UNIWERSYTET MARII CURIE-SKŁODOWSKIEJ

W LUBLINIE

WYDZIAŁ MATEMATYKI, FIZYKI I INFORMATYKI

Jaromir Krzyszczak

Dynamika par Cooperaw układach fermionów

z oddziaływaniem zależnym od czasu.

Praca magisterska

wykonana w Zakładzie Teorii Fazy Skondensowanej.

Promotor: prof. dr hab. Karol Wysokiński.

Opiekun: dr hab. Tadeusz Domański.

Lublin 2006

MARIA CURIE-SKŁODOWSKA UNIVERSITY

IN LUBLIN

FACULTY OF MATHEMATICS, PHYSICS AND COMPUTER

SCIENCE

Jaromir Krzyszczak

The Cooper pair dynamicsin the fermion systems

with a time-dependent interaction.

Diploma thesis

prepared in Cendensed Matter Theory Department

under supervision of prof. dr hab. Karol Wysokiński

and dr hab. Tadeusz Domański

Lublin 2006

Panu prof. dr hab. Karolowi Wysokińskiemu

oraz

Panu dr hab. Tadeuszowi Domańskiemu

serdecznie dziękuję

za cenne uwagi,

okazaną mi pomoc

oraz życzliwość

w trakcie pisania niniejszej pracy.

Spis treści

Wprowadzenie 9

1. Wstęp 11

1.1. Odkrycie zjawiska nadprzewodnictwa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.2. Właściwości stanu nadprzewodzącego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.3. Nowe fakty i odkrycia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2. Mikroskopowa teoria BCS 21

2.1. Zjawisko powstawania par fermionowych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.2. Transformacja Bogoliubova-Valatina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.3. Wielkości charakterystyczne dla stanu BCS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3. Metoda Andersona 31

3.1. Opis metody . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3.2. Przypadek temperatury T = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3.3. Przypadek temperatury T 6= 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

4. Równanie ruchu dla pseudospinów 43

4.1. Równanie ruchu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

4.2. Rozwiązanie szczególne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

4.3. Rozwiązanie ogólne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

5. Równoważność opisu pseudospinowego i równań Bogoliubova-de Gennes’a 67

5.1. Równania Bogoliubova-de Gennes’a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

5.2. Parametr porządku . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

5.3. Rozwiązanie równań Bogoliubova-de Gennes’a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

5.4. Równania Bogoliubova-de Gennes’a jako równanie typu Blocha . . . . . . . . . . 72

Podsumowanie i wnioski 75

Dodatek A 77

Dodatek B 81

7

Spis rysunków 85

8

Wprowadzenie

W poniższej pracy przedstawiona jest metoda analizy zagadnienia dynamiki par Coopera

w układach fermionów z oddziaływaniem zależnym od czasu. Motywacją do wybrania właśnie

takiego tematu były dwie prace, które ukazały się na łamach Physical Review Letters oraz

Physical Review A na przeciągu ostatnich dwóch lat - [12] oraz [21]. Celem tej pracy stało

się odtworzenie formalizmu oraz wyników zawartych w tych pracach i rozszerzenie ich na

przypadek bardziej ogólny.

Pierwszy rozdział tej pracy poświęcony jest historycznemu zarysowi najważniejszych odkryć

związanych z nadprzewodnictwem, od odkrycia samego zjawiska nadprzewodnictwa, aż do pro-

wadzonych obecnie badań nad spułapkowanymi atomami. Badania te pozwalają kontrolować tak

siłę, jak i charakter oddziaływań, co oznacza, że mogą być one uzależnione od czasu na wiele

różnych sposobów.

Drugi rozdział poświęcony jest fundamentom mikroskopowej teorii nadprzewodnictwa, czyli

teorii BCS. W rozdziale tym zamieszczona jest również bardzo prosta metoda rozwiązania zagad-

nienia BCS, nazywana transformacją Bogoliubova-Valatina, dzięki której otrzymuje się wielkości

charakterystyczne dla stanu nadprzewodzącego.

W trzecim rozdziale przedstawiony jest formalizm wprowadzony w 1958 roku przez P.W. An-

dersona. Formalizm ten pozwala na rozwiązanie zagadnienia BCS, jednak jego zaletą i przewagą

nad innymi formalizmami jest to, iż odwołuje się on do znanych znacznie wcześniej zagadnień i

pozwala w dosyć obrazowy sposób wyjaśnić zjawisko przewodzenia prądu bez oporu.

Czwarty rozdział poświęcony jest zagadnieniu dynamiki układu fermionów. W rozdziale tym,

przy wykorzystaniu formalizmu wprowadzonego w rozdziale czwartym, pokazana jest metoda

otrzymania równania typu Blocha oraz zawarte są dwa rozwiązania tego równania - rozwiąza-

nie multisolitonowe (nazywane przez nas rozwiązaniem szczególnym, z powodu poczynionych

w trakcie rozwiązywania założeń) z bardzo prostą zależnością czasową oddziaływań, oraz roz-

wiązanie bardziej ogólne z kilkoma różnymi profilami oddziaływań zależnych od czasu.

W piątym, ostatnim, rozdziale zamieszczone są równania Bogoliubova-de Gennesa, które

otrzymać można przy wykorzystaniu wprowadzonej w rozdziale trzecim transformacji, a które

pozwalają na badanie dynamiki układu fermionów. W rozdziale tym zamieszczony jest również

sposób przekształcenia równań Bogoliubova-de Gennesa do równania typu Blocha, dzięki czemu

pokazujemy równoważność obydwu tych formalizmów.

9

10

Rozdział 1

Wstęp

1.1. Odkrycie zjawiska nadprzewodnictwa

Zjawisko nadprzewodnictwa, odkryte przez Heike’a Kamerlingha Onnesa w 1911 roku, to

jedno z najbardziej zadziwiających zjawisk w historii odkryć naukowych. Od momentu odkry-

cia tego zjawiska minęło prawie sto lat, ale wciąż fascynuje ono wiele osób. Stale dokonywane

nowe odkrycia związane ze zjawiskiem nadprzewodnictwa wymuszają nieustanny rozwój teorii

go opisującej. Gdy Heike Kamerlingh Onnes, urodzony w 1853 roku w Groningen, student Uni-

wersytetu w Groningen oraz Uniwersytetu w Heidelbergu w Niemczech, kończył pisać swoją

pracę doktorską, nie mógł nawet podejrzewać, że to właśnie jemu przypadnie odkrycie tego

zjawiska. W okresie tym Onnes poznał profesora Johannesa Diderika van der Waalsa, który

zajmował się opracowaniem opisu gazów rzeczywistych. Heike postawił sobie za cel swoich

badań ilościowy opis właściwości gazów w bardzo niskich temperaturach. Swoje plany badania

gazów w niskich temperaturach mógł zacząć realizować, gdy w 1882 roku został profesorem

Uniwersytetu w Lejdzie. To właśnie wtedy Onnes zbudował tam laboratorium kriogeniczne,

które później, w 1932 roku, zostało nazwane jego imieniem. W laboratorium tym udało mu się

powtórzyć eksperymenty wykonane w 1883 roku przez polskiego chemika Karola Olszewskiego

oraz fizyka Zygmunta Wróblewskiego, którym udało się skroplić tlen oraz azot. Ponieważ Heike

Kamerlingh Onnes do swoich badań potrzebował znacznie większych ilości tych cieczy, skupił

swoją uwagę na zbudowaniu dużo wydajniejszej aparatury, której konstrukcję oparł na me-

chanizmie zwanym później procesem kaskadowym. Proces ten polega na wykorzystaniu kilku

gazów o coraz niższej temperaturze skraplania do ochładzania kolejnego gazu. W aparaturze

Onnesa każdy gaz był najpierw sprężany, następnie oziębiany do temperatury skraplania i roz-

prężany, a powstająca podczas parowania cieczy para oziębiała następny w szeregu sprężony

gaz. Aparaturę tę udało mu się uruchomić w 1892 roku. Heike cały proces rozpoczął od chlorku

metylowego, który kondensuje w temperaturze 21C pod ciśnieniem 5 atm, a następnie skroplił

etylen (-87C w 3 atm), tlen (-145C w 17 atm) i w końcu powietrze (-193C w 1 atm). By jednak

udało się skroplić wodór, Onnes musiał osiągnąć znacznie niższą temperaturę, a to wymagało

od niego zbudowania znacznie precyzyjniejszej aparatury. Jednak w wyścigu w kierunku skro-

11

plenia wodoru Heike Kamerlingh Onnes wyprzedzony został przez szkockiego fizyka, Jamesa

Dewara, badającego zjawiska zachodzące w niskich temperaturach. Jamesowi Dewarowi sztuka

skroplenia wodoru udała się przy wykorzystaniu efektu termodynamicznego, zwanego zjawi-

skiem Joule’a-Thomsona, w 1898 roku. Zjawisko, które znalazło zastosowanie, a wręcz nawet

stało się zasadniczą częścią całego cyklu procesu kaskadowego, polega na zmianie temperatury

gazu rozprężającego się przez zawór, zwykle temperatura ta się zmniejsza. Dzięki niemu De-

warowi udało się oziębić wodór do temperatury -253C, czyli 20 K. Urządzenie skonstruowane

przez Jamesa Dewara wytwarzało jednak niewielkie ilości ciekłego wodoru, natomiast zamie-

rzeniem Onnesa było badanie właściwości gazów w niskich temperaturach, potrzebował więc

ciekłego wodoru w znacznie większych ilościach. Dopiero w 1906 roku udało mu się, wraz z

innymi naukowcami, skonstruować aparaturę wykorzystującą zjawisko Joule’a-Thomsona, która

umożliwiałaby wytwarzanie wystarczających ilości ciekłego wodoru i to właśnie wtedy, po raz

pierwszy w Lejdzie, skroplił ten gaz. Urządzenia Onnesa, w którym gazowy wodór był naj-

pierw sprężany, następnie przepływał przez obszar chłodzony ciekłym azotem i rozprężał się,

co sprawiało, że ochładzał się na tyle, by skropleniu uległa jego część, produkowało około 4

litrów ciekłego wodoru na godzinę, ale po udoskonaleniach udało się zwiększyć tę ilość do 13

litrów na godzinę.

W tym czasie, gdy James Dewar i Heike Kamerlingh Onnes usiłowali skroplić wodór, na

Ziemi został odkryty hel. Okrycie to jest zasługą Williama Ramsaya, który w 1895 roku potrakto-

wał kleweit (rudę uranową) kwasem mineralnym i otrzymał hel. Wyjątkowo niska temperatura

skraplania helu jest zasługą niezwykle słabo oddziałujących ze sobą atomów tego pierwiastka.

Heike postawił za cel swojej pracy skroplenie helu, co zresztą sam napisał: ”Postanowiłem

natychmiast, że moim celem będzie pokonanie tego ostatniego etapu”. Jednak wielką trud-

nością okazało się zdobycie odpowiedniej ilości, dopiero co odkrytego, gazowego helu. Onnes,

z prośbą o pomoc, zwrócił się do swojego brata, który był dyrektorem Biura Wywiadu Han-

dlowego w Amsterdamie, i dzięki temu udało mu się kupić dużą ilość piasku monacytowego

z Karoliny Północnej, który to piasek zawiera hel. Heike, z jednego transportu, uzyskał około

300l gazowego helu. Aby go skroplić, potrzebował jednak bardzo wydajnej aparatury, która

wytwarzałaby odpowiednią ilość ciekłego wodoru. Wcześniejsze doświadczenia, które Onnes

nabył próbując skroplić wodór, pozwoliły skonstruować skraplarkę helową, opartą na procesie

kaskadowym, w którym jako czynniki chłodzące zastosowane zostały ciekłe powietrze i ciekły

wodór oraz na zjawisku Joule’a-Thomsona, już w 1908 roku. 10 lipca 1908 roku mała grupa

naukowców pracujących na uniwersytecie w Lejdzie zebrała się, by obserwować przebieg eks-

perymentu. Przez cały dzień przez układ przepływał gazowy hel, temperatura wynosiła 4.2

K i nie chciała zejść poniżej tego poziomu, a jednak nie widać było cieczy. Późnym wieczo-

rem Fransiscus Schreinemakers, profesor chemii, który obserwował ten eksperyment zupełnym

przypadkiem, wysunął przypuszczenie, że temperatura przestała się zmniejszać ponieważ cie-

kły hel już powstał, ale jest on po prostu trudny do zaobserwowania. Heike Kamerlingh Onnes

później wiele razy wspominał tą chwilę, kiedy oświetlił zainstalowane naczynie na gromadzący

12

się w aparaturze ciekły hel i ujrzał powierzchnię cieczy. Onnesowi udało się osiągnąć jeszcze

niższą temperaturę (około 1.7 K) poprzez zmniejszenie ciśnienia, co było wtedy wynikiem nie-

wiarygodnie bliskim zera bezwzględnego. Największym problemem Onnesa w tym czasie było

wykorzystanie otrzymanego ciekłego helu do zaplanowanych badań. Heike poświęcił więc ko-

lejne lata na udoskonalenie aparatury, tak aby nadawała się ona do tego celu, i dopiero w 1911

roku udało mu się stworzyć kriostat, który utrzymywał ciekły hel w stałej temperaturze, a w

którym można było przeprowadzać badania właściwości różnych substancji w bardzo niskich

temperaturach.

W czasie, gdy Heike zajmował się skraplaniem kolejnych gazów, wielu naukowców dysku-

towało na temat zależności temperaturowej oporu w temperaturach bliskich zeru bezwzględ-

nemu. Lord Kelvin uważał, że poprawiający się w coraz niższych temperaturach przepływ

elektronów (co zaobserwowane i udokumentowane zostało przez wspomnianych już wcześniej

polskich naukowców - Zygmunta Wróblewskiego i Karola Olszewskiego), może ustać z powodu

”zamrożenia” elektronów. Oznaczałoby to, że w temperaturze zera bezwzględnego opór byłby

nieskończony. Inni fizycy - w tym także Onnes i wspomniany wcześniej Dewar - przypuszczali,

że opór będzie dalej malał i zniknie dopiero w temperaturze zera bezwzględnego. Temperatury

osiągane przez Heike Kamerlingha Onnesa w jego eksperymentach były więc doskonałą okazją

do zweryfikowania tych hipotez, jednak wynik zaskoczył wszystkich, gdyż z uwagi na ówczesny

stan wiedzy o mikroświecie, był zupełnie nie do przewidzenia. Heike zdecydował się użyć do

badań rtęci, gdyż chciał zapobiec sytuacji, w której niedoskonałość struktury metalu w stanie

stałym mogłaby zaburzać przepływ prądu i przez to utrudniać interpretację wyników. Onnes,

by przygotować do badań jak najczystszą próbkę, wielokrotnie destylował rtęć w temperatu-

rze pokojowej, a następnie umieścił ją w szklanej kapilarze w kształcie litery U. Do końców tej

kapilary przymocowane zostały elektrody, które umożliwiały przepływ prądu i jednocześnie ba-

danie oporu. W trakcie oziębiania, gdy rtęć zestaliła się i utworzyła metalowy drut, Onnes wraz

ze swoimi współpracownikami byli świadkami zmniejszania się oporu. Jednak w temperaturze

skraplania się helu wynik pomiaru oporu był bardzo zdumiewający - opór wydawał się całko-

wicie znikać. Doświadczenie to przeprowadzali Heike Kamerlingh Onnes i Gerrit Flim, którzy

doglądali pracę aparatury kriogenicznej oziębiającej rtęć, oraz Gilles Holst i Cornelius Dorsman,

którzy przebywali w oddalonym o 50m pokoju i odczytywali wskazania galwanometru.

Gdy kilkakrotnie ponawiane doświadczenie wciąż dawało ten sam wynik, badacze zaczęli

przypuszczać, iż przyczyną jest jakieś zwarcie. Rurka w kształcie litery U została więc zastą-

piona rurką w kształcie litery W z pięcioma elektrodami - na obu końcach i w kolankach - co

dawało możliwość pomiaru oporu na różnych częściach próbki. Ponownie pomiary dały opór

równy zeru, a na żadnym z badanych odcinków nie udało się odszukać zwarcia. Eksperyment

był powtarzany wielokrotnie, aż któregoś razu jeden z asystentów, mający obowiązek kontrolo-

wania wskazań manometru podłączonego do aparatury, zasnął. Ciśnienie par helu w kriostacie

musiało być trochę niższe niż atmosferyczne, dzięki czemu sączące się przez nieszczelności do

wnętrza powietrze zamarzało i uszczelniało aparaturę. Ponieważ nikt nie kontrolował wskazań

13

Rysunek 1: Wykres zrobiony przez Heike Kamerlingha Onnesa - opór badanej próbki rtęci jako

funkcja temperatury.

manometru, ciśnienie zaczęło powoli rosnąć, a wraz z nim i temperatura. Gdy przekroczyła 4.2

K, Holst stwierdził gwałtowny skok wskazań galwanometru, który sygnalizował pojawienie się

oporu. Fakt ten potwierdził przekonanie Onnesa, że w temperaturze około 4.2 K opór rtęci na-

prawdę znikał. Stan, w którym opór metalu jest równy zero, nazwał stanem nadprzewodzącym,

a swoje odkrycie opublikował pod koniec 1911 roku w pracy pod tytułem ”O nagłej zmianie

szybkości znikania oporu rtęci”. Kolejne doświadczenia, z cyną oraz ołowiem, pokazały, że

nie tylko rtęć w odpowiednio niskiej temperaturze przechodzi w stan nadprzewodzący. Heike

Kamerlingh Onnes, który od razu zaczął myśleć nad zastosowaniem nowo odkrytego zjawiska,

mocno się jednak rozczarował, gdy odkrył, że słabe pola magnetyczne potrafią zniszczyć nad-

przewodnictwo. Oznaczało to, że pomimo braku oporu, przez przewodnik mógł płynąć bardzo

niewielki prąd. Dopiero w ostatnich latach odkryto i rozpoczęto produkcję materiałów nadprze-

wodzących prądu o dużych natężeniach w silnych polach magnetycznych, co pozwala obecnie

myśleć o zastosowaniu nadprzewodnictwa nie tylko w medycynie (urządzenie do obrazowania

metodą rezonansu magnetycznego), ale także do konstrukcji nadprzewodzących linii energe-

tycznych, czy pojawiających się do tej pory jedynie w książkach science-fiction lewitujących

pociągów.

1.2. Właściwości stanu nadprzewodzącego

Odkryte przez Heike Kamerlingha Onnesa zjawisko nadprzewodnictwa pozostawało dla na-

ukowców zagadką przez prawie pół wieku. W tym czasie próbą teoretycznego opisu tego zja-

14

wiska zajmowało się wielu wybitnych fizyków, między innymi Richard Feynman, Werner He-

isenberg, Niels Bohr czy sam Albert Einstein, jednak żadnemu z nich nie udało się wyjaśnić,

dlaczego niektóre materiały przewodzą w niskich temperaturach prąd bez oporu. Dopiero ko-

lejne odkrycia związane z nadprzewodnikami pozwoliły na sformułowanie opisu teoretycznego

zjawiska nadprzewodnictwa. Jednym z nich było odkrycie w 1933 roku przez Walthera Meis-

snera i Roberta Ochsenfelda zjawiska, nazwanego potem efektem Meissnera. Efekt ten polega

na całkowitym wypychaniu pola magnetycznego z wnętrza nadprzewodnika w momencie przej-

ścia przez punkt zwany temperaturą krytyczną. Zewnętrzne pole magnetyczne wnika jedynie

do cienkiej warstwy przy powierzchni nadprzewodnika. Zjawisko to sugeruje, że elektrony w

nadprzewodniku wytwarzają wewnętrzne pole magnetyczne, które neutralizuje zewnętrzne pole

magnetyczne.

