为

中间变量!

把R%

(

#

-

!

.

$!

K%

/

#

-

!

.

$中的一个变量固定!则复合函数/%

H

(

(

#

-

!

.

$!

/

#

-

!

.

$)

的偏导数求法和定理$

相似!

有如下结论!

定理%

!

如果函数R%

(

#

-

!

.

$!

K%

/

#

-

!

.

$都在点#

-

!

.

$具有对-

及.

的偏导数!函数/%

H

#

R

!

K

$在对应点#

R

!

K

$具有连续偏导数!则复合函数/%

H

(

(

#

-

!

.

$!

/

#

-

!

.

$)在点#

-

!

.

$的两

个偏导数存在!且有

+

/

+

-

6

+

/

+

R

*

+

R

+

-

+

+

/

+

K

*

+

K

+

-

!

!

+

/

+

.

6

+

/

+

R

*

+

R

+

.

+

+

/

+

K

*

+

K

+

.

!

&+

高等数学#下册$

科

学出版社

职教技术出版中心

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!!

定理)

的结论可推广到中间变量多于两个的情形!

例如!设/%

H

#

R

!

K

!

S

$!

R%

(

#

-

!

.

$!

K%

/

#

-

!

.

$!

S%

)

#

-

!

.

$!则

+

/

+

-

6

+

/

+

R

*

+

R

+

-

+

+

/

+

K

*

+

K

+

-

+

+

/

+

S

*

+

S

+

-

!

!

+

/

+

.

6

+

/

+

R

*

+

R

+

.

+

+

/

+

K

*

+

K

+

.

+

+

/

+

S

*

+

S

+

.

!

!!

设函数/%

H

#

R

!

-

!

.

$具有连续的偏导数!

R%

(

#

-

!

.

$的偏导数存在!则它们的复合函数

/%

H

#

(

#

-

!

.

$!

-

!

.

$的偏导数为

+

/

+

-

6

+

H

+

R

+

R

+

-

+

+

H

+

-

!

!

+

/

+

.

6

+

H

+

R

+

R

+

.

+

+

H

+

.

!

!!

注!这里+

/

+

-

与+

H

+

-

是不同的"

+

/

+

-

是把复合函数/%

H

&

(

#

-

"

.

$"

-

"

.

'中的.

看做不变而对-

的偏导数"

+

H

+

-

是把H

#

R

"

-

"

.

$中的R

及.

看做不变而对-

的偏导数!

+

/

+

.

与+

H

+

.

也有类似的区别!

例#

!

设函数/%RK

!而R%?

E

!

K%./0E!

求全导数@/

@E

!

解!

@/

@E

%

+

/

+

R

*

@R

@E

(

+

/

+

K

*

@K

@E

%K

*

?

E

(R

*#

*045E

$

%?

E

./0E*?

E

045E%?

E

#

./0E*045E

$

!

例%

!

设/%?

R

045K

!

R%-

.

!

K%-(

.

!求+

/

+

-

和+

/

+

.

!

解

+

/

+

-

6

+

/

+

R

*

+

R

+

-

+

+

/

+

K

*

+

K

+

-

6

?

R

045K

*

.

+

?

R

./0K

*

$

6

?

-

.

(

.

045

#

-

+

.

$

+

./0

#

-

+

.

$)!

+

/

+

.

6

+

/

+

R

*

+

R

+

.

+

+

/

+

K

*

+

K

+

.

6

?

R

045K

*

-

+

?

R

./0K

*

$

6

?

-

.

(

-045

#

-

+

.

$

+

./0

#

-

+

.

$)

!

!!

例&

!

设/%045

#

RK

$

(;5R

!

R%-

)

.

!

K%

.

)

!

求+

/

+

-

和+

/

+

.

!

解!

+

/

+

-

%

+

/

+

R

*

+

R

+

-

% ./0

#

RK

$*

K(

$

# $

R

*

)-

.

%

#

./0

#

-

)

.

'

$*

.

)

(-

*)

.

*$

$*

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+

/

+

.

%

+

/

+

R

*

+

R

+

.

(

+

/

+

K

*

+

K

+

.

% ./0

#

RK

$*

K(

$

# $

R

*

-

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(./0

#

RK

$*

R

*

)

.

%

#

./0

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-

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.

'

$*

.

)

(-

*)

.

*$

$*

-

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(./0

#

-

)

.

'

$*

)-

)

.

)

!

例'

!

设R%

H

#

-

!

.

!

/

$

%?

-

)

(

.

)

(/

)

!而/%-

)

045

.

!

求+

R

+

-

和+

R

+

.

!

解!

+

R

+

-

%

+

H

+

-

(

+

H

+

/

*

+

/

+

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%)-?

-

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(

.

)

(/

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()/?

-

)

(

.

)

(/

)

*

)-045

.

%)-(

#

$()-

)

045

)

.

$

?

-

)

(

.

)

(-

+

045

)

.

!

+

R

+

.

%

+

H

+

.

(

+

H

+

/

*

+

/

+

.

%)

.

?

-

)

(

.

)

(/

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()/?

-

)

(

.

)

(/

)

*

-

)

./0

.

%)

#

.

(-

+

045

.

./0

.

$

?

-

)

(

.

)

(-

+

045

)

.

!

例(

!

设S%

H

#

-(

.

(/

!

-

.

/

$!

H

具有二阶连续偏导数!求+

S

+

-

及+

)

S

+

-

+

/

!

解!

令R%-(

.

(/

!

K%-

.

/

!则S%

H

#

R

!

K

$

!

引入记号%

H

L

$

%

+

H

#

R

!

K

$

+

R

!

H

L

$)

%

+

H

#

R

!

K

$

+

R

+

K

&同理有H

L

)

!

H

U

$$

!

H

U

))

等!

$+

第1

章!

多元函数微分学

+

S

+

-

6

+

H

+

R

*

+

R

+

-

+

+

H

+

K

*

+

K

+

-

6

H

L

$

+

.

/

H

L

)

!

+

)

S

+

-

+

/

6

+

+

/

#

H

L

$

+

.

/

H

L

)

$

6

+

H

L

$

+

/

+

.H

L

)

+

.

/

+

H

L

)

+

/

6

H

U

$$

+

-

.H

U

$)

+

.H

L

)

+

.

/

H

U

)$

+

-

.

)

/

H

U

))

6

H

U

$$

+

.

#

-

+

/

$

H

U

$)

+

.H

L

)

+

-

.

)

/

H

U

))

!

!!

注!

+

H

L

$

+

/

%

+

H

L

$

+

R

%

+

R

+

/

(

+

H

L

$

+

K

%

+

K

+

/

%

H

U

$$

(-

.H

U

$)

"

+

H

L

)

+

/

%

+

H

L

)

+

R

%

+

R

+

/

(

+

H

L

)

+

K

%

+

K

+

/

%

H

U

)$

(-

.H

U

))

!

例,

!

设R%

H

#

-

!

.

$的所有二阶偏导数连续!把下列表达式转换成极坐标系中的形式%

#

$

$

+

R

+

# $

-

)

(

+

R

+

# $

.

)

&

!!!

#

)

$

+

)

R

+

-

)

(

+

)

R

+

.

)

!

解!

由直角坐标与极坐标间的关系式得

R

6

H

#

-

!

.

$

6

H

#

-

./0

'

!

-

045

'

$

6

'

#

-

!

'

$!

!!

其中-%

-

./0

'

!

.

%

-

045

'

!

-

% -

)

(

.槡)

!

'

%<=.8<5

.

-

!

应用复合函数求导法则!得

+

R

+

-

6

+

R

+

-

+

-

+

-

+

+

R

+'

+'

+

-

6

+

R

+

-

-

-

,

+

R

+'

.

-

)

6

+

R

+

-

./0

',

+

R

+'

.

045

'

-

!

+

R

+

.

6

+

R

+

-

+

-

+

.

+

+

R

+'

+'

+

.

6

+

R

+

-

.

-

+

+

R

+'

-

-

)

6

+

R

+

-

045

'+

+

R

+'

./0

'

-

!

两式平方后相加!得

+

R

+

# $

-

)

+

+

R

+

# $

.

)

6

+

R

+

# $

-

)

+

$

-

)

+

R

+

# $

'

)

!

再求二阶偏导数!得

+

)

R

+

-

)

6

+

+

-

+

R

+

# $

-

*

+

-

+

-

+

+

+'

+

R

+

# $

-

*

+'

+

-

6

+

+

-

+

R

+

-

./0

',

+

R

+'

045

'

# $

-

*

./0

',

+

+'

+

R

+

-

./0

',

+

R

+'

045

'

# $

-

*

045

'

-

6

+

)

R

+

-

)

./0

)

',

)

+

)

R

+

-

+'

045

'

./0

'

-

+

+

)

R

+'

)

045

'

)

-

)

+

+

R

+'

)045

'

./0

'

-

)

+

+

R

+

-

045

)

'

-

!

同理可得

+

)

R

+

.

)

6

+

)

R

+

-

)

045

)

'+

)

+

)

R

+

-

+'

045

'

./0

'

-

+

+

)

R

+'

)

./0

'

)

-

)

,

+

R

+'

)045

'

./0

'

-

)

+

+

R

+

-

./0

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'

-

!

两式相加!得

+

)

R

+

-

)

+

+

)

R

+

.

)

6

+

)

R

+

-

)

+

$

-

-

+

$

-

)

+

)

R

+'

)

6

$

-

)

-

+

+

-

-

+

R

+

# $

-

+

+

)

R

+'

( )

)

!

2"'"&

!

全微分形式不变性

设/%

H

#

R

!

K

$具有连续偏导数!则有全微分为

@/

6

+

/

+

R

@R

+

+

/

+

K

@K!

如果/%

H

#

R

!

K

$具有连续偏导数!而R%

(

#

-

!

.

$!

K%

/

#

-

!

.

$也具有连续偏导数!则复合函数

)+

高等数学#下册$

科

学出版社

职教技术出版中心

www.abook.cn

/%

H

#

R

!

K

$

%

H

(

(

#

-

!

.

$!

/

#

-

!

.

$)的全微分为

@/

6

+

/

+

-

@-

+

+

/

+

.

@

.

6

+

/

+

R

+

R

+

-

+

+

/

+

K

+

K

+

# $

-

@-

+

+

/

+

R

+

R

+

.

+

+

/

+

K

+

K

+

# $

.

@

.

6

+

/

+

R

+

R

+

-

@-

+

+

R

+

.

@

# $

.

+

+

/

+

K

+

K

+

-

@-

+

+

K

+

.

@

# $

.

6

+

/

+

R

@R

+

+

/

+

K

@K!

!!

由此可见!无论/

是自变量R

"

K

的函数或中间变量R

"

K

的函数!它的全微分的表达式在形

式上完全一致!

这个性质称为全微分形式不变性!

例!

!

设/%?

R

045K

!

R%-

.

!

K%-(

.

!利用全微分形式不变性求其全微分!

解

@/

6

+

/

+

R

@R

+

+

/

+

K

@K

6

?

R

045K@R

+

?

R

./0K@K

由于

@R

6

.

@-

+

-@

.

!

!

@K

6

@-

+

@

.

!

故

@/

6

?

R

045K

#

.

@-

+

-@

.

$

+

?

R

./0K

#

@-

+

@

.

$

6

#

.

?

R

045K

+

?

R

./0K

$

@-

+

#

-?

R

045K

+

?

R

./0K

$

@

.

6

?

-

.

(

.

045

#

-

+

.

$

+

./0

#

-

+

.

$)

@-

+

V

-

.

(

-045

#

-

+

.

$

+

./0

#

-

+

.

$)

@

.

!

由全微分的性质得%复合函数/%?

-

.

045

#

-(

.

$的偏导数为

/

-

6

?

-

.

(

.

045

#

-

+

.

$

+

./0

#

-

+

.

$)!

!

/

.

6

?

-

.

(

-045

#

-

+

.

$

+

./0

#

-

+

.

$)

!

习题2"'

#

)

$

$#

设/%-

)

.

!而-%?

E

!

.

%045E

!求@/

@E

!

)#

设/%?

-()

.

!而-%./0E

!

.

%E

)

!求@/

@E

!

'#

设/%R

)

(K

)

!而R%-(

.

!

K%-*

.

!求+

/

+

-

!

+

/

+

.

!

+#

设/%

#

-

)

(

.

)

$

-

.

!求+

/

+

-

!

+

/

+

.

!

,#

设/%8<5

#

-

.

$

(;5-

!而.

%?

-

!求@/

@-

!

-#

设R%?

-/

045

.

(

.

/

!而/%-

)

(

.

!求+

R

+

-

!

+

R

+

.

!

"#

设/%<=.8<5

-

.

!而-%R(K

!

.

%R*K

!验证

+

/

+

R

+

+

/

+

K

6

R

,

K

R

)

+

K

)

!

1#

求下列函数的一阶偏导数#其中H

具有一阶连续偏导数$%

'+

第1

章!

多元函数微分学

#

$

$

R%

H

#

-

)

*

.

)

!

-

.

$&

!!

#

)

$

R%

H

-

.

!

.

# $

/

&

!!

#

'

$

R%

H

#

-

!

-

.

!

-

.

/

$

!

#

*

$

$#

求下列函数的二阶偏导数#其中H

具有二阶连续偏导数$

!

#

$

$

/%

H

-

.

!

-

# $

.

&

!!

#

)

$

/%

H

#

045-

!

-

)

.

$

!

)#

设/%

H

#

-

!

.

$二次可微!且-%?

R

./0K

!

.

%?

R

045K

!试证%

+

)

/

+

-

)

+

+

)

/

+

.

)

6

?

,

)R

+

)

/

+

R

)

+

+

)

/

+

K

# $

)

!

'#

设R%-()

.

()

!

K%-*

.

*$

!取R

!

K

为新变量!变换方程

)/

--

+

/

-

.

,

/

..

+

/

-

+

/

.

6

&!

1#,

!

隐函数的求导法则

2"("#

!

一个方程的情形

在一元微积分学中!已经给出了隐函数的概念!并介绍了不经显化而直接由方程

'

#

-

!

.

$

6

&

所确定的隐函数的求导方法!

下面讨论隐函数的存在性!并利用多元复合函数的求导理论来讨

论隐函数的可导的条件及求导公式!

定理#

!

设函数'

#

-

!

.

$在点2

#

-

&

!

.

&

$的某一邻域内具有连续偏导数!且'

#

-

&

!

.

&

$

%&

!

'

.

#

-

&

!

.

&

$

*

&

!则方程'

#

-

!

.

$

%&

在点#

-

&

!

.

&

$的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有

连续导数的函数.

%

H

#

-

$!它满足.

&

%

H

#

-

&

$!并有

@

.

@-

6,

'

-

'

.

!

#

1#$

$

!!

不严格证明此定理!仅对上述公式作如下推导!

将.

%

H

#

-

$代入'

#

-

!

.

$

%&

!得恒等式'

#

-

!

H

#

-

$$

9

&

等式两边对-

求导得%

+

'

+

-

+

+

'

+

.

*

@

.

@-

6

&

!

!!

由于'

.

连续!且!

'

.

#

-

&

!

.

&

$

*

&

所以存在#

-

&

!

.

&

$的某一个邻域!在这个邻域内'

.

*

&

!

于是得@

.

@-

%*

'

-

'

.

!

将#

,#$

$式两端看做-

的函数!若'

#

-

!

.

$的二阶偏导数都连续!继续利用复合求导法则

可得%

@

)

.

@-

)

6

+

+

-

,

'

-

'

# $

.

+

+

+

.

,

'

-

'

# $

.

@

.

@-

6,

'

--

'

.

,

'

.

-

'

-

'

)

.

,

'

-

.

'

.

,

'

..

'

-

'

)

.

,

'

-

'

# $

.

6,

'

--

'

)

.

,

)'

-

.

'

-

'

.

+

'

..

'

)

-

'

'

.

!

#

1#)

$

!!

例#

!

验证方程-

)

(

.

)

*$%&

在点#

&

!

$

$的某一邻域内能唯一确定一个有连续导数且

.

#

&

$

%$

的隐函数.

%

H

#

-

$!并求这函数的一阶与二阶导数在-%&

的值!

++

高等数学#下册$

科

学出版社

职教技术出版中心

www.abook.cn

解!

设'

#

-

!

.

$

%-

)

(

.

)

*$

!则'

-

%)-

!

'

.

%)

.

!

'

#

&

!

$

$

%&

!

'

.

#

&

!

$

$

%)

*

&!

因此由定

理$

可知!方程-

)

(

.

)

*$%&

在点#

&

!

$

$的某一邻域内能唯一确定一个有连续导数且.

#

&

$

%

$

的隐函数.

%

H

#

-

$

!

下面求此隐函数的一阶及二阶导数!

@

.

@-

6,

'

-

'

.

6,

-

.

!

!

@

.

@-

-

6

&

6

&

&

@

)

.

@-

)

6,

.

,

-

.

L

.

)

6,

.

,

- ,

-

# $

.

.

)

6,

.

)

+

-

)

.

'

6,

$

.

'

!

!

@

)

.

@-

)

-

6

&

6,

$!

!!

隐函数存在定理还可以推广到多元函数!

一个二元方程'

#

-

!

.

$

%&

可能确定一个一元隐

函数!一个三元方程'

#

-

!

.

!

/

$

%&

就有可能确定一个二元隐函数!

有下面的定理!

定理%

!

设函数'

#

-

!

.

!

/

$在点2

#

-

&

!

.

&

!

/

&

$的某一邻域内具有连续的偏导数!且'

#

-

&

!

.

&

!

/

&

$

%&

!

'

/

#

-

&

!

.

&

!

/

&

$

*

&

!则方程'

#

-

!

.

!

/

$

%&

在点#

-

&

!

.

&

!

/

&

$的某一邻域内恒能唯一确

定一个连续且具有连续偏导数的函数/%

H

#

-

!

.

$!它满足条件/

&

%

H

#

-

&

!

.

&

$!并有

+

/

+

-

6,

'

-

'

/

!

!

+

/

+

.

6,

'

.

'

/

!

#

1#'

$

!!

也不严格证明此定理!仅对式#

1#'

$作如下推导!

将/%

H

#

-

!

.

$代入'

#

-

!

.

!

