E u c l i d E s · 28 Wiskunde D op het SCE [Marianne Lambriex] 32 Carmen van den Boom ‘Docent 2007’ [Hans Daale] 35 Feiten en meningen / Bewijzen en voorbeelden geven [Pauline

E u c l i d E sv a k b l a d v o o r d e w i s k u n d e l e r a a r

Orgaan van de Nederlandse Vereniging van Wiskundeleraren

centrale examens 2007

Wiskunde d

carmen van den Boom

Flatland

Jaarvergadering/ studiedag: Relevante wiskunde

Examenbesprekingen

NlT-modulesgecertificeerd

s e p t e m b e r

0 7

n r 1j a a r g a n g 8 3

Eu

cl

id

Es

Euclides is het orgaan van de Nederlandse Vereniging

van Wiskundeleraren.

Het blad verschijnt 8 maal per verenigingsjaar.

ISSN 0165-0394

RedactieBram van Asch

Klaske Blom

Marja Bos, hoofdredacteur

Rob Bosch

Hans Daale

Gert de Kleuver, voorzitter

Dick Klingens, eindredacteur

Wim Laaper, secretaris

Joke Verbeek

inzendingen bijdragenArtikelen/mededelingen naar de

hoofdredacteur: Marja Bos,

Koematen 8, 7754 NV Wachtum

E-mail: [email protected]

Richtlijnen voor artikelenTekst liefst digitaal in Word aanleveren; op papier in

drievoud. Illustraties, foto’s en formules separaat op

papier aanleveren: genummerd, scherp contrast.

Zie voor nadere aanwijzingen:

www.nvvw.nl/euclricht.html

RealisatieOntwerp en vormgeving, fotografie, drukwerk

en mailingservices

De Kleuver bedrijfscommunicatie b.v.

Veenendaal, www.de-kleuver.nl

Nederlandse Vereniging van WiskundelerarenWebsite: www.nvvw.nl

Voorzitter

Marian Kollenveld,

Leeuwendaallaan 43, 2281 GK Rijswijk

Tel. (070) 390 63 78


secretaris

Wim Kuipers,

Waalstraat 8, 8052 AE Hattem

Tel. (038) 444 70 17


ledenadministratie

Elly van Bemmel-Hendriks,

De Schalm 19, 8251 LB Dronten

Tel. (0321) 31 25 43


lidmaatschap

Het lidmaatschap van de NVvW is inclusief Euclides.

De contributie per verenigingsjaar bedraagt voor

- leden: € 50,00

- leden, maar dan zonder Euclides: € 35,00

- studentleden: € 26,50

- gepensioneerden: € 35,00

- leden van de VVWL: € 35,00

Bijdrage WwF (jaarlijks): € 2,50

Betaling per acceptgiro. Nieuwe leden dienen zich op te

geven bij de ledenadministratie.

Opzeggingen moeten plaatsvinden vóór 1 juli.

Abonnementen niet-leden

Abonnementen gelden steeds vanaf het eerstvolgende

nummer.

Niet-leden: € 55,00

Instituten en scholen: € 140,00

Losse nummers zijn op aanvraag leverbaar: € 17,50

Betaling per acceptgiro.

Advertenties en bijsluiters

De Kleuver bedrijfscommunicatie bv:

t.a.v. Ada Valkenburg

Kerkewijk 63, 3901 EC Veenendaal

Tel. (0318) 555 075


colofon

s e p t e m b e r

0 7

n r 1j a a r g a n g 8 3

Eu

cl

id

Es

8

3|1

1

1 Kortvooraf [MarjaBos]1 Rectificatie2 Wiskunde-examens2007, 1etijdvak [AnitadeBruijne.a.]18 Koninginofbozefee? [FredKloppenborg]20 Home>Forum…20 Aankondiging21 Dertienineendozijn [FrankvandenHeuvel]24 CompexVWOwiskundeA2007 [AndréOverbeeke]25 Oproepdeelnameenquête [VincentJonker]26 Ongelijkwaardigheid vanexamencijfers [WimBrummelhuis]28 WiskundeDophetSCE [MarianneLambriex]32 CarmenvandenBoom ‘Docent2007’ [HansDaale]35 Feitenenmeningen/Bewijzenen voorbeeldengeven [PaulineVos]36 Bespreking/FlatlandopDVD [MarjanDoijer-Hoving, SonjaTieck-Muller]39 Verschenen40 EersteNLT-modulesgecertificeerd [BrechjeHollaardt]41 Verslagexamenbesprekingen NVvW2007 [FrankvandenHeuvel]46 Jaarvergadering/Studiedag2007 [MarianneLambriex]50 Recreatie [FritsGöbel]52 Servicepagina

Rectificatie Euclides 82-8

Inhetartikel‘VanMelsenPrijs2007’isdenaamvaneenprijswinnaaronjuistweergegeven.Oppag.319,links,regel18en19v.o.,moetstaanBruno van Albada.

E u c l i d E sKort vooraf [MarjaBos]

Terugblikken op de examens

Demeestepagina’svanditeerstenummervandenieuwejaargangzijntraditiegetrouwgewijdaanderecenteexamensvanvmbo,havoenvwo.Wehebbeninditextradikkenummerookruimtegemaaktvooreenpaaractuelebijdragendiegeendirecterelatiemetdeexamenshebben,maardemeestepagina’s.Deredactiehooptuinditdigitaletijdperkdaarnogsteedseenpleziermeetedoen,andershorenwehetgraag!SowiesovindikfeedbackvanlezersopdeinhoudvanEuclidesbijzondernuttig.InhetopeningsartikeldoendeCito-examenmakersweeruitgebreidverslagvan‘hun’productendedaaruitvoortgevloeideresultaten.Daarnaastkuntulezenhoecollega’stegensommigeexamensaankeken.FredKloppenborgvindtdathetvmbo-wiskunde-examenvoordekaderberoepsgerichteleerweggeenrechtdeedaanzijnleerlingen,enevenminaanzijnonderwijs.Hijhadnaafloopvanhetexamenzeermetzijnkandidatentedoen.DecijferswerdenuiteindelijkmeteenextreemhogeN-term(2,5)opgewaardeerd.FrankvandenHeuvelhaddeafgelopentweejaareenhavo-B12-groep.Hijkijktterugopdietijd,enneemtindatlichthethavo-B12-examenonderdeloep.AndréOverbeeke,vantevorendooronsuitgenodigdomCompexwiskundeAvwotegenhetlichttegaanhouden,werdopnieuwteleurgesteldinditCOMPuterEXamen.Eenandereinzendingbetrofdetweedecorrectie;W.H.Brummelhuiswilzijnzorgenoverdekwaliteitdaarvanmetudelen.OpdeVerenigingspagina’svindtutotslothetjaarlijkseverslagvanderegionaleexamenbesprekingen,georganiseerddoordeNVvW.

Veldraadplegingen

AfgelopenweekorganiseerdedeSLOveldraadplegingenoverdenieuwehavo-envwo-programma’s‘2011’voorwiskundeA,B,CenD.Mogelijkisdeaankondigingvandezebijeenkomstenuontgaan;gelukkigisernog(kort!)gelegenheidomopdeconceptprogramma’stereagerenviadewebsitevancTWO,www.ctwo.nl.

canons

DecanonvanneerlandicusFritsvanOostromheeftheelwatteweeggebracht.ZoinitieerdedeVolkskranteenbèta-canon,voorlopignogelkezaterdagtevindeninhetKennis-katern.AnnevanStreunpleitteinonsjuni-nummervooreencanonvandealgebra,waarinde‘vensters’(paratekennis)wordeningebedineenzinvolensamenhangendnetwerkvanbegrippenentoepas-singen.Alsvoorbeeldnoemdehijhetverwoordeninalgebrataalvanrekenkundigerelatiestussenvariabelen.Inmiddelsiserookeenandersoortigecanonvandewiskundeverschenen, www.wiskundecanon.nl,opgezetdoorJohannesLokenWiggertLoonstra,studentenaandeUniversiteitUtrecht-eenlijstvanbelangrijkewiskundigenuitdewereldgeschiedenis.Eenaardigebronvoorleerlingenendocenten!

Olympiade

AfgelopenzomerbehaaldehetNederlandseteamtijdensdeInternationaleWiskundeOlympiade(IMO)inHanoieenbronzenmedaille(WouterZomervrucht)endrieeervollevermeldingen.Hetklassementvande93deelnemendelandenwerdaangevoerddoorRusland;Nederlandbereiktede56eplaats.Leuknieuwtje:deIMOwordtin2011voorheteerstinNederlandgehouden!

studiedag/jaarvergadering 10 november

‘Relevantewiskunde’,datisditjaarhetthemavandeNVvW-studiedag.Hetaanbodvaninteres-santelezingenenwerkgroepenisweergroot,dankzijdevelevrijwilligersdieditopzichnemen.Nooiteerderaandejaarlijksestudiedagdeelgenomen?Probeerheteens;zeeraanbevolen!TijdensdejaarvergaderingkuntuuiteraardweeruwideeënenzorgenoverhetNederlandsewiskunde-onderwijsendeberoepsgroepvanwiskundedocentenaankaartenbijhetbestuurvandeVereniging.HetprogrammavandezedagvindtuopdeVerenigingspagina’svanafpagina46.Ukuntzichtot19oktoberinschrijven!

E u c l i d E sKort vooraf [MarjaBos] Inhoud

Eu

cl

id

Es

8

3|1

2

gemaakt.Ookdeexamenmakerskijkendaarinexamentijdenuiteraardregelmatigomtezienwelkekanttekeningenhetveldmaaktbijhunexamens.Ookdatisvooralleneenleerzameervaring.Deeerlijkheidgebiedtonstezeggendater,behalveeenverzamelingterechtekanttekeningenbijformuleringeninexamensencorrectievoor-schriften,ookeenforsehoeveelheidopmer-kingenvanaan-wal-staandestuurluitevindenis.JezousomsdenkendathetstormzoulopenophetmomentdatCitoweereenseenvacaturevooreenconstructiegroepmeldt(nagenoegjaarlijksaantetreffeninuwlandelijkedagbladentegenwoordigookindeWiskundE-brief ).Datismeestalniethetgeval…Ook–endatismisschienwelbetreurens-waardiger–zijneropmerkingenopdebetreffendeforumpagina’stevindendie(indemeestoptimistischeinterpretatie)getuigenvaneenwelergsnellewenstotreageren.Ietslangernadenkenzoueenaantalrespondentenwellichtkunnenbeperkenindeveelheidvanhunuitingen.Deinter-pretatiedatsommigevandezereactiesnietingegevenzoudenzijndoordewenstotsnelreageren,maarveroorzaaktzoudenwordendooreennietaltijdaltediepgravendevak-kennisishierendaarookalgeuit,maarisvoorshandsnietdeonze.

Aantallen leerlingen bij de verschil-

lende examens

In tabel 1[Leerlingenaantallen2007]treftudeverschillendeopgegevendeelnemers-aantallenbijdeexamens2007aan(zie pag. 15 e.v.).Indezeaantallenzitookditjaarweereenzekereonnauwkeurigheid.Hetfeitelijkaantalkandidatenisaltijdenkeleprocentenlagerdanhetopgegeven(eninde

tabelvermelde)aantal,omdatscholennogsteedseenzekereveiligheidsmargeinhunbestellingeninbouwen.

Verzamelde N-termen

In tabel 2[VerzameldeN-termen]treftudediverseN-termenaanzoalszeditjaarzijnvastgesteld.DeindetabelopgenomenN-termenwordenindebijdragenoverdediverseexamenswiskundenogmaalsvermeld.Verdertreftudaarookdebijdeverschillendevragengescoordep’-waardenaan.Voordegoedeordebijdezendedefinitievanditbegrip:de p’-waarde van een vraag drukt de gemiddelde score uit in een percentage van de maximale score van die vraag.

VMBO BB

[Anita de Bruijn]

Voorhetregulierecentraalschriftelijkeexamenscoordendekandidatenuitdesteekproefgemiddeld26vande50punten.DeCEVOheeftdeN-termvastgesteldop1,7meteencorrectievan0,2voorvraag11.Hiermeekwamhetgemiddeldcijferop6,6enhetpercentageonvoldoendeop23.Vooreenvergelijkingmetanderejarenzie tabel 3[VMBOBBvanaf2003].In tabel 4[VMBOBB2007]zijndegegevenspervraagverwerkt.DeeersteopgaveMunten sparenwaseenopgaveuithetdomeinrekenen.Doordelagescoresvandekandidatenuitdesteek-proefopdevragen4en5vieldep’-waardevandeopgavealsgeheeltegen.Bijvraag4binnendezeopgave,waarindekandidatenhetgespaardebedragvanuiteengegevenaantalmuntenmetdeverhouding2:1moestenberekenen,behaalde30%vandekandidatenuitdesteekproefdemaximalescorevan3punten.Voor56%vande

In dit overzichtsartikel treft u de verzamelde bijdragen van de verschillende Cito-

medewerkers aan. De bijdragen over de diverse wiskunde-examens worden

voorafgegaan door een algemener gedeelte met daarin een overzicht van de

diverse bij de eerste tijdvakken wiskunde-examens 2007 [1] uiteindelijk vastgestelde

N-termen, onvoldoendepercentages en bijbehorende gemiddeldes.

Zie pagina 15 e.v. voor de tabellen.

Wiskunde-examens 2007, 1e tijdvak[AnitadeBruijn,KeesLagerwaard,GerLimpens,PaulvanderMolen,MelanieSteentjesenGerardStroomer]

dank

Ookditjaarweerhebbenveeldocentenzich–ondanksdesomsgrotetijdsdrukalsgevolgvaneenongelukkigecombinatievanverschillendewiskundevakkendiegecom-primeerdtegenheteindevandeexamen-periodeafgenomenwerden–nauwgezetvanhuncorrectietaakgekwetenendirectdaarnaderesultatendaarvanviaWOLFaanCitodoorgegeven.OmdeanalysestemakenopgrondwaarvandeN-termenbepaaldworden,zijndezegegevensvangrootbelang.Ookdeuitkomstenvanderegionaleexamenbesprekingenzowelindevormvanverslagenalsvanenquêtesgevenonssteedsveelinformatiewaarmeewederecenteexamensgoedkunnenanalyseren.Bijdezeneenwoordvandankaaniedereendiedaaraanopdeeenofanderewijzeheeftmeegewerkt.LedenvandeCEVO-vaksectieswiskunde,ledenvanconstructiegroepenwiskundeennietinhetminstdetoetsdes-kundigenwiskundevanCitozijnallenergafhankelijkvandezeverschillendevormenvanfeedbackbijhunstrevenietstelerenvanderecenteexamenervaringen.Overigensisditmisschienookweldeplaatsomdevreesuittesprekendatdeinteresseomdeeltenemenaanmetnamedieregio-nalevergaderingengestaaglijktaftenemen.Mochtdietrendzichdoorzetten,danzalongetwijfeldhetmomentnabijzijndatdeNederlandseVerenigingvanWiskundelerarenzichgaatbezinnenopdezebesprekingen.Alshetgevolgdaarvanzouzijndatwedezeinformatie(ofvergelijkbaar)nietmeertotonzebeschikkingzoudenhebben,danzoudatergjammerzijn.

Forum

VanhetForumopdeinternetsitevandeNVvWwordtintoenemendemategebruik

Eu

cl

id

Es

33

2E

uc

li

dE

s

83

|1

3

kandidatenuitdesteekproefwasheteentelastigeklus.Zijbehaaldennamelijkgeenenkelpuntvoordezevraag.Devraagstellingbijvraag5heeftachterafbezienveelkandidatenophetverkeerdebeengezet.Uitreactiesdiebinnengekomenzijn,blijktdatBB-leerlingenbijdevraag‘Wievandetweezusjeszaldoortesparenheteersthaarbedragna3maandenver-dubbeldhebben?’alsantwoord‘Anne’of‘Jasmijn’willengeven.Veelvandezeleer-lingenkomennietophetideedathetbijallebeiookevenlangkanduren.DeeerstetweevragenvandeopgaveChampagnetorenwarenvoordemeestekandidatenuitdesteekproefgeenprobleem.Metdederdevraaghaddendekandidatenondanksdeopstapvanvraag7meerproblemendandeexamenmakersvoorafhaddenvoorzien.BijdeopgaveKippenhokwaserbijvraag11kritiekopdevraagstelling.Decriticivondendater2,4m2aanmateriaalnodigwasomhetpuntdaktebedekkenendater3m2gekochtmoestworden.Volgensdiecriticimoestdemaximalescorevan3puntentoegekendwordenaanhetantwoord2,4inplaatsvan3.Bijvraag11werdechternietnaardeoppervlaktevanhetpuntdakgevraagd,maarnaardehoeveel-heidmateriaalomhetpuntdaktebedek-ken.Deoppervlaktevanhetpuntdakwas2,4m2.Hetmateriaalwerdverkochtperhelem2.Erwasdus3m2nodig.Achterafbezienhadindeeerstezinvandestambeterkunnenstaandat‘Hettyopzoekgingnaarmateriaalomhetpuntdaktebedekken’inplaatsvan‘materiaalomhetdaktebedekken’.Hetdakwasnamelijkgroterdanalleenhetpuntdak.Erwasooknogeenstukplatdak.Alskritiekkonaangedragenwordendaterpasafgerondgingwordennadatdetotaleoppervlaktevanhetdakuitgerekendwas.DeN-termcorrectietergroottevan0,2stondhiermeeinverband.Vraag11isdoordekandidatenhetslechtstgemaakt.Slechts3%vandekandidatenuitdesteekproefbehaaldedemaximalescorevan3puntenen78%scoordegeenenkelpuntbijdezevraag.Eenoorzaakvoordeslechtescoremoetmisschiengezochtwordeninhetfeitdatinhetlandtenonrechtedegedachteleeftdatdebenodigdewoordformulesbijdevragenvermeldmoetenworden.Voorvraag11zoudatbetekenendatdeformulevoordeoppervlaktevaneendriehoekgegevenhad

figuur1VMBO-BB

Eu

cl

id

Es

24

4E

uc

li

dE

s

83

|1

4

moetenzijn.Wiehetexamenprogrammaerechteropnaslaat,kanonderanderelezendatdekandidatendeoppervlakteenomtrekvaneendriehoek,rechthoekenfigurendiedaaruitsamengesteldzijngewoonmoetenkunnenberekenenzonderdatdewoordformulesgegevenzijn.Detoetsenmakershebbenzichdusnetjesaanhetexamenprogrammagehouden.BijdeopgaveHartslag(zie figuur 1)ishelaaseenfoutindetabelbijvraag15blijvenstaan.Viaeenaanvullingophetcorrectievoorschriftisdecorrectorengemeldaanvraag15altijddemaximalescorevan2puntentoetekennen.Bijvraag18,vandeopgaveStudeerkamer,moestendekandidatenberekenenhoeveelgradendestompehoekwasdiedetafelpootmethettafelbladmaakte.Hetantwoordopdezevraagmoestberekendwordendoorgebruiktemakenvandekennisover‘eigen-schappenvanhoeken’.Opdezemanierbezigzijnmethetbegriphoekwasrelatiefnieuwopeenexamen,maarwelgewoonexamenstof.Degevraagdevaardigheidvanvraag19,delengteopmetenineenteke-ningendaarnametbehulpvandegegevenschaaldewerkelijkelengteberekenen,isvakerineenexamenvoorgekomen.Dekandidatenzoudenerdusmeebekendmoetenzijn.Hethogepercentagevan55voordenul-scorewasdaardooropvallend.DeopgaveBesproeien van plantenisdoordekandidatenuitdesteekproefhetslechtstgemaakt.Deeerstevraaguitdezecontextwasvoordekandidatenuitdesteekproefnogweltedoen.Deechteproblemenkwamenbijdelaatstetweevragen.Wastijdgebrekvoordekandidatenhetprobleemofwasdegrotehoeveelheidinformatiehetstruikelblokwaardoordekandidatennietwistenhoeaandezetweevragentebeginnen?Datlaatstezalvoordeexamenmakerszekereenaandachtspuntzijntijdensdeproductievannieuweopgaven.

NaastschriftelijkishetcentraalBB-examenvoorwiskundeevenalsdetweevoorgaandejarenookdigitaalafgenomen.Hetaantaldeelnemendescholenindepilotwastenopzichtevanvorigjaarverdubbeldwaar-doorhettotaalop200kwam.Descholenhaddenvoordeeersteafnamedebeschik-kingoverzesvarianten.Daarnaastwarenernogdrievariantenbeschikbaarvoordekandidatendiegebruikmaaktenvandeherkansingsregeling.Integenstellingtot

anderedeelnemendevakkenaandepilotwasdetijdsduurvanhetwiskunde-examen90minuten.DeintentiewasomvoorallenegenvariantendezelfdeN-termvasttestellen.Tijdensdeanalysesvanderesultatenvandekandidatenbleekechter,datéénvandevariantensignificantmoeilijkerwasdandeoverigevarianten.Ditislaterverrekenddoormiddelvaneenaanpassing.VoorallevariantenwerddeN-termvastgesteldop

1,9.Bijdesignificantmoeilijkervariantmoestendescoresvandekandidatenmet3scorepuntenverhoogdwordenvoordatdetoepassingvandeN-termtoteencijferleidde.In tabel 5[VMBOBB2007digitaal]zijndegegevensvandevragenverwerktdiehorenbijdedigitaleversievandecontextHartslag.Deeerstetweevragenvandedigitaleversiewarenidentiekaanderegulierepapieren

figuur2VMBO-KB

Eu

cl

id

Es

24

5E

uc

li

dE

s

2

94

Eu

cl

id

Es

8

3|1

5

versie.Bijdederdevraagvandedigitaleversiemoestendekandidatenhetantwoordvindenoptweebeweringendiehoordenbijdegetekendegrafieken.Demaximalescorevandezevraagwas1punt.Ditbetekendedatdekandidatenbeidebeweringengoedbeantwoordmoestenhebbenomdescorevan1tebehalen.Hierdoorbehaalde41%vandekandidatengeenenkelpuntvoordezevraag.Bijdelaatstevraagvandezecontextindedigitaleversiemoestendekandidatenhetpercentagemetbehulpvandeschuifbalkveranderen.Doorhetgebruikvaneenschuifbalkkandekandi-daatverschillendegrafiekenbekijken.Ditgebruikvandeschuifbalkenbreidthetscalaaanmogelijkhedenomietstedoenaandevaardigheid‘aflezenuiteengrafiek’inonzeogenopeenprettigemanieruit.

VMBO KB en Gl/Tl

[Melanie steentjes]

Hetniveauvandevmbo-examensvoorzowelkaderberoeps(KB)alsgemengdeleer-weg/theoretischeleerweg(GL/TL)werdditjaardoorleerlingenendocentenerghooggevonden.LeerlingenklaagdenmassaalbijhetLAKS.BijdeGL/TL-examenskreeghetexamenwiskundeditjaar28%vanalleklachten.BijdeKB-examenswasditmaarliefst45%.TraditiegetrouwkwamenerweinigreactiesophetforumvandeNVvWoverhetKB-examen.Docentendiehetforumwistentevinden,klaagdenwelallemaaloverhet(te)hogeniveauvanhetexamen.BijGL/TLwarendereactiesietspositiever.Ookhiervondmethetexamenduidelijklastigerdanvorigjaar,maarmenleekhierinhetalgemeennietongelukkigmeetezijn.Bijdeexamenbesprekingenkwamverdernaarvorendatmendeleesbaarheidvanbeideexamensslechtvond.Erisditjaargeprobeerdomdeleesbaarheidvanbeideexamensteverbeterendoorbijvoorbeeldzoveelmogelijkoverbodigetekstteschrappen.Mindertekstbijcontextrijkewiskundewordtlastig.Hetenigedatdeleesbaarheidnoglijkttekunnenvergroten,ishetintro-ducerenvankale,contextlozeopgaven.Ookblijkensommigedocentennogniettewetenwelkemeetkundigeformulesnuwelgegevenwordenophetexamenenwelkeniet.Inhetexamenprogrammaisditheelduidelijkterugtevinden.Hierinstaatdatleerlingendeomtrekenoppervlaktevaneencirkelendeinhoudvanprisma,kegel,

piramide,bolencilindermoetenkunnenberekenenmetgegeven (woord)formules.Deoppervlaktevaneendriehoekofdeinhoudvaneenbalkmoetenleerlin-genkunnenberekenenzondergegeven(woord)formules.VanafkomendjaarwordtdewisselingtussenstatistiekenmeetkundebijhetCentraalExamenafgeschaft.DanzalsteedshetdomeinmeetkundebijhetCentraalExamenwordengetoetst.Wellichtraaktmenopdiemaniermeervertrouwdmetdegegevenformulesenbehorenondui-delijkhedenhieroverdantothetverleden.Webekijkenbeideexamensnader.

VMBO KBHetKB-examenwiskundebevatte25vragenwaarmeeintotaal79puntenbehaaldkondenworden.In tabel 6[VMBOKB2007]iseenoverzichtvanp’-waardenpervraagtevinden.HetexamenstarttemetdecontextHelikopter(zie pag. 18). Datbleekmeteengemiddeldep’-waardevan46,3geenmak-kelijkestartopgave.DecontextSaunaof decontext Volleybalwasbijnaderinzienbetergeweestalsstartopgave.Vooraldelaatstevraag,waarindetoenamevanhetbereikbaregebiedberekendmoetwordenbijeennieuwtypehelikopter,werdslechtgemaakt.Devolgendecontext,Volleybal,scoordebeter.Welwasopvallenddatdeeerstevraagrelatiefmoeilijkwerdgevonden.Maarliefst43%vandeleerlingenwisthiergeenenkelpunttescoren.Omhetantwoordtevindenmoest0ingevuldwordenineengegevenformule.Waarschijnlijkzatdemoeilijkheidhierinhetvertalenvandecontextnaarwiskunde.Ietsdergelijksleekooktespelenbijvraag7.DecontextVaasscoordezeermatig(zie figuur 2).Eenveelgehoordeklachtbetrofdeonduidelijkheidvandefoto.Hierdoorwashetvoorleerlingenlastigomzicheenvoor-stellingvandevaastemaken.Erisbijdezecontextgeenenkelevraagmeteenp’-waardevanmeerdan40.Ditwektvooralverbazingbijvraag10envraag11.Relatiefveelleerlingensloegendezevragenover.Bijvraag10moestdehoogtevaneengelijk-zijdigedriehoekberekendwordenenbijvraag11moestvervolgensdeoppervlaktevandezedriehoekberekendworden.Hetlijkenbeidestandaardvragen.Ookzijninbeidegevallendeantwoordenindevraaggegeven.Waarhierdemoeilijkheidinzitvoorleerlingen,blijftgissen.Hetkannietde

vertalingvanuitdecontextzijn,dedriehoekisnamelijkgegevenengetekend.Wellichtvindenleerlingenhetlastigalshetantwoordalgegevenisindevraag.Ofzewetenniethoezedeoppervlaktevaneendriehoekmoetenberekenen.Vraag12(inhoudvandevaasberekenen)werdalsmoeilijkstevraagbijdezecontextervarenmeteenp’-waardevan17.Ophetcorrectievoorschriftbijdezevraagvolgdeoverigensnogeenerratum.Geziendecontextis‘0,6liter’hetjuisteantwoord.Hetantwoord‘0,7liter’mochtookgoedgerekendworden.Delaatstevraag,eeninzichtvraagoverhetverbandtussendetijdendewaterhoogtetijdenshetvullenvandevaas,scoortredelijk(p’-waardevan31).Temperatuur in de saunascoordemeteengemiddeldep’-waardevan60,3hetbesteinditexamen.Vraag15bleekdelastig-stevraagvandezecontext.Bijdezevraagmoestenleerlingeneenformulemakendiehetverbandbeschrijfttussendehoogteendetemperatuur.Devolgendevraagscoordehetbestevanhetheleexamen.Ermoesteengrafiekgetekendwordendie10gradenbovendegegevengrafiekligt.Maarliefst88%vandeleerlingenscoordehierallepunten.EntoenvolgdedecontextWandkleed(zie pag. 19).Depittigstecontextvanhetheleexamen.Deeerstevraag(vraag18)gafaldirectmoeilijkhedenomdatsommigeleerlingendezehoeknotatie(dedrieletter-notatieBADompreciestezijn)nietblekentekennen.Bijvraag20en21haaktenleerlingenmassaalaf.78%respectievelijk81%vandeleerlingenscoordehiergeenenkelpunt.Ophetforumenbijdeexamen-besprekingenkwamnaarvorendatveelleerlingenbijvraag20metschaalrekenenaandeslaggingenvanuitdeschaaltekeningdiezebijvraag19gemaakthadden.Omdatnietexplicietvermeldstonddatditnietdebedoelingwas,konditopvakinhoudelijkegrondengoedgekeurdworden.DelaatstecontextvanhetexamenwasBergwandeling. Deeerstedrievragengingenredelijkgoed.Bijdelaatstevraagmoestenleerlingenmetbehulpvaneenhoogtelijn-kaartdelengtevaneenkabelbaanbereke-nen.Ditbleekvoorveelleerlingentelastig:mensloegdezevraagoverofmenscoordegeenenkelpunt.Dezevraagisooknogeens6puntenwaard.Indetoekomstzullenwevragenmetveelscorepuntenaanheteindvaneenexamenzoveelmogelijkvermijden.DeCEVObeslootdeN-termvasttestellen

Eu

cl

id

Es

8

3|1

6

op2,5.Datresulteerdeineenexamenmet29%onvoldoendeeneengemiddeldcijfervan6,2.