Rysunek 2: Efekt Meissnera dla nadprzewodzącej kuli.

Między nadprzewodnikiem a idealnym przewodnikiem o zerowym oporze istnieje więc zna-

cząca różnica - w temperaturze powyżej temperatury krytycznej w obydwu materiałach linie

indukcji magnetycznej B przechodzą przez te materiały, jednak przy obniżeniu temperatury

poniżej temperatury krytycznej linie indukcji magnetycznej zostaną wypchnięte jedynie z nad-

przewodnika. Efekt ten stał się kryterium określającym, czy dany materiał o zerowym oporze

elektrycznym można nazywać nadprzewodnikiem. Podstawowymi cechami nadprzewodników

są więc zerowy opór oraz idealny diamagnetyzm.

Umieszczenie nadprzewodnika w silnym polu magnetycznym powoduje przejście do stanu

normalnego. Istnieje więc wartość krytycznego pola magnetycznego HC , poniżej której dany ma-

teriał jest nadprzewodnikiem. Wartości HC dla nadprzewodników I rodzaju są tak małe, że nie

mają one praktycznego zastosowania w życiu codziennym. Dopiero znacznie później zaobserwo-

wano materiały zachowujące się nieco odmiennie. W 1957 roku Aleksiej Abrikosow wprowadził

pojęcie nadprzewodników II rodzaju. W nadprzewodnikach takich opór elektryczny zanika stop-

niowo w przedziale temperatur TC1 < T < TC2. Jednocześnie nadprzewodniki takie posiadają

dwie wartości krytycznego pola magnetycznego HC1 i HC2. Po przyłożeniu zewnętrznego pola

15

z zakresu HC1 < H < HC2 materiały te wykazują zerowy opór, jednak indukcja magnetyczna

wewnątrz takiego nadprzewodnika jest różna od zera. Oznacza to, że efekt Meissnera jest nie-

pełny - strumień magnetyczny wnika do wnętrza nadprzewodnika w postaci wirów tworzących

tzw. sieć Abrikosowa o strukturze heksagonalnej. Wartość HC2 jest zwykle znacznie większa

od wartości HC1, dzięki czemu materiały te znajdują szerokie zastosowanie praktyczne, między

innymi w magnesach nadprzewodnikowych.

Kolejnymi badaniami, które miały znaczny udział w sformułowaniu teoretycznego opisu nad-

przewodnictwa były badania poświęcone entropii i ciepłu właściwemu. Entropia stanu nad-

przewodzącego jest znacznie mniejsza, niż entropia stanu normalnego, co można zbadać, gdyż

poniżej TC każdy materiał może zostać przeprowadzony ze stanu nadprzewodzącego do stanu

normalnego poprzez przyłożenie zewnętrznego pola magnetycznego silniejszego niż wartość kry-

tycznego pola magnetycznego danego materiału. Ponieważ entropia jest miarą nieporządku w

układzie, oznacza to, że stan nadprzewodzący jest stanem bardziej uporządkowanym. Także

zależności temperaturowe ciepła właściwego materiału w stanie normalnym i stanie nadprze-

wodzącym poniżej temperatury krytycznej TC różnią się od siebie.

Rysunek 3: Wykres ciepła właściwego galu w stanie normalnym i nadprzewodzącym.

Na ciepło właściwe składa się część elektronowa, sieciowa i, w niskich temperaturach, ją-

drowa kwadrupolowa. Składowa elektronowa w stanie normalnym zależy liniowo od tempera-

16

tury, natomiast w stanie nadprzewodzącym - wykładniczo od 1T . Zmiana charakteru zależności

elektronowego ciepła właściwego sugeruje, iż ogromny udział w nadprzewodnictwie mają elek-

trony. Jednocześnie wykładniczy charakter zależności wskazuje na to, że przy wzroście tempera-

tury elektrony wzbudzane są przez przerwę energetyczną (przerwa ta ma zupełnie inny charak-

ter niż przerwa energetyczna w izolatorach). Przerwa energetyczna jest charakterystyczną cechą

stanu nadprzewodzącego. Natomiast nieciągłość ciepła właściwego w temperaturze przejścia TC

świadczy o tym, że przejście ze stanu normalnego do stanu nadprzewodzącego jest przejściem

fazowym II rodzaju, w którym to przejściu nie ma ciepła przemiany. Ponadto, gdy temperatura

dąży do temperatury krytycznej TC , przerwa energetyczna maleje do zera w sposób ciągły.

Innym odkryciem, które miało fundamentalne znaczenie dla powstania teorii nadprzewod-

nictwa, było odkrycie w 1950 roku tak zwanego efektu izotopowego. Efekt ten polega na tym, że

temperatura krytyczna TC pierwiastków nadprzewodzących zależy od masy izotopowej jonów

sieci. Oznacza to, że temperatura krytyczna zmienia się w sposób płynny, gdy do materiału z

danego pierwiastka dodajemy różne izotopy tego samego pierwiastka. Wzorem, który dobrze

opisuje obserwowane doświadczalnie zależności, jest wzór

MαTC = constans,

gdzie α jest współczynnikiem otrzymanym z dopasowania do danych doświadczalnych. Opi-

sywana przez ten wzór zależność temperatury krytycznej od masy izotopowej M sugeruje,

iż związek między nadprzewodnictwem a drganiami sieci krystalicznej, czyli oddziaływaniami

elektron-fonon, jest bardzo silny.

Odkrycia te, oraz wnioski za nimi idące, pozwoliły na stworzenie w 1957 roku przez Johna

Bardeena, Leona Coopera i Roberta Schrieffera kwantowej teorii nadprzewodnictwa, za którą

otrzymali oni w 1972 roku nagrodę Nobla.

1.3. Nowe fakty i odkrycia

Teoria BCS, która opiera się na założeniu, że za powstawanie par elektronowych odpowia-

dają sprzężenia elektronów z drganiami sieci - fononami, wyjaśnia i opisuje wiele właściwości

nadprzewodników. Jednak ciągłe badania nad kolejnymi związkami, które podejrzewane były o

nadprzewodnictwo w niskich temperaturach, doprowadziły do zaskakujących odkryć - nie we

wszystkich nadprzewodnikach za powstawanie par elektronowych muszą odpowiadać fonony.

W 1979 roku Frank Steglich, badając związek CeCu2Si2, stwierdził, że rolę bozonów pośredni-

czących w tym związku pełnią magnony, czyli kwazicząstki opisujące elementarne wzbudzenia

magnetyczne (spinowe). Wzbudzenia te, w wyniku wzajemnych oddziaływań między spinami,

mogą propagować się w krysztale jako fale, nazywane falami spinowymi. Wniosek Steglicha,

płynący z przesłanek doświadczalnych - proporcjonalności oporu powyżej temperatury krytycz-

nej TC do T 2, co sugerowało, że dominującym oddziaływaniem w tym związku jest rozpraszanie

kulombowskie elektronów między sobą, oraz tego, że energia Fermiego jest mniejsza od energii

17

~ωD drgań sieci krystalicznej, wzbudził wiele kontrowersji i nie został łatwo zaakceptowany,

jednak odkrycie pierwszego nadprzewodnika niefononowego stało się podstawą do stworzenia

nowych koncepcji odnośnie bozonów pośredniczących w tworzeniu par w nadprzewodnikach.

Odkrycie to, nazwane później nadprzewodnictwem cieżkofermionowym, polega na silnej ko-

relacji zachowania elektronów z pasma przewodnictwa. W wyniku wzajemnych oddziaływań

kulombowskich elektronów, ich masa efektywna wzrasta wielokrotnie w stosunku do masy elek-

tronu swobodnego. Wzrost masy elektronu ma bardzo duży wpływ na ruch elektronów. Obec-

nie uważa się, że za nadprzewodnictwo mogą odpowiadać bardzo różne bozony pośredniczące,

między innymi fonony, magnony, ekscytony, anyony czy polarony.

W 1986 roku Georg Bednorz i Alex Muller, zatrudnieni w laboratorium IBM w Zurychu,

badali szczególny rodzaj materiałów - ceramiczne związki tlenków o strukturze perowskitu.

Odkryli wtedy nadprzewodnik o rekordowo wysokiej, jak na tamte czasy, temperaturze kry-

tycznej, która przekraczała maksymalną temperaturę krytyczną dopuszczaną przez teorię BCS.

Ich odkrycie, które stało się inspiracją dla innych naukowców, zapoczątkowało rewolucję nad-

przewodnikową - niedługo później odkryto wiele związków o bardzo wysokich temperaturach

krytycznych. Ten rodzaj nadprzewodnictwa, który cechuje się wysokimi temperaturami i po-

lami krytycznymi, nazwany został nadprzewodnictwem wysokotemperaturowym. Mechanizm

odpowiadający za nadprzewodnictwo w materiałach będących nadprzewodnikami wysokotem-

peraturowymi do tej pory nie jest całkowicie zrozumiały, choć wiele wskazuje na to, że jest on

związany z warstwową budową struktury krystalicznej. Nie wiadomo natomiast, czy za nadprze-

wodnictwo wysokotemperaturowe może odpowiadać sprzężenie elektron-fonon, tworzące pary

Coopera w nadprzewodnikach klasycznych. Warto w tym miejscu wspomnieć o odkryciach nad-

przewodnictwa w następujących materiałach: BaPb0.75Bi0.25O3 o TC = 12K , La1.85Ba0.15CuO4

o TC = 36K , Y Ba2Cu3O7 o TC = 90K czy T l2Ba2Ca2Cu3O10 o TC = 120K . Obecnie naj-

wyższą temperaturą krytyczną TC = 138K posiada odkryty w 1995 roku związek o wzorze

(Hg0.8Tl0.2)Ba2Ca2Cu3O8.33. Wszystkie te związki wykazują silną anizotropię wielu właściwo-

ści.

W 1995 roku Ericowi Cornellowi oraz Carlowi Wiemanowi, po raz pierwszy w historii, udało

się zaobserwować kondensację Bosego-Einsteina w gazie. Eksperyment ten polegał na ochłodze-

niu 2000 spułapkowanych atomów rubidu do temperatury rzędu ułamka kelwina, dzięki czemu

atomy na około 10 sekund straciły swoje indywidualne właściwości i zaczęły zachowywać się

jak jeden ”superatom”. Od tamtego czasu prowadzone są intensywne badania nad tym stanem

skupienia, jednak dopiero w 2003 roku Deborah Jin udało się otrzymać kondensat złożony z

atomów typu fermionowego. Otrzymanie takiego kondensatu było znacznie trudniejsze z po-

wodu zakazu Pauliego, obowiązującego ten rodzaj cząstek - dwa fermiony nie mogą obsadzać

jednego stanu kwantowego. Zamiast tego zapełniają najbardziej korzystne energetycznie stany,

tworząc tak zwane ”morze”Fermiego. Eksperyment przeprowadzony przez Deborah Jin polegał

na ochłodzeniu 5 · 105 atomów potasu do temperatury 5 · 10−8K i przyłożeniu zewnętrznego

pola magnetycznego. Dzięki temu udało się zmusić atomy typu fermionowego do utworzenia

18

par - molekuł o charakterze bozonowym, które uległy kondensacji. Obecnie do badania tego

mechanizmu kondensacji wykorzystuje się atomy potasu 40K lub litu 6Li.

Najnowsze badania nad spułapkowanymi atomami typu fermionowego pozwalają naukow-

com na kontrolowanie oddziaływań między atomami. Dzieje się tak dzięki wykorzystaniu tak

zwanych magnetycznych rezonansów Feshbacha. Przy pewnych wartościach pola magnetycz-

nego, relatywnie mała zmiana wartości tego pola, może spowodować dużą zmianę siły, a a

nawet zmianę charakteru oddziaływań. Dzięki temu, przed naukowcami otworzyły się całko-

wicie nowe możliwości badań nad zachowaniem fermionów - charakter oddziaływań między

atomami może zostać gwałtownie zmieniony na przykład z odpychającego na przyciągające. Po-

nieważ jego wartość można zmieniać w ciągły sposób, to pozwala to badać procesy zależne od

czasu.

Rysunek 4: Ilustracja przykładowego rezonansu Feshbacha.

Oddziaływanie między dwoma atomami może być opisane za pomocą długości rozpraszania

a, przedstawionej na Rysunku 4 w zależności od przyłożonego pola magnetycznego w pobliżu

rezonansu Feshbacha B0. Po tak zwanej stronie BEC (B < B0), dla której a > a0, oddziaływania

między atomami są odpychające. W trakcie zderzeń między atomami, mogą one utworzyć na

19

krótką chwilę molekułę. Jeżeli moment magnetyczny tak utworzonej molekuły różni się od

momentu magnetycznego niezwiązanych atomów, można spowodować, zmieniając wartość pola

magnetycznego, iż stan związany jest bardziej korzystny energetycznie niż stan niezwiązany.

Molekuła utworzona z dwóch fermionów ma charakter bozonowy, dzięki czemu mogą one ulec

kondensacji Bosego-Einsteina (BEC). Po stronie BCS (B > B0), dla której długość rozpraszania

a < a0, oddziaływania między atomami są przyciągające. Atomy mogą jednak nadal tworzyć

parę, która jest luźno związana, a której rozmiary porównywalne są do średnich odległości

między cząstkami. Kondensat Bosego-Einsteina takich ”kruchych” par nazywany jest stanem

BCS, od nazwisk Bardeena, Coopera i Schrieffera, ponieważ dokładnie taka sytuacja występuje

w nadprzewodnikach.

Rezonanse Feshbacha dają więc nie tylko możliwość manipulowania wartością oddziaływań

między fermionami w czasie, ale również są doskonałym medium testowania, przeprowadza-

nych do tej pory jedynie teoretycznie, rozważań na temat zagadnienia ciągłego przejścia od

nadprzewodnictwa BCS luźno związanych par do nadciekłości BEC par lokalnych.

20

Rozdział 2

Mikroskopowa teoria BCS

W 1957 roku John Bardeen, Leon Cooper i Robert Schrieffer podali podstawy mikroskopowej

teorii wyjaśniającej zjawisko nadprzewodnictwa, oraz przewidującej kolejne efekty związane z

nadprzewodnikami, za którą to teorię otrzymali w 1972 roku nagrodę Nobla. Pomimo, że w ory-

ginalnej pracy bozonami pośredniczącymi w przekazywaniu oddziaływania odpowiedzialnego

za powstawanie par były fonony, to uwzględnienie różnych mechanizmów parowania cząstek

pozwala rozszerzyć zakres stosowalności teorii BCS na znacznie szerszy obszar, niż nadprzewod-

niki klasyczne - od skondensowanej fazy 3He, poprzez nadprzewodzące pierwiastki i związki

chemiczne, aż do tlenkowych nadprzewodników wysokotemperaturowych.

2.1. Zjawisko powstawania par fermionowych

Podstawowym założeniem teorii BCS jest dopuszczenie możliwości łączenia się w pary no-

śników ładunku w przewodniku. Inspiracją do takiego założenia był wynik teoretyczny otrzy-

many przez Herberta Frohlicha w 1950 roku. Frohlich, tuż po odkryciu efektu izotopowego,

zaczął zastanawiać się, dlaczego temperatura krytyczna zależy od masy izotopowej jonów sieci.

Stwierdził wtedy, że kwant drgania sieci, fonon, musi odgrywać kluczową rolę w mechanizmie

prowadzącym do nadprzewodnictwa. Rozważając sytuację, w której jeden z elektronów emituje

kwant drgania sieci krystalicznej, który następnie jest absorbowany przez inny elektron, doszedł

do wniosku, że istnieją pewne warunki, dla których to oddziaływanie między elektronami może

być przyciągające! Dzieje się tak dla elektronów posiadających energię bardzo bliską energii Fer-

miego. Jednak wynik teoretyczny Frohlicha, pomimo że obiecujący i dający wyjaśnienie efektu

izotopowego, nie pozwalał wytłumaczyć, w jaki sposób oddziaływanie przyciągające może od-

grywać rolę w nadprzewodnikach, skoro oddziaływanie kulombowskie między elektronami jest

znacznie silniejsze. Nad problemem tym zaczął zastanawiać się Johna Bardeen, który doszedł do

wniosku, że odpowiedź tkwi w ośrodku - jeżeli uwzględnimy wpływ ekranowania oddziaływań

elektron-elektron oraz elektron-jon, to właśnie obecność jonów sieci krystalicznej sprawia, iż

oddziaływania między elektronami mogą być przyciągające. Leon Cooper pokazał, że przycią-

ganie to może, w niskich temperaturach, spowodować niestabilność powierzchni Fermiego stanu

21

normalnego ze względu na tworzenie par elektronów o przeciwnym pędzie i spinie. Oznacza to,

że w niskich temperaturach ciecz zbudowana z elektronów przewodnictwa, które powiązane są

ze sobą w pary - kwazicząstki o charakterze bozonowym, ulega kondensacji Bosego-Einsteina

i przechodzi w stan nadciekły. Kondensacja Bose-Einsteina par elektronowych i ich przejście

do stanu nadciekłego obserwowane jest jako zanik oporu elektrycznego. W tym momencie teo-

ria wyjaśniająca zjawisko nadprzewodnictwa była praktycznie gotowa, i powstała, gdy Robert

Schrieffer zastosował podejście wykorzystywane wcześniej dla polaronów do zagadnienia od-

działujących par elektronowych - par Coopera.

Z teorii BCS wynika wiele właściwości stanu nadprzewodzącego - między innymi tłuma-

czy ona dlaczego w nadprzewodnikach powstaje przerwa energetyczna. Dzieje się tak dlatego,

iż elektron, poruszając się w ośrodku, oddziałuje z siecią krystaliczną powodując jej deforma-

cję. Ponieważ elektron porusza się znacznie szybciej niż jony sieci krystalicznej powracają do

stanu równowagi, to w miejscu deformacji powstaje lokalne zagęszczenie ładunku dodatniego,

przez które przyciągany jest drugi elektron. Oddziaływanie przyciągające między elektronami

realizowane jest więc za pomocą deformacji sieci krystalicznej - fononu. W wyniku takiego

oddziaływania powstaje stan związany - para Coopera. Aby rozdzielić parę Coopera na dwa

niezależne elektrony potrzebna jest skończona wartość energii. Oznacza to, że w układzie istnieje

przerwa energetyczna dla wzbudzeń jednoelektronowych.

