Upload
lynguyet
View
220
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
Dynamic Models for Spatio-Temporal Data
Jonathan R. Stroud�
Department of Statistics, University of Chicago, Chicago, IL 60637, U.S.A.
Peter Muller
Institute of Statistics and Decision Sciences, Duke University, Durham, NC 27708-0251, U.S.A.
Bruno Sanso
Centro de Estadıstica y Software Matematico, Universidad Simon Bolıvar, Apartado 89000, Caracas
1080-A, Venezuela.
Summary. We propose a model for nonstationary spatio-temporal data. To account for spatial variabil-
ity, we model the mean function at each time period as a locally-weighted mixture of linear regressions.
To incorporate temporal variation, we allow the regression coefficients to change through time. Kriging-
based variogram models can also be also incorporated when the process is highly localized in space.
The model is cast in a general state-space framework which allows us to include additional temporal
components such as trends, seasonal effects, and autoregressions, and permits fast implementation
and full probabilistic inference for the parameters, interpolations and forecasts. To illustrate our method,
we apply it to two large datasets from the physical sciences: quarterly rainfall levels in Venezuela and
water temperatures in the Atlantic Ocean.
Key Words: Bayesian inference; Filtering; Kriging; Locally-weighted mixture; Smoothing; Spatio-temporal
models; State-space models.
1. Introduction
������������� ���� ���� ������ � ��� ���� ��������� �� ����� ��� � ��� �� �� �� �������� �� ��� ��� � �� ��������� �� ����������� �� ��� ������ ����� ��� ������ ������ � �������� ������ ������� ������� ����� �������� � �� �� � ������ � ��� ����� � �� �������� ���� ������ �� ������������ ���� � ������ �� �� �� ��� ����� ��� � �������� � ���� �� �� ������ ���� ��� ������� ����� �� ������� �������� � ���� �� � ���� ���� ���� � !����� ���� �� � ���� ����� ����� �� �� ���� �������������� �" ����� ��� ������ ������ �� ������ � � ��� ��� ���� � �� �� ��� � �������������� �" ����� ����� ����� � � ����� ���������� � ����������� ����� � ��� ���� �� � ��� ���������� �� ���� � ��� �� ������� �� ������ �������� ��� �� � �#� ������� ���������� ������ �� ��� ���� �� ����� � ���� �� �������� ��������� �� � ��� ������ ��$� �� ������� ��� ������� ��� �������� �
%���� �� ������������ ���� �� ����� ��� ������ �� �������� �� � ��� ���� � ��������� ��� �� ���� �� ������ ���� ��� � �� ��� �� � ��� ������� � � ����� �������� ������� #&%# ���� '(�� � )��$�� ��� &��� �� � *++,- �� �������� ���� � ��� ����� ���� ���� ./001233 4 51 651123758028629 :;<=>?=< @ A B>C;DE F G HI=C>J H<> ;K B>=>LM>LNM F O<LPHCML>Q ;K R?LN=S; F TUVW
B A O<LPHCML>Q XPH AF R?LN=S; F YZ [\[VU F O AB AX A ]^J =L_ ` abcdefghijbdk lemnomihd lpfe
2 J. R. Stroud, P. Muller, and B. Sanso'��% � �� � ��� !�� �� � *++�- � ����� ����� �� ��� �������� �������� ��� � ���������� ��� �� �������� �� ��� ������ ������ � ��� �� ��� �������� ������ ����� � ���������� '�� �� � *++�- � ��� � ���� ��� ��� �� ����������� �� ��� ���� ��� � ���� ��� ����� � ������ � ��������� � � �� � � ��� �� ��� �� ��� � $�� ������ �� ���� � ����� ����� �� � �� � � �� ��� �������� ������ ���� � � ���� ��� ��������� ������ �� �� ������ � ���� � �� ����� � #� ������ �� ��� � ��� �� ��� ������ '*++ - � ��� ������� �� �������� �� �� ����� �� ����� �� ��� ��������� � �� �
���� ���� ����� ���� �� ������� � ���� ����� ����� �� ��� � ������ �� ������ ������������ �� ������ � ��� ��#&%# '� ����� ��� � ��� �� � *+��� �� - ��� ��#&%#� '����� � *+��- ���� ��� ��� ������ �� ������ ������ ��������� ����� �� ������ ����� #&%# ���� �!� ���� ��� &����� '*+�+- � �� � ��� ���� � ��� ����� �� ��������� ���������� �� ���� ����� ��� ������ �� �� � � ��� ���� ���� � !����� �$ ��� ����� '*++,- ��������� � ����� ��� $����� ��� �������� ���������� �� ���� ������ �� ��� ���� �� ��� ������ ����������� � #����� ������ ������� �� ��$�� �� ����� �� �� � '*++�- � ��� � �� ���� ���������������� ������ ��� ��� ���� ��� � � ��� ����� �� ���� ��� �� � ��������� �������� �
&������� ����� ���� ���� � ��� ���� �� �� ��� ���������� ��� ������ ��� ����� �� ������������ ���� � �� ������ � ������ � % ����� ��� ��� �� '*++,- � �� ��� ���� ����� ����������� ��� �� ��� ������ '*++ - �� ������ ������ �� � ����� �� � �������� ���������� ��� �� ����� ������ � ! ����� '*+++- ����� �� � (��� ��� �� �� ����������� ������� �� ���������� ��� ������ ��� ���������� �� ���� #������� � ���� �������� � ������ ��� �����'*+++- ���� �� � (��� ��� ���� �� � ���� �������� � ��� � ������� �� ����� % �$�� ���� ��� � � ��� ��� &���� �� '*++�- ���� �� � � ��� ������ ������� �� � �� ����� ������� ����� �� ���� �� �� � ��� � �������� � � �� � �� ��� %�����$ '*++�- ��������� ������� � ���� �� � ��� � ��� � ����� �� �� � '*++�- � �� � ���������� (��� ��� ���� � ��� �#& ��� �� ����������� �� ������ �� ���� ���� ����� ��� � ���� �������� ��������� ���������� (��� ������� ������� � �$ �� �� �� � '*+++- � ��� �������� ������ ���� ��� ����� �������� ���� ������� �� �� � '*++�- ��� � �� ���� � ���� �� ��� � ���� ���� �
#����� ������� ������� �� �� � ��� � ������ ��� ����� ���� �����$ � ��� �� ��������� ' ��� - � � �� � ��� ���� ��������� �������� �� ��� �� ������� �� � ��� ���� ����� � ��� % �$�� ����� %���� ���� '%�%� - �������� � ��������� '*++�- ���� �� � �����#& '�- ���� � ��� �������� �������� �� � ���$ �� ��� �� ������� ������ � ��� ������� �� ����������� '*++� - �� � ��� ���� ��������� � ��� ����� �� ��������� '*++�- � �� ���� �� ��� �������� ��� �� �� ��� �� ��� ���� ����� ��� �� ��� ���� �� �� ������� ������ � ����(��� ��� ������� � ��% �������� ���� �� � ���� ���� ��� � % ���� �� �� � '*++�- ������� $����� �����% �� ���� ������ ��������� ��� �� � ���������� � ���� � �� �������� ������� ���� ��������� � �� ��� ������ ��� ��� ��� ��� � �� �� ��� �� � �� ��� ������ ���� ��� � �� �������(��� ��� �������� ������� � �$ �� ��� �� �� '*+++- ��� !���� ��� �� �� '*++�- �
�� ��� ���� � �� ���� � � ����� ���� �������� �� ���$ �� ������� � ���� ����� ��� � �� �� ��� ����� �� ��� �� �� �� ��� ���� ��� �� ��� � � �� � ����� �� ��� �� �� �� �������������� � ������ � ����� �� %�%� �������� � �� ������� �� ������ ����������� �� ������� ��� �������� �� ���� �� � � � ���������������� ����� �� ��� ��� ����� � ���������������� � ���������� �� ����� ��� ��� �������� ����� �� ������ ������ �� � � ������
Dynamic Models for Spatio-Temporal Data 3���� � �������� �������� � ��� �������� ��� � ��� ��� � � ������� � ����� ��� ��% �� ���$ �� ��� ��� � �� �� ��� ��� ������� ������� � �� ��� ������ �� ���� ��� �� ���� ����������� �������� �� ��� �� �� � ��� ����� ����$ ��� ����������� ���� �������� �� ��� ���� ���� ������ ���� �������� ��� �������� �� ��� ��� ��� � ������������ ��� ����� � �
��� ������� ������ �� �� ������� �� � �� ���� � �� ������ ������� � �� �� ������ ���� ��������� ����� � ��� � � ������ ����������� � �� ��� �� �� � ������� � ������ ��� � ����������� � ������ � ���������� �� ��� ������� � ��������� �������� � ��� ����� ������ �� ����������� ���� � ��� �� ���� ������ ���� ��� ��� �� � � #�� � ������ ���������� ��� �������� �� � ��� �� �� � �
�� ������� � �� �������� �� ������ ���� ��� �� �� ��� ��� ������� �� �� �������������� ����� � �� ������� � � �� ������ ��� ���� �� ��� ���� �� �� � � ����� ��� ��� ��� ��� �� ���� ��� �� � � ��� ������� � ���� � ���� �� � �� � ����� ���� �� ���$ ��� ����� ��� ��� � ���� ������ �������� ��� $�������� �� ������ �� �� �� �� � ��� ������� � ���� ����� ��������� , � ��� ��� ���� ���� �� � ������� ������� ����� ��� ���� #������� ���� �������� ������� ��� �� ����� �� ������� � �
2. Spatial Modelling
�� � � � � ������ ���� �� ��� ��� '� - � � '� �� - � � '� - '*-
���� � '� - � �� �� ������� ��$�� �� �� ������ � �� �� ��� � � '� �� - � � ������ ��� �� �� � ��� ��� ��� � � ��� � '� - � � ��� ��� ��� � �� �� � ��� ��� �������� � '� �� - � �� ��� � ����������������� ����� �� ����� ��� ��� �
� '� �� - � �� � �
� '� -� �� '� -� � � ' -
���� �� '� - � ��� � '� - � � � � � �� � '� -�� � � �� �� $���� �� � �������� � � � � '�� � � � � � � �� � -� � � ������� ��$���� � ���� ��� ��� �
�� '� - � � ������������ ��������� $���� ������� �� �� ������ �� �
��� � ������ ��� ����� ���� �� ����� �������� ��� ��� ���������� �� ��� �� �� � �� �� ��� � � '� '� � - � � � � � � '�� --� � �� �� ������ � � � � � � � �� �
� � �� � � � '�
� '� � - � � � � � �� '�� --� � ��� ����� �� ������ �� ��� � �� ����� �������� ���
�� � �� '� � - ! ! ! �� '�� -"� � ��� �� ��� ���� �� ��� ��� ������� �������� � ��� ���� ���� ����� ������ � � ���� ����� ��� ��� � � � � � � # � ���� � � ���� '� � -� � ! ! ! ���� '�
-�
"
��� � � '� �� � � � � � � �-� �
� �� � * ��� �� ������ �� � ���� ����� ���� ' - � ��� � � �������� � !�� ��� �������� �� � '� �� - � ��� ������ � ��� ��� ��� ������ $���� ��� ����� ����� � ��� $���� ���� ��� ��
�� '� - $ %&� %'�() ��� �* '� * �� -� & '�� '� * �� -+ � � ��� ����� ����� �� �� ��� ��
�� '� , - � '* � � ,� � � ,) - � � ���� � ,� ��� � ,) ������ ��� � ��� ����� ��������� �� �� ������ � , ��� ������ � ��� �� �� � '� �� - � ��� ��������� �� �� � � � ��� ��� ��� � �� � ���
�� �������� � ��� ��� ��� ��� ��������� ���� - � ���� ��� �� �� � '� �� - �� ���������
. '� � / - � ����� '� - � � '/ -� � �, �
�� � �
, '� -�
� '/ - � �, '� - �� '/ - 0 ,� � '� -
4 J. R. Stroud, P. Muller, and B. Sanso'�- ������� � � �� '� - ��������� � ���� '�- �������� ������
-2-1
01
2
x1-2
-1
0
1
2
x2
-3-2
-1 0
12
S(x
)
-2-1
01
2
x1-2
-1
0
1
2
x2
π1()π2()
oo
oo
oo
oo
oo
oo
ooo
oo
oo
oo
oo
oo
oo
ooo
oo
oo
oo
oo
oo
oo
ooo
oo
oo
oo
oo
oo
oo
ooo
oo
oo
oo
oo
oo
oo
ooo
oooo
oo
oo
oo
ooooo
oooooo
oo
oo
ooooo
oooooooo
oo
ooooo
ooooooooooooooo
ooooooooooooooo
ooooooooooooooo
ooooooooooooooo
ooooooooooooooo
ooooooooooooooo
ooooooooooooooo
-2-1
01
2
x1-2
-1
0
12
x2
-2-1
01
2 f’1β1
f’2β2
� '� �� - � � )� � �� '� - � � �� '� -� �
Fig. 1. Construction of the locally-weighted mixture. Panel (a): Spatial process generated from a mixture with� � �. Panel (b): 10% HPD contours for the Gaussian weighting kernels and circles representing mixture
weights, � � �� , for each point on a spatial grid. Panel (c): linear regression surfaces.
���� � ��� / �� �� ������ � ��� 0 ,� ������ ��� � �� ��� ��� �� - � �� �� ���� � ��� ���� ����� � � �� �� � � * ��� � � '� - � *� ���� '�- ����� �� . '� � / - � � , � � � � �
, '� -�
� '/ - 0 ,� � ���� �� � ���� � �� � �� �� � ��� �� ��� ���" ����� � ��� ��������� ���� - � � ) � ���� �� ������. '� � / - � � ) � � � �
� '� -�
� '/ - ���� ��������� � � ��� �� ��� �� �� ����������� ������� �� ! ����� '*+++- � ! � ������
���� ��� �� ������� �� � � ������ �� � �� ' - � ���� ��� �� ��� ����� �� ��� ���� � ��� ������� �� $���� � � ���� � #����� $������� �� ������� �� � ������ ������ � ����� �� ������ ' ���- �
2.1. Choosing the Surface and Kernel Types��� ������ �� ��� ������ ��������
�� '� - ������ � ������ �� ������� ��� ���� ����� �����
��� ��$���� ������ �� �� � �� ������ � �� ��� ������ �� ��� ��� $���� � �� � �� � *� ������� �������� ��� ��������� ����� �� ��� $���� ���� �� � � ��� �� � �� ��� ����������� ������� ����� � ������ �� ��� ����� �� ������ ������ � ��� ��� ��� �� �������� ��� ��� ��$���� ����� � � ������ � � �� � �������� � ��� � ���� �� ���� ��� ������� �� ��� ��������� � ��� ��� ����� ��� ����� '����� � ����� - � ��� �� �������� ����� ��� �� ������� $���� � �� �� ����� �� � ��� � ��� ���� ����� � ��������� � �� ������ � �� ������� , � �� ��� ��� �� ��������������� ��� ����� � $���� �� ������ �� �� �� �� ����� ���� �� ���� � � ������ �� $���� ������� �� �� �� ������ ��� ��� ��� ��� ���� ����� �
��� ���� �� ���� ������� � � ������ ������ ���� � �� ����� �� � � �� ������ � ���� ���� � �������� ���� ������� $���� � ��� ���� �� ��� ����� � ��� �� � �� �� � ��� �� ��� ��������" ����� � �� ������ �� � ���� �� ������ ���� � ��� ���� �� $���� � ��� �� �� ������� ������ � ��� �������� ��� ������ �� �� ��� �� �������� �� �� ���� � ��������� ���� ���������� ��� ��������� $���� ��� �� � �� �� � ��� �� ��� ���" ����� � #�� �� � ��������� ������� ���� ����� � �������� ���" ����� � � ��������������� ��������� $���� � ��� �� � ��� ���������� �� �
� �� � ��� ��� �� ���� $���� ��� ������� � ����� � ��� ��� ��� ������� ��������� ����������� � ������� ������ �� �� � ��� $���� �� ��� ��� � ��� �� � � � ��� ���� �� ��� �����
Dynamic Models for Spatio-Temporal Data 5���� � ����� ��� � ��� �� ��� ���" ����� � � � � '� � *� - � �� ��� ��������� ���� � �� � / � ���� ���� . '� � / - � � �������� �� � � &�� ��� ��� �� ������ � ��� �� �������� ����� ��� ��� � � ������� $���� � ��� ��������� �������� � � ������ ��� ����� � ����� ��� ��� � ��� ������� ���� � ����� ���� � &�� ��� ��� �� ������ �� � ��� �������� �� �� � � ����������� ����� ��� ������� $���� � ��� ��� � � ���������� ��� ������� ���� � ��� ��������� � ����� � �� ��� ������ �������� � �������� � ����� ��� ��� �� � �� ��� ����� � � ��� ����������������� ���� �� �� �� �� ��� ������ � �������� ���� ��� ������ � ���� ��� $���� �� ������ ��� ������ � � ��� ����� �� ��� ����� ��� $���� ��� � �� � ������� �� ��� ������� �� �� � ���� �� � ��� � ����� � �� ��� �� ������ � �� ������ � �
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
x1
x2
-1.0 0.0 1.0
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
y
Kernels
-1-0.5
00.5
1
x1-1
-0.5 0
0.51
x2
01
2K
(x,y
)
Covariance
-1-0.5
00.5
1
x1-1
-0.5
00.5
1
x2
05
S(x
)
Simulated Surface
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
x1
x2
-1.0 0.0 1.0
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
y
Kernels
-1-0.5
00.5
1
x1-1
-0.5 0
0.51
x2
02
46
K(x
,y)
Covariance
-1-0.5
00.5
1
x1-1
-0.5
00.5
1
x2
-5 0
5S
(x)
Simulated Surface
Fig. 2. Possible kernel configurations. First column: kernel locations - ellipses represent the central 20%
regions for the weight functions. Second column: Prior covariance function at the center of the domain,
i.e. � �� � � , where � � �is fixed. Third column: Simulated process � �� � , with constant surfaces and
� �\ � �\ .
