e ArtigosABECE004

e ARTIGOS ABECE N 004

Avaliao da deformao de lajes nervuradas considerando a no-lineariadade fsica: comparao

entre valores tericos e experimentais

Oliveira, R. S.(1); Arajo, D. L.(1); Corra, M. R. S.(2); Ramalho, M. A.(2) (1) aluno do programa de doutorado da EESC - USP.

(2) professor do Dept.o de Eng. de Estruturas da EESC - USP.

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Edio Eletrnica da ABECE - Agosto de 2000 Av. Brigadeiro Faria Lima, 1685 cj. 2D 01452-001 fone:3097 8591 fax: 813 5719

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RESUMO

Nos ltimos anos crescente o emprego de lajes nervuradas na construo de edifcios devido s vantagens provenientes da utilizao desse partido estrutural em relao ao sistema convencional de laje e viga, entre as quais destaca-se a liberdade na disposio dos espaos internos. Acompanhando esse crescimento, observa-se a necessidade de ampliao do conhecimento tcnico sobre o comportamento mecnico das lajes nervuradas, em especial com relao s deformaes, que podem inviabilizar as suas condies de servio.

Uma contribuio razovel para estimarem-se com maior exatido os deslocamentos de pavimentos de concreto armado consiste na incluso da no-linearidade fsica do material concreto armado em modelos tericos programveis atravs do mtodo dos elementos finitos. Neste trabalho so utilizadas duas formulaes para a incorporao da no-linearidade fsica, aplicveis ao pavimento de concreto armado: a formulao emprica proposta por Branson e um modelo simplificado que baseia-se em uma relao constitutiva entre momento fletor e curvatura a partir de um diagrama trilinear cujos pontos de inflexo coincidem com os limites dos estdios I, II e III do comportamento mecnico do concreto armado. Analisa-se um exemplo e comparam-se os resultados experimentais aos resultados tericos obtidos com diversas modelagens, tanto em regime elstico linear quanto em regime no-linear.

1. INTRODUO

A crescente tendncia arquitetnica do uso de espaos mais amplos, aliada tentativa de um aproveitamento mais eficiente do concreto com um conseqente alvio do peso prprio, tem ocasionado uma maior utilizao das lajes nervuradas.

As lajes nervuradas compem um subsistema estrutural no qual a mesa de concreto resiste aos esforos de compresso e as armaduras aos esforos de trao, sendo que a nervura de concreto faz a ligao mesa-armadura. As nervuras funcionam como uma malha de vigas formando uma grelha. Por causa dos vazios, a resistncia toro diminui bastante quando comparado a uma laje macia de mesma espessura. Para compensar esse efeito e a excessiva flexibilidade, aumenta-se sua altura, de modo que a laje nervurada tem, geralmente, uma altura maior do que uma laje macia equivalente.

As vantagens desse subsistema estrutural em relao aos demais existentes, segundo BARBIRATO (1997), referem-se no s maior liberdade no projeto arquitetnico mas, principalmente, economia de material, reduo do peso prprio da estrutura, menor suscetibilidade da estrutura a deslocamentos transversais, e possibilidade de se utilizarem capitis nas proximidades dos pilares, onde as tenses normais e cisalhantes so elevadas.

Uma particularidade desse subsistema estrutural reside no fato de que os vos livres praticados so, em geral, maiores que os praticados no sistema convencional de viga e laje. A determinao de deslocamentos do pavimento so normalmente determinados atravs de anlises elstico lineares. A incluso da no-linearidade fsica do material concreto armado para a determinao dos deslocamentos de pavimentos pode proporcionar uma maior representatividade do comportamento da estrutura. Este trabalho enfoca duas formulaes para a incorporao da no-linearidade fsica: a formulao emprica proposta por Branson, e um modelo simplificado apresentado por OLIVEIRA (1997) que baseia-se em uma relao constitutiva entre momento fletor e curvatura a partir de um diagrama






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trilinear cujos pontos de inflexo coincidem com os limites dos estdios I, II e III do comportamento mecnico do concreto armado.

Como exemplo de aplicao analisada uma laje nervurada, em modelo reduzido, apresentada por KLEIN;SELISTRE (1997). Os resultados experimentais de deslocamentos monitorados pelo referido autor so comparados aos resultados numricos obtidos segundo dois tipos de anlise: anlise elstica linear (em modelos de grelha e de laje equivalente) e no-linear.

