푸리에 급수와 연속시간 주기 주파수 영역 해석contents.kocw.net/KOCW/document/2014/HankukForeign/kimmyoungjin/7.pdf · • 입력 신호를 푸리에 급수로 표현하면

신호와 시스템 제4장

푸리에 급수와 연속시간 주기

신호의 주파수 영역 해석

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4.1 스펙트럼의 개념

4.2 직교 기저함수에 의한 신호의 표현

4.3 푸리에 급수

4.4 푸리에 급수의 성질

4.5 Parseval의 정리와 전력 스펙트럼

4.6 선형 시스템의 입출력 스펙트럼 관계

4.7 MATLAB 예제

2/80


주기 신호의 평균 전력

• Real valued signal의 경우

•

Parseval의 정리

0

2 2

0

1( ) n

Tn

P x t dt cT

2 2

0

1

2 n

n

P c c

2 is called power spectrumnc

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[proof]

•

• z(t)의 푸리에 계수

• z(t)의 직류값(k = 0에서의 푸리에 계수)

• x(t) = y(t)인 경우

Parseval의 정리

0 0

0 0

* *

( )* *

( ) ( ) ( )jn t jm t

n m

n m

j n m t jk t

n m k m m

n m k m

z t x t y t c e d e

c d e c d e

*( ) ( ) ( )z t x t y t 의푸리에 급수

0

0

* *

0

1( ) ( )

jk t

k m mT

m

c d x t y t e dtT

0

* *

0

1( ) ( )m m

Tm

c d x t y t dtT

0

2 2

0

1( )n

Tn

c x t dtT

4/80








4.7 MATLAB 예제

5/80


[Case 1] Complex exponential exp(jt)에 대한 응답

• LTI 시스템이므로 컨볼루션 적분

• Define H() as

• Then

주기 신호에 대한 LTI 시스템의 응답

( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

( )

j t

j t j

y t h t x t h x t d

h e d

e h e d

j te

LTI system

( ) j tH e ( )H

( ) ( ) j tH h t e dt

( ) ( ) j ty t H e

eigen-function

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LTI system

• 주파수가 인 복소 지수함수를 입력하면

• 동일한 주파수의 복소 지수함수가 출력되며, 이득은 H()만큼

곱해짐

• Complex gain H()

• Output can be written as


( ) ( ) ( )j t j tx t e y t H e

( )( ) ( ) Frequency responsej HH H e

( ( ))( ) ( ) j t Hy t H e

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[Case 2] 의 경우

• 주파수가 1, 2인 복소 지수함수의 선형조합을 입력하면

• Linear system이므로 출력은

• 주파수 성분 별로 다른 이득을 갖고 출력됨


1 2

1 2( )j t j t

x t c e c e

1 2

1 1 2 2( ) ( ) ( )j t j t

y t H c e H c e

1 2

1 2

j t j tc e c e

LTI system

1 2

1 1 2 2( ) ( )j t j t

H c e H c e

( )H

8/80


[Case 3] 임의의 주기 신호를 입력하는 경우

• 입력 신호를 푸리에 급수로 표현하면

• Linear system이므로 출력은

• 출력의 푸리에 계수는


( ) ojn t

n

n

x t c e

0( ) ( ) o ojn t jn t

n n

n n

y t H n c e d e

0

0 0

( )

( ) , ( )

n n

n n n n

d H n c

d H n c d H n c

ojn t

n

n

c e

LTI system

0( ) ojn t

n

n

H n c e

( )H

9/80


주파수 응답의 대칭성

• 실제 시스템에서 임펄스 응답은 실수값을 갖는 함수이므로, 즉

• 주파수 응답은 다음 성질을 갖는다.

• 따라서

정현파 신호에 대한 LTI 시스템의 응답

*( ) ( )h t h t

* *

*

*

( ) ( ) ( ) ( )

( )

j t j t j tH h t e dt h t e dt h t e dt

H

( ) ( ) even

( ) ( ) odd

H H

H H

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정현파 신호에 대한 응답

• For x(t)=cos(t)

• LTI 시스템의 출력은

• 동일한 주파수의 정현파가 출력되는데, 진폭은 배 곱해지고

위상은 만큼 더해진다.