�� ��� ��� ��� ��� ��������� $���� ��������� ��� ���� � �������� ����� ��� ��� $���� ���� �� � ��� ��� �������� � � ��� �� �� ����� ��� ! ����� � ����� ��� � �� '*+++- �� ��� ���� . '� � / - �� ��� �� � � � ��� � ���� ���� �� $���� � ��� �������� � ��� ������� ��� ��� �!����� � �� �������� ����� $���� ��� �� ������ ���� � � � ���� �� ��� ��������� �������� . '� � / -���$ ���� ����� � ��� �� �� � �������� ��� ��� $���� ' �� � �� � - � (� ��� ���� ��� ���� � ����$���� ���� ����� �� � � � � �� � � �� ' ��� - ������ � ������� �� $���� � �� ������� ���������$�� ������������ � ��� ����� ���� � ��� ���� ��� ������� ��������� �������� � ���� �� ��� � $���� ����� � ������� ����� �� ������ ������ �� ��� ��������� �� �� �
6 J. R. Stroud, P. Muller, and B. Sanso
3. Spatio-Temporal Modelling
����� � ��� ���� �� ���� �� ������� ��������� �� ���� ��� �� � � ��� ������ ���� '*- ��� ���� ��� ��� ����� �� ������� � ������ �������� � �� ���� � � � � � �� �� � � � '� ��� � � � � � � ��
-� � �
��� ���� ��� ��� ����� �� �� � � � �� � � * � � � � � � � � ��� � ������ � ���������� ���� � '� � %� �'� -���� ���$ ��� ��� ��� � � ��� �� � � #������� ��� ���������������� ����� ' - �� ���� � � � �������� � �� � ��� �� ����� � '� �� � - � � � � � � '� �� � - ��� � ��� � ���� �� � �� � � � # � ��� ������ ��������� �������� �� � '� � %� �'� - ��� ������� � ���� �
� � � � �� � � # � � #� � � '� ��� - � ', -� � � ��� �'� � � � � � � � � '� � - � - � '�-
���� � � � '� '� �� - � � � � � � '� �� � --� �� ��� �� ������� ��$�� �� �� ������ � �� � � � � � � �� � � !�� � � � � ��� �� ����������� �� ��� ���� � ��� ������ � �� ������� � ��� � �� �� ��� ��� ��� ��� ������ ���� �� ��� ���� ��� �� ������ �� ��� �� ������� �� �� � � � �������� ',- � �� ����� ����� ��� ������ ���� '*- � � ��� ���������� �� ���� � �� ������ ��� ���������� �� �� � � ��� '�-�� ����� ������ ��� �� � �� ��� ��� ��� ��� ��� � � � � % ���� ',-� '�- � � ��� ��� ����� ���� ���� '���% -� �� ��� ���� ������ �� �� �� ��� ������ ���% ��� ������� ��� ��� ���� � ���� ��� �� ���$ �
LJ H � LJ H � LJ H V
-2
-1
0
1
2
x1-2
-1
0
1
2
x2
0.6
0.7
0.8
0.9
S(x
)
-2
-1
01
2
x1-2
-1
0
1
2
x2
0.2
0.6
1.0
S(x
)
-2
-1
0
1
2
x1-2
-1
0
1
2
x2
0.5
0.7
0.9
S(x
)
� '� � � � - * � '� � � ) - * � '� � � � -
Fig. 3. A time series of spatial mean fields. The surfaces were obtained through a locally-weighted mixture of� � [components with fixed weighting kernels and dynamic regression coefficients.
3.1. The State-Space Framework# ��� ��� ����� ���� ���� ��$� ��� ��
� � � �� � � #� � #� � � '� ��� - � '� - � � �� �'� � � � � � � � � '� � - � - � '�-
�� � � * � � � � � � � ��� �� ������� �������� '�- ����� ��� �� � * ���� ����� � � �� ��� ���� ����� � * ���� ����� � � � ��� ��������� �������� '�- ���$ ��� ���� ��� �� � � !�� � �� ��� �� ��$���� � ��� �� ������� ��� ��������� ����� � � ���������� ��� #� ��� � � �� ����� ������ �������� � ������� � ��� ����������������� ����� � � ��� - � � � � ��������� ��� ���� � ��������� ��� � ��� �� ��� ������� ���� � � � � '�� ��� - �
Dynamic Models for Spatio-Temporal Data 7�� ��� �� � ��� �� �������������� ����� ���� ',-� '�- �� ��� ����� ���� �� ���$ � ���
����� � �� � � �������������� �" ����� �� ���� �������� �� ��� ���% �� %���� '�-� '�- � ��� ��������� ���������� ������ ������ �������� ��� � ���� � �� ���� ����� ��� ������� ��� ��� ����� � �� �� ��� ���� ����� � � � ' ��� � � � � � ��� -� � ���� � � ��� ����� ���� �� �������� ��� �� � � � � ���� � � ��� ��� �� ��� ���� �� � ��� � � � ��� " � ���� ��� ����������� �� �� ������ ��� ����������� �� � � ���� � � ��, � ��� ������ ����� ��� ��������� � ��� �, � ��� � ��� � � � � � �� ����� � � �� �$ ��� ���� �� ��� ������ ���� ',-� '�- � ��� � ������ ��� �$ ��� ��� ������������������ � � ��� ���� ����� �, ��� �� ��� ���� ��, � � � � � � � � � # ���� �� �� ��� �� ������ ���������� ��� ��� �) � � � � � �� ��� �� � �� �� ���� ���� � �� ���� ����� � ��� � � ����� ��������� , � �� � �� �������� �� �� ��� � �� �� � ��� !�� �� '*++� � ������ ��+- �
�� ��� �� � �� � ����� �������� � � � *� ��� ���� � ������ �� �� � �������� � � ������������� ��� �� ���� ��� ��� �� � � # ���� ���$ ��� � � ��� �� � � � � ������ ������ ������ ��� ���� ����� � ��������� � �� �� ������ ���� �� �������� � � ��� ������� �������� �� � *� � ��� �$ ������ ��� �� � �� � � ��� �� � ��� �$����� '��� � � � � � ��� - � ��� ����� � ���������������� �������� �� ���� ���� �������� � ���������� ��� �� �������� �� � ����� ��� ���������� ��� �� ��� ��������� �� ��������� ��� �$ �� �� �
��� ��������� ������� - � ��� �� � ��� �� ����� ���������� � ������ � �� ����� ����� � � � � � - � ����� �� �� - � � �� � � ���� � � � �� '�� �'� %� � � � � � � � �'� - � # �� ����� ����� �� � � �
���� � ����� ���� � � ��� ��� � � ���" ����� �� ��� � � � ����� � ����� � � ����� ���" ����� ����� �� ����� ������ ��� �� � � � �� �� �� ������ ������� �� ��� � � ��� � � ���� � ��� �� ����� ����� � ����� ������ � ���� �� ��� �� � ��� ������ �� ���� ��� ��� ��� � ��� ������� ����� �������� �� ��� �� � �� � �������� ������ ��� � � �� ��� �� �� �� � �� � �� �$ �� �������� ���� ���� � � ����� �� �� ����� ����� � � � '� � � � � � � �� -� � � ��� ��� �� ����� �� ���� ��� ���������������� �� ��� �� �������� � ���� � � �� �� �� - �, � � ,� �, �� ��� �������� ����$ - �, ��� � �, ���� �� ��������� ����$ �� - � �� �� �� ����� �� ��� � ������� ����������� ������ ���������� �� ���� �������� �
3.2. Computation�� ��� �� � ���� ��� � �� ��� � - � � �� $���� � ��� ���� ���� ����� � ' �� � � � � � �� -� �� � �� ���� ���� �� �������� ���� ��� �� �������� �� ��� �� �� � &��� ��� �������� �� ������ ��� ������ � ������� ��� ����� � �� �������� ��� �� ����� � �� ������ � �� �� � ��� !�� �� '*++� � ������,- � ��� � � � �� ��� �� ���������� �� ��� �� � ���� � � �������� ��� �� � � � �� �� �� � � � ����� � � � � ��������� ��� �
# %���� ���� ����� $���� � � ������� ���� ���������� ��� � '��(�- �� ������� ���� � ���� ������������ '*++,- ��� ���� ��� ���� '*++,- �� ������� � �� �� � ���� �� ����� ���� ' ���� ��� - �� �������� � ' %� � � � � � � � � - � ��� ��������� ��� �� � �� �� ����������������� �� ���� ������� ���� �� ������������ ���������� � # � � � �� ������������� � ���������������� ��� ���� � ��(� ��� �� � �� � ��� �� � %�%� ��� � �� � ���� ���� ��� ��� ����������� �� ������ ����� � �� � �� � �� ��� - � � ��� ������� � �� ������ � $�� ������ ������ � ��� ��$���� ��������� ������ �� � � �
8 J. R. Stroud, P. Muller, and B. Sanso
3.3. Model Extensions�� � � �� � � � ���� � ��� � �� �� � �� ������� �� ���� �� ��� � ������� � �� �� �� ������� ������� �� �� � � � $�������� �� ������� � ����� � � � � ������� ������������������ ����������������� �� ��� �� � #� � ���� �� �������� � ��� ������� � � � ���� � ,� � ��� � �� ��� ��� ����� ��������� ���� � � � � � � �������� �� � ������ � � ��� � ,� � ��� �� ����� ������� �� ������ � , ��� �� �� #� ������� (��� ������� � ���� � � � �� ���� �� ��� ���� ��� ���� ���� ����� ��� ����� � � � ���� � ��������� ���� � ��� ��� �� �� �� ��� �� �������� �� ����� � � # �������� ������� ����� � ��$���� � ��� ������� ��������� � ��� �� �������� � � '� - � !����� � �������������� �� ���� �� � ��� ��� ��$� ��� �� �� ��� �����$���� �� �������� ����� ����� ������" ����� ���� ������ ��������� � ��� � ������� ����� �� ���� �� �� ���� ��� �� ������������ �� ��� �� � � � ��� � �� ������ � %�%� � ��� ��� �� ��� ������ ' ���- �� �� ������ ��%�%� �� ������� � $����� ���� �
��� ������ �� �� � ������� � ����� ��� �������� � �� � ������ ������ � ������ � �� ��� �������� � � ����� � ��� ������� ���� �� �� ��� ����� ���� �� ��������� � �� ������ ���������� ������ ��� ��� �� � �� �� ���� ����� �� ���� ������ ����� ���� ����� ����� � ��������� �� ����� �� ��� ������ � ������� �� � ����� ��� ��� ���������� ����� �� � � ������� �� ��������������� ������ �������� � �������� $���� � ���� ������ ������� ����������� �� ������� �� ������ � �� ������ � ������ ��� ��� $���� ������ �� �� � ���� �� ����������� �
#����� ����� ��� ��������� ���� �� ����� ����� ��� ������ �������� �� ��� ���� ��� �������� ��� �� � � ��� ��� �� � �� � �� ���������� �� ����� ����� �� �� �� � � ��� ���� ���������� �������� � $���� ����������� � !�� � ��� ������ �������� � ��� ���� �� �������� �� ��� �� � �������� �� ����� ������ � ��� �� � � ��� ������ �� ���� �� � � ���� ������ ������ ������� �� �� ��� ��� �������� ����� �� ��� �� ����� � ��� ����� �
!�� ��� ��� ����� � ���� �� � �������� ����� � � ��� �� ������� � �� � � �� ����������� ����� ��������� �� � � � � �� � � � � � � � � �� ��� ���� �� �� �� � ���� ���� �� �� �� � � � #��������� � � ����� ����� � � ������� ��������� �� ��� � ����� �� �������� ���� � �� ������� ������ ������ � ������ � ��� ��� �� ����� �� ��� � � �� ���������� ����� ��� ��� � ��������� �� ��� ����� � ���� ��������� $���� � � �� ������ �� ������ ��� � $��������� � ���� �# �� �� ���������� � �� ��� ��� (��� � ����� � � ��� ��� ������ ��$������� ��������� �� ��� ���� � ��� ������ �� ��� ���� ��������� ����� � ��� ���� � (��� � ����� ��� �� ���������� � ������ � �� �� ��� ������ �
4. Examples
4.1. Example 1: Venezuelan Rainfall Data�� ���� ���� �� ������� � �� ������� ���������� ������� ���� ������ �� ��� ����� �� ��� �� ��������� '*+++- � ��� ���� ��� � � �� �� �� ��� �� � � �� ��� �������� ������ ������������ ���������� ���� �� �� ����� � ��� ������� ���� ��� ��������� �� *����� ������� ��� ��� �����*+��� *+�� � � � ����� �� � ���� ���� �� ����� � ��� ��� ������� � �� ���� � ��� ��� �� � ����� �� ������� � ��� �� ��� ������ '*+++- � � �������� �� �� ���� ��� ��������� �� � ��� %�%�
����� � �� �� ����� � � �� ����� ��� ����� �� ������� �� ����� �������� ��� �� ���� � ����� �� ��� � � ���� ��������� �� ��� ������� ����� �
Dynamic Models for Spatio-Temporal Data 9� �� � , '�- ��� � �� �� �� ����� � ��� ��� � � �� �������� ������ ���� ��� �������� �
��� ������ �� ��������� ����� � � ��� ��� ������ ������� �� ��� ������������ ������ ������� ���� �� ��� ������ ����� � � �� � , '� - ��� ��� � � �� ������� ������� ����� �� ������ � �� � �� � ��� �� � ��� � �� ������ �� ��������� �� ����� '�- � # ��� �� ����� '� - � � ���� �� ���������� �� � � �� ��� ���� � ��� � ���� �� � ��� � ���� �� %��������� '����� ��� �- � ��� ��� ����� �� �������#��� '����� , ��� *- �
•
•
•
35
55
65
68W 67W 66W 65W
8N
9N
10N
longitude
latit
ude
mm
rai
nfal
l
•
• •
••
••
••
•
•
•
•
•
••
•
• •
•
•
•
• •
••
•
•
•
•
•
•
•
••
•
•
•
•
••
•
•
•
•
••
•
•
••
••
•
•
• •
•
•
••
•
•
1/68 1/70 1/72 1/74 1/76 1/78 1/80 1/82
040
080
0
Station 35
mm
rai
nfal
l
•
••
••
•
•
••
••
•
•
• •
• •
•
•
••
•
•
••
•
•
••
•
•
• •
• •
• •
••
• •
•
•
••
••
•
•
•
•
• •
•
•
• •
•
•
1/68 1/70 1/72 1/74 1/76 1/78 1/80 1/82
040
080
0
Station 55
mm
rai
nfal
l
•
•
•
• •
••
• •
• •
• •
• •
• •
••
••
••
• •
•
•
• •
•
•
• •
•
•
• •
•
•
••
•
•
• •
• •
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
••
1/68 1/70 1/72 1/74 1/76 1/78 1/80 1/82
040
080
0
Station 65
'�- '� -
Fig. 4. Rainfall monitoring sites in the Venezuelan state of Guarico. Panel (a) gives the locations of the � � �\stations. Panel (b) shows the time series of quarterly rainfall at stations � �35, 55, and 65, which are marked
in panel (a). Gaps in the time series indicate missing data.
