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第一章集 合 与 条 件

考纲要求

知识内容考试层次要求

了解 理解 掌握

集合的概念 radic

集合的表示法 radic

集合之间的关系(子集真子集相等) radic

集合的运算(交并补) radic

充要条件 radic

命题趋势

命题规律

考点近几年常考题型及分值

2015 2016 2017 2018 2019

集合的概念与运算 选择题4分 选择题4分 选择题4分 选择题4分 选择题4分

充要条件 选择题4分 选择题4分 选择题4分 选择题4分 选择题4分

命题趋势

本章内容在历年真题中多以选择题形式出现(题目基本保持在两道)其分值比例约占5要求不

高难度不大涉及的知识点有集合间的关系集合的运算充分条件必要条件与充分条件的判定

定理常与不等式函数数列等内容相交汇

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对口升学 数学总复习

知识结构

第一节 集 合

1(2015年middot四川对口升学)设集合A= 123 B= 456 则AcapB=( )A B3 C12 D123456 2(2016年middot四川对口升学)设集合A= 0123 B= -101 则AcapB=( )A B01 C-101 D0123 3(2017年middot四川对口升学)设集合A= 01 B= -10 则AcupB=( )A B0 C-101 D01 4(2018年middot四川对口升学)设集合A= ab B=bc 则AcapB=( )A Bb

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第一章 集合与条件

Cac Dabc 5(2019年middot四川对口升学)设集合A= -22 B= -12 则AcupB=( )A2 B-2-1 C-22 D-2-12

知识点一 集合的概念与表示法

1集合

把具有某种属性的一些确定的对象看成一个整体便形成一个集合常用大写的拉丁字母ABC等表示

2元素

集合中的每一个确定的对象叫作这个集合的元素常用小写字母abc等来表示3元素与集合的关系及性质

如果a是集合A 的一个元素就说a属于A记作aisinA如果a不是集合A 的元素就说a不属

于A记作anotinA集合中的元素具有确定性互异性无序性的特征4常用的集合

空集()正整数集(Z+或N)自然数集(N)整数集(Z)有理数集(Q)实数集(R)5集合的两种表示法

(1)列举法把集合的元素一一列举出来写在大括号内这种表示集合的方法叫作列举法注意用列举法表示集合时要注意以下几点①元素之间用逗号ldquordquo隔开②元素不能重复(满足集合中元素的互异性)③元素不能遗漏④当集合中的元素较少时用列举法比较简单若集合中的元素较多或无限但存在一定的规律

性在不发生误解的情况下也可以用列举法表示(2)描述法用集合所含元素的共同特性表示集合的方法称为描述法描述法表示的一般形式是x|p(x)其中ldquoxrdquo是集合中元素的代表形式ldquop(x)rdquo是集合中元素的

共同特征两者之间的竖线不可省略注意用描述法表示集合时要注意以下几点①写清楚集合中元素的代表形式(一般用小写字母表示)②写明集合中元素的特征或性质③用于描述元素特征的语句要力求简明准确不产生歧义多层描述时应当准确使用ldquo且rdquoldquo或rdquo

等关联词④所有描述的内容都要写在大括号内⑤在不引起混淆的情况下用描述法表示集合时有时也可以省去竖线和竖线左边的部分例如

正整数的集合可简记为正整数但是集合x|xgt1就不能省略竖线及其左边的x

知识点二 集合间的关系

1子集

一般地对于两个集合AB如果集合A中任何一个元素都是集合B 的元素那么集合A就叫

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作集合B 的子集记作AsubeB或者BsupeA读作ldquoA包含于Brdquo或ldquoB包含Ardquo当集合A不包含于集合B或集合B不包含集合A 时记作A⊈B或B⊉A性质任何一个集合是它本身的子集即AsubeA空集是任何集合的子集即subeA对集合AB

C若AsubeBBsubeC则AsubeC注意不能把子集说成由原来集合中的部分元素组成的集合因为A 的子集包括它本身而这个

子集由A的全体集合组成空集也是A的子集但这个子集中不包括A中的任何元素2真子集

如果A是B 的子集并且B中至少有一个元素不属于A则A是B 的真子集(A包含于B 但不

等于B)记作A⫋B或B⫌A性质空集是任何非空集合的真子集对于集合ABC若A⫋BB⫋C则A⫋C注意元素与集合之间是属于关系集合与集合之间是包含关系3集合相等

一般地对于两个集合A与B如果集合A中的任何一个元素都是集合B 的元素同时集合B中

的任何一个元素都是集合A的元素我们就说集合A等于集合B记作A=B(AB的所有元素均相

等)注意(1)若两个集合相等则两个集合所含元素完全相同反之亦然(2)要判断两个集合是否相等对于元素较少的有限集主要看它们的元素是否完全相同若是无

限集则从ldquo互为子集rdquo入手进行判断

知识点三 集合的运算

1交集

一般地由既属于集合A又属于集合B 的所有元素组成的集合称为集合A与集合B 的交集记作AcapB即AcapB=x|xisinA且xisinB

性质(1)AcapB=BcapA(2)AcapA=A(3)Acap=(4)AcapBsubeAAcapBsubeB(5)若AsubeB则AcapB=A2并集

一般地由所有属于集合A或属于集合B 的元素组成的集合称为集合A与集合B 的并集记作

AcupB即AcupB=x|xisinA或xisinB性质(1)AcupB=BcupA(2)AcupA=A(3)Acup=A(4)AsubeAcupBBsubeAcupB(5)若AsubeB则AcupB=B3图示两个集合的交集并集

(1)用Venn图表示两个集合的交集并集(见图1-1)(2)借助数轴表示数集的交集并集(见图1-2)

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第一章 集合与条件

图1-1

图1-2

4全集

如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素则称这个集合为全集通常用U 表示注意全集是一个相对的概念在不同的情况下全集的概念也不同5补集

对于一个集合A由全集U 中不属于集合A 的所有元素组成的集合称为集合A 相对于全集U 的

补集简称为集合A的补集记作 UA即 UA =x|xisinU 且xnotinA性质(1)U(UA)=A(2)U=U UU=(3)Acup(UA)=U(4)Acap(UA)=6常见的集合表示

(1)方程的解集x|x2-3x+2=0或12一般用列举法表示

(2)方程组的解集 31 或 xy x-2y=1x+3y=6 = xy

x=3y=1 一般用后者表示

(3)不等式的解集x|3lexlt5或[35)一般用区间表示(4)点集(xy)|y=2x+1(5)具有某种性质的点集M||PM|=a(P为定点)(6)三角函数中角的集合表示M=α|2kπltαlt2kπ+πkisinZ

例1 考查下列每组对象(1)我国著名的数学家

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(2)超过10的所有自然数(3)某校2015年招收的高个子学生(4)方程x2-9=0的实数解(5)在直角坐标平面内第二象限的所有点其中能构成集合的是( )A(1)(2)(3) B(2)(3)(4)C(2)(4)(5) D(3)(4)(5)【解析】 (1)ldquo我国著名的数学家rdquo不是一个明确的标准不能构成一个集合(3)ldquo高个子学生rdquo这

一标准也不确定无法判定某人是高还是矮也不能构成集合(2)(4)的对象是确定的(5)的对象虽

然有无限个但它是确定的因此选C【技巧点拨】 判断某组对象能否构成集合关键看对象是否为整体的和确定的标准一定要是明

确的不能模糊否则无法判断

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10512751051275105127510512751051275变式训练1

下列语句能构成集合的是( )A我班个子高的男生 B与0接近的全体实数

C大于π的自然数 D优秀的中等职业学校

例2 用列举法表示下列集合(1)A=x|-2ltxlt5xisinZ(2)B=(xy)|2x+y=5xisinNyisinN【解析】 (1)A=-101234(2)B=(05)(13)(21)【技巧点拨】 掌握集合的两种表示方法

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用合适的方法表示下列集合(1)1112131415hellip(2)149162536

例3 设集合A=0下列结论正确的是( )AA=0 BA=C0isinA DisinA【解析】 本题考查了元素与集合集合与集合之间的关系答案选C【技巧点拨】 正确理解符号isinnotinsube⫋的意义是正确处理此类问题的关键

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第一章 集合与条件

105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275 105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275

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下列说法正确的有( )个①空集没有子集②任何集合至少有两个子集③空集是任何集合的真子集④若⫋A则

AneA1 B2C3 D4

例4 已知集合A=x|x2-x-2=0B=x|x2-4x+p=0若BsubeA求实数p的取值范围【解析】 由题意得A=-12因为BsubeA所以B=或B=-1或B=2或B=-12又因为B=x|x2-4x+p=0所以B=-12不成立当B=时Δ=(-4)2-4p=16-4plt0解得pgt4

当B=-1时Δ=16-4p=0-1 2-4times -1 +p=0 无解

当B=2时Δ=16-4p=022-4times2+p=0解得p=4综上实数p的取值范围是pisin[4+infin)【技巧点拨】 两个集合包含或相等关系的问题通过建立方程(组)然后解出未知数最后利用

集合元素的特征进行检验即可

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已知集合A=11+m1+2mB=1nn2其中mnisinR若A=B求mn的值

例5 已知集合A=xy x2+y2le3xisinZyisinZ则A中元素的个数为( )A9 B8 C5 D4【解析】 由x2+y2le3知-3lexle3- 3leyle 3又xisinZyisinZ所以xisin -101 yisin

-101 所以A中元素的个数为9【技巧点拨】 对于求解集合中元素个数的题目首先求出集合然后根据集合中元素的互异性求

出集合中元素的个数或利用数形结合的方法求出集合中元素的个数

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105127510512751051275变式训练5

已知集合A=124集合B= xx=a+baisinAbisinA 则集合B中元素的个数为

例6 设全集U=R集合A= x0lexlt2 集合B= xx2-2x-3lt0 求AcapBAcupB

UAcapB【解析】 B= xx2-2x-3lt0 = x -1ltxlt3 UA= xxlt0或xge2

所以AcapB= x0lexlt2 AcupB= x -1ltxlt3 UAcapB= x -1ltxlt0或2lexlt3 【技巧点拨】 考查对集合运算的理解及性质的运用

105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275 105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275

105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275变式训练6

设全集U= 01234 集合A= 0123 集合B= 234 求AcapBAcupBUAcup UB

例7 已知集合M=x|alexlea+3N=x|xlt-1或xgt5若McapN=求实数a的取值

范围

【解析】 如图1-3所示要使McapN=必须满足a+3le5age-1 解得-1leale2所以实数a的取

值范围为a|-1leale2

图1-3

【技巧点拨】 解题时利用数轴表示集合便于寻求满足条件的实数a特别需要注意的是ldquo端点

值rdquo的问题是能取ldquo=rdquo还是不能取ldquo=rdquo

105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275 105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275

105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275变式训练7

已知A=x|alexlea+3B=x|xgt1或xlt-6(1)若AcapB=求a的取值范围(2)若AcupB=B求a的取值范围

9

第一章 集合与条件

例8 U 为全集集合M⫋UN⫋U且N subeM则( )A(UM)supe(UN) B(UM)supeNC(UM)sube(UN) DMsupe(UN) 【解析】 根据各集合之间的关系作图(见图1-4)这样就很容易做出判断故选C

图1-4

【技巧点拨】 1考虑集合之间的关系用图形解答比较方便2在数学中利用ldquo数形结合rdquo的思想往往能使问题简单化

105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275 105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275

105127510512751051275105127510512751051275变式训练8

U 为全集MN 为两个非空集合且满足McapN=M则下列正确的是( )AM ⫋N BN ⫋M CM=N DMcap(UN)=

基 础 训 练

一选择题

1下列命题所列对象中能组成集合的是( )A好人 B非常小的数

C有趣的书 D小于5的数

2给出下面四个关系①0isinQ②3notinQ③ZsubeQ④nsub0其中正确的个数为( )A4 B3 C2 D13用列举法表示集合x|x2-3x+2=0的结果是( )A(12) B12C12 D以上都不是

4集合1234所有子集的个数是( )A8 B14 C15 D165下列选项中表述正确的是( )A由135753组成的集合中有6个元素

B周长为16cm的三角形组成的集合是有限集合

C集合0是空集

D一年级(3)班的所有同学可以组成集合

6用列举法表示ldquo大于2且小于9的偶数的全体rdquo构成的集合是( )A B468C357 D345678

10

对口升学 数学总复习

二填空题

1用适当的符号(isinnotinsubesupe=)填空3 23 π Q 123 ZN Z -33 x|x2=92绝对值等于1的所有整数组成的集合是 3已知集合P= x2ltxltaxisinN 且集合P中恰有3个元素则整数a= 4下列六个关系式①absubeba②ab=ba③0=④0isin0⑤isin0⑥

sube0其中正确的个数为 三解答题

1已知集合A=012集合B=x|x=abaisinAbisinA(1)用列举法写出集合B(2)判断集合B的元素和集合A 的关系

2写出集合-3-113的所有子集并指出哪些是真子集

3已知集合1ab与-1-b1是同一集合求实数ab的值

4设全集U=R集合A= xx2-x-2=0 B= x x =y+1yisinA 求 UB

11

第一章 集合与条件

提 升 训 练

1满足abnsubAsubeabcde的集合A的个数是( )A9 B8 C7 D62已知集合A= xax2+2x+1=0xisinR (1)若A中只有一个元素求a的值(2)若A中恰有两个元素求a的取值范围(3)若A中至多只有一个元素求a的取值范围

3已知集合A= xx2-3x+2=0 B= xax+2=0 且BsubeA求实数a的值组成的

集合

第二节 充 要 条 件

1(2015年middot四川对口升学)ldquoxlt2rdquo是ldquox2-x-2lt0rdquo的( )A必要不充分条件 B充分不必要条件

C充要条件 D既不充分也不必要条件

2(2016年middot四川对口升学)ldquox le2rdquo是ldquo-2lexle2rdquo的( )A充分不必要条件 B必要不充分条件

C充要条件 D既不充分也不必要条件

12

对口升学 数学总复习

3(2017年middot四川对口升学)设abcisinR则ldquoac=b2rdquo是ldquoabc成等比数列rdquo的( )A充要条件 B既不充分也不必要条件

C必要不充分条件 D充分不必要条件

4(2018年middot四川对口升学)设abcisinR则ldquoagtbrdquo是ldquoac2gtbc2rdquo的( )A充分不必要条件 B必要不充分条件

C充要条件 D既不充分又不必要条件

5(2019年middot四川对口升学)ldquoxgt0rdquo是ldquoxgt1rdquo的( )A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件

1命题的概念

在数学中我们把用语言符号或式子表达的可以判断真假的陈述句称为命题正确的命题称为

真命题记作T错误的命题称为假命题记作FT和F称为命题的真值(有的书上用0和1作为命题

的真值)p与q为等值的命题记作p=q2必要条件的定义

(1)对于两个命题pq如果有prArrq则称p是q的充分条件q是p的必要条件注意p是q的充分条件是指只要具备了条件p那么q就一定成立即命题中的条件是充分的

q是p 的必要条件是指如果不具备条件q则p就不能成立即q是p 成立的必不可少的条件(2)如果prArrq且qrArrp即p=q则p是q的充分且必要条件简称充要条件注意(1)当phArrq时也称p与q是等价的(2)与充要条件等价的词语有ldquo当且仅当rdquoldquo等价于rdquoldquo有且只有rdquoldquo必需且只需rdquoldquohelliphellip反过来也成

立rdquo等3必要条件的判断方法

(1)从逻辑推理关系上判断(定义法)①若prArrq但q p则p是q的充分不必要条件②若p q但qrArrp则p是q的必要不充分条件③若prArrq且qrArrp则p是q的充要条件④若p q且q p则p是q的既不充分也不必要条件(2)从命题所对应的集合与集合之间的关系上判断(集合法)设命题p对应的集合为A命题q对应的集合为B①若AsubeB则p是q的充分条件若AsupeB则p是q的充分不必要条件②若AsupeB则p是q的必要条件若AsupeB则p是q的必要不充分条件③若AsubeB且AsupeB即A=B则p是q的充要条件④若A⫋B且A⫌B则p是q的既不充分也不必要条件

例1 已知p|3x-5|lt4q(x-1)(x-2)lt0则p是q的( )A充分不必要条件 B必要不充分条件

C充要条件 D既不充分也不必要条件

13

第一章 集合与条件

【解析】 p|3x-5|lt4rArrp13ltxlt3

q(x-1)(x-2)lt0rArrq1ltxlt2所以p⫋q但qrArrp所

以p是q的必要不充分条件选B【技巧点拨】 判断充分必要条件时先要分清条件和结论进而找到条件与结论之间的逻辑推理

关系常用的判断法定义法和集合法

10512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275 105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275

10512751051275105127510512751051275变式训练1

设命题甲0ltxlt5命题乙|x-2|lt3那么甲是乙的( )A充分不必要条件 B必要不充分条件

C充要条件 D既不充分也不必要条件

例2 已知集合A= yy=x2-32x+1xisin 3

42 B= xx+m2ge1 pxisinAqxisinB并

且p是q的充分条件求实数m的取值范围

【解析】 由题意得A= 716

2 B=[1-m2+infin)由于p是q的充分条件所以AsubeB所以

1-m2le716解得mge34或mle-34

即实数m的取值范围是(-infin-34]cup[3

4+infin)

【技巧点拨】 本题主要考查集合的运算以及充要条件的判断根据不等式之间的关系是解题的

关键

105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275 105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275

105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275变式训练2

已知px2-2x-3lt0q-altx-1lta若q是p的一个必要不充分条件求实数a的取值范围

基 础 训 练

一选择题

1ldquoxlt-2rdquo是ldquo不等式x2-4gt0成立rdquo的( )A充分不必要条件 B必要不充分条件

C充要条件 D既不充分也不必要条件

2ldquoAcapB=Ardquo是ldquoAsubeBrdquo的( )A充分不必要条件 B必要不充分条件

C充要条件 D既不充分也不必要条件

14

对口升学 数学总复习

3设甲是乙的充分不必要条件乙是丙的充要条件丁是丙的必要不充分条件则甲是乙的

( )A充分不必要条件 B必要不充分条件

C充要条件 D既不充分也不必要条件

4ldquox ge1rdquo是ldquoxge1rdquo的( )A充分不必要条件 B必要不充分条件

C充要条件 D既不充分也不必要条件

5ldquoα=π4rdquo是ldquotanα=1rdquo的( )

A充分不必要条件 B必要不充分条件

C充要条件 D既不充分也不必要条件

二解答题

1判断下列问题中p是q的什么条件(1)px2gey2qxgey(2)pxisinAcupBqxisinAcapB(3)pxgt3qxgt2(4)pa是有理数qa+2是有理数

2求一个对于一切实数x都有ax2-ax+1gt0成立的充要条件

提 升 训 练

已知p-2lexle10qx2-2x+1-m2le0(mgt0)若p是q的充分不必要条件求实数m的取值范围

15

第一章 集合与条件

单 招 链 接

1(2015middot四川省高职单招)设集合A= 123 B= 34 则AcupB=( )A3 B34 C123 D1234 2(2016middot四川省高职单招)设集合A= 123 B= 234 则AcapB=( )A B23 C14 D1234 3(2017middot四川省高职单招)设集合A= 012 B= 13 则AcapB=( )A012 B13 C1 D0123 4(2018middot四川省高职单招)已知集合 A= 123 B= 1a AcupB= 1234 则

a= 5(2019middot四川省高职单招)设集合A= 135 B= 369 则AcapB=( )A B3 C1569 D13569

2

对口升学 数学总复习

知识结构

第一节 集 合

1(2015年middot四川对口升学)设集合A= 123 B= 456 则AcapB=( )A B3 C12 D123456 2(2016年middot四川对口升学)设集合A= 0123 B= -101 则AcapB=( )A B01 C-101 D0123 3(2017年middot四川对口升学)设集合A= 01 B= -10 则AcupB=( )A B0 C-101 D01 4(2018年middot四川对口升学)设集合A= ab B=bc 则AcapB=( )A Bb