정현파 신호에 대한 LTI 시스템의 응답

( ) cos exp( ) exp( ) / 2x t t j t j t

( ( )) ( ( ))

( ( )) ( ( ))

1 1( ) ( ) ( )

2 2

1 1( ) ( )

2 2

( ) cos ( )

j t H j t H

j t H j t H

y t H e H e

H e H e

H t H

( )H

( )H

11/80


[예제 4.10]

• 그림에 보인 주파수 응답을 가진 LTI 시스템이 있다고 하자. 다음

신호에 대한 출력을 구하라.

LTI 시스템의 주파수 영역 해석

(a) ( ) 2exp( 4 )

(b) ( ) 2exp( 10 )

(c) ( ) cos 24

x t j t

x t j t

x t t

0

( )H

88

0

( )H

1

88

2

2

12/80


[풀이]


4

( ( ))

(4 /4)

10

(a) ( ) 2

For ( ) , ( ) ( )

Since (4) 1, (4) / 4

( ) 2

(b) ( ) 2

(10) 0

( ) 0

(c) ( ) cos 24

F

j t

j t j t H

j t

j t

x t e

x t Ae y t A H e

H H

y t e

x t e

H

y t

x t t

or ( ) cos( ), ( ) ( ) cos( ( ))

Since (2) 1, (2) / 8

( ) cos(2 / 8)

x t A t y t A H t H

H H

y t t

13/80


[예제 4.11]

• LTI 시스템의 주파수 응답이 다음과 같다고 하자.

• 다음 신호에 대한 출력을 구하라.


(a) ( ) cos

(b) ( ) cos 2

(c) ( ) cos ,

x t t

x t t

x t t

1( )

1H

j

14/80


[풀이] Lowpass filter


1

2

1

1

1( ) , ( ) tan ( )

1

(a) 1

1 (1) 0.707, (1) tan (1) 45

2

( ) (1) cos( (1)) 0.707cos( 45 )

(b) 2

1 (2) 0.447, (2) tan (2) 63.4

5

( ) (2) cos(2

H H

H H

y t H t H t

H H

y t H t

2

(2)) 0.447cos(2 63.4 )

(c)

1 lim ( ) lim 0

1

( ) 0

H t

H

y t

15/80


[예제 4.12]

• LTI 시스템의 미분방정식이 다음과 같다고 하자.

• 다음 신호에 대한 출력을 구하라.


( ) ( )( )

dy t dx ty t

dt dt

(a) ( ) cos

(b) ( ) cos 2

(c) ( ) cos ,

x t t

x t t

x t t

16/80


[풀이]


1

2

For ( ) exp( ), ( ) ( ) exp( ) should be produced

( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( )

1 ( )

( )1

( ) , ( ) 90 tan ( ) for 01

j t j t j t

j t j t

x t j t y t H j t

dy t dx ty t x t y t

dt dt

d dH e H e e

dt dt

j H e j e

jH

j

H H

에 와 를대입

17/80


[풀이] Highpass Filter


1

1

(a) 1

1 (1) 0.707, (1) 90 tan (1) 45

2

( ) (1) cos( (1)) 0.707cos( 45 )

(b) 2

2 (2) 0.894, (2) 90 tan (2) 26.6

5

( ) (2) cos(2 (2)) 0.894cos(2 26

H H

y t H t H t

H H

y t H t H t

2

.6 )

(c)

lim ( ) lim 1, lim ( ) 01

( ) ( )

H H

y t x t

18/80


[예제 4.14]

• LTI system의 impulse response가 다음과 같다.

• 다음 입력이 주어지는 경우

(a) 출력을 구하라.

(b) 입력과 출력의 푸리에 급수를 구하라.

(c) 입력과 출력의 평균 전력을 구하라.


( ) 2exp( 2 ) ( )h t t u t

1 1( ) 1 cos 2 cos(4 30 ) cos6

2 3x t t t t

19/80


[풀이]

(a) 입력의 주파수 성분은 0, 2, 4, 6 rad/sec이며, 0 = 2 rad/sec


2 (2 )

0 0

(2 )

0

1

2

( ) ( ) 2 2

2 2

2 2

2( ) , ( ) tan

24

j t t j t j t

j t

H h t e dt e e dt e dt

e

j j

H H

1 1

1

1( ) (0) 1 (2) cos(2 (2)) (4) cos(4 30 (4))

2

1 (6) cos(6 (6))

3

2 1 21 cos 2 tan 1 cos 4 30 tan 2

28 20

2 1 cos 6 tan 3

340

1 0.354cos 2 45 0.448cos 4 33.4 0.106cos 6 71.6

y t H H t H H t H

H t H

t t

t

t t t

20/80


[풀이]

(b) 입력과 출력의 푸리에 계수를 cn, dn이라 하자.