/

$

%&

!得'

#

-

!

.

!

H

#

-

!

.

$$

9

&

!将上式两端分别对-

和.

求

导!得

'

-

+

'

/

*

+

/

+

-

6

&

!

!

'

.

+

'

/

*

+

/

+

.

6

&!

!!

因为'

/

连续且'

/

#

-

&

!

.

&

!

/

&

$

*

&

!所以存在点#

-

&

!

.

&

!

/

&

$的一个邻域!使'

/

*

&

!于是得

+

/

+

-

6,

'

-

'

/

!

!

+

/

+

.

6,

'

.

'

/

!

!!

例%

!

设-

)

(

.

)

(/

)

*+/%&

!求+

)

/

+

-

)

!

解!

设'

#

-

!

.

!

/

$

%-

)

(

.

)

(/

)

*+/

!则'

-

%)-

!

'

/

%)/*+

!

+

/

+

-

6,

'

-

'

/

6,

)-

)/

,

+

6

-

)

,

/

!

+

)

/

+

-

)

6

#

)

,

-

$

+

-

+

/

+

-

#

)

,

/

$

)

6

#

)

,

-

$

+

-

-

)

,

# $

/

#

)

,

/

$

)

6

#

)

,

-

$

)

+

-

)

#

)

,

/

$

'

!

!!

例&

!

设/%

H

#

-(

.

*/

!

-

.

/

$!求+

.

+

-

!

解!

两边关于-

求偏导数!注意此时.

%

.

#

-

!

/

$!可得

&

6

H

L

$

*

$

+

+

.

+

# $

-

+

H

L

)

*

.

/

+

-/

+

.

+

# $

-

!

&

6

H

L

$

+

+

.

+

-

H

L

$

+

.

/

H

L

)

+

-/

H

L

)

+

.

+

-

!

!!

解得

+

.

+

-

6

H

L

$

+

.

/

H

L

)

H

L

$

+

-/

H

L

)

!

,+

第1

章!

多元函数微分学

2"("%

!

方程组的情形

在一定条件下!方程组

'

#

-

!

.

!

R

!

K

$

6

&

!

G

#

-

!

.

!

R

!

K

$

6

+

&

可以确定一对二元函数R%R

#

-

!

.

$!

K%K

#

-

!

.

$!例如方程-R*

.

K%&

和.

R(-K%$

可以确定

两个二元函数 事实上R%

.

-

)

(

.

)

!

K%

-

-

)

(

.

# $

)

!

下面讨论方程组确定函数组的条件!

定理&

"隐函数组存在定理#

!

设'

#

-

!

.

!

R

!

K

$"

G

#

-

!

.

!

R

!

K

$在点2

#

-

&

!

.

&

!

R

&

!

K

&

$的某一

邻域内具有对各个变量的连续偏导数!又'

#

-

&

!

.

&

!

R

&

!

K

&

$

%&

!

G

#

-

&

!

.

&

!

R

&

!

K

&

$

%&

!且函数

'

"

G

的雅可比行列式

W

6

+

#

'

!

G

$

+

#

R

!

K

$

6

+

'

+

R

+

'

+

K

+

G

+

R

+

G

+

K

!

#

1#+

$

在点2

#

-

&

!

.

&

!

R

&

!

K

&

$不等于零!则方程组'

#

-

!

.

!

R

!

K

$

%&

!

G

#

-

!

.

!

R

!

K

$

%&

在点2

#

-

&

!

.

&

!

R

&

!

K

&

$的某一邻域内恒能唯一确定一组连续且具有连续偏导数的函数R%R

#

-

!

.

$!

K%K

#

-

!

.

$!它们满足条件R

&

%R

#

-

&

!

.

&

$!

K

&

%K

#

R

&

!

K

&

$并有

+

R

+

-

6,

$

W

+

#

'

!

G

$

+

#

-

!

K

$

6,

'

-

'

K

G

-

G

K

'

R

'

K

G

R

G

K

!

!

+

K

+

-

6,

$

W

+

#

'

!

G

$

+

#

R

!

-

$

6,

'

R

'

-

G

R

G

-

'

R

'

K

G

R

G

K

!

+

R

+

.

6,

$

W

+

#

'

!

G

$

+

#

.

!

K

$

6,

'

.

'

K

G

.

G

K

'

R

'

K

G

R

G

K

!

!

+

K

+

.

6,

$

W

+

#

'

!

G

$

+

#

R

!

.

$

6,

'

R

'

.

G

R

G

.

'

R

'

K

G

R

G

K

!

#

1#,

$

!!

不作定理的严格证明!仅就公式#

1#,

$作如下推导!

设方程组

'

#

-

!

.

!

R

!

K

$

6

&

G

#

-

!

.

!

R

!

K

$

6

+

&

确定一对具有连续偏导数的二元隐函数组

R

6

R

#

-

!

.

$

K

6

K

#

-

!

.

+

$

!

!!

由于

'

#

-

!

.

!

R

#

-

!

.

$!

K

#

-

!

.

$$

6

&

G

#

-

!

.

!

R

#

-

!

.

$!

K

#

-

!

.

$$

6

+

&

!

两边对-

求偏导!得

'

-

+

'

R

+

R

+

-

+

'

K

+

K

+

-

6

&

G

-

+

G

R

+

R

+

-

+

G

K

+

K

+

-

6

1

2

3

&

!

-+

高等数学#下册$

科

学出版社

职教技术出版中心

www.abook.cn

解此方程组得

+

R

+

-

6,

$

W

+

#

'

!

G

$

+

#

-

!

K

$

6,

'

-

'

K

G

-

G

K

'

R

'

K

G

R

G

K

!

!

+

K

+

-

6,

$

W

+

#

'

!

G

$

+

#

R

!

-

$

6,

'

R

'

-

G

R

G

-

'

R

'

K

G

R

G

K

!!

同理可得

+

R

+

.

6,

$

W

+

#

'

!

G

$

+

#

.

!

K

$

6,

'

.

'

K

G

.

G

K

'

R

'

K

G

R

G

K

!

!

+

K

+

.

6,

$

W

+

#

'

!

G

$

+

#

R

!

.

$

6,

'

R

'

.

G

R

G

.

'

R

'

K

G

R

G

K

!

!!

上述公式虽比较繁杂!但有规律可循!

在实际计算中!不必直接套用公式!关键要掌握求隐

函数组偏导数的实质!

例'

!

设-R*

.

K%&

!

.

R(-K%$

!求+

R

+

-

!

+

K

+

-

!

+

R

+

.

和+

K

+

.

!

解!

两个方程两边分别对-

求偏导数!得关于+

R

+

-

和+

K

+

-

的方程组

R

+

-

+

R

+

-

,

.

+

K

+

-

6

&

.

+

R

+

-

+

K

+

-

+

K

+

-

6

1

2

3

&

!

!!

当-

)

(

.

)

*

&

时!解得+

R

+

-

%*

-R(

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K

-

)

(

.

)

!

+

K

+

-

%

.

R*-K

-

)

(

.

)

!

两个方程两边分别对-

求偏导数!得到关于+

R

+

.

和+

K

+

.

的方程组

-

+

R

+

.

,

K

,

.

+

K

+

.

6

&

R

+

.

+

R

+

.

+

-

+

K

+

.

6

1

2

3

&

!

!!

当-

)

(

.

)

*

&

时!解得!

+

R

+

.

%

-K*

.

R

-

)

(

.

)

!

+

K

+

.

%*

-R(

.

K

-

)

(

.

)

!

可以用另一种方法解出!

用一阶微分形式不变性!将两个方程的两边微分得

R@-

+

-@R

,

K@

.

,

.

@K

6

&

!

R@

.

+

.

@R

+

K@-

+

-@K

6

&

+

!

即-@R

,

.

@K

6

K@

.

,

R@-

!

.

@R

+

-@K

6,

R@

.

,

K@-

+

!

!!

解得

@R

6,

-R

+

.

K

-

)

+

.

)

@-

+

-K

,

.

R

-

)

+

.

)

@

.

!

!

@K

6

.

R

,

-K

-

)

+

.

)

@-

,

-R

+

.

K

-

)

+

.

)

@

.

!

!!

于是

+

R

+

-

6,

-R

+

.

K

-

)

+

.

)

!

!

+

R

+

.

6

-K

,

.

R

-

)

+

.

)

!

!

+

K

+

-

6

.

R

,

-K

-

)

+

.

)

!

!

+

K

+

.

6,

-R

+

.

K

-

)

+

.

)

!

!!

例(

!

设函数-%-

#

R

!

K

$!

.

%

.

#

R

!

K

$在点#

R

!

K

$的某一领域内连续且有连续偏导数!又

+

#

-

!

.

$

+

#

R

!

K

$

*

&!

"+

第1

章!

多元函数微分学

#

$

$证明方程组-%-

#

R

!

K

$

.

%

.

#

R

!

K

+

$

在点#

-

!

.

!

R

!

K

$的某一领域内唯一确定一组连续且有连续偏

导数的反函数R%R

#

-

!

.

$!

K%K

#

-

!

.

$

!

#

)

$求反函数R%R

#

-

!

.

$!

K%K

#

-

!

.

$对-

!

.

的偏导数!

解!

#

$

$将方程组改写成下面的形式

'

#

-

!

.

!

R

!

K

$

9

-

,

-

#

R

!

K

$

6

&

G

#

-

!

.

!

R

!

K

$

9

.

,

.

#

R

!

K

$

6

+

&

!

则按假设W%

+

#

'

!

G

$

+

#

R

!

K

$

%

+

#

-

!

.

$

+

#

R

!

K

$

*

&!

由隐函数存在定理'

!即得所要证的结论!

#

)

$将方程组#

"

$所确定的反函数R%R

#

-

!

.

$!

K%K

#

-

!

.

$代入#

"

$!即得

-

9

-

(

R

#

-

!

.

$!

K

#

-

!

.

$)

.

9

.

(

R

#

-

!

.

$!

K

#

-

!

.

+

$)

!

将上述恒等式两边分别对-

求偏导数!得

$

6

+

-

+

R

*

+

R

+

-

+

+

-

+

K

*

+

K

+

-

&

6

+

.

+

R

*

+

R

+

-

+

+

.

+

K

*

+

K

+

1

2

3

-

!

由于W

*

&

!故可解得

+

R

+

-

6

$

W

+

.

+

K

!

!

+

K

+

-

6,

$

W

+

.

+

R

!

!!

同理!可得

+

R

+

.

6,

$

W

+

-

+

K

!

!

+

K

+

.

6

$

W

+

-

+

R

!

习题2"(

#

)

$

$#

设?

-

(045

.

*-

.

%&

!求@

.

@-

!

)#

已知;5 -

)

(

.槡)

%<=.8<5

.

-

!求@

.

@-

!

'#

设/

'

*)-/(

.

%&

!求+

/

+

-

!

+

)

/

+

.

)

!

+#

设/

'

*'-

.

/%3

!求 +

)

/

+

-

+

.

#

$

!

)

!

'

$

!

,#

设-%-

#

.

!

/

$!

.

%

#

-

!

/

$!

/%

#

-

!

.

$都是由方程'

#

-

!

.

!

/

$

%&

所确定的具有连续偏导

数的函数!证明

+

-

+

.

*

+

.

+

/

*

+

/

+

-

6,

$!

!!

-#

设-

)

(

.

)

(/

)

%

.H

/

# $

.

!其中H

可导!求+

/

+

-

!

+

/

+

.

!

"#

求方程组-(

.

(/%&

-

)

(

.

)

(/

)

+

%$

1+

高等数学#下册$

科

学出版社

职教技术出版中心

www.abook.cn

所确定函数的导数@-

@/

!

@

.

@/

!

1#

求方程组/%-

)

(

.

)

-

)

()

.

)

('/

)

1

2

3

%)&

所确定函数的导数@-

@/

!

@

.

@/

!

#

*

$

$#

设

-%R(K

!

.

%R

)

(K

)

!

/%R

'

(K

'

1

2

3

!

求/

-

!

)#

设H

#

-

!

.

$

%

T

#

7

$!

7% -

)

(

.槡)

!求证H

--

(

H

..

%

T

U

#

7

$

(

$

7

T

L

#

7

$

!

'#

设R

'

*'

#

-(

.

$

R

)

(/

'

%&

!求@R!

+#

设R%

H

-

!

-

# $

.

!求R

--

!

1#-

!

多元函数微分学的几何应用

2","#

!

空间曲线的切线与法平面

#

$

$设空间曲线0

的参数方程为

-

6

(

#

E

$!

.

6+

#

E

$!

/

6)

#

E

$#

$

'

E

'

%

$!

!!

这里假定(

#

E

$!

+

#

E

$!

)

#

E

$都在(

$

!

%

)上可导!且导数不全为零!

在曲线0

上取对应于E%E

&

的一点1

&

#

-

&

!

.

&

!

/

&

$及对应于E%E

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(

*

E

的邻近一点1

#

-

&

(

*

-

!

.

&

(

*

.

!

/

&

(

*

/

$

!

作曲线0

的割线11

&

!其方程为

-

,

-

&

*

-

6

.

,

.

&

*

.

6

/

,

/

&

*

/

!

!!

当点1

沿着曲线0

趋于点1

&

时割线11

&

的极限位置就是曲线0

在点1

&

处的切线!

考虑

-

,

-

&

*

-

*

E

6

.

,

.

&

*

.

*

E

6

/

,

/

&

*

/

*

E

!

当1

"

1

&

!即*

E

"

&

时!得曲线在点1

&

处的切线方程为

-

,

-

&

(

L

#

E

&

$

6

.

,

.

&

+

L

#

E

&

$

6

/

,

/

&

)

L

#

E

&

$

!

#

1#-

$

切线的方向向量O%

#

(

L

#

E

&

$!

+

L

#

E

&

$!

)

L

#

E

&

$$称为曲线的切向量!

法平面!

通过点1

&

而与切线垂直的平面称为曲线0

在点1

&

处的法平面!其法平面方

程为

(

L

#

E

&

$#

-

,

-

&

$

++

L

#

E

&

$#

.

,

.

&

$

+)

L

#

E

&

$#

/

,

/

&

$

6

&!

#

1#"

$

!!

例#

!

求曲线-%./0E

!

.

%045E

!

/%E

在点&

!

$

!

)

# $

)

处的切线及法平面方程!

3+

第1

章!

多元函数微分学

解!

因为-L

E

%*045E

!

.

L

E

%./0E

!

/L

E

%$

!而点&

!

$

!

)

# $

)

所对应的参数E%

)

)

!所以曲线的切

向量为

O

6

#

,

$

!

&

!

$

$

!

!!

于是!切线方程为

-

,

&

,

$

6

.

,

$

&

6

/

,

)

)

$

!

法平面方程为

#

,

$

$

;

#

-

,

&

$

+

&

;

#

.

,

$

$

+

$

;

/

,

)

# $

)

6

&

!

!

即/

,

-

6

)

)

!

!!

#

)

$若空间曲线0

的方程为

'

#

-

!

.

!

/

$

6

&

!

G

#

-

!

.

!

/

$

6

&

+

!

且'

!

G

满足一定的条件!则可确定函数组.

%

(

#

-

$!

/%

/

#

-

$!而且可求得

@

.

@-

6,

+

#

'

!

G

$

+

#

-

!

/

$

+

#

'

!

G

$

+

#

.

!

/

$

!

!

@

.

@-

6,

+

#

'

!

G

$

+

#

.

!

-

$

+

#

'

!

G

$

+

#

.

!

/

$

! #

1#1

$

!!

此时曲线0

的切向量为O% $

!

@

.

@-

!

@/

@

# $

-

!

这样曲线0

在其上点2

&

#

-

&

!

.

&

!

/

&

$处的切线方

程为

-

,

-

&

$

6

.

,

.

&

@

.

@-

2

&

6

/

,

/

&

@/

@-

2

&

!

即

-

,

-

&

+

#

'

!

G

$

+

#

.

!

/

$

2

&

6

.

,

.

&

+

#

'

!

G

$

+

#

/

!

-

$

2

&

6

/

,

/

&

+

#

'

!

G

$

+

#

-

!

.

$

2

&

!

#

1#3

$

!!

此时曲线在2

&

#

-

&

!

.

&

!

/

&

$处的法平面方程为

+

#

'

!

G

$

+

#

.

!

/

$

2

&

#

-

,

-

&

$

+

+

#

'

!

G

$

+

#

/

!

-

$

2

&

#

.

,

.

&

$

+

+

#

'

!

G

$

+

#

-

!

.

$

2

&

#

/

,

/

&

$

6

&!

#

1#$&

$

!!

例%

!

求球面-

)

(

.

)

(/

)

%-

和平面-(

.

(/%&

相交的曲线在点#

$

!

*)

!

$

$处的切线与

法平面方程!

解!

设

'

#

-

!

.

!

/

$

6

-

)

+

.

)

+

/

)

,

-

G

#

-

!

.

!

/

$

6

-

+

.

+

+

/

!

将所给方程的两边对-

求导数!得

)-

+

)

.

@

.

@-

+

)/

@/

@-

6

&

$

+

@

.

@-

+

@/

@-

6

1

2

3

&

解方程组!得

&,

高等数学#下册$

科

学出版社

职教技术出版中心

www.abook.cn

@

.

@-

6

/

,

-

.

,

/

!

!

@/

@-

6

-

,

.

.

,

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在点#

$

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*)

!

$

$处!

@

.

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%&

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@/

@-

%*$!

从而2%

#

$

!

&

!

*$

$

!

故切线方程为

-

,

$

$

6

.

+

)

&

6

/

,

$

,

$

!

!!

法平面方程为

#

-

,

$

$

+

&

*

#

.

+

)

$

,

#

/

,

$

$

6

&

!

即-*/%&!

例&

!

求球面-

)

(

.

)

(/

)

%,&

与锥面-

)

(

.

)

%/

) 相交的曲线在#

'

!

+

!

,

$处的切线与法平

面方程!

解!

设

'

#

-

!

.

!

/

$

6

-

)

+

.

)

+

/

)

,

,&

G

#

-

!

.

!

/

$

6

-

)

+

.

)

,

/

1

2

3

)

!

它们在#

'

!

+

!

,

$处的偏导数和雅可比行列式的值分别为

+

'

+

-

6

-

!