3

第一章 集合与条件

Cac Dabc 5(2019年middot四川对口升学)设集合A= -22 B= -12 则AcupB=( )A2 B-2-1 C-22 D-2-12

知识点一 集合的概念与表示法

1集合

把具有某种属性的一些确定的对象看成一个整体便形成一个集合常用大写的拉丁字母ABC等表示

2元素

集合中的每一个确定的对象叫作这个集合的元素常用小写字母abc等来表示3元素与集合的关系及性质

如果a是集合A 的一个元素就说a属于A记作aisinA如果a不是集合A 的元素就说a不属

于A记作anotinA集合中的元素具有确定性互异性无序性的特征4常用的集合

空集()正整数集(Z+或N)自然数集(N)整数集(Z)有理数集(Q)实数集(R)5集合的两种表示法

(1)列举法把集合的元素一一列举出来写在大括号内这种表示集合的方法叫作列举法注意用列举法表示集合时要注意以下几点①元素之间用逗号ldquordquo隔开②元素不能重复(满足集合中元素的互异性)③元素不能遗漏④当集合中的元素较少时用列举法比较简单若集合中的元素较多或无限但存在一定的规律

性在不发生误解的情况下也可以用列举法表示(2)描述法用集合所含元素的共同特性表示集合的方法称为描述法描述法表示的一般形式是x|p(x)其中ldquoxrdquo是集合中元素的代表形式ldquop(x)rdquo是集合中元素的

共同特征两者之间的竖线不可省略注意用描述法表示集合时要注意以下几点①写清楚集合中元素的代表形式(一般用小写字母表示)②写明集合中元素的特征或性质③用于描述元素特征的语句要力求简明准确不产生歧义多层描述时应当准确使用ldquo且rdquoldquo或rdquo

等关联词④所有描述的内容都要写在大括号内⑤在不引起混淆的情况下用描述法表示集合时有时也可以省去竖线和竖线左边的部分例如

正整数的集合可简记为正整数但是集合x|xgt1就不能省略竖线及其左边的x

知识点二 集合间的关系

1子集

一般地对于两个集合AB如果集合A中任何一个元素都是集合B 的元素那么集合A就叫

4

对口升学 数学总复习

作集合B 的子集记作AsubeB或者BsupeA读作ldquoA包含于Brdquo或ldquoB包含Ardquo当集合A不包含于集合B或集合B不包含集合A 时记作A⊈B或B⊉A性质任何一个集合是它本身的子集即AsubeA空集是任何集合的子集即subeA对集合AB

C若AsubeBBsubeC则AsubeC注意不能把子集说成由原来集合中的部分元素组成的集合因为A 的子集包括它本身而这个

子集由A的全体集合组成空集也是A的子集但这个子集中不包括A中的任何元素2真子集

如果A是B 的子集并且B中至少有一个元素不属于A则A是B 的真子集(A包含于B 但不

等于B)记作A⫋B或B⫌A性质空集是任何非空集合的真子集对于集合ABC若A⫋BB⫋C则A⫋C注意元素与集合之间是属于关系集合与集合之间是包含关系3集合相等

一般地对于两个集合A与B如果集合A中的任何一个元素都是集合B 的元素同时集合B中

的任何一个元素都是集合A的元素我们就说集合A等于集合B记作A=B(AB的所有元素均相

等)注意(1)若两个集合相等则两个集合所含元素完全相同反之亦然(2)要判断两个集合是否相等对于元素较少的有限集主要看它们的元素是否完全相同若是无

限集则从ldquo互为子集rdquo入手进行判断

知识点三 集合的运算

1交集

一般地由既属于集合A又属于集合B 的所有元素组成的集合称为集合A与集合B 的交集记作AcapB即AcapB=x|xisinA且xisinB

性质(1)AcapB=BcapA(2)AcapA=A(3)Acap=(4)AcapBsubeAAcapBsubeB(5)若AsubeB则AcapB=A2并集

一般地由所有属于集合A或属于集合B 的元素组成的集合称为集合A与集合B 的并集记作

AcupB即AcupB=x|xisinA或xisinB性质(1)AcupB=BcupA(2)AcupA=A(3)Acup=A(4)AsubeAcupBBsubeAcupB(5)若AsubeB则AcupB=B3图示两个集合的交集并集

(1)用Venn图表示两个集合的交集并集(见图1-1)(2)借助数轴表示数集的交集并集(见图1-2)

5

第一章 集合与条件

图1-1

图1-2

4全集

如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素则称这个集合为全集通常用U 表示注意全集是一个相对的概念在不同的情况下全集的概念也不同5补集

对于一个集合A由全集U 中不属于集合A 的所有元素组成的集合称为集合A 相对于全集U 的

补集简称为集合A的补集记作 UA即 UA =x|xisinU 且xnotinA性质(1)U(UA)=A(2)U=U UU=(3)Acup(UA)=U(4)Acap(UA)=6常见的集合表示

(1)方程的解集x|x2-3x+2=0或12一般用列举法表示

(2)方程组的解集 31 或 xy x-2y=1x+3y=6 = xy

x=3y=1 一般用后者表示

(3)不等式的解集x|3lexlt5或[35)一般用区间表示(4)点集(xy)|y=2x+1(5)具有某种性质的点集M||PM|=a(P为定点)(6)三角函数中角的集合表示M=α|2kπltαlt2kπ+πkisinZ

例1 考查下列每组对象(1)我国著名的数学家

6

对口升学 数学总复习

(2)超过10的所有自然数(3)某校2015年招收的高个子学生(4)方程x2-9=0的实数解(5)在直角坐标平面内第二象限的所有点其中能构成集合的是( )A(1)(2)(3) B(2)(3)(4)C(2)(4)(5) D(3)(4)(5)【解析】 (1)ldquo我国著名的数学家rdquo不是一个明确的标准不能构成一个集合(3)ldquo高个子学生rdquo这

一标准也不确定无法判定某人是高还是矮也不能构成集合(2)(4)的对象是确定的(5)的对象虽

然有无限个但它是确定的因此选C【技巧点拨】 判断某组对象能否构成集合关键看对象是否为整体的和确定的标准一定要是明

确的不能模糊否则无法判断

10512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275 105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275

10512751051275105127510512751051275变式训练1

下列语句能构成集合的是( )A我班个子高的男生 B与0接近的全体实数

C大于π的自然数 D优秀的中等职业学校

例2 用列举法表示下列集合(1)A=x|-2ltxlt5xisinZ(2)B=(xy)|2x+y=5xisinNyisinN【解析】 (1)A=-101234(2)B=(05)(13)(21)【技巧点拨】 掌握集合的两种表示方法

105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275 105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275

105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275变式训练2

用合适的方法表示下列集合(1)1112131415hellip(2)149162536

例3 设集合A=0下列结论正确的是( )AA=0 BA=C0isinA DisinA【解析】 本题考查了元素与集合集合与集合之间的关系答案选C【技巧点拨】 正确理解符号isinnotinsube⫋的意义是正确处理此类问题的关键

7

第一章 集合与条件

105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275 105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275

105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275变式训练3

下列说法正确的有( )个①空集没有子集②任何集合至少有两个子集③空集是任何集合的真子集④若⫋A则

AneA1 B2C3 D4

例4 已知集合A=x|x2-x-2=0B=x|x2-4x+p=0若BsubeA求实数p的取值范围【解析】 由题意得A=-12因为BsubeA所以B=或B=-1或B=2或B=-12又因为B=x|x2-4x+p=0所以B=-12不成立当B=时Δ=(-4)2-4p=16-4plt0解得pgt4

当B=-1时Δ=16-4p=0-1 2-4times -1 +p=0 无解

当B=2时Δ=16-4p=022-4times2+p=0解得p=4综上实数p的取值范围是pisin[4+infin)【技巧点拨】 两个集合包含或相等关系的问题通过建立方程(组)然后解出未知数最后利用

集合元素的特征进行检验即可

1051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275 105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275

1051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275变式训练4

已知集合A=11+m1+2mB=1nn2其中mnisinR若A=B求mn的值

例5 已知集合A=xy x2+y2le3xisinZyisinZ则A中元素的个数为( )A9 B8 C5 D4【解析】 由x2+y2le3知-3lexle3- 3leyle 3又xisinZyisinZ所以xisin -101 yisin

-101 所以A中元素的个数为9【技巧点拨】 对于求解集合中元素个数的题目首先求出集合然后根据集合中元素的互异性求

出集合中元素的个数或利用数形结合的方法求出集合中元素的个数

8

对口升学 数学总复习

105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275 105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275

105127510512751051275变式训练5

已知集合A=124集合B= xx=a+baisinAbisinA 则集合B中元素的个数为

例6 设全集U=R集合A= x0lexlt2 集合B= xx2-2x-3lt0 求AcapBAcupB

UAcapB【解析】 B= xx2-2x-3lt0 = x -1ltxlt3 UA= xxlt0或xge2

所以AcapB= x0lexlt2 AcupB= x -1ltxlt3 UAcapB= x -1ltxlt0或2lexlt3 【技巧点拨】 考查对集合运算的理解及性质的运用

105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275 105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275

105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275变式训练6

设全集U= 01234 集合A= 0123 集合B= 234 求AcapBAcupBUAcup UB

例7 已知集合M=x|alexlea+3N=x|xlt-1或xgt5若McapN=求实数a的取值

范围

【解析】 如图1-3所示要使McapN=必须满足a+3le5age-1 解得-1leale2所以实数a的取

值范围为a|-1leale2

图1-3

【技巧点拨】 解题时利用数轴表示集合便于寻求满足条件的实数a特别需要注意的是ldquo端点

值rdquo的问题是能取ldquo=rdquo还是不能取ldquo=rdquo

105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275 105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275

105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275变式训练7

已知A=x|alexlea+3B=x|xgt1或xlt-6(1)若AcapB=求a的取值范围(2)若AcupB=B求a的取值范围

9

第一章 集合与条件

例8 U 为全集集合M⫋UN⫋U且N subeM则( )A(UM)supe(UN) B(UM)supeNC(UM)sube(UN) DMsupe(UN) 【解析】 根据各集合之间的关系作图(见图1-4)这样就很容易做出判断故选C

图1-4

【技巧点拨】 1考虑集合之间的关系用图形解答比较方便2在数学中利用ldquo数形结合rdquo的思想往往能使问题简单化

105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275 105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275

105127510512751051275105127510512751051275变式训练8

U 为全集MN 为两个非空集合且满足McapN=M则下列正确的是( )AM ⫋N BN ⫋M CM=N DMcap(UN)=

基 础 训 练

一选择题

1下列命题所列对象中能组成集合的是( )A好人 B非常小的数

C有趣的书 D小于5的数

2给出下面四个关系①0isinQ②3notinQ③ZsubeQ④nsub0其中正确的个数为( )A4 B3 C2 D13用列举法表示集合x|x2-3x+2=0的结果是( )A(12) B12C12 D以上都不是

4集合1234所有子集的个数是( )A8 B14 C15 D165下列选项中表述正确的是( )A由135753组成的集合中有6个元素

B周长为16cm的三角形组成的集合是有限集合

C集合0是空集

D一年级(3)班的所有同学可以组成集合

6用列举法表示ldquo大于2且小于9的偶数的全体rdquo构成的集合是( )A B468C357 D345678

10

对口升学 数学总复习

二填空题

1用适当的符号(isinnotinsubesupe=)填空3 23 π Q 123 ZN Z -33 x|x2=92绝对值等于1的所有整数组成的集合是 3已知集合P= x2ltxltaxisinN 且集合P中恰有3个元素则整数a= 4下列六个关系式①absubeba②ab=ba③0=④0isin0⑤isin0⑥

sube0其中正确的个数为 三解答题

1已知集合A=012集合B=x|x=abaisinAbisinA(1)用列举法写出集合B(2)判断集合B的元素和集合A 的关系

2写出集合-3-113的所有子集并指出哪些是真子集

3已知集合1ab与-1-b1是同一集合求实数ab的值

4设全集U=R集合A= xx2-x-2=0 B= x x =y+1yisinA 求 UB

11

第一章 集合与条件

提 升 训 练

1满足abnsubAsubeabcde的集合A的个数是( )A9 B8 C7 D62已知集合A= xax2+2x+1=0xisinR (1)若A中只有一个元素求a的值(2)若A中恰有两个元素求a的取值范围(3)若A中至多只有一个元素求a的取值范围

3已知集合A= xx2-3x+2=0 B= xax+2=0 且BsubeA求实数a的值组成的

集合

第二节 充 要 条 件

1(2015年middot四川对口升学)ldquoxlt2rdquo是ldquox2-x-2lt0rdquo的( )A必要不充分条件 B充分不必要条件

C充要条件 D既不充分也不必要条件

2(2016年middot四川对口升学)ldquox le2rdquo是ldquo-2lexle2rdquo的( )A充分不必要条件 B必要不充分条件

C充要条件 D既不充分也不必要条件

12

对口升学 数学总复习

3(2017年middot四川对口升学)设abcisinR则ldquoac=b2rdquo是ldquoabc成等比数列rdquo的( )A充要条件 B既不充分也不必要条件

C必要不充分条件 D充分不必要条件

4(2018年middot四川对口升学)设abcisinR则ldquoagtbrdquo是ldquoac2gtbc2rdquo的( )A充分不必要条件 B必要不充分条件

C充要条件 D既不充分又不必要条件

5(2019年middot四川对口升学)ldquoxgt0rdquo是ldquoxgt1rdquo的( )A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件

1命题的概念

在数学中我们把用语言符号或式子表达的可以判断真假的陈述句称为命题正确的命题称为

真命题记作T错误的命题称为假命题记作FT和F称为命题的真值(有的书上用0和1作为命题

的真值)p与q为等值的命题记作p=q2必要条件的定义

(1)对于两个命题pq如果有prArrq则称p是q的充分条件q是p的必要条件注意p是q的充分条件是指只要具备了条件p那么q就一定成立即命题中的条件是充分的

q是p 的必要条件是指如果不具备条件q则p就不能成立即q是p 成立的必不可少的条件(2)如果prArrq且qrArrp即p=q则p是q的充分且必要条件简称充要条件注意(1)当phArrq时也称p与q是等价的(2)与充要条件等价的词语有ldquo当且仅当rdquoldquo等价于rdquoldquo有且只有rdquoldquo必需且只需rdquoldquohelliphellip反过来也成

立rdquo等3必要条件的判断方法

(1)从逻辑推理关系上判断(定义法)①若prArrq但q p则p是q的充分不必要条件②若p q但qrArrp则p是q的必要不充分条件③若prArrq且qrArrp则p是q的充要条件④若p q且q p则p是q的既不充分也不必要条件(2)从命题所对应的集合与集合之间的关系上判断(集合法)设命题p对应的集合为A命题q对应的集合为B①若AsubeB则p是q的充分条件若AsupeB则p是q的充分不必要条件②若AsupeB则p是q的必要条件若AsupeB则p是q的必要不充分条件③若AsubeB且AsupeB即A=B则p是q的充要条件④若A⫋B且A⫌B则p是q的既不充分也不必要条件

例1 已知p|3x-5|lt4q(x-1)(x-2)lt0则p是q的( )A充分不必要条件 B必要不充分条件

C充要条件 D既不充分也不必要条件

13

第一章 集合与条件

【解析】 p|3x-5|lt4rArrp13ltxlt3

q(x-1)(x-2)lt0rArrq1ltxlt2所以p⫋q但qrArrp所

以p是q的必要不充分条件选B【技巧点拨】 判断充分必要条件时先要分清条件和结论进而找到条件与结论之间的逻辑推理

关系常用的判断法定义法和集合法

10512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275 105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275

10512751051275105127510512751051275变式训练1

设命题甲0ltxlt5命题乙|x-2|lt3那么甲是乙的( )A充分不必要条件 B必要不充分条件

C充要条件 D既不充分也不必要条件

例2 已知集合A= yy=x2-32x+1xisin 3

42 B= xx+m2ge1 pxisinAqxisinB并

且p是q的充分条件求实数m的取值范围

【解析】 由题意得A= 716

2 B=[1-m2+infin)由于p是q的充分条件所以AsubeB所以

1-m2le716解得mge34或mle-34

即实数m的取值范围是(-infin-34]cup[3

4+infin)

【技巧点拨】 本题主要考查集合的运算以及充要条件的判断根据不等式之间的关系是解题的

关键

105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275 105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275

105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275变式训练2

已知px2-2x-3lt0q-altx-1lta若q是p的一个必要不充分条件求实数a的取值范围

基 础 训 练

一选择题

1ldquoxlt-2rdquo是ldquo不等式x2-4gt0成立rdquo的( )A充分不必要条件 B必要不充分条件

C充要条件 D既不充分也不必要条件

2ldquoAcapB=Ardquo是ldquoAsubeBrdquo的( )A充分不必要条件 B必要不充分条件

C充要条件 D既不充分也不必要条件

14

对口升学 数学总复习

3设甲是乙的充分不必要条件乙是丙的充要条件丁是丙的必要不充分条件则甲是乙的

( )A充分不必要条件 B必要不充分条件

C充要条件 D既不充分也不必要条件

4ldquox ge1rdquo是ldquoxge1rdquo的( )A充分不必要条件 B必要不充分条件

C充要条件 D既不充分也不必要条件

5ldquoα=π4rdquo是ldquotanα=1rdquo的( )

A充分不必要条件 B必要不充分条件

C充要条件 D既不充分也不必要条件

二解答题

1判断下列问题中p是q的什么条件(1)px2gey2qxgey(2)pxisinAcupBqxisinAcapB(3)pxgt3qxgt2(4)pa是有理数qa+2是有理数

2求一个对于一切实数x都有ax2-ax+1gt0成立的充要条件

提 升 训 练

已知p-2lexle10qx2-2x+1-m2le0(mgt0)若p是q的充分不必要条件求实数m的取值范围

15

第一章 集合与条件

单 招 链 接

1(2015middot四川省高职单招)设集合A= 123 B= 34 则AcupB=( )A3 B34 C123 D1234 2(2016middot四川省高职单招)设集合A= 123 B= 234 则AcapB=( )A B23 C14 D1234 3(2017middot四川省高职单招)设集合A= 012 B= 13 则AcapB=( )A012 B13 C1 D0123 4(2018middot四川省高职单招)已知集合 A= 123 B= 1a AcupB= 1234 则

a= 5(2019middot四川省高职单招)设集合A= 135 B= 369 则AcapB=( )A B3 C1569 D13569

3

第一章 集合与条件

Cac Dabc 5(2019年middot四川对口升学)设集合A= -22 B= -12 则AcupB=( )A2 B-2-1 C-22 D-2-12

知识点一 集合的概念与表示法

1集合

把具有某种属性的一些确定的对象看成一个整体便形成一个集合常用大写的拉丁字母ABC等表示

2元素

集合中的每一个确定的对象叫作这个集合的元素常用小写字母abc等来表示3元素与集合的关系及性质

如果a是集合A 的一个元素就说a属于A记作aisinA如果a不是集合A 的元素就说a不属

于A记作anotinA集合中的元素具有确定性互异性无序性的特征4常用的集合

空集()正整数集(Z+或N)自然数集(N)整数集(Z)有理数集(Q)实数集(R)5集合的两种表示法

(1)列举法把集合的元素一一列举出来写在大括号内这种表示集合的方法叫作列举法注意用列举法表示集合时要注意以下几点①元素之间用逗号ldquordquo隔开②元素不能重复(满足集合中元素的互异性)③元素不能遗漏④当集合中的元素较少时用列举法比较简单若集合中的元素较多或无限但存在一定的规律