2.2. Transformacja Bogoliubova-Valatina

Od momentu opublikowania teorii BCS minęło już prawie pół wieku. Na przełomie tego

czasu opracowano wiele sposobów rozwiązania zagadnienia BCS, ale jedną z najbardziej zna-

nych i prawdopodobnie najprostszą metodą, pozostaje wprowadzenie transformacji kanonicznej,

która diagonalizuje elementy macierzowe hamiltonianu. Transformacja ta nazwana jest trans-

formacją Bogoliubova-Valatina [2]. W tym rozdziale pokażemy w jaki sposób zdefiniować taką

transformację i jak za jej pomocą otrzymać równania teorii BCS. Rozważać będziemy układ

cząsteczek typu fermionowego, który opisywany jest hamiltonianem

HBCS = HKIN + HPOT =∑k,σ=↑,↓

ξk c†k,σ ck,σ −

∑k,k′,q,σ,σ′

Vk,k′ (q) c†k′+q,σ′

ck′,σ′ c†k−q,σ ck,σ. (1)

W teorii opisującej zagadnienie wielu ciał wygodnie jest mierzyć energię względem poziomu

Fermiego, dlatego do hamiltonianu wprowadziliśmy energię ξk = ek − µ. Ponieważ powyższy

hamiltonian nie jest rozwiązywalny w sposób ścisły, dlatego w naszych dalszych rozważaniach

zmuszeni jesteśmy do ograniczenia rozwiązania i wykonania przybliżeń. Pierwsze przybliżenie

polegać będzie na pozostawieniu w członie oddziaływania tylko tej części, dla której oddziały-

wanie między fermionami jest przyciągające i prowadzi do powstawania par. Dzieje się tak w

przypadku, w którym całkowity pęd pary jest równy k+ k′ = 0, a fermiony tworzące parę mają

przeciwne spiny. Dla wygody przyjmiemy również, że elementy macierzowe oddziaływania są

22

sobie równe (Vk,k′ (q) = V ). Możemy więc przepisać hamiltonian (1) jako

HBCS =∑k,σ=↑,↓

ξk c†k,σ ck,σ − V

∑k,k′

c†k′,↑c†−k′,↓c−k,↓ck,↑. (2)

Hamiltonian ten jest nazywany zredukowanym hamiltonianem BCS. Stanem podstawowym dla

tego hamiltonianu jest stan

Φ0 =∏k

(uk + vk c

†k,↑c†−k,↓

)Φvac, (3)

gdzie Φvac jest stanem próżni a uk i vk są współczynnikami liczbowymi.

Ideą transformacji Bogoliubova-Valatina jest wprowadzenie nowych operatorów γ†k,σ i γk,σ ,

za pomocą których wyrazimy stare operatory c†k,σ i ck,σ , a następnie sprawdzenie, jakie wa-

runki muszą spełniać te operatory, by diagonalizowały hamiltonian. Nowe operatory γ†k,σ i γk,σwprowadzimy w następujący sposób [3]

γ†k,↑ ≡ uk c†k,↑ − vk c−k,↓, (4)

γ−k,↓ ≡ uk c−k,↓ + vk c†k,↑. (5)

Sprzężenie hermitowskie wprowadzonych równań da nam(γ†k,↑

)†= γk,↑ = u∗k ck,↑ − v∗k c

†−k,↓, (6)

(γ−k,↓)† = γ†−k,↓ = u

∗k c†−k,↓ + v

∗k ck,↑. (7)

W tym miejscu, dla wygody, zakładamy, że współczynniki uk i vk są wielkościami rzeczywistymi

(czyli uk = u∗k i vk = v∗k, chociaż w ogólności tak być nie musi). Dzięki temu otrzymamy, że

γk,↑ = uk ck,↑ − vk c†−k,↓, (8)

γ†−k,↓ = uk c†−k,↓ + vk ck,↑. (9)

Operatory γ† i γ nazywane są operatorami Bogoliubova-Valatin’a. Jak sugeruje notacja, opera-

tory γ†k,↑ oraz γ†−k,↓ kreują kwazicząstki w stanie odpowiednio k ↑ i −k ↓, natomiast operatory

γk,↑ oraz γ−k,↓ annihilują kwazicząstki będące w tych stanach. Ponieważ wprowadzona transfor-

macja ma być transformacją kanoniczną, to od wprowadzonych operatorów będziemy wymagali,

by były one operatorami fermionowymi (tak jak operatory c). Z zasad antykomutacyjnych dla

tych operatorów γk,σ, γk′,σ′

= 0, (10)

γ†k,σ, γ†k′,σ′

= 0, (11)

γ†k,σ, γk′,σ′= δk,k′δσ,σ′ , (12)

23

wynika własność na współczynniki uk i vk

u2k + v2k = 1. (13)

Zbudujmy teraz transformację odwrotną do transformacji Bogoliubova-Valatin’a. Zrobimy to

dodając i odejmując stronami równania (4) i (5) oraz równania (8) i (9), a następnie korzystając

z równania (13). W wyniku tej operacji otrzymamy

c†k,↑ = ukγ†k,↑ + vkγ−k,↓, (14)

c−k,↓ = ukγ−k,↓ − vkγ†k,↑, (15)

c†−k,↓ = ukγ†−k,↓ − vkγk,↑, (16)

ck,↑ = ukγk,↑ + vkγ†−k,↓. (17)

Transformacje Bogoliubova-Valatin’a i transformacje do nich odwrotne możemy zapisać w po-

staci macierzowej γ†k,↑γ−k,↓

= uk −vkvk uk

c†k,↑c−k,↓

, (18)

c†k,↑c−k,↓

= uk vk

−vk uk

γ†k,↑γ−k,↓

. (19)

Pomimo ograniczenia członu oddziaływania tylko do części związanej z przyciąganiem fermio-

nów, hamiltonian nadal nie jest rozwiązywalny w sposób ścisły. Dokonamy więc jeszcze jednego

przybliżenia, zwanego przybliżeniem średniego pola

AB ' 〈A〉B + A〈B〉 − 〈A〉〈B〉. (20)

Część potencjalna zredukowanego hamiltonianu BCS (2) wyrazi się jako

HPOT = −V∑k,k′

c†k′,↑c†−k′,↓c−k,↓ck,↑ '

' −V∑k,k′

[〈c†k′,↑c

†−k′,↓〉c−k,↓ck,↑ + c

†k′,↑c

†−k′,↓〈c−k,↓ck,↑〉

]. (21)

Wprowadźmy teraz następujący parametr

∆ = V∑k

〈c−k,↓ck,↑〉. (22)

Sprzężenie hermitowskie tego parametru daje

∆∗ = V∑k

〈c†k,↑c†−k,↓〉. (23)

Równania (22) i (23) przekształci część potencjalną hamiltonianu BSC (21) do postaci

HPOT = −∑k

∆∗c−k,↓ck,↑ −∑k′

∆c†k′,↑c†−k′,↓. (24)

24

W tym miejscu założymy, że parametr ∆ jest wielkością rzeczywistą, co daje

HPOT = −∑k

∆[c−k,↓ck,↑ + c

†k,↑c†−k,↓

]. (25)

Następnym krokiem będzie podstawienie nowych operatorów γ za stare operatory c, wyko-

rzystując w tym celu wprowadzoną transformację kanoniczną i jednocześnie przyjmując, że

uk = u−k, vk = v−k oraz ξk = ξ−k. Podstawienie to sprawi, że równanie (25) przyjmie postać

HPOT = −∑k

∆[c−k,↓ck,↑ + c

†k,↑c†−k,↓

]=

= −∑k

∆(ukγ−k,↓ − vkγ†k,↑

) (ukγk,↑ + vkγ

†−k,↓

)+

−∑k

∆(ukγ†k,↑ + vkγ−k,↓

) (ukγ†−k,↓ − vkγk,↑

)=

= −∑k

∆2ukvk(γ−k,↓γ

†−k,↓ − γ

†k,↑γk,↑

)+

−∑k

∆(u2k − v2k

) (γ†k,↑γ

†−k,↓ + γ−k,↓γk,↑

)=

= 2∑k

∆ukvk(γ†k,↑γk,↑ − 1 + γ

†k,↓γk,↓

)+

−∑k

∆(u2k − v2k

)(γ†k,↑γ

†−k,↓ +

(γ†k,↑γ

†−k,↓

)†)=

= −2∑k

∆ukvk + 2∑k,σ=↑,↓

∆ukvkγ†k,σγk,σ +

−∑k

∆(u2k − v2k

)(γ†k,↑γ

†−k,↓ +

(γ†k,↑γ

†−k,↓

)†). (26)

Część kinetyczna zredukowanego hamiltonianu BCS (2), po postawieniu nowych operatorów,

może zostać przekształcona do postaci

HKIN =∑k,σ=↑,↓

ξk c†k,σ ck,σ =

∑k

ξk(ukγ†k,↑ + vkγ−k,↓

) (ukγk,↑ + vkγ

†−k,↓

)+

+∑k

ξk(ukγ†k,↓ − vkγ−k,↑

) (ukγk,↓ − vkγ†−k,↑

)=

=∑k,σ=↑,↓

ξku2kγ†k,σγk,σ +

∑k,σ=↑,↓

ξkv2kγ−k,σγ

†−k,σ +

+∑k

ξkukvk

(γ†k,↑γ

†−k,↓ +

(γ+k,↑γ

†−k,↓

)†)+∑k

ξkukvk

(γ†−k,↑γ

†k,↓ +

(γ†−k,↑γ

†k,↓

)†)=

= 2∑k

ξkv2k +

∑k,σ=↑,↓

ξk(u2k − v2k

)γ†k,σγk,σ +

+ 2∑k

ξkukvk

(γ†k,↑γ

†−k,↓ +

(γ†k,↑γ

†−k,↓

)†). (27)

Cały hamiltonian, po wykonaniu przybliżenia średniego pola i w formalizmie nowych operato-

25

rów γ możemy zapisać jako

HBCS = 2∑k

(ξkv2k −∆ukvk

)+

∑k,σ=↑,↓

(ξk(u2k − v2k

)+ 2∆ukvk

)γ†k,σγk,σ +

+∑k

[2ξkukvk −∆

(u2k − v2k

)](γ†k,↑γ

†−k,↓ +

(γ†k,↑γ

†−k,↓

)†). (28)

Ponieważ ze wszystkich możliwych transformacji poszukujemy transformacji diagonalizującej

elementy macierzowe otrzymanego hamiltonianu, będziemy musieli narzucić na otrzymany ha-

miltonian warunek na zerowanie się elementów niediagonalnych. Oznacza to, że wprowadzając

nowe, kwazicząstkowe operatory, założymy, że kwazicząstki poruszają się w potencjale uśred-

nionym, nie oddziałując między sobą (są swobodne). Spełnione więc musi być następujące

równanie

2ξkukvk −∆(u2k − v2k

)= 0. (29)

Z warunków na zachowanie charakteru fermionowego cząstek i na diagonalizację hamiltonianu

otrzymujemy układ równań u2k + v

2k = 1,

u2k − v2k = 2ξk∆ukvk,

(30)

który to układ równań będziemy starali się rozwiązać. Możemy to zrobić przekształcając drugie

równanie układu (30) do postaci

2ukvk =∆ξk

(u2k − v2k

), (31)

a następnie podnosząc obydwie strony otrzymanego równania do kwadratu i dzieląc przez(u2k − v2k

)2, co daje

∆2

ξ2k=4u2kv

2k(

u2k − v2k)2 . (32)

Wielkość 2u2kv2k możemy rozpisać jako

2u2kv2k = u

2kv2k + u

2kv2k = u

2k

(1− u2k

)+(1− v2k

)v2k = 1−

(u4k + v

4k

)=

= 1−(u2k − v2k

)2− 2u2kv2k, (33)

co pozwoli nam zapisać 4u2kv2k występujące w liczniku równania (32) jako

4u2kv2k = 1−

(u2k − v2k

)2.

Dzięki temu zabiegowi otrzymujemy, że

∆2

ξ2k=

1(u2k − v2k

)2 − 1, (34)

26

Przenosząc jedynkę na drugą stronę równania i zapisując lewą stronę w postaci jednego ułamka,

następnie zamieniając miejscami liczniki ułamków z mianownikami i pierwiastkując obydwie

strony otrzymamy równość

u2k − v2k =ξk√∆2 + ξ2k

. (35)

Z otrzymanego równania oraz z pierwszego równania układu równań (30) otrzymamy rozwią-

zanie na współczynniki u2k i v2k u2k =

12

ξk√∆2+ξ2

k

+ 12 ,

v2k = −12

ξk√∆2+ξ2

k

+ 12 .(36)

Teraz, porównując stronami równania na u2k − v2k, możemy napisać, że

ξk√∆2 + ξ2k

= 2ξk∆ukvk, (37)

dzięki czemu otrzymamy informację o tym, ile wynosi 2ukvk

2ukvk =ξk√∆2 + ξ2k

∆ξk. (38)

Możemy teraz wrócić do hamiltonianu (28) i wykorzystać powyższe rozważania, podstawiając

otrzymane wielkości. Dzięki temu hamiltonian przyjmie następującą postać

HBCS =∑k

2vk (ξkvk −∆uk) +∑k,σ=↑,↓

(ξk(u2k − v2k

)+ 2∆ukvk

)γ†k,σγk,σ (39)

2.3. Wielkości charakterystyczne dla stanu BCS

Dzięki wprowadzonej w tym rozdziale transformacji kanonicznej Bogoliubova-Valatina mo-

żemy policzyć pewne, charakterystyczne dla stanu nadprzewodzącego, wielkości. Oznaczmy

człon stojący przy operatorach γ†k,σγk,σ przez Ek i policzmy, ile on wyniesie

Ek = ξk(u2k − v2k

)+ 2∆ukvk = ±

∆2 + ξ2k√∆2 + ξ2k

= ±√∆2k + ξ

2k. (40)

W rozwiązaniu tym wybieramy wynik ze znakiem dodatnim. Powodem takiego wyboru jest to,

iż energia Ek jest energią wzbudzenia jednej kwazicząstki i musi być do układu dostarczona.

W poprzedniej części tego rozdziału zdefiniowaliśmy parametr porządku ∆ (22) jako

∆ = V∑k

〈c−k,↓ck,↑〉.

Aby policzyć ∆, musimy zastanowić się ile wyniesie 〈c−k,↓ck,↑〉. Wstawmy w miejsce operatorów

c nowe operatory γ, co da

c−k,↓ck,↑ =(ukγ−k,↓ − vkγ†k,↑

) (vkγ†−k,↓ + ukγk,↑

)=

= ukvk(γ−k,↓γ

†−k,↓ − γ

†k,↑γk,↑

)+ u2kγ−k,↓γk,↑ − v2kγ

†k,↑γ†−k,↓. (41)

27

Korzystając z własności antykomutacyjnych, możemy napisać, że

c−k,↓ck,↑ = ukvk(1− γ†−k,↓γ−k,↓ − γ

†k,↑γk,↑

)+ u2kγ−k,↓γk,↑ − v2kγ

†k,↑γ†−k,↓. (42)

Policzmy teraz średnią 〈c−k,↓ck,↑〉 w sensie statystycznym, pamiętając, że nowe operatory γ są

operatorami fermionowymi. Oznacza to, że 〈γ†−k,↓γ−k,↓〉 =1

eβEk+1, gdzie β = 1

kBT. Średnia ta da

nam następujący wynik

〈c−k,↓ck,↑〉 = ukvk(1− 〈γ†−k,↓γ−k,↓〉 − 〈γ

†k,↑γk,↑〉

)+ u2k〈γ−k,↓γk,↑〉 − v2k〈γ

†k,↑γ†−k,↓〉 =

= ukvk

(1− 1eβEk + 1

− 1eβEk + 1

)= ukvk (1− 2fFD) , (43)

Korzystając z równań (38) i (40) możemy napisać, że ukvk = ∆2Ek

. Wstawmy tą wielkość do

równania na średnią

〈c−k,↓ck,↑〉 =∆2Ek(1− 2fFD) =

∆2Ek

eβEk − 1eβEk + 1

, (44)

co po wstawieniu w miejsce średniej do równania na parametr porządku ∆ = V∑k〈c†k,↑c†−k,↓〉

da wynik

∆ = V∑k

∆2Ek

eβEk − 1eβEk + 1

= V∑k

∆2Ektanh

(Ek2kBT

). (45)

Otrzymaliśmy więc równanie na parametr porządku. Równanie to posiada dwa rozwiązania -

trywialne ∆ = 0 oraz nietrywialne ∆ 6= 0. Rozwiążmy to równanie w przypadku nietrywialnym

dla T = 0 [5]. Równanie na parametr porządku przyjmie wtedy postać

∆ = V∑k′

∆

2√∆2 + ξ2k′

. (46)

Podzielmy obydwie strony równania (46) przez ∆ i zastąpmy sumowanie całkowaniem

1 = V∫ ∞−∞

1

2√∆2 + ξ2

ρ (ξ) dξ, (47)

gdzie ρ (ξ) oznacza gęstość stanów. Ograniczymy całkowanie do przedziału energii< −ωD;ωD >,

gdzie ωD jest energią rzędu energii Debye’a. Dla tego przedziału gęstość stanów ρ (ξ) można

uznać w przybliżeniu za stałą

ρ (ξ) ' ρ (eF ) = ρF . (48)

Wstawiając równanie (48) do równania (47) otrzymamy następującą postać całki

1 =V ρF2

∫ ωD−ωD

1√∆2 + ξ2

dξ. (49)

Funkcja podcałkowa jest funkcją symetryczną, więc możemy napisać

1 =V ρF22∫ ωD0

1√∆2 + ξ2

dξ = V ρF sinh−1(ξ

∆

)∣∣∣∣ωD0. (50)

28

Dzieląc obydwie strony przez V ρF i licząc funkcję odwrotną

ωD∆= sinh

(1V ρF

), (51)

a następnie przekształcając otrzymane równanie do postaci

∆ =ωD

sinh(1V ρF

) , (52)

otrzymaliśmy wzór na wartość parametru porządku ∆. Dla V ρF 1 możemy wykonać jeszcze

następujące przybliżenie:

∆ ' 2ωDe−1V ρF . (53)

Możemy jeszcze policzyć, ile wynosi liczba cząstek N . W tym celu policzymy 〈c†k,↑ck,↑〉 =〈c†k,↓ck,↓〉. Wstawmy w miejsce starych operatorów c nowe operatory γ, co da

c†k,↑ck,↑ =(vkγ−k,↓ + ukγ

†k,↑

) (vkγ†−k,↓ + ukγk,↑

)=

= v2kγ−k,↓γ†−k,↓ + ukvk

(γ−k,↓γk,↑ + γ

†k,↑γ†−k,↓

)+ u2kγ

†k,↑γk,↑. (54)

Policzmy teraz średnią otrzymanego wyrażenia na c†k,↑ck,↑ w sensie statystycznym

〈c†k,↑ck,↑〉 = v2k〈γ−k,↓γ

†−k,↓〉+ ukvk

(〈γ−k,↓γk,↑〉+ 〈γ†k,↑γ

†−k,↓〉

)+ u2k〈γ

†k,↑γk,↑〉 =

=(u2k − v2k

)fFD + v2k =

12+

ξk√∆2 + ξ2k

(2− eβEk − 12eβEk + 2

)=

= −12

ξk√∆2 + ξ2k

eβEk − 1eβEk + 1

− 1

. (55)

Powyższe wyrażenie na średnią 〈c†k,↑ck,↑〉 możemy zapisać jako

〈c†k,↑ck,↑〉 =12− ξk

2√∆2 + ξ2k

tanh(Ek2kBT

). (56)

Liczba cząstek N jest więc równa

N =∑k,σ

〈nk,σ〉 =∑k

(〈nk,↓〉+ 〈nk,↑〉) =∑k

(〈c†k,↑ck,↑〉+ 〈c

†k,↓ck,↓〉

)=

=∑k

1− ξk√∆2 + ξ2k

tanh(Ek2kBT

) . (57)

Dzięki wprowadzonej w tym rozdziale metodzie transformacji kanonicznej Bogoliubova-Valatina

udało się nam pokazać niektóre z właściwości zredukowanego hamiltonianu BCS. Otrzymali-

śmy również postaci parametrów teorii BCS. Metoda transformacji kanonicznej jest więc bardzo

przydatną, i co najważniejsze - bardzo prostą metodą rozważania właściwości stanu BCS.