VMBO GL/TLHetGL/TL-examenbestonduit25vragenmetintotaal83punten.In tabel 7[VMBOGL/TL2007]iseenoverzichtvanp’-waardenpervraagtevinden.DecontextVolleybalwaseenprettigeinstap-opgavevoordeleerlingen.HetgegevendatMarit1meterachterdeachterlijnstaat,veroorzaaktewelenkelefouten.Vraag3scoorde,netalsbijKB,hetslechtstvandezecontext.Enigediscussieisernoggeweestoverhetcorrectievoorschriftbijdezevraag.Erwarendocentendiehetonzinvondenom1puntaftetrekkenalshunleerling0,31meterlietstaanenditnietomschreefnaarcentimeter.Devraagluidtechter:‘Berekenhoeveelcentimeterdeafstandtussendebalendebovenkantvanhetnetwas.’Erwordtexplicietvanleerlingengevraagdomhunantwoordincentimetertegevenennietincentimeternauwkeurig.Inhetlaatstegevalzou0,31meternatuurlijkwelgoedgekeurdmogenworden.NetalsbijKBwerddecontextVaas alslastigervaren.Opvallendbijdezecontextisdatereendalendemoeilijkheidsgraadzatindevragen,terwijlhetomgekeerdemeestalwordtnagestreefd.OokishetkleineverschiltussenKBenGL/TLbijvraag5opmerkelijk.Hetberekenenvandeoppervlaktevaneengegevenengetekendegelijkzijdigedriehoek(vraag6)bleekookdoorGL/TL-leerlingenlastiggevondenteworden.Dehelftvandeleerlingenscoordehiergeenenkelpunt.HetopstapjevoorKB(eerstlatenberekenenvandehoogtevandedriehoek)isbijGL/TLoverigensbewustweggelaten.BijdecontextScootersscoordendeleerlin-genzeergoed.Allevragenbijdezecontexthebbeneenp’-waardevanmeerdan80.Indegrafiekiseenonnauwkeurigheidgeslo-pen,waardoorhijniethelemaalovereen-komtmetdegegevenformule.Leerlingenvondendaardoorbijvraag12eenanderantwoordalszeberekendeninplaatsvanaflazen.OokinhetGL/TL-examenisbijdecontextWandkleed hetslechtstgescoord(zie pag. 19).Erisveelgeklaagdoverdeimpactvandezecontext(22punten)ophetheleexamen(83punten).Deeerstetweevragengingenredelijk.Daarnanietmeer.Bijdevragen15totenmet18wistrespectievelijk

61%,71%,72%en92%vandeleerlingengeenenkelpunttescoren.Bijdelaatstevraagbehaaldemaar2%vandeleerlingenhetmaximaleaantalpunten.GelukkigginghetbijGarnalenteelt eenstukbeter.Rekenenmetexponentiëlegroeibleekvoorweinigleerlingeneenprobleemtezijn.OokdecontextHelikopter leverdeweinigproblemenop.OpvallendisdathetverschilbijdezeoverlapopgavetussenKBenGL/TLrelatiefkleinis.WellichtheeftditermeetemakendatditdeinstapopgavevoorKBwasendeafsluitendeopgavevoorGL/TL.DeCEVObeslootdeN-termvoorditexamenvasttestellenop1,6.Datresulteerdeineenexamenmet29%onvoldoendeeneengemiddeldcijfervan6,2.

Overlap KB en GL/TLIntotaalwarener41puntentebehalenopdeoverlapvanhetKB-enhetGL/TL-examen;zie tabel 8[VMBOOverlapKB-GL/TL].DeKB-leerlingenscoordenopdeoverlapeengemiddeldep’-waardevan37,3.Voorhetheleexamenscoordenzeeengemiddeldep’-waardevan41,15.Hetverschiltussendezetweep’-waardenisrelatiefklein,watbetekentdatdecontextendiegeenoverlapwaren(SaunaenBergwandeling)nietechteenvoudigwaren.DatkloptmetnamevoorBergwandeling.Meteengemiddeldep’-waardevan38,5behoortdezecontexttotdemeestpittigevanhetexamen.Eeneenvoudigercontextwashierwellichtopzijnplaatsgeweest.DeGL/TL-leerlingenscoordeneengemid-deldep’-waardevan49,3opdeoverlaptegeneenp’-waardevan50,84ophetheleexamen.Hierduseennogkleinerverschil.DeGL/TL-leerlingenscoordenduszelfsietsslechteropdeoverlapdanophetgeheleexamen.Datbetekentdatde‘GL/TL’-contexten(ScootersenGarnalenteelt)veelteeenvoudigwareninvergelijkingmetdeoverlap.Deconclusieisdatdeoverlapeen-voudigerhadmoetenzijnendeniet-overlapmeeronderscheidhadmoetenmakentussenKBenGL/TL:gemakkelijkervragenvoorKBenpittigervragenvoorGL/TL.

HAVO A12

[Kees lagerwaard]

Hetexamenhadditjaarweerdevertrouwdeomvangvanvijfopgavenmetintotaal22vragenwaarvoor83scorepuntentebehalenwaren;zie tabel 9[HAVOA122007].Indesteekproefvanruim2300kandidaten

kwamniemandverderdan81punten.Hetexamenwerdredelijkgoedontvangen.HetaantalklachtenbijhetLAKSwasweliswaarweergroot,maaraanzienlijkkleinerdangewoonlijk.Ookbijderegionalebespre-kingenenopdediscussiesitevandeNVvWwerdenoverditexamenweinighardenotengekraakt.DestartopgaveMarathonwerduitstekendgemaakt.Vandevijfvragenindezeopgavehaddemoeilijkstenogeenp’-waardevan66.Voorwaareenvriendelijkbegin!IndeopgaveGoedkoop vliegen werdstatistiekbedrevenoptarievenvanprijsvechtersindeluchtvaart.Hetverkopenvanmeerticketsdanerplaatsenzijnopeenvluchtboodmogelijkhedenvoorvragenoverkansenverwachting.Demoeilijkheidvandelaatstetweevragenindezecontextwasredelijkhoog(p’-waarden55en41),maardatwasvoordeexamenmakersgeenverrassing.Kansrekeningiseenlastigonderwerpenscoortopexamensnooiterghoog.De Verspreiding van euromunten isooknunogeenactueelonderwerp.Deexponentiëleafnameinvraag14wasvrijpittig(p’=45).Ooknietechtverrassend:vragenoverexponentiëlegroeiblijkenelkjaartamelijkmoeilijk.Eenvandemoeilijkstevragenvanditexamenwasvraag13,eenkansvraag.Vandekandidatenbehaalde55%voordezevraaggeenenkelpunt.Slechts20%scoordealle4punten.DelastigsteopgavewasPrinterinkt.Leerlingenkwamengemiddeldnietverderdan8vande18tebehalenscorepunten.Decombinatoriekvragen15en16warenmoeilijk(meerdandehelftvandekandi-datenscoordehiergeenenkelpunt),hetrekenenmetgrotegetalleninvraag17gingredelijkendenormaleverdelingsvraag18gingbehoorlijkgoed.Delaatstevraagvandezeopgavewerdgekenmerktdooreengecompliceerdeaanpak.Misschienhadhetgeholpenalsdeevenredigheidtussenaantalgeprintepagina’senbenodigdehoeveelheidprinterinktexplicietgenoemdzouzijn.Delaatsteopgave,Badkamerradiator,wasdekortsteenpastegemakkelijkopéénpagina(zie figuur 3).Maardevragenwarenzeeruiteenlopend.Deeerstevraagwasmedebedoeldomleerlingenvertrouwdtemakenmetdecontextenwerdheelgoedgemaakt(p’=78).Tochbleekditdemoeilijkheidvanhetopstellenvaneenformulenauwe-lijksteverlagen.Maarliefst65%vandekandidatenkonhierhelemaalnietsmee.

Eu

cl

id

Es

29

6E

uc

li

dE

s

83

|1

7

onvoldoendeeneengemiddeldcijfervan6,5.Eenfraairesultaat.

HAVO B

[Paul van der Molen]

AlvorensintegaanopdeB1-enB12-examensafzonderlijkzulleneersteenpaaralgemeneopmerkingenwordengeplaatstdievoorbeideexamensgelden.Dep’-waardenvandeafzonderlijkevragenvandehavo-B-exa-menszijntevindenindetabellen 10 en 11[HAVOB12007,HAVOB122007].Demeestedocentenvondendehavo-B-examensditjaar‘welaardig’.Naditposi-tievegeluidklonkechterwelbijnaaltijdeen‘maar…’.Dekritiekopdetaligheidblijftonverminderdgroot.Delengtevandeexamenswerdditjaarvergrootdoortweefactoren.Teneerstewerdendeexamensvoorheteerstinarial 11ptgepresenteerd(ditomdeleesbaarheidtevergroten,metnamevoorde(gedeeltelijk)dyslectici)enerwerdenruim20%meerwoordengebruiktindeexamensvanditjaarvergelekenmetdeafgelopentweejaar.Tenopzichtevananderevakkenindeexactehoekdoenwehetnogsteedsnietslecht.Datneemtnietwegdateenkritischeblikopdeverwoor-dingvandeopgavengewenstis.Veeldocentenwarenblijteziendathetaandeelalgebrawelistoegenomentenopzichtevanvorigjaar,maaranderenvindenhetnogsteedstemager.Opgemerktkanwordendatdeexamensmetingangvan2009,wanneerdeexamensgebaseerdzullenzijnopdenieuweprogramma’s,flinkmeeralgebrazullenbevatten.Docentenwordtdaaromgeadviseerdomgoednotatenemenvandesyllabusvanhetnieuweprogramma.Hierinstaatnamelijkeenuitgebreidelijstvanvoorbeeldenvanalgebraïschevaardig-hedenwaaroverdehavo-B-leerlingvanaf2009indeexamensdienttebeschikken.

HAVO B1Ditexamenisredelijkgoedontvangen.Deopeningsvraagmeteenp’-waardevan93bezorgdeveelleerlingeneensoepelestart.Helaaswarenertochnogenkeleleerlingendiede lazenals .Deantwoordendiezijopdezemanierkregen,werdenindeloopvandeopgavewelabsurd.Opdecentraleexamenbesprekingzijnafsprakengemaakthoehiermeeomgegaandiendeteworden.Daarwerdookdevraaggesteldofjeinééncontexttweekeerhetsymbooltmaggebruikenwaarbijdestartdatumver-schillendis.Hetstondallemaalwel

Degemiddeldescorewasslechts1vande4scorepunten.Bijdelaatstevraagmoestdeafgeleidewordenopgesteld.Geziendescore(p’=42)ishetnietergdatditdeenigevraagwasoverdifferentiaalrekening.

Almetalleverdeditexameneengemid-deldescoreopvan46,7punten.Datis56%vandetebehalenpunten.DeCEVObeslootdeN-termvasttestellenop1,4.Datresulteerdeineenexamenmet24%

figuur3HAVO-A12

figuur4HAVO-B1

Eu

cl

id

Es

8

3|1

8

totteleurstellingvanveeldocententochweerveelleerlingen(ondanksallewaarschuwingenindeklas)diehetgegevenantwoordindeformulegingeninvullenomaantetonendathetklopt,inplaatsvanhetantwoordzelfteberekenen.ErwarennietveelmensenerggecharmeerdvandeopgavePakjesspel.Eeningewikkeldecontextovereenspeldatallekantenuitkangaan.Bijvraag13bleekdathet,ondanksdevelevoorbeeldendiealgegevenwerdenindetekst,tochlastigwasomzelfdeverschil-lendemanierenteverzinnenwaaropviermensenvierpakjesvandestapelmoetennemen.Decomplexiteitvanditspelleverdeookeenonzuiverheidopbijvraag14en15.Daarwerdgevraagdhoegrootdekansisdateenpersoonnavierkeergooienéénkeeréénpakjemoestpakkenendriekeereenpakjeaaneenandermoestgeven.Heelveelleerlingenrekendenzonderproblemendirectdezekansuitmetdegegeveninformatie.Eenenkelingdieverderdacht,kwamtotdeconclusiedatereenmogelijkheidbestaatdaternogmaaréénpakjeoveris,depersoon2gooitmaarvolgensdespelregelséénpakjemoetnemen.Dekansdaternadrieronden(dus60keergooien)nog1pakjeoveris,isongeveer0,0003,weliswaarklein,maardezesituatieisdusnietuittesluiten.Dezeonzui-verheidheeftgeengevolgengehadomdatdeleerlingendietotdezeconclusiekwamende‘simpele’denkstappenookhaddengemaaktendusallepuntenkregen.DeslotopgaveMachtsfuncties en rechte lijnbleeklastig(zie figuur 4).Leerlingenhaaldengemiddeldhierslechts41%vanhetmaxi-maalaantaltebehalenpunten.Veelkritiekwaseropvraag19waareencombinatievan‘onderzoek’en‘exact’indevraagstond.Devraagoogsttewellofomdatmenheteenorigineleredeneervraagvond.Maarhijhadietsandersgesteldmoetenworden.Tenslottevondenveeldocentendatdezeopgavebeterergensmiddeninhetexamenhadkunnenstaanennietaanheteind.Almetalleverdeditexamengeengroteproblemenop.Hetwasoverdeheleliniezelfseenbeetjeaandemakkelijkekant.DitisookterugtezienindeN-termvan0,7.Ditleiddeertoedat29%vandeleerlingeneenonvol-doendebehaaldeenhetgemiddeldcijfereen6,1werd.

HAVO B12Delijstvanopmerkingenenkritiekpuntenopditexamenwasaanzienlijkkorterdan

correctgeformuleerd,maarfraaiishetinder-daadniet.Derestvandezeopgavegafdemeesteleerlingengeengroteproblemen.Detweedeopgave,Lichaamslengtes van mannen en vrouwen,bevatteeenuitgebreidetekeningeneengrotetabel.Hierinzatveelinformatie.Sommigedocentenvondendatoverbodigeinformatieenbeweerdendatjealdieruiswegmoethalen.Anderenvondendathetjuistrealistischisomvandeleerlingentevragenomderelevanteinformatietekunnenvinden.Inhetlevenvanalledagdienendeproblemendieopgelostdienenteworden,zichooknietgeïsoleerdaan.Bijvraag6moestdeleerlingwelevengoednadenken

voordathijdejuistewaardeuitdetabelkonhalen.Ditwasooktezienaandewatlagerep’-waardevoordezevraag(p’=54).DeopgaveMobiele telefoonpastnatuurlijkperfectindebelevingswereldvandeleerling.Detelefoondiehiergetoondwerd,oogdewel‘ouderwets’.Datkomtomdatexamensmakeneenlangdurigeklusisenomdatdeontwikkelingvanditsoorttoestellenergsnelgaat.Erwasooknogweleenandersoortkritiekopdezeopgave.Eenleerlingdieteenthousiastafrondtbijvraag10,kwamnamelijktotdeconclusiedatdebatterijwelopdehelftvanzijnstand-by-tijdwaszodrahettweedeblokjeuitviel.Bijvraag9warener

figuur5HAVO-B12

Eu

cl

id

Es

29

8E

uc

li

dE

s

83

|1

9

meteenp’-waarde53heelbehoorlijk.Dezeopgavemaakte,bijnainzijngeheel,ookdeeluitvandeoverlapmetA12.Daaroververderopinditverslagmeer.Detweedeopgavebetrofeencontextwaar-meeveelvwo-leerlingenongetwijfeldredelijkvertrouwdzijndanwelopkortetermijnmeevertrouwdzullenraken,tewetenhetrijexamen.Debijbehorendevragenhaddenbetrekkingophetonderwerpkansreke-nenenwarenbeduidendmoeilijkerdandevragenvandeeerstecontext.Hoewelvraag5tochnietsanderswasdanredelijkrecht-toe-recht-aanbinomiaalkansrekenen,scoordedegemiddeldevwo-A1-kandidaathiertochslechtsietsmeerdandehelftvandeteverdienen5scorepunten.Vraag6wasnogwatlastiger.Omteslagenineenbepaaldesituatiemoeteenkandidaatbijhettheorie-examenrijvaardigheidnogenkelevragengoedbeantwoorden.HetA1-examenvermelddedeverschillendeslaagoptiesdieerwaren.DediscussiesopdesitevandeNVvWmaaktenduidelijkdatooknietiederedocenthierineersteinstantiegoedraadmeewist.Kennelijkheeftditforumvoordiedocenten(enhopelijkhunleerlingen…)eenechtemeerwaarde.DelaatstevraagvanRijexamen,vraag7,was(zie tabel)demoeilijkstevanditheleexamen(zie figuur 6).Ookditwasnietgeheelonverwacht,hoeweldeexamenmakersmoetenconstate-rendatzedezemoeilijkheidsgraad(p’=14)nietvoorspeldhadden.Eenenkeleleerlinglietoverigensnaafloopvanditexamenwetenzichdoordezevraagminder‘uitzon-derlijk’tevoelen:dekandidaatwaszelfvierkeergezaktvoorhetrijexamenenwistzichnudeelvaneennietonaanzienlijkedeel-populatievan11%.Waartoeeenexamenalnietkanleiden.DeopgaveVerhoudingenbetrofeencontextdieprofielspecifiekgenoemdmagworden:

bijB1.Erwasookgepastewaarderingvoorditexamen.Hetklimtoestelenvooraldeinhoudsberekeningdaarvaneninminderematedewandelendeduinenwerden‘leuke’contextengenoemd.DestartopgaveDe Wet van Mooreleverdewelmeteengroteproblemenop.Vraag3scoordeheelergslecht.Deformuleherlei-denenopdiemanierdewaardenvanaenbvindenwerddoorslechts7%vandeleerlin-genfoutloosgedaan.Wanneermenbedenktdatditsoortvragenvanaf2009vakerindeexamensgesteldgaatworden,isduidelijkwaaraangewerktmoetworden.DeopgaveWortelfunctieswerdlastiggevon-den.Deleerlingenhaaldenminderdandehelftvanhetmaximaalaantaltebehalenpunten.Vooraldecreatievewoordkeusvanleerlingenbijvraag5,waarbijdetransforma-tieonderwoordengebrachtmoestworden,leverdedenodigenakijkproblemenop.DeopgaveAfgeknotte piramide(zie pag. 23)werddaarentegenvrijgoedgemaakt.Deuitslagleverdebijdezogenoemdegrootschriftexamensopsommigescholeneenprobleemomdatzijdeuitwerkbijlagevergroottenwaardoordeschaalvanhetvoorgedruktegedeeltenietmeerklopte.Docentenwistenhierwelweereenmouwaantepassenmaardeinstructiedatdeuitwerkbijlageinditgevalnietvergrootmagworden,ontbrak.Deslotvraagwerdorigineelgevonden.DecontextMobiele telefoonvertoondegroteoverlapmetB1.Alleenbijdeslotvraagmoestgedifferentieerdworden.Omdatdequotiëntregelnietinhetprogrammazit,werddeoorspronkelijkeformulevoorVvoordezevraagherschreven.DeopgaveKlimtoesteloogstteveellof.Deslotvraag,waarbijdeinhouduitgerekendmoestworden,werdopverschillende(waar-ondercreatieve)manierendoorleerlingenaangepakt.Uitdep’-waarde(40)bleekdatdittocheenlastigevraagwas.DeslotopgaveWandelende duinenbrachtonsnaarMarokko(zie figuur 5).Devormvanhetduinleverdeeenpaarvragenmetgoniometrieop.Bijdeeerstevraagmoesterwordenafgelezeninfiguur2.Dezefiguurwasergkleinuitgevallen.Eenuitvergrotingopeenuitwerkbijlagewasprettiggeweest.Verderbleekdathetduinindefiguurnietperfectsymmetrischwasendaterdaaromverschilbestondtussendebreedtevandelinkerkantendievanderechterkant.Demeestedocentenwistenhierwelopeen

correctemanierhetcorrectievoorschrifttoetepassen.Terechtwerdopgemerktdatdeplaatjesvandeslotvraagsuggereerdendathetpaaltjewandeltenhetduinstilstaat.Deslotvraagbevatte7punten.Ditwerdveelgevondenvooreenslotvraag.Overhetalgemeengesprokenvondmendemoeilijkheidvanditexamenvoldoende.DitisterugtezienindeN-termvan1,2.Ditleiddeertoedat26%vandeleerlingeneenonvoldoendebehaaldeenhetgemid-deldcijfereen6,3werd.

VWO A

[Ger limpens]

InhetnuvolgendedeelwordtaandachtbesteedaandereguliereexamensvwoA1enA12.Ookaandeoverlaptussenbeideexamenswordenenkelewoordengewijd.Aanheteindevanditartikeltreftueenbijdrageoverdegangvanzakenvandecomputerexamens(Compex)bijdevwo-examensA1enA12.Hierbijwerdvoordevijfdeachtereenvolgendekeerdecomputertijdenshetcentraalexameningezet.

VWO A1Zie tabel 12[VWOA12007].Hetvwo-A1-examenbevatteditjaar19vragenwaar-meeintotaalmaximaal79puntenverdiendkondenworden.Restzetels,opgave1dus,opendeditexamen.Indetabelisterugtevindendatdeleerlingenhiergemiddeldgeenproblemenmeehadden.Uiteraardnietgeheelonverwacht:westreveneralsexamenmakersnaardatmetnamedeeerstevragenvaneenexamendeleerlingenenigs-zinsophetgemakstellen.Detweedevraagvandezecontext,waarbijdekiesdelerbijgemeenteraadsverkiezingenin1994voorEnschedemoestwordenberekend,bleekdeeenvoudigstevraagvanditexamen.Enzelfsdelaatstevraagvandezeopgavescoorde

figuur6VWO-A1enA12,Rijexamen

Eu

cl

id

Es

8

3|1

1

0

deguldensnedeenderijvanFibonaccispeleneenrolindewereldvandekunstenpassenalszodaniggoedinhetprofielC&M.Ofiedereleerlingdaarevenblijmeewas,valttebetwijfelen.Deeerstevraag,vraag8,hadheelduidelijkhetkaraktervaneenalles-of-niets-vraag:41%verdiendegeenenkelscorepunt,terwijl51%metdemaximumscore4naarhuisging.DeanalyseverteltjammergenoegnietofdezeleerlingenhunpuntenbehaaldendoorderijvanFibonacci‘metdehand’voorttezettendanwelinhunGRteprogrammeren.Hetvermoedenbestaatdatveelleerlingenvoordeeersteoptiegekozenzullenhebben(hoeweldeexamenmakersookweethebbenvandaadwerkelijkeGR-variantendie‘inhetwild’zijnaangetroffen).Vraag9scoordeniethoogmetp’=34maarookdatwasnietonverwacht.Ongetwijfeldzaldeonbe-kendheidhoedeGRhandigteprogram-mereneenrolgespeeldhebben.Endewijzewaaropdezevraagmoetwordenaangepaktis,hoewelnietmoeilijk,voordeA1-popula-tienatuurlijknietaltezeergeoefend:ditisgeenstandaardactiviteit.Datgeldtoverigenswelweervoordevolgendevraag,vraag10.Hetisverheugendomteziendatleerlingenzich,ingrotengetale,nietlatenontmoe-digendooreenmoeilijkevraag:uitp’=34bijvraag9enp’=88bijvraag10valtteconcluderendatvastlopenbijvraag9nietmassaalleidttotoverslaanvanvraag10.Docentenslagenergelukkiginhunleerlin-genniettelatenopgevenineendergelijkesituatie:76%vandepopulatiehaaldedemaximumscorevan3puntenbijvraag10.DeopgaveIQvertoonteenverloopvanp’-waardenagenoegvolgenshetboekje:deeerstevragenzijnbehoorlijkgoedtedoenentegenheteindewordendevragenbeduidendmoeilijker.Dezecontextmaakteoverigensookdeeluitvandeoverlapmaarinactiviteitwasdieoverlapalleenaantetreffenbijvraag13:alleanderevragenwaren‘profielspecifiek’.IndiscussiestussendocentenwerdnogwelwattijdbesteedaanhetwellichtopvallendeaspectdatdeopgavezelfhetIQnormaalverdeeldveron-dersteltbinneneengegevenpopulatie.Erwarennogalwatcollega’sdievondendatleerlingen,inhunlessenervandoordron-gengeraaktdatIQeendiscretegrootheidis,opdezeleskennisterugkondenvallen,ondankshetfeitdatindeopgavehetnormaalverdeeldzijnzelftottweekeeruitdrukkelijkgestipuleerdwordt.

OpgaveGroenbeleggingnamdebelegginginduurzamehoutsoortentotonderwerp.Eenauthentiekecontext(weliswaarbewerktomgeschikttemakenvoorexamens)steldeenkelezakenaandeorderonddegroeivaneenbepaaldeboomsoortendedaarmeesamenhangendeopbrengsten,uitgaandevaneenmodelzoalsdatdooreenbeleggings-maatschappijineenreclamefoldergeschetstwerd.Delaatstevraagvandezecontext,entevensvanditexamen,waseenvoorbeeldvaneenrelatiefopenonderzoeksvraag.Openalthansvoorleerlingenomdatdekandidaatzelfallerleigegevensbijelkaarmoestrapenomdevraagtekunnenbeantwoorden.Deanalyseleverdehiereenfraaioverzichtopvanver-strooidescoreopbouw:21-12-9-9-12-16-21vormdedepercentagereeks,horendbijdescores0-1-2-3-4-5-6punten.Detotaleindrukvanditexamen(ookdenkendaanaspectenalsvolgorde,moei-lijkheidsgraadenhoeveelheidvragen)isindeogenvandemakersdievaneengeslaagdexamen.DeenquêtesvandeNVvWbevesti-genditbeeld.Uiteraardisnietiedereenhetmetelkaareens,maargrossomodoismenredelijktevredenoverditexamen.Ookvoordemakersisditeengeruststellendegedach-te.DeN-termvan0,8iswellichtindeogenvandezeengenewataande‘strenge’kant,heteruitvoortvloeiendeonvoldoende-per-centagevan30%ligtdaarentegensterkinhetverlengdevandatvorigjaar,teweten31.Hetgemiddeldecijferwerddaarmeeditjaaroverigens6,1.

VWO A12Zie tabel 13[VWOA122007].OokhierbegonhetexamenmetdecontextRestzetels.Opvraag4nawarendevragengelijkaandievandeeersteopgavevanA1.Envraag4zelfwaseigenlijkookdezelfdealsdievandeA1-variant.Demakershaddenalleengeprobeerdindewijzewaarophetprobleemgeformuleerdwas,eenvakspecifiekeinvullingtekiezen:eenvoorbeeldomhetprobleemteillustrerenwasindeA1-variantveelexplicieterverwoorddanindeA12-versie.Inhetcorrectievoorschriftwasdevak-specificiteittezienaandevolgordewaarindemakersdeverschillendevariantengepre-senteerdhadden:bijA1deinklemvariantgevolgddoordevergelijkingsvariant,terwijlA12netdeomgekeerdevolgordekende.Wezullennooitweteninhoeverredevarianten-volgordestrooktemetdeinwerkelijkheid

geconstateerdevariantaantallen.Welwetenwedatbeidevariantenbijbeidevakkeninderdaadvoorkwamen.Overigensiswel-lichthiernogeenopmerkingopzijnplaatsoverdeinklemvariantwaarbijookpuntengegevendiendentewordenaanheelruwevormendiehetbeginvanhetinklempro-cesaangaven.Debedoelingvandemakerswaseenpositieve:eenkandidaatdienietverderkwamdandezeofvergelijkbarewaardennalopen,verdiendetochwelietstekrijgen.Enuiteraarddiendedekandidaatdiemeteennaardejuistewaardensprongenhetomslagpuntgemotiveerdlegdebij73/74mensen,devolleladingpuntenteontvangen.OokRijexamen,detweedeopgavevanhetA12-examen,betrofgrotendeelsoverlap-vragen.Alleendelaatstevraag,vraag8,wasvakspecifiek.Nietzoverwonderlijkgezienhetfeitdathierhetonderwerphypothese-toetsenaandeordekwam.Uitdeanalysebleekdat31%vandekandidatenerzelfsnietinslaagdeomtenminste1scorepunttevergaren.Hetblijftjaarinjaaruitjammerteconstaterendatzelfselementairekennisrondeenregelmatigterugkerendeactiviteitalsdeze,nietbijiedereexamenkandidaataanwezigblijkt.Overigensverdienthetaanbevelingeensnatedenkenoverdewijzewaaropomgegaandienttewordenmetdeexplicieteeisombijhypothesetoetsinginiedergevalaltijddeverschillendehypothesesteverwoorden.Hetcorrectievoorschriftvermeldtdezewel,maarookditjaarkonopverschillendeplaatseneendiversiteitinvisiegeconstateerdworden.Dederdeopgave,Gevoelstemperatuur,hadalsonderwerpmateriedieineerdereafle-veringenvancentraleexamineringaleenseenrolspeelde:deinvloedvandewindsnel-heidopdebelevingvandetemperatuur.DenietonbekendeformulesvanCourtrespectievelijkSipleenPasselkwamenhieraandeorde.Dekandidatenscoordenheelbehoorlijkbijdeeerstetweevragenvandezecontext.DeslotvraagbeperktezichtotdeformulevanCourt,uitgaandevaneenwerkelijketemperatuurvan0°Cenwasduidelijkmoeilijker.Ditwastevenseenvraagoverdifferentiëren,eenaspectdatindevraagstellingzelfduidelijkvermeldwas.Vandaardathetook,indeogenvandemakersalthans,bevreemdingopriepomteconstaterendatsommigecollega’svanmeningblekendatookuitwerkingenmeteennumeriekebenaderingvandeafgeleide

Eu

cl

id

Es

30

0E

uc

li

dE

s

83

|1

1

1

functieinaanmerkingzoudenkomenvoordevolledigescore.DeexamenmakerswarenenblijvenvanmeningdatdezediscussiealbijhetbeginvandeTweedeFasevaneenheldereinterpretatieisvoorzien:denume-riekeafgeleideisnietgelijkaandeafgeleidefunctieenmagdusnietalseenadequateoplossingindezengezienworden.Uiteraardkanerwelnagedachtwordenovereengepastedeelscore.Wehopendanookdat,daarwaareencorrectorineersteinstantieanderestandpuntengehuldigdheeft,dezegedurendehetcorrectieprocesveranderdzijninhetalhierverwoorde.DecontextHoningbijenbestonduittweedelen,duidelijkgescheidenmettussenkop-jes.Heteerstedeelbetrof,mettweevragen,eenformulediehetverbandbeschrijfttussendeafstandtoteenvoedselbronenhetaantalzogehetenkwispeldansenperminuutdatdehoningbijdiedevoedselbronheeftontdekt,uitvoertomanderebijenopdehoogtetestellenvandezeafstand.Detweedevraag,waarbijaandehandvanimplicietgegeveninformatieovertweeverschillendevoedsel-bronnen,deafstandentotelkvandezebron-nenberekendmoestenworden,bleekdemoeilijkstevraagvanditexamenmeteenp’-waardevan20.Decollega’sdievanmeningwarendatdemakersdevraagtetoegankelijkhaddengemaaktdoortekiezenvooreenrelatief‘makkelijke’oplossing,zijn

zichwaarschijnlijknietbewustgeweestvandegeblekenmoeilijkheidsgraad.Overigensgolddatookvoordemakers:dep’-waardevandezevraagwaswatlagerdandeverwachte.Hettweededeelvandezeopgave,overeenrecurrentebetrekkinginhetkadervanleergedragvanhoningbijen,bleekgelukkiggeenlasttehebbenvandemoeilijkheidvanvraag13:vraag14scoordetochweerheelbehoorlijkmetp’-waarde70en59%vandepopulatiemeteenmaximalescore.Delaatstevraagriepdaarentegenweerwatmeervraagtekensopdanverwacht:hetherken-nenvandevergelijkinga7=0,5binneneen,toegegeven,vrijcomplexecontextwas61%vandeleerlingennietgegeven:zijscoorden0puntenbijdezevraag.Ookhierzienweoverigenseenhoogalles-of-niets-karakter:28%vandeleerlingenscoorde4puntenwaarmeeslechts11%ergenstussen‘niets’en‘alles’belandde.DecontextIQwasookeenoverlapcon-textmaarhetmerendeelvandevragenwasafwijkendvandevragendiedeA1-kandidaatmoestbeantwoorden.DeA12-leerlingendiendenzichhier,voornamelijkalthans,bezigtehoudenmeteeningewikkeldeenbijzonderefiguurdieinformatieoverver-schillendeberoepsgroepenbevatte,gekarakteriseerddoorverschillendegemid-deldeIQ-waarden–ookhierweeruitgaandevandeexplicietvermeldepremissedathet

IQalsnormaalverdeelddientteworden.Dewijzewaaropgegevensuitdefiguurmoestenwordenafgelezen,wasgeïllustreerdmeteenvoorbeeld(zie figuur 7).Datmochtechternietvooriedereenbaten,enookdocentenblekenafentoemoeitetehebbenmetdeinterpretatievandematerieindefiguur.Leerlingenblekenhiergeluk-kignietingrotengetaleopafteknappen:deslotvraagvanditexamenleiddetotdevolgendepercentageverdeling:19-12-34-10-6-19voordescores0-1-2-3-4-5.Ookweereenvoorbeeldvaneenmooiverstrooidescoreopbouw.WasmenbijA1redelijkunaniemenposi-tiefindebeoordelingvanhetexamen,bijhetexamenA12moetenwevaststellendatmetnamemoeilijkheidsgraadenspreidingnietaltijdevengeslaagdwerdengevonden.Velenvondenditexamenteeenvoudig.DeuiteindelijkeN-termgeeftookweleensignaalindierichting:N=0,7(metbijbehorendeonvoldoendepercentage30engemiddelde6,1)strooktdaariniedergevalwelmee.Degeconstateerdegebrekkigespreidingismisschienietsmindereenduidigteinterpreteren.ErwerdengeluidengehoorddatmenhetontbrekenvaneenspecifiekeconomischecontextvooreenvakdatdeeluitmaaktvandehardekernvanhetprofielE&Malseengemishadervaren.Ookwerdwelbeluisterddatmenvragenoverlineairprogrammerenmiste.Eneenderdemoge-lijkheidiswellichthetvakerverwoordepuntdatveelvandevragennietdirectterug-gingenopeenspecifiekgeleerdwiskundigaspect.Aldezepuntenzijnongetwijfeldoprechtgeformuleerdekritiekpuntenmaartevens,indeogenvandemakers,relatiefmarginaal.Almetaldenkenweookditjaareenmeetlatafgeleverdtehebbenwaarmeeweonzeleerlingenopeerlijkewijzedemaathebbengenomen.Endatdienthetultiemedoelvaneenexamentezijn,zodenkenwe.