(c) Parseval의 정리를 이용하여 전력을 구하면


30 30

0 1 1 2 2 3 3

1 1 1 11, , , , , 0 for other

4 2 2 6

j j

nc c c c e c e c c c n

45 45 33.4 33.4

0 1 1 2 2

71.6 71.6

3 3

1, 0.177 , 0.177 , 0.224 , 0.224 ,

0.053 , 0.053 , 0 for other

j j j j

j j

n

d d e d e d e d e

d e d e d n

32 2

0

1

32 2 2 2 2 2

0

1

1 1 12 1 2 2 2 2.556

4 2 36

2 1 2 0.177 2 0.224 2 0.053 1.169

x n

n

y n

n

P c c

P d d

21/80


[예제 4.15]

• 예제 4.10의 시스템에 다음 신호가 입력된다고 하자.

(a) 입력의 평균 전력을 구하라.

(b) 출력의 평균전력을 구하라.


1 1( ) 1 cos(3 15 ) cos(6 30 ) cos(9 45 ) cos(12 )

2 2x t t t t t

22/80


[풀이]

(a) 입력의 평균 전력

(b) 출력의 평균전력


42 2

0

1

2 2 2 2

2

1 1 1 11 2 2 2 2

2 2 4 4

2.25

x n

n

P c c

42 2

0

1

42 2 2 2

0 0

1

2 22

2

(0) 2 ( )

1 11 2 2

2 2

2

y n

n

n

n

P d d

H c H n c

23/80


[예제 4.16]

• 전기 회로에 그림과 같은 파형을 갖는 전원이 가해진다고 하자.

캐패시터 양단의 전압을 출력으로 보자.

(a) 입력의 평균 전력을 구하라.

(b) 이 회로의 주파수 응답을 구하라.

(c) 출력에서 주파수가 3차 고조파 이하인 성분의 전력을 구하라.


500 K , 1 FR C

( )y t

R

C( )x t

( )x t

t

210

10

3 412 5

24/80


[풀이]

(a)

(b)

(c)


( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) 1 1( ) ( )

CR C C C

dv tx t v t v t Ri t v t RC v t

dt

dy ty t x t

dt RC RC

( )2 ( ) 2 ( )

dy ty t x t

dt

0 12 2

0 00

1 1( ) 10 50 [W]

2

T

xP x t dt dtT

2

( ) 2 2 ( )2

j t j tH j e e Hj

, 0

5 0

10

0

n

n

n

c njn

n

홀수

짝수

25/80


[풀이]

(c)


0 02,T

02

02

02

(0) 1

1( ) ( ) 0.537

1 ( / 2)

1( 2 ) ( 2 ) 0.303

1 ( )

1( 3 ) ( 3 ) 0.208

1 (3 / 2)

H

H H

H H

H H

32 2

0

1

32 2 2 2

0 0

1

2 22 2 2 2

2

(0) 2 ( )

10 101 5 2 0.537 2 0.208 30.93

3

y n

n

n

n

P d d

H c H n c

26/80








4.7 MATLAB 예제

27/80


[예제] 구형 펄스열

• 예제 4.4(b) 단극성 구형 펄스열의 푸리에 계수로부터 원 신호를

합성해 보라.

• 유한한 N 차 고조파 성분까지만 더하여 원 신호와 합성한 신호의

차이를 관찰하라.

유한 급수에 의한 근사화

0

1 1

ˆ( )

o

o o

Njn t

n

n N

N Njn t jn t

n n

n n

x t c e

c c e c e

0

0

sin1 1 2

2 2 2 2

2

n

n

n nc Sa Sa

nT

28/80



원 신호 10N

50N 100N

29/80


[예제] 반파 정류된 정현파

• 예제 4.7의 푸리에 계수로부터 원 신호를 합성해 보라.

• 유한한 N 차 고조파 성분까지만 더하여 원 신호와 합성한 신호의

차이를 관찰하라.

• 가정:


0

1 1

ˆ( ) o o o

N N Njn t jn t jn t

n n n

n N n n

x t c e c c e c e

01, 2 / 0.5A T

2

For 2

, = (1 )

0, =

n

n

An

nc

n

짝수

홀수

0

1

/

/ 4

c A

c A j

30/80



원 신호 5N

10N 20N

31/80

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