29

30

Rozdział 3

Metoda Andersona

3.1. Opis metody

Innym sposobem rozwiązania zagadnienia BCS jest metoda zaproponowana przez P.W. An-

dersona w 1958 roku [1]. Polega ona na wprowadzeniu operatorów analogicznych do operatorów

spinowych i jest jednym z najbardziej obrazowych sposobów opisu właściwości hamiltonianu

BCS. W tej części mojej pracy pokażę, w jaki sposób definiowane są pseudospiny i jak za pomocą

tego formalizmu można odtworzyć równania teorii BCS. Rozważymy stan podstawowy gazu fer-

mionowego w obecności oddziaływań przyciągających, który jest opisany hamiltonianem

HBCS = HKIN + HPOT =∑k,σ=↑,↓

ξk c†k,σ ck,σ −

∑k,k′

Vk,k′ c†k′+q,↑ck′,↑c

†k−q,↓ck,↓. (1)

Energia ξk jest mierzona względem poziomu Fermiego ξk = ek − µ. Dalsze rozważania ograni-

czymy do przypadku, w którym całkowity pęd pary jest równy k + k′ = 0. Dla wygody przyj-

miemy również, że elementy macierzowe oddziaływania są sobie równe Vk,k′ = V . Możemy

więc przepisać hamiltonian BCS jako

HBCS =∑k,σ=↑,↓

ξk c†k,σ ck,σ − V

∑k,k′

c†k′,↑c†−k′,↓c−k,↓ck,↑. (2)

Hamiltonian ten jest nazywany zredukowanym hamiltonianem BCS i działa w podprzestrzeni

par tylko na stanach s (↑, ↓). Stanem podstawowym dla tego hamiltonianu jest stan

Φ0 =∏k

(uk + vk c

†k,↑c†−k,↓

)Φvac, (3)

gdzie Φvac jest stanem próżni a uk i vk są współczynnikami liczbowymi. Wprowadźmy teraz

operatory pseudospinu, które można powiązać w następujący sposób z operatorami par Coopera

σ+k = c†k,↑c†−k,↓ (4)

σ−k = c−k,↓ck,↑, (5)

31

a które jednocześnie, z definicji [10], są równe

σ+k ≡12(σxk + iσ

yk

)(6)

σ−k ≡12(σxk − iσ

yk

). (7)

Operatory typu spinowego spełniają następujące warunki komutacyjne[σ+k , σ

−k

]= σzk (8)[

12σzk, σ

+k

]= σ+k (9)[

σ−k ,12σzk

]= σ−k , (10)

natomiast operatory σxk , σyk i σzk spełniają następujące warunki komutacyjne

[σxk , σ

yk

]= 2iσzk (11)[

σyk , σzk

]= 2iσxk (12)

[σzk, σxk ] = 2iσ

yk , (13)

oraz antykomutacyjne

σxk , σ

yk

=σyk , σ

zk

= σzk, σxk = 0. (14)

Z własności komutacyjnych (11), (12) i (13) oraz antykomutacyjnych (14) dla operatorów σxk , σyk i

σzk wynikają zależności

σxk σyk = iσ

zk (15)

σyk σzk = iσ

xk (16)

σzkσxk = iσ

yk . (17)

Możemy policzyć, ile wynosi σzk

σzk =[σ+k , σ

−k

]=[c†k,↑c

†−k,↓ , c−k,↓ck,↑

]= c†k,↑ck,↑ + c

†−k,↓c−k,↓ − 1. (18)

Równania (4), (5) i (18) pozwalają przepisać hamiltonian (2) w języku oddziałujących pseudospi-

nów

H =∑k

ξkσzk − V

∑k,k′

σ+k′ σ−k +

∑k

ξk. (19)

Część∑k

ξk otrzymanego hamiltonianu jest wielkością stałą, więc nie wpływa na rozważane

przeze mnie efekty, a jedynie przesuwa widmo energetyczne. Sumę tą mogę pominąć w dalszych

rozważaniach

H =∑k

ξkσzk − V

∑k,k′

σ+k′ σ−k . (20)

32

Wstawmy teraz za σ+k′ i σ−k zależności (6) i (7), co daje

H =∑k

ξkσzk − V

∑k,k′

14(σxk′ + iσ

yk′) (σxk − iσ

yk

)=

=∑k

ξkσzk −14V∑k,k′

(σxk′ σ

xk + σ

yk′ σyk

). (21)

Hamiltonian (21) jest tożsamy z hamiltonianem (2). Ponieważ nie jest on rozwiązywalny w sposób

ścisły, zastosujemy więc przybliżenie średniego pola

AB ' 〈A〉B + A〈B〉 − 〈A〉〈B〉. (22)

W dalszych rozważaniach pomijamy również stały człon 〈A〉〈B〉 pochodzący z przybliżenia

średniego pola, ponieważ nie będzie on wpływał na rozważane przeze mnie efekty. Przybliżenie

to jest dobre, ponieważ liczba pseudospinów zaangażowanych w tworzenie wirtualnego pola

magnetycznego jest ogromna, a poszczególne pseudospiny oddziałują między sobą tak samo.

Dzięki temu otrzymane wirtualne pole magnetyczne będziemy mogli traktować tak samo, jak

klasyczny wektor pola magnetycznego

H =∑k

ξkσzk −14V∑k,k′

(〈σxk′〉σxk + σxk′〈σxk〉+ 〈σ

yk′〉σ

yk + σ

yk′〈σ

yk〉)=

=∑k

ξkσzk −12V∑k,k′

(〈σxk′〉σxk + 〈σ

yk′〉σ

yk

). (23)

Wprowadźmy teraz definicję wirtualnego pola magnetycznego ~bk, z którym oddziaływać będzie

pseudospin ~σk~bk = −ξk~z +

12V∑k′

(〈σxk′〉~x+ 〈σ

yk′〉~y

). (24)

Wektory ~x, ~y i ~z są wektorami jednostkowymi skierowanymi zgodnie z osiami X , Y i Z . Hamil-

tonian (23) przyjmie więc następującą postać

H = −∑k

bzkσzk −

∑k

bxkσxk −

∑k

bykσyk , (25)

którą można zapisać w postaci następującego iloczynu skalarnego

H = −∑k

(bxk, b

yk, bzk

)·(σxk , σ

yk , σzk

), (26)

lub krócej, jako

H = −∑k

~bk · ~σk. (27)

Parametr porządku w reprezentacji pseudospinowej może być opisany równaniem

∆ ≡ V∑k′

〈c†k′,↑c†−k′,↓〉 = V

∑k′

〈σ+k′〉, (28)

możemy więc rozpisać go w następujący sposób

∆ ≡ ∆′ + i∆′′ = 12V∑k′

〈σxk′〉+i

2V∑k′

〈σyk′〉. (29)

33

Dzięki temu wektor wirtualnego pola magnetycznego będzie miał postać

~bk =(∆′,∆

′′,−ξk

). (30)

Dla wygody wprowadzamy teraz układ współrzędnych w taki sposób, że 〈σyk′〉 = 0. Oznacza to,

że spiny leżą w płaszczyżnie XZ . Wtedy

∆ = ∆′=12V∑k′

〈σxk′〉. (31)

Wprowadzenie operatorów pseudospinowych i wykonanie przybliżenia średniego pola, w któ-

rym otrzymujemy wirtualne pole magnetyczne, pozwala zastosować metody opracowane na

potrzeby teorii ferromagnetyzmu.

3.2. Przypadek temperatury T = 0

Stanem podstawowym opisywanego przeze mnie układu będzie stan, w którym wszystkie

spiny układać się będą zgodnie z wirtualnym polem magnetycznym ~bk =∑k

(∆′, 0,−ξk

), które

na nie oddziałuje:

Rysunek 5: Metoda rozwiązania hamiltonianu BCS w reprezentacji pseudospinowej.

34

Jednocześnie, dla T= 0, spełniony jest następujący warunek normalizacyjny, wynikający

bezpośrednio z teorii ferromagnetyzmu Weissa [6]

|〈~σk〉| = 1. (32)

W oparciu o ilustrację przedstawioną na Rysunku 1, wprowadzamy następującą parametryzację

〈σxk〉 = sin θk|〈~σk〉|, (33)

〈σzk〉 = cos θk|〈~σk〉|. (34)

W takiej parametryzacji parametr porządku jest równy

∆ =12V∑k′

sin θk′ |〈~σk′〉|. (35)

Jednocześnie, w oparciu o ilustrację z Rysunku 1, możemy napisać

tan θk =sin θkcos θk

=〈σxk〉〈σzk〉=bxkbzk=∆−ξk. (36)

Równanie (36) można rozwiązać, podnosząc obydwie strony do kwadratu i korzystając z tego,

że sin2 θk + cos2 θk = 1

tan2 θk =1− cos2 θkcos2 θk

=∆2

ξ2k, (37)

1cos2 θk

=∆2

ξ2k+ 1, (38)

cos2 θk =ξ2k

∆2 + ξ2k. (39)

Z równania sin2 θk + cos2 θk = 1 oraz równania (39) wynika

sin2 θk =∆2

∆2 + ξ2k. (40)

Porównując otrzymane wyniki z równością (36) i wykorzystując zależności (32), (33) i (34), mo-

żemy napisać, że

〈σxk〉 = sin θk =∆√∆2 + ξ2k

, (41)

〈σzk〉 = cos θk =−ξk√∆2 + ξ2k

. (42)

Równania (41) i (42) możemy wykreślić w programie Gnuplot dla przykładowej wartości para-

metru porządku ∆.

35

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

-4 -2 0 2 4

<σ> k

x

ξk

Rysunek 6: Wykres zależności wartości średniej składowej pseudospinu 〈σxk〉 od energii ξk,

opisanej wzorem (41). Energia ξk mierzona jest w jednostkach ∆.

Z Rysunku 2 wynika, że składowe 〈σxk〉 pseudospinów, których energie ξk są znacznie mniej-

sze lub znacznie większe niż energia Fermiego, są praktycznie zerowe, a jedynie przy powierzchni

Fermiego ich wartość jest duża.

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

-4 -2 0 2 4

<σ> k

z

ξk

Rysunek 7: Wykres zależności wartości średniej składowej pseudospinu 〈σzk〉 od energii ξk, opi-

sanej wzorem (42). Energia ξk mierzona jest w jednostkach ∆.

Natomiast z Rysunku 3 wynika, że istotne są jedynie składowe 〈σzk〉 pseudospinów, których

36

energie ξk są znacznie mniejsze lub znacznie większe niż energia Fermiego, natomiast dla energii

bliskich energii Fermiego ich wartość jest praktycznie zerowa. Z ilustracji przedstawionych na

Rysunku 2 i Rysunku 3 możemy wyciągnąć wniosek, że fermiony mające energię równą energii

Fermiego (ξk = 0), posiadają jedynie składową 〈σxk〉 pseudospinu. Im jednak bardziej będziemy

się oddalali od energii Fermiego, część kinetyczna wirtualnego pola magnetycznego (ξk~z) spo-

woduje pochylanie się pseudospinów w kierunku osi Z . Pseudospinowe stany znacznie poniżej

poziomu Fermiego będą miały pseudospin skierowany w górę (stan obsadzony przez parę) a

stany znacznie powyżej energii Fermiego - pseudospin skierowany w dół (stan nieobsadzony

przez parę). Sytuacja ta podobna jest do blochowskich ścian w ferromagnetykach - w tym przy-

padku mamy ścianę domen w stanie k, wraz ze stanami zmieniającymi się płynnie od zajętych

do pustych.

Rysunek 8: Nadprzewodzący stan podstawowy (ściana domeny).

Wstawiając zależności (32) i (41) do równania na parametr porządku (35) otrzymamy postać

∆ = V∑k′

∆

2√∆2 + ξ2k′

. (43)

Wykorzystując rozważania przeprowadzone w rozdziale drugim (równania (47) do (53)) możemy

napisać

∆ ' 2ωDe−1V ρF . (44)

Liczbę cząstek można policzyć w następujący sposób

N =∑k

〈nk〉 =∑k

(〈nk,↑〉+ 〈n−k,↓〉) =∑k

(〈c†k,↑ck,↑〉+ 〈c

†−k,↓c−k,↓〉

).

Z równania tego możemy policzyć wartość potencjału chemicznego µ

N =∑k

(1 + 〈σzk〉) =∑k

1− ξk√∆2 + ξ2k

. (45)

Ponieważ w stanie podstawowym pseudospiny układają się zgodnie z polem magnetycznym,

to stanem wzbudzonym byłby stan, w którym jeden z pseudospinów byłyby zwrócony prze-

ciwnie w stosunku do wirtualnego pola magnetycznego. Dobrym przybliżeniem, aby otrzymać

37

energię wzbudzenia do takiego stanu, jest energia Ek, jaka jest potrzebna, by odwrócić jeden z

pseudospinów. Z równiania (24) wynika, że

Ek = 2|~bk| = ±2√∆2 + ξ2k. (46)

Interesuje nas jedynie rozwiązanie dodatnie, ponieważ energia potrzebna na wzbudzenia musi

być do układu dostarczana. Minimalna energia wzbudzenia wynosi 2∆, co odpowiada przerwie

energetycznej w widmie wzbudzeń w nadprzewodnikach i jest jednocześnie energią wzbudzenia

par Coopera. Odwrócenie pseudospinu odpowiada wzbudzeniu pary ±k do stanu ortogonalnego

w stosunku do stanu podstawowego tej samej pary. Innym typem wzbudzeń w podprzestrzeni

par byłyby wzbudzenia, dla których całkowity pęd pary k + k′ 6= 0, jednak nie zostały one

przeze mnie uwzględnione w członie oddziaływania.

3.3. Przypadek temperatury T 6= 0

Podobnie jak w przypadku temperatury T = 0 stanem podstawowym układu w skończo-

nej temperaturze będzie stan, w którym poszczególne spiny są ułożone zgodnie z wirtualnym

polem magnetycznym na nie oddziałującym. Jednak dla temperatur T 6= 0 warunek normali-

zacyjny będzie miał inną postać, którą policzyć możemy z teorii ferromagnetyzmu Weissa [6].

Wprowadźmy operator momentu magnetycznego

~µk =g

2µB~~σk (47)

i przepiszmy hamiltonian (27) przy wykorzystaniu tego operatora

H = −∑k

~Bk · ~µk. (48)

Wirtualne pole magnetyczne przyjmuje teraz postać

~Bk =1

g2µB~

(∆′, 0,−ξk

). (49)

Ponieważ w układzie istnieją dwie możliwe wartości rzutu operatora ~µk (ze względu na spin) na

kierunek wirtualnego pola magnetycznego ~Bk, wraz z odpowiadającymi tym rzutom wartościami

energii oraz prawdopodobieństwami, to aby policzyć wartość średnią operatora |〈~µk〉|, musimy

policzyć

|〈~µk〉| = µk↑p↑p↑ + p↓

+ µk↓p↓p↑ + p↓

, (50)

gdzie

µk↑ =g

2µB~ Ek↑ = −| ~Bk|

g

2µB~ p↑ = Ce−βEk↑ , (51)

µk↓ = −g

2µB~ Ek↓ = +| ~Bk|

g

2µB~ p↓ = Ce−βEk↓ , (52)

38

a β = 1kBT

. Możemy teraz podstawić powyższe wielkości i policzyć wartość średnią operatora

|〈~µk〉|

|〈~µk〉| =g

2µB~

(p↑ − p↓p↑ + p↓

)=g

2µB~

(e−βEk↑ − e−βEk↓e−βEk↑ + e−βEk↓

)=

=g

2µB~

eβ| ~Bk| g2µB~ − e−β| ~Bk|g2µB~

eβ|~Bk| g2µB~ + e−β| ~Bk|

g2µB~

= g2µB~ tanh

(β| ~Bk|

g

2µB~

)=

=g

2µB~ tanh

(β|~bk|

)=g

2µB~ tanh

(βEk2

). (53)

Wróćmy teraz do operatora |〈~σk〉| i policzmy jego średnią długość

|〈~σk〉| = tanh(βEk2

). (54)

Warunek normalizacyjny dla T 6= 0 będzie miał więc postać

|〈~σk〉| = tanh(β√∆2 + ξ2k

). (55)

Tak samo jak w przypadku T = 0 wprowadzimy parametryzację

〈σxk〉 = sin θk|〈~σk〉| (56)

〈σzk〉 = cos θk|〈~σk〉| (57)

i tak samo jak w tamtym przypadku możemy napisać

tan θk =sin θkcos θk

=〈σxk〉〈σzk〉=bxkbzk=∆−ξk. (58)

Korzystając z rachunków, które wykonaliśmy poprzednio (równania (37) do (42)), wynika

sin θk =∆√∆2 + ξ2k

, (59)

cos θk =−ξk√∆2 + ξ2k

. (60)

Wstawiając równania (59) i (60) do równań (56) i (57) oraz korzystając z równania (55), otrzymamy

〈σxk〉 =∆√∆2 + ξ2k

tanh(β√∆2 + ξ2k

), (61)

〈σzk〉 =−ξk√∆2 + ξ2k

tanh(β√∆2 + ξ2k

). (62)

Równanie na parametr porządku miało postać

∆ =12V∑k′

sin θk′ |〈~σk′〉|. (63)

Korzystając z równań (55) i (59) otrzymamy

∆ = V∑k′

∆

2√∆2 + ξ2k′

tanh(β√∆2 + ξ2k′

). (64)

39

Natomiast wzór na liczbę cząstek będzie następujący

N =∑k

(1 + 〈σzk〉) =∑k

1− ξk√∆2 + ξ2k

tanh(β√∆2 + ξ2k) . (65)

Wyniki te są poprawne dla modelu pseudospinowego, który działa w podprzestrzeni par. Ozna-

cza to, że jedynymi dozwolonymi stanami wzbudzonymi są wzbudzenia dwucząstkowe par. Jeżeli

chcielibyśmy rozszerzyć podprzestrzeń par tak, aby dopuścić do wzbudzeń jednocząstkowych,

musimy podwoić liczbę dozwolonych wzbudzeń (ponieważ liczba rzeczywistych cząstek w ukła-

dzie jest dwukrotnie większa niż liczba pseudospinów). Podwojenie tej liczby podwaja również

entropię, co jest równoważne z podwojeniem temperatury we wzorach (64) i (65) [2]

∆(T ) = V∑k′

∆(T )

2√∆2 (T ) + ξ2k′

tanh

√∆2 (T ) + ξ2k′

2kBT

, (66)

N =∑k

1− ξk√∆2 (T ) + ξ2k

tanh√∆2 (T ) + ξ2k2kBT

. (67)

Mając postać parametru porządku możemy policzyć temperaturę krytyczną Tc, czyli temperaturę

przejścia do stanu nadprzewodzącego:

1 = V∑k′

1

2√∆2 (T ) + ξ2k′

tanh

√∆2 (T ) + ξ2k′

2kBT

(68)

Dla temperatury T = Tc w modelu BCS parametr porządku ∆ jest równy 0. Równanie redukuje

się więc do postaci

1 = V∑k′

12ξk′tanh

(ξk′

2kBTc

). (69)

Przejdźmy teraz od sumowania do całkowania

1 = V∫ ∞−∞

12ξtanh

(ξ

2kBTc

)ρ (ξ) dξ. (70)

Ponownie, tak jak w przypadku wyznaczania parametru porządku dla przypadku T = 0, ogra-

niczamy całkowanie do przedziału energii z zakresu < −ωD;ωD >. Korzystamy jednocześnie z

faktu, iż gęstość stanów ρ (ξ) można uznać w przybliżeniu za stałą w tym przedziale

ρ (ξ) ' ρ (eF ) = ρF . (71)

Całka (70) przyjmie wiec postać

1 =V ρF2

∫ ωD−ωD

dξ

ξtanh

(ξ

2kBTc

). (72)

40

Dokonajmy teraz następującej zamiany zmiennych

x =ξ

2kBTc, (73)

dx =dξ

2kBTc. (74)

Równanie całkowe (72) redukuje się do

2V ρF

=∫ ωD2kBTc

− ωD2kBTc

dx

xtanh (x) . (75)

Ponieważ funkcja tanh(x)x jest symetryczna, to możemy napisać

2V ρF

= 2∫ ωD2kBTc

0

tanh (x) dxx

. (76)

Dla kBTc ωD funkcja podcałkowa tanh (x) jest równa w przybliżeniu 1 w nieomal całym

przedziale całkowania. Jedynie dla x ∈ (0; 1) funkcję podcałkową tanh (x) przybliżyć musimy

przez x

1V ρF

=∫ 10dx+

∫ ωD2kBTc

1

dx

x= x|10 + ln (x)|

ωD2kBTc1 = 1 + ln

(ωD2kBTc

). (77)

Dokładniejsze rozwiązanie tej całki ([5] oraz [2]) daje

kBTc ' 1.14ωDe−1V ρF . (78)

Porównując równania (44) i (78) możemy zauważyć, że parametr porządku jest równy

∆ ' 1.75kBTc. (79)

Iloraz ∆kBTc

jest uniwersalną stałą, niezależną od rodzaju badanego materiału. Wielkość ta, wy-

znaczona doświadczalnie dla różnych materiałów potwierdza otrzymaną równość - 1.75 dla Sn,

1.70 dla Al, 2.05 dla Pb i 1.65 dla Cd.