Overlap VWO A1/A12Uit tabel 14[VWOOverlapA1-A12]kunnenweopmakendaterookditjaarweer28overlappuntenindittweetalexamenszaten.Ennatuurlijkbehoefthetgeenbetoogdaterweereenverschilinvaardigheidtussenbeidepopulatiesgeconstateerdkonworden.Tochisdatverschilwellichtwatkleinerdanmenzouverwachten.In tabel 15[VWOA1/A12sinds2004]metp’-waardendiebetrekkinghebbenophetdeeldatindejaren2004-

figuur7VWO-A12,IQ

Eu

cl

id

Es

8

3|1

1

2

weditkunnenvoorkomen.DeeerstevraagvandeopgaveEen familie parabolen,waaringevraagdwerddeopper-vlaktevaneengebiedexactteberekenen,wasmeteenp’-waardevan87dehoogstscorendevraagvanhetexamen.Delaatstevraag(waarinalgebraïschmoestwordenaangetoonddatvoorelkendetopTnvandeparaboolhetmiddenisvaneenlijnstukARn)bleekveelmoeilijker:3,3procentvandekandidatenuitdesteekproefheeftdezevraagovergeslagenendep’-waardebleefstekenop41.Opdeopgave Twee koplampen,waarindenormaleverdelinggebruiktmoestworden,werdruimgescoord.Jammerwasdebijnaderinzienwellichtonduidelijkeformulering:‘kanhetverschilinlevensduurooknegatiefzijn?’DeopgaveBrievenweger,waarinhetdomeingoniometrieaanbodkwam,begonmeteensimpelevraagwaarindekandidateneenhoekmoestenmetenendezevervolgensineenformulemoesteninvullen.Devolgende

2007indeoverlapvanbeideexamenszit,valtaftelezendatbijvoorbeelddeA1-populatiein2004opdeoverlapeenp’-waardevan63scoordeendeA12-populatietoenp’-waarde72had.Hoeweldeoverlapvragenindeverschillendejaren(uiteraard)inmoeilijkheidsgraadvarieerden,leekdetendensjuisteenuitelkaargroeienvanmoeilijkheidsgraad,zoalsookinhetexamenartikeloverdeexamens2006inEuclidesopgemerktwerd.Datwordtditjaarechterinhetgeheelnietbevestigd.Depopulatieszijnwelverschillendinvaardig-heidmaarhetscheeltmaarmarginaal(p’=67versusp’=71).Datkanheelgoedveroorzaaktwordendoorhetfeitdatdeoverlapvragenvaakeenvoudigevragenbleken:alseenA1-leerlingaleenp’-waardevan97heeft,dankaneenA12-kandidaatdaarnauwelijksnogoverheen.Bijdeonmis-kenbaarmoeilijkstevraagbinnendeoverlap,vraag7vanbeideexamens(zie figuur 6),dederdevraagvanRijexamen,schelendevaardighedendanookweermeteensubstantieel:p’=14respectievelijkp’=29.

VWO B

[Gerard stroomer]

DeexamenswiskundeB1enB12vwowerdendoordedocentenopderegionalevergaderin-genvandeVerenigingopvrijwelallepuntengoedbevonden.HetB1-examenbleekvoordemeesteleerlingeneenvoudig,metnamedestatistiek.HetB12-examenwasgoedquaniveaumaarteomvangrijk.Dehoeveelheidalgebrableefongeveerophetzelfdepeilalsvorigjaar.ZiebijvoorbeelddeopeningsopgavePodiumverlichting,waaringevraagdwerdeenformuleaantetonen,algebraïscheenongelijkheidoptelossenenalgebraïscheenmaximumtebepalen.Ditwerddoorveeldocentengewaardeerd.Inhetvolgendebekijkenwedevragennader.

VWO B1Hetexamenbestonduit20vragen,verdeeldover6opgaven.Degegevensvan2237kandidatenzijnverwerktin tabel 16[VWOB12007].ZoalshierbovenvermeldbegonhetexamenmetdeopgavePodiumverlichting(zie figuur 8).OphetforumvandeVerenigingvroe-genenkeledocentenzichafofdegegevenformulewelcorrectis.Zijmeendendatdeverlichtingssterkteomgekeerdevenredigismethetkwadraatvandeafstand.Datiswelzoinhetgevalvaneenpuntbron:golffronten

zijndanbolvormigendeverlichtingssterkteisomgekeerdevenredigmetdeoppervlakte,dusmethetkwadraatvandestraal.Bijeen(inhetmodeloneindiglange)tl-buiszijndegolffrontencilindervormig;deverlichtings-sterkteisweeromgekeerdevenredigmetdeoppervlakte,inditgevaldusmetdestraal.Natuurlijkwasdewerkelijkheidwelvereen-voudigd:erwerduitgegaanvaneenoneindigelangetl-buis,erwerdgeenrekeninggehoudenmetterugkaatsing,etc.Opvallendwarendediscussiesdievraag2uitlokte.Aandeenekantwarenerdocentendieeenpuntinminderingwildenbrengenalskandidatenhetwoord‘tussen’gebruikten(‘omdatdatnietinclusiefdegrenzenis’);aandeanderekantwarenerookdocentendiehetopschrijvenvanhetwoord‘abc-formule’aleenvoldoendealgebraïscheoplossingswijzevonden(‘wanthetcorrectievoorschriftgeeftookgeentussenstap’).Bijeenzorgvuldigervraagstellingencorrectievoorschrifthadden

figuur8VWO-B1enVWO-B12

Eu

cl

id

Es

8

3|1

1

3

vragen,eenvergelijkingexactoplossen,eenfunctiedifferentiëreneneenminimumbepa-len,blekenmetp’-waardenrondde50ietsmoeilijker.DeopgaveKrasbal,weeruithetdomeinkansrekeningenstatistiek,gingovereenspeldatin2001populairwas:indesupermarktkregenklanten,bijvoldoendeaankopen,kaartenwaarmeehetspelgespeeldkonworden.Dekandidatenwerdgevraagdnaarhetaantalverschillendekaarten,demogelijkelengtenvaneenwedstrijdendekansopeenwedstrijdmetlengte4.Bijdelaatstevraagkwamdebinomialeverdelingaanbod.Delaatsteopgave,De functie f(x) = ex,bleeklastig.Vraag18,diegingoverderichtings-coëfficiëntvaneenlijn,wasmeteenp’-scorevan24delaagstscorendevraagvanditexamen.Bijdezevraagweekdep’-waardeookhetmeestafvandeschattingdiewevoorafgemaakthadden.Veelkandidatengingentotonzeverbazingdefunctiedifferentiëren.Dezevraagisdoor6,7procentvandekandidatenovergeslagen.60procentvandekandidatenscoordebijdezevraaggeenpunten.Bijdelaatstevraag,waarmoestwordenaangetoonddattweegegevenomwentelings-lichamennietdezelfdeinhoudhebben(zie figuur 9),werddoor2,9procentvandekan-didatennietsingevuld.Hetbetrofhiervooralkandidatenmetlagetotaalscores:vande64leerlingenindesteekproefdiebijvraag20nietshebbeningevuld,behoordener42totheteerstekwartiel,14tothettweedekwartiel,7tothetderdekwartielenslechtsééntothetvierdekwartiel.Deomvangvanditexamenvielduswelmee.DeN-termisdoordeCEVOvastgesteldop0,7.DatisdelaagstewaardevoordeexamenswiskundeB1sindsdeinvoeringvandeTweedeFase.Ditleverde31procentonvol-doendeeneengemiddeldcijfervan6,3,watinlijnismetderesultatenvandeafgelopenjaren.

VWO B12Ookditexamenbestonduit20vragen,nuverdeeldover7opgaven.Degegevensvan2162kandidatenzijnverwerktin tabel 17[VWOB122007].OokditexamenstarttemetdeopgavePodiumverlichting(zie figuur 8).Inover-eenstemmingmetonzeverwachtingdatbijwiskundeB12dewiskundigmeerbegaafdeleerlingenzitten,wasdep’-waardebijdezekandidatenietshogerdanbijdeB1-kandida-ten.Ditistezienin tabel 18[VWOoverlapB1-B12].

OokdeopgaveKrasbalwasovergenomenuithetB1-examen;uitdeopgaveinhetB1-examenwasdetweedevraagweggelaten.DeopgaveCirkelinhamwasdeeersteopgaveoverspecifiekeB2-onderdelen.Bijdezeopgaveovervoortgezettemeetkundewerdgevraagdeeniso-afstandslijntetekenen,daarnaeenbewijstegevenentotsloteenafstandteberekenen.Delaatstevraagwasmeteenp’-waardevan20demoeilijkstevraagvanditexamen.8,8procentvandekandidatensloegdezevraagoveren69procentvandekandidatenscoordevoordezevraag0punten.DeeerstedrievragenvandeopgaveDe functie f(x) = exwarengelijkaandieindegelijknamigeopgaveinhetB1-werk.Delaatstevraagweekaf:hierwerdeenexacteberekeninggevraagd(zie figuur 9).DevoortgezetteanalysewasvormgegevenindeopgaveDriehoeken plakken(zie figuur 10).Metbehulpvandesomformulevooreenmeetkundigerijkonbepaaldwordenofeenrijdriehoekeneengegevenlijnoverschrijdt.DezeopgavewerdgevolgddoordeopgaveBrievenweger,dieidentiekwasaandegelijk-namigeopgaveinhetB1-examen.BijdelaatsteopgaveSpiegeltjes op een cirkel(zie pag. 46)wektehetcorrectievoorschriftbijenkelecorrectorenverontwaardigingop.Zijvondenhetzuurdateenkandidaatdiebijvraag20dejuistestandgevondenhad,weliswaarzondergebruiktemakenvandegegevenbewering,daarvoorgeenpunten

mochtkrijgen.Bijdezelaatstevraagisdoor10,6procentvandekandidatennietsopgeschreven.Ookvooreenmoeilijkevraagisditeenhoogpercentage.Deveronderstel-linglijktdusgerechtvaardigddathetwerkteomvangrijkwas.DeN-termisdoordeCEVOvastgesteldop1,0.Ditleverde28procentonvoldoendeeneengemiddeldcijfervan6,4,geheelinlijnmetderesultatenvandeafgelopenjaren.

VWO A cOMPEX

[Paul van der Molen]

HetcompexgedeeltevanhetvwowiskundeAexamenbestondditjaarvoorheteerstuittweeopgaven.Ditisgedaanomtevoorkomendatleerlingenvastlopenineenopgaveendaarmeehunhelecompexgedeelte‘verprutsen’.Inlijnmetdeervaringenvanafgelopenjarenwarenookditjaardeleerlingendiehetcompex-examengemaakthebben(de‘compexpopulatie’),vaardigerdandeleerlingenvanderegulierepopulatie.Ditkannauwkeuriggeanalyseerdwordenaandehandvanderesultatenvanbeidegroepenopdeoverlapopgaven.Informatieoverdeoverlaptussencompexenregulieristerugtevindenin tabel 19[VWOoverlapA1/A12regulier-compex].Ditjaarwarenbeidecompexgedeelten(A1zowelalsA12)moeilijkerdande‘niet-over-lapopgaven’uithetreguliereexamen.DitkwammetnamedoordeopgavePrognosedieinbeideexamensvoorkwam.Ondanks

figuur9VWO-B1enVWO-B12,

Defunctief(x)=ex

B1:vraag19en20,B12:vraag12en13

Eu

cl

id

Es

8

3|1

1

4

eenscreeningdooronafhankelijkedocentenhebbendeexamenmakerszichverkekenopdemoeilijkheidvandezeopgave.VooralinhetA12-examenwasdescoreopdezeopgavedramatischlaag.Kennelijkwasdeopgavedusdanigabstractdatdeleerlingenergeengatinzagen.Gelukkigbleefdeschadebeperkttottweevragenaanheteindvanhetexamen.DoordeN-termterelaterenaandescorevanderegulierepopulatieishiervoorgecompenseerd.Deextravaardigheidvandecompexpopulatiemoetzichvertalenineenhogercijfervoordecompexpopulatie.OpdezemanierkandehoogtevandeN-termbepaaldworden.Descoresopdeafzonder-lijkevragenzijnterugtevindenin tabellen 20 en 21[VWOA1-compex2007,VWOA12-compex2007].

VWO A1 compexDeeersteopgave,Gemeenteraadsverkiezingen,vertoondegrotegelijkenismetdeopgaveRestzetelsuithetreguliereA1-examen.Deeerstevraagwaszelfsvrijwelidentiek.AlleenbeschiktedecompexpopulatieovereenExcel-werkbladmetdaarindeaantallenuitgebrachtestemmenopdeverschillendepartijen.Descorevandetweepopulatiesopdezevraagwas(zoalsverwacht)nagenoegidentiek.Delaatstevraagvandezeopgavebleeklastig.Metbehulpvandeschuifbalkwistenveelleerlin-gennogweltevertellenwathetminimaleaantalstemmenopdeVVDhadmoetenzijnomzeeenextrazeteltegeven,maarhetaan-tonenmetbehulpvaneenberekeningleverdedenodigeproblemenop.Dezeeersteopgavekwamtochopeenzeerbehoorlijkegemid-deldep’-waardevan70.DeopgavePrognosebevattedrievragen.Dezeopgavegingoverhetfeitdatbij

lineaireomzetgroeidevoorspelling,gebaseerdophetgemiddeldevandelaatste4of5jaar,structureeltelaagis.Deeerstevraaghadbetrekkingopdekennisvande

n -wet.Leerlingenmoestenkiezenofdestandaardafwijkingvanhetgemiddeldevanvierwaarnemingeneenkwartdanweldehelftisvandestandaardafwijkingvaneenenkelewaarneming.85%vandeleerlingenscoorde0puntenopdezevraag,waarmeeisaangetoonddatdeleerlingenditergmoei-lijkvonden.Detweedevraag,waarbijdetabelingevulddiendeteworden,gingnogwelgoed(p’=77),maaropdelaatstevraagwaarbijeniginzichtindecontextvereistwas,werdheelslechtgescoord.Allesopeenrijtjezettend(entevensreke-ninghoudendmetdevergelijkingmetderegulierepopulatie),volgthieruiteenN-termvan1,2waarbijeenpercentageonvoldoendehoortvan22%eneengemid-deldcijfer6,3.

VWO A12 compexDeeersteopgave,Presidentsverkiezingen,gingoverhetkiesstelselindeVerenigdeStaten.

Iedereenweetdatiemanddaarpresidentkanwordenmetminderdandehelftvandestemmen.Dezeopgavegingopzoeknaarhetminimaleaantalstemmendatiemandnodigheeftomtotpresidentgekozenteworden.Hiervoorkreegdeleerlingdebeschikkingoverdeaantalleninwonersenhetaantalkiesmannenvanelkestaat.Deleerlingwerdeenkleinbeetjeopweggeholpen,maarmoesttochookveelzelfdoen.Hetantwoordopdevraagwathetminimaleaantalstemmen(uitgedruktinprocentenvanhetaantalinwoners)is,iszowelverrassendalsschokkend:22%.Daternogsteedsdocentenzijndiebewerendatzedemeerwaardevanhetcompex-examennietzien,vindenwejammer.Vooralmetdezeopgavedenkenwedatdemeerwaardewelheelzichtbaaris.DeopgavePresidentsverkiezingenbevatteviervragen.Deeerstewasergeenvoudig.Detweedeherbergdeeenonzuiverheid.Hoeweluitdecontextduidelijkwasgewordendatgezochtmoestwordennaarhetminimaleaantalinwonerswaarmeemeerdandehelftvanhetaantalkiesmannenwerdverkregen,stondditnietondubbelzinnigindevraag.Gevraagdwerdnaarminimaal270kiesmannenuitdestatenmethetkleinsteaantalinwonersperkiesman.Deopdezemaniergevondenstatenhadden271kiesmannen.Daarmeehaddenzewelhetlaagsteaantalinwonersperkiesman,maar(naeenomwisseling)kontochmetminderinwonersmeerdandehelftvandekiesmannenverkregenworden.Dezelaatsteomwisselingwasnietnodigwanneerjedevraag‘sec’leest.OmvoordezeonzuiverheidtecorrigerenisdeN-termextraopgehoogd.Delaatstevraagoverdeprioriteitenwaarhetsysteemuitdedoekenwordtgedaanhoevanaantalleninwonersnaaraantallenkiesmannenwordtgegaan,wasnieteenvoudigmaarweltedoen(p’=39).

figuur10VWO-B12

figuur11VWO-A12Compex,

Excel-werkbladbijvraag19;

gedeeltelijk

Eu

cl

id

Es

30

4E

uc

li

dE

s

83

|1

1

5

Delaatsteopgave,Prognose,bestonduitdrievragen.DeopgavehaddezelfdeachtergrondalsbijA1(ziehierboven),maarnuwerddelineairtoenemendeomzetgroeigemodel-leerddoorertoevalligeschommelingenbijoptetellen.Deeerstevraagwasnogweldoenlijk(zie pag. 25).Daarwerdgevraagdwatdeinvloedwasvandeparametersaenbophetverschiltussendevoorspellingendejaaromzet.Delaatstetweevragendaarentegenwerdenergslechtgemaaktmetp’-waardenvanrespectievelijk12en4.Deformulevaardigheidvandetweedevraagenhetinzichtindecontext,nodigvoordederdevraag,warenkennelijkteveelgevraagdvoordegemiddeldeA12-leerling.Dezeconstateringismeerdaneenopendeur.Hetgeeftinputvoordeevaluatieenzalzekerinkomendeexamensverwerktworden.Deconstateringdatdecompexleerlinggeenrechtzouzijngedaanendatmendusmaarbetermetcompexkanstoppen,isinonzeogennietterecht.Decijferszijnweldegelijkgekoppeldaanhetreguliereexamenendecompexleerlingheefttocheenextravaardig-heidopgedaan.Dathijditoptweevrageninhetexamennietheeftkunnentonen,neemtnietwegdathijerinderestvanzijnlevenweldegelijkprofijtvanzalhebben.ConclusieisdatditexamenwerdafgerondmeteenN-termvan1,8waardoor23%vandeleerlingeneenonvoldoendekreegenhetgemiddeldcijferop6,4uitkwam.

Noot (red.)

[1] Decentraleexamens(opgaven,bijlagen,correctievoorschrift)kunnenwordengedownloadviadewebsitevanCito(www.cito.nl);vmbo:www.cito.nl/vo/ce/vmbo/ex2007/eind_fr.htmhavo/vwo:www.cito.nl/vo/ce/havovwo/ex2007/eind_fr.htm

Over de auteurs

AnitadeBruijn,KeesLagerwaard,GerLimpens,PaulvanderMolen,MelanieSteentjesenGerardStroomerzijnwiskunde-medewerkersenexamenmakersvanCitoteArnhem(website: www.cito.nl)[email protected],[email protected],[email protected],[email protected],[email protected]@cito.nl.

Eu

cl

id

Es

16

Eu

cl

id

Es

8

3|1

1

6

Eu

cl

id

Es

17

Eu

cl

id

Es

30

6E

uc

li

dE

s

83

|1

1

7

Eu

cl

id

Es

8

3|1

1

8

Het is half vier als Amanda met een rood hoofd het examenlokaal verlaat. Ze slaat

meerdere malen met haar vuist tegen de muur van de gang en voegt zich dan bij

een groeiende rij medeleerlingen voor de kamer van de teamleider.

Twee uur daarvoor.

Mijn leerlingen van Techniek en Economie zitten aan hun tafels in de kantine, die

van Zorg&Welzijn in lokaal 3. Ik heb mijn openingstoespraak gehouden met als

boodschap: Jullie hebben eigenlijk bijna allemaal goed je best gedaan dit jaar;

nu komt het er op aan. Gebruik de gehele twee uur om je examen te maken, blijf

proberen, schrijf alles op wat je weet, en, stel me niet teleur, maar vooral, stel

jezelf niet teleur. Het is jullie allerlaatste examen, en meteen het mooiste: de

koningin van jullie centrale examens!

Koningin of boze fee?CSE vMBo-KB 2007-1: EEn MoEILIJK EXaMEn

[FredKloppenborg]

Passer

Hetwerkwordtuitgedeeldenikgaopderandvanhetpodiumzitten,bladerdoordeopgaven.Bijdeeersteopgave,Helicopter(zie figuur 1),algaatereenschokdoormeheen:zehebbeneenpassernodig!Maarhoeveelleerlingenhebbendat‘toegestanehulpmiddel’bijzich?Inmijnmethodekomthetgebruikdaarvanzozeldenvoor,datikvoordiemomentenoplossingenhebgevonden:eenvelmetgekopieerdecirkelsvoorhetmakenvancirkeldiagrammen.Hierendaargeefikaanwezigepassersdoor.Eenaantalkandidatentrektzichvanhetontbrekenervannietsaan.Zebedenkencreatieveoplossingen,tekenenacceptabelecirkelsuitdehand,drukkendegegevencirkeldooropeenlosvelenknippendatuit,zettentientallenpunten,afgemetenmethungeo,enverbindendietoteencirkel.Enzekijkenerbijofhetdenormaalstezaakis.Datisnogeensprobleemoplossendhande-len,denkiklichtgerustgesteld.

Wanhoop

Maarhetduurtnietlangofeengevoelvanwanhoopslaattoeonderdekandidaten:jehoortgezucht,erzijnrodehoofden,vingers.Meneer,ik snap niet eens wat zevragen!Opgavenals‘Vaas’en‘Wandkleed’eisenhuntol(zieopvolgendpag. 4enfiguur 2).Tussendoorgaikevenlangsbijmijnleer-lingenvanZorg&Welzijninhetdaarnaastgelegenlokaal.Ookdaarwordensignalenafgegeven:zezuchtenhoorbaar,halenhunschoudersop,schuddenhunhoofd,rollenmethunogen.

figuur1VMBO-KB

.A

Eu

cl

id

Es

30

8E

uc

li

dE

s

83

|1

1

9

Ikbeginmenulangzamerhandwerkelijkzorgentemaken.Vraagmeaf,ofdatvoor-gaandejarenookzowas.Ikkanmedateigenlijknietherinneren.

Had ik maar geen wiskunde gekozen

Alsdetijdomis,neemikhetexamenwerkin.Veelleerlingenhangennogtobberigenbezweetbovenhunwerk.Meneer, dit is echt te moeilijk,zuchtenzebijnaallemaal.Bijdekamervandeteamleideriserevenlatereenoploop:eenrijleerlingen,bijnaallemaalmeisjesvanZ&W,doethunbeklagoverhetexamen. Enkelenstaantehuilen.Dit kan echt niet,zo zakken we allemaal. Had ik maar geen wiskunde gekozen.En ik had nog wel zo hard geleerd, ben zelfs nog een paar keer extra gekomen vorige week; allemaal voor niks.Patty,eigenlijkdeenigeleerlingdietotaandelaatstelestoehardheeftgewerkt,kijktmedonkeraan:U had ons wel eens beter kunnen voorbereiden,sistzemetoe.Ikzegdegroep,dathetmeookvreselijkmoeilijkleek,maardaterinzulksoortgevalleneenopwaarderingzalkomen.Daar kun je zeker van zijn,benadrukik.Zekijkenmemisprijzendaan.Maar hoe kunnen ze nou opwaarderen, als je bijna niks hebt opgeschreven. Ik kreeg gewoon een black-out, omdat het helemaal niet leek op wat ik had geleerd.Dit was echt de rottigste dag op school, ik heb me nog nooit zo stom gevoeld.

Hetzegtzichvoort.Leerlingenuitdederdeklassendievoorhetvolgendjaarwiskundehebbengekozenalskeuzevak,komenlangs,zeggen:Ik geloof dat ik toch maar aardrijks-kunde ga doen. Het wiskunde-examen is zo moeilijk, dat hoor ik van de vierdeklassers. Daar kun je echt geen voldoende voor halen!

Nakijken

Hetnakijkenvindiknormaalgesprokeneenprettig-spannendeactiviteit.Trekmeterugopmijnwerkkamer,zetmuziekop,mopperbijstommefouten,juichbijslimmeenonverwachteoplossingen.Dezekeergeenmuziek,ikmaakmeernsti-gezorgen,zouhetcorrigerenhetliefstlanguitstellen,maarerisgeenontsnappenmogelijk,ikhebhetwerkaltweedagenlatenliggen.Eerstbelikrondnaarbevriendecollega’svanscholenindebuurt.Consternatiealomoverdetehogemoeilijkheidsgraad.

Ik geloof dat ik maar van de Dom spring,zegtereenlichtschertsend.Ik ben eerst de hele avond met de hond gaan wandelen,zegteenander.Wathebikfoutgedaanditjaar,denkikzelf.Mijneigenenthousiasmevoorhetvakisnietveranderd,mijninhoudelijkeaanpakookniet.Allejarenleiddedattochtotgoedecijfersvoorhetcentraalschriftelijkexamen,steedsbovenhetlandelijkgemid-delde.Mededaaromkozenzoveelleerlingenvoorwiskunde.Ennuvoorzieikeenramp,verwachtdatleerlingenzullenzakken‘dankzij’wiskunde.Uiteindelijkzetikmeaanhetnakijken,vraagvoorvraag.Afentoe,tesneleigenlijk,lasikeenpauzein.Nulpuntenindekantlijnvanhetwerkvanmijnleerlingennoterenkostweinigtijd…

Alsikdevolgendedagbijdelaatsteopgavebengekomen,breektmijnhartbijhetlezenvandeveleopmerkingendieonderaanstaangenoteerd,zoals:Meneer, ik heb hard geleerd, maar het was zo vreselijk moeilijk; ik snapte er echt niets van. Ik hoop dat ik toch nog een voldoende haal. –X – , Daisy.Noudatziternietin,denkik.Ze zullen beslist opwaarderen,zegik,probeermezelfteovertuigen.Als ze voor 30 van de 78 te behalen punten een 6,0 geven, dan redden ze het wel.Maarikweetdateendergelijkeoptieuiterstonwaarschijnlijkis;datzouongekendzijn.

Ikstuurhetwerkvanmijnleerlingennaardetweedecorrector.Naeenpaardagenbelthijmeop.Ikvertelhemdatikvinddatzehetslechthebbengemaakt.

figuur2VMBO-KB(GLTL:vragen13t/m15)

Eu

cl

id

Es

20

Eu

cl

id

Es

8

3|1

2

0

Meneer, ik ben jaloers op uw resultaten.Maarmijnhumeurwordternietbetervan.Welvoelikmegesterktinmijninschattingwatbetreftdemoeilijkheidsgraad.

N-term

Endanbreektdedagaandatdescorescijfersworden.Zovroegalsmogelijkis,logikinopdeCito-website.IkgeloofmijnogennietalsikdaardeN-termziestaan:2,5!Dieavondkomendeleerlingenopschoolomhunvoorlopigecijferlijstteondertekenen.Vijftiendaarvanmeldenzichbijdeteam-leidermetdemededelingdatereenfoutinhunlijststaat.Mevrouw, ik kan nooit een voldoende hebben voor het centraal wiskunde-examen, maar die staat er wel!Allejarengevenleerlingenzichopdezeavondopvooreenherexamenwiskunde,indeovertuigingdatzeeenbetercijferverdie-nen;ditjaarnieteen.DevolgendedagkomikAmandategen,alsikbijdebakkereencroissantjehaal.Zeheeftereenvakantiebaantje.Ikfeliciteerhaarmethetbehalenvanhetdiploma.Ik had toch nog een voldoende voor wiskunde, dat had ik echt niet verwacht, meneer. Heeft u me gematst of zo?Nee hoor, dat zou niet eens kunnen. Jullie hebben het gewoon fantastisch gedaan, ik ben trots op jullie allemaal,zegikhaar.Zondertereagerenstoptzemijnaankoopineenzakje,vouwthetdicht.

Over de auteur

FredKloppenborgissinds1970werkzaaminhetonderwijs,vanaf1974inhetvmbo.HijisleraarwiskundeenNederlandsaanhetHeerenlandenCollegeteLeerdam.E-mailadres:[email protected]

Aankondiging / BWi-middag 2007

[AnnemiekevanGoor]- Hoeverkortjedewachttijdenineenziekenhuis?- Hoebevoorraadjezoefficiëntmogelijkgeldautomaten?- Kunjevoorspellenofiemandzijnleningenzalterugbetalen?

Nieuwsgierig naar wiskundige toepassingen? Kom naar de BWI-middag op vrijdag 5 oktober!

DeBWI-middagiseeninformatievemiddagvandeopleidingBedrijfswiskundeeninfor-matica(BWI)aandeVrijeUniversiteitAmsterdam.Dezestudieisgerichtophettoepassenvanwiskundeincombinatiemetkwantitatieveeninformatietechnologischemethodenombedrijfsprocessenteverbeteren.

DegratistoegankelijkeBWI-middagisbestemdvoorwiskundedocentenvanmiddelbarescholen.TijdensdeBWI-middagstaanwiskundigeeninformatica-toepassingenindemaat-schappijenhetbedrijfslevencentraal.DedocentenmakenopdezemanierkennismetvelefacettenvantoegepastewiskundevandeopleidingBWI.