!

+

'

+

.

6

1

!

!

+

'

+

/

6

$&

!

!

+

G

+

-

6

-

!

!

+

G

+

.

6

1

!

!

+

G

+

/

6,

$&

!

+

#

'

!

G

$

+

#

.

!

/

$

2

&

6,

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!

!

+

#

'

!

G

$

+

#

/

!

-

$

2

&

6

$)&

!

!

+

#

'

!

G

$

+

#

-

!

.

$

2

&

6

&!

!!

所以相交曲线#

'

!

+

!

,

$处的切线方程为

-

,

'

,

$-&

6

.

,

+

$)&

6

/

,

,

&

!

!!

即 -*'

*+

%

.

*+

'

%

/*,

&

!

法平面方程为

,

+

#

-

,

'

$

+

'

#

.

,

+

$

+

&

#

/

,

,

$

6

&

!

!!

即+-*'

.

%&!

2","%

!

曲面的切平面与法线

#

$

$设曲面1

的方程为

'

#

-

!

.

!

/

$

6

&

!!

1

&

#

-

&

!

.

&

!

/

&

$是曲面1

上的一点!并设函数'

#

-

!

.

!

/

$的偏导数在该点连续且不同时为

零!

在曲面1

上!通过点1

&

的曲线有无数条!设这些曲线在点1

&

处都有切线!下证明这无数

条曲线的切线都在同一平面上!

过点1

&

在曲面1

上任意引一条曲线0

!假定曲线0

的参数方程式为

-

6

-

#

E

$!

!

.

6

.

#

E

$!

!

/

6

/

#

E

$!

且E%E

&

对应于点1

&

#

-

&

!

.

&

!

/

&

$!

-L

#

E

&

$!

.

L

#

E

&

$!

/L

#

E

&

$不全为零!此时曲线在点的切向量为

O

6

#

-L

#

E

&

$!

.

L

#

E

&

$!

/L

#

E

&

$$

!

!!

由于'

#

-

#

E

$!

.

#

E

$!

/

#

E

$$

%&

!故曲面方程'

#

-

!

.

!

/

$

%&

在E%E

&

的全导数为

'

-

#

-

&

!

.

&

!

/

&

$

-L

#

E

&

$

+

'

.

#

-

&

!

.

&

!

/

&

$

.

L

#

E

&

$

+

'

/

#

-

&

!

.

&

!

/

&

$

/L

#

E

&

$

6

&!

$,

第1

章!

多元函数微分学

!!

引入向量

&

6

#

'

-

#

1

&

$!

'

.

#

1

&

$!

'

/

#

1

&

$$!

易见O

与&

是垂直的!

由于曲线0

的任意性!故曲面1

上通过点1

&

的任意一条曲线在点1

&

的切线都与同一向量#

垂直!所以曲面上通过点1

&

的一切曲线在点1

&

的切线都在同一个平

面上!

这个平面称为曲面1

在点1

&

的切平面!

该切平面的方程为

'

-

#

-

&

!

.

&

!

/

&

$#

-

,

-

&

$

+

'

.

#

-

&

!

.

&

!

/

&

$#

.

,

.

&

$

+

'

/

#

-

&

!

.

&

!

/

&

$#

/

,

/

&

$

6

&!

!

#

1#$$

$

!!

曲面的法线!

通过点1

&

#

-

&

!

.

&

!

/

&

$而垂直于切平面的直线称为曲面在该点的法线!

法线

方程为

-

,

-

&

'

-

#

-

&

!

.

&

!

/

&

$

6

.

,

.

&

'

.

#

-

&

!

.

&

!

/

&

$

6

/

,

/

&

'

/

#

-

&

!

.

&

!

/

&

$

!

#

1#$)

$

!!

垂直于曲面上切平面的向量&%

#

'

-

#

1

&

$!

'

.

#

1

&

$!

'

/

#

1

&

$$称为曲面的法向量!

例'

!

求椭球面-

)

()

.

)

('/

)

%'-

在点#

$

!

)

!

'

$处的切平面及法线方程式!

解!

设'

#

-

!

.

!

/

$

%-

)

()

.

)

('/

)

*'-

!则

'

-

6

)-

!

'

.

6

+

.

!

'

/

6

-/

!

'

-

#

$

!

)

!

'

$

6

)

!

'

.

#

$

!

)

!

'

$

6

1

!

'

/

#

$

!

)

!

'

$

6

$1!

!!

则法向量为&%

#

)

!

1

!

$1

$!

由#

1#$$

$知所求切平面方程为

)

#

-

,

$

$

+

1

#

.

,

)

$

+

$1

#

/

,

'

$

6

&

!

!

即-

+

+

.

+

3/

,

'-

6

&!

!!

法线方程为

-

,

$

)

6

.

,

)

1

6

/

,

'

$1

或-,

$

$

6

.

,

)

+

6

/

,

'

3

!!

#

)

$设曲面1

的方程为

/

6

H

#

-

!

.

$!

!!

令'

#

-

!

.

!

/

$

%/*

H

#

-

!

.

$!则

'

-

6,

H

-

!

!

'

.

6,

H

.

!

!

'

/

6

$!

!!

于是!曲面1

在点#

-

&

!

.

&

!

/

&

$处的法向量为

&

6

#

,

H

-

#

-

&

!

.

&

$!

,

H

.

#

-

&

!

.

&

$!

$

$

!!

切平面方程为

,

H

-

#

-

&

!

.

&

$#

-

,

-

&

$

,

H

.

#

-

&

!

.

&

$#

.

,

.

&

$

+

#

/

,

/

&

$

6

&

!

或

/

,

/

&

6

H

-

#

-

&

!

.

&

$#

-

,

-

&

$

+

H

.

#

-

&

!

.

&

$#

.

,

.

&

$

!

#

1#$'

$

图1#+

!

!!

法线方程为

-

,

-

&

,

H

-

#

-

&

!

.

&

$

6

.

,

.

&

,

H

.

#

-

&

!

.

&

$

6

/

,

/

&

$

!

!!

式#

1#$'

$的右端恰好是函数/%

H

#

-

!

.

$在点#

-

&

!

.

&

$

的全微分!而左端是切平面上点的竖坐标的增量!

因此!函

数/%

H

#

-

!

.

$在点#

-

&

!

.

&

$的全微分在几何上表示曲面

/%

H

#

-

!

.

$在点#

-

&

!

.

&

!

/

&

$处的切平面1

$

11

)

2

上点的

竖坐标/

的增量31

段!

函数的增量为34

段!二者的差

为<1

段!是高阶无穷小量!如图1#+

所示!

),

高等数学#下册$

科

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设$

!

%

!

&

为曲面的法向量的方向角!并假定法向量与/

轴正向的夹角&

是一锐角!则法向

量的方向余弦为

./0

$6

,

H

-

$

+

H

)

-

+

H

)

槡 .

!

!

./0

%

6

,

H

.

$

+

H

)

-

+

H

)

槡 .

!

!

./0

&6

$

$

+

H

)

-

+

H

)

槡 .

!

其中!

H

-

%

H

-

#

-

&

!

.

&

$!

H

.

%

H

.

#

-

&

!

.

&

$

!

例(

!

求旋转抛物面/%-

)

(

.

)

*$

在点#

)

!

$

!

+

$处的切平面及法线方程!

解!

设H

#

-

!

.

$

%-

)

(

.

)

*$

!

H

-

#

)

!

$

$

6

)-

*

#

)

!

$

$

6

+

!

!

H

.

#

)

!

$

$

6

)

.

*

#

)

!

$

$

6

)!

!!

抛物面/%-

)

(

.

)

*$

在点#

)

!

$

!

+

$处的法向量为

&

6

#

,

+

!

,

)

!

$

$!

所以在点#

)

!

$

!

+

$处的切平面方程为

,

+

#

-

,

)

$

,

)

#

.

,

$

$

+

#

/

,

+

$

6

&

!

!

即+-

+

)

.

,

/

,

-

6

&!

!!

法线方程为

-

,

)

+

6

.

,

$

)

6

/

,

+

,

$

!

习题2",

#

)

$

$#

求曲线-%

E

$(E

!

.

%

$(E

E

!

/%E

) 在E%$

处的切线及法平面方程!

)#

求曲线.

)

%)C-

!

/

)

%C*-

在点曲线上#

-

&

!

.

&

!

/

&

$处的切线及法平面方程!

'#

求出曲线-%E

!

.

%E

)

!

/%E

' 上的点!使该点的切线平行平面-()

.

(/%+!

+#

求曲面-

)

(

.

)

(/

)

%$+

上点#

$

!

)

!

'

$处的切平面方程!

,#

求曲面-

)

(

.

)

(/

)

%$

上平行于平面-*

.

()/%&

的切平面方程!

-#

求曲线

-

)

+

.

)

+

/

)

,

'-

6

&

)-

,

'

.

+

,/

,

+

6

+

&

!

在点#

$

!

$

!

$

$处的切线及法平面方程!

#

*

$

$#

证明%曲面方程-

.

/%$

'

#

$

*

&

!常数$任意点处的切平面与三个坐标面所形成的四面

体的体积为常数!

)#

试证曲面槡-(槡.(槡/%槡$上任一点处的切平面在各坐标轴上的截距之和为$!

'#

求函数R%

-

-

)

(

.

)

(/槡)

在点1

#

$

!

*)

!

)

$处沿曲线-%E

!

.

%)E

)

!

/%*)E

+ 在该点切

线方向导数!

1#"

!

方向导数与梯度

2"!"#

!

方向导数

函数/%

H

#

-

!

.

$的偏导数H

-

!

H

.

是此函数沿着平行于坐标轴方向的变化率!

有时需要研

',

第1

章!

多元函数微分学

究函数/%

H

#

-

!

.

$沿任意确定方向的变化率!因此!需要引进多元函数在一点沿某一方向的方

向导数的概念!

定义!

设函数/%

H

#

-

!

.

$在点2

#

-

!

.

$某一邻域P

#

2

$有定义!

J

是从2

#

-

!

.

$出发的一条

射线!

4

#

-(

*

-

!

.

(

*

.

$为射线J

上且在P

#

2

$内的任意一点!

$

24

$

%

-

%

*

-

)

(

*

.槡)

!如果

极限

;4>

-

"

&

*

/

-

6

;4>

-

"

&

H

#

-

+*

-

!

.

+*

.

$

,

H

#

-

!

.

$

-

存在!就称这个极限值为函数/%

H

#

-

!

.

$在点2

#

-

!

.

$处沿方向J

的方向导数!记作

+

/

+

J

6

+

H

+

J

6

;4>

-

"

&

*

/

-

6

;4>

-

"

&

H

#

-

+*

-

!

.

+*

.

$

,

H

#

-

!

.

$

-

!

!!

从方向导数的定义可知!方向导数+

H

+

J

就是函数H

#

-

!

.

$在点2

#

-

!

.

$处沿方向J

的变化

率!

比较方向导数和偏导数的定义可知!函数/%

H

#

-

!

.

$在点2

处沿-

轴与.

轴正向的方向

导数就是+

H

+

-

和+

H

+

.

!沿-

轴与.

轴负向的方向导数就是*

+

H

+

-

和*

+

H

+

.

!

一般情形下!

+

H

+

J

与+

H

+

-

及

+

H

+

.

之间有什么联系呢-

定理!

函数/%

H

#

-

!

.

$在点2

#

-

!

.

$可微!则函数在点2

处沿任一方向J

的方向导数都存

在!且有如下的公式

+

H

+

J

6

+

H

+

-

./0

$+

+

H

+

.

./0

%

!

式中./0

$

!

./0

%

是方向J

的方向余弦!

证明!

由函数/%

H

#

-

!

.

$在点2

#

-

!

.

$可微!故此函数的增量可表为

*

/

6

H

#

-

+*

-

!

.

+*

.

$

,

H

#

-

!

.

$

6

+

H

+

-

*

-

+

+

H

+

.

*

.

+.

#

-

$

此式对任意的*

-

!

*

.

皆成立!因此!在特殊方向J

上!此式也成立!

此式两边各除以-

!得

H

#

-

+*

-

!

.

+*

.

$

,

H

#

-

!

.

$

-

6

+

H

+

-

*

-

-

+

+

H

+

.

*

.

-

+

.

#

-

$

-

!

!!

由于*

-

-

%./0

$

!

*

.

-

%./0

%

!

;4>

-

"

&

.

#

-

$

-

%&

!故当-

"

&

时!对上式取极限得

+

H

+

J

6

+

H

+

-

./0

$+

+

H

+

.

./0

%

!

!!

例#

!

求函数/%-?

)

.在点2

#

$

!

&

$沿从点2

#

$

!

&

$到点4

#

)

!

*$

$的方向的方向导数!

解!

这里方向J

即向量 "##

24%

#

$

!

*$

$的方向!

./0

$

%

$

槡)!

./0

%

%

*$

槡)!

因为函数可微分!且+

/

+

-

#

$

!

&

$

%?

)

.

#

$

!

&

$

%$

!

+

/

+

.

#

$

!

&

$

%)-?

)

.

#

$

!

&

$

%)

!

所以所求方向导数为

+

/

+

J

#

$

!

&

$

6

$

*

$

槡)+

)

*

,

$

槡# $

)

6,

槡))

!

!!

有关二元函数的方向导数的概念和计算公式!可推广到三元函数的情形!

设方向J

的方向

+,

高等数学#下册$

科

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余弦为./0

$

!

./0

%

和./0

&

!可微函数R%

H

#

-

!

.

!

/

$在空间一点2

#

-

!

.

!

/

$沿着方向J

的方向导

数为

+

H

+

J

6

+

H

+

-

./0

$+

+

H

+

.

./0

%

+

+

H

+

/

./0

&

!

!!

例%

!

求函数H

#

-

!

.

!

/

$

%-(

.

)

(/

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#

$

!

&

!

$

$处沿点2

指向4

#

'

!

*)

!

)

$的方向的

方向导数!

解!

这里J

为 "##

24%

+

)

!

*)

!

$

,!向量 "##

24

的方向余弦为

./0

$6

)

)

)

+

#

,

)

$

)

+

$槡)

6

)

'

!

./0

%

6

,

)

)

)

+

#

,

)

$

)

+

$槡)

6,

)

'

!

./0

&6

$

)

)

+

#

,

)

$

)

+

$槡)

6

$

'

!

!!

显然H

#

-

!

.

!

/

$

%-(

.

)

(/

) 在点2

#

$

!

&

!

$

$处可微!且

H

-

#

$

!

$

!

$

$

6

$

!

!

H

.

#

$

!

$

!

$

$

6

)

!

!

H

/

#

$

!

$

!

$

$

6

)

!

故

+

H

+

J

6

$

;

)

'

+

&

;

,

# $

)

'

+

)

;

$

'

6

+

'

!

2"!"%

!

梯度

设函数/%

H

#

-

!

.

$在平面区域B

内具有一阶连续偏导数!则对于区域B

内每一点2

#

-

!

.

$!都可定义一向量

H

-

&

+

H

.

'

!

称此向量为函数/%

H

#

-

!

.

$在点2

#

-

!

.

$处的梯度!记作3

405

H

#

-

!

.

$!即

3

405

H

#

-

!

.

$

6

H

-

&

+

H

.

'

!

!!

为简单表示梯度!引入向量微分算子

!

6

+

+

-

&

+

+

+

.

'

6

+

+

-

!

+

+

+ ,

.

!

则3

405

H

#

-

!

.

$

%

!

H

%

+

H

+

-

&(

+

H

+

.

'

%

+

H

+

-

!

+

H

+

+ ,

.

!

由梯度

+

H

+

J

6

H

-

./0

$+

H

.

./0

%

6

+

H

-

!

H

.

,

*

+

./0

$

!

./0

%

,

6

3

405

H

#

-

!

.

$

*

.

J

6*

3

405

H

#

-

!

.

$

*

./0

'

!

则当向量.

J

%

#

./0

$

!

./0

%

$与3

405

H

#

-

!

.

$的夹角'

%&

时!即沿梯度方向时!方向导数+

H

+

J

取得最

大值!这个最大值就是梯度的模$

3

405

H

#

-

!

.

$

$

!

这就是说函数在一点的梯度是一个向量!它的

方向是函数在这点的方向导数取得最大值的方向!它的模等于方向导数的最大值!

一般说来二元函数/%

H

#

-

!

.

$在几何上表示一个曲面!这曲面被平面/%=

#

=

是常数$所

截得的曲线:

的方程为

/

6

H

#

-

!

.

$

/

6

+

=

!

,,

第1

章!

多元函数微分学

图1#,

!

!!

这条曲线:

在-)

.

平面上的投影是一条平面曲线

:

+

!它在-)

.

平面上的方程为

H

#

-

!

.

$

6

=

!

!!

对于曲线:

+上的所有点!已给函数的函数值都是=

!所

以称此平面曲线:

+为函数/%

H

#

-

!

.

$的等值线!

如图1#,

中的等高线!天气预报中的等温线等!

若H

-

!

H

.

不同时为零!则等值线H

#

-

!

.

$

%=

上任一点

2

&

#

-

&

!

.

&

$处的一个单位法向量为

#

6

$

H

)

-

#

-

&

!

.

&

$

+

H

)

.

#

-

&

!

.

&槡 $

#

H

-

#

-

&

!

.

&

$!

H

.

#

-

&

!

.

&

$$

!

!!

这表明梯度3

405

H

#

-

&

!

.

&

$的方向与等值线上这点的一个法线方向相同!而沿这个方向的

方向导数+

H

+

&

就等于$

3

405

H

#

-

&

!

.

&

$

$

!于是

*

3

405

H

#

-

&

!

.

&

$

*6

+

H

+

&

!

!!

这就是说函数的梯度方向与等值线的法线方向相同!它的指向为从数值较低的等值线指

向数值较高的等值线!梯度的模就等于函数在这个法线方向的方向导数!

梯度概念可以推广到三元函数的情形!

函数H

#

-

!

.

!

/

$在空间区域G

内在点2

&

#

-

&

!

.

&

!

/

&

$的梯度为

3

405

H

#

-

&

!

.

&

!

/

&

$

6

H

-

#

-

&

!

.

&

!

/

&

$

&

+

H

.

#

-

&

!