Wprowadzona w tym rozdziale metoda Andersona, polegająca na wprowadzeniu operatorów

pseudospinowych i zastąpieniu nimi operatorów fermionowych, poprawnie odtwarza równania

teorii BCS, a jej obrazowość sprawia, że jest jedną z prostszych metod badania właściwości

hamiltonianu BCS.

41

42

Rozdział 4

Równanie ruchu dla pseudospinów

4.1. Równanie ruchu

Prawdziwa zaleta metody Andersona polega na tym, iż można dzięki niej badać widmo

wzbudzeń, które zmodyfikowane jest przez oddziaływania między pseudospinami. Korzystając

z metody Andersona można też zająć się badaniem dynamiki układu fermionów. W tej części

pracy pokażę jak otrzymać równania ruchu dla operatora ~σk, oraz w jaki sposób następnie je

rozwiązać. Korzystać będziemy z równania czasowego Heisenberga

i~∂

∂tA =

[A, H

]. (1)

Wypiszmy równania Heisenberga dla poszczególnych operatorów σxk , σyk i σzk

i~ ∂∂t σxk =

[σxk , H

],

i~ ∂∂t σyk =

[σyk , H

],

i~ ∂∂t σzk =

[σzk, H

].

(2)

Dla wygody przyjmijmy, że ~ = 1 i wstawmy pełną postać hamiltonianu, aby policzyć wartość

komutatorów

i ∂∂t σxk =

[σxk ,

∑k

ξkσzk −12V∑k′

(〈σxk′〉σxk + 〈σ

yk′〉σ

yk

)],

i ∂∂t σyk =

[σyk ,

∑k

ξkσzk −12V∑k′

(〈σxk′〉σxk + 〈σ

yk′〉σ

yk

)],

i ∂∂t σzk =

[σzk,

∑k

ξkσzk −12V∑k′

(〈σxk′〉σxk + 〈σ

yk′〉σ

yk

)].

(3)

Powyższy układ równań można zapisać w postaci

i ∂∂t σxk =

∑k

ξk [σxk , σzk]−12V∑k′

(〈σxk′〉 [σxk , σxk ] + 〈σ

yk′〉[σxk , σ

yk

]),

i ∂∂t σyk =

∑k

ξk[σyk , σ

zk

]− 12V∑k′

(〈σxk′〉

[σyk , σ

xk

]+ 〈σyk′〉

[σyk , σ

yk

]),

i ∂∂t σzk =

∑k

ξk [σzk, σzk]−12V∑k′

(〈σxk′〉 [σzk, σxk ] + 〈σ

yk′〉[σzk, σ

yk

]).

(4)

43

Korzystamy teraz z własności komutacyjnych operatorów σk (równania (11), (12) i (13) z rozdziału

trzeciego). Układ równań (4) przyjmie postać

i ∂∂t σxk = 2i

(−∑k

ξkσyk −12V∑k′

〈σyk′〉σzk

),

i ∂∂t σyk = 2i

(∑k

ξkσxk +12V∑k′

〈σxk′〉σzk

),

i ∂∂t σzk = 2i

(12V

∑k′

〈σyk′〉σxk −12V∑k′

Vk′〈σxk′〉σyk

).

(5)

W tym miejscu, dla wygody i przejrzystości rozważanych równań, wykorzystamy wprowadzoną

w poprzedniej części tej pracy (równanie (24) z rozdziału trzeciego) definicję wirtualnego pola

magnetycznego ~bk = −ξk~z+ 12V∑k′(〈σxk′〉~x+ 〈σ

yk′〉~y

), co przekształci nam układ równań (5) do

postaci

∂∂t σxk = 2

(bzkσyk − b

ykσzk

),

∂∂t σyk = 2 (b

xkσzk − bzkσxk) ,

∂∂t σzk = 2

(bykσxk − bxkσ

yk

).

(6)

Powyższy układ mogę zapisać w postaci iloczynu wektorowego wektora wirtualnego pola ma-

gnetycznego z wektorem pseudospinu

˙~σk = −2~bk × ~σk (7)

Otrzymane równanie swoją strukturą przypomina równanie typu Blocha dla spinów (patrz rów-

nanie (19) w pracy [12]).

4.2. Rozwiązanie szczególne

Ponieważ równanie (7) jest liniowe tak dla operatorów, jak i dla wartości średnich tych

operatorów, możemy wprowadzić następujące oznaczenie

r1 ≡ 〈σxk〉 r2 ≡ 〈σyk〉 r3 ≡ 〈σzk〉. (8)

i przepisać to równanie dla średnich wartości składowych wektora pseudospinu, rozpisując je

jednocześnie na układ równań

r1 = 2(bzkr2 − b

ykr3),

r2 = 2 (bxkr3 − bzkr1) ,

r3 = 2(bykr1 − bxkr2

).

(9)

44

Rozważymy tutaj rozwiązania multisolitonowe ([12] oraz [21]), dla których przyjmujemy czasową

zależność parametru porządku ∆(t) = Ω (t) eiωt, gdzie Ω (t) jest wielkością rzeczywistą. Dla

wygody rozważań przejdziemy teraz do układu r+k , r−k i rzk〈σ+k 〉 ≡ r

+k =

12 (r1 + ir2) ,

〈σ−k 〉 ≡ r−k =

12 (r1 − ir2) .

(10)

Policzmy teraz, ile wynoszą czasowe pochodne wielkości r+k i r−kr+k =

12 (r1 + ir2) = b

zkr2 − b

ykr3 + i (b

xkr3 − bzkr1) ,

r−k =12 (r1 − ir2) = b

zkr2 − b

ykr3 − i (bxkr3 − bzkr1) .

(11)

Układ równań dla r+k , r−k i r3 przyjmie więc postać

r+k = ir3(bxk + ib

yk

)− ibzk (r1 + ir2) ,

r−k = −ir3(bxk − ib

yk

)+ ibzk (r1 − ir2) ,

r3 = 2byk (r1 + ir2) + 2ib

xk (r1 + ir2)− 2ib

ykr2 − 2ibxkr1.

(12)

Korzystając z wcześniej wprowadzonych zmiennych∆(t) = ∆

′(t) + i∆

′′(t) = bxk + ib

yk,

∆∗ (t) = ∆′(t)− i∆′′ (t) = bxk − ib

yk.

(13)

i wprowadzając je do układu równań (12), mnożąc te równania stronami przez i oraz korzystając

z tego, że r3 = rzk mamy

ir+k = 2bzkr+k −∆(t) rzk,

ir−k = ∆∗ (t) rzk − 2bzkr

−k ,

irzk = −4r+k

(bxk − ib

yk

)+ 2bykr2 + 2b

xkr1.

(14)

Do ostatniego równania z powyższego układu równań dodajmy i odejmijmy 2ibxkr2 oraz 2ibykr1,

dzięki czemu możemy napisać

ir+k = 2bzkr+k −∆(t) rzk,

ir−k = ∆∗ (t) rzk − 2bzkr

−k ,

irzk = −4r+k ∆∗ (t) + 4r−k ∆(t)− 2i

(bykr1 − bxkr2

).

(15)

Ostatnią część trzeciego równania możemy zapisać jako irzk, dzięki czemu otrzymamy następującą

postać układu

ir+k = 2bzkr+k −∆(t) rzk,

ir−k = ∆∗ (t) rzk − 2bzkr

−k ,

irzk = 2r−k ∆(t)− 2r

+k ∆∗ (t) .

(16)

45

Skorzystamy teraz z zapostulowanej wcześniej zależności czasowej parametru porządku ∆(t)

przekształcając ją do postaci

∆(t) = Ω (t) eiωt = V∑k′

r+k′ (t) = V∑k′

R+k′ (t) eiωt. (17)

Postać ta implikuje następujące zależności

∆(t) = Ω (t) eiωt,

∆∗ (t) = Ω∗ (t) e−iωt,

r+k (t) = R+k (t) e

iωt,

r−k (t) = R−k (t) e

−iωt,

rzk (t) = Rzk (t) .

(18)

Wprowadźmy teraz te zależności do układu równań (16)

i ∂∂t

(R+k (t) e

iωt)= 2bzkR

+k (t) e

iωt − Ω (t) eiωtRzk (t) ,

i ∂∂t

(R−k (t) e

−iωt)= Ω∗ (t) e−iωtRzk (t)− 2bzkR

−k (t) e

−iωt,

iRzk (t) = 2R−k (t) e

−iωtΩ (t) eiωt − 2R+k (t) eiωtΩ∗ (t) e−iωt.

(19)

Ostatecznie otrzymamy następujący układ równań

iR+k (t) = (2bzk + ω)R

+k (t)− Ω (t)Rzk (t) ,

iR−k (t) = Ω∗ (t)Rzk (t)− (2bzk + ω)R

−k (t) ,

iRzk (t) = 2R−k (t) Ω (t)− 2R

+k (t) Ω

∗ (t) .

(20)

Układ (20) powinien spełniać warunek zachowania długości wektora pseudospinu, czyli wpro-

wadzony wcześniej warunek normalizacyjny w postaci |rk|2 = 1. Sprawdźmy, czy rzeczywiście

tak jest. Warunek normalizacyjny możemy rozpisać w następujący sposób(r+k (t) + r

−k (t)

)2+(ir−k (t)− ir

+k (t)

)2+ (rzk (t))

2 = 1. (21)

Powyższe równanie przekształci się do

4R+k (t)R−k (t) + (R

zk (t))

2 = 1. (22)

Jeżeli zróżniczkujemy równanie (22)

∂

∂t

(4R+k (t)R

−k (t) + (R

zk)2 (t)

)= 0, (23)

to otrzymamy następującą równość

4R+k (t)R−k (t) + 4R

+k (t) R

−k (t) + 2R

zk (t) R

zk (t) = 0. (24)

46

Aby sprawdzić, czy otrzymany układ równań spełnia warunek normalizacyjny, pomnóżmy teraz

obydwie strony równania (24) przez i i wstawmy za pochodne iR+k (t), iR−k (t) i iRzk (t) wartości

pochodzące z układu równań (20)

4[(2bzk + ω)R

+k (t)− Ω (t)R

zk (t)

]R−k (t) + 4R

+k (t)

[Ω∗ (t)Rzk (t)− (2bzk + ω)R−k (t)

]+

+2Rzk (t)[2R−k (t) Ω (t)− 2R

+k (t) Ω

∗ (t)]= 0. (25)

Równanie (25), po rozpisaniu przyjmie postać

4 (2bzk + ω)R+k (t)R

−k (t)− 4R

+k (t) (2b

zk + ω)R

−k (t)− 4Ω (t)R

zk (t)R

−k (t) +

+4Rzk (t)R−k (t) Ω (t) + 4R

+k (t) Ω

∗ (t)Rzk (t)− 4Rzk (t)R+k (t) Ω∗ (t) = 0, (26)

z której widać, że lewa strona równa się stronie prawej. Oznacza to, że układ równań (20) jest

poprawny. Następnym krokiem będzie otrzymanie układu równań dla R1 (t), R2 (t) i R3 (t). W

tym celu skorzystamy z zależnościR1 (t) = R+k (t) +R

−k (t) ,

R2 (t) = iR−k (t)− iR+k (t) ,

(27)

które po pomnożeniu pierwszego równania przez i, a następnie zróżniczkowaniu wyrażą się jakoiR1 (t) = iR+k (t) + iR

−k (t) ,

R2 (t) = iR−k (t)− iR+k (t) .

(28)

W miejsca pochodnych iR+k (t) i iR−k (t) wstawiamy wartości pochodnych pochodzące z układu

równań (20), jednocześnie dopisując równanie na iRzk (t) i korzystając z faktu, że Rzk (t) = R3 (t).

Dzięki temu otrzymamy następujący układ równań

iR1 (t) = (2bzk + ω)R+k (t)− Ω (t)Rzk (t) + Ω∗ (t)Rzk (t)− (2bzk + ω)R

−k (t) ,

R2 (t) = Ω∗ (t)Rzk (t)− (2bzk + ω)R−k (t)− (2bzk + ω)R

+k (t) + Ω (t)R

zk (t) ,

iR3 (t) = 2R−k (t) Ω (t)− 2R+k (t) Ω

∗ (t) .

(29)

Wstawiając do powyższego układu równań zależności (27) otrzymamy następujące równania

R1 (t) = (2bzk + ω)R2 (t)− iR3 (t) (Ω∗ (t)− Ω (t)) ,

R2 (t) = (Ω (t) + Ω∗ (t))R3 (t)− (2bzk + ω)R1 (t) ,

R3 (t) = −R2 (t) (Ω (t) + Ω∗ (t))− iR1 (t) (Ω (t)− Ω∗ (t)) .

(30)

Ponieważ na początku tego podrozdziału przyjęliśmy, że Ω (t) jest wielkością rzeczywistą, to

Ω (t) = Ω∗ (t). Układ równań (30) uprości się więc do postaci

R1 (t) = −ζkR2 (t) ,

R2 (t) = ζkR1 (t) + 2Ω (t)R3 (t) ,

R3 (t) = −2Ω (t)R2 (t) ,

(31)

47

gdzie wprowadziliśmy oznaczenie 2bzk + ω = −2ξk + ω = − (2ξk − ω) = −ζk. Układ ten można

rozwiązać postulując następujące rozwiązanie

R1 (t) = AkΩ (t) ,

R2 (t) = BkΩ (t) ,

R3 (t) = CkΩ2 (t)−Dk,

(32)

gdzie Ak, Bk, Ck i Dk są współczynnikami liczbowymi spełniającymi warunki

Ak = (2bzk + ω)Bk, Bk = −Ck. (33)

Udowodnić musimy poprawność zapostulowanego rozwiązania. Zróżniczkujmy więc po czasie

równania z układu równań (32) i wykorzystajmy zmienne wprowadzone w równaniu (33)

R1 (t) = −ζkBkΩ (t) ,

R2 (t) = BkΩ (t) ,

R3 (t) = −2BkΩ (t) Ω (t) .

(34)

Wstawiając pochodzące z układu (32) równanie R2 (t) = BkΩ (t) do 1 i 2 równania układu (34)

otrzymujemy

R1 (t) = −ζkBkΩ (t) = −ζkR2 (t) ,

R2 (t) = BkΩ (t) ,

R3 (t) = −2BkΩ (t) Ω (t) = −2Ω (t)R2 (t) .

(35)

Pokazaliśmy, że o ile spełnione jest drugie równanie układu (32), to pierwsze i trzecie jest również

spełnione. Musimy więc udowodnić, że skoro R2 = BkΩ (t) i R2 = ζkR1 (t) + 2Ω (t)R3 (t), to

BkΩ (t) = ςkR1 (t) + 2Ω (t)R3 (t) . (36)

Aby to zrobić, musimy skorzystać z wprowadzonego wcześniej warunku normalizacyjnego w

postaci |rk|2 = 1, co dla R1, R2 i R3 możemy zapisać jako

R21 (t) +R22 (t) +R

23 (t) = 1. (37)

Zróżniczkujmy równanie (37)

2R1 (t) R1 (t) + 2R2 (t) R2 (t) + 2R3 (t) R3 (t) = 0, (38)

i wstawmy za R1 (t), R2 (t) i R3 (t) wartości pochodzące z zapostulowanego rozwiązania (32),

natomiast za R1 (t), R2 (t) i R3 (t) wartości pochodzące z układu równań (34). Otrzymujemy

wtedy następujące równanie

AkΩ (t)AkΩ (t) +BkΩ (t)BkΩ (t) +(CkΩ2 (t)−Dk

)2CkΩ (t) Ω (t) = 0. (39)

48

Przekształcając to równanie otrzymamy (o ile BkΩ (t) 6= 0)

BkΩ (t) =−AkΩ (t)AkΩ (t)−

(CkΩ2 (t)−Dk

)2CkΩ (t) Ω (t)

BkΩ (t). (40)

Wprowadźmy teraz zmienne z równania (33)

BkΩ (t) =AkΩ (t) ζkBkΩ (t) +

(CkΩ2 (t)−Dk

)2BkΩ (t) Ω (t)

BkΩ (t). (41)

Możemy więc napisać, że

BkΩ (t) = AkΩ (t) ζk +(CkΩ2 (t)−Dk

)2Ω (t) . (42)

Teraz, wstawiając pierwsze i trzecie równanie z zapostulowanego rozwiązania (32) do równania

(42) otrzymamy równanie

BkΩ (t) = ζkR1 (t) + 2Ω (t)R3 (t) , (43)

tożsame z równaniem (36). Udowodniliśmy więc, że zapostulowane rozwiązanie (32) jest po-

prawne.