EenVU-hoogleraar,eendocenteneenpromovendusgevenlezingenoverhetgebruikvanwiskundeino.a.dezorgenlogistiek.DaarnaastvertelleneenBWI-alumnuseneenBWI-duaal-studentoverdetoepassingvanBWIinhunhuidigefunctiebijeenICT-bedrijfenfinanciëledienstverlener.Wesluitendemiddagafmeteenborrel,waarbijukuntnapratenmetdocenten,BWI-studentenen-alumni,encollega’s.

Voormeerinformatie,hetprogrammaoverzichtenomuaantemeldenvoordezegratismiddagkuntuterechtopwww.few.vu.nl/bwimiddagofbijorganisatorAnnemiekevanGoor(e-mailadres:[email protected]).

Home > Forum > Algemeen forum > Vergoeding 2e correctie GElEZEN OP dE NVvW-WEBsiTE

J. Heijmans:Deschoolleidinghultzichinstilzwijgenoverdevergoedingvande2ecorrec-tie.Deregelszijnper1januariveranderd.Ikbenzobenieuwdhoeditopanderescholenisgeregeld.(…)

W.B.J. Roelofs:Bijonsopschoolpastmengewoonderegelingvanvorigjaartoe.Alleenregeltnudeadministratiedeafhandelingzelfnadatjejeaanvraaghebingediend.

Thijs van der Velden:Alleendewerkelijkgemaaktkosten(reiskosten)kunnennoggedecla-reerdworden;verdergeenvergoedingmeer…

Leendert Louter:Onzeschoolleidingheeftvandaagbekendgemaakttekiezenvooreeneigenregeling:€1,50perleerlinginde2ecorrectie.Benikzeercontentmee.(…)

P.H.W. (Pieter) Peeters:Bijonswordenookalleenwerkelijkgemaaktekostenvergoed.Helaas!

Edwin Leijten:Ookbijonsgewoondeouderegeling,maardanuitgevoerddooronzeeigenadministratie.

Daaf Spijker:Enzowordtduidelijkdatdesecundaire(ofisheteentertiaire?)arbeidsvoor-waardeninhetvoortgezetonderwijsperschoolverschillen...Iseraleenschoolmetlease-auto-mogelijkheden?

Jos Remijn:Bijonsopschoolwordt4eurobrutoperleerlingtweedecorrectieuitbetaald,zondermaximum.Daarbenikwelblijmee,maardiedereguleringleidttochweltotrareonlogischeverschillen.

Eu

cl

id

Es

21

Eu

cl

id

Es

31

0E

uc

li

dE

s

83

|1

2

1

dertien in een dozijntEruGBLIK oP EEn havo-B12-GroEP En hun EXaMEn

[FrankvandenHeuvel]

inleiding

Examentijd.Tijdvanloslaten.Indehoopenhetvertrouwendatjedeleerlingenvoldoendebagagehebtmeegegevenomopeigenkrachtdelaatstehorde,hetCSE,tekunnennemen.Demeestenhebjetweeofmeerjaaronderjehoedegehad,dusjeweetwaartoezeinstaatzijn.Bovendienweetjehoeveeltijdenenergiejegeïnvesteerdhebt,hoezeerzegewaarschuwdzijnvoordebekendevalkuilenenaddersonderhetgrasenhoeveelergeoefendisopdelastigeronderdelen.Geenvuiltjeaandeluchtzoujezeggen.

Ofisditwatalteoptimistisch?Houdtuookzouwhartvast?Bentusomberoverhetteverwachtenresultaatbijvoorbeeldomdatermeerderewiskunde-examens(bijna)achteraaninhetschemazitten?Schriktualsstoereleerlingenbijandereexamensalvroegtijdignaarbuitenkomen(‘Ikbenalklaarhoor;deonderdelendieiknietwisthebikmaaropengelaten’),terwijljeweetdatzeelkeminuutnodigzullenhebbenbijwiskunde?Ikbenaltijdblijalsikuiteinde-lijkhetwerkonderogenkrijgenhetmeelijkttevallen.Metdaarbijnatuurlijkweleenstukjefrustratieoversommigevragenofdemanierwaaropzegesteldzijn.Maarvoordatikdaarnaargakijken,eveneenbeetjeachtergrond.

de groep

Ditartikelgaatoverhethavo-examenwiskundeB12.Ikhadeengroepvan13jongens,hetrestantvandeclubwaarmeeikvorigjaarstartteinH4.Toennogaanmer-kelijkgroterengemengd.Toenookmijnmentorklas.Ondanks(ofdankzij?)datlaatstehaddenwebesteenlastigjaarmetelkaar.Deinzetenderesultatenwarennietergnaarmijnzin.Datleiddetotverscheidenediscussiesoverhoejeeentoetsnumoetvoorbereidenenwelkestrategiejedaarbijgebruikt.Hunmaniervanwerkenkomtopmijvaakoveralsdievaneenschakerdienooiteentheorie-ofoefenboekopenslaat,maarsteedsachterhet

bordpasdebestezetgaatzittenverzinnen.Destoflijktnietergtebeklijven,elkekeerishetweeralsnieuwvoorhen.Datje,alsjeindeleseenbeetjeoplet,eentoetsalvoorhetovergrotedeelkuntvoorspellen,lijktnietbijhenoptekomen.Structuren,patronenenverbandenvallenblijkbaarheelmoei-lijkteontdekkenenteonthouden.Zijzelfdaarentegenhaddenhetideedatiknietzaghoehardzeervoormoestenwerkenendatzezekerwelhunbestdeden.Maardestofwastemoeilijk,devragenwarenraar,hetwerkwastelangenheelandersdanzegeoefendhadden.Ofzoiets.Dewaarheidlagnatuur-lijkergensinhetmiddenengelukkigblevenwewel‘onspeakingterms’.Deselectieaanheteindvanhavo-4deedflinkzijnwerkenomdatindeloopvanditschooljaarhetlaatstemeisjeooknogafhaakte(zijbeslootomtochmaarB1-examentedoen),blevenweovermetalleenmaarmannen.Eenleukegroepommeetewerken.HeelandersdaninH4.Rustiger,beteraan-spreekbaarenmeergefocust.Desfeerwasontspannen.Metinteressevoorhetvak.Erzittalentindegroep,maarechtsterkebèta’szijnhetniet.Endus…bleefhetzwoegen!Washetmoei-lijkomzeaanhetwerktehouden.Wildenzegraagaanhethandjewordenmeegenomenomdatzeanderszosnelafgeleidwerden.Welwarenzeveelbezigmetelkaarenmethunpositieindegroep.Enhaddenzedeneigingomzichzelfteoverschattenendachtenzehetallemaaltesnappenentebeheersen.Ditalleszonderveelengedegenoefeningnatuurlijk.Allesnetjesuitwerkenwasooknietechtnoodzakelijk(‘opdetoetsdoenwehetwelgoedhoor’).Alsikzeopfoutenwees(endatkwamnogaleensvoor),danwarendataltijdkleinevergissinkjesoféénmaligemissers,geenaanwijzingendatzenogechtveelaandebakmoesten.Maarzewarenookgretigalsikzeuitdaagde.Zewarenintensiefengoedbezigtijdensdepresentatiesvoordeklasovereenstukjegonio.Hetwasleukommetdehelegroepenklassikaalmeetkundeopgaventemaken

(ikhebheelwathoeken,afstandenensnij-puntenophetbordtevoorschijngetoverd).Elkaardaarbijproberenteovertroevenenvliegenaftevangen(‘neeman,eersteenhulpvlakmaken’).Ophetlaatstdedenwezelfshelevettedifferentieersommenmetdeproduct-,quotiënt-enkettingregeldoorelkaarenincombinatie.Sommigeopgavenhaddenineenvwo-groepnietmisstaan,maarzeluktengewoon!Kortom:hetgingzoalsdatgaatineengroepmetalleenmaarjongens.Leuk,uitdagend,altijdafwisselend,nooitsaaimaarvreselijkvermoeiend.Nietsomjezorgenovertemakendus?Nou,datookweerniet.Inzo’ngroepzijneraltijdleerlingenmetpersoonlijkeproblemen(motivatieenafwezigheid,gezondheids-problemenvanvader,gedoemetrelaties),diedeinzetenderesultatenzwaaronderdrukzetten.Enwattedenkenvanhetvolgende,waargebeurdevoorval?Onderwerp:hetoplossenvanongelijkheden.Dus‘tig’keergememoreerddateruiter-aardeengrafiekbijhoort.Ja,jemagdaarbijjeGRgebruiken,maarermoeteennetteschetsbijopjeblad,inclusiefhetgebruiktewindow.Helderenduidelijk?Nietdus!Opdetoetshadniemand vandeherenereengrafiekbijgemaakt!Onwil?Onkunde?Ofleerlin-genmeteenzokorten‘flashy’geheugendatelkeopgaveweeralsnieuwvoorzeisenzeterplekkehetwielweeruitvinden?Alsuhetweet,maguhetzeggen.Ikwasverbijsterdenboos.Maarzijzelfwarennetzozeeruithetveldgeslagenenkondenmijopgeenenkelemanierduidelijkmakenhoezo’nprocesindiekoppiesinzijnwerkgaat.Datdetweeleerlingendiemoesteninhalenhetpresteerdenomhetooknogtevergeten(terwijlzebijdebesprekingaanwezigwarengeweest),waseigenlijknieteensmeerzoverwonderlijk.

Bijhetopmakenvandebalansnahetvol-ledigeSchoolExamenconstateerdenwedatdeuitgangssituatievandemeestenwel

Eu

cl

id

Es

8

3|1

2

2

okéwas,maardatderacenogzekernietgelopenzouzijn.Delaatstelessenhebbenwedaarombesteedaangerichtoefenenmetoudeexamens,metherhalenenhetgevenvantipsentrucsomhetCSEstrategischaantevallen.Ukentzevast:kijkgoednaarhetaantaldecimalen,letophetwoordje‘exact’,letophetaantalpuntenperonder-deel,scoorzonodigdeelpunten.Helaaswerk-tenvooraldebetereleerlingennogstevigdoor.Degenendiehethardnodighadden,‘profiteerden’tevaakvanhetgegevendatdelessenfacultatiefwaren.Metalslaatsteadviesomtotaanhetexamenvooralregelmatigmethetvakbezigteblijven,zijnweuitelkaargegaan.Opnaarhetmomentsuprême(watdushelaasnogflinkverwegwas).

Het examen

Omdatnietiederelezerditjaareenhavo-B12-groepheeftgehad,probeerikmetebeperkentoteenaantalzakenenopmerkin-gendiemeeralgemeenrelevantkunnenzijnvoordeexamenpraktijk.Althansinmijnogendan.Indeeersteopgave(diegingoverdeWet van Moore)wasbinnenééncontextsprakevaneenzelfdevariabelediebijtweeformulesnietdezelfdestartwaardehad.Ikvindditeerlijkgezegdwiskundignogaldubieusenzekereensituatiedieleerlingenonnodigpuntengaatkosten.Verdervondikhetjammerdatbijvraag3alvoorge-schrevenwaswelkemethodedeleerlingenmoetengebruiken.Alszehiereengoede,maaralternatieveoplossingvoorhebbengevonden,wordenzealsnoggestraftvoorhunoriginaliteitencreativiteit.Datkantochnietechtdebedoelingzijnvaneenexamendattochgeldtalseenlaatsteproevevanbekwaamheid?Voormijtonendieleerlingendatzezekernietminderzijnquabeheersingsniveauvanwiskunde.Natuurlijkzatenerookonderdelenbijdiewelofjuistnietmetdegrafischereken-machinemochtenwordenaangepakt.Enhoezeerjedeleerlingenookvoorbereidtopdewoorden‘algebraïsch’en‘exact’,erzijntochnogaltijdslimmerikendiehetverkeerddoen.Zouheteenideezijnomhetexamentescheidenintweedelen?Dusnietafschaf-fendieGR(datisechtdeklokheelverterugzettenindetijd),maarwelduide-lijkheidverschaffen.Zetermaargewoonboven:Bijopgaven1totenmetxmagdeGRnietgebruiktwordenenbijx+1totenmetzjuistwel.

Overdemeetkundeopgavenvanditexamenwasikweltevreden.Misschiendathetteleveren‘bewijs’vooreenoudeEgyptischeformule(zie figuur 1)voordeinhoudvaneenafgeknottepiramidenietheelspectacu-lairtenoemenwas(bewezenzefeitelijknuwelofnietiets?),enverderhadikzelflievergekozenvoordeformulering‘eenvooraan-zicht’inplaatsvan‘indekijkrichtingEG’,maardatisdetailkritiek.Ditwasgewooneenmooistukjeexamen,ondermeeromdathierduswéleenonderdeelbijzat(vraag16,vanKlimtoestel,voordeliefhebbers)waarjeopverschillendemanierendewegnaarRomekonvinden.Watmeverderopvielwasdateropmeer-dereplaatsenbinnenhetwerksprakewasvaneenvraagstellingwaarbijhetantwoordalwasweggegeven.Deleerlingenmoetendancontroleren,aantonenen/ofberekenendatditklopt.Tweevoorbeelden.

(Mobiele telefoon)Bijeentelefoonopstand-by-standmeteenmodernebatterijwordthetspanningsverloopbenaderddoordeformule 213,31

148V

t= +

−.

HierinisV despanningvandebatterijinVoltent detijdinuur.Optijdstipt =0isdebatterijvol.

Detelefoonstaatvanafhetogenblikwaaropdebatterijnethelemaalisopgeladenstand-bytotdatdespanningtot0isgedaald.Inminutennauwkeurigisdezestand-by-tijdgelijkaan141uuren39minuten.>>Laatditmeteenberekeningzien.

(Wandelende duinen)Hetrechterdeelnadetopvanhetduin,datligttussendepunten(41;6,37)en(52;0),benaderenwemethetlijnstukdatdiepuntenverbindt.Deformulediehierbijhoort,isvandevormh(x)=ax+b.Doorberekeningblijktdata≈-0,58enb ≈30,11.>>Toonditmeteenberekeningaan.

Watisdedieperebedoelingachterditsoortvraagstelling?Jeloktzotochuitdatleerlingennaarhetantwoordgaantoereke-nenengaaninvullenomhettecontroleren.Volgenshetcorrectievoorschrift(CV)moetjeditlaatstezwaarafstraffen,maareerlijkgezegdvraagikmebijonderdeel18afwater(wiskundiggezien)misaanisalsjebijeenlineairverband(datwasimmersgege-venindesomzelf )laatziendatdetweegegevenpunteninderdaadopdelijnvande

gegevenuitkomstliggen.Alsdatklopt,dankunnenertochgeenanderewaardenvooraenbmeerzijnwanteenrechtelijnwordtdoortweepunteneenduidigbepaald.Zouheteenideezijnomookbijhetexamenmetreserveantwoordentewerken,netzoalsikbijeenschoolexamenweleensdoe?(‘Alsjedezeopgaveniethebtkunnenmaken,rekendanverdermetdewaardena =…enb =…’)Ditzorgtervoordatzeopeigenkrachteenonderdeelmoetenkunnenmaken(ofniet),maarvoorkomttegelijkertijddatzeinderestvandeopgavegaanvastlopen.Alstoetjevanhetexamenisereenmooievraagdiegoedpastbijdecontextvande‘wandelendeduinen’.Maarwatjammerdatzo’nonderdeelvanmaarliefst7puntenhelemaalopheteindestaat.Hoeveelleer-lingenhebbendannogdekracht,deener-gieendeinventiviteitomditgoedtedoen?Ikvindhetgeheeltochalaandeforslangekant,dusookhiergaatmatigopgescoordworden,vreesik.

Eventerugkijkenophetgeheel.Eenheelaardigexamen,methierendaarverve-lendeformuleringenenvoorgeschrevenmethodes.Maarwelleukecontexteneneenmooiespreidingoverdestof.Niethelemaalafgewogentussenexact(voorbodevanmeeralgebradekomendejaren?)enGR(de‘natuurlijke’methodevandeleerlingen).Beetjelang,veeltekst(dyslectenenandereminderetaalgodenzijninhetnadeel)enveelpuntenopheteindnogteverdienen.Volgensmijishetcliché‘moetgoedtedoenzijn’dezekeernogwaarook.Alsdocentbeniktevreden,nudeleerlingennog.Helaasbeniknietopschoolalshetwerkgemaaktwordt,dushoorikgeenrecht-streeksereactievandeslachtoffers.

de regiovergadering

Ikvindhet(bijna)altijdleukenzinvolomnaarderegionalebesprekingentegaan.OphetNVvW-forumbarstdediscussiealsnellos(enwordterookgezeurd,zolinksenrechts).Valthetuookop,opwelketijdenersomsberichtenwordengepost?Hebbendiecollega’snietsbeterstedoenopdietijden?Tochkiesikervooromliveuittewisselenenaftereageren.Jekrijgtmeteeneenbeeldwaarmenzoaloverstruikelt(ofjuistniet)enopwelkeslakkenhetzoutkomtteliggen.Ennatuurlijkevenbakke-leienoverstapelenensprokkelen.Gelukkig

Eu

cl

id

Es

31

2E

uc

li

dE

s

83

|1

2

3

wordterdelaatstejarensteedsmindergesprokkeld.Voordiegenendienietwetenwathiermeebedoeldwordt:wesprekenvan‘sprokkelen’alsjeeenkandidaatpuntengeeftvooreenstapineenoplossingdiedoetdenkenaaneenregeluithetCV,maardiewiskundignietveelomhetlijfheeft(omdatdeleerlingopeentotaalverkeerdspoorzit).Bijvoorbeeld:InhetCVstaat:‘voordeconclusie:1punt’.Danmagjeeenleerlingnietzomaareenpuntgevenalserietsoppapierstaatwatopeenconclusielijkt,maardienietsmetdeopgavezelftemakenheeft.Dediscussiehieroverzaloverigenswelvanalletijdenblijven,vreesik.OnzebesprekinginAmersfoortverliepoverigensprima:wewarenhetsneleensenookoptijdklaar.

de resultaten

Nahetzoet,nuhetzuur!Hetvalttegen.Veelzakendiewebespro-kenengeoefendhebben,wordenalsnogslechtgemaakt.Allevalkuilenenaddersblijkenaanwezigeninveeltegrotemate.

tochweltevredenzijn.Hetresultaatdoetingrotelijnenrechtaanwatdezejongensinhunmarshebbenofwatzeafgedwongenhebbendooraldanniethardtewerken.Watzevanwiskundemeenemenvaltnogtebezien.OfditdevoorhoedegaatwordenvanNederland-Kennislandophbo-niveau,weetikookniet.Tochvertrouwikeropdatikzevoldoendebagagehebmeegegevenomdevolgendefasevanhunlevenintegaan.Wieweetofonzewegenelkaarnogergensgaankruisen(ofwashettochsnijden?).Ikhoopdatzezichietsvanmijngedreven-heidenenthousiasmevoorditmooievakzullenherinneren.Maarmisschienishetalleenmaardieirritantegewoonteomniettesneltevredentezijnenaltijdnogweerverdertekijkenendoortevragen.Ofdieleswaarinwehetzomaarineenshaddenoveriendecomplexegetallen–daarwarenzeonmiddellijkergdoorgeboeid.

Voormijwashetbepaaldgeendoorsnee-groep.Enzewaren,integenstellingtotdetitelvanditartikel,juistgeendertienineendozijn,maareerderkerelsuitéénstuk.Ikzalzemissen!

Over de auteur

FrankvandenHeuvelisdocentwiskundeopvestiging’tHoogheLandtvanhetMeridiaanCollegeteAmersfoort.E-mailadres:[email protected]

figuur1HAVO-B12

Leerlingenverliezenpuntendoorhetgebruikvaneenalternatievemethodewaardatnietmocht.Dusscoortniemandeenpuntbijopgave3!Demeetkundegaatdaar-entegenwelgoed.Zoudatdantocheen‘bewijs’zijndatjeveelenveelmeergeleidenklassikaalmoetbehandelen?Dathebbenwebijditonderdeelimmerswelgedaanditjaar!Aanheteindwerdenzezichtbaarmoe.Delaatsteonderdelengaanzeermatigofont-brekenzelfsgeheel.Degemiddeldescoresdierondgaanophetforum,haalikbijlangenaniet.Genoegomovernatedenken,ookvoormezelf.EnafwachtenwatdeN-termwordt;datkanvooreenaantaldedoodofdegladiolenbetekenen!

conclusie

N-term1,4;deschadevaltmee.Natuurlijkzijnerdeschrijnendezakkers,demazze-lendeslagersendeteleurgesteldeherkansersdiehunenergienogmaalsbijelkaarmoetenscharrelen.Maaroverhetgeheelkanik

Eu

cl

id

Es

8

3|1

2

4

Na de vervelende ervaring met het compex-examen vorig jaar[1] was het examen

vwo wiskunde A12 wat mij betreft ook dit jaar weer een mislukking. Mijn leerlin-

gen kwamen gedesillusioneerd het computerlokaal uit, grote zuchten slakend.

compex vwo wiskunde A 2007rEaCtIE van EEn tELEurGEStELdE doCEnt

[AndréOverbeeke]

Twee gedeelten

Watwerdernueigenlijkgevraagd?Ikkannietandersdantoegevendathetregulieredeelopzicheenvoudigwas.Hetiszoalssommigeleerlingenopmerkten:eindvwo-5wasikookeeneindgekomen.Derecurrentebetrekkingdieerinhetregu-liereexamennamelijkwelinzat,zaterinhetcompex-examennietin.Erwerdweinig(ofwashetniets?)gevraagdwatinvwo-6behandeldis.Tochhaddenmijnleerlingendetijddievoorditdeelbeschikbaarwas,2klokuren,gewoonnodig.Daarnanaarhetcomputerdeel.Ookditjaarweereengrotehoeveelheidmateriaal,waardekandidatenmetmoeitedoorheenkwamen.Hetwasinderdaad,zoalseencol-lega(HansHilhorst)ophetforumvandeNVvWopmerkte,alsofjeeen‘teingewik-keldeabstractegebruiksaanwijzingvooréénofanderemiskoop,diejehelaastochmaarinelkaarmoetzetten’moestlezen.Voormijngevoelwarende‘compex-leerlingen’absoluutinhetnadeeltenopzichtevande‘gewone’.Endatterwijlik,naderampvanvorigjaar,mijnleerlingenextragoedhadvoorbereidophetcompex.

lange teksten

NeemdeopgaveoverdeverkiezingeninAmerika.Hoeveelmoestergelezenwordenennogeensherlezenworden,voordatduidelijkwerdwatjeinExcelmoestgaandoen…Alsjezoverbent,ishetkinder-spel!Maarwelkewiskundigevaardighedenwordenhiernugetoetst?Toetsenwenuleesvaardigheid,ofhoezithet?DeopgavePrognosemaakthetnoggekker.Eencompletebladzijdetekstvoordatwebijdeeerstevraagkomen(ziefiguur 1enfiguur 2;zieookpag. 14).Eenvoudigvraagjetrouwens,eenvandeweinigewaar

5,5endatniemandeeneindcijferheeftdatonderde6uitkomt.Watikdantóchtezeurenheb?Antwoord:hetgeefteenonbevredigendgevoel;ikweetnietmeerhoeikmijnleerlingenopditexamenmoetvoorbereiden.Achterafvindikhetontzettendjammerdatmijnleerlingennietmethetgewoneexamenhebbenmeegedaan.Danhaddenzetenminstenogeenbeetjehetgevoelgehaddathetbestuderenvanalletheorienutheeftgehad.Ennu?Voormijgeencompexmeer!

Noot

[1] AndréOverbeeke:Compex? Complex!In:Euclides82-1,september2006,

Over de auteur

AndréOverbeekeiswerkzaamaanhetCalvijncollegeinGoeswaarhijlesgeeftaandetweehoogsteklassenvanhavoenvwo.E-mailadres:[email protected]

nogpuntenvoorgescoordwerden.Deanderetweevragenbijdezeopdrachtstaantussenderestvandetekst,ooknogbijnaeenvolledigebladzijde.HetaantonenvandeformuleJ(t) – V(t) = 3a kreegbijnaniemandvoorelkaar.Zeziendoordebomenhetbosnietmeer.Endanhetlaatsteonderdeelnog,6puntenmaarliefst.Starenennogeensstaren.O,o,watingewikkeld.Maar,detijdziterop.De3½uurzijnvoorbij.Murwgeslagenverlatendeleerlingenhetlokaal.Eenervaringrijker,eenillusiearmer.

Onbevredigend

Gemiddeldescorevanmijngroepopditonderdeelis19%.EnuitderapportagevanWolf/Citoblijktditookdegemiddeldelandelijkescoretezijn.Ditkantochnietdebedoelingzijn?DanishetwachtenopdeN-term.Zoudenzehetnetzodolmakenalsvorigjaar?MeteenN-termvan2,1?Nee,deN-termisvoorditjaarvastgesteldop1,8.Genoegomervoortezorgendatslechts3vanmijn20leerlingeneencijferscorentussen5en

figuur1Eénvande28schermbeeldenvanPROGNOSEDEMO

Eu

cl

id

Es

31

4E

uc

li

dE

s

83

|1

2

5

figuur2VWO-A12Compex

Oproep

deelname

enquête

‘aansluiting

vo-ho’ [VincentJonker]

Vanuithetproject‘NationaleKennisbankBasisvaardighedenWiskunde’(NKBW,insamenwerkingmetNVvWenSIGMA)isbehoefteaaneeninventarisatiewatdocen-tenwiskundevomomenteelvindenvandeaansluitingvo-ho.Ukuntuwmeningoverditonderwerpgevendoordeenquêteonlineintevullenopwww.nkbw.nl(kiesdanvoorenquête).

Onderwerpenuitdeenquête:- debalanstussen‘vaardigheden’en

‘redeneren’,- hetgebruikvanondersteunendemateria-

len(formulekaart,rekenmachine),- hetwelofniethebbenvanconcreetzicht

opdevervolgopleidingho.Bijvoorbaatdankvoordegenomenmoeite(hetinvullenkostongeveereenkwartier).

Eu

cl

id

Es

8

3|1

2

6

Ongelijkwaardigheid van examencijfersdE WILLEKEur van dE tWEEdE CorrECtIE

[W.H.Brummelhuis]

Gesjoemel

Inherhaaldonderzoeknaarexamencijfers[1]concludeerdehoogleraarJaapDronkersdatertussen1997en2005eentrendteconsta-terenvaltnaarsteedsgroterediscrepantiestussendecijfersvoordeschoolexamensendievoordecentraleeindexamens(zie figuur 1).Maarookdetweedecorrectiewerktmijnsinziensgesjoemelindehand.Enwieishiervandedupe?Deleerling!

uiteenlopende aanpak tweede

correctie

Detweedecorrectievanhetcentraaleind-examenisjuistbedoeldomgesjoemelenonge-lijkheidtegentegaan.Deonderwijsinspectiestelteentweedecorrectievanexamenwerkverplicht.Docentenkunnenzo’ncorrectieechternaareigengoeddunkenuitvoeren:- Detweedecorrectieisbedoeldomte

kijkenofdelandelijkenormcorrectwordttoegepast.Wanneerikmeteentweedecorrectorheelweinigverschillenheb(éénpuntjemeer,éénpuntjeminder)hoeftmijninziensnietelkeleerlingbesprokenteworden.Tochzijnerveeldocentendieelkpuntjeverschilwillenbespreken.Zijverliezeninfeitedenormeringuit’toog.Muggenzifters,noemikze.Hetisver-spildeenergieenhetwektirritatieop.

- Anderennemeneensteekproef.Datbetreftmeestalalleenleerlingenmetvijfjesenzesjes,dusderandgevallen.Alsofdejuistheidvandecijfersvandeandereleer-lingennietbelangrijkis!

- Endanisereensteedsgroterwordendegroepdocentendiehetexamenwerkvoorgezienaftekentzóndertweedecorrectieuittevoeren.Ditheefttotgevolgdateerstecorrectorenhetexamenwerk‘bewust’tehooggaanbecijferen.Dekansisimmersgrootdathetwerknietdoordetweedecorrectorwordtnagekeken.

Kortom,ditsysteemdeugtniet,hetisteomslachtigenuitdetijd.Redenenhiervoorzijnmijninziensdevolgende:

a.Hetkostdocententeveeltijd.Goeduitge-voerdtweedecorrectiewerkbeslaatalgauweenuurofacht.

b.Erstaatgeenredelijkevergoedingmeertegenover.Vijfentwintigjaargeledenkreegjevoorelknagekekenexamenwerkwerkfl.7,35(€3,34).Wanneerweuitgaanvaneeninflatievan2%perjaar,danzouditbetekenendatjenupernagekekenwerkfl.12,06(€5,47)zouontvangen.Datisniethetgeval.

c.Alserverschillenblijkentezijn,danisvolstrektonduidelijkwaartoedebespre-kingmoetleiden.Indiendocentenniettoteenakkoordkomen,danwordterinderegelgemiddeld.Ditgebeurtvaakklak-keloos(ommaarvanhetgezeuraftezijn).

Maatregelen

HetzouhetMinisterievanOnderwijsendeOnderwijsinspectienietmisstaanomzicheensoverdezeproblematiektebuigen,envervolgensmaatregelentenemen.Indeafgelopenjarenhebbenverschillendepartijentwijfelsgeuitoverdebetrouwbaarheidvandeexaminering,zowelvanwegedeschool-examensalsvanwegedetweedecorrectie.In2006isdeOnderwijsraadnogmeteenaan-bevelinggekomenomhetexamenwerkeerstdoordetweedecorrectortelatennakijkenendaarnadoordedocentzelf,eensysteemwaarmeeeenflinkaantalproblemenonder-vangenzouworden.(Aanditsysteemklevenookenkelebezwaren:hetzalmeernakijktijdvergendanhethuidigesysteem,enwanneerergeenflinkevergoedingtegenoverstaatzalhetnietwerken.)Hetblijftechterbijadvie-zenwaarnietsmeewordtgedaan.

Lees verder op pagina 28 >>

figuur1DeTwentseCourant

Tubantiavrijdag8juni2007

Nova

DE DIGITALE INSTAPMODULE VAN MATRIX ZORGT VOOR EEN

SOEPELE OVERGANG VAN REKENEN NAAR WISKUNDE

MATRIX: GEEF VORM AAN VISIE

WWW.BETERINBETA.NL

MAA

Eu

cl

id

Es

8

3|1

7

Eu

cl

id

Es

8

3|1

2

8

Vervolg van pagina 26.

Eenheelandereoptieisafschaffingvandetweedecorrectieindehuidigevorm.Laatbijvoorbeelddeinspectieeenjaarlijkseaselectesteekproefnemenvanongeveer20scholen.Wanneerdaarbijontdektwordtdateendocentwerkelijkfraudeheeftgepleegd,moetenhierdraconischemaatregelentegen-overstaan,zoalsuitsluitingvanexamenklas-senvoordedesbetreffendedocent.Indemaatschappijstaatopfraudeimmersookeenzwarestraf.

Tot slot

Delaatste30jaarisernietsveranderd.Zowelbijschoolonderzoekenalsbijcorrec-tievanexamenwerkissprakevanvalsspel.Hetonderwijszouzoveelbeterkunnen.