.

&

!

/

&

$

'

+

H

/

#

-

&

!

.

&

!

/

&

$

(!

6

!

H

6

+

H

+

-

&

+

+

H

+

.

'

+

+

H

+

/

(

6

+

H

+

-

!

+

H

+

.

!

+

H

+

+ ,# $

/

!!

类似可得%三元函数的梯度也是这样一个向量!它的方向与取得最大方向导数的方向一

致!而它的模为方向导数的最大值!

如果引进曲面

H

#

-

!

.

!

/

$

6

=

为函数的等量面的概念!则可得函数H

#

-

!

.

!

/

$在点2

&

#

-

&

!

.

&

!

/

&

$的梯度的方向与过点2

&

的

等量面H

#

-

!

.

!

/

$

%=

在这点的法线的一个方向相同!且从数值较低的等量面指向数值较高的

等量面!而梯度的模等于函数在这个法线方向的方向导数!

例&

!

求3

405

$

-

)

(

.

)

!

解!

这里H

#

-

!

.

$

%

$

-

)

(

.

)

!

因为

+

H

+

-

6,

)-

#

-

)

+

.

)

$

)

!

!

+

H

+

.

6,

)

.

#

-

)

+

.

)

$

)

!

所以

3

405

$

-

)

+

.

)

6,

)-

#

-

)

+

.

)

$

)

&

,

)

.

#

-

)

+

.

)

$

)

'

!

!!

例'

!

设H

#

-

!

.

!

/

$

%-

)

(

.

)

(/

)

!求3

405

H

#

$

!

*$

!

)

$

!

解!

3

405

H

#

-

!

.

!

/

$

%

#

)-

!

)

.

!

)/

$!

于是3

405

H

#

$

!

*$

!

)

$

%

#

)

!

*)

!

+

$

!

-,

高等数学#下册$

科

学出版社

职教技术出版中心

www.abook.cn

例(

!

试求C

7

的梯度!

其中常数C

(

&

!

7% -

)

(

.

)

(/槡)为原点

)

与点1

#

-

!

.

!

/

$间的

距离!

解!

+

+

-

C

# $

7

%*

C

7

)

+

7

+

-

%*

C-

7

'

!同理

+

+

.

C

# $

7

6,

C

.

7

'

!

!

+

+

/

C

# $

7

6,

C/

7

'

!

!!

从而

3

405

C

7

6,

C

7

)

-

7

&

+

.

7

'

+

/

7

# $

(

!

!!

记.

7

%

-

7

&(

.

7

'

(

/

7

(

!它是与 "##

)1

同方向的单位向量!则3

405

C

7

%*

C

7

)

.

7

!

上式右端在力学上可解释为!位于原点)

而质量为C

的质点对位于点1

而质量为$

的

质点的引力!

这引力的大小与两质点的质量的乘积成正比"而与它们的距离平方成反比!这引

力的方向由点1

指向原点!

在力学上函数C

7

称为引力势!

习题2"!

#

)

$

$#

求函数/%-

)

(

.

) 在点#

$

!

)

$处沿方向J%

+

$

!

$

,的方向导数!

)#

求函数/%-

)

(

.

) 在点#

$

!

)

$处沿从点#

$

!

)

$到点#

)

! 槡)( '

$的方向的方向导数!

'#

求函数R%-

.

(

.

/(-/

在点2

#

$

!

)

!

'

$处沿向量J%

+

)

!

*)

!

*$

,的方向导数!

+#

求函数R%-

.

)

(/

'

*-

.

/

在点#

$

!

$

!

)

$处沿方向角为$

%

)

'

!

%

%

)

+

!

&

%

)

'

的方向的方

向导数!

,#

求函数R%-

)

(

.

)

(/

) 在曲线-%E

!

.

%E

)

!

/%E

' 上点#

$

!

$

!

$

$处沿曲线在该点的切线

正方向#对应E

增大的方向$的方向导数!

-#

设H

#

-

!

.

!

/

$

%-

)

()

.

'

('/

)

()-

.

*'-*)

.

(+/

!求3

405

H

#

&

!

&

!

&

$!

3

405

H

#

$

!

$

!

$

$

!

"#

求函数R%-

)

(

.

)

*/

) 在点1

$

#

$

!

&

!

$

$!

1

)

#

&

!

$

!

&

$的梯度之间夹角!

#

*

$

$#

设.

J

%

#

./0

'

!

045

'

$!求函数H

#

-

!

.

$

%-

)

*-

.

(

.

) 在点#

$

!

$

$沿方向J

的方向导数!并

分别确定角'

!使这个方向导数有#

$

$最大值&#

)

$最小值&#

'

$等于零!

)#

求函数R%-

)

(

.

)

(/

) 在椭球面-)

$

)

(

.

)

%

)

(

/

)

=

)

%$

上点1

&

#

-

&

!

.

&

!

/

&

$处沿外法线方向

的方向导数!

'#

设函数R%R

#

-

!

.

!

/

$和K%K

#

-

!

.

!

/

$的各偏导数都存在且连续!证明%

#

$

$

3

405

#

R(K

$

%

3

405R(

3

405K

&

!

#

)

$

3

405

#

RK

$

%K

3

405R(R

3

405K!

1#1

!

多元函数的极值及其求法

在实际问题中!有时会遇到求多元函数极大值与极小值问题!

下面将以二元函数为例来讨

",

第1

章!

多元函数微分学

论多元函数的极值及求法!

2"2"#

!

多元函数的极值与最值

定义!

设函数/%

H

#

-

!

.

$在点#

-

&

!

.

&

$的某个邻域内有定义!

若对于该邻域内任何点

#

-

!

.

$!都有

H

#

-

!

.

$

'

H

#

-

&

!

.

&

$!

则称函数在点#

-

&

!

.

&

$有极大值H

#

-

&

!

.

&

$&若都有

H

#

-

!

.

$

&

H

#

-

&

!

.

&

$!

则称函数在点#

-

&

!

.

&

$有极小值H

#

-

&

!

.

&

$!极大值"极小值统称为极值!使函数取得极值的点

称为极值点!

例#

!

函数/%'-

)

(+

.

) 在点#

&

!

&

$处有极小值!

从几何上看!

/%'-

)

(+

.

) 表示一开口向

上的椭圆抛物面!点#

&

!

&

!

&

$为其最低点!

例%

!

函数/%* -

)

(

.槡)在点#

&

!

&

$处有极大值&!

点#

&

!

&

!

&

$是锥面/%* -

)

(

.槡)的

顶点!

例&

!

函数/%

#

-*$

$#

.

*)

$在点#

$

!

)

$处既不取得极大值也不取得极小值!

因为在点#

$

!

)

$处的函数值为零!而在点#

$

!

)

$的任一邻域内!总有使函数值为正的点!也

有使函数值为负的点!

以上关于二元函数的极值概念!可推广到&

元函数!

设&

元函数R%

H

#

2

$在点2

&

的某一

邻域内有定义!如果对于该邻域内任何点2

!都有

H

#

2

$

'

H

#

2

&

$!

!

#

H

#

2

$

&

H

#

2

&

$$

则称函数R%

H

#

2

$在点2

&

有极大值#极小值$

H

#

2

&

$

!

与导数在一元函数极值研究中的作用一样!偏导数也是研究多元函数极值的重要工具!

定理#

"必要条件#

!

设函数/%

H

#

-

!

.

$在点#

-

&

!

.

&

$存在偏导数!且在点#

-

&

!

.

&

$处有极

值!则一定有

H

-

#

-

&

!

.

&

$

6

&

!

!

H

.

#

-

&

!

.

&

$

6

&

证明!

略!

类似地!如果三元函数R%

H

#

-

!

.

!

/

$在点#

-

&

!

.

&

!

/

&

$存在偏导数且取得极值!则一定有

H

-

#

-

&

!

.

&

!

/

&

$

6

&

!

!

H

.

#

-

&

!

.

&

!

/

&

$

6

&

!

!

H

/

#

-

&

!

.

&

!

/

&

$

6

&!

!!

仿照一元函数!使一阶偏导数同时为零的点称为多元函数的驻点或稳定点!

从定理$

可得!具有偏导数的函数的极值点必定是驻点!

但函数的驻点不一定是极值点!

例如!函数/%-

.

在点#

&

!

&

$处的两个偏导数都是零!但函数在#

&

!

&

$既不取得极大值也

不取得极小值!

如何判定一个驻点是否为极值点-下面的定理一定程度的解决了这个问题!

定理%

"充分条件#

!

设函数/%

H

#

-

!

.

$在点#

-

&

!

.

&

$的某邻域内有直到二阶连续偏导数!

又H

-

#

-

&

!

.

&

$

%&

!

H

.

#

-

&

!

.

&

$

%&!

令

"

6

H

--

#

-

&

!

.

&

$!

!

#

6

H

-

.

#

-

&

!

.

&

$!

!

8

6

H

..

#

-

&

!

.

&

$

!

则函数/%

H

#

-

!

.

$在点#

-

&

!

.

&

$处是否取得极值的条件如下%

#

$

$

"8*#

)

(

&

时具有极值!且当"

)

&

时有极大值!当"

(

&

时有极小值&

#

)

$

"8*#

)

)

&

时没有极值&

1,

高等数学#下册$

科

学出版社

职教技术出版中心

www.abook.cn

#

'

$

"8*#

)

%&

时可能有极值!也可能没有极值!

证明!

略!

根据定理$

和定理)

!求函数/%

H

#

-

!

.

$极值的步骤如下!

第一步!

解方程组

H

-

#

-

&

!

.

&

$

6

&

!

!

H

.

#

-

&

!

.

&

$

6

&

!

求得函数/%

H

#

-

!

.

$的所有驻点!

第二步!

对于每一个驻点#

-

&

!

.

&

$!求出"

"

#

和8!

第三步!

确定"8*#

) 的符号!判定H

#

-

&

!

.

&

$是否是极值!是极大值还是极小值!

例'

!

求函数H

#

-

!

.

$

%-

'

*

.

'

('-

)

('

.

)

*3-

的极值!

解!

解方程组H

-

#

-

!

.

$

%'-

)

(--*3%&

H

.

#

-

!

.

$

%*'

.

)

(-

.

1

2

3

%&

!求得-%$

!

*'

&

.

%&

!

)!

于是得驻点为#

$

!

&

$"

#

$

!

)

$"#

*'

!

&

$"#

*'

!

)

$

!

再求出二阶偏导数

H

--

#

-

!

.

$

6

--

+

-

!

!

H

-

.

#

-

!

.

$

6

&

!

!

H

..

#

-

!

.

$

6,

-

.

+

-!

!!

在点#

$

!

&

$处!

"8*#

)

%$)2-

(

&

!又"

(

&

!所以函数在#

$

!

&

$处有极小值H

#

$

!

&

$

%*,

&

在点#

$

!

)

$处!

"8*#

)

%$)2

#

*-

$

)

&

!所以H

#

$

!

)

$不是极值&

在点#

*'

!

&

$处!

"8*#

)

%

#

*$)

$

2-

)

&

!所以H

#

*'

!

&

$不是极值&

在点#

*'

!

)

$处!

"8*#

)

%

#

*$)

$

2

#

*-

$

(

&

!又"

)

&

!所以函数的#

*'

!

)

$处有极大值

H

#

*'

!

)

$

%'$!

注意%不是驻点也可能是极值点!

例如!函数/%* -

)

(

.槡)在点#

&

!

&

$处有极大值!但#

&

!

&

$不是函数的驻点!

因此!在考虑

函数的极值问题时!除了考虑函数的驻点外!如果有偏导数不存在的点!那么对这些点也应当

考虑!

与一元函数类似!可以利用函数的极值来求函数的最大值和最小值!

如果函数H

#

-

!

.

$在

有界闭区域B

上连续!则H

#

-

!

.

$在B

上必定能取得最大值和最小值!

使函数取得最大值或最

小值的点既可能在B

的内部!也可能在B

的边界上!

假定函数在B

上连续"在B

内可微分且

只有有限个驻点!这时如果函数在B

的内部取得最大值#最小值$!那么这个最大值#最小值$

也是函数的极大值#极小值$

!

因此!求最大值和最小值的一般方法%将函数H

#

-

!

.

$在B

内的

所有驻点处的函数值及在B

的边界上的最大值和最小值相互比较!其中最大的就是最大值!

最小的就是最小值!

在通常遇到的实际问题中!如果根据问题的性质!知道函数H

#

-

!

.

$的最大值#最小值$一

定在B

的内部取得!而函数在B

内只有一个驻点!那么可以肯定该驻点处的函数值就是函数

H

#

-

!

.

$在B

上的最大值#最小值$

!

例(

!

某厂要用一块薄铁板做成一个体积为)>

' 的有盖长方体水箱!

问当长"宽"高各取

多少时!才能使用料最省!

解!

设水箱的长为->

!宽为.

>

!则其高应为)

-

.

>!

此水箱所用材料的面积为

<

6

)

-

.

+

.

*

)

-

.

+

-

*

)

-

# $

.

6

)

-

.

+

)

-

+

)

# $

.

!

#

-

(

&

!

.

(

&

$

!

!!

解方程组<

-

%)

.

*

)

-

# $

)

%&

!

<

.

%)

-*

)

.

# $

)

%&

!得唯一驻点-%

'

槡)!

.

%

'

槡)!

3,

第1

章!

多元函数微分学

根据题意可知!水箱所用材料面积的最小值一定存在!并在开区域B%

+#

-

!

.

$

$

-

(

&

!

.

(

&

,

内取得!

又因为函数在B

内只有一个驻点!所以此驻点一定是最小值点#即当水箱的长为'

槡)>

"宽

为'

槡)>"高为'

槡)>时!水箱所用的材料最省!

从这个例子还可看出!在体积一定的长方体中!以立方体的表面积为最小!

2"2"%

!

条件极值与拉格朗日乘数法

上面所讨论的极值问题!对于函数的自变量的取值!只限制在定义域内!并无其他限制条

件!这类极值称为无条件极值!

但在实际问题中!有时会遇到对函数的自变量还有附加条件的

极值问题!

例如!求表面积为$

) 而体积为最大的长方体的体积问题!

设长方体的长"宽"高分为-

!

.

!

/

!则体积?%-

.

/!

又因假定表面积为$

)

!所以自变量-

!

.

!

/

还必须满足附加条件)

#

-

.

(

-/(

.

/

$

%$

)

!

像这样对自变量有附加条件的极值称为条件极值!

有些情况下!可以将条件极

值问题转化为无条件极值问题去解决!

例如!在上述问题中!通过附加条件)

#

-

.

(-/(

.

/

$

%$

) 解出/%

$

)

*)-

.

)

#

-(

.

$

!代入?%-

.

/

的表达式中!即可将上述条件极值问题转化为无条件极值问题!

但在很多情形下!将条件极值

化为无条件极值并不容易!需要一种求条件极值的专用方法!这就是拉格朗日乘数法!

现在来寻求函数

/

6

H

#

-

!

.

$!

在条件

(

#

-

!

.

$

6

&

!

下取得极值的必要条件!

如果函数/%

H

#

-

!

.

$在#

-

&

!

.

&

$取得极值!那么有

(

#

-

&

!

.

&

$

6

&!

假定在#

-

&

!

.

&

$的某一邻域内H

#

-

!

.

$与(

#

-

!

.

$均有连续的一阶偏导数!而(

.

#

-

&

!

.

&

$

*

&!

由

隐函数存在定理!由方程(

#

-

!

.

$

%&

确定一个有连续导数的函数.

%

/

#

-

$!将其代入目标函

数/%

H

#

-

!

.

$!结果得到一个自变量的函数

/

6

H

#

-

!

/

#

-

$$

!

!!

于是-%-

&

是一元函数/%

H

#

-

!

/

#

-

$$的极值点!由取得极值的必要条件!有

@/

@-

-

6

-

&

6

H

-

#

-

&

!

.

&

$

+

H

.

#

-

&

!

.

&

$

@

.

@-

-

6

-

&

6

&

!

即

H

-

#

-

&

!

.

&

$

,

H

.

#

-

&

!

.

&

$

(-

#

-

&

!

.

&

$

(

.

#

-

&

!

.

&

$

6

&

!

!

或H

-

#

-

&

!

.

&

$

(-

#

-

&

!

.

&

$

6

H

.

#

-

&

!

.

&

$

(

.

#

-

&

!

.

&

$

!

!!

设H

-

#

-

&

!

.

&

$

(-

#

-

&

!

.

&

$

%

H

.

#

-

&

!

.

&

$

(

.

#

-

&

!

.

&

$

%*

!

!从而函数/%

H

#

-

!

.

$在条件(

#

-

!

.

$

%&

下在#

-

&

!

.

&

$取

得极值的必要条件是

H

-

#

-

&

!

.

&

$

+!

(-

#

-

&

!

.

&

$

6

&

H

.

#

-

&

!

.

&

$

+!

(

.

#

-

&

!

.

&

$

6

&

(

#

-

&

!

.

&

$

6

1

2

3

&

!

&-

高等数学#下册$

科

学出版社

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!!

拉格朗日乘数法%要寻找函数/%

H

#

-

!

.

$在附加条件(

#

-

!

.

$

%&

限制下的可能极值点!

可以先构造辅助函数

'

#

-

!

.

!

!

$

6

H

#

-

!

.

$

+!

(

#

-

!

.

$

!

这里引进的函数'

#

-

!

.

!

!

$称为拉格朗日函数!它将有约束的条件极值问题转化为无条件极值

问题!

参数!

称为拉格朗日乘子!

再解方程组

'

-

#

-

!

.

$

6

H

-

#

-

!

.

$

+!

(-

#

-

!

.

$

6

&

'

.

#

-

!

.

$

6

H

.

#

-

!

.

$

+!

(

.

#

-

!

.

$

6

&

(

#

-

!

.

$

6

1

2

3 &

!

!!

由方程组解出-

!

.

!然后讨论相应的#

-

!

.

$是否是问题的极值点的方法就是拉格朗日乘

数法!

拉格朗日乘数法可以推广到自变量多于两个而附加条件多于一个的情形!

至于如何确定所求的点是否是极值点!在实际问题中往往可根据问题本身来判定!

例,

!

求表面积为$

) 而体积为最大的长方体的体积!

解!