�� ����� ��� ����� � �� �������� � �� �������������� ����� �� ������ ������� � # ����� ���� ��� ������ � � ��� � � ��� � � � �������� ��� ��� ��� $����
�� '� - $ %&� %'�()
��� �* '� * �� -� & '�� '� * �� -+ � � �� ������ �� �� ��� ��������� $���� ��� ��� �� �� � ��� ������� � �� ��� �������� ������ � � ���� $��� ��� ������ �� ����� � ��� ���� ���� ��� ����� ������ $��� �� �� ������ ���� ���� ����� ��� �� � �� ����� � ������� �� ����� � ���� ����� ��������� �� ���� � ��������� �
��� $���� ��� ��$�� �� � � ������� � � ��� ������ ��������� � �� �� � ���������� ��������� ���� � �� ��� ��� ��� ��� ��� � � � � �� ��� � � ���� ���$ ��������� � ��� � � �������� ����� ���������� ����� ��� ��������� ������ �� �� � �� ����� � �� ���� �������� �� ������� � ��� ������� �� �� ������ ����� � ��� ����� , � � ��� ��� ����� ��� �������� �� ������� �� � ��� !�� �� '*++� � ������ �- � ��� ����� ����$ �� ��� ���� ����� � ���� �� �� ��� �� ���� ��� ��� ��� ��� ��� ������� � �� �$ �� ��� ��������� ���� � � ���� ��
��) � � �� '�
+ - �� '�
+ -* �� '
�+ - �� '
�+ - � �
�� � � � � � ���� ���� ��� ������ ��� �������� �� �� � �� ����������� � ��� ��� � ��� �$ ��������
10 J. R. Stroud, P. Muller, and B. Sanso��������� ���� ��
�� � � ��� �� ��) � �
��� �� ������� �� �� � � �� �� �� ��� ��� � � ��� ��� ��� ��� ��������� �� � � �� ) � ���� � ��� �������� ���� �� ��� �� � ������� � ) ��$���� � �� ����� �� ���� �������� � � ) � � � '*+ � *+ - � ��� ��������� ������� � � ��� �� ������ � �� ����� ����� � � � '� � � � ) - �� ��� � � � � �*� �� ��� �� � *� ������ ������ � ��� � ) � � ��� �� ��� �� ���� ������ ���� ���� ����� � � �� �� ��� �� ���� ��� �$ ���� �� ������ ��� �� ���� ����� �� � � �� �������� �� � � �� ������� ��� ���� ���� ������ � � ���� � ��� �� ��� �� �� ��� ������� ���� ����� � � � � '� � *��) - � ���� � ��� � � � �������� ���� �
� �� � � ��� ��� � �� ��� �� ��� ����� ��� ������������ ��� �� ��� ��� *+�� � *+� �*+�� � ��� *+�� � ! �� � ��� ��� � � �� ��� �� �� � � ��� �� ������ � � �� '� - � �� '� - � � ��� �� �� �� �� �� ��� ���� �� ���� �� �������� � ' � %� � � � � � � � �� - � ��� ���� �������� ���� ��� ��� ������� ����� �� �� *+�� �� *+� �� ��� �� ��� ��� ������ ��� �� ��� ���� � ��� ��������� �� ��������� ��� ���� �� *+�� �� *+�� � �� �� ���� � �� ���� ������� �� ����� � �� ��� ������ � �� ������ � # �� ��� ��� ��� � ��� � ��� ������ ����� ������������ ������ ��� ������ ��� ���� ������ �
400
425
425
425
450
450
450
450
450
475
475
475
500
500
500
525
525
525
525550
550
575
575600
o
o
o
o
oo
oooo o
o
oo
oo
oo oo
o
o
oooo
o o
oo
oo o
oo o
oo
oo
o
o o
o
o
oooo
1968
400
400
400
400
425
425
425
450
450
475
475500
500o
o
o
o
oo
oo
o oo
oo o
o
oo
oo
oo oo
oo
o
o oooo
o
o o
o o
ooo
o
oo oo
oo o
oo oo
o o
o
o
oo
ooo
o
oo
oo
oo
o
oo oo
oo
o
o
oooo
1972
375400
400
425
425
450
450
475
475
475500
500
500
500
525
525550
550
575
575o
o
o
o
oo
oo
o oo
oo o
o
o oo
oo oo
oo
o
o oooo
o
o o
o o
ooo
o
oo oo
oo o
oo oo
o o
o
o
oo
ooo
o
oo
oo
oo
o
oo oo
oo
o
o
oooo
1976
425
450
450
450
450
475
475475
500
500500
525550
575600
o
o
o
o
oo
oo
oo
oo o
o
oo
oo
o oo
oo
o
o ooo
o
o o
o o
ooo
o
oo oo
oo
oo oo
o o
o
oo
ooo
oo
oo
oo
o
oo oo
oo
o
o
oooo
1980
mm rainfall
350 400 450 500 550 600
Fig. 5. Posterior maps of mean rainfall in Guarico, Quarter 2: 1968, 1972, 1976, 1980. Contours correspond
to posterior means of the precipitation field ��, based on the full data set.
� �� � � ��� ��� ��� ������� ���������� �� �� ��� ������� �� ����� � (� ������������ ��� ���� ����� � �� ��� ������ ����� ���� �������� ������� �� ��� ��� ��� ����� � # �������� � �� ���� ���������� � ����� � �� ��� � ��� �� � ���� ��� ���� � ��� ��� ��� �� �� ������ � ��� ������ ��������� �� ����� ����� �� � ����� �� ��� ������ ���� ���� � �������� �������� ����� �� ��� ���� �
�� ����� ��� ���������� ������� ��� ������ ��� ������ �� �� � � �� ������ ��� ����� ������� �� ����� � ��� ��� � �� ����� , � % �� �� ����� , '��� ����- ����� ������������ � ��� �� ���� �� ��� � ��� �� � �� � � � ��� � ��� �� ������ ���� ��� �� ��� �� ���� ����� ���� ���� ���� ��� ������ ������ ������ ������ �� ����� �� , �������� ���� ������� �� �������������� � ��� �� �
�� �������� �� �� �� � �� ���� ������� � �� ��� �� � ���� $����� � � ��������� �� ��������� ���� ������ �� ������ � ��� �� �������� �� ����� � ��� � � '� � %� � � � � � � �� - �� ��� � � ���� � �
Dynamic Models for Spatio-Temporal Data 11
2020
2020
20 20
20
30
30
30
30
30
40
40404040
40
40
5050
50
50
50
60
60 6070
7070
8080 80
o
o
o
o
oo
oooo o
o
oo
oo
oo oo
o
o
oooo
o o
oo
oo o
oo o
oo
oo
o
o o
o
o
oooo
1968
10
20
20 2020
20
20
2030
30
30
40
40 40
5050
50
50 5060
6070
o
o
o
o
oo
oo
o oo
oo o
o
oo
oo
oo oo
oo
o
o oooo
o
o o
o o
ooo
o
oo oo
oo o
oo oo
o o
o
o
oo
ooo
o
oo
oo
oo
o
oo oo
oo
o
o
oooo
1972
1010
20
20 20
20
20
20
20
20
30
30
30
40
40 40
50
50
50 506060
70o
o
o
o
oo
oo
o oo
oo o
o
o oo
oo oo
oo
o
o oooo
o
o o
o o
ooo
o
oo oo
oo o
oo oo
o o
o
o
oo
ooo
o
oo
oo
oo
o
oo oo
oo
o
o
oooo
1976
10
20
2020
20
20
20
20
20
30
30
30
40
40 40
50
50
50 506060
70o
o
o
o
oo
oo
oo
oo o
o
oo
oo
o oo
oo
o
o ooo
o
o o
o o
ooo
o
oo oo
oo
oo oo
o o
o
oo
ooo
oo
oo
oo
o
oo oo
oo
o
o
oooo
1980
mm rainfall
10 20 30 40 50 60 70
Fig. 6. Posterior uncertainty maps in Guarico, Quarter 2: 1968, 1972, 1976, 1980. Contours correspond to
posterior standard deviations of the precipitation field, ��, based on the full data set.
