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8/15/2019 e Ejercicios Resueltos Teorema de Stokes
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Matemáticas
TEOREMA DE STOKES
Ejercicios Resueltos
ENUNCIADO DEL TEOREMA DE STOKES
Sea S una superficie orientada y suave a trozos, acotada
por una curva C suave atrozos, cerrada y simple, cuya
orientación es positiva. Sea F un campo vectorialcuyas
componentes tienen derivadas parciales continuas sobre una región
abiertaen R 3 que contiene a S. Entonces:
∫∫ ∫∫ ∫ ⋅×∇=⋅=⋅ S S C
dSFdSFdrF rot
PROBLEMAS RESUELTOS
1) Verificación del Teorema de Stokes. erificar el teorema de
Sto!es para el campovectorial
F" x #y # z ) $ 3y i %
& z j ' ( x y la parte de
la superficie paraboloidal z $ '
x * ' y * ubicada sobre el
plano xy y orientada +acia arriba.
S-/02
Cálculo como integral de línea: -a curva C es en
estecaso una circunferencia de radio 3 centrada en elorigen sobre
el plano xy. odemos parametrizarla
como:
π θ θ
θ
20 ,
0
sen3
cos3
≤≤
===
z
y
x
/on esta parametrización tenemos:
F"θ ) $ senθ i %
4 j − 15cosθ
r6"θ ) $ −3senθ i %
3cosθ j % 4
r6"θ ) $ −*7sen*θ
π θ
θ
θ θ θ
θ θ θ θ θ
π
π π π
272
2sen
2
2cos127sen27)()(
2
0
227
2
0
2
0
22
0
−=
−−=
=
−−=−=′⋅=⋅ ∫ ∫ ∫ ∫
d d d C rFdrF
Cálculo como integral de superficie: rimero evaluamos el
rotacional.
3 y
z
xC
S
3
9
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k ji
k ji
Frot 364
643
−+=
−∂
∂∂
∂∂
∂=
x z y
z y x
8+ora parametrizamos la superficie del paraboloide. ara eso
observamos que suproyección sobre el plano xy es un
c9rculo de radio 3 con centro en el origen. arecelógico usar una
parametrización basada en coordenadas cil9ndricas:
π θ θ
θ
θ 20
30 ,
9
sen
cos
);(2
≤≤
≤≤
−=
==
r
r z
r y
r x
r r
El producto vectorial fundamental ser:
k ji
k ji
rr sen2cos2
0cossen
2sencos 22 r r r
r r
r r ++=− −=×
θ θ
θ θ
θ θ θ
emos que la componente z de este vector es
positiva. or lo tanto laparametrización describe a una superficie
con orientación positiva.
sando entonces esta parametrización, tenemos:
π
θ θ θ θ
π
π
θ
272
3
)3sen12cos8()(rotrot
2
0
3
0
2
2
0
3
0
22
−=−
=−+=×⋅=⋅
∫
∫ ∫ ∫∫ ∫∫ r
drd r r r drd D
r
S
rrFdSF
-legamos al mismo valor que cuando lo +icimos como integral de
l9nea, verificandode esa manera el teorema de Sto!es. ν
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*) Transformación de una integral de superficie en otra más
sencilla usando el Teorema de Stokes. tilice el teorema de
Sto!es para evaluar la integral delrotacional del campo vectorial
F" x # y # z )
$ xyz i % xy j % x *yz sobre
el dominio Sconsistente en la unión de la parte superior y de las
cuatro caras laterales "pero noel fondo) del cubo con v;rtices "±1#
±1# ±1), orientado +acia afuera.
SOLUCI!N
-a geometr9a descrita en el enunciadoest representada en la
figura. Serequiere calcular el flu
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k jik ji
k ji
F )()()()2(22
2
(1) param.la por reemp.
x y xy x xz y xyz xy z x
yz x xy xyz
z y x−+−+=−+−+=
∂
∂
∂
∂
∂
∂=×∇
↓
or lo tanto la integral que buscamos ser:
∫ ∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ − −
=−=⋅−+−=⋅×∇=⋅×∇1
1
1
1'
2
''
0)())((
dxdy x ydS x y xy xdS S S S
k k jiNFdSF
En este problema vemos que el teorema de Sto!es permite no sólo
transformar unaintegral de superficie en una de l9nea, sino tambi;n
convertirla en otra integral desuperficie de clculo ms sencillo. -a
selección de una u otra de estas opcionesdepender del problema
particular. ν
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3) !plicación al concepto de circulación de un
campo. /alcular la circulación delcampo de velocidades de un
fluido F" x #y # z ) $
"tan'1" x *)# 3 x #
e3 z tan z ) a lo largo dela intersección
de la esfera x * %
y * % z * $ & con el
cilindro x * % y * $1,
con z ? 4.
SOLUCI!N
-a circulación de un campo es suintegral a lo largo de una
l9neacerrada. @ecordemos que la razónentre la circulación del campo
develocidades y el rea de la superficieencerrada por la curva
tiende a uncierto valor a medida que el radio dela curva tiende a
4# si este valor esnulo, entonces el fluido es irrotacionaly un
molinillo ubicado en ese puntol9mite no rotar.
"rima facie vemos que el campovectorial F tiene una
ley bastantecomple
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