设长方体的长"宽和高分为-

!

.

!

/

!则问题归结为在约束条件

(

#

-

!

.

!

/

$

6

)-

.

+

)

.

/

+

)-/

,

$

)

6

&

下求函数?%-

.

/

#

-

(

&

!

.

(

&

!

/

(

&

$的最大值!

构造辅助函数

'

#

-

!

.

!

/

$

6

-

.

/

+!

#

)-

.

+

)

.

/

+

)-/

,

$

)

$!

解方程组

'

-

#

-

!

.

!

/

$

6

.

/

+

)

!

#

.

+

/

$

6

&

'

.

#

-

!

.

!

/

$

6

-/

+

)

!

#

-

+

/

$

6

&

'

/

#

-

!

.

!

/

$

6

-

.

+

)

!

#

.

+

-

$

6

&

)-

.

+

)

.

/

+

)-/

6

$

1

2

3

)

!

得-%

.

%/%

槡--

$!

这是唯一可能的极值点!

因为由问题本身可知最大值一定存在!所以最大值就在这个可能

的极值点处取得!

即表面积为$

) 的长方体中!以棱长为槡--

$

的正方体的体积最大!最大体积为

?%

槡-'-

$

'

!

例!

!

设某工厂生产甲"乙两种产品!产量分别为-

和.

#单位%千件$!利润函数为:

#

-

!

.

$

%

1-*-

)

($-

.

*+

.

)

*)

#单位%万元$

!

已知生产这两种产品时!每千件产品均需消耗某种原料)&&&B

C

!现有该原料$1&&&B

C

!问

两种产品各生产多少千件时总利润最大-最大总利润为多少-

解!

由题意知!约束条件为)&&&-()&&&

.

%$1&&&

!即

-

+

.

6

3

!

拉格朗日函数为

'

#

-

!

.

!

!

$

6

:

#

-

!

.

$

+!

#

-

+

.

,

3

$!

解方程组

$-

第1

章!

多元函数微分学

'

-

6

1

,

)-

+!6

&

'

.

6

$-

,

1

.

+!6

&

'

!

6

-

+

.

,

3

6

1

2

3

&

!

得-%-#+

#千件$!

.

%)#-

#千件$!最大利润为:

#

-#+

!

)#-

$

%))#1

#万元$

!

2"2"&

!

最小二乘法

在实验中!常常需要根据实际测得的多组数据!找出它们近似的函数关系!通常叫做配曲

线或找经验公式!

下面介绍一种寻找直线型经验公式的方法'''最小二乘法!

在某项实验中!有一对变量-

和.

!对它们进行&

次测量!得到&

对数据

#

-

$

!

.

$

$!#

-

)

!

.

)

$!1!#

-

&

!

.

&

$

!

!!

将这些数据看做直角坐标系-)

.

中的点!并在坐标平面上描出!

如果这些点几乎分布在

一条直线上!认为-

和.

之间存在着线性关系!

设其方程为

.

6

$-

+

%

其中$

!

%

为待定参数!

设在直线.

%$-(%

上与点"

@

#

-

@

!

.

@

$#

@%$

!

)

!1!

&

$横坐标-

@

相同的点#

@

!即

#

@

#

-

@

!

$-

@

+

%

$!

!

#

@

6

$

!

)

!1!

&

$

!

现在要求一对参数$

和%

!使误差平方和

<

6

:

&

@

6

$

#

$-

@

+

%

,

.

@

$

)

为最小!从而所有"

@

#

-

@

!

.

@

$越靠近所求直线!

这种方法称为最小二乘法!

下面用求二元函数极值的方法!求$

和%

的值!

因为<

是$

和%

的二元函数!所以由极值存在的必要条件应有

+

<

+

$

6

)

:

&

@

6

$

#

$-

@

+

%

,

.

@

$

-

@

6

&

+

<

+

%

6

)

:

&

@

6

$

#

$-

@

+

%

,

.

@

$

6

1

2

3

&

!

!!

由此得到关于$

和%

的线性方程组

$

:

&

@

6

$

-

)

@

+

%

:

&

@

6

$

-

@

6

:

&

@

6

$

-

@.

@

$

:

&

@

6

$

-

@

+

&%

6

:

&

@

6

$

.

1

2

3

@

为最小二乘法标准方程组!

解得

$

6

&

:

&

@

6

$

-

@.

@

,

:

&

@

6

$

-

@

*

:

&

@

6

$

.

@

&

:

&

@

6

$

-

)

@

,

:

&

@

6

$

-

# $

@

)

!

!

%

6

:

&

@

6

$

-

)

@

:

&

@

6

$

.

@

,

:

&

@

6

$

-

@

*

:

&

@

6

$

-

@.

@

&

:

&

@

6

$

-

)

@

,

:

&

@

6

$

-

# $

@

)

代入方程.

%$-(%

!即得经验公式!

当实测数据的图形近似为一条直线时!则所求函数关系可近似看做线性函数关系!按上述

方法可以求解!

有些问题中!经验公式的类型虽然不是线性函数!但可以转化为线性函数来讨

)-

高等数学#下册$

科

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论!

例如!所求经验公式如果可近似看做指数函数!即.

%(?

CE

!其中(

和C

是待定常数!对上

式两端取对数!得

;

C.

6

$E

+

%

!

其中$%CE

!

%%;

C

(

!即;

C.

是E

的线性函数!

在实际运算中!可将实际测试数据中的#

-

@

!

.

@

$中

.

@

#

@%$

!

)

!1!

&

$转换为;

C.

@

!则问题就归结为求线性函数类型的经验公式!即可求解了!

习题2"2

#

)

$

$#

求函数H

#

-

!

.

$

%-

'

(

.

'

*'-

.

的极值!

)#

求函数H

#

-

!

.

$

%+

#

-*

.

$

*-

)

*

.

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'#

求函数H

#

-

!

.

$

%?

)-

#

-(

.

)

()

.

$的极值!

+#

斜边之长为J

的一切直角三角形中!求有最大周长的直角三角形!

#

*

$

$#

求由方程-

)

(

.

)

(/

)

*)-()

.

*+/*$&%&

确定的函数/%

H

#

-

!

.

$的极值!

)#

抛物面/%-

)

(

.

) 被-(

.

(/%$

截成一椭圆!求原点到此椭圆的最长与最短距离!

'#

要用一薄片材料造一个体积为?

的无盖长方体水池!应如何选择水池的尺寸!方可使

所用材料最省-

复 习 题1

$#

求函数H

#

-

!

.

$

%

+-*

.槡)

;5

#

$*-

)

*

.

)

$

的定义域!

)#

求下列极限!

#

$

$

;4>

-

":

.

"

)

$(

$

# $

-

-

)

-(

.

&

!

#

)

$

;4>

-

":

.

":

-(

.

-

)

*-

.

(

.

)

!

'#

证明极限;4>

#

-

!

.

$

"

#

&

!

&

$

-

.

)

-

)

(

.

+

不存在!

+#

讨论二元函数H

#

-

!

.

$

%

#

-(

.

$

045

$

-

!

-

*

&

&

!

-

1

2

3

%&

在#

&

!

&

$点的连续性!

,#

求下列函数的一阶及二阶偏导数!

#

$

$

/%045

#

-

.

)

$

(;5

#

-

.

$&

!

#

)

$

/%)<=.8<5

-

.

!

-#

设H

#

-

!

.

$

%

-

)

.

-

)

(

.

)

!

-

)

(

.

)

*

&

&

!

-

)

(

.

)

1

2

3 %&

!求H

-

#

-

!

.

$及H

.

#

-

!

.

$

!

"#

求函数/%

-

.

-(

.

当-%)

!

.

%$

!

*

-%&#&$

!

*

.

%&#&)

时的全增量和全微分!

1#

求函数/%

;

-

.

&

?

E

)

@E

的全微分!

'-

第1

章!

多元函数微分学

3#

设H

#

-

!

.

$

%

#

-

)

(

.

)

$

045

$

-

)

(

.

)

!

-

)

(

.

)

*

&

&

!

-

)

(

.

)

1

2

3

%&

!问在点#

&

!

&

$处!

#

$

$偏导数是否存在&

#

)

$偏导数是否连续&

#

'

$是否可微-说明理由!

$&#

设R%-

)

045

#

.

)

(/

$!求 +

)

R

+

-

+

/

!

$$#

设R%-

.

!

-%?

E

!

.

%045E

!求@R

@E

!

$)#

设/%

H

#

R

!

-

!

.

$!

R%-?

.

!其中H

具有连续的二阶偏导数!求 +

)

/

+

-

+

.

!

$'#

设/%RK

!

-%?

R

./0K

!

.

%?

R

045K!

试求+

/

+

-

和+

/

+

.

!

$+#

设R%

-(

.

-*

.

!求 +

C(&

R

+

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C

+

.

&

#

C

"

&

为自然数$

!

$,#

设/

'

*'-

.

/%$

'

#

$

为常数$!求 +

)

/

+

-

+

.

!

$-#

设/%-

)

(

.

)

-

)

()

.

)

('/

)

1

2

3

%)&

!求@

.

@-

!

@/

@-

!

$"#

求螺旋线-%$./0

'

!

.

%$045

'

!

/%%

'

在点#

$

!

&

!

&

$处的切线方程及法平面方程!

$1#

在曲面/%-

.

上求一点!使这点处的法线垂直于平面-('

.

(/(3%&

!并写出此法

线的方程!

$3#

求函数H

#

-

!

.

$

%;5

#

$(-

)

(

.

)

$

($*

-

'

$,

*

.

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+

的极值!

)&#

在第一卦限内作椭球面-)

$

)

(

.

)

%

)

(

/

)

=

)

%$

的切平面!使该切平面与三个坐标面所围成

的四面体的体积最小!

求切平面的切点!并求此最小体积!

)$#

某厂家生产的一种产品同时在两个市场销售!售价分别为D

$

和D

)

!销售量分别为X

$

和X

)

!需求函数为

X

$

6

)+

,

&#)

D

$

!

!

X

)

6

$&

,

&#&,

D

)

!

总成本函数为

8

6

',

+

+&

#

X

$

+

X

)

$

!

!!

试问%厂家如何确定两个市场的售价!能使其获得的总利润最大-最大总利润为多少-

+-

高等数学#下册$

科

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第6

章!

重!

积!

分

本章和下一章将讨论多元函数的积分学理论!

与一元函数的定积分是某种和式的极限类

似!多元函数的积分也是某种和式的极限!但要复杂一些!

3#$

!

二重积分的概念与性质

6"#"#

!

二重积分的概念

类似于一元函数的定积分是由计算曲边梯形的面积引入的!下面通过讨论曲顶柱体的体

积来引入二重积分的概念!

!

图3#$

例#

!

曲顶柱体的体积

设有一立体!它的底是-)

.

面上的闭区域B

!它的

侧面是以B

的边界曲线为准线而母线平行于/

轴的柱

面!它的顶是曲面/%

H

#

-

!

.

$!这里H

#

-

!

.

$

&

&

且在B

上有界!

这种立体叫做曲顶柱体!

现在来讨论如何计算曲

顶柱体的体积!

首先!用一组曲线网把B

分成&

个小区域%

*2

$

!

*2

)

!1!

*2

&

!

分别以这些小闭区域的边界曲线为准线!作母线平行于

/

轴的柱面!这些柱面把原来的曲顶柱体分为&

个小曲

顶柱体*

?

@

!如图3#$

所示!

在每个*2

@

中任取一点

#

3

@

!

4

@

$!以H

#

3

@

!

4

@

$为高而底为*2

@

的平顶柱体的体积近似为*

?

@

的体积!

即

*

?

@

8

H

#

3

@

!

4

@

$

*2

@

!

#

@

6

$

!

)

!1!

&

$

!

其中!小区域*2

@

的面积也记作*2

@

!类似的小柱体*

?

@

的体积也记作*

?

@

等符号类似!则这

个曲顶柱体体积为

?

6

:

&

@

6

$

*

?

@

8

:

&

@

6

$

H

#

3

@

!

4

@

$

*2

@

!

!!

可以将分割加密!即取极限!则

?

6

;4>

!

"

&

:

&

@

6

$

H

#

3

@

!

4

@

$

*2

@

!

图3#)

!

其中!

!

是这&

个小区域的直径中的最大值#下面文中的!

含

义相同$

!

例%

!

平面薄片的质量!

设有一平面薄片占有-)

.

面上的闭区域B

!它在点#

-

!

.

$处的面密度为-

#

-

!

.

$!这里-

#

-

!

.

$

&

&

且在B

上有界!

现

在要计算该薄片的质量1!

用一组曲线网把B

分成&

个小区域*2

$

!

*2

)

!1!

*2

&

!如

图3#)

所示!

把各小块的质量*

C

@

近似地看做均匀薄片的质

量%即*

C

@

8

-

#

3

@

!

4

@

$

*2

@

!

则平面薄片的质量

1

6

:

&

@

6

$

*

1

@

8

:

&

@

6

$

-

#

3

@

!

4

@

$

*2

@

!

将分割加细!取极限!得到平面薄片的质量1

6

;4>

!

"

&

:

&

@

6

$

-

#

3

@

!

4

@

$

*2

@

!

由以上两个例子抽象出二重积分的概念!

定义!

设H

#

-

!

.

$是有界闭区域B

上的有界函数!

将闭区域B

任意分成&

个小闭区域

*2

$

!

*2

)

!1!

*2

&

!

其中*2

@

表示第@

个小区域!也表示它的面积!

在每个*2

@

上任取一点*2

@

!#

3

@

!

4

@

$!作和

:

&

@

6

$

H

#

3

@

!

4

@

$

*2

@

!

如果当各小闭区域的直径中的最大值!

趋于零时!这和的极限总存在!且此极限值与区域B

的分法和点#

3

@

!

4

@

$的选取无关!则称此极限值为函数H

#

-

!

.

$在闭区域B

上的二重积分!记作

<

B

H

#

-

!

.

$

@

2

!即

<

B

H

#

-

!

.

$

@

26

;4>

!

"

&

:

&

@

6

$

H

#

3

@

!

4

@

$

*2

@

!

<

称为二重积分号!

H

#

-

!

.

$称为被积函数!

H

#

-

!

.

$

@

2

称为被积表达式!

@

2

称为面积元素!

-

!

.

称为积分变量!

B

称为积分区域!

如果在直角坐标系中用平行于坐标轴的直线网来划分B

!那么除了包含边界点的一些小

闭区域外!其余的小闭区域都是矩形闭区域!

设矩形闭区域*2

@

的边长为*

-

@

和*

.

@

!则*2

@

%

*

-

@

*

.

@

!因此在直角坐标系中!有时也把面积元素@

2

记作@-@

.

!而把二重积分记作

<

B

H

#

-

!

.

$

@-@

.

其中!

@-@

.

叫做直角坐标系中的面积元素!

当H

#

-

!

.

$在闭区域B

上连续时!函数H

#

-

!

.

$在B

上的二重积分必定存在!

总是假定函

数H

#

-

!

.

$在闭区域B

上连续!所以H

#

-

!

.

$在B

上的二重积分都是存在的!

二重积分有下列意义!

#

$

$几何意义%如果曲顶柱体的曲顶函数H

#

-

!

.

$

&

&

!则二重积分<

B

H

#

-

!

.

$

@-@

.

表示曲

顶柱体的体积 思考H

#

-

!

.

$

'

&

!二重积分<

B

H

#

-

!

.

$

@-@

.

# $

表示什么!

#

)

$物理意义%如果密度函数-

#

-

!

.

$

&

&

!二重积分<

B

-

#

-

!

.

$

@-@

.

表示平面薄片的质量!

6"#"%

!

二重积分的性质

类似定积分的性质!二重积分也具有如下的性质!

性质#

!

设=

$

"

=

)

为常数!则

<

B

(

=

$H

#

-

!

.

$

+

=

)T

#

-

!

.

$)

@

26

=

$

<

B

H

#

-

!

.

$

@

2+

=

)

<

B

T

#

-

!

.

$

@

2

!

--

高等数学#下册$

科

学出版社

职教技术出版中心

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!!

性质%

!

如果闭区域B

被分为有限个闭区域#相交的部分的面积为零$!则在B

上的二重

积分等于在各闭区域上的二重积分的和!例如B

分为两个闭区域B

$

与B

)

!则

<

B

H

#

-

!

.

$

@

26

<

B

$

H

#

-

!

.

$

@

2+

<

B

)

H

#

-

!

.

$

@

2

!

!!

性质&

!

<

B

$

*

@

26

<

B

@

262

#

2

为B

的面积$

!

这个性质的几何意义很明显!同时也指出二重积分也可以计算平面区域的面积!

性质'

!

如果在B

上!

H

#

-

!

.

$

'

T

#

-

!

.

$!则有不等式

<

B

H

#

-

!

.

$

@

2

'

<

B

T

#

-

!

.

$

@

2

!

!!

利用绝对值的性质还可得不等式

<

B

H

#

-

!

.

$

@

2

'

<

B

*

H

#

-

!

.

$

*

@

2

!

!!

性质(

!

设1

"

C

分别是H

#

-

!

.

$在闭区域B

上的最大值和最小值!

2

为B

的面积!则有

C

2

'

<

B

H

#

-

!

.

$

@

2

'

1

2

!

!!

性质,

"二重积分的中值定理#

!

设函数H

#

-

!

.

$在闭区域B

上连续!

2

为B

的面积!则在

B

上至少存在一点#

3

!

4

$使得

<

B

H

#

-

!

.

$

@

26

H

#

3

!

4

$

2

!

!!

例&

!

估计二重积分Y

6

<

B

-

)

+

.槡)

@

2

的值!其中B

%

&

'

-

'

$

&

&

'

.

'

)!

解!

H

#

-

!

.

$

% -

)

(

.槡)在

B

%

&

'

-

'

$

&

&

'

.

'

)

上的最大值为槡,!最小值为&

!

B

的面积

为)

!则Y

的值的范围为&

'

Y

' 槡) ,!

习题6"#

#

)

$

$#

利用二重积分的定义证明<

B

(

H

#

-

!

.

$

@

26

(

<

B

H

#

-

!

.

$

@

2

!

其中(

为常数!

)#

估计二重积分Y

6

<

B

-

.

#

-

+

.