Noot

[1] M.deLange,J.Dronkers(2007):Groeide de ongelijkwaardigheid van het eindexamen tussen scholen verder in 2005? Discrepanties tussen de cijfers voor het schoolonderzoek en het centraal examen in het voorgezet onderwijs: 2005 versus 1997-2004.Groningen:ORD2007;papervoordeOnderwijsresearchdagen2007.Download:www.eui.eu/Personal/Dronkers/Dutch/eindexamencij-fers2007.pdf

Over de auteur

W.H.BrummelhuisisdocentwiskundeteAlmelo.E-mailadres:[email protected]

Wiskunde d op het scE

[MarianneLambriex]

In dit artikel laat ik de totstandkoming zien van een mogelijk tijdpad voor de verschil-

lende domeinen van wiskunde D over de leerjaren 4 en 5 havo en 4, 5 en 6 vwo.

in zee met wiskunde d

HetStedelijkCollegeEindhoven(SCE)iseenUniversumschool[1]enbiedtopzoweldehavoalshetvwowiskundeDénNL&Taan.Datiseenuitdagingvoorzoweldeschool-leidingalsdesectiewiskunde.VandaardatikblijwasdaterdoordedrieTechnischeUniversiteitenendeRadboudUniversiteit(3T(R)U’s)descholing‘Inzeemetwis-kundeD’gegevenwerdendaterindedirecteomgevingvanmijnschool,aandeTUEindhoven(TU/e),eenregionaalsteunpuntvoorwiskundeDgevormdis.Alleinformatieensteuniswelkom,dushebikdescho-linggevolgdenmenietalleenaangeslotenbijhetregionalesteunpuntaandeTU/e[2]maarbenikookactiefgeweestindedaarbijhorendekerngroeponderleidingvanHansSterk.Dezekerngroepbestaatuitverschil-lendedocentenvanscholenuitEindhovenenomgeving,docentenvandeTU/eeneendocentvandeFontysLerarenopleidinguitTilburg.DezekerngroephoudtzichnietalleenbezigmethetontwikkelenvannieuwlesmateriaalvoorwiskundeD,voorzoweldeverplichtedomeinenalsookvoordeKeuzeonderwerpen,maarprobeertooksamenmetdeTU/eenFontysHogescholeneeninvullingtegevenaanhetsamenwerkings-model.(Deanderemanierwaaropeenschoolhetprogrammakanrealiserenishetschoolmodel.)GedurendedescholingsbijeenkomstenvanIn zee met wiskunde DwerdnietalleenhetexamenprogrammavoorwiskundeDbesprokenmaargavenvakdidacticivandeT(R)U’svoorbeeldenvanlesmateriaalenmogelijkewerkvormen.Datlesmateriaalbetrofdevoorhetvwoverplichtedomei-nen,StatistiekenKansrekening,AnalytischeMeetkundeenDynamischemodellen,samengoedvoor320slu.Delaatstebijeenkomstwerdingevuldmetnieuwontwikkeldles-materiaalvoorhetdomeinKeuzeonderwerpvan40sluenwerdingegaanophoehetdomeinWiskundeinWetenschapvan80sluinvullinggegevenkanworden.ZijdelingswerdergesprokenoverwiskundeDopdehavo.

Wd naast WB

Tijdenseenvandescholingsbijeenkomstenbekroopmijhetgevoeldatiknogsteedsnietechtgriphadopdeexamenprogramma’svoorwiskundeBenD,enhadiksterkdeindrukdatdebijscholingsdocentenbijhetpresenterenvanmogelijkelesvoorbeeldenuitgingenvanleerlingvaardighedendiedehuidige6vwo-wb12-leerlingennognieteenshebben.Bovendienkwamhethavo-gedeeltenauwe-lijkstersprake.Hetbleekuitdereactiesommijheendatiknietdeenigedocentwasmetdatgevoel:wiskundeDmoetimmersnáástwiskundeBgegevenwordenennieterná.Ookindekerngroepisditpuntvaakaandeordegeweest,enbijonderwerpenwaarditmogelijkis,metnamedemodule‘Beslissen’,wasditeenvoorwaarde.DezemoduleisonderleidingvanJanEssersvandeFontysLerarenopleidinguitgegroeidtoteenvol-waardigkeuzeonderwerp[3].Uitgangspuntenbijhetontwikkelenvandezemodulewarenonderanderedatdezegeschiktmoetzijnvoorzowelhavoalsvwoendatdezevrijvroeginhettijdpadgeplandkanworden.Ditisnietvooralleontwikkeldekeuzeonderwerpenmogelijkgebleken.

NaaraanleidingvandezetweeschijnbaartegenstrijdigeervaringenbegonikmeaftevragenofhetnieuwewiskundeDexamen-programmawelpraktischhaalbaaris,wanterisveelmateriaaldatikoppasheteindevanhettijdpadkaninzettenenmaarheelweinigvooraanhetbegin.Enwatkanikertussenplaatseneninwelkevolgordezodatmijnleerlingennietindeproblemenkomen?AleerderwasikteleurgesteldgeraaktindemanierwaaroponzemethodewiskundeDaanpakt.Deeerstetweedelenzijnnamelijkhavo/vwo-boeken,endatstrooktenietmetwatikuitdescholingsreekshadbegrepen:voorhetvwoiswiskundeDhetvakomsnelengerichtmetabstractiestewerkenenvoordehavozoudeinvullingmeerpraktischmoetenzijn.Dusmoestiknuopzoeknaarofeenanderemethodeofnaareeneigeninvulling?Naaraanleidingvandezevragen,

figuur1 Eu

cl

id

Es

8

3|1

2

9

samenmethetfeitdatwiskundeDeenvakiszonderCentraalExamen,hebikbeslotendemachttegrijpen,geenboektegebruikenenerzelfietsmooisvantemaken.

samenwerkings– of schoolmodel?

Daaromhebikgedurendedevoorjaars-vakantiebehoorlijkwattijdbesteedaanhetplannenenopelkaarafstemmenvanwiskun-deDenB.Alsnelkomjedanvoorenkeleingrijpendekeuzestestaan,zoals:strevenwehetsamenwerkingsmodelna,ofhetschool-model?Omdatjedatnietinjeeentjebeslistmaarmetdevakgroephebikbeideoptiesverderuitgewerkt.DevoorkeurvancTWOgaatuitnaarhetsamenwerkingsmodel,waarinsamenwerkingmethetwetenschap-pelijkenhogeronderwijseenstructureleplaatsheeftendatterugtevindenisinhetdomeinWiskunde in Wetenschap (WiW)voorvwoenWiskunde in Technologie (WiT)voorhethavo.Voorscholendiebijvoorbeelddoorhungeografischeligginggeensamenwerkingmeteenuniversiteitofhogeschoolkunnenofwillenrealiserenishetschoolmodelalsalternatiefingevoerd.Hetverschilmethetsamenwerkingsmodelis,datdetweehiervoorgenoemdedomeinenvervangenzijndoorandereverplichtedomeinen:voorhetvwoComplexegetallenenDynamischemodellen2envoorhethavoRuimtemeetkunde2.

Overzicht programma-inhoud

Omgripopdezaaktekrijgenhebikeersteenoverzichtgemaaktvanhetprogrammaendekeuzesdiegemaaktmoetenworden(zie de figuren 1 en 2).Indeeerstekolomstaandebetreffendedomeinenensubdo-meinenmetdaarinbeidemodellennaastelkaar.Indetweedekolomstaatinslu’sderichttijd,endiehebikvertaaldnaarhetaantalwekendatikervoorkaninzetten.Voordehavozijndat6periodesvan8wekenvan4uren,3contacturen(van50minuten)eneenKWT-uurperweek.Indederdekolomhebikeeninventarisatiegemaaktvanlesmateriaalwaarmeeikalvertrouwdbenuiteerdereprogrammaversies.Daarvoorhebikdehoofdstukkenvande‘oude’methodeuitgezochtdiehorenbijditnieuweprogramma,dusvoorlopighebikdaaralervaringinenlesmateriaalvoor.Danblijktalheelsneldatermaarweinigsubdomeinenoverblijvendienieuwzijnenwaarvooranderlesmateriaalgezochtmoetworden.VoorhetvwozijnditB6,C3,D1,D2enF,voorhavoB4,B5enD3.Maar

hiervoorwordtopverschillendeplaatsennieuwlesmateriaalontwikkeldengetest,tevindenopdesitevancTWO[4],enookGerardKoolstraheefteeninventarisatiegemaaktopdesitevandeDigitaleSchool[5].NatuurlijkgaikookhetmateriaalvanhetregiosteunpuntEindhovengebruiken.OverigensstaanindehandreikingwiskundeDvandeSLO[6]ookheelveelwaardevolletips.VerderwilikputtenuitdemodulesvanNL&T[7]enookmetdatvaksamenwerkenenhebikzelfalbehoorlijkveelervaringmeteigenkeuzematerialen.Eennieuwelementisdetv-serieNumb3rs[7]dieikinverschillendeonderdelenwilinzettenterintroductieenmotivatie.

Wiskunde op het scE

Devolgendestapisdeinvullingvanhettijdpad.Ommijnuiteindelijketijdpad(zie de figuren 3 en 4)tekunnenbegrijpenishetnodigdatikdeorganisatievanmijnschool,hetSCE,heelkorttoelicht.HetSCEiseenzeerbredescholengemeenschapmetdaaraanalheellangverbondeneeninternationaleschool,hetISSE.Ditheeftgeleidtoteenvoorvwoplus-leerlingenaantrekkelijkeTweeTaligeOpleiding(TTO).WegebruikenGetal en Ruimte.VierjaargeledenisindeTweedeFase

periodiseringenKeuzeWerkTijd(KWT)ingevoerd.Vandieperiodiseringheeftonsvaknietzo’nlast,maarineersteinstantiewasdesectiewiskundewelheelergongeluk-kigmetKWTomdatvanbijvoorbeeld3lesurener2contactuurwerdenenhetandereeenKWT-uur.DaaromwerddeKeuzevanKWTvoorwiskundenietechtkeuzevrij,ermoestminstenséénuurgekozenworden.Eenleerlingheeft6tot8KWT-urenindeweek.Dievoorwaardebleekachterafvol-ledigoverbodigenisdanookveranderdin:ermogenhoogstens3KWT-urenvoorwiskundegekozenworden.Deleerlingenplannenzelfnumeerwiskunde-ureninhunroosterdanhetmanagementvoordeKWT-tijd.Ookdeperiodiseringkaniknuvoormijnkarretjespannen.Elkjaarbestaatuit4periodesvan8leswekenafgeslotenmeteentoetsweek.Nietelkvakwordtelkeperiodegegeven.DaaromishetmogelijkomurenzoteverdelendatwiskundeDzolaatmogelijkinhetvierdejaargestartkanwordenzodateraleenbodemgelegdkanwordenmetdelessenwiskundeBénvooronzeTTO-leer-lingendezwareTTO-examensinhetvierdejaarachterderugzijn.BovendienisereenmogelijkheidhetSchoolExamenalruimvoorhetCEafteronden.Dezeoptieheb

figuur2

Eu

cl

id

Es

8

3|1

3

0

ikjammergenoegnietvoorelkaargekregen,omdatdelesurendanvoordedocentenendeleerlingenwelergongelijkmatigoverhetjaarverdeeldworden.Voorhetvwobetekentdit4sluperweekin8perioden(64weken):4.4,5.1,5.2,5.3,5.4,6.1,6.2en6.3(5.1betekent:periode1inleerjaar5)envoorhethavo4urenperweekin6perioden(48weken):4.2,4.3,4.4,5.1,5.2en5.3.Deze4sluwordenvertaaldin1KWT-uuren3contacturen,geroosterdineenblokvan2eneenapartcontactuur.DekeuzevoorhetsamenwerkingsmodelligtvoorhetSCEvoordehand.Aljarenvolgenleerlingendemasterclasses,vaakaandeTU/e,maarookaandeUniversiteitvanTilburgofdeRadboudUniversiteitNijmegen,zowelvanwiskundealsvananderevakken.Eenextravoordeelisdatdehavo/vwo-locatieopmaximaal10minutenfietsenvandeTU/eendiverseTechnischeHogescholenvanFontysligt.Overhetvwo-samenwerkingsmodelmaakikmegeenzorgen;deTU/edenkteroverdemasterclassesineendriejaarlijksecyclusaantebiedenenbiedtdaarnaastpracti-caaandieinoverleggeplandkunnenworden.Ikmaakmemeerzorgenoverdesamenwer-kingmetdehbo’s;daarzitinhetzuidenmaareenkleinbeetjeontwikkelinginendiekomtvandeLerarenopleidingvanFontys.Eenpersoonlijkehobbyvanmewaaronderzoweldesectiealsdeleerlingenlijden,zijnPraktischeOpdrachten.Daardoorhebbenweindeloopderjareneenenormehoe-veelheidbronnenverzamelddiebuitenhetprogrammavallenenwaarmeeervaringisopgedaan.Eenenanderisweertoepasbaarindeverschillendetoetsvormen,inDomeinAenhetKeuzeonderwerp.OmdatwenudePO’szoaanbiedendatdeleerlingendemogelijkheidhebbenzelfhunonderwerptekiezenenleerstofdoortewerkenwaarvoorzebelangstellinghebben,willenwedatookhetKeuzeonderwerpleerling-afhankelijkis.

Het tijdpad maken

Terugnaarhettijdpad.Omdittekunnenmakenzijndevolgendeoverwegingenvanbelang.Met betrekking tot het vwo-StartmeteendeelvanKansrekeningenStatistiekomdatdaarvoorallebenodigdewiskundigevaardighedenalbehandeldzijn.-OokhetwiskundeBprogrammawijzigt;destartvandedifferentiaalrekeninguithetnieuweB-programmamoetnaarvorengehaaldwordeneninhetvierdejaarwordenbehandeld.-VrijsnelnadestarthebikhetKeuzeonderwerpgepland,alsmotivatieomwiskundeDtekiezen.(DitiseventueelteruilenmetWiW,inverbandmetnognietteplannenmasterclassese.a.)-WiWwordtopgedeeldinmeerderepartenzodatookingegaankanwordenopdeactu-aliteitenhetaanbod(enrekeninggehoudenkanwordenmetonzestageweekinvwo-5).-Demeetkundestaatbijnahelemaalachter-aan,omdatdaarvoorveelvanwiskundeBbehandeldmoetzijn.OokhiervoormoeteneronderwerpeninhetwiskundeBprogram-maverschovenworden.-Daarnaindelaatsteperiodetochde‘mak-kelijke’Statistiekomdatalleogeninperiode6.3algerichtzijnophetCEendeSE-vakkeneigenlijkalafgeslotenhorentezijn.

Met betrekking tot de havo-StartmeteendeelvanKansrekeningenStatistiekomdatdaarvoorallebenodigdewis-kundigevaardighedenalbehandeldzijn.-InhetwiskundeBprogrammawordendehoofdstukkenvandeanalyselijnnaarvorengehaald.-VrijsnelnadestarthetKeuzeonderwerpalsmotivatieomwiskundeDtekiezen–even-tueelteruilenmetWiT,inverbandmetnognietteplannenmasterclassesen/ofeventuelee-learningmodules.(Overdielaatsteisnognietveelbekend,maarerwordtovergedachtdoorenkelehbo’s.)

-WiTwordtopgedeeldinmeerderepartenzodatookingegaankanwordenopdeactuali-teitenhetaanbod(enrekeninggehoudenkanwordenmetdestageweekinhavo-4).-BijnahelemaalopheteindeToegepasteAnalyseomdatdaarvoorveelvanwiskundeBbehandeldmoetzijn.-Daarnaindelaatsteperiodetochde‘makkelijke’Statistiekomdatalleogeninperiode5.3algerichtzijnophetCEendeSE-vakkeneigenlijkalafgeslotenhorentezijn.Aldezeoverwegingenleverendanhettijd-padopzoalsafgebeeldinfiguur 3 en 4.KeuzeonderwerpenWiWrespectievelijkWiTzijninonderdelenverwisselbaar;voorhavozijnB-stat-B3enC-Ana2-C1/C2verwisselbaarafhankelijkvandevoortgangvanhetwiskundeBprogramma.Indelaatstekolomhebikgenoteerdwelketoetsingsvormikwilgaangebrui-ken,eenonderwerp(eneenartikel)opzich…Zoisernalangwikkenenwegen,veeloverleg,onderzoekenscholingeenoverzichtontstaanvanhoewijhetophetSCEeigenlijkgraagzoudenwillenorganiseren.Ditprogrammaisgoedgekeurddoordesectie.Zohebbenweeenmogelijkscenario.Hoehetuitwerktzalindepraktijkmoetenblijken;daarkanikover3jaarpasantwoordopgeven.VoormezelfhebikwelhetantwoordgevondenopdevraagofhetnieuwewiskundeDprogrammapraktischhaalbaaris:hetiseenuitdagingenikdenkdathetgaatlukken.IkbenklaarvoorDéStart op het SCE.

Noten

[1] (red.)DoorhetPlatformBèta-TechniekgekozenalsschooldiemagdeelnemenaanhetUniversumProgramma(ziewww.universumprogramma.nl).

[2] www.win.tue.nl/wiskunded/[3] www.win.tue.

nl/wiskunded/?q=filebrowser/Beslissen[4] www.ctwo.nl/wiskundeD[5] www.digischool.nl/wi/wid.html[6] www.slo.nl/themas/00158/00002/[7] www.betavak-nlt.nl/[8] www.weallusematheveryday.com

Over de auteur

MarianneLambriexisdocentaanhetStedelijkCollegeEindhoven.EerderwaszeookdocentaandeFontysLerarenopleiding.ZijisbestuurslidvandeNVvW,verantwoor-delijkvoordejaarvergadering/studiedagenlidvandenomenclatuurcommissie.E-mailadres:[email protected]@nvvw.nl

Eu

cl

id

Es

8

3|1

3

1

figuur3

figuur4

Eu

cl

id

Es

8

3|1

3

2

carmen van den Boom ‘docent 2007’IntErvIEW

[HansDaale]

CarmenvandenBoomgeeftwiskundeaanhetBonaventuraCollegeinLeidenenisuitgeroe-pentot‘Docent2007,gekozendoorleerlingen’.Deverkiezingdaarvoor,waarbijleerlingenuithetgehelelandophunfavorieteleraarkondenstemmen,werdgeorganiseerddoorhetNCRV-radioprogrammaBring it on!endewebsitewww.scholieren.com.Deuitslagwerd1junibekendgemaaktinhetEindexamenjournaal.Intotaalwarenerruim1200docentendoorzo’n25.000leerlingengenomineerd.

CarmenheefteigenlijkderaceomdetitelDocent2007gewonnendoormethaarleerlingenallerleiopdrachtenuittevoerenwaarbijwiskundeopeencreatieveenludiekewijzewerdgebruikt.ZomoestenzebijvoorbeeldbijCarmenthuiseenchocolade-tulbandmaken,maarwelmetdeopdrachtomtebezienwatdevergrotingsfactorvanhetgebruiktemateriaalnahetbakkenwas.Daarbijkwamenzakenals‘pi’en‘derdemachtswortels’voorbij,nogallastigvoorleerlingenuitdetweedeklas,maaralbakkendenrekenendluktehetuiteindelijktochdeopdrachttoteengoedeindetebrengen.

Ookhetfeitdatdedriemeisjesvanhaarpersoonlijke‘promoteam’–wantzo’nclubjehebjewelnodig–metsteunvaneenvandevaderseenflitsendewebsitehaddengebouwdencompleetgevuld,heeftduidelijkaanhetsuccesbijgedragen.Dewebsite www.carmengaathetmaken.nlishetbekijkenwaard.

inleiding

Alsje‘docentvanhetjaar’wiltworden,aanwelkecriteriamoetjedanvoldoen?Eenpogingdaartoe:30jaarjongzijn,vierjaarvoordeklasstaan,vanhetvrouwelijkegeslachtzijnen…hetvakwiskundegeven.CarmenvandenBoomvoldoetaandezeeisenenwerdnaeenheftigeafvalracebeginjuniinhetlaatsteEindexamenjournaalopdetelevisieuitgeroepentotDocent2007.Ookwiskundedocentenkunnenduspopu-lairzijn!AanleidinggenoegomCarmentebezoe-ken,zotegenheteindvanhetschooljaar,bijhetBonaventuraCollegeinLeiden.Bovendienleekhetmijinteressantomaanzoiemandtevragenwaternogtewensenvalt,metzo’ntitelopzak.‘Minister van Onderwijs lijkt me wel wat, om hard aan de slag te gaan met alles wat nu zoal speelt: leraarschap, rekenen en wiskunde, noem maar op.’HetzoudusweleenskunnendatweveelvanCarmengaanhoren,meteender-gelijkeambitie.

Wehebbenafgesprokenindedocenten-kamer,hetkloppendhartvanelkeschool.EenaantalminutennadepauzebelschuiftCarmenbijmeaan,zotezienhelemaalnietuitgeputnahaarlessendiemorgen.NamensderedactievanEuclidesgeefikhaar,métdemondelingefelicitaties,ookwatbonbonsvanPucciniuitAmsterdam.Logisch,gezienhaarpassievoorchocoladeenalleswatjekuntbakkenmetchocolaerin,zoalsvalttelezenophaareigenwebsite.‘Hé,bedankt,preciesdesoortendieiklekkervind!’Gokjevanmijnkant,geefikeerlijktoe.

Pabo

Wekomenovereenhetnietoveralteernstigeendiepgravendezakentehebben,maarja,erisnetvanallesindemediatedoenoverhetrekenenopdepabo.DaarkunnenwenietomheenvoordatwehetoverCarmenzelfgaanhebben.Hetrekenprobleemlijktmenouechtzo’nonderwerpwaaroveriedereenopschooloverpraatendanzekerdeleerlingen.‘Eigenlijkishetbijonsnietzo’nthema.Ikhebvorigjaargewoonmaareensdietoets,zoalsdieinHPDeTijdstond,inmijnbrugklasafgenomen.Dusdanhebjehetoverhetniveauvangroep8.Mijnleerlingenkondendietoetsgewoonmaken.Geenprobleem.’Dathadjezekereenbijzonderegroep,vanhetgymna-sium?‘Nee,eengewonegemengdeklas,dusnietdegroepdiehetsowiesowelkan.’Maarhetgaatinditgevaleigenlijkoverleerlingen,studenten,dieindeloopderjarenhetrekenenverleerdzijn,zolijkthet.‘Hetgaatvaakomleerlingendienaardepabogaanviahetmbo.Ookveelallochtonemeisjes,endanishetmisschientochookweleenprobleemmetdetaal.Ikbedoel,alshetgaatomcontextsommen,danhebbenzeerveelmoeitemee.’Nuwordtherendergeroependatwedoordietoetsmisschienweleenheleboelpotentiëlelerarenvoordebasisschoolgaanmissen.‘Jawel,maarikdenkdatjetochgoedmoetkunnenrekenenvoordiebaanendanmagjeookeisenstellenaandekwaliteit,vindik.’

Eu

cl

id

Es

8

3|1

3

3

leraar worden

Hetaantalstudentendatkiestvoordewiskundeendanooknogeensvoorhetleraarschap,isnieterggroot.Danmoetjeweleensterkemotivatiehebbenomdiekantoptegaan.IkbendusbenieuwdhoedatmetCarmenisgegaan.‘Ikheboptweerooms-katholiekebasisscholengezeten,waarbijikheelgoedrekenenentaalhebgeleerd,alsikernuzoopterugkijk.Endaarnahebikzevenjaaroverhetgymna-siuminBergenopZoomgedaan,meteenkeertjeblijvenzittenindevijfde.Nouishetechtnietzodatmijndocentenmijopdieschoolhebbengeïnspireerdomlaterietsmetwiskundetegaandoen.Overigens,mijnoudersgavenallebeiwiskunde,maarookdatwasgeenredenvoormijomdiekantoptegaan.Watikwelvanthuismee-kreegwasdatmijnmoederheelenthousi-astbezigwas,zoalszemethaarleerlingenomging.Zohieldzebarbecuesbijonsthuis,metdeklaswaarvanzementorwas.Mijnvaderisnugepensioneerd,enmijnmoederwildegraagweergaanlesgevenopCuraçao.Maardankwamzegewoonweerinschaalnul,omdatzeonzediploma’sdaarnieterkennen.OmdanweerinNederlandaanvullendediploma’stegaanhalen,daarhadzeechtgeenzinin.Terwijlzelesgevensuperleukvindt.’HetlijktmijeensituatiediebijCarmentotnietsanderskonleidendantothetleraar-schapwiskunde.‘Nee,tochniet.Zoalsgezegd,ikvoeldemehelemaalnietspeciaalaangetrokkentotwiskundealsvakopzich.Ikbeneersteconomiegaanstuderen,bijdeUvAinAmsterdam.Maarja,daarbleekdatiktochdewiskundigezakenendeboekhoudvakken,duswaarbijjemoestrekenen,deleuksteonderdelenvandiestudievond.Trouwens,alsiktoenmeerhadgewetenwelkestudieserallemaalzijn,hadikmisschienwelactuariaatgedaan,ofietsmetOperationalResearchofBestuurlijkeInformatiesystemen.Dustochmaargestoptmeteconomieenverdergegaanmetwiskunde,enikbedachtvervolgensdatikerookinwildegaanlesgeven…Daarombeniknazo’nanderhalfjaarovergestaptnaardeEFA,delerarenopleidingvandeHvA.’Inmijnherinneringmoestjejarengeledeneentijdlangtweevakkendoenbijeentweedegraadslerarenopleiding.‘Klopt.Alsdatinmijnstudietijdnogzowasgeweest,hadikerNederlandsbijgedaan.Datvind

ikookeenleukvak,waarmeeikechtietsheb.Jevindthetnatuurlijkookveelbijwiskundeterug,inveelvandeopgaven.Hetisbestleukomeenbepaaldbegripuitteleggen,bijvoorbeeldalszezo’nwoordals‘quorum’ineensommetjetegenkomen.Neemjeookietsmeeomhuntaalvaardig-heidtevergroten.’

status gebruiken

Ikkanmevoorstellendatiemanddieals‘Docent2007’eenzekerestatusheeftverworven,nadezomervakantiealseensoortambassadeurnamensdeorganisatiedoorhetlandtrekt,omhetdocentschaptepromoten.DatdoenzetochookmetMissHollandendatsoortverkiezingen?Hebbenzemetjouietsafgesproken,bijvoorbeelddatjejeergensvoormoetgaaninzetten?‘Nee,helemaalniks.Eigenlijkishetgewoondieverkiezing,envervolgensovergaantotdeordevandedag.Tenminste,zoverikhetnukanoverzien.’EnhetMinisterievanOCW,datzoutochiemanddiezoveelaandachtvanleerlingenheeftgekregenbestkunnenvragenvoorbepaaldeprojectenofvooreenleuke,aansprekendepromotie-campagne?Jehebtimmersaangetoondkennelijkietsmetwiskundetedoendataanslaatbijleerlingen.‘Ikzoubestietswillendoendaarmee,omerovertevertellenhoeikhetdoe.Wat-denkik-deleerlingenergaanspreektisdatikvaakwerkmetvoorbeelden,gewoonuitmijneigenleven.

Ikhebhetlaatstindeklasgehadovercom-binatoriek,endanzeggengetallenenzonietzoveel.Maaralsjedanbegintoverzespaarschoenen,twaalftruitjesennogveelmeeranderesoortenkleding,danmerkenzehoeveelcombinatieserwelnietmogelijkzijn.Endanzegjetegendejongens:begrijpjenouwaaromwijalsmeisjesaltijdzolang’smorgensbezigzijnomietsleuksbijelkaartezoeken?Nou,danvergetenzezoietsnooitmeer.’Opdatmomentgaatdetelefoonindedocentenkamer(‘Carmen,voorjou,iemanddiejewatwilvragen’),alsofdeduvelermeespeelt.WantalszeweeraanschuiftaantafelheeftzehaareersteopdrachtalsDocent2007kennelijkbinnen.‘Eenverzoekvaneenbureaudatstudiedagenvoorhetbedrijfs-levenenhetonderwijsorganiseert,ofikindecemberkanoptreden,meteencabaretier,opeendagvoordocenten.Zewistenmedusweltevinden…’Kijk,zowerkthettochkennelijk.

imago

Wehaddenhetaloverdepabo,maarhetschijntdathetdekomendejarensteedsmoeilijkerzalwordenomjongerenteinteresserenvoorhetvakvanleraar.‘Datisechteenprobleem,datklopt.Aanhetbeginvanhetschooljaarzijnernogwelmensentekrijgen,maartijdenshetschooljaarwordthetgewoonheelergmoeilijk.Maarja,kennelijkishetvoorveleneenhondenbaan.Ikheb

Eu

cl

id

Es

8

3|1

3

4

eenleerlinginhavo-3diemijlaatstvroeg:“Waaromdoetudit,ukunttochwelietsbeterskrijgen?”’Erisdusietsmismethetimago,opeenofanderemanier.‘Ja,datdenkikwel.Misschienisdatalzo’ntwintigjaargeledenbegonnen,toensteedsmeerdocentenalseensoorthippievoordeklasstonden,watbetreftkledingenzo.EntoenkwamooknogeensdeHOS,dusmindersalarisvoorbeginnendeleraren.Dewerkdrukisookechthoogmet32leerlingenineenklas.Omdanin45minuteneenklasnogietsteleren,datishardwerken.Ikzittotvijfuuropschool,endanhebjenogdeouder-spreekavonden,opendagen,noemmaarop.Geenwonderdatwij,docenten,tochnaareenvakantietoeleven.Dankrijgjevandieverhalenindedocentenkamerover:hoeveelwekenmoetjijnog,wanneerisdelaatsteles,watmoetjijnogallemaaldoen,wanneergajijweg…’Mijnervaringisdatwiskundedocentenooknogeenseeneigencategorievormen,metallegevolgenvandien.‘Merkikook.Jewordteigenlijknietzogauwdoorleer-lingenergensvooruitgenodigd.IkwilookweleensmeenaareenexcursieinBerlijnofzo!Kennelijkbenjeeenaparttypedocent…Zoalseenleerlingeenstegenmijzei:“Urekentwaarschijnlijkookaltijddekassabonnetjesgoedna…”’Dus?‘Misschienzoudenwealswiskundelerarenookeenszo’ngrappigboekjemoetenmakenoverwatwemeemakenindeklas,metbijzondereenvreemdeberekeningendieleerlingentoepassenengebruiken.NetzoietsalsdatboekjeI always get my sinmetkromEngels.’Duslatenziendatwiskundeookleukkanenmagzijn.MisschieneensuggestievoorministerPlasterkvoorzijncampagneommeerleerlingenteinteresserenvoorhetvakvanleraar.EndankandeNederlandseVerenigingvanWiskundelerarenwellichtzo’nactieaan-vullenvoorwiskunde…‘Jemoetwelechtvankinderenhoudenalsleraar,enveelaffiniteitmetzehebben.Enweet,watjealsleraarlinksenrechtsmoetdoenenregelen.Hetisookeenbeelddatleerlingenhebben.Kortgeledensprakikeenmeisjeinvwo-5dateerstwelleraarwildewordenendiezeidatzehettochmaarnietdeed.Ikmoetmaareensvragenwaaromzevangedachtenisveranderd…’

loopbaan

Hetisbekenddatveeljongelerarennietmeervanplanzijnomhunhelelevenalsdocentvoordeklastegaanstaan.‘IkhebookaleenkeergesolliciteerdbijdeNS,dusikkijkookwelafentoenaareenbaanbuitenhetonderwijs.Hetmoetdannogwélsteedsietszijnmetwiskunde,metdingenalslogistiekenplanning.’Dedienst-regelinginelkaarzetten,enforsverbeteren?‘Ja,zoiets.OfbijKPN.Ikzouiniedergevalgeendirecteurvaneenschoolwillenzijn,ofleergroepcoördinator.Dattrektmedusniet.’Danmaarministervanonder-wijsworden,maardanmoetjedepolitiekin…‘Datlijktmewelwat[lacht].Maarikbeweegmeopditmomentindepolitiekalleenmaaropneutraalterrein,dusdatwordtdanookweermoeilijk.’Carmenistweedegraads,duseenstudievoordeeerstegraadsbevoegdheidligtvoordehand.‘Daarbenikaleentijdjemeebezig,wantikwilookgraaglesgevenindebovenbouw.Netzogoedalsdederdeklasietsandersisdandeeersteklas,lijktmeeenexamenklasbestspannend.’OokdesfeerophetwerkisessentieelvoorCarmen.‘Hoejemetcollega’somgaat,hoejealspersoonbezigbent,ookonderlingennaarleerlingentoe.Nustaiknatuurlijkbijiedereenbekendindeschoolommijnbaksels.Alsikjarigben,trakteerikmijnklassen.“Hebjehaarweermetdiemuffins”,hoorjedan.Ikhebdezeweekdeleerlingenvanmijnvwo-4,dieikdusnietmeerinhogereklassenkanlesgeven,bijwijzevanafscheidopgebakgetrakteerd.Deavonddaarvoorwasikheellaatthuisgekomenvaneenuitjemethavo-3,maarja,dangaiktochmaaraandeslag.Endeconciërgeenhetsecre-tariaatkrijgennatuurlijkookalaltijdiets,wantdaarhebikechtveelaan.’

dating

Totslotnogeventerugnaarhetonderwerpwaarvoorwehieromtafelzitten.Internetheeft,zokunjeeigenlijkwelstellen,eenbelangrijkerolgespeeldindezeuitverkie-zing.HetcampagneteamvanCarmenheefteenwebsiteopgezet,heelprofessioneel,zodatiedereenmeteigenogenkoncon-staterenwatzijzoaldeed.Opvallendvondikdeoproepvandiemeidenom‘eenmanvoorCarmen’.Heeftdatnogietsopgele-verd?‘Nou,erzijnweldocentengeweest

diemijnaaraanleidingvandewebsiteeenmailtjehebbengestuurd.Endaarbijzatenookwiskundecollega’s,metwieikvervol-genshebgemaild.Binnenkorthebikeenafspraakmeteenmandieookwiskundegeeft…’Zullendieleerlingenopkijkenalshunwebsitestraksooknogblijkttehebbengefungeerdalsdatingsite.