性在不发生误解的情况下也可以用列举法表示(2)描述法用集合所含元素的共同特性表示集合的方法称为描述法描述法表示的一般形式是x|p(x)其中ldquoxrdquo是集合中元素的代表形式ldquop(x)rdquo是集合中元素的

共同特征两者之间的竖线不可省略注意用描述法表示集合时要注意以下几点①写清楚集合中元素的代表形式(一般用小写字母表示)②写明集合中元素的特征或性质③用于描述元素特征的语句要力求简明准确不产生歧义多层描述时应当准确使用ldquo且rdquoldquo或rdquo

等关联词④所有描述的内容都要写在大括号内⑤在不引起混淆的情况下用描述法表示集合时有时也可以省去竖线和竖线左边的部分例如

正整数的集合可简记为正整数但是集合x|xgt1就不能省略竖线及其左边的x

知识点二 集合间的关系

1子集

一般地对于两个集合AB如果集合A中任何一个元素都是集合B 的元素那么集合A就叫

4

对口升学 数学总复习

作集合B 的子集记作AsubeB或者BsupeA读作ldquoA包含于Brdquo或ldquoB包含Ardquo当集合A不包含于集合B或集合B不包含集合A 时记作A⊈B或B⊉A性质任何一个集合是它本身的子集即AsubeA空集是任何集合的子集即subeA对集合AB

C若AsubeBBsubeC则AsubeC注意不能把子集说成由原来集合中的部分元素组成的集合因为A 的子集包括它本身而这个

子集由A的全体集合组成空集也是A的子集但这个子集中不包括A中的任何元素2真子集

如果A是B 的子集并且B中至少有一个元素不属于A则A是B 的真子集(A包含于B 但不

等于B)记作A⫋B或B⫌A性质空集是任何非空集合的真子集对于集合ABC若A⫋BB⫋C则A⫋C注意元素与集合之间是属于关系集合与集合之间是包含关系3集合相等

一般地对于两个集合A与B如果集合A中的任何一个元素都是集合B 的元素同时集合B中

的任何一个元素都是集合A的元素我们就说集合A等于集合B记作A=B(AB的所有元素均相

等)注意(1)若两个集合相等则两个集合所含元素完全相同反之亦然(2)要判断两个集合是否相等对于元素较少的有限集主要看它们的元素是否完全相同若是无

限集则从ldquo互为子集rdquo入手进行判断

知识点三 集合的运算

1交集

一般地由既属于集合A又属于集合B 的所有元素组成的集合称为集合A与集合B 的交集记作AcapB即AcapB=x|xisinA且xisinB

性质(1)AcapB=BcapA(2)AcapA=A(3)Acap=(4)AcapBsubeAAcapBsubeB(5)若AsubeB则AcapB=A2并集

一般地由所有属于集合A或属于集合B 的元素组成的集合称为集合A与集合B 的并集记作

AcupB即AcupB=x|xisinA或xisinB性质(1)AcupB=BcupA(2)AcupA=A(3)Acup=A(4)AsubeAcupBBsubeAcupB(5)若AsubeB则AcupB=B3图示两个集合的交集并集

(1)用Venn图表示两个集合的交集并集(见图1-1)(2)借助数轴表示数集的交集并集(见图1-2)

5

第一章 集合与条件

图1-1

图1-2

4全集

如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素则称这个集合为全集通常用U 表示注意全集是一个相对的概念在不同的情况下全集的概念也不同5补集

对于一个集合A由全集U 中不属于集合A 的所有元素组成的集合称为集合A 相对于全集U 的

补集简称为集合A的补集记作 UA即 UA =x|xisinU 且xnotinA性质(1)U(UA)=A(2)U=U UU=(3)Acup(UA)=U(4)Acap(UA)=6常见的集合表示

(1)方程的解集x|x2-3x+2=0或12一般用列举法表示

(2)方程组的解集 31 或 xy x-2y=1x+3y=6 = xy

x=3y=1 一般用后者表示

(3)不等式的解集x|3lexlt5或[35)一般用区间表示(4)点集(xy)|y=2x+1(5)具有某种性质的点集M||PM|=a(P为定点)(6)三角函数中角的集合表示M=α|2kπltαlt2kπ+πkisinZ

例1 考查下列每组对象(1)我国著名的数学家

6

对口升学 数学总复习

(2)超过10的所有自然数(3)某校2015年招收的高个子学生(4)方程x2-9=0的实数解(5)在直角坐标平面内第二象限的所有点其中能构成集合的是( )A(1)(2)(3) B(2)(3)(4)C(2)(4)(5) D(3)(4)(5)【解析】 (1)ldquo我国著名的数学家rdquo不是一个明确的标准不能构成一个集合(3)ldquo高个子学生rdquo这

一标准也不确定无法判定某人是高还是矮也不能构成集合(2)(4)的对象是确定的(5)的对象虽

然有无限个但它是确定的因此选C【技巧点拨】 判断某组对象能否构成集合关键看对象是否为整体的和确定的标准一定要是明

确的不能模糊否则无法判断

10512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275 105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275

10512751051275105127510512751051275变式训练1

下列语句能构成集合的是( )A我班个子高的男生 B与0接近的全体实数

C大于π的自然数 D优秀的中等职业学校

例2 用列举法表示下列集合(1)A=x|-2ltxlt5xisinZ(2)B=(xy)|2x+y=5xisinNyisinN【解析】 (1)A=-101234(2)B=(05)(13)(21)【技巧点拨】 掌握集合的两种表示方法

105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275 105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275

105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275变式训练2

用合适的方法表示下列集合(1)1112131415hellip(2)149162536

例3 设集合A=0下列结论正确的是( )AA=0 BA=C0isinA DisinA【解析】 本题考查了元素与集合集合与集合之间的关系答案选C【技巧点拨】 正确理解符号isinnotinsube⫋的意义是正确处理此类问题的关键

7

第一章 集合与条件

105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275 105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275

105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275变式训练3

下列说法正确的有( )个①空集没有子集②任何集合至少有两个子集③空集是任何集合的真子集④若⫋A则

AneA1 B2C3 D4

例4 已知集合A=x|x2-x-2=0B=x|x2-4x+p=0若BsubeA求实数p的取值范围【解析】 由题意得A=-12因为BsubeA所以B=或B=-1或B=2或B=-12又因为B=x|x2-4x+p=0所以B=-12不成立当B=时Δ=(-4)2-4p=16-4plt0解得pgt4

当B=-1时Δ=16-4p=0-1 2-4times -1 +p=0 无解

当B=2时Δ=16-4p=022-4times2+p=0解得p=4综上实数p的取值范围是pisin[4+infin)【技巧点拨】 两个集合包含或相等关系的问题通过建立方程(组)然后解出未知数最后利用

集合元素的特征进行检验即可

1051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275 105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275

1051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275变式训练4

已知集合A=11+m1+2mB=1nn2其中mnisinR若A=B求mn的值

例5 已知集合A=xy x2+y2le3xisinZyisinZ则A中元素的个数为( )A9 B8 C5 D4【解析】 由x2+y2le3知-3lexle3- 3leyle 3又xisinZyisinZ所以xisin -101 yisin

-101 所以A中元素的个数为9【技巧点拨】 对于求解集合中元素个数的题目首先求出集合然后根据集合中元素的互异性求

出集合中元素的个数或利用数形结合的方法求出集合中元素的个数

8

对口升学 数学总复习

105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275 105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275

105127510512751051275变式训练5

已知集合A=124集合B= xx=a+baisinAbisinA 则集合B中元素的个数为

例6 设全集U=R集合A= x0lexlt2 集合B= xx2-2x-3lt0 求AcapBAcupB

UAcapB【解析】 B= xx2-2x-3lt0 = x -1ltxlt3 UA= xxlt0或xge2

所以AcapB= x0lexlt2 AcupB= x -1ltxlt3 UAcapB= x -1ltxlt0或2lexlt3 【技巧点拨】 考查对集合运算的理解及性质的运用

105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275 105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275

105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275变式训练6

设全集U= 01234 集合A= 0123 集合B= 234 求AcapBAcupBUAcup UB

例7 已知集合M=x|alexlea+3N=x|xlt-1或xgt5若McapN=求实数a的取值

范围

【解析】 如图1-3所示要使McapN=必须满足a+3le5age-1 解得-1leale2所以实数a的取

值范围为a|-1leale2

图1-3

【技巧点拨】 解题时利用数轴表示集合便于寻求满足条件的实数a特别需要注意的是ldquo端点

值rdquo的问题是能取ldquo=rdquo还是不能取ldquo=rdquo

105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275 105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275

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已知A=x|alexlea+3B=x|xgt1或xlt-6(1)若AcapB=求a的取值范围(2)若AcupB=B求a的取值范围

9

第一章 集合与条件

例8 U 为全集集合M⫋UN⫋U且N subeM则( )A(UM)supe(UN) B(UM)supeNC(UM)sube(UN) DMsupe(UN) 【解析】 根据各集合之间的关系作图(见图1-4)这样就很容易做出判断故选C

图1-4

【技巧点拨】 1考虑集合之间的关系用图形解答比较方便2在数学中利用ldquo数形结合rdquo的思想往往能使问题简单化

105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275 105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275

105127510512751051275105127510512751051275变式训练8

U 为全集MN 为两个非空集合且满足McapN=M则下列正确的是( )AM ⫋N BN ⫋M CM=N DMcap(UN)=

基 础 训 练

一选择题

1下列命题所列对象中能组成集合的是( )A好人 B非常小的数

C有趣的书 D小于5的数

2给出下面四个关系①0isinQ②3notinQ③ZsubeQ④nsub0其中正确的个数为( )A4 B3 C2 D13用列举法表示集合x|x2-3x+2=0的结果是( )A(12) B12C12 D以上都不是

4集合1234所有子集的个数是( )A8 B14 C15 D165下列选项中表述正确的是( )A由135753组成的集合中有6个元素

B周长为16cm的三角形组成的集合是有限集合

C集合0是空集

D一年级(3)班的所有同学可以组成集合

6用列举法表示ldquo大于2且小于9的偶数的全体rdquo构成的集合是( )A B468C357 D345678

10

对口升学 数学总复习

二填空题

1用适当的符号(isinnotinsubesupe=)填空3 23 π Q 123 ZN Z -33 x|x2=92绝对值等于1的所有整数组成的集合是 3已知集合P= x2ltxltaxisinN 且集合P中恰有3个元素则整数a= 4下列六个关系式①absubeba②ab=ba③0=④0isin0⑤isin0⑥

sube0其中正确的个数为 三解答题

1已知集合A=012集合B=x|x=abaisinAbisinA(1)用列举法写出集合B(2)判断集合B的元素和集合A 的关系

2写出集合-3-113的所有子集并指出哪些是真子集

3已知集合1ab与-1-b1是同一集合求实数ab的值

4设全集U=R集合A= xx2-x-2=0 B= x x =y+1yisinA 求 UB

11

第一章 集合与条件

提 升 训 练

1满足abnsubAsubeabcde的集合A的个数是( )A9 B8 C7 D62已知集合A= xax2+2x+1=0xisinR (1)若A中只有一个元素求a的值(2)若A中恰有两个元素求a的取值范围(3)若A中至多只有一个元素求a的取值范围

3已知集合A= xx2-3x+2=0 B= xax+2=0 且BsubeA求实数a的值组成的

集合

第二节 充 要 条 件

1(2015年middot四川对口升学)ldquoxlt2rdquo是ldquox2-x-2lt0rdquo的( )A必要不充分条件 B充分不必要条件

C充要条件 D既不充分也不必要条件

2(2016年middot四川对口升学)ldquox le2rdquo是ldquo-2lexle2rdquo的( )A充分不必要条件 B必要不充分条件

C充要条件 D既不充分也不必要条件

12

对口升学 数学总复习

3(2017年middot四川对口升学)设abcisinR则ldquoac=b2rdquo是ldquoabc成等比数列rdquo的( )A充要条件 B既不充分也不必要条件

C必要不充分条件 D充分不必要条件

4(2018年middot四川对口升学)设abcisinR则ldquoagtbrdquo是ldquoac2gtbc2rdquo的( )A充分不必要条件 B必要不充分条件

C充要条件 D既不充分又不必要条件

5(2019年middot四川对口升学)ldquoxgt0rdquo是ldquoxgt1rdquo的( )A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件

1命题的概念

在数学中我们把用语言符号或式子表达的可以判断真假的陈述句称为命题正确的命题称为

真命题记作T错误的命题称为假命题记作FT和F称为命题的真值(有的书上用0和1作为命题

的真值)p与q为等值的命题记作p=q2必要条件的定义

(1)对于两个命题pq如果有prArrq则称p是q的充分条件q是p的必要条件注意p是q的充分条件是指只要具备了条件p那么q就一定成立即命题中的条件是充分的

q是p 的必要条件是指如果不具备条件q则p就不能成立即q是p 成立的必不可少的条件(2)如果prArrq且qrArrp即p=q则p是q的充分且必要条件简称充要条件注意(1)当phArrq时也称p与q是等价的(2)与充要条件等价的词语有ldquo当且仅当rdquoldquo等价于rdquoldquo有且只有rdquoldquo必需且只需rdquoldquohelliphellip反过来也成

立rdquo等3必要条件的判断方法

(1)从逻辑推理关系上判断(定义法)①若prArrq但q p则p是q的充分不必要条件②若p q但qrArrp则p是q的必要不充分条件③若prArrq且qrArrp则p是q的充要条件④若p q且q p则p是q的既不充分也不必要条件(2)从命题所对应的集合与集合之间的关系上判断(集合法)设命题p对应的集合为A命题q对应的集合为B①若AsubeB则p是q的充分条件若AsupeB则p是q的充分不必要条件②若AsupeB则p是q的必要条件若AsupeB则p是q的必要不充分条件③若AsubeB且AsupeB即A=B则p是q的充要条件④若A⫋B且A⫌B则p是q的既不充分也不必要条件

例1 已知p|3x-5|lt4q(x-1)(x-2)lt0则p是q的( )A充分不必要条件 B必要不充分条件

C充要条件 D既不充分也不必要条件

13

第一章 集合与条件

【解析】 p|3x-5|lt4rArrp13ltxlt3

q(x-1)(x-2)lt0rArrq1ltxlt2所以p⫋q但qrArrp所

以p是q的必要不充分条件选B【技巧点拨】 判断充分必要条件时先要分清条件和结论进而找到条件与结论之间的逻辑推理

关系常用的判断法定义法和集合法

10512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275 105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275

10512751051275105127510512751051275变式训练1

设命题甲0ltxlt5命题乙|x-2|lt3那么甲是乙的( )A充分不必要条件 B必要不充分条件

C充要条件 D既不充分也不必要条件

例2 已知集合A= yy=x2-32x+1xisin 3

42 B= xx+m2ge1 pxisinAqxisinB并

且p是q的充分条件求实数m的取值范围

【解析】 由题意得A= 716

2 B=[1-m2+infin)由于p是q的充分条件所以AsubeB所以

1-m2le716解得mge34或mle-34

即实数m的取值范围是(-infin-34]cup[3

4+infin)

【技巧点拨】 本题主要考查集合的运算以及充要条件的判断根据不等式之间的关系是解题的

关键

105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275 105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275

105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275变式训练2

已知px2-2x-3lt0q-altx-1lta若q是p的一个必要不充分条件求实数a的取值范围

基 础 训 练

一选择题

1ldquoxlt-2rdquo是ldquo不等式x2-4gt0成立rdquo的( )A充分不必要条件 B必要不充分条件

C充要条件 D既不充分也不必要条件

2ldquoAcapB=Ardquo是ldquoAsubeBrdquo的( )A充分不必要条件 B必要不充分条件

C充要条件 D既不充分也不必要条件

14

对口升学 数学总复习

3设甲是乙的充分不必要条件乙是丙的充要条件丁是丙的必要不充分条件则甲是乙的

( )A充分不必要条件 B必要不充分条件

C充要条件 D既不充分也不必要条件

4ldquox ge1rdquo是ldquoxge1rdquo的( )A充分不必要条件 B必要不充分条件

C充要条件 D既不充分也不必要条件

5ldquoα=π4rdquo是ldquotanα=1rdquo的( )

A充分不必要条件 B必要不充分条件

C充要条件 D既不充分也不必要条件

二解答题

1判断下列问题中p是q的什么条件(1)px2gey2qxgey(2)pxisinAcupBqxisinAcapB(3)pxgt3qxgt2(4)pa是有理数qa+2是有理数

2求一个对于一切实数x都有ax2-ax+1gt0成立的充要条件

提 升 训 练

已知p-2lexle10qx2-2x+1-m2le0(mgt0)若p是q的充分不必要条件求实数m的取值范围

15

第一章 集合与条件

单 招 链 接

1(2015middot四川省高职单招)设集合A= 123 B= 34 则AcupB=( )A3 B34 C123 D1234 2(2016middot四川省高职单招)设集合A= 123 B= 234 则AcapB=( )A B23 C14 D1234 3(2017middot四川省高职单招)设集合A= 012 B= 13 则AcapB=( )A012 B13 C1 D0123 4(2018middot四川省高职单招)已知集合 A= 123 B= 1a AcupB= 1234 则

a= 5(2019middot四川省高职单招)设集合A= 135 B= 369 则AcapB=( )A B3 C1569 D13569

4

对口升学 数学总复习

作集合B 的子集记作AsubeB或者BsupeA读作ldquoA包含于Brdquo或ldquoB包含Ardquo当集合A不包含于集合B或集合B不包含集合A 时记作A⊈B或B⊉A性质任何一个集合是它本身的子集即AsubeA空集是任何集合的子集即subeA对集合AB

C若AsubeBBsubeC则AsubeC注意不能把子集说成由原来集合中的部分元素组成的集合因为A 的子集包括它本身而这个

子集由A的全体集合组成空集也是A的子集但这个子集中不包括A中的任何元素2真子集

如果A是B 的子集并且B中至少有一个元素不属于A则A是B 的真子集(A包含于B 但不

等于B)记作A⫋B或B⫌A性质空集是任何非空集合的真子集对于集合ABC若A⫋BB⫋C则A⫋C注意元素与集合之间是属于关系集合与集合之间是包含关系3集合相等

一般地对于两个集合A与B如果集合A中的任何一个元素都是集合B 的元素同时集合B中

的任何一个元素都是集合A的元素我们就说集合A等于集合B记作A=B(AB的所有元素均相

等)注意(1)若两个集合相等则两个集合所含元素完全相同反之亦然(2)要判断两个集合是否相等对于元素较少的有限集主要看它们的元素是否完全相同若是无

限集则从ldquo互为子集rdquo入手进行判断

知识点三 集合的运算

1交集

一般地由既属于集合A又属于集合B 的所有元素组成的集合称为集合A与集合B 的交集记作AcapB即AcapB=x|xisinA且xisinB

性质(1)AcapB=BcapA(2)AcapA=A(3)Acap=(4)AcapBsubeAAcapBsubeB(5)若AsubeB则AcapB=A2并集

一般地由所有属于集合A或属于集合B 的元素组成的集合称为集合A与集合B 的并集记作

AcupB即AcupB=x|xisinA或xisinB性质(1)AcupB=BcupA(2)AcupA=A(3)Acup=A(4)AsubeAcupBBsubeAcupB(5)若AsubeB则AcupB=B3图示两个集合的交集并集