$

@

2

的值!其中B

%

&

'

-

'

$

&

&

'

.

'

$!

'#

利用性质+

的第一个不等式证明性质+

的第二个不等式!

#

*

$

$#

判断积分<

B

;5

#

-

)

+

.

)

$

@-@

.

的符号!其中B

%

$

)

'

-

)

+

.

)

'

$!

)#

比较积分大小

"

6

<

B

;5

'

#

-

+

.

$

@-@

.

!

#

6

<

B

#

-

+

.

$

'

@-@

.

!

8

6

<

B

045

'

#

-

+

.

$

@-@

.

!

!!

'#

利用二重积分的中值定理求极限

;4>

7

"

&

$

)

7

)

<

B

?

-

)

,

.

)

./0

#

-

+

.

$

@-@

.

"-

第3

章!

重!

积!

分

其中B

%

-

)

(

.

)

'

7

)

!

+#

证明二重积分的中值定理!

3#)

!

二重积分的计算

和定积分一样按定义计算二重积分是比较复杂的!甚至是不可行的!下面介绍把二重积分

化为两个定积分#累次积分$的方法!

6"%"#

!

利用直角坐标计算二重积分

为了计算二重积分!首先讨论积分区域的表示形式!

Z

'型区域%称能用不等式.

$

#

-

$

'

.

'

.

)

#

-

$!

$

'

-

'

%

表示的区域为3

$型区域!记作

B

Z

%

.

$

#

-

$

'

.

'

.

)

#

-

$

$

'

-

'

1

2

3

%

!

如图3#'

所示!

[

'型区域%称能用不等式-

$

#

.

$

'

-

'

-

)

#

.

$!

=

'

.

'

A

表示的区域为4

$型区域!记作

B

[

%

-

$

#

-

$

'

-

'

-

)

#

-

$

=

'

.

'

+

A

!

如图3#+

所示!

图3#'

!!!!

图3#+

图3#,

!

其他一般的区域可分割成Z

'型区域或[

'型区

域的并!

下面利用二重积分的几何意义来讨论二重积分的

计算!

设H

#

-

!

.

$

&

&

!

B

Z

6

+#

-

!

.

$

*

.

$

#

-

$

'

.

'

.

)

#

-

$!

$

'

-

'

%

,

!

此时二重积分<

B

H

#

-

!

.

$

@

2

表示以曲面/

6

H

#

-

!

.

$为顶!以区域B

为底的曲顶柱体的体积!

对于任意固定的-

6

(

$

!

%

)!平面-%-

截曲顶柱

体的截面为以区间(

.

$

#

-

$!

.

)

#

-

$)为底"以曲线/%

H

#

-

!

.

$为曲边的曲边梯形!如图3#,

所示!所以这截面

1-

高等数学#下册$

科

学出版社

职教技术出版中心

www.abook.cn

的面积为

"

#

-

$

6

;

.

)

#

-

$

.

$

#

-

$

H

#

-

!

.

$

@

.

!

根据平行截面面积为已知的立体体积的公式!得曲顶柱体体积为

?

6

;

%

$

"

#

-

$

@-

6

;

%

$

;

.

)

#

-

$

.

$

#

-

$

H

#

-

!

.

$

@

( )

.

@-!

即

?

6

<

B

H

#

-

!

.

$

@

26

;

%

$

;

.

)

#

-

$

.

$

#

-

$

H

#

-

!

.

$

@

( )

.

@-

记作<

B

H

#

-

!

.

$

@

26

;

%

$

@-

;

.

)

#

-

$

.

$

#

-

$

H

#

-

!

.

$

@

.

!

此式称为先.

后-

的累次积分的二重积分计算式!

!

图3#-

类似地!如果区域B

为[

'型区域%

B

[

%

-

$

#

.

$

'

-

'

-

)

#

.

$!

!

=

'

.

'

A

!

则有

<

B

H

#

-

!

.

$

@

26

;

A

=

@

.

;

-

)

#

.

$

-

$

#

.

$

H

#

-

!

.

$

@-!

此式称为先-

后.

的累次积分的二重积分计算式!

例#

!

计算<

B

-

.

@

2

!其中B

是由直线.

%-

及.

%-

) 所

围成的闭区域!如图3#-

所示!

解!

方法一%画出区域B

!把B

看成是Z

'型区域

B

Z

%

&

'

-

'

$

!

-

)

'

.

'

-!

于是

<

B

-

.

@

26

;

$

&

@-

;

-

-

)

-

.

@

.

6

;

$

&

-

*

.

)

( )

)

-

-

)

@-

6

$

)

;

$

&

-

#

-

)

,

-

+

$

@-

6

$

)+

!

!!

方法二%也可把B

看成是B

[

'型区域%

&

'

.

'

$

!

.

'

-

'槡.!

于是

<

B

-

.

@

26

;

$

&

@

.

;

槡.

.

-

.

@-

6

;

$

&

.

*

-

)

( )

)

槡.

.

@

.

6

;

$

&

.

.

)

,

.

)

# $

)

@

.

6

$

)+

!

图3#"

!

!!

例%

!

计算<

B

.

$

+

-

)

,

.槡)

@

2

!其中B

是由直线.

%$

!

-%

&

及.

%-

所围成的闭区域!如图3#"

所示!

解!

画出区域B

!可把B

看成是Z

'型区域%

&

'

-

'

$

!

-

'

.

'

$!

于是

<

B

.

$

+

-

)

,

.槡)

@

26

;

$

&

@-

;

$

-

.

$

+

-

)

,

.槡)

@

.

6,

$

'

;

$

&

(#

$

+

-

)

,

.

)

$

'

)

)

$

-

@-

3-

第3

章!

重!

积!

分

图3#1

!

6,

$

'

;

$

&

#

-

'

,

$

$

@-

6

$

+

!!

也可B

看成是[

'型区域%

&

'

.

'

$

!

&

'

-

)

.

!

于是

<

B

.

$

+

-

)

,

.槡)

@

26

;

$

&

.

@

.

;

.

&

$

+

-

)

,

.槡)

@-

!

但积分的计算稍复杂些!

例&

!

计算<

B

-

.

@

2

!其中B

是由直线.

%-*)

及

抛物线.

)

%-

所围成的闭区域!如图3#1

所示!

解!

积分区域可以表示为B

Z

%B

$

(B

)

!

其中B

$

%

&

'

-

'

$

!

*槡-'

.

'槡-&

B

)

%

$

'

-

'

+

!

)

'

.

'槡-!

于是

<

B

-

.

@

26

;

$

&

@-

;

槡-

,槡--

.

@

.

+

;

+

$

@-

;

槡-

-

,

)

-

.

@

.

!

看起来计算较复杂!采用另一种积分顺序!

积分区域也可以表示为B

[

%

*$

'

.

'

)

!

.

)

'

-

'

.

()#

于是

<

B

-

.

@

26

;

)

,

$

@

.

;

.

+

)

.

)

-

.

@-

6

;

)

,

$

-

)

)

( )

.

.

+

)

.

)

@

.

6

$

)

;

)

,

$

(

.

#

.

+

)

$

)

,

.

,

)

@

.

6

,

,

1

!

!!

对积分次序的选择!一般先选择Z

区域!若看起来复杂!采用另一种!

两种积分区域的表

示!实际上把区域上下看或左右看而得到的!

例'

!

求曲面/%+*-

)

*

.

) 与-)

.

平面所围成的立体的体积!

解!

由二重积分的几何意义!立体的体积?

6

<

B

#

+

,

-

)

,

.

)

$

@

2

!

积分区域B

为-)

.

平面上的圆%

-

)

(

.

)

'

+

!

则B

Z

%

* +*-槡)

'

.

'

+*-槡)

!

*)

'

-

'

)

!于是

?

6

<

B

#

+

,

-

)

,

.

)

$

@

2

6

;

)

,

)

@-

;

+

,

-槡 )

,

+

,

-槡 )

#

+

,

-

)

,

.

)

$

@

.

6

+

;

)

&

#

+

,

-

)

$

'

)

,

#

+

,

-

)

$

'

)

'

$

@-

6

1

'

;

)

&

#

+

,

-

)

$

'

)

@-

#用三角代换做$

&"

高等数学#下册$

科

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!

图3#3

6

1

)

!

这个立体像一个倒扣的碗!请读者画出这个图来!

例(

!

计算<

B

?

.

)

@

2

!其中B

是由直线.

6

-

!

.

6

$

!

-

6

&

所

围成的闭区域!如图3#3

所示!

解!

B

Z

%

-

'

.

'

$

!

&

'

-

'

$

!

则

<

B

?

.

)

@

26

;

$

&

@-

;

$

-

?

.

)

@

.

!

由于不定积分;

?

.

)

@

.

不能用初等函数表示!则计算不易进行下去!但若用另一种顺序!由B

[

%

&

'

-

'

.

!

&

'

.

'

$

!则

<

B

?

.

)

@

26

;

$

&

@

.

;

.

&

?

.

)

@-

6

;

$

&

.

?

.

)

@

.

6

$

)

?

.

)

$

&

6

$

)

#

?

,

$

$

!

由上述例子看出!有时积分顺序的选择是很重要的!

例,

!

交换积分顺 序;

$

$

)

@-

;

)

$

-

H

#

-

!

.

$

@

.

!

解!

B

Z

%

$

-

'

.

'

)

!

$

)

'

-

'

$

!则B

[

%

$

.

'

-

'

$

!

$

'

.

'

)

!

从而

;

$

$

)

@-

;

)

$

-

H

#

-

!

.

$

@

.

6

;

)

$

@

.

;

$

$

.

H

#

-

!

.

$

@-!

请读者画出这个积分区域!

6"%"%

!

利用极坐标计算二重积分

有些二重积分!积分区域B

的边界曲线用极坐标方程表示较方便!且被积函数用极坐标

变量-

"

'

表达比较简单!

这时就可以考虑利用极坐标来计算二重积分<

B

H

#

-

!

.

$

A

2

!

由极坐标与直角坐标的变换为

-

6

-

./0

'

!

.

6

-

045

'

!

图3#$&

!

则被积函数H

#

-

!

.

$变为H

#

-

./0

'

!

-

045

'

$!区域B

由

-

!

.

表示变为由-

!

'

表示!

极坐标系里的坐标曲线

-

%

-@

!

'

%

'

\

分别表示同心圆和从原点出发的射线!

用坐标曲线族-

%

-@

!

'

%

'

\

将区域B

分为很多个小

闭区域52

@

\

!小闭区域近似看做两边长为-@

*'

\

!

*

-@

的小矩形!图3#$&

所示!其面积为*2

@

\

%

-@

*'

\

*

*

-@

!则面积微元素可写作@

2

%

-

@

'

@

-

!

则得直角坐标

系与极坐标系里二重积分的转换公式为

<

B

H

#

-

!

.

$

@

26

<

B

H

#

-

./0

'

!

-

045

'

$

-

@

'

@

-

!

和直角坐标系下计算类似!也可以把积分区域B

分

为B

'

%

($

#

'

$

'

-

'

()

#

'

$!

$'''

%

&

B

-

%

'

$

#

-

$

'''

$"

第3

章!

重!

积!

分

'

)

#

-

$!

-$

'

-

'

-)

!如图3#$$

!图3#$)

所示!

图3#$$

!!!!

图3#$)

则

<

B

H

#

-

./0

'

!

-

045

'

$

-

@

-

@

'6

;

%

$

@

'

;

(

)

#

'

$

(

$

#

'

$

H

#

-

./0

'

!

-

045

'

$

-

@

-

!

或

<

B

H

#

-

./0

'

!

-

045

'

$

-

@

-

@

'6

;

-

)

-

$

@

-

;

'

)

#

-

$

'

$

#

-

$

H

#

-

./0

'

!

-

045

'

$

-

@

'

!

当B

'

%

&

'

-

'

7

#

'

$!

$

'

'

'

%

时!此区域的面积为26

<

B

@

26

;

%

$

@

'

;

7

#

'

$

&

-

A

-

6

$

)

;

%

$

7

)

#

'

$

@

'

!和

利用定积分计算极坐标下的面积公式一致!

例!

!

计算<

B

?

,

-

)

,

.

)

@-@

.

!其中B

是由中心在原点"半径为$

的圆周所围成的闭区域!

解!

在极坐标系中!闭区域B

可表示为&

'

-

'

$

!

&

'''

)

)

!

于是

<

B

?

,

-

)

,

.

)

@-@

.

6

<

B

?

,

-

)

-

@

-

@

'

6

$

)

#

$

,

?

,

$

)

$

;

)

)

&

@

'

6)

#

$

,

?

,

$

)

$

!

!!

注!利用此结果可以计算广义积分;

+:

&

?

,

-

)

@-

的值!

图3#$'

!

设B

$

%

+#

-

!

.

$

$

-

)

(

.

)

'

5

)

!

-

&

&

!

.

&

&

,!

B

)

%

+#

-

!

.

$

$

-

)

(

.

)

'

)5

)

!

-

&

&

!

.

&

&

,!

<%

+#

-

!

.

$

$

&

'

-

'

5

!

&

'

.

'

5

,

!

显然B

$

4

<

4

B

)

!如图3#$'

所示!

则

<

B

$

?

,

-

)

,

.

)

@-@

.

)

<

<

?

,

-

)

,

.

)

@-@

.

)

<

B

)

?

,

-

)

,

.

)

@-@

.

!

因为

<

<

?

,

-

)

,

.

)

@-@

.

6

;

5

&

?

,

-

)

@-

*

;

5

&

?

,

.

)

@

.

6

;

5

&

?

,

-

)

@

# $

-

)

!

又应用上面已得的结果有

)"

高等数学#下册$

科

学出版社

职教技术出版中心

www.abook.cn

<

B

$

?

,

-

)

,

.

)

@-@

.

6

)

+

#

$

,

?

,

5

)

$!

!

<

B

)

?

,

-

)

,

.

)

@-@

.

6

)

+

#

$

,

?

,

)5

)

$!

则

)

+

#

$

,

?

,

5

)

$

)

;

5

&

?

,

-

)

@

# $

-

)

)

)

+

#

$

,

?

,

)5

)

$

!

令5

"

(

:

!上式两端趋于同一极限)

+

!从而;

+:

&

?

,

-

)

@-

6

槡))

!

此积分称为概率积分!在概率论中有重要的应用!

例2

!

利用极坐标重新计算例+

中的积分!

解!

积分区域B

%

-

)

(

.

)

'

+

!可表示为%

&

'

-

'

$

!

&

'

-

'

)

)

!

则

?

6

<

B

#

+

,

-

)

,

.

)

$

@

26

;

)

)

&

@

'

;

)

&

#

+

,

-

)

$

-

@

-

6

)

)

)

-

)

,

-

+

# $

+

)

&

6

1

)

!

!!

和前面例子相比!采用极坐标计算较简单!

例6

!

求球体-

)

(

.

)

(/

)

'

5

) 被圆柱面-

)

(

.

)

%5-

所截得的#含在圆柱面内的部分$立

体#称为维维安尼体$的体积!图3#$+

所示!

解!

由对称性!立体体积为第一卦限部分的四倍!

?

6

+

<

B

5

)

,

-

)

,

.槡)

@-@

.

!

其中B

为半圆周.

% 5-*-槡)及

-

轴所围成的闭区域!

在极坐标系中B

可表示为&

'

-

'

5./0

'

!

&

'''

)

)

!如图3#$,

所示!

图3#$+

!!!!!

图3#$,

于是

?

6

+

<

B

5

)

,

-

槡)

-

@

-

@

'6

+

;

)

)

&

@

'

;

5./0

'

&

5

)

,

-

槡)

-

@

-

6

+

'

5

'

;

)

)

&

#

$

,

045

'

'

$

@

'6

+

'

5

'

)

)

,

# $

)

'

!

+

6"%"&

!

二重积分的一般变量替换

由前面引入的极坐标变换计算二重积分可以看出!利用适当的变换可简化积分的计算!

为

计算更广泛的二重积分!引入一般的变量替换!

'"

第3

章!

重!

积!

分

定理!

设H

#

-

!

.

$在-)

.

平面上的有界闭区域B

-

.

上连续!变换

O

%

-

6

-

#

R

!

K

$!

!

.

6

.

#

R

!

K

$

将R)K

平面上的有界闭区域B

RK

变为B

-

.

!且满足

#

$

$

-

#

R

!

K

$!

.

#

R

!

K

$在B

RK

上存在一阶连续偏导数&

#

)

$在B

RK

上雅可比式W

#

R

!

K

$

%

+

#

-

!

.

$

+

#

R

!

K

$

*

&

!

则<

B

-

.

H

#

-

!

.

$

@-@

.

6

<

B

RK

H

#

-

#

R

!

K

$!

.

#

R

!

K

$$

+

#

-

!

.

$

+

#

R

!

K

$

@R@K!

证明!

略!

例#$

!

计算<

B

-

)

@-@

.

!其中B

为椭圆-)

$

)

+

.

)

%

)

'

$

的第一卦限!

解!

用变换-%$

-

./0

'

!

.

%%

-

045

'

#称为广义极坐标变换$!则

B

-

'

%

&

'

'

'

)

)

!

&

'

-

'

$

!

W

#

-

!

'

$

6

+

#

-

!

.

$

+

#

-

!

'

$

6

$./0

' ,

$

-

045

'

%045

'

%

-

./0

'

6

$%

-

则<

B

-

)

@-@

.

6

<

B

-

'

#

$

-

./0

'

$

)

$%

-

@

'

@

-

6

;

)

)

&

@

'

;

$

&

$

'

%

-

'

./0

)

'

@

-

6

$

'

%

)

$-

!

例##

!

求<

B

?

-

,.

-

+.

@-@

.

!其中B

是由-%&

!

.

%&

!

-(

.

%)

所围的区域!如图30$-

所示!

解!

为简化被积函数!令R%-*

.

!

K%-(

.

!则-%

$

)

#

R(K

$!

.

%

$

)

#

K*R

$!如图3#$"

所示!

图3#$-

!!!!!

图3#$"

W

#

R

!

K

$

%

+

#

-

!

.

$

+

#

R

!

K

$

%

$

)

$

)

*

$

)

$

)

%

$

)

*

&

!

由B

-

.

%

-%&

!