Skorzystajmy ponownie z równania normalizacyjnego na długość wektora R21 (t) + R22 (t) +

R23 (t) = 1, wstawiając tym razem wartości pochodzące z układu równań (32):

(AkΩ (t))2 +

(BkΩ (t)

)2+(CkΩ2 (t)−Dk

)2= 1. (44)

Równanie to możemy przekształcić do postaci(ς2k − 2

DkCk

)Ω2 (t) + Ω2 (t) + Ω4 (t) +

D2k − 1C2k

= 0. (45)

Dokonajmy jeszcze następującej zamiany zmiennych

2DkCk= ζ2k +∆

2− +∆

2+, (46)

D2k − 1C2k

= ∆2−∆2+, (47)

co uprości nam równanie (45) do postaci

Ω2 (t) +(Ω2 (t)−∆2−

) (Ω2 (t)−∆2+

)= 0. (48)

Równanie (48) (patrz równanie (23) w pracy [12]) przyjmuje taką samą postać dla wszystkich

pseudospinów i jest rozwiązywalne numerycznie oraz analitycznie. Równanie to definiuje elip-

tyczną funkcję Ω (t) oscylującą pomiędzy ∆− i ∆+ (gdzie ∆− ¬ ∆+). Rozwiążmy to równanie

numerycznie, wykorzystując w tym celu dwa programy napisane w języku Fortran, których

kod źródłowy zamieszczony jest w dodatku A. Prostsza wersja programu rozwiązującego rów-

nanie różniczkowe (48) wykorzystuje metodę Eulera (program RowRozniczkoweEuler) i daje

następujące wyniki

49

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 5 10 15 20 25 30

|∆(t)

|/∆0

Time x ∆0

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 5 10 15 20 25 30

|∆(t)

|/∆0

Time x ∆0

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 5 10 15 20 25 30

|∆(t)

|/∆0

Time x ∆0

Rysunek 9: Zależność czasowa parametru porządku ∆ pochodząca z symulacji numerycznej

dla różnych zestawów parametrów - wykres na górze Ω (0) = 0.01001, ∆− = 0.01, ∆+ = 1,

wykres środkowy Ω (0) = 0.5001, ∆− = 0.5, ∆+ = 1, natomiast wykres na dole Ω (0) = 0.9001,

∆− = 0.9, ∆+ = 1.

50

Wariant bardziej skomplikowany to wykorzystanie w programie metody Rungego-Kutty czwar-

tego rzędu (Program RowRozniczkoweRK4), co daje następujące wyniki

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 5 10 15 20 25 30

|∆(t)

|/∆0

Time x ∆0

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 5 10 15 20 25 30

|∆(t)

|/∆0

Time x ∆0

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 5 10 15 20 25 30

|∆(t)

|/∆0

Time x ∆0

Rysunek 10: Zależność czasowa parametru porządku ∆ pochodząca z symulacji numerycznej

dla różnych zestawów parametrów - wykres na górze Ω (0) = 0.01001, ∆− = 0.01, ∆+ = 1,

wykres środkowy Ω (0) = 0.5001, ∆− = 0.5, ∆+ = 1, natomiast wykres na dole Ω (0) = 0.9001,

∆− = 0.9, ∆+ = 1.

51

Z przedstawionych wykresów wynika, że dla ∆− ∆+ rozwiązaniem jest grupa słabo

przekrywających się fal solitonowych, natomiast dla ∆− → ∆+ nie przekrywające się fale soli-

tonowe zaczynają się łączyć, przechodząc w słabe harmoniczne oscylacje. Iloraz ∆−∆+ kontroluje

międzysolitonową separację czasową, wraz z jego wzrostem od 0 do 1 częstość oscylacji rośnie.

4.3. Rozwiązanie ogólne

Poprzednie rozważania dotyczą przypadku szczególnego, jakim jest rozwiązanie multisolito-

nowe. Równanie

~r = −2~bk × ~r (49)

można jednak rozwiązać w ogólniejszy sposób. Rozwiązywać numerycznie będziemy więc na-

stępujący układ równań

r1 = 2(bzkr2 − b

ykr3),

r2 = 2 (bxkr3 − bzkr1) ,

r3 = 2(bykr1 − bxkr2

).

(50)

W tym celu skorzystamy z programu, którego kod źródłowy umieszczony jest w dodatku B.

Ponieważ wyniki numeryczne wykonane dwoma metodami - metodą Eulera i metodą Rungego-

Kutty czwartego rzędu - przedstawione w poprzednim podrozdziale, praktycznie nie różnią się

między sobą, to program napisany w C++ korzystał będzie z prostszej metody.

Spróbujmy przetestować ten program w przypadku, dla którego rozwiązanie równań typu

Blocha jest dobrze znane, czyli jądrowego rezonansu magnetycznego [8]. Układ zawierający dużą

liczbę spinów (w programie jest ich 20001), których wartości średnie składowych oznaczymy

przezM umieszczony jest w polu magnetycznym skierowanym w kierunku osi Z ( ~B = (0, 0, B0)).

Pole ~B nie zmienia się w czasie, a wartość B0 jest taka sama dla wszystkich spinów. Wartości

średnie składowych spinów są tak wybrane, by spełniały warunek normalizacyjny dla tempe-

ratury T = 0. Tak wybrane warunki początkowe redukują rozwiązywany przez program układ

równań (50) do postaci

M1 = 2B0M2,

M2 = −2B0M1,

M3 = 0.

(51)

Otrzymane wyniki możemy wykreślić dla jednego, przypadkowo wybranego spinu, wykorzystu-

jąc w tym celu program Gnuplot

52

-1

-0.5

0

0.5

1

0 5 10 15 20 25 30M

1t

-1

-0.5

0

0.5

1

0 5 10 15 20 25 30

M2

t

-1

-0.5

0

0.5

1

0 5 10 15 20 25 30

M3

t

Rysunek 11: Zależność czasowa wartości średnich składowych M1, M2 i M3 wykreślona dla

jednego ze spinów.

Wykresy przedstawione na rysunku 11 obrazują swobodną precesję układu spinów w polu

magnetycznym, co jest wynikiem zgodnym z oczekiwanym.

Rozważmy jeszcze sytuację, w której zmodyfikujemy warunki początkowe w stosunku do tych

z przypadku jądrowego rezonansu magnetycznego. Pole magnetyczne, w którym znajdować się

będą spiny nadal nie będzie zmieniało się w czasie, ale teraz posiadać będzie składowe skiero-

53

wane w kierunku osiX i Z . Ponadto uzależnimy zetową składową od liczby k ( ~B =(∆′, 0,−ξk

)).

Wartość ξk = k2000 , gdzie k ∈ 〈−10000; 10000〉 mierzona jest w jednostkach ∆, a wartości śred-

nie składowych spinów ponownie są tak wybrane, by spełniały warunek normalizacyjny dla

temperatury T = 0. Otrzymaliśmy następujące wyniki

-1

-0.5

0

0.5

1

0 5 10 15 20 25 30

M1

t

-1

-0.5

0

0.5

1

0 5 10 15 20 25 30

M2

t

-0.0004

-0.00035

-0.0003

-0.00025

-0.0002

-0.00015

-0.0001

-5e-005

0

5e-005

0 5 10 15 20 25 30

M3

t

Rysunek 12: Zależność czasowa wartości średnich składowych M1, M2 i M3 wykreślona dla

jednego ze spinów.

Wykresy przedstawione na rysunku 12 również obrazują swobodną precesję układu spinów

54

w polu magnetycznym, tym razem jednak składowaM3 również oscyluje. Wynik ten jest zgodny

z oczekiwanym. Modyfikacja programu z dodatku B, polegająca na zmianie warunków początko-

wych w taki sposób, by odtworzyć znane przypadki, wydaje się potwierdzać jego poprawność,

jednak nie może być traktowana jako ostateczne kryterium.

Powróćmy do sytuacji opisywanej układem równań

r1 = 2(bzkr2 − b

ykr3),

r2 = 2 (bxkr3 − bzkr1) ,

r3 = 2(bykr1 − bxkr2

).

(52)

Rozważać będziemy nieliniową dynamikę opisaną równaniami typu Blocha (52) oraz równaniem

∆(t) = ∆′(t) + i∆

′′(t) =

12V∑k

r1 +i

2V∑k

r2. (53)

Stan początkowy opisujący swobodne fermiony w skończonej temperaturze (patrz równanie (30)

w pracy [21]) jest następujący

r1 + ir2 =eiφk

cosh(12βξk

) , (54)

r3 = tanh(12βξk

), (55)

gdzie φk oznacza przypadkowe fazy z przedziału 0 < φk < 2π. Wartość ξk = k2000 , gdzie

k ∈ 〈−10000; 10000〉 mierzona jest w jednostkach ∆. Program rozwiązujący równania (52) i

(53) zamieszczony został w dodatku B, a wyniki otrzymane przy wykorzystaniu tego programu

zamieszczone są na rysunkach 13 i 14.

-0.02

-0.015

-0.01

-0.005

0

0.005

0.01

0.015

0.02

0 5 10 15 20 25 30

∆’(t)

t

55

-0.02

-0.015

-0.01

-0.005

0

0.005

0.01

0.015

0.02

0 5 10 15 20 25 30

∆’’(t

)

t

Rysunek 13: Zależność czasowa części rzeczywistej ∆′(t) i części urojonej ∆

′′(t) parametru

porządku.

-1

-0.5

0

0.5

1

0 5 10 15 20 25 30

r kx

t

-1

-0.5

0

0.5

1

0 5 10 15 20 25 30

r ky

t

-1

-0.5

0

0.5

1

0 5 10 15 20 25 30

r kx

t

-1

-0.5

0

0.5

1

0 5 10 15 20 25 30

r ky

t

56

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0 5 10 15 20 25 30

r kz

t

0.03

0.035

0.04

0.045

0.05

0.055

0.06

0.065

0.07

0.075

0 5 10 15 20 25 30

r kz

t

Rysunek 14: Zależność czasowa wartości średnich składowych rxk , ryk i rzk dwóch różnych pseu-

dospinów.

W przeprowadzanych do tej pory rozważaniach czasowa zależność oddziaływania miała

najprostszą z możliwych postać, to znaczy oddziaływanie przyciągające było włączane natych-

miastowo w chwili t0

V (t) =

0 gdy t < t0,

V0 gdy t > t0.(56)

Zależność taką eksperymentalnie realizować można w przypadku badań nad spułapkowanymi

atomami typu fermionowego, gdzie charakter oddziaływań zmieniać można zmieniając pole

magnetyczne wokół tak zwanych rezonansów Feshbacha. Innym przykładem realizacji ekspe-

rymentalnej takiej zależności czasowej oddziaływania są złącza nadprzewodnik-półprzewodnik-

nadprzewodnik albo nadprzewodnik-metal-nadprzewodnik, gdzie charakter oddziaływań kon-

trolować można polem elektrycznym przyłożonym do bramki [21].

Możemy jednak zmodyfikować program z dodatku B i wprowadzić inne profile czasowe

potencjału parowania V , by zobaczyć, jakie rozwiązania równań (52) i (53) otrzymamy. Wpro-

wadźmy zależność trójkątną potencjału parowania V

V (t) =

0 gdy t < 1,

V0(t−110

)gdy t ∈ 〈1; 11〉 ,

V0(21−t10

)gdy t ∈ (11; 21〉 ,

0 gdy t > 21.

(57)

57

Wykres potencjału (57) jest następujący

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 5 10 15 20 25 30

V(t)

t

Rysunek 15: Zależność potencjału parowania V od czasu t pochodząca ze wzoru (57).

Tak wybrana zależność czasowa potencjału parowania V powoduje, że część rzeczywista i

część urojona parametru porządku zachowuje się w następujący sposób

-0.01

-0.008

-0.006

-0.004

-0.002

0

0.002

0.004

0.006

0.008

0.01

0 5 10 15 20 25 30

∆’(t)

t

58

-0.015

-0.01

-0.005

0

0.005

0.01

0.015

0 5 10 15 20 25 30

∆’’(t

)

t

Rysunek 16: Zależność czasowa części rzeczywistej ∆′(t) i części urojonej ∆

′′(t) parametru

porządku dla potencjału parowania przedstawionego na rysunku 15.

Zależność czasowa składowych rxk , ryk i rzk dwóch różnych pseudospinów jest następująca

-1

-0.5

0

0.5

1

0 5 10 15 20 25 30

r kx

t

-1

-0.5

0

0.5

1

0 5 10 15 20 25 30

r ky

t

-1

-0.5

0

0.5

1

0 5 10 15 20 25 30

r kx

t

-1

-0.5

0

0.5

1

0 5 10 15 20 25 30

r ky

t

59

0.574

0.575

0.576

0.577

0.578

0.579

0.58

0.581

0.582

0.583

0.584

0 5 10 15 20 25 30

r kz

t

0.555

0.56

0.565

0.57

0.575

0.58

0.585

0 5 10 15 20 25 30

r kz

t

Rysunek 17: Zależność czasowa wartości średnich składowych rxk , ryk i rzk dwóch różnych pseu-

dospinów dla potencjału parowania przedstawionego na rysunku 15.

Możemy wprowadzić inny profil czasowy potencjału parowania V w postaci

V (t) =

0 gdy t < 1,

V0(t−15

)gdy t ∈ 〈1; 6〉 ,

V0 gdy t ∈ (6; 16) ,

V0(21−t5

)gdy t ∈ 〈16; 21〉 ,

0 gdy t > 21.

(58)

Wykres potencjału określonego wzorem (58) jest następujący

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 5 10 15 20 25 30

V(t)

t

Rysunek 18: Zależność potencjału parowania V od czasu t pochodząca ze wzoru (58).

60

Potencjał ten ma następujący wpływ na część rzeczywistą ∆′(t) i część urojoną ∆

′′(t)

parametru porządku

-0.015

-0.01

-0.005

0

0.005

0.01

0.015

0 5 10 15 20 25 30

∆’(t)

t

-0.015

-0.01

-0.005

0

0.005

0.01

0.015

0 5 10 15 20 25 30

∆’’(t

)

t

Rysunek 19: Zależność czasowa części rzeczywistej ∆′(t) i części urojonej ∆

′′(t) parametru

porządku dla potencjału parowania przedstawionego na rysunku 18.

Zależność składowych rxk , ryk i rzk od czasu t w przypadku potencjału V opisanego równaniem

(58) jest następująca

61

-1

-0.5

0

0.5

1

0 5 10 15 20 25 30

r kx

t

-1

-0.5

0

0.5

1

0 5 10 15 20 25 30

r ky

t

0.558

0.56

0.562

0.564

0.566

0.568

0.57

0.572

0.574

0.576

0.578

0 5 10 15 20 25 30

r kz

t

-1

-0.5

0

0.5

1

0 5 10 15 20 25 30

r kx

t

-1

-0.5

0

0.5

1

0 5 10 15 20 25 30

r ky

t

0.576

0.578

0.58

0.582

0.584

0.586

0.588

0.59

0.592

0 5 10 15 20 25 30

r kz

t

Rysunek 20: Zależność czasowa wartości średnich składowych rxk , ryk i rzk dwóch różnych pseu-

dospinów dla potencjału parowania przedstawionego na rysunku 18.

62

Trzecią, i zarazem ostatnią rozważaną przez nas zależnością potencjału parowania V od

czasu będzie zależność

V (t) =

0 gdy t < 1,

V0(−t2+22t−21100

)gdy t ∈ 〈1; 21〉 ,

0 gdy t > 21.

(59)

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 5 10 15 20 25 30

V(t)

t

Rysunek 21: Zależność potencjału parowania V od czasu t pochodząca ze wzoru (59).

Zależność (59) ma następujący wpływ na część rzeczywistą ∆′(t) i część urojoną ∆

′′(t)

parametru porządku

-0.01

-0.008

-0.006

-0.004

-0.002

0

0.002

0.004

0.006

0.008

0.01

0 5 10 15 20 25 30

∆’(t)

t

63

-0.015

-0.01

-0.005

0

0.005

0.01

0.015

0 5 10 15 20 25 30

∆’’(t

)

t

Rysunek 22: Zależność czasowa części rzeczywistej ∆′(t) i części urojonej ∆

′′(t) parametru

porządku dla potencjału parowania przedstawionego na rysunku 21.

Zależność składowych rxk , ryk i rzk od czasu będzie następująca

-1

-0.5

0

0.5

1

0 5 10 15 20 25 30

r kx

t

-1

-0.5

0

0.5

1

0 5 10 15 20 25 30

r ky

t

-1

-0.5

0

0.5

1

0 5 10 15 20 25 30

r kx

t

-1

-0.5

0

0.5

1

0 5 10 15 20 25 30

r ky

t

64

0.566

0.568

0.57

0.572

0.574

0.576

0.578

0.58

0.582

0.584

0 5 10 15 20 25 30

r kz

t

0.55

0.555

0.56

0.565

0.57

0.575

0.58

0 5 10 15 20 25 30

r kz

t

Rysunek 23: Zależność czasowa wartości średnich składowych rxk , ryk i rzk dwóch różnych pseu-

dospinów dla potencjału parowania przedstawionego na rysunku 21.

Przedstawione w podrozdziale 4.3 rozważania dotyczyły przypadku nieliniowej dynamiki

opisanej równaniami typu Blocha

r1 = 2(bzkr2 − b

ykr3),

r2 = 2 (bxkr3 − bzkr1) ,

r3 = 2(bykr1 − bxkr2

),

(60)

oraz równaniem

∆(t) = ∆′(t) + i∆

′′(t) =

12V∑k

r1 +i

2V∑k

r2. (61)

Otrzymane wyniki nie potwierdzają rozwiązania multisolitonowego z podrozdziału 4.2. Najpraw-

dopodobniej rozwiązanie multisolitonowe, dla którego zakładaliśmy taką samą częstość precesji

wszystkich pseudospinów, jest rozwiązaniem szczególnym. Tezę tę wydają się potwierdzać wy-

kresy zależności wartości średnich składowych rxk , ryk i rzk wykonane w podrozdziale 4.3 dla

różnych spinów, na których wyraźnie widać różne częstości precesji.

Samouzgodnione rozwiązanie równań różniczkowych (60) wykazuje nieregularną dynamikę

parametru porządku. Nieregularność ta jest cechą ogólną, niezależnie od zadanego w programie

profilu czasowego potencjału oddziaływania V (t). Brak regularności części rzeczywistej ∆′(t)

i części urojonej ∆′′(t) parametru porządku może być spowodowany na przykład błędami

numerycznymi, więc w przyszłości potrzebne są dalsze badania wyjaśniające różnicę między

otrzymanym nieregularnym rozwiązaniem a rozwiązaniem multisolitonowym z prac [12] oraz

[21].

65

66

Rozdział 5

Równoważność opisupseudospinowego i równańBogoliubova-de Gennes’a

5.1. Równania Bogoliubova-de Gennes’a

Gdy w układzie mamy do czynienia z nieciągłościami (takimi jak granice badanego ośrodka

czy centra rozpraszania) musimy uogólnić teorię mikroskopową na przypadek niejednorodny.

Najbardziej potężnym narzędziem do badania takich przypadków jest formalizm wielociałowych

funkcji Greena oraz metoda samouzgodnionego pola zaproponowana przez Bogoliubova i de

Gennesa, którą wyprowadzimy w tym rozdziale. Jednocześnie, wprowadzając do otrzymanych

równań zależność od czasu, będziemy mogli badać czasowy rozwój zaburzeń w systemie.