(1)用Venn图表示两个集合的交集并集(见图1-1)(2)借助数轴表示数集的交集并集(见图1-2)

5

第一章 集合与条件

图1-1

图1-2

4全集

如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素则称这个集合为全集通常用U 表示注意全集是一个相对的概念在不同的情况下全集的概念也不同5补集

对于一个集合A由全集U 中不属于集合A 的所有元素组成的集合称为集合A 相对于全集U 的

补集简称为集合A的补集记作 UA即 UA =x|xisinU 且xnotinA性质(1)U(UA)=A(2)U=U UU=(3)Acup(UA)=U(4)Acap(UA)=6常见的集合表示

(1)方程的解集x|x2-3x+2=0或12一般用列举法表示

(2)方程组的解集 31 或 xy x-2y=1x+3y=6 = xy

x=3y=1 一般用后者表示

(3)不等式的解集x|3lexlt5或[35)一般用区间表示(4)点集(xy)|y=2x+1(5)具有某种性质的点集M||PM|=a(P为定点)(6)三角函数中角的集合表示M=α|2kπltαlt2kπ+πkisinZ

例1 考查下列每组对象(1)我国著名的数学家

6

对口升学 数学总复习

(2)超过10的所有自然数(3)某校2015年招收的高个子学生(4)方程x2-9=0的实数解(5)在直角坐标平面内第二象限的所有点其中能构成集合的是( )A(1)(2)(3) B(2)(3)(4)C(2)(4)(5) D(3)(4)(5)【解析】 (1)ldquo我国著名的数学家rdquo不是一个明确的标准不能构成一个集合(3)ldquo高个子学生rdquo这

一标准也不确定无法判定某人是高还是矮也不能构成集合(2)(4)的对象是确定的(5)的对象虽

然有无限个但它是确定的因此选C【技巧点拨】 判断某组对象能否构成集合关键看对象是否为整体的和确定的标准一定要是明

确的不能模糊否则无法判断

10512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275 105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275

10512751051275105127510512751051275变式训练1

下列语句能构成集合的是( )A我班个子高的男生 B与0接近的全体实数

C大于π的自然数 D优秀的中等职业学校

例2 用列举法表示下列集合(1)A=x|-2ltxlt5xisinZ(2)B=(xy)|2x+y=5xisinNyisinN【解析】 (1)A=-101234(2)B=(05)(13)(21)【技巧点拨】 掌握集合的两种表示方法

105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275 105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275

105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275变式训练2

用合适的方法表示下列集合(1)1112131415hellip(2)149162536

例3 设集合A=0下列结论正确的是( )AA=0 BA=C0isinA DisinA【解析】 本题考查了元素与集合集合与集合之间的关系答案选C【技巧点拨】 正确理解符号isinnotinsube⫋的意义是正确处理此类问题的关键

7

第一章 集合与条件

105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275 105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275

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下列说法正确的有( )个①空集没有子集②任何集合至少有两个子集③空集是任何集合的真子集④若⫋A则

AneA1 B2C3 D4

例4 已知集合A=x|x2-x-2=0B=x|x2-4x+p=0若BsubeA求实数p的取值范围【解析】 由题意得A=-12因为BsubeA所以B=或B=-1或B=2或B=-12又因为B=x|x2-4x+p=0所以B=-12不成立当B=时Δ=(-4)2-4p=16-4plt0解得pgt4

当B=-1时Δ=16-4p=0-1 2-4times -1 +p=0 无解

当B=2时Δ=16-4p=022-4times2+p=0解得p=4综上实数p的取值范围是pisin[4+infin)【技巧点拨】 两个集合包含或相等关系的问题通过建立方程(组)然后解出未知数最后利用

集合元素的特征进行检验即可

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已知集合A=11+m1+2mB=1nn2其中mnisinR若A=B求mn的值

例5 已知集合A=xy x2+y2le3xisinZyisinZ则A中元素的个数为( )A9 B8 C5 D4【解析】 由x2+y2le3知-3lexle3- 3leyle 3又xisinZyisinZ所以xisin -101 yisin

-101 所以A中元素的个数为9【技巧点拨】 对于求解集合中元素个数的题目首先求出集合然后根据集合中元素的互异性求

出集合中元素的个数或利用数形结合的方法求出集合中元素的个数

8

对口升学 数学总复习

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已知集合A=124集合B= xx=a+baisinAbisinA 则集合B中元素的个数为

例6 设全集U=R集合A= x0lexlt2 集合B= xx2-2x-3lt0 求AcapBAcupB

UAcapB【解析】 B= xx2-2x-3lt0 = x -1ltxlt3 UA= xxlt0或xge2

所以AcapB= x0lexlt2 AcupB= x -1ltxlt3 UAcapB= x -1ltxlt0或2lexlt3 【技巧点拨】 考查对集合运算的理解及性质的运用

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设全集U= 01234 集合A= 0123 集合B= 234 求AcapBAcupBUAcup UB

例7 已知集合M=x|alexlea+3N=x|xlt-1或xgt5若McapN=求实数a的取值

范围

【解析】 如图1-3所示要使McapN=必须满足a+3le5age-1 解得-1leale2所以实数a的取

值范围为a|-1leale2

图1-3

【技巧点拨】 解题时利用数轴表示集合便于寻求满足条件的实数a特别需要注意的是ldquo端点

值rdquo的问题是能取ldquo=rdquo还是不能取ldquo=rdquo

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已知A=x|alexlea+3B=x|xgt1或xlt-6(1)若AcapB=求a的取值范围(2)若AcupB=B求a的取值范围

9

第一章 集合与条件

例8 U 为全集集合M⫋UN⫋U且N subeM则( )A(UM)supe(UN) B(UM)supeNC(UM)sube(UN) DMsupe(UN) 【解析】 根据各集合之间的关系作图(见图1-4)这样就很容易做出判断故选C

图1-4

【技巧点拨】 1考虑集合之间的关系用图形解答比较方便2在数学中利用ldquo数形结合rdquo的思想往往能使问题简单化

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U 为全集MN 为两个非空集合且满足McapN=M则下列正确的是( )AM ⫋N BN ⫋M CM=N DMcap(UN)=

基 础 训 练

一选择题

1下列命题所列对象中能组成集合的是( )A好人 B非常小的数

C有趣的书 D小于5的数

2给出下面四个关系①0isinQ②3notinQ③ZsubeQ④nsub0其中正确的个数为( )A4 B3 C2 D13用列举法表示集合x|x2-3x+2=0的结果是( )A(12) B12C12 D以上都不是

4集合1234所有子集的个数是( )A8 B14 C15 D165下列选项中表述正确的是( )A由135753组成的集合中有6个元素

B周长为16cm的三角形组成的集合是有限集合

C集合0是空集

D一年级(3)班的所有同学可以组成集合

6用列举法表示ldquo大于2且小于9的偶数的全体rdquo构成的集合是( )A B468C357 D345678

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对口升学 数学总复习

二填空题

1用适当的符号(isinnotinsubesupe=)填空3 23 π Q 123 ZN Z -33 x|x2=92绝对值等于1的所有整数组成的集合是 3已知集合P= x2ltxltaxisinN 且集合P中恰有3个元素则整数a= 4下列六个关系式①absubeba②ab=ba③0=④0isin0⑤isin0⑥

sube0其中正确的个数为 三解答题

1已知集合A=012集合B=x|x=abaisinAbisinA(1)用列举法写出集合B(2)判断集合B的元素和集合A 的关系

2写出集合-3-113的所有子集并指出哪些是真子集

3已知集合1ab与-1-b1是同一集合求实数ab的值

4设全集U=R集合A= xx2-x-2=0 B= x x =y+1yisinA 求 UB

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第一章 集合与条件

提 升 训 练

1满足abnsubAsubeabcde的集合A的个数是( )A9 B8 C7 D62已知集合A= xax2+2x+1=0xisinR (1)若A中只有一个元素求a的值(2)若A中恰有两个元素求a的取值范围(3)若A中至多只有一个元素求a的取值范围

3已知集合A= xx2-3x+2=0 B= xax+2=0 且BsubeA求实数a的值组成的

集合

第二节 充 要 条 件

1(2015年middot四川对口升学)ldquoxlt2rdquo是ldquox2-x-2lt0rdquo的( )A必要不充分条件 B充分不必要条件

C充要条件 D既不充分也不必要条件

2(2016年middot四川对口升学)ldquox le2rdquo是ldquo-2lexle2rdquo的( )A充分不必要条件 B必要不充分条件

C充要条件 D既不充分也不必要条件

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对口升学 数学总复习

3(2017年middot四川对口升学)设abcisinR则ldquoac=b2rdquo是ldquoabc成等比数列rdquo的( )A充要条件 B既不充分也不必要条件

C必要不充分条件 D充分不必要条件

4(2018年middot四川对口升学)设abcisinR则ldquoagtbrdquo是ldquoac2gtbc2rdquo的( )A充分不必要条件 B必要不充分条件

C充要条件 D既不充分又不必要条件

5(2019年middot四川对口升学)ldquoxgt0rdquo是ldquoxgt1rdquo的( )A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件

1命题的概念

在数学中我们把用语言符号或式子表达的可以判断真假的陈述句称为命题正确的命题称为

真命题记作T错误的命题称为假命题记作FT和F称为命题的真值(有的书上用0和1作为命题

的真值)p与q为等值的命题记作p=q2必要条件的定义

(1)对于两个命题pq如果有prArrq则称p是q的充分条件q是p的必要条件注意p是q的充分条件是指只要具备了条件p那么q就一定成立即命题中的条件是充分的

q是p 的必要条件是指如果不具备条件q则p就不能成立即q是p 成立的必不可少的条件(2)如果prArrq且qrArrp即p=q则p是q的充分且必要条件简称充要条件注意(1)当phArrq时也称p与q是等价的(2)与充要条件等价的词语有ldquo当且仅当rdquoldquo等价于rdquoldquo有且只有rdquoldquo必需且只需rdquoldquohelliphellip反过来也成

立rdquo等3必要条件的判断方法

(1)从逻辑推理关系上判断(定义法)①若prArrq但q p则p是q的充分不必要条件②若p q但qrArrp则p是q的必要不充分条件③若prArrq且qrArrp则p是q的充要条件④若p q且q p则p是q的既不充分也不必要条件(2)从命题所对应的集合与集合之间的关系上判断(集合法)设命题p对应的集合为A命题q对应的集合为B①若AsubeB则p是q的充分条件若AsupeB则p是q的充分不必要条件②若AsupeB则p是q的必要条件若AsupeB则p是q的必要不充分条件③若AsubeB且AsupeB即A=B则p是q的充要条件④若A⫋B且A⫌B则p是q的既不充分也不必要条件

例1 已知p|3x-5|lt4q(x-1)(x-2)lt0则p是q的( )A充分不必要条件 B必要不充分条件

C充要条件 D既不充分也不必要条件

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第一章 集合与条件

【解析】 p|3x-5|lt4rArrp13ltxlt3

q(x-1)(x-2)lt0rArrq1ltxlt2所以p⫋q但qrArrp所

以p是q的必要不充分条件选B【技巧点拨】 判断充分必要条件时先要分清条件和结论进而找到条件与结论之间的逻辑推理

关系常用的判断法定义法和集合法

10512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275 105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275

10512751051275105127510512751051275变式训练1

设命题甲0ltxlt5命题乙|x-2|lt3那么甲是乙的( )A充分不必要条件 B必要不充分条件

C充要条件 D既不充分也不必要条件

例2 已知集合A= yy=x2-32x+1xisin 3

42 B= xx+m2ge1 pxisinAqxisinB并

且p是q的充分条件求实数m的取值范围

【解析】 由题意得A= 716

2 B=[1-m2+infin)由于p是q的充分条件所以AsubeB所以

1-m2le716解得mge34或mle-34

即实数m的取值范围是(-infin-34]cup[3

4+infin)

【技巧点拨】 本题主要考查集合的运算以及充要条件的判断根据不等式之间的关系是解题的

关键

105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275 105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275

105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275变式训练2

已知px2-2x-3lt0q-altx-1lta若q是p的一个必要不充分条件求实数a的取值范围

基 础 训 练

一选择题

1ldquoxlt-2rdquo是ldquo不等式x2-4gt0成立rdquo的( )A充分不必要条件 B必要不充分条件

C充要条件 D既不充分也不必要条件

2ldquoAcapB=Ardquo是ldquoAsubeBrdquo的( )A充分不必要条件 B必要不充分条件

C充要条件 D既不充分也不必要条件

14

对口升学 数学总复习

3设甲是乙的充分不必要条件乙是丙的充要条件丁是丙的必要不充分条件则甲是乙的

( )A充分不必要条件 B必要不充分条件

C充要条件 D既不充分也不必要条件

4ldquox ge1rdquo是ldquoxge1rdquo的( )A充分不必要条件 B必要不充分条件

C充要条件 D既不充分也不必要条件

5ldquoα=π4rdquo是ldquotanα=1rdquo的( )

A充分不必要条件 B必要不充分条件

C充要条件 D既不充分也不必要条件

二解答题

1判断下列问题中p是q的什么条件(1)px2gey2qxgey(2)pxisinAcupBqxisinAcapB(3)pxgt3qxgt2(4)pa是有理数qa+2是有理数

2求一个对于一切实数x都有ax2-ax+1gt0成立的充要条件

提 升 训 练

已知p-2lexle10qx2-2x+1-m2le0(mgt0)若p是q的充分不必要条件求实数m的取值范围

15

第一章 集合与条件

单 招 链 接

1(2015middot四川省高职单招)设集合A= 123 B= 34 则AcupB=( )A3 B34 C123 D1234 2(2016middot四川省高职单招)设集合A= 123 B= 234 则AcapB=( )A B23 C14 D1234 3(2017middot四川省高职单招)设集合A= 012 B= 13 则AcapB=( )A012 B13 C1 D0123 4(2018middot四川省高职单招)已知集合 A= 123 B= 1a AcupB= 1234 则

a= 5(2019middot四川省高职单招)设集合A= 135 B= 369 则AcapB=( )A B3 C1569 D13569

5

第一章 集合与条件

图1-1

图1-2

4全集

如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素则称这个集合为全集通常用U 表示注意全集是一个相对的概念在不同的情况下全集的概念也不同5补集

对于一个集合A由全集U 中不属于集合A 的所有元素组成的集合称为集合A 相对于全集U 的

补集简称为集合A的补集记作 UA即 UA =x|xisinU 且xnotinA性质(1)U(UA)=A(2)U=U UU=(3)Acup(UA)=U(4)Acap(UA)=6常见的集合表示

(1)方程的解集x|x2-3x+2=0或12一般用列举法表示

(2)方程组的解集 31 或 xy x-2y=1x+3y=6 = xy

x=3y=1 一般用后者表示

(3)不等式的解集x|3lexlt5或[35)一般用区间表示(4)点集(xy)|y=2x+1(5)具有某种性质的点集M||PM|=a(P为定点)(6)三角函数中角的集合表示M=α|2kπltαlt2kπ+πkisinZ

例1 考查下列每组对象(1)我国著名的数学家

6

对口升学 数学总复习

(2)超过10的所有自然数(3)某校2015年招收的高个子学生(4)方程x2-9=0的实数解(5)在直角坐标平面内第二象限的所有点其中能构成集合的是( )A(1)(2)(3) B(2)(3)(4)C(2)(4)(5) D(3)(4)(5)【解析】 (1)ldquo我国著名的数学家rdquo不是一个明确的标准不能构成一个集合(3)ldquo高个子学生rdquo这

一标准也不确定无法判定某人是高还是矮也不能构成集合(2)(4)的对象是确定的(5)的对象虽

然有无限个但它是确定的因此选C【技巧点拨】 判断某组对象能否构成集合关键看对象是否为整体的和确定的标准一定要是明

确的不能模糊否则无法判断

10512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275 105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275

10512751051275105127510512751051275变式训练1

下列语句能构成集合的是( )A我班个子高的男生 B与0接近的全体实数

C大于π的自然数 D优秀的中等职业学校

例2 用列举法表示下列集合(1)A=x|-2ltxlt5xisinZ(2)B=(xy)|2x+y=5xisinNyisinN【解析】 (1)A=-101234(2)B=(05)(13)(21)【技巧点拨】 掌握集合的两种表示方法

105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275 105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275

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用合适的方法表示下列集合(1)1112131415hellip(2)149162536

例3 设集合A=0下列结论正确的是( )AA=0 BA=C0isinA DisinA【解析】 本题考查了元素与集合集合与集合之间的关系答案选C【技巧点拨】 正确理解符号isinnotinsube⫋的意义是正确处理此类问题的关键

7

第一章 集合与条件

105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275 105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275

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下列说法正确的有( )个①空集没有子集②任何集合至少有两个子集③空集是任何集合的真子集④若⫋A则

AneA1 B2C3 D4

例4 已知集合A=x|x2-x-2=0B=x|x2-4x+p=0若BsubeA求实数p的取值范围【解析】 由题意得A=-12因为BsubeA所以B=或B=-1或B=2或B=-12又因为B=x|x2-4x+p=0所以B=-12不成立当B=时Δ=(-4)2-4p=16-4plt0解得pgt4

当B=-1时Δ=16-4p=0-1 2-4times -1 +p=0 无解

当B=2时Δ=16-4p=022-4times2+p=0解得p=4综上实数p的取值范围是pisin[4+infin)【技巧点拨】 两个集合包含或相等关系的问题通过建立方程(组)然后解出未知数最后利用

集合元素的特征进行检验即可

1051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275 105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275

1051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275变式训练4

已知集合A=11+m1+2mB=1nn2其中mnisinR若A=B求mn的值

例5 已知集合A=xy x2+y2le3xisinZyisinZ则A中元素的个数为( )A9 B8 C5 D4【解析】 由x2+y2le3知-3lexle3- 3leyle 3又xisinZyisinZ所以xisin -101 yisin

-101 所以A中元素的个数为9【技巧点拨】 对于求解集合中元素个数的题目首先求出集合然后根据集合中元素的互异性求

出集合中元素的个数或利用数形结合的方法求出集合中元素的个数

8

对口升学 数学总复习

105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275 105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275

105127510512751051275变式训练5

已知集合A=124集合B= xx=a+baisinAbisinA 则集合B中元素的个数为

例6 设全集U=R集合A= x0lexlt2 集合B= xx2-2x-3lt0 求AcapBAcupB

UAcapB【解析】 B= xx2-2x-3lt0 = x -1ltxlt3 UA= xxlt0或xge2

所以AcapB= x0lexlt2 AcupB= x -1ltxlt3 UAcapB= x -1ltxlt0或2lexlt3 【技巧点拨】 考查对集合运算的理解及性质的运用