.

%&

!

-(

.

%)

!则B

RK

%

$

)

#

R(K

$

%&

!

$

)

#

K*R

$

%&

!

K%)

!即R(K%&

!

K*R%&

!

K%)

!

&

'

K

'

)

!

*K

'

R

'

K

!所以

<

B

?

-

,.

-

+.

@-@

.

6

<

B

RK

?

R

K

$

)

@R@K

6

$

)

;

)

&

@K

;

K

,

K

?

R

K

@R

6

?

,

?

,

$

!

!!

例#%

!

求由抛物线.

)

%

D

-

!

.

)

%

X

-

和双曲线-

.

%$

!

-

.

%%

#

&

)

D

)

X

!

&

)

$

)

%

$所围区域

的面积!如图3#$1

所示!

解!

令R%

.

)

-

!

K%-

.

!如图3#$3

所示!

+"

高等数学#下册$

科

学出版社

职教技术出版中心

www.abook.cn

图3#$1

!!!!!

图3#$3

W

#

R

!

K

$

6

+

#

-

!

.

$

+

#

R

!

K

$

6

$

+

#

R

!

K

$

+

#

-

!

.

$

6

$

,

.

)

-

)

)

.

-

.

-

6

$

,

'

.

)

-

6,

$

'R

!

由B

-

.

%

D

'

.

)

-

'

X

!

$

'

-

.

'

%

!则B

RK

%

D

'

R

'

X

!

$

'

K

'

%

!如图3#$3

所示!

所以所围区域的面积

<

6

<

B

-

.

@-@

.

6

<

B

RK

*

W

*

@R@K

6

;

%

$

@K

;

X

D

$

'R

@R

6

$

'

#

%

,

$

$

;5

X

D

!

习题6"%

#

)

$

$#

计算下列积分!

#

$

$

<

B

#

'-

+

)

.

$

@

2

!其中B

%

-

+

.

6

)

与坐标轴所围&

#

)

$

<

B

#

-

)

,

.

)

$

@

2

!其中B

%

&

'

.

'

045-

!

&

'

-

'

)

&

#

'

$

<

B

?

-

+

.

@

2

!其中B

%

*

-

*+*

.

*

'

$

&

#

+

$

<

B

045-

-

@

2

!其中B

%

.

6

-

!

.

6

-

)

!

-

6

)

所围&

#

,

$

<

B

#

*

-

*+

.

$

@

2

!其中B

%

*

-

*+*

.

*

'

$!

)#

改变积分顺序!

#

$

$

;

$

&

@

.

;

.

&

H

#

-

!

.

$

@-

&

!

#

)

$

;

?

$

@-

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;5-

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H

#

-

!

.

$

@

.

&

!

#

'

$

;

$

&

@

.

;

$

+

.

)

$

,

.

H

#

-

!

.

$

@-!

'#

求由.

%-

!

.

%&

!

-(

.

%)

所围成的密度为-

%-

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(

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) 的薄板的质量!

+#

求下面立体的体积

#

$

$由/%-

)

(

.

)

!

.

%-

)

!

.

%$

!

/%&

所围&

#

)

$由/%-

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()

.

)

!

/%-*)-

)

*

.

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,#

把下列积分化为极坐标形式的二次积分!

,"

第3

章!

重!

积!

分

#

$

$

<

$

'

-

)

+

.

)

'

+

H

#

-

!

.

$

@-@

.

&

!!!!!!

#

)

$

<

-

)

+

.

)

'

)-

H

#

-

!

.

$

@-@

.

&

#

'

$

;

$

&

@

.

;

$

,

.槡 )

&

H

#

-

!

.

$

@-

& #

+

$

;

)

&

@-

;

槡'-

-

H

#

-

!

.

$

@

.

!

-#

利用极坐标计算下列积分!

#

$

$

<

B

#

-

)

+

.

)

$

@

2

!其中!

B

%

-

)

+

.

)

'

)$-

!

.

&

&

&

#

)

$

<

B

;5

#

-

)

+

.

)

+

$

$

@

2

!其中!

B

%

-

)

+

.

)

'

+

!

.

&

&

!

-

&

&!

"#

选择适当坐标系计算下列积分!

#

$

$

<

B

#

-

)

+

.

)

$

,

$

)

@

2

!其中!

B

%

-

)

6

.

!

-

6

.

所围&

#

)

$

<

B

-

+

.

-

)

+

.

)

@

2

!其中!

B

%

-

)

+

.

)

'

$

!

-

+

.

&

$!

求球体-

)

(

.

)

(/

)

'

$

与-

)

(

.

)

(/

)

'

)/

所围立体体积!

#

*

$

$#

计算<

B

*

./0

#

-

+

.

$

*

@

2

!其中!

B

%

&

'

-

!

.

'

)

!

)#

计算<

B

.

-

+

.

?

#

-

+

.

$

)

@

2

!其中!

B

%

-

+

.

'

$

!

-

&

&

!

.

&

&!

'#

化<

B

H

#

-

.

$

@

2

为单积分!其中!

B

%

$

'

-

.

'

)

!

-

'

.

&

+-

!

-

(

&

!

.

(

&!

+#

<

B

$

,

-

)

,

.

)

$

+

-

)

+

.槡 )

@

2

!其中!

B

%

-

)

+

.

)

'

$

!

-

&

&

!

.

&

&!

,!

证明不等式%

$

'

<

B

#

045-

)

+

./0

.

)

$

@

2

'槡)!

B

%

&

'

-

!

.

'

$!

3#'

!

三 重 积 分

6"&"#

!

三重积分的概念

类似于讨论平面薄板的质量!求密度为-

6

H

#

-

!

.

!

/

!$空间物体的质量可化为求下述极

限C

6

;4>

!

"

&

:

&

@

6

$

H

#

3

@

!

4

@

!

6

@

$

*

K

@

!可抽象出三重积分的概念!

定义!

设H

#

-

!

.

!

/

$是空间有界闭区域7

上的有界函数!

将7

任意分成&

个小闭区域

*

K

$

!

*

K

)

!1!

*

K

&

其中!

*

K

@

表示第@

个小闭区域!也表示它的体积!

在每个*

K

@

上任取一点#

3

@

!

4

@

!

6

@

$!作乘积

H

#

3

@

!

4

@

!

6

@

$

*

K

@

!

#

@

6

$

!

)

!1!

&

$!并作和:

&

@

6

$

H

#

3

@

!

4

@

!

6

@

$

*

K

@

!

如果当各小闭区域的直径中的最

大值趋于零时!这个和的极限总存在!且此极限值与7

的分割和点的选取无关!则称此极限为

函数H

#

-

!

.

!

/

$在闭区域上的三重积分!记作=

7

H

#

-

!

.

!

/

$

@K!

即

-"

高等数学#下册$

科

学出版社

职教技术出版中心

www.abook.cn

=

7

H

#

-

!

.

!

/

$

@K

6

;4>

!

"

&

:

&

@

6

$

H

#

3

@

!

4

@

!

6

@

$

*

K

@

!

!!

在直角坐标系中!如果用平行于坐标面的平面来划分7

!则*

K

@

%

*

-

@

*

.

@

*

/

@

!因此也把体

积元素记作@K%@-@

.

@/

!三重积分记作

=

7

H

#

-

!

.

!

/

$

@K

6

=

7

H

#

-

!

.

!

/

$

@-@

.

@/!

!!

当函数H

#

-

!

.

!

/

$在闭区域7

上连续时!

H

#

-

!

.

!

/

$在7

上的三重积分是存在的!以后也总

假定H

#

-

!

.

!

/

$在闭区域7

上是连续的!

三重积分的性质与二重积分类似!

比如

=

7

(

=

$H

#

-

!

.

!

/

$

I

=

)T

#

-

!

.

!

/

$)

@K

6

=

$

=

7

H

#

-

!

.

!

/

$

@K

I

=

)

=

7

T

#

-

!

.

!

/

$

@K

&

=

7

$

+7

)

H

#

-

!

.

!

/

$

@K

6

=

7

$

H

#

-

!

.

!

/

$

@K

+

=

7

)

H

#

-

!

.

!

/

$

@K

&

!

图3#)&

=

7

@K

6

?

!其中?

为区域7

的体积!

6"&!%

!

三重积分的计算

$#

利用直角坐标系计算三重积分

三重积分的计算%三重积分也可化为三次积分

来计算!

设空间闭区域7

可表为/

$

#

-

!

.

$

'

/

'

/

)

#

-

!

.

$!

.

$

#

-

$

'

.

'

.

)

#

-

$!

$

'

-

'

%

!如图3#)&

所示!则

=

7

H

#

-

!

.

!

/

$

@K

6

;

%

$

@-

;

.

)

#

-

$

.

$

#

-

$

@

.

;

/

)

#

-

!

.

$

/

$

#

-

!

.

$

H

#

-

!

.

!

/

$

@/!

类似的!若空间闭区域7

可表为

.

$

#

-

!

/

$

'

.

'

.

)

#

-

!

/

$!

/

$

#

-

$

'

/

'

/

)

#

-

$!

$

'

-

'

%

!

则

图3#)$

!

=

7

H

#

-

!

.

!

/

$

@K

6

;

%

$

@-

;

/

)

#

-

$

/

$

#

-

$

@/

;

.

)

#

-

!

/

$

.

$

#

-

!

/

$

H

#

-

!

.

!

/

$

@

.

!

!!

这两种计算顺序!第一种实际上是把7

看作在上下

两个曲面之间!即把7

先向-)

.

面投影!之后把投影的平

面区域再向-

轴投影&第二种实际上是把7

看作在左右

两个曲面之间!即把7

先向-)/

面投影!之后把投影的平

面区域再向-

轴投影!同样的!也可以把7

看作在前后两

个曲面之间等!

例#

!

计算三重积分=

7

-@-@

.

@/

!其中7

为三个坐标

面及平面-()

.

(/%$

所围成的闭区域!如图3#)$

所示!

""

第3

章!

重!

积!

分

解!

区域7

可表示为

&

'

/

'

$

,

-

,

)

.

!

&

'

.

'

$

)

#

$

,

-

$!

&

'

-

'

$!

于是

=

7

-@-@

.

@/

6

;

$

&

@-

;

$

,

-

)

&

@

.

;

$

,

-

,

)

.

&

-@/

6

;

$

&

-@-

;

$

,

-

)

&

#

$

,

-

,

)

.

$

@

.

6

$

+

;

$

&

#

-

,

)-

)

+

-

'

$

@-

6

$

+1

!

!!

有时!计算一个三重积分也可以化为先计算一个二重积分!再计算一个定积分!

设空间闭

区域7

%

+#

-

!

.

!

/

$

$

#

-

!

.

$

6

B

/

!

=

$

'

/

'

=

)

,!其中B

/

是竖坐标为/

的平面截空间闭区域7

所

得到的一个平面闭区域!则有

=

7

H

#

-

!

.

!

/

$

@K

6

;

=

)

=

$

@/

<

B

/

H

#

-

!

.

!

/

$

@-@

.

!

!!

例%

!

计算三重积分=

7

/

)

@-@

.

@/

!其中7

是由椭球面-)

$

)

(

.

)

%

)

(

/

)

=

)

%$

所围成的闭区域!

解!

区域7

可表为%

-

)

$

)

(

.

)

%

)

'

$*

/

)

=

)

!

*=

'

/

'

=!

其中/

固定时此椭圆的面积为)

$%

$*

/

)

=

# $

)

于是

=

7

/

)

@-@

.

@/

6

;

=

,

=

/

)

@/

<

B

/

@-@

.

6)

$%

;

=

,

=

$

,

/

)

=

# $

)

/

)

@/

6

+

$,

)

$%=

'

!

)#

利用柱面坐标计算三重积分

设1

#

-

!

.

!

/

$为空间内一点!并设点1

在-)

.

面上的投影2

的极坐标为2

#

-

!

'

$!则这样

的三个数-

"

'

"

/

就叫做点1

的柱面坐标!这里规定-

"

'

"

/

的变化范围一般为&

'

-

)

(

:

!

&

'''

)

)

!

*

:)

/

)

(

:

!如图3#))

所示!

坐标面-

%

-

&

表示半径为-

&

圆心在原点的柱面!

'

%

'

&

表示与-

轴正向夹角为'

&

的垂直

-)

.

平面的半平面!

/%/

&

表示过点#

&

!

&

!

/

&

$平行于-)

.

平面的平面!如图3#)'

所示!

图3#))

!!!!!!

图3#)'

1"

高等数学#下册$

科

学出版社

职教技术出版中心

www.abook.cn

点1

的直角坐标与柱面坐标的关系

-

6

-

./0

'

.

6

-

045

'

/

6

1

2

3

/

!

!!

由@-@

.

%

-

@

-

@

'

!如图3#)+

所示!则柱面坐标系中的体积元素@K%@-@

.

@/%

-

@

-

@

'

@/!

则

柱面坐标系中的三重积分计算式为

=

7

H

#

-

!

.

!

/

$

@-@

.

@/

6

=

7

H

#

-

./0

'

!

-

045

'

!

/

$

-

@

-

@

'

@/

!!

例&

!

利用柱面坐标计算三重积分=

7

/@-@

.

@/

!其中7

是由曲面/%-

)

(

.

) 与平面/%+

所围成的区域!如图3#),

所示!

图3#)+

!!!!!

图3#),

解!

闭区域7

可表示为-

)

'

/

'

+

!

&

'

-

'

)

!

&

'''

)

)

!

于是

=

7

/@-@

.

@/

6

=

7

/

-

@

-

@

'

@/

6

;

)

)

&

@

'

;

)

&

-

@

-

;

+

-

)

/@/

6

$

)

;

)

)

&

@

'

;

)

&

-

#

$-

,

-

+

$

@

-

6

$

)

*

)

)

1

-

)

,

$

-

-

( )

-

)

&

6

-+

'

)

!

+

'#

利用球面坐标计算三重积分

设1

#

-

!

.

!

/

$为空间内一点!则点1

也可用这样三个有次序的数7

"

(

"

'

来确定!其中7

为原点)

与点1

间的距离!

(

为 "##

)1

与/

轴正向所夹的角!

'

为从正/

轴来看自-

轴按逆时

针方向转到有向线段 "##

)2

的角!这里2

为点1

在-)

.

面上的投影!这样的三个数7

"

(

"

'

叫

做点1

的球面坐标!这里7

"

(

"

'

的变化范围一般为&

'

7

)

(

:

!

&

'

(

))

!

&

'''

)

)

!如

图3#)-

所示!

坐标面7%7

&

表示球心在原点半径为7

&

的球面!

(

%

(&

表示顶点在原点半顶角为(&

的上

半锥面!

'

%

'

&

表示与-

轴正向夹角为'

&

的垂直-)

.

平面的半平面!如图3#)"

所示!

3"

第3

章!

重!

积!

分

图3#)-

!!!

图3#)"

点1

的直角坐标与球面坐标的关系%

-

6

7045

(

./0

'

.

6

7045

(

045

'

/

6

7./0

1

2

3

(

球面坐标系中的体积元素%

@K%7

)

045

(

@7@

(

@

'

!

球面坐标系中的三重积分的表达式为

=

7

H

#

-

!

.

!

/

$

@K

6

=

7

H

#

7045

(

./0

'

!

7045

(

045

'

!

7./0

(

$

7

)

045

(

@7@

(

@

'

!

图3#)1

!

!!

例'

!

求半径为$

的球面与半顶角为的内接锥面所围

成的立体的体积!如图3#)1

所示!

解!

球面的方程为-

)

(

.

)

(

#

/*$

$

)

%$

)

!即-

)

(

.

)

(

/

)

%)$/!

在球面坐标下此球面的方程为7

)

%)$7./0

(

!即

7%)$./0

(

!

所以该立体所占区域7

可表示为&

'

7

'

)$./0

(

!

&

'

(

'

%

!

&

'''

)

)

!

于是所求立体的体积为

?

6

=

7

@-@

.

@/

6

=

7

7

)

045

(

@7@

(

@

'6

;

)

)

&

@

'

;

%

&

@

(

;

)$./0

(

&

7

)

045

(

@7

6

)

)

;

%

&

045

(

@

(

;

)$./0

(

&

7

)

@7

6

$-

)

$

'

'

;

%

&

./0

'

(

045

(

@

(

6

+

)

$

'

'

#

$

,

./0

+

%

$

!

当%

%

)

)

时!即球体的体积公式!

习题6"&

#

)

$

$#

求密度为-

%-(

.

(/

的物体7

%

&

'

-

'

$

!

&

'

.

'

)

!

&

'

/

'

'

的质量!

)#

用直角坐标计算下列积分!

&1

高等数学#下册$

科

学出版社

职教技术出版中心

www.abook.cn

#

$

$

=

7

-

.

)

/

'

@K

!

7

由/

6

-

.

!

.

6

-

!

-

6

$

!

/

6

&

所围&

#

)

$

=

7

@K

#

$

+

-

+

.

+

/

$

'

!

7

由/

+

-

+

.

6

$

!

.

6

&

!

-

6

&

!

/

6

&

所围&

'#

用柱坐标计算下列积分!

#

$

$

=

7

/@K

!

7

为-

)

+

.

)

+

/

)

6

+

!

/

6

-

)

+

.槡) 所围锥面内部分&

#

)

$

=

7

#

-

)

+

.

)

$

@K

!

7

为-

)

+

.

)

6

)/

!

/

6

)

所围部分!

+#

用球坐标计算=

7

/ -

)

+

.

)

+

/槡)

@K

!

7

为-

)

+

.

)

+

/

)

'

$

!

/

&

'

#

-

)

+

.槡)

$

!

#

*

$

选择适当坐标系计算下列积分!

#

$

$

=

7

-

.

@K

!

7

为-

)

+

.

)

6

$

!

/

6

$

!

/

6

&

!

-

6

&

!

.

6

&

所围第一卦限部分&

#

)

$

=

7

-

)

+

.

)

+

/槡)

@K

!

7

为-

)

+

.

)

+

/

)

6

/

所围立体&

#

'

$

=

7

#

-

)

+

.

)

$

@K

!

7

为.

)

6

)/

!

-

6

&

绕)/

轴旋转一周而成的曲面与平面/

6

)

!

/

6

1

所围立体&

#

+

$

=

7

?