Hamiltonian układu będzie miał postać

H = H(1) + V (2), (1)

gdzie H(1) jest hamiltonianem jednoelektronowym, natomiast V (2) jest członem oddziaływa-

nia. Będziemy teraz szukali przybliżonego rozwiązania problemu wielociałowego w języku efek-

tywnego hamiltonianu jednoelektronowego [9]. Hamiltonian powinien minimalizować całkowitą

energię, taką postać ma hamiltonian

H(e) =∫d3rΨ†↑ (r, t)H

′0Ψ↑ (r, t) +

∫d3rΨ†↓ (r, t)H

′0Ψ↓ (r, t) +

+∫d3rΨ†↑ (r, t)U (r, t) Ψ↑ (r, t) +

∫d3rΨ†↓ (r, t)U (r, t) Ψ↓ (r, t) +

+∫d3r∆(r, t) Ψ†↑ (r, t) Ψ

†↓ (r, t) +

∫d3r∆∗ (r, t) Ψ↓ (r, t) Ψ↑ (r, t) , (2)

gdzie H′0 jest operatorem energii kinetycznej elektronu

H′0 = −

~2

2m

(∇− ie

~cA

)2− µ, (3)

67

natomiast U (r, t) jest średnim potencjałem jednoelektronowym, a ∆(r, t) jest określana jako

parametr porządku.

Operatory Ψ są zwykłymi operatorami pola, które annihilują (kreują) cząstkę w miejscu r o

spinie α i spełniają następujące relacje komutacyjneΨα (r, t) , Ψβ

(r′, t

)= 0, (4)

Ψ†α (r, t) , Ψ†β

(r′, t

)= 0, (5)

Ψα (r, t) , Ψ†β

(r′, t

)= δαβδ3

(r − r′

). (6)

Pomysłem Bogoliubova było wyrażenie operatorów pola Ψ poprzez kombinację liniową innych

operatorów z pewnymi amplitudami wn. Dzięki temu możemy napisać

Ψα (r, t) =∑n

wn (r, t) cnα, (7)

gdzie operator cnα annihiluje cząstkę o spinie α będącą w stanie n. Dla nadprzewodników

jednorodnych znana jest transformacja kanoniczna diagonalizująca hamiltonian (transformacja

ta różni się od tej wprowadzonej w rozdziale drugim, wybór ten jest zgodny z pracami [12] oraz

[21])

cn↑ = unγn↑ − v∗nγ†n↓, (8)

oraz

cn↓ = unγn↓ + v∗nγ†n↑. (9)

Wstawmy teraz równania (8) i (9) do równania (7). Dla spinu α =↑ otrzymamy

Ψ↑ (r, t) =∑n

[un (r, t) γn↑ − v∗n (r, t) γ

†n↓

], (10)

natomiast dla spinu α =↓ otrzymamy

Ψ↓ (r, t) =∑n

[un (r, t) γn↓ + v∗n (r, t) γ

†n↑

]. (11)

Równanie ruchu dla operatorów pola ma postać

i~∂Ψα (r, t)∂t

=[Ψα (r, t) , H(e)

]. (12)

Aby je rozwiązać, musimy policzyć komutatory następujących wielkości

i~∂Ψα (r, t)∂t

=[Ψα (r, t) ,

∫d3r′Ψ†α

(r′, t

)H′0Ψα

(r′, t

)]+

+[Ψα (r, t) ,

∫d3r′Ψ†α

(r′, t

)U(r′, t

)Ψα

(r′, t

)]+

+[Ψα (r, t) ,

∫d3r′∆

(r′, t

)Ψ†↑(r′, t

)Ψ†↓(r′, t

)]+

+[Ψα (r, t) ,

∫d3r′∆∗

(r′, t

)Ψ↓(r′, t

)Ψ↑(r′, t

)]. (13)

68

Aby uprościć obliczenia, będziemy korzystali z własności[A, BC

]=A, B

C + B

A, C

. (14)

Dzięki własności (14) otrzymamy następujący wynik dla pierwszego komutatora[Ψα (r, t) ,

∫d3r′Ψ†α

(r′, t

)H′0Ψα

(r′, t

)]=

∫d3r′

Ψα (r, t) , Ψ†α

(r′, t

)H′0Ψα

(r′, t

)+

−∫d3r′Ψ†α

(r′, t

)H′0

Ψα (r, t) , Ψα

(r′, t

)=

=∫d3r′δ3

(r − r′

)H′0Ψα

(r′, t

)=

= H′0Ψα (r, t) , (15)

natomiast dla drugiego komutatora otrzymamy[Ψα (r, t) ,

∫d3r′Ψ†α

(r′, t

)U(r′, t

)Ψα

(r′, t

)]=

∫d3r′

Ψα (r, t) , Ψ†α

(r′, t

)U(r′, t

)Ψα

(r′, t

)+

−∫d3r′Ψ†α

(r′, t

)U(r′, t

) Ψα (r, t) , Ψα

(r′, t

)=

=∫d3r′δ3

(r − r′

)U(r′, t

)Ψα

(r′, t

)=

= U (r, t) Ψα (r, t) . (16)

Trzeci komutator wyrazi się jako[Ψα (r, t) ,

∫d3r′∆

(r′, t

)Ψ†↑(r′, t

)Ψ†↓(r′, t

)]=

∫d3r′∆

(r′, t

) Ψα (r, t) , Ψ

†↑(r′, t

)Ψ†↓(r′, t

)+

−∫d3r′∆

(r′, t

)Ψ†↑(r′, t

) Ψα (r, t) , Ψ

†↓(r′, t

)=

=∫d3r′∆

(r′, t

)δ3(r − r′

)δα↑Ψ

†↓(r′, t

)+

−∫d3r′∆

(r′, t

)δ3(r − r′

)δα↓Ψ

†↑(r′, t

)=

= ∆(r, t) δα↑Ψ†↓(r′, t

)−∆(r, t) δα↓Ψ†↑

(r′, t

), (17)

natomiast czwarty komutator możemy zapisać jako[Ψα (r, t) ,

∫d3r′∆∗

(r′, t

)Ψ↓(r′, t

)Ψ↑(r′, t

)]= 0. (18)

Równanie (13) przyjmie więc ostatecznie postać

i~∂Ψα (r, t)∂t

=(H′0 + U (r, t)

)Ψα (r, t) + ∆ (r, t) Ψ

†↓δα↑

(r′, t

)−∆(r, t) Ψ†↑

(r′, t

)δα↓. (19)

Wstawiając za alpha dwie wartości spinu, otrzymamy równania

i~∂Ψ↑ (r, t)∂t

=(H′0 + U (r, t)

)Ψ↑ (r, t) + ∆ (r, t) Ψ

†↓ (20)

i~∂Ψ↓ (r, t)∂t

=(H′0 + U (r, t)

)Ψ↓ (r, t)−∆(r, t) Ψ†↑

(r′, t

)(21)

69

Wstawimy teraz postać operatorów pola Ψ z równań (10) i (11) do równań (20) i (21)

i~∂

∂t

∑n

[un (r, t) γn↑ − v∗n (r, t) γ

†n↓

]=

(H′0 + U (r, t)

)∑n

[un (r, t) γn↑ − v∗n (r, t) γ

†n↓

]+

+ ∆(r, t)∑n

[u∗n (r, t) γ

†n↓ + vn (r, t) γn↑

], (22)

i~∂

∂t

∑n

[un (r, t) γn↓ + v∗n (r, t) γ

†n↑

]=

(H′0 + U (r, t)

)∑n

[un (r, t) γn↓ + v∗n (r, t) γ

†n↑

]+

− ∆(r, t)∑n

[u∗n (r, t) γ

†n↑ − vn (r, t) γn↓

]. (23)

Jeżeli pogrupujemy wyrazy przy tych samych symbolach γi~∂∂tun (r, t) =

(H′0 + U (r, t)

)un (r, t) + ∆ (r, t) vn (r, t) ,

−i~ ∂∂tv∗n (r, t) = −

(H′0 + U (r, t)

)v∗n (r, t) + ∆ (r, t)u

∗n (r, t) ,

(24)

i sprzęgniemy drugie równanie, otrzymamy równania Bogoliubova-de Gennesa zależne od czasu

[9] i~∂∂tun (r, t) =

(H′0 + U (r, t)

)un (r, t) + ∆ (r, t) vn (r, t) ,

i~ ∂∂tvn (r, t) = −(H′0 + U (r, t)

)vn (r, t) + ∆∗ (r, t)un (r, t) .

(25)

Otrzymany przez nas układ równań różniczkowych definiuje amplitudy un (r, t) i vn (r, t) opisu-

jące stan nadprzewodzący.

5.2. Parametr porządku

Równania Bogoliubova-de Gennesa pozostawiają niezdefiniowaną postać parametru porządku.

Postać tę możemy otrzymać [9], rozwiązując równanie

∆(r, t) = V 〈Ψ↑(r′, t

)Ψ↓(r′, t

)〉. (26)

Wstawmy postać operatorów pola Ψ z równań (10) i (11) do równania (26)

∆(r, t) = V 〈∑n

[un (r, t) γn↑ − v∗n (r, t) γ

†n↓

]∑n

[un (r, t) γn↓ + v∗n (r, t) γ

†n↑

]〉 =

= V∑n

(u2n (r, t) 〈γn↑γn↓〉 − v∗n2 (r, t) 〈γ

†n↓γ†n↑〉)+

+ V∑n

(un (r, t) v∗n (r, t) 〈γn↑γ

†n↑〉 − v

∗n (r, t)un (r, t) 〈γ

†n↓γn↓〉

)=

= V∑n

v∗n (r, t)un (r, t)(〈γn↑γ†n↑〉 − 〈γ

†n↓γn↓〉

)=

= V∑n

v∗n (r, t)un (r, t)(1− 〈γ†n↑γn↑〉 − 〈γ

†n↓γn↓〉

)=

= V∑n

v∗n (r, t)un (r, t) (1− 2fFD) . (27)

70

Znaczenie funkcji Fermiego fFD, która pojawiła się w tym wyrażeniu, jest bardzo problema-

tyczne w przypadku zależnym od czasu. Jeżeli jednak założymy, że zaburzenia układu w czasie

są małe, możemy przyjąć, iż funkcja fFD opisuje liczbę obsadzeń układu pozostającego w rów-

nowadze (formalnie oznacza to, że jest to liczba obsadzeń naszego układu dla czasu t = −∞).

5.3. Rozwiązanie równań Bogoliubova-de Gennes’a

Aby otrzymać postać un (r, t) i vn (r, t), rozwiążemy teraz równania Bogoliubova-de Gen-

nes’a zależne od czasu. Przepiszmy sobie równania (25) do postaci macierzowej i wprowadźmy

oznaczenie en (r, t) = H′0 + U (r, t)

i∂

∂t

un (r, t)vn (r, t)

= en (r, t) ∆ (r, t)

∆∗ (r, t) −en (r, t)

un (r, t)vn (r, t)

. (28)

Dla wygody obliczeń przyjęliśmy ~ = 1. W tej części korzystać będziemy również z równań

Bogoliubova-de Gennes’a niezależnych od czasu [9], które mają postać en (r, t) ∆ (r, t)

∆∗ (r, t) −en (r, t)

un (r, t)vn (r, t)

= εn un (r, t)vn (r, t)

. (29)

W dalszych rozważaniach traktować będziemy parametr porządku ∆(r, t) jako małe zaburzenie

i korzystając z teorii zaburzeniowej poszukiwać będziemy poprawek do funkcji un (r, t) i vn (r, t)un (r, t) = u(0)n (r, t) + δun,

vn (r, t) = v(0)n (r, t) + δvn,

(30)

gdzie u(0)n (r, t) i v(0)n (r, t) są rozwiązaniami dla stanu normalnego (∆(r, t) = 0), natomiast δun i

δvn są poprawkami dla stanu nadprzewodzącego (∆(r, t) 6= 0).Gdy ∆(r, t) = 0 równanie (29) przyjmie postaćen (r, t)u

(0)n (r, t) = ξnu

(0)n (r, t) ,

en (r, t) v(0)n (r, t) = −ξnv(0)n (r, t) ,

(31)

natomiast równanie (28) wyrazi się jakoi∂∂tu(0)n (r, t) = en (r, t)u

(0)n (r, t) ,

i ∂∂tv(0)n (r, t) = en (r, t) v

(0)n (r, t) .

(32)

Korzystając z (31) i (32) możemy napisaći∂∂tu(0)n (r, t) = ξnu

(0)n (r, t) ,

i ∂∂tv(0)n (r, t) = −ξnv(0)n (r, t) .

(33)

71

Rozwiązaniem takiego układu równań są funkcjeu(0)n (r, t) = e−ientθ (en) ,

v(0)n (r, t) = eientθ (−en) .

(34)

Rozwiązanie to da się wyrazić w bardziej ogólnej postaci, poprzez wprowadzenie przypadkowej

fazy φn u(0)n (r, t) = e−ientθ (en) ,

v(0)n (r, t) = eiφneientθ (−en) .

(35)

Rozwińmy teraz δun i δvn w kombinacje liniowe ortonormalnych funkcji Φm

δun =∑m

an,m (t) Φm, (36)

δvn =∑m

bn,m (t) Φ∗m. (37)

Jeżeli wypiszemy sobie równania Bogoliubova-de Gennesa dla tych wielkości, pomnożymy rów-

nanie (36) przez Φ∗n a równanie (37) przez Φn, przecałkujemy te równania i skorzystamy z analizy

stabilności wykonanej w pracy [4] (która pokazuje, że ∆(t) ∼ eγte−iωt), otrzymamy postać δun i

δvn δun =∆(r,t)v(0)n (r,t)iγ−2ξn+w ,

δvn =∆∗(r,t)u(0)n (r,t)iγ+2ξn−w .

(38)

Możemy więc wypisać pełną zależność od czasu dla funkcji un (r, t) oraz vn (r, t) jakoun (r, t) = e−iξntθ (ξn) +

∆(r,t)v(0)n (r,t)iγ−2ξn+w ,

vn (r, t) = eiφneiξntθ (−ξn) + ∆∗(r,t)u(0)n (r,t)iγ+2ξn−w .

(39)

5.4. Równania Bogoliubova-de Gennes’a jako równanie typu Blo-

cha

W tej części pracy pokażemy w jaki sposób można przekształcić równania Bogoliubova-de

Gennes’a, które dają rozwiązania na amplitudy un (r, t) i vn (r, t), do postaci równań typu Blocha

[21]. Zabieg ten jest bardzo przydatny, dzięki niemu otrzymamy postać podlegającą rozwiąza-

niu tak numerycznemu, jak i analitycznemu. Osiągnąć to można wprowadzając nowe zmienne.

Przepiszmy równania Bogoliubova-de Gennes’a zależne od czasu w postaci macierzowej (28)

i uprośćmy zapis, wprowadzając oznaczenia un (r, t) = un, vn (r, t) = vn , en (r, t) = en oraz

∆(r, t) = ∆

i∂

∂t

unvn

= en ∆

∆∗ −en

unvn

. (40)

72

W tym miejscu wprowadzimy nowe zmienne (patrz równanie (21) w pracy [21]), które wyrażą

się w następujący sposób przez un i v∗n

fn = 2unv∗n, (41)

gn = |un|2 − |v∗n|2. (42)

Będziemy chcieli teraz wykorzystać równania Bogoliubova-de Gennes’a. W tym celu policzmy

pochodne równań (41) i (42)

i∂

∂tfn = 2

(i∂

∂tun

)v∗n + 2un

(i∂

∂tv∗n

), (43)

i∂

∂tgn =

(i∂

∂tun

)u∗n + un

(i∂

∂tu∗n

)−(i∂

∂tv∗n

)vn − v∗n

(i∂

∂tv∗n

), (44)

i w miejsca pochodnych i ∂∂tun, i∂∂tvn, i

∂∂tu∗n oraz i ∂∂tv

∗n wstawmy wartości z równania (40)

i∂

∂tfn = 2 (enun (r, t) + ∆ (r) vn (r, t)) v∗n + 2un (env

∗n (r, t)−∆∗ (r)u∗n (r, t)) , (45)

i∂

∂tgn = (enun (r, t) + ∆ (r) vn (r, t))u∗n + un (−enu∗n (r, t)−∆∗ (r) v∗n (r, t)) +

− (env∗n (r, t)−∆(r)u∗n (r, t)) vn − v∗n (−envn (r, t) + ∆∗ (r)un (r, t)) . (46)

Po matematycznych przekształceniach otrzymujemy następujące równania

∂

∂tfn = −2ienfn + 2i∆gn. (47)

∂

∂tgn = i∆∗fn − i∆f∗n. (48)

Otrzymane równania muszą zostać uzupełnione o równanie na parametr porządku. Ponieważ

zdefiniowaliśmy go jako ∆ = V∑n

unv∗n (w T = 0), a następnie wprowadziliśmy zmienną fn =

2unv∗n, więc możemy napisać, że ∆ =V

2

∑n

fn. Jednocześnie, w rozdziale 4, pokazaliśmy, że

parametr porządku ∆ = V∑k

〈σ+k 〉. Z porównania tych wielkości wynika, że

fn = 2〈σ+k 〉 = r1 + ir2. (49)

Następnie, korzystając z warunku normalizacyjnego (r1)2 + (r2)

2 + (r3)2 = 1, możemy napisać

|fn|2 = (r1)2 + (r2)2 = 1− (r3)2 . (50)

Przekształćmy to równanie do postaci

(r3)2 = 1− |fn|2 = 1− 4|un|2|v∗n|2, (51)

i skorzystajmy z warunku |un|2 + |v∗n|2 = 1 (patrz równanie (13), rozdział 3)

(r3)2 = |un|2 + |v∗n|2 − 4|un|2|v∗n|2. (52)

73

Równanie (52) przekształćmy do postaci

(r3)2 = |un|2

(1− 2|v∗n|2

)+ |v∗n|2

(1− 2|un|2

), (53)

i ponownie skorzystajmy z warunku |un|2 + |v∗n|2 = 1

(r3)2 = |un|2

(|un|2 + |v∗n|2 − 2|v∗n|2

)+ |v∗n|2

(|un|2 + |v∗n|2 − 2|un|2

). (54)

Równanie (54) da się zapisać w prostszej postaci

(r3)2 = |un|2 (gn) + |v∗n|2 (−gn) , (55)

dzięki której otrzymamy równanie

(gn)2 = (r3)

2 . (56)

Możemy więc napisać, że

gn = r3. (57)

Wstawmy teraz równania (49) i (57) do równań (47) i (48). Dzięki temu otrzymamy

∂

∂t(r1 + ir2) = −2ien (r1 + ir2) + 2i∆r3, (58)

∂

∂t(r3) = i∆∗ (r1 + ir2)− i∆(r1 − ir2) . (59)

Wstawiając do powyższych równań ∆ = ∆′+ i∆

′′i rozpisując pierwsze równanie na część

rzeczywistą i urojoną otrzymamy następujący układ równań

∂∂tr1 = 2

(enr2 −∆

′′r3),

∂∂tr2 = 2

(∆′r3 − enr1

),

∂∂tr3 = 2

(∆′′r1 −∆

′r2).