Over de interviewer

HansDaaleislidvanderedactievanEuclides.Hijisbetrokkenbijallerleiprojecteninhethogerberoepsonderwijs,ondermeerronddeaansluitingophethbo.E-mailadres:[email protected]

Eu

cl

id

Es

36

2E

uc

li

dE

s

83

|1

3

5

Bewijzen en voorbeelden geven

Wiskundigenbeschouweneenuitspraakalsgeldig,alsdezeisvoorzienvaneenbewijs.Ditwilnietzeggendatdewiskundeuitslui-tenduitbewijzenbestaat.Wekunnenookvermoedensformuleren,mooietoepassingengevenenuitsprakenuitleggenwaardooronsinzichtverbetert.Maardealgemeengeac-cepteerdemethodebinnendewiskundeomresultatenweertegevenismeteengeforma-liseerdestelling,verbondenaaneencorrectelogischeafleidingengebaseerdopalgemeenaanvaardeaxioma’s.Inveelanderewetenschappenkanmenzichnietbedienenvanformeledefinities,nochvanstriktlogische,deductieveredeneringen.Datgeldtmetnamevoordemensweten-schappenendusookvoordevakdidactiek.Tochkunnenwebinnendevakdidactiekzorgvuldigredenerenénzelfswetenschappe-lijkverantwoordbezigzijn.

InhetEngelsbestaatereenmooionder-scheidtussen‘proof ’en‘evidence’.Heteerstewoordheeftbetrekkingopdewiskundeenopderechtszaal.ZijnerophetslachtofferDNA-sporenvandeverdachtegevonden?Dangeldtditals‘proof’(keihardbewijs)vanhunontmoeting.Beweerteenderdepersoon,dathijdeverdachteenhetslacht-offersamenheeftgezien?Dangeldtditals‘evidence’(getuigenis).Bijeen‘proof’heeftdetegenpartijgeenantwoordmeer,bij‘evidence’isdegetuigenisovertuigend,maarkandetegenpartijnoggaansputteren.

Zorgvuldiguitgevoerdvakdidactischonderzoekis‘evidence-based’enhoudtvaakeenslagomdearm.Alsjemensenenhunhandelencorrectwiltbeschrijven,moetjenamelijkvoorzichtigzijn.Ikgeefeenvoorbeeld.Op1juli2005schreefMarkOpmeer,destijdswiskundepromovendusaandeRijksuniversiteitGroningen,ophetForumvandeNVvWoveruniversitairedidactici:De didactici vinden wiskunde niet leuk. Ze zijn meestal zo snel mogelijk gestopt met wiskunde, zijn daarna even wiskundeleraar geweest en vonden dat ook niet leuk. Nu hebben zij er een dagtaak van gemaakt om anderen te vertellen hoe zij onderwijs moeten

geven (...). Inhoudelijk verschillen zij amper met elkaar van mening (al vinden zij zelf van wel), ze volgen gewoon de laatste didactische mode (tegenwoordig met kreten als: competen-tiegericht, portfolio, ICT, constructivistisch).Wezienhierhetprobleemvandefinitieengeneralisatie.Alsjehetovermensenenhungedraghebt,kunjenietstrakwiskundigformuleren.ZouOpmeermet‘didactici’ookHansFreudenthal,gerenommeerdhoogleraarindeTopologie,bedoelen?Passenbinnendezeomschrijvingookdediversegepromo-veerdewiskundigenaandewiskundeleraren-opleidingen?Alsjeeengeneralisatienietkuntonderbouwen,dankrijgjealsnelplatitudes.Gelukkigverscheenop20januari2007eenbijdrageindeVolkskrantvandiezelfdeOpmeer,inmiddelslidvandeVerenigingBeterOnderwijsNederland(BON)enuniversitairdocentinCalifornië,overhoeeendiscussieoveronderwijsgevoerddiendeteworden.Nietmetgevoelsargu-mentenenkretologie,maarwelmetfeitenenargumentendiewordengefundeerdmetonderwijsresultaten.

Maarhoeverkrijgjeinhetonderwijsargu-mentendieopfeitengebaseerdzijn?Toetsenenenquêtesleveren‘harde’informatie,maarookhetdirectecontactmetleerlingenkanbelangrijkeargumentenopleveren.Ditiswatalledocentendagelijkservaren.Alleenishetuitschrijvenvandebelevenissenzeertijdrovend.Hetwordtslechtsdooreenenkelinggedaan.HansFreudenthalobserveerdezijnkleinzoonBastiaan,JoopvanDormolenzatachterindeklasbijzijnstagestudentenenJanvanMaanenverhaaltoverzijnbijlesleerlingen.EngelukkiglezenweinonzeEuclidesinteressanteverhalenoverwiskundelessen.Dezeverslagenvanauthentiekegebeurtenissenleverengeenbewijs,maarzelatenzienhoeleerprocessenkunnenwerkenendezevoorbeeldengeveneengoedebasisvoorvakdidactischediscussies.

Volgenseengerenommeerdeonderzoeksbijbel[1]kanmenopeenverantwoordewijzeweten-schappelijkonderzoekdoennaarcase studies.Hetisdannoodzakelijkdatditgebeurtineen‘natuurlijkeomgeving’metspontanegebeurtenissenwaarbijdeonderzoekerzichopensteltvoorallemogelijkeuitkomsten.Indeinternationaleonderzoeksliteratuur

iserdeberoemdecasus Benny[2].Bennywastwaalfjaarenleerderekenen/wiskundemeteenlesmethodevoorzelfwerkzaamheid.Hijstondbijzijnleraresteboekalsgoedeleer-ling,omdathijbijdemeesteopgaven(overbreuken)hetcorrecteantwoordgaf.StanleyErlwangerinterviewdeBennyenschreefdiensuitsprakenletterlijkuit.Hieruitbleek,datBennyzelfrekenregelshadverzonnenombreukenoptetellen-zijnmethodewasfout.Hijbeschouwdewiskundealseenvakwaarjesteedsopnieuwmoestradennaarregelsvoordejuisteantwoorden.Erlwangersartikellaatzienhoeleerlingenmetwiskundekunnenworstelenenhoe‘begrijpen’ietsandersisdan‘dejuisteantwoordengeven’.Bennylegdeeengetuigenisaf.Geenbewijs,maarwel‘evidence’.

Noten

[1] DavidKrathwohl(1998):Methods of Educational and Social Sciences Research.NewYork:Longman.

[2] S.H.Erlwanger(1973):Benny’s conception of rules and answers in IPI Mathematics.In:Journal of Children’s Mathematical Behavior,jaargang1,nummer2.DitartikelisherdruktinhetboekClassics in Mathematics Education ResearchvandeAmerikaanseverenigingvanreken/wiskundedocenten,NCTM.

Over de auteur

PaulineVoswaswiskundeleraresenwerktnuaandeRijksuniversiteitGroningen,waarzijonderzoekdoetnaarhetwiskundeonderwijs.E-mailadres: [email protected]

Een reactie

De redactie vroeg Mark Opmeer om een korte reactie op de bijdrage van Pauline Vos.Hij schreef:“Ookeenstelligeuitspraakindemenswe-tenschappenlaatuitzonderingentoe.Mijnuitspraakover‘dewiskundedidactici’doetditook.Waarikopwildewijzenisdat‘wiskunde-didacticus’eenberoepaanhetwordenisdatvollediglosstaatvanhetbedrijvenvandewetenschapwiskundeenvanlesgeveninwiskunde.Ditleidttoteengevaarlijkgroeps-denkendatnietgecorrigeerdwordtdoorderealiteit.”

Feiten en meningen [PaulineVos]

Bespreking / Flatland op dVdfLatLand thE MovIE, a JournEY of ManY dIMEnSIonS

[MarjanDoijer-HovingenSonjaTieck-Muller]

Producer:SethCaplan

Regie:JeffreyTravis,DanoJohnson

Cast:MartinSheen,KristenBell,JoeEstevez,

MichaelYorke.v.a.

GebaseerdophetboekvanEdwinA.Abbott(1884)

UitgebrachtdoorFlatWorldProductions,LLC,2007

SpecialEducationalEditionincl.schoollicentie,werkbladen,

interviewsencompletetekstvanhet

oorspronkelijkeboek:$120,00

Editievoorprivé-gebruik:$29,95

Informatieenbestellingen:www.flatlandthemovie.com

Het verschijnen van de dvd Flatland The Movie was voor ons de aanleiding om

eerst het boekje Flatland van Edwin A. Abbott te lezen. Dit boek is een klassieker

en voor het eerst verschenen in 1884.

Het boekje – inhoud

Flatland: A Romance of Many Dimensionsiseenvertellingoverhetlandvantweedimensies.DeinwonersvanFlatlandzijnlijnstukken,gelijkbenigedriehoeken,gelijk-zijdigedriehoeken,vierkanten,regelmatigevijf-,zes-,zeven-enandereveelhoeken,encirkels.Indezewereldwordtjestatusbepaalddoorhetaantalhoekendatjehebt;hoegroterhetaantalhoeken,destebelang-rijkerjebent.Delijnstukken–deminstbelangrijkesoort–zijnvrouwen,maarzezijnwelhetgevaarlijkst!Alseenlijnstukrechtopjeafkomt,ishetvrijwelonzicht-baar,maarhetkanjeweldoorboren.DeinwonersvanFlatlandkunnenelkaarnietvanbovenofonderenbekijken,wantdanzouersprakezijnvaneenderdedimen-sie.Zezienelkaaralleenvandezijkantendusalslijnstukken:steljevoordateenvier-kantoptafelligtenjehoudtjeoogopdehoogtevandetafelranddanziejegeenvier-kantmaarslechtseenlijnstuk.DebewonersvanFlatlandwetenmetwiezetemakenhebbendoortevoelenofdoorgebruiktemakenvandehelderheidvanhetlijnstuk.Alseenfiguuropjeafkomtmeteenhoek-puntnaarvoren,danziejehethoekpuntscherpendeaanliggendezijdenvager.Hoesnellerdezijdenvervagen,hoescherperdehoekendestelagerdestatus.HetverhaalvanFlatlandwordtvertelddooreenvierkantdateerstuitgebreidbeschrijfthoezijnlanderuitzietenwatdegewoonteszijn.DitvierkantbrengtinzijndromeneenbezoekaanLineland(ééndimensie).Hijbeschrijfthoegeschokthijdaarisontvangen:deLinelanderswildennietgelovendaternaastlengteookbreedtezou

kunnenbestaan.Vervolgensgaatonsvier-kanteenuitstapjemakennaarSpaceland(driedimensies)hoeweldittenstrengsteverbodenis.DegeleerdenvanFlatlandzijnvanmeningdatergeenderdedimensiezoukunnenenmogenbestaan…

Het boekje – onze mening

Hetkosttenogalwatmoeitegoedinhetverhaaltekomen.Nietomdathetwiskun-digtelastigzouzijn,maarmeerdoordeschrijfstijl.ErwordteenEngelsgebruiktwatjetegenwoordignietmeertegenkomt–logisch,wantFlatlandisin1884geschre-ven.OokwordtertotindetailbeschrevenhoeFlatlanderuitziet.Pasnaruim30bladzijdenkomtermeervaartinhetverhaal.(Hetkanookzozijndatertoenenigegewenningaandestijlentaaloptrad.)HetisleuktelezenhoeuithetoogpuntvaneenFlatlandergekekenwordtnaardeanderedimensies.Ookdemiddelendiewordenaangewendomelkaarervanteovertuigendatermeerdimensiesbestaan,werkenverhelderend:jekuntjenahetlezenvanditboekjedanookgoedvoorstellendatereenlogischvervolgisopdederdedimen-sie,namelijkdevierde.Zohoortbij:

Gebruik van het boekje in de klas

Flatlandkaneengoedevoorbereidingzijnoplessenoverdimensies.Aandehandvanditboekjeishetbegrip‘dimensie’eenvoudigE

uc

li

dE

s

83

|1

3

6

punt 0dimensies 20=1(hoek)puntlijnstuk 1dimensie 21=2(hoek)puntenvierkant 2dimensies 22=4(hoek)puntenkubus 3dimensies 23=8(hoek)puntenhyperkubus 4dimensies 24=16(hoek)punten(?)

Eu

cl

id

Es

36

2E

uc

li

dE

s

83

|1

3

7

uitteleggen.Metnamebijdeuitbreidingtotdevierdedimensieishetboekjezeerillustratief.Hetboekjeistemoeilijkvoordeleerlingenvandelagereklassen;hierkunjealsdocenthetverhaalvertellen.HetisvoortestellendatopeenschoolwaartweetaligonderwijswordtgegevenhetboekjebijdelessenEngelsgezamenlijkwordtgelezen;deleer-lingenmoetendanalwéleenbehoorlijkekennisvanhetEngelshebben.Tijdensdewiskundelessenkanerdanaandachtwordenbesteedaandewiskundigeaspecten.Hetboekjestaatinpdf-formaatopdedvdenisdusvooralleleerlingentoegankelijk.

de film – inhoud

Flatland The MovieiseenanimatiefilmvanongeveereenhalfuuroverhetvierkantArthur.Defilmbegintmeteenboven-aanzichtvanhetland,dateenbeetjedoetdenkenaanGoogleEarth.InvogelvluchtzienweFlatlandaanonsvoorbijtrekken.Aangezienjekuntzienhoealleseruitziet,ishetnietnodigallefigurentebeschrijven.DegewoontesvandeFlatlanderskomen,andersdaninhetboekje,nietuitgebreidaanbod.Erwordtkortverteldhoedeevolutieplaatsvindt.Hetpolitiekeaspect(eentotalitairsysteem)komtduidelijktotuitdrukking.Flatlandwordtgeregeerddoorcirkels,metThePriestalshoogsteinrang.Zijbepalenderegelsendeanderefigurendienenzichaandieregelstehouden.Decirkelszijnopdehoogtevanhetbestaanvaneenderdedimensiemaarhoudendezewetenschapangstvalliggeheimomdatzebangzijnhunbelangrijkepositieteverliezen.

isbeperkt,devisualisatiewerktverhelde-rend(zie figuur 3).EenpuntvankritiekishetsomsdoorelkaargebruikenvandebegrippenNoord-Zuidenboven-onder,maarechtstorendishetniet.JekuntkiezenvooreenEngelstaligeonder-titeling,hierdoorishetallemaalgemakke-lijkertebegrijpen.TochzuljedeleerlingenvantevorenweleenaantalwiskundigetermeninhetEngelsmoetengeven.

Gebruik van de dvd in de klas

LeerlingendieeenbeetjeEngelskennen,kunnendezeleukeenduidelijkefilmgoedvolgen.OpdedvdstaatookeengesprekmetdebekendemeetkundigeThomasBanchoffoverdevierdedimensie.Opeenvoudigewijzelegthijuithoejejeeenvoorstellingzoukunnenmakenvandevierdedimensie.Ditinterviewisdemoeitevanhetbekijkenwaard.Ookzeergeschiktvoorleerlingen.Zowelopdedvdalsopdewebsitestaanwerkbladendiehorenbijdefilm.Dezewerkbladenzijnergduidelijkeneenmooieaanvullingopdefilmenhetboekje.Dewerkbladenopdedvdhebbenalsonder-werpendehyperkubus,deformulevanPick,polygonen(veelhoeken)endeopper-vlaktevanpolygonen.DezewerkbladenzijninhetEngels,maardetaaliswaarschijnlijkgeenprobleemvoordeleerlingenenanderszijnzeeenvoudigtevertalen.Defilmkanalsinleidingofillustratiefun-geren;verdiepingiswenselijk.Dedocentzouzelfdedvdwiskundigkunnentoe-lichten.IncombinatiemethetinterviewvanBanchoffen/ofhetlatenmakenvandewerkbladenkanzoeengoedbegripvanhogeredimensiesaangebrachtworden.

Vervolg op pagina 39 >>

Defilmgaatvoornamelijkoverdever-schillendedimensies:Pointland,Flatland,LinelandenSpaceland.Hetblijktvoordebewonersvandeverschillendewereldenergmoeilijkzichvoortestellendaternogeenextradimensiezoubestaan.ArthurheeftechtertemakenmetzijnkleindochterHex(zijiseenzeshoek,eenhexagon)dieergnieuwsgierigisenoponderzoekuitgaatnaarhetbestaanvaneeneventuelederdedimensie.DitbrengtHexenArthurindeproblemenomdatdittenstrengsteverbodenis.

de film – onze mening

Flatland The Movieiseenfraaivormgege-venflitsendeanimatie.Erzitvaartinhetverhaal,deverschillendedimensieswordenduidelijkuitgelegd.Ineenkleinhalfuurkrijgjeeengoedbeeldvanhetbegripdimensie.Hetverhaalisspannend,enditwordtversterktdoordemuziek.Detheorie

figuur1HuisvaneenFlatlander,uithetoorspronkelijkeboek

figuur2HuisvaneenFlatlander,uitdefilm

Eu

cl

id

Es

8

3|1

6

Eu

cl

id

Es

36

2

vErSChEnEn /

EEn GEzondE GEESt

Uitdeinleiding:‘Pseudowetenschappenhorenbijdejourna-listiekalsparasietenbijdesloot.Wieherin-nertzichniethoegretig,enkeledecenniageledennogmaar,krantenschrevenoverdeVerschrikkelijkeSneeuwman,overvliegen-deschotelsenhetmonstervanLochNess.AldieonzindeeddebefaamdeastronoomendoorgewinterdescepticusCarlSaganooitwaarschuwen:“Extraordinaryclaimsrequireextraordinaryevidence”:wiemetbuitengewonebeweringenkomt,moetookbuitengewoonbewijsmateriaalhebben.Endatgeldtookvoorgewonewetenschap.’‘Eengezondegeest’isvoorhetgrootstedeeleenbloemlezinguitdeVolkskrantrubriek‘Twijfel’.Denadrukligtopmedischnieuws.Deauteursteltdaarbijallerleionjuistofdubieusgebruikvanondermeerelementairestatistiekaandekaak.HansvanMaanenontvingin2007tweeprijzenvoorwetenschapsjournalistiek,vanzoweldeKNAW(VanWalreeprijs)alsvanNWO(Eurekaprijs).

Ondertitel:Meerrafelrandenvandewetenschap

Auteur:HansvanMaanen

UitgeverijContact,Amsterdam(2007)

ISBN9789025417895

Prijs:€14,90(224pag.)

Eu

cl

id

Es

8

3|1

3

9

Vervolg van pagina 37.

Verschil boek en film

Integenstellingtotdefilmkomthetboektraagopgang.Inhetboekhebbendevrou-wendelaagsterang(lijnstuk)enzekomenooknooithoger.Omdathetaantalhoekenookdehoogtevandeintelligentieaangeeft,wordenvrouwendusalsdombeschouwd.Eenopmerkelijkverschiltussenfilmenboekisdepositievanvrouwen:indefilmkunnenzeookvoorkomenalshogerepoly-gonenenzijnzegelijkwaardigaanmannen.Indefilmhebbenzevandeslimmeklein-zoonjuisteenkleindochtergemaakt.(Hetboekjewasmedemaatschappijkritischbedoeld,alssatireopdetoenmaligeVictoriaansesamenlevingmetdeonder-geschikteroldievrouwendaarinhadden.Abbotthadjuistveelcontactmetensym-pathievoorvooruitstrevendevrouwelijkeintellectuelenuitzijntijd,enzijnbeschrij-vingvandebehandelingvanvrouwelijkeFlatlanderswasdanooksatirischbedoeld.)Inhetboekzijndecirkelszelfnietopdehoogtevanhetbestaanvaneenderdedimensieenduswillenzeernietsoverhoren,indefilmechterzijnzewelopdehoogtemaarhoudenzedezekennisverbor-genvoor‘degewonebevolking’.Voorleerlingenisdefilmboeienderdanhetboek.

Afsluitend

DedvdmetdefilmFlatland, a journey of many dimensionsiseenwelkomeaanvullingophetboekje.Doordefilmisdetheorievanhetboekjetoegankelijkgemaaktvoorleerlingen.Vóórjetotaanschafvandedvdovergaat,iseenbezoekjeaandewebsitewww.flatland-themovie.comdemoeitewaard.Naasteenkortebeschrijvingvanhetverhaalgeeftdezewebsiteveelandereinformatieenkunjejeaandehandvandetrailereenbeeldvormenvandefilm.Opdewebsitestaatookvermeldhoejededvdkuntbestellen.

Over de recensenten

MarjanDoijerenSonjaTieckzijnbeidenwiskundedocentaanhetCarmelcollegeEmmen,schoolvoorvmbo,havo,vwoentto.E-mailadressen:[email protected]@carmelemmen.nl

figuur3Dimensie-visualisatie

Eerste NlT-modules gecertificeerd

[BrechjeHollaardt]

Hetvakismodulairopgebouwd.Havo-leerlingenvolgenmaximaal8modules(320slu),vwo-leerlingenmaximaal11(440slu).Scholenkunnenbinnenzekeregrenzenkiezenwelkemoduleszeleerlingenzullenaanbieden.Tientallenscholen,alleuniversiteitenmetbètaopleidingeneneenaantalhogescholenenkennisinstitutenwerkenaandemodules.Inviergolvenwordenzeontwikkeld.Deeerstegolfmodules,14intotaal,isgetestopeenkleine30scholen.HetLandelijkOntwikkelpuntNLT,deStuurgroepNLTenexterneexpertshebbenzebeoordeeldopinhoudendidactiek.

Dezesmodulesdieop21junij.l.voorhavozijngecertificeerd,zijn:-Aërosolen en Vuile Lucht,- Wat zeg je? Een kwestie van horen en

spreken,- Digitale techniek,- Sportprestatie,- Nul Energie Huis,- Forensisch onderzoek; every contact leaves a

trace.VoorvwowerdgecertificeerddemoduleRijden onder invloed.Demodulesvandetweedegolfwordeninhetnajaargetest.Inseptemberstartdederdeontwikkelgolf,voorjaar2008devierde.In2010zijnernaarschatting50landelijkgecertificeerdemodules.

Noot (red.)

Zieverderook:www.betavak-nlt.nl,envoordelesmaterialen:www.betavak-nlt.nl/docent/00011/.

Over de auteur

BrechjeHollaardtiscommunicatie-adviseurLandelijkOntwikkelpuntNLT.E-mailadres:[email protected]

Opdonderdag21junizijndeeersteNLT-modulesgecertificeerd.OpKSGDeBreulinZeistontvingenauteursvandezemodu-leseencertificaatuithandenvanHarrieEijkelhof,voorzittervandeStuurgroepNLT.

Eenderdevandehavo/vwo-scholen(171)startditschooljaarmethetnieuwebètavakNatuur,LevenenTechnologie(NLT).NLTiseenprofielkeuzevakvoordenatuur-profielenophavoenvwo.Hetvakbestaatuiteenaantaldomeinen,zoalsvoorhavoTaal van de natuurwetenschap,Bedreiging en behoud van de leeromgeving,Opsporen en beschermen,envoorvwoFundament van wetenschap en technologie,Aarde en klimaat,Biofysica, -chemie en -informatie.

Eu

cl

id

Es

8

3|1

4

0

Eu

cl

id

Es

27

9E

uc

li

dE

s

83

|1

4

1

Verslag examen-besprekingen NVvW 2007

[FrankvandenHeuvel]

inleiding

‘Onderwijs,elkedaganders.’Eenbekendesloganenéénvandeaantrekkelijkekantenvanhetvak.Tochzijnerooksteedsterug-kerenderoutinesenrituelen.Eénvandieijkpuntenisvoormijhetbijwonen(ensomsookvoorzitten)vanderegionaleexamen-besprekingen.DezewordenvanoudsherdoordeNVvWgeorganiseerdenvoorziennogsteedsineenredelijkbreedgedeeldebehoefte,zelfsindezedigitaletijdenwaarinhetforumeensteedsprominentereplaatsinneemt,geziendeveleenvaaksnelledis-cussiesdielosbarstenvrijwelmeteennadatdeexamenzaalgeslotenis.Kennelijkvindteenaantalcollega’shet,netalsikzelf,prettig,nuttigenaangenaamomdemoeilijkheden,dealdannietrelevantecontextenendeverrassendeoplossingen(waarhetcorrectie-voorschriftnietinheeftvoorzien)metelkaartebespreken.Ookhetdelenvanfrustratiesenhetluchtenvanjehartoverdezorgenomtrenthetvakkunnenopdezepraatses-sieseenplekkrijgen,alhoeweldiegelukkigmeestalbescheidenis.

Ikvermoeddateengrootdeelvandelezersdeprocedurewelkent,maardetraditieschrijftvooromdezetochnogevenkorttememoreren,alwashetmaarvoordenieuwelezersendeversingestroomdecollega’s.BijhetexamenhorenonlosmakelijkdedoordeCEVOvervaardigdecorrectievoorschrif-ten(CV).HoeweldezetegenwoordignietmeerstandaardwordenmeegeleverdenwijgeachtwordendezezelfvanafhetInternetofelderstebemachtigen,isdestatuservan

nogsteedsonaantastbaar:zezijnbindendenjemagernietvanafwijken,zelfsnietalsjeheterapertmeeoneensbentofalsjehetzwaaronbillijkvindt.Datneemtnietwegdatersomsnogruimtezitvoorinterpre-tatieofverfijning.Enjuistdaarbijspelendecentraleenregionalebesprekingeneenbelangrijkerol.Zokortmogelijknadatdeexamensafgenomenzijn,vindterinUtrechteencentralebesprekingplaatsonderleidingvaneenlidvandeverenigingenbijgewoonddoordebeoog-deregiovoorzitters,maarookdooreenafgevaardigdevanzowelCitoalsCEVO.Dielaatstenbeperkenzichtotderolvantoehoorder,maardaarinkwijtenzijzichwelzeerzorgvuldigvanhuntaak.Andersgezegd:zijluisterenaandachtignaardeingebrachtepuntenenvragen,ennemendezeookmeeinhundefinitieveanalyseoverhetexamen.Ookishetmogelijkdaternaaraanleidingvanhetgeenerbesprokenis,eenaanvullingofcorrectieophetCVmoetkomen.Doelvandezebijeenkomstisverdernatuurlijkomervoortezorgendatwelan-delijkminofmeerdezelfdeuitgangspuntenhanterenomderegionalebesprekingenmeeintegaan.VandezebesprekingwordteenverslaggemaaktdatookviadeNVvW-web-siteverspreidwordt.Puntjevandiscussieiswelofditmeteennadecentralebespre-kinggebeurtdanwelofditpas‘uit’gaatnadatderegionalebesprekingen(vrijwelaltijdmeteendedagerna)zijngehouden.Vanuithetoogpuntvanwervingwordtbijvoorkeurvoordelaatstevariantgekozen.

Vanderegionalebijeenkomsten,diezowelquabezoekersaantallenalsquakaraktervandediscussievaakverrassendvanelkaarverschillen,wordenookweerverslagengemaakt.DezegaaneerstnaardeCEVO,diehieraandachtigkennisvanneemtvoor-datdedefinitieveN-termwordtbepaald,enkomendantenslotteterechtbijdegenedieuitverkorenisomhetaleventraditioneleEuclides-artikeloverdeexamen-besprekingenteverzorgen.Dezeeerisditjaaraanmijtebeurtgevallen.Ikzaldustrachtenomhetstokjevanmijnvoorgan-gersovertenemenenuinderestvanhetartikelnaareerengewetenopdehoogtetebrengenvanhetgeeneraanopvallendezakenditjaarnaarvorenisgekomen.Hetzounatuurlijkhetmooistezijnalshetmezoulukkenomdethuisblijverservanteovertuigendatzewatgemisthebben.Wantikhoopoprechtdatdezemooietraditienoglanginstandgehoudenkanenzalworden.