������ ��� ������� ����� �� ��� �� ������ � � '� � � � � � � � � � - � �� ���� ���� ��� � � �� $����� � ������� '�-� '�- � �� ��� ��� � ��������� ���� �� �� '�- ����� ��
� �,� � � ) ��� �*��,� +� �� '� -
���� � �,� ��� ��� ��� � �� ��� ��� �� � � ��� � �,� � %%� �, * � �� %% � ��� ��������� �� ����� � ������� �, ��� � �� � # ��� ��� ������ � ����� ����� ��� �� ����� �� ��� ���� ��� ��� � � �� �������� � *� ����� ��� ���� ��� ������ ��$������� � � �� ��� � ����� � �� ������ ��� $����� �� �������������������� �� ��� �� � ����� �
� ���� � ��� � ����� �� ������� ��� �� ���� ��� ������� '����� � � *+� - �� � �����$����� ���� ��� ��� ���% �� ��� �� ����� � ��� ����� ���� � � � � ��� ���� ��� ����������� �� ����������� ������ '�- � ��� � � �� ���� � ��� %�%� � ��� !����� �$ ��� ����� '*++� -��� ��� �� ��� ������ ' ���- �� ������ �� (��� ��� $����� � ��� ��� ����� �� ��� � ��� ���� ��� ������������ ���� ������ ���������� ������� �� �� �� ���������� �� � ����� �
•
•
•
•
••••
• ••
•• •
•
•• •• •• •• ••
•
• •••••
• •
• •
•• ••
•• • •• • •
•• ••
• •
••
••
••• •
••
••
•••
•• ••
••
••
• •••
•
•
•
•
••••
• ••
•• •
•
•• •• •• •• ••
•
• •••••
• •
• •
•• ••
•• • •• • •
•• ••
• •
••
••
••• •
••
••
•••
•• ••
••
••
• •••
240 320 400 480 560
mm rainfall
Fig. 7. Comparison of predictive mean field for Quarter 3, 1972. Left panel: static kriging model with expo-
nential variogram. Right panel: space-time model with exponential variogram.
��� ��������� �� ��� �������� ������� � ���� �������� ��� �� ���� ����� �������� � ����
12 J. R. Stroud, P. Muller, and B. Sanso� � � ��� �� ������� ���� � � �� ��� �� ����� ��� ��� ��� ��������� �� ����� �� ������� ��� �� ������� ��� ����$��� ��� ��� �� ������� ���� ���� �� �� ���� �� ��� �� � ������� �� ���� ��� ��������� � �� � ������ ���� �� �
�� � � ������� � �� ����� ��� ��������� ���� ���� � �� ���� ��� ���� ���� ��� ��� � �������� ���� ��� � ���� �� ���� �� �� �� � ,� � ��� � ���������� �� � ��� ��� � ������ �� ������� ���� ������� ���� �� � �� �� ������ ��� ������� ������ �� �������� � ' � %� � � � � � � � � - � � �* � � � � � ,� � #��� �� � ,� � �� ������� ��� ����� � �� �������� �� ��� � ������ �� ������� �� '� � %� � � � � � � � �� - � � � , * � � � � � �� �
mm
rai
nfal
l
1/68 1/70 1/72 1/74 1/76 1/78 1/80 1/82
040
080
0
•
••
••
••
••
•
•
••
•
••
•
••
•••
••
••
•
•••
•
••
••••
••
•
Station 35
-
--
--
--
--
--
--
--
--
--
--
--
o
o
oo
o
oo
oo
oo
oo
o
o
oo
o
o
oo
o
o
mm
rai
nfal
l
1/68 1/70 1/72 1/74 1/76 1/78 1/80 1/82
040
080
0
•
••
••
••
••
••
••
••
••••
•••
•
••
••
••
••
••
••
•
Station 55
-
--
--
--
--
--
--
--
--
--
--
--
o
oo
oo
o
o
oo
oo
o
o
o
o
oo
o
o
oo
o
o
mm
rai
nfal
l
1/68 1/70 1/72 1/74 1/76 1/78 1/80 1/82
040
080
0
•
•
•
• •
••
••
••
••••
••
••
••
••
••
•
•
••
•
•
••
•
•
•
Station 65
-
--
--
--
--
--
--
--
--
--
--
--
o
o
o
oo
o
o
oo
oo
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
oo
Fig. 8. Filtered means and forecast intervals for stations � � VT � TT, and[T
. The vertical line at Quarter 4/77
(� � W\) represents the end of the training sample. Lines before � � W\
represent the filtered means; closed
circles are the training data. Line segments and hash marks after � � W\represent 95% forecast intervals and
forecast means, respectively; open circles are the validation data.
� �� � � ��� ��� ����� ��� ��� ����� � ������� �� ������ � �� � �� � ��� �� � ����� � ������ �� ���� ���� �� ��� ��� ������� ������ � ��� ����� ��� �� �� ��� � � '��, %� � � � � � � � � - �� � * � � � � � ,� � ���� ��, � �� '� , - � � ��� ��� ������� �� �� � � ��� ��� � ��� ���� � ��� ������ ��� ������ ���� � �������� ���� �������� � ������ ��� ������ ���������� ��� ��� �� ������ �� �������� ���� ���� � �� ��� �� ������ � � ��� �� ��� �� ������� ��� +�� ����� � ������� '������� ���� �� ��� - � ��� ��� ���������� ���� '�� �� ����� - � ���� ���� � ��� ���� �� ���
Dynamic Models for Spatio-Temporal Data 13������ ��� ������ �� ��� �� � ��� ��� ���� ���������� ������� �� ������ �� �
4.2. Example 2: North Atlantic Water Temperatures�� ��� ��� � �� �� #������� � ���� �������� �������� ������ �� �� ������ ��� ����� '*+++-��� ! ����� '*+++- � ��� ���� �� �������� �� ������� �� ���� ��� �� � � ��������� ��� ��� �����*+��� *+�� �� � ���� �� �� ���� ��� ��� ���� � ��� ��� ���� ���� ��� � � �� �� �� ��� �� ����� ����� ������ �� �������� ��� � ������ � �� �� �� ��� ����� � �� ���� �� ���� ���� ��������� ��� ���� ����� ��� ���� �� ����� �� ����� *��� ��� � � �� � + '�- ��� ��� �� ������ ��� �������� �� ��� �+�� ���� ����� ��� ����� ��� � ��� ������ �� ����� ��������� ��� ��� ����� �� ��� �� ���� ����� ��� ��� ��� ��� �� ������ � #���� � ��� �� ��� ����� �� �� � ���� �� ��� �� ���� ��� � ���� � �������� �� �� � � ��� ��� ���� �� ���%���������� ��� ��� ��� ��� � �� ������� � ���� � � �� ��� �� �� ��� ��� ��$�� � � �� �+ '� - ��� � �� ���� �� ��� ������ �� � � ���� ������ ��� ������ ������ �� �������� �� ������� � �� � �� � + '� - � �� �� ���� ��� +�� �� ��� ���� ��� ��������� �� ��� �� � �� ��� �
longitude
30W 25W 20W 15W 10W 5W
20N
25N
30N
35N
40N
45N
50N
latit
ude
6 8 10 12 14
degrees C
1900 1920 1940 1960 1980
0
200
400
600
800
1000
Sampling Year
Num
ber
of M
easu
rem
ents
'�- '� -
Fig. 9. North Atlantic ocean data. Panel (a) shows locations and water temperature for the 3987 observations
under consideration. Note that the observations are unequally spaced, often appearing in clusters or along
straight lines which correspond to trajectories of the research vessels. Panel (b) shows sampling times for the
3987 observations. The data are also unequally distributed in time, with around 3400 observations collected
between 1955 and 1985.