1.1 Comportamento Esttico das Lajes Nervuradas

As lajes nervuradas so constitudas por um conjunto de vigas (nervuras), solidarizadas entre si pela mesa, apresentando um comportamento esttico intermedirio entre placa e grelha. O clculo dos esforos solicitantes e dos deslocamentos das lajes nervuradas pode ser feito utilizando-se mtodos baseados na teoria das grelhas e na analogia de placas.

Os esforos solicitantes no modelo de grelha so calculados por processos estticos, tais como o processo dos esforos e o processo dos deslocamentos. As barras desse modelo so formadas pela composio da nervura com a largura colaborante da mesa, compondo uma seo T. Essa largura colaborante pode ser obtida de acordo com o item 3.2.2.2 da NBR-6118 e que, nos casos usuais, corresponde distncia livre entre nervuras.

Os mtodos baseados na analogia de placas correspondem transformao da laje nervurada numa laje macia de rigidez flexo equivalente. Tal equivalncia proporciona resultados satisfatrios no que se refere ao comportamento elstico linear da estrutura.

A determinao da laje macia de rigidez flexo equivalente laje nervurada baseia-se no conceito de Espessura Equivalente, como descrito em BARBIRATO (1997). O procedimento consiste em transformar a laje nervurada numa laje de espessura constante (figura 1). A laje nervurada considerada istropa se as nervuras forem igualmente espaadas nas duas direes, e orttropa em caso contrrio.

Equivalncia

heq

a1 = bf

a1

bf

b2 bw

b1 h

hf

a1 = distncia entre os eixos das nervuras

bf = largura da mesa da seo T

b1 = parte da laje incorporada seo T, de acordo com a NBR-6118

b2 = distncia livre entre nervuras

bw = largura da nervura

h = altura livre da nervura

hf = espessura da mesa da seo T

heq = espessura da laje macia equivalente Figura 1 - Transformao da laje nervurada em laje macia equivalente (BARBIRATO (1997))






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A espessura equivalente da laje pode ser calculada atravs da expresso ( )h 12.I aeq 1= 13 (na qual I o momento de inrcia flexo da seo transversal T no Estdio I, e em relao a um eixo baricntrico paralelo ao plano do pavimento), que representa uma equivalncia apenas em momento de inrcia flexo. Diferentes espessuras podem ser obtidas atravs de equivalncias em momento de fissurao ou em mdulo de resistncia.

2. ANLISE ESTRUTURAL

As lajes nervuradas, assim como a maioria das estruturas de concreto armado convencionais, podem ser analisadas por modelos lineares e no-lineares.

Os modelos lineares admitem que os materiais componentes das estruturas comportem-se segundo um regime elstico linear. Os modelos no-lineares permitem considerar um comportamento em regime elastoplstico, viscoelstico, viscoplstico ou elasto-viscoplstico. Neste trabalho, adota-se a denominao no-linear para os modelos que permitem simular o comportamento elastoplstico do concreto armado.

A anlise de pavimentos de edifcios de concreto armado com a considerao da no-linearidade fsica pode oferecer grandes vantagens ao projetista de estruturas com relao anlise em regime elstico linear. Primeiramente, coloca-se a possibilidade de uma avaliao mais realista sobre os efeitos de perda de rigidez dos elementos estruturais por fissurao e escoamento das armaduras longitudinais tracionadas. Com a perda de rigidez dos elementos, podem haver acrscimos de deslocamentos tais que venham a inviabilizar um conjunto de formas em funo do estado limite de utilizao por deformaes excessivas. Por outro lado, para estruturas que no apresentem problemas quanto aos deslocamentos, pode-se utilizar o fato da perda de rigidez em determinadas peas estruturais, e com isso promover-se uma uniformizao dos esforos no domnio do pavimento atravs da eliminao de picos de momentos fletores concentrados em determinadas regies, como por exemplo, sobre os pilares. Atravs desse procedimento, criam-se novas possibilidades ao projetista que, a partir de um conjunto de formas, pode determinar vrios estados de solicitao das peas estruturais, apenas alterando as taxas de armadura longitudinais dos elementos, e por conseguinte, as suas rigidezes.

A seguir so descritos, concisamente, dois processos para avaliao do comportamento no-linear dos subsistemas estruturais formados por lajes nervuradas.