VMBO

Voorhetexamenvmbo-BBzijnergeencentraleofregionalebesprekingen.Ikkandaaroverdusookgeenalgemeenbeeldschetsen.Verderishetzodatikzelfgeenervaringhebmetdezeleerwegeneerlijkgezegdooknietofnauwelijksweethoeheterdaaraantoegaat.Duswasikwelnieuws-gierigomeenswatgrondigertekijkennaarhetexamen.Meteenalvielmeopdatdeleerlingenhierhunantwoordenophetwerkzelfmoeteninvullen.Opzichhandigenmisschienooklogischvoordedoel-

VERENiGiNGsNiEuWs

Eu

cl

id

Es

8

3|1

4

2

groep,maarikvroegmeookafofditnietooknogaleensleidttotknoeipartijenendoorhalingenophetwerk.Lijktmelastignakijkendan.Verdermaarliefst23vragenin6groterecontexten.Veelenzwaarzoophetoog.Hetzijnwelafwisselendecontex-tendiedenkikwelaanzullenspreken.Dechampagnetorenachtikwelbekendvoorze.Bijsommigeonderdelenishetvoldoen-deomalleenhetantwoordopteschrijvenzonderverdereberekening.Mijisnietdirectduidelijkwaaromdatzomoetzijnvoordezegroep.Wijvindenhetvakmatigtochaltijdbelangrijkomtelatenzienhoejeaaneenantwoordkomt?Bijhetexameniseenaanvullinggekomendaterbijéénonderdeel(vraag15)aaniederekandidaattweepuntenmoetenwordentoegekend.Datisaltijdenigszinsvervelend,maaralsindetabel‘leeftijd’en‘hartslag’zijnverwis-seldkunjenietveelanders.Alslaatstemeendeiknogteziendatbijvraag17tweebladenvansoortAsamengelijkeafmetinghebbenalséénbureaubladB.DuszouhetantwoordookanderskunnenluidendanhetgeeninhetCVwordtgenoemd.Opzichnieterg,datkomtvakervoor,maarbijandereonderdeleniserwelaandachtvoorverschilleninmogelijkheden.Waaromhierdanniet?

Overnaarhetvmbo-KBwerk.Uitdever-slagenkomtvooralnaarvorendatmenhetexamen(veelte)zwaarvond.MetnameuitRotterdamwasdekritieknietmals(van-wegedeoverlapgolddittevensvoorhetGL/TL-examen).Dezebetrofzoweldehoeveelheidtekstendemoeilijkheiddaarvanalsookdekeuzevoorsommigecontextendiebijdeleerlingenonbekendzijn(kabelbanenenbergwandelingen)ofzelfsaversieoproepen(saunamettekeningen),metnamebijallochtoneofislamitischeleerlingen.Ookoverdespreidingwordtgemopperd:hetdomeinmeetkundeistegrootinvergelijkingmetrekenen.Dathetexamenafslootmeteen6-puntsvraagstuk(volgensRotterdamgeheeluitdenboze)ontmoetteookveelkritiek.InAlkmaarwerdendit6verlorenpuntengenoemd.

Dooreenelftalpersonenwerddeenquêteingevuld.Nietverrassendzalzijndatdeovergrotemeerderheidvonddathetniveautehoogwas(80%),hetaantalroutine-vragentelaag,deleesbaarheidslechtendeomvangtegroot(alledrie:82%).Overdespreidingwarendemeningenverdeeld:ietsminderdandehelftslecht,derestvondhetvoldoende.HetverschilmethetGL/TL-examenvond80%voldoende.VoorditexamenisdeN-termop2,5uitgekomen.Ofditeenhoogterecordis,weetikniet;welisduidelijkdatmenopdebesprekingendezwaartegoedheeftingeschat.

AlslaatstehetTL/GL-werk.HierinzienwevooreendeeldezelfdecontextenterugalsinhetKB-examen.Ookhierwordtdusgevolleybald,maardeservicewordtnugeslagenvanaféénmeterachterdeachter-lijninplaatsvanerop.Datmaakthetmijnsinziensooknetweereenbeetjelastiger,zoalsdathoort.Ookdevaas(dievolgensvelenmoeilijkexactteonderscheidenwas),hetwandkleedendehelikopterskomenterug.Welineenanderevolgordeopval-lendgenoeg.Bijdehelikoptersomvroegikmeafwaaromernaar‘plaatsA’gevlogenmoetwordeninopgave22inplaatsvangewoonnaarUtrechtofdesnoodsDeBilt.Zevertrekkentochookniet‘uitB’maar‘uitAmsterdam’?Enverdervielmeopdatbijdekoersvanvraag23de170ometdeklokmeegemetenwordt.MisschienlogischvanuitdegewoonteN-O-Z-W,maarvoormijngevoeltegendemeerwiskundigetraditievanpositieveoriëntatievanhoekenjuisttegendeklokin.Hieroverzijnove-rigensgeenopmerkingengemaaktbijdebesprekingen,duskennelijkleefdeditdaarnietzo.WatookgelijkwasaanhetKB-examen,washetgevoeldatheteenzwaarenvooralveelte‘talig’examenis.52vande54geënquêteerdenvondenhetzwaarderdanvorigjaar.Menismetnamebevreesdvoordegrotehoeveelhedentekst.Verzuchtingenals:‘hetmoetgeenbegrijpendlezenworden’latendanzienwaardeschoenschijnttewringen.Overigenskwamuit

Zwolleookhetgeluiddatmenwelblijwasmeteenwathogerniveauvanhetexamen.Alleenwasmendaarbangdatdeleerlingenhiernietgoedopvoorbereidwarenalszegeoefendhaddenmetdeexamensvandejarenhiervoor.Demeningoverdesprei-dingoverdestofwasverrassendgespreid:evenveelscoreswarenervoorslechtgespreidalsvoorgoed(ieder22keergenoemd).Menvonddeopgavenorigineel(47keergoeden10zelfstehoog),maarwasweerverdeeldoverdekeuzevanhetstartvraagstuk(11×slecht,12×matig,35×goed).37personenvondendeleesbaarheidslechten22keervondmendeomvangteveel(niemandvonddittegering).VanuitKB-perspec-tiefwerdhetverschiltussenKBenTL/GLveelalgoedgevonden;dedocentenTL/GLdiezichhieroveruitsprakenvondenditverschildaarentegeninmeerderheidjuistteklein(8vande14antwoorden).TenaanzienvandevormgevingvanhetwerkkwamvanuitRotterdamdeopmer-kingdateropbeidebladenvandebijlageruimtemoetzijnomnaam(enexamen-nummer)intekunnenvullen.Geenoverbodigeluxevindik,hetzaljemaargebeurendatdeboelperongelukdoordewarraakt!InRotterdamvondmenookdatdeteke-ningbijvolleyvraag3nietverhelderendwasofietstoevoegde.Integendeel,menvreestdatleerlingenhierdoorophetspoorvanPythagorasgezetkunnenzijn.Deopgavenoverhetwandkleedwerdenovereenbreedfrontmaarmatiggewaardeerd.Vanuitmeerderebesprekingenisdevraaggesteldofdenotatiewijzevoordehoekvanopgave13nogwelbekendverondersteldmagworden.Dezeschijntiniedergevalnietinallemethodesmeervoortekomen!Verdercon-stateerdemeninZeistdatdeleerlingenbijdezecontextveelgebruikhebbengemaaktvanschaalberekeningen.Hetvermoedenisdatditnietdeopzetvandemakersvanhetexamenisgeweest.Menheeftbehoefteaanmeerduidelijkheidhieroverindevraagstel-lingvanhetwerkzelf.InZwollezagmenbijdezeopgaveeenduidelijkstapeleffectvanwegedelengte.Dekansbestaatdandat

Eu

cl

id

Es

27

9

figuur1UithetcorrectievoorschriftHAVOB12(DewetvanMoore)

Eu

cl

id

Es

8

3|1

4

3

leerlingenonderwegafhakenalszeinhetbeginergensvastlopen.Ookhierhadmeneenopmerkingoverdehoeveelheidschaal-berekeningen.Rotterdamwildenogeenstapjeverdergaanbijopgave18.ZijdoenhetvoorstelaandeCEVOomditonderdeelinzijngeheelteschrappenomdatjezo’nvraag‘deleerlingennietaankuntdoen’.AlsafsluiterwilikudesuggestieuitGroningennietonthouden:zijvragenofhetmogelijkisomviahetcorrectievoor-schriftdecollega’sindenlandetewijzenopdebesprekingen.Zijhopenhiermeedeafkalvendebelangstellinginhunregioeenhalttoetekunnenroepen.WatvindtdeCEVOhiervan,denktu?

HAVO A12

De54deelnemersaandeenquêtegavenditexameneendikkevoldoende.Erwarenwelcollega’sdiehetniveautelaag(9×genoemd)en/ofhetaantalroutinevragentehoog(10×genoemd)vonden,maarinhetalgemeenkonmengoedlevenmetditwerk.InGroningenwaseréénopvallendeaanwezige;eendocentinopleidingdieverplichtaanwezigmoestzijn.Isditeenideevooralleopleidingsinstituten?ZoweluitGroningenalsAmsterdamenDenHaagkwamdeobservatiedatdekwaliteitvanhetleerlingenwerkinhettweedegedeeltesterkterugviel.VolgensAmsterdammogelijkvanwegeverliesaanconcentratie,inDenHaagweetmenditaanhetfeitdathettoen‘echtewiskunde’werd.Destartvraagen-contextwerdengewaardeerd,alhoewelmenvonddaterveelmettijdengerekendmoestworden.Bijhet‘goedkoopvliegen’gingdediscussievooraloverdeonderdelen7(welkeeisenmagenmoetjestellenaaneencumu-latieffrequentiepolygoon?)en9(isdezemaniervanvraagstellingnaareenverwach-tingswaardewelherkenbaarvoordeleerlin-gen?).InDenHaagwasmenbozigoverdemildestrafvoorhetrekenenmethetgetal0,61bijdeopgaveoverdeDuitseeuromun-ten.Volgensheneenbegripsfoutdiezwaar-derbestraftzoumoetenworden.Decontextoverdeprinterinktriephierendaarvragenop.Vraag15werdherkendalsvoorkomend

indeboeken(maarmenschatteookindatdeleerlingenditnietmeerzoudenweten).Bijonderdeel17ishetverschiltussendebeschikbare69miljardcodesenbenodigde2683miljoencodeswelheelerggroot.Enbijvraag19warenertwijfelsoverderealiteitswaardevandevraag.Metnameofhetgebruikvanprinterinktlineairafhangtvanhetaantaltedrukkenpagina’swordtterdiscussiegesteld.Desomoverhetdif-ferentiërenleverdenauwelijkscommentaarop.Zwollenoemdederolvandeafgeleidemarginaal,AmersfoortvonddefunctieVwelerggemakkelijk.Nogtweevermeldenswaardigezakenvanalgemeneaard:1.Erwas(weer)veeldiscussieoverhetaldannietexplicietvermeldenvanhetgewensteaantaldecimalen.Dezerichtingen-strijdsteektelkjaartochweerdekopop.DenHaaghadhetinditkaderover‘deslingervandetijd’dienujuistweerpleitvoorhetwélvermeldenvanhetgewensteaantaldecimalen.2.Inditexamenwerdendeeconomischecontextengemist.DeN-termvoorditexamenisbepaaldop1,4.

HAVO B1/B12

Ookdezetweeexamenskondenerquaniveaumeedoor,alhoeweldetevreden-heidoverhetB12-werkietsgroterwasdanoverhetB1-examen.BijB1antwoorddeeenvrijwelconstantegroep(steeds13of14vanderuim30antwoorden)datdespreidingslechtwas,daterteweinigroutinevragenbijwarenendathetaantalGR-vragentegrooten(dus?)hetaantal

algebraopgaventekleinwas.Rotterdampleitervooromnogeenstekijkennaardeformuleringvandeenquêtevragen:zijvindenhetwoordje‘te’in‘telaag’etc.nietaltijdopzijnplaats.Menvondookdezewerkenweererg‘talig’.Dusteveeloverbodigetekstdiedeleerlingenopeendwaalspoorbrengteneenslechteverhou-dingtussentekstenfeitelijkevragen(bijhetpakjesspel).EnzowelZwollealsDenHaagvonddateenzuiverwiskundigeopdrachtzoalsdelaatstevanhetB1-werkjuistnietopheteindegeplaatstzoumoetenworden.InZwolleheeftmenstilgestaanbijhetgebruikvandeterm‘metbehulpvandifferentiëren’enwathieronderverstaanmoetworden.Volgenshenstaathetwoorddifferentiërennietalszodanigindenomen-clatuur.Ookdeformuleringbijopgave19vanB1ontmoetteweinigenthousiasme.Inéénzindewoorden‘onderzoek’en‘exact’opnemenscheptverwarringbijdeleerlin-genomdatdezetegenstrijdigeindicatiesbevattenoverhetaldannietgebruikenvandeGR.Enwatvindtu?Isereenwezenlijkverschiltussen‘berekendeexactelengtevan’en‘berekenexactdelengtevan’?InDenHaagenRotterdamvindenzevanwel.DeopmerkinguitDenHaagdatzehetgevoelhebbendatdenormeringgemaaktisdooriemanddiezelfnietvoordeklasstaat,laatikveiligheidshalvemaarvoorhunrekening.

NogeenpaarspecifiekezakenoverhetB12-werk:-Hetwerkenmettweeverschillende

startwaardenvoorhettellenvandejaren

Eu

cl

id

Es

8

3|1

4

4

indesomoverdeWetvanMoorevondmenflauwenwiskundigzelfsdubieus.

-AmersfoortenRotterdammerkenterechtopdatdeantwoordeninhetCVbijopgave3niettussenhaakjeshaddenmogenstaanomdatdaarindesomexpliciet(‘Rondafoptweedecimalen’)naargevraagdwordt(zie figuur 1)

-Erwaskritiekopdefiguurbijopgave17.Dezewasergkleinenlastigaftelezen.Menhaddezegraagwatgrotergezienopdeuitwerkbijlage.Eenextracomplicatiehierbijvormendedyslecti-scheleerlingen.Zijkrijgeneenvergroteafdrukvandeopgaven,waardoordeschaalverhoudingverandert.Eenuit-werkbijlagedaarentegenkrijgenzeoporigineelformaat,daarhadditprobleemzichdusnietvoorgedaan.

-Deslotvraagleverdewelergveelpuntenop.Veelleerlingenzijnhierofnietmeeraantoegekomen,ofzewarenhierbijaanheteindvanhunLatijn.

HetniveauverschiltussenhetB1-enhetB12-examenwerddoordiegenendiezichhieroverhebbenuitgesprokenalsvolgtgescoord:1×tegering,9×goeden3×tegroot.Alleszinsaanvaardbaarduszotezien.OokindeN-termenwaseruiteindelijkeenverschil:0,7voorB1en1,2bijB12.

VWO A1/A12

Hoeveeldeelnemerserbijdebesprekingenzijngeweestisnietexactteachterhalen.Ikheb(maximaal)53antwoordenontvangenopdevragenoverhetA12-werk.BijdeA1-vragenwasdemaximalerespons42scores.Dathieroverlapbijzit,iswelduidelijk,maarwiedurftinteschattenhoegrootdieis?Zoujehierleerlingenietsoverdurvenlatenzeggen?Lijktmemaarbeteromditnietopeenexamentedoen!Opvallendveelcollega’s(55%)vondenhetA12-werkvaneentelaagniveau.OverhetA1-examenwas88%tevreden.Deomvangvanallebeidewerkenwerddooreenkwartalsteveelgescoord.Deleesbaarheidscoor-detweekeereenpercentagevanrondde20%slecht.Hetaantalvragenwaarbijde

GRgebruiktmagwordenwerddoor36%vandeA12-collega’stehooggevonden.BijA1wasditslechtseenschamele5%.Decontextenbijdezeexamensgingeno.a.oververkiezingen,groenbeleggingenenappreciatiewaardevanrechthoeken.Geendagelijksekostvoordeleerlingenlijktme,maarwelpassendbijvwotoch?Erwordtgesprokenovereenonevenwichtigexamen(Amsterdam),metzowelheelflauwevragenalsooklastige.Deeerstevragenvanhetwerkwarenonderdemaat,zodanigzelfsdatmendachtdatzekerdeA12-leerlingennietzoudenkunnengelovendathetzomakkelijkwas.Ookbijdezeexamensisgediscussieerdoveraantallendecimalenenafronding(4keermoetenstraffeniswelergveel).BijA1wasdeopgaveoverdeverhoudingenendeguldensnedekennelijknogalweer-barstigvoordeleerlingen.Veelenlastigetekst,metdaarbijdeopmerkingdatleer-lingensomsweldeberekeningenhaddenkunnenuitvoerenmaardatmengrotetwijfelhadofzedeantwoordenzelfwelhadden‘begrepen’.Amsterdammelddeeenzeervervelendlay-outprobleem.Indehuidigeexamenswordtereenanderlettertypegebruiktvoordetekstdanvoordeformules.Ditheefto.a.totgevolgdathetcijfer1tweeverschillendemanierenvanschrijvenheeft.Ditheeftbijeenkandidaatertoegeleid,datdiede‘1’uitdeformulevoordeappreciatiewaarde(zie figuur 2)aangezienheeftvoordeletter‘l’.Niethelemaalondenkbaaralsersprakeisvanlengtesenbreedtes,maardesomisdaarmeenietmeertemakennatuurlijk.Sneuvoordeleerlingenmisschienooknieterghandig,maarhetkannatuurlijknietdebedoelingzijndatdelay-outvanhetexamenditsoortverwarringoproept.InAmsterdamisvolgenshetverslag‘fel’gediscussieerdoverdecontinuïteitscorrec-tie(overtraditiesgesproken!).InhetCVvanA1staathieroverbijopgave12weleenopmerking,bijA12opgave18weerniet.Deachtergronddaarvanisnietduidelijk.WaarinGroningeniedereenervanover-tuigdbleekdatbijhettoetsenH0enH1

explicietmoetenwordengenoemd,werdvanuitZwollejuistgevraagdnaarrichtlijnenhiervoor.Amersfoortvondopgave13vanA12telastigquaformuleringenaanpak.Leerlingenwistennietwattedoen.Enigeverwijzingnaareenrichtingvanaanpakwasvolgenshenwenselijkgeweest.Vanmeerderekantenwerdenkanttekeningengemaaktoverdeonderwerpendie(niet)aanbodzijngekomen.Amsterdamvroegomeen‘profielgerichteopgave’,GroningenvondhetjammerdatergeeneconomischetoepassingengebruiktzijnenDenHaagvonddaterteveelkansrekeninginzat.Zijhaddenlieverietsgezienmetlineairprogrammerenen/ofeenopgavemeteeneconomischeachtergrond.Mijvielnogopdatdeverslagenoverdezeexamensaandekortekantwaren.Zoudenookonzecollega’slasthebbengehadvanverzadigingsverschijnselenaanheteindvandelangeexamenreeks?Aangezienikgeenopmerkingenhebont-vangenoverdeCompex-examenslaatikdiebuitendezebespreking.

VWO B1/B12

RestennogdeB-examensvwo.Deregio-vergaderingenzijnhierbijdrukbezochtgetuigehetmaximumvan81antwoordenbijdevragenoverhetB1-werk.OverhetB12-examenhebben72mensenzichuit-gesproken.HetB1-examenvondmenaandegemakkelijkekant(23%:telaagniveau);overhetB12-werkwerdbijnaunaniemtevredenheiduitgesproken(70xgoed,deoverige2keurigverdeeldovertelaagentehoog).Ookoverdeleesbaarheidzijnerhiernauwelijksklachtenvernomen.Deomvangdaarentegenleverdemeerproblemenop.Vond28%hetB1-werkaltelang,bijB12liephetpercentagezelfsoptot66,67%(ofvoordegenendieeenexactantwoordpre-fereren:2/3deelvandeaanwezigengafditantwoord).MinderverrassendisdemeningoverhetaantalvragenmetdeGR(tegroot)ofmetalgebra(teklein),alhoewelditbijB1duidelijkminderalspijnpuntwerdgenoemd(14%bijB1versus29%bijB12).Ookdestartopgavehadbetergekund(ietsminder

Eu

cl

id

Es

27

9E

uc

li

dE

s

83

|1

4

5

dan70%goedgescoordinbeidegevallen).VolgenshetverslagvanregioNoordverliephunbesprekingineenuiterstprettigesfeer.Metdaarbijdetoevoeging:‘zoalsgebruike-lijkindezeregio’.Ikvroegmeonmiddellijkafofandereregio’seraldannietsoortgelijkemoresopnaplegentehouden.Zowelhetexamenalsdebesprekingengingenmeteenvanstartmeteencontroversieelitem.Decontextenhetrealiteitsgehaltevandeopgaveoverdepodiumverlichtingstondenflinkterdiscussie,maarookdebeoorde-lingvanwoordenals‘tussen’en‘van…tot’,eventueelincombinatiemeteenwiskundigcorrectenotatievandeoplossingvandeongelijkheid,hebbenzekerniettotcon-sensusgeleidindenlande.Iedereenishieruiteindelijkopeigengezagmeeaandeslaggegaan.Ofdittotverhittediscussiesmet2ecorrectorenheeftgeleidismijnietbekend.Eenvergelijkbaardispuutdeedzichvooroverwelkeeisenernugesteldwordenaanhetgebruikvandeabc-formuleendemaniervanopschrijvenhierbij.Moethetvollediguitgeschrevenzijn,moetdediscriminantgenoemdwordenofishetalvoldoendealserverwezenwordtnaardeformuleendievervolgensmiddelseenopgeslagenprogram-maatjemetdeGRwordtopgelost?Kiestuzelfmaar,menisernietuitgekomen.BijdesomoverdebrievenwegerwerdinAmersfoortopgemerktdatdecontextnagenoegnietstoevoegtaandeopgave.ZowelAmsterdamalsRozendaal(‘eengênantevertoning’)tonenhunverbazingoverhetlatenmetenvaneenhoekopditniveau.Envanmeerderekantenwaserspijtdathetantwoordπ/4alsexacteuitkomstnietvoldoendewasomhetvolledigeaantal

puntentebehalenomdatervolgensdevraagstellingin2decimalenmoestwordengeantwoord(vraag12B1resp.18B12).BijdekrasbalopgavevanhetB1-examenvielmenoverhetaantalpuntenvoormetnameopgave13(‘maximaaleendriepunts-vraag’)enwistmennietaltijdraadmethettoekennenvaneenpuntalsermet‘heelvreemdegetallen’tochwasvermenigvul-digd.Desprokkel-enstapeldiscussieisimmersvanalletijden.Enookhierspeeldedecontroverseoverhetgebruikvandenormalebenaderingbijeenbinomiaalkansweerop.InDenHaagisopgemerktdatModerne wiskundehetwoord‘richtingscoëfficiënt’nietgebruikt.Omdathetwelinhetnomenclatuurrapportvoorkomt,maghettochvoorkomenindeexamensnatuur-lijk.Kentuhetbegrip‘karatevraag’?InAmsterdamblijkbaarwel,wantmenbestempeldedevraagoverdelengtevaneengrafiekalszodanig(vraag19B1resp.12B12).Mijisnietpreciesduidelijkgewordenhoehetzit,maarhetheefttemakenmethet‘overschrijvenvandefor-mulekaart’tegenoverleerlingendiehiergaanproberenteprimitiveren.

RegioNoordpleitervooromeentoevoe-ginguithetCVvanB12overhoemenommoetgaanmethetgebruikvangetallen-voorbeelden,ookbijandereexamensoptenemen.Bijopgave13vanB12wordtgevraagdnaareenexactverschiltussentweeinhouden.ZowelNoordalsAmersfoortvindthetantwoord-πhierbijzekeraccep-tabel.Overhetplakkenvandriehoekenwasmenmatigenthousiast.Menvonddenormeringsoepeltenaanzienvanhetgebruikvaneenverkeerdestartwaarde(3inplaatsvan2,7)ofgroeifactor(0,9inplaatsvan0,81).Ookhadmenlievergeziendatdefinishlijnpasop14,3cmwasgetrokken;daarmeehadjekunnenvoorkomendatjedoorsimpelwegtetellenalsneloverdegrenskomt.Deafsluitendemeetkundeopgaverieptegenstrijdigegevoelensop.Eenmooieopgave,datzeker(zie figuur 3).Maar

waaromwerdenerindefiguurverschillen-desymbolenαenβgebruiktvoorhoekenwaarvandetekstalzegtdatzegelijkzijn?Amsterdamhadbijonderdeel19graagdeformulering‘bewijsdit’gezieninplaatsvanhetnugebruikte‘toonditaan’.BewijzenistochonderdeelvanhetB12-programma?Hetnakijkenvanzo’nbewijsopgavevindtmenwellastig.Wanneerkunjewelofgeendeelscoresweggevenenmoetenerrichtlijnenkomenoverdegewenstelengtevaneenbewijs?Bijdeafsluitendevraagvondmenhetergjammerdatdemethodezostriktwerdvoor-geschreven,waardoorleerlingendieeenopzichzelfkloppendbewijsvoordebewering(middelsdeellijnen)hebbengegevenhiermetlegehandenblijvenstaan.Verderdachtmendatdezeopgavemindergoeduitdeverfisgekomenomdatdeleerlingenvermoeidwarennadrieuurhardwerken.Totslotnogdit:75%vanderespondentenvindthetverschilinniveautussenB1enB12ditjaargoed,maarvanuitZwollekomtdeopmerkingdatdeB12-leerlingenopdemeerspecifiekeB1-onderdelenditkeermaarweinigbeterhebbengescoorddanhunB1-maatjes.

Tot slot

Mijndankgaatuitnaardecollega’sdieerookditjaarweervoorhebbengezorgddatwemetzijnallenkritischblijvenkijkennaarniveauvanenomgaanmetonsvakbijdeexamens.Ookishetprettigtewetendatweopdebekendeplekkensteedsweerwelkomzijnendaargoedverzorgdworden.Ikhoopdatikvoldoenderechthebgedaanaandegemaakteopmerkingenenkant-tekeningen.Enikhoopookdatwenoginlengtevanjarendoorkunnenenzullengaanmethetorganiserenenvooralookbijwonenvanderegionalebesprekingen.Dus:Komtual?Blijfdatdanvooralookdoen!Bentunognieteerdergeweestofhoefdehetvoorunietmeer?Probeerhetvolgendjaargewoon(weer)eens!Ikkanhetuiniedergevalvanharteaanbevelen.

figuur2AppreciatiewaardeAvaneen

rechthoek(formulevanPetrov)met

v=(langstezijde)/(kortstezijde)

figuur3VWO-B12

Eu

cl

id

Es

8

3|1

4

6

Ikwilunogéénsuggestiemeegeven.Ikneemdezeoveruithetvwo-verslagvanAmsterdam.DaarpleitmenvoorhetinvoerenvaneensymboolbijdeopgavenwaarhetistoegestaanomeenGRtegebrui-ken.Zoudatmisschieneeneindekunnenmakenaandediscussiesoverexactenalge-braïsch?Ikweethetniet,maarvindhetweleeninteressanteoptie.Watvindtu?

Over de auteur

FrankvandenHeuvelisdocentwiskundeopvestiging’tHoogheLandtvanhetMeridiaanCollegeteAmersfoort.E-mailadres:[email protected]

Tweedeuitnodigingvoordejaarvergade-ring/studiedag2007vandeNederlandseVerenigingvanWiskundelerarenopzaterdag 10 november 2007.Aanvang:10:00uurSluiting:16:00uurPlaats:AnnavanRijnCollege,locatieAlbatros;Albatros1,3435XANieuwegein

studiedag - Relevante wiskunde

Delaatstetijdisdediscussieoverwelkewiskundenuechtnodigisergheftigenzelfsdoorgedrongentotdenationalemedia.Dezediscussiewillenweoponzestudiedagverdervoeren.Wewillenant-woordenzoekenopvragenals:- Welkewiskundeisvoordevervolg-

opleidingennodig?- Welkewiskundegebruikteeneconoom

ofarts?- Welkespecifiekewiskundigevaardig-

hedenhebbenministersnodig?Daarnaastzalerookaandachtzijnvooractu-elezakenzoalsdeexamenprogramma’svanaf2007endeverderetoekomstvanaf2010.

Kosten

Destudiedagisgratisvoorleden.Leden: maak eens reclame voor de vereniging en breng een collega-niet-lid mee!Niet-ledenzijnwelkomtegenbetalingvaneenbijdrageindekostenvan€50,00(dezekostenkandeschoolbetalenuitdenascholingsgelden!).Hiermeezijnzij,alszedaarvoorbelangstellinghebben,tevensgratislidvandeverenigingtot1augustus2008,inclusiefallefaciliteiten,waaronderde8nummersvandelopendejaargangvanEuclides,gratistoegangtotderegionalestudiebijeenkomstenenexamenbespre-kingeninhetvoorjaarenmogelijkheidtotdeelnameaandeverenigingswerkgroepen.Ookstudentenzijnwelkom;zijbetalen€25,00.Wieeenlunchbestelt,betaaltdaarvoor€9,00.

Aanmelding

Aanmeldingdienttegeschiedenvóór 19 oktober 2007.Ditjaargaatdeaanmeldinggeheeldigitaalviadesitevandevereniging,www.nvvw.nl.

Eu

cl

id

Es

8

3|1

4

7

Jaarvergadering/studiedag 2007 [MarianneLambriex]

Agenda

09:30–10:00u Aankomst,koffie/thee10:00–10:50u Huishoudelijkgedeelte,meto.a.dejaarvergadering.Deagendavanditdeel

vandejaarvergaderingisgepubliceerdinEuclides82-8(juni2007).Eenonderdeelditjaarisdebestuursverkiezing.MarianneLambriexisaftredendensteltzichherkiesbaar.Westelleneenherbenoemingvoor.Alsuzichzelfofiemandandersverkiesbaarwiltstellenneemdancontactopmetdesecretaris,WimKuipers.Derondvraagwordtweerzoalsvorigjaarvóórhetstudiedaggedeeltegehou-den.Ledendieeenvraaginderondvraagwillenstellen,wordtverzochtdezevoordevergaderingintedienenbijdesecretaris([email protected]).

