ÑÀÍÊÒ-ÏÅÒÅÐÁÓÐÃÑÊÈÉ ÃÎÑÓÄÀÐÑÒÂÅÍÍÛÉÓÍÈÂÅÐÑÈÒÅÒ

À. Þ. Àëåêñàíäðîâ, Â. Â. Æóê, À. Ì. Êàìà÷êèí

ËÅÊÖÈÈ

ÏÎ ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÎÌÓ ÀÍÀËÈÇÓ

(ïåðâûé ñåìåñòð)

Ñàíêò-Ïåòåðáóðã2012

×àñòü I

ÄÈÔÔÅÐÅÍÖÈÀËÜÍÎÅÈÑ×ÈÑËÅÍÈÅ ÔÓÍÊÖÈÉ ÎÄÍÎÉÏÅÐÅÌÅÍÍÎÉ

ËÅÊÖÈß 1

ÃËÀÂÀ 1. ÂÂÅÄÅÍÈÅ

�1. Ïåðâîíà÷àëüíûå ñâåäåíèÿ î ìíîæåñòâàõ

1

 ìàòåìàòèêå ÷àñòî íåêîòîðûå ñëîâåñíûå âûðàæåíèÿ çàìåíÿþò ïîñðåäñòâîì ñèì-âîëîâ. Íàïðèìåð, ñèìâîë ∀ çàìåíÿåò âûðàæåíèå ¾äëÿ ïðîèçâîëüíîãî¿ èëè ¾äëÿ ëþ-áîãî¿ èëè ¾êàêîâî áû íè áûëî¿, à ñèìâîë ∃ çàìåíÿåò âûðàæåíèå ¾ñóùåñòâóåò¿ èëè¾íàéäåòñÿ¿. Ýòè ñèìâîëû íàçûâàþòñÿ êâàíòîðàìè. Çàïèñü A ⇒ B îçíà÷àåò, ÷òî èçñïðàâåäëèâîñòè âûñêàçûâàíèÿ A âûòåêàåò ñïðàâåäëèâîñòü âûñêàçûâàíèÿ B. Åñëè,êðîìå òîãî, èç ñïðàâåäëèâîñòè âûñêàçûâàíèÿ B âûòåêàåò ñïðàâåäëèâîñòü âûñêàçû-âàíèÿ A, òî ïèøóò A ⇔ B. Óñëîâèìñÿ íà÷àëî è êîíåö äîêàçàòåëüñòâà îáîçíà÷àòüñèìâîëàìè I è J ñîîòâåòñòâåííî. Óñëîâèìñÿ òàêæå, êîãäà óäîáíî, ââîäèòü îïðåäå-ëåíèÿ ïîñðåäñòâîì ñïåöèàëüíîãî ñèìâîëà := (ðàâåíñòâà ïî îïðåäåëåíèþ), â êîòîðîìäâîåòî÷èå ñòàâèòñÿ ñî ñòîðîíû îïðåäåëÿåìîãî îáúåêòà. Íàïðèìåð, îïðåäåëåíèå ñèì-âîëà

∑äëÿ îáîçíà÷åíèÿ ñóììû ñëàãàåìûõ ìîæíî çàïèñàòü ñëåäóþùèì îáðàçîì:

n∑k=1

ak := a1 + a2 + . . .+ an.

2

Ïîä ìíîæåñòâîì ïîíèìàåòñÿ ñîâîêóïíîñòü íåêîòîðûõ îáúåêòîâ. Ïðèìåðû: ìíî-æåñòâî âñåõ áóêâ ðóññêîãî àëôàâèòà, ìíîæåñòâî âñåõ êíèã äàííîé áèáëèîòåêè, ìíî-æåñòâî íàòóðàëüíûõ ÷èñåë.

Ãîâîðÿ î íåêîòîðîì ìíîæåñòâå, ìû íàçûâàåì åãî ýëåìåíòàìè òå îáúåêòû, èç êîòî-ðûõ îíî ñîñòàâëåíî. Åñëè ìíîæåñòâî îáîçíà÷åíî áóêâîé A, à îáùåå îáîçíà÷åíèå åãîýëåìåíòà � x, òî ïèøóò A = {x}. Åñëè íàäî óêàçàòü, ÷òî êàêîé-íèáóäü îáúåêò a åñòüîäèí èç ýëåìåíòîâ ìíîæåñòâà A, òî óïîòðåáëÿþò òàê íàçûâàåìûé çíàê âêëþ÷åíèÿ∈ è ïèøóò a ∈ A (÷èòàåòñÿ a ïðèíàäëåæèò A èëè a ñîäåðæèòñÿ â A). Åñëè æå a íåâñòðå÷àåòñÿ ñðåäè ýëåìåíòîâ ìíîæåñòâà A, òî ïèøóò a ∈A èëè a 6∈ A (÷èòàåòñÿ a íåïðèíàäëåæèò A èëè a íå ñîäåðæèòñÿ â A). Ïóñòü ðàññìàòðèâàþòñÿ äâà ìíîæåñòâàA è B. Åñëè êàæäûé ýëåìåíò B âõîäèò â A, òî ãîâîðÿò, ÷òî B åñòü ÷àñòü èëè ïîä-ìíîæåñòâî A è ïèøóò B ⊂ A (÷èòàåòñÿ B âêëþ÷àåòñÿ èëè ñîäåðæèòñÿ â A). Èíîãäà

3

ïèøóò A 3 a âìåñòî a ∈ A, A ⊃ B âìåñòî B ⊂ A. Ðàâíûìè (ïèøóò A = B) íàçûâàþòìíîæåñòâà, ñîñòîÿùèå èç îäíèõ è òåõ æå ýëåìåíòîâ, òî åñòü åñëè îäíîâðåìåííî B ⊂ Aè A ⊂ B. Åñëè x è y � ýëåìåíòû êàêèõ-íèáóäü ìíîæåñòâ, òî çíàê ðàâåíñòâà ìåæäóíèìè x = y èñïîëüçóåòñÿ äëÿ îáîçíà÷åíèÿ èõ ñîâïàäåíèÿ. Åñëè B ⊂ A è B 6= A,òî B íàçûâàåòñÿ ñîáñòâåííûì ïîäìíîæåñòâîì A. Îáû÷íî ìíîæåñòâà îïðåäåëÿþòñÿóêàçàíèåì êàêîãî-íèáóäü ïðèçíàêà, ïî êîòîðîìó îòíîñèòåëüíî ïðîèçâîëüíîãî îáúåê-òà ìîæíî ñóäèòü, âõîäèò îí â äàííîå ìíîæåñòâî èëè íåò. Êîíå÷íîå ìíîæåñòâî, òîåñòü ìíîæåñòâî, ñîñòîÿùåå èç êîíå÷íîãî ÷èñëà ýëåìåíòîâ, ìîæåò áûòü çàäàíî òàêæåïåðå÷èñëåíèåì âñåõ åãî ýëåìåíòîâ. Åñëè ìíîæåñòâî A ñîñòîèò èç ýëåìåíòîâ aα, ãäå αïðîáåãàåò íåêîòîðîå ìíîæåñòâî èíäåêñîâ ∆, òî áóäåì ïèñàòü A = {aα} èëè, ïîäðîá-íåå, A = {aα}, α ∈ ∆. Åñëè ìíîæåñòâî A ñîñòîèò èç âñåõ ýëåìåíòîâ, îáëàäàþùèõîïðåäåëåííûì ñâîéñòâîì, òî áóäåì ïèñàòü A = {a : . . . } (èëè A = {a | . . . }), ãäåâ ôèãóðíûõ ñêîáêàõ ïîñëå äâîåòî÷èÿ (ïîñëå çíàêà |) çàïèñàíî óêàçàííîå ñâîéñòâîýëåìåíòîâ ìíîæåñòâà A. Îïðåäåëÿÿ êàêîå-íèáóäü ìíîæåñòâî, ìû ìîæåì èíîãäà åùåíå çíàòü, ñîäåðæèò ëè ýòî ìíîæåñòâî, ïî êðàéíåé ìåðå, îäèí ýëåìåíò.  ñâÿçè ñ ýòèìââîäèòñÿ ïîíÿòèå ïóñòîãî ìíîæåñòâà. Òàê íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâî, íå ñîäåðæàùåå íèîäíîãî ýëåìåíòà. Ïóñòîå ìíîæåñòâî îáîçíà÷àåòñÿ ∅. Ïóñòîå ìíîæåñòâî ñ÷èòàåòñÿïîäìíîæåñòâîì ëþáîãî ìíîæåñòâà, òî åñòü âêëþ÷åíèå ∅ ⊂ A ñïðàâåäëèâî, êàêîâîáû íè áûëî ìíîæåñòâî A.

3

Îáúåäèíåíèåì äâóõ ìíîæåñòâ A è B íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâî, îáîçíà÷àåìîå A∪B,êîòîðîå ñîñòîèò èç âñåõ ýëåìåíòîâ, âõîäÿùèõ, ïî êðàéíåé ìåðå, â îäíî èç ìíîæåñòâA èëè B.

Àíàëîãè÷íî îïðåäåëÿåòñÿ îáúåäèíåíèå ëþáîãî êîëè÷åñòâà ìíîæåñòâ. Ïðè ýòîì,åñëè çàäàííûå ìíîæåñòâà îáîçíà÷àþòñÿ Aα (çíàê α ìîæåò ñàì ïðîáåãàòü êàêîå óãîäíîìíîæåñòâî, ýòî íå îáÿçàòåëüíî ïîðÿäêîâûé íîìåð), òî èõ îáúåäèíåíèå îáîçíà÷àåòñÿ∪αAα è, ïî îïðåäåëåíèþ, ýòî îáúåäèíåíèå ñîñòîèò èç âñåõ ýëåìåíòîâ, âõîäÿùèõ, ïî

êðàéíåé ìåðå, â îäíî èç Aα. Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî åñëè ïîä çíàêîì îáúåäèíåíèÿ íåóêàçàíà îáëàñòü èçìåíåíèÿ çíà÷êà α, òî îáúåäèíåíèå ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ íà âñå çíà-÷åíèÿ, êîòîðûå α ìîæåò ïðèíèìàòü â ðàññìàòðèâàåìîé çàäà÷å. Òî æå îòíîñèòñÿ è êââîäèìîé íèæå îïåðàöèè ïåðåñå÷åíèÿ.

Ïåðåñå÷åíèåì äâóõ ìíîæåñòâ A è B íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâî, îáîçíà÷àåìîå A∩B,ñîñòîÿùåå èç âñåõ ýëåìåíòîâ, êîòîðûå âõîäÿò è â A è â B. Àíàëîãè÷íî îïðåäåëÿåòñÿïåðåñå÷åíèå ∩

αAα ëþáîãî êîëè÷åñòâà ìíîæåñòâ: ýòî åñòü ìíîæåñòâî âñåõ ýëåìåíòîâ,

âõîäÿùèõ â êàæäîå Aα.Ðàçíîñòüþ A \ B íàçûâàåòñÿ ïîäìíîæåñòâî ìíîæåñòâà A, ñîñòîÿùåå èç âñåõ ýëå-

ìåíòîâ A, íå âõîäÿùèõ â B. Ïðè ýòîì â îïðåäåëåíèè ðàçíîñòè A \ B íå òðåáóåòñÿ,÷òîáû B ⊂ A.

Ïóñòü A � íåêîòîðîå ìíîæåñòâî, à B ⊂ A. Òîãäà ìíîæåñòâî A \ B íàçûâàåòñÿäîïîëíåíèåì ê ìíîæåñòâó B (îòíîñèòåëüíî A). ßñíî, ÷òî äîïîëíåíèå ê A \ B åñòüñàìî B.

Îòìåòèì îäíî âàæíîå ñâîéñòâî äîïîëíåíèé: åñëè Bα � ïðîèçâîëüíûå ïîäìíîæå-ñòâà A è Cα � èõ äîïîëíåíèÿ, òî åñòü Cα = A \Bα, òî

A \ ∪αBα = ∩

αCα, A \ ∩

αBα = ∪

αCα

(äîïîëíåíèå ê îáúåäèíåíèþ ïîäìíîæåñòâ ðàâíî ïåðåñå÷åíèþ èõ äîïîëíåíèé, à äî-ïîëíåíèå ê ïåðåñå÷åíèþ ïîäìíîæåñòâ ðàâíî îáúåäèíåíèþ èõ äîïîëíåíèé).

4

I Äîêàæåì ïåðâóþ ôîðìóëó; âòîðàÿ äîêàçûâàåòñÿ àíàëîãè÷íî. Ïóñòü x ∈ A \∪αBα. Ýòî çíà÷èò x ∈ A, íî x ∈ ∪

αBα. Òîãäà, ïî îïðåäåëåíèþ îáúåäèíåíèÿ, x ∈Bα íè

ïðè îäíîì α, ñëåäîâàòåëüíî, x ∈ Cα ïðè âñåõ α è x ∈ ∩αCα. Òàêèì îáðàçîì

(A \ ∪αBα) ⊂ ∩

αCα.

Îáðàòíî, ïóñòü x ∈ ∩αCα. Ýòî çíà÷èò, ÷òî x ∈ Cα ïðè âñåõ α. Ñëåäîâàòåëüíî,

x ∈ A, íî x ∈Bα ïðè âñåõ α. Òîãäà x ∈ ∪αBα è ïîòîìó x ∈ A \ ∪

αBα. Òàêèì îáðàçîì,

∩αCα ⊂ (A \ ∪

αBα).

Èç äâóõ äîêàçàííûõ âêëþ÷åíèé ñëåäóåò, ÷òî

A \ ∪αBα = ∩

αCα.

JÄâà ìíîæåñòâà A è B íàçûâàþòñÿ äèçúþíêòíûìè, åñëè èõ ïåðåñå÷åíèå ïóñòî:

A∩B = ∅ (÷àñòî â ýòîì ñëó÷àå ãîâîðÿò, ÷òî A è B íå ïåðåñåêàþòñÿ). Åñëè çàäàíàíåêîòîðàÿ ñîâîêóïíîñòü ìíîæåñòâ Aα è ëþáûå äâà ìíîæåñòâà èç ýòîé ñîâîêóïíîñòèñ ðàçëè÷íûìè èíäåêñàìè äèçúþíêòíû (Aα1 ∩Aα2 = ∅, ïðè α1 6= α2), òî ãîâîðÿò, ÷òîìíîæåñòâà Aα ïîïàðíî äèçúþíêòíû èëè, êîðî÷å, ïðîñòî äèçúþíêòíû.

 äàëüíåéøåì ìíîæåñòâà áóäåì îáîçíà÷àòü áîëüøèìè áóêâàìè ëàòèíñêîãî èëèêàêîãî-ëèáî äðóãîãî àëôàâèòà, à ýëåìåíòû ìíîæåñòâ ìàëåíüêèìè áóêâàìè.

4

Äâà ýëåìåíòà a è b íàçûâàþò óïîðÿäî÷åííîé ïàðîé è îáîçíà÷àþò (a, b), åñëè óêà-çàíî, êàêîé èç íèõ ïåðâûé, êàêîé âòîðîé. Ïðè ýòîì, (a, b) = (c, d) ðàâíîñèëüíî òîìó,÷òî a = c è b = d. Àíàëîãè÷íî îïðåäåëÿåòñÿ óïîðÿäî÷åííàÿ ñèñòåìà èç n ýëåìåíòîâ(a1, a2, . . . , an). Ýëåìåíòû a1, a2, . . . , an íàçûâàþòñÿ êîîðäèíàòàìè ñèñòåìû.

Äåêàðòîâûì ïðîèçâåäåíèåì A × B äâóõ ìíîæåñòâ A è B íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâîâñåâîçìîæíûõ óïîðÿäî÷åííûõ ïàð (a, b), ãäå a ∈ A, b ∈ B. Çàïèñü A1 ×A2 × . . .×Anîáîçíà÷àåò ïðîèçâåäåíèå ìíîæåñòâ Ai (i = 1, 2, . . . , n), òî åñòü ñîâîêóïíîñòü óïîðÿ-äî÷åííûõ ñèñòåì (a1, a2, . . . , an), ãäå ai ∈ Ai, i = 1, n (çàïèñü k = a, b, ãäå a, b �÷èñëà, îçíà÷àåò, ÷òî k ïðîáåãàåò âñå öåëûå ÷èñëà ìåæäó a è b, âêëþ÷àÿ a è b, åñëèîíè öåëûå). Ïðîèçâåäåíèÿ A×A, A×A×A è ò. ä. îáîçíà÷àþòñÿ òàêæå A2, A3 è ò. ä.

5

ËÅÊÖÈß 2

�2. Âåùåñòâåííûå ÷èñëà

1

Âåùåñòâåííûå ÷èñëà èçó÷àëèñü â êóðñå ýëåìåíòàðíîé ìàòåìàòèêè. Íàïîìíèìêðàòêî èçâåñòíûå èç ýëåìåíòàðíîé ìàòåìàòèêè ñâîéñòâà âåùåñòâåííûõ ÷èñåë è äî-ïîëíèì èõ îïèñàíèåì íåêîòîðûõ ñâîéñòâ, îáû÷íî òàì íå ðàññìàòðèâàåìûõ. Ìíîæå-ñòâî âñåõ âåùåñòâåííûõ ÷èñåë áóäåì îáîçíà÷àòü R.

I. Îïåðàöèÿ ñëîæåíèÿ. Äëÿ ëþáîé óïîðÿäî÷åííîé ïàðû a, b ∈ R îïðåäåëåíîâåùåñòâåííîå ÷èñëî, íàçûâàåìîå èõ ñóììîé è îáîçíà÷àåìîå a + b, òàê ÷òî ïðè ýòîìâûïîëíåíû ñëåäóþùèå óñëîâèÿ:

1. a+ b = b+ a.

2. a+ (b+ c) = (a+ b) + c, a, b, c ∈ R.

3. Ñóùåñòâóåò òàêîå ÷èñëî, íàçûâàåìîå íóëåì è îáîçíà÷àåìîå 0, ÷òî a+ 0 = a äëÿëþáîãî a ∈ R.

4. Äëÿ ëþáîãî ÷èñëà a ∈ R ñóùåñòâóåò ÷èñëî, íàçûâàåìîå åìó ïðîòèâîïîëîæíûìè îáîçíà÷àåìîå −a, äëÿ êîòîðîãî a+ (−a) = 0.

×èñëî a+ (−b) íàçûâàåòñÿ ðàçíîñòüþ ÷èñåë a è b è îáîçíà÷àåòñÿ a− b.II. Îïåðàöèÿ óìíîæåíèÿ. Äëÿ ëþáîé óïîðÿäî÷åííîé ïàðû a, b ∈ R îïðåäåëå-

íî åäèíñòâåííîå ÷èñëî, íàçûâàåìîå èõ ïðîèçâåäåíèåì è îáîçíà÷àåìîå ab. Ïðè ýòîìâûïîëíÿþòñÿ ñëåäóþùèå óñëîâèÿ:

1. ab = ba.

2. a(bc) = (ab)c, a, b, c ∈ R.

3. Ñóùåñòâóåò òàêîå ÷èñëî, íàçûâàåìîå åäèíèöåé è îáîçíà÷àåìîå 1, ÷òî a · 1 = aäëÿ ëþáîãî a ∈ R.

4. Äëÿ ëþáîãî ÷èñëà a 6= 0 ñóùåñòâóåò ÷èñëî, íàçûâàåìîå åìó îáðàòíûì è îáîçíà-

÷àåìîå1

aèëè 1/a, äëÿ êîòîðîãî a · 1

a= 1.

×èñëî a · 1b, ïðè b 6= 0, íàçûâàåòñÿ ÷àñòíûì îò äåëåíèÿ a íà b è îáîçíà÷àåòñÿ a : b

èëèa

bèëè a/b.

III. Ñâÿçü îïåðàöèé ñëîæåíèÿ è óìíîæåíèÿ.

(a+ b)c = ac+ bc, a, b, c ∈ R.

IV. Óïîðÿäî÷åííîñòü. Äëÿ âåùåñòâåííûõ ÷èñåë îïðåäåëåíî îòíîøåíèå ïîðÿä-êà. Îíî ñîñòîèò â ñëåäóþùåì. Äëÿ ëþáûõ äâóõ ðàçëè÷íûõ ÷èñåë a è b èìååò ìåñòîîäíî èç äâóõ ñîîòíîøåíèé: ëèáî a < b (÷èòàåòñÿ ¾a ìåíüøå b¿) èëè, ÷òî òî æå ñàìîå,b > a (÷èòàåòñÿ ¾b áîëüøå a¿), ëèáî a > b, èëè, ÷òî òî æå ñàìîå, b < a. Ïðè ýòîâûïîëíÿþòñÿ ñëåäóþùèå óñëîâèÿ:

6

1. Òðàíçèòèâíîñòü. Åñëè a < b è b < c, òî a < c.

2. Åñëè a < b, òî äëÿ ëþáîãî ÷èñëà c èìååò ìåñòî a+ c < b+ c.

3. Åñëè a > b è c > 0, òî ac > bc.

Ñîîòíîøåíèÿ ïîðÿäêà íàçûâàþò òàêæå íåðàâåíñòâàìè. Çàïèñü a 6 b, ðàâíîñèëü-íàÿ çàïèñè b > a, îçíà÷àåò, ÷òî ëèáî a < b, ëèáî a = b.

V. Íåïðåðûâíîñòü. Äëÿ ëþáûõ íåïóñòûõ ÷èñëîâûõ ìíîæåñòâ X è Y òàêèõ, ÷òîäëÿ êàæäîé ïàðû ÷èñåë x ∈ X è y ∈ Y âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî x 6 y, ñóùåñòâóåò÷èñëî a, óäîâëåòâîðÿþùåå óñëîâèþ

x 6 a 6 y äëÿ ëþáûõ x ∈ X, y ∈ Y.

Ïåðå÷èñëåííûå ñâîéñòâà ïîëíîñòüþ îïðåäåëÿþò ìíîæåñòâî âåùåñòâåííûõ ÷èñåë âòîì ñìûñëå, ÷òî èç ýòèõ ñâîéñòâ ñëåäóþò è âñå îñòàëüíûå åãî ñâîéñòâà. Ïîýòîìóìîæíî äàòü àêñèîìàòè÷åñêîå îïðåäåëåíèå ìíîæåñòâà âåùåñòâåííûõ ÷èñåë ñëåäóþ-ùèì îáðàçîì.

Îïðåäåëåíèå 2.1. Ìíîæåñòâî ýëåìåíòîâ, îáëàäàþùèõ ñâîéñòâàìè I�V, ñîäåðæàùååáîëåå îäíîãî ýëåìåíòà, íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâîì âåùåñòâåííûõ ÷èñåë, à êàæäûé åãîýëåìåíò � âåùåñòâåííûì ÷èñëîì.

Ýòî îïðåäåëåíèå îäíîçíà÷íî çàäàåò ìíîæåñòâî âåùåñòâåííûõ ÷èñåë ñ òî÷íîñòüþäî êîíêðåòíîé ïðèðîäû åãî ýëåìåíòîâ. Îãîâîðêà î òîì, ÷òî â ìíîæåñòâå ñîäåðæèò-ñÿ áîëåå îäíîãî ýëåìåíòà, íåîáõîäèìà ïîòîìó, ÷òî ìíîæåñòâî, ñîñòîÿùåå èç îäíîãîòîëüêî íóëÿ, î÷åâèäíûì îáðàçîì óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèÿì I�V.

×èñëà 1, 2 := 1 + 1, 3 := 2 + 1 è ò. ä. íàçûâàþòñÿ íàòóðàëüíûìè è èõ ìíîæåñòâîîáîçíà÷àåòñÿ N.

×èñëà ±0, ±1, ±2, . . . íàçûâàþòñÿ öåëûìè ÷èñëàìè, èõ ìíîæåñòâî îáîçíà÷àåòñÿZ. ×èñëà âèäà m

n, ãäå m,n ∈ Z è n 6= 0, íàçûâàþòñÿ ðàöèîíàëüíûìè ÷èñëàìè. Âåùå-

ñòâåííûå ÷èñëà, íå ÿâëÿþùèåñÿ ðàöèîíàëüíûìè, íàçûâàþòñÿ èððàöèîíàëüíûìè.Ãåîìåòðè÷åñêè ìíîæåñòâî âåùåñòâåííûõ ÷èñåë èçîáðàæàåòñÿ íàïðàâëåííîé ïðÿ-

ìîé, à îòäåëüíûå ÷èñëà � òî÷êàìè ýòîé ïðÿìîé. Ïîýòîìó ñîâîêóïíîñòü âåùåñòâåí-íûõ ÷èñåë ÷àñòî íàçûâàþò ÷èñëîâîé ïðÿìîé èëè ÷èñëîâîé îñüþ, à îòäåëüíûå ÷èñëà� åå òî÷êàìè.  ñâÿçè ñ ýòèì èíîãäà âìåñòî a < b (ñîîòâåòñòâåííî b > a) ãîâîðÿò,÷òî òî÷êà a ëåæèò ëåâåå òî÷êè b (òî÷êà b ëåæèò ïðàâåå òî÷êè a).

2

Àáñîëþòíàÿ âåëè÷èíà, èëè ìîäóëü, âåùåñòâåííîãî ÷èñëà a îáîçíà÷àåòñÿ |a| è îïðå-äåëÿåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì:

|a| =

{a, åñëè a > 0,

−a, åñëè a < 0.

Èç îïðåäåëåíèÿ àáñîëþòíîé âåëè÷èíû íåïîñðåäñòâåííî ñëåäóåò, ÷òî |a| = | − a|,

a 6 |a|, −a 6 |a|, |ab| = |a||b|,∣∣∣ab

∣∣∣ =|a||b|

ïðè b 6= 0.

Îòìåòèì òàêæå ñëåäóþùèå ñâîéñòâà àáñîëþòíîé âåëè÷èíû.

7

1. Íåðàâåíñòâî |a| < M ðàâíîñèëüíî ñîâîêóïíîñòè äâóõ íåðàâåíñòâ:−M < a < M.

I Ïóñòü |a| < M. Òîãäà a 6 |a| < M, ñëåäîâàòåëüíî, a < M ; −a 6 |a| < M,ñëåäîâàòåëüíî, −a < M, ò. å. a > −M. Îêîí÷àòåëüíî èìååì −M < a < M.

Îáðàòíî, åñëè −M < a < M, òî |a| < M. Äåéñòâèòåëüíî, åñëè a > 0, òî |a| = aè, ó÷èòûâàÿ ïðàâîå íåðàâåíñòâî, ïîëó÷èì |a| < M ; åñëè a < 0, òî |a| = −a è,óìíîæàÿ ëåâîå íåðàâåíñòâî íà −1, ïîëó÷èì |a| < M.

Àíàëîãè÷íî äîêàçûâàåòñÿ, ÷òî çàïèñü |a| 6 M ðàâíîñèëüíà çàïèñè−M 6 a 6M . J

2. Äëÿ ëþáûõ a, b ∈ R|a+ b| 6 |a|+ |b|. (2.1)

I Äåéñòâèòåëüíî, ïóñòü a + b > 0. Òàê êàê a 6 |a|, b 6 |b|, òî, ñêëàäûâàÿýòè íåðàâåíñòâà, ïîëó÷èì a + b 6 |a| + |b|. Íî |a + b| = a + b è, ñëåäîâàòåëüíî,|a + b| 6 |a| + |b|. Ïóñòü òåïåðü a + b < 0. Òàê êàê −a 6 |a|, −b 6 |b|, òî,ñêëàäûâàÿ ýòè íåðàâåíñòâà, èìååì −(a + b) 6 |a| + |b|. Íî |a + b| = −(a + b),ïîýòîìó, îêîí÷àòåëüíî, ïîëó÷èì |a+ b| 6 |a|+ |b|. J

3. Äëÿ ëþáûõ a, b ∈ R||a| − |b|| 6 |a− b|. (2.2)

I Íåðàâåíñòâî (2.2) ÿâëÿåòñÿ ñëåäñòâèåì íåðàâåíñòâà (2.1):

|a| − |b| = |(a− b) + b| − |b| 6 |a− b|+ |b| − |b| = |a− b|. (2.3)

Àíàëîãè÷íî, |b| − |a| 6 |b− a| = |a− b|. Îäíî èç ÷èñåë (|a| − |b|) èëè −(|a| − |b|)ñîâïàäàåò ñ ||a| − |b||. J

3

×àñòî áûâàåò óäîáíî äîïîëíèòü ìíîæåñòâî R ýëåìåíòàìè, îáîçíà÷àåìûìè ÷åðåç+∞ è −∞ è íàçûâàåìûìè ñîîòâåòñòâåííî ïëþñ áåñêîíå÷íîñòüþ è ìèíóñ áåñêîíå÷-íîñòüþ, ñ÷èòàÿ ïðè ýòîì ïî îïðåäåëåíèþ, ÷òî äëÿ ëþáîãî x ∈ R âûïîëíÿåòñÿ íåðà-âåíñòâî −∞ < x < +∞.

Ìíîæåñòâî R, äîïîëíåííîå ýëåìåíòàìè +∞ è−∞, íàçûâàåòñÿ ðàñøèðåííûì ìíî-æåñòâîì âåùåñòâåííûõ ÷èñåë (ðàñøèðåííîé ÷èñëîâîé ïðÿìîé) è îáîçíà÷àåòñÿ R.

Èíîãäà áûâàåò óäîáíî äîïîëíèòü ìíîæåñòâî R îäíèì ýëåìåíòîì ∞ (áåñêîíå÷-íîñòüþ áåç çíàêà), â ýòîì ñëó÷àå áåñêîíå÷íîñòü ∞ óæå íå ñâÿçàíà ñîîòíîøåíèÿìèïîðÿäêà ñ âåùåñòâåííûìè ÷èñëàìè.

Áåñêîíå÷íîñòè +∞, −∞ è∞ íàçûâàþòñÿ òàêæå áåñêîíå÷íî óäàëåííûìè òî÷êàìè÷èñëîâîé ïðÿìîé, â îòëè÷èå îò åå îñòàëüíûõ òî÷åê, êîòîðûå íàçûâàþòñÿ êîíå÷íûìèòî÷êàìè ÷èñëîâîé ïðÿìîé.

Ïóñòü a, b ∈ R, a 6 b. Ìíîæåñòâî

[a, b] := {x : x ∈ R, a 6 x 6 b}

íàçûâàåòñÿ îòðåçêîì (èëè ñåãìåíòîì), ìíîæåñòâî

(a, b) := {x : x ∈ R, a < x < b}

8

� èíòåðâàëîì, ìíîæåñòâà

[a, b) := {x : x ∈ R, a 6 x < b},(a, b] := {x : x ∈ R, a < x 6 b}

� ïîëóèíòåðâàëàìè.Âñå ýòè ìíîæåñòâà íàçûâàþòñÿ ïðîìåæóòêàìè. Òî÷êè a è b íàçûâàþòñÿ êîíöàìè

ýòèõ ïðîìåæóòêîâ, à òî÷êè x òàêèå, ÷òî a < x < b � èõ âíóòðåííèìè òî÷êàìè. ×èñëîb− a íàçûâàåòñÿ äëèíîé ñîîòâåòñòâóþùåãî ïðîìåæóòêà.

Áóäåì ðàññìàòðèâàòü òàêæå áåñêîíå÷íûå ïðîìåæóòêè, óïîòðåáëÿÿ äëÿ èõ çàïèñèñèìâîëû áåñêîíå÷íîñòè +∞ è −∞. Ïðè a, b ∈ R ïîëàãàåì:

(a,+∞) := {x : x ∈ R, x > a}, (−∞, b) = {x : x ∈ R, x < b},[a,+∞) := {x : x ∈ R, x > a}, (−∞, b] = {x : x ∈ R, x 6 b}.

 äàëüíåéøåì

R+ := {x : x ∈ R, x > 0}, Z+ = {x : x ∈ Z, x > 0},(−∞,+∞) := R.

9

ËÅÊÖÈß 3

�3. Áèíîì Íüþòîíà

1

Ïóñòü èìååòñÿ íåêîòîðîå ìíîæåñòâî óòâåðæäåíèé Pn, n ∈ N. Ìåòîä ìàòåìàòè÷å-ñêîé èíäóêöèè ñîñòîèò â ñëåäóþùåì. Åñëè äîêàçàíî:

1) ÷òî ñïðàâåäëèâî óòâåðæäåíèå P1;

2) ÷òî èç ñïðàâåäëèâîñòè óòâåðæäåíèÿ ñ ëþáûì íîìåðîì n ñëåäóåò ñïðàâåäëè-âîñòü óòâåðæäåíèÿ ñ íîìåðîì n+ 1,

òî òåì ñàìûì äîêàçàíà ñïðàâåäëèâîñòü ëþáîãî óòâåðæäåíèÿ Pn ñ ïðîèçâîëüíûì íî-ìåðîì n.

2

Ïî îïðåäåëåíèþ, åñëè k ∈ N, òî k! = 1 · 2 · . . . · k; 0! = 1. Ïðè m, n ∈ Z+, m 6 nïîëàãàåì

Cmn =

n!

m!(n−m)!

(÷èòàåòñÿ: ÷èñëî ñî÷åòàíèé èç n ýëåìåíòîâ ïî m). Äëÿ ñî÷åòàíèé íàðÿäó ñ îáîçíà÷å-íèåì Cm

n èñïîëüçóåòñÿ òàêæå îáîçíà÷åíèå(nm

).

Òåîðåìà 3.1 (áèíîì Íüþòîíà). Åñëè n ∈ N, a, b ∈ R, òî

(a+ b)n =n∑

m=0

Cmn a

n−mbm.

I Ïðè n = 1 èìååì

(a+ b) =1∑

m=0

Cm1 a

1−mbm =1!

0!1!a+

1!

1!0!b = a+ b.

Îñòàåòñÿ ïîêàçàòü, ÷òî èç ïðåäïîëîæåíèÿ ñïðàâåäëèâîñòè óòâåðæäåíèÿ äëÿ nñëåäóåò, ÷òî

(a+ b)n+1 =n+1∑m=0

Cmn+1a

n+1−mbm.

 ñàìîì äåëå,

(a+ b)n+1 = (a+ b)(a+ b)n = (a+ b)n∑

m=0

Cmn a

n−mbm =

=n∑

m=0

Cmn a

n+1−mbm +n∑

m=0

Cmn a

n−mbm+1 =

=n∑

m=0

Cmn a

n+1−mbm +n+1∑m=1

Cm−1n an+1−mbm =

= an+1 +n∑

m=1

(Cmn + Cm−1

n )an+1−mbm + bn+1.

10

Èñïîëüçóÿ ñîîòíîøåíèÿ

Cmn + Cm−1

n =n!

m!(n−m)!+

n!

(m− 1)!(n+ 1−m)!=

(n+ 1)!

m!(n+ 1−m)!= Cm

n+1,

C0n+1 = Cn+1

n+1 = 1,

îêîí÷àòåëüíî èìååì

(a+ b)n+1 = an+1 +n∑

m=1

Cmn+1a

n+1−mbm + bn+1 =n+1∑m=0

Cmn+1a

n+1−mbm.

J

�4. Äâà íåðàâåíñòâà Êîøè

Òåîðåìà 4.1. Äëÿ ëþáûõ âåùåñòâåííûõ ÷èñåë ai è bi, (i = 1, n) ñïðàâåäëèâû íåðà-âåíñòâà ∣∣∣∣∣

n∑i=1

aibi

∣∣∣∣∣ 6(

n∑i=1

a2i

) 12(

n∑i=1

b2i

) 12

, (4.1)

(n∑i=1

(ai + bi)2

) 12

6

(n∑i=1

a2i

) 12

+

(n∑i=1

b2i

) 12

. (4.2)

I Äîêàçàòåëüñòâî íåðàâåíñòâà (4.1) ìîæåò áûòü îñíîâàíî íà ñëåäóþùåì çàìå-÷àíèè: åñëè êâàäðàòíûé òðåõ÷ëåí Ax2 + 2Bx+C ñ âåùåñòâåííûìè êîýôôèöèåíòàìèíåîòðèöàòåëåí ïðè âñåõ x ∈ R, òî åãî äèñêðèìèíàíò B2 − AC 6 0. Ñîñòàâèì âñïî-ìîãàòåëüíóþ ôóíêöèþ îò âåùåñòâåííîé ïåðåìåííîé x, ñâîäÿùóþñÿ ê êâàäðàòíîìóòðåõ÷ëåíó:

ϕ(x) =n∑i=1

(aix+ bi)2 = Ax2 + 2Bx+ C,

ãäå

A =n∑i=1

a2i , B =

n∑i=1

aibi, C =n∑i=1

b2i . (4.3)

Èç îïðåäåëåíèÿ âèäíî, ÷òî ϕ(x) > 0 ïðè âñåõ x. Òîãäà íà îñíîâàíèè ïðåäûäóùåãîçàìå÷àíèÿ (

n∑i=1

aibi

)2

−n∑i=1

a2i

n∑i=1

b2i 6 0.

Ýòî è åñòü èíà÷å çàïèñàííîå íåðàâåíñòâî (4.1). Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà íåðàâåí-ñòâà (4.2) óäâîèì îáå ÷àñòè íåðàâåíñòâà (4.1) è ïðèáàâèì ê íèì âûðàæåíèå

n∑i=1

a2i +

n∑i=1

b2i .

 ðåçóëüòàòå ïîëó÷èì

n∑i=1

a2i + 2

n∑i=1

aibi +n∑i=1

b2i 6

n∑i=1

a2i + 2

√√√√ n∑i=1

a2i

√√√√ n∑i=1

b2i +

n∑i=1

b2i .

11

Ýòî íåðàâåíñòâî ìîæíî ïåðåïèñàòü è òàê:

n∑i=1

(ai + bi)2 6

√√√√ n∑i=1

a2i +

√√√√ n∑i=1

b2i

2

.

Èçâëåêàÿ êâàäðàòíûå êîðíè èç îáåèõ ÷àñòåé ïîñëåäíåãî íåðàâåíñòâà, ïîëó÷àåì (4.2).JÍåðàâåíñòâà (4.1) è (4.2) íàçûâàþòñÿ íåðàâåíñòâàìè Êîøè. Ïðèâåäåì åùå íåñêîëü-

êî äîêàçàòåëüñòâ íåðàâåíñòâà (4.1):

1. I Ïóñòü A, B è C îïðåäåëåíû ôîðìóëàìè (4.3). Åñëè C = 0, òî ñîîòíîøå-íèå (4.1) ïåðåõîäèò â ðàâåíñòâî 0 = 0.  ïðåäïîëîæåíèè C 6= 0 íåðàâåíñòâî (4.1)ñëåäóåò èç î÷åâèäíîãî ðàâåíñòâà

n∑i=1

(Cai −Bbi)2 = C2A− 2CB2 +B2C = C(CA−B2)

è íåðàâåíñòâ

C > 0,n∑i=1

(Cai −Bbi)2 > 0.

J

2. I Ïóñòü, êàê è âûøå, A è C îïðåäåëåíû ðàâåíñòâàìè (4.3). Òàê êàê äëÿ ëþáûõa, b ∈ R

|ab| 6 1

2

(a2 + b2

),

òî, ñ÷èòàÿ A è C íå ðàâíûìè íóëþ, èìååì

1

AC

n∑i=1

(aibi)2 =

n∑i=1

(ai√A

bi√C

)2

61

2

(1

A

n∑i=1

a2i +

1

C

n∑i=1

b2i

)= 1.

òî åñòün∑i=1

(aibi)2 6 AC.

J

3. Íåðàâåíñòâî (4.1) î÷åâèäíûì îáðàçîì ñëåäóåò èç òîæäåñòâà Ëàãðàíæà(n∑i=1

aibi

)2

=n∑i=1

a2i

n∑i=1

b2i −

∑16j<i6n

(ajbi − aibj)2. (4.4)

Äîêàçàòåëüñòâî ðàâåíñòâà (4.4) ïðåäîñòàâëÿåòñÿ ÷èòàòåëþ.

12

ËÅÊÖÈß 4

�5. Îãðàíè÷åííûå è íåîãðàíè÷åííûå ìíîæåñòâà. Âåðõíÿÿ è íèæíÿÿ ãðà-íè

Îïðåäåëåíèå 5.1. Ìíîæåñòâî X ⊂ R íàçûâàåòñÿ îãðàíè÷åííûì ñâåðõó, åñëè ñóùå-ñòâóåò òàêîå ÷èñëî b ∈ R, ÷òî äëÿ âñåõ x ∈ X ñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâî x 6 b. ×èñëîb íàçûâàåòñÿ â ýòîì ñëó÷àå âåðõíåé ãðàíèöåé ìíîæåñòâà X. Ìíîæåñòâî X íàçûâà-åòñÿ îãðàíè÷åííûì ñíèçó, åñëè ñóùåñòâóåò òàêîå ÷èñëî a ∈ R, ÷òî äëÿ âñåõ x ∈ Xâûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî x > a. ×èñëî a íàçûâàåòñÿ â ýòîì ñëó÷àå íèæíåé ãðàíèöåéìíîæåñòâà X. Ìíîæåñòâî, îãðàíè÷åííîå ñâåðõó è ñíèçó, íàçûâàåòñÿ îãðàíè÷åííûì.

Ìíîæåñòâî, íå ÿâëÿþùååñÿ îãðàíè÷åííûì ñâåðõó (ñíèçó), íàçûâàåòñÿ íåîãðà-íè÷åííûì ñâåðõó (ñíèçó). Ìíîæåñòâî, íå ÿâëÿþùååñÿ îãðàíè÷åííûì, íàçûâàåòñÿíåîãðàíè÷åííûì.

Åñëè â ìíîæåñòâå X ⊂ R èìååòñÿ ÷èñëî b, êîòîðîå íå ìåíüøå âñåõ äðóãèõ ÷èñåëèç X, ò. å. b ∈ X è äëÿ âñåõ x ∈ X âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî x 6 b, òî ÷èñëî bíàçûâàåòñÿ íàèáîëüøèì èëè ìàêñèìàëüíûì ÷èñëîì ìíîæåñòâà X è ïðè ýòîì ïèøóòb = maxX.

Åñëè â ìíîæåñòâå X ⊂ R èìååòñÿ ÷èñëî a, êîòîðîå íå áîëüøå âñåõ äðóãèõ ÷èñåëèç X, ò. å. a ∈ X è äëÿ âñåõ x ∈ X âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî a 6 x, òî ÷èñëî aíàçûâàåòñÿ íàèìåíüøèì èëè ìèíèìàëüíûì ÷èñëîì ìíîæåñòâà X è ïðè ýòîì ïèøóòa = minX.

Îïðåäåëåíèå 5.2. Ïóñòü ìíîæåñòâî X ⊂ R îãðàíè÷åíî ñâåðõó. Íàèìåíüøàÿ ñðåäèâñåõ âåðõíèõ ãðàíèö ìíîæåñòâà X íàçûâàåòñÿ åãî âåðõíåé ãðàíüþ è îáîçíà÷àåòñÿsupX èëè sup

x∈Xx (îò ëàòèíñêîãî ñëîâà supremum � íàèáîëüøèé).

Îïðåäåëåíèå 5.3. Ïóñòü ìíîæåñòâî X ⊂ R îãðàíè÷åíî ñíèçó. Íàèáîëüøàÿ ñðåäèâñåõ íèæíèõ ãðàíèö ìíîæåñòâà X íàçûâàåòñÿ åãî íèæíåé ãðàíüþ è îáîçíà÷àåòñÿinf X èëè inf

x∈Xx (îò ëàòèíñêîãî ñëîâà in�mum � íàèìåíüøèé).

Îòìåòèì, ÷òî â äàííûõ îïðåäåëåíèÿõ íå îáñóæäàåòñÿ âîïðîñ î ñóùåñòâîâàíèèíàèìåíüøåãî (íàèáîëüøåãî) ÷èñëà ñðåäè âñåõ âåðõíèõ (íèæíèõ) ãðàíèö äàííîãî ìíî-æåñòâà, à ãîâîðèòñÿ ëèøü, ÷òî åñëè òàêîå ÷èñëî ñóùåñòâóåò, òî îíî íàçûâàåòñÿ âåðõ-íåé (íèæíåé) ãðàíüþ ðàññìàòðèâàåìîãî ìíîæåñòâà.

Îïðåäåëåíèÿ 5.2 è 5.3 ìîæíî ïåðåôðàçèðîâàòü ñëåäóþùèì îáðàçîì

Îïðåäåëåíèå 5.2′. ×èñëî β íàçûâàåòñÿ âåðõíåé ãðàíüþ ìíîæåñòâà X ⊂ R, åñëè

1) äëÿ ëþáîãî x ∈ X âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî x 6 β;

2) äëÿ ëþáîãî β′ < β ñóùåñòâóåò òàêîå x ∈ X, ÷òî x > β′.

Îïðåäåëåíèå 5.3′. ×èñëî α íàçûâàåòñÿ íèæíåé ãðàíüþ ìíîæåñòâà X ∈ R, åñëè

1) äëÿ ëþáîãî x ∈ X âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî x > α;

2) äëÿ ëþáîãî α′ > α ñóùåñòâóåò òàêîå x ∈ X, ÷òî x < α′.

13

Åñëè âî âòîðîì óñëîâèè îïðåäåëåíèÿ 5.2′ (ñîîòâåòñòâåííî îïðåäåëåíèÿ 5.3′) ïîëî-æèòü ε = β − β′ (ñîîòâåòñòâåííî ε = α′ − α), òî ýòî óñëîâèå ìîæíî ïåðåôðàçèðîâàòüñëåäóþùèì îáðàçîì

2′) äëÿ ëþáîãî ε > 0 ñóùåñòâóåò òàêîé x ∈ X, ÷òî x > β − ε (ñîîòâåòñòâåííîx < α + ε).

Òåîðåìà 5.1. Âñÿêîå îãðàíè÷åííîå ñâåðõó íåïóñòîå ÷èñëîâîå ìíîæåñòâî èìååòâåðõíþþ ãðàíü, à âñÿêîå îãðàíè÷åííîå ñíèçó íåïóñòîå ÷èñëîâîå ìíîæåñòâî èìååòíèæíþþ ãðàíü.

I Ïóñòü A ⊂ R îãðàíè÷åíî ñâåðõó, A 6= ∅, à B ìíîæåñòâî âñåõ âåðõíèõ ãðàíèöìíîæåñòâà A. Åñëè a ∈ A è b ∈ B, òî èç îïðåäåëåíèÿ âåðõíåé ãðàíèöû ñëåäóåò,÷òî a 6 b. Ñëåäîâàòåëüíî, ïî ñâîéñòâó íåïðåðûâíîñòè âåùåñòâåííûõ ÷èñåë (�2, ñâîé-ñòâî V) ñóùåñòâóåò òàêîå ÷èñëî β, ÷òî äëÿ âñåõ a ∈ A è âñåõ b ∈ B áóäåò a 6 β 6 a.Íåðàâåíñòâî a 6 β, ãäå a ∈ A îçíà÷àåò, ÷òî ÷èñëî β âåðõíÿÿ ãðàíèöà ìíîæåñòâà A,à íåðàâåíñòâî β 6 b, ãäå b ∈ B, � ÷òî ÷èñëî β ÿâëÿåòñÿ íàèìåíüøåé ñðåäè âåðõíèõãðàíèö ìíîæåñòâà A. Ñëåäîâàòåëüíî, β = supA.

Àíàëîãè÷íî äîêàçûâàåòñÿ, ÷òî îãðàíè÷åííîå ñíèçó íåïóñòîå ìíîæåñòâî èìååòíèæíþþ ãðàíü. J

Çàìå÷àíèå 5.1. Åñëè ìíîæåñòâî X ⊂ R íå îãðàíè÷åíî ñâåðõó, òî ó íåãî íå ñó-ùåñòâóåò âåðõíåé ãðàíè â ñìûñëå îïðåäåëåíèÿ 5.2.  ýòîì ñëó÷àå ïî îïðåäåëåíèþïîëàãàåì, ÷òî âåðõíåé ãðàíüþ ìíîæåñòâà X ÿâëÿåòñÿ +∞ : supX := +∞.

Åñëè ÷èñëîâîå ìíîæåñòâî X íåîãðàíè÷åíî ñíèçó, òî åãî íèæíåé ãðàíüþ íàçûâà-åòñÿ −∞ : inf X := −∞. Áëàãîäàðÿ ýòîìó ñîãëàøåíèþ è òåîðåìå 5.1 âñÿêîå íåïóñòîå÷èñëîâîå ìíîæåñòâî èìååò âåðõíþþ (íèæíþþ) ãðàíü, êîíå÷íóþ, åñëè îíî îãðàíè÷åíîñâåðõó (ñíèçó) è áåñêîíå÷íóþ, åñëè îíî íåîãðàíè÷åíî ñâåðõó (ñíèçó).

Çàìå÷àíèå 5.2. Åñëè X ⊂ R è äëÿ íåêîòîðîãî ÷èñëà a è âñåõ x ∈ X âûïîëíÿåò-ñÿ íåðàâåíñòâî x 6 a (ñîîòâåòñòâåííî x > a), òî supX 6 a (inf X > a), òàê êàêsupX (ñîîòâåòñòâåííî inf X) ÿâëÿåòñÿ íàèìåíüøåé (íàèáîëüøåé) âåðõíåé (íèæíåé)ãðàíèöåé ìíîæåñòâà X. Èíà÷å ãîâîðÿ, â íåðàâåíñòâàõ ìîæíî ïåðåõîäèòü ê âåðõíèìè íèæíèì ãðàíÿì.

�6. Ôóíêöèè

1

Ïóñòü çàäàíû íåïóñòûå ìíîæåñòâà X è Y. Ñîîòâåòñòâèå, ïðè êîòîðîì êàæäîìóýëåìåíòó x ∈ X ñîîòâåòñòâóåò åäèíñòâåííûé ýëåìåíò y ∈ Y, íàçûâàåòñÿ ôóíêöè-åé, çàäàííîé (îïðåäåëåííîé) íà ìíîæåñòâå X ñî çíà÷åíèÿìè â ìíîæåñòâå Y èëèîòîáðàæåíèåì ìíîæåñòâà X â ìíîæåñòâî Y. Òàêàÿ ôóíêöèÿ (òàêîå îòîáðàæåíèå)îáîçíà÷àåòñÿ ñ ïîìîùüþ íåêîòîðîé áóêâû, íàïðèìåð áóêâû f, îäíèì èç ñëåäóþùèõñïîñîáîâ: y = f(x), x ∈ X èëè f : X → Y. Ýëåìåíò x ∈ X íàçûâàåòñÿ íåçàâèñèìûìïåðåìåííûì èëè àðãóìåíòîì, à ñîîòâåòñòâóþùèé ýëåìåíò y ∈ Y � çàâèñèìûì ïåðå-ìåííûì. Ìíîæåñòâî X íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâîì çàäàíèÿ (îïðåäåëåíèÿ) ôóíêöèè f, àìíîæåñòâî òåõ y ∈ Y, êàæäûé èç êîòîðûõ ïîñòàâëåí â ñîîòâåòñòâèå õîòÿ áû îäíîìóx ∈ X � ìíîæåñòâîì çíà÷åíèé ôóíêöèè f è îáîçíà÷àåòñÿ Yf . Î÷åâèäíî Yf ⊂ Y.Åñëè Yf = Y, òî îòîáðàæåíèå f íàçûâàåòñÿ îòîáðàæåíèåì X íà ìíîæåñòâî Y èëè

14

ñþðúåêöèåé. Åñëè ïðè x 6= x′ âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî f(x) 6= f(x′), òî îòîáðàæåíèåf íàçûâàåòñÿ âçàèìíî îäíîçíà÷íûì îòîáðàæåíèåì X â Y èëè èíúåêöèåé. Åñëè fÿâëÿåòñÿ âçàèìíî îäíîçíà÷íûì îòîáðàæåíèåì X íà Y, ò. å. ÿâëÿåòñÿ îäíîâðåìåííîñþðúåêöèåé è èíúåêöèåé, òî îíî íàçûâàåòñÿ áèåêöèåé.

Åñëè çàäàíî îòîáðàæåíèå f : X → Y, òî ýëåìåíòû ìíîæåñòâ X è Y ÷àñòî íàçû-âàþò òî÷êàìè.

Ñèìâîëîì f(x) îáîçíà÷àåòñÿ êàê ñàìà ôóíêöèÿ, òàê è ýëåìåíò, ñîîòâåòñòâóþùèéýëåìåíòó x ïðè ýòîé ôóíêöèè. Îáîçíà÷åíèå îäíèì è òåì æå ñèìâîëîì f(x) êàê ñàìîéôóíêöèè, òàê è åå çíà÷åíèÿ â òî÷êå x íå ïðèâîäèò ê íåäîðàçóìåíèÿì, òàê êàê âñåãäàèç êîíòåêñòà ÿñíî î ÷åì èäåò ðå÷ü.

Çíà÷åíèå ôóíêöèè f â òî÷êå x0 îáîçíà÷àåòñÿ òàêæå f |x=x0 èëè f(x)|x=x0 .Åñëè f : X → Y è E ⊂ X, òî ôóíêöèÿ fE : E → Y òàêàÿ, ÷òî äëÿ êàæäîãî x ∈ E

âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâîfE(x) = f(x), (6.1)

íàçûâàåòñÿ ñóæåíèåì ôóíêöèè f íà ìíîæåñòâî E.Òàêèì îáðàçîì, ñóæåíèå fE ôóíêöèè ïðèíèìàåò â òî÷êàõ x ìíîæåñòâà E òå æå

çíà÷åíèÿ, ÷òî è ôóíêöèÿ f. Èíîãäà ñóæåíèå fE ôóíêöèè f îáîçíà÷àþò òåì æå ñèì-âîëîì f, ÷òî è ñàìó èñõîäíóþ ôóíêöèþ è íàçûâàþò ôóíêöèåé f íà ìíîæåñòâå E.

15

ËÅÊÖÈß 5

2

Ïóñòü çàäàíà ôóíêöèÿ f : X → Y è A ⊂ X. Ìíîæåñòâî âñåõ y ∈ Y, ÿâëÿþùèõ-ñÿ çíà÷åíèÿìè ôóíêöèè f â òî÷êàõ x ∈ A, íàçûâàåòñÿ îáðàçîì ìíîæåñòâà A ïðèîòîáðàæåíèè f è îáîçíà÷àåòñÿ f(A).  ÷àñòíîñòè, f(X) = Yf .

Åñëè B ⊂ Y, òî ìíîæåñòâî âñåõ òî÷åê x ∈ X, çíà÷åíèÿ ôóíêöèè f â êîòîðûõïðèíàäëåæàò ìíîæåñòâó B, íàçûâàåòñÿ ïðîîáðàçîì ìíîæåñòâà B.