2.1 Formulao Emprica Proposta por BRANSON

A formulao proposta por BRANSON caracteriza-se pela reduo progressiva do momento de inrcia mdio (Im) da seo (entre os Estdios I e II puro), de acordo com o valor do momento fletor atuante (M). Para isso, BRANSON props uma funo interpoladora que aproxima o momento de inrcia do elemento estrutural para o valor mais provvel que esse elemento fletido deveria apresentar para cada valor de solicitao por momento fletor acima do relativo fissurao da pea (Mr), como colocado na expresso (1).

I MM

I MM

Im r r= +

4 4

01. . ,I II (1)






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Essa expresso facilmente implementada em programas computacionais baseados na teoria das grelhas. O carregamento total dividido em parcelas iguais e, para cada parcela, so calculados os esforos na grelha. Em seguida, o momento fletor atuante nos dois ns de cada elemento de barra comparado ao respectivo momento fletor de fissurao que, quando superado, impe uma correo ao momento de inrcia do elemento conforme a expresso (1). Resolve-se a grelha sucessivas vezes empregando-se os novos valores de momentos de inrcia at que os resduos resultantes entre dois processamentos consecutivos sejam desprezveis. Maiores esclarecimentos podem ser obtidos em CARVALHO (1994).

2.2 Modelo No-linear Simplificado

Os modelos no-lineares fsicos podem ser formulados de inmeras maneiras. Quanto discretizao da seo transversal, existem modelos que a idealizam constituda por camadas superpostas, nas quais distinguem-se tanto o concreto como o ao em regime de trao ou compresso individualmente. Quanto s teorias, podem ser citadas a teoria elastoplstica, a teoria do dano e a da fratura, dentre outras. O modelo empregado neste trabalho foi apresentado por OLIVEIRA (1997) e adota, simplificadamente, uma relao constitutiva entre momento fletor e curvatura trilinear para o concreto armado, respeitando-se, basicamente os limites dos Estdios I, II e III para a caracterizao dos patamares de rigidez e parmetros de encruamento da seo transversal de concreto armado. Para a laje, adotado o critrio de escoamento de von Mises bidimensional, e para os elementos de barra estabelece-se um critrio uniaxial.

Os elementos estruturais do pavimento de concreto armado so as lajes, representadas por elementos finitos de placa de formulao livre denominado T3AF em Estado Plano de Tenses (EPT), e as vigas, representadas pelos elementos de barra de grelha (CORRA (1991)).

3. EXEMPLO DE APLICAO

Coloca-se, a seguir, um exemplo para a aferio dos modelos lineares e no-lineares enfocados neste trabalho. Os resultados de deslocamentos obtidos das anlises numricas so comparados aos resultados experimentais obtidos por KLEIN;SELISTRE (1997). Nesse trabalho, os autores apresentaram os resultados experimentais de deslocamentos de um pavimento em laje nervurada em modelo reduzido (escala 1/7,5) e carregado uniformemente. A forma e a armadura da laje mostrada na figura 2. O carregamento total aplicado foi de 7,5 kN/m 2 (incluindo o peso prprio) uniformemente distribudo em todo o pavimento. No ensaio, o carregamento total foi aplicado em 5 incrementos, sendo o primeiro correspondente a 1/3 da carga total e os demais a 1/6 cada um.

Para a anlise em regime elstico linear foram utilizados dois modelos de clculo: o de grelha e o de laje equivalente. Em cada um desses modelos foram feitas duas consideraes distintas quanto rigidez toro: uma primeira considerando toda a rigidez toro dos elementos estruturais no Estdio I e outra desprezando a rigidez toro dos elementos (utilizando-se apenas 1% de sua capacidade calculada no Estdio I). Os processamentos em regime linear foram executados com o sistema LASER apresentado por RAMALHO (1990) e CORRA (1991).






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Na anlise do pavimento como grelha, as nervuras foram substitudas por elementos de barra e os capitis por elementos de placa. As seguintes caractersticas geomtricas foram utilizadas:

elemento de barra : Momento de inrcia flexo (I) = 4,02 cm4 Momento de inrcia toro (Jt ) = 2,07 cm4

elemento de placa : Espessura (h) =2,67 cm

Na anlise do pavimento como laje equivalente, a espessura do elemento de placa foi determinada com base na equivalncia de rigidez flexo das nervuras. Os valores obtidos para as dimenses dessa laje equivalente podem ser observados na figura 2a.

121

Detalhe das Nervuras:

Laje Equivalente:

Legenda:

n analisado

(a) - Forma do pavimento (medidas em cm)

(b) - Armao das nervuras e capitis do pavimento (bitolas dos arames: BWG) Figura 2 - Forma e armao do pavimento em laje nervurada ensaiado por KLEIN;SELISTRE (1997).