�� ��� �� ���� ��� ����� � � �� � � � ����� ��� � ���� �� � � *� ����� ����� ��� ���������� ��� ��������� $���� � ��� � ������ ��������� �� � � � �� ����� ��� ������ �� ��� $���� ��� ��� �� ���� ��� � ��� ��� ���� �� ��� %���������� � ���� ��� �������� �� �������� �������� � � �� ����� ��� �� ������� �� �� � � �� �� �� � �� �� � � ��� �� ��$���� ������� � ) �
14 J. R. Stroud, P. Muller, and B. Sanso�� � � ���� '�- � ������ ���������� ������ �������� ������ ��� ������ ���� '� - � � �� ��������� �� ���������� �� ��� � � ���� ����� � �� ������ � ���� ���$ �� ��� ��������� ���� ��������� �� ���$ �� $��� ����� ����� ��� ���� �� �� � # �� ����� ����� �� � � � �*� � � ������� ��� � � �� � �*��� �� ����� ���� ����� � ��� �� ���� � ��� ��� � � � '� � *�) - ���� ) � �� '*+ � *+ - �
� �� � *� ��� ��� ������ ��� �������� ��� ���� ��� ��� �� *+�� �� *+�� � ��� � ���� ��� �� ������ ������� �� � �� � � �� ! ����� '*+++- � # ������� ��� ������ � ���� �� ��� ���� ���� �� ��� ��� �� ! ����� '*+++- �� ������� ������� � ��� � ������ ����� � �� ��� � ��� ���� ��� ������ �� � �� � *� ����� �� � � ����� ����� ��� �� � � �������� ������ ��� ������� �������� ������� � �� � ����� � � � ����� �� � � � ��� �������� � ���� �� ��������� ��� ���� � ��� ���� �� �� � ����� �
��� ��� �� �� �� ��� ��� ���� ��� ���� ������� ���� �������� � �� ��� ��� ���� �� ���� ���� �� �� ����� � ��� ����� ���� ��� ���� � ��� ��� ������ �� ��� ����� ����� � ��� � �� ������ ��� ��� ���� � �� � ���� ������� ����� ���� � ���� � ��� ����� ����� ������ ��� ������ �������� � ��� ������ ��� � �� ���� *+�� �� ���� ��� ��� �� ���� �
7
7
7.5
7.5
7.58
8
8.5
8.5 8.5
9
9
9.59.51010.5
11
11
11
11.5
11.5
12
1965
7
7
7.5
7.5
7.58
8
8.5
8.5
9
9
9.51010.5
1111
11
11.5
1970
7
7
7.5
7.5
8
8
8.5
8.5
99.5
1010.5
111111.5
1975
7
7
7.5
7.5
8
8
8.5
8.5
99.5
1010.5
11 11
1980
Fig. 10. Posterior maps of mean ocean temperatures: 1965, 1970, 1975, 1980. Means are based on the full
data set.
� �� � ** ��� $���� �� ������ ��� ��� � ������ ��� ��� �� ��� ���� ���� � %���� # � � ���� � *� ���������� ����� $���� ��� � *� ������ ��������� � %���� ( � � ��� ��� � � � � *� $����� ������ ��� ���� ������ ��������� �� �� � ��� %���� � � � ��� � � + �������� ����� $��� ������� ���� $���� ��� � �� � % ���� # � ' ���� �� �� *- ���� ���� ��� ���� $���� ��� ���� ���� �" ����� ������� � ��� ��� ��� �� % ���� # ����� �� �� ���������� � ����� � ������ �� � �� � ����� � � ����� ����� � %���� � '�� � - ������ ��� ���� � � ��� ������� ������ ������ %���������� ���� ��� ��� ��� � �� ������� � %���� ( '�� - �� �� ������ ��� � ����� ��� ����� � ���������� ���� ��� ���� ������ $���� ��� � ��������� �
�� � *++, ����� �� ����� % ������� � ������ �� �� � '*++,- ������ � *��������� � � �� ����#������� � ���� �������� �� ����� �� *��� ��� � ��� ���� �� �� �� �� �� ����� � �� ������������� ����� ��� ���� #������� ��� ��� �� , �� ����� ��� ��� *+�� � *+� * ��� *++ � # � �������� � �� ���� �� �� ������ ��� ����� '*+++- � ��� �������� ��������� ��� ��� ��� �������� ��� ����� ��� ��� *+�,� *+�� � ������ ��� ����� '*+++- ������ ��� ���� �� � �� ��� ������� � �������� ���� ��� ������ ��� �� ������ �� �� � '*++,- ��� ��� � ��� �� ��� ���� ���������� *+�� � �� ��� ���� �� ���� ��� � �� �� � � ��� ����� � � ��� ��� �� ���� � ������ ���
Dynamic Models for Spatio-Temporal Data 15
-30 -25 -20 -15 -10
2025
3035
4045
50
•••
•
•
•
•
•
•
••
•
•
•
•
•
•
-30 -25 -20 -15 -10
2025
3035
4045
50
7
7
7.5
7.5
8
8
8.5
8.5
99.5
1010.511 11
11.511.5
-25-20
-15-10
longitude25
3035
4045
latitude
67
89
1011
12S
-30 -25 -20 -15 -10
2025
3035
4045
50
•••
•
•
•
•
•
•
••
•
•
•
•
•
•
-30 -25 -20 -15 -10
2025
3035
4045
50
7
7
7.5
7.5
8
8
8.5
8.5 8.5
99.5
1010.51111
11.511.512
-25-20
-15-10
longitude25
3035
4045
latitude
67
89
1011
1213
S
-30 -25 -20 -15 -10
2025
3035
4045
50
• •
•• • •
• • •
-30 -25 -20 -15 -10
2025
3035
4045
50
7
7
7.5
7.5
8
8
8.5
8.5
99.5
1010.5
11 11
-25-20
-15-10
longitude25
3035
4045
latitude6
78
910
1112
S
Fig. 11. Comparison of 1980 posterior mean field for three models. First column: kernel locations (20% HPD
contours for the Gaussian weighting kernels); Second column: mean field contours; Third column: mean field
surfaces. Top row: Model A; Middle row: Model B; Bottom row: Model C.
����� '*+++- � ��� ��� � ��� �� �� ����� ����� �
�� � �� � ����� ���� � ��� � � *� ������� ��� ��� $���� ������� ����� ����� ������� ��� � � ��� ����� �������� ����� � �� ���� ��� �� ������� �� ������ ���� � �� ������ ��� ����� �������� �� ����� �� ��� ���� ����� � �$��� � � � *� � � ���� ��� � ��� �������������� �� �� � � �� ��� ����� ������� �� ��� � ���� � ��� ��� ��� � �� # ���� ��� � ����� � ��� � ��(� �� ������� *��� � �� �� � ���� �� ��� �� ���� �� �������� �� � � �� ���� * �� ���� � � �� � * ��� � �� ���� �� ���� �� � '� %� ���� � � � � � � ���� - � ��� �� �������� � ������� �� �� ��, �� �� ��� ������ ��������� ����� � ����� �� � ����� � ����� �� � � ��� �� ������ ��� ����� �� ��� ��� ���� �� ��� � � ���� ���� �� ������ ��� ����� '*+++ � � � � - � � ���� ���� � �� � ���� � �������� �� ������ ����� � �� ���� ��� ��� '!�� - ������� � �� ����� � ��� ��� � ��� �� ������ �������� '*+++- � ��� �������� ���� �� �� ��� ������ �� ���� ����� �� ��� ���� #������� �������� ����� *+��� *+� *�
16 J. R. Stroud, P. Muller, and B. Sanso
-2 -1 0 1 20
5010
015
020
025
0
∆
Fig. 12. Histogram of the difference in mean temperature from 1981 to 1957. Note that zero is well within any
reasonable HPD interval for the distribution.