(60)

Układ równań (60) można przepisać wprowadzając oznaczenie ~bn =(∆′, ∆

′′, en

)

∂∂tr1 = 2 (b3r2 − b2r3) ,

∂∂tr2 = 2 (b1r3 − b3r1) ,

∂∂tr3 = 2 (b2r1 − b1r2) ,

(61)

dzięki czemu układ (61) da się zapisać w wyprowadzonej wcześniej postaci (patrz rozdział 4,

równanie (49)) równania typu Blocha

~rn = −2~bn × ~rn. (62)

W rozdziale tym pokazaliśmy, iż zastosowanie innego formalizmu opisu zjawisk dynamicznych

w gazie Fermiego sprowadza się do formalizmu opisanego w rozdziale 5. Dzięki temu symula-

cje numeryczne zamieszczone we wspomnianym rozdziale odnoszą się również do przypadku

opisywanych w tym rozdziale równań Bogoliubova-de Gennes’a.

74

Podsumowanie i wnioski

Celem powyższej pracy było badanie dynamiki par Coopera w układach fermionów z od-

działywaniem zależnym od czasu. Sytuacja fizyczna tego rodzaju realizowana jest w przepro-

wadzanych obecnie eksperymentach nad spułapkowanymi atomami typu fermionowego, ochło-

dzonymi do ekstremalnie niskich temperatur, w pobliżu tak zwanych magnetycznych rezonan-

sów Feshbacha, a także w złączach nadprzewodnik-metal-nadprzewodnik lub nadprzewodnik-

półprzewodnik-nadprzewodnik z zależnym od czasu potencjałem bramki.

Zasadniczą częścią tej pracy są rozdziały 3, 4 i 5. W rozdziale trzecim zaprezentowana zo-

stała metoda Andersona rozwiązania problemu BCS. Metoda ta polega na wprowadzeniu notacji

pseudospinowej i wykorzystaniu jej do opisu par Coopera. W rozdziale tym przedstawiony jest

sposób odtworzenia stacjonarnego rozwiązania BCS, zarówno w przypadku stanu podstawowego

(T = 0), jak i dla dowolnej temperatury T .

W rozdziale czwartym przedstawiony został sposób otrzymania równania typu Blocha dla

wprowadzonego w rozdziale trzecim formalizmu. Równanie to pozwala badać zagadnienie dy-

namiki układu fermionów. W rozdziale czwartym przedstawione zostały dwa rozwiązania rów-

nania typu Blocha - rozwiązanie multisolitonowe, pochodzące z prac [12] oraz [21], oraz rozwią-

zanie nazywane przez nas ogólnym. Rozwiązanie multisolitonowe wydaje się być rozwiązaniem

szczególnym, ponieważ nie znajduje potwierdzenia w ogólnych rachunkach, wykonanych w sa-

mouzgodniony sposób. Zagadnienie to wymagałoby jednak dalszych badań, w celu wyjaśnienia

różnic między tymi dwoma rozwiązaniami.

Rozdział piąty poświęcony jest mniej znanemu formalizmowi Bogoliubova-de Gennesa, który

również pozwala badać procesy zależne od czasu. W rozdziale tym przedstawiona jest metoda

otrzymania równań Bogoliubova-de Gennesa zależnych od czasu, a także sposób ich przekształ-

cenia do bardziej znanego formalizmu z rozdziału czwartego.

75

76

Dodatek A

W poniższym programie zastosowana została najprostsza (i zarazem najmniej dokładna) me-

toda równania różniczkowego, nazywana metodą Eulera. Polega ona na zastąpieniu różniczek

dy i dt w równaniudy

dt= f (t, y) , (63)

przez skończone przyrosty ∆y i ∆t. Dzięki temu możemy napisać

∆y = ∆tf (t, y) . (64)

Kolejne wartości funkcji y w kolejnych chwilach czasu otrzymamy zadając warunek początkowy

y (t0) = y0, wybierając wartość przyrostu ∆t, a następnie iterując równanie

yi+1 = yi +∆tf (t, y) . (65)

Zaletą tej metody jest jej prostota, jednak posiada ona poważne wady - jest znacznie mniej

dokładna w porównaniu do innych, bardziej skomplikowanych, metod, a także, przy wybraniu

zbyt dużego kroku czasowego ∆t, powoduje znaczny wzrost błędów numerycznych, co może

prowadzić do niestabilności.

PROGRAM RowRozniczkoweEuler

INTEGER n

DOUBLE PRECISION F0,DeltaMinus,DeltaPlus,dx,PochF0,PochF02,x,z

PRINT*,’Podaj wartosc startowa funkcji Omega(t=0):’

READ*,F0

PRINT*,’Podaj wartosc parametru Delta-:’

READ*,DeltaMinus

PRINT*,’Podaj wartosc parametru Delta+:’

READ*,DeltaPlus

PRINT*,’Podaj ilosc iteracji n:’

READ*,n

PRINT*,’Podaj wartosc przyrostu funkcji w procesie iteracji dx:’

READ*,dx

77

x=0

z=1

IF (DeltaPlus.LT.DeltaMinus) THEN

PRINT*,’Delta+ jest mniejsza niz Delta-’

ELSE

OPEN(1, FILE=’wyniki.txt’)

WRITE(1,*) x,DeltaMinus

DO 10 i=1,n

PochF02=(F0**2-DeltaMinus**2)*(DeltaPlus**2-F0**2)

PochF0=z*SQRT(ABS(PochF02))

F0=F0+dx*PochF0

x=x+dx

IF (F0.GT.DeltaPlus) THEN

z=-1

F0=2*DeltaPlus-F0

ENDIF

IF (F0.LT.DeltaMinus) THEN

z=1

F0=2*DeltaMinus-F0

ENDIF

WRITE(1,*) x,F0

10 CONTINUE

CLOSE(1)

ENDIF

END

78

Program RowRozniczkoweRK4 wykorzystuje jedną z najczęściej używanych metod rozwią-

zania równań różniczkowych - metodę Rungego-Kutty czwartego rzędu. Metoda ta zapewnia

rozsądną dokładność bez potrzeby stosowania bardzo małego kroku czasowego ∆t. Polega ona

na zastąpieniu różniczek dy i dt w równaniu różniczkowym

dy

dt= f (t, y) , (66)

skończonymi przyrostami ∆y i ∆t. Iteracyjny wzór w metodzie Rungego-Kutty czwartego rzędu

ma postać

yi+1 = yi +k16+k23+k33+k46. (67)

Zadając warunek początkowy y (t0) = y0, wybierając wartość przyrostu ∆t oraz obliczając

współczynniki k1, k2, k3 i k4, które zdefiniowane są jako

k1 = ∆tf (ti, yi) , (68)

k2 = ∆tf(ti +∆t2, yi +

k12

), (69)

k3 = ∆tf(ti +∆t2, yi +

k22

), (70)

k4 = ∆tf (ti +∆t, yi + k3) . (71)

otrzymamy kolejne wartości y (t).

PROGRAM RowRozniczkoweRK4

INTEGER n

DOUBLE PRECISION F0,DeltaMinus,DeltaPlus,PochF0,PochF02,x,z,D0

DOUBLE PRECISION h,k1,k2,k3,k4

PRINT*,’Podaj wartosc startowa funkcji Omega(t=0):’

READ*,F0

PRINT*,’Podaj wartosc parametru Delta-:’

READ*,DeltaMinus

PRINT*,’Podaj wartosc parametru Delta+:’

READ*,DeltaPlus

PRINT*,’Podaj ilosc krokow n:’

READ*,n

PRINT*,’Podaj wartosc parametru h:’

READ*,h

x=0

z=1

D0=F0

79

IF (DeltaPlus.LT.DeltaMinus) THEN

PRINT*,’Delta+ jest mniejsza niz Delta-’

ELSE

OPEN(1, FILE=’wyniki.txt’)

WRITE(1,*) x,DeltaMinus

DO 10 i=1,n

PochF02=(F0**2-DeltaMinus**2)*(DeltaPlus**2-F0**2)

PochF0=z*SQRT(ABS(PochF02))

k1=PochF0

k2=z*SQRT(ABS(((F0+(h/2)*k1)**2-DeltaMinus**2)*

* (DeltaPlus**2-(F0+(h/2)*k1)**2)))

k3=z*SQRT(ABS(((F0+(h/2)*k2)**2-DeltaMinus**2)*

* (DeltaPlus**2-(F0+(h/2)*k2)**2)))

k4=z*SQRT(ABS(((F0+h*k3)**2-DeltaMinus**2)*

* (DeltaPlus**2-(F0+h*k3)**2)))

F0=F0+(h/6)*(k1+2*k2+2*k3+k4)

x=x+h

IF (F0.GT.DeltaPlus) THEN

z=-1

F0=2*DeltaPlus-F0

ENDIF

IF (F0.LT.DeltaMinus) THEN

z=1

F0=2*DeltaMinus-F0

ENDIF

WRITE(1,*) x,F0

10 CONTINUE

CLOSE(1)

ENDIF

END

80

Dodatek B

Program zamieszczony w dodatku B do rozwiązywania równań różniczkowych wykorzystuje

metodę Eulera. Schemat ideowy tej metody został opisany w dodatku A.

#include <stdio.h>

#include <iostream.h>

#include <conio.h>

#include <dos.h>

#include <stdlib.h>

#include <fstream>

#include <math.h>

#include <time.h>

long double fi[20001];

long double r[4][20001];

long double dr[4][20001];

long double e[20001];

long double b[4][20001];

int i,j,n;

long double delta1,delta2,t,dt,V,sumfi,sumr1,sumr2,beta,T;

long double pi=acos(-1);

void main()

clrscr();

srand(time(NULL));

cout << "\nPodaj krok czasowy dt: ";

cin >> dt;

cout << "\nPodaj ilosc krokow n: ";

cin >> n;

81

V=1.0;

t=0.0;

delta1=0.0;

delta2=0.0;

beta=1.0/4.5;

ofstream aout("ei.txt", ios::app);

for(i=-10000; i<10001; i++)

e[i+10000]=(V*i);

e[i+10000]=e[i+10000]/2000.0;

aout << e[i+10000] << endl;

aout.close();

for(i=0; i<20001; i++)

fi[i]=(rand()%1001)/1000.0;

for(i=0; i<20000; i++)

sumfi=sumfi+fi[i];

sumfi=sumfi/20000.0;

cout << sumfi << endl;

fi[20001]=0.5-sumfi;

ofstream a1out("liczbyfi.txt", ios::app);

for(i=0; i<20001; i++)

a1out << fi[i] << endl;

a1out.close();

ofstream b1out("rxryrz.txt", ios::app);

for(i=0; i<20001; i++)

82

r[1][i]=cos(2.0*pi*fi[i])/cosh(beta*e[i]);

r[2][i]=sin(2.0*pi*fi[i])/cosh(beta*e[i]);

r[3][i]=tanh(beta*e[i]);

b1out << r[1][i] << " " << r[2][i] << " " << r[3][i] << endl;

b1out.close();

ofstream b2out("bxbyibz.txt", ios::app);

for(i=0; i<20001; i++)

b[1][i]=delta1;

b[2][i]=delta2;

b[3][i]=-e[i];

b2out << b[1][i] << " " << b[2][i] << " " << b[3][i] << endl;

b2out.close();

ofstream e1out("delta.txt", ios::app);

e1out << t << " " << delta1 << " " << delta2 << endl;

e1out.close();

ofstream dout("wyniki.txt", ios::app);

ofstream eout("delta.txt", ios::app);

for(j=0; j<n; j++)

sumr1=0.0;

sumr2=0.0;

for(i=0; i<20001; i++)

dr[1][i]=2*(b[3][i]*r[2][i]-b[2][i]*r[3][i]);

dr[2][i]=2*(b[1][i]*r[3][i]-b[3][i]*r[1][i]);

dr[3][i]=2*(b[2][i]*r[1][i]-b[1][i]*r[2][i]);

t=t+dt;

for(i=0; i<20001; i++)

83

r[1][i]=r[1][i]+dt*dr[1][i];

r[2][i]=r[2][i]+dt*dr[2][i];

r[3][i]=r[3][i]+dt*dr[3][i];

dout << t << " " << r[1][11000] << " "

<< r[2][11000] << " " << r[3][11000] << endl;

for(i=0; i<20001; i++)

sumr1=sumr1+r[1][i];

sumr2=sumr2+r[2][i];

delta1=V*sumr1/20001.0;

delta2=V*sumr2/20001.0;

for(i=0; i<20001; i++)

b[1][i]=delta1;

b[2][i]=delta2;

eout << t << " " << delta1 << " " << delta2 << endl;

eout.close();

dout.close();

84

Spis rysunków

1. Wykres zrobiony przez Heike Kamerlingha Onnesa - opór badanej próbki rtęci

jako funkcja temperatury. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2. Efekt Meissnera dla nadprzewodzącej kuli. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3. Wykres ciepła właściwego galu w stanie normalnym i nadprzewodzącym. . . . . 17

4. Ilustracja przykładowego rezonansu Feshbacha. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

5. Metoda rozwiązania hamiltonianu BCS w reprezentacji pseudospinowej. . . . . . 34

6. Wykres zależności wartości średniej składowej pseudospinu 〈σxk〉 od energii ξk,

opisanej wzorem (41). Energia ξk mierzona jest w jednostkach ∆. . . . . . . . . . . 36

7. Wykres zależności wartości średniej składowej pseudospinu 〈σzk〉 od energii ξk,

opisanej wzorem (42). Energia ξk mierzona jest w jednostkach ∆. . . . . . . . . . . 37

8. Nadprzewodzący stan podstawowy (ściana domeny). . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

9. Zależność czasowa parametru porządku ∆ pochodząca z symulacji numerycznej

dla różnych zestawów parametrów - wykres na górze Ω (0) = 0.01001,∆− = 0.01,

∆+ = 1, wykres środkowy Ω (0) = 0.5001, ∆− = 0.5, ∆+ = 1, natomiast wykres

na dole Ω (0) = 0.9001, ∆− = 0.9, ∆+ = 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

10. Zależność czasowa parametru porządku ∆ pochodząca z symulacji numerycznej

dla różnych zestawów parametrów - wykres na górze Ω (0) = 0.01001,∆− = 0.01,

∆+ = 1, wykres środkowy Ω (0) = 0.5001, ∆− = 0.5, ∆+ = 1, natomiast wykres

na dole Ω (0) = 0.9001, ∆− = 0.9, ∆+ = 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

11. Zależność czasowa wartości średnich składowych M1, M2 i M3 wykreślona dla

jednego ze spinów. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

12. Zależność czasowa wartości średnich składowych M1, M2 i M3 wykreślona dla

jednego ze spinów. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

13. Zależność czasowa części rzeczywistej ∆′(t) i części urojonej ∆

′′(t) parametru

porządku. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

14. Zależność czasowa wartości średnich składowych rxk , ryk i rzk dwóch różnych pseu-

dospinów. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

15. Zależność potencjału parowania V od czasu t pochodząca ze wzoru (57). . . . . 58

85

16. Zależność czasowa części rzeczywistej ∆′(t) i części urojonej ∆

′′(t) parametru

porządku dla potencjału parowania przedstawionego na rysunku 15. . . . . . . . 59

17. Zależność czasowa wartości średnich składowych rxk , ryk i rzk dwóch różnych pseu-

dospinów dla potencjału parowania przedstawionego na rysunku 15. . . . . . . . 60

18. Zależność potencjału parowania V od czasu t pochodząca ze wzoru (58). . . . . 60

19. Zależność czasowa części rzeczywistej ∆′(t) i części urojonej ∆

′′(t) parametru

porządku dla potencjału parowania przedstawionego na rysunku 18. . . . . . . . 61

20. Zależność czasowa wartości średnich składowych rxk , ryk i rzk dwóch różnych pseu-

dospinów dla potencjału parowania przedstawionego na rysunku 18. . . . . . . . 62

21. Zależność potencjału parowania V od czasu t pochodząca ze wzoru (59). . . . . 63

22. Zależność czasowa części rzeczywistej ∆′(t) i części urojonej ∆

′′(t) parametru

porządku dla potencjału parowania przedstawionego na rysunku 21. . . . . . . . 64

23. Zależność czasowa wartości średnich składowych rxk , ryk i rzk dwóch różnych pseu-

dospinów dla potencjału parowania przedstawionego na rysunku 21. . . . . . . . 65

86

Bibliografia

[1] P.W. Anderson - Random-Phase Approximation in the Theory of Superconductivity,

Phys. Rev. 112, 900 (1958).

[2] Charles Kittel - Quantium Theory of Solids, John Wiley & Sons, INC., 1964.

[3] J.R. Schrieffer - Theory of Superconductivity, W.A.Benjamin, Inc., Publishers, New York,

Amsterdam (1964).

[4] E. Abrahams, T. Tsuneto - Time Variation of the Ginzburg-Landau Order Parameter,

Phys. Rev. 152, 416 (1966).

[5] A.L. Fetter, J.D. Walecka - Kwantowa teoria układów wielu cząstek, PWN, Warszawa

1988.

[6] H. Ibach i H. Luth - Fizyka Ciała Stałego, PWN, Warszawa 1996.

[7] Rudolf de Bruyn Outboter - Heike Kamerlingh Onnes: odkrywca nadprzewodnictwa,

Świat Nauki nr 5, 1997.

[8] Charles Kittel - Wstęp do fizyki ciała stałego, PWN, Warszawa 1999.

[9] J.B. Ketterson, S.N. Song - Superconductivity, Cambridge University Press, Cambridge

(1999).

[10] S. Szpikowski - Elementy Mechaniki Kwantowej, Wydawnictwo UMCS, Lublin 1999.

[11] W. Ketterle - Gdy atomy zachowują się jak fale: kondensacja Bosego-Einsteina i laser

atomowy, Postępy Fizyki, Tom 54, Zeszyt 1 (2003).

[12] R.A. Barankow, L.S. Levitov, B.Z. Spivak - Collective Rabi Oscillations and Solitons in

a Time-Dependent BCS Pairing Problem, Phys. Rev. Lett. 93, 160401 (2004).

[13] R.A. Barankow, L.S. Levitov - Atom-Molecule Coexistence and Collective Dynamics Near

a Feshbach Resonance of Cold Fermions, Phys. Rev. Lett. 93, 130403 (2004).

[14] R.A. Barankow, L.S. Levitov - Dynamical Projection of Atoms to Feshbach Molecules at

Strong Coupling, Phys. Rev. Lett. 93, 130403 (2004).

87

[15] A.V. Andreev, V. Gurarie, L. Radzihovsky - Nonequilibrium Dynamics and Thermody-

namics of a Degenerate Fermi Gas Across a Feshbach Resonance, Phys. Rev. Lett. 93,

130402 (2004).

[16] A.A. Abrikosov - Nadprzewodniki drugiego rodzaju i sieć wirów, Postępy Fizyki, Tom

55, Zeszyt 5 (2004).

[17] M.W. Zwierlein, C.H. Schunck, C.A. Stan, S.M.F. Raupach, W. Ketterle - Formation Dyna-

mics of a Fermion Pair Condensate, Phys. Rev. Lett. 94, 180401 (2005).

[18] E.A. Yuzbashyan, B.L. Altshuler, V.B.Kuznetsov, V.Z. Enolskii - Nonequilibrium Cooper

Pairing in the Non-adiabatic Regime Condensed Matter 0505493 (2005).

[19] M. Greiner, Cindy A.Regal, D.S. Jin- Fermi Condensates, Condensed Matter 0502539 (2005).

[20] T. Domański - Nadprzewodniki - nowe fakty i teorie, Postępy fizyki (2006).

[21] R.A. Barankow, L.S. Levitov - Dynamical Selection in Developing Fermionic Pairing,

Physical Review A, vol. 73, 033614 (2006).

88