10:50–15:30u Themagedeeltestudiedag:Relevante wiskunde. Zieverderopvooreenkortebeschrijvingvandeonderdelenvandestudiedag.10:50–11:00u Inleidingopdestudiedag11:00–11:45u Plenairelezing:‘Wiskunde:wetenénkunnen.Watwillenzeallemaal vanons?’, doorAnnevanStreun.11:45–12:00u Markt/koffie/thee12:00–13:00u Werkgroepen,rondeI13:00–14:15u Lunchenmarkt13:50–14:15u Discussiemethetbestuuroverdeactualiteit14:15–15:15u Werkgroepen,rondeII15:15–15:30u Markt/koffie/thee15:30–15:50u Plenaireludiekeafsluiting15:50–16:00u Sluitingdoordevoorzitter

Daaropstaatdelaatsteensomsmeeruitgebreideinformatieoverdeworkshops.Hetaanmeldingsformulierleidtudoordevragen.Ledendieeenlunchwillengebrui-ken,makenhetvoorhengeldendebedragoveropgiro143917tennamevanNVvWteDronten.Betaaltuviaeengezamenlijkeofschoolrekeningofelektronisch,vermelddanookdevolledigedeelnemersnaam,adresenwoonplaats.Hetvoorugeldendebedragkuntuaflezenuitdevolgendetabel.

zonderlunch metlunchLid website € 9,00Niet-lid €50,00 €59,00Student(niet-lid) €25,00 €34,00

Deplaatsinginwerkgroepengeschiedtinvolgordevanbinnenkomstvanaanmelding.Dezewordtuiterlijkéénweekvoordestu-diedagbevestigdviae-mail;aanhetbeginvandestudiedagontvangtueenbadgemetuwplaatsingsgegevens.Terplaatseaanmel-denismogelijk,echternietwenselijkomdatbijonvoldoendevoorinschrijvingvaneenwerkgroepdezenietzaldoorgaan.Dewerk-groepleidersstellenhuntijdeninzetgratisterbeschikkingenhetisdanteleurstellendomvoortweepersoneneenlangetriptemoetenmaken.Voordeorganisatieishetvanbelangdatuzichoptijdaanmeldt.Wiltutochopdedagzelfaanmelden,danbetaaltu€20,00extraenishetkunnenbijwonenvaneenwerkgroepafhankelijkvandebeschikbareruimte.

certificaat

DeNVvWheeftdemogelijkheidomnascholingscertificatenuittereiken.Wiltueencertificaatontvangen,vermelddanbijuwaanmeldingookuwvoorlettersenuwgeboortedatum.Ukuntuwcertificaatnaafloopvandestu-diedag(vanaf15:45u)inontvangstnemen,opvertoonvaneengeldigidentiteitsbewijs.Uhebtalleenrechtopeencertificaatalsudegehelestudiedagheeftmeegemaakt.Certificatenwordennietnagestuurd.

informatie

Contactpersoonvoordejaarvergadering/studiedagisMarianneLambriex,tel.0497-517781(na18:00u),e-mail:[email protected];bijonbereikbaarheidénnoodgevalWimKuipers,tel.038-4447017,e-mail:[email protected].

Plenaire lezing

Wiskunde: weten én kunnen. Wat willen ze allemaal van ons? Wetendat?Wetenhoe?Wetenwaarom?Wetenoverweten?Anne van StreunTegendehuidigemaatschappelijkeenonderwijspolitiekeachtergrondgaanweaandehandvaneenaantalcontextenenproble-mennadenkenoverwatwij,wiskundelera-ren,eigenlijkmetonswiskundeonderwijswillenbereikenenhoedataldannietindepaslooptmetwatzij(devervolgopleidingen,demaatschappij)willendatleerlingengaanbeheersen.Overwelkeparatekennisenrou-tines(Wetendat)gaathetdan,watmoetenzijmetdiekennisdoenofhoemoetenzijdietoepassen(Wetenhoe),magofmoetjeookdieperingaanopdeconceptenenstructuren(Wetenwaarom),hoezithetmetvertrouwenopbouwen,zelfkennis,eigenaanpaklerenkennen,reflecteren,monitoren(Wetenoverweten).Enalswijhelderhebbenwatwe

vooreenbepaaldegroepleerlingenenmetdieleerstofwillenbereiken,hoedoenwedatdan?Welkedidactiekhoortdaardanbij?Kandatdoelbereiktwordenmetzelfstandigsommenmaken?Ofmetwiskundeopafroep?Ofmetoefenenenoefenenopanalogeopgaven?Enhoeverhoudtdiealgemenekennis(zoietsalsgecijferdheid?)zichtotaldieinstroomei-sendiealseenlawineoveronsheenwordengestort?EnhoekomthetdatookleerlingenmethavoAwiskundezomatigscorenopdiepabo-rekentoetsvangroep8?Kloptonspro-grammahavoAwelvoorwatdemaatschap-pijervanverwacht?Enzovoort!

Werkgroepen

A1. Geen relevante wiskunde zonder relevant wiskundeonderwijsMichiel Doorman, Koeno GravemeijerRelevantwiskundeonderwijsvraagtmeerdanhetafstemmenvaneindtermenennota-ties.Indehuidigediscussiesoverrelevantielijktdedidactiekniet(meer)vanbelang.Westrevennaareenaanpakwaarbijleerlingeneerstzelfproblemenopeeninformelewijzemodelleren.Aanvankelijkiserdangeenduidelijkescheidingtussenhetmodelendegemodelleerdesituatie.Inhettrajectdatvolgtontwikkelenleerlingenkennisoverdiesituatie,dedaarmeesamenhangendewis-kundeendemanierwaaropdiewiskundewordttoegepast.Ditprincipeisinmiddelsuitgewerktinvoorbeeldendievariërenvanhetrekenenonderdetwintigtotexponenti-elegroeiendifferentiaalvergelijkingen.

A2. Dynamische Modellen, een NLT-module met erg veel wiskundeKees HooymanDeNLT-moduleDynamischeModellenvwoisopgezetalseenstartmodulewaaropanderevakkenzoalsbiologie,natuurkundeenwiskundeverderkunnenbouwen.Voorwis-kundegaathetdaarbijomdiscretemodellen,recursievebetrekkingen,deafgeleidealsveranderingsgrootheid,opper-vlakteberekeningalssommatieeneenopstapnaardifferentiaalvergelijkingen.Deflexibeleopbouwbiedtscholendemogelijkheidom

hetlesmateriaalbinnenéénofmeerderevakkenaantebieden.

A3. Wiskunde C voor Cultuur en MaatschappijJoke Daemen, Michiel DoormanWiskundeCkrijgtvanaf2011eeninvul-lingdiepastbijhetprofielCultuurenMaatschappij.DewerkgroepwiskundeConderzoektwelkeonderwerpenkansrijkzijnenwelkmateriaalreedsbeschikbaaris.HierbijkijkenwenaarvervolgopleidingenzoalsdepaboenstudiesalsRechten,GeschiedenisenLetteren.Wedoenhierverslagvandestandvanzakenenzullenenkeleonderwerpenschetsenwaaruitderele-vantievoorhetprofielC&Menvoordezevervolgopleidingenblijkt.

A4. Veranderende examens vanaf 2009 (havo) en 2010 (vwo)Cito-medewerkersIndezewerkgroepbestedenenkeleCito-medewerkersaandachtaandegevolgenvandekomendeprogrammaveranderingenbinnendeexamens(havo2009/vwo2010).Zoweldeprogrammatischeveranderingenvoordeverschillendewiskundevakkenalsdegevolgenvandetoegenomenaandachtvooralgebraïschevaardighedenkomenaandeorde.Eenenanderzalbelichtwordenaandehandvandesyllabivandebetreffendeprogramma’s.Hierbijzullenmogelijkenkele(voorbeeld)opgavenbesprokenworden.

A5. Data-analyse, statistiek en kans in wiskunde AWerkgroep Statistiek en KansDezewerkgroepisweltoegezegd,maarerwasnoggeentitelensamenvattingbeschik-baarophetmomentvaninleverenvandekopij.Detitelmeteventueelmeeruitgebrei-desamenvattingenpresentatorenwordenopdewebsitevandeNVvWgeplaatst.

A6. Bekijk het met een andere brilJob van de GroepHoerelevantisstereoindewiskunde?Kijkenmeteenstereobrilengenietenvanstereo-foto’s.Zijneraandachtsgebiedenwaarenige

kennisvandestereovanbelangis?Indezepresentatiewordtverteldoverwiskundigeaspectenentoepassingenvanstereofoto’s.Eenfascinerendverschijnseldatnietalleenverwonderingoproeptmaarookuitnodigttotonderzoek.Het3D-verschijnselkrijgtsteedsmeeraandachtintoepassingenbinnendewetenschapenhetbedrijfsleven.Maarookhier:mogelijkhedenvantransfernaardelespraktijk.

B1. ReAL-project: Rekenen en algebra leerlijnenPieter van der ZwaartRekenenenalgebraishot.Indelandelijkeenindevakpersduikenregelmatigberichtenopoverhetgehoopte,maarblijkbaarnietaan-wezigeniveaumetbetrekkingtotrekenendanwelalgebraopplaatsenwaardaarinvaardigzijnessentieelwordtgeacht.Binnenveleactiviteitenophoogniveauiseenkleinprojectaanhetwerkmetalskernvraag:Hoezithetnumetdiereken-enalgebraï-schevaardighedenindeonderbouwvanhetvoortgezetonderwijs?Waarzijnerconcretemogelijkhedentotverbetering?Wijdelengraagonzeresultatenenervaringenmeteeniederdiehetbeheersenvanreken-enalgebraïschevaardighedeneenwarmharttoedraagt.

B2. Rekenen met verhoudingen, evenredigheden, procenten en formulesKees HooymanBijdevakkeneconomie,natuurkundeenscheikundewordtindehavo/vwo-onder-bouwregelmatigeenberoepgedaanoprekenvaardighedenmetgetallenenformules.Leerlingenvindendittraditioneellastigenzienvaakniethetverbandtussendevaardig-hedenbijdezevakkenenbijwiskunde.InhetprojectSaLVOislesmateriaalontwik-keldwaardiesamenhangwelzichtbaaris.Meernadrukophetbegripevenredigheidblijktleerlingentehelpenbijhetrekenenmetverhoudingstabellenenformules.

B3. Games inzetten bij wiskundePeter van WijkGameswerkenheelstimulerendvoorjon-

Eu

cl

id

Es

8

3|1

4

8

Eu

cl

id

Es

8

3|1

7

geren.Hoekomtdat?Enzijngamesookintezettenindewiskundeles?Wijdenkenvanwel.Welateneenvoorbeeldzienvaneenspeldatisontworpenvoorklas1en2metonder-werpenalsmeten,breuken,geldkwesties,hoekenentijd.

B4. Is wiskunde relevant voor bingo?Ina KlinkenbergOpeenspeelsemanierwordtmet100woordenenplaatjesdewiskundigewoorden-schatvandebasisvormingherhaald.Voorleerlingeniseenspelwaarinrelevantewiskundeaanwezigisaltijdinspirerend.

B5. Wiskunde doet meeJohan GademanRelevantewiskundevoorleerlingeninhetvmbo,diegeenaftrekselisvandewiskundeuithethavo/vwo.Bestaatdat?Enhoezietzoietseruit?Ervaringeninklas1en2opeendrietalvmbo-scholenmetwiskundediethemagerichtingevuldisdoordocentenzelfendoormede-werkersvanMath4all.

B6. Raamwerk rekenen/wiskundeMonica WijersVoortaalbestaathetal:eenraamwerkwaarinopzesniveausdetaalvaardighedenvanleerlingenwordenbeschrevenopverschil-lendeaspecten(luisteren,spreken,schrijven).Voorrekenen/wiskundewordtzo’ndocu-mentnuontwikkeld.Hetiseeninstrumentwaarmeeopleidingeninalgemenetermenheteindniveaukunnenbeschrijven.Daarmeewordtheteenbelangrijkmiddelomtussenopleidingentecommunicerenoverdoorlo-pendeleerlijnen.Destandvanzakenwordtbelichtendemeningenvandeaanwezigenwordtgepeild.

B7. Relevante wiskunde in het vmbo-BBWim KuipersWelkewiskundeisvooronzezwakkeleerlin-genrelevant?EeninteractieveworkshopwaarwesamenkijkennaardeperspectievenvoordeBB-leerlingen.Latenweonshandelenslechtsbepalendoorhetexamenprogrammaofisernogeenandereoptiekvanwaaruitwe

onshandelenmedelatenbepalen?WaarzijnonzeBB-leerlingenhetbestemeegediend?Wellichthebtuervaringenwaaranderenietsaanhebben!

B8. ScholenprijsDédé de HaanSinds2002wordtdeWiskundeScholenPrijsgeorganiseerd:eenstimuleringsprijsvoorscholendiecreatievewiskunde‘buitenhetboekom’geven.Deprijswinnaarsvanditjaarzullenhunprojectenpresenteren.Voormeerinformatie:ziewww.wiskundescholenprijs.nl.Daarnaastzullenopdemarktookveelandereinzendingengepresenteerdworden;allemaalprojectendiedemoeitewaardzijnommetanderescholenuitgewisseldteworden!

C1. Relevante wiskunde en de technische hbo-opleidingChristiaan BoudriVanuithetperspectiefvandetechnischehbo-opleiding(HogeschoolArnhem-Nijmegen)zalvoorhetvoetlichtwordengebrachtopwelkemanierwijtegenwoordigmetwiskun-deomgaan,welkewiskundewijgebruikenenverderdoceren,welkebeperkingenwijervarenbijonzeinstroom(nietalleenvanhavo-zijde,maarookvanmbo-zijde),enhoewijdaarmeeomgaanenindetoekomstomwillengaan.

C2. Samenhang wiskunde/natuurkundeWim Sonneveld, Kees RijkeHoebereikjesamenhang?Wiskundeennatuurkundehebbenhetvaakoverdezelfdebegrippenenconceptenmaarleerlingenherkennendatniet.Kunnenwiskundeennatuurkundedezelfdetaalgaansprekenalshetgaatoverfunctiesenverbanden,overvectoren,overdiagrammenengrafieken,overdifferentiërenenmodelleren?Zodatdezevakkenelkaarbetergaanondersteunenen(meer)gaansamenwerken?Nuerwordtgewerktaannieuweprogram-ma’svoor2010enlaterzijnerkansenvooreenbetereafstemmingenmeersamenhangtussendeprogramma’svoordeexactevakken.Indezeworkshopwordtopeenaantalpraktischepunteningezoomd.

C3. De rol van wiskunde in ‘nieuwe biologie’Leen van den Oever (CVBO)Dezewerkgroepisweltoegezegd,maarerwasnoggeentitelensamenvattingbeschikbaarophetmomentvaninleverenvandekopij.DetitelmeteventueelmeeruitgebreidesamenvattingenpresentatorenwordenopdewebsitevandeNVvWgeplaatst.

D1. De nationale kennisbank wiskunde (NKBW)TU DelftDezewerkgroepisweltoegezegd,maarerwasnoggeentitelensamenvattingbeschikbaarophetmomentvaninleverenvandekopij.DetitelmeteventueelmeeruitgebreidesamenvattingenpresentatorenwordenopdewebsitevandeNVvWgeplaatst.

D2. NKBW: onderzoek naar eindtoetsing VO en entreetoetsen HOOnderzoeksgroep NKBWDezewerkgroepisweltoegezegd,maarerwasnoggeentitelensamenvattingbeschikbaarophetmomentvaninleverenvandekopij.DetitelmeteventueelmeeruitgebreidesamenvattingenpresentatorenwordenopdewebsitevandeNVvWgeplaatst.

D3. Beroepsstandaard voor wiskundelerarenMarianne LambriexDiplomeringaanheteindevandeopleidingistegenwoordignietmeervoldoendeomeenberoepslevenlanggoedtekunnenfunctioneren.Devrijblijvendheidrondna-enbijscholingzalookvoor(wiskunde)-docentenhaarlangstetijdhebbengehad.MetdeinvoeringvandewetBeroepeninhetonderwijs(WetBIO)metingangvan1augustus2006wordenoptermijnformeleeisengesteldaandocenten.DeNVvWspeeltdaaropinmeteenprojectvoorberoeps-standaardeneneenregisterinhetwiskunde-onderwijs.Ditisnieteenopzichzelfstaandproject,maarwordtalspilotprojectgekoppeldaandeSBL-competenties.

En reserveer in uw agenda: zaterdag 10 november 2007 - NVvW-dag

Eu

cl

id

Es

8

3|1

4

9

Eu

cl

id

Es

27

8

rECrEatIE PuzzEL 831

science Explorer 3-d Magnets

(Waarisdetijddatspeelgoednamenals‘HamertjeTik’had!)ScienceExploreriseendoosmetmag-netischestaafjesenstalenkogeltjes.Destaafjeszijnalleevenlangenzewordeninvierkleurengeleverd.Infiguur 1zietueenkogeltjeeneenstaafjeongeveeropwaregrootte.Hetmateriaalisbedoeldomer2-en3-dimensionalefigurenvantemaken,maarvoorsommige3-dimensionaledingenishetnietgeschikt.Eenkubuszaktinelkaar.Eenregelmatigviervlakdaarentegenluktprima.Dankzijdekogeltjeskunnenerheelgoeddrieofmeergelijkepoleninéénpuntsamenkomen.Maardekunstisomeenbouwselvoldoendestarheidtegeven.Vlakkefiguren,behalvededriehoek,zijnnietstarzodrajezeuithetvlaktilt.Doorermetextrastaafjesenbolletjeseen3-dimensionalefiguurvantemakenkunjezestarmaken.Ditleidttotaardigepuzzels,dieoverigensheelgoedkunnenwordenopgelostzonderoverScienceExplorertebeschikkenendiebovendiennietaltemoeilijkzijn.

Opgave 1

Hoeveelstaafjeszittenerindekleinstestarrefiguurdieeenvierkantbevat?

Opgave 2

Maakmetzoweinigmogelijkstaafjeseenstarrefiguurdieeenruitmet(twee)hoekenvan60gradenbevat.Destaafjeszijngeenstaafmagneten;zezijnvanplasticeniniedervandetweeuiteindenziteenkleinmagneetje.Eengevolgisdaterdriesoortenstaafjeszijn:n(tweenoordpolen),z(tweezuidpolen)eng(‘gewone’staafmagneet).Opeenbepaaldmomentvroegikmeafhoejekuntwetenofeenuiteindenoordofzuidis.Eennatuurkundigebrachtuitkomst:volgensafspraakisdepuntvaneenkom-pasnaalddienaarhetnoordenwijst,eennoordpool.Datklinktmisschientriviaal,

[FritsGöbel]

maarhetbetekentdanweldatdiegrotemagneetwaaropwijrondwandelen,opdenoordpooleenmagnetischezuidpoolheeft!

Steljewilteenrijstaafjesmakenwaarineennoordpoolsteedsaaneenzuidpoolgrenst.Ensteljewiltwetenophoeveelmanierendatkan.

Opgave 3

Bepaalhetaantalmogelijkerijenvan3kstaafjes,kvanelkesoort.Watbetreftdetelling:alsbijvoorbeeldngznznzggzo’nrijis,dangeldtdeomge-keerderijggznznzgnalsdezelfde.Delettersn,z,gstellenhier,evenalsboven,staafjesvoor.

Jekuntookringenvormen.

Opgave 4

Bepaalhetaantalmogelijkeringenvan9staafjes,3vaniederesoort.Ookhiertellenwezozuinigmogelijk,dusdetweeringeninfiguur 2beschouwenwealsgelijk.

Oplossingenvandeopgavenkuntumailennaara.gobel@wxs.nlofpergewonepoststurennaarF.Göbel,Schubertlaan28,7522JSEnschede.Erzijnweermaximaal20puntenteverdie-nenmetuwoplossing.Dedeadlineis1 november 2007.Veelplezier!

figuur1

figuur 2

Eu

cl

id

Es

8

3|1

5

0

Eu

cl

id

Es

27

9

oPLoSS InG 827

de paradoxale dobbelstenen

Erwarentwaalfinzenders.Deeerstekwamalop6juni,daarnagebeurdeergeruimetijdniets.Ikvreesdealdatdeopgaventemoeilijkwaren,maarindelaatsteweekvoordedeadlinekwamenernogelfoplossingenbinnen.

Opgave 1isdooriedereengoedopgelost.Deoptimalestrategievoordetweedespelerkannatuurlijknietsanderszijndaneencyclischepermutatievan1,2,3.Debij-behorendewinstkansvandejuistekeuzeis 5

9 .

De6-,8-en12-zijdigedobbelstenengavenmeermoeilijkheden.HetlijktmetriviaaldatdewinstkansvoorBbijde6-ende12-zijdigedobbelsteennietlagerkanzijndan 5

9 ,omdeeenvoudigeredendatjedegetallenvande3-zijdigeiedertweemaalresp.viermaalkuntgebruiken!Tochwarenerverschillendeinzendersdiehieroplagerewinstkansenuitkwamen.Eenanderekwestiedietotmerkwaardigeresultatenkonleiden,isdevolgende.AlsdewinstkansvanBafhangtvandekeuzevanA(bijopgave1isdatniethetgeval),isdeuiteindelijkewinstkansvanBgelijkaanhetminimumvande3afzonderlijkekansen,aangezienweervanuitgaandatAdekeuzevanzijndobbelsteennietdoorhettoevallaatbepalen,maardathijzogoedmogelijktegenspeeltbijdegegevenspelregels.

Bijdeopgavenisalopgemerktdatdedriezijdigedobbelstenenalsvolgtkunnenwordengerepresenteerd:1,2,3,2,3,1,3,1,2.Laatni,jhetaantalkeerzijndateenilinksvaneenjstaat,nietnoodzakelijkernaast.Dusn1,2=n2,3=n3,1=5.

ZonderdewinstkansvanBteverminde-ren,kunjebuurparen3,2en1,3(en2,1alsdieerwaren)elimineren.Erkomtdan1,2,2,3,3,3,1,1,2.Hetminimumvann1,2,n2,3enn3,1isookniettoegenomen,dusdewinstkansvanBisnogsteeds 5

9 .Wezienhier5groepjesvangelijkegetallen:122333112.

Opgave 2.Voorde6-zijdigedobbelsteenkunjeprobereneendergelijkrijtjevan5groepjestebepalen,waarindanhetaantalenengelijkisaan6,evenalsdeaantallentweeënendrieën.HetblijktdatdegrootstewinstkansvanBdanweer 5

9 is.Weproberennuzesgroepjes,ineensym-metrischpatroonteneindehetaantalpara-metersindehandtehouden.Aldus:pkeer1,qkeer2,rkeer3,rkeer1,qkeer2,pkeer3.Ermoetgeldenp+r=6enq=3.Wekunnennuni,jinpuitdrukken:n1,2=n2,3=3p+18,n3,1=(6–p)2

Hetminimumvandezedrieismaximaalvoorp=1,metalsresultaateenwinstkansvan 21

36 ,ongeveer0,58333.Indehierbovengenoemderepresentatieziendedobbelste-nenernualsvolgtuit:122233333111112223.Andersgezegd:opdobbelsteen1staat1,4,4,4,4,4,opnummer2staat2,2,2,5,5,5,enopnummer3tenslotte3,3,3,3,3,6.Degetallenzijnhier‘opgeschoven’zodatzezokleinmogelijkzijn.

In2002verblijddeTimRowettmijmetdriedobbelstenenindegebruikelijkekubus-vorm,met,totmijnverbazing,preciesdehierbovengegevengetallen.Hijbeschreefhetparadoxalekarakterenschreefernogbij:‘Withtwo complete setsofMagicDiceyoucanplayanevenmorebafflingtrickontheotherplayer.’Nietbepaaldeenunderstatement.Hetkomteropneerdatdevolgordevandedobbelstenenwordtomgekeerdindeoptimalestrategie.

Opgave 3.Bij8dobbelstenentreedtdemaximalewinstkansvoorBweeropbij5groepjes.Diekansbedraagt 39

64 ,bijna61procent.Dedobbelstenen:1(3keer),2(5keer),3(8keer),1(5keer),2(3keer).Misschiendoendefrequenties3,5en8uaanFibonacci-getallendenken.Hetisniettoevalligdatdiehieroptreden.Relatiefhoge

winstkansentredenopalshetaantalzijvlak-kenvaneendobbelsteeneenFibonacci-getalis.WobienDoyerheeftbewezendathetaantalvan5groepjesasymptotischoptimaalisendatdewinstkansdanconvergeertnaar 5 1

2− .

Bij6groepjesmeteensymmetrischerijfrequentiesisdewinstkansindelimietgelijkaan9 17

8− ,ongeveer0,60962;weer

eenswatandersdandeguldensnede.

Voorde12-zijdigedobbelsteenzijndeoplossingenvan5groepjesnietoptimaal.Debesteoplossingisereenvan6groepjesmetasymmetrischefrequenties:1(1keer),2(5keer),3(8keer),1(11keer),2(7keer),3(4keer),enwinstkans 88

144 ,ruim61procent.

Ikhebgeprobeerdhetanalogeprobleemvoordriespelersoptelossen.Hetisdannodigdatdederdespelerdetweegekozendobbelstenenmeteenderdezodanigkanaanvullendaterverschillendedrietallenontstaan.Hiervoorzijnvijfdobbelstenennodigenvoldoende.Ookluktehet,viaeenmagischvierkantvan5bij5,degetallenopdedobbelstenenzotekiezendatdederdespelereenwinstkansgroterdan 1

3 heeft.Maarhogerdaneenmiezerige 42

125 kwamikniet.Misschienzijnerlezersdiezichuitgedaagdvoelenomditteverbeteren.

ladderstand

Detopvandeladderzieternualsvolgtuit:W.vandenCamp436H.J.Brascamp432J.Meerhof395L.deRooij294G.Riphagen250L.H.vandenRaadt178H.Klein155N.Wensink146W.Doyer136

Eu

cl

id

Es

8

3|1

5

1

SErvICEPaGIna PuBL ICat IES van dE nEdErLandE vErEnIG InG van WISKundELErarEn

Zebraboekjes

1.KattenaidsenStatistiek 2.Perspectief,hoemoetjedatzien? 3.Schatten,hoedoejedat? 4.DeGuldenSnede 5.Poisson,dePruisenendeLotto 6.Pi 7.DelaatstestellingvanFermat 8.Verkiezingen,eenwebvanparadoxen 9.DeVeelzijdigheidvanBollen10.Fractals11.Schuivenmetauto’s,muntenenbollen12.Spelenmetgehelen13.WiskundeindeIslam14.Grafenindepraktijk15.Dejuistetoon16.Chaosenorde17.ChristiaanHuygens18.Zeepvliezen19.NullenenEnen20.BabylonischeWiskunde21.Geschiedenisvandeniet-Euclidische meetkunde

22.SpelenenDelen23.Experimenterenmetkansen24.Gravitatie25.BlikopOneindigZieverderookwww.nvvw.nl/zebrareeks.htmlen/ofwww.epsilon-uitgaven.nl

Nomenclatuurrapport Tweede fase

havo/vwo

DitrapportenoudenummersvanEuclides(voorzovervoorradig)kunnenbesteldwordenbijdeledenadministratie(zieColofon).

Wisforta – wiskunde, formules en

tabellen

Formule-entabellenboekjemetformule-kaartenhavoenvwo,detabellenvandebinomialeendenormaleverdeling,entoevalsgetallen.

Honderd jaar wiskundeonderwijs,

lustrumboek van de NVvW

HetboekismeteenbestelformuliertebestellenopdewebsitevandeNVvW:www.nvvw.nl/lustrumboek2.htmlVooroverigeNVvW-publicatiesziedewebsite:www.nvvw.nl/Publicaties2.html

Voor overige internet-adressen zie

www.wiskundepersdienst.nl/agenda.php

Voor Wiskundeonderwijs Webwijzer zie

www.wiskundeonderwijs.nl

vrijdag 5 oktober, Amsterdam

BWI-middagOrganisatieVU,AmsterdamZiepag.20inditnummer.

wo. 17 t/m wo. 24 oktober, diverse

locaties

WetenWeek2007OrganisatieNCWT

donderdag 8 november, Amsterdam

Mastercourse:intrigerendeparadoxenuitdekansrekeningOrganisatieUvA

zaterdag 10 november, Nieuwegein

Jaarvergadering/Studiedag2007OrganisatieNVvWZiepag.46inditnummer.

vrijdag 23 november, op de scholen

WiskundeA-lympiadeenWiskundeB-dagOrganisatieFIsme

zaterdag 24 november, Arnhem

ArsetMathesis-dagOrganisatieStichtingArsetMathesisi.s.m.Artez

2008

zaterdag 12 januari, utrecht

WintersymposiumKWGOrganisatieKWG

wo. 23 t/m vr. 25 januari,

Noordwijkerhout

26ePanamaconferentieOrganisatieFIsme

vrijdag 25 januari, op de aangemelde

scholen

1erondeNederlandseWiskundeOlympiade2008OrganisatieStichtingNWO

vr. 1 en za. 2 februari,

Noordwijkerhout

14eNationaleWiskundeDagenOrganisatieFIsme

do. 13 en vr. 14 maart, Garderen

FinaleWiskundeA-lympiadeOrganisatieFIsme

do. 27 en vr. 28 maart,

Noordwijkerhout

NationaleRekendagenOrganisatieFIsme

KaLEndEr

Indekalenderkunnenallevoorwiskunde-docententoegankelijkeeninteressantebijeenkomstenwordenopgenomen.Relevantedatagraagzovroegmogelijkdoorgevenaandehoofdredacteur,hetliefstviae-mail([email protected]).HierondervindtudeverschijningsdatavanEuclidesindelopendejaargang.Achterdeverschijningsdatumisdedeadlinevermeldvoorhetinzendenvanmededelingenenvandeeindversiesvangeaccepteerdebijdragen;ziedaarvoorechterookwww.nvvw.nl/euclricht.html.

nr. verschijnt deadline

2 1november 18september3 20december 6november4 7februari 11december5 6maart 22januari6 17april 4maart 7 29mei 8april 8 30juni 15mei

Eu

cl

id

Es

8

3|1

5

2

SErvICEPaGIna

Voor overige internet-adressen zie

www.wiskundepersdienst.nl/agenda.php

Voor Wiskundeonderwijs Webwijzer zie

www.wiskundeonderwijs.nl

getal & ruimtewi onderbouw editie 2008

NIEUW!

De nieuwe onderbouweditie Getal en Ruimte is uit. Nieuwsgierig?

Kom naar de NVVW jaarvergadering, de Getal en Ruimte regionale gebruikersbijeenkomsten of neem contact op via 030 6383001 of [email protected]

Meer weten? Kijk op www.getalenruimte.epn.nl

AL JAAR

op getal en ruimtekun je rekenen

Kijk voor meer informatie op www.modernewiskunde.wolters.nl

gezocht

Wiskundedocenten met passie, die willen werken aan het onderwijs van morgen!

U bent een wiskundedocent met een passie. Een passie voor wiskunde, een passie voor leerlingen, een passie voor goed lesmateriaal en een passie voor onderwijs.

U bent kortom een bevlogen docent die vorm wil geven aan de uitdaging van morgen. U bent een docent die een bijdrage wil leveren aan de kwaliteit van het onderwijs en de toekomst van talloze jongeren. U wilt dit samen met andere docenten wiskunde met passie doen. U houdt van het klaslokaal — maar soms is het u te klein. U zoekt een breder platform voor uw passie.

Grijp uw kans!Wolters-Noordhoff biedt u de mogelijkheid mee te schrijven aan de nieuwe edities van de methoden Moderne wiskunde en Netwerk. Om lid te worden van een auteursteam waarin inspiratie, collegialiteit en constructieve kritiek de toon zetten. Waarin vallen mag en opstaan beloond wordt met een aantrekkelijke royalty.

Geïnteresseerd? Stuur uw cv met een beknopte motivatie naar Wolters-Noordhoff, t.a.v. Dieuwke Rosema, Postbus 58, 9700 MB Groningen of [email protected]. Voor meer informatie kunt u bellen met Kees Karremans en Rypke Procee: telefoon (050) 522 63 18/522 62 31.

Samen werken aan het onderwijs van morgen

WNOO_adv_Wiskundedocenten_C.pdf 06-09-2007 07:34:53

Documents

E u c l i d E s · 28 Wiskunde D op het SCE [Marianne Lambriex] 32 Carmen van den Boom ‘Docent 2007’ [Hans Daale] 35 Feiten en meningen / Bewijzen en voorbeelden geven [Pauline