105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275 105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275

105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275变式训练6

设全集U= 01234 集合A= 0123 集合B= 234 求AcapBAcupBUAcup UB

例7 已知集合M=x|alexlea+3N=x|xlt-1或xgt5若McapN=求实数a的取值

范围

【解析】 如图1-3所示要使McapN=必须满足a+3le5age-1 解得-1leale2所以实数a的取

值范围为a|-1leale2

图1-3

【技巧点拨】 解题时利用数轴表示集合便于寻求满足条件的实数a特别需要注意的是ldquo端点

值rdquo的问题是能取ldquo=rdquo还是不能取ldquo=rdquo

105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275 105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275

105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275变式训练7

已知A=x|alexlea+3B=x|xgt1或xlt-6(1)若AcapB=求a的取值范围(2)若AcupB=B求a的取值范围

9

第一章 集合与条件

例8 U 为全集集合M⫋UN⫋U且N subeM则( )A(UM)supe(UN) B(UM)supeNC(UM)sube(UN) DMsupe(UN) 【解析】 根据各集合之间的关系作图(见图1-4)这样就很容易做出判断故选C

图1-4

【技巧点拨】 1考虑集合之间的关系用图形解答比较方便2在数学中利用ldquo数形结合rdquo的思想往往能使问题简单化

105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275 105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275

105127510512751051275105127510512751051275变式训练8

U 为全集MN 为两个非空集合且满足McapN=M则下列正确的是( )AM ⫋N BN ⫋M CM=N DMcap(UN)=

基 础 训 练

一选择题

1下列命题所列对象中能组成集合的是( )A好人 B非常小的数

C有趣的书 D小于5的数

2给出下面四个关系①0isinQ②3notinQ③ZsubeQ④nsub0其中正确的个数为( )A4 B3 C2 D13用列举法表示集合x|x2-3x+2=0的结果是( )A(12) B12C12 D以上都不是

4集合1234所有子集的个数是( )A8 B14 C15 D165下列选项中表述正确的是( )A由135753组成的集合中有6个元素

B周长为16cm的三角形组成的集合是有限集合

C集合0是空集

D一年级(3)班的所有同学可以组成集合

6用列举法表示ldquo大于2且小于9的偶数的全体rdquo构成的集合是( )A B468C357 D345678

10

对口升学 数学总复习

二填空题

1用适当的符号(isinnotinsubesupe=)填空3 23 π Q 123 ZN Z -33 x|x2=92绝对值等于1的所有整数组成的集合是 3已知集合P= x2ltxltaxisinN 且集合P中恰有3个元素则整数a= 4下列六个关系式①absubeba②ab=ba③0=④0isin0⑤isin0⑥

sube0其中正确的个数为 三解答题

1已知集合A=012集合B=x|x=abaisinAbisinA(1)用列举法写出集合B(2)判断集合B的元素和集合A 的关系

2写出集合-3-113的所有子集并指出哪些是真子集

3已知集合1ab与-1-b1是同一集合求实数ab的值

4设全集U=R集合A= xx2-x-2=0 B= x x =y+1yisinA 求 UB

11

第一章 集合与条件

提 升 训 练

1满足abnsubAsubeabcde的集合A的个数是( )A9 B8 C7 D62已知集合A= xax2+2x+1=0xisinR (1)若A中只有一个元素求a的值(2)若A中恰有两个元素求a的取值范围(3)若A中至多只有一个元素求a的取值范围

3已知集合A= xx2-3x+2=0 B= xax+2=0 且BsubeA求实数a的值组成的

集合

第二节 充 要 条 件

1(2015年middot四川对口升学)ldquoxlt2rdquo是ldquox2-x-2lt0rdquo的( )A必要不充分条件 B充分不必要条件

C充要条件 D既不充分也不必要条件

2(2016年middot四川对口升学)ldquox le2rdquo是ldquo-2lexle2rdquo的( )A充分不必要条件 B必要不充分条件

C充要条件 D既不充分也不必要条件

12

对口升学 数学总复习

3(2017年middot四川对口升学)设abcisinR则ldquoac=b2rdquo是ldquoabc成等比数列rdquo的( )A充要条件 B既不充分也不必要条件

C必要不充分条件 D充分不必要条件

4(2018年middot四川对口升学)设abcisinR则ldquoagtbrdquo是ldquoac2gtbc2rdquo的( )A充分不必要条件 B必要不充分条件

C充要条件 D既不充分又不必要条件

5(2019年middot四川对口升学)ldquoxgt0rdquo是ldquoxgt1rdquo的( )A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件

1命题的概念

在数学中我们把用语言符号或式子表达的可以判断真假的陈述句称为命题正确的命题称为

真命题记作T错误的命题称为假命题记作FT和F称为命题的真值(有的书上用0和1作为命题

的真值)p与q为等值的命题记作p=q2必要条件的定义

(1)对于两个命题pq如果有prArrq则称p是q的充分条件q是p的必要条件注意p是q的充分条件是指只要具备了条件p那么q就一定成立即命题中的条件是充分的

q是p 的必要条件是指如果不具备条件q则p就不能成立即q是p 成立的必不可少的条件(2)如果prArrq且qrArrp即p=q则p是q的充分且必要条件简称充要条件注意(1)当phArrq时也称p与q是等价的(2)与充要条件等价的词语有ldquo当且仅当rdquoldquo等价于rdquoldquo有且只有rdquoldquo必需且只需rdquoldquohelliphellip反过来也成

立rdquo等3必要条件的判断方法

(1)从逻辑推理关系上判断(定义法)①若prArrq但q p则p是q的充分不必要条件②若p q但qrArrp则p是q的必要不充分条件③若prArrq且qrArrp则p是q的充要条件④若p q且q p则p是q的既不充分也不必要条件(2)从命题所对应的集合与集合之间的关系上判断(集合法)设命题p对应的集合为A命题q对应的集合为B①若AsubeB则p是q的充分条件若AsupeB则p是q的充分不必要条件②若AsupeB则p是q的必要条件若AsupeB则p是q的必要不充分条件③若AsubeB且AsupeB即A=B则p是q的充要条件④若A⫋B且A⫌B则p是q的既不充分也不必要条件

例1 已知p|3x-5|lt4q(x-1)(x-2)lt0则p是q的( )A充分不必要条件 B必要不充分条件

C充要条件 D既不充分也不必要条件

13

第一章 集合与条件

【解析】 p|3x-5|lt4rArrp13ltxlt3

q(x-1)(x-2)lt0rArrq1ltxlt2所以p⫋q但qrArrp所

以p是q的必要不充分条件选B【技巧点拨】 判断充分必要条件时先要分清条件和结论进而找到条件与结论之间的逻辑推理

关系常用的判断法定义法和集合法

10512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275 105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275

10512751051275105127510512751051275变式训练1

设命题甲0ltxlt5命题乙|x-2|lt3那么甲是乙的( )A充分不必要条件 B必要不充分条件

C充要条件 D既不充分也不必要条件

例2 已知集合A= yy=x2-32x+1xisin 3

42 B= xx+m2ge1 pxisinAqxisinB并

且p是q的充分条件求实数m的取值范围

【解析】 由题意得A= 716

2 B=[1-m2+infin)由于p是q的充分条件所以AsubeB所以

1-m2le716解得mge34或mle-34

即实数m的取值范围是(-infin-34]cup[3

4+infin)

【技巧点拨】 本题主要考查集合的运算以及充要条件的判断根据不等式之间的关系是解题的

关键

105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275 105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275

105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275变式训练2

已知px2-2x-3lt0q-altx-1lta若q是p的一个必要不充分条件求实数a的取值范围

基 础 训 练

一选择题

1ldquoxlt-2rdquo是ldquo不等式x2-4gt0成立rdquo的( )A充分不必要条件 B必要不充分条件

C充要条件 D既不充分也不必要条件

2ldquoAcapB=Ardquo是ldquoAsubeBrdquo的( )A充分不必要条件 B必要不充分条件

C充要条件 D既不充分也不必要条件

14

对口升学 数学总复习

3设甲是乙的充分不必要条件乙是丙的充要条件丁是丙的必要不充分条件则甲是乙的

( )A充分不必要条件 B必要不充分条件

C充要条件 D既不充分也不必要条件

4ldquox ge1rdquo是ldquoxge1rdquo的( )A充分不必要条件 B必要不充分条件

C充要条件 D既不充分也不必要条件

5ldquoα=π4rdquo是ldquotanα=1rdquo的( )

A充分不必要条件 B必要不充分条件

C充要条件 D既不充分也不必要条件

二解答题

1判断下列问题中p是q的什么条件(1)px2gey2qxgey(2)pxisinAcupBqxisinAcapB(3)pxgt3qxgt2(4)pa是有理数qa+2是有理数

2求一个对于一切实数x都有ax2-ax+1gt0成立的充要条件

提 升 训 练

已知p-2lexle10qx2-2x+1-m2le0(mgt0)若p是q的充分不必要条件求实数m的取值范围

15

第一章 集合与条件

单 招 链 接

1(2015middot四川省高职单招)设集合A= 123 B= 34 则AcupB=( )A3 B34 C123 D1234 2(2016middot四川省高职单招)设集合A= 123 B= 234 则AcapB=( )A B23 C14 D1234 3(2017middot四川省高职单招)设集合A= 012 B= 13 则AcapB=( )A012 B13 C1 D0123 4(2018middot四川省高职单招)已知集合 A= 123 B= 1a AcupB= 1234 则

a= 5(2019middot四川省高职单招)设集合A= 135 B= 369 则AcapB=( )A B3 C1569 D13569

6

对口升学 数学总复习

(2)超过10的所有自然数(3)某校2015年招收的高个子学生(4)方程x2-9=0的实数解(5)在直角坐标平面内第二象限的所有点其中能构成集合的是( )A(1)(2)(3) B(2)(3)(4)C(2)(4)(5) D(3)(4)(5)【解析】 (1)ldquo我国著名的数学家rdquo不是一个明确的标准不能构成一个集合(3)ldquo高个子学生rdquo这

一标准也不确定无法判定某人是高还是矮也不能构成集合(2)(4)的对象是确定的(5)的对象虽

然有无限个但它是确定的因此选C【技巧点拨】 判断某组对象能否构成集合关键看对象是否为整体的和确定的标准一定要是明

确的不能模糊否则无法判断

10512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275 105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275

10512751051275105127510512751051275变式训练1

下列语句能构成集合的是( )A我班个子高的男生 B与0接近的全体实数

C大于π的自然数 D优秀的中等职业学校

例2 用列举法表示下列集合(1)A=x|-2ltxlt5xisinZ(2)B=(xy)|2x+y=5xisinNyisinN【解析】 (1)A=-101234(2)B=(05)(13)(21)【技巧点拨】 掌握集合的两种表示方法

105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275 105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275

105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275变式训练2

用合适的方法表示下列集合(1)1112131415hellip(2)149162536

例3 设集合A=0下列结论正确的是( )AA=0 BA=C0isinA DisinA【解析】 本题考查了元素与集合集合与集合之间的关系答案选C【技巧点拨】 正确理解符号isinnotinsube⫋的意义是正确处理此类问题的关键

7

第一章 集合与条件

105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275 105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275

105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275变式训练3

下列说法正确的有( )个①空集没有子集②任何集合至少有两个子集③空集是任何集合的真子集④若⫋A则

AneA1 B2C3 D4

例4 已知集合A=x|x2-x-2=0B=x|x2-4x+p=0若BsubeA求实数p的取值范围【解析】 由题意得A=-12因为BsubeA所以B=或B=-1或B=2或B=-12又因为B=x|x2-4x+p=0所以B=-12不成立当B=时Δ=(-4)2-4p=16-4plt0解得pgt4

当B=-1时Δ=16-4p=0-1 2-4times -1 +p=0 无解

当B=2时Δ=16-4p=022-4times2+p=0解得p=4综上实数p的取值范围是pisin[4+infin)【技巧点拨】 两个集合包含或相等关系的问题通过建立方程(组)然后解出未知数最后利用

集合元素的特征进行检验即可

1051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275 105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275

1051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275变式训练4

已知集合A=11+m1+2mB=1nn2其中mnisinR若A=B求mn的值

例5 已知集合A=xy x2+y2le3xisinZyisinZ则A中元素的个数为( )A9 B8 C5 D4【解析】 由x2+y2le3知-3lexle3- 3leyle 3又xisinZyisinZ所以xisin -101 yisin

-101 所以A中元素的个数为9【技巧点拨】 对于求解集合中元素个数的题目首先求出集合然后根据集合中元素的互异性求

出集合中元素的个数或利用数形结合的方法求出集合中元素的个数

8

对口升学 数学总复习

105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275 105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275

105127510512751051275变式训练5

已知集合A=124集合B= xx=a+baisinAbisinA 则集合B中元素的个数为

例6 设全集U=R集合A= x0lexlt2 集合B= xx2-2x-3lt0 求AcapBAcupB

UAcapB【解析】 B= xx2-2x-3lt0 = x -1ltxlt3 UA= xxlt0或xge2

所以AcapB= x0lexlt2 AcupB= x -1ltxlt3 UAcapB= x -1ltxlt0或2lexlt3 【技巧点拨】 考查对集合运算的理解及性质的运用

105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275 105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275

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设全集U= 01234 集合A= 0123 集合B= 234 求AcapBAcupBUAcup UB

例7 已知集合M=x|alexlea+3N=x|xlt-1或xgt5若McapN=求实数a的取值

范围

【解析】 如图1-3所示要使McapN=必须满足a+3le5age-1 解得-1leale2所以实数a的取

值范围为a|-1leale2

图1-3

【技巧点拨】 解题时利用数轴表示集合便于寻求满足条件的实数a特别需要注意的是ldquo端点

值rdquo的问题是能取ldquo=rdquo还是不能取ldquo=rdquo

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已知A=x|alexlea+3B=x|xgt1或xlt-6(1)若AcapB=求a的取值范围(2)若AcupB=B求a的取值范围

9

第一章 集合与条件

例8 U 为全集集合M⫋UN⫋U且N subeM则( )A(UM)supe(UN) B(UM)supeNC(UM)sube(UN) DMsupe(UN) 【解析】 根据各集合之间的关系作图(见图1-4)这样就很容易做出判断故选C

图1-4

【技巧点拨】 1考虑集合之间的关系用图形解答比较方便2在数学中利用ldquo数形结合rdquo的思想往往能使问题简单化

105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275 105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275

105127510512751051275105127510512751051275变式训练8

U 为全集MN 为两个非空集合且满足McapN=M则下列正确的是( )AM ⫋N BN ⫋M CM=N DMcap(UN)=

基 础 训 练

一选择题

1下列命题所列对象中能组成集合的是( )A好人 B非常小的数

C有趣的书 D小于5的数

2给出下面四个关系①0isinQ②3notinQ③ZsubeQ④nsub0其中正确的个数为( )A4 B3 C2 D13用列举法表示集合x|x2-3x+2=0的结果是( )A(12) B12C12 D以上都不是

4集合1234所有子集的个数是( )A8 B14 C15 D165下列选项中表述正确的是( )A由135753组成的集合中有6个元素

B周长为16cm的三角形组成的集合是有限集合

C集合0是空集

D一年级(3)班的所有同学可以组成集合

6用列举法表示ldquo大于2且小于9的偶数的全体rdquo构成的集合是( )A B468C357 D345678

10

对口升学 数学总复习

二填空题

1用适当的符号(isinnotinsubesupe=)填空3 23 π Q 123 ZN Z -33 x|x2=92绝对值等于1的所有整数组成的集合是 3已知集合P= x2ltxltaxisinN 且集合P中恰有3个元素则整数a= 4下列六个关系式①absubeba②ab=ba③0=④0isin0⑤isin0⑥

sube0其中正确的个数为 三解答题

1已知集合A=012集合B=x|x=abaisinAbisinA(1)用列举法写出集合B(2)判断集合B的元素和集合A 的关系

2写出集合-3-113的所有子集并指出哪些是真子集

3已知集合1ab与-1-b1是同一集合求实数ab的值

4设全集U=R集合A= xx2-x-2=0 B= x x =y+1yisinA 求 UB

11

第一章 集合与条件

提 升 训 练

1满足abnsubAsubeabcde的集合A的个数是( )A9 B8 C7 D62已知集合A= xax2+2x+1=0xisinR (1)若A中只有一个元素求a的值(2)若A中恰有两个元素求a的取值范围(3)若A中至多只有一个元素求a的取值范围

3已知集合A= xx2-3x+2=0 B= xax+2=0 且BsubeA求实数a的值组成的

集合

第二节 充 要 条 件

1(2015年middot四川对口升学)ldquoxlt2rdquo是ldquox2-x-2lt0rdquo的( )A必要不充分条件 B充分不必要条件

C充要条件 D既不充分也不必要条件

2(2016年middot四川对口升学)ldquox le2rdquo是ldquo-2lexle2rdquo的( )A充分不必要条件 B必要不充分条件

C充要条件 D既不充分也不必要条件

12

对口升学 数学总复习

3(2017年middot四川对口升学)设abcisinR则ldquoac=b2rdquo是ldquoabc成等比数列rdquo的( )A充要条件 B既不充分也不必要条件

C必要不充分条件 D充分不必要条件

4(2018年middot四川对口升学)设abcisinR则ldquoagtbrdquo是ldquoac2gtbc2rdquo的( )A充分不必要条件 B必要不充分条件

C充要条件 D既不充分又不必要条件

5(2019年middot四川对口升学)ldquoxgt0rdquo是ldquoxgt1rdquo的( )A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件

1命题的概念

在数学中我们把用语言符号或式子表达的可以判断真假的陈述句称为命题正确的命题称为

真命题记作T错误的命题称为假命题记作FT和F称为命题的真值(有的书上用0和1作为命题

的真值)p与q为等值的命题记作p=q2必要条件的定义

(1)对于两个命题pq如果有prArrq则称p是q的充分条件q是p的必要条件注意p是q的充分条件是指只要具备了条件p那么q就一定成立即命题中的条件是充分的

q是p 的必要条件是指如果不具备条件q则p就不能成立即q是p 成立的必不可少的条件(2)如果prArrq且qrArrp即p=q则p是q的充分且必要条件简称充要条件注意(1)当phArrq时也称p与q是等价的(2)与充要条件等价的词语有ldquo当且仅当rdquoldquo等价于rdquoldquo有且只有rdquoldquo必需且只需rdquoldquohelliphellip反过来也成

立rdquo等3必要条件的判断方法

(1)从逻辑推理关系上判断(定义法)①若prArrq但q p则p是q的充分不必要条件②若p q但qrArrp则p是q的必要不充分条件③若prArrq且qrArrp则p是q的充要条件④若p q且q p则p是q的既不充分也不必要条件(2)从命题所对应的集合与集合之间的关系上判断(集合法)设命题p对应的集合为A命题q对应的集合为B①若AsubeB则p是q的充分条件若AsupeB则p是q的充分不必要条件②若AsupeB则p是q的必要条件若AsupeB则p是q的必要不充分条件③若AsubeB且AsupeB即A=B则p是q的充要条件④若A⫋B且A⫌B则p是q的既不充分也不必要条件