Os materiais utilizados foram:

20 c/ 4cm (0.009 cm2/cm) 16 c/ 1.5 cm (0.014 cm2/cm)

2 18 (0.024 cm2) 18 c/ 6.66 cm (0.0018 cm2/cm)






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microconcreto: fcj = 2,77 kN/cm2

fctk = 0,236 kN/cm2 coef. de Poisson ( ) = 0.20 Ec = 3640 kN/cm2

ao: fyk = 50 kN/cm2 (*) Es = 21700 kN/cm2

Os resultados de deslocamentos obtidos no n 121 do pavimento, segundo a anlise elstico linear, so mostrados no diagrama fora-deslocamento da figura 3.

0.00

1.00

2.00

3.00

4.00

5.00

6.00

7.00

8.00

0.00 0.50 1.00 1.50 2.00 2.50 3.00

Deslocamento vertical do n 121 (mm)

For

a di

str

ibu

da

a

plic

ada

(kN

/m2)

Experimental (KLEIN;SELISTRE (1997))Grelha sem Reduo de InrciaPlaca sem Reduo de InrciaTQS (KLEIN;SELISTRE (1997))Grelha com Reduo de InrciaPlaca com Reduo de Inrcia

Figura 3 - Diagrama Fora-Deslocamento (modelos lineares)

Observa-se, de forma geral, que os resultados obtidos pela anlise estrutural como grelha e como laje equivalente ficaram muito prximos. Analisando-se o diagrama da figura 3, observa-se a relativa proximidade dos resultados dos vrios modelos lineares empregados na anlise do pavimento, e a grande divergncia desses valores com relao aos obtidos do ensaio. Os resultados do programa TQS, obtidos segundo uma anlise como grelha, foram superiores aos resultados obtidos neste trabalho, provavelmente devido simulao dos capitis com barras de grelha, o que reduz a rigidez do pavimento.






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Outra observao importante a de que, apesar de os resultados estarem relativamente prximos, os modelos que desprezam a inrcia toro dos elementos estruturais (nervuras e capitis), apresentaram deslocamentos cerca de 10% superiores aos modelos que no desprezam essa rigidez.

Na anlise em regime no-linear foram utilizados os dois processos j apresentados. Para o emprego do modelo de grelha incorporando a formulao emprica de Branson, o pavimento foi substitudo por uma grelha equivalente, sendo os capitis substitudos por elementos de barra com inrcia flexo equivalente da laje. A inrcia toro das nervuras no foi reduzida, e nos capitis, foi tomada igual da placa.

A anlise no-linear segundo o modelo apresentado por OLIVEIRA (1997) foi realizada considerando-se as nervuras e a largura colaborante da mesa como elemento de barra, e os capitis como elemento de placa. Neste caso, no foi considerada a reduo da resistncia das peas toro.

De acordo com OLIVEIRA (1997), os diagramas momento-curvatura para as sees transversais dos elementos de barra e de placa (figura 2b) so os expressos na figura 4:

M (kN.cm)

2,940 2,876

0,448

4,58x10-3 1,22x10-35,83x10-5

1 1r cm

(a) nervuras ( elementos de barra)

1,6841,619

0,421

M (kN.cm/cm)

1 1r cm

7,28x10-5 1,19x10-3 4,52x10-3 (b) capitis ( elementos de placa)

Figura 4 - Diagramas momento-curvatura empregados no processamento da grelha em regime no-linear.

Os resultados obtidos dos processamentos em regime no-linear so mostrados na figura 5, juntamente com os resultados experimentais.






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0.00

1.00

2.00

3.00

4.00

5.00

6.00

7.00

8.00

0.00 0.50 1.00 1.50 2.00 2.50 3.00

Deslocamento vertical do n 121 (mm)

For

a di

str

ibu

da

a

plic

ada

(kN

/m2)

Modelo de grelha no-linear

Modelo de grelha incorporando Branson

Experimental (KLEIN;SELISTRE (1997))

Figura 5 - Diagrama Fora-Deslocamento (modelos no-lineares)

Como pode ser observado na figura 5, os modelos no-lineares representaram com maior realismo o comportamento da estrutura do pavimento. Os resultados obtidos utilizando o modelo de OLIVEIRA (1997) mostram que a estrutura idealizada mais rgida que a estrutura real em baixos nveis de carregamento. Contudo, em nveis de carregamento mais elevados, a estrutura idealizada mostrou-se mais flexvel. Tal comportamento deve-se pequena inclinao do trecho III do diagrama momento-curvatura das nervuras e capitis, o que reflete a baixa capacidade resistente terica das sees desses elementos no estdio III, fato esse que no se confirmou na prtica.