*

/

*

@K

!

7

为-

)

+

.

)

+

/

)

'

$!

#

,

$

=

7

-

)

$

)

+

.

)

%

)

+

/

)

=

# $

)

@K

!

7

为-)

$

)

+

.

)

%

)

+

/

)

=

)

6

$

所围立体!

3#+

!

重积分的应用

6"'"#

!

曲面的面积

设曲面<

由方程/%

H

#

-

!

.

$给出!

B

为曲面<

在-)

.

面上的投影区域!函数H

#

-

!

.

$在B

!

图3#)3

上具有连续偏导数H

-

#

-

!

.

$和H

.

#

-

!

.

$

!

现求曲面的

面积<!

将区域B

任意分成&

个小区域*2

@

其面积也记作

*2

@

!作以小区域*2

@

的边界曲线为准线"母线平行于/

轴的柱面!

在曲面<

上点2

@

#

-

@

!

.

@

!

/

@

$处作曲面<

的

切平面!将含于柱面内的小块切平面的面积*

"

@

作为

含于柱面内的小块曲面面积*

<

@

的近似值!即*

<

@

8

*

"

@

!

又设切平面的法向量&

@

%

#

*

H

-

#

D

@

$!

*

H

.

#

D

@

$!

$

$与/

轴所成的锐角为&

@

!如图3#)3

所示!则

=QM

&

@

6

$

$

+

H

)

-

#

D

@

$

+

H

)

.

#

D

@槡 $

!

从而

$1

第3

章!

重!

积!

分

*

"

@

6

*2

@

./0

&

@

6

$

+

H

)

-

#

D

@

$

+

H

)

.

#

D

@槡 $

*2

@

!

即

*

<

@

8

$

+

H

)

-

#

D

@

$

+

H

)

.

#

D

@槡 $

*2

@

!

所以

@M

6

$

+

H

)

-

#

-

!

.

$

+

H

)

.

#

-

!

.槡 $

@

2

!

!!

这就是曲面<

的面积元素!

于是曲面<

的面积为

<

6

<

B

$

+

H

)

-

#

-

!

.

$

+

H

)

.

#

-

!

.槡 $

@

2

!

或

<

6

<

B

$

+

+

/

+

# $

-

)

+

+

/

+

# $

.槡)

@-@

.

!

!!

若曲面方程为-%

T

#

.

!

/

$或.

%>

#

/

!

-

$!则曲面的面积可表示为

<

6

<

B

.

/

$

+

+

-

+

# $

.

)

+

+

-

+

# $

/槡)

@

.

@/

!

或

<

6

<

B

/-

$

+

+

.

+

# $

/

)

+

+

.

+

# $

-槡)

@/@-!

其中B

.

/

是曲面在.

)/

面上的投影区域!

B

/-

是曲面在/)-

面上的投影区域!

例#

!

求球面-

)

(

.

)

(/

)

%5

) 被圆柱面-

)

(

.

)

%5-

所截得的含在圆柱面内的部分的面

积!如图3#$+

所示!

解!

由对称性!面积为第一卦限部分的四倍!/%

H

#

-

!

.

$

% 5

)

*-

)

*

.槡)

!所以

$

+

H

)

-

#

-

!

.

$

+

H

)

.

#

-

!

.槡 $

6

5

5

)

,

-

)

,

.槡)

!

从而所求面积为

M

6

+

<

B

5

5

)

,

-

)

,

.槡)

@-@

.

6

+

;

)

)

&

@

'

;

5./0

'

&

5

5

)

,

7槡)

7@7

6

+5

)

)

)

,

# $

$

!

!!

重积分的元素法%

有许多求总量的问题可以用定积分的元素法来处理!

这种元素法也可推广到二重积分的

应用中!

如果所要计算的某个量P

对于闭区域B

具有可加性#就是说!当闭区域B

分成许多

小闭区域时!所求量P

相应地分成许多部分量!且P

等于部分量之和$!并且在闭区域B

内任

取一个直径很小的闭区域@

2

时!相应的部分量可近似地表示为H

#

-

!

.

$

@

2

的形式!其中#

-

!

.

$在

@

2

内!则称H

#

-

!

.

$

A

2

为所求量P

的元素!记作@P

!以它为被积表达式!在闭区域B

上积分%

P

6

<

B

H

#

-

!

.

$

@

2

!

这就是所求量的积分表达式!

如上面求曲面面积的过程!

6"'"%

!

质心

设有一平面薄片!占有-)

.

面上的闭区域B

!在点2

#

-

!

.

$处的面密度为"

#

-

!

.

$!假定

)1

高等数学#下册$

科

学出版社

职教技术出版中心

www.abook.cn

"

#

-

!

.

$在B

上连续!

现在讨论该薄片的质心坐标!

在闭区域B

上任取一点2

#

-

!

.

$!及包含点2

#

-

!

.

$的一直径很小的闭区域A

2

#其面积也

记作A

2

$!则平面薄片对-

轴和对.

轴的静力矩#仅考虑大小$元素分别为

@1

-

6

.

"

#

-

!

.

$

@

2

!

@1

.

6

-

"

#

-

!

.

$

@

2

!

!!

则由元素法平面薄片对-

轴和对.

轴的静力矩分别为

1

-

6

<

B

.

"

#

-

!

.

$

@

2

!

!

1

.

6

<

B

-

"

#

-

!

.

$

@

2

!

!!

设平面薄片的质心坐标为#

>

-

!

?

.

$!平面薄片的质量为1

!根据质心的定义

>

-

*

1

6

1

.

!

!?

.

*

1

6

1

-

!

于是

!

图3#'&

>

-

6

1

.

1

6

<

B

-

"

#

-

!

.

$

@

2

<

B

"

#

-

!

.

$

@

2

!

!?

.

6

1

-

1

6

<

B

.

"

#

-

!

.

$

@

2

<

B

"

#

-

!

.

$

@

2

!

!!

如果平面薄片是均匀的!即面密度是常数!则平面薄

片的质心

>

-

6

<

B

-@

2

<

B

@

2

!

!?

.

6

<

B

.

@

2

<

B

@

2

!

!!

例%

!

求位于两圆-

%)045

'

和-

%+045

'

之间的均匀

薄片的质心!如图3#'&

所示!

解!

因为闭区域B

对称于.

轴!所以质心8

#

>

-

!

?

.

$必位于.

轴上!于是>

-%&!

因为<

B

.

@

26

<

B

-

)

045

'

@

-

@

'

6

;

)

&

045

'

@

'

;

+045

'

)045

'

-

)

@

-

6

"

)

!

<

B

@

26)

*

)

)

,)

*

$

)

6

'

)

!

所以

?

.

6

<

B

.

@

2

<

B

@

2

6

"

)

'

)

6

"

'

!

所求质心是8 &

!

# $

"

'

!

类似地!占有空间闭区域7

"在点#

-

!

.

!

/

$处的密度为-

#

-

!

.

!

/

$#假定-

#

-

!

.

!

/

$在7

上连

续$的物体的质心坐标是#

>

-

!

?

.

!

?

/

$!记作1%

=

7

-

#

-

!

.

!

/

$

@K

!则

>

-

6

$

1

=

7

-

-

#

-

!

.

!

/

$

@K

!

?

.

6

$

1

=

7

.

-

#

-

!

.

!

/

$

@K

!

?

/

6

$

1

=

7

/

-

#

-

!

.

!

/

$

@K!

!!

例&

!

求由抛物面/%-

)

(

.

) 与平面/%$

所围均匀物体的质心!如图3#'$

所示!

解!

显然!质心在/

轴上!故>

-%

?

.

%&!

'1

第3

章!

重!

积!

分

图3#'$

!

由7

%

-

)

(

.

)

'

$

!

-

)

(

.

)

'

/

'

$

则

=

7

/@K

6

;

)

)

&

@

'

;

$

&

7@7

;

$

7

)

/@/

6

)

'

!

=

7

@K

6

;

)

)

&

@

'

;

$

&

7@7

;

$

7

)

@/

6

)

)

!

!!

则

?

/

6

=

7

/

-

@K

=

7

-

@K

6

=

7

/@K

=

7

@K

6

)

'

!

故质心为&

!

&

!

# $

)

'

!

6"'"&

!

转动惯量

设有一平面薄片!占有-)

.

面上的闭区域B

!在点2

#

-

!

.

$处的面密度为"

#

-

!

.

$!假定

"

#

-

!

.

$在B

上连续!

现在讨论该薄片对于-

轴的转动惯量和.

轴的转动惯量!

在闭区域B

上任取一点2

#

-

!

.

$!及包含点2

#

-

!

.

$的一直径很小的闭区域@

2

#其面积也

记为@

2

$!由质量为C

的质点对距质点距离为7

的轴的转动惯量为Y%C7

)

!则平面薄片对于-

轴的转动惯量和.

轴的转动惯量的元素分别为

@Y

-

6

.

)

"

#

-

!

.

$

@

2

!

!

@Y

.

6

-

)

"

#

-

!

.

$

@

2

!

则整片平面薄片对于-

轴的转动惯量和.

轴的转动惯量分别为

Y

-

6

<

B

.

)

"

#

-

!

.

$

@

2

!

!

Y

.

6

<

B

-

)

"

#

-

!

.

$

@

2

!

类似的对于原点的转动惯量为Y

&

6

<

B

#

-

)

+

.

)

$

"

#

-

!

.

$

@

2

&对占有空间有界闭区域7

在点#

-

!

.

!

/

$处的密度为-

#

-

!

.

!

/

$的物体对于-

"

.

"

/

轴的转动惯量为

Y

-

6

=

7

#

.

)

+

/

)

$

-

#

-

!

.

!

/

$

@K

!

!

Y

.

6

=

7

#

/

)

+

-

)

$

-

#

-

!

.

!

/

$

@K

!

Y

/

6

=

7

#

-

)

+

.

)

$

-

#

-

!

.

!

/

$

@K

&

对-)

.

平面的转动惯量为Y

-)

.

6

=

7

/

)

-

#

-

!

.

!

/

$

@K

&对于原点的转动惯量为

!

图3#')

Y

Q

6

=

7

#

-

)

+

.

)

+

/

)

$

-

#

-

!

.

!

/

$

@K!

!!

例'

!

求半径为$

的均匀半圆薄片#面密度为常量

"

$对于其直径边的转动惯量!如图3#')

所示!

解!

取坐标系如图!则薄片所占闭区域B

可表示为

B

6

+#

-

!

.

$

*

-

)

+

.

)

'

$

)

!

.

&

&

,

而所求转动惯量即半圆薄片对于-

轴的转动惯量Y

-

!

Y

-

6

<

B

"

.

)

@

26

"

<

B

-

)

045

)

'

*

-

@

-

@

'

+1

高等数学#下册$

科

学出版社

职教技术出版中心

www.abook.cn

!

图3#''

6

"

;

)

&

045

)

'

@

'

;

$

&

-

'

@

-

6

$

+

"

$

+

*

)

)

6

$

+

1$

)

!

其中1%

$

)

)

$

)

"

为半圆薄片的质量!

例(

!

求由以下平面所围

-

6

&

!

.

6

&

!

/

6

&

!

/

6

-

+

.

!

-

+

.

6

$

均匀物体对-)

.

平面的转动惯量#密度为$

$!如

图3#''

所示!

解!

Y

-Q

.

6

=

7

/

)

@K

6

;

$

&

@-

;

$

,

-

&

@

.

;

-

+

.

&

/

)

@/

6

$

$,

!

6"'"'

!

引力

下面讨论空间一物体对于物体外一点2

&

#

-

&

!

.

&

!

/

&

$处的单位质量的质点的引力问题!

设物体占有空间有界闭区域7

!它在点#

-

!

.

!

/

$处的密度为-

#

-

!

.

!

/

$!并假定-

#

-

!

.

!

/

$

在7

上连续!

在物体内任取一点#

-

!

.

!

/

$及包含该点的一直径很小的闭区域@K

#其体积也记作@K

$!把

这一小块物体的质量-

@K

近似地看作集中在点#

-

!

.

!

/

$处!这一小块物体对位于2

&

#

-

&

!

.

&

!

/

&

$处的单位质量的质点的引力近似地为

@'

6

#

@'

-

!

@'

.

!

@'

/

$

6 G

#

-

,

-

&

$

7

'

-

@K

!

G

#

.

,

.

&

$

7

'

-

@K

!

G

#

/

,

/

&

$

7

'

-

@

# $

K

!

其中!

@'

-

"

@'

.

"

@'

/

为引力元素@$

在三个坐标轴上的分量!其中G

为引力常数!

7%

#

-*-

&

$

)

(

#

.

*

.

&

$

)

(

#

/*/

&

$槡)

!

则

'

6

#

'

-

"

'

.

"

'

/

$

6

=

7

G

#

-

,

-

&

$

7

'

-

@K

!

=

7

G

#

.

,

.

&

$

7

'

-

@K

!

=

7

G

#

/

,

/

&

$

7

'

-

@

# $

K

!

!!

例,

!

设半径为5

的匀质球占有空间闭区域7

%

+#

-

!

.

!

/

$

$

-

)

(

.

)

(/

)

'

5

)

$,

!

求它对于

位于点1

&

#

&

!

&

!

$

$#

$

(

5

$处的单位质量的质点的引力!

解!

设球的密度为-&

!由球体的对称性及质量分布的均匀性知'

-

%'

.

%&

!所求引力沿/

轴的分量为#用柱坐标计算$

'

/

6

=

7

G

-&

/

,

$

(

-

)

+

.

)

+

#

/

,

$

$

)

)

'

2

)

@K

6

G

-&

;

5

,

5

#

/

,

$

$

@/

<

-

)

+

.

)

'

5

)

,

/

)

@-@

.

(

-

)

+

.

)

+

#

/

,

$

$

)

)

'

2

)

6

G

-&

;

5

,

5

#

/

,

$

$

@/

;

)

)

&

@

'

;

5

)

,

/槡 )

&

-

@

-

(

-

)

+

#

/

,

$

$

)

)

'

2

)

6

)

)

G

-&

;

5

,

5

#

/

,

$

$

$

$

,

/

,

$

5

)

,

)$/

+

$槡# $

)

@/

,1

第3

章!

重!

积!

分

6

)

)

G

-&

,

)5

+

$

$

;

5

,

5

#

/

,

$

$

@ 5

)

,

)$/

+

$槡( )

)

6

)G

)

-&

,

)5

+

)5

,

)5

'

'$

# $

)

6,

G

*

+

)

5

'

'

-&

*

$

$

)

6,

G

1

$

)

!

其中1%

+

)

5

'

'

-&

为球的质量!

G

为万有引力常数!

上述结果表明%匀质球对球外一质点的引力如同球的质量集中于球的质心即球心时两质

点间的引力!但对一般的物体间的引力!就不能看作将质量集中于物体的质心时的引力!

习题6"'

#

)

$

$#

求圆柱面-

)

(/

)

%$

) 被圆柱面-

)

(

.

)

%$

) 所围第一卦限内部分面积!

)!

求平面-

$

(

.

%

(

/

=

%$

在第一卦限内的面积!

'#

求由曲面/%-*-

)

*

.

)

!

/% -

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(

.槡)所围立体体积

!

+#

求由平面-

$

(

.

%

(

/

=

%$

!#

$

!

%

!

=

(

&

$和坐标平面所围均匀物体对-)

.

平面的转动惯量!

,#

求均匀薄片-

)

(

.

)

'

5

)

!

/%&

对于轴上点#

&

!

&

!

=

$处的引力!

#

*

$

$#

求曲面-

)

(

.

)

%$

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!

-*/%&

#

-

(

&

!

.

(

&

$所截那部分面积!

)#

求密度为-

%-

)

(

.

)

(/

) 的由-

)

(

.

)

(/

)

%5

) 和/% -

)

(

.槡)所围立体#锥面内部$的

质量!

'#

物体,

由/%-

)

(

.

)

!

/%&

!

$

-

$

%$

!

$

.

$

%$

所围!密度为常数(

!求此物体的重心和关

于/

轴的转动惯量!

+#

求均匀的高为>

底半径为5

的正圆锥体对于在它顶点处质量为C

的质点的引力

复 习 题3

$#

二重积分计算!

#

$

$

<

B

-

)

.

)

@-@

.

!

B

由-

.

6

)

!

.

6

$

+

-

)

!

-

6

)

所围&

#

)

$

<

B

.

'

-

@-@

.

!

B

为-

)

+

.

)

'

$

!

&

'

.

'

'-

槡)

所表示的部分&

#

'

$

<

-

)

+

.

)

'

$

)

#

-

)

+

)045-

+

'

.

+

+

$

@-@

.

&

#

+

$

<

B

-

.

@-@

.

!

B

为.

6

$

,

-槡)

!

-

)

+

#

.

,

$

$

)

6

$

!

-

6

&

所围的在右上方的部分&

#

,

$

<

B

#

-

)

+

.

)

$

@-@

.

!

B

为.

6

-

!

.

6

-

+

$

!

.

6

$

!

.

6

'$

#

$

(

&

$所围的部分&

-1

高等数学#下册$

科

学出版社

职教技术出版中心

www.abook.cn

#

-

$

<

B

?

.

-

+.

@-@

.

B

为-

6

&

!

.

6

&

!

-

+

.

6

$

所围的部分&

#

"

$

<

B

*

-

)

+

.

)

,

)-

*

@-@

.

!

B

为-

)

+

.

)

'

+

&

#

1

$

<

B

$

,

045

)

#

-

+

.槡 $

@-@

.

!

B

由.

6

-

!

-

6

)

)

!

.

6

&

所围!

)#

三重积分计算!

#

$

$

=

7

.

$

,

-槡)

@K

!

7

由.

6,

$

,

-

)

,

/槡)

!

-

)

+

.

)

6

$

!

.

6

$

所围&

#

)

$

=

7

#

-

+

.

+

/

$

@K

!

7

由-

)

+

.

)

'

/

)

!

&

'

/

'

>

所围&

#

'

$

=

7

#

-

+

.

+

/

$

)

@K

!

7

由-

)

+

.

)

+

/

)

'

)$/

所围&

'#

证明;

-

&

@K

;

K

&

@R

;

R

&

H

#

E

$

@E

6

$

)

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第3

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