例1 已知p|3x-5|lt4q(x-1)(x-2)lt0则p是q的( )A充分不必要条件 B必要不充分条件

C充要条件 D既不充分也不必要条件

13

第一章 集合与条件

【解析】 p|3x-5|lt4rArrp13ltxlt3

q(x-1)(x-2)lt0rArrq1ltxlt2所以p⫋q但qrArrp所

以p是q的必要不充分条件选B【技巧点拨】 判断充分必要条件时先要分清条件和结论进而找到条件与结论之间的逻辑推理

关系常用的判断法定义法和集合法

10512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275 105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275

10512751051275105127510512751051275变式训练1

设命题甲0ltxlt5命题乙|x-2|lt3那么甲是乙的( )A充分不必要条件 B必要不充分条件

C充要条件 D既不充分也不必要条件

例2 已知集合A= yy=x2-32x+1xisin 3

42 B= xx+m2ge1 pxisinAqxisinB并

且p是q的充分条件求实数m的取值范围

【解析】 由题意得A= 716

2 B=[1-m2+infin)由于p是q的充分条件所以AsubeB所以

1-m2le716解得mge34或mle-34

即实数m的取值范围是(-infin-34]cup[3

4+infin)

【技巧点拨】 本题主要考查集合的运算以及充要条件的判断根据不等式之间的关系是解题的

关键

105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275 105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275

105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275变式训练2

已知px2-2x-3lt0q-altx-1lta若q是p的一个必要不充分条件求实数a的取值范围

基 础 训 练

一选择题

1ldquoxlt-2rdquo是ldquo不等式x2-4gt0成立rdquo的( )A充分不必要条件 B必要不充分条件

C充要条件 D既不充分也不必要条件

2ldquoAcapB=Ardquo是ldquoAsubeBrdquo的( )A充分不必要条件 B必要不充分条件

C充要条件 D既不充分也不必要条件

14

对口升学 数学总复习

3设甲是乙的充分不必要条件乙是丙的充要条件丁是丙的必要不充分条件则甲是乙的

( )A充分不必要条件 B必要不充分条件

C充要条件 D既不充分也不必要条件

4ldquox ge1rdquo是ldquoxge1rdquo的( )A充分不必要条件 B必要不充分条件

C充要条件 D既不充分也不必要条件

5ldquoα=π4rdquo是ldquotanα=1rdquo的( )

A充分不必要条件 B必要不充分条件

C充要条件 D既不充分也不必要条件

二解答题

1判断下列问题中p是q的什么条件(1)px2gey2qxgey(2)pxisinAcupBqxisinAcapB(3)pxgt3qxgt2(4)pa是有理数qa+2是有理数

2求一个对于一切实数x都有ax2-ax+1gt0成立的充要条件

提 升 训 练

已知p-2lexle10qx2-2x+1-m2le0(mgt0)若p是q的充分不必要条件求实数m的取值范围

15

第一章 集合与条件

单 招 链 接

1(2015middot四川省高职单招)设集合A= 123 B= 34 则AcupB=( )A3 B34 C123 D1234 2(2016middot四川省高职单招)设集合A= 123 B= 234 则AcapB=( )A B23 C14 D1234 3(2017middot四川省高职单招)设集合A= 012 B= 13 则AcapB=( )A012 B13 C1 D0123 4(2018middot四川省高职单招)已知集合 A= 123 B= 1a AcupB= 1234 则

a= 5(2019middot四川省高职单招)设集合A= 135 B= 369 则AcapB=( )A B3 C1569 D13569

7

第一章 集合与条件

105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275 105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275

105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275变式训练3

下列说法正确的有( )个①空集没有子集②任何集合至少有两个子集③空集是任何集合的真子集④若⫋A则

AneA1 B2C3 D4

例4 已知集合A=x|x2-x-2=0B=x|x2-4x+p=0若BsubeA求实数p的取值范围【解析】 由题意得A=-12因为BsubeA所以B=或B=-1或B=2或B=-12又因为B=x|x2-4x+p=0所以B=-12不成立当B=时Δ=(-4)2-4p=16-4plt0解得pgt4

当B=-1时Δ=16-4p=0-1 2-4times -1 +p=0 无解

当B=2时Δ=16-4p=022-4times2+p=0解得p=4综上实数p的取值范围是pisin[4+infin)【技巧点拨】 两个集合包含或相等关系的问题通过建立方程(组)然后解出未知数最后利用

集合元素的特征进行检验即可

1051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275 105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275

1051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275变式训练4

已知集合A=11+m1+2mB=1nn2其中mnisinR若A=B求mn的值

例5 已知集合A=xy x2+y2le3xisinZyisinZ则A中元素的个数为( )A9 B8 C5 D4【解析】 由x2+y2le3知-3lexle3- 3leyle 3又xisinZyisinZ所以xisin -101 yisin

-101 所以A中元素的个数为9【技巧点拨】 对于求解集合中元素个数的题目首先求出集合然后根据集合中元素的互异性求

出集合中元素的个数或利用数形结合的方法求出集合中元素的个数

8

对口升学 数学总复习

105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275 105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275

105127510512751051275变式训练5

已知集合A=124集合B= xx=a+baisinAbisinA 则集合B中元素的个数为

例6 设全集U=R集合A= x0lexlt2 集合B= xx2-2x-3lt0 求AcapBAcupB

UAcapB【解析】 B= xx2-2x-3lt0 = x -1ltxlt3 UA= xxlt0或xge2

所以AcapB= x0lexlt2 AcupB= x -1ltxlt3 UAcapB= x -1ltxlt0或2lexlt3 【技巧点拨】 考查对集合运算的理解及性质的运用

105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275 105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275

105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275变式训练6

设全集U= 01234 集合A= 0123 集合B= 234 求AcapBAcupBUAcup UB

例7 已知集合M=x|alexlea+3N=x|xlt-1或xgt5若McapN=求实数a的取值

范围

【解析】 如图1-3所示要使McapN=必须满足a+3le5age-1 解得-1leale2所以实数a的取

值范围为a|-1leale2

图1-3

【技巧点拨】 解题时利用数轴表示集合便于寻求满足条件的实数a特别需要注意的是ldquo端点

值rdquo的问题是能取ldquo=rdquo还是不能取ldquo=rdquo

105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275 105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275

105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275变式训练7

已知A=x|alexlea+3B=x|xgt1或xlt-6(1)若AcapB=求a的取值范围(2)若AcupB=B求a的取值范围

9

第一章 集合与条件

例8 U 为全集集合M⫋UN⫋U且N subeM则( )A(UM)supe(UN) B(UM)supeNC(UM)sube(UN) DMsupe(UN) 【解析】 根据各集合之间的关系作图(见图1-4)这样就很容易做出判断故选C

图1-4

【技巧点拨】 1考虑集合之间的关系用图形解答比较方便2在数学中利用ldquo数形结合rdquo的思想往往能使问题简单化

105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275 105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275

105127510512751051275105127510512751051275变式训练8

U 为全集MN 为两个非空集合且满足McapN=M则下列正确的是( )AM ⫋N BN ⫋M CM=N DMcap(UN)=

基 础 训 练

一选择题

1下列命题所列对象中能组成集合的是( )A好人 B非常小的数

C有趣的书 D小于5的数

2给出下面四个关系①0isinQ②3notinQ③ZsubeQ④nsub0其中正确的个数为( )A4 B3 C2 D13用列举法表示集合x|x2-3x+2=0的结果是( )A(12) B12C12 D以上都不是

4集合1234所有子集的个数是( )A8 B14 C15 D165下列选项中表述正确的是( )A由135753组成的集合中有6个元素

B周长为16cm的三角形组成的集合是有限集合

C集合0是空集

D一年级(3)班的所有同学可以组成集合

6用列举法表示ldquo大于2且小于9的偶数的全体rdquo构成的集合是( )A B468C357 D345678

10

对口升学 数学总复习

二填空题

1用适当的符号(isinnotinsubesupe=)填空3 23 π Q 123 ZN Z -33 x|x2=92绝对值等于1的所有整数组成的集合是 3已知集合P= x2ltxltaxisinN 且集合P中恰有3个元素则整数a= 4下列六个关系式①absubeba②ab=ba③0=④0isin0⑤isin0⑥

sube0其中正确的个数为 三解答题

1已知集合A=012集合B=x|x=abaisinAbisinA(1)用列举法写出集合B(2)判断集合B的元素和集合A 的关系

2写出集合-3-113的所有子集并指出哪些是真子集

3已知集合1ab与-1-b1是同一集合求实数ab的值

4设全集U=R集合A= xx2-x-2=0 B= x x =y+1yisinA 求 UB

11

第一章 集合与条件

提 升 训 练

1满足abnsubAsubeabcde的集合A的个数是( )A9 B8 C7 D62已知集合A= xax2+2x+1=0xisinR (1)若A中只有一个元素求a的值(2)若A中恰有两个元素求a的取值范围(3)若A中至多只有一个元素求a的取值范围

3已知集合A= xx2-3x+2=0 B= xax+2=0 且BsubeA求实数a的值组成的

集合

第二节 充 要 条 件

1(2015年middot四川对口升学)ldquoxlt2rdquo是ldquox2-x-2lt0rdquo的( )A必要不充分条件 B充分不必要条件

C充要条件 D既不充分也不必要条件

2(2016年middot四川对口升学)ldquox le2rdquo是ldquo-2lexle2rdquo的( )A充分不必要条件 B必要不充分条件

C充要条件 D既不充分也不必要条件

12

对口升学 数学总复习

3(2017年middot四川对口升学)设abcisinR则ldquoac=b2rdquo是ldquoabc成等比数列rdquo的( )A充要条件 B既不充分也不必要条件

C必要不充分条件 D充分不必要条件

4(2018年middot四川对口升学)设abcisinR则ldquoagtbrdquo是ldquoac2gtbc2rdquo的( )A充分不必要条件 B必要不充分条件

C充要条件 D既不充分又不必要条件

5(2019年middot四川对口升学)ldquoxgt0rdquo是ldquoxgt1rdquo的( )A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件

1命题的概念

在数学中我们把用语言符号或式子表达的可以判断真假的陈述句称为命题正确的命题称为

真命题记作T错误的命题称为假命题记作FT和F称为命题的真值(有的书上用0和1作为命题

的真值)p与q为等值的命题记作p=q2必要条件的定义

(1)对于两个命题pq如果有prArrq则称p是q的充分条件q是p的必要条件注意p是q的充分条件是指只要具备了条件p那么q就一定成立即命题中的条件是充分的

q是p 的必要条件是指如果不具备条件q则p就不能成立即q是p 成立的必不可少的条件(2)如果prArrq且qrArrp即p=q则p是q的充分且必要条件简称充要条件注意(1)当phArrq时也称p与q是等价的(2)与充要条件等价的词语有ldquo当且仅当rdquoldquo等价于rdquoldquo有且只有rdquoldquo必需且只需rdquoldquohelliphellip反过来也成

立rdquo等3必要条件的判断方法

(1)从逻辑推理关系上判断(定义法)①若prArrq但q p则p是q的充分不必要条件②若p q但qrArrp则p是q的必要不充分条件③若prArrq且qrArrp则p是q的充要条件④若p q且q p则p是q的既不充分也不必要条件(2)从命题所对应的集合与集合之间的关系上判断(集合法)设命题p对应的集合为A命题q对应的集合为B①若AsubeB则p是q的充分条件若AsupeB则p是q的充分不必要条件②若AsupeB则p是q的必要条件若AsupeB则p是q的必要不充分条件③若AsubeB且AsupeB即A=B则p是q的充要条件④若A⫋B且A⫌B则p是q的既不充分也不必要条件

例1 已知p|3x-5|lt4q(x-1)(x-2)lt0则p是q的( )A充分不必要条件 B必要不充分条件

C充要条件 D既不充分也不必要条件

13

第一章 集合与条件

【解析】 p|3x-5|lt4rArrp13ltxlt3

q(x-1)(x-2)lt0rArrq1ltxlt2所以p⫋q但qrArrp所

以p是q的必要不充分条件选B【技巧点拨】 判断充分必要条件时先要分清条件和结论进而找到条件与结论之间的逻辑推理

关系常用的判断法定义法和集合法

10512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275 105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275

10512751051275105127510512751051275变式训练1

设命题甲0ltxlt5命题乙|x-2|lt3那么甲是乙的( )A充分不必要条件 B必要不充分条件

C充要条件 D既不充分也不必要条件

例2 已知集合A= yy=x2-32x+1xisin 3

42 B= xx+m2ge1 pxisinAqxisinB并

且p是q的充分条件求实数m的取值范围

【解析】 由题意得A= 716

2 B=[1-m2+infin)由于p是q的充分条件所以AsubeB所以

1-m2le716解得mge34或mle-34

即实数m的取值范围是(-infin-34]cup[3

4+infin)

【技巧点拨】 本题主要考查集合的运算以及充要条件的判断根据不等式之间的关系是解题的

关键

105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275 105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275

105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275变式训练2

已知px2-2x-3lt0q-altx-1lta若q是p的一个必要不充分条件求实数a的取值范围

基 础 训 练

一选择题

1ldquoxlt-2rdquo是ldquo不等式x2-4gt0成立rdquo的( )A充分不必要条件 B必要不充分条件

C充要条件 D既不充分也不必要条件

2ldquoAcapB=Ardquo是ldquoAsubeBrdquo的( )A充分不必要条件 B必要不充分条件

C充要条件 D既不充分也不必要条件

14

对口升学 数学总复习

3设甲是乙的充分不必要条件乙是丙的充要条件丁是丙的必要不充分条件则甲是乙的

( )A充分不必要条件 B必要不充分条件

C充要条件 D既不充分也不必要条件

4ldquox ge1rdquo是ldquoxge1rdquo的( )A充分不必要条件 B必要不充分条件

C充要条件 D既不充分也不必要条件

5ldquoα=π4rdquo是ldquotanα=1rdquo的( )

A充分不必要条件 B必要不充分条件

C充要条件 D既不充分也不必要条件

二解答题

1判断下列问题中p是q的什么条件(1)px2gey2qxgey(2)pxisinAcupBqxisinAcapB(3)pxgt3qxgt2(4)pa是有理数qa+2是有理数

2求一个对于一切实数x都有ax2-ax+1gt0成立的充要条件

提 升 训 练

已知p-2lexle10qx2-2x+1-m2le0(mgt0)若p是q的充分不必要条件求实数m的取值范围

15

第一章 集合与条件

单 招 链 接

1(2015middot四川省高职单招)设集合A= 123 B= 34 则AcupB=( )A3 B34 C123 D1234 2(2016middot四川省高职单招)设集合A= 123 B= 234 则AcapB=( )A B23 C14 D1234 3(2017middot四川省高职单招)设集合A= 012 B= 13 则AcapB=( )A012 B13 C1 D0123 4(2018middot四川省高职单招)已知集合 A= 123 B= 1a AcupB= 1234 则

a= 5(2019middot四川省高职单招)设集合A= 135 B= 369 则AcapB=( )A B3 C1569 D13569

8

对口升学 数学总复习

105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275 105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275

105127510512751051275变式训练5

已知集合A=124集合B= xx=a+baisinAbisinA 则集合B中元素的个数为

例6 设全集U=R集合A= x0lexlt2 集合B= xx2-2x-3lt0 求AcapBAcupB

UAcapB【解析】 B= xx2-2x-3lt0 = x -1ltxlt3 UA= xxlt0或xge2

所以AcapB= x0lexlt2 AcupB= x -1ltxlt3 UAcapB= x -1ltxlt0或2lexlt3 【技巧点拨】 考查对集合运算的理解及性质的运用

105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275 105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275

105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275变式训练6

设全集U= 01234 集合A= 0123 集合B= 234 求AcapBAcupBUAcup UB

例7 已知集合M=x|alexlea+3N=x|xlt-1或xgt5若McapN=求实数a的取值

范围

【解析】 如图1-3所示要使McapN=必须满足a+3le5age-1 解得-1leale2所以实数a的取

值范围为a|-1leale2

图1-3

【技巧点拨】 解题时利用数轴表示集合便于寻求满足条件的实数a特别需要注意的是ldquo端点

值rdquo的问题是能取ldquo=rdquo还是不能取ldquo=rdquo

105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275 105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275

105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275变式训练7

已知A=x|alexlea+3B=x|xgt1或xlt-6(1)若AcapB=求a的取值范围(2)若AcupB=B求a的取值范围

9

第一章 集合与条件

例8 U 为全集集合M⫋UN⫋U且N subeM则( )A(UM)supe(UN) B(UM)supeNC(UM)sube(UN) DMsupe(UN) 【解析】 根据各集合之间的关系作图(见图1-4)这样就很容易做出判断故选C

图1-4

【技巧点拨】 1考虑集合之间的关系用图形解答比较方便2在数学中利用ldquo数形结合rdquo的思想往往能使问题简单化

105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275 105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275

105127510512751051275105127510512751051275变式训练8

U 为全集MN 为两个非空集合且满足McapN=M则下列正确的是( )AM ⫋N BN ⫋M CM=N DMcap(UN)=

基 础 训 练

一选择题

1下列命题所列对象中能组成集合的是( )A好人 B非常小的数

C有趣的书 D小于5的数

2给出下面四个关系①0isinQ②3notinQ③ZsubeQ④nsub0其中正确的个数为( )A4 B3 C2 D13用列举法表示集合x|x2-3x+2=0的结果是( )A(12) B12C12 D以上都不是

4集合1234所有子集的个数是( )A8 B14 C15 D165下列选项中表述正确的是( )A由135753组成的集合中有6个元素

B周长为16cm的三角形组成的集合是有限集合

C集合0是空集

D一年级(3)班的所有同学可以组成集合

6用列举法表示ldquo大于2且小于9的偶数的全体rdquo构成的集合是( )A B468C357 D345678

10

对口升学 数学总复习

二填空题

1用适当的符号(isinnotinsubesupe=)填空3 23 π Q 123 ZN Z -33 x|x2=92绝对值等于1的所有整数组成的集合是 3已知集合P= x2ltxltaxisinN 且集合P中恰有3个元素则整数a= 4下列六个关系式①absubeba②ab=ba③0=④0isin0⑤isin0⑥

sube0其中正确的个数为 三解答题

1已知集合A=012集合B=x|x=abaisinAbisinA(1)用列举法写出集合B(2)判断集合B的元素和集合A 的关系

2写出集合-3-113的所有子集并指出哪些是真子集

3已知集合1ab与-1-b1是同一集合求实数ab的值

4设全集U=R集合A= xx2-x-2=0 B= x x =y+1yisinA 求 UB

11

第一章 集合与条件

提 升 训 练

1满足abnsubAsubeabcde的集合A的个数是( )A9 B8 C7 D62已知集合A= xax2+2x+1=0xisinR (1)若A中只有一个元素求a的值(2)若A中恰有两个元素求a的取值范围(3)若A中至多只有一个元素求a的取值范围

3已知集合A= xx2-3x+2=0 B= xax+2=0 且BsubeA求实数a的值组成的

集合

第二节 充 要 条 件

1(2015年middot四川对口升学)ldquoxlt2rdquo是ldquox2-x-2lt0rdquo的( )A必要不充分条件 B充分不必要条件

C充要条件 D既不充分也不必要条件

2(2016年middot四川对口升学)ldquox le2rdquo是ldquo-2lexle2rdquo的( )A充分不必要条件 B必要不充分条件

C充要条件 D既不充分也不必要条件

12

对口升学 数学总复习

3(2017年middot四川对口升学)设abcisinR则ldquoac=b2rdquo是ldquoabc成等比数列rdquo的( )A充要条件 B既不充分也不必要条件