Observa-se, tambm, que utilizando-se a expresso emprica proposta por Branson, os resultados obtidos esto mais prximos aos experimentais do que os modelos lineares.

Deve-se salientar entretanto que, devido substituio dos capitis por barras equivalentes, a estrutura idealizada tornou-se mais flexvel que a real em baixos nveis de carregamento, o que contribuiu para que no estgio final de carregamento seu valor estivesse prximo ao da estrutura real.

4. CONSIDERAES FINAIS

As principais observaes da anlise do pavimento em laje nervurada so:






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a) Em regime linear, tanto o modelo de grelha quanto o de laje equivalente apresentaram resultados prximos entre si.

b) Variando-se a inrcia toro nos modelos de grelha e laje em regime elstico linear, ou seja, considerando-se o valor total da inrcia no Estdio I ou adotando-se apenas 1% desse valor, a variao do deslocamento foi de 10%. Essa diferena percentual foi a mesma tanto no modelo de grelha quanto no de laje equivalente.

c) Os resultados de deslocamentos obtidos com o emprego dos modelos no lineares ficaram mais prximos dos resultados obtidos no ensaio do pavimento em laje nervurada do que os obtidos por modelos elsticos lineares que ficaram bastante aqum dos obtidos do ensaio, a partir de um determinado valor de carregamento.

d) A anlise da estrutura como grelha incorporando a expresso emprica de Branson apresentou deslocamentos prximos aos experimentais. Contudo, nas etapas iniciais de carregamento, a estrutura idealizada apresentou rigidez inferior rigidez da estrutura real, em funo da simulao das lajes dos capitis por elementos de barra com inrcia flexo equivalente.

e) Os modelos no-lineares abordados neste trabalho no so capazes de exprimir com fidelidade o comportamento do pavimento prximo ruptura. Entretanto, para as solicitaes s quais o pavimento provavelmente estar submetido em condies de servio, esses modelos se apresentam suficientemente precisos para a aplicao na previso de deslocamentos e de esforos em projetos usuais de engenharia.

5. REFERNCIAS BIBLIOGRFICAS

ASSOCIAO BRASILEIRA DE NORMAS TCNICAS - ABNT (1978). NBR 6118 Projeto e execuo de obras de concreto armado. Rio de Janeiro.

BARBIRATO, C.B.C. (1997). Contribuies anlise de pavimentos de edifcios em laje nervurada. So Carlos. Dissertao (Mestrado) - Escola de Engenharia de So Carlos, Universidade de So Paulo.

CARVALHO, R.C. (1994). Anlise no-linear de pavimentos de edifcios de concreto atravs da analogia de grelha. So Carlos. Tese (Doutorado) - Escola de Engenharia de So Carlos, Universidade de So Paulo.

CORRA,M.R.S.(1991). Aperfeioamento de modelos usualmente empregados no projeto de sistemas estruturais de edifcios. So Carlos. Tese (Doutorado) - Escola de Engenharia de So Carlos, Universidade de So Paulo.

KLEIN, D.L.; SELISTRE, S.L.C. (1997). Anlise numrico-experimental de lajes nervuradas submetidas a cargas uniformemente distribudas. In: JORNADAS SUL-AMERICANAS DE






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ENGENHARIA ESTRUTURAL, 28, So Carlos, 1997. Estruturas e Fundaes. So Carlos, EESC-USP/ASAEE, v.1, p.249-258.

OLIVEIRA, R.S. (1997). Anlise de pavimentos de edifcios de concreto armado com a considerao da no-linearidade fsica. So Carlos. Dissertao (Mestrado) - Escola de Engenharia de So Carlos, Universidade de So Paulo.

RAMALHO, M.A.(1990). Sistema para anlise de estruturas considerando interao com meio elstico. So Carlos. Tese (Doutorado) - Escola de Engenharia de So Carlos, Universidade de So Paulo.

6. CONTATOS

Universidade de So Paulo - Escola de Engenharia de So Carlos Departamento de Engenharia de Estruturas Av. Dr. Carlos Botelho, 1465 CEP: 13560-970, So Carlos, SP Fax: (016) 2719241 e-mail: [email protected]

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