5. Summary
��� ���� �� ������������ ���� ������ � ��� ���� �� ���$ �� ������� ������ ���� � �� �������� ��� �������� ������� ����� �� � ���� ����� �� ��� �������� ������ �� �� � ������� ������� ������� � ��������� �������� � ��� ���� �� ����� �� ��� ���� �� ���� � �� ������ �� � ��� ��������� �� ���� � ����� ������� ���� �� ���� �� ������ ��� � �� �� ������ ���������� ��� �� � � ��� � � ��� ��������� ��� � � ��� ���� ���� ����� ����� ����� ����� ������� ������ � ���������� �� ���� �
��� ���� �� ������� � �������������� �" ����� � ����� ��� �� ������� ���� �������� ����������� ���� ���� �� ' ��� �� � ��� - � # ��� ���� �� ��������� � ��� �������� ��� ������ ������� � �� ��� �� ��� ��� ��� ���������� ��� � ���� � ��������� �� ��� �� ��� �� ������ ���� � ��� ���� �� ��� �� ��$� ����� �������� � ���� �� � ������� �� ���� �� �� � �������� �� � �� ��� ���� � # � � � ��� ���� �� ���� �������� � ����� ���� �� ����� ����������������� �������� '� �� �� %�%� - � ������� ���� ������� '� �� �� ��� �% ������� - �
�� ����� �������� ��� �� � �� ���� ����� �" ������� ������ ��� ��� ��� ������� ������� ������ ������� ���� ��� �� � '� � � -� ����� ��� � '� � � -� ����� � �% ������� ��� ���� ������ ����(��� ��� ����� �� ������� � ���� ��� �� ������� ���� ��� �� ��� ����� ������ �������� � ��� ������������ �� � �� ��� � ����� ��� �� ����� � %� � ����� (��� ����������� �� ��� �������� ������� � ������� �� ������� �� ���� �� ������ � ��� �������� ��� ���� �� � �� � *� ��� �������� �� ���� ��� ����� �� � ,�� %!� ��� �� ���� ��$ ������ ������ � ��� ����� ������ �� ! ����� '*+++- ����� �� ��� �� ��� �� � � ����� ��� ���� ��������� ��� � ���� ���� � �� �� ���� ��� ��� ������ �� ������ � ��� �� ��� ����� �
(� ��� ��� ���� �� ����� �� ������� , � � ���� �� ����� ��� �� �� ���� � �� ������ �$�������� �� �������� ��� �� ���������� � �� ������ *� � ���� � ���� ������ �������� ��� ����� ��� � � ���� ����� ��� ��� �� ���� ����� � ��� ������� (��� �������� � ������%�%� �������� � ��� ���� �� ���� � ��������� ��� ����� ��� �� �� �� ����� � ��� �� � � �������� �� ���������� ���� � ���� ������� �� ������� �� �� ���� �� ���� ����� �� ���� ���
Dynamic Models for Spatio-Temporal Data 17�� � �
6. Acknowledgements
�� � � � �� ����$ � ���� !����� � ���� ����� � % ������ ������ � ���� ����$� � % ������ ����� ���� ����� � ��� # � ����� ����� � ��� ��� ������� ����� �� ���� ������� ����� ���������� ��� ��� ���� ��� � ������� ��� � ���� �� �������� ������� �� � ��� +���+�+���� ������� �� ��� �������� ������� ���������� ��� � ��� �+������+ �� ��� ��� ���������� ���� ��������� � ����� �� � ����������� �� ��������� �
References
(�� � � �� )��$�� � � � ��� &��� �� � � � '*++, - ��� � � ���� ��� � � ����� �� �� � ��� ���������� � ��� � � ������ !��� � �� ��� �
����� � & �� ���� � & �� ����� � � �� � � � � �� ������ � ! �� ��� ������� � ! � ��� ���� � � � '*++�- ��������� �� ��� ���������� ��� ��� �� !�� ������� ���� � �� �� � � ���� �� � �� � �+ �, *� �
���� � � � ��� ���� � & � '*++,- �� � ��� ������ �� ���� ���� ���� � � �� ����� �� � � �, *� ��� ��� �� � � � '*++� - � ���� ��� � � �� ���� � ���� � �� ��$ � � ��������� ������ � ��� �� ��� �
� �������� � � �� ���� �� � � � ��� %�����$ � ( � '*++� - �������� � �������� � ������ �� ����� � ���� ���� �� � ���� ��� �� ����� ��� � ���� #�% ����� ����
� ���� ������������ � � � '*++, - � ��� ��� �������� ��� ���� �� ����� ���� � �� ���� � �� � ���� � � *��� � �
������ � % � ' ��� - ! ��� �������� $����� �� ��� �������� ������ ����� �� �� � � ���� � ��� ������� ��� �� ����� ��� � ���� ������� ����� ����� ����
������� � # �� ��� � � � �� ������ � ) � ��� �� �� � � � '*++�- ������������� ������� �� � �������� ��� ���� � �� � � � � �� � � ���� ��� � � � * �� *�
������ � � �� % ����� � � � ��� ��� �� � � � '*++,- # ������� � ����� � �� ����������� ����� ���� ��� �������� � � � , *� �, �
!������$ � % � ��� ����� � % � '*++�- # (��� ��� ����� � �� $����� � ����� ����� � �� � ,���, *� �
!������$ � % � ��� ����� � ) � '*++,- #� ������� �� ���� ����� ������������� ������� �� ������������� ��� � �� �� � � ���� � � � �� � � �����+� �
!� ���� � ) � ��� &������ # � '*+�+- �������� � �������� � ��� ����� ��� ���������� � # � ��������� � � ��� ���� � ���� � ��� � � ���� � �� �� � *��� �
! ����� � � � '*+++- # �� �� ������������ ������� �� ������� �������� �� ��� ���� #������������ � �� � � �� � ���� ��� � � *��� *+� �
18 J. R. Stroud, P. Muller, and B. Sanso!����� � � �� ����� � ) � ��� � �� � ) � '*+++- ���� �������� ������ ������� � �� � ��� �� � ���� ��� �
'�� � ) � (����� � ) � (��� � # � � �� �� ��� # � � ��� - � �� *� ��� � ����� � ����� ����� ��� � � �
!���� � ! ��� � ��� �� �� � � � '*++� - ������������� ��������� �� ��� ���� ���������� � ��� ���� �� �� ��� � ��� ��� � ���� � � � ��� ���� � *�+� *�� �
� �� � ) � ' ��� - � ��� �� � ��� ������ ��� ���� � � �� ���� � � �� ���� � �� ��� �� � ���������� �� �� � ��� � � ��$� ����� ����
������ � % � ��� ����� � � � '*+++- # %�$�� ���� ��� ������������ ����� � �� � ���� ��������� � � � � � �� � ���� � �� � � ,+� �� �
% ���� � � �� ������� � � �� &����� � � � ��� # ��� � � � � '*++� - ��� $���� $�� �� ��� � �� �� � � *�� �� �
������ � � �� ��� ��� � # �� (���� � ! �� ��� ��� � % � ��� % ����� � & � '*++,- & � ��� �������� �� ��� ��������� ���� #������� ����� ��� ��� �� � �� ��� � � ������ �� � ,�� �*�
� ����� � � � ��� � ��� �� � � � '*+���- ������������ ��� �������� �� � �� ��� � ����� �� ������� �#&%# ���� � ��� � � ���� � � � � � ������ ��� �� �� � ���� �,+ �
� '*+���- ����������� ��� ������������ ����� �� ��� ��� ��#&%# ���� � ��� � � ���� �� �� � ������ ��� ���� � ��*� �� �
��� �� � � � ��� ������ � � � '*++ - ������ ���� � �� ����� �� ��� �������� ������ ��������� ������ � �� �� � � ���� � � � �� �� � *��� **+ �
��� �� � ( � ��� ������ � � � '*+++- ���������� ������� ���� ����� �� � ��� � (��� ��� ������� ����� � ��� � � ���� ��� �� � �,���� �
� ' ���- # ���� �������� ���� ��� ���� �� ������� � �� ����� �� �� �� � � ���� �� � �
� ��� � & � ��� &���� �� � � � '*++�- # (��� ��� ������� �� ��� �������� �� ������������� ������������� ���� � �� �� � � ����� � � ��� �� � ���� ��� ��� '�� � � � ��� ��� � ) � !���� � & � � � �& � % ������ �� � � � &� � ��� � � �����������- � ������ ���� �� ����� ��� � ��� �+ � � �� ��$ ������� ����� �
����� � � � '*+��- � �� ����� ��� ������ ������ �� ������� � #&%#� ���� �� ��� �� ���� �� � ��� ���� � �� �� � � ���� � � � �� � � �� � �� �
��������� � � � '*++�- (��� ��� ���� �� ����� ���� �� ������ �� � ��� � ���� � � �� � � ��� �� ��������� ��� � � ����� ���� �� ����� ���� � ����� �� �� �� � �� ��� �� ������� � ������ � ������
� '*++� - ������� ��������� � ��� ������� � ���� � ���� � � �� � � ��� �� �� ������� � ���� � � ������ ���� �� ����� ���� � ����� �� �� �� � �� ��� �� ������� � ��� ��� � ������
����� � � �� ����� � ( �� � �� � ! � ��� ������� � # � '*++�- ! ��������� ������������ ������ ���� �� � ��� � �� �� � � ���� � � � �� � ����� *� �
Dynamic Models for Spatio-Temporal Data 19�� � � % � ��� !�� �� � � � '*++�- � ��� �� ����� �� �� � ��� �� � �� � � �� ��$ � ������ �
�� ��� �
� �$�� � � �� (����� � % � ��� �� �� � � � '*+++- ! ����� ���� (��� ��� ������� � ���� � �� � � ��� ���� � �� � � **�� *�, �
� �$�� � � � ��� �� �� � � � '*+++- # �� �� ��� ������ ������� �� ������� � � �� �� ������ �� �� ����� �� �� � � *��� + �