C必要不充分条件 D充分不必要条件

4(2018年middot四川对口升学)设abcisinR则ldquoagtbrdquo是ldquoac2gtbc2rdquo的( )A充分不必要条件 B必要不充分条件

C充要条件 D既不充分又不必要条件

5(2019年middot四川对口升学)ldquoxgt0rdquo是ldquoxgt1rdquo的( )A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件

1命题的概念

在数学中我们把用语言符号或式子表达的可以判断真假的陈述句称为命题正确的命题称为

真命题记作T错误的命题称为假命题记作FT和F称为命题的真值(有的书上用0和1作为命题

的真值)p与q为等值的命题记作p=q2必要条件的定义

(1)对于两个命题pq如果有prArrq则称p是q的充分条件q是p的必要条件注意p是q的充分条件是指只要具备了条件p那么q就一定成立即命题中的条件是充分的

q是p 的必要条件是指如果不具备条件q则p就不能成立即q是p 成立的必不可少的条件(2)如果prArrq且qrArrp即p=q则p是q的充分且必要条件简称充要条件注意(1)当phArrq时也称p与q是等价的(2)与充要条件等价的词语有ldquo当且仅当rdquoldquo等价于rdquoldquo有且只有rdquoldquo必需且只需rdquoldquohelliphellip反过来也成

立rdquo等3必要条件的判断方法

(1)从逻辑推理关系上判断(定义法)①若prArrq但q p则p是q的充分不必要条件②若p q但qrArrp则p是q的必要不充分条件③若prArrq且qrArrp则p是q的充要条件④若p q且q p则p是q的既不充分也不必要条件(2)从命题所对应的集合与集合之间的关系上判断(集合法)设命题p对应的集合为A命题q对应的集合为B①若AsubeB则p是q的充分条件若AsupeB则p是q的充分不必要条件②若AsupeB则p是q的必要条件若AsupeB则p是q的必要不充分条件③若AsubeB且AsupeB即A=B则p是q的充要条件④若A⫋B且A⫌B则p是q的既不充分也不必要条件

例1 已知p|3x-5|lt4q(x-1)(x-2)lt0则p是q的( )A充分不必要条件 B必要不充分条件

C充要条件 D既不充分也不必要条件

13

第一章 集合与条件

【解析】 p|3x-5|lt4rArrp13ltxlt3

q(x-1)(x-2)lt0rArrq1ltxlt2所以p⫋q但qrArrp所

以p是q的必要不充分条件选B【技巧点拨】 判断充分必要条件时先要分清条件和结论进而找到条件与结论之间的逻辑推理

关系常用的判断法定义法和集合法

10512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275 105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275

10512751051275105127510512751051275变式训练1

设命题甲0ltxlt5命题乙|x-2|lt3那么甲是乙的( )A充分不必要条件 B必要不充分条件

C充要条件 D既不充分也不必要条件

例2 已知集合A= yy=x2-32x+1xisin 3

42 B= xx+m2ge1 pxisinAqxisinB并

且p是q的充分条件求实数m的取值范围

【解析】 由题意得A= 716

2 B=[1-m2+infin)由于p是q的充分条件所以AsubeB所以

1-m2le716解得mge34或mle-34

即实数m的取值范围是(-infin-34]cup[3

4+infin)

【技巧点拨】 本题主要考查集合的运算以及充要条件的判断根据不等式之间的关系是解题的

关键

105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275 105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275

105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275变式训练2

已知px2-2x-3lt0q-altx-1lta若q是p的一个必要不充分条件求实数a的取值范围

基 础 训 练

一选择题

1ldquoxlt-2rdquo是ldquo不等式x2-4gt0成立rdquo的( )A充分不必要条件 B必要不充分条件

C充要条件 D既不充分也不必要条件

2ldquoAcapB=Ardquo是ldquoAsubeBrdquo的( )A充分不必要条件 B必要不充分条件

C充要条件 D既不充分也不必要条件

14

对口升学 数学总复习

3设甲是乙的充分不必要条件乙是丙的充要条件丁是丙的必要不充分条件则甲是乙的

( )A充分不必要条件 B必要不充分条件

C充要条件 D既不充分也不必要条件

4ldquox ge1rdquo是ldquoxge1rdquo的( )A充分不必要条件 B必要不充分条件

C充要条件 D既不充分也不必要条件

5ldquoα=π4rdquo是ldquotanα=1rdquo的( )

A充分不必要条件 B必要不充分条件

C充要条件 D既不充分也不必要条件

二解答题

1判断下列问题中p是q的什么条件(1)px2gey2qxgey(2)pxisinAcupBqxisinAcapB(3)pxgt3qxgt2(4)pa是有理数qa+2是有理数

2求一个对于一切实数x都有ax2-ax+1gt0成立的充要条件

提 升 训 练

已知p-2lexle10qx2-2x+1-m2le0(mgt0)若p是q的充分不必要条件求实数m的取值范围

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第一章 集合与条件

单 招 链 接

1(2015middot四川省高职单招)设集合A= 123 B= 34 则AcupB=( )A3 B34 C123 D1234 2(2016middot四川省高职单招)设集合A= 123 B= 234 则AcapB=( )A B23 C14 D1234 3(2017middot四川省高职单招)设集合A= 012 B= 13 则AcapB=( )A012 B13 C1 D0123 4(2018middot四川省高职单招)已知集合 A= 123 B= 1a AcupB= 1234 则

a= 5(2019middot四川省高职单招)设集合A= 135 B= 369 则AcapB=( )A B3 C1569 D13569

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第一章 集合与条件

例8 U 为全集集合M⫋UN⫋U且N subeM则( )A(UM)supe(UN) B(UM)supeNC(UM)sube(UN) DMsupe(UN) 【解析】 根据各集合之间的关系作图(见图1-4)这样就很容易做出判断故选C

图1-4

【技巧点拨】 1考虑集合之间的关系用图形解答比较方便2在数学中利用ldquo数形结合rdquo的思想往往能使问题简单化

105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275 105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275

105127510512751051275105127510512751051275变式训练8

U 为全集MN 为两个非空集合且满足McapN=M则下列正确的是( )AM ⫋N BN ⫋M CM=N DMcap(UN)=

基 础 训 练

一选择题

1下列命题所列对象中能组成集合的是( )A好人 B非常小的数

C有趣的书 D小于5的数

2给出下面四个关系①0isinQ②3notinQ③ZsubeQ④nsub0其中正确的个数为( )A4 B3 C2 D13用列举法表示集合x|x2-3x+2=0的结果是( )A(12) B12C12 D以上都不是

4集合1234所有子集的个数是( )A8 B14 C15 D165下列选项中表述正确的是( )A由135753组成的集合中有6个元素

B周长为16cm的三角形组成的集合是有限集合

C集合0是空集

D一年级(3)班的所有同学可以组成集合

6用列举法表示ldquo大于2且小于9的偶数的全体rdquo构成的集合是( )A B468C357 D345678

10

对口升学 数学总复习

二填空题

1用适当的符号(isinnotinsubesupe=)填空3 23 π Q 123 ZN Z -33 x|x2=92绝对值等于1的所有整数组成的集合是 3已知集合P= x2ltxltaxisinN 且集合P中恰有3个元素则整数a= 4下列六个关系式①absubeba②ab=ba③0=④0isin0⑤isin0⑥

sube0其中正确的个数为 三解答题

1已知集合A=012集合B=x|x=abaisinAbisinA(1)用列举法写出集合B(2)判断集合B的元素和集合A 的关系

2写出集合-3-113的所有子集并指出哪些是真子集

3已知集合1ab与-1-b1是同一集合求实数ab的值

4设全集U=R集合A= xx2-x-2=0 B= x x =y+1yisinA 求 UB

11

第一章 集合与条件

提 升 训 练

1满足abnsubAsubeabcde的集合A的个数是( )A9 B8 C7 D62已知集合A= xax2+2x+1=0xisinR (1)若A中只有一个元素求a的值(2)若A中恰有两个元素求a的取值范围(3)若A中至多只有一个元素求a的取值范围

3已知集合A= xx2-3x+2=0 B= xax+2=0 且BsubeA求实数a的值组成的

集合

第二节 充 要 条 件

1(2015年middot四川对口升学)ldquoxlt2rdquo是ldquox2-x-2lt0rdquo的( )A必要不充分条件 B充分不必要条件

C充要条件 D既不充分也不必要条件

2(2016年middot四川对口升学)ldquox le2rdquo是ldquo-2lexle2rdquo的( )A充分不必要条件 B必要不充分条件

C充要条件 D既不充分也不必要条件

12

对口升学 数学总复习

3(2017年middot四川对口升学)设abcisinR则ldquoac=b2rdquo是ldquoabc成等比数列rdquo的( )A充要条件 B既不充分也不必要条件

C必要不充分条件 D充分不必要条件

4(2018年middot四川对口升学)设abcisinR则ldquoagtbrdquo是ldquoac2gtbc2rdquo的( )A充分不必要条件 B必要不充分条件

C充要条件 D既不充分又不必要条件

5(2019年middot四川对口升学)ldquoxgt0rdquo是ldquoxgt1rdquo的( )A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件

1命题的概念

在数学中我们把用语言符号或式子表达的可以判断真假的陈述句称为命题正确的命题称为

真命题记作T错误的命题称为假命题记作FT和F称为命题的真值(有的书上用0和1作为命题

的真值)p与q为等值的命题记作p=q2必要条件的定义

(1)对于两个命题pq如果有prArrq则称p是q的充分条件q是p的必要条件注意p是q的充分条件是指只要具备了条件p那么q就一定成立即命题中的条件是充分的

q是p 的必要条件是指如果不具备条件q则p就不能成立即q是p 成立的必不可少的条件(2)如果prArrq且qrArrp即p=q则p是q的充分且必要条件简称充要条件注意(1)当phArrq时也称p与q是等价的(2)与充要条件等价的词语有ldquo当且仅当rdquoldquo等价于rdquoldquo有且只有rdquoldquo必需且只需rdquoldquohelliphellip反过来也成

立rdquo等3必要条件的判断方法

(1)从逻辑推理关系上判断(定义法)①若prArrq但q p则p是q的充分不必要条件②若p q但qrArrp则p是q的必要不充分条件③若prArrq且qrArrp则p是q的充要条件④若p q且q p则p是q的既不充分也不必要条件(2)从命题所对应的集合与集合之间的关系上判断(集合法)设命题p对应的集合为A命题q对应的集合为B①若AsubeB则p是q的充分条件若AsupeB则p是q的充分不必要条件②若AsupeB则p是q的必要条件若AsupeB则p是q的必要不充分条件③若AsubeB且AsupeB即A=B则p是q的充要条件④若A⫋B且A⫌B则p是q的既不充分也不必要条件

例1 已知p|3x-5|lt4q(x-1)(x-2)lt0则p是q的( )A充分不必要条件 B必要不充分条件

C充要条件 D既不充分也不必要条件

13

第一章 集合与条件

【解析】 p|3x-5|lt4rArrp13ltxlt3

q(x-1)(x-2)lt0rArrq1ltxlt2所以p⫋q但qrArrp所

以p是q的必要不充分条件选B【技巧点拨】 判断充分必要条件时先要分清条件和结论进而找到条件与结论之间的逻辑推理

关系常用的判断法定义法和集合法

10512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275 105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275

10512751051275105127510512751051275变式训练1

设命题甲0ltxlt5命题乙|x-2|lt3那么甲是乙的( )A充分不必要条件 B必要不充分条件

C充要条件 D既不充分也不必要条件

例2 已知集合A= yy=x2-32x+1xisin 3

42 B= xx+m2ge1 pxisinAqxisinB并

且p是q的充分条件求实数m的取值范围

【解析】 由题意得A= 716

2 B=[1-m2+infin)由于p是q的充分条件所以AsubeB所以

1-m2le716解得mge34或mle-34

即实数m的取值范围是(-infin-34]cup[3

4+infin)

【技巧点拨】 本题主要考查集合的运算以及充要条件的判断根据不等式之间的关系是解题的

关键

105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275 105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275

105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275变式训练2

已知px2-2x-3lt0q-altx-1lta若q是p的一个必要不充分条件求实数a的取值范围

基 础 训 练

一选择题

1ldquoxlt-2rdquo是ldquo不等式x2-4gt0成立rdquo的( )A充分不必要条件 B必要不充分条件

C充要条件 D既不充分也不必要条件

2ldquoAcapB=Ardquo是ldquoAsubeBrdquo的( )A充分不必要条件 B必要不充分条件

C充要条件 D既不充分也不必要条件

14

对口升学 数学总复习

3设甲是乙的充分不必要条件乙是丙的充要条件丁是丙的必要不充分条件则甲是乙的

( )A充分不必要条件 B必要不充分条件

C充要条件 D既不充分也不必要条件

4ldquox ge1rdquo是ldquoxge1rdquo的( )A充分不必要条件 B必要不充分条件

C充要条件 D既不充分也不必要条件

5ldquoα=π4rdquo是ldquotanα=1rdquo的( )

A充分不必要条件 B必要不充分条件

C充要条件 D既不充分也不必要条件

二解答题

1判断下列问题中p是q的什么条件(1)px2gey2qxgey(2)pxisinAcupBqxisinAcapB(3)pxgt3qxgt2(4)pa是有理数qa+2是有理数

2求一个对于一切实数x都有ax2-ax+1gt0成立的充要条件

提 升 训 练

已知p-2lexle10qx2-2x+1-m2le0(mgt0)若p是q的充分不必要条件求实数m的取值范围

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第一章 集合与条件

单 招 链 接

1(2015middot四川省高职单招)设集合A= 123 B= 34 则AcupB=( )A3 B34 C123 D1234 2(2016middot四川省高职单招)设集合A= 123 B= 234 则AcapB=( )A B23 C14 D1234 3(2017middot四川省高职单招)设集合A= 012 B= 13 则AcapB=( )A012 B13 C1 D0123 4(2018middot四川省高职单招)已知集合 A= 123 B= 1a AcupB= 1234 则

a= 5(2019middot四川省高职单招)设集合A= 135 B= 369 则AcapB=( )A B3 C1569 D13569

10

对口升学 数学总复习

二填空题

1用适当的符号(isinnotinsubesupe=)填空3 23 π Q 123 ZN Z -33 x|x2=92绝对值等于1的所有整数组成的集合是 3已知集合P= x2ltxltaxisinN 且集合P中恰有3个元素则整数a= 4下列六个关系式①absubeba②ab=ba③0=④0isin0⑤isin0⑥

sube0其中正确的个数为 三解答题

1已知集合A=012集合B=x|x=abaisinAbisinA(1)用列举法写出集合B(2)判断集合B的元素和集合A 的关系

2写出集合-3-113的所有子集并指出哪些是真子集

3已知集合1ab与-1-b1是同一集合求实数ab的值

4设全集U=R集合A= xx2-x-2=0 B= x x =y+1yisinA 求 UB

11

第一章 集合与条件

提 升 训 练

1满足abnsubAsubeabcde的集合A的个数是( )A9 B8 C7 D62已知集合A= xax2+2x+1=0xisinR (1)若A中只有一个元素求a的值(2)若A中恰有两个元素求a的取值范围(3)若A中至多只有一个元素求a的取值范围

3已知集合A= xx2-3x+2=0 B= xax+2=0 且BsubeA求实数a的值组成的

集合

第二节 充 要 条 件

1(2015年middot四川对口升学)ldquoxlt2rdquo是ldquox2-x-2lt0rdquo的( )A必要不充分条件 B充分不必要条件

C充要条件 D既不充分也不必要条件

2(2016年middot四川对口升学)ldquox le2rdquo是ldquo-2lexle2rdquo的( )A充分不必要条件 B必要不充分条件

C充要条件 D既不充分也不必要条件

12

对口升学 数学总复习

3(2017年middot四川对口升学)设abcisinR则ldquoac=b2rdquo是ldquoabc成等比数列rdquo的( )A充要条件 B既不充分也不必要条件

C必要不充分条件 D充分不必要条件

4(2018年middot四川对口升学)设abcisinR则ldquoagtbrdquo是ldquoac2gtbc2rdquo的( )A充分不必要条件 B必要不充分条件

C充要条件 D既不充分又不必要条件

5(2019年middot四川对口升学)ldquoxgt0rdquo是ldquoxgt1rdquo的( )A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件

1命题的概念

在数学中我们把用语言符号或式子表达的可以判断真假的陈述句称为命题正确的命题称为

真命题记作T错误的命题称为假命题记作FT和F称为命题的真值(有的书上用0和1作为命题

的真值)p与q为等值的命题记作p=q2必要条件的定义

(1)对于两个命题pq如果有prArrq则称p是q的充分条件q是p的必要条件注意p是q的充分条件是指只要具备了条件p那么q就一定成立即命题中的条件是充分的

q是p 的必要条件是指如果不具备条件q则p就不能成立即q是p 成立的必不可少的条件(2)如果prArrq且qrArrp即p=q则p是q的充分且必要条件简称充要条件注意(1)当phArrq时也称p与q是等价的(2)与充要条件等价的词语有ldquo当且仅当rdquoldquo等价于rdquoldquo有且只有rdquoldquo必需且只需rdquoldquohelliphellip反过来也成

立rdquo等3必要条件的判断方法

(1)从逻辑推理关系上判断(定义法)①若prArrq但q p则p是q的充分不必要条件②若p q但qrArrp则p是q的必要不充分条件③若prArrq且qrArrp则p是q的充要条件④若p q且q p则p是q的既不充分也不必要条件(2)从命题所对应的集合与集合之间的关系上判断(集合法)设命题p对应的集合为A命题q对应的集合为B①若AsubeB则p是q的充分条件若AsupeB则p是q的充分不必要条件②若AsupeB则p是q的必要条件若AsupeB则p是q的必要不充分条件③若AsubeB且AsupeB即A=B则p是q的充要条件④若A⫋B且A⫌B则p是q的既不充分也不必要条件

例1 已知p|3x-5|lt4q(x-1)(x-2)lt0则p是q的( )A充分不必要条件 B必要不充分条件

C充要条件 D既不充分也不必要条件

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第一章 集合与条件

【解析】 p|3x-5|lt4rArrp13ltxlt3

q(x-1)(x-2)lt0rArrq1ltxlt2所以p⫋q但qrArrp所

以p是q的必要不充分条件选B【技巧点拨】 判断充分必要条件时先要分清条件和结论进而找到条件与结论之间的逻辑推理

关系常用的判断法定义法和集合法

10512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275 105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275

10512751051275105127510512751051275变式训练1

设命题甲0ltxlt5命题乙|x-2|lt3那么甲是乙的( )A充分不必要条件 B必要不充分条件

C充要条件 D既不充分也不必要条件

例2 已知集合A= yy=x2-32x+1xisin 3

42 B= xx+m2ge1 pxisinAqxisinB并

且p是q的充分条件求实数m的取值范围

【解析】 由题意得A= 716

2 B=[1-m2+infin)由于p是q的充分条件所以AsubeB所以

1-m2le716解得mge34或mle-34

即实数m的取值范围是(-infin-34]cup[3

4+infin)

【技巧点拨】 本题主要考查集合的运算以及充要条件的判断根据不等式之间的关系是解题的

关键

105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275 105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275

