19
Dynamic Models for Spatio-Temporal Data Jonathan R. Stroud Department of Statistics, University of Chicago, Chicago, IL 60637, U.S.A. Peter M¨ uller Institute of Statistics and Decision Sciences, Duke University, Durham, NC 27708-0251, U.S.A. Bruno Sans ´ o Centro de Estad´ ıstica y Software Matem´ atico, Universidad Sim´ on Bol´ ıvar, Apartado 89000, Caracas 1080-A, Venezuela. Summary. We propose a model for nonstationary spatio-temporal data. To account for spatial variabil- ity, we model the mean function at each time period as a locally-weighted mixture of linear regressions. To incorporate temporal variation, we allow the regression coefficients to change through time. Kriging- based variogram models can also be also incorporated when the process is highly localized in space. The model is cast in a general state-space framework which allows us to include additional temporal components such as trends, seasonal effects, and autoregressions, and permits fast implementation and full probabilistic inference for the parameters, interpolations and forecasts. To illustrate our method, we apply it to two large datasets from the physical sciences: quarterly rainfall levels in Venezuela and water temperatures in the Atlantic Ocean. Key Words: Bayesian inference; Filtering; Kriging; Locally-weighted mixture; Smoothing; Spatio-temporal models; State-space models. 1. Introduction

Dynamic Models for Spatio-Temporal Data - Jonathan R. Stroudjonathanrstroud.com/papers/spacetime.pdf · Dynamic Models for Spatio-Temporal Data Jonathan R. Stroud Department of Statistics,

Embed Size (px)

Citation preview

Dynamic Models for Spatio-Temporal Data

Jonathan R. Stroud�

Department of Statistics, University of Chicago, Chicago, IL 60637, U.S.A.

Peter Muller

Institute of Statistics and Decision Sciences, Duke University, Durham, NC 27708-0251, U.S.A.

Bruno Sanso

Centro de Estadıstica y Software Matematico, Universidad Simon Bolıvar, Apartado 89000, Caracas

1080-A, Venezuela.

Summary. We propose a model for nonstationary spatio-temporal data. To account for spatial variabil-

ity, we model the mean function at each time period as a locally-weighted mixture of linear regressions.

To incorporate temporal variation, we allow the regression coefficients to change through time. Kriging-

based variogram models can also be also incorporated when the process is highly localized in space.

The model is cast in a general state-space framework which allows us to include additional temporal

components such as trends, seasonal effects, and autoregressions, and permits fast implementation

and full probabilistic inference for the parameters, interpolations and forecasts. To illustrate our method,

we apply it to two large datasets from the physical sciences: quarterly rainfall levels in Venezuela and

water temperatures in the Atlantic Ocean.

Key Words: Bayesian inference; Filtering; Kriging; Locally-weighted mixture; Smoothing; Spatio-temporal

models; State-space models.

1. Introduction

������������� ���� ���� ������ � ��� ���� ��������� �� ����� ��� � ��� �� �� �� �������� �� ��� ��� � �� ��������� �� ����������� �� ��� ������ ����� ��� ������ ������ � �������� ������ ������� ������� ����� �������� � �� �� � ������ � ��� ����� � �� �������� ���� ������ �� ������������ ���� � ������ �� �� �� ��� ����� ��� � �������� � ���� �� �� ������ ���� ��� ������� ����� �� ������� �������� � ���� �� � ���� ���� ���� � !����� ���� �� � ���� ����� ����� �� �� ���� �������������� �" ����� ��� ������ ������ �� ������ � � ��� ��� ���� � �� �� ��� � �������������� �" ����� ����� ����� � � ����� ���������� � ����������� ����� � ��� ���� �� � ��� ���������� �� ���� � ��� �� ������� �� ������ �������� ��� �� � �#� ������� ���������� ������ �� ��� ���� �� ����� � ���� �� �������� ��������� �� � ��� ������ ��$� �� ������� ��� ������� ��� �������� �

%���� �� ������������ ���� �� ����� ��� ������ �� �������� �� � ��� ���� � ��������� ��� �� ���� �� ������ ���� ��� � �� ��� �� � ��� ������� � � ����� �������� ������� #&%# ���� '(�� � )��$�� ��� &��� �� � *++,- �� �������� ���� � ��� ����� ���� ���� ./001233 4 51 651123758028629 :;<=>?=< @ A B>C;DE F G HI=C>J H<> ;K B>=>LM>LNM F O<LPHCML>Q ;K R?LN=S; F TUVW

B A O<LPHCML>Q XPH AF R?LN=S; F YZ [\[VU F O AB AX A ]^J =L_ ` abcdefghijbdk lemnomihd lpfe

2 J. R. Stroud, P. Muller, and B. Sanso'��% � �� � ��� !�� �� � *++�- � ����� ����� �� ��� �������� �������� ��� � ���������� ��� �� �������� �� ��� ������ ������ � ��� �� ��� �������� ������ ����� � ���������� '�� �� � *++�- � ��� � ���� ��� ��� �� ����������� �� ��� ���� ��� � ���� ��� ����� � ������ � ��������� � � �� � � ��� �� ��� �� ��� � $�� ������ �� ���� � ����� ����� �� � �� � � �� ��� �������� ������ ���� � � ���� ��� ��������� ������ �� �� ������ � ���� � �� ����� � #� ������ �� ��� � ��� �� ��� ������ '*++ - � ��� ������� �� �������� �� �� ����� �� ����� �� ��� ��������� � �� �

���� ���� ����� ���� �� ������� � ���� ����� ����� �� ��� � ������ �� ������ ������������ �� ������ � ��� ��#&%# '� ����� ��� � ��� �� � *+��� �� - ��� ��#&%#� '����� � *+��- ���� ��� ��� ������ �� ������ ������ ��������� ����� �� ������ ����� #&%# ���� �!� ���� ��� &����� '*+�+- � �� � ��� ���� � ��� ����� �� ��������� ���������� �� ���� ����� ��� ������ �� �� � � ��� ���� ���� � !����� �$ ��� ����� '*++,- ��������� � ����� ��� $����� ��� �������� ���������� �� ���� ������ �� ��� ���� �� ��� ������ ����������� � #����� ������ ������� �� ��$�� �� ����� �� �� � '*++�- � ��� � �� ���� ���������������� ������ ��� ��� ���� ��� � � ��� ����� �� ���� ��� �� � ��������� �������� �

&������� ����� ���� ���� � ��� ���� �� �� ��� ���������� ��� ������ ��� ����� �� ������������ ���� � �� ������ � ������ � % ����� ��� ��� �� '*++,- � �� ��� ���� ����� ����������� ��� �� ��� ������ '*++ - �� ������ ������ �� � ����� �� � �������� ���������� ��� �� ����� ������ � ! ����� '*+++- ����� �� � (��� ��� �� �� ����������� ������� �� ���������� ��� ������ ��� ���������� �� ���� #������� � ���� �������� � ������ ��� �����'*+++- ���� �� � (��� ��� ���� �� � ���� �������� � ��� � ������� �� ����� % �$�� ���� ��� � � ��� ��� &���� �� '*++�- ���� �� � � ��� ������ ������� �� � �� ����� ������� ����� �� ���� �� �� � ��� � �������� � � �� � �� ��� %�����$ '*++�- ��������� ������� � ���� �� � ��� � ��� � ����� �� �� � '*++�- � �� � ���������� (��� ��� ���� � ��� �#& ��� �� ����������� �� ������ �� ���� ���� ����� ��� � ���� �������� ��������� ���������� (��� ������� ������� � �$ �� �� �� � '*+++- � ��� �������� ������ ���� ��� ����� �������� ���� ������� �� �� � '*++�- ��� � �� ���� � ���� �� ��� � ���� ���� �

#����� ������� ������� �� �� � ��� � ������ ��� ����� ���� �����$ � ��� �� ��������� ' ��� - � � �� � ��� ���� ��������� �������� �� ��� �� ������� �� � ��� ���� ����� � ��� % �$�� ����� %���� ���� '%�%� - �������� � ��������� '*++�- ���� �� � �����#& '�- ���� � ��� �������� �������� �� � ���$ �� ��� �� ������� ������ � ��� ������� �� ����������� '*++� - �� � ��� ���� ��������� � ��� ����� �� ��������� '*++�- � �� ���� �� ��� �������� ��� �� �� ��� �� ��� ���� ����� ��� �� ��� ���� �� �� ������� ������ � ����(��� ��� ������� � ��% �������� ���� �� � ���� ���� ��� � % ���� �� �� � '*++�- ������� $����� �����% �� ���� ������ ��������� ��� �� � ���������� � ���� � �� �������� ������� ���� ��������� � �� ��� ������ ��� ��� ��� ��� � �� �� ��� �� � �� ��� ������ ���� ��� � �� �������(��� ��� �������� ������� � �$ �� ��� �� �� '*+++- ��� !���� ��� �� �� '*++�- �

�� ��� ���� � �� ���� � � ����� ���� �������� �� ���$ �� ������� � ���� ����� ��� � �� �� ��� ����� �� ��� �� �� �� ��� ���� ��� �� ��� � � �� � ����� �� ��� �� �� �� �������������� � ������ � ����� �� %�%� �������� � �� ������� �� ������ ����������� �� ������� ��� �������� �� ���� �� � � � ���������������� ����� �� ��� ��� ����� � ���������������� � ���������� �� ����� ��� ��� �������� ����� �� ������ ������ �� � � ������

Dynamic Models for Spatio-Temporal Data 3���� � �������� �������� � ��� �������� ��� � ��� ��� � � ������� � ����� ��� ��% �� ���$ �� ��� ��� � �� �� ��� ��� ������� ������� � �� ��� ������ �� ���� ��� �� ���� ����������� �������� �� ��� �� �� � ��� ����� ����$ ��� ����������� ���� �������� �� ��� ���� ���� ������ ���� �������� ��� �������� �� ��� ��� ��� � ������������ ��� ����� � �

��� ������� ������ �� �� ������� �� � �� ���� � �� ������ ������� � �� �� ������ ���� ��������� ����� � ��� � � ������ ����������� � �� ��� �� �� � ������� � ������ ��� � ����������� � ������ � ���������� �� ��� ������� � ��������� �������� � ��� ����� ������ �� ����������� ���� � ��� �� ���� ������ ���� ��� ��� �� � � #�� � ������ ���������� ��� �������� �� � ��� �� �� � �

�� ������� � �� �������� �� ������ ���� ��� �� �� ��� ��� ������� �� �� �������������� ����� � �� ������� � � �� ������ ��� ���� �� ��� ���� �� �� � � ����� ��� ��� ��� ��� �� ���� ��� �� � � ��� ������� � ���� � ���� �� � �� � ����� ���� �� ���$ ��� ����� ��� ��� � ���� ������ �������� ��� $�������� �� ������ �� �� �� �� � ��� ������� � ���� ����� ��������� , � ��� ��� ���� ���� �� � ������� ������� ����� ��� ���� #������� ���� �������� ������� ��� �� ����� �� ������� � �

2. Spatial Modelling

�� � � � � ������ ���� �� ��� ��� '� - � � '� �� - � � '� - '*-

���� � '� - � �� �� ������� ��$�� �� �� ������ � �� �� ��� � � '� �� - � � ������ ��� �� �� � ��� ��� ��� � � ��� � '� - � � ��� ��� ��� � �� �� � ��� ��� �������� � '� �� - � �� ��� � ����������������� ����� �� ����� ��� ��� �

� '� �� - � �� � �

� '� -� �� '� -� � � ' -

���� �� '� - � ��� � '� - � � � � � �� � '� -�� � � �� �� $���� �� � �������� � � � � '�� � � � � � � �� � -� � � ������� ��$���� � ���� ��� ��� �

�� '� - � � ������������ ��������� $���� ������� �� �� ������ �� �

��� � ������ ��� ����� ���� �� ����� �������� ��� ��� ���������� �� ��� �� �� � �� �� ��� � � '� '� � - � � � � � � '�� --� � �� �� ������ � � � � � � � �� �

� � �� � � � '�

� '� � - � � � � � �� '�� --� � ��� ����� �� ������ �� ��� � �� ����� �������� ���

�� � �� '� � - ! ! ! �� '�� -"� � ��� �� ��� ���� �� ��� ��� ������� �������� � ��� ���� ���� ����� ������ � � ���� ����� ��� ��� � � � � � � # � ���� � � ���� '� � -� � ! ! ! ���� '�

-�

"

��� � � '� �� � � � � � � �-� �

� �� � * ��� �� ������ �� � ���� ����� ���� ' - � ��� � � �������� � !�� ��� �������� �� � '� �� - � ��� ������ � ��� ��� ��� ������ $���� ��� ����� ����� � ��� $���� ���� ��� ��

�� '� - $ %&� %'�() ��� �* '� * �� -� & '�� '� * �� -+ � � ��� ����� ����� �� �� ��� ��

�� '� , - � '* � � ,� � � ,) - � � ���� � ,� ��� � ,) ������ ��� � ��� ����� ��������� �� �� ������ � , ��� ������ � ��� �� �� � '� �� - � ��� ��������� �� �� � � � ��� ��� ��� � �� � ���

�� �������� � ��� ��� ��� ��� ��������� ���� - � ���� ��� �� �� � '� �� - �� ���������

. '� � / - � ����� '� - � � '/ -� � �, �

�� � �

, '� -�

� '/ - � �, '� - �� '/ - 0 ,� � '� -

4 J. R. Stroud, P. Muller, and B. Sanso'�- ������� � � �� '� - ��������� � ���� '�- �������� ������

-2-1

01

2

x1-2

-1

0

1

2

x2

-3-2

-1 0

12

S(x

)

-2-1

01

2

x1-2

-1

0

1

2

x2

π1()π2()

oo

oo

oo

oo

oo

oo

ooo

oo

oo

oo

oo

oo

oo

ooo

oo

oo

oo

oo

oo

oo

ooo

oo

oo

oo

oo

oo

oo

ooo

oo

oo

oo

oo

oo

oo

ooo

oooo

oo

oo

oo

ooooo

oooooo

oo

oo

ooooo

oooooooo

oo

ooooo

ooooooooooooooo

ooooooooooooooo

ooooooooooooooo

ooooooooooooooo

ooooooooooooooo

ooooooooooooooo

ooooooooooooooo

-2-1

01

2

x1-2

-1

0

12

x2

-2-1

01

2 f’1β1

f’2β2

� '� �� - � � )� � �� '� - � � �� '� -� �

Fig. 1. Construction of the locally-weighted mixture. Panel (a): Spatial process generated from a mixture with� � �. Panel (b): 10% HPD contours for the Gaussian weighting kernels and circles representing mixture

weights, � � �� , for each point on a spatial grid. Panel (c): linear regression surfaces.

���� � ��� / �� �� ������ � ��� 0 ,� ������ ��� � �� ��� ��� �� - � �� �� ���� � ��� ���� ����� � � �� �� � � * ��� � � '� - � *� ���� '�- ����� �� . '� � / - � � , � � � � �

, '� -�

� '/ - 0 ,� � ���� �� � ���� � �� � �� �� � ��� �� ��� ���" ����� � ��� ��������� ���� - � � ) � ���� �� ������. '� � / - � � ) � � � �

� '� -�

� '/ - ���� ��������� � � ��� �� ��� �� �� ����������� ������� �� ! ����� '*+++- � ! � ������

���� ��� �� ������� �� � � ������ �� � �� ' - � ���� ��� �� ��� ����� �� ��� ���� � ��� ������� �� $���� � � ���� � #����� $������� �� ������� �� � ������ ������ � ����� �� ������ ' ���- �

2.1. Choosing the Surface and Kernel Types��� ������ �� ��� ������ ��������

�� '� - ������ � ������ �� ������� ��� ���� ����� �����

��� ��$���� ������ �� �� � �� ������ � �� ��� ������ �� ��� ��� $���� � �� � �� � *� ������� �������� ��� ��������� ����� �� ��� $���� ���� �� � � ��� �� � �� ��� ����������� ������� ����� � ������ �� ��� ����� �� ������ ������ � ��� ��� ��� �� �������� ��� ��� ��$���� ����� � � ������ � � �� � �������� � ��� � ���� �� ���� ��� ������� �� ��� ��������� � ��� ��� ����� ��� ����� '����� � ����� - � ��� �� �������� ����� ��� �� ������� $���� � �� �� ����� �� � ��� � ��� ���� ����� � ��������� � �� ������ � �� ������� , � �� ��� ��� �� ��������������� ��� ����� � $���� �� ������ �� �� �� �� ����� ���� �� ���� � � ������ �� $���� ������� �� �� �� ������ ��� ��� ��� ��� ���� ����� �

��� ���� �� ���� ������� � � ������ ������ ���� � �� ����� �� � � �� ������ � ���� ���� � �������� ���� ������� $���� � ��� ���� �� ��� ����� � ��� �� � �� �� � ��� �� ��� ��������" ����� � �� ������ �� � ���� �� ������ ���� � ��� ���� �� $���� � ��� �� �� ������� ������ � ��� �������� ��� ������ �� �� ��� �� �������� �� �� ���� � ��������� ���� ���������� ��� ��������� $���� ��� �� � �� �� � ��� �� ��� ���" ����� � #�� �� � ��������� ������� ���� ����� � �������� ���" ����� � � ��������������� ��������� $���� � ��� �� � ��� ���������� �� �

� �� � ��� ��� �� ���� $���� ��� ������� � ����� � ��� ��� ��� ������� ��������� ����������� � ������� ������ �� �� � ��� $���� �� ��� ��� � ��� �� � � � ��� ���� �� ��� �����

Dynamic Models for Spatio-Temporal Data 5���� � ����� ��� � ��� �� ��� ���" ����� � � � � '� � *� - � �� ��� ��������� ���� � �� � / � ���� ���� . '� � / - � � �������� �� � � &�� ��� ��� �� ������ � ��� �� �������� ����� ��� ��� � � ������� $���� � ��� ��������� �������� � � ������ ��� ����� � ����� ��� ��� � ��� ������� ���� � ����� ���� � &�� ��� ��� �� ������ �� � ��� �������� �� �� � � ����������� ����� ��� ������� $���� � ��� ��� � � ���������� ��� ������� ���� � ��� ��������� � ����� � �� ��� ������ �������� � �������� � ����� ��� ��� �� � �� ��� ����� � � ��� ����������������� ���� �� �� �� �� ��� ������ � �������� ���� ��� ������ � ���� ��� $���� �� ������ ��� ������ � � ��� ����� �� ��� ����� ��� $���� ��� � �� � ������� �� ��� ������� �� �� � ���� �� � ��� � ����� � �� ��� �� ������ � �� ������ � �

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

x1

x2

-1.0 0.0 1.0

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

y

Kernels

-1-0.5

00.5

1

x1-1

-0.5 0

0.51

x2

01

2K

(x,y

)

Covariance

-1-0.5

00.5

1

x1-1

-0.5

00.5

1

x2

05

S(x

)

Simulated Surface

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

x1

x2

-1.0 0.0 1.0

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

y

Kernels

-1-0.5

00.5

1

x1-1

-0.5 0

0.51

x2

02

46

K(x

,y)

Covariance

-1-0.5

00.5

1

x1-1

-0.5

00.5

1

x2

-5 0

5S

(x)

Simulated Surface

Fig. 2. Possible kernel configurations. First column: kernel locations - ellipses represent the central 20%

regions for the weight functions. Second column: Prior covariance function at the center of the domain,

i.e. � �� � � , where � � �is fixed. Third column: Simulated process � �� � , with constant surfaces and

� �\ � �\ .

�� ��� ��� ��� ��� ��������� $���� ��������� ��� ���� � �������� ����� ��� ��� $���� ���� �� � ��� ��� �������� � � ��� �� �� ����� ��� ! ����� � ����� ��� � �� '*+++- �� ��� ���� . '� � / - �� ��� �� � � � ��� � ���� ���� �� $���� � ��� �������� � ��� ������� ��� ��� �!����� � �� �������� ����� $���� ��� �� ������ ���� � � � ���� �� ��� ��������� �������� . '� � / -���$ ���� ����� � ��� �� �� � �������� ��� ��� $���� ' �� � �� � - � (� ��� ���� ��� ���� � ����$���� ���� ����� �� � � � � �� � � �� ' ��� - ������ � ������� �� $���� � �� ������� ���������$�� ������������ � ��� ����� ���� � ��� ���� ��� ������� ��������� �������� � ���� �� ��� � $���� ����� � ������� ����� �� ������ ������ �� ��� ��������� �� �� �

6 J. R. Stroud, P. Muller, and B. Sanso

3. Spatio-Temporal Modelling

����� � ��� ���� �� ���� �� ������� ��������� �� ���� ��� �� � � ��� ������ ���� '*- ��� ���� ��� ��� ����� �� ������� � ������ �������� � �� ���� � � � � � �� �� � � � '� ��� � � � � � � ��

-� � �

��� ���� ��� ��� ����� �� �� � � � �� � � * � � � � � � � � ��� � ������ � ���������� ���� � '� � %� �'� -���� ���$ ��� ��� ��� � � ��� �� � � #������� ��� ���������������� ����� ' - �� ���� � � � �������� � �� � ��� �� ����� � '� �� � - � � � � � � '� �� � - ��� � ��� � ���� �� � �� � � � # � ��� ������ ��������� �������� �� � '� � %� �'� - ��� ������� � ���� �

� � � � �� � � # � � #� � � '� ��� - � ', -� � � ��� �'� � � � � � � � � '� � - � - � '�-

���� � � � '� '� �� - � � � � � � '� �� � --� �� ��� �� ������� ��$�� �� �� ������ � �� � � � � � � �� � � !�� � � � � ��� �� ����������� �� ��� ���� � ��� ������ � �� ������� � ��� � �� �� ��� ��� ��� ��� ������ ���� �� ��� ���� ��� �� ������ �� ��� �� ������� �� �� � � � �������� ',- � �� ����� ����� ��� ������ ���� '*- � � ��� ���������� �� ���� � �� ������ ��� ���������� �� �� � � ��� '�-�� ����� ������ ��� �� � �� ��� ��� ��� ��� ��� � � � � % ���� ',-� '�- � � ��� ��� ����� ���� ���� '���% -� �� ��� ���� ������ �� �� �� ��� ������ ���% ��� ������� ��� ��� ���� � ���� ��� �� ���$ �

LJ H � LJ H � LJ H V

-2

-1

0

1

2

x1-2

-1

0

1

2

x2

0.6

0.7

0.8

0.9

S(x

)

-2

-1

01

2

x1-2

-1

0

1

2

x2

0.2

0.6

1.0

S(x

)

-2

-1

0

1

2

x1-2

-1

0

1

2

x2

0.5

0.7

0.9

S(x

)

� '� � � � - * � '� � � ) - * � '� � � � -

Fig. 3. A time series of spatial mean fields. The surfaces were obtained through a locally-weighted mixture of� � [components with fixed weighting kernels and dynamic regression coefficients.

3.1. The State-Space Framework# ��� ��� ����� ���� ���� ��$� ��� ��

� � � �� � � #� � #� � � '� ��� - � '� - � � �� �'� � � � � � � � � '� � - � - � '�-

�� � � * � � � � � � � ��� �� ������� �������� '�- ����� ��� �� � * ���� ����� � � �� ��� ���� ����� � * ���� ����� � � � ��� ��������� �������� '�- ���$ ��� ���� ��� �� � � !�� � �� ��� �� ��$���� � ��� �� ������� ��� ��������� ����� � � ���������� ��� #� ��� � � �� ����� ������ �������� � ������� � ��� ����������������� ����� � � ��� - � � � � ��������� ��� ���� � ��������� ��� � ��� �� ��� ������� ���� � � � � '�� ��� - �

Dynamic Models for Spatio-Temporal Data 7�� ��� �� � ��� �� �������������� ����� ���� ',-� '�- �� ��� ����� ���� �� ���$ � ���

����� � �� � � �������������� �" ����� �� ���� �������� �� ��� ���% �� %���� '�-� '�- � ��� ��������� ���������� ������ ������ �������� ��� � ���� � �� ���� ����� ��� ������� ��� ��� ����� � �� �� ��� ���� ����� � � � ' ��� � � � � � ��� -� � ���� � � ��� ����� ���� �� �������� ��� �� � � � � ���� � � ��� ��� �� ��� ���� �� � ��� � � � ��� " � ���� ��� ����������� �� �� ������ ��� ����������� �� � � ���� � � ��, � ��� ������ ����� ��� ��������� � ��� �, � ��� � ��� � � � � � �� ����� � � �� �$ ��� ���� �� ��� ������ ���� ',-� '�- � ��� � ������ ��� �$ ��� ��� ������������������ � � ��� ���� ����� �, ��� �� ��� ���� ��, � � � � � � � � � # ���� �� �� ��� �� ������ ���������� ��� ��� �) � � � � � �� ��� �� � �� �� ���� ���� � �� ���� ����� � ��� � � ����� ��������� , � �� � �� �������� �� �� ��� � �� �� � ��� !�� �� '*++� � ������ ��+- �

�� ��� �� � �� � ����� �������� � � � *� ��� ���� � ������ �� �� � �������� � � ������������� ��� �� ���� ��� ��� �� � � # ���� ���$ ��� � � ��� �� � � � � ������ ������ ������ ��� ���� ����� � ��������� � �� �� ������ ���� �� �������� � � ��� ������� �������� �� � *� � ��� �$ ������ ��� �� � �� � � ��� �� � ��� �$����� '��� � � � � � ��� - � ��� ����� � ���������������� �������� �� ���� ���� �������� � ���������� ��� �� �������� �� � ����� ��� ���������� ��� �� ��� ��������� �� ��������� ��� �$ �� �� �

��� ��������� ������� - � ��� �� � ��� �� ����� ���������� � ������ � �� ����� ����� � � � � � - � ����� �� �� - � � �� � � ���� � � � �� '�� �'� %� � � � � � � � �'� - � # �� ����� ����� �� � � �

���� � ����� ���� � � ��� ��� � � ���" ����� �� ��� � � � ����� � ����� � � ����� ���" ����� ����� �� ����� ������ ��� �� � � � �� �� �� ������ ������� �� ��� � � ��� � � ���� � ��� �� ����� ����� � ����� ������ � ���� �� ��� �� � ��� ������ �� ���� ��� ��� ��� � ��� ������� ����� �������� �� ��� �� � �� � �������� ������ ��� � � �� ��� �� �� �� � �� � �� �$ �� �������� ���� ���� � � ����� �� �� ����� ����� � � � '� � � � � � � �� -� � � ��� ��� �� ����� �� ���� ��� ���������������� �� ��� �� �������� � ���� � � �� �� �� - �, � � ,� �, �� ��� �������� ����$ - �, ��� � �, ���� �� ��������� ����$ �� - � �� �� �� ����� �� ��� � ������� ����������� ������ ���������� �� ���� �������� �

3.2. Computation�� ��� �� � ���� ��� � �� ��� � - � � �� $���� � ��� ���� ���� ����� � ' �� � � � � � �� -� �� � �� ���� ���� �� �������� ���� ��� �� �������� �� ��� �� �� � &��� ��� �������� �� ������ ��� ������ � ������� ��� ����� � �� �������� ��� �� ����� � �� ������ � �� �� � ��� !�� �� '*++� � ������,- � ��� � � � �� ��� �� ���������� �� ��� �� � ���� � � �������� ��� �� � � � �� �� �� � � � ����� � � � � ��������� ��� �

# %���� ���� ����� $���� � � ������� ���� ���������� ��� � '��(�- �� ������� ���� � ���� ������������ '*++,- ��� ���� ��� ���� '*++,- �� ������� � �� �� � ���� �� ����� ���� ' ���� ��� - �� �������� � ' %� � � � � � � � � - � ��� ��������� ��� �� � �� �� ����������������� �� ���� ������� ���� �� ������������ ���������� � # � � � �� ������������� � ���������������� ��� ���� � ��(� ��� �� � �� � ��� �� � %�%� ��� � �� � ���� ���� ��� ��� ����������� �� ������ ����� � �� � �� � �� ��� - � � ��� ������� � �� ������ � $�� ������ ������ � ��� ��$���� ��������� ������ �� � � �

8 J. R. Stroud, P. Muller, and B. Sanso

3.3. Model Extensions�� � � �� � � � ���� � ��� � �� �� � �� ������� �� ���� �� ��� � ������� � �� �� �� ������� ������� �� �� � � � $�������� �� ������� � ����� � � � � ������� ������������������ ����������������� �� ��� �� � #� � ���� �� �������� � ��� ������� � � � ���� � ,� � ��� � �� ��� ��� ����� ��������� ���� � � � � � � �������� �� � ������ � � ��� � ,� � ��� �� ����� ������� �� ������ � , ��� �� �� #� ������� (��� ������� � ���� � � � �� ���� �� ��� ���� ��� ���� ���� ����� ��� ����� � � � ���� � ��������� ���� � ��� ��� �� �� �� ��� �� �������� �� ����� � � # �������� ������� ����� � ��$���� � ��� ������� ��������� � ��� �� �������� � � '� - � !����� � �������������� �� ���� �� � ��� ��� ��$� ��� �� �� ��� �����$���� �� �������� ����� ����� ������" ����� ���� ������ ��������� � ��� � ������� ����� �� ���� �� �� ���� ��� �� ������������ �� ��� �� � � � ��� � �� ������ � %�%� � ��� ��� �� ��� ������ ' ���- �� �� ������ ��%�%� �� ������� � $����� ���� �

��� ������ �� �� � ������� � ����� ��� �������� � �� � ������ ������ � ������ � �� ��� �������� � � ����� � ��� ������� ���� �� �� ��� ����� ���� �� ��������� � �� ������ ���������� ������ ��� ��� �� � �� �� ���� ����� �� ���� ������ ����� ���� ����� ����� � ��������� �� ����� �� ��� ������ � ������� �� � ����� ��� ��� ���������� ����� �� � � ������� �� ��������������� ������ �������� � �������� $���� � ���� ������ ������� ����������� �� ������� �� ������ � �� ������ � ������ ��� ��� $���� ������ �� �� � ���� �� ����������� �

#����� ����� ��� ��������� ���� �� ����� ����� ��� ������ �������� �� ��� ���� ��� �������� ��� �� � � ��� ��� �� � �� � �� ���������� �� ����� ����� �� �� �� � � ��� ���� ���������� �������� � $���� ����������� � !�� � ��� ������ �������� � ��� ���� �� �������� �� ��� �� � �������� �� ����� ������ � ��� �� � � ��� ������ �� ���� �� � � ���� ������ ������ ������� �� �� ��� ��� �������� ����� �� ��� �� ����� � ��� ����� �

!�� ��� ��� ����� � ���� �� � �������� ����� � � ��� �� ������� � �� � � �� ����������� ����� ��������� �� � � � � �� � � � � � � � � �� ��� ���� �� �� �� � ���� ���� �� �� �� � � � #��������� � � ����� ����� � � ������� ��������� �� ��� � ����� �� �������� ���� � �� ������� ������ ������ � ������ � ��� ��� �� ����� �� ��� � � �� ���������� ����� ��� ��� � ��������� �� ��� ����� � ���� ��������� $���� � � �� ������ �� ������ ��� � $��������� � ���� �# �� �� ���������� � �� ��� ��� (��� � ����� � � ��� ��� ������ ��$������� ��������� �� ��� ���� � ��� ������ �� ��� ���� ��������� ����� � ��� ���� � (��� � ����� ��� �� ���������� � ������ � �� �� ��� ������ �

4. Examples

4.1. Example 1: Venezuelan Rainfall Data�� ���� ���� �� ������� � �� ������� ���������� ������� ���� ������ �� ��� ����� �� ��� �� ��������� '*+++- � ��� ���� ��� � � �� �� �� ��� �� � � �� ��� �������� ������ ������������ ���������� ���� �� �� ����� � ��� ������� ���� ��� ��������� �� *����� ������� ��� ��� �����*+��� *+�� � � � ����� �� � ���� ���� �� ����� � ��� ��� ������� � �� ���� � ��� ��� �� � ����� �� ������� � ��� �� ��� ������ '*+++- � � �������� �� �� ���� ��� ��������� �� � ��� %�%�

����� � �� �� ����� � � �� ����� ��� ����� �� ������� �� ����� �������� ��� �� ���� � ����� �� ��� � � ���� ��������� �� ��� ������� ����� �

Dynamic Models for Spatio-Temporal Data 9� �� � , '�- ��� � �� �� �� ����� � ��� ��� � � �� �������� ������ ���� ��� �������� �

��� ������ �� ��������� ����� � � ��� ��� ������ ������� �� ��� ������������ ������ ������� ���� �� ��� ������ ����� � � �� � , '� - ��� ��� � � �� ������� ������� ����� �� ������ � �� � �� � ��� �� � ��� � �� ������ �� ��������� �� ����� '�- � # ��� �� ����� '� - � � ���� �� ���������� �� � � �� ��� ���� � ��� � ���� �� � ��� � ���� �� %��������� '����� ��� �- � ��� ��� ����� �� �������#��� '����� , ��� *- �

35

55

65

68W 67W 66W 65W

8N

9N

10N

longitude

latit

ude

mm

rai

nfal

l

• •

••

••

••

••

• •

• •

••

••

••

••

••

••

• •

••

1/68 1/70 1/72 1/74 1/76 1/78 1/80 1/82

040

080

0

Station 35

mm

rai

nfal

l

••

••

••

••

• •

• •

••

••

••

• •

• •

• •

••

• •

••

••

• •

• •

1/68 1/70 1/72 1/74 1/76 1/78 1/80 1/82

040

080

0

Station 55

mm

rai

nfal

l

• •

••

• •

• •

• •

• •

• •

••

••

••

• •

• •

• •

• •

••

• •

• •

••

1/68 1/70 1/72 1/74 1/76 1/78 1/80 1/82

040

080

0

Station 65

'�- '� -

Fig. 4. Rainfall monitoring sites in the Venezuelan state of Guarico. Panel (a) gives the locations of the � � �\stations. Panel (b) shows the time series of quarterly rainfall at stations � �35, 55, and 65, which are marked

in panel (a). Gaps in the time series indicate missing data.

�� ����� ��� ����� � �� �������� � �� �������������� ����� �� ������ ������� � # ����� ���� ��� ������ � � ��� � � ��� � � � �������� ��� ��� ��� $����

�� '� - $ %&� %'�()

��� �* '� * �� -� & '�� '� * �� -+ � � �� ������ �� �� ��� ��������� $���� ��� ��� �� �� � ��� ������� � �� ��� �������� ������ � � ���� $��� ��� ������ �� ����� � ��� ���� ���� ��� ����� ������ $��� �� �� ������ ���� ���� ����� ��� �� � �� ����� � ������� �� ����� � ���� ����� ��������� �� ���� � ��������� �

��� $���� ��� ��$�� �� � � ������� � � ��� ������ ��������� � �� �� � ���������� ��������� ���� � �� ��� ��� ��� ��� ��� � � � � �� ��� � � ���� ���$ ��������� � ��� � � �������� ����� ���������� ����� ��� ��������� ������ �� �� � �� ����� � �� ���� �������� �� ������� � ��� ������� �� �� ������ ����� � ��� ����� , � � ��� ��� ����� ��� �������� �� ������� �� � ��� !�� �� '*++� � ������ �- � ��� ����� ����$ �� ��� ���� ����� � ���� �� �� ��� �� ���� ��� ��� ��� ��� ��� ������� � �� �$ �� ��� ��������� ���� � � ���� ��

��) � � �� '�

+ - �� '�

+ -* �� '

�+ - �� '

�+ - � �

�� � � � � � ���� ���� ��� ������ ��� �������� �� �� � �� ����������� � ��� ��� � ��� �$ ��������

10 J. R. Stroud, P. Muller, and B. Sanso��������� ���� ��

�� � � ��� �� ��) � �

��� �� ������� �� �� � � �� �� �� ��� ��� � � ��� ��� ��� ��� ��������� �� � � �� ) � ���� � ��� �������� ���� �� ��� �� � ������� � ) ��$���� � �� ����� �� ���� �������� � � ) � � � '*+ � *+ - � ��� ��������� ������� � � ��� �� ������ � �� ����� ����� � � � '� � � � ) - �� ��� � � � � �*� �� ��� �� � *� ������ ������ � ��� � ) � � ��� �� ��� �� ���� ������ ���� ���� ����� � � �� �� ��� �� ���� ��� �$ ���� �� ������ ��� �� ���� ����� �� � � �� �������� �� � � �� ������� ��� ���� ���� ������ � � ���� � ��� �� ��� �� �� ��� ������� ���� ����� � � � � '� � *��) - � ���� � ��� � � � �������� ���� �

� �� � � ��� ��� � �� ��� �� ��� ����� ��� ������������ ��� �� ��� ��� *+�� � *+� �*+�� � ��� *+�� � ! �� � ��� ��� � � �� ��� �� �� � � ��� �� ������ � � �� '� - � �� '� - � � ��� �� �� �� �� �� ��� ���� �� ���� �� �������� � ' � %� � � � � � � � �� - � ��� ���� �������� ���� ��� ��� ������� ����� �� �� *+�� �� *+� �� ��� �� ��� ��� ������ ��� �� ��� ���� � ��� ��������� �� ��������� ��� ���� �� *+�� �� *+�� � �� �� ���� � �� ���� ������� �� ����� � �� ��� ������ � �� ������ � # �� ��� ��� ��� � ��� � ��� ������ ����� ������������ ������ ��� ������ ��� ���� ������ �

400

425

425

425

450

450

450

450

450

475

475

475

500

500

500

525

525

525

525550

550

575

575600

o

o

o

o

oo

oooo o

o

oo

oo

oo oo

o

o

oooo

o o

oo

oo o

oo o

oo

oo

o

o o

o

o

oooo

1968

400

400

400

400

425

425

425

450

450

475

475500

500o

o

o

o

oo

oo

o oo

oo o

o

oo

oo

oo oo

oo

o

o oooo

o

o o

o o

ooo

o

oo oo

oo o

oo oo

o o

o

o

oo

ooo

o

oo

oo

oo

o

oo oo

oo

o

o

oooo

1972

375400

400

425

425

450

450

475

475

475500

500

500

500

525

525550

550

575

575o

o

o

o

oo

oo

o oo

oo o

o

o oo

oo oo

oo

o

o oooo

o

o o

o o

ooo

o

oo oo

oo o

oo oo

o o

o

o

oo

ooo

o

oo

oo

oo

o

oo oo

oo

o

o

oooo

1976

425

450

450

450

450

475

475475

500

500500

525550

575600

o

o

o

o

oo

oo

oo

oo o

o

oo

oo

o oo

oo

o

o ooo

o

o o

o o

ooo

o

oo oo

oo

oo oo

o o

o

oo

ooo

oo

oo

oo

o

oo oo

oo

o

o

oooo

1980

mm rainfall

350 400 450 500 550 600

Fig. 5. Posterior maps of mean rainfall in Guarico, Quarter 2: 1968, 1972, 1976, 1980. Contours correspond

to posterior means of the precipitation field ��, based on the full data set.

� �� � � ��� ��� ��� ������� ���������� �� �� ��� ������� �� ����� � (� ������������ ��� ���� ����� � �� ��� ������ ����� ���� �������� ������� �� ��� ��� ��� ����� � # �������� � �� ���� ���������� � ����� � �� ��� � ��� �� � ���� ��� ���� � ��� ��� ��� �� �� ������ � ��� ������ ��������� �� ����� ����� �� � ����� �� ��� ������ ���� ���� � �������� �������� ����� �� ��� ���� �

�� ����� ��� ���������� ������� ��� ������ ��� ������ �� �� � � �� ������ ��� ����� ������� �� ����� � ��� ��� � �� ����� , � % �� �� ����� , '��� ����- ����� ������������ � ��� �� ���� �� ��� � ��� �� � �� � � � ��� � ��� �� ������ ���� ��� �� ��� �� ���� ����� ���� ���� ���� ��� ������ ������ ������ ������ �� ����� �� , �������� ���� ������� �� �������������� � ��� �� �

�� �������� �� �� �� � �� ���� ������� � �� ��� �� � ���� $����� � � ��������� �� ��������� ���� ������ �� ������ � ��� �� �������� �� ����� � ��� � � '� � %� � � � � � � �� - �� ��� � � ���� � �

Dynamic Models for Spatio-Temporal Data 11

2020

2020

20 20

20

30

30

30

30

30

40

40404040

40

40

5050

50

50

50

60

60 6070

7070

8080 80

o

o

o

o

oo

oooo o

o

oo

oo

oo oo

o

o

oooo

o o

oo

oo o

oo o

oo

oo

o

o o

o

o

oooo

1968

10

20

20 2020

20

20

2030

30

30

40

40 40

5050

50

50 5060

6070

o

o

o

o

oo

oo

o oo

oo o

o

oo

oo

oo oo

oo

o

o oooo

o

o o

o o

ooo

o

oo oo

oo o

oo oo

o o

o

o

oo

ooo

o

oo

oo

oo

o

oo oo

oo

o

o

oooo

1972

1010

20

20 20

20

20

20

20

20

30

30

30

40

40 40

50

50

50 506060

70o

o

o

o

oo

oo

o oo

oo o

o

o oo

oo oo

oo

o

o oooo

o

o o

o o

ooo

o

oo oo

oo o

oo oo

o o

o

o

oo

ooo

o

oo

oo

oo

o

oo oo

oo

o

o

oooo

1976

10

20

2020

20

20

20

20

20

30

30

30

40

40 40

50

50

50 506060

70o

o

o

o

oo

oo

oo

oo o

o

oo

oo

o oo

oo

o

o ooo

o

o o

o o

ooo

o

oo oo

oo

oo oo

o o

o

oo

ooo

oo

oo

oo

o

oo oo

oo

o

o

oooo

1980

mm rainfall

10 20 30 40 50 60 70

Fig. 6. Posterior uncertainty maps in Guarico, Quarter 2: 1968, 1972, 1976, 1980. Contours correspond to

posterior standard deviations of the precipitation field, ��, based on the full data set.

������ ��� ������� ����� �� ��� �� ������ � � '� � � � � � � � � � - � �� ���� ���� ��� � � �� $����� � ������� '�-� '�- � �� ��� ��� � ��������� ���� �� �� '�- ����� ��

� �,� � � ) ��� �*��,� +� �� '� -

���� � �,� ��� ��� ��� � �� ��� ��� �� � � ��� � �,� � %%� �, * � �� %% � ��� ��������� �� ����� � ������� �, ��� � �� � # ��� ��� ������ � ����� ����� ��� �� ����� �� ��� ���� ��� ��� � � �� �������� � *� ����� ��� ���� ��� ������ ��$������� � � �� ��� � ����� � �� ������ ��� $����� �� �������������������� �� ��� �� � ����� �

� ���� � ��� � ����� �� ������� ��� �� ���� ��� ������� '����� � � *+� - �� � �����$����� ���� ��� ��� ���% �� ��� �� ����� � ��� ����� ���� � � � � ��� ���� ��� ����������� �� ����������� ������ '�- � ��� � � �� ���� � ��� %�%� � ��� !����� �$ ��� ����� '*++� -��� ��� �� ��� ������ ' ���- �� ������ �� (��� ��� $����� � ��� ��� ����� �� ��� � ��� ���� ��� ������������ ���� ������ ���������� ������� �� �� �� ���������� �� � ����� �

••••

• ••

•• •

•• •• •• •• ••

• •••••

• •

• •

•• ••

•• • •• • •

•• ••

• •

••

••

••• •

••

••

•••

•• ••

••

••

• •••

••••

• ••

•• •

•• •• •• •• ••

• •••••

• •

• •

•• ••

•• • •• • •

•• ••

• •

••

••

••• •

••

••

•••

•• ••

••

••

• •••

240 320 400 480 560

mm rainfall

Fig. 7. Comparison of predictive mean field for Quarter 3, 1972. Left panel: static kriging model with expo-

nential variogram. Right panel: space-time model with exponential variogram.

��� ��������� �� ��� �������� ������� � ���� �������� ��� �� ���� ����� �������� � ����

12 J. R. Stroud, P. Muller, and B. Sanso� � � ��� �� ������� ���� � � �� ��� �� ����� ��� ��� ��� ��������� �� ����� �� ������� ��� �� ������� ��� ����$��� ��� ��� �� ������� ���� ���� �� �� ���� �� ��� �� � ������� �� ���� ��� ��������� � �� � ������ ���� �� �

�� � � ������� � �� ����� ��� ��������� ���� ���� � �� ���� ��� ���� ���� ��� ��� � �������� ���� ��� � ���� �� ���� �� �� �� � ,� � ��� � ���������� �� � ��� ��� � ������ �� ������� ���� ������� ���� �� � �� �� ������ ��� ������� ������ �� �������� � ' � %� � � � � � � � � - � � �* � � � � � ,� � #��� �� � ,� � �� ������� ��� ����� � �� �������� �� ��� � ������ �� ������� �� '� � %� � � � � � � � �� - � � � , * � � � � � �� �

mm

rai

nfal

l

1/68 1/70 1/72 1/74 1/76 1/78 1/80 1/82

040

080

0

••

••

••

••

••

••

••

•••

••

••

•••

••

••••

••

Station 35

-

--

--

--

--

--

--

--

--

--

--

--

o

o

oo

o

oo

oo

oo

oo

o

o

oo

o

o

oo

o

o

mm

rai

nfal

l

1/68 1/70 1/72 1/74 1/76 1/78 1/80 1/82

040

080

0

••

••

••

••

••

••

••

••••

•••

••

••

••

••

••

••

Station 55

-

--

--

--

--

--

--

--

--

--

--

--

o

oo

oo

o

o

oo

oo

o

o

o

o

oo

o

o

oo

o

o

mm

rai

nfal

l

1/68 1/70 1/72 1/74 1/76 1/78 1/80 1/82

040

080

0

• •

••

••

••

••••

••

••

••

••

••

••

••

Station 65

-

--

--

--

--

--

--

--

--

--

--

--

o

o

o

oo

o

o

oo

oo

o

o

o

o

o

o

o

o

o

o

oo

Fig. 8. Filtered means and forecast intervals for stations � � VT � TT, and[T

. The vertical line at Quarter 4/77

(� � W\) represents the end of the training sample. Lines before � � W\

represent the filtered means; closed

circles are the training data. Line segments and hash marks after � � W\represent 95% forecast intervals and

forecast means, respectively; open circles are the validation data.

� �� � � ��� ��� ����� ��� ��� ����� � ������� �� ������ � �� � �� � ��� �� � ����� � ������ �� ���� ���� �� ��� ��� ������� ������ � ��� ����� ��� �� �� ��� � � '��, %� � � � � � � � � - �� � * � � � � � ,� � ���� ��, � �� '� , - � � ��� ��� ������� �� �� � � ��� ��� � ��� ���� � ��� ������ ��� ������ ���� � �������� ���� �������� � ������ ��� ������ ���������� ��� ��� �� ������ �� �������� ���� ���� � �� ��� �� ������ � � ��� �� ��� �� ������� ��� +�� ����� � ������� '������� ���� �� ��� - � ��� ��� ���������� ���� '�� �� ����� - � ���� ���� � ��� ���� �� ���

Dynamic Models for Spatio-Temporal Data 13������ ��� ������ �� ��� �� � ��� ��� ���� ���������� ������� �� ������ �� �

4.2. Example 2: North Atlantic Water Temperatures�� ��� ��� � �� �� #������� � ���� �������� �������� ������ �� �� ������ ��� ����� '*+++-��� ! ����� '*+++- � ��� ���� �� �������� �� ������� �� ���� ��� �� � � ��������� ��� ��� �����*+��� *+�� �� � ���� �� �� ���� ��� ��� ���� � ��� ��� ���� ���� ��� � � �� �� �� ��� �� ����� ����� ������ �� �������� ��� � ������ � �� �� �� ��� ����� � �� ���� �� ���� ���� ��������� ��� ���� ����� ��� ���� �� ����� �� ����� *��� ��� � � �� � + '�- ��� ��� �� ������ ��� �������� �� ��� �+�� ���� ����� ��� ����� ��� � ��� ������ �� ����� ��������� ��� ��� ����� �� ��� �� ���� ����� ��� ��� ��� ��� �� ������ � #���� � ��� �� ��� ����� �� �� � ���� �� ��� �� ���� ��� � ���� � �������� �� �� � � ��� ��� ���� �� ���%���������� ��� ��� ��� ��� � �� ������� � ���� � � �� ��� �� �� ��� ��� ��$�� � � �� �+ '� - ��� � �� ���� �� ��� ������ �� � � ���� ������ ��� ������ ������ �� �������� �� ������� � �� � �� � + '� - � �� �� ���� ��� +�� �� ��� ���� ��� ��������� �� ��� �� � �� ��� �

longitude

30W 25W 20W 15W 10W 5W

20N

25N

30N

35N

40N

45N

50N

latit

ude

6 8 10 12 14

degrees C

1900 1920 1940 1960 1980

0

200

400

600

800

1000

Sampling Year

Num

ber

of M

easu

rem

ents

'�- '� -

Fig. 9. North Atlantic ocean data. Panel (a) shows locations and water temperature for the 3987 observations

under consideration. Note that the observations are unequally spaced, often appearing in clusters or along

straight lines which correspond to trajectories of the research vessels. Panel (b) shows sampling times for the

3987 observations. The data are also unequally distributed in time, with around 3400 observations collected

between 1955 and 1985.

�� ��� �� ���� ��� ����� � � �� � � � ����� ��� � ���� �� � � *� ����� ����� ��� ���������� ��� ��������� $���� � ��� � ������ ��������� �� � � � �� ����� ��� ������ �� ��� $���� ��� ��� �� ���� ��� � ��� ��� ���� �� ��� %���������� � ���� ��� �������� �� �������� �������� � � �� ����� ��� �� ������� �� �� � � �� �� �� � �� �� � � ��� �� ��$���� ������� � ) �

14 J. R. Stroud, P. Muller, and B. Sanso�� � � ���� '�- � ������ ���������� ������ �������� ������ ��� ������ ���� '� - � � �� ��������� �� ���������� �� ��� � � ���� ����� � �� ������ � ���� ���$ �� ��� ��������� ���� ��������� �� ���$ �� $��� ����� ����� ��� ���� �� �� � # �� ����� ����� �� � � � �*� � � ������� ��� � � �� � �*��� �� ����� ���� ����� � ��� �� ���� � ��� ��� � � � '� � *�) - ���� ) � �� '*+ � *+ - �

� �� � *� ��� ��� ������ ��� �������� ��� ���� ��� ��� �� *+�� �� *+�� � ��� � ���� ��� �� ������ ������� �� � �� � � �� ! ����� '*+++- � # ������� ��� ������ � ���� �� ��� ���� ���� �� ��� ��� �� ! ����� '*+++- �� ������� ������� � ��� � ������ ����� � �� ��� � ��� ���� ��� ������ �� � �� � *� ����� �� � � ����� ����� ��� �� � � �������� ������ ��� ������� �������� ������� � �� � ����� � � � ����� �� � � � ��� �������� � ���� �� ��������� ��� ���� � ��� ���� �� �� � ����� �

��� ��� �� �� �� ��� ��� ���� ��� ���� ������� ���� �������� � �� ��� ��� ���� �� ���� ���� �� �� ����� � ��� ����� ���� ��� ���� � ��� ��� ������ �� ��� ����� ����� � ��� � �� ������ ��� ��� ���� � �� � ���� ������� ����� ���� � ���� � ��� ����� ����� ������ ��� ������ �������� � ��� ������ ��� � �� ���� *+�� �� ���� ��� ��� �� ���� �

7

7

7.5

7.5

7.58

8

8.5

8.5 8.5

9

9

9.59.51010.5

11

11

11

11.5

11.5

12

1965

7

7

7.5

7.5

7.58

8

8.5

8.5

9

9

9.51010.5

1111

11

11.5

1970

7

7

7.5

7.5

8

8

8.5

8.5

99.5

1010.5

111111.5

1975

7

7

7.5

7.5

8

8

8.5

8.5

99.5

1010.5

11 11

1980

Fig. 10. Posterior maps of mean ocean temperatures: 1965, 1970, 1975, 1980. Means are based on the full

data set.

� �� � ** ��� $���� �� ������ ��� ��� � ������ ��� ��� �� ��� ���� ���� � %���� # � � ���� � *� ���������� ����� $���� ��� � *� ������ ��������� � %���� ( � � ��� ��� � � � � *� $����� ������ ��� ���� ������ ��������� �� �� � ��� %���� � � � ��� � � + �������� ����� $��� ������� ���� $���� ��� � �� � % ���� # � ' ���� �� �� *- ���� ���� ��� ���� $���� ��� ���� ���� �" ����� ������� � ��� ��� ��� �� % ���� # ����� �� �� ���������� � ����� � ������ �� � �� � ����� � � ����� ����� � %���� � '�� � - ������ ��� ���� � � ��� ������� ������ ������ %���������� ���� ��� ��� ��� � �� ������� � %���� ( '�� - �� �� ������ ��� � ����� ��� ����� � ���������� ���� ��� ���� ������ $���� ��� � ��������� �

�� � *++, ����� �� ����� % ������� � ������ �� �� � '*++,- ������ � *��������� � � �� ����#������� � ���� �������� �� ����� �� *��� ��� � ��� ���� �� �� �� �� �� ����� � �� ������������� ����� ��� ���� #������� ��� ��� �� , �� ����� ��� ��� *+�� � *+� * ��� *++ � # � �������� � �� ���� �� �� ������ ��� ����� '*+++- � ��� �������� ��������� ��� ��� ��� �������� ��� ����� ��� ��� *+�,� *+�� � ������ ��� ����� '*+++- ������ ��� ���� �� � �� ��� ������� � �������� ���� ��� ������ ��� �� ������ �� �� � '*++,- ��� ��� � ��� �� ��� ���� ���������� *+�� � �� ��� ���� �� ���� ��� � �� �� � � ��� ����� � � ��� ��� �� ���� � ������ ���

Dynamic Models for Spatio-Temporal Data 15

-30 -25 -20 -15 -10

2025

3035

4045

50

•••

••

-30 -25 -20 -15 -10

2025

3035

4045

50

7

7

7.5

7.5

8

8

8.5

8.5

99.5

1010.511 11

11.511.5

-25-20

-15-10

longitude25

3035

4045

latitude

67

89

1011

12S

-30 -25 -20 -15 -10

2025

3035

4045

50

•••

••

-30 -25 -20 -15 -10

2025

3035

4045

50

7

7

7.5

7.5

8

8

8.5

8.5 8.5

99.5

1010.51111

11.511.512

-25-20

-15-10

longitude25

3035

4045

latitude

67

89

1011

1213

S

-30 -25 -20 -15 -10

2025

3035

4045

50

• •

•• • •

• • •

-30 -25 -20 -15 -10

2025

3035

4045

50

7

7

7.5

7.5

8

8

8.5

8.5

99.5

1010.5

11 11

-25-20

-15-10

longitude25

3035

4045

latitude6

78

910

1112

S

Fig. 11. Comparison of 1980 posterior mean field for three models. First column: kernel locations (20% HPD

contours for the Gaussian weighting kernels); Second column: mean field contours; Third column: mean field

surfaces. Top row: Model A; Middle row: Model B; Bottom row: Model C.

����� '*+++- � ��� ��� � ��� �� �� ����� ����� �

�� � �� � ����� ���� � ��� � � *� ������� ��� ��� $���� ������� ����� ����� ������� ��� � � ��� ����� �������� ����� � �� ���� ��� �� ������� �� ������ ���� � �� ������ ��� ����� �������� �� ����� �� ��� ���� ����� � �$��� � � � *� � � ���� ��� � ��� �������������� �� �� � � �� ��� ����� ������� �� ��� � ���� � ��� ��� ��� � �� # ���� ��� � ����� � ��� � ��(� �� ������� *��� � �� �� � ���� �� ��� �� ���� �� �������� �� � � �� ���� * �� ���� � � �� � * ��� � �� ���� �� ���� �� � '� %� ���� � � � � � � ���� - � ��� �� �������� � ������� �� �� ��, �� �� ��� ������ ��������� ����� � ����� �� � ����� � ����� �� � � ��� �� ������ ��� ����� �� ��� ��� ���� �� ��� � � ���� ���� �� ������ ��� ����� '*+++ � � � � - � � ���� ���� � �� � ���� � �������� �� ������ ����� � �� ���� ��� ��� '!�� - ������� � �� ����� � ��� ��� � ��� �� ������ �������� '*+++- � ��� �������� ���� �� �� ��� ������ �� ���� ����� �� ��� ���� #������� �������� ����� *+��� *+� *�

16 J. R. Stroud, P. Muller, and B. Sanso

-2 -1 0 1 20

5010

015

020

025

0

Fig. 12. Histogram of the difference in mean temperature from 1981 to 1957. Note that zero is well within any

reasonable HPD interval for the distribution.

5. Summary

��� ���� �� ������������ ���� ������ � ��� ���� �� ���$ �� ������� ������ ���� � �� �������� ��� �������� ������� ����� �� � ���� ����� �� ��� �������� ������ �� �� � ������� ������� ������� � ��������� �������� � ��� ���� �� ����� �� ��� ���� �� ���� � �� ������ �� � ��� ��������� �� ���� � ����� ������� ���� �� ���� �� ������ ��� � �� �� ������ ���������� ��� �� � � ��� � � ��� ��������� ��� � � ��� ���� ���� ����� ����� ����� ����� ������� ������ � ���������� �� ���� �

��� ���� �� ������� � �������������� �" ����� � ����� ��� �� ������� ���� �������� ����������� ���� ���� �� ' ��� �� � ��� - � # ��� ���� �� ��������� � ��� �������� ��� ������ ������� � �� ��� �� ��� ��� ��� ���������� ��� � ���� � ��������� �� ��� �� ��� �� ������ ���� � ��� ���� �� ��� �� ��$� ����� �������� � ���� �� � ������� �� ���� �� �� � �������� �� � �� ��� ���� � # � � � ��� ���� �� ���� �������� � ����� ���� �� ����� ����������������� �������� '� �� �� %�%� - � ������� ���� ������� '� �� �� ��� �% ������� - �

�� ����� �������� ��� �� � �� ���� ����� �" ������� ������ ��� ��� ��� ������� ������� ������ ������� ���� ��� �� � '� � � -� ����� ��� � '� � � -� ����� � �% ������� ��� ���� ������ ����(��� ��� ����� �� ������� � ���� ��� �� ������� ���� ��� �� ��� ����� ������ �������� � ��� ������������ �� � �� ��� � ����� ��� �� ����� � %� � ����� (��� ����������� �� ��� �������� ������� � ������� �� ������� �� ���� �� ������ � ��� �������� ��� ���� �� � �� � *� ��� �������� �� ���� ��� ����� �� � ,�� %!� ��� �� ���� ��$ ������ ������ � ��� ����� ������ �� ! ����� '*+++- ����� �� ��� �� ��� �� � � ����� ��� ���� ��������� ��� � ���� ���� � �� �� ���� ��� ��� ������ �� ������ � ��� �� ��� ����� �

(� ��� ��� ���� �� ����� �� ������� , � � ���� �� ����� ��� �� �� ���� � �� ������ �$�������� �� �������� ��� �� ���������� � �� ������ *� � ���� � ���� ������ �������� ��� ����� ��� � � ���� ����� ��� ��� �� ���� ����� � ��� ������� (��� �������� � ������%�%� �������� � ��� ���� �� ���� � ��������� ��� ����� ��� �� �� �� ����� � ��� �� � � �������� �� ���������� ���� � ���� ������� �� ������� �� �� ���� �� ���� ����� �� ���� ���

Dynamic Models for Spatio-Temporal Data 17�� � �

6. Acknowledgements

�� � � � �� ����$ � ���� !����� � ���� ����� � % ������ ������ � ���� ����$� � % ������ ����� ���� ����� � ��� # � ����� ����� � ��� ��� ������� ����� �� ���� ������� ����� ���������� ��� ��� ���� ��� � ������� ��� � ���� �� �������� ������� �� � ��� +���+�+���� ������� �� ��� �������� ������� ���������� ��� � ��� �+������+ �� ��� ��� ���������� ���� ��������� � ����� �� � ����������� �� ��������� �

References

(�� � � �� )��$�� � � � ��� &��� �� � � � '*++, - ��� � � ���� ��� � � ����� �� �� � ��� ���������� � ��� � � ������ !��� � �� ��� �

����� � & �� ���� � & �� ����� � � �� � � � � �� ������ � ! �� ��� ������� � ! � ��� ���� � � � '*++�- ��������� �� ��� ���������� ��� ��� �� !�� ������� ���� � �� �� � � ���� �� � �� � �+ �, *� �

���� � � � ��� ���� � & � '*++,- �� � ��� ������ �� ���� ���� ���� � � �� ����� �� � � �, *� ��� ��� �� � � � '*++� - � ���� ��� � � �� ���� � ���� � �� ��$ � � ��������� ������ � ��� �� ��� �

� �������� � � �� ���� �� � � � ��� %�����$ � ( � '*++� - �������� � �������� � ������ �� ����� � ���� ���� �� � ���� ��� �� ����� ��� � ���� #�% ����� ����

� ���� ������������ � � � '*++, - � ��� ��� �������� ��� ���� �� ����� ���� � �� ���� � �� � ���� � � *��� � �

������ � % � ' ��� - ! ��� �������� $����� �� ��� �������� ������ ����� �� �� � � ���� � ��� ������� ��� �� ����� ��� � ���� ������� ����� ����� ����

������� � # �� ��� � � � �� ������ � ) � ��� �� �� � � � '*++�- ������������� ������� �� � �������� ��� ���� � �� � � � � �� � � ���� ��� � � � * �� *�

������ � � �� % ����� � � � ��� ��� �� � � � '*++,- # ������� � ����� � �� ����������� ����� ���� ��� �������� � � � , *� �, �

!������$ � % � ��� ����� � % � '*++�- # (��� ��� ����� � �� $����� � ����� ����� � �� � ,���, *� �

!������$ � % � ��� ����� � ) � '*++,- #� ������� �� ���� ����� ������������� ������� �� ������������� ��� � �� �� � � ���� � � � �� � � �����+� �

!� ���� � ) � ��� &������ # � '*+�+- �������� � �������� � ��� ����� ��� ���������� � # � ��������� � � ��� ���� � ���� � ��� � � ���� � �� �� � *��� �

! ����� � � � '*+++- # �� �� ������������ ������� �� ������� �������� �� ��� ���� #������������ � �� � � �� � ���� ��� � � *��� *+� �

18 J. R. Stroud, P. Muller, and B. Sanso!����� � � �� ����� � ) � ��� � �� � ) � '*+++- ���� �������� ������ ������� � �� � ��� �� � ���� ��� �

'�� � ) � (����� � ) � (��� � # � � �� �� ��� # � � ��� - � �� *� ��� � ����� � ����� ����� ��� � � �

!���� � ! ��� � ��� �� �� � � � '*++� - ������������� ��������� �� ��� ���� ���������� � ��� ���� �� �� ��� � ��� ��� � ���� � � � ��� ���� � *�+� *�� �

� �� � ) � ' ��� - � ��� �� � ��� ������ ��� ���� � � �� ���� � � �� ���� � �� ��� �� � ���������� �� �� � ��� � � ��$� ����� ����

������ � % � ��� ����� � � � '*+++- # %�$�� ���� ��� ������������ ����� � �� � ���� ��������� � � � � � �� � ���� � �� � � ,+� �� �

% ���� � � �� ������� � � �� &����� � � � ��� # ��� � � � � '*++� - ��� $���� $�� �� ��� � �� �� � � *�� �� �

������ � � �� ��� ��� � # �� (���� � ! �� ��� ��� � % � ��� % ����� � & � '*++,- & � ��� �������� �� ��� ��������� ���� #������� ����� ��� ��� �� � �� ��� � � ������ �� � ,�� �*�

� ����� � � � ��� � ��� �� � � � '*+���- ������������ ��� �������� �� � �� ��� � ����� �� ������� �#&%# ���� � ��� � � ���� � � � � � ������ ��� �� �� � ���� �,+ �

� '*+���- ����������� ��� ������������ ����� �� ��� ��� ��#&%# ���� � ��� � � ���� �� �� � ������ ��� ���� � ��*� �� �

��� �� � � � ��� ������ � � � '*++ - ������ ���� � �� ����� �� ��� �������� ������ ��������� ������ � �� �� � � ���� � � � �� �� � *��� **+ �

��� �� � ( � ��� ������ � � � '*+++- ���������� ������� ���� ����� �� � ��� � (��� ��� ������� ����� � ��� � � ���� ��� �� � �,���� �

� ' ���- # ���� �������� ���� ��� ���� �� ������� � �� ����� �� �� �� � � ���� �� � �

� ��� � & � ��� &���� �� � � � '*++�- # (��� ��� ������� �� ��� �������� �� ������������� ������������� ���� � �� �� � � ����� � � ��� �� � ���� ��� ��� '�� � � � ��� ��� � ) � !���� � & � � � �& � % ������ �� � � � &� � ��� � � �����������- � ������ ���� �� ����� ��� � ��� �+ � � �� ��$ ������� ����� �

����� � � � '*+��- � �� ����� ��� ������ ������ �� ������� � #&%#� ���� �� ��� �� ���� �� � ��� ���� � �� �� � � ���� � � � �� � � �� � �� �

��������� � � � '*++�- (��� ��� ���� �� ����� ���� �� ������ �� � ��� � ���� � � �� � � ��� �� ��������� ��� � � ����� ���� �� ����� ���� � ����� �� �� �� � �� ��� �� ������� � ������ � ������

� '*++� - ������� ��������� � ��� ������� � ���� � ���� � � �� � � ��� �� �� ������� � ���� � � ������ ���� �� ����� ���� � ����� �� �� �� � �� ��� �� ������� � ��� ��� � ������

����� � � �� ����� � ( �� � �� � ! � ��� ������� � # � '*++�- ! ��������� ������������ ������ ���� �� � ��� � �� �� � � ���� � � � �� � ����� *� �

Dynamic Models for Spatio-Temporal Data 19�� � � % � ��� !�� �� � � � '*++�- � ��� �� ����� �� �� � ��� �� � �� � � �� ��$ � ������ �

�� ��� �

� �$�� � � �� (����� � % � ��� �� �� � � � '*+++- ! ����� ���� (��� ��� ������� � ���� � �� � � ��� ���� � �� � � **�� *�, �

� �$�� � � � ��� �� �� � � � '*+++- # �� �� ��� ������ ������� �� ������� � � �� �� ������ �� �� ����� �� �� � � *��� + �