Èíîãäà ïðèõîäèòñÿ èìåòü äåëî ñ ôóíêöèÿìè f, îïðåäåëåííûìè íà íåêîòîðîì ìíî-æåñòâå X, çíà÷åíèÿìè êîòîðûõ ÿâëÿþòñÿ íåêîòîðûå ïîäìíîæåñòâà Y, ò. å. êîãäàêàæäîìó ýëåìåíòó x ∈ X ñòàâèòñÿ â ñîîòâåòñòâèå íåêîòîðîå ìíîæåñòâî f(x) ⊂ Yè òåì ñàìûì ìíîæåñòâîì çíà÷åíèé ôóíêöèè ÿâëÿåòñÿ ñîâîêóïíîñòü íåêîòîðûõ ïîä-ìíîæåñòâ ìíîæåñòâà Y.  ýòîì ñëó÷àå ãîâîðÿò, ÷òî íà ìíîæåñòâå X çàäàíà ìíîãî-çíà÷íàÿ ôóíêöèÿ f ñî çíà÷åíèÿìè â ìíîæåñòâå Y. Åñëè êàæäîå èç ìíîæåñòâ f(x)ñîñòîèò èç îäíîãî ýëåìåíòà, òî ôóíêöèþ f íàçûâàþò îäíîçíà÷íîé ôóíêöèåé. Ìíî-ãîçíà÷íûå ôóíêöèè åñòåñòâåííûì îáðàçîì âîçíèêàþò, íàïðèìåð, ïðè ðàññìîòðåíèèòàê íàçûâàåìûõ îáðàòíûõ ôóíêöèé.

Ïóñòü íà ìíîæåñòâå X îïðåäåëåíà ôóíêöèÿ f è ïóñòü Yf � ìíîæåñòâî åå çíà÷å-íèé. Îáîçíà÷èì f−1(y) ïðîîáðàç ýëåìåíòà y ∈ Yf , ò. å.

f−1(y) = {x : x ∈ X, f(x) = y}.

Òîãäà ôóíêöèÿ, îïðåäåëåííàÿ íà Yf è ñòàâÿùàÿ â ñîîòâåòñòâèå êàæäîìó y ∈ Yfìíîæåñòâî f−1(y) ⊂ X, íàçûâàåòñÿ îáðàòíîé ê f è îáîçíà÷àåòñÿ f−1.

Îáðàòíàÿ ôóíêöèÿ f−1 ÿâëÿåòñÿ, âîîáùå ãîâîðÿ, ìíîãîçíà÷íîé ôóíêöèåé, íî,êîíå÷íî, â ÷àñòíîì ñëó÷àå îíà ìîæåò áûòü è îäíîçíà÷íîé.

Åñëè îòîáðàæåíèå f âçàèìíî îäíîçíà÷íî (ò. å. ÿâëÿåòñÿ èíúåêöèåé), òî îáðàòíàÿôóíêöèÿ ÿâëÿåòñÿ îäíîçíà÷íîé.

Åñëè îòîáðàæåíèå f ÿâëÿåòñÿ âçàèìíî îäíîçíà÷íûì îòîáðàæåíèåì X íà Y, òîîáðàòíîå îòîáðàæåíèå f−1 ÿâëÿåòñÿ âçàèìíî îäíîçíà÷íûì îòîáðàæåíèåì Y íà X(ò. å. åñëè f : X → Y áèåêöèÿ, òî è f−1 : Y → X áèåêöèÿ) è ïîòîìó f ÿâëÿåòñÿ âñâîþ î÷åðåäü ôóíêöèåé, îáðàòíîé ê ôóíêöèè f−1.

Åñëè f : X → Y è g : Y → Z, òî ôóíêöèÿ F : X → Z, ñòàâÿùàÿ â ñîîòâåòñòâèåêàæäîìó x ∈ X ýëåìåíò F (x) = g(f(x)), íàçûâàåòñÿ êîìïîçèöèåé ôóíêöèé f è g(èíîãäà ñóïåðïîçèöèåé ýòèõ ôóíêöèé èëè ñëîæíîé ôóíêöèåé) è îáîçíà÷àåòñÿ g ◦ f.Òàêèì îáðàçîì, ñîãëàñíî îïðåäåëåíèþ, äëÿ êàæäîãî x ∈ X èìååò ìåñòî ðàâåíñòâî

(g ◦ f)(x) := g(f(x)).

3

Åñëè ôóíêöèè ïðèíèìàþò ÷èñëîâûå çíà÷åíèÿ, òî íàä íèìè ìîæíî ïðîèçâîäèòüàðèôìåòè÷åñêèå îïåðàöèè. Ïóñòü äàíû äâå ôóíêöèè f : X → Y è g : X → Y, ãäå X� ïðîèçâîëüíîå ìíîæåñòâî, à Y ⊂ R. Òîãäà çíà÷åíèÿ ñóììû f + g, ðàçíîñòè f − g,ïðîèçâåäåíèÿ fg è ÷àñòíîãî

f

gôóíêöèé f è g ïî îïðåäåëåíèþ â êàæäîé òî÷êå x ∈ X

16

çàäàþòñÿ ñëåäóþùèìè ôîðìóëàìè:

(f + g)(x) := f(x) + g(x), (fg)(x) := f(x)g(x),

(f − g)(x) := f(x)− g(x),

(f

g

)(x) :=

f(x)

g(x).

 ïîñëåäíåé ôîðìóëå ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî äëÿ âñåõ x ∈ X âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâîg(x) 6= 0.

Çíà÷åíèå ôóíêöèè f â òî÷êå x0 íàçûâàåòñÿ íàèáîëüøèì, åñëè äëÿ âñåõ òî÷åêx ∈ X âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî f(x) 6 f(x0), è íàèìåíüøèì, åñëè èìååò ìåñòîíåðàâåíñòâî f(x) > f(x0).

Åñëè ôóíêöèÿ f çàäàíà íà ïîäìíîæåñòâå X ⊂ R è ïðèíèìàåò âåùåñòâåííûå çíà-÷åíèÿ, òî åå ãðàôèêîì íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâî íà êîîðäèíàòíîé ïëîñêîñòè, ñîñòîÿùååèç âñåõ òî÷åê âèäà (x, f(x)), x ∈ X (êîîðäèíàòíîé ïëîñêîñòüþ íàçûâàåòñÿ ïëîñêîñòü,íà êîòîðîé çàäàíà íåêîòîðàÿ ïðÿìîóãîëüíàÿ äåêàðòîâà ñèñòåìà êîîðäèíàò).

4

Ôóíêöèè: ëèíåéíàÿ y = C (C � ïîñòîÿííàÿ), ñòåïåííàÿ y = xα, α ∈ R, ïîêàçà-òåëüíàÿ y = ax, a > 0, ëîãàðèôìè÷åñêàÿ y = loga x, a > 0, a 6= 1, òðèãîíîìåòðè÷å-ñêèå y = sinx, y = cosx, y = tg x, y = ctg x è îáðàòíûå òðèãîíîìåòðè÷åñêèå ôóíêöèèy = arcsin x, y = arccos x, y = arctg x, y = arcctg x íàçûâàþòñÿ îñíîâíûìè ýëåìåí-òàðíûìè ôóíêöèÿìè. Âñÿêàÿ ôóíêöèÿ f, êîòîðàÿ ìîæåò áûòü çàäàíà ñ ïîìîùüþôîðìóëû y = f(x), ñîäåðæàùèé ëèøü êîíå÷íîå ÷èñëî àðèôìåòè÷åñêèõ îïåðàöèéíàä îñíîâíûìè ýëåìåíòàðíûìè ôóíêöèÿìè è êîìïîçèöèé, íàçûâàåòñÿ ýëåìåíòàðíîéôóíêöèåé.  ìíîæåñòâå ýëåìåíòàðíûõ ôóíêöèé âûäåëÿþòñÿ ñëåäóþùèå êëàññû:

1. Ïîëèíîìû (ìíîãî÷ëåíû) � ôóíêöèè âèäà

P (x) = anxn + . . .+ a1x+ a0.

Åñëè an 6= 0, òî öåëîå íåîòðèöàòåëüíîå ÷èñëî n íàçûâàåòñÿ ñòåïåíüþ ìíîãî÷ëå-íà P (x). Ôóíêöèÿ, òîæäåñòâåííî ðàâíàÿ íóëþ, ÿâëÿåòñÿ â ñèëó äàííîãî îïðåäå-ëåíèÿ ìíîãî÷ëåíîì, åé áóäåì (ýòî íå îáùåïðèíÿòî) ïðèïèñûâàòü ñòåïåíü íîëü.

2. Ðàöèîíàëüíûå ôóíêöèè � ôóíêöèè f(x) ïðåäñòàâèìûå â âèäå

f(x) =P (x)

Q(x),

ãäå P è Q � ìíîãî÷ëåíû (Q � íåíóëåâîé ìíîãî÷ëåí). Ôóíêöèÿ f îïðåäåëåíàâî âñåõ òî÷êàõ R, êðîìå òåõ, â êîòîðûõ çíàìåíàòåëü Q îáðàùàåòñÿ â íîëü.

3. Èððàöèîíàëüíûå ôóíêöèè, ò. å. òàêèå ôóíêöèè, íå ÿâëÿþùèåñÿ ðàöèîíàëüíû-ìè, êîòîðûå ìîãóò áûòü çàäàíû êîìïîçèöèåé êîíå÷íîãî ÷èñëà ðàöèîíàëüíûõôóíêöèé, ñòåïåííûõ ôóíêöèé ñ ðàöèîíàëüíûìè ïîêàçàòåëÿìè è ÷åòûðåõ àðèô-ìåòè÷åñêèõ äåéñòâèé. Íàïðèìåð, ôóíêöèÿ

y = 5

√x− 1

x2 +√x

ÿâëÿåòñÿ èððàöèîíàëüíîé ôóíêöèåé.

17

4. Òðàíñöåíäåíòíûå ôóíêöèè � ýëåìåíòàðíûå ôóíêöèè íå ÿâëÿþùèåñÿ ðàöèî-íàëüíûìè èëè èððàöèîíàëüíûìè.

Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî âñå ïðÿìûå è îáðàòíûå òðèãîíîìåòðè÷åñêèå ôóíêöèè ÿâ-ëÿþòñÿ òðàíñöåíäåíòíûìè.

�7. Ìîùíîñòü ìíîæåñòâà. Ñ÷åòíûå ìíîæåñòâà

1

Ïîñëåäîâàòåëüíîñòüþ {xn} (äðóãîå îáîçíà÷åíèå xn, n = 1, 2, . . .) ýëåìåíòîâ íåêî-òîðîãî ìíîæåñòâà X íàçûâàåòñÿ îòîáðàæåíèå ìíîæåñòâà íàòóðàëüíûõ ÷èñåë â ýòîìíîæåñòâî X. Îáðàç ïðè ýòîì îòîáðàæåíèè íàòóðàëüíîãî ÷èñëà n (÷ëåí ïîñëåäî-âàòåëüíîñòè ñ íîìåðîì n) â ìíîæåñòâå X îáîçíà÷àåòñÿ ÷åðåç xn.  ÷àñòíîñòè, ïî-ñëåäîâàòåëüíîñòüþ âåùåñòâåííûõ ÷èñåë ÿâëÿåòñÿ ¾çàíóìåðîâàííîå¿ íàòóðàëüíûìè÷èñëàìè íåêîòîðîå ìíîæåñòâî x1, x2, . . . , xn, . . . âåùåñòâåííûõ ÷èñåë, ïðè÷åì ÷ëåíûïîñëåäîâàòåëüíîñòè ñ ðàçíûìè íîìåðàìè ìîãóò èìåòü îäíî è òî æå çíà÷åíèå.

Ïðèìåðàìè ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé ÿâëÿþòñÿ 1, 12, 1

3, . . . , 1

n, . . . è 1, 1, . . . , 1, . . .

2

Îïðåäåëåíèå 7.1. Äâà ìíîæåñòâà A è B, ìåæäó ýëåìåíòàìè êîòîðûõ ìîæíî óñòà-íîâèòü âçàèìíî îäíîçíà÷íîå ñîîòâåòñòâèå (áèåêöèþ), íàçûâàþòñÿ ýêâèâàëåíòíûìèèëè èìåþùèìè îäèíàêîâóþ ìîùíîñòü (îáîçíà÷àåòñÿ A ∼ B).

ßñíî, ÷òî äâà êîíå÷íûõ ìíîæåñòâà ýêâèâàëåíòíû òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäàîíè ñîñòîÿò èç îäíîãî è òîãî æå ÷èñëà ýëåìåíòîâ. Ïðèâåäåì ïðèìåðû ýêâèâàëåíòíûõìåæäó ñîáîé áåñêîíå÷íûõ ìíîæåñòâ.

1. Ìíîæåñòâî N è ìíîæåñòâî N1 âñåõ öåëûõ îòðèöàòåëüíûõ ÷èñåë. Âçàèìíî îäíî-çíà÷íîå ñîîòâåòñòâèå ìåæäó èõ ýëåìåíòàìè ïîëó÷èòñÿ, íàïðèìåð, åñëè êàæäî-ìó íàòóðàëüíîìó n ñîïîñòàâèòü ÷èñëî −n.

2. Ìíîæåñòâî R è ìíîæåñòâî I âñåõ âåùåñòâåííûõ ÷èñåë èç èíòåðâàëà(−π

2, π

2

).

Ýêâèâàëåíòíîñòü R ∼ I ïðîâåðÿåòñÿ, íàïðèìåð, ñ ïîìîùüþ ñîîòâåòñòâèÿ y =tg x (x ∈ I, y ∈ R).

Ïðèâåäåì äâà ïðåäëîæåíèÿ ÷àñòî èñïîëüçóåìûõ â äàëüíåéøåì.

1. Åñëè A ∼ B, à B ∼ C, òî A ∼ C (äâà ìíîæåñòâà, ïîðîçíü ýêâèâàëåíòíûåòðåòüåìó, ýêâèâàëåíòíû ìåæäó ñîáîé).

2. Åñëè A = ∪αAα, ïðè÷åì ìíîæåñòâà Aα äèçúþíêòíû, à B = ∪

αBα (îáëàñòü èçìå-

íåíèÿ çíà÷êà α â îáîèõ ñëó÷àÿõ îäíà è òà æå) è Bα òàêæå äèçúþíêòíû, è åñëèAα ∼ Bα ïðè êàæäîì α , òî A ∼ B.

I Ïðåäëîæåíèå 1 ïî÷òè î÷åâèäíî. Äåéñòâèòåëüíî, ïóñòü âçàèìíî îäíîçíà÷íîåñîîòâåòñòâèå ìåæäó ýëåìåíòàìè ìíîæåñòâ A è B, ñ îäíîé ñòîðîíû, è B è C� ñ äðóãîé, óæå óñòàíîâëåíû. Ïóñòü a ∈ A, b � åãî îáðàç â ìíîæåñòâå B, àc � îáðàç ýòîãî ýëåìåíòà b â ìíîæåñòâå C. Ëåãêî ïðîâåðèòü, ÷òî åñëè êàæ-äîìó a ∈ A ñîïîñòàâèòü ïîëó÷åííûé óêàçàííûì ñïîñîáîì ýëåìåíò c ∈ C, òî

18

óñòàíîâèòñÿ âçàèìíî îäíîçíà÷íîå ñîîòâåòñòâèå ìåæäó A è C. ×òîáû äîêàçàòüïðåäëîæåíèå 2, äîñòàòî÷íî çàìåòèòü, ÷òî âçàèìíî îäíîçíà÷íûå ñîîòâåòñòâèÿ,êîòîðûå ñóùåñòâóþò ìåæäó ýëåìåíòàìè êàæäîé ïàðû Aα è Bα, â ñîâîêóïíîñòèñîñòàâëÿþò âçàèìíî îäíîçíà÷íîå ñîîòâåòñòâèå ìåæäó ýëåìåíòàìè A è B. J

Ïðåäëîæåíèå 2 â äàëüíåéøåì áóäåì íàçûâàòü ïðèíöèïîì ñêëåèâàíèÿ.

19

ËÅÊÖÈß 6

Îïðåäåëåíèå 7.2. Ìíîæåñòâî íàçûâàåòñÿ ñ÷åòíûì, åñëè îíî ýêâèâàëåíòíî ìíîæå-ñòâó N.

Åñëè ìíîæåñòâî A ∼ N, òî ñóùåñòâóåò âçàèìíî îäíîçíà÷íîå ñîîòâåòñòâèå ìåæäóýëåìåíòàìè a ∈ A è ÷èñëàìè n ∈ N. Òåì ñàìûì ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî êàæäîìó a ∈ Añîïîñòàâëåí íîìåð n, è ñàìè ýëåìåíòû ìíîæåñòâà A çàïèñàíû â âèäå a1, a2, . . . , an, . . .Çäåñü ÷åðåç an îáîçíà÷åí òîò ýëåìåíò, êîòîðîìó ñîîòâåòñòâóåò ÷èñëî n. Òàêèì îáðà-çîì, ýëåìåíòû ìíîæåñòâà A ìîãóò áûòü ðàñïîëîæåíû â âèäå áåñêîíå÷íîé ïîñëåäî-âàòåëüíîñòè. Îáðàòíî, åñëè ìíîæåñòâî A òàêîâî, ÷òî åãî ýëåìåíòû îáðàçóþò áåñêî-íå÷íóþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü a1, a2, . . . , an, . . . , òî ñàìîé íóìåðàöèåé ýëåìåíòîâ óæåóñòàíîâëåíî âçàèìíî îäíîçíà÷íîå ñîîòâåòñòâèå ìåæäó A è N, ò. å. A ∼ N.

Èòàê, ñ÷åòíûå ìíîæåñòâà ìîãóò áûòü îõàðàêòåðèçîâàíû êàê òàêèå áåñêîíå÷íûåìíîæåñòâà, ýëåìåíòû êîòîðûõ ìîãóò áûòü ïåðåíóìåðîâàíû ñ ïîìîùüþ âñåõ íàòó-ðàëüíûõ ÷èñåë.

Çàìåòèì, ÷òî ýëåìåíòû ëþáîãî êîíå÷íîãî ìíîæåñòâà òàêæå ìîãóò áûòü ïåðåíó-ìåðîâàíû, íî ïðè ýòîì áóäóò èñïîëüçîâàíû íå âñå íàòóðàëüíûå ÷èñëà.

Óñòàíîâèì íåêîòîðûå ñâîéñòâà ñ÷åòíûõ ìíîæåñòâ.

Òåîðåìà 7.1. Èç âñÿêîãî áåñêîíå÷íîãî ìíîæåñòâà ìîæíî âûäåëèòü ñ÷åòíîå ïîä-ìíîæåñòâî.

I Ïóñòü A � áåñêîíå÷íîå ìíîæåñòâî. Âîçüìåì ëþáîé åãî ýëåìåíò è íàçîâåì åãîa1. Êðîìå a1 â A èìååòñÿ åùå áåñêîíå÷íîå ìíîæåñòâî ýëåìåíòîâ. Âîçüìåì ëþáîé èçíèõ è íàçîâåì åãî a2. Çàòåì âîçüìåì êàêîé-íèáóäü ýëåìåíò èç A, îòëè÷íûé îò a1 èa2, è íàçîâåì åãî a3. Ïðîäîëæàÿ ýòîò ïðîöåññ äî áåñêîíå÷íîñòè, ìû âûäåëÿåì èç Añ÷åòíîå ïîäìíîæåñòâî ýëåìåíòîâ a1, a2, . . . , an, . . . J

Òåîðåìà 7.2. Âñÿêîå áåñêîíå÷íîå ïîäìíîæåñòâî ñ÷åòíîãî ìíîæåñòâà òîæå ñ÷åò-íî.

I Ïóñòü äàíî ñ÷åòíîå ìíîæåñòâî A = {a1, a2, . . . , an, . . .}, B � åãî áåñêîíå÷íîåïîäìíîæåñòâî. Ðàñïîëàãàÿ â ïîðÿäêå âîçðàñòàíèÿ íîìåðîâ âñå ýëåìåíòû ìíîæåñòâàB : an1 , an2 , . . . , ank , . . . (n1 < n2 < . . . < nk < . . .), ìû ñìîæåì ïåðåíóìåðîâàòü èõçàíîâî âñåìè íàòóðàëüíûìè ÷èñëàìè âçÿòûìè ïî ïîðÿäêó (â ðîëè íîâîãî íîìåðàáóäåò âûñòóïàòü èíäåêñ k). Ñëåäîâàòåëüíî, B ñ÷åòíî. J

Òåîðåìà 7.3. Îáúåäèíåíèå êîíå÷íîãî ÷èñëà ñ÷åòíûõ ìíîæåñòâ òîæå ñ÷åòíîåìíîæåñòâî.

I Ïóñòü A =p∪i=1

Ai, ãäå ìíîæåñòâà Ai ñ÷åòíû. Âûïèøåì ýëåìåíòû ìíîæåñòâ Ai

â âèäå ñëåäóþùåé òàáëèöû:

A1 : a11, a12, . . . , a1n, . . .A2 : a21, a22, . . . , a2n, . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . .Ap : ap1, ap2, . . . , apn, . . .

(7.1)

20

Òåïåðü ïåðåíóìåðóåì çàíîâî âñå ýëåìåíòû òàáëèöû (7.1), ðàñïîëàãàÿ èõ, íàïðèìåð,â òàêîì ïîðÿäêå:

a11, a12, . . . , ap1, a12, a22, . . . , ap2, . . . , a1n, a2n, . . . , apn, . . . (7.2)

Èíûìè ñëîâàìè, ìû ñíà÷àëà çàíóìåðîâàëè âñå ýëåìåíòû ïåðâîãî ñòîëáöà, çà íèìè �âñå ýëåìåíòû âòîðîãî ñòîëáöà, è ò. ä. Åñëè ìíîæåñòâà Ai ñîäåðæàò íåêîòîðûå îáùèåýëåìåíòû, òî îäèí è òîò æå ýëåìåíò ìîæåò ïîâòîðèòüñÿ â ïîñëåäîâàòåëüíîñòè (7.2)íåñêîëüêî ðàç. Òîãäà ìû íóìåðóåì åãî, åñòåñòâåííî, òîëüêî îäèí ðàç, íàïðèìåð, òî-ãäà, êîãäà ýòîò ýëåìåíò âïåðâûå âñòðåòèòñÿ â ïîñëåäîâàòåëüíîñòè (7.1); ïðè ïîñëå-äóþùèõ âñòðå÷àõ ñ ýòèì ýëåìåíòîì ìû ïðîñòî ïðîïóñêàåì åãî. Òàêèì îáðàçîì âñåýëåìåíòû ìíîæåñòâà A ìîãóò áûòü ïåðåíóìåðîâàíû, ò. å. A ñ÷åòíî. J

Òåîðåìà 7.4. Îáúåäèíåíèå ñ÷åòíîãî ìíîæåñòâà ñ÷åòíûõ ìíîæåñòâ � òîæå ñ÷åò-íîå ìíîæåñòâî.

I Ïóñòü òåïåðü A =∞∪i=1

Ai, ãäå âñå ìíîæåñòâà Ai ñ÷åòíû. Çàïèøåì ýëåìåíòû

Ai â âèäå òàáëèöû, àíàëîãè÷íîé òàáëèöå (7.2), íî ñîäåðæàùåé áåñêîíå÷íîå ìíîæå-ñòâî ñòðîê. Ýëåìåíòû òàêîé òàáëèöû ìîæíî ïåðåíóìåðîâàòü, íî íå ïî ñòîëáöàì, à,íàïðèìåð, ïî äèàãîíàëÿì, ò. å. â òàêîì ïîðÿäêå

a11, a12, a21, a13, a22, a31, . . .

Ïðè ýòîì ïîâòîðÿþùèåñÿ ýëåìåíòû òàê æå, êàê è â äîêàçàòåëüñòâå ïðåäûäóùåéòåîðåìû, íóìåðóåì ïî îäíîìó ðàçó. Òàêèì îáðàçîì, âñå ýëåìåíòû ìíîæåñòâà A ìîãóòáûòü ïåðåíóìåðîâàíû, ò. å. ìíîæåñòâî A ñ÷åòíî. J

Çàìå÷àíèå 7.1. ßñíî, ÷òî åñëè íåêîòîðûå èç îáúåäèíÿåìûõ ìíîæåñòâ Ai êîíå÷íû,ò. å. â ñîîòâåòñòâóþùèõ ñòðîêàõ òàáëèöû ýëåìåíòîâ ain çàïîëíåíî ëèøü êîíå÷íîå÷èñëî ìåñò, òî ýòî íå ïîìåøàåò ïåðåíóìåðîâàòü ýëåìåíòû òàáëèöû â òîì ïîðÿäêå, êàêýòî áûëî ñäåëàíî âûøå. Ïîýòîìó òåîðåìû 7.3 è 7.4 îñòàþòñÿ âåðíûìè è â òîì ñëó÷àå,êîãäà íåêîòîðûå èç îáúåäèíÿåìûõ ìíîæåñòâ (íî íå âñå) êîíå÷íû. Åñëè æå îíè âñåêîíå÷íû, òî îáúåäèíåíèå ìîæåò áûòü èëè êîíå÷íûì èëè ñ÷åòíûì. Ïðî ìíîæåñòâî,îòíîñèòåëüíî êîòîðîãî èçâåñòíî, ÷òî îíî êîíå÷íî èëè ñ÷åòíî, ãîâîðÿò èíîãäà, ÷òîîíî íå áîëåå ÷åì ñ÷åòíî. Îáúåäèíåíèå êîíå÷íîãî èëè ñ÷åòíîãî ìíîæåñòâà ìíîæåñòâáóäåì äëÿ êðàòêîñòè íàçûâàòü êîíå÷íûì èëè, ñîîòâåòñòâåííî, ñ÷åòíûì. Ñîåäèíÿÿâñå ñêàçàííîå ñ òåîðåìàìè 7.3 è 7.4, ìû ïîëó÷àåì ñëåäóþùèé îáùèé ðåçóëüòàò:

Òåîðåìà 7.5. Êîíå÷íîå èëè ñ÷åòíîå îáúåäèíåíèå ìíîæåñòâ, êàæäîå èç êîòîðûõíå áîëåå ÷åì ñ÷åòíî, � òîæå ìíîæåñòâî íå áîëåå ÷åì ñ÷åòíîå.

Òåîðåìà 7.6. Ìíîæåñòâî Q âñåõ ðàöèîíàëüíûõ ÷èñåë ñ÷åòíî.

I Ìíîæåñòâî âñåõ öåëûõ ÷èñåë ñ÷åòíî. Èõ ìîæíî çàïèñàòü, íàïðèìåð, â âèäåïîñëåäîâàòåëüíîñòè

0, 1, −1, 2, −2, . . . , n, −n, . . .Êàæäîå ðàöèîíàëüíîå ÷èñëî, îòëè÷íîå îò íóëÿ, ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå íåñîêðà-òèìîé äðîáè m

n, ãäå n ∈ N, à m ∈ Z \ {0}. Ïðè çàäàííîì n ìíîæåñòâî âñåõ äðîáåé m

n

(m ∈ Z) ñ÷åòíî. Òîãäà ñ÷åòíî è ìíîæåñòâî An âñåõ íåñîêðàòèìûõ äðîáåé âèäà mn(ñì.

òåîðåìó 7.2). Ìíîæåñòâî Q � îáúåäèíåíèå âñåõ An (n = 1, 2, . . .) è åùå ìíîæåñòâà,ñîñòîÿùåãî èç îäíîãî ÷èñëà 0. Òàê êàê Q � áåñêîíå÷íîå ìíîæåñòâî, òî ïî òåîðåìå 7.5Q ñ÷åòíî. J

21

Ñëåäñòâèå 7.1. Ìíîæåñòâî âñåõ ðàöèîíàëüíûõ ÷èñåë, ñîäåðæàùèõñÿ â ëþáîì çà-äàííîì èíòåðâàëå ÷èñëîâîé îñè, ñ÷åòíî.

Òåîðåìà 7.7. Åñëè A = B ∪ C, ãäå B � ëþáîå áåñêîíå÷íîå ìíîæåñòâî, à C íåáîëåå ÷åì ñ÷åòíî, òî A ∼ B (îáúåäèíåíèå ïðîèçâîëüíîãî áåñêîíå÷íîãî ìíîæåñòâà ñêîíå÷íûì èëè ñ÷åòíûì ìíîæåñòâîì åñòü ìíîæåñòâî, ýêâèâàëåíòíîå èñõîäíîìó).

I Íå óìåíüøàÿ îáùíîñòè, ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî B è C äèçúþíêòíû. Âûäåëèì èçB êàêîå-íèáóäü ñ÷åòíîå ïîäìíîæåñòâî D, òîãäà ìíîæåñòâà B è A ìîæíî ïðåäñòàâèòüâ âèäå

B = (B \D) ∪D, A = (B \D) ∪ (D ∪ C).

Òåì ñàìûì, A è B ïðåäñòàâëåíû êàæäîå â âèäå îáúåäèíåíèÿ äâóõ ìíîæåñòâ, èçêîòîðûõ ïåðâûå ñîâïàäàþò, à âòîðûå ýêâèâàëåíòíû, òàê êàê è D è D∪C ñ÷åòíû. Ïîïðèíöèïó ñêëåèâàíèÿ A ∼ B. J

Òåîðåìà 7.8. Åñëè A � íåñ÷åòíîå áåñêîíå÷íîå ìíîæåñòâî, à B � åãî êîíå÷íîåèëè ñ÷åòíîå ïîäìíîæåñòâî, òî A \B ∼ A.

I Èìååì A = (A \ B) ∪ B. ßñíî, ÷òî A \ B áåñêîíå÷íî, à òîãäà ñîîòíîøåíèåA ∼ (A \B) âûòåêàåò èç òåîðåìû 7.7. J

Òåîðåìà 7.9. Ïóñòü ýëåìåíòû ìíîæåñòâà A õàðàêòåðèçóþòñÿ êîíå÷íûì ÷èñëîìïàðàìåòðîâ, êàæäûé èç êîòîðûõ, íåçàâèñèìî îò îñòàëüíûõ, ìîæåò ïðèíÿòü ëþ-áîå çíà÷åíèå èç íåêîòîðîé ñ÷åòíîé ñîâîêóïíîñòè. Òîãäà ìíîæåñòâî A ñ÷åòíî.

I Çàïèøåì ýëåìåíòû ìíîæåñòâà A â âèäå ap1,p2,...,pk , ãäå p1, p2, . . . , pk � ïàðàìåò-ðû. Íå óìåíüøàÿ îáùíîñòè, ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðîâ � íàòóðàëü-íûå ÷èñëà. Äëÿ êàæäîãî ap1,p2,...,pk ∈ A ïîëîæèì n(a) = p1 + p2 + . . . + pk. ßñíî, ÷òîn(a) ìîæåò áûòü ëþáûì íàòóðàëüíûì ÷èñëîì íå ìåíüøèì k. Äëÿ êàæäîãî n > kîáîçíà÷èì ÷åðåç An ìíîæåñòâî âñåõ ýëåìåíòîâ èç A, ó êîòîðûõ n(a) èìååò çàäàííîå

çíà÷åíèå n. ßñíî, ÷òî êàæäîå An êîíå÷íî, à A =∞∪n=k

An è ïîòîìó A ñ÷åòíî. J

22

ËÅÊÖÈß 7

ÃËÀÂÀ 2. ×ÈÑËÎÂÛÅÏÎÑËÅÄÎÂÀÒÅËÜÍÎÑÒÈ.ÌÍÎÆÅÑÒÂÀ ÌÎÙÍÎÑÒÈ ÊÎÍÒÈÍÓÓÌÀ

 ýòîé ãëàâå, åñëè íå îãîâîðåíî ïðîòèâíîå, áóêâîé n âñåãäà îáîçíà÷àåòñÿ íàòó-ðàëüíîå ÷èñëî, à ðàññìàòðèâàåìûå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ÿâëÿþòñÿ ïîñëåäîâàòåëüíî-ñòÿìè âåùåñòâåííûõ ÷èñåë.

�1. Ïðåäåë ïîñëåäîâàòåëüíîñòè

1

Îïðåäåëåíèå 1.1. ×èñëî a íàçûâàåòñÿ ïðåäåëîì ïîñëåäîâàòåëüíîñòè {xn}, åñëè äëÿëþáîãî ε > 0 ñóùåñòâóåò òàêîé íîìåð nε (çàïèñü nε ïîä÷åðêèâàåò, ÷òî n çàâèñèò îòε), ÷òî äëÿ âñåõ íîìåðîâ n > nε âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî

|xn − a| < ε. (1.1)

Ïðè ýòîì ïèøóò

limn→∞

xn = a èëè xn → a ïðè n→∞.

Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü, ó êîòîðîé ñóùåñòâóåò ïðåäåë, íàçûâàåòñÿ ñõîäÿùåéñÿ. Ïî-ñëåäîâàòåëüíîñòü, íå ÿâëÿþùàÿñÿ ñõîäÿùåéñÿ, íàçûâàåòñÿ ðàñõîäÿùåéñÿ.

Îòìåòèì, ÷òî íåðàâåíñòâî (1.1) ðàâíîñèëüíî íåðàâåíñòâó a − ε < xn < a + ε.Äëÿ çàäàííîãî ÷èñëà x âñÿêèé èíòåðâàë âèäà (x − ε, x + ε), ãäå ε > 0, íàçûâàåòñÿε-îêðåñòíîñòüþ, èëè ïðîñòî îêðåñòíîñòüþ, ÷èñëà (òî÷êè) x íà ÷èñëîâîé ïðÿìîé èîáîçíà÷àåòñÿ S(x, ε) èëè S(x). Ñ ïîìîùüþ ïîíÿòèÿ îêðåñòíîñòè îïðåäåëåíèå ïðåäåëàïîñëåäîâàòåëüíîñòè ìîæíî ïåðåôðàçèðîâàòü ñëåäóþùèì îáðàçîì.

Îïðåäåëåíèå 1.1′. ×èñëî a ÿâëÿåòñÿ ïðåäåëîì ïîñëåäîâàòåëüíîñòè {xn}, åñëè âëþáîé åãî îêðåñòíîñòè ñîäåðæàòñÿ âñå ÷ëåíû ïîñëåäîâàòåëüíîñòè, çà èñêëþ÷åíèåìèõ êîíå÷íîãî ÷èñëà.

Òåîðåìà 1.1. Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü íå ìîæåò èìåòü áîëüøå îäíîãî ïðåäåëà.

I Äîïóñòèì ïðîòèâíîå. Ïóñòü ñóùåñòâóåò ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {xn}, ó êîòîðîéèìååòñÿ ïî êðàéíåé ìåðå äâà ðàçëè÷íûõ ïðåäåëà a è b è ïóñòü äëÿ îïðåäåëåííîñòèa < b. Ïîëîæèì ε = (b− a)/2. Ïî îïðåäåëåíèþ ïðåäåëà ñóùåñòâóþò òàêèå íîìåðà n1

è n2, ÷òî |xn− a| < ε ïðè n > n1 è |xn− b| < ε ïðè n > n2. Òîãäà ïðè n > max{n1, n2}îäíîâðåìåííî èìåþò ìåñòî îáà íåðàâåíñòâà. Îòêóäà ñëåäóåò, ÷òî

|a− b| = |(a− xn) + (xn − b)| 6 |a− xn|+ |xn − b| < b− a.

Ïîëó÷èëè ïðîòèâîðå÷èå |a− b| < b− a. Òåîðåìà äîêàçàíà. JÏîñëåäîâàòåëüíîñòü íàçûâàåòñÿ îãðàíè÷åííîé ñâåðõó (ñíèçó), åñëè ìíîæåñòâî åå

çíà÷åíèé îãðàíè÷åíî ñâåðõó (ñíèçó).

23

Èíà÷å ãîâîðÿ, ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {xn} îãðàíè÷åíà ñâåðõó (ñíèçó), åñëè ñóùå-ñòâóåò òàêîå ÷èñëî c ∈ R, ÷òî äëÿ âñåõ íîìåðîâ n âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî xn 6 c(ñîîòâåòñòâåííî íåðàâåíñòâî xn > c).

Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü îãðàíè÷åííàÿ êàê ñâåðõó, òàê è ñíèçó, íàçûâàåòñÿ îãðàíè-÷åííîé.

Òàêèì îáðàçîì, ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {xn} îãðàíè÷åíà, åñëè ñóùåñòâóþò òàêèå ÷èñ-ëà a ∈ R è b ∈ R, ÷òî äëÿ âñåõ íîìåðîâ n âûïîëíÿåòñÿ óñëîâèå a 6 xn 6 b. Ýòîóñëîâèå, î÷åâèäíî, ðàâíîñèëüíî òîìó, ÷òî ñóùåñòâóåò òàêîå ÷èñëî c > 0, ÷òî äëÿâñåõ íîìåðîâ n èìååò ìåñòî íåðàâåíñòâî |xn| 6 c.

Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü, íå ÿâëÿþùàÿñÿ îãðàíè÷åííîé ñâåðõó (ñíèçó), íàçûâàåòñÿíåîãðàíè÷åííîé ñâåðõó (ñíèçó), à ïîñëåäîâàòåëüíîñòü, íå ÿâëÿþùàÿñÿ îãðàíè÷åííîé,íàçûâàåòñÿ íåîãðàíè÷åííîé.

Òåîðåìà 1.2. Åñëè ïîñëåäîâàòåëüíîñòü èìååò ïðåäåë, òî îíà îãðàíè÷åíà.

I Ïóñòü äàíà ñõîäÿùàÿñÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {xn} è ïóñòü xn → a. Çàôèêñèðóåìε = 1. Ñîãëàñíî îïðåäåëåíèþ ïðåäåëà ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ñóùåñòâóåò òàêîå n1, ÷òî|xn − a| < 1 äëÿ âñåõ n > n1. Ïóñòü d íàèáîëüøåå èç ÷èñåë 1, |x1 − a|, . . . , |xn1−1 − a|.Òîãäà |xn − a| 6 d ïðè âñåõ n, ò. å. a − d 6 xn 6 a + d ïðè âñåõ n. Ýòî è îçíà÷àåòîãðàíè÷åííîñòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòè {xn}. J

Çàìå÷àíèå 1.1. Èç îãðàíè÷åííîñòè ïîñëåäîâàòåëüíîñòè íå âûòåêàåò åå ñõîäèìîñòü.Òàê, íàïðèìåð, ïîñëåäîâàòåëüíîñòü xn = (−1)n îãðàíè÷åíà, íî íå ñõîäèòñÿ.

Îòìåòèì òðè ïîëåçíûõ ñâîéñòâà ñõîäÿùèõñÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé:

1. Åñëèxn 6 yn 6 zn, n = 1, 2, . . . (1.2)

è ïîñëåäîâàòåëüíîñòè {xn} è {zn} ñõîäÿòñÿ ê îäíîìó ïðåäåëó:

limn→∞

xn = limn→∞

zn = a,

òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {yn} òàêæå ñõîäèòñÿ è

limn→∞

yn = a.

I Ïóñòü çàôèêñèðîâàíî ε > 0. Ñóùåñòâóþò òàêèå n′ε è n′′ε , ÷òî ïðè n > n′ε

a− ε < xn < a+ ε,

à ïðè n > n′′εa− ε < zn < a+ ε.

Îáîçíà÷èì ÷åðåç nε íàèáîëüøèé èç íîìåðîâ n′ε è n′′ε . Òîãäà äëÿ âñåõ n > nε

a− ε < xn 6 zn < a+ ε.

Îòñþäà â ñèëó (1.2) ïðè n > nε

a− ε < yn < a+ ε,

à ýòî è îçíà÷àåò, ÷òî limn→∞

yn = a. J

24

2. Åñëè limn→∞

xn = a è a < b (ñîîòâåòñòâåííî a > c), òî ñóùåñòâóþò òàêèå nb

(ñîîòâåòñòâåííî nc ), ÷òî xn < b ïðè n > nb (xn > c ïðè n > nc ).

I Âîçüìåì ε = b− a. Â ñèëó îïðåäåëåíèÿ ïðåäåëà, ñóùåñòâóåò òàêîé íîìåð nb,÷òî ïðè n > nb

a− ε < xn < a+ ε = b.

Ïåðâîå óòâåðæäåíèå äîêàçàíî. Àíàëîãè÷íî ðàññìàòðèâàåòñÿ è ñëó÷àé a > c. J

3. Åñëè limn→∞

xn = a è xn > b (ñîîòâåòñòâåííî xn 6 c) n = 1, 2, . . . , òî è a > b

(ñîîòâåòñòâåííî a 6 c).

I Åñëè áû áûëî a < b, òî, ñîãëàñíî ñâîéñòâó 2, íàéäåòñÿ òàêîå xn, ÷òî xn < b,íî ýòî ïðîòèâîðå÷èò óñëîâèþ. Àíàëîãè÷íî ðàññìàòðèâàåòñÿ ñëó÷àé xn 6 c. J

2

Ñóììîé, ðàçíîñòüþ, ïðîèçâåäåíèåì è ÷àñòíûì äâóõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé {xn},{yn} íàçûâàåòñÿ ñîîòâåòñòâåííî ïîñëåäîâàòåëüíîñòè xn + yn, xn − yn, xnyn,

xnyn. Â

ïîñëåäíåì ñëó÷àå ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî yn 6= 0 (n = 1, 2, . . .).Ïðîèçâåäåíèåì ïîñëåäîâàòåëüíîñòè xn íà ÷èñëî c íàçûâàåòñÿ ïîñëåäîâàòåëü-

íîñòü cxn.

Îïðåäåëåíèå 1.2. Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {αn} íàçûâàåòñÿ áåñêîíå÷íî ìàëîé ïîñëå-äîâàòåëüíîñòüþ, åñëè lim

n→∞αn = 0.

25

ËÅÊÖÈß 8

Îòìåòèì íåñêîëüêî ñâîéñòâ áåñêîíå÷íî ìàëûõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé.

1. Àëãåáðàè÷åñêàÿ ñóììà êîíå÷íîãî ÷èñëà áåñêîíå÷íî ìàëûõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåéåñòü áåñêîíå÷íî ìàëàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü.

I Ïóñòü {αn} è {βn} áåñêîíå÷íî ìàëûå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè. Ïîêàæåì, ÷òî èïîñëåäîâàòåëüíîñòè {αn+βn} è {αn−βn} ÿâëÿþòñÿ òàêæå áåñêîíå÷íî ìàëûìè.Çàäàäèì ε > 0, òîãäà ñóùåñòâóåò òàêîé íîìåð nε, ÷òî |αn| < ε

2è |βn| < ε

2äëÿ

âñåõ n > nε. Ïîýòîìó äëÿ n > nε èìååì

|αn ± βn| 6 |αn|+ |βn| <ε

2+ε

2= ε,

÷òî è îçíà÷àåò, ÷òî limn→∞

(αn±βn) = 0. Ñîîòâåòñòâóþùåå óòâåðæäåíèå äëÿ ëþáîãî

êîíå÷íîãî ÷èñëà ñëàãàåìûõ ñëåäóåò èç óêàçàííîãî ïî èíäóêöèè. J

2. Ïðîèçâåäåíèå áåñêîíå÷íî ìàëîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè íà îãðàíè÷åííóþ ïîñëå-äîâàòåëüíîñòü ÿâëÿåòñÿ áåñêîíå÷íî ìàëîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòüþ.

I Ïóñòü {αn} � áåñêîíå÷íî ìàëàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü, a {xn} îãðàíè÷åííàÿïîñëåäîâàòåëüíîñòü, ò. å. ñóùåñòâóåò òàêîå ÷èñëî b > 0, ÷òî |xn| 6 b äëÿ âñåõíîìåðîâ n = 1, 2, . . . . Çàäàäèì ε > 0; â ñèëó îïðåäåëåíèÿ áåñêîíå÷íî ìàëîéïîñëåäîâàòåëüíîñòè ñóùåñòâóåò òàêîé íîìåð nε, ÷òî |αn| < ε

bäëÿ âñåõ n > nε.

Ïîýòîìó äëÿ âñåõ n > nε èìååì

|αnxn| = |αn||xn| <ε

bb = ε,

÷òî è îçíà÷àåò, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {αnxn} áåñêîíå÷íî ìàëàÿ. J

Ñëåäñòâèå 1.1. Ïðîèçâåäåíèå êîíå÷íîãî ÷èñëà áåñêîíå÷íî ìàëûõ ïîñëåäîâàòåëüíî-ñòåé ÿâëÿåòñÿ áåñêîíå÷íî ìàëîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòüþ.

Ýòî ñðàçó ñëåäóåò ïî èíäóêöèè èç ñâîéñòâà 2, åñëè çàìåòèòü, ÷òî áåñêîíå÷íî ìàëàÿïîñëåäîâàòåëüíîñòü, êàê è âñÿêàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü, èìåþùàÿ ïðåäåë, îãðàíè÷åíà.

Ëåììà 1.1. Äëÿ òîãî ÷òîáû ÷èñëî a ÿâëÿëîñü ïðåäåëîì ïîñëåäîâàòåëüíîñòè {xn}íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû xn = a+αn, n = 1, 2, . . . , ãäå {αn} åñòü áåñêîíå÷íîìàëàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü.

I Äîêàçàòåëüñòâî íåîáõîäèìîñòè. Ïóñòü {xn} ñõîäÿùàÿñÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü èlimn→∞

xn = a. Ïîëîæèì αn = xn − a. Ñîãëàñíî îïðåäåëåíèþ ïðåäåëà äëÿ ëþáîãî ε > 0

ñóùåñòâóåò òàêîé íîìåð n, ÷òî |xn − a| < ε äëÿ âñåõ n > nε, ò. å. |αn| < ε ïðè n > nε,à ýòî è îçíà÷àåò, ÷òî lim

n→∞αn = 0.

Äîêàçàòåëüñòâî äîñòàòî÷íîñòè. Ïóñòü xn = a + αn, n = 1, 2, . . . , è limn→∞

αn = 0.

Ñîãëàñíî îïðåäåëåíèþ ïðåäåëà äëÿ ëþáîãî ε > 0 ñóùåñòâóåò òàêîé íîìåð nε, ÷òî|αn| < ε äëÿ âñåõ n > nε. Çàìå÷àÿ, ÷òî αn = xn − a, èìååì, ÷òî |xn − a| < ε äëÿ âñåõn > nε, à ýòî è îçíà÷àåò, ÷òî lim

n→∞xn = a. J

Ýòà ëåììà ïîêàçûâàåò îñîáóþ ðîëü áåñêîíå÷íî ìàëûõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé ïðèèçó÷åíèè ïîíÿòèÿ ïðåäåëà, òàê êàê îáùåå ïîíÿòèå ïðåäåëà ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ñïîìîùüþ ýòîé ëåììû ñâîäèòñÿ ê ïîíÿòèþ íóëåâîãî ïðåäåëà.

Ðàññìîòðèì ñâîéñòâà ïðåäåëîâ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé.

26

1. Åñëè ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {xn} ñõîäèòñÿ, òî ñõîäèòñÿ è ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {|xn|},ïðè÷åì, åñëè lim

n→∞xn = a, òî

limn→∞

|xn| = |a|. (1.3)

I Åñëè limn→∞

xn = a, òî äëÿ ëþáîãî ε > 0 ñóùåñòâóåò òàêîé íîìåð nε, ÷òî

äëÿ âñåõ íîìåðîâ n > nε âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî |xn − a| < ε, à ïîñêîëüêó||xn| − |a|| 6 |xn − a|, òî âûïîëíÿåòñÿ è íåðàâåíñòâî ||xn| − |a|| < ε, à ýòî èîçíà÷àåò âûïîëíåíèå ðàâåíñòâà (1.3). J

2. Åñëè ïîñëåäîâàòåëüíîñòè {xn} è {yn} ñõîäÿòñÿ, òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòè {xn±yn}òàêæå ñõîäÿòñÿ è

limn→∞

(xn ± yn) = limn→∞

xn ± limn→∞

yn,

ò. å. ïðåäåë àëãåáðàè÷åñêîé ñóììû äâóõ ñõîäÿùèõñÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé ðàâåíòàêîé æå ñóììå ïðåäåëîâ äàííûõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé.

I Ïóñòü limn→∞

xn = a, limn→∞

yn = b. Ñîãëàñíî íåîáõîäèìîñòè óñëîâèé ëåììû 1.1

äëÿ ñóùåñòâîâàíèÿ ïðåäåëà, èìååì xn = a + αn, yn = b + βn, n = 1, 2, . . . , ãäålimn→∞

αn = limn→∞

βn = 0, ïîýòîìó xn±yn = (a±b)+(αn±βn), n = 1, 2, . . . , ãäå â ñèëó

ñâîéñòâà 1 áåñêîíå÷íî ìàëûõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé limn→∞

(αn + βn) = 0. Ïîýòîìó

ñîãëàñíî äîñòàòî÷íîñòè óñëîâèé ëåììû 1.1 äëÿ ñóùåñòâîâàíèÿ ïðåäåëà èìååìlimn→∞

(xn ± yn) = a± b. J

Ñëåäñòâèå 1.2. Ïðåäåë êîíå÷íîé àëãåáðàè÷åñêîé ñóììû ñõîäÿùèõñÿ ïîñëåäî-âàòåëüíîñòåé ðàâåí òîé æå àëãåáðàè÷åñêîé ñóììå ïðåäåëîâ îòäåëüíûõ ïîñëå-äîâàòåëüíîñòåé.

3. Åñëè ïîñëåäîâàòåëüíîñòè {xn} è {yn} ñõîäÿòñÿ, òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {xnyn}òàêæå ñõîäèòñÿ è

limn→∞

xnyn = limn→∞

xn limn→∞

yn,

ò. å. ïðåäåë ïðîèçâåäåíèÿ ñõîäÿùèõñÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé ñóùåñòâóåò è ðàâåíïðîèçâåäåíèþ ïðåäåëîâ äàííûõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé.

I Ïóñòü limn→∞

xn = a, limn→∞

yn = b, òîãäà xn = a+αn, yn = b+βn, n = 1, 2, . . . , ãäå

limn→∞

αn = limn→∞

βn = 0, ïîýòîìó xnyn = (a+αn)(b+βn) = ab+ (αnb+βna+αnβn).

 ñèëó ñâîéñòâ 1 è 2 áåñêîíå÷íî ìàëûõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé

limn→∞

(αnb+ βna+ αnβn) = 0.

Ïîýòîìólimn→∞

xnyn = ab.

J

Ñëåäñòâèå 1.3. Åñëè ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {xn} ñõîäèòñÿ, òî äëÿ ëþáîãî ÷èñ-ëà c ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {cxn} òàêæå ñõîäèòñÿ è

limn→∞

cxn = c limn→∞

xn.

27

I Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà ñëåäñòâèÿ 1.3 äîñòàòî÷íî çàìåòèòü, ÷òî åñëè yn = c, n =1, 2, . . . , òî lim

n→∞yn = c, è âîñïîëüçîâàòüñÿ ñâîéñòâîì 3. J

4. Åñëè ïîñëåäîâàòåëüíîñòè {xn} è {yn} ñõîäÿòñÿ, yn 6= 0, n = 1, 2, . . . , è limn→∞

yn 6=

0, òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòüxnyn

ñõîäèòñÿ è

limn→∞

xnyn

=limn→∞

xn

limn→∞

yn,

ò. å. ïðåäåë ÷àñòíîãî ñõîäÿùèõñÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé ñóùåñòâóåò è ðàâåí ÷àñò-íîìó ïðåäåëîâ äàííûõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé.

I Ïóñòü limn→∞

xn = a, limn→∞

yn = b 6= 0 è äëÿ îïðåäåëåííîñòè b > 0.

Òîãäà xn = a+ αn, yn = b+ βn, n = 1, 2, . . . , ãäå limn→∞

αn = limn→∞

βn = 0, ïîýòîìó

xnyn− a

b=a+ αnb+ βn

− a

b=

1

b(b+ βn)(αnb− βna). (1.4)

Ñîãëàñíî ñâîéñòâó 2 ñõîäÿùèõñÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé ñóùåñòâóåò òàêîé íîìåðn0, ÷òî yn >

b2> 0 äëÿ âñåõ íîìåðîâ n > n0; ïîýòîìó ïðè n > n0 èìååì

0 <1

b(b+ βn)=

1

byn<

2

b2.

Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü1

b(b+ βn), n = 1, 2, . . . îãðàíè÷åíà (ïî-

÷åìó?).  ñèëó ñâîéñòâ áåñêîíå÷íî ìàëûõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé ïîñëåäîâàòåëü-íîñòü {αnb− βna} ÿâëÿåòñÿ áåñêîíå÷íî ìàëîé, ïîýòîìó è ïîñëåäîâàòåëüíîñòü{

1

b(b+ βn)(αnb− βna)

}.

áåñêîíå÷íî ìàëàÿ.  ñèëó ýòîãî èç (1.4) ñëåäóåò, ÷òî

limn→∞

xnyn

=a

b.

Àíàëîãè÷íî ðàññìàòðèâàåòñÿ ñëó÷àé, êîãäà b < 0. J

28

ËÅÊÖÈß 9

Îïðåäåëåíèå 1.3. Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {xn} íàçûâàåòñÿ áåñêîíå÷íî áîëüøîé, åñëèäëÿ ëþáîãî ÷èñëà ε > 0 ñóùåñòâóåò òàêîé íîìåð nε, ÷òî |xn| > ε äëÿ âñåõ n > nε. Âýòîì ñëó÷àå ïèøóò

limn→∞

xn =∞.

Åñëè ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {xn} òàêîâà, ÷òî äëÿ ëþáîãî ÷èñëà ε > 0 ñóùåñòâóåò òàêîånε, ÷òî xn > ε äëÿ âñåõ n > nε (ñîîòâåòñòâåííî xn < −ε), òî ïèøóò lim

n→∞xn = +∞

(ñîîòâåòñòâåííî limn→∞

xn = −∞).

Åñëè limn→∞

xn = +∞ èëè limn→∞

xn = −∞, òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {xn} ÿâëÿåòñÿ

áåñêîíå÷íî áîëüøîé.

Óïðàæíåíèå 1.1. Äîêàçàòü, ÷òî äëÿ òîãî, ÷òîáû ïîñëåäîâàòåëüíîñòü xn, xn 6=0, n = 1, 2, . . . áûëà áåñêîíå÷íî áîëüøîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòüþ, íåîáõîäèìî è äî-

ñòàòî÷íî, ÷òîáû ïîñëåäîâàòåëüíîñòü

{1

xn

}áûëà áåñêîíå÷íî ìàëîé ïîñëåäîâàòåëü-

íîñòüþ.

Îïðåäåëèì ïîíÿòèå îêðåñòíîñòè äëÿ ñèìâîëîâ∞,+∞,−∞; ε-îêðåñòíîñòüþ S(∞, ε)ñèìâîëà ∞ íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâî âñåõ òàêèõ ÷èñåë x, ÷òî |x| > ε, ò. å.

S(∞, ε) = {x : |x| > ε}.

Àíàëîãè÷íî îïðåäåëÿþòñÿ ε-îêðåñòíîñòè äëÿ ñèìâîëîâ +∞ è −∞ :

S(+∞, ε) = {x : x > ε}; S(−∞, ε) = {x : x < −ε}.

Çäåñü âñþäó ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî ε > 0. Ïðèìåíÿÿ òåðìèíîëîãèþ îêðåñòíîñòåé,îïðåäåëåíèÿ êîíå÷íîãî è áåñêîíå÷íîãî ïðåäåëà ìîæíî ñôîðìóëèðîâàòü åäèíûì îá-ðàçîì.

Îïðåäåëåíèå 1.4. Âåëè÷èíà α (÷èñëî èëè îäèí èç ñèìâîëîâ∞,+∞,−∞) åñòü ïðå-äåë ïîñëåäîâàòåëüíîñòè {xn}, åñëè êàêîâà áû íè áûëà ε-îêðåñòíîñòü S(α, ε) âåëè÷èíûα ñóùåñòâóåò òàêîé íîìåð nε, ÷òî xn ∈ S(α, ε) äëÿ âñåõ n > nε.

 ñëó÷àå ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé, èìåþùèõ áåñêîíå÷íûå ïðåäåëû, óòâåðæäåíèÿ, àíà-ëîãè÷íûå ñâîéñòâàì 2�4 ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé, èìåþùèõ êîíå÷íûå ïðåäåëû, âîîáùåãîâîðÿ, íå èìåþò ìåñòà.

Íàïðèìåð, ïóñòü xn = n+ 1, yn = n, n = 1, 2, . . . , òîãäà

limn→∞

xn = limn→∞

yn = +∞ è limn→∞

(xn − yn) = 1.

Åñëè xn = 2n, yn = n, n = 1, 2, . . . , òî

limn→∞

xn = limn→∞

yn = +∞, è limn→∞

(xn − yn) = +∞.

Åñëè æå xn = n+ (−1)n, yn = n, n = 1, 2, . . . , òî

limn→∞

xn = limn→∞

yn = +∞,

29

à ïîñëåäîâàòåëüíîñòüxn − yn = (−1)n, n = 1, 2, . . .

íå èìååò íè êîíå÷íîãî, íè áåñêîíå÷íîãî ïðåäåëà. Ýòè ïðèìåðû ïîêàçûâàþò, ÷òî ïðèîäèíàêîâûõ ïðåäïîëîæåíèÿõ îòíîñèòåëüíî ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé {xn} è {yn}, èìå-þùèõ áåñêîíå÷íûå ïðåäåëû, äëÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòè {xn − yn} ìîãóò âñòðåòèòüñÿñàìûå ðàçíîîáðàçíûå ñëó÷àè.  äàëüíåéøåì, åñëè, êîíå÷íî, íå îãîâîðåíî ïðîòèâíîå,ïîä ïðåäåëîì ïîñëåäîâàòåëüíîñòè âñåãäà áóäåì ïîíèìàòü êîíå÷íûé ïðåäåë.

�2. Ìîíîòîííûå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè. ×èñëî e

1

Âåðõíÿÿ (íèæíÿÿ) ãðàíü ìíîæåñòâà çíà÷åíèé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè {xn} íàçû-âàåòñÿ âåðõíåé (íèæíåé) ãðàíüþ ýòîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè è îáîçíà÷àåòñÿ sup{xn}(inf{xn}).

Îïðåäåëåíèå 2.1. Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {xn} íàçûâàåòñÿ âîçðàñòàþùåé (óáûâàþ-ùåé), åñëè äëÿ âñåõ n ∈ N âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî xn 6 xn+1 (ñîîòâåòñòâåííîíåðàâåíñòâî xn > xn+1). Âîçðàñòàþùàÿ (óáûâàþùàÿ) ïîñëåäîâàòåëüíîñòü îáîçíà÷à-åòñÿ xn ↑ (ñîîòâåòñòâåííî xn ↓). Åñëè âîçðàñòàþùàÿ (óáûâàþùàÿ) ïîñëåäîâàòåëü-íîñòü èìååò ïðåäåë, ðàâíûé a, òî ïèøóò xn ↑ a (ñîîòâåòñòâåííî xn ↓ a). Ïîñëåäîâà-òåëüíîñòü {xn} íàçûâàåòñÿ ñòðîãî âîçðàñòàþùåé (ñòðîãî óáûâàþùåé), åñëè äëÿ âñåõn ∈ N âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî xn < xn+1 (ñîîòâåòñòâåííî íåðàâåíñòâî xn > xn+1).Óáûâàþùèå è âîçðàñòàþùèå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè íàçûâàþòñÿ ìîíîòîííûìè, à ñòðîãîóáûâàþùèå è ñòðîãî âîçðàñòàþùèå � ñòðîãî ìîíîòîííûìè.

Òåîðåìà 2.1. Âñÿêàÿ îãðàíè÷åííàÿ ñâåðõó (ñíèçó) âîçðàñòàþùàÿ (óáûâàþùàÿ) ïî-ñëåäîâàòåëüíîñòü {xn} èìååò ïðåäåë lim

n→∞xn = sup{xn} (ñîîòâåòñòâåííî lim

n→∞xn =

inf{xn}).

I Ïóñòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {xn} âîçðàñòàåò è îãðàíè÷åíà ñâåðõó.  ñèëó ïî-ñëåäíåãî óñëîâèÿ îíà èìååò êîíå÷íóþ âåðõíþþ ãðàíü sup{xn} = a. Ïîêàæåì, ÷òîa = lim

n→∞xn. Çàôèêñèðóåì ïðîèçâîëüíîå ε > 0. Èç òîãî, ÷òî a = sup{xn} ñëåäóåò, ÷òî

xn 6 a äëÿ âñåõ n = 1, 2, . . . è ñóùåñòâóåò òàêîé íîìåð nε, ÷òî xnε > a − ε. Òîãäà,â ñèëó âîçðàñòàíèÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòè {xn}, äëÿ âñåõ íîìåðîâ n > nε èìåþò ìåñòîíåðàâåíñòâà a − ε < xnε 6 xn 6 a. Ïîýòîìó |xn − a| < ε äëÿ âñåõ n > nε, ÷òî èîçíà÷àåò, ÷òî a = lim

n→∞xn.

Àíàëîãè÷íî äîêàçûâàåòñÿ ñóùåñòâîâàíèå ïðåäåëà äëÿ îãðàíè÷åííîé ñíèçó óáû-âàþùåé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè. J

Êàê óæå îòìå÷àëîñü ðàíåå, åñëè ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñõîäèòñÿ, òî îíà îãðàíè÷åíà,îòñþäà, â ÷àñòíîñòè, ñëåäóåò, ÷òî åñëè âîçðàñòàþùàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñõîäèòñÿ,òî îíà îãðàíè÷åíà ñâåðõó, ñ äðóãîé ñòîðîíû, åñëè âîçðàñòàþùàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòüîãðàíè÷åíà ñâåðõó, òî îíà ñõîäèòñÿ (òåîðåìà 2.1). Òàêèì îáðàçîì, ñïðàâåäëèâî ñëå-äóþùåå óòâåðæäåíèå.

Ñëåäñòâèå 2.1. Äëÿ òîãî, ÷òîáû âîçðàñòàþùàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñõîäèëàñüíåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû îíà áûëà îãðàíè÷åíà ñâåðõó.

Àíàëîãè÷íîå óòâåðæäåíèå ñïðàâåäëèâî è äëÿ óáûâàþùåé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè.

30

2

Òåîðåìà 2.2. Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü

xn =

(1 +

1

n

)n, n = 1, 2, . . .

ñõîäèòñÿ.I Ïîêàæåì, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {xn} ñòðîãî âîçðàñòàåò è îãðàíè÷åíà ñâåð-

õó, à ïîòîìó, â ñèëó òåîðåìû 2.1, ñõîäèòñÿ. Ðàñêðûâàÿ ñêîáêè ïî áèíîìó Íüþòîíà,ïîëó÷èì

xn =

(1 +

1

n

)n= 1 + n · 1

n+n(n− 1)

1 · 2· 1

n2+

+n(n− 1)(n− 2)

1 · 2 · 3· 1

n3+ . . .+

+n(n− 1) . . . (n− k + 1)

1 · 2 · . . . · k· 1

nk+ . . .+

+n(n− 1) . . . 1

1 · 2 · . . . · 1· 1

nn=

= 1 + 1 +1

2!

(1− 1

n

)+

1

3!

(1− 1

n

)(1− 2

n

)+ . . .+

+1

k!

(1− 1

n

)(1− 2

n

). . .

(1− k − 1

n

)+ . . .+

+1

n!

(1− 1

n

)(1− 2

n

). . .

(1− n− 1

n

).

(2.1)

Ïîñêîëüêó ïðè ïåðåõîäå îò n ê n+1 ÷èñëî ñëàãàåìûõ, êîòîðûå âñå ïîëîæèòåëüíû,âîçðàñòàåò è, êðîìå òîãî, êàæäîå ñëàãàåìîå óâåëè÷èâàåòñÿ

1− s

n< 1− s

n+ 1, s = 1, 2, . . . , n− 1, n = 2, 3, . . . ,

òîxn < xn+1, n = 1, 2, . . .

Ýòî è îçíà÷àåò ñòðîãîå âîçðàñòàíèå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè {xn}. Äàëåå, ïîñêîëüêó

1− s

n< 1, s = 1, n− 1, n = 2, 3, . . .

è1

n!6

1

2n−1, n = 1, 2, . . . ,

òî ïðè n > 1 èç ðàâåíñòâà (2.1) ïîëó÷èì

xn < 2 +1

2!+

1

3!+ . . .+

1

n!< 2 +

1

2+

1

22+ . . .+ +

1

2n−1= 2 +

1

2·

1− 12n−1

1− 12

< 3.

Èòàê, 2 6 xn < 3. Òàêèì îáðàçîì, ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {xn} ñòðîãî âîçðàñòàåò èîãðàíè÷åíà ñâåðõó, à çíà÷èò èìååò ïðåäåë. J

Ïî îïðåäåëåíèþ ïîëàãàåì:

e := limn→∞

(1 +

1

n

)n.

31

Ïåðåõîäÿ ê ïðåäåëó â íåðàâåíñòâå 2 6 xn < 3, ïîëó÷àåì

2 6 e 6 3.

Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òîe = 2, 71828182845 . . .

32

ËÅÊÖÈß 10

�3. Ëåììà î âëîæåííûõ îòðåçêàõ. Ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòè.Òåîðåìà Áîëüöàíî�Âåéåðøòðàññà

1

Ëåììà 3.1. Åñëè ÷ëåíû ñõîäÿùèõñÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé {xn} è {yn} ïðè âñåõ nóäîâëåòâîðÿþò óñëîâèÿì xn 6 yn, òî lim

n→∞xn 6 lim

n→∞yn.

I Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà ëåììû 3.1 äîñòàòî÷íî ðàññìîòðåòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòü{yn− xn}, ÷ëåíû êîòîðîé íåîòðèöàòåëüíû. Òîãäà ïî ñâîéñòâó 3 ñõîäÿùèõñÿ ïîñëåäî-âàòåëüíîñòåé (ïóíêò 1.1)

limn→∞

yn − limn→∞

xn = limn→∞

(yn − xn) > 0.

Ñëåäîâàòåëüíî, limn→∞

yn > limn→∞

xn. J

Îïðåäåëåíèå 3.1. Ñèñòåìà îòðåçêîâ [a1, b1], [a2, b2], . . . , [an, bn] . . . , n = 1, 2, . . . íà-çûâàåòñÿ ñèñòåìîé âëîæåííûõ îòðåçêîâ, åñëè

a1 6 a2 6 . . . 6 an 6 . . . 6 bn 6 . . . 6 b2 6 b1,

ò. å. åñëè [a1, b1] ⊂ [a2, b2] ⊂ . . . ⊂ [an, bn] ⊂ . . .

Òåîðåìà 3.1. Äëÿ âñÿêîé ñèñòåìû âëîæåííûõ îòðåçêîâ {[an, bn]} ÷èñëà a = sup{an} =

limn→∞

an è b = inf{bn} = limn→∞

bn ïðèíàäëåæàòn∩n=1

[an, bn].

I  ñèëó óñëîâèé òåîðåìû ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ëåâûõ êîíöîâ îòðåçêîâ {an} âîç-ðàñòàåò, à ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ïðàâûõ êîíöîâ îòðåçêîâ {bn} óáûâàåò. Ïîñëåäîâàòåëü-íîñòè {an} è {bn} îãðàíè÷åíû, òàê êàê a1 6 an 6 bn 6 b1 ïðè n = 1, 2, . . ..  ñèëóòåîðåìû 2.1 ñóùåñòâóþò ïðåäåëû lim

n→∞an = sup{an} = a è lim

n→∞bn = inf{bn} = b, ïðè-

÷åì (â ñèëó ëåììû 3.1) a 6 b. Îñòàëîñü ïðèíÿòü âî âíèìàíèå, ÷òî an 6 a 6 b 6 bnïðè n ∈ N. J

Òåîðåìà 3.2 (íàèáîëåå óïîòðåáèòåëüíîå íàçâàíèå ýòîé òåîðåìû: ëåììà î âëîæåí-íûõ îòðåçêàõ). Äëÿ âñÿêîé ñèñòåìû âëîæåííûõ îòðåçêîâ {[an, bn]}, ïî äëèíå ñòðå-ìÿùèõñÿ ê íóëþ (ò. å. lim

n→∞(bn − an) = 0) ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííàÿ òî÷êà, ïðè-

íàäëåæàùàÿ âñåì îòðåçêàì ýòîé ñèñòåìû.

I Òî, ÷òî∞∩n=1

[an, bn] 6= ∅, äîêàçàíî â ïðåäûäóùåé òåîðåìå. Ïîêàæåì, ÷òî òî÷êà,

ïðèíàäëåæàùàÿ âñåì îòðåçêàì [an, bn], n = 1, 2, . . . , åäèíñòâåííà. Ïðåäïîëîæèì ïðî-òèâíîå. Ïóñòü ñóùåñòâóþò äâà ðàçëè÷íûõ ÷èñëà x è y, ïðèíàäëåæàùèå âñåì îòðåçêàì[an, bn]. Òàê êàê ïðè âñåõ n

bn − an > |y − x| > 0,

òî, ñëåäîâàòåëüíî, è limn→∞

(bn − an) > |y − x| > 0, ÷òî ïðîòèâîðå÷èò óñëîâèþ

limn→∞

(bn − an) = 0.

J

33

Çàìå÷àíèå 3.1. Åñëè [an, bn], n = 1, 2, . . . ñèñòåìà âëîæåííûõ îòðåçêîâ, äëèíû êî-òîðûõ ñòðåìÿòñÿ ê íóëþ, à γ � òî÷êà, ïðèíàäëåæàùàÿ âñåì îòðåçêàì ýòîé ñèñòåìû,òî

γ = limn→∞

an = limn→∞

bn.

2

Åñëè äàíà ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {xn} ýëåìåíòîâ ìíîæåñòâà X è èç íåêîòîðûõ åå÷ëåíîâ xnk , âçÿòûõ â ïîðÿäêå âîçðàñòàíèÿ íîìåðîâ nk (k > k′ ðàâíîñèëüíî nk > nk′),ñîñòàâëåíà íîâàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {xnk}, òî îíà íàçûâàåòñÿ ïîäïîñëåäîâàòåëüíî-ñòüþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòè {xn}.

 ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòè {xnk} k ÿâëÿåòñÿ íîìåðîì ÷ëåíà ýòîé ïîñëåäîâàòåëüíî-ñòè, à nk � åãî íîìåð â èñõîäíîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè. Ðàíåå áûëî ïîêàçàíî, ÷òî åñëè÷èñëîâàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü èìååò ïðåäåë, òî îíà îãðàíè÷åíà. Îáðàòíîå, êîíå÷íî,íåâåðíî. Íàïðèìåð, ïîñëåäîâàòåëüíîñòü xn = (−1)n, n = 1, 2, . . . îãðàíè÷åíà, íî íåèìååò ïðåäåëà. Îäíàêî, èìååò ìåñòî ñëåäóþùàÿ òåîðåìà.

Òåîðåìà 3.3 (Áîëüöàíî�Âåéåðøòðàññà). Èç âñÿêîé îãðàíè÷åííîé ïîñëåäîâàòåëüíî-ñòè {xn} ìîæíî âûáðàòü ñõîäÿùóþñÿ ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòü.

I Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {xn} îãðàíè÷åíà. Ïîýòîìó ñóùåñòâóþò òàêèå a0, b0 ∈ R,÷òî äëÿ âñåõ íîìåðîâ n âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî a0 6 xn 6 b0. Âûáåðåì ïðîèçâîëüíîêàêîé-ëèáî ÷ëåí ïîñëåäîâàòåëüíîñòè {xn}, ïóñòü åãî íîìåð ðàâåí n1 : xn1 ∈ [a0, b0].Ðàçäåëèì îòðåçîê [a0, b0] íà äâà ðàâíûõ îòðåçêà, òàê ÷òî ïî êðàéíåé ìåðå íà îäíîì èçíèõ � îáîçíà÷èì åãî [a1, b1] � îêàæåòñÿ áåñêîíå÷íî ìíîãî ÷ëåíîâ ðàññìàòðèâàåìîéïîñëåäîâàòåëüíîñòè, è ïîòîìó ñðåäè íèõ íàéäåòñÿ ÷ëåí ýòîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ñíîìåðîì áîëüøèì n1. Îáîçíà÷èì íîìåð ýòîãî ÷ëåíà n2. Òàêèì îáðàçîì, áóäåì èìåòü

xn2 ∈ [a1, b1] ⊂ [a0, b0], n2 > n1, b1 − a1 =b0 − a0

2.

Ïðîäîëæàÿ ýòîò ïðîöåññ, ïîëó÷èì òàêóþ ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòü {xnk} (ò. å. n1 <n2 < . . . < nk < . . .) ïîñëåäîâàòåëüíîñòè {xn} , ÷òî

ak 6 xnk+16 bk, k = 0, 1, . . . (3.1)

[ak, bk] ⊂ [ak−1, bk−1], k = 1, 2, . . .

bk − ak =b0 − a0

2k, k = 0, 1, . . .

è, ñëåäîâàòåëüíî, limk→∞

(bk − ak) = 0.  ðåçóëüòàòå ïîëó÷èëàñü ñèñòåìà âëîæåííûõ

îòðåçêîâ [ak, bk], k = 0, 1, . . . , äëèíû êîòîðûõ ñòðåìÿòñÿ ê íóëþ. Ïîýòîìó â ñèëóòåîðåìû 3.1 ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííàÿ òî÷êà γ, ïðèíàäëåæàùàÿ âñåì ýòèì îòðåçêàì,ïðè÷åì (çàìå÷àíèå 3.1) lim

k→∞ak = lim

k→∞bk = γ, à òîãäà â ñèëó ñâîéñòâà 1 ñõîäÿùèõñÿ

ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé (ñì. ïóíêò 1 �1) èç íåðàâåíñòâà (3.1) ñëåäóåò, ÷òî limk→∞

xnk = γ. J

Óïðàæíåíèå 3.1. Äîêàçàòü, ÷òî åñëè ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {xn} ñõîäèòñÿ, òî ëþ-áàÿ åå ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòü {xnk} òàêæå ñõîäèòñÿ è èìååò òîò æå ïðåäåë, ÷òî èïîñëåäîâàòåëüíîñòü {xn}.

34

�4. Ìíîæåñòâî ìîùíîñòè êîíòèíóóìà

1

Ïîêàæåì, ÷òî áåñêîíå÷íûå íåñ÷åòíûå ìíîæåñòâà ñóùåñòâóþò.  äàëüíåéøåì òåð-ìèí ¾íåñ÷åòíûå¿ áóäåò ïðèìåíÿòüñÿ òîëüêî ê áåñêîíå÷íûì íåñ÷åòíûì ìíîæåñòâàì(êîíå÷íûå ìíîæåñòâà ìû íå áóäåì íàçûâàòü íåñ÷åòíûìè).

Òåîðåìà 4.1. Ìíîæåñòâî âñåõ âåùåñòâåííûõ ÷èñåë, ñîäåðæàùèõñÿ â îòðåçêå [0, 1],íåñ÷åòíîå.

I Ðàññóæäàÿ ïî ñïîñîáó îò ïðîòèâíîãî, äîïóñòèì, ÷òî âñå ÷èñëà èç îòðåçêà [0, 1]ìîãóò áûòü êàê-òî ïåðåíóìåðîâàíû: x1, x2, . . . , xn, . . . Ðàçäåëèì îòðåçîê [0, 1] íà òðèðàâíûå ÷àñòè è èç òðåõ ïîëó÷åííûõ îòðåçêîâ âûáåðåì òîò (îáîçíà÷èì åãî [a1, b1]),êîòîðûé íå ñîäåðæèò x1 (åñëè îòðåçêîâ, íå ñîäåðæàùèõ x1 äâà, òî áåðåì ëþáîé èçíèõ). Îòðåçîê [a1, b1] ñíîâà äåëèì íà òðè ðàâíûå ÷àñòè è âûáèðàåì èç íèõ òàêîéîòðåçîê [a2, b2], êîòîðûé íå ñîäåðæèò x2. Ïðîäîëæàÿ ýòîò ïðîöåññ äî áåñêîíå÷íîñòè,ìû ïîëó÷èì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü îòðåçêîâ [an, bn], êàæäûé èç êîòîðûõ (íà÷èíàÿ ñîâòîðîãî) ñîñòàâëÿåò òðåòü ïðåäûäóùåãî, ïðè÷åì xn ∈ [an, bn] íè ïðè îäíîì n. Ïîëåììå î âëîæåííûõ îòðåçêàõ ñóùåñòâóåò ÷èñëî c, îáùåå äëÿ âñåõ îòðåçêîâ [an, bn].

Òàê êàê 0 6 c 6 1, à ìû ïðåäïîëîæèëè, ÷òî âñå ÷èñëà èç îòðåçêà [0, 1] ïåðåíóìå-ðîâàíû, òî c = xn ïðè íåêîòîðîì n. Íî òîãäà ïî ïîñòðîåíèþ c ∈ [an, bn] ïðè ýòîì n,è ìû ïðèøëè ê ïðîòèâîðå÷èþ. J

2

Îïðåäåëåíèå 4.1. Ãîâîðÿò, ÷òî ìíîæåñòâî A èìååò ìîùíîñòü êîíòèíóóìà (ñîêðà-ùåííî � ìîùíîñòü c), åñëè îíî ýêâèâàëåíòíî ìíîæåñòâó âñåõ âåùåñòâåííûõ ÷èñåëèç îòðåçêà [0, 1].

Îòìåòèì, ÷òî ëþáîé îòðåçîê [a, b], à òàêæå è ëþáîé ïðîìåæóòîê ñ êîíöàìè a è b(ïðè a 6= b) èìååò ìîùíîñòü c.

Âçàèìíî îäíîçíà÷íîå ñîîòâåòñòâèå ìåæäó òî÷êàìè îòðåçêîâ [0, 1] è [a, b] ìîæåòáûòü óñòàíîâëåíî ïî ôîðìóëå

y = a+ (b− a)x.

Òàêèì îáðàçîì, îòðåçîê [a, b] èìååò ìîùíîñòü c. Åñëè èç ýòîãî îòðåçêà óäàëèòüîäíó èëè îáå êîíå÷íûå òî÷êè (a è b), òî ïî òåîðåìå 7.8 ãëàâû 1 ïîëó÷èòñÿ îïÿòüìíîæåñòâî ìîùíîñòè c.  ÷àñòíîñòè èíòåðâàë

(−π

2, π

2

)èìååò ìîùíîñòü c. Ìíîæå-

ñòâî âñåõ âåùåñòâåííûõ ÷èñåë ýêâèâàëåíòíî ýòîìó èíòåðâàëó (ñì. ïðèìåð 2 èç �7ãëàâû 1). Àíàëîãè÷íî äîêàçûâàåòñÿ, ÷òî âñÿêèé ïðîìåæóòîê, áåñêîíå÷íûé ëèøü âîäíîì íàïðàâëåíèè, èìååò ìîùíîñòü c. Èç òåîðåìû 7.8 è 7.6 ãëàâû 1 ñðàçó âûòåêàåò,÷òî ìíîæåñòâî èððàöèîíàëüíûõ ÷èñåë èìååò ìîùíîñòü c.

35

ËÅÊÖÈß 11

�5. Ôóíäàìåíòàëüíûå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè. Êðèòåðèé Êîøè

Îïðåäåëåíèå ñõîäèìîñòè ïîñëåäîâàòåëüíîñòè {xn} ñâÿçàíî ñ ïðåäåëîì a ýòîé ïî-ñëåäîâàòåëüíîñòè, êîòîðûé, êàê ïðàâèëî, çàðàíåå íå èçâåñòåí. Ýòî îïðåäåëåíèå íåïîçâîëÿåò íåïîñðåäñòâåííî ïðîâåðÿòü ñõîäèìîñòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé, åñëè ìû íåçíàåì èõ ïðåäåëîâ.

Ïîýòîìó âàæíîå çíà÷åíèå èìååò ïðèçíàê ñõîäèìîñòè ïîñëåäîâàòåëüíîñòè (êðèòå-ðèé Êîøè), âûðàæåííûé ñ èñïîëüçîâàíèåì ÷ëåíîâ òîëüêî ñàìîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè.

Îïðåäåëåíèå 5.1. Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {xn} íàçûâàåòñÿ ôóíäàìåíòàëüíîé, åñëèäëÿ ëþáîãî ε > 0 ñóùåñòâóåò òàêîé íîìåð nε, ÷òî äëÿ âñåõ n, m > nε âûïîëíÿ-åòñÿ íåðàâåíñòâî

|xn − xm| < ε. (5.1)

Ýòî óñëîâèå íàçûâàåòñÿ óñëîâèåì Êîøè. Åãî ìîæíî çàïèñàòü â íåñêîëüêî äðóãîìâèäå: äëÿ ëþáîãî ε > 0 ñóùåñòâóåò òàêîé íîìåð nε, ÷òî äëÿ âñåõ n > nε è âñåõ öåëûõp > 0 âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî

|xn+p − xn| < ε. (5.2)

×òîáû óáåäèòüñÿ â ðàâíîñèëüíîñòè ýòèõ óòâåðæäåíèé äîñòàòî÷íî çàìåòèòü, ÷òîèç äâóõ íîìåðîâ m è n âñåãäà îäèí íå ïðåâîñõîäèò äðóãîãî, íàïðèìåð, m > n, èòîãäà, ïîëîæèâ p = m− n ìû ïåðåéäåì îò çàïèñè (5.2) ê çàïèñè (5.1).

Äîêàæåì íåñêîëüêî ëåìì î ôóíäàìåíòàëüíûõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòÿõ.

Ëåììà 5.1. Åñëè ïîñëåäîâàòåëüíîñòü èìååò ïðåäåë, òî îíà ôóíäàìåíòàëüíàÿ.

I Äåéñòâèòåëüíî, åñëè ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {xn} ñõîäèòñÿ è a � åå ïðåäåë, òî,ñîãëàñíî îïðåäåëåíèþ ïðåäåëà, äëÿ ëþáîãî ε > 0 ñóùåñòâóåò òàêîé íîìåð nε, ÷òî äëÿâñåõ íîìåðîâ n > nε âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî

|xn − a| < ε.

Ïîýòîìó, åñëè m > nε è nε > n, òî

|xn − xm| = |(xn − a) + (a− xm)| 6 |xn − a|+ |a− xm| <ε

2+ε

2= ε.

J

Ëåììà 5.2. Åñëè ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ôóíäàìåíòàëüíàÿ, òî îíà îãðàíè÷åíàÿ.

I Äåéñòâèòåëüíî, ïóñòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {xn} � ôóíäàìåíòàëüíàÿ. Òîãäàñîãëàñíî óñëîâèþ Êîøè ñóùåñòâóåò òàêîé íîìåð n0, ÷òî äëÿ âñåõ m > n0 è n > n0

èìååò ìåñòî íåðàâåíñòâî|xn − xm| < 1 (5.3)

(â óñëîâèè Êîøè ìîæíî âçÿòü ëþáîå ε > 0, ìû âçÿëè çäåñü ε = 1).  ÷àñòíîñòè, ïðèm = n0 èç (5.3) ñëåäóåò, ÷òî |xn − xn0| < 1 èëè

xn0 − 1 < xn < xn0 + 1, n = n0, n0 + 1, n0 + 2, . . . ,

ò. å. ïîñëåäîâàòåëüíîñòü xn0 , xn0 + 1, xn0 + 2, . . . , ïîëó÷àþùàÿñÿ èç äàííîé ïîñëåäî-âàòåëüíîñòè {xn} îòáðàñûâàíèåì ïåðâûõ åå n0 − 1 ÷ëåíîâ x1, x2, . . . , xn0−1, ÿâëÿåòñÿîãðàíè÷åííîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòüþ. Ïîýòîìó îãðàíè÷åíà, î÷åâèäíî, è âñÿ ïîñëåäî-âàòåëüíîñòü {xn}. J

36

Ëåììà 5.3. Åñëè íåêîòîðàÿ ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòü ôóíäàìåíòàëüíîé ïîñëåäîâà-òåëüíîñòè ñõîäèòñÿ, òî åå ïðåäåë ÿâëÿåòñÿ ïðåäåëîì âñåé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè.

I Ïóñòü {xn} � ôóíäàìåíòàëüíàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü, {xnk} � åå ñõîäÿùàÿñÿïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòü è

limk→∞

xnk = a. (5.4)

Çàäàäèì ïðîèçâîëüíî ε > 0. Ñîãëàñíî óñëîâèþ Êîøè ñóùåñòâóåò òàêîé íîìåð nε,÷òî äëÿ âñåõ n, m > nε âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî

|xn − xm| < ε.

Âûáåðåì òåïåðü íîìåð k0 òàê, ÷òîáû ïðè k > k0 èìåëî ìåñòî íåðàâåíñòâî nk > nε(ýòî âîçìîæíî ñäåëàòü â ñèëó òîãî, ÷òî lim

k→∞nk = +∞). Òîãäà ïðè âñåõ n > nε è

k > k0 ñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâî

|xn − xk| <ε

2.

Ïåðåõîäÿ çäåñü ê ïðåäåëó ïðè k → ∞, â ñèëó óñëîâèÿ (5.4) ïîëó÷èì, ÷òî äëÿ âñåõn > nε âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî

|xn − a| 6ε

2< ε.

Ýòî è îçíà÷àåò, ÷òî limn→∞

xn = a. J

Òåîðåìà 5.1 (Êðèòåðèé Êîøè). Äëÿ òîãî, ÷òîáû ïîñëåäîâàòåëüíîñòü áûëà ñõîäÿ-ùåéñÿ íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû îíà áûëà ôóíäàìåíòàëüíîé.

I Äåéñòâèòåëüíî, íåîáõîäèìîñòü âûïîëíåíèÿ óñëîâèÿ Êîøè äëÿ ñõîäÿùåéñÿ ïî-ñëåäîâàòåëüíîñòè ñîñòàâëÿåò ñîäåðæàíèå ëåììû 5.1. Åñëè æå ïîñëåäîâàòåëüíîñòüÿâëÿåòñÿ ôóíäàìåíòàëüíîé, òî ñîãëàñíî ëåììå 5.2 îíà îãðàíè÷åíà è, ñëåäîâàòåëüíî,ïî òåîðåìå Áîëüöàíî�Âåéåðøòðàññà (òåîðåìà 3.3) èç íåå ìîæíî âûäåëèòü ïîäïîñëå-äîâàòåëüíîñòü, èìåþùóþ êîíå÷íûé ïðåäåë. Òîãäà èç ëåììû 5.3 ñëåäóåò ÷òî è âñÿçàäàííàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñõîäèòñÿ ê òîìó æå ïðåäåëó. J

37

ÃËÀÂÀ 3. ÏÐÅÄÅË ÔÓÍÊÖÈÈ

�1. Îïðåäåëåíèå ïðåäåëà ôóíêöèè

 ýòîé ãëàâå ðàññìàòðèâàþòñÿ ôóíêöèè, ïðèíèìàþùèå ÷èñëîâûå çíà÷åíèÿ.

1

Íàïîìíèì, ÷òî ε-îêðåñòíîñòüþ S(x0, ε) òî÷êè x0 íàçûâàåòñÿ èíòåðâàë

S(x0, ε) := (x0 − ε, x0 + ε).

Âñÿêàÿ ε-îêðåñòíîñòü òî÷êè íàçûâàåòñÿ òàêæå ïðîñòî åå îêðåñòíîñòüþ. Ïðîêîëîòîéîêðåñòíîñòüþ òî÷êè x0 íàçûâàåòñÿ ε-îêðåñòíîñòü òî÷êè x0, èç êîòîðîé óäàëåíà òî÷êàx0. Ïðîêîëîòàÿ ε-îêðåñòíîñòü òî÷êè x0 îáîçíà÷àåòñÿ S(x0, ε) :

S(x0, ε) := S(x0, ε) \ {x0}.

Âñÿêàÿ ïðîêîëîòàÿ ε-îêðåñòíîñòü òî÷êè x0 íàçûâàåòñÿ è ïðîñòî ïðîêîëîòîé îêðåñò-íîñòüþ ýòîé òî÷êè è îáîçíà÷àåòñÿ òàêæå è ÷åðåç S(x0). Îòìåòèì, ÷òî âûðàæåíèå¾ôóíêöèÿ f îïðåäåëåíà íà ìíîæåñòâå E¿ íå îçíà÷àåò, ÷òî óêàçàííîå ìíîæåñòâî ÿâ-ëÿåòñÿ ìíîæåñòâîì îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèè f, à ëèøü, ÷òî ýòî ìíîæåñòâî ïðèíàäëåæèòîáëàñòè Xf îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèè f è ÷òî â äàííîì âîïðîñå ôóíêöèÿ f ðàññìàòðè-âàåòñÿ òîëüêî íà óêàçàííîì ìíîæåñòâå E, ò. å. ïî ñóùåñòâó ðàññìàòðèâàåòñÿ ëèøüñóæåíèå ôóíêöèè f íà ìíîæåñòâî E.

Îïðåäåëåíèå 1.1 (Ãåéíå). Ïóñòü ôóíêöèÿ f îïðåäåëåíà íà íåêîòîðîé ïðîêîëîòîéîêðåñòíîñòè S(x0) òî÷êè x0. ×èñëî A íàçûâàåòñÿ ïðåäåëîì ôóíêöèè f â òî÷êå x0

(èëè ïðè x, ñòðåìÿùåìñÿ ê x0), åñëè äëÿ ëþáîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè xn ∈ S(x0), n =1, 2, . . . , ñõîäÿùåéñÿ ê òî÷êå x0 : lim

n→∞xn = x0, ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {f(xn)} ñõîäèòñÿ

ê ÷èñëó A, ò. å. âåðíî ðàâåíñòâî limn→∞

f(xn) = A.

Åñëè ÷èñëî A ÿâëÿåòñÿ ïðåäåëîì ôóíêöèè f â òî÷êå x0, òî ïèøóò

A = limx→x0

f(x) èëè f(x) −→x→x0

A. (1.1)

Èç ýòîãî îïðåäåëåíèÿ ñëåäóåò, ÷òî ôóíêöèÿ íå ìîæåò èìåòü äâóõ ðàçíûõ ïðåäåëîââ îäíîé òî÷êå. Äàëåå, èç îïðåäåëåíèÿ ñëåäóåò, ÷òî çíà÷åíèå ôóíêöèè f â òî÷êàõx, ëåæàùèõ âíå ëþáîé ôèêñèðîâàííîé îêðåñòíîñòè òî÷êè x0 è çíà÷åíèå ôóíêöèèf â òî÷êå x0 íå âëèÿåò íè íà ñóùåñòâîâàíèå, íè íà âåëè÷èíó ïðåäåëà ôóíêöèè fâ òî÷êå x0.

38

ËÅÊÖÈß 12

Îïðåäåëåíèå 1.2. Ïóñòü ôóíêöèÿ f îïðåäåëåíà íà èíòåðâàëå (a, x0). ×èñëî B íà-çûâàåòñÿ ïðåäåëîì ñëåâà ôóíêöèè f â òî÷êå x0, åñëè, êàêîâà áû íè áûëà ïîñëåäîâà-òåëüíîñòü {xn} òàêàÿ, ÷òî

limn→∞

xn = x0, a < xn < x0, n = 1, 2, . . . ,

ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {f(xn)} ñõîäèòñÿ ê ÷èñëó B, ò. å. limn→∞

f(xn) = B. Åñëè òàêîå

÷èñëî B ñóùåñòâóåò, òî ïèøóò

B = limx→x0−0

f(x) èëè B = f(x0 − 0).

Àíàëîãè÷íî îïðåäåëÿåòñÿ ïðåäåë ñïðàâà f(x0 + 0) = limx→x0+0

f(x) â òî÷êå x0 äëÿ

ôóíêöèè, îïðåäåëåííîé íà èíòåðâàëå (x0, b). Èìåííî, ÷èñëî B íàçûâàåòñÿ ïðåäåëîìñïðàâà ôóíêöèè f â òî÷êå x0, åñëè äëÿ ëþáîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè {xn} òàêîé, ÷òîlimn→∞

xn = x0, x0 < xn < b, n = 1, 2, . . . , ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {f(xn)} ñõîäèòñÿ ê ÷èñëóB, ò. å.

limn→∞

f(xn) = B.

 ñëó÷àå x0 = 0 âìåñòî x→ 0+0 (ñîîòâåòñòâåííî x→ 0−0) ïèøóò ïðîñòî x→ +0(ñîîòâåòñòâåííî x→ −0).

Ïðåäåëû ñëåâà è ñïðàâà ôóíêöèè íàçûâàþòñÿ îäíîñòîðîííèìè â îòëè÷èå îò ïðå-äåëà ôóíêöèè, îïðåäåëåííîãî â íà÷àëå ïàðàãðàôà, êîòîðûé èíîãäà íàçûâàåòñÿ èäâóñòîðîííèì ïðåäåëîì.

Ëåììà 1.1. Äëÿ òîãî, ÷òîáû ôóíêöèÿ f, îïðåäåëåííàÿ â íåêîòîðîé îêðåñòíîñòèS(x0) òî÷êè x0, èìåëà â ýòîé òî÷êå ïðåäåë íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû äëÿëþáîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè xn ∈ S(x0), n = 1, 2, . . . , ñõîäÿùåéñÿ ê òî÷êå x0, ïîñëå-äîâàòåëüíîñòü {f(xn)} èìåëà ïðåäåë.

I Íåîáõîäèìîñòü ñôîðìóëèðîâàííîãî óñëîâèÿ ñóùåñòâîâàíèÿ ïðåäåëà ôóíê-öèè ñîäåðæèòñÿ â ñàìîì îïðåäåëåíèè ýòîãî ïîíÿòèÿ (ñì. îïðåäåëåíèå 1.1).

Äîñòàòî÷íîñòü. Ïóñòü ôóíêöèÿ f îïðåäåëåíà â ïðîêîëîòîé îêðåñòíîñòè S(x0)òî÷êè x0, è ïóñòü äëÿ ëþáîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè xn ∈ S(x0) òàêîé, ÷òî lim

n→∞xn =

x0, ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {f(xn)} ñõîäèòñÿ. Ðàññìîòðèì äâå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè x′n ∈S(x0) è x′′n ∈ S(x0), n = 1, 2, . . . , lim

n→∞x′n = lim

n→∞x′′n = x0. Òîãäà ïîñëåäîâàòåëüíîñòü

xn =

{x′k åñëè n = 2k − 1,

x′′k åñëè n = 2k, k = 1, 2, . . .

òàêæå ñõîäèòñÿ ê òî÷êå x0, xn ∈ S(x0), n = 1, 2, . . . .Ñîãëàñíî ïðåäïîëîæåíèþ ñóùåñòâóþò ïðåäåëû lim

n→∞f(x′n), lim

n→∞f(x′′n) è lim

n→∞f(xn),

ïðè÷åì ïîñëåäîâàòåëüíîñòè {f(x′n)} è {f(x′′n)} ÿâëÿþòñÿ ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòÿìèïîñëåäîâàòåëüíîñòè {f(xn)}.

Çàìåòèì òåïåðü, ÷òî åñëè ó íåêîòîðîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè èìååòñÿ ïðåäåë, òîëþáàÿ åå ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòü èìååò òîò æå ïðåäåë. Ïîýòîìó

39

limn→∞

f(x′n) = limn→∞

f(xn), limn→∞

f(x′′n) = limn→∞

f(xn);

îòêóäàlimn→∞

f(x′n) = limn→∞

f(x′′n).

Òàêèì îáðàçîì, ïðåäåëû ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé {f(xn)}, ãäå xn ∈ S(x0), n = 1, 2, . . .è limn→∞

xn = x0, íå çàâèñÿò îò âûáîðà ïîñëåäîâàòåëüíîñòè {xn}. Îáîçíà÷àÿ èõ îáùåå

çíà÷åíèå ÷åðåç A, ñîãëàñíî îïðåäåëåíèþ 1.1 áóäåì èìåòü limx→x0

f(x) = A. J

2

Ñóùåñòâóåò äðóãîå îïðåäåëåíèå ïðåäåëà ôóíêöèè, íå èñïîëüçóþùåå ïîíÿòèå ïðå-äåëà ïîñëåäîâàòåëüíîñòè è íàçûâàåìîå îïðåäåëåíèåì ïðåäåëà ïî Êîøè.

Îïðåäåëåíèå 1.3. Ïóñòü ôóíêöèÿ f îïðåäåëåíà â íåêîòîðîé ïðîêîëîòîé îêðåñòíî-ñòè S(x0) òî÷êè x0. ×èñëî A íàçûâàåòñÿ ïðåäåëîì ôóíêöèè f â òî÷êå x0, åñëè äëÿëþáîãî ε > 0 ñóùåñòâóåò òàêîå δ > 0, ÷òî äëÿ âñåõ x, óäîâëåòâîðÿþùèõ óñëîâèþ

|x− x0| < δ, x ∈ S(x0), (1.2)

âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî|f(x)− A| < ε. (1.3)

Ïðåäåë ôóíêöèè â ñìûñëå îïðåäåëåíèÿ Êîøè òàêæå îáîçíà÷àåòñÿ

limx→x0

f(x).

Òåîðåìà 1.1. Îïðåäåëåíèÿ 1.1 è 1.3 ïðåäåëà ôóíêöèè f â äàííîé òî÷êè ðàâíîñèëü-íû.

I Ïóñòü A = limx→x0

f(x) â ñìûñëå îïðåäåëåíèÿ Ãåéíå. Òîãäà ôóíêöèÿ f îïðåäåëåíà

â íåêîòîðîé ïðîêîëîòîé îêðåñòíîñòè S(x0, δ0) òî÷êè x0 è äëÿ ëþáîé ïîñëåäîâàòåëü-íîñòè xn ∈ S(x0, δ0), n = 1, 2, . . . , lim

n→∞xn = x0, èìååò ìåñòî lim

n→∞f(xn) = A. Ïîêàæåì,

÷òî òîãäà ÷èñëî A åñòü limx→x0

f(x) è â ñìûñëå îïðåäåëåíèÿ Êîøè. Äîïóñòèì, ÷òî ýòî

íå òàê. Òîãäà ñóùåñòâóåò ε0 > 0 òàêîå, ÷òî äëÿ ëþáîãî δ > 0 ñóùåñòâóåò xδ 6= x0

òàêîé, ÷òî |xδ − x0| < δ è âìåñòå ñ òåì âûïîëíåíî íåðàâåíñòâî

|f(xδ)− A| > ε0. (1.4)

Áóäåì ïîñëåäîâàòåëüíî âûáèðàòü δ =1

n, à ñîîòâåòñòâóþùåå xδ îáîçíà÷àòü ÷åðåç

xn, òîãäà

0 < |xn − x0| <1

n(1.5)

è|f(xn)− A| > ε0. (1.6)

Èç (1.5) ñëåäóåò, ÷òî limn→∞

xn = x0. Îäíàêî, èç ñîîòíîøåíèÿ (1.6) âûòåêàåò, ÷òî A

íå ìîæåò áûòü ïðåäåëîì ïîñëåäîâàòåëüíîñòè {f(xn)}. Ýòî ïðîòèâîðå÷èò îïðåäåëå-íèþ ïðåäåëà ôóíêöèè ïî Ãåéíå. Ïîëó÷åííîå ïðîòèâîðå÷èå äîêàçûâàåò ïåðâóþ ÷àñòüòåîðåìû.

40

Ïóñòü A = limx→x0

f(x) â ñìûñëå îïðåäåëåíèÿ Êîøè. Òîãäà ôóíêöèÿ f îïðåäåëåíà â

íåêîòîðîé ïðîêîëîòîé îêðåñòíîñòè òî÷êè x0 : S(x0, δ0). Âîçüìåì ïîñëåäîâàòåëüíîñòüxn ∈ S(x0, δ0), n = 1, 2, . . . , òàêóþ, ÷òî

limn→∞

xn = x0, (1.7)

è ïîêàæåì, ÷òî limn→∞

f(xn) = A. Ïðîâåðèì ýòî. Çàäàäèì ε > 0 è âûáåðåì δ > 0, êî-

òîðûå óäîâëåòâîðÿþò óñëîâèÿì (1.2) è (1.3). Äëÿ ýòîãî â ñèëó (1.7) íàéäåòñÿ n0 ∈ Nòàêîå, ÷òî äëÿ âñåõ n > n0 áóäåò âûïîëíÿòüñÿ íåðàâåíñòâî |xn− x0| < δ.  ñèëó (1.3)äëÿ ëþáîãî n > n0 ñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâî |f(xn)− A| < ε. Ýòî è îçíà÷àåò âûïîë-íåíèå ðàâåíñòâà lim

n→∞f(xn) = A. J

Îïðåäåëåíèå 1.4. Ïóñòü ôóíêöèÿ f îïðåäåëåíà íà èíòåðâàëå (a, x0) (ñîîòâåòñòâåí-íî íà èíòåðâàëå (x0, b)). ×èñëî B íàçûâàåòñÿ ïðåäåëîì ñëåâà (ñïðàâà) ôóíêöèè f âòî÷êå x0, åñëè äëÿ ëþáîãî ε > 0 ñóùåñòâóåò òàêîå ÷èñëî δ = δ(ε) > 0, ÷òî äëÿ âñåõòî÷åê x, óäîâëåòâîðÿþùèõ óñëîâèþ x0− δ < x < x0 (ñîîòâåòñòâåííî x0 < x < x0 + δ),âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî |f(x)−B| < ε.

Ñîâåðøåííî àíàëîãè÷íî òåîðåìå 1.1 äîêàçûâàåòñÿ, ÷òî ýòî îïðåäåëåíèå ýêâèâà-ëåíòíî ñîîòâåòñòâóþùèì îïðåäåëåíèÿì îäíîñòîðîííèõ ïðåäåëîâ ïî Ãåéíå.

41

ËÅÊÖÈß 13

Òåîðåìà 1.2. Ôóíêöèÿ f èìååò ïðåäåë â òî÷êå x0 òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäàâ ýòîé òî÷êå ñóùåñòâóþò ïðåäåëû êàê ñïðàâà, òàê è ñëåâà è îíè ðàâíû.  ýòîìñëó÷àå èõ îáùåå çíà÷åíèå è ÿâëÿåòñÿ äâóñòîðîííèì ïðåäåëîì ôóíêöèè f â òî÷êå x0.

I Ïóñòü limx→x0

f(x) = A. Òîãäà, ñîãëàñíî îïðåäåëåíèþ ïðåäåëà ôóíêöèè ïî Êîøè,

ýòî îçíà÷àåò, ÷òî äëÿ ëþáîãî ε > 0 ñóùåñòâóåò δ > 0 òàêîå, ÷òî äëÿ ëþáîãî x,óäîâëåòâîðÿþùåãî íåðàâåíñòâàì 0 < |x− x0| < δ, âûïîëíÿåòñÿ ñîîòíîøåíèå

|f(x)− A| < ε.

Òåì ñàìûì êàê äëÿ òî÷åê x òàêèõ, ÷òî x0−δ < x < x0, òàê è òàêèõ, ÷òî x0 < x < x0+δñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâî |f(x)−A| < ε. À ýòî, ñîãëàñíî îïðåäåëåíèþ 1.4, è îçíà÷àåò,÷òî ÷èñëî A ÿâëÿåòñÿ êàê ïðåäåëîì ôóíêöèè f ñëåâà, òàê è åå ïðåäåëîì ñïðàâà âòî÷êå x0 :

A = limx→x0+0

f(x) = limx→x0−0

f(x). (1.8)

Îáðàòíî, ïóñòü âûïîëíåíî óñëîâèå (1.8). Ñîãëàñíî îïðåäåëåíèþ ïî Êîøè ïðåäåëàôóíêöèè ñëåâà è ñïðàâà, îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî äëÿ âñÿêîãî ε > 0 ñóùåñòâóþò òàêèåδ1 = δ1(ε) > 0 è δ2 = δ2(ε) > 0, ÷òî äëÿ âñåõ x, óäîâëåòâîðÿþùèõ óñëîâèþ

x0 − δ1 < x < x0,

è äëÿ âñåõ x, óäîâëåòâîðÿþùèõ óñëîâèþ

x0 < x < x0 + δ2,

ñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâî|f(x)− A| < ε.

Åñëè îáîçíà÷èòü ÷åðåç δ íàèìåíüøåå èç ÷èñåë δ1 è δ2, òî î÷åâèäíî, ÷òî äëÿ âñåõ x,óäîâëåòâîðÿþùèõ óñëîâèþ

0 < |x− x0| < δ,

áóäåò ñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâî

|f(x)− A| < ε,

à ýòî è îçíà÷àåò, ÷òî A = limx→x0

f(x). J

3

Ïîíÿòèå ïðåäåëà ôóíêöèè ìîæíî îáîáùèòü äëÿ ñëó÷àÿ, êîãäà àðãóìåíò ôóíêöèèèëè åå çíà÷åíèÿ ñòðåìÿòñÿ ê áåñêîíå÷íîñòè.

Íàïðèìåð, áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî limx→x0+0

f(x) =∞, åñëè äëÿ ëþáîãî ε > 0 ñóùåñòâó-

åò òàêîå δ > 0, ÷òî äëÿ âñåõ x òàêèõ, ÷òî x0 < x < x0 + δ, âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî|f(x)| > ε.

Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî ýòî îïðåäåëåíèå ðàâíîñèëüíî ñëåäóþùåìó: limx→x0+0

f(x) =∞,åñëè ôóíêöèÿ f îïðåäåëåíà íà íåêîòîðîì èíòåðâàëå (x0, x0 +δ) è äëÿ ëþáîé ïîñëåäî-âàòåëüíîñòè xn ∈ (x0, x0 + δ), n = 1, 2, . . . , lim

n→∞xn = x0 èìååò ìåñòî lim

n→∞f(xn) =∞.

42

Ïî àíàëîãèè ñ îïðåäåëåíèåì ïðîêîëîòîé îêðåñòíîñòè S(x0, δ) òî÷êè x0 ∈ R îïðå-äåëèì ïðîêîëîòûå îêðåñòíîñòè äëÿ x0 + 0, x0 − 0, ∞, +∞, −∞ :

S(x0 + 0, δ) := (x0, x0 + δ) (δ > 0 âî âñåõ îïðåäåëåíèÿõ),

S(x0 − 0, δ) := (x0 − δ, x0),

S(∞, δ) := {x : |x| > δ},S(+∞, δ) := {x : x > δ},S(−∞, δ) := {x : x < −δ}.

Äëÿ ïðîñòîòû ôîðìóëèðîâîê ïîä òåðìèíîì òî÷êà íèæå â ýòîì ïàðàãðàôå áóäåìïîíèìàòü ëèáî x0 ∈ R, ëèáî îäèí èç ñèìâîëîâ x0 + 0, x0 − 0, ∞, +∞, −∞. Ïîäçàïèñüþ x 6= a â ñëó÷àÿõ a = x0 ± 0 áóäåì ïîíèìàòü x 6= x0 è ñ÷èòàòü, ÷òî −∞− 0 =−∞ è +∞− 0 = +∞.

Ïîëîæèì S(∞, δ) = S(∞, δ), S(+∞, δ) = S(+∞, δ), S(−∞, δ) = S(−∞, δ).Òåïåðü ìîæíî ñôîðìóëèðîâàòü îáùåå îïðåäåëåíèå ïðåäåëà ôóíêöèè.

Îïðåäåëåíèå 1.5. Ïóñòü ôóíêöèÿ f îïðåäåëåíà â íåêîòîðîé ïðîêîëîòîé îêðåñò-íîñòè S(a) òî÷êè a. Òî÷êà A (çäåñü A ∈ R èëè îäèí èç ñèìâîëîâ ∞, +∞, −∞)íàçûâàåòñÿ ïðåäåëîì ôóíêöèè f â òî÷êå a è ïèøåòñÿ lim

x→af(x) = A, åñëè äëÿ ëþáîé

îêðåñòíîñòè S(A, ε) òî÷êè A (ε > 0) ñóùåñòâóåò òàêàÿ îêðåñòíîñòü S(a, δ) òî÷êè a(δ > 0), ñîäåðæàùàÿñÿ â S(a), ÷òî f(S(a, δ)) ⊂ S(A, ε).

Íåòðóäíî ñôîðìóëèðîâàòü îïðåäåëåíèå ïðåäåëà ôóíêöèè, ðàâíîñèëüíîå îïðåäå-ëåíèþ 1.5, â òåðìèíàõ ïðåäåëà ïîñëåäîâàòåëüíîñòè.

Îïðåäåëåíèå 1.6. Ïóñòü ôóíêöèÿ f îïðåäåëåíà â íåêîòîðîé ïðîêîëîòîé îêðåñòíî-ñòè S(a) òî÷êè a. Òî÷êà A íàçûâàåòñÿ ïðåäåëîì ôóíêöèè f â òî÷êå a, åñëè äëÿ ëþáîéïîñëåäîâàòåëüíîñòè xn ∈ S(a), n = 1, 2, . . . , lim

n→∞xn = a èìååò ìåñòî lim

n→∞f(xn) = A.

Àíàëîãè÷íî ñëó÷àþ a = x0 ∈ R è êîíå÷íîìó ïðåäåëó A, ðàññìîòðåííîìó â òåîðå-ìå 1.1, äîêàçûâàåòñÿ ýêâèâàëåíòíîñòü îïðåäåëåíèé 1.5 è 1.6.

�2. Ñâîéñòâà ïðåäåëîâ ôóíêöèè

 äàëüíåéøåì ïîä ïðåäåëîì ôóíêöèè âñåãäà ïîíèìàåòñÿ êîíå÷íûé ïðåäåë, åñ-ëè íå î÷åâèäíî ÷òî-ëèáî äðóãîå. Âñå ôóíêöèè, ðàññìàòðèâàåìûå â ýòîì ïàðàãðàôå,îïðåäåëåíû â íåêîòîðîé ïðîêîëîòîé îêðåñòíîñòè S(a) = S(a, δ0) çàäàííîé òî÷êèa. Ïîä òî÷êîé a ïîíèìàåòñÿ ëèáî ÷èñëî x0, ëèáî îäèí èç ñèìâîëîâ: x0 + 0, x0 −0, ∞, +∞, −∞.

×èñëîâàÿ ôóíêöèÿ f, îïðåäåëåííàÿ íà ìíîæåñòâå X, íàçûâàåòñÿ îãðàíè÷åííîéñâåðõó (îãðàíè÷åííîé ñíèçó), åñëè ìíîæåñòâî åå çíà÷åíèé îãðàíè÷åíî ñâåðõó (ñíèçó).Èíà÷å ãîâîðÿ, ôóíêöèÿ f îãðàíè÷åíà ñâåðõó (ñíèçó), åñëè ñóùåñòâóåò òàêàÿ ïîñòîÿí-íàÿ M, ÷òî äëÿ êàæäîãî x ∈ X âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî f(x) 6 M (ñîîòâåòñòâåííîf(x) >M).

Ôóíêöèÿ f, îãðàíè÷åííàÿ íà ìíîæåñòâå X êàê ñâåðõó, òàê è ñíèçó, íàçûâàåòñÿïðîñòî îãðàíè÷åííîé íà ýòîì ìíîæåñòâå. Î÷åâèäíî, ÷òî ôóíêöèÿ f îãðàíè÷åíà íàìíîæåñòâå X â òîì è òîëüêî òîì ñëó÷àå, åñëè ñóùåñòâóåò òàêîå ÷èñëî M > 0, ÷òî|f(x)| 6M äëÿ êàæäîãî x ∈ X.

43

Âåðõíÿÿ (íèæíÿÿ) ãðàíü ìíîæåñòâà çíà÷åíèé Yf ÷èñëîâîé ôóíêöèè y = f(x),îïðåäåëåííîé íà ìíîæåñòâå X, íàçûâàåòñÿ âåðõíåé (íèæíåé) ãðàíüþ ôóíêöèè f èîáîçíà÷àåòñÿ

sup f, supXf, sup

x∈Xf(x)

(inf f, inf

Xf, inf

x∈Xf(x)

).

 ïðèâåäåííîì îïðåäåëåíèè âåðõíÿÿ (íèæíÿÿ) ãðàíü ôóíêöèè ìîæåò áûòü êàêêîíå÷íîé, òàê è áåñêîíå÷íîé.

Ôóíêöèÿ f îãðàíè÷åíà ñâåðõó (ñíèçó) íà ìíîæåñòâåX òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäàîíà èìååò íà ýòîì ìíîæåñòâå êîíå÷íóþ âåðõíþþ (íèæíþþ) ãðàíü.

Áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî ÷èñëîâàÿ ôóíêöèÿ f, îïðåäåëåííàÿ íà ìíîæåñòâå X, ïðè-íèìàåò â òî÷êå x0 ∈ X íàèáîëüøåå çíà÷åíèå (ñîîòâåòñòâåííî íàèìåíüøåå), åñëèf(x) 6 f(x0) (ñîîòâåòñòâåííî f(x) > f(x0)) äëÿ êàæäîé òî÷êè x ∈ X.  ýòîì ñëó÷àåáóäåì ïèñàòü f(x0) = max

x∈Xf(x) èëè f(x0) = max

Xf (ñîîòâåòñòâåííî f(x0) = min

x∈Xf(x)

èëè f(x0) = minX

f).

Íàèáîëüøåå (íàèìåíüøåå) çíà÷åíèå ôóíêöèè íàçûâàåòñÿ òàêæå åå ìàêñèìàëü-íûì (ìèíèìàëüíûì) çíà÷åíèåì. Ìàêñèìàëüíûå è ìèíèìàëüíûå çíà÷åíèÿ íàçûâà-þòñÿ ýêñòðåìàëüíûìè.

Î÷åâèäíî, ÷òî åñëè ôóíêöèÿ f ïðèíèìàåò â òî÷êå x0 íàèáîëüøåå (íàèìåíüøåå)çíà÷åíèå, òî f(x0) = sup f (ñîîòâåòñòâåííî f(x0) = inf f).

Ñâîéñòâî 1. Åñëè ó ôóíêöèè f â çàäàííîé òî÷êå a ñóùåñòâóåò ïðåäåë, òî âíåêîòîðîé ïðîêîëîòîé îêðåñòíîñòè ýòîé òî÷êè ôóíêöèÿ îãðàíè÷åíà.

I Ïóñòü ó ôóíêöèè f ñóùåñòâóåò limx→a

f(x) = A. Òîãäà ñîãëàñíî îïðåäåëåíèþ 1.5

äëÿ ëþáîãî ε > 0, â ÷àñòíîñòè äëÿ ε = 1, ñóùåñòâóåò òàêàÿ ïðîêîëîòàÿ îêðåñòíîñòüS(a, δ) òî÷êè a, ÷òî äëÿ âñåõ x ∈ S(a, δ) èìååò ìåñòî f(x) ∈ S(A, 1), ò. å. âûïîëíÿåòñÿíåðàâåíñòâî A − 1 < f(x) < A + 1. Ýòî è îçíà÷àåò îãðàíè÷åííîñòü f íà ïðîêîëîòîéîêðåñòíîñòè S(a, δ). J

Ñâîéñòâî 2. Åñëè ó ôóíêöèè â çàäàííîé òî÷êå ñóùåñòâóåò íå ðàâíûé íóëþ ïðå-äåë, òî â íåêîòîðîé ïðîêîëîòîé îêðåñòíîñòè ýòîé òî÷êè ôóíêöèÿ èìååò òîò æå çíàê,÷òî è óêàçàííûé ïðåäåë (â ÷àñòíîñòè îíà íå ðàâíà íóëþ).

I Ïóñòü ñóùåñòâóåò êîíå÷íûé ïðåäåë limx→a

f(x) = A è äëÿ îïðåäåëåííîñòè A > 0.

Òîãäà ñîãëàñíî îïðåäåëåíèþ 1.5 äëÿ ëþáîãî ε > 0, â ÷àñòíîñòè äëÿ ε = A (â ñëó÷àåA < 0 íàäî âçÿòü ε = −A), ñóùåñòâóåò òàêàÿ ïðîêîëîòàÿ îêðåñòíîñòü S(a, δ), ÷òî äëÿâñåõ x ∈ S(a, δ) èìååò ìåñòî f(x) ∈ S(A,A), ò. å. âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî A − A <f(x) < A+ A.  ÷àñòíîñòè f(x) > 0. J

Ñâîéñòâî 3. Åñëè f(x) = c � ïîñòîÿííàÿ ïðè x ∈ S(a), òî limx→a

f(x) = c.

Ñâîéñòâî 4. Åñëè f(x) > A äëÿ x ∈ S(a) è ñóùåñòâóåò êîíå÷íûé èëè îïðåäåëåí-íîãî çíàêà áåñêîíå÷íûé ïðåäåë lim

x→af(x), òî lim

x→af(x) > A.

Ñâîéñòâî 5. Åñëè ϕ(x) 6 f(x) 6 ψ(x) äëÿ x ∈ S(a) è ñóùåñòâóþò êîíå÷íûå èëèáåñêîíå÷íûå îïðåäåëåííîãî çíàêà ïðåäåëû

limx→a

ϕ(x) = limx→a

ψ(x) = A,

òî limx→a

f(x) = A.

44

ËÅÊÖÈß 14

Ñâîéñòâî 6. Åñëè ñóùåñòâóþò êîíå÷íûå ïðåäåëû limx→a

f(x) è limx→a

g(x), òî ñóùå-ñòâóþò è êîíå÷íûå ïðåäåëû

limx→a

[f(x) + g(x)], limx→a

f(x)g(x),

à åñëè limx→a

g(x) 6= 0, òî è limx→a

f(x)

g(x), ïðè÷åì

limx→a

[f(x) + g(x)] = limx→a

f(x) + limx→a

g(x),

limx→a

f(x)g(x) = limx→a

f(x) limx→a

g(x), (2.1)

limx→a

f(x)

g(x)=

limx→a

f(x)

limx→a

g(x).

Ñëåäñòâèå 2.1. Åñëè ñóùåñòâóåò limx→a

f(x), òî äëÿ ëþáîãî c ∈ R

limx→a

cf(x) = c limx→a

f(x).

Çàìåòèì, ÷òî ÷àñòíîåf(x)

g(x)ïðè óñëîâèè, ÷òî lim

x→ag(x) 6= 0, êîíå÷íî, ìîæåò áûòü íå

îïðåäåëåíî íà âñåé èñõîäíîé ïðîêîëîòîé îêðåñòíîñòè S(a, δ0). Îäíàêî, ñîãëàñíî ñâîé-ñòâó 2 èç óñëîâèÿ lim

x→ag(x) 6= 0 ñëåäóåò ñóùåñòâîâàíèå òàêîé ïðîêîëîòîé îêðåñòíîñòè

S(a, δ), 0 < δ < δ0, íà êîòîðîé g(x) 6= 0, è ïîòîìó íà íåé èìååò ñìûñë ÷àñòíîåf(x)

g(x).

Ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî â ñëó÷àå ïðåäåëà ÷àñòíîãî ðàññìàòðèâàåòñÿ ñóæåíèå ôóíêöèéf è g íà óêàçàííîé ïðîêîëîòîé îêðåñòíîñòè S(a, δ).

Ñâîéñòâà 3�6 ìîãóò áûòü äîêàçàíû îäèíàêîâûì ìåòîäîì, îñíîâàííûì íà ñîîò-âåòñòâóþùèõ ñâîéñòâàõ ïðåäåëîâ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé. Äîêàæåì, íàïðèìåð, ôîðìó-ëó (2.1).

I Ïóñòü limx→a

f(x) = A, limx→a

g(x) = B. Òîãäà, ñîãëàñíî îïðåäåëåíèþ 1.6 ïðåäå-

ëà ôóíêöèè, äëÿ ëþáîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè xn ∈ S(a), n = 1, 2, . . . , limn→∞

xn = a,ñïðàâåäëèâû ðàâåíñòâà

limn→∞

f(xn) = A, limn→∞

g(xn) = B.

Ïîýòîìó, âñïîìèíàÿ, ÷òî ïðåäåë ïðîèçâåäåíèÿ ñõîäÿùèõñÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåéñóùåñòâóåò è ðàâåí ïðîèçâåäåíèþ èõ ïðåäåëîâ, ïîëó÷àåì, ÷òî ñóùåñòâóåò

limn→∞

f(xn)g(xn),

ïðè÷åì ýòîò ïðåäåë íå çàâèñèò îò âûáîðà óêàçàííîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè xn. Ýòîñîãëàñíî òîìó æå îïðåäåëåíèþ 1.6 è îçíà÷àåò, ÷òî

limx→a

f(x)g(x) = AB = limx→a

f(x) limx→a

g(x).

J

45

Îïðåäåëåíèå 2.1. Ôóíêöèÿ α íàçûâàåòñÿ áåñêîíå÷íî ìàëîé (áåñêîíå÷íî áîëüøîé)ïðè ñòðåìëåíèè àðãóìåíòà ê òî÷êå a, åñëè lim

x→aα(x) = 0 (lim

x→aα(x) =∞).

Áåñêîíå÷íî ìàëûå ôóíêöèè èãðàþò ñóùåñòâåííóþ ðîëü, ñâÿçàííóþ, â ÷àñòíîñòè,ñ òåì, ÷òî îáùåå ïîíÿòèå ïðåäåëà ìîæåò áûòü ñâåäåíî ê ïîíÿòèþ áåñêîíå÷íî ìàëîé.

Ëåììà 2.1. Êîíå÷íûé ïðåäåë limx→a

f(x) ñóùåñòâóåò è ðàâåí A òîãäà è òîëüêî òîãäà,

êîãäà f(x) = A+α(x), ãäå α áåñêîíå÷íî ìàëàÿ ïðè ñòðåìëåíèè àðãóìåíòà ê òî÷êå a.

I Äåéñòâèòåëüíî, åñëè limx→a

f(x) = A, òî ïîëàãàÿ α(x) = f(x)− A, ïîëó÷àåì

limx→a

α(x) = limx→a

f(x)− A = A− A = 0.

Íàîáîðîò, åñëè f(x) = A+ α(x) è limx→a

α(x) = 0 , òî

limx→a

f(x) = A+ limx→a

α(x) = A.

J

Óïðàæíåíèå 2.1. Äîêàçàòü, ÷òî ïðîèçâåäåíèå áåñêîíå÷íî ìàëîé ïðè ñòðåìëåíèèàðãóìåíòà ê òî÷êå a íà îãðàíè÷åííóþ ôóíêöèþ ÿâëÿåòñÿ áåñêîíå÷íî ìàëîé ïðèñòðåìëåíèè àðãóìåíòà ê òîé æå òî÷êå a.

Óïðàæíåíèå 2.2. Äîêàçàòü, ÷òî ôóíêöèÿ α, îïðåäåëåííàÿ è íå ðàâíàÿ íóëþ â íåêî-òîðîé ïðîêîëîòîé îêðåñòíîñòè òî÷êè a, òîãäà è òîëüêî òîãäà ÿâëÿåòñÿ áåñêîíå÷íîìàëîé ïðè ñòðåìëåíèè àðãóìåíòà ê òî÷êå a, êîãäà ôóíêöèÿ 1/α ÿâëÿåòñÿ áåñêîíå÷íîáîëüøîé ïðè ñòðåìëåíèè àðãóìåíòà ê òîé æå òî÷êå a.

�3. Ïðåäåë ìîíîòîííûõ ôóíêöèé. Êðèòåðèé Êîøè ñóùåñòâîâàíèÿ ïðå-äåëà ôóíêöèé

1

Îïðåäåëåíèå 3.1. Ôóíêöèÿ f, îïðåäåëåííàÿ íà ÷èñëîâîì ìíîæåñòâå E, íàçûâàåòñÿâîçðàñòàþùåé (óáûâàþùåé) íà E åñëè äëÿ ëþáûõ x1 ∈ E è x2 ∈ E òàêèõ, ÷òî x1 < x2,âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî f(x1) 6 f(x2) (ñîîòâåòñòâåííî f(x1) > f(x2)).

Åñëè ôóíêöèÿ f âîçðàñòàåò íà E, òî ôóíêöèÿ −f óáûâàåò íà E.Âîçðàñòàþùèå è óáûâàþùèå íà ìíîæåñòâå E ôóíêöèè íàçûâàþòñÿ ìîíîòîííûìè

íà ýòîì ìíîæåñòâå.

Òåîðåìà 3.1. Åñëè ôóíêöèÿ f âîçðàñòàåò íà èíòåðâàëå (a, b), ãäå a, b ∈ R, òî âòî÷êàõ a è b ó ôóíêöèè f ñóùåñòâóþò (êîíå÷íûå èëè áåñêîíå÷íûå) îäíîñòîðîííèåïðåäåëû è

limx→b−0

f(x) = sup(a,b)

f, limx→a+0

f(x) = inf(a,b)

f.

Åñëè æå f óáûâàåò íà (a, b), òî

limx→b−0

f(x) = inf(a,b)

f, limx→a+0

f(x) = sup(a,b)

f.

46

I Ïóñòü f âîçðàñòàåò íà (a, b). Åñëè A = sup(a,b)

f < +∞, òî, ñîãëàñíî îïðåäåëåíèþ

âåðõíåé ãðàíè ôóíêöèè, äëÿ âñÿêîãî ôèêñèðîâàííîãî ε > 0 ñóùåñòâóåò xε ∈ (a, b)òàêîå, ÷òî A − ε < f(xε) 6 A. Ïîëîæèì δ = b − xε. Òîãäà â ñèëó âîçðàñòàíèÿf(x) > f(xε) äëÿ ëþáîãî x > xε, à â ñèëó îïðåäåëåíèÿ âåðõíåé ãðàíè f(x) 6 A.Òàêèì îáðàçîì, åñëè b− δ < x < b, òî A− ε < f(x) 6 A. Ýòî â ñèëó ïðîèçâîëüíîñòèε è îçíà÷àåò, ÷òî lim

x→b−0f(x) = A.

Åñëè æå sup(a,b)

f = +∞, òî äëÿ ëþáîãî ôèêñèðîâàííîãî ε > 0 ñóùåñòâóåò òàêîå

xε ∈ (a, b), ÷òî f(xε) > ε. Ïîëîæèì ñíîâà δ = b − xε. Òîãäà â ñèëó âîçðàñòàíèÿf(x) > f(xε) > ε äëÿ ëþáîãî x òàêîãî, ÷òî xε = b − δ < x < b, à ýòî è îçíà÷àåò, ÷òîlim

x→b−0f(x) = +∞.

Àíàëîãè÷íî äîêàçûâàþòñÿ è äðóãèå óòâåðæäåíèÿ òåîðåìû. J

Ñëåäñòâèå 3.1. Ìîíîòîííàÿ íà èíòåðâàëå ôóíêöèÿ f èìååò êîíå÷íûé ïðåäåë êàêñïðàâà, òàê è ñëåâà â êàæäîé òî÷êå ýòîãî èíòåðâàëà.

I Äåéñòâèòåëüíî, åñëè ôóíêöèÿ f âîçðàñòàåò (óáûâàåò) íà èíòåðâàëå (a, b), òîêàêîâî áû íè áûëî x0 ∈ (a, b), f(x1) 6 f(x0) 6 f(x2) äëÿ ëþáûõ x1 ∈ (a, x0) èx2 ∈ (x0, b) (ñîîòâåòñòâåííî f(x1) > f(x0) > f(x2)).

Ïîýòîìó sup(a,x0)

f 6 f(x0) 6 inf(x0,b)

f (ñîîòâåòñòâåííî inf(a,x0)

> f(x0) > sup(x0,b)

f), ò. å.

ïðåäåëû limx→x0+0

f(x) è limx→x0−0

f(x), ñóùåñòâóþùèå ñîãëàñíî òåîðåìå 3.1, êîíå÷íû. J

Óïðàæíåíèå 3.1. Äîêàçàòü, ÷òî òåîðåìà 3.1 îñòàåòñÿ ñïðàâåäëèâîé è â ñëó÷àå,êîãäà èíòåðâàë (a, b) áåñêîíå÷åí.

2

Òåîðåìà 3.2 (êðèòåðèé Êîøè ñóùåñòâîâàíèÿ êîíå÷íîãî ïðåäåëà). Ïóñòü ôóíêöèÿf çàäàíà â íåêîòîðîé ïðîêîëîòîé îêðåñòíîñòè S(a) òî÷êè a. Äëÿ òîãî, ÷òîáû fèìåëà â òî÷êå a êîíå÷íûé ïðåäåë, íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû äëÿ ëþáîãîε > 0 ñóùåñòâîâàëà òàêàÿ ïðîêîëîòàÿ îêðåñòíîñòü S(a, δ) ⊂ S(a), ÷òî äëÿ ëþáûõx′ è x′′, ïðèíàäëåæàùèõ S(a, δ), âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî |f(x′)− f(x′′)| < ε.

I Íåîáõîäèìîñòü. Ïóñòü limx→a

f(x) = A ∈ R. Ýòî çíà÷èò, ÷òî äëÿ ëþáîãî ε > 0

ñóùåñòâóåò ïðîêîëîòàÿ îêðåñòíîñòü S(a, δ) òàêàÿ, ÷òî äëÿ âñåõ x ∈ S(a, δ) âûïîëíÿ-åòñÿ íåðàâåíñòâî |f(x)− A| < ε

2. Ïóñòü x′, x′′ ∈ S(a, δ). Òîãäà èìååì

|f(x′)− f(x′′)| = |(f(x′)− A) + (A− f(x′′))| 6 |f(x′)− A|+ |A− f(x′′)| < ε

2+ε

2= ε.

Òåì ñàìûì íåîáõîäèìîñòü óñëîâèé òåîðåìû 3.2 äîêàçàíà.Äîñòàòî÷íîñòü. Ïóñòü f òàêîâà, ÷òî äëÿ ëþáîãî ε > 0 ñóùåñòâóåò òàêàÿ ïðîêî-

ëîòàÿ îêðåñòíîñòü S(a, δ), ÷òî äëÿ âñåõ

x′ ∈ S(a, δ), x′′ ∈ S(a, δ) (3.1)

âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî|f(x′′)− f(x′)| < ε. (3.2)

47

Ïðîâåðèì, ÷òî òîãäà ôóíêöèÿ f èìååò â òî÷êå a ïðåäåë. Âîçüìåì êàêóþ-ëèáîïîñëåäîâàòåëüíîñòü xn ∈ S(a), n = 1, 2, . . . ,

limn→∞

xn = a. (3.3)

 ñèëó óñëîâèÿ (3.3) äëÿ îêðåñòíîñòè S(a, δ) ñóùåñòâóåò íîìåð n0 òàêîé, ÷òî äëÿâñåõ n > n0 èìååò ìåñòî xn ∈ S(a, δ). Îòñþäà â ñèëó óñëîâèé (3.1) è (3.2) äëÿ âñåõn > n0 è m > n0 ïîëó÷èì

|f(xn)− f(xm)| < ε,

ò. å. ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {f(xn)} óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèÿì êðèòåðèÿ Êîøè äëÿ ïîñëå-äîâàòåëüíîñòåé è, ñëåäîâàòåëüíî, ñõîäèòñÿ.

Òàêèì îáðàçîì, äëÿ êàæäîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè xn ∈ S(a), n = 1, 2, . . . , óäîâëå-òâîðÿþùåé óñëîâèþ (3.3), ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {f(xn)} ñõîäèòñÿ. Îòñþäà íà îñíîâà-íèè ëåììû 1.2 ñëåäóåò ñóùåñòâîâàíèå êîíå÷íîãî ïðåäåëà lim

x→af(x). J

 ñëó÷àå a ∈ R óñëîâèÿ Êîøè ìîæíî ïåðåôðàçèðîâàòü ñëåäóþùèì îáðàçîì.Äëÿ ëþáîãî ε > 0 ñóùåñòâóåò òàêîå δ = δ(ε) > 0, ÷òî äëÿ ëþáûõ x′ è x′′, óäîâëå-

òâîðÿþùèõ óñëîâèÿì 0 < |x′ − a| < δ, 0 < |x′′ − a| < δ, âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî

|f(x′)− f(x′′)| < ε.

 ñëó÷àå, êîãäà a =∞, óñëîâèþ Êîøè ìîæíî ïðèäàòü ñëåäóþùèé âèä.Äëÿ ëþáîãî ε > 0 ñóùåñòâóåò òàêîå δ = δ(ε) > 0, ÷òî äëÿ ëþáûõ x′ è x′′, óäîâëåòâî-

ðÿþùèõ íåðàâåíñòâàì |x′| > δ, |x′′| > δ, âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî |f(x′′)− f(x′)| < ε.Äëÿ ñëó÷àÿ îäíîñòîðîííèõ ïðåäåëîâ óñëîâèÿ Êîøè ìîæíî ïåðåôðàçèðîâàòü áåç

òåðìèíîâ îêðåñòíîñòåé ñëåäóþùèì îáðàçîì: äëÿ ëþáîãî ε > 0 ñóùåñòâóåò òàêîå η(η < a â ñëó÷àå ïðåäåëà ñëåâà è η > a â ñëó÷àå ïðåäåëà ñïðàâà), ÷òî äëÿ ëþáûõx′ è x′′, óäîâëåòâîðÿþùèõ óñëîâèÿì η < x′ < a, η < x′′ < a, èëè, ñîîòâåòñòâåííî,óñëîâèÿì a < x′ < η, a < x′′ < η, âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî |f(x′)− f(x′′)| < ε.

48

ËÅÊÖÈß 15

�4. Çàìå÷àòåëüíûå ïðåäåëû limx→0

sin x

x, lim

x→0(1 + x)

1x

1

Òåîðåìà 4.1. Ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî

limx→0

sinx

x= 1. (4.1)

I Ðàññìîòðèì êðóã ðàäèóñà 1 ñ öåíòðîì â òî÷êå O. Ïóñòü OA � íåïîäâèæ-íûé ðàäèóñ, OB � ïîäâèæíûé ðàäèóñ, îáðàçóþùèé óãîë x ∈ (0, π

2) ñ ðàäèóñîì OA.

Ñîåäèíèì òî÷êó A ñ òî÷êîé B îòðåçêîì, âîññòàíîâèì èç òî÷êè A ïåðïåíäèêóëÿðê ðàäèóñó OA äî ïåðåñå÷åíèÿ â òî÷êå C ñ ïðîäîëæåíèåì ðàäèóñà OB. Òîãäà ïëî-ùàäü òðåóãîëüíèêà AOB ðàâíà 1

2sinx, à ïëîùàäü òðåóãîëüíèêà AOC ðàâíà 1

2tg x.

Òðåóãîëüíèê AOB ÿâëÿåòñÿ ÷àñòüþ ñåêòîðà AOB, êîòîðûé â ñâîþ î÷åðåäü ÿâëÿåòñÿ÷àñòüþ òðåóãîëüíèêà AOC, ïîýòîìó

1

2sinx <

1

2x <

1

2tg x,

ò. å.sinx < x < tg x. (4.2)

 ïðåäïîëîæåíèè, ÷òî 0 < x < π2, ðàçäåëèì sinx íà êàæäûé èç ÷ëåíîâ íåðàâåí-

ñòâà (4.2). Ìû ïîëó÷èì

1 >sinx

x> cosx.

Îòñþäà

0 < 1− sinx

x< 1− cosx.

Íî1− cosx = 2 sin2 x

2< 2 sin

x

2< x,

òàê ÷òî ïðè 0 < x < π2

0 < 1− sinx

x< x. (4.3)

Îòñþäà âûòåêàåò íåðàâåíñòâî ∣∣∣∣sinxx − 1

∣∣∣∣ < |x|, (4.4)

êîòîðîå, î÷åâèäíî, ñîõðàíÿåòñÿ è ïðè èçìåíåíèè çíàêà x, ò. å. áóäåò ñïðàâåäëèâî ïðèâñåõ x ∈ (−π

2, π

2) \ {0}.

Ïóñòü ε > 0 çàäàíî. Ïîëîæèì δ = min{ε, π2}. Òàê êàê ïðè |x| < δ, x 6= 0 ïðèìåíèìî

íåðàâåíñòâî (4.4), òî â ñèëó íåãî (òàê êàê δ 6 ε)∣∣∣∣sinxx − 1

∣∣∣∣ < ε.

Ïî îïðåäåëåíèþ ïðåäåëà ôóíêöèè ïî Êîøè ýòî è îçíà÷àåò ñîîòíîøåíèå (4.1). JÏî õîäó äîêàçàòåëüñòâà òåîðåìû 4.1 áûëî óñòàíîâëåíî íåðàâåíñòâî sinx < x äëÿ

x ∈(0, π

2

). Ýòî íåðàâåíñòâî äîïóñêàåò ñëåäóþùåå îáîáùåíèå.

49

Ëåììà 4.1. Ïðè ëþáîì x ∈ R \ {0} ñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâî

| sinx| < |x|. (4.5)

I Óæå áûëî äîêàçàíî, ÷òî sinx < x, äëÿ x ∈ (0, π2). Åñëè −π

2< x < 0, òî

0 < −x < π2, è ïîòîìó â ñèëó äîêàçàííîãî sin(−x) < −x. Íî â ýòîì ñëó÷àå sin(−x) =

| sinx| è −x = |x|, ïîýòîìó | sinx| < |x|. Òàêèì îáðàçîì, åñëè |x| < π2, x 6= 0, òî

íåðàâåíñòâî (4.5) ñïðàâåäëèâî. Åñëè æå |x| > π2, òî | sinx| 6 1 < π

26 |x|. J

2

Òåîðåìà 4.2. Ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî

limx→0

(1 + x)1x = e. (4.6)

I Ðàíåå áûëî äîêàçàíî, ÷òî

limn→∞

(1 +

1

n

)n= e. (4.7)

Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî äëÿ ëþáîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè {nk} íàòóðàëüíûõ ÷èñåë òà-êîé, ÷òî

limk→∞

nk = +∞, (4.8)

èìååì

limk→∞

(1 +

1

nk

)nk= e. (4.9)

 ñàìîì äåëå, ïóñòü çàäàíî ε > 0. Èç (4.7) ñëåäóåò, ÷òî ñóùåñòâóåò òàêîå nε, ÷òîïðè n > nε ∣∣∣∣(1 +

1

n

)n− e∣∣∣∣ < ε. (4.10)

Èç óñëîâèÿ (4.8) ñëåäóåò, ÷òî ñóùåñòâóåò òàêîå kε, ÷òî nk > nε ïðè k > kε. Ïîýòîìóâ ñèëó (4.10) ∣∣∣∣(1 +

1

nk

)nk− e∣∣∣∣ < ε

ïðè k > kε, à ýòî è îçíà÷àåò âûïîëíåíèå ðàâåíñòâà (4.9). Ïóñòü òåïåðü ïîñëåäîâà-òåëüíîñòü {xk} òàêàÿ, ÷òî xk > 0, lim

k→∞xk = 0.

Ïîêàæåì, ÷òîlimk→∞

(1 + xk)xk = e. (4.11)

Ïðè ýòîì áåç îãðàíè÷åíèÿ îáùíîñòè ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî xk < 1, k = 1, 2, . . . . Äëÿâñÿêîãî xk íàéäåòñÿ òàêîå nk ∈ N, ÷òî

nk 61

xk< nk + 1,

à ñëåäîâàòåëüíî,1

nk + 1< xk 6

1

nk,

50

ïðè÷åì limk→∞

nk = +∞. Ïîýòîìó èìååì

(1 +

1

nk + 1

)nk< (1 + xk)

xk <

(1 +

1

nk

)nk+1

. (4.12)

Çàìå÷àÿ, ÷òî â ñèëó (4.9)

limk→∞

(1 +

1

nk + 1

)nk= lim

k→∞

(1 + 1

nk+1

)nk+1(1 + 1

nk+1

) =limk→∞

(1 + 1

nk+1

)nk+1

limk→∞

(1 + 1

nk+1

) = e

è

limk→∞

(1 +

1

nk + 1

)nk+1

= limk→∞

(1 +

1

nk

)nklimk→∞

(1 +

1

nk

)= e,

è ïåðåõîäÿ ê ïðåäåëó â íåðàâåíñòâàõ (4.12) ïðè k →∞, ïîëó÷èì

limk→∞

(1 + xk)1xk = e.

Ïîñêîëüêó {xk} � ïðîèçâîëüíàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü, óäîâëåòâîðÿþùàÿ óñëîâè-ÿì: xk > 0 (k = 1, 2, . . .), lim

k→∞xk = 0, òî òåì ñàìûì äîêàçàíî, ÷òî

limx→+0

(1 + x)1x = e. (4.13)

Ïóñòü òåïåðü ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {xk} òàêàÿ, ÷òî

xk < 0, k = 1, 2, . . . , limk→∞

xk = 0. (4.14)

Ïîëîæèì yk = −xk, òîãäà yk > 0 è limk→∞

yk = 0, ïðè÷åì áåç îãðàíè÷åíèÿ îáùíîñòè

ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî yk < 1, k = 1, 2, . . . . Òîãäà

limk→∞

(1 + xk)1xk = lim

k→∞(1− yk)

− 1yk = lim

k→∞

(1

1− yk

) 1yk

=

= limk→∞

(1 +

yk1− yk

) 1yk

= limk→∞

(1 + zk)1zk

+1,

ãäå zk = yk1−yk

> 0 è limk→∞

zk = 0.

 ñèëó óæå äîêàçàííîãî ðàâåíñòâà (4.13)

limk→∞

(1 + xk)1xk = lim

k→∞(1 + zk)

1zk lim

k→∞(1 + zk) = e.

Íî {xk} áûëà ïðîèçâîëüíàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü, óäîâëåòâîðÿþùàÿ óñëîâèÿì (4.14),ïîýòîìó

limx→−0

(1 + x)1x = e. (4.15)

Òàêèì îáðàçîì, ôóíêöèÿ (1+x)1x , x 6= 0, èìååò â òî÷êå 0 ïðåäåëû ñïðàâà è ñëåâà,

ðàâíûå îäíîìó è òîìó æå ÷èñëó e, ïîýòîìó ñóùåñòâóåò è äâóñòîðîííèé ïðåäåë, òàêæåðàâíûé e. J

51

ËÅÊÖÈß 16

�5. Ñðàâíåíèå ôóíêöèé. Ìåòîä âûäåëåíèÿ ãëàâíîé ÷àñòè ôóíêöèè

Âñå ðàññìàòðèâàåìûå â ýòîì ïàðàãðàôå ôóíêöèè îïðåäåëåíû íà íåêîòîðîé ôèê-ñèðîâàííîé ïðîêîëîòîé îêðåñòíîñòè S(x0) òî÷êè x0 ∈ R, ïðè÷åì ýòà îêðåñòíîñòüìîæåò áûòü è îäíîñòîðîííåé. Ïîýòîìó ìû íå áóäåì êàæäûé ðàç îãîâàðèâàòü, ÷òîx ∈ S(x0).

1

Îïðåäåëåíèå 5.1. Åñëè äëÿ äâóõ ôóíêöèé f è g ñóùåñòâóþò òàêàÿ ïðîêîëîòàÿîêðåñòíîñòü V (x0) è ïîñòîÿííàÿ C > 0, ÷òî äëÿ x ∈ V (x0) âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî|f(x)| 6 C|g(x)|, òî ôóíêöèÿ f íàçûâàåòñÿ îãðàíè÷åííîé ïî ñðàâíåíèþ ñ ôóíêöèåég íà V (x0) è ïèøåòñÿ

f(x) = O(g(x)), x→ x0

(÷èòàåòñÿ ¾f(x) åñòü O áîëüøîå îò g(x) ïðè x, ñòðåìÿùåìñÿ ê x0¿).

Ïîä÷åðêíåì, ÷òî çàïèñü x→ x0 èìååò çäåñü äðóãîé, ÷åì îáû÷íî ñìûñë: îíà óêàçû-âàåò íà òî, ÷òî ðàññìàòðèâàåìîå ñâîéñòâî èìååò ìåñòî ëèøü â íåêîòîðîé îêðåñòíîñòèòî÷êè x0; íè î êàêîì ïðåäåëå çäåñü ðå÷è íåò.

Ëåììà 5.1. Åñëè f(x) = ϕ(x)g(x) è ñóùåñòâóåò êîíå÷íûé limx→x0

ϕ(x) = k, òî

f(x) = O(g(x)) ïðè x→ x0.

I Èç ñóùåñòâîâàíèÿ êîíå÷íîãî ïðåäåëà limx→x0

ϕ(x) = k ñëåäóåò ñóùåñòâîâàíèå

òàêîé ïðîêîëîòîé îêðåñòíîñòè V (x0) òî÷êè x0, ÷òî ôóíêöèÿ íà íåé îãðàíè÷åíà, ò. å.èìååòñÿ òàêàÿ ïîñòîÿííàÿ C, ÷òî |ϕ(x)| 6 C, à ñëåäîâàòåëüíî, è íåðàâåíñòâî

|f(x)| = |ϕ(x)||g(x)| 6 C|g(x)|.

Ýòî è îçíà÷àåò, ÷òî f(x) = O(g(x)), x→ x0. J

Îïðåäåëåíèå 5.2. Åñëè ôóíêöèè f(x) è g(x) òàêèå, ÷òî f = O(g) è g = O(f) ïðèx→ x0, òî îíè íàçûâàþòñÿ ôóíêöèÿìè îäíîãî ïîðÿäêà ïðè x→ x0, ýòî çàïèñûâàåòñÿâ âèäå

f(x) � g(x), x→ x0.

Ëåììà 5.2. Åñëè ôóíêöèÿ α = α(x) è β = β(x) òàêîâû, ÷òî α(x) 6= 0, β(x) 6= 0ïðè x = x0 è ñóùåñòâóåò

limx→x0

α(x)

β(x)= C 6= 0,

òî α(x) � β(x) ïðè x→ x0.

52

I Ïîëîæèì

γ(x) =α(x)

β(x).

Òîãäà α(x) = γ(x)β(x) è limx→x0

γ(x) = C. Ñëåäîâàòåëüíî, ïî ëåììå 5.1 α(x) = O(β(x))

ïðè x→ x0. Òåïåðü ïîëîæèì

ϕ(x) =β(x)

α(x).

Òîãäà β(x) = ϕ(x)α(x) è limx→x0

ϕ(x) = 1C∈ R. Ñëåäîâàòåëüíî, ïî ëåììå 5.1 β(x) =

O(α(x)) ïðè x→ x0. J

Îïðåäåëåíèå 5.3. Ôóíêöèè f(x) è g(x) íàçûâàþòñÿ ýêâèâàëåíòíûìè ïðè x → x0,åñëè â íåêîòîðîé ïðîêîëîòîé îêðåñòíîñòè S(x0) òî÷êè x0 îïðåäåëåíà òàêàÿ ôóíêöèÿϕ(x), ÷òî

f(x) = ϕ(x)g(x) (5.1)

èlimx→x0

ϕ(x) = 1. (5.2)

Îòìåòèì, ÷òî â ñèëó (5.2) íàéäåòñÿ ïðîêîëîòàÿ îêðåñòíîñòü V (x0), íà êîòîðîé

ϕ(x) 6= 0. Ïîëàãàÿ ψ(x) =1

ϕ(x), âèäèì, ÷òî óñëîâèÿ (5.1) è (5.2) äëÿ îêðåñòíîñòè

V (x0) ðàâíîñèëüíû óñëîâèÿì:

g(x) = ψ(x)f(x), limx→x0

ψ(x) = 1,

ò. å., êàê ãîâîðÿò, ýêâèâàëåíòíîñòü äâóõ ôóíêöèé îáëàäàåò ñâîéñòâîì ñèììåòðè÷íî-ñòè.

Ôóíêöèè f(x) è g(x) ýêâèâàëåíòíûå ïðè x → x0 íàçûâàþòñÿ òàêæå àñèìïòîòè-÷åñêè ðàâíûìè ïðè x→ x0. Àñèìïòîòè÷åñêîå ðàâåíñòâî (ýêâèâàëåíòíîñòü) ôóíêöèéîáîçíà÷àåòñÿ ñèìâîëîì ∼.

Èç ñêàçàííîãî âûøå ñëåäóåò, ÷òî åñëè f ∼ g ïðè x→ x0, òî è g ∼ f ïðè x→ x0.Åñëè â íåêîòîðîé ïðîêîëîòîé îêðåñòíîñòè S(x0) òî÷êè x0 ñïðàâåäëèâû íåðàâåí-

ñòâà f(x) 6= 0, g(x) 6= 0, òî óñëîâèÿ (5.1) è (5.2) ýêâèâàëåíòíû ñîîòíîøåíèþ

limx→x0

f(x)

g(x)= 1,

à ñëåäîâàòåëüíî, óñëîâèþ

limx→x0

g(x)

f(x)= 1.

×òîáû óáåäèòüñÿ â ýòîì äîñòàòî÷íî ïîëîæèòü ϕ(x) =f(x)

g(x). Î÷åâèäíî, ÷òî äëÿ

ôóíêöèè ϕ(x) âûïîëíÿþòñÿ óñëîâèÿ (5.1) è (5.2). Åñëè

f ∼ g è g ∼ h ïðè x→ x0, (5.3)

òîf ∼ h ïðè x→ x0. (5.4)

53

 ñàìîì äåëå, èç óñëîâèé (5.3) ñëåäóåò, ÷òî â íåêîòîðîé ïðîêîëîòîé îêðåñòíîñòèòî÷êè x0

f(x) = ϕ(x)g(x) è g(x) = ψ(x)h(x),

ãäå limx→x0

ϕ(x) = limx→x0

ψ(x) = 1 è, ñëåäîâàòåëüíî,

f(x) = ϕ(x)ψ(x)h(x),

ãäå limx→x0

ϕ(x)ψ(x) = 1, ò. å. âûïîëíÿåòñÿ ñîîòíîøåíèå (5.4).

Îïðåäåëåíèå 5.4. Åñëè â íåêîòîðîé ïðîêîëîòîé îêðåñòíîñòè òî÷êè x0

α(x) = ε(x)f(x),

ãäå limx→x0

ε(x) = 0, òî ôóíêöèÿ α íàçûâàåòñÿ áåñêîíå÷íî ìàëîé ïî ñðàâíåíèþ ñ ôóíê-

öèåé f ïðè x→ x0 è ïèøåòñÿ

α = o(f), x→ x0

(÷èòàåòñÿ ¾α åñòü o ìàëîå îò f ïðè x ñòðåìÿùåìñÿ ê x0¿).

 ñèëó ýòîãî îïðåäåëåíèÿ çàïèñü ¾α(x) = o(1), x → x0¿ îçíà÷àåò ïðîñòî, ÷òîôóíêöèÿ α(x) ÿâëÿåòñÿ áåñêîíå÷íî ìàëîé ïðè x→ x0. Åñëè f(x) 6= 0 ïðè x 6= x0, òî

óñëîâèå α = εf, limx→x0

ε = 0, ìîæíî ïåðåïèñàòü â âèäå limx→x0

α

f= 0.

 ñëó÷àå, êîãäà f(x) áåñêîíå÷íî ìàëà ïðè x → x0, ãîâîðÿò, ÷òî α = o(f) ïðèx→ x0 ÿâëÿåòñÿ áåñêîíå÷íî ìàëîé áîëåå âûñîêîãî ïîðÿäêà, ÷åì f.

Òåîðåìà 5.1. Äëÿ òîãî, ÷òîáû ôóíêöèè f è g áûëè ýêâèâàëåíòíûìè ïðè x → x0

íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû ïðè x→ x0 âûïîëíÿëîñü óñëîâèå

f(x) = g(x) + o(g(x)). (5.5)

I Ïóñòü f ∼ g ïðè x→ x0, ò. å. f(x) = ϕ(x)g(x), ãäå limx→x0

ϕ(x) = 1. Òîãäà

f(x)− g(x) = ϕ(x)g(x)− g(x) = [ϕ(x)− 1]g(x) = ε(x)g(x),

ãäå ε(x) = ϕ(x)− 1→ 0 ïðè x→ x0, ò. å. èìååì ñîîòíîøåíèå (5.5).Îáðàòíî, ïóñòü âûïîëíÿåòñÿ (5.5), ò. å.

f(x) = g(x) + ε(x)g(x),

ãäå limx→x0

ε(x) = 0. Òîãäà

f(x) = [1 + ε(x)]g(x) = ϕ(x)g(x),

ãäå ϕ(x) = 1 + ε(x)→ 1 ïðè x→ x0, ò. å. f ∼ g ïðè x→ x0. J

Ñëåäñòâèå 5.1. Ïóñòü limx→x0

g

f= c 6= 0. Òîãäà g ∼ cf è g = cf + o(f) ïðè x→ x0.

I Åñëè limx→x0

g

f= c 6= 0, òî lim

x→x0

g

cf= 1 è çíà÷èò g ∼ cf ïðè x → x0. Îòñþäà ïî

òåîðåìå 5.1 èìååì g = cf + o(cf), à çíà÷èò g = cf + o(f). J

54

Òåîðåìà 5.2. Ïóñòü f(x) ∼ f1(x) è g(x) ∼ g1(x) ïðè x→ x0. Òîãäà åñëè ñóùåñòâóåò

limx→x0

f1(x)

g1(x), (5.6)

òî ñóùåñòâóåò è limx→x0

f(x)

g(x), ïðè÷åì

limx→x0

f(x)

g(x)= lim

x→x0

f1(x)

g1(x).

I Óñëîâèå f ∼ f1 ïðè x→ x0 îçíà÷àåò, ÷òî f(x) = ϕ(x)f1(x), ãäå limx→x0

ϕ(x) = 1, à

óñëîâèå g ∼ g1 ïðè x → x0 îçíà÷àåò, ÷òî g(x) = ψ(x)g1(x), ãäå limx→x0

ψ(x) = 1. Òåïåðü

èìååì

limx→x0

f(x)

g(x)= lim

x→x0

ϕ(x)f1(x)

ψ(x)g1(x)= lim

x→x0

ϕ(x)

ψ(x)limx→x0

f1(x)

g1(x)= lim

x→x0

f1(x)

g1(x).

J

2

Ïóñòü α(x) è β(x) � ôóíêöèè, îïðåäåëåííûå â íåêîòîðîé ïðîêîëîòîé îêðåñòíîñòèòî÷êè x0. Åñëè ôóíêöèÿ β(x) ïðåäñòàâëÿåìà â âèäå

β(x) = α(x) + o(α(x)), x→ x0,

òî ôóíêöèÿ α(x) íàçûâàåòñÿ ãëàâíîé ÷àñòüþ ôóíêöèè β(x) ïðè x→ x0.Åñëè çàäàíà ôóíêöèÿ β(x), òî åå ãëàâíàÿ ÷àñòü íå îïðåäåëÿåòñÿ îäíîçíà÷íî: ëþ-

áàÿ ôóíêöèÿ α(x) ýêâèâàëåíòíàÿ β(x) ÿâëÿåòñÿ åå ãëàâíîé ÷àñòüþ.Îäíàêî, åñëè çàäàâàòüñÿ îïðåäåëåííûì âèäîì ãëàâíîé ÷àñòè, òî ãëàâíàÿ ÷àñòü

óêàçàííîãî âèäà ìîæåò îïðåäåëÿòüñÿ îäíîçíà÷íî.

Ëåììà 5.3. Åñëè ôóíêöèÿ β(x) îáëàäàåò ïðè x→ x0 ãëàâíîé ÷àñòüþ âèäà

A(x− x0)k,

ãäå A è k � ïîñòîÿííûå, òî ñðåäè âñåõ ãëàâíûõ ÷àñòåé òàêîãî âèäà, îíà îïðåäåëÿ-åòñÿ åäèíñòâåííûì îáðàçîì.

I Äåéñòâèòåëüíî, ïóñòü ïðè x→ x0

β(x) = A(x− x0)k + o((x− x0)k), A 6= 0,

β(x) = A1(x− x0)k1 + o((x− x0)k1), A1 6= 0.

Òîãäà β(x) ∼ A(x − x0)k, β(x) ∼ A1(x − x0)k1 ïðè x → x0, ïîýòîìó A(x − x0)k ∼A1(x− x0)k1 , ò. å.

limx→x0

A(x− x0)k

A1(x− x0)k1= 1, (5.7)

÷òî ñïðàâåäëèâî ëèøü â ñëó÷àå A = A1 è k = k1. J

55

ËÅÊÖÈß 17

ÃËÀÂÀ 4. ÍÅÏÐÅÐÛÂÍÛÅ ÔÓÍÊÖÈÈ

�1. Òî÷êè íåïðåðûâíîñòè è òî÷êè ðàçðûâà ôóíêöèè

1

Îïðåäåëåíèå 1.1. Ôóíêöèÿ f, îïðåäåëåííàÿ â íåêîòîðîé îêðåñòíîñòè S(x0) òî÷êèx0 ∈ R, íàçûâàåòñÿ íåïðåðûâíîé â ýòîé òî÷êå (èëè ÷òî òî æå, ïðè x = x0), åñëè

limx→x0

f(x) = f(x0). (1.1)

Ïîä÷åðêíåì, ÷òî åñëè ôóíêöèÿ f íåïðåðûâíà â íåêîòîðîé òî÷êå, òî ñîãëàñíî äàí-íîìó îïðåäåëåíèþ îíà îïðåäåëåíà â íåêîòîðîé îêðåñòíîñòè ýòîé òî÷êè (îáû÷íîé,à íå ïðîêîëîòîé, êàê ýòî áûëî â ñëó÷àå îïðåäåëåíèÿ ïðåäåëà ôóíêöèè). Ñîãëàñíîîïðåäåëåíèþ ïðåäåëà ôóíêöèè â òåðìèíàõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé îïðåäåëåíèå íåïðå-ðûâíîñòè ôóíêöèè â òî÷êå x0 ðàâíîñèëüíî òîìó, ÷òî äëÿ ëþáîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòèxn ∈ S(x0), n = 1, 2, . . . , òàêîé, ÷òî

limn→∞

xn = x0,

ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {f(xn)} ñõîäèòñÿ è

limn→∞

f(xn) = f(x0).

Ñîãëàñíî æå îïðåäåëåíèþ ïðåäåëà ôóíêöèè â òî÷êå íà ÿçûêå ε è δ óñëîâèå (1.1)ðàâíîñèëüíî óñëîâèþ: äëÿ ëþáîãî ε > 0 ñóùåñòâóåò òàêîå δ = δ(ε) > 0, ÷òî äëÿ âñåõx, óäîâëåòâîðÿþùèõ óñëîâèþ |x− x0| < δ, âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî

|f(x)− f(x0)| < ε.

Îïðåäåëåíèå íåïðåðûâíîñòè ôóíêöèè â òî÷êå ìîæíî äàòü íà ÿçûêå îêðåñòíîñòåé.Ôóíêöèÿ f íåïðåðûâíà â òî÷êå x0, åñëè äëÿ ëþáîãî ε > 0 íàéäåòñÿ òàêîå δ > 0,÷òî äëÿ âñåõ x ∈ S(x0, δ) èìååì f(x) ∈ S(f(x0), ε). Èíà÷å ãîâîðÿ, åñëè äëÿ ëþáîéîêðåñòíîñòè S(y0) òî÷êè y0 = f(x0) ñóùåñòâóåò òàêàÿ îêðåñòíîñòü S(x0) òî÷êè x0,÷òî âûïîëíÿåòñÿ âêëþ÷åíèå f(S(x0)) ⊂ S(y0).

Íàêîíåö, ïåðåíåñÿ f(x0) â ðàâåíñòâå (1.1) â ëåâóþ ÷àñòü, âíîñÿ f(x0) ïîä çíàêïðåäåëà è çàìå÷àÿ, ÷òî îáîçíà÷åíèå x → x0 ïðè ïðåäåëå ôóíêöèè ðàâíîñèëüíî îáî-çíà÷åíèþ x− x0 → 0, ïîëó÷àåì

limx−x0→0

[f(x)− f(x0)] = 0. (1.2)

Ðàçíîñòü x−x0 íàçûâàåòñÿ ïðèðàùåíèåì àðãóìåíòà è îáîçíà÷àåòñÿ ∆x, à ðàçíîñòüf(x) − f(x0) � ïðèðàùåíèåì ôóíêöèè, ñîîòâåòñòâóþùèì äàííîìó ïðèðàùåíèþ àð-ãóìåíòà ∆x, è îáîçíà÷àåòñÿ ∆y. Òàêèì îáðàçîì,

∆x = x− x0, ∆y = f(x0 + ∆x)− f(x0).

56

 ýòèõ îáîçíà÷åíèÿõ ðàâåíñòâî (1.2) ïåðåïèøåòñÿ â âèäå

lim∆x→0

∆y = 0, (1.3)

ò. å., ãîâîðÿ îïèñàòåëüíî, íåïðåðûâíîñòü ôóíêöèè â òî÷êå îçíà÷àåò, ÷òî áåñêîíå÷íîìàëîìó ïðèðàùåíèþ àðãóìåíòà ñîîòâåòñòâóåò áåñêîíå÷íî ìàëîå ïðèðàùåíèå ôóíê-öèè.

Îïðåäåëåíèå 1.2. Ïóñòü òåïåðü ôóíêöèÿ f îïðåäåëåíà íà èíòåðâàëå (a, b), êðîìå,áûòü ìîæåò, òî÷êè x0 ∈ (a, b). Òî÷êà x0 íàçûâàåòñÿ òî÷êîé ðàçðûâà ôóíêöèè f, åñëèôóíêöèÿ f íå îïðåäåëåíà â òî÷êå x0, èëè åñëè îíà îïðåäåëåíà â ýòîé òî÷êå, íî íåÿâëÿåòñÿ â íåé íåïðåðûâíîé.

Îïðåäåëåíèå 1.3. Åñëè x0 � òî÷êà ðàçðûâà ôóíêöèè f è ñóùåñòâóþò êîíå÷íûåïðåäåëû

f(x0 − 0) = limx→x0−0

f(x) è f(x0 + 0) = limx→x0+0

f(x),

òî òî÷êà x0 íàçûâàåòñÿ òî÷êîé ðàçðûâà ïåðâîãî ðîäà. Âåëè÷èíà f(x0 + 0)− f(x0− 0)íàçûâàåòñÿ ñêà÷êîì ôóíêöèè f â òî÷êå x0. Åñëè f(x0−0) = f(x0+0), òî x0 íàçûâàåòñÿòî÷êîé óñòðàíèìîãî ðàçðûâà.

Òî÷êà ðàçðûâà ôóíêöèè f, íå ÿâëÿþùàÿñÿ òî÷êîé ðàçðûâà ïåðâîãî ðîäà, íàçû-âàåòñÿ òî÷êîé ðàçðûâà âòîðîãî ðîäà.

Îïðåäåëåíèå 1.4. Ïóñòü ôóíêöèÿ f îïðåäåëåíà íà ëåâîñòîðîííåé îêðåñòíîñòè òî÷-êè x0, ò. å. íà ïîëóèíòåðâàëå âèäà (a, x0]. Ôóíêöèÿ f íàçûâàåòñÿ íåïðåðûâíîé ñëåâàâ òî÷êå x0, åñëè lim

x→x0−0f(x) = f(x0). Ïóñòü ôóíêöèÿ f îïðåäåëåíà íà ïðàâîñòîðîííåé

îêðåñòíîñòè òî÷êè x0. Ôóíêöèÿ f íàçûâàåòñÿ íåïðåðûâíîé ñïðàâà â òî÷êå x0, åñëèlim

x→x0+0f(x) = f(x0).

2

Òåîðåìà 1.1. Åñëè ôóíêöèè f è g íåïðåðûâíû â òî÷êå x0, òî ôóíêöèè cf (c �

ïîñòîÿííàÿ), f + g, fg, à åñëè, êðîìå òîãî, g(x0) 6= 0, òî è ôóíêöèÿf

gòàêæå

íåïðåðûâíû â òî÷êå x0.

I Ýòà òåîðåìà âûòåêàåò íåïîñðåäñòâåííî èç îïðåäåëåíèÿ íåïðåðûâíîñòè è ñâîéñòâïðåäåëà ôóíêöèè. Äîêàæåì, íàïðèìåð, íåïðåðûâíîñòü fg. Èìååì

limx→x0

f(x)g(x) = limx→x0

f(x) limx→x0

g(x) = f(x0)g(x0), (1.4)

èáî ïðåäåëû limx→x0

f(x) è limx→x0

g(x) ñóùåñòâóþò è, â ñèëó íåïðåðûâíîñòè f è g â òî÷-

êå x0, ñîîòâåòñòâåííî ðàâíû f(x0) è g(x0). Âûïîëíåíèå ðàâåíñòâà (1.4) è îçíà÷àåòíåïðåðûâíîñòü ôóíêöèè fg â òî÷êå x0. J

Òåîðåìà 1.2. Ïóñòü ôóíêöèÿ y = ϕ(x) îïðåäåëåíà â íåêîòîðîé îêðåñòíîñòè A(x0)òî÷êè x0, ôóíêöèÿ f(y) îïðåäåëåíà â íåêîòîðîé îêðåñòíîñòè B(y0) òî÷êè y0 =ϕ(x0), ïðè÷åì ϕ(A(x0)) ⊂ B(y0). Òîãäà åñëè ôóíêöèÿ y = ϕ(x) íåïðåðûâíà â òî÷êåx0, ôóíêöèÿ f(y) íåïðåðûâíà â òî÷êå y0, òî ñëîæíàÿ ôóíêöèÿ f(ϕ(x)) íåïðåðûâíàâ òî÷êå x0.

57

I Ïóñòü z0 = f(y0) è ôèêñèðîâàíà ïðîèçâîëüíûì îáðàçîì îêðåñòíîñòü U(z0)òî÷êè z0.  ñèëó íåïðåðûâíîñòè ôóíêöèè f â òî÷êå y0 ñóùåñòâóåò îêðåñòíîñòü V (y0)òàêàÿ, ÷òî åñëè y ∈ V (y0), òî f(y) ⊂ U(z0). Äëÿ îêðåñòíîñòè V (y0) â ñèëó íåïðå-ðûâíîñòè ôóíêöèè ϕ ñóùåñòâóåò òàêàÿ îêðåñòíîñòü W (x0), ÷òî åñëè x ∈ W (x0), òîϕ(x) ∈ V (y0), à çíà÷èò f(ϕ(x)) ∈ U(z0). Ýòî è îçíà÷àåò íåïðåðûâíîñòü ñëîæíîéôóíêöèè f ◦ ϕ â òî÷êå x0. J

�2. Îáðàòíûå ôóíêöèè. Íåïðåðûâíîñòü ýëåìåíòàðíûõ ôóíêöèé

1

Îïðåäåëåíèå 2.1. Ôóíêöèÿ f, îïðåäåëåííàÿ íà ìíîæåñòâå E, íàçûâàåòñÿ ñòðîãîâîçðàñòàþùåé (ñòðîãî óáûâàþùåé), åñëè äëÿ ëþáûõ äâóõ ÷èñåë x1 ∈ E, x2 ∈ Eòàêèõ, ÷òî x1 < x2, âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî f(x1) < f(x2) (ñîîòâåòñòâåííî f(x1) >f(x2)). Ôóíêöèÿ, ñòðîãî âîçðàñòàþùàÿ èëè ñòðîãî óáûâàþùàÿ, íàçûâàåòñÿ ñòðîãîìîíîòîííîé.

58

ËÅÊÖÈß 18

Òåîðåìà 2.1. Ïóñòü ôóíêöèÿ f ñòðîãî âîçðàñòàåò (óáûâàåò) íà ìíîæåñòâå X ⊂R è ïóñòü Y � ìíîæåñòâî åå çíà÷åíèé. Òîãäà îáðàòíàÿ ôóíêöèÿ f−1 ÿâëÿåòñÿîäíîçíà÷íîé ñòðîãî âîçðàñòàþùåé (óáûâàþùåé) ôóíêöèåé íà ìíîæåñòâå Y.

I Ïóñòü äëÿ îïðåäåëåííîñòè ôóíêöèÿ f ñòðîãî âîçðàñòàåò íà X. Äîêàæåì, ÷òîîáðàòíàÿ ôóíêöèÿ îäíîçíà÷íà. Äîïóñòèì ïðîòèâíîå. Òîãäà ñóùåñòâóåò òî÷êà y ∈ Yòàêàÿ, ÷òî ìíîæåñòâî f−1(y) ñîäåðæèò ïî êðàéíåé ìåðå äâå ðàçëè÷íûå òî÷êè x1 èx2, x1, x2 ∈ f−1(y), x1 6= x2 è, ñëåäîâàòåëüíî,

f(x1) = f(x2). (2.1)

Äëÿ äâóõ ÷èñåë x1 è x2, x1 6= x2 ñïðàâåäëèâî îäíî èç äâóõ íåðàâåíñòâ x1 < x2 èëèx2 < x1.  ïåðâîì ñëó÷àå â ñèëó ñòðîãîãî âîçðàñòàíèÿ f(x1) < f(x2), à âî âòîðîìf(x1) > f(x2), ò. å. ðàâåíñòâî (2.1) íå âûïîëíÿåòñÿ.

Òàêèì îáðàçîì, äëÿ êàæäîãî y ∈ Y ìíîæåñòâî f−1 ñîñòîèò â òî÷íîñòè èç îäíîéòî÷êè, ò. å. ôóíêöèÿ f−1 îäíîçíà÷íà. Äîêàæåì òåïåðü, ÷òî ôóíêöèÿ f−1 âîçðàñòàåòíà ìíîæåñòâå Y. Ïóñòü y1 < y2, y1 ∈ Y, y2 ∈ Y è ïóñòü x1 = f−1(y1), x2 = f−1(y2).Ñëåäîâàòåëüíî, y1 = f(x1), y2 = f(x2). Äëÿ ëþáûõ äâóõ ÷èñåë x1 è x2 ñïðàâåäëèâîîäíî èç òðåõ ñîîòíîøåíèé x1 > x2, x1 = x2, x1 < x2. Åñëè x1 > x2 èëè x1 = x2, òîñîîòâåòñòâåííî áûëî áû y1 > y2 (â ñèëó âîçðàñòàíèÿ ôóíêöèè f) èëè y1 = y2 (â ñèëóîäíîçíà÷íîñòè), ÷òî ïðîòèâîðå÷èëî áû íåðàâåíñòâó

y1 < y2. (2.2)

Òàêèì îáðàçîì, èç íåðàâåíñòâà (2.2) ñëåäóåò, ÷òî x1 < x2, à ýòî è îçíà÷àåò ñòðîãîåâîçðàñòàíèå ôóíêöèè f−1 íà ìíîæåñòâå Y. J

2

Îïðåäåëåíèå 2.2. Ôóíêöèÿ f, îïðåäåëåííàÿ íà ïðîìåæóòêå X ñ êîíöàìè a è b(a < b), íàçûâàåòñÿ íåïðåðûâíîé íà ýòîì ïðîìåæóòêå, åñëè îíà íåïðåðûâíà â êàæ-äîé åãî òî÷êå. Ïðè ýòîì, åñëè òî÷êà a ∈ X, òî ïîä íåïðåðûâíîñòüþ â íåé ïîíèìàþòíåïðåðûâíîñòü ñïðàâà, à åñëè b ∈ X, òî ïîä íåïðåðûâíîñòüþ â íåé ïîíèìàþò íåïðå-ðûâíîñòü ñëåâà.

Òåîðåìà 2.2. Åñëè çíà÷åíèÿ âîçðàñòàþùåé (óáûâàþùåé) íà ïðîìåæóòêå X ôóíê-öèè f ñîäåðæàòñÿ â ïðîìåæóòêå Y è ñïëîøü çàïîëíÿþò åãî (òàê ÷òî êàæäîåçíà÷åíèå y ∈ Y ïðèíèìàåòñÿ ôóíêöèåé õîòü ðàç), òî ýòà ôóíêöèÿ íåïðåðûâíàíà X.

I Ïóñòü â êàêîé-íèáóäü òî÷êå x0 ∈ X ôóíêöèÿ f èìååò ðàçðûâ, íàïðèìåð, ñëåâà.Ýòîò ðàçðûâ ìîæåò áûòü òîëüêî ïåðâîãî ðîäà è â ýòîì ñëó÷àå ñóùåñòâóåò lim

x→x0−0f(x),

è îí ìåíüøå çíà÷åíèÿ f(x0). Òàê êàê äëÿ x < x0 áóäåò f(x) 6 f(x0−0), à äëÿ x > x0,î÷åâèäíî, f(x) > f(x0), òî ôóíêöèÿ íå ìîæåò ïðèíèìàòü çíà÷åíèÿ y, ëåæàùèå ìåæäó÷èñëàìè f(x0− 0) è f(x0), ïðèíàäëåæàùèìè Y. Ýòî ïðîòèâîðå÷èò óñëîâèþ òåîðåìû.Ñëåäîâàòåëüíî, f ðàçðûâîâ íå èìååò. J

59

3

Óñòàíîâèì, ÷òî îñíîâíûå ýëåìåíòàðíûå ôóíêöèè íåïðåðûâíû â îáëàñòè ñâîåãîçàäàíèÿ.

1. Ôóíêöèÿ f(x) = x î÷åâèäíî íåïðåðûâíà íà R. Òàêæå î÷åâèäíî, ÷òî è ôóíêöèÿf(x) ≡ const òàêæå íåïðåðûâíà íà R. Îòñþäà ñëåäóåò íåïðåðûâíîñòü ôóíêöèéâèäà

f(x) = a0xn + a1x

n−1 + . . .+ an,

òàê êàê àðèôìåòè÷åñêèå îïåðàöèè íå âûâîäÿò èç êëàññà íåïðåðûâíûõ ôóíêöèé.

×àñòíîå äâóõ ïîëèíîìîâ

f(x) =a0x

n + . . .+ anb0xm + . . .+ bm

(m∑k=0

b2k 6= 0

)òàêæå íåïðåðûâíî ïðè âñåõ x ∈ R, çà èñêëþ÷åíèåì òåõ òî÷åê, ïðè êîòîðûõçíàìåíàòåëü îáðàùàåòñÿ â íóëü.

2. Òðèãîíîìåòðè÷åñêèå ôóíêöèè. Ïîêàæåì íåïðåðûâíîñòü ôóíêöèè y = sinx ïðèëþáîì x = x0, ò. å. ÷òî ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî

limx→x0

sinx = sinx0. (2.3)

Èìååì

| sinx− sinx0| = 2

∣∣∣∣sin x− x0

2cos

x+ x0

2

∣∣∣∣ 6 2

∣∣∣∣sin x− x0

2

∣∣∣∣ 6 2

∣∣∣∣x− x0

2

∣∣∣∣ = |x− x0|.

Òàêèì îáðàçîì,| sinx− sinx0| 6 |x− x0|

äëÿ ëþáûõ x, x0 ∈ R. Çàäàäèì ε > 0 è ïîëîæèì δ = ε. Ïðè |x − x0| < δ áóäåò| sinx− sinx0| < ε, ÷òî è äîêàçûâàåò (2.3).

Íåïðåðûâíîñòü ôóíêöèè y = cosx äëÿ x ∈ R äîêàçûâàåòñÿ àíàëîãè÷íî.

Ôóíêöèè

tg x =sinx

cosxè ctg x =

cosx

sinxíåïðåðûâíû, êàê ÷àñòíûå íåïðåðûâíûõ ôóíêöèé. Èñêëþ÷åíèÿ äëÿ ôóíêöèètg x ïðåäñòàâëÿþò òî÷êè x = π

2(2k + 1), îáðàùàþùèå cosx â 0, äëÿ ctg x òî÷êè

x = πk, îáðàùàþùèå sinx â 0.

3. Ïîêàçàòåëüíàÿ ôóíêöèÿ y = ax (a > 0, a 6= 1) ñòðîãî âîçðàñòàåò (ïðè a > 1) èñòðîãî óáûâàåò (ïðè 0 < a < 1) íà R. Åå çíà÷åíèÿ ïîëîæèòåëüíû è çàïîëíÿþòñïëîøü âåñü ïðîìåæóòîê Y = (0,+∞), ÷òî âèäíî èç ñóùåñòâîâàíèÿ ëîãàðèôìàx = loga y ïðè ëþáîì y > 0. Ñëåäîâàòåëüíî, â ñèëó òåîðåìû 2.2 ôóíêöèÿ y = ax

íåïðåðûâíà íà R.

4. Ëîãàðèôìè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ. Ôóíêöèÿ y = loga x (a > 0, a 6= 1) íåïðåðûâíà íà(0,+∞). Äåéñòâèòåëüíî, îãðàíè÷èâàÿñü ñëó÷àåì a > 1, âèäèì, ÷òî îíà âîçðàñ-òàåò ïðè èçìåíåíèè x íà ïðîìåæóòêå (0,+∞). Îíà ïðèíèìàåò ëþáûå çíà÷åíèÿy èç èíòåðâàëà (−∞,+∞), èìåííî äëÿ x = ay. Îòñþäà â ñèëó òåîðåìû 2.2âûòåêàåò åå íåïðåðûâíîñòü íà (0,+∞).

60

5. Ñòåïåííàÿ ôóíêöèÿ: y = xγ (γ ∈ R). Ïðè âîçðàñòàíèè x îò 0 äî +∞ ôóíêöèÿxγ âîçðàñòàåò, åñëè γ > 0 è óáûâàåò, åñëè γ < 0. Ïðè ýòîì îíà ïðèíèìàåò ëþáîå

ïîëîæèòåëüíîå çíà÷åíèå y (äëÿ x = y1γ ). Ñëåäîâàòåëüíî, îíà íåïðåðûâíà íà

èíòåðâàëå (0,∞).

6. Îáðàòíûå òðèãîíîìåòðè÷åñêèå ôóíêöèè. Ôóíêöèè y = arcsinx, y = arccosxíåïðåðûâíû íà îòðåçêå [−1, 1], à ôóíêöèè y = arctg x, y = arcctg x íåïðåðûâíûíà èíòåðâàëå (−∞,+∞).

Äîêàçàòåëüñòâî ýòèõ óòâåðæäåíèé ïðåäîñòàâëÿåòñÿ ÷èòàòåëþ.

�3. Ôóíêöèè íåïðåðûâíûå íà îòðåçêå

1

Òåîðåìà î ïðîìåæóòî÷íûõ çíà÷åíèÿõ íåïðåðûâíîé ôóíêöèè.

Òåîðåìà 3.1 (Áîëüöàíî�Êîøè). Ïóñòü ôóíêöèÿ f íåïðåðûâíà íà îòðåçêå [a, b],ïðè÷åì f(a) 6= f(b). Òîãäà äëÿ ëþáîãî ÷èñëà C, çàêëþ÷åííîãî ìåæäó f(a) è f(b),íàéäåòñÿ òî÷êà γ ∈ (a, b) òàêàÿ, ÷òî f(γ) = C.

I Ïóñòü, íàïðèìåð, f(a) = A < B = f(b) è A < C < B. Ðàññìîòðèì ôóíêöèþg(x) = f(x)−C, êîòîðàÿ, î÷åâèäíî, íåïðåðûâíà íà [a, b]. Êðîìå òîãî, g(a) < 0, g(b) >0. Äëÿ äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû äîñòàòî÷íî ïîêàçàòü, ÷òî ñóùåñòâóåò òàêàÿ òî÷êàγ ∈ (a, b), ÷òî g(γ) = 0. Ðàçäåëèì îòðåçîê [a, b] òî÷êîé x0 íà äâà ðàâíûõ ïî äëèíåîòðåçêà, òîãäà ëèáî g(x0) = 0 è çíà÷èò èñêîìàÿ òî÷êà γ = x0 íàéäåíà, ëèáî g(x0) 6= 0è òîãäà íà êîíöàõ îäíîãî èç ïîëó÷åííûõ îòðåçêîâ ôóíêöèÿ g ïðèíèìàåò çíà÷åíèÿðàçíûõ çíàêîâ, òî÷íåå íà ëåâîì êîíöå çíà÷åíèå ìåíüøåå íóëÿ, íà ïðàâîì áîëüøåå.

Îáîçíà÷èì ýòîò îòðåçîê [a1, b1] è ðàçäåëèì åãî ñíîâà íà äâà ðàâíûõ îòðåçêà è ò. ä. ðåçóëüòàòå ëèáî ÷åðåç êîíå÷íîå ÷èñëî øàãîâ ïðèäåì ê èñêîìîé òî÷êå γ, â êîòîðîég(γ) = 0, ëèáî ïîëó÷èì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü âëîæåííûõ îòðåçêîâ [an, bn] ïî äëèíåñòðåìÿùèõñÿ ê íóëþ è òàêèõ, ÷òî

g(an) < 0 < g(bn). (3.1)

Ïóñòü γ � îáùàÿ òî÷êà âñåõ îòðåçêîâ [an, bn], n = 1, 2, . . . . Òîãäà γ = limn→∞

an = limn→∞

bn.

Ïîýòîìó â ñèëó íåïðåðûâíîñòè ôóíêöèè g

g(γ) = limn→∞

g(an) = limn→∞

g(bn). (3.2)

Èç (3.1) íàõîäèì, ÷òîlimn→∞

g(an) 6 0 6 limn→∞

g(bn). (3.3)

Èç (3.2) è (3.3) ñëåäóåò, ÷òî g(γ) = 0. J

Ñëåäñòâèå 3.1. Åñëè ôóíêöèÿ íåïðåðûâíà íà îòðåçêå è íà åãî êîíöàõ ïðèíèìàåòçíà÷åíèÿ ðàçíûõ çíàêîâ, òî íà ýòîì îòðåçêå åñòü õîòÿ áû îäíà òî÷êà, â êîòîðîéôóíêöèÿ îáðàùàåòñÿ â íóëü.

Áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî ôóíêöèÿ f, îïðåäåëåííàÿ íà ìíîæåñòâå E, äîñòèãàåò íà íåìñâîåé âåðõíåé (íèæíåé) ãðàíè β = sup

Ef (α = inf

Ef), åñëè ñóùåñòâóåò òàêàÿ òî÷êà

x0 ∈ E, ÷òî f(x0) = β (f(x0) = α).

61

ËÅÊÖÈß 19

2

Òåîðåìà 3.2 (ïåðâàÿ òåîðåìà Âåéåðøòðàññà). Åñëè f íåïðåðûâíà íà [a, b], òî îíàîãðàíè÷åíà íà íåì, ò. å. ñóùåñòâóþò òàêèå ïîñòîÿííûå m èM, ÷òî m 6 f(x) 6Mïðè âñåõ x ∈ [a, b].

I Äîïóñòèì, ÷òî f íåîãðàíè÷åíà íà [a, b]. Òîãäà äëÿ n ∈ N íàéäåòñÿ íà [a, b]òàêàÿ òî÷êà xn, ÷òî

|f(xn)| > n. (3.4)

Ïî òåîðåìå Áîëüöàíî�Âåéåðøòðàññà èç ïîñëåäîâàòåëüíîñòè {xn} ìîæíî âûäåëèòüïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòü {xnk}, èìåþùóþ êîíå÷íûé ïðåäåë lim

k→∞xnk = x0, ïðè÷åì î÷å-

âèäíî a 6 x0 6 b. Â ñèëó íåïðåðûâíîñòè ôóíêöèè f èìååì limk→∞

f(xnk) = f(x0), à ýòî

íåâîçìîæíî, òàê êàê èç (3.4) ñëåäóåò, ÷òî f(xnk) −→k→∞∞. Ïîëó÷åííîå ïðîòèâîðå÷èå

äîêàçûâàåò òåîðåìó. J

Òåîðåìà 3.3 (âòîðàÿ òåîðåìà Âåéåðøòðàññà). Åñëè f íåïðåðûâíà íà [a, b], òî îíàäîñòèãàåò íà íåì ñâîåé âåðõíåé è íèæíåé ãðàíè, èíûìè ñëîâàìè, íà [a, b] íàéäóòñÿòî÷êè x = x0 è x = x1, ÷òî f(x0) è f(x1) áóäóò ñîîòâåòñòâåííî íàèáîëüøèì èíàèìåíüøèì çíà÷åíèÿìè ôóíêöèè f íà [a, b].

I ÏóñòüM = sup[a,b]

f.  ñèëó ïðåäûäóùåé òåîðåìûM � êîíå÷íîå ÷èñëî. Äîïóñòèì,

÷òî f(x) < M ïðè âñåõ x ∈ [a, b], ò. å. âåðõíÿÿ ãðàíü íå äîñòèãàåòñÿ. Òîãäà ðàññìîòðèìâñïîìîãàòåëüíóþ ôóíêöèþ

ϕ(x) =1

M − f(x).

Òàê êàê çíàìåíàòåëü â íîëü íå îáðàùàåòñÿ, òî ϕ áóäåò íåïðåðûâíà íà [a, b], à çíà÷èò,ïî ïðåäûäóùåé òåîðåìå, îãðàíè÷åíà: ϕ(x) 6 γ, ãäå γ ∈ R, γ > 0. Íî îòñþäà íàõîäèì,÷òî

1

M − f(x)6 γ, M − f(x) >

1

γ, f(x) 6M − 1

γ.

äëÿ âñåõ x ∈ [a, b], ò. å. ÷èñëî M − 1γîêàçûâàåòñÿ âåðõíåé ãðàíèöåé äëÿ f ÷åãî áûòü

íå ìîæåò, òàê êàê M åñòü íàèìåíüøàÿ èç âåðõíèõ ãðàíèö. Ïîëó÷åííîå ïðîòèâîðå÷èåäîêàçûâàåò, ÷òî íà [a, b] íàõîäèòñÿ òàêîå x0, ÷òî f(x0) = M. Àíàëîãè÷íî äîêàçûâàåòñÿóòâåðæäåíèå è îòíîñèòåëüíî íàèìåíüøåãî çíà÷åíèÿ. J

3

Ïîíÿòèå ðàâíîìåðíîé íåïðåðûâíîñòè. Åñëè ôóíêöèÿ f îïðåäåëåíà íà íåêî-òîðîì ïðîìåæóòêå X è íåïðåðûâíà â òî÷êå x0 ýòîãî ïðîìåæóòêà, òî

limx→x0

f(x) = f(x0)

èëè (¾íà ÿçûêå ε�δ¿) äëÿ êàæäîãî ε > 0 íàéäåòñÿ òàêîå δ > 0, ÷òî íåðàâåíñòâî|x− x0| < δ âëå÷åò çà ñîáîé |f(x)− f(x0)| < ε. Ïðåäïîëîæèì òåïåðü, ÷òî ôóíêöèÿ fíåïðåðûâíà íà ïðîìåæóòêå X, ò. å. íåïðåðûâíà â êàæäîé òî÷êå x0 ∈ X. Òîãäà äëÿ

62

êàæäîé òî÷êè x0 ∈ X â îòäåëüíîñòè ïî çàäàííîìó ε > 0 íàéäåòñÿ δ > 0, ñîîòâåò-ñòâóþùåå åìó â óêàçàííîì âûøå ñìûñëå. Ïðè èçìåíåíèè x0 â ïðåäåëàõ X, äàæå åñëè÷èñëî ε íåèçìåííî, ÷èñëî δ, âîîáùå ãîâîðÿ, áóäåò ìåíÿòüñÿ.

Èíûìè ñëîâàìè, ÷èñëî δ çàâèñèò íå òîëüêî îò ε, íî è îò x0.Åñëè ðå÷ü èäåò î êîíå÷íîì ÷èñëå çíà÷åíèé x0 (ïðè íåèçìåííîì ε), òî èç êîíå÷íîãî

÷èñëà ñîîòâåòñòâóþùèõ èì δ ìîæíî áûëî áû âûáðàòü íàèìåíüøåå, è ýòî íàèìåíüøååãîäèëîñü áû, î÷åâèäíî, è äëÿ âñåõ ðàññìàòðèâàåìûõ òî÷åê x0 îäíîâðåìåííî.

Íî ïî îòíîøåíèþ ê áåñêîíå÷íîìó ìíîæåñòâó çíà÷åíèé x0, ñîäåðæàùèõñÿ â ïðî-ìåæóòêå X, òàê óæå ðàññóæäàòü íåëüçÿ: èì ñîîòâåòñòâóåò áåñêîíå÷íîå ìíîæåñòâî÷èñåë δ, ñðåäè êîòîðûõ ìîãóò íàéòèñü è ñêîëü óãîäíî ìàëûå. Òàêèì îáðàçîì, ïî îò-íîøåíèþ ê ôóíêöèè f íåïðåðûâíîé íà X âñòàåò âîïðîñ: ñóùåñòâóåò ëè ïðè çàäàííîìε òàêîå δ, êîòîðîå ãîäèëîñü áû äëÿ âñåõ òî÷åê x0 èç ýòîãî ïðîìåæóòêà.

Îïðåäåëåíèå 3.1. Ôóíêöèÿ f íàçûâàåòñÿ ðàâíîìåðíî íåïðåðûâíîé íà ïðîìåæóòêåX, åñëè äëÿ ëþáîãî ε > 0 íàéäåòñÿ òàêîå δ = δ(ε) > 0, ÷òî äëÿ ëþáûõ äâóõ òî÷åêx è x0 èç X, óäîâëåòâîðÿþùèõ óñëîâèþ |x − x0| < δ(ε), âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî|f(x)− f(x0)| < ε.

Î÷åâèäíî, ÷òî ôóíêöèÿ f ðàâíîìåðíî íåïðåðûâíàÿ íà ïðîìåæóòêåX áóäåò íåïðå-ðûâíîé íà ýòîì ìíîæåñòâå.

Ïîêàæåì, ÷òî íåïðåðûâíîñòü ôóíêöèè âî âñåõ òî÷êàõ ïðîìåæóòêà åùå íå âëå÷åòåå ðàâíîìåðíîé íåïðåðûâíîñòè íà ýòîì ïðîìåæóòêå.

Ðàññìîòðèì, íàïðèìåð, ôóíêöèþ

f(x) = sin1

x

íà (0, 2π], êîòîðàÿ íåïðåðûâíà íà ýòîì ïðîìåæóòêå. Ïîëîæèì

x0 =2

(2n+ 1)π, x =

1

nπ, ãäå n ∈ N.

Òîãäà

f(x0) = sin(2n+ 1)π

2= ±1, f(x) = sinnπ = 0,

òàê ÷òî|f(x)− f(x0)| = 1,

íåñìîòðÿ íà òî, ÷òî

|x− x0| =1

n(2n+ 1)π

ñ âîçðàñòàíèåì n ìîæåò áûòü ñäåëàí ñêîëü óãîäíî ìàëûì. Çäåñü äëÿ ε = 1 íåëüçÿíàéòè δ > 0, êîòîðîå ãîäèëîñü áû îäíîâðåìåííî äëÿ âñåõ òî÷åê x0 ∈ (0, 2

π], õîòÿ äëÿ

êàæäîãî îòäåëüíîãî çíà÷åíèÿ x0 ââèäó íåïðåðûâíîñòè ôóíêöèè, òàêîå δ ñóùåñòâóåò.Âåñüìà ïðèìå÷àòåëüíî, ÷òî äëÿ îòðåçêà àíàëîãè÷íîãî ïîëîæåíèÿ âåùåé áûòü óæå

íå ìîæåò.

Òåîðåìà 3.4 (Êàíòîð). Íåïðåðûâíàÿ íà îòðåçêå [a, b] ôóíêöèÿ f ðàâíîìåðíî íåïðå-ðûâíà íà ýòîì îòðåçêå.

63

I Ïðåäïîëîæèì ïðîòèâíîå, ò. å. ÷òî ôóíêöèÿ f íå ÿâëÿåòñÿ ðàâíîìåðíî íåïðå-ðûâíîé íà [a, b]. Ýòî çíà÷èò, ÷òî äëÿ íåêîòîðîãî ôèêñèðîâàííîãî ε > 0 è ëþáîãîδ > 0 íàéäóòñÿ òàêèå òî÷êè x è x′ ∈ [a, b], |x− x′| < δ, ÷òî |f(x)− f(x′)| > ε. Âûáðàâïîñëåäîâàòåëüíîñòü ïîëîæèòåëüíûõ ÷èñåë {δn}, ñõîäÿùóþñÿ ê íóëþ, ïîñòðîèì äâåïîñëåäîâàòåëüíîñòè {xn} è {x′n} òî÷åê îòðåçêà [a, b] òàêèå, ÷òî

|xn − x′n| < δn, (3.5)

íî|f(xn)− f(x′n)| > ε. (3.6)

Èç îãðàíè÷åííîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè {xn} â ñèëó òåîðåìû Áîëüöàíî�Âåéåðøòðàññàìîæíî âûáðàòü ñõîäÿùóþñÿ ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòü {xnk}. Ïóñòü xnk → x0. ßñíî, ÷òîx0 ∈ [a, b] (òàê êàê a 6 xnk 6 b ïðè âñåõ k = 1, 2, . . .). Èç íåðàâåíñòâà (3.5) ñëåäóåò,÷òî

xnk − δnk < x′nk < xnk + δnk .

Ïåðåõîäÿ â ïîñëåäíèõ íåðàâåíñòâàõ ê ïðåäåëó ïðè k →∞, ïîëó÷èì x′nk → x0.Èòàê, ïîñëåäîâàòåëüíîñòè {xnk} è {x′nk} ñõîäÿòñÿ ê îäíîìó è òîìó æå ïðåäåëó

x0 ∈ [a, b].  ñèëó íåïðåðûâíîñòè ôóíêöèè f â òî÷êå x0 ïîñëåäîâàòåëüíîñòè {f(xnk)}è {f(x′nk)} òàêæå äîëæíû ñõîäèòüñÿ ê îäíîìó è òîìó æå ïðåäåëó f(x0). Îäíàêî,ýòî íåâîçìîæíî, òàê êàê èç íåðàâåíñòâà (3.6) ñëåäóåò, ÷òî |f(xnk) − f(x′nk)| > ε.Ïîëó÷åííîå ïðîòèâîðå÷èå äîêàçûâàåò òåîðåìó. J

4

Òåîðåìà 3.5. Ïóñòü ôóíêöèÿ f îïðåäåëåíà, ñòðîãî âîçðàñòàåò (óáûâàåò) è íåïðå-ðûâíà íà [a, b]. Òîãäà îáðàòíàÿ ôóíêöèÿ f−1 îïðåäåëåíà, îäíîçíà÷íà, ñòðîãî âîçðàñ-òàåò (óáûâàåò) è íåïðåðûâíà íà [f(a), f(b)] ([f(b), f(a)]).

I Äîêàçàòåëüñòâî ïðîâåäåì äëÿ ñòðîãî âîçðàñòàþùåé ôóíêöèè. Ïóñòü c = f(a),d = f(b). Ïîêàæåì, ÷òî îáëàñòüþ îïðåäåëåíèÿ îáðàòíîé ôóíêöèè ÿâëÿåòñÿ îòðå-çîê [c, d] è, ÷òî òî æå, îòðåçîê [c, d] ÿâëÿåòñÿ ìíîæåñòâîì çíà÷åíèé ôóíêöèè f. Èçâîçðàñòàíèÿ ôóíêöèè f ñëåäóåò, ÷òî f(a) 6 f(x) 6 f(b) äëÿ ëþáîãî x ∈ [a, b], ò. å.f(x) ∈ [c, d], äëÿ ëþáîãî x ∈ [a, b]. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, êàêîâî áû íè áûëî y ∈ [c, d], ò. å.f(a) 6 y 6 f(b), ñîãëàñíî òåîðåìå Áîëüöàíî�Êîøè ñóùåñòâóåò òî÷êà x ∈ [a, b] òàêàÿ,÷òî f(x) = y. Òàêèì îáðàçîì, âñå çíà÷åíèÿ çàäàííîé ôóíêöèè f ëåæàò íà [c, d] è êàæ-äàÿ òî÷êà ýòîãî îòðåçêà ÿâëÿåòñÿ çíà÷åíèåì ôóíêöèè f â íåêîòîðîé òî÷êå îòðåçêà[a, b]. Ýòî è çíà÷èò, ÷òî [c, d] ÿâëÿåòñÿ ìíîæåñòâîì çíà÷åíèé f(x).  ñèëó òåîðåìû 2.1ôóíêöèÿ f−1 îäíîçíà÷íà è ñòðîãî âîçðàñòàåò íà [c, d], ìíîæåñòâîì çíà÷åíèé ôóíê-öèè f−1 ÿâëÿåòñÿ îòðåçîê [a, b]. Îòñþäà â ñèëó òåîðåìû 2.2 ñëåäóåò íåïðåðûâíîñòüôóíêöèè f−1. J

Àíàëîãè÷íî òåîðåìå 3.5 äîêàçûâàåòñÿ ñëåäóþùàÿ òåîðåìà.

Òåîðåìà 3.6. Ïóñòü ôóíêöèÿ f îïðåäåëåíà, ñòðîãî âîçðàñòàåò (óáûâàåò) è íåïðå-ðûâíà íà èíòåðâàëå (a, b) (êîíå÷íîì èëè áåñêîíå÷íîì) è ïóñòü

c = limx→a+0

f(x), d = limx→b−0

f(x).

Òîãäà îáðàòíàÿ ôóíêöèÿ f−1 îïðåäåëåíà, îäíîçíà÷íà, ñòðîãî âîçðàñòàåò (óáûâàåò)è íåïðåðûâíà íà èíòåðâàëå (êîíå÷íîì èëè áåñêîíå÷íîì) ñ êîíöàìè c è d.

64

ËÅÊÖÈß 20

ÃËÀÂÀ 5. ÏÐÎÈÇÂÎÄÍÀß È ÄÈÔÔÅÐÅÍÖÈÀË

�1. Îïðåäåëåíèå ïðîèçâîäíîé è äèôôåðåíöèàëà

1

Îïðåäåëåíèå 1.1. Ïóñòü ôóíêöèÿ y = f(x) çàäàíà â îêðåñòíîñòè S(x0) òî÷êè x0 ∈R. Åñëè ñóùåñòâóåò

limx→x0

f(x)− f(x0)

x− x0

,

òî îí íàçûâàåòñÿ ïðîèçâîäíîé ôóíêöèè f â òî÷êå x0 è îáîçíà÷àåòñÿ f′(x0) èëè y′(x0).

Òàêèì îáðàçîì,

f ′(x0) := limx→x0

f(x)− f(x0)

x− x0

. (1.1)

Åñëè ïîëîæèòü ∆x = x−x0, ∆y = f(x)−f(x0) è, îïóñòèâ îáîçíà÷åíèÿ àðãóìåíòà,îáîçíà÷èòü ïðîèçâîäíóþ y′, òî ïîëó÷èì îïðåäåëåíèå 1.1 â âèäå

y′ = lim∆x→0

∆y

∆x.

Åñëè äëÿ íåêîòîðîãî çíà÷åíèÿ x0 ñóùåñòâóþò ïðåäåëû

lim∆x→0

∆y

∆x= +∞ èëè lim

∆x→0

∆y

∆x= −∞,

òî ãîâîðÿò, ÷òî ïðè x = x0 ñóùåñòâóåò áåñêîíå÷íàÿ ïðîèçâîäíàÿ ðàâíàÿ +∞ èëè−∞. Ïîä÷åðêíåì, ÷òî ïîä áåñêîíå÷íîé ïðîèçâîäíîé ïîíèìàåòñÿ òîëüêî áåñêîíå÷-íîñòü îïðåäåëåííîãî çíàêà.

 äàëüíåéøåì ïîä âûðàæåíèåì ¾ôóíêöèÿ èìååò ïðîèçâîäíóþ¿ ìû âñåãäà áóäåìïîíèìàòü íàëè÷èå êîíå÷íîé ïðîèçâîäíîé, åñëè, êîíå÷íî, íå îãîâîðåíî ïðîòèâíîå.Îïåðàöèÿ âû÷èñëåíèÿ ïðîèçâîäíîé ôóíêöèè íàçûâàåòñÿ îïåðàöèåé äèôôåðåíöèðî-âàíèÿ.

Îïðåäåëåíèå 1.2. Åñëè f îïðåäåëåíà â íåêîòîðîé ïðàâîñòîðîííåé (ëåâîñòîðîííåé)îêðåñòíîñòè òî÷êè x0 è ñóùåñòâóåò êîíå÷íûé èëè áåñêîíå÷íûé (îïðåäåëåííîãî çíàêà)ïðåäåë

lim∆x→+0

f(x0 + ∆x)− f(x0)

∆x

(lim

∆x→−0

f(x0 + ∆x)− f(x0)

∆x

),

òî îí íàçûâàåòñÿ ñîîòâåòñòâåííî êîíå÷íîé èëè áåñêîíå÷íîé ïðàâîé (ëåâîé) ïðîèç-âîäíîé ôóíêöèè f â òî÷êå x0 è îáîçíà÷àåòñÿ f ′+(x0) (f ′−(x0)).

Ïðàâàÿ è ëåâàÿ ïðîèçâîäíûå íàçûâàþòñÿ îäíîñòîðîííèìè ïðîèçâîäíûìè.Èç òåîðåìû îá îäíîñòîðîííèõ ïðåäåëàõ ñëåäóåò, ÷òî ôóíêöèÿ f, îïðåäåëåííàÿ

â íåêîòîðîé îêðåñòíîñòè òî÷êè x0, èìååò ïðîèçâîäíóþ f ′(x0) òîãäà è òîëüêî òîãäà,êîãäà f ′−(x0) è f ′+(x0) ñóùåñòâóþò è f ′−(x0) = f ′+(x0).  ýòîì ñëó÷àå f ′(x0) = f ′−(x0) =f ′+(x0).

Åñëè ôóíêöèÿ f îïðåäåëåíà íà íåêîòîðîì ïðîìåæóòêå, òî â åãî êîíöå, êîòîðûéïðèíàäëåæèò ïðîìåæóòêó, ïîä ïðîèçâîäíîé, åñòåñòâåííî, ïîíèìàåòñÿ ñîîòâåòñòâóþ-ùàÿ îäíîñòîðîííÿÿ ïðîèçâîäíàÿ.

65

Îïðåäåëåíèå 1.3. Ôóíêöèÿ y = f(x), îïðåäåëåííàÿ â íåêîòîðîé îêðåñòíîñòè òî÷êèx0, íàçûâàåòñÿ äèôôåðåíöèðóåìîé ïðè x = x0, åñëè åå ïðèðàùåíèå â ýòîé òî÷êå

∆y = f(x0 + ∆x)− f(x0), ∆x = x− x0

ïðåäñòàâèìî â âèäå∆y = A∆x+ α(∆x), (1.2)

ãäå A � ïîñòîÿííàÿ è α(∆x) = o(∆x) ïðè ∆x→ 0.Ëèíåéíàÿ ôóíêöèÿ A∆x ïåðåìåííîé ∆x íàçûâàåòñÿ äèôôåðåíöèàëîì ôóíêöèè

f â òî÷êå x0 è îáîçíà÷àåòñÿ df(x0) èëè êîðî÷å dy.Òàêèì îáðàçîì,

∆y = dy + o(∆x) ïðè ∆x→ 0, (1.3)

dy = A∆x. (1.4)

Çàìåòèì, ÷òî äèôôåðåíöèàë dy = A∆x, êàê è âñÿêàÿ ëèíåéíàÿ ôóíêöèÿ, îïðå-äåëåí äëÿ ëþáîãî çíà÷åíèÿ ∆x ∈ (−∞; +∞), â òî âðåìÿ êàê ïðèðàùåíèå ∆y =f(x0 + ∆x)− f(x0) åñòåñòâåííî ìîæíî ðàññìàòðèâàòü òîëüêî äëÿ òàêèõ ∆x, äëÿ êî-òîðûõ x0 + ∆x ïðèíàäëåæèò îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèè f.

Åñëè A 6= 0, ò. å. åñëè dy 6≡ 0, òî äèôôåðåíöèðóåìîñòü ôóíêöèè â òî÷êå x0 îçíà÷à-åò, ÷òî ñ òî÷íîñòüþ äî áåñêîíå÷íî ìàëûõ áîëåå âûñîêîãî ïîðÿäêà, ÷åì ïðèðàùåíèåàðãóìåíòà ∆x, ïðèðàùåíèå ∆y ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíîé ôóíêöèåé îò ∆x.

Ìîæíî ñêàçàòü, ÷òî ãëàâíàÿ ÷àñòü ïðèðàùåíèÿ ôóíêöèè ∆y â òî÷êå x0 ÿâëÿåòñÿëèíåéíîé ôóíêöèåé îòíîñèòåëüíî ∆x, ïðè ýòîì ïðèðàùåíèå ∆y è äèôôåðåíöèàë dy� ýêâèâàëåíòíûå áåñêîíå÷íî ìàëûå ïðè ∆x→ 0.

Åñëè æå A = 0, ò. å. dy ≡ 0, òî ∆y = o(∆x) ïðè ∆x → 0. Òàêèì îáðàçîì, ïðèA = 0 ïðèðàùåíèå ∆y ÿâëÿåòñÿ áåñêîíå÷íî ìàëîé áîëåå âûñîêîãî ïîðÿäêà, ÷åì ∆x,êîãäà ∆x→ 0.

Äëÿ áîëüøåé ñèììåòðèè çàïèñè äèôôåðåíöèàëà ïðèðàùåíèå ∆x îáîçíà÷àþò dxè åãî íàçûâàþò äèôôåðåíöèàëîì íåçàâèñèìîãî ïåðåìåííîãî. Òàêèì îáðàçîì, äèô-ôåðåíöèàë ìîæíî çàïèñàòü â âèäå dy = Adx.

2

Òåîðåìà 1.1. Äëÿ òîãî ÷òîáû ôóíêöèÿ f áûëà äèôôåðåíöèðóåìà â íåêîòîðîé òî÷-êå x0 íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû îíà èìåëà â ýòîé òî÷êå ïðîèçâîäíóþ, ïðèýòîì

dy = f ′(x0)dx. (1.5)

I Ïóñòü f äèôôåðåíöèðóåìà â òî÷êå x0, ò. å. ∆y = A∆x + o(∆x) ïðè ∆x → 0.Òîãäà

lim∆x→0

∆y

∆x= A+ lim

∆x→0

o(∆x)

∆x= A.

Ïîýòîìó ïðîèçâîäíàÿ f ′(x0) ñóùåñòâóåò è ðàâíà A. Îòñþäà dy = f ′(x0)dx.Ñ äðóãîé ñòîðîíû, ïóñòü ñóùåñòâóåò ïðîèçâîäíàÿ f ′(x0), ò. å. ñóùåñòâóåò

lim∆x→0

∆y

∆x= f ′(x0).

Òîãäà∆y

∆x= f ′(x0) + ε(∆x),

66

ãäå lim∆x→0

ε(∆x) = 0, è äëÿ ∆x 6= 0

∆y = f ′(x0)∆x+ ε(∆x)∆x. (1.6)

Òàê êàê ε(∆x)∆x = o(∆x) ïðè ∆x → 0, âûïîëíåíèå ðàâåíñòâà (1.6) îçíà÷àåò äèô-ôåðåíöèðóåìîñòü ôóíêöèè f â òî÷êå x0. J

Èç ôîðìóëû (1.6) íàõîäèì

y′ =dy

dx.

Ïðàâàÿ ÷àñòü ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé äðîáü, ÷èñëèòåëü êîòîðîé � äèôôåðåíöèàëôóíêöèè, à çíàìåíàòåëü � äèôôåðåíöèàë àðãóìåíòà.

Òåîðåìà 1.2. Åñëè ôóíêöèÿ f äèôôåðåíöèðóåìà â íåêîòîðîé òî÷êå, òî îíà íåïðå-ðûâíà â ýòîé òî÷êå.

I Ïóñòü f äèôôåðåíöèðóåìà â òî÷êå x0, ò. å. â ýòîé òî÷êå

∆y = A∆x+ o(∆x) ïðè ∆x→ 0.

Òîãäàlim

∆x→0∆y = A lim

∆x→0∆x+ lim

∆x→0o(∆x) = 0,

÷òî è îçíà÷àåò íåïðåðûâíîñòü ôóíêöèè f â òî÷êå x0. JÇàìåòèì, ÷òî óòâåðæäåíèå, îáðàòíîå òåîðåìå 1.2, íåâåðíî, ò. å. èç íåïðåðûâíîñòè

f â äàííîé òî÷êå íå ñëåäóåò åå äèôôåðåíöèðóåìîñòü èëè, ÷òî òî æå, ñóùåñòâîâàíèåïðîèçâîäíîé â ýòîé òî÷êå. Íàïðèìåð, ôóíêöèÿ f(x) = |x|, î÷åâèäíî íåïðåðûâíà âòî÷êå x = 0, íî íå èìååò â ýòîé òî÷êå ïðîèçâîäíîé.

Åñëè ôóíêöèÿ f èìååò ïðîèçâîäíóþ â êàæäîé òî÷êå íåêîòîðîãî ïðîìåæóòêà(äèôôåðåíöèðóåìà â êàæäîé òî÷êå ýòîãî ïðîìåæóòêà), òî ãîâîðÿò, ÷òî ôóíêöèÿf èìååò ïðîèçâîäíóþ èëè ÷òî îíà äèôôåðåíöèðóåìà íà óêàçàííîì ïðîìåæóòêå.

67

ËÅÊÖÈß 21

�2. Ãåîìåòðè÷åñêèé è ìåõàíè÷åñêèé ñìûñë ïðîèçâîäíîé

1

Ãåîìåòðè÷åñêèé ñìûñë ïðîèçâîäíîé. Ïóñòü äàíà êðèâàÿ K è íà íåé òî÷êàM. Ââåäåì ïîíÿòèå êàñàòåëüíîé ê êðèâîé â òî÷êåM. Âîçüìåì íà K òî÷êóM1 íå ñîâ-ïàäàþùóþ ñ òî÷êîé M è ïðîâåäåì ñåêóùóþ MM1. Êîãäà òî÷êà M1 ïî êðèâîé áóäåòïåðåìåùàòüñÿ ýòà ñåêóùàÿ áóäåò âðàùàòüñÿ âîêðóã òî÷êè M. Êàñàòåëüíîé ê êðè-âîé K â òî÷êå M íàçûâàåòñÿ ïðåäåëüíîå ïîëîæåíèå MT ñåêóùåé MM1, êîãäà òî÷êàM1 âäîëü êðèâîé ñòðåìèòñÿ ê ñîâïàäåíèþ ñ M (cìûñë ýòîãî îïðåäåëåíèÿ ñîñòîèò âòîì, ÷òî óãîë M1MT ñòàíîâèòñÿ ñêîëü óãîäíî ìàëûì, ëèøü òîëüêî äîñòàòî÷íî ìàëàõîðäà MM1).

Ïóñòü êðèâàÿ K çàäàåòñÿ óðàâíåíèåì y = f(x). Íàéäåì óðàâíåíèå êàñàòåëüíîéê ýòîé êðèâîé â òî÷êå M(x, y). Òàê êàê êàñàòåëüíàÿ ïðîõîäèò ÷åðåç ýòó òî÷êó, òîäîñòàòî÷íî çíàòü åå óãëîâîé êîýôôèöèåíò tgα. Ïðèäàäèì àáñöèññå x ïðèðàùåíèå∆x 6= 0 è ïåðåéäåì ê òî÷êå ñ àáñöèññîé x+ ∆x è îðäèíàòîé f(x+ ∆x); òîãäà

tgϕ =∆y

∆x

� óãëîâîé êîýôôèöèåíò ñåêóùåé MM1. Äëÿ íàõîæäåíèÿ óãëîâîãî êîýôôèöèåíòàêàñàòåëüíîé íóæíî ïåðåéòè ê ïðåäåëó ïðè ∆x→ 0. Òàêèì îáðàçîì,

tgα = lim∆x→0

tgϕ = lim∆x→0

∆y

∆x= y′.

Òàêèì îáðàçîì, óãëîâîé êîýôôèöèåíò êàñàòåëüíîé åñòü ïðîèçâîäíàÿ îò ôóíêöèèf â òî÷êå x.

2

Ìåõàíè÷åñêèé ñìûñë ïðîèçâîäíîé. Ïóñòü òî÷êà äâèæåòñÿ ïðÿìîëèíåéíîâäîëü îñè t, s = s(t) � åå êîîðäèíàòà â ìîìåíò âðåìåíè t. Òîãäà ∆s = s(t+ ∆t)− s(t)ïóòü, ïðîéäåííûé çà îòðåçîê âðåìåíè t, îòíîøåíèå

∆s

∆t=s(t+ ∆t)− s(t)

∆t

ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ñðåäíþþ ñêîðîñòü òî÷êè çà ìîìåíò âðåìåíè ∆t, à ïðåäåë (åñëèîí ñóùåñòâóåò)

lim∆t→0

∆s

∆t= lim

∆t→0

s(t+ ∆t)− s(t)∆t

= s′(t)

íàçûâàåòñÿ ìãíîâåííîé ñêîðîñòüþ òî÷êè â ìîìåíò âðåìåíè t. Òàêèì îáðàçîì, s′(t) �ìãíîâåííàÿ ñêîðîñòü òî÷êè â ìîìåíò t.

�3. Ïðàâèëà âû÷èñëåíèÿ ïðîèçâîäíûõ, ñâÿçàííûå ñ àðèôìåòè÷åñêèìèäåéñòâèÿìè íàä ôóíêöèÿìè

Âñå ôóíêöèè, ðàññìàòðèâàåìûå â ýòîì ïàðàãðàôå, ïðåäïîëàãàþòñÿ îïðåäåëåííû-ìè â íåêîòîðîé îêðåñòíîñòè òî÷êè x0.

68

1

Ïóñòü ôóíêöèè y1 = f1(x) è y2 = f2(x) èìåþò ïðîèçâîäíûå â òî÷êå x0, òîãäà èõñóììà y1 + y2 = f1(x) + f2(x) òàêæå èìååò â òî÷êå x0 ïðîèçâîäíóþ è

(y1 + y2)′ = y′1 + y′2. (3.1)

Òàêèì îáðàçîì, ïðîèçâîäíàÿ ñóììû ôóíêöèé ðàâíà ñóììå ïðîèçâîäíûõ.I Ïóñòü

y = f1(x) + f2(x), ∆y1 = f1(x0 + ∆x)− f1(x0), ∆y2 = f2(x0 + ∆x)− f2(x0).

Òîãäà

∆y = [f1(x0 + ∆x) + f2(x0 + ∆x)]− [f1(x0) + f2(x0)] = ∆y1 + ∆y2.

Ïîýòîìó∆y

∆x=

∆y1

∆x+

∆y2

∆x, ∆x 6= 0. (3.2)

Ïðåäåëû

lim∆x→0

∆y1

∆xè lim

∆x→0

∆y2

∆x

ñîãëàñíî ïðåäïîëîæåíèþ ñóùåñòâóþò è ðàâíû ñîîòâåòñòâåííî ïðîèçâîäíûì y′1 è y′2â òî÷êå x0, ïîýòîìó è ïðåäåë ëåâîé ÷àñòè (3.2) ñóùåñòâóåò è ðàâåí y′1 + y′2. Íî

lim∆x→0

∆y

∆y= y′.

Ïîýòîìó y′ â òî÷êå x0 ñóùåñòâóåò è y′ = y′1 + y′2. J

2

Ïóñòü ôóíêöèè y1 = f1(x) è y2 = f2(x) èìåþò ïðîèçâîäíûå â òî÷êå x0, òîãäà èïðîèçâåäåíèå y1y2 = f1(x)f2(x) òàêæå èìååò â òî÷êå x0 ïðîèçâîäíóþ, ïðè÷åì

(y1y2)′ = y′1y2 + y1y′2, (3.3)

à åñëè y2 6= 0 â òî÷êå x0, òî è ÷àñòíîåy1

y2

=f1(x)

f2(x)òàêæå èìååò â òî÷êå x0 ïðîèçâîäíóþ,

ïðè÷åì (y1

y2

)′=y′1y2 − y1y

′2

y22

. (3.4)

I Ïóñòü

y = f1(x)f2(x), ∆y1 = f1(x0 + ∆x)− f1(x0), ∆y2 = f2(x0 + ∆x)− f2(x0).

Òîãäà

∆y = f1(x0 + ∆x)f2(x0 + ∆x)− f1(x0)f2(x0) =

= [f1(x0) + ∆y1][f2(x0) + ∆y2]− f1(x0)f2(x0) =

= ∆y1f2(x0) + f1(x0)y∆y2 + ∆y1∆y2.

69

Îòñþäà∆y

∆x=

∆y1

∆xf2(x0) + f1(x0)

∆y2

∆x+

∆y1

∆x∆y2.

Òàê êàê â òî÷êå x0

lim∆x→0

∆y1

∆x= y′1, lim

∆x→0

∆y2

∆x= y′2, lim

∆x→0∆y2 = 0

(ôóíêöèÿ y2 èìååò ïðîèçâîäíóþ, à ïîýòîìó è íåïðåðûâíà â òî÷êå x0), òî ïðè x = x0

ñóùåñòâóåò

lim∆x→0

∆y

∆x= y′

è y′ = y′1y2 + y1y′2, ò. å. ôîðìóëà (3.3) äîêàçàíà.

Ïóñòü òåïåðü f2(x0) 6= 0. Òîãäà ñóùåñòâóåò òàêîå h > 0, ÷òî f(x0 + ∆x) 6= 0 äëÿ

âñåõ x, óäîâëåòâîðÿþùèõ óñëîâèþ |∆x| < h. Åñëè ïîëîæèòü z =f1(x)

f2(x)è ∆x âûáðàòü

òàê, ÷òî |∆x| < h, òî

∆z =f1(x0 + ∆x)

f2(x0 + ∆x)− f1(x0)

f2(x0)=f1(x0) + ∆y1

f2(x0) + ∆y2

− f1(x0)

f2(x0)=

=(f1(x0) + ∆y1)f2(x0)− f1(x0)(f2(x0) + ∆y2)

(f2(x0) + ∆y2)f2(x0)=

∆y1f2(x0)− f1(x0)∆y2

(f2(x0) + ∆y2)f2(x0)

è

∆z

∆x=

∆y1

∆xf2(x0)− f1(x0)

∆y2

∆x(f2(x0) + ∆y2)f2(x0)

Îòñþäà, ïåðåõîäÿ ê ïðåäåëó ïðè ∆x→ 0, çàêëþ÷àåì, ÷òî ïðè x = x0 ñóùåñòâóåò

lim∆x→0

∆z

∆x= z′

è

z′ =y′1y2 − y1y

′2

y22

.

J

Ñëåäñòâèå 3.1. Ïóñòü ôóíêöèÿ y = f(x) èìååò ïðîèçâîäíóþ â òî÷êå x0. Òîãäàôóíêöèÿ cf(x) (c � ïîñòîÿííàÿ) òàêæå èìååò â ýòîé òî÷êå ïðîèçâîäíóþ, ïðè÷åì

(cy)′ = cy′.

Òàêèì îáðàçîì, ïðîèçâîäíàÿ ïðîèçâåäåíèÿ ôóíêöèè íà ïîñòîÿííóþ ðàâíà ïðîèç-âåäåíèþ ýòîé ïîñòîÿííîé íà ïðîèçâîäíóþ ôóíêöèè.

Äåéñòâèòåëüíî, òàê êàê c′ = 0, èç ôîðìóëû (3.3) ïîëó÷èì

(cy)′ = c′y + cy′ = cy′.

70

ËÅÊÖÈß 22

�4. Ïðîèçâîäíàÿ îáðàòíîé ôóíêöèè. Äèôôåðåíöèðîâàíèå ñëîæíîé ôóíê-öèè. Èíâàðèàíòíîñòü ôîðìû äèôôåðåíöèàëà

1

Òåîðåìà 4.1 (ïðîèçâîäíàÿ îáðàòíîé ôóíêöèè). Ïóñòü ôóíêöèÿ y = f(x) íåïðåðûâ-íà è ñòðîãî ìîíîòîííà â íåêîòîðîé îêðåñòíîñòè òî÷êè x = x0 è ïóñòü ïðè x = x0

ñóùåñòâóåò ïðîèçâîäíàÿdf(x0)

dx6= 0.

Òîãäà è îáðàòíàÿ ôóíêöèÿ x = f−1(y) èìååò ïðîèçâîäíóþ â òî÷êå y0 = f(x0),ïðè÷åì

df−1(y0)

dy=

1

df(x0)

dx

. (4.1)

I Çàôèêñèðóåì êàêóþ-ëèáî îêðåñòíîñòü òî÷êè x0, íà êîòîðîé f îïðåäåëåíà,íåïðåðûâíà è ñòðîãî ìîíîòîííà è áóäåì ðàññìàòðèâàòü f òîëüêî íà ýòîé îêðåñòíîñòè.Òîãäà, êàê áûëî äîêàçàíî ðàíåå, îáðàòíàÿ ôóíêöèÿ îïðåäåëåíà è íåïðåðûâíà è ñòðî-ãî ìîíîòîííà íà íåêîòîðîì èíòåðâàëå, ñîäåðæàùåì òî÷êó y0 = f(x0). Îí ÿâëÿåòñÿ îá-ðàçîì óêàçàííîé îêðåñòíîñòè òî÷êè x0. Òàêèì îáðàçîì, åñëè ∆x = x−x0, ∆y = y−y0,òî ñîîòíîøåíèÿ ∆x→ 0 è ∆y → 0 ýêâèâàëåíòíû. Äëÿ ∆y 6= 0 èìååì

∆x

∆y=

1∆y

∆x

.

Ïðè ∆y → 0 (èëè, ÷òî òî æå, â ñèëó ñêàçàííîãî âûøå, ïðè ∆x→ 0 ) ïðåäåë ïðàâîé÷àñòè ñóùåñòâóåò, à çíà÷èò ñóùåñòâóåò è ïðåäåë ëåâîé ÷àñòè, ïðè÷åì

lim∆y→0

∆x

∆y= lim

∆x→0

∆x

∆y=

1

lim∆x→0

∆y

∆x

=1

df(x0)

dx

.

Îñòàëîñü çàìåòèòü, ÷òî

lim∆y→0

∆x

∆y=df−1(y0)

dy.

J

2

Òåîðåìà 4.2 (äèôôåðåíöèðîâàíèå ñëîæíîé ôóíêöèè). Ïóñòü ôóíêöèÿ ϕ îïðåäåëå-íà íà ïðîìåæóòêå P, à ôóíêöèÿ f(t) îïðåäåëåíà íà ïðîìåæóòêå P1, ïðè÷åì ϕ(P ) ⊂P1. Ïóñòü, êðîìå òîãî, ôóíêöèÿ ϕ äèôôåðåíöèðóåìà â òî÷êå x0 (x0 ∈ P ), à ôóíê-öèÿ f(t) äèôôåðåíöèðóåìà â òî÷êå t0 = ϕ(x0). Òîãäà ñëîæíàÿ ôóíêöèÿ y = f(ϕ(x))äèôôåðåíöèðóåìà â òî÷êå x0 è

y′(x0) = f ′(ϕ(x0)) · ϕ′(x0). (4.2)

71

I  ñèëó äèôôåðåíöèðóåìîñòè ôóíêöèè ϕ â òî÷êå x0

ϕ(x)− ϕ(x0) = ϕ′(x0)(x− x0) + o(x− x0). (4.3)

Òàê êàê ôóíêöèÿ f(t) äèôôåðåíöèðóåìà â òî÷êå t0, òî

f(t)− f(t0) = (f ′(t0) + γ(t, t0))(t− t0), (4.4)

ãäå γ(t, t0) → 0 ïðè t → t0. Åñëè ïîëîæèòü γ(t0, t0) = 0, òî ôóíêöèÿ γ(t, t0) áóäåòíåïðåðûâíîé ïðè t = t0. Ïîëàãàÿ â ðàâåíñòâå (4.4) t = ϕ(x), t0 = ϕ(x0), â ñèëó (4.3)èìååì

f(ϕ(x))− f(ϕ(x0)) = (f ′(ϕ(x0)) + γ(ϕ(x), ϕ(x0)))(ϕ(x)− ϕ(x0)) =

= (f ′(ϕ(x0)) + γ(ϕ(x), ϕ(x0)))(ϕ′(x0)(x− x0) + o(x− x0)).

Ïðè x 6= x0 èìååì

f(ϕ(x))− f(ϕ(x0))

x− x0

= (f ′(ϕ(x0)) + γ(ϕ(x), ϕ(x0)))

(ϕ′(x0) +

o(x− x0)

x− x0

)(4.5)

Ïåðåõîäÿ â (4.5) ê ïðåäåëó ïðè x → x0, â ñèëó íåïðåðûâíîñòè γ(t, t0) ïðè t = t0ïîëó÷èì y′(x0) = f ′(ϕ(x0))ϕ′(x0). J

3

Ðàññìîòðèì ñëîæíóþ ôóíêöèþ y = f(ϕ(x)), äëÿ êîòîðîé âûïîëíåíà âñå óñëîâèÿïðåäûäóùåé òåîðåìû. Ïóñòü äàëåå ôóíêöèÿ f(t) äèôôåðåíöèðóåìà íà ïðîìåæóòêåP1, à ôóíêöèÿ ϕ(x) äèôôåðåíöèðóåìà íà ïðîìåæóòêå P. Òîãäà, ñ îäíîé ñòîðîíû,äèôôåðåíöèàë ôóíêöèè f(t)

df(t) = f ′(t)dt, (4.6)

ãäå t � íåçàâèñèìàÿ ïåðåìåííàÿ. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, â ñèëó òåîðåìû 4.2

df(ϕ(x)) = (f(ϕ(x)))′dx = f ′(ϕ(x))ϕ′(x)dx = f ′(ϕ(x))dϕ(x)

èëèdf(t) = f ′(t)dt, (4.7)

ãäå t = ϕ(x). Òàêèì îáðàçîì, äèôôåðåíöèàë ôóíêöèè f(t) èìååò îäèí è òîò æåâèä (4.6) (èëè (4.7)) íåçàâèñèìî îò òîãî ÿâëÿåòñÿ ëè t íåçàâèñèìîé ïåðåìåííîé èëèôóíêöèåé íåêîòîðîé äðóãîé ïåðåìåííîé. Ýòî ñâîéñòâî íàçûâàåòñÿ ñâîéñòâîì èíâà-ðèàíòíîñòè ôîðìû ïåðâîãî äèôôåðåíöèàëà.

�5. Ïðîèçâîäíûå îñíîâíûõ ýëåìåíòàðíûõ ôóíêöèé

1

Ëîãàðèôìû ÷èñåë ïî îñíîâàíèþ e íàçûâàþò íàòóðàëüíûìè ëîãàðèôìàìè è îáî-çíà÷àþòñÿ çíàêîì ln áåç óêàçàíèÿ îñíîâàíèÿ. Òàêèì îáðàçîì, lnx := loge x. Óñòàíî-âèì ðÿä âàæíûõ ïðåäåëîâ:

limα→0

loga(1 + α)

α= loga e =

1

ln a, a > 0, a 6= 1, (5.1)

limα→0

aα − 1

α= ln a, a > 0, (5.2)

limα→0

(1 + α)γ − 1

α= γ, γ ∈ R. (5.3)

72

1. I Èìååìloga(1 + α)

α= loga(1 + α)

1α .

Òàê êàê âûðàæåíèå, ñòîÿùåå ïîä çíàêîì ëîãàðèôìà, ïðè α→ 0 ñòðåìèòñÿ ê e, òî(ïî íåïðåðûâíîñòè ëîãàðèôìè÷åñêîé ôóíêöèè) åãî ëîãàðèôì ñòðåìèòñÿ ê loga e.

Îòìåòèì ÷àñòíûé ñëó÷àé äîêàçàííîé ôîðìóëû, êîãäà ðàññìàòðèâàåòñÿ íàòóðàëü-íûé ëîãàðèôì, ò. å. a = e.  ýòîì ñëó÷àå

limα→0

ln(1 + α)

α= 1.

J2. I Ïîëîæèì aα− 1 = β. Òîãäà ïðè α→ 0 â ñèëó íåïðåðûâíîñòè ïîêàçàòåëüíîé

ôóíêöèè β → 0. Èìååì, äàëåå, α = loga(1+β). Åñëè âîñïîëüçîâàòüñÿ óæå äîêàçàííûìðåçóëüòàòîì, òî ïîëó÷àåì

limα→0

aα − 1

α= lim

β→0

β

loga(1 + β)=

1

loga e= ln a.

J3. I Ïðèñòóïàÿ ê äîêàçàòåëüñòâó ôîðìóëû (5.3), ïîëîæèì (1 +α)γ − 1 = β. Ïðè

α→ 0 áóäåò è β → 0. Ëîãàðèôìèðóÿ ðàâåíñòâî (1 + α)γ = 1 + β, ïîëó÷èì

γ ln(1 + α) = ln(1 + β).

Ñ ïîìîùüþ ýòîãî ñîîòíîøåíèÿ ïðåîáðàçóåì äàííîå íàì âûðàæåíèå òàê

(1 + α)γ − 1

α=β

α=

β

ln(1 + β)γ

ln (1 + α)

α.

Ïî äîêàçàííîìó îáà îòíîøåíèÿ

β

ln(1 + β)è

ln(1 + α)

α

ñòðåìÿòñÿ ê 1, òàê ÷òî âñå ïðîèçâåäåíèå èìååò ïðåäåë γ. J

73

ËÅÊÖÈß 23

2

Ýëåìåíòàðíûå ôóíêöèè (çà èñêëþ÷åíèåì xγ, arcsinx è arccosx) äèôôåðåíöèðó-åìû íà ñâîèõ îáëàñòÿõ îïðåäåëåíèÿ, ïðè÷åì èìåþò ìåñòî ñëåäóþùèå ôîðìóëû

1. (xγ)′ = γxγ−1;

2. (ax)′ = ax ln a, a > 0, (ex)′ = ex;

3. (loga x)′ =1

x ln a, a > 0, a 6= 1; (lnx)′ =

1

x;

4. (sinx)′ = cosx;

5. (cosx)′ = − sinx;

6. (tg x)′ =1

cos2 x;

7. (ctg x)′ = − 1

sin2 x;

8. (arcsinx)′ =1√

1− x2(−1 < x < 1);

9. (arccosx)′ = − 1√1− x2

(−1 < x < 1);

10. (arctg x)′ =1

1 + x2;

11. (arcctg x)′ = − 1

1 + x2.

1. I y = xγ (γ ∈ R). Èìååì (ïðè x 6= 0)

∆y

∆x=

(x+ ∆x)γ − xγ

∆x= xγ−1

(1 +

∆x

x

)γ− 1

∆x

x

.

Òåïåðü, åñëè âîñïîëüçîâàòüñÿ ïðåäåëîì (5.3), ïîëó÷èì

lim∆x→0

∆y

∆x= γxγ−1.

Åñëè γ > 1, òî ïðè x = 0 ëåãêî íåïîñðåäñòâåííî ïîëó÷èòü y′ = 0. J2. I y = ax, a > 0, −∞ < x <∞. Çäåñü

∆y

∆x=αx+∆x − ax

∆x= ax

a∆x − 1

∆x.

74

Âîñïîëüçîâàâøèñü ïðåäåëîì (5.2), íàõîäèì

y′ = lim∆x→0

∆y

∆x= ax ln a.

 ÷àñòíîñòè, åñëè y = ex, òî y′ = ex. J3. I y = loga x, 0 < a 6= 1, 0 < x <∞.  ýòîì ñëó÷àå

∆y

∆x=

loga(x+ ∆x)− loga x

∆x=

1

x

loga(1 + ∆xx

)∆xx

.

Âîñïîëüçîâàâøèñü ïðåäåëîì (5.1), íàõîäèì

y′ = lim∆x→0

∆y

∆x=

loga e

x.

 ÷àñòíîñòè, åñëè y = lnx, òî y′ =1

x. J

4. I y = sinx. Èìååì

∆y

∆x=

sin(x+ ∆x)− sinx

∆x=

sin ∆x2

∆x2

cos

(x+

∆x

2

).

Ïîëüçóÿñü íåïðåðûâíîñòüþ ôóíêöèè cosx è ïðåäåëîì

limα→0

sinα

α= 1,

ïîëó÷èì

y′ = lim∆x→0

∆y

∆x= cosx.

J5�7. I Àíàëîãè÷íî íàéäåì: åñëè y = cosx, òî y′ = − sinx. Äëÿ íàõîæäåíèÿ ïðîèç-

âîäíîé îò ôóíêöèè y = tg x âîñïîëüçóåìñÿ ïðàâèëîì äèôôåðåíöèðîâàíèÿ ÷àñòíîãî

(tg x)′ =

(sinx

cosx

)′=

cos2 x+ sin2 x

cos2 x=

1

cos2 x.

Àíàëîãè÷íî

(ctg x)′ =(cosx

sinx

)′=− sin2 x− cos2x

sin2 x= − 1

sin2 x.

J8�9. I Ôóíêöèÿ

y = arcsinx (−1 6 x 6 1)

ÿâëÿåòñÿ îáðàòíîé ïî îòíîøåíèþ ê ôóíêöèè

x = sin y(−π

26 y 6

π

2

).

Èìååì

(arcsinx)′ =1

(sin y)′=

1

cos y=

1√1− sin2 y

=1√

1− x2(−1 < x < 1).

75

Ïåðåä êîðíåì áåðåòñÿ çíàê +, ïîñêîëüêó cos y > 0 ïðè −π2

6 y 6 π2. Àíàëîãè÷íî

âû÷èñëÿåòñÿ ïðîèçâîäíàÿ îò ôóíêöèè y = arccosx. J10�11. I Ôóíêöèÿ

y = arctg x (−∞ < x <∞)

ÿâëÿåòñÿ îáðàòíîé ïî îòíîøåíèþ ê ôóíêöèè

x = tg y(−π

2< y <

π

2

).

 ñèëó òåîðåìû î ïðîèçâîäíîé îáðàòíîé ôóíêöèè

(arctg x)′ =1

(tg y)′= cos2 y =

1

1 + tg2 y=

1

1 + x2.

Àíàëîãè÷íî âû÷èñëÿåòñÿ ïðîèçâîäíàÿ îò ôóíêöèè y = arcctg x. J

�6. Ïðîèçâîäíûå è äèôôåðåíöèàëû âûñøèõ ïîðÿäêîâ

1

Ïóñòü ôóíêöèÿ y = f(x) èìååò íà ïðîìåæóòêå P ïðîèçâîäíóþ. Åñëè â òî÷êåx0 ∈ P äèôôåðåíöèðóåìà ïðîèçâîäíàÿ f ′(x), òî åå ïðîèçâîäíóþ íàçûâàþò âòîðîéïðîèçâîäíîé ôóíêöèè f(x) â ýòîé òî÷êå è îáîçíà÷àþò f ′′(x0) èëè y′′(x0). Òàêèì îá-ðàçîì,

f ′′(x0) = limx→x0

f ′(x)− f ′(x0)

x− x0

.

Îïðåäåëåíèå 6.1. Ïóñòü ôóíêöèÿ f èìååò íà ïðîìåæóòêå P ïðîèçâîäíûåf ′(x), f ′′(x), . . . , f (n−1)(x). Åñëè â òî÷êå x0 ∈ P ñóùåñòâóåò ïðîèçâîäíàÿ ôóíêöèèf (n−1)(x), òî åå íàçûâàþò ïðîèçâîäíîé n-ãî ïîðÿäêà ôóíêöèè f(x) â òî÷êå x0 è îáî-çíà÷àþò f (n)(x0) èëè y(n)(x0).

Èòàê, åñëè ôóíêöèÿ f(x) èìååò â òî÷êå x ïðîèçâîäíûå äî n-ãî ïîðÿäêà âêëþ÷è-òåëüíî, òî

f (n)(x) =(f (n−1)(x)

)′. (6.1)

Îïðåäåëåíèå 6.2. Ôóíêöèþ, èìåþùóþ íà íåêîòîðîì ìíîæåñòâå X ïðîèçâîäíûå äîn-ãî ïîðÿäêà âêëþ÷èòåëüíî, íàçûâàþò n ðàç äèôôåðåíöèðóåìîé íà ìíîæåñòâå X.

Ôóíêöèþ, èìåþùóþ íà ìíîæåñòâå X ïðîèçâîäíûå âñåõ ïîðÿäêîâ, íàçûâàþò áåñ-êîíå÷íî äèôôåðåíöèðóåìîé íà ìíîæåñòâå X.

Çàìå÷àíèå 6.1. Óäîáíî ñ÷èòàòü, ÷òî ïðîèçâîäíàÿ íóëåâîãî ïîðÿäêà ñîâïàäàåò ññàìîé ôóíêöèåé, ò. å.

f (0)(x) = f(x).

Òîãäà ôîðìóëà (6.1) èìååò ìåñòî è ïðè n = 1. Íåïîñðåäñòâåííî èç îïðåäåëåíèÿâûòåêàþò ñëåäóþùèå ñâîéñòâà ïðîèçâîäíûõ:

1. (cf(x))(n) = cf (n)(x),

2. (f(x) + g(x))(n) = f (n)(x) + g(n)(x),

ãäå f(x) è g(x) � ôóíêöèè, èìåþùèå â òî÷êå x ïðîèçâîäíûå äî n-ãî ïîðÿäêà âêëþ-÷èòåëüíî.

76

2

Òåîðåìà 6.1 (Ëåéáíèö). Ïóñòü ôóíêöèè u(x) è v(x) èìåþò â òî÷êå x ïðîèçâîäíûån-ãî ïîðÿäêà. Òîãäà èìååò ìåñòî ôîðìóëà

(u(x)v(x))(n) =n∑k=0

Cknu

(k)(x)v(n−k)(x). (6.2)

I Äîêàçàòåëüñòâî ïðîâåäåì ìåòîäîì ìàòåìàòè÷åñêîé èíäóêöèè. Ïðè n = 1 ôîð-ìóëà (6.2) î÷åâèäíî ñïðàâåäëèâà:

(u(x)v(x))′ = C01u(x)v′(x) + C1

1u′(x)v(x) = u′(x)v(x) + u(x)v′(x).

Ïóñòü ôîðìóëà (6.2) âåðíà äëÿ ïðîèçâîäíîé ïîðÿäêà n− 1. Äîêàæåì åå äëÿ ïðî-èçâîäíîé ïîðÿäêà n.

(u(x)v(x))(n) =((u(x)v(x))(n−1)

)′=

(n−1∑k=0

Ckn−1u

(k)(x)v(n−k−1)(x)

)′=

=n−1∑k=0

Ckn−1u

(k+1)(x)v(n−k−1)(x) +n−1∑k=0

Ckn−1u

(k)(x)v(n−k)(x) =

=n∑k=1

Ck−1n−1u

(k)(x)v(n−k)(x) +n−1∑k=0

Ckn−1u

(k)(x)v(n−k)(x) =

= Cn−1n−1u

(n)(x)v(0)(x) +n−1∑k=1

(Ck−1n−1 + Ck

n−1)u(k)(x)v(n−k)(x) + C0n−1u

(0)(x)v(n)(x) =

= u(n)(x)v(0)x+n−1∑k=0

Ckn−1u

(k)(x)v(n−k)(x) + u(0)(x)v(n)(x) =

=n∑k=0

Cknu

(k)(x)v(n−k)(x),

èáî,Ckn−1 + Ck−1

n−1 = Ckn C0

n−1 = Cn−1n−1 = C0

n = Cnn = 1.

J

77

ËÅÊÖÈß 24

3

Ïóñòü ôóíêöèÿ y = f(x) èìååò â òî÷êå x ïðîèçâîäíóþ n-ãî ïîðÿäêà.

Îïðåäåëåíèå 6.3. Ôóíêöèÿ f (n)(x)dxn ïåðåìåííîãî dxn íàçûâàåòñÿ äèôôåðåíöèà-ëîì n-ãî ïîðÿäêà ôóíêöèè f(x) â òî÷êå x è îáîçíà÷àåòñÿ dny.

Èíîãäà óäîáíåå ïèñàòü dny(x) èëè dnf(x). Èòàê

dny = f (n)(x)dxn. (6.3)

Èç ôîðìóëû (6.3) ñëåäóåò, ÷òî

y(n) = f (n)(x) =dny

dxn.

Ïîýòîìó ïðîèçâîäíóþ y(n) ÷àñòî çàïèñûâàþò â âèäådny

dxnèëè

dnf(x)

dxn. Ïîëàãàÿ â

ôîðìóëå (6.3) f(x) = x, ïîëó÷èì d2x = d3x = . . . = dnx = 0 òàê êàê x′ = x′′ =. . . = x(n) = 0. Ïîýòîìó åñòåñòâåííî ñ÷èòàòü, ÷òî äèôôåðåíöèàëû ïîðÿäêà n > 2 îòíåçàâèñèìîãî ïåðåìåííîãî ðàâíû íóëþ.

Íåïîñðåäñòâåííî èç îïðåäåëåíèÿ äèôôåðåíöèàëà n-ãî ïîðÿäêà âûòåêàþò ñëåäó-þùèå åãî ñâîéñòâà:

dn(cf(x)) = c dnf(x),

dn(f(x) + g(x)) = dnf(x) + dng(x),

ãäå f(x) è g(x) ôóíêöèè, èìåþùèå â òî÷êå x ïðîèçâîäíûå ïîðÿäêà n. Èç ôîðìóëûËåéáíèöà (6.2) ñëåäóåò, ÷òî

dn(f(x)g(x)) =n∑k=0

Cknd

n−kf(x)dkg(x).

Äèôôåðåíöèàë ïîðÿäêà n > 2, âîîáùå ãîâîðÿ, íå îáëàäàåò ñâîéñòâîì èíâàðèàíò-íîñòè ôîðìû.

Ïóñòü y = f(x), x = ϕ(t), òàê ÷òî y ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê ñëîæíóþ ôóíêöèþ

y = f(ϕ(t)).

Åå ïåðâûé äèôôåðåíöèàë ïî t ìîæíî íàïèñàòü â ôîðìå

dy = y′xdx,

ãäå dx = x′tdt åñòü ôóíêöèÿ ïî t. Âû÷èñëÿÿ âòîðîé äèôôåðåíöèàë ïî t, íàõîäèì

d2y = d(y′xdx) = (dy′x)dx+ y′xd(dx).

Äèôôåðåíöèàë dyx ìîæíî, ñíîâà ïîëüçóÿñü èíâàðèàíòíîñòüþ ôîðìû ïåðâîãîäèôôåðåíöèàëà, âçÿòü â ôîðìå dy′x = y′′x2dx, òàê ÷òî îêîí÷àòåëüíî

d2y = y′′x2dx2 + y′xd2x. (6.4)

Ñ äðóãîé ñòîðîíû, ïðè íåçàâèñèìîé ïåðåìåííîé x âòîðîé äèôôåðåíöèàë èìååòâèä

d2y = y′′x2dx2.

Îäíàêî, åñëè x(t) = at + b � ëèíåéíàÿ ôóíêöèÿ, òî d2x ≡ 0 è èíâàðèàíòíîñòüôîðìû âòîðîãî äèôôåðåíöèàëà èìååò ìåñòî.

78

ÃËÀÂÀ 6. ÎÑÍÎÂÍÛÅ ÒÅÎÐÅÌÛ ÄÈÔÔÅÐÅÍ-ÖÈÀËÜÍÎÃÎ ÈÑ×ÈÑËÅÍÈß

�1. Òåîðåìû î ñðåäíåì çíà÷åíèè äëÿ äèôôåðåíöèðóåìûõ ôóíêöèé

1

Ïóñòü ôóíêöèÿ y = f(x) îïðåäåëåíà íà èíòåðâàëå P.

Îïðåäåëåíèå 1.1. Ãîâîðÿò, ÷òî ôóíêöèÿ y = f(x) èìååò â òî÷êå x0 ∈ P ìàêñèìóì(ìèíèìóì) (èíîãäà ãîâîðÿò ëîêàëüíûé ìàêñèìóì (ìèíèìóì)), åñëè ñóùåñòâóåò òàêàÿîêðåñòíîñòü (x0− δ, x0 + δ) ⊂ P òî÷êè x0 (δ > 0), ÷òî f(x) 6 f(x0) (f(x) > f(x0)) ïðèâñåõ x ∈ (x0 − δ, x0 + δ).

Ìèíèìóì è ìàêñèìóì îáúåäèíÿåòñÿ îáùèì òåðìèíîì ýêñòðåìóì.

Òåîðåìà 1.1 (Ôåðìà). Ïóñòü ôóíêöèÿ f èìååò â òî÷êå x0 ∈ P ýêñòðåìóì è äèô-ôåðåíöèðóåìà â ýòîé òî÷êå. Òîãäà f ′(x0) = 0.

I Ïóñòü, íàïðèìåð, â òî÷êå x0 ôóíêöèÿ f èìååò ìàêñèìóì. Òîãäà ïðè x0 < x <x0 + δ

f(x)− f(x0)

x− x0

6 0.

Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî

f ′(x0) = limx→x0+0

f(x)− f(x0)

x− x0

6 0. (1.1)

Òî÷íî òàê æå ïðè x0 − δ < x < x0

f(x)− f(x0)

x− x0

> 0.

è

f ′(x0) = limx→x0−0

f(x)− f(x0)

x− x0

> 0. (1.2)

Èç (1.1) è (1.2) ñëåäóåò, ÷òî f ′(x0) = 0. JÄîêàçàííàÿ òåîðåìà èìååò ïðîñòîé ãåîìåòðè÷åñêèé ñìûñë: êàñàòåëüíàÿ ê ãðàôè-

êó ôóíêöèè f(x) â òî÷êå ýêñòðåìóìà, åñëè îíà ñóùåñòâóåò, ïàðàëëåëüíà îñè Ox.

Òåîðåìà 1.2 (Ðîëëü). Ïóñòü ôóíêöèÿ f(x) íåïðåðûâíà íà îòðåçêå [a, b], äèôôå-ðåíöèðóåìà íà èíòåðâàëå (a, b) è f(a) = f(b). Òîãäà íàéäåòñÿ õîòÿ áû îäíà òî÷êàγ ∈ (a, b) òàêàÿ, ÷òî f ′(γ) = 0.

I Ñîãëàñíî òåîðåìå Âåéåðøòðàññà ôóíêöèÿ f(x) îãðàíè÷åíà íà [a, b]. ÏóñòüM =sup[a,b]

f(x), m = inf[a,b]

f(x). Åñëè M = m, òî f � ïîñòîÿííàÿ è â êà÷åñòâå γ ìîæíî âçÿòü

ëþáóþ òî÷êó èíòåðâàëà. ÏóñòüM > m. Îáà ýòè çíà÷åíèÿ äîñòèãàþòñÿ ôóíêöèåé, íîòàê êàê f(b) = f(a), òî õîòÿ áû îäíî èç íèõ äîñòèãàåòñÿ â íåêîòîðîé òî÷êå γ ∈ (a, b). Âýòîé òî÷êå ôóíêöèÿ f èìååò ýêñòðåìóì. Ïîýòîìó â ñèëó òåîðåìû Ôåðìà f ′(γ) = 0. J

Ãåîìåòðè÷åñêè òåîðåìà Ðîëëÿ îçíà÷àåò, ÷òî ó ãðàôèêà íåïðåðûâíîé íà îòðåçêå èäèôôåðåíöèðóåìîé âíóòðè íåãî ôóíêöèè, ïðèíèìàþùåé íà êîíöàõ åãî îäèíàêîâûåçíà÷åíèÿ, ñóùåñòâóåò òî÷êà, â êîòîðîé êàñàòåëüíàÿ ïàðàëëåëüíà îñè àáñöèññ.

79

ËÅÊÖÈß 25

Òåîðåìà 1.3 (Ëàãðàíæ). Åñëè ôóíêöèÿ f íåïðåðûâíà íà îòðåçêå [a, b] è â êàæäîéòî÷êå èíòåðâàëà (a, b) èìååò ïðîèçâîäíóþ, òî â ýòîì èíòåðâàëå ñóùåñòâóåò ïîêðàéíåé ìåðå îäíà òî÷êà γ òàêàÿ, ÷òî

f(b)− f(a) = f ′(γ)(b− a). (1.3)

Ýòà òåîðåìà ÿâëÿåòñÿ î÷åâèäíûì îáîáùåíèåì òåîðåìû Ðîëëÿ.I Ðàññìîòðèì âñïîìîãàòåëüíóþ ôóíêöèþ

F (x) = f(x)− λx (1.4)

è îïðåäåëèì λ òàêèì îáðàçîì, ÷òîáû áûëî F (a) = F (b), ò. å. f(a) − λa = f(b) − λb.Ýòî ðàâíîñèëüíî òîìó, ÷òî

λ =f(b)− f(a)

b− a. (1.5)

Äëÿ ôóíêöèè F âûïîëíåíû âñå óñëîâèÿ òåîðåìû Ðîëëÿ, ïîýòîìó â ñèëó òåîðåìûÐîëëÿ ñóùåñòâóåò õîòÿ áû îäíà òî÷êà γ ∈ (a, b) òàêàÿ, ÷òî F ′(γ) = 0. Èç (1.4) ñëåäóåò,÷òî F ′(γ) = f ′(γ)− λ. Òàêèì îáðàçîì, f ′(γ) = 0, ò. å.

f ′(γ) =f(b)− f(a)

b− a.

JÃåîìåòðè÷åñêèé ñìûñë òåîðåìû Ëàãðàíæà ñîñòîèò â ñëåäóþùåì. Ïóñòü A(a, f(a))

èB(b, f(b)) êîíöû ãðàôèêà ôóíêöèè f ; AB � õîðäà, ñîåäèíÿþùàÿ òî÷êèA èB. Òîãäàîòíîøåíèå

f(b)− f(a)

b− aðàâíî òàíãåíñó óãëà β ìåæäó õîðäîé AB è îñüþ Ox, ò. å.

f(b)− f(a)

b− a= tg β,

à ïðîèçâîäíàÿ f ′(γ) ðàâíà òàíãåíñó óãëà α ìåæäó êàñàòåëüíîé ê ãðàôèêó ôóíêöèèf â òî÷êå (γ, f(γ)) è îñüþ Ox, ò. å. f ′(γ) = tgα. Òàêèì îáðàçîì, òåîðåìà Ëàãðàíæàïîêàçûâàåò, ÷òî â èíòåðâàëå (a, b) äîëæíà íàéòèñü òàêàÿ γ (ìîæåò áûòü è íå îäíà),â êîòîðîé êàñàòåëüíàÿ ê ãðàôèêó ôóíêöèè ïàðàëëåëüíà õîðäå AB.

Òåîðåìà Ëàãðàíæà íàéäåò ðÿä âàæíûõ ïðèëîæåíèé â äàëüíåéøåì.Ïðèâåäåì äðóãèå ôîðìû çàïèñè ôîðìóëû (1.3). Ïóñòü

a < γ < b èγ − ab− a

= θ.

Òîãäàγ = a+ θ(b− a), 0 < θ < 1. (1.6)

Íàîáîðîò, åñëè γ âûðàæàåòñÿ ôîðìóëîé (1.6), òî, êàê ëåãêî âèäåòü, γ ∈ (a, b). Ïîýòî-ìó ôîðìóëà (1.3) ìîæåò áûòü çàïèñàíà â âèäå

f(b)− f(a) = f ′(a+ θ(b− a))(b− a), 0 < θ < 1. (1.7)

80

Ïîëîæèì òåïåðü a = x è b − a = ∆x è, çíà÷èò, b = x + ∆x. Òîãäà ôîðìóëà (1.7)ïåðåïèøåòñÿ â âèäå

f(x+ ∆x)− f(x) = f ′(x+ θ∆x)∆x, 0 < θ < 1. (1.8)

Ôîðìóëà (1.8) (à òàêæå ðàâíîçíà÷íûå åé ôîðìóëû (1.7) è (1.3)) íàçûâàåòñÿ ôîð-ìóëîé êîíå÷íûõ ïðèðàùåíèé Ëàãðàíæà.

Òåîðåìà 1.4 (Êîøè). Ïóñòü ôóíêöèè f è g

1) íåïðåðûâíû íà îòðåçêå [a, b],

2) èìåþò ïðîèçâîäíûå â êàæäîé òî÷êå (a, b),

3) ïðîèçâîäíàÿ g′(x) 6= 0 âî âñåõ òî÷êàõ (a, b).

Òîãäà ñóùåñòâóåò òàêàÿ òî÷êà γ ∈ (a, b), ÷òî

f(b)− f(a)

g(b)− g(a)=f ′(γ)

g′(γ). (1.9)

Çàìå÷àíèå 1.1. Èç óñëîâèé òåîðåìû ñëåäóåò, ÷òî ôîðìóëà (1.9) èìååò ñìûñë, ò. å.g(b) 6= g(a).  ñàìîì äåëå, åñëè g(b) = g(a), òî ôóíêöèÿ g óäîâëåòâîðÿëà áû óñëîâèÿìòåîðåìû Ðîëëÿ è, çíà÷èò, íàøëàñü áû òàêàÿ òî÷êà c, ÷òî g′(c) = 0, a < c < b, ÷òîïðîòèâîðå÷èò óñëîâèþ g′(x) 6= 0 ïðè âñåõ x ∈ (a, b).

I Ðàññìîòðèì âñïîìîãàòåëüíóþ ôóíêöèþ

F (x) = f(x)− λg(x),

ãäå ÷èñëî λ âûáåðåì òàêèì îáðàçîì, ÷òîáû áûëî F (a) = F (b), ò. å.

f(a)− λg(a) = f(b)− λg(b).

Äëÿ ýòîãî íàäî âçÿòü

λ =f(b)− f(a)

g(b)− g(a). (1.10)

Ôóíêöèÿ F óäîâëåòâîðÿåò âñåì óñëîâèÿì òåîðåìû Ðîëëÿ, ñëåäîâàòåëüíî, ñóùåñòâóåòòàêàÿ òî÷êà γ ∈ (a, b), ÷òî F ′(γ) = 0. Íî

F ′(x) = f ′(x)− λg′(x),

à ïîýòîìóf ′(γ)− λg′(γ) = 0.

Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî

λ =f ′(γ)

g′(γ). (1.11)

Ñðàâíèâàÿ (1.10) è (1.11), ïîëó÷àåì ôîðìóëó (1.9). JÔîðìóëà (1.9) îáû÷íî íàçûâàåòñÿ ôîðìóëîé êîíå÷íûõ ïðèðàùåíèé Êîøè. Ôîð-

ìóëà êîíå÷íûõ ïðèðàùåíèé Ëàãðàíæà ÿâëÿåòñÿ ÷àñòíûì ñëó÷àåì ôîðìóëû êîíå÷-íûõ ïðèðàùåíèé Êîøè, â êîòîðîé g(x) = x.

81

�2. Ðàñêðûòèå íåîïðåäåëåííîñòåé ïî ïðàâèëó Ëîïèòàëÿ

 ðÿäå ñëó÷àåâ îòûñêàíèå ïðåäåëà ôóíêöèè, çàäàííîé àíàëèòè÷åñêè, ïðè ñòðåì-ëåíèè àðãóìåíòà ê íåêîòîðîé òî÷êå (÷èñëó èëè ê îäíîé èç áåñêîíå÷íîñòåé ∞, +∞èëè −∞) ñòàíîâèòñÿ íåâîçìîæíûì, òàê êàê ïîäñòàíîâêà çíà÷åíèÿ àðãóìåíòà â ôîð-ìóëó, çàäàþùóþ ðàññìàòðèâàåìóþ ôóíêöèþ, ïðèâîäèò ê âûðàæåíèÿì âèäà 0

0, ∞∞ ,

0 · ∞, ∞ − ∞, 00, ∞0 èëè 1∞. Îíè íàçûâàþòñÿ íåîïðåäåëåííîñòÿìè, òàê êàê ïîíèì íåëüçÿ ñóäèòü î òîì ñóùåñòâóåò èëè íåò óêàçàííûé ïðåäåë, íå ãîâîðÿ óæå îíàõîæäåíèè åãî çíà÷åíèÿ (åñëè îí ñóùåñòâóåò).  ýòîì ñëó÷àå âû÷èñëåíèå ïðåäåëàíàçûâàåòñÿ òàêæå ðàñêðûòèåì íåîïðåäåëåííîñòè.

Òåîðåìà 2.1. Ïóñòü ôóíêöèè f(x) è g(x) äèôôåðåíöèðóåìû íà èíòåðâàëå (a, b),

limx→a+0

f(x) = limx→a+0

g(x) = 0

è g′(x) 6= 0 íà (a, b). Òîãäà, åñëè ñóùåñòâóåò (êîíå÷íûé èëè íåò) ïðåäåë

limx→a+0

f ′(x)

g′(x)= A,

òî ïðåäåë

limx→a+0

f(x)

g(x)

òàêæå ñóùåñòâóåò è îí ðàâåí A.

I Ïóñòü x ∈ (a, b). Ïîëîæèì f(a) = g(a) = 0. Òîãäà ôóíêöèè f(x) è g(x) áó-äóò íåïðåðûâíûìè íà [a, x] è äèôôåðåíöèðóåìûìè íà (a, x).  ñèëó òåîðåìû Êîøèñóùåñòâóåò òàêàÿ òî÷êà γ = γ(x), a < γ < x, ÷òî

f(x)

g(x)=f(x)− f(a)

g(x)− g(a)=f ′(γ)

g′(γ).

Î÷åâèäíî γ → a+ 0 ïðè x→ a+ 0. Ïîýòîìó

limx→a+0

f(x)

g(x)= lim

x→a+0

f ′(x)

g′(x)= A.

Òåîðåìà äîêàçàíà. J

Çàìå÷àíèå 2.1. Äîêàçàííàÿ òåîðåìà (ñ ñîîòâåòñòâóþùèìè âèäîèçìåíåíèÿìè) îñòà-åòñÿ ñïðàâåäëèâîé ïðè x→ a− 0 (èëè x→ a).

82

ËÅÊÖÈß 26

Òåîðåìà 2.2. Ïóñòü ôóíêöèè f(x) è g(x) äèôôåðåíöèðóåìû ïðè x > a,

limx→+∞

f(x) = limx→+∞

g(x) = 0

è g′(x) 6= 0 ïðè x > a. Òîãäà, åñëè ñóùåñòâóåò (êîíå÷íûé èëè íåò) ïðåäåë

limx→+∞

f ′(x)

g′(x)= A,

òî ïðåäåë

limx→+∞

f(x)

g(x)òàêæå ñóùåñòâóåò è

limx→+∞

f(x)

g(x)= A.

I Áåç îãðàíè÷åíèÿ îáùíîñòè ìîæíî ñ÷èòàòü a > 0.Î÷åâèäíî ôóíêöèè f(

1t

), g(

1t

)îïðåäåëåíû íà

(0, 1

a

), äèôôåðåíöèðóåìû íà ýòîì èíòåðâàëå,

limt→+0

f

(1

t

)= lim

t→+0g

(1

t

)= 0,

df(

1t

)dt

= − 1

t2f ′(

1

t

),dg(

1t

)dt

= − 1

t2g′(

1

t

)6= 0

íà èíòåðâàëå(0, 1

a

). Â ñèëó òåîðåìû 2.1

limx→+∞

f(x)

g(x)= lim

t→+0

f(

1t

)g(

1t

) =

= limt→+0

d

dtf(

1t

)d

dtg(

1t

) = limt→+0

− 1

t2f ′(

1t

)− 1

t2g′(

1t

) = limx→+∞

f ′(x)

g′(x)= A.

J

Çàìå÷àíèå 2.2. Äîêàçàííàÿ òåîðåìà (ñ ñîîòâåòñòâóþùèìè âèäîèçìåíåíèÿìè) îñòà-åòñÿ ñïðàâåäëèâîé è ïðè x→ −∞ (èëè x→∞).

Òåîðåìà 2.3. Ïóñòü ôóíêöèè f(x) è g(x) äèôôåðåíöèðóåìû íà èíòåðâàëå (a, b),

limx→a+0

f(x) = limx→a+0

g(x) =∞

è g′(x) 6= 0 íà (a, b). Òîãäà, åñëè ñóùåñòâóåò (êîíå÷íûé èëè íåò) ïðåäåë

limx→a+0

f ′(x)

g′(x)= A,

òî ïðåäåë

limx→a+0

f(x)

g(x)òàêæå ñóùåñòâóåò è

limx→a+0

f(x)

g(x)= A.

83

Òåîðåìà 2.3 îñòàåòñÿ (ñ ñîîòâåòñòâóþùèìè âèäîèçìåíåíèÿìè) ñïðàâåäëèâîé è ïðèx→ a− 0 (èëè x→ a), à òàêæå x→ ±∞ (èëè x→∞).

Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû 2.3 ìû ïðèâîäèòü íå ñòàíåì.

�3. Ôîðìóëà Òåéëîðà

1

Ôîðìóëà Òåéëîðà äëÿ ìíîãî÷ëåíà.Ïóñòü P (x) � ìíîãî÷ëåí ñòåïåíè íå âûøå n :

P (x) = a0 + a1x+ . . .+ anxn. (3.1)

Ïîñëåäîâàòåëüíî äèôôåðåíöèðóåì åãî n ðàç

P ′(x) = a1 + 2a2x+ 3a3x2 + . . .+ nanx

n−1,

P ′′(x) = 1 · 2a2 + 2 · 3a3x+ . . .+ (n− 1)nanxn−2,

P ′′′(x) = 1 · 2 · 3a3 + . . .+ (n− 2)(n− 1)nanxn−3,

. . .

P (n)(x) = 1 · 2 · . . . · nan.

Ïîëàãàÿ âî âñåõ ýòèõ ôîðìóëàõ x = 0, íàéäåì âûðàæåíèå êîýôôèöèåíòîâ ìíîãî-÷ëåíà ÷åðåç çíà÷åíèÿ ñàìîãî ìíîãî÷ëåíà è åãî ïðîèçâîäíûõ ïðè x = 0

a0 = P (0), a1 =P ′(0)

1!, a2 =

P ′′(0)

2!, . . . , an =

P (n)(0)

n!.

Ïîäñòàâëÿÿ ýòè çíà÷åíèÿ êîýôôèöèåíòîâ â (3.1), íàéäåì

P (x) = P (0) +P ′(0)

1!x+

P ′′(0)

2!x2 + . . .+

P (n)(0)

n!xn. (3.2)

Âìåñòî òîãî, ÷òîáû ðàçëàãàòü ìíîãî÷ëåí ïî ñòåïåíÿì x, ìîæíî ðåøèòü áîëååîáùóþ çàäà÷ó ðàçëîæåíèÿ åãî ïî ñòåïåíÿì x− x0 :

P (x) = A0 + A1(x− x0) + A2(x− x0)2 + . . .+ An(x− x0)n. (3.3)

Ïîëàãàÿ x− x0 = γ, P (x) = P (x0 + γ) = Q(γ), äëÿ êîýôôèöèåíòîâ ïîëèíîìà

Q(γ) = A0 + A1γ + A2γ2 + . . .+ Anγ

n

ïî äîêàçàííîìó èìååì âûðàæåíèÿ

A0 = Q(0), A1 =Q′(0)

1!, A2 =

Q′′(0)

2!, . . . , An =

Q(n)(0)

n!.

ÍîQ(γ) = P (x0 + γ), Q′(γ) = P ′(x0 + γ), Q′′(γ) = P ′′(x0 + γ), . . .

òàê ÷òîQ(0) = P (x0), Q′(0) = P ′(x0), Q′′(0) = P ′′(x0), . . .

84

è

A0 = P (x0), A1 =P ′(x0)

1!, A2 =

P ′′(x0)

2!, . . . , An =

P (n)(x0)

n!. (3.4)

Ïîäñòàâëÿÿ (3.4) â (3.3), íàõîäèì

P (x) = P (x0) +P ′(x0)

1!(x− x0) +

P ′′(x0)

2!(x− x0)2 + . . .+

P (n)(x0)

n!(x− x0)n. (3.5)

Ôîðìóëà (3.5), òàê æå êàê è åå ÷àñòíûé ñëó÷àé (ïðè x0 = 0) (3.2), íàçûâàåòñÿ ôîð-ìóëîé Òåéëîðà (âïðî÷åì ôîðìóëó (3.2) ÷àñòî íàçûâàþò ôîðìóëîé Ìàêëîðåíà).

Çàìå÷àíèå 3.1. Åñëè ïîëèíîì P (x) ïðåäñòàâëåí â âèäå

P (x) = c0 +c1

1!(x− x0) +

c2

2!(x− x0)2 + . . .+

cnn!

(x− x0)n,

òî íåîáõîäèìîck = P (k)(x0) (k = 0, n).

2

Ôîðìóëà Òåéëîðà ñ îñòàòî÷íûì ÷ëåíîì â ôîðìå Ïåàíî.Ïóñòü ó ôóíêöèè f â íåêîòîðîé òî÷êå x0 ñóùåñòâóþò ïðîèçâîäíûå âñåõ ïîðÿä-

êîâ äî n âêëþ÷èòåëüíî. Ýòî çíà÷èò, ÷òî ôóíêöèÿ îïðåäåëåíà è èìååò ïðîèçâîäíûåâñåõ ïîðÿäêîâ äî n− 1 âêëþ÷èòåëüíî â íåêîòîðîì îòðåçêå [a, b], ñîäåðæàùåì òî÷êóx0 è, êðîìå òîãî, èìååò ïðîèçâîäíóþ n-ãî ïîðÿäêà â ñàìîé òî÷êå x0 (åñëè x0 ÿâ-ëÿåòñÿ îäíèì èç êîíöîâ [a, b], òî ãîâîðÿ î ïðîèçâîäíûõ â ýòîé òî÷êå èìåþò â âèäóîäíîñòîðîííèå ïðîèçâîäíûå). Ñîñòàâèì ïîëèíîì

p(x) = f(x0) +f ′(x0)

1!(x− x0) +

f ′′(x0)

2!(x− x0)2 + . . .+

f (n)(x0)

n!(x− x0)n. (3.6)

Ñîãëàñíî çàìå÷àíèþ 3.1 ýòîò ïîëèíîì è åãî ïðîèçâîäíûå (äî n-é âêëþ÷èòåëüíî) âòî÷êå x0 èìåþò òå æå çíà÷åíèÿ, ÷òî è ôóíêöèÿ f(x) è åå ïðîèçâîäíûå. Ðàññìîòðèìðàçíîñòü

r(x) = f(x)− p(x). (3.7)

Ïîêàæåì, ÷òî ïðè x→ x0 ýòà ðàçíîñòü ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé áåñêîíå÷íî ìàëóþ ïîðÿä-êà âûøå ÷åì (x− x0)n, ò. å.

r(x) = o ((x− x0)n) ïðè x→ x0. (3.8)

Î÷åâèäíî, ÷òîr(x0) = r′(x0) = . . . = r(n)(x0) = 0. (3.9)

Ïðèìåíÿÿ n− 1 ðàç ïðàâèëî Ëîïèòàëÿ, èìååì

limx→x0

r(x)

(x− x0)n= lim

x→x0

r′(x)

n(x− x0)n−1= . . . = lim

x→x0

r(n−1)(x)

n!(x− x0)=

= limx→x0

r(n−1)(x)− r(n−1)(x0)

n!(x− x0)=r(n)(x0)

n!= 0,

ò. å. ñîîòíîøåíèå (3.8) äîêàçàíî. Èòàê, ìû óñòàíîâèëè ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå.

85

Òåîðåìà 3.1. Ïóñòü ôóíêöèÿ f(x), îïðåäåëåííàÿ íà [a, b], èìååò â òî÷êå x0 ∈ [a, b]ïðîèçâîäíûå äî n-ãî ïîðÿäêà âêëþ÷èòåëüíî. Òîãäà ïðè x→ x0

f(x) =n∑k=0

f (k)(x0)

k!(x− x0)k + o ((x− x0)n) . (3.10)

Åñëè x0 = a èëè x0 = b, òî ïîä ïðîèçâîäíûìè ïîíèìàþòñÿ ñîîòâåòñòâóþùèåîäíîñòîðîííèå ïðîèçâîäíûå.

Ôîðìóëà (3.10) íàçûâàåòñÿ ôîðìóëîé Òåéëîðà n-ãî ïîðÿäêà ñ îñòàòî÷íûì ÷ëåíîìâ ôîðìå Ïåàíî.

86

ËÅÊÖÈß 27

3

Ôîðìóëà Òåéëîðà ñ îñòàòî÷íûì ÷ëåíîì â ôîðìå Øëåìèëüõà è Ðîøà.Ïîëîæèì

rn(x) = f(x)−n∑k=0

f (k)(x0)

k!(x− x0)k. (3.11)

Äëÿ îïðåäåëåííîñòè áóäåì ðàññìàòðèâàòü îòðåçîê [x0, x0 +H] (H > 0 ) è áóäåì ñ÷è-òàòü ôóíêöèþ f îïðåäåëåííîé íà ýòîì îòðåçêå. Ñëó÷àé, êîãäà f çàäàíà íà [x0−H, x0]ðàññìàòðèâàåòñÿ àíàëîãè÷íî. Áóäåì ïðåäïîëàãàòü, ÷òî íà [x0, x0 +H] ñóùåñòâóþò níåïðåðûâíûõ ïðîèçâîäíûõ f ′(x), . . . , f (n)(x) è, êðîìå òîãî, ïî êðàéíåé ìåðå íà èí-òåðâàëå (x0, x0 +H), ñóùåñòâóåò ïðîèçâîäíàÿ f (n+1)(x). Ôèêñèðóåì x ∈ [x0, x0 +H] è,ïî îáðàçöó ïðàâîé ÷àñòè (3.11), ñîñòàâèì íîâóþ âñïîìîãàòåëüíóþ ôóíêöèþ

ϕ(z) = f(x)−n∑k=0

f (k)(z)

k!(x− z)k,

ïðè÷åì áóäåì ñ÷èòàòü íåçàâèñèìóþ ïåðåìåííóþ z èçìåíÿþùåéñÿ íà [x0, x].  ýòîìîòðåçêå ôóíêöèÿ ϕ(z) íåïðåðûâíà è ïðèíèìàåò íà åãî êîíöàõ çíà÷åíèÿ ϕ(x0) =rn(x), ϕ(x) = 0, êðîìå òîãî, â èíòåðâàëå (x0, x) ñóùåñòâóåò ïðîèçâîäíàÿ

ϕ′(z) = −f ′(z)−[f ′′(z)

1!(x− z)− f ′(z)

]−

−[f ′′′(z)

2!(x− z)2 − f ′′(z)

1!(x− z)

]−

−[f (IV )(z)

3!(x− z)3 − f ′′′(z)

2!(x− z)2

]−

. . .

−[f (n+1)(z)

n!(x− z)n − f (n)(z)

(n− 1)!(x− z)n−1

]èëè, ïîñëå óïðîùåíèÿ,

ϕ′(z) = −f(n+1)(z)

n!(x− z)n.

Âîçüìåì òåïåðü ïðîèçâîëüíóþ ôóíêöèþ ψ(z) íåïðåðûâíóþ íà [x0, x] è èìåþùóþ íåîáðàùàþùóþñÿ â íóëü ïðîèçâîäíóþ ψ′(z), ïî êðàéíåé ìåðå, íà (x0, x). Ê ôóíêöèÿìϕ(z) è ψ(z) ïðèìåíèì ôîðìóëó Êîøè

ϕ(x)− ϕ(x0)

ψ(x)− ψ(x0)=ϕ′(c)

ψ′(c),

ãäå x0 < c < x èëè c = x0 + θ(x− x0), ãäå 0 < θ < 1. Òàê êàê

ϕ(x) = 0, ϕ(x0) = rn(x), ϕ′(c) = −f(n+1)(c)

n!(x− c)n,

87

òî

rn(x) =ψ(x)− ψ(x0)

ψ′(c)

f (n+1)(c)

n!(x− c)n.

Òåïåðü, åñëè ïîäñòàâëÿòü âìåñòî ψ(z) ëþáûå óäîâëåòâîðÿþùèå ïîñòàâëåííûìóñëîâèÿì ôóíêöèè, ìû ïîëó÷èì ðàçëè÷íûå ôîðìû îñòàòî÷íîãî ÷ëåíà rn(x). Ïóñòü

ψ(z) = (x− z)p, ãäå p > 0.

Èìååìψ′(z) = −p(x− z)p−1 (x0 < z < x).

Î÷åâèäíî ýòà ôóíêöèÿ óäîâëåòâîðÿåò ïîñòàâëåííûì óñëîâèÿì. Ïîýòîìó

rn(x) =−(x− x0)p

−p(x− c)p−1

f (n+1)(c)

n!(x− c)n =

=f (n+1)(c)

n!p(x− c)n+1−p(x− x0)p.

Òàê êàê c = x0 + θ(x− x0), òî

x− c = x− x0 − θ(x− x0) = (1− θ)(x− x0)

è îêîí÷àòåëüíî

rn(x) =f (n+1)(x0 + θ(x− x0))

n!p(1− θ)n+1−p(x− x0)n+1, (3.12)

ãäå 0 < θ < 1. Ýòî âûðàæåíèå íàçûâàåòñÿ îñòàòî÷íûì ÷ëåíîì â ôîðìå Øëåìèëüõàè Ðîøà.

Èç íåãî, ïðèäàâàÿ p êîíêðåòíûå çíà÷åíèÿ, ìîæíî ïîëó÷àòü áîëåå ÷àñòíûå ôîðìûîñòàòî÷íîãî ÷ëåíà.

Ïîëîæèâ p = n+ 1, ïîëó÷èì îñòàòî÷íûé ÷ëåí â ôîðìå Ëàãðàíæà

rn(x) =f (n+1)(c)

(n+ 1)!(x− x0)n+1,

ãäå c ëåæèò íà èíòåðâàëå ñ êîíöàìè â òî÷êàõ x0 è x. Ôîðìóëà Òåéëîðà ñ îñòàòî÷íûì÷ëåíîì â ôîðìå Ëàãðàíæà èìååò âèä

f(x) = f(x0) +f ′(x0)

1!(x− x0) +

f ′′(x0)

2!(x− x0)2 + . . .+

f (n)(x0)

n!(x− x0)n+

+f (n)(c)

(n+ 1)!(x− x0)n+1,

(3.13)

ãäå c = x0 + θ(x − x0), 0 < θ < 1. Åñëè ïîëîæèòü â (3.12) p = 1, òî ïðèõîäèì êîñòàòî÷íîìó ÷ëåíó â ôîðìå Êîøè

rn(x) =f (n+1)(x0 + θ(x− x0))

n!p(1− θ)n(x− x0)n+1.

88

4

Ïîëîæèì â ôîðìóëå (3.13) x0 = 0, à âìåñòî c áóäåì ïèñàòü θ, ãäå θ ∈ (0, 1). Èìååì

f(x) = f(0) +f ′(0)

1!x+

f ′′(0)

2!x2 + . . .+

f (n)(0)

n!xn +

f (n+1)(θx)

(n+ 1)!xn+1. (3.14)

Åñëè îòáðîñèòü îñòàòî÷íûé ÷ëåí, òî ïîëó÷èòñÿ ïðèáëèæåííàÿ ôîðìóëà

f(x) ≈ f(0) +f ′(0)

1!x+

f ′′(0)

2!x2 + . . .+

f (n)(0)

n!xn,

çàìåíÿþùàÿ ôóíêöèþ ñëîæíîé ïðèðîäû ïîëèíîìîì.Ìîæíî îöåíèòü ïîãðåøíîñòü ýòîé ôîðìóëû, íàïðèìåð, åñëè n + 1 ïðîèçâîäíàÿ

(ïî êðàéíåé ìåðå ïðè èçìåíåíèè àðãóìåíòà ìåæäó 0 è x) îãðàíè÷åíà ïîñòîÿííîé M,òî

|rn(x)| 6 M

(n+ 1)!|x|n+1.

89

ËÅÊÖÈß 28

Ïðèìåðû.

1. f(x) = ex. Ïðèáëèæåííàÿ ôîðìóëà

ex ≈ 1 +x

1!+ . . .+

xn

n!.

Òàê êàê îñòàòî÷íûé ÷ëåí çäåñü

rn(x) =eθx

(n+ 1)!xn+1,

òî, íàïðèìåð, ïðè x > 0 ïîãðåøíîñòü îöåíèâàåòñÿ òàê

|rn(x)| 6 exxn+1

(n+ 1)!.

 ÷àñòíîñòè, åñëè x = 1,

e ≈ 1 +1

1!+ . . .+

1

n!, |rn(1)| 6 3

(n+ 1)!.

2. f(x) = sin x. Ïðèáëèæåííàÿ ôîðìóëà

sinx ≈ x− x3

3!+x5

5!+ . . .+ (−1)m−1 x2m−1

(2m− 1)!.

 ýòîì ñëó÷àå îñòàòî÷íûé ÷ëåí

r2m(x) =sin(θx+ (2m+ 1)π

2

)(2m+ 1)!

x2m+1 =

= (−1)m cos θxx2m+1

(2m+ 1)!

è ïîãðåøíîñòü îöåíèâàåòñÿ ëåãêî

|r2m(x)| 6 |x|2m+1

(2m+ 1)!.

3. f(x) = cos x. Ïðèáëèæåííàÿ ôîðìóëà

cosx ≈ 1− x2

2!+x4

4!+ . . .+ (−1)m

x2m

(2m)!,

ïðè÷åì

r2m+1(x) = (−1)m+1 cos θxx2m+2

(2m+ 2)!

òàê ÷òî

|r2m+1(x)| 6 |x|2m+2

(2m+ 2)!.

90

�4. Èíòåðïîëÿöèîííûé ìíîãî÷ëåí Ëàãðàíæà

1

Ðàññìîòðèì äâå ãðóïïû èç n âåùåñòâåííûõ ÷èñåë

x1, x2, . . . , xn, (4.1)

y1, y2, . . . , yn, (4.2)

ïðè÷åì âñå ÷èñëà (4.1) ðàçëè÷íû ìåæäó ñîáîé. Òðåáóåòñÿ íàéòè ïîëèíîì L(x) ïîâîçìîæíîñòè íàèìåíüøåé ñòåïåíè òàê, ÷òîáû îêàçàëîñü

L(xi) = yi (i = 1, n). (4.3)

Äëÿ ðåøåíèÿ ýòîé çàäà÷è äîñòàòî÷íî çàìåòèòü, ÷òî ïîëèíîì

lk(x) =(x− x1) . . . (x− xk−1)(x− xk+1) . . . (x− xn)

(xk − x1) . . . (xk − xk−1)(xk − xk+1) . . . (xk − xn)(4.4)

òàêîâ, ÷òî

lk(xi) =

{0 ïðè i 6= k,

1 ïðè i = k.

Ïîýòîìó ïîëèíîì

L(x) =n∑k=1

yklk(x) (4.5)

óäîâëåòâîðÿåò òðåáîâàíèÿì (4.3). Ñòåïåíü ýòîãî ïîëèíîìà íå âûøå n − 1. Ñ äðóãîéñòîðîíû, íèêàêîãî äðóãîãî ïîëèíîìàM(x) ñòåïåíè íå âûøå n−1, óäîâëåòâîðÿþùåãîòðåáîâàíèÿì (4.3), ñóùåñòâîâàòü íå ìîæåò, èáî èíà÷å ðàçíîñòü L(x)−M(x) áûëà áûíå òîæäåñòâåííûì íóëþ ïîëèíîìîì ñòåïåíè íå âûøå n−1, èìåþùèì n êîðíåé (4.1),÷òî íåâîçìîæíî. Òàêèì îáðàçîì, ïîëèíîì L(x) è ÿâëÿåòñÿ åäèíñòâåííûì ðåøåíèåìïîñòàâëåííîé çàäà÷è. Ôîðìóëà (4.5), äàþùàÿ åãî ïðåäñòàâëåíèå ÷åðåç xi è yi íàçûâà-åòñÿ èíòåðïîëÿöèîííîé ôîðìóëîé Ëàãðàíæà. Ïîëèíîìó lk(x) (êîòîðûé íàçûâàåòñÿôóíäàìåíòàëüíûì ïîëèíîìîì) ìîæíî äàòü áîëåå êîìïàêòíîå âûðàæåíèå. Èìåííî,åñëè ìû ïîëîæèì

ω(x) = (x− x1)(x− x2) . . . (x− xn), (4.6)

òî îêàæåòñÿ

(x− x1) . . . (x− xk−1)(x− xk+1) . . . (x− xn) =ω(x)

x− xk,

(xk − x1) . . . (xk − xk−1)(xk − xk+1) . . . (xk − xn) = limx→xk

ω(x)

x− xk= ω′(xk)

è ïîòîìó

lk(x) =ω(x)

ω′(xk)(x− xk). (4.7)

Åñëè P (x) åñòü íåêîòîðûé ïîëèíîì ñòåïåíè íå âûøå n−1, à x1, x2, . . . , xn � ðàçëè÷-íûå çíà÷åíèÿ àðãóìåíòà, òî ñïðàâåäëèâî òîæäåñòâî

P (x) =n∑k=1

P (xk)lk(x), (4.8)

91

èáî îáå åãî ÷àñòè ñóòü ïîëèíîìû ñòåïåíè íèæå n, ñîâïàäàþùèå â n òî÷êàõ.  ÷àñò-íîñòè

n∑k=1

lk(x) = 1. (4.9)

2

Åñëè æå f(x) åñòü ïðîèçâîëüíàÿ ôóíêöèÿ, çàäàííàÿ íà íåêîòîðîì îòðåçêå [a, b] èóçëû xi âçÿòû èç ýòîãî îòðåçêà, òî ïîëèíîì

L(x) =n∑k=1

f(xk)lk(x) (4.10)

åñòü åäèíñòâåííûé ïîëèíîì ñòåïåíè íå âûøå n−1, êîòîðûé ñîâïàäàåò ñ f(x) â óçëàõxi. Ðàçóìååòñÿ, ÷òî ïðè x 6= xi ñîâïàäåíèÿ L(x) è f(x) ìîæåò è íå áûòü. Ïîëè-íîì (4.10) íàçûâàåòñÿ èíòåðïîëÿöèîííûì ïîëèíîìîì Ëàãðàíæà äëÿ ôóíêöèè f(x).×òîáû ïîä÷åðêíóòü åãî çàâèñèìîñòü îò ýòîé ôóíêöèè, ìû áóäåì èíîãäà îáîçíà÷àòüåãî ÷åðåç L(f ;x). Ôîðìóëà (4.8) îçíà÷àåò, ÷òî

L(P ;x) = P (x), (4.11)

åñëè P (x) � ïîëèíîì ñòåïåíè íèæå n.Ïóñòü f(x) � ôóíêöèÿ, çàäàííàÿ íà [a, b] è èìåþùàÿ òàì êîíå÷íóþ ïðîèçâîäíóþ

ïîðÿäêà n. Òîãäà ìîæíî íàéòè óäîáíîå âûðàæåíèå äëÿ ðàçíîñòè f(x)−L(x) ïðè x íåñîâïàäàþùåì íè ñ îäíèì èç óçëîâ xi. Äåéñòâèòåëüíî, ïîëîæèì äëÿ òàêîãî x (ñ÷èòàÿåãî çàêðåïëåííûì â îòðåçêå [a, b])

K =f(x)− L(x)

ω(x)(4.12)

è ïóñòüϕ(z) = f(z)− L(z)−Kω(z).

Ýòà ôóíêöèÿ çàäàíà íà [a, b] è èìååì òàì êîíå÷íóþ ïðîèçâîäíóþ ïîðÿäêà n,ïðè÷åì

ϕ(n)(z) = f (n)(z)−Kn!, (4.13)

èáî L(z) åñòü ïîëèíîì ñòåïåíè íèæå n, à ω(n)(z) = n!. Î÷åâèäíî, ÷òî

ϕ(x0) = ϕ(x1) = . . . = ϕ(xn) = 0.

Êðîìå òîãî, â ñèëó (4.12)ϕ(x) = 0.

Çíà÷èò, â n èíòåðâàëàõ ìåæäó n+1 òî÷êàìè x1, x2, . . . , xn èìååòñÿ n êîðíåé ïðîèçâîä-íîé ϕ′(z) (ïðè÷åì âñå îíè îêàçûâàþòñÿ ðàçëè÷íûìè ìåæäó ñîáîé (òåîðåìà Ðîëëÿ)).Âòîðè÷íîå ïðèìåíåíèå òåîðåìû Ðîëëÿ ïîêàçûâàåò, ÷òî â n − 1 èíòåðâàëàõ ìåæäóêîðíÿìè ϕ′(z) èìååòñÿ n− 1 (ðàçëè÷íûõ) êîðíåé âòîðîé ïðîèçâîäíîé ϕ′′(z). Ïðîäîë-æàÿ ýòî ðàññìîòðåíèå, óáåäèìñÿ, ÷òî ìåæäó íàèáîëüøèì è íàèìåíüøèì èç ÷èñåëx, x1, . . . , xn îáÿçàòåëüíî èìååòñÿ êîðåíü n-é ïðîèçâîäíîé ϕ(n)(z). Îáîçíà÷àÿ åãî ÷å-ðåç γ, ïîëó÷àåì èç (4.13)

K =f (n)(γ)

n!

92

ËÅÊÖÈß 29

ÃËÀÂÀ 7. ÈÑÑËÅÄÎÂÀÍÈÅÔÓÍÊÖÈÉÑÏÎÌÎ-ÙÜÞ ÏÐÎÈÇÂÎÄÍÛÕ

�1. Ïðèçíàê ìîíîòîííîñòè ôóíêöèè. Ýêñòðåìóìû

1

Òåîðåìà 1.1. Äëÿ òîãî, ÷òîáû äèôôåðåíöèðóåìàÿ íà èíòåðâàëå (a, b) ôóíêöèÿ fâîçðàñòàëà (óáûâàëà) íà ýòîì èíòåðâàëå íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû âî âñåõåãî òî÷êàõ ïðîèçâîäíàÿ áûëà íåîòðèöàòåëüíîé, f ′(x) > 0 (ñîîòâåòñòâåííî íåïîëî-æèòåëüíîé, f ′(x) 6 0 ). Åñëè âñþäó íà (a, b) ïðîèçâîäíàÿ ïîëîæèòåëüíàÿ, f ′(x) > 0(ñîîòâåòñòâåííî îòðèöàòåëüíàÿ, f ′(x) < 0), òî ôóíêöèÿ f ñòðîãî âîçðàñòàåò(ñòðîãî óáûâàåò) íà ðàññìàòðèâàåìîì èíòåðâàëå.

I Íåîáõîäèìîñòü. Åñëè ôóíêöèÿ f âîçðàñòàåò (óáûâàåò) íà (a, b), òî äëÿ ëþáîéòî÷êè x0 ∈ (a, b) ïðè ∆x > 0 èìååì

∆y = f(x0 + ∆x)− f(x0) > 0 (∆y 6 0).

Ïîýòîìó∆y

∆x> 0

(∆y

∆x6 0

). Ïåðåõîäÿ ê ïðåäåëó ïðè ∆x→ +0, ïîëó÷èì

f ′(x0) > 0 (f ′(x0) 6 0).

Äîñòàòî÷íîñòü. Ïóñòü a < x1 < x2 < b. Òîãäà ïî ôîðìóëå Ëàãðàíæà

f(x2)− f(x1) = f ′(γ)(x2 − x1),

ãäå x1 < γ < x2. Òàê êàê x2 − x1 > 0, òî ïðè f ′(x) > 0 íà (a, b) (îòñþäà ñëåäóåò,â ÷àñòíîñòè, f ′(γ) > 0 ) áóäåì èìåòü f(x2) > f(x1), ò. å. ôóíêöèÿ f âîçðàñòàåò.Àíàëîãè÷íî ïðè f ′(x) 6 0 íà (a, b) èìååì f ′(γ) 6 0 è, ñëåäîâàòåëüíî, f(x2) 6 f(x1),ò. å. ôóíêöèÿ f óáûâàåò.

Åñëè æå f ′(x) > 0 íà (a, b), òî f ′(γ) > 0 è ïîòîìó f(x2) > f(x1), ò. å. ôóíêöèÿ fñòðîãî âîçðàñòàåò. Ïóñòü òåïåðü f ′(x) < 0 íà (a, b). Òîãäà f ′(γ) < 0, à, ñëåäîâàòåëüíî,f(x2) < f(x1), ò. å. f ñòðîãî óáûâàåò. J

2

Ïóñòü ôóíêöèÿ f îïðåäåëåíà íà èíòåðâàëå P è èìååò ýêñòðåìóì â òî÷êå a ∈ P. Åñ-ëè f äèôôåðåíöèðóåìà â a, òî f ′(a) = 0. Òàêèì îáðàçîì, åñëè a � òî÷êà ýêñòðåìóìàôóíêöèè f, òî ëèáî â íåé ïðîèçâîäíàÿ ðàâíà íóëþ èëè íå ñóùåñòâóåò.

Òî÷êà a íàçûâàåòñÿ ñòàöèîíàðíîé òî÷êîé ôóíêöèè f, åñëè f äèôôåðåíöèðóåìà âýòîé òî÷êå è f ′(a) = 0.

Òåîðåìà 1.2. Ïóñòü ôóíêöèÿ f èìååò â òî÷êå a, ïðèíàäëåæàùåé îòêðûòîìóïðîìåæóòêó P, ïðîèçâîäíûå äî n-ãî ïîðÿäêà âêëþ÷èòåëüíî. Òîãäà åñëè f ′(a) =0, f ′′(a) = 0, . . . , f (n−1)(a) = 0, à f (n)(a) 6= 0, òî:

94

à) â ñëó÷àå n = 2m (ò. å. êîãäà ïåðâàÿ îòëè÷íàÿ îò íóëÿ ïðîèçâîäíàÿ â òî÷êå a÷åòíîãî ïîðÿäêà) ïðè f (n)(a) < 0 â òî÷êå a èìååò ìåñòî ñòðîãèé ìàêñèìóì,à ïðè f (n)(a) > 0 � ñòðîãèé ìèíèìóì;

á) â ñëó÷àå n = 2m+1 (ò. å. êîãäà ïåðâàÿ îòëè÷íàÿ îò íóëÿ ïðîèçâîäíàÿ â òî÷êåa íå÷åòíîãî ïîðÿäêà) â òî÷êå a íåò ýêñòðåìóìà.

 ÷àñòíîñòè, åñëè n = 2, f ′(a) = 0, f ′′(a) 6= 0, òî ïðè f ′′(a) < 0 â òî÷êå a èìååòñÿñòðîãèé ìàêñèìóì, à ïðè f ′′(a) > 0 � ñòðîãèé ìèíèìóì. Åñëè n = 3, f ′(a) =f ′′(a) = 0, f ′′′(a) 6= 0, òî â òî÷êå a íåò ýêñòðåìóìà.

I Òàê êàê f ′(a) = . . . = f (n−1)(a) = 0, f (n)(a) 6= 0, òî ôîðìóëà Òåéëîðà ñîñòàòî÷íûì ÷ëåíîì â ôîðìå Ïåàíî èìååò âèä

f(x) = f(a) +f (n)(a)

n!+ o((x− a)n) (x→ a). (1.1)

Åñëè îñòàòî÷íûé ÷ëåí çàïèñàòü â âèäå

o((x− a)n) = α(x)(x− a)n,

ãäå α(x) áåñêîíå÷íî ìàëàÿ ïðè x→ a, òî ðàâåíñòâî (1.1) ïðèìåò âèä

f(x)− f(a) =

(f (n)(a)

n!+ α(x)

)(x− a)n. (1.2)

Òàê êàê limx→a

α(x) = 0, òî ñóùåñòâóåò òàêîå δ > 0, ÷òî ïðè 0 < |x− a| < δ âûðàæåíèå

f (n)(a)

n!+ α(x)

èìååò òîò æå çíàê, ÷òî è f (n)(a). Åñëè n = 2m è 0 < |x− a| < δ, òî ïðè f (n)(a) < 0 âñèëó (1.2)

f(x) < f(a),

à ïðè f (n)(a) > 0f(x) > f(a).

Òàêèì îáðàçîì, ïðè f (n)(a) < 0 ôóíêöèÿ f èìååò â òî÷êå a ñòðîãèé ìàêñèìóì, à ïðèf (n)(a) > 0 � ñòðîãèé ìèíèìóì.

Åñëè n = 2m + 1, òî â ñèëó (1.2) ðàçíîñòü f(x) − f(a) èìååò ðàçíûå çíàêè íàèíòåðâàëàõ (a− δ, a) è (a, a+ δ). Ïîýòîìó â òî÷êå a íåò ëîêàëüíîãî ýêñòðåìóìà. J

Òåîðåìà 1.3. Ïóñòü ôóíêöèÿ f íåïðåðûâíà íà èíòåðâàëå (a − δ, a + δ), èìååòïðîèçâîäíóþ íà ýòîì èíòåðâàëå, çà èñêëþ÷åíèåì áûòü ìîæåò òî÷êè a. Òîãäà åñëèf ′(x) < 0 (f ′(x) > 0) ïðè a− δ < x < a è f ′(x) > 0 (f ′(x) < 0) ïðè a < x < a + δ, òîâ òî÷êå a ôóíêöèÿ f èìååò ñòðîãèé ìèíèìóì (ìàêñèìóì).

I Ïóñòü, íàïðèìåð, f ′(a) < 0 ïðè a − δ < x < a è f ′(x) > 0 ïðè a < x < a + δ.Ôóíêöèÿ f íåïðåðûâíà íà ïîëóèíòåðâàëå (a− δ, a]. Â ñèëó ôîðìóëû Ëàãðàíæà

f(x)− f(a) = f ′(γ)(x− a),

ãäå x ∈ (a−δ, a), x < γ < a. Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî f(x) > f(a) ïðè x ∈ (a−δ, a). Òî÷íîòàê æå äîêàçûâàåòñÿ, ÷òî f(x) > f(a) ïðè x ∈ (a, a + δ). Ñëåäîâàòåëüíî, ôóíêöèÿ fèìååò â òî÷êå a ñòðîãèé ìèíèìóì. J

95

Çàìå÷àíèå 1.1. Î÷åâèäíî, ÷òî åñëè f ′(x) èìååò îäèíàêîâûå çíàêè íà èíòåðâàëàõ(a− δ, a), (a, a+ δ), òî â òî÷êå a íåò ýêñòðåìóìà.

Çàìå÷àíèå 1.2. Òåîðåìîé 1.3 óäîáíî ïîëüçîâàòüñÿ è â òîì ñëó÷àå, êîãäà ñóùåñòâó-þò ïðîèçâîäíûå ôóíêöèè f â òî÷êå a, íî èõ âû÷èñëåíèå ïðèâîäèò ê ãðîìîçäêèìâûêëàäêàì.

3

Ïóñòü ôóíêöèÿ f îïðåäåëåíà è íåïðåðûâíà íà îòðåçêå [a, b]. Òðåáóåòñÿ íàéòè ååíàèáîëüøåå çíà÷åíèå.

Åñëè îíî äîñòèãàåòñÿ â íåêîòîðîé òî÷êå èíòåðâàëà (a, b), òî ýòà òî÷êà áóäåò òî÷êîéìàêñèìóìà, íî íàèáîëüøåå çíà÷åíèå ìîæåò äîñòèãàòüñÿ è íà îäíîì èç êîíöîâ îòðåçêàa èëè b. Òàêèì îáðàçîì, íóæíî ñðàâíèòü ìåæäó ñîáîé âñå ìàêñèìóìû ôóíêöèè f èåå ãðàíè÷íûå çíà÷åíèÿ f(a) è f(b). Íàèáîëüøåå èç ýòèõ ÷èñåë è áóäåò íàèáîëüøèìèç âñåõ çíà÷åíèé f íà [a, b]. Àíàëîãè÷íî ðàçûñêèâàåòñÿ è íàèìåíüøåå çíà÷åíèå.

96

ËÅÊÖÈß 30

�2. Àñèìïòîòû

Îïðåäåëåíèå 2.1. Ïðÿìàÿ x = a íàçûâàåòñÿ âåðòèêàëüíîé àñèìïòîòîé ãðàôèêàôóíêöèè y = f(x), åñëè õîòÿ áû îäèí èç ïðåäåëîâ lim

x→a−0f(x) è lim

x→a+0f(x) ðàâåí +∞

èëè −∞.

Îïðåäåëåíèå 2.2. Ïðÿìàÿ y = kx + b íàçûâàåòñÿ íàêëîííîé àñèìïòîòîé ãðàôèêàôóíêöèè y = f(x) ïðè x→ +∞ (x→ −∞), åñëè

limx→+∞

(f(x)− kx− b) = 0

(lim

x→−∞(f(x)− kx− b) = 0

). (2.1)

Òåîðåìà 2.1. Äëÿ òîãî, ÷òîáû ïðÿìàÿ y = kx + b áûëà íàêëîííîé àñèìïòîòîé êãðàôèêó ôóíêöèè f(x) ïðè x → +∞ (x → −∞) íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáûñóùåñòâîâàëè ïðåäåëû

limx→+∞

f(x)

x= k, lim

x→+∞(f(x)− kx) = b (2.2)(

limx→−∞

f(x)

x= k, lim

x→−∞(f(x)− kx) = b

).

I Äëÿ îïðåäåëåííîñòè áóäåì ðàññìàòðèâàòü ñëó÷àé, êîãäà x→ +∞.Íåîáõîäèìîñòü. Ïóñòü y = kx + b � íàêëîííàÿ àñèìïòîòà ê ãðàôèêó ôóíêöèè

f(x) ïðè x→ +∞. Òîãäà â ñèëó ðàâåíñòâà (2.1) èç ðàâåíñòâ

f(x)

x=f(x)− kx− b

x+kx+ b

x,

f(x)− kx = (f(x)− kx− b) + b

ñëåäóåò, ÷òî

limx→+∞

f(x)

x= k, lim

x→+∞(f(x)− kx) = b.

Äîñòàòî÷íîñòü. Ïóñòü ñóùåñòâóþò ïðåäåëû (2.2). Òîãäà èç (2.2) ñëåäóåò, ÷òî

limx→+∞

(f(x)− kx− b) = 0,

ò. å. ïðÿìàÿ y = kx+b ÿâëÿåòñÿ íàêëîííîé àñèìïòîòîé ãðàôèêà f(x) ïðè x→ +∞. J

�3. Âûïóêëîñòü è òî÷êè ïåðåãèáà

1

Ïóñòü ôóíêöèÿ f îïðåäåëåíà íà èíòåðâàëå (a, b) è ïóñòü a < x1 < x2 < b. Ïðîâå-äåì ÷åðåç òî÷êè A(x1, f(x1)) è B(x2, f(x2)), ëåæàùèå íà ãðàôèêå ôóíêöèè f, ïðÿìóþ.Åå óðàâíåíèå áóäåò

y = f(x2)x− x1

x2 − x1

+ f(x1)x2 − xx2 − x1

.

97

Îáîçíà÷èì ïðàâóþ ÷àñòü ýòîãî óðàâíåíèÿ ÷åðåç l(x). Òîãäà îíî êðàòêî çàïèøåòñÿâ âèäå

y = l(x).

Î÷åâèäíî l(x1) = f(x1), l(x2) = f(x2). Òàêèì îáðàçîì, l(x) ÿâëÿåòñÿ èíòåðïîëÿ-öèîííûì ïîëèíîìîì Ëàãðàíæà ïåðâîãî ïîðÿäêà ôóíêöèè f íà îòðåçêå [x1, x2].

Îïðåäåëåíèå 3.1. Ôóíêöèÿ f íàçûâàåòñÿ âûïóêëîé ââåðõ (âûïóêëîé âíèç) íà èí-òåðâàëå (a, b), åñëè êàêîâû áû íè áûëè òî÷êè x1 è x2 òàêèå, ÷òî a < x1 < x2 < b, äëÿëþáîé òî÷êè x0 ∈ (x1, x2) âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî

l(x0) 6 f(x0), (3.1)

(l(x0) > f(x0)). (3.2)

Ãåîìåòðè÷åñêè ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ëþáàÿ òî÷êà õîðäû AB (ò. å. îòðåçêà ïðÿìîéy = l(x) ñ êîíöàìè â òî÷êàõ A è B) ëåæèò íå âûøå (íå íèæå) òî÷êè ãðàôèêà ôóíêöèèf, ñîîòâåòñòâóþùåé òîìó æå çíà÷åíèþ àðãóìåíòà.

Îïðåäåëåíèå 3.2. Åñëè âìåñòî (3.1) è (3.2) âûïîëíÿåòñÿ ñòðîãîå íåðàâåíñòâî l(x0) <f(x0) è ñîîòâåòñòâåííî l(x0) > f(x0) ïðè ëþáûõ x0, x1 è x2 òàêèõ, ÷òî a < x1 < x0 <x2 < b, òî ôóíêöèÿ f íàçûâàåòñÿ ñòðîãî âûïóêëîé ââåðõ (ñòðîãî âûïóêëîé âíèç) íàèíòåðâàëå (a, b).

Îïðåäåëåíèå 3.3. Âñÿêèé èíòåðâàë, íà êîòîðîì ôóíêöèÿ (ñòðîãî) âûïóêëà ââåðõ,ñîîòâåòñòâåííî âíèç, íàçûâàåòñÿ èíòåðâàëîì (ñòðîãîé) âûïóêëîñòè ââåðõ, ñîîòâåò-ñòâåííî âíèç.

Òåîðåìà 3.1 (äîñòàòî÷íîå óñëîâèå ñòðîãîé âûïóêëîñòè). Ïóñòü ôóíêöèÿ f äâàæäûäèôôåðåíöèðóåìà íà èíòåðâàëå (a, b). Òîãäà åñëè f ′′(x) < 0 íà (a, b), òî f ñòðî-ãî âûïóêëà ââåðõ, à åñëè f ′′(x) > 0 íà (a, b), òî f ñòðîãî âûïóêëà âíèç íà ýòîìèíòåðâàëå.

I Ïóñòü a < x1 < x0 < x2 < b. Òîãäà ïî èíòåðïîëÿöèîííîé ôîðìóëå Ëàãðàíæà ñîñòàòî÷íûì ÷ëåíîì (ôîðìóëà (4.14) ãëàâû 6),

l(x0)− f(x0) =f (2)(c)

2!(x0 − x1)(x2 − x0),

ãäå c ∈ (x1, x2). Îòñþäà âèäíî, ÷òî åñëè f ′′(x) < 0 íà (a, b) è, ñëåäîâàòåëüíî, f ′′(c) < 0,òî l(x0) < f(x0), ò. å. ôóíêöèÿ f ñòðîãî âûïóêëà ââåðõ, åñëè æå f ′′(x) > 0 íà (a, b),òî l(x0) > f(x0), ò. å. ôóíêöèÿ f âûïóêëà âíèç. J

2

Òåîðåìà 3.2. Ïóñòü ôóíêöèÿ f èìååò íà èíòåðâàëå (a, b) ïîëîæèòåëüíóþ (îò-ðèöàòåëüíóþ) âòîðóþ ïðîèçâîäíóþ f ′′(x) > 0 (ñîîòâåòñòâåííî f ′′(x) < 0) ïðèx ∈ (a, b). Òîãäà êàêîâà áû íè áûëà òî÷êà x0 ∈ (a, b) âñå òî÷êè (x, f(x)) ïðè x ∈ (a, b)ãðàôèêà ôóíêöèè f ëåæàò âûøå (ñîîòâåòñòâåííî íèæå) êàñàòåëüíîé, ïðîâåäåí-íîé ê íåìó â òî÷êå (x0, f(x0)) (èñêëþ÷åíèåì ÿâëÿåòñÿ åñòåñòâåííî ñàìà ýòà òî÷êà,êîòîðàÿ ëåæèò íà óêàçàííîé êàñàòåëüíîé).

98

I Óðàâíåíèåì êàñàòåëüíîé ê ãðàôèêó ôóíêöèè f â òî÷êå (x0, f(x0)) áóäåò

y = f ′(x0)(x− x0) + f(x0).

Îáîçíà÷èì ïðàâóþ ÷àñòü ýòîãî óðàâíåíèÿ ÷åðåç L(x). Òîãäà, ïðèìåíèâ òåîðåìóËàãðàíæà ê ðàçíîñòè f(x)− f(x0), ïîëó÷èì

f(x)− L(x) = f(x)− f(x0)− f ′(x0)(x− x0) =

= f ′(γ)(x− x0)− f ′(x0)(x− x0) = (f ′(γ)− f ′(x0))(x− x0),

ãäå a < x0 < b, a < x < b, à òî÷êà γ ëåæèò ìåæäó x è x0.Ïðèìåíèâ åùå ðàç òåîðåìó Ëàãðàíæà, íî óæå ê f ′(γ)− f ′(x0), ïîëó÷èì

f(x)− L(x) = f ′′(η)(γ − x0)(x− x0),

ãäå òî÷êà η ëåæèò ìåæäó γ è x0. Ïðè x 6= x0 èìååì (γ − x0)(x − x0) > 0, èáî òî÷êàγ âñåãäà ëåæèò ìåæäó x è x0 è, ñëåäîâàòåëüíî, ïî òó æå ñòîðîíó îò òî÷êè x0, ÷òîè x.  ñèëó ýòîãî çíàê ðàçíîñòè f(x) − L(x) ñîâïàäàåò ïðè x 6= x0 ñî çíàêîì f ′′(η).Ïîýòîìó åñëè íà èíòåðâàëå (a, b) âòîðàÿ ïðîèçâîäíàÿ ïîëîæèòåëüíà (ñëåäîâàòåëüíî,îíà ïîëîæèòåëüíà è â òî÷êå η), òî äëÿ âñåõ x ∈ (a, b), êðîìå òî÷êè x0, âûïîëíÿåòñÿíåðàâåíñòâî f(x) − L(x) > 0. Åñëè æå âòîðàÿ ïðîèçâîäíàÿ îòðèöàòåëüíà, òî äëÿóêàçàííûõ òî÷åê ñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâî f(x)− L(x) < 0. J

3

Ïóñòü ôóíêöèÿ f íåïðåðûâíà íà èíòåðâàëå (a, b), x0 ∈ (a, b). Òîãäà åñëè ýòà ôóíê-öèÿ ïðè ïåðåõîäå ÷åðåç òî÷êó x0 ìåíÿåò íàïðàâëåíèå âûïóêëîñòè, ò. å. ñóùåñòâóåòδ > 0 òàêîå, ÷òî íà îäíîì èç èíòåðâàëîâ (x0 − δ, x0), (x0, x0 + δ) îíà âûïóêëà ââåðõ,à íà äðóãîì âíèç, òî x0 íàçûâàåòñÿ òî÷êîé ïåðåãèáà ôóíêöèè f, à òî÷êà (x0, f(x0))íàçûâàåòñÿ òî÷êîé ïåðåãèáà ãðàôèêà ôóíêöèè.

Òåîðåìà 3.3 (íåîáõîäèìîå óñëîâèå òî÷êè ïåðåãèáà). Ïóñòü ôóíêöèÿ f çàäàíà íàèíòåðâàëå (a, b), x0 ∈ (a, b). Òîãäà åñëè â òî÷êå x0 ñóùåñòâóåò âòîðàÿ ïðîèçâîäíàÿè òî÷êà x0 ÿâëÿåòñÿ òî÷êîé ïåðåãèáà ôóíêöèè f , òî f ′′(x0) = 0.

I Èç îïðåäåëåíèÿ âûïóêëîñòè ñëåäóåò, ÷òî åñëè g âûïóêëà âíèç (ââåðõ) íà èí-òåðâàëå (c, d), òî ïðè ëþáûõ x1, x2 ∈ (c, d) èìååì ìåñòî íåðàâåíñòâî

g(x1) + g(x2)− 2g

(x1 + x2

2

)> 0(

g(x1) + g(x2)− 2g

(x1 + x2

2

)6 0

).

Íå îãðàíè÷èâàÿ îáùíîñòè, áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî f âûïóêëà âíèç ñëåâà îò òî÷êè x0

è âûïóêëà ââåðõ ñïðàâà îò íåå. Ïóñòü t > 0 òàêîâî, ÷òî x0 ± t ∈ (a, b). Ïðèìåíÿÿôîðìóëó Òåéëîðà ñ îñòàòî÷íûì ÷ëåíîì â ôîðìå Ïåàíî, èìååì

0 6 f(x0 − 2t)− 2f(x0 − t) + f(x0) = f(x0)− f ′(x0)2t+

+f ′′(x0)

2!(2t)2 + o(t2)− 2f(x0) + f ′(x0)2t− 2

f ′′(x0)

2!t2+

+ o(t2) + f(x0) = f ′′(x0)t2 + o(t2)

99

ïðè t→ 0. Òàêèì îáðàçîì,

f ′′(x0) = limt→+0

f(x0 − 2t)− 2f(x0 − t) + f(x0)

t2> 0.

Àíàëîãè÷íî

0 > f(x0 + 2t)− 2f(x0 + t) + f(x0) = f ′′(x0)t2 + o(t2)

è ïîòîìó f ′′(x0) 6 0. Îñòàëîñü ñîïîñòàâèòü ïîëó÷åííûå íåðàâåíñòâà. JÏîäîáíî òîìó êàê âñå òî÷êè ýêñòðåìóìà ôóíêöèè ïðèíàäëåæàò ìíîæåñòâó òî-

÷åê, â êîòîðûõ ïðîèçâîäíàÿ ëèáî ðàâíà íóëþ, ëèáî íå ñóùåñòâóåò, òàê è âñå òî÷êèïåðåãèáà ôóíêöèè âõîäÿò â ìíîæåñòâî òî÷åê, â êîòîðûõ âòîðàÿ ïðîèçâîäíàÿ ëèáîðàâíà íóëþ, ëèáî íå ñóùåñòâóåò.

4

Ïîñòðîåíèå ãðàôèêîâ ôóíêöèé. Èçó÷åíèå çàäàííîé ôóíêöèè è ïîñòðîåíèå ååãðàôèêà ñ ïîìîùüþ ðàçâèòîãî â ýòîé ãëàâå àíàëèòè÷åñêîãî àïïàðàòà öåëåñîîáðàçíîïðîâîäèòü â ñëåäóþùåì ïîðÿäêå.

1. Îïðåäåëèòü îáëàñòü ñóùåñòâîâàíèÿ ôóíêöèè, îáëàñòü íåïðåðûâíîñòè è òî÷êèðàçðûâà.

2. Íàéòè àñèìïòîòû.

3. Âû÷èñëèòü ïåðâóþ, à åñëè íóæíî è âòîðóþ ïðîèçâîäíóþ.

4. Íàéòè òî÷êè â êîòîðûõ ïåðâàÿ è âòîðàÿ ïðîèçâîäíàÿ ëèáî íå ñóùåñòâóþò, ëèáîðàâíû íóëþ.

5. Ñîñòàâèòü òàáëèöó èçìåíåíèÿ çíàêà ïåðâîé è âòîðîé ïðîèçâîäíîé. Îïðåäåëèòüïðîìåæóòêè âîçðàñòàíèÿ, óáûâàíèÿ, âûïóêëîñòè ââåðõ èëè âíèç ôóíêöèè, íàé-òè òî÷êè ýêñòðåìóìà è òî÷êè ïåðåãèáà.

6. Íàðèñîâàòü ãðàôèê ôóíêöèè.

Áûâàåò öåëåñîîáðàçíî íàéòè òî÷êè ïåðåñå÷åíèÿ ãðàôèêà ôóíêöèè ñ îñÿìè êîîðäèíàòè òî÷êè, ñîîòâåòñòâóþùèå ýêñòðåìóìàì ôóíêöèè.  ñëó÷àå ãðîìîçäêèõ âûðàæåíèéäëÿ âòîðîé ïðîèçâîäíîé ïðèõîäèòñÿ îãðàíè÷èâàòüñÿ ðàññìîòðåíèåì ñâîéñòâ ãðàôè-êà, êîòîðûå ìîæíî èçó÷àòü ëèøü ñ ïîìîùüþ ïåðâîé ïðîèçâîäíîé.

100

×àñòü II

ÈÍÒÅÃÐÀËÛ È ÐßÄÛ

ËÅÊÖÈß 31

ÃËÀÂÀ 8. ÏÅÐÂÎÎÁÐÀÇÍÀß È ÍÅÎÏÐÅÄÅËÅÍ-ÍÛÉ ÈÍÒÅÃÐÀË

�1. Ïîíÿòèå ïåðâîîáðàçíîé è íåîïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà

1

Îïðåäåëåíèå 1.1. Ïóñòü ôóíêöèÿ f çàäàíà íà íåêîòîðîì ïðîìåæóòêå P, ôóíêöèÿF, îïðåäåëåííàÿ íà P, íàçûâàåòñÿ ïåðâîîáðàçíîé äëÿ ôóíêöèè f, åñëè äëÿ ëþáîãîx ∈ P èìååò ìåñòî ðàâåíñòâî

F ′(x) = f(x). (1.1)

Î÷åâèäíî, åñëè F ïåðâîîáðàçíàÿ äëÿ f, òî F + C, ãäå C � ïîñòîÿííàÿ, òàêæåïåðâîîáðàçíàÿ.

ßñíî, ÷òî ïåðâîîáðàçíàÿ F, áóäó÷è äèôôåðåíöèðóåìîé íà ïðîìåæóòêå P ôóíê-öèåé, íåïðåðûâíà íà P.

Ëåììà 1.1. Åñëè f äèôôåðåíöèðóåìà íà P, f ′(x) = 0 äëÿ ëþáîãî x ∈ P, òî fïîñòîÿííà íà P.

I Ïóñòü x0 � ôèêñèðîâàííàÿ òî÷êà P, à x � ïðîèçâîëüíàÿ. Èç ôîðìóëû Ëà-ãðàíæà

f(x)− f(x0) = f ′(γ)(x− x0),

ãäå γ ïðèíàäëåæèò èíòåðâàëó ñ êîíöàìè x è x0, ñëåäóåò (òàê êàê f ′(x) = 0 íà P ),÷òî f(x)− f(x0) = 0, ò. å. f(x) = f(x0) äëÿ ëþáîãî x ∈ P. J

Òåîðåìà 1.1. Åñëè F1 è F2 � äâå ïåðâîîáðàçíûå äëÿ ôóíêöèè f íà P, òî F1(x) −F2(x) = const, ò. å. ëþáûå äâå ïåðâîîáðàçíûå îòëè÷àþòñÿ íà ïîñòîÿííîå ñëàãàåìîå.

I Òàê êàê F1 è F2 � ïåðâîîáðàçíûå äëÿ f, òî F ′1(x) = f(x), F ′2(x) = f(x) ïðèx ∈ P. Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî ïðè x ∈ P

(F1(x)− F2(x))′ = 0.

 ñèëó ëåììû 1.1 F1(x)− F2(x) = const. JÈòàê, åñëè ó ôóíêöèè f ñóùåñòâóåò õîòÿ áû îäíà ïåðâîîáðàçíàÿ F, òî ëþáàÿ

äðóãàÿ ïåðâîîáðàçíàÿ èìååò âèä F (x) + C, ãäå C � ïðîèçâîëüíàÿ ïîñòîÿííàÿ.

101

Îïðåäåëåíèå 1.2. Ïóñòü ôóíêöèÿ f çàäàíà íà ïðîìåæóòêå P. Ñîâîêóïíîñòü âñåõ ååïåðâîîáðàçíûõ íà ýòîì ïðîìåæóòêå íàçûâàåòñÿ íåîïðåäåëåííûì èíòåãðàëîì ôóíê-öèè f è îáîçíà÷àåòñÿ ∫

f(x) dx.

(Ñèìâîë∫íàçûâàåòñÿ çíàêîì èíòåãðàëà, à f(x) � ïîäûíòåãðàëüíîé ôóíêöèåé).

Åñëè F � êàêàÿ-ëèáî ïåðâîîáðàçíàÿ íà ðàññìàòðèâàåìîì ïðîìåæóòêå, òî ïèøóò∫f(x) dx = F (x) + C, (1.2)

õîòÿ ïðàâèëüíåå áûëî áû ïèñàòü∫f(x) dx = {F (x) + C}.

Çäåñü è â äàëüíåéøåì C = const. Èíîãäà ïîä èíòåãðàëîì∫f(x) dx ïîíèìàåòñÿ íå

ñîâîêóïíîñòü ïåðâîîáðàçíûõ äëÿ f, à ïðîèçâîëüíûé ýëåìåíò ýòîãî ìíîæåñòâà, ò. å.ïðîèçâîëüíàÿ ïåðâîîáðàçíàÿ ðàññìàòðèâàåìîé ôóíêöèè. Èç êîíòåêñòà îáû÷íî ÿñíî âêàêîì ñìûñëå óïîòðåáëÿåòñÿ òî èëè èíîå îáîçíà÷åíèå. Îäíàêî, ñëåäóåò èìåòü â âèäó,÷òî âñÿêîå ðàâåíñòâî, â îáåèõ ÷àñòÿõ êîòîðîãî ñòîÿò íåîïðåäåëåííûå èíòåãðàëû åñòüðàâåíñòâî ìåæäó ìíîæåñòâàìè.

Îòìåòèì íåñêîëüêî ïðîñòåéøèõ ñâîéñòâ íåîïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà.

1. Åñëè ôóíêöèÿ F äèôôåðåíöèðóåìà íà P, òî∫F ′(x) dx =:

∫dF (x) = F (x) + C.

Ýòî ñëåäóåò èç îïðåäåëåíèÿ íåîïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà êàê ñîâîêóïíîñòè âñåõôóíêöèé, äèôôåðåíöèàë êîòîðûõ ñòîèò ïîä çíàêîì èíòåãðàëà.

2. Ïóñòü ôóíêöèÿ f èìååò ïåðâîîáðàçíóþ íà P. Òîãäà äëÿ ëþáîãî x ∈ P

d

(∫f(x) dx

)= f(x) dx. (1.3)

Îòìåòèì, ÷òî â ýòîì ðàâåíñòâå ïîä∫f(x) dx ïîíèìàåòñÿ ïðîèçâîëüíàÿ ïåðâî-

îáðàçíàÿ ôóíêöèè f.

3. Åñëè ôóíêöèè f1 è f2 èìåþò ïåðâîîáðàçíûå íà P, òî è ôóíêöèÿ f1 + f2 òàêæåèìååò ïåðâîîáðàçíóþ íà P, ïðè÷åì∫

(f1(x) + f2(x)) dx =

∫f1(x) dx+

∫f2(x) dx. (1.4)

Ðàâåíñòâî (1.4) âûðàæàåò ñîáîé ñîâïàäåíèå äâóõ ìíîæåñòâ ôóíêöèé è îçíà÷àåò,÷òî ñóììà êàêèõ-ëèáî ïåðâîîáðàçíûõ äëÿ ôóíêöèé f1 è f2 ÿâëÿåòñÿ ïåðâîîá-ðàçíîé äëÿ ôóíêöèè f1 + f2 è íàîáîðîò âñÿêàÿ ïåðâîîáðàçíàÿ äëÿ ôóíêöèèf1 + f2 ÿâëÿåòñÿ ñóììîé íåêîòîðûõ ïåðâîîáðàçíûõ äëÿ ôóíêöèé f1 è f2.

I Ïóñòü F1 è F2 ïåðâîîáðàçíûå äëÿ f1 è f2 ñîîòâåòñòâåííî. Òîãäà íåîïðåäå-ëåííûå èíòåãðàëû

∫f1(x) dx è

∫f2(x) dx ñîñòîÿò èç ôóíêöèé âèäà F1(x) +C1 è

102

F2(x) + C2, ãäå C1 è C2 � ïîñòîÿííûå. Ïîëîæèì F (x) = F1(x) + F2(x). Òî-ãäà ôóíêöèÿ F áóäåò ïåðâîîáðàçíîé äëÿ f1 + f2, òàê êàê F ′(x) = F ′1(x) +F ′2(x) = f1(x) + f2(x) ïðè x ∈ P. Ñëåäîâàòåëüíî,

∫(f1(x) + f2(x)) dx ñîñòîèò

èç ôóíêöèé F (x) + C = F1(x) + F2(x) + C, â òî âðåìÿ êàê ñóììà èíòåãðàëîâ∫f1(x) dx +

∫f2(x) dx ñîñòîèò èç ôóíêöèé âèäà F1(x) + C1 + F2(x) + C2. Ïî-

ñêîëüêó C1 è C2 � ïðîèçâîëüíûå ïîñòîÿííûå, òî îáà ýòè ìíîæåñòâà, ò. å. ëåâàÿè ïðàâàÿ ÷àñòè ðàâåíñòâà (1.4), ñîâïàäàþò. J

4. Åñëè ôóíêöèÿ f èìååò ïåðâîîáðàçíóþ íà P è k � ÷èñëî, òî ôóíêöèÿ kf òàêæåèìååò íà P ïåðâîîáðàçíóþ è ïðè k 6= 0∫

kf(x) dx = k

∫f(x) dx. (1.5)

I Ïóñòü F ïåðâîîáðàçíàÿ ôóíêöèè f, ò. å. F ′(x) = f(x), x ∈ P. Òîãäà ôóíêöèÿkF ÿâëÿåòñÿ ïåðâîîáðàçíîé ôóíêöèè kf, èáî

(kF (x))′ = kF ′(x).

Ïîýòîìó èíòåãðàë∫kf(x) dx ñîñòîèò èç âñåâîçìîæíûõ ôóíêöèé âèäà kF +

C, à èíòåãðàë k∫f(x) dx èç âñåâîçìîæíûõ ôóíêöèé k(F + C) = kF + kC. Â

ñèëó ïðîèçâîëüíîñòè ïîñòîÿííîé C è óñëîâèÿ k 6= 0 îáå ñîâîêóïíîñòè ôóíêöèéñîâïàäàþò. Ýòî è îçíà÷àåò ñïðàâåäëèâîñòü ðàâåíñòâà (1.5). J

Ñëåäñòâèå 1.1. Åñëè ôóíêöèè f1 è f2 èìåþò ïåðâîîáðàçíûå íà P, à λ1 è λ2 ∈ R,ïðè÷åì λ2

1 + λ22 6= 0, òî ôóíêöèÿ λ1f1 + λ2f2 òàêæå èìååò ïåðâîîáðàçíóþ íà P,

ïðè÷åì ∫(λ1f1(x) + λ2f2(x)) dx = λ1

∫f1(x) dx+ λ2

∫f2(x) dx

(èç ñâîéñòâ 3 è 4).

2

Èç âñÿêîé ôîðìóëû äëÿ ïðîèçâîäíîé íåêîòîðîé ôóíêöèè

F ′(x) = f(x) (1.6)

ñëåäóåò ôîðìóëà äëÿ íåîïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà∫f(x) dx = F (x) + C. (1.7)

Èíà÷å ãîâîðÿ, ÷òîáû ïðîâåðèòü ôîðìóëó (1.7) äëÿ êîíêðåòíûõ ôóíêöèé, íàäîïðîâåðèòü äëÿ íèõ ñïðàâåäëèâîñòü ðàâåíñòâà (1.6) âî âñåõ òî÷êàõ ðàññìàòðèâàåìîãîïðîìåæóòêà. Òàêèì îáðàçîì ìîæíî äîêàçàòü ñïðàâåäëèâîñòü ñëåäóþùèõ ôîðìóë,íàçûâàåìûõ òàáëè÷íûìè èíòåãðàëàìè.

1.

∫xα dx =

xα+1

α + 1+ C, α 6= −1.

2.

∫dx

x= ln |x|+ C.

103

3.

∫ax dx =

ax

ln a+ C, a > 0, a 6= 1.

 ÷àñòíîñòè,

∫ex dx = ex + C.

4.

∫sinx dx = − cosx+ C.

5.

∫cosx dx = sinx+ C.

6.

∫dx

cos2 x= tg x+ C.

7.

∫dx

sin2 x= − ctg x+ C.

8.

∫dx

1 + x2= arctg x+ C.

9.

∫dx√

1− x2= arcsinx+ C = − arccosx+ C.

Ðàçóìååòñÿ, ÷òî åñëè çíàìåíàòåëü ïîäûíòåãðàëüíîé ôóíêöèè îáðàùàåòñÿ â íóëüâ íåêîòîðîé òî÷êå, òî íàïèñàííûå ôîðìóëû áóäóò ñïðàâåäëèâû ëèøü äëÿ òåõ ïðî-ìåæóòêîâ, â êîòîðûõ íå ïðîèñõîäèò îáðàùåíèÿ â íîëü óêàçàííîãî çíàìåíàòåëÿ (ñì.ôîðìóëû 2, 6, 7).

�2. Èíòåãðèðîâàíèå ïî ÷àñòÿì. Çàìåíà ïåðåìåííîé

1

Òåîðåìà 2.1. Ïóñòü ôóíêöèè u è v äèôôåðåíöèðóåìû íà ïðîìåæóòêå P è ñó-ùåñòâóåò ïåðâîîáðàçíàÿ äëÿ ôóíêöèè vu′ íà ïðîìåæóòêå P. Òîãäà ñóùåñòâóåòïåðâîîáðàçíàÿ äëÿ ôóíêöèè uv′ è èìååò ìåñòî ôîðìóëà∫

u(x)v′(x) dx = u(x)v(x)−∫v(x)u′(x) dx (2.1)

èëè áîëåå êîðîòêî ∫u dv = uv −

∫v du. (2.2)

I Ñîãëàñíî ïðàâèëó äèôôåðåíöèðîâàíèÿ ïðîèçâåäåíèÿ èìååì ôîðìóëó

(u(x)v(x))′ = u′(x)v(x) + u(x)v′(x),

êîòîðóþ ïåðåïèøåì â âèäå

u(x)v′(x) = (u(x)v(x))′ − v(x)u′(x).

104

Ïî óñëîâèþ òåîðåìû âòîðîå ñëàãàåìîå â ïðàâîé ÷àñòè ïîñëåäíåãî ðàâåíñòâà èìååòïåðâîîáðàçíóþ.  ñèëó ñâîéñòâà 1 è ñëåäñòâèÿ 1.1 ôóíêöèÿ u(x)v′(x) òàêæå èìååòïåðâîîáðàçíóþ, ïðè ýòîì∫

u(x)v′(x) dx =

∫(u(x)v(x))′ dx−

∫v(x)u′(x) dx =

= u(x)v(x) + C −∫v(x)u′(x) dx = u(x)v(x)−

∫v(x)u′(x) dx

(ïîñòîÿííóþ C ìû âêëþ÷èëè â èíòåãðàë∫v(x)u′(x) dx). J

2

Òåîðåìà 2.2. Ïóñòü ôóíêöèè f(x) è ϕ(t) îïðåäåëåíû ñîîòâåòñòâåííî íà ïðîìå-æóòêàõ Px è Pt, ïðè÷åì ϕ(Pt) ⊂ Px. Åñëè ôóíêöèÿ f èìååò íà Px ïåðâîîáðàçíóþF (x) è, ñëåäîâàòåëüíî, ∫

f(x) dx = F (x) + C, (2.3)

à ôóíêöèÿ ϕ äèôôåðåíöèðóåìà íà Pt, òî ôóíêöèÿ f(ϕ(t))ϕ′(t) èìååò íà Pt ïåðâîîá-ðàçíóþ F (ϕ(t)) è ∫

f(ϕ(t))ϕ′(t) dt =

∫f(x) dx

∣∣∣∣x = ϕ(t)

. (2.4)

Èíà÷å ãîâîðÿ, ñäåëàåì ñíà÷àëà ïîäñòàíîâêó x = ϕ(t), à çàòåì âîçüìåì èíòåãðàë èëèñíà÷àëà âîçüìåì èíòåãðàë, à ïîòîì ñäåëàåì óêàçàííóþ ïîäñòàíîâêó, ðåçóëüòàòáóäåò îäèí è òîò æå.

I Ôóíêöèè f è F îïðåäåëåíû íà ïðîìåæóòêå Px. Òàê êàê ïî óñëîâèþ òåîðåìûñïðàâåäëèâî âêëþ÷åíèå ϕ(Pt) ⊂ Px, òî èìåþò ñìûñë ñëîæíûå ôóíêöèè f(ϕ(t)) èF (ϕ(t)). Ïî ïðàâèëó äèôôåðåíöèðîâàíèÿ ñëîæíîé ôóíêöèè ïîëó÷èì

d

dtF (ϕ(t)) = f(ϕ(t))ϕ′(t) (t ∈ Pt).

Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî f(ϕ(t))ϕ′(t) èìååò â êà÷åñòâå îäíîé èç ñâîèõ ïåðâîîáðàçíûõ ôóíê-öèé F (ϕ(t)). Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî∫

f(ϕ(t))ϕ′(t) dt = F (ϕ(t)) + C. (2.5)

Ïîäñòàâëÿÿ â ôîðìóëó (2.3) x = ϕ(t), ïîëó÷èì∫f(x) dx

∣∣∣∣x = ϕ(t)

= F (ϕ(t)) + C. (2.6)

 ôîðìóëàõ (2.5) è (2.6) ðàâíû ïðàâûå ÷àñòè, ñëåäîâàòåëüíî, ðàâíû è ëåâûå, ò. å.èìååò ìåñòî ðàâåíñòâî (2.4). J

Ôîðìóëà (2.4) íàçûâàåòñÿ ôîðìóëîé èíòåãðèðîâàíèÿ ïîäñòàíîâêîé, à èìåííî ïîä-ñòàíîâêîé ϕ(t) = x. Ýòó ôîðìóëó ìîæíî çàïèñàòü òàêæå â âèäå∫

f(ϕ(t)) dϕ(t) =

∫f(x) dx

∣∣∣∣x = ϕ(t)

. (2.7)

105

Åå ïðèìåíåíèå ê âû÷èñëåíèþ èíòåãðàëîâ ñîñòîèò â òîì, ÷òî âìåñòî èíòåãðàëà∫f(ϕ(t)) dϕ(t)

âû÷èñëÿåòñÿ èíòåãðàë∫f(x) dx, à çàòåì ïîëàãàåòñÿ x = ϕ(t).

Îòìåòèì, ÷òî ôîðìóëó (2.4) áûâàåò öåëåñîîáðàíî èñïîëüçîâàòü è â îáðàòíîì ïî-ðÿäêå, ò. å. ñïðàâà íàëåâî. Èìåííî, èíîãäà óäîáíî âû÷èñëåíèå èíòåãðàëà

∫f(x) dx ñ

ïîìîùüþ ñîîòâåòñòâóþùåé çàìåíû ïåðåìåííîé x = ϕ(t) ñâåñòè ê âû÷èñëåíèþ èíòå-ãðàëà ∫

f(ϕ(t))ϕ′(t) dt.

 ñëó÷àå, êîãäà ôóíêöèÿ ϕ èìååò îáðàòíóþ ϕ−1, ïåðåéäÿ â îáåèõ ÷àñòÿõ ôîðìóëû(2.4) ê ïåðåìåííîé x ñ ïîìîùüþ ïîäñòàíîâêè t = ϕ−1(x) è ïîìåíÿâ ìåñòàìè ñòîðîíûðàâåíñòâà, ïîëó÷èì ∫

f(x) dx =

∫f(ϕ(t))ϕ′(t) dt

∣∣∣∣t = ϕ−1(x)

. (2.8)

Ýòà ôîðìóëà íàçûâàåòñÿ îáû÷íî ôîðìóëîé èíòåãðèðîâàíèÿ çàìåíîé ïåðåìåííîé.Äëÿ òîãî, ÷òîáû ñóùåñòâîâàëà ôóíêöèÿ ϕ−1, îáðàòíàÿ ϕ, â äîïîëíåíèå ê óñëî-

âèÿì òåîðåìû (2.2) äîñòàòî÷íî, íàïðèìåð, ïîòðåáîâàòü, ÷òîáû íà ðàññìàòðèâàåìîìïðîìåæóòêå Pt ôóíêöèÿ ϕ áûëà ñòðîãî ìîíîòîííîé.  ýòîì ñëó÷àå, êàê èçâåñòíî,ñóùåñòâóåò îäíîçíà÷íàÿ îáðàòíàÿ ôóíêöèÿ ϕ−1.

Îòìåòèì áåç äîêàçàòåëüñòâà ñëåäóþùèé ôàêò: ïåðâîîáðàçíûå ýëåìåíòàðíûõ ôóíê-öèé, âîîáùå ãîâîðÿ, íå îáÿçàíû áûòü ýëåìåíòàðíûìè ôóíêöèÿìè. Íàïðèìåð, íå ÿâ-ëÿþòñÿ ýëåìåíòàðíûìè ôóíêöèÿìè ïåðâîîáðàçíûå ñëåäóþùèõ ïðîñòûõ ôóíêöèé:

f(x) = cos x2, f(x) = sinx2, f(x) = ex2

, x ∈ R, f(x) =sinx

x, x > 0,

õîòÿ, êàê áóäåò äîêàçàíî ïîçäíåå, èõ ïåðâîîáðàçíûå ñóùåñòâóþò.

106

ËÅÊÖÈß 32

ÃËÀÂÀ 9. ÎÏÐÅÄÅËÅÍÍÛÉ ÈÍÒÅÃÐÀË ÐÈÌÀ-ÍÀ

�1. Îïðåäåëåíèå èíòåãðàëà

Ìíîæåñòâî òî÷åê a = x0 < x1 < . . . < xn = b íàçûâàåòñÿ ðàçáèåíèåì îòðåçêà [a, b].Ðàçáèåíèå áóäåì îáîçíà÷àòü áóêâîé T. ×èñëî λ = λ(T ) = max(xk+1−xk), k = 0, n− 1,áóäåì íàçûâàòü øàãîì ðàçáèåíèÿ èëè ðàíãîì ðàçáèåíèÿ.

Ïóñòü ôóíêöèÿ f çàäàíà íà [a, b]. Ðàçîáüåì ýòîò îòðåçîê íà ÷àñòè òî÷êàìè {xk :a = x0 < x1 < . . . < xn = b}. Ïîëîæèì ∆xk = xk+1 − xk; λ = max ∆xk, k = 0, n− 1.Âîçüìåì â êàæäîì èç îòðåçêîâ [xk, xk+1] ïî òî÷êå γk è ñîñòàâèì ñóììó

σ =n−1∑k=0

f(γk)(xk+1 − xk).

Ãîâîðÿò, ÷òî ñóììà σ ïðè λ → 0 èìååò (êîíå÷íûé) ïðåäåë J, åñëè äëÿ ëþáîãîε > 0 ñóùåñòâóåò δ > 0 òàêîå, ÷òî íåðàâåíñòâî λ < δ âëå÷åò íåðàâåíñòâî |σ − J | < ε(ïðè ëþáîì âûáîðå òî÷åê xk è γk). Çàïèñûâàåòñÿ ýòî òàê

J = limλ→0

σ.

Îïðåäåëåíèå 1.1. Êîíå÷íûé limλ→0

σ íàçûâàåòñÿ îïðåäåëåííûì èíòåãðàëîì ôóíêöèè

f (â ñìûñëå Ðèìàíà) íà îòðåçêå [a, b] è îáîçíà÷àåòñÿ

b∫a

f(x) dx.

 ñëó÷àå ñóùåñòâîâàíèÿ òàêîãî ïðåäåëà ôóíêöèÿ f íàçûâàåòñÿ èíòåãðèðóåìîé (ïîÐèìàíó) íà îòðåçêå [a, b]. ×èñëà a è b íàçûâàþòñÿ ñîîòâåòñòâåííî íèæíèì è âåðõ-íèì ïðåäåëàìè èíòåãðèðîâàíèÿ. Ñóììó σ íàçûâàþò ðèìàíîâîé (èëè èíòåãðàëüíîéñóììîé) äëÿ ôóíêöèè f.

Èòàê,

b∫a

f(x) dx := limλ→0

n−1∑k=0

f(γk)(xk+1 − xk), λ = maxk=0,n−1

(xk+1 − xk).

Òåîðåìà 1.1. Åñëè ôóíêöèÿ f èíòåãðèðóåìà íà [a, b], òî îíà îãðàíè÷åíà íà [a, b].

I Ïóñòü ôóíêöèÿ f èíòåãðèðóåìà íà [a, b], íî íå îãðàíè÷åíà íà íåì. Âîçüìåìε > 0. Ñîãëàñíî îïðåäåëåíèþ èíòåãðèðóåìîñòè ñóùåñòâóåò δ = δ(ε) > 0 òàêîå, ÷òîäëÿ ëþáîãî ðàçáèåíèÿ T ó êîòîðîãî λ(T ) < δ âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî∣∣∣∣∣

n−1∑k=0

f(γk)∆xk − J

∣∣∣∣∣ < ε.

107

Îòñþäà âûòåêàåò, ÷òî ìíîæåñòâî èíòåãðàëüíûõ ñóìì ñ ðàíãîì ðàçáèåíèÿ λ(T ) < δîãðàíè÷åíî. Âûáåðåì îäíî èç òàêèõ ðàçáèåíèé. Òàê êàê ïî ïðåäïîëîæåíèþ ôóíêöèÿf íåîãðàíè÷åíà íà [a, b], òî íàéäåòñÿ îòðåçîê [xk, xk+1] íà êîòîðîì f íå îãðàíè÷åíà. Çàñ÷åò âûáîðà òî÷êè γk ∈ [xk, xk+1] (íà êîòîðîì f íåîãðàíè÷åíà) ñëàãàåìîå f(γk)∆xk, èâìåñòå ñ íèì è âñÿ èíòåãðàëüíàÿ ñóììà ìîãóò áûòü ñäåëàíû ñêîëü óãîäíî áîëüøèìèïî àáñîëþòíîé âåëè÷èíå. Ïîñëåäíåå, îäíàêî, íåâîçìîæíî, ïîñêîëüêó ìíîæåñòâî èí-òåãðàëüíûõ ñóìì ñ øàãîì ðàçáèåíèÿ λ(T ) < δ îãðàíè÷åíî. Ïîëó÷åííîå ïðîòèâîðå÷èåäîêàçûâàåò òåîðåìó. J

Çàìå÷àíèå 1.1. Îãðàíè÷åííîñòü ÿâëÿåòñÿ íåîáõîäèìûì, íî íå äîñòàòî÷íûì óñëî-âèåì èíòåãðèðóåìîñòè ôóíêöèè. Íàïðèìåð, ôóíêöèÿ Äèðèõëå f(x) (f(x) = 1, åñëèx � ðàöèîíàëüíîå ÷èñëî, f(x) = 0, åñëè x � èððàöèîíàëüíîå) îãðàíè÷åíà íà [a, b], íîíå èíòåãðèðóåìà ïî Ðèìàíó: äëÿ ëþáîãî ðàçáèåíèÿ T îòðåçêà [a, b] ïðè ðàöèîíàëü-íûõ γi ñîîòâåòñòâóþùèå ñóììû Ðèìàíà ðàâíû b−a, à ïðè èððàöèîíàëüíûõ γi íóëþ.Ïîýòîìó íå ñóùåñòâóåò ïðåäåë èíòåãðàëüíûõ ñóìì σ ïðè λ→ 0.

Èíòåãðàë Ðèìàíà èìååò ïðîñòîé ãåîìåòðè÷åñêèé ñìûñë. Ïóñòü f(x) > 0 íà [a, b].Òîãäà èíòåãðàëüíàÿ ñóììà

n−1∑k=0

f(γk)∆xk

ðàâíà ïëîùàäè ñòóïåí÷àòîé ôèãóðû, ñîñòàâëåííîé èç ïðÿìîóãîëüíèêîâ ñ îñíîâàíè-ÿìè [xk, xk+1] è âûñîòîé f(γk). Åñëè f èíòåãðèðóåìà, òî

limλ→0

n−1∑k=0

f(γk)∆xk =

b∫a

f(x) dx.

Ïîýòîìób∫a

f(x) dx åñòåñòâåííî íàçûâàòü ïëîùàäüþ êðèâîëèíåéíîé òðàïåöèè

G = {(x, y) : a 6 x 6 b, 0 6 y 6 f(x)}.

�2. Ñóììû Äàðáó

1

Ïóñòü ôóíêöèÿ f çàäàíà íà îòðåçêå [a, b], T � íåêîòîðîå ðàçáèåíèå. Ââåäåì îáî-çíà÷åíèÿ:

M = sup[a,b]

f(x), m = inf[a,b]

f(x), Mk = sup[xk,xk+1]

f(x), mk = inf[xk,xk+1]

f(x).

Ïîëîæèì

S = S(T ) =n−1∑k=0

Mk∆xk, s = s(T ) =n−1∑k=0

mk∆xk.

Ñóììû S(T ) è s(T ) íàçîâåì ñîîòâåòñòâåííî âåðõíåé è íèæíåé ñóììàìè Äàðáó, îò-âå÷àþùèìè ðàçáèåíèþ T.  ÷àñòíîñòè, êîãäà f íåïðåðûâíà, îíè ÿâëÿþòñÿ ïðîñòîíàèáîëüøåé è íàèìåíüøåé èç èíòåãðàëüíûõ ñóìì, îòâå÷àþùèõ âçÿòîìó ðàçáèåíèþ,

108

òàê êàê â ýòîì ñëó÷àå f íà êàæäîì îòðåçêå [xk, xk+1] äîñòèãàåò ñâîåé âåðõíåé è íèæ-íåé ãðàíè è òî÷êè γk ìîæíî âûáðàòü òàê, ÷òîáû f(γk) = Mk è f(γk) = mk.  îáùåìñëó÷àå èç ñàìîãî îïðåäåëåíèÿ âåðõíåé è íèæíåé ãðàíåé èìååì:

mk 6 f(γk) 6 Mk.

Óìíîæèâ ýòè íåðàâåíñòâà íà ∆xk è ïðîñóììèðîâàâ èõ ïî k, ïîëó÷èì

s 6 σ 6 S. (2.1)

Ïðè ôèêñèðîâàííîì ðàçáèåíèè ñóììû s è S ÷èñëà, â òî âðåìÿ êàê ñóììà σ åùåîñòàåòñÿ ïåðåìåííîé ââèäó ïðîèçâîëüíîñòè ÷èñåë γk, íî î÷åâèäíî, ÷òî çà ñ÷åò âûáîðàγk ìîæíî çíà÷åíèÿ f(γk) ñäåëàòü ñêîëü óãîäíî áëèçêèìè êàê ê mk, òàê è ê Mk, àçíà÷èò ñäåëàòü ñóììó σ ñêîëü óãîäíî áëèçêîé êàê ê s, òàê è ê S. Òîãäà íåðàâåíñòâî(2.1) ïðèâîäèò ê ñëåäóþùåìó óòâåðæäåíèþ: ïðè äàííîì ðàçáèåíèè s è S ñëóæàòñîîòâåòñòâåííî íèæíåé è âåðõíåé ãðàíÿìè äëÿ èíòåãðàëüíûõ ñóìì.

2

Ñóììû Äàðáó îáëàäàþò ñëåäóþùèìè ñâîéñòâàìè.

1. Åñëè ê èìåþùèìñÿ òî÷êàì äåëåíèÿ äîáàâèòü íîâûå òî÷êè, òî íèæíÿÿ ñóììàÄàðáó íå óìåíüøèòñÿ, à âåðõíÿÿ íå âîçðàñòåò.

I Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà ýòîãî ñâîéñòâà äîñòàòî÷íî îãðàíè÷èòüñÿ ïðèñîåäèíå-íèåì ê èìåþùèìñÿ òî÷êàì äåëåíèÿ åùå îäíîé òî÷êè äåëåíèÿ x′. Ïóñòü x′ ∈[xk, xk+1], òàê ÷òî xk < x′ < xk+1. Åñëè ÷åðåç S ′ îáîçíà÷èòü íîâóþ âåðõíþþñóììó, òî îò ïðåæíåé ñóììû S îíà áóäåò îòëè÷àòüñÿ òîëüêî òåì, ÷òî â ñóì-ìå S îòðåçêó [xk, xk+1] îòâå÷àëî ñëàãàåìîå Mk(xk+1 − xk), à â S ′ åìó îòâå÷àåòñóììà äâóõ ñëàãàåìûõ M ′

k(x′ − xk) + M ′′

k (xk+1 − x′), ãäå M ′k è M ′′

k � âåðõíèåãðàíè ôóíêöèè f íà îòðåçêàõ [xk, x

′] è [x′, xk+1] ñîîòâåòñòâåííî. Òàê êàê ýòèîòðåçêè ÿâëÿþòñÿ ÷àñòÿìè îòðåçêà [xk, xk+1], òî M ′

k 6 Mk, M′′k 6 Mk, òàê ÷òî

M ′k(x′ − xk) +M ′′

k (xk+1 − x′) 6 Mk(xk+1 − xk). Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî S ′ 6 S. Äëÿíèæíåé ñóììû äîêàçàòåëüñòâî àíàëîãè÷íî. J

2. Êàæäàÿ íèæíÿÿ ñóììà Äàðáó íå ïðåâîñõîäèò âåðõíåé, õîòÿ áû è îòâå÷àþùåéäðóãîìó ðàçáèåíèþ îòðåçêà.

I Ðàçîáüåì îòðåçîê [a, b] ïðîèçâîëüíûì îáðàçîì è ñîñòàâèì äëÿ ýòîãî ðàç-áèåíèÿ ñóììû Äàðáó s1 è S1. Ðàññìîòðèì òåïåðü íåêîòîðîå äðóãîå ðàçáèåíèåîòðåçêà [a, b]. Åìó áóäóò ñîîòâåòñòâîâàòü ñóììû s2 è S2. Òðåáóåòñÿ äîêàçàòü,÷òî s1 6 S2. Ñ ýòîé öåëüþ îáúåäèíèì òå è äðóãèå òî÷êè äåëåíèÿ. Òîãäà ïîëó÷èìíåêîòîðîå òðåòüå âñïîìîãàòåëüíîå ðàçáèåíèå, êîòîðîìó áóäóò îòâå÷àòü ñóììûs3 è S3. Òðåòüå ðàçáèåíèå ìû ïîëó÷èëè èç ïåðâîãî ïóòåì äîáàâëåíèÿ íîâûõ òî-÷åê äåëåíèÿ. Ïîýòîìó â ñèëó äîêàçàííîãî ñâîéñòâà 1 ñóìì Äàðáó èìååì s1 6 s3.Àíàëîãè÷íî ìîæíî çàêëþ÷èòü, ÷òî S3 6 S2. Íî s3 6 S3. Îòñþäà ïîëó÷àåì, ÷òîs1 6 S2. J

Èç äîêàçàííîãî ñëåäóåò, ÷òî ìíîæåñòâî òàêèõ ñóìì îãðàíè÷åíî ñâåðõó, íàïðèìåð,ëþáîé âåðõíåé ñóììîé S.  òàêîì ñëó÷àå ýòî ìíîæåñòâî èìååò êîíå÷íóþ âåðõíþþãðàíü J∗ = sup{s}, êðîìå òîãî,

J∗ 6 S (2.2)

109

êàêîâî áû íè áûëî S. Òàê êàê ìíîæåñòâî {S} âåðõíèõ ñóìì â ñèëó (2.2) îãðàíè-÷åíî ñíèçó, òî îíî èìååò êîíå÷íóþ íèæíþþ ãðàíü J∗ = inf{S}, ïðè÷åì J∗ 6 J∗.Ñîïîñòàâëÿÿ âñå ñêàçàííîå, èìååì

s 6 J∗ 6 J∗ 6 S (2.3)

êàêîâû áû íè áûëè âåðõíÿÿ è íèæíÿÿ ñóììû Äàðáó.×èñëà J∗ è J

∗ íàçûâàþòñÿ âåðõíèìè è íèæíèìè èíòåãðàëàìè Äàðáó.

�3. Óñëîâèÿ ñóùåñòâîâàíèÿ èíòåãðàëà Ðèìàíà

 òåðìèíàõ ñóìì Äàðáó ìîæíî óñòàíîâèòü íåîáõîäèìîå è äîñòàòî÷íîå óñëîâèÿñóùåñòâîâàíèÿ èíòåãðàëà Ðèìàíà.

Òåîðåìà 3.1. Ïóñòü f îãðàíè÷åíà íà [a, b]. Äëÿ òîãî, ÷òîáû ó íåå ñóùåñòâîâàëèíòåãðàë

J =

b∫a

f(x) dx (3.1)

íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû áûëî

limλ→0

(S − s) = 0, (3.2)

ò. å. ÷òîáû äëÿ ëþáîãî ε > 0 ñóùåñòâîâàëî δ > 0 òàêîå, ÷òî ïðè λ < δ (ò. å.îòðåçîê ðàçáèò íà ÷àñòè ñ äëèíàìè ∆xk < δ) âûïîëíÿëîñü íåðàâåíñòâî S − s < ε.

I Íåîáõîäèìîñòü. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî èíòåãðàë (3.1) ñóùåñòâóåò. Òîãäà ïî çàäàí-íîìó ε > 0 íàéäåòñÿ òàêîå δ > 0, ÷òî ëèøü òîëüêî λ < δ, òàê ïðè ýòîì |σ − J | < εèëè J − ε < σ < J + ε, êàê áû ìû íå âûáèðàëè òî÷êè γk â ïðåäåëàõ ñîîòâåòñòâóþùèõîòðåçêîâ. Íî ñóììû s è S ïðè çàäàííîì ðàçáèåíèè ÿâëÿþòñÿ äëÿ ìíîæåñòâ èíòå-ãðàëüíûõ ñóìì íèæíåé è âåðõíåé ãðàíÿìè. Ïîýòîìó J − ε 6 s 6 S 6 J + ε. Çíà÷èòS − s 6 2ε. Îòñþäà ñëåäóåò ðàâåíñòâî (3.1).

Äîñòàòî÷íîñòü. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî óñëîâèå (3.1) âûïîëíåíî. Òîãäà èç ñîîòíîøå-íèé (2.3) ÿñíî, ÷òî J∗ = J∗ è, åñëè îáîçíà÷èòü èõ îáùåå çíà÷åíèÿ ÷åðåç J, s 6 J 6 S.Åñëè ÷åðåç σ îáîçíà÷èòü èíòåãðàëüíóþ ñóììó, îòâå÷àþùóþ òîìó æå ðàçáèåíèþ îò-ðåçêà, ÷òî è ñóììû s è S, òî S 6 σ 6 S. Ñîãëàñíî (3.2), åñëè ïðåäïîëîæèòü λäîñòàòî÷íî ìàëûì, òî áóäåò S − s < ε. Íî òîãäà |σ − J | < ε, ò. å. J = lim

λ→0σ. J

Çàìå÷àíèå 3.1. Íåîáõîäèìîå è äîñòàòî÷íîå óñëîâèå èíòåãðèðóåìîñòè ìîæåò áûòüñôîðìóëèðîâàíî ñëåäóþùèì îáðàçîì. Ïóñòü ôóíêöèÿ f îãðàíè÷åíà íà îòðåçêå [a, b].Äëÿ òîãî, ÷òîáû îíà áûëà èíòåãðèðóåìà íà [a, b] íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáûâûïîëíÿëîñü ñîîòíîøåíèå

limλ→0

n−1∑k=0

ωk∆xk = 0, (3.3)

ãäå ωk = Mk −mk � êîëåáàíèå ôóíêöèè f íà îòðåçêå [xk, xk+1].

Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà äîñòàòî÷íî çàìåòèòü, ÷òî

S − s =n−1∑k=0

(Mk −mk)∆xk

è âîñïîëüçîâàòüñÿ òåîðåìîé.

110

ËÅÊÖÈß 33

�4. Ñâîéñòâà èíòåãðèðóåìûõ ôóíêöèé

Èç ïðèçíàêà èíòåãðèðóåìîñòè, óñòàíîâëåííîãî â ïðåäûäóùåì ïàðàãðàôå, ìîæíîâûâåñòè ðÿä ñâîéñòâ èíòåãðèðóåìûõ ôóíêöèé.

1. Åñëè f èíòåãðèðóåìà íà [a, b], òî è ôóíêöèè |f |, kf, ãäå k = const, èíòåãðèðóåìûíà [a, b].

I Äîêàçàòåëüñòâî ïðîâåäåì äëÿ ôóíêöèè |f |. Òàê êàê äëÿ ëþáûõ äâóõ òî÷åêx′ è x′′ ∈ [xk, xk+1]

||f(x′)| − |f(x′′)|| 6 |f(x′)− f(x′′)|,

òî êîëåáàíèå ω∗k ôóíêöèè |f | íà ýòîì îòðåçêå íå ïðåâîñõîäèò êîëåáàíèå ωk ôóíê-öèè f íà òîì æå îòðåçêå. Îòñþäà∑

k

ω∗k∆xk 6∑k

ωk∆xk.

Òàê êàê ïîñëåäíÿÿ ñóììà ñòðåìèòñÿ (ïðè λ→ 0) ê íóëþ, òî è∑k

ω∗k∆xk

òîæå ñòðåìèòñÿ ê íóëþ, ÷òî è âëå÷åò èíòåãðèðóåìîñòü ôóíêöèè |f |. J

2. Åñëè ôóíêöèè f è g èíòåãðèðóåìû íà [a, b], òî f ± g, fg òàêæå èíòåãðèðóåìû.I Ðàññìîòðèì ñëó÷àé fg. Ïóñòü |f(x)| 6 K, |g(x)| 6 L ïðè x ∈ [a, b]. Âçÿâ âîòðåçêå [xk, xk+1] äâå òî÷êè x′ è x′′, ðàññìîòðèì ðàçíîñòü

f(x′′)g(x′′)− f(x′)g(x′) = (f(x′′)− f(x′))g(x′′) + (g(x′′)− g(x′))f(x′).

Î÷åâèäíî, ÷òî|f(x′′)g(x′′)− f(x′)g(x′)| 6 Lωk +Kωk,

ãäå ωk è ωk îáîçíà÷àþò êîëåáàíèÿ ôóíêöèé f è g íà [xk, xk+1]. Íî òîãäà äëÿêîëåáàíèÿ Λk ôóíêöèè fg íà îòðåçêå [xk, xk+1] áóäåì èìåòü

Λk 6 Lωk +Kωk,

îòñþäà ∑k

Λk∆xk 6 L∑k

ωk∆xk +K∑k

ωk∆xk.

Òàê êàê äâå ïîñëåäíèå ñóììû ïðè λ → 0 ñòðåìÿòñÿ ê íóëþ, òî è ñóììà, ñòîÿ-ùàÿ â ëåâîé ÷àñòè, ñòðåìèòñÿ ê íóëþ, ÷òî äîêàçûâàåò èíòåãðèðóåìîñòü ôóíê-öèè fg. J

111

3. Åñëè ôóíêöèÿ f èíòåãðèðóåìà íà [a, b], òî îíà èíòåãðèðóåìà íà ëþáîì îòðåçêå[α, β] ⊂ [a, b]. Åñëè îòðåçîê [a, b] ðàçëîæåí íà êîíå÷íîå ÷èñëî ÷àñòåé è â êàæäîé÷àñòè â îòäåëüíîñòè f èíòåãðèðóåìà, òî îíà èíòåãðèðóåìà íà [a, b].

I Ïóñòü f èíòåãðèðóåìà íà [a, b]. Ïîñòðîèì äëÿ ýòîãî îòðåçêà ñóììó∑k

ωk∆xk,

ñ÷èòàÿ, ÷òî α è β âõîäÿò â ÷èñëî òî÷åê äåëåíèÿ. Àíàëîãè÷íàÿ ñóììà äëÿ [α, β]ïîëó÷èòñÿ îòñþäà, åñëè îïóñòèòü ðÿä íåîòðèöàòåëüíûõ ñëàãàåìûõ è, åñòåñòâåí-íî, îíà ñòðåìèòñÿ ê íóëþ, åñëè ñòðåìèòñÿ ê íóëþ ïåðâàÿ ñóììà.

Ïóñòü òåïåðü îòðåçîê [a, b] ðàçáèò íà äâå ÷àñòè [a, c] è [c, b], ãäå a < c < b, è âêàæäîé èç íèõ f èíòåãðèðóåìà. Âîçüìåì

∑k

ωk∆xk äëÿ [a, b]. Åñëè òî÷êà c îêà-

æåòñÿ â ÷èñëå òî÷åê äåëåíèÿ, òî ïîñëåäíÿÿ ñóììà ñîñòàâèòñÿ èç äâóõ ïîäîáíûõñóìì äëÿ [a, c] è [c, b] è ñòðåìèòñÿ ê íóëþ, åñëè ïîñëåäíèå ñòðåìÿòñÿ ê íóëþ.Çàêëþ÷åíèå îñòàåòñÿ â ñèëå, êîãäà c íå ÿâëÿåòñÿ òî÷êîé äåëåíèÿ, èáî, ïðèñî-åäèíÿÿ ýòó òî÷êó, ìû èçìåíèì ëèøü îäèí ÷ëåí ñóììû, êîòîðûé ñàì, î÷åâèäíî,ñòðåìèòñÿ ê íóëþ. J

4. Åñëè èçìåíèòü çíà÷åíèå èíòåãðèðóåìîé ôóíêöèè â êîíå÷íîì ÷èñëå (ñêàæåìj) òî÷åê, òî åå èíòåãðèðóåìîñòü íå íàðóøèòñÿ. Äîêàçàòåëüñòâî î÷åâèäíî, èáîóïîìÿíóòûå èçìåíåíèÿ êîñíóòñÿ íå áîëåå ÷åì 2j ÷ëåíîâ

∑k

ωk∆xk.

Ëåãêî ïîíÿòü, ÷òî è çíà÷åíèå ñàìîãî èíòåãðàëà íå èçìåíèòñÿ. Ýòî âèäíî èçòîãî, ÷òî äëÿ îáåèõ ôóíêöèé èñõîäíîé è èçìåíåííîé òî÷êè γk â èíòåãðàëüíîéñóììå âñåãäà ìîæíî âûáðàòü òàê, ÷òîáû îíè íå ñîâïàäàëè ñ òåìè òî÷êàìè, âêîòîðûõ çíà÷åíèÿ èõ îòëè÷àþòñÿ.

Áëàãîäàðÿ ñâîéñòâó 4, èìååòñÿ âîçìîæíîñòü ãîâîðèòü îá èíòåãðàëåb∫a

f(x) dx äàæå

òîãäà, êîãäà ôóíêöèÿ f íå îïðåäåëåíà â êîíå÷íîì ÷èñëå òî÷åê [a, b]. Ïðè ýòîì ìîæíîïðèïèñàòü â ýòèõ òî÷êàõ ðàññìàòðèâàåìîé ôóíêöèè ïðîèçâîëüíûå çíà÷åíèÿ è ðàñ-ñìàòðèâàòü èíòåãðàë îò ôóíêöèè, îïðåäåëåííîé íà âñåì îòðåçêå.  ñèëó ñâîéñòâà 4åå âåëè÷èíà íå çàâèñèò îò çíà÷åíèé, ïðèïèñàííûõ ôóíêöèè â òî÷êàõ, ãäå îíà áûëàäîîïðåäåëåíà.

�5. Ñâîéñòâà îïðåäåëåííûõ èíòåãðàëîâ, âûðàæàåìûå ðàâåíñòâàìè

Çàìåòèì, ÷òî òàê êàê èíòåãðàë îò ôóíêöèè ÿâëÿåòñÿ ÷èñëîì, ñîïîñòàâëÿåìûìçàäàííîé ôóíêöèè ñîãëàñíî äàííîìó âûøå îïðåäåëåíèþ, òî î÷åâèäíî, ÷òî ýòî ÷èñëîíå çàâèñèò îò âûáîðà îáîçíà÷åíèÿ äëÿ àðãóìåíòà ïîäûíòåãðàëüíîé ôóíêöèè, ò. å. îòîáîçíà÷åíèÿ ïåðåìåííîé èíòåãðèðîâàíèÿ. Èíûìè ñëîâàìè

b∫a

f(x) dx =

b∫a

f(t) dt.

Ïðè îïðåäåëåíèè èíòåãðàëà ïðåäïîëàãàëîñü, ÷òî a < b. Åñëè b > a, à f èíòåãðè-ðóåìà íà îòðåçêå [a, b], òî ïî îïðåäåëåíèþ ïîëàãàåì

a∫b

f(x) dx = −b∫

a

f(x) dx. (5.1)

112

Áóäåì òàêæå ñ÷èòàòü, ÷òîa∫a

f(x) dx = 0.

Ðàññìîòðèì îñíîâíûå ñâîéñòâà èíòåãðàëà.

1.

b∫a

dx = b− a (ñðàçó ñëåäóåò èç îïðåäåëåíèÿ èíòåãðàëà).

2. Åñëè f èíòåãðèðóåìà íà [a, b], a < c < b, òî f èíòåãðèðóåìà íà îòðåçêàõ [a, c] è[c, b] è

b∫a

f(x) dx =

c∫a

f(x) dx+

b∫c

f(x) dx. (5.2)

I Òî ÷òî f èíòåãðèðóåìà íà [a, c] è [c, b] áûëî óñòàíîâëåíî ðàíåå. Äîêàæåìðàâåíñòâî (5.2). Ðàññìîòðèì ðàçáèåíèå [a, b] íà ÷àñòè, ïðè÷åì òî÷êó c áóäåìñ÷èòàòü òî÷êîé äåëåíèÿ. Ñîñòàâèâ èíòåãðàëüíûå ñóììû, áóäåì èìåòü

b∑a

f(γk)∆xk =c∑a

f(γk)∆xk +b∑c

f(γk)∆xk. (5.3)

Ïåðåõîäÿ ê ïðåäåëó ïðè λ→ 0, ïîëó÷èì ðàâåíñòâî (5.2). J

Ñëåäñòâèå 5.1. Ïóñòü f èíòåãðèðóåìà íà [a, b]. Òîãäà äëÿ ëþáûõ α, β, γ ∈ [a, b]ñïðàâåäëèâà ôîðìóëà

γ∫α

f(x) dx =

β∫α

f(x) dx+

γ∫β

f(x) dx.

I Ïðè α < β < γ ïîëó÷àåì ôîðìóëó (5.2). Âîçúìåì êàêîå-ëèáî èíîå ðàñïîëî-æåíèå òî÷åê α, β, γ, íàïðèìåð γ < β < α. Òîãäà ïî äîêàçàííîìó

α∫γ

f(x) dx =

β∫γ

f(x) dx+

α∫β

f(x) dx.

Èñïîëüçóÿ (5.1), ïîëó÷àåì

∫ γ

α

f(x) dx = −β∫γ

f(x) dx−α∫β

f(x) dx =

β∫α

f(x) dx+

γ∫β

f(x) dx.

Ïðè ëþáîì äðóãîì ðàñïîëîæåíèè α, β, γ ðàññóæäåíèå àíàëîãè÷íî. J

3. Åñëè f èíòåãðèðóåìà íà [a, b], òî è kf èíòåãðèðóåìà íà [a, b], ïðè÷åì

b∫a

kf(x) dx = k

b∫a

f(x) dx.

113

4. Åñëè f è g èíòåãðèðóåìû íà [a, b], òî è f ± g èíòåãðèðóåìà íà [a, b], ïðè÷åì

b∫a

(f(x)± g(x)) dx =

b∫a

f(x) dx±b∫

a

g(x) dx.

I Ñâîéñòâà 3 è 4 äîêàçûâàþòñÿ àíàëîãè÷íî. Ïðèâåäåì äîêàçàòåëüñòâî ñâîé-ñòâà 4. Ðàçîáüåì îòðåçîê [a, b] ïðîèçâîëüíî íà ÷àñòè è ñîñòàâèì èíòåãðàëüíûåñóììû äëÿ âñåõ òðåõ èíòåãðàëîâ. Ïðè ýòîì γk â êàæäîì îòðåçêå âûáèðàåòñÿïðîèçâîëüíî, íî äëÿ âñåõ ñóìì îäíè è òå æå. Òîãäà ïîëó÷àåì∑

k

(f(γk)± g(γk))∆xk =∑k

f(γk)∆xk ±∑k

g(γk)∆xk. (5.4)

Ïóñòü λ→ 0. Òàê êàê äëÿ îáåèõ ñóìì ñïðàâà ïðåäåë ñóùåñòâóåò, òî ñóùåñòâóåòè ïðåäåë äëÿ ñóìì ñëåâà, ÷åì óñòàíàâëèâàåòñÿ èíòåãðèðóåìîñòü ôóíêöèè f±g.Ïåðåõîäÿ â ðàâåíñòâå (5.4) ê ïðåäåëó, ïðèõîäèì ê òðåáóåìîìó ñîîòíîøåíèþ. J

114

ËÅÊÖÈß 34

�6. Ñâîéñòâà îïðåäåëåííûõ èíòåãðàëîâ, âûðàæàåìûå íåðàâåíñòâàìè

1. Åñëè f èíòåãðèðóåìà íà [a, b] è íåîòðèöàòåëüíà, òî

b∫a

f(x) dx > 0.

I Äîêàçàòåëüñòâî î÷åâèäíî (êàæäîå ñëàãàåìîå â èíòåãðàëüíîé ñóììå > 0). J

2. Åñëè f èíòåãðèðóåìà íà [a, b] è ñòðîãî ïîëîæèòåëüíà, òî

b∫a

f(x) dx > 0.

I Äîïóñòèì, ÷òîb∫

a

f(x) dx = 0.

Òîãäà ïðè λ→ 0 è âåðõíÿÿ ñóììà Äàðáó ñòðåìèòñÿ ê íóëþ (íåðàâåíñòâî

J − ε 6 s 6 S 6 J + ε

(ñì. äîêàçàòåëüñòâî íåîáõîäèìîñòè òåîðåìû 1.1)). Âçÿâ ε1 > 0, ìîæíî ñäåëàòüýòó ñóììó ìåíüøå, ÷åì ε1(b− a). Ïðè ýòîì õîòÿ áû îäíà èç âåðõíèõ ãðàíèö Mk

áóäåò ìåíüøå ε1. Èíûìè ñëîâàìè, â îòðåçêå [a, b] íàéäåòñÿ òàêàÿ ÷àñòü [a1, b1],â êîòîðîé f(x) < ε1. Òàê êàê è èíòåãðàë f ïî [a1, b1] ðàâåí íóëþ, òî àíàëî-ãè÷íî èç [a1, b1] âûäåëÿåòñÿ [a2, b2], â ïðåäåëàõ êîòîðîãî f(x) < ε2, ãäå ε2 �ëþáîå ïîëîæèòåëüíîå ÷èñëî ìåíüøåå ε1. Âçÿâ ïîñëåäîâàòåëüíîñü ïîëîæèòåëü-íûõ εk → 0, ìîæíî îïðåäåëèòü òàêóþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü âëîæåííûõ îòðåçêîâ(ñòðåìÿùèõñÿ ïî äëèíå ê íóëþ) [ak, bk], ÷òî 0 < f(x) < εk, åñëè ak 6 x 6 bk. ñèëó ëåììû î âëîæåííûõ îòðåçêàõ ñóùåñòâóåò òî÷êà c, îáùàÿ äëÿ âñåõ ýòèõîòðåçêîâ. Äëÿ íåå 0 < f(c) < εk ïðè k = 1, 2, . . . , ÷òî íåâîçìîæíî, òàê êàêε→ 0. J

3. Åñëè ôóíêöèè f è g èíòåãðèðóåìû íà [a, b] è f(x) 6 g(x) (f(x) < g(x)) ïðèx ∈ [a, b], òî

b∫a

f(x) dx 6

b∫a

g(x) dx

b∫a

f(x) dx <

b∫a

g(x) dx

.

I Äîêàçàòåëüñòâî î÷åâèäíî (íàäî ïðèìåíèòü ñâîéñòâà 1 è 3 ê ðàçíîñòè f(x)−g(x)). J

115

4. Åñëè f èíòåãðèðóåìà íà [a, b], òî∣∣∣∣∣∣b∫

a

f(x) dx

∣∣∣∣∣∣ 6b∫

a

|f(x)| dx. (6.1)

I Ñóùåñòâîâàíèåb∫a

|f(x)| dx óñòàíîâëåíî ðàíåå. Ïðèìåíÿÿ ñâîéñòâî 3 ê ôóíê-öèÿì

−|f(x)| 6 f(x) 6 |f(x)|,ïîëó÷àåì íåðàâåíñòâî (6.1). J

Çàìå÷àíèå 6.1. Íåðàâåíñòâî (6.1) ëåãêî ïîëó÷èòü è íåïîñðåäñòâåííî èñõîäÿ èç èí-òåãðàëüíûõ ñóìì, òàê êàê ∣∣∣∣∣∑

k

f(γk)∆xk

∣∣∣∣∣ 6∑k

|f(γk)|∆xk.

Òåîðåìà 6.1 (îáîáùåííàÿ òåîðåìà î ñðåäíåì çíà÷åíèè â îïðåäåëåííîì èíòåãðàëå).Ïóñòü

1) f è g èíòåãðèðóåìû íà [a, b],

2) m 6 f(x) 6 M äëÿ âñåõ x ∈ [a, b],

3) ôóíêöèÿ g íà [a, b] íå ìåíÿåò çíàêà (g(x) 6 0 èëè g(x) > 0 äëÿ ëþáîãî x ∈ [a, b]).

Òîãäà ñóùåñòâóåò γ ∈ [m,M ], òàêîå, ÷òî

b∫a

f(x)g(x) dx = γ

b∫a

g(x)dx. (6.2)

I Ïóñòü ñíà÷àëà g(x) > 0. Òîãäà èìååì

mg(x) 6 f(x)g(x) 6 Mf(x)

ïðè x ∈ [a, b]. Íà îñíîâàíèè ñâîéñòâà 3 §5 è ñâîéñòâà 3 ýòîãî ïàðàãðàôà ïîëó÷àåì

m

b∫a

g(x) dx 6

b∫a

f(x)g(x) dx 6 M

b∫a

g(x) dx. (6.3)

 ñèëó ñâîéñòâà 1 èìååìb∫

a

g(x) dx > 0.

Åñëè îí ðàâåí íóëþ, òî èç íåðàâåíñòâà (6.3) ñëåäóåò, ÷òî è

b∫a

f(x)g(x) dx = 0,

116

è óòâåðæäåíèå òåîðåìû î÷åâèäíî. Åñëè ýòîò èíòåãðàë áîëüøå íóëÿ, òî, ðàçäåëèâ íàíåãî îáå ÷àñòè íåðàâåíñòâà (6.3) è ïîëîæèâ

γ =

b∫a

f(x)g(x) dx

b∫a

g(x) dx

,

ïðèäåì ê òðåáóåìîìó ñîîòíîøåíèþ (6.2). Îò ïðåäïîëîæåíèÿ g(x) > 0 ëåãêî ïåðåéòèê ïðåäïîëîæåíèþ g(x) 6 0, òàê êàê èçìåíåíèå çíàêà g(x) íå íàðóøàåò ðàâåíñòâà. J

Ñëåäñòâèå 6.1. Åñëè â óñëîâèÿõ òåîðåìû 6.1 ôóíêöèÿ f íåïðåðûâíà, òî ôîðìó-ëà (6.2) ìîæåò áûòü çàïèñàíà â âèäå

b∫a

f(x) dx = f(c)

b∫a

g(x) dx, (6.4)

ãäå c � íåêîòîðàÿ òî÷êà íà îòðåçêå [a, b].

I Åñëè ñ÷èòàòü, ÷òî m è M � íàèìåíüøåå è íàèáîëüøåå çíà÷åíèÿ f íà [a, b], òîïî òåîðåìå Áîëüöàíî�Êîøè î ïðîìåæóòî÷íîì çíà÷åíèè f(c) = γ â íåêîòîðîé òî÷êåc ∈ [a, b]. J

Çàìå÷àíèå 6.2. Äîêàçàííàÿ òåîðåìà è åå ñëåäñòâèå 6.1 ÷àñòî èñïîëüçóþòñÿ, êîãäàg(x) = 1 íà [a, b].  ýòîì ñëó÷àå òåîðåìà 6.1 íàçûâàåòñÿ òåîðåìîé î ñðåäíåì çíà÷åíèèäëÿ îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà.

�7. Êëàññû èíòåãðèðóåìûõ ôóíêöèé

Òåîðåìà 7.1. Åñëè ôóíêöèÿ f íåïðåðûâíà íà îòðåçêå [a, b], òî îíà èíòåãðèðóåìàíà íåì.

I Òàê êàê f íåïðåðûâíà íà [a, b], òî â ñèëó òåîðåìû Êàíòîðà îíà ðàâíîìåðíîíåïðåðûâíà íà [a, b]. Ñëåäîâàòåëüíî åñëè îòðåçîê [a, b] ðàçáèò íà ÷àñòè ñ äëèíàìè∆xk < δ, òî âñå ωk < ε. Îòñþäà

n−1∑k=0

ωk∆xk 6 ε

n−1∑k=0

∆xk = ε(b− a)

è, ñëåäîâàòåëüíî,

limλ→0

n−1∑k=0

ωk∆xk = 0,

à ïîýòîìó ôóíêöèÿ f èíòåãðèðóåìà íà [a, b]. J

Òåîðåìà 7.2. Ìîíîòîííàÿ íà [a, b] ôóíêöèÿ èíòåãðèðóåìà íà íåì.

I Ïóñòü f âîçðàñòàåò. Òîãäà åå êîëåáàíèå íà [xk, xk+1] áóäåò ωk = f(xk+1)−f(xk).Çàäàäèì ε > 0 è ïîëîæèì

δ =ε

f(b)− f(a).

Ïóñòü ∆xk < δ. Òîãäà èìååì∑k

ωk∆xk 6 δ∑k

(f(xk+1)− f(xk)) = δ(f(b)− f(a)) = ε.

Îòñþäà ñëåäóåò èíòåãðèðóåìîñòü ôóíêöèè f. J

117

�8. Îïðåäåëåííûé èíòåãðàë ñ ïåðåìåííûì âåðõíèì ïðåäåëîì

1

Íåïðåðûâíîñòü èíòåãðàëà ïî âåðõíåìó ïðåäåëó.Ïóñòü f èíòåãðèðóåìà íà [a, b]. Òîãäà îíà èíòåãðèðóåìà è íà ëþáîì îòðåçêå [a, x],

ãäå a 6 x 6 b, ò. å. äëÿ ëþáîãî x ∈ [a, b] ñóùåñòâóåòx∫a

f(t) dt. Ðàññìîòðèì ôóíêöèþ

F (x) =

x∫a

f(t) dt. (8.1)

Ýòà ôóíêöèÿ îïðåäåëåííàÿ íà [a, b] è íàçûâàåòñÿ èíòåãðàëîì ñ ïåðåìåííûì âåðõíèìïðåäåëîì.

Òåîðåìà 8.1. Åñëè f èíòåãðèðóåìà íà [a, b], òî ôóíêöèÿ F (x) íåïðåðûâíà íà ýòîìîòðåçêå.

I Ïóñòü x ∈ [a, b], x+ ∆x ∈ [a, b]. Òîãäà èç (8.1) ñëåäóåò

∆F (x) = F (x+ ∆x)− F (x) =

x+∆x∫x

f(t) dt.

Òàê êàê ôóíêöèÿ f èíòåãðèðóåìà íà [a, b], òî îíà îãðàíè÷åíà íà íåì, ò. å. ñóùåñòâóåò÷èñëî M > 0 òàêîå, ÷òî |f(x)| 6 M äëÿ ëþáîãî x ∈ [a, b]. Ïðèìåíÿÿ ýòî íåðàâåíñòâîäëÿ îöåíêè |∆F (x)|, ïîëó÷èì

|∆F (x)| =

∣∣∣∣∣∣x+∆x∫x

f(t) dt

∣∣∣∣∣∣ 6∣∣∣∣∣∣x+∆x∫x

|f(t)| dt

∣∣∣∣∣∣ 6 M |∆x|.

Ñëåäîâàòåëüíî,lim

∆x→0∆F (x) = 0

äëÿ ëþáîãî x ∈ [a, b], à ýòî è äîêàçûâàåò íåïðåðûâíîñòü F. J

2

Äèôôåðåíöèðîâàíèå èíòåãðàëà ïî âåðõíåìó ïðåäåëó.

Òåîðåìà 8.2 (òåîðåìà Áàððîó). Åñëè f èíòåãðèðóåìà íà [a, b] è íåïðåðûâíà â òî÷êåx0 ∈ [a, b], òî ôóíêöèÿ

F (x) =

x∫a

f(t) dt

äèôôåðåíöèðóåìà â òî÷êå x0 è F′(x0) = f(x0).

118

I Ïîêàæåì, ÷òî

lim∆x→0

∆F (x0)

∆x= f(x0),

ãäå ∆F (x0) = F (x0 +∆x)−F (x0), x0 +∆x ∈ [a, b]. Äëÿ ýòîãî îöåíèì ìîäóëü ðàçíîñòè

∆F (x0)

∆x− f(x0).

Òàê êàê

1

∆x

x0+∆x∫x0

dt = 1,

òî

f(x0) =1

∆x

x0+∆x∫x0

f(x0) dt

(f(x0) � êîíñòàíòà, åå ìîæíî âíåñòè ïîä çíàê èíòåãðàëà). Èìååì

∣∣∣∣∆F (x0)

∆x− f(x0)

∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∣∣ 1

∆x

x0+∆x∫x0

(f(t)− f(x0)) dt

∣∣∣∣∣∣ 6 1

|∆x|

∣∣∣∣∣∣x0+∆x∫x0

|f(t)− f(x0)| dt

∣∣∣∣∣∣ .Ïóñòü çàäàíî ε > 0.  ñèëó íåïðåðûâíîñòè ôóíêöèè f â òî÷êå x0 ñóùåñòâóåò

δ = δ(ε) > 0 òàêîå, ÷òî åñëè |x− x0| < δ, x ∈ [a, b], òî

|f(x)− f(x0)| < ε.

Ïóñòü |∆x| < δ. Òîãäà äëÿ çíà÷åíèé f íà îòðåçêå, ïî êîòîðîìó âåäåòñÿ èíòåãðèðîâà-íèå, áóäåò |t− x0| 6 |∆x| < δ è, ñëåäîâàòåëüíî, ïîëó÷èì

∣∣∣∣∆F (x0)

∆x− f(x0)

∣∣∣∣ < ε

|∆x|

∣∣∣∣∣∣x0+∆x∫x0

dt

∣∣∣∣∣∣ = ε.

Ýòî è îçíà÷àåò, ÷òî

lim∆x→0

∆F (x)

∆x= f(x0).

 ñëó÷àå, êîãäà x0 ñîâïàäàåò ñ îäíèì èç êîíöîâ îòðåçêà [a, b], ïîä F ′(x0) ñëåäóåòïîíèìàòü ñîîòâåòñòâóþùóþ îäíîñòîðîííþþ ïðîèçâîäíóþ F. J

Ñëåäñòâèå 8.1. Íåïðåðûâíàÿ íà îòðåçêå [a, b] ôóíêöèÿ èìååò ïåðâîîáðàçíóþ.

I Èç íåïðåðûâíîñòè f íà [a, b] ñëåäóåò, ÷òî f èíòåãðèðóåìà íà [a, b] è ñîãëàñíîòåîðåìå Áàððîó åå ïåðâîîáðàçíîé íà [a, b] ÿâëÿåòñÿ, íàïðèìåð, ôóíêöèÿ

F (x) =

x∫a

f(t) dt.

J

119

ËÈÒÅÐÀÒÓÐÀ

1. Âóëèõ Á. Ç. Êðàòêèé êóðñ òåîðèè ôóíêöèé âåùåñòâåííîé ïåðåìåííîé. Ì., 1973.350 ñ.

2. Êóäðÿâöåâ Ë. Ä. Ìàòåìàòè÷åñêèé àíàëèç. Ò. 1. Ì., 1970. 588 ñ.

3. Êóäðÿâöåâ Ë. Ä. Ìàòåìàòè÷åñêèé àíàëèç. Ò. 1. Ì., 1973. 614 ñ.

4. Êóäðÿâöåâ Ë. Ä. Ìàòåìàòè÷åñêèé àíàëèç. Ò. 1. Ì., 1981. 688 ñ.

5. Êóäðÿâöåâ Ë. Ä. Êðàòêèé êóðñ ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà. Ì., 1986. 736 ñ.

6. Êóäðÿâöåâ Ë. Ä. Êóðñ ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà. Ò. 1. Ì., 1988. 712 ñ.

7. Íàòàíñîí È. Ï. Êîíñòðóêòèâíàÿ òåîðèÿ ôóíêöèé. Ì.�Ë., 1949. 688 ñ.

8. Ôèõòåíãîëüö Ã. Ì. Êóðñ äèôôåðåíöèàëüíîãî è èíòåãðàëüíîãî èñ÷èñëåíèÿ. Ò. 1.Ì., 1969. 608 ñ.

9. Ôèõòåíãîëüö Ã. Ì. Êóðñ äèôôåðåíöèàëüíîãî è èíòåãðàëüíîãî èñ÷èñëåíèÿ. Ò. 2.Ì., 1969. 800 ñ.

121

Ñîäåðæàíèå

ÏÐÅÄÈÑËÎÂÈÅ 2

I ÄÈÔÔÅÐÅÍÖÈÀËÜÍÎÅ ÈÑ×ÈÑËÅÍÈÅ ÔÓÍÊÖÈÉÎÄÍÎÉ ÏÅÐÅÌÅÍÍÎÉ 3

ÃËÀÂÀ 1. ÂÂÅÄÅÍÈÅ 3

�1. Ïåðâîíà÷àëüíûå ñâåäåíèÿ î ìíîæåñòâàõ 3

�2. Âåùåñòâåííûå ÷èñëà 6

�3. Áèíîì Íüþòîíà 10

�4. Äâà íåðàâåíñòâà Êîøè 11

�5. Îãðàíè÷åííûå è íåîãðàíè÷åííûå ìíîæåñòâà. Âåðõíÿÿ è íèæíÿÿãðàíè 13

�6. Ôóíêöèè 14

�7. Ìîùíîñòü ìíîæåñòâà. Ñ÷åòíûå ìíîæåñòâà 18

ÃËÀÂÀ 2. ×ÈÑËÎÂÛÅÏÎÑËÅÄÎÂÀÒÅËÜÍÎÑÒÈ. ÌÍÎÆÅÑÒÂÀÌÎÙÍÎÑÒÈ ÊÎÍÒÈÍÓÓÌÀ 23

�1. Ïðåäåë ïîñëåäîâàòåëüíîñòè 23

�2. Ìîíîòîííûå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè. ×èñëî e 30

�3. Ëåììà î âëîæåííûõ îòðåçêàõ. Ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòè.Òåîðåìà Áîëüöàíî�Âåéåðøòðàññà 33

�4. Ìíîæåñòâî ìîùíîñòè êîíòèíóóìà 35

�5. Ôóíäàìåíòàëüíûå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè. Êðèòåðèé Êîøè 36

ÃËÀÂÀ 3. ÏÐÅÄÅË ÔÓÍÊÖÈÈ 38

�1. Îïðåäåëåíèå ïðåäåëà ôóíêöèè 38

�2. Ñâîéñòâà ïðåäåëîâ ôóíêöèè 43

�3. Ïðåäåë ìîíîòîííûõ ôóíêöèé. Êðèòåðèé Êîøè ñóùåñòâîâàíèÿïðåäåëà ôóíêöèé 46

�4. Çàìå÷àòåëüíûå ïðåäåëû limx→0

sin x

x, lim

x→0(1 + x)

1x 49

�5. Ñðàâíåíèå ôóíêöèé. Ìåòîä âûäåëåíèÿ ãëàâíîé ÷àñòè ôóíêöèè 52

121

ÃËÀÂÀ 4. ÍÅÏÐÅÐÛÂÍÛÅ ÔÓÍÊÖÈÈ 56

�1. Òî÷êè íåïðåðûâíîñòè è òî÷êè ðàçðûâà ôóíêöèè 56

�2. Îáðàòíûå ôóíêöèè. Íåïðåðûâíîñòü ýëåìåíòàðíûõ ôóíêöèé 58

�3. Ôóíêöèè íåïðåðûâíûå íà îòðåçêå 61

ÃËÀÂÀ 5. ÏÐÎÈÇÂÎÄÍÀß È ÄÈÔÔÅÐÅÍÖÈÀË 65

�1. Îïðåäåëåíèå ïðîèçâîäíîé è äèôôåðåíöèàëà 65

�2. Ãåîìåòðè÷åñêèé è ìåõàíè÷åñêèé ñìûñë ïðîèçâîäíîé 68

�3. Ïðàâèëà âû÷èñëåíèÿ ïðîèçâîäíûõ, ñâÿçàííûå ñ àðèôìåòè÷åñêè-ìè äåéñòâèÿìè íàä ôóíêöèÿìè 68

�4. Ïðîèçâîäíàÿ îáðàòíîé ôóíêöèè. Äèôôåðåíöèðîâàíèå ñëîæíîéôóíêöèè. Èíâàðèàíòíîñòü ôîðìû äèôôåðåíöèàëà 71

�5. Ïðîèçâîäíûå îñíîâíûõ ýëåìåíòàðíûõ ôóíêöèé 72

�6. Ïðîèçâîäíûå è äèôôåðåíöèàëû âûñøèõ ïîðÿäêîâ 76

ÃËÀÂÀ 6. ÎÑÍÎÂÍÛÅ ÒÅÎÐÅÌÛÄÈÔÔÅÐÅÍÖÈÀËÜÍÎÃÎÈÑ-×ÈÑËÅÍÈß 79

�1. Òåîðåìû î ñðåäíåì çíà÷åíèè äëÿ äèôôåðåíöèðóåìûõ ôóíêöèé 79

�2. Ðàñêðûòèå íåîïðåäåëåííîñòåé ïî ïðàâèëó Ëîïèòàëÿ 82

�3. Ôîðìóëà Òåéëîðà 84

�4. Èíòåðïîëÿöèîííûé ìíîãî÷ëåí Ëàãðàíæà 91

ÃËÀÂÀ 7. ÈÑÑËÅÄÎÂÀÍÈÅ ÔÓÍÊÖÈÉ Ñ ÏÎÌÎÙÜÞ ÏÐÎÈÇ-ÂÎÄÍÛÕ 94

�1. Ïðèçíàê ìîíîòîííîñòè ôóíêöèè. Ýêñòðåìóìû 94

�2. Àñèìïòîòû 97

�3. Âûïóêëîñòü è òî÷êè ïåðåãèáà 97

II ÈÍÒÅÃÐÀËÛ È ÐßÄÛ 101

ÃËÀÂÀ 8. ÏÅÐÂÎÎÁÐÀÇÍÀßÈÍÅÎÏÐÅÄÅËÅÍÍÛÉÈÍÒÅÃÐÀË 101

�1. Ïîíÿòèå ïåðâîîáðàçíîé è íåîïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà 101

�2. Èíòåãðèðîâàíèå ïî ÷àñòÿì. Çàìåíà ïåðåìåííîé 104

122

ÃËÀÂÀ 9. ÎÏÐÅÄÅËÅÍÍÛÉ ÈÍÒÅÃÐÀË ÐÈÌÀÍÀ 107

�1. Îïðåäåëåíèå èíòåãðàëà 107

�2. Ñóììû Äàðáó 108

�3. Óñëîâèÿ ñóùåñòâîâàíèÿ èíòåãðàëà Ðèìàíà 110

�4. Ñâîéñòâà èíòåãðèðóåìûõ ôóíêöèé 111

�5. Ñâîéñòâà îïðåäåëåííûõ èíòåãðàëîâ, âûðàæàåìûå ðàâåíñòâàìè 112

�6. Ñâîéñòâà îïðåäåëåííûõ èíòåãðàëîâ, âûðàæàåìûå íåðàâåíñòâàìè 115

�7. Êëàññû èíòåãðèðóåìûõ ôóíêöèé 117

�8. Îïðåäåëåííûé èíòåãðàë ñ ïåðåìåííûì âåðõíèì ïðåäåëîì 118

ËÈÒÅÐÀÒÓÐÀ 120

123