105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275变式训练2

已知px2-2x-3lt0q-altx-1lta若q是p的一个必要不充分条件求实数a的取值范围

基 础 训 练

一选择题

1ldquoxlt-2rdquo是ldquo不等式x2-4gt0成立rdquo的( )A充分不必要条件 B必要不充分条件

C充要条件 D既不充分也不必要条件

2ldquoAcapB=Ardquo是ldquoAsubeBrdquo的( )A充分不必要条件 B必要不充分条件

C充要条件 D既不充分也不必要条件

14

对口升学 数学总复习

3设甲是乙的充分不必要条件乙是丙的充要条件丁是丙的必要不充分条件则甲是乙的

( )A充分不必要条件 B必要不充分条件

C充要条件 D既不充分也不必要条件

4ldquox ge1rdquo是ldquoxge1rdquo的( )A充分不必要条件 B必要不充分条件

C充要条件 D既不充分也不必要条件

5ldquoα=π4rdquo是ldquotanα=1rdquo的( )

A充分不必要条件 B必要不充分条件

C充要条件 D既不充分也不必要条件

二解答题

1判断下列问题中p是q的什么条件(1)px2gey2qxgey(2)pxisinAcupBqxisinAcapB(3)pxgt3qxgt2(4)pa是有理数qa+2是有理数

2求一个对于一切实数x都有ax2-ax+1gt0成立的充要条件

提 升 训 练

已知p-2lexle10qx2-2x+1-m2le0(mgt0)若p是q的充分不必要条件求实数m的取值范围

15

第一章 集合与条件

单 招 链 接

1(2015middot四川省高职单招)设集合A= 123 B= 34 则AcupB=( )A3 B34 C123 D1234 2(2016middot四川省高职单招)设集合A= 123 B= 234 则AcapB=( )A B23 C14 D1234 3(2017middot四川省高职单招)设集合A= 012 B= 13 则AcapB=( )A012 B13 C1 D0123 4(2018middot四川省高职单招)已知集合 A= 123 B= 1a AcupB= 1234 则

a= 5(2019middot四川省高职单招)设集合A= 135 B= 369 则AcapB=( )A B3 C1569 D13569

11

第一章 集合与条件

提 升 训 练

1满足abnsubAsubeabcde的集合A的个数是( )A9 B8 C7 D62已知集合A= xax2+2x+1=0xisinR (1)若A中只有一个元素求a的值(2)若A中恰有两个元素求a的取值范围(3)若A中至多只有一个元素求a的取值范围

3已知集合A= xx2-3x+2=0 B= xax+2=0 且BsubeA求实数a的值组成的

集合

第二节 充 要 条 件

1(2015年middot四川对口升学)ldquoxlt2rdquo是ldquox2-x-2lt0rdquo的( )A必要不充分条件 B充分不必要条件

C充要条件 D既不充分也不必要条件

2(2016年middot四川对口升学)ldquox le2rdquo是ldquo-2lexle2rdquo的( )A充分不必要条件 B必要不充分条件

C充要条件 D既不充分也不必要条件

12

对口升学 数学总复习

3(2017年middot四川对口升学)设abcisinR则ldquoac=b2rdquo是ldquoabc成等比数列rdquo的( )A充要条件 B既不充分也不必要条件

C必要不充分条件 D充分不必要条件

4(2018年middot四川对口升学)设abcisinR则ldquoagtbrdquo是ldquoac2gtbc2rdquo的( )A充分不必要条件 B必要不充分条件

C充要条件 D既不充分又不必要条件

5(2019年middot四川对口升学)ldquoxgt0rdquo是ldquoxgt1rdquo的( )A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件

1命题的概念

在数学中我们把用语言符号或式子表达的可以判断真假的陈述句称为命题正确的命题称为

真命题记作T错误的命题称为假命题记作FT和F称为命题的真值(有的书上用0和1作为命题

的真值)p与q为等值的命题记作p=q2必要条件的定义

(1)对于两个命题pq如果有prArrq则称p是q的充分条件q是p的必要条件注意p是q的充分条件是指只要具备了条件p那么q就一定成立即命题中的条件是充分的

q是p 的必要条件是指如果不具备条件q则p就不能成立即q是p 成立的必不可少的条件(2)如果prArrq且qrArrp即p=q则p是q的充分且必要条件简称充要条件注意(1)当phArrq时也称p与q是等价的(2)与充要条件等价的词语有ldquo当且仅当rdquoldquo等价于rdquoldquo有且只有rdquoldquo必需且只需rdquoldquohelliphellip反过来也成

立rdquo等3必要条件的判断方法

(1)从逻辑推理关系上判断(定义法)①若prArrq但q p则p是q的充分不必要条件②若p q但qrArrp则p是q的必要不充分条件③若prArrq且qrArrp则p是q的充要条件④若p q且q p则p是q的既不充分也不必要条件(2)从命题所对应的集合与集合之间的关系上判断(集合法)设命题p对应的集合为A命题q对应的集合为B①若AsubeB则p是q的充分条件若AsupeB则p是q的充分不必要条件②若AsupeB则p是q的必要条件若AsupeB则p是q的必要不充分条件③若AsubeB且AsupeB即A=B则p是q的充要条件④若A⫋B且A⫌B则p是q的既不充分也不必要条件

例1 已知p|3x-5|lt4q(x-1)(x-2)lt0则p是q的( )A充分不必要条件 B必要不充分条件

C充要条件 D既不充分也不必要条件

13

第一章 集合与条件

【解析】 p|3x-5|lt4rArrp13ltxlt3

q(x-1)(x-2)lt0rArrq1ltxlt2所以p⫋q但qrArrp所

以p是q的必要不充分条件选B【技巧点拨】 判断充分必要条件时先要分清条件和结论进而找到条件与结论之间的逻辑推理

关系常用的判断法定义法和集合法

10512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275 105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275

10512751051275105127510512751051275变式训练1

设命题甲0ltxlt5命题乙|x-2|lt3那么甲是乙的( )A充分不必要条件 B必要不充分条件

C充要条件 D既不充分也不必要条件

例2 已知集合A= yy=x2-32x+1xisin 3

42 B= xx+m2ge1 pxisinAqxisinB并

且p是q的充分条件求实数m的取值范围

【解析】 由题意得A= 716

2 B=[1-m2+infin)由于p是q的充分条件所以AsubeB所以

1-m2le716解得mge34或mle-34

即实数m的取值范围是(-infin-34]cup[3

4+infin)

【技巧点拨】 本题主要考查集合的运算以及充要条件的判断根据不等式之间的关系是解题的

关键

105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275 105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275

105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275变式训练2

已知px2-2x-3lt0q-altx-1lta若q是p的一个必要不充分条件求实数a的取值范围

基 础 训 练

一选择题

1ldquoxlt-2rdquo是ldquo不等式x2-4gt0成立rdquo的( )A充分不必要条件 B必要不充分条件

C充要条件 D既不充分也不必要条件

2ldquoAcapB=Ardquo是ldquoAsubeBrdquo的( )A充分不必要条件 B必要不充分条件

C充要条件 D既不充分也不必要条件

14

对口升学 数学总复习

3设甲是乙的充分不必要条件乙是丙的充要条件丁是丙的必要不充分条件则甲是乙的

( )A充分不必要条件 B必要不充分条件

C充要条件 D既不充分也不必要条件

4ldquox ge1rdquo是ldquoxge1rdquo的( )A充分不必要条件 B必要不充分条件

C充要条件 D既不充分也不必要条件

5ldquoα=π4rdquo是ldquotanα=1rdquo的( )

A充分不必要条件 B必要不充分条件

C充要条件 D既不充分也不必要条件

二解答题

1判断下列问题中p是q的什么条件(1)px2gey2qxgey(2)pxisinAcupBqxisinAcapB(3)pxgt3qxgt2(4)pa是有理数qa+2是有理数

2求一个对于一切实数x都有ax2-ax+1gt0成立的充要条件

提 升 训 练

已知p-2lexle10qx2-2x+1-m2le0(mgt0)若p是q的充分不必要条件求实数m的取值范围

15

第一章 集合与条件

单 招 链 接

1(2015middot四川省高职单招)设集合A= 123 B= 34 则AcupB=( )A3 B34 C123 D1234 2(2016middot四川省高职单招)设集合A= 123 B= 234 则AcapB=( )A B23 C14 D1234 3(2017middot四川省高职单招)设集合A= 012 B= 13 则AcapB=( )A012 B13 C1 D0123 4(2018middot四川省高职单招)已知集合 A= 123 B= 1a AcupB= 1234 则

a= 5(2019middot四川省高职单招)设集合A= 135 B= 369 则AcapB=( )A B3 C1569 D13569

12

对口升学 数学总复习

3(2017年middot四川对口升学)设abcisinR则ldquoac=b2rdquo是ldquoabc成等比数列rdquo的( )A充要条件 B既不充分也不必要条件

C必要不充分条件 D充分不必要条件

4(2018年middot四川对口升学)设abcisinR则ldquoagtbrdquo是ldquoac2gtbc2rdquo的( )A充分不必要条件 B必要不充分条件

C充要条件 D既不充分又不必要条件

5(2019年middot四川对口升学)ldquoxgt0rdquo是ldquoxgt1rdquo的( )A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件

1命题的概念

在数学中我们把用语言符号或式子表达的可以判断真假的陈述句称为命题正确的命题称为

真命题记作T错误的命题称为假命题记作FT和F称为命题的真值(有的书上用0和1作为命题

的真值)p与q为等值的命题记作p=q2必要条件的定义

(1)对于两个命题pq如果有prArrq则称p是q的充分条件q是p的必要条件注意p是q的充分条件是指只要具备了条件p那么q就一定成立即命题中的条件是充分的

q是p 的必要条件是指如果不具备条件q则p就不能成立即q是p 成立的必不可少的条件(2)如果prArrq且qrArrp即p=q则p是q的充分且必要条件简称充要条件注意(1)当phArrq时也称p与q是等价的(2)与充要条件等价的词语有ldquo当且仅当rdquoldquo等价于rdquoldquo有且只有rdquoldquo必需且只需rdquoldquohelliphellip反过来也成

立rdquo等3必要条件的判断方法

(1)从逻辑推理关系上判断(定义法)①若prArrq但q p则p是q的充分不必要条件②若p q但qrArrp则p是q的必要不充分条件③若prArrq且qrArrp则p是q的充要条件④若p q且q p则p是q的既不充分也不必要条件(2)从命题所对应的集合与集合之间的关系上判断(集合法)设命题p对应的集合为A命题q对应的集合为B①若AsubeB则p是q的充分条件若AsupeB则p是q的充分不必要条件②若AsupeB则p是q的必要条件若AsupeB则p是q的必要不充分条件③若AsubeB且AsupeB即A=B则p是q的充要条件④若A⫋B且A⫌B则p是q的既不充分也不必要条件

例1 已知p|3x-5|lt4q(x-1)(x-2)lt0则p是q的( )A充分不必要条件 B必要不充分条件

C充要条件 D既不充分也不必要条件

13

第一章 集合与条件

【解析】 p|3x-5|lt4rArrp13ltxlt3

q(x-1)(x-2)lt0rArrq1ltxlt2所以p⫋q但qrArrp所

以p是q的必要不充分条件选B【技巧点拨】 判断充分必要条件时先要分清条件和结论进而找到条件与结论之间的逻辑推理

关系常用的判断法定义法和集合法

10512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275 105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275

10512751051275105127510512751051275变式训练1

设命题甲0ltxlt5命题乙|x-2|lt3那么甲是乙的( )A充分不必要条件 B必要不充分条件

C充要条件 D既不充分也不必要条件

例2 已知集合A= yy=x2-32x+1xisin 3

42 B= xx+m2ge1 pxisinAqxisinB并

且p是q的充分条件求实数m的取值范围

【解析】 由题意得A= 716

2 B=[1-m2+infin)由于p是q的充分条件所以AsubeB所以

1-m2le716解得mge34或mle-34

即实数m的取值范围是(-infin-34]cup[3

4+infin)

【技巧点拨】 本题主要考查集合的运算以及充要条件的判断根据不等式之间的关系是解题的

关键

105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275 105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275

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已知px2-2x-3lt0q-altx-1lta若q是p的一个必要不充分条件求实数a的取值范围

基 础 训 练

一选择题

1ldquoxlt-2rdquo是ldquo不等式x2-4gt0成立rdquo的( )A充分不必要条件 B必要不充分条件

C充要条件 D既不充分也不必要条件

2ldquoAcapB=Ardquo是ldquoAsubeBrdquo的( )A充分不必要条件 B必要不充分条件

C充要条件 D既不充分也不必要条件

14

对口升学 数学总复习

3设甲是乙的充分不必要条件乙是丙的充要条件丁是丙的必要不充分条件则甲是乙的

( )A充分不必要条件 B必要不充分条件

C充要条件 D既不充分也不必要条件

4ldquox ge1rdquo是ldquoxge1rdquo的( )A充分不必要条件 B必要不充分条件

C充要条件 D既不充分也不必要条件

5ldquoα=π4rdquo是ldquotanα=1rdquo的( )

A充分不必要条件 B必要不充分条件

C充要条件 D既不充分也不必要条件

二解答题

1判断下列问题中p是q的什么条件(1)px2gey2qxgey(2)pxisinAcupBqxisinAcapB(3)pxgt3qxgt2(4)pa是有理数qa+2是有理数

2求一个对于一切实数x都有ax2-ax+1gt0成立的充要条件

提 升 训 练

已知p-2lexle10qx2-2x+1-m2le0(mgt0)若p是q的充分不必要条件求实数m的取值范围

15

第一章 集合与条件

单 招 链 接

1(2015middot四川省高职单招)设集合A= 123 B= 34 则AcupB=( )A3 B34 C123 D1234 2(2016middot四川省高职单招)设集合A= 123 B= 234 则AcapB=( )A B23 C14 D1234 3(2017middot四川省高职单招)设集合A= 012 B= 13 则AcapB=( )A012 B13 C1 D0123 4(2018middot四川省高职单招)已知集合 A= 123 B= 1a AcupB= 1234 则

a= 5(2019middot四川省高职单招)设集合A= 135 B= 369 则AcapB=( )A B3 C1569 D13569

13

第一章 集合与条件

【解析】 p|3x-5|lt4rArrp13ltxlt3

q(x-1)(x-2)lt0rArrq1ltxlt2所以p⫋q但qrArrp所

以p是q的必要不充分条件选B【技巧点拨】 判断充分必要条件时先要分清条件和结论进而找到条件与结论之间的逻辑推理

关系常用的判断法定义法和集合法

10512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275 105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275

10512751051275105127510512751051275变式训练1

设命题甲0ltxlt5命题乙|x-2|lt3那么甲是乙的( )A充分不必要条件 B必要不充分条件

C充要条件 D既不充分也不必要条件

例2 已知集合A= yy=x2-32x+1xisin 3

42 B= xx+m2ge1 pxisinAqxisinB并

且p是q的充分条件求实数m的取值范围

【解析】 由题意得A= 716

2 B=[1-m2+infin)由于p是q的充分条件所以AsubeB所以

1-m2le716解得mge34或mle-34

即实数m的取值范围是(-infin-34]cup[3

4+infin)

【技巧点拨】 本题主要考查集合的运算以及充要条件的判断根据不等式之间的关系是解题的

关键

105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275 105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275

105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275105127510512751051275变式训练2

已知px2-2x-3lt0q-altx-1lta若q是p的一个必要不充分条件求实数a的取值范围

基 础 训 练

一选择题

1ldquoxlt-2rdquo是ldquo不等式x2-4gt0成立rdquo的( )A充分不必要条件 B必要不充分条件

C充要条件 D既不充分也不必要条件

2ldquoAcapB=Ardquo是ldquoAsubeBrdquo的( )A充分不必要条件 B必要不充分条件

C充要条件 D既不充分也不必要条件

14

对口升学 数学总复习

3设甲是乙的充分不必要条件乙是丙的充要条件丁是丙的必要不充分条件则甲是乙的

( )A充分不必要条件 B必要不充分条件

C充要条件 D既不充分也不必要条件

4ldquox ge1rdquo是ldquoxge1rdquo的( )A充分不必要条件 B必要不充分条件

C充要条件 D既不充分也不必要条件

5ldquoα=π4rdquo是ldquotanα=1rdquo的( )

A充分不必要条件 B必要不充分条件

C充要条件 D既不充分也不必要条件

二解答题

1判断下列问题中p是q的什么条件(1)px2gey2qxgey(2)pxisinAcupBqxisinAcapB(3)pxgt3qxgt2(4)pa是有理数qa+2是有理数

2求一个对于一切实数x都有ax2-ax+1gt0成立的充要条件

提 升 训 练

已知p-2lexle10qx2-2x+1-m2le0(mgt0)若p是q的充分不必要条件求实数m的取值范围

15

第一章 集合与条件

单 招 链 接

1(2015middot四川省高职单招)设集合A= 123 B= 34 则AcupB=( )A3 B34 C123 D1234 2(2016middot四川省高职单招)设集合A= 123 B= 234 则AcapB=( )A B23 C14 D1234 3(2017middot四川省高职单招)设集合A= 012 B= 13 则AcapB=( )A012 B13 C1 D0123 4(2018middot四川省高职单招)已知集合 A= 123 B= 1a AcupB= 1234 则

a= 5(2019middot四川省高职单招)设集合A= 135 B= 369 则AcapB=( )A B3 C1569 D13569

14

对口升学 数学总复习

3设甲是乙的充分不必要条件乙是丙的充要条件丁是丙的必要不充分条件则甲是乙的

( )A充分不必要条件 B必要不充分条件

C充要条件 D既不充分也不必要条件

4ldquox ge1rdquo是ldquoxge1rdquo的( )A充分不必要条件 B必要不充分条件

C充要条件 D既不充分也不必要条件

5ldquoα=π4rdquo是ldquotanα=1rdquo的( )

A充分不必要条件 B必要不充分条件

C充要条件 D既不充分也不必要条件

二解答题

1判断下列问题中p是q的什么条件(1)px2gey2qxgey(2)pxisinAcupBqxisinAcapB(3)pxgt3qxgt2(4)pa是有理数qa+2是有理数

2求一个对于一切实数x都有ax2-ax+1gt0成立的充要条件

提 升 训 练

已知p-2lexle10qx2-2x+1-m2le0(mgt0)若p是q的充分不必要条件求实数m的取值范围

15

第一章 集合与条件

单 招 链 接

1(2015middot四川省高职单招)设集合A= 123 B= 34 则AcupB=( )A3 B34 C123 D1234 2(2016middot四川省高职单招)设集合A= 123 B= 234 则AcapB=( )A B23 C14 D1234 3(2017middot四川省高职单招)设集合A= 012 B= 13 则AcapB=( )A012 B13 C1 D0123 4(2018middot四川省高职单招)已知集合 A= 123 B= 1a AcupB= 1234 则

a= 5(2019middot四川省高职单招)设集合A= 135 B= 369 则AcapB=( )A B3 C1569 D13569

15

第一章 集合与条件

单 招 链 接

1(2015middot四川省高职单招)设集合A= 123 B= 34 则AcupB=( )A3 B34 C123 D1234 2(2016middot四川省高职单招)设集合A= 123 B= 234 则AcapB=( )A B23 C14 D1234 3(2017middot四川省高职单招)设集合A= 012 B= 13 则AcapB=( )A012 B13 C1 D0123 4(2018middot四川省高职单招)已知集合 A= 123 B= 1a AcupB= 1234 则

a= 5(2019middot四川省高职单招)设集合A= 135 B= 369 则AcapB=( )A B